Автор: Секефальви-Надь Б. Фояш Ч.
Теги: анализ физика математика функциональный анализ пространство переводная литература издательство мир
Год: 1970
Текст
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
ОПЕРАТОРОВ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
ANALYSE HARMONIQUE
DES OPERATEURS
DE L'ESPACE »E HILBERT
PAR
BELA SZ.-NAGY et CIPRIAN FOIA§
SZEGED BUCAREST
MASSON ET GIe ACADEMIAI KIADO
1967
В. СЕКЕФАЛЬВИ-НАДЬ
Ч. Ф0ЯП1
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ ОПЕРАТОРОВ
в гильбертовом пространстве
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
Ю. Л. ШМУЛЬЯНА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Ю. П. ГИН8ВУРГА
С ПРЕДИСЛОВИЕМ
М. Г. КРЕЙНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР)
МОСКВА 1970
УДК 517.43
Книга венгерского академика Белы Секефальви-Надя (хо-
(хорошо знакомого нашему читателю по ставшим уже классическими
„Лекциям по функциональному анализу") и известного румын-
румынского математика Чиприана Фояша посвящена изучению сжатий
в гильбертовом пространстве. Она удачно дополняет ряд недавно
вышедших монографий советских авторов по теории несамосопря-
несамосопряженных операторов. Книга адресована в первую очередь специа-
специалистам по функциональному анализу, однако несомненно заинте-
заинтересует и математиков, занимающихся теорией функций, матема-
математическими проблемами теоретической физики, а также другими
вопросами (например, теорией прогнозирования стационарных
случайных процессов).
Изложение ясное, четкое и последовательное. Книга доступ-
доступна аспирантам и студентам старших курсов университетов и
пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
12-70
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Книга, русский перевод которой предлагается вниманию чи-
читателя, имеет историю, которую легко проследить. В 1953 г. в се-
гедских Acta Scientiarum Mathematicarum появилась статья из-
известного венгерского ученого Б. Секефальви-Надя, в которой
устанавливалась ныне широко известная теорема об унитарном
растяжении (дилатации) оператора сжатия -г- результат, полу-
получивший вскоре продолжение в работах как самого автора, так
и других исследователей. Начиная с 1958 г. в разработку теории
сжатий активно включился выдающийся молодой румынский ма-
математик Ч. Фояш. С тех пор в сегедских Acta стали системати-
систематически появляться совместные статьи авторов настоящей книги
Б. С.-Надя и Ч. Фояша под общим заголовком „О сжатиях в
гильбертовом пространстве".
Эти исследования вылились в стройную теорию, уже успев-
успевшую занять важное место в современном функциональном ана-
анализе. Нам приятно отметить, что указанная теория имеет много-
многочисленные, а иногда и неожиданные переплетения с работами
советских специалистов по теории операторов. Уже отправная
теорема Б. С.-Надя первоначально была получена с использова-
использованием известной теоремы М. А. Наймарка об обобщенных спект-
спектральных функциях. В дальнейшем в работах авторов книги
явственно проступили связи с теорией прогнозирования стацио-
стационарных случайных процессов, а также с теоремой Бёрлинга об
инвариантных подпространствах сдвига. В то время казалось,
что эти работы далеки от советских исследований по спектраль-
спектральной теории операторов, отличных от нормальных, — исследова-
исследований, в которых, в частности, уделялось большое внимание
сжатиям.
В 1963—1964 гг. произошли события большой важности для
теории операторов в гильбертовом пространстве. К этому времени
Б. С.-Надем и Ч. Фояшем было разработано функциональное
исчисление для сжимающих операторов и введено для определен-
определенного класса сжатий фундаментальное понятие минимальной
функции. Необычайно эффектным и, как мы считаем, неожидан-
неожиданным был тот момент, когда на своем пути Б. С.-Надь и Ч. Фояш
пришли к понятию характеристической функции сжатия — поня-
понятию, которое,возникнув (для операторов, „близких" к унитарным)
в работах М. С. Лившица, уже в течение двух десятилетий играет
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
фундаментальную роль в исследованиях многих советских мате-
математиков. Одновременно авторами книги была получена для
произвольного оператора сжатия принципиально новая функцио-
функциональная модель, в которой уже фигурировала самым непосред-
непосредственным образом характеристическая функция. Начиная с этого
момента ясно обозначилось взаимовлияние исследований
Б. С.-Надя — Ч. Фояша и советской школы теории операторов
в гильбертовом пространстве. Это взаимовлияние, сопровождав-
сопровождавшееся решением ряда трудных и важных вопросов, можно про-
проследить на многих разделах теории (операторы, подобные уни-
унитарным; одноклеточные сжатия и диссипативные операторы;
теоремы умножения характеристических функций; методы, свя-
связанные с минимальной функцией, и др.). Поэтому не случайны
многочисленные ссылки в книге на работы советских матема-
математиков.
Другое важное событие того же периода A963 г.) связано
с успехом П. Лакса и Р. Филлипса в построении теории рассея-
рассеяния акустических волн на препятствиях. Существенно, что в этой
теории была предложена абстрактная схема задачи о рассеянии,
позволяющая дать новую интерпретацию понятия 5-матрицы.
Таким образом, понятию, первоначально возникшему в кванто-
квантовой теории рассеяния, была дана новая жизнь в классической
математической физике. Вместе с тем оказалось, что эта схема
Лакса — Филлипса представляет собой континуальный аналог
той ситуации, которая сложилась в работах Б. С.-Надя и
Ч. Фояша при изучении сжатий специального класса (клас-
(класса Соо). В дальнейшем стало ясно, что характеристическую функ-
функцию сжатия всегда можно трактовать как S-матрицу соответ-
соответствующим образом сформулированной задачи рассеяния.
В настоящее время мы являемся свидетелями возникновения
в теории операторов в гильбертовом пространстве новой боль-
большой области с широким фронтом исследований, охватывающим
теорию характеристических функций операторов различных
классов, исчисление треугольных и мультипликативных интегра-
интегралов, различные вопросы аффинной теории линейных операторов,
ряд разделов теории операторов в пространствах с индефинит-
индефинитной метрикой, различные аспекты теории рассеяния самосопря-
самосопряженных и несамосопряженных операторов и разнообразные вы-
выходы в классическую и квантовую физику, а также в конструк-
конструктивную теорию функций. Этот фронт исследований вряд ли
может быть представлен в рамках одной монографии, и в настоя-
настоящее время стали появляться книги (Л. де Бранж [2], М. С. Брод-
Бродский [91 И. Ц. Гохберг и М. Г. Крейн [4], [7*], П. Лаке и Р. Фил-
липс [2], М. С. Лившиц [4], Г. Хелсон [1]), в которых отражаются
те или иные стороны указанной проблематики. В этой серии вы-
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
дающееся место занимает монография Б. С.-Надя и Ч. Фояша,
подводящая итог их собственным исследованиям и примыкаю-
примыкающим к ним. У нас нет уверенности, что название „Гармонический
анализ операторов в гильбертовом пространстве" полностью от-
отражает содержание и цели этой книги, но оно вполне соответ-
соответствует гармоничности изложения, чрезвычайной стройности раз-
развитой авторами теории и ее большой внутренней красоте.
Стоит отметить, что круг исследований, непосредственно ох-
охваченных книгой, расширен благодаря историческим коммента-
комментариям и комментариям по существу, которыми сопровождается
каждая глава.
Перевод книги осуществлялся в условиях тесного контакта
с авторами. Благодаря этому был исправлен ряд мелких опеча-
опечаток и погрешностей, а также внесены многочисленные дополне-
дополнения, сближающие текст настоящего перевода с текстом готовя-
готовящегося английского издания монографии.
Мы не сомневаемся, что выход в свет русского перевода этой
великолепной книги доставит большое удовлетворение всем по-
почитателям функционального анализа.
М. Г. Крейн
ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
За три года, прошедших с момента выхода первого (фран-
(французского) издания настоящей книги, были достигнуты новые
успехи во многих разделах теории. JB процессе перевода книги
на английский язык мы включили в нГее новые результаты, а так-
также исправили, усовершенствовали и дополнили многие части
первого издания.
Отметим, в частности, следующие изменения.
Было известно (теорема 1.6.4), что любая коммутативная пара
сжатий имеет (коммутативную) унитарную дилатацию, но оста-
оставался открытым вопрос, верно ли это для произвольного комму-
коммутативного семейства, состоящего более чем из двух сжатий. При-
Пример, построенный Парротом и приведенный в п. 1.6.3, показы-
показывает, что ответ на этот вопрос отрицателен.
Доказано, что ' всякий оператор, обладающий унитарной
р-дилатацией, подобен некоторому сжатию (§ II. 8).
Доказана общая теорема о дилатации коммутантов сжатий
(§ II. 2); эта теорема применена к функциональной модели сжа-
сжатия класса Соо (п. VI. 3.8).
Несколько расширено функциональное исчисление для сжа-
сжатий, с тем чтобы включить в него некоторые функции, меро-
морфные в единичном круге (§ IV. 1). Это расширение осуще-
осуществляется непосредственно и оказывается естественным и даже
необходимым в свете некоторых недавних исследований опера-
операторов класса Cp(iV). (Кратко об этом говорится в п. 2 коммен-
комментариев к главе IX.)
Приведено полученное И. Ц. Гохбергом и М. Г. Крейном
важное соотношение между нормой оператора вт(^), где
вт(^) — характеристическая функция сжатия 7, и нормой ре-
резольвенты Г (предложение VI. 4.2).
В п. V.4.5 подробно изучены факторизации одной сжимаю-
сжимающей аналитической функции весьма простого вида. Это изуче-
изучение оказывается полезным в ряде задач факторизации и, в ча-
частности, проясняет некоторые вопросы, возникающие в связи с
теоремой VII. 6.2 (см. последний пункт комментариев к
главе VII).
Имеются и другие места, претерпевшие более или менее зна-
значительные изменения. Мы воспользовались большим числом
замечаний, сделанных нашими коллегами, в частности,
Ю. Л. Шмульяном из Одессы, Р. Дж. Дугласом из Энн-Арбор
и Ч. Дэвисом из Торонто, которые просмотрели части рукописи
настоящего издания. Всем им мы приносим искреннюю благо-
благодарность.
С.-Н. и Ф.
Сегед и Бухарест
май 1969
ПРЕДИСЛОВИЕ
В теории операторов в гильбертовом пространстве уже давно
были получены исчерпывающие результаты для случая самосо-
самосопряженных, унитарных и нормальных операторов — случая хотя
и частного, но играющего важнейшую роль в ряде разделов ма-
математики и теоретической физики.
Несмотря на то что к теории операторов, не являющихся
нормальными, уже давно подступаются с разных сторон, она не
достигла еще столь законченной,формы.
Наблюдающееся сейчас быстрое развитие этой теории тесно
связано с работами ряда советских (М. Г. Крейн, М. С. Лившиц,
М. С. Бродский и др.) и американских (Н. Винер, Г. Хелсон,
Д. Лоуденслагер, П. Мазани и др.) математиков. Работы совет-
советской школы относятся в первую очередь к характеристическим
функциям и получаемым с их помощью треугольным моделям
операторов. Работы американской школы вызваны к жизни глав-
главным образом теорией прогнозирования стационарных случайных
процессов. Наконец, имеется еще одно направление исследова-
исследований, начало которому было положено теоремой об унитарной
дилатации операторов сжатия в гильбертовом простран-
пространстве (С.-Надь, 1953 г.); оно развивается авторами настоящей
монографии и другими авторами (М: Шрайбер, И. Гальперин,
Г. Лангер, В. Млак и др.). Последний подход позволяет, в ча-
частности, построить эффективное функциональное исчисление для
сжатий в гильбертовом пространстве. Кроме того, этот подход
в известном смысле образует связующее звено между двумя
другими подходами. Действительно, характеристические функ-
функции сжатий появляются совершенно естественно на нашем пути
при „гармоническом анализе" (или „анализе Фурье") их унитар-
унитарных дилатации, а этот анализ в свою очередь вызван к жизни
теорией прогнозирования.
Цель настоящей монографии — дать подробное изложение
той информации о сжатии Г, которую можно получить, исследуя
его унитарную дилатацию, сведя тем самым изучение операторов
общего вида к изучению унитарных операторов.
В главе I излагаются основы теории изометрических и уни-
унитарных дилатации и даются различные методы их построения.
В первую очередь речь идет о дилатациях дикретных полугрупп
{Тп} (п = 0,1,...) или непрерывных полугрупп \T(s)} @<s < оо)
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
с одной образующей, которые будут постоянно использоваться
в последующем. Далее в главе I исследуются дилатации комму-
коммутативных дискретных полугрупп с несколькими образующими;
в этом направлении получен ряд красивых и окончательных
результатов, однако имеются еще трудные нерешенные пробле-
проблемы. Эти результаты (§ 6 и 9) не являются необходимыми для
изучения остального материала.
В главе II изучаются геометрические и спектральные свой-
свойства унитарной дилатации для сжатия Т (т. е. для дискретной
полугруппы сжатий {Тп}). Вводится классификация сжатий
в зависимости от асимптотического поведения степеней опера-
операторов Т и Г*. Вводятся также важные понятия квазиаффи-
квазиаффинитета и квазиподобия. В § 4 устанавливается существование
богатого набора инвариантных подпространств у операторов не-
некоторых классов; исследование этого вопроса возобновляется
в главе VII с помощью более сильных методов.
В главах III и IV для сжатий Т строится функциональное
исчисление, основанное на применении спектральной теории
к унитарной дилатации оператора Т. Это исчисление имеет
дело с классом ограниченных аналитических в единичном
круге функций. Открытая А. Бёрлингом арифметика внутренних
функций находит здесь важное применение в связи с „минималь-
„минимальными функциями" сжатий некоторого класса, названного нами
Со. Внешние функции также играют особую роль в функцио-
функциональном исчислении, а именно в связи с распространением этого
исчисления на некоторые классы аналитических функций, неог-
неограниченных в единичном круге. В качестве важных приложений
изучаются непрерывные полугруппы сжатий (как функции своих
„когенераторов") и функции от аккретивных и диссипативных
операторов, ограниченных либо неограниченных. Для исследова-
исследования аккретивных и диссипативных операторов применяется пре-
преобразование Кэли.
Иллюстрацией применения изложенных методов к частной
задаче, представляющей и самостоятельный интерес, служит
определение и изучение дробных степеней аккретивных опе-
операторов.
Глава V не зависит от предыдущих. В ней излагаются поня-
понятия и общие результаты, относящиеся к аналитическим функ-
функциям с операторными значениями. Эти понятия и результаты
(кроме изложенных в § 5 и 8) постоянно используются в осталь-
остальной части книги. В частности, в этой главе идет речь о существо-
существовании разложений аналитических операторных функций на мно-
множители и о свойствах таких разложений (факторизации). Фун-
Фундаментальную роль в наших исследованиях играют две леммы
(§ 3) о представлении Фурье гильбертова пространства и некото-
ПРЕДИСЛОВИЕ И
рых операторов в нем — представлении, порождаемом односто-
односторонним или двусторонним сдвигом в рассматриваемом простран-
пространстве.
Понятие характеристической функции оператора появляется
в главе VI. Это операторнозначная аналитическая функция, со-
соответствующая при представлении Фурье (§ 3 гл. V) некоторому
ортогональному проектору в пространстве унитарной дилатации
оператора Г. Отсюда немедленно получается функциональная
модель (точнее, две дуальные модели) оператора Т. Эта модель
позволяет изучать структуру сжатий и соотношения между спек-
спектром, минимальной функцией и характеристической функцией.
В главе VII доказывается существование взаимно однознач-
однозначного соответствия между инвариантными подпространствами
сжатия Г и некоторыми (названными „регулярными") факториза-
циями характеристической функции этого сжатия. Наличие та-
такого соответствия позволяет установить существование и спект-
спектральные свойства инвариантных подпространств для некоторых
типов сжатий (именно, для сжатий класса Си) и тем самым
усилить результаты, полученные более элементарными методами
в главе II (§5).
В главе VIII рассматриваются „слабые" сжатия, т. е. такие
сжатия Г, спектр которых не покрывает единичного круга, при-
причем оператор / — Т*Т имеет конечный след. Оказывается, что
слабые сжатия обладают семейством инвариантных подпро-
подпространств, дающим своего рода спектральное разложение, анало-
аналогичное спектральному разложению для унитарных операторов.
Глава IX посвящена различным приложениям методов, раз-
развитых в настоящей книге. В этой главе устанавливаются крите-
критерий того, что сжатие подобно унитарному оператору, соотноше-
соотношения квазиподобия для одноклеточных сжатий, а также критерии
одноклеточности. Кроме того, показано, как все эти результаты
переносятся (с помощью преобразования Кэли) на аккретивные
или диссипативные операторы и на непрерывные полугруппы
сжатий.
Каждая глава завершается комментариями, где приводятся
дополнительные результаты, исторические справки и библиогра-
библиографические сведения.
Главы подразделяются на параграфы, а параграфы на пунк-
пункты. Результаты формулируются как теоремы, предложения, лем-
леммы и следствия; их нумерация, равно как и нумерация пунктов
и формул, сквозная внутри каждого параграфа. При ссылках
„п. 2.3" обозначает третий пункт, „B.3)"—третью формулу,
„теорема (соотв. предложение и т. д.) 2.3" — третью теорему
(соотв. предложение) параграфа 2. При ссылках на результаты
Других глав спереди добавляется соответствующая римская
12 предисловие
цифра. Так, например, если речь идет о главе I, то мы пишем
п. 1.2.3, A.2.3), предложение 1.2.3 и т. п.
Предполагается, что читатель знаком с элементами теории
гильбертовых пространств (а именно, со спектральной теорией
унитарных, самосопряженных и нормальных операторов) !). На-
Настоящую монографию можно фактически рассматривать как
продолжение „Лекций по функциональному анализу" Ф. Рисса
и Б. С.-Надя (далее цитируемых как [Лекции]), а также добав-
добавления к этим лекциям, написанного в 1955 г. Б. С.-Надем под
названием „Продолжения операторов в гильбертовом простран-
пространстве с выходом из этого пространства" (см. Б. С.-Надь [П]).
Кроме того, предполагается знакомство с основными результа-
результатами о классах Харди аналитических функций (в единичном
круге или в полуплоскости); они изложены, например, в книге
Гофмана [I]2).
Отметим, что главы V и VI нашей книги имеют точки сопри-
соприкосновения с недавно вышедшей монографией Хелсона [1]. Одна-
Однако по содержанию эти две книги имеют мало общего.
Мы благодарны нашему коллеге Иштвану Ковачу за замеча-
замечания, сделанные в процессе чтения рукописи, а также издатель-
издательству Венгерской Академии Наук и типографии г. Сегеда за забо-
заботу об оформлении книги.
С.-Н. и Ф.
Сегед и Бухарест
1) Например, в объеме первых шести глав книги Ахиезера и Глазмана
[1]. — Прим. перев.
2) См. также Привалов [1]. — Прим, перев%
ГЛАВА I
СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
§ 1. Односторонние сдвиги. Разложение Вольда
В настоящей книге изучаются линейные отображения (или
операторы) гильбертова пространства § (вещественного либо
комплексного) в гильбертово пространство ?>'. Если •& = •&', то
говорят об операторе в пространстве ф. Для линейного ограни-
ограниченного оператора Г из § в §' сопряженный оператор Т* из §'
в § определяется соотношением
(ГА, А%, - (Л, Г А% (Л Gift's ?').
Как известно, ||Г|| = ||Г||.
Линейный оператор F из § в §' называется изометрическим,
или изометрией, если
7А2)^ = (А1э Л2)ф Для всех А1э
Это означает, что
(Через / мы обозначаем тождественный оператор, указывая,
если это нужно, в каком именно гильбертовом пространстве
он действует.)
Пусть V — изометрия в ф. Если некоторое подпространство 2
отображается оператором V на себя, то 8 приводит V'. В самом
деле, из равенства 1/2 = 8 вытекает, что У*8 = W8 = 8. Таким
образом, 8 инвариантно относительно как V, так и V*, т. е. 2 при-
приводит V.
Оператор V из § в ф' называется унитарным, если К является
изометрией и отображает § яа §'. Для такого оператора V*V = /^
и Уф = «§>'• Из первого соотношения вытекает, что (VV*)V =
V (V*V) = V и, следовательно, У V*h' = Л' для всякого ti вида Л' =
= КА (А е ?).Поскольку F§ = «Й,^ то VV*h' = Л' для любого
А' е §'. Поэтому VV* — I&. Обратно, из последнего соотноше-
соотношения вытекает, что V$=y'. Таким образом, унитарные опера-
операторы из § в §' характеризуются соотношениями
14 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
т. е. соотношением
Пусть V — изометрия в ф. Подпространство 8 пространства §
назовем блуждающим относительно У, если Vp% L VqU для всех
целых неотрицательных р и q, p Ф q. В силу изометричности V
для этого достаточно, чтобы
Frt8±8 при я =1,2, ...
Рассмотрим ортогональную сумму
Заметим, что
1
откуда
8 = M+(8HFM+(8). A.1)
Изометрия V в пространстве ф называется односторонним сдви-
сдвигом, если в § существует такое блуждающее относительно V
подпространство 8-, что М+(8)=§* Это подпространство, назы-
называемое порождающим, определяется оператором V однозначно;
именно в силу A.1) имеем 8 = §©!/§. Размерность 8 назовем
кратностью одностороннего сдвига V. Кратность определяет
оператор V с точностью до унитарной эквивалентности. В са-
самом деле, пусть К и Г-односторонние сдвиги в пространст-
пространствах § и §' соответственно, и пусть dim 8= dim 8', так что суще-
существует унитарный оператор ф, отображающий 8' на 8* Опреде-
Определим унитарное отображение Ф пространства ф' на § формулой
Ф 2 V'% - 2 Vn (Ф/„) (/„ е 8'; 2 IIUII2 < «>)•
0 0 О
Тогда ФУ = 1/Ф и, следовательно, V' = Q
Для одностороннего сдвига V в Ф = М+(8) имеем
Поскольку 8«=Ф0У?±УФ, то (Г/, Л) = (/,УЛ) = 0
т. е. V*/ = 0 (/ e 8). Таким образом, если
Л=2Ил (/яе8, 2 II'« IP-II AIR, A.2)
о о
то
ОС ОО
Vh=^Vn+lln=^Vnln.u A.3)
о 1
00 ОО
п=2г-!/я = 2ги A.з*)
1 О
§ 1. ОДНОСТОРОННИЕ СДВИГИ. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЛЬДА 15
Из A.3*) получаем V*kh = 2 Vn ln+k {k = 1, 2, ...), откуда
о
ПрИ &->оо.
Итак, для одностороннего сдвига V имеет место соотношение
У**->0 (?-*оо). A.4)
.. Важность односторонних сдвигов видна из следующей тео-
теоремы.
Теорема 1.1 (разложение Вольда). Пусть V — изо-
метрик в пространстве §. Тогда § разлагается в ортогональную
сумму § = §оФ'&ь где ?>0 и #i приводят F, <шсгб V б ф0
является унитарным оператором, а часть V в ${ — односторон-
односторонним сдвигом. Это разложение единственно. Именно
§о= П Уя$. ©1 — Af + B)t где S = ?0F§. A.5)
Разумеется, одно из подпространств §0, ^ может отсутствовать^
т. е. сводиться к {0}.
Доказательство. Подпространство 2 = § © F§ является
блуждающим для У. В самом деле, если п^ 1, то Frt2 с Vrt§ с
cz F§ и F§ 1 2.
Положим $! = М+ B), §0 = §© §i- Заметим, что h e §0 тогда
и только тогда, когда А ортогонально ко всем конечным сум-
m
мам ®F (m=l,2, ...). Поскольку
о
то условие Ag§0 означает, что АеГ§ при всех /п>0и,
следовательно, §0 удовлетворяет соотношению A.5). Так как
подпространства Vm$ (m = 0, I, 2,...) образуют убывающую
оо
последовательность, то ^0= f)Vn$. Отсюда вытекает, что
/i=i
оо оо оо
П ут% - *о.
16 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАНИИ
и, следовательно, Фо приводит V к унитарному оператору в ф0;
§! также приводит V, а именно к одностороннему сдвигу. Таким
образом, подпространства A.5) удовлетворяют требуемым усло-
условиям.
Остается доказать единственность. Пусть § = ф?0ф[ — про-
произвольное разложение, удовлетворяющее условиям теоремы,
т. е. ф( = А1+(8'), где 2'— некоторое блуждающее подпростран-
подпространство для F, a V% = % Нам надо показать, что % = §0, $\ =
« §!. Но это сразу следует из соотношений
§ 2. Двусторонние сдвиги
Пусть U — унитарный оператор в §. Если 8 — блуждающее
подпространство для U, то с учетом изометричности опера-
оператора U~l имеем
п 1 ич
для всех целых р, q, p ф q. Образуем ортогональную сумму
МB)= ©f/"8.
— оо
Очевидно, что М{2) приводит U.
В противоположность тому, что мы имели для М+ (8), орто-
ортогональная сумма МB) не определяет однозначно подпростран-
подпространства 2 (например, М (8) = М (С/B)). Однако размерность 8 опре-
определяется по Л4(8) однозначно. Это вытекает из следующего
предложения.
Предложение 2.1. Пусть 8' и й" — блуждающие подпростран-
подпространства для унитарного оператора U в $ и
. B.1)
Тогда
dim 2' > dim 8". B.2)
Если dim2'<oo, то равенство в B.2) влечет равенство в B.1).
Доказательство. Поскольку dim М B') = tf 0 dim 2' и
dimAf B")= К 0 dim 2", то из B.1) вытекает, что
Ко dim 2' > Ко dim в". B.3)
Если dim 2'^ Ко, то левая часть равенства B.3) равна dim 2',
правая же всегда >dim2", так что неравенство B.2) справед-
§ 2. ДВУСТОРОННИЕ СДВИГИ • \f
ливо. Остается рассмотреть случай, когда dim8'<oo. Выберем
в 8' и 8" ортонормированные базисы
{<: *e=Q'} и {<;: ms=Q"}. B.4)
Заметим, что множества
[U*e'n: n<=Q'; jfe-0, ±1, ...}
{[/*<: шей"; ft-0, ±1, ...}
служат ортонормированными базисами в М{$') и М{%") соот-
соответственно. Применяя неравенство Бесселя и равенство Парсе-
валя, получаем
|
т ntk
Для того чтобы здесь имело место равенство, необходимо и доста-
достаточно, чтобы е^ е М(8") для всех /г е ?У, т. е. чтобы 2' с= М (8"),
МB0с:М(8'0 и, следовательно, в силу B.1) М (8') = М (8^).
Оператор ?/ в пространстве Ф называется двусторонним
сдвигом, если он унитарен, и в Ф существует такое подпро-
подпространство 8, блуждающее относительно (/, что Л4(8) = §. Под-
Подпространство 8 называется при этом порождающим:, a dim 8 —
кратностью двустороннего сдвига С/.
Двусторонний сдвиг определяется своей кратностью с точ-
точностью до унитарной эквивалентности. Доказательство анало-
аналогично соответствующему доказательству для односторонних
сдвигов.
Отметим одно очевидное свойство двусторонних сдвигов,
а именно что они не имеют никаких собственных значений.
В самом деле, всякий элемент Леф«=М(8) может быть запи-
записан в виде
A-St/%. где /„е=8 и ||A||2=Sl|f/%ll2=l]||/JI2, B.5)
— оо —оо —оо
откуда
— оо —op
К. 517
UX-v B,6)
18 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
Сравнивая компоненты из Un B) в обеих частях равенства Uh = Xh,
оо
находим, что 1п^х = Х1п при всех п. Поэтому ряд 2lKJI2 cxo"
— оо
дится лишь тогда, когда /rt = 0 для всех п. Таким образом,
А = 0.
Предложение 2.2. Всякий односторонний сдвиг V в ф может
быть продолжен до двустороннего сдвига U той же кратности
в некотором пространстве, содержащем § как подпростран-
подпространство.
оо
Доказательство. Пусть §=фГ2, где 2 —блуждаю-
о
щее подпространство для V. Образуем Пространство L, элемен-
элементами которого являются векторы
l-tfX». где /пе8 и ||11|2= SllU2<«>.
. —оо
Заметим, что равенство
определяет двусторонний сдвиг в L, порождающее подпро-
подпространство которого состоит из векторов {/„}, для которых 1п = 0
при п ф О, а /0 произвольно. Размерность этого подпростран-
подпространства равна, очевидно, размерности 2.
Вложим Ф в L, отождествив элемент
с элементом {/«} е L, для которого
Такое отождествление законно, поскольку оно сохраняет ли-
линейную структуру и метрику в ф. При этом элемент Vh =
оо оо
= 2 Vn+ltn = 2 Vnln-i из § отождествляется с элементом
о 1
{t'n-\} = U [in] из L. Отсюда следует, что U является продолже-
продолжением V". Предложение доказано.
Заметим, что при указанных отождествлениях справедливо
оо
равенство L = ® ?/л8.
— оо
Предложение 2.3. Всякая изометрия V в пространстве ф
может быть продолжена до унитарного оператора в некотором
пространстве 5?? & zd §,
§ 3. СЖАТИЯ. ИНВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРЫ 19
Доказательство. Возьмем разложение Вольда для V
и продолжим часть V{ оператора V, представляющую собой
односторонний сдвиг, до двустороннего сдвига U{ (предложе-
(предложение 2.2). Образуем затем ортогональную сумму U =*V0@U]t
где Vo — унитарная часть V. Оператор U является унитарным
продолжением V.
§ 3. Сжатия. Инвариантные векторы
и каноническое разложение
1. Линейное отображение 7" гильбертова пространства §
в гильбертово пространство §' называется сжатием (из § в §'),
если
<||А||ф для всех /*€=?, C.1)
т. е. ||71<1. Поскольку ||Л1Н|Г||, то Г также является
сжатием, но уже из §' в $. Из C.1) следует, что (T*Th, А)^
<i(A, h) для любого йе§. Из аналогичного неравенства
для Г вытекает, что GТ*А'Э А')<(А'Э А') при всех А'е$'.
Таким образом, для произвольного сжатия Т из ?> в §' вы-
выполняются условия ГТ^/#, ТТ*<^.1§'. Поэтому Можно рас-
рассмотреть операторы
DT = (/ф - Г 74O, DT* - (/у - ГГ*)Т, C.2)
являющиеся самосопряженными операторами в § и §' соот-
соответственно, причем O^.Dt^I$, O^.Dt*^I&. Имеем TDt =*
= Т (/$ - Г>) = Г - 7TY = (/§' - ГГ*) Г = D2T*T, откуда по индук-
индукции получаем
T(Diy = (D2r)"T (я-0, 1,2,...).
Следовательно, \
{2) = p{D2T*)T C.3)
для любого многочлена р(Я,) = а0 + а{К + ... +апЯ,л. Выберем
последовательность многочленов pm(h), равномерно сходящуюся
на интервале 0<А,<11 к функции к2. Для всякого самосопря-
самосопряженного оператора А с гранями 0 и 1 последовательность рт(А)
j_
сходится к Л2 по норме. (Это простое следствие спектрального
представления А.) Применяя C.3) к указанным многочленам и
переходя к пределу при т->оо, получаем
TDT = DT*T. C.4)
2*
20 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛЛТАЦИИ
Это соотношение, а также соотношение
- VDT\ C.4*)
получаемое из него переходом к сопряженным операторам,
будут часто использоваться в дальнейшем.
Заметим еще, что
|| Dth II2 = {D\K h) = (А - Т*Th, h) = || h ||2 -1| Th ||2. C,5)
Отсюда следует, что множество тех Ае§, для которых
II Th || = || h ||, совпадает с множеством Я/>г тех Л, для которых
DTh = 0; очевидно, что №Dt является подпространством в §.
Будем называть операторы Dt и Dt* дефектными операто-
операторами, пространства
M?t и ?)г* = DT*& = Mdt.
— дефектными пространствами, а кардинальные числа
Ьг = dim 3)г и Ьг* = dim Фг*
— дефектными Числами сжатия 7".
Заметим, что условие Ь^ = 0 характеризует изометрические,
а условия Ьг = Ьг* = 0 — унитарные операторы. Таким образом,
дефектные числа являются в некотором смысле мерой откло-
отклонения сжатия 7" от унитарности.
Из C.4) и C.4*) следуют включения
Г2)гс:2)г и Г?)г*с:г)г. C.6)
Точнее, имеют место соотношения
где Яг* = {Л': Л' ^ ?', ГЛ' = 0}, C.7)
где ЯГ = {Л: Леф, ГЛ = 0}. C.7*)
В силу симметрии достаточно доказать C.7). Заметим сна-
сначала, что из условия ft'e-Jlr* вытекает, что h! = Л' — TVti =
= Фг-Л', откуда Яг* d Dt*& = $V*. С другой стороны, Яг* орто-
ортогонально к 72V, поскольку (TDTh, Л') = Фг^» T*h')=0 дл~я
всех Ае§, Л'еЯг*. Далее, из условий ge2Dr*, g" -L ?)г вы-
вытекает, что
ГV е= r*Dr* с: фг, Г^ 1 ®г
и, значит, T*g=0> g^yir*. Отсюда и следует справедли-
справедливость C.7).
2. В дальнейшем мы будем рассматривать случай §' = §>,
т. е. будем изучать сжатия в пространстве Ф.
Одно простое свойство сжатий выражается следующим
предложением.
§ 3. СЖАТИЯ. ИНВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРЫ 21
Предложение 3.1. Сжатия Т и Т* имеют одни и те же
инвариантные векторы, т. ё. Th= h тогда и только тогда, когда
ГА=А.
Доказательство. Если Th=h, то (Л, T*h) = (Th, К) =»
= (Л, h) = || h ||2, откуда
|| Л — Г*А |р = || А |р — 2 Re (Л, ГА) + ||ГА|р-
Этим доказано, что T*h = h. Обратное следует из равно-
равноправия Г и Г*.
3. Среди сжатий в гильбертовом пространстве есть два важ-
важных противостоящих друг другу класса: класс унитарных опе-
операторов и класс вполне неунитарных сжатий. Сжатие Т в §
называется вполне неунитарным *), если оно не является уни-
унитарным ни в §>, ни в каком-либо его подпространстве (приво-
(приводящем оператор Т), отличном от {0}.
Строение унитарных операторов хорошо известно. Для этих
операторов имеются спектральная теория и эффективное функ-
функциональное исчисление. По этому поводу мы отсылаем чита-
читателя к [Лекциям].
Что касается вполне неунитарных сжатий, то одной из глав-
главных задач настоящей книги является построение для таких
операторов теории, соответствующей в некотором смысле спек-
спектральной теории и функциональному исчислению -для унитар-
унитарных операторов. В основе этой теории лежит одно простое
предложение (теорема 4.2) об унитарных дилатациях опера-
операторов сжатия.
Напомним, что двусторонние сдвиги являются унитарными
операторами. Односторонние сдвиги, напротив, вполне неуни-
неунитарны. В самом деле, если односторонний сдвиг V в ф индуцирует
на некотором приводящем подпространстве $оа$ ($0ф{0})
унитарный оператор Уо = У\$о, то для всякого Ле|>0 будем
иметь |У*ЯА|=|| А||. В то же время, согласно A.4), V*nfi-+O —
противоречие.
Весьма важен тот факт, что каждое сжатие разлагается
в ортогональную сумму унитарного и вполне неунитарного
сжатий. Благодаря этому изучение сжатия общего вида может
быть сведено к изучению сжатий этих двух частных видов.
Теорема 3.2. Каждому сжатию Т в ф соответствует разло-
разложение Ф в ортогональную сумму Ф = ФоФФь г$е Фо и $\ —под-
—подпространства, приводящие Т и такие, что часть Т в ф0 унитарна,
1) У нас принят также термин „простое сжатие". — Прим, перев.
22 , ГЛ. Г. СЖАТИЯ И ИХДПЛАТАЦИИ
а часть Г б §i вполне неунитарна. {Разумеется, одно из под-
подпространств Фо или «&! может сводиться к {0}.) Это разложение
единственнр. Именно «§H состоит из тех элементов A e §, для
которых
||ГЛ||Ч|А|Мгла1 (л-1, 2, .. .).
При этом Т0 = Т\$0 называется унитарной частью one-
ратора Т; Т1^Т\^1 — его вполне неунитарной частью.
Разложение Т = ТО@ТХ называется каноническим разло-
разложением Т. В частности, если Т — изометрия, то каноническое
разложение Т совпадает с разложением Вольда.
Доказательство. Введем обозначения
Т{п) = Тп (п>1), Г@) = /, Г(п)-Г|в| (гс<-1). C.8)
Поскольку, Т(п) является сжатием в «&, то при каждом
фиксированном целом п. множество тех'Аеф, для которых
|| Т (п) h || = ||ft ||, совпадает с подпространством 3tDj. ( тех Л, для
которых DT (Я)А = 0. Следовательно, множество
§о-{А: || Г (л) АН || А || (п = 0, ±1, ...)}
оо
совпадает с f\ %1Dt {n) и, значит, является подпространством
/г =—оо
в §. Далее, Т п Т* отображают ф0 в себя. В самом деле, если
IIr^Al-IIAHIirAH (n=l, 2, ...).
Мы воспользовались здесь тем, что T*Th = h в силу равенства
|| Th || = || Л ||. Итак, 7ft еф0- Аналогично доказывается, что
Г*Леф0. Следовательно, ф0 приводит Г. Если Г0=Г|©0> то
^о = Т* I §о» откуда
Г^о - Г Y | §0 = /фо> ^о^о = ТТ* | §о = /Фо-
Поэтому оператор Го унитарен.
Подпространство §1 = §©§о также приводит Г. Оператор
711 = Г|ф1 вполне неунитарен. В самом деле, предположив про-
противное, мы получили бы, что на некотором приводящем под-
подпространстве §2, {0}ф^2^^и оператор Г|?>2 унитарен и, сле-
следовательно, || Т (п) h ИII h || для всех Ле§2 и п = 0, ±1, ...,
так что ^^ ?>о ~~ пР0ТИВ0Речие'
§ 4. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ И УНИТАРНЫЕ ДИЛАТАЦИИ ОПЕРАТОРА СЖАТИЯ 23
Остается доказать единственность разложения. Пусть ф =
= §0©^ — произвольное разложение •§>, удовлетворяющее ука-
указанным в условии теоремы требованиям. Так как оператор"
Л&о унитарен, то || Т (п) h || = || h || для всякого Ae§J (гс = 0,
±1, ...) и, следовательно, #qC:#0. Поскольку ф0 и $'о при-
приводят Т к унитарным операторам, то унитарным будет и
T\$oQK Очевидно, что $QQV'Q cz §Q% = $'v Так как опе-
оператор Т\§>\ вполне неунитарен, то Фо © ?>? = {0}, Фо = Фо.
В силу сказанного выше последнее утверждение теоремы
очевидно. Теорема доказана.
§ 4. Изометрические и унитарные дилатации
оператора сжатия
1. Для ограниченных операторов Л в 21 и В в 23 будем
писать
Л = пр5,
если 1) 2tcz23, 2) (Аа, а') = {Ва, а') для всех а, а'е=21. Усло-
Условие 2) эквивалентно тому, что
Аа = Р%Ва для всех as21,
где через Р% обозначен ортопроектор из 23 на 21.
Приведем некоторые очевидные свойства введенного отно-
отношения.
а) Если A czS, то А = пр5.
б) Если Л = пр5, В = прС, то Л = прС.
в) Если А = пр 5, то А* = пр В*.
г) Если Л = пр5, Л' = пр5' (А и Л7 действуют в Я, В и
В' — в 23), то сЛ + с7Л' = пр (сВ + с'В') для любых скаляров с
и с'.
д) Если Л = пр5, Л' = прЯ', то Л©Л/ = прEфВ/).
-е) Если Ля = прВя.(Л в 21, Btt в 23, п= 1, 2, ...) и Вп-*В,
Вп-+В или ВП=#>В, то Л„ сходится к Л в том же смысле
(т. е. слабо, сильно или по норме) и Л = прВ.
Введем следующее
Определение. Пусть Л и В — линейные ограниченные
операторы в пространствах 21 и 23 соответственно. Оператор В
будем называть дилатацией1) оператора Л, если
Ап = прВп для п=1э 2, ....
Две дилатации В и В' оператора Л, действующие в про-
пространствах 23 и 23' соответственно, называются изоморфными,
1) У нас употребляется также термин „растяжение". — Прцм. ред.
24 • ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
если существует унитарное отображение ф пространства S37 на
33, тайое, что
1) фа = а для всех ае21,
2) В'^ф-'Вф.
2. Нашим первым результатом о дилатациях будет сле-
следующая
Теорема 4.1. Всякое сжатие Т в гильбертовом пространстве §
обладает изометрической дилатацией V в пространство Я+,
содержащее •?> как подпространство? Эта дилатация является
минимальной в том смысле, что х)
Я+УК# ()
о
Минимальная изометрическая дилатация оператора Т определена
с точностью до изоморфизма. Пространство ф инвариантно
относительно V* и
ГР+»Р+К, Г-П& D.2)
где Р + — ортопроектор из St+ на ф.
Доказательство. Образуем гильбертово пространство
с элементами
оо
h = {A0, Ai, ...}, где А„е?, ||h||2 = 2II hnf<oo.
о
Вложим § в Н+, отождествив каждый элемент Аеф с эле-
элементом {Л, 0, 0, ,,,}еН + . Это вложение линейно и изомет-
рично. Таким образом, ф является подпространством Н + . За-
Заметим, что
^{Ло, hu ...} = {Л0, О, О, ...} = Л0.
Определим в Н+ оператор V равенством
V{A0, ft,, ...}-{ГА0, Drfto, ftlf ...},
2
где Dr = (/-rrJ. Так как || ГА |р +1| Drft ||2 -1| А ||2 для любого
йе ф, то
11У{Ао, Ль ...}112
' .. -||{Ао, hu ...}IP.
1) Через M'VF /'соотв. VMa) обозначается наименьшее подпростран-
V OL J
ство данного гильбертова пространства, содержащее множества М и Ж"
(qootb. множества Ма). — Ярм^с /?^^.
§ 4. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ И УНИТАРНЫЕ ДИЛАТАЦИИ ОПЕРАТОРА СЖАТИЯ 25
Поскольку оператор V линеен, то он является изометрией
в Н + . По индукции
V"{Ао, А„ . . .}= {ГЧ. DTTn-lhQy DTTn~2h^ ..., DThQj hu A2, ...}
при /1=1, 2, ..., откуда для всех Ае§
р$упн = р$уп{ну о, о, ..:} =
= P${rttA, D^'A, ..., DrA, 0, ...} =
= {Г7*, 0, 0, ...} = Tnh.
Таким образом, V —изометрическая дилатация оператора Г.
Вообще говоря, V не является минимальной. Но всякая
изометрическая дилатация Vo оператора Т в некоторое про-
пространство Sto=D§, очевидно, содержит минимальную изометри-
изометрическую дилатацию V в том смысле, что V является сужением VQ
на подпространство
я+ = V О>
о
инвариантное относительно Vq.
Пусть V — минимальная изометрическая дилатация опера-
оператора Т в пространстве $+. Из определения дилатации следует,
что при Леф и п = 0, 1, ...
TP+Vnh = 7ТЯА = Г+1Л - P+Vn+lh = Р+УУ^А.
С учетом D.1) отсюда вытекает первое из равенств D.2). Для
доказательства второго заметим, что при Ае§>, &е5?+
(ГА, ЙНХГА, Р+й)-(А, ГР+^) = (А, Р
откуда T*h = V*h. В частности, l/*§>cz§).
Нам остается лишь показать, что всякие две минимальные
изометрические дилатации оператора Г изоморфны.
Заметим сперва, что для любой изометрической дилата-
дилатации V оператора Т и для произвольных А, А^ф справед-
справедливы соотношения
/t,l/'"-V)=(A)r-V) при т>«>0.
Следовательно, (Vnh, Vmh') не зависит от выбора V. Поэтому
скалярное произведение конечных сумм
2УЯАЯ и 2 Vmtim (А., А^е§)
«-0 m-G
ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
зависит только от векторов hn> 1гт, но не от выбора V. Если
V\ и 1/2 —две изометрические дилатации оператора Т в про-
пространствах $! и $2 соответственно, то равенство
Ф(S Vn2h^\ - S УХ (AT = 0, 1, ..,; Ке $) D.4)
V о /о
определяет изометрическое (и, значит, однозначное и линейное)
N
отображение множества 82 элементов вида ^VZhn на множе-
о
N
ство 8j элементов вида 2 У?йя.
о
Если дилатации V\ и V2 минимальны, т. е.
, ()
о
то Л/= 8/ (/=1, 2) и, .следовательно, qp продолжается по не-
непрерывности до унитарного отображения 5t2 на Л1в Имеем
фЛ = ф(УгЛ) = У?Л = Л (Л ^ ф) и ф (У2^) = У1 (ф^)> сначала для эле-
элементов fe^82, а затем по непрерывности для всех &^$2« Та-
Таким образом, V2=:q)~~lV[q), т. .е. Vx и У2 изоморфны.
Теорема 4.1 доказана.
3. Докажем теперь теорему, играющую основополагающую
роль в дальнейших исследованиях.
Теорема 4.2. Всякое сжатие Т в гильбертовом пространстве §
обладает унитарной дилатацией U в пространстве 5?, со-
содержащей •& как подпространство, и притом минимальной
в том смысле, что
51= V UnQ. D.5)
— оо
Эта минимальная унитарная дилатация определяется с точно-
точностью до изоморфизма.
Доказательство. Возьмем некоторую изометрическую
дилатацию оператора Т и продолжим ее до унитарного опе-
оператора, что возможно в силу предложения 2.3. Мы получим
' некоторую унитарную дилатацию нашего Г, вообще говоря, не
минимальную. Но всякая унитарная дилатация С/о оператора Т
содержит минимальную. Таковой является сужение опера-
оператора Uo на подпространство
приводящее ?/0.
§ 4. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ И УНИТАРНЫЕ ДИЛАТАЦИИ ОПЕРАТОРА СЖАТИЯ 27
Если теперь U — какая-либо унитарная дилатация Г, то
для произвольных h, h'^fy имеем
(Г Л, h) при п^т,
. _¦.',; Г D.6)
\h, T Л j при т^п
(т, гс — произвольные целые числа, не обязательно положитель-
положительные). Используя D.6), можно доказать, что две минималь-
минимальные унитарные дилатации оператора Т изоморфны, точно
так же как мы это делали в случае изометрических дила-
таций, допуская, однако, на этот раз в рассматриваемых
конечных суммах отрицательные значения для показателей
m и гс.
Теорема доказана.
Отметим некоторые очевидные факты. Обозначая через UT
минимальную унитарную дилатацию оператора Г, имеем
UT~(UT)\ D.7)
Ut = Ut>®Ut», если Т = Т'®Т'\ D.8)
UT «¦» Г, если Т унитарен. D.9)
Следовательно, если Т = TQ®T{ — каноническое разложение Т
на унитарную и вполне неунитарную части соответственно, то
4. Пусть Т — сжатие в <?>. Тогда сжатием будет и
Та = (Т-а1)A-аТГ1 (|а|<1). D.10)
В самом деле, для любого h е ф имеем, полагая g = (/ — aT)~l h,
Отсюда, в частности, следует, что если Т изометрия, то изо-
метрией является и Га. Поскольку (Та)* = (Г*)-, то изометрич-
ность Г* влечет изометричность (Та)\ Следовательно, если
Г —унитарен, то и Та — унитарен.
Предложение 4.3. Пусть Т — сжатие в <?> и \ а \ < 1. Если
V — изометрическая дилатация Г, то Va — изометрическая дила-
дилатация Та\ при этом если V минимальна, то минимальна и Vu.
Аналогично, если U — унитарная дилатация Г, то Ua —унитарная
дилатация Та и если U минимальна, то Ua минимальна.
28 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
Доказательство. Рассмотрим тэйлоровы разложения
(a;«Hv (»«о, 1, 2, ...)•
v-0
Поскольку радиус сходимости больше 1, то ^\cv(a) п)\<оо.
v
Отсюда следует, что операторный ряд
оо
х\ Су \Cl't tl) Т [ft == U, 1, 2>у . . .),
v=0
оо
сходится по норме и его сумма равна Тпа. [Соответствие 2cvA,v->
о
оо
-*2cv^V Для случая SUvl<oo, а также аналогичное соот-
0 v
ветствие для аналитических функций более общего вида, будут
подробно изучены в гл. III и IV („функциональное исчисле-
исчисление").] Поскольку также имеет место равенство
2cv(a;n)Fv = F^ D.11)
v=0
то
оо оо
Т% = 2 cv (a; n) Tv = 2 cv (а; п) пр Vv =
v=»0 v=»0
оо
V-0
и, следовательно, Vа является изометрической дилатацией Та.
Из D.11) вытекает, что
оо оо
V Vna$a V Vn§. D.12)
Поскольку (jTa)_a = f, (Va)__a = V, то, ьаменяя в D.12) V на Va
и а на — а, получаем
оо оо оо
п=0 п«0 *¦ —aJ rt-0
и, следовательно,
оо оо
у Vq$ =» V Vn§. D.13)
n-0 rt-0
§ 5. МАТРИЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ УНИТАРНЫХ ДИЛАТАЦИЙ 29
Эти соотношения выполняются, в частности, для унитар-
унитарной дилатаиии U оператора Г, а также для унитарной
дилатации U*=*U~~{ оператора Г*. Поскольку U*a^(U*)at то,
заменив в D.13) V и а на U* и а соответственно, получим
V tC?= V [(tna]"$= V С*"?.
га=0 n-0 l aJ n-0
Следовательно, в этом случае
V Unab = V ?/"$, V ?/Г« = V ?/""«, D.14)
/1=0 я=«0 я=0 я«0
т. е.
- V Un®. D.15)
Из D.13) и D.15) и вытекают утверждения теоремы, касаю-
касающиеся минимальности изометрических и унитарных дилатации.
§ 5. Матричное построение унитарных
дилатации
1. Унитарную дилатацию сжатия Т в гильбертовом про-
пространстве v Можно построить непосредственно, пользуясь
матричным методом.
оо
Рассмотрим пространство Н =©?> элементов
— оо
c где А,е§ и ||h|p-S||
Вложим ф в Н, отождествив Ае§ с вектором h = {Л/}, для
которого Ло = Л, й* = 0 (/=т^0); § является подпространством в Н,
и ортопроектор на Ф дается формулой
ho. E.1)
Линейные ограниченные отображения S в Н могут быть
представлены матрицами (S^) (—оо </,/< оо), элементы Su
которых являются линейными ограниченными операторами в §.
оо
Именно S{AJ = {A/}, где h\— 2 S^/iy. При этом суммам, про-
/~оо
изведениям и сопряженным (операторам) отвечают суммы, про-
произведения и сопряженные (матрицы); по определению
30
ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИГ ДИЛАТАЦИИ
Важно заметить, что в силу E.1) для каждого йе§ имеет
место равенство
Имея это в виду, рассмотрим матрицу A}ц) с элементами
,С/оо«7\ C/oi-Dr, t/-i. о — #г,
Г/-1.-1- -Г, ?/|. / + !-/# (/#0,-1),
Uitl = O для всех прочих /, /. Таким образом, матрица
имеет вид
Dr
\т
-г
I
E.2)
(в прямоугольную рамку заключен элемент С/Оо). Невыписанные
элементы, лежащие на первой наддиагональной прямой, равны
/ = /$; все остальные невыписанные элементы равны О. Полагая
I
т. е.
ft'-i = DTho - T*h, h'o =
(/-0, ±1,±2, ....),
,-1), E.3)
можно доказать с помощью элементарных подсчетов, основан-
основанных на соотношениях C.4), C.4*) и C.5), что
|| DTho - Г hi IP +1| Tho + DT*h! IP -1| Ao IP + II Ai IP,
OO 00
и, следовательно, SIU/f= S II Ajf. Таким образом, наша ма-
— оо —со
трица порождает изометрический оператор U в Н. Более того,
этот оператор унитарен, поскольку система уравнений E.3) имеет
решение {/*J^H для любого вектора {A/}qeH, а именно
/го = DrAl, + fhi /г, - - ГА'-i + DT*h'o, hi - Al-i (/ Ф 0, 1) E.4)
(это легко проверяется с помощью C,4) и C.4*)).
§ 5. МАТРИЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ УНИТАРНЫХ ДИЛАТАЦИЙ 31
Матрица {11ц) является наддиагональной, т. е. Uti = 0 при
/>/. Произведение двух наддиагональных матриц (Ац) и (Bti)
также является наддиагональной матрицей (С^), лричем Си =
= АаВи. Отсюда следует, что @, 0)-элемент матрицы Мп (п^ 1)
равен Гл, т.е. Г/г = прил {п^ 1), й U является унитарной
дилатацией Т.
2. Вообще говоря, полученная выше унитарная дил^атация
не является минимальной. Для того чтобы получить мини-
минимальную унитарную дилатацию, рассмотрим вместо про-
оо
странства Н=©§ его подпространство К, состоящее из тех
— оо
векторов {AJgH, для которых
Очевидно, что § си К cz H.
Покажем, что подпространство К инвариантно относи-
относительно U. На основании E.3) достаточно показать, что
DTh0 - Т% <== ?)г при h0 g§, hi e S)r*,
а это является непосредственным следствием включений Dr§c:35r,
ГЪт* cz ©г (см. C.6)).
Далее, U отображает К на К- В силу E.4) достаточно до-
доказать, что — r/jli + Dr^o^SV при /*о^Ф, /*lie$Dr, а это
вытекает из включений Dt*$ cz 5)г*, Т®т cz ©г* (см. C.6)).
Оператор Uo = U | К является унитарной дилатацией Г. Более
того, эта дилатация минимальна. Для того чтобы доказать
минимальность, вычислим сначала li^h и US"/*"8 \ionh для
Леф, п=Г, 2, Используя формулы E.3) (для Uo) и E.4)
(для Но1), получаем по индукции
..., О, DTh9 DTTh, ..., DTTn^lh, \Tnh\, 0, ...},
Uonh -{..., О, \T*nh\9 DT*rn~{h, ..., DT*rhy DT*ht 0, ...
(/г== 1, 2, ...; компоненты записаны в порядке возрастания
номеров, в прямоугольник заключены компоненты с номером 0),
Из последних формул следует, что
-п *
\Mh-US™-{..., 0, D?h, 0, ...,[0\, ...},
Uonh-lion+ifh-{..., [О] 0, Д?.А, 0, ...} (я>1).
32 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
Эти формулы показывают, что подпространство, натянутое на
Uo?> ( — oo<n<oo), содержит все векторы {/*„}е К, у которых
все компоненты, за исключением одной, равны нулю, а эта
единственная (имеющая, скажем, номер п) является произволь-
произвольным вектором из DT$> fy или Dt*$ в зависимости от того, п<0,
п = 0 или п>0. Поскольку векторы указанного вида порождают
пространство К, то
т. е. унитарная дилатация Uo оператора Т является мини-
минимальной.
В качестве элементарного примера рассмотрим оператор
Г = а/$, где |а|<1. Его минимальная унитарная дилатация
задается матрицей
(I Hal2J/ -S/
al\ A-М2)*
действующей в пространстве
3. Хотя унитарная дилатация U = Ur, построенная в п. 1,
вообще говоря, не минимальна, она имеет то преимущество,
что действует в пространстве, которое определяется лишь
пространством фи не зависит от выбора Т. Поскольку ма-
матрицы (Ut; it) наддиагональны, то для любых сжатий Tt
(/=1, ..., г) в § (не обязательно различных) имеем
откуда
Г, ... 7V = npUr, ... Urr,
6. КОММУТАТИВНЫЕ СЕМЕЙСТВА H3OMEtPMH И СЖАТИЙ
а также
т11... тУ = пр и?;... и?; (nt > о). E.5)
Однако это свойство операторов Ur имеет весьма ограничен-
ограниченную ценность, поскольку равенство Urrt = (Ur)rt в общем слу-
случае несправедливо. Даже если Т{ перестановочно с Гг, Ит{
может не быть перестановочно с Ur2.
В связи с этим возникает проблема изучения коммутатив-
коммутативных семейств сжатий и нахождения соответствующих комму-
коммутативных семейств унитарных операторов, для которых спра-
справедливы равенства E.5). Мы рассмотрим эту проблему сперва
в § 6, а затем снова вернемся к ней в § 9.
§ 6. Коммутативные семейства изометрий
и сжатий
1. Обобщим понятие дилатации на семейства операторов.
Пусть «я^ —{ЛДоеа"-~ коммутативное семейство ограничен-
ограниченных операторов в пространстве ф. Семейство ^ = {5C0}(OsQ огра-
ограниченных операторов в пространстве $ назовем дилатацией
семейства s&, если:
1) $=>?,
2) семейство $ коммутативно,
3) для любой конечной системы индексов o/SQ
l\
Al\ ... Л^ = пр?С; ... В1гт (п^О; /=1, 2, ..., г).
Дилатацию $ назовем изометрической, унитарной и т. д.,
если она состоит из операторов 50 того же типа.
Теоремы 4.1 и 4.2 порождают проблему — всякое ли комму-
коммутативное семейство сжатий допускает изометрическую или
унитарную дилатацию. В настоящем параграфе мы дадим
положительный ответ на этот вопрос для случая двух переста-
перестановочных сжатий, а позже, в § 9, рассмотрим семейства, со-
состоящие более чем из двух сжатий, но удовлетворяющие
некоторым дополнительным условиям. Для более чем двух пере-
перестановочных сжатий проблема в общем случае пока не решена.
Теорема 6.1. Всякая коммутативная пара Т = {Ти Т2} сжа-
сжатий в гильбертовом пространстве § обладает изометрической
дилатацией.
34 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦЙЙ ^
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы
оо
4.1, положим Н+= фф и тем же способом вложим «?> в Н+.
о
Определим в Н+ операторы W! и W2 формулами
W,{A0. hu А2, ...}={7А, DTihb О, А„ A2> ...} (/=1, 2). F.1)
Эти операторы изометричны, поскольку ||7y*0|p + ||Dr/A0||2 =
= ||А0||2, но, вообще говоря, не перестановочны.
Обозначим через © пространство Фф§>ф?фф. Произведя
естественное отождествление
{Ао, hu А2, ...} = {А0, {А1э A2, A3, AJ, {A5, A6, hb A8}, ...},
получим
Пусть G — некоторый унитарный оператор в ©, какой именно,
мы уточним позже. Обозначим через G оператор, порождае-
порождаемый в Н+ оператором G по формуле
G{/*0, AIf ...}-{A0> G{hu ..., U G{h5i ..., U ...}. F.2)
Оператор G унитарен, и обратный к нему дается формулой
G-^Ao, AIf ...}={Ао, G~l{hu ...,Л4}, G^, ..., U ...}• F.3)
Положим
V^GWj, V2 = W2GM. F.4)
Операторы V! и V2 являются изометриями в Н+. Подберем G
так, чтобы V! и V2 коммутировали. Для этого вычислим V^
и V2V1# Применяя F.1) —F.4), получаем
, AIf ...J-GW^G-^Ao, Alf ...} =
GW^fAo, G^,, ..., AJ, G-!{A5, ..., A8}, ...} =
{Г2А0, Dr2A0, О, О" {A!f ..., A4}, G {A5, ..., A8}, ...} =
-Gjr^A, Drir2ft0, 0, Dr2A0, 0, G~l{hl9 ..., AJ,
^As, ..., A8}, ...J-f^^Ao, G{DTT2h0, 0, Dr2A0, 0},
{Alf ..., AJ, {A5, ..., A8}, ...}
q, A,, ...I-W^GW^Aq, AIf ...}- W2Wt {Ao, Alf ...}
= {7^0, ^r/iA0, 0, DriA0, 0, hlt A2, ...}.
§ 6. КОММУТАТИВНЫЕ СЕМЕЙСТВА ИЗОМЕТРИЙ И СЖАТИЙ 35
Поскольку Г1Г2 = Г2Г1, то Vl и V2 перестановочны в том и
только в том случае, когда
G [DTT2h, О, DTh, 0} - {Dr/,A, 0, DThy 0} F.5)
для любого йеф. Непосредственным вычислением устанавли-
устанавливаем, что
I DTlT2h f + (I DT2h f -1| h IP -1| TxT2h ||2 -
- II A IP - II T2Txh IP -1| DTT{h f +1 DTih f,
откуда \{DTT2K 0, DTh, 0}|| = ||{Dr/A 0, DTl hy 0}|| Для
любого Ag§. Это означает, ито оператор G, определяемый
формулой F.5), изометрически отображает линеал ъ{ векторов
вида [DTT2h, 0, DTJi, 0} (Ле^) на линеал 82 векторов
[DT2Txht 0, Drj/z, 0} (h&$). Продолжим G по непрерывности
до изометрического отображения подпространства Ш{ = %{ на
подпространство ЭК2 = 82. Для того чтобы установить возмож-
возможность расширения оператора G до унитарного оператора в ©,
нам остается доказать, *что подпространства Wlt^t&QyRi и
Ш2 =©03№2 имеют одинаковую размерность. Если ф, а с ним
и © конечномерны, то это очевидно. В случае если dim? = oo,
то
dim&=dim@>dim2№/->dim# (/=1, 2),
ибо Ш^ и Ш2 содержат подпространство той же размерности,
что и Ф, а именно подпространство векторов вида {0, Л, 0, .0}
(A g ф), Тем самым доказано, что dimSWf1 «= dim3R^.
Коль скоро построен унитарный оператор G, то определены
перестановочные изометрии V, и V2 в Н+. Для них
ВДо, К ...}-{ТА, ...} (/-!, 2),
откуда
V?lV2tt2{/*o, hu .. .}= {r?T?Ao, • • •} («i
и, следовательно,
?Л (Л е Ф, дь п2 > 0).
Таким образом, пара {Vu V2} является изометрической ди-
латацией пары {Ти Г2}.
Замечание. Для произвольной изометрической дилата-
ции {Vit V2} пары {Ти Т2} подпространство
яг- V vTv^
36 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
пространства 51 инвариантно относительно V{ и V2 и содер-
содержит !>. Поэтому сужения К1[К/ = Кр V2\$' = V2 также обра-
образуют изометрическую дилатацию [V'v V'2] пары {Ти Г2}, мини-
минимальную в том смыеле, что
5Г= V VfVpfr F.6)
Однако в отличие от случая одного сжатия -уже нет никаких
оснований утверждать, что условие минимальности определяет
изометрическую дилатацию с точностью до изоморфизма.
2. Существование изометрической дилатации влечет суще-
существование унитарной дилатации, как показывает следующее
предложение.
Предложение 6.2. Для каждого коммутативного семейства
{^Даео изометрических операторов в § существует коммута-
коммутативное семейство {^Доеа унитарных операторов в пространстве
5?id §, такое, что U^гэ VQ для любого (oeQ. Таким образом,
всякое коммутативное семейство изометрических операторов
может быть продолжено до коммутативного семейства унитар-
унитарных операторов.
Это предложение справедливо как для конечных, так и
для бесконечных семейств. Доказательство для конечных се-
семейств получается после конечного числа шагов, каждый из
которых уменьшает число операторов, не являющихся унитар-
унитарными. (С помощью трансфинитной индукции доказательство
можно провести и для бесконечных семейств, но в настоящий
момент нас интересует лишь конечный случай, а именно слу-
случай двух изометрий. В § 9 мы вернемся к бесконечному слу-
случаю, применив иной метод.)
Доказательство основывается на следующем предложении.
Предложение 6.3. Пусть {V, Wv (v e N)} — коммутативное
семейство изометрий в #. Существует такое коммутативное
семейство {V, Wv (v&N)} изометрий в пространстве Н, содер-
содержащем ? как подпространство, что 1) V сг V, Wv cz Wv (v e N);
2) оператор V^ унитарен; З) если некоторый оператор Wv уни-
унитарен в ф, то соответствующий оператор Wv унитарен в Н.
Доказательство. Продолжим изометрию V до унитар-
унитарного оператора V в некотором пространстве Н zp ф. Такое про-
продолжение возможно в силу предложения 2.3. Можно считать,
что это продолжение минимально, т. е.
H-VV"? C6.7)
§ 6. КОММУТАТИВНЫЕ СЕМЕЙСТВА ИЗОМЕТРИЙ И СЖАТИЙ . 37
(это условие заведомо выполняется для унитарного оператора,
построенного при доказательстве предложения 2.3). Заметим,
что для всякой конечной суммы
F.8)
во целых чисел) и
12 vr A'f = 22 (Vfa. vmr А)
(hn e #; п пробегает конечное множество целых чисел) и для
всякого v e N выполняется равенство
2 2(vB"mrA. ivJ
> л<m
Учитывая, что V является продолжением F, а также, что V
и Wv перестановочны, а $% — изометрия, получаем
2 2 (vn-mhn, hm)+ 2 2 (a.. k-'-U-
> . п<т
= 22 (v"-m/*«, О + 2 2 (а„, vM-nAm) =
2
n m
2 (vx, vmAm)=fl 2 vnhn f -1| h ip.
Следовательно, полагая
wv 2 v^ = S vrtr a, F.9)
мы получаем изометрический (и, следовательно, однозначно
определенный и линейный) оператор Wv, отображающий ли-
линеал М векторов вида F.8) в М. Поскольку М = Н на осно-
основании F.7), то Wv продолжается по непрерывности до изоме-
трии в Н.
Если оператор Wv унитарен в &, т. е. №%§ = ?>, то, как
следует из F.9), WVM = M, откуда WVH = H, т. е. Wv унита-
унитарен в Н.
Покажем, наконец, что семейство {V, Wv (v e N)} комму-
коммутативно. Действительно,
VWV iynh) = V (VnWvh) = Vtt+lWvh = WvVrt+1/z = WVV {Vnh),
WVlWV2 (V70 = WV[VnWv7h = VnWv{Wvft,
и аналогично
WVlWVl (Vnh) - WV2VrtrVlA - WW^Wvfi
при v, vb v2e N {n — произвольное целое, h e ф). Согласно F.7),
отсюда вытекает, что VWV==WVV, WVlWv2 e Wv2WVl т. е. что
построенное семейство коммутативно.
38 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
Учитывая теорему 6.1 и применяя предложение 6.2 к случаю
двух коммутирующих изометрий, получаем
Теорема 6.4. Для всякой коммутативной пары сжатий суще-
существует унитарная дилатация.
3. Замечательно, что приведенная выше теорема, вообще
говоря, несправедлива для более чем двух коммутирующих
сжатий. Мы построим сейчас систему {Ти Т2, Т3} коммутирую-
коммутирующих сжатий, для которой нельзя найти даже системы {Uu U2> U3}
коммутирующих унитарных операторов, для которой
Г, = пр Ut (/-1, 2, 3). F.10)
С этой целью выберем в гильбертовом пространстве 21
такие унитарные операторы Аь А2> Аг, что
АхА21АъфА^А2{Ах F.11)
(например, можно положить Л2 = /, а в качестве Ах и А3 взять
два каких-нибудь некоммутирующщс унитарных оператора в 21).
Рассмотрим пространство ф = ЯфЯ элементов вида
аг@а2 (аь а2еИ)
и введем в ф операторы Tt (/«=1, 2, 3) формулами
Очевидно, ||Tt 11=1, TiTj^TjT^O (/, у = 1, 2, 3). Допустим,
что существуют коммутирующие унитарные операторы Uu U2,
U3 в некотором пространстве $(гэф), для которых выполняется
F.10). Тогда
(аей). F.12)
Поскольку || Ut{а©0) || = || аф01| = || а \\ = || Аьа ||-1| 0ф Ata ||(в силу
изометричности операторов Аь и ?//), то из F.12) следует, что
Поэтому
Из перестановочности операторов Uu U2, U3 следует равен-
равенство AkA]~lAt = Л^Л/^. Последнее противоречит условию F.11).
Таким образом, не существует коммутирующих унитарных
операторов Uu U2, C/3, удовлетворяющих соотношениям F.10),
§ 7. ФУНКЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ТИПА НА ГРУППЕ 39
§ Ч. Функции положительного типа на группе
Конструкции унитарных дилатаций операторов сжатия, дан-
данные в § 4 и 5, хоть и просты, имеют тот недостаток, что
они тесно привязаны к рассматриваемой частной задаче. В про-
противоположность этому метод, которому мы будем следовать
в § 8, основывается на общей теореме об операторных функ-
функциях положительного типа на группе.
Определения. A) Заданная на группе G функция Т (s),
значения которой являются операторами в гильбертовом про-
пространстве ф, называется функцией положительного типа, если
Т E-i) = т (s)* для любого шби
2 (T(rls)h(s\ А(*))>0 G.1)
для всякой 'заданной на G и принимающей значения в Ф
(ф-значной) функции h (s), имеющей конечный носитель (т. е.
/2E)=^0 лишь для конечного числа значений 56 G).
Отметим без доказательства (впрочем, совершенно элемен-
элементарного), что в случае комплексного ф условие Т (s~l) = Т (s)*
вытекает из G.1).
B) Унитарным представлением группы G называется задан-
заданная на G функция U (s), значения которой являются унитар-
унитарными операторами в гильбертовом пространстве $, — такая,
что U(e) = I (где е — нейтральный элемент группы G), и
U{) U{s)U(t) E, /еС).
Связь между введенными двумя понятиями устанавливается
следующей теоремой.
Теорема 7.1. а) Если U (s) — унитарное представление
группы G в пространстве Я, a Q —подпространство в $, то
Т(s) = PftU(s)\$ является функцией положительного типа на G,
причем Т(е) = /^. Если при этом G — топологическая группа и
U (s) — непрерывная [) функция от s, то T(s) —также непрерыв-
непрерывная функция от s.
б) Обратно, пусть Т (s) — заданная на группе G функция
положительного типа, значения которой являются операторами
в $ и Т (е) = 1§. Тогда существует такое унитарное представ-
представление U (s) группы G в пространстве & гэ ф, что
npU(s) (ss=G), G.2)
!) В сильном или в слабом смысле, что в нашем случае одно и то же,
поскольку значения U (s) унитарны.
40 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
R = V U {s) ф (условие минимальности). G.3)
минимальное унитарное представление определяется функ-
функцией Т (s) однозначно с точностью до изоморфизма и является
своего рода „минимальной унитарной дилатацией" функ-
функции Т (s). Если, кроме того, группа G является топологиче-
топологической и T(s)~-слабо непрерывная функция от s, то U(s) — также
слабо [а значит, и сильно) непрерывная функция от s.
-Доказательство, а) Это простая часть теоремы. В са-
самом деле,
Т Or1) = Р*и (s-1) | ф = Р^и (s)* I ? = (Р*?/ (s) | ФГ
и
2 I*(p*ulrls)h(s)t h{t))~ 2 2 (u.(tyu(s)h(s\
/efl
для всякой ф-значной функции h (s) на G с конечным носите-
носителем. Утверждение о непрерывности очевидно.
б) Рассмотрим линеал Н функций h = ft(s) на G с конечным
носителем и определим в Н билинейную форму
<h, Ю = 21 2 (Т (rls) h (s), К (t)) [h = h (s\ h' = h' (s)].
В силу G.1) имеем (h, h) ^ 0. Из неравенства Шварца | (h, h-) |^
^ (h, h) (hr, hr) следует, что множество тех h, для которых
(h, h) = 0, образует линеал N в Н. Очевидно также, что зна-
значение формы (h, hr) не изменится, если заменить функции h
и h' на функции, им эквивалентные по модулю N. Иными
словами, форма (h, h'). порождает естественным образом били-
билинейную форму (&, k') на факторпространстве ^o^H/N и соот-
соответствующая квадратичная форма (&, k) положительна на 5?0.
Пополнив % по норме \\k\\ = (k, kJ, получим гильбертово про-
пространство 5?.
Вложим «?> в $ (и даже в &о)> отождествив элемент йе§
с функцией h~de(s)h, где 6*(e)=l, б^E) = 0 при эфе (т. е.
с классом по модулю N, определяемым этой функцией). Такое
отождествление законно, поскольку оно сохраняет линейную
структуру и метрику в «?>. Именно
<6Л 6Ж> = 2 2 (Т it'ls) 6e (s) h, 6е @ //^ = {Т (е) hji% = (h, /г')
§ 7. ФУНКЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ТИПА НА ГРУППЕ 41
Для h = A(s)eH и a^G положим ha = h(crls). Очевидно,
что (h + h')a = hfl + h'a, (ch)a = cha, h* = h, (h^)a = hab и, кроме того,
т-'a) Л (or), А' (т)) = (h, h'>.
at *"
Если hsN, то hflGN, Поэтому преобразование h—>ha
в Н порождает преобразование k->ka классов по модулю N.
Полагая U(a)k = kai получим для каждого cgG линейное
отображение множества 5t0 на себя, такое, что U (е) =
= /, U(a)U(b)=U(ab\ (U(a)k, U{a)k') = {k,k'). Эти отобра-
отображения расширяются по непрерывности до унитарных операто-
операторов в Ж и образуют унитарное представление группы G. Если
Л, Аге§, то, полагая 6a(s) — be(a~ls)y имеем
(С/(а) Л, /a = <SA
- 2 S (Г (Г !5) 6a (s) Л, б, (О Й% = (Г (а) К h%
s t
и, следовательно, T(a) = npU(a) для любого a^G. Заметим,
наконец, что всякая функция h = A(s)eH является конечной
суммой членов вида ha(s)h, т. е. вида (be(s)h)a (creG), и,
следовательно, каждый элемент feGSfl может быть разложен
в конечную сумму членов вида U(a)h (creG, Л е «?>). Отсюда
следует G.3).
Утверждение о том, что два унитарных представления, удо-
удовлетворяющих условиям G.2) и G.3), изоморфны, вытекает из
соотношений
которые показывают, что скалярное произведение элементов
вида U(s)h, U(t)hf (s, t s G, Л, ft'e §) не зависит от выбора
унитарного представления ?/ E), удовлетворяющего нашим
условиям.
Остается рассмотреть случай, когда G — топологическая груп-
группа, а Г E)— слабо непрерывная функция от s. Покажем, что при
этих предположениях U (s) — также слабо непрерывная функция
от 5, т. е. скалярное произведение (U{s)k,kr) является непре-
непрерывной по s функцией для любых &, k' e R.
Учитывая, что U (s) имеет грань, не зависящую от 5 (по-
(поскольку || U (s) ||= 1), и что, с другой стороны, линейные комби-
комбинации функций вида boh (creG, Ле|>) (точнее, их классы
эквивалентности по модулю N) плотны в К, достаточно дока-
доказать, что функция {U{s)bah9 б? hr) непрерывна по 5 для каждые
42 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
фиксированных ft, й'е§, ст, tgG, Но это вытекает из того
факта, что рассматриваемое скалярное произведение равно
(U (s) U (a) ft, U (т) ft') = (U (x-lsa) ft, ft') - (Г (ir^a) ft, ft')f
a функция Г слабо непрерывна на G.
Теорема доказана,
§ 8. Некоторые приложения
I. Рассмотрим функцию Т (п) на аддитивной группе Z целых
чисел, значения которой суть операторы в пространстве ф,
такую, что Г@) = /, Г(—п)*=Г(п)\
По определению Г (п) будет функцией положительного
типа, если
я 2^ m2oo G4 (n - m) ftrt, ftm) > 0 (8.1)
для любой двусторонней последовательности {ft^^ элементов
из § с конечным носителем, т. е. такой, что ftrt = 0 при п<а
и n>a'+N при некоторых целых а и Af, зависящих от после-
последовательности. Полагая h'v = hv+a, получим такую последова-
последовательность {/г^]~ с конечным носителем, что.й^ = 0 при v<0.
Так как v — [г = п — m при v = n — а, [г = т — а, то условие (8.1)
выполняется для любой двусторонней последовательности с ко-
конечным носителем в том и только в том случае, если оно
выполняется для односторонних последовательностей {ftrt}~ с ко-
конечным носителем, т. е. если
оо оо
В качестве первого приложения рассмотрим функцию Г(п),
которая следующим образом порождается линейным ограничен-
ограниченным оператором Г в пространстве ф:
). (8.2)
Заметим, что формулы
S (n>0) (8.3)
определяют взаимно однозначное .отображение {ftn}~->{gn}^°
множества односторонних последовательностей с конечным
§ 8. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 43
носителем на себя. Поэтому, для того чтобы функция Т (п)
удовлетворяла условию (8.10, необходимо и достаточно, чтобы
S 2 (Т (п - m) (gn - Tgn+l), gm - Tgm+l) > 0 (8.4)
rt=0 m==0
для всякой односторонней последовательности {gn}™ с конечным
носителем. Сумма (8.4) может быть записана в виде
ОО 'ОО
2 2 ф(л, m)gB, gn), (8.5)
где
D@,0) =Г@) = /,
?>A, 0) =ГA)-Г@)Г = Г-Г = О,
D@, 1) =Г(-1)-ГГ@) = Г-Г = О,
Z)(n, и) =Т@)-Т(-[)Т-Т'ТA) + ГТ@)Т =
= 1-Т'Т-ГТ + Т'Т = 1-Т'Т при /г>1,
?)(«, m) = T(k)-T(k- \)Т- ГТ(k+l) + T*T(k)T =
D(n, m) = T(-k)-T(-k-l)T-ГТ(- k + 1) + ГТ(-k)T =
= Г*-Г*+1Г-ГГ*~' + ГГ/Т = О при я-т--й<-1.
Таким образом, сумма (8.5) принимает вид
(§о, ?о)+2((/-ГГ)?„, gn).
l
Для того чтобы эта сумма была неотрицательной для любой
последовательности {gn}^ с конечным носителем, необходимо
и достаточно, чтобы I — Т*Т^О, т. е. чтобы [|Г||^1.
Таким образом, сжатия Т характеризуются тем свойством,
что Т (п) является функцией положительного типа на группе Z.
В силу теоремы 7.1 для сжатия Т существует унитарное
представление U (п) группы Z в пространстве 5t гэ ф, такое, что
Т (п) = пр U (п) для каждого целого п, причем Ж натянуто
на подпространства f/(n)§ (n = 0, ±1, ...). Полагая С/A) = (/,
будем иметь U (п) = Un при всех п. Отсюда, в частности, сле-
следует, что Tn = upUn при я^О, т. е. что U является мини-
минимальной унитарной дилатацией оператора Т.
Таким образом, мы получили новое доказательство суще-
существования минимальной унитарной дилатации для сжатия.
2. Рассмотрим теперь однопараметрическую непрерывную
полугруппу {T(s)}s>Q сжатий в §. Это означает, что T{s) для
44 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
любого значения параметра s является линейным оператором
в §, причем
Т @) = /; Т {sx + s2) = Т (s,) T (s2) при su s2 > 0;
II Т (s) IK 1 при 5>0; (8.6)
T{s)-+I, если s-> + 0.
Из этих условий вытекает сильная непрерывность T(s) в каждой
точке s. В самом деле, если 0^.s{<s2, йе§, то, полагая
o = s2—su имеем
|| Т (s2)h - Т (s,) A IP -1| Г (sx) [T (о) h - h] |p <
^|| Г (а) Л — /г |р = || Г (ст) /г И2 — 2 Re (Г (а) /г, А)+||А|р<
^ 21| /г |р — 2 Re (Г (а) /г, А) = 2 Re (А-Г (а) А, А).
Последний член стремится к 0 при а-> + 0.
Поскольку сопряженные операторы удовлетворяют, очевидно,
тем же условиям (8.6), то Т (s)* также является сильно, непре-
непрерывной функцией от s (s^O).
Учитывая это, положим T(s) = T(—s)* при —oo<s<0.
Продолженная таким образом на всю вещественную ось функ-
функция Т (s) будет функцией положительного типа на аддитивной
группе R вещественных чисел; т. е.
2 2(П*-0*(*).*('»>0 ' (8.7)
для всякой ф-значной функции A (s) (sg R) с конечным носи-
носителем. Для доказательства рассмотрим сначала случай, когда
значения s = sn (/г=1, ..., N), для которых A(s)=t^0, соизме-
соизмеримы, т. е. имеют вид sn*=*nd для некоторого вещественного
положительного d. Сумма (8.7) принимает вид
где Td{n) есть функция, порожденная сжатием Td = T(d)
в смысле п. 1, a g(n) = h(nd). Поэтому положительность
суммы (8.7) следует из результатов того же пункта. В случае
когда значения sn несоизмеримы, их можно аппроксимировать
соизмеримыми значениями s^ (например, рациональными).
Положительность сумм сохраняется при предельном переходе
s{®->sn (&->оо) в силу непрерывности Т (s).
Таким образом, применима теорема 7.1 и мы получаем
следующий результат.
Теорема 8.1. Каждой непрерывной однопараметрической ^
группе сжатий {Т (s)b>o в пространстве «& можно поставить в соот-
I g. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 45
ветствие непрерывную однопараметрическую группу {U (s)}^
унитарных операторов в пространстве $:=)$, такую, что
npU(s) @<s<oo),
$ = V U(s)$ {условие минимальности).
— оо<5<оо
Эти условия определяют U (s) однозначно с точностью до изо-
изоморфизма.
Мы будем называть U (s) минимальной унитарной дилата-
цией полугруппы сжатий Т (s).
3. Пусть В^—операторная функция распределения в интервале
0<Я<2я, т. е. Вк — семейство самосопряженных операторов
в комплексном пространстве Ф, такое, что ВК^.В^ при Х<\х,
Ял^Ял+о» В+о=0> В^п = 1. Интегралы
(« = 0, ±1, ...)
существуют в смысле сходимости по норме римановых сумм
и определяют функцию Т (п) на группе Z, для которой Г @) = /,
п m
2я
Опт
2я
ЛИ(г11\ 7 pinkU > pimkU \ "^> С)
п
(Последний интеграл является пределом сумм
. - 2 ((В (ЛЛ+1) - В (Xk)) 2 eln4n, 2 e'm
/г \ n m
По теореме 7.1 существует унитарный оператор U = \ eiK dE\
о
в комплексном пространстве ft =э $, такой, что Г (я) = пр С/ (/г)
(/г«0, ±1, ...). т. е. '
2Я 2Я
J ein4 {BKh, W) = J eir*d (Erfi, W) (A, Ar s *) (8.8)
2я
46 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦЙИ
для каждого целого п. Если наложить на спектральную-функ-
спектральную-функцию {Ек} оператора U те же условия нормировки, что и на {Вк}
(т. е. Е\ = ?\+o, ?+o = О, ?2я e /я), то из (8.8) будет следовать, что
Вк = прЕк для 0<Я<2я.
Таким образом, доказана
Теорема 8.2. Для всякой операторной функции распределе-
распределения Вк в пространстве § можно найти такую операторную
функцию распределения Ек кв пространстве 5?:э?>, значения
которой являются ортопроекторами (т. е. такую ортогональ-
ортогональную спектральную функцию), что Вк = прЕк.
Отметим, что, хотя в приведенном доказательстве параметр Я
менялся в интервале @, 2я], результат легко переносится на
любой интервал, конечный или бесконечный, с помощью моно-
монотонной и непрерывной замены параметра. Заметим также, что
случай вещественного пространства сводится к случаю ком-
комплексного путем естественной „комплексификации".
'4. В заключение установим одно важное неравенство, которое
без труда вытекает из теоремы 4.2. Пусть Т — сжатие в ком-
комплексном пространстве ф. U — его унитарная дилатация в (ком-
(комплексном)^ пространстве $:эф. Из соотношений Tn*=npUt}
(я = 0, 1, ...) вытекает, что p(T)=*npp(U) для всякого много-
многочлена р (К) = с0 + с{К + ... + спХп с вещественными или комплекс-
комплексными коэффициентами. Таким образом, || р (Т) ||< || р (U) ||. В силу
спектральной теоремы для унитарных операторов \\p(U)\\ равно
максимуму |р(А,)| на спектре ?/, следовательно, ||p(t/)||^
<max|p(A,)|. Поэтому || р (Г) IK max | р (Я) |. Таким образом,
доказано
Предложение 8.3 (неравенство фон Неймана). Для
всякого сжатия Т в комплексном пространстве § и для всякого
многочлена р(к) справедливо неравенство
|| р (Г) || < max | р (Я) |. (8.9)
|Х|<1
§ 9. Регулярные унитарные дилатации
коммутативных семейств сжатий
Пусть ^' = {rfi)}a)eQ —коммутативное семейство сжатий в про-
пространстве !>. Напомним, что соответствующее семейство °Ы =
— {^(JoeQ операторов в пространстве & zd § мы называем уни-
унитарной дилатацией семейства ST, если °Ы также коммутативно,
операторы Ura) унитарны и
П К' = пр П U* (9.1)
§ 9. РЕГУЛЯРНЫЕ УНИТАРНЫЕ ДИЛАТАЦИИ СЕМЕЙСТВ СЖАТИЙ 47
для всякого конечного набора индексов ©,• е Q и всякого набора
соответствующих целых чисел щ ^ 0.
Это определение может быть сформулировано более удобным
образом, если ввести класс Z „вектс!ров" n = {nO)}(uSQ с целыми
компонентами любого знака и с конечным носителем, т. е.
таких, что п^ = 0 для всех qgQ, кроме конечного их числа.
ZQ является абелевой группой относительно покомпонентного
сложения. Нейтральный элемент есть вектор о, все компоненты
которого равны нулю. В настоящем параграфе под векторами п,
m и т. п, всюду понимаются векторы из Z . Если п^^О для
любого со, то мы пишем nj>o. Запись n^m означает, что
n—m^o. Для произвольных n,m полагаем n Uni = {max{n0), tnji},
nf|ni = {min{n(u, mj} и, наконец, n+ = n|Jo, n~=—(nf|o).
Для векторов п ^ о положим
Г= Л ТУ. (9.2)
we=Q
Это произведение имеет смысл, поскольку все множители, кроме
конечного числа, равны /. В силу коммутативности семейства Т
порядок сомножителей не играет роли. Аналогично положим
?/п= П иЪ
GX3Q
причем ограничение п^ о здесь снимается, поскольку унитарные
операторы [/ш имеют (также унитарные) обратные I/©1. Очевидно,
Un является унитарным представлением группы ZQ, Обратно,
всякое унитарное представление U (п) группы ZQ может быть
записано в таком виде. Это следует из того, что всякое п
может быть записано в виде
где ер —вектор, все компоненты которого равны нулю, за исклю-
чением одной, отвечающей индексу со = р и равной 1. Остается
положить ир = U (ер). •
Итак, задача нахождения унитарных дилатаций °U семей-
семейства Т равносильна задаче отыскания таких унитарных пред-
представлений U (п) группы ZQ, что
Тп = пр U (п) для п > о, (9.1 bis)
т. е. Тп = P$U (п) | Ф. Тогда если U (п) — унитарное представле-
представление ZQ, обладающее этим свойством, то можно так определить
продолжение Г(п) функции Гп на все векторы nsZ, чтобы
48 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
это продолжение было функцией положительного типа на ZQ.
Для этого достаточно положить по определению
Г(п) = Р*1/(п)|ф. (9.4)
Обратно, для всякого продолжения Т(п) функции Тп на ZQ,
являющегося функцией положительного типа, существует уни-
унитарное представление U (п) группы ZQ, и притом даже мини-
минимальное, для которого выполняется (9.4). Это следует из тео-
теоремы 7.1.
Итак, задача нахождения (минимальных) унитарных дила-
4 таций %L заданного семейства &~ сжатий эквивалентна
задаче нахождения продолжений функции Гп(п^0) до функ-
функции Т (п), определенной на ZQ и являющейся функцией положи-
положительного типа. Очевидно, что различным продолжениям отве-
отвечают неизоморфные унитарные дилатации.
В случае когда семейство Т состоит из одного сжатия Г,
функция Тп(п^0) всегда обладает продолжением положитель-
положительного типа, и притом единственным, а именно Т(—п) = Т(п)*
(см. п. 1 предыдущего параграфа). В случае когда семейство Ф~
состоит из двух перестановочных сжатий, существование по
крайней мере одного продолжения положительного типа следует
из теоремы 6.4. В противоположность этому, для коммутатив-
коммутативных семейств, содержащих более двух сжатий, функция Тп не
допускает, вообще говоря, продолжений положительного типа
(см. п. 6.3). Тем не менее можно указать частные случаи,
когда такие продолжения существуют.
Поступим следующим образом: тем или иным способом про-
продолжим функцию Тп до функции Т (п) на ZQ и посмотрим, при
каких дополнительных условиях это продолжение является
функцией положительного типа на ZQ.
Рассмотрим простейшее продолжение
+, (9.5)
которое будем называть регулярным. Это продолжение имеет
двойственное, которое получится, если переставить множители
в правой части. Поскольку такая перестановка сводится по
существу к замене семейства {Г©} семейством {г©}, изучение
этого двойственного продолжения Сводится к изучению регу-
регулярного.
Для регулярного продолжения Т(п) имеем, очевидно, Г( — п) =
= Г(п)\ В силу соображений, аналогичных приведенным в на-
начале предыдущего параграфа (для того частного случая, когда Q
§ 9. РЕГУЛЯРНЫЕ УНИТАРНЫЕ ДИЛАТАЦИИ СЕМЕЙСТВ СЖАТИЙ 49
состоит из одного элемента), Т (п) является функцией положи-
положительного типа на ZQ тогда и только тогда, когда
2 2 (Т (я - m) h (n), А (т)) > О (9.6)
>0 >0
для всякой определенной для п^о функции А(п) с конечным
носителем.
Нам понадобится одно обобщение формул (8.3). Именно,
если h(n) — определенная для п^о функция с конечным носи-
носителем, то функция g"(n), задаваемая формулой
g(n)= S Tm-nh(m) (n>o), (9.7)
m ^ n
также имеет конечный носитель. Функцию h(n) можно восста-
восстановить по g(n) следующим образом. Для каждого конечного
(возможно, пустого) подмножества ticQ положим
1 При 0Gtl,
при йейЧо>
е(*)-{«..(«>». где «„(*)-(
Пусть | о | обозначает число элементов множества v. В этих
обозначениях формула, обратная к (9.7), имеет вид
А(п)- 2 (-l)|o|r(j;)?(n + e(i0) (n>o), (9f8)
где v пробегает все конечные подмножества Q *). В самом деле,
для всякого фиксированного п^о
2/ i\lt>l/ne(o) \Л /rim-n-e(o)/ /\
\—1} 1 2л *¦ Л (Ш; =
ней m^n+e(o)
ocQ m>n+e(o)
= S(m)[ 2@) (-l)l0|lrm-n/t(m) = A(n).
Здесь использована простая комбинаторная теорема: если у
пробегает все подмножества конечного множества v0 (включая
само v0 и пустое множество), то
, если Vq пусто,
I, если v0 непусто.
1) Поскольку g(n) имеет конечный носитель, в сумме (9,8) лишь конеч-
конечное число членов отлично от нуля.
50 * ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
Обратно, если g (n) (n ^ о) — фуцкция с конечным носителем,
то функция /i(n), определяемая формулой (9.8), также имеет
конечный носитель и для всякого фиксированного nl>o
2 () 2
t> cz Q m>n
ticQ >
снова на основании (9.9).
Отсюда следует, что формула (9.7) определяет взаимно одно-
однозначное отображение «а себя множества определенных для n ^ о
функций с конечным носителем, а формула (9.8) определяет
обратное отображение.
Следовательно, для того чтобы (9.6) имело место для любой
функции h(n) с конечным носителем, необходимо и достаточно,
чтобы сумма
Е\^ 1т I \ N^ / 1 \l v I те (°) / / \ \
/) I i ^П — Ш/ /I у "— {) 1 g [ti ~т в \и) )у
n>om>o\ i» cQ
шей
была неотрицательна для любой функции g(n) с конечным
носителем (п^о). Эту сумму можно записать в виде
Д JoP(p,q)?(p),?(q))> (9.10)
где
2j (— 1) \Г /X
q) 2
О С я (р) to с я (q)
xr(p-e(y)-q + eW)re@). (9.11)
Здесь множество я(п) для каждого п^о определено равенством
я (п) = {со: пш > 0}.
Докажем, что D(p, q) = 0 при р ф q. Действительно, в этом
случае множества я(р —q) и n(q — p) не могут оба быть пусты.
В силу симметрии достаточно рассмотреть случай, когда непусто
я (р — q). Множество '
б (w) = я (р) П я (р - q + е (ш))
тогда тоже непусто (каково бы ни было конечное до е Q),
поскольку оно содержит, очевидно, множество я(р —q).
$ 9. РЕГУЛЯРНЫЕ УНИТАРНЫЕ ДИЛАТАЦИИ СЕМЕЙСТВ СЖАТИЙ ?1
Заметим теперь, что для любого фиксированного w можно
получить все подмножества исл(р), беря v «= и' U v'\ где v'
и v" пробегают независимо друг от друга подмножества множеств
n(p)\b(w) и 6(w) соо*ветственно. Поскольку | v | = [ v' | + | v"\
и e(v) = e{v') + e(v")t то D(p, q) может быть записано в виде
2" (-1Iш|(ге(шУ 2 (-1Iг/1х
ш с я (q) t>' с= я (р) \ б (о>)
Сумма, стоящая в квадратных скобках, равна О при всех
фиксированных w и гЛ В самом деле, в силу определения (9.5)
регулярного продолжения имеем
Т (р - q + е (w)| - е (оО - е И) Ге (yW) - (Г)* Гь,
где
a = [p-q + e(a;)-e (о7) - е (и")Г
Но ни а, ни b не зависят от и", т. е.
а = [р ~ q + е (w) - е 0/)Г, Ь = [р - q + е (w) - е (i/)l+.
Это вытекает из соотношений р^ — ^ + ^ (tiy) > 1, е?О(у/) = 0,
справедливых при всех юеу^. Таким образом, внутренняя
сумма сводится к
(г)*тъ 2 (-1Г,
и" с б (ш)
т. е. к О, поскольку 5(&y) непусто. Итак, D(p, q)=O.
Сумма (9.10) принимает, таким образом, вид
Для того чтобы эта сумма была неотрицательна для всякой
функции g(p)(p^o) с конечным носителем, необходимо и
достаточно, чтобы D(p, р)^О при всех р^о. Из (9.11) сле-
следует, что
, р)= 2 2 (-1I*™
о с я (р) w с: я (р)
52 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
Но как легко видеть, показатели степени при Т равны е(и),
где u*=v\Jw. Поскольку в силу (9.9)
{u\v) \J v'
v' a v
2 ( ) ) (),
t» с: и о'со
TO
Z)(p,p)= S (-D'-'Cr'^Vw
w с: я (p)
Мы приходим к следующему результату.
Теорема 9.1. Пусть Т = {rj^sQ- коммутативное семейство
сжатий в пространстве ф. Для того чтобы в некотором про-
пространстве $ гэ ? семейство Т обладало унитарной дилатацией
^/=={^о)}а) = а> регулярной в том смысле, что
П ?/> npw e^jc n,
необходимо и достаточно, чтобы
S(u)= 2 (-l)|0|(re(u))V@)>0 (9.12)
для всякого конечного подмножества и в Q. #/ш 5?ojw можно
требовать, чтобы °U было минимальным, т. е, чтобы подпро-
подпространства [/"? (n e ZQ) порождали пространство Ж. В этом слу-
случае регулярная унитарная дилатация °U определяется с точностью
до изоморфизма.
Замечание 1. Для каждого конечного подмножества и
в Q, содержащего такую непустую часть щ, что Гю является
изометрией для каждого ©g% выполняется условие S(u)=O.
В самом деле, все vczu можно получить, беря v = vQ[)vu
где v0 и v{ пробегают независимо друг от друга все подмно-
подмножества множеств и0 и их = и\и0 соответственно. Поскольку
МН 001 + 1 i^l и
/^е (v)\* jie (v) _ jt (t>i)*j,e (tH)*^e (o0)^e (°i^ ._. y^ (oO'^e (t>i)
(в силу того факта, что Ге@о) является изометрией как произ-
произведение изометрий), имеем на основании (9.9)
s(iO- 2 (-i)l0ll[ 2 (-ly
§ 9. РЕГУЛЯРНЫЕ УНИТАРНЫЕ ДОЛАТАЦИИ СЕМЕЙСТВ СЖАТИЙ
53
Два оператора А и В назовем дважды перестановочными,
если Л коммутирует и с В, и с В* и, следовательно, В комму-
коммутирует и с Л, и с Л*.
Замечание 2. Пусть {7^}© чв ud — такое подмножество мно-
множества {Гй}(йе«, что каждое Та{(й^иа) дважды перестановочно
со всяким 7V (со'е и\ со' ф со), и пусть ис = и\ ud. Тогда если
()O, то S{)^O
2 (-i)i^i П г;гю=
e^) П (/-гл) =
(О S Wj
-S(a;) П (i-tIt).
В самом деле,
(a)= 2 2 (-
ЧСЧ vc^uc
- 2 (-i)i^i
. = 2 (-i)
Поскольку множители / — ГюГо (ш е а^) неотрицательны и по-
попарно перестановочны, а также перестановочны с S(uc), то
8{и)^О, коль скоро S(tf,)>0.
Замечание 3. Для того чтобы S(u)~^O, достаточно
чтобы 2 I|71JP<1.
(OGU
Действительно, пусть и = {(й\> ..., сог}. Для краткости будем
писать Tt вместо Гсу Положим
ар(А)- S ||ге<0)А||2
для
. При
имеем
откуда
2(
р=»0
а0 (h) - a, (h) = || h |p - S || Tth IP >
fl - S II71!
IP ^ 0.
54 ГЛ. I. СЖАТИЯ И" ИХ ДИЛАТАЦИИ
На основании этих замечаний мы получаем из теоремы 9.1
следующее
Предложение 9.2. Пусть Т — коммутативное семейство сжа-
сжатий. Удалим из 2Г все изометрические операторы, а из остав-
оставшегося семейства ЗГ\ удалим всякий оператор, дважды коммути-
коммутирующий со всяким другим оператором из d~v Если оставшееся
семейство Т2 обладает регулярной унитарной дилатацией, то иТ
обладает регулярной унитарной дилатацией.
В частности, регулярная унитарная дилатация семейства
^ = {ГЮ} существует в следующих случаях:
(а) Ф~ — коммутативное семейство изометрий,
(б) $Г — семейство дважды перестановочных сжатий,
(в) 5Г — счетное коммутативное семейство, для которого
Поскольку из соотношения V = пр U для изометрических U
и V вытекает, что U является продолжением V, то из части (а)
предложения 9.2 следует, что всякое коммутативное семейство
изометрий допускает в качестве продолжения коммутативное
семейство унитарных операторов. Таким образом, мы получили
новое доказательство предложения 6.2, годное для произволь-
произвольных Семейств, конечных или бесконечных.
§ 10. Другой метод построения изометрических
дилатаций. Пример, относящийся
к системам дифференциальных уравнений
1. Опишем вкратце другую конструкцию изометрической
дилатаций для сжатия. Этот метод интересен в первую оче-
очередь тем, что его можно, после соответствующей модифика-
модификации, применить к однопараметрической полугруппе.
Пусть Г —сжатие в гильбертовом пространстве Ф. Если
| -то
... -1| DTh \f +1| DTTh ||2 + ... +1 DTTn~lh f +1| Tnhf f
откуда ввиду неравенств
1|Л||>ИШ> ... >||Гй||> ... >0, A0.1)
следует равенство
II h ||2 = S || DTTjh IF + lim |f Tnh If. A0.2)
/0
§ 10. ДРУГОЙ МЕТОД. ПРИМЕР 55
Из A0.1) вытекает также, что
/>ГГ> ... >ГТ> ... >О.
Следовательно, существует сильный предел S = lim т*пТп. Пусть
Л-»оо
Q = S2. Поскольку
Г Q2T = Vim T*n+lTn+l = Q2
п
и, значит, || QTh f = || Qh IP (fte§), то отображение Qh->QTh
является изометрическим. Это отображение по непрерывности
продолжается до изометрии W пространства & = Q# в себя.
Итак, имеем
QT^WQ. A0.3)
Рассмотрим пространство Н векторов h
Вложим § вЛ==Нф&, отождествив каждый элемент
с вектором
..., 0, 0, \DTh\, DTThy DTT2h, ...
(в прямоугольник заключена компонента с индексом 0). Такое
отождествление законно на основании A0.2).
Пусть V —двусторонний сдвиг в Н, определяемый формулой
где
Тогда U = V©W — изометрия в Я и для всех Ае§ и m = 1,
2, ... имеем на основании A0.3)
где
,(m) f Drrm+rt/z при -
fin = ] .
v 0 в прочих случаях.
Очевидно, вектор, стоящий в правой части равенства A0.4),
ортогонален к Ф, откуда следует, что Тт = пр Um (т = 1, 2, .. .)•
Таким образом, U является изометрической дилатацией (не
обязательно минимальной) оператора Г*
56 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
2. Перейдем к случаю непрерывной однопараметрической
полугруппы' {Т {s)}s>0 сжатий в $ (см. п. 8.2). Напомним, что
для такой полугруппы генераторг) Л, определяемый равенством
ЛА = lim 4" [Т (s)-I] А A0.5)
на множестве тех А, для" которых этот предел существует,
является линейным замкнутым оператором с плотной в # об-
областью определения S)(Л). Если AgS(Л), то имеет место ра-
равенство -?-Т (s) А = AT(s)h = T (s) Ah, s>0(cm. [Лекции], п. 142).
Заметим, что при ||r(s)||^l
Re((Т (s) - /)A, Л) = Re(T (s) А, А)-(Л, h) <|| T (s) \\\\ h \f -|| /г |р<0
(A e ф), т. e.
Re (Л A, A) < 0 при всех AgS (Л). A0.6)
Положим
[A, k] = - (ЛА, й) - (А, Л&) для A, k &?> (Л). A0.7)
Эта билинейная форма неотрицательна в силу A0.6):
[А, А] = - 2 Re (ЛА, А) > 0 (А е= 5D (Л)). A0.8)
Из определения оператора Л вытекает, что при А е 25 (Л) и
>0
•?|| Г (s) A IP = 2 Re (T (s) Ah, T (s) h) =
- 2 Re {AT (s) A, T (s) A) = - [T (s) А, Г (s) A]
и, следовательно,
IIAIP-J[r(s)A, T(s)h]ds+\\T(t)h\?,
0
откуда
oo
IIA IP = f [T (s) А, Г (s) A] tfs + lim || T (t) A ||2. A0.9)
0 /->oo
Последний предел существует, поскольку ||Г@А||2 является
неубывающей функцией от t. Отсюда в»ытекает также, что
lim T* {t) T (t) существует в сильном смысле. Пусть Q — неотри-
!) В оригинале generateur. У нас больше распространен термин (инфините-
зимальный) производящий оператор. Однако по причинам, которые выяснятся
5 § II 1.8, термин ^генератор" оказывается более удобным. — Прим* перец.
§ 10. ДРУГОЙ МЕТОД. ПРИМЕР 57
цательный квадратный корень из этого предела. По аналогии
с дискретным случаем построим непрерывную полугруппу
{W{s)}s>0 изометрий в Q =Q§, такую, что
QT{s)=W(s)Q E>0). A0.10)
Пусть 35 — пополнение по метрике A0.7) —A0.8) предгиль-
предгильбертова пространства 5) (Л) по модулю множества тех Л, для
которых [Л, h] = 0. Пусть Н — гильбертово пространство сильно
измеримых 35-значных функций h = h(s) (—oo <s<oo), таких,
что
l|h|p =
(функции, совпадающие почти всюду, отождествляются). Вло*
жим § в пространство
отождествив Ag§ с элементом h0QA, где
0 при s<0,
(S) I T(s)h при
Пусть {V{s)}s>Q — непрерывная полугруппа переносов в Н:
(-oo<s<oo; t^0; AsH).
Операторы U (s) = V {s)(&W{s) (s>0) образуют непрерывную
полугруппу изометрий в St Если /ге§ и t^0, то
A0.11)
где
Jt)(c\-> л w '"*'" ПрИ ~]
1 0 в прочих случаях.
Правая часть A0.11), очевидно, ортогональна к §, откуда сле-
следует, что 7\@ = пр U (t) (t}^0). Таким образом, полугруппа
{U(s)}s>Q является дилатацией полугруцпы {T(t)}t>0.
3. В качестве иллюстрации построим изометрическую дила-
тацию одной конкретной полугруппы сжатий, порожденной си-
системой дифференциальных уравнений. В этом частном случае
использования генератора можно избежать.
Пусть
&Х1 — у (у\ (i ~. 1 „\ (\с\ 1 о\
— система дифференциальных уравнений в n-мерном веще-
вещественном евклидовом пространстве Rn, x = (xu ..., хп).
58 t-Л. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
Предположим, что функции Х( непрерывно дифференцируемы и
дивергенция векторного Поля (Х{, ..., Хп) неположительна, т. е.
Предположим, кроме того, что для любой точки a^Rn реше-
решение системы A0.12), удовлетворяющее начальному условию
х@) = а, существует не только при достаточно малых t, но и
на всей оси t. В этом случае
%t\ a->x(t)
есть дифференцируемое отображение Rn в Rn. Якобиан этого
отображения
D^) _ D((rtx)u ..., (xtx)n)
°<W- D(x) D(xu ...,
легко вычисляется. В самом деле, bt(x) является вронскианом
решений
idJxtxU д (xtx)n \ n t v
t—ss;— —5*7—j (/=I> •••>")
системы линейных дифференциальных уравнений
n
йщ _ Vi dXj (xtx)
соответствующей системе A0.12). Применяя теорему Лиувилля
и учитывая, что ft,(x)=lf получаем
6,(*) = exp(- jp{%sx)ds\. A0.13)
Итак, если <р(х) — борелева функция, интегрируемая в Rn, то
J ф(т_,*)dx = | ф(х)б^(jc)dx {dx = dxx ... dxn). A0.14)
Пусть f(x)<=L2{Rn). Положим для .*>0
Если взять ф (jc) = | f (jc) рэ то из A0.13) и A0.14) следует,
что Т@~сжатие в L2(Rn) (*>0). Более того, {Г@}/>0-по-
{Г@}/>0-полугруппа сжатий в L2(Rn\ поскольку, очевидно, т0 —тожде-
—тождественное отображение Rn на себя и xt+s = xtxs. Если функция f (x)
непрерывна и имеет компактный носитель, то, как легко видеть,
§ 10. ДРУГОЙ МЕТОД. ПРИМЕР 59
T(t)f->f при t -> +0. Поскольку такие функции плотны в L\Rn),
то рассматриваемая полугруппа непрерывна.
Введем две меры:
dv(xt s)~p{x)dxds (в Rn+l),
d[i(x)^6oo(x)dx (в Rn),
где
Soo (x) = exp I - f p (xsx) ds I « lim 6, (x) (> 0).
\ о / ^°° .
Предложение ЮЛ. Непрерывная полугруппа сжатий {T(t)}t>0,
отвечающая системе дифференциальных уравнений A0.12)
с дивергенцией — р(л;)^0, обладает изометрической дилата-
циейу унитарно эквивалентной непрерывной полугруппе изо-
метрий {U(t)}t>0 в пространстве
определяемой равенством
(x, s)®f(x)]-t(x9
Доказательство. Пусть g{x)-~непрерывно дифферен-
дифференцируемая функция с компактным носителем в Rn. Имеем
у 1 T,g If I,., -J-Jl gb-tx)
Интегрируя
d -
по
частям,
у ||2 1 _,
получаем
п
R" /"I °
Rn
п
1 кж 1
Поскольку Ttg как функция от х также непрерывно диффе-
дифференцируема и имеет компактный носитель, то, согласно пре-
предыдущей формуле,
60 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
Учитывая равенство
заключаем, что
t
|| g IP = J J | g (x_sx) P p (x) dx ds + J I g (%_iX) P dx.
0 Rn Rn
Используя теперь A0.14) (приф = |&12) и переходя затем к пре-
пределу при ?->оо, находим
llfflP- \\ \g(x-sx)\*dv(xy s)+ j\g(x)\2dix(x). A0.15)
Rn X @, с») #"'
Эта формула, справедливая для всякой функции рассматри-
рассматриваемого вида (и, значит, для плотного в L2(Rn) семейства
функций), является той конкретной формой, которую прини-
принимает формула A0.9) в случае полугруппы, связанной с систе-
системой A0.12). Остальная часть доказательства основывается на
использовании формулы A0.15), аналогичной использованию
в построениях предшествующего пункта формулы A0.9).
Замечание. Более тонкий анализ, который мы опустим,
показывает, что рассматриваемая полугруппа {Ut}t>0 состоит
из унитарных в $ операторов и что, полагая Ut = U*__t при
tf<0, мы получим непрерывную группу {Ut}_ , являющуюся
минимальной унитарной дилатацией полугруппы {Tt}t>0.
§ 11. Унитарные р-дилатации
1. Введем следующее обобщение понятия унитарной ди-
латации для сжатий. Будем говорить, что линейный ограни-
ограниченный оператор Т в гильбертовом пространстве §> принадлежит
классу ^р (р>0), если существует такой унитарный оператор U
в пространстве к => §, что
Г* = р пр Un (л—1, 2, ...). A1.1)
Назовем в этом случае U унитарной р-дилатацией оператора Т.
Очевидно, что
[Г||<р (я-1, 2, ...) A1.2)
ДЛЯ Т €5 «>р.
f II. УНИТАРНЫЕ р-ДИЛАТАЦИИ 61
Класс 4?i совпадает с классом всех сжатий в $. Следую-
Следующая теорема характеризует каждый из классов ^р в случае
комплексного ф.
Теорема 11.1. Пусть Т — линейный ограниченный оператор
в комплексном гильбертовом пространстве ф. Для того чтобы Т
входил в класс <&9 @<р<оо), необходимо и достаточно, чтобы
при всех Ле§ и всех z, |z|^l, выполнялось неравенство
(|- 1)||zTh||2 + B- |)Re(zTh, A)<||h|p, (у
эквивалентное неравенству
(р - 2) || (/ - гТ) h ||2 + 2 Re ((/.- zT) A, h) > 0. (Q
Доказательство. Эквивалентность условий (Ip) и (Q
очевидна.
Пусть Ге^р, [/ — унитарная р-дилатация Т. Поскольку
оператор U унитарен, то ряд h + 2zU + ... + 2znUn + ... схо-
сходится по норме для всякого г, |г|<1, и его сумма равна
(h + zU)(h-zUyl. В силу (ИЛ) ряд
I$+jzT+ ... +jznTn+ ...
также сходится по норме и его сумма равна
Очевидно,
С другой стороны,
откуда следует, что
На основании A1.3)
Re[(l - })(/, 0 + }((/-2ГГ!/,/)]>0 (left |z|<l).A1.4)
Полагая / = /2 = (/-2Г)Л(Ле§) и умножая на р, получаем p)
для |г|<1. Справедливость этого неравенства для |z|= 1 выте-
вытекает из соображений непрерывности.
62 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
Докажем, что и обратно каждое из (эквивалентных) усло-
условий AР) и (ip) влечет принадлежность оператора Т к классу Vp.
С этой целью покажем сперва, что из условия Aр) выте-
вытекает, что весь спектр Т лежит в замкнутом единичном круге.
Предположим противное. Тогда существует точка 1/г0, |20|<1,
являющаяся граничной точкой спектра Г, и, значит, можно
выбрать такую последовательность {hn} в ф, что ])
II йп 11=1 (п=1, 2, ...), (I-zQT)hn->0 при л-*оо.
Следовательно, zo(Thn, hn)->\. Мы можем считать, что суще-
существует lim ||77zn||; обозначим его через t. Пусть 0<г<1 — |го|.
Я-»оо
Тогда точка z = zQ + rz0 принадлежит единичному кругу и
в силу AР)
(Р—2)[| (I-z0T)hn-rzJhn |р+2 Re [((/-г0П К, hn)-rz0(Thnt йя)]>0.
Устремляя пкоо, получаем (р — 2)r2\z0 ft2 — 2r >0. Деля на г
и устремляя г к нулю, приходим к абсурдному неравенству
—2^0. Таким образом, весь спектр Т лежит в замкнутом
единичном круге, т. е. оператор (/ — zT) существует и огра-
ограничен при всех z с [г|<1 и совпадает с суммой сходящегося
оо
по норме ряда 2 znTn.
о
Пусть / — произвольный элемент из §. Применив (Г)
к h = hz^=(I — zT)~ll> получим
. (p-2)||Z||2 + 2Re(/, (/-гГ)-1/)^,
откуда
(Q(r, Ф)/, D>0 @<г<1, 0<Ф<2я; /g$), A1.5)
где Q(ry ф) определяется сходящимся по норме рядом
Q(r, ф) 1
... + —
Пусть {Л«}-оо"" последовательность элементов из § с конеч-
конечным носителем, и пусть
!) Пусть {^ — последовательность регулярных точек оператора Т9 схо-
сходящаяся к 1/г0. Тогда (см., например, Хилле и Филлипс [1], стр.
142-143) sup || (Т — znl)~l ||= оо и, следовательно, найдется последователь-
п
ность hm || Art || = 1, такая, что (Т - znl) hn -> 0, так что (/ - zQT) hn=*
«= —20 \(Т — znl) hn + I zn J hn \-> 0 при п -> оо. - Прим, перев.
¦ $ И. УНИТАРНЫЕ р-ДЙЛАТАЦЙЙ
В силу A1.5)
2л
*я, А») +1
п>т
rn-m(Tn-mhn,hm) +
I 1 V V rm-n(T*m-nu
при всех г, 0<г<1. Устремляя г к 1—0, получаем
^^(^(n-m)^, /
где TQ(n) определяется формулами
A1.6)
Таким образом, Гр(п) является функцией положительного
типа на аддитивной группе Z целых чисел. Из теоремы 7.1
вытекает существование такого унитарного оператора С/р в неко-
некотором пространстве $р id «§>, что Гр(п) = пр С/р при всех «gZ.
Наконец, из A1.6) следует, что С/р является унитарной р-дилата-
цией onepafopa Г.
Теорема полностью доказана.
Заметим, что при р=1 условие AР) сводится к условию
[|Г|К1. Таким образом, доказанная теорема является обоб-
обобщением теоремы 4.2. Другим примечательным случаем является
р = 2. В этом случае AР) сводится к условию | (ГА, А|^||А|р
(h e Ф). Таким образом, наша теорема дает как частный случай
Предложение 11.2. Для того чтобы оператор Т принадлежал
классу ^2, необходимо и достаточно, чтобы численный ра-
радиус Ту определяемый равенством
w (T) = sup{\(Th, h)\:h<=$>, IIА||< 1},
не превосходил единицы.
Добавим еще несколько замечаний.
Замечание 1. В случае 0<р<2, р Ф 1, условие AР) сво-
сводится к условию
оо
);
64 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
в случае же 2 < р < оо — к условию
Для доказательства умножим (Ip) на ^ 2 /[ z |2, 0 < 1 z \ < 1.
Преобразовав полученное соотношение и положив ^х= р~2/г>
придем к условиям (ip) или (ip') в зависимости от того, р<2
или р>2.
Замечание 2. Если Кр<2, то условия AР), или (ip)
эквивалентны условию
|||i/-r||<||i|+I (f^-^I^K00)- (Up)
Таким образом, для того чтобы оператор Т принадлежал
к классу Фр, 1<р<2, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
выполнялось условие (lip). . •
В самом деле, из (Ир) следует (ip), поскольку
Обратно, полагая е = -рт для таких \ху получаем из (ip)
•пи ^1. _ Р— 1
т. е. (Ир).
Замечание 3. Для того чтобы оператор Т принадлежал
к классу ^р при 2<р<оо, необходимо и достаточно, чтобы
спектр Т лежал в замкнутом единичном круге и чтобы
( (цро
В самом деле, если Т ^ ^р и 1<| ja 1^^р = ^Г2"» И* = е | ^х |,
то при условии
При доказательстве теоремы 11.1 было установлено, что спектр
оператора Т лежит в замкнутом единичном круге. Отсюда
вытекает (lip).
^ § 11, УНИТАРНЫЕ р-ДИЛАТАЦИИ 65
Обратно, пусть Т удовлетворяет условию (lip') и спектр Т
лежит в замкнутом единичном круге. Тогда функция (/ — zT)~l
аналитична в круге |г|<1. Применяя к этой функции принцип
максимума и используя (НрО, получаем
|2|<1/Гр
Если гр<|И'1<00, то
и, следовательно, имеет место (in'), т. е. Ге?п.
pj вытекает с очевидностью, что классы ^р
образуют неубывающую функцию параметра р, 0<р< оо. Более
того, справедливо
Предложение 11.3. Если dim §^2, то классы ^р@<р<оо)
образуют строго возрастающее семейство, т. е.
^рс=<5>, фрфф? при 0<р<р'<оо.
Доказательство. Для всякого р > 0 мы сейчас построим
оператор Гр в ф, такой, что Грс=^р и || Гр || = р; тогда Гр не может
принадлежать никакому классу ?Ра с 0<а<р. Именно, выберем
в § какой-нибудь ортонормированный базис {фь ф2, if>v(veQ)}
и рассмотрим в § оператор Гр, определяемый равенствами
РФ2, ?>2 = 0, Tpi|)v = 0 (vs Q).
Очевидно, ||Гр||=р, Гр = О(п^2). Пусть $ —гильбертово про-
пространство, такое, что dim$= Ho dim^. В Ж можно выбрать
ортонормированный базис, элементы которого занумерованы
следующим образом:
{q4(m = 0, ±1, ±2, ...); ^(vgQ; m = 0, ±1, ±2, ...)}.
Отождествив ф1 с ф{, ф2 с ф^ i|)v с -ф^ (v e Q), вложим § в R.
Определим в & унитарный оператор U равенствами
(vsQ, m-0, ±1, ±2, ...)
Обозначив через Р ортопроектор из й на •§>, получим
рР t/ф, = р Ар2 = РФ2, рР С/ф2 = рРфз = 0,
б Зак. 517
ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
и при >
РС/йА;я-<> (/=1, 2),
Отсюда pPUnh = T?h для п>1 и А = ф1э ф2, i|v а значит, и для
любого fte§. Таким образом, ?/ является унитарной р-ди-
латацией Гр.
Предложение доказано.
3. Неравенство фон Неймана (8.9), справедливое для класса
Я?и может быть распространено в соответствующей форме на
классы ??р @<р<оо). Именно из A1.1) следует, что для вся-
всякого многочлена р(г) с комплексными коэффициентами
р(П = пр[рр(С/) + A-р)р@)/л]. A1.7)
Учитывая унитарность [/, получаем
Предложение 11.4. Если Т^^9 @<р<оо) и р{г) —произ-
—произвольный многочлен от комплексной переменной г, то
!|р(Г)||<тах|рр(г) + A-р)р@)|. A1.8)
Ы<1
Это предложение можно дополнить следующим образом.
Предложение 11.5. Пусть q {г) —многочлен, для которого
^@) = 0 и |<7(г)|<1 при |г|<1. Тогда для всякого ГеУр
также q(T)<=%9 @ < р < оо).
Доказательство. Пусть U — унитарная р-дилатация
оператора Т. Применяя A1.7) к p(z) = q(z)n (n=l, 2, ...),
получаем
<7GТ = рпр<7 (?/)". A1.9)
Поскольку |^(г)|^1 при |г|<1, то на основании неравенства
фон Неймана q(U) является сжатием. Следовательно, сущест-
существует такой унитарный оператор V, что
q(U)n = npVn (n = 0, 1, ...). A1.10)
Из A1.9) и A1.10) следует, что
<7GТ = рпрГ (п=1, 2, ...),
откуда
При р = 2 полученный результат на основании предложения
11.2 может быть сформулирован так:
Предложение 11.6. Если w{T)^.l, то для всякого много-
многочлена q (z), удовлетворяющего условиям q@) = 0 и \ q (z)\^ 1
КОММЕНТАРИИ 67
имеет место неравенство w(q(T))^\. В частности, если
, то и>(И<1 (n=U 2, ...).
Отметим еще раз, что все результаты этого параграфа спра-
справедливы для операторов в комплексном гильбертовом прост-
пространстве.
Комментарии
Теорема 1.1 о разложении, порождаемом изометрией, была
впервые сформулирована Во льдом ([1], стр. 89) на языке
теории вероятностей. Приведенная формулировка принадлежит
X а л м о ш у ([2], лемма 1).
Предложение 2.1 о двусторонних сдвигах является, по край-
крайней мере для случая комплексных гильбертовых пространств,
следствием общей теории спектральных кратностей. При-
Приведенное выше прямое доказательство, пригодное для любого
поля скаляров, принадлежит Гальперину (см. С.-Н.
и Ф. [V]).
Предложение 3.1 об инвариантных векторах сжатая дока-
доказано С.-Надем в связи с эргодическими теоремами (см. Рисе,
С.-Надь [1] и [Лекции]). Обобщения этого предложения даны
С.-Н. и Ф. [1].
Теорема 3.2 о каноническом разложении сжатия была
доказана независимо Лангером [1] и С.-Н. и Ф. [IV]1)-
Обозначение А = ирВ было введено С.-Надем в [П]. Хал-
мош [1] называет оператор А уплотнением (compression)
оператора В, а В — дилатацией (dilatation) оператора Л.
С.-Надь в [П] употребляет термин „проекция" вместо „уплот-
„уплотнение". Мы принимаем термин „дилатация" и предпочи-
предпочитаем никак не называть „уплотнение". Впрочем, поскольку
Л = прВ означает, что билинейная форма {ВЬ> &'), связанная
с оператором В, является продолжением билинейной формы
(Аа> а'), связанной с оператором Л, то было бы законно назы-
называть В „численным продолжением" Л, а Л —„численным суже-
сужением" В (по аналогии с терминами „численная область значений",
„численный радиус" и т. д.).
Существование для каждого сжатия Т такого изометриче-
изометрического оператора У, что Т = пр V, было установлено еще Жюлиа
[1—3]; Халмош [1] заметил, что V можно выбрать унитар-
унитарным, V «= U.
Теорема 4.2, утверждающая, что U можно выбрать так,
чтобы Tn = npUn для всех п= 1, 2, ... (т. е. чтобы оператор U
1) Для других классов операторов (не содержащихся в классе всех сжа-
сжатий, но и не покрывающих его) каноническое разложение использовалось
ранее М. С. Лившицем [1—3] и другими авторами.—Прим. ред.
68 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
был унитарной дилатацией Г), доказана впервые С.-Н а-
дем [1]. В первом его доказательстве использовались теорема
Р и с с а, относящаяся к тригонометрической проблеме моментов
и теорема Наймарка [1] (теорема 8.2) о существовании для
каждой операторной функции распределения Вк такого спект-
спектрального семейства Ех (т. е. функции распределения, значения
которой являются ортопроекторами), что В^ = пр?^. Второе его
доказательство (С.-Н адь [Ibis], [П], [1]) основано на том факте,
что функция Т{п)у порождаемая сжатием Т по формулам (8.2),
является функцией положительного типа на аддитивной группе
целых чисел, что позволило применить теорему Наймарка[1]
об операторных функциях положительного -типа на группе (тео-
(теорема 7.1). Этот способ и воспроизведен в п. 1 § 8, однако тот
факт, что Т(п) является функцией положительного типа, дока-
доказан более просто, чем в цитированных работах. Теорема Най-
Наймарка (теорема 7.1) была распространена С.-Надем [П] на
функции положительного типа на *-полугруппе. Среди прило-
приложений этой обобщенной теоремы отметим доказательство одной
теоремы Халмоша [1] о субнормальных операторах.
К двум упомянутым доказательствам теоремы 4.2 Ш е ф ф е р
[1] присоединил „матричное" доказательство, приведенное в п. 1
§ 5. Модификация конструкции Ш е ф ф е р а, приводящая к мини-
минимальной унитарной дилатации и воспроизведенная в п. 2
§5, принадлежит С-Надю [2]; см. также Г а л ьпер и н[1].
Наконец, в доказательстве, приведенном в § 4, применен четвер-
четвертый метод: сначала строится изометрическая дилатация, а
затем эта последняя продолжается до унитарной дилатации.
Задача нахождения унитарной (или изометрической) дила-
дилатации для коммутативного семейства сжатий была по-
поставлена С.-Надем [1], [8]. Он доказал существование регуляр-
регулярной дилатации при дополнительном условии, что сжатия по-
попарно дважды перестановочны (см. С.-Надь [Ibis], [П]).
Б ре мер [1] ввел понятие регулярной унитарной дилата-
дилатации и систематически изучал проблему существования таких
дилатации; см. также С.-Надь [4]. Ряд дополнений и упро-
упрощений внес Гальперин [2], [4]. Доказательство, приведен-
приведенное в § 9, близко к доказательству Гальперина [2].
Теорема 6.1 о существовании унитарной дилатации для
любой пары перестановочных сжатий принадлежит Андо [1].
Приведенный в § 6.3 пример трех коммутирующих сжатий, не
допускающих коммутирующих унитарных дилатации, построен
Парротом [1].
Теорема 8.1 об унитарной дилатации непрерывной одно-
параметрической полугруппы сжатий доказана С.-Н а д е м
КОММЕНТАРИИ 69
[I], [I bis], [П]. В случае когда {Vs}s>0 — полугруппа изометрий,
a {Us}s>Q — ez унитарная дилатация, имеет место соотноше-
соотношение VsczUs (s^O). Отсюда вытекает теорема Купера [1],
утверждающая, что всякая непрерывная однопараметрическая
полугруппа изометрий в пространстве §> может быть продолжена
до непрерывной полугруппы унитарных операторов в простран-
пространстве Жиэф.
Тот факт, что всякое коммутативное семейство изометриче-
изометрических операторов в гильбертовом пространстве §> может быть
продолжено до коммутативного семейства унитарных операто-
операторов в пространстве kzD$ (предложение 6.2), установлен неза-
независимо ИтЬ [1] и Б ре мер ом [1]. В § 6 мы следовали (по
крайней мере частично) методу И то, а в § 9 (предложение9.2
(а)) — методу Б р е м е р а.
Неравенство (8.9) для сжатий означает, в иных терминах,
что замкнутый единичный круг |г|^1 является „спектральным
множеством" для всякого сжатия в комплексном гильбертовом
пространстве. Эта теорема впервые была доказана фон Ней-
Нейманом [2], использовавшим методы теории аналитических
функций1)- Затем доказательство было упрощено Хайнцем [1]
(см. последующие издания [Лекций]), воспользовавшимся фор-
формулой Коши — Пуассона. Доказательство, приведенное в тексте
и сводящее задачу к простейшему случаю унитарных операто-
операторов, было предложено С.-Надем [I], [П].
Упомянем также, что неравенство (8.9) фон Неймана ха-
характеризует гильбертовы пространства в классе комплексных
банаховых пространств в том смысле, что если (8.9) выпол-
выполняется для любого сжатия в комплексном банаховом простран-
пространстве X и для любого многочлена p(z), то X является гиль-
гильбертовым пространством (см. Фояш [1]).
Неравенство (8.9) в частном случае p{z) = z дает ||Г||^1.
С другой стороны, сжатия в гильбертовом пространстве харак-
характеризуются тем, что они обладают унитарными дилата-
циями. В комплексном гильбертовом пространстве унитарные
операторы характеризуются в классе нормальных операторов
тем, что их спектр лежит на единичной окружности. Таким
образом, для оператора в комплексном гильбертовом простран-
пространстве выполнение неравенства фон Неймана эквивалентно суще-
существованию нормальной дилатации со спектром на единичной
окружности.
В связи с этим возникает более общая задача. Пусть Т —
произвольный линейный ограниченный оператор в комплексном
1) Это доказательство приведено в первом (французском) издании [Лек-
[Лекций] (Lesons d'analyse fonctionnelle, Budapest, 1952).
70 ГЛ. I. СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ
гильбертовом пространстве §, S — замкнутое ограниченное под-
подмножество комплексной плоскости. Эквивалентны ли следующие
два утверждения:
а) для любого многочлена p(z) имеет место неравенство
б) существует такая нормальная дилатация N оператора Г,
что o(N)czdS {где dS — граница множества S).
В случае если dS — простая замкнутая кривая (т. е. если S —
ограниченное жорданово множество), эта эквивалентность была
доказана С.-Н. и Ф. [III], а в случае произвольного множества
со связным дополнением — Ф о я ш е м [4] (см. также Л е б о в [1]).
Сарасон [1] показал, что решение этой проблемы (для мно-
множеств S со связным дополнением) может быть сведено к слу-
случаю сжатий.
Метод, примененный в § 10 для получения изометриче-
изометрических дилатаций одного сжатия и непрерывной полугруппы
сжатий, не является единственным, позволяющим изучать сразу
оба случая. В самом деле, первоначальный метод С.-Надя[1]
для унитарных дилатаций, отличный от метода § 10, также
позволяет исследовать и тот и другой вопрос. Метод § 10
был придуман в связи с исследованием унитарных дилатаций
системы дифференциальных уравнений с отрицательной дивер-
дивергенцией (см. § 10.3) —задачей, которую предложил одному из
авторов А. Г. Костюченко. Решение этой задачи дано
в предложении 10.1 и замечании к нему.
Теорема о существовании унитарной р-дилатации для р ф 1
получена впервые Бергеро^м [1] и Халмошем [2] для
случая р = 2 (это наше предложение 11.2). Общее исследова-
исследование унитарных р-дилатаций было предпринято С.-Н. и Ф.[6].
Доказательство теоремы 11.1, приведенное в § 11, несколько
отличается от первоначального и близко к доказательству тео-
теоремы Бергера —Халмоша (т.е. нашего предложения 11.2),
данному С.-Надем в [10].
В настоящем (русском) издании в теореме 11.1 опущено фи-
фигурировавшее во французском издании этой книги условие
в(Т)аО, поскольку оно является следствием условия AР) не
только при р<2 (что было установлено авторами), но и при
всех р>0. Этот результат получен недавно Дэви сом [1]. Его
доказательство отличается от приведенного выше.
Тот факт, что классы ^р образуют неубывающую функцию
от р @<р<оо), непостоянную ни при малых, ни при боль-
больших р (так что среди этих классов нет ни минимального, ни
максимального), был замечен С.-Н. и Ф. [6]. Более точный ре-
КОММЕНТАРИИ 71
зультат, содержащийся в предложении 11.3, принадлежит Д у р-
сту [1]. Им же был получен критерий принадлежности нор-
нормального оператора классу ^р.
Предложение 11.5 принадлежит Стампфли (см. Хал-
м о ш [3]).
Задачу об унитарных р-дилатациях можно обобщить
следующим образом. Пусть А — самосопряженный оператор
в комплексном гильбертовом пространстве Ф, имеющий поло-
положительные грани. Охарактеризовать те операторы Т в $\ кото-
которым можно сопоставить унитарный оператор U в пространстве
к :=> Ф так, чтобы
QTnQ = np?/w (/г =1,2, ...),
где Q = A 2 (унитарная р-дилатация отвечает случаю Л = р/).
Для того чтобы такой оператор U существовал, необходимо и
достаточно, чтобы
77*)>О
Это обобщение теоремы 11.1 было предложено Л а н г е р о м
(личное сообщение); доказательство аналогично доказательству
теоремы 11.1.
В связи с содержанием гл. 1 см. также Берберян [1],
Млак [5], [6], [7], Накано [1], Н айм арк [2],[3], С.-Надь[3],
С.-Н. и Ф. [9], Торхауэр [1], [2], Эгервари [1].
Г Л А В А II
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ
УНИТАРНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
§ 1. Структура пространства минимальной
унитарной дилатации
Всюду ниже рассматривается сжатие Т в гильбертовом про-
пространстве ф, вещественном либо комплексном, и его минималь-
минимальная унитарная дилатация U в гильбертовом пространстве $,
соответственно вещественном либо комплексном, $:=>«?>. Лийеалы
2о = (?/-:Г)?, 2о = ({/-Г*)Ф (с: Ж) A.1)
и их замыкания
A.2)
будут играть важную роль в наших'исследованиях.
Теорема 1.1. (а) 2 и 2* являются блуждающими подпрост-
подпространствами для U. Их размерности равны дефектным числам
оператора Т:
dim 2 = ЬГ, dim2* = t>r. • A.3)
(б) Пространство & разлагается в ортогональную сумму
2'^ ... A.4)
Доказательство. Теорему нетрудно было бы доказать,
отправляясь от матричной формы ?/, построенной в § 1.5.2.
Мы предпочитаем, однако, привести непосредственное доказа-
доказательство, не зависящее от способа реализации U.
(а) Для доказательства того факта, что 2 и 2* являются
блуждающими, достаточно установить, что f/rt20 ± 20, f/*rt2o JL 2о
при /г=1, 2, .... В силу симметрии можно ограничиться рас-
рассмотрением 20.
Если Л, й'е§, п=1, 2, ..., то
(Un{U-T)hy (U-T)h') =
= (С/ПЛ, h')-{Un-lTh, h')~(Un+lhy Th') + {UnT
~ЧГЛ, h')-(Tn-lTh, ЛО-(Г+1Л, Th') + {TnTh,
§ I. СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА УНИТАРНОЙ ДИЛАТАЦИИ 73
Для доказательства равенства dim2 = br заметим, что при
|| (С/ — Г) /г IP = И fZ/г IP — 2Re (f/A, ГА) + ЦГА|р =
= IIЛ IP — 2Re (ГА, ГА) +1| Th \f = \\h f -1| Th f = || DTh |p. A.5)
Отсюда вытекает, что оператор ср, определяемый равенством
ЛГА, A.6)
изометрически отображает 20 на DT$>. Этот оператор продол-
продолжается по непрерывности до унитарного оператора, отобра-
отображающего 8 на дефектное подпространство 35Г. Тем самым до-
доказано, что dim 2 = dim Dr = br. Равенство dim 2* = Ът* доказы-
доказывается аналогично.
(б). Покажем сначала, что члены в правой части A.4) по-
попарно ортогональны. Поскольку 8 и 2* являются блуждающими,
то нам надо только установить, что
?/«8 1 U*mQ\ UnZ 1 ?, t/*w2* 1 ф при т, /г> О,
причем достаточно доказать эти соотношения для 20 и 2* вме-
вместо 2 и 2*. Для произвольных A, A'ef) имеем
{Un (U - Г) A, U*m (U* - Г) А') -
A, Г*Л')=0,
(Un(U-T)h, Ar) = (f/n+1A, A0-(f/wrA, Ar) =
= (гп+1а, к')-{тптк лО = о
и
(f/*w(f/*~r)A, ti\=(U*m+xh, h')-(U*mT*hy A0 =
= (Гт+1Л, h')-{Tmrh, A0 = O,
что и доказывает высказанное утверждение.
Обозначим через Я' ортогональную сумму в правой части A.4).
Применяя почленно оператор ?/, получаем
Как мы сейчас покажем,
A.7)
Из A.7) следует тогда, что U$' = $', т.е. $' является подпро-
подпространством пространства $, приводящим [/ и содержащим ф,
откуда в силу минимальности $/==$.
74 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
Для доказательства A.7) достаточно установить, что
е- что
-r)$®UQ = $®(U-T)$. A.8)
Это вытекает из того обстоятельства, что для элемента «ей
представимость в виде
и= h'+{U-T)h" (А', А"е=?>)
эквивалентна представимости в виде
u = Uh{ + U {U* - Г) А2 (й„ А2 e ?>).
Для доказательства достаточно положить
А, = ГА' + (/ - ГГ) А", А2 = А' - ГА",
и, обратно,
А7 = ГЙ! + (/ - ГГ*) А2, А/г — А, — Г*А2.
Теорема 1.1 полностью доказана.
Теорема 1.2. Для того чтобы
(а) М B) = R или (а*) М (Й*) = Л,
необходимо и достаточно, чтобы соответственно
(б) Тп-+О (л-»оо) «лг/ (б*) Гл~>0 (п->оо).
Таким образом, из (б) или (б*) вытекает, что U является дву-
двусторонним сдвигом кратности Ьт или Ьт* соответственно.
Доказательство. Если fte§, n=l> 2, ..., то
М B) э 2 I/"* (I/ - Г) Г*А =
fe0
= h-U~nTnh.
Если имеет место (б), то
А= lim(A~f/""wrwA)eM(8).
Таким образом, из (б) следует, что
?cAf(8), ?/я©с=а/|А1(8) = Л1(8) (/г = 0, ±1, ...)
и, значит,
ft (
Импликация (б*)=#>(а*) доказывается аналогично.
§ I. СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА УНИТАРНОЙ ДИЛАТАЦИИ 75
Докажем противоположные импликации. Предположим, что
имеет место (а). Тогда, в частности, для любого Аеф имеет
место ортогональное разложение
Л «2 ?/%. где /fee?, jg ||/, ||2 = || Л If,
— оо —оо
и, следовательно,
с»
Tnh = PzUnh = P$> 2 Un+klk. .
k*=— оо
В силу A.4) ф ортогонально к Um% при т^О, так что
и, значит,
Tnh->0 при /z->oo.
Импликация (а*)=Ф(б*) доказывается аналогично.
Теорема 1.2 в некоторых частных случаях допускает обра-
обращение. Так, например, имеет место
Предложение 1.3. Если дефектное число Ьт конечно и ми-
минимальная унитарная дилатация U оператора Т является дву-
двусторонним сдвигом кратности Ьг, то Тп-*О (/t-> оо). Точно
так же, если Ьг* < °° и U является двусторонним сдвигом крат-
кратности Ьт*, то Т*п->0 {п->оо).
Доказательство. Достаточно доказать первое утвер-
утверждение. Поскольку U является двусторонним сдвигом кратно-
кратности Ьг, то существует блуждающее относительно U подпро-
подпространство 2' пространства R, такое, что S = M(S/)» dim#' = t>r.
Поскольку также МB)с:$, dim 2 = Ьт <оо, то из предложе-
предложения 1.2.1 вытекает, что М B) = М B0 = $ и, значит, Тп->0
на основании теоремы 1.2.
Предложение 1.4. Для всякого сжатия Т в •§> и его мини-
минимальной унитарной дилатации U в R имеет место равенство
A.9)
§0 — максимальное подпространство в ф, на котором опе-
оператор Т унитарен {см. теорему 1.3.2). В частности, для вполне
неунитарного Т
A!B)V MB*) = SL A.10)
76 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИИ
Доказательство. Пусть вектор f ^$ ортогонален к М B)
и к М (8*). Тогда, в частности, f ортогонален к Un2 и к и*п<&*
при /г = 0, 1, ... и из A.4) вытекает, что fe?>. Из соотно-
соотношений f -L ?/*я8 (n^ 1) следуют равенства
= {ип-]!, h)-{Unft 77г) =
n~{f
Положив h = Tn~{f, получим
if-'ff-mp-o («=i, 2,...)
и, следовательно,
Из соотношений f J_ f/ttS* (n^l) аналогично получаем
Тем самым доказано, что fe#0
Обратно, пусть f e ф0. Тогда
и, следовательно, G^f е Ф для всех /г. Отсюда вытекает, что
?/ttf 1 8 ,f I t/~tt2 я потому f±M(8). Аналогично f±Af(g*).
Таким образом, f JL М(8) V Af (8*).
Равенство A.9) доказано. Равенство A.10) —его частный
случай, поскольку для вполне неунитарного сжатия Фо — ДО}*
§ 2. Структура пространства
минимальной изометрической дилатации.
Дилатация коммутантов
1. Заметим, что подпространства Af (8) и М(й*) приводят
оператор U\ следовательно, приводят U и подпространства
( B.1)
Назовем
B.2)
соответственно остаточной частью и дуально-остаточной частью
(или, короче, достаточной частью) оператора ?/. Операторы 7?
и Я, унитарны в Я и Я, соответственно. Мы займемся их изу-
изучением в следующем параграфе.
§ 2. СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ДИЛАТАЦИИ 77
Рассмотрим подпространство
Я+ = у?/я?(с:Я). B.3)
Оно инвариантно относительно U и содержит Ф как подпро-
подпространство, откуда следует, что
?/+ = ?/|Я+ B.4)
является минимальной изометрической дилатацией оператора Т
(см. теорему 1.4.1). Поскольку ниже речь идет о минимальной
изометрической дилатации оператора Г, мы будем всегда
предполагать, что оно получено из минимальной унитарной
дилатации U указанным способом.
Из очевидного соотношения
Unh = Tnh + {U-T) Tn~lh +U{U-T) Tn~2h +...
вытекает, что ft+ содержится в #©Af+(8). С другой стороны,
поскольку Ф с: R+ и
то §фМ+ (8) с:Л+. Тем самым доказано соотношение
#+ = ?®М+B). B.5)
Поскольку 8сЯ+, то безразлично, брать ли М+ (8) относи-
относительно ?/ или относительно f/+.
Сравнивая B.5) с A.4) и B.1), получаем
+ = я© Г© ?тя8'1« [йфм (8*)] е [ф ^"ЯИ
Полагая
8, = ШГ = f/(f/*-r)§ = (/ - ?/Г) §, % B.6)
можем написать
»+-8l©Af+(8,). B.7)
Поскольку 8* cz ф V С^§ с: Л, то безразлично, брать ли М+ (8J
относительно оператора U или относительно ?/+. В силу A.7)
имеем
Й*Ф^Ф = ФФ8. B.8)
Выведем из этого равенства, что
ЙП2. = {0}. B.9)
78 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
Именно, взяв ортогональные дополнения подпространств 2
и ^ в пространстве ф®8, равные в силу B.8) |> и U& соот-
соответственно, мы приведем B.9) к виду
фу ?/? = ?©8. B.10)
А это равенство уже очевидно ввиду соотношений
Напомним, что JR приводит U к унитарному оператору /?,
который мы назвали остаточной частью U. Поскольку 9?сЛ+,
то /?=f/+|sJt. Таким образом, разложение B.7) является не
чем иным, как разложением Вольда пространства &+ по отно-
отношению к изометрическому оператору ?/+. Следовательно,
2» = Я+е ?/+«+. Ю = Г) ?/+Я+= П V ?/*?. B.11)
Из теоремы 1.2 и определения B.1) пространства 9? выте-
вытекает, что Ш = {0} в том и только том случае, когда Т*п -> О
(/г->оо).
Разложение A.4) пространства $ показывает, что UnQ±
±U~mQ*=Uim+\ при пу т>0. Обозначая через Р8* орто-
проектор из 51 на AJ(8J(= А! (8*)), получаем
Р8*М+ (8) с М+ (8J. B.12)
Если сжатие Т вполне неунитарно, то в силу A.10)
Из B.1) следует тогда, что
Ш = (/-Р**)Л1(8). B.13)
Резюмируем полученные результаты:
Теорема 2.1. Пусть Т — сжатие в §, U — его минимальная
унитарная дилатация в $ и U+ — eao минимальная изомет-
изометрическая дилатация в Ф+ (cz S?). Тогда
еж. B.1)),
8) (^. B.5) и B.7)),
и 8, = (/-?/Г)ф
— подпространства в R+, блуждающие для U+ и для С/, а
ffi —подпространство в 5t+, приводящее ?/+ (w f/) /с унитарной
части R оператора ?/+. Кроме того,
«ПЙ. = {0} (сж. B.9)),
" Р?-М+ (8) с Л1+ BJ (еж. B.12)).
§ 2. СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ДИЛАТАЦИИ 79
Если оператор Т вполне неунитарен, то
3* = (/— Р8*) Af (8) {см. B.13)).
Подпространство Ш сводится к {0} в гож м только том случае,
когда Т*п->0 {п->оо).
2. Пусть Г— сжатие в пространстве ф, DF —изометрия в не-
некотором пространстве ©. В качестве первого приложения тео-
теоремы 2.1 (точнее, разложения B.5)) рассмотрим связь между
решениями X и Y операторных уравнений
TX = XW (a)
U+Y=YWt (б)
где X — ограниченный оператор из © в §, F —ограниченный
оператор из © в К+.
Заметим сперва, что Каждое решение Y уравнения (б) по-
порождает решение X уравнения (а) по формуле
X = P+Yt (в)
где Р+ — ортопроектор из &+ на &. Это следует непосредствен-
непосредственно из равенства ГР+= P+f/+(см. (I. 4.2)). Покажем, что таким
путем можно получить любое X. Иными словами, для каж-
каждого X существует такое F, что имеет место (в). При этом,
вообще говоря, Y определяется неоднозначно. Однако из (в)
следует, что всегда \\Х |К|| К||. Мы найдем такое F, для кото-
которого || Y || = IIX ||. В силу однородности достаточно рассмотреть
случай || X ||=1 (если X = О, то Г=О).
Таким образом, достаточно найти F, такое, что
11П<1. (г)
Из разложения B.5) вытекает, что общий вид оператора Г,
удовлетворяющего условию (в), дается формулой
FV I D _1_ ТТ D \ Т Т D I /О 1 Л\
== Л. ~\ ^0 i U +^1 "т" С/ -i-jD2 ~т~ • . . \«« 1 тг/
где все By (/ = 0, 1, ...) суть операторы из © в 2. Дополни-
Дополнительное условие (г) сводится к неравенству
(?е@). B.15)
Из B.14) вытекает, что
U+Y- YW = fU+X + 2 U%+lBJ-\ХW + S U%BnW) =
80 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
где
В силу (а) В_! = (U+ — Т)Х, так что В_{ отображает © в 2.
Для того чтобы Y удовлетворял уравнению (б), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы
BnW = Bn-x (/г = 0, 1, ...), где В., = ([/+-Г) *• B.16)
Подведем итоги. Общий вид оператора У из ® в Ж+, удов-
удовлетворяющего условиям (б), (в) и (г), дается формулой B.14),
где операторы Вп (из © в 2) связаны соотношениями B.15) и
B.16).
Последовательность {Вп} мы построим по индукции.
Предположим, что для некоторого N^0 построены опера-
операторы Вп (n<N), причем
x ( где B_l = (U+-T)X. B.16)„
Заметим, что при N = 0 эти соотношения выполняются: so(g) =
= II Xg ||2 <|| g ||2, поскольку || X ||=1, а условие B.16H отпадает.
Условие B.15)^ может быть записано в виде
1%-Х*Х- S В*пВп>0.
0<ft<iV
Положительный квадратный корень из оператора, стоящего
в левой части этого неравенства, обозначим через DN. Для
нахождения очередного оператора BN заметим сперва, что, как
следует из (а),
g\f
= \\Xgf-\\XWg\f. B.17)
В случае N^\ на основании B.16)# имеем
Из B.17) и B.15)^ следует тогда, что
sN (Wg) = sN (g) - II BN.{g |p <|| g |p -1
Поскольку || g || = || Wg ||, то
§ 2. СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ДИЛАТАЦИИ 81
С Другой стороны, ввиду соотношений || Xg IK || g || = || Wg ||
из B.17) вытекает, что
II5-,? II2 < II Wg ||2 -1| XWg ||2 = || D0Wg II2.
Таким образом, неравенство
\\BN^g\\<:\\DNWg\\2 (gs®) B.18)
справедливо при любом N^0. Поэтому существует такое сжа-
сжатие CN из DNW® в 2, что
B^-C^IP. B.19)
Оператор CN продолжается по непрерывности на ®l = DNW®.
Полагая его на ©0©! равным, например, нулю, мы получим
сжатие из © в 2. Возьмем
BN = CNDN. B.20)
Соотношение BNW = 5jv-i очевидно. Далее,
' 2 \\Bng\\\
т. е. выполняется B.15)дг+1.
В силу B.15)дг и B.16)^ для N = 0, 1, ..., построенные опе-
операторы Вп (п^О) удовлетворяют условиям B.15) и B.16).
Таким* образом, доказано
Предложение 2.2. Пусть Т —сжатие в ?, W — изометрия
в ©. Общее решение X уравнения (а) получается из общего ре-
решения Y уравнения (б) по формуле (в). Более того, для каждого X
можно выбрать такое F, что || Y \\ = \\ X ||.
3. Теперь легко установить более общий результат.
Теорема 2.3. Пусть Т и Т'— сжатия в гильбертовых про-
пространствах § и $' соответственно у U+ и U'+ — ux минимальные
изометрические дилатации в пространствах $+ и $'+. Для каж-
каждого ограниченного оператора X из $' в §>, такого, что
ТХ = XT', (a)
существует ограниченный оператор Y из $'+ в $+, такой, что
U+Y=YU'+, (б)
X = P+YW, (в)
imi. (г)
6 Зак, 517
82 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
Обратно, каждое ограниченное решение У уравнения (б), удо-
удовлетворяющее условию (в7), определяет по формуле (в) некото-
некоторое решение X уравнения (а).
Условие (в) и (в') в совокупности эквивалентны условию
Г=Г|?. (в")
Доказательство. Рассмотрим сначала ограниченный
оператор F из Sr+ в 5?+, удовлетворяющий условиям (б) и (в7),
и покажем, что оператор X, получаемый по формуле (в), удо-
удовлетворяет уравнению (а). Применяя соотношение (I. 4.2), по-
получаем
ТХ = TP+Y\ &' = P+U+Y| ф = P+YU'+1 & =
= р+ур;/г+1 &' + pj (i - p;) ?/; | &.
Поскольку Р^/7^|ф/ = Г/ по определению дилатации, а
P+Y{I — P'+)=O на основании (в7), отсюда вытекает (а).
Рассмотрим теперь произвольное ограниченное решение X
уравнения (а). Умножая (а) справа на Р'+ и используя равен-
равенство T'P'+ = P'+U'+ (см. A.4.2)), получаем
TXQ = X0U'+. где *0 =
Оператор Хо действует из &'+ в ?>. Применяя предложение 2.2
к случаю W = U'+, видим, что существует оператор У из $г+
в Я+, такой, что
Поскольку, очевидно, Х0\$' = Х и || ХоII = IIX ||, то У удовлетво-
удовлетворяет соотношениям (б), (в) и (г). Так как
то У удовлетворяет и (в7).
Эквивалентность условий (в) + (в7) и (в") легко устанавли-
устанавливается непосредственно.
Теорема доказана.
§ 3. Остаточная часть минимальной унитарной
дилатации. Квазиаффинитет и квазиподобие
1. Займемся изучением остаточной и достаточной частей
минимальной унитарной дилатации U оператора Т (см. равен-
равенства B.1) и B.2)). Обозначим через
Р*> ftt, ftu
§ 3. ОСТАТОЧНАЯ ЧАСТЬ. КВАЗИАФФИНИТЕТ И КВАЗИПОДОБИЕ 83
ортопроекторы в пространстве $ на подпространства ?>, 9* и 9t#
соответственно.
Предложение 3.1. Для всякого Ле§ выполняются условия
Я«Л— Hm [/"Л, Р»,А= lim С/""ЛГЛ/г, C.1)
//, следовательно,
1Рф || = lim || ГЯА ||, || Я«,А II = lim || ГА ||, C.2)
Л-»оо Л-^оо
= lim ГпГ*"/г, РфР^/г = lim Г"тпк. C.3)
Доказательство. Поскольку оператор U унитарен и
является унитарной дилатацией Г, то C.2) и C.3) вытекают
немедленно из C.1). Таким образом, достаточно доказать
соотношения C.1) или в силу симметрии какое-нибудь одно
из этих соотношений. Докажем, например, второе.
Поскольку ||гл+1/г||<||Г||||Гл/1||<||Гл/1|| (я>0), то числа
||ГЛЛ|| (/г = 0, 1, ...) образуют невозрастающую последователь-
последовательность; следовательно, существует lim || Tnh ||. Если 0 ^ m ^n, то
(U~nTnh, U~mTmh) = {Um~nTnh, Tmh) = {T"l~mTnh, Tmh) =
= (г*Гп-тГ"/г, h) = (rnTnh, h) = \Tnht2,
откуда
\u-nTnh-u-mTmh\\2 =
= lu-"Tnh\\2 + lU~mTmhf-2Re(U~nTnh, U~mTmh) =
= II Tnh ||2 +1| Tmh ||2 - 21| Tnh ||2 = || Tmh f -1| Tnh \\\
Поэтому из сходимости числовой последовательности || Tnh ||2
вытекает сильная сходимость последовательности U~nTnh в Я
(п—>-оо). Положим
k = lim U~nTnh
и покажем, что k = P^h> т. е.
(a) k±MB) и (б) A-feeAfB).
Из A.4) следует, что & 1 Um+n2 (tn + n^O), откуда
С/"""ГЛА 1 Umi при п > - т. Следовательно, fe ± f/m2 при любом.
целом т, что равносильно (а). Условие (б) вытекает из соот-
соотношения
h - U"nTnh =U-l(U-T)h + U2(U-T)Th+ ...
84 ГЛ. П. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
в силу которого
h - k = lim (h - U~nTnh) €= M (8).
Предложение 3.2. Если хотя бы одна точка внутри единич-
единичного круга не является собственным значением сжатия Г, то
Предложение 3.1 доказано.
бы одна точка внутри ед
венным значением сжатия
C.4)
Аналогичное утверждение верно для дуального случая.
Доказательство. Предположим, что C.4) не имеет
места, т. е. что k L Pm$ для некоторого k <= Й, k ф О, или,
что то же самое,
* JL АГ («*), k±$
для некоторого k e SR, k ф 0.
В силу A.4) имеем ?eAf+(8). Следовательно, существует
ортогональное разложение
i=Sn, где /„s8, S II/пII2 = 11 А: II2.
Поскольку k ф 0, то среди векторов /„ найдутся отличные от
нуля. Пусть /v —первый из них. Тогда
U~*-lk - U"% + 2 1/%+|1+1. C.5)
Из условия feeSR вытекает, 4ToU~v~lk = /?~^^ s SR = StQM (8*)
и, следовательно, U~v~lk J_ 8 . С другой стороны, t/^S ± 8*
при ц>0 в силу A.4). Поэтому в силу C.5) U~llv±%*, lv±V&\
Поскольку /ve8c=§08 = f;8*0f/§ (см. A.7)), то /vg[/§.
Следовательно, существует такое йе§, что lv—Uh. Поэтому
p$lv = p^f/Л = Th. Так как, с другой стороны, 8 1 ?, то P§/v = 0,
ГЛ = 0. Условие lv ф 0 влечет h ф 0, так что 0 является соб-
собственным значением Г.
Рассмотрим сжатие Та = (Т — al)(l — аТ)~\ где |а|<1. Опе-
Оператор (C/+)fl, аналогичным образом получаемый из операто-
оператора С/+, является минимальной изометрической дилатацией Та
(см. предложение 1.4.3). Но поскольку оператор S в каком-
либо пространстве унитарен в том и только том случае, когда
его преобразование Sa есть унитарный оператор, то макси-
максимальное подпространство пространства $+, в котором унитарен
оператор (f/+)fl, совпадает с максимальным подпространством
§ 3. ОСТАТОЧНАЯ ЧАСТЬ. КВАЗИАФФИНИТЕТ И КВАЗИПОДОБИЕ 85
пространства $+, в котором унитарен оператор t/+, т. е. с 3J.
Применяя полученный выше результат к Та вместо Г, полу-
получаем, что в случае нарушения условия C.4) число 0 является
собственным значением для Та и, следовательно, а является
собственным значением Г.
Итак, если условие C.4) не имеет места, то все точки вну-
внутри единичного круга являются собственными значениями Г,
что и требовалось доказать.
2. Введем следующие
Определения. 1) Квазиаффинитетом пространства ф{ в ф2
будем называть линейное непрерывное отображение X про-
пространства ${ в ?>2> для которого Х~х существует в широком
смысле 1) и имеет плотную в «?>2 область определения. *
2) Пусть Sx и 52~ линейные ограниченные операторы в про-
пространствах ${ и §2 соответственно. Будем говорить, что S{
является квазиаффинным преобразованием оператора S2, если
существует такой квазиаффинитет X из ${ в «?>2, что Sx =
= X'lS2X.
3) Два линейных ограниченных оператора называются ква-
квазиподобными, если каждый из них является квазиаффинным
преобразованием другого.
Предложение 3.3. I) Если X — квазиаффинитет фг в ?>2,
Y — квазиаффинитет §2 в §3» то YX — квазиаффинитет ${ в |>3-
2) Если X — квазиаффинитет ${ в <&2, то X* — квазиаффини-
тет $2 в ${. ,
3) Если X — квазиаффинитет $i в ф2, то \Х \ = (Х*ХJ — ква-
квазиаффинитет #! в §!, а отображение Х\Х\~1 продолжается по
непрерывности до унитарного отображения Vх пространства ${
на ©2-
Доказательство предоставляется читателю в качестве про-
простого упражнения.
Предложение 3.4. 1) Если Si — квазиаффинное преобразова-
преобразование 52, a S2 — квазиаффинное преобразование 53, то Si квази-
квазиаффинное преобразование S3.
2) Если S{ — квазиаффинное преобразование S2, то si — ква-
квазиаффинное преобразование S\*
3) Если Sx и S2 — унитарные соответственно в $х и §>2»
a S{ — квазиаффинное преобразование S2l то Sx и S2 унитарно
эквивалентны.
1) То есть не обязательно непрерывен и не обязательно определен
всюду в ©2« В случае если оператор Х~1 определен всюду и ограничен,
будем говорить, что Х~1 существует в узком смысле.
86 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЙ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
Доказательства. 1) и 2) вытекают непосредственно из
соответствующих утверждений предыдущего предложения. Для
доказательства 3) заметим прежде всего, что из условия (а)
XS{ = S2X (где X — квазиаффинитет ${ в ?>2) на основании уни-
унитарности S{ и 52 вытекает, что S*2X = S2lX = XST1 = XS*t от-
откуда F) XmS2 = SXX\ Из (а) и (б) следует, что | X |2 S{ = JTXSl =
= X*S2X = S{X*X = Sx | X |2; по индукции | X \2n Sx = S{ \ X \2n9 от-
откуда p(\X\2)S{ = S{p(\X\2) для любого многочлена р(х).
Заставляя р(х) пробегать последовательность, сходящуюся
к х2 равномерно на интервале 0^л:^||Х||2, получаем (в)
Из (а) и (в) вытекает, что
S2VX\X\ ^S2X = XSl = Vx\X\Sl = VxSl\X\9
откуда в силу плотности области значений оператора |X \
в пространстве ${ S2VX==VXS\. Поскольку оператор Vx уни-
унитарен (см. утверждение 3) предыдущего предложения), опера-
операторы Sx и S2 унитарно эквивалентны.
3. Вернемся к содержанию п. 1 и укажем еще одно след-
следствие соотношений C.1). Именно,
= PnJh (Ае=ф). C.6)
Действительно,
U* (lim Unrnh) = lim Un~xrnh = (lim Un~l Гп~{) Th
и
U (lim U~nTnh) = lim U~{n-X)Tnh = (lim jy-^-V1) Th.
Пользуясь этими соотношениями, докажем
Предложение 3.5. (а) Если ТкфО и ГЛйт*0 (при п->оо)
ни для какого Ле§, кфО, то
является квазиаффинитетом $ в $1 и
R*X = XT\ X*R = TX\ C.7)
так что R — квазиаффинное преобразование Т.
(б) Если Т*/гфО и Tnh Y>0 (при п-+оо) ни при каком
Ле§, НфО, то
является квазиаффинитетом Ф в SR% и
RJ-YT, C.8)
§ 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СЖАТИЙ. КАНОНИЧЕСКИЕ ТРИАНГУЛЯЦИИ 87
так что Т — квазиаффинное преобразование R*.
(в) Если ни Tnh, ни T*nh не стремятся к 0 ни при каком
Леф, h ф 0, то Т квазиподобно операторам R и /?*, которые
в этом случае унитарно эквивалентны.
Доказательство. При условиях пункта (а) утверждение
ХкфО при h ф 0 вытекает^из первого из соотношений C.2);
в силу предложения 3.2 X?> = SR, так что X является квази-
квазиаффинитетом ?> в 91; C.7) вытекает из первого из соотноше-
соотношений C.6). Случай (б) дуален к (а). В случае (в) выполняются
условия случаев (а) и (б), так что R является квазиаффинным
преобразованием Г, а Г —квазиаффинным преобразованием /?„.
В силу предложения 3.4 R есть квазиаффинное преобразова-
преобразование /?, и, следовательно, Я, унитарно эквивалентен R. Отсюда
следует, что Т — квазиаффинное преобразование R. Предложе-
Предложение доказано.
§ 4. Классификация сжатий. Канонические
матричные триангуляции сжатий
Предыдущие результаты мотивируют, по крайней мере ча-
частично, введение некоторых классов С. сжатий Г. Именно,
мы полагаем
Т^С0., если Tnh-+O для всякого /г,
ГеС1в, если Tnhy^0 ни для какого h ф 0;
ГеС.о, если T*nh-+Q для всякого h\
ГеСм, если T*nh-AQ ни для какого ЬфО.
Далее, полагаем
^ар = Co.* П С.р.
Покажем, что сжатия, принадлежащие этим классам, играют
важную роль при исследовании сжатий общего типа.
Напомним сначала, что каждому разложению
& = &ie&2e... е&р D.1)
гильбертова пространства § в ортогональную сумму подпро-
подпространств и каждому ограниченному оператору Т отвечает ма-
матрица [Т{!] (/,/ = 1, . .., р), где Тц-оператор из &; в &,,
а именно ТЦ = Р{Г\^1 {Pt — ортопроектор ? на §*). Очевидно,
что если Т — сжатие в §>, то Тц — сжатие из §>; в «?>t-. Если one'
ратор Ту кроме того, вполне неунитарен, то все операторы Tih
стоящие на диагонали, также вполне неунитарны. В самом
88
ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
деле, если в $t существует такое подпространство Ш Ф {0}, что
оператор ТН\Ш унитарен в Зй, то для всякого fe9W имеем
T{if = PtTf и || f || = || Titf || = || PtTf IK II 77 ||< II f l откуда следует,
что Tuf = Tf. Таким образом, Т совпадает с Ти на Ш и потому
Т\Ш является унитарным. Это противоречит предположению
о полной неунитарности 7\ следовательно, оператор Тц вполне
неунитарен.
Будем говорить, что разложение D.1) порождает триангуля-
триангуляцию (или наддиагонализацию) оператора Г, если Тц = О при
/>/. Это условие сводится к условию
T'fycue ... 0?у для /=1,2,..., р. D.2)
В этом случае подпространство ${ инвариантно относительно Г
(Г&!с:?>!) и матрицы операторов Тп (я=1, 2, ...) имеют над-
диагональную форму, причем (Тп)а = (Тн)п.
Теорема 4.1. Всякое сжатие Т в Ф обладает триангуляциями
вида
о. * 1 ГС.! * 1
c,.J « (a->U с.\
где на диагонали обозначен класс, куда входит соответствую-
соответствующий оператор (при этом предполагается, что нулевой оператор
в пространстве {0} принадлежит всем рассматриваемым клас-
классам). Каждая из этих триангуляции определяется однозначно.
Из существования триангуляции (а) и (а*) следует также суще-
существование триангуляции вида
(б)
Доказательство. Положим
#!«{*: /*€=&, rV*->0}. D.3)
Очевидно, §! — подпространство в ф, инвариантное относи-
относительно Г. Пусть ^^^QQi* Разложение -Ф = ф,®ф2 поро-
порождает триангуляцию
где
Здесь Р4 — ортопроектор на ^ (/ = 1, 2).
г
01
0
0
0
0
*
Coo
0
0
0
*
*
Си
0
0
* *
* *
Coo *
0 Clo
§ 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СЖАТИЙ. КАНОНИЧЕСКИЕ ТРИАНГУЛЯЦИИ 89
Поскольку Т*} = Тп\${, то Ti^C0. по определению подпро-
подпространства ?>!• Покажем, что Г2^С1в .
Используем для этой цели второе из соотношений C.1),
утверждающее, что
Qh= lim U"nTnh (As©), D.4)
rt-Юо
где для простоты оператор Рш# обозначен через Q. Из этого
соотношения следует, что для произвольного целого т ^ О
Qn = lim и 1 п =
П->оо
= lim {u~mU-nTnP2Tmh + U~{n+m)TnPlTmh) =
= i/"mlim U~"T"P2Tmh = U~mQP2Tmh,
поскольку lim Tnhx = 0 для hx = P{Tmh e ^^ Поэтому
Это неравенство показывает, что если для некоторого Ле§
выполняется условие lim P2Tmh = Q, то Q/i = 0. На основа-
нии C.2) НтГлЛ = 0 и, следовательно, Ag^, Поскольку
П->оо
Г^ = РгГт|§2, то T™h не может стремиться к 0 при т~>оо ни
для какого Ag§2, кфО. Таким образом, Т2^С{\. Мы полу-
получили триангуляцию типа (а) для оператора Г.
Докажем, что если
1
0
— какая-нибудь другая триангуляция типа (а) оператора Г, то
она совпадает с триангуляцией, полученной выше. Для этого
достаточно показать, что
#! = #;. D.5)
Если Ае§(, то Tnh = T[nh->Oi поскольку Т\^С^ и из опре-
определения D.3) подпространства ${ вытекает, что h^$x. Таким
образом,
Пусть теперь h e ${ Q $[. С одной стороны, Tnh -> 0, поскольку
/*€=#!. С другой стороны, P'^h = TfЛ, поскольку /i<=§>2
(Pg — ортопроектор из § на ЗД. Так к^к r^Cj., T'2nh-+0, то
Л = 0. Таким образом, ^©^ = {0}, чем и доказано D.5).
90 ГЛ. И. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
Мы доказали, что всякое сжатие обладает триангуляцией
типа (а), и притом единственной.
Если взять для сжатия Т* триангуляцию (а) и поменять
Г С1в О Л
местами V\ и <р2» то получим для Т* матрицу вида .
L * ^O'J
Переходя к сопряженным операторам, получим для Т матрицу
типа (а*). Таким образом, существование и единственность три-
триангуляции типа (а*) вытекают из соответствующих фактов для
триангуляции типа (а).
Заметим, что если ГеС0., то для произвольной триангу-
триангуляции [Тц] (Г/; = О при />/) имеем Ti{^C0. для любого /.
В самом деле, Тпц = Р{Тп | §, -> О (п->оо). В частности, если
-Г' Ф1-
триангуляция типа (а*), то
Т\ ^ Cq. П C.I — Coi, T2 ^ Cq* П С.о = Cq0.
С другой стороны, если Т^С{. и [Гц] — произвольная триангу-
триангуляция Г, то Гце'Сю поскольку Tuh = Tnh (йе§). В частности,
f Г, ¦!'
если Г = \ о —триангуляция типа (а*), то Т^С^ П См = Сп
и, разумеется, Т2&С.О.
Эти результаты могут быть выражены в следующей услов-
условной форме:
Ч о
Меняя порядок подпространств и переходя к сопряженным опе-
операторам, получаем из D.6) формулы
. '*-№ c*J-
.]- Чо с,,]-
Исходя из триангуляции типа (а) и пользуясь формулами D.б)
и D.7), получаем
гс0. * 1
[о C..J
'[Со,
L о
о
L о c.0J_
'[Со,
о
о \С°° * 1
[и [о c10JJ
Тем самым доказано существование триангуляции типа (б).
§ 5. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 91
В заключение напомним, что всякое сжатие Т класса С{\
квазиподЬбно унитарному оператору, а именно остаточной части
своей минимальной унитарной дилатации (см. предложение
3.5, (в)).
§ 5. Инвариантные подпространства и их
поведение по отношению к квазиподобиям
1. Прежде всего, напомним, что называется инвариантным
подпространством оператора, и дадим определение двух близ-
близких понятий.
Определения. Пусть Г —оператор в гильбертовом простран-
пространстве §, и 8-подпространство у.
а) 2 называется инвариантным относительно Г, если Г8 с= 8.
б) 8 называется ультраинвариантным относительно Г, если
оно инвариантно относительно любого оператора, перестановоч-
перестановочного с Г (и, в частности, инвариантно относительно Г).
в) 8 называется регулярно инвариантным относительно 7\
если Г8 = 8.
Из этих определений следует, что если {8а} есть семейство
подпространств, инвариантных или ультраинвариантных относи-
относительно Г, то подпространства
также соответственно инвариантны или ультраинвариантны
относительно Г.
Очевидно также, что для унитарного оператора U, дей-
действующего в пространстве &, подпространство 8 является регу-
регулярно инвариантным относительно U в том и только том слу-
случае, когда 8 приводит U. Другими словами, 8 регулярно
инвариантно относительно U тогда и только тогда, когда Pq
(ортопроектор на 8) коммутирует с U.
Докажем, что аналогично подпространство 8 ультраинва-
риантно относительно унитарного оператора U в том и только
том случае, когда Ps коммутирует с каждым оператором Л,
перестановочным с U.
В самом деле, если Л коммутирует с Pg, то Л2 = ЛРе§ =
= Р«Л§ с= Ре§ = 8. Таким образом, если Р% коммутирует с каж-
каждым оператором Л, перестановочным с U, то 2 ультраинва-
риантно относительно U'. Обратно, если 8 ультраинвариантно
относительно U, то АР% = PqAP& для всякого оператора Л,
перестановочного с U. Поскольку Л* также перестановочен с U
92 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
(из AU = UA следует U*A = U*AUU* = U*UAU* = AU\ A*U = UA*)t
то A*Ph = P«A*Pq. Поэтому
PzAP* = (PzA*PQ)* = (№)* = РеЛ.
Из приведенных выше замечаний вытекает, что если 8 ультра-
инвариантно для U, то то же можно сказать и о ft© 8. При
этом всякое 8, ультраинвариантное для унитарного оператора U\
регулярно инвариантно для U и, более того, G8 = 8.
После этих приготовлений докажем
Предложение 5.1. Пусть Т и U —операторы в простран-
пространствах ф и ft соответственно, причем оператор U унитарен, а Т
квазиподобен U. Каждому подпространству 8 cz $, ультраинва-
ультраинвариантному относительно U, можно сопоставить подпространство
^(8)cz§, регулярно ультраинвариантное1) относительно Г, так,
что
" б) 7()
в) если Й с= 8', то qB)<=q B');
г) если 8 Ф 2', то q(%)?=q (8');
д) если Пйа = {0}, то П<7(8а) = {0};
е) если V 2а = 8, го V 9 (^а) = q (8). .
а а
Доказательство. По предположению существуют квази-
квазиаффинитет X из $ в ф и квазиаффинитет У из ф в ft, для
которых
TX = XU, UY=YT. F.1)
Пусть 8 — подпространство в ft, ультраинвариантное относи-
относительно U. Положим
a(8) = Z8, 6B) = {A:Ag§, Уйе8}. E.2)
Очевидно, a (8) и 6(8) являются подпространствами в §.
Пусть Л —оператор в ф, коммутирующий с Т. Из E.1) выте-
вытекает, что
U (YAX) = (UY) (АХ) = (YT) (АХ) = Y (ТА) X=Y (AT) X =
= (YA)(TX) = (YA)(XU) = (YAX)U. E.3)
Поскольку 8 ультраинвариантно относительно U, то
в силу E.3)
)Zzu. E.4)
!) То есть одновременно ультраинвариантно* и регулярно инвариантное. —
Прим. ред.
§ 5. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ' 93
На основании E.2) из E.4) вытекает, что
Аа (8) cz 6B). E.5)
Положим
VAa(t), ' E.6)
А
где А пробегает множество всех операторов, перестановочных
с Г. Поскольку в этом множестве имеется тождественный опе-
оператор, то aB)cz<7B), и ввиду E.5) ^B)cz6B), так что
. E.7)
Очевидно (см. E.6)), что ^B) ультраинвариантно относи-
относительно Г. Более того, это подпространство регулярно инва-
инвариантно. В самом деле, поскольку ?/2 = 2, то
Та B) = Т Z2 = ТХЪ = X ?/8 = Z8 = а B),
и если А перестановочно с Г, то
ТАа B) = AT а B) = ЖаЩ = Аа (8),
откуда
ТЩ = V ТАаB) = V АаЩ =VAa(Z) = qB).
А А А
Подпространство 2 можно восстановить по ^B) с помощью
формулы
Й. E.8)
Действительно, в силу E.2) и E.7)
FZ2 = Ya B) с Yq (8) с Г6 B) с: 8. E.9)
С другой сторона, поскольку YX коммутирует с U (см. E.3)
для Л = /), то YX коммутирует с Р& и, следовательно,
= YXP& = PsF JS = PsFZS = Р«Л = 8. E.10)
Из E.9) и E.10) вытекает E.8).
Осталось установить свойства а) —е).
а) Если 2 = {0}, то 6(8) = {0}, поскольку Yh = 0 влечет Л = 0.
Поэтому ввиду E.7) д (8) = {0}.
б) Если 2 = $, то а E?) = ZS = Ф и, согласно E.7),, q (Ж) = Ф.
в) Если 2 с 8х, то а (8) cz а (8х) и, следовательно, q(%)ciq (8х).
г) Это свойство вытекает из E.8).
Д) ЕСЛИ П2а = {0}> ТО )
94 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
е) Заметим сперва, что если каждое 8а ультраинвариантно
относительно ?/, точ8 = \/8а также обладает этим свойством.
a
Далее, в силу E.6) и E.2)
V
А, а
Предложение* 5.1 доказано.
Отметим, что если ? (а)— спектральная мера унитарного оле-
ратора U (определенная на борелевых подмножествах единич-
единичной окружности), то операторы Е(а) перестановочны с U,
а также с каждым оператором; перестановочным с U (см. [Лек-
[Лекции], п. 109), и, следовательно, подпространства
ультраинвариантны относительно U.
Таким образом, получаем
Следствие 5.2. Если оператор Т в комплексном гильберто-
гильбертовом пространстве квазиподобен некоторому унитарному опера-
оператору U, то Т имеет по крайней мере столько нетривиальных
регулярно ультраинвариантных подпространств, сколько значе-
значений, отличных от О и /, принимает спектральная мера опера-
оператора U.
2. Полученные результаты применимы очевидным образом
к сжатиям класса Си, поскольку, как было отмечено в конце
§ 4, такие сжатия квазиподобны унитарным операторам. В дей-
действительности этот факт справедлив не тольйо для сжатий.
Именно, имеет место
Предложение 5.3. Пусть Т — оператор в $ с равномерно
ограниченными степенями (т. е. \\Тп\\^М, /1=1, 2, ...), такой,
что Tnh и T*nk не стремятся к 0 ни для каких НфО, k Ф 0.
Тогда Т квазиподобен унитарному оператору.
Доказательство. Заметим прежде всего, что при сде-
сделанных предположениях
inf || Tnh ||«|i (A) > 0 для всех А ф 0.
/1>0
§ 5. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 95
В самом деле, в противном случае для всякого е>0 суще-
существовало бы no = no(h, е), такое, что ||гп°Л||<е/М и, следова-
следовательно,
1 Tnh 1 = 1 тп-п°ТпЪ || < М || Tn°h || < е
при п^п0, т. е. Tnh->0, что противоречит условию.
Воспользуемся теперь понятием обобщенного предела по
Банаху1). Так называют линейный функционал L{cn}t опре-
определенный на пространстве ограниченных числовых последова-
последовательностей {сп}п>0 и обладающий следующими свойствами:
, если сп^0 (/i = 0, 1, ...,); L{1}=1; L{cn+{} = L{cn}.
Для й, feG§ положим
{hy k) = L{(Tnhy fnk)}.
Это — билинейная форма на ?>, причем
(А, A) = L {|| Тпh ||
и
Отсюда следует, что существует такой самосопряженный опе-
оператор Л в ф, что
(A, ft) = (Л/г, ft) (Л, ft€= ?), 0<(ЛА, А)< М2|| A If (Ле§;й^ 0),
E.11)
(ЛГА, JTft) = (ЛА, ft) (A, ft е= §). E.12)
В силу E.11) ЛА Ф 0 при А =7^= 0. Таким образом, Л суще-
существует (по крайней мере в широком смысле). Полагая Z== Л2 ,
мы получаем квазиаффинитет § в §. Согласно E.12), для лю-
любого йе§ имеем
|| XTh |р = (*2ГА, Th) = (ATК Th) = (ЛА, А) -1| Xh f.
В частности, llzrZ^&llHI&ll для элементов k из области
определения Х~\ Поскольку эта область плотна в §, то опе-
оператор ХТХ~{ продолжается по непрерывности до изометрии U
в ф, такой, что
XT^UX. E.13)
1) См., например, Данфорд и Шварц [1], стр. 86, или И о с и д а [1],
стр. 150—151. — Прим. ред.
96 ГЛ. И. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
Из условий теоремы вытекает, что Th ф О, T*h ф О при h ф 0.
Поэтому Т — квазиаффинитет в ?>; Г?> = §. На основании E.13)
т. е. изометрия U является в действительности унитарным
оператором.
Проведя аналогичные рассуждения для Т* вместо Г, получим
квазиаффинитет Y из § в § и унитарный оператор V в §,
такие, что УТ*«=УТ, откуда
E.14)
где Z= F* — квазиаффинитет из § в §, № = F* — унитарный
оператор в §.
Завершается доказательство так же, как в случае предло-
предложения 3.5, (в). Из-E.13) и E.14) вытекает, что W является квази-
квазиаффинным преобразованием оператора U, так что в силу
предложения 3.4 операторы U и W унитарно эквивалентны.
Следовательно, согласно E.13) и E.14), Т и U квазиподобны.
Таким образом, доказанные в предыдущем пункте резуль-
результаты, касающиеся существования ультраинвариантных подпро-
подпространств, переносятся на операторы, фигурирующие в предложе-
предложении 5.3. Бюлее того, справедлива
Теорема 5.4. Пусть Т — оператор с равномерно ограниченными
степенями в комплексном гильбертовом пространстве ф размер-
размерности > 1, причем ни Тп, ни Т* не стремятся сильно к О при
/г->оо. Тогда либо Т = с1, где |с|=1, либо существует нетри-
нетривиальное ультраинвариантное относительно Т подпространство.
Доказательство. Мы рассмотрим отдельно три случая.
Случай 1. Существует такой вектор к0ф0, A0g§, что
Г7г0->0. Полагая
2-{/г: fte§, ГА->О},
получаем ультраинвариантное относительно Т подпространство,
причем %ф$ (в противном случае Тп->0). Поскольку йое8,
то 8 Ф {0}.
Случай 2. Существует такой вектор /го?=О, Aog§, что
T*nh0->Q. Полагая
получаем требуемое подпространство 8.
Случай 3. Ни Tnh, ни T*nk не стремятся к нулю ни при
каких Н,фО, кфО. В силу предложения 5.3 Т квазиподобен
§ 6. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ §7
унитарному оператору (/ в §. Поскольку dim§>l, то спект-
спектральная мера U содержит проекторы Е (о)> отличные от О и /,
за исключением случая, когда U = cl$ (|c|=l) (т. е. случая,
когда Т = с1$)- Поэтому если Т не имеет вида с/#, то, согласно
следствию 5.2, существует нетривиальное подпространство в §>
ультраинвариантное относительно Г, что и требовалось доказать.
§ 6. Спектральные соотношения
1. Напомним, что двусторонний сдвиг не имеет отличных
от нуля инвариантных векторов (см. § I. 2).
Рассмотрим какое-нибудь сжатие Г в пространстве «& и его
минимальную унитарную дилатацию U в пространстве $. Пусть 2
и 2* — соответствующие блуждающие подпространства, опреде-
определяемые равенствами A.2). Пусть, далее, / — инвариантный отно-
относительно U вектор пространства Я. Поскольку М(%) и М.B*)
приводят ?/, то ортогональные проекции f и f" вектора / на эти
подпространства также инвариантны относительно U. Так как
U |МB) и U \М(8*) суть двусторонние сдвиги, то f = 0, f" = О
и, следовательно, / ± М B), f_LAf(8*). Из A.4) вытекает тогда,
что f г Ф, откуда Г/ = P$Uf «f.
Обратно, если Th = h при Ле§, то Uh*=h, поскольку
|| С/Л — ЛII2 = || Uh ||2 +1| h ||2 - 2 Re (Uh, h) =
= 2||/i||2-2Re(r/z, h)~2Re(h-Th, A)<2|| А-ГАЦ-II All- F.1)
(Это справедливо для любой изометрии ?/, такой, что Т = пр ?/.)
Итак, мы доказали, что Т и U имеют одни и те же инва-
инвариантные векторы. Применив этот результат к оператору сТ
вместо Т (где |с|=1) и учтя, что минимальной унитарной
дилатацией оператора сТ является cU, получим
Предложение 6.1. Пусть Т — сжатие, U — его минимальная
унитарная дилатация. Всякое собственное значение операто-
оператора Ту равное по модулю 1, является собственным значением
для U, и наоборот. Соответствующие собственные векторы одни
и те же для Т и для U.
Пусть теперь с —такое число, что оператор (T — cI)~l суще-
существует в узком смысле (т. е. определен всюду на Ф и ограничен).
Пусть k — элемент приводящего U подпространства SR, вве-
введенного в § 2, и R = U |*Л — остаточная часть U. Поскольку
п>0
7 Зак. 517
98 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
(см. B.11) и B.5)), то вектор k допускает для всякого п^О
представление
k-Unhn+ S Umlm%
где Unhn — ортогональная проекция вектора k на Un$, Umlm —
ортогональная проекция k на Um&. Имеем
откуда
I? umij= Sii?/m/jp-»o (/i->oo)
\\rH—n || т—п
и, следовательно,
k = lim Unhn.
rt-»°o
Отсюда
|| (R - ch) k || = || {U - cl) k || = lim || (U - cl) Unhn || =
= lim || Un (U - cl) hn || = lim || (U - cl) hn || > lim || Рф (U - cl) hn || =
= lim || (Г - cl)hn Ц> С lim|| Л„ ||= С lj
где мы положили C*=\(T — cI) \\ . Поскольку оператор R уни-
унитарен, то (/? — с/да) существует в узком смысле и
Итак, доказано
Предложение 6.2. Если число с таково, что оператор (Т — cl)~x
существует в узком смысле, то (R — cfa)~l также существует
в узком смысле и
{Здесь R — остаточная часть минимальной унитарной дилата-
ции оператора Т.)
Если оператор Т неунитарен, то по крайней мере одно
из блуждающих подпространств 2, 8* отлично от .{0} и, следо-
следовательно, существует отличное от {0} подпространство в Ж,
приводящее U к двустороннему сдвигу. Иными словами, U со-
содержит двусторонний сдвиг.
Рассмотрим теперь вместо всего пространства $ его под-
подпространства
М(А)= V Unh9 M+(h)= V Unh, M-(h)= V U~nh, F.2)
n=-oo n=Q n=Q
§ 6. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 99
порожденные вектором Ag§, кФО. Предположим, что М+ (А)
и M-(h) приводят [/; тогда М+(А)ПМ_(А) также приводит U.
Поскольку М+(А) содержится в $+ = §©?© ?/2® ... (см. B.5))
и аналогично М_(А) с $_ = ффй'©!/"^*© ..., то М+(А)П
П М- (A) cz $+ П Л- = Ф. С другой стороны, Л4+ (А) П ЛГ_ (А) со-
содержит элемент А. Таким образом, в § существует подпростран-
подпространство, приводящее U и содержащее А. Поскольку Г = пр С/,
то Т совпадает с U на этом подпространстве и, следовательно,
Л принадлежит подпространству §0 пространства §, в котором
сжатие Т является унитарным.
Если Т вполне неунитарен, этот случай невозможен. Сле-
Следовательно, по крайней мере одно из подпространств М+(А)©
QUM+(h), M_(AHf/"IM_(A) отлично от {0}. Итак, >в M(h)
существует подпространство Ф{0}, блуждающее относительно U.
Иными словами, часть U в M(h) содержит двусторонний сдвиг.
В итоге получаем
Предложение 6.3. Для всякого неунитарного сжатия Т
его минимальная унитарная дилатация U всегда содержит
двусторонний сдвиг. Если оператор Т вполне неунитарен, то
сужение U на М(И) содержит двусторонний сдвиг, каково бы
ни было А е ?>, А Ф 0.
2. Вышеприведенные результаты справедливы как для веще-
вещественных гильбертовых пространств, так и для комплексных.
Для комплексных пространств эти результаты могут быть
дополнены следующим образом.
В комплексном пространстве каждый унитарный оператор
обладает спектральным представлением
где {Е}} @ <^ % ^ 2л) — спектральное семейство оператора U.
Пусть Е(а) — соответствующая спектральная мера, определен-
определенная на борелевых подмножествах единичной окружности
{ ||l}
Е((е<\ е^)) = Е%г-Ек @<А-,<%2<2л).
Заметим, что если подпространство 91 является блуждающим
для U, то для всякого а е 21
2n , 0
\a\f (n = 0).
100 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
В силу теоремы единственности для рядов Фурье — Стильтьеса
отсюда вытекает, что
\\а\?
|| Е (a) a IP - (Е (а) а,а) = т (а) \\ а |р, F.3)
где т (а) — нормированная мера Лебега на С. В частности,
если т(о) = 0, то Е(о)а = 0 и (поскольку Е(а) коммутирует
с U) E(o)Una = 0 для всех п. Таким образом, если m(cr) = 0,
E()f = 0 б /М(#)
) ()
то E(o)f = 0 для любого
Пусть Т — вполне неунитарное сжатие и f/ —его минималь-
минимальная унитарная дилатация со спектральным семейством {?j
и спектральной мерой Е (о). Из предыдущих рассуждений
вытекает, что m (о) = 0 влечет Е (о) f = 0 для всех |еМ(8)
и всех fEM B*) и, следовательно, для всех f ^ М(&)\/ М B*) = &.
Это означает, что ш(о) = 0 влечет ?(сг)=О.
Обратно, если Е(о)=0, то m(cr) = 0. Достаточно даже
предположить, что E(a)h = 0 для некоторого Ае§, /гфО.
В самом деле, из равенства E(a)h = 0 следует, что E(a)f = 0
оо
для всех fe V Unh = M(h) и, в частности, для всякого блу-
— оо
ждающего вектора а Ф 0 в М(/г), существование которого
доказано в предложении 6.3. Поэтому из F.3) вытекает, что
m (а) = 0.
Итак доказана
Теорема 6.4. Если Т — вполне неунитарное сжатие в про-
пространстве ф, то спектральная мера Е(о) оператора U эквива-
эквивалентна мере Лебега m (а), т. е. всякое множество меры нуль
относительно одной из этих мер имеет меру нуль и относи-
относительно другой. Кроме того, всякая скалярная мера
\ih(а) = (Е(а)К h) (где АефД^О) F.4)
также эквивалентна мере Лебега.
Тот факт, что мера щС0) абсолютно непрерывна относительно
меры Лебега, можно выразить еще так: неубывающая функция
[Exh, h) является интегралом от своей производной
fA(A,)—А(ЕХА, h\
существующей почти всюду- Этот результат можно дополнить.
Предложение 6.5. В условиях предыдущего предложения
функция Infл(Я) принадлежит L@, 2я) для любого ft§ НО
§ 6. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 101
Доказательство. Мы используем следующую теорему
Сегё (см. Гофман [1], стр. 76). Пусть f(X) — некоторая веще-
вещественная неотрицательная функция, принадлежащая L@, 2я).
Положим
2я
где р пробегает класс Ло многочленов р (г), для которых р @) = 0.
Тогда
2я
5— Г In/(X)dX, если In f(X)^L@, 2д),
0
0, если In f (X) ф. L @, 2я).
В силу этой теоремы наше утверждение сводится к неравен-
неравенству d (fh) > 0 для любого йеф, 1гф0.
Допустим противное, т. е. d (fh) = 0. Поскольку
2я 2я
то условие d(fh) = Q означает, что вектор h может быть аппро-
аппроксимирован с любой степенью точности векторами вида p(U)h,
оо
где р е Ло. Следовательно, h содержится в V Unh = UM+ (k).
Отсюда вытекает, что UM + (А) = М + (А), т. е. что М+ (А) приво-
приводит U. С другой стороны,
2я 2Я
J 11 - р {е*) Рd (EKh, h) = J 11 - p~ (e-») P d(?^A, A) =
где
p~(z) = p(z)<=A0.
oo
Предположение d(fh) = 0 приводит к соотношению AgV U~nh
= U~lM-{h)9 откуда г/~!М_ (А) = Л^ (А), 1Ш. (A) = M_ (А), т. е.
iW_ (А) также приводит U. Но как было установлено в процессе
доказательства предложения 6.3, для вполне неунитарного Т
и h Ф 0, подпространства М+ (h) и М_ (А) не могут приводить U
одновременно. Итак, предположение d (fh) = 0 приводит к про-
противоречию.
102 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
Следовательно, d(fh)>0 и In fh (X) e L @, 2jx).
Следствие 6.6. Для всякого неунитарного сжатия Т спектр
его минимальной унитарной дилатации покрывает всю единич-
единичную окружность С.
Доказательство. Пусть Г(о) — вполне неунитарная часть Г,
не являющаяся по предположению тривиальной. Из теоремы 6.4
следует, что спектр минимальной унитарной дилатации (/@)
оператора Г@) покрывает С. Поскольку а (?/) =э а (t/@)), то
o{U) = C.
В заключение настоящего параграфу докажем
Предложение 6.7. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие.
Если пересечение его спектра с единичной окружностью имеет
меру 0, то $ = М (8) = М (8*)' иу следовательно, Т принадлежит
классу Соо.
Доказательство. Рассмотрим разложение $ = М(8*HSR
(см. § 2) и соответствующие разложения оператора U и его
спектральной меры
В силу предложения 6.2 спектр oR оператора R содержится
в спектре Г. Поскольку спектр R сосредоточен на С, то m (aR) = 0.
Спектральная мера U абсолютно непрерывна относительно меры
Лебега (см. теорему 6.4), следовательно, Eu(oR)^O, ER(oR)*=
= Еи (oR)\$t= О. Поскольку, с другой стороны, ER (oR) = 1щу то
fft = {0}, $ = М (8*). Применяя аналогичные рассуждения к Т\
получаем, что $ = М(8). Из предложения 1.2 следует поэтому,
что Т е Соо. Теорема доказана.
§ 7. Спектральные кратности
1. Пусть $ —гильбертово пространство, вещественное или
комплексное, и U — унитарный оператор в нем. Для произволь-
произвольного непустого множества © с: ^ положим
Ясно, что iW(S) является подпространством, приводящим U.
Ортопроектор из $ на М(®), обозначаемый далее через Р®,
коммутирует с U.
Эти обозначения согласуются с обозначениями, употребляв-
употреблявшимися в том частном случае, когда © — блуждающее относи-
относительно U подпространство. Если © состоит из одного элемента
fes$, то мы будем писать M(fe), Pk, вместо М(о), P®t
7. СПЕКТРАЛЬНЫЕ КРАТНОСТИ
Поскольку Ps коммутирует с U, то
. (/ - Ps) М (©') = М ((/ - Ps)@')
для произвольных ©, ©'.
Пусть ©^©^©г. Тогда М(©) = М(<&>х) V М(©2) и, следо-
следовательно,
М (©) = М (®,) © (/ - Р®0 Af (®) = М (®2) © Af ((/ - PSl) ©).
Итак,
М (®! U ®2) - А* (®i) © М (®0, где ®2 = (/ - Р®1) ®2 G.1)
(мы использовали тот факт, что (Blcz M (©^ и, следовательно,
(р^)@ {0})
(I {})
Для всякого © ф {0} можно выбрать максимальную систему 2
отличных от нуля элементов из М (®), так, чтобы M(k) I M (k')
для fe, fc'eS, кфкг (это легко следует из леммы Цорна).
Имеем
© M(ft). G.2)
В самом деле, допустив противное, мы получим, что суще-
существует элемент k* & М (©), fe* Ф 0, такой, что k* L M (k) для
всякого feeS. Следовательно, Unk* I UnM{k) = M(k) для лю-
любого целого п и поэтому M(k*) A. M(k). Таким образом, си-
систему 2 можно пополнить элементом k*y что противоречит ее
максимальности.
Лемма 7.1. Пусть © — подпространство размерности d Q^ 1)
пространства St Разложение G.2) может быть выбрано таким
образом, чтобы число членов в правой части не превосходило d.
Доказательство. Если d бесконечно (счетно или не-
несчетно), то утверждение леммы выполняется автоматически.
В самом деле,
и, следовательно, d = dimiW(©). С другой стороны, поскольку
dimM(fe)^l (ftsS), то число слагаемых в правой части ра-
равенства G.2) не может превышать dimAf(®). В случае конеч-
конечногоd применим индукцию. Для d= 1 утверждение тривиально.
Предположим, что оно верно для всех d, меньших некоторого
целого N (^ 2), и докажем его справедливость для d = N. Пусть
© — подпространство размерности N в ft. Выберем в 6 элемент
к0Ф0 и обозначим через ©о подпространство в ©, состоящее
из элементов, ортогональных к k0. В силу G.1)
М (в) = М ({k0} U ©о) = М (*о) © М (©о), G.3)
104 ГЛ. II. ИССЛЕДОЁАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
где ©о = (/ - Pk*) ©о- Поскольку dim <50 = N - 1, то dim ®о < N - 1.
По предположению индукции существует разложение
G.4)
где r^N— 1. Из G.3) и G.4) вытекает, что
причем число слагаемых в правой части равно г + 1 < N.
Лемма доказана.
2. Рассмотрим теперь случай, когда U является минималь-
минимальной унитарной дилатацией некоторого вполне неунитарного
сжатия Г. Согласно A.10),
St = М B) V М (8*) = М (8 U 8*), G.5)
где 8 и 8* — блуждающие подпространства для U, определяемые
равенствами A.2). В силу G.2) имеет место разложение
«=M(8)©M(S), где <S = (/-P*)S\
Заметим, что dim8 = br, dim® < dim 8* = br*.
Выберем в 8 полную ортонормированную систему Е' = {/}.
Тогда
М(8)= 0 МA),
/€3 2'
где число слагаемых равно Ьт. Заметим, что векторы /g8
являются блуждающими для U в том смысле, что Unl _L Uml
при пф m. С другой стороны, в силу леммы существует раз-
разложение
= 0 M(k\
fel"
где число членов не превосходит Ьт*. В результате получаем
разложение
51= ®М(а) B = 2'U2"),
ае=2
где общее число членов не превышает br + br* и где по крайней
мере в Ьт членах вектор а является блуждающим для U.
Поскольку G.5) симметрично относительно 8 и 8*, все рас-
рассуждения можно повторить, поменяв ролями 8 и 8\ Вводя
обозначение
приходим к следующему предложению.
§ 7. СПЕКТРАЛЬНЫЕ КРАТНОСТИ Ю5
Предложение 7.2. Если U — минимальная унитарная дила-
тация в пространстве & вполне неунитарного сжатия Т9 то суще-
существует разложение
(аа) (аае= Ж, ааФ0), G.6)
где число членов не превосходит Ьт + Ьт* и где по крайней мере
в bmax членах вектор аа является блуждающим для U.
3. В оставшейся части этого параграфа пространство ф;
в котором действует вполне неунитарное сжатие Г, и, следо-
следовательно, пространство SC, в котором действует унитарная дила-
тация U оператора Г, предполагаются комплексными.
Пусть {?;Jo<л<2я~"спектральное семейство U. По теореме 6.4
Еь есть абсолютно непрерывная функция от Я. Для произволь-
произвольного asS и произвольных целых тип имеем
(ritn ттп \ С i (m~n)hi / г-, \ Г i lm—n) К
[U a, U а) =* \ е а (Ека, а)= \ е р
у J
6 о
где
Отсюда следует, что для любой конечной линейной комбинации
элементов Una (n = 0, ±lr ±2, ...) справедливо равенство
1 п 1 0 л
Поэтому
[2пр {X)]
2
есть изометрическое отображение линеала, плотного в М(а), на
некоторый линеал Ш в L2(Q), где
а рассматриваемая мера есть нормированная мера Лебега -^-.
Легко доказать, что Ш плотно в L2(Q). Следовательно, упомя-
упомянутое отображение продолжается по непрерывности до унитар-
унитарного отображения Ф множества М(а) на L2(Q).
Заметим, что если вектор а (фО) является блуждающим
для ?/, то в силу F.3) р (Я) — -^|| а ||2, так что в этом случае
Q - @, 2л).
106 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
Заметим еще, что унитарное отображение Ф переводит опе-
оператор U\M{a) в оператор Ux (Q) в L2(Q), определяемый ра-
равенством
т. е. в оператор умножения на ва.
Употребляя значок ~ для обозначения унитарной эквива-
эквивалентности операторов, получаем из предложения 7.2 следующее
Предложение 7.3. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие
в комплексном гильбертовом пространстве §. Если U — мини-
минимальная унитарная дилатация Г, то
U~@Ux(Qa), G.7)
а
где Qa — измеримые подмножества интервала @, 2я), из которых
по крайней мере bmax множеств совпадают со всем интервалом
@, 2зт) (с точностью до множеств меры 0), и общее число сла-
слагаемых в правой части не превосходит Ът + Ът*»
4. Из предыдущих предложений вытекает почти непосред-
непосредственно
Теорема 7.4, Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в ком-
комплексном пространстве Ф, U — его минимальная унитарная дила-
дилатация в Ж.
а) Если bmax = oo, то U является двусторонним сдвигом крат-
кратности bmax. To же справедливо, если dim§<oo. Если dim§> Ко,
то bmax всегда бесконечно, а именно bmax = dim «?>.
б) Существует унитарная дилатация U оператора Т (необя-
(необязательно минимальная), являющаяся двусторонним сдвигом крат-
кратности ^ Ьт + Ът*.
Доказательство. Случай dim ф < оо исследуется просто.
Поскольку оператор Т вполне неунитарен, то его спектр лежит
внутри единичного круга, откуда слеХует, что Тп->0, Т*п->0
при п->оо. Поэтому в силу предложения 1.2 U является дву-
двусторонним сдвигом кратности, равной одновременно Ьт и Ът*
(так что в этом случае bmax « Ът •=« Ът*).
В общем случае
bmax < dim § < dim $ < dim M (Й) + dim M (8*) =
Значит, если dim§>K0> то Kobmax>^o и> следовательно,
bmax> Ко, bmax=Kobmax, tw=dimf.
^ § 7. СПЕКТРАЛЬНЫЕ КРАТНОСТИ 1Q?
Для завершения доказательства утверждения а) остается
показать, что в случае бесконечного Ь,пах оператор U является
двусторонним сдвигом кратности bmax.
Мы будем исходить из соотношения G.7). Разобьем индексы а
в этой сумме на два подмножества А и В по тому признаку,
совпадает ли Qa с интервалом @, 2я) (с точностью до мно-
множеств меры 0) либо нет. Для кардинальных чисел | А [ и | В |
множеств А и В имеем
*W <I А |< Ьт + V <2Ьтах, | В |< Ьт + V <2Ьтах.
Поскольку Ьтах по предположению бесконечно, то bmax = 2bmax —
= Kobmax и, следовательно,
|A| = bmax=Kobmax>KolBl> т.е. |А|=ко|В| + г, G.8)
где г — кардинальное число ^ 0.
Из этого соотношения между кардинальными числами вы-
вытекает, что можно так перегруппировать слагаемые в сумме G.7),
что каждому члену с индексом ре В будет отвечать Ко чле-
членов с индексами аеА, Таким образом,
U~ 0 [?/х(ОвH?/х(О, 2я)©?/х@,
рев р
¦ ©Г © Ux@,2n)]. G.9)
\_г членов J
Используем теперь очевидное соотношение
G.10)
справедливое для любого измеримого подмножества й интер-
интервала @, 2я) и для его дополнения Q' относительно этого интер-
интервала. В силу этого соотношения
Ux (Qp) ф Ux @, 2я) ф Ux @, 2я) ф ... ~ Ux
Отсюда на основании G.9) вытекает, что оператор U унитарно
эквивалентен ортогональной сумме Kol^l + r==l^l== ^max экзем-
экземпляров операторов Ux @, 2л) (см. G.8)). Очевидно, что Ux @, 2я)
являетсй простым (т. е. кратности 1) двусторонним сдвигом,
порождающее блуждающее подпространство которого состоит
из постоянных функций. Поэтому рассматриваемая ортогональ-
ортогональная сумма есть двусторонний сдвиг кратности bmax. Поскольку
свойство оператора быть двусторонним сдвигом данной крат-
кратности инвариантно относительно унитарной эквивалентности,
108 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
то U является двусторонним сдвигом кратности Ьтах. Утвер-
Утверждение а) доказано.
Утверждение б) вытекает немедленно из G.7) и G.10).
В самом деле, положим
где U
а
Тогда
U ~ Г Ф Ux (Qa)l © Г © Vх ((Щ ~
~ Ф [Ux (Qa) © Ux (QQ] ~ ф Ux @,2л).
a a
Последняя сумма является двусторонним сдвигом, кратность
которого равна числу слагаемых и, значит, не превосходит
Ьт + V.
Следствие 7.5. Для всякого сжатия Т в пространстве ф,
такого, что ||ГА||<||А|| при всех Ае§, h ф 0, минимальная
унитарная дилатация является двусторонним сдвигом крат-
кратности dim §.
Доказательство. Оператор Т при этих условиях вполне
неунитарен, и (I — Т*Т)/гфО при /гфО. Следовательно, Dr?> = '&,
Ьт = dim §. Остается применить теорему 7.4, а).
§ 8. Подобие операторов класса <^р сжатиям
В § 1.11 были введены операторы класса ^р (р>0). На-
Напомним их определение. Оператор Т в пространстве § принад-
принадлежит классу ^р, если существует такой унитарный оператор ?/р
в некотором пространстве $р, содержащем § как подпростран-
подпространство, что
п (п=1, 2, ...). (8.1)
Оператор Up мы назвали унитарной р-дилатацией оператора Г.
Класс <571 совпадает с классом всех сжатий. Задачей на-
настоящего параграфа янляется доказательство того факта, что
операторы остальных классов 929 „не очень далеки" от сжатий:
Теорема 8.1. Если оператор принадлежит какому-либо из
классов ^р, то он подобен некоторому сжатию.
Доказательство. Мы будем существенно пользоваться
предложением 1.11.3, утверждающим, что классы ^р образуют
возрастающую функцию от параметра р (в действительности
§ 8. ПОДОБИЕ ОПЕРАТОРОВ КЛАССА #p СЖАТИЯМ 109
достаточно знать, что эта функция является неубывающей).
Другим существенным пунктом доказательства является исполь-
использование для случая унитарных р-дилатаций соответствую-
соответствующим образом модифицированного метода § 3.
Пусть Т — оператор в Ф, принадлежащий классу #г. По-
Поскольку тогда Т принадлежит всем классам ^р (р^г), то Т
обладает унитарной р-дилатацией UQ в некотором простран-
пространстве $р id «?>. Положим
ln(ul-f)$> (с=Яр) (8.2)
и обозначим через РШр ортопроектор из Яр на 9ЙР. Пусть, далее,
Очевидно, что t9 является наименьшим числом, для которого
неравенство
1(Л,тр)|<д|Л||||тр|| (8.4)
выполняется при всех Ае§и всех m9 e 9Ир; впрочем, нам до-
достаточно ограничиться элементами вида
ln(ul-f)hn, (8.6)
где Ао, Аь ... е§ и все hn начиная с некоторого номера равны
нулю (поскольку множество таких элементов тр плотно в 9ftp).
Из (8.1) вытекает аналогичное соотношение для сопряжен-
сопряженных операторов. Полагая 6 = 1/р, будем иметь
при
Для h s f> и mp вида (8.5)
(Л, /ир) = 2 (А, ?/р" (Ul - Т') А„) = (А, (б - 1)
(t>0
Таким образом, (8.4) эквивалентно неравенствам
или
2||*|Fip||mP|f. (8.6)
ПО ГЛ. II, ЙССЛЕДОЁАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
Применяя снова (8.1), получаем
{ul\u*9-f)hh ulk(ul-f)hk) =
Ау ||2 + A-26) || ГАу |р, если / = 6,
F- \){Thh hk)t если fe-/=l,
F-l)(hhThk), если fe-y=-l,
О во всех остальных случаях.
Итак, для элементов т9 вида (8.5)
II/яр |р = 2 [ || Ау IP + A-26) || ГА; |р+ 2 F-1) Re (Ay, Гй/+1)].
Следовательно,
Pll mp IP = p Г|| Г*А0 |р + 2 || h} - ГА/+1 |pl -
L /^o J
-2 S [li
Отсюда следует, что если mP' (p'^r) отвечает той же после-
последовательности {hn}t то
= (р-р/)П|ГА0|Р+ S IIЛ7 — Г*Л/+1 |р Хр — рО || г*Ло IP.
В частности,
РII тр |р - г || mr IP > (р - г) || ГА0 |р. (8.7)
Поскольку, очевидно, ?р<1, то из (8.6) при р=г вытекает не-
неравенство
(}-1J||ГА0|р<||тг|р. (8.8)
Из (8.7) и (8.8) следует, что
и, значит,
Вспоминая, что t9 является наименьшим из неотрицательных
чисел, для которых выполняется (8.6), получаем
,2^ р-2+1/р
*р^ р-2 + 1/г '
Следовательно, tp<\ при р>г.
§ 8. ПОДОБИЕ ОПЕРАТОРОВ КЛАССА Ур СЖАТИЯМ Ш
В оставшейся части доказательства зафиксируем некото-
некоторое р (>г) и будем по мере возможности опускать индекс р,
т. е. писать ?/, &, 9№, t вместо ?/р, $р, 2Кр, tp.
Положим !Л = $ Q 9Й. Элементы & е -ft характеризуются
равенствами
k (м = 0, 1, 2, ...). (8.10)
В самом деле, условие k _L Ш означает, что
((U*n+l- и*пГ)h, k)~0 при всех йе§,
Последнее соотношение легко привести к виду (8.10). Из ра-
равенств (8.10), характеризующих % вытекает, в частности, что 31
инвариантно относительно U.
На Основании (8.3)
II h [р = || Ршк |р +1| Рф |р < *2[[ h |р +1| РФ IP (h <= §),
так что
||Р^||2>A~/2)||Л|р. (8.11)
Поскольку t (= *Р)<1, то линеал 5R/ = P^§ замкнут, а оператор
У = Pzi IФ = Pw I § является аффинитетом (т. е. взаимно одно-
однозначным и взаимно непрерывным отображением) § на У1'. По-
Поэтому оператор Х= Y* — аффинитет Ш' на §. Очевидно,
(УА, А) = (РЯА, А) = (A, fe) = (A, P^fe) (AG§,feE SR). (8.12)
Беря, в частности, k e З^7, получим
. (8.13)
Из (8.12) следует также, что P$k = 0 для любого /г^ 3^, орто-
ортогонального к P^§ = 3fJ/, т. е. для любого fteJlQ'J!'. Таким
образом, P$(I — Pm')g = 0 и
P*fif = /Wff (ffeSR). (8.14)
Так как f/f e f/JJ cz SW, то, полагая в (8.14) g = f/f, получаем
из (8.13) и (8.10) при п = 0
TXf = TP$f = P9Uf = P^-f/f = XVI
где
F = P*r?/|9i'.
Очевидно, что V является сжатием в 9^. Таким образом, опе-
оператор Т подобен сжатию: Т = XVX" .
Теорема доказана.
112 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
С учетом предложения 1.11.2 имеем
Следствие, 8.2. Каждый оператор Т с численным радиусом
w (Г) ^ 1 подобен некоторому сжатию.
Комментарии
Теорема 1.1 о строении пространства минимальной унитар-
унитарной дилатации U сжатия Т содержится в неявном виде
в работе С.-Надя [2] -и в явном виде — в работах Гальпе-
Гальперина [1] и С.-Н. и Ф. [V]. В связи с § 1 и 2 см. также
Гальперин [3], [5], где исследована структура пространств
минимальных регулярных изометрических и унитарных дила-
таций для систем сжатий. В этих работах найдены условия,
при которых минимальная регулярная унитарная дилатация
ведет себя в некотором смысле как двусторонний сдвиг.
Предложение 2.2 и теорема 2.3 о • дилатации комму-
коммутантов получены авторами, см. С.-Н. и Ф. [12]. Приведенное
здесь доказательство несколько отличается от первоначального.
Некоторые частные случаи теоремы 2.3 были получены ранее
совершенно иными методами Сарасоном [3] (для Т е Соо,
brz=br=l) и С.-Н и Ф. [И] (для Г<=Соо). Именно работа
Сарасона послужила стимулом для наших исследований.
Первый общий результат о спектральном типе оператора U
был получен Шрайбером [1]. В предположении || Т ||< 1 им
было доказано, что U является двусторонним сдвигом крат-
кратности dim«g>. Другое доказательство имеется у С.-Надя [II].
(В. этих доказательствах предполагается, что пространство Ь
комплексно.) Тот факт, что из условия Тп -> О вытекает, что
U — двусторонний сдвиг с кратностью, равной дефектному
числу ЬТу и двойственный факт для оператора Т* были впервые
доказаны деБрёйном[1]с помощью матричной конструкции.
При этом пространство Ь могло быть как вещественным, так
и комплексным. Результат де Брёйна был затем обобщен
Гальпериным [1]. Комбинируя случаи Тп->0 и Т*п->0,
Гальперин установил следующий факт:
Пусть в ф существуют два таких ортопроектора Q{ и Q2, что
O, Q2TQ{~0, (I-Q2)T{I-Q{)rOy
(TQ{)n-+O, (rQ,)n-+O
(n -> oo).
КОММЕНТАРИИ
Тогда U — двусторонний сдвиг, для которого порождающим
блуждающим подпространством является
Де Брёйн поставил в [1] задачу: вытекает ли из условия
[[ Th \\ < II h || для всех Ag§, Л =7^ 0, что U является двусторонним
сдвигом кратности dim§? Положительный ответ на этот-вопрос
для случая комплексных ф был дан в работе С.-Н. и ф. [V]
(см. следствие 7.5).
Роль остаточной и достаточной частей оператора U была
выяснена в С.-Н. и Ф. [V, VII]. В [3] и [VII] авторы ввели
понятия квазиаффинитета и квазиподобия, а также классы Са0
операторов сжатия (следует, впрочем, заметить, что там эта
классификация введена ,лишь для вполне неунитарных сжатий).
В частности, была доказана теорема о квазиподобии всякого
сжатия Т класса Сп остаточной части R (а также ^остаточ-
^остаточной части i?J своей минимальной унитарной дилатации (см.
предложение 3.5, (в)). Эта теорема была использована сначала
с привлечением теории характеристических функций, а затем и
непосредственно для получения информации об инвариантных
подпространствах оператора Т (см. С.-Н. и Ф. [IX] и [5]).
В § 5 результаты последней заметки изложены в развернутой
форме, причем получены более точные сведения об инвариант-
инвариантных подпространствах (регулярность, ультраинвариантность),
и эти результаты распространены на операторы с равномерно
ограниченными степенями (теорема 5.4). Подобная теорема
(но с обычной инвариантностью вместо ультраинвариантности)
была независимо получена Парротом (личное сообщение).
Тот важный факт, что минимальная унитарная дилата-
ция U вполне неунитарного сжатия Т в комплексном про-
пространстве <§> имеет абсолютно непрерывный спектр, был доказан
авторами в [IV] с использованием глубоких теорем теории
аналитических функций. Более „геометрическое" доказательство,
приведенное выше (§ 6.2), было найдено позже Гальпери-
Гальпериным [1] и авторами [5].
Другие результаты § 6 и 7 получены авторами в [III]
и [V], за исключением предложений 6.3 и 6.5, принадлежащих
Млаку [1]-[3], [5].
Наконец, § 8 представляет собой несколько более подробное
изложение результатов заметки ,С.-Н. и Ф. [10]. Часть доказа-
доказательства, следующая за формулой (8.11), существенно упро-
упрощена Ю. Л. Шмульяном (личное сообщение). Теорема 8.1
представляет интерес еще и потому, что не все операторы
114 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДИЛАТАЦИЙ
с ограниченными степенями-подобны сжатиям1), см. Фогель [1],
Халмош [4]. В то же время, как установил недавно Хол-
брук [1], каждый оператор с ограниченными степенями
является пределом по норме операторов классов ^р.
Часть результатов § 1, а также некоторые спектральные
соотношения § 6 могут быть распространены на унитарные
р-дилатации; см. Дурст [2]. В частности, если оператор клас-
класса ^р вполне неунитарен, то его минимальная унитарная р-дила-
тация имеет абсолютно непрерывный спектр, см. Дурст [2]»
Рац [1].
1) Как показал С.-Надь [11], всякий вполне непрерывный оператор
с ограниченными степенями подобен сжатию.
ГЛАВА Ш
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ о
ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Классы Харди.
Внутренние и внешние функции
1. В оставшейся части книги мы будем рассматривать всюду
комплексные гильбертовы пространства. В этой и следующей
главах с помощью минимальных унитарных дилатаций будет
построено' функциональное исчисление для сжатий в таких про-
пространствах.
Введем в рассмотрение некоторые классы функций, анали-
аналитических в открытом единичном круге
Для всякой функции и (к), аналитической в Д определим
сопряженную функцию формулой
и~(К) = пЩ. - A.1)
Эта функция также аналитична в Д и отображение м->м~,
очевидно, инволютивно. Для соответствующих степенных рядов
имеем
2
/1=0
/1=0
Пусть Нр @<р < оо) — класс Харди, т. е. класс голоморф-
голоморфных в D функций и (Я), таких, что соответствующая норма
sup \4- [ \и{ге")\р(И\
0<г<11_ О J
SUp | U (Z) |
26D
@<р<оо)
(р = оо)
конечна. Очевидно, Нр =з Нр' =з Я°° при 0 <р < р' < оо. Каждый
из классов Нр есть линейное пространство, инвариантное отно-
относительно инволюции и-+иГ. Класс Н°° является, кроме того,
алгеброй.
Напомним некоторые основные теоремы о классах Харди,
принадлежащие Фату, Риссу и Сегё. За доказательствами
116 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
мы отсылаем читателя к монографиям Привалова [1] или
Гофмана [1] и к оригинальным работам, которые там цити-
цитируются.
Если и е Нру то для почти всех t на единичной окружности С
существует радиальный предел
u(elt) = lim u(relt). ~ A.2)
г->1—О
При этом если и (К) Ф О, то!)
\п\и{еи)\еЕО A.3)
и, следовательно, u(elt) ф 0 почти всюду. Более того, и{еи) суще-
существует почти всюду как некасательный предел и (Я), т. е. предел
при Я, стремящемся к elt внутри угла, образованного двумя
хордами единичного круга, выходящими из точки ен. Предель-
Предельная функция и(еи) принадлежит лебегову пространству Lp и
при 0<р<оо является сильным пределом функций и(геи):
J | и (е") - и (те11) \р dt -> 0 (г -> 1 - 0). A.4)
о
При р^\ отсюда следует также сходимость
2я . 2я
J f(t)u (relt) dt-+jf(t)u {elt) dt (r -» 1 - 0), A.5)
о о
где f(t)^Lq (l/p+ l/q = l). Следовательно, формулы Коши.и
Пуассона справедливы и для предельной функции и^Н
Поэтому
Т
о
где
» (,= 1, 2, ...) V1-v'
i
P (p, т - t) и {eif) dt = u (K) (I = ре*\ 0 < p < 1), A.7)
pi )- l ~ Pa
^ IP» T/ i _ 2p cos т + p2 *
1) Лебеговы пространства Lp на интервале @, 2я) рассматриваются по
dt
отношению к нормированной мере -z—,
§ I. КЛАССЫ ХАРДИ. ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ФУНКЦИЙ Ц7
Обратно, всякая функция f{t)^ Lp (I ^p^oo), для которой
ряд Фурье имеет вид
О
порождает функцию
t (Я,-ре"), A.8)
О ' О
принадлежащую классу Нр, для которой
u(eu) = f(t) почти всюду. A.9)
Рассмотренные функции f (t) образуют, очевидно, подпростран-
подпространство в Lp, которое мы обозначим через L+.
Формулы A.8) и A.9) устанавливают при каждом фиксиро-
фиксированном р (l^p^oo) взаимно однозначное соответствие
между Нр и L+. Это соответствие линейно и сохраняет метрику.
В самом деле,
\U \L =
L2JX
(¦|«И>
-о
sup ess | и (еи) \ (р = оо).
Таким образом, Нр можно отождествить с L+. В частности,
Н2 отождествляется с гильбертовым пространством L+, так что
2л
О
Внутренней функцией называют всякую функцию и е Я°°,
такую, что ])
|и(А,)|<1 в D и \и(еИ)\=1 почти всюду на С. A.10)
Общий вид внутренних функций дается формулой
(^), A.11)
где к — постоянный множитель, | к | = 1, В (X) — произведение
Бляшке:
1) Для функций и <= Я°° (и даже е Я1) неравенство | и (Я) |< 1 (X е D)
является следствием неравенства | и (elt) I < 1 (для почти всех / е [0, 2л),
см. равенство A.7)). — Прим. ред.
П8 ГЛ. I». ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[2я
где ц, —конечная неотрицательная мера, сингулярная относи-
относительно меры Лебега. Если некоторые ak равны 0, то соответ-
соответствующие множители в произведении Бляшке полагаются рав-
равными К. В частных случаях множители В (К) и S(h) могут отсут-
отсутствовать, т. е. сводиться к функции, тождественно равной 1.
Внешней функцией называют всякую функцию «(^), которая
допускает представление
и (К) = к ехр [^ J j?±? In k(t)dt\9 ND), A.14)
где
*@>0, lnfelOeL1, A.15)
а и ¦—комплексное число с модулем 1. Для того чтобы внешняя
функция и{Х) входила в класс Нр @<р<!оо), необходимо и
достаточно, чтобы k (t) s Lp. При этом
\и(е")\ = k(t) почти всюду. A.16)
Очевидно, всякая функция, одновременно и внутренняя и
внешняя, постоянна и равна по модулю 1.
Класс внешних- функций, принадлежащих Яр, обозначим
через Ер.
Всякая функция и(К)^Нр @<р<оо), такая, что и{К) ФО,
допускает каноническое представление в виде произведения (ка о-
ническую факторизацию)
и = щи€,
где щ — внутренняя, а ие — внешняя функции, определяемые
однозначно с точностью до постоянного множителя, равного
по модулю 1. Функция ие принадлежит классу Ер и дается
ФОРМУЛОЙ Г 2Я . 1
J ^^-\п\и{е)и)\йА (ieD), A.17)
где |к|= 1 (см. A.3)). Функции щ{%) и ие{К), связанные указан- ,
ным образом с функцией и (К), называются соответственно внут-
внутренним и внешним множителями функции и (К).
2. Нам понадобятся некоторые характеристические свойства
внешних функций. Введем сначала следующее обозначение.
§ 1. КЛАССЫ ХАРДИ. ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ФУНКЦИИ Ц9
будем обозначать подпространство в Lp, состоящее из функ-
функций f(t), ряд Фурье которых имеет вид
Заметим, что единственной вещественной функцией, принадле-
принадлежащей L+o, является функция f(t) = Q (почти всюду).
Предложение 1.1. а) Для того чтобы функция и^Нр
@<р^оо), и(к)Ф0, была внешней, необходимо, чтобы имели
место следующие импликации:
{f(t)tzL\ «HfWeLVo}#fWsLi.o> A.18)
{oWefl1, й(^Яб1+о}#оМ = 0. A.180
б) Для того чтобы функция и& Н1 была внешней, доста-
достаточно, чтобы имела место импликация
{v (К) <= Н°°, и{ен) о И в Ll+0} =$v{X)^ 0. A.19)
Доказательство, а) Случай, когда f (t) = 0 почти всюду,
тривиален. Поэтому можно считать, что f (t) отлично от нуля
на множестве положительной меры. Поскольку u{elt) отлично
от нуля почти всюду, то функция
= u(en)f(t) . A.20)
также отлична от нуля на множестве положительной меры.
Так как, кроме того, по предположению g(t)<=Ll+0, то суще-
существует функция G (К) е Я1, такая, что G@) = 0, G (I) Ф 0 и
G(eit) = g{t) почти всюду. A.21)
В силу A.3) функции
In | О (в") | и 1п||ф"I
интегрируемы. Поэтому из соотношений A.20) и A.21) следует,
что функция
ln|f(*)| = ln|g(OI-ln|a(e'')l A.22)
также интегрируема. Рассмотрим внешнюю функцию
^ i?±?|. A.23)
Поскольку f(t)eL\ то F(k)<=Hl.
120 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
С учетом того факта, что и (К) является внешней функцией,
из условий A.21) —A.23) вытекает, что
F{k)-Ge(K)/u(K), A.24)
где Ge (Я) — внешний множитель для Q {К) (см. A.17)). Поскольку
|G(A,)IHG,(A.)G,ft)K|G,(m
где Gt (Я) — внутренний множитель для О (Я), то A.24) дает
ИД^-С, 1, ...).
Из этого неравенства следует, что вместе с Fft) в Я1 входят
функции кп ' ;^: (м = 0, 1, ...). Таким образом,
^Й^Ж.-° <»~о. >,...). (..26)
Это означает, что функция f(t)=*g(f)lu(eli\ которая по пред-
предположению входит в L\ принадлежит и L+o- Тем самым дока-
доказана импликация A.18) для функции и^Ер.
Для того чтобы установить импликацию A.18'), положим
\{t) = v{eit). В силу A.18) [((^gL+o. С другой стороны,
уA)бЯ! и, значит, v(elt)&Ll+o. Следовательно, v(eit) = 0 почти
всюду, т. е. v (К) « 0.
б) Импликация A.19) невозможна при и(к)^зО. Следова-
Следовательно, и(к)ФОи, значит, и(К) допускает каноническую факто-
факторизацию и (X) = щ {X) ие (X). Положим
v (К) - 1 - щ @) щ {%).
Очевидно, v {X) е Я°°. Поскольку и (к) е Я1, у(Х)<= Я°°, то
и {elt) бв L1, v {еи) е L°° и, следовательно, и {ви) v (elt) si1. Из
равенства | щ{еа) |=» 1, справедливого почти всюду, вытекает, что
2Я
J е?й<«/ (в") у (а") Л - J ^//г^ (*") d^ - tt< @) J в^ (е«) Л -
о о о
- 2я [ЯЛ« (Я) - щ @) ЛЧ (М1х-о = ° (л - 0,
и, следовательно, м(в^)^(^ )s ^+. Отсюда на основании A.19)
имеем ti(l)a0 и потому | щ @) |2= 1 — v@)*= 1. По принципу
максимума и^(А,) = и, где |к|«= 1 и, значит, и(Х) является внеш-
внешней функцией.
§ 1. КЛАССЫ ХАРДИ. ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ФУНКЦИИ 121
Предложение 1.1 доказано.
Предложение 1.2 (теорема Бёрлинга). Для того чтобы
функция и^Н2 была внешней, необходимо и достаточно, чтобы
функции Хпи(К) (п = 0,1, ...)> рассматриваемые как элементы
гильбертова пространства Я2, порождали это пространство.
Доказательство. Пусть v (А,) — функция из Я2, ортого-
ортогональная ко всем функциям Кпи{%) (га«0, 1, ...) в гильбертовой
метрике Я2, т. е.
(л
Тогда v(X)<=H аН и и(е )v(e )gL+0, Поскольку функ-
функция и(Х) является внешней, то из предложения 1.1, а) следует,
что и(А,)===О.
Обратно, если функции Хпи{%) (п = 0, 1, ...) порождают Я2,
то импликация
справедлива для функций v(l)&H2 и тем более для функ-
функций 'и (A,) e Я°°. Согласно предложению 1.1, б), функция и(К)
является внешней.
3. Непосредственно из определения A.10) внутренней функ-
функции вытекает, что произведение двух внутренних функций и
функция гг (А,), сопряженная к внутренней функции и (К), также
являются внутренними.
Что касается внешних функций, то из A.14) и A.15) следует,
что произведение и частное внешних функций и функция,
сопряженная к внешней, являются внешними функциями. По-
Поскольку класс Я°° замкнут по отношению к операциям умноже-
умножения и сопряжения, то класс Е°° ограниченных внешних функций
также замкнут относительно этих операций. Введем в рассмо-
рассмотрение важный подкласс класса ?°°, обладающий тем же свой-
свойством.
Определение. Обозначим через ?рег класс не имеющих нулей
в D функций и е Я°°, для каждой из которых существует кон-
константа М = М (и), такая, что
и(гХ)
Предложение 1.3. Класс ?рег содержится в классе Е°° огра-
ограниченных внешних функций и замкнут относительно умножения
и сопряжения. В класс ?рег, в частности, входят:
Ш ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
A) все функции из Н°\ непрерывные и отличные от 0 в замк-
замкнутом единичном круге D\
B) функции вида A — aA,)v, где |а К 1, v^O {имеется в виду
та ветвь функции, которая принимает значение 1 в точке % = 0).
Доказательство. Пусть и е ?рег, и пусть функция v e Н°°
такова, что
{н){и)\ A.26)
Докажем, что отсюда следует равенство ^(А,J3^. В силу пред-
предложения 1.1, б) этим будет доказано, что функция и является
внешней, т. е. и&Е°°.
Для фиксированного г, 0<г<1, функция l/u(rl) разла-
разлагается в ряд Тэйлора
сходящийся равномерно в D, В частности, это разложение
равномерно сходится на единичной окружности. Оно останется
равномерно сходящимся, если каждый его член умножить на
ограниченную функцию elntu (elt) v (elt). Интегрируя почленно
получаемый ряд и учитывая- A.26), получаем
2Я оо 2Я
I pi*1* __i L v\ (pit) Л! -- у ц(г) pi (n+m) tj,(pit\ *j (pit) dt = 0 (\ 27^
J u(relt) v; Jmi rn ] и-Ч / V / •- \l'*4
0 m=0 0
при n = 0, 1, Поскольку функция и{еиIи(геи) стремится почти
всюду к 1 при г—>1—0, оставаясь ограниченной (числом М),
то по теореме Лебега
2я
0
откуда v(X) = 0.
Итак, доказано, что ?рег с= Е°°. Утверждение о замкнутости
класса ?рег относительно умножения и сопряжения очевидно.
Если и (А,) удовлетворяет условию A), то и(Х)& Н°°. Част-
Частное u(X)fu(ri) является непрерывной функцией двух перемен-
переменных А, и г на компактном множестве |А,К1,0<г<1, и потому
ограничено. Таким образом, и е ?рег.
Для доказательства утверждения B) достаточно заметить,
что при |а|<Л, v^O справедливо неравенство
< 2V
§ 1. КЛАССЫ ХАРДИ. ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ФУНКЦИИ 123
Предложение 1.3. доказано.
4. Пусть и, v принадлежат классу Н°°. Говорят, что v
является делителем и> а и —кратным vt если w = u/v также
принадлежит Я°°. Делитель v функции и называется нетри-
нетривиальным, если ни у, ни w не являются константами. Соот-
Соответствующая факторизация u = vw также называется в этом
случае нетривиальной.
Из принципа максимума непосредственно вытекает, что
внутренняя функция w является константой (равной по мо-
модулю 1) в том и только том случае, когда \w@)\=l. Отсюда
следует, что функции w и l/w могут быть одновременно вну-
внутренними, только если w есть константа с модулем 1. Таким
образом, если каждая из двух внутренних функций и и v явля-
является делителем другой, то они совпадают в том смысле, что
отличаются друг от друга постоянным множителем по модулю,
равным 1.
Рассмотрим параметрическое представление внутренних функ-
функций при помощи произведения Бляшке В(Х) и „сингулярной"
внутренней функции, см A.11) —A.13). Из вида этого предста-
представления следует, что всякая внутренняя функция и однозначно
(с точностью до постоянного множителя, равного по модулю 1)
определяется последовательностью комплексных чисел {аь а2, ...}
(конечной или бесконечной, возможно пустой) с |afe|<l,
2 A ~ I dk I) < °° и борелевой неотрицательной сингулярной мерой
\х на единичной окружности С (возможно, fi=0). В остальном эти
последовательность и мера произвольны. Для того чтобы функ-
функция и\ отвечающая последовательности \a'v a'v ...} и мере \i',
была делителем функции и, отвечающей последовательности
{аь аъ ...} и мере ц, необходимо и достаточно, чтобы, с учетом
кратностей, последовательность (а?) была частью последователь-
последовательности {ak} и чтобы мера \i мажорировала меру \i'.
Пусть {иа} — семейство внутренних функций, конечное либо
бесконечное. Предположим, что функция иа отвечает последо-
последовательности {aak} и мере \ia. Это семейство обладает наиболь-
наибольшим общим внутренним делителем (в обычном смысле) иА> опре-
определяемым с точностью" до совпадения. Функция иА отвечает
пересечению множеств Aa = {aak} (с учетом кратностей) и наи-
наибольшей нижней грани |яд мер |яа. Аналогично если функции
семейства {аа} обладают каким-нибудь общим внутренним крат-
кратным vy отвечающим последовательности {bk} и мере v, то они
обладают наименьшим общим внутренним кратным иу (опре-
(определяемым с точностью до совпадения); функция иу отвечает
объединению множеств Аа (с учетом кратностей) и наименьшей
верхней грани \iv мер |яа. Заметим, что U 4с {^} и цу
124 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
мажорируется мерой v. Меры \iA и \iv сингулярны, поскольку
они мажорируются сингулярными мерами *). Заметим также, что
для конечного семейства {иа} в качестве общего внутреннего
кратного v можно взять произведение Ц иа.
а
Внутренние функции, не имеющие общего внутреннего дели-
делителя, отличного от константы, будем называть взаимно про-
простыми.
Из предыдущих рассуждений вытекает, что единственными
(с точностью до совпадения) непостоянными внутренними функ-
функциями, имеющими лишь тривиальные разложения на внутрен-
внутренние множители, являются функции
Тзж- где |a|<L (L28>
5, Приведем еще два предложения, которые понадобятся
нам в дальнейшем.
Предложение 1.4. Пусть {ип(Х)} (п= 1, 2, .. ^ — последова-
последовательность функций из Я°°, равномерно ограниченная и стремя-
стремящаяся к О в D. Тогда
lua(e")f{t)dt-*O (n-*oo) A.29)
О
для любой функции f(t)^Ll.
Доказательство. Функции un(X)Xv~l (/г=1, 2, ..., v =
= 0, ±1, ±2, ...) голоморфны в области 0<|Я|<1. Поэтому
2я 2Л
f ип {еи) em dt - llm f un {relt) г^еш dt -
о
-llm4- ( ия(Х)^Л-4 f u
Последний интеграл стремится к 0 при п—>оо, поскольку
последовательность ип(Х) стремится к нулю, оставаясь ограни-
ограниченной некоторой не зависящей от п и X константой. Поэтому
A.29) справедливо для функций f (t) = eivt, где v — произволь-
произвольное целое число, и, следовательно, для произвольного тригоно-
тригонометрического многочлена. Поскольку множество таких много-
многочленов плотно в L1, то A.29) справедливо для любой функ-
функции f(t)<=L[.
*) По поводу построения мер Цу и цА см. Данфорд и Шварц [1],
стр. 179-180,
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. КЛАССЫ Н°° И Н™ 125
Предложение 1.5. Пусть {иа(Х)} — семейство внутренних функ-
функций, конечное либо бесконечное, v (А,) — их наибольший общий
внутренний делитель. Для всякой функции f^L\ такой что
иа(еи) f (t) e= L*+o при всех а, A.30)
выполняется условие
v(e»)f(t)<=V+0. A.31)
Доказательство. В силу A.30) существуют функции
Fa(l)^H\ такие, что
почти всюду. Зафиксируем какой-нибудь индекс а, скажем
a = 1. Функции
da(X) = F^l) иа(Х)- Ра(Х)щ(Х)
принадлежат Нх и их радиальные пределы da(eu) равны 0
почти всюду. Поэтому da(A,) = O, Fxua = Faub что, полагая
wa = ujw, можно переписать так:
Fxwa=FQwx. A.32)
Если исключить тот тривиальный случай, когда f(t) = O почти
всюду, то ни одна из функций Fa(X) не обращается тожде-
тождественно в нуль. Пусть Fa = FaiFae — разложение функции Fa
в произведение внутреннего множителя F^ и внешнего множи-
множителя F^. В силу A.32)
FltWa^FatW^ A.33)
Таким образом, wl — общий делитель функций Fuwa. Из того
факта, что v является наибольшим общим внутренним дели-
делителем функций иа, вытекает отсутствие у функций wa = ujv
непостоянных общих внутренних делителей. Поэтому функ-
функция wx должна быть делителем функции Fxi. Следовательно,
G{ (elt) = Fx {eif)lwx (elt) = щ (elt) f (t) e~it/wl (elt) = v (elt) f {t) e~lt
и, значит, имеет место A.31).
§ 2. Функциональное исчисление.
Классы /7°° и
1. Рассмотрим прежде всего функции
сю оо
а (X) = Ц ckl\ где 2 I с* К оо, B.1)
k-0 k-Q
126 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Эти функции аналитичны в D и непрерывны в замкнутом
круге D. Класс таких функций, который мы будем обозначать
через Л, является, очевидно, алгеброй относительно обычного
сложения и умножения функций, инвариантной относительно
операции а->а~.
Пусть Г —сжатие в гильбертовом пространстве #. Поставим
в соответствие функции B.1) оператор
а(Т)-%скТ\ B.2)
Этот операторный ряд сходится по норме. Для фиксирован-
фиксированного Т получаем отображение
а(Х)->а(Т)
алгебры А в алгебру В($) линейных ограниченных операторов
в $. Это отображение является гомоморфизмом, причем
¦ а(ТУ = а~(Г). . B.3)
В том частном случае, когда сжатие Т является нормаль-
нормальным оператором со спектральным разложением
Г= J XndKk, B.4)
о(Т)
определение B.2) оператора а(Т) эквивалентно обычному опре-
определению
а(Т)= J a(X)dKK. B.5)
о(Т)
Это вытекает из равномерной сходимости ряда B.1) в D и из
того факта, что o(T)czD.
Пусть (/ — минимальная унитарная дилатация сжатия Т. Из
соотношений Tn = npUn (/г = 0, 1, ...) следует, что
а(Г) = пра((У) (аеЛ), B.6)
откуда, так же как и для многочленов (см. § I. 8), вытекает
неравенство фон Неймана
II а (Г) || < sup | а (А,) | (A,e=D). B.7)
Заметим, что для всякой функции ф(А,), голоморфной в D,
функции
(М (^)
принадлежат классу Л. Если и е Я°°, то функции иг обладают
общей гранью:
lL @<г<1, lefl). B.8)
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. КЛАССЫ Н66 И Н™ 12?
Поскольку операторы иг (Т) имеют смысл для 0 < г < 1, мы можем
ввести
Определение. Пусть Г— сжатие в §. Обозначим через Н™
множество тех функций и s Я°°, для которых существует силь-
сильный предел lim ur(T). Для и^Н™ положим
г-»1-0
м(Г)-= lim иг(Т). B.9)
г-И-0
Это определение корректно. В самом деле, если аеД то
аг(Т) стремится к а(Т) даже по норме:
\%cJh-%ckrkTk\<2i\ck\(i-rk)-+0 при г-* 1-0.
Из очевидных соотношений (си)г = сиг, (а + v)r ***ur + vn (uv)r =
= uTvT {и, v e H°°) вытекает, что класс Я? является подалгеб-
подалгеброй в Н°° и что отображение и->и(Т)> которое мы только что
определили, является гомоморфизмом алгебры Н™ в В (ф).
Отметим такой очевидный факт: если Т = ГоФ^ь то
а(Г) = а (Го)©а (ГО
при аеА Отсюда следует, что
Яг=Я?0ПЯ?1 B.10)
и что
и (Г) = и (Го) фи (ГО * B.11)
для и е Я?.
Беря, в частности, каноническое разложение Г (см. тео-
теорему I. 3.2.), мы видим, что это замечание позволяет свести
изучение отображения и->и{Т) к двум важным крайним слу-
случаям—случаю унитарного оператора и случаю вполне неуни-
неунитарного сжатия.
2. Рассмотрим сначала случай, когда Г — вполне неунитар-
неунитарное сжатие в пространстве ?. Пусть U — Минимальная унитарная
дилатация Г в пространстве $(=> §). Покажем, что в этом случае
Нт-Ни = Н°° B.12)
и что для каждой функции и е Я°° выполняется равенство
и(Г)=-при(?/). B.13)
Поскольку ввиду B.6) иг(Т) = upur(U) @<г<1), доказа-
доказательство сводится к установлению следующего факта: если
и е Я°°, то щ (U) сильно сходится при г —> 1 — 0. С этой целью
128 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
напомним, что спектральная мера Е на С, индуцируемая спек-
спектральным семейством {Et}2* оператора /У, абсолютно непрерывна
относительно меры Лебега (см. теорему II. 6.4). Поэтому пре-
предельная функция и (еи), существующая почти всюду на С,
интегрируема по спектральной мере Е и, следовательно, суще-
существует интеграл
j и (е») dEt
(мы употребляем значок 8 в том случае, если речь идет о функ-
функции от унитарного оператора /У, определяемой непосредственно
с помощью спектрального разложения /У). С другой стороны,
равенство B.5) означает, что в рассматриваемом случае ur(U)=±
^(/У). Итак, для всякого fe$
2я
| [«• (U) - и» (I/)] f f = J | и (е'О - Щ (e») |2 d (Etf, f) -+ 0 (r -> 1).
0
Поскольку подинтегральная функция ограничена числом [2|| й U2
и стремится к нулю почти всюду относительно меры ту значит,
и почти всюду относительно ?, то по теореме сходимости Лебега
последний интеграл стремится к 0. Таким образом, доказано
существование и (U) и равенство
u(U) = u*(U). B.14)
Поскольку || u*(U) ||< sup ess \и(е") ||< IUL, то из B.13) и B.14)
вытекает, что
II и (Т) |К || и IL для любой функции и^Н°°. B.15)
Применим соотношение B.3) к функции а = иг, где 0<г<1.
В силу очевидного равенства
(иг)~ = (и~)г
имеем
и,(П*-(«г)г(П. B.16)
Поскольку оператор Т* вполне неунитарен вместе с Г,
а и~ принадлежит классу Н°° вместе с и, то правая часть B.16)
стремится к и" (Т) при г —> 1 — 0. Поэтому иг(Т)*->и{Т)* не
только слабо (что следует из сильной сходимости иг{Т) к и(Т)),
но и сильно, и мы получаем
иGУ-и~(Г).
Перейдем к вопросу о непрерывности отображения и~+и(Т).
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. КЛАССЫ Я°° И Н™ 129
Из неравенства B.15) вытекает, что если ип(Х) стремится
к и(А,) равномерно в Z), то ип(Т) стремится к и(Т) по норме
(запись: ип(Т)=Фи(Т)).
Покажем, что для сильной сходимости ип(Т)-+и(Т) доста-
достаточно, чтобы функции ип имели общую грань:
sup || an IL < оо
п
и сходились 'к и почти всюду на С:
un(elt)->u{elt) почти всюду на С.
В самом деле, полагая vn = un — и, получаем на основании B.13)
и B.14)
2Я
II vn (T) h IP < || vn (U) h If = J | vn (e") I2 d (Eth, h) B.17)
0
для произвольного Ag§, Последний интеграл стремится к О
при az->oo в силу теоремы Лебега. Здесь мы используем абсо-
абсолютную непрерывность спектральной меры оператора /7, точнее,
тот факт, что
d{Ethy~h) = <fh{t)dty где <fh(t)&L\
Наконец, для слабой сходимости ип(Т)-^и(Т) достаточно,
чтобы функции ип имели общую грань и сходились к и в D
{ограниченная сходимость в D). Действительно, в силу B.13)
и B.14) имеем, полагая vn = un — ut
2я
(vn (T) h, hf) = (vn (U) h, h') = J vn (e") d (Eth, h') (h, h! e ¦§>).
0
При /г->оо этот интеграл стремится к 0 на основании предло-
предложения 1.4, поскольку d(Etht h') = q>hth'(t)dtt где фл, h'(t) при-
принадлежит L1.
Заметим, что из формул Пуассона A.7) вытекает, что огра-
ограниченная сходимость почти всюду на С влечет сходимость в D.
Обратное неверно, как показывает пример функций %п
(az=1,2, ...).
Для вполне неунитарного нормального сжатия наше опреде-
определение оператора и (Т) (и^Н°°) согласуется с обычным опреде-
определением при помощи спектрального разложения Г. В самом
деле, это справедливо для функций иг(^А). Поэтому доста-
достаточно показать, что
J ur(X)dKK-> J u(X)dKb (r-M-0).
о (Г) а (Г)
130 ГЛ. ill. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Последнее вытекает из теоремы сходимости Лебега, поскольку
иг(Х) ограниченно сходится к и (X) в Z), a a(T)\ D имеет меру
нуль относительно спектральной меры К% (в противном случае Т
не был бы вполне неунитарным).
Обратимся к изучению произвольного вполне неунитарного
сжатия Г. Пусть уей00 и пусть \v{X)\<\ в D. В силу B.15)
оператор
r = v(T) B.18)
будет сжатием. Покажем, что Т также вполне неунитарен.
С этой целью рассмотрим функцию
w )== ,щ^(о),,
V \-v@)v(X)
Очевидно, что w е Н°° и | w (X) |< 1 в D. Следовательно, а; (Г)
также является сжатием и
о> (Т) = [v (Т) - v@) I] [I - ЪЩб (Т)Г\
Воспользуемся теперь следующим утверждением (см. п. I. 4.3):
если У —унитарный оператор в гильбертовом пространстве, то
оператор (V — al)(l — aV)~l при |а|<1 также является уни-
унитарным, и обратно. Отсюда следует, что пространство §о уни-
унитарной части оператора T' = v(T) совпадает с пространством
унитарной части оператора w (Г). Поскольку | w (X) |<1 в D
и ш@) = 0, то по лемме Шварца w(X) = Xz(X), где |()|
в D. Оператор z(T) также является сжатием и
Для h e §о имеем
|| А || = || о; (Т)п h || = || z GУ Tnh \\ < || Tnh ||,
\\h\\^w(Tfh\ = \z{TfT*h\<\T*h\ (/i=l, 2, ...).
Поскольку Г-сжатие, то || Tnh || = || Л || = | Г ^ | (я= 1, 2, ...).
Поэтому из полной неунитарности Т вытекает, что h = 0. Таким
образом, ?>о = {О} и, следовательно, оператор T' = v(T) вполне
неунитарен.
В рассматриваемом случае можно построить и (Т') = и (v (T))
для произвольной функции и^Н°°. Из B.18) вытекает немед-
немедленно, что p(T') = pov(T) для всякого многочлена р. (Мы
употребляем для композиции функций обозначение f°g(X) =
4(№)
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. КЛАССЫ Я°° И Н™ 131
Применяя это соотношение к частичным суммам рп степенного
ряда для функции а^А и переходя к пределу при я->оо,
получаем а (Г') = а о v (Г), поскольку рп-+а и рпо v-+ao v равно-
равномерно в D, В частности, для любой функции u e Н°° и любого
re @,1) будет ur(T') = urov(T). При г-И иг(Г) сходится
к и(Т') по определению, a urov(T) слабо сходится к uov(T)y
поскольку ит о v сходится к и° v в смысле ограниченной схо-
сходимости в D. Таким образом,
для любой функции и е Н°°.
Нами доказана
Теорема 2.1. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в
пространстве ф, С/ — его минимальная унитарная дилатация.
Тогда Н? = Ни=Н°°. Отображение и-+и(Т) из Н°°
определяемое условием
оо оо
и(Т)= lim %rkckTk для и{%)= 2 ckXk e Я°°
г-> 1—0 fc=0 /e=0
гомоморфизм алгебры Н°° в 5(Ф), обладающий следую-
следующими свойствами:
( /, если u{X)z===ly
(б) || и (Г) ||<|| и L;
(в) ип(Т)=фи(Т) при ип->и равномерно в D\
(W) ип(Т)-+и(Т), если функции ип равномерно ограничены
и стремятся к и почти всюду на С;
(в") ип(Т)-*и(Т), если функции ип равномерно ограничены
и стремятся к и в D;
(Г) и(ту = и~{Г)\
(д) если v е Н°° и | v(X) |< 1 в А го оператор Т' = v (Г)
является вполне неунитарным сжатием и и(Т') = м о %) (Г) Зля
произвольной функции и е Я°°;
(е) ?слм оператор Т нормален, то и(Т) совпадает с интегра-
интегралом us(T) функции и(Х) по спектральной мере оператора Т\
(ж) и (Г) = при (С/).
Замечание 1. Отображение и-^и{Т), описанное выше,
является единственным гомоморфизмом алгебры Н°° в Б(?>),
обладающим свойствами (а), (б) и (в').
Действительно, в силу (а) единственность очевидна для
многочленов. Для классов А и Я°° единственность следует из
9*
J32 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
того замечания, что частичные суммы рп степенного ряда для
функции as Ау а также функции ип отвечающие и е Я°°,
ограниченно сходятся {pn-+ui щ->и) почти всюду на С.
Замечание 2. Наличие взаимно однозначного соответ-
соответствия между Н°° и L+, сохраняющего алгебраическую струк-
структуру и метрику (см. § 1.1), позволяет рассматривать гомо-
гомоморфизм и->и(Т) алгебры. Н°° в В(Ф) как гомоморфизм
алгебры L+ в В(ф). Этот гомоморфизм обладает, в частности,
свойствами
f /, если f (t)« 1 почти всюду,
(а ) Г (Г) - j тесли i щ e eit почти ВСЮДУ)
L
Предложение 2.2. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие
в $Ф{Щ и М — подалгебра алгебры L°°, такая, что L+ cz M cz L°°.
Допустим, что существует гомоморфизм /->/(Г) алгебры М
в алгебру В(Ф), обладающий свойствами (а') ^г F0. Тогда
Доказательство. Пользуясь свойством (б'), мы можем
продолжить рассматриваемый гомоморфизм на замыкание М
алгебры М в L°°. Как известно, всякая замкнутая подалгебра
алгебры L°°, содержащая L+ как собственную часть, содержит
и функцию МО*¦?""" (см- Гофман [1], гл. 10, Максималь-
Максимальность). Таким образом, если МфЬ% и, следовательно, МфЬ+,
то f! (Т) имеет смысл. Поскольку euf{(t) «= f t (<) е;/ = 1, то из
свойства (а7) вытекает равенство
т. е. f{(T) = T~l. С другой стороны, в силу свойства (б7)
Из условий ||Г|К1, Цг"!^! вытекает очевидным образом,
что оператор Т унитарен вопреки предположению о его полной
неунитарности в $ф{0}. Предложение доказано.
Из предложения 2.2 и сделанных ранее замечаний вытекает,
что рассматриваемое функциональное исчисление для вполне
неунитарных сжатий единственно и максимально.
3. Для всякой функции we Я00 мы будем обозначать через
и(еи) некасательный предел и{%) в точке z*=eu, если этот
предел существует. При этом число и (г) может и не быть пре-
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. КЛАССЫ Н°° И Я~ 133
делом и(Х) в точке t при Л, стремящемся в D к z произволь-
произвольным образом.
Полезно ввести в рассмотрение следующие подмножества
окружности С, связанные с функцией и е= Н°°.
Определения.
Cu = {z: и (К) не имеет некасательного предела в точке г};
Си = {г: и (К) не имеет предела в точке г};
Си = {г: и (Л) не имеет ненулевого некасательного предела
в точке z) *);
C°u = {z: и (К) не имеет в точке z ненулевого предела}.
Все эти множества борелевы; Си, а при и(Х)ФО и С°и — мно-
множества лебеговой меры нуль (см. § 1); CuczCu, С° cz C°.
Рассмотрим унитарный оператор V в пространстве ф. Пусть
Ev — спектральная мера на С, индуцированная спектральным
семейством {EVt(} @<^^2ji) оператора V. В силу B.5)
2п
J a{eli)dEVt
для произвольной функции asi и, в частности, для функций
нг@<г<1), где и^Н°°. Заметим, что\иг(е")\^1\\и\\оо@<г<1)
и ur (eli) -> и (elt) (г->1), если eli не входит в Си.
Если
Як(Сц) = О, B.19)
где u*(V) сильно сходится к us(V) при г~>1. В самом деле,
по теореме сходимости Лебега
2я
-«8(V)A f = J | и,(в")-«(в")I2d(?к, ,А, /г)->0 (As ?>).
Итак, из условия B.19) вытекает, что и^Ну и иG)«и8
Выясним, сохраняются ли для унитарного оператора Т ¦= 7
свойства нашего функционального исчисления, установленные
в теореме 2.1 для вполне неунитарного сжатия Т. Заметим
прежде всего, что в этом случае U «= V, так что свойство (ж)
выполняется тривиально. Свойство (а) очевидно, а свойство (е)
только что установлено, по крайней мере при условии B.19).
1) То есть некасательный предел в точке г либо не существует, либо
равен 0* —Прим. перев.
134 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Свойство (б) вытекает из неравенства B.7), справедливого
для класса Л, если применить это неравенство к функции иг
и заметить, что ur(V)->u(V) (сильно), а || иг Ц^ < || и ||то для
всякой функции и е Я^.
Что касается признаков сходимости, то (в) вытекает из (б);
признак (в') сохраняет силу, если „почти всюду на С" пони-
понимать в смысле спектральной меры Еу (подразумевается, что
un(elt) и и{еа) существуют почти всюду относительно EVi т. е.
Ev(CUn) = EV(CU)= О). Признак (в") теряет силу; контрприме-
контрпримером служит V = I и ип(Х) = Кп.
Свойство (г) сохраняется, причем Ну* состоит в точности из
функций и*, сопряженных к функциям и^Ну:
В самом деле, поскольку оператор V унитарен, то многочлены
от V и их сильные пределы являются нор1мальными операто-
операторами. В частности, оператор ur(V) нормален для и^Ну и
0<г<1. Остается применить, с одной стороны, соотношение
B.3), а с другой — утверждение о том, что для последователь-
последовательности нормальных операторов Nn соотношение Nn->N экви-
эквивалентно соотношению N*n->N*. Заметим еще, что в силу тех
же соображений оператор u(V) нормален для и^Н™.
Что касается свойства (д), то, как следует из свойства (б),
оператор N = v (V) является сжатием для v ^ Ну и | v (X) \ < 1
в Z). Соотношение p(N) = pov(V) для многочленов вытекает
из указанного выше гомоморфизма алгебр. Соотношение а (Л0 =
= а о v (N) для aG А вытекает из свойства (в). В самом деле,
частичные суммы рп ряда для функции а обладают тем свой-
свойством, что рп-+а и pnov-+a°v равномерно в D, В част-
частности,
ur(N) = urov(V) B.20)
для яеЯ°° и 0<г< 1.
Сделаем дополнительное предположение, что множества
Су и ~v(Cu) = {e": v(elt)<=Cu} B.21)
имеют нулевую меру относительно Еу. Из этого предположе-
предположения вытекает существование пределов
v(eu)= lim и (гA uov(elt)= lim u(v(reu))
Г->1~0 г-И-0
и равенство
uoV(elt)= lim u(rv(el%
г-М-0
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. КЛАССЫ Я00 И Н™ 135
справедливое ?>-почти всюду на С. Поэтому и ° v <= Я~ и, со-
согласно признаку сходимости (в'),
>u° v(V).
Ввиду B.20) заключаем, что предел u(N)=* lim ur(N) суще-
г-> 1 — 0
ствует и равен u°v(V).
Таким образом, при некоторых ограничениях, о которых
шла выше речь, все свойства (а)— (ж) функционального исчис-
исчисления, установленные в теореме 2.1 для вполне неунитарных
сжатий, кроме свойства (в"), переносятся на случай унитарных
операторов.
4. Теперь мы можем обратиться к общему случаю. Пусть
Т — произвольное сжатие, То — его унитарная часть, Тх — вполне
неунитарная часть. Тогда
Комбинируя теорему 2.1 с только что полученными результа-
результатами и вспоминая B.11), мы приходим к следующей теореме.
Теорема 2.3. Пусть Т — сжатие гильбертова пространства §
и U — его минимальная унитарная дилатация. Тогда Н<т =
= Н°и w, в частности, Нт содержит $се функции и е= Я°°, для
которых множество Си имеет нулевую мерц относительно спек-
спектральной меры Ет, отвечающей унитарной части оператора Г.
Отображение и-+и(Т) класса Нт в Б(ф), определяемое
условием
и(Т)= lim %rkckTk для и(Х)= %cklk ez Нт,
r->\-0 ksx0 ьо
является гомоморфизмом алгебры Я? в В($), обладающим
следующими свойствами:
(а) и(Т) = {
^ 1 при и (К) = л,
(б) || и (Г) II < NIL;
(в) ип (Г) =ф и (Г), если ип стремится к и равномерно в О]
(в') ип(Т)->и(Т), если функции ип равномерно ограничены
и стремятся к функции и Ет-почти всюду на С;
(г) Яг* = (Ягэ) , и для и е Я~ выполняется равенство и (Г)* =
(д) если м, t)G Я°° таковы, что \ v{X) \< 1 в D и множества
-1
Со и а(Си) имеют нулевую меру относительно Ет, то неЯг
и uov^H™\ кроме того, T' = v(T) является сжатием,
и и (Г) = ii or, (Г);
136 ГЛ. tit. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
(е) если Т — нормальный оператору а функция и е Я°° та-
такова, что Ет(Са) = О, то и(Т) существует и равен us (T) —инте-
—интегралу от функции и(Х) по спектральной мере оператора Т;
(ж) и (Г) = пр и (U) для всех и е Нт-
§ 3. Роль внешних функций
в функциональном исчислении
1. В качестве первого шага к тому, чтобы распространить
наше функциональное исчисление на неограниченные функции
(это распространение служит темой следующей главы), устано-
установим условия, при которых оператор и(Т) имеет обратный и{Т)~1
по крайней мере в широком смысле (т. е. не обязательно огра-
ограниченный и всюду определенный).
Прежде всего рассмотрим вполне неунитарные сжатия Г.
Предложение 3.1. Для всякого вполне неунитарного сжатия
Т в пространстве § и для всякой внешней функции и е Н°°
(т. е. для и^Е°°) оператор и(Т) имеет обратный оператор,
область определения которого плотна в §.
Доказательство. Пусть и^Е°°. Рассмотрим элемент
Ае§, для которого u(T)h = 0. Вводя минимальную унитарную
дилатацию U оператора Т и (абсолютно непрерывную) спек-
спектральную меру Е оператора С/, находим
О = (Тпи (Г) Л, h) = {Unu (U) А, К) =
2л
/ (п-0,
О
где
Ф/, @ = &{E^h) s L\ Фл (t) > 0 почти всюду.
Это означает, что и {еи) фЛ (t) e Ll+0. В силу предложения 1.1
функция <рл(О входит в Ll+0. Будучи вещественной, она равна
нулю почти всюду. Следовательно,
2Я 2я
IIЛ|р — X ^(EXh)=[ <fh(t)dt = O.
О 6
Итак, из u(T)h = 0 вытекает Л = 0, т. е. оператор и(Т)~1
существует.
Применяя этот результат к сжатию Г\ которое является
вполне неунитарньш вместе с Г, и к функции и~, входящей
§ 3. РОЛЬ ВНЕШНИХ ФУНКЦИЙ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ 137
в Е°° одновременно с и, видим, что существует оператор
и~ (Т*)~К Поскольку \Г (Т*) = и(Т)\ то множество значений
оператора и(Т), т. е. область определения оператора и (Г),
плотно в ф. Предложение доказано.
Условие, наложенное на функцию и, является существен-
существенным:
Предложение 3.2. Для всякой функции и^Н°°, не являю-
являющейся внешней, существует такое вполне неунитарное сжатие
Т в пространстве |>=й={0}, что и(Т) = О.
Доказательство. Можно считать, что и(%)Ф0. Пусть
и*= и^ —каноническое разложение функции и на внутренний
и внешний множители. По предположению щ непостоянна.
Если мы найдем такое вполне неунитарное сжатие Г, что
щ(Т) = 0, то будем иметь и(Т) = щ{Т)ие{Т) = О.
Обозначим через щН2 множество функций utvt где v про-
пробегает Я2 (заметим, что все функции utv входят в Я2, так
как функция щ ограничена). Поскольку \ut(elt)\=l почти
всюду, то отображение и->^и является линейным й изометри-
изометрическим в гильбертовой метрике в Я2. Следовательно, щН2 —
подпространство пространства Я2. Поскольку функция щ не
является внешней, то в силу теоремы Бёрлинга (предложе-
(предложение 1.2) подпространство ^Я2 не совпадает с Я2. Положим
$ = Н2ещН2. Тогда &=^{0}.
Обозначим через V оператор умножения на % в Я2; V
является односторонним сдвигом в Я2, следовательно, V*n-+O
при п-+ оо, причем
rv=v(X)-v@)
Заметим, что подпространство ^Я2 инвариантно относительно
V и, следовательно, дополнительное к нему подпространство
§ инвариантно относительно V*. Полагая
T = (V№\ C.1)
получаем сжатие Г в §, для которого
Гп = Уп\9->0 (я->оо). C.2)
Итак, V и Т вполне неунитарны. Более того, из C.2) следует,
что
Tn = PVn\$ (я = 0, 1 ...), C.3)
где Р — ортопроектор из Я2 на ф. Отсюда следует, что
w(T) = Pw(V)
для произвольной функции w e Я°°, где, очевидно, w (V) — опе-
оператор умножения на w (К) в Я2,
138 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В частности,
ui(T)h*=Pul(V)h = Pui(X)h(X) для всякого Аеф.
Поскольку щ/г^щН2, т. е. щН±$ для всякого h e Я2, то
иДГ) = О.
Оператор Т обладает, таким образом, всеми требуемыми
свойствами: он является вполне неунитарным сжатием в про-
пространстве $ф{0} и щ(Т)=О.
Следует добавить, что всякая функция ауеЯ°°(ю^0), для
которой w(T) = Ot кратна функции щ. Для установления этого
факта заметим прежде всего, что функция h0 (К) = 1 — щ @) щ (К)
входит в §. Действительно, для любой функции и?Я2
2я
(utvt ho)$ = JL J щ (e//j 0 ^ [j _ ^. @)^G)] Л =
0
2я
Из w (T) == О, в частности, следует, что 0 = w (T) h0 = Pwh0. Сле-
Следовательно, wjh^ щН2, who = UiV (uGfl2), откуда w
где v{ = v + щ(О)х0 ^ Н2. Таким образом,
I vx (еи) \ = \щ (elt)\\ Vl (e") \ = \w (e")\K II w \L
почти всюду на С. Из формулы Пуассона, связывающей зна-
значения функции Vi(X) в D с ее граничными значениями на С,
вытекает, что | Vi(l) |^|| w Ц^ (^gD), Итак, vl^H°° и, следо-
следовательно, w кратно щ в Н°°.
Из предложений 3.1 и 3.2 вытекает
Предложение 3.3. Пусть и е Н°°. Для того чтобы оператор
и(Т)~1 существовал (в широком смысле) для любого вполне
неунитарного сжатия Г, необходимо и достаточно, чтобы функ-
функция и была внешней, т. е. чтобы и^Е°°. Для таких функций
оператор и(Т)~1 имеет плотную область определения.
Следствие. Пусть v<=zH°° и \ v (К) |< 1 в D. Тогда ие=Е°°
влечет w°ug E°°.
Доказательство. В силу теоремы 2.1 оператор Тг =
= v (Г) является вполне неунитарным сжатием, каково бы ни
было вполне неунитарное сжатие Г, и
Если и&Е°°, то существует и(Т')~х и, следовательно, суще-
существует ^^(Г)'1, Отсюда вытекает, что u°v^E°°.
§ 3. РОЛЬ ВНЕШНИХ ФУНКЦИЙ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ 139
2. Пусть Т — некоторое сжатие. Обозначим через К? класс
функций и^Н™, для которых оператор и(Т) имеет обратный
(в широком смысле) с плотной областью определения. Оче-
Очевидно, что для фиксированного Т класс К? является мульти-
мультипликативным.
Для we К? имеем
[и(Т)-1]* = [и{ТУ]-1 = [и~(Г)]-1 C.4)
и, следовательно, и~ е К?*- В силу симметрии
Кт* = (КтТ. C.5)
Из предложения 3.3 вытекает, что Е°° cz К? для вполне не-
неунитарных сжатий Т.
Пусть оператор Т = V унитарен, а функция и принадлежит
Н°°. Как мы уже знаем, если u{elt) существует ?\,-почти всю-
всюду (условие B.19)), то и^Ну и u(V) = us (V). Для того чтобы
существовал оператор u{V)~l, необходимо и достаточно, чтобы
u(elt) существовало и было отлично от нуля ?к-почти всюду,
т. е. чтобы
Ev{C°u) = O. C.6)
Из теории спектральных интегралов вытекает, что при этом
условии us(V)~l = {l/u)s(V) и, следовательно,
2л
«(!/)-'=/ [t/u(eu)]dEy,t,
6
причем последний оператор имеет плотную область определе-
определения. Из условия C.6) следует, что и принадлежит Kv и
u{V)~l = (l/u)*{V).
Пусть u,v^H°° таковы, что | v (X) |< 1 в D и множества
С v И ~V{C°U)
имеют меру О относительно Ev. При этих предположениях
функция u°v (elt) существует и отлична от нуля ?\,-почти всю-
всюду и, значит, на основании сказанного выше u°v входит
в Kv.
Перейдем к рассмотрению сжатий Т общего типа. Исполь-
Используя каноническое разложение Т = То@Ти применяя предложе-
предложение 3.3, следствие из него и замечания, сделанные нами для
случая унитарного оператора, приходим к следующей теореме.
140 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Теорема 3.4. (а) Для произвольного сжатия Т класс К?
мультипликативен, и Кт* = {К?У.
(б) Класс КТ содержит, в частности, все функции и е Е™,
длу которых множество С°и имеет меру О относительно спект-
спектральной меры ЕТу отвечающей унитарной части оператора Т.
(в) Если и е Е°°, v е Я°°, | v (X) | < 1 (А, е D) и множества
Cv и v (С°и) имеют меру О относительно Ет, то
В настоящей главе мы применим наше функциональное
исчисление к изучению одного нового класса сжатий, который
мы обозначим через Со, а также к изучению однопараметри-
ческих полугрупп сжатий. При этом мы будем применять лишь
некоторые, наиболее простые результаты, главным образом
теоремы 2.1 и 2.3. В полном объеме полученные выше ре-
результаты будут использованы позже, в следующей главе, где
мы распространим исчисление на неограниченные аналитиче-
аналитические функции.
§ 4. Сжатия класса Со
и их минимальные функции
1. Пусть Г —сжатие в пространстве § и С/ —его минималь-
минимальная унитарная дилатация. Как известно, для всякого Ле§
существует предел
Lh= lim U~nTnh D.1)
/l-»oo
(см. предложение II. 3.1, где было доказано, что Lh является
ортогональной проекцией h на подпространство 9^ простран-
пространства дилатации). Из D.1) вытекает, что
U~mLTmfi= lim U-m-nTm+nh = Lh
М->оо
и, следовательно,
LTmh=UmLh (m = 0, 1, ...). D.2)
Предположим, что сжатие Т вполне неунитарно. Тогда
в силу D.2)
L(T)h (U)Lh D.3)
для всякой функции и е Н°° и всякого Ag§.
Выберем и и /г так, чтобы и(к)щ?0 и
u{T)h = 0. D.4)
§ 4. СЖАТИЯ КЛАССА Со И ИХ МИНИМАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 141
На основании D.3) будем иметь
u{U)Lh = 0. D.6)
Функция и(еи) существует и Ф О почти всюду относительно
лебеговой меры, а значит, и относительно спектральной меры
оператора U (поскольку эта последняя абсолютно непрерывна).
Отсюда следует, что оператор u(U) имеет обратный (в широком
смысле): u{U)~l «= (l/u)*(U). Поэтому из D.5) вытекает, что
LA = О и, следовательно,
lim ||ГЛЛ|— lim 1?/"яГяЛ| —И^Л|| —0.
Я->оо Я->оо
Полученный результат может быть сформулирован в виде
следующего предложения.
Предложение 4.1, Пусть Т — вполне неунитарное сжатие
в пространстве ф, и (А,) — функция из Я°°, и(к)Ф0. Тогда если
/*<=?> и и(Г)/г = 0, то rV*-*0 (м-*оо).
В том случае, когда и(Г)Л = 0 для всех Ag§, т. е. когда
и (Г) = О, имеем также и~ (Г*) — и (Т)* =» О. Применяя предыду-
предыдущий результат к функции и~ и оператору Т , получаем
Предложение 4.2. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие и
и{Т)=О для некоторой функции и е Я°°, и (К) Ф 0. Тогда Тп->0
и Т*п->0, т. е. ГеС00.
Класс сжатий, рассмотренных в этом предложении, заслу-
заслуживает более глубокого изучения. Введем следующее
Определение. Будем называть классом Со класс вполне не-
неунитарных сжатий Г, для каждого из которых существует функ-
функция ие=Н°°, и{1)ф0у такая, что и{Т)=О.
Предложение 4.2 утверждает, таким образом, что
Со си Соо.
Заметим, что для каждого Т sC0 функцию и, о которой
говорится в определении, можно выбрать внутренней. В самом
деле, если и =- иещ — каноническая факторизация функции и,
то ue(T)Ui(T) = u(T) = О. Поскольку ие(Т)~1 существует на ос-
основании предложения 3.1, то ^(Г) = О.
Очевидно, что если и (Т) = О для некоторой функции и е Я°°,
и Ф 0, то v (Г) = О для всякой функции и, кратной и в Я°°.
Возникает следующий вопрос. Пусть Т — произвольное сжа-
сжатие из Со. Существует ли среди внутренних функций и, удо-
удовлетворяющих условию t/(r) = O, функция, являющаяся дели-
делителем всех прочих? Такую функцию, если она существует, бу-
будем называть минимальной функцией оператора Т и обозначать
142 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
через тт\ она определяется с точностью до постоянного мно-
множителя, по модулю равного 1. В самом деле, если щ (к) и
и2(к) — внутренние функции, являющиеся делителями друг друга,
то и{{к) = хи2A), где |к|=1 (см. § 1).
При доказательстве теоремы 3.2 был фактически построен
важный пример, имеющий отношение к введенным понятиям.
Именно было доказано
Предложение 4.3. Для всякой непостоянной внутренней функ-
функции m (X) пространство
отлично от {0}; оператор Г, определяемый в $> равенствами
принадлежит классу Со, и его минимальная функция совпадает
с т{Х).
Другие важные примеры сжатий класса Со будут рассмот-
рассмотрены в следующих главах, в частности в гл. VIII и IX.
2. Установим теперь важное
Предложение 4.4. Для всякого сжатия ГеС0 существует
минимальная функция тт(К).
Доказательство. По предположению класс & внутренних
функций и, для которых и(Г) = О, непуст. В силу приводимой
ниже леммы 4.5 и(Г) = О, где v — наибольший общий внутрен-
внутренний делитель функций класса &. Очевидно, mT = v.
Лемма, которую мы только что использовали, формули-
формулируется следующим образом.
Лемма 4.5. Пусть {иа}а^А — конечное либо бесконечное се-
семейство внутренних функций, v — ux наибольший общий вну-
. тренний делитель. Если для некоторого вполне неунитарного
сжатия Т в пространстве $ и для некоторого элемента As§
выполняется условие иа(Т)Н = 0 (а е Л), то v(T)h = 0.
Доказательство. Пусть [/.— минимальная унитарная
дилатация оператора Г, {?*}— спектральное семейство опера-
оператора U; Et есть абсолютно непрерывная функция от /. Для
произвольного gE§
Поскольку ua(T)h = 0 (ае Л), то для v = 0, 1, ...
2л ,
§ 4. СЖАТИЯ КЛАССА Со И ИХ МИНИМАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 143
и, следовательно,
Согласно предложению 1.5,
0(*«)фА>в(ОеЧо-
Поэтому
2Я
(о (Г) A, g)= lv(elt)q>h,g(t)dt = O.
О
Поскольку g —произвольный элемент из §, то и(Г)/г = О.
3. Минимальные функции сжатий класса Со играют роль,
во многих отношениях аналогичную той роли, которую играют
минимальные многочлены для конечных матриц.
Например, подобные между собой матрицы имеют один и
тот же минимальный многочлен. Мы докажем аналогичный
факт для минимальных функций операторов сжатия, причем
при менее ограничительном условии: мы будем лишь предпо-
предполагать, что одно из сжатий является квазиаффинным преобра-
преобразованием другого (см. § II. 3).
Предложение 4.6. Пусть Тх и Т2 — вполне неунитарные сжа-
сжатия, и пусть Т2 является квазиаффинным преобразованием Тх.
Если одно из этих сжатий принадлежит классу Со, то это же
справедливо для второго сжатия и их минимальные функции
совпадают.
Доказательство. Предположим, что существует квази-
квазиаффинитет X из §2 в Ьь такой, что ХТ2 = Т1Х. Тогда
XT2 = T"X (и = 0, 1, ...) и, следовательно, Хи(Т2) = и{Т\)Х для
любой функции и^Н°°. Если Т\ е Со, то, в частности,
Хттх(Т2) = ттх(Т\)Х = О. Из обратимости оператора X вытекает
тогда, что Шт1{Т2) = О и, значит, Г2^Со, а пгт2 является де-
делителем Штг Обратно, если Т2 е Со, то пгт2(Т\)Х = ХпгТ2{Т2) = О.
Поскольку Х§2 = фр то шт (Т^)= О. Следовательно, T{s=C0 и
гптх является делителем пгт2.
Итак, если одно из двух сжатий принадлежит классу Со,
то этому классу принадлежат оба сжатия. Их минимальные
функции делятся друг на друга и потому совпадают.
Из доказанного предложения вытекает, что минимальная
функция является инвариантом квазиподобия.
4. Пусть Г —сжатие класса Со в пространстве ?>. Тогда
пгт(Т)=О. В силу леммы 4.5 равенство
u{T)h = 0 D.6)
144 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
для некоторой внутренней функции и и ^некоторого fte§ вле-
влечет равенство
{A){T)h = 0 D.7)
(значок Л означает взятие наибольшего общего внутреннего
делителя).
В частности, если и и тт взаимно просты, т. е. мД% = 1,
из D.7) следует, что Л = 0. Таким образом, для внутренней
функции и, взаимно простой с пгт, оператор и (Т) обратим.
При этом и~ взаимно просто с т^ = тТ+ и, следовательно,
оператор иГ (Г*) также обратим. Поскольку иГ (Г*) = и(Т)*,
то область значений оператора и (Т) плотна в ф. Мы доказали
тем самым
Предложение 4.^. Если Т&С0, то для всякой внутренней
функции и, взаимно простой с минимальной функцией тт, опе-
оператор и{Т) имеет обратный оператор с плотной областью опре-
определения, т. е. функция и принадлежит классу К? (введенному
в § 3.2).
§ 5. Соотношения между минимальной функцией
и спектром
Из линейной алгебры известно, что нулями минимального
многочлена матрицы являются собственные числа этой матрицы
и только они.
Установим аналогичное предложение для операторов
класса Со.
Теорема 5.1. Пусть mT (k) — минимальная функция сжатия
Т gC0, а (Т) — спектр Г. Пусть, далее, sT — множество, состоящее
из нулей функции тт (Л) в открытом единичном круге D и до-
дополнения относительно единичной окружности С к объединению
всех тех дуг, на которых функция пгт (X) аналитична (т. е. че-
через которые она может быть аналитически продолжена). Тогда
Доказательство. Пусть а —точка замкнутого единич-
единичного круга, не принадлежащая sr. Тогда тт(а)ф0. Действи-
Действительно, если ае D, то это вытекает из определения sr. Если же
asG, то это следует из того факта, что функция mT(k)y бу-
будучи внутренней, удовлетворяет условию | mT (eil) \ = 1 почти
всюду и, в частности, в каждой точке С, в которой тт ана-
аналитична. \
§ 5. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МИНИМАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ И СПЕКТРОМ 145
Пусть
Очевидно, и е Я°°, поэтому из функционального исчисления для
сжатий следует, что
(а/ - Т) и (Г) = и (Т) (а/ - Т) = шт (а) / - шт (Г) = пгт (а) /.
Отсюда видно, что (а/ —Г) существует в узком смысле,
Таким образом, а^а(Г). Соотношение
o(T)czsT E.1)
доказано.
Пусть теперь ogDh m^ (a) = 0. Тогда
где /га —внутренняя функция. Из функционального исчисления
вытекает, что
(Г - а/) па (Т) = (/ - аГ) mr (Г) = О.
Если бы а не принадлежало спектру а (Г) оператора Г, то отсюда
следовало бы, что па(Т) = О, т.е. тт было бы делителем па1
что не имеет места. Таким образом, а?а(Г), Итак,
5гЛДс:сг(Г). E.2)
В силу E.1) и E.2) нам остается доказать включение
5гПСс=а(Г), E.3)
или, что равносильно, включение
С\5г=эр(Г)ПС, E.4)
где р (Т) — резольвентное множество оператора Г.
' Воспользуемся факторизацией
mT(l) = KB(h)S(l), |x| = l, E.5)
где В (h) — произведение Бляшке и 5 (А,) — функция вида
(|i — неотрицательная сингулярная мера; см. A.11) — A.13)).
10 Зак 517
146 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
. 7 _
Для того чтобы установить E.4), надо показать, что функ-
функция тт(Х) аналитична на всякой открытой дуге со czC (]р(Т).
Поскольку каждая точка дуги со находится на положительном
расстоянии от а (Г), то, как вытекает из* E.2), нули функ-
функции пгт (к) не могут сгущаться к точкам этой дуги. Отсюда
следует, что функция В (к) аналитична на со. Остается рас-
рассмотреть функцию S(k). Она, очевидно, будет аналитична
на со, если jx-мера интервала (со) *) равна нулю. Докажем это
последнее.
Допустим противное. Функция
ехр ( - f ^i- d\xt
щ е
является внутренним делителем функции тт (X). Поскольку
| т^О) | = ехр[—м-(со)] < 1, то функция mx{\i) не постоянна.
Функция m2 = mT/ml является внутренней, и mlm2:=mTi откуда
тх {Т) пг2 (Г) = пгт (Г) = О. ' E.6)
Если бы оператор пг{(Т) имел обратный (в широком смысле),
то из E.6) вытекало бы, что пг2(Т) = О. Тогда функция пгт
была бы делителем функции т2, что неверно. Таким образом,
оператор тх(Т) не имеет обратного. Это означает, что подпро-
подпространство
не сводится к {0}. Очевидно, что ${ инвариантно относительно Т.
Положим Ti = T\${. Поскольку ш{ {Т{) = тх (Т) \ Фг = О, то ми-
минимальная функция mTi оператора Тг должна быть делите-
делителем пг1 и потому должна иметь вид
/ 2л \
/л \ / Г е + X * \
шт (л) = ехр — —г-4 аи,и ,
II - \ J etl -X I
\ о /
где \х{ — неотрицательная сингулярная мера, мажорируемая ме-
мерой \i на (со) и аннулирующаяся на дополнении к (со). Отсюда
следует, что множество s^, отвечающее функции пгТУ лежит
на дуге со. Применив соотношение E.1) к Ти получим a{T{)cz
a sT с: со. Пусть |v|>l. Из соотношений
/1=0
1) Для 0 с: С через (со) будем обозначать множество точек t e [0, 2я),
для которых е** ^ со,
§ 6. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЕЙ И ПОДПРОСТРАНСТВАМИ 147
следует, что инвариантное подпространство $>{ отображается
оператором v/ — T на себя, откуда вытекает равенство
Если v стремится к точке ^gC, принадлежащей множе-
множеству р (Г), то (vl{ — Т{)~1 стремится по норме к (?,/ — T)~l | §! и,
следовательно, i принадлежит р(Т{). В частности, сос=р(Г1).
Сравнив это включение с ранее полученным включением
af/^czcD, придем к абсурдному результату а(Т{) cz р^).
Полученное противоречие вытекает из нашего предположе-
предположения ц(со) > 0. Следовательно, ц((о) = 0. Теорема доказана.
Следствие 5.2. Собственные значения Ки Л2, ... всякого
сжатия Ts=C0 удовлетворяют условию 20 —| ^п |)< оо.
В самом деле, числа Хп являются нулями функции тт{1) и
сходимость упомянутого ряда вытекает из теоремы Бляшке о
нулях функций класса Н°° (см. Гофман [1], стр. 94).
Следствие 5.3. Существует оператор Т е Со, для которого
в(Т) = С.
В самом деле, пусть ^ — неотрицательная сингулярная мера,
носитель которой совпадает со всей окружностью С (например,
ji —мера, сосредоточенная на точках некоторого счетного всюду
плотного на С множества, причем сумма jx-мер всех точек этого
множества конечна). Функция
m (А,) = ехр
/ 2я \
является внутренней; ей отвечает сжатие Т е Со, для которого
mT(X) = m(V) (см. предложение 4.3). В силу теоремы 5.1 имеем
o(T) = sTi т.е. в рассматриваемом случае в(Т) = С.
§ 6- Соотношения между минимальной функцией
и инвариантными подпространствами
1. Задача построения инвариантных подпространств опера-
оператора и сведения таким путем изучения оператора к изучению
его „частей", индуцируемых в этих подпространствах, решена
в настоящее время лишь при некоторых частных предположе-
предположениях; один из таких случаев был рассмотрен в § II. 5. Мы
будем неоднократно возвращаться к указанной задаче в на-
настоящей книге, причем с различных точек зрения.
10*
148 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Здесь мы покажем, что для сжатий класса Со возможен про-
проход к этой задаче, основанный на рассмотрении минимальных
функций.
Предложение 6.1. Пусть Т — сжатие класса Со в пространстве
*& Ф {0}, #! — нетривиальное инвариантное подпространство опе-
оператора Г. Пусть
Т
-Г1 1
[О Т2\
— триангуляция Г, отвечающая разложению Ф = Ф1©Ф2- Тогда
7\ и Т2 принадлежат классу Со, их минимальные функции Тх и
Т2 являются делителями функции тт> а шт является делителем
произведения mTlmT2a
Доказательство. Очевидно, что
77-Г|$i, Тп2 = Р2Тп\$2 (п-О, 1, ...), F.1)
где Р2 — ортопроектор из ?> на $>2. Поскольку оператор Т вполне
неунитарен (как всякий оператор класса Со), то вполне неуни-
неунитарны и операторы Т{ и 7V Следовательно, для любой функции
и^Н°° существуют операторы и(Т{) и и(Г2). Из F.1) непосред-
непосредственно следует, что
и Gi)-и (Г) 1й. и(Т2) = Р2и(Т)\$2. F.2)
Полагая и = пгт, получаем, что тг(Г1) = 0, тг(Г2) = 0. Следо-
Следовательно, 7\ и Т2 принадлежат классу Со и их минимальные
функции mTv mT2 являются делителями функции пгт.
Из F.2) вытекает также, что при hx e фь ft2 e ф2 имеют
место соотношения
(mr mrj (Г^ hx - mrt (rt) тГ2 (Г,) A2 = 0
Из второго соотношения видно, что вектор h = mT(T)h2 орто-
ортогонален к §2 и» следовательно, принадлежит ф1# Поэтому
(тттт) (Г) Л2 = mTx (T) mT% (Г) ft2 - mTy {T) h = mTx (T{) h = 0.
Таким образом, (тгтг)(Г)Л = 0 как при Ае§ь так и при
Ае§2. Следовательно, {mTrnT^(T) = О и mr является делите-
делителем функции пгт пгт #
Предложение 6.1 доказано.
Предложение 6.2. Пусть Т — сжатие класса Со в пространстве
§(^{0}); «g>a (а е Л) — семейство подпространств, инвариантных
относительно Г. Тогда подпространство ?v = V Фа также инва-
аеА
§ 6. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЕЙ И ПОДПРОСТРАНСТВАМИ И9
риантно относительно Т и минимальная функция оператора Ту «
= Т | §v является наименьшим общим внутренним кратным ми-
минимальных функций операторов Та = Т | §а (а е А).
Доказательство. Инвариантность подпространства §v
очевидна. Из предыдущего предложения вытекает, что Та и Гу
принадлежат классу Со. Поскольку Га является сужением Ту
на §а, то тГу делится на тТа (абА). Следовательно, тТу де-
делится на наименьшее общее внутреннее кратное ту функций тТа
(а е А). С другой стороны, для любого ha e §а
mv GV) К e ™v (^) К - mу (Г„) Ла = О
в силу F.2) и того обстоятельства, что mv кратно шТа. Поэтому
равенство my(Ty)fi=*0 выполняется для всех /iEV§a= §v-
Таким образом, mv (Гу) — О. Следовательно, тТу — делитель mv.
Будучи делителями друг друга, функции ту и mrv совпадают.
2. Оператор Г=О в пространстве {о}, очевидно, принадле-
принадлежит классу Со, и его минимальная функция равна 1. Если исклю-
исключить этот тривиальный случай, то минимальная функция не мо-
может быть константой.
Следующая теорема устанавливает соответствие между
внутренними делителями минимальной функции сжатия Т и
некоторыми подпространствами, инвариантными относительно Г.
Теорема 6.3. Пусть Т — сжатие класса Со в пространстве •?>,
тт — его минимальная функция. Поставим в соответствие ка-
каждому внутреннему делителю m функции шт подпространство
$m cz ф, определяемое равенством
_фт = {Л:Леф, т(Г)/г = 0}. F.3)
Каждое $т ультраинвариантно относительно Г. Пусть > §^ =»
= Ф © §т. Сжатия Tm = T\$m и Trm, фигурирующие в триангу-
триангуляции
имеют минимальные функции m и mf = mT/m соответственно.
Кроме того,
I {0}, если /я (Л) ^ 1,
B) §т( cz ф^ в том и только том случае, когда ml является
делителем т2;
150 ГЛ. Щ. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
_ _ .. , _—_—_ fc
C) если {гПа}ае=А ~~ {конечное либо бесконечное) семей,
ство внутренних делителей функции пгт с наибольшим общим
внутренним делителем т/\ и наименьшим общим внутренним
кратным /nv, то
= © V § = §
Доказательство. Ультраинвариантность подпростран-
подпространства §т вытекает непосредственно из того, что всякий опера-
оператор 5, перестановочный с Г, перестановочен и с пг(Т).
В силу F.2) и F.3) m(rm) = m(r)|?OT=0. Следовательно,
tnTm является делителем т, т. е.
m = пгт р
для некоторой внутренней функции р.
С другой стороны, для произвольного Ag§ имеем
m (T)m' (Г) h = mT(T)h = 0 и, следовательно, h{ = m! (T) h. при-
принадлежит $m. Применив F.2) к fte%, получим
m' {T'm)h= P'm' {T)h = P'hx = b
{P' — ортопроектор из § на %). Таким образом, tn'(T'm) = O
и, следовательно, m / является делителем mr\
1m
Tm4
для некоторой внутренней функции q.
Объединяя полученные результаты, получаем .
тТ = mm' = тГ/?г р • m
С другой стороны, согласно предложению 6.1, пгт является де-
делителем функции пгТт т г . Следовательно, pq = 1, т. е. р = q= 1,
m
откуда m = тТт, тг == m / (с точностью до постоянных множи-
т
телей, по модулю равных 1).
Утверждение A) очевидно. Докажем B). Из F.3) непо-
непосредственно вытекает, что §m cz §m если т{ является дели-
делителем т2. Обратно, пусть ^ cz §mj. Тогда Tm=Tmi\$mi, откуда
Правая часть равна О по определению оператора Тт2. Поэтому
минимальная функция оператора ГШ1, т. е. функция т\Л должна
быть делителем функции т2.
§ 6. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЕЙ И ПОДПРОСТРАНСТВАМИ 151
Докажем C). Заметим прежде всего, что тА является дели-
делителем та и потому §тЛ cz §>та (а е Л), а значит,
ЪтА<=Г\Ъта. F.4)
a
Пусть Л— элемент, принадлежащий пересечению |^§т , т.е.
a
ma(T)h = 0 для всех а о Л. В силу леммы 4.5 mA{T)h = 0 и,
следовательно, h^$mA. Таким образом, справедливо включе-
включение, противоположное включению F.4), т. е. имеет место равен-
равенство.
Из того факта, что mv кратно ma, следует, что §т с: §mv
(aE Л) и, значит,
V ?ч с ?mv. F.5)
a
Докажем, что и здесь имеет место равенство. Для удобства
обозначим через §+ подпространство, стоящее в левой части
F.5); это подпространство инвариантно относительно Г. Пусть
$° = $mvQ $ + И ПуСТЬ
является триангуляцией оператора ГШу, порождаемой разложе-
разложением §mv = §+ф§°. ПОЛОЖИМ
mra = mwjma (ае=Л). F.6)
Тогда mv{T) = ma{T)m'a{T) и, значит, m'a{T)$mv cz §ma, откуда
/я; (Г°) &° - Р°т^ (Гтv) §° cz Р°т^ (Г) $>тv cz Р9фта cz Р°ф+ = {0}.
(Здесь Р° — ортопроектор из ф на ф0.) Таким образом, т^ (Г°) = О.
Поскольку это равенство справедливо для всех aG/1, то по
лемме 4.5 т'А (Т°) = О, где т'А — наибольший общий внутренний
делитель функций т'а (a e Л). Из F.6) вытекает, что функции
т'а взаимно просты, т. е. т'А (к) ^ 1. Поэтому §° = {0}, ?>т = §+
и, следовательно, в F.5) имеет место знак равенства.
Теорема 6.3 доказана.
3. Одно из следствий теоремы 6.3 таково: если тх и т2 —
взаимно простые внутренние делители функции тТ, то
§тх П §тг = {0}, §тх V Фт2 = Фт^. F.7)
152 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В частности, этот случай имеет место, если существуют
такие функции uXi и2&Н°°, что
тхих + т2и2 = 1. F.8)
При этом выполняется более сильное, чем F.7), соотношение
§тх + &т2 = ?Чт2, F.9)
где знак 4- обозначает прямую сумму (не обязательно ортого-
ортогональную). В самом деле, в силу F.8)
mx(T)ux(T)h + m2(T)u2(T)h = h
для всех йе§; если ie$ , то hl = m2(T)u2(T)h входит
в 4?mi, поскольку
тх (Т) hx = и2 (Г) шх (Г) пг2 (Г) h = щ (Г) {mxm2) (Г) h = 0.
Аналогично h2 = mt (Г) их (Т) h e §m2.
Нами доказано
Предложение 6.4. Пусть шх и т2 — внутренние делители ми-
минимальной функции сжатия Г, и пусть существуют такие функ-
функции их и и2^Н°°, что mxux + m2u2=l. Тогда
m2
Другим следствием теоремы 6.3 является такое утвержде-
утверждение: если m — нетривиальный внутренний делитель функции mTi
то соответствующее подпространство §т нетривиально. В самом
деле, ни одно из подпространств §m, $m = $Q$>m не может сво-
сводиться к {0}, поскольку операторы Тт и Гт, фигурирующие
в соответствующей триангуляции оператора Г, имеют непостоян-
непостоянные минимальные функции т и тг == тТ/т.
Как мы уже знаем (см. п. 1.4), всякая непостоянная внут-
внутренняя функция, за исключением функций вида
(М1 1а1<1) FЛ0)
обладает нетривиальным внутренним делителем. Если же пгГ
имеет вид F.10), то X — а = йA — aX)mT{k)y и, следовательно,
T-aI = n{I-aT) mT (Г) = 0, Т = al.
Тогда всякое подпространство пространства § инвариантно от-
относительно Т и, значит, при dim§>l у оператора Г также
существуют нетривиальные инвариантные подпространства.
Итак, если dim§>l, то всякое сжатие Т класса Со в про-
пространстве § обладает нетривиальным инвариантным подпрост-
подпространством.
§ 7. КОРНЕВЫЕ ВЕКТОРЫ СЖАТИЙ КЛАССА Со 153
Этот результат можно обобщить следующим образом. Пусть
«?>' и ф" —инвариантные относительно Т подпространства в §,
причем
Из предложения 6.1 вытекает, что Г' = Г|§'еС0. Пусть триан-
триангуляция Т\ соответствующая разложению §' = $"@Ф'"9 имеет
вид
Г,\Т" X 1
г ~[о г"у
Тогда Г'^сгСо. Поскольку dim§'">l, то в ?'" существует
нетривиальное подпространство ?>{", инвариантное относительно
Г"'. Подпространство $"' @$[" инвариантно относительно Г и
является строго промежуточным между ?>' и ?>" (т.е. ф'гэ
^©''©^Г'рФ'7» Ф' =7^= 9"®$"' Ф §'0- Сформулируем получен-
полученный результат в виде теоремы.
Теорема 6.5. Пусть §' и §" — подпространства, инвариант-
инвариантные относительно сжатия Т е Со, и §^ ?>", dim (?>' © §") > 1.
Тогда существует инвариантное относительно Т подпростран-
подпространство^ строго промежуточное между ?/ и $".
§ 7. Корневые векторы сжатий класса Со и
вопросы, связанные с одноклеточностью
1. Пусть ГеСо и а —лежащая в D точка спектра Г, т. е.
нуль минимальной функции тг(А)(см. теорему 5.1). Полагая
имеем
Щ$) = Ька{К)-та(\\ G.1)
где k^\t а та(к) — внутренняя функция, отличная от нуля
в точке а. Множители в G.1) взаимно просты. Покажем, что
существуют такие функции и,ое Я°°, что
bkau + та • v = 1.
Без ограничения общности можно считать, что а = 0 (совершив
в случае необходимости дробно-линейное преобразование
круга D). Таким образом, т0 @)^=0 и, следовательно, функ-
функция \/то{к) разлагается в ряд Тэйлора в окрестности точки 0.
Пусть v (К) — сумма k — 1 членов этого ряда. Тогда
т мv
154 гл. in. функциональное исчисление, ограниченные функции
где и{Х) — функция, регулярная в некоторой окрестности точки О-
Эта функция продолжается на все D с помощью соотношения
Xku{\)= I —mo(X)v{k). Таким образом, и (К) голоморфна в D,
и е Я°°. Следовательно,
Kku (А,) + т0 {к) v {%) = 1 (К е= D),
где м, не Я°°.
Пусть ?>а и Ф^ —инвариантные подпространства, отвечающие
множителям в G.1), т.е.
Согласно предложению 6.4,
§ = §а + Фа. G.2)
Положим Га = ЛФа, Га = 7* | ©а- По теореме 6.3 минимальные
функции операторов Та и Га равны 6а и пга соответственно.
Если fte§, то условия
очевидно, эквивалентны. Отсюда, следует, что а является соб-
собственным значением порядка k для оператора Г, а подпрост-
подпространство §а состоит в точности из корневых векторов опера-
оператора Г, отвечающих собственному значению а (и вектора ОI).
Итак, доказано
Предложение 7.1. Если Т а Со, то каждый нуль функции
шт{К) в D является собственным значением Г. Порядок собст-
собственного значения а равен кратности а как нуля тт{Х).
Представляет интерес выяснить, при каких условиях мно-
множество корневых векторов оператора Г, отвечающих всем ле-
лежащим в D точкам спектра Г, порождает пространство §.
Предложение 7.2. Пусть Т о Со . Для того чтобы корневые
векторы Ту отвечающие лежащим внутри D точкам спектра Г,
порождали все пространство §, необходимо и достаточно, чтобы
минимальная функция оператора Т была функцией Бляшке.
1) Вектор /ig§, НФО, называется корневым вектором, отвечающим
собственному значению а} если (Т — al)n h = 0 для достаточно больших п.
Говорят, что собственное значение а имеет конечный порядок /г, если
(T — aI)kh = 0 для любого корневого вектора /г, отвечающего значению а,
но (Г — al)k~l ho^Q хотя бы для одного такого вектора /*Q.
§ 7. КОРНЕВЫЕ ВЕКТОРЫ СЖАТИЙ КЛАССА Со 155
Доказательство. Предположим, что # = V &«> где а
а
пробегает лежащие в D точки спектра Г, §а —корневое подпро-
подпространство, отвечающее значению а. Пусть В (Я) — произведение
Бляшке, входящее в факторизацию внутренней функции тт(Х).
Если а как собственное значение имеет порядок k = k(a),
то В (К) делится на &я(Я). Для любого h^$a имеем
В {Т) h = (B/ ba){T) ba{T) h=; 0.
Поскольку $ = V$a> то В(Т) = 0. Таким образом, функция
а
тт (К) является делителем функции В (К) и, следовательно,
тт {К) = В (Я).
Докажем обратное утвержл^ние. Предположим, что тт(К) —
произведение Бляшке. Поскольку пгт (к) является наименьшим
общим-внутренним кратным множителей Ъка (Я), отвечающих
всевозможным лежащим в D нулям а функции тт(%), то по
теореме 6.3
V §а = &тг = ?.
а
Предложение 7.2 доказано.
2. Линейный ограниченный оператор Г в гильбертовом про-
пространстве § называется одноклеточным, если его инвариантные
подпространства образуют систему, упорядоченную по включе-.
нию, т.е. если для любых инвариантных подпространств Ж иsJi
либо Ш cz 31, либо Wl id Ш. Мы будем рассматривать однокле-
одноклеточные сжатия класса Со .
Предложение 7.3. Пусть Т — одноклеточное сжатие в прост-
пространстве §, принадлежащее классу Со. Тогда минимальная функ-
функция оператора Т есть функция вида
[т^к)П Aа1<1' п-натуральное) G.3)
или
exp(s-r——) (|а|=1, s — вещественное положительное) G.4)
в зависимости от того, dim'P = n или dimp = oo.
Доказательство. Пусть mT(k) — минимальная функция
оператора Г. Ее нельзя разложить на два взаимно простых внут-
внутренних множителя, отличных от постоянных: в противном слу-
случае оператор Г имел бы нетривиальные инвариантные подпро-
подпространства V\ и ф2» такие, что ^i П €>2 = {0} (см. теорему 6.3 и
равенства F.7)), что противоречит одноклеточности Г. Используя
общее параметрическое представление A.11)— A.13) внутренних
156 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
функций, получаем, что тг(Х) является либо произведе-
произведением Бляшке с единственным нулем asD, либо внутренней
функцией 5 (Л), порождаемой неотрицательной сингулярной ме-
мерой на С, носитель которой состоит из единственной точки
as С. Поэтому минимальными функциями одноклеточных сжа-
сжатий могут быть лишь функции вида G.3) или G.4). Нам остается
доказать, что случай G.3) имеет место тогда и только тогда,
когда dim§»n.
Поскольку одноклеточный оператор не может иметь более
одного собственного вектора (с точностью до скалярного мно-
множителя), то матрица одноклеточного оператора в конечномер-
конечномерном пространстве ?> подобна жордановой матрице, состоящей
из единственной клетки
a I
a I
a I
a
n (dim $ = n)
(отсюда и термин „одноклеточность").
Если Т принадлежит классу Со, то Тп->0 и, следовательно,
|а|<1. Из приведенной формы матрицы оператора Г следует,
что подпространства
$v={ft: fte§, (r-a/)vA = 0} (v = 0, 1, ...n) G.5)
удовлетворяют условиям
G.6)
в частности, $п-х Ф §„. Это равносильно тому, что й2(Г)—О,
Ъ1~Х{Т)ФО, где Ьа{Х) = -?—?-. Поскольку а(Г) = {а}, то ми-
минимальная функция оператора Т должна быть равна некото-
некоторой степени множителя Ьа(к); таким образом, Шт(А,) = б2(^),
где п = dim ф.
Покажем, что и обратно, если Т — одноклеточное сжатие
в пространстве #, и тт{Х) = ЬЪ{\), где |a|<I, n- натуральное
число, то dim §< оо. В самом деле, 62(Т) *= О влечет (Г—a/)rt = O
и, следовательно,
м-1
§ 7. КОРНЕВЫЕ ВЕКТОРЫ СЖАТИЙ КЛАССА Со 157
Отсюда вытекает, что для всякого As § подпространствоЭЯ(А),
натянутое на векторы ht Th Tn"lhy инвариантно относи-
относительно Т. При этом dim Wl (h) < п. Пусть Ао — такой вектор, что-
9№ (h0) имеет максимальную размерность. Покажем, что ЗЯ (А0)==ф.
Допустив противное, мы получим вектор h} e Ф, не содержа-
содержащийся в Ш (h0). Поскольку оператор Г одноклеточен, то2Я(А0)
должно содержаться в 9№(/м), откуда dim 9№(A1)>dim 9№(A0)>
что невозможно. Тем самым доказано, что dim ф^я. В силу
доказанного выше для конечномерных пространств фактически
имеет место равенство.
Отсюда следует также, что случай G.4) имеет место тогда
и только тогда, когда dim ф = оо.
Теорема доказана.
Следствие. Спектр всякого одноклеточного сжатия класса Со
состоит из единственной точки а. При этом либо |а|<1, либо
| а | = 1 в зависимости от того, конечна или бесконечна размер-
размерность §.
Сделаем еще одно замечание, которое мы сформулируем
как
Предложение 7.4. Если Т' — одноклеточное сжатие класса С0
в пространстве Ф конечной размерности1) п, то подпростран-
подпространства ?v, определяемые равенствами G.5) (где {а} = аG1)), яв-
являются единственными инвариантными подпространствами Т.
Доказательство. Инвариантность ?>v относительно Т
очевидна. Пусть 3R — произвольное инвариантное подпростран-
подпространство. Из одноклеточности Г и из включений G.6) вытекает, что
для некоторого \i выполняется условие ?^ с: Ш а фд+1. По-
Поскольку dim ?vey для любого v, то н><1 dimWl ^\i+ 1 после-
последовательно, Зй совпадает либо с ^, либо с Ф^+i- Предложе-
Предложение доказано.
Заметим, что в определении подпространств #v условие
(Г — al)vh = 0 можно заменить эквивалентным условием bl(T)h = 0.
Заметим также, что функции b^Ck) (v = 0, ..., п) являются
единственными внутренними делителями функции тт (К) (^= Ь^{К))
Эти простые факты, установленные для случая dim$<oof,
имеют свои аналоги в случае dim§ = °o. Именно рассмотрим
сжатия Т класса Со, такие, что а(Г) = {а}, где |а| = 1. Пере-
Переходя от Г к аГ, можно свести общий случай к случаю-
1) В конечномерном пространстве размерности > 1 всякое одноклеточ-
одноклеточное сжатие входит, очевидно, в класс Сд. — Прим. ред.
158 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ог(Г)={1}. Итак, пусть минимальная функция Т имеет вид G.4)
с а= 1. Поскольку эти функции будут играть в последующем
важную роль, мы введем для них сокращенное обозначение
(s>0). G.7)
Эти функции являются внутренними. Единственными внутрен-
внутренними -делителями функции еа(к) являются функции es(k), где
0<<
Предложение 7.5. Пусть Т — сжатие класса Со в простран-
пространстве §, такое, что
пгт {%) = еа {X), а = ат>0.
Подпространства
$>s = {h: fte§, es(T)h = 0} @<s<a) G.8)
улътраинвариантны относительно Г, и
&о = {0}, &, ^ •#* пРи 0 < s, < s2 < а; фа = ©; G.9)
0<s<a; G.10)
x>s
~ 0<s<a. G.11)
Соответствующие ортопроекторы Es образуют спектральное се-
семейство на [0, а], строго возрастающее и непрерывное.
Если Ту кроме того, одноклеточно, то у Т нет других инва-
инвариантных подпространств.
Доказательство. Положим TS = T\$S @<s<a). По
теореме 6.3 mTs = es при s>0, так что, в частности, Г5| Ф TS2
и, следовательно, §s, Ф §s2 при Si ф s2. Остальные утвержде-
утверждения G.9) очевидны.
Соотношения G.10) и G.11) вытекают из теоремы 6.3, C),
поскольку es(k) является наибольшим общим внутренним дели-
делителем функций ех{К) {x>s) и наименьшим общим внутренним
кратным функций ех(К) (x<s).
Остается рассмотреть случай, когда оператор Г еще и одно-
одноклеточен. Пусть WI — нетривиальное инвариантное относи-
относительно Т подпространство, и пусть
s = sup{A:: ^czSR}.
§ 7. КОРНЕВЫЕ ВЕКТОРЫ СЖАТИЙ КЛАССА Со 159
Согласно G.9) и G.11), $sczWl и, следовательно, s<a. Если
s<x<a, то $х не содержится в Ш, значит, в силу однокле-
точности Ту Ш содержится в $х. Из G.10) вытекает тогда, что
П
Х> S
Таким образом, §s cz Wl и Wl cz §s, т. е. 2W = ?S.
Предложение 7.5 доказано.
3. В заключение установим два свойства одноклеточных
операторов в комплексном гильбертовом или банаховом про-
пространстве §. Во втором из этих свойств речь будет идти
о „циклических" векторах.
Определение. Вектор Ае§ называется циклическим для
действующего в § оператора Г, если § порождается векторами
Tnh (п = 0у 1, ...)•
Предложение 7.6. Каждое инвариантное подпространство
ограниченного одноклеточного оператора Т ультраинвариантно.
Доказательство. Пусть й — инвариантное подпростран-"
ство одноклеточного оператора Г; X — ограниченный оператор,
перестановочный с Г. Для любого комплексного X положим
8Х = (А,/ — -У)Й. Очевидно, 8Л инвариантно относительно Г. По-
Поэтому либо 8Л cz 8, либо йл zd 8. Если хотя бы при одном X
имеет место включение 8Л cz 8, то Х8 cz 8. Если же 8Л id 8 при
всех К, то, в частности, 8 id (XI — X)~l& при |А,|>||Х||. Из ра-
равенства 1)
f HMX)~ldk (9>\\X\\)
следует тогда, что 8=dZ8. Итак, во всех случаях Z8 с 8, т.е.
8 инвариантно относительно X. Таким образом, 8 ультраинва-
ультраинвариантно относительно Г.
Предложение 7.7. ?Ъш Т — одноклеточный оператор в сепа-
рабельном2) пространстве §, то множество © нециклических
векторов оператора Т является объединением счетного семей-
семейства нетривиальных инвариантных относительно Т подпространств.
Доказательство. Пусть {9WJ — семейство всех нетри-
нетривиальных инвариантных подпространств оператора Т. Тогда
») При | Я | > || X || имеем
Я(Я/~Х)-1=/ + ЯЛ-Я-2Х2+ ...
2) Легко видеть, что в несепарабельном гильбертовом пространстве
одноклеточные операторы существовать не могут.
160 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
® = (j9Jia. Пусть {xj —счетное плотное подмножество в ©. Для
a
каждого / выберем такое Шаг что xt s 9Wai, и положим
<S' = (j2Ra.. Если @' = <S, то © уже представлено как объеди-
объединение счетного семейства нетривиальных инвариантных под-
подпространств в §. Если же ©' — собственное подмножество в ®,
то существует такое №р, которое не содержится ни в одном из
Ша( и, следовательно, содержит все Ша,. Тогда ЭДоГэ^} и по-
потому 2Яр=э®, Зйр«<5.
Предложение доказано.
Поскольку нетривиальное подпространство не может быть
плотным в §, то, применяя теорему Бэра о категориях (см.,
например, Данфорд и Шварц [1], стр. 31), получаем
Следствие 7.8. Для любого счетного семейства {Т{} одно-
одноклеточных операторов в сепарабелъном пространстве § суще-
существует вектор, циклический для всех Tt одновременно. В част-
частности, если Т' — одноклеточный оператор, то существует вектор,
циклический для операторов Т и Г*.
§ 8. Однопараметрические полугруппы сжатий,
их генераторы и когенераторы
1. Укажем некоторые применения нашего функционального
исчисления к изучению однопараметрических полугрупп сжатий
{T(s)}s>0 в гильбертовом пространстве Ф, непрерывных в том
смысле, что jT(s)->/ при s->+0. *)
Напомним, что для такой полугруппы генератор, или (инфи-
нитезимальный) производящий оператор Л, определяется равен-
равенством .
Ah= lim K\ h (8.1)
0 5
для тех fte§, для которых этот предел существует. Опера-
Оператор А замкнут, и его область определения 25 (Л) плотна в ?>,
причем (Л — /)" существует как оператор, определенный всюду
в ф и ограниченный. Как известно, А однозначно опреде-
определяет полугруппу {Т{s)} (теорема Хилле и Иосиды, см.
Хилле и Филлипс [1], гл. X, или [Лекции], п. 143).
Заметим, что ||r(s)|Kl влечет
Re{Ah, Л)<0 (8.2)
1) Достаточно . предполагать слабую сходимость Т (s) -*> I при s-> + 0,
поскольку (с учетом остальных предположений) из нее следует сильная
непрерывность Т (s) в каждой точке s (см. п. I. 8.2).
§ 8. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ СЖАТИЙ 161
при /*<=?) (Л) (см. A.10.6)). Поэтому
||(Л-h/)/г||2 —1|(Л — /)/г||2 = 4Re(ЛД, /г)<0 (ЛеФ(Л)),
и оператор Г, определяемый равенством
Т = (А + 1)(А-1Г\ (8.3)
является сжатием в «& (область определения которого совпа-
совпадает со всем пространством, поскольку это имеет место для
(л-/)).
Мы будем называть этот оператор Т коеенератором полу-
полугруппы Т (s). Эта терминология оправдывается тем обстоятель-
обстоятельством, что Т однозначно определяет А и, следовательно, полу-
полугруппу {Г (s)}. В самом деле, в силу (8.3)
(8.4)
Поэтому (Т — Z)" существует и равен -^ (Л — /), откуда
' (8.5)
Существование оператора (Т — Z)" означает, между прочим,
что 1 не является собственным значением оператора Г.
Из сказанного следует, что при изучении полугруппы {Т (s)}
когенератор Т может заменить генератор Л; преимущества, ко-
которые вытекают из того факта, что оператор Т ограничен
(и даже является сжатием), в то время, как оператор Л неогра-
неограничен, очевидны. Мы увидим, что различные свойства полу-
полугруппы весьма заметно отражаются на свойствах ее когенера-
тора.
Естественно возникают две задачи: 1° охарактеризовать все
сжатия Г, являющиеся когенераторами полугрупп сжатий {Т (s)};
2° выяснить соотношения между Т и Т (s), не обращаясь
к генератору Л, вообще говоря неограниченному.
Прежде чем сформулировать теорему, дающую ответ на
поставленные вопросы, сделаем одно очевидное замечание. Если
единица не является собственным значением сжатия Г, то она
не является и собственным значением унитарной части Г. По-
Поэтому если Ет — спектральная мера на единичной окружности,.
соответствующая унитарной части Г, то Ет({1}) = 0. Следова-
Следовательно, всякая функция и е Я°°, определенная и непрерывная
всюду в D, за исключением, быть может, точки 1, принадле-
принадлежит классу Hf. В частности, это имеет место для функций
es(k) (см. равенство G.7)), регулярных всюду в комплексной
плоскости, за исключением точки 1. При этом |?С(А,)|^1 в D,
\es(X)\=l в С\{1}.
162 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Теорема 8.1. Пусть Т — сжатие в ф. Для того чтобы суще-
существовала непрерывная полугруппа сжатий {T(s)}s>0> когенератор
которой совпадает с Г, необходимо и достаточно, чтобы 1 не
была собственным значением Т. При этом Т и Т (s) взаимно
определяются друг другом, а именно
T(s) = es(T) (s>0), (8.6)
Г= limq>,(r(s)), (8.7)
где
m A-1+s \~:§ 2s
/2=1
Доказательство. Пусть Т — произвольное сжатие, не
имеющее 1 собственным значением. Применяя теорему 2.3 и
очевидные соотношения
= 1, е8(X)et(X) = es+t(X); \es(X)\^l (lefl);
=l для lefl\{l},
получаем, что операторы es(T) образуют непрерывную полу-
полугруппу сжатий. Обозначим через А' генератор, а через Т'— ко-
когенератор этой полугруппы.
Покажем, что Т'^Т. Для этого рассмотрим функции
us(X) = Ф5 оes(X) - [es(X)-l+ s] [es(X)-l- 5] (s>0). (8.9)
Как нетрудно показать, эти функции голоморфны и ограничены
по модулю единицей в D и непрерывны в D \ {1J, причем
\\mus(X)*=X
0
Снова, применяя теорему 2.3, находим, что Us^Hf и
ИМШ<1 (s>0), Umu8(T) = T. (8.10)
С другой стороны, согласно (8.9),
Us{T) = V8°es{T) = <f8[e8(T)]. (8.11)
Опять-таки в силу (8.9)
Применяя обе части последнего равенства к произвольному
элементу h из области задания А\ переходя к пределу при
s-> +0 и принимая во внимание (8.10), получаем
§ 8. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ СЖАТИЙ 163
Следовательно, Г(Л'-/) = Л' + / и Т = (Л' + 1)(А'-1)~\ от-
откуда Т = Т'.
С помощью приведенной конструкции можно получить все
непрерывные полугруппы сжатий в «?>. Действительно, как было
отмечено выше, когенераторы таких полугрупп являются сжа-
сжатиями, не имеющими единицы собственным значением. Равен-
Равенство (8.6) вытекает из того факта, что полугруппа однозначно
определяется своим когенератором.
Теорема 8.1 доказана.
Замечание. Из предложения 1.3.1 следует, что если Т не
имеет единицы собственным значением, то это же справедливо
и для Г*. Учитывая, что е~ (l) = es(l) и, следовательно,
es (Т)* = es G1*), получаем следующее утверждение. Если Т — ко-
генератор полугруппы {Т {s)}s>0, то Т* — когенератор сопряжен-
сопряженной полугруппы {Т (s)*}s>0.
Поэтому сильная сходимость (8.7) сохранится, если заме-
заменить Т на Т\ а Т (s) на T(s)*. Воспользуемся этим фактом,
чтобы доказать следующее
Предложение 8.2. Для того чтобы непрерывная полугруппа
сжатий {Т (s)}s>0 состояла из операторов, нормальных, само-
самосопряженных или унитарных, необходимо и достаточно, чтобы
ее когенератор Т был соответственно нормальным, самосопря-
самосопряженным или унитарным.
Доказательство. Если операторы Т(s) нормальны при
всех s^ 0, то нормален и оператор фЛ^^)]. Но тогда из (8.7)
и из только что сделанного замечания следует, что
<PslT(s)]->T9 <ps[T{sY]->f при s-> +0.
Поскольку qps [T (s)*] = ф5 [Т (s)]* (ибо ф5~ = ф5), оператор Т также
нормален.
Если все операторы T(s) являются самосопряженными, то
это же справедливо и для Ф5[3ПE)], а следовательно, и для
Л)]
Перейдем к случаю, когда операторы Т (s) унитарны при
всех s ^ 0. Для каждого фиксированного s > 0 оператор ф5 [Т (s)]
есть интеграл от функции ф5 (Я) по единичной окружности отно-
относительно спектральной меры оператора T{s). Можно показать
(используя, например, окружности Аполлония), что
164 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Отсюда следует, что
Переходя к пределу при s-> + 0 получаем
II 77*11 = Hm \\<fs[T(s)]h\\ =
+0
Поскольку оператор Т нормален, заключаем, что он унитарен.
Докажем теперь обратные утверждения. Предположим, что
оператор Т нормален и
— его спектральное представление. В силу теоремы 2.3, (е),
(8.12)
и, следовательно, оператор Т (s) нормален.
Поскольку мы интегрируем по спектру Г, а функция es(k)
вещественна на вещественной оси и равна по модулю 1 на
единичной окружности, то из (8.12) вытекает, что самосопря-
самосопряженность или унитарность оператора Т влечет соответственно
самосопряженность или унитарность оператора Т (s).
Предложение 8.2 доказано.
2. Продвинемся несколько далее в рассматриваемом круге
идей.
В случае когда T(s) (и Т) унитарны, формула (8.12) прини-
принимает вид
T(s)= J exp(s-?3f)<MCv
I Л. 1 — 1
Это представление приводится к представлению
оо
T(S)= jelsxdEx, (8.13)
— оо
даваемому теоремой Стоуна, если перейти от единичной окруж-
окружности с выколотой точкой 1 к вещественной оси с помощью
преобразования 1)
1) Этот иуть доказательства теоремы Стоуна близок к пути, которым
следовал фон Нейман [1].
§ 8. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ СЖАТИЙ 165
Точно так же, если Т (s) (и Т) — самосопряженные операторы,
то мы получаем спектральное представление 1)
(8.14)
переходя от интервала —1 ^5"А,< 1 к полуоси 0^#<оо с по-
помощью отображения
3. Пусть {Т (s)} — непрерывная полугруппа сжатий в гильбер-
гильбертовом пространстве фи Т — ее когенератор. Рассмотрим разло-
разложение § = §0Ф'&1» отвечающее каноническому разложению
оператора Т в ортогональную сумму унитарной части То и
вполне неунитарной части Тх\
Т = Тъ@Тх. (8.15)
Тогда и(Т) = и (То) © и G^) для произвольной функции и е #F-
В частности, для функций es получаем разложение операторов
полугруппы
T(s) = T0(s)@Tx(s) (s>0), (8.16)
где
(8.17)
Из унитарности То вытекает унитарность T0(s) при любом 5
(предложение 8.2). С другой стороны, не существует никакого
подпространства ф' ф {0} в пространстве фи которое приво-
приводило бы все операторы Т{ (s) к унитарным операторам. Дей-
Действительно, в противном случае операторы T\(s) = Tl(s)\^i об-
образовывали бы унитарную полугруппу в фь когенератор которой
Т\ = Тх | 9' был бы в силу предложения 8.2 унитарным опера-
оператором. Последнее же невозможно, ибо оператор Тх вполне не-
неунитарен.
Естественно называть полугруппу сжатий {Т (s)}s>0 в про-
пространстве ф вполне неунитарной, если никакое подпростран-
подпространство ^ этого пространства (в том числе и само ф) не приводит
все операторы полугруппы к унитарным операторам.
]) Частный случай одной теоремы С.-Н адя и X и л л е. Общий случай
может быть сведен к этому частному. В самом деле, непосредственно
доказывается, что для сильно непрерывной полугруппы {./V (s)}s^>o огРани~
ченных нормальных операторов существует такое вещественное число а, что
оператор Т (s) ¦¦ e~as N (s) является сжатием при произвольном
166 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Приняв это определение, можно сформулировать получен-
полученный выше результат следующим образом.
Предложение 8.3. Для всякой непрерывной полугруппы сжа-
сжатий каноническое разложение (8.15) ее когенератора порождает
по формулам (8.16), (8.17) каноническое разложение полугруппы
в ортогональную сумму унитарной и вполне неунитарной полу-
полугрупп.
Единственность такого разложения полугруппы вытекает из
единственности" канонического разложения ее когенератора.
§ 9. Унитарные дилатации полугрупп.
Полугруппы изометрий
1, Пусть {Т {$)}s>0 — непрерывная полугруппа сжатий в про-
пространстве Ф, Г —ее когенератор, U — минимальная унитарная
дилатация Г, действующая в пространстве
?= V Un$. (9.1)
—oo<s<oo
Поскольку единица не является собственным значением Г, она
не является собственным значением и для U (см. предложе-
предложение II. 6.1). Следовательно, U является когенератором некоторой
непрерывной полугруппы {U (s)}s>0 унитарных операторов. Эта
полугруппа продолжается по формуле U ( — s)= U(s)~l до непре-
непрерывной группы {U {s)}_oo<s<oo. В СИЛУ теоремы 8.1
, (9.2)
+0). (9.3)
Соотношения (9.2) с учетом теоремы 2.3, (ж) показывают, что
r(s) = np U(s) (s>0). (9.4)
Мы получили снова теорему 1.8.1 о существовании унитар-
унитарной дилатации {U (s)} для непрерывной полугруппы сжатий Т (s),
причем здесь этот результат вытекает из теоремы о существо-
существовании унитарной дилатации U для одного сжатия Т.
Наше построение дает минимальную унитарную дилатацию
полугруппы T(s). В самом деле, положив
$Г= V ?/(*)&
— oo<S<oo
получим подпространство Л' в $, которое приводит все опера-
операторы U (t) и, следовательно, все операторы %[U (t)]9 а значит,
и limq)t[U{t)] = U (t-* +0). Поскольку ф с: Л', то подпростран-
§ 9. УНИТАРНЫЕ ДЙЛАТАЦЙИ ПОЛУГРУПП 167
ство Un$ также должно содержаться в $' при я = О, ± 1, ±2, ....
Ввиду (9.1) отсюда следует, что 51 с: 51', т. е. 51 = 51'.
Кроме того, имеет место соотношение
V ?/*?= V U(s)$ (9.5)
>0 >0
и, более общим образом,
V Un$\ = V U(s) Ri для произвольного 5^ с= St. (9.6)
>0 >0
В самом деле, используя тэйлоровы разложения функций
es (I) s Я00 и [Фв (Л)]я е Л (s > 0, п > 0),
^s (D = S ^ E) Л*, [<р, № = 5 4 E, я) ЯЛ, (9.7)
а также соотношения (8.6) и (8.7), получаем
оо
?/(s)-«,([/)- lira S гЧ(«)У' (s>0), (9.8)
r-»l-0fe=0
oo
Un~ lim <p"[f(s)]= Hm 2 4 (s, n)U{ks) (n>0). (9.9)
s->+0 s->+0 fc-0
Отсюда с очевидностью следует (9.6). Аналогичное соотношение
V ?/"%= V U(s)*Sti (9.10)
^0 ^O
получается путем рассмотрения сопряженной полугруппы {U (s)*}.
Сходным образом устанавливаются соотношения
V (Un-Tn)9{= V (U(s)-T(s))Qx (9.11)
И
V (?/•». г*л) ^j = v (U (sy - г (sY) 9i (9.12)
>0 >0
для произвольного ^! с: ф. Действительно, (9.11) вытекает из
равенств
оо
f/ (s) - Г (s) = ея(f/) -es (Г) = lim 2 r% (s) (Uk - Tk) (s>0)
Г->1-0 fc-0
Un-Tn= lim ф? [?/ (s)} - lim Ф^ [Г (s)] =
0 +0
lim 2 dk(n,s)(U(ks)-T(ks)),
0ft0
168 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
а (9.12) получается переходом к сопряженной полугруппе. Ком-
Комбинируя соотношения (9.10) и (9.11), а также (9.6) и (9.12),
получаем
V Wm(Un-Tn)Qx= V U(tY(U(s)-T(s))^ (9.13)
п, >0 t >0
V ит{и%п-Гп)§х = V ?/(*)(?/(«Г-W)#i (9.14)
m, я>0 t, >0
для произвольного §1 cz ф.
Эти соотношения, подчеркивающие симметричную роль полу-
полугрупп и их когенераторов, представляют и самостоятельный
интерес ввиду того значения, которое имеют подпространства,
стоящие в левых частях равенств (9.5), (9.11) —(9.14) при изу-
изучении „индивидуальных" сжатий (гл. II и IV). В Самом деле,
пространство (9.5) является пространством^ минимальной изо-
изометрической дилатации для оператора Т (см'. § 1.4), а простран-
пространства (9.11) —(9.14) при $! = Ф совпадают с пространствами
0 ?/, 0 U'n&\ А* (8)= © ?/, Af B*) = ф ?/я2\ (9.15)
0 0 —оо — оо
где
(см. § II. 1). Последнее вытекает из тождеств
[/*-м-:г+1 = 2 uk(u-T)Tn~k (я = о, 1, ...) '
fe-0
и
Un{U-T) = {Un+]-Tn+l)-{Un-Tn)T (п = 0, 1, ...).
Остановимся на еще одном приложении, которое находится
в связи с § II. 3. Непосредственным вычислением там была
установлена формула
| U*nTnh - U*mTmh f = || Tmh ||2 -1| Tnh |p @ < m < n)
при Ае§, из которой следует существование предела
ал= lim U*nTnh. (9.16)
/1->OO
Аналогично получается формула
из которой вытекает существование предела
а;«= lim U(s)'T(s)h. (9.16')
«->во
§ 9. УНИТАРНЫЕ ДИЛАТАЦИИ ПОЛУГРУПП 169
Если §! порождается одним элементом А, то подпростран-
подпространство, стоящее в левой части равенства (9.13), мы будем обо-
обозначать через -21Л, а подпространство в правой части —через %'h.
В силу (9.16) и (9.160 имеем
h-ah= lim U*n(Un -Tn)hs=%h
/l-»oo
h - a' = lim U (s)' (U (s) - 7" (s)) Л es %'
S->oo
С другой стороны, для произвольных целых неотрицатель-
неотрицательных р и q и ft>p
(U*nTnh, U*p{Uq-Tq)h) =
= {Т% Un~p {Uq - Tq) h) == (Tnh, Tn~p+qh - Tn"pTqh) - 0
и, значит, ah _L 4ih. Аналогично устанавливается, что arh _L 21^.
Следовательна, вектор h — ah является ортогональной проек-
проекцией h на 91/г, а вектор h — a'h — ортогональной проекцией h на 31?.
Поскольку, согласно (9.13), \ = 21^, то ah = a'h.
Этим доказана одна часть приводимого ниже предложе-
предложения 9.1. Другая часть получается аналогично.
Предложение 9.1. Пусть {Т (s)} — непрерывная полугруппа
сжатий, Т — ее когенератор, {U (s)} и U — соответствующие мини-
минимальные унитарные дилатации; U (s) = es(U). Тогда
lim U*nTnh= lim ?/(s)T(s)A, (9.17)
lim ?/пГ"А = lim U (s) T (s)* h, (9.17')
/l-»oo S->oo
w, следовательно,
lim ||Г7Н1= lim'|| Г (s) A ||, (9.18)
tt-»oo S->oo
lim 1 Г'"Л I = lim || Г (s)" h ||. (9.18')
2. Введем понятия непрерывных полугрупп сжатий {T(s)}s>0
класса Со., класса С\. и т. д. по аналогии со случаем одного
сжатия (см. § II. 3). Например, полугруппа класса Со. опреде-
определяется условием lim T (s) h = 0 для любого А.
S->oo
Из соотношений (9. IS) и (9.180 вытекает
Следствие. Для того чтобы полугруппа {T(s)}s>0 принадле-
принадлежала к классу Со., С\. и г. д., необходимо и достаточно, чтобы
ее когенератор принадлежал к соответствующему классу сжатий.
170 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В связи с рассматриваемыми классами напомним о тео-
теореме II. 4.1, устанавливающей существование различных триан-
триангуляции для сжатия. Будучи примененными к когенератору Т
полугруппы сжатий {Т (s)}, эти триангуляции порождают соот-
соответствующие триангуляции полугрупп. Для того чтобы убедиться
в этом, достаточно учесть следующий почти очевидный факт:
если некоторое сжатие Т обладает триангуляцией
О
то всякая функция и е Н™ принадлежит также классам Н^
(/=1, 2, ..., г) и
и(Тх)
и(Т) =
О
и(ТГ)
3. Вернемся к соотношению (9.18). Поскольку \\Tnh\\ и
|| Т (s) h || — невозрастающие функции от п и s соответственно
(/г = 0, 1, ...; 0<!s<oo), то общий предел (9.18) может быть
равен \\h\\ лишь в том случае, когда \\Tnh^ = \\h\\ = \\.T(s)h\\ для
любого й^О, s^O. Отсюда вытекает следующее дополнение
к предложению 8.2.
Предложение 9.2. Для того чтобы непрерывная полугруппа
сжатий состояла из изометрий, необходимо и достаточно, чтобы
ее когенератор был изометрией.
Пусть {V(s)}s>0 — непрерывная полугруппа изометрий в про-
пространстве ф и V — ее когенератор. Оператор У, будучи изомет-
изометрией, порождает разложение Вольда (см. § 1.1)
(9.19)
где
(9.20)
Оператор V приводится подпространством ?>0 к унитарному
оператору Fo, а подпространством §х — к одностороннему
сдвигу Vx. (Разумеется, одно из подпространств ф0> §х может
сводиться к {0}.) В соответствующем разложении
s), где Vo{s) =
§ 9. УНИТАРНЫЕ ДИЛАТАЦЙИ ПОЛУГРУПП
полугруппа {V0(s)} унитарна в силу унитарности оператора VOy
а полугруппа {Ki(s)} вполне неунитарна, Поскольку оператор V^
вполне н^унитарен.
Положим
n (9.21)
Это определение не зависит от а, поскольку подпространства
Vi(s)$i убывают с ростом s:
Vl(s)Vl(t-s)$ic:Vi(s)$i при
Таким образом, для любого /^0
V{(t)% = V{(t) П УЛ8)9{- П V{{t + s)9x= П tM*)*i~3i,
s>0 s>0 s>t
откуда вытекает, что подпространство % приводит изомет-
рии V[(t) {t^O) к унитарным операторам (см. § I. 1) и, следо-
следовательно, оператор VJSi также унитарен. Поскольку опера-
оператор V\ вполне неунитарен, то 3i = {0}. С другой стороны, оче-
очевидно, что V0(s)$Q = $0 при всех s^O. Поэтому
П V(s)9
Таким образом, для подпространства §>0 мы получаем два пред-
представления
>0
В этом соотношении полугруппа и ее когенератор снова высту-
выступают симметричным образом.
Пусть •?>! ф {0}, или, что равносильно,
Кардинальное число Ь есть кратность одностороннего
сдвига V\\ мы будем называть его также кратностью вполне
неунитарной полугруппы изометрий \V\{s)}\ Ь определяет опера-
оператор V\, a^следовательно, и полугруппу V{(s) с точностью до
унитарной эквивалентности.
Очевидно, что при образовании ортогональных сумм таких
полугрупп их кратности складываются. Поэтому если будет най-
найдена полугруппа {v (s)} кратности 1, то полугруппа {V (s)} крат-
кратности Ь будет унитарно эквивалентна ортогональной сумме b
экземпляров полугруппы {v(s)}.
Пример полугруппы {v (s)} кратности 1 в пространстве L2@, oo)
дается формулой
v(s)f(x) = f(x-s) (s>0)
172 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
(мы полагаем f(x) = O при х<0). Эту полугруппу будем назы-
называть непрерывным односторонним сдвигом в L2@, оо).
Очевидно, что {v(s)}s>0 является непрерывной полугруппой
изометрий в L2@, оо) и что
v(s)*f(x) = f(x + s)
так что
оо
Ц(П1Р/|Ш124*0 при
Таким образом, полугруппа {v (s)} вполне неунитарна. Непо-
Непосредственное вычисление показывает, что генератор а этой полу-
полугруппы задается формулой
J
Область определения оператора а состоит из функций f^L2 (О, оо),
абсолютно непрерывных и удовлетворяющих условиям
Далее, можно доказать, что когенератор v = (а + /)(а — 7)"
сопряженный к нему оператор v* задаются формулами
Поскольку
L2 @, оо) 0 vL2 @, оо) = {/: f e L2 @, оо), v*f = 0},
а уравнение o*f = 0 имеет единственное (с точностью до произ-
произвольного постоянного множителя) решение f(x) = e~x, то {v(s)}
имеет кратность 1.
Подведем итоги.
Теорема 9.3. Всякая непрерывная полугруппа изометрий
{V(s)}s>0 в пространстве § может быть разложена в ортого-
ортогональную сумму непрерывной полугруппы унитарных операторов
{Уо(s))s^ои вполненеунитарной полугруппы изометрий{V{(s)}s>0.
Полугруппа {Vi{s)}s>Q унитарно эквивалентна ортогональной
сумме Ь экземпляров непрерывных односторонних сдвигов {v (s)}
в пространстве L2@, оо), где Ь = dim[§©!/•&] и V — когенератор
полугруппы {V(s)}s>0. %
§ §. УНИТАРНЫЕ ДИЛАТАЦЙИ ПОЛУГРУПП 173
(Одна из полугрупп {V0(s)}t {V{(s)} может отсутствовать,
т. е. соответствующее подпространство может сводиться к {0}.)
Доказанная теорема имеет одно простое следствие для слу-
случая непрерывных групп {U (s)}_oo<s<oo унитарных операторов
в ?\ обладающих уходящим подпространством, т. е. таким
подпространством ?>0, что:
(а) U(s)$0cz§0 при всех s>0;
(б) П
()У()ФоФ
Прототипом таких групп служит непрерывный двусторонний
сдвиг{аE)}_оо<5<оо в пространстве L2( — oo, oo, N) функций f (x)
со значениями в гильбертовом пространстве N, определяемый
равенством
u(s)f{x) = f{x-s) (- оо<5<оо).
Уходящим здесь является подпространство L2@, oo; N), вложен-
вложенное естественным образом в L2(— oo, oo; N).
Предложение 9.4. Каждая непрерывная группа {U (s)}_oo<s<oo
унитарных операторов в пространстве ф, для которой существует
уходящее подпространство ф0> унитарно эквивалентна непрерыв-
непрерывному двустороннему сдвигу {u(s)}_mOO<s<CQ в пространстве
L2(— oo, oo; N), где N —некоторое гильбертово пространство
с dim N = dim (Фо© V&o)> здесь V — когенератор полугруппы
V()()\9()
Доказательство. Из (а) и (б) вытекает, что [V {s)}s>0 —
вполне неунитарная полугруппа изометрий в ?0. По теореме 9.3
эта полугруппа унитарно эквивалентна непрерывному односто-
одностороннему сдвигу {v(s)}s>0 в L2@, oo; JV). Пусть т — отображе-
отображение Фо на L2@, oo\ N), осуществляющее эту унитарную экви-
эквивалентность. Расширим т, положив
т# = и(- s)x(U(s)g)
для всех ge§, таких, что U(s)g входит в ф0 ПРИ некотором
s>0. В силу унитарности U(s) и u(s) (— оо<5<оо) так рас-
расширенный оператор т является изометрией, а в силу (в) его
область определения есть плотный в § линеал. Очевидно, об-
область значений т плотна в L2(— oo, oo; JV). Производя теперь
расширение по непрерывности, получаем унитарный оператор (обо-
(обозначаемый снова через т), отображающий ф на L2{— oo, oo; N)
и такой, что %U (s) = и (s) т для всех вещественных s.
Предложение доказано.
174 ГЛ. III. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Комментарии
Изложенные в § 1 результаты о классах Харди скалярных
аналитических функций можно уже считать классическими. Их
доказательства имеются, например, у Гофмана [1]. Предло-
Предложение 1.1, обобщающее теорему Бёрлинга, является новым
(см. также С.-Н. и Ф. [VI], теорема 2). Предложения 1.3—1.5
взяты из С.-Н. и Ф. [VI], [VII].
Существование у всякого сжатия Т унитарной дилатации
открывает возможность построения для Т функционального
исчисления, основывающегося на хорошо известном функ-
функциональном исчислении для унитарных операторов. Это стало
очевидным уже после первой заметки С.-Н ад я [I]. Система-
Систематическое изучение такого исчисления было проведено Ш р а й -
б ер ом [2], а затем С.-Н. и Ф. [III]. В последней заметке
установлены функциональные соотношения между однопара-
метрической непрерывной полугруппой сжатий и ее когенерато-
ром, составляющие содержание § 8.
На этом этапе применимость теории была ограничена тем,
что не было известно общих признаков абсолютной непрерыв-
непрерывности спектра минимальной унитарной дилатации U операто-
оператора Т (за исключением весьма сильного условия ||Г||<1, уста-
установленного Шрайбером [1]). Открытие того факта, что U
имеет абсолютно непрерывный спектр для всякого вполне не-
неунитарного сжатия (см. С.-Н. и Ф. [IV]), сняло эти ограничения
и привело к созданию функционального исчисления для сжатий
в том виде, в каком оно и было изложено в § 2 и 3 (см.
С.-Н. и Ф. [VI]).
Стоит отметить, что в частном случае изометрий (или же
их преобразований Кэли — максимальных симметрических опе-
операторов) функциональное исчисление, близкое к нашему, было
построено Плеснером [1] —[3].
Существенная разница между функциональным исчислением
Рисса — Данфорда (см. [Лекции], гл. XI) и функциональным
исчислением для сжатий, основанном на унитарных дилатациях,
состоит в том, что во втором случае допустимые аналитиче-
аналитические функции могут быть нерегулярными в некоторых точках
границы спектра Т (а именно, в точках, расположенных на еди-
единичной окружности). Функциональное исчисление типа, близ-
близкого к нашему, было предложено Фояшем [2]. Оно базиру-
базируется на введенном фон Нейманом понятии спектрального
множества (см. [Лекции], гл. XI) и допускает использование
аналитических функций, нерегулярных в конечном числе точек,
лежащих на границе спектра, но не принадлежащих к точеч-
КОММЕНТАРИИ 175
ному спектру. Фояш [2] — [3] наметил также возможности при-
применения этого исчисления к полугруппам сжатий.
Предложение 2.2 о максимальности нашего функциональ-
функционального исчисления является новым; оно обобщает более ранний
результат Ф о я ш а [5].
В нашем функциональном исчислении „теорема об отобра-
отображении спектров" сохраняет силу, по крайней мере для вполне
неунитарных сжатий Т и функций м(А,)е#°°, непрерывных
в точках множества а(Т)(]С. Именно, в этом случае спра-
справедливо соотношение а (и (Т)) = и(а(Т)) (см. Фояш иМлак[1]).
Сжатия класса Со и их минимальные функции введены
в С.-Н. и Ф. [VII], где получено . большинство результатов
§ 4 — 7. Предложение 7.5 первоначально было доказано в С.-Н.
и Ф. [XI]. Предложения 7.6 и 7.7 принадлежат Розенталю [1].
Существование циклических векторов для одноклеточных опе-
операторов в гильбертовом пространстве доказано Гохбергом
и Крейном ([7*], стр. 52-53).
Результаты о непрерывных полугруппах сжатий получены
в С.-Н. и Ф. [III], о непрерывных полугруппах изометрий
(предложение 9.3)— в статье С.-Надя [8]. Предложение 9.4
в несколько иной форме установлено Синаем [1]; см. также
Лаке и Филлипс [1], [2].
В связи с настоящей главой см. еще Фояш, Гехер и
С.-Надь [1]; Фояш и Гехер [1]; Мазани [3]; Млак [5], [7];
С.-Надь [3], [5]-[7]; Шрайбер [4].
ГЛАВА IV
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ
ФУНКЦИИ
§ 1. Правила исчисления
1. Мы продолжим построение функционального исчисления
для сжатий Т в гильбертовом пространстве §, имея в виду
включить в это исчисление также некоторые неограниченные
функции. Напомним определения классов Я~ и Кт, введенные
в § 2 и 3 предыдущей главы: класс Н™ состоит из функ-
функций и е Я°°, для которых существует предел и (Т) = lim щ (Г);
10
класс К? состоит из функций и е Яг, для которых и (Г)~*
существует и имеет плотную в •§> область определения. Класс Я?
является алгеброй, класс К? мультипликативен.
Определение. Обозначим через NT класс функций qp (А,),
мероморфных в открытом единичном круге D и допускающих
представление
-^, где uetfr, vs=K? A.1)
(заметим, что v (А,) Ф 0). Для каждой такой функции полагаем
Ф (Т) = v(T)~l u(T). A.2)
Поскольку класс Я~ является алгеброй, а класс Кг муль-
мультипликативен, то из соотношений
V V * Vi ' V2 V{V2 ' V2 V2 VXV2 ^ \ '
вытекает, что класс NT — также алгебра.
Теорема 1.1. (а) Определение A.2) оператора ф(Г) не зави-
зависит от выбора функций и и v в представлении A.1). Опера-
Оператор ф(Г) замкнут, имеет плотную в § область определения
55[ф(Г)] и перестановочен с Г, а также с каждым ограничен-
ограниченным оператором, перестановочным с Т, г. е.
В частности,
v{T)~1u(T)zdu(T)v{T)-{ при и^Нтг vz=K?. A.4)
§ 1. ПРАВИЛА ИСЧИСЛЕНИЯ 177
(б) (сф) (Т) = су (Т) при сфО.
(в) (ф2 + ф2) (Т) id ф! (Т) + ф2 (Т), причем равенство имеет место,
если, например,
в частности, если ф2 s Я~.
(г) (Ф1Ф2) (Г) => ф1 (Г) ф2 (Г); если D [ф2 (Г)] =э © [(ф1ф2) (Г)],
в частности, если ф2 е Я~, то имеет место равенство. «Всегда
справедливо равенство
Ф1 (П ф2 (П = (Ф1ф2) (т) | [2) [ф2 (Т)] п 2) [(ф1ф2) (г)] ]. A ;б)
В частности, при ф, ф g JVr имеем (ф~!) (Г) = ф(Г)~1.
(д) ?сли ф е Л^г, то ф~ е Л^г* м ф~ (Г) =) ф (Г)*.
(е) Если y^NT и уе=Н°°,то \\ Ф (Г) II < IIФIL-
(ж) ?сл« ф е NT и 1/ф? Я°°, то 1/ф е Л^т-.
(з) 'Пусть ф = «/у, г5^ « <= Я°°, у е ?°°, и пусть w <= Я°°,
| w (А,) | ^ 1 в D. Допустим, кроме того, что множества
CW9 w(Cu), w(C°v) A.6)
(см. § HI. 2 и III. 3) имеют меру О относительно спектральной
меры Ет, отвечающей унитарной части оператора Т *)• Тогда
w е Я?*, оператор Т = w(T) является сжатием и, кроме того,
фош?Л[Г; ф? NT'\ ф (Г') = ф°ш (Г).
(и) Пусть оператор Т нормален, К = Кт~~его спектральная
мера и функция cp = u/v такова, что
us=H°°, v<= Е°°, Ет {Си) = О, Ет (C°v) = О !).
Тогда оператор ф (Г) существует и равен ф53 (Г) — интегралу от
функции ф(А,) /го
Доказательство, (а) Пусть q> = u/v, ф = «7^/
представления вида A.1) функции ф. Из соотношения uv' = vu'
следует, что
u(T)v'(T) = v(T)u'(T).
Отсюда
у (Г) и (Г) = о (Г) v (Г) у' (Г) и (Т) =
- о'(Г)"'о (Г) и (Г) о'(Г)-
= v (ТГ[ v (ТГ1 v (Т) и (Т) = v (Г) и (Г).
!) Если оператор Т вполне неунитарен, то Ет (со) при любсш со есть
нулевой оператор в поостранстве {0}.
12 Зак. 517
178 ГЛ. IV. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, определение A.2) оператора ф(Г) однозначно.
Положим для краткости и(Т)= U, v{T) = V. Оператор ф(Г)«
= V~lU, очевидно, линеен. Докажем его замкнутость. Если
то, с одной стороны, Uhn->Uhy а с другой Uhn = Vq>(T)hn->Vg
и, следовательно, Uh = Vg. Поэтому
l
Соотношение A.4) следует из ограниченности операторов
U, V и их перестановочности. В самом деле,
VlU d V~lUVV~l = V'lVUV~l = UV~l.
Из определения класса Кт вытекает, что V~l имеет плотную
в ф область определения. Поэтому и область определения опе-
оператора ф(Г) плотна в ф (см. A.4)).
Если S —линейный ограниченный оператор, перестановочный
с Г, то S перестановочен также с функциями от Т класса #г\
поскольку они могут быть получены с помощью предельного
перехода из многочленов от Т. Следовательно,
ф (т) S = V~lUS = VlSU => V~lSVV~lU =
= V~lVSV~lU = SV~lU = 5ф (Г),
т. е. оператор S перестановочен с ф(Г).
Утверждение (б) очевидно.
Для доказательства утверждений (в) и (г) рассмотрим две
функции
Для краткости положим Uk = uk(T), Vk = vk(T). Ввиду соотно-
соотношений A.3) имеем по определению
(ф, + Фа) (т) = v;lv;{ {u{v2 + u2v{), (ф,ф2) (т) = v^v^u.u,.
Используя A.4), получаем
По тем же соображениям
Ф,(Г) + ф2(Г) =
= [(Ф1 + ф«) - ф2] (Т) + Ф2 (Т) ¦=> [(Ф1 + Ф2) (Т) - Ф2 (Г)] + ф2 (Г).
_^^ § 1. ПРАВИЛА ИСЧИСЛЕНИЙ 179
В случае когда 5>[ф2(Г)] => 5)[(ф! + Ф2)G1)], получаем
Ф1(Г) + ф2(Г)=>(Ф1+<р2)(Г).
Поскольку обратное включение справедливо всегда, то
Ф1(Г) + Ф2(Л = (
Из A.4) вытекает также, что
Включение
® [Ф. (Т) Ф2 (Т)] с ?) [(ф1ф2) (Г)] П © [ф2 (Г)]
становится теперь очевидным. Для того чтобы установить A.5),
остается доказать обратное включение, т. е. доказать, что
Ае©[(ф,<р2)G')]П©[ф2G>)] влечет h е= © [<р, (Г) ф2 (Г)]. Но это
вытекает из равенств
= ^-'(/^ф, (г) а = т/2-V2t/lV2 (Г) л = t/.ф, (г) л.
Действительно, в силу этих равенств
ф1 (Г) ф2 (Г) h = 7Г!^Ф2 (П Л = (Ф1ф2) (Т) h.
Последнее утверждение в (г) получается из соотношения A.5),
если применить его к паре функций ф, 1/ф сначала в одном
порядке, затем в другом.
(д) Если ф = u/v (и е #г\ v e Д"~), то
Ф~ = u~/v~ {uT e Нт*у v~ e /С?*)
(Г) - v~ (ТТ1 и~ (Г) = [v (Т)Г1 и (Т)*
(здесь мы использовали A.4), а также равенство (АВ)* = В*А*9
справедливое для ограниченных А).
(е) Пусть ф==м/о {и^Нт, v<=Kt) и |ф(А,)|<Л1 в D. Тогда
функции ur, vn фг@<><1) принадлежат классу А и ur = q>rvr,
| фг (Я) \^М в D. Применяя результаты п. III. 2.1, получаем
ur{T) = (pr(T)vr(T), || фг. (Г) IK Л* и, следовательно, ||иг(Г)А||<
12*
186 ГЛ. IV. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЬ
<М|| vT(T)h\\ для любого йе§. Переходя к пределу при
г—> 1 — 0, находим || и (Г) h || <M || v (T) h ||, откуда
I^n^rr^lkMUgrll A.7)
для любого g из области определения оператора v (Г). При-
Применив A.4), получим || <р (Г) g IK Л[ || g || на плотном множестве
элементов g. Поскольку оператор ф(Г) замкнут, то он опре-
определен всюду в § и ||ф(ГIКЛ1.
(ж) Если ф = и/и (меЯг, yGi(rM) и |1/Ф(Л)|<Л1, то, про-
проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим
II v (T) h || ^ М || и (Т) h || для любого Ag§. Поскольку оператор
v(T) обратим, то и(Т) также обратим. Применив этот результат
к функции cp~ = u~/v~ и сжатию Т\ получим, что оператор
и*~ (Г*) также обратим. Из равенства и~ (Г*) = и {Т)* следует
тоода, что область значений оператора и(Т) плотна в ?>. Таким
образом, и{Т)^Кт и 1/феЛ^.
(з) В силу теоремы III. 2.3 оператор T' = w(T) является
сжатием и
и (Г) = и о w (Г), v {Г) = voW (Г), A.8)
(все эти операторы существуют). Кроме того, по теореме III. 3.4
vow входит в класс Кт. Поскольку (p = u/vncpow = uo w/v о w,
то qXEENr, q)ow(=NT и ф(Г) = v~l (Г) и (Tf) = [v о w (Г)] X
X {и о w) (Т) = ф о w (Г).
(и) Из теорем III. 2.3 и III. 3.4 и из обычной теории спек-
спектральных интегралов вытекает, что при условиях, наложенных
на и и v, справедливы соотношения
Ф (Т) = v- (ТГ1 и- (Т) = (u/vK (Т) = Ф« (Т).
Теорема 1.1 доказана.
Из утверждений (в), (г) и (ж) сразу следует
Предложение 1.2. Если феЛ[г, то спектр оператора ф(Г)
содержится в замыкании множества принимаемых в D значе-
значений функции ф(Я),
сг(ф(Г))<=Фф). A.9)
Доказательство. Достаточно заметить, что если ? на-
находится на расстоянии d>0 от ф(?>), то | [? — ф(Я)]~ | < 1/d
в D и, следовательно, оператор ?/ — ф(Г) имеет обратный
в узком смысле, ограниченный числом 1/d.
2. Из проведенных выше рассмотрений видно, как важно
знать условия, при которых в A.4) имеет место равенство.
§ 1, ПРАВИЛА ИСЧИСЛЕНИЯ 181
Предложение 1.3. (а) Пусть функции и и v удовлетворяют
условию __
(О) U* V за^аИ^1 и непрерывны в D, голоморфны в D и не
^ имеют в D общих нулей.
Пусть, кроме того, v^K?, где Т —сжатие в &1). Тогда
v{TTlu(T) = u(T)v(Trl A.10)
и для ф = u/v
Ф(ГГ = Ф-(Г). A.11)
(б) Если q>{ = ul/vu q>2 = u2/v2, где ик*=Нт, vk^Kir (^ = 1, 2)
и пара щ, v2 удовлетворяет условию (Q), то
Доказательство. Как известно (см. Гофман [1],
стр. 127), если и и v удовлетворяют условию (Q), то существуют
такие функции а и Ьу непрерывные в D и голоморфные в D,
что в D имеет место равенство
аи+ bv = 1.
Полагая для упрощения записи а(Т) = А, b(T) = By u{T)=U,
v(T) = Vу получаем
Используя это равенство, а также соотношение AV~l = V~~lA,
справедливое в силу A.4), находим
V~lU = (AU + BV) VXU = UAV~~lU + BW~XU a
cz UV~lAU + BU = U (V~lAU + B)= UV~l (AU + VB) =
С учетом включения UV~l cz V~l U (см. A.4)) получаем V~lU =
= UV~\ чем и доказано A.10).
Для установления A.11) достаточно повторить рассуждения,
приведенные при доказательстве утверждения (ж) теоремы 1.1,
воспользовавшись при этом равенством A.10) вместо A.4).
Этим доказано (а). Что касается (б), заметим, что в силу
A.10) v2(Trlul{T)=ul(T)v2{Tr\ откуда
(ф1ф2) (Г) = vx (ТГ1 v2 (Г) Щ (Т) и2 (Т) =
= vj (Г) щ (Т) v2 (ТУ1 и2 (Т) = ф1 (Т) ф2 (Г).
1) Поскольку и и v непрерывны в D и голоморфны в D, то и,
для произвольного сжатия Т (см. теорему III. 2.3).
tn. iv. функциональное исчисление
3. Если для некоторой функции y^NT оператор ф(Г) огра-
ограничен, то естественно спросить, не существует ли такой функ-
функции доеЯ", что ф(Г) = ш(Г). Приводимый ниже пример пока-
показывает, что такой функции ш, вообще говоря, не существует.
Пусть Т — оператор с недискретным спектром и || Т || < 1.
Тогда Т вполне неунитарен и по теореме III. 5.1 не принад-
принадлежит классу Со. Выберем число а, такое, что ||Г||<а<1, и
положим ф(А,)= 1/А, —а. Очевидно, qx=NT и оператор ф(Г) =
= (Г — а/)" ограничен.
Предположим, что существует такая функция шеЯ°°, что
ф(Г) = ш(Г). Тогда {T-aI)w{T) = I и, следовательно, и{Т) = О,
где и{1) = {1 — a)w(k)— 1. Поскольку Т не принадлежит классу Со,
то и(Х) = 0, что противоречит равенству и(а)= — I. Таким об-
образом, не существует, такой ш^Я°°, что w(T) = q>(T).
§ 2. Представление оператора ф(Т) в виде
предела операторов %(Т)
В § III. 2 мы определили функции класса Я? от сжатия Г,
отправляясь от класса А и применяя переход к сильному пре-
пределу
иг(Т)->и(Т) (г-М-0).
Для всякой голоморфной в D функции ф(А,) функция ФГ(А,)
входит в класс А при 0<г<1 и, следовательно, ФГ(Г) имеет
смысл. Встает вопрос: можно ли получить ф(Г) из фг(Г) при
помощи аналогичного предельного перехода — если и не для
всего класса голоморфных функций y^NTi то, по крайней
мере, для некоторого его подкласса. Настоящий параграф по-
посвящен решению этого вопроса.
Теорема 2.1. (а) Пусть Т — сжатие в пространстве $, и пусть
q> = u/v^NT. Всякий вектор h, удовлетворяющий условию
sup ||фг(Г)А1К<х>. B.1)
0<г<1 '
входит в 55[ф(Г)] и
Фг(Г)/г-ф(Г)/г (г ~> 1 - 0). B.2)
(б) Пусть и и v удовлетворяют условию (Q) предложения 1.3,
v принадлежит классу ?рег {см. п. III. 1.3) и обращается в нуль
лишь на множестве точек окружности С, имеющем Ет-меру
нуль. Тогда y = u/v^NT и условие B.1) характеризует те век-
векторы А, для которых q>(T)h имеет смысл. Для этих h
Фг(Г)Л->ф(Г)А (г-М-0). B.3)
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА <р(Г) В ВИДЕ ПРЕДЕЛА фг (Г) 183
Доказательство, (а) Пусть ф = м/а (и^Нт, v)
Рассмотрим последовательность гя->1. В силу B.1) из этой
последовательности можно выделить некоторую подпоследова-
подпоследовательность р„->1, для которой yPn(T)h слабо сходится к g:
%n(T)h-g. B.4)
Поскольку vr(T)*f-> v(T)*f(r->l) для любого fs§, то из B.4)
вытекает, что
= (Фря(Г)Л, vPn(TYf)->(g9 v(TYf) = (v(T)gi f).
С другой стороны, ur(T)h->u{T)h (г->1) и, в частности,
(uPn(T)htf)->{u{T)h9f).
Сравнивая полученные результаты, приходим к равенству
(v(T)g9f)-(u(T)h,f).
Поскольку f произвольно, то v(T)g = u(T) h. Следовательно,
ф(Г)Л существует и равно g.
Итак, мы доказали,-что B.1) влечет существование ср(Г)/г.
Из B.1) вытекает также, что всякая последовательность гп -> 1
содержит подпоследовательность р„->1, для которой
Покажем, что
ФГ(Г)А-Ф(Г)А (г~>1).
Допустив противное, мы получили бы вектор fE§ и последо-
последовательность гя-*1, такие, что
|(Фгй(ПА-ф(Г)А, f)\>s>0 (n=U 2г...)
и было бы невозможно выделить подпоследовательность р„, для
которой фРяBг)А-^ф(Г)А.
Утверждение (а) доказано.
(б) Согласно сделанным предположениям функция v голо-
голоморфна в D, непрерывна в D и обращается в нуль лишь на
подмножестве окружности С, имеющем меру нуль относи-
относительно Ет. Функция'
Щ
184 ГЛ. IV. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ограничена в D константой М9 не зависящей от г @<г<1).
Поэтому v^K? (см. предложение III. 1.3 и теорему III. 3.4),
\w(r, ^)|<М
и
lim w (г; eli) = 1 ?г-почти всюду на С.
г->1
Из теоремы III. 2.3 вытекает тогда, что
С другой стороны, используя условие (Q) для функций и
и vt на основании предложения 1.3 получаем
Ф (Г)-и (Г) о GГ1.
Следовательно, всякий элемент Ае1)[ф(Г)] имеет вид
h = v(T)g,
и, значит, при г-> 1
Теорема доказана.
§ 3. Функции со значениями в угле
Имея в виду дальнейшие приложения, в настоящем пара-
параграфе мы рассмотрим функции ф(А,), значения которых при-
принадлежат некоторому углу комплексной плоскости раствора,
не превосходящего я.
Начнем с функций наиболее простого класса Л.
Предложение 3.1. Пусть
а| (iefl), C.1)
где 0^а^1. Тогда для всякого сжатия Т в § и всякого
j. C.2)
Если
0<а<|, C.3)
то справедливы неравенства:
(а) Ие(ф(Г)Л, Ф(П*Л)>со8ая.тах{||Ф(Г)Л|р, ||ф(ГГА||2};
(б) ||ф(Г)/г||>со8шх||фGГ/г||, ||<рGУ h ||>cosan
§ 3. ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В УГЛЕ 185
(в) Re (Ф (Т) A, [Re Ф (Т)] А) > cos2 -S-1| Ф (Т) A ||2;
cos2-^-
(д) ||ImV(r)A||<tg^||Req>(r)A||,
где
Re Ф (Г) = у [Ф (Г) + Ф (ТП Im <р (Г) = ±- [Ф (Г) - ф (Г)*].
Доказательство. В силу (III.2.6)
где U — минимальная унитарная дилатация Г. Если- Е — спек-
спектральная мера ?/, то для всякого Ае§
, h)\ =
argj
т. е. имеет место C.2).
Пусть теперь справедливо C.3). В силу C.1)
откуда
R
и, следовательно,
Re (ф (Т) h, Ф {ТУ И) = Re (q> (ГJ h, h) = Re (q> (UJ h, h) =
= J Re [ф (e")]2 d (Eth, h) > cos ая J | Ф (<?") I2 d (Eth, h)
о о
f cos ая- ||<р (С/) A |p > cos ая'
Мы воспользовались соотношениями
(см. п. III. 2.1). Неравенство (а) доказано. Константа cosan
является наилучшей. Это следует из рассмотрения функции
ф (Я,)-ехр (¦?¦).
Остальные неравенства получаются из (а) следующим обра-
образом: (б) вытекает из (а) на основании неравенства Шварца:
Re (Ф (Т) h, Ф (ТУ А) < || ф (Г) h || • || ф (ТУ h ||.
186 ГЛ. \У. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(в) проверяется непосредственно:
Второе неравенство (г) вытекает из (в) ввиду неравенства
Шварца. Первое неравенство (г) получается из первого нера-
неравенства (б) так:
II [Re фG-)] Л И^ -g-1П Ф(^)Л П+Н ФGТ А !|] ^4"(* + E^i^i)И Ф(^) Л ||=-
II ф (ПА II-
cos' —
созшх
Наконец, (д) вытекает из (а) следующим образом. На осно-
основании (а)
2 Re (Ф (Г) Л, Ф (ТУ К) > cos ал [ || Ф (Г) h f +1| Ф (Т)* h If].
Поскольку
(
то с помощью очевидных рассуждений получаем
|| ф (Г) h ||2 - 2 Re (Ф (Г) К Ф (ТУ Л) +1| Ф (Г)* h ||2 <
< tg2 -^ [ || Ф (Г) h ||2 + 2 Re (Ф (Т) Л, Ф (ТУ А) +1| Ф (Т)* h ||2],
чем (д) и доказано.
Теорема 3.2. Пусть функция ф = u/v — такая же, /сак в гео-
/?ел^^ 2.1,F), т. е. и и v удовлетворяют условию (Q), у п/?гг-
надлежит классу ?рег гг яа окружности С обращается в нуль
лишь в точках множества Ет-меры нуль. Пусть, далее, при ^eD
Тогда для <р(Т) условие C.2) выполняется при произвольном
Ае®[ф(Г)]. Если
то операторы ф(Г), ф(Г)*, а с hw^w w операторы
Re Ф (Г) = 1 [Ф (Г) + ф (Г)'], Im ф (Г) = ^ [Ф (Г) - Ф (Г)*]
§ 3. ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В УГЛЕ 187
имеют одну и ту же область определения 2), и неравенства
(а) —(д)- предложения 3.1 остаются в силе для всякого AgJ).
Кроме того, оператор Re(p(r) самосопряжен и положителен.
Доказательство. Поскольку срг е А при всяком фикси-
фиксированном г, 0<г<1, то к фг применимо предложение 3.1.
Из условия ф(Г)= lim фг(Г) (см. теорему 2.1) вытекает, что
г-И-0
неравенство C.2) справедливо и для функции ф(Г) при произ-
произвольном Ag ?)[ф(Г)]. По теореме 2.1 множество 25[ф(Г)] состоит
из элементов А, для которых
5ир||фГ(Г)А||<оо. C.4)
г
Поскольку ф (ТУ = ф~ (Г*), фг [ТУ = фг~ (Г*), то множество D [ф (Т)*\
состоит из элементов А, для которых
8ир||фГGУАИ<«>- C.5)
г
При 0<а<у условия C.4) и C.5) эквивалентны друг другу
в силу неравенств
II Фг (Т) h || > cos ая • || Фг (ТУ h ||, || Фг (ТУ h \\ > cos ая . || Фг (Т) h ||.
Итак, ®[фG1)] = 3)[фG1)+]. Для всякого h из этой общей области
определения S)
Фг (т) h -> Ф (г) к Фг (ту h = Ф; (Г) h -> Ф- (Г) h = Ф (гг h
при г->1. Поэтом,у неравенства (а) —(д) предложения 3.1 со-
сохраняются в предельном случае г = 1.
В силу C.2)
([ReФ(Г)] /г, h) = Re(Ф(Т) /г, А)>0 (As S)),
т. е. Reф(Г) является положительным симметрическим опера-
оператором. Чтобы доказать его самосопряженность, достаточно
установить, что
Из неравенства (д) в силу положительности Reф(Г) выте-
вытекает, что
(Г)А||<||(/ Н(Г))А|| где c = tg^<l.
Следовательно, существует оператор В, для которого
Imф(Г) = B(^ + Reф(Г)), ||В||<с.
Можно считать, что В определен всюду в §. Таким образом,
188 гл. iv. функциональное исчисление
Поскольку —1 не принадлежит спектру оператора ф(Г) (см.
предложение 1.2), то [7 + ф(Л] ® = ?>. Оператор I + iB является
автоморфизмом пространства «?>, поскольку || iB ||< 1. Поэтому
Теорема доказана.
§ 4. Аккретивные и диссипативные операторы
1. Пусть Ло —линейный (не обязательно ограниченный) опе-
оператор в гильбертовом пространстве § с плотной в ф областью
определения $)(Л0). Оператор Ло называется аккретивным, если
Re {AJ, f) > О для всех f e= S) (Ло),
и диссипативныМу если
Im (Ло/, f) > 0 для всех f е I) (Ло).
Поскольку диссипативные операторы получаются из аккре-
тивных умножением на /, все результаты об аккретивных опе-
операторах немедленно переносятся на диссипативные.
Для аккретивного Ло имеем
fll2, D.1)
откуда следует, что (Ло + /) f = 0 влечет f = 0. Таким образом,
(Ло + Z)" существует (в широком смысле) и оператор Го, опре-
определяемый равенством
Го (Ло + /) f = (Ло - /) f (f е Ю (Ло)), D.2)
является сжатием из (Ло +/) ?) (Ло) на (Ло —/) 2) (Ло). Имеем
\ D.3)
откуда Гов/ — 2(Ло + /)~1, и, следовательно,
1-Тъ = 2{Аъ + 1)-\ ' D.4)
Отсюда видно, что оператор {1 — Т^)~~х существует (т. е. нет
таких/г =^= 0, что Toh = h) и Л0 = 2(/- Го)~! -/, так что
Aj^Z + roH'-ror1- D.5)
Назовем Го преобразованием Кэли аккретивного оператора Ло.
Пара соотношений D.3), D.5), связывающих аккретивные опе-
операторы и их преобразования Кэли, показывает, что если опера-
операторы Ло и Ах аккретивны и Л!— собственное продолжение
оператора Ло, то преобразование Кэли Тх оператора Ах является
§ 4. АККРЕТИВНЫЕ И ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 189
собственным продолжением преобразования Кэли То оператора Ао.
Отсюда следует, что если 2)G10) = ф, т. е. (AQ + /) 3D (Ао) = ?>,
то Ло не имеет собственных аккретивных продолжений. Такие
операторы называются максимальными аккретивными операто-
операторами. Мы докажем сейчас, что указанное условие является
также необходимым, т. е. что в случае если Го не определен
всюду в ф, то, хотя Ло и не является максимальным, он всегда
обладает максимальным аккретивным продолжением.
Итак, пусть 2) (Го) Ф Ф. Рассмотрим продолжение опера-
оператора Го до сжатия Т во всем пространстве ф. (Для построе-
построения Т следует продолжить Го сначала на 5)(Г0) по непрерыв-
непрерывности, а затем на все Ф по линейности, полагая, например,
Th = 0 для А±2)(Г0).) Каково бы ни было это продолжение,
оно не имеет ненулевых инвариантных векторов. В самом деле,
если h — инвариантный вектор для Г, то он инвариантен также
для Т* (см. предложение 1.3.1). Поэтому для любого f 2(Л)
К (Ао +1) f) = (ГА, (Ло + /)/) = (Л, Г (Л
= (Л, (Л-
Таким образом, (/г, f) = 0 и в силу плотности 35 (Ло) в § ^===Q-
Всякое сжатие Г в ?>, не имеющее ненулевых инвариантных
векторов, является преобразованием Кэли некоторого аккре-
тивного оператора Л, а именно оператора
Л = (/ + Г)(/-Г) D.6)
(существование в широком смысле оператора (/ — Г) вытекает
из того факта, что Т не имеет ненулевых инвариантных векто-
векторов). В самом деле, ® {А) состоит из векторов вида f = (/ — Г) g и
Re(Afy fHRe((/ + r)fff (/— Г)er) = ||g|p-|| Г?||2> 0.
Такие векторы f образуют плотное в § множество, поскольку Т*
не имеет ненулевых инвариантных векторов (см. предложе-
предложение 1.3.1). Таким образом, оператор А аккретивен. Его пре-
преобразование Кэли совпадает, очевидно, с Г. Поскольку 2) (Т) = «?),
то А — максимальный аккретивный оператор.
Заметим еще следующее. Если Г —сжатие в §, не имеющее
единицы собственным значением, то это же верно для Г*.
Значит (/-Г) существует и (/ - Г*) = [(/- Г)]*. Поэтому
(/ + Г)(/ -ТТ1 = - / + 2G-Г) =
откуда вытекает, что максимальные аккретивные операторы,
отвечающие операторам Т и Г*, сопряжены друг с другом.
190 ГЛ. IV. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Принимая во внимание теорему III. 8.1 и соотношения
(III. 8.3) и (III. 8.5), связывающие генераторы и когенераторы
полугрупп сжатий, мы получаем такой результат:
Теорема 4.1. Всякий аккретивный оператор в § обладает
максимальным аккретивным продолжением. Для оператора А
в «?> следующие условия эквивалентны:
(а) Л — максимальный аккретивный оператор',
(б) А аккретивен и (А + 7J) (А) = ?>;
(в) А = (/ + Т) (/ — Г), где Т — сжатие в «&, не имеющее 1
собственным значением.
(г) оператор — Л является генератором непрерывной одно-
параметрической полугруппы сжатий {Ts}s>0 в §>.
Если А — максимальный аккретивный оператор, то А* — также
максимальный аккретивный оператор и их преобразования Кэли
суть сопряженные друг другу сжатия.
Заметим, что если А — максимальный аккретивный оператор
и — Л является генератором некоторой полугруппы сжатий, то
"когенератором этой полугруппы будет преобразование Кэли Т
оператора А (ср. определения (III. 8.3) и D.5)).
Отметим также, что нормальный оператор А (ограниченный
или неограниченный) аккретивен в том и только в том случае,
когда „его спектр лежит в полуплоскости Re s ^ 0.
2. Первое утверждение приведенной выше теоремы может
быть уточнено следующим образом 1):
Предложение 4.2. Пусть Ао и В0 — два аккретивных опера-
оператора в ?>, таких, что
Ш, g) - (f, Bog) (f е Ю (Ло), ge5) (Bo) )• D.7)
Тогда Ло и Во можно продолжить до таких максимальных
аккретивных операторов А и В, что
(Af, g) = (f, Bg) (f e © (A), g e= Ъ (В)). D.8)
Доказательство. В силу D.7) имеем при f
?(B)
((Ло + /) f, (Во - /) g) = W, Bog) - (Aof, g) 4- (f, Bog) - (f, g) =
= {AJ, Bog)-(f, Bog) + (Ad, g)-(f, g) = ((A0-1)f, (Bo +1) g).
Поэтому для преобразований Кэли Го и So операторов Ао и Во
, г|>) = (ф, Soo|>) (ф s © (Го), * s © (So)). D.9)
J) Это уточнение в дальнейшем использоваться не будет.
§ 4. АККРЕТИЁНЫЕ И ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 191
Если удастся продолжить операторы Го и So до сжатий Г и S,
заданных во всем пространстве ф и таких, что
(Г/г, k) = (Л, Sfe) для любых /г, fce§, D.10)
то соответствующие максимальные аккретивные продолжения А
и Б будут удовлетворять условию D.8).. В самом деле,
((/ + Г) h, (/ - S) k) = (Л, /г) + (Г/г, /г) - (Л, Sfe) - (ГА, Sfc) =>
= (Л, /г) + (Л, Sfc) - (ГА, k) - (ГА, Sfe) =
Для перехода от D.9) к D.10) продолжим сначала Го и So
по непрерывности на замыкания их областей определения. Для
этих продолжений сохраним те же обозначения. Обозначим
подпространство 55 (So) через 2, а его ортогональное дополне-
дополнение через Ш.
Для каждого фиксированного h форма (Л, 5(уф) полулинейна
на 8 и | (Л, Soi|)) К || h || • || -ф ||. Поэтому существует такой един-
единственный элемент A*gJ, что (Л, So^) = (Л*, -ф) и И А*||^|| А||.
Полагая A* = L0A, мы определяем сжатие Lo из § в 8, для
которого
A0А, ф) = (A, So*) (AG§,te 8). D.11)
В частности, если h = ср г ?) (Го), то A0ф, ф) = (qp, So*) = (Гоф, *),
откуда следует, что Locp является ортогональной проекцией
вектора Госр на 8,
Таким образом,
= II ГоФ |р -1| 1оФ ||2 < || Ф ||2 -1| 10ФII2 (Фей (Го)).
Применяя способ рассуждений, принадлежащий М. Г. Крейну
(см. [Лекции], п. 125), мы получаем, что существует такое
продолжение оператора РщГо до определенного во всем прост-
пространстве § оператора Lx со значениями в Ш, что
Оператор Г, определяемый равенством
Th = Lbh + Lxh при любом Ае§,
является, очевидно, сжатием и
Гф = 1оФ + L 1ф = РеГоФ + РалГоф = Гоф при ф е 35 (Го).
Следовательно, Г z^ Го. Кроме того,
(Г/г, ф) = (Loh + Lxh% ф) = (Lo^, ф) = (Л, S^)
192 ГЛ. IV. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
при Ае§, -ф е 3) (So), откуда Г* z> 5о. Полагая S = Т\ полу-
получаем пару {Г, S}, Г =э Го, S z) So, для которой выполняется
условие D.10).
Теорема доказана.
Следствие. Если Ао —аккретивный оператор и ?)(Ло)с:55(Ло),
то существует такой максимальный аккретивный оператор Ау что
Aocz Аа В*о, где Во = А*о | ?) (Ло).
В самом деле, (AQf, g) = (f, Лойг) = (f, Bog) при f.gsS) (Ло) =
= S)(Bo). в частности, Re (f, Bof) = Re (Ло/, f) > 0. Таким обра-
образом, оператор Во аккретивен. Существует такой максимальный
аккретивный оператор Л, что A id Ао и:{Af, g) = (f, Bog) для
любого feS)(i4)f g-e5D(B0), а значит, Л с= 5*.
3. Пусть А — максимальный аккретивный оператор в § и Г —
его преобразование Кэли, являющееся сжатием, определенным
на всем у. Имеем
ТГ\ D.12)
Из этих взаимно обратных формул следует, что подпростран-
подпространство $ пространства § приводит А1) в том и только в том
случае, если оно приводит Т. Из D.12) вытекает также, что
оператор Т унитарен в том и только том случае, когда А имеет
вид /Я, где Я —самосопряженный оператор.
Операторы А = Ш характеризуются равенством
А***-А.
Мы будем называть их антисамосопряженными. Всякий макси-
максимальный аккретивный, вполне неантисамосопряженчый (т. е. не
индуцирующий антисамосопряженного оператора ни на каком
подпространстве ф {0}) оператор будем называть чистым макси-
максимальным аккретивным оператором.
Каноническое разложение оператора Т — преобразования
Кэли оператора А — порождает разложение А в ортогональную
сумму двух компонент упомянутых выше типов:
Предложение 4,3. Для всякого максимального аккретивного
оператора А в $ существует такое приводящее А разложение
пространства Ф = ФоФФь что оператор Ло = А |ф0 является анти-
антисамосопряженным, а оператор А{ = А \$1 — чистым максималь-
максимальным аккретивным. Это разложение единственно. Одно из под-
подпространств Фо или §i может сводиться к {0}.
*) То есть РА а АР, где Р - ортопроектор из © на
§ 4. АККРЕТИВНЫЕ И ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 193
Из предложения 1.3.1 вытекает, что для сжатия Т всякое
подпространство §а = {/г. Th = ah], где | а \ = 1, приводит Т.
Отсюда следует, что для максимального аккретивного операто-
оператора Л в § подпространство {f: Af = bf}9 где & — чисто мнимое
число, приводит А. В частности, подпространство
KA«{f: Af = Q} D.13)
приводит А, или, что то же, условия Л/ = 0 и A*f = O равно-
равносильны.
Если А чист, то 9^л = {0}- Поэтому для всякого чистого
максимального аккретивного оператора А оператор Л суще-
существует (в „широком смысле) и имеет плотную в § область опре-
определения.
4. Соотношения D.12) между максимальным аккретивным
оператором А и его преобразованием Кэли Т дают возможность
построить функциональное исчисление для Л, используя функ-
функциональное исчисление для Г.
Для этого рассмотрим дробно-линейное преобразование
a,^fi = i±?=©(A,) D.14)
единичного круга D на правую полуплоскость
Д = {6: Re6>0}
и обратное преобразование
Определим функции от оператора А формулой
f(A) = foa(T) D.16)
для всякой заданной в А функции fF), для которой f °©(Г)
имеет смысл, т. е. для которой
f o©siVr.
Таким образом, построенное ранее функциональное исчис-
исчисление для сжатий порождает функциональное исчисление дли
максимальных аккретивны'х операторов.
Поскольку 1 не является собственным значением для Г,
то одноточечное множество {1} имеет меру 0 относительно
спектральной меры ?У> отвечающей унитарной части Т. По-
Поэтому класс Нт содержит, в частности, все функции и е Я°°,
непрерывные в D\{1}, а класс Кт содержит все функции
иеГ, непрерывные и отличные от нуля в D\{1}. Поскольку
13 Зак, 517
194 ГЛ. IV. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
множество D\{1} отображается преобразованием D.14) на
замкнутую полуплоскость Д = {6: Re 6^0} (не содержащую
точки 6=оо), то классу допустимых функций f (а) в А принад-
принадлежат все функции, непрерывные и ограниченные в Д и голо-
голоморфные в Д.
В частности, при / ^ 0 является допустимой функция
откуда вытекает, что оператор e~tA имеет смысл при t^O
и равен et{T). Для фиксированного z, Re2<0, и конечного
М>0 интеграл
м
является пределом в смысле ограниченной сходимости в Д со-
соответствующих римановых сумм. Поэтому
м
f(z\ A)= j eize-t*dt.
о
Если М->оо, то fjviB;6) стремится к (б — г) равномерно в Д,
откуда следует, что fM{z> A)-+(A — zI)~l (см. теорему 1.1, (д)).
Таким образом, в рамках нашего функционального исчисления
мы имеем соотношение
л
ОО
х\ие~*А&и D.17)
справедливое для любого максимального аккретивного опера-
оператора и для любого 2, Re2<0.
5, Результаты настоящего параграфа переносятся очевидным
образом на диссипативные операторы А'. Для этого следует
перейти от А' к аккретивному оператору А = — А\ Преобразо-
Преобразование Кэли диссипативного оператора Af есть по определению
преобразование Кэли Т аккретивного оператора А = уЛ'. Таким
образом, Аг и Т связаны соотношениями
Т = (А' - //) {А' + //), Af = i(I + T) (I - Г). D.18)
В случае когда А' является максимальным диссипативным
оператором, канодическое разложение оператора Т порождает
§ 5. ДРОБНЫЕ СТЕПЕНИ МАКСИМАЛЬНЫХ АККРЕТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ 195 V
разложение Л' в ортогональную сумму самосопряженного опе-
оператора и максимального диссипативного оператора, являю-
являющегося, в очевидном смысле, вполне несамосопряженным (чистым).
§ 5. Дробные степени максимальных
аккретивных операторов
1. Пусть Л — максимальный аккретивный оператор в про-
пространстве §, Г — его преобразование Кэли. Рассмотрим функции
Ш = 6а (а>0)
вД (мы определяем za при г = ге'ф \т>0, |ф |<у| как raeiaxA.
Имеем
где
иа{к) = A + А,)а, v (к) = A - Х)а (X е= D).
Функции иа{1) и иа(А,) непрерывны в D и голоморфны в Z).
Более того, они входят в класс ?рег (см. предложение III. 1.3),
причем иаСк) обращается в нуль лишь в точке — 1, a va (к) —
лишь в точке 1. Из того факта, что ?г({1}) = 0, вытекает, что
(aa^NT и
Га(Л)-©в(П-^(ГГ!ив(П. EЛ)
В силу предложения 1.3 даже для различных аир имеем
v* (Г) и* (Т) = и« (Т) v$ (Г). E.2)
Будем применять для fa{A) обозначение Аа. Это обозначе-
обозначение станет законным, как только мы покажем, что
Л° = /, А1 = А, ЛаЛр = Ла+р (а, р>).
Но действительно, Л° = /, поскольку о°(Я,)=1. Далее, в силу E.2)
Л1 = Vх (Г) и1 (Г) = и1 (Г) у1 (Г)" = (/ + Т) (I - ТУ1 = Л
(см. предложение 1.3).
Из очевидного соотношения (соа)^ = ©а вытекает, что
(поскольку Г" является преобразованием Кэли оператора Л*
(см. теорему D.1)).
196 ГЛ. IV. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Неравенство
показывает, что можно применить теорему 3.2 к Ла = соа(Г) и
(Ла)* для 0<а<1 или 0<а<у.
Рассмотрим три функции
V p v\K) = (\-bf, щМ-^Ыу*™, E.3)
U К) V )
где О^р, 0<а^1, и покажем, что эти функции удовлетво-
удовлетворяют условиям теоремы 1.1, (з).
В самом деле, функции иа(к) и va(k) не обращаются в нуль
одновременно, и их значения при К ^ D принадлежат углу
|arg2|<-^. Поэтому при 0<а<1 функция иа(к) + va(к) не
обращается в нуль в D и, следовательно, функция waCk) не-
непрерывна в D и голоморфна в D. Легко видеть, что
в Z)\{— 1, 1}, a tiya(l)=l, а;а(— 1)= — 1.' Это же имеет место
и в случае а=1, поскольку Wi(k) = X. Итак, при ^
>0
)
Все эти множества имеют нулевую меру относительно Ет.
Применяя теорему 1.1, (з), получаем, что оператор
Ta=Wa(T) E.4)
является сжатием, операторы <й®(Та) и afiowa(T) существуют и
(ut(Ta) = ^owa(T). E.5)
Поскольку
то равенство E.5) означает, что
<ор(Г0) = Лар. . E.6)
При р — 1 получаем
Аа - «о1 (Го) - t»1 (Т,,)-1 и1 (Г„) - (/ - Т9У1 (I + Г.). E.7)
§ Б. ДРОБНЫЕ СТЕПЕНИ МАКСИМАЛЬНЫХ АККРЕТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ 197
Отсюда следует, что Аа также является максимальным аккре-
аккретивным оператором, а его преобразование Кэли равно Та. По-
Поэтому f (Aa) = f о со (Та) для всех функций fF), для которых
f °со(Га) имеет смысл. В частности, (Ла)р = с/ (Га). Таким обра-
образом, равенство E.5) означает, что
2. Поскольку Аа @ ^а < 1) —максимальный аккретивный
оператор, то существует непрерывная полугруппа сжатий
{Ta{s)}s>0 с генератором —Аа. Когенератор этой полугруппы
является преобразованием Кэли оператора Аа, т. е. совпадает
с Та. По теореме III. 8.1
E.8)
где
(I) = exp (s ll^tl) = exp (- sco« (Я,)),
Эта функция голоморфна и ограничена в D к непрерывна
в Z)\{1}. Поэтому можно применить теорему 1.1, (з) о компо-
композиции, что дает
es(wa(T)) = esowa(T). E.9)
Так как
е8 о wa
то при 0<а^1 эта функция входит в класс Н™ и ограничена
в D по модулю числом 1 даже для комплексных значений
параметра s, принадлежащих углу
?i-« = {s: Iargs|<(l-a)f}.
Поскольку
(eSl о wa) (eS2 ° wa) == eSl+s2 ° ^a при su s2 eAj-a,
то операторы ^
Ta(s) = esowa(T) (sgAn)
образуют полугруппу:
Ta @) - /, Ta (sx) Та (s2) - Га (sx + s2) (su s2 <= A^a).
J) Ограничение a ^ 1 объясняется тем, что оператор Аа не является,
вообще говоря, максимальным аккретивным приа>1 (например, не является
таковым, если А антисамосопряжен, А Ф 0).
198 ГЛ. IV. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Эта полугруппа аналитична во внутренности Д,_а угла Д,_а.
Для доказательства зафиксируем какую-нибудь точку so>O и
какую-нибудь точку s, лежащую в наибольшем круге с цент-
центром % содержащемся в Ai_a, так что
I 5 — s01 < Ро = s0 cos -^-.
Рассмотрим разложение
^^уЬп{ь) (беД)> EЛ0)
где
В силу неравенства
Re6a>|6a|-cos-^ при 6е=Д
имеем
m=»0
- exp [po 16a | — s0 Re 6a] < 1.
Отсюда следует, что разложение E.10) сходится в Д равно-
равномерно по 6. Переходя к соответствующим операторам, получаем
/1=0
где В„ = Ьп(А) = Ьпо®(Т), IIВя||^1. Тем самым доказана ана-
аналитическая зависимость Ta(s) от s в Ai_a.
Подведем итоги.
Теорема 5.1. Пусть А — максимальный аккретивный опера-
оператор в §, и Аа (а ^ 0) — оператор, отвечающий функции 6а в функ-
функциональном исчислении f(b)->f(A), построенном в п. 4.4. Опе-
Оператор Аа линеен, замкнут, имеет плотную область определения
Ъ{А°) и
Л° = /, Ах = А, Ла+Р = ЛаЛр (а, р > 0), (Ла)* = (Л? (а > 0).
Если O^a^l, то Аа — максимальный аккретивный оператор и
Э ЛаР (р>0). Кроме того,
§ 5. ДРОБНЫЕ СТЕПЕНИ МАКСИМАЛЬНЫХ АККРЕТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ 199
Пусть {Ta(s)}s>Q — полугруппа сжатий с генератором — Аа.
Если O^a^l, то эта полугруппа может быть таким образом
продолжена с сохранением полугруппового свойства на ком-
комплексные значения параметра s, принадлежащие углу | arg s | ^
^A—а)~пГ> что Ta{s) является сжатием и аналитически зави-
зависит от s во внутренности этого угла.
При О ^ а < -j операторы Ла, Аа\ а с ними и операторы
имеют одну и ту же область определения. Оператор Re Aa само-
самосопряжен и положителен. Имеют место следующие неравенства:
(а) Re {Aah, Aa%) > cos on • max {\\Aah f, || Aa* h f};
(б) I Aah | > cos an • | Aa*h |, | Aa*h || > cos an • | Aah |;
(в) Re {Aah, [Re Aa] h) > cos2 -f- • \A*h \\;
(r) [cos2 -^/cos an] • 1 Aah || > | [Re Aa] h \ > cos2 Щ- \A% |;
3. Из доказанной теоремы следует, в частности, что макси-
максимальный аккретивный оператор А для п = 2, 3, ... обладает
таким корнем /г-й степени В = ЛП, который является макси-
максимальным аккретивным оператором и удовлетворяет неравенству
|arg(BA, A)K-? при AsS)(fl). E.11)
Докажем, что эти свойства определяют корень п-й степени из А
единственным образом. Для этого нам понадобятся три про-
простые леммы об аккретивных операторах.
Лемма 5.2. Для всякого аккретивного оператора А
I (Af, g) I2 < Re (Л/, /) • Re (Ag, g) (f, g e 5D (A)) E.12)
tt, следовательно, Re (Af, /) *= 0 влечет Af = 0.
Доказательство. Бинарная форма (/ [ g) = Re (Af, g),
определенная для f, jgS (Л), принимает вещественные значе-
значения и билинейна над полем вещественных чисел. Кроме того,
(flf)^O. Поэтому справедливо неравенство Шварца
\(f\g)\2<(f\f)-(g\g),
I Re (Af, g) I2 < Re (Л/, /). Re (Ag, g).
200 ГЛ. IV. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Заменяя в случае надобности g на eg, где е-некоторое ком-
комплексное число, равное по модулю 1, мы можем добиться того,
что Re (Л/, g) будет равно \{Af, g)\. Так как при этом (Ag, g)
це изменится, то E.12) доказано.
Лемма 5.3. Если А — замкнутый аккретивный оператор в •?>,
то множество
3l = {g: gf=®\A), Ag = 0)
его нулей является подпространством, приводящим А.
Доказательство. Поскольку оператор А линеен и зам-
замкнут, то 91 является подпространством в §. Если/е?)(Л),
ge J1, то, как следует из E.12), (Af, g") = 0. Таким образом,
если /е?)(Л), то PmAf = 0 (Р% — ортопроектор на %1). С другой
стороны, АРФ = 0 для произвольного h e •?>. Итак, РшА cz AP%,
откуда следует, что Sft приводит А.
Лемма 5.4. Пусть А и Af ~ два максимальных аккретивных
операторау таких, что
5) (Л) с© (Л'), А'АаАА'. E.13)
Тогда их преобразования Кэли Т и Т' перестановочны.
Доказательство. Поскольку операторы Л + / и А'+1
имеют всюду определенные в •?> обратные, то для всякого / е ^
существует такое ge§, что
E.14)
Так как geJ) (Л), то в силу E.13) geJ) (Л') и, следовательно,
Ag = (A + I)g — ge S) (Л0. Поэтому равенство E.14) можно
записать в виде f = (Л'Л + Лг + Л + /)g, откуда ввиду второго
из соотношений E.13)
f = (АА' + А' + A + I)g = (Л + l)(A' + I) g. E.15)
Из E.14) и E.15) следует, что
l( l 1 lf для любого f е= $.
Поскольку Г = /-2(Л + /)' и Г = /-2(Л/ + /)~1, то Г и Г
перестановочны.
После этих приготовлений мы можем доказать
Предложение 5.5. Для каждого максимального аккретивного
оператора А и для произвольного п ^2 существует, и притом
единственный, максимальный аккретивный оператор В, удовле-
§ б. ДРОБНЫЕ СТЕПЕНИ МАКСИМАЛЬНЫХ АККРЕТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ 201
творяющий условиям
Вп = Ау E.16)
| arg {Bf, f) | < -?• для любого f е= © (В). E.17)
Доказательство. Пусть {Ла} — семейство дробных сте-
степеней оператора *Л, построенное в ходе доказательства тео-
теоремы 5.1. Оператор В = 'А является одним из решений по-
поставленной задачи. Нам нужно доказать, что всякое другое
решение В' совпадает с В. Пусть S и S' — преобразования Кэли
операторов В и В' соответственно. В силу E.4) S = w\/n{T)y
где Г— преобразование Кэли оператора Л, a w\/n — функция,
определяемая равенствами E.3).
Заметим, что
В'А = ВгВ'п = В*1 = В'пВ' = АВ'
и
Применив лемму 5.4, получим, что S' перестановочно с Г и,
следовательно, со всякой функцией от Т. В частности, S'
перестановочно с S.
Пусть В' = В^фВ' — каноническое разложение максималь-
максимального аккретивного оператора В' на антисамосопряженную и
чистую части.. Пусть, далее, f удовлетворяет условию Br f = 0.
Если f0 и fj — составляющие f в соответствующих подпрост-
подпространствах, то B'onfo = 0, В[ f{ = 0. Поскольку оператор В\ обратим
(см. конец п. 4.3), то f\ = 0. С другой стороны, из того факта,
что оператор iB0 самосопряжен, и из спектральной теоремы
вытекает, что равенство Во f = 0 возможно лишь при Bof = 0.
Итак, B'f = O влечет JS/f = 0. Поскольку В' =Л, то нуль-про-
нуль-пространства операторов А и В' совпадают. Применяя эти рас-
рассуждения к В вместо В\ получаем, что максимальные аккре-
тивные операторы Л, В и В' имеют общие нули. По лемме 5.3
это нуль-пространство, которое мы обозначим через -К, при-
приводит операторы Л, В и В' и, следовательно, приводит их
преобразования Кэли. Если /е-К, то Bf = B'f = 0. Поэтому для
доказательства равенства В = Вг достаточно рассмотреть эти
операторы на подпространстве 2К = ФЗЗ^
Положим
Поскольку V и W перестановочны, то
п-\ Ш_
]lk е = ??". E.18)
202 ГЛ. IV. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из равенств / + S = ?(/-S), I + S'= В'(I - S'), Вп = А = В'п
вытекает, что
V» = Вп (I - S)n (I -S')n = В'п (/.- S'I1 (/ -*¦ S)" = Г*
и, следовательно,
f[(V-zkW)=O. E.19)
fe-0
Пусть g —такой элемент из 2ft, что для некоторого k
A/-е*Г)? = 0. E.20)
Полагая f = (/ — 5) (/ — 50 g, получаем
= efe (/ + SO (/ - S) g = 8feB7. E.21)
(Bf,f) = e*(fi7.f). E.22)
Если l<fe^n—1, то (Bfy f) = (Bffyf) = Oy так как в про-
противном случае соотношения
I arg(flf,f)|<-?f I arg(B7,
противоречили бы равенству E.22). Из леммы 5.2 и равенства
E.20) следует поэтому, что Bf = B'f = 0. Поскольку операторы В
и Вг обратимы на Ш, то f = 0, g* = 0.
Итак, из E.19) вытекает, что V — W = 0 и, значит,
(/-S)(/ + S0 = (/ + S)(/-S0, откуда S = S', Б==В/.
Предложение доказано.
Комментарии
Функциональное исчисление для сжатий в случае неограни-
неограниченных функций развито в С.-Н. и Ф. [VI]. В этой же работе
изложено соответствующее исчисление для максимальных
аккретивных операторов. Аналогичная (но менее общая) теория
была построена независимо Лангером [2] для максималь-
максимальных диссипативных операторов. В упомянутых работах (так
же, как и во французском издании этой книги) рассматрива-
рассматривались лишь голоморфные функции. В настоящем издании допу-
допустимыми стали и мероморфные функции. Это естественное
обобщение потребовалось авторам в связи с исследованием
коммутантов сжатий, принадлежащих классу Со и обладающих
конечными дефектными числами, см. С.-Н. и Ф. [14].
КОММЕНТАРИИ — . 203
Метод продолжения аккретивного или диссипативного опе-
оператора* до максимального оператора того же типа с помощью
преобразования Кэли принадлежит Филлипсу [2].1) Этот метод
аналогичен методу, примененному фон Нейманом в случае
симметрических операторов. Характеризация генераторов непре-
непрерывных полугрупп сжатий в терминах их преобразований Кэли
(эквивалентность условий (в) и (г) теоремы 4.1) была дана
С.-Надем (II); см. также Фояш [2]. Предложение 4.2
является новым.
Предложение 4.3 (каноническое разложение максимальных
аккретивных или диссипативных операторов) в несколько менее
общей форме было установлено Лангером [I]2).
Дробные степени линейного оператора А в гильбертовом
или банаховом пространстве, такого, что — А является гене-
генератором некоторой непрерывной полугруппы сжатий, строились
многими авторами, причем применялись разные методы. В опре-
определении, предложенном Бохнером [1] и Филлипсом [1],
применяется непрерывная полугруппа
Именно по определению
?*.t~ \ Tsdmatt(s)y
о
где Ts = e~sA, а мера определяется с помощью интеграла Ла-
Лапласа
оо
(s) (^>0, Rep>0, 0<а<1).
Из других формул, служащих для определения Аау отметим
формулы Балакришнана [1]:
71
о
со
Aah = Г (- а)~! J /Г0-1 (<ГЫ - /) A dl
о
. См. также И о си да [1], [2], стр. 358.
1) См. также Глазман [\*]. — Прим. ред.
2) См. «примечание на стр. 67. — Прим. ред.
3) Эта запись означает лишь, что {Та> t) является полугруппой с гене-
генератором —Ла,
204 ГЛ. IV. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Теорема единстЕ^енности (предложение 5.5) доказана в тер-
терминах диссипативных операторов Мацаевым и П а л а н -
том [1] (для ограниченных операторов) и Лангером [2]
(в общем случае). Наше доказательство является несколько
упрощенным вариантом доказательства Лангера. Нол-
лау [1] распространил теорему единственности на случай опе-
операторов в произвольном банаховом пространстве.
Утверждение теоремы 5.1 об аналитичности полугруппы
в некотором секторе комплексной плоскости было получено
впервые Иосидой [1]. Предложение о том, что операторы Аа
и Аа* имеют при 0^а<-^ общую область определения и удо-
удовлетворяют неравенствам (а) —(д), впервые доказано К а то [1]
(в его неравенствах несколько иные коэффициенты). Методы
этих авторов отличны от изложенных нами.
В связи с настоящей главой см. также Дольф [1], Дольф
и Пенцлин [1], Ланге'р и Ноллау [1].
ГЛАВА V
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
- § 1. Векторные классы L2 и Н2
1. Пусть % — сепарабельное гильбертово пространство. Обо-
Обозначим через L2(%) класс функций v (t) @=O^2it) со зна-
значениями в 21, измеримых (сильно либо слабо, безразлично в
силу сепарабельности 91) и таких, что
|0(/)|&<tt>oo. A.1)
При таком определении нормы L2(%) превращается в сепара-
сепарабельное гильбертово пространство. Разумеется, функции из Ь2(Щ,
совпадающие почти всюду (по мере Лебега), отождествляются.
Если dim 91= 1, т. е. если L2{%) состоит из скалярных функций,
то вместо L2(%) мы будем писать L2.
Пусть vn(t) (п=1, 2, ...) —последовательность, сходящаяся
к v {t) в L2(9t), т. е. в среднем квадратическом:
flo»-»IP-i J \\vn{t)-v{t)\ldt-*O (ft->oo).
о
Тогда можно выбрать такую ее подпоследовательность [vnk(t)}
(/г=1, 2, ...), что
k О
В силу теоремы Беппо Леви
почти всюду на @,2я) и, следовательно,
Итак, из каждой сходящейся в L2(%) последовательности можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.
Для всякого целого k обозначим через @& подпространство
пространства L2(%), образованное функциями вида еша (ае Щ.
206 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Очевидно, что 6^±®у при кф\. Далее
A.2)
В самом деле, пусть v^L2(%) ортогонально ко всем &ki т. е.
2я
2~ikt(v(t),a)xdt = O (ae9t; k = 0y ±1, ±2, ...).
Тогда (v (t), a\ = 0 всюду, кроме, быть может, точек (завися-
(зависящего от а) множества Еа меры нуль. Заставляя а пробегать
счетное плотное в 21 множество и беря объединение соответ-
соответствующих множеств Еа> получаем множество Е меры 0. При
этом v (t) = 0 вне ?", т. е. почти всюду, и, следовательно, v = 0
как элемент L2Bt). Тем самым доказано равенство A.2).
Заметим еще, что
-\\a\L ' (ае И). A.3)
Из A.2) и A.3) вытекает, что между функциями v (t) e L2(%)
и последовательностями {aj^ (afee5l с Sll^l|<°°) суще-
существует взаимно однозначное соответствие, устанавливаемое
формулами
»@«2е'% A.4)
II о IP-2 II a* It . A.5)
— оо
Равенство A.4) понимается в смысле сходимости в среднем:
2Я11 п |р
J U @ - 2 Лй Л -» 0 (т, л -> оо).
0 || -т \
В силу A.4)
2Я
(fe-0, ±1, ...)
Таким образом A.4) является рядом Фурье для и@.
Важное подпространство пространства L2Bt) образуют
функции, коэффициенты Фурье которых равны 0 при &<0.
Обозначим это подпространство через L\ E1). Сопоставим
§ 1. ВЕКТОРНЫЕ КЛАССЫ L2 И IP 207
функции
o@-Se'\ei+(«)
о
функцию комплексной переменной %
Эта функция определена и аналитична в единичном круге,
поскольку
при n>m->oo и |А,|<1, причем сходимость равномерна при
I А, | ^ г0 < 1. Функцию v (t) можно восстановить по и (А,) как
радиальный предел в среднем квадратическом. Действительно,
2я * 2Я|| оо ||2
± J || о (t) - и (relt) || dt = -L J 2 A - rk) ешак dt =
0 II 0 \
0 II 0
Кроме того,
2я
0 0 0
Обозначим через Я2 B1) класс всех функций
со значениями в Я, аналитических при |А,|<1 и таких, что
интеграл
2Я
о
ограничен не -зависящим от г числом. Поскольку этот инте-
оо
грал равен S^ll^lll» T0 приведенное условие равносильно
о
оо
условию SII а* 1| < °°« Итак, каждая функция и (А,) е Я2 (Щ
208 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
получается указанным образом из некоторой функции v (t)^
оо
е L+ E1), а именно из функции v(t) =*^elktak. Поскольку и (К)
о
и v (Я) однозначно определяют друг друга, то классы Я2 E1) и
L+El) можно отождествить, наделив, таким образом, Я2 E1)
структурой гильбертова пространства L+ E1), и рассматривать
Я2 E1) как подпространство в L2El).
2. Функции и (К) и v(t) связаны также формулой Пуассона
2я
и[relt) =*~ J Pr(t-s)v{s)ds @ <г < 1), A.6)
о
где Рг(^) —ядро Пуассона
Это непосредственно следует из элементарных соотношений
2Я
u)k^-^j Pr(t-s)eiksds
и из того факта, что v(t) является пределом в среднем квадра-
квадратическом частичных сумм своего ряда Фурье.
Используя формулу A.6), можно доказать, что v(t) является
не только радиальным пределом в среднем квадратическом для
и(геи), но также пределом почти всюду. Точнее, и (К) сильно
(в 91) стремится к v (t)y когда I некасательно стремится к elt,
оставаясь в единичном круге, для всякой точки t, для которой
-о- | v(%)d%->v{t) сильно (s->0), A.8)
t-s
т. е. почти всюду (обобщенная теорема Фату). Доказывается
вто утверждение так же, как в скалярном случае.
Имея все это в виду, мы позволим себе писать' u(elt)
вместо v (t), если речь будет идти о функции из L+ E1).
§ 2. Аналитические операторные функции.
Чистая часть. Внутренние и внешние функции
1. Рассмотрим функцию в (А,), значения которой являются
ограниченными линейными отображениями сепарабельного гиль-
гильбертова пространства 51 в сепарабельное гильбертово простран-
§ 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 209
ство 51, и определяются степенным рядом
коэффициенты которого суть ограниченные линейные отобра-
отображения 51 в 51+. Предположим, что этот ряд сходится при [ % |< 1
(слабо, сильно или по норме, что для степенных рядов равно-
равносильно, см. Хилле и Фи л липе [1], стр. 107—108) и что
В этом случае функцию {51, 51^, в (Я)} будем называть ограни-
ограниченной аналитической функцией (в области D = {k: |A,|<1}).
В силу условия B.2)
2я
о
и, следовательно (на- основании § 1),
SII ека !!,</*< С* || а|| B.3)
для любого ае51. Как показано в § 1, отсюда следует, что
сильный предел в 51,
lim в (А,) а A->еи некасательно) B.4)
существует всюду, за исключением, быть может, точек t мно-
множества Еа меры нуль. Заставляя а пробегать счетное множе-
множество, плотное в 51, и беря объединение соответствующих мно-
множеств Еа, получаем множество Е меры нуль. В силу B.2)
предел B.4) существует при всех t ф Е для любого ael
Таким образом, для почти всех t предел
0 (elt) = lim в (А,) (X -^ eif) B.6)
существует в смысле сильной сходимости операторов. (Здесь
и ниже символ %->ец означает, что I стремится к еи некаса-
некасательно, оставаясь внутри единичного круга.) В частности,
Q(elt)=* lim ®{reu) (сильная сходимость) B.6)
г-»1-0
почти всюду. Кроме того, на основании результатов предыду-
предыдущего параграфа Q(reu)a стремится при г —> 1 — 0 в. среднем
квадратическом (в L2(%)) к @(еи)а и, значит, этот предел как
14 Зак. 517
210 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
элемент пространства L2(9tJ обладает разложением Фурье
B.7)
сходящимся в смысле (O
Часто бывает полезно рассматривать наряду с ограниченной
аналитической функцией {51, 21„, в (А,)} также и ассоциированную
функцию {Я„ 51, в~ (X)}, где
в~(А,) = в(ХГ (leD), B.8)
которая также аналитична и ограничена той же константой.
В самом деле,
() 2U;,
о
и || в~ (А,) || = || в (Я)* || = || в (Я) || < С при 16D, Следовательно,
предел
0~ («)
существует в смысле сильной сходимости операторов при почти
всех t. Отсюда следует, что в" (е~и) для почти всех t является
сильным пределом в (А)* при А,->е^. С другой стороны, почти
всюду в (X) сильно стремится к в(ег7)> а, следовательно, в (А,)*
слабо стремится к @(еи)* при Х-+еи. Таким образом, в~(е^) =
в (е"У = lim в (Я)* (Я -* в") B.9)
в смысле сильной сходимости операторов.
В частности, наряду с B.6) почти всюду справедливо соот-
соотношение
в(е")*= lim в(ге")* (сильная сходимость). B.10)
г->1—0
2. В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом
с ограниченными аналитическими функциями, для которых
|| в (А,) ||^1 (^sfl). Мы будем называть их сжимающими ана-
аналитическими функциями. Сжимающую аналитическую функцию
{91, %„ V6 (А,)} будем называть чистой, если
||в@)а||<||а|| для всех а ей, а ф 0.
Предложение 2.1. Для всякой сжимающей аналитической
функции {51, Я,, в (А,)} существует одна и только одна чистая
аналитическая функция {91°, 91°, в°(А,)}, обладающая следующими
свойствами: 9t°c:9t, ^ с= 51^; в0 (Я,)-в (А,) |910; в'(Я,)-в (Я,) I210910
есть не зависящее от % унитарное отображение подпространства
%' %О%° на < = 51021°
§ 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 211
Будем называть {51°, 91^, в°(А,)) чистой частью функции
{«, К в (я)}.
Доказательство. Положим
91' = {а: ае=Я, а = в@)*в@)а},
9Г = {а#: в(е«, а, = в@)в@)*а#}.
Если йеГ, то в@)а = в@)в@)*в@)а. Следовательно,
6@)ае ?С т. е. в @) %' а %[. Аналогично в @)* %[ cz 91'. Из соот-
соотношения а# = в@)в@)*а# (a#e=9lQ вытекает, что 9Гс:в(О)9Г.
Итак, в@) отображает 91' на 9Г[. Это отображение унитарно,
поскольку
||О@)а|р = @@)*О@)а, а) = (а, а) = \\а f (ae Я).
Для всякого аеЯ имеем L (К) = © (А,) а е Я2 (91,). Если
а е Я', то
(fa, в@)а)№ = ^ | @(в'Оа, 0(О)а)Л-
о
-@@)а, 0(О)а)-||а||-Цв(О)а||>
i
[2Я Иг"
~/||0(в'Оа|РЛ -
116@H11 =
Из неравенства Шварца следует поэтому, что для некоторой
числовой константы а справедливо равенство fa(A,) = a6@) a.
Полагая Я = 0, получаем а=1 и, значит,
в(А,)а«=в@)а (as»', |Я|<1).
Таким образом, ®' {X) = в (Я) | W есть не зависящее от Я уни-
унитарное отображение 91Г на 21#.
Если заменить в этих рассуждениях в (А,) на в" (Я), то 91' и 91^
поменяются местами й мы получим, что в~(А,)|91„ есть постоян-
постоянная функция, равная некоторому унитарному отображению
% на 91'.
Следовательно, для всякого а е 91° = 91 © 9Г и всякого a# e 9F
(в (Я) а, а.) = (а, в (X)* aJ = (а, в^ (Я) aJ = 0 (Я, s D),
в (Я) а е= «2 = 91,0 %[. Таким образом, в0 (Я) = в (Я) 191° отобра-
отображает 91° в С
и*
212 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Покажем, что полученная сжимающая аналитическая функ-
функция {21°, 21°, в0 (Я)) чиста. В самом деле, если || е° @) а || = || а || при
некотором а е 21°, то
((/ _ G @)* Э @)) а, а) = || а |р -1| Э @) а ||2 = Ц а |р - Ц 0° @) а ||2 = 0,
откуда (/-9@)*9@))а = 0, а = 9@)*в@)а, т. е. ае=2Г. По-
Поскольку %' 1 21°, то а = 0.
Построенные разложения
удовлетворяют требуемым условиям. Нам остается доказать
единственность.
Пусть 21 = 93°©93", 21% = 93°©93^-произвольные разложения,
удовлетворяющие этим условиям. Поскольку ©@) унитарно
отображает 93' на 93^, то II а II = 119@) а || при ае93', откуда
(/-9@)*9@))а = 0, ае=2Г. Следовательно, 23" cz %'. Если бы
в 2Г существовал элемент а ф 0, ортогональный к 93Г, то
мы получили бы противоречащие друг другу соотношения
II©@)а|| = ||а|| (ибо aef)H ll©@)a||<||a|| (ибо ae=93°). Таким
образом 23' = 21' и, следовательно, 93^ = 9 (X) 93' = 9 {X) 21' = %[,
«° = 21 ©93'= 21 ©21'= 21°, 93D, = 2l#e^ = ^0< = 2l*-
Теорема доказана.
3. Пусть {21, 2Г, 9 (Я)} —сжимающая аналитическая функция.
Полагая
(@и) (Я) = 9 (Я) и (Я) (и е= Я2 B1)),
мы определяем линейное отображение в пространства Я2 B1)
в пространство Я2B^), являющееся фактически сжатием.
Предложение 2.2. Для того чтобы оператор 6 был изометри-
изометрическим отображением Я2 B1) в Я2BГ), необходимо и достаточно,
чтобы оператор Q(elt) был изометрическим отображением 21 в W
при почти всех t.
Доказательство. Достаточность очевидна. Дока-
Докажем необходимость. Пусть 9 —изометрический оператор, т. е.
||9w||L2(r) = || w||L2(sr) для всякого we Я2B1). Из равенств
2Я 2Я
J || в (в") е~ши (е") ||2, di = J || в (*") w (ег'О |pr dt
о о
и
2я 2Я
§ 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 213
1, 2, ...) и из плотности в jL2(91) функций вида е~ши(ен)
Я2 B1); п=1, 2, ...) следует, что
2л 2л
|'Л= J В о @
для любой функции v(t)^L().
Возьмем, в частности, v (t) = г (т, 6; t) а, где а е 91 и е (т, б; /)~
характеристическая функция интервала (т, т + 6). Деля на б,
получаем
т+6
у/ II в (e'O flit Л = 11 а 1|,
откуда
у
т
)а||г = ||аЦд " B.11)
почти всюду, т. е. вне некоторого множества Еа меры нуль.
Заставляя а пробегать счетное множество {ап}, плотное в Я,
и беря объединение всех множеств Епп, получаем множество Е
меры нуль, вне которого равенство B.11) выполняется для всех
векторов ап и, следовательно, для всех а ей. Таким образом,
@(еи) является изометрическим оператором при t^E.
Учитывая сказанное, введем следующие
Определения. Сжимающую аналитическую функцию
{21, %, в (Я)} назовем
(а) внутренней, если @(еи) является изометрическим отобра-
отображением U в % для почти всех t или, что то же, если отобра-
отображение в из Я2 B1) в Я2B11||), порожденное этой функцией,
является изометрическим]
(б) внешней, если 6#2 B1) = Я2 B1J (замыкание берется
в метрике L2B1J);
(в) ^-внутренней, если ассоциированная функция {%, 21, в" (X)}
внутренняя;
(г) ^-внешней, если {21^, 21, в~ (Я)} внешняя функция;
(д) двусторонне внутренней, если она является одновременно
внутренней и *-внутренней;
(е) двусторонне внешней, если она является одновременно
внешней и *-внешней.
Для скалярных функций (dim 21 = dim %' = 1) определения
(а) и (б) сводятся к прежним (см. п. III. 1.1). В самом деле, для
скалярной аналитической функции О (Я), ограниченной в Ь по
модулю числом 1, условие (а) означает, что \<d>(ett)\= l почти
214 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
всюду, а условие (б)-что функции {Хп®(Х)}™=0 порождают про-
пространство Я2 — характеристическое свойство внешних функций,
вытекающее из теоремы Бёрлинга (см. п. III. 1.2). Как легко
видеть, в скалярном случае всякая внутренняя (соответственно
внешняя) функция является также *-внутренней (соответственно
*-внешней).
Предложение 2.3. Сжимающая аналитическая функция
{51, Ж„ в (я)} является одновременно и внутренней и внешней
в том и только в том случае у если в (X) — унитарная константа,
т. е. e(A,)s=eo, где в0 — унитарное отображение пространства 51
на 51#.
Доказательство. Если функция {51, 51^, в (А,)} является
одновременно внутренней и внешней, то в изометрически отоб-
отображает Я2E1) на Я2E1#),' т.е. в есть унитарное отображение
Я2 E1) на Я2E1Л). Поскольку в коммутирует с умножением на X,
то из унитарности в вытекает, что
в [Я2 E1) 0 X • Я2 E1)] = Я2 E1J Э Я • Я2 E1X
Но подпространство Я2 E1) © ЯЯ2 E1) состоит из постоянных
функций со значениями в 51. То же справедливо и для 51^.
Таким образом, для всякого ае51 имеем в(А,)агга„ где
а* е 51^, и когда а пробегает 51, то а* пробегает !„. Следова-
Следовательно, в (X) ?= в @), в @) 51 = 51, и
2л
0
откуда следует, что в@) является унитарным отображением 51
на 51,,.. Это доказывает наше предложение в одну сторону.
Обратное утверждение очевидно.
Установим одно свойство внешних функций.
Предложение 2.4. Для всякой сжимающей аналитической
внешней функции {51, Яо в (Я)}
(а) в (X) 51« 51, для всел; Я <= D;
(б) в (в^) 51 = 51, для почти всех t> 0 ^ t < 2зх {замыкания бе-
рутся в StJ.
Доказательство, (а) По формуле Коши
при we Я2E1), а^е Я„ |Л0|< 1. Поэтому если вектор а, =^= 0
ортогонален к в (х) 51, то A — Х0Х)~1 а* ф 0 ортогонален к вЯ2 E1).
§ 3. ЛЕММЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ФУРЬЕ 215
(б) Поскольку в#2(91) плотно в #2(91„), то, в частности, для
всякой постоянной функции а„ (X) == а* € 91^ существует такая по-
последовательность элементов wne#2(9l), что @ип стремится к а
в среднеквадратическом, а также почти всюду. Таким образом,
для всех /, кроме, быть может, точек некоторого множества JE1^
меры нуль. Следовательно, если t^Ea^ то подпространство
в (еи) 91 содержит вектор а*. Пусть а* пробегает счетное плотное
в 91,, множество {а*п}. Если Г не принадлежит множеству
Е = []Еаш меры нуль, то @(е")Ч1 содержит все векторы аш и,
п
значит, совпадает со всем пространством 91*.
Непосредственным следствием предложений 2.2 и 2.4 является
такое утверждение: для внутренних функций^ 91^, в (Я)} имеет
место неравенство dim 21 ^ dim 91 а для внешних — противопо-
противоположное неравенство dim 91 ^ dim 91^.
4; В заключение введем следующее
Определение. Будем говорить, что две сжимающие анали-
аналитические функции {91, %^ в (А,)}, {^',9Г[, ®'(К)} совпадают, если
существует такое унитарное отображение т пространства 91 на
9Г и такое унитарное отображение т„ пространства % на 21*,
что
§ 3. Леммы о представлениях Фурье.
Инвариантные подпространства
односторонних сдвигов
1. Пусть [/ — двусторонний сдвиг в комплексном сепарабель-
ном гильбертовом пространстве SR, и пусть 91 — блуждающее от-
относительно U порождающее подпространство, т.е. 91 = Л1(91),
где
лсд-Ф uk%.
— оо
Условимся обозначать через. Ф унитарное отображение прост-
пространства М(Щ на L2(9l), определяемое формулой
е Я; 2 ||а* ||2< оо), C.1)
-оо /
216 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
где ряд в правой части сходится в среднеквадратическом. Обо-
Обозначая через Ux оператор умножения на elt в пространстве
L2BI), имеем
Ф*?/ = UxQf, C.2)
т. е. df преобразует U в ?/х. Будем называть Ф® представле-
представлением Фурье пространства М{Щ.
Точно так же, если U+ — односторонний сдвиг в (комплекс-
(комплексном сепарабельном) гильбертовом пространстве Ш+ и 21 —блуж-
—блуждающее порождающее подпространство, т.е. если 5Н+ = М+B1),
где
то представлением Фурье пространства М+(Щ будем называть
унитарное отображение Ф+ пространства М+(Щ на Н2 B1), опре-
определяемое формулой
к L 5 ). C.3)
Обозначая через ?/+ оператор умножения на Я в Н2 B1),
получаем равенство, аналогичное равенству C.2):
OlU+^Utol. ' C.4)
2. Следующие леммы будут играть в дальнейшем важную
роль.
Лемма 3.1. Пусть U и U' — двусторонние сдвиги в {комплекс-
{комплексных сепарабельных) гильбертовых пространствах 9t и SR'; 21 и
W — блуждающие порождающие подпространства относительно
U и U' соответственно. Пусть, далее, Qy—сжатие из SR в Ш\
удовлетворяющее условиям
QU = U'Q, C.5)
QM+ B1) cz M+ B10. C.6)
Тогда существует такая сжимающая аналитическая функция
{21, 21', в (Я)}, что
^31
т. е. для всякого АеЯ почти всюду справедливо равенство
C.7)
§ 3. ЛЕММЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ФУРЬЕ 217
Доказательство. В силу C.6) имеем при а е 21
Qa = 2 Ufhah9 где a* e 21', 2 II а? ||2 = || Qa f < || а ||2.
о о
Полагая аь = в^а, мы определяем последовательность ограничен-
ограниченных линейных преобразований Sk (fe = 0, 1,2, ...), являющихся
фактически сжатиями из 51 в 21'. Таким образом,
оо
OwQa = ufl (*), где ufl (*) = 2 еш (вла) (сходимость в L2 («0).
о
Ввиду C.5) и C.2) отсюда следует, что
ФГ<2Ф (?/) а = Фгф (U') Qa = Ф (f/x) Ф* Qa = ф (в") иа (t)
для всякого тригонометрического многочлена ф(е") с числовыми
коэффициентами. Поэтому
IIФ (С/) а || > || СФ (t/) a ||. = || фг0ф (U) а Ц (г) -
2л
С другой стороны,
Сравнивая оба результата, получаем
2л 2л
J IФ (в") fll ов @1?, Л < J | Ф (в") |2 Л • || а ||2а.
О О
С помощью теоремы Вейерштрасса это неравенство переносится
на все непрерывные функции р (t) ^ 0 с периодом 2я
2Л 2я
J ?(t)\\va(t)\\l,dt^j р(/)Л-Ца|&.
О О
Применив теорему Лебега о переходе к пределу под знаком
интеграла, мы распространим это неравенство на все измери-
измеримые неотрицательные ограниченные функции на @, 2я). Взяв
в качестве р(^) поделенную на 6 характеристическую функцию
интервала (т, т + 6) и устремив 6 к нулю, получим
II va (t) \\w < || а \\п почти всюду. C.8)
218 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Используя формулу Пуассона A-(>), связывающую функцию
va(t) с ассоциированной аналитической функцией
оо
иа (Л) = 2 hk®ka (X е D) C.9)
о
класса Я2 E10» а также хорошо известные свойства ядра
Пуассона, получаем из C.8)
Ia (ЛеЯ). C.10)
Поскольку ряд C.9) сильно сходится в 2Г для любого
се 21, то ряд
оо
е(лн2л*в1к (лея)
о
сходится в смысле сильной сходимости операторов и в(А,)а =
= wa(A,). В силу C.10) {21, 2Г, в (Я)} —сжимающая аналитичес-
аналитическая функция. Некасательный предел в (я") существует почти
всюду в смысле сильной сходимости операторов. Поэтому почти
всюду
в (еи) а = lim в (А,) а = Нт иа (Л) = va (t) (I -> еи некасательно).
Итак,
<D*'Qa = e(elt)a. (as 21). C.11)
Из C.5), C.2) и C.11) следует, что
OrQ 2 Ukak = S OwUrkQak - | ^fOrQa* -
- 2 *шв (,") а, - в И 2 *'Ч - в (elt) Ф* %Ukakt
к к k
(сначала — для конечных сумм вида h =2 Ukak (ak&W), затем
по непрерывности — для любых h e Л1 E1)).
Остается заметить, что и-^ви есть непрерывное линейное
отображение L2 E1) в L2 E1'), а именно сжатие. Это вытекает из
того факта, что @(е1*) является сжатием из 21 в 21' для почти
всех t.
Лемма доказана.
Выведем отсюда аналогичную лемму для односторонних
сдвигов, присовокупив к ней несколько утверждений о различ-
различных свойствах функций в (А,).
§ 3. ЛЕММЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ФУРЬЕ 219
Лемма 3.2. Пусть U+ и U+ —односторонние сдвиги в (комп-
(комплексных сепарабельных) гильбертовых пространствах SR+ и Sft+э
а 5t = SH+© C/+JR+ и 5l' = 9t+0f/+SR+ --блуждающие порождаю-
порождающие подпространства относительно U+ и U+ соответственно.
Пусть, далее, Q — сжатие из SR+ в SR+, удовлетворяющее условию
= [/;Q. - C.12)
Тогда существует такая сжимающая аналитическая функция
{51, Г, в (А,)}, «го
Ф^'<2 = еФ^. (злз)
Для того чтобы эта функция была
(а) чистой,
(б) внутренней,
(в) внешней,
(г) унитарной константой,
(д) ограниченно обратимой (г. ?. чтобы ©(Я)"
существовало в узком смысле при всех IgD, причем
k = sup|© (Л)"1|< оо), необходимо и достаточно, чтобы соответст-
соответственно выполнялись условия
(а) || /VQa ||<|| а \\ для всякого a e 5(, а ф 0 (iV-ортопроек-
тор SR+ на 21'),
(б) Q — изометрическое отображение SR+ в SR+,
(B)Q9t+ = 9t'+,
(г) Q — унитарное отображение 9i+ «a SR+,
(д) Q существует в узком смысле IQ"!^^.
Доказательство. В силу предложения 1.2.2 односто-
односторонние сдвиги U+ и U+ могут быть продолжены с сохранением
кратности до двусторонних сдвигов U и V в пространствах SR
и 9*' соответственно. При этом
Для всех р, # (— 00<p<q<00) и всех a e 51 справедливы ра-
равенства:
2 С/Яая = f/P 2 Un~pan = [/р 2 f/Г Part,
р р р
i t/'nQan= f/'p S f/'rt-pQan= C/'p 2 U'^pQan^ U'P 2
220 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
откуда
Полагая
q q
QEf/X=S U'nQany
p p
мы получаем сжатие Q линейного многообразия векторов вида
q
2 Unan в 91'. Это сжатие продолжается по непрерывности до
р
сжатия из 91 в 5ft', которое снова обозначим через Q. Имеем
q q q
Q 2 UXctn = 2 u'+ Qdn = Q S f/+^/z (? ^ 0)
0 0 0
и, следовательно, Q^dQ. Кроме того,
q q q . q
p p p p
откуда Qf/ = f/'Q. Учитывая также, что
мы видим, что лемма 3.1 применима к SR, 5R', ?/, [7х, Q. Таким
образом, существует такая сжимающая аналитическая функция
{%, И', О (Я)}, что
Беря сужения на 9?+, получаем
Установим теперь свойства (а) —(е).
Если а ей, то
, C.14)
(|
о
где коэффициенты а'п определяются из разложения
Яа=Ъи'па'п {а'п<=%у C.15)
В частности,
c$-PwQa. C.16)
§ 3. ЛЕММЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ФУРЬЕ 221
Согласно C.14), @{О)а = а'о. Поэтому для того, чтобы
в (А,) была чиста, необходимо и достаточно, чтобы ||[
для всякого аЕЯ, а ф 0. Учитывая C.16), получаем (а).
Утверждения (б) и (в) являются непосредственными след-
следствиями того факта, что в как оператор из Я2 E1) в Я2 E10
унитарно эквивалентен оператору Q из 91+ в ?ft+ (см. C.13)).
Случай (г) получается комбинацией случаев (б) и (в) с учетом
предложения 2.3.
*
(д) Предположим, что Q* существует в узком смысле, и
||Q!^^. Оператор Qi = yQ" является сжатием из 5R+ в 9t+.
Согласно C.12) QiC/+ = U+Q{.
Используя уже доказанную часть леммы, получаем, что
существует сжимающая аналитическая функция {SI', 51, Q{ (A,)},
для которой
Полагая Q(k) = kul(k)y приходим к ограниченной аналитической
функции {%', 51, Q(l))t ||Q(A,)||<fe, такой, что
I C.17)
В силу C.13) и C.17) в и Q, рассматриваемые как опера-
операторы из Я2 E1) в Я2 E10 и из Я2 E10 в Я2 E1) соответственно,
взаимно обратны:
т. е.
Q (X) в (X) = /зг, в (X) Q (X) = h> {X €= D).
Таким образом, оператор в (Я) обладает обратным
ограниченным в единичном круге D числом k.
Обратно, пусть оператор в(Я) обладает обратным
и || Q {%) |К к (X е D). Тогда Q(X) аналитична, поскольку ее про-
производная существует (как предел по норме):
-1
Итак, {5F, 91, Q(X)} является ограниченной аналитической функ-
функцией. Поэтому она порождает ограниченный оператор Q из
Я2 (Г) в Я2 E1) по формуле
причем || Q ||^ к. Поскольку
(Q0o) (Я) - Q (X) (во) (X) - Q (Я,) в (X) v (А,) - v (К) (о в Я2 (Щ),
(вО«) (К) - 0 (К) (пи) (Л) - в (К) Q (X) и(Х)-и (X) (иеН2 (W)),
222 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
то Q является обратным оператором для @. Следовательно,
оператор (ф+) ?2Ф+, также ограниченный по норме числом k,
является обратным для оператора (ф+) 6Ф+ = Q. Лемма 3.2
доказана.
3. В качестве первого применения предыдущей леммы дадим
описание инвариантных подпространств одностороннего сдвига
в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве.
Из представления Фурье односторонних сдвигов (см. п. 1)
вытекает, что эта задача сводится к изучению инвариантных
подпространств оператора С/+ в пространстве Я2 (E), где E — ком-
комплексное сепарабельное гильбертово пространство.
Теорема З.З, Общий вид • подпространств § a Я2 (S), инва-
инвариантных относительно оператора С/+ умножения на eltf дается
формулой
§ 6Я2C) C.18)
где $ — комплексное сепарабельное гильбертово пространство и
{$, S, в (К)} — внутренняя сжимающая аналитическая функция.
Доказательство. Если в (Л) —внутренняя функция, то
порожденный ею оператор в из Я2C) в Я2 F) изометричен.
Следовательно, линейное многообразие вЯ2($) замкнуто, т. е.
является подпространством в Я2(Й). Его инвариантность отно-
относительно С/+ очевидна.
Рассмотрим теперь произвольное подпространство Ф, инва-
инвариантное относительно [/+.
Отождествим элементы из 6 с постоянными функциями
из Я2(E). Именно, элемент ее® отождествим с функцией е(Х)>
принимающей постоянное значение е. При этом E превращается
в подпространетво пространства Я2 (E), блуждающее относи-
относительно С/+, причем
ф 1(+(Щ) C.19)
о
(см. A.2)).
Пусть V = С/+|§. Рассмотрим разложение Вольда простран-
пространства Ф относительно оператора V (см. § 1.1). Поскольку
Vn$aU+nH2{&) и U+ не имеет унитарной части в Я2((?), то
ПОсП ?/^Я2(®) = {0}.
я-0 п»0
§ 4. ФАКТОРИЗАЦИИ 223
Поэтому и оператор V вполне неунитарен, и разложение Вольда
имеет вид
? = ёП5, где g = ?0F§. C.20)
о
Применим лемму 3.2 к случаю
Q — каноническое вложение § в #2(S) (т. е. Qh = h при /геф).
Очевидно, условие C.12) выполняется.
В результате получаем, что существует такая внутренняя
сжимающая аналитическая функция {$, S, в (Я)}, что
C.21)
Поскольку ® мы отождествили с постоянными функциями
из Я2(®), то представление Фурье пространства Н2(Щ для С/+
сводится к тождественному отображению. С другой стороны,
Qh — h при fte§. Поэтому равенство C.21) приводится к виду
Н = вФ%Н (Аеф).
Таким образом,
Теорема доказана.
4, Отметим без доказательства, что общий вид ультраинва-
ультраинвариантных относительно [/+ подпространств § =7^= {0} простран-
пространства Я2(®) дается формулой
где и (X) — скалярная внутренняя функция (так что в этом слу-
случае g = ®, е(А,) = и(А,)/в).
§ 4. Факторизации
I. Начнем со следующего предложения
Предложение 4.1. (а) Пусть {®, g, 0(Я)} и {g, glf ^)}
сжимающие аналитические функции, причем вторая из них
внешняя, и пусть
e(^)*@(^X©i(^)*@i(^) почти всюду. D.1)
Тогда существует такая сжимающая аналитическая функция
{Ъи s, ад», чго
в (Я,) = 02(^H! (Я,) (isD). D.2)
224 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
(б) Если в D.1) почти всюду имеет место равенство, то
функция в2(Я) является внутренней. Если, кроме того, в (Я) —
внешняя функция, то в2 (А,) — унитарная константа.
Доказательство, (а) В силу D.1) оператор X, опреде-
определяемый равенством
D.3)
является сжатием из @{Н2(Щ в Я2($). Продолжим этот опе-
оператор по непрерывности до сжатия (обозначаемого снова че-
через X) из Н2(Ъу) = @1Н2Щ) в #2C). Поскольку в . eltv = elt . ви,
@{ • eltv = elt • в^, то, согласно D.3),
где U+ и U1+ — операторы умножения на еи вЯ2(§) и Я2 (Si)
соответственно.
Применяя лемму 3.2 к случаю
(g и Si обычным способом вложены в #2($) и Я2^^ как
постоянные функции), видим, что существует сжимающая ана-
аналитическая функция {Si, Si ®2(^)}> Для которой
Xw = ®2w {we=H2(%{)) D.4)
(заметим, что представления Фурье Ф+ и Ф+ пространств #2(S)
и Я2 (Si) суть тождественные отображения). Полагая в D.4)
w = QiV (usW2F)) и учитывая D.3), находим
Беря v(K)^h (Ag $), получаем D.2).
(б) Если в D.1) почти всюду имеет место равенство, то
оператор X — изометрический. Согласно лемме 3.2, функция в2(Я)
является внутренней. Если, кроме того, в (Я) —внешняя функ-
функция, то
я2 (S) => е2я2 (Si) => е^я2 (Щ = ШЩ - я2 (S)
и, следовательно, функция в2(Я) также является внешней.
В силу предложения 2.3 в2 (Я) —унитарная константа.
2. Рассмотрим теперь функцию N {t) @ </ <2я), значениями
которой являются самосопряженные операторы в сепарабельном
гильбертовом пространстве ® и которая сильно измерима
(т. е. при любом фиксированном AeS сильно измерима функ-
§ 4. ФАКТОРИЗАЦИИ 225
ция N{t)h)\ напомним, что в сепарабельном пространстве 6
сильная и слабая измеримости эквивалентны). Пусть, кроме
того,
О <#(*)</. D.5)
Функция N (t) порождает по формуле
(Nv)(t) = N(t)v(t)
оператор N в пространстве Ь2(Щ. Этот оператор самосопряжен
и 0<#</
Предложение 4.2. Существует внешняя сжимающая анали-
аналитическая функция {E, glf ©i(^)}> обладающая следующими свой-
свойствами:
A°) N(tJ^Qx{euY®{{elt) почти всюду;
B°) для всякой другой сжимающей аналитической функции
{<§, g, ®{^)}> такой, что
почти всюду, D.6)
имеет место неравенство
в{{е»У®{(ен)^<д{е»Ув(е") почти всюду. D.7)
Эти свойства определяет внешнюю функцию @{ (Я) с точно-
точностью до левого постоянного унитарного множителя.
Для того чтобы в (Г) почти всюду имело место равенство,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
П {0}. D.8)
Доказательство. Оператор умножения на elt в Ь2{Щ
обозначим через С/х. Поскольку N перестановочно с Ux, a
Я2(й) инвариантно относительно Ux, то подпространство
D.9)
также инвариантно относительно С/х. Поэтому Ux индуцирует
изометрию в %1. Пусть
D.10)
есть разложение Вольда для %1 относительно этой изометрйи,
т. е.
х%, %= П иХп^- D.П)
/г>0
Обозначим ортопроектор из 31 на М+ {Ъ\) через Р. По-
Поскольку М+Ш приводит С/х |9?, то UXP = P{UX \%i). Учитывая,
1К Яяк В17
225 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИЙ
что N перестановочно с С/х, находим UXPN = P(UX |SR) N
« РГ/ХМ = PMTJX. Птртлпя
X. Отсюда
где
Таким образом, можно применить лемму 3.2 к случаю
Учитывая соотношения
получаем, что существует внешняя сжимающая аналитическая
функция {&, Si» ®i(^)}> удовлетворяющая условию
при с;€=Я2((?). D.12)
(Мы воспользовались здесь равенством Ф®1> = 1>, справедливым
ввиду того факта, что ® есть подпространство в Я2(й), со-
состоящее из постоянных функций.)
Поскольку оператор Ф+ унитарен, то, согласно D.12),
при уеЯ2(И). D.13)
Элементы вида Nv (v e Я2 (®)) образуют плотное в ЭД множе-
множество (см. D.9)). Поэтому в неравенстве D.13) знак равенства
имеет место для всех v в том и только том случае, когда
Р=*1т. Условие Р = 1т означает, что % = {0}, а это эквива-
эквивалентно равенству D.8).
Возьмем в D.13) v{X)~p(k)h, где Л —элемент из E, р(Я) —
многочлен от Я. Получим
2JT
2я
Поскольку всякий тригонометрический многочлен ср(е") может
быть построен исходя из некоторого обычного многочлена р{к)
§ 4. ФАКТОРИЗАЦИИ 227
по формуле ч>(еи)=*е~шр(еи)9 то
2я
J IФ (*") I2 II N (t) h |p dt > \ | Ф (e«) |21| 6t (*«) h f dt D.14)
о о
для всякого тригонометрического многочлена <р(е"). Так же как
в доказательстве леммы 3.1, отсюда следует, что
IIN (О Л ||2 > || О, (е'О h ||2 D.15)
вне некоторого (зависящего от Л) множества точек t меры
нуль. Поскольку пространство S сепарабельно, то существует
множество меры нуль, вне которого D.15) выполняется при
всех Ag6. Это означает, что неравенство (Г) имеет место
почтя всюду.
Заметим, далее, что если в D.13) при всех DGfl2(S) имеет
место равенство, то имеет место равенство в D.14) при всех ф
и, следовательно, в D.15) и в (Г) почти всюду. Из сказанного
ранее об условиях равенства в D.13) вытекает, что для по-
построенной внешней функции &[{к) равенство в A°) имеет место
тогда и только тогда, когда выполнено условие D.8).
Пусть {®, S» ® (А*)}"~ какая-либо сжимающая аналитическая
функция, удовлетворяющая условию D.6). Тогда существует
сжатие Y из 91 в Я2C), для которого
Y{Nv) = ev (ие=Я2(®)). D.16)
Очевидно,
У - eltNv = Y • Neltv = в . eltv = elt • ву = elt • YNv {v s Я2 F)),
откуда
Поэтому
ySRocz f| у.еы31= П ^^с П ^rtf^2(g) = {0}f
т.е. ГЗ^о = {0}, У(/дг-Р) = О и, значит,
YNv = FPiVt; = YXv {v e Я2 (®)). D.17j
Учитывая равенства D.12) и D.16) и принимая во внимание,
что Ф+— унитарный оператор, a Y — сжатие, получаем
|| 6^ || = || Xv || > || YXv || = || YNv || -1| Sv || (v о Я2 F)). D.18)
Метод, который привел нас от D.13) к D.15) и к свойству A°)
для @{{к), применим и к D.18) и дает D.7). Таким образом
устанавливается свойство B°) для @{ (Я). Остается вопрос о един-
единственности. Пусть Ш, gj, 6j (Я)] — другая внешняя сжимающая
15*
228 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
функция, обладающая свойствами (Г) и B°). Тогда
©1 (eliy в1 {еи) = в; (е«) в; (eif) почти всюду.
В силу предложения 4.1, (б) в' (Я) = Z • Oi (Я), где Z —уни-
—унитарный оператор из ^ на g{.
Предложение 4.2 доказано.
Замечание. Из предложения 4.2 немедленно следует,
что если функция N (t) допускает представление N {tf =
= @{еи)*@{еи) (почти всюду), где в (Я) —сжимающая аналитиче-
аналитическая функция, не обязательно внешняя, то для N(t) выпол-
выполняется условие D.8).
3. Предложения 4.1 и 4.2 дают возможность получить раз-
разложение всякой сжимающей аналитической функции {®, ®„ в (А,)}
на внутренний и внешний множители. В самом деле, положим
Эта функция удовлетворяет условиям предложения 4.2. Поэтому
существует внешняя сжимающая аналитическая функция
{&, g, в^(Я)}, обладающая свойствами (Г) и B°). Поскольку
e(eifye(eif)*=*N(tJ, из этих свойств вытекает, что
N {tf > ве (е'О* ®е (еи) > в {е»У в (е«) = N {tf
почти всюду. Следовательно ®е{еаУ®е{еи) = @{еи)*@{ен) почти
всюду. Согласно предложению 4.1, существует такая внутрен-
внутренняя функция {$, S,, в,-(Я)}, что
в (Я) = в< (Я) 6ДЯ) (IgD), D.19)
Это разложение будем называть каноническим разложе-
разложением @{Х) на внутренний и внешний множители В^(А,) и @е{1)
{канонической факторизацией). Оно единственно в следующем
смысле: если в (Я) = в? (Я) @'е (?0 — другая факторизация того же
типа, с промежуточным пространством 3'» быть может отличным
от g, то существует такой унитарный оператор Z из g на g7, что
Это сразу следует из предложения 4.1,F). В частности,
{®, S', ©а (Я)} и {g7, (§„, в;(^)} совпадают, в смысле п. 2.4,
с {®л g, ве{Х)} и {g, (8„ вЛА,)} соответственно.
Канонически факторизуя ассоциированную функцию в~ (Я)
и возвращаясь затем к в (Я), получаем факторизацию вида
(Я) (Я е D), D.20)
где в*е (А,) — сжимающая «-внешняя функция, а в*/ (А,) — сжи-
сжимающая *-внутренняя функция. Эта факторизация также един-
§ 4. ФАКТОРИЗАЦИИ 229
ственна (в аналогичном смысле). Факторизацию D.20) будем
называть ^-канонической факторизацией 0(А,).
4. Пусть и (Я) — сжимающая аналитическая скалярная функ-
функция и и{Х)Ф 0. Для каждого борелева подмножества а еди-
единичной окружности С функция и (Я) допускает факторизацию
где ща и и2а-;скалярные сжимающие аналитические функции,
причем и[а (К) — внешняя функция и
при^ео'-СЧа D'21)
I«*<«*>'-{ !„(!»)
при е" е а,
при е" е а7.
Например, можно взять
1а (X) = exp (-L J -?^±1 in | и (е«) | dA, D.23)
(а) /
\
где (а) = #: 0 ^/ <2я, el7 e а}. В самом деле, если «/^(Л)—
функция, соответствующая аналогичным образом множеству а',
то ню' (Л) Mia (Л) — внешний множитель функции м (Я) и, следо-
следовательно,
D.24)
^есть произведение на Mia' (Я) внутреннего множителя функ-
функции» и{к). Поэтому м2а(А,) является сжимающей аналитической
функцией и D.21) следует непосредственно из D.23), а D.22)
вытекает из D.21) и D.24), поскольку и{еи)ф0 почти всюду.
Применяя полученные выше результаты, мы можем обоб-
обобщить этот факт на операторные сжимающие аналитические
функции.
Предложение 4.3. (а) Пусть {®, ®+, в (Я)} — сжимающая ана-
аналитическая функция, такая, что
Q(eit)~l существует в широком смысле почти всюду. D.25)
Для всякого борелева множества а а С найдутся такие сжи-
сжимающие аналитические функции {©, g, в1а(А,)} и {§, (?„ в2а(Я)},
из которых первая является внешней, что
в {%) = в2а (К) в1а (Я) (К е D) D.26)
@1а{е"У@1а(еи) = 1® почти всюду на (а'), D.27)
®2а{еи)*@2а{е") = h почти всюду на (а). D.28)
230 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
(б) Факторизация D.26) единственна в следующем смысле:
если {®, §', @[а{^)} и [Ъ\ &*, @2а(Я)} обладают теми же свой-
ствамиу то
е;а (х) - zela (я), в'2а (я) = е2а (X) z~\
где Z — постоянное унитарное отображение $ на $'.
(в) ?сли в(^^) не является изометрией на некоторых подмно-
подмножествах положительной меры множеств а и а', то факториза-
факторизация D.26) нетривиальна (т. е, ни один из множителей не являет*
ся унитарной константой).
Замечание. Из D.26) и D.28) вытекает, что
®ia {eify 6la (eif) = в (е"У в {elt) почти всюду на (a). D.270
Доказательство, (а) Положим
(е«)]2 при *€=(a)f Na(t) = I9 при /е(о0. D.29)
Тогда
)*в(^^) почти всюду D.30)
и, следовательно,
II Nau ||L, (в) > || в« ||Я2 (g>) (и s Я2 (©)).
Поэтому существует такое сжатие У из NaH2{(§) в Я2(@„), что
) = eu {и <
Поскольку операторы JVa и 6 перестановочны с умножением
на функцию еи, то это же справедливо и для Y. Следовательно,
Yf)e'"<NaH*m<=n
Таким образом, если будет показано, что единственным эле-
элементом w е Л^аЯ2(®), для которого Уи; = 0, является оу = О,
то для функции Л^а@ будет установлено D.8). Итак, дело сво-
сводится к доказательству следующего утверждения: если vn (t) —
такая последовательность функций из Я2(®), что Navn->w и
&vn->0 ^сходимость в L2), то ку = О. Заменяя в случае надоб-
надобности последовательность vn на соответствующую ее подпосле-
подпоследовательность (чтобы ряды 2II Navn — w |р и 2II ®Vn II2сходились^,
\ п п )
получаем, что
N^(t)vn{t)-^w{t)t в(*")М0"*0 ПОЧТИ всюду
§ 4. ФАКТОРИЗАЦИИ - 231
(сходимости в 6 и 6„ соответственно). Таким образом, почти
всюду на (а')
G (е«) w{t) = B (e«) lim Na (*) vn (t) = в (е«) lim vn (t) =
а почти всюду на (а)
If e (e") ш @ IK || ш @ [| = lim || JVa @ t»n @1| = limЦ 0 (e«) t»re @1| - 0.
Итак,
6 (eu) w(t) = 0 почти всюду.
В силу условия D.25) отсюда вытекает, что w (t) = 0 почти
всюду. *
Мы доказали, что для Na{t) выполняется D.8). Согласно
предложению 4.2, существует такая внешняя сжимающая ана-
аналитическая функция {6, gf 61а(Я)}, что
®la(^0*®la(^) = Wa@ ПОЧТИ ВСЮДУ. D.31)
На основании D.30) и предложения 4.1 существует такая сжи-
сжимающая аналитическая функция {$, (?„, ®2а(^)}» что имеет
место D.26). Функция ©1а(Я) удовлетворяет условию D.27)
ввиду D.29) и D.31). Докажем теперь D.28). Для этого заметим,
что для почти всякого i e (а) и всякого Лей
II ©2а И ©ia (e") h || = || О {elt) h || = || в1в (elt) h ||. D.32)
Поскольку функция ©la (Я) является внешней, то на основании
предложения 2.4
©late")®355®* почти всюду на [0, 2я].
Из D.32) получаем по непрерывности, что
11®2а(^)МН1М
для всякого Л* е ®„ почти всюду на (а). Тем самым D.28)
доказано.
(б) При сделанных предположениях ©1а(е'0*®'а(У0 =
^ ®ia(er0*®ia(?r0 почти всюду. В силу предложения 4.1,F)
существует такое унитарное отображение Z пространства $ на
пространство g/, что ©ia(A,) = Z©ia(^). Поэтому
©2a (Я) ©ia (Я) = © (А,) = ©2а (А) ©^ (Я) = ©2а (Я) Z©ia (A).
ПОСКОЛЬКУ 01а#2(&) ПЛОТНО В Н* (g), TO ®2a^ = ©2aZi/ ПрИ
ПРОИЗВОЛЬНОМ U^H2 C), ОТКуДа в2о (А) = ©2а (Я) Z, ©2а (Я) =
232 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
(в) Это утверждение очевидно. В самом деле, если в1а (К) —
унитарная константа, то из D.26) и D.28) следует, что опера-
оператор ®(еи) изометричен почти всюду на (а). С другой стороны,
если в2а (А,) —унитарная константа, то из D.26) и D.27) выте-
вытекает, что оператор ®(еи) изометричен почти всюду на (с/).
Предложение 4.3 доказано.
Замечания. Условие D.25) эквивалентно условию
®(е'Т®* = ® почти всюду
и потому в силу предложения 2.4 выполняется для всякой
^-внешней функции. %
С другой стороны, если функция в (Я) не является внутрен-
внутренней, то оператор ®(еи)*®{еи) отличен от /@ в точках множе-
множества р положительной меры. В этом случае можно выбрать
множество а так, чтобы множества а П Р и а'Пр имели поло-
положительную меру. В силу предложения 4.3, (в) факторизация D.26)
будет нетривиальной. Таким образом, можно сформулировать
Следствие 4.4. Для всякой *-внешней сжимающей аналити-
аналитической функции, не являющейся внутренней, существуют нетри-
нетривиальные разложения вида D.26).
5, Во многих отношениях интересен приводимый ниже
пример.
Пусть А — самосопряженный оператор в гильбертовом про-
пространстве &, такой, что 0<Л</, причем 0 и 1 не являются
собственными значениями для Л. Рассмотрим сжимающую
аналитическую функцию {®, ®, ©(А)}, где в(Л)^ А. Так как 1
не является собственным значением оператора Л, эта функция
чиста. Более того, {&, $, © (Л)} — двусторонне внешняя функция.
В самом деле, если и —элемент из Я2 F), ортогональный
к Л#2(E), то Лг/(А) = 0 при leD. Поскольку 0 не является
собственным значением оператора Л, то г/ (Л) = 0, т. е. и = 0.
Таким образом, АН2{Щ плотно в Н2 F), и потому функция
@(Х) = А внешняя. Так как ©~ (А,)гз А* = А = в (Л), то в(Л) =
е= Л — двусторонне внешняя функция.
Найдем теперь факторизацию D.26) этой функции, отвечаю-
отвечающую борелеву множеству асС.
Для этого введем в рассмотрение функцию
l$rr D-33)
(а)
()
голоморфную в D. Если X = relt @^г< 1), то
соа(Я) = -^ \ P(r, t-s)ds+^ JQ(r9 t-s)ds, D.34)
(а) (а)
§ 4. ФАКТОРИЗАЦИИ 233
где Р —ядро Пуассона, Q — сопряженное ядро. Из хорошо
известных свойств интегралов с такими ядрами (см. Зиг-
Зигмунд [1], п. 3.6 и 7.1) вытекает, что почти в каждой точке
elt e С существует некасательный предел и что этот предел
равен %а(О + ЧСа(*)| гДе %а (О — характеристическая функция
множества (а), %а Ь) ~~ функция, тригонометрически сопряженная
к Ха@- В силу D.34) Reсоа(А) ;>0 (если мера а положительна,
ToRe(ua(A)>0). Следовательно, |ato«(Л/)| < 1 при 0 <а < 1, Ag D.
Положим
Qa(A,) = 4°°(W (AeD). D.35)
Оператор в правой части понимается как интеграл от функ-
функции a°a^ на интервале 0<а<1 по спектральной мере опе-
оператора Л. (Заметим, что точки 0 и 1 имеют нулевую спектраль-
спектральную меру.) Как легко проверить, Qa (Л)— сжимающая аналити-
аналитическая функция. Из соотношений
?±? US = 1 (iGfl),
О
Re (oa (e**) = Xa M почти всюду
и из свойств спектральных интегралов вытекает, что
Qa (A) Qa' (А) = Qo' (Л) Qa (А) = Л (А Е D) D.36)
и
почти всюду. На основании D.36) заключаем, что
АН2 F) = QaQa-Я2 F) CZ QaH2 F),
откуда следует, что множество Qa#2(S) плотно в Я2 F).
Поскольку в силу D.36) Qa (А) • Qa' (А) = Л, то Qa (А) Я2 F)
также плотно в Я2 F). Таким образом, функция Qa(A) является
двусторонне внешней. Соотношения D.36) и D.37), примененные
к а и к а/, показывают, что для функции 0(Л)^Л множители
в разложении D.26) определяются формулами
вт (X) = Qa (А), в2а (X) = Qa' (A).
Интересно еще заметить следующее. Из D.37) следует, что
оператор Qa(^0 унитарен для почти всех t e (а'). Но если
оператор Л не является обратимым в узком смысле, а мера a
положительна, то в каждой точке z = eif, где оператор Qa(z)
унитарен, Qa(X) не стремится по норме к Qa(^) при k->z.
В противном случае оператор Qa{k) был бы обратим в узком
234 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
смысле при Я, достаточно близких к z, что, однако, не имеет
места, ибо
Qa(tfQa(*) = A2****iK)t Recoa(A)>0.
Из доказанного вытекает, в частности, что если А не имеет
обратного в узком смысле и а —дуга положительной длины,
то Qa(A) имеет некасательные унитарные пределы почти в
каждой точке дуги а', но не может быть аналитически про-
продолжена через а'. Это замечание будет использовано в даль-
дальнейшем при выяснении значения предложения 6.7. О нем пой-
пойдет речь также в комментариях к гл. VII.
§ 5. Существование нетривиальных факторизации
для произвольной сжимающей аналитической
функции
Как мы увидим в гл. VII, проблема представления сжи-
сжимающих аналитических функций в виде произведения функций
того же типа, не являющихся унитарными константами (короче:
проблема нетривиальной факторизации), тесно связана с пробле-
проблемой нахождения нетривиальных инвариантных подпространств
для операторов в гильбертовом пространстве.
Впрочем, инвариантным подпространствам соответствуют
лишь факторизации, удовлетворяющие некоторым дополнитель-
дополнительным условиям.
В настоящем параграфе доказывается, что всякая сжимаю-
сжимающая аналитическая функция {6, б,, в (Л)}, не являющаяся уни-
унитарной константой, обладает нетривиальной факторизацией —
если не накладывать на эту факторизацию никаких дополни-
дополнительных условий.
1. Начнем с некоторых геометрических построений.
Условимся насчет обозначений. Пусть V —односторонний
сдвиг в гильбертовом пространстве Ф. Через n(V) обозначим
класс всех линейных ограниченных операторов Q в §, для
которых существуют такое гильбертово пространство §Q, такой
односторонний сдвиг Vq в $q и такой оператор А из |>q в ф,
что
VA = AVQi E.1)
АА* = Q. E.2)
Предложение 5.1. Для того чтобы самосопряженный опера-
оператор Q в ?>, Q^O, принадлежал классу яA/), необходимо и
достаточно^ чтобы
Q*^O. E.3)
8 S. СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ ФАКТОРИЗАЦИИ 235
Доказательство. Если Qen(F), то в силу E.1) и E.2)
Q-VQV* - АА*-VAAY« AA'-AVqVqA*- A(I-VqV'q) A*>О,
ибо I-VqV*q>0.
Обратно, пусть Q удовлетворяет условию E.3). Обозначим
через R положительный квадратный корень из оператора
Q - VQV*. Тогда Q = R2 + VQV, откуда по индукции
1, 2, ...).
у рм сдвигом, то V
стремится к О при az->oo. Поэтому
Поскольку У является односторонним сдвигом, то V* сильно
О П
и, следовательно,
II Q2/гII -S|/?V**Ap при всех /ге=&. E.4)
Рассмотрим гильбертово пространство^ #q всех последователь-
последовательностей х=={д:л}Г, для которых xn^R$ (лг — 0, 1, ...) и ||х||2 =
оо
"" 2||^112<О°- Пусть VQ — односторонний сдвиг в ?>q, опреде-
определяемый формулой
VQ{x0, хи ...} = {0, х0, хи ...}.
Положим
Bh~{RK RV*h, RV*2h, ..., RV*K ...}•
Из E.4) вытекает, что ? — оператор из § в $Qi такой, что
E.5)
Кроме того, поскольку
ТО
ВГЛ = {/гГЛ, RV*2h, ...} = У qB/i. ^
Следовательно, BV*=V*qB, VB*=*B*Vq. Оператор А*** В* удо-
удовлетворяет условию E.1), а в силу E.5) и условию E.2).
Предложение 5.2. Пусть Q — оператор класса n(V) и
0<Q</. Тогда оператор Qa = aQ + (I -a)/r гй^ 0<a< I,
также входит в класс n{V). Если V имеет бесконечную крат-
236 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
ность, то можно взять $Qa = Q и Vq = F, т. е. в этом случае
существует такой оператор Аа в «?>, перестановочный с V, что
Доказательство. Первое утверждение вытекает непо-
непосредственно из предложения 5.1. Что касается второго, то за-
заметим прежде всего, что если 51 — блуждающее порождающее
подпространство для V, а Р% — ортогональный проектор
на 51, то
Отсюда следует, что Rah = 0 влечет РФ = 0. Поэтому Ra$ =э
гэР%$ = % и
dim & > dim Ra$ > dim 51. E.6)
С другой стороны, поскольку размерность 51 бесконечна, то
dim # = Ко • dim 51 = dim 51. E.7)
В силу E.6) и E.7) dim RaQ = dim 51. Поэтому существует
унитарное отображение ф пространства RaQ на 51. Это отобра-
отображение индуцирует унитарное отображение Ф пространства ?>Q
последовательностей x = {^rt}2° {xn e 7?a§) на пространство § по
формуле
Имеем
Ф (VQx) =%V (ф0 2
Таким образом, если отождествить элементы из #q и ф,
соответствующие друг другу при отображении Ф, то VQ отож-
отождествится с V, а оператор А (из $Qa в ?>), ассоциированный
с Qa, отождествится с некоторым оператором Аа в §, переста-
перестановочным с V и таким, что AaA*a = Q.
Предложение 5.3. Пусть А и В —операторы в ф, переста-
перестановочные с изометрией V в «&, причем А — изометрия, В — сжа-
сжатие и
ВВ"^АА\ E.8)
Тогда существует такая перестановочная с V изометрия С в §,
что А = ВС.
Доказательство. Поскольку Б —сжатие, то из E.8)
вытекает, что / — АА*^1 — ВВ*^ О. Поэтому равенство (/—
§ 5. СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ ФАКТОРИЗАЦИИ 237
— АА*) h = О для некоторого Ag§ влечет равенство (/ —
— ?Ш*)/г = 0. Из изометричности оператора А следует, в ча-
частности, что (/ — АА") Ag = Ag — АА Ag = Ag — Ag = 0 для лю-
любого g&$. Поэтому (/ — ВВ*) Ag = 0, Ag= BB*Ag. Полагая
С = В*А, имеем А = ВС. Поскольку А — изометрия, а В — сжа-
сжатие, то С необходимо является изометрией.
В силу перестановочности А и В с С
V*CV = V*B*AV = (BVY {AV) = {VB)* {VA) = B*V*VA « B*A = C,
откуда
(I/1/*)CF = FC. E.9)
Поскольку С и V — изометрические операторы, то таковы же
и операторы CV и VC. С другой стороны, FF* является орто-
проектором (на F?>). Следовательно, ввиду E.9) CV = FC, что
и требовалось доказать.
2. Пусть Л — изометрический оператор в пространстве ?>, не
являющийся унитарным. Предположим, что А перестановочен
с бесконечнократным односторонним сдвигом F в §.
Положим <3 = ЛЛ*, Qa = aQ + (l +аI @<а<1). Согласно
предложению 5.2, существует такой оператор Ва в §>, переста-
перестановочный с F, что BaB*a = Qa. Поскольку О ^Qa^.Iy то Ва
является сжатием в «§>. Из условия Qa = aQ + A — a)/ ^ Q сле-
следует, что ВаВ*^ЛЛ*. В силу предложения 5.3 существует
изометрия Са в Ф, перестановочная с F и такая, что Л = 5aCa.
Покажем, что ни Ва, ни Са не являются унитарными.
В самом деле, равенство ВаВ* = / невозможно, поскольку из
него вытекало бы, что Qa = /, Q = /, ЛЛ* = /, и, следовательно,
оператор Л (изометрический по предположению) являлся бы
унитарным, вопреки условию. С другой стороны, если бы опе-
оператор Са был унитарен, то оператор Ва = ЛС* удовлетворял
бы условию ВаВ*а = АС*аСаА* = АА* и, следовательно, Qa = Q>
что снова дает равенство Q = /, приводящее к противоречию.
Покажем, наконец, что BJ? плотно в §, В противном слу-
случае нашелся бы такой вектор кфО, что B*Ji = 0, Qah = BaB*ah = 0.
Поскольку Qa^(l— °0Л то A—a)ft = 0 и, значит, h = 0 — про-
противоречие.
Резюмируем полученные результаты.
Предложение 5.4. Всякий изометрический, но не унитарный
оператор А в пространстве $, перестановочный с бесконечно-
кратным односторонним сдвигом V в ф, может быть предста-
представлен в виде А = ВС, где В и С — неунитарные операторы в «§>,
238 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
перестановочные с V, причем С — изо метрик, В — сжатие и В$ =
«?.
Заметим, что гильбертовы пространства в этом пункте не
предполагались сепарабельными.
3. Пусть б — сепарабельное гильбертово пространство беско-
бесконечной размерности, {б, б, в (X)} — внутренняя сжимающая ана-
аналитическая функция, не являющаяся унитарной константой.
Оператор в в Я2 (б), определяемый равенством
©и {X) = в {X) и (X) {и е= Я2 (б), X е= D),
изометричен, но не унитарен (последнее в силу леммы 3.2).
Оператор в перестановочен с оператором Ux умножения на еи
в Я2 (б), который является односторонним сдвигом бесконеч-
бесконечной кратности (поскольку dim б бесконечна).
Применим предложение 5.4 к случаю Л = ©, V = Ux. Мы
получим, что существует разложение S^&2@1 оператора в
в произведение двух операторов в' Я2 (б), перестановочных
с Ux и таких, что @{ — изометрия, а в2 — сжатие, для которого
62Я2 (б) = Я2 (б). При этом ни вь ни в2 не являются унитар-
унитарными операторами. Применение к ©t и ©2 леммы 3.2 показы-
показывает, что операторы ®{ и ©2 порождаются аналитическими
сжимающими функциями {б, б, ©;(Л)} (/=1,2), причем функция
б^А) внутренняя, в2 (X) — внешняя, и ни одна из них не
является унитарной константой. Таким образом, доказана
Теорема 5.5. Если б — гильбертово пространство размерно-
размерности Ко, то всякая внутренняя аналитическая функция {б, б,
©(Л)}, не являющаяся унитарной константой, может быть пред-
представлена в виде произведения
в (X) = ©2 {X) ©! (X) (X е= D) E.10)
двух сжимающих аналитических функций {б, б, @t(X)} (/=1, 2),
не являющихся унитарными константами; при этом @{(Х) —внут-
—внутренняя, а 02 (X) — внешняя функция.
Замечание. В случае когда dim б конечна, подобная
факторизация невозможна. В самом деле, если функции 0(Л) и
&{(Х) внутренние, то S(elt) и ©i(e^) суть почти всюду изомет-
рии в б (см. § 2.3) и в силу конечномерности б —унитарные
операторы. Отсюда вытекает, что оператор ©2(e") = ©(e'')©i (e")"
унитарен в б почти всюду и, следовательно, оператор 02, по-
порождаемый в Я2 (б) функцией 02 (Х)у изометричен. Таким обра-
образом, функция 02 {X) является, одновременно внутренней и
внешней, т. е. унитарной константой.
§ 5. СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ ФАКТОРИЗАЦИИ 239
Теорема 5.5 вскрывает существенную разницу, с которой
мы встречаемся в изучении факторизации внутренних функций
{®, ®, в (А)} при переходе от конечномерных S к бесконечно-
бесконечномерным.
4. Мы можем доказать теперь следующую теорему.
Теорема 5.6. Всякая сжимающая аналитическая функция
{6, &*, в (А)} (где & и б* — сепарабельные гильбертовы простран-
пространства), не являющаяся унитарной константой, может быть раз-
разложена в произведение двух сжимающих аналитических функ-
функций {6,3,0! (Л)} и {3, &*, в2 (А,)} {где § также сепарабельно),
ни одна из которых не является унитарной константой.
Доказательство. В силу § 4.3 функция 0(А) обладает
каноническими факторизациями 6(X) = 6f (А) 6^ (А) = 0^ (А) 6^ (Л),
где ©I (А) — внутренняя, 6^ (К) — внешняя, 6^ (К) — ^-внутренняя,
©*<?(^) ~~ *-внешняя функции. Таким образом, либо ©(Л) обла-
обладает внутренним или ^-внутренним множителем, отличным от
унитарной константы, либо она одновременно ^-внешняя и не
внутренняя. Во втором случае 6 (X) обладает нетривиальной
факторизацией в силу следствия 4.4. Поэтому достаточно рас-
рассмотреть случай, когда в (Я) — внутренняя либо ^-внутренняя
функция. Так как второй случай сводится к первому посред-
посредством перехода к 6~ (Я) = 6 (Я)*, то достаточно доказать теорему
для внутренней функции {6, ©„, 6 (Л)}.
В рассматриваемом случае dim ® < dim ®, ^ Ко (см. п. 2.3).
Поэтому можно отождествить 6 с некоторым подпространством
в % rf вложить &„ в некоторое пространство $ таким образом,
чтобы dim (g 0 6J = N о- Поскольку также и dim(g©6)= Ко,
то существует такой частично изометрический оператор Z в 3,
который S0® отображает изометрически на §06/и перево-
переводит @ в {0}. Положим
@ + Z, E.11)
где Р® — ортопроектор из g на @, Р® = I — Z*Z.
Тогда для любого f e g будем иметь
II в И f IP = || 0 (elt) PJ + Zf IP = || 0 (eu) PJ |p +1| Zf |p =
41| Zf IP = ((/ - Z*Z) f, f) + (Z*Zf, f) = || f IP
в каждой точке t, где оператор в(е^) изометричен, т. е. почти
всюду. Отсюда следует, что {§,§,§ (Л)} является внутренней
аналитической функцией. На основании теоремы 5.5 сущест-
240 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
вует факторизация
в (А,) = 62 (*,)§! (Л,) (IgD), E.12)
где каждая из сжимающих аналитических функций {$, g,
®/е(^)} (fe=l,2) отлична от унитарной константы.
Поскольку в (Л) отображает б в @„ то в силу E.11) 0(А) =
« P©,,@(A,)|6, где Р®,— ортопроектор из g на 6*. Итак, из E.12)
следует равенство
6(^ = 62(^H! (Я,), E.13)
в котором
Таким образом, получено представление функции {&, 8О
в (Л)} в виде произведения сжимающих аналитических функ-
функций {&, g, ©i(A)} и {g, S*, 62(Л)}. Покажем, что ни одна из этих
функций не является унитарной константой.
Заметим сперва, что для любого g"^S'0S имеем ||g"||^
> II 0i @) g II > || в2 @) 0, @) g || = || 0 @) g ||; = || Zg Ц = Ц g Ц, откуда
II01 @) gf II = 11 г II- Предположим, что в{ (Л) = в10, где в10-унитар-
в10-унитарный оператор из 6 на S- Для любых fed, geg-QS имеем
= II 610f II2 + || e< @) erlP + 2 Re @lof, 6, @) g) =
= II / IP + II ёГ IP + 2 Re (O10f, вх @) g"),
откуда ReF10f, ©! @)g"X0. Поскольку это верно и для ef при
любом комплексном е, то F10/, (§! @) g) = 0. Так как O10(S = g,
то §! @)^=0, II«Г II = ||^@) «г || = 0. Следовательно, 30(§ = {О},
6 = g и Ъ{ (к) == 0J (Л) г= 610, в противоречие с тем, что ©i (Л)
не являете^ унитарной константой. Таким образом, множитель
©! (Л) в E.13) не является унитарной константой.
Перейдем к множителю ©2(А) и предположим, что в2(Л) =
s= 02О, где ©20 — унитарный оператор из g на ®,. Так как,
с другой стороны 02(А) = Л^0(Л) и ©2(Я)-сжатие, то ё2(к) =
= ©2(^)^020. Мы пришли к противоречию, которое показы-
показывает, что 02 (Л) не является унитарной константой.
Теорема 5.6 доказана.
Замечание. Существенно^, что в факторизации вида E.13)
промежуточное пространство g может быть выбрано незави-
независимо от ® и ®,. Например, скалярная функция X не имеет
нетривиальных разложений на скалярные аналитические множи-
§ 6. СЖИМАЮЩИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
241
тели, но А = 62(>
62(А
(В этом случае <
^(А), где
)=Г— —1 6 (А) -
\У2 ' V2 J *
g^g^^f1, S = ?2.)
VT
1
У* -
*
§ 6. Сжимающие аналитические функции,
обладающие скалярным кратным
1. Рассмотрим один важный случай, когда изучение опера-
операторной функции G(A) может быть сведено к изучению скаляр-
скалярной функции.
Введем следующее
Определение. Будем говорить, что сжимающая аналити-
аналитическая функция {б, ®„ 6 (А)} обладает скалярным кратным б (А),
где б (А) — аналитическая скалярная функция ^0, если суще-
существует такая сжимающая аналитическая функция {S», ®, Й(А)},
что
о(л)в(л) = б(л)/в> е(л)О(л) = в(л)/в. (|М<1). F.1)
Простой класс функций, обладающих скалярным кратным,
доставляет следующее
Предложение 6.1. В случае dim6=dim®:1: = M<oo всякая сжи-
сжимающая аналитическая функция {®, 6+, в (А,)}, для которой ®(\)~х
существует хотя бы при одном ^еД обладает скалярным
кратным 6 (К). В качестве б (Л) можно взять детерминант d(k)
матрицы оператора в (А) {предполагается, что матрица берется
относительно ортонормированных базисов в б и SJ. При этом
матрица оператора Q(k) является присоединенной к матрице
оператора в (А).
Доказательство. Пусть {е^ и {е^ — ортонормирован-
ные базисы в 6 и (?,. Отвечающая этим базисам матрица
= [Ъц (К)]1} /=1 оператора 6(А,) определяется равенствами
(/=1,2, ...,я).
Следовательно,
1fi Яяк
242 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть <И (A,) = [ftfy (Щ — матрица, присоединенная к ft {X). По
построению скалярные функции ft/y (А,), ftfy (Л), d (Л) «= det ft (А,)
аналитичны и ограничены в D. Матрица ft (Л) невырождена
хотя бы прц одном значении А, A g D), Следовательно, d{%)
не обращается тождественно в нуль. Операторная функция
{$*, б,ЩА,)}, определяемая равенством
О («*.,-2 *?(*)*< (/-1. -...л),
также аналитична в D. Из соотношений
ЪА {I) ft (А,) = ft (А,) Ол (А,) = d (А,) /я
(где /п — единичная матрица м-го порядка) следует, что для
Э(^) и Q(k) выполняются равенства F.1) при 6{l) = d{l).
Остается доказать, что функция Q (к) является сжимающей.
Самосопряженный оператор в (А,)* в (А,) имеет ортонормиро-
ванную систему собственных векторов fi(A,), ..., fn(A,), отве-
отвечающих собственным числам рх (Л,), ..., рпA). Поскольку в (А,),
а с ним и в (А,)* в (А,) являются сжатиями, то 1^Р/(А,)^0
(/= 1, ..., п). Далее,
| d (I) |2 = dJVjd (A,) = det ft (A,)* • det ft (A,) = det [ft (A,)* ft (A,)].
Матрица ft (A,)* ft (А,) отвечает оператору в (А,)* в (А,), в орто-
нормированном базисе fo}*. ЛГереходя к ортонормированному
базису {fi{k)} с помощью унитарного преобразования U(А,), мы
не изменим детерминанта матрицы; поэтому
W)P = Pi(M .-.РЯ(М<Р/(М (/=•!, 2, ..., п),
и, следовательно, для любого
|( f/W)p/()|(a, f /
С другой стороны, из F.1) при 6(A,) = d(A,) вытекает, что
()e()|| ||rf(A)|| |d(A)|.|klL так что
IQ W в (А,) б || < || в (А,) б ||. F.2)
Если А, таково, что й(Х)ФО, то оператор в (А,) имеет обрат-
обратный, определенный всюду в ®,. Следовательно, для такого А,
неравенство F.2) дает
JI для любого e,s®#. F.3)
§ 6. СЖИМАЮЩИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ?43
Поскольку нули d(X) изолированы, то неравенство F.3) рас-
распространяется по непрерывности на все ^gD,
Предложение 6.1 доказано.
2. В последующем при рассмотрении сжимающих аналити-
аналитических функций {6, б„ в (Л)} мы не делаем предположения
о конечномерности S и @#.
Теорема 6.2. Пусть в (А) обладает скалярным кратным
и пусть 6t(X) и Ье(Х) —внутренний и внешний множители ()
(а) Если функция в (X) внутренняя или внешняя, то она об-
обладает скалярным кратным 6t (X) или Ье (X) соответственно.
(б) Если функция 6(Х) внутренняя или внешняя, то и &(Х)
соответственно внутренняя или внешняя.
(в) Если в (X) — внутренняя или внешняя функция, то она
двусторонне внутренняя или внешняя.
Доказательство, (а) 1) Пусть в (Л) — внутренняя функ-
функция. В силу F.1) при почти всех t
)еЛ = |6Де«I-1к,|| («,cUt). F.4)
Пусть {$., б#, Qi (Я)} —сжимающая аналитическая функция,
определяемая равенством Qi{X) = 6e(X)I^. Из F.4) получаем
Q(*")*Q(e'0eQi(e'0*Qi(e/0 почти всюду.
Поскольку функция Qi(Az), очевидно, внешняя, то, как сле-
следует из предложения 4.1, (б), существует такая внутренняя сжи-
сжимающая аналитическая функция {®#, б, Q2(^)}> что
Q {%) - Q2 (Л) Q{ {К) = б, (Я) Q2 (К) {I e= D).
Подставим полученное выражение для Q(X) в F.1):
б, (X) [Q2 {К) в {X) - б* (Я^/J - б, (Я) [в (X) Q2 (Л) - б* {X) /вJ =* 0.
Так какбДЯ)=^0, ТО
т. е. 6{{Х) является скалярным кратным для ()
2) Пусть в (Я) —внешняя функция. В силу F.1)
QH2 (б J - ШЯ2 (б) - Q&H2 (б) -
- 6Я*(б) = 6^F) = б,-Я2 (б). F.5)
Пусть Q{X) = Qt(X)Qe(Л)—каноническая факторизация с внутрен-
внутренним множителем {g, &, Qf (А)} и внешним множителем {©„ g, Q^ (л)}.
16*
244 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Имеем
QH2 (® J = QtQeH2 F) = QtQeH2 (Щ = QtH2 (g) = QtH2 (g).
Сравнивая с F.5), получаем
Таким образом, каждому &еЯ2C) отвечает такое
Я2©, что
причем
||tt||
Отсюда следует, что соответствие u->v = Qu взаимно одно-
однозначно и, более того, что Q является унитарным отображением
Я2(й) на Я2F):
Qt = 6tQ. F.6)
Очевидно, Q перестановочно с операторами умножения на elt
в Н2(Ъ) и Я2 F):
Q • eliu = е" • Qm.
Применяя лемму 3.2, (г) к Q, получаем, что существует такое
унитарное отображение Z пространства § на пространство $, что
С учетом F.6) имеем
и на основании F.1)
б, (Я) (в (Л) • ZQ, (А,) - б, (Я>/в.) = О.
Поскольку функции, фигурирующие в этих соотношениях, ана-
литичны и &i {X) Ф 0, то ^
ZQ, (I) • О (А,) = б, (Л) /в1 в (Я) • ZQe (X) = 6е (I) /в. (Я е D),
откуда следует, что в (Л) имеет скалярное кратное 6е{к).
(б) 1) Пусть в (Л) обладает внутренним скалярным крат-
кратным д(%). Из F.1) вытекает, что почти всюду (относительно /)
для любого ^е8, Отсюда видно, что оператор Q(elt) изомет-
ричен почти всюду, т. е. функция в (А,) является внутренней.
2) Предположим, что в (А,) обладает внешним скалярным
кратным б (Л). В силу F.1)
ШЩ Я2 (®ф),
§ б. СЖИМАЮЩИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 245
откуда вЯ2(б) = #2(®#). Таким образом, функция в (А) является
внешней.
(в) Это утверждение является непосредственным следствием
утверждений (а) и (б) и следующих очевидных фактов: 1) если
6 (А,) обладает скалярным кратным б (Л), то в" (Л) обладает
скалярным кратным 6~ (А); 2) функция б~ {X) является вну-
внутренней (внешней) тогда и только тогда, когда 6{Х) внутренняя
(внешняя) функция.
Теорема доказана.
Следствие 6.3. Пусть {Еп, Еп, ® (X)} — матричная сжимающая
аналитическая функция и d (X) = det О (X) Ф 0. Для того чтобы
Ф (X) была внутренней или внешней, необходимо и достаточно,
чтобы функция d(X) была соответственно внутренней или внешней.
Доказательство. В силу предложения 6.1 достаточ-
достаточность следует непосредственно из теоремы 6.2, (б).
Предположим, что функция О (X) является внутренней или
внешней. По теореме 6.2, (а) существует такая (матричная)
сжимающая аналитическая функция {Еп, Епу со (А)}, что
со (X) О {X) = О {X) со {%) = б (X) /„, F.7)
где б (А,) —скалярная соответственно внутренняя или внешняя
функция. Обозначив через d^(X) детерминант со (Я,), получим
после перехода в F.7) к детерминантам
d*(X)d{X) = 6{X)n (XszD).
Таким образом, d(k) является делителем в Я°° внутренней
(внешней) функции &(Х)п и, следовательно, d (%) — внутренняя
(внешняя) функция.
3. Пусть {6, б#, в (Л)} —сжимающая аналитическая функ-
функция и
в (я) = е2 {D @{ (л) (х €= ?>), F.8)
где {$, §, в^Л)} и {3, 6*, в2(А,)} — также сжимающие аналити-
аналитические функции. Очевидно, что если &1 (X) и 62(Я,) обладают
скалярными кратными Ь{(К) и 62(А), то в (Л) обладает скаляр-
скалярным кратным б {X) = 6j (К) б2 {X). Обратное верно не всегда.
В самом деле, функция ®(Х) = Х обладает скалярным крат-
кратным 6(Х) = Х; однако множители ®{{Х) и &2(Х) из разложе-
разложения в (А,), полученного в конце § 5, скалярных кратных не имеют.
В то же время справедливо
Предложение 6.4. (а) Если в равенстве F.8) произведение
@{Х) и один из множителей &j{X) (/==1, 2) обладают скаляр-
скалярными кратными, то и другой множитель обладает скалярным
кратным. В этом случае каждое скалярное кратное функции
®{Х) является скалярным кратным как @{{Х), так и 6()
246 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
(б) Если в (А,) обладает скалярным кратным б (Л), го вну-
внутренний и внешний множители 0г (А,) и ®е (А<) в канонической
факторизации
также обладают скалярными кратными; ими будут соответ-
соответственно внутренний и внешний множители б?(Л) и 6е(К) функ-
функции 6 (А,).
Доказательство, (а) Пусть 6(А,)— скалярное кратное
функции в (А,), так что имеет место F.1). Предположим, что
®i(h) также обладает скалярным кратным:
Q{ (%) вх (А,) = &{ (А,) /в, в{ (A,) Q{ (А,) = в! (А,) 1%. F.9)
Умножим первое равенство F.1) слева на ®{{%) и сцрава на
п{(%). Принимая во внимание F.9), получаем
6{ {К) в{ (I) Q (А,) 02 (А,) = в! (А,) б (A,) h (^ е D).
В силу аналитичности рассматриваемых функций и условия
6j (%) ф 0 имеем
©! (A,) Q (А,) О2 (%) - б (A,) /G (Л е D).
Это равенство и второе из соотношений F.1) показывают, что
в2(А,) обладает скалярным кратным б (А,).
Случай, когда вместо О^А,) скалярным кратным обладает
в2(А,), рассматривается аналогично. Сопоставляя оба эти слу-
случая, получаем доказательство утверждения (а).
(б) Предположим, что в (А,) обладает скалярным кратным,
так что выполняются условия F.1). Поскольку функции ©ДА,)
и б* (А,) являются внешними, то
(последнее равенство следует из того факта, что б^(А) у
тренняя функция). Таким образом, для всякого и^Н2(}§) су-
существует такое иеЯ2^), что
6^. F.10)
§ б. СЖИМАЮЩИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 247
Применяя оператор &( слева к обеим частям равенства F.10)
и учитывая F.1), получаем
ве,и = еди, е, {би - 6tv) = о.
Поскольку функция @i (к) является внутренней и, следовательно,
оператор в^ отображает #2C) в Я2(й#) изометрически, то
6^ — 6^ = 0, т. е., согласно F.10), вД2в^ = 6и. В силу произ-
произвольности Н2 (§)
в. (б.п)
С другой стороны, из F.1) вытекает, что
@t {I) • в, (А) О(Л) = в (A,) Q (А,)
Q (Л) в, (А) • в, (А,) = Q (Л) в (А,) =
Эти соотношения в сочетании с F.11) показывают, что вг(А,)
и в, (А,) обладают скалярным кратным б (Л).
Для завершения доказательства следует применить к G;(A,)
и в^(А,) теорему 6.2, (а).
4. В случае матричной сжимающей аналитической функции
{Еп, Еп, О {X)} для функции d {%) = det О (Л) имеем
d (A) d (Л) = det О (A,)' det О (А,) = det [Ь {%)* О (А,)].
Поэтому |d(e")l=l во всякой точке, где матрица b(eli) изо-
метрична (и, следовательно, унитарна, поскольку пространство
конечномерно).
Этот факт распространяется на все сжимающие аналитиче-
аналитические функции, обладающие скалярным кратным.
Предложение 6.5. Пусть {$, ®„ в(%)} — сжимающая анали-
аналитическая функция, обладающая скалярным кратным б (Л), и
пусть а — множество точек ?> = elt единичной окружности С, для
которых оператор в (?) существует и является изометрией {из б
в @j. Тогда
A) в(?) унитарен почти всюду на а;
B) в (А,) обладает скалярным кратным б2а(А,), 5ля которого
I б() I = 1 почти всюду на а; эг^.4« скалярным кратным является
)() ^
(а) в
(См. замечание, сделанное в начале п. 4.4.)
Доказательство. Пусть О (А,) = Ot- (Л) в^ (Л) — канониче-
каноническая факторизация функции {$, 6., в (А,)}. На основании предло-
248 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
жения 6.4,F) множители {$, §, в; (А,)} и {$, S#, в<, (А,)} обла-
обладают скалярными кратными. По теореме 6.2, (в) оператор 0t(?)
унитарен при почти всех ?еС. Отсюда следует, что в??(?) =
==®t(^)~1©(C) изометричен почти всюду на а. Поскольку функ-
функция 6ДА,) является внешней, то
©Л?)® = § почти всюду на С.
Таким образом, оператор О^(^) унитарен почти всюду на а,
а следовательно, унитарен и оператор 0(?) = в,-(?) в<> (?).
Утверждение A) доказано.
Что касается утверждения B), то заметим прежде всего,
что если функция Q(k) связана с О (X) и б (к) соотношениями
F.1), то для любых фиксированных ^ей, ?*^®*
|(Q(?)e,, e)KI|eJIIMI почти всюду на С
и
1@ (?)«., еI
почти всюду на а.
Поскольку | б1о (?) | = | б (?) | почти всюду на а и | 61о (?) | = 1
почти всюду на а' = С\а, тс
1@(?К, в)|<|в1а(Е)|.|кЛк11 F.12)
почти всюду на С. Так как функции (Q(k)em9 e) и б1а(Я) ана-
литичны в D, причем 61а(А,) является внешней, то из F.12) вы-
вытекает, что
(см. Гофман [1], стр. 93). Отсюда следует, что Q'(X) =
= б1а(А,)" Й(Л)~сжимающая аналитическая функция в D. Деля
F.1) на 61а(А,), получаем, что 62а(А,) = б(Л)/б1а(Л) является скаляр-
скалярным кратным для О (Л).
Предложение 6.5 доказано.
5. Нам понадобится следующая
Лемма 6.6. Пусть G — область комплексной плоскости, со-
содержащая подмножество вида
где О<го<1</?о<00» 0</2-^ <2я. Пусть G+ г/ G^-части
области G, лежащие соответственно вне и внутри единичной
окружности С, а Ф_(А,) и ф + (Я) — функции со значениями в ба-
банаховом пространстве X, определенные и аналитические в G*
§ 6. СЖИМАЮЩИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 249
и G+ соответственно. Предположим, что пределы
ф_ @ = lim ф_-(гА Ф+ (О = Нт Ф+ (/?*") F.13)
существуют на интервале tx<t<t2 как почти всюду, так и
в смысле L1, г. е.
J || Ф_ (га") - я|>_ (О ||х Л -> О (г0 < г -> 1 ~ О),
\ F.14)
J || Ф+ (^") - я|>+ (О ^ Л -> О «о > R -* 1 + О).
Предположим^ далее, что
Ф-(О = Ф+(О FЛ5)
no^rt/ всюду на интервале t{<t<t2.
При этих условиях функции ф_ (A,) t/ ф+ (А,) служат аналити-
аналитическими продолжениями друг друга через дугу а = {elt: t{<t<t2}
окружности С.
Доказательство. Пусть E = {elt: х{ < / < т2} — замкнутая
дуга, содержащаяся в а и такая, что при г = х{ и t = x2 пре-
пределы F.13) существуют и равны между собой. В силу сделан-
сделанных предположений р можно считать сколь угодно мало отли-
отличающейся от а. Пусть Г —контур ОАВ, указанный на рисунке,
и пусть 2 — множество, состоящее из контура Г и его внутрен-
внутренности. Обозначим через 2_ и 2+ части множества 2, располо-
расположенные соответственно внутри и вне С. Определим в 2\р
250 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
функцию F (к), положив
( Ф_(М при IgS ,
1 Ф+ (А.) при Я €= 2+.
Благодаря выбору р эта функция продолжается на точки пе-
пересечения Г и С таким образом, что F (А,) становится непре-
непрерывной на всем контуре Г. Следовательно, интеграл
существует и является аналитической функцией всюду внутри 2,
Покажем, что G {%) = ср_ {%) внутри 2_ и G (I) = ф+ (I) внутри 2+;
тогда лемма будет доказана.
С этой целью для фиксированного А,о внутри 2__ выберем
такие г и R, что \X0\<r<KR<R0. Дуги рг и р^ разрезают2
на три части, контуры которых мы обозначим через Г\, Г2 и Г3
(см. рисунок). Интеграл F.16) разлагается в сумму трех инте-
интегралов вдоль этих контуров, из которых первый равен ф_(А,0),
третий равен нулю, поскольку А,о лежит внутри Тх и вне Г3.
Что касается интеграла по Г2, то он стремится к 0 при R — г -> 0.
Это очевидно для интегралов по отрезкам, соединяющим концы
дуг рг и (Зд. С другой стороны, из F.14) и F.15) вытекает, что
при г-М-0 и Я-М + 0
J_/ Г
41
мы воспользовались тем, что —jt и —jt—— стремятся
к -тг равномерно на (ть т2)). Таким образом, G(A,0) =
elt — Яо I
= Ф__ (А*о)»
Аналогично доказывается, что G (А,о) = Ф+ (Я,о), если Ло лежит
внутри 2+. Лемма доказана.
Применим эту лемму к доказательству следующего предло-
предложения.
§ 6. СЖИМАЮЩИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 251
Предложение 6.7. Пусть {S, E+, в(Я)} — внешняя сжимающая
аналитическая функция, обладающая скалярным кратным. Пред-
Предположим, что @(elt) является изометрическим оператором из б
в S, почти в каждой точке еи некоторой дуги а единичной
окружности С. Тогда 0(Я) продолжается аналитически через
дугу а на всю внешность С.
Доказательство. По теореме 6.2, (а) 0(Я) обладает
внешним скалярным кратным 6 (Я). С другой стороны, в силу
предложения 6.5 оператор ®(еи) является унитарным при почти
всех ^?а, и 0(Я) допускает в качестве скалярного кратного
также
Г^^^^ф F.17)
где а' = С\а. Если Q(Я) — функция, отвечающая функциям
в (Я) и 62а(Я) (см. F.1)), то
°2а W I
Используя F.17), получаем, что 0(Я) 1 является аналитической
внутри D функцией, ограниченной на любом подмножестве D,
находящемся на положительном расстоянии от дуги а'. Отсюда
следует, что функция
определена и аналитична во внешности С и ограничена на
каждом подмножестве этой области, лежащем на положитель-
положительном расстоянии от а'. Пусть а! —замкнутая дуга, лежащая
внутри дуги а, и А —область, ограниченная дугой а{ и некото-
некоторой дугой рь имеющей те же концы, что и ab но проходящей
вне С. Тогда Ф+ (Я) аналитична и ограничена в А. Отобразив
конформно А на D, применив обобщенную теорему Фату (см.
п. 2.1) к преобразованию функции Ф+(Я) и возвратившись за-
затем к исходной функции, мы получим, что Ф+ (Я) обладает
сильным некасательным пределом Ф+ {elt) почти в каждой
точке elt дуги ccj.
С другой стороны, если г -> 1 — 0, то
/в-в (ге"У в (ге"У~1 - в {ге"У Ф+ (у е") -> в (elt)* Ф+ (elt)
в сильном смысле (см. B.10)) почти всюду на аР Поэтому
/ф = в (elt)* Ф+ (elt) почти всюду на а{щ
252 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Поскольку оператор ®(е1*) унитарен почти всюду на а, то
Ф+(е") = @{еи) почти всюду на аг. F.18)
Положим
Ф_(Я) = в(Я) для |Я|<1.
Ввиду F.18) мы можем применить лемму 6.6 к функциям
Ф_ (Я), Ф+ (Я) и к дуге а{ (действительно, эти функции ограни-
ограничены в окрестности аг (внутри и вне С соответственно)). Из
сходимости почти всюду на а{
Ф_ (relt) -> в {еи)9 Ф+ (Reu) -> в {еи)
1 — О, R -> 1 + 0) следует сходимость в среднем типа F.14).
Таким образом, функции Ф^(Я) = в(Я) (|Я|<1) и Ф+(Я)
(|Я|>1) являются аналитическим продолжением друг друга
через дугу а{. Поскольку а!— произвольная замкнутая дуга,
содержащаяся в а, то предложение 6.7 доказано.
Замечание. Приведенный в, конце § 4 пример функций
йа(Я) показывает, что предложение 6.7 перестает быть верным,
если не предполагать, что сжимающая аналитическая функция
обладает скалярным кратным.
6. Мы закончим этот параграф следующим предложением.
Предложение 6.8. Сжимающая аналитическая функция
{$, 6%, @(Я)} обладает скалярным кратным 6 (Я) тогда и только
тогда, когда ее чистая часть {(§°, ®°, в°(Я)} обладает скаляр-
скалярным кратным 6 (Я).
Доказательство. Положим e' = (S0(So, (^ = ©,0®°.
Тогда Z = e(A,)|6' будет постоянным унитарным оператором
(из б'на б'). Обозначим через Р° ортопроектор S на 6° и через
Pi — ортопроектор из ®, на б°.
Предположим, что справедливы соотношения
Q (Я) в (Я) = 6 (Я) /в> в (Я) Q (Я) = 6 (Я) /«,, F.19)
где {©„ S, Q (Я)} — сжимающая аналитическая функция. По-
Поскольку в(Я = во(Я)Ро + 2G© — Р°), то второе из соотношений
F.19) дает для произвольного е°е©°
6° (Я) Р°Й (Я) ^ - 6 (Я) el - - Z Ge - Р°) Q (Я) ^.
Так как левая часть при любом Я входит в б#, а правая —.
в (^, то обе они равны нулю. В частности, S°(k)P°Q (Я) е° ='
^. С другой стороны, в силу первого соотношения F.19)
§ 7. ТЕОРЕМЫ О ФАКТОРИЗАЦИИ 253
для любого е° е &° имеем
Р°Й (К) 6° (X) е° - P°Q (Я) в (X) е° - Р°6 (Я) е0 - 6 (Я) е°.
Полагая
получаем сжимающую аналитическую функцию {(§°, б°,
удовлетворяющую условиям
о ° №О (Ле=?>). F.20)
Итак, доказано, что всякое скалярное кратное 6(Я) функ-
функции в (Я) является скалярным кратным и для в°(Я).
Докажем обратное утверждение. Предположим, что равен-
равенства F.20) выполняются для некоторой сжимающей аналити-
аналитической функции {б^, б°, ?20(Я)}. Легко видеть, что функция
{E#, &, Q (Я)}, определяемая равенством
является сжимающей аналитической функцией и удовлетворяет
соотношениям F.19).
Теорема доказана.
§ 7. Теоремы о факторизации для функций,
обладающих скалярным кратным
1. Для функций, обладающих скалярным кратным, некото-
некоторые результаты § 4 могут быть усилены.
Пусть N{t) — функция, такая, как в п. 4.2, т. е. сильно изме-
измеримая функция, значения которой являются самосопряженными
операторами в пространстве &, причем О < N (t) < / @ < t ^ 2я).
Предложение 7.1. (а) Если существует такая сжимающая
аналитическая функция {(§, 3, в(Я)}, обладающая скалярным
кратным, что
N(tJ^Q(euy@(elt) почти всюду, G.1)
то
lnm(t)s=Ll(Q,2n), где m{t) = \\N (О |Г. G.2)
(б) Обратно, если N (t) удовлетворяет условию G.2), то суще-
существует такая внешняя сжимающая аналитическая функция
{(S, gb G2 (Я)}, обладающая скалярным кратным ЬХ{Х), что
N {tf = Q{ (еиУ в{ {е») почти всюду. G.3)
254 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Функцию Ьх (Я) можно выбрать так, чтобы она была внешней
и чтобы
| 6j {elt) | = m (t) почти всюду. G.4)
(в) В случае dim S < оо условие G.2) эквивалентно условию
lndet[N(t)]<=Ll(O, 2л), G.5)
где [N (/)] — матрица оператора N (t) no отношению к некото-
некоторому базису в S.
Доказательство, (а) Из сделанных предположений вы-
вытекает, что существует такая сжимающая аналитическая функ-
функция {$, &, Q(X)} и такая скалярная функция 6 (Я) Ф О, что
Q (Я) в (Я) = 6 (Я) /в, в (Я) Й (Я) = 6 (Я)/*. G.6)
В силу G.1) и G.6)
П ^11 """ "
при почти всех / и при любом Ag8. Поскольку почти всюду
6(?^)=7^=0, то N (t)~l при почти всех t существует как самосо-
самосопряженный ограниченный оператор в б и
1 > m @ > I 6 (г") | почти всюду. G.7)
Так как In | 6 (е")\&Ь1@, 2л) (см. § III. 1), то имеет место G.2).
(б) Из 'условия G.2) следует, что существует скалярная
внешняя аналитическая функция 6{ (Я), удовлетворяющая усло-
условию G.4) (см. § III. 1). Поскольку /я(*)<1, то IM^Kl. Для
любого v e L2F)
2Jt 2Jt
==i \\\N{t)v{t)\fdt>^\m{tf\\v{t)fdt =
Рассмотрим, в частности, функции и^Н2 F). Мы видим, что
существует сжатие X из Ш*=ЫН2(Щ в Я2(&), для которого
Покажем, что если Хоу^О при некотором до е 9?, то до = 0.
В самом деле, для такого до существует последовательность {ип}
в Я2 (8), такая, что
Nun -> до, 6^д — XNun -> Хдо = О
§ ?. ТЕОРЕМЫ О ФАКТОРИЗАЦИИ 255
(сходимость в L2(©)). Поэтому
6{Nun -> 6{w9 Nbxun ->N0 = 0.
Поскольку 6{N = N6U то 6^ = 0, т. е.
6j (Я) w (Я) «= 0 Ag D).
Так как б! (Л) # 0, то ш (Л) = 0(^е D).
Замечая, что X перестановочно^ с оператором Vх умноже-
умножения на ен в L2(S), получаем
Xf\ UXn<3la О иХ
и, следовательно,
Согласно предложению 4.2, существует внешняя сжимающая
аналитическая функция {б, ^ь ®{(Я)}, удовлетворяющая усло-
условию G.3). С другой стороны, в силу G.4) при AgS
16, (е'О 1 • II h || - m @1| /г || = " ^^-^ *" < IIN (t) h ||
почти всюду.
Следовательно, на основании G.3)
почти всюду. Согласно предложению 4.1, примененному к ®{(Я)
и 6j (Я)/@, существует такая сжимающая аналитическая функция
{SiXq^A,)}, что
б{ (я) /® = Qj (я) е2 (я) (я <== D);
Умножая на ®{(Я) слева, получаем
[Si (Я) /в1 - 0! (Я) Q, (Я)] ®, (Я) = 0 (Я €= D).
Поскольку функция в^Я) является внешней и, следовательно,
©! (Я) 8 = Si (см. предложение 2.4), то
6j (Я) /в1 = е, (Я) Qj (Я) (XsD).
Таким образом, ©1(Я) обладает скалярным кратным б^Я). Утвер-
Утверждение (б) доказано.
(в) Пусть pfe (/) —собственные значения матрицы N{t), зану-
занумерованные в порядке неубывания F=1, 2, ¦.., ttdi@)
ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Тогда
m(O = Pi(O, det[JV(*)] = giPfc(O( ^pi|
откуда
n In m (t) < In det [tf @] < In m (t).
Поэтому если Ъдна из функций \x\m{t), lndet[A^(/)] принадле-
принадлежит Ll{0, 2я), то принадлежит и вторая.
Предложение 7.1 доказано.
2. Если {®, ®„ в (Я)} — сжимающая аналитическая функция,
обладающая скалярным кратным 6 (Я), то в силу 6.1
в^) =—щп(е") почти всюду.
Поэтому к в (Я) можно применить предложение 4.3. Мы полу-
получим, что для всякого борелева множества ccczC существует
факторизация
обладающая свойствами D.27) и D.28). Для операторных функций
будем иметь
/ m(t) (<е(о)),
m°W = ( 1 (^(а')), G>8)
где
/
По предложению 7.1, (а) функция \nm(t) входит в L!@, 2я).
Согласно G.8), отсюда вытекает, что lnma@^ Ll @, 2я). По-
Поэтому существует такая внешняя сжимающая аналитическая
функция ва(Я), обладающая скалярным кратным
6а(Я) -ехр[^ J ^±A.Inm (t) dt\, G.9)
что Ыа{гJ — @а(е"У@а(е1') почти всюду (предложение 7.1,F)).
При этом \6а(еи)\ = та{г) для почти всех t e [0, 2я). Поскольку
Поскольку 0 < Pl (/)< р2 @ < ... < prt @ < 1.
8. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЯДРА257
1 >m@> 16(^0 I почти всюду (см. G.7)), то внешняя функция
61а(X) = expI-L Г f!i±Ain| 6{eit) |dA G.io)
L (a) 6 -* J
делится в Я°° на 6а(Я), и | 61а(Я)/6а(Я) |<! 1 в D. Отсюда следует,
что 61а(Я) также является скалярным кратным функции ва(Я).
Из D.27) и D.270 вытекает, что 61а(<?")'в1а(е«) = Na(tJ почти
всюду. Согласно предложению 4.1,F), ва(Я) и 61а(Я) равны
между собой с точностью до постоянного унитарного левого
множителя. Следовательно, 61а(Я) является скалярным кратным
также и для функции 61а(Я).
В силу предложения 6.4 в2а(Я) также обладает скалярным
кратным, а именно функцией 6 (Я). Поскольку в2а(е") — изомет-
изометрический оператор при почти всех elt e a (см. D.28)), то и
частное
G.11)
по предложению 6.5 будет скалярным кратным для функции
в2а(Я). Таким образом, предложение 4.3 может быть дополнено
следующим образом:
Предложение 7.2. Предложение 4.3 применимо ко всякой
сжимающей аналитической функции, обладающей .скалярным
кратным 6 (Я); множители в1а(Я) и 62а(Я) также обладают ска-
скалярными KpaTHbiMU\ ТаКОвЫМи ЯвЛЯЮТСЯ функции 61а(Я) U Й2а(^)>
определяемые равенствами G.10) и G.11).
§ 8. Аналитические ядра
Хотя результаты этого параграфа и не будут использованы
в дальнейшем, мы включаем их в книгу, поскольку они тесно
связаны с содержанием предыдущих параграфов, в частности §5.
Пусть g — сепарабельное гильбертово пространство. Анали-
Аналитическим ядром в 3, или, короче, ядром, будем называть вся-
всякую заданную на D X D функцию Ж(\х,Х)у значения которой
являются линейными операторами в 3, такую, что при любом
фиксированном \х0^ D и любом feg
X(iio,X)fs=H2(%). (8.1)
Будем говорить, что Ж (\х, X) является ядром положитель-
положительного типа, и писать Ж(\х, Л) > О, если
S S(^0*Mifc)f/.W>O (8.2)
/i &!
258 ТЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
для всех конечных наборов чисел \ij е D и векторов /у е g
(/= 1, 2, ..., л). Запись if2 > Жъ или «5f2 < Ж\* означает, что
Жх-Ж2*> О. Ядро
/
будем обозначать через
Предложение 8.1. (а) Пусть (®, 3,6(А,)) — сжимающая ана-
аналитическая функция (с сепарабельным 6). Тогда функции
) = в (я) ем",
являются ядрами и
(б) Для того чтобы ядро Ж (\х, Я) было представимо в виде
{\, Я), где в (Я) — некоторая сжимающая аналитическая функ-
функция, достаточно (а в силу (а) и необходимо), чтобы
^<<1(цД)«^(цД) и A-?Л) "#>,*,)»<?. (8.3)
Доказательство. Утверждение о ядре Ж® (щ Я) очевидно.
Докажем прочие утверждения. Отметим сперва, что функции
(от Я)
Г(Я) = A~ДЯГ1/ foe/), f€=g) (8.4)
принадлежат #2($) и
и/%«эв(и0*)Л)в ПРИ */^Я2C). (8.5)
В частности,
fe'.rW-d-^r'te.fle. (8.6)
Из (8.5) следует, что элементы вида /^ порождают Я2 (у). Пусть
L — множество конечных линейных комбинаций
JJ(M (|i* различны).
/г
Каждая такая функция и (К) продолжается с D на всю ком-
комплексную плоскость до мероморфной функции и однозначно
определяет ялены f^k (своими полюсами и вычетами). Отсюда
следует, что каждое отображение R в #2C), заданное на эле-
элементах вида f* и удовлетворяющее условиям
однозначно продолжается до линейного отображения, опреде-
определенного на воем линеале L. В частности, формула
X(ц, Я)f = (*f)(Я) (fsS,n,lsfl) (8.7)
§ 8. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЯДРА 259
устанавливает взаимно однозначное и линейное соответствие
Ж *^> R между ядрами Ж (X, \х) в g и такими линейными опе-
операторами R в Я2(§), область определения которых содержит L.
В силу соотношений (8.7) и (8.5)
(X Ox, v)f9g)d = { Ш (v), g\ = {Rp, g\2 (Ю, (8.8)
откуда следует эквивалентность условий
ж->а и /?>о,
где Ж'<*-»/?.
Взяв /?==/, получим из (8.7) Ж = &, откуда & > О.
Пусть {б, 3, в (Я)} —сжимающая аналитическая функция
и в+~ сжатие из Я2(&) в #2($), порождаемое этой функцией:
(в+#) (Я) = в (Я) г/ (Я) (г/ е Я2 (S)). Тогда &*+и является ортогональ-
ортогональной проекцией элемента &*и (gL2(8)) на Я2 F); в частности,
«=о о
= 2 е*1 Ve~ (д) f=-ггг-^ 0 0*)* f.
и, значит,
(в+в*+Г) (Я) = j^ в (Я) в Ox)* f (Я, |i e D).
Поэтому ядро, отвечающее оператору /? = в+в+, равно
Ж&(\1, Я); поскольку i?>0, /-i?>0, то это ядро удовле-
удовлетворяет условиям, сформулированным в (а).
Докажем (б). Прежде всего, если 1/ — оператор умножения
на Я в Я2(Й), то
и, следовательно,
Поэтому если Х((х, Я) *-*•/?, то
A - да,) X (ц, х
260 гл- v- АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Итак, из предположений (8.3) относительно Ж (\i, X) вытекает,
что О</?^/, R — VRV*^O. На основании предложения 5.1
отсюда следует, что оператор R может быть нредставлен
в виде АА*, где А — линейное отображение (сжатие) сепарабель-
ного пространства $R в #2($), такое, что VA = AVR, где
VR — односторонний сдвиг в $Rt В представлении Фурье про-
пространства $>R относительно сдвига VR оператор А отожде-
отождествляется с оператором в+, порождаемым сжимающей анали-
аналитической функцией {$,$,в(Я)}, где & = $RQVR$R (см. лемму 3.2).
Но ядро, ассоциированное с оператором # = в+в+, равно Хв(^Д).
Таким образом, Жв^, Я) = «% (\х, Я), чем и доказано утвер-
утверждение (б).
Комментарии
Аналитические операторные функции, а именно резольвенты,
всегда играли фундаментальную роль в изучении операторов,
особенно в вопросах, связанных со спектрами, функциональным
исчислением, спектральными разложениями типа Рисса — Дан-
форда и т. д.
В последнее время и другие аналитические операторные
функции приобрели важное значение в различных областях
функционального анализа. Упомянем о теории характеристи-
характеристических функций, построенной Л ив ш ицем [1] — [3], о теории
прогнозирования многомерных стационарных случайных процес-
процессов (см., например, Винер и Мазани [1], [2], Мазани [1],
[2]), об описании инвариантных подпространств односторонних
сдвигов кратности >1 (см. Лаке [1], Халмош [2]) и, нако-
наконец, о гармоническом анализе унитарных дилатаций операторов
сжатия, анализе, который привел авторор настоящей работы
к функциональным моделям сжатий (см. С.-Н. и Ф, [2], [VIII])
и некоторым другим результатам, о которых пойдет речь в сле-
следующих главах.
Предложение 2.1 о разложении всякой сжимающей анали-
аналитической функции на чистую часть и унитарную константу
было анонсировано Штраусом [I]1). Оно было независимо
получено в С.-Н. и Ф. [IX] и использовано при изучении инва-
инвариантных подпространств операторов сжатия.
Распространить понятия внутренней и внешней функций
на случай операторных аналитических функций можно различ-
различными способами (см., например, Хелсон и Лоуденслагер[2]);
определения, приведенные в § 2.2, были предложены авторами
в связи с изучением асимптотического поведения степеней сжатий
(см. С.-Н. и Ф. [3], [VIII], а также следующую главу).
1) Доказательство приведено в работе Штрауса [2*]. — Прим. перев.
КОММЕНТАРИИ 261
Леммы 3.1 и 3.2 о представлениях Фурье были сформули-
сформулированы (в виде одной леммы) в работе С.-Н. и Ф. [IX], см,
также [X]. Этими леммами дается, в частности, общий вид
сжатий в пространстве Я2(®), перестановочных с умножением
на А,. Последний результат с некоторого времени известен в
литературе.
Теорема 3.3 об инвариантных подпространствах односторон-
одностороннего сдвига установлена Бёрлингом [1] для пространств ©
размерности 1, Лаксом [1] для пространств конечной размер-
размерности и Халмошем [2] — для общего случая.
Факторизация вида N(t) = [в (еи)* ®{еи)\'2 операторной функции
t)^O с помощью (операторной) аналитической функции в (А,)
является обобщением представления f(t) = \q {eu) |2 скалярной
функции f {t)^0 с помощью аналитической при |Я|<1 функ-
функции q{k). Последнюю проблему впервые рассматривал Сегё [1],
искавший обобщение леммы Фейера — Рисе а, утверждающей,
что q (к) можно взять многочленом от А,, если f (t) — тригономе-
тригонометрический многочлен ^0 (см. [Лекции], п. 53).
Спустя более чем 30 лет Винер [1] обнаружил важность
факторизации такого вида для матричных функций в теории про-
прогнозирования многомерных стационарных случайных процессов *).
Одна из задач этой теории сводится к следующему. Пусть
®—сепарабельное гильбертово пространство, N(t) — измеримая
операторная функция, O*^.N{t)k^L Требуется вычислить для
каждого / е (I величину
1
2Я
[
где и пробегает Я2(®).
Если JV(/J обладает факторизацией в*(еи)в{еи) с внешней
сжимающей аналитической функцией {&, б„, в (А,)}, то, с учетом
равенства вЯ2((?) = Я2 (в.),
-k 1»в <*"> f -v № mdt]2 •
где v пробегает множество функций из Я2(@,)» с »@) = 0, так
что р(/) легко вычисляется:
!) Это было замечено еще в 1941 г. Засухиным [1*]. — Прим. ред.
262 ГЛ. V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Можно показать, что в случае, когда N (t) не допускает
подобной факторизации, решение задачи дает внешняя функция
в! (Я), фигурирующая в предложении 4.2.
Общий признак существования факторизаци вида N(tJ =
= в(еи)*&(еи) был найден Лоуденслагером [1], при помощи
разложения Вольда. Применяя метод Лоуденслагера в сочета-
сочетании с леммами 3.1 и 3.2 о представлениях Фурье, мы и полу-
получили результаты § 4 (см. также С.-Н. и Ф. [IX]). Именно
сочетанием обоих методов достигается несомненное единство
рассуждеций § 4. Признак Лоуденслагера для случая N(t)^I
указан в предложении 4.2 (равенство D.8)). См. также
Дуг л а с [2].
Предложение 4.1 в той форме, как оно здесь приведено, уста-
установлено С.-Н. и Ф. [IX]. В случае конечномерных ® и ®„ пред-
предложение 4.1,F) имеется также уХелсона и Лоуденсла-
Лоуденслагера [2] и Шмульяна [3].
Канонические и ^-канонические факторизации были найдены
в С.:Н. и Ф. [3]; при- этом существенно использовались кано-
канонические триангуляции сжатий (см. § II. 4). Путь, на котором
они получены в § 4.3, был намечен в С.-Н. и Ф. [IX].
Предложение 4.3 принадлежит авторам книги; оно устанавли-
устанавливает существование богатого запаса нетривиальных факториза-
факторизации для всякой двусторонне внешней аналитической функции и
позволяет избежать в подобных вопросах применения мульти-
мультипликативных интегралов. По поводу применения этих инте-
интегралов к вопросам факторизации аналитических операторньгх
функций см., например, Потапов [1], Бродский и Лив-
Лившиц [1], Гинзбург [1], [Я, М.С.Бродский [5*], В. М.
Бродский [Г], Гохберг и Крейн [3], [6*].
В § 5 воспроизведена заметка С.-Н. и Ф. [XII].
Понятие скалярного кратного, обобщающее в некотором
смысле понятие детерминанта, было введено в С.-Н. и Ф. [7];
но только здесь, в § 6, впервые дается подробное изложение
вопроса. Результаты этого параграфа будут использованы
в гл. VIII. Следствие 6.3 для случая внешних матричных функ-
функций совпадает с одним результатом Хелсона и Лоуденс-
Лоуденслагера ([2], стр. 204); см. также Хелсон [1], стр. 125. Эти
авторы называют внешней матричную функцию, двусторонне
внешнюю в смысле нашего определения. В случае конечномер-
конечномерного $, предложение 6.7 (об аналитическом продолжении) было
получено ранее в С.-Н. и Ф. [IX bis].
Часть предложения 7.1, устанавливающая достаточность
условия
lnlN{trll&Ll(Q. 2я)
КОММЕНТАРИИ 263
для существования факторизации N{ty*=Q(eltYQ(elt), принадлежит
Девин ацу [1]. Часть (б) предложения 7.1 показывает, что
это условие является также необходимым, если в (А,) обладает
скалярным кратным. Предложение 7.1, (б), (в) в случае
dimS<oo было доказано независимо многими авторами1)
(см. Винер и Мазани [1], Винер и Акутович [1],
Хелсон и ЛоуденСлагер [1]).
Предложение 7.2 является новым. Оно будет использовано
в гл. VIII. Это предложение может служить для сравнения
факторизации, получаемых с помощью предложения 4.3, и факто-
факторизации, получаемых с помощью мультипликативных инте-
интегралов2).
На протяжении всей главы мы ограничивались изучением
лишь ограниченных (а именно, сжимающих) операторных функ-
функций N{t), в (А,) и т. д. Основные леммы § 3 также относятся
к ограниченным операторам Q (сжатиям). Это обусловлено
природой тех задач, к которым эти результаты будут приме-
применяться в следующих главах. Однако часть полученных резуль-
результатов может быть распространена на неограниченные функции,
а именно на такие функции N (/), что N (t)f ^ L2 ($) для любого /
из некоторого плотного в 6 линеала. Мы не будем входить
здесь в детали.
Аналитические ядра играют важную роль в результатах
де Бранжа и Ровняка, анонсированных в их заметке [1].
Тот факт, что A — \хХ)~1 [I — в (Л) в* (\х)] > О (см. предложе-
предложение 8.1, (а)), было доказано впервые Ровняком [1]. Другое
доказательство имеется у С.-Надя [9]. Предложение 8.1,F)
неявно содержится у де Бранжа и Ровняка [1].
В связи с настоящей главой см. также Дуглас [1].
1) Эта часть предложения 7.1 была сформулиравана в заметке 3 а с у-
хина [Г] и вскоре доказана М. Г. Крэйном (см. Розанов [1*], [2*].
— Прим, ред.
2) По поводу факторизации функций, обладающих скалярным кратным,
см. также Гинзбург [4*], [5*]. — Прим. ред.
ГЛАВА VI
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
§ 1. Характеристические функции
1. Пусть Г —сжатие в гильбертовом пространстве §. На-
Напомним определения дефектных операторов и дефектных про-
пространств, связанных с оператором Г:
DT = {I- ГТJ, Яг* = (/ - ГГJ,
Й ?)г* =
Обозначим через Ат множество комплексных чисел Я, для
которых оператор / — КТ* обратим в узком смысле1). Для таких Я
положим
вг (Я) = [ - Г + ЯЯг* (/ - ЯГ) Яг] | ©г. A.1)
Из хорошо известных свойств резольвент (см [Лекции], п. 147)
вытекает, что Ат — открытое множество, содержащее круг
Я = {Я: | Я |< 1}, и функция вг(Я) аналитична на Аг. В силу
равенства TDt = Dt*T (см.- A.3.4)) значения функции вг(Я)
являются (ограниченными) операторами из ?)г в ?)г*. В силу
этого же равенства
@т (I) dt = Яг* [- Т + Я (/ - ЯГ*) (/ - ГГ)] =
= Яг* (/ - ЯГ*)" [- (/ - ЯГ*) Г + Я (/ - ГГ)],
т. е.
0Г (я,) ?>г == Dr* (/ - ЯГ*) (Я/ - Г) (Я е= Аг). A.2)
Заменяя Г на Г*, получаем аналогично
вг* М Яг* = Яг (/ - [хГГ1 (ji/ - Г*) (ji ^ Аг). A.2*)
Если Я е Аг, Я^^Аг*, т. е. и Я и Я" принадлежат Аг,
то, как следует из A.2) и A.2*),
вг (Я) вг* (Я) Dt* = Яг*, @г* (Я) вг (Я) Яг = Яг,
!) Очевидно, Ат состоит из точки Я»0 и множества, симметричного
относительно единичной окружности С к резольвентному мнод еству р (Г)
оператора Г. Множество Ат* симметрично с Л^ относительно веществен-
вещественной оси.
§ 1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 265
т. е.
6Г* (Я") = @т (ЯГ1 (Я, X*1 ^ Лг). A.3)
Этими соотношениями мы воспользуемся позднее.
Положим для Я, [л е Лг
А (X, \х) - / - ГТ - ?>Г6Г (р,у @т (X) DT.
На основании A.2)
А (Я, \х) = / - ГГ - (?/ - Г*) (/ - ДГ) (/ - ГГ) (/ - ЯГ*)"*1 (Я/ - Г).
Заметим, что при любом 1еЛг
(/ - ЯГГ1 (Я/ - Г) = - Г + Я (/ - ЯГ*)" (/ - ГГ),
(Я/ - 71) (/ - ЯГ*) = - Г + Я (/ - ТГ) (I - ХТТ1
(для доказательства следует лишь умножить эти равенства на
I — XT* соответственно слева и справа). Из последних соотноше-
соотношений и из равенства (/-ГГ*)Г == Г (/-ГТ) вытекает, что
(/ _ тГ) (/ - ЯГ*) (Я/ - Г) = (Я/ - Г) (/ - КГ) (I - ГТ).
Следовательно,
[ Г') (/ - ДГ)-1 (Я/ - Г) (/ - ЯГО] (/ - ГТ) =
= A - Лр) (/ - ГТ) (I - ДГ) (/ - ЯГ') (/ - ГТ).
Тогда при произвольном йеф
II DTh IP - (вг (К) DTh, вг (ц) DTh) = (А (К, ц) /г, /г) =
= A - ЯД) ((/ - ЯГ*)"' D\h, (I - iiTTl D\h),
и, следовательно, при f = DTh и Я, цеЛГ
KTT1DTf,(I-^TT1Drf). A.4)
По соображениям непрерывности A.4) остается справедливым
для любого f^'S)T = DTk>. Полагая (х = Я, получаем
llflP-iier(WIP=(i-l*P)i(/ -m~x DTff. (i.5)
Из A.5) непосредственно следует неравенство
]|НР-||вг(Я)ПР>0 (fe©r,A,€=D).
При Я = 0 A.5) принимает вид
266 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
Заметим, что из условия DTf = 0 вытекает, что элемент f орто-
ортогонален каждому элементу вида Dfh(h^^>), т. е. f±35r. Если
fe©r, то это возможно лишь в случае f = 0. Таким образом,
lier(O)fn<iifii при f€=©r, f^o.
Итак, доказано, что функция Gr (Я,) (А, е D) является чистой
сжимающей аналитической функцией (см. § V. 2).
Определение. Чистую сжимающую аналитическую функцию
будем называть характеристической функцией сжатия Г.
В силу A.1)
вт (К) - Г - Г + Д ГО^Г^^г] I ©г (А, е D), A.10
где ряд сходится по норме.
Если заменить Т на Г*, то подпространства 25г и SV поме-
поменяются ролями; из A.1) вытекает, что
(АеЛг). A.6)
В частности,
вг(А,) = в?-(А,) (ieD). A.60
Если ЛеСПр(ЗГ)| то Я = Я"еЛг, и, следовательно, можно
применить A.3). Используя также A.6), получаем
вг (А,) = ©г- (Я) - вт* (X) - вг (Я)',
т. е. оператор вг(А,) унитарен.
Следовательно, всл« а — дуга окружности С, принадлежащая
резольвентному, множеству оператора Г, то функция вг (Я) аяа-
литична на а, и ее значения при X е а являются унитарными
операторами (из 35г на ©)
2. Рассмотрим два унитарно эквивалентных сжатия Т{ (в ф^
и Т2 (в ф2)- Г2 = аГ1а~1, где а —унитарное отображение ${ на§2*
Согласно введенным выше определениям
т2 т} т2 тх т2 г,
где т и т* — сужения а на Dr и 35 ¦ соответственно.
Используя понятие совпадения, введенное в п. V. 2.4, мы
можем сказать, что характеристические функции унитарно экви-
эквивалентных сжатий совпадают.
$ 1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 267
Обратное предложение во всей общности неверно. В самом
деле, если § = §оФ§1 ~~ разложение пространства §, отвечающее
унитарной части То и вполне неунитарной части Т{ сжатия Г, то
и, следовательно, вг(Я,) = в7'1(Я,), т. е. сжатие Т и его вполне
неунитарная часть Тх имеют одну и ту же характеристическую
функцию.
В дальнейшее (§ 3) мы покажем, что для вполне неунитарных
сжатий приведенное утверждение допускает полное обращение.
3. Пусть Г— сжатие. Тогда оператор
Та = (Т-а1)(Г-аТГ1 (\а\<\)
также является сжатием (см. п. 1.4.4). Характеристические
функции операторов Т и Та связаны следующим образом:
' 0-7)
В самом деле, с помощью элементарных вычислений получаем
/ _ faTa = S* (/ - Т*Т) S, / - Tafa = S (/ - ТТ*) Sy
где
J
(||)(T
Откуда
\\f^DSf \\Df \DS*l A.8)
для любого mg§. Поскольку S и S* отображают «?> на себя,
то из соотношений A.8) вытекает существование такого уни-
унитарного отображения Z пространства 35rfl на Фг и такого уни-
унитарного отображения Z пространства 25Г* на S) •, что
* а
г) П Q 7 Г) * Г) *<ч* П О\
U — LJ о, Z, Ь' * — Ь' *о . \Ьу/
7а * 7а L
Применяя формулы A.2) и A.9), находим
Dt = Zt@ra (Я.) DTaS~l =
= Z D . (/ - ЯГ*Г' (A,/ - 7" ^ S -
* Ta\ a) \ a)
- Dt*S' (/ - ХТ'аУ1 (Я./ - 7"о) S =
- Dv (/ - аГТ' (/ - ЬТ*а)~1 (XI - Та) (/ - аТ)
268 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
где
м Ь
Таким образом,
Поскольку Z и вг(Я) определены только на 55Г, отсюда сле-
следует A.7).
4, Пусть ? = ® Фа — ортогональная сумма гильбертовых
а
пространств ?>а, и пусть Г = 0Га, где Та является сжатием
а
в «&а при любом а. Очевидно, что
' а 'a
и, следовательно,
a 'a * a'a ' a 'a - a ra
Поскольку всякое сжатие есть ортогональная сумма сжатий
в сепарабельных гильбертовых пространствах1), достаточна
изучить характеристические функции сжатий лишь в таких
пространствах. В дальнейшем мы будем предполагать, что
все рассматриваемые гильбертовы пространства сепарабельны.
В частности, дефектные пространства 55г и 55г* также сепара-
сепарабельны. Поэтому результаты, полученные в гл. V для сжимаю-
сжимающих аналитических функций, могут быть применены к характе-
характеристическим функциям. Так, предел в смысле сильной сходи-
сходимости операторов
(\->еи некасательно) существует почти в каждой точке еи
единичной окружности (см. § V,2). Кроме того, для любого
фиксированного fe25r имеем в смысле сходимости в L2B)
lim вт (re")f = 6r(e")/= -77+ S eintDT*rn"lDTf A.10)
r-»l-0 n-1
(см. § V.I и V.2).
!) Для того чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что для сжа-
сжатия Г, действующего в гильбертовом пространстве ©, существует сепарабель-
ное приводящее подпространство ф1# Легко видеть, что в качестве $>i можно
взять замыкание множества векторов вида р (T,T*)fu где fx — фиксированный
ненулевой вектор, а р (ТУТ*) пробегает множество всех многочленов от Г и Г*
с комплексными коэффициентами. — Прим. ред.
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ. СЛУЧАЙ ЗАДАННОГО СЖАТИЯ 269
§ 2. Функциональные модели.
Случай заданного сжатия
1. Мы определили характеристическую функцию сжатия Т
в гильбертовом пространстве § формулой A.1), никак не моти-
мотивировав это определение. Здесь мы покажем, что оно совер-
совершенно естественно возникает в рамках теории унитарных дила-
таций.
Поскольку пространство ?> по предположению сепарабельно,
то сепарабельно и пространство &у в котором действует мини-
минимальная унитарная дилатация U оператора Г. Пусть &+ — про-
пространство минимальной изометрической дилатации U+ опера-
оператора Т. Мы будем всегда рассматривать $+ как подпространство
пространства Й и U+ — как сужение U на $+.
В силу теоремы II. 2.1 пространства & и $+ допускают раз-
разложения
(8), B.1)
где -
8 = (?/-Г)§ и 8+ = (/-?/Г)& B.2)
— подпространства $+, блуждающие относительно U+ (и ?/),
a SR приводит U и U+ к их остаточной части R> являющейся
унитарным оператором. Подпространство M(UJ приводит С/,
следовательно, ортопроектор Р2* пространства & на М (8J пере-
перестановочен с [/, и в силу той же теоремы
Р**М+ (8) cz М+ (8,).
Таким образом, к двусторонним сдвигам, индуцируемым
в М (8) и М (8J оператором ?/, и к сжатию Q = Р** \ М (8) из М (8)
в Af(8J применима лемма V. 3.1. Поэтому существует такая
сжимающая аналитическая функция {8, 8„ 6g (Л)}, что
O**P**f = @z<b*f при fe=M(8), B.3)
где Ф8 и Ф** — представления Фурье пространств М (8) и М (8J
(т. е. определенные в п. V. 3.1 отображения этих пространств
на функциональные пространства L2 (8) и L2(8J соответственно).
Поскольку dim8 = br> dim 8„, = dim 8* = Ьг*, то оба подпро-
подпространства 8 и 8, сводятся к {0} лишь в том случае, если опе-
оператор Т унитарен. Этот случай мы исключим.
Кроме того, сделаем дополнительное предположение, что
оператор Г вполне неунитарен в § (ф {0}). Тогда (см. предло-
предложение II. 1.4)
B.4)
270 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
откуда __
Я B.5)
(см. теорему II. 2.1).
Положим
для тех t, для которых в# (еи) существует, т. е. почти для всех t.
При фиксированном t оператор Ai>(/) является самосопряжен-
самосопряженным в 8, и О<Д^@^/. Как функция от / Д*(^) сильно изме-
измерима и порождает по формуле
самосопряженный оператор Д# в ?2(8), также ограниченный
числами 0 и 1.
При fEM(8) имеем
Ш - я8-) f II2=и ЛР-II p?-f IP=
= I o8f if - II ©V-f If = II osf IF - И е8ф8/ |f = v
-5Г J [ I (o8f) @1 - II * (*") (osf) it) \\i\ at =
0
2л
J |Л
1
2я
В силу B.5) существует унитарное отображение Фм из 9? на
замыкание в L2(8) линеала
для которого
( ~ Р**) f = A«Oef (f е= Л1(8)). B.6)
Следовательно, оператор
Ф = Ф'*0Ф« B.7)
является унитарным отображением пространства
на функциональное пространство
28 B.8)
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ. СЛУЧАЙ ЗАДАННОГО СЖАТИЯ 271
Поскольку U перестановочно с Р** и Ф8[/ = е1*Ф* (см. (V. 3.2)),
то из B.6) вытекает, что
Фа?/ (/ - Р**) f = Фя (/ - />*•) Of = А8Ф8 ?/f =
= д, . e«o*f = е« . деФ^ = в« . ф, (/ _ p*.)f
при f e М(8). Ввиду непрерывности рассматриваемых операторов
Фд*?/? = ^ • Ф^^ при всех g e SR.
Поскольку, с другой стороны, Ф**и1г = еи • Ф9*/г при /zeM(8J,
то
Ф?/=иФ, B.9)
где U—унитарный оператор в К, определяемый формулой
V" ). B.10)
Согласно нашему соглашению об отождествлении пространств
типа Ь\(Щ с соответствующими пространствами Я2 C1) анали-
аналитических функций м(й.) (А, е D), первое из разложений B.1) про-
пространства К+ показывает, что Ф отображает $+ на простран-
пространство
~ШЩ. B.11)
Оператор [/+ при этом переходит в оператор U+ в К+, опре-
определяемый формулой
. B.12)
Сопряженный к t/+ оператор переходит в оператор U+, сопря-
сопряженный к U + :
и*+ (и.®v) = e~if [и,(ен) - и.@)]®е'% (t). B.13)
Найдем образ пространства Ф при отображении Ф. По-
Поскольку ф = $+©М+ (8) (см. B.1)), то Ф& = К+©ФМ+(8). При
B)
= ф [p9*g +
откуда
Итак, Ф|> = Н, где
Я2(8)}. B.14)
272 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
Сжатие Т связано со своей изометрической дилатацией
U+ равенством Г*=[/+|ф (см. A.4.2)). Отсюда следует,
что преобразование оператора Т с помощью Ф, которое мы
обозначим через Т, связано c.U+ соотношением
T*=U*+|H. B.15)
Изучим подробнее сжимающую аналитическую функцию
{2, 2„ Gg(A,)}. Применим лемму V. 3.2, положив в ней
Ш+ = М+ B), U+ = U | W+f Ю'+ = M+ (8J, 21-8,
Мы получим, прежде всего, что функция @$(к) чиста.
В самом деле, обозначая через Р^ ортопроектор на 2+, имеем
||P^PS*/||<I|/|| Для любого Ze=2, I Ф 0. В противном случае
существовал бы такой элемент /ей, / Ф О, что / = P^JP^H и,
значит, /ей,, а. это противоречит доказанному в § II.*2 соот-
соотношению 2f]2+ = {0}.
В силу той же леммы (пункт (б)) функция ве(А,) будет вну-
внутренней тогда и только тогда, когда оператор Р^*|м+B)
является изометрией. Поскольку Р** есть ортопроектор на МB„,),
то это условие означает, что Af+(8)cAl(8J или же (поскольку
М BJ приводит U) что М B) с: М BJ. Согласно B.4), это экви-
эквивалентно равенству М (8^) = 51, т. е. тому, что Т*п-> О при д-> оо
(см. теорему II. 1.2). Итак, функция Os(A,) является внутренней
в том и только в том случае, если ГеС.о,
Мы доказали следующее
Предложение 2.1. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие
в пространстве &; U — его минимальная унитарная дилатация,
действующая в пространстве $; 2 и 2* — блуждающие отно-
относительно U подпространства, определяемые равенствами B.2).
Тогда существует чистая сжимающая аналитическая функция
{2, 2*, ©ПА,)}, удовлетворяющая условиям B.3). Эта функция
порождает по формуле B.7) унитарное отображение Ф, назы-
называемое представлением Фурье, пространства R на функ-
функциональное пространство
К = L2 (8 J © AaL2B), где A, (t) = [/ - в* (еи)* в* (е")]т.
р эгсш представлении оператор U представляется операто-
оператором U умножения на elt в функциональном пространстве К,
подпространство $+ представляется подпространством
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ. СЛУЧАЙ ЗАДАННОГО СЖАТИЯ 273
в К. Наконецу пространство ф и заданное сжатие Т предста-
представляются подпространством Н в К и оператором Т в Н, опре-
определяемыми формулами
и
Н = [Я2 (8,) 0 A,L2 (8)] 0 {вви 0 Д8и: г/ е= Я2 (8)}
Т* (и. 0 v) = е-» К И) ~ К @)] 0 е-«о (t) (и, 0 о е= Н).
функция вй(А,) внутренняя, то As @ = О до**™ всюду,
и формулы для К, Н г/ Т упрощаются:
1е Н).
случай имеет место тогда и только тогда, когда ГеСо.
2. Наша ближайшая цель — установить связь между только
что построенной функцией в^ (А/) и характеристической функцией
вг (А,) оператора Г, определенной в предыдущем параграфе.
Предложение 2.2. Функция в* (А,) из предложения 2.1 сов-
падает с"характеристической функцией &т (К) оператора Г.
Доказательство. Заметим сначала, что существует
унитарное отображение ф пространства 8 на Dj- и унитарное
отображение ср* пространства й„ на 2)г*э удовлетворяющие соот-
соотношениям
/)гЛ, q>>{I-UT*)h = DT*fi (Ae§). B.16)
Для ф это было доказано в § II. 1 (см. (II. 1.6)), для ф+ дока-
доказательство аналогично. Покажем, что
Ф.в* (Я) ф = @т {К) (К s D). B.17)
Тем самым будет доказано совпадение @q{K) и вг(А,) в соответ-
соответствии с определением п. V. 2.4.
Для этого рассмотрим степенной ряд для
Имеем
при /ей, /^г 84. В силу соотношения B.3), определяющего
вв(Я,), имеем в^Ф8/ - Ф**Р**1. С другой стороны, ешФ*%~
^Ф^и"^ на основании (V. 3.2). Из унитарности оператора Ф?*
^8 Зак. 617
274 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
следует, что
(вя/, О8, = (рЧ и%\.
Поскольку
p*»UX = UnP*% = ?/"/.,
то
(в„/, /.)8, - (t//, 0ff (/ e 8, /. s 8.; п - 0, 1, • • .)•
Итак, обозначая ортопроектор из R на 8, через P$t, имеем
в„-Р8.?/л|8 (« = 0,1,...). B.18)
Покажем, что для всякого элемента /ей вида l = (U — T)h
(h е Ф) справедливо равенство в„/ = /„, где
lo=-(I-Ur)Th; 1я-A-иГ)Ьп, А»-Гв-'(/-тА(л>1).
Элементы /„(я^О) принадлежат, очевидно, 8., так что на
основании B.18) все сводится к установлению того, что
?/**/-/„ 18. (я>0). B.19)
При п = 0 B.19) проверяется непосредственно, поскольку
l-lo=U(I-rT)he=iU%> и ?/?±ШГ = Й..
При «^ 1 B.19) вытекает из того факта, что для всякого А'е§
(U'nl-ln,(I-UT*)h') =
= (([/*"-• _ [/'"Г) h - (I - С/Г*) й„, (/ - ?/Г) /г') =
= ([jjtn~l - WnT)h- (I - UT*) hn, h') -
-((U'n-U'n+1T)h-(U*-r)hn, rh') =
= Црп-\ _ r«r) /г _ (/ _ ТГ) hny h') _
- ((Г" - гя+1г) я - (Г - Г*) А», Г'А') =
- ((/ - ТГ) Г*" (/ - TV) h, hr) -({I- TT*) hn, h') = 0.
Сравнивая с B.16), получаем
Ф«®пФ~ DTh = <р,в„/ = ф7„
Поскольку множество элементов вида DTh (h e -S>) плотно
в S)/-, то
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ. СЛУЧАЙ ЗАДАННОГО СЖАТИЯ 275
Отсюда следует равенство B.17) (см. определение A.1) функ-
функции в())
3. Предыдущие результаты позволяют строить для вполне
неунитарных сжатий функциональные модели с явным участием
характеристических функций.
В самом деле, в силу B.17) @г (А,)* вг (А,) = (рва(Л)*
Следовательно, полагая
имеем
фАй(^)ф~1 = Аг(О. B.20)
Поэтому унитарные операторы
• <v "^ AsTm ф • v ""^ jzjt*
порождают по формуле
ф: u{elt)@v{t)->q,u{t
унитарное отображение пространства Я2 BJ© A$?L2 (S) на про-
пространство Я2 (Dr*) 0 Дг?2 B)г). При этом ф перестановочно сумно-
и
(
жецием на еи и
Я2 B)} = {ф.в«и © фАви: и s Я2 B)}
Таким образом, нами доказана
Теорема 2.3. Всякое вполне неунитарное сжатие Т в сепара-
бельном гильбертовом пространстве ф унитарно эквивалентно
оператору Т в функциональном пространстве
Н = [Я2 (®г.) © ArL2 (©r)] 0 {вги © Аг«: г/ е Я2 (®r)}f
определяемому равенством
itv{t) (и0оеН).
В случае, когда Г s Со, и только в этом случае функция ®т (X)
является внутренней, и наша модель упрощается, принимая вид
Н - Я2 (®г.) 0 6ГЯ2 (©г), Г г/ (Я) = у[и (Я) - к @)] (г/ €= Н).
Меняя ролями Г и Г*, получаем двойственную теорему.
Теорема 2.3*. При тех же условиях на Г, что и в тео-
теореме 2.3, оператор Т унитарно эквивалентен оператору V в функ-
18*
276 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
циональном пространстве
Н' = [Я2 (®г) ФArL2 (ЗД 0 {0r« 0дг.и: w е Я2 (?)г)},
определяемому формулой
Г (w0ti) = e~" [г/(е«) - и @)]©в-»о @ (и 0о е= Н').
5 случае, когда Т е Co., w только в этом случае функция вг*(А,)
является внутренней, и наша модель упрощается, принимая вид
Н' = Я2 (©г) 0 &т*Н2 (?Н, Т'и (Я) = j- [и (X) - г/ @)] (г/ е НО.
§ 3. Функциональные модели. Случай заданной
сжимающей аналитической функции
I. Результаты предыдущего параграфа делают естественной
постановку следующего вопроса: всякая ли сжимающая анали-
аналитическая функция {(?, (?„, в (А,)} порождает с помощью аналогич-
аналогичных построений вполне неунитарные сжатия Т и V? Поскольку Т
и V меняются ролями при переходе к функции {(?„, 6, в~ (Я,)},
достаточно рассмотреть этот вопрос для Т.
Пусть дана сжимающая аналитическая функция {6, (?„,
где
Положим
C.2)
где Д (/) = [/©- в(е**ув{еи)]т. Очевидно, G-линеал в К+. Более
того, G замкнуто и, следовательно, является подпространством
в К+« В самом деле, из соотношения
ы + IIАу И' «й = ш j A° (*'')*0 (е") + А W v @, о @ )в ^^ -
о
2я ' .
0
вытекает, что отображение
Q: v->Qv®kv (ogL2((E)) C.3)
является изометрией из L2((S) в К. Поскольку G совпадает
с ОЯ2((?), то G замкнуто.
§ 3, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ. СЛУЧАЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ 277
Пусть, наконец,
Н = К+е G. C.4)
Обозначим через U оператор умножения на eif в К. Оче-
Очевидно, U —унитарный оператор в К. Подпространство К+ инва-
инвариантно относительно U. Положим U+ = U|K+. Подпростран-
Подпространство G инвариантно относительно U+ и, следовательно,
Н инвариантно относительно U+. Легко показать, что
и*+ (и® о) = е~" [и {е») - и @)]®в-"о (*) (и© v е= К+).
Поскольку U+ —изометрия, то U+— сжатие в К+; следова-
следовательно, оператор Т, определяемый равенством
T* = U*+|H, C.5)
является сжатием в Н.
-Обозначим через Р ортопроектор из К на Н, через Р+ —
ортопроектор из К+ на Н. Таким образом, Р+ = Р|К+.
В силу C.5)
ГЛ=1Г*|Н, C.6)
и при /г, А'еН
(Г/г, А0н - (Л, rY)H = (A, UjA')K+ -
откуда
Т = P+U+ | Н = PU* | Н (п> 0), C.7)
и, значит, U есть унитарная дилатация сжатия Т.
2. Покажем, что сжатие Т в Н вполне неунитарно.
Допустим, что существует такой элемент ифиеН, для
которого
(а) 1П
(б) |Т
Будучи элементом пространства Я2 F+), и обладает разложением
и (К) = 2 \kak (ak е 6., 21| а, ||2 < оо).
о \ , о /
Из соотношения
C.8)
278 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
и из условия (б) следует, что и = 0. С другой стороны, ввиду
C.7) условие (а) означает, что U+(z/©i>) входит в Н (п^1).
Таким образом, элемент O($eintv(t) ортогонален к G, Т. е.
0 - @ 0 eintv9 @w © kw) = ± J 'еш {v (*), A @ w {еш) \ dt
для любого дое#2((§). В частности, полагая w = eimtf (f e ©'»
m^O), получаем
2я
J ^^ (я-т) * (д до у Wf f)ф di = 0 (mf /i > 0).
о
Следовательно, (А @ v (/), f)e = 0 почти всюду. Поскольку $ се-
парабельно, то k(t)v{t) = O почти всюду и, значит, Ду = 0,
y_LAL2F). Так как, с другой стороны, i>eAL2(S), то v = 0.
Итак, из (а) и (б) следует, что и® v = 0, -значит, оператор Т
вполне неунитарен.
3. Будем считать, начиная с этого места, что рассматриваемая
аналитическая сжимающая функция в (Я) чиста, т. е.
Цв(О)Л|<||/|| для любого f€=(Sff=^O. (з.9)
Покажем, что при этом условии характеристическая функция
сжатия Т совпадает с в (Я).
Для этого докажем, прежде всего, что U является мини-
минимальной унитарной дилатацией Т, т. е. что
K = VUftH. * C.10)
— оо
Из определения пространств К и К+ немедленно вытекает,
о
что К = V U"K+. Поэтому для установления C.10) достаточно
показать, что
+ + V C.11)
о о
Предположим, что и фи есть элемент из К+, ортогональный
к 1ГН при /i = 0, 1, ..., т. е. что 11*"(и0о) принадлежит G
при п = 0, 1, .... Таким образом,
); /г — 0, 1, ...).
Рекуррентное соотношение
U*+ {@w{n)© Дш(*>) = Qw^n+l) ф Дйу^+1) (п> 0)
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ. СЛУЧАЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ 279
дает
e-it [Qw(n) _ (@W(n)) @)] 0 e-it &W(n) в &w(n
Следовательно,
где
©<я) (А,) = ш^> (Pi) - bwfr+ъ (А,) е= Я2 F). C.12)
При условии Д©<я> = 0 имеем [Д (t)]2 ©<я> (elt) = 0, ©^ (е'О =
= & (еп)* ® {eif) ®{n) (e{t) почти всюду и, значит,
©w (е«) = в (в«)' © @) t^w @) = 2 e-ikteieQww (О).
Поскольку ©(tt) e Я2(й), то последнее равенство возможно только
в том случае, если
а>{п){к) = в0в0™М{0) C.13)
для всякого А,, в частности для А, = 0. В силу C.12) ©М@) =
s= о;(Л> @). Поэтому
а,(я) @) = &QeQwW @), || w<*> @) |[ < || QowW @) ||.
Поскольку сжимающая аналитическая функция в (X) чиста, то
ау<")@) = 0, т. е. ввиду C.13) ®{п)(Х) = 0. Из C.12) вытекает
поэтому, что w(n)(k) = А,до('г+1)(А,). Это равенство справедливо
при всех л^О, откуда следует, что
т. е. w^ {%I%п ^ Н2 {Щ при всех д^О. Это возможно лишь
в том случае, когда иу@) (^) ва 0, откуда
Тем самым доказано C.11), а значит, и C.10). Следова-
Следовательно, унитарная дилатация U оператора Т является
минимальной.
4. Наш следующий этап —найти L# = (I — UT)H, где I —то-
—тождественный оператор в К.
Очевидно, что при ифиеН
(I-Ur)(M©o)-[M-(tt-M@))]©[o-o]-tt@)©0f C.14)
где и@) рассматривается как постоянная функция из
Возьмем, в частности,
280 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
где g e 6„,. Очевидно, i/0tieK. Покажем, что U@v входит
даже в Н. В самом деле, для произвольного шеД2A)
2я
поскольку
в'й + Аб = в^ - 6*вв^ = Л2в^ = (в* - 85) g = S бТ^в*^ -L Я2 (®).
В силу C.14)
*)() C.15)
Покажем, что элементы вида (/@# — eo6o)g (g e ®J образуют
плотное в (§„ множество. В противном случае существовал бы
такой элемент g1' e ®„ g' =^= 0, что
, C.16)
так что || e^J < || g' || = ||606^/1. В силу C.9) тогда в^х = 0,
т. е. ввиду C.16) g' = 0 — противоречие.
Сопоставляя этот результат с C.14) и C.15), получаем
C.17)
(отождествляя, как обычно, постоянные функции из L2(®J с их
значениями). Отсюда вытекает, что
Другими словами, если обозначить через PL* ортопроектор
из К на Af(LJ, то при «0иеК имеем
C.18)
б. Условие, что элемент u@v из К+ входит в Н, записы-
записывается подробно так:
(w0i>, вги>0Дш)к ==
2я
\ Г it it it it
= — I \(u is ) О is ) w (в )) ~Ь (f (f) A (t) w {в )) I c/^== 0,
0
или же
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ. СЛУЧАЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ 281
для произвольного w e Н2(Щ. Иначе говоря, это условие озна-
означает, что функция 6*u + kv (принадлежащая, очевидно, L2 ((?))
ортогональна к Я2(@), т. е. обладает разложением Фурье вида
(ду'Уи^ + Ь^^-е-»!^ ... +е-'"%+ ..., C.19)
где
f»eef |||fJI2<oo.
Используя это замечание, вычислим в явном виде опера-
оператор Т. В силу C.7)
т. е.
Т (и 0 v) = (еии © eltv) - @ш 0 А ш),
где функция до s Н2 (S) определяется условием
Л^' для любого ш;
или же равносильным условием
в* [е*'и - вш] + A [euv - Дш] « в" [в*и + Ду] - ш JL Я2 (g) C.20)
(в ?2(б)). Из C.20) на основании C.19) вытекает, что w = f{.
Таким образом, оператор Т имеет вид
Т (и 0 v) = (е" и (еи) - в И ft) 0 (Л (*) - Д (/) fx)9 C.21)
где «01/еН и
о
(U - Т) (и © if) = в (*") ft 0 А @ ft C.23)
при м©уе Н.
Если u®v пробегает Н, то соответствующие элементы ft
пробегают множество (?1э плотное в 6. Чтобы доказать это,
заметим прежде всего, что в силу C.9) множество элементов
вида
/-(/-We (*e<sf eo=6(O))
плотно в ©. Полагая
^ = -Ш J е"(в <*">'" (е"} + А W °(^ >л- C-22)
Поэтому
получаем
0 (е»У и (е") + k(t)v (t) = е~« [в (^0* в (е«) - в(в"Г
- в-«[7-0 (в«)' 0О] в - в"« (/ - ©;0U) g -
282 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
Отсюда с очевидностью следует (см. C.19)), что u®v принад-
принадлежит Н, а соответствующий элемент f{ равен исходному эле-
элементу f.
Вспомним теперь об изометрическом отображении Q про-
пространства Л2 (б) в К (см. C.3)). Пусть со —сужение Q на под-
подпространство ©, образованное постоянными функциями из L2(S).
Таким образом,
со: f~>6feA/ (/s8). C.24)
В силу C.23), C.24) и того факта, что &{ плотно в 6, имеем
l = (и-т)н = ЩпЩпПТ^Щ =Щ> ©(^ = ©е,
откуда
L {6f0Af fe®}. C.25)
Таким образом, со является унитарным отображением б на L.
С другой стороны, из C.17) следует, что
со,: К-+К®Ощю (f.eej C.26)
есть унитарное отображение б, на L*. Полагая
в (Я) - со+в (X) со (X с= D), C.27)
мы получаем сжимающую аналитическую функцию {L, Ь„, в (Я)},
совпадающую с функцией {S, 64, 6 (А,)}. Покажем, что она удо-
удовлетворяет соотношению
фирч = вФЧ (/gM (L)). C.28)
Рассмотрим случай
/-Щ,, /n = cofn, (fne(g; az = O, ±1, ...).
Согласно C.18),
откуда
[фирч] (т) = (е'пхв (е**) fn Ф 0) =
= со#в (efT) einx fn = 0
= в(^)[ф1иУ,](т) = в(^)[ф1/](т) почти всюду.
Тем самым C.28) доказано в случае /gU^L. Отсюда непо-
непосредственно вытекает и общий случай.
Сравнивая C.28) с B.3), получаем на основании предло-
предложения 2.2, что характеристическая функция оператора Т со-
совпадает с в (А,) и, следовательно, с первоначальной функ-
функцией Q{X).
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ. СЛУЧАЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ 283
Итак, доказана
Теорема 3.1. Для всякой сжимающей аналитической функ-
функции {б, (?о в (А,)} оператор Т в функциональном гильбертовом
пространстве
Н = [Н2(^)®Х1Щ)]е[ви>®кш; ше= Я2 ((?)], C.29)
определяемый формулой
Г (u,®v) = e~lt[u,(elt) - uA0)]®e~ltv (t) (а,0оёН), C.30)
является вполне неунитарным сжатием в Н [здесь A (t) =
сжимающая аналитическая функция {й, (?#, в (А,)} чиста,
то она совпадает с характеристической функцией оператора Т.
Если в этом случае вложить Н естественным образом в про-
пространства K = L2(Sj0AL2((g) и K+ = #2(gJ©A/7W), то опе-
операторы
будут соответственно минимальной унитарной и минимальной
изометрической дилатациями оператора Т.
6. Дополним эту теорему в нескольких пунктах.
Предложение 3.2. (а) Для того чтобы пространство Н, опре-
определяемое равенством C.29), не сердилось к {0}, необходимо и
достаточно, чтобы функция в (Я) не была унитарной кон-
константой *).
(б) Характеристическая функция вполне неунитарного сжа-
сжатия X в Н, определяемого равенством C.30), совпадает с чистой
частью {S°, S°, в0 {%)} исходной функции {6, S,, в {%)} {см. пред-
предложение V. 2.1).
Доказательство. Если в(А,) = в0, где в0 — унитарное
отображение (§ на St, то А (/) == О и, следовательно,
н = я2 (® j е е0я2 F) = я2 (g j е я2 (ео<?) = {0}.
Если в (Я,) не является унитарной константой, то в предпо-
предположении, что (б) верно, имеем
dim ?)т = dim S°, dim 5E)r = dim ©о.
l) Отображение 0->0 пространства {0} на {0} мы считаем унитарным.
284 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
где dim©0 и dim(?° не равны нулю одновременно, ибо в(X)
имеет нетривиальную чистую часть. Поскольку 35Т и 25Т* суть
подпространства в Н, то dim H >0.
Таким образом, нам остается доказать (б). Обозначим
через А0 @ функцию, аналогичную функции Д(/), но построен-
построенную по в°(Х), а не по в (А,). Из разложения б = й'фб° очевид-
очевидным образом получаются разложения L2 (й) = L2 (S') ф L2 ($°) и
Я2F)= Я2F0фЯ2F°). Так как в'(Х)-унитарная константа,
то А@у(/) = 0©А0(/)у°@ для любой функции и = и'ф i>° е=
sL2(8). Следовательно,
Учитывая равенство в'Я2 ((?') = Н2 (в'&') = Я2 (WY получаем
Отсюда следует, что если ^фиеН, то и,'Х Я2(®^ и, ^следо-
^следовательно, и, еЯ2(&2). Поэтому пространство Н отождествляется
естественным образом с пространством
Н° = [Я2(®2HД°12Щ0{в°ш°фД°ш°: ш°
а оператор Т —с оператором Т°, определяемым в Н° формулой
Поскольку функция {S°, S2, @°(Х)) чиста, то по теореме 3.1
характеристическая функция оператора Т°, или, что то же
самое, оператора Т, совпадает с (®°, (&Р, в°(А,)].
Предложение 3.2 доказано.
Предложение 3.3. Совпадающие сжимающие аналитические
функции {й, ®„ в (Я,)} и {@', S?, er(X)} порождают (в смысле тео-
теоремы 3.1) унитарно эквивалентные сжатия Т и Т'.
Действительно, если
т: «->«' и v ®,->^
—такие унитарные отображения, что 0/(Х) = т#в(Я)т~1 (Яе!)), то
есть унитарное отображение пространства Н на Н', для кото-
которого T'^tTt"-1. Поэтому доказательство проводится точно так
же, как в частном случае, рассмотренном в п. 2.3.
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ. СЛУЧАЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ 285
Применяя этот результат, в частности, к характеристиче-
характеристическим функциям и вспоминая сказанное в п. 1.2, мы видим,
что имеет место следующая
Теорема 3.4. Два вполне неунитарных сжатия унитарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда их характеристиче-
характеристические функции совпадают.
7. Как мы знаем (см. теорему 2.3), вполне неунитарное
сжатие Т принадлежит классу С.о в том и только том случае,
когда его характеристическая функция является внутренней.
Теоремы 2.3 и 3.1 позволяют дополнить это утверждение сле-
следующим образом.
Предложение 3.5. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие.
Для того чтобы
(а)ГеСо, (б)ГеС.ь (в)ГеСОм (г)ГеС,,
необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функ-
функция была соответственно
(а) внутренней, (б) внешней, (в) ^-внутренней, (г) ^-внешней.
(По поводу определений см. § П. 4 и п. V. 2.3.)
Доказательство. Случаи (в) и (г) приводятся к слу-
случаям (а) и (б) заменой Т на Г*, если учесть второе из равенств A.6).
Случай (а) содержится в теореме 2.3. Нам остается рассмотреть
случай (б). Поскольку класс См (как и другие рассматриваемые
классы) содержит вместе с каждым оператором и все ему уни-
унитарно эквивалентные, а свойство сжимающей аналитической
функции быть внешней (либо внутренней) сохраняется при пе-
переходе к совпадающим с ней функциям, то достаточно рассмо-
рассмотреть функциональную модель для Г.
Итак, пусть Т —сжатие, порожденное (в смысле теоремы 3.1)
чистой сжимающей аналитической функцией {б, б„ в (Я)}. Со-
Согласно C.8),
lim\Vn(u@v)\-\\v4i при и0иеН.
М->оо
Отсюда видно, что Т входит в С.ь в том и только том случае,
когда m®0gH влечет а = 0. Но условие m©0sH означает,
что и±@Н2(Щ> поэтому д = 0 тогда и только тогда, когда в
является внешней функцией.
8. В нашей функциональной модели минимальные изоме-
изометрические дилатации записываются в явном виде. Это
обстоятельство позволяет записать в явном виде также и ком-
коммутанты (с помощью теоремы II. 2.3). Для простоты будем рас-
286ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
сматривать лишь сжатия класса С.о, т. е. будем считать функ-
функцию в (Я) внутренней.
Итак, пусть {й, (?о в (Я)} —чистая внутренняя сжимающая
функция и Т — сжатие в пространстве
<?), C.31)
определяемое равенством
(Ги) (Я) = | [и (Я) - и @I (и €= Н). C.32)
По теореме 3.1 оператор U + , определенный на К+= #2(SJ ра-
равенством (и+и)(Я) = Яи(Я), является минимальной изометриче-
изометрической дилатацией оператора Т. Пусть Н', V и т. п. ана-
аналогичным образом отвечают функции {б', й', в'(Я)} и т. п.
Поскольку U+ и U+— односторонние сдвиги с порождаю-
порождающими подпространствами S* и $+ соответственно, то по лемме
V. 3.2 каждый ограниченный оператор Y из #2(@Q в Я2^),
для которого U+Y = YU+, может быть представлен в виде
где {@?, б,, У (Я)} — некоторая ограниченная аналитическая функ-
функция, причем ])
liyiL-IIYll.
Сочетая этот факт с теоремой II. 2.3, получаем следующий
результат.
Теорема 3.6. Каждый ограниченный оператор X из W в Н,
удовлетворяющий условию
ТХ = ХГ, C.33)
может быть представлен в виде
Xu = P+(Yu) (ме Н'), C.34)
где Р + — ортопроектор из H2(Qtm) на Н, {($(, б,, У (Я)} - ограни-
ограниченная аналитическая функция, такая, что
Ув'Я2((Г)с:вЯ2(е) C.35)
1) Для любой ограниченной аналитической функции {% %ш, А \
ML- sup J| А (Я) Ц.
§ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И СПЕКТР 287
Обратно, каждая ограниченная аналитическая функция
{&[, 6„ У (А,)}, удовлетворяющая условию C.35), порождает по
формуле C.34) некоторое решение X уравнения C.33); при этом
IIXIKH7IL.
Заметим, что C.35) выполняется, если в (X) — скалярная
функция, т. е. ®' = 6' = Z?\ Если обе функции в (А,) и в'(Я) ска-
лярны, то такова же и Y(X), т. е. 7еЯ°°. В этом случае правая
часть равенства C.34) совпадает с Y(Т) (см. гл. III, в част-
частности, теорему III. 2.1, (ж)). Полученный результат, очевидно,
инвариантен относительно перехода к унитарно эквивалентным
операторам, так что имеет место
Следствие 3.7. Пусть Т — сжатие класса Соо и Ьт = Ьт*= L
Тогда каждый ограниченный оператор X, перестановочный с Т,
является функцией от Т: Х = у(Т), где у^Н°°. Функцию у
можно выбрать так, чтобы || у L = || X ||.
Из многочисленных применений теоремы 3.6 упомянем лишь
следующее
Предложение 3.8. Пусть Т определено равенствами C.31) и
C.32), а ф — функция класса Н°°. Для того чтобы оператор ф(Т)
был обратим в узком смысле, необходимо и достаточно, чтобы
существовала такая ограниченная аналитическая функция
{К К Y(X)}, что для любого и<=Н2{&)
YQu е= 6Я2 (E), и - ф Yu е= 6Я2 (g).
Провести детальное доказательство предлагается читателю
в качестве упражнения. Мы заметим лишь, что оператор, об-
обратный к ф(Т), и функция Y (Я) связаны соотношением
1а = Р+(Ггг) (иеН),
§ 4. Характеристическая функция и спектр
1. Обозначим через о(Т) спектр оператора Т, т. е. множество
таких комплексных чисел Я, что XI —Т не имеет обратного
в узком смысле (т. е. всюду определенного и ограниченного).
Пусть оР(Т) —точечный спектр Т, т. е. множество собственных
значений Г. Следующая теорема устанавливает связь между
спектрами о(Т) и ар(Т) вполне неунитарного сжатия, с одной
стороны, и характеристической функцией {Т)т, 35г*, ®т (X)} —
с другой. Как и ранее, через С обозначается единичная окруж-
окружность, через D — ее внутренность.
Теорема 4.1. Спектр о(Т) вполне неунитарного сжатия Т
совпадает с множеством STi состоящим из тех точек X^D,
288 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
в которых вг(Я) не имеет обратного в узком смысле, и из до-
дополнения в С объединения открытых дуг окружности С, на ко-
которых вг(Я) аналитична и унитарна.
Точечный спектр ар(Т) совпадает с множеством S°t точек
^еД где &Т(Х) не имеет обратного (даже) в широком смысле.
Доказательство. Собственные значения вполне неуни-
неунитарного оператора не могут лежать на С. Поэтому, если а е
Е0Р(Г), то a<=D. Полагая Та = (Т - al)(l - аТ)~\ получаем,
что Ое(Тр(Га), Следовательно при некотором \фЪ имеем Taf =
= О, т. е. (I — TlT^f — f- Отсюда следует, что /еФг и, со-
согласно A.1),
ere(O)f--ref-o.
Поскольку вГа@) отличается от вг(а) только унитарным мно-
множителем (см. п. 1.3), то вг(а)#=*0 при некотором g^O, т. е.
a^Sr. Итак, op(T)czSt. Обратное включение получается
обращением приведенных выше рассуждений. Таким образом,
Перейдем к спектру. Покажем прежде всего, что точка 0
принадлежит а(Т) тогда и только тогда, когда она принадле-
принадлежит ST. Этот факт будет тогда справедлив и для любой точки
ae D (что можно установить, заменив, как и выше, Т на Та).
Тем самым будет доказано равенство
o{T)nD = STnD. D.1)
На основании (I. 3.6) Г55Г с: ?)г*. Покажем, что Т изомет-
изометрически отображает $Q®t на &Q5V- В самом деле, усло-
условия fe§0I)r, Drf = O и || f || = || Tf ||, очевидно, эквивалентны
между собой, так же как условия ge§Q3)г*, Dj*g = 0,
|| g || = || T*g ||. В силу A.3.4) Drf = 0 влечет DT*Tf = 0, а DT*g ==
= 0 влечет DTT*g = 0. Отсюда следует, что Z = Т \ $ © Dr
является унитарным отображением $Q®t на ^©^г*. С дру-
другой стороны, из определения A.1) характеристической функции
вытекает, что Г|55Г = — вг @) Таким образом, Т является
прямой суммой оператора — вг @) и унитарного оператора. Для
того чтобы Т обладал обратным в узком смысле, необходимо
и достаточно, чтобы ®т @) обладал тем же свойством. Этигу;
доказано наше утверждение для точки 0, а следовательно, и
равенство D.1).
Предположим теперь, что а —дуга окружности С, принад-
принадлежащая резольвентному множеству оператора Т. Ее отра-
отражение а* относительно вещественной оси содержится в ре-
§ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И СПЕКТР 289
зольвентном множестве оператора Г*, откуда следует, что
X (I - ЯГ)-1 — (у / - г) существует (в узком смысле) и явля-
является аналитической функцией от X в некоторой области, со-
содержащей дугу а. Используя формулу A.1), подучаем, что
@Г(Х) обладает аналитическим продолжением на ту же область.
Кроме того, согласно A.5), || f ||2 -1| вг (X) f ||2 -> 0 при X, стремя-
стремящемся к точкам дуги а. Таким образом, оператор вг (X) изо-
метричен при X е а. Заменяя в этих рассуждениях а на а*
и Г на Г, получаем, что оператор вг*(Х) изометричен при
X е а*. Поскольку вг* (X) = [вг (Х)]\ то при X е а оператор вг (X)
унитарен. Таким образом,
=э5гПС D.2)
- В силу D.1) и D.2) нам остается лишь доказать, что если
а —дуга окружности С, на которой QT(X) аналитична и уни-
унитарна, то а содержится в резольвентном множестве операто-
оператора Г. Докажем это для функциональной модели.
Пусть Т — вполне неунитарное сжатие, порожденное, в смысле
теоремы 3.1, такой чистой сжимающей аналитической функ-
циец {$, E„ в (Я)}, что в (А,) аналитична и унитарна на дуге а.
Докажем сначала лемму.
Лемма. Для всякого элемента u@v, принадлежащего
функция «FЙ2М аналитична на а.
Доказательство. На основании C.19) условие м0уе
<= Н означает, что функция
Г@-в(в"Ги(^) + А(Оо(<Т И?2(®)) D.3)
допускает представление
e-% + e~2ith+ ..., где |||ffel|2<oo. D.4)
Из последнего неравенства вытекает, что функция
принадлежит #2(S) и, значит (см. § V.1),
4(re~~it)->q(e'~it)sssf(t) почти всюду D.5)
при г—> 1 — 0 (сходимость в й) и
9/-*0. D.6)
290 гл. vi. характеристические функции и функциональные модели
С другой стороны, поскольку и (Я) е Я2 (SJ, то по тем же при-
причинам
и{геа)->и(еа) почти всюду D.7)
(сходимость в SJ и
J ||a(reV"(^l§^~>0. D.8)
о
Заметим также, что в силу унитарности оператора ®{еа) при
еи Ga из D.3) вытекает, что
8(е")/(/) = и(е") почти всюду на а. D.9)
Пусть G — та область, где в (Я) аналитична, G=)DUa, и
пусть G+ —часть области G, расположенная вне С, G- = D.
Положим
Ф_(Я) = а(Я) при IgG.
и
(Я) в(Я)AД) при Ae=G+.
В силу соотношений D.5) —D.9) к этим функциям и к дуге
а применима лемма V. 6.6. Из этой леммы следует, что ф_ (Я)
и ф+ (Я) являются аналитическими продолжениями друг друга
через дугу а. Это означает, в частности, что и (Я) аналитична
на а, что и требовалось доказать.
Пользуясь этой леммой, завершим доказательство теоремы
4.1.
Заметим, что если и(^Hо(ОеН, то при фиксированном
vgD справедливо включение mv0uvgH, где
Кроме того,
(I-vr)(Mveig = M00 (I = /H). D.10)
Все это проверяется непосредственным вычислением с учетом
определений Н и Т (теорема 3.1) и характеризации C.19) эле-
элементов из Н.
Пусть v стремится к точке е дуги а. Поскольку функция
и (Я) аналитична в точке е по лемме, а, с другой стороны,
a(tf) = 0 почти всюду на интервале значений /, отвечающем
дуге а (ибо А (/) = 0 почти всюду на этом интервале и
(
то uv(B vv сходится в #2FJ©AL2((E) к некоторому принадлежа-
принадлежащему Н пределу, который мы обозначим через ue@'ve. В си-
силу D.10)
AГ)($) © D.10')
§ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И СПЕКТР 291
Оператор Т\ будучи вполне неунитарным, не имеет собствен-
собственных значений на С. Поэтому I—еТ* обладает обратным, по край-
крайней мере в широком смысле. Но поскольку, согласно D.10'),
этот обратный оператор определен всюду в Н, он ограничен. По-
Поэтому оператор (I —еТ*), а с ним и оператор (el —T) суще-
существуют в узком смысле. Этим доказано, что всякая точка дуги а
принадлежит резольвентному множеству оператора Т.
Теорема 4.1 доказана.
2. В качестве непосредственного применения теоремы 4.1
приведем пример, демонстрирующий возможности функциональ-
функциональных моделей для получения сжатий с наперед заданными свой-
свойствами.
Как было доказано в предложении П. 3.5, (в), всякое сжа-
сжатие Т класса Сп квазиподобно некоторому унитарному -опера-
-оператору U. В предложении II. 5.1 было установлено, что квази-
квазиподобие сохраняет в некотором смысле семейство ультраинва-
ультраинвариантных подпространств. Тем не менее квазиподобие, вообще
говоря, не сохраняет спектра. Именно покажем, что существует
сжатие Т^Си> спектр которого совпадает со всем замкнутым
единичным кругом D.
В самом деле, пусть Л— самосопряженный ограниченный
оператор в гильбертовом пространстве ®, такой, что ||Л||< 1.
Предположим, кроме того, что точка 0 входит в спектр Л, но не
является собственным значением Л. Постоянная функция {®, ®, Л}
является чистой сжимающей аналитической функцией. Пусть
Т — порождаемое ею (в смысле теоремы 3.1) вполне неунитарное
сжатие. Поскольку Л" не существует в узком_смысле, то по
теореме 4.1 g(T)idD и, следовательно, o(T) = D в силу замк-
замкнутости о(Т).
Покажем, что Т е См. Согласно предложению 3.5, доста-
достаточно показать, что функция {6, б, Л} является внешней, т. е.
что АН2(Щ плотно в Н2(Щ. Если we Я2(б) ортогонально
к АН2 (б), то Аи (К) = 0 при всех ^gu Поскольку 0 не является
собственным значением Л, то и(Л) = 0, и = 0. Тем самым дока-
доказано, что АН2(Щ плотно в Н2 (б). Таким образом, Т^С.{.
„ Так как сжимающая аналитическая функция {6, 6, Л} сов-
совпадает с ассоциированной с ней функцией (и даже тожде-
тождественна ей), то Ге С{.. Следовательно, Т е Сп.
3. Теорема 4.1 наводит на мысль о целесообразности изуче-
изучения связей между резольвентой оператора Т и функцией вг(Я)~~
в случае, когда спектр о(Т) не покрывает единичного круга.
Пусть К a D \ а (Г), К ф 0. Тогда К & Ат. Я е Лг* (см. § 1),
так что (см. A.3)) вгМ^-вг^А,). Заменив в A.5) Т и К
292" ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
на Г* и А,, получим при feSV
II f \?-\\®т (яг1 f IN f Il4ler> {х~Ш= A -I я n-ld-k-'T^Drft
и, следовательно,
1®г(^) fl = II / II + A "~ I ^ |) • |(Х/ — Г)"" Dr*ft. D.11)
Полагая
Z = A -1Я \2У{Х1 - Г) /)г* 15Dr.f D.12)
получим оператор X из 35г в $>.
Равенство D.11) может быть тогда записано в виде
Следовательно,
1 ег (яг1 IP =1+ц хц2. D.13)
Для любого ограниченного отображения 5 одного простран-
пространства в другое справедливы соотношения || 5|р = || S*||2 = ll S*S||=*
- II SS* II1). Поэтому
|. D.14)
Согласно D.12),
/ + XX* = / + A -1 Л I2) {XI - Т)~' (I - ТГ) {II - Г*) =
= {XI - T)~l {I - XT) (/ - ХГ) {XI - ГУ1 = YY\
где
У = {XI -ТУ' {I-XT). D.15)
Таким образом,
||/ + **1-||УПЫ|У|р. D.16)
Поскольку
Y=-XI + {l-\Xf){XI-T)~\
то
ЯУ||<1+2A-|М)|(А./-Т)-1|. D.17)
С другой стороны,
D.18)
Соотношения D.13) —D.18) показывают, что имеет место сле-
следующее
>) I 5*51 - sup {S*Sx, х)Ц х 1» - sup | Sx p/| x p - В S la.
\ X X
§ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И СПЕКТР 293
Предложение 4.2. Если ^g D\o(T), to
г - ТГ1 (I -
Пусть А,о — изолированная точка спектра а (Г), лежащая в Z),
и X стремится к Хо, оставаясь.в D\o(T). Из полученных выше
неравенств вытекает, что если при некотором натуральном р
одно из чисел
lim sup I (X - Х0)р (XI - ТГ' |, Iim sup || {X - Х0)р @т {Ху1 \\
конечно, то конечно и второе. Поэтому если точка Хо^ D
является полюсом одной из функций (Х1 — Т)~\ &Т(^У\ то °на
является полюсом того же порядка и для другой.
4. Рассмотрим теперь вполне неунитарное сжатие Т\ харак-
характеристическая функция которого обладает скалярным кратным.
Другими словами, существует такая сжимающая аналитическая
функция {Dr*, ©г,ЩА,)}, что
Q (X) ет {X) = б (X) /Фг, вГ (X) Q (X) = б (X) /%, (б (X) ф 0).
Имеем
в каждой точке IgD, где б(Х)^О. Таким образом,
является мероморфной функцией в Д причем порядок каждого
ее полюса не превосходит порядка этой точки как нуля Ь(Х).
На основании теоремы 4.1 и только что сделанного заме-
замечания о полюсах можно высказать следующее
Предложение 4.3. Если характеристическая функция
вполне неунитарного сжатия Т обладает скалярным кратным,
то функция [XI — Т)~1 мероморфна в D.1)
Предположим дополнительно, что Т е С.!. Тогда функ-
функция вг (X) является внешней и в качестве ее скалярного крат-
кратного б (А,) может быть выбрана также внешняя функция. По-
Поэтому &(Х) ф 0 и в^^)" существует (в узком смысле) при
любом ЯеЬ. Следовательно, спектр а (Г) лежит на единичной
окружности С. Пусть а —такая дуга окружности С, что оператор
!) Очевидно, что это предложение верно и без предположения о полной
неунитарности оператора Г. — Прим. ред.
294 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
9Г (еи) изометричен при почти всех elt е а. В силу пред-
предложения V. 6.7 9Г (X) аналитически продолжается через дугу а
на всю внешность С. Из предложения V. 6.5 вытекает, что при
этом оператор 9Г (еи) будет унитарным при еи е а. По тео-
теореме 4.1 дуга а принадлежит резольвентному множеству р(Г).
В итоге получаем
Предложение 4.4. Если характеристическая функция вполне
неунитарного сжатия ГеСм обладает скалярным кратным,
то спектр а (Т) совпадает с дополнением в С объединения откры-
открытых дуг, на которых операторная функция @т (еи) изометрична
почти всюду.
§ 5. Характеристическая функция
и минимальная функция
1. В § III. 4 мы ввели класс Со вполне неунитарных сжа-
сжатий Т в гильбертовом пространстве ?>, для которых б(Г) = О
для некоторой функции 6(А,)е Я°°, 6{Х)Ф 0 (б {X) зависит от Г).
Было доказано, что Со с: Соо, т. е. что если Т е Со, то Тп->0,
Т*п-> О (сильно). Целью настоящего параграфа является изучение
класса Со при помощи характеристических функций. В частности,
мы получим одно достаточное условие принадлежности опера-
оператора Т к классу Со и для Г, удовлетворяющих этому условию,
выразим минимальную функцию через характеристическую
функцию.
Теорема 5.1. Пусть Т — сжатие класса Соо. Для того чтобы Т
принадлежало классу Со, необходимо и достаточно, чтобы функ-
функция @т (X) обладала скалярным кратным б (X). Точнее, аналити-
аналитическая в D скалярная функция 6(Х)Ф0, \ б (X) 1^1 удовлетво-
удовлетворяет условию б (Г) = О в том и только в том случае, когда б (X)
является скалярным кратным функции 9Г (X).
Доказательство. Будем вместо Т рассматривать его
модель Т, построенную с помощью сжимающей аналитической
функции {6, E„ 9 (А,)}, совпадающей с 9Г (X) (см. теорему 2.3).
Поскольку Т е СОо, то ®(^) является двусторонне внутренней,
и модель приобретает такой простой вид:
н = я2 (<sj е ея2 (в), г и. (X)=| к (х) - и, @)].
Предположим, что функция 9 (А,) обладает скалярным крат-
кратным б (А,), т. е. что существует такая сжимающая аналитическая
функция {б*, ®, Q (X)}, что Q (X) 9 (Я) = б (X) /®, 9 {X) Q (X) = б () /
(б(Л) ^ 0). Тогда при и,бН
(в) 1 Н,
§ 5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И МИНИМАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 295
откуда, на основании соотношения
S(T) = PH6(U)H E.1)
(см. теорему III. 2.1, (ж)) вытекает, что 6(Т) = О.
Обратно, предположим, что существует такая функция б е Я°\
что|б(А,)|<1, б(Л)^О иб(Т) = О. Пусть б (Л) = 6e(*Nj:(Л)-
каноническое разложение б (Л) на внешний и внутренний мно-
множители. Поскольку бДТ) существует (см. предложение III. 3.1),
то 6t-(T) = O. В силу соотношения E.1), примененного к б,,
имеем 6Д11)Н 1Н и, следовательно,
б;Н = б, (U) Н с= К+ 0 Н = 9Я2 F).
С другой стороны, б^вЯ2(е) = еб^Я2(е)с=еЯ2(е), так что
б^я2 (®,) = 6t [н еея2 (Щ с ея2 (<g).
Поэтому для всякого и* е Я2F„) найдется такое а е Я2 F), что
М# = 9и. E.2)
Поскольку функции б; (Л) и 0(Л) являются внутренними, то
из E.2) вытекает, что ||mJ| = ||m||; следовательно, формула
определяет изометрию из Я2^,) в Я2 F). Очевидно, что Q пере-
перестановочно с операторами умножения на elt в Н2(&,) и Я2(й),
которые мы обозначим соответственно через ?/*+ и [/+. При-
Применяя лемму V. 3.2 к случаю
^+ = Я2((Е,), ?/+ = ?/*х+; ^+ = Я2(е), ?/+ = ?/5; Q
и учитывая, что в рассматриваемом случае представления Фурье
ф®* и Ф® суть тождественные отображения, получаем, что суще-
существует такая внутренняя сжимающая аналитическая функция
{S*, 6, ЩЛ)}, что Qut = Qut. Таким образом,
). E.3)
Воспользовавшись этим равенством при ^ = 0м(м()
получим в (б^м — Q@u) = bfiu — 9Q9w = 0; поскольку в является
изометрией из Я2 F) в Я2(E*), то
E.4)
Из соотношений E.3) и E.4) следует, что 0 (й,) Q (й,) = 6* (А,)/©* и
Й(Л)9(Л) = б/(Л)/@, т. е. б, (Л) является скалярным кратным 9 (Л).
Это же справедливо и для б (Я) = 5^ (Л) 6^ (Л,), поскольку функ-
функция 6e{l)Q(l) также является сжимающей (ибо |б(Л)|^1 вле-
влечет |6ЛМК0-
296 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ'ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
Теорема 5.1 доказана.
Важному частному случаю посвящена следующая
Теорема 5.2. Пусть Т — сжатие класса Соо в пространстве
{0}),, имеющее конечные дефектные числа Ьт и Ьт*. Тогда
Со. Точнее, в этом случае Ьт = Ьт* и
где d (К) — детерминант матрицы ®(К) оператора 9 (К) относи-
относительно ортонормированных базисов в дефектных пространствах
35г и Dr*. Кроме того, d(X) является внутренней функцией.
Минимальная функция тпт{%) равна частному от деления d(k)
на наибольший общий внутренний делитель миноров {п—\)-го
порядка матрицы ${%) при п>\ и равна d{X) при п= 1. С дру-
другой стороны, d(X) является делителем функции {шт{Х))п-
Доказательство. Если Т^С00, то (см. п. 3.7) опера-
оператор 6(в*0 унитарен при почти всех t, так что
Ьт = dim 35j- = dim 35r* = Ьг*.
По предположению дефектные числа конечны, следовательно,
все они равны некоторому натуральному п^Л (равенство п
нулю означало бы унитарность оператора Г, что исключается
нашими предположениями). Пусть Ф(Л) — матрица оператора
@т (^) п0 отношению к некоторым ортонормированным базисам
в дефектных пространствах SDr и Dr*, и пусть
Матрица ®(е1*) унитарного оператора 9г(е") также унитарна,
и, значит, \й(е**)\= 1 почти всюду, т.е. функция d{%) является
внутренней. В каждой точке Я, где d{X)=?Q, существует9Г(Л).
Согласно предложению V. 6.1, d(X) является скалярным крат-
кратным 9Г (X), и соответствующей сжимающей аналитической функ-
функции Q(A,) отвечает матрица #л(^), присоединенная к ма-
ма)
трице {)
При п>\ элементы ЪА(Х) суть миноры (лг—- 1)-го порядка
матрицы^ $(Х) и, следовательно, входят в Я°°. Если я=1,
то ЬА{%) состоит из единственного элемента 1. Пусть k{\) —
наибольший общий внутренний делитель (см. § III. 1) элемен-
элементов матрицы ЪА {%) как функций из Я°°. Тогда Q (К) = k (X) М (X)
и d (х) = k {I) m (Я), где m {%) — (скалярная) внутренняя функция,
М (I) — (операторная) сжимающая аналитическая функция, при-
причем все элементы ее матрицы \х(К) принадлежат Н°° и не имеют
общих внутренних делителей, отличных от констант. (При п = 1
считаем &(Х)=1; тогда Q(K) M(l) d{l) {K))
§ 5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И МИНИМАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 297
Из соотношений
Q{X)eT(X) = d{X)hTi er{X)Q{X) = d{X)Is>T. E.5)
вытекает, что
E.6)
Таким образом, d(X) и пг(Х) являются скалярными крат-
кратными @Т{Х), и по теореме 5.1 d(T) = O} m(T) = O.
Пусть mT (X) — минимальная функция сжатия Г. Тогда гпт{Х)
и р (X) = m (X)/mT (X) суть внутренние функции. Из равенства
тт(Т)= О на основании теоремы 5.1 следует, что пгт{Х) является
скалярным кратным 6Г (Х)> т. е.
QT (X) ®т (X) = пгт (X) /%, вт (X) QT (X) - mr (Л) /^ E.7)
для некоторой сжимающей аналитической функции {Drs ©г»
()}. В силу E.6) и E.7)
[р (X) Qr {X) - Af (Л)] вг {X) = \р {X) пгт {X) - пг {X)] /% = 0 (^е D).
Поскольку с1(Х)Ф0 и, следовательно, в^Л) существует (в уз-
узком смысле) всюду, за исключением, быть может, не более
чем счетного подмножества в D, то
р (X) QT {X) = М {X) при всех X е Z), E.8)
откуда
Следовательно, элементы матрицы \х(Х) имеют общий внутрен-
внутренний делитель р(Х) (в Н°°). Это возможно лишь в случае,
когда р(Х) является константой, по модулю равной 1. Таким
образом, ш(Х) совпадает с пгт{Х).
Обозначая матрицу оператора QT{X) через со (Л), получаем
из E.7), что
со (X) О (X) = пгт {X) 1п = «(X) со (Л); E.7')
переходя к детерминантам, находим [det со (X)] • d (X) = [mT {X)]n.
Таким образом, d(X) является делителем [пгт (Х)]п. Теорема до-
доказана.
Замечание. В случае п = 1 функция гпт (X) совпадает
с d(X), а следовательно, и с @Т(Х). Поскольку характеристиче-
характеристическая функция вполне неунитарного сжатия Г, рассматриваемая
с точностью до совпадения, определяет Т с точностью до уни-
унитарной эквивалентности, то сжатия класса Соо с дефектными
числами, равными 1, определяются своими минимальными
Функциями с точностью до унитарной эквивалентности.
298 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
Как было раньше показано (см. предложение III. 4.6), два
сжатия класса Со, из которых одно является квазиаффинным
преобразованием другого, имеют одну и ту же минимальную
функцию. Поэтому имеет место
Следствие 5.3. Два сжатия класса Со с дефектными чис-
числами I, одно из которых является квазиаффинным преобразо-
преобразованием второго, унитарно эквивалентны.
2. Для того чтобы сжатие Т входило в йласс Со, нет ника-
никакой необходимости, чтобы его дефектные числа были конечны,
или даже чтобы дефектные операторы были вполне непрерыв-
непрерывными. Действительно, мы сейчас построим сжатие Т класса Со
с минимальной функцией
(?±i) E.9)
для которого дефектные операторы Dt и Dt* не имеют соб-
собственных значений, отличных от нуля.
Для этого рассмотрим чистую сжимающую аналитическую
функцию {6, 6, в (Л)}, где
, I),
Пусть Т —сжатие, порождаемое функцией 9 (К) (в смысле тео-
теоремы 3.1). Поскольку
= 1 при 0<*<1, |Х|=1, ХФ1
то функция 9 (К) является двусторонне внутренней и, следова-
следовательно, ГеС00. Кроме того, функция {6, 6, Q{1)}> определяемая
равенством
также будет сжимающей и
q (я,) 9 (К) = 9 (Л) Q (Л) = ех
где введено обозначение
Таким образом, ех (К) является скалярным кратным 9 (Л). По тео-
теореме 5.1 отсюда вытекает, что ^1(Т) = О. Поскольку единствен-
единственными внутренними делителями функции ех (X) являются функ-
функции es(K)y 0<5<1, то минимальная функция оператора Т
имеет вид mT{X) = es(K) для некоторого s, 0<s<l. Так как
гпт(Т) = О, то по теореме 5.1 пгтA) есть скалярное кратное
§ 5, ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И МИНИМАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 299
Поэтому существует такая сжимающая аналитическая функ-
функция Q'{X), что
Q' (х) е (х) = е (х) а (х) = тт (х) /в.
Отсюда, в частности, следует, что
т. е.
\f(x)\4x Г E.10)
при люб-ом f^6 = L2 @,1). Беря в качестве f(x) функцию,
обращающуюся в нуль вне достаточно малой окрестности
точки 1, получаем, что s не может быть меньше 1. Таким
образом, тт(Х) = е{(Х), и E.9) доказано.
Нам остается доказать, что DT и Z)T* не имеют отличных
от нуля собственных значений. Заметим прежде всего, что
с точностью до совпадения
ет* (х) = ef {х) = е^ {х) = е {х) = ет (х),
откуда на основании предложения 3.3 следует, что Т и Т*' уни-
унитарно эквивалентны, а, значит, DT и DT* унитарно эквива-
эквивалентны. Поэтому достаточно установить отсутствие у Dt* или
(что равносильно) у D\* ненулевых собственных значений.
Для этого воспользуемся формулой C.14). Из нее выте-
вытекает, что
D\*u = (I - ТТ*) и = Р (I ~ UT*) и = Ри @),
где
и<=Н=Н2(®)евН2(Щ, 6 = L2@, 1),
а Р — ортопроектор из Я2F) на Н. Отметим, что здесь
u(X) = u(X;x) = %Xnfn(x) (|М<1;*€=@, l);fnGL2@, 1)).
о
Элемент w = Pu@) вполне определяется условиями w ^ Н,
ц@)-шЕеЯ2(8). Именно (см. п. III. 3.1)
м(Х) = [1ъ-в(Х)®@У]и@) («sH).
Предположим теперь, что при некотором mgH справедливо
равенство (I — TT*)w = pw, где р —число, отличное от нуля.
Из сказанного выше следует, что
@); E.11)
300 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
в частности, при % = О получаем
р«@; х) = A — е~2х)и{0; х) почти всюду на @, 1).
Поэтому и@; х) = 0 почти всюду, и@) = 0. Согласно E.11)
отсюда вытекает, что и{X) = 0 при всех IgD, т. е. и = 0 как
элемент из Н.
Тем самым доказано, что I — ТТ* не имеет собственных значений
§ 6. Спектральный тип минимальной
унитарной дилатации
1. Наша функциональная модель позволяет полностью ре-
решить задачу определения спектрального типа минимальной
унитарной дилатации U произвольного вполне неунитарного
сжатия Г, т. е. задачу определения структуры оператора U
с точностью до унитарной эквивалентности.
Напомним, что в теореме II. 7.4 было доказано, что U
является двусторонним сдвигом кратности bmax = тах{Ьг, Ь^*},
за исключением, быть может, того случая, когда оба дефект-
дефектных числа Ьт и Ьт* конечны. Другими словами, при бесконеч-
бесконечном bmax оператор U унитарно эквивалентен оператору умно-
умножения на eif в ортогональной сумме bmax экземпляров про-
пространств L2@, 2л) скалярных функций x(t).
Изучению оставшегося случая bmax<oo посвящена тео-
теорема 6.1. Говоря о пространстве L2(S), S с: @, 2я) мы подра-
подразумеваем, что оно рассматривается относительно нормированной
мерй ?.
Теорема 6.1. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие с конеч-
конечными дефектными числами Ьт = /г, Ьт* = пг. Тогда минимальная
унитарная дилатация U оператора Т унитарно эквивалентна
умножению на еи в пространстве
L2 (М{) © ... 0 L2 (AU 0 L2 (N{) ф ... ф L2 (Лд, F.1)
где Мх = ... = Мт = @, 2я) и
Nk = {t; *€=((), 2л), r@>*} (*=1, 2,..., /г); F.2)
здесь г {t) — ранг оператора
Доказательство. Поскольку минимальные унитарные
дилатации унитарно эквивалентных сжатий сами унитарно
эквивалентны, то нам достаточно рассмотреть функцио-
функциональную модель Т с заданными дефектными числами п, т.
Пусть [Еп, Ет% 0 (Я,)} — чистая сжимающая аналитическая функ-
' § 6. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ТИП МИНИМАЛЬНОЙ ДИЛАТАЦИИ - 301
ция, Т — порождаемое ею (в смысле теоремы 3.1) сжатие.
Поскольку характеристическая функция сжатия Т совпадает
с заданной сжимающей аналитической функцией, то Дг (/) и
A (t) = [/ ~ в (еи)* в (еи)]2 унитарно эквивалентны (относительно
постоянного унитарного преобразования). Поэтому
г@«ранг Дт@ = ранг Д@ при всех /.
По теореме 3.1 минимальная унитарная дилатация U опе-
оператора Т есть умножение на eif в пространстве
Очевидно, что L2(Em) является ортогональной суммой т экзем-
экземпляров пространств L2@, 2л) скалярных функций, причем умно-
умножению на е' в L \Ет) отвечает умножение на е* в каждом
из составляющих пространств.
Перейдем к изучению (остаточной) части оператора U
в М2(Еп).
Поскольку А (/) —самосопряженный оператор в Еп и 0^
<;Д(/)<|/ для каждого фиксированного / (для которого Д(/)
имеет смысл), то в Еп существует полная ортонормированная
система {ф&@}" собственных векторов оператора А@-
Д@ф*@ = М0ф*@ (*=1, 2, ..., п).
Будем считать, что собственные значения упорядочены в по-
порядке невозрастания:
Так как A (/)f~ измеримая функция от t при любом f e Епу
то наибольшее собственное значение 6{ (t) также является из-
измеримой функцией от /, ибо 6{(t) = sup (k(t)f9 f) (здесь f про-
пробегает последовательность, плотную в единичном шаре про-
пространства Еп). Измеримость функций 6k{t) (k>l) следует
из теоремы о минимаксе (см. [Лекции], п. 95). Из равенства
{t: t e @, 2я), г (t) > k) = {t: t e @, 2я), б, (/) > 0}
вытекает поэтому измеримость фигурирующих в теореме мно-
множеств Nk. Собственные векторы 1|)^(/) также можно выбрать
измеримыми в силу измеримости миноров матрицы Д(/)«
Полагая при oel2(En)
имеем
д (о v (о - д (*) 2 хк {t) ф* (о = 2 ч @ h @ *ft @.
302 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
откуда
п 2я
10 1 ATft
Отсюда видно, что
до->{*,(*)в,@, •••• *»@М0> (б.з)
есть изометрическое отображение AL2(?") в пространство
?2М)Ф ... ©?*(#„). F.4)
Из очевидного соотношения
(e"v(t), $
следует, что умножению на elt в AL2(?n) отвечает умножение
на elt в каждом из пространств L2(Nk).
Зафиксировав ky возьмем u(/) = eG)if>fe(/), где е(/) — произ-
произвольная ограниченная измеримая скалярная функция. Тогда
v^L2(En) и у вектора, отвечающего элементу Аи при отобра-
отображении F.3), k-я компонента равна e(tNk{t), а остальные равны
нулю. Поскольку функции вида z(tNk{t) образуют плотное
в L2(Nk) множество, то отображение F.3), продолженное по
непрерывности на AL2 (?"*), имеет своей областью значений
все пространство F.4). Утверждение об умножении на еи
остается по непрерывности справедливым и для этого про-
продолжения.
Теорема 6.1 доказана.
2. Очевидно N\ => N2 => ... => Nn. Может случиться, что
фактически максимум rmax функции r{t) не достигает значе-
значения п. В этом случае L2(Nk) при ?>rmax сводятся к тривиаль-
тривиальному пространству {0} и могут быть исключены из F.1) *).
!) В сумме F.1) число слагаемых, отличных от {0}, равно т + гтах. .
Асимметрия ролей тип только кажущаяся, как это следует непосред-
непосредственно из следующих соображений. Если в — сжатие из Ш в Ш (где 91
и Ш — конечномерные гильбертовы пространства), то
1 1
dim 9Я + dim (/-6*6J 9?= dim $1 + dim (/-6G*J Ш.
В самом деле, левая часть равна dim Ш + dim 91 — dim %lQ, а правая dim 9t +
+ dimSK- dim 8№0, где
% = {h: AeSR, (/-в*в) h = 0}, Ж0 = {Н: Ле1, (/-6G*)h-0}.
Ho dim 9^о = dim Шо, поскольку в изометрически отображает У10 на ffi0.
§ 6. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ТИП МИНИМАЛЬНОЙ ДИЛАТАЦИИ 303
Асимметрия ролей дефектных чисел в F.1) несущественна.
В самом деле, заменив Т на Т\ мы получим, что U* унитарно
эквивалентно оператору умножения на elt в пространстве
вида F.1), но с переменой ролей пит. Поэтому то же спра-
справедливо и для U — достаточно заменить все множества их об-
образами при отображении /->2я —/.
Таким образом, из теоремы 6.1 вытекает
Следствие 6.2. Минимальная унитарная дилатация U
вполне неунитарного сжатия Т с конечными дефектными числами
Ът = п и Ът* = m унитарно эквивалентна умножению на elt в про-
пространстве
P2)® ... ®L*(Pn+m)9
где Р{ zd P2 zd ... id Pn+m — измеримые подмножества интервала
(О, 2я), из которых по крайней мере первые v = max{n, m}
имеют полную меру в (О, 2я).
3. Возникает вопрос, справедливо ли обратное предложе-
предложение, т. е. является ли оператор умножения на elt в простран-
пространствах указанного типа минимальной унитарной дилатацией
вполне неунитарного сжатия. Утвердительный ответ дает сле-
следующая
Теорема 6.3. Пусть п> пг — целые неотрицательные числа,
причем v = max{ft, m}^l, и пусть
Л => Р2 => ... Рп+т
— измеримые подмножества интервала (О, 2я), из которых по
крайней мере первые v имеют полную меру в (О, 2я). Тогда
существует такое вполне неунитарное сжатие Г, что Ьг = д,
Ьт* = т и минимальная унитарная дилатация оператора Т экви-
эквивалентна умножению на elt в пространстве
(Если некоторые из Р^ имеют меру 0, то соответствующие про-
пространства L2(Pj) = {0} могут быть опущены.)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай п^ш.
Если п = 0 (v = m = m + п), то оператор умножения на eil
является попросту двусторонним сдвигом кратности v и, сле-
следовательно, минимальной унитарной дилатацией односторон-
одностороннего сдвига той же кратности.
В случае l^n^m рассмотрим матричную функцию
304 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
где <fl-/fe (A) see 0 при \фку
^*(А) = ЯММ (й-1, ... *п)
и uk (А) — такая ограниченная в единичном круге аналитическая
функция, что
Iuk (еи) |2 = 1 - i %k @ почти всюду
(Хл(О""хаРактеРистическая функция множества Pm+Jfe). Сущест-
Существование такой функции следует из суммируемости функции
InFl —у %k{t)\(теорема Сегё, см. (III. 1.14 —16)). Поскольку
1, <Ы0) = 0 (ft-1,2, ...,п),
то {Еп, Ет, в (А)} будет чистой сжимающей аналитической функ-
функцией.
Матрица &(t) = [I — & {еи)* S {еи)]Т имеет порядок п и диаго-
нальна. Ее диагональные элементы равны
[ G)]-^-x*W (*=1, 2, ..., n),
и потому
ранг А (/) = 2 Хл (*)•
Поскольку последовательность множеств Pm+k(k =1,2, ..., п)
не возрастает, то неравенство
ранг A(/)^fe
справедливо (с точностью до множества меры 0) во всех точках
множества Pm+k и только в них.
Пусть Т — вполне неунитарное сжатие, порожденное (в смысле
теоремы 3.1) чистой сжимающей аналитической функцией
{Епу Ет, в (А,)}. Применяя теорему 6.1, получаем, что минималь-
минимальная унитарная дилатация оператора Т унитарно эквивалентна
умножению на еи в пространстве
[т
ф L2@,2n)J 0L2 (Pm+1H ... ©L*{Pm+n).
Поскольку множества Pt имеют при i<^m полную меру и, сле-
следовательно, L2(Pt) = L2@,2я), то теорема 6.3 в случае п^т до-
доказана.
В случае т<п следует сначала построить такое вполне не-
неунитарное сжатие S с Ъ$ = т, bs* = n, минимальная унитарная
§ б. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ТИП МИНИМАЛЬНОЙ ДИЛАТАЦИИ 305
дилатация которого унитарно эквивалентна оператору умноже-
умножения на elt в пространстве
Здесь Р\ — симметрический образ множества Рь относительно
точки t = я. Такое сжатие S существует по уже доказанному.
Тогда оператор Т = S* удовлетворяет условиям теоремы.
Теорема 6.3 полностью доказана.
Замечания. Следствие 6.2 и теорема 6.3 (для случая ко-
конечных дефектных чисел) в совокупности с теоремой II. 7.4
(для случая, когда хотя бы одно из дефектных чисел бесконечно)
дают полное решение задачи о спектральном типе минималь-
минимальных унитарных дилатаций для вполне неунитарных сжатий.
При этом нужно заметить, что сжатие Г, построенное в ходе
доказательства теоремы 6.3, вообще говоря, приводимо. Естест-
Естественно было бы выяснить вопрос, нельзя ли оператор Т в тео-
теореме 6.3 выбирать неприводимым, т. е. не имеющим нетривиа-
нетривиальных приводящих подпространств. Но мы не будем этим за-
заниматься.
4. В § II. 1 и II.7 были указаны признаки того, что мини-
минимальная унитарная дилатация вполне неунитарного' сжа-
сжатия является двусторонним сдвигом., Теорема 6.3 поставляет
класс вполне неунитарных сжатий, минимальная унитарная
дилатация которых не является двусторонним сдвигом. Для
построения таких сжатий стоит только выбрать хотя бы одно
из множеств Pj так, чтобы иР/И @, 2я)\ Р/ имели положитель-
положительную меру. Но быть может, более поучительным будет следую-
следующий конкретный пример, основанный на теореме 6.1.
Рассмотрим такую аналитическую в ?>=*={Я: | X |< 1} скаляр-
скалярную функцию w (X), что | w {X) | ^ 1 в D и | w @) | < 1. Пусть Т —
вполне неунитарное сжатие, порожденное чистой сжимающей
аналитической функцией {Е\ Е1, до (X)}. Поскольку дефектные чис-
числа оператора Т равны 1, то его минимальная унитарная дила-
дилатация U будет по теореме 6.1 унитарно эквивалентна умноже-
умножению на еи в пространстве
L2 @, 2я) © L2 (ЛО, где N = {t; t e= @, 2я), 1 - | до (еи) |2 > 0}.
Пусть, в частности, w (X) — функция, осуществляющая кон-
конформное отображение круга D на полукруг {X: |Л|<1, 1тЛ>0}.
Тогда 0<те8М<2я и имеют место строгие включения
L2 @, 2я) © {0} cz L2 @, 2я) ф L2 (ЛО с L2 @, 2я) © L2 @, 2я).
306 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
Умножение на еи является двусторонним сдвигом в каждом из
двух крайних пространств, а именно двусторонним сдвигом крат-
кратности 1 и 2 соответственно. Если бы оно было двусторонним
сдвигом и в промежуточном пространстве L2@, 2я)ф L2 (N), то
в силу предложения 1.2.1 это пространство должно было бы
совпадать с одним из крайних, что на самом деле не так.
Комментарии
1. Анализ резольвенты (Г —А,/) линейного оператора Г ме-
методами теории функций комплексного переменного уже давно
был главным средством изучения структуры оператора Г, по
крайней мере в случаях, когда этот оператор нормален либо
когда его спектр состоит из нескольких замкнутых компонент.
Для операторов других классов аналитическое поведение ре-
резольвенты дает мало информации о строении Т.
В более позднее время школа М. Г. Крейна в Одессе,
побуждаемая его исследованиями по теории расширения эрми-
эрмитовых операторов, начинает связывать с некоторыми операто-
операторами в гильбертовом пространстве новые типы аналитических
операторных функций, поведение которых отражает наиболее тон-
тонкие черты структуры этих операторов. Впервые такие, названные
характеристическимиу функции появились у Лившица в [1]
(для операторов Г, таких, что 1 — Т*Т и I — TT* имеют ранг 1)
и [2] (для случая, когда последние операторы имеют конечный
ранг1)). Затем Шмульян [1] дал общее определение характе-
характеристической функции; в случае сжатия Т его определение со-
совпадает с нашим определением A.1) в форме A.2). Впоследствии
интересы этой школы переместились на такие операторы Г, для
которых Т — Т* имеет конечный ранг или по крайней мере конеч-
конечный след. Для этих операторов аналогичным путем была введена
(матричная) характеристическая функция, и с ее помощью была
продвинута вперед теория таких^операторов (см. Лившиц [3],
М. С. В родский [1] —[3] и в особенности Бродский иЛив-
шиц[1], где имеются дальнейшие ссылки2)). Интересные прило-
приложения к некоторым физическим проблемам были найдены Лив-
Лившицем [4]. Одним из наиболее важных результатов является
построение конкретной модели операторов рассматриваемого
типа с помощью интегральных операторов Вольтерры и опера-
операторов умножения на неубывающие функции. В дальнейшем
аналогичные результаты были получены для таких операторов Г,
1) См. также работы Штрауса [1], [2*].-Прим. ред.
2) См. также недавно вышедшую монографию Бродского [9].—
Прим, ред.
КОММЕНТАРИИ 307
для которых / — Т*Т и / — ТТ* имеют конечный след (см. П о-
ляцкий [1], [2], [3*]).
С некоторого времени интересы этой группы исследователей
сосредотачиваются на интегральных представлениях операто-
операторов более широких классов, представлениях, уже не связанных
с понятием характеристической функции (см., например, С а х-
нович [3], [4], М. С. Бродский [4*], [7], [9], Гохберг и
Крейн Ш,[2],[6*],[П).
Авторы настоящей монографии пришли к понятию характе-
характеристической функции сжатия в 1962 г. совершенно иным путем,
а именно, занимаясь гармоническим анализом унитарных
дилатаций вполне неунитарных сжатий Г. Они получили на
этом пути функциональную модель оператора Г, явно завися-
зависящую от его характеристической функции, и только от нее
(см. С.-Н и Ф. [2], [3], [VIII] и § 2 и 3 настоящей главы).
2. Впрочем, в частных случаях Т е С.о или Т е Со. эта мо-
модель была получена также в работах американских математи-
математиков (см. Рота [1], Ро вняк [1], Хе л сон [1]), которые пришли
к ней в существенных чертах следующим образом.
Пусть Т — сжатие в пространстве ?>, такое, что Г"->Ои Н-
пространство последовательностей h = {hn}™ с hn^^)T*t || h ||2 =
= 2II К ||2 < оо. Поскольку || h ||2 = || DT*h ||2 + || T*h ||2 и, следо-
следовательно,
n—1
h ||2 = 2 II DT*r}h ||2 + ||Г"А ||2 (n= 1, 2,
о
откуда
11||2||7|| (ф),
о
то можно вложить § в Н, отождествив h e § с элементом
h = {DT*h, DT*T*hy DT*T*2hy ,.}gH
(см. § I. 10). Обозначая через V односторонний сдвиг {Ао, hx ...}->
->{0, Ао, hx ...} в Н, имеем Т* = V* \ §. Возьмем представле-
представление Фурье Н и V, т. е. отождествим Н с#2E)г*), а У —с опе-
оператором Ux умножения на elt в этом пространстве. Подпрост-
Подпространство Я2 CVH§ инвариантно относительно IIх. Следова-
Следовательно, по теореме V. 3.3 Н2 E)г*) 0 Ф = вЯ2 C) для некоторой
внутренней функции {3, 5)г*, в (А,)}. Таким образом, мы прихо-
приходим к выводу, что Т унитарно эквивалентно сжатию Т в простран-
пространстве
20*
308 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
определяемому равенством
Это и есть наша функциональная модель в случае Т е С.о.
Однако при таком подходе, мы не получаем полной информа-
информации о явной зависимости в (X) от Т. В частности, не видйо,
что ®(к) совпадает с характеристической функцией оператора Т.
Тем не менее американские авторы также приняли для в (X)
название характеристической функции (см., например,
де Б р а нж [1]).
3. Построение функциональной модели, приведенное в § 2,
было осуществлено первоначально в С.-Н. и Ф. [2], [VIII] (где
леммы о представлении Фурье используются лишь неявно)
и в [IX] (где они появляются явно). § 3 воспроизводит
часть статьи [VIII]. Следует упомянуть, что наша теорема 3.4
о том, что два вполне неунитарных сжатия унитарно эквива-
эквивалентны в том и только том случае, когда их характеристи-
характеристические функции совпадают, содержится в одной теореме
Ш тр а у с а [4]])- В то же время наша теорема 3.4 является
непосредственным следствием теоремы З.1., т. е. нашей функ-
функциональной модели для сжатий. Аналог этой модели для более
широкого класса операторов, рассмотренного Штраусом,
пока неизвестен.
Наше предложение 3.5 (анонсированное с С.-Н. и Ф. [3] и
доказанное в [VIII]), устанавливающее связь между свойствами
характеристической функции (быть внутренней, внешней и т. д.)
и принадлежностью сжатия классу Сар, стало возможным бла-
благодаря тому способу, которым мы распространили понятия
внутренней и внешней функции, введенные в скалярном случае
Бёрлингом, на операторные функции.
Теорема 3.6 сперва была доказана совершенно иными мето-
методами в С.-Н. и Ф. [11] для случая двусторонне внутренних
функций в (А) и в'(А,). Частный случай скалярных функций,
приведенный в следствии 3.7, был изучен Сарасоном [3]
также другим методом. Исследование коммутантов начато в на-
настоящей книге. Последующая работа авторов будет посвящена
рассмотрению функций в (А) и в'(А), уже не обязательно вну-
внутренних. •
В связи с предложением 3.8 см. также Фурман [1], [2],
где рассмотрен случай матричных функций в (X) конечного
порядка.
1) В этой работе (см. также Штраус [3*]) понятие характеристиче-
характеристической функции определено для любого плотно заданного оператора с непустым
множеством регулярных точек. — Прим, ред.
КОММЕНТАРИИ 309
Теорема 4.1 о соотношении между характеристической функ-
функцией и спектром оператора сжатия Т впервые была доказана
в С.-Н. и Ф. [VIII]. Для некоторых других классов операто-
операторов подобные соотношения еще раньше были найдены совет-
советскими авторами (см., например, Лившиц [1] —[3]; Шмуль-
ян [1]; Бродский [2]; Бродский и Лившиц [1];
П о л я ц к и й [2]). В случае внутренних операторных функций
(т. е. в случае Т^С.О), связанных с Т соотношением (*)
(и, следовательно, как мы знаем из теоремы 3.1, совпадаю-
совпадающих с характеристическими функциями Г), теорема 4.1 была
найдена независимо и почти одновременнс} Сринивасаном,
Вангом и Хелсоном (см. Хелсон [1], стр. 74) и немного
ранее —для скалярных внутренних функций —Мё л л ер о м [1].
Впрочем, в силу нашей теоремы 3.1 результат Мёллера
является непосредственным следствием соответствующего резуль-
результата Лившица [1].
Предложение 4.2 принадлежит Гохбергу и Крейну [5].
Результаты п. 4 § 4 являются новыми, так же как и
теорема 5.1 о сжатиях класса Со. Теорема 5.2, устанавливаю-
устанавливающая, что каждое сжатие Т класса Соо с конечными дефектными
числами входит в класс Со, и дающая способ нахождения
минимальной функции тпт(Х) по характеристической функции
вг(А), сначала появилась в С.-Н. и Ф. [VIII]. Эта теорема
указывает, между прочим, на удивительную аналогию между
характеристическими функциями &Т(Х) таких сжатий и харак-
характеристическими матрицами Т (к) квадратных матриц Т', как
их определяют в линейной алгебре, ЗГ (X) = Х2/ — Т. В самом
деле, минимальная функция сжатия Т и минимальный много-
многочлен матрицы ?Г вычисляются соответственно по ®т (к) и
по ST {X) одним и тем же способом!
§ 6 воспроизводит часть заметки С.-Н. и Ф. [VIII] с един-
единственным отличием: в п. 4 дан брлее простой пример вполне
неунитарного сжатия, минимальная унитарная дилатация кото-
которого не является двусторонним сдвигом. Первый пример такого
сжатия, основанный на одной теореме Л. А. Сахновича [2*]
(см. также Бродский и Лившиц [1], стр. 65), приведен
в С.-Н. и Ф. [V]. Все ранее изучавшиеся классы вполне не-
неунитарных сжатий поставляли лишь примеры, когда это мини-
минимальное унитарное распространение является двусторонним
сдвигом (см. Шрайбер [1], де Брёйн [1], Г а л ьпер и н [3]).
4. В силу соотношения Т(s) = es{T) между непрерывной
полугруппой сжатий {Т {s)}s>0 и ее когенератором Т (см. § III. 8)
всякая модель для Т порождает модель для Т (s). В частности,
из результатов § 2 и 3 следует, что всякая вполне неунитарная
310 ГЛ. VI. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
полугруппа обладает функциональной моделью {Н, T(s)}, опре-
определяемой равенствами
• (а)
Р — ортопроектор на Н. Здесь {©, 6„ в (А)} —произвольная
чистая сжимающая аналитическая в единичном круге функция;
она совпадает с характеристической функцией когенератора
полугруппы.
Для полугруппы T{s) класса С.о, т. е. для такой, что
T{sY~>0 при 5->оо, или же (что равносильно в силу предло-
предложения III. 9.1) Т*п->0 при п->оо, модель упрощается и прини-
принимает вид
В этом случае 6 (А) является внутренней функцией.
Можно придать этой модели такую форму, при которой
роли единичного круга D и его границы С перейдут соответ-
соответственно к верхней полуплоскости и вещественной оси. В самом
деле, для произвольного сепарабельного пространства 21 про-
пространство Lr B1) функций и (еи) @ ^ t < 2я) унитарно отобра-
отображается на пространство A Bt) = L2(— оо, оо; Щ функций f(x)
(— сю<л:<сюI) при отображении u->f, где
f (х) = г-7 U —г-г
Классу b\ B1), образованному предельным^, значениями на С
аналитических в D функций класса Я2 B1), отвечает при этом
класс А+ B1) функций, являющихся предельными значениями
на вещественной оси функций f(z), аналитических в верхней
полуплоскости и таких, что
sup
0 < у < оо ^
По теореме Пэли —Винера функции класса А+{Щ суть в точ-
точности преобразования Фурье функций класса L2@; оо; 21) (см.,
например, Гофман [1], гл. 7 и 8).
Полагая
S/ \ г\ ( 2 I \ Г\ ( лЛ \ Т С/ лЛ* Q ( v\l 2
\Z) — U I , . , U \X) — [/©— O\X) O\X)\ ,
l) Мы берем меры dt/2n и dt/n соответственно.
КОММЕНТАРИИ 811
мы приведем функциональную модель для вполне неунитарной
полугруппы сжатий к виду
Т (s) (f. © g) = P [etof, (х) ф e'«g (x)] (f. ф g e H), U
Р обозначает ортопроектор на Н.
Для полугрупп класса С.о оператор S(x) изометричен почти
всюду и модель упрощается:
T (s) f, = P (eisxf> (x)] (f, e= H). { }
Общая модель (б) впервые была построена Фояшем [6].
Частный случай (б7) для класса С.о получен Лаксом и Фил-
лип сом [1]. Эти модели могут быть использованы в теории
рассеяния: функция S(x) выступает тогда как „субоператор"
рассеяния. Этот факт был отмечен в частном случае модели (б7)
Лаксом и Филлипсом [1], а в общем случае — Ад а м я-
ном и Аровым [1], [2].
Как в настоящей главе, так и в последующих мы предпо-
предпочитаем пользоваться функциональными моделями, связанными
с единичным кругом. Читатель сможет без труда перейти к мо-
моделям, связанным с полуплоскостью.
В связи с настоящей главой см. еще Дуглас [3], где лаша
функциональная модель приводится к более „геометричной"
форме 1).
!) См. также А да м я н, Аров и Крейн [1*], Бродский, Г о х-
берг и Крейн [1*], Кужель [Г], [2*], [3*], Шварцман [1*].—
Прим, ред.
ГЛАВА VII
РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ .
И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
§ 1. Основная теорема
1. Продолжим начатое в § 1 и 2 гл. II изучение,геометри-
изучение,геометрической структуры пространства минимальной унитарной дила-
тации для сжатия Г. Мы рассмотрим разложения этого про-
пространства, порождаемые инвариантными относительно Т под-
подпространствами. _
Пусть Г— сжатие в гильбертовом пространстве ф; [/ — мини-
минимальная унитарная дилатация Г, действующая в пространстве
Л(иэф), ?/+ — минимальная изометрическая дилатация Г, дей-
действующая в подпространстве
«+ = у ип$>
о
пространства 51; ?/+ = [/|5t+. Напомним, что в силу A.4.2)
Г* = ?/*+|?. A.1)
Предположим, что в Ф существует подпространство ф1э ин-
инвариантное относительно Г. Тогда подпространство Ф2 = Ф0&1
инвариантно относительно Г\ а согласно A.1) —и относи-
относительно U+. Отсюда, в свою очередь, следует, что подпростран-
подпространство
5?' = 5?+е#2 A.2)
инвариантно относительно U+. Пусть
A.3)
— разложение Вольда пространства 51', порожденное изометри-
изометрическим оператором U+\k\ где
S = R/0t/+R/, tox = [)Un+R'. A.4)
о
" Поскольку SRj приводит U + к унитарному оператору, то STi
необходимо содержится в пространстве JR остаточной части (/+;
в самом деле, из соотношения
§ 1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 313
(см. (II. 2.7)) вытекает, что Ш является максимальным подпро-
подпространством в 51+, на котором ?/+ индуцирует унитарный опера-
оператор, Поэтому можно положить
A.5)
Поскольку ffi и ffi{ приводят U+ к унитарным операторам, то
этим же свойством обладает и 9t2.
В силу A.2), A.3) и (II. 2.7)
откуда, на основании A.5),
(g). A.6)
Аналогичное представление пространства §
§ = 5l+eM+(8)-[M+(8+)©SR]9M+B) A.7)
получается из (II. 2.5) и (П. 2.7). Из этих представлений сле-
следует, что
#, = е g &={[м+ (8.) ®щэм+ (8)> е {[м+ (8.) е эу е м+
так что
Из формул A.6) и A.8) с очевидностью вытекают включения
М+(Ъ)^М+B.)@Ш2, М2B) с М+($)©&,. A.9)
Учитывая, что для любого блуждающего относительно U под-
подпространства 21 выполняется условие
М(Щ= V и~пМ+{Щ,
>0
а с другой стороны, i7~rtSR1 = SRi, G"~^Л2 = 9?2, получаем из A.9)
Л1(й)с:М(8ДеШ2, M(8)cM(g)©5i, A,10)
Последнее соотношение и тот факт, что SRj с SR 1 М (8J,
показывают, что
[M(8)VM(y]c[M(g)VM(y]0S, A.11)
Если сжатие Г вполне неунитарно (что мы будем впредь
предполагать), то левая часть A.11) равна $ (см. (П. 1.10)).
Поэтому из A.11) следует
5l = [M(g)VAlBJ]©SR1. A.12)
Поскольку, с другой стороны, $ = Л1 (8J © $ (см. (П. 2.1)),
то из A.12) и A.5) вытекает, что
A.13)
314 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
Вернемся к определению A.4) подпространства $. Поскольку
Ж'сЯ+ и 5fzDAf+(8) (см/A.8)), то, учитывая также и A.7),
имеем
+M+(Z). A.14)
Следовательно,
В соответствии с ранее принятыми обозначениями будем обо-
обозначать через Р?, Р**у Ръ ортопроекторы из & соответственно
на М(8), M(8J, М($), а через РДэ Р&хУ Р^2 — ортопроекторы из $
на SR, 9^j и SR2 соответственно.
Ввиду A.14) разложение (II, 1.4) пространства $ показывает,
что g ортогонально к ?/v8 и к ?/"v8# (v^l) и, значит,
C/n8 J. C/-Wg, ?/*3 J- t/~m8* (« > 0, m > 1).
Поэтому
РШн()сМ+(8) и Р?*М+ (g) c= M+ (8J. A.15)
Рассмотрим снова соотношения A.10). Из них вытекает, что
для всех f e M (S) и для всех / g M (S)
f = P*.f + Pnf, l^pn + Pnf. A.16)
Положим, в частности, f = P^l. Тогда из A.16) следует, что ,
/ = Р«*РП + p^l + Р%РЧ (/ е= М (8)). A.17)
Первый член в правой части входит в М (8J, а сумма двух
других членов —в 9ftI©9ft2 = 9ft. Поскольку М (8J ± SR, то
р%1 = р\РЦ AЛ8)
Ръ1 = Р*хг+РъР*1 ^1^М^ A.19)
Следует заметить, что в силу определяющего 91 соотноше-
соотношения (II. 2.1) и соотношений A.10)
Pnk = {I-P**)k при feet, A.20)
Р^1 = A-Р%I при /sAJ(8),
P3iJ = (/-P8*)f при fsAf(g). ( U
Так как
B) = (/ - Р8') М (8) = Ot A.22)
(см. (II. 2.13)), то из A.19) вытекает, что Ря1М(%) =
Рм„РдМ (8) = 9?2, а значит, и подавно
РЩМ (8) = Я, Ря2М (g) = 9t2. A.23)
§ Т. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
2. При дополнительном предположении сепарабельности про-
пространства & (а следовательно, и пространства $) мы можем
придать приведенным соотношениям функциональную форму,
используя представления Фурье Ф8*, Or и Ф* пространств М (8J,
Л1 (8) и М($) соответственно по отношению, разумеется, к дву-
двусторонним сдвигам, индуцируемым в этих пространствах опера-
оператором U. Именно мы выберем пространства и сжатие Q одного
пространства в другое следующими тремя различными спосо-
способами (вместо самих пространств мы указываем соответствующие
блуждающие порождающие подпространства 21 и 21'):
(а) 21 •= 8, 21' = 8?, Q = Р9* | М (8) (этот случай уже рассмотрен
в § VI. 2);
(б) 21 = 8, 2l' = 3, Q = ^|M(8);
(в) Я-g, 2i' = 8+, Q«P4Af(g).
Оператор Q перестановочен с 17 во всех трех случаях, поскольку
Af(8J, M(8) и M(g) приводят 17. Поэтому условие (V. 3.5) вы-
выполняется. В силу (II. 2.12) и соотношений A.15) условие (V. 3.6)
также выполнено.
Пусть
(8,8+,в*(Я)}, {8, 8,6! (Л)}, Ш,8„в2(Я)} A.24)
— соответствующие (в смысле леммы V. 3.1) сжимающие ана-
аналитические функции. В силу предложения VI. 2.2 первая из этих
функций совпадает с характеристической функцией Т.
Соотношение (V. 3.7) принимает соответственно случаям (а),
(б), (в) следующие формы:
фV4 = в* {еи) Ф*/ при / е М (8),
ф*Р*1 = ех(е")Ф*1 при /e=Af(8)f A.25)
ф^*/ = в2(^)Ф5/ при feM(g).
Применим Ф9* к обеим частям равенства A.18). Согласно
A.25) получим
@^(eit)v(t) = e2(eit)el{eit)v(t) почти всюду (уе
В частности, это справедливо для любой постоянной функции
о(/)э5/(/е8). Поскольку 8 сепарабельно, то ®% {еи)=в2{еи)@{(еи)
почти всюду и, следовательно,
в* (Я) = 62^H! (Я). A.26)
Используя A.20) и A.22), находим точно так же, как и
в § VI. 2, что существует однозначно определенное унитарное
отображение
A.27)
316 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
такое, что
ФяРи/ = Д«Ф*/ (/gM(I)) A.28)
(см. (VI. 2.6)), где через Д$ обозначен оператор в L2(8), поро-
порождаемый функцией
Отправляясь от соотношений A.21) и A.23), получаем ана-
аналогично однозначно определенные унитарные отображения
), ФЛя: Я2->Д212C), A.29)
такие, что
8 (/еМ (8)),
(feM (g)). U -3U)
Операторы Aft порождаются функциями
A, (t) = [/ - 6fc (е«)* вй (e»)]T (Л - 1, 2).
Поскольку 91 = 912Ф^1> то оператор
?=-(Ф*фФя,)Ф*\ A.31)
Z: А8/-2(8)-*А212(®еА^2B) . A.32)
унитарен. В силу соотношений A.28), A.19), A.30) и A.25) для
произвольного /gM(8) имеем
(Фи, Ф Фя
Поскольку Ф8/ пробегает все Z,2(8), отсюда следует, что
(ue=Z,2(8)). A.33)
Множество элементов вида Asf (ueL2(8)) плотно в AgZ,2-(8).-
Поэтому в силу унитарности Z
{ДАо Ф Aiy: и е ^2 (8)> = дг^2 (S) Ф AtL2 (8). A.34)
Заметим также, что Z перестановочно с умножением на е";
в х;амом деле, достатечно рассмотреть элементы вида> ДгУ, плот-
плотные в AgL2(8). Для этих элементов согласно A.33)
Z(e"A8i>) = ZAs>euv = А^в^"» ф A,e"o = e"A2e,o фв"Д,о =
Учитывая это, рассмотрим унитарное отображение
Ф: Я -> К - L2 (й.) Ф А*Щ8), A.36)
§ 1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 317
определенное в предложении VI. 2.1 („представление Фурье"
пространства $). В силу соотношений (VI. 2.7) и A.31)
. A.36)
Согласно предложению VI. 2.1 Ф отображает 51+ на
+
М+(8)-на
0 {вф8и: ие=Я2(8)},
Н = К+ 0 G = [Я2(8,)фД812(8)] ©{е8нфЛ8м: ме=Я2(8)}. A,37)
При этом сжатие Г в § преобразуется в сжатие Т в Н, опре1
деляемое равенством
-"о(') . (и.Ф©е=Н).
Найдем образы Н, и Н2 подпространств Ф, и §2 простран-
пространства .§ при представлении Фурье Ф = Ф8*фФ~я. Начнем с ?>2,
для которого мы можем воспользоваться соотношением A.6).
Заметим сперва, что при r2 e ffi2
Фяг2= Z (Фи,© Фи,) (г2ф0) = Z (Фя/2©0), A.38)
откуда (см. A.29))
Ф [Af + (8.) ф Ш2]=Ф8*М+ (8.) ф Фя9Ь - Я2 (8.) Ф Z~' (A2L2(g) ф {0}).
С другой стороны, ввиду первого соотношения A.16)
ФМ+ (Ъ) = {Ф8*Р8*/ ФФ»Ра^: f e M+ (g)},
откуда на основании A.26), A.30) и A.38)
ФМ+ (S) = {вгифг (А2ыф0): иs
Таким образом, из A.6) вытекает, что
Н2 = [Я2 (8.)фZ (A2L2 (Ъ)ф{0})]0 {©2«ФТГХ (А2«ф0): и^Н
A.39)
Наконец, из того факта, что Ht = Н © Н2 и
на основании A.37) и A.39) следует равенство
(A2«©t)): u&H2(%), v e A,L2 (8)} ©
@{вашфД«ш: о« в Я2 (8)} A.40)
318 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
3. Для того чтобы придать полученным результатам более
компактный вид, сделаем несколько замечаний и введем не-
несколько определений.
Если в (Я) = 62(^N! (Я) —разложение сжимающей аналитиче-
аналитической функции {б, (?„, в (Я)} в произведение двух сжимающих
аналитических функций {(§, g, в^Я)} и {$, ®+, в2(Я)}, то,
очевидно,
4-6 (е"Г © (eli) = в, (е"У [/в - в2 И* в2 (
Вводя соответствующие функции Д(/), кхA) и Д2@» получаем,
что
Z(t): biVg^^mAe^ge^Wg bs6) A.41)
есть отображение линеала А (О® в A2@S®Ai@®» изометриче-
изометрическое почти всюду, а именно в тех точках t, в которых сущест-
существуют радиальные пределы в(еИ), в\(еи)9 &г(еи). Поэтому
Z: Ao->AA»©Ai» HL2F)) A.42)
есть изометрическое отображение AL2(®) в А2/,2C)фА^2(®).
Продолжая A.41), A.42) по непрерывности, получаем изометри-
изометрические отображения (обозначаемые теми же буквами):
Z(t): Ар^веМР (почти всюду), A.410
Z: AL2(e)->A2L2(g)eA,L2(®). A.420
Определение. Факторизацию в (Я)=в2 (Я) &{ (Я) будем называть
регулярной, если порождаемое ею отображение Z (см. A.42) и
A.420) унитарно, т.е.
L2(d)}-A2L2(g)©A,L2(®). A.43)
В силу A.34) факторизация A.26) регулярна.
Удобно сформулировать полученные результаты в терминах
функциональной модели для вполне неунитарных сжатий, по-
построенной в теореме VI. 3.1. Пусть Н и Т — соответственно
пространство и вполне неунитарное сжатие, порожденные чистой
сжимающей аналитической функцией {$, ®#э в (Я)}. Функция
{L, L*, вь(Я)}, отвечающая оператору Т, совпадает с{®, ®+,в(Я)},
поскольку каждая из этих функций совпадает с характеристи-
характеристической функцией оператора Т (см. предложение VI. 2.2 и тео-
теорему VI. 3.1).
Мы доказали утверждение (а) следующей теоремы.
Теорема 1.1. Пусть {®, й#, в (Я)} — чистая сжимающая ана-
аналитическая функция, и пусть Т — сжатие в пространстве
A.44)
§ 1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 319
определяемое формулой
Г (и. © v) = е'и [и. (еи) - и. @)] © е-'7и (*) (и, ф и е= Н). A.45)
(а) Для всякого подпространства Н{ в Н, инвариантного
относительно Т, существует такая регулярная факторизация
Л) A.46)
функции {®, ®„ в (Я)} с сомножителями {(S, g, 6j (Я)} и {g, ®„ (},
</го для соответствующего унитарного оператора Z (см. A.42 ))
имеют место следующие представления подпространств Н{ и
еН
)}, A.47)
A.48)
(б) Всякая регулярная факторизация A.46) функции в (Я)
порождает таким образом инвариантное относительно Т под-
пространство Н{ и его ортогональное дополнение Н2.
Доказательство. Нам остается доказать (б). Поскольку
оператор Z унитарен, то
: w
=[я2 ю е Z-1 (д2!2 (g) © д,12 (в))] е g
= [Я2 FJф Z (Д212 (g)ф{0})] 0 [в2и фZ (Д2^ ф 0): и е= Я2(§)}.
Подпространства Н! и Н2, определяемые равенствами .A-47) —
A.48), удовлетворяют условиям
В силу A.44) отсюда следует, что Н = Н!0Н2.
В силу A.48) элементы пространства Н2 суть ортогональные
суммы вида um®Z~l(v®0), где и*аН2{Щ, 0EA2L2(g) и
в2и# + Д2о _L Я2 (g). Поэтому то же условие выполняется и для
сумм вида пт 0 Z (v 0 0), где й.(Л) = ~ [и. (Л) - и, @)J.
320 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
v(t) = e~l v(t), а именно, ®1й^ + &2V = е~и(®*2и^ + Д2о)—
—е-2(е'/)*иД0).1Я2C). Поскольку Z перестановочно с умноже-
умножением на е±ну то ТН2с=Н2 и, значит, THj c= Н1в
Теорема 1.1 доказана.
§ 2. Некоторые дополнительные предложения
1. Прежде всего дополним теорему 1.1 следующим предло-
предложением.
Предложение 2.1. Пусть в условиях теоремы 1.1 Т =
есть триангуляция оператора Т относительно разложения Н
= Н10Н2, порожденного регулярной факторизацией в(Я) =
=62(Я)в1(Я) функции {$, б,, в (Я)}. Тогда характеристические
функции операторов 1{ и Т2 совпадают с чистыми частями мно-
множителей Q{(X) и в2(Я) соответственно.
Доказательство. Заметим сперва, что
12 = 1 | П2, 11 = "li I Hi,
где Pj — ортопроектор из Н на Н1в
Очевидно, преобразование
Y: u.®Z~l{v®0)^u.®v (u.aH2(^\ dgA2L2®), B.1)
унитарно отображает пространство H2{^)@Z l(^2
на пространство Я2 ((§„,) 0Д212C). При этом подпространство Н2
первого пространства отображается на подпространство
= [Я2 F.) © Д212 Ш 6 {вам 0 Д2и: «еЯ2 (g)} B.2)
второго. Поскольку Z перестановочно с умножением на el\ то
оператор Т* | Н2 преобразуется посредством Y в оператор т\
в 3^2, определяемый равенством
Г\(к0v2) = е~"[к- и.@)]©е-%2 (и.®o2g Ж2). B.3)
Из соотношений B:2) и B.3) на основании предложения VI. 3.2
вытекает, что характеристическая функция оператора Т2 (а с ней
и оператора Т2) совпадает с чистой частью функции {$, б#,
в (Я)}.
Что касается Ть то заметим прежде всего, что из определе-
определения A.47) пространства Н{ и из того факта, что вшфДш =
= %®iw®Z~l {kfiiwQtkiW), вытекает, что элементы Н{ имеют
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 321
ВИД
где ие=Н2(%), oeA,L2((g) и
&]в1в2и + <д\?и + Ait> I H2 F). B.4)
Последнее условие приводится очевидным образом к виду
e'iU + biv±H2(<$). ь B.5)
Для элементов Н^ имеем
где
^1 (Л) = \;[и(Ь)-и@)], ^г2(Я) = | [в2(Я) -в2@)] и@),
Учитывая B.5), получаем
~1
и, следовательно, ®2щ(В2~1 (&2Щ®У\) е Н^ С другой стороны,
u2($Z~l (u2©0)e Н2, поскольку, очевидно,
е;*г2 + а2у2 = в-«и (о) - *-«е;е2 (о) ^ (о) ± н2 (g).
Отсюда
PiT*[e2a©Z(A2M©o)] = e2a1eZ"(A2a1 + o1). B.6)
Ясно, что преобразование
B ^) B.7)
унитарно отображает множество элементов вида e2w©Z~1
на пространство Я2(§) ©Ai^2(®)), причем при юей2A) имеет
место равенство
Поэтому'пространство Hb определенное равенством A.47), отоб-
отображается оператором W на пространство
B.8)
Согласно B.ф оператор Т*( = PiT*| Hi) преобразуется операто-
оператором W в оператор 2Г*и действующий в 3i?i и определяемый
21 Зак. 517
322 » ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
равенством
Т\ {и0 v) = щ 0 У! = <Г" [гг - и@)]©e~uv {u®vs= Ж{). B.9)
Из формул B.8) и B.9) на основании предложения VI. 3.2 вы-
вытекает, что характеристическая функция оператора &~х (а с нею
и оператора Tj) совпадает с чистой частью функции {&, g, <дх (А,)}.
Предложение 2.1 доказано.
В силу формул B.8) и B.2) и предложения VI. 3.2, (а), про-
пространства Жх и Ж2 (а с ними и Hj и Н2) сводятся к {0} в том
и только том случае, когда соответственно ®{A) и в2(А,)
являются унитарными константами.
Таким образом, теорема 1.1 может быть дополнена так:
Теорема 2.2. Для того чтобы инвариантное подпространство,
порожденное регулярной факторизацией в (Л,) = в2 (Л,) в2 (Я), было
нетривиальным, необходимо и достаточно, чтобы эта ^фактори-
^факторизация была нетривиальной (т. е. чтобы ни один из множителей
не сводился к унитарной константе).
Поскольку всякое вполне неунитарное сжатие Т унитарно
эквивалентно сжатию Т, построенному по характеристической
функции Г, то из этих двух теорем вытекает следующая
Теорема 2.3. Для того чтобы вполне неунитарное сжатие Т
в сепарабельном гильбертовом пространстве обладало нетри-
нетривиальным инвариантным подпространством, необходимо и до-
достаточно, чтобы характеристическая функция Т обладала нетри-
нетривиальной регулярной факторизацией.
2. По теореме 1.1 всякая регулярная факторизация функции
6 (А) определяет инвариантное относительно Т подпространство
Н1в Однако эта теорема ничего не говорит об обратной задаче —
в какой степени подпространство Hj определяет факторизацию
функции в (Л). Нашим первым результатом в этом направле-
направлении будет следующее
Предложение 2.4. Пусть
в [X) -9а (Л) 01 (Л)*, 0 (Л) = 02 (Л) 01 (Л) (isD)
— две регулярные факторизации чистой сжимающей аналитиче-
аналитической функции {$, &„ в (Л)} с „промежуточными" пространствами
§ и %' соответственно. Пусть Hi и \\[ — инвариантные относи-
относительно Т подпространства в Н, порожденные этими факториза-
циями в смысле теоремы 1.1. Если Hi с: Hi, то существует та-
такая сжимающая аналитическая функция {§, $', ЩА)}, что
01 (Л) =
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 323
Если Hi = Hi, то
в1(Л) = Оов,(Л) ИО),
где Qo — некоторое унитарное отображение g «a g'.
Доказательство. Обозначим через Z и Z' унитарные
операторы, порожденные рассматриваемыми регулярными фак-
торизациями. В силу формулы A.47) Hi cz Hi влечет
/+. B.10)
Одним из следствий включения B.10) является тот факт,
что каждому и^Н2 (g) соответствуют и s Я2 (g') hd'g A iL2 (S),
для которых
&2Um®Z-l(A2u®0) = e2U®Z'~'[(kW®v'). B.11)
Поскольку
II в2и 0 Z"! (А2и 0 0) ||2 = || @2и ||2 +1| А2и ||2 = || a |f
то из B.11) вытекает равенство
Им IP = 11^ IP + 11»' IP, B.12)
откуда следует, что операторы
Q: u~>u\ R: u~>vr
являются (однозначными линейными) сжатиями пространства
#2C) в пространства Н2{&) и AjL2(S) соответственно. Поскольку
все операторы в B.11) перестановочны с умножением на el\ то
это же верно и для оператора Q. Операторы умножения на elt
суть одностбронние сдвиги в #2C) и Я2 (SO» причем блуждаю-
блуждающими порождающими подпространствами для них служат под-
подпространства постоянных функций. Отсюда на основании
леммы V. 3.2 вытекает существование такой сжимающей ана-
аналитической функции {3, g/> ЩА,)}, что
и' (Я) = (Qu) (X) = Q(X)u (Я) (и €= Я2 (g)). B.13)
Другим следствием включения B.10) является включение
f) ЛГ+с= f) ешХ+. B.14)
п>0
324 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
Пусть W — унитарное отображение Ж+ на Я2($)ф Д^2^),
определяемое равенством B.7). Очевидно, W перестановочно
с умножением на etf. Поэтому
= ^[{0}©Д112F)] =
Аналогичное равенство имеет место и для Ж+. Таким образом,
B.14) означает, что
B.15)
Следовательно, для любого оеД|12F) существует такое
у' € A{L2F), что
Z-l{0®v) = z'-l@@v). • B.16)
В силу B.16) || о || = || о'II, т.е.
V: v->v'
есть изометрическое отображение AiL2(®) в AiL2F).
Пусть w^H2(&). Тогда, с одной стороны,
B.17)
с другой стороны, используя определенные выше операторы Q,
R, V и равенства B.11) и B.13), получаем
+ [0©Z"! (О© Д^)] = [@'2&®iw®Z'~l (Аа
(y), B.18)
где y = /?0i^ + FAi^eAiL2(e). Сравнивая B.17) с B.18),
.находим
6 6^06 A6^ AQ6 (Я2(8)). B.19)
Поскольку отображение в?м' © Д^и' -> и' (г/ е Я2 (g'jj изомет-
рично, то из B.19) следует, что
откуда
§ 3. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ 325
В случае когда Н = НЬ в B.10), B.14) и B.15) имеют место
равенства; из равенства в B.10) (с учетом B.15)) вытекает, что
если и пробегает #2(§), то u' = Qu пробегает #2C')> т.е.
%) = H2(W). B.20)
С другой стороны, из равенства в B.15) следует, что если v
пробегает AiL2 F), то о'=» Vv пробегает AiL2 F), т.е. V является
унитарным отображением AiL2(S) на A{L2((S). Поэтому правая
часть B.11) равна
'-'^'e о)]
Следовательно, отняв Офг~!(О0 F~~V) от обеих частей равен-
равенства B.11), получим
так что
N IP + lit/IP HUX
Сравнив с B.12), найдем || и || = || и! ||. Таким образом, оператор Q
изометричен, а значит, в силу B.20) унитарен. Из леммы V. 3.2, (г)
следует тогда, что Q{k) является унитарной константой.
Предложение 2.4 доказано.
§ 3. Регулярные факторизации
1. Прежде чем продолжить исследование соотношений доежду
инвариантными подпространствами и регулярными фактори-
зациями, мы намереваемсй изучить поглубже понятие регуляр-
регулярной факторизации.
Наряду с введенным в § 1 понятием регулярной факториза-
факторизации сжимающей аналитической функции мы введем также поня-
понятие регулярной факторизации для отдельного сжатия.
Пусть A = A2A^—какая-либо факторизация сжатия А (из про-
пространства 21 в пространство 21J; здесь Ах — сжатие из 21 в не-
некоторое пространство 23, а А2 — сжатие из 93 в 21#. Из очевид-
очевидного соотношения
/„ - а-а = а] (/в - а;а2) л,+(/. - л;л,)
Следует, что отображение
(а&Щ C.1)
826 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
является изометрическим', здесь Z), Dx и D2 — дефектные опера-
операторы:
D = DA, Dx = DAl9 D2 = A*2.
Пополнив Z по непрерывности, мы получим изометрическое
отображение (обозначаемое той же буквой)
Z: Ш->?>2230Ш. C.2)
Определение. Факторизацию Л ^Л^ будем называть регу-
регулярной, если порождаемый ею изометрический оператор Z
является унитарным, т. е.
{D2Ala@Dla: ae=9t} = D^@DX%. C.3)
Заметим, что между двумя введенными понятиями имеется не-
непосредственная связь: регулярность факторизации @(Х)=в2(А,) &{ (X)
для сжимающей аналитической функции означает регулярность
факторизации в = @{@2 для сжатия, порожденного этой функцией
в соответствующем пространстве L2.
Другое, менее непосредственное соотношение дается следую-
следующим предложением (представляющим собой „локальную харак-
теризацию" регулярных факторизации для функций).
Предложение 3.1. Для того чтобы {функциональная) фак-
факторизация
в() &^)®Л1) (UKD ' C.4)
была регулярной, необходимо и достаточно, чтобы (индивидуаль-
(индивидуальная) факторизациия
в (elt) = в2 (elt) в, (elt) @ < t < 2я) C.5)
была регулярной почти всюду.
Доказательство. Положим
23(t) = {A2@вг (e«)ефА,(/)е: ее(*}.
Доказательство нашего утверждения сводится к установлению
эквивалентности условий
C.6)
почти всюду, C.7)
где замыкания берутся в L2(gHL2(S) и в S® 8 соответственно.
^ $ 3. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ 327
Предположим сначала, что выполнено условие C.6), и рас-
рассмотрим две постоянные функции e{t) = e9 f(t) = f (ееб, feg).
В силу C.6) существует такая последовательность {vn} элементов
из L2(te), что А2в1а„©А1аАг стремится к A2/©A^b метрике L2(?0©
©L2F). Переходя в случае необходимости к подпоследователь-
подпоследовательности, можно добиться того, чтобы /$L2{t)Qi{eit)vn{t)@ki(t)vn(t)
сходилось к А2@/©А1@^ почти всюду_в смысле метрики g©6.
Этим доказано, что A2@f ©At (t) е e 23 (t) почти всюду, причем
множество исключительных t зависит от е и f. Заставляя е и f
пробегать счетные множества {еп} и {fm}, плотные в (S и g
соответственно, получаем, что А2 @ fm ф At @ е„ e 93@ Для
всех /, за исключением точек некоторого, не зависящего от п
и m множества меры нуль. Для /, не входящих в это исклю-
исключительное множество,
Тем самым доказано C.7). *
Обратно, пусть выполнено C.7). Рассмотрим элемент
v2®vl&/±2L2{%)@XJJJb), ' C.8)
ортогональный к 93, т. е. такой, что
(t>2, kjd\v) + (vi» ^iy) = 0 Для любого usL2(&)
и, значит,
в! (е«)* ^2 @ ^2 @ + Ai @ ^i @ = 0 почти всюду.
Тогда для t, не являющихся исключительными,
v2{t)®vx{t)±%{t). C.9)
Очевидно, из C.8) вытекает, что
" почти всюду. C.10)
В силу C.7), C.9) и C.10) v2{t)@vx(t)^0 почти всюду,
т. е. у2ф^1 = 0. Тем самым доказано C.6).
2. В следующем предложении объединены несколько исполь-
используемых далее свойств регулярных факторизации для сжатий.
Предложение 3.2. Пусть А = А2А{ — разложение сжатия А
(из % в 21) в произведение сжатия Ах [из % в Ж) и сжатия А2
{из 23 в Я,).
(а) Если эта факторизация регулярна, то регулярна и фак-
факторизация А* = А\А*Г
(б) Факторизация А = А2А{ регулярна, если хотя бы один из
операторов А2 или А\ изометричен.
328
ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
(в) Если А — изометрический {соответственно унитарный) опе-
оператор, то необходимым и достаточным условием регулярности
факторизиции А = А2А{ является изометричность {соответственно
унитарность) операторов Ах и А2.
(г) Имеет место неравенство
dim Ш < dim ZJ93 + dim Dft; C.11)
если факторизация регулярна, то в C.11) имеет место знак равен-
равенства', в случае dimZ)9l<oo равенство имеет место, только если
факторизация регулярна.
Доказательство, (а) Доказательство этого утвержде-
утверждения потребует значительных усилий. Пусть Z, — изометрический
оператор, связанный с факторизацией А* = А\А*2 (составляющие
подпространства поменялись порядком). Другими словами,
Z* — это изометрическое отображение
(ЗЛ2)
полученное продолжением по непрерывности отображения
Z*: D*a* -> Z)*2a* © Z)*iA2a* (а*е=21*). C.13)
Здесь мы положили
Пусть S = Z^AZ*. Для любого a s 91
S {D2Ala®Dla) = Z,AZ*ZDa = Z.ADa = Z.Dti4a =
= D*2Aa@D*iAlAa = D«2i42i4ia©D«i^2i42i4ia =
= A2D2Axa © [Л^^ - Z)*iZJ {D2A{a)]9
откуда
S(w2© Mj) = А2и2®{Ахщ - D,lD2u2) C.14)
при и2®щ = Z{D%). Предположим, что факторизация А = A2A{
регулярна. Равенство C.14) распространяется тогда по непре-
непрерывности на все элементы щ®щ^ D^QQDyS,. Вспоминая
соотношение A.3.7)
C.15)
справедливое для любого сжатия Т, действующего в одном
пространстве или из одного пространства в другое, получаем
при Т = А
М
§ 3. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ 329
откуда в силу C.14)
C.16)
Пусть a[®b'- элемент из D#25l © D#123, ортогональный
к ZJ)^^ В силу C.16) он ортогонален, в частности (при
и2 = 0), ко всем элементам вида 0®А{ии где ^gD^, При-
Применив C.15) к случаю Т = Л*, найдем ?\1 = 4|?TJ93® 3^, откуда
AlD{% = A{A\D^?. Мы заключаем, что
b' L AxA\d*№,
откуда
Поскольку, с другой стороны A\b' e A\D^, то
А\Ь' = 0. C.17)
Отсюда вытекает, что D\^>r — Ьг — АХРСХЬГ ^Ьг и, следовательно,
D.,&' = 6'. C.18)
Согласно C.16), а^ф &' ортогонален также ко всем элементам
вида А2и2@{- DmlD2u2), где u2^D2^ (случай щ = 0). Учиты-
Учитывая C.18), получаем А*2а[-D2b'±l)fi, D2 (A*2a[ - D^7) _L 23, и,
следовательно,
Л2Л^; - D\V = 0. C.19)
Наконец, C.16) показывает, что а[@Ь' ортогонален к ZJRa*,
а значит, и ко всем элементам вида
откуда с учетом C.18) находим
D^ + ^'-l^. C.20)
Мы имеем
л- (d,2< + л2б') = a; (a;d^:+а;а2ь') = л; (л,и# - d2^+ь^=о
(см. C.17) и C.19)). Поэтому ДХ + A2b' e 5RA». На основа-
основании C.20) отсюда вытекает, что
D*a. + A2b' = Q C.21)
330 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
и, следовательно,
А1р^ + А1А2Ь' = 0. C.22)
Поскольку Л*/)^ = D2A*V то равенства C.19) и C.22) дают
А*2А2Ь'= — D\b' и, значит, Ь' = 0. Из C.21) вытекает поэтому,
что D^a[ = 0. Поскольку а[ е ?^91, то а[ = 0.
Итак, единственный элемент а^фб'Е А^*® A*i^> орто-
ортогональный к ZJD^i^ равен нулю. Следовательно, Z* отобра-
отображает ДД, на D*2%®Dmi4S, т. е. оператор Z. унитарен и фак-
факторизация Л* = Л*Л* регулярна.
(б) Ввиду установленной в (а) двойственности достаточно
рассмотреть случай, когда оператор А2 является изометрией.
Тогда D2 = О и, следовательно,
ZD% = ZD% = {D.2A{a ф Dxa: a
что и требовалось доказать.
(в) Если оператор Л изометричен, то D = O. Отображение Z
множества Z)9l = {0} в /J^©А^ унитарно лишь в случае,
когда D2=Oy Dx = О, т. е. когда Л2 и Л! — изометрические опе-
операторы. Утверждение для случая унитарного А вытекает из
установленной в (а) двойственности.
(г) Неравенство C.11) следует немедленно из того факта,
что оператор Z, порожденный факторизацией А = А2АЬ изометри-
изометричен. Если Z унитарен, т. е. факторизация регулярна, то в C.11)
имеет место равенство. Наконец, если
dim D2« + dim D{K = dim Ш < oo, C.23)
то Z является изометрическим отображением конечномерного
пространства в пространство той же размерности. Следовательно,
оператор Z унитарен и факторизация регулярна.
Предложение 3.2 полностью доказано.
Приведем ряд непосредственных следствий предложений 3.1
и 3.2.
Предложение 3.3. Пусть
в (Л) = 02(^H! (Л) (F)
— разложение сжимающей аналитической функции {S, ®+, в (}
в произведение сжимающих аналитических функций {6, g, @{ (X)}
S 3. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ 331
и {% в„ в (А)}, и пусть
— двойственная факторизация.
(а) ?с/ш факторизация (F) регулярна, то регулярна и фак-
факторизация (F~).
(б) Факторизация (F) регулярна в каждом из следующих слу-
случаев:
A) функция ©2 (А) является внутренней;
B) функция ®{{Х) является ^-внутренней',
C) /г/ш /го</га все* / е [0, 2я) изометричен хотя бы один
из операторов @2 (в"), @! (е")*«
(в) ?с/ш 9 (А) — внутренняя {двусторонне внутренняя) функ-
функция, то факторизация (F) регулярна в том и только том случае,
когда оба множителя являются внутренними {двусторонне вну-
внутренними) функциями.
(г) Если б @ = dim ~ЦЩ, Ьх (t) = dim МО®, 62 (О =
6@ ^6j @+ 62@ почти всюду, C.24)
если факторизация (F) регулярна, то почти всюду имеет место
равенство; если 6@<°°» то равенство в C.24) имеет место
только для регулярных факторизации.
3. В силу утверждения (б) последнего предложения канони-
каноническая и ^-каноническая факторизации ®(Х), введенные в § V. 4.3,
а также факторизации, фигурирующие в предложении V. 4.3,
являются регулярными.
Напротив, факторизация, рассмотренная в теореме V. 5.5, не
является регулярной, как следует из утверждения (в) и предло-
предложения V. 2.3.
Предположим, что @(Х) совпадает с характеристической функ-
функцией вполне неунитарного сжатия Т. Пусть 6 (X) = ©г- (X) @е (X) —
каноническая факторизация функций @(А). Поскольку эта фак-
факторизация регулярна, то по теореме 1.1 и предложению 2.1 она
порождает триангуляцию Т = функциональной модели
оператора Т, так что характеристические функции операторов
Т2 и Т2 совпадают с чистыми частями функций @е{Х) и ©ДА)
соответственно. Очевидно, чистая часть внешней (внутренней)
функции является внешней (внутренней) функцией. Поэтому
на основании теоремы VI. 3.5 Ti e С.\, Т2"е Со . Из унитарной
эквивалентности оператора Т и его функциональной модели Т
следует, что указанной триангуляции Т отвечает триангуляция
того же типа оператора Т.
332 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
Аналогичные соображения справедливы для *-канонической
факторизации ©(А,), также регулярной.
Таким образом, доказано
Предложение 3.4. Каноническая и ^-каноническая факториза-
факторизации характеристической функции вполне неунитарного сжатия Т
в сепарабельном гильбертовом пространстве ф порождают соот-
соответственно триангуляции Т вида
ГС.! * 1 [Со. * 1
[0 CoJ И [О C,J
(см. § II. 4).
В § 5 мы вернемся к регулярным факторизациям характери-
характеристических функций, типа рассмотренных в предложении V. 4.3.
4. Рассмотрим в качестве примера случай скалярной функ-
функции в (А,), т. е. случай 6 = ®. = ?*. В этом случае 6@ = 0 или 1
в зависимости от того, \Q(eu)\=l или <1.
Пусть в (А,) = @2(^)©1 М — разложение в (А) в произведение
двух сжимающих аналитических функций {Е\ g, @{ (А)} и
{§, Е\ в2(А)}. В силу утверждения (г) предложения 3.3 это раз-
разложение будет регулярно в том и только том случае, когда
«1) почти всюду. C.25)
Заметим, что при f^S
[/в - е2 (*«r e2 (e")] f + e2 py e2 (*«) f e
е [/в - в2 (е«Г в2 (в»)] 8 V в2 {е*У Е\ C.26)
, dim [A-e2(^r@2(^)]S = 62@, dime2(^)*?1<l. C.27)
Из C.25) — C.27) следует, что для регулярной факторизации
dim S<2, и, значит, с точностью до изоморфизма g равно ?°( = {0}),
Е1 или Е2.
Случай g = ?.° может иметь место лишь при О(А)=О; при
этом факторизация
O ОО C.28)
является, очевидно, регулярной F@=1, б! @=1, бг(О = О).
(Вот интересное упражнение, которое мы предлагаем читателю:
найти сжатие Т и его инвариантное подпространство, отвечаю-
отвечающие характеристической функции (Е1, Е\ О) и ее регулярной
факторизации C.28).)
В случае g = ?1 функции 6j (А) и ©2(А) также являются ска-
скалярными. Поскольку 6^@ = 0 или 1 в зависимости от того,
|вл(е«)|=1 или <1 (Л=1, 2), то условие C.25) означает, что
на том множестве, где |в{elt)\=lt почти всюду справедливы
§ 3. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ _333
равенства | в} (еи) | = \®2(еи) |= 1, а на том множестве, где
\Q{eu)\<lj для одного из индексов fe=l, 2 почти всюду вы-
выполняется условие |6л(е"Iв 1.
Наконец, в случае § = ?2 оператор @2(еи) (из Е2 в Е1) не
может быть изометрическим, так что 62@>0. Из C.25) сле-
следует поэтому, что 62@=1, М0 = 0, 6@=1 почти всюду. Та-
Таким образом, операторы &{ (еи) являются изометрическими.
Представляя 62(Я) в виде матрицы [д21(Я), «22(Я)], получаем
представление оператора I% — Q1{eit)*B1{eit) в виде квадратной
Г 1 — | а |2 — аЬ Л
матрицы |^ __ аВ 1 ___ j ft |2 J , где а = ф21 (в«), & = ^22 (^0-
Поскольку
dim [/е - в2 (е»У в2 (в«)] g = 62 @ = К dim S,
то эта матрица имеет детерминант, равный 0, откуда 1а|2 +
+ |&|2=1, т. е. операторы 62(е")* являются изометрическими.
Таким образом, в случае § = ?2, как показывает C.25), функ-
функция @{ (Я) — внутренняя, а в2(А,) — *-внутренняя. Далее, в этом
случае 6@= 1, так что |в(е"I<1 почти всюду. Обратно, фак-
факторизации этого типа (|в(е^) | < 1 почти всюду, @{ (к) — внутрен-
внутренняя, в2(А,) — *-внутренняя) являются регулярными, поскольку
в этом случае 6@=1, б!@ = 0, 62@=1.
Итак, мы пришли к следующим результатам.
Предложение 3.5. Пусть в (Я) = в2 (X) ®{(X) — разложение ска-
скалярной функции в (Я) в произведение двух сжимающих анали-
аналитических функций. Эта факторизация регулярна тогда и только
тогда, когда имеет место один из следующих случаев:
A) тривиальный случай C.28);
B) случай, когда множители являются скалярными функ-
функциями и почти в каждой точке t no крайней мере одно из чи-
чисел \&k(eu)\ (?= 1, 2) равно 1;
C) случай, когда \®(еи)\<1 почти всюду и множители
имеют вид
где ftikW суть скалярные аналитические функции (|Я|<1),
причем
I «и (*") I2 +1 «12 (eli) I2 = 1 и | *21 (е") |2 -1 «22 (е") |2 = 1 почти всюду.
В этом случае факторизация имеет вид
0 (Я) = «21 (Я) «и (Я) + «22 (Я) *12 (Я).
334 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
Вот пример случая C):
А
2
/3
5. Мы закончим настоящий параграф одним следствием
предложений 2.1 и 3.3. Хотя в этом следствии нет никакой
речи о регулярных факторизациях, оно представляет самостоя-
самостоятельный интерес.
.Предложение 3.6. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие
в гильбертовом пространстве Ф, имеющее дефектные числа Ьт
и Ьт* {конечные либо бесконечные). Пусть $г {Ф {0}) — инвариант-
инвариантное относительно Т подпространство. Тогда дефектные числа
Ьт и Ьт* оператора ТХ = Т\$>Х удовлетворяют условиям
ь b
Доказательство. Пусть {©, (§#, в (А,)} — сжимающая ана-
аналитическая функция, совпадающая с характеристической функ-
функцией оператора 7\ и в (А,) = в2 (А,) в} (А,) — регулярное разложение
функции в (А,) в произведение сжимающих аналитических функ-
функций {6, §, в! (А,)} и {§, 6Ф> в2(А,)}, отвечающее инвариантному
подпространству $>{ (в смысле теоремы 1.1). В силу предложе-
предложения 3.3,(г)
dim А@® = dim Д2@Э + dimA^O® почти всюду
и, следовательно,
dimA2@S<dimA@®<dim® = br почти всюду. C.29)
С другой стороны, из соотношения
следует, что при почти всех t пространство 5 порождается под-
подпространствами Д2@3 и ®2 (е'0* 62 (е") 3 и> значит>
dim g < dim A2(f)S + dim в2(е»)* ©2(^)8- C.30)
Поскольку e2(e'0S^®,f то dime2(^")S<dim6# = br*. Поэтому
dim в2 (e«)* @2 (e") g < dim 62 (e«) g < br*. C.31)
В силу C.29)-C.31)
+ bj*.
Как известно (см. предложение 2.1), характеристическая функ-
функция оператора Т\ совпадает с чистой частью {®°, §°, в? (А,)} функ-
§ 4. АРИФМЕТИКА РЕГУЛЯРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ 335
ции {©, 3, 0J (А,)}, где 6° с: (S, g° e= §. Отсюда следует, что
Ь • = dim S° < dim § < br + br*.
Предложение доказано.
§ 4. Арифметика регулярных делителей
1. Начнем со следующих определений.
Определения. Пусть Л — сжатие из пространства 51 в про-
пространство 91*, Л} —сжатие из 31 в 23. Будем говорить, что А\
является делителем А, если существует такое сжатие А2 из 23
в Яо что
Л = А2А}.
Если можно так выбрать Л2, чтобы эта факторизация была
регулярной, то Аг называется регулярным делителем А.
Эти определения немедленно распространяются на сжимаю-
сжимающие аналитические функции в (А), если рассмотреть порождае-
порождаемые ими сжатия в в соответствующих пространствах ZA
Наша первая задача — изучить соотношения транзитивности
для регулярных делителей. Дело сводится к исследованию свя-
связей между .свойствами регулярности различных факторизации.
Наиболее важный случай факторизации
(F21) A2l = A2Au (F3 (го) Л = Л3А21,
(F32) А32 = А3АЪ (FC2) 1) Л = А32АЬ
порождаемых разложением
(F321) Л = Л3Л2Л1
сжатия Л: %->% в произведение трех сжатий
Л,: «->5BIf Л2: 23^23^ Л3: »21->Я,.
Имеет место следующая
Лемма 4.1. Все факторизации (F2i), (F3Bo), (F32), (FC2) 1) регу-
регулярны, если регулярны факторизации (F2i) и (F3 B1)) или (F3 B1))
и (FC2) 1).
Доказательство. Обозначим для краткости через Z),
D}, ..., D32 дефектные операторы Da, Dax, ..., 1>л32 и рассмо-
рассмотрим изометрические операторы Z21, Z3 B1) и т. д., отвечающие
факторизациям (F21), (Fa^0 и т. д., по аналогии с C.1)-C.2),
336 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
Тогда
Z21: D^a-^D^a^D^ (ae5l),
Z3Bi): Da->D3A2la@D2la (а ^ ^)»
Z32: D32b->D3A2b@D2b {b e= 23^
ZC2) i- Da-> D^A^^D^ (а^Щ.
Аналогично факторизации F321 поставим в соответствие оператор
Zm: Da -> D3A2Xa © D2Axa © Dxa {a e= 51),
также являющийся изометрическим. Мы будем употреблять
те же буквы для обозначения соответствующих замкнутых опе-
операторов. Соотношения между этими изометрическими операто-
операторами описываются в очевидном смысле следующей коммута-
коммутативной диаграммой, где стрелки обозначают отображения
одного пространства в другое:
/ \
B1)/ \/з B1)
D B1) -^1> ?>3ЗЭ21 ф ад 0 D
\ /
¦2^C2) l\ /^
V 3 B1) = ^Щ, » ^1 ~ ^ад)-
Коммутативность этой диаграммы означает, как легко убе-
убедиться, что
(^3 B1) ©^2l) ^3 B1) = ^321 = (^32 © ^l) ^C2) Ь
Если Z3 (го и Z21 — a с ними и /3Bi)®Z2i — суть унитарные
операторы, то в силу этой коммутативности унитарны как
оператор Z32i, так и операторы ZC2) 1 и Z320/i, а следовательно,
и оператор Z32. Этим доказано, что регулярность (F3 B1)) и (F21)
влечет регулярность (FC2) 1) и (F32).
Случай, когда регулярными предполагаются (F3Bi)) и (FC2)i),
, т. е. когда унитарны Z3 Bo и ZC2) 1, требует несколько больших
усилий. Заметим сперва, что тогда
= D 33 (-R Z D 51
3 21Ш 2. 2! , DЛ)
2^1 © D&,
§ 4. АРИФМЕТИКА РЕГУЛЯРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ . 337
где
Z21D212t d D^{ 0 D,2l, Z32D32^{ ~c= D333210 D2»le D.2)
Из соотношений D.1) и D.2) вытекает, что Z321D2t имеет вид
ВД где 232с:ЦД. D.3)
Сравнивая D.3) со вторым равенством D.1) и учитывая опре-
определение Z32, получаем
н 0 232 = 232йз233, = {?3Л2& 0 D2b:
Поэтому для всякого элемента У из D2^i©^2 выполняется
условие У A. D2^BU откуда следует, что У = 0.
Итак 232 = D2Sb откуда в силу D.3)
Z321D2T= D333
т. е. оператор Z321 унитарен. Отсюда вытекает, что все изо-
изометрические операторы, фигурирующие в коммутативной диа-
диаграмме, унитарны, а потому и все факторизации, рассматривае-
рассматриваемые в лемме, регулярны.
Лемма 4.1 доказана.
Эту лемму можно также сформулировать в следующем виде.
Предложение 4.2. Пусть Л, Л21, А{ —сжатия.
(а) Если Л21 *- регулярный делитель Л, а А{ — регулярный
делитель Л21, то А{—регулярный делитель Л.
(б) Если А2\ и Ах— регулярные делители Л, а Ах — делитель Л21,
то Л]— регулярный делитель Л21.
В самом деле, (а) соответствует предположению о регуляр-
регулярности факторизации (F2i) и (F3B1)), а (б) — предположению о регу-
регулярности (F3 B1)) И (FC2)l).
2. Пусть в (А,) —чистая сжимающая аналитическая функция,
Н и Т — соответственно пространство и сжатие в оном, поро-
порожденные этой функцией в смысле A.44) и A.45).
Пусть в} (К) — регулярный делитель в (А). Будем говорить,
что Hj есть инвариантное подпространство пространства Н,
соответствующее функции в^А,), если оно порождено в смысле
формулы A.47) какой-нибудь регулярной факторизацией в (К) =
= в2 (К) &i (Я), в которой участвует Q{(K).
Замечание. Как будет показано в дальнейшем, возмо-
возможен такой случай, когда одному и тому же регулярному
22 Зак. 517
338 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
делителю 0} (X) функции в (X) соответствует несколько инвариант-
инвариантных подпространств.
Установим наиболее важные соотношения между регуляр-
регулярными делителями функции в(X) и соответствующими им инва-
инвариантными подпространствами.
Теорема 4.3. (а) Пусть @\(Х),и в'(А,) — такие два регулярных
делителя функции в (Я), что для'"соответствующих инвариантных
подпространств Hi и Hi имеет место включение Hid H\. Тогда
&{(Х) является регулярным делителем в'(Я). Если же Hi = Hi,
то 6i (X) и 6i (X) отличаются лишь левым постоянным унитарным
множителем.
(б) Пусть ®\{Х) — регулярный делитель функции
вДЯ) — регулярный делитель функции @\{Х) (а значит, и ()
см. предложение 4.2, (а)). Тогда всякое инвариантное подпро-
подпространство Hi, соответствующее функции в'(Я), содержит неко-
некоторое инвариантное подпространство Н1э соответствующее &Х{Х).
Доказательство, (а) Это утверждение является экви-
эквивалентной формой предложения 2.4, дополненного тем фактом
(следующим из предложения 4.2, (б)), что ®{(Х) — регулярный
делитель ©'(Я).
(б) Переименуем в'(Я) в 02i (X). Пусть H2i — инвариантное
подпространство, соответствующее регулярному делителю в21 (X)
функции в (Я), т. е. Н21 порождено некоторой регулярной фак-
факторизацией
(F3 B1))
По предположению в} (X) является регулярным делителем функ-
функции 021 (Я), т. е. существует регулярная факторизация
(F21) е^-е^е, (к).
Согласно лемме 4.1 факторизации
(F32)
(FC2)i)
также регулярны. Следовательно, изометрические опера-
операторы Z3 B1) и т.д., отвечающие этим факторизациям, являются
унитарными. Используя коммутативную диаграмму, приведен-
приведенную в п. 1, применительно к рассматриваемому случаю, полу-
получаем, что
ZC2) I (Z510 /i) - Zm = Z3"ii) (/a Bi) ф Zii1). D-4)
§ 4- АРИФМЕТИКА РЕГУЛЯРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ 839
Это — унитарное отображение
2i) Ф Л2^2 (Si) Ф AiL2 (<S) -> AL2 F).
(Здесь пространства §} и §21"~те же, что и в определении
ФУНКЦИЙ {(S, &, в, (Я,)} И {®, §21, в21(А)}.)
Пусть Н!— инвариантное подпространство, порожденное ре-
регулярной факторизацией в (X) = в32(А,) в} (А,). Поскольку, с другой
стороны, инвариантное подпространство Н21 порождается регу-
регулярной факторизацией в (А,) = в3 (А,) в21 (А), то
H2i = (вз«'фгз-B1)(Лз*/ф v): ^Я2(§) /2(S)}0
где G = {@w@Aw: wzeH2($)} (cm. A.47)).
Пусть и и у—произвольная пара, фигурирующая в опре-
определении Нр Поставим ей в соответствие пару
и = в2а, о 1 = Z211 (A2W ф и),
фигурирующую в определении H2i. Поскольку в32(Х)=»
= @з(М@2(М, то
@г2и = в3и'. D.6)
Но в силу D.4)
Z^2) I (A32w 0 о) = Z^1) I (Z^1 Ф /i) ((Л3в2« Ф Ыи) ф у) -
= Z3"Bi) (/з B1) Ф Zsl1) (Д3в2« Ф (A2w ф у) ) =
= 2з"B1)(Дз^ф/). D.7)
В силу соотношений D.5) —D.7) HjCiH^.
Теорема 4.3 доказана.
3. Как было отмечено выше, возможен случай, когда раз-
различные инвариантные подпространства соответствуют одному и
тому же регулярному делителю функции в(^). Приведем пример.
Рассмотрим функцию {6, 6„ в (А,)} с6 = {0}, 6, = Е\ в(Л)=О.
Для всякой функции {Е\ Е\ в(А)}
Очевидно, эта факторизация регулярна, если функция в2(А) вну-
внутренняя. Взяв, скажем, в2(А,) = А, или А2, получим различные
инвариантные подпространства H}, порожденные соответствую-
соответствующими факторизациями (ибо характеристическая функция опера-
оператора Т2 = Р2Т|Н2 совпадает в первом случае с {?*, Е\ Я}, а
во втором —с {Е\ ?*, Я2}).
310 ТП. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
Заметим, что в рассматриваемом примере речь идет (с точ-
точностью до унитарной эквивалентности) об одностороннем сдвиге
Т{х0, хи .. ,} = {0, х0, хи ...}
пространства /2 и об (очевидно, различных) инвариантных под-
подпространствах оператора Г, образуемых векторами вида
{О, *„ х29 ...} и {0, 0, хъ ...}
соответственно.
Возникает вопрос, когда имеет место единственность. Введем
следующее
Определение. Пусть {(?, go в (А,)} и {(?, g, в^Д-Две сжи-
сжимающие аналитические функции. Будем говорить, что ®{ (X)
является сильным регулярным делителем в (А,), если существует
такая сжимающая аналитическая функция {g, S., 02(А,)}, и при-
притом единственная, что факторизация
регулярна.
Заметим прежде всего, что если в факторизации (F), регуляр-
регулярной или нерегулярной, множитель в] (X) является внешней функ-
функцией, то множитель 02(А,) определяется однозначно по 0(А)
и в} (Я). Это вытекает немедленно из того факта, что в} (А)(? = §
для любого ^gD (cm. предложение V. 2.4).
Если множитель в} (X) является *-внутренней функцией, то
оператор 0Г (elt) = в} (е~и)* изометричен почти всюду (см. пред-
предложение V. 2.2). Отсюда вытекает, что в] (е*~г'0® = 3 почти всюду
и, следовательно, в2(е'О почти всюду определяется однозначно
по 6(е"") и <дх{е~и). Поэтому 62(А,) определяется однозначно
по в (А,) и в} (Я). В частности, имеет место
Предложение 4.4. Всякий внешний или ^-внутренний регу-
регулярный делитель сжимающей аналитической функции в (X)
является сильным регулярным делителем в (Я)
В частности, внешний множитель в канонической фактори-
факторизации, а также *-внутренний множитель в *-канонической фак-
факторизации являются сильными регулярными делителями.
Менее очевиден следующий результат.
Предложение 4.5. Пусть {$, $„ 0(А)} — сжимающая аналити-
аналитическая функция, такая, что при
D.8)
0 (еи)* и4 {еи) + Д @ v (/) = 0 почти всюду
я § 4. АРИФМЕТИКА РЕГУЛЯРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ 341
/
обязательно и* = 0, v = О. Тогда все регулярные делители функ-
функции в (А,) являются ее сильными регулярными делителями.
Доказательство. Следует показать, что если в2 {X) @{ (X)
и в? (X) в{ (X) являются регулярными факторизациями в (X) с одним
и тем же правым множителем {@, §, в{(Щ, то в2(^) = в2(^).
Пусть юеЯ2(|$). В силу регулярности рассматриваемых
факторизации существуют такие последовательности [v\ и JV}
элементов из L2 (б), что
«>
).
Поскольку соответствующие операторы Z и Z' являются изо-
изометрическими, то существуют пределы / = ПтДал и /' = НтАа'
(в пространстве L2F)). Отсюда следует также, что
и аналогично
b2v'n->S\w-e*e'2w (л->оо)
(через в* и т. д. обозначены операторы „умножения" на <д{е1*)*
в соответствующих пространствах L2). Но, с другой стороны,
Д2аЛ->А/ и А2у^->АГ, так что
А (/-/') = О,
откуда по предположению вытекает, что &2w — @'2w = 0 и, следо-
следовательно (в силу произвольности w), в2 (I) = в2 (X).
, Дополним предложение 4.5 следующим результатом.
Предложение 4.6. Если оператор &(elt) унитарен для всех t
из некоторого множества положительной меры, то выполняется
условие предложения 4.5.
Доказательство. Из условия D.8) вытекает, что ищ (elt) = О
на упомянутом множестве положительной меры. Поскольку и* (X)
есть векторная функция, ограниченная и аналитическая внутри
единичного круга, то и, (X) ss 0, так что в силу D.8) ^(t)v(t) = O
почти всюду. Поскольку yeAL2(S), то v(t) = O почти всюду.
Случаи, рассмотренные в двух последних предложениях, так
могут быть охарактеризованы в терминах сжатий:
Теорема 4.7. Пусть ®(Х) совпадает с характеристической
функцией некоторого вполне неунитарного сжатия Т в простран-
пространстве §. Для того чтобы ®(Х) удовлетворяла условиям предло-
предложения 4.5, необходимо и достаточно, чтобы не существовало
&42 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
ни одного инвариантного относительно Т подпространства
&i =5^ {0}, для которого оператор Т \ $>х был бы изометрией. Для
того чтобы &(Х) удовлетворяла условиям предложения 4.6, до-
достаточно, чтобы спектр Т не покрывал единичной окружности.
Доказательство. Второе утверждение вытекает немед-
немедленно из теоремы VI. 4.1.
Докажем первое утверждение. Заметим прежде всего, что
§! cz § будет инвариантным относительно Т подпространством,
a T\$i будет изометрией в том и только том случае, когда ${
инвариантно относительно изометрической дилатации U + опе-
оператора Г. Следовательно, для того чтобы такого ©j ф {0}
не существовало, необходимо и достаточно, чтобы не нашлось
ни одного йе§, 1гф0, для которого бы все векторы U%h
(/i=l, 2, ...) принадлежали <&. В терминах функциональной
модели оператора Г, построенной в теореме VI. 3.1, это озна-
означает, что не существует ни одного ненулевого элемента
H,00e#2(®,)(BAL2((S), такого, что
eintu,®eintv<=H (л = 0, 1, 2, ...),
т. е. такого, что
(л = 0, 1, 2, .,.); D.9)
последнее же равносильно тому, что &и„ + Да = 0.
4. Пусть {(§, (?„ в (Я,)} — чистая сжимающая аналитическая
функция, Н и Т — соответственно пространство и сжатие, по-
рожденныр ею в смысле A.44) —A.45). Каждому сильному регу-
регулярному делителю &{ (X) функции &(Х) соответствует инвариант-
инвариантное относительно Т подпространство, и притом только одно]
обозначим его через Н (в{).
Легко доказать, что если @{ (К) — сильный регулярный де-
делитель в(^), то это же верно и для всякой функции в'(Л),
которая отличается от &{ (X) лишь левым постоянным унитар-
унитарным множителем. Более того, Н (в^ = Н @{). Обратное утвер-
утверждение вытекает из теоремы 4.3, (а).
В частности, всякая постоянная унитарная функция {®, §, в0}
является сильным регулярным делителем &(Х) и Н(в0) = {0} для
таких функций (и только для них; см. теорему 4.3, (а)).
С другой стороны, если сама функция @(Х) является своим
сильным регулярным делителем (это имеет место не всегда, см.
пример в начале § 3), то Н (в^ = Н для функций @{ (X), отли-
отличающихся от @(Х) лишь левым постоянным унитарным мно-
множителем, и только для таких функций.
§ В. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА СЖАТИЙ КЛАССА Сп 343
В случае когда все регулярные делители в (А,) являются
сильными (например, в случаях, рассмотренных в предложе-
предложениях 4.5 и 4.6), всякое свойство {Ву{к)} регулярных делителей
функции @{к) обладает наибольшим общим регулярным дели-
делителем вд (к) и наименьшим общим регулярным кратным 6V {k)t
определяемыми, с точностью до совпадения, следующими усло-
условиями:
(Л\) вд {к) является регулярным делителем каждой функ-
функции Qyik) (и, следовательно, делителем ®(к));
(д2) всякая функция в' (к), являющаяся регулярным дели-
делителем каждой из функций &у{к), является регулярным делите-
делителем и для вд (к);
(к{) каждая функция &у(к) является регулярным делите-
делителем ev (к); ' \
(к2) ev {к) является регулярным делителем всякой функ-
функции G" (к), являющейся регулярным делителем @(к) и такой,
что каждая функция &у(к) есть регулярный делитель в" (к)
(в частности, 6v(A,) есть регулярный делитель в (А,)).
Для доказательства рассмотрим подпространства
Н д == I I Н (fc)Y), Н у — \г Н (fc)Y),
Y V
инвариантные относительно Т и потому соответствующие неко-
некоторым регулярным делителям функции &(к), которые мы обо-
обозначим через вд (к) и ev {к); эти функции определены с точ-
точностью до левых унитарных множителей. Свойства (д^ и (Kj)
вытекают непосредственно из теоремы 4.3, (а). Если функция
в' (к) обладает свойствами, указанными в (д2), то она есть
регулярный делитель @(к) и по теореме 4.3,F) Н (в') cz H FY)
для любого вг Отсюда Н (в') cz Нд == Н (вд). Из теоремы 4.3, (а)
следует тогда, что в' (к) есть регулярный делитель вд (к). Этим
доказано (д2). Свойство (к2) функции 6V {к) доказывается ана-
аналогично.
§ 5. Инвариантные подпространства сжатий
класса С„
1. Согласно предложению II. 3.5, всякое сжатие Т^Сп
квазиподобно унитарному оператору, а именно остаточной
части R = RT минимальной унитарной дилатации U = UT сжа-
сжатия Г. Это обстоятельство дало нам возможность построить
в § П. 5 семейство ультраинвариантных подпространств для Т.
Мы продолжим эти исследования, применив методы, развитые
в гл. V. Поскольку для унитарных операторов имеется в
344 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
распоряжении спектральная теория, то без существенной
потери общности мы можем ограничиться вполне неунитар-
неунитарными сжатиями.
Начнем с того, что найдем вид оператора R в нашей функ-
функциональной модели. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие
в сепарабельном гильбертовом пространстве §, и пусть
{$, (?„ в (I)} — функция, совпадающая с характеристической
функцией оператора Т. Из результатов § VI. 3 (см., в част-
частности, (VI. 3.1) и (VI. 3.17')) вытекает, что оператор R эквива-
эквивалентен умножению на еи в пространстве AL2(®). Обозначим
через ER(a) спектральную меру унитарного оператора R
(а — переменное борелево множество на единичной окруж-
окружности С); оператор ER(a) унитарно эквивалентен умножению
на функцию
при t e (а),
> при t e (а'),
где а' = С\а (напомним наше соглашение обозначать через (р)
множество тех t, для которых еи е р). ,
, Как легко установить, ER(a) = O в том и только том слу-
случае, когда Л (t) = O почти всюду на (а). Резольвентное мно-
множество оператора R на С состоит, таким образом, из открытых
дуг, на которых радиальный предел функции @(к) изометричен
почти всюду.
Введем несколько полезных определений.
Определение 1. Для вполне неунитарного сжатия Т обозна-
обозначим через е(Г) множество тех точек еи е С, в которых радиаль-
радиальный предел характеристической функции оператора Т существует,
но не является изометрическим.
Определение 2. Для произвольного подмножества а окруж-
окружности С определим существенный носитель sptessa как допол-
дополнение относительно С суммы тех открытых дуг окружности С,
которые пересекаются с а по множествам лебеговой меры 0 ]).
В этих обозначениях результат предыдущих рассуждений
можно записать так:
Предложение 5.1. Для всякого вполне неунитарного сжатия
в сепарабельном пространстве § имеет место равенство o(R) =
= spt ess e (Г).
1) Таким образом, существенный носитель множества а есть наименьшее
замкнутое подмножество окружности С, содержащее почти все точки ц. --
Прим. перед.
5. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА СЖАТИЙ КЛАССА Си
345
Напомним в этой связи предложение II. 6.2, утверждающее,
что для всякого сжатия Т имеет место включение
сг(#)с=сг(Г)ПС,
и предложение VI. 4.3, согласно которому
()C t(r)
по крайней мере для вполне неунитарных сжатий Т е С.ь* харак-
характеристическая функция которых обладает скалярным кратным.
Для таких сжатий, следовательно,
<г(/г) = сг(Г)ПС.
Введем еще
Определение 3. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие. Боре-
лево подмножество а единичной окружности С назовем оста-
остаточным для Г, если оператор вт(еи) является изометрическим
в почти каждой точке еи е о! 1).
2. После всех этих приготовлений рассмотрим вполне неуни-
неунитарное сжатие Т класса Сх. в сепарабельном гильбертовом про-
пространстве §. Пусть {S, ®#, в (А,)} — функция, совпадающая с ха-
характеристической функцией Т. Она является *-внешней, и
потому к ней применимо предложение V. 4.3 (см. замечание
после этого предложения). Таким образом, каждому борелеву
множеству а на С отвечает разложение
функции {S, S,, в (А,)} в произведение двух сжимающих аналити-
аналитических функций, с промежуточным пространством §о, причем
в1а—внешняя функция и
в (еи)* в (elt) почти всюду на (а),
/@ почти всюду на (a), v ;
вга (еи)* ©2а (е") = /& почти всюду на (а). E.2)
Как уже отмечалось выше, эта факторизация в силу предложе-
предложения 3.3 регулярна. Более того, поскольку функция в1а(А,) внешняя,
она является сильным регулярным делителем @(К). Поэтому,
если Т — функциональная модель оператора Т в пространстве Н,
порожденная функцией @(k) в смысле теоремы VI. 3.1, то суще-
существует единственное инвариантное подпространство Н (в1а), соот-
соответствующее делителю 61а(А,). Обозначим это подпространство
1) Таким образом, для того, чтобы борелево множество асС былэ
остаточным для Г, необходимо и достаточно, чтобы с точностью до мно-
множеств меры 0 выполнялось включение а => е (Г). — Прим. перев.
348 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
для краткости через На. Пусть Та = Т | Яа. Поскольку функ-
функция в(^) является *-внешней, то
~н2
@~н
откуда следует, что функция 61а(А.) ^-внешняя. Таким образом.,
@1аA) двусторонне внешняя, и то же справедливо для ее чистой
части вт, которая является характеристической функцией опе-
оператора Та. Поэтому ТаЕСц. Далее, поскольку в силу E.1)
оператор в1а(е") является изометрией почти всюду на (а'), то
&1а(еи) обладает тем же,свойством и, значит, а —остаточное
множество для Та.
Пусть Hi — подпространство в Н, инвариантное относи-
относительно Т и такое, что Тг = Т | Н{ cz Сп и а является остаточным
множеством для Т{. Подпространство Н{ соответствует по край-
крайней мере одному регулярному делителю Q{ (X) функции Q(k).
Поскольку Т{ е Си, то чистая часть &°\(к) функции Oi (к) (сов-
(совпадающая с характеристической функцией оператора Tj) является
двусторонне внешней. Следовательно, в] (Я,) — также внешняя
функция и потому сильный регулярный делитель ®{Х). Таким
образом, Hj — единственное инвариантное подпространство, соот-
соответствующее функции Oj (к),
С другой стороны, поскольку множество а является остаточным
для Тр то &1(еи) — изометрия почти всюду на (ar), и то же
справедливо для в} (еи):
©1 (eltY @i {еи) = /@ почти всюду на (а'). E.3)
Так как <д{ (X) — делитель в(^), то, очевидно,
Q(eitY&(eit)<:@l(eity@l(eit) почти всюду на @, 2я). E.4)
Сравнивая (б.З) и E.4) с E.1), получаем
©ia (еиУ ®ia (eu) < ©i (еиУ ©i {elt) почти всюду на @, 2я).
Из предложения V. 4.1, (а) вытекает, что &{ (к) — делитель для
в1а(А,). Согласно предложению 4.2,F), ©i(M является даже
регулярным делителем ©ia(A,). Применяя теорему 4.3, (б) к силь-
сильным регулярным делителям 0ia(^) и @{ (X) функции ©(А,), находим,
что Н!СгНа(ибо Н! и На суть единственные инвариантные
подпространства, соответствующие делителям @{ (X) и ®1а(к)).
§ 5. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА СЖАТИЙ КЛАССА С„ 347
Таким образом, мы доказали, что На является максимальным
подпространством в_ Н, обладающим свойствами
A) ТНас=На,
B) Та-Т|Нае=С„,
C) а —остаточное множество для Та.
Эти свойства инвариантны относительно перехода к унитарно
эквивалентным операторам. Поэтому существование максималь-
максимальных подпространств §а, обладающих указанными свойствами,
установлено для всякого вполне неунитарного сжатия Т е С{.
в сепарабельном гильбертовом пространстве §. Ясно, что макси-
максимальность подпространства §а влечет его единственность. Пока-
Покажем, что §а является даже ультраинвариантным для Г, т. е.
инвариантным относительно всякого ограниченного оператора X,
перестановочного с Г. Действительно, можно считать, что Х~х
существует в узком смысле. В противном случае мы заме-
заменили бы X на X — \il, где ||i|>||Z||. Подпространство §а = Х$а
инвариантно относительно Г, и оператор Т'а=* Т \$'а подобен Та:
T'a = STaS-\ где S = Z|§a.
Далее, S является аффинитетом (обратимым в узком смысле
линейным ограниченным оператором) из §а на Ф'а. Следовательно,
Гае Сп влечет условие Та ^ Си. Обозначая через Ra и Ra оста-
остаточные части минимальных унитарных дилатаций оператороов Та
и Та соответственно, получаем, что Ra квазиподобно Га,
a Ra квазиподобно Та- Поскольку Та и Та подобны, то Ra и Ra
квазиподобны и, следовательно, унитарно эквивалентны (см. пред-
предложение II. 3.4). Отсюда следует, что множество а, остаточное
для Га, будет остаточным также для Га. В силу макси-
мальнбсти Ьа имеем %>'а с: §а, Х&а а «&а. Этим доказана ультра-
ультраинвариантность Фа.
Вернемся к рассмотрению модели Т оператора Т в Н и най-
найдем условия, при которых Haic: Ha2. Согласно теореме 4.3, для
того чтобы выполнялось это включение, необходимо и доста-
достаточно, чтобы 6ia,(M было делителем 8^A). Но если одна сжи-
сжимающая аналитическая функция @i(k) является делителем другой
такой, функции 62(^), то ввиду соотношения в2 (к) = ei (X) ®\ (I)
©2 (е"У О2 (е«) = в1 (eliY в, (е«) - в1 (е«)* [/ - в; (в»
и, следовательно,
^2(еиУе2(еиХ^1(е17^Леи) почти всюду. E.5)
Если функция @{ (к) внешняя, то, обратно, из этого неравенства
вытекает, что вх (Я) является делителем 62(^) (см. предложение
348 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
V. 4.1, (а)). В применении к рассматриваемому случаю эти
утверждения приводят к следующему результату. Для того
чтобы Hai cz Hd2, необходимо и достаточно, чтобы
Ле"У®1аЛеи) почти всюду.
В силу E.1) это условие равносильно условию, что почти все
точки множества с^По^ принадлежат е(Г)', или же условию,
что дополнительное множество а[ U а2 является остаточным для Т.
Итак, для того чтобы Httl cz Ha2, необходимо и достаточно, чтобы
множество а[ U а2 было остаточным для Т. Это условие выпол-
выполняется, в частности, если а{ cz a2, ибо тогда a'Ua2 = C.
Из полученного результата следует, что Ha,= Ha2 тогда и
только тогда, когда оба множества а[ U а2 и a2 U ai являются
остаточными для Т. Последнее в свою очередь равносильно тому,
что пересечение этих множеств остаточно для Т. Поскольку это
пересечение является дополнением в С симметрической разности
а! Л а2 множеств а} и а2, то имеет место следующий результат.
Для того чтобы Hai = Ha2, необходимо и достаточно, чтобы
дополнение в С множества а{ Л а2 было остаточным для Т (т. е.
чтобы оператор &т (еи) был изометрическим почти во всех точ-
точках ен Ga,A a2).
Перейдем к другой задаче. Пусть {а„} — (конечная либо бес-
бесконечная) последовательность борелевых множеств ап cz С. По-
Положим a = (Jart. Поскольку a^cza, то Htt/l cz H«, так что
Ha. E.6)
Подпространство М инвариантно относительно Т и соответ-
соответствует по крайней мере одному регулярному делителю Q(X)
функции в(^). Поскольку Ha cz M, то по теореме 4.3, (а)
Oiart(M есть делитель Q(^). Так как Q {к) — делитель в (^), то
в (еи)* в (еи) < Q {еиУ Q {elt) < в10/г {еиУ @ian (elt) почти всюду,
откуда в силу E.1)
Q {е"У Q (еи) = в (е"У в (е») E.7)
почти всюду на (an). Поскольку это справедливо при п== 1, 2, ...,
то E.7) имеет место почти всюду на (а). Снова применяя E.1),
получаем
»У»)^®{е"Ув{а(е") почти всюду.
На основании предложения V. 4.1, (а) в1а(^) является дели-
делителем Q {к), а на основании предложения 4?2, (б) — даже регу-
§ 5. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА СЖАТИЙ КЛАССА Си 349
лярным делителем. Применяя теорему 4.3, (б) и учитывая, что
На —единственное инвариантное подпространство, соответствую-
соответствующее в1а(Я,), получаем Нас=М, или же ввиду E.6) М = На.
Рассмотрим частные случаи, когда а пусто или совпадает
со всей окружностью С. Если а пусто, то, согласно E.1), опе-
оператор 61а(е") изометричен почти-всюду и, следовательно, функ-
функция eia(i) является внутренней. Будучи в то же время внеш-
внешней, она должна быть унитарной константой (см. предложение
V. 2.3). Применяя формулу A.47), находим На = {0}.
Если а = С, то, согласно E.1),
вщ (е"У в1а (elt) = 0 (eltY 0 (еи) почти всюду,
откуда следует, что 01а(^) является внешним множителем
в канонической факторизации©^) (см. предложение V. 4.1,F)).
Следовательно, На —подпространство, отвечающее клетке См
ГСМ • I
в триангуляции Т вида (см. § 3.3). В частности,
L u c«oJ
если ТеСп, то На=Н при а = С.
Итак, для случая Т е Сп можно сформулировать такую
теорему.
Теорема 5.2. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие класса Сп
в пространстве $ ф {0}, a — переменное борелево подмножество
единичной окружности С. Среди подпространств 2 cz ф, инва-
инвариантных относительно Т и таких, что r|?dCu и а является
остаточным множеством для Т |2, существует максимальное (т. е.
содержащее все остальные), обозначаемое через §а. Это под-
подпространство «&а ультраинвариантно относительно Т. Кроме того,
A) §« = {0} при а=0, ?а = ? при а = С;
B) V $ап = §а при а = U ал;
C) §Ol ^ §а2 в том и только в том случае, если a' U а2 является
остаточным множеством сжатия Т; в частности если а{ сп а2.
Как следствие этих свойств имеем
(а) фа, = *&а2 тогда и только тогда, когда дополнение в С
симметрической разности множеств а{ и а2 является остаточ-
остаточным для Т;
(б) фа = {0} в том и только том случае, когда С \ а — оста-
остаточное множество для Т\
(я) ?>а = § тогда и только тогда, когда а является остаточ-
остаточным множеством для Г. ,
Напомним, что оператор Т класса Сп квазиподобен R и
потому пространство Ш оператора R не может сводиться к {0}.
С другой стороны, поскольку оператор Т вполне неунитарен,
350 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
то спектр его минимальной унитарной дилатации С/, а сле-
следовательно, и спектр оператора R абсолютно непрерывны.
Отсюда вытекает, что o(R) является непустым совершенным
подмножеством в С. Если а и р —открытые непересекающиеся
дуги на С, каждая из которых имеет непустое пересечение
с совершенным множеством сг (/?), то соответствующие подпро-
подпространства ?>а и ?>р нетривиальны (в силу (б) и (в)), различны
(в силу (а)) и, кроме того, ни одно из них не содержит другого
(в силу C)). Таким образом, из теоремы 5.2 вытекает, в ча-
частности, что существует бесконечное множество ультраинва-
ультраинвариантных относительно Т подпространств и что оператор Т не
является одноклеточным (см. п. III. 7.2).
§ 6. Спектральное разложение сжатий класса СП9
характеристические функции которых обладают
скалярным кратным
1. Для вполне неунитарных сжатий класса Сп, характери-
характеристические функции которых обладают скалярным кратным, тео-
теорема 5.2 может быть дополнена. Начнем со следующего утвер-
утверждения.
Лемма 6.1. Пусть {6, (?„, в (X)} — сжимающая аналитический
функция, обладающая скалярным кратным 6(i), и пусть &(Х) =
=в2(^) ®i {X) — разложение &(Х) в произведение сжимающих
аналитических функций {6, g, @{{Х)} и {§, (?„ 62(А,)}, причем one-
ратор @2(elt) является изометрией в точках t некоторого множе-
множества положительной меры. Тогда @{ (X) также обладает скаляр-
скалярным кратным ()
Доказательство. По предположению существует такая
сжимающая аналитическая функция {S,, ®, Q(^)}, что
02 (Л) 6^H (А,) = 6 (А)/ (ЬЛ)
Из второго равенства следует, что
62 (К) Ф (к) = О, где Ф (X) = @{ {I) Q {X) в2 (X) - б (X) /9
и, значит, ,
в2 {еа) Ф (eif) = О почти всюду.
Поскольку оператор в2(е'*) изометричен на множестве положи-
положительной меры, то ф(еи) = О на этом множестве. Поэтому Ф(^),
будучи ограниченной аналитической функцией, равна тождс-
^_ § 6. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СЖАТИЙ КЛАССА Сп 351
ственно нулю в D, откуда
в1(Я)Й(Я)в2(Я) = 6(ЯL. F.2)
Равенство F.2) и первое из равенств F.1) показывают, что ©^1)
обладает скалярным кратным 6 (Я).
Пользуясь этим, докажем теперь теорему, которая в соче-
сочетании с теоремой 5.2 дает спектральное разложение наших
операторов.
Теорема 6.2. Для вполне неунитарного сжатия ГеСи,
характеристическая функция которого обладает скалярным крат-
кратным, инвариантные подпространства <§>а, введенные в теореме 5.2,
обладают дополнительно к перечисленным там следующими
свойствами:
D) в(Та)аа (где а —замыкание а);
E) Фа=ПФал приа=Пая.
п п п
Доказательство. D) В силу E.2) в2а(е'О является изо-
метрией почти всюду на (а). Если а имеет положительную меру,
то по лемме 6.1 в1а(А) также обладает скалярным кратным.
Это же верно и тогда, когда а имеет нулевую меру, так как
в этом случае на основании E.1)
в(^Г0(^) ПОЧТИ ВСЮДУ
и, следовательно, функции в1а(Я) и в (Я), будучи внешними,
отличаются друг от друга только левым постоянным унитар-
унитарным множителем (см. предложение V. 4.1). Таким образом, во
всех случаях в1а(Я) обладает скалярным кратным. В силу пред-
предложения V. 6.8 чистая часть в1а(А) также обладает скалярнвш
кратным. Эта чистая часть совпадает с характеристической
функцией оператора Та. Так как оператор Та вполне неунита-
неунитарен и входит в класс Си, то на основании предложения VI. 4.3
(см. п. 5.1). С другой стороны, в силу теоремы 5.2 а является
остаточным множеством для Та. Поэтому часть множества е(Га),
лежащая на а! и тем более на а', имеет меру нуль. Поскольку а'
есть объединение открытых дуг, то
а' с: [spt ess е (Га)]', а => spt ess г (Га),
и, следовательно, о(Та)аа.
E) Проведем рассуждения для функциональной модели Т
оператора Г в Н. Если a = П <*„, то a cz ап {п = 1, 2, . ..) и по
гл. vii. регулярные факторизации
теореме 5.2 HaczHart (я=1, 2, ...), откуда
Ham=>M=Q Ная=>На. F.3)
Подпространство М, будучи инвариантным относительно Т,
соответствует по крайней мере одному регулярному делителю
Й(Я) функции в (А). Из включения F.3) на основании теоремы
4.3, (а) вытекает, что в1а(А) является делителем^ Q(Я), a Q(От-
Q(Отделителем ©iam(O (m—1, 2, ...). Поэтому
^te'O'e^^ (m=i, 2,...)
почти для всех *. В силу E.1) имеем тогда
О(е"ГО(е'0 = в1а(в")'в1а(е") почти всюду. F.4)
С другой стороны, Q(X) является регулярным делителем
вкх (О (см. предложение 4.2,F)). Поэтому множители в регу-
регулярной факторизации &\ат (О = Qm (A) Q (X) должны быть таковыми,
чтобы оператор пт{ен) был изометричен почти везде, где изо-
метричен &тт{еи) (см. п^дложения 3.1 и 3.2, (в)), т. е. почти
везде на (сс^). Допустим, что а'т имеет положительную меру
хотя бы при одном т. Как мы отмечали в процессе доказа-
доказательства утверждения D), функция в1а(А) (при произвольном а)
обладает скалярным кратным. Таким образом, ©тт(Я) обладает
скалярным кратным и, следовательно, по лемме 6.1, Q(X) обла-
обладает скалярным кратным. Кроме того, поскольку Q~ (k)Qm @ =
= в^т(Я), а @ихт(Л) — внешняя функция, то, функция Q(K)
является ^-внешней, а на основании теоремы V. 6.2, (в) даже
двусторонне внешней. Поэтому соотношение F.4) для внешних
функций п(К) и в1а(Я) показывает, что они отличаются друг
от друга лишь постоянным левым унитарным множителем (см.
предложение V. 4.1), так что М = На. Это равенство доказано
пока лишь в случае, когда одно из множеств а'т имеет положи-
положительную меру. Но в остающемся случае все множества ab a2,...,
а также их пересечение а являются остаточными множествами
для Т, и, следовательно, Hai = Ha2= ... =Н, На=Н (см. тео-
теорему 5.2, (в)).
Теорема доказана.
2. Перейдем к другой, близкой задаче — исследовать вполне
неунитарные сжатия класса Ci, у которых по крайней мере
одно из дефектных чисел ЬТ, Ът* конечно. Поскольку характери-
характеристическая функция &т (А) такого сжатия являете* внешней, то
bj* = dim SDy* ^ dim 3)г = ЬГ
§ 6. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СЖАТИЙ КЛАССА Сп 353
(см. замечание в конце п. V.2.3). Следовательно, наше пред-
предположение о дефектных числах сводится к конечности Ьт*.
Теорема 6.3. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие класса Си
такое, что br*<°°. Тогда либо каждая точка открытого еди-
единичного круга D является собственным значением оператора Т,
либо ни одна точка D не входит в спектр Г. Для того чтобы
имел место второй случай, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось одно из следующих трех {эквивалентных) условий:
A) ГеС„,
B) Ьт = Ьт* и det [вт (А,)] Ф О,
C) ®т (А) обладает скалярным кратным,
• Доказательство. Поскольку линейный оператор не
может отобразить какое-либо пространство на пространство
большей размерности, то в случае Ьг>Ьг* оператор QT(k)~~l не
может существовать даже в широком смысле ни при каком
X е D. То же справедливо и в случае, когда Ьт = Ьт*{> 0), но
det [67- (А)] ?= 0. В силу теоремы VI. 4.1 каждая точка IeD
является поэтому собственным значением Г. Остается рассмо-
рассмотреть случай Ьт = Ьт*, det [QT (А)] Ф 0, т. е. случай B). Согласно
предложению V. 6.1, в этом случае вг(Я) обладает скалярным
кратным, т. е. выполняется условие C). Обратно, из C) выте-
вытекает, что функция &т (А), будучи внешней (в силу включения
ГеСО, является ^-внешней (см. теорему V. 6.2, (в)), и, следо-
следовательно, Т ^ Сц . Таким образом, C) влечет A). Наконец,
из A) следует, что 0 не является собственным значением для Г,
откуда, как мы уже видели, вытекает B).
Примеры. Оба случая, указанные в теореме, могут иметь
место в действительности. Приведем соответствующие примеры.
1) Функция <Е1, Е\ у (А— 1)> является чистой сжимающей
аналитической и, в силу предложения III. 1.3, (очевидно, дву-
сторонне) внешней. Порождаемое ею сжатие Т входит в класс
С1Ь Ът = Ьт*= 1. Следовательно, спектр о{Т) расположен на еди-
единичной окружности.
2) Функция {Е2, Е\ в (А)}, где
[X] 1 1 1 1
4 (* 1) +
X2] /2 2 V ' ' ' /2 "
есть, очевидно, чистая сжимающая аналитическая функция.
Она является внешней, поскольку
"— 2 . _
354ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
откуда
Сжатие Г, порождаемое этой функцией, входит в d, Ьг = 2,
Ьг*=1. Следовательно, всякая точка круга D является соб-
собственным числом для Т.
Комментарии
I. Основная теорема 1.1, устанавливающая связь между
инвариантными подпространствами вполне неунитарного сжа-
сжатия Т в сепарабельном пространстве Ф и регулярными факто-
ризациями характеристической функции в&(А), была доказана
впервые в С.-Н. и Ф. [4] и [IX]. В то же время имеются не-
некоторые отличия в изложении, которые мы сейчас отметим.
Мы используем здесь, так же как и в цитированных статьях,
функциональную модель {Н, Т} для {Ф, Г}, порождаемую функ-
функцией вг (А) или какой-либо другой сжимающей аналитической
функцией {@, й%, в (А)}, совпадающей с вг(А). Пусть в(А) =
= в2 (к) &{ (К) — разложение в (X) в произведение двух сжимаю-
сжимающих аналитических функций {®, §, В{ (X)} и {g, ®%, в2(А)}, и
пусть Z —соответствующий изометрический оператор
(см. A.42)). Если оператор Z унитарен (т.е. если факторизация
регулярна), то можно отождествить элементы двух пространств,
которые отвечают друг другу при отображении Z, и перейти таким
образом от модели {Н, Т} к унитарно эквивалентной модели
{Ж, &~}, определяемой формулами
Ш = [Я2 (<S.) ф A2L2 (g) ф A,L2 {Щ О
A)
- и.@)]фе-»у2фе-« у, B)
Так и было сделано в цитированных работах. Разложению
(см. A.47) — A.48)) отвечает разложение Ж =
где
ауеЯ2(®)}, C)
= [Я2 (®,) ф A2L2 (g) ф {0}] 0 {©2ы ф Д2ы ф 0: и г Я2 ($)}. D)
КОММЕНТАРИИ*
355
Пока мы имеем дело с фиксированной регулярной факториза-
факторизацией, оба способа представления совершенно равноправны.
Но при изучении соотношений между инвариантными подпро-
подпространствами, отвечающими различным регулярным факториза-
циям, модель {Ж, 3~\ неприменима, поскольку она зависит
от выбранной факторизации. Именно поэтому в настоящей книге
мы предпочитаем строить инвариантные подпространства в ис-
исходной модели {Н, Т}. Это сделало возможным получить ре-
результаты, содержащиеся в предложении 2.4, в теореме 4.3,
а также в § 5 и 6.
Однако функциональное пространство Ж> и оператор ЗГ в нем
имеют то преимущество, что их можно построить по формулам
A) и B) независимо от того, 'является ли рассматриваемая фак-
факторизация регулярной или нет. Оператор ЯГ всегда будет сжа-
сжатием в Ж>, подпространство Жи определяемое формулой C), —
инвариантным относительно ?Г, а подпространство Ж2, опреде-
определяемое формулой D), — ортогональным дополнением Жх в Ж
Кроме того, можно доказать (аналогично тому, как это было
сделано в предложении 2.1), что если 5Г = \ п ~ —триан-
—триан[о гг\
гуляция ЯГ, отвечающая разложению Ж = ЖХ@ЖЪ то характе-
характеристические функции операторов ЯГХ и ЯГ2 совпадают с чистыми
частями &! (А) и в2(А) соответственно. Но если рассматриваемая
факторизация нерегулярна, то ЯГ не будет унитарно эквивалентно
оператору Т (или, что то же, оператору Г). В самом деле, по-
поскольку оператор Z не является в этом случае унитарным,
то пространство
Z = [A2L2 (8) 0 А^2 (<?)] 9 Z М2 (&)
не является нулевым. Отсюда следует, что ЯГ есть ортогональ-
ортогональная сумма сжатия, унитарно эквивалентного оператору Т
(или Т), и унитарного оператора умножения на elt в простран-
пространстве Z.
Таким образом, мы получаем следующий результат.
Теорема. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в простран-
пространстве §. Каждому разложению &т (А) = в2 {X) &{ (к) его характери-
характеристической функции на сжимающие аналитические множители
соответствует подпространство, инвариантное для некоторого
сжатия Т' в пространстве §', вполне неунитарная часть которого
совпадает с Т, а унитарная часть имеет абсолютно непрерыв-
непрерывный спектр. Это соответствие таково, что если V = , —
I U 1 2 \
356 ГЛ. VII. РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
триангуляция оператора V относительно этого инвариантного
подпространства и его ортогонального дополнения, то характе-
характеристические функции операторов Т\ и Т'2 совпадают с чистыми
частями функций &{ (А) и в2(А) соответственно.
См. С.-Н. и Ф. [3] и [IX], стр. 300.
2. Тот факт, что каждому нетривиальному инвариантному
подпространству оператора отвечает некоторая нетривиальная
факторизация его характеристической функции, был обнаружен
советскими авторами; см. Лившиц [2], [3], Лившиц и По-
Потапов [1], М. С. Бродский [1], Бродский и Лившиц [1]
и др. В этих работах речь идет об операторах, которые отли-
отличаются от унитарных или самосопряженных на конечномерный
оператор или, самое большее, на оператор с конечным следом (т. е.
ядерный). Указанные авторы заметили также, что и обратно,
каждой факторизации характеристической функции отвечаем
подпространство, инвариантное относительно оператора, отли-
отличающегося от Т на ортогональное слагаемое, представляющее
собой унитарный или самосопряжейныи оператор. Однако приз-
признаки того, что такое разложение порождает подпространство,
инвариантное относительно самого данного оператора, были
обнаружены ими лишь в отдельных частных случаях (см.
Бродский и Лившиц [1], теорема 16; Шмульян [2],
теорема 2.7); эти признаки сложнее, чем наш признак регуляр-
регулярности. В частности, Шмульян ([2], § 4) получил результат,
эквивалентный случаю B) нашего предложения 3.5. О даль-
дальнейшем развитии этих исследований см. Бродский и
Шмульян [1] и недавнюю монографию М. С. Брод-
Бродского [9].
Результаты, представленные в настоящей главе, хотя и выз-
вызваны отчасти влиянием проблем, изучавшихся в работах цити-
цитированных выше авторов, но получены совершенно иным путем,
связанным с изучением геометрической структуры унитарных
дилатаций и с функциональными моделями. За исключением
предложения 2.4, § 1 и 2 в существенном воспроизводят
части заметок* С.-Н. и Ф. [4] и [IX]. Предложение 2.4, а также
весь- § 4 представляют собой переработку и уточнение ряда
результатов, изложенных кратко в статье С.-Н. и Ф. [7]. Пред-
Предложение 3.2 является новым. Разложение операторов класса Си
было указано уже в работах С.-Н. и Ф. [IX] и [IX bis], но иссле-
исследования § 5 и 6 являются значительно более завершенными.
У читателяг несомненно, возник вопрос: верна ли теорема 6.2
(установленная нами для сжатий класса Сп, характеристические
функции которых обладают скалярным кратным) для произ-
произвольных вполне неунитарных сжатий класса Сп? Свойство D
КОММЕНТАРИИ 357
(см. формулировку теоремы) в общем случае не выполняется.
Действительно, возьмем в качестве Т такое сжатие в ф, что
®г(А,)е=зЛ, где Л— самосопряженный оператор со свойствами:
а) О ^ Л ^ /, б) 0 и 1 не являются собственными значениями Л,
в) оператор Л" неограничен. Пусть а —дуга окружности С,
отличцая от С. Как было показано в п. V. 4.5, в факторизации
er(A,) = ®2a(^)®ia(^) функция в1а (А) имеет унитарные предельные
значения Q\a{elt) почти всюду на аг и не может быть аналити-
аналитически продолжена через а'. По теореме VI. 4.1 о(Та)^эа' (на
самом деле а(Га) = С). Тем самым показано, что свойство D)
не имеет места.
Неизвестно, справедливо ли свойство E) из теоремы 6.2
во всей общности. Эта проблема связана со следующей. Пусть
@ (А) — двусторонне внешняя сжимающая аналитическая функ-
функция, и пусть оператор S(elt) изометричед на множестве поло-
положительной меры. Будет ли любой регулярный делитель функ-
функции в (к) двусторонне внешним?
Теорема 6.3 приведена в С.-Н. и Ф. [IX] (теорема 2) в более
общем виде, но в доказательстве обнаружен пробел. До сих
пор неизвестно, справедливо ли это утверждение в этом более
общем виде. Менее общее утверждение, приведенное в тексте
настоящей книги, указано в С.-Н. и Ф. [IX bis]. Основная
проблема, остающаяся открытой, — изучить строение сжимаю-
сжимающих аналитических функций, внешних с одной стороны и внут-
внутренних с другой.
В связи с настоящей главой см. также С.-Н. и Ф. [8],
Кужель [4*].
ГЛАВА VIII
СЛАБЫЕ СЖАТИЯ
§ 1. Существование скалярного ^кратного
у характеристической функции
1. Как известно, самосопряженный оператор Л^О в гиль-
гильбертовом пространстве § называется оператором с конечным
следом или ядерным, если этот оператор вполне непрерывен
и сумма его собственных значений (с учетом кратности) конечна.
Эта сумма называется следом оператора Л и обозначается
через trЛ.
Если А{^0) — ядерный, а X — ограниченный оператор в ф, то
оператор А' = Х*АХ также ядерный. В самом деле, оператор А
вполне непрерывен и Ar ^ О. Далее, если
суть спектральные разложения операторов Л и Л' по ортонор-
мированным системам {фп} и {ф^| (|iirt>0, jli^X)), то
2 ^ - 2 (AVm, яд = 2 (wm, хФ;) - 2 2 п. | (^ф;, ф„) I2=
/71/71 /71 ТП fl
- 2 и„ 21 (ф;. ^*ф„) I2 < 2 iie || гФ„ IP < ii ^ IP 2 и„
П 171 П П
и, следовательно,
t(
Отсюда, в частности, следует, что если Ра — ортопроектор из ф
на подпространство 8 и Л — ядерный оператор, то оператор
PzAPz, а с ним и Л« = Р«Л|8 также будут ядерными.
Введем следующее
Определение. Сжатие Т в гильбертовом пространстве ф
будем называть слабым, если A) его спектр а (Г) не покрывает
единичного круга D и B) оператор / — Т*Т является ядерным.
Согласно этому определению, унитарные операторы и сжа-
сжатия с конечным дефектным числом Ьг, такие, что о{Т)Фй,
являются слабыми сжатиями.
Напомним, что если Т — сжатие, то сжатием будет и
Та = (Т-а1)A-аТГ1 (|а|<1).
§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ СКАЛЯРНОГО КРАТНОГО 359
При этом
I-rja = S*(I-rT)Sy где ST{l-\a?)*{I-aT)-1
(см. п. VI. 1.3). Поскольку, с другой стороны, о {Та) является
образом а(Т) при отображении Я->Ла= ~а , то при любом
flGfl оператор Та будет слабым сжатием, если таковым
является Г.
Пусть Т — слабое сжатие. Зафиксируем точку aeD, не при-
принадлежащую о(Т), т. е. такую, что Гд1 существует (в узком
смысле). Пусть
(l-faTa)h±%\Ln(h, фя)фя A.1)
— спектральное представление / — ТаТа в ортонормированной
системе собственных элементов фл, отвечающих собственным
значениям \1пФ0. (Если оператор Та унитарен, то правая часть
равенства A.1) считается равной нулю.) Имеем
(Ta<Vn> Ta<Vm) = K> Фя) ~ ( (' " Т7а) Фя. Ф«) =
= A - \*>п) (Фт, Фл) = A - ^п) бтя.
Так как Г^ф^^О, то 1 — jut^ > 0 и векторы
фя-A-|1Л"*Гвфя A.2)
образуют ортонормированную систему. Далее,
откуда
ф„=0-^РО1у A-3)
В силу A.1) —A.3) для произвольного ge§
(/-7'/;)^ = 7'«(/-n:ra)g = 2^(^ Фп)^А =
= S |*„ (g, 7->n) *„ = S |ie (rag, ф„) ^„.
Поскольку ГаФ = Ф, то
(/-Г/;)Л = 2^(Л, фл)фя A.4)
для произвольного Л<=?>. Отсюда следует, что 1 — ТаТа имеет
те же ненулевые собственные значения, что и / — ГаТа, и потому
360 ГЛ. VIII. СЛАБЫЕ СЖАТИЯ
tr (/ ~ ТаТ*а) = tr (/ ~ Т*аТа). ПОСКОЛЬКУ 0фо{Т*а), TO fa ЯВЛЯеТСЯ
слабым сжатием. Наконец, из очевидного соотношения
вытекает, что Г* — слабое сжатие. Итак, если Т — слабое сжа-
сжатие, то таковым является и Г*.
Следующая теорема выражает важное утверждение о сла-
слабых сжатиях.
Теорема 1.1. Характеристическая функция слабого сжатия
обладает скалярным кратным.
Доказательство. Выберем точку а, как выше, и рас-
рассмотрим сначала характеристическую функцию оператора Та.
Заметим, что дефектные пространства оператора Та имеют оди-
одинаковую размерность; в качестве ортонормированных базисов
в этих пространствах могут быть взяты, системы {ф„} и {фя}
собственных векторов операторов / — ТаТа и / — ТаТа соответ-
соответственно, связанные друг с другом соотношениями A.2) и A.3).
Если эта размерность конечна и равна N, то @/ (А) имеет
относительно этих базисов матрицу
(/, у =1,2, ..., N). A.5)
Поскольку оператор &та @) = — ТаI ©гЛ обратим, то приме-
применима теорема V. 6.1. Из нее следует, что детерминант d(X)
матрицы A.5) является скалярным кратным функции ®га{к).
Кроме того,
откуда
N
Пусть теперь дефектные пространства оператора Та имеют бес-
бесконечную размерность. Обозначим через Р(Аг) и Р^ ортопроек-
торы в этих пространствах на подпространства, порождаемые
векторами фь ..., ф„ и г^, ..., tyn соответственно. Определим
функции |©г , 2Dr*, вп(Я)I (л=1, 2, ...) формулами
оо
вЛ (Л) f = Pw% (I) P{n)f + 2 (f, %) % (f e 5D
§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ СКАЛЯРНОГО КРАТНОГО 361
Эти функции сжцмающие аналитические, и
®п (K)'g = Рю®та (Я)* P[n)g + S (g, %) % (g s © .\
При n—> oo имеем для IgD
в„(Я)->вГа(Я), в„(Я)*->вга(Я)* (сильно). A.7)
Пусть d{n) (Я) — детерминант матрицы
[(вгв(*)<*, *,)] (/, /=1, ..., п).
Используя те же соображения, что и при установлении равен-
равенства A.6), получаем, что
П(Л) A.8)
и dw (К) является скалярным кратным сжимающей аналитиче-
аналитической функции {S)(B), 2?ira), ®w(l)}, где
ф<»> = р^)фГв, 3)W = pf ©r'a, в(/г> (А) = Р^вгв (Я) | ©w.
Поэтому существуют такие сжимающие аналитические функции
{&:\ (ге> (П)} (п-1, 2, ...), что
Q(n) (Я) &м (Я) = dw (Я) I^n), QM (Я) Q(ra) (Я) = d(n) (Я) /ф(„).
Полагая
Q» (Я) g = Q(n) (Я) Pf'g + d(ra) (Я) S (g, фА) Ф, ^ е ©г.V
получаем сжимающие аналитические функции B)г*, ?>г ,
(л=1, 2, ...), такие, что
п (Я) = ^) (Я) /$v в. (Я) Qn (Я) = d<»> (Я) /з)т,. A.9)
Поскольку дефектные пространства оператора Та сепара-
бельны, а функции $п){%) и Q(Aг)(Я) аналитичны и ограничены:
то в силу теоремы Витали — Монтеля существует такая после-
последовательность индексов пд-+оо, для которой dSnd (Я) стремится
в D к некоторой аналитической функции й(Я), И(Я)|<1, и
Qn (Я) стремится (слабо) к сжимающей аналитической функ-
функции ЩЯ).
362 ГЛ. VIII. СЛАБЫЕ СЖАТИЯ
Ввиду сильной сходимости в A.7) получаем из A.9) с помо-
помощью предельного перехода (см. [Лекции], п. 84)
Q (К) @та (Я) - d (I) faTa, @
Кроме того, согласно A.8)
Поскольку 1 — |х/>0 (* = 1, 2, ...) и 2|i, = tr(/- T*aTa)< °°, то
d @) Ф 0. Итак, d(X)фO и, следовательно, d(k) является ска-
скалярным кратным характеристической функции оператора Та.
Из соотношения между характеристическими функциями опе-
операторов Т и Та (см. п. VI. 1.3) вытекает, что Т также имеет
1 да ) является скалярным
кратным функции &Г(ХI).
2. Пусть Т — такое сжатие в ф, что оператор I — VT является
ядерным, и пусть 8 — инвариантное подпространство относи-
относительно Г. Если Ге = Г|2, то
где Ps — ортопроектор на 2. На основании замечания, сделан-
сделанного в начале предыдущего пункта, оператор /8 — Т\Т^ также
ядерный. Однако возможен такой случай: Т является слабым
сжатием, а Т$ таковым не является. Пример можно построить
с помощью регулярной факторизации
A.10)
скалярной функции 6(Я) = -^j-Я(см. VII. 8.4). Действительно
в (А,) является характеристической функцией вполне неунитар-
неунитарного сжатия Т с дефектными числами, равными 1, причем
a(T){]D = {0}. Поэтому Т — слабое сжатие. Регулярная фактори-
факторизация A.10) порождает в смысле теоремы VII. 1.1 инвариант-
инвариантное подпространство S оператора 7\ Поскольку второй множи-
множитель в A.10) является чистой сжимающей аналитической функ-
1) Нетрудно показать, что 6 (X) является (бесконечным) определителем
(см., например, Гохб'ерг и Крейн [4], стр. 214) матрицы оператора в^ (Л),
вычисленной относительно ортонормированных базисов {ф(.} и |-ф.}.—Прим. ред.
§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ Co-Си ЗбЗ
цией {f1, ?2, @{(Х)}> то он совпадает с характеристической функ-
функцией оператора ГС=«Г|2 (см.- предложение VII. 2.1). Так как
в! (Я) отображает при каждом X пространство Е{ в пространство
Е2У то это преобразование не имеет обратного, определенного
всюду в Е2. По теореме VI.4.1 спектр оператора Ге покрывает
круг D, и Га не является слабым сжатием.
§ 2. Разложение Со — Сп
1. Заметим, что если Г = Г@)®Г(а) -каноническое разложе-
разложение сжатия в пространсФве <§> на унитарную часть Т{и) и вполне
неунитарную часть Г(о), то
/ - Т*Т = [/@) - Г@)Т@)] 0 О,
и а(Г)П 1> = а(Г@))П ?>. Таким образом, сжатие Т является сла-
слабым в том и только том случае, когда Г(о) — слабое сжатие.
Поэтому, не ограничивая общности, мы можем в дальнейшем
считать, что оператор Т вполне неунитарен.
Итак, пусть Т — вполне неунитарное слабое сжатие в §, и
пусть
г = [о т']' § = с>ое^ BЛ)
— его триангуляция вида
"Г. А 1
B.2)
ГС0. *]
[о сх.у
Она отвечает *-канонической факторизации функции ®Г(Х) (см.
п. VII. 3.3); при этом характеристические функции операторов
Го и Т[ совпадают с чистыми частями соответственно ^внутрен-
^внутреннего и ^-внешнего множителей функции ®Т(Х). Как доказано
выше, ®Т(Х) обладает скалярным кратным (теорема 1.1). Отсюда
следует, что множители в *-канонической факторизации вг(А,),
а значит, и их чистые части также обладают скалярными кратными
(см. предложения V. 6.4 и V. 6.8). Следовательно, эти чистые части
являются соответственно двусторонне внутренней и двусторонне
внешней функциями (см. теорему V. 6.2) и потому Т0^С00
и Т[^Сп (см. предложение VI. 3.5). Из теоремы VI. 5.1 следует
тогда, что Го ^ Со .
Пусть тГо (А,) — минимальная функция оператора Го(тГо(Л)^== 1,
если Ф0=={0}» и только в этом случае). В силу теоремы III. 5.1
спектр Го в D состоит из нулей функции тт (Я), т. е. является
дискретным в D множеством. Поэтому Го = Г|§0 — слабое сжатие.
ГЛ. V!11. СЛАБЫЕ СЖАТИЯ
Более того, ф0 является максимальным среди подпространств,
инвариантных относительно Г, в которых Т индуцирует сжатие
класса Со . В самом деле, пусть 2 — некоторое инвариантное
относительно Т подпространство в ?>, такое, что Г? = Г|2е
?=CoczCo.. Тогда
;Г/ = 71/->0 при /е=2, п->оо.
Так как
(см. (И. 4.3)), то 2g§0.
Поскольку оператор Ti входит в Си и его характеристиче-
характеристическая функция обладает скалярным кратным, то о(т\) лежит
на единичной окружности С (см. предложение VI. 4.3). Так как,
кроме того, Т\ =T*\$'i и Г* —слабое сжатие, то слабым сжа-
сжатием является Т\ , а значит, и Т\.
Покажем, что §i является максимальным среди подпро-
подпространств 2„ инвариантных относительно Т* и таких, что Г*|2+е
е Си. В самом деле, положим для такого 2#
Т* = (Г* 18j\ К = № / е 2+, тг, (Г J / = 0}.
Подпространство 2^ инвариантно относительно Г#, и /Пг0 (Г^) = О,
Где т1^ = Г# 12^. Отсюда следует, что
;Г|2; = гГ->0 при /i->oo.
Поскольку ГфеСп, то 2^ = {0}. Итак, из условий /е?ф,
тг0 (Г#) / = 0 вытекает, что / = 0. Это равносильно соотношению
тГв(Г.Г8ф = 8.. B.3)
Для произвольного w e Н°° имеем
и(TJ = иГ (Г) = и~ (Г 12J = и (Г) \i^ = u (ТУ \2#
и, следовательно, при /g2# и fte§0
(и (Г.)* /, Л) = (и G7 /, h) = (I, и (Т) h) = (/, и (Го) Л).
В частности, при и = пгт получаем
(mr,(rj/,A)-0 (/ей, Ае§0),
откуда тГо (ГJ* 2^ JL ^> 0. В силу B.3) отсюда вытекает, что
I 1 РАЗЛОЖЕНИЙ Со-Йи
Наряду с триангуляцией B.1) рассмотрим также триангу-
триангуляцию
вида
[о1 г I- B.5)
Применяя рассуждения, аналогичные приведенным выше, или же
замечая просто, что существование триангуляции вида B.4)
равносильно существованию триангуляции вида B.2) для опе-
оператора Г*:
Г Г'
г- ' "
Г1
получаем, что Т\ и Го являются слабыми сжатиями классов
Сц и Со соответственно и что ${ содержит все. инвариантные
относительно Г'подпространства Ш, такие, что Г|2ИеСп, а &о
содержит все подпространства Ш^ инвариантные относительно Г*
и такие, что Г \ ЗИ, е= Со.
Будем называть То и Тх соответственно С^частью и Сп-частью
оператора Г. Очевидно, что С0-частью и Си-частью оператора Т*
являются Т'о* и Т\*.
Подпространства #0 и §i инвариантны относительно Г, по-
поэтому инвариантно и $on$i- Сужение оператора Г на это пере-
пересечение является одновременно сужением операторов Го^СОо
и Г^Сц и, следовательно, входит в Со. и С}.. Это возможно
лишь в случае, когда &0 П §i = {0}. Применив этот результат
к Т* получим, что §q П $[= {0}. Из очевидного соотношения
следует, что §0 V ^i = §•
Изучим теперь соотношения между спектрами. Заметим сна-
сначала, что для операторной матрицы
М-
\о х2\
(элементы матрицы суть линейные ограниченные операторы)
обратная
ЛГ
[хт1 -хт]хх;1]
[о *.- J
$66 ГЛ. VIII. СЛАБЫЕ СЖАТИЯ
существует в узком смысле, если Х\ 1 и Х2 l существуют в узком
смысле. На основании B.4)
[Т 1 Г V 1
2 1 ДУ 1 1
О Го-А/о-Г
Применяя B.6), находим
B.7)
Докажем, что сжатия То и То класса Со имеют одну и ту же
минимальную функцию
mT (A,) = m_/ (Я). B.8)
¦'о о
По теореме III. 5.1 отсюда будет следовать, что а(Т0) =
и B.7) примет вид
-'¦¦ -¦ B.9)
Для доказательства B.8) рассмотрим каноническую и *-кано-
ническую факторизации функции вг(Я)
@т (Я) = во (Я) в! (Я), вг (Я) = в! (Я) в0 (Я). B.10)
Они отвечают соответственно триангуляциям B.4) и B.1) опе-
оператора Г. Функция тТй(Х) является скалярным кратным функ-
функции вго(Я) (см. теорему VI. 5.1), а следовательно, и функ-
функции во(Я) (поскольку чистая часть во(Я) совпадает с @то(^))*
Как было отмечено в начале доказательства, функция в'(Я)
обладает скалярным кратным, а в силу теоремы V. 6.2 —даже
внешним скалярным кратным 6* (Я). Отсюда следует, что вг(Я) =
¦» в' (Я) в0 (Я) обладает скалярным кратным б (Я) = де (Я) тГо (Я).
Поэтому внутренний множитель во (Я) в канонической фактори-
фактори4
зации вг(Я) = б44Ш^(^ имеет, в качестве скалярного кратного
внутренний множитель "функции б (Я), т. е. функцию пгт (Я) (см.
предложение V.6.4, (б)). Поскольку в^ (Я) совпадает с чистой
частью в^(Я), то в / (Я) обладает скалярным кратным пгт (Я),
а так как Г^еС0, то пгТо{Т^ = 0 (см. теорему VI. 5.1). Отсюда
следует, что m , (Я) является внутренним делителем пгт (Я).
Проведя рассуждения о факторизациях B.10) в обратном порядке,
мы придем к выводу, что тГо (Я)— внутренний делитель функ-
функции пгт/ (Я). Поскольку минимальные функции определены
0
с точностью до постоянных множителей, равных по модулю 1,
то B.8) доказано.
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ С0-Си
367
Итак, включение B.9) установлено. Докажем обратное вклю-
включение, т. е. покажем, что
чт(Г0)с:а(Г), а (Г,) с: а (Г). B.11)
Точки спектра а(Г0), лежащие внутри единичной окружности С,
являются собственными значениями Го (поскольку Го е Со) и,
следовательно, собственными значениями Г. С другой стороны,
спектр a(Ti) лежит на окружности С на основании предложе-
предложения VI. 4.3 и того факта, что З^еСц, а вгДА,) обладает ска-
скалярным кратным. Таким образом, чтобы установить B.11), нам
остается рассмотреть лишь части спектра, лежащие на С.
Докажем более общее утверждение, а именно:
а(Г|?)ПСс:а(Г) B.12)
для любого инвариантного относительно Т подпространства 8,
где Г— произвольное сжатие в ф.
В самом деле, из разложения
сходящегося при |н»1>1 следует, что 8 является инвариантным
и для Gi/— Г)" и
GiZ-rrMa-Gi/e-rier1 (liil>i). B.13)
Если е — точка на С, принадлежащая резольвентному множе-
множеству Г, то Ох/ — Г) стремится по норме к (е7 — Г)" при jx->e.
Поэтому правая часть B.13) также стремится по норме к пре-
пределу, который необходимо равен (г1& — Т \ 8)"" . Итак, каждая
точка 8GC, принадлежащая резольвентному множеству опера-
оператора Г, принадлежит также резольвентному множеству опера-
оператора Г|8. Отсюда следует B.12).
.Таким образом, соотношения B.11) доказаны. Вместе с B.9)
они дают равенство
о(Г)-а(Г1)иог(Г0).
Подведем итоги.
Теорема 2.1 (разложение С0 — Сп). Пусть Г — слабое
вполне неунитарное сжатие в ?>. Среди подпространств 8, инва-
инвариантных относительно Т и таких, что Т \ 8 s Co, существует
максимальное у обозначаемое через ?>0. Точно так же среди под-
подпространств 2R, инвариантных относительно Т и таких, что
Т\Ш(=Си, существует максимальное, обозначаемое через §х.
Сжатия
rQ = r|§0 и 7*1 = Л ?i.
368 ГЛ. VIII. СЛАБЫЕ СЖАТИЯ
называемые соответственно С0-частью и Сп-частью оператора!,—
это как раз те сжатия, что фигурируют в триангуляциях
вида
[о т[У [о т'А
Г Со. * -I ГС, * 1
[о c,.J и [о с.0\
соответственно. При этом Т'о и Т[ являются С0-частью и
С\\'Частъю оператора Т*. Все рассматриваемые сжатия слабы, и,
кроме того, То и Т'о имеют одну и ту же минимальную функ-
функцию. Справедливы соотношения
&0V§, = §, §0П ^ = {0}, B.14)
а(Г) = а(Г0)иа(Т1), B.15)
и спектр о(Т{) лежит на единичной окрижности С.
, Замечание. Из доказанной теоремы и из теоремы III. 5.1
вытекает, что для всякого слабого сжатия (не обязательно вполне
неунитарного) часть спектра, лежащая внутри С, дискретна.
2. Для инвариантных подпространств слабого сжатия, в кото-
которых индуцируется также слабое сжатие (а это, как показано
в § 1, имеет место не всегда), справедливо следующее
Предложение 2.2. Пусть выполняются предположения тео-
теоремы 2.1, и пусть Si —такое инвариантное относительно Т под-
подпространства, что Г« = Г|Й является слабым сжатием. Тогда
подпространства 20 и 21э отвечающие С0-части и Сп-части опера-
оператора Т%, удовлетворяют соотношениям
?о = ?П§о, 21ет?П?,. B.16)
Доказательство. Поскольку 20 инвариантно относи-
относительно Т и Т |?о = Ге |20^ Со, то в силу максимальности ф0
имеем 20с:§0. Аналогично 2, cz $,. Таким образом,
ЙоСЙПФо. Si<=Sn$i. B.17)
С другой стороны, так как 20 является подпространством, отве-
отвечающим Co-части оператора Г§ в триангуляции вида B.2), то
2о ={/;/€= 2, Г?/->0}. B.18)
Поскольку Т = Тп1 при /g2, to 20=э2П&0- Первое равен-
равенство B.16) доказано.
Для доказательства второго равенства нам остается пока-
показать, что 21iD2n$i. В силу свойства максимальности 2j для
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ С0-Си 369
этого достаточно доказать, что
Гл = Л2леС1ь где ?л=2П#1. B.19)
Поскольку ГЛ « (Г | ?,) | &Л = г, | фл> а З^еСц, то Гл^. . Для
того чтобы отсюда вывести B.19), достаточно показать, что ГЛ
является слабым сжатием (тогда его характеристическая функ-
функция будет обладать скалярным кратным и потому будет не
только *-внешней, но и двусторонне внешней). Оператор ГЛ есть
сужение слабого сжатия Г на инвариантное подпространство $А.
Поэтому остается доказать, что о(ТА) не покрывает D.
С этой целью рассмотрим триангуляцию оператора ТА отно-
относительно инвариантного подпространства 2^
Г Г ХЛ
[о т»у
B.20)
Поскольку Г' == Гд 1 2i = Гй |2Ь то V является Си-частью Га и,
следовательно, о(Т')аС. Заметим, далее, что 2/г содержится
в пространстве 8 081э отвечающем С0-части оператора П. Обо-
Обозначим эту С0-часть через S. Пусть и (А,) — произвольная функция
из Я°°. Из того факта, что 2" инвариантно относительно Г* ^Л
инвариантно относительно Гз, a 808i инвариантно относи-
относительно Т\у и из включений фЛ гэ 2", й©81=э8// вытекает, что
где РА — ортопроектор из § на §л. Беря в качестве и мини-
минимальную функцию оператора S, получаем
Итак, Т"<^С0 и, следовательно, часть о(Т") в D дискретна.
В силу включения g(T')czC и формулы B.6) имеем
и, значит, а(ТА) не покрывает D.
Теорема доказана.
3. Следующие два предложения являются полезными допол-
дополнениями к предыдущим результатам.
Предложение 2.3. Если спектр слабого сжатия Т не покры-
покрывает единичной окружности С, то сужение Т на любое инва-
инвариантное подпространство 2 также является слабым сжатием.
370 ГЛ. VHI. СЛАБЫЕ СЖАТИЯ
Доказательство. Нам нужно показать лишь, что спектр
оператора Ге = Г|? не покрывает единичный круг D. Для этого
будем исходить из соотношений
[Ох/ - Г)18]. [ц/а - Г«] - [\xh - Г8] • [([г/ - Г)1 й] = /я, B.21)
справедливых при ||г|>1 в силу B.13). Заметим, что в наших
предположениях резольвентное множество оператора Г есть
(связная) область G, содержащая всю внешность единичной
окружности С, одну или несколько дуг на С и всю внутрен-
внутренность С, кроме некоторого дискретного множества. Соотноше-
Соотношения B.21), справедливые во внешности С, сохраняют силу всюду
в G, ибо наши множители являются аналитическими функ-
функциями от и, (один аналитичен в Qy другой — всюду). Это озна-
означает, что резольвентное множество оператора Ге содержит G
и, следовательно, спектр Гв не покрывает D.
Предложение 2.4. В условиях теоремы 2.1 имеют место соот-
соотношения
Фо = {/г: Аш$, тГо(Г)А = О}, B.22)
Ф,-тГв(Г)ф. B.23)
Следовательно} подпространства Фо и §\ ультраинвариантны
относительно Т.
Доказательство. Обозначим временно правую часть
равенства B.22) через 80. Поскольку
пгт (Г) h = тГо (Го) h = 0 при h e ^0,
то ^о<zz &0- С другой стороны, Йо инвариантно относительно 7\
и пгТо(Т |?0) = 0. Следовательно, Т |20^ Со. Из максимальности Ьо
вытекает поэтому, что % а ф0. Этим доказано B.22).
Для доказательства B.23) заметим сперва, что
Гв {А: Ае§, тГо(П#Л = О}. B.24)
Поскольку Го и Го имеют одну и ту же минимальную функ-
функцию, то
тт (ТУ - тг/ (Г)* = т;, (Г*) = mf/. (Г*).
го ^о 'о 'о
Так как,Го* является Co-частью Г , то, применяя B.22) к опера-
оператору Г* вместо Г, получаем, что правая часть равенства B.24)
равна §о, т. е. §©§i. Отсюда следует равенство B.23).
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЙ РАЗЛОЖЕНИЕ СЛАБЫХ СЖАТИЙ S71
§ 3. Спектральное разложение слабых сжатий
1. Пусть Г —вполне неунитарное слабое сжатие в простран-
пространстве ?, То и Г!-его Со- и Си-части (Го = Т |ф0, Тх = Т\ $х), и
пусть
"Ji^H (зл)
— каноническое представление минимальной функции опера-
оператора То как внутренней функции: В (К) — произведение Бляшке,
|х — неотрицательная мера, определенная на борелевых множе-
множествах отрезка @, 2п) и сингулярная относительно меры Лебега.
Сопоставим каждому борелеву подмножеству со комплексной
плоскости внутреннюю функцию ш^(Х) по формуле
4±1фЛ, C.2)
(СП со) в ~Х J
где Вш (к) — произведение тех множителей из В (А,), нули которых
содержатся в оо.
Введем в рассмотрение подпространства Ф0(со)с:«&0и $i(to)cz$u
определив их следующим образом:
§0 (<о) - {h: h s К m^ (TQ) h = 0}, C.3)
a «&! (со) совпадает с пространством Фа, отвечающим в смысле
теоремы VII. 5.2 сжатию Т{ (Сп-части оператора Т) и борелеву
множеству а = СПю- Из C.3) следует, что ФоС00) ультраинва-
риантно относительно Го, а из теоремы VII. 5.2 —что ${ (со)
ультраинвариантно относительно Г^ В частности §0 (со) и §1@)
инвариантны относительно То и Г! соответственно и, следова-
следовательно, инвариантны относительно Г. Подпространство
&(cd) = §o@)V &i(cd) C.4)
также инвариантно относительно Г. Более того, «&(со) ультраин-
ультраинвариантно относительно Т.
Действительно, рассмотрим линейный ограниченный опера-
оператор X, перестановочный с Г. Поскольку Фо и #i ультраинва-
риантны относительно Т (см. предложение 2.4), то Z$y cz §;.;
кроме того, оператор J/ = Z|§/ перестановочен с Tf (/ = 0, 1).
Поскольку §/.(со) ультраинвариантно относительно Г/, то J§y(©) =
=-У/Ф/(ю) с: ф* (©) (/ = 0, 1), откуда Х§ (©) cz § (со). Этим дока-
доказана ультраинвариантность Ф(со) относительно Г.
Покажем, что Т (со) = Г | ф(ш) — слабое сжатие. Для этого
рассмотрим сначала Го(со) = То \ §0(со) (=Г|ФО(С°)) и ^lt©M3
872 гл. vm. слабые сжатий
¦=» Тх \$х (со) (= Г l^i (со)). Из определения C.3) пространства Ф0(ю)
и из теоремы III. 6.3 вытекает, что минимальной функцией
для Го (со) служит т@(А). Поскольку нули т@(Я) в D составляют
часть множества нулей тГп(к), то на основании теорем III. 5.1
и 2.1
а(Го(со)) П D cz а(То) П D = а (Г) П D. C.5)
Что касается оператора Г^со), то весь его спектр лежит на
единичной окружности (теорема VII. 6.2, примененная к Т{^Си
и а == С П со). Пусть a^D — точка, не принадлежащая о(Т).
Тогда она не принадлежит ни а(Г0(со)), ни G^(со)) и потому
(Tj (со) — alj) Фу (со) = Фу (со) (/ = 0, 1; // — единичный оператор в ФД
Отсюда следует, что
(Г - al) Ф (со) = (Г - а/) [ф0 (со) V Ъх (со)] =
= (Го (со) - а/0) Фо (со) V (Т{ (со) - аЛ) $х (со) = §0 М V $х (со) = § (со).
Учитывая, что Г —а/ —взаимно однозначное и взаимно непре-
непрерывное отображение § на <&, получаем, что Г (со) — al§ щ — ото-
отображение того же типа в пространстве Ф(со), и, следовательно,
а(?ст(Г (со)). Этим доказано, что Г (со) является слабым сжатием.
Обозначим через Ф(соH и ф (со)! подпространства в Ф(со),
в которых действуют соответственно Со- и Сп-части Г (со). Дока-
Докажем, что
«(©)/-«/(©) (/ = 0,1). C.6)
Заметим прежде всего, что в силу предложения 2.2
Ф(©), = Ф(ю)П*>/. C.7)
Поскольку Ф/ (со) cz фу по определению пространства фу (со),
а, с другой стороны, «&/ (со) с ф (со) по определению C.4) про-
пространства Ф(со), то из C.7) вытекает включение
ФЫу^ф/М (/ = 0,1). C.8)
Чтобы получить C.6), остается доказать обратное включение.
Так как каждое /г^Ф(со) является пределом последователь-
последовательности {hQnt+hln}, где А0ле"ф0(со), Л1л^ф1п(со), то
тл (Г) /г = Нт тф (Г) (АОя + А1п) = Нт тш (Г) А1я е •&! (со) cz Ф1в
С другой стороны, при А^Ф(со)П Фо имеем /пш(T)h = т@(Г0)Аеф0.
Поскольку Фо П §i = {0}, то тш (Г) А == 0 и, следовательно, /г е= ф0(со)
для таких /г. Учитывая C.7) (при / = 0), видим, что Ф(соHс:ф0(со).
На основании C.8) справедливо C.6) при / = 0,
___ » $, СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СЛАБЫХ СЖАТИЙ 87$
Что касается случая /«=1, то напомним прежде всего, что
минимальная функция оператора Г0(со) равна т@(Я). Применяя
предложение 2.4 к Т (со), получаем
© (со), = тш (Т (со)) § (со) - тш (Г) ф (со) = тш (Г) (?0 (со) V ©i (со)) =
= тш (Го) §0 (со) V тш (Г,) ^ (со) = ^W) с= $| (со),
что вместе с C.8) (при /= 1) дает C.6) при /= 1.
На основании C.6) соотношение B.15), примененное к Г (со)
вместо Ту дает
Из теоремы III. 6.1 следует, что а (Го (со)) d ш, а из теоремы
VII. 6.2 - что а (Т{ (со)) cz а с= 6 (где а = С П со). Таким образом,
для любого борелева подмножества со комплексной плоскости
ст(Г (со)) с: со. C.9)
Покажем, что если со замкнуто, то § (со) содержит все под-
подпространства 2 пространства ф, инвариантные относительно Т
и такие, что (а) Гя = Г|2 является слабым сжатием и (б)
а (Т$) cz со.
Для этого заметим сперва, что если через 20 и %{ обозна-
обозначить подпространства, отвечающие Со- и Сп-частям оператора Г#,
то, как следует из B.15),
(ОМ где 7\-Г«|Я/ = Г|8/ (/ = 0, 1). (ЗЛО)
Поскольку Tg. s Co, то из максимальности пространства §>0
вытекает включение 20 cz ф0, так что тг0 (?Ч) = /^гп (Го) 18о = О.
Обозначая минимальную функцию оператора Г^о через /о (Я),
видим, что /0(А,) является делителем штЛ^)- С другой стороны,
в силу C.10) aJTsJczco. Поэтому функция /0(А,) в соответствии
с теоремой III. 5.1 обладает следующими свойствами: A) ее
нули в D принадлежат множеству со, B) она аналитична на
каждой открытой дуге окружности С, смежной с замкнутым
множеством а = Of] со. Из C.1) и C.2) вытекает, что внутренние
делители функции ттЛ^)> обладающие этими свойствами,
являются также делителями тш(Я). Из включения 20 с: «§>0 сле-
следует, что при h щ 20
/о (Го) А =/о G4) А = 0.
Поскольку 10(Х) является делителем т^А,), то тО)(Г0)А = 0 и,
следовательно, на основании C.3) Аеф0(со). Таким образом,
20d?0(co). . C.11)
874 гл. vm, слабые сжатия
С другой стороны, поскольку из C.10) вытекает также, что
orGV) с: со, то множество a*» Cflto является остаточным для
оператора Тя^Сц (см. теорему VI. 4.1 и § VII. б). Из уста-
установленного в теореме VII. 5.1 свойства максимальности прост-
пространства типа $а следует тогда, что
2^^ (со). C.12)
Применяя B.14) к 2 (вместо Ф), получаем с учетом C.11) и
C.12)
2 = 20 V &i с ф0 (со) V Ъх (со) - # (со),
откуда вытекает свойство максимальности подпространства Ф (со).
Таким образом, нами доказаны некоторые из утверждений
сдедующей теоремы.
Теорема 3.1 (спектральное разложение). Пусть
Т — вполне неунитарное слабое сжатие в пространстве ф. Каждому
борелеву подмножеству со комплексной плоскости отвечает такое
ультраинвариантное относительно Т подпространство $ (со) cz §,
что
(а) Т (со) = Т | ф (со) есть слабое сжатие и а (Т (со)) сг <5>; при
этом если со замкнуто, то $ (а) — максимальное подпространство,
удовлетворяющее этим условиям (т. е. содержащее все такие
инвариантные относительно Т подпространства 2, что Т% = Т \ 2
является слабым сжатием и о (Tz) cz со);
(б)
для любой последовательности {со„};
{0} при со=0,
(в) ?(со)=^
(г) ф(со) ^{0} для любого открытого,®, такого, что ©Псу(Г)
Доказательство. Нам осталось доказать (б), (в) и (г).
Свойства (б) и (в) являются простыми следствиями соответ-
соответствующих свойств пространств $0((х>) и ^(со). Для пространств
§0(со) эти свойства вытекают на основании теоремы III. 6.3, (в)
из того факта, что ти©п и шпшп являются наименьшим общим
кратным и наибольшим общим делителем функций шШ/2. Для
пространств 21(со) свойства (б) и (в) вытекают из теорем VII. 6.2
и VII. 6.2.
Для доказательства (г) рассмотрим какое-нибудь открытое со.
Если ф0 (со) = {0}, то функция mw(A,) постоянна. Это возможно
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СЛАБЫХ СЖАТИЙ 376
лишь в том случае, когда © не содержит ни одного нуля про-
произведения Бляшке В (А,) и |i(p) = 0 для открытых дуг р а С,
составляющих а = СП<о. Поэтому функция ттй[Ъ) аналитична
на р. Из теоремы III. 5.1 вытекает тогда, что © содержится
в резольвентном множестве оператора То. С другой стороны,
если $i(co) = $a = {0}, то по теореме VII. 5.2 множество С\а
является остаточным для Ти т. е. оператор &rAeii) изометричен
почти всюду на (а). В силу предложения VI. 4.3 множество а
(состоящее из открытых дуг) содержится в резольвентном мно-
множестве оператора Тх.
Таким образом, из условия Ф(©) = {0} вытекает, что © со-
содержится в резольвентных множествах операторов Го и Ти а,
следовательно, пересечение © с а(Г) = о(Т0) [}Ь(Т{) пусто, т. е.
утверждение (г) справедливо.
Теорема 3.1 доказана.
2. Теорема 3.1 показывает, что подпространства Ф(©), ультра-
ультраинвариантные относительно Г, обладают свойствами, аналогич-
аналогичными свойствам спектральных подпространств нормального
оператора.
В частности, если о(Т) состоит более чем из одной точки,
то эта теорема дает нетривиальное спектральное разложение
пространства Ф и, следовательно, существование нетривиальных
инвариантных относительно Т подпространств. Действительно,
достаточно взять два открытых непересекающихся множества
©! и ©2, имеющих непустое пересечение с а (Г), Тогда простран-
пространства §(©i) и Ф(©2) будут отличны от {0}. Поскольку #(©i)fl
П Ф (©2) =¦ {0}, то ни одно из них не равно ф. Следовательно,
Ф(а>1) и Ф(©2) будут нетривиальными непересекающимися под-
подпространствами, ультраинвариантными относительно Т.
Рассмотрим случай слабого сжатия в Г, спектр которого
сводится к одной-единственной точке: <т(Г)«{т}. Будем разли-
различать два подслучая: |т|<1 и |т|=1.
1) Если |т|<1, то по теореме о спектральном радиусе (см.
[Лекции], п. 149) || Тп\\"-+\ т |< 1 и, следовательно, ||Гп||->0.
Поэтому Т не имеет унитарной части й даже Си-части, т. е.
ГеС0. Из теоремы III. 5.1 вытекает, что минимальная функ-
функция сжатия Т имеет вид
[_гх) (п натуральное). C.13)
Для слабого сжатия C.13) может иметь место только в случае
(Нтф<оо. В самом деле, пусть 2Т — подпространство реше-
решений уравнения ГЛ = тЛ. Это подпространство инвариантно
376 ГЛ. VIII. СЛАБЫЕ СЖАТИЯ
относительно Г, и 7\=Т |2Т удовлетворяет соотношению 1%—ТХТХ =
= A — | т |2) /т (через 1Х обозначен единичный оператор в йт).
Так как оператор A — |т|2Oт обязан быть ядерным, то dim2T =
= rfT<oo. Пусть 2 —произвольное подпространство в ф конеч-
конечной размерности d. Поскольку, согласно C.13),
(Г-т/У-О, т.е. Tn = cJ + cxT+ ... +сп-хТп~\ C.14)
то подпространство 9К, натянутое на 8, Г2, ..., Г""?, инва-
инвариантно относительно Г. Таким образом, dim Ш ^nd< oo, и
мы можем выбрать в WI такой базис, в котором матрица опе-
оператора Т \Ш имеет нормальную жорданову форму. Из C.14)
следует, что порядок клеток Жордана не превышает п. По-
Поэтому число v этих клеток не меньше — dim Ш. С другой сто-
стороны, каждой клетке отвечает собственный вектор Т и эти соб-
собственные векторы образуют линейно независимую систему.
Поэтому v^dt. Таким образом, d ^ dim Ш <; nv ^ ndXf а зна-
значит, и само Ф имеет размерность, не превышающую ndx.
2) В случае а(Г) = {т}, |т|=1 оператор Т вполне неунитарен
тогда и только тогда, когда т не является его собственным
значением (при этом безразлично, является ли сжатие Т сла-
слабым или нет). Это вытекает немедленно из спектральной тео-
теоремы, согласно которой изолированная точка спектра унитар-
унитарного оператора является его собственным значением.
Предположим поэтому, что сжатие Т в ф таково, что
а(Г) = {т}, |т|=1 и т не является собственным значением Г.
Поскольку оператор Т вполне неунитарен, то, согласно пред-
предложению П. 6.7, он входит в класс Соо. Если при этом характе-
характеристическая функция сжатия Г обладает скалярным кратным
(это имеет место, в частности, для слабого сжатия Т в сепара-
бельном ф), то Т е Соо влечет ГсС0. По теореме III. 5.1 мини-
минимальная функция оператора Т имеет вид
C.15)
где еа (к) = exp fa т—j) (см- доказательство предложения III. 7.3).
Очевидно, этот случай мoжef иметь Место лишь для бесконечно-
бесконечномерных ф. Мы вернемся к изучению таких сжатий в следующей
главе.
Комментарии
Результаты этой глаЁы были анонсированы в С.-Н. и Ф. [7],
где слабые сжатия назывались „почти унитарными сжатиями".
Термин „слабое сжатие" был предложен М. Г. Крейном [1]
(что дало возможность избежать парадоксальных сочетаний вроде
КОММЕНТАРИИ 377
„вполне неунитарное почти унитарное сжатие"). Впрочем, опе-
операторы Г, для которых d - Т*Т и / — ТТ* имеют конечномерную
область значений, именовались также „квазиунитарными"
Лившицем [2] и другими авторами (см. Поляцкий [1], [2]).
Теоремы настоящей главы в их общем виде представляются
новыми даже в случае конечных дефектных чисел.
Заметим, что для диссипативного оператора А с ядерной
мнимой компойентой A;гAтЛ)<оо) преобразование Кэли есть
слабое сжатие Т (см. § IX. 4). Поэтому спектральное разложе-
разложение Т порождает соответствующее спектральное разложение Л.
В случае когдз оператор А ограничен и со является либо пере-
пересечением а (А) с вещественной осью, либо частью а (А), лежащей
внутри верхней полуплоскости, соответствующее спектраль-
спектральное подпространство Ф(со) было построено другим методом
М. С. Бродским [8]. Результаты, близкие к теоремам 2.1
и 3.1, были получены Гинзбурго^м [3], который использо-
использовал некоторые предложения статьи С.-Н. и Ф. [IX] и применял
метод мультипликативных интегралов.
ГЛАВА IX
ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ
И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
§ 1. Сжатия, подобные унитарным операторам
1. Напомним, что операторы А и В (ограниченные или не-
неограниченные) в гильбертовых пространствах 21 и 33 называются
подобными, если существует такой аффинитет (взаимно одно-
однозначное и взаимно непрерывное линейное отображение 91 на 33)
S, что A = S~~lBS.
Мы охарактеризуем сжатия, подобные унитарным операто-
операторам. Для этого нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1.1. Пусть
•— два ортогональных разложения гильбертова пространства 9Ji,
Р% и Р% — ортопроекторы из Ш на % и 33 соответственно. Пред-
Предположим, что Рш отображает Ж на 91 взаимно однозначно и
взаимно непрерывно. Тогда Я© отображает 2) на ® также
взаимно однозначно и взаимно непрерывно. Точнее, если
= % и \\Р^х\\>с\\х\\ для любого xg! A.1)
с некоторой положительной константой с, то
ЯвЭ = » и II Р*У \\>с\\у\\ для любого у е % A.2)
. Доказательство. Поскольку
то
С2||Рях|р>||Р8х||2, где С
Таким образом, из A.1) вытекает, что формула
А (Ршх) = Psqx (x е= Ж)
определяет линейный ограниченный (числом С) оператор А из 91
в 25. Поскольку график этого оператора {а@Аа\ aet} совпа-
совпадает с {РкХ@Р%х: х^Щ, т.е. с X, то его ортогональное до-
дополнение {— A*b@b\ 6^23} совпадает с 2). Это означает, что
8 h ЯЩУН*' ПОДОЕЩД| УНИТАРНЫМ ОЦВРЛТОРАМ
33 и Р%у = - А*Р%у для любого у е= g). Отсюда
Тем самым- доказано утверждение A.2).
2. Пусть Т - сжатие в Ф, подобное унитарному оператору У,
т. е. Г =» S~~ VS, где S и S"" — ограниченные всюду определен-
определенные операторы. В этом случае операторы Г" и Г*" суще-
существуют в узком смысле, и для любого целого п
Т~п шш S"lV~nS, Г"п = S*VnS?"\
откуда
11г~1<&, |r<fe при fe-iisii.Is^hns'ii.Is'!.
Полагая с == -г, имеем
\\Tnh\\>c\\hl \rnh\^c\\h\\ для любого Ае§. A.'3)
Пусть 51 — пространство минимальной унитарной дилата-
ции U оператора Г, 5R — подпространство остаточной части R
оператора /7. Из второго неравенства A.3) на основании (II. 3.2)
следует, что
|| (Ае«), A.4)
где Рш — ортопроектор из $ на 9t. Поскольку 0 не является
собственным значением сжатия Г, то по предложению II. 3.2
Из A.4) вытекает тогда, что
И A.5)
и, следовательно, оператор
X = Pd? A.6)
является аффинитетом из ф на SR, а X* — аффинитетом из 9?
на ?>. В силу A.3) имеем, с учетом предложения П. 3.5,
X*R = ТХ\ т. е. Т подобно R. Итак, если сжатие подобно уни-
унитарному оператору, то оно подобно остаточной части своей
минимальной унитарной дилатации.
Поскольку пространство &+ минимальной изометрической
дилатации Т допускает разложения
A.7)
380 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛБТОЧНОСТИ
(см. теорему II. 2.1), то из A.4) и A.5) на основании леммы 1.1
вытекает, что
A-8)
Отсюда следует, что оператор
является сжатием из М+B) в M+(SJ, обладающим обратным
в строгом смысле, jQ'j^l/c.
Все эти утверждения справедливы в пространстве § любой
размерности. Пусть § (а с ним и Л) сепарабельно. Используя
представления Фурье Ф8 и Ф2* и, в частности, лемму V. 3.2, (д),
получаем, что сжимающая аналитическая функция {?, 2*, 8а (А,)},
отвечающая оператору Т в смысле предложения VI. 2.1, обла-
обладает тем свойством, что вл(Я)" существует в узком смысле
для любого ^gD и
Поскольку в* (к) совпадает с характеристической функцией ®т (к)
оператора Т (предложение VI. 2.2), то мы приходим к такому
результату: если сжатие Г подобно унитарному оператору,
то @т(к) существует в узком смысле при любом 1еД причем
эта функция ограничена константой, не зависящей от к.
3. Покажем, что это условие является также и достаточным
для того, чтобы сжатие Т было подобно унитарному оператору.
Предположим, что оператор ^(к) существует в узком
смысле для любого k&D и ограничен константой —, не зави-
с
сящей от к. Это же будет тогда справедливо для функции
{2, 2*, &q (к)}, совпадающей с {?)г> ?)г*> ®т (Я)}. Отсюда с учетом
формулы (VI. 2.3), определяющей вя(А,), и леммы V. 3.2, (д) сле-
следуют соотношения A.8). В свою очередь из A.8) на основа-
основании A.7) и леммы 1.1 вытекают соотношения A.4) и A.5), вы-
выражающие тот факт, что отображение Х = Рщ|§ является
аффинитетом из Ф на SR и ЦЛ"!^ —. Второе соотношение (П. 3.7)
дает X*R = ТХ\ Поскольку X* — аффинитет из 91 на §, то Т по-
подобно R. ,
Условия, наложенные на &т (к), очевидно, эквивалентны
условиям
\\®T(Vg\\>c\\g\\ При ?6=©Г> 1ЕД A.9)
т = Ът* при leD, A.10)
% 1- СЖАТИЯ, ПОДОБНЫЕ УНИТАРНЫМ ОПЕРАТОРАМ 381
Докажем, что нам достаточно потребовать, чтобы усло-
условие A.9) выполнялось для всех IeD, а условие A.10) —
по крайней мере для одного 10eD. Для этого обозначим че-
через Л множество тех AeD, для которых оператор вг (X) обра-
обратим в узком смысле. Это множество, очевидно, открыто и не-
непусто (оно содержит Яо). Покажем, что из условий
вытекает, что X <= Л; тем самым будет доказано равенство
Л = D. На основании A.9) будем иметь ||вг (Хп)~1 || < 1/с. В соот-
соотношении
вг (я) = вг (к) У + вг (КГ1 (в, (х) - вг (хп))}
при ХПУ достаточно близком к X, выполняется неравенство
\\вг(Х) — &т(Хп)\\<с; следовательно, ^еЛ. Таким образом,
Л = /), т.е. A.10) справедливо при всех А<=?).
Итак, доказана
Теорема 1.2. Для того чтобы сжатие Т в сепарабельном
гильбертовом пространстве было подобно унитарному оператору,
необходимо и достаточно, чтобы оператор вт(Х)~] существовал
при всех IeD и чтобы sup|er (A,)^ оо или, что то же са-
самое, чтобы 0Т(Х) удовлетворяла условиям A.9) и A.10) {второму
по крайней мере для одного X^D — a тогда и для всех).
Именно, при этих условиях оператор Т подобен остаточной
части своей минимальной унитарной дилатации.
Напомним (см. п. VII. 5.1), что для вполне неунитарного Т
оператор R унитарно эквивалентен оператору умножения на еи
в функциональном пространстве
бГ), где Лг@-[I-вт(е»Г®т(е")]т. A.11)
Поэтому имеем
Следствие 1.3. Если сжатие Т подобно унитарному опера-
оператору, то его вполне неунитарная часть подобна умножению
на elt в пространстве A.11).
Условиям теоремы 1.2 можно придать иную форму, где
вместо характеристической функции фигурирует резольвента.
Для этого заметим, что на основании предложения VI. 4.2
функция Цвт^А,)! ограничена в D тогда и только тогда, когда
ограничена функция A- |А,|)||(ЯГ Т) j.
Таким образом, из теоремы 1.2 вытекает
382 гл. ix, проблем додовия, квазиподоеи^ \i одноклнтрчнрсти
Следствие 1.4. Для того чтобы сжатие Т в гильбертовом
пространстве Ф было подобно унитарному оператору, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы открытый единичный круг D при-
принадлежал резольвентному множеству оператора Т и чтобы су-
существовала такая константа а, что
для Я, €5 Я.
Впрочем, достаточно потребовать, чтобы в D существовала
хотя бы одна точка резольвентного множества и чтобы
||(Л/-Г)Л||>|AЧМI|А11 Для Ле=ДЛе=§.
Последнее замечание доказывается так же, как аналогичное
замечание относительно функции вг (X).
§ 2. Квазиподобие некоторых сжатий
1. Обратимся снова к изучению сжатий ГеС0, спектр ко-
которых состоит из единственной точки т на единичной окруж-
окружности. Заменяя Т на хТ, можно свести общий случай к случаю
т= 1. Тогда минимальная функция оператора Т будет иметь вид
шт (X) = еа {X) = ехр Га 1~Ц], где а = ат> 0. B.1)
Напомним, что в предложении III. 7.6 было построено неко-
некоторое возрастающее семейство инвариантных относительно Т
подпространств; если оператор Т одноклеточен, то он не имеет
других инвариантных подпространств.
В дальнейшем мы будем рассматривать только сепарабельные
пространства. Начнем со следующего предложения.
Предложение 2.1. Всякое сжатие Т ег Со, такое, что а{Т) = {1},
Ьг = Ьг*=1, является одноклеточным.
Доказательство. При сделанных предположениях ха-
характеристическая ^функция оператора Т совпадает с его мини-
минимальной функцией' (рассматриваемой как операторная функция
в Е1; см. замечание после теоремы VI. 5.2). Следовательно, опе-
оператор Т унитарно эквивалентен оператору Т в пространстве Н,
где Т и Н определены равенствами
т (ибН) B.2)
(см. теорему VI. 2.3).
_ § 2. КВАЗЙПОДОВИЕ НЕКОТОРЫХ СЖАТИЙ __883
Оператор Т является сужением на Н оператора, сопряжен-
сопряженного к оператору U+ умножения на X в Я2. Для того чтобы
подпространство Н/ пространства Н было инвариантно относи-
относительно Т, необходимо и достаточно, чтобы Н © Н/ было инва-
инвариантно относительно оператора, сопряженного к U + , или, что
равносильно, чтобы #20(Н0Н') было инвариантно относи-
относительно U+. Но подпространства, инвариантные относительно U + ,
имеют вид в#2($), где {S, Я1, ©(Я)} — некоторая внутренняя
сжимающая аналитическая функция (см. теорему V. 3.3). По-
Поскольку функция в (X) внутренняя, то dimS ^ dim El = 1, так
что либо dimg=l (и тогда %=*Е1, а в (X) является скалярной
внутренней функцией), либо dim§ = 0. Второй случай не может
иметь места, поскольку #20(Н 0 Н')*=ев#2.® Н' Ф {0}, где
а=-ат. Итак, ?s = E1 и
Н^вЯ2©^2. B.3)
Отсюда вытекает, что 0(X) — внутренний делитель еа(Х) в Я2
(а следовательно, и в Я001)), т.е. @(X) = eb(X) @<ft^a).
Таким образом, все инвариантные относительно Т подпростран-
подпространства имеют вид
B.4)
Поскольку ea-s = ea-t • et-s при 0 ^.s<t^.a и потому ea-sH2
czea-.tH2t то
HscHf при 0
Тем самым доказана одноклеточность оператора Г.
2. Из предложения III. 7.5, примененного к одноклеточному
оператору ГеС0 со спектром а(Г) = {1}, вытекает, что не су-
существует никакого нетривиального инвариантного относи-
относительно Т подпространства ?, для которого оператор Т \ ? имеет
ту же минимальную функцию, что и Т.
С этим замечанием тесно связано следующее
Предложение 2.2. Пусть ГбС0, а(Г) = {1}. Предположим,
что оператор Т ни на каком нетривиальном инвариантном под-
подпространстве не индуцирует оператора с той же минимальной
функцией. Пуать Т{ — сжатие с дефектными числами, равными 1,
имеющее ту же минимальную функцию, что и Г. Тогда Т{
является квазиаффинным преобразованием Т.
Доказательство. Пусть {$, (?, в(X)} — функция, совпа-
совпадающая с характеристической функцией оператора Т (заметим,
1) См. сноску на стр. 117,— Прим. ред%
384 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
что можно считать &„, = (§, поскольку T^CQQ и, следовательно,
вг (к) является двусторонне внутренней). Характеристическая
функция оператора Т{ совпадает со скалярной функцией еа(к),
где а = ат = атх. Рассмотрим вместо Т и Тх их модели Т и Т,
в функциональных пространствах Н и Нь 'определяемые ра-
равенствами
и = ±-{и{Х)-и{Щ ИН) B.5)
^щМ-щт (и^Н,). B.6)
По теореме VI. 5.1 минимальная функция является скаляр-
скалярным кратным характеристической функции, т. е. существует
такая сжимающая аналитическая функция {S, (?, ЩА,)}, что
Q (X) в (X) = в (I) Q (Я) = efl (Я) /в. B.7)
Зафиксируем feS и поставим в соответствие каждому
и^Н2(&) скалярную функцию
Очевидно, iif^H2. Более того, если v{^H2, то
2л
j
(и/, ^^i)№ = -^ j («(e'O,
J
0
Учитывая B.7), получаем
{иь еаюх)н2
где
Последнее соотношение показывает, что если и±.@Н2(Щ'у то
Uf _L ваЯ2. В силу B.5) и B.6) это означает, что
Rf : и (Я) -> и, (Л) = (и (Я), /)в (и е Н) B.8)
есть линейное непрерывное отображение Н в Н1# При «gH
имеем
_ § 2. КВАЗИПОДОБИЕ НЕКОТОРЫХ СЖАТИЙ $88
Таким образом,
RfV-TlRf B.9)
и, следовательно,
.Тф-фТ,. B.10)
Покажем, что при подходящем f оператор Rf будет квази-
квазиаффинитетом Н в Hj и потому R* будет квазиаффинитетом Нг
в Н; на основании B.10) это означает, что Тг является квази-
квазиаффинным преобразованием Т.
Поступим следующим образом: для произвольного s,
0^s<a, положим
®, = {f;f<= в, ((es (Г) и) (X), f)e« 0 при всех «gH.^D), B.11)
Множество 6S является нетривиальным подпространством в (?
(в противном случае (es(V)u)(K)ssQ, т.е. es(T*) = O, в то время
как минимальной функцией оператора Т* является еГ( = О)-
Более того, поскольку et(V) = es(V) et-s(T) при t>s, то из B.11)
вытекает, что S^=dSs. Отсюда следует существование вектора
f6 не принадлежащего ни одному из подпространств
1), так что
^Ф0 B.12)
для некоторых «^еН, l(s)eD, Применяя B.9), получаем
Rfw8 * °- BЛЗ)
Положим Hj = jRfH. Из B.9) вытекает, что Н^ инвариантно от-
относительно Т*. Полагая Si=*Ti|Hj и учитывая B.13), видим,
что ^(S^ ф О для 5 сколь угодно близких к а. С другой сто-
стороны, ea(Si) = O, ибо ea(Si) = ea(TOlH[, a ee(Tl) = ee(Ti)*-O-
Итак, обязательно
Поскольку у оператора Т*, как и у Ть дефектные числа равны 1,
а минимальная функция есть еа{К) и поскольку он в силу предло-
предложения 2.1 одноклеточен, то, согласно замечанию, сделанному
1) Это очевидно, если существует такое s0, что ^^^ при
Если же такого s0 не существует; то можно построить возрастающую после*
довательность {sn}y lim srt = а, для которой (?s ф G?s (/г= 1, 2, ...). Вы*
бирая из (?5 0 @s вектор / с единичной нормой и полагая /* = 2 ^~nfn>
п п—\ п
получим требуемый вектор /+.
386 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗЙПОДОБМЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
в начале настоящего пункта, Hi = Hi. Таким образом,
P-Hlt B.14)
Для того чтобы установить, что Rf^ является квазиаффини-
квазиаффинитетом Н в Н], нам остается доказать существование RfJ, или,
что эквивалентно, равенство
^JH^H. B.15)
Обозначим временно левую часть равенства B.15) через L.
В силу B.10) L инвариантно относительно Т. Положим S = Т| L.
Согласно B.10)
es (S) R*u = R*ues (Ti). B.16)
Поскольку е$(Т^)ФО при s<a и поскольку Rf существует
(см. B.14)), то из B.16) вытекает, что е8($)ФО при s<a. По-
Поэтому минимальная функция оператора S обязательно равна
ев(Л), откуда согласно предположениям, сделанным относи-
относительно Т, следует, что L= H.
Тем самым доказано равенство B.15), а с ним и предло-
предложение 2.2.
3. Пусть S — произвольный оператор в §. Напомним, что
вектор h0 e § называется циклическим для S, если «& поро-
порождается векторами Snh0 (/г = 0, 1, ...).
Если сжатие S в ф таково, что S*n->0, то любой вектор
Ле§ допускает разложение
h - (/ - SS*) h + S(I- SS*) S*h+. ... + Sn (I - SS*) S*nh + ... .
Если при этом дефектное число Ь5*=1, то вектор /г0, опреде-
определяющий дефектное подпространство 355*» будет циклическим
для S.
В частности, сжатие Ть фигурирующее в предложении 2.2,
обладает циклическим вектором. Это же верно для всякого опе-
оператора Г, квазиаффинным преобразованием которого является Тх.
В самом деле, если X — такой квазиаффинитет, что XTl = TXJ
то вектор h = XhQ, очевидно, цикличен для Т.
Итак, из предложения 2.2 вытекает
Следствие 2.3. Всякое сжатие Г, удовлетворяющее условиям
предложения 2.2, обладает циклическим вектором.
4. Следующая теорема представляет собой основной резуль-
результат настоящего параграфа.
§ 2. К6АЗИПОДОВИЕ НЕКОТОРЫХ СЖАТИЙ
387
Теорема 2.4. Все одноклеточные сжатия класса Со, имеющие
одну и ту же минимальную функцию, квазиподдбны.
Доказательство. Если рассматриваемая минимальная
у—juj I где |т|<1, а л есть целое поло-
положительное число (см. предложение III. 7.3) —случай, имеющий
место в л-мерном пространстве, — то эти операторы подобны,
поскольку их матрицы имеют одну и ту же каноническую
жорд^нову форму:
т 1
т 1
п.
1
X
Если пространство бесконечномерно, то минимальная функ-
функция необходимо имеет вид еа(тк), где |т|=1, а>0. Без огра-
ограничения общности можно считать, что т=1. Итак, пусть
Т — одноклеточный оператор и тт (X) = еа(К), где а = ат>0.
Обозначим через Тх сжатие с дефектными числами, равными 1,
для которого mTi (А,) = пгт (А). В силу предложения 2.1 опера-
оператор Тх одноклеточен. Согласно предложению 2.2 и замечанию,
сделанному перед этим предложением, оператор Тх является
квазиаффинным преобразованием Г. Применим этот результат
к операторам Т* и Г*, одноклеточным вместе с Т и Тх и имею-
имеющим минимальную функцию еа(К) (==^^(^))« Мы получим, что Г*
является квазиаффинным преобразованием Г*, откуда следует,
что Т — квазиаффинное преобразование Т{. Объединяя эти
результаты, мы видим, что операторы Т и Т{ квазиподобны.
Поскольку квазиподобие является транзитивным отношением,
теорема доказана.
5. В предыдущей теореме мы предполагали, что рассматри-
рассматриваемые одноклеточные сжатия принадлежат классу Со. Отме-
Отметим два случая, когда это предположение выполняется автома-
автоматически.
Предложение 2.5. Всякое одноклеточное сжатие, характе*
ристическая функция которого обладает скалярным кратным,
принадлежит классу Со.
388 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТЙ
[Т X1
г! т Г"триангуляция
I.' . oJ
Сч *
вида . Согласно предложениям VII. 3.4 и VII. 2.1
характеристические функции операторов 71! и Го совпадают
с чистыми частями множителей ®е(Х) и в,-(Л) в канонической
факторизации функции @Т(Х). Следовательно, вГ1 (X) — внеш-
внешняя функция, а вг0 (Я) —внутренняя. Если ®Т(Х) обладает ска-
скалярным кратным, то скалярными кратными обладают и функ-
функции вДЯ), в; (А,), а также и их чистые части вгДА,), вгДА,)
(см. предложения V. 6.4, (б) и V. 6.8). По теореме V. 6.2, (в)
функция вГ1 (X) — двусторонне внешняя, а вг0 (Я) — двусторонне
внутренняя. Согласно предложению VI. 3.5, ^еСп, ГоеСоо.
Пространство §i оператора Тх сводится к {0}; в противном
случае по теореме VII. 5.2 оператор Тх не был бы одноклеточ-
одноклеточным в §i и, следовательно, Т не был бы одноклеточным в §.
Таким образом, Г = ГоеСоо и по теореме VI. 5.1 Г е Со.
Предложение 2.6. Всякое одноклеточное сжатие с конеч-
конечными дефектными числами принадлежит классу Со.
Доказательство. Если Г— вполне неунитарное сжатие
с различными дефектными числами, то либо вг (А,), либо вг*(А,) =
= вг(Я)* не имеет обратного даже в широком смысле ни при
каком ^Gfl. По теореме VI. 4.1 каждая точка А, е D является
собственным значением либо оператора Г, либо оператора Г*.
Это невозможно для одноклеточного Г. Таким образом, Ьт =
= Ьг* = jV<oo. Пусть dT (К) — детерминант матрицы вг (А,) отно-
относительно каких-нибудь двух ортонормированных базисов в де-
дефектных пространствах. Если dT(X) = 0, то по теореме VI. 4.1
снова каждая точка ^eD является собственным значением Г,
что невозможно для одноклеточного Г. Итак, с1т(Х)ф0. Со-
Согласно предложению V.6.1 dT (X) есть скалярное кратное вг (А).
Из предложения 2.5 вытекает тогда, что ГеС0.
§ 3. Признаки одноклеточности
1. Для удобства обозначим через C0(N) класс сжатий
Г е Соо, дефектные числа которых равны числу N<oo. По-
Поскольку такие Т входят в Со, то C0(N) czCOf т. е. наши обо-
обозначения согласованы. Если ГеСл(]У), то функция вг (I)
является двусторонне внутренней и ее детерминант dT (X), вычи-
вычисленный относительно каких-нибудь ортонормированных базисов
в дефектных подпространствах, является скалярной внутренней
функцией. В силу произвола в выборе базисов функция dT (X)
§ 3. ПРИЗНАКИ ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ 389
определена лишь с точностью до постоянного множителя, рав-
равного по модулю 1 }).
Лемма 3.1. Пусть Т — сжатие класса C0(JV) в пространстве §
и пусть
-Г1 х]
[о тг\'
— триангуляция, отвечающая инвариантному относительно Т
подпространству §х. Тогда Tk е= C0(Nk), Nk < N (k = 1, 2). Кроме
того,
Лт(Ь) = AтЛЬ)'<1тЛЪ). C.1)
Доказательство. В силу теоремы VII. 1.1 и предло-
предложения VII.2.1 инвариантному подпространству ${ соответствует
некоторая регулярная факторизация
вг (Л) «в^Л)^ (Л), C.2)
такая, что &т\(Ь) и вг2(Я) совпадают с чистыми частями 0?(Л)
и @2(k) соответствующих множителей. Поскольку функция вг (К)
двусторонне внутренняя, то согласно предложению VII. 3.3, (в)
множители 01 (Л), 02 (Л), а следовательно, и их чистые части
также являются двусторонне внутренними. Для соответствующих
матриц имеем
о iik)
где crft и o'k — постоянные унитарные матрицы, /(fe) — единичные
матрицы порядка nki 0^nk<N. Отсюда следует, что
det[0,Mbdet[e0^)] (^=1, 2)
(как, всегда, с точностью до постоянных множителей, по мо-
модулю равных 1). На основании C.2)
det [0Г (К)] = det [в°2 (X)]. det [в? (Ml-
Тем самым доказано равенство C.1). Прочие утверждения
леммы вытекают из факта, что [Qrk (Л)] совпадает с [в?(^)] —
двухсторонне внутренней матричной функцией порядка Nk =
= N-nk.
2. После этих приготовлений докажем
^Удобно допускать также случай N--=0. „Класс" Со @) состоит из
единственного оператора О в тривиальном пространстве {0}. Для этого опе-
оператора dT (А,)=з1.
390 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
Предложение 3.2. Пусть Т —сжатие класса C0(N)
о(Т) = {1}. Если
/¦/ (*\ \ — *>ц /i \ /О О\
то оператор Т одноклеточен.
Замечание. В случае N=1 условие C.3) выполняется
всегда (см. теорему VI.5.2), и мы снова получаем предложе-
предложение 2.1.
Доказательство. Покажем сначала, что из C.3) выте-
вытекает равенство djx (А,) == Штх (X) для любого сужения Т{ опера-
оператора Т на инвариантное подпространство. В самом деле, беря,
как в лемме 3.1, соответствующую триангуляцию Г, находим
dT{X)~ dTx(X)dT2(X). С другой стороны, согласно предложению
III. 6.1, пгт (X) является делителем функции пгтх (X) • пгтЛ (А,).
Поскольку drx(X) делится на mTx{X)y a dr2(^)~Ha ^г2(А,), то
равенство C.3) возможно лишь в случае dTx(X) — пгтх(Х), dT2(X) =
= ntT2(h) (разумеется, с точностью до постоянных множителей,
равных по модулю 1).
Рассмотрим, далее, два нетривиальных инвариантных отно-
относительно Т подпространства %{ и %2- По предположению III. 6.1
минимальные функции операторов Л1 = Г|?11 и А2 = Т\%2 яв-
являются делителями функции тт(Х) (=*еа(Х)). Поэтому
mAk (Я) = eak (X), где 0 < ak < a (k = 1,2).
Можно считать, что а{ ^ а2. Подпространство 23 = 9tj V %
также инвариантно относительно Г, и минимальная функция
оператора 5 = Г|23 яйляется наименьшим общим кратным функ-
функций ntAx(h) и ша2(^) (см- предложение III. 6.2). Поэтому
Предположим, что %\ = 23051, =^{0}. Разложению 23 =
соответствует триангуляция
[о
На основании леммы 3.1
С другой стороны, по доказанному dAl(^)ss?апл,(М = eai(Я),
dB (Я) = тв (Л) = еах (X), откуда dA\ (i) = 1, что невозможно, по-
поскольку по теореме VI. 5.2 й^(Л')«О. Таким образом, 2t{ =
= {0}, 23 == %х и, следовательно, 9Х2 гэ 212.
Одноклеточность оператора Т доказана.
§ з. признаки одноклеточности 391
3. Наша ближайшая цель —доказать тот факт, что в усло-
условиях предложения 3.2 из одноклеточности оператора Т выте-
вытекает равенство C.3). Согласно следствию 2.3 всякое однокле-
одноклеточное сжатие Т класса Со с а(Г) = {1} обладает циклическим
вектором1). Поэтому нам достаточно доказать следующее
Предложение 3.3. Для всякого сжатия T<e=C0(N) (N>1),
обладающего циклическим вектором, выполняется условие
Доказательство. Случай N=1 тривиален. Будем
поэтому считать, что N^2. Далее, можно использовать функ-
функциональную модель Т оператора Т в пространстве Н:
Г^ \Т \ гц* if /a \
Здесь в (X) = [^/(А,)]?!/-! — матричная функция, совпадающая с
характеристической функцией сжатия Г. Поскольку функция
в (X) — двусторонне внутренняя, то как ее элементы ^(А,), так
и ее миноры принадлежат Я°°, a dT (К) = det0 (X) — скалярная
внутренняя функция.
Обозначим через 6Г(Х) наибольший общий делитель мино-
миноров г-го порядка матрицы в (А,) (г=1, 2, ..., N). Очевидно,
6Г(Х) является делителем 6r+i(A,) и
(см. теорему VI. 5.2).
Предложение будет доказано, если мы установим, что
)б(М1
б) 6r(A,) = 6r+i(M (г=1, . ..,#-2) при N>2.
Пусть h = [ht]^ — циклический вектор сжатия Т, L — под-
подпространство в H2(EN), порожденное векторами U^nh (n = 0,
1, ...), где через ?/+ обозначен оператор умножения на X
в H2(EN). Поскольку L инвариантно относительно [/+, то по
теореме V. 3.3 существует такая внутренняя _ аналитическая
функция {§, EN, со (А,)}, что L = co#2(§). В частности, /г = cof при
некотором fe#2(§). Оператор умножения на со отображает
#2(§) на L изометрически и коммутирует с умножением на
скалярные функции. Отсюда следует, что функции Xnf (X) (п =
= 0, 1, ...) порождают #2(§). Пусть go-зшшент из §, орто-
ортогональный к fo = f{O). Тогда постоянная функция g(A,) = g0
1) Впрочем, в п. III. 7.3 доказано более общее предложение (см. след-
следствие III. 7'.8). -Прим. ред.
2) Элементы пространства H2(EN) рассматриваются как N-мерные век-
векторы с компонентами, принадлежащими Я2.
392 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
ортогональна (в Я2(§)) ко всем функциям Knf(X) (га = О, 1, ...)
и, значит, g(A,) = O, go^O- Отсюда вытекает, что dimg=l.
Поэтому можно считать, что § = ?1, Я2(§) = Я2; следовательно,
со (А,) является матрицей-столбцом:
Обозначив через Рн ортопроектор из H2(EN) на подпрост-
подпространство Н, будем иметь Тпи = PhU*uu при mg H, п = О, 1, ...,
так что
V Tnh - Рн V Ulnh = Р^Г = РнсоЯ2.
Поскольку ft является циклическим вектором для Т,
Н = Р^Я2. C.4)
Из C.4) и из того факта, что H2(EN) = VL®@H2{EN)y следует,
что
H2(EN) = ®H2\/ H2{EN). C.5)
Рассмотрим, в частности, элементы
]?Li (г=1 АО
пространства H2(EN), для которых eri-(А,) = 1 или 0, соответ-
соответственно тому, i = r или ьфг. В силу C.5) для каждого значе-
значения г и / (г, /= 1, ..., N) существуют последовательности
uf\ vff (/г = 1, 2, ...) элементов из Я2, такие, что
гн = Jirn [ со,^) + S ^^] (г, /-1 ЛО C.6)
в смысле сходимости в Я2. Отсюда
N
2 (соЛ/ - со^у) vff C.7)
П->оо / = 1 J
при /, fe, r=l, ..., N. Выбирая k = r=?iy получаем из C.7),
что щ(Х) (i=ly ..., АО делится на все общие внутренние де-
делители элементов матрицы в^I), а следовательно, и на их
наибольший общий делитель б^А,). Из C.6) при r = i вытекает
1) Заметим, что если hn=u-kn> где м-внутренняя функция, kn^H2 и
hn->h в Я2, то h = u-k при некотором k e Я2. В самом деле, ||/гл — /sm 11г ="
м II « (^/х — Лт) 11г = II Ля — Лт ||2-> 0 (т, л->оо) и, следовательно, kn-> k в Я2.
Поэтому hn= и- kn-+u- k, h — u-k. Если /г е Я°°, то /г е Я°°, поскольку
| /г (е") | = | h (elt) |/| м (elt) \ = \h (elt) \ почти всюду и, следовательно, || k \\„ —
= IIЛ L.
§ 3. ПРИЗНАКИ ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
393
тогда, что функция гн (I) s 1 делится на 6{ (А,). Поэтому 6i (K)=l.
Этим доказано а).
Чтобы установить б), достаточно показать что каждый
минор г-го порядка матрицы в (А,) делится на 6Г+1(А,) (Л/>2;
l<r<N-2). Рассмотрим сначала главный r-й минор
I, .... г)
C.8)
г+2
и определитель
г+2, 1 • • • ®г + 2, г °>г+2 Хг+2
который мы разложили по последнему столбцу. Имеем
г+2 г+2 / N
г+2
г+2
г+2 г+2
Поскольку 2 тъсо/ = 0, а 2 Л А*/ либо =0, либо является ли-
/i *i
нейной комбинацией (с коэффициентами ± cofe) миноров (г+ 1)-го
порядка матрицы в (А,) и, следовательно, делится на 6Г+1(А,), то
(см. последнюю сноску) г\г+2 также делится на бг+1. Имеем
со,
г+1
(детерминант разложен по последнему столбцу). Далее,
S
г+1
где 2 Ь
^0, либо равно минору (г + 1)-го порядка
г+1
матрицы в (А,), умноженному на ±1. Следовательно, 2 fy/?/
делится на бг+1. Поскольку цг+2 также делится на бг+1, то
394 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
равное C.8), делится на бг+1 (см. ту же сноску). Так как любой
другой минор г-го порядка матрицы в (А,) может быть сделан
главным за счет изменения порядка базисных элементов в *?)т
и 3)г*, то утверждение б) справедливо.
Предложение доказано.
Учитывая замечание в начале п. 2.2, следствие 2.3 и пред-
предложения 3.2 и 3.3, мы можем резюмировать полученные ре-
результаты в виде следующей теоремы.
Теорема 3.4. Для сжатия Т класса C0(N)y N J> 1, такого, что
а(Г) = {1}, следующие условия эквивалентны:
(а) T — одноклеточное сжатие,
(б) Т обладает циклическим вектором,
(в) dT(X) = mT(X).
4. В силу принципа максимума скалярная внутренняя функ-
функция и (X) является константой с модулем 1 в том и только том
случае, когда \и@)\=1. Отсюда следует, что если а{Х) и
Ъ (X) — две скалярные внутренние функции, причем а (А,) является
делителем Ъ(Я), а(Х)фО< то эти функции совпадают в том и
Только том случае, когда | а@) | = | 6@)|.
Функция пгт (X) всегда является делителем dT (X); в случае
а(Т) = {1} имеем пгт @) = е'атф0Л Поэтому
\dT@)\<\mT@)\ = e~aT C.9)
и знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда dT (X)
и шт(Х) совпадают.
Если T^C0(N), то 1^@I можно вычислить при помощи
формулы (VIII. 1.6). В самом деле, поскольку /~Г*Г имеет
ранг N и а(Г) = {1} (т. е. О^а(Г)), то, применив эту формулу
при а = 0, получим
A-|11), (ЗЛО)
где \ii (/=1, ..., АО — отличные от нуля собственные значения
оператора / — Т*Т. Следовательно, числа 1— щ являются от-
отличными от 1 собственными значениями оператора Т*Т, зануме-
занумерованными с учетом кратности.
Таким образом, мы можем сформулировать такую теорему.
Теорема 3.5. Пусть Т — сжатие класса C0(N)9 N^l> со
спектром а (Г) = {1}; rt (i = 1, ..., N) — отличные от 1 собственные
значения оператора Т*Т, занумерованные с учетом кратности.
Тогда минимальная функция оператора Т равна еат{Х), где ат
§ 4. ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 395
удовлетворяет неравенству
N
ехр (- 2ат) > П V C.11)
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда оператор Т
одноклеточен. В частности, оно всегда справедливо при N=1.
Последнее утверждение следует из того, что при N == 1
всегда dT (X) = mT (%) (см. теорему VI. 5.2).
§ 4. Диссипативные операторы. Класс (q0+)
1. Ввиду соотношений между непрерывными однопараметри-
ческими полугруппами сжатий и их когенераторами, а также
соотношений между максимальными аккретивными или дисси-
пативными операторами и их преобразованиями Кэли получен-
полученные в предыдущих главах результаты, касающиеся функцио-
функциональных моделей, инвариантных подпространств, разложений,
подобия, квазиподобия, одноклеточности и т. д., могут быть
более или менее непосредственно перенесены со случая одного
сжатия на непрерывные полугруппы сжатий или на аккретивные
либо диссипативные операторы (по поводу моделей для полу-
полугрупп см. комментарии к гл. VI).
Рассмотрим в качестве примера операторы вида
A = R + IQ D.1)
в пространстве §, где R и Q — самосопряженные операторы,
причем Q неотрицателен и ограничен:
Очевидно, оператор А диссипативен. Его резольвентное множе-
множество содержит все комплексные числа вида z = х + iy, где либо
y<0t либо y>2q. В самом деле, Л-г/ = М + N, где М —
= (R-xI) + i{q-y)I,N = i{Q-qI)\ в силу D.2) Ц N \\ < q. С дру-
другой стороны, если y?*q, то оператор М обратим в узком смысле
и Цм"!^! q — у Г1. Следовательно,
•М N), где \\М N\\^q-\q-y\ .
Правая часть последнего неравенства < 1, если #<0 или
и, значит, в этом случае оператор A—zI обратим
в узком смысле.
Отсюда следует, в частности, что преобразование Кэли опе-
оператора А
Т~{А- И) {А + П)~1 = / - 2/ {А + П)~х D.3)
396 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
(см. (IV. 4.12)) определено всюду в §. Поэтому А является макси-
максимальным диссипативным оператором. Далее, поскольку дробно-
линейное преобразование
отображает точки г(ф — ь) резольвентного множества опера-
оператора А в резольвентное множество оператора Г, то а(Т) не
покрывает единичного круга | К |< 1. Если оператор А ограничен,
то а(Т) не покрывает и единичной окружности |А,|=1.
Непосредственным подсчетом получаем
D.5)
где
Отсюда вытекает, что операторы
1 1
%\DTh->Q4K V DT*h->Q4*h (Ae§) D.6)
являются изометриями. Из соотношения
и аналогичного соотношения для /* следует, что операторы D.6)
расширяются по непрерывности до унитарных операторов
т: ?V->&, V ?)r*->D, где G = Qfr D.7)
Поэтому характеристическая функция {©г, 5)г*, ©г(М} опера-
оператора Т совпадает с функцией {&, &, т^^т}. Положим
D.8)
и вычислим ©л (г) в явном виде. В силу соотношения
вт (К) DT = DT* {I - КГ) (XI - Т)
(см. (VI. 1.2)) и в силу определений D.6) операторов т и т#
имеем для произвольного Ае§
<ЭЛ (г)Q4h = т,вГ (Л) DTh = Q2Г (I - А.Г)"! (Я/ - Т) h =
§ 4. ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ S9?
[{г + i) (Л* - И) - (г - О (Л* + И)]'1 х
X [B - i) (Л + //) - (z + i) (Л - //)] (Л + il) h -
1 1
- Q2 (Л* - г/)-1 (Л - zl) Jh = Q2 [/ + 2/ (Л* - zl) Q] Jh -
Hi
л*/)-^2^
откуда
©л (г) = [/ + 2iQ* (A* - ziy1 Q" | G. D.9)
Если оператор Q вполне непрерывен и
2 D.10)
— его спектральное разложение (где {qpj — ортонормированная
система собственных векторов, отвечающих собственным значе-
значениям %>0), то система {qpj образует ортонормированный базис
в подпространстве G.
Матрица оператора ®A(z) в этом базисе (конечная или бес-
бесконечная) определяется равенствами
((A*-zl)-l<ph ФД D.11)
2. Покажем, что если оператор А ограничен, то А и Т имеют
одни и те же инвариантные подпространства 8, и оператор
Т$ = Т 18 является преобразованием К эли диссипативного опе-
оператора Ли = Л 18.
Для этого рассмотрим сначала подпространство 8, инвариант-
инвариантное относительно Л. Выберем круг такой, чтобы спектр о (А)
лежал внутри, а точка — / вне этого круга. Если zQ — центр,
а г —радиус выбранного круга, то по теореме о спектральном
радиусе (см. [Лекции], п. 149, стр. 454)
г > lim || (Л - 2оОя 111/я.
Я-»оо
Следовательно, при \z — zo\>r
(Л - z/Г1 = [(Л - zol) - (z - z0) /Г1 = - | B - zorn~l (A - го/У\
D.12)
где ряд сходится по норме; отсюда вытекает инвариантность 8
относительно (Л — zl). Беря, в частности, z= — f, получим,
что 8 инвариантно относительно (Л + П)"\ а значит, в силу D.3)
и относительно Г. Далее, из D.12) при z= — i следует, что
398 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
и потому
Г* = (Л - И) (Л + 11)~х18 - (Ла - ih) (Л* + И*уК
Тем самым доказано, что Т% является преобразованием Кэли
оператора Л«.
Обратно, пусть й — подпространство, инвариантное относи-
относительно Г. Из разложения
вытекает, что 2 инвариантно относительно (Т — р./). Поскольку
Т — 1 имеет обратный в узком смысле,
(см. D.3)) и (Г — /)" является пределом по норме при |х->1
операторов (Г — \xl)"\ то 2 инвариантно относительно (Т —1)~\
а следовательно, и относительно Л = i(I + Т)A — Г).
Непосредственным следствием доказанного предложения
является следующий факт: если оператор А ограничен, то одно-
клеточность А равносильна одноклеточности Г.
3. Предположим, что оператор А ограничен и о (А) состоит
из одной лишь точки 0, не являющейся собственным значением
для Л. Тогда спектр сжатия
состоит лишь из точки 1, не являющейся собственным значе-
значением для Т'. Оператор V вполне неунитарен (см. замечание
в конце п. VIII. 3.2), следовательно, оператор Л вполне несамо-
несамосопряжен.
Оператор Т является когенератором непрерывной полу-
полугруппы сжатий {Т'(s)}s>0:
D.13)
(см. теорему III. 8.1). В силу D.3) генератор А' этой полу-
полугруппы задается равенством
Оператор Л существует и определен на плотном множестве,
поскольку Г, а с ним и Т* не имеют собственного значения —1.
Функциональное исчисление, построенное в п. IV. 4.4, позволяет
записать равенство
Г() (Л0 D.14)
. § 4. ДЙССЙПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 399
При дополнительном предположении ядерности оператора Q
из D.5) вытекает, что Г, а с ним и Г являются слабыми сжа-
сжатиями. По теореме VIII. 1.1 характеристическая функция опе-
оператора Т обладает ^скалярным кратным. Поскольку, кроме
того, а(Г) = {1}, то Г'еСоо (предложение II. 6.7), откуда сле-
следует, что T's=C0 (теорема VI. 5.1), а также, что
mT>{l) = ea{X)t где а = аг>0.
Это означает, что еа(Г') = О, еь(Т')Ф О при 0<&<а, так что
в силу D.13) и D.14)
ехр {аА') = О, ехр {ЬА') Ф О при 0 < Ь < а.
Введем обозначение
для класса ограниченных диссипативных операторов Л = R + iQ
с ядерным Q, таких, что а(Л) = {0}, но 0 не является собствен-
собственным значением для Л.
Приведенные выше рассуждения доказывают следующее
предложение (за исключением равенства D.15)):
Предложение 4.1. Если А е (Qq"), то оператор Л/ = (/Л)"
является генератором непрерывной полугруппы сжатий {Tr (s)}s>0,
такой, что Т' (s) = О при достаточно больших s. Наименьшее
из этих 5, обозначаемое через sAi равно числу а = аг, фигури-
фигурирующему в записи- еа(Х) минимальной 'функции оператора
Г = (// - Л) (// + Л). Кроме того
sA = limsup[\z\-\n\\(A + ziyl\\]. D.15)
г-»0
Для того чтобы доказать D.15), заметим прежде всего, что,
полагая zr «= {iz)~x (z ф 0), имеем А' + z'l*=(zl + A) (izA)~\ откуда
(Л/ + 27Г1 - izA (zl + А)~\ DЛ 6)
Поскольку А'~1 = /Л, то все (конечные) комплексные числа
входят в резольвентное множество оператора Л/. Согласно
(IV. 4.17),
SA
(— А' - z'iyl = J etz'T' {t) dt D.17)
о
при Re/<0. Поскольку обе части равенства D.17) суть целые
функции от z\ они совпадают тождественно. Отсюда вытекает
400 ГЛ. IX, ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЁТОЧНОСТИ
неравенство
и, следовательно,
lim sup f j^r In I (Л' + г'/)1 < sA. D.18)
С другой стороны, в силу хорошо известной теоремы Пэли —
Винера (см. Винер и Пэли [1]) для всякой скалярной функ-
функции ф (t) e L2 (— а, а)
о
limj>up[j^.ln|q)(z')l] = <V где <p(z')= \ e**v{t)dt\
—а
здесь аф —наименьшее из чисел а, для которых <p(f) аннули-
аннулируется почти всюду на (—в> о)\(—а, а). По определению
числа sA имеем T'{s)=? О при s<sA. Следовательно, для вся-
всякого е>0 существуют такие элементы ft, gG§, что непрерыв-
непрерывная функция ф (t) = (T' (t) ft, g) удовлетворяет условию аф>5л—г.
Поэтому из D.17) вытекает, что
lim sup Г-JLIn\{{A' + z'lTxK g)\]>s-A-s\
следовательно, в D.18) имеет место знак равенства. В силу D.16)
это равенство можно также записать в виде
[|z|. In^(Л+г/Г11]. D.19)
Поскольку оператор А ограничен, то из D.19) следует, что
lll 1!]. D.20)
Пусть {2n} — стремящаяся к нулю последовательность, на кото-
которой достигается верхний предел D.20). Поскольку sA>0, то
\\zn(A +zniyl\\ -> 00; с учетом соотношения z (A + zI)~x =
==/ — A(A + zI)~l получаем
lim sup [ 12„ | - In A +1Л (Л 4- 2„/)~' II ] =
П
= lim sup [ | zn I In |U {A + zj)~l 11 < sA
^_ § 4. ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 401
(см. D.19)). Отсюда следует, .что в D.20) имеет место знак ра-
равенства, чем и доказано D.15).
4. Пусть А е (Qo") таков, что Q имеет конечный ранг N.
Согласно D.5), дефектные числа оператора Т равны AL Детер-
Детерминант dT (Я) есть внутренняя функция, делящаяся на пгт (X)
и делящая mT{l)N (см. теорему VI. 5.2). Поскольку пгт{Х) =
= пгг (- А) - еа (- Я) = ехр (а?), где
то
dT(X) = K.exp(cl)t где |х|=1, a^c^Na. D.21)
(Заметим, что условие |Я|<1 равносильно условию Reg>0.)
Значение с вычисляется непосредственно с помощью формул
D.8) и D.11). Согласно этим формулам, матрица оператора
вг (к) по отношению к ортонормированным базисам {t^qpj в ?)т
и {t~]<P/} в 5)г* имеет элементы
6/ft - 2(co/CDft)^ ?((/ + /?ЛГ' Ф/, Фь).
D.22)
Поскольку dr (Л) — детерминант этой матрицы, то из D.21) и
D.22) следует, что
^0-KC. D.23)
Но из D.22) вытекают также равенства
в силу которых левая часть D.23) равна —2 2©/- Учитывая,
что со/ > 0, получаем
с = 2 2со7. D.24)
Для одноклеточности А необходимо и достаточно, чтобы
одноклеточным был Г. Но оператор Т одноклеточен тогда и
только тогда, когда (см. п. 3.4)
1<*г @I-1/иг @I D.25)
(это условие всегда выполняется, если дефектные числа опера-
оператора Т равны 1, т. е. если ранг Q равен 1). Таким образом,
имеем \dT @)] = | ехр с? 1С=_, =<?-с, | шт @) | = е"а (ибо тт(Х) =
= тт'(—к) = еа{—к))\ поэтому равенство D.25) означает, что
с== а.
Тем самым доказана
402 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
Теорема 4.2. Если А е (Qo") и Q = Im А имеет конечный ранг,
то число sA> введенное в предыдущем предложении, удовлетво-
удовлетворяет неравенству
<2t D.26)
Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда one-
ратор А одноклеточен. В частности, он имеет место, если ранг Q
равен 1.
5. В случае дефектных чисел, равных 1, оператор Т опре-
определяется с точностью до унитарной эквивалентности своей ми-
минимальной функцией еа (— А,), где а = ат = sA (см. замечание
после теоремы VI. 5.2), т. е. числом sA. Учитывая очевидное
соотношение srA = rsA (г>0), получаем:
Если Aq —оператор рассматриваемого типа, для которого
sA=*\, то всякий оператор А этого типа унитарно эквивалентен
оператору sA • Ао.
Рассмотрим в качестве примера оператор Ао в L2@, 1), опре-
определяемый равенством
t. D.27)
о
Оператор Ао является вольтерровым, а(Л0) = {0}, и 0 не является
собственным значением Ао. Для Q = Im Ao
0
Следовательно, Q^O и ранг Q равен 1. Таким образом,
Ло^(йоО. Легко показать, что оператор Ло = (/Ло)~1 является
генератором непрерывной полугруппы сжатий, определяемой
формулой
/ лл{м jf(x-s) при *<=[s, оо)П[0, 1],
гч ' ч 7 { 0 при прочих jcg[0, 1].
Поэтому 5Ло= 1.
Отсюда вытекает
Предложение 4.3. Оператор Ао в L2@, 1), определяемый фор-
мулой D.27), является одноклеточным. Всякий оператор А е (йо~),
для которого 1mA имеет ранг 1, унитарно эквивалентен поло*
жительному кратному оператора Ло, а именно оператору sA • Ло.
Очевидно, два ограниченных максимальных диссипативных
оператора квазиподобны в том и только том случае, когда
§ 5, ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ПОДОБНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫМ 403
квазиподобны их преобразования Кэли. Из этого факта и из
теоремы 2.4 вытекает следующее
Предложение 4.4. Всякий одноклеточный оператор А е (Qo+)
квазиподобен оператору sA. Ао, где оператор Ао в Z,2@, 1) опре-
определяется равенством D.27).
§ 5. Диссипативные операторы, подобные
самосопряженным
1. Рассмотрим диссипативные операторы (в сепарабельном
пространстве у) вида A = R + iQ, где R и Q — самосопряженные
операторы, причем Q ограничен и положителен (см. п. 4.1).
Очевидно, что оператор А подобен самосопряженному опе-
оператору, если его преобразование Кэли Т подобно (с тем же
аффинитетом S) унитарному оператору. Как мы знаем, спектр
а (Г) не покрывает открытого единичного круга D; отсюда на
Основании теоремы VI. 4.1 вытекает, что существуют такие
IgD, для которых оператор @т (X) обратим в узком смысле.
Поэтому из теоремы 1.2 следует, что необходимым и достаточ-
достаточным условием подобия оператора Т унитарному оператору
является существование такой константы с>0, что
\\®T(Vg\\>c\\g\\ (?е5)гДЕВ). E.1)
Положим
? 1, Imz>0),
где т — оператор D.6). В силу соотношений D.7)— D.9)
II &т (Л) g II = II Ол (г) q\\ = iq + 2iQ^ (A* - г/) Q^q \\, E.2)
II ff 11 = II <7 II- E.3)
В частном случае, когда ранг Q равен 1, имеем
Qh = со (Л, flf0) <7о (© > 0» II Чо II = !)• E.4)
Линеал & состоит из элементов, кратных вектору q0; следова-
_1 JL
тельно, q = a 2Q2q при q&z&.
Далее, поскольку
|U Ь)]* =\(qOt Jh)\9
то последний член в E.2) может быть записан в виде
404 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
Таким образом,
1елB)?1Ы*(*)Н14г|| fo eCt), E.5)
где
О(z)= 1 -2/со((Л - 2/Г1 <70, ?0) (Imz>0). E.6)
На основании E.2)— E.5) условие E.1) принимает вид
(Imz>0). E.7)
2. Рассмотрим в качестве примера оператор А в пространстве
§ = L2@, 1), определяемый равенством
X
Ah (x) = a(x)h (x) + i\h (t) dt, E.8)
о
где а (л:) —заданная вещественная измеримая почти всюду ко-
конечная функция. Имеем А = R + iQ, где
Lo jc J
h(t)dtf
±(h, eo)eo
(?0(л:)=1), так что Q удовлетворяет условию E.4) при
Чтобы вычислить -O^z), рассмотрим
Имеем
х
'=1 @<л;<1),
о
или же, полагая (а {х) + J) м^ (#) == tig (л:),
о
Это уравнение имеет единственное решение
E.10J
§ 5. ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ПОДОБНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫМ 405
В силу E.6), E.9) и E.10)
Вводя в рассмотрение функцию распределения для а{х),
т. е. функцию
(-оо<а<оо),
получаем
fl(z) = exp(-/ /?$.), E.11)
\ —оо /
откуда
1в(г)|-ехр(- j (a_ay + pdo(a)) (z = a + /p, p>0). E.12)
\ —оо /
Таким образом, условие E.7) принимает вид
где
Пусть E.13) выполнено, тогда для любого конечного интер-
интервала (аь а2) и для любого т]>0
J*? \)
\do(a)
J
Если а{ и а2 — точки непрерывности функции о (а), то, полагая
р->0 и применяя лемму Фату, находим
do
А4 (a2 — a,) > n J rfa (a) = я [a (a2) — a (at)], E.14)
a,
т. е. а [а) удовлетворяет условию Липшица с константой М]пЛ
406 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
Обратно, если а (а) удовлетворяет условию E.14), то
т. е. выполняется E.13).
Мы доказали утверждение (а) следующего предложения:
Предложение 5.1. Пусть А —оператор в L2@, 1), определяе-
определяемый равенством E.8).
(а) Для того чтобы оператор А был подобен самосопряжен-
самосопряженному оператору, необходимо и достаточно, чтобы построенная
для а(х) функция распределения о (а) удовлетворяла условию
Липщица.
(б) Если о (а) удовлетворяет условию Липшица, то вполне
несамосопряженная часть оператора А подобна самосопряжен-
самосопряженному оператору Ао в пространстве L2(Q), определяемому фор-
формулой
где й = {а: (
Нам остается доказать утверждение (б). В силу E.2), E.3)
и E.5)
II 6^0«Ml = Hm | <*(*)!• II ff II fee»r). E.15)
где g —-лежащий на вещественной оси образ точки Х — еи при
дробнолинейном преобразовании
\-Х
т. е. &=ctgy
—ctgy. Предел в E.15) берется со стороны верхней
полуплоскости (некасательно). Если а (а) удовлетворяет условию
Липшица, то
для почти всех ^е( —оо, оо) (предел некасательный к вещест-
вещественной оси); см., например, Гофман [1], стр. 175. Из E.12),
E.15) и E.16) вытекает, что
II вг (еи) grJI =ехр( — ш/ F)). || ЯГ И (g^®r)
для почти всех точек еи единичной окружности. Следовательно,
. *Н [ 1 - ехр (- 2яа' (|))] • (g, g) (g e »r)
§ б. ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ПОДОБНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫМ 407
для почти всех t e @, 2л). Поэтому для этих t
Поскольку пространство Dr = т~1 & одномерно, то пространство
ArLo(®r) отождествимо с пространством 6^о(О, 2лI),
где
Отсюда следует, что вполне неунитарная часть Г(о) опера-
оператора Т подобна умножению на функцию elt в 6Lo(O, 2я)
(см. следствие 1.3).
Таким образом, вполне несамосопряженная часть Л@) =
= /(/ + Г@))(/~ Т^) оператора А подобна умножению на
t
t
„ eit = "" с*8 " в пространстве Ы^ @, 2я).
Рассмотрим преобразование
Оно унитарно отображает ЬЦ0у 2я) на L2( —оо, оо). При этом
подпространство 6L^@, 2я) отображается на подпространство
T]L2(— оо, оо), а умножение на — ctg -^ в первом подпростран-
подпространстве переходит в умножение на | во втором. Пространство
T]L2( — оо, оо) отождествляется очевидным образом с простран-
пространством L2{Q), где
Предложение 5.1 доказано
3. В случае когда оператор А вполне несамосопряжен, он сам
подобен оператору Ло (разумеется, при условии, что a (a) удовле-
удовлетворяет условию Липшица). Этот случай имеет место, например,
•) В настоящем параграфе индекс 0 в Lq указывает на тот факт, что
интегрирование ведется по мере dtJ2n.
408 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ. КЁАЗЙПОДОБЙЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСГЙ
если а{х) = х, так что
f 0 при а < О,
\ a
о{а)=*\ а при 0<а<1, E.17)
I 1 при 1 ^а < оо.
В этом случае Q =.@, 1).
Допустим, что существует подпространство §>'c:L2@, 1),
приводящее А к самосопряженному оператору А\ Поскольку
оператор А ограничен, то при любом Ag§'
0 = (A'-A'*)h-(A-A*)fi = 2tQh = t{h, ео)ео
и, следовательно, (/г, е0) = 0. Поэтому
(А, Апе0) = {Amnh, е0) = 0 при Ag§', п = 1, 2
Имеем
Следовательно, h ± хп (п = 0, 1, ...)» откуда h = 0. Таким об-
образом, ?>' = {0}, т. е. оператор А вполне несамосопряжен.
Тем самым мы доказали
Следствие 5.2. Оператор
X
Ah{x)~xh(x) + i J h(t)dt
о
в ?2@, 1) вполне несамосопряжеНу но подобен самосопряжен-
самосопряженному оператору
в L2@, 1).
Комментарии
1. Общий критерий того, что данное сжатие подобно унитар-
унитарному оператору, устанавливаемый теоремой 1.2 и следствием 1.3,
был опубликован впервые в С.-Н. и Ф. [X]. Этот результат
еще с одной стороны демонстрирует полезность характеристи-
характеристических функций при изучении операторов. Следствие 1.4 полу-
получено Гохбергом и Крейном [5] (см. также Крейн [1]).
Хотя оно формулируется в терминах резольвенты, доказатель-
доказательство основано на нашем исходном критерии, связанном с харак-
характеристической функцией.
Предложения 2.1 и 2.6, а также следствия из них (о дисси-
пативных операторах) были анонсированы Фояшем [6] и дока-
доказаны в С.-Н. и Ф. [XIJ.
КОММЕНТАРИИ 409
Предложение 2.2 и теорема 2.4 сначала были доказаны для
случая конечных дефектных чисел в С.-Н. и Ф. [XI]. В общем
виде публикуются здесь впервые.
Теорема 3.4 первоначально доказана в С.-Н. и Ф. [XI],
правда, лишь в части, касающейся эквивалентности условий
(а) (одноклеточность) и (в) (dT = mT). Приведенное в настоящей
книге доказательство, в котором фигурирует условие (б) (нали-
(наличие циклического вектора), является новым. Это доказательство
(как и первоначальное) представляет некоторый интерес с той
точки зрения, что в нем впервые используются наибольшие
общие делители миноров характеристической матрицы @т (А,).
Результат об эквивалентности условий (а) и (в) примечате-
примечателен своим сходством с хорошо известным фактом из линейной
алгебры: конечная матрица А подобна клетке Жордана в том
и только том случае, когда характеристический и минимальный
многочлены матрицы А совпадают.
2. Более глубокая аналогия между конечными матрицами и
операторами класса C0(N) была обнаружена в недавних рабо-
работах авторов (С.-Н. и Ф. [14], [15]). Приведем краткий обзор
полученных там результатов.
Для каждой непостоянной внутренней функции m обозначим
через S(m) сжатие класса СоA), определенное в пространстве
формулой
S
или, что то же самое,
(см. предложение III.4.3).
Справедливо следующее утверждение (теорема 2 и пред-
предложение 2 в С.-Н. и Ф. [14], следствие из теоремы 2 в С.-Н.
и Ф. [15]).
Теорема I. Для оператора Г 6 §, принадлежащего классу
C0(N) {N^l), следующие условия эквивалентны:
@) операторы Т и S(mT) квазиподобны\
A) для Т существует циклический вектор;
B) mT = dT\
C) для всякого внутреннего делителя и функции тт суще-
существует единственное подпространство Фц в ф, инвариантное отно-
относительно Т, такое, что mT j ^ = и\ именно,
410 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
D) не существует подпространства 2 в ?>, 2 ф ?>, такого, что
E) если подпространства %{ и 22 инвариантны относительно Т
и операторы Т \%и Г|22 квазиподобны, то Sj = 82;
F) коммутант (ТУ (т. е. множество ограниченных операторов,
коммутирующих с Т) состоит из ограниченных операторов вида
(Г), где (pGi\fr;
G) все операторы из (ТУ коммутируют между собой.
В случае конечномерного «§> каждому из этих условий экви-
эквивалентно следующее: собственные значения оператора Т просты,
т. е. каждому собственному значению отвечает единственный
(с точностью до скалярного множителя) собственный вектор.
Оператор вида
... @S(mk)t (*)
где m/— делитель гп^\ (/ = 2, ..., k)> будем называть жорда-
новым. Справедлива следующая теорема (см.* теорему 2 в С.-Н.
и Ф. [15]):
Теорема II. Для каждого оператора T^C0{N) (N^l) суще-
существует единственный квазиподобный ему жорданов оператор.
Эта теорема позволяет получить следующий результат (тео-
(теорема 3 в С.-Н. и Ф. [15]):
Теорема III. Для каждого оператора T^C0(N) бикомму-
тант {Т)" (г. е. множество всех ограниченных операторов, пере-
перестановочных с операторами из (Т)') состоит из ограниченных
операторов вида ф(Г), где фб^,
Для доказательства этих теорем использовались различные
результаты из настоящей книги, а также следующее предложе-
предложение, относящееся к арифметике скалярных внутренних функций
(см. С.-Н. и Ф. [14]):
Пусть ии ..., uN —скалярные внутренние функции. Суще-
Существуют внутренние делители Uj функций Vj, такие, что vtAVj= 1
при 1Ф\ и щУ ... \ZuN = vx\/ ... VvN(= v{ ... vN).
(Здесь применены следующие обозначения: если wu ..., wm —
скалярные внутренние функции, то wx\/ .... Vwm и wx/\ ... f\wm —
их наименьшее общее внутреннее кратное и наибольший общий
внутренний делитель соответственно.)
Приведенные выше теоремы об операторах класса C0(N)
справедливы и для случая конечных матриц. Действительно,
для каждого оператора Т в EN оператор Г' = ссГ принадлежит
классу C0{N), если выбрать скаляр а так, чтобы 0<|а|< 1/ЦГ'Ц,
КОММЕНТАРИИ 411
Введем еще одно обозначение. Для каждого ограниченного
оператора Т в ?> обозначим через \хт наименьшую мощность
подмножеств {AJ в ф, таких, что
Легко видеть, что для T^C0(N) имеем \xTt \xT^
Используя результаты статьи С.-Н. и Ф. [13], можно пока-
показать, что теоремы II и III остаются верными для таких сжа-
сжатий ГеСов §, для которых числа \хт и \iT* конечны. В этом
случае \iT = \iT* = k, где к — число слагаемых в сумме (*).
3. Понятие одноклеточности введено М. С. Бродским и
изучалось главным образом для операторов класса (Оо") (см.
Бродский и Лившиц [1], §9). М. С. Бродский [3]
доказал, что для операторов А е (Q^) число sa, определяемое
нашей формулой D.15), удовлетворяет неравенству
^<2trQ, где Q = Im4 = ~^-, D.26)
а также, что равенство в D.26) влечет одноклеточность Л. Тот
факт, что это равенство не только достаточно, но и необходимо
для одноклеточности, был установлен Бродским и Киси-
левским [I]1-, Почти одновременно авторы книги полу-
получили свое условие одноклеточности А (при дополнительном
предположении, что ранг оператора Q = Im А конечен) в терми-
терминах полугруппы {T'(s)}, порожденной оператором A' = (iA)~l
(см. предложение 5.2 в С.-Н. и Ф. [XI]). В силу соотноше-
соотношения D.15) это условие равносильно равенству в D.26).
Кисилевский [2], [3] обнаружил, что для оператора
A ^(Qo~) одноклеточность равносильна существованию цикличе-
циклического вектора. Он получил также аналог жорданова разложе-
разложения для оператора А ^ (Qo~); изложение этих исследований
имеется в недавно вышедшей монографии М. С. Бродского [9].
ЕслиЛтЛ имеет конечный ранг N, то преобразование Кэли ТА
оператора А принадлежит классу C0(N). Если, кроме того,
аGл) = {!}, то жорданов оператор, отвечающий сжатию ТА
в смысле нашей теоремы II, соответствует жорданову разложе-
разложению в смысле Кисилевского. Тем не менее, имеется большая
разница в методах и сфере применения обеих теорий. В самом
деле, в то время как исследования Кисилевского относятся ко
всем слабым сжатиям класса Со, но со спектром, сосредото-
сосредоточенным в одной точке, исследования авторов настоящей книги
ограничены сжатиями класса Со с конечными \хт, \хт*, зато
о спектре Т никаких предположений не делается. Весьма
412 ГЛ. IX. ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯ И ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ
вероятно, что наши методы можно обобщить таким образом,
чтобы они были применимы ко всем операторам класса (й*).
Для этого, по-видимому, следует воспользоваться теорией беско-
бесконечных определителей (см. Гохберг и Крейн [4]).
Предложение 5.1 принадлежит авторам (С.-Н. и Ф. [X]).
Частные случаи имеются у Сахновича [2]. Следствие 5.2
принадлежит ему же. Гохберг и Крейн обобщили предложе-
предложение 5.1 на интегральные операторы более общего типа (см.
М. Г. Крейн [1], Гохберг и Крейн [5]).
В связи с содержанием настоящей главы см. также
М. С. Бродский [5]; Бродский, Гохберг, Крейн и
Мац а ев [1]; Гохберг и Крейн [7*], Дополнение; Ка-
лиш [1]; Кисилевский [1], [4*], [5*]; Никольский [Г],
[2*], [3*]; Сахнович [1]-[10]; С ар а с он [2]; Фридрихе [1];
Ш мульян [2].
БИБЛИОГРАФИЯ
Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.
А д а м я н В. М., Аров Д. 3.
[1] Об одном классе операторов рассеяния и характеристических оператор-
функциях сжатий, ДАН СССР, 160 A965), 9—12.
[2] Об унитарных сцеплениях полуунитарных операторов, Мат. исследова-
исследования, Кишинев, 1 : 2 A966), 3—66.
А д а м я н В. М., А р о в Д. 3., К р е й н М. Г.
[1*] Об ограниченных операторах, коммутирующих с сжатием класса Соо
единичного ранга неунитарности, Функц. анализ и его прил., 3 A969),
№ 3, 86—87.
Андо (An do T.)
[1] On a pair of commutative contractions, Ada ScL Math., 24 A963), 88—
90.
Ахиезер Н. И., Глазман И. М.
[1*] Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, «Наука»,
1966.
Балакришнан (BalakrishnanV.)
[1] Fractional powers of closed operators and the semi-groups generated by
them, Pacific J. Math., 10 A960) 419—437.
Берберян (Berberian S. K.)
[1] Naimark's moment theorem, Michigan Math. /., 13 A966), 171—184.
Бергер (В e r g e г С. А.)
[1] A strange dilation theorem. Abstract 625—152, Amer. Math. Soc. Noti-
Notices, 12 A965), 590.
Бёрлинг (BeurlingA.)
[1] On two problems concerning linear transformations in Hilbert space,
Ada Math., 81 A949), 239—255.
Бохнер (Bochner S.)
[1] Diffusion equations and stochastic processes, Proc. Nat. Acad. Set.
U.S.A., 35 A949), 368—370.
Бранж (de BrangesL.)
[1] Some Hilbert spaces of analytic functions. II. J.'Math. Anal. Appl., 11
A966), 44—72.
[2*] Hilbert spaces of entire functions, New-Jersey, 1968.
Бранж, Ровняк (de BrangesL., RovnyakJ.)
[1] The existence of invariant subspaces, Bull Amer. Math. Soc, 70 A964),
718—721; 71 A965), 396.
Брёйн (de Bruijn N. G.)
[1] On unitary equivalence of unitary dilations of contractions in Hilbert
space, Ada Sci. Math 23 A962), 100—105.
Бремер (BrehmerS.)
[1] Ober vertauschbare Kontraktionen des Hilbertschen Raumes, Ada ScL
Math., 22 A961), 106—111.
Б pjo д с к и й В. М.
[1*] О мультипликативном представлении характеристичехких функций опе-
операторов сжатия, ДАН СССР, 173 A967), 256—259..
414 БИБЛИОГРАФИЯ
Бродский В. М., Бродский М. С.
[1*] Об абстрактном треугольном представлении линейных ограниченных
операторов и мультипликативном разложении соответствующих им
характеристических функций, ДАН СССР, 181 A968), 511—514.
Б р о д с к и й В. М., Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г.
[1*] Определение и основные свойства характеристической функции ^-узла,
Функц. анализ и его прил., 4 A970), № 1, 88—90.
Бродский М. С.
[1] Теорема умножения характеристических матриц-функций линейных
операторов, ДАН СССР, 97 A954), 761—764.
[2] Характеристические матрицы-функции линейных операторов, Мат. сб.,
39 A956), 179—200.
[3] О жордановых клетках бесконечномерных операторов, ДАН СССР, 111
A956), 926—929.
[4*] О треугольном представлении некоторых операторов с вполне непре-
непрерывной мнимой частью, ДАН СССР, 133 A960), 1271 — 1274.
[5] Критерий одноклеточности вольтерровых операторов, ДАН СССР, 138
A961), 512—514.
[6*] О мультипликативном представлении некоторых аналитических опера-
оператор-функций, ДАН СССР, 138 A961), 751—754.
[7] О треугольном представлении вполне непрерывных операторов с одной
точкой спектра, УМН, 16 A961), вып. 1, 135—141.
[8] Об операторах с ядерными мнимыми компонентами. Ada Sci. Math.,
27 A966), 147—155.
[9] Треугольные и жордановы представления линейных операторов, «Нау-
«Наука», 1969.
Бродский М. С, Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г., М а ц а е в В. И.
[1] О некоторых новых исследованиях по теории несамосопряженных опе-
операторов, Труды IV Всесоюзного математического съезда, т. 2, 1964.
Бродский М. С, Кисилевский Г. Э.
[1] Критерий одноклеточности диссипативных вольтерровых операторов с
ядерными мнимыми компонентами, И АН СССР, сер. мат., 30 A966),
1213—1228.
Бродский М. С, Лившиц М. С.
[1] Спектральный анализ несамосопряженных операторов и промежуточ-
промежуточные системы, УМН, 13 A958), вып. 1, 3—85.
Бродский М. С, Шмульян Ю. Л.
[1] Инвариантные подпространства линейного оператора и делители его
характеристической функции, УМН, 19 A964), вып. 1, 143—149.
Винер (W i e пег N.)
[1] On the factorisation of matrices, Comm. Math. Helv., 29 A955),
97—111.
Винер, Акутович (W i e n e r N., Akutowicz E. J.)
[1] A factorization of positive hermitian matrices, /. Math. Mech., 8 A959),
111—120.
Винер, Мазани (Wiener N., Masani P.)
[1] The prediction theory of multivariate stochastic processes. I. Ada Math..
98 A957), 111—150.
[2] The prediction theory of multivariate stochastic processes. II. The linear
predictor, Ada Math., 99 A958), 93—139.
Винер, П э л и (W i e n e r N., P a 1 e у R. E. А. С.)
[1] Преобразование Фурье в комплексной области, «Наука», 1964.
Вольд (Wold H.)
[1] A study in the analysis of stationary time series, Stockholm. 1938-
2-е изд. 1954.
БИБЛИОГРАФИЯ 415
Гальперин (Н а 1 р е г i n I.)
[1] The unitary dilation of a contraction operator, Duke Math., /., 28 A961),
563—571.
[2] Sz.-Nagy-Brehmer dilations, Ada Sci. Math., 23 A962), 279—289.
[3] Unitary dilations which are orthogonal bilateral shift operators, Duke
Math. /., 29 A962), 573-580. P
[4] Intrinsic description of the Sz.-Nagy-Brehmer dilation, Studia Math., 22
A963), 211—219.
[5] Interlocking dilations, Duke Math. /., 30 A963), 475—484
Гинзбург Ю. П.
[1] О /-нерастягивающих оператор-функциях, ДАН СССР, 117 A957),
171 — 173.
[2] О факторизации аналитических матриц-функций, ДАН СССР, 159
A964), 489—492.
[3] О мультипликативных представлениях ограниченных аналитических
оператор-функций, ДАН СССР, 170 A966), 23—26.
[4*] Мультипликативные представления и миноранты ограниченных анали-
аналитических оператор-функций, Функц. анализ и его прил., 1 A967), № 3,
9—23.
[5*] О делителях и минорантах оператор-функций ограниченного вида, Мат.
исследования, Кишинев, 2:4 A968), 47—72.
Глазман И. М.
[1*] Об одном аналоге теории расширений эрмитовых операторов и несим-
несимметрической одномерной краевой задачи на полуоси, ДАН СССР, 115
A957), 214—216.
Гофман (Hoffman К.)
[1] Банаховы пространства аналитических функций, ИЛ, 1963.
Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г.
[1] О проблеме факторизации операторов в гильбертовом пространстве,
ДАН СССР, 147 A962), 279—282. •
[2] О факторизации операторов в гильбертовом пространстве, Ada Sci.
Math., 25 A964), 90—123.
[3] О мультипликативном представлении характеристических функций опе-
операторов, близких к унитарным, ДАН СССР, 164 A965), 732—735.
¦ [4] Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве, «Наука», 1965.
[5] Об одном описании операторов сжатия, подобных унитарным, Функц.
анализ и его прил., 1 A967), № 1, 38—60.
[6*] О треугольных представлениях линейных операторов и мультиплика-
мультипликативных представлениях их характеристических функций, ДАН СССР,
175 A967), 272—275.
[7*] Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве, «Нау-
«Наука», 1967.
Данфорд, Шварц (DunfordN., Schwartz J. Т.)
[1] Линейные операторы, I, ИЛ, 1962.
Девинац (Devinatz A.)
[1] The factorization of operator valued functions, Ann. of Math., 73 A961),
458—495.
Дольф (Dolph С L.)
[1] Positive real resolvents and linear positive Hilbert systems, Ann. Acad.
Sci. Fennic. (ser. A), 336/9 A963), 3—39.
Дольф, Пенслин (Dolph С. L, PenzlinE.)
[1] On the theory of a class of nonselfadjoint operators and its application
to quantum scattering theory, Ann. Acad. Sci. Fennic. (ser. A), 263
A959), 1—36.
416 БИБЛИОГРАФИЯ
Дуглас (Douglas R. G.)
[1] On majorization, factorization and range inclusion of operators in Hil-
bert space, Proc. Am. Math. Soc, 17 A966), 413—415.
[2] On factoring positive operator functions, /. Math. Mech., 16 A966),
119—126.
[3] Structure theory for operators, I, /. reine und angew. Math., 232 A968),
180—193.
Д урст (Durszt E.)
[1] On unitary p-dilations, Ada Sci. Math., 27 A966), 247—250.
[2] On the spectrum of unitary p-dilations, Ada Sci. Math., 28 A967),
299—304.
Дэвис (Davis Ch.)
[1] The shell of a Hilbert space operator, Ada Sd. Math., 29 A968),
69—86.
Ж ю л и a (Julia G.)
[1] Sur les projections des systemes orthonormaux de l'espace hilbertien,
C. #., 218 A944), 892—895.
[2] Les projections des systemes orthonormaux de l'espace hilbertien et les
operateurs bornes, C. R., 219 A944), 8—11.
[3] Sur la representation analytique des operateurs bornes ou fermes de
l'espace hilbertien, C. /?., 219 A944), 225—227.
Засухин В. Н.
[1*] К теории многомерных стационарных процессов ДАН СССР, 33 A941),
435—437.
3 и г м у н д A. (Z у g m u n d A.)
[1] Тригонометрические ряды, «Мир», 1965.
И о с и д a (Y о s i d а К.)
[1] Fractional powers of infinitesimal generators and the «nalyticity of
the semi-group generated by them, Proc. Japan Acad., 36 (I960), 86—89.
[2] Функциональный анализ, «Мир», 1967.
И то (It 6 Т.)
[1] On the commutative family of subnormal operators, /. Fac. Sci. Hokkai-
Hokkaido Univ., A), 14 A958), 1—15.
Калиш (Kalisch G. K.)
[1] On similarity, reducing manifolds, and unitary equivalence of certain
Volterra operators, Ann. of Math., 66 A957), 481—494.
К а то (KatoT.)
[1] Fractional powers of dissipative operators, /. Math. Soc. Japan, 13
A961), 246—274; 14 A962), 242-^248.
[2] Some mapping theorems for the numerical range, Proc. Japan Acad., 41
A965), 652—655.
Кисилевский Г. Э.
[1] Условия одноклеточности диссипативных вольтерровых операторов с
конечномерной мнимой компонентой, ДАН СССР, 159 A964)
505—508.
[2] Об аналоге жордановой теории для некоторого класса бесконечномер-
бесконечномерных операторов, Международный конгресс математиков, Москва, 1966,
тезисы, секц. 5, 54.
[3] О циклических подпространствах диссипативных операторов, ДАН
СССР, 173 A967), 1006—1009.
[4*] Обобщение жордановой теории для некоторого класса линейных опе-
операторов в гильбертовом пространстве, ДАН СССР, 176 A967), 768—
БИБЛИОГРАФИЯ
417
[о ] Инвариантные подпространства вольтерровых диссипативных операто-
операторов с ядерными мнимыми компонентами, ИЛН СССР, сер. мат., 32
A968), № 1, 3-23.
К р е й н М. Г.
[1] Аналитические проблемы и результаты теории линейных операторов в
гильбертовом пространстве, Труды Международного конгресса матема-
математиков. Москва, 1966, «Мир^, ЦN8.
К ужель А. В.
[1*] Спектральный анализ неограниченных несамосопряженных операторов,
ДАН СССР, 125 A959Ь 35-37.
[2*] Теорема умножения характеристических матриц-функций неунитарных
операторов, Научные доклады высш. школы, A959), № 3, 33—41.
[3*] Спектральный анализ квазиунитарных операторов в пространстве с
индефинитной метрикой, Респ. научн. сб. «Функциональный анализ,
теория функций и их приложения», вып. 4, Харьков, 1967, 3—27.
[4*] Обобщение теоремы Надя — Фояша о факторизации характеристиче-
характеристической оператор-функции, Ada Sci. Math., 30 A969), 225—234.
Куп ер (Cooper J. L. В.)
[1] One-parameter semi-groups of isometric operators in Hilbert space, Ann.
of Math., 48 A947), 827—842.
Лаке (Lax P.)
[1] Translation invariant spaces, Ada Math., 101 A959), 163—178.
[2] Translation invariant spaces, Proc. Intern. Symp. Linear Spaces, Jerusa-
Jerusalem, 1960, 299—306, New York, 1961.
Лаке, Ф и л л и п с (Lax P., Phillips R. S.)
[1] Scattering theory, Bull. Am. Math., Soc, 70 A964), 130—142.
[2] Scattering theory, New York, 1967. (Готовится русский перевод.)
Лангер (L anger H.)
[1] Ein Zerspaltungssatz fur Operatoren im Hilbertraum, Ada Math. Hung.,
12 A961), 441—445.
[2] Ober die Wurzeln eines maximalen dissipativen Operators, Ada Math.
Hung., 13 A962), 415—424.
Лангер, Ноллау (LangerH., NollauV.)
[1] Einige Bemerkungen fiber dissipative Operatoren in Hilbertraum, Wiss.
Zeitschr. d. Techn. Univ. Dresden, 15 A966), 669—673.
Л е б о в (Lebow A.)
[1] On von Neumann's theory of spectral sets, /. Math. Anal. Appl., 7
A963), 64—90.
Лившиц M. C.
[1] Об одном классе линейных операторов в гильбертовом пространстве,
Мат. сб., 19 A946), 239—260.
[2] Изометрические операторы с равными дефектными числами, квазиуни-
квазиунитарные операторы, Мат. сб., 26 A950), 247—264.
[3] О спектральном разложении линейных несамосопряженных операторов,
Мат. сб., 34 A954), 144—199.
[4] Операторы, колебания, волны. Открытые системы, «Наука», 1966.
Лившиц М. С, Потапов В. П.
[1] Теорема умножения характеристических матриц-функций, ДАН СССР,
72 A950), 625—628.
Лоуденслагер (Lowdenslager D. В.)
[1] On factoring matrix valued functions. Ann. of MatK, 78 B) A963),
450—454. . -
Мазани (Masani P.)
[1] The prediction theory of multivariate stochastic processes. Ill, Ada
Math., 104 A960), 141—162.
418 БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Shift invariant spaces and prediction theory, Ada Math., 107 A962),
275—290.
[3] Isometric flows on Hilbert space, Bull. Am. Math. Soc, 68 A962),
624-632.
[4] On the representation theorem of scattering, Bull. Am. Math. Soc, 74
A968), 618—624.
Мак-Келви (McKelveyR.)
[1] Spectral measures, generalized resolvents and functions of positive type,
/. Math. Anal. Appl., 11 A966), 447—477.
Мацаев В. И., П а л а н т Ю. А.
[1] О степенях ограниченного диссипативного оператора, Укр. мат. ж., 14
A962), № 3, 329—337.
Мёллер (MoellerJ. W.)
[1] On the spectra of some translation invariant spaces, /. Math. Anal.
Appl., 4 A962), 276—296.
Мл а к (Mlak V.)
[1] Characterisation of completely non-unitary contractions in Hilbert space,
Bull. Acad. Polon. Sci. (ser. math., astr., phys.), 12 A963), 111—114.
[2] Note on the unitary dilation of a contraction operator, Bull. Acad. Po-
Polon. Sci. (ser. math., astr., phys.), 12 A963), 463—467.
[3] Some prediction theoretical properties of unitary dilations, Bull. Acad.
Polon. Sci. (ser. math., astr., phys.), 12 A963), 637—641.
[4] Representation of some algebras of generalized analytic functions,
Bull. Acad. Polon. Sci. (ser. math., astr., phys.), 13 A965), 211—214.
[5] Unitary dilations of contraction operators, Rozprawy mat., 46 A965),
1—88. (Русский перевод: Унитарные растяжения операторов сжатия,
сб. «Математика», 11:6 A967), 21—95.)
[6] Unitary dilations in case of ordered groups, Ann. Pol. Math., 17 A965),
321—328.
[7] On semi-groups of contractions in Hilbert spaces, Studia Math., 26
A966), 263—272.
Наймарк М. A.
[1] Положительно определенные операторные функции на коммутативной
группе, И АН СССР, сер. мат., 7 A943), 237—244.
[2] О самосопряженных расширениях второго рода симметрического опе-
оператора, ИАН СССР, сер. мат., 4 A940), 53—104.
[3] Об одном представлении аддитивных операторных функций множеств,
ДАН СССР, 41 A943), 373—375.
Накано (NakanoH.)
[1] On unitary dilations of bounded operators, Ada Sci. Math., 22 A961),
286—288.
Нейман (von Neumann J.)
[1] Ober einen Satz von Herrn M. H. Stone, Ann. of Math. 33 A932),
567—573.
[2] Eine Spektraltheorie fur allgemeine Operatoren eines unitaren Raumes,
Math. Nachr., 4 A951), 258—281.
Никольский Н. К.
[1*] Одноклеточность и неодноклеточность взвешенных операторов сдвига,
ДАН СССР, 172 A967), 287—290.
[2*1 Об инвариантных подпространствах взвешенных операторов сдвига,
Мат. сб., 74 A967), № 2, 171—190.
[3*] Базисность и одноклеточность операторов взвешенного сдвига, Функц.
анализ и его прил., 2 A968), № 2, 95—96.
Н о л л а у (No 11 a u V.)
[1] Uber Potenzen von linearen Operatoren in Banachschen Raumen, Ada
Sci. Math., 28 A967), 107—122.
БИБЛИОГРАФИЯ 419
П а ррот (Parrot t S.)
[1] Unitary dilations for commuting contractions, preprint, Boston, 196&
Плеснер А. И. г г » >
[1] Спектральный анализ максимальных операторов ДАН СССР, 22
A939), 225—228.
[2] Функции максимального оператора, ДАН СССР, 23 A939), 327—330.
[3] О полуунитарных операторах, ДАН СССР, 25 A939), 708—710.
ПоляцкийВ. Т. *
[1] О приведении к треугольному виду квазиунитарных операторов, ДАН
СССР, 113 A957), 756—759.
[2] Приведение к треугольному виду некоторых неунитарных операторов.
Диссертация, Киев, 1960.
[3*] О приведении к треугольному виду операторов класса К, Уч. зап.
Одесск. пединст., 24 A959), № 1, 13—15.
Потапов В. П.
[1] Мультипликативная структура /-нерастягивающих матриц-функций,
Труды Моск. Мат. о-ва, 4 A955), 125—236.
Привалов И. И.
[1] Граничные свойства аналитических функций, ГИТТЛ, 1950.
Р ац (R? cz A.)
[1] Sur les transformations de classe Cp dans l'espace de Hilbert, Ada Sci.
Math., 28 A967), 305—310.
Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. (Riesz F., S z. -Nagy B.)
[Лекции] Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954.
[1] Ober Kontraktionen des Hilbertschen Raumes, Ada Sd. Math., 10 A943),
202—205.
Ровняк (RovnyakJ.)
[1] Some Hilbert spaces of analytic functions, Yale diss., 1963.
Розанов Ю. Л.
[1*] Спектральная теория линейного прогнозирования стационарных случай-
случайных процессов, сб. «Функциональный анализ и его применения», Баку,
1961, 222—229.
[2*] Стационарные случайные процессы, Физматгиз, 1963.
Розенталь (RosenthalP.)
[1] A note on unicelular operators, Proc. Am. Math. Soc, 19 A968), 505—
506.
Рота (Rota G. С.)
[1] On models for linears operators, Comm. pure appl. math., 13 A960),
468—472.
Сарасон (SarasonD.)
[1] On spectral sets having connected completnent, Ada Sd. Math., 26
A965), 289—299.
[2] A remark on the Volterra operator, /. Math. Anal. Appl, 12 A965),
244—246.
[3] Generalized interpolation in #°°, Trans. Am. Math. Soc, 127 A967),
№ 2, 179—203.
Сахнович Л. А.
[1] О приведении вольтерровских операторов к простейшему виду и об-
обратных задачах, И АН СССР, сер. мат., 21 A957), 235—262.
[2*] Приведение несамосопряженных операторов с непрерывным спектром
к диагональному виду, Мат. сб., 44 A958), № 4, 509—548.
[3] О приведении несамосопряженных операторов к треугольному виду,
Изв. высш. уч. завед., мат., 1(8) A959), 180—186.
420 БИБЛИОГРАФИЯ
[4] Исследование «треугольной модели» несамосопряженных операторов,
Изв. высш. уч. завед., мат., 4A1) A959), 141—149.
[5] О диссипативных операторах с абсолютно непрерывным спектром, ДАН
СССР, 169-A966), 760—763.
[6] Неунитарные операторы с абсолютно непрерывным спектром на еди-
единичной окружности, ДАН СССР, 181 A968), 558—561.
[7] Диссипативные операторы с абсолютно непрерывным спектром, Труды
Моск. мат. о-ва, 19 A968), 211—270.
[8] Операторы, подобные унитарным, с абсолютно непрерывным спектром,
Функц. анализ и его прил., 2 A968), № 1, 51—63.
[9] О диссипативных вольтерровых операторах, Мат. сб., 76 A968), № 3,"
323-343,
[10] Неунитарные операторы с абсолютно непрерывным спектром, ИАН
СССР, сер. мат., 33 A969), 52—64.
Cere (Sze go G.)
[1] Ober die Randwerte analytischer Funktionen, Math. Ann., 84 A921),
232-244.
Секефальви-Надь (Szokefalvi-Nagy B.)
[I] Sur les contractions de l'espace de Hilbert, Ada Sci. Math., 15 A953),
87—92. (Русский перевод: О сжатиях Гильбертова пространства, сб.
«Математика», 3!<6 A959), 73—77.)
[I bis] Transformations de l'espace de Hilbert, fonctions de type positif sur un
groupe, Ada Sci. Math., 15 A954), 104—114.
[II] Sur les contractions de l'espace de Hilbert. II,. Ada Sci. Math., 18
A957), 1—15. (Русский перевод: О сжатиях гильбертова пространства,
сб. «Математика», 3:6 A959), 78—89.)
[П] Prolongements des transformations de l'espace de Hilbert qui sortent de
cet espace. Приложение к книге F. Riesz et B. Sz.-Nagy, Lecons d'ana-
lyse fonctionnelle, Budapest, 1955. (Русский перевод: Продолжения
операторов в гильбертовом пространстве с выходом из этого простран-
пространства. Приложение к книге Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя «Лекции
по функциональному анализу», «Математика», 9:6 A965), 109—144.)
[1] Преобразования гильбертова пространства, - положительно определен-
определенные функции на полугруппе, УМН, 11 A956), вып. 6, 173—182.
[2] On Schaffer's construction of unitary dilations, Ann. Univ. Budapest,
sect, math., 3—4 A960/61), 343—346.
[3] Spectral sets and normal dilations of operators, Proc. Intern. Congress
Math., Edinburgh, 1958, 412-422.
[4] Bemerkungen zur vorstehenden Arbeit des Herrn S. Brehmer, Ada Sci.
Math., 22 A961), 112—114.
[5] Un calcul fonctionnel pour les operateurs lineaires de l'espace hilbertien
et certaines de ses applications, Studia Math., ser. spec. I, Conference
d'analyse fonctionnelle, Varsovie, 4—10 oct. I960 A963), 119—127.
[6] The «outher functions» and their role in functional calculus. Proc. In-
Intern. Congress Math., Stockholm, 1962, 421—425. '
[7] Un calcul fonctionnel pour les contractions. — Sur la structure des
dilatations unitaires des operateurs de l'espace de Hilbert, Seminari
dell'Istituto Nazionale de Alta Matematica, 1962/63, 525—534.
[8] Isometric flows in Hilbert space, Proc. Camb. Phil Soc, 60 A964),
45—49.
[9] Positive definite kernels generated by operator-valued analytic functions,
Ada Sci. Math., 26 A965), 191—192.
[10] Positiv-definite, durch Operatoren erzeugte Funktionen, Wiss. Zeitschr.
d. Techn. Univ. Dresden, 15 A966), 219—222.
[11] Completely continuous operators with uniformly bounded iterates, Publ,
Math. Inst. Hungar. Acad. ScL, 4 A959), 89-92.
БИБЛИОГРАФИЯ 421
СекеФальви-Надь, Фояш (Sz.-Nagy В., Foias С)
MQ leS contractions de 1'espace de Hilbert. Ц1, Ada Sd. Math., 19
[IV] Sur les contractions de l'espace de Hilbert. IV, Ada Scl Math, 21
A960), 251—259.
[V] Sur les contractions de l'espace de Hilbert. V. Translations bilaterales,
Ada, ScL Math., 23 A962), 106—129.
[VI] Sur les contractions de l'espace de Hilbert. VI. Calcul fonctionnel, Ada
Sd. Math., 23 A962), 130—167.
[VII] Sur les contractions de l'espace de Hilbert. VII. Triangulations canoni-
ques. Fonctions minimum, Ada Sd. Math., 25 A964), 12—37.
[VIII] Sur 4es contractions de l'espace ^de Hibert. VII. Fonctions caracteristi-
ques. Modeles fonctionnels, Ada Sd. Math., 25 A964), 38—71.
[IX] Sur les contractions de l'espace de Hilbert. IX. Factorisations de la fonc-
tion caracteristique. Sous-espaces invariants, Ada Sd. Math., 25 A964),
283—316.
[IX bis] Corrections et complements aux Contractions IX, Ada Sd. Math.} 26
A965), 193-196.
[X] Sur les contractions de l'espace de Hilbert. X. Contractions similaires
a des transformations unitaires, Ada Sd. Math., 26 A965), 79—91.
[XI] Sur les contractions de l'espace de Hilbert. XI. Transformations unicul-
lulaires, Ada Sd. Math., 26 A965), 301—324; 27 A966), 265.
[XII] Sur les contractions de l'espace de Hilbert. XII. Fonctions interieurs, ad-
mettaht des facteurs exterieurs, Ada Sd. Math., 27 A966), 27—33.
[1] Une relation parmi les vecteurs propres d'un operateur de l'espace de
Hilbert et de l'operateur adjoint, Ada Sd. Math., 20 A959), 91—96.
[2] Modeles fonctionnels des contractions de l'espace de Hilbert. La fonction
caracteristique, С R., 256 A963), 3236—3239.
[3] Proprietes des fonctions caracteristiques, modeles triangulaires et une
classification des contractions, С R., 258 A963), 3413—3415.
[4] Une caracterisation des sous-espaces invariants pour une contraction de
l'espace de Hilbert, С R., 258 A964), 3426—3429.
[5] Quasi-similitude des operateurs et sous-espaces invariants, С R., grou-
pe 1, 261 A965), 3938—3940.
[6] On certain classes of power-bounded operators in Hilbert space, Ada
Sd: Math., 27 A966), 17—25.
[7] Decomposition spectrale des contractions presque unitaires, С R., ser. A,
262 A966), 440—442.
[8] Forme triangulaire d'une contraction et factorisation de sa fonction
caracteristique, Ada Sd. Math., 28 A967), 201—212.
[9] Echelles continues des sous-espaces invariants, Ada Sd. Math., 28
A967), 213—222.
[10] Similitude des operateurs de classe Cp a des contractions, С R.} ser. A,
264 A967), 1063—1065.
[11] Commutants de certains operateurs, Ada Sd. Math., 29 A968), 1 — 17.
[12] Dilatation des commutants d'operateurs, С R., ser. A, 266 A968), 493—
495.
[13] Vecteurs cycliques et quasi-affinites, Stadia Math., 31 A968), 35—42.
[14] Operateurs sans multiplicity Ada Sd. Math., 30 A969), 1—18.
[15] Modele Jordan pour une classe d'operateurs de l'espace de Hilbert, Acta
Sci. Math., 31 A970).
С и н а й Я. Г.
[1] Динамические системы со счетнократным лебеговым спектром. I. ИАН
Арм. ССР, 25 A961), 899—924.
Торхауэр (ThorhauerP.)
[1] Bemerkungen zu einem Satz fiber vertauschbare Kontraktionen eines
422 БИБЛИОГРАФИЯ
Hilbertschen Raumes, Wiss. Zeitschr. d. Techn. Hochsch. Magdeburg, 5
A961), 109—110.
[2] Schafferartige Konstruktionen verstauschbarer unitarer Dilatationen,
These, Magdeburg, 1962.
Филлипс (Phillips R. S.)
[1] On the generation of semi-groups of linear operators, Pacific J. Math.,
2 A952), 343—369.
[2] Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential
equations, Trans. Am. Math. Soc, 90 A959), 192—254. (Русский пере-
перевод: Диссипативные операторы и гиперболические системы дифферен-
дифференциальных уравнений в частных произведениях, Математика, 6 : 4 A962),
11—70.)
[3] On a theorem due to Sz.-Nagy,.Pacific /. Math,, 9 A959), 169—173.
Фогель (Foguel S. R.)
[1] A counterexample to a problem of Sz.-Nagy, Proc. Am. Math. Soc, 15
A964), 788—790.
Ф оя ш (Fo i a s, C.)
[1] Sur certains theoremes de J. von Neumann concernant les ensembles
spectraux, Ada Sci. Math., 18 A957), 15—20.
[2] La mesure harmonique-spectrale et la theorie spectrale des operateurs
generaux d'un espace de Hilbert, Bull. Soc. math. France, 85 A957),
263—2?2.
[3] On Hille's spectral theory and operational calculus for semi-groups of
operators in Hilbert space, Compositio Math., 14 A959), 71—73.
[4] Certaines applications des ensembles spectraux. I. Mesure harmonique-
spectrale, §tudii si cercetari mat., 10 A959), 365—401.
[5] La maximalite de l'espace H°° dans le calcul fonctionnel, Analele Univ.
Timisoara, ser. mat.-fiz., 2 A964), 77—81.
[6] Modeles fonctionnels, liaison entre les theories de la prediction, de la
fonction caracterisUque et de la dilatation unitaire, Deuxieme colloque
sur l'analyse fonctionnele, Lie^e, 4—6 mai 1964, 63—76.
Фояш, Гехер (Fo i a s. С, G eher L.)
[1] Ober die Weylsche Vertauschungsrelation, Ada Sci. Math., 24 A963),
97-102.
Фояш, Гехер, Секефальви-Надь (Foias, С, Geher L., S z. - N a-
gy в.)
[1] On the permutability condition of quantum mechanics, Ada Sci. Math.,
21 A960), 78-89.
Ф о я ш, -M л а к (F о i a s С, M1 a k W.)
[1] The extended spectrum of completely non-unitary contractions and the
spectral mapping theorem, Studia Math., 26 A966), 239—245.
Фридрихе (FriedrichsK. О.)
[1] On the perturbation of continuous spectra, Comm. Pure Appl. Math., 1
A948), 361-406. "
Фурман (Fuhrman P. A.)
[il] On the corona problem and its application to spectral problems in Hil-
Hilbert space, Trans. Am. Math. Soc, 132 A968), 55—66.
[2] A functional calculus in Hilbert space based on operator valued fun-
functions, Israel J. Math., 6 A968), 267—278.
Хайнц (Heinz E.)
[1] Ein v. Neumannscher Satz uber beschrankte Operatoren in Hilbertschen
Raum, G6ttinger Nachr., 1952, 5—6.
Халмош (Halmos P. R.)
- [1] Normal dilations and extensions of operators, Summa Brasil. Math 2
A950), 125—134.
БИБЛИОГРАФИЯ 423
И ?™fts. on Hilbert spaces, /. reine angew. Math., 208 A961),-
[3] Positiv definite sequences and the* miracle of w. A talk before the fun-
functional analysis seminar at the University of Michigan, 8 July, 1965,
17 стр.
[4] On Foguel's answer to Nagy's question, Proc. Am. Math. Soc, 15
A964), 791-793.
Хелсон (Helson H.)
[1] Lectures on invariant subspaces, New York —London, 1964.
Хелсон, Лоуденслагер (Helson H., Lowdenslager D.)
[1] Prediction theory and Fourier series in several variables, Ada Math.,
99 A958), 165—202.
[2] Prediction theory and Fourier series in several variables, II, Ada Math.,
106 A961), 175—213.
X и л л е, Ф и л л и п с (Н i 11 e E.t Phillips R. S.)
[1] Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ., 1962.
X о л б р у к (Н о 1 b г о о k J. A. R.)
[1] On the power-bounded operators of Sz.-Nagy and Foias Ada Sd. Math.,
29 A968), 299—310.
Шварцман Я. С.
[1*] Функциональная модель вполне непрерывного диссипативного узла,
Мат. исследования Кишинев, 3:3 A968), 126—138.
Шеффер (Schaf fer J. J.)
[1] On unitary dilations of contractions, Proc. Am. Math. Soc, 6 A955),
322.
Шмульян Ю. Л.
[1] Операторы с вырожденной характеристической функцией, ДАН СССР,
93 A953), 985-988.
[2] Некоторые вопросы теории операторов с конечным рангом неэрмито-
вости, Мат. сб., 57 A962), № 1, 105—136.
[3] Оптимальная факторизация неотрицательных матриц-функций, Теория
вероятн. и ее прим., 9 A964), 382—386.
Шрайбер (SchreiberM.)
[11 Unitary dilations of operators, Duke Math. J., 23 A956), 579—594.
[2] A functional calculus for general operators in Hilbert space, Trans. Am.
Math. Soc, 87 A958), 108—118.
[3] On the spectrum of a contraction, Proc. Am. Math. Soc, 12 A961),
709—713.
[4] Absolutely continuous operators,.Duke Math. J., 29 A962), 175—190.
Штраус А. В.
[1] Об одном классе регулярных оператор-функций, ДАН СССР, 70 A950),
577—580.
[2*] Спектральные функции симметрического оператора с конечными индек-
индексами дефекта, Уч. зап. пед. и учит, и-та, Куйбышев, 11 A951), 17—66.
[3*] О характеристических функциях линейных операторов, ДАН СССР,
126, 3 A959), 514—516.
[4] Характеристические функции линейных операторов, ИАН СССР, сер
мат., 24 A960), 43—74.
Эгервари (EgervaryE.)
[1] On the contractive linear transformations of я-dimensional vector space
Ada Sci. Math., 15 A954), 178—182.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамян В. М. 311
Акутович (Akutowicz E. J.) 263
Андо (Ando Т.) 68
Аров Д. 3. 311
Ахиезер Н. И. 11
Балакришнан (Balakrishnan V.) 203
Берберян (Berberian S. К.) 71
Бергер (Berger С. А.) 70
Бёрлинг (Beurling A.) 174, 261, 308
Бохнер (Bochner S.) 203
Бранж (de Branges L.) 263, 308
Брёйн (de Bruijn N. G.) 112, 309
Бремер (Brehmer S.) 68, 69
Бродский В. М. 262, 311
Бродский М. С. 262, 306, 307, 309,
356, 377, 411, 412
Ванг (Wang Ju-kwei) 304
Винер (Wiener N.) 260, 261, 263, 400
Вольд (Wold H.) 67
Иосида (Yosida K-) 160, 203, 204
Ито (Но Т.) 69
Калиш (Kalisch G. К.) 412
Като (Kato Т.) 204
Кисилевский Г. Э. 411, 412
Костюченко А. Г. 70
Крейн М. Г. 175, 262, 263, 306, 307,
309, 3U, 376, 408, 412
Кужель А. В. 311, 357
Купер (Cooper J. L. В.) 69
Лаке (Lax P.) 175, 260, 261, 311
Лангер (Langer H.) 67, 71, 202, 203,
204
Лебов (Lebow A.) 70
Лившиц М. С. 260, 262, 306, 309, 356,
377, 411
Лоуденслагер (Lowdenslager D.)
260, 262, 263
Гальперин (Halperin I.) 67, 68, 112,
113, 309
Гехер (Geher) L.) 175
Гинзбург Ю. П. 262, 263, 375
Глазман И. М. 11, 203
Гофман (Hoffman K-) 101, 116, 132,
. 147, 174, 310
Гохберг И. Ц. 175, 262, 307, 309, 311,
408, 412
Данфорд (Dunford N.) 124, 160
Девинац (Devinatz A.) 263
Дольф (Dolph С. L.) 204
Дуглас (Douglas R. G.) 262, 263, 311
Дурст (Durszt E.) 71, 114
Дэвис (Davis Ch.) 70
Жюлиа (Julia G.) 67
Засухин В. Н. 261, 263
Зигмунд (Zygmund A.) 233
Мазани (Masani P.) 175, 260, 263
Мацаев В. И. 204, 412
Мёллер (Moeller J. W.) 309
Млак (Mlak V.) 71, ИЗ, 175
Наймарк М. А. 68, 71
Накано (Nakano H.) 71
Нейман (von Neumann J.) 69, 164,
174
Никольский Н. К. 412
Ноллау (Nollau V.) 204
Палант Ю. А. 204
Паррот (Parrott S.) 68, 113
Пенцлин (Penzlin E.) 204
Плеснер А. И. 174
Поляцкий В. Т 306, 309, 376
Потапов В. П. 262, 356
Привалов И. И. 116
Пэли (Paley R. Е. А. С.) 40Q
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
425
Рац (Racz A.) 114
Рисе Ф. (Riesz F.) 67, 68, 115, 261
Ровняк (Rovnyak J.) 263, 307
Розанов Ю. А. 263
Розенталь (Rosenthal P.) 175
Рота (Rota G. С.) 307
Сарасон (Sarason D.) 70,112,308,412
Сахнович Л. А. 307, 309, 412
Cere (Szego G.) 101, 115, 261
Секефальви-Надь (Szokef alvi-Nagy B.)
67—71, 112—114, 174, 203, 263
С.-Н. и Ф. (Sz.-N., F.) 67, 70, 71, 112,
174, 175, 260—262, 307—309, 354,
356, 357, 376, 377, 408, 409,411,412
Синай Я. Г. 175
Сриниьасан (Srinivasan Т. Р.) 309
Стампфли (Stampfli J. G.) 71
Стоун (Stone M. Н.) 164
Торхауэр (Thorhauer P.) 71
Фату (Fatou P.) 115
Фейер (Fejer L.) 261
Филлипс (Phillips R. S.) 160, 175,203,
311
Фогель (Foguel S. R.) 114
Фояш (Foia$ С.) 69, 70, 174,
203, 311, 408
Фридрихе (Friedrichs К О.) 412
Фурман (Fuhrman R. А.) 308
175,
Хайнц (Heinz E.) 69
Халмош (Halmos P. R.) 67, 70, 71,
114, 260, 261
Хелсон (Helson H.) 260, 262, 263,
307, 309
Хилле (Hille E.) 160
Холбрук (Holbrook J. A. R.) 114
Шварц Дж. (Schwartz J. T.) 124, 160
Шварцман Я. С. 311
Шеффер (Schaffer J. J.) 68
Шмульян Ю. Л. 113, 262, 306, 309,
356, 412
Шрайбер (Schreiber M.) 112, 174, 175,
309
Штраус А. В. 260, 306, 308
Эгервари (Egervary E.)- 71
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
аккретивный оператор 188
аналитическое ядро 257
антисамосопряженный оператор 192
ассоциированная функция 210
аффинитет 378
р-дилатация унитарная 60
диссипативный оператор 188
жорданов оператор 410
блуждающее подпространство 14
вектор инвариантный (для сжатия)
21
— корневой 154
— циклический 159
внешняя функция (операторная) 213
(скалярная) 117
*-внешняя функция 213
внутренняя функция (операторная)
213
(скалярная) 118
¦-внутренняя функция 213
вполне несамосопряженный оператор
192
¦— неунитарный оператор 21
изометрическая дилатация 24
изометрия 13
изоморфизм двух дилатаций 23
инвариантный вектор сжатия 21
каноническая и * -каноническая фак-
торизациия (операторный случай)
228
— факторизация (скалярный случаи)
118
каноническое разложение 22
квазиаффинное преобразование 85
когенератор 161
корневой вектор 154
кратность двустороннего сдвига 17
— одностороннего сдвига 14
— полугруппы 171
генератор 160
дважды перестановочные операторы
53
двусторонне внешняя или внутренняя
функция 213
двусторонний сдвиг 17
делитель 123
— регулярный 335
— — сильный 340
дефектное подпространство 20
— число 20
дефектный оператор 20
дилатация изометрическая 24
— полугруппы 45
—- семейства операторов 33
— унитарная 26
• регулярная 48
— функции положительного типа 40
максимальный аккретивный оператор
189
—«• диссипативный оператор 189
минимальная функция 144
множество остаточное 345
модель функциональная сжатия 275,
283
полугруппы сжатий 310
наддиагонализация 88
непрерывный односторонний сдвиг
172
неравенство Неймана 46
носитель существенный 344
обратный оператор в узком смысле
85
— широком смысле 85
ПР
ЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ
427
ограниченная операторная аналитиче-
аналитическая функция 209
одноклеточность оператора 155
односторонний сдвиг 14
оператор аккретивный 188
максимальный 189
— антисамосопряженный 192
— вполне несамосопряженный 192
неунитарный 21
— дефектный 20
— диссипативный 188
максимальный 189
— жорданов 410
— одноклеточный 155
— ядерный 358
остаточная часть (унитарной дилата-
ции) 76
остаточное множество 345 '
подпространство блуждающее 14
— дефектное 20
—> ультраинвариантное 91
— уходящее 173
представление унитарное 40
— Фурье 216
преобразование квазиаффинное 85
— Кэли 188
радиус численный 63
разложение Вольда 15
— каноническое 22
регулярная унитарная дилатация 48
— факторизация 318, 325
регулярный делитель 335
сдвиг двусторонний 17
— односторонний 14
• непрерывный 172
сжатие 19
— слабое 358
сжимающая аналитическая функция
210
сильный регулярный делитель 340
скалярное кратное (сжимающей ана-
аналитической функции) 241
слабое сжатие 358
след 358
совпадение операторных функций 215
сопряженная функция 115
существенный носитель 344
теорема Бёрлинга 121
— Фату обобщенная 208
триангуляция 88
ультраинвариантное подпространство
унитарная дилатация 26
— р-дилатация 60
унитарное представление 40
уходящее подпространство 173
факторизация каноническая и •-кано-
•-каноническая (операторный случай)
228
— (скалярный случай) 118
—• регулярная 318, 325
функция ассоциированная 210
— внешняя (операторная) 213
— — (скалярная) 117
—*-внешняя 213
— внутренняя (операторная) 213
¦ (скалярная) 118
—*-внутренняя 213
—> двусторонне внутренняя или внеш-
внешняя 213
— минимальная 144
— ограниченная операторная анали-
аналитическая 209
— распределения (операторная) 45
— сжимающая аналитическая 210
— сопряженная 115
—¦ характеристическая 266
функциональная модель полугруппы
сжатий 310
. сжатия 275, 283
характеристическая функция 266
циклический вектор 159
часть остаточная (унитарной дила-
тации) 76
— чистая (сжимающей аналитиче-
аналитической функции) 211
численный радиус 63
число дефектное 20
ядерный оператор 358
ядро аналитическое 257
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Классы функций
А
Е"
Я"
К?
NT
126
118;
116;
139
176
?рег
rjOO
пт
121
127; Н2(Щ 207
L\ 117; /До 118; L2 C1) 204; L2+ B1) 206
Классы операторов
8>0
Со 141; Со (W) 388
Сор(а, р=., О, 1)87
(Qo+K99
Прочие обозначения
пр (проекция) 23
tr (след) 359
spt ess {существенный носитель) 344
DT (дефектный оператор) 19
S)r (дефектное подпространство) 20
Ьт (дефектное число) 20
тт{Х) (минимальная функция) 142
0Г(А,) (характеристическая функция) 264
Дг@ 275
dT (К) 388
D — открытый единичный круг
С— единичная окружность
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие к английскому изданию . 8
Предисловие 9
Глава I. Сжатия и их дилатации . , 14
§' 1. Односторонние сдвиги. Разложение Вольда . 14
§ 2, Двусторонние сдвиги .16
§ 3. Сжатия. Инвариантные векторы и каноническое разложение . 19
§ 4. Изометрические и унитарные дилатации оператора сжатия . 23
§ 5. Матричное построение унитарных дилатации 29
§ 6. Коммутативные семейства изометрий и сжатий 33
§ 7. Функции положительного типа на группе 39
§ 8. Некоторые приложения 42
§ 9. Регулярные унитарные дилатации коммутативных семейств сжа-
сжатий 46
§ 10. Другой метод построения изометрических дилатации. Пример,
относящийся к системам дифференциальных уравнений ... 64
§ 11. Унитарные р-дилатации 60
Комментарии > , 67
Глава П. Исследование геометрии минимальных унитарных дилатации . 72
§ 1. Структура пространства минимальной унитарной дилатации . . 72
§ 2. Структура пространства минимальной изометрической дилатации.
Дилатация коммутантов 76
§ 3. Остаточная часть минимальной унитарной дилатации. Квазиаф-
Квазиаффинитет и квазиподобие 82
§ 4. Классификация сжатий. Канонические матричные триангуляции
сжатий 87
§ 5. Инвариантные подпространства и их поведение по отношению
к квазиподобиям 91
§ 6. Спектральные соотношения 97
§ 7. Спектральные кратности 102
§ 8. Подобие операторов класса WQ сжатиям 108
Комментарии 112
Глава III. Функциональное исчисление. Ограниченные функции . . . .115
§ 1. Классы Харди. Внутренние и внешние функции 115
§ 2. Функциональное исчисление. Классы Н°° и Я~ 125
§ 3. Роль внешних функций в функциональном исчислении . • . . 136
§ 4. Сжатия класса Со и их минимальные функции 140
§ 5. Соотношения между минимальной функцией и спектром .... 144
§ 6. Соотношения между минимальной функцией и инвариантными
подпространствами •. 147
§ 7. Корневые векторы сжатий класса Со и вопросы, связанные с
одноклеточностью ,.,,,.,,... 153
430 оглавление
§ 8. Однопараметрические полугруппы сжатий, их генераторы и ко-
генераторы 160
§ 9. Унитарные дилатации полугрупп. Полугруппы изометрий . . . 166
Комментарии 174
Глава IV. Функциональное исчисление. Ограниченные и неограниченные
функции 176
§ 1. Правила исчисления . . 176
§ 2. Представление оператора ср(Г) в виде предела операторов уг{Т) 182
§ 3. Функции со значениями в угле 184
§ 4. Аккретивные и диссипативные операторы 188
§ 5. Дробные степени максимальных аккретивных операторов ... 195
Комментарии 202
Глава V. Аналитические операторные функции 205
§ 1. Векторные классы L2 и Я2 205
§ 2. Аналитические операторные функции. Чистая часть. Внутренние
и внешние функции 208
§ 3. Леммы о представлениях Фурье. Инвариантные подпростран-
подпространства односторонних сдвигов 215
§ 4. Факторизации 223
§ 5. Существование нетривиальных факторизации для произвольной
сжимающей аналитической функции 234
§ 6. Сжимающие аналитические функции, обладающие скалярным
кратным 241
§ 7. Теоремы о факторизации для функций, обладающих скалярным
кратным 253
§ 8. Аналитические ядра 257
Комментарии 260
Глава VI. Характеристические функции и функциональные модели . . 264
§ 1. Характеристические функции . 264
§ 2. Функциональные модели. Случай заданного сжатия ..... 269
§ 3. Функциональные модели. Случай заданной сжимающей аналити-
аналитической функции • 276
§ 4. Характеристическая функция и спектр 287
§ 5. Характеристическая функция и минимальная функция .... 294
§ 6. Спектральный тип минимальной унитарной дилатации .... 300
Комментарии , 306
Глава VII. Регулярные факторизации характеристической функции и
инвариантные подпространства 312
§ 1. Основная теорема 313
§ 2. Некоторые дополнительные предложения 320
§ 3. Регулярные факторизации 325
§ 4. Арифметика регулярных делителей 335
§ 5. Инвариантные подпространства сжатий класса Си 343
§ 6. Спектральное разложение сжатий класса Сц, характеристиче-
характеристические функции которых обладают скалярным кратным .... 350
Комментарии 354
Глава VIII. Слабые сжатия ...,..,, 358
§ 1. Существование скалярного кратного у характеристической функ-
функции 388
§ 2. Разложение Со — Сц * ЗбЗ
ОГЛАВЛЕНИЕ 431
§ 3. Спектральное разложение слабых сжатий 371
Комментарии 376
Глава IX. Проблемы подобия, квазиподобия и одноклеточности .... 378
§ 1. Сжатия, подобные унитарным операторам 378
§ 2. Квазиподо'бие некоторых сжатий 382
§ 3. Признаки одноклеточности 388
§ 4. Диссипативные операторы. Класс (^oj 395
§ 5. Диссипативные операторы, подобные самосопряженным .... 403
Комментарии 408
Библиография 413
Именной указатель 424
Предметный указатель 426
Указатель обозначений 428
Б. СЕКЕФАЛЬВИ-НАДЬ, Ч. ФОЯШ
Гармонический анализ операторов
в гильбертовом пространстве
Редактор В. Авврбух
Художник Л. Ларский
Художественный редактор В. Шаповалов
Технический редактор Я. Толстякова
Корректор А. Рыбальченко
Сдано в производство 16/11 1970 г •
Подписано к печати 7/VII 1970 г.
Бум. №3 60x90Vie- 13,50 бум. л. Печ. л. 27
Уч.-изд. л. 22,74. Изд. № 1/5129
Цена 1 р. 76 к. Зак. 517
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров
СССР, Измайловский проспект, 29