к • морен
Г’^ГЖЛРТЛЛМ
F‘-L ’уЮТ L. 1 \ZZJL D1
ГИЛЬБЕРТОВА
ПРОСТРАНСТВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
,МИР‘ 1
POLSKA AKADEMIA NAUK
MONOGRAFIE MATEMATYCZNE
Komltet redakcyjny
K. Borsuk, B. Knaster, K. Kuratowski (redaktor), S. Mazur,
W. Sierpinski, H. Steinhaus, W. Slebodzinski, A. Zygmund
том 36
KRZYSZTOF MAURIN
METODY
PRZESTRZENI HILBERTA
PANSTWOWE WYDAWNICTWO NAUKOWE
Warsawa 1 959
КРИСТОФ МОРЕН
МЕТОДЫ
ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
ПЕРЕВОД С ПОЛЬСКОГО
В. Э. ЛЯН ЦЕ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Ю. М. БЕРЕЗАНСКОГО и Е. А. ГОРИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
„МИР"
Москва 1965
УДК 517.948 :513.88
Теория гильбертовых пространств представляет собой один
из наиболее популярных разделов функционального анализа.
Монография польского математика К. Морена посвящена в основ-
ном приложениям этой теории к дифференциальным уравнениям
в частных производных. Значительное место занимает изложение
спектральной теории операторов в ее современной трактовке.
Автор существенно переработал книгу для русского издания:
добавлены новые разделы, внесены улучшения в изложение
и расположение материала.
По характеру изложения книга доступна студентам старших
курсов математических факультетов университетов и пединсти-
тутов; она может служить учебным пособием по данному вопросу.
В то же время она представляет интерес для преподавателей
и научных работников в области математики.
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Методы гильбертова пространства являются живым и плодотвор-
ным разделом математики. За несколько лет, прошедших после сдачи
в печать первого издания, появилось несколько важных теорий,
поэтому автор считал, что новое издание должно хотя бы частично
учитывать это развитие.
Хотя изменения по сравнению с польским вариантом весьма
велики, книга все же сохранила свой прежний характер и выходит
под тем же названием. Многие главы были значительно дополнены
или написаны заново. В книгу включены две большие, совершенно
новые главы (III и XXII), а также дополнения.
Основные изменения следующие.
1.	В главу о вполне непрерывных операторах включен ряд новых
параграфов; там же введено понятие отображений Гильберта—Шмидта.
Эти отображения играют основную роль в общей теории разложений
по собственным функциям. Введены ядерные отображения (Гротендик),
которые начинают играть в последние годы все большую роль.
2.	В главе VIII заново написаны параграфы, относящиеся к полной
спектральной теореме; этот подход, по-видимому, облегчит читателю
понимание трудного и в то же время столь важного понятия прямого
интеграла.
3.	Унитарные представления (некомпактных) групп Ли играют
огромную роль в квантовой механике. За последние годы в этой
области получены красивые результаты. В данном издании мы стре-
мимся, хотя бы в скромной мере, ввести читателя в эту проблематику.
Мы особо подчеркиваем новые важные результаты Нельсона и Стайн-
спринга, которые, несомненно, найдут интересные применения.
4.	Глава о методе ортогонального проектирования написана заново
и перемещена. Нынешний — по-видимому, новый — подход базируется
на теории форм Лежандра. Включен новый параграф, посвященный
обобщению альтернирующего метода Шварца и метода выметания
Пуанкаре, которым мы обязаны Браудеру.
5.	После ставшей ныне классической работы Гельфанда — Костю-
ченко появился ряд подходов к общей теории разложений по соб-
ственным функциям. Глава XVI была написана заново; в качестве
основы приняты работы автора за последние годы.
6
Предисловие к русскому изданию
В теории дифференциальных операторов, представлений групп Ли
и т. п. все большую роль играют пространства обобщенных функ-
ций; в связи с этим возникла потребность применения теории локально
выпуклых пространств, не являющихся нормированными простран-
ствами. Соответствующие теоремы, хорошо известные специалистам,
рассеяны по специальной литературе, что вызывает серьезные затрудне-
ния при изучении. Глава III, которую можно опустить при первом
чтении, должна хотя бы частично заполнить этот пробел. Общие
теоремы иллюстрируются примерами из теории обобщенных функций
(знание которой мы не предполагаем). Специалиста, быть может,
заинтересует новое, очень простое доказательство теоремы о ядре,
которым автор обязан Ст. Лоясевичу.
Одним из важнейших событий последних лет в области методов
гильбертова пространства является общая теория дифференциальных
операторов, начатая в 1955 г. Л. Хёрмандером. Представляется
целесообразным, чтобы нынешнее издание отразило этот совершенно
новый взгляд на столь важный раздел анализа.
Дополнение 2 ставит целью облегчить чтение тех частей книги,
которые связаны с группами Ли и почти периодическими функциями.
При отборе материала я пользовался советами проф. Хёрмандера,
которому я приношу здесь сердечную благодарность.
Тот факт, что именно в Советском Союзе было принято решение
о переводе „Методов", доставил мне большую радость, но и привел
меня в смущение: я отдаю себе отчет в том, что данная работа не
лишена недостатков, и знаю, как много в Советском Союзе людей,
более компетентных, чем я. Я хочу выразить здесь благодарность
математикам страны Советов за то стимулирующее влияние, которое
оказали на меня их работы. Мне трудно перечислить здесь все имена,
скажу только, что интерес к методам гильбертова пространства воз-
ник у меня благодаря прекрасным книгам проф. С. Г. Михлина.
В заключение я хочу исполнить приятную обязанность и побла-
годарить переводчика В. Э. Лянце, который нешаблонно подошел
к своей работе. Работа над переводом текста, написанного впопыхах,
должна была оказаться для него достаточно трудоемким занятием,
о чем свидетельствует обширная корреспонденция, возникшая в связи
с переводом.
Я благодарен Издательству за проявленное им терпение в ожидании
возникающих изменений и дополнений, а также за привлечение столь
крупного специалиста, каким является Ю. М. Березанский. Я не
сомневаюсь, что книга сильно выиграет в результате его комментариев.
Наконец, я весьма обязан редактору Издательства Е. А. Горину,
чей труд, далеко выходящий4 за рамки обычных обязанностей, суще-
ственно улучшил текст перевода.
Кристоф Морен
Варшава
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы методы гильбертова пространства стали инстру-
ментом, которым пользуются многие математики, работающие в раз-
личных областях науки. Ежегодно появляются десятки работ по теории
дифференциальных уравнений, по прямым методам вариационного
исчисления, гармоническим полям, теории представлений групп и т. д.,
в которых аппарат гильбертова пространства применяется во все
большем объеме.
Несмотря на это, в мировой литературе нет всеобъемлющего
изложения так называемой техники гильбертова пространства. В на-
стоящей книге предпринята попытка восполнить этот пробел. Наша
цель — сделать более доступной обширную специальную литературу
и привить начинающим вкус к самостоятельным исследованиям.
Нам представляется, что благодаря работам последних лет не-
которые разделы теории приобрели законченную форму и что теперь
уже можно думать о попытке всестороннего обзора „методов гиль-
бертова пространства".
В отличие от ряда монографий по теории гильбертова простран-
ства центр тяжести настоящей монографии — не абстрактная теория,
а применения к другим разделам анализа. Общая теория излагается
в первых девяти главах с точки зрения „применений". Центральным
пунктом теории является полная спектральная теорема (два ее дока-
зательства даны в гл. IX), которая, как заметил Л. Гординг,
является абстрактной основой теории разложения по собственным
функциям классического анализа и которая, как нам кажется, должна
явиться адекватным аппаратом квантовой механики. .Оба приведенных
здесь доказательства намного проще первоначального доказательства
фон Неймана — они базируются на теореме Гельфанда — Наймарка.
Для того чтобы не вынуждать читателя обращаться к другим источ-
никам, в VIII главе дается краткое изложение теории Гельфанда.
Следует иметь в виду, что лишь теорема Гельфанда — Наймарка
показала, что аналогия между аппроксимацией эрмитова оператора
линейной комбинацией проекционных операторов (спектральная тео-
рема) и равномерной аппроксимацией непрерывной функции линейными
комбинациями характеристических функций не является случайной —
это эквивалентные факты.
8
Предисловие
Читатель, желающий поскорее ознакомиться с современным под-
ходом к спектральной теории, может сразу после гл. I перейти
к гл. VIII и IX.
Хотя такой подход обладает несомненными достоинствами, пред-
ставляется желательным подойти к спектральной теореме сначала
более традиционным способом, исходящим из спектральной теории
эрмитовых матриц. Этот способ одновременно подготавливает читателя
к точке зрения теории Гельфанда (см. изящное доказательство Эбер-
лейна, базирующееся на теореме Рисса, гл. IV).
Теория дифференциальных уравнений и квантовая механика заста-
вили математиков (фон Нейман, Фридрихе, Стоун) заняться симметриче-
скими операторами и их самосопряженными расширениями (гл. V и VI).
В то же время теория интегральных уравнений (гл. VII) и теория
почти периодических функций приводят к наиболее элементарной
области, а именно к теории вполне непрерывных операторов. Поэтому
гл. VII представляется наиболее легким местом книги; она написана
в духе Э. Шмидта.
Как известно, так называемые „применения" являются наиболее
трудной областью человеческого знания, ибо они требуют, с одной
стороны, владения „теорией", а с другой — знакомства с материалом,
к которому теория применяется. Поэтому значительная часть этой
книги является трудной и требует чтения „с карандашом в руке".
Это относится в первую очередь к гл. XIII, XVI и XVIII, охваты-
вающим богатый материал по теории дифференциальных уравнений
и гармонических полей.
В этой книге, вообще говоря, материал расположен не по прин-
ципу возрастания трудности; например, сравнительно легкие главы,
касающиеся эргодической теории и почти периодических векторов,
помещены в конце книги, так как эти вопросы находятся в стороне
от массива дифференциальных уравнений (и вариационного исчисления),
охватывающего гл. XI—XVIII.
В книге применяется обычный сегодня метод изложения „от общего
к частным случаям", позволяющий унифицировать методы и сделать
более выпуклыми внутренние связи теории, а также упростить дока-
зательства. Однако здесь имеется отрицательная сторона по сравнению
с генетическим изложением: молодой читатель, не знающий класси-
ческих методов и проблематики, не сумеет оценить достижений
создателей теории и не почувствует, что „конкретные проблемы
во всем своем разнообразии составляют сердце и душу математики"
(Вейль).
Этот недостаток должно, хотя бы частично, исправить заключение;
в нем излагается краткий исторический очерк развития теории, совре-
менное состояние которой изложено в этой книге.
Настоящая монография формально не предполагает никаких знаний,
кроме элементов дифференциального и интегрального исчисления
Предисловие	9
функций многих переменных, общей топологии и теории интеграла,
включая теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла,
теоремы Рисса, Фубини, Радона — Никодима. (Используемые факты
из этой области собраны в добавлении 1.) Фактически, однако, чита-
телю, который никогда не встречался с задачей Дирихле или с функ-
цией Грина, трудно будет оценить значимость результатов, достигну-
тых методами гильбертова пространства.
В нескольких доказательствах оставлены пробелы („множества
меры нуль"), которые читатель, знакомый с теорией интеграла, легко
восполнит. Это сделано намеренно, для того чтобы сделать более
выпуклой основную мысль и не отпугивать читателя длиной до-
казательства.
Несомненно, книга содержит еще много погрешностей, однако их
было бы несравненно больше, если бы не доброжелательная критика
моих друзей, которых я сердечно благодарю.
Наиболее интересными частями эта книга обязана Ларсу Гордингу,
и поэтому она в первую очередь ему посвящена.
Кристоф Морен
Моим учителям
ЛАРСУ ГОРДИНГУ
и
КОСАКУ ИОСИДА
ГЛАВА I
Метрические пространства,
пространства Банаха,
унитарные пространства
и пространства Гильберта
В этой главе мы вводим понятия, связанные с абстрактным уни-
тарным пространством, и иллюстрируем эти понятия важными для
приложений примерами. Мы фиксируем внимание читателя на по-
строении пространства Гильберта путем пополнения унитарного про-
странства. Такое построение применяют в последнее время весьма
успешно в теории дифференциальных уравнений. Мы вводим также
понятие метрического пространства и пространства Банаха и таким
образом указываем место гильбертовых пространств среди метри-
ческих пространств. Параграф 5 посвящен пространству (?(£, F)
непрерывных отображений метрического пространства Е в метри-
ческое пространство F.
Мы начнем с изложения аксиом унитарных пространств, поскольку
такие пространства все чаще встречаются в приложениях.
§ 1. Вводные понятия
Говорят, что множество ф0 элементов f,g,h,... (называемых
также векторами) является векторным пространством (упо-
требляется также термин „линейное пространство") над полем ком-
плексных чисел, если выполняются следующие аксиомы.
Г. Для элементов /, g, определена операция сложения,
не выводящая из множества ф0, причем
f+g = g + f> (f + g) + ^ = f + (g + h).
2°. Существует нулевой вектор О££)о, такой, что /4~0=/для
каждого /£ф0.
3°. Для любых f и g из уравнение
ф+/=£
однозначно разрешимо. Другими словами, множество ф0 является
коммутативной (абелевой) группой относительно сложения. Вектор О
является нулем (нейтральным элементом) группы.
4°. В множестве ф0 определено также умножение на комплекс-
ные числа, причем, если a, b£Cx (С1 — поле комплексных чисел),
14
Гл. I. Метрические пространства
/. g£$0’ т0
a(j + g) = af + ag,
(a + b)f = af + bf,	0/ = 0
(в левой части число нуль, в правой — нулевой вектор).
Векторное пространство ф0 называется унитарным простран-
ством }), если в нем определено скалярное произведение. Это озна-
чает следующее:
5°. Каждой паре элементов /, g’C'&o поставлено в соответствие
комплексное число (/, g)> называемое скалярным произведением
этих элементов, так что
(/, g) = (g, f) (а обозначает число, комплексно сопряженное с а).
(а/. g) = a(f. g)>
(f+g, *) = (/. Л) + (^. Л),
(/. /) > 0 при / ¥= 0.
Очевидно, (/, /) = 0 при f — О. Легко видеть, что
(/, ag) = a (f, g)
(/. £ + *) = (/. £) + (/> h).
Длиной вектора / будем называть число * 2)
Н/Н-(/./Л
Докажем следующее фундаментальное неравенство:
1(/. £)1<И/Н Ik II.
называемое неравенством Шварца.
В случае когда (/, g) = 0, неравенство тривиально; поэтому
предположим, что (/, g) 0. Имеем
о<(/ — ag, f — ag) — (J, f) — a(g, f) — a(f, g) +1 a |2(g, g);
полагая a = (J, f)/(g, f), получаем
o<ll/ll2-ll/ll2-ll/ll2+-i^p-|kll2.
откуда и вытекает наше утверждение. Заметим, что равенство воз-
можно лишь в случае, когда векторы f и g пропорциональны.
9 Употребляется также термин „предгильбертово пространство*. —
Прим. ред.
2) Равенство а °==‘ b следует читать так: а равно b по определению.—
Прим, перев.
§ 2. Эрмитовы формы на векторном пространстве
15
Используя неравенство Шварца, получаем
ll/+gll2=(/+g, /+£)=(/, /)+(/. g)+te. f)+(g, g)<
<ll/ll2+2||/|| • ||£||-Нк112=(11Л1-НИ1)2.
откуда
11/+*11<11/11+Ш-
Это неравенство называют неравенством треугольника.
Таким образом, длина ||«|| вектора и является неотрицательной
функцией на §>0, обладающей следующими свойствами:
и || = 0 тогда и только тогда, когда и = 0;
«+*||<И+Н1;
««11 = 1 «III «II-
1°
2°
3°
Пусть — произвольное векторное пространство, необязательно
унитарное. Если на этом пространстве задана функция || • || , обла-
дающая свойствами 1°—3°, то эта функция называется нормой,
а векторное пространство на котором задана норма, называется
нормированным пространством. Как мы видим, унитарное про-
странство является нормированным. В дальнейшем вместо термина
длина мы будем употреблять термин норма.
Отметим далее, что норма разности двух векторов
d(ut v) =’ || и — v ||
обладает следующими свойствами (называемыми аксиомами рас-
стояния или метрики)*.
a) d(u, г0 = 0 тогда и только тогда, когда u = v\
Р) d(u, v)^d(ut w)-\-d(w, v) (неравенство треугольника);
у) d(u, v) = d(v, и) (соотношение симметрии).
Множество, в котором определена функция d(u, v), обладающая
свойствами а) — у), называется метрическим пространством.
Таким образом, всякое нормированное пространство является метри-
ческим пространством. В частности, всякое унитарное пространство
является метрическим пространством.
§ 2.	Эрмитовы формы на векторном пространстве
Билинейной формой на векторном пространстве § называется
комплекснозначная функция h (ut v) (и, v £ $), удовлетворяющая сле-
дующим условиям:
a)	tv) = h(uv ^)Ч-Л(«2>
Ь)	h(u, vx-\-v<^ = h(u, v^ + h\u, tf2),
с)	Л(Х«, v) = kh(u, v), А^С1,
d)	h(u, kv) = Mi(u, v).
16
Гл. I. Метрические пространства
Если, кроме того,
е)	h(u, v) = h(v, и),
то форма h называется эрмитовой. Примером эрмитовой формы
может служить скалярное произведение в унитарном пространстве.
Эрмитова форма h называется неотрицательной, если
f)	h(u, vy^O для всех и£$.
Из аксиом а) — е) следует так называемая формула поляри-
зации эрмитовой формы
4Л(я, v) = h(u-\-v,	— h(u — v, и — г>) +
-\-lh(u-\-iv, u-\-iv) — th (и — iv, и — iv), <
из которой немедленно вытекает следующая лемма.
Лемма 1. Пусть h — эрмитова форма на векторном про-
странстве ф и пусть h (и, и) = 0 для всех и££>; тогда h (и, v)=0
для всех и,
Заметим, что при доказательстве неравенства Шварца в § 1 мы
пользовались только тем, что скалярное произведение является
неотрицательной эрмитовой формой (условие положительности
„(й, и) > 0, если и ф 0“ не было использовано). Поэтому справедливо
следующее предложение.
Лемма 2. Для неотрицательной эрмитовой формы выпол-
няется неравенство Шварца
\h(u, #)|2<^(й, u)h(v, v).
Следствие 1. Если h— неотрицательная эрмитова форма
на пространстве ф и N = {й£ф : h(u, я) = 0}, то N совпадает
с множеством всех тех векторов й £ф, для которых h(u, v)=0
тождественно относительно
Следствие 2. Если h — неотрицательная форма, то
функция
и-> р (и) =’ \h (и, и)]'/2
является полунормой, т. е. функция р удовлетворяет всем
аксиомам нормы, за исключением, быть может, условия 1°.
§ 3. Примеры унитарных пространств.
Вещественные пространства
Векторное пространство, в котором вместо умножения на ком-
плексные числа определено умножение на вещественные числа, назы-
вается векторным пространством над полем вещественных
чисел или, короче, вещественным векторным пространством. Веще-
§ 3. Примеры унитарных пространств	17
ственное векторное пространство, в котором определено вещест вен-
ное скалярное Произведение, называется вещественным унитарным
пространством. В вещественном унитарном Пространстве (/, g) =
= («% /)•
Приведем несколько важных примеров унитарных пространств.
Читатель без труда отличит вещественные пространства от ком-
плексных.
Г. Пространство Еп. Так мы обозначаем n-мерное евкли-
дово (декартово, арифметическое) пространство. Элементами и£Еп
являются упорядоченные системы u = {uv ..., ия) из п вещественных
чисел. Действия в этом пространстве определяются обычным спо-
собом. Сложению векторов соответствует сложение их координат,
а умножению вектора на число — умножение его координат на это
число:
(Ир •••. «Я) + (^1....®я)°— («1 + »р
«(«1......н„)	= (а«1......««„).
Нулевым вектором является вектор, все координаты которого равны
нулю: 0 = (0.....0). Скалярное произведение определяется формулой
(«. V) = UM + . . . + UnVn = S «vfv-
v=l
2°. Пространство Сл. Так мы обозначаем n-мерное комплекс-
ное пространство. Определяется оно так же, как и пространство Еп,
с той лишь разницей, что координаты uv являются комплексными
числами, а скалярное произведение определяется формулой
(w, v) —’ 2 ttv^v
V=1
Бесконечномерными аналогами пространств Еп и Сп являются так
называемые гильбертовы пространства I2 бесконечных после-
довательностей вещественных или соответственно комплекс-
ных чисел.
3° (4°). Пространство I2. Элементами этого пространства
служат бесконечные последовательности a = (z/v) вещественных (ком-
оо
плексных) чисел, удовлетворяющие условию 2|^v|2<oo. По опре-
v»l
делению,
(«v) + (^v) = («v + ^v).
a (fzv) = (awv).
2 К. Морец
18
Гл. I. Метрические пространства
Нулевым вектором является последовательность, все члены которой
равны нулю. Скалярное произведение в Р задается формулой
оо
(и, V) = 2 UvVv;
v=l
последний ряд сходится в силу неравенства | uv vv | <^ г/2 (| uv |2+|	|2)
и условий 2 К |2 < °°» 2 I |2 < оо.
5°. Пространство /2(ф). Пусть £)— произвольное унитарное
пространство. Рассмотрим множество /2(ф) таких последовательностей
u — (uv), что II и II2 = 3II «V 11^—2j("v.	где (•. .)ф—
скалярное произведение в пространстве ф. Линейные операции над
элементами множества /2(ф) определим обычным способом, а скаляр-
ное произведение — формулой
оо
ОПр.
(«. v) = 2i («V. ®v)s;
V=1
абсолютная сходимость этого ряда вытекает из неравенства Шварца
в пространстве ф:
Е । («v. ®v)e । < 2 4(|| “v Hi+iiVv up=4(iiu Hl+iiv up < °0,
V	V
Неравенства Шварца и треугольника для пространства /2(§) при-
нимают следующий вид:
| 2 (#v» Vv)$ | (2 II UV |||) (2 II Vv lip
(2 II «V ± lip7’ < (S II «V lip7’ + (S II "v lip7’.
6°. Пространство £o(Pn)- Пусть — открытое множество
в n-мерном евклидовом пространстве Еп (в частности, все простран-
ство Еп). Обозначим через Ck (Q„) класс комплекснозначных функций,
заданных на множестве йл и обладающих непрерывными производ-
ными до порядка k включительно.
Определение. Носителем f функции / называется замыка-
ние множества
Z={x:/(x)=#0},
на котором эта функция не равна нулю: f — Z.
Через Со(^л) обозначим подкласс класса Ck(Qn), состоящий из
функций с компактными носителями, содержащимися в множестве ).
См. дополнение I §, I,
§ 3. Примеры унитарных пространств	19
Если множество Qn ограничено, то класс Cq (£2л) называют классом
функций, равных нулю в некоторой граничной полоске об-
ласти Класс	состоящий из обладающих производными
всех порядков функций с компактными носителями, содержащимися
в йя, становится векторным пространством, если действия сложения
и умножения на число определить следующим образом:
(J + g) (х) °= f (X) + g (х). х = (Xi.....X„) € QB,
(a/)(x)°— a/(x).
Определим в Co° (Q/z) скалярное произведение, полагая
(/. g)°— f f(x)gCx)dx;
°n
здесь J* ... dx — символ «-мерного интеграла, распространенного
на область dx — dxx ... dxn.
Так определенное унитарное пространство обозначим через
Это пространство имеет важное значение в математическом анализе
и систематически используется на протяжении всей этой книги. В при-
менениях методов гильбертовых пространств к обыкновенным диф-
ференциальным уравнениям используется случай п=1, а в приме-
нениях к уравнениям в частных производных — случай n > 1.
7°. Пространство Ao’r(Q/z). Так мы обозначаем пространство
бесконечно дифференцируемых векторных полей с компактными но-
сителями, содержащимися в ЙЛ. Это пространство состоит из функ-
ций класса CS°’r(Q/z), заданных на множестве и принимающих
значения в n-мерном комплексном пространстве Сг: /(х)£С' для
всех Функции f класса CS°’r(Q/z) предполагаются бесконечно
дифференцируемыми и имеющими компактный носитель /с:£2я. При
этом носителем вектор-функции / (•) = (Д (•), ..., fT (•)) назы-
вается объединение носителей ее координат ...» fT (•), а ее
бесконечная дифференцируемость означает бесконечную дифферен-
цируемость этих координат. Сложение и умножение на числа опре-
деляются обычным способом:
(/ + g) (•*) °— f (х) 4- g (х),
(«/) (х) °= af (х), х £ Qn.
Скалярное произведение определим следующим образом:
(/• £•)— f^ifv(.x)gv(x)dx.
°п v“l
2*
20
Гл. I. Метрические пространства
Пространство £о Г(£2Л) играет в теории систем уравнений с част-
ными производными роль» аналогичную той, которую играет про-
странство Lo(Qn) в теории одного уравнения (Lq 1 (йл) = Lq(£2л) !).
Предыдущий пример допускает следующее очевидное обобще-
ние. Пусть ф — произвольное унитарное пространство. Рассмотрим
функции /, заданные на некотором открытом множестве QnaEn и
принимающие значения в пространстве : /(х)£ф при
Множество таких функций образует векторное пространство, если
положить
(/ + £) (х) = f (х) + g (х),
(а/)(х)°= af (х).
Подчиним функции / дополнительному условию
J ||/(x)|£dx< оо;
|| • ||ф—норма в пространстве Тогда, полагая
(Л g)= / (/(X). g-(x))$dx
и отождествляя функции f и g, для которых (/ — gt f — g-) = 0, мы
превратим множество рассматриваемых функций в унитарное про-
транство. Такое пространство естественно обозначить через L2(Qn, §)
(см. Бурбаки [2]).
§ 4. Определение гильбертова пространства
Пусть X — метрическое пространство. Располагая понятием рас-
стояния (метрики), мы можем определить сходимость последователь-
ности (tin)aX к элементу и£Х.
Определение. Будем говорить, что последовательность (ип)
элементов метрического пространства X сходится к элементу и,
принадлежащему этому пространству, если
lim d(un, w) = 0;
л->оо
в этом случае будем писать
lim ип —и,
Л->оо
или, короче,
ип->и, п->оо.
Элемент и будем называть пределом последовательности (йл).
Из неравенства треугольника вытекает, что
lim d(ua, um) — Q,
nt т + оо
§ 4. Определение гильбертова пространства	21
если	Последовательность, удовлетворяющая последнему усло-
вию, т. е. такая, что для каждого е>0 найдется такое ЛГ(е), что
d (ип, ит) < е, как только п > т > N (е), называется последова-
тельностью Коши (применяется также термин фундаментальная
последовательность). Последовательности, имеющие предел, назы-
ваются сходящимися. Как мы только что отметили, всякая сходя-
щаяся последовательность является последовательностью Коши. Воз-
никает вопрос о том, будет ли всякая последовательность Коши
сходиться к некоторому элементу (будет ли всякая такая последова-
тельность иметь предел). Примеры показывают, что это, вообще
говоря, не так.
Пример. X — множество рациональных чисел; расстояние опре-
деляем формулой d (и, v) °— | и — v | (абсолютное значение раз-
ности). Рассмотрим последовательные десятичные приближения какого-
нибудь иррационального числа, например У2. Эта последователь-
ность — фундаментальная:
un+k) "16й" О*
однако эта последовательность не имеет предела в X.
Другие примеры будут приведены в § 6.
Легко понять, что в применениях к анализу особенно важными
являются метрические пространства, в которых всякая фундамен-
тальная последовательность имеет предел (принадлежащий этому же
пространству). Такие метрические пространства называются полными.
Определение. Полное нормированное пространство назы-
вается пространством Банаха (банаховым пространством).
Определение. Полное унитарное пространство называется
пространством Гильберта (гильбертовым пространством).
Пространство Гильберта будем обычно обозначать заглавной
готической буквой Из предыдущих определений вытекает, что
пространство Гильберта является пространством Банаха.
Приведем примеры полных пространств.
1°. Пространство Е1 или числовая ось. Предложение,
констатирующее, что Е1 при обычном определении расстояния является
полным пространством, называется теоремой Коши в теории после-
довательностей.
2°. Пространство Еп. Доказательство полноты этого про-
странства проводят в элементарных курсах анализа путем п-кратного
применения теоремы Коши. Напомним, что расстояние в Еп опре-
деляется формулой
d (ut V)= 2 I uv — ^v|2 •
\v=l	/
22
Гл. I. Метрические пространства
3°. Пространство Сп. Доказательство полноты простран-
ства Сп — такое же, как доказательство полноты пространства Еп.
Эти примеры подсказывают, что верна следующая теорема.
Теорема. Декартово произведение конечного числа полных
пространств является полным пространством.
Напомним, что декартовым произведением
пространств Хх......Хп называется множество последовательностей,
составленных из п элементов:
(Х1.....Х„) = х £ Хх х • • • X хп °— X, где Xi € Xti
элемент	называется Z-й координатой точки х£Х. Расстояние
в декартовом произведении пространств определим, например, как
сумму расстояний между соответствующими координатами:
п
хх = (х}....х*), х2 = (х2.......X2), d(xx, х2)°= 5 d(x}’ *?)•
(Можно также дать „пифагорейское" определение расстояния:
d'(xx, х2)^	х2)]2;
ср. упражнения.)
Если пространства Хг.......Хп полны, то их декартово произ-
ведение тоже полно. Доказательство, поскольку оно ничем не отли-
чается от доказательства полноты пространства Еп — Егу<^ ... Х^1»
предоставляем читателю.
[Указание: сходимость (фундаментальность) последовательности
(хр)с^Х равносильна сходимости (фундаментальности) последова-
тельностей (xf)cXp Z=1..........n.]
Чтобы не утомлять читателя большим количеством хотя бы даже
и очень полезных примеров, приведем так называемый „общий при-
мер", который содержит в себе в качестве частных случаев многие
примеры метрических пространств, важных для приложений. Этот
пример рассматривается в следующем параграфе.
§ 5. Пространство непрерывных отображений в(Е, F)
Пусть Е и F— метрические пространства. Отображение и про-
странства Е в пространство F, u(E)a.Ft называется непрерывным
в точке х£Е, если для всякого числа ех > О существует такое число
82 > 0, что d(u(x)t и(х))<гг при d(xt хХе/). Другими сло-
Ч Здесь метрические функции (расстояния) в Е и F обозначаются одним
и тем же символом d(-, •). —Прим. ред.
§ 5. Пространство непрерывных отображений С (Е, F) 23
о	о
вами, отображение непрерывно в точке х, если близким к х зна-
о
чениям аргумента х соответствуют близкие к и(х) значения функ-
ции и(х). Отображение называется непрерывным, если оно непре-
рывно в каждой точке.
Шаром радиуса г>0с центром в точке f£F называется мно-
жество
о ОПр. ,	О
о =	f)<r}
всех точек f метрического пространства F, которые находятся на
о
расстоянии < г от точки f (открытый шар). Множество F в мет-
рическом пространстве F называется ограниченным, если онб со-
держится в некотором шаре. Отображение и пространства Е в про-
странство F называется ограниченным, если образ
и (£)== {zz(x): х £Е}
всего пространства Е ограничен в пространстве 771). Множество всех
непрерывных и ограниченных отображений пространства Е в про-
странство F будем обозначать через C(Et F).
Мы превратим множество в(Е, F) в метрическое пространство,
определив расстояние между отображениями и, v£Q(E, F) по
формуле
d(zz, supzZ(zz(x), v(x)).
x £E
Легко проверить, что функция 6 удовлетворяет аксиомам рас-
стояния. Проверим, например, неравенство треугольника. Пусть
u,v, w^e(E, F). Имеем
б (и, v) — sup d (и (х), v (х) )<; sup [d (и (х), w(x))-f-
4~d(w(x), 'u(x))] < sup d (zz (х), w(x))4~supd(w(x), -u(x)) =
= 6(zz, w) + d(w, tf),
что и требуется доказать.
Теорема. Если пространство F полно, то и простран-
ство в(Е, F) является полным.
Доказательство аналогично доказательству непрерывности пре-
дела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функ-
ций на отрезке [а, б].
С другой стороны, теорема о непрерывности предела равномерно
сходящейся последовательности непрерывных функций является частным
!) Если Е и F — линейные метрические пространства и и — линейное
отображение E->F, то ограниченность вводится иначе: отображение и
называется ограниченным, если оно преобразует каждое ограниченное мно-
жество в ограниченное множество. Иначе определяется также ограничен-
ность множества в линейном метрическом пространстве (см. определение
в гд. III). — Прим, перев.
24
Гл. I. Метрические пространства
случаем теоремы о полноте пространства в(Е, F) (£ — [#, #],
F^F1).
Мы обращаем внимание читателя на то, что сходимость отобра-
жений по метрике 6(и, v) — supd(и(х), -u(x)) является равно-
х£Е
мерной сходимостью.
Доказательство. Пусть (ип)а:е(Е, Е)— фундаментальная
последовательность, т. е. б(ия, ит)—>0 при п > т—>оо. Мы должны
доказать, что существует непрерывное ограниченное отображение и
пространства Е в пространство F, являющееся пределом последо-
вательности (яя), т. е. такое, что supd(//rt(x), д(х))~>0при я—>з-о.
По условию, J(w„(x), ит(х))->0 при и>/я->оо равномерно от-
носительно х£Е. В силу полноты пространства Е отсюда вытекает,
опр.
что для каждого х£Е существует и(х) = lim ип(х). Это предель-
п ->оо
ное соотношение выполняется равномерно относительно х£Е. Дей-
ствительно, если d (ип (х), ит (х)) < 8 при п > т > N (s) и х £ Е,
то, переходя к пределу при п—>оо, получаем, что d(u(x), ит(х))^Е,
при m>N(e) и х£Е. Таким образом, из ограниченности ит(х)
следует ограниченность и(х), и б (и, um) = swpd(ii(x')t ит(х)) стре-
мится к нулю при п->оо. Остается только доказать еще непрерыв-
ность предельного преобразования и (х). Доказательство проведем
„методом е/3“: применяя дважды неравенство треугольника, находим
d(a(x'), и (х") X d (и (х')> ия(х')) +
+ <t(un(x'), un(x'V + d(un(x"). и(х"))
(при достаточно большом п в силу равномерной сходимости ип(х)
к и (х) первое и третье слагаемые < е/3, второе слагаемое при дан-
ном п будет < 8/3, если точка х" достаточно близка к точке х',
ибо ип — непрерывное отображение). Доказательство закончено.
Отметим два частных случая пространств типа в(Е, Е).
Г. Множество комплексных функций, ограниченных и непрерыв-
ных на подмножестве £2яс:£л. Это множество обычно обозначают
через С (Q„). С (йл) °= Q (Q„, С1).
2°. Множество векторных полей, заданных на множестве QnczEn
и имеющих г компонент: /?(£2Я, Сг). Элементами пространства
С(£2Я, СТ) являются системы г скалярных функций, принадлежа-
щих С (£2Я):
(Ф1....ФД Фг€с(йл)- .............г.
Другие примеры читатель найдет в конце главы в упражнениях
и задачах.
§ 6. Пополнение унитарного пространства	25
§ 6. Пополнение унитарного пространства
Известно, что пространство рациональных чисел не является полным,
однако оно плотно в полном пространстве вещественных чисел. Сле-
дуя Кантору, мы приходим к множеству вещественных чисел, по-
полняя множество рациональных чисел. Напомним вкратце, в чем со-
стоит метод Кантора. Все фундаментальные последовательности разби-
ваем на классы так, что последовательности (ил) и (г>л) принадлежат
одному классу тогда и только тогда, когда их разность имеет предел,
равный нулю, (мл)~(г/л) означает, что d(un, vn) = \ип— т>л| —>0,
п—>оо. Множество этих классов, состоящих из эквивалентных после-
довательностей, и есть полное пространству вещественных чисел.
Можно сказать, что применительно к пространству вещественных чи-
сел процесс пополнения (метрического) пространства рациональных
чисел состоит в „присоединении пределов" фундаментальных после-
довательностей. Рациональные числа можно отождествить с классами,
содержащими стационарные последовательности (т. е. последователь-
ности, все члены которых равны данному рациональному числу).
Вместо множества рациональных чисел рассмотрим теперь произ-
вольное метрическое пространство X. Рассмотрим совокупность всех
фундаментальных последовательностей пространства X и разобьем
эту совокупность на классы эквивалентности, относя последователь-
ности (ил) и (-ул) к одному классу тогда и только тогда, когда
^(ял, ол)—>0, п->оо. Классы эквивалентных фундаментальных после-
довательностей называются идеальными элементами пространства X.
(Они являются аналогами вещественных чисел.) Множество всех идеаль-
ных элементов образует некоторое полное метрическое простран-
ство X, называемое пополнением (Хаусдорф) пространства X.
Множество X' стационарных последовательностей (точнее, множе-
ство классов, состоящих из последовательностей, эквивалентных
стационарным) изометрично пространству X и плотно в простран-
стве X. Отметим, что два метрических пространства называются
изометрическими, если между их элементами можно установить
взаимно однозначное соответствие, сохраняющее расстояние. Попол-
нение метрического пространства единственно с точностью
до изометрии. Полное доказательство этой теоремы читатель найдет
в любом учебнике теории функций действительного переменного или
общей топологии. Здесь мы разъясним только, в каком смысле попол-
нение X является метрическим пространством. Пусть х1, х2, ... —
идеальные элементы из X. Положим
^(х1, х2)°= lim х^),
где (х*) £ х1, (х2) £ х2. Это соотношение определяет функцию d одно-
значно, ибо предел справа не зависит от выбор'а последователь-
26
Гл. I. Метрические пространства
ностей (х^) и (х2) из классов х1 и х2. При этом функция d удовле-
творяет всем аксиомам метрического пространства. Проверим, на-
пример, что выполняется неравенство треугольника. Имеем
dix1, x2) = limd(x’, x2)<lim[d(x’, х3) + </(х3, х2)] =
= limd(x^, x2)-|-limd(x3, х2) —d(x!, x3)4-d(x3, x2).
В качестве следствия получаем теорему: всякое нормиро-
ванное пространство можно пополнить до банахова про-
странства и притом единственным (с точностью до изо-
метрии) способом1).
Унитарное пространство ф0 можно пополнить до гиль-
опр. —
бертова пространства ф = ф0 и притом единственным (с точ-
ностью до изометрии) способом. При этом пространство ф0
плотно в пространстве ф (точнее, изометрично пространству,
плотному в ф). Скалярное произведение идеальных элементов опре-
деляется формулой
(«. v) = Пш(и„. vn), где («„) 6	(®л)€®-
Нетрудно проверить, что ф является унитарным пространством.
Например,
(au-[-bvt <w) — lim(aun-\-bvn, wn) — ahm(un, wn) -|-
-j-Zdim^, wn)=a(ut w)-\-b(v, w).
Нулем в ф является, очевидно, „старый" нуль 0 £ ф0 (точнее говоря,
нулем является класс, содержащий последовательность, состоящую
из „старых" нулей).
Проверим еще, что если v =/= О, то (^, v) > 0. Действительно,
(V, г/) = Пш(<Ул, vn), где — ^т||->0, причем lim || vn ||2 #= 0 (ибо
v=£0). Поэтому (v, v) = lim [| vn ||2 > 0, что и требуется доказать.
Ввиду того что пополнение унитарного пространства является
важным приемом, постоянно применяемым на практике, ниже мы
приводим ряд часто встречающихся примеров пространств Гильберта;
некоторые из них получаются пополнением унитарных пространств.
Эти примеры имеют важное значение в теории дифференциальных
и интегральных уравнений, в вариационном исчислении, эргодической
теории и т. д. Дальнейшие примеры и ряд применений будут рас-
смотрены в следующих главах.
*) Линейные операции в пополнении определяются очевидным образом:
если (х},)^х\	т0 класс ах1-]-?-*2 состоит из всех последователь-
ностей, эквивалентных последовательности (ах}, + Р*2). — Прпм. ред.
§ 6. Пополнение унитарного пространства
27
Примеры
Г. Пространство А2(йл) является пополнением простран-
ства £о(йл) из § 3 (множества бесконечно дифференцируемых функ-
ций с компактными носителями, содержащимися в йл). В теории
функций к этому же пространству приходят иным путем (ср. допол-
нение 1, § 2). Можно доказать, что А2(йл) является множеством классов
эквивалентных измеримых функций, интегрируемых с квадратом
в йя в смысле Лебега, причем эквивалентными считаются функции,
равные всюду, за исключением множества меры нуль (т. е. равные
почти всюду). Наше определение пространства £2(£2Л) является осо-
бенно полезным в теории дифференциальных уравнений потому, что,
как вытекает из определения, множество (йл) бесконечно диф-
ференцируемых функций, равных нулю в „граничной полоске"
области Qn, плотно в пространстве £2(йл). Наше определение делает
очевидной полноту пространства £2(йл).
Замечание. Множество функций, интегрируемых с квадратом,
не является гильбертовым пространством. Действительно, равную
нулю норму ||w||2 = J* | и (х) |2 dx имеет всякая функция и, равная
Q
л
нулю почти всюду на йл, и поэтому всякая такая функция должна
рассматриваться как нулевой элемент. Но это противоречит един-
ственности нулевого элемента. При построении пространства £2(£2Л)
путем пополнения пространства £о(^л) „отождествление равных почти
всюду функций" происходит автоматически.
2°. Пространство L2,r(йл) является пополнением простран-
ства L2,r(Q^) из § 3 (т. е. пополнением пространства бесконечно
дифференцируемых векторных полей с компактными носителями,
содержащимися в £2Л). Пространство L2, г (£2Л) используется в теории
систем дифференциальных уравнений.
3°. Пространство Hk(^^ = Hk (обозначаемое также симво-
лами	изучали Никодим, С. Л. Соболев, а в последнее
время также Дени и Лионе [1]. Это пространство называется про-
странством достаточно гладких функций, равных нулю вместе с произ-
водными до порядка k — 1 включительно на границе д£2л области £2Л.
Элементами этого пространства являются функции (точнее, классы
функций), обладающие обобщенными производными (в смысле Собо-
лева [1], Шварца [1]). Оно имеет фундаментальное значение в теории
краевых и смешанных задач для уравнений с частными производными
высшего порядка (ср. гл. XIII и XIV). Для построения пространства
£(%(£2Л) в множестве Со°(йл) определим скалярное произведение
28
Гл. I. Метрические пространства
(и, v)k = / 2 D°u М (х) dx'
Qn I a I < k
где
a = («i.....aB).
1	n
Пополнение так определенного унитарного пространства и назы-
вается пространством Никодима
4°. Пусть (X, S, ц)— пространство с мерой (ср. дополнение 1, § 2).
Множество всех комплекснозначных измеримых функций /, инте-
грируемых с квадратом модуля | f ( •) |2 относительно меры р, обо-
значают через £2(Х, ц) или А2(р). Скалярное произведение задается
формулой
(/. §)—'/ f(x)g(x)dx.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1.	Пусть ...» фй— гильбертовы пространства. Их декартово
произведение Ф1 X • • • X Ф* — Ф определяем следующим образом:
« = («!......«*)€£.	«/б&р Z=1........k<
k
(U, v) 2 (и,
i = l
Проверить, что ф является гильбертовым пространством.
2.	Записать неравенство Шварца и неравенство треугольника для
декартова произведения ф! X • • • X $k-
3.	Декартово произведение нормированных пространств А^Х---
... X Хп — X определяют как декартово произведение метрических
пространств, причем в качестве нормы элемента х = (хх..
принимают, например,
k
IIXII — II.
Проверить, что X — нормированное пространство.
4.	Нормы || • || и || • ||' в линейном пространстве X называются
эквивалентными (равносильными), если существуют такие числа
а > О, b > 0, что для каждого х £ X выполняются неравенства
а||*И'<1И1<*|1 х||'.
Эквивалентные нормы определяют одну и ту же топологию в про-
странстве X (т. е. всякое подмножество X, замкнутое в смысле
Упражнения и дополнения
29
одной из норм, будет также замкнутым в смысле второй нормы). Это
вытекает из того, что || хп — х || -> 0 тогда и только тогда, когда
|| хп — х ||' -> 0. Предлагаем читателю проверить эти факты.
5.	Доказать, что в пространстве Еп следующие нормы экви-
валентны ]):
/ п	\ У,
1° 1И11°— 2|d .
\z=l	/
2° И-яИг —' max IM
Z = l, .п
п
3° II х ||2	2 I м
/ = 1
6.	Показать, что для того, чтобы пространство (?(£*, F) непре-
рывных ограниченных отображений метрического пространства Е
в метрическое пространство F было полным, необходимо и доста-
точно, чтобы пространство F было полным.
7.	Доказать, что метрическое пространство в(Е, F) становится
нормированным векторным пространством, если ввести следующие
определения:
(и 4- *0 (*) °— и (х) + v (х), (аи) (х) —’ аи (х),
II«II °— sup II«(*) 1|;
х£Е
при этом F предполагается нормированным пространством.
8.	Доказать полноту пространства /* 2.
9.	Провести подробное доказательство теоремы Хаусдорфа о по-
полнении метрического пространства.
10.	Пусть X и Y — локально компактные пространства с ме-
рами ц(х) и v(y). Множество конечных сумм вида
Ф (X. У) = 2 ft (*) gt (У). ft е Со w. gt € Со (Г) 2)
является унитарным пространством со скалярным произведением
(ф1, ф2) = 2 f fj (X)/fix) dp. (х)]. gj(y)gfiy)dv(y).
i, j X	У
Пополнение этого пространства обозначается через L2(X, ц)®
®£2(К, v) или А2 (ц) ® L2 (v) и называется тензорным произве-
дением пространств £2(ц) и £2(v).
Доказать, что . .
£2G¥, И)®Л2(Г, v) = L2(XX Y, h®v),
где ц ® v — произведение мер ц и v (ср. дополнение 1, § 2).
!) Можно показать, что в конечномерном линейном пространстве любые
две нормы эквивалентны. — Прим. ред.
2) Со (Х) — класс непрерывных комплекснозначных функций с компакт-
ными носителями, определенных на пространстве X.
ГЛАВА II
Геометрия гильбертова пространства
В настоящей главе рассматривается геометрия линейных образо-
ваний — подпространств и плоскостей — в гильбертовом простран-
стве, а также доказывается теорема об ортогональном разложении.
Теореме Рисса — Фреше об общем виде линейного функционала пред-
шествует понятие факторпространства ф/фР Введение понятий сопря-
женного пространства и рефлексивного пространства подчеркивает
особое место гильбертова пространства среди нормированных про-
странств.
§ 1. Линейная зависимость векторов, л-мерное пространство
Пусть $ — линейное пространство. Векторы ..........uk из $
называются линейно зависимыми, если существует равная нулю
линейная комбинация этих векторов, не все коэффициенты которой
равны нулю,
k
ахих + ... a,kuk = 0,	2 I ai I > 0.
/=1
В противном случае, т. е. если из равенства ахих-\- ... akuk — Q
вытекает, что ах = ... — ak — 0, векторы их......uk называются
линейно независимыми. Если uv ...» uk — линейно зависимые
векторы, ахих-[- ... akak — Q и at =# 0, то вектор ut является
линейной комбинацией остальных векторов,
= —~	avuv.
v^= i
Если в пространстве ф существует п таких линейно независимых
векторов их.....ип, что каждый вектор является линейной
комбинацией векторов их.....ип> то говорят, что пространство $
имеет размерность п: dim$ = n; при этом совокупность векто-
ров uv ...» ип называют базисом пространства Легко видеть,
что для каждого вектора и£$ его разложение по базисным векто-
рам единственно. Действительно, если u~^aviiv и « =
то	— д?)ял = 0. Отсюда в силу линейной независимости век-
торов их, .... ип, al = bi, /~1.....п. Читатель проверит, что
§ 2. Бесконечномерное гильбертово пространство
31
любые два базиса состоят из одинакового числа векторов и, следо-
вательно, dim§ является характеристикой пространства, а не слу-
чайно выбранного базиса.
Примеры
1°. Еп является n-мерным действительным пространством.
2°. Сп является n-мерным комплексным пространством.
В этих примерах в качестве базиса можно взять систему векто-
ров ev ...» еп, где
^ = (1, 0....0),
е2 = (0» 1...0).
гл = (0, 0...1).
3°. Множество всех многочленов
л-1
U (х) = 2
1 = 0
степени п — 1 является линейным пространством; базис в этом
пространстве образуют, например, одночлены 1, х, ...» хЛ~Ч По-
этому его размерность равна п.
§ 2. Бесконечномерное гильбертово пространство
Векторное пространство конечной размерности п обладает тем
свойством, что в нем существует система, состоящая из п линейно
независимых векторов (базис), а всякие n-|- 1 векторов линейно за-
висимы. Если же в линейном пространстве ф для любого натураль-
ного числа k найдется k линейно независимых векторов, то мы го-
ворим, что пространство § бесконечномерно. В этом случае также
можно ввести понятие базиса. Множество З^Ф называется алгеб-
раически свободным, если любой конечный набор различных векто-
ров из 3 линейно независим. Множество йсф называется линейным,
если оно замкнуто относительно линейных операций в т. е. из
х, у £8 вытекает, что ах-\-Ьу£% для любых скаляров а и Ь, Если
Зс:ф, то линейной оболочкой множества 3 называется наименьшее
линейное множество в £), содержащее 3- Легко видеть, что для лю-
бого З^Ф линейная оболочка существует и совпадает с множеством
всех векторов из ф, представимых в виде конечных линейных ком-
бинаций векторов из 3. Если множество Зс,& алгебраически сво-
бодно и его линейная оболочка совпадает с то 3 называется
алгебраическим базисом (или базисом Хамеля} пространства £>.
Ясно, что если 3 — алгебраический базис в то всякий вектор
из § единственным образом представляется в виде конечной линей-
ной комбинации векторов из 3- Стандартное рассуждение, опираю-
32	Гл. II. Геометрия гильбертова пространства
щееся на лемму Цорна (см., например, Люмис [1]), показывает, что
в любом векторном пространстве существует алгебраический базис.
Легко доказать, что любые два алгебраических базиса в векторном
пространстве ф имеют одинаковую мощность, которую можно на-
звать алгебраической размерностью пространства
Очевидно, что приведенные выше определения сохраняют смысл
и в том случае, когда ф является унитарным или гильбертовым
пространством. Однако в этом случае наличие в ф дополнительной
структуры (скалярного произведения) позволяет дать другое, как
правило, более полезное определение базиса и размерности.
Пусть ф — унитарное пространство. Линейное множество
называется подпространством, если оно замкнуто в ф. Заметим,
что подпространство унитарного (гильбертова) пространства само
является унитарным (гильбертовым) пространством. Замкнутой
линейной оболочкой [31 множества З^Ф называется наименьшее
подпространство в содержащее 3 (употребляются также термины
„подпространство, натянутое на множество 3“ или „подпространство,
порожденное множеством 3“)* Легко видеть, что замкнутая линейная
оболочка множества З^Ф совпадает с замыканием линейной обо-
лочки 3» т* е- с замыканием совокупности всех конечных линейных
комбинаций вида 2	иа£%. В том случае, когда мно-
жество 3 состоит из конечного числа элементов иг......ип, его
замкнутая линейная оболочка совпадает с его линейной оболочкой и
обозначается [яр ...» ип}. Множество 3еФ называется полным,
если его замкнутая линейная оболочка совпадает со всем простран-
ством § : [3] = Семейство векторов 3 — {^а> <*€-4} из $ на-
зывается ортонормированным, если ||«в||= 1 и (яа, wp) = O
при а=/=р. Полное ортонормированное семейство векторов 3 из $
называется ортонормированным базисом в £). Можно доказать,
что в унитарном пространстве любые два ортонормированных ба-
зиса имеют одинаковую мощность, которую естественно было бы
назвать размерностью унитарного пространства и обозначить dim
Здесь имеется некоторая трудность, состоящая в том, что не в лю-
бом унитарном пространстве существует ортонормированный базис1).
Можно, однако, показать, что если пространство гильбертово,
то в нем обязательно существует ортонормированный базис (доказа-
тельство легко получить, используя лемму Цорна и теорему 2 § 3).
Впрочем, имеется один важный частный случай, когда теорема о су-
ществовании ортонормированного базиса верна для унитарного (а не
только для гильбертова) пространства. Напомним, что метрическое
пространство называется сепарабельным, если в нем имеется счет-
ное всюду плотное подмножество. Оказывается, что в сепарабель-
!) См.» например, Бурбаки [2], стр. 311—312. — Прим. ред.
§ 2. Бесконечномерное гильбертово пространство	33
ном унитарном пространстве всегда существует ортонормированный
базис, состоящий не более чем из счетного числа векторов (это
легко доказать, используя процесс ортогонализации; см. например,
Шилов [1]). Такие (бесконечномерные) пространства называются
счетно мерными. Очевидно, что пополнение сепарабельного уни-
тарного пространства является сепарабельным гильбертовым прост-
ранством.
Заметим еще, что если гильбертово пространство ф конечномерно
в смысле определения предыдущего параграфа, то оно обладает
конечным ортонормированным базисом.
Примеры
1°. Пространство А2(£2Л) является бесконечномерным сепарабель-
ным (на основании предыдущего сепарабельным является и прост-
ранство L2 (Q„) — Ао (й/г)). Действительно, всякую непрерывную функ-
цию на компакте из Еп можно равномерно аппроксимировать мно-
гочленами с рациональными коэффициентами (теорема Вейер-
штрасса, ср. дополнение I). Пусть ф— непрерывная функция с ком-
пактным носителем ф, a w/z>e — такой многочлен, что
шах |ф(х) — wn е(х)| < е,
где S — шар рационального радиуса с центром в нуле, содержащий
носитель ф. Обозначим через характеристическую функцию мно-
жества 5:
{1	при	x£St
О	при	x(£S;
тогда
11<Р( • ) — Xs( 	• )112 = /|ф(*) — Х$ (*)™л>8(*)|2dx =
— J |ф(х) — W/r>e(x)|26Zx^82 • мера5ПЙл.
Таким образом, непрерывные функции с компактными носителями в
можно аппроксимировать со сколь угодно большой точностью по
норме L2(Qn) функциями вида %s( *) е( * )• Но множество таких
функций является счетным, поэтому пространство £о(^«) сепара-
бельно. Заметим, что когда область £2Л ограничена, то многочлены
принадлежат пространству L2(Qn) и образуют множество, всюду плот-
ное в этом пространстве.
2°. Аналогично предыдущему можно доказать сепарабельность
бесконечномерных пространств L2,r(йл) и £2^(йл).
3 К. Морен
34	Гл. II. Геометрия гильбертова пространства
3°. Единственным несепарабельным гильбертовым пространством,
которое изучается в этой книге, является множество почти перио-
дических функций (Бора). Одна из глав книги специально посвя-
щена теории этих функций и их векторному обобщению. Здесь за-
метим только, что скалярное произведение в пространстве почти
периодических функций определяется формулой
т
опр. 1 г ----------
(я, v) — lim I u(t)v(f)dt.
Понятие почти периодической функции является обобщением понятия
периодической функции; в частности, показательные функции еш
(имеющие период 2лД) являются почти периодическими. Множество
этих функций имеет мощность континуума и состоит из взаимно
ортогональных элементов:
г	т
lim-Дг f e^e^dt — lim [ен^-^(И =
«.	1 sin (Л — ц) Т п	Л ,
= lim	— = 0, если А,=£ц.
Г->оо 1
Основная теорема теории почти периодических функций состоит
в том, что множество {еш} составляет о ртоно рмированный
базис пространства почти периодических функций Бора. Сле-
довательно, это пространство имеет размерность континуума.
Факт существования примеров несчетномерных гильбертовых
пространств стимулировал изучение несепарабельных пространств
рядом математиков, и прежде всего Реллихом [2].
В наших рассмотрениях, касающихся абстрактных гильбертовых
пространств, мы, как правило, не предполагаем сепарабельности.
Те случаи, в которых сепарабельность имеет существенное значение,
мы будем особо оговаривать.
§ 3. Полные множества
Согласно данному в § 2 определению, множество назы-
вается полным, если его замкнутая линейная оболочка совпадает со
всем пространством ф : [$] = Ниже мы приводим одну простую,
но важную теорему, содержащую характеристику полных множеств.
Теорема 1. Если подмножество 3 унитарного простран-
ства ф является полным, то единственным вектором, орто-
гональным к множеству 3» является нулевой вектор.
При этом вектор h называется ортогональным к множеству 3»
если (h, g) = 0 для всех g£3; употребляется запись h I 3*
§ 4. Теорема Беппо Леви
35
Доказательство. Если [3] = ф, то в силу непрерывности
скалярного произведения вектор h, ортогональный множеству 3»
будет ортогонален всему пространству § и, в частности, самому
себе: (h, Л) = 0. Следовательно, й = 0.
Если $— гильбертово пространство, то верна также обратная
теорема. Это немедленно вытекает из следующей теоремы, принад-
лежащей Беппо Леви.
Пусть — подпространство (т. е.* линейное замкнутое под-
множество) гильбертова пространства ф. Тогда каждый эле-
мент и£$ допускает (и притом единственное) представление
вида
« = «1 + «2,	«! С «2±Ф1-
Доказательство этого утверждения мы изложим в следующем
параграфе. Из него вытекает, что в случае, когда соотношение h | 3
влечет соотношение /г = 0, имеем (31 — £>• Действительно, в этом
случае на основании теоремы Б. Леви для каждого и £ ф имеем
« = «! + 0. где	т. е. j£> = [£].
Результаты, полученные в этом параграфе, подытожим в сле-
дующей теореме.
Теорема 2. Множество 3 в гильбертовом пространстве $
является полным тогда и только тогда, когда в простран-
стве нет векторов, отличных от нулевого, ортогональных
к этому множеству.
§ 4. Теорема Беппо Леви. Ортогональное разложение
гильбертова пространства
Множество W в векторном пространстве называется выпуклым,
если вместе с каждой парой точек и, оно содержит отрезок,
соединяющий эти точки: г = (1—t)u-{-tw£W при 0 <3^1*
Выпуклые множества играют важную роль в математическом
анализе. В последние годы широко развилась теория так назы-
ваемых локально выпуклых топологических пространств, т. е. таких
линейных топологических пространств, в которых всякое открытое
множество содержит выпуклое открытое подмножество1).
Очевидно, нормированные пространства, а, следовательно, также
унитарные пространства являются локально выпуклыми.
. *) Линейным топологическим пространством называют множество, наде-
ленное структурами векторного пространства и топологического простран-
ства при условии, что его топология отделима и линейные операции непре-
рывны в этой топологии (см. гл. III, подробности см., например, Бурбаки
[2]). — Прим. ред.
3*
36
Гл. II. Геометрия гильбертова пространства
Упражнение. Проверить, что шар {я : || и — и |[	1} является
выпуклым множеством.
Значение выпуклых множеств частично объясняется их экстре-
мальными свойствами. Одно из таких свойств устанавливает следую-
щая теорема.
Теорема 1. Замкнутое выпуклое множество W в гильбер-
товом пространстве содержит (и притом только один) эле-
мент с наименьшей нормой.
Доказательство. Пусть d = inf {|| и || : и £ 1Г) и пусть
(ип)— минимизирующая последовательность, т. е. un£W и ||ия||-></.
В силу выпуклости множества W, (ип + ит) £ W, откуда
||ял + ят||^2</. Легко проверить, что для любых двух векторов
/, g £ ф справедливо тождество (теорема о сумме квадратов диаго-
налей параллелограмма)
Применяя это тождество, находим
0<||«„-«m||2 = 2(||«„||2+||«m||2)-||K„ + «m||2->0, п>/и->оо,
так так вычитаемое имеет нижний предел 4d2, а уменьшаемое стре-
мится к 4б/2. Поскольку W — замкнутое множество, а пространство ф
полно, то ип-> u£W\ при этом
||и|| = Ит||ая|| = d.
Предположим, что и' £W и ||#'|| = rf. Тогда в силу выпуклости
множества IT, (и-\- и')/2 £ W, так что Ци~+-и'Ц^2Л. Однако
IIи	и потому
11« + ^11 = Н«Н+11^11-
Это равенство, как легко видеть, возможно только в тэм случае,
когда иг — аи. Следовательно, а = 1 и и' — и. Теорема доказана.
Теорема об ортогональной проекции (Беппо
Леви). Пусть ф1 — (замкнутое) подпространство гильбертова
пространства ф. Каждый вектор и£$ допускает единствен-
ное представление вида
u = ux-\-u2, где а^фр
Вектор их является наилучшим приближением вектора и в
подпространстве ф! в том смысле, что на нем осуществляется
минимум функции f (х) = ||я — х||, х£фР
§ 4. Теорема Беппо Леви
37
Доказательство получим исходя из предыдущей теоремы, взяв
в качестве выпуклого подмножества W плоскость, проходящую через
точку и и параллельную подпространству : W = {и—
Существует единственный элемент и2 £ UZ с минимальной нормой.
Полагая их = а — и2, имеем (на основании определения W) их £ фр
Покажем, что я2.1_фр Пусть tf=/=0 — произвольный вектор из фр
а %— произвольное комплексное число. Поскольку и2— ku£Wt то
II «2 — М 2 >11^2 II2; ПОЭТОМУ
II «2 IP < (U2 — и2 — ^0 =
= Ы2-Ш> ^) —	«2) + 1М2М12-
Полагая
л _ (u2t V)
IMI2 ’
получаем
_ I (и2, *012 I (р, м2) I2 । I (м2, у) I2 п
||V||2	||V||2	||V|P
Следовательно, (и2, <v) = 0, а так как v— произвольный вектор
из то «2±фр
Докажем единственность разложения. Пусть их + и2 — и'х 4~
где uv и'г £фр w2, «2±фг Тогда их— и\ = и2~ит пРичем
а1 —	а и'2 — и21§г Следовательно, вектор иг — а[ орто-
гонален самому себе, что возможно только в том случае, когда он
равен нулю. Таким образом, и’х — иг и'2 — и2, и теорема доказана.
Предел последовательности векторов, ортогональных к подпро-
странству фр ортогонален к этому подпространству. Поэтому век-
торы, ортогональные к фр образуют подпространство. Это подпро-
странство называется ортогональным дополнением подпростран-
ства фх и обозначается символом фТ или, более подробно, символом
Ф©Фг Пространство ф оказывается натянутым на подпространства
ф} и ф^ в том смысле, что каждый элемент из ф представим (един-
ственным способом) в виде суммы элемента из ф! и элемента из ф^.
Вообще, если ф! и ф2—подпространства гильбертова пространства ф
и каждый вектор из ф однозначно представим в виде « = й1-|-й2,
где я^фр и2£$2, то мы говорим, что ф разлагается в прямую
сумму подпространств фх и ф2, и пишем ф = ф2 ф ф2. Таким обра-
зом, если ф! — подпространство ф, то
Ф =	(4.1)
Пусть в соответствии с (4.1)
« = ^ + #2,	я26ЗД-.
38	Гл. II. Геометрия гильбертова пространства'
Элемент их называется ортогональной проекцией вектора а на
подпространство а преобразование Р, сопоставляющее каждому
опр.
вектору и£$ его ортогональную проекцию Ри — иу называется
оператором ортогонального проектирования на подпростран-
ство
Теорема о возможности ортогонального проектирования служит
основой одного из важнейших методов современного анализа, так
называемого метода ортогональных проекций. Этот метод будет рас-
смотрен в нескольких последних главах.
Заметим еще, что если — подпространство гильбертова про-
странства § и вектор и ортогонален к то и£$Г Действительно,
в силу теоремы Б. Леви « = й14“«2» где	й2^^1"* так как
т0 («>	— откуда, учитывая, что я2) = 0, полу-
чаем (й2, я2) = (и — uv я2) = 0; следовательно, «2 = 0и я = я1СФ1.
Таким образом, 0^)1 =
Для произвольной пары ортогональных элементов их | и2 верна
теорема Пифагора
||«1+М2Н1«1112-Н1«2112.
Прямая сумма двух ортогональных подпространств
£>1 ±ф2» т- е- множество	{«1 + и2:	«2СФ2}
является подпространством. При этом не предполагается, что
одно из подпространств является ортогональным дополнением
другого.
Действительно, из того, что последовательность (ип) = (и1п + и2п)
(и1п € $1» и2п € Фг) фундаментальна, в силу теоремы Пифагора вы-
текает, что фундаментальны обе последовательности (я1л) и (и2п).
Так как подпространства и $2 замкнуты, то их = lim uin £
п
и2 = \ти2п£$2. Но lim= #!“!-я2€® $2» и» следовательно,
п	п
Ф1Ф&2 замкнуто; утверждение доказано.
Пусть теперь ....	— взаимно ортогональные подпростран-
ства пространства	ПРИ ¥= k. Положим
Фо~(&® ••• Ф^)Х-
Очевидно,
Ф® • • • ФФл»
и если
п
и = 2 uit Ui€$it I — 0, 1, ..., nt
l — Q
TO
n
|l«|l2=Sll«/ll2;
§ 4. Теорема Беппо Леви
39
последнее равенство является обобщением теоремы Пифагора.
Учитывая, что || uQ ||	0, получаем неравенство Бессе ля: если под-
пространства фр ..., фя взаимно ортогональны, a ui является орто-
гональной проекцией вектора и на подпространство фр 1= 1, ..., п,
то
п
SII «/II2 <11 «II2-
В следующей теореме рассматривается аналогичная ситуация
в случае бесконечного числа взаимно ортогональных подпространств.
Теорема 2. Пусть {фа}—семейство {вообще говоря, не-
счетное) взаимно ортогональных подпространств гильбертова
пространства ф и пусть [{Фа}]—замкнутая линейная оболочка
множества элементов, принадлежащих подпространствам ф0.
Если иа — ортогональная проекция вектора и£$ на подпро-
странство фа, то яа = 0 для всех значений индекса а, за
исключением, быть может, счетного множества (ал). Кроме
п
того, последовательность ип
= 2 и
z=i
сходится, причем предел

п
является ортогональной проекцией вектора и на
1 1
подпространство [{ф }].
Доказательство. Пусть	..., ал — произвольное конечное
п
множество индексов. На основании неравенства Бесселя 2||ttaJ|2^
|| и ||2. а поэтому || Ua ||2 = 0, за исключением не более чем счет-
ного множества индексов. Если (ад) — последовательность всех тех
индексов, для которых иа =k 0, то
ДIIII2 < II «||=.	(4.2)
_	опр.	. .
Полагая vn = 2j «ал> на основании обобщенной теоремы Пифа-
гора заключаем, что последовательность (vn) фундаментальна:
п
II II2 = 21| «az ||2 О ПРИ /». п->оо. Таким образом,
Из определения v вытекает, что ортогональная про-
екция v на фа равна иа. Поэтому проекция а — v на £>а равна
нулю для всех а: и — v_L&a- Отсюда а — ‘°€[{^>a}]-L и- таким
40	Гл. II. Геометрия гильбертова пространства
образом, v является ортогональной проекцией вектора и на подпро-
странство	« = © + (« — <»)• ® €[{§„}]• и~	чт0
и требовалось доказать.
Следствие 1. Пусть (га) (а£Л) — ортонормированное семей-
ство векторов в и пусть фа — одномерное подпространство, на-
тянутое на вектор еа: Фа = ра]- Проекция иа вектора и на под-
пространство равна в этом случае («, £а)£а. (Действительно,
так как иа = Кеа и и = иа + и±- = кеа + и±, где	то, учи-
тывая, что (еа, еа)=1, (я±, еа) = 0, находим (и, е^ = К^ Таким
образом, проекция вектора и на подпространство, натянутое на
оо
ортонормированное семейство (еа), равна	При этом
неравенство (4.2) принимает вид
оо
2|(«. ч)Г<И“И2-	<4-3>
Неравенство (4.3) также называют обычно неравенством Бесселя*
Следствие 2. Пусть ^фа}]=§. Тогда вместо неравенства (4.2)
оо
получаем равенство 21| uat ||2 — II w ||2» которое в случае одномерных
подпространств §a=paj принимает вид
S |(«. ч)МИ12	<4-4)
и называется равенством Парсеваля.
Одновременно мы доказали следующую теорему.
Теорема 3. Для того чтобы ортонормированная система
векторов (еа), /»• такая система, для которой
{0 при a =# р,
1 при а = р,
была полной (т. е. образовывала бы ортонормированный базис в ф),
необходимо и достаточно, чтобы для каждого и£$ выполня-
лось равенство Парсеваля* (Достаточность следует из теоремы 2,
§ 3.)
§ 5. Дефект подпространства.
Общий вид линейного функционала
Дефектом подпространства гильбертова пространства «£)
называется размерность dim его ортогонального дополнения
Подпространство, дефект которого равен 1, т. е.
§ 5. Дефект подпространства	41
ортогональное дополнение которого одномерно, называется гипер-
подпространапвом. Плоскость, параллельная гиперподпространству,
называется гиперплоскостью.
Пусть гиперплоскость проходящая через точку лг0, параллельна
гиперподпространству т. е.
?Р={« + «0: «6^1-
Пусть е — такой единичный вектор, что [г] = ф±:	(е, е)=1.
Для того чтобы х £ необходимо и достаточно, чтобы
(х, e) = (uQ, ё).	(5.1)
Действительно, уравнение (5.1) эквивалентно тому, что (х — и0, е) — О,
т. е. х — «o€kl’L —§1» откуда	Уравнение (5.1) является
уравнением гиперплоскости, проходящей через точку uQ перпендику-
лярно к орту е. Таким образом, уравнение гиперплоскости в про-
странстве Гильберта выглядит так же, как уравнение гиперплоскости
в евклидовом пространстве. В частности, уравнение гиперподпро-
странства, ортогонального к вектору е, имеет вид
(х, е) = 0,	(5.2)
поскольку в этом случае wo = O.
Дадим теперь определение линейного отображения (оператора,
преобразования).
Определение. Отображение А векторного пространства X
в векторное пространство Хх называется линейным, если линейной
комбинации аргументов оно ставит в соответствие линейную комби-
нацию образов:
Как и в линейной алгебре, аргумент мы не заключаем в скобки:
Аи = А (и). Ясно, что ЛО — 0.
Линейность преобразования в нормированном пространстве
является весьма „сильным" свойством. В этом убеждает нас следую-
щая теорема.
Теорема 1. Для линейного преобразования одного норми-
рованного пространства в другое следующие условия равно-
сильны'.
1°. Преобразование А отображает последовательности,
сходящиеся к нулю, в ограниченные последовательности.
2°. Преобразование А непрерывно в одной точке и (напри-
о
мер, в точке w = 0).
3°. Преобразование А удовлетворяет условию Липшица'.
|| Аи || <С || и ||, где С>0 — постоянная.
42
Гл. II. Геометрия гильбертова пространства
Преобразования, удовлетворяющие этому условию, называются
ограниченными.
4°. Преобразование А равномерно непрерывно*. || Аи—Ла'||<е,
если || и — и' || < д(е).
Доказательство. Докажем, что из 1° вытекает 2°, из 2° вы-
текает 3° и, наконец, что из 3° вытекает 4°. Поскольку 4° влечет 1°,
то цепочка замыкается и доказательство эквивалентности на этом
заканчивается.
Предположим, что выполнено условие 1° и что существует такая
последовательность >0, что || Avn || е. Рассмотрим последова-
тельность положительных чисел &л->оо, такую, что knvn —>0. Имеем
II Aknvn II = kn 1ИЛII >	00• Мы получили противоречие. По-
этому из условия 1° вытекает непрерывность отображения А в нуле,
т. е. 2°.
Предположим" теперь, что преобразование А непрерывно в точке и.
Пусть || Av — А и || < е при || v — и || д (е). Используя линейность
преобразования Л, находим, что || Ах || < е при || х|| <;б(е). Так как
для любого вектора и££) имеем || "ц ц 6(е)[| =6(е), то ||Ля|| =
=Илw6(e)ll'"hr<8w- Полагая w=c’ получаем
|| Аи || < С || и |). Таким образом, мы доказали, что из 2° вытекает 3°.
Наконец, из 3° вытекает равномерная непрерывность, т. е. 4°,
ибо || Аи — Аи' || = || А (и — и') || < С || и — и' ||.
Таким образом, доказательство теоремы закончено.
Определение. Отображение векторного пространства в про-
странство С1 (или f1) называется функционалом. Таким образом,
значениями функционала являются комплексные (вещественные) числа.
К линейным функционалам, очевидно, применима теорема 1.
Аналогично линейным формам в евклидовом пространстве линей-
ные непрерывные функционалы определяют в гильбертовом прост-
ранстве гиперподпространства (и гиперплоскости)*
Лемма. Множество 9? нулей линейного непрерывного функ-
ционала L, не равного тождественно нулю,
Э? = {«:	Lu = V\
является гиперподпространством (дефект 3? равен единице).
Эта лемма доказывается элементарно, и ее доказательство мы
предоставляем читателю. Вместе с тем с ней связаны важные по-
нятия, заимствованные из теории групп. К их изложению мы сейчас
перейдем.
Пусть — линейное множество векторного пространства $.
Разобьем все пространство ф на классы так, что элементы и и?
$ 5. Дефект подпространства	43
принадлежат к одному классу у тогда и только тогда, когда их
разность принадлежит фр* иг, и2£у» если их — «гбФг Каждый
такой класс у можно геометрически истолковать как плоскость, по-
лученную из линейного множества фх параллельным сдвигом на
вектор и£у : у = {« + * ‘	Определим линейные операции
над классами, а именно положим
+ «2? — {в1И1 + Л2И2 + Х :
где и и2— какие-нибудь фиксированные элементы соответственно
из у1 и у2; а^у1 + а2у2 является плоскостью, полученной из линей-
ного множества сдвигом на вектор a1w1 + a2zz2- Так определенное
пространство называется факторпространством пространства ф
по линейному множеству фх и обозначается символом $/$г. Отметим,
что нулевым элементом пространства ф/ф! является класс, совпадаю-
щий с
Предположим, что ф — нормированное пространство, а фх —
его (замкнутое) подпространство, и положим || у || — inf || и ||, где
нижняя грань распространяется на все и£у. Тогда факторпростран-
ство также будет нормированным пространством: норма || у || (т. е.
расстояние плоскости у от параллельной к ней плоскости фр про-
ходящей через точку нуль) равна расстоянию плоскости у от точки
нуль. Можно доказать, что факторпространство банахового про-
странства по (замкнутому) подпространству также является банаховым
пространством. Пусть 3?— множество нулей линейного преобразова-
ния Л, отображающего линейное пространство X в линейное про-
странство Хх: 3l°= {х£ X : Лх = 0}. Ясно, что Ах1 — Ах2 тогда
и только тогда, когда элементы xt и х2 принадлежат к одному и
тому же классу факторпространства Х/У1: хг, х2£у£Х/У(. Мы
видим, что на плоскостях, параллельных многообразию нулей преоб-
разования Л, это преобразование постоянно. Естественно определить
преобразование Л на пространстве Xffi с помощью следующей фор-
мулы: Л у == Ах, где х £ у £ Х/УС Легко видеть, что так определен-
ное преобразование отображает взаимно однозначно пространство Х/У1
на область значений AXczXv Если теперь X и Хг— нормирован-
ные пространства, а отображение Л непрерывно, то У1 замкнуто
в X; следовательно, ||у|| = inf ||х|| является нормой в факторпро-
странстве Х/3?; легко видеть, что отображение Х/У1 в Хг, индуци-
рованное отображением Л, является непрерывным, линейным и
взаимно однозначным.
44	Гл. И. Геометрия гильбертова пространства
Линейное топологическое J) преобразование, отображающее одно
линейное нормированное пространство на (все) другое, называется
изоморфизмом. Два пространства называются изоморфными, если
существует их изоморфизм * 2).
Из изложенного выше вытекает естественность алгебраической
схемы следующей важной теоремы, полного доказательства которой
мы сейчас не приводим (оно изложено в гл. III, § 3).
Теорема 2. Пусть А — линейное непрерывное преобразо-
вание полного нормированного пространства X (в частности,
гильбертова пространства) на полное нормированное про-
странство Хг, Пусть 5R — подпространство нулей преобразо-
вания А, 9? = X : Лх = 0}. В этих условиях простран-
ство Хх и факторпространство Х/Я изоморфны.
Из леммы на стр. 42 вытекает одна из основных теорем теории
гильбертова пространства.
Теорема 3(Рисс и Фреше). Всякий линейный непрерыв-
ный функционал L в гильбертовом пространстве является
скалярным произведением. Более подробно', каждому линейному
непрерывному функционалу L соответствует такой вектор
чгпо L(u) = (u, I) для всех и£$.
Доказательство. Если £(я) = 0, то полагаем / = 0 (в этом
случае Э? = ф). В противном случае обозначим через е единичный
вектор, ортогональный подпространству нулей функционала £.
Пространство ф является прямой суммой	Следовательно,
каждый вектор и£$ имеет вид и=Ри-{-(и, е)е, где Р— оператор
ортогонального проектирования на подпространство !Я. Имеем
L (и) = L(Pu) Н- (и, e)L(e) = (u, L(e)e)t
потому что £(Рн) = 0, так как Ри£У1\ L(e)=£0, ибо е(£%1. По-
лагая l = L(e)e, получаем L(u) — (u, I), что и требовалось доказать.
Обозначим через ^(Х, Хг) совокупность всех линейных непре-
рывных отображений нормированного пространства X в банахово
пространство Xv Множество ^(Х, Xt) становится также банахо-
’) То есть непрерывное в обе стороны.—Прим, ред.
2) Кроме определенного в тексте понятия изоморфизма (которое годится
не только для нормированных, но и для линейных топологических про-
странств), для нормированных пространств употребляется еще понятие изо-
метрии: нормированные пространства называются изометричными, если
существует линейное изометрическое (т. е. сохраняющее норму) отображение
одного пространства на другое. — Прим, ред.
§ 6. Теорема Хана — Банаха	45
вым пространством, если положить
(а1А1 -I- а2А2) (х) =	(х) + а2А2 (х),
|| Я ||= sup || Лх||,
II *11 < 1
где Др А2, A£J?(X, Хг), х£Х, ар а2£С\ В частности, бана-
ховым пространством является множество J?(X, С1) всех линейных
непрерывных функционалов, заданных на нормированном простран-
стве X. Это пространство называют пространством, сопряжен-
ным с пространством X, и обозначают через X*. Теорему
Рисса — Фреше можно сокращенно записать в виде следующего
равенства: ф* = ф. Гильбертово пространство выделяется среди других
банаховых пространств, в частности, тем, что оно изоморфно со-
пряженному с ним пространству.
Если произвольный элемент банахова пространства X обозна-
чается через х, то произвольный элемент сопряженного простран-
ства X* обозначается обычно через х*. Значение функционала х*
в точке х обозначают через (х, х*) (или (х, х*)). Можно опреде-
лить также второе сопряженное пространство X** =’ (X*)* и т. д.
§ 6. Теорема Хана —Банаха
Возникает вопрос о том, не „висят ли в пустоте" заключи-
тельные замечания предыдущего параграфа, т. е. не состоит ли
сопряженное пространство X* из одного лишь тривиального функ-
ционала х*, равного тождественно нулю. Существование нетривиаль-
ных функционалов вытекает из глубокой теоремы Хана — Банаха,
касающейся продолжения линейных функционалов.
Теорема 1 (Хана — Банаха). Если f — линейный ограни-
ченный функционал, заданный на подпространстве М норми-
рованного пространства X, то функционал f можно про-
должить на все пространство X без увеличения нормы.
Доказательство проводится в три шага.
1°. Доказывается, что функционал f можно продолжить в веще-
ственном нормированном пространстве на подпространство Л1-|-[х0],
где х0— произвольный элемент пространства X.
2°. Доказывается, что утверждение п. 1° верно также в случае
комплексного пространства.
3°. Доказательство завершается с помощью леммы Цорна.
К пункту 1°. Задача сводится к надлежащему определению
числа c = f (х0), ибо формула f (х + ях0) °— f (х) + ас определит
функционал / на всем подпространстве 7И + [х0]. Не ограничивая
общности, можем предположить, что ||/||M = 1. (Напомним, что
46
Гл. II. Геометрия гильбертова пространства
II/ILm” SUP |/(х)|.) Следовательно, число с должно быть
11*11 < 1,
выбрано так, чтобы |/(х) + ас | < || х + ах01| для всех х£М и
а £ Е1. Отсюда для произвольных х1( х2 £ М получаем
—/(*1)Н1*1 + х0||<с< —/(х2) + ||х2-+-х0||.
Поскольку
f(x2) — /(Х1) = /(х2 — Х1)<||х2 — Xi || <|| х2 + х01| +1| Xj + XqII,
то для любых хр х2 £ Л4
— / (*1) — || Х1 + XQ ||	— f (Х2) + II Х2 + Х0 II»
и поэтому
С1== sup(— /(Xj) — ||Х1 + х0||)< inf (—/(х2) + ||х2+х0||) = С2.
*1С7И	х2£М
Отсюда видно, что в качестве числа с можно взять любое число,
заключенное между числами Сг и С2.
К пункту 2°. Распространение предложения Г на случай ком-
плексного нормированного пространства принадлежит Боненблюсту
и Собчику, а также Сухомлинову. Заметим сначала, что комплексное
нормированное пространство является одновременно вещественным,
если ограничиться умножением только на вещественные числа. Кроме
того, заметим, что вещественная часть g и мнимая часть h линейного
непрерывного функционала f являются линейными непрерывными
функционалами в этом вещественном пространстве. Поскольку
g (lx) + G*) = f G**) — if (x) — lg (х) — h (х),
то h(x) —— g(lx) и f(x) = g(x)— lg(lx). По предположению,
||/|] = 1 на М; поэтому |[g||^l. В соответствии с п. Г продолжим
функционал g на вещественное подпространство М + [х0] с сохра-
нением нормы. Присоединяя еще элемент ixQ, получаем комплексное
подпространство, натянутое на множество М U (х0). На этом про-
странстве положим f(x) °— g(x)— lg(ix). Как мы видели, при х£М
это равенство выполняется. На множестве М -1- [х0] вышеопределен-
ный функционал линеен относительно умножения на вещественные
числа. Проверим его линейность относительно умножения на ком-
плексные числа:
f (lx) = g (lx) — lg(—x) = l [g (x) — Ig (I x)] = If (x).
Для данного элемента x выберем вещественное число а так, чтобы
eiaf (х) + 0. Тогда
I / (•*) | -= f (е1ах) «= g (eiax) < || eiax || = || х ||,
откуда I]/1|< 1; доказательство и. 2° закончено.
§ 6. Теорема Хана — Банаха	47
К пункту 3°. Из рассмотрений п. 2° вытекает, что область опре-
деления функционала f можно расширять, последовательно прибавляя
одномерные подпространства. Семейство всех возможных продолже-
ний функционала f до линейных непрерывных функционалов, имею-
щих ту же самую норму, частично упорядочено: считаем, что
продолжение Д, заданное на подпространстве /Ир предшествует про-
должению /2, заданному на подпространстве Л42, если Л11с=/И2 и
у1(х) = /2(х) при	Всякое линейно упорядоченное подмно-
жество рассматриваемого семейства продолжений содержит верхнюю
грань — продолжение на теоретико-множественную сумму областей
определения. Следовательно, в силу леммы Цорна все семейство
обладает максимальным элементом. Это максимальное продолжение
будет продолжением на все пространство, ибо в противном случае,
применяя построения, описанные в п. 1° и 2°, можно было бы по-
лучить дальнейшее продолжение. Теорема доказана.
Приведем несколько важных следствий теоремы Хана — Банаха.
Следствие 1. Если пространство X #= {0}, то для каждого
элемента х0 g X существует функционал f £ X*, такой, что f (х0)=|| х0||
И 11/11=1.
Доказательство. Положим f(axQ) == а || х0||. Очевидно, это
соотношение задает линейный функционал на [х0], причем || /1| = 1,
f (х0) —1| xQ ||, так что остается применить теорему Хана — Банаха.
Следствие 2. Имеет место равенство || х || = sup | (х, х*) |,
Цх*11 <1
х^Х*1).
Доказательство вытекает непосредственно из следствия 1.
Следствие 3. Для каждого (замкнутого) подпространства М
и элемента х0(£ М существует такой функционал / £ X*t что || /1| — 1,
/ = 0 на М и f(x^ — d> где d обозначает расстояние от точки х0
до подпространства М. Множество З^^ является полным2) тогда
и только тогда, когда, кроме нулевого функционала, ни один функ-
ционал не равен тождественно нулю на $.
Это следствие является обобщением теоремы 2, § 3.
Доказательство. На подпространстве М + [х0] функционал f
определим формулой / (ах0— x) — adt х£М. Очевидно, этот функ-
* J) Символом (х, х*) обозначается результат применения функционала
х* £ X* к элементу х£Х. —Прим. ред.
2) Определение полного множества в нормированном пространстве то же,
что и в унитарном пространстве (см. § 2). — Прим. ред.
48
Гл. II. Геометрия гильбертова пространства
ционал является линейным и
и - и	I a I d	d 
= d{ inf || xQ — x|h
\x£M	)
Для окончания доказательства достаточно взять произвольное линей-
ное продолжение функционала f на все пространство с сохранением
нормы.
Читатель без труда докажет следующее предложение.
Следствие 4. Функционал /, заданный на алгебраически
свободном (см. § 2) множестве ZczA\ допускает линейное непре-
рывное продолжение на все пространство X с нормой, меньшей
или равной с < оо, тогда и только тогда, когда
«л ||
для произвольной конечной системы точек xk £ Z и произвольных
С помощью следствия 2 легко доказать следующую теорему.
Теорема 2. Пусть X — нормированное пространство,
а X** — его второе сопряженное, т. е. X** = (Х*)*. Тогда ото-
бражение X в X**, сопоставляющее элементу х£Х элемент
х**£Х**, определяемый соотношением х**(х*) == х*(х), является
изометрическим изоморфизмом X в, вообще говоря, собст-
венную часть пространства X**.
В случае когда образ X при этом отображении совпадает со всем
пространством X**, пространство X называется рефлексивным-, при
этом иногда пишут X — X**.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1.	Используя теорему об общем виде линейного функционала
в гильбертовом пространстве, указать общий вид линейного функцио-
нала в конкретных гильбертовых пространствах
а)	Еп и Сп,
₽) р.
у) L2(Q„) и L2’r(Qn),
6)	н*(Ю
2.	В литературе принят довольно неприятный термин: „антили-
цейный функционал" (в случае пространства над полем комплексных
Упражнения и дополнения
49
чисел)1). Функционал L называется антилинейным, если он аддити-
вен: L(xi-^rx2)^L(xl)^L(x2) и L(ax)^aL(x) (а —число, сопря-
женное с числом а).
Доказать, что в гильбертовом пространстве всякий анти-
линейный функционал имеет вид L(x') = (lt х), где Z££).
3.	Символ Lp (£1п) обозначает банахово пространство, полученное
в результате пополнения множества (Йл) по норме || ф ||р —
— / f | (p(x)\pdx\1/Р, р^1. Оказывается, что пространством, со-
- /
пряженным к АР(£2Я), является пространство Lq (Qn), где 1/р+ X/q—i.
При ф С Lp (йя), г]) С Lq Я) имеем ф • *Ф € £1 (G«) и
(ф,	= I ф(х)ф(х)4?х.
Q
Аналогом неравенства Шварца является неравенство Гёльдера
|<ч>. t>KII<p Нр'НИг
Неравенство треугольника в случае пространства Lp называется
обычно неравенством Минковского
|1<Р1 + ф2|1р<11ф111р+1|ф2|1р-
4.	Пространство Л°°(ЙЛ). Говорят, что измеримая функция f
в существенном ограничена сверху, если она равна почти всюду
функции, ограниченной сверху. Существенной верхней гранью
такой функции называется inf верхних граней эквивалентных ей
ограниченных сверху функций. Существенную верхнюю грань функ-
ции |/(- )| обозначают через Ц/Н^2 * 4). Пространство существенно
ограниченных на множестве функций (точнее, классов эквива-
лентных функций) с нормой || • Коо является банаховым пространством,
которое обозначают через £°°(йл). Пространство Л°°(йл) является
сопряженным к пространству Z,1 (йл).
5.	Доказать, что при р > 1 пространства Lp (йл) являются ре-
флексивными.
6.	Доказать полноту пространства <S\X, А^), где X и Хх—бана-
ховы пространства, используя полноту пространства X^)t где
Е—единичный шар в пространстве X.
7.	Доказать следующую теорему Лакса — Мильграма (ср.
Лакс — Мильграм [1]), являющуюся естественным обобщением теоремы
9 Употребляются еще термины „линейный функционал второго рода*
и „полулинейный функционал*. — Прим. ред.
2) Существенную верхнюю грань обозначают также символом ess sup
или vrai max.
4 К- Морец
50	Гл. II. Геометрия гильбертова пространства.
Рисса — Фреше и играющую важную роль в теории эллиптических
операторов (см. гл. XIV).
Предположения. В(х, у) — билинейный1) (не обязательно
симметрический) функционал, заданный на гильбертовом простран-
стве ф и такой, что:
1° \В(х, у)КМхН ’ ИуН (т. е. функционал является ограни-
ченным);
2° существует такая постоянная с2 > 0, что с2||х II2 ^В(х, х)
для всех х£ф.
Утверждение. Всякий линейный функционал I может быть
представлен посредством билинейного функционала В\ точнее, суще-
ствуют два и только два таких элемента xz, yz, что
Z(x) = B(xz, х) = В(х, yz).
Отображение : Sxl = xz, а также отображение S2: S2Z = yz
являются ограниченными преобразованиями пространства ф* в прост-
ранство ф.
Указание. Доказательство аналогично доказательству теоремы
Рисса — Фреше.
8.	Обобщить теорему Лакса — Мильграма на случай, когда ф
является рефлексивным банаховым пространством.
!) Т. е. линейный по х и антилинейный по у. —Прим. ред.
ГЛАВА III
Локально выпуклые векторные пространства.
Общая теорема о графике. Теорема о ядрах
Введение
Настоящая глава выходит за рамки теории гильбертова прост-
ранства и при первом чтении может быть пропущена. В ней собраны
некоторые понятия и теоремы теории линейных пространств, нужные
во многих применениях современного анализа и используемые в от-
дельных параграфах настоящей монографии.
Автор решился написать эту главу потому, что нет ни одной
книги, в которой излагались бы все нужные нам теоремы, хотя они
применяются все чаще. Некоторые из доказательств новы: например,
впервые публикуется изящное доказательство теоремы Шварца
о ядрах (которым автор обязан С. Лоясевичу; остальными доказа-
тельствами, если они не являются классическими, я обязан В. Богда-
новичу, к советам которого, как специалиста в области, где я чув-
ствую себя не слишком уверенно, мне приходилось неоднократно
обращаться).
Большинство теорем и понятий, излагаемых в настоящей главе,
берет свое начало от Банаха и его школы. Понятие линейного
локально выпуклого пространства было открыто независимо Мазуром
(в его диссертации, опубликованной на польском языке) и фон
Нейманом. Локально выпуклые пространства, в которых топология
задается счетной системой полунорм, изучались впервые Мазуром и
Орличем.
Основное внимание уделяется общей теореме о замкнутом графике
(§ 9). Эта теорема в последние годы приобрела репутацию самой
важной теоремы общего функционального анализа, если этот по-
следний рассматривать с точки зрения приложений. В последнем
параграфе излагаются элементарные факты по теории отображений,
допускающих замыкание и представляющих важный для приложений
класс неограниченных операторов.
В упражнениях и дополнениях помещена теорема Хана — Банаха
(и следствия из нее) для локально выпуклых пространств. Введено
также понятие рефлексивности пространства, помещена справка по
теории обобщенных функций (распределений), в частности доказа-
тельство „принципа склеивания" Шварца1).
*) Достаточно полное и краткое изложение теории линейных топологи-
ческих пространств можно найти в книге Канторовича и Акилова [1],
гл. XI. —Прим. ред.
V
52
Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
§ 1. Теорема Бэра
Банаховы пространства являются полными метрическими про-
странствами. Фундаментальным фактом теории полных метрических
пространств является теорема Бэра; для удобства формулировки этой
теоремы введем следующие понятия.
Определение. Подмножество S метрического пространства X
называется нигде не плотным, если каждый шар в X содержит
шар, лежащий в дополнении	множества S.
Множество MczX, допускающее представление в виде объеди-
оо
нения M=|JSZ счетного семейства нигде не плотных множеств,
i = 1
называется множеством первой категории в X.
Множеством второй категории (в X) называется множество,
которое не является множеством первой категории.
Теорема Бэра. Полное метрическое пространство X
является множеством второй категории (в себе).
Часто применяется следующая эквивалентная формулировка.
оо
Если X = (jAfz, то по крайней мере одно из множеств М1
i = l
плотно в некотором шаре (если множества Mt замкнуты, то
хотя бы одно из них содержит некоторый шар)1).
Сначала докажем вспомогательное предложение.
Лемма. Пусть X — полное метрическое пространство,
{Fw}^=i — убывающая последовательность непустых замкнутых
и ограниченных множеств аХ, диаметры которых i)(Fn)
стремятся к нулю*.
d(Fw)°= sup d(x, y)->0, n->oo.
oo
Тогда пересечение Q Fn состоит из одной точки.
л = 1
Доказательство леммы. Пусть xn£Fn. Тогда при т > п
d(xm, хп) <	п->оо, и, в силу полноты пространства X,
хп-> х£Х, п—>оо. Так как каждое из множеств Fn замкнуто, то
оо
х £ Fn для всех значений п, т. е. х £ Q Fn. Других точек это пере-
п = 1
сечение не содержит, ибо д(Лл)—>0, п—>оо.
Ч Множество М метрического (топологического) пространства X на-
зывается плотным в множестве NczX, если N содержится в замыкании
множества М. —Прим. ред.
§ 2. Теорема о замкнутом графике	53
Доказательство теоремы Бэра. Предположим, что тео-
со
рема неверна. Пусть X = (J Sn, где каждое из множеств Sn нигде
п = 1
не плотно. Пусть /Со— некоторый шар радиуса 1. Существует шар
радиуса меньше 72, такой, что КхсК0 и /С1(]51 = 0, ибо мно-
жество Sj нигде не плотно. В шаре содержится шар К2 радиуса
меньше 73, для которого К2 f|S2 = 0, ибо множество S2 нигде
не плотно. Рассуждая далее таким же образом, приходим к выводу,
что существует убывающая последовательность шаров {/<я}^=1, диа-
метры которых стремятся к нулю, причем /<лГ|£/1 = 0. На осно-
со
вании леммы заключаем, что пересечение Q Кп содержит некото-
п = 1
рую точку х. Эта точка по построению не принадлежит ни одному
из множеств Sn> что противоречит предположению о том, что
п = 1
Теорема Бэра с успехом применялась для доказательства раз-
личных теорем существования так называемым методом категории.
Например, для того чтобы доказать существование функции, непре-
рывной на отрезке [а, Ь] и не имеющей производной ни в одной точке,
достаточно установить, что в (полном) пространстве С [а, 6] функ-
ции, обладающие производной хотя бы в одной точке, образуют
множество первой категории.
§ 2. Теорема о замкнутом графике в линейных
метрических пространствах
Векторное пространство Е называется линейным топологиче-
ским пространством (л. т. п.), если в нем заданы топология
и алгебраические операции (сложение векторов и умножение на числа),
непрерывные в этой топологии1).
Особенно важными являются полные метрические л. т. простран-
ства или, общее,—полные метризуемые л. т. пространства; так
называют топологические пространства, в которых можно определить
метрику так, чтобы она задавала топологию, совпадающую с исход-
ной (т. е. чтобы класс множеств, открытых в смысле метрики, сов-
падал с исходным классом открытых множеств), причем дополни-
тельно требуется, чтобы пространство было полным по этой метрике.
Примеры полных метризуемых л. т. пространств, не являющихся
пространствами Банаха, мы приведем в следующих параграфах. Одной
из самых замечательных теорем о линейных отображениях в таких
пространствах является теорема Банаха о замкнутом графике.
9 Топология в л.т.п. обычно предполагается отделимой. — Прим. ред.
54	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
Определение. Пусть Е и F— топологические (не обязательно
линейные) пространства и пусть Т — отображение Е в F с областью
определения D(T), Будем говорить, что график G(T)°= {(е, /):
£ D (Т), f = Т (г)} отображения Т замкнут, если множество G (Г)
замкнуто в топологическом пространстве £* X F.
Напомним, что открытыми множествами в пространстве Еур
называются множества вида U X V и всевозможные их объединения,
где U (V) — открытое множество в пространстве Е (F), и что для
произвольных множеств М и N символ М X N обозначает множество
всех пар вида (т, п), где т£М, n£N.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1 (о замкнутом графике; Банах). Пусть Е
и F — метризуемые линейные топологические пространства,
причем F полно, a D — линейное множество второй катего-
рии в Е. Пусть Т — Линейное отображение, определенное на D
со значениями в F. Если график О(Т) отоб ражения Т зам-
кнут, то отображение Т непрерывно и область его опреде-
ления D совпадает со всем пространством Е.
Доказательство основано на теореме Бэра. Для произвольной
окрестности нуля VaF имеем1)
|Jr-1(BV) = T-1(F)=D (7’'1(У)={хеО : Tx£V}).
/1 = 1	п — 1
Так как D — множество второй категории в Е, то для некоторого т
множество тТ~х (V) имеет непустую внутренность: intznT”1 (V) #= 0.
Так как отображение е-+т~хе является топологическим, то
/и"1 (int mT-1(V’)) = int7’"1(V)=54=0.	(2.1)
В силу непрерывности сложения в пространстве F существует та-
кая окрестность нуля VqciF, что
1/=>V04-V0 = V0-V0	(2.2)
можно считать, что окрестность Vo является множеством, симме-
тричным относительно нуля: —IZO = V’O).
Вторично используя непрерывность сложения в пространстве F,
а также линейность отображения Т, в силу соотношений (2.2) и (2.1)
получаем
T-\V)^T~\V0) - Т-*(У0)=> int Т-^о) - int Т"1 (Уо) э о.
9 Здесь используется то, что всякая окрестность нуля V в л. т. п. F
является поглощающим множеством, т. е. для любого x£F найдется та-
кое п, что nV^x.— Прим, ред.
§ 2. Теорема о замкнутом графике
55
Таким образом, для произвольной окрестности нуля V c:F
0£ int 7"”1 (V). Следовательно, для произвольной окрестности нуля
VczF существует такая окрестность нуля UaEt что множество
7'“1(У) плотно в U (в качестве U можно взять, например, inf 71-1 (V)).
Мы предположили, что пространства Е и F метризуемы. Хорошо
известно (см., например, Бурбаки [2], стр. 55), что если линейное
топологическое пространство метризуемо, то метрику в нем можно
считать инвариантной относительно сдвигов, т. е. d(xt y) — d(x—yt 0).
Пусть dE(-, •) и dF(* , •) — инвариантные метрики в Е и F
соответственно; положим || и ||F = JF(«, 0)для любого и£Е, а для
любого v£F || v ||F = dF (-v, 0). Функции || • ||F и || • ||f не являются,
вообще говоря, нормами, но удовлетворяют, очевидно, неравенству
треугольника || и + и' ||£(Л < || и ||£(Л)+1| и.' ||£(F) и определяют топо-
логию в Е (в F) в том смысле, что ип —> и в Е (в F) тогда
и только тогда, когда [| ип — и ||F->0 (]|«л — tf||F—>0). Используя
эти обозначения, мы можем сформулировать утверждение преды-
дущего абзаца в виде следующего предложения.
Для каждого г > 0 существует такое 5 > 0, что для любого е > 0
и любого элемента е£Е> для которого ||^||д<5, найдется такой
элемент e£D, для которого ||^||^<5, || е — е< е и ||7>||F < г.
Пусть (гл) — произвольная последовательность положительных
оо
чисел, удовлетворяющая условию 2 rn < Для каждого я, п =
Л=1
= 1, 2, через sn обозначим какое-нибудь из чисел, соответ-
ствующих числу гп в смысле сказанного выше. Не ограничивая
общности, можно предположить, что последовательность (sn) убывает
и стремится к нулю: sn | 0. Пусть е0 — произвольный элемент, удо-
влетворяющий условию || е0 ||F < В соответствии с сформулирован-
ным предложением существует такой элемент £ D, что ||^1||£<^р
IIт («i)IIf< Г1 и II е0 — ег ||£ < S2.
Вторично принимая во внимание упомянутое предложение,
заключаем, что существует такой элемент e2£D, что || е2 < $2»
II (^2) Нл < г2 и II (*о — е1) — е2 < 5з- Повторяя такое рассуждение
соответствующее число раз, приходим к выводу, что для каждого п
существует такой элемент еп £ D, что || еп ||F < sn, || Т (еп) ||F < гп
и II (*о — «1 — • • • — «л-1) — «Л Не < «л+1- Полагая Ц- ... + еп = ип,
имеем	«л€Я и, в силу линейности отображения Т,
т («л) = т (в1) + ... 4- Т (е„). Так как 2 || Т (е„) ||£ < 2 гп < 2гР
а пространство F полно, то существует lim Т (ип) = /0, причем
|| /01| < 2г}. Для каждого и имеем («я, Т (ип)) G (Г), а так как
56	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
по условию график G(T) оператора Т замкнут, то (eQi /q) =
— lim(zzn, Т(и„))£ О(Т), т. е. /0=ж=Т(г0). Следовательно, опера-
тор Т определен в каждой точке eQ шара || е ||£ < гр т. е. этот шар
содержится в D, Так как по предположению множество D линейно,
то отсюда следует, что оно совпадает со всем пространством Е. Как
мы видели, для каждого гг > 0 существует такое > 0, что
||T(0O)||F< 2гр если ll*o Ilf < $i- Это означает, что отображение Т
непрерывно в нуле. Но линейное отображение, непрерывное в нуле,
непрерывно во всем пространстве. Теорема доказана.
§ 3. Другие теоремы Банаха и их связь с теоремой о графике
Пространства, о которых идет речь в настоящем параграфе,
являются полными линейными метризуемыми пространствами. Из тео-
ремы о графике почти немедленно вытекают две следующие фунда-
ментальные теоремы Банаха.
Теорема 1 (Банах). Пусть T\E~>F — непрерывное ли-
нейное отображение полного метризуемого л. т. п. Е в мет-
ризуемое л. т. п. F, область значений которого R(T) Т (Е)
является множеством второй категории в пространстве Е.
Тогда
1°. /?(T) = F;
2°. для произвольной последовательности (f^aF,
существует такая последовательность (en)czE, что г/2—>0
и Ten^=fn.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы о зам-
кнутом графике, мы можем считать, что пространства Е и F снабжены
метрикой, инвариантной относительно сдвигов. В силу непрерывности
и линейности отображения Т множество М = Т~1(0)={х££ : Тх — Ъ\
(называемое ядром отображения Т) является замкнутым подпро-
опр.
странством в Е. Поэтому факторпространство И = Е/N также
является полным1) метризуемым л. т. п.; инвариантную метрику в Н
можно определить соотношением
II h Ня °— inf Н е ||£,	h = е + N.
e£h
л) Доказательство полноты факторпространства полного метризуемого
линейного топологического пространства по замкнутому подпространству
после введения инвариантной метрики не отличается по существу от
доказательства аналогичного факта в случае банахова пространства, из-
ложенного, например, в книге Люмиса [1], стр. 21. Заметим, что для
общего (т. е. неметризуемого) л. т. п. аналогичное утверждение, вообще
говоря, неверно. — Прим. ред.
§ 3. Другие теоремы Банаха
57
Отображение Т индуцирует непрерывное отображение Tq\H~>F,
которое уже взаимно однозначно. Отображение определено
на множестве второй категории /?(T)cF и имеет замкнутый гра-
фик	Действительно, пусть fn £ R (Т), fn -•> /0,
Лд°— T^fn-^h^. В силу непрерывности оператора То, TQhn—-> 7%0.
Но Thn = fn->fv поэтому Т0/г0 = /0, т. е. Ло = То1/о, (/о> £о)(Е
^G^Tq1), и замкнутость графика G(t,q1) доказана. Следовательно,
в сэответствии с теоремой предыдущего параграфа оператор То-1
задан на всем пространстве F и непрерывен. Это эквивалентно
утверждениям Г и 2° доказываемой теоремы.
Теорема 2 (теорема Банаха об обратном операторе).
Пусть Т — линейное, непрерывное и об рашимое отображение
пространства Е на пространство F (т. е. D(T)=E, R(T) = F),
причем Е и F — полные метризуемые линейные топологические
пространства. Тогда обратное отображение Т~х также не-
прерывно.
Доказательство. Очевидно, что всякое непрерывное ото-
бражение с замкнутой областью определения является замкнутым
(т. е. имеет замкнутый график). В частности, замкнуто отображение Т.
Кроме того, отображение, обратное замкнутому, является замкнутым.
Следовательно, замкнуто также отображение Г”1, а так как Г’1
задано на множестве R(T) = F второй категории, то оно непрерывно.
В качестве непосредственного следствия теоремы о замкнутом
графике получаем следующее утверждение.
Теорема 3 (Хелли нгер и Тёп лиц). Пусть А — оператор
в гильбертовом пространстве Е. Если оператор А задан
на всем пространстве и симметричен1), то он является не-
прерывным оператором.
Доказательство. По условию симметрии
(Аи, v) = (u, Av), и, v£E.	(3.1)
Пусть un->uQ и Аип—>Vq. Для любого элемента v имеем
(т>0, ^) = Нт(Aun, v) = \m(un, Av) = (u$, Av) = (AuQ, v),
откуда Auq = Vq. Таким образом, оператор А замкнут, а следова-
тельно, и непрерывен.
!) Оператор А, определенный в гильбертовом пространстве Е, называется
симметричным, если (Аи, v) =» (и, Av) для любых и, v из области опреде-
ления А (см. гл. V).
58	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
§ 4. Билинейные формы
В настоящем параграфе мы излагаем доказательство важной тео-
ремы Мазура и Орлича о непрерывности билинейных форм, непре-
рывных по каждому аргументу в отдельности, заданных на полных
метризуемых линейных топологических пространствах. Этой теоре-
мой мы воспользуемся в § 10 при доказательстве теоремы о ядрах.
Докажем сначала одну простую теорему относительно билинейных
форм на произвольных векторных топологических пространствах Е и F.
Теорема 1. Пусть
B:EXF^(et f)-*B(e. f)£C'
— билинейная форма, заданная на линейных топологических
пространствах Е и F. Непрерывность формы В эквивалентна
ее ограниченности на некотором открытом множестве
U X VaE X F-
Доказательство. Достаточно доказать, что из ограничен-
ности вытекает непрерывность, ибо ограниченность вытекает из не-
прерывности в точке (0,	(ср. с теоремой 1 § 5 гл. II).
Итак, по предположению,
\В(е. /)| <М при e£UczEt f£VcFt (4.1)
где U и V — некоторые открытые множества.
В силу билинейности формы В, не ограничивая общности, можно
дополнительно предположить, что множества U и V являются урав-
новешенными !) окрестностями нуля. Положим
11*1|/= inf а, ||/||/^ inf ₽.
а.иЪе
а>0	3>0
Тогда е £ U при || е ||у < 1 и f £ V при || / ||у < 1 • Следовательно,
если е£Е, f£F и || е ||y=A0, ||/||v=A0, то
0<’<L
На основании (4.1)
откуда
\В(е, /)|<А1||е|]у|1/1к	0-2)
Заметим, что если хотя бы одна из величин ||г||^, ||/||р Равна нулю,
*) Множество U в л. т. п. называется уравновешенным, если из х£U
и | Л К 1 вытекает, что Лл £ U, — Прим, ped*
§ 4. Билинейные формы
59
то В(е. /) = 0. Действительно, если, например, || е Ц^—О, топе^и
для любого натурального п, откуда |В(е, /)| =~\В(пе, /)|<—-М
и, значит, В(е, /) = 0. Следовательно, неравенство (4.2) верно для
любых е £ Е, f £F. Из соотношения (4.2) находим, что
|В(е + Де, / + д/)-В(е, /)|<
< М (|| d|y II А/ Ни + II A*ILz • II / Hr + II ||у • ||\f ||0,
что доказывает непрерывность формы В.
Определение. Отображение (е, f)~>T(е, f) называется раз-
дельно непрерывным, если для любых фиксированных eQ и /0
непрерывны отображения
е -> Т/о (0 Т (е, /0), / - Г° (/) Т (е0, f).
Теорема 2 (Мазур и Орлич). Пусть Е и F— метризуе-
мые линейные топологические пространства, причем хотя бы
одно из них полно. Если билинейная форма В
EXF^(e, f)^B(e,
раздельно непрерывна, то она непрерывна.
Доказательство. Пусть, например, полно пространство Е.
Пусть Un X Vn — произвольный базис окрестностей нуля в Е X F.
Положим
S„ — {е€Е ' 15(«> /)|< 1 для всех /С^лЬ (4.3)
т. е.
5л=П{^Е:|5(е./)|<1}.
Из непрерывности функции В (• , /) вытекает, что множества
замкнуты, ибо они являются пересечениями замкнутых множеств.
Рассмотрим произвольный элемент е£Е\ так как В(е, •) — линейный
непрерывный функционал, то он ограничен (ср. с теоремой 1 § 5
гл. II) и поэтому существует такая окрестность Vkc.F, что
|В(^,/)|<1 при f£Vk.	(4.4)
СО
Из соотношений (4.3) и (4.4) вытекает, что F = Согласно
в-1
теореме Бэра, по крайней мере одно из множеств Sn, например Sn<i,
содержит открытый шар /С. Поэтому в соответствии с (4.3)
|В(е,/)]<1 при (е, f)€KXV„a,
откуда на основании теоремы 1 заключаем, что форма В непрерывна.
60	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
Замечание. Утверждение теоремы остается в силе, если ком-
плексную плоскость С1 заменить произвольным линейным топологи-
ческим пространством (см. упражнения и дополнения).
Отметим также, что билинейная форма В(-, •), заданная на
локально выпуклых пространствах Е и F, непрерывна тогда
и только тогда, когда существуют такие полунормы || • ||в, || • ||л
и число М > 0, что
|В(е./)|<Лф1Ш11л	(4-5)
для всех е £ Е и f £F.
Доказательство вытекает из того, что форма В, удовлетворяющая
условию (4.5), ограничена на открытом множестве
: № < И X{f£P ' ||/||£ < 1}<=£Х F. '
§ 5.	Локально выпуклые векторные пространства
Ввиду того что в этом и в следующих параграфах преобладают
топологические понятия, напомним вкратце относящиеся к теме сснов-
ные факты и определения (ср. дополнение 1).
Пусть Е — топологическое пространство с топологией т, опре-
деляемой системой множеств U; эти множества U называются откры-
тыми множествами пространства Е.* Запись U £х означает, что
множество U является открытым в топологии т. Окрестностью
множества SczE называется каждое множество пространства Е,
содержащее некоторое открытое множество (Следовательно,
в этой терминологии окрестности не обязаны быть открытыми мно-
жествами; открытое множество является окрестностью каждого своего
элемента.)
Мы воспользуемся случаем привести полезную символику (введен-
ную Куратовским) для сокращения записи высказываний. Запись
£[(•••) означает: для каждого элемента х£Х имеет место соот-
х^Х
ношение (•••); 2(***) означает: существует такой элемент х£Х,
хех
для которого выполняется соотношение (•••).
Открытые множества пространства Е будем обозначать буквой U.
Семейство {Ua} открытых подмножеств пространства Е называется
базисом топологии х пространства Е, если
П П 2 (хеиаСц).
U^x x£U Ua£{Ua}
Если при этом х не произвольная, а фиксированная точка, то {С7а}
называется базисом окрестностей точки х. Если Е — метрическое
пространство, то шары
r)= {y£E:d(x, у)<г],
§ 5. Локально выпуклые векторные пространства	61
где г — рациональные числа, образуют базис окрестностей точки х.
Следовательно, в метрическом пространстве каждая точка
имеет счетный базис окрестностей.
Базис окрестностей [Ua (х)} точки х характеризуется условиями:
a)	x£Ua(x),
b)	П S (f4(x)c£/i(x)nt/2(*))«
UM), UM> им
с)	П 2 (иаг(у)<=иа1(хУ).
y^uaiw Uai(y)
Обратно, если каждой точке х£Е поставлено в соответствие
семейство {t/a(x)J, удовлетворяющее условиям а), б), в), то в про-
странстве Е можно ввести топологию т так, чтобы открытыми мно-
жествами оказались всевозможные объединения множеств (7а(х).
Семейство {£/а(х)} составляет тогда базис так определенного топо-
логического пространства Е(х). Это замечание позволяет определить
топологию в векторном пространстве Е заданием семейства {Ua}
множеств Ua, содержащих нулевой элемент и удовлетворяющих
условиям а), Ь), с). Базис окрестностей {£/a(tf)} элемента е£Е опре-
деляем соотношением
иа(е) = е + иа = {е-\-х-. x^Ua}.
В дальнейшем мы будем рассматривать только векторные про-
странства над полем комплексных чисел С1. Читатель без труда
сформулирует соответствующие утверждения для вещественных про-
странств (пространств над полем f1).
Множество	называется абсолютно выпуклым, если для
любых элементов ех,	и любых чисел а2^С1, удовлетво-
ряющих условию +	линейная комбинация ахех-\- а2е2
принадлежит W. Заметим, что абсолютно выпуклое множество является
выпуклым, а также уравновешенным (т. е. вместе с каждым эле-
ментом е содержит элемент ае, если |а|С1) и, следовательно,
симметричным относительно нуля. Обратно, всякое выпуклое уравно-
вешенное множество является абсолютно выпуклым.
Абсолютно выпуклой оболочкой ГУ множества VczE назы-
вается наименьшее абсолютно выпуклое множество, содержащее
множество V, Легко видеть, что для любого множества V абсолютно
выпуклая оболочка существует и состоит из всевозможных конеч-
ных линейных комбинаций ^akek, где ek£V и ak\ 1* Можно
показать, что если {Vra}a^4 — произвольное семейство абсолютно
выпуклых подмножеств пространства Е, то абсолютно выпуклая
оболочка их объединения совпадает с множеством всех линей-
а£Д
ных комбинаций У ааеа, где ea£Vat S|aa|<l, причем яа=#0
«СЛ	абД
62	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
лишь для конечного числа индексов. Эта абсолютно выпуклая оболочка
иногда обозначается символом ГаУа (йе следует путать ее с абсолютно
выпуклой оболочкой множества Va, обозначаемой IVa и совпадающей
в рассматриваемом случае с самим множеством Va в силу абсолютной
выпуклости последнего).
Хотя многие проблемы анализа приводят к рассмотрениям в нор-
мированных пространствах, все же класс банаховых пространств
не охватывает некоторых фактов даже элементарного анализа.
Рассмотрим, например, понятие почти равномерной сходи-
мости1) последовательности функций {срл( • )}“яР заданных на ло-
кально компактном, но не компактном пространстве. (Напомним,
что пространство X называется локально компактным, если каждая
точка х£Х обладает компактной окрестностью. Например, про-
странство EN локально компактно, но не компактно.) Последователь-
ность {фл( • )}~в1 называется почти равномерно сходящейся на про-
странстве X, если она сходится равномерно на каждом компактном
множестве КсХ. Каждому компактному подмножеству /С az АГ мы
можем поставить в соответствие полунорму рк в пространстве непре-
рывных функций С(Х) (употребляется также термин „псевдонорма"):
С(Х)=ф->/>^(<р) = sup|<p(x)|.	(5.1)
х£К
Функция рк действительно является полунормой, т. е. она не-
отрицательна и удовлетворяет условиям 2° и 3° § 1 гл. I:
2° РК(« + ©)<Рк(«) + /’дг(‘»)-	v£X,
3° Рк(аи) =\a\pK(v), а£С1,
но она не является нормой, так как равенство р^(ф) = 0 может
иметь место также в случае, когда ф #= 0: существуют непрерывные
функции, равные нулю на множестве /С, но не равные нулю
тождественно.
Метризуемые линейные пространства составляют весьма обширный
класс линейных топологических пространств. Однако, с одной стороны,
этот класс является недостаточно общим, ибо не охватывает про-
странств, встречающихся, например, в теории обобщенных функций,
а с другой — этот класс является слишком широким, ибо допускает
некоторые патологические явления: существуют линейные метрические
пространства, на которых каждый линейный непрерывный функционал
равен тождественно нулю. Эти соображения привели в 1935 г.
С. Мазура и независимо от него Дж. фон Неймана к понятию век-
торного локально выпуклого пространства. Приведем здесь два экви-
9 Употребляется также термин „компактная сходимость". — Прим. ред.
§ 5. Локально выпуклые векторные пространства	63
валентных определения. Первое исходит из понятия полунормы,
а второе — из понятия выпуклого множества.
Определение 1. Векторное топологическое пространство Ф
над полем комплексных чисел С1 называется локально выпуклым
пространством, если существует семейство полунорм {рх( • )}лел»
заданных на Ф и удовлетворяющих следующим условиям:
а)	если рх(ф) = 0 для всех Х£Л, то <р = 0;
б)	множества вида
.....
где Хь ...» пробегает всевозможные конечные системы индексов
из множества Л, а 8 > 0, образуют базис открытых окрестностей нуля.
Заметим, что каждая полунорма определяет некоторую
абсолютно выпуклую окрестность нуля {индикатрису полу-
нормы):
ик = [^Ф:р^)<1].
Действительно, если
Фг lal + l₽l< т0 аФ1 + Рф2€^г (5.2)
Окрестности U-k являются поглощающими множествами; это озна-
чает, что для каждого элемента ф£Ф существует такое натуральное
число п, что
ф€**4.	(5.3)
Располагая понятиями выпуклых и поглощающих множеств, можно
сформулировать второе определение.
Определение 2. Если в векторном пространстве Ф (над
полем С1) выделен класс	абсолютно выпуклых [т. е. удовле-
творяющих условию (5.2)] и поглощающих [т. е. удовлетворяющих
условию (5.3)] множеств, причем
если С4€{£4). то pt4€{(4}« р > 0;	(5.4)
если Uа, {(4), то Ua f| l/p С {£4}	(5.5)
и, наконец,
П^={°).	(5.6)
то векторное пространство Ф становится локально выпуклым, если
семейство {£Д} принять за базис окрестностей нуля. Окрестности
произвольной точки <р£Ф имеют вид фХ£Л.
64	Гл. Ш. Локально выпуклые векторные пространства
Замечание. В этом определении требование абсолютной вы-
пуклости множеств U\ можно заменить требованием их выпуклости,
именно можно показать, что если система выпуклых поглощающих
множеств [U^] удовлетворяет условиям (5.4) — (5.6), то существует
система абсолютно выпуклых поглощающих множеств {Ц1}, удовле-
творяющая условиям (5.4) — (5.6) и задающая в пространстве Е
ту же топологию, что и система {£Д}.
Как мы видели, пространство, локально выпуклое в смысле
определения 1, является также локально выпуклым в смысле определе-
ния 2. Для доказательства эквивалентности обоих определений заметим,
что каждому абсолютно выпуклому множеству можно следующим
образом поставить в соответствие полунорму1):
рк (ф) — * inf а,	а > 0, аС/^Эф-
Из абсолютной выпуклости множества U% вытекает выпуклость
функции
Рк (Ф1 + Ф2) < Рк (Ч>1) + Рк (Ф2)’
а также ее абсолютная однородность
рх(й<р)= |а|рх(ф), а С С1.
Из условия (5.6) вытекает условие а), которое гарантирует, чго
множество Ф с так введенной топологией является отделимым
(хаусдорфовым) топологическим пространством.
Полунормы будем иногда обозначать символом [| • |]v Если для
определения топологии достаточно воспользоваться счетной системой
полунорм	то локально выпуклое пространство оказывается
метризуемым, а именно справедлива следующая важная теорема.
Теорема 1. Для того чтобы локально выпуклое простран-
ство Ф было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы
его топология задавалась счетным числом полунорм.
Доказательство. Докажем достаточность условия. Положим
fe=l	k
1) Так называемый „функционал Минковского", соответствующий вы-
пуклому множеству Uк — Прим. ред.
§ 5. Локально выпуклые векторные пространства	65
Легко видеть, что функция d (• , •) удовлетворяет аксиомам рас-
стояния в метрическом пространстве, и нужно лишь проверить, что
так введенное расстояние согласовано с исходной топологией, т. е.
что шары /((0, е) —* {ф£Ф : д(ф) < е} образуют базис окрестностей
п
нуля в пространстве Ф. Пусть =	Qk > 0» где =
л=1
= {х£Ф: ||х||л< 1}. Имеем U = {ф £Ф : || ф||* < Qk> k = 1, ..л}.
Выберем число е > 0 так, чтобы 2 kQk (1 -1-Qk)~x > 8 при k = 1.п.
Если ф£/С(О, 8), т. е. 6(ф) < е, то, очевидно, 2~*||ф||л(1 +||ф|1л)"1<
< 8 < 2“*Q*(1+Q*)"”1» откуда ||ф||*<<2й> £ = 1......п. Следо-
вательно, ф £ U, и мы доказали, что существует число е > 0, для
которого АГ(О, е)с:(/.
Обратно, каждый шар /С (0, е) содержит некоторое множество t/.
Действительно, если ф £ U, то
П	оо
6(<P)<£2-*Qft+ 2 2-*<1 тах Q*+^<8*
*=1	Л = л+1	Kk<n
если 2“л < е/2 и max Qk < е. '
Необходимость условия вытекает непосредственно из замечания О том,
что метрическое пространство обладает счетным базисом окрестно-
стей нуля.
Замечание. Две системы полунорм (рД^л и	назы*
ваются эквивалентными, если они определяют одинаковые топологии»
т. е. если для каждой полунормы рк существует такая полу-
норма р^, что рк (ф)	(ф) для всех ф £ Ф, и, наоборот, для каждой
полунормы pv существует такая полунорма рр, что pv (ф)<^ ^vppp (ф)
для всех ф£Ф. Имеет место следующее полезное предложение.
Теорема 2. В каждом локально выпуклом метризуемом
пространстве существует неубывающая последовательность
полунорм, эквивалентная исходной.
Доказательство. Пусть	— исходная последователь-
ность полунорм. Положим
ра (ф) °— max {(ф).....ра (<р)}.
Тогда {р*}“=1 является неубывающей последовательностью полунорм,
эквивалентной исходной.
5 К. Морен	*
66	Гл. Ш. Локально выпуклые векторные пространства
Приведем полезную иллюстрацию этой теоремы. Пусть
— ограниченная область. В множестве Со° (йдг) функций, бес-
конечно дифференцируемых и обладающих компактными носителями
в области Qyy, введем топологию Шварца с помощью следующих
норм:
|ф1т— SUP Ртф(*)|-
лСйдг
Так топологизированное множество Cf (QN) обозначают символом
35 (QN). Нетрудно заметить, что
1фС*МС /	<5'7’
on 1 N
Обозначим теперь символом ||ф||А норму
ИФ||*°=2Ь/ Ц	(5-8)
fyy I а
ф Со (^дг)-
Ввиду неравенства (5.7) заключаем, что имеет место следующее
важное для применений предложение.
В пространстве 35 (QN), где область QN ограничена, неубывающая
последовательность норм || • ||л эквивалентна последовательности
норм I • |да1).
Вернемся к общим векторным топологическим пространствам.
Последовательность (<рл)сФ называется фундаментальной, если для
каждой окрестности нуля U существует такое число М = М(1/), что
Ф^ — фд £ U при n > m > TV.
Определение. Векторное топологическое пространство Ф
называется счетно-полным, если всякая фундаментальная последо-
вательность сходится в пространстве Ф.
Замечание. В векторных топологических пространствах вво-
дится еще более жесткое понятие полноты. Например, требуют, чтобы
каждая обобщенная фундаментальная последовательность (фа)аел»
где А—произвольная направленная система индексов, имела предел.
Однако в случае метризуемых пространств эти понятия полноты ока-
зываются эквивалентными.
1) Следует отметить, что приведенное утверждение не вытекает из тео-
ремы 2, ибо это есть утверждение об эквивалентности двух конкретных
систем полунорм, а теорема 2 обеспечивает лишь существование некоторой
неубывающей системы полунорм, эквивалентной исходной.—Прим. ред.
§ 5. Локально выпуклые векторные пространства	67
Следующее определение выделяет весьма важный клаес линейных
топологических пространств.
Определение. Векторное топологическое пространство назы-
вается пространством Фреше, или ^-пространством, если оно
локально выпукло, метризуемо и полно.
В теории векторных топологических пространств важную роль
играет понятие ограниченного множества. В нормированном про-
странстве множество В называется ограниченным, если существует
такое натуральное число п, что
|| <р || < п для всех	ф £ В.
Другими словами ограниченные множества можно определить как
множества, поглощаемые единичным шаром. Таким образом, в нор-
мированном пространстве шары являются одновременно окрестно-
стями и ограниченными множествами.
В пространствах, в которых топология определяется посредством
более чем одной нормы, возникает другая ситуация: фиксированная
окрестность нуля не поглощает, вообще говоря, все другие окрест-
ности нуля.
Определение. Множество ВсФ называется ограниченным,
если оно поглощается каждой окрестностью нуля (т. е. если для
каждой окрестности нуля U существует такое число n = n(U), что
BanU).
Следующая теорема дает характеристику ограниченных множеств.
Теорема 3. Для того чтобы множество В было ограни-
ченным, необходимо и достаточно, чтобы для каждой после-
довательности (фл)с:В и каждой последовательности чисел
(f^, имело место соотношение
Несложное доказательство оставляем читателю1).
Возникает вопрос о том, в каких локально выпуклых простран-
ствах существуют ограниченные окрестности нуля. Ответ содержится
в следующем предложении.
Теорема 4. Для локально выпуклого пространства Е
следующие утверждения равносильны'.
Г. В Е существует ограниченная окрестность нуля.
2°. Пространство Е нормируемо, т. е. в нем можно ввести
норму, порождающую в Е топологию, совпадающую с исходной.
О Определение ограниченных множеств, приведенное в тексте, принад-
лежит Дж. фон Нейману. Свойство, фигурирующее в теореме 3, было пред-
ложено А. Н. Колмогоровым в качестве другого определения ограниченности.
Ему же принадлежит теорема 4. — Прим. ред.
5*
68
Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
Замечание. Очевидно, что для нормируемости пространства
необходимо, чтобы оно было локально выпуклым. Поэтому эта тео-
рема содержит в себе необходимое и достаточное условие норми-
руемости векторного топологического пространства.
Доказательство. Очевидно, что из 2° следует Г. Покажем
обратное. Не ограничивая общности, можно считать, что ограничен-
ная окрестность нуля, о которой идет речь в теореме, является
абсолютно выпуклой. Ей соответствует полунорма || • ||0. Докажем,
что полунорма || • ||0 является фактически нормой, т. е. что || ф ||0 > О,
если ф Ф 0. Рассмотрим какую-либо полунорму ра, для которой
ра(ф)>0. Множество С70 °= {ф : ||ф||0 < 1}» как ограниченное, по-
глощается множеством Ua = {ф : Ра(ф) < 1), т. е.	для неко-
торого числа п. Рассмотрим число т, для которого /пра(ф)> 1.
Тогда mq Ua и пту UQ. Отсюда || п/пф ||0 > 1 и || ф ||0 > (п/п)-1 > 0,
что и требовалось доказать.
Грубо говоря, ситуация в векторных топологических простран-
ствах такова, что ограниченные множества „малы", а окрестности
нуля „велики".
Примеры ограниченных множеств
1°. Каждое конечное множество {фх....фт) является ограни-
ченным.
2° (3°). Все компактные множества (и все множества с компакт-
ным замыканием) ограничены.
Доказательство. Рассмотрим произвольную окрестность
нуля U. Не ограничивая общности, мы можем считать, что окрест-
ность U является уравновешенной, т. е. KUczU при |Х|<;1 (ибо
в каждой окрестности нуля, как легко видеть, содержится некоторая
уравновешенная окрестность нуля). Каждая точка ф£Ф поглощается
окрестностью U, т. е. п (ф) U Э Ф для некоторого числа п(ф). Если
множество К компактно, то покрытие (J п(ф)(7 можно заменить ко-
<р€*
N
вечным покрытием (J п (ф^) £7zo ТС. Пусть М = шах {п(фх).п(Фдг)Ь
i=i
Очевидно,	и, следовательно, ограниченность множества К
доказана.
4°. Объединение конечного числа ограниченных множеств является
ограниченным множеством.
5°. Каждая сходящаяся последовательность (ф/)^! является огра-
ниченным множеством.
Для доказательства проще, всего воспользоваться теоремой 3 и
непрерывностью умножения на скаляры,
§ 5. Локально выпуклые векторные пространства	69
Важный и весьма общий класс локально выпуклых пространств
составляют так называемые борнологические пространства, изучав-
шиеся Макки.
Как нам известно, элементы базиса окрестностей поглощают огра-
ниченные множества.
Определение. Локально выпуклое пространство, в котором
каждое абсолютно выпуклое множество, поглощающее все ограни-
ченные множества, является окрестностью нуля, называется борно-
логическим.
Очевидно, нормированные пространства являются борнологиче-
скими пространствами. Следующее предложение содержит характе-
ристику борнологических пространств.
Теорема 5. Для того чтобы локально выпуклое про-
странство Ф было борнологическим, необходимо и достаточно,
чтобы каждая полунорма, ограниченная на каждом ограни-
ченном множестве, была непрерывной.
Доказательство. Сначала докажем необходимость
условия. Пусть р — полунорма, ограниченная на каждом ограничен-
ном множестве ВсФ. Пусть U — индикатриса полунормы
р : £/=’ {ф£Ф : р(ф) < 1}. Если М = sup р (ф), то	1){/.
Таким образом, множество U поглощает каждое ограниченное мно-
жество В. Следовательно, множество U является окрестностью нуля
(см. определение борнологического пространства). Поэтому полу-
норма р непрерывна в точке нуль, а значит, и в каждой точке.
Докажем теперь достаточность условия. Пусть V — абсо-
лютно выпуклое множество, поглощающее каждое ограниченное мно-
жество В: BcznV, п = п(В). Пусть pv — полунорма, определяемая
множеством V. Полунорма pv ограничена на множестве В, ибо каж-
дый элемент множества В имеет вид ф = от, v£V, а поэтому
Pv (ф) = Pv (пг0 = Wv (*0 < п * 1 = п.
По условию полунорма pv является непрерывной. Следовательно,
множество V как индикатриса непрерывной полунормы является
окрестностью нуля, и теорема доказана.
Теорема 6. Локально выпуклые метризуемые простран-
ства являются борнологическими пространствами.
Доказательство. Пусть U — абсолютно выпуклое множе-
ство, поглощающее все ограниченные множества. Предположим, что U
не является окрестностью нуля. Тогда существует такая последова-
тельность (фл), что У^фл->0. Очевидно, можно найти такую чи-
словую последовательность (^), что 0 tп эо и /лфл -> 0. Мно-
70	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
жество (/пфй), как всякая сходящаяся последовательность, является
ограниченным. Поэтому существует такое число р > 0, что U Э р/лфл
при n= 1, 2......Однако для достаточно больших п ptn > 1. В силу
абсолютной выпуклости множества U имеем Фл = (р/д)"1 (р/л) Фл С Cf.
Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы.
§ 6. Линейные отображения локально выпуклых пространств.
Дальнейшие свойства борнологических пространств
и /-пространства
В этом и в следующих параграфах мы будем рассматривать лишь
линейные отображения, заданные на всем векторном пространстве Ф
и принимающие значения в векторном пространстве F. Такие ото-
бражения А мы будем более подробно обозначать символом А : Ф—>F.
Отображение А называется ограниченным. если оно отображает
каждое ограниченное множество в ограниченное множество. Оче-
видно, каждое непрерывное отображение является ограниченным,
однако обратное, вообще говоря, неверно. Имеет место следующее
утверждение.
Теорема 1. (Макки). Для того чтобы локально выпуклое
пространство Ф было б о рно логическим. необходимо и доста-
точно. чтобы каждое линейное ограниченное отображение
пространства Ф в любое локально выпуклое пространство F
было непрерывным.
Доказательство. Докажем сначала необходимость
условия. Пусть А : Ф-> F—ограниченное отображение. Пусть 1/0—про-
извольная абсолютно выпуклая окрестность нуля в пространстве F.
и пусть U = Л”1^). Докажем, что множество U поглощает каждое
ограниченное множество ВсзФ. Множество Л (В) ограничено в F,
и поэтому пУ0оЛ(В) для некоторого числа п. Следовательно,
ВсЛ'1(Л(В))сзпЛ“1(У’0) = п£/, т. е. абсолютно выпуклое (как про-
образ абсолютно выпуклого множества Уо) множество U поглощает
каждое ограниченное множество борнологического пространства Ф.
Таким образом, множество U является окрестностью нуля и, значит,
отображение Л непрерывно.
Прежде чем доказывать достаточность условия, сделаем следующее
замечание. Каждое локально выпуклое пространство Ф можно пре-
вратить в борнологическое пространство Ф(В), усиливая (обогащая)
исходную топологию присоединением к базису окрестностей нуля
всех абсолютно выпуклых множеств, поглощающих каждое ограни-
ченное (в исходной” топологии) множество. Очевидно, Ф(В)— борно-
логическое пространство, имеющее те же ограниченные множества,
что и пространство Ф.
§ б. Линейные отображения локально выпуклых пространств 71
Докажем теперь достаточность условия. Обозначим через А
вложение Ф->Ф(В), т. е. оператор, сопоставляющий вектору ф,
рассматриваемому как элемент пространства Ф, этот же самый век-
тор ф, рассматриваемый как элемент пространства Ф (В). Отображение
А : Ф->Ф(В), будучи ограниченным, по условию теоремы непрерывно.
Следовательно, топология пространства Ф(В) слабее (беднее откры-
тыми множествами) топологии пространства Ф. Но так как по построе-
нию топология в Ф(В) сильнее топологии Ф (ибо она получается
из топологии пространства Ф расширением запаса открытых множеств),
то обе топологии совпадают, т. е. Ф = Ф(В) как линейные тополо-
гические пространства. Таким образом, Ф является борнологическим
пространством и теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает следующее важное для приложений
утверждение.
Теорема 2. Пусть Ф — борнологическое, a F— локально вы-
пуклое пространство. Для того чтобы отображение А : Ф->Р
было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы Дфд—>0,
если Фя->01).
Доказательство. Необходимость условия очевидна, ибо не-
прерывное отображение произвольного топологического пространства
преобразует сходящиеся последовательности в сходящиеся. Мы утвер-
ждаем, однако, что в борнологических пространствах для линейных
отображений имеет место обратное утверждение. Нам достаточно
доказать, что отображение А, обладающее тем свойством, что А(рЛ -> 0
при фд -> 0, является ограниченным. Пусть £/с:Ф — ограниченное
множество. Рассмотрим произвольную последовательность (/я)сЛ((/),
/д = Лфд, фд££7. Если /я->0, то, согласно теореме 3 § 5, имеем
гяфя->0, а поэтому tnfn — Atnqn -> 0. Так как (/д) — произвольная
последовательность элементов множества A(U), то в соответствии
с указанной теоремой это множество ограничено.
Пусть Фи/7— произвольные векторные топологические про-
странства. Обозначим через <Л?(Ф» F) множество линейных непре-
рывных отображений Ф—>F. В множестве (Ф, F) вводят топологию
следующим образом. Пусть S — некоторое семейство ограниченных
в пространстве Ф множеств Ва, такое, что Ф= (J Ва. Обозначим
символом ^(Ф, F; S) векторное пространство «^(Ф, F), наделенное
топологией равномерной сходимости на каждом множестве В £ 5.
’) Заметим, что эта теорема является содержательной лишь в случае,
когда пространство Ф неметризуемо, ибо для метризуемого Ф она превра-
щается в тавтологию.—Прим. ред.
72	Гл. Ш. Локально выпуклые векторные пространства
Можно доказать (см. Бурбаки [2]), что <3? (Ф, F; S) является хаус-
дорфовым пространством. Если пространство F локально выпукло,
то локально выпукло и пространство 3? (Ф, F; S). Наиболее важными
для приложений являются следующие три топологии.
1°. 5 — семейство конечных множеств (т. е. множеств, состоящих
из конечного числа элементов). Соответствующая топология будет
топологией сходимости в каждой точке. Например, если Р = С\
т. е. 3?(Ф, Р) = Ф*, где Ф* — пространство, сопряженное с про-
странством Ф (Ф* — пространство линейных непрерывных функциона-
лов, заданных на пространстве Ф), то топология 3?(Ф> С1; S) является
слабой топологией в пространстве Ф*.
2°. S — семейство компактных множеств; соответствующая топо-
логия называется топологией компактной (иначе, почти равно-
мерной) сходимости.
3°. S — семейство всех ограниченных множеств пространства Ф.
Соответствующая топология называется равномерной {ограничен-
ной). Если F — C1, то мы имеем дело с сильной топологией в про-
странстве Ф*.
Каждая из этих топологий сильнее предыдущей. Вообще ясно,
что если S и S'— две системы ограниченных множеств в Ф, причем
SczS', то топология, порождаемая в ^(Ф, F) системой 5', сильнее
топологии, порождаемой семейством S.
Пусть S={Ba}—какая-нибудь система ограниченных множеств
в Ф /как всегда, предполагаем, что (J Ва = Ф\, F—локально
\ /
выпуклое пространство, а —семейство полунорм, определяю-
щее топологию в F. Тогда ясно, что топология в пространстве
^(Ф, F; S) может быть задана семейством полунорм
р ₽ (Л) = sup Р9 (Лф), ва 6 S, Л е (Ф, F).
a,₽ q>€Ba
В частности, если Ф и F — нормированные пространства, то соот-
ношение
IIЛ || °— sup ||Лф||
II ч>11<1
определяет норму в пространстве ^(Ф, F) и одновременно топо-
логию равномерной сходимости.
Определение. Множество ИсЗ(Ф, F) называется
(а)	равностепенно непрерывным1), если для каждой окрест-
ности нуля Уо a: F существует такая окрестность нуля £/0 с: Ф, что
AUq с: Уо для каждого отображения А£Н;
9 Употребляется еще термин „эквинепрерывное множество*.—Прим. ред.
§ 6. Линейные отображения локально выпуклых пространств
73
(б)	точечно ограниченным, если для каждого элемента ф£Ф
множество Я(ф)°— (Лф: А£Н} ограничено1).
Возникает вопрос о том, для каких пространств понятия (а) и (б)
совпадают. Это имеет место для так называемых /-пространств
(тоннельных пространств в терминологии Бурбаки).
Определение. Бочкой в локально выпуклом пространстве
называется замкнутое абсолютно выпуклое поглощающее множество.
Локально выпуклое пространство Ф называется t-пространством,
если каждая бочка в Ф является окрестностью нуля2).
Теорема 3 (Бурбаки). Если Ф является t-простран-
ством, a F— локально выпуклое пространство, то каждое
точечно ограниченное множество Н cz (Ф, Р) является
равностепенно непрерывным.
Доказательство. Рассмотрим произвольную абсолютно вы-
пуклую замкнутую окрестность нуля VczF и положим U = Q A^V.
А£Н
Докажем, что множество U является бочкой. Для этого достаточно
проверить, что множество U является поглощающим. Пусть ф£Ф.
Так как множество Я(ф) ограничено, то существует такое число р,
О < р < 1, что И(рф) = р/7 (ф) с: V. Поэтому рф £ А~1Н(рф) с A~'V
для каждого А£Н, т. е. рф £ U. Итак, множество U является
бочкой в /-пространстве Ф, а поэтому окрестностью нуля. В силу
самого определения множества U имеем включение AUdV для всех
А£Н, что и требовалось доказать.
Оказывается, что знаменитая теорема Банаха — Штейн-
гауза (доказанная Банахом и Штейнгаузом в 1927 г. для нормиро-
ванных пространств) может быть обобщена на случай /-пространств.
Теорема 4 (Бурбаки). Пусть дано t-пространство Ф
и локально выпуклое пространство F. Если последовательность
(An)™_xd S’(Ф, F) сходится в каждой точке ф£Ф, то
Лф == ПтЛлф является линейным непрерывным отображением
Ф->Р.
Доказательство. Линейность отображения А очевидна,
а поэтому достаточно доказать его непрерывность. Так как после-
довательность Н = (Ля)^°_! является точечно ограниченным множеством
О Точечная ограниченность множества HdSi®* F) равносильна его
ограниченности в топологии точечной сходимости в пространстве S (ф» —
Прим. ред.
2) В русской литературе /-пространства называют часто бочечными
пространствами. — Прим, перев.
74	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
(последовательность (Длф) сходится для каждого ф, а поэтому
для каждого ф она ограничена), то в соответствии с теоремой 3
это множество равностепенно непрерывно. Следовательно, для каждой
замкнутой окрестности нуля Vo с: F существует такая окрестность
нуля UQ а. Ф, что AnUQ с Уо при п — 1, 2, .... Переходя к пределу
при п—>оо в соотношении Ллф£У0 и принимая во внимание
замкнутость множества Vo, получаем Яф£У0 для каждой точки
т- е* ^^ос^о’ чт0 и требовалось доказать.
Имеет место следующее интересное предложение.
Теорема 5. Локально выпуклое пространство второй
категории является t-пространством.
Следствие. F-пространства (т. е. полные метризуемые
локально выпуклые пространства) являются ^пространствами.
Оказывается, что- каждое счетно-полное борнологическое
пространство является t-пространством (Бурбаки). Значение
/-пространств объясняется именно тем, что большинство встречаю-
щихся в приложениях борнологических пространств обладает свой-
ством счетной полноты.
§ 7. Построение локально выпуклых пространств1)
Существует ряд приемов, позволяющих, исходя из данного
локально выпуклого пространства, строить другие локально выпуклые
пространства. Перечислим такие приемы:
1° образование подпространства;
2° образование факторпространства;
3° образование топологического произведения;
4° образование прямой суммы;
5° образование индуктивного предела;
6° образование проективного предела.
В случае нормированных пространств все эти приемы, за исклю-
чением 1° и 2°, выводят из класса нормированных и даже из класса
метризуемых пространств, однако их результатом являются всегда
локально выпуклые пространства. Как мы увидим на примерах, ряд
пространств, используемых в современном анализе, получается при-
менением операции 5°.
Ниже мы дадим краткое описание приемов 1° — 5°. *
1°. В качестве базиса окрестностей нуля подпространства
локально выпуклого пространства Ф принимают систему множеств
{ФхП/_7^}, где {L/д,}—базис окрестностей нуля в пространстве Ф.
’) Изложение в этом и следующем параграфах весьма конспективно.
См- В связи с этим Бурбаки [2J. — Прим, ред.
§ 7. Построение локально выпуклых пространств
75
2°. Пусть CDj — замкнутое подпространство локально выпуклого
пространства Ф. Рассмотрим (алгебраическое) факторпространство
Ф/Ф! и обозначим через Z: Ф—>Ф/®! каноническое отображение,
сопоставляющее каждому элементу ф£Ф содержащий его класс
/ф °= ф-^-Фр В качестве базиса окрестностей нуля в множестве
Ф/®! выберем систему множеств {ZC7^}, где {U^} — базис окрест-
ностей нуля в пространстве Ф.
3°. Пусть {ФаОСа)}а£Л—семейство векторных пространств Фа
с локально выпуклой топологией та, а£Л. Топологическое произ-
ведение Ф(т)= JJ Фа(та) определяется следующим образом: эле-
а£Д
ментами множества
Сложение элементов и умножение на число определяется посредством
соответствующих операций над „координатами"
Ф(т) являются системы ф = (фа) , где фа£Фа.
w+w-(*«+%) “W = (“<₽»)• “6C1-
Топология т в Ф(т) — это обычная топология Тихонова (ср. до-
полнение 1): в качестве базиса открытых множеств в простран-
стве Ф(т) принимаются произведения Ц Уа, где Va £ та, причем Уа=Фа>
А
за исключением конечного числа значений индекса а.
4°. Прямая сумма фФа(та) строится следующим образом:
а
элементами ф прямой суммы ф Фа являются опять последовательности
ф —Ф06Фа» н0 теперь лишь для конечного числа значений
индекса фа =£ 0. Определение алгебраических действий такое же,
как в п. 3°. Пусть Щ— абсолютно выпуклая окрестность нуля
в пространстве Фр(тр). Обозначим через множество всех
элементов ф = (фД^, для которых Фа = 0 при а =£ р, а Фр££/р.
Затем образуем абсолютно выпуклую оболочку Га^/д1), т. е. мно-
жество всех конечных линейных комбинаций вида 2ааФа» Фа€Цх’
21 «а 1<1. Множества Га£7а составляют, по определению,
базис окрестностей нуля в пространстве фФа(та)*
а
5°. Обобщением понятия прямой суммы служит понятие индук*
тивного предела, обозначаемого символом Иш1п(1Фа(та). Пусть
а£ А
наряду с локально выпуклыми пространствами Фа дано векторное
пространство Ф и линейные отображения Ла: Фа->Ф, причем
множество (Ла(Фа), а£Л} алгебраически порождает пространство Ф.
Рассмотрим в пространстве Ф самую сильную локально выпуклую
’) См. § 5 настоящей главы. — Прим. ред.
76	Гл. Ill, Локально выпуклые векторные пространства
топологию т, при которой все отображения Аа: Фа(та)—>Ф(т)
остаются еще непрерывными: базис окрестностей нуля такой топо-
логии в пространстве Ф образуют абсолютно выпуклые оболочки
ГаДа(С/а), где множества 1/а пробегают базис абсолютно выпуклых
окрестностей нуля в пространстве Фа, а£Д.
Если построенная таким образом топология удовлетворяет усло-
вию Хаусдорфа, то пространство Ф(т) называется индуктивным
пределом пространства Фа(та), а топология т — индуктивным пре-
делом топологий та.
Замечание. Обычно во встречающихся на практике случаях
подпространства Фа являются линейными подмножествами простран-
ства Ф, а отображения Ла: Фа->Ф являются вложениями /а: Фа->Ф,
т. е. тождественными отображениями. Топология т в Ф—индуктивный
предел топологий та — индуцирует на множестве Фа топологию более
слабую, чем та: базисом окрестностей нуля в топологии т являются
такие абсолютно выпуклые поглощающие множества V, что пересе-
чение V П Фа является окрестностью нуля в пространстве Фа.
Ввиду того что обычно в векторном пространстве Ф существует
некоторая хаусдорфова топология т0 с: г, индуктивный предел оказы-
вается пространством Хаусдорфа. (Прямая сумма ®Фа(та) действи-
тельно является частным случаем индуктивного предела: в качестве
следует взять отображение А?:	•••’ Фр* •••)•)
В теории обобщенных функций особенно важную роль играет
следующий частный случай понятия индуктивного предела.
Точным1) индуктивным пределом называется индуктивный
предел счетной последовательности выпуклых пространств Фл(тл),
1, 2, ..если
Г Фт с Фл и тт cz тл при т < п\
2° топология, индуцированная топологией тл на пространстве Фт,
совпадает с топологией хт: хп П Фт = хт, т < п.
Если предположить дополнительно, что
3° множество Фш замкнуто в пространстве Фл (тл) при /п < п,
то имеет место следующее утверждение.
Теорема 1 (Дьедонне — Шварц). Для того чтобы мно-
жество ВсФ(т) было ограничено, необходимо и достаточно,
чтобы BczSf)n для некоторого значения п и чтобы множество В
было ограничено в топологии хп.
Замечание. В теории гильбертовых пространств вводится
понятие ортогональной суммы //=© На, где На— гильбертово про-
а£А
*) Или строгим. — Прим. ред.
§ 7. Построение локально выйуклых пространств
77
странство со скалярным произведением (• , • )а. Это понятие отли-
чается от понятия прямой суммы локально выпуклых пространств,
а именно множество Н отождествляется с подмножеством произве-
дения Ц На» образованным теми последовательностями h = (Ла)а^л,
Аа£На, для которых У(Ла, Лак < оо. Множество Н становится
а£Д	а
унитарным пространством, если ввести в нем скалярное произведение
(Л. А) = 2 (Аа. А„)„. Л == (Ла).	k = (ka).
а
Непосредственно из определения индуктивного предела вытекает
следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть O(t) = IimindOi(Tx), и пусть F— ло-
кально выпуклое пространство. Для того чтобы линейное
отображение А: Ф—было непрерывным, необходимо и
достаточно, чтобы оператор А • был непрерывным на
пространстве Фх(тл) при каждом Х£Л. {Если Ф^сФ и
Ai — i\, то условием непрерывности отображения А является
непрерывность в смысле топологии сужения этого отобра-
жения на подпространство Ф^.)
Доказательство. Необходимость условия очевидна. Пред-
положим, что для всех	отображение А • А^: Фд,(Тх)-*/?
является непрерывным и что V — произвольная абсолютно выпуклая
окрестность нуля в пространстве F. Тогда для каждого Х£Л
множество А^^А^У)) является окрестностью нуля в простран-
стве Фх(тх). Так как А^г(У) является поглощающим абсолютно
выпуклым множеством, то оно является окрестностью нуля в топо-
логии т, что и требовалось доказать.
Предлагаем читателю доказать следующее интересное предложение.
Теорема 3. Если Фа(та)сФ— метризуемые локально
выпуклые пространства, то пространство Ф(т) = ИпНпс1Фа(та)
а£ А
является борнологическим пространством.
Как нам известно (теорема 6 § 5), метризуемое локально выпуклое
пространство является борнологическим. Поэтому теорему 3 можно
рассматривать как частный случай следующей более общей теоремы.
Теорема 4. Индуктивный предел борнологических про-
странств является борнологическим пространством.

Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
§ 8. Примеры локально выпуклых пространств
В этом параграфе мы приведем некоторые примеры весьма часто
встречающихся в анализе пространств. Другие интересные примеры
читатель найдет в монографии И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [3].
Индуктивные пределы гильбертовых пространств играют важную
роль в теории операторов в частных производных.
Г. Пространство S(Qyy) определяется как индуктивный предел
пространств Фл==^(^), где (/Ся)— возрастающая последователь-
ность предкомпактных!) множеств, исчерпывающих множество
с: /С2 с • • • с Цу Как нам известно, пространство 35 (К п) является
F-пространством, а поэтому 35 (QN) является борнологическим про-
странством. Можно доказать, что <®(Qyy) счетно-полное, а поэтому
является /-пространством. Ограниченное множество В с 35 (QN) при-
надлежит некоторому пространству 35 (Кт. е. носители функций
<р£В содержатся в (фиксированном) компактном множестве Кп
(в замыкании множества Кп), причем для всех ср С В выполняются
неравенства |(«®аф)(х)|	где постоянные С|а| зависят от
множества В.
Последовательность (<рл) cz 35 (Q^y) стремится к нулю при п—>оо,
если
1.	фл с К, где /CczQyy — компактное множество,
2.	D\n 0 равномерно при х£К для |а| = 0, 1, 2, ... .
Пространство ЗУ (Q^y), сопряженное с пространством ^(Q^),
т. е. пространство &\3b(QN\ С1) линейных непрерывных функ-
ционалов с топологией равномерной сходимости» называется простран-
ством распределений Шварца, или пространством обобщенных функций.
Ввиду того что пространство 3b(QN} является борнологическим,
для того чтобы линейное отображение Т:	>В, где F — ло-
кально выпуклое пространство, было непрерывным, в частности для
того, чтобы Т £ЗУ (йуу), достаточно, чтобы >0 при Фл~>0.
2°. Пространство $(QN) является естественной областью при-
менения дифференциальных операторов с постоянными (или беско-
нечно дифференцируемыми) коэффициентами.
Элементами пространства. (В (Q^y) служат функции, бесконечно
дифференцируемые в области (с произвольными носителями);
базис окрестностей нуля образуют множества
и (Кп-, ш\ е) = ( ф С	sup | О“ф (х) | < е, | а|< т ].
I	х^кп	J
!) Множество в метрическом пространстве называется предкомпакт-
ным, если его пополнение (как метрического пространства) компактно.
Если объемлющее пространство пдлно, то понятие предкомпактного множества
совпадает с понятием относительно компактного множества (т. е. такого
множества, замыкание которого компактно). — Прим, ред.
§ 8. Примеры локально выпуклых пространств
79
где Кп — возрастающая последовательность предкемяактных подмно-
жеств множества £1^, исчерпывающих £1^. Топологическая структура
пространства $ (QN) проще, чем у пространства 35 (QN): пространство
$(Цу) является F-пространством, а <3?(Цу) — индуктивным пределом
F-пространств.
Ограниченные множества в пространстве имеют вид
{«K&CQjv): sup | £>“<р (х) | <Ст(К), |а|</»|.
Сопряженное пространство ^'(Qyy) состоит из обобщенных функ-
ций (распределений) с компактным носителем; носителем Т обобщен-
ной функции T£3}'(QN) называется дополнение максимального
открытого множества, на котором функция Т равна нулю. При этом
обобщенная функция Т равна нулю на множестве ос:£2^ если
Т (ф) —* (ф, Т) = 0 для каждой функции ф £ 35 (со), продолженной
нулем вне со. Очевидно, (QN) cz ЗУ (£lN)t ибо 35 (£1N) cz S (Цу)-
Например, носитель дельта-функции Дирака д0: (ф, 60) = ф (0)
состоит из одной точки нуль, ибо (ф, д0) = 0 для каждой функции ф,
носитель которой не содержит точки нуль.
В так называемой элементарной теории обобщенных функций
в пространствах основных функций 35 и S топологию не вводят
и определяют лишь понятие последовательностей, стремящихся к нулю,
а также понятие непрерывности линейного функционала с помощью
условия: яТ(фя)->0, если фя—>0“. Так как пространства основных
функций являются борнологическими (относительно пространства S
см. теорему 6 § 5), то эти определения вполне корректны и для
определенных целей достаточны. Очевидно, однако, что при более
глубоком исследовании строения пространств обобщенных функций
нужна надлежащая топология. Ряд затруднений в теории обобщенных
функций связан с тем, что эти топологии не метризуемы.
3°. Пространство — пространство быстро убы-
вающих функций. Для того чтобы можно было перенести на
обобщенные функции теорию преобразования Фурье* 1), вводят мно-
жество & cz С°° (En) бесконечно дифференцируемых на простран-
стве EN функций ф, для которых выражения хтОаф (х) =’xi*1 ... хя
X—z—	- z- ограничены для всех а и т, а = а, + ... + ая> 0,
... дхяЛ
|m| = mi+ ... +тл>0.
Топология в пространстве определяется посредством счетной
системы полунорм ра т (ф) —* sup (1 -|-1 х |! т *) • | £>аф (х) |.
	*	х£Е
1) И не только для этих целей. С другой стороны, преобразование Фурье
Ь1ожно строить и на более широком классе пространств. — Прим, реф
80	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
Следовательно, пространство — локально выпуклое метризуемое
пространство; кроме того, & полно, т. е. является ^-пространством.
Примерами элементов пространства являются:
а)	функции	б) e~elxl, с > 0.
Причина введения пространства & состоит в следующем. Пре-
образование Фурье
ф -> /чр (X) = ф (X) —’ J* <х, Мф ,
£дг
(х, X) — -X^Xj —. +хлгХлг
играет важную роль в теории дифференциальных операторов с-по-
стоянными коэффициентами, так как оно переводит дифференциро-
вание в умножение на независимую переменную. Поэтому действию
дифференциального оператора с постоянными коэффициентами после
преобразования Фурье соответствует умножение на многочлен. Целе-
сообразно ввести по возможности обширный класс /С» удовлетво-
ряющий следующим условиям:
а) /СсС°°(^),
Ь)	если	Р — произвольный многочлен, то Pf£K\
с)	К с L1 (EN).
Именно таким классом является пространство
Предлагаем читателю доказать следующее простое, но важное
предложение.
Теорема 1. Если фС^, то также ф£^.
4°. Пространство	Нт ind Нт (Кп). Здесь Нт (Кп) озна-
Кп
чает пополнение пространства Со° (/G) по норме . || ф ||т =
= I 2 /I I2 ’ множества Кп предкомпактны и Кп
\|а|<т кп	/
Очевидно, Q%?m(QN) z> 35m(QN)t где
5°.	(Q„) °==* lim ind	(Kn), Kn / QN.
Элементы пространства (35 m (Qv))' называются обобщенными
функциями порядка т. Очевидно,
— хи (^дг) == (e^m (М CZ 35 (Qyy).
Пространства и играют важную роль в современной
теории уравнений в частных производных и особенно в теории раз-
ложений по собственным функциям (ср. гл. XVII).
На этом мы заканчиваем краткий обзор теории локально выпуклых
пространств. К теории обобщенных функций мы вернемся еще в § 10.
§ 9. Общая теорема о замкнутом графике	81
§ 9. Общая теорема о замкнутом графике
Теорема Банаха о замкнутом графике играет исключительно важ-
ную роль в теории дифференциальных операторов. Введение в тео-
рию дифференциальных уравнений обобщенных функций вызвало
потребность в обобщении теоремы о графике на широкие классы
локально выпуклых пространств. Прежде чем излагать эту теорему
в общности, достаточной для приложений, мы докажем, что борно-
логические пространства являются индуктивными пределами норми-
рованных пространств, что даст возможность перенести классическую
теорему о графике на случай счетно-полных борнологических про-
странств.
Теорема 1. Г. Каждое борнологическое пространство Ф
является индуктивным пределом нормированных про-
странств Ф?.
2°. Если пространство Ф является счетно-полным, то Фр
являются банаховыми пространствами.
Доказательство. Обозначим через В совокупность всех
ограниченных, замкнутых и абсолютно выпуклых множеств р борно-
логического пространства Ф, топология которого определена с по-
мощью полунорм р},	Каждому множеству р£В поставим
в соответствие множество
Ф₽= и^Ф:<Р€₽} .	(9.1)
/>0
Очевидно, Фр — линейное подмножество пространства Ф. При
ср^Фр положим
||ф||₽ — Inf {р>О:ррЭ<р}.	(9.2)
Докажем, что функция ф-> || <р ||р является нормой в Фр. Пусть
||ф||р = 0; в соответствии с равенством (9.2) существует такая по-
следовательность (ря), 0<р„->0, что фСРяР- Следовательно,
рх(ф) <CPnsuP Так как в силу ограниченности множества р
верхняя грань здесь конечна и рл—>0, то /\(ф) = 0 для всех Х£Л,
т. е. ф = 0.
Итак, мы доказали следующее предложение:
Если ф£Фр и || ф ||р = 0 для некоторого PC В, то ф = 0. (9.3)
Однородность и выпуклость функции || • [|р вытекают из абсо-
лютной выпуклости множества р. При а = 0 однородность три-
виальна, поэтому предположим, что | а | > 0. Имеем
|| а<р ||р = inf (р > 0 : рр Э aq>) = inf { р > 0 : yjy р Э <р | =5
= |а|1пГ{р>0:ррЭф} = |л|.||ф||?,
С) К. Морев
t
82
Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
||ЛФ11₽ = 1®1-Цф||р для всех а€С1> фСф₽- (9.4)
В силу замкнутости множества р для произвольных <pr <р2^Фр
НфЛр РЭфь z=l. 2.
а поэтому
Ф1 + Фг 6 IIФ1 lip ₽ + II Фг 1|р ₽ •
Из абсолютной выпуклости множества р вытекает, что
IIФ1 Н₽ Р + II Фг И? 0 с (IIФ1II? + II Ф211₽) ₽ •
откуда
Ф1 + Ф2 € ( II Ф1 lip + II Ф2 ||р) ₽ *
Следовательно,
IIФ1 + Ф2 Ир = inf {р > 0 : рр Э Ф1 + ф2} < || Ф11|3 +1| ф21|3.
Это соотношение вместе с соотношениями (9.3) и (9.4) показывает,
что функция || • ||р является нормой.
Предположим, что пространство Ф является счетно-полным, и
пусть <рд, Фя1£Фр. Тогда
ФЛ— ФшСНФл— ФлгНрР*	(9-5)
Предположим далее, что ||Фя— ФтНр-^О» я, /я—>оо. Тогда
— Фт)<||фл-Фт|ИР/\(ф)-*°*	(9.6)
для всех Х£Л. Так как пространство Ф является счетно-полным,
то из соотношения (9.6) вытекает существование такого элемента
Фо£Ф, что рк(ц>п — Фо)->О при п—>оо для всех Полагая/? =
= sup]|Trt|L имеем Фя£/?р при п=1, 2...........Поскольку 7?р—
п
замкнутое множество (напомним, что множество р замкнуто), то
ф0€Лр<=Фр. Остается доказать, что ||Фя— Фо Ир-* 0, п —>оо. В силу
соотношения (9.5) для каждого е > 0 существует такое /V, что
Фл—Фт€е₽ при т, n>N. Переходя здесь к пределу при т—>оо
и учитывая замкнутость множества ер, получаем включение Фя”Фо€еР
при n>N. Отсюда Нт||Фл — Фо|Ь = О, что доказывает полноту
п	р
пространства Фр.
До настоящего момента мы не пользовались тем, что Ф — борно-
логическое пространство. Заметим, что пространства Фр, р £ В, ис-
черпывают пространство Ф. Обозначим через т0 исходную топологию
борнологического пространства ф, а через т — топологии? индукти§-
§ 9. Общая теорема о замкнутом графике	83
ного предела топологий1) пространств Фр = ФДТр), р£В. Тре-
буется доказать, что т0 = т. Пусть U — абсолютно выпуклая окрест-
ность нуля в пространстве Ф(т): U £х. Пусть D — произвольное
ограниченное множество в Ф(т0). Положим
₽ —' {ф€Ф : Рх(фХ suppx(x), А.£Л|.
Ввиду того что множество D ограничено (в топологии т0), мно-
жество р (в топологии т0) ограничено, абсолютно выпукло и замк-
нуто, так что Р£В и Dcp. Так как множество t/p = U П Фр
является окрестностью нуля в пространстве Фр, то существует такое
число t > 0, что ф с: £/р2), а поэтому tDaU-cU.
Таким образом, множество U является окрестностью нуля в про-
странстве Ф(т0), ибо оно поглощает каждое ограниченное множество
в пространстве Ф(т0), которое по условию борнологично. Итак, мы
доказали, что т с: т0. Для того чтобы доказать включение т0 с: т,
рассмотрим произвольную абсолютно выпуклую окрестность нуля
£/0 € то- ДЛЯ каждого множества р £ В существует такое число р > О,
что рр с £70, а поэтому множество UQ П Фр является окрестностью
нуля в пространстве Фр, р£В. Следовательно, множество Uq является
окрестностью нуля в топологии т, т. е. т0 cz т, что и требовалось
доказать.
Применяя теорему 1, а также теорему о замкнутом графике для
банаховых пространств (отметим, что в § 2 теорема о замкнутом
графике была доказана для любых полных метризуемых л. т. п.),
без труда докажем общую теорему о замкнутом графике.
Общая теорема о замкнутом графике. Пусть Ф —
борнологическое счетно-полное пространство, a F— счетный
индуктивный предел пространств Фреше Fn*. F==limind/:’/l.
п
Если линейное отображение А\Ф->Р замкнуто (т. е. имеет
замкнутый график), то оно непрерывно*. Л£^(Ф, F).
Доказательство. Как мы только что доказали, пространствоФ
можно рассматривать как индуктивный предел банаховых прост-
ранств: Ф = lira ind Фр, Фр — банаховы пространства. В силу тео-
₽
ремы 2 § 7 достаточно доказать, что сужение Лр отображения А
на пространство Фр непрерывно при р £ В. Ввиду того что преобра-
’) Здесь Тр — топология в Фр, порожденная нормой ]| - ||р. — Прим. ред.
2) Так как || ф ||р < 1 при ф£0 и Ф^ПфЦрР (ПРИ ф£Фр)» то Р — замк-
нутый единичный шар в Фр и потому поглощается окрестностью нуля в Фр. —
Прим. ред.
6*
84	Гл. IИ. Локально выпуклые векторные пространства
зование Л отображает индуктивный предел limindO^ в индуктивный
предел lim ind Fn = F, имеем Д’1^) =	р£В.
п	/1=1
В силу теоремы Бэра (см. § 1) для некоторого k множество
= Л”1 (F*) П Ф₽ должно быть второй категории в Фр. Так как
вложение I: Фр X F*->O X F непрерывно, а график О(Л) =
= {(ф, Лф): ф £ Ф} замкнут в пространстве Ф X F, множество
/-1(О(Л)) является замкнутым в пространстве ФpXFa. Но
Г‘(О(Л)) = К<р, Дф):ф€Рй₽}.
а поэтому преобразование А отображает множество второй кате-
гории, содержащееся в пространстве Фр, в пространство Фреше Рк
и имеет замкнутый график. Следовательно, это отображение непре-
рывно преобразует все пространство Фр в пространство Fk* Пусть
V — окрестность в F, и пусть Vk с: Fk — такая окрестность нуля,
что Vk с: V. Из непрерывности отображения Л: Фр—>F* вытекает,
что существует такая окрестность нуля £7рсФр, что Л (L/p)cVr*c:V’,
т. е. отображение Л : ®p->F непрерывно, что и требовалось доказать.
Из теоремы о графике непосредственно вытекает полезное след-
ствие, которое позволяет делать заключение о непрерывности ото-
бражения Л:Ф—>F, если известно, что Л, рассматриваемое как
отображение в более широкое пространство F о F, является непре-
рывным, причем известно также, что F = F(r) индуцирует в про-
странстве F —F(r) топологию более слабую, чем т.
Следствие 1. Пусть Ф « F — пространства, для которых
имеет место теорема о графике, и пусть F(r)z> F(t), причем
топология, индуцированная топологией х в пространстве F,
слабее топологии т, т. е. TfiFczT. Если линейное отображе-
ние А : ®->F(t) непрерывно и А (Ф) с F, то непрерывно также
отображение ®->F(t).
Доказательство. Достаточно проверить, что отображение
Л:Ф->F(т) является замкнутым. Пусть (фа)— произвольная обоб-
щенная последовательность, такая, что фа—>0 и Лфа-> f в F(t).
Из непрерывности отображения Л : Ф-^F вытекает, что Лфа->0 в F.
Следовательно, / = 0, что и требовалось доказать.
Следствие 2. Пусть в линейном пространстве Ф заданы
две топологии — и т2, и пусть для пары (Ф^), Ф(т2)),
а также для пары (Ф(т2), ФС^)) имеет место теорема о гра-
фике (например, эти пространства являются метризуемыми и пол-
§ 10. Тензорное произведение. Теорема о ядрах	85
ными л. т. пространствами или^^*-пространствами, т. е. счетными
индуктивными пределами пространств Фреше). Тогда если топо-
логии Tq и т2 сравнимы или хотя бы согласованы, то они
эквивалентны J).
Доказательство. Пусть, например, топологии и т2 согла-
сованы. Рассмотрим тождественное отображение
/^Ф^-^Ф^).
Это отображение является, очевидно, линейным и замкнутым, а по-
этому непрерывным, т. е. т2 с: Аналогично доказывается противо-
положное включение; таким образом, хг = т;2.
§ 10. Тензорное произведение* Теорема о ядрах
Понятие тензорного произведения векторных пространств Е и F
(в конечномерном случае) было введено Грассманом. Для произволь-
ных векторных пространств соответствующие определения были даны
Бурбаки. В этой общей форме понятие тензорного произведения
приобрело фундаментальное значение для современной алгебры и
анализа. Для того чтобы облегчить читателю понимание, мы при-
ведем два эквивалентных определения.
Определение 1. Пусть (е^ — базис Хамеля (см. § 2 гл. II)
векторного пространства Е, a (fk)— базис Хамеля векторного про-
странства F. Тензорным произведением E®F пространств Е
и F называется векторное пространство, базис которого образуют
пары (eit fk). Каждой паре векторов х =
мы ставим в соответствие вектор x®y£E®F, х®у — S fcV («/./*).
называемый тензорным произведением векторов х и у. Эле-
менты (eit fk) базиса обозначаются символами ® /А.
Очевидно, если пространства Е, F имеют конечную размерность,
то dim Е ® F = dim Е • dim F. Имеют место соотношения
х ® (у 1 + у2) = х ® У1 + х ® У2»
(х1 + х2)®у = х1®у + х2®у,
(%х) ® у = X (х ® у).
Бурбаки приводит также эквивалентное определение тензорного
произведения, не использующее понятие базиса.
]) Топологии ть т2 называются сравнимыми, если одна из них сильнее
другой; они называются согласованными, если для любой обобщенной по-
следовательности (ха) из ха — * х, ха —х' вытекает, что х « х'. Сравни-
мые топологии являются согласованными. — Прим. ред.
86	Гл. Ш. Локально выпуклые векторные пространства
Определение 2. Обозначим символом F векторное про-
странство, элементами которого являются формальные линейные ком-
бинации вида
^аху{х, у), х£Е, y£F
(причем только конечное число коэффициентов аху£С1 не равно
нулю). Линейные операции определим обычным образом. Обозначим
через N подпространство пространства £l IF. натянутое на век-
торы вида
(х, У1 + У2) — (х, уО — (х, у2), (Xj + х2. у) — (хр у) — (х2, у),
(Хх, у) — Х(х, у), (х, 1у) — 1(х, у).
Тензорное произведение E®F определим как факторпро-
странство
E®F°— (EtjF)/N.
Пусть ф обозначает сужение канонического отображения О
ф : E[ZJF->E ® F на декартово произведение EXF. Элемент ср ((х, у))
обозначается через х ® у. При этом декартово произведение £ X F
вкладываем в пространство El IF. отождествляя пару (х, y)£EXF
с линейной комбинацией 1 • (х, y)^EQF.
Значение тензорного произведения для анализа состоит, в част-
ности, в том, что оно позволяет заменить билинейное отображение
b : Е% F->W (IT — векторное пространство)
линейным отображением
1-.E&F-+W,
а именно имеет место следующее простое утверждение.
Теорема 1. Существует такое билинейное отображение
(р: EX F-+E® Ft что для произвольного векторного про-
странства W и произвольного билинейного отображения
b:E)(F-+\V найдется такое линейное отображение
I: Е® F-+W, что b — loq>.
Описанная ситуация изображается следующей диаграммой:
EXF-+E®F
О Под каноническим отображением здесь подразумевается отображение,
сопоставляющее каждому элементу содержащий его класс эквивалентности. —
Прим, перев.
§ 10. Тензорное произведение. Теорема о ядрах	87
Доказательство вытекает непосредственно из определения
тензорного произведения. Билинейное отображение b расширяется
очевидным способом до линейного отображения Ь* ЕЩЕ-+W,
а именно
b (2 аХу у)) = 5 ахуЬ (<х, у)).
Из этого определения видно, что отображение b равно нулю на
подпространстве TV: b(ri) = Q, если Таким образом, отображе-
ние b индуцирует линейное отображение I множества классов
El \F!N в пространство W. В качестве отображения ф, можно, оче-
видно, взять сужение канонического отображения ф на декартово
произведение Е X Р*
Примеры тензорных произведений
1°. Пусть S(Kj)— векторное пространство ступенчатых функций,
заданных на множестве Ку 1—\, 2. Тензорное произведение
S (/Ci) ® S (/С2) изоморфно пространству „вырожденных" ступенчатых
функций, заданных на декартовом произведении К\ X т. е. функ-
N
ций вида 2ц,(х)Ш где
/1=1
2. Пусть Ну Н2— унитарные пространства со скалярными про-
изведениями (•, •);, /=1, 2. Тензорное произведение НХ®Н2
можно снабдить структурой унитарного пространства, полагая
(«1 ® и2>	® v2) = (uv • (и2. v2)2.
ult vt£Hy I — 1, 2.
Определение. Если Hl— гильбертовы пространства, то
НХ®Н2 обозначает пополнение только что рассмотренного унитар-
ного пространства.
Пример. Пусть Ht = I?(цД /=1, 2. Тогда £2(ц1)®£2(ц2) =
= £2 (Qj X Й2, Hi ® Н2)» где Hi ® Иг — произведение мер р2 (ср.
упражнение 10 гл. I).
После этого введения переходим к теореме о ядрах.
Начиная с Дирака, физики ввели в обиход представление линей-
ных операторов, например дифференциальных операторов, в инте^
тральной форме. Понятно, что такое представление дифференциаль?
ных операторов было „математическим абсурдом", ибо уже в про-
стейшем случае б0-распределения Дирака не существует такой
классической функции б, что
ф(*) = /Чх, У)ф(уИу
ддя всех y£Co\EN).
88	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
Однако в 1950 г. Лорану Шварцу удалось в некотором смысле
обосновать предположение Дирака: на математическом съезде в Гар-
варде Шварц высказал следующее предложение.
Теорема о ядрах (первая формулировка). Каждое
линейное непрерывное отоб ражение А : 35(йж) можно
представить в интегральной форме', точнее, существует такая
обобщенная функция В, заданная на множестве
B£35r(Q>N X Ци)» чпго
(ф, Лф) = (ф®ф, В)
для всех фС«®(£2дг) и ф^^й^).
Более удобно доказать эту теорему в эквивалентной форме.
Теорема о ядрах (вторая формулировка). Пусть
В — раздельно непрерывная (т. е. непрерывная по каждому аргу-
менту в отдельности) билинейная форма, заданная на про-
странстве 35 (&N) X 3) (Qjf). Существует единственное ядро
В £35'(QArX^AI), такое, что
В(ф, ф) = (Ф®ф, В)	(10.1)
для всех q>£35(QN),	г&е
(<р ® ф) (х, у) = ф (х) ф (у).
х € ®n> у 6 Ом*
Доказательство своей теоремы Шварц опубликовал только через
несколько лет. При этом он опирался на глубокие результаты
А. Гротендика относительно ядерных пространств. Первое элемен-
тарное доказательство было найдено Л. Эренпрайсом в 1956 г.1).
Излагаемое ниже доказательство еще проще и принадлежит
С. Лоясевичу.
Предварительно докажем следующее предложение.
!) Часто бывает полезным следующее утверждение, по существу явля-
ющееся основной частью теоремы о ядре: всякая непрерывная билинейная
форма В (<р, ф) переменных ф £ L2 (2^), ф £ £2 представима в виде
В (Ф, Ф) = J J К (х, у) (Лжф) (у) (О^) (х) dx dy
QMaN
frecsw. 'кс0оо(йж))>
dN
где DN, например, равно-^j--сй~’ & К£С (ЙЛГХ2Л1) (Ю. М. Березанский
[1]); утверждение допускает абстрактную формулировку. — Прим. ред.
§ 10. Тензорное произведение. Теорема о ядрах	89
Лемма 1. Пусть Р и Q — интервалы в пространствах
EN и Ем (или, общее, — компактные множества). Каждой
билинейной форме В(* , • ), определенной и непрерывной на
пространстве L* 1 (Р)У^ L1 (Q), можно (однозначно) поставить
в соответствие такой линейный функционал В, заданный на
пространстве D(Py(Q)y что
В(/.
gem®-	1 '
Доказательство. Непрерывность формы В(*9 •) эквива-
лентна (см. § 4) существованию такой постоянной М > 0, что
Р(/, £)|<М-||/||-1И|.
11/11 = f l/(W*. Ш= f k(y)|rfy. (10,3)
P	Q
Пусть S(K) — линейное пространство ступенчатых1) функций, за-
данных на множестве К- Как известно, множество 5 (Р) X *5 (Q)
плотно в пространстве L1 (Р) X Ll (Q). Рассмотрим сужение формы
В (• , •) на пространство S (Р) X 5 (Q). В соответствии с опреде-
лением тензорного произведения векторных пространств, на про-
странстве S(P)®S(Q) существует такой линейный функционал /,
что
B(f. g) = l(f®g) при fGS(P). g£S(Q).
Докажем, что функционал /(•) ограничен на S(P)®S(Q) (отно-
сительно нормы в пространстве Ll (Р X Q) )•
Легко видеть, что каждую функцию h£S (Р) ® S (Q) можно
представить в виде конечной суммы
Л (х. у) = 2 alkot (х) xk (у),	(10.4)
где 0/(х)тДу) — характеристическая функция множества Rtk —
= PiXQk^PXQ. причем Pi<=.P, Qk<=Q, и ПRi'k' = 0.
9 Напомним, что ступенчатой функцией на множестве К называется
функция вида f (х) =	(х), где — характеристическая функция изме-
римого множества /С/,	= и	0 при i Ф J, a q^C1. Напом-
I
ним далее, что каждому линейному непрерывному функционалу I, заданному
на пространстве L1 (К), однозначно соответствует такая существенно огра-
ниченная на К функция В (.), что I (ф) = J* ф (х) В (х) dx> ф £ L1 (К). — Прим.
К
перев.
90	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
если I I' или k + kf. Заметим, что для таких функций | h (х, у) | —
= 21 a it I °i (*) Ч (У). поэтому
U (А) I=IS atkB ь) I < 51 atk I •м • II ъ II • II ч II ==
= Л1 J(x)xft(y)dxdy =
— М J J* | Л (х, у) | dx dy = М • || h ||.
Поскольку функции вида (10.4) плотны в пространстве ^(PXQ).
функционал I можно продолжить с S(P)®S (Q) до непрерывного
линейного функционала I на всем пространстве L1 (Р X Q). Функцио-
нал I и представляет собой искомое ядро В.
Доказательство теоремы о ядрах. Пусть Р с: QNt
QaQM — компактные множества. Как известно (см. § 5), в про-
странстве 35 (Р) бесконечно дифференцируемых функций с носи-
телями, содержащимися в множестве Р, последовательность по-
лунорм
• Цф|1р = /|^Ф(х)Их	(10.5)
р
определяет топологию, эквивалентную топологии Шварца.
Ввиду того что 35 (Р) является пространством Фреше, из тео-
ремы Мазура — Орлича вытекает, что каждый билинейный функцио-
нал, раздельно непрерывный на пространстве 35 (Р)5^31 (Q), просто
непрерывен. Следовательно, существуют такие числа М, р и qt что
|В(Ф, ф)| <М||Ф||р||ф||,, Фб^(^).	(Ю.6)
Пусть теперь Ро— замкнутое множество, лежащее строго внутриР,
a Qo — замкнутое множество, лежащее строго внутри Q, и пусть
а£С“(Р). а(х)==1 при х£Р0,	р(у)=1 при y£Q0.
Положим
/ хр	Уч \
Во (Ф. Ф) = В (х) f <р (£) d£, р (у) f ф (г)) di\),	(10.7)
хр
причем J* ф (£)</£ обозначает р-ю первообразную функции ф:
хр
DPx f ФШ^ = Ф(х).
Очевидно, форма Во является раздельно непрерывной по норме L1
[см. соотношения (10.5) — (10.7)], а поэтому (после расширения на
все пространство L1) удовлетворяет условиям леммы. Таким образом,
существует линейный функционал Во, непрерывный на простран-
§ 11. Отображения, допускающие замыкание	91
стве L1 (Р X Q), а поэтому представляющий собой обобщенную функ-
цию внутри множества Р X Q» для которого
50(<р> Ф) = <ф(-)®Ф(-). во)-
Полагая
B = {—\ipMq}DpxDqvBQ
при ф6^(Р0)> Ф€(Qo)> имеем
(ф ® ф, Во) == (Орф ® Dq^t BQ) =
= В0(/)рф, Dqty) — B(aq), рф) = В(ф, ф).
Итак, для каждой пары замкнутых множеств Ро, Qo, РосР, Qoc:Q,
теорема о ядрах доказана, ибо единственность ядра В очевидна.
Однако из теоремы (Шварца) о „склеивании" (ср. упражнения) вы-
текает, что существует (единственная) обобщенная функция, задан-
ная на всем множестве Йд, X &м* которая на (каждом) подмно-
жестве Ро X Qo совпадает с данной (только что построенной)
обобщенной функцией. Остается лишь проверить, что так построен-
ная обобщенная функция является ядром (формы В) на множестве
QjvXQm» т- е- что выполняется тождество (10.1):
<ф ® ф, В) = В (ф, 4>). ф £ 35 (Qn), ф £ 35 (Q^).
С этой целью рассмотрим такое конечное покрытие носителей функ-
ций ф и ф соответственно th* IK, что	и
i J
такие функции al£3^(P(), $j£35(Qj), что 2а;(х)==1 ПРИ х€ф
(ф — обозначение носителя функции ф) и 2Р;(у)=1 при у£ф.
Тогда
<Ф®ф) = <2а/ф®2РЛ в) =
— 2 (а/РО/Ь B)=S5(<MP. ₽;Ф) = 5(ф. Ф).
ибо предпоследнее равенство для „частей" обобщенной функции на
PiXQj уже доказано.
§ 11. Отображения, допускающие замыкание.
Индексы оператора
На практике часто встречаются операторы, которые заданы не
на всем пространстве, а только на его плотном подмножестве. На-
пример, дифференциальное выражение
а(х, D)= 5 «а(х)О“	(11.1)
|а|<г
определено на множестве D(A) дифференцируемых функций, содер-
жащем множество С^° (йдг), так что множество D(A) плотно в про-
странстве £2 (Йдг).
92	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
В последней главе мы рассмотрим общую теорию дифференциаль-
ных операторов, а теперь изложим лишь несколько простейших
определений и понятий, относящихся к линейным преобразованиям
в банаховых пространствах.
Пусть Н2— банаховы пространства, и пусть
Я1=эО(Л)Э«->4л€Я2	(11-2)
— линейное отображение, заданное на подмножестве О(Л), плотном
в пространстве Нх.
Определение. Будем говорить, что отображение А (11.2)
допускает замыкание, если замыкание О (Л) графика
О(Л) = {(я, Au)*.u£D(A)}
является также графиком, т. е. не содержит пар вида (0, где
v Ф 0. Отображение, графиком которого служит множество О (Л),
замкнуто и называется замыканием отображения Л; оно обозна-
чается символом Л; О(Л) = О(Л).
Лемма. Отображение А допускает замыкание тогда и
только тогда, когда из соотношений ип-+0, Aun->v выте-
кает, что т/ —0.
Доказательство очевидно.
Пример. Пусть Нх = Н2 = L2($N). Оператор Л, соответ-
ствующий дифференциальному выражению (11.1) и заданный на мно-
жестве © (Л) тех функций и из Со° (£2^), для которых а (•, D) и =
= Л и £ L? (Qyy), допускает замыкание. Действительно, пусть ип -> 0
и Aun->v, Тогда для произвольной функции фС^о°(^)
(у, <р) = Ит(Лял, ф) = Ит(ия, Л+ф) = 0,
где
Л+ф 2(_ 1)'°’Э“(аа(х)ф(х)).
а
Так как множество (QN) плотно в пространстве L2(QN), то
•0 = 0, что и требовалось доказать.
Пусть А — замкнутое отображение. Тогда многообразие D(A)
с нормой ||«||л = || и Hj -|-1| Аи ||2 является банаховым пространством.
Относительно этой нормы отображение А непрерывно:
|М«||2<||«||Л.
Если Нг и Н2 — гильбертовы пространства, то на множестве D (А)
определяют скалярное произведение
(«V u2)A = (uv ufo + lAui, Аи2\.
§ 11. Отображения, допускающие замыкание	93
С этим скалярным произведением множество D (Л) является в силу
замкнутости отображения А гильбертовым пространством. Введение
Л-нормы позволяет получить ряд интересных теорем. Здесь мы
ограничимся лишь теоремой, которая служит исходным пунктом
теории Хёрмандера (см. гл. XXII).
Теорема 1. Пусть Bh Z —О, 1, 2 — банаховы простран-
ства, a Ak, k = \, 2—отображения, заданные в пространстве Bq
и принимающие значения в пространстве Bk, Если отобра-
жение Ах замкнуто, а отображение Л2 допускает замыкание
и D{A^czD(A^t то существует такая постоянная С>0, что
для u£D(A^
II II < С(Н«Но+IIV 111)=с II«||Л1.	(11.3)
Оператор Л2, удовлетворяющий неравенству вида (11.3), называется
Ах-ограниченным.
Доказательство. Докажем, что отображение Л2:О(Л1)->В2
(индуцированное отображением Л2), рассматриваемое как отображение
банахова пространства ^(Л^ с нормой || • ||л , замкнуто. Отсюда
в силу теоремы о замкнутом графике будет следовать неравенство (11.3).
Итак, пусть ||«л||Л1 = ||ил|1о + 1М1ия111->о и	Тогда
ип -> 0, а так как оператор Л2 допускает замыкание, то v = 0. Таким
образом, отображение А2 замкнуто, ибо оно допускает замыкание
и задано на всем пространстве. Теорема доказана.
Индексами дефекта отображения Л, заданного в пространстве Вх
и принимающего значения в пространстве В2, называются числа
а (Л) °= dim Л"1 (0),
Р (Л) = dim (В2/ДО(Л)) = dim (B^R^A)).
Индексом оператора Л называется число
х (Л) =’ 0 (Л) — а (Л),
причем предполагается, что а (Л), 0(Л)<оо. Если а(Л) = 0, то
отображение Л обратимо*, существует обратное отображение
Л”1:(Л)~>О(Л), такое, что Л"1 Аи = и при u£D(A) и AA~'v — v
при я£/?(Л).
Отображение Л называется нормально разрешимым, если
множество значений 7? (Л) отображения Л замкнуто.
Из теоремы о графике непосредственно вытекает следующее
утверждение.
Теорема 2. Если отображение А замкнуто и дефектное
число а(Л) = 0, то для того, чтобы оператор А был нор-
мально разрешим, необходимо и достаточно, чтобы опера-
тор Л”1 был ограничен,
94	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
Доказательство. Докажем сначала необходимость условия.
Поскольку множество R(A) замкнуто, а из замкнутости оператора Л
и условия а(Л) = 0 вытекает замкнутость оператора А 1г), то опе-
ратор А1 ограничен (на основании теоремы о графике).
Для того чтобы доказать достаточность условия, заметим, что из
соотношения R (А) Э vn v и ограниченности оператора Л”1 вытекает,
что последовательность (ил) = (Д"1^л) сходится в пространстве Вх
к некоторому элементу u£Bv Но так как отображение А замкнуто
и vn = Aun->v, то Au — v, а следовательно,	что и тре-
бовалось доказать.
Индекс операторов вида / -\-К, где К — вполне непрерывный
оператор, мы будем изучать в гл. VII.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1.	Доказать, что теорему Бэра можно высказать в следую-
щих трех эквивалентных формах:
а)	в полном метрическом пространстве X дополнение X — М
множества первой категории М плотно в пространстве X;
б)	каждое открытое подмножество полного метрического про-
странства X является множеством второй категории в X',
в)	пусть X — полное метрическое пространство, а Оп — откры-
тое плотное в X множество, п=1, 2, ... . Тогда множество QQn
п
плотно в пространстве X.
2.	Доказать, что теорема Бэра имеет место для локально
компактного пространства X. Приведем здесь одну из пяти экви-
валентных формулировок, остальные читатель выскажет сам.
со
Пусть X — локально компактное пространство, и пусть X = |J
__	__ Z = 1
Тогда по крайней мере одно из множеств (7I4Z— замыкание мно-
жества A4Z) содержит открытое множество.
3.	Доказать следующую теорему Банаха: пусть Е и F—
векторные топологические пространства, причем Е—полное
метрическое пространство*, для того чтобы множество Л
линейных непрерывных отображеней A\E->F было равно-
степенно непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы для
каждого элемента е£Е множество	{Ае*. А £<Л\ было
ограниченным в пространстве F.
’) Действительно, пусть R(A)^vn->0, A~xvn = ип->и. Тогда Аип =
= ил->0, а так как оператор Л замкнут, то и£Ъ(А)	Однако
а(А)=-0, а поэтому w==0 и, таким образом, оператор А”1 замкнут.
Упражнения и дополнения
95
Затруднения вызывает только доказательство достаточности.
Дадим следующее указание. Пусть U — замкнутая симметричная
окрестность нуля в пространстве F. Заметим, что множество
Л1 °= Q д"1 fl. М является замкнутым и поглощающим. Следова-
тельно, Е = Применяя теорему Бэра, заключаем, что мно-
п
жество М содержит некоторый шар, а поэтому множество М — М
содержит некоторую окрестность нуля VaE. Таким образом, для
каждого отображения А £ <Л
A (V)c А (М — /И) а 1 U — 1 UcU,
что и требовалось доказать.
4.	Множество линейных отображений А : Е -> F метрического
линейного пространства Е в векторное топологическое пространство F
является равностепенно непрерывным в точке е$£Е, если из
того, что Е Э еп *о» вытекает сходимость Аеп —> AeQ, равномерная
относительно А £ Л.
5.	Опираясь на упражнения 3 и 4, доказать следующее обобще-
ние теоремы Мазура и Орлича.
Теорема (Бурбаки). Пусть Ev Е2— полные метрические
векторные пространства, a F — векторное топологическое
пространство. Тогда
а)	каждое раздельно непрерывное билинейное отображе-
ние В\ЕхУЕ2-> F является непрерывным отоб ражением*,
б)	множество билинейных раздельно непрерывных ото-
бражений В:Е1УЕ2-^ F является равностепенно непрерыв-
ным, если для каждой точки (х, у)£ЕхуЕ2 множество
$(х, у)='[В(х, у)хВ£&} ограничено в пространстве F.
Очевидно, достаточно доказать б).
6.	Непрерывные отображения. Пусть Е и Р— вектор-
ные локально выпуклые пространства, топология которых опреде-
ляется системами полунорм и соответственно, и пусть
Т ; Е —> F — линейное отображение. Имеет место следующее простое
утверждение.
Теорема. Следующие три условия эквивалентных
Г отображение Т непрерывно*,
2° отображение Т непрерывно в нуле*,
З3 для каждой полунормы л пространства F существуют
такие полунормы рх.....рп пространства Е и такая постоян-
ная С, что
л(Те)<С(Р1^)+...+рп(е))
для всех е£Е.
96
Гл. 1П. Локально выпуклые векторные пространства
Доказательство проведем по следующей схеме:
Так как эквивалентность Г 2° очевидна, то докажем, что из
условия 2° вытекает условие 3°. Пусть V = {/ £ F: л (/) < 1} —
окрестность нуля в F, определяемая полунормой л. Из непрерыв-
ности отображения Т в нуле вытекает существование такого числа
е > 0 и полунорм pit .... рп, что
n(Tg)<l, если p(g) = pi(g)	(g)< 8	(1)
(вспомните определение окрестности нуля в топологии, заданной
полунормами (ра))- Предположим сначала, что р(е)>0. Пусть
О < < е; положим С = ef1. Тогда р	< е, и потому
в силу (1) л (т (< 1. откуда л (7>) < еГ 'р (е) = Ср (е). Это
неравенство выполняется и при р(е) = 0. Действительно, в этом
случае р (ае) = 0 для всех а £ С1 и, значит, | а | л (Те) = л (Т (ае)) < 1;
так как а произвольно, то я(Те) = 0 = Ср(е).
Докажем теперь, что из условия 3° вытекает условие 2°. Пусть
окрестность нуля V в пространстве Р задается посредством полу-
норм лх....лл и числа е > 0:
«=1......к].
Пусть Л(.) = Л1(-)4~-••+«*(•). и пусть С и Pl...... ра —
положительное число и полунормы, о которых речь идет в усло-
вии (3). Пусть
иа=Ле€Е'Р1(е)+-'-+Рп(е) = Р(е)<а}.
Тогда в силу условия 3° для всех элементов e£Ua имеем
л (Те) < Ср (е) ^Са < е
при а<Сл1С. Таким образом, T(U&j(^czV, что и требовалось до-
казать.
Следствие 1. Если EnF — нормированные пространства,
то непрерывность линейного отображения T\E->F экви-
валентна существованию такой постоянной С > 0, что
II Те II/? С IIе Ilf &ля всех е£Е.
Следствие 2» Пусть Е — локально выпуклое пространство,
a F = CX, так что отображёние T:E->F является линейным
функционалом. Необходимым и достаточным условием не-
прерывности функционала Т является существование такой
постоянной С> 0 и такой полунормы р= Pi4- ... + рп, что
|Те| = |<е.Т>|<Ср(е), е£Е.	(2)
Упражнения и дополнения
97
Заметим, что изложенное в гл. 11 доказательство теоремы Хана —
Банаха годится для произвольных локально выпуклых пространств
именно благодаря неравенству (2).
Теорема (Хана — Банаха). Пусть EQ— линейное подмно-
жество локально выпуклого пространства Е. и пусть I — ли-
нейный непрерывный функционал, заданный на подмножестве Е^\
это означает, что существует такая (непрерывная) полу-
норма р. заданная на пространстве Е. что
U (*о) I Р (*о) для всех е^ЕосЕ.
Тогда существует такой линейный функционал I. заданный
на всем пространстве Е. который является продолжением
функционала I. IzdI (т. е. l(eQ) = l(eQ) для всех eQ£EQ) и для
которого неравенство	выполняется для всех
е£Е.
Из следствия 2 вытекает, что функционал / непрерывен: 1£Е*.
Из этой теоремы Хана — Банаха вытекают следствия, аналогичные
тем, которые были получены в случае нормированных пространств.
Следствие 1. Для каждого ненулевого вектора eQ£E
существует такой линейный непрерывный функционал е*. что
(е0, е*)=/= 0 и даже (г0, e*}=d. где d — наперед заданное
число.
Доказательство. Пусть — отделяющая система полу-
норм, определяющая топологию в пространстве Е. Существует такая
полунорма /?С(ра)» что р(^0) Ф 0. На подпространстве Ео = [£01 =
= [ае0£Е: а^С1} зададим линейный функционал I. полагая
/(ае0)°— ар(е0).
Имеем
11	| = | а | р (е0) < р (ае0),
и по теореме Хана — Банаха существует продолжение #*:□/, удов-
летворяющее неравенству е*) | р (е). что и требовалось до-
казать.
Читатель без труда докажет следующее предложение.
Следствие 2. Для того чтобы подмножество Z локально
выпуклого пространства Е порождало все пространство Е
(т. е. чтобы множество всех конечных линейных комбинаций вида 2 azz*
где а^С1, z£Z и az #= 0 только для конечного числа элементов z,
было плотным в пространстве Е), необходимо и достаточно,
чтобы каждый линейный непрерывный функционал а*, равный
нулю на множестве Z. был равен нулю тождественно:
е* = 0 £ Е*.
7 К. Морен
98	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
Указание. Если функционал е* равен нулю на множестве 2$
то, будучи линейным и непрерывным, он равен нулю на замкнутой
линейной оболочке [Z] этого множества, откуда вытекает необхо-
димость условия. Его достаточность можно доказать сведением к про-
тиворечию: если [Z]	то существует элемент е0 (£ [Z], а поэтому
существует функционал е*£Е*, для которого (как при доказа-
тельстве следствия 1)
W ) = Р (^о) > 1	0
и который равен нулю на множестве Z, а поэтому также на замкну-
той линейной оболочке [Z] множества Z; действительно, пусть
I (z + аг0) °— а,	а^С1,
причем
Р(«)|<Р(«) при u£[Z\@[eQ\.
Функционал е*£Е* является продолжением функционала /, удовле-
творяющим неравенству
|<*.	е^Е.
Рефлексивность линейного локально выпуклого
пространства. Пусть Е(у)— линейное локально выпуклое про-
странство. Наделим сопряженное пространство Е* = .2?(Е, С1) силь-
ной топологией, т. е. топологией т* равномерной сходимости на (всех)
ограниченных множествах. Соответствующее топологическое про-
странство обозначим через Е* (т*). Исходное пространство Е (т) назы-
вается (в терминологии Бурбаки) полу рефлексивным, если1)
(£*(т*))* = £.
Полурефлексивное пространство £(т) называется рефлексивным,
если сильная топология т** на пространстве (£* (т*))* совпадает
с исходной топологией т. Оказывается, что для того, чтобы полу-
рефлексивное пространство Е(х) было рефлексивным (в смысле Бур-
баки), необходимо и достаточно, чтобы оно было /-пространством
(бочечным пространством)2). Имеет место следующее важное пред-
ложение.
Теорема (Бурбаки) Если пространство Е(х) является
рефлексивным, то пространство Е*(%*) также является реф-
лексивным.
1) Включение Еcz(£*(т*))* всегда справедливо. — Прим. ред.
2) Заметим еще, что для того, чтобы локально выпуклое пространство Е
было полурефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы каждое ограни-
ченное множество из Е было относительно компактным в слабой топологии
(слабая топология в Е задается системой полунорм ре* (е) = [ {е, е*) |, где е*
пробегает £*). —Прим. ред.
Упражнения и дополнения
99
Обычно встречающиеся на практике пространства являются бочеч-
ными или являются пространствами, сопряженными к /-пространствам.
В этих случаях понятия полурефлексивности и рефлексивности имеют
один и тот же смысл.
Регуляризация функции. До сих пор мы использовали
бесконечно дифференцируемые функции с компактными носителями,
<р 6 <??(£"), Ф О, без доказательства их существования. Однако
этот факт не является вполне тривиальным. Существование
таких функций доказывается (Соболев, Фридрихе) посредством „сгла-
живания" при помощи надлежащим образом подобранных интеграль-
ных операторов. Пусть 8 > 0 и
/ ч опр-
ре(*) =
82
е2 —г2
при
при
k&~N exp
где г = ]/\2 4~ •••	= ||х|| и постоянная k выбрана так, что
f pe(x)dx = l, К(0, е)={хе£ЛГ:||х||<8}.
К(0, е)
Пусть теперь <p£C(EN) и предположим, что носитель функции <р
содержится в компактном множестве /(. Нетрудно видеть, что функция
1° (ф*Ре)(*)°— /ф(ОРе(* — f)dt= Jff(t)pz(x — t)dt
en	к
имеет носитель, не выходящий за е-окрестность множества К* Далее,
2° Da (<р*ре) = (p*DaPe.
а поэтому
7.	Пусть ZczF*(t*), причем пространство Е(х) является полуреф-
лексивным. Множество Z порождает пространство Е* тогда
и только тогда, когда из условия
е£Е, {е, z) = 0 для всех z£Z
вытекает, что
е = 0.
Доказательство вытекает непосредственно из следствия 2 теоремы
Хана — Банаха: ' по условию полурефлексивности Е (т) существует
взаимно однозначное соответствие между элементами f £ Е** и эле-
ментами е С Е, определяемое соотношением
(е*, f) = {e, е*) для всех е*£Е\
7*
100	Гл. III. Локально выпуклые векторные пространства
Полагая здесь е* = z и принимая во внимание условие (3), на осно-
вании следствия 2 получаем требуемое.
8.	Опираясь на рефлексивность пространства <2? (£2^0, доказать,
что множество Со° (Ц0, наделенное топологией пространства обоб-
щенных функций 3' (Ц0, плотно в пространстве ЗУ (Q^). Это озна-
чает, что каждую обобщенную функцию F£3r (Q^) можно сколь
угодно точно аппроксимировать неограниченно дифференцируемыми
функциями с компактными носителями (Шварц).
Теорема об аппроксимации с соответствующими изменениями имеет
место для пар ^(Q^czF^yv)» 3? с: и т. д.
Отмеченный факт служит основой для другого способа введения
понятия обобщенной функции, а именно обобщенную функцию можно
определить как предел (в соответствующей топологии) последова-
тельности бесконечно дифференцируемых функций с компактными
носителями (Микусинский).
Из теоремы об аппроксимации вытекает, что те операции над
основными функциями, которые
1° отображают пространство 3 (или какое-нибудь другое про-
странство основных функций) в себя и
2° непрерывны в топологии пространства 3,
продолжаются на пространство обобщенных функций.
Примеры
1°. Дифференцирование или, общее, воздействие линейным диф-
ференциальным оператором с неограниченно дифференцируемыми
коэффициентами:
& (Qn) Э ф ""*	— 2	6 & (^)» аа (*) 6 Со00 (£2дг)«
2°. Умножение на неограниченно дифференцируемую функцию ф:
(Qjy) Э Ф -> Фф 6 (алг). где (фф) (х) = ф (х) ф (х).
9.	При доказательстве теоремы о ядрах мы ссылались на так назы-
ваемый „принцип склеивания", или принцип продолжения
обобщенных функций. Сформулируем этот принцип и наметим дока-
зательство.
Пусть {Oz}—покрытие области QNc.EN открытыми мно-
жествами Ot, = обладающее тем свойством, что
I
каждое компактное подмножество множества £1N пересекается
только с конечным числом множеств, образующих покрытие
{Oz}. Пусть {Тi}, Тi£3' (Oi) — произвольное семейство обоб-
щенных функций, обладающих тем свойством, что 7\(ф) =
— Ту(ф) для каждой функции ф£Со°(0/Д где OZy=’OznO;
(можно сказать, что обобщенные функции и Tj равны на мно-
Упражнения и дополнения
101
жестве OZ/). Тогда существует единственная обобщенная функ-
ция ТаЗУ (Q^y), которая совпадает с обобщенной функцией Tt
на множестве Ot для всех значений г.
Т^) = Т1 (ф) при ф £	(Oi).	(*)
Доказательство. Пусть {«/(•)} — разложение единицы, свя-
занное с покрытием {О/} множества QN. Это означает, что функ-
ции az(«) удовлетворяют следующим условиям:
1° az(x)>0,
2°
3° J]az(x)=l в каждой точке x£Qyy.
Пусть (p£S(Qyy). Тогда ф (х) = У az (х) ф (х), и для каждой точки
x££1n только конечное число слагаемых не равно нулю (так как
множество, состоящее из одной точки, компактно). Следовательно,
если обобщенная функция Т существует, то она единственна, ибо
Т(ф) = ^Т(а/ф) = 2Т/(а/ф),	(4)
так как носитель а;ф с: Oz.
Функционал Т, заданный формулой (4), непрерывен, потому что
если ф£ --> 0 в смысле 35(QN\ то с^Ф*—>0, &->оо, в каждом из
пространств <3^(OZ), а поэтому 7\(a^a)->0 при k —>00. В силу
определения сходимости в пространстве 35 (QN) носители функ-
ций фа содержатся в некотором фиксированном компактном множе-
стве, а следовательно, только конечному числу функции az соот-
ветствуют отличные от нуля слагаемые в соотношении (4). Таким
образом, Т(фа)->0 при >оо.
Пусть теперь	мы докажем, что имеет место соотноше-
ние ($). Имеем azipczOz П О/» Л(а/'Ф) — и поэтому
W = S	(в/ф) = S Л (М) = Т (ф),
что и требовалось доказать.
10.	Пусть =	и пусть /(() — / е~2лг “• *> / (х) dx.
е"
Доказать, что
ГЛАВА IV
Эрмитовы операторы.
Спектральное разложение эрмитова оператора
В этой главе мы вводим понятие сопряженного оператора в ба-
наховом пространстве. Кроме того, мы устанавливаем взаимно одно-
значное соответствие между билинейными формами и эрмитовыми
операторами, на котором базируется замечательное доказательство
спектральной теоремы, принадлежащее Эберлейну. Мы излагаем также
основы теории функций от эрмитова оператора (операционное исчис-
ление) и приводим примеры из теории матриц и теории интегральных
операторов.
§ 1. Сопряженные операторы
В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные преоб-
разования (линейные операторы) и поэтому прилагательное линейный
будем опускать. В связи с этим термин „непрерывный оператор"
равнозначен термину „ограниченный оператор" (см. гл. II, § 5, тео-
рема 1).
Нормой || А || ограниченного преобразования А называется нижняя
грань чисел С, для которых
||Л«||<С||«||;	(1.1)
таким образом,
||Л«||<||Л||-||й||.	(1.2)
Из (1.1) после деления на ||я|| получаем
откуда'вытекает второе определение нормы:
II Л ||= sup ||Лх||.	(1.3)
II X 11=1
В частности, когда А является линейным функционалом, равен-
ство (1.3) определяет норму линейного непрерывного функционала.
Ограниченное преобразование А банахова пространства X в себя,
A^^(Xt X), индуцирует В сопряженном пространстве X* опре-
деленное преобразование А*^^(Х*, X*), называемое сопряжен-
ным оператором (сопряженным преобразованием). Оператор Л*,
§ 1. Сопряженные операторы
103
сопряженный к оператору Л, определяется следующим образом. Для
каждого у* £ X* соотношение
(Лх, У*) = (х, «*)	(1.4)
((х. у*)'°= у* (X), .у* £ X*. X 6 х)
определяет линейный ограниченный функционал и* £ X*, Действи-
тельно, в соответствии с определением нормы
|<Х. «*)|<11Г1|-|1^11<11/11-М11-|^11.	(1-5)
откуда || и* ||	|| у* || • || А ||; т. е. и* — ограниченный функционал.
Полагая Л*у* =’ и*, получаем некоторое преобразование А* про-
странства X* в себя. Таким образом, преобразование А* опреде-
ляется соотношением
{Ах, у*) = (х, Л*у*).	(1.6)
Легко видеть, что А* является линейным преобразованием:
<Х. Л*(а1у;+а2у^))==(Лх,	=
— аг(Ах, у^4-в2(Лх, у*>==а1(х, Л*у*) + а2(х, Л*у^,
(«.у:+=а! аУ1+мч
Далее, А* является ограниченным преобразованием, ибо из нера-
венства | (х, и*) | С || Л || • || у* || • || х || вытекает, что || Л*у* || =
= 1|«*||<1М11 • Il/Н- откуда
1М*|КЦЛ||.	(1.7)
Поскольку преобразование А** °— (Л*)* является расширением!)
преобразования Л (в случае рефлексивного пространства имеем
Л** = Л), то || Л || ^ |] Л**||. Применяя неравенство (1.7) к преобра-
зованию Л*, получаем
IIА II <11 Л** || < || Л* ||.	(1.8)
Из неравенств (1.7) и (1.8) находим
Ш| = ||л||.
Отметим, что в случае гильбертова прострастранства дело значи-
тельно упрощается, ибо все происходит в одном и том же простран-
стве § = $* = $**, в частности преобразование Л* действует, как и
преобразование Л, в пространстве ф.
Следует ожидать, что в гильбертовом пространстве особенно
интересными будут преобразования, равные сопряженным: Л = Л*,
!) См. гл. И, § 6, теорема 2. —Прим, перев.
104
Гл. IV. Эрмитовы операторы
т. е. так называемые самосопряженные операторы. Потом мы
увидим, как можно обобщить понятие самосопряженного оператора
на случай неограниченных преобразований с областью определения,
плотной в гильбертовом пространстве. Такое обобщение дает воз-
можность определить неограниченный самосопряженный оператор
также с помощью равенства А — А*. Самосопряженные ограниченные
операторы будем называть эрмитовыми операторами. Эрмитовы
операторы тесно связаны с билинейными эрмитовыми формами.
Билинейной эрмитовой формой называется функция А (и, v) пары
элементов и, v £ линейная и непрерывная по первому аргументу
и удовлетворяющая условию
A(v, и) —А (и, v)
(а поэтому антилинейная и непрерывная по второму аргументу)1).
Эрмитов оператор А определяет билинейную эрмитову форму
А (и, v)°= (Аи, v) — (u, Av) = (Av, u) = A(v, и).
Теорема 1. Для всякой эрмитовой формы А (и, v) суще-
ствуют единственный эрмитов оператор А, такой, что
А (и, v) = G4w, *0-
Доказательство. Пусть А (и, v) — билинейная эрмитова
форма; тогда | А (и, *01^	||я|| • ||^|| й A(v, и) —А (и, v). При
фиксированном v функция А(и, v) будет линейным непрерывным
функционалом по и, а при фиксированном и — непрерывным анти-
линейным функционалом по V.
В силу теоремы об общем виде линейного непрерывного функ-
ционала каждому элементу v £ § соответствует такой элемент Av, что
А (и, v)=(u, Av),
Оператор А, определенный с помощью последнего равенства,
является, как легко видеть, линейным и ограниченным. Кроме того,
(и, Av) = A(u, v) = A(v, u) = (v, Аи) = (Аи, v)
и, следовательно, A = A*t т. e. оператор А эрмитов.
Как нам известно, с каждым (замкнутым) подпространством
связан оператор Рг ортогонального проектирования на это подпро-
странство. Очевидно, множество значений этого оператора R(P) =
= Р1(^) = ^1. Если	ТО = ult откуда Р1Р1 = Р21 = РЬ
а это означает, что проекционный оператор идемпотентен, т. е.
*) В силу теоремы 1 § 4 гл. III, такая форма непрерывна и по совокупности
аргументов и, значит, удовлетворяет неравенству | А (и, v) |< М || и || • |j v ||.
Это используется при доказательстве теоремы 1. — Прим. ред.
§ 1. Сопряженные операторы	105
равен своему квадрату. Как известно» этот оператор удовлетворяет
соотношению
(и — Рги, PiV) = 0.
1	1 и, V
Отсюда вытекают следующие свойства оператора ортогонального
проектирования:
1°	«) = (Р1«,	(=0 только тогда, когда и£&р)',
2° (P1utv) = (a — и2, Plv-^v2) = (u, Pfl), ибо и —
«2l^i (и2 = и— Рхи, v2 = v— P^v). Следовательно,
Как мы видим, операторы ортогонального проектирования эрми-
товы и идемпотентны; оказывается, что они характеризуются этими
свойствами. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть $— гильбертово пространство, а Р —
линейный оператор, определенный на всем пространстве §
отображающий его в себя и удовлетворяющий соотношениям
(а)	Р2 = Р\
(b)	(Ри, v) = (u, Pv) для всех и, v£$.
Тогда $\ — Р($) (образ $ при отображении Р) —замкнутое
линейное подпространство в $, а Р — оператор ортогональ-
ного проектирования на §р
Непрерывность Р a priori не предполагается; впрочем, она сле-
дует уже из условия (Ь) и теоремы Хеллингера и Тёплица (теорема
3 § 3 гл. III), но мы докажем ее независимо от этой теоремы.
Доказательство. Очевидно, что — линейное множество.
Докажем, что замкнуто в <£). Пусть ип->и$, un£$v Тогда суще-
ствуют такие	чт0 un~^<wn' &ля любого при /г—>оо
будет (vn, v)->(uQ, v). С другой стороны, в силу (а) и (Ь)
(ип, v) = (Pwni v) = (P2wn, v) = (Pwn, Pv) =
= (un, Pv) -> (a0, Pv) = (PuQ, v).
Следовательно, (я0, v) = (Pu$, v), а так как v произвольно, то
Uq^Puq^^, t. e. замкнуто. Так как для любых и, v£$x
(и — Ри, Pv) = (Ри — Р2и, v) = (Ри — Ри, v) = 0,
то и — Ри£$±, т. е. и = Ри-\-(и— Ри), где Ри^^, и — Ри£$±.
Следовательно, Р есть оператор ортогонального проектирования
на замкнутое подпространство фР Заметим еще, что в силу теоремы
Пифагора (см. гл. 1) ||Ря||24- ||« — Ря||2= ||я||2, откуда ||Pw|KJ|a||,
т. е. оператор Р непрерывен и ||P||<J. Ясно, что если Р 0, то
[| Р || = 1, ибо Ри — и для и £ фр
106
Гл. IV. Эрмитовы операторы
§ 2. Примеры эрмитовых операторов
Г. Пусть А — линейный оператор, заданный на сепарабельном
гильбертовом пространстве ф. Каждый ортонормированный базис (z/z)
пространства § сопоставляет оператору А матрицу (aik) с элемен-
тами aik °— (Aukt tit). Если —эрмитов оператор, А* —А, то
aki = (Auit tik) = (Auk, Ut) = aikt т. е. (aik) — эрмитова матрица:
aki = aik. В случае вещественного пространства §	= т. е.
матрица (alk) является симметрической.
2°. В пространстве Сп эрмитовы операторы описываются посред-
ством эрмитовых матриц в ортонормированном базисе. Действительно,
рассмотрим в n-мерном гильбертовом пространстве ортонормирован-
ный базис Для любого линейного оператора А имеем
п	п
v = Аи = У (Аи, et) et = У (Л 2 («. ek) еь> ei} ei =
= 2(«. ek)(Aek’ ei)ei-
k, i
'Полагая /zz = (w, ej)9 vt = (vt aik={Aek, ej), находим
= S z=i.
k=\
3°. Пусть К (5, t) G i2 (^Л X Йл). Интегральный оператор
(Ku) (s) = f К (s, t) u(t) dt
Qn
с ядром К линеен.
Сейчас мы не будем доказывать непрерывности этого оператора,
так как в дальнейшем докажем его полную' непрерывность. Найдем
сопряженный оператор для оператора /С В случае конечномерного
пространства сопряженный оператор описывается сопряженной матри-
цей. Поэтому можно ожидать, что сопряженному интегральному опе-
опр. —- ' ----------------------------------------------------
ратору К* будет соответствовать сопряженное ядро /С (s, t) = К (t. s).
Применяя теорему Фубини, находим
(Ku, V)— J j* J*K(s, t)u(t)dt vis) ds —
= f K(s, t)u(t)’v(s)dsdt =
аях°я____________________
= f [ f КЧГ7) V(t) л! 7{sj ds = (TCv. «) = (a. K*v),
an	J
§ 3. Спектральная теорема
107
где
(fCv)(s)= f K(t, s)v(t)dt,
%
так что оператору К* действительно соответствует ядро K*(s, t) —
= К(Л s).
Следствие. Интегральный оператор с ядром К £
£/,2(йдХЙл) эрмитов в том и только в том случае, когда
ядро К обладает так называемой эрмитовой симметрией'.
К ($, =
В вещественном пространстве L? (ЙЛ) в аналогичной ситуации мы
будем иметь дело с симметрическим ядром'.
K{s, t) = K(t, s).
§ 3. Спектральная теорема (конечномерный случай)
Напомним некоторые факты из курса линейной алгебры, касаю-
щиеся теории эрмитовых операторов (эрмитовых матриц) в конечно-
мерном пространстве.
Собственным значением линейного оператора А называется
такое число Хр что для некоторого вектора ut Ф 0
Aut== Т^и^,	(3.1)
при этом вектор ut называется собственным вектором оператора,
принадлежащим собственному значению Xz. Все собственные векторы,
принадлежащие фиксированному собственному значению Хр образуют
подпространство называемое собственным подпространством,
принадлежащим собственному значению ХР Если оператор А эр-
митов, то размерность собственного подпространства называется
кратностью собственного значения кратность собственного
значения мы будем обозначать через kp. ki = dim фа,. Совокупность
всех собственных значений оператора называется его спектром.
Предположим теперь, что оператор А эрмитов; тогда
при
Легко видеть, что спектр (в данном случае — совокупность соб-
ственных значений) эрмитова оператора является вещественным.
Действительно,
(Auit ul) = (Auit «/) = Х/(й/, nJ
и Xz как отношение двух вещественных чисел является вещественным
числом.
108
Гл. IV. Эрмитовы операторы
Собственные подпространства взаимно ортогональны и их
линейная оболочка совпадает со всем пространством ф:
Ф = Ф	ф ... ф	(3.2)
Z = 1	1	1	р
Занумеруем собственные значения в порядке их возрастания: <
опр.
< Х2 < ... < Хр и положим $(Zz) =	Теперь разложе-
ние (3.2) можем переписать в виде
р
wiwesw. (з.2')
Z = 1
причем Ф(ХО) — {0}.
Подпространства ^(Xz) образуют возрастающую последователь-
ность подпространств
{0}=<>(Z0)c§(Zi)c: ... с<>(%р_1)с§(Хр) = §.
Обозначая через E(XZ) оператор ортогонального проектирования на
подпространство $(XZ), получаем „возрастающую" последовательность
проекционных операторов
0 < Е(Х0 < £(Х2) < ... < Е(кр^) < Е(Хр) = 11).
(/ — тождественное преобразование).
Поскольку оператор Е^ ортогонального проектирования на под-
пространство §(Xz)0§(Xz_1) равен разности £(XZ)—£(XZ_1), то
разложение (3.2) можно записать в терминах проекционных опера-
торов в следующем виде:
/= 2	= S	(3.2")
Z=1	Z = 1 1
Поскольку Е^ является оператором проектирования на собственное
подпространство ^xz. то = для всех	т. е.
AE^-kiE^. Применяя к обеим частям равенства (3.2") оператор А,
получаем
р	р
А = 2	= 2 (М - Е (V1)]-	(3.3)
Z=1	1	1-1
Так как
( 0 при /=/=&»
^KjE^ = ElE^ = I г*	/ Д
i k fe i ( при l = kt
!) Если подпространство содержится в подпространстве $2, то для
соответствующих операторов ортогонального проектирования пишем
а в случае когда	и 61	©2»	< Е2.
§ 4. Спектральная теорема в гильбертовом пространстве 109
для степеней оператора А верна формула
р
As	As °= А ... А.
Z=1	1	'---.---•
s
Следовательно, многочлен степени N от оператора А
Pn(A)~ + ai^~F ••• -\~aNAN* ^zC^1»
может быть представлен в виде
р	р
PN (Л)= 3	= 2 pN(Kt) [Е (X,.) -	(3.4)
Впоследствии мы увидим, что формула (3.4) имеет аналог в случае,
когда А — эрмитов оператор в произвольном гильбертовом про-
странстве.
Формула (3.3) носит название спектрального представления
(или спектрального разложения) эрмитова оператора (в д-мерном
пространстве). Эту формулу можно переписать еще в следующем
виде:
р
{Аи, ®) = S X, А/{Е(X)и, v),	(3.3')
Z = 1
где
Az (£(%)«, v) = (Е (kz) и, v) — (Е(к1~ди> v).
Естественно ожидать, что в общем случае формула (3.3) будет
иметь вид
ь
{Аи, v)= f М{Е{К)и, v).
а
где (Е (X) и, v) = ц (X; и, v) (для фиксированных и, v£$) — не-
которая комплекснозначная мера.
§ 4. Спектральная теорема в произвольном гильбертовом
пространстве
В этом параграфе мы изложим весьма простое и естественное
доказательство спектральной теоремы, предложенное Эберлейном [1];
это доказательство базируется на интересной лемме Меррея, касаю-
щейся нормы полинома pN(A).
Лемма , Мер рея. Пусть А — эрмитов оператор, и пусть
р N{A) — aj	ахА-\- ... -\-aNAN\
тогда
II Pn (^) II < SUP l/W)|.
U |< II 411
no
Гл. IV. Эрмитовы операторы
где
\	Лу(О = ао+а1^+ ••• +
Доказательство. Предположим сначала, что А — эрмитов
оператор в конечномерном пространстве. Тогда
II р„ И)«II2=
2 р
= 2jp„(W||Vir<
2
<, i (ч i!II Еь“ n!=1 (1|) i! 11 “
откуда
II Pn(л) « II < SUP |Рлг(М1-ll«II-
1 < ^ < P
Легко видеть, что ] lz ]	|| A ||. Действительно, если ut— собственный
вектор, соответствующий собственному значению Xz, и ||«z|| = l, то
l^l = l(Vz> »/)1 = 1И«р «/)КМ||• ||«zll2=IM||.
поэтому
IIPzvM)||< sup |Pzv(M< sup |Pzv(%)|.
1<XZ<P	IM<I|A||
Рассмотрим теперь произвольный эрмитов оператор А в беско-
нечномерном пространстве Пусть и — произвольный вектор из ф.
Положим = [я, Аи..........ANu]. Обозначим через Е' оператор
ортогонального проектирования на подпространство £/, а через
Д' — оператор, заданный на с помощью соотношения A'v — E'Av
при v £ ф'. Очевидно, dim n + 1 и Д' — эрмитов оператор
в пространстве ф'. Действительно, для произвольных tip имеем
(Д'^, v2) = (EfAEfvv tf2) = (^p EfAE'v2) = (tfp Д'^2)»
поэтому
II Pn О4') “ II < , SUP II Pn <z) II * II«lb
IM<IM' II
где
(Л')0 —’ E'.
Так как || Д'Ц^ЦЕ'Д ||^|| Д||, то тем более
||/’лг(Л')«||< sup I pN (к) I • II и ||.
Iл | <|| АII
Лемма доказана, ибо, как легко видеть, pN (Ar) и = pN (Д) и.
В самом деле, Е'и = и, Afu — EfAu — Aut (Д')2 и = А'Аи =
= EfA2u = Аи и аналогично (Д'/ и == Aku при k — 0, 1, .... N.
Замечание. Можно доказать более точную формулу
1|Рлг(л)|1= sup |Pjv(X)|.
xespA
§ 4. Спектральная теорема в гильбертовом пространстве
111
где Sp А — обозначение спектра оператора A, Sp A S [—||Л||, || А ||]
[см. гл. VII, (1.1)].
Приведем здесь две формулировки спектральной теоремы. '
1°. Эрмитов оператор А определяет функцию Е, которая
каждому борелевскому подмножеству М вещественной оси
ставит в соответствие оператор ортогонального проекти-
рования Е(М), обладающий следующими свойствами:
а)	E(MftN) = E(M)E(N)t

Ь)	Функция Е~счетно-аддитивна, т. е. Е
для любой последовательности (Afz) попарно непересекающихся
борелевских множеств^
с)	Е (Л) = /, Л = Sp А — спектр А;
d)	Е(0) = О;
е)	пусть Мк — полуинтервал (— оо, 1], Е (1) — Е (тИл); тогда для
любых и, v £ ф
(Л«, и) = JW(E(Z)«, »).
2°. Эрмитов оператор А определяет однопараметрическое
семейство проекционных операторов £(%), —оо<Х<оо, обла-
дающее следующими свойствами:
а') Е(Л)<Е(Г) при Х<Х' (т. е. Е(1)$ с:
Ь') 2?(Х + 0) = Е(1),
с') для произвольных	имеет место равенство
(Au, v) = f М(Е(Х) и, v),
Л
Доказательство. Из теоремы Рисса об общем виде функ-
ционала в пространстве С (см. дополнение 1) вытекает следующее.
Пусть L(p) является линейным непрерывным функционалом (прини-
мающим комплексные значения), заданным на вещественных поли-
номах р(Х), Л£Л, где Лей1—компактное множество; непрерыв-
ность понимается в смысле метрики пространства С (Л). Тогда суще-
ствует единственная регулярная комплекснозначная мера, заданная
*) Последовательность операторов (Ап) называется слабо сходящейся
к оператору А, если для любых и, v £ $ (Апи, v) -> (Au, v) при п -> оо.
Если же для каждого и £ $ имеем || (Лл — Л) и || -> 0 при л -> оо, то после-
довательность (Ап) называется сильно сходящейся к оператору А. Ниже
доказывается, что равенство 2 я £(11Л4/) выполняется в слабом
смысле. Однако можно доказать, что фактически здесь имеет место силь-
ная сходимость. — Прим, перев.
112	Гл. IV. Эрмитовы операторы
на борелевских подмножествах из А, такая, что
L(p) = f
А
Из леммы Меррея и замечания к ней вытекает, что
|(р(Л)и, ®)|<||р|| • ||«|| • ||«||. где ||р||= sup ||р(Х)Ц.
А,£ Sp А
Фиксируя и, v, видим, что Lu v(p) °—• (р(А) и, v) является линейным
функционалом, удовлетворяющим условиям теоремы Рисса, причем
А = Sp A g [— || А ||, || А || ]. Поэтому
(р(А)я, cf) = J p(Z)rf|x(X; а, -и),
д
и для всякого борелевского множества М с А имеем
|и(М и, v)KII«|l • Ill’ll-
Зафиксируем теперь множество М и покажем, что р (М; и, v)
является эрмитовой формой (переменных и и ^).
1°. Аддитивность формы р (Л4; w, v) вытекает из того, что
J Р W dll (X;	-f- а2, v) = (р (Л) (иг + и2), v) =
А
= (р(Л)ир ®) + (р(Л)«2. v) = f p(k)d[i(k; uv •») +
A
J p(l)rfp(X; u2, v)— j* p(A.)d[p(l; av t»)+n(X; «2, »)],
A	A
ибо регулярная представляющая мера единственна, и, значит, для
любого М р(7И;	^) = р(Л1;	^) + p(Af; «2, v)>
Аналогично доказывается однородность.
2°. Эрмитова симметричность вытекает из соотношений
J* p(l)dp(X; и, v) = (p(A)u, v) — (p(A)v, и) — J* р (X)dp(A,; и)
А	А
и соображений единственности.
Непрерывность р(Л1; •, •) вытекает из приведенного выше
неравенства | р(А4; и, ^)| <; || и || || v ||. Итак, р(Ж; ut v) — эрмитова
форма. Следовательно (в силу теоремы 1 § 1), каждому борелев-
скому множеству М cz А соответствует эрмитов оператор Е (Ж) =
==£*(^1), такой, что
р(Л1; и, v) = (E(M)at v).
§ 4. Спектральная теорема в гильбертовом пространстве 113
Полагая р(Х)=1, получаем
(«, v) = j' ldp(X; и, и) = |1(Л; и, v) = (Е(Л) и, V),
л
откуда Е(Л) = /. Полагая р(Х) = Х, находим
(Аи, v)= $ и, v).
л
Операторную функцию множества Е(Л4) можно распространить
на все борелевские подмножества вещественной оси, полагая £*(214) =
= Е(Л1ПА). Пусть Afx = (—сю, X] и Е (X) = Е (М\). Тогда для
любых и, v
(Е(к)и, v) = (E (Мк) и, v) = ii(M^ и, *0;
поэтому для любого полинома р(к) (и вообще для любой функции,
суммируемой по мере ц(- ; и, v))
J* p(K)d(E(K)u^v) = J p(X)dp(X; и, v);
в частности,
(Аи, V) — J* и, v) = f ^d(E(K)u, v).
Произвольному вещественному полиному q(K) поставим в соот-
ветствие (вспомогательную) меру v(M) = I	и, v). Для
м
всякого вещественного полинома р(Х) имеем
J p(X)dv(k)—J p(k)q(k)d (Е(к) и, v) = (p(A)q(A)u, v)~
Л	Л
= (Я(А) p{A)tt, v) = {p{A)u, q(A)v) — J p (X) d (E (%) «, q(A)v).
Л
Это равенство предельным переходом можно распространить на про-
извольные измеримые р(К).
Обозначая через Xjf характеристическую' функцию множества М:
Хм (^) —
при X £ М,
при
О
имеем
v(Af) = jf?(X)xM(X)d(5(X)«, ®) = (Е(Л1)«, q(A)v) =
Л
= (q(A)E(M)u, v) = Jq(K)d(E(K)E(M)u, v)
Л
8 К. Морен
114
Гл. IV. Эрмитовы операторы
для каждого борелевского множества М cz Л. Поскольку q(K)— про-
извольный полином, то
(E(Mf\N)u, v) = f d(E(k)u, г») =
= f Хм (M d (E (X) и, v) = (E (ЛГ) E (M) u, v)
N
для произвольного борелевского множества W с Л и любых ut v.
Итак доказано, что
E(M[\N) = E (Л!) E(N).
Полагая M — N, находим Е(М)Е(М)==Е(М), т. е. f(M) —
идемпотентный оператор. Так как Е(Ж) — Е(Л4)*, то в силу тео-
ремы 2 § 1 Е (7И) — оператор ортогонального проектирования.
Итак, каждому борелевскому множеству М с: Л мы поставили
в соответствие оператор ортогонального проектирования Е (2И), причем
непересекающимся множествам соответствуют операторы проектиро-
вания на ортогональные подпространства; Е (/И) является счетно-
аддитивной функцией1):
=	в(Д)=/.
Очевидно, построенная функция множества Е (Л4) (Е(Х)) удовле-
творяет всем требованиям спектральной теоремы. Такая функция Е(Л1)
называется спектральной мерой или спектральной функцией.
Легко проверить, что в случае, когда Е(Л1) является спектраль-
ной мерой, а /—произвольной измеримой и ограниченной функцией на
(компактном) множестве Л, выражение фДм, v) =’ J* f(k)d(E(K) и, v)
л
является билинейным функционалом переменных и, V. Поскольку
|Ф/(«. «)|<f |/(X)|d||5(X)«||2<sup|/(X)|-||«l|2.
существует такой ограниченный оператор В, что
(Ba, v) — f f(X)d(E(.X)u, v)
Л
1) Слабая счетная аддитивность Е (М) следует из того, что (Е (М) w, v) —
ss р (М*9 и, v), а мера ц (•; и, у) счетно-аддитивна. — Прим. рей.
§ 4. Спектральная теорема в гильбертовом пространстве 115
и	II в || < sup |/(Х)|
(более точно: в последнем соотношении имеет место знак равенства).
Легко доказать следующую теорему.
Теорема 2. Пусть ®(А) — класс измеримых ограниченных
функций на множестве Л. Если f, g-£25(A), то1)
1° f (a/)(k)dE(k) = a f f(K)dE(K),
A	A ’
2° f (f + g) (X) dE (X) = / / (X) dE (V + fg (X) dE(k),
A	A	A
3°
4°
Л
f /(X)dE(X)\ ( f g(X)dE(X) /(X)g(X)dE(X).
A	J \A	/ A
Доказательство. Так как доказательство всех четырех
равенств можно провести по одной схеме, докажем одно из них,
например второе.
Пусть
A^ffdE. B'SfgdE, С°^ f(J + g)dE-,
АЛЛ
тогда
([А-|-В]й, г>) —(Аи, v)-\-(Bu> v) = f fd(Eu> -?) +
л
+ J gd(Eu, v)= J (J + g)d(Eu, v) = (Cu, v)
A	A
для всех ut т. e. A-|-B = C, что и требовалось доказать.
Несколько труднее проверить равенство 4°. Для его доказатель-
ства положим опять А°— f f dEt В °— J gdE. Рассмотрим функ-
д	л
*) Интеграл J /(A)rfB(A) следует здесь понимать как обозначение ли-
д
нейного ограниченного оператора В, определяемого соотношением (Ви, v) =
= J* / (A) d (Е (А) и, v). Можно, однако, показать, что этот интеграл суще-
л
ствует как предел соответствующих интегральных сумм в смысле сильной
и даже равномерной сходимости операторов. При этом говорят, что после-
довательность (Ап) сходится равномерно к оператору А, если || Ап — А || -> О,
п->со.— Прим, перев.
8*
116
Гл. IV. Эрмитовы операторы
цию ц(Л1) —' (Е(М)Ви, v) измеримого множества М <= Л, где а и
v — фиксированные векторы. Имеем
р.(уИ) = (Ви, Е (Л1) ®) = ([J #<*£]«. E(M)v} =
= f g(K)d(E(E)u, E(M)v) = j'g(k)d(E(^)E(k)u, v) =
A	A
= J g(K)d(E(M fl A.) u, v) = J g(X)d(£(X)«, v)
Л	M
для каждого измеримого множества М. Отсюда вытекает, что
(АВи, v) = (Bu, A*v)=(A*v, Bti) =
= f H^jd(E(l)v, Bu) = f f(%)d(E(K)Bu, v) =
A	A
' = f /(M<W) = f f(k)g(k)d(E(k)u, v).
A	A
Следовательно,
48 = f fgdE,
что и требовалось доказать,
опр. р
Полагая А = I KdE(k)t на основании равенства 4° для каждого
л
полинома р имеем р (Л) = J* р (X) dE (X). В связи с последним равен-
л
ством естественным является обозначение /(Л)—’ J* f{K)dE(k) при
/6®(Л).
Таким образом, закончено доказательство спектральной теоремы
(в первой формулировке) вместе с исчислением (ограниченных) функ-
ций самосопряженного оператора. Вторая формулировка спектральной
теоремы очевидным образом следует из первой.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Доказать пункты Г и 3° теоремы 2 § 4.
2.	Доказать, что оператор /(Л) эрмитов, если функция f веще-
ственна.
3.	Доказать, что х(Л) — оператор ортогонального проектирова-
ния, если х — борелевская функция, принимающая лишь значения
О и 1 (т. е. х — характеристическая функция некоторого борелев-
ского подмножества вещественной оси).
ГЛ ABA V
Симметрические и самосопряженные операторы.
Самосопряженные расширения симметрических
операторов
§ 1. Неограниченные операторы
До сих пор мы изучали преобразования всего гильбертова про-
странства в себя. Кроме того, преобразования, которые мы изучали,
были ограниченными, т. е. существовала такая постоянная С, что
II Ли IK С || я || для всех
Однако очень часто встречаются преобразования, заданные лишь
на плотных подмножествах гильбертова пространства, причем, как
правило, эти преобразования не являются ограниченными. Поясним
это на нескольких примерах.
п -
Оператор Лапласа Ан = S д2и (х)/дх?, где х пробегает некото-
i = l
рую область Ол в пространстве Еп> применим не ко всем функциям
с интегрируемым квадратом в области йл, а только к дважды диф-
ференцируемым. Из определения пространства £2(£2Л) нам известно,
что множество С§° бесконечно дифференцируемых функций с ком-
пактными носителями, принадлежащими £2Л, плотно в Л2(йл) (про-
странство А2(£2Л) является пополнением множества (йл)). Тем са-
мым оператор Ди и все другие дифференциальные операторы с по-
стоянными коэффициентами определены на плотных подмножествах
пространства £2(йл). С аналогичной ситуацией мы встречаемся в слу-
чае систем дифференциальных операторов: такие системы будут опе-
раторами, заданными на плотных подмножествах [например, на под-
множестве С^г (£2Л)] гильбертова пространства £2,г(йл).
Такие линейные операторы, вообще говоря, не являются ограни-
ченными. Покажем это на примере простейшего дифференциального
оператора Аи °— du (x)/dx, заданного на функциях из С1 (0, 1).
Рассмотрим последовательность ип (х) = sin плх. В гильбертовом про-
странстве £2 (О, 1) [в котором множество С1 (0, 1) плотно] имеем
1
II ип II2 = JI sin плх I2 dx — 1/2,
о
118
Гл. V. Симметрические и самосопряженные операторы
так что || ил||= ]/" 1/2. Кроме того,
II dun II
II dx ||
- 1	IVs
(пл) I (cosnnx)2dx
.0	J
тис и и
=y^ = «*KII-
Поскольку при достаточно большом п число пл больше любого на-
перед заданного числа, оператор djdx является неограниченным.
Замечание. Предложение „дифференциальный оператор является
разрывным" имеет смысл только в том случае, когда указано, в каком
пространстве он рассматривается. Существуют такие векторные топо-
логические пространства, в которых дифференциальные операторы
являются непрерывными, что позволяет свободно с ними обращаться.
Но сама структура таких пространств является достаточно сложной
(Шварц [1], И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов [2, 3]), ср. гл. III.
Предыдущие примеры наводят на мысль рассмотреть неограничен-
ные линейные преобразования, заданные на плотных подмножествах
гильбертова пространства.
§ 2. Оператор Л*. Примеры сопряженных операторов
Область определения (линейного) оператора А будем обозначать
через D (А), а область его значений — через R (A): R (А) —’ AD (А);
мы при этом будем предполагать, что D (А) = ф (D (А) плотно в «£).
Как и в гл. И, сопряженный с А оператор А* определим с помощью
тождества
опо.
(Л«. <0в€=Л) (и. g).	= g-	(2.1)
К
Говоря точнее, О(А*) — множество всех тех векторов V, для кото-
рых существует такой вектор gt что (2.1) выполняется для всех
u^D(A)1). При заданном v£D(A*) вектор g определяется тожде-
ством (2.1) однозначно. Действительно, если также (Аи, v) = (ut gx)
для всех a£D(A), то (я, g — g\) — 0, а так как многообразие D(A)
плотно в ф, то gx = g. По определению полагаем A*v = g.
Ввиду того что понятие оператора, сопряженного неограниченному
оператору, обычно несколько затрудняет начинающего читателя, при-
ведем здесь несколько примеров, играющих важную роль в прило-
жениях.
*) Это эквивалентно тому, что функционал f (и) *= (Аи, v), заданный
на D (А), продолжается до непрерывного линейного функционала на
всем ф. — Прим. ред.
§ 2. Оператор А*. Примеры сопряженных операторов	119
Примеры
Г. Оператор слабого дифференцирования (С. Л. Соболев)
в области Йл. Если функции ф и ф принадлежат классу (йл), то,
интегрируя по частям, находим
f	=	/-<*> . $'T°. (2-2)
о„ дх^...дхп»	QJ	дхг1...дхп"
п	п
Формула (2.2) приводит к следующему обобщению понятия произ-
водной. Как и ранее, введем обозначение Da = д^а1/дх*1 ...dx^n.
Будем считать, что оператор Da определен на множестве С™ (Йл).
Оператором слабого дифференцирования в области Qn (с по-
казателем а порядка | а |) называется оператор
да °= (—I)1 “ ’(£>“)*;	(2.3)
другими словами, да — это оператор, определенный с помощью то-
ждества
f Dau (x)v (x)dx =	(—I)1	f a(x)g(x)dx =
q„	“€Co°(0») O„
= J u(x) dav (x) dx,	dav (x) °— g (x) ’).
Q
2°. Д*—оператор, сопряженный с оператором Лапласа,
п.
Рассмотрим оператор Лапласа Д = 2 ^t^x2,, заданный на множе-
z=i
стве С" (Q„): D (Д) = Со° (□„). Оператор Д* имеет область определе-
ния более широкую, чем множество Со°(Q„), Э(Д*)эО(Д):
J Д« (х) v (х) dx = J* а (х) Д*® (х) dx.
Qn	°л
Следует обратить внимание.на то, что функция v£D(A*) не обязана
быть равной 0 в некоторой „граничной полоске* области Q„, ибо
равенство нулю интеграла по поверхности
аоя
(dQ„ — поверхность, ограничивающая область Qn, д/дп — дифферен-
цирование по внешней нормали) обеспечивается тем, что функция а (х)
равна нулю (в некоторой граничной полоске).
’) Функцию dav(x) в отечественной литературе называют обобщенной
производной в смысле С. Л. Соболева от функции v(x). — Прим, перев.
120	Гл. V. Симметрические и самосопряженные операторы
Пусть область определения D (В) оператора В шире области опре-
деления D(A) оператора Л, D(B)zdD(A) и, кроме того, на множе-
стве D (Д) оба оператора принимают одинаковые значения: Ви — Аи
при u£D(A). Тогда оператор В называется расширением опера-
тора Д, а оператор А — сужением оператора В. В таком случае
мы пишем Аа:В или BzdA.
Пример 2° показывает, что Д*зэД, если О(Д) = С0°°(£2л). Можно
привести очень много подобных примеров. В связи с этим введем
класс линейных операторов, обладающих тем свойством, что они
являются сужениями своих сопряженных.
Определение. Оператор А называется симметрическим, если
Д*2эД, т. е. если сопряженный с ним оператор является его расши-
рением.
Очевидно, что симметрический оператор может быть определен
также следующим эквивалентным способом: оператор симметричен,
если (Аи, v) = (u, Av) для и, v£D(A).
Ограниченный и симметрический оператор является эрмитовым
оператором. Однако не всякий симметрический оператор эрмитов.
Естественно ожидать, что особенно интересными свойствами должны
обладать симметрические операторы, совпадающие с сопряженными
с ними.
Оператор А, для которого Д* = Д, называется самосопряжен-
ным (или гипермаксимальным в соответствии с терминологией,
введенной фон Нейманом; в настоящее время более употребительным
является первый из указанных терминов).
Как мы видим на примере оператора Лапласа, не всякий симметри-
ческий оператор является самосопряженным. Возникает вопрос: имеет
ли всякий симметрический оператор самосопряженные расширения?
Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным; наличие само-
сопряженного расширения — „редкий случай". Однако как в матема-
тике, так и в ее приложениях особо интересными являются именно
такие „редкие случаи". В связи с этим иногда возникает ложное впе-
чатление, что „редкие случаи" преобладают (классический пример:
при первом знакомстве с дифференциальным исчислением возникает
иллюзия, будто все непрерывные функции дифференцируемы. В дей-
ствительности, однако, непрерывные функции, не имеющие нигде
производной, образуют множество второй категории, т. е. этих функ-
ций „значительно больше", чем остальных функций).
Заметим, что из включения А<=.В вытекает включение A*zdB\
Действительно, если vd£D(B*), то существует такой элемент
что (Ви, v) = (u9 g) для всех u£D(B). Если ДсВ, то тем более
(Au,v) — (u,g) для всех u£D(A), так как Аи — Ви. Поэтому
w£D(A*) и A*vi) — g — B*‘W, что и требовалось доказать. Отсюда
получаем следующую лемму.
§ 3. Теоремы фон Неймана
121
Лемма. Оператор А, обладающий симметрическими рас-
ширениями, сам является симметрическим оператором. Все
симметрические расширения оператора А являются суже-
ниями оператора А*.
Доказательство. Пусть В:эА и ВаВ*. Тогда В*аА*, так
что Лс=Вс:В*с Л*.
Как мы увидим в дальнейшем, для неограниченных самосопря-
женных операторов также верна спектральная теорема. Следова-
тельно, можно построить исчисление функций от самосопряженного
оператора, аналогичное исчислению, построенному в предыдущей главе
для ограниченных операторов. Теория функций от самосопряженного
оператора в последние годы была применена к ряду важных проблем
анализа (смешанные задачи для дифференциальных уравнений матема-
тической физики, теория гармонических полей и т. д.). Поэтому
представляют интерес признаки, позволяющие выделять самосопря-
женные операторы среди симметрических. С некоторыми из этих
признаков мы познакомимся в следующем. параграфе.
§ 3.	Теоремы фон Неймана
Докажем следующие теоремы (фон Нейман).
1.	Симметрический оператор А, заданный на всем про-
странстве £)(Л) = ф, является самосопряженным, Л = Л*1).
2.	Симметрический оператор Л, область значений кото-
рого совпадает со всем пространством R(A) = $, является
самосопряженным, А = Л*.
3.	Симметрический оператор А с областью значений, плот-
ной в пространстве ф, /?(Л) = £), обладает об ратным опера-
тором Л"1, причем Л”1 тоже симметричен.
4.	Л —Л* тогда и только тогда, когда Л”*1 — (Л"1) .
Доказательство. Заметим, что теорема 2 вытекает из тео-
рем 1, 3 и 4.
К пункту 1. Так как в силу симметричности Л с: Л*, то
£)(Л)с£)(Л*). Но £(Л) = ф, поэтому £)(Л*) = £ и А = А\
Прежде чем переходить к доказательству теоремы 3, напомним,
в каком случае можно говорить об обратном преобразовании.
Об обратном операторе Л~* имеет смысл говорить лишь в том слу-
чае, когда преобразование Л является взаимно однозначным, т. е.
1) Фактически можно утверждать большее: симметрический оператор А,
область определения которого совпадает со всем пространством, является
эрмитовым, т. е. ограниченным самосопряженным оператором. См. гл. III,
§ 3, теорема 3. — Прим, перев.
122 Гл. V. Симметрические и самосопряженные операторы
равенство А и = Av имеет место только тогда, когда и — v. Но
в силу линейности оператора А это имеет место только тогда, когда
из равенства Аи — 0 вытекает, что я = 0 (оператор А равен нулю
только в нуле). В этом случае полагаем Д(л-1)°= R(A) и А"1 А и =
= я€Д(Л) [очевидно, тогда AA~'v = v для всех -и££)(Л’’1) =
= Я(Л)].
К пункту 3. Для того чтобы доказать теорему 3, следует сна-
чала показать, что из равенства Аи = 0 вытекает равенство и — 0.
Предположим, что Ля = 0, тогда (й, Av) = (Au, v) — Q для всех
v £ D (Л). Таким образом, и | У? (Л). Но так как R (Л) = £), то и = 0.
Итак, существует оператор Л"1 с плотной областью определе-
ния О(Л-1)- В таком случае существует (однозначно определенный)
оператор (Л’1) .
Предположим, что доказана следующая лемма (ее доказательство
мы приводим ниже).
Лемма. Если существуют операторы Л"1, Л* и (Л~{)*, то
существует также оператор (Л*)"1 и (Л-1) —(Л*)”1.
Вернемся к доказательству теоремы 3. Итак, существует опера-
тор (Л*)”*1 и (Л"1)* = (Л*)“1. Поскольку Лс:Л*, имеем Л~1с(Л*)~1 =
= (Л“1)*, и оператор Л”1 симметричен.
К пункту 4. Л = А* тогда и только тогда, когда Л'“1 = (Л*)“1,
или, в силу леммы, когда Л"’1 = (Л""1).
Таким образом, теоремы фон Неймана доказаны.
Доказательство леммы. По предположению существует
оператор Л"1 и Д(Л) = Д(л’1) = ф [как мы знаем, эти предполо-
жения гарантируют существование операторов Л* и (Л-1)*]. Если
u£D(A), a v £ D ( (Л ”1)*), то (w, v) = (A~1Au, v) — (Au, (Л"1)*^);
это означает, что
(Л^У^Д^*) и Л^Л”1)*^ = v.	(*)
Аналогично, если и £ D (Л”1), a v £ D (Л*), то («, ^)=(ЛЛ-1 ut v)=
= (А~хи> A*v), т. e.
A*v 6 D ((Л’1)*) и (Л’1)* Л% = v.	(**)
Из соотношений (*) и (**) вытекает, что оператор Л* обладает обрат-
ным оператором (Л*)”1 = (л-1)*.
§ 4. Симметрические и полуограниченные операторы
123
§	4. Симметрические и полуограниченные операторы.
Расширения по Фридрихсу ’)
Как мы знаем, линейное преобразование называется ограниченным,
если
Отсюда вытекает, что для ограниченного оператора имеет место не-
равенство
|(5а, «)| <||В«||-И <Р11-И«1Р (At = ||В||).
Если оператор В симметричен (в этом случае число (Ви, и) является
вещественным для всех и £ ф), то существует такая пара чисел т' •
и М', что -
т' || и ||2 С (Ви, и)^ М' || и ||2.
Нижнюю (верхнюю) грань чисел М' (mf), для которых имеет
место предыдущее неравенство, обозначим через М (т) и будем назы-
вать верхней (нижней) гранью оператора В. Следовательно, имеем
т(и, и)^(Ви, и)^М(и, и).
Может случиться, что, хотя симметрический оператор не является
ограниченным, для него существует верхняя или нижняя грань. (Как
мы увидим в дальнейшем, это имеет место в случае эллиптических
операторов.) Тогда оператор называется ограниченным сверху или
соответственно снизу. Операторы, ограниченные только с одной сто-
роны, называются полуограниченными.
Из определения видно, что когда оператор А ограничен сверху,
то оператор (— А) ограничен . снизу (его нижней гранью будет
число — А1). Если нижняя грань оператора т > 0, т. е.
(Аи, и) т || и ||2,
то оператор А называется положительно определенным. Если же
/п = 0, т. е. (Аи, и)^>0, то оператор называется положительным.
Как мы покажем в дальнейшем, многие важные операторы положи-
тельно определены (см. гл. XII и XIV).
К. Фридрихе систематически изучал дифференциальные операторы.
Ему принадлежит следующая важная для приложений теорема.
Теорема (Фридрихе, Стоун, Винтнер). Симметри-
ческий ограниченный снизу оператор А можно расширить до
самосопряженного ограниченного снизу оператора А и при
этом так, что:
1° оператор А имеет нижнюю грань, равную нижней грани
оператора А*,
J) В связи с этим параграфом см. статью М. Г. Крейна [1] (см. также
Крейн М. Г., Красносельский М. А. [1]). В ней, в частности, содержится по-
лученное М. Г. Крейном описание всех самосопряженных расширенных полу-
ограниченных операторов.
124	Гл. V. Симметрические и самосопряженные операторы
2° R(A)~ ф в том случае, когда нижняя грань А больше
нуля.
Заметим, что самосопряженное расширение полуограниченного
оператора, вообще говоря, не является единственным. В дальнейшем
мы познакомимся с примерами операторов, которые обладают только
одним расширением, получаемым посредством процедуры замыкания.
Доказательство, которое мы здесь приведем, проще первоначаль-
ного доказательства Фридрихса и принадлежит Фрейденталю [2].
При этом будет не только доказано существование, но и указан
способ построения соответствующего расширения (несколько другие
доказательства содержатся в монографиях Рисса и Надя [1] и
Михлина [2]).
Заметим сразу же, что, не ограничивая общности, можно счи-
тать, что оператор А обладает нижней гранью, равной единице.
Действительно, предположим, например, что (А'и, и)^т(и. и).
Опр.
Тогда, полагая А = А —(т — 1)/, получим
(Аи, и) —(А'и. и) — rn(u.	и).
Расширение оператора А вызовет требуемое в 1° расширение опе-
ратора Л'. Для исследования вопроса 2° удобно от оператора А
с /?г > О перейти к оператору А — А' с нижней гранью, равной 1.
Доказательство. Пусть (Аи. и)^(и. и). Введем в D(A)
новое скалярное произведение (и. v)A = (Au.v). Нетрудно прове-
рить, что все аксиомы унитарного пространства при этом выполняются,
например
(и. v)a = (Au. v) = (u, Av) = (Av. u) = (v. u)A,
(и. u)a — (Au. u)^(u. #)>0
при w #= 0.
Пополняя построенное унитарное пространство (по норме
||«||л°—’К#» ^)л]1/2), получим гильбертово пространство, которое
обозначим через *§л.
Заметим, что «£)лс:ф; точнее говоря, $А можно линейно и взаимно
однозначно отобразить в пространство ибо норма || • ||л сильнее
нормы || • || в том смысле, что из сходимости по норме || • ||л вы-
текает сходимость по норме || • ||. Действительно, ||«||д^||«|| при
u£D(A). Отсюда следует, что последовательностей, фундаментальных
по норме || • ||л, существует „не. больше", чем последовательностей,
фундаментальных по норме || • ||. Поэтому пространство фл (множество
классов эквивалентных последовательностей, фундаментальных по норме
§ 4. Симметрические и полуограниченные операторы
125
|| • ||л) можно отождествить1) с некоторым множеством последователь-
ностей, фундаментальных по || • ||, т. е. с подмножеством пространства ф.
Другими словами, мы отождествили пространство §л с некоторым
линейным многообразием	Пространство фл имеет другую
топологию, чем многообразие По определению, формула (ut v)A =
= (Д«, v) имеет место при и, v£D(A), однако в силу непрерыв-
ности скалярного произведения она сохранится также и при и £ D (Д),
Положим °= D (Д*) п Имеем, очевидно, включение £>(Д)с
c&cDGT) (напомним, что А симметричен, т. е. ДсД*). Сужение
оператора А* на множество обозначим через Д. Именно опера-
тор А называется расширением оператора А по Фридрихсу.
Нужно доказать, что А = Д*. В силу теорем § 3 для этого до-
статочно проверить, что /?(Д) = .£) иАсА*.
Пусть v — произвольный элемент из Вследствие неравенств
I(«• v) | 'С |1 и || • ||v || IIvII • II и ||д» имеющих место для всех u£D (Д),
выражение (и, V) является непрерывным функционалом на плот-
ном подмножестве пространства $А. Следовательно, на основа-
нии теоремы Рисса — Фреше существует (и притом только один)
такой элемент ^*СФа» что (м» ^) = («» ^*)Л = (Д^» ^*) Для всех
я£О(Д). Отсюда £ D (Д*) П и Д*^* = Д^* = ^. Таким образом,
мы доказали, что /?(Д) = ф.
Докажем теперь, что оператор А симметричен и его нижняя грань
равна единице. Если a, v £ D (Д) — $А П D (Д*), то существуют такие
последовательности (йл), (^л), что ип, vn£D(A) и || и — «л||л->0,
|| v— ^дНа-^О- Следовательно, выражение (ия, -ут)л = (Д«л, 1/^) =
= («л, Д^т) имеет предел при п, /п—>оо. Вычислим этот предел:
lim lim (Днл, vm) — lim (Дил, v) — lim (ия, Ay) = («, Av)}
n->oo m-^oo	n->oo	n->oo
с другой стороны,
lim lim (Дял, vm) = lim lim (ия, Avm) —
rt->OO m->oo	72->CO m->oo
= lim (и, Avm) — lim (Au, vm) = (Au, v).
m->x>	m->oo
Следовательно, (Au, v) — (ut Av) для всех и, v£D(A), так что
оператор А действительно симметричен. Аналогично доказывается
!) Это отождествление взаимно однозначно, так как в силу симметрич-
ности оператора А нормы || • ||л и || • || согласованы в D (Л), т. е. если после-
довательность {ил} фундаментальна по норме || • ||л и ||ил||->0, то и ||ил||->
—>0. — Прим. ред.
126	Гл. V. Симметрические и самосопряженные операторы
полуограниченность:
(Аи, и) — lim (Аи, ип) — lim (и, Аи^ —
П~>СО	/2->ОО
= Нт («, ип)А = (и, и)А >|| «||2.
Л~>оо
Таким образом, нижняя грань после расширения не уменьшилась
и, следовательно, осталась по-прежнему равной единице.
Указание для читателя, интересующегосяприло-
ж е н и я м и. Как мы уже упоминали, изложенная теорема имеет важ-
ные применения в теории краевых задач и задач на собственные
значения для эллиптических уравнений. Рекомендуем читателю по-
смотреть гл. XII, в которой рассматриваются примененйя теоремы
Фридрихса — Стоуна — Винтнера.
§ 5. Спектральное представление полуограниченного оператора
Как мы отмечали, если А = А* — полуограниченный оператор
с нижней гранью, равной tn, то оператор Ai =’ А — (т— 1)/
является полуограниченным оператором с нижней гранью, равной
единице:
(Ахи, и)^(и, и).
Следовательно, оператор At обратим, т. е. существует опе-
ратор ЛГ1. В самом деле, если 4^ = 0, то (й, и) ^(Ахи, й) = 0,
откуда и = 0. Далее, оператор, обратный к самосопряженному, также
является самосопряженным: ЛГ1==(ЛГ1). Поскольку
II II ♦ II«II > I Их»* «) I > II«н2.
то
Итак, ЛГ1 не только самосопряженный, но и ограниченный опера-
тор, причем £>(ЛГ1) = /?(Л1) = ^>. Применяя к оператору ЛГ1 спек-
тральную теорему, получаем
4Г* = f fidF(n).
о
Однако ’) j	j	i
J-J-dF(g) f	MF(fx) = f	lrfF(g)=Z.
0	0	0
И поэтому	1
J
__________ 0	4
’) Определение неограниченной функции эрмитова оператора приводится
в следующем параграфе.
§ 6. Функции самосопряженного оператора
127
Таким образом,
1	оо
Л = Л14-(/п —1)7==	lpFGi)== J XdE(A,),
О	т
ГДв /
£(Х) = Г([Х —m + lf1)
^потому что ^ = ~ + т—!• откуда |1 = (Х—
Из доказанного вытекает такое следствие.
Следствие. Если А — полу ограниченный самосопряженный
оператор с нижней гранью т (верхней гранью Л4), то его
спектральная функция Е(Х) равна нулю при k^m(E(k) — I
при X Л1).
§ 6. Функции самосопряженного оператора. Операторное
исчисление Стоуна — фон Неймана
В предыдущей главе мы определили ограниченную функцию
класса 23(A) от оператора, обладающего спектральным разложением
Л= J Xd£(X).
Л
Теперь мы покажем, что каждой спектральной функции £*(Х),
заданной на вещественной оси, можно поставить в соответствие
со
опр. /*
самосопряженный оператор А = I hE(dh) (смысл, в котором еле-
— оо
дует понимать этот интеграл, поясним позже) и определить функ-
ции F(A) от самосопряженного оператора А для широкого класса
неограниченных, но измеримых функций F, а также развить соот-
ветствующее исчисление. Как мы увидим в гл. XVII и XVIII, это
исчисление (так называемое операторное исчисление Сто-
уна — фон Неймана) приносит большую пользу в основных
задачах математической физики—в задаче Коши и смешанных задачах
с. начальными и краевыми условиями.
Итак, пусть дана спектральная функция Е(Х) (наряду с терми-
нами „спектральная функция" или „спектральная мера" часто упо-
требляется термин „разложение единицы"), т. е. однопараметрическое
семейство операторов ортогонального проектирования, удовлетво-
ряющее следующим условиям:
1° (ХО С (Х2) при Хх<Х2,
2° Е (X + 0) = Е (X) (т. е. для каждого элемента v £ $ lim Е (ц) v=
= E(k)v),
128	Гл. V. Симметрические и самосопряженные операторы
3° £(—оо) = 0, £(оо)=7.
Каждому вектору и поставим в соответствие неотрицательную
неубывающую функцию рп(Х) = (Е(К)и, и) = || Е (X) и ||2. В дальней-
шем мы рассматриваем только измеримые функции, заданные и
конечные почти всюду относительно всех мер ри, и £ Класс таких
функций обозначим через 23. Построение операторных функций
класса 23 основано на следующей лемме.
Лемма (Рисе и Лорх). Пусть ф2, ..., фр ... —последо-
вательность взаимно ортогональных подпространств, полная
в пространстве [(^z)] = $. Обозначим через ut ортогональ-
ную проекцию вектора и на подпространство Если
Лр А2.....А;, ...—такая последовательность операторов,
что сужение оператора Ai на подпространство является
на этом подпространстве эрмитовым оператором1) (т. е.
самосопряженным и ограниченным), то существует такой
самосопряженный оператор А, что его сужение на подпро-
странство фр Z= 1, 2, ..., равно сужению оператора At, т. е.
{оо	\
и : У, || Atut ||2 < оо .
/ = 1	J
При u£D(A) имеем
СО
Аи = ^ Л^р
г = 1
Оператор А определен однозначно.
Доказательство. Построенный выше оператор Л линеен.
Его область определения О(Л) плотна в пространстве ф, ибо она
п
содержит все элементы вида S uit u^fy, образующие в прост-
Z = 1
ранстве $ плотное линейное многообразие. Далее, оператор А сим-
метричен, ибо для всех и, v£D(A)
(Аи,	= Av)
i = l	Z = 1
((Л^р <у) = (Л/Мр v2), так как Vj | Aiui при I =# j). Пусть v£D(A*),
тогда для произвольного u£D(A) имеем тождество (Л«, v) = (u, A*v),
из которого вытекает
оо *	оо
S ®z) = 2 («/. {A*v)i).
/ = 1	i=l
!) Предполагается, что подпространство & инвариантно относительно
оператора Л/.— Прим. ред.
§ 6. Функции самосопряженного оператора	129
Если в качестве и взять элемент подпространства $к, то wz = 0
при i #= k и последнее равенство сведется к следующему:
GM*, vk) = (uk, (A*v)k).
Поскольку оператор Ак самосопряжен в пространстве то
(A*v)k = Akvk. Отсюда вытекает, что
ОО	‘	оо
2 1Ил112= 2 II и*®)* II2=II
k=l	К = 1
Следовательно, v£D(A) и
оо	оо
Av = 2 Akvk = 2 {A*v)k = A*v.
/1=1	/1=1
Итак, 4*сД. Однако оператор А симметричен, поэтому Ас А*»
т. е. А = А*.
Остается еще доказать единственность оператора А. Пусть
В = В* — какой-либо оператор, равный оператору At на подпрост-
ранстве £>z, Z=l, 2.....К области определения D{B) оператора В
обязательно принадлежат все те векторы w, для которых сходится
оо
ряд S But!), причем сумма ряда равна Ви. Но Ви, = Atult а схо-
i=i
димость ряда ортогональных векторов эквивалентна сходимости
(числового) ряда квадратов норм этих векторов; таким образом, мно-
жество всех таких векторов и совпадает с множеством О (Л), при-
чем Ви = Аи> т. е. ВзэЛ. Отсюда А = А*^>В* — В и А — В. Лемма
доказана.
Теперь мы можем перейти к построению функций Г(Л) при
Предположим сначала, что F(X) = F(X).
Как нам известно (см. гл. IV, упражнение 3), характеристическим
функциям соответствуют проекционные операторы. Пусть ек{К)—
характеристическая функция множества всех тех значений X, для
которых k — 1 < F (X) < kt k = 0, ± 1, ±2........Пусть Fk (%) °—
— ек(К) F(К). Очевидно, функция измерима и ограничена, а поэтому
определена функция
г;(Л) = гА(Л) °Л£-
Далее.
2 ек(А) = f idE(k) = I.
й=—оо	—оо
9 Если В = В*, то для	таких, что	Bwi~>g, имеем
wCD (В) и Bw == g. Действительно, (Bwi, h) = Bh) ->(^, h) = (w, Bh) =
= (Bw, h) для всех h£D(B), так что g~Bw. Описанное свойство само-
сопряженного оператора называется замкнутостью (см. гл. III, § 9).
9 К. Морен
130 Гл. V. Симметрические и самосопряженные операторы
Пусть = R(ek (Л)), т. е. —подпространство, на которое
проектирует оператор ek(A). Поскольку ek (X) et (X) — 0 при Z =# £,
то | при I =£ k. Теперь уже ясно, как определить оператор
F(4): это оператор, о котором речь идет в лемме Рисса — Лорха,
равный на подпространстве оператору	Напомним, что
опр.
D(F(4))°^ «: 2иНЛ)еИД)«||2 =
fe = — оо
= 2 Н^И)«||2 = 2 • f \FkWd{E(l)U, «)<оо .
k—— оо	k= — СО — ОС
со
Как известно (ср. дополнение I), сходимость ряда 2 Fi(X) = F2(X)
fe = —оо
эквивалентна — на основании теорем Беппо Леви и Лебега — схо-
оо
димости интеграла F2(fyd(E (к) и, и); если последний интеграл
сходится, то
оо
J ^(k)d(E(K)a, и) = || F (Л) и ||2.
Из сказанного вытекает, что область определения оператора F(A) состоит
оо
из всех тех для которых интеграл . J ] Р (к) |2 d (Е (к) и, и) схо-
— 00
дится:
£(Г(Л)) = ]«: f |F(1)|2 d(E(X)u, и)<оо
— ОО
В частности,
00 )
D(A) — и: J]K\2d(E(K)u, a)<ool.
Если u£D(F(A))t то, полагая uk = ek(A) и, получаем
оо	оо
F(A)u — 2 Fk(A)uk = 2 Fk(A)u,
k — ~ OO	fe= — ОО
а затем
ОО оо	оо
(FG4)«, »)=	$ FkQ.)d(E&)u, t>)= f F(k)d(E(K)u, v).
fess — OO —ОО	л	—OO
Исчисление функций самосопряженного оператора содержится в
следующей теореме.
§ 6. Функции самосопряженного оператора	131
Теорема. Определенные выше функции самосопряженного
оператора удовлетворяют следующим соотношениям:
Если F, F2£®, то
1° (Г(Д))*=?(Д),
2° aF(A) = (aF)(A) при а£С\
3° (А + ^72)(^):эА(^) + ^’2(^)’ причем равенство имеет
место только тогда, когда ^((^1 + Г2)(Д))с/)(^1(Д)) [или
czD(F2(X))], например тогда, когда одна из функций Ft
(в существенном) ограничена.
4° (F1F2)(X)zdF1(^) F2(4); равенство имеет место тогда и
только тогда, когда /Э(Г2(Л) )idD ((Л1Г2)(Д)) [это имеет ме-
сто, например, когда |F2(Z)|<i Л4 < оо].
Доказательство. Предложение 1° вытекает немедленно из
того, что
{Fk (Л)]* = f F^X) dE (X) = Fk (Л).
Предложение 2° очевидно.
Перейдем к доказательству предложения 3°. При этом заметим,
что сумма С операторов А и В с областями определения соответ-
ственно D(A) и D(B) определяется следующим образом:
£>(С)~/)(Д)0D(B), Си== Аи-\-Ви при u£D(C). В частности,
областью определения оператора	(Д)-j-F2 (Д) служит множество
всех тех векторов и, для которых одновременно Z3*! (Х)|2 X
Х^(£(Х)я, я) < оо и J |F2(X)|26Z (£(%)«, я)< оо. Если функции
F1 и F2 интегрируемы с квадратом относительно меры рд(1) =
= (£(X)w, и), то интегрируемой с квадратом является также их
сумма и
оо	2 оо
f (Л + F2) (%) d (Е (X) и, V) = 2 /е{ (X) d (Е (X)«, V),
— ОО	Z=1 —ОО
такчто(Р1 + Р2)(Л)=>Р1(Д)+Р2(Л). Отсюда /’<(Л):э(Р1 + Р2)(Л)—
— Fz-i(.A), потому что F( (X) = (^ + F2) (X) + [— Fz-i (М) и, еле-
довательно,
О(^(Д) + Г2(Д)) =
+ Г2)(Д))ПО(Г1(Д)),
О((Г1+Г2)(Д))ПО(Г2(Д)).
Докажем предложение 4°. Напомним, что произведением операто-
ров А, В с областями определения соответственно £)(Д) и D(B)
называется оператор С с областью определения D(C), состоящей из
9*
132	Гл. V. Симметрические и самосопряженные операторы
всех тех векторов u£D(B), для которых Bu£D (А), причем Си =
= (ЛВ)а = Л(В«) при а£О(С). В частности.
Р(В1(Л)В2(Л)) =
оо
f |F2(X)|2d||B(X)a||2<oo,
— оо
оо
f |Fl(X)|2</||B(X)F2(H)a||2< оо
— ОО
в то время как
D((F!F2)(4)) =
При u£D (F2 (А)) имеем
ОО
|| Е (X) F2 (Л) и ||2 = || В2(Л)В (X) и ||2 = f |F2 (ц)I2 [I Е (ц) Е (X) и ||2=
— ОО
Л
= f |f2(p)|2M£(h)«II2.
— ОО
откуда
оо
|| Fj (Л) В2(Л) а ||2 = f |F1(X)|2d||B(X)F2H)«||2 =
—оо
оо
= f |F1(X)F2(X)|2rf||B(X)a||2.
— ОО
Это равенство нужно понимать в самом общем смысле, т. е. его ле-
вая и правая части могут быть даже (одновременно) бесконечными.
Это означает, что элемент и из области определения оператора F2(H)
принадлежит множеству
D(F1H)F2(^))nD((F1F2)(4))
или не принадлежит множеству
Z)(F1(^)/72(^))UO((F1F2)(X)).
Другими словами,
D (F, (Л) F2 (Л)) = D (F2	(FtF2) (Л)) Е.
§ 6. Функции самосопряженного оператора	133
Если #££*, то для произвольного v имеем
оо
(F, (Л) F2 (Л) и. v) = f Fl (X) d (Е (X) F2 (Л) и. v) =
— ОО
оо	ОО	к
== f F1(X)d(F2(A)E(k)u, v)= f Fx(k)dK f F200d*(E(p)и, v)=
— OO	—OO	—OO
OO
= f F1(k)F2(k)d(E(%)u, v)^=((FlF2)(A)u, v),
— OO
так что
F1(A)F2(A)u^(F1F2)(A)ut
что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы вытекает ряд важных следствий.
00	оо
а)	Полагая А — J* X dE (X), имеем Ап == J Xя dE (X).
— со	—оо
оо
0) Если В= J* XdF(X), где /и>-0, то оператор В положителен,
т
(Ви, и) = fkd\\E(K)u\f^O.
т
Полагая В^2^= J* Z?* dE (X), имеем е№е№ — Ви. Оператор В^2 на-
га
зывается (положительным*. = + j/T) квадратным корнем
оператора В и играет важную роль в приложениях.
у) Предположим, что |F(X)|^A1 почти всюду относительно
любой из мер ри(Л) = ||£;(Х)я||2. Тогда
оо
||Р(Л)«||2= /|Г(Х)|2<ЦЕ(Х)«||2<
-оо	'	оо
Jd||E(X)«||2 = M2||a||2,
—оо	. .
откуда
||Г(Л)Ц<Л1.	f
Можно доказать больше: ||F(4)|| = ess sup|F(X)| (доказатель?
ство можно найти в монографии Рисса и Надя [1]).
б)	[F(X)]_| = F-1 (Л), причем обе части равенства существуют
одновременно (здесь Р~1 не символ обратной к F функции, а
134	Гл. V. Симметрические и самосопряженные операторы
/7'"1(Х)= 1/Е(Х)). Несложное доказательство мы предоставляем чи-
тателю.
В частности, получаем важную формулу
оо
R(A, = —	z e C*.
— oo
Однопараметрическое семейство операторов /?(Л, z) называется
резольвентой оператора А. Это семейство операторов будет рассмот-
рено в гл. VIII. При Imz^O функция F(X)==(X— z)"1 ограничена
на вещественной оси, и поэтому вне вещественной оси /?(Л, z) —
ограниченный оператор.
§ 7. О спектре самосопряженного оператора
В этом параграфе будет сообщено несколько фактов, связанных
со спектром оператора, спектральная функция которого известна.
Другой подход к проблемам, связанным со спектром оператора, чи-
татель найдет в гл. VIII, а унификацию и углубление — в гл. IX,
в которой излагается полная спектральная теорема фон Неймана.
оо
Пусть Е(Л)== J* P(K)dE(K) и, в частности,
— оо
JldE(K).	(7.1)
— ОО
Определение. Спектром оператора А называется подмно-
жество Л вещественной оси, на котором спектральная функция Е(Х)
строго возрастает, т. е. строго возрастает однопараметрическое се-
мейство подпространств ф(Х) = Е(А,)§, или, что то же самое, хотя
бы для одного строго возрастает числовая функция (E(X)w, и).
со
Таким образом, спектральный интеграл J F(h)dE(K) берется
— со
фактически только по спектру Л оператора А. Мы говорим, что
число Ло [соответственно Е(Х0)] принадлежит точечному спектру
оператора А [соответственно Е(Л)], если одноточечное мно-
жество (10) имеет положительную Е-меру, т. е. Е((Х0))==Е(Х0) —
— Е(%0— 0)#= 0, или, другими словами, если в точке %0 функ-
ция Е(%) терпит разрыв. То подмножество спектра, которое остается
после удаления точечного спектра, называется непрерывным спек-
§ 7. О спектре самосопряженного оператора	135
тром оператора А. Множество F (Л) — {F (X): X £ Л} называется
спектром оператора F{A).
тт	/л опр-
Из этого определения видно, что спектр оператора etA =
со
опр. /•
= I eiKdEfy) лежит в комплексной плоскости на окружности еди-
— оо
ничного радиуса с центром в точке нуль. Оператор тождественного
преобразования имеет одноточечный спектр, состоящий из точки 1.
Из предыдущего определения вытекает, что самосопряженный
оператор А в конечномерном пространстве dim ф < оо, имеет
только точечный спектр, совпадающий с множеством собственный зна-
чений оператора. Покажем теперь, что и в общем случае точечный
спектр совпадает с множеством собственных значений опера-
тора А.
Пусть Хо=/=О, и пусть Хо принадлежит точечному спектру опера-
тора Л, т. е. E((Z0))> 0, и область значений оператора £((Х0))
(7.2)
является подпространством, отличным от нулевого. Очевидно,
ДЕ((Х0)) = £((%0))Л== f
~ f Х(х0) W W=	((Ч) )•
где Хуц — характеристическая функция множества М. Ввиду того что
Е((Х0))£((Х0)) = 5((Х0)),
Au — IqU для всех	=	(7.3)
т. е. элементы подпространства являются собственными векто-
рами оператора Д, принадлежащими собственному значению Хо.
Пусть теперь для вектора //#=0 и числа Хо выполняется равен-
ство (7.3), т. е.
О = ||(Л - V) « Il2 = f |X-%0|2d||E(l)HI2-
Л
Интеграл в правой части равен нулю только в том случае, когда
||^((%о))«П2>О и ||£(М«||2 = 0 при Х=АХ0.
Таким образом, мы показали, что множество собственных значе-
ний (очевидно, это множество может быть также пустым) опера-
тора А совпадает с его точечным спектром, а пространство
136 Гл. V. Симметрические и самосопряженные операторы
определенное с помощью равенства (7.2),—совпадает с собственным
подпространством, соответствующим собственному значению 10.
Из свойств спектральной меры а также доказанной только
что теоремы получаем следствие.
Следствие. Собственные подпространства и
соответствующие различным собственным значениям
взаимно ортогональны. Оператор А не имеет непрерывного
спектра (т. е. имеет только точечный спектр) тогда и только
тогда, когда замкнутая линейная оболочка собственных под-
пространств этого оператора совпадает со всем простран-
ством ф.
Во многих вопросах, например в теории вполне непрерывных
операторов, важную роль играет понятие точки предельного спектра.
Определение. Точку Ао [соответственно F(A0)] называют
точкой предельного спектра оператора А = JKdE(k) [соот-
ветственно Г(Л)], если каждой окрестности Д точки Ао соот-
ветствует бесконечномерное подпространство фд =Е(Д)ф
(т. е. сИшфд = оо).
Как мы увидим в гл. VII, эрмитовы операторы, спектр которых
не содержит других точек предельного спектра, кроме точки нуль,
являются вполне непрерывными.
§ 8. Примеры симметрических дифференциальных операторов
Г. Особенно важный для применений в математической физике
класс операторов составляют так называемые формально самосопря-
женные дифференциальные операторы. Приведем здесь определение,
позволяющее применять к ним аппарат гильбертова пространства.
Мы будем употреблять обозначения, уже введенные ранее:
а = (04....ал) обозначает показатель дифференцирования, |а|==
= а1 + • • • Ч-аЛ>
„опр^ д|а|
dxai ... дхап
1	п
Линейный дифференциальный оператор с частными производными
порядка о имеет вид
(Лй)(х)= 2 aa(x)Daw(x),
0<|a|<a
Определение. Оператор А+ будем называть формально
сопряженным (или сопряженным в смысле Лагранжа) с one-
§ 8. Примеры симметрических дифференциальных операторов 137
ратором А, если при и, -у£Со°(£!л) имеет место тождество (Аи, v) =
— (и, A*v), где (и, ^) — J* u(x)v(x)dx.
%
Интегрируя п раз по частям и учитывая, что интегралы по по-
верхности равны нулю, поскольку подинтегральные функции равны
нулю „в граничной полоске", получаем
(Аи, v) = f aa(x)Dau(x)v(x)dx —
Qn la|<cr
= f u(x) S (—i)lalDa[aa(x)v(x)]dx = (u, A+v),
Qn |al<(T
откуда
(Л+-п)(х) = 5 (-1)|п|о“(м7)®(х))
|a|<a
[при этом мы предполагали достаточную гладкость коэффициентов:
аа С
2°. Системой дифференциальных операторов называется вы-
ражение, аналогичное рассмотренному в примере Г, с той разницей,
что ut v обозначают теперь системы функций
«W —(«1(х)......иг(х)),
а аа(х)— квадратные матрицы, элементами которых служат функ-
ции
а1*(х) е с101 (£2Я), аа (х) = (а1/ (х) X, ,ж1.
Обозначая через а* матрицу, сопряженную с матрицей аа:
(аа(х)и(х), v(x)) = (u(x), a*(x)tf(x)y).
без труда находим вид оператора, формально сопряженного с опе-
ратором
Аи (х) — 2 аа (х) Dau (х)>
|а|<ц
Пусть
г
{и, v) = J 2 «г (х) (х) rfx=J (« (х), v (х)) dx.
an	ап
V ' ’I — обозначение скалярного произведения в пространстве С.
138 Гл. V. Симметрические и самосопряженные операторы
Если и, v£C^,r (Qn), то
(Аи, v) = J 2 (aa(x)Dau(x), v(x))dx^
Qn |a|<a
“ / S (Dau(x), a<l{x)v{x')')dx =
Qn |a|<(T
= ^(и(х), У (— l)|al Da[aa(x)v(x)]}dx=={a, A*v).
Qn	la|<a
Отсюда для оператора A+ получаем следующую формулу:
Л+Ф(Х)= 2 (— l),alOa(<4(x)v(x)),
I al <a
или, записывая это равенство для составляющих,
(Л+®)/(х)= 2 (-1)1"1 Da ( 2 ^&)*л(х)].
|a|<a	\Л = 1	/
Из определения видно, что формально самосопряженный оператор,
т. е. такой оператор А, для которого А = А+, с областью опреде-
ления D(А) = Со*1 ’r(Qn), является симметрическим оператором.
ДОПОЛНЕНИЯ
Лакс и Мильграм [1] обобщили построение Фридрихса на случай
некоторых несимметрических операторов, используя свою теорему
об общем виде билинейного функционала (см. гл. II, упражнение 7).
Пусть оператор А с областью определения О(Д), плотной в про-
странстве ф, удовлетворяет следующим условиям:
а)	{(Аи, й)| Pi(u> и)> Pi > О,
b)	I (Аи, v) К р21 (Аи, и) |7‘ I (Av, v) |7‘
при и, v£D(A).
Тогда существует оператор А гэ Д, также удовлетворяющий
условиям а) и Ь) и обладающий ограниченным обратным Д'"1,
II л-1 Пел1.
Указание. Пополнить множество О(Д) по новой норме
IIи Нд ~ I I и продолжить на это пополнение билинейную
форму В (и, v) = (Aut V). К продолженной форме применить теорему
Дакса — Мильграма.
ГЛАВА Vt
Изометрические и унитарные операторы.
Расширение симметрического оператора до
самосопряженного. Спектральная теорема
для самосопряженного оператора
Целью настоящей Глабы является изложение фундаментального'
результата фон Неймана, который дает решение вопроса* о возмож-
ности расширить симметрический оператор до самосопряженного.
Эту трудную задачу фон Нейман свел к более простой задаче на-
хождения условий, необходимых и достаточных для того, чтобы
изометрический оператор можно было расширить до унитарного (при
этом изометрическим называется линейный оператор, сохраняющий
расстояние, а унитарным оператором называется такой изометриче-
ский оператор, область определения и область значений которого
совпадают со всем пространством §). На последний вопрос легко
дать ответ. Итак, нам нужно ближе познакомиться с изометриче-
скими операторами.
§ 1. Изометрические операторы
Отображение V
§1 = D (V)?
называется изометрическим, если оно сохраняет скалярное произве-
дение
(V«1, Va2)2 = («p а2)р	(1.1)
Если область определения D(V) = §P а область значений /?(1/) = ф2,
то отображение V называется унитарным.
Очевидно, унитарные операторы изометричны; обратное, вообще
говоря, неверно.
Если область определения изометрического оператора V плотна
в пространстве фр а область значений плотна в пространстве §2,
то оператор V можно расширить до унитарного оператора U „по-
средством замыкания", т. е. посредством перехода к пределу. Именно,
оператор U определяем следующим образом.
Если й£О(И), то Ua^Vut Если же «(£D(V), то, поскольку
0(7) = ^, существует такая последовательность (ия), что
140	Гл. VI. Изометрические и унитарные операторы
В этом случае полагаем
UuQ— lim Uun — lim Vun.
/1->оо	Л->оо
Существование предела обеспечивается изометричностью оператора V.
Читатель без труда проверит, что область значений так определен-
ного оператора U совпадает со всем пространством ф2*
Заметим, что изометрический оператор линеен. Действительно,
пусть zz,	В этом случае (VKut Vr/)2 = (X«,	=	/\ =
= K(Vu, Vf)2 — (Wti, Vf)2.
Аналогично доказывается аддитивность.
Легко проверить, что изометрический оператор обладает обрат-
ным: пусть Vu = 0, тогда 0 — (Vut Vu)2 = (u, и)р откуда и = 0.
Оператор, обратный к изометрическому, также изометричен.
В самом деле, пусть и', v' £ О(У-1) = R (У). Существуют и, v £ D (V),
такие, что u' = Vu, v'= Vv. Имеем
V~1v')1 = (y~1Vu, V^Vv^tji, v\ = (Vu, Vv)2 = (u', v')2,
что и требовалось доказать. Отсюда в качестве следствия получаем:
унитарный оператор линеен (и очевидно непрерывен); оператор»
обратный к унитарному, тоже унитарен.
Важные примеры унитарных и изометрических операторов мы
приведем в гл. VIII.
Очевидно, изометрический оператор имеет норму, равную еди-
нице,
||V||= sup ||Уи|| = sup ||«|| = 1.
П«11=1	|1«п=1
Напомним (см. гл. III, § 2), что преобразование Т подмножества
пространства в пространство $2 называется замкнутым, если
из того, что D(T)$ ип-> и и Tun-+v £$2, вытекает, что u£D(T)
и Ти = v.
Всякое изометрическое преобразование можно замкнуть, т. е.
расширить до замкнутого, посредством присоединения к области
определения пределов последовательностей, принадлежащих D(T).
В силу обратимости изометрического преобразования легко видеть,
что если Т — замкнутый (изометрический) оператор, то область
определения, а также область значений оператора Т являются замк-
нутыми линейными множествами, т. е. подпространствами. С настоя-
щего момента мы будем предполагать, что все рассматриваемые изо-
метрические операторы замкнуты. В таком случае имеет смысл
говорить об ортогональном дополнении области определения и об-
ласти значений
D(T^=^QD(T),	/?(Г)Х = §2 QR(T).
Множества D(T)~ и R(T)^- называются дефектными подпростран-
ствами оператора Г, а их размерности (тр т2) — индексами
§ 2. Расширение изометрического оператора до унитарного 141
дефектаJ):
т{ == dim (D (Г)-1), т2 °— dim (R (Г)-1).
Пример. Пусть §1 = §2 = Z2 (Z2— пространство последователь-
ностей).
D (Г) °— Z2; Т (хр х2, ...) °— (0, 0, Хр х2, ...).
оо
Изометричность оператора Т очевидна: (Г (xz), Т ((yz)) = S xzyz =
i=l
= ((xz), (yz)). Так как D(T) — l2, то первый индекс дефекта тг = 0.
Легко видеть, что второй индекс т2 = 2, ибо ^(Т1)-1- является мно-
жеством последовательностей вида (хр х2, 0, 0, ...), базисом кото-
рого являются, например, векторы ^=(1, 0, . ..), е2 = (0, 1,0,...).
§ 2. Расширение изометрического оператора до унитарного
Начиная с этого места и до конца главы мы будем рассматри-
вать только изометрические преобразования гильбертова простран-
ства ф в себя.
Пусть Т — замкнутое изометрическое преобразование, и пусть
(/Пр /п2) — его индексы дефекта. Пусть
dim (О (Г)1) = яц = р 4- dim (R (D1) = m2 — р-}- п2.
Рассмотрим в дефектных подпространствах ортонормальные базисы
(фа) и (фр) и определим изометрическое отображение IF подпро-
странства, натянутого на „первые ри векторов базиса (фа), на под-
пространство, натянутое на „первые р“ векторов базиса (фр), полагая
№гф/==ф/ (и линейно продолжая отображение W на все подпростран-
ство). При и — их-\-и2, где m1^D(T), а и2 £ [(<Pz)f=1]> положим
T'u — Tux-\-Wu2. Таким образом, мы расширили преобразование Т
№ изометрического преобразования Т' с областью определения
D (Tf) = D (Г) ф [(ф/)] и областью значений R (Т') = R(T)@ [(фZ)J.
Преобразование Т' zd Т очевидно имеет индексы дефекта, равные
(Пр и2). Отсюда заключаем, что верна следующая теорема.
Теорема 1. Изометрическое преоб разование можно рас-
ширить до унитарного тогда и только тогда, когда индексы
дефекта этого преобразования равны, тх = т2. Если один из
индексов дефекта равен нулю, то преобразование Т является
максимальным, т. е. не имеет {изометрических) расширений.
Как показал фон Нейман, симметрическому оператору можно по-
ставить в соответствие изометрическое преобразование так, что это
9 Иногда величины тх и т2 называют дефектными числами оператора Г,
а его индексом дефекта — упорядоченную пару дефектных чисел (ть т2).
Ср. это определение с определением на стр. 93. — Прим, перев.
142	Гл. VI. Изометрические и унитарные операторы
преобразование будет унитарным тогда и только тогда, когда исход-
ный симметрический оператор является самосопряженным. Индексы
дефекта соответствующего изометрического преобразования назы-
ваются индексами дефекта исходного симметрического оператора.
Следовательно, из теоремы 1 вытекает следующее предложение.
Теорема 2 (фон Нейман). Симметрический (замкнутый)
оператор тогда и только тогда можно расширить до само-
сопряженного оператора, когда его индексы дефекта равны.
Преобразование симметрического оператора в изометрический
достигается с помощью так называемого преобразования Кэли.
§ 3. Преобразование Кэли и доказательство
теоремы фон Неймана
Сначала изложим некоторые леммы.
Лемма 1. Линейное преобразование Т изометрично тогда
и только тогда, когда
||Ти||=|]я|| для всех u£D(T).	(3.1)
Необходимость условия вытекает непосредственно из определения
изометрического оператора. Доказательство достаточности является
следствием тождества (которое читатель без труда проверит сам)
Il/+£||2-II/-g |l2 + dl/ + M2 -1\\ f-W = 4 (/> g)> (3-2)
Если положить f = Tut g = Tv и применить формулу (3.1), то
получим соотношение (1.1), стр. 139, так что преобразование Т —
изометрично.
Лемма 2. Если А — симметрический оператор, то для
каждого u£D(A)
|| Аи ± Z«||2 = || Д«||2 + || «||2.	(3.3)
Нетрудное доказательство предоставляем читателю.
Из формулы (3.3) видно, что оператор А ± II обратим (так как
он принимает значение нуль только в точке нуль). Поэтому суще-
ствует оператор
Оператор СА называется преобразованием Кэли оператора А.
Из этого определения видно, что D (СА) = R(A-{-Н), и, таким
образом, если
О(СЛ)Э® = (Д + 11) и,	(3.4)
§ 3. Преобразование Кэли и доказательство теоремы фон Неймана 143
то Cav = (A — II) и. Из формулы (3.3) вытекает, что || CAv || = у v ||,
так что преобразование Кэли симметрического оператора
является изометрическим оператором.
Покажем, что оператор I — СА обратим.
Если v — Au-^iu, Cav=^Au— iu, то ^(v— CAv) = lu, а также
±-(v-{~CAv)= Au. Если теперь (/ — Сл)^ = 0, то я = 0 = Л« =
= у(^4~Сл^), а поэтому v-О. Следовательно, имеем
Аи = 1 (7 + СА) v = 1(1 + Сл) (7 - Сд)’1«.	(3.5)
Отсюда видно, что О(Л) = /?(/ — Сл) и поэтому множество значений
оператора I — СА плотно в <£).
Таким образом, оператор А однозначно восстанавливается по
оператору СА.
Теорема 3. Каждое изометрическое преобразование Т,
для которого многообразие R(I— Т) плотно в простран-
стве является преобразованием Кэли некоторого симме-
трического оператора.
Доказательство. Последовательно докажем, что:
1° существует А — 1(1 + Т) (/ — Т)”1 = Ст1 (обратное пре-
образование Кэли)\
2° оператор А °= Cf1 симметричен;
3° преобразование Кэли СА оператора А ==Ср1 совпадает с исход-
ным оператором Т: С^—Т.
К пункту 1°. Достаточно проверить, что из соотношения
(/ — Т)и — 0 вытекает и — 0. Пусть R(I — T)$h — (I— T)v\ пока-
жем, что (и, h) = 0. Имеем
(и, h) — (u, v)— (ut Tv) = (Tu, Tv) —(и, Tv) =
— — (\1 — Т\и> Tv) — — (0, Tv) = 0.
Так как R(I — T) — $, то действительно u = 0.
К пункту 2°. Положим A°— i(I-]-T)(I — T)-1. Пусть /, g£
£D(A)°=R(I — T), причем f = (I — T)u, g — (I— T)v. Имеем
(Af. g) = (l(I-\-T)u, (I-T)v) =
= i[(ut v) — (Tu, Tv)-\-(Tui v) — (u, Ttf)I =
= i[(Tu, v)—(ut Tv)] =
= ((I-T)Ui i(I + T)v) = (f. Ag).
что и требовалось доказать^
144
Гл, VI. Изометрические и унитарные операторы
К пункту 3°. Если / = (/— Т)и, то Af = 1(1 а по-
этому Af-j- if = I [« + Та-\- и — Ти] = 21и. Аналогично А/ —
— lf = 2lTu. Но D(Ca) = R(A-\-II}= {2Za: u£D(T)\. Следова-
тельно, D(Ca)=D(T). ОтсюдаСл(2/гг)=(А—11)(А+И)~Х (A-^-il) f=
— Af — lf = 2lTu, т. e. CAu — Tut откуда CA = T. Теорема пол-
ностью доказана.
Из доказанной теоремы вытекает, что изометрическими расшире-
ниями Т' преобразования СА являются преобразования СА> симметри-
ческих расширений А' симметрического оператора А:Т' = Сд', где
Д'зэЛ и Т':эСА.
Таким образом, вопрос о симметрических расширениях симметри-
ческих операторов мы свели к задаче, решенной в предыдущем пара-
графе: симметрический оператор будет самосопряженным тогда и
только тогда, когда его преобразование Кэли унитарно.
Индексы дефекта оператора СА называются индексами дефекта
оператора А. Таким образом, мы полностью доказали теорему фон
Неймана (теорема 2 § 2).
Поскольку для приложений важно знать, обладает ли данный
симметрический оператор самосопряженными расширениями, т. е.
равны ли индексы дефекта, желательно иметь другие характеристики
дефектных пространств. Этой цели может служить следующая тео-
рема, также принадлежащая фон Нейману.
Теорема 4. Дефектные пространства
& = $QD(Ca), fa ~
совпадают с множествами решений уравнений
А*и = 1и, А*и = — 1и~	(3.6)
соответственно.
Доказательство. Соотношение и£$д означает [ср. (3.4)],
что 0 — (Д‘Ц-|-/'Р, й) = (г>, А*и — 1и) для всех v£D(A). Так как
D (Д) = ф, то А*и — 1и = 0.
Аналогично доказывается вторая из формул (3.6).
Проверим еще, что фдП£>(Д) = 0. Пусть ис§лПЙ(Л); по-
скольку Дс4\ то из формулы (3.6) вытекает, что (Аи, u) — i(u, и).
Так как в силу симметрии оператора А число (Аи, и) вещественно,
то (и, и) = 0.
§ 4, Примеры дифференциальных операторов,
обладающих самосопряженными расширениями.
Лемма Л. Морен
1°. Одной из важнейших систем уравнений теоретической физики
является система уравнений Дирака релятивистской теории электрона,
§ 4. Примеры дифференциальных операторов
145
В стационарном поле эта система имеет вид
h ди (х, t) _
1 di
k б
ст—г
dxk
где 2лЛ— постоянная Планка, т— масса покоя электрона, с — ско-
рость света. Величины ФЛ(& = 0, 1, 2, 3) являются составляющими
электромагнитного потенциала, а а* и £(£ = 1, 2, 3) являются так
называемыми матрицами Дирака с четырьмя строками и четырьмя
столбцами. Матрицы Дирака эрмитовы: (a*)* = akt 0* = р. Кроме того,
afeaz + azafe —26Zfe • /, afep + pafe = 0, р2 = /.
Обозначая через Аи правую часть системы уравнений Дирака,
перепишем эту систему в виде
at
Проверим, что оператор А формально самосопряжен, т. е.
что А+и = Аи.
Как нам известно из предыдущей главы,
- з
2 (->*)’
3
А* и = У
Л=1
Ввиду того что матрицы а* и р эрмитовы, имеем
з
ШС2 л*
---р* и.
е н
ГЪ I	Л	Л
фо+—₽ u = Att.
Так как оператор А формально самосопряжен, то его сужение на
класс С™' 4(йл) является симметричным преобразованием.
Лидия Морен [1] доказала, что это сужение имеет равные
индексы дефекта и поэтому обладает самосопряженными
расширениями.
Доказательство. Предположим, что Фл (х) £ L2 (Q3) при
Л = 0, 1, 2, 3 и, кроме того, | Фо (х) j < М. Докажем прежде всего,
з
ОПр.
что сужение Во оператора В — \
C“’4(Q3) обладает самосопряженными расширениями. Сужение Во
является симметрическим оператором (доказательство такое же, как
в случае оператора Ло). Поскольку D (СВй) = R (В //)• то я £ Z) (С5о),
если u — BQf~\~ift где	С другой стороны, вектор
Мо^
/ lafc —г — — аФ^ на класс
\ dxk с ь)
л=1
з
146	Гл. VI. Изометрические и унитарные операторы
если v = Bog — lg, где g^D(B0). Полагая / = ₽g.
в силу соотношения faft = — a*₽ получаем
з
и = 12 а*р	+ l$g ==
# = 1
3
*=—I ^ра*
Положим Q/z =— рй; Q — эрмитов оператор и Q2 = /. Предыдущее
равенство показывает, что Q переводит R(Cb0) в О(Св0), а значит,
и D(CBq) в /?(СВо). Но тогда он переводит одно в другое и орто-
гональные дополнения $QD (Свй) и $Q R(CBo)- Поэтому они имеют
одинаковую размерность. Другими словами, существует самосопря-
женное расширение Вх оператора Во, Bi = BiZ)Bo- Поскольку при
выполнении условия |Ф0(х)] < М оператор —уФ0/ эрмитов, то
оператор А1=В1 — ~ Фо7 + тс$ самосопряжен, так как нетрудно
доказать, что сумма самосопряженного и эрмитова операторов само-
сопряжена. Таким образом, оператор является самосопряженным
расширением оператора Ло, что и требовалось доказать.
2°. Значительно легче доказать следующую лемму.
Лемма. Линейный формально самосопряженный дифферен-
циальный оператор с вещественными коэффициентами обла-
дает самосопряженными расширениями.
Докажем более общее предложение. Для этого введем понятие
вещественного преобразования. Преобразование А, действующее в про-
странстве l?’T (£2Л), будем называть вещественным, если выполняются
следующие два условия:
1° если / = (/(*))	(Л), то 7 = (7ЙГ)€ЩЛ);
2° Af = Af.
Докажем, что если А — вещественное преобразование и суще-
ствует преобразование Л*, то Л* — также вещественное пре-
образование.
Если g£D (Л*), то
ИЛ g) = (АЛ g) = (Af, g) = (7? Л^) = (/; Л^).
отсюда
и Л*£=Л^.
А теперь докажем, что симметрическое вещественное пре-
разование (в частности, формально самосопряженный диф*
§ 5. Спектральная теорема для самосопряженного оператора
147
ференциальный оператор с вещественными коэффициентами)
имеет одинаковые индексы дефекта.
Действительно, равенство A*f—±if влечет за собой равенство
A*f=+lf [ср. (3.6)]. Поэтому пространство §д имеет своими эле-
ментами функции, сопряженные с функциями из фд, и обратно. Таким
образом, пространства фд и фд имеют одинаковую размерность, что
и требовалось доказать.
§ 5. Спектральная теорема для общего самосопряженного
оператора
Как мы видели в предыдущей главе, спектральная мера Е(К)
определяет самосопряженный оператор
JbdEfK),	(в.1)
— ОО
а также функции этого оператора
F(A)°^ fF(K)dE(K).
— ОО
Вещественным функциям соответствуют самосопряженные опера-
торы. Оказывается, что среди симметрических операторов только
самосопряженные обладают спектральным разложением (5.1). Докажем
теперь следующее предложение.
Спектральная теорема. Каждый самосопряженный опе-
ратор А(А = А*) определяет спектральную функцию E(k),
посредством которой он выражается в виде спектрального
интеграла (5.1).
В § 3 мы доказали, что преобразованием Кэли самосопряженного
оператора А является унитарный оператор CA = U. С другой сто-
роны, из операционного исчисления Стоуна — фон Неймана вытекает,
2л
что elA = J* eiKdE(k) является унитарным оператором. Можно дока-
о
зать, что верно и обратное утверждение: всякий унитарный опе-
ратор обладает спектральным представлением вида
2л
и а е1» dF (|Х),
О
где F {р) — спектральная функция. Эту теорему можно доказать,
исходя из спектрального разложения эрмитова оператора. Однако мы
10*
148	Гл. VI. Изометрические и унитарные операторы
предпочитаем изложить несколько позже изящное доказательство более
общей теоремы, касающейся нормальных операторов (т. е. операто-
ров, удовлетворяющих условию NN* = основанное на теории
Гельфанда — Наймарка. Имея спектральное представление преобразо-
вания Кэли СА самосопряженного оператора Л, именно U = CA =
2л
=	и обратное преобразование
о
А = СЪХ = I (/ + СА) (/ - Сд)-1 = I (/ + ?л)(/ -
мы получим спектральное представление оператора А.
Описанная здесь идея принадлежит фон Нейману. Надлежит лишь
доказать, что выполняемые преобразования законны.
Доказательство спектральной теоремы. Пусть
2л
U — CA = j' dF Qx); тогда
о
2л
^ = Z(7 + t/)(Z-t/)"1 = f il±^dF(n).
о е
Но
14-^н
‘	= - C,S «2)-
Заметим, что так как существует оператор (/ — Сд)"1 = (7 — t/)”1,
то единица не является собственным значением унитарного опера-
тора U. Следовательно, функция F(p,) непрерывна в точке ц = 2л.
Из определения спектральной функции (включающего требование
правосторонней непрерывности) нам известно, что функция F(|i) не-
прерывна в точке 0, так что точки 0 и 2л имеют спектральную меру
нуль. Следовательно, существует функция
2л
— ctgy = J (— ctg-£pF(|x) = X.
О
Напомним, что для существования интеграла по спектральной мере
требуется, чтобы множество, на котором подинтегральная функция
равна бесконечности, имело спектральную меру нуль. Полагая
£ (X) —‘ F (—2 arctg X),	(5.2)
мы получаем спектральное представление самосопряженного опера-
тора Л. Именно оператору А = А* (однозначно) соответствует такая
Упражнение
149
спектральная функция £(Х), —оо < % < оо, чк
оо
А= f KdE(ty.
— ОО
УПРАЖНЕНИЕ
Инволюцией (сопряжением) в абстрактном гильбертовом простран-
стве § называется отображение J пространства § на себя, обладаю-
щее следующими свойствами: J2 = Z, (Ju, Jv) = (u, v) — (v, и). Опе-
ратор А называется вещественным относительно инволюции J,
если AJu = JAu для всех u£D(A).
Доказать, что симметрическое преобразование, вещественное отно-
сительно некоторой инволюции, обладает самосопряженными расши-
рениями.
ГЛАВА VTI
Вполне непрерывные операторы.
Теория Рисса линейного уравнения с вполне
непрерывным оператором. Примеры
Теория вполне непрерывных эрмитовых операторов составляет
самый ранний и лучше других изученный раздел теории операторов
в гильбертовом пространстве. Понятие полной непрерывности было
введено Гильбертом, а затем изучалось его школой (Э. Шмидтом,
Э. Фишером, Ф. Риссом, Г. Вейлем и др.) Благодаря этим исследо-
ваниям выяснилось, что основные классические свойства интеграль-
ных операторов (например, теоремы Фредгольма) связаны не с инте-
гральной природой этих операторов, а с полной непрерывностью.
Вполне непрерывные операторы занимают промежуточное место
между конечномерными операторами и общими линейными операторами
(они являются равномерными пределами конечномерных операторов).
Теория таких операторов легко обозрима. Понятие вполне непре-
рывного оператора возникло при изучении интегральных операторов.
Интегральные операторы и в настоящее время являются наиболее
важными примерами вполне непрерывных операторов. В последние
годы обнаружена тесная связь вполне непрерывных операторов
с дифференциальными операторами произвольного порядка эллипти-
ческого типа.
Автор надеется, что настоящая глава написана в духе Э. Шмидта,
благодаря которому связь между вполне непрерывными и конечно-
мерными операторами стала более четкой.
§ 1. Конечномерные операторы.
Определение вполне непрерывного оператора
В этой главе мы будем рассматривать только линейные и непре-
рывные операторы. Для того чтобы не усложнять речи, употребляя
термины „линейный оператор" (операция, преобразование), мы будем
иметь в виду непрерывный, а следовательно, ограниченный оператор.
Линейное преобразование А гильбертова пространства § в себя на^
зывается конечномерным, если область значений /?(Д) преобразова-
ния А принадлежит конечномерному подпространству и, следовательно,
сама является конечномерным пространством: dim У? (Л) = k < оо.
Размерность dim/?(/l) будем называть размерностью оператора А.
Найдем теперь общий вид линейного конечномерного оператора.
§ 1. Конечномерные операторы
151
Теорема 1. Пусть ег......ek — базис области значений /?(Д)
оператора А. Тогда
Г существуют такие векторы e*v ..., е*к» что
k
Л« = 2(«. e^et	(1.1)
для всех и£&
2° векторы е*» е*к образуют базис области значений
R(A*) оператора Д*, так что dim R (Д) = dim R (Д*), причем
имеет место тождество
k
Л*«»*== £(«>*, еЛе*	(1.2)
Доказательство. К пункту 1°. Так как векторы ех........ek
образуют базис в пространстве /?(Д), то
k
Аи = 2 Ф/ («) ek,
где ф/(«) — комплекснозначная функция от и, В силу линейности
и непрерывности оператора А функция фДя) является линейным не-
прерывным функционалом. Действительно, пусть ип->и\ тогда
k	k
Аи„ = Ф< («„) et -> Аи = 2 Ф/ («) «I-
/ = 1
Так как векторы ех» ...» ek линейно независимы, то Ф/(«л)->Ф/(«)
при п—>оо и Z—1, ...» k.
Из теоремы Рисса — Фреше об общем виде линейного функцио-
нала вытекает, что существуют такие векторы е*.......e*k» что
фх(й) = (а, £*)...фй(^)	= (и, е*). Следовательно,
k
л = 2(-, «>,.
К пункту 2°. Для произвольных и» имеем
k
(и» A*v*) = (Au, =
следовательно,
"л
(Д^*, u)=^(eit v^(u» е^) =
~Х	к	/к	\
= 2(< *,)(«•.«)=( 2(•>-.
р?сюда сразу получается формула (1.2),
152	Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
Одновременно мы доказали, что рр ...»	=)/?(Л*), поэтому
dim Я (Л*) < dim Я (4).	(1.3)
Взяв за исходный оператор А* и принимая во внимание соотно-
шение Л** = Л, получаем
dim R (Л) < dim R (Л*).	(1.4)
Неравенства (1.3) и (1.4) показывают, что dim R (Л) = dim R (Л*),
что и требовалось доказать.
Обозначим через N (В) подпространство всех тех элементов, для
которых непрерывный оператор В принимает значение нуль:
М(В) — {ае^:В« = 0}.
Докажем, что имеют место следующие ортогональные разложения
гильбертова пространства ф.
Лемма 1°* Если б!т/?(Л)<оо, то
R(A)®N (Л*) = $ = R (Л*) ф N (Л).	(1.5)
2°. Если известно только, что оператор А непрерывен,
то вместо равенства (1.5) можно написать следующие вклю-
чения'.
R(A)cz(N (A*))*-, R(A*)c(N (Л) Л	(1.6)
причем многообразие R(A) плотно в ортогональном дополне-
нии подпространства N (Л*), т. е. имеет место формула
Я(Л) Ф N (Л*) = $ = R~(A*) ф N (Л).
Доказательство. Докажем сначала пункт 2°. Пусть v £ R (Л),
a 'w*£N(A*). Тогда v = Au, Л*-ш* = 0. Имеем (v, w*) = (Au, w*) =
==(«, Л*«а/*) = 0, поэтому v _1_М(Л*) и R(A)czN (А*)\
Предположим, что множество R(A) неплотно в подпространстве
(N (А*))± — Тогда существует такой вектор и=£0, что и ^^(Л*))1
и я±Я(Л). Поэтому 0 = (w, Av) —(А* и, v) для любого v£$t
так что Л*я = 0, u£N(A*), что противоречит соотношениям
u£(N(Л*))1, w=#0. Таким образом, предложение 2° доказано.
Если dim R (Л) < оо, то R (Л) — замкнутое подпространство:
R(A) = R(A). Поэтому доказано также предложение 1°.
Замечание. В случае конечномерного гильбертова простран-
ства, dim § < оо, предыдущая теорема и лемма содержат три тео-
ремы Фредгольма. К этому вопросу мы еще вернемся в § 3.
Близкими к конечномерным операторам являются операторы,
равные равномерным пределам конечномерных операторов; такие
рператоры называются вполне непрерывными операторами.
§ 2. Свойства вполне непрерывных операторов	. 153
§ 2. Свойства вполне непрерывных операторов
Определение. Линейный оператор А называется вполне не-
прерывным, если его можно сколь угодно точно аппроксимировать
конечномерными операторами, т. е. существует такая последова-
тельность (Лл), dim R (Ап) < оо, что
Нт||Л„-Л|| = 0.
л->оо
Из определения вполне непрерывного оператора вытекает еле?
дующее предложение.
Теорема 1.
Г. Всякий конечномерный оператор вполне непрерывен.
2°. Если А и В — вполне непрерывные операторы, то их
линейная комбинация аА-\-ЬВ — тоже вполне непрерывный
оператор.
3°. Если (Кп)— последовательность вполне непрерывных
операторов, равномерно сходящаяся к оператору /С:
lim||Кп — /С|| = 0, то К — вполне непрерывный оператор.
4°. Если А — вполне непрерывный, а В — ограниченный опе-
ратор, то АВ и ВА — вполне непрерывные операторы.
Эту теорему можно сформулировать короче: вполне непрерыв-
ные операторы образуют двухсторонний замкнутый идеал
в кольце ограниченных операторов1).
Доказательство. Докажем только предложения 3° и 4°.
Предложение 1° очевидно, а доказательство предложения 2° мы
предоставим читателю.
К пункту 3°. Ввиду того что /С = lim Кп, для каждого е > оо
Л->оо
существует такое W (е), что при n>Af(e) имеем ((#— Кп || < е/2.
Но Кп —вполне непрерывный оператор, и поэтому существует такой
конечномерный оператор /Сд, dim Кп < оо, что || Кп — Кп || < е/2.
Следовательно,
Ik - *; || = IIК - Кп + Кп - к'п II < IIК - Кп 11 + II/с, - К'п II < е,
что и требовалось доказать.
К пункту 4°. Полная непрерывность оператора АВ вытекает
непосредственно из определения. Действительно, пусть || А — Дп(|<
<е(||В||)~1, причем dim4„<oo. Тогда
|| АВ-ЛлВ|| = ||(Л-Лл)в||<|| А —Л„|| • ||В|| < е;
J) Можно доказать, что других двусторонних замкнутых идеалов в кольце
ограниченных операторов на гильбертовом пространстве не существует. —
Прим. ред.
154	Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
кроме того, АпВ — конечномерный оператор, так как
dim R (АпВ) dim R (Лл) < оо.
Опираясь на теорему 1 § 1, читатель докажет следующую лемму:
оператор А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда
оператор А* вполне непрерывен.
С помощью этой леммы нетрудно закончить доказательство
предложения 4°.
Докажем теперь важную теорему, содержащую топологическую
характеристику вполне непрерывных операторов.
Теорема 2. Необходимым и достаточным условием полной
непрерывности оператора А является предкомпактность
образа произвольного ограниченного множества1).
Примечание. В приложениях удобно пользоваться эквивалент-
ной формулировкой: „предкомпактность образа единичного шара*.
Доказательство теоремы 2. Пусть А — вполне непрерыв-
ный оператор, и пусть К — единичный шар с центром в нуле:
#= {« : ||я||	1}; достаточно доказать, что, каково бы ни было е > О,
для множества А (К) существует компактная е-сеть.
Пусть || Ап — А || < е и dim R (Лл) < оо. Множество Ап (К)
является замкнутым и ограниченным в конечномерном метрическом
пространстве R (Лл) и поэтому компактным. Ввиду того что при и£К
имеем || Аи — Апи [| == || (А — Ап) и || < е, множество А (К) можно
сколь угодно точно аппроксимировать компактными множествами
Лл(/С), что и доказывает предкомпактность множества А (К).
Пусть теперь А (К) — предкомпактное множество, и пусть
uv •••’ aN(&) — узлы конечной е-сети множества А (К). Рассмотрим
г	1 опр- г
линейную оболочку этой е-сети ...,	= %>л» где п—.
= dim £>я < W (е) < оо. Обозначим через Рп оператор ортогональ-
ного проектирования на подпространство фл. Оператор Ап —' РпА
конечномерен. Ввиду того что среди векторов пространства $п
наилучшим приближениехм вектора Аи является вектор РпАи — Anut
при || и ||	1 имеем|| Аи — Апи || < е, и поэтому
М — 4,11 = sup UM—4,)«1К8-
||«|| <1
Таким образом, доказательство теоремы 2 закончено.
!) Напомним, что множество в метрическом пространстве называется
предкомпактным, если всякая бесконечная последовательность, составленная
из элементов этого множества, содержит фундаментальную подпоследова-
тельность; это свойство эквивалентно наличию конечной (и даже компактной)
е-сети при всяком е > 0. — Прим. ред.
§ 2. Свойства вполне непрерывных операторов
155
Теорема 2 показывает, что следующее определение в случае
гильбертова пространства эквивалентно определению, сформулиро-
ванному в начале настоящего параграфа.
Определение (Ф. Рисе). Оператор А называется вполне
непрерывным, если он отображает всякое ограниченное множество
в предкомпактное.
Примеры вполне непрерывных операторов
1.	Пусть А — интегральный оператор с непрерывным ядром.
Точнее, пусть А(х, у) — функция, непрерывная на компактном
подмножестве X декартова произведения Еп X Еп\
А(х, y)cC(Q„XQ„).
Положим
(Аи)(х) = J А(х,у )u(y)dy.	(2.1)
Функция А(х, у) называется ядром интегрального оператора А.
Формула (2.1) задает преобразование гильбертова пространства £2(ЙЛ).
Докажем, что образ тара {я £ А2(йл): || и ||	1} предком-
пактен. С этой целью воспользуемся теоремой Арцела, в соответ-
ствии с которой множество (скалярных) функций, равностепенно
непрерывных и равномерно ограниченных, предкомпактно относи-
тельно метрики шах|я(х)|; другими словами, из любой последова-
тельности в таком множестве можно выбрать равномерно сходящуюся
подпоследовательность.
Заметим сразу же, что из равномерной сходимости на множестве
конечной (лебеговой) меры вытекает сходимость в смысле про-
странства L? (Qn).
Таким образом, достаточно будет показать, что:
Г множество (Аи), где	равномерно ограничено,
2° функции (Аи)(х), || я || <С1, равностепенно непрерывны, т. е.
| (Аи) (х') — (Аи) (х") | < е.
если || х' — х" || < Ъ (е), е > 0.
Доказательство. К пункту Г. Имеем
|(Л«)(х)| = | JА(х, y)u(y)dy\^
<	max |Л(х, у)| f 11 • «(y)|dy<
(X,y)^QnXQn	J
п
<	^I-I^P-IIkL/q r
(*. y)€%xfln
156
Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
При этом мы воспользовались неравенством Шварца; | Qn | означает
(конечную) меру множества : | йд | = J dx.
Qn
К пункту 2°. Имеем
| (Аи) (х') — (Аи) (х") | = | J [А (х', у) — А (х", у)] и (у) dy | <
а«
<	/1 А (х', у) — А (х", у) | • | и (у)| dy <
а«
max | А (х\ у) — А (х", у) | • |	|V«.
Так как функция Л(х, у) равномерно непрерывна, то теорема
доказана.
2.	Интегральный оператор с измеримым суммируемым с квадра-
том ядром: А g L? (йд X ^л).
Оценим сначала норму этого оператора, рассматриваемого как
преобразование гильбертова пространства £2(£2Д) в себя:
Аи(х) = J А(х, y)u(y)dy.
Если ||«||2 = J|«(y)|2tfy> то
%
|Лй ||2 = J | Аи (х) \2dx — f j" А (х, у) и (у) dy
Qn	Qn Qn
2
A(x, y)l2dy- f lu(y)l2dy]dx —
>
— J* \A(x, y)|2ztady . ||«||2;
при этом мы воспользовались неравенством Шварца.
Таким образом,
1а„хйл	J
т. е.
||Д||2< f |Л(х. y)\2dxdy.
аях°я
Полная непрерывность рассматриваемого интегрального оператора
вытекает немедленно из предложения 3° теоремы 1 настоящего пара-
графа и предыдущего примера. Именно ядро Л££2(£2ДХ^Д) можно
§ 3. Теория Рисса линейных уравнений второго рода
157
аппроксимировать сколь угодно точно в смысле £2 (£2Л X 2Я) непре-
рывными ядрами Av £ Со (Йл X йл).
Ниже мы покажем, что ядра со слабой особенностью, т. е. ядра,
непрерывные вне линии х = у и обладающие оценкой вида
\А(х, У)1<-------~~^а •
II*—у I&
где а и а — положительные постоянные, определяют также вполне
непрерывные интегральные операторы. Интегральные операторы такого
типа имеют фундаментальное значение в теории уравнений в частных
производных эллиптического типа (ср. упражнения).
§ 3. Теория Рисса линейных уравнений второго рода
Уравнением второго рода называется уравнение вида
и~ Au — f,	(3.1)
где / — заданный вектор. Уравнения этого типа, в случае когда
А — интегральный оператор с непрерывным (или слабосингулярным)
ядром, изучались в начале нашего столетия И. Фредгольмом в связи
с краевыми задачами для уравнения Лапласа (и называются инте-
гральными уравнениями Фредгольма второго рода). Исследования
Фредгольма положили начало стремительному развитию теории опе-
раторов в гильбертовом пространстве (Т. Кар леман'и школа Д. Гиль-
берта в Гёттингене). Ф. Рисе и Ю. Шаудер доказали теоремы Фред-
гольма для уравнений в банаховом пространстве, а в последние годы
М. Альтман [1] весьма остроумно перенес теорию Рисса — Шаудера
на общие линейные локально выпуклые топологические пространства.
В этом параграфе мы изложим доказательство трех теорем Фред-
гольма для уравнения (3.1) в случае, когда А является линейным
вполне непрерывным оператором. При этом мы воспользуемся заме-
чательной идеей Э. Шмидта, которая позволяет свести задачу к слу-
чаю уравнений с конечномерными операторами, т. е., по существу,
к случаю системы линейных алгебраических уравнений.
В конечномерном пространстве X всякий линейный оператор В
является ограниченным и конечномерным. В частности, конечномер-
ным является оператор / — В.
В § 1 настоящей главы было доказано, что для конечномерных
операторов I — В справедливо следующее соотношение:
dim R (/ — В) = dim R (/	В*);	(*)
переходя к ортогональным дополнениям и учитывая, что для опера-
тора К в конечномерном пространстве [/?(^]1 = N(^) (/?(•)—
область значений, /V (•) — многообразие нулей), с помощью соотно-
шения (*) находим
dimAf (/—£) = dim Af(/—/?*)•	(**)
158
Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
Кроме того, имеют место следующие ортогональные разложения
пространства X:
/?(/ —В) ©W —£*) = * = /?(/ —Я*)® W —В).	(***)
Формула (**) содержит так называемую вторую теорему Фред-
гольмах пространство решений уравнения (/ — В)« = 0 и простран-
ство решений сопряженного уравнения (/ — В*) я* = 0 имеют одина-
ковую размерность (другими словами, эти уравнения имеют одинаковое
число линейно независимых решений). Формулы (***) показывают,
что уравнение (/ — B}u — f разрешимо [т. е. f£R(I — В)] тогда и
только тогда, когда f — В*). Аналогичное можно утверждать
для сопряженного уравнения. Это так называемая третья теорема
Фредгольма. Из формул (*) и (**) вытекает необходимое и доста-
точное условие для того, что область значений оператора / — В
совпадала со всем пространством или, другими словами, чтобы урав-
нение (/ — B)u — f имело решение при произвольной правой части.
Это условие состоит в том, чтобы N (J— B) = 0 = N(I — В*),
т. е. в том, чтобы однородное уравнение (/ — В) и —О имело только
тривиальное решение й = 0. Последнее утверждение является так
называемой первой теоремой Фредгольма.
Как показал Ф. Рисе, формулы (*), (**) имеют место для произ-
вольного линейного вполне непрерывного оператора в гильбертовом
пространстве $.
Теорема. Если А — вполне непрерывный оператора то
1° выполняется соотношение
dimW(Z —4) = dim W —Л*)< оо	(3.2)
2° имеют место следующие ортогональные разложения
пространства
/?(/ — A)®N(I — Л*) = $ = /?(/-Л*)ф W-Л).	(3.3)
Доказательство состоит в сведении общего случая к конечно-
мерному следующим способом. Зададим число 8 так, чтобы 0 < е < 1,
и представим оператор А в виде суммы А = As-\- А&, где Л5—
конечномерный оператор, а ||Ле||<8. Этому представлению соот-
ветствует аналогичное представление сопряженного оператора
Л* = Л^-)- Л^, dim Л^ < оо (так как dim Л* = dim Л5) и || А*е || < 8
(так как || Ле|| =]| Ле||). Оператор / — Ле вполне обратим. Этим
мы хотим сказать, что /?(/ — Ле)==§ и 7V (7— Л£) = 0. Действи-
тельно» обратный оператор (/ — Ле)""1 существует и имеет вид
оо
(/ — 46)-* = /+2	(3-4)
у=1
§ 3. Теория Рисса линейных уравнений второго рода
159
Так как ||Д>||<8< 1, то ряд в правой части формулы (3.4), назы-
ваемый обычно рядом Неймана, сходится. Справедливость фор-
мулы (3.4) легко проверить умножением левой и правой части
на I — Ле. Перепишем теперь уравнение (3.1) следующим образом:
(/ — Л)и = (7 — A&)a — Asu=f.	(3.1х)
Введем новый неизвестный вектор иг
^—’(7— Aq) а, откуда и = (1 — А)”1	(3.5)
и перепишем уравнение (3.1х) в виде
Ui — AS(I — Ле)-1 Ui = f.	(3.6)
Однородное уравнение, сопряженное с (3.1'), имеет вид
(/— А*) а* — (/ — А^) и—А*и* = 0.	-	(3.1")
Применяя к левой и правой части уравнения (3.1") оператор
(/ — Л^) , получаем
и —(l — Аг) Asu =0.	(3.7)
Уравнения (3.1") и (3.7) эквивалентны в том смысле, что имеют одно
и то же пространство решений. Что касается уравнения (3.1х), то оно
разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо уравнение (3.6).
Обозначая AS(I — А)”1 через В, уравнения (3.6) и (3.7) можно пере-
писать в более прозрачной форме
(7-В)я1=/,	(3.6х)
(7 — В*)и* = 0,	(3.7х)
ибо
в-=[л, (/ _ л.)-т=[(/ - л.)-т х=(/~ лх1 л:.
Очевидно, оператор В является конечномерным: dim /? (В) A dim (Л5).
Таким образом, мы свели изучаемую систему (3.1х), (3.1") к экви-
валентной системе (3.6х), (3.7х) с конечномерным оператором В.
Остается лишь доказать формулы
dim N (7 — В) = dim TV (7 — В*),	(3.2х)
/?(7 —B)®W(7 —В*) = § = /?(7 —B*)®N(7 —В). (3.3х)
Для доказательства введем ортонормированный базис ...е*п
области значений оператора В*:
Ви = ^(и,	=	(3-8)
160
Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
(ср. § 1 настоящей главы). Имеем
п
и = Ва4-/= 2	+ Л	(3-9)
/ = 1
Подставляя (3.9) в (3.8), находим
п	п / п	\	л Г л	"|
2 Wt = 2 ( 2 Wi + /> е\ ) ek = 2 2 П/ (et, e*k) + (/, 4) ek.
/?= 1	K—L\l = l	/	« = 1	1	I
Приравнивая коэффициенты при ek, k = lt n, для неизвест-
ных получаем систему n скалярных уравнений
= 2 Чг («/. <) + (/,<),	k = 1....п.
Если ввести обозначения (e.t e*^ = biie (/, е*) = фЛ, то предыдущую
систему можно переписать в виде
п
(з.ю)
Таким образом, задача решения векторного уравнения (3.9) сведена
нами к задаче решения скалярной системы (3.10). Аналогично задача
решения однородных векторных уравнений сводится к задаче реше-
ния следующих скалярных систем:
п
2(^-^н=о, k = i.....п (зло
i = l
И
п
А=1......п. (3.12)
Уравнения (3.11) и (3.12) можно интерпретировать как уравне-
ния. с операторами / — В и / — В* в конечномерном арифмети-
ческом пространстве X: оператор В определяется матрицей (blk),
а оператор В* — матрицей сопряженной с матрицей опера-
тора В. С другой стороны, в начале настоящего параграфа мы дока-
зали, что dimN(/ — В) — dim N (/ — В*). Следовательно, фор-
мула (3.2') доказана.
Для того чтобы доказать формулы (3.3'), вычислим скалярное
п
произведение (/, я*), где и* = В*и* — У т]*е* т. е. (/ — В*) и* — 0.
/=1
Имеем
§ 4. Спектр вполне непрерывного эрмитова оператора
161
п
Однако 2 Ф/Л/ является скалярным произведением в арифметическом
пространстве Х\ следовательно, / _[_ ЛГ (/ —	—	— Л*) тогда
и только тогда, когда вектор (фр ...» фл) ортогонален к простран*
п
ству решений скалярной системы
«=1.

что, как нам известно, является необходимым и достаточным усло-
вием разрешимости системы (3.10), а поэтому также уравнения (3.6')
с конечномерным оператором (/ — B)u=f. Отсюда следует первое
равенство в (3.3'); второе устанавливается аналогично. Таким обра-
зом, формулы (3.3'), а следовательно, и эквивалентные им форму-
лы (3.3) доказаны.
Замечание. Первая теорема Фредгольма, в соответствии с кото-
рой уравнение (/ — А) и — f разрешимо для произвольного / тогда
и только тогда, когда ЛГ(/— Л) = 0, является непосредственным
следствием формул (3.3) и (3.2):
£> = Я(/-Л)®ЛГ(/ — Л*),
dim ЛГ(/ — Л*) = dim ЛГ (Z — Л).
Действительно, соотношение R(I—Л)=§ означает, что N(I—Л*)=0,
т. е. dimAT(Z — Л) = 0.
§ 4. Спектр вполне непрерывного эрмитова оператора.
Теорема Гильберта — Шмидта
Мы знаем, что спектр самосопряженного оператора Л = Л*
оо
является подмножеством вещественной оси и если A — J* KdE(K)t
— оо
то спектр оператора Л является множеством точек роста функ-
ции Е(к). Число Хо называется точкой предельного спектра опе-
ратора Л, если ф(а, Г>)°— [Е(6)— Е(а)]$ является бесконечномер-
ным пространством для любого интервала (а, Ь), содержащего
точку Хо.
Напомним, что
ь
Аи — f KdE(K)u
а
при w£§(a, £) и в этом случае при а > 0
ъ	ъ
||Д«||2 = f |X|2d||£a)«||2>a2/d || Е (1) и ||2 = а21| и ||2. (4.1)
а	а '
11 К. Морен
162	Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
Прежде чем переходить к формулировке основной теоремы на*
стоящего параграфа, отметим следующее простое утверждение.
Лемма (Фридрихе [1]). Пусть и — подпространства
гильбертова пространства если dim^1 = oo, a dim^>2<oo,
то в подпространстве существует вектор ио#=О (и даже
бесконечномерное подпространство cz^), ортогональный под-
пространству ф2.
Доказательство. Пусть Рг — оператор ортогонального проек-
тирования на подпространство
В качестве uQ можно взять любой отличный от нулевого вектор,
принадлежащий подпространству
Приведем теперь теорему, содержащую спектральную характерис-
тику вполне непрерывных операторов.
Теорема. Эрмитов оператор А в бесконечномерном про-
странстве § является вполне непрерывным тогда и только
тогда, когда его спектр является подмножеством веществен-
ной оси, которое может содержать лишь единственную пре-
дельную точку Хо = 0. При этом отличные от нуля собствен-
ные значения должны иметь конечную кратность.
Доказательство. Пусть А = А* — вполне непрерывный опе-
ратор. Предположим, что существует предельная точка спектра %0 =# 0.
Для определенности будем считать, что %0 > 0 (см. рис. 1).
... I-----1----1--------------------1----1—н-——
-8	0	а Ло b
Рис. 1.
Оператор А можно представить в виде суммы Д = Ле4-А» где
||Ле||<е<Х0, а Л1—конечномерен: dim(Лх) = я(е) < оо. Имеем
п (е)
Аи. = 2 («, et + Аги, || А&и ||2 < е21| и ||2.	(4.2)
Поскольку Хо > е > 0 — предельная точка спектра, то пространство
ф(а, Ь), где а > е и Х0£[а, ft], является бесконечномерным. На осно-
вании леммы Фридрихса существует вектор.ft), ортогональ-
ный конечномерному пространству р*......пРичем
В силу формулы (4.1)
С другой стороны, по формуле (4.2) Аи0 = Агий [ибо («0, е*) = 0,
Z=1......л(е)]. а поэтому || Л«о||2 = || Л8«о||2<е2||«о||2. и мы
пришли к противоречию.
§ 5. Спектральная теорема Реллиха	163
Пусть теперь Хо = 0 — единственная точка предельного спектра
оператора А. Тогда для каждого е > О существует только конечное
число собственных значений Zi........ХЛ(е), лежащих вне отрезка
[—е, е], причем кратность vz собственного значения Xz, т. е. раз-
мерность подпространства [£(XZ)— E&i— 0)1» как предполагалось,
конечна при /=1, •	п(е). Имеем
е	п (е)
А= f +
-е	z = l
е
Оператор Ае —’ J* X dE (X) имеет норму е, а размерность опера-
-8
опр. п (е)	п (е)
тора Аг = S kiEi не превосходит числа S vz < оо. Таким образом,
4 = 1	1	z=i
Л== Д»4- Ль где ||Ле||<е, a dimR(Лх) < оо. Читатель без тру-
да закончит доказательство.
§ 5. Спектральная теорема Реллиха
Интегральный оператор
Аи (х) = J* Л (х, у) и (у) dy
%
(где С2Л— компактное множество, а Л(х, у) — непрерывное ядро),
рассматриваемый как преобразование пространства непрерывных функ-
ций С(ЙЛ) в себя, является вполне непрерывным как относительно
нормы || и ||2 —’ J* | и (х) ]2 dxt так и относительно нормы || и ||C^Q =
Qn
= max \и (х)|. Однако множество С(йл) не является полным про-
^с(%)
странством относительно нормы пространства £2(£2Л); С(йл)— всего
лишь унитарное пространство (см. гл. I). Возникает вопрос о том,
какие из теорем, изложенных в настоящей главе, остаются верными
для вполне непрерывных операторов, рассматриваемых в (неполном)
унитарном пространстве ф1). Для того чтобы ответить на этот вопрос,
пополним пространство § до гильбертова пространства § и расширим
оператор Л (посредством замыкания) до оператора Л. Верно сле-
дующее предложение.
’) Оператор А в унитарном пространстве $ называется вполне непре-
рывным, если он преобразует (замкнутый) единичный шар в компактное
множество в £)• (Заметим, что это определение отличается от приведенного
в начале главы для случая полного £>.)	..
11*
164
Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
Лемма. Если А — расширение вполне непрерывного опера-
тора А, заданного на унитарном пространстве ф, на пополне-
ние § пространства ф, то
Г оператор А вполне непрерывен.
2° /?(Л)с£.
Доказательство. К пункту Г. Пусть К — единичный шар
в (полном) пространстве § : К — {« С Ф • II и II "С 1}; пусть е > О задано.
Тогда для каждого и£К можно найти v С К °— К П § так, чтобы
|| я— ^||<е. Так как А — непрерывный оператор и Aid А. то
|] Аи — Av || = || А (и — v) || < ||41| || и — v || < е (I А ||. Эта оценка по-
казывает, что множество А (К) можно аппроксимировать предком-
пактным множеством А (К). Следовательно, А (К) само является
предкомпактным, что и требовалось доказать.
К пункту 2°. По определению пополнения $ множество
D(A) = $ плотно в пространстве Требуется доказать, что AuQ £ $
для каждого uQ£$. Пусть (rzz) — последовательность элементов про-
странства сходящаяся к zz0:«z->«0. Последовательность («z), как
и всякая сходящаяся последовательность (в метрическом пространстве),
ограничена: || ut || М. I = 1, 2..Следовательно, множество (Auj)
предкомпактно; более того, в силу данного выше определения полной
непрерывности оператора А оно содержит сходящуюся в $ под-
последовательность (Auk^. Очевидно,
Aukl-+v£$, но Attkt = Aukl-+Au(i==v,
что и требовалось доказать.
Теперь мы докажем теорему, важную для приложений (например,
к теории почти периодических функций).
Теорема 1 (Реллих). Если А — вполне непрерывный эрми-
тов оператор в унитарном пространстве то
1° существует не более чем счетное множество (Xz) ненуле-
вых вещественных собственных значений, причем собственные
подпространства конечномерны}
2°	=	где Aei — Kiei u(ei. ^) = б/й;
3° если Q не является собственным значением оператора А.
то $ = где — собственное подпространство, соот-
ветствующее собственному значению
Доказательство. К пункту Г. Расширим оператор А
посредством замыкания на пространство ф. Из теоремы, доказанной
I
—L
5. Спектральная теорема Реллиха
165
в Предыдущем параграфе, вытекает;’ что существует не более чем счет-
ное множество собственных подпространств =/= 0, обладающих
свойствами, указанными в п. 1% Однако так как в силу предыдущей
леммы R(A)a$t то 'kiui=Aul=Aut при ut и является также
собственным подпространством оператора А, что и требовалось
доказать.
<•. К пункту 2°. Из предыдущего параграфа нам известно, что
оператор Л, будучи симметрическим и вполне непрерывным (читатель
без труда проверит симметричность; оператора ЛзэЛ=±= Л*), обла-
дает исключительно точечным спектром. Поэтому спектральный инте-'
грал представляет собой ряд ’ -
со
Аи =Аи= J* %dE(k)'u =	+ OEo“‘>
— оо
для доказательства п. 2° достаточно выбрать в каждом из собствен-
ных подпространств =ЕК$ ортонормированный базис и считать Xz
столько раз,-какова размерность dim§x..
К пункту 3°. Из спектральной теоремы (для оператора Л~Л*)
нам известно, что
8	> со	со
/=	=	Е^0—E(Ki)—-E(ki — 0),	(5.1)
— ОО	Zs=l
где сумма распространяется на все собственные значения оператора Л
(О не является его собственным значением). Формула (5.1) является
операторной записью утверждения п. 3°. Теорема доказана.
* Многие численные методы решения уравнения второго рода
и — Au=f	(5.2)
основаны на замене оператора Л оператором Ля, „мало отличающимся
От Л“, для которого уравнение z(5.2) удается эффективно решить;
например, в том случае, когда Л — вполне непрерывный опоратор,.
в качестве Ап можно взять конечномерный оператор. Тогда, как было
показано; в § 3, уравнение ип— Anun — fn сводится к конечной
системе скалярных уравнений. В гл. XHI мы будем пользоваться
следующей простой теоремой.
Теорема 2. Если уравнение второго рода и — Au = f> где
А — вполне непрерывный оператор в гильбертовом простран-
стве & разрешимо для каждого вектора f и если (Лл) — по-
следовательность конечномерных операторов> сходящихся
166	Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
к А : || А — Ля||->0, п->оо, то при fп->f и больших значе-
ниях п уравнение (J—A^un=fn однозначно разрешимо и иП->и.
Эта теорема является непосредственным следствием следующей
теоремы, которой автор обязан М. Альтману.
Теорема 3. Если 11(7 — Л)-1]! < оо, причем D((I—Л)“1) = ф,
и если, кроме того, ||А — Ля||-*0,	при п-+оа, то для
больших п существует ограниченный оператор (/—Аа)~\ причем
выполняется следующее неравенство:
||(/-ля)-7я-(/-л)-7||<
< II /. - / II  II (/ - Л)-Ч|+„ д
Замечание. Полагая ип=(1 — An)~ifn (ип—единственное реше-
ние приближенного уравнения ип — Аип= fn)t мы приходим к утвер-
ждению теоремы 2.
Доказательство теоремы 3 основано на двукратном применении
ряда Неймана
(7-В)-’ = 2В\ ||В||<1,
v=l
Имеем, очевидно, равенства
(7 —Лл) = (7 —Л) —(Ля —Л) = (7 —Л)[7 —(7 —Л)~*(ЛЯ —Л)];
выбрав настолько большим, чтобы при п > М выполнялось не-
равенство ||(Z-Л)-1 II. || Л„-Л||<п< 1. получим
(7 - Л„)-1 = [7 - (7 - Л)’1 (Л„ - Л)]’1 (7 - Л)’1
и, следовательно.
(7 - Л,)’1 - (7 - Л)"1 = {[7 - (7 - Л)’1 (Ля - Л)]"’ - 7} (7 - Л)"Ч
Отсюда для интересующего нас выражения
(7-Ля)-7я-(7-Л)"7 =
= (7 - Л)"’ (/„-/) + [(7 - Л,)"1 - (7 - Л)’1] /я
получаем требуемую оценку.
§ 6. Слабая сходимость в гильбертовом пространстве.
Теорема Рисса
Кроме обычной сходимости, в применениях гильбертова про-
странства важную роль играет так называемая слабая сходимость1).
>) Обычную сходимость, т. е, сходимость по норме, часто называют
сильной сходимостью.
§ 6. Слабая сходимость в гильбертовом пространстве
167
Определение. Последовательность (йл) называется слабо фун-
даментальной, если для каждого элемента й £ § последователь-
ность чисел ((йл, и)) фундаментальна; в этом случае будем писать
ип~^ (последовательность (йл) в банаховом пространстве § назы-
вается слабо фундаментальной, если для каждого функционала
й*££* фундаментальна* последовательность чисел ((ил, й*))). Гово-
рят, что последовательность (йл) слабо сходится к элементу и0,
ип-^и0, если для каждого и£$(ип, й)->(й0, и) (аналогично в случае
банахова пространства ф говорят, что ип —^йа, если (йл, й*)->(й0, й*)
для каждого «*££*). Чуть позже мы увидим, что в случае гильбер-
това (или рефлексивного банахова) пространства всякая слабо фун-
даментальная последовательность сходится к некоторому элементу.
Множество, компактное в смысле слабой сходимости, называется
слабо компактным.
Из неравенства Шварца вытекает, что сильная сходимость влечет
за собой слабую. Примеры показывают, что слабая сходимость действи-
тельно слабее сильной.
Пример. Всякая ортонормированная последовательность (ел)1°
слабо сходится к нулю. Действительно, в силу неравенства Бесселя
для каждого й£$ имеем
1к*л. «)|2<||«Н2.
ZZfcl
откуда lim (еп, и) = 0. Очевидно, последовательность (еп) не имеет
Л->оо
предела в сильном смысле, ибо при /=#& имеем ||ez — екЦ = уг 2.
В приложениях (вариационное исчисление, эргодическая теория)
важную роль играет следующая теорема.
Теорема 1. В гильбертовом пространстве тар слабо
компактен, т. е. из любой ограниченной последовательности
элементов этого пространства можно выбрать слабо схо-
дящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть (йл) — ограниченная последователь-
ность элементов гильбертова пространства. Применяя диагональный
процесс Кантора, выберем такую подпоследовательность (йл), чтобы
для каждого фиксированного т скалярные произведения
образовали сходящуюся последовательность. Легко видеть, что по-
следовательность чисел (ип^ и} будет сходящейся для каждого
й £ [(«m)J. Наконец, очевидно, что сходимость будет иметь место
для любого «СФ- Действительно, если Р — оператор ортогонального
проектирования на подпространство {(um)]t то (й^, и}==(ип , Ри), ибо
168	Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
и последовательность чисел-д). сходится, так как
для каждого и С € [(«т)1-
Замечание. Теорема 1 справедлива в произвольном рефлексив-
ном банаховом пространстве.
Оказывается, что всякая слабо сходящаяся последовательность
ограничена. Этот факт является следствием более общей теоремы
(являющейся в свою очередь частным случаем теоремы 3 § 6 гл. III).
Теорема 2 (Осгуд, Банах и Штейнгауз). Пусть (7\) —
множество линейных непрерывных операторов в банаховом
пространстве ®, и пусть || Tvf || т — т (/) для всех
Тогда множество (Tv) ограничено, т. е. существует постоян-
ная 7И, не зависящая от v, такая, что || Tv || < М
Доказательство. Выберем из (Гv) некоторое счетное мно-
жество операторов (7\)i°« В силу линейности операторов Тп доста-
точно доказать, что они равномерно ограничены в некотором шаре.
Предположим, что это не так. Пусть KQ — произвольный шар; суще-
ствуют элемент я0£/С0 и индекс п0, для которого ||ТЛ «01| > 1.
В силу непрерывности оператора 7\o существует такой шар с KQ
радиуса < 1, что || Тпqu || > 1 для всех uQKv Рассуждая аналогично
предыдущему, приходим к выводу, что существуют индекс n1 > nQ
и такой шар К2 с К\ радиуса < У2> что в этом шаре || Т„21| > 2.
Таким образом строим последовательность шаров	э ...,
центры которых образуют последовательность, сходящуюся к неко-
торому элементу w, принадлежащему всем шарам Кп, д=1, 2, ....
Но тогда, вопреки условию теоремы, имели бы место неравенства
||ТЯл<г||>Л+1, Л = 1. 2. ... .
Взяв в качестве преобразований 7\> линейные функционалы
и* £23*, получаем следующее предложение.
Следствие 1. Слабо фундаментальная последовательность
(пя)“=1 ограничена.
Действительно, последовательность (| < «v, а*> |) ограничена
для всякого «*£23*. поэтому на основании теоремы 2 последователь-
ность (|| «я ||) ограничена.
Читатель без труда докажет несколько более общее утверждение.
Следствие 2. Если множество Zc33 обладает тем свой-
ством, что каждое бесконечное подмножество множества Z
содержит слабо фундаментальную последовательность, то
множество Z ограничено.
Следствие 3. Слабо фундаментальная последователь-
ность элементов гильбертова пространства ф слабо сходится
к некоторому элементу пространства £..............
§ 6. Слабая сходимость в гильбертовом пространстве	169
Доказательство. Пусть av—в этом случае для каждого
имеем (uv. f)-+l(f). где 1(f)— антилинейный функционал.
Так как последовательность (uv) ограничена, то ограничен также
функционал /. Поэтому существует такой (единственный) вектор
что Hm(av> /) = /(/) = («, /). Следовательно, uv-^u, что и
требовалось доказать.
Используя понятие слабой сходимости, можно следующим обра-
зом охарактеризовать вполне непрерывные операторы в гильбертовом
пространстве.
Теорема З (Рисе). Оператор А (в гильбертовом про-
странстве) вполне непрерывен тогда и только тогда, когда
он преобразует всякую слабо сходящуюся последовательность
в сильно сходящуюся.
Доказательство. Пусть А — вполне непрерывный оператор,
т. е. оператор, преобразующий шар в предкомпактное множество.
Пусть uv—±u. На основании следствия 1 заключаем, что последова-
тельность (||ду||) ограничена; поэтому множество (Auv)T предком-
пактно.
Для произвольного имеем lim (Auv, f)= lim (uv. A*f) =
V ->OO	v-> oo
= (u, A*f) = (Au. /), t. e. Auv-±Au. Докажем, что Auv-+ Au — g.
Предположим, что существует такое е > 0 и такая подпоследователь-
ность, что ЦАаЛ— g-Ц > е. Так как множество (Аип) предкомпактно,
то существует подпоследовательность Аитп. сходящаяся к gx £
Тем более Aumn~^gy а так как Auv-^g. то g = gu что противо-
речит неравенству || gx — g || е, вытекающему из неравенств
Ц4«„ —£|| >е.
Пусть теперь для каждой последовательности uv-^u имеем
Auv~+Au. и пусть ||/л|| < 1. Тогда, в соответствии с теоремой 1,
существует подпоследовательность fnk-^f> а поэтому Afnk~>Af.
т. е. множество (Afn) предкомпактно. Следовательно, оператор А
вполне непрерывен. Теорема полностью доказана.
Первоначальное определение, данное Гильбертом, касалось полной
непрерывности полилинейных функций многих переменных. Именно
функция F(u, v. ..., ю) называется вполне непрерывной (voll-
stetig), если для произвольных последовательностей ип-^и.
-*• tf, ..., юп w имеем F (ип. #п9 ...» wn) -+F (и. v......^)*
В частности, билинейная форма F (и. ю) = (Аи. <о) называется вполне
непрерывной, если сходимость ип-^и.	влечет сходимость
(Лил. vn)->(/«, »).
Из этого определения вытекает утверждение, важное для вариа-
ционного исчисления.
170
Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
Теорема 4. Билинейная форма (Аи, v) вполне непрерывна
тогда и только тогда, когда оператор А вполне непрерывен.
Доказательство. Если оператор А вполне непрерывен, то
при ип-^и, фп-^ф имеем Аи„->Аи, а поэтому (Аип, Фп)-+(Аи, v).
Действительно,
| (Au„, v„) — (Аи, V) |< || Аип — Аи || • М 4-1 (Аи, vn ~ v) |.
где Л4 = sup ||^л||. Пусть теперь, обратно, форма (Аи, v) вполне
непрерывна. Фиксируя ф, находим, что Аип — Au-^Q при ип-^и.
Полагая Фп = Аип— Аи и принимая во внимание полную непре-
рывность формы (Аи, v) получаем
0*-(Лм„, »„) — (Аи, »„)= ||Л«Я —Л«||2,
так что Аип-> Аи и теорема доказана.
§ 7. Операторы Гильберта — Шмидта
Как нам известно, множество вполне непрерывных операто-
ров гильбертова пространства $ является замыканием в смысле нормы
пространства (fy, §) множества конечномерных операторов;
при этом <Э?(&, ф)— пространство линейных непрерывных преобра-
зований пространства $ в себя и норма в S?($', ф) определена
соотношением
IIЛ ||== sup ||Л«||..
II и П<1
Оказывается, что, замыкая множество по норме, более силь-
ной, чем || • ||, можно в классе вполне непрерывных операторов
выделить некоторые интересные подклассы. В этом параграфе мы
введем так называемую норму Гильберта — Шмидта или, в другой
терминологии, абсолютную норму, которая приводит к важному по-
нятию оператора Гильберта — Шмидта. Изложенное в § 7—9 сохра-
няется без изменения для произвольных, в том числе несепарабель-
ных гильбертовых пространств. Однако ради простоты мы будем
заниматься счетномерными пространствами.
Пусть (е^, (е'^ — произвольные ортонормированные базисы в гиль-
бертовом пространстве Докажем следующее простое утверждение.
Лемма 1. Если А — ограниченный линейный оператор
в пространстве 6, то
Ml2 —Sll^ll2=S|| л*<||8 = |л*|2,
i	к
т. е, |Л| не зависит от выбора базцса.
§ 7. Операторы Гильберта — Шмидта	171
Доказательство. Дважды применяя равенство Парсеваля,
получаем
< = = <)!’=
=??!(«- ЛЧ)1!=?ИМ’-
Определение. Оператор Л£_2?(@; ®) называется операто-
ром Гильберта-—»Шмидта, если |Л|<со. Число | А | называется
нормой Гильберта—Шмидта (абсолютной нормой) опера-
тора А.
Следующее предложение показывает, в частности, что функция
А ~> | А | обладает всеми свойствами нормы.
Лемма 2. Если |Л], |В|<оо, то
1° |Л + В|<|Л|4-|В|;
2° ||Л||<|Л |;
3° для произвольного унитарного оператора U имеет место
равенство |С7Л£/~1| = | Л |, так что унитарно эквивалентные
операторы имеют одинаковую норму Гильберта—Шмидта.
Доказательство.
К пункту Г. Из неравенства Минковского для пространства
/2(®) (см. § 3 гл. I) получаем
К пункту 2°. Пусть ег— произвольный единичный вектор и
(ej)— ортонормальный базис, содержащий ег. Очевидно,
1ММ2<£ ||ЛМ’=|Л|2,
откуда
||ЛЦ= sup ||ЛМ<|Л|.
И ll=i
К пункту 3°. Если (е[) — произвольный ортонормированный
базис, al/ — унитарный оператор, то в силу определения унитарного
оператора (U^1e^) — тоже ортонормированный базис. Следовательно,
I = 21|UAU-'e, II1 = 2 II AU-'e, If = I Af;
при этом мы воспользовались равенством || Ux || = || х|| (х£®) и
леммой 1.
Гильберт и Шмидт изучали прежде всего интегральные операторы
в пространстве £2((0, 1)). Нижеследующая теорема показывает, что
каждый оператор Гильберта — Шмидта унитарно эквивалентен неко-
172	Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
торому интегральному оператору с ядром Гильберта—*Шмидта в про-
странстве £2((0, 1)), т. е. оператору вида
1
L2 ((0. 1)) Э и -> (Л«) (х) = J а (х, у) и (у) dy,
о
где ядро а(., -)€£2((0. 1)X(0. 1)), т. е.
J* J| a(xt y)j2dxdy <оо.
о о
Теорема. Пусть Q — компактное подмножество положи-
тельной меры в пространстве EN. Каждый оператор Гиль-
берта— Шмидта в произвольном сепарабельном гильбертовом
пространстве ® унитарно эквивалентен интегральному опе-
ратору с ядром Гильберта—Шмидта в пространстве £?(□)
и, в частности, в пространстве £2((0, 1)).
Доказательство. Пусть U—унитарноеотображение, сопоста-
вляющее ортонормированному. базису (ez) пространства в ортонорми-
рованный базис (*/(•)) пространства £2(Q). Пусть aik —' (Aeit ek).
Поскольку А — оператор Гильберта — Шмидта, то S | aik j2 < оо.
. i, k
Определим ядро k(-, •) оператора # формулой . .
k (*. у) = 2 aikek (х) е} (у).	(7.1)
Л*	. /	\
Ряд (7.1) сходится б среднем в пространстве £2(&Х О)> ибо
2|л/а12<°°» так что А(»,
Докажем теперь, что интегральный оператор К с ядром £(•, •)
унитарно эквивалентен оператору А. С этой, целью надлежит дока-
зать равенство билинейных форм
ил. /2)e=(Wp ТО1а(а). Л. /2=е-
Справедливость этого равенства достаточно проверить для элемен-
тов ортонормированного базиса (ej). Имеем
(*>,-(•). в4(-))р(0)= / Л(х, y)e/(y)es(x)dxdy =
2X2
= J ^^aljej(x)7^y)er(y)7Jx)dxdy — ar;t = {Aer, es),
Q Q lt j
что и требовалось доказать.
§ 8. Отображения Гильберта — Шмидта	173
§ 8.	Отображения Гильберта — Шмидта
В настоящем параграфе мы введем естественное обобщение поня-
тия оператора Гильберта — Шмидта на случай линейных отображений
(различных) сепарабельных гильбертовых пространств 6 и § со ска-
лярными произведениями (•» и (•, •)§• Это понятие играет важ-
ную роль в общей спектральной теории.
Пусть (е^ и (fk) — ортонормированные базисы в пространствах ®
и g. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть	2, ... — такие векторы, что
5||^/|1з<оо;	(8-1)
тогда соотношение
<Иф->2(ф. «/)« A/CS	(8-2)
определяет линейное непрерывное отображение
Доказательство. Положим aik = (hik fk)%. Из соотноше-
ния (8.1) и равенства Парсеваля находим
IА |2	21| ht Ц| = S I aik |2 < co.	(8.3)
I	i, k
Положим
N	N
m = 2 (ф*	m— 2 (ф>
l=m	l=m
Применяя равенство Парсеваля и неравенство Шварца, получаем
H4w,mll2= 2l0lw,m. Л)|2=21 2(ф. *№• Л)12=
k	k i=m
N	N
— 21 2 (ф» ei) atk I2 — 21 2 (ф/v,«»ei) aik I2
k i-m	k i = m
N
< 2II Ф/v, m II2 2 I alk I2 < II <f„, m II2 21 aik I2 = | AI2 ||Флг, m II2.
k	Z=1
Итак,
Il m 11$ M I * II фдг, m l!@-
Отсюда следует теорема.
Следствие. Отображение А:	заданное соотношением
Ф->л<р = 2(ф. в/)®*/. Ml2 —2|1Мв<оо.
является
174
Гл. VH. Вполне непрерывные операторы
1°) линейным;
2°) непрерывным: || А ||	| Д |;
3°) таким, что для всех I Aei = hl, а поэтому
Л<р = 2(ф. ei\Aer	(8.4)
Если А : 6 -> 3 — непрерывное отображение, то (непрерывное)
отображение Д*:^'->(5 определяется с помощью тождества
(Ае, f\ = (e, A*f\,
Линейное (непрерывное) отображение (8.2), о котором речь шла
в теореме 1, называется отоб ражением Гильберта—Шмидта.
Непосредственным следствием из теоремы 1 является следующая
лемма.
Лемма 1. Линейное отображение Д*, сопряженное с ли-
нейным отображением (8.2), (8.4), также является отобра-
жением Гильберта — Шмидта. Кроме того, для произвольных
ортонормированных базисов (е^) и (Jk) пространств (S и g
имеет место равенство
MI2=2lMMl=2ll л*л||| = |л*р.
i	k
Для доказательства дважды применяем равенство Парсеваля
2 || Aet ||| = 21 (Aelt |2 = 21 (*/•	|2 = 2II A*fk |||.'
i	i, k	i, k	k
Число | A | = | A*| будем называть нормой Гильберта — Шмидта.
Подобно случаю § =
IMIKMI-
Суперпозиция непрерывного отображения и отображения Гиль-
берта — Шмидта является отображением Гильберта — Шмидта. Точнее,
имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть ® и $—гильбертовы пространства,
В: ® -> С:§->$ — непрерывные отображения, а А :6 —>$—
отоб ражение Гильберта — Шмидта. Тогда отоб ражения
ГСоД:8->§, 2° До В	3° СоДоВ:®->ф являются
отображениями Гильберта — Шмидта.
Доказательство п. Г очевидно. Для доказательства п. 2° в силу
леммы 1 достаточно проверить, что (ДВ)* = В*Д* является отобра-
жением Гильберта — Шмидта. Однако это вытекает из леммы 1
и п. Г.
§ 9. Ядерные отображения. Ядерные пространства	175
§ 9. Ядерные отображения. Ядерные пространства
Пусть S, ®— сепарабельные гильбертовы пространства с ор-
тонормированными базисами (ez), (/*), (g€) соответственно.
Определение. Отображение А : 6—> g называется ядерным,
если его можно записать в виде
®Эф-*2(ф. п<)<А>
где	— некоторые элементы, для которых
5 II 1|@ II 11g < со.
Очевидно, ядерное отображение является отображением Гиль-
берта — Шмидта (обратное неверно). Чтобы в этом убедиться, доста-
точно рассмотреть соотношения
Лф = 2 (Лф. /г)5 fl = 2 (ф. ^7,)® fl = 2 (ф.	Aet.
Условие ядерности отображения А имеет вид
2М^11д<°° или 2lM7zlle<oo-
Очевидно, из этих условий вытекает (например) 2II Aei 11$ < так
что А — отображение Гильберта — Шмидта.
Между отображениями Гильберта — Шмидта и ядерными отобра-
жениями имеется важная связь, указанная следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть	и Л2:^——отображения
Гильберта — Шмидта. Тогда суперпозиция А2Аг:	яв-
ляется ядерным отображением.
Доказательство. Имеем
ф=2(ф. «/)«/. Аф=2(Лф. Л) Л.
(Л2Д1)ф = 2(-^1Ф» /й) АА — 2 (ф< Aif^)A2fk.
k	k
Поскольку
V II A',ft II И || < 1X (II ll! + II10 =
k	*	k
=|(m;i2+m2|2)<oo,
отображение A2At является ядерным.
Непосредственно из определение выводится следующее утвер?
ждение.	‘
176
Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
Теорема. Суперпозиция непрерывного и ядерного отобра-
жения является ядерным отображением. Отображение, со-
пряженное ядерному, является ядерным.
Докажем второе предложение. Пусть	— ядерное ото-
бражение. Так как А непрерывно (оно является даже отображением
Гильберта — Шмидта), то существует непрерывное отображение
Разложим элемент A*f по базису (е^:
8Э/-*Л7 = 2(Л7,	Ае^е(.
Имеем
SlMMeIMe=SPM8<oo,
ибо по условию отображение А является ядерным.
В дальнейшем А означает ядерное отображение.
Обозначим через |||Л|(| точную нижнюю грань множества чисел
2II Aei 11$ ПРИ условии, что (е^ пробегает всевозможные ортонор-
мированные базисы пространства Число ||| А ||| будем называть
ядерной нормой отображения А. Норма, абсолютная норма и ядер-
ная норма отображения А находятся в следующем отношении:
||Л||<|Л|<|||Л|||.
В самом деле, положим 2II ^et II = а- Тогда || Ае{ || /а 1, а
потому 2lM*z||7a2<2ll'M/a = 1. откуда У || Ле/||2-<а2 =
= (2II &ei II у» так что | Л |2 С HI Л |||2.
Полагая
п
опр. «
Ап — 2j (ф, et) Aet,
находим
(Л — Ля)ф= 2 (ф. ej}Aei,
следовательно,
IM-4III<J+1II-4«,II—-о-
Таким образом, мы пришли к следующему важному утверждению.
Теорема. Всякое ядерное отображение можно аппрокси-
мировать в смысле нормы ||| • ||| (т. е. в смысле ядерной нормы)
конечномерными отображениями. Обратно, предел (в смысле
ядерной нормы) последовательности конечномерных отобра-
жений цвляетсц ядерным отображением.
§ 9. Ядерные отображения. Ядерные пространства	177
Результаты § 7—9 подытожим в следующей теореме.
Теорема. Пусть ® и § — сепарабельные гильбертовы про-
странства. а — подмножество пространства ^(®; g) не-
прерывных отображений	состоящее из всех конечно-
мерных отображений. Замыкая множество по норме*.
1°)||-|| [обычная равномерная норма в пространстве J? §)]»
2°) | • | {абсолютная норма, т. е. норма Гильберта — Шмидта),
3°) ЦЫП {ядерная норма), получаем множество:
1°) {множество всех вполне непрерывных отображений),
2°) 0^*2 {множество всех отображений Гильберта—Шмидта),
3°) е2Гз {множество всех ядерных отображений).
На примере эрмитовых операторов	можно убедиться
в том, что включения ^(®, g)z><2^’1z>G^*2o<^r3 являются строгими
(в предположении, что пространства бесконечномерны).
Для эрмитовых операторов (S—>6 имеется следующая спектраль-
ная характеристика.
Теорема. Эрмитов оператор А = А* обладает веществен-
ным спектром и является
Г вполне непрерывным тогда и только тогда, когда его
спектр не имеет предельных точек, отличных от нуля, а все
точки спектра =/= 0 являются собственными значениями ко-
нечной кратности*,
2° оператором Гильберта — Шмидта, если кроме условий
п. Г, выполнено условие I I2 <
3° ядерным оператором, если, кроме условий п. Г, выпол-
нено условие 2/ | I < оо.
Приведем теперь без доказательств ряд важных результатов Гро-
тендика.
В дальнейшем через 6 и будем обозначать произвольные ба-
наховы пространства, через 6*,	— сопряженные пространства ли-
нейных непрерывных функционалов, заданных соответственно на 6
и g, с сильной топологией.
Определение. Пусть 4 g fl 5 3* Линейное отображение
Л	заданное формулой
» @Эф~>Л(р0='2 <ф»
называется ядерным, если
SII е*1 и || ft II < оо,
К. Моред
178
Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
Применяя тензорные обозначения (см. гл. III), ядерное отобра-
жение можем изобразить символом
А = 2 et ® ft*
Из определения непосредственно вытекает, что ядерное отобра-
жение непрерывно и что суперпозиция ядерного и непрерывного
отображения является ядерным отображением.
Последнее свойство обобщается следующим определением ядер-
ного отображения произвольных локально выпуклых про-
странств ® и §•
Определение. Линейное отображение	называется
ядерным, если можно указать такие банаховы пространства Е и F,
такое ядерное отображение K*.E->F и такие непрерывные отобра-
жения	C'.F—>§, что отображение А является суперпо-
зицией А — С • К • В.
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема. Отображение А локально выпуклого про-
странства ® в банахово пространство F является ядерным
тогда и только тогда, когда
<р->л<р=^{<р. О//( лез.
и существует такая полунорма ]| • ||р на пространстве
что
SHIM ЛII < °°;
при этом
Гротендик выделил важный класс локально выпуклых пространств
(к которому принадлежат многие часто встречающиеся в анализе
пространства), именно класс так называемых ядерных пространств.
Определение. Пространство 6 называется ядерным, если
каждое непрерывное отображение пространства (S в банахово про-
странство § является ядерным.
Очевидно, конечномерные пространства ядерны. #
Имеет место следующая фундаментальная теорема.
Теорема (Гротендик).
Г. Пространство является ядерным тогда ц только mo$dq,
цогда его пополнение ядерно.
Упражнения и дополнения	179
2°. Каждое подпространство ядерного подпространства
является ядерным.
3°. Банахово пространство является ядерным тогда а
только тогда, когда оно конечномерно.
4°. Факторпространство (S/(Si ядерного пространства по
замкнутому подпространству является ядерным про-
странством.
5°. Индуктивный предел (S = Iimind6n счетной последова-
'	п
тельности ядерных пространств является ядерным про-
странством.	9
6°. Декартово произведение (множества произвольной мощ-
ности) ядерных пространств является ядерным простран-
ством.
7°. Пространство ®*, сопряженное с ядерным простран-
ством Фреше, является ядерным.
8°. Проективный предел (произвольной мощности) ядерных
пространств является ядерным пространством.
Примеры ядерных пространств, встречающихся
в теории обобщенных функций:
g (£2Л) — пространство всех бесконечно дифференцируемых функций
в области £2Л;
3 (йл) — пространство бесконечно дифференцируемых функций
с компактными носителями;
(Еп) — пространство быстро убывающих функций;
пространства обобщенных функций (йл), S)' (йл), (см.
гл. III, § 7).
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ»)
1.	Доказать, что в рефлексивном банаховом пространстве шар
слабо компактен.
2.	Доказать, что в рефлексивном банаховом пространстве опера-
тор А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда он всякую
слабо сходящуюся последовательность преобразует в сильно сходя-
щуюся.
3.	Доказать, что кажущееся более сильным условие полной не-
прерывности, применяемое в этой главе, а именно условие „опера-
тор А вполне непрерывен, когда образ А(К) шара
|| «1К 1) пр ед компактен*, эквивалентно классическому определению
Ф. Рисса: оператор А называется вполне непрерывным, если
образ А(и^ всякой ограниченной последовательности (ип)
предкомпактен.
!) Мы рекомендуем читателю аккуратно выполнить упражнения и изу-
чить содержание дополнений, так как они имеют важное значение.
12*
180	Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
. 4. Множество Z банахова пространства X предкомпактно тогда |
и только тогда, когда
Г множество Z ограничено,	j
2° существует такая последовательность вполне непрерывных one- |
раторов (Ал) в пространстве X» сходящаяся в каждой точке к one-	|
ратору / (т. е. || Апх — 1х || = || Апх — х || -> 0), что на множестве Z	1
сходимость является равномерной.
Вывести отсюда:	1
а)	критерий компактности Арцела в С 1а» ft] (множество Z I
в С [а» ft] предк$мпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно
ограничено и равностепенно непрерывно. Положить (Апх) (/) = х (/)
в точках	—0, 1, ...» п» и линейной на смеж-
' п
ных интервалах);
Ь)	критерий А. Н. Колмогорова компактности в L2[a, ft] (мно-
жество Z в L2[a» ft] предкомпактно тогда и только тогда, когда оно	«
ь	1
ограничено и lim [ |х (/-)-" т)— х (Q|2d/ = 0 равномерно по x£Z;
г->о/	I
а	?
при этом функции из L2 следует продолжить нулем на внешность
отрезка [a, ft]. Положить
/+л
t-h
с)	критерий компактности в I2 [множество Zb/2 предкомпактно
оо	j
тогда и только тогда, когда оно ограничено и 21 хп I2 сходятся
равномерно по x£Z; положить Алх = (х1, ...» хп» 0, ...)].
5. Опираясь на результаты § 3 и на лемму § 5, доказать, что	1
теоремы Фредгольма справедливы в любом унитарном пространстве.	|
При этом вполне непрерывный оператор определяется, как в § 5.	’
6. Сформулировать и доказать теоремы Фредгольма для уравне-
ния второго рода и — aAu = f с параметром о.
’	7. Пусть А(и (х) = f At (х. у) а (у) dy, А^С (Q„ X Ц>). I = 1. 2.
Доказать, что А2А1а (х) = (Л2 * Лх) и (х), где Л2 * Лх — интегральный
оператор с ядром (Л2* Лх)(х, у)= J Л2(х, tyA^t, у) dt, называв-
Qn
мым сверткой ядер Л2 и Лх.
Указание. Воспользоваться теоремой Фубини.
1
Дополнение
181
ДОПОЛНЕНИЕ
Интегральные операторы со слабой особенностью
Пусть означает компактное подмножество вещественного евкли-
дова пространства Еп. Будем говорить, что ядра у)(х, у £йл)
имеют слабую особенность, если существуют такие постоянные
at > 0, что
л
|Л(Х> У)Г<------^-«7’ где °<а/<л- Iх —yl2 = 2(*v —
Iх-уН	v=i
Заметим сначала, что если ядра 1=1, 2, имеют слабую
особенность, то
| (Jli * ст?2) (х» У) I < аз Iх — У Г	(*)
т. е. их свертка тоже имеет слабую особенность.
Для доказательства прежде всего заметим, что после перехода
к /i-мерным полярным координатам р, 0Х,	0^ имеем
л	ь
р О	_а	/.	АЛ-а
J|x— аг | dx < С J рл“'а“1/?р = С — (0<а<л), (**)
сл	°
о
где b — радиус шара с центром в точке х, содержащего множе-
ство Од.
Имеем
(Л1 ♦ ЛЩх, у)| = | J^(х, 0«^2(t y)dt | < :
Qn
< axa2/|х-/Г0,|^ — y|~“2<ft.
Произведем сдвиг t —>• t + x (значение интеграла от этого не. ме-
няется!) и положим tv — ’ psv, v=l...п, где р = |х— у|. Имеем
\{<Лх*<Л^(х, у)\<а1а2 J|H‘e,U + x — y\~^dt =
ап
Л	1
= alfl2pn-a,_'“2 J-1s Г 1 I 5—el a>ds,
°п
1 1
где е = (х — у)/| х — у |; | е | = 1. .Опасными" являются точки s = О
1	12	1
и s — e. Пусть йд = йяийп, где □„=={$:
182
Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
2
= {$: («О-Уа}. Теперь имеем
f |$ГвЧ« — e\~a2ds
ds — C1<^ оо,
s — е |~а2 ds = С2 < ор.
1	2
В силу неравенства (**), а также определения множеств £2Л и Ол, нера-
венство (*) доказано.
Применяя остроумный метод Бохнера, докажем теперь следующее
утверждение.
Теорема. Интегральный оператор со слабой особенностью
вполне непрерывен в пространстве £2(£2Л).
Доказательство. Заметим, что достаточно доказать полную
непрерывность оператора на (унитарном) пространстве непрерывных
функций на множестве £2Л. При расширении оператора на все про-
странство £2(£2Л) полная непрерывность сохранится.
Будем аппроксимировать ядро непрерывными ядрами, которым,
как мы знаем, соответствуют вполне непрерывные операторы. С этой
целью введем функцию та(г)£С°° (0, оо) с „малым" носителем
Т,(Г) = ( 0
При
при
г <0/2,
г > о.
Имеем
у) = ^(х, У)та(|х — у|) +
+ Л(Х. У)[1 — Тс(|х — у|)1 = ^а(х. у) + /?а(х, у).
Заметим, что первое слагаемое, хотя оно является ядром с осо-
бенностью, имеет малый носитель, а второе — /?а (х, у) — непрерывно
и, следовательно, определяет вполне непрерывный оператор.
Если нам удастся показать, что ||Ла||->0, о->0, то теорема
будет доказана, ибо предел вполне непрерывных операторов является
вполне непрерывным оператором.
Имеем || Дая||2 = (Лая, Xa«) = (X?la«, но	является
интегральным оператором с ядром (х, У)= f	y)dt.
°п
Заметим, что
&ft0(x, у) = 0 при |х — у | > 2а	(♦♦*)
Упражнения (продолжение)
183
<dt<s (х, у)<лг|х— у |л 2“
в силу формулы (*). Применяя неравенство 21 и (х)«(у) |	«(х) |2 -|-
1 и (у) |2, получаем
2||Ла«||2 = 2 f о#0(х, у) и (х) и (y)dx dy <
йя х й„
< J |«(х)|2 Г J 1<Ж,(х, у)|dyl rfx +
+ f 1«О>|2 Г/|оС (х, у) | dxl dy.
В силу формул (***) и (**) при п — 2а < О и (***) при
п — 2а О существует такая положительная функция т] (о), что
г](о)->0 при о->0 и
J |o4fo(x, y)|dy <n2(o).
°п
J |о<а(х, y)|dx < -rj2 (а).
Таким образом, 2|| 40«||2<2rf(o)[|«||2, т. е.
II А,|| <Т)(0->О, о->0,
что и требовалось доказать.
УПРАЖНЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
8.	Сформулировать доказанные в этой главе теоремы для ядер
со слабой особенностью и для ядер из L2 (Qn X йя).
9.	Указать общий вид интегрального конечномерного оператора.
10.	Пусть &— компактная группа с элементами х, у.Пусть
|1(х)— нормированная мера Хаара (ср. дополнение II). Доказать, что
при выполнении условий х€^(<^) и х(^”1) = Х(О> где t~X—эле-
мент, обратный элементу /, интегральный оператор с ядром
<т£(х, у) = х(х’"1у), Л«(х) =‘является вполне
&
непрерывным эрмитовым оператором.
11.	Доказать следующую теорему.
Теорема (Банах и Сакс). Если последовательность (ип)™
(#або сходитсн в гильбертовом пространстве § к элементу
184
Гл. VII. Вполне непрерывные операторы
и: ип->щ то существует такая подпоследовательность (ип^
последовательности (ип), что средние арифметические
!("«.+••• +%)
сильно сходятся к элементу и.
Указание. Не ограничивая общности, можно . предположить,
что 0 = 0. Элемент unk выбрать так, чтобы он был „приближенно
ортогональным" к ранее выбранным элементам:
{ведь (0^, 0Л)->О, п->оо при /=1, 2,
Поскольку нормы ограничены, || ип (| < В, то
k 2
<±(^+2 • 1+4-2+ ... +2(Л-1)-Ат]<^±2->0.
12.	Используя теорему Банаха — Сакса, доказать, что выпуклое
сильно замкнутое множество является также слабо замкнутым.
13.	Пусть |Д|<оо. Число tr(4) =*	ei) называют (ма-
I
тричным) следом оператора Л; при этом (ez) — некоторый ортонор-
мированный базис пространства S. Пусть Л/ = Л/, /=1, 2,—инте-
гральные операторы Гильберта — Шмидта в пространстве £2((0, 1))
1
(А{а)(х) = J at(x, y)u(y)dy.
о
Доказать, что
1 1
a = tr(A1A2) = J J* ai(xit х2)а2(х2, x1)dx1dx2.
о о
Указание. Заметить, что в силу эрмитовости ядер а/
11 11
/|«1 + а2|2<*-М*2—f J flai — a2l2dxidx2 =
0 0	.00
5= 1 tr ((+ + л?)2) - ± tr ((Л, - л?)2) = tr (Л 1 Л?) = tr (Л?лр.
Упражнения (продолжение)
185
14.	Пусть А — интегральный оператор Гильберта — Шмидта.
Доказать, что
1 1
tr(4") = J ... п ... J а (хр х£ ... а (хл, х^ dxx ... dxn, n > 2.
о	о
Указание. Воспользоваться равенством Ап = ААп~\ разбить
операторы А, Ап~1 на вещественную и мнимую части и применить
результат упражнения 13 (ср. В. Б. Лидский [1]).
15.	Применяя результаты упражнения 14 и теорему Фубини, до-
казать, что
1
tr(X") = f a“(t, t)dt,
О
где
ап (х, t) — (а * ... * а) (х, t).
п
16.	Пусть	ДС-З'Ч®» g)» где (S, § — сепарабельные
пространства Гильберта. Доказать, что преобразование А можно
представить в виде A = U • Н. где 0 Н £	(®, (£) и U — частично
изометрическое преобразование, т. е. преобразование, отображающее
некоторое линейное многообразие gj a (S в 0 £ g, а многообра-
зие Sj- — изометрически на многообразие ®2 с: g.
17.	Проверить, что в множестве операторов Гильберта — Шмидта
пространства ® можно следующим образом ввести скалярное произ-
ведение:
(Др Д2) = 2 {Axeit А2е^.
Именно это скалярное произведение индуцирует норму Гильберта —
Шмидта |Д|2 = (Д, А).
ГЛАВА VIII
Коммутативные банаховы алгебры1)
Теорема Гельфанда—Наймарка
Максимальные С*-алгебры. Применения
Первые два параграфа настоящей главы посвящены очерку гель-
фандовской теории максимальных идеалов в коммутативных бана-
ховых алгебрах. В § 3 изучаются коммутативные банаховы алгебры
с инволюцией, имеющие важное значение для теории операторов
в гильбертовом пространстве. В § 4 рассматриваются максимальные
коммутативные алгебры нормальных операторов в сепарабельном
гильбертовом пространстве. Результаты § 4 дают возможность в § 5
сформулировать основное в квантовой механике понятие полной
системы коммутирующих наблюдаемых и доказать справедливость
гипотезы Дирака относительно возможности вложения коммутативной
системы эрмитовых операторов в полную систему коммутирующих
операторов.
§ 1. Алгебра ограниченных операторов в банаховом
пространстве. Спектр оператора
Мы знаем (см. § 4 гл. I), что линейные ограниченные опера-
торы в комплексном банаховом пространстве X сами образуют
полное банахово пространство. Это пространство мы в дальнейшем
будем обозначать через ^(Аг). Множество & (X) является, однако,
не только векторным пространством, но и вместе с тем алгеброй
над полем комплексных чисел С1. Это означает, что определено
умножение элементов пространства (X), причем выполняются
следующие условия:
Г. <$(Х) является векторным пространством над полем С1.
2°. Для любых Л, 5, С£<$(Х) и любых X, имеем
АВ £ Я (X), (АВ) С —А (ВС),	(%А) В = К (АВ),
А (КВ + цС) = К АВ + р, АС.
3°. Существует единица I£$(X): IA — AI = А.
9 В русской математической литературе банаховы алгебры называют
обычно нормированными кольцами. — Прим, перев.
§ 1. Алгебра ограниченных операторов в банаховом пространстве 187
Алгебра J7GY) является полным нормированным пространством,
причем норма || • || кроме обычных свойств обладает еще следующим:
4°. ||ЛВ||<||Л||.||В||. ||/|]=1.
Абстрактное множество удовлетворяющее аксиомам Г—4°,
называется банаховой алгеброй с единицей. Таким образом, ли-
нейные непрерывные операторы в банаховом пространстве образуют
банахову алгебру с единицей. В случае когда умножение коммута-
тивно, т. е. когда выполняется равенство
5°. АВ = ВА для всех А, В,
алгебра $ называется коммутативной банаховой алгеброй с еди-
ницей.
Прежде чем переходить к изучению абстрактных банаховых
алгебр, докажем несколько важных свойств спектра линейного опе-
ратора в банаховом пространстве X.
Определение. Резольвентным множеством оператора
Т (X) называется множество р(Т) всех комплексных чисел X, для
которых (Т — Z/)*"1 существует и является ограниченным оператором,
заданным на всем пространстве X. Оператор /?(Х, Т) == (Т—V)”1,
где Х£р(Т) называется резольвентой оператора Т. Дополнение
множества р(Г) (в С1) называется спектром оператора Г. Спектр
оператора Т мы будем обозначать через Sp(T). Таким образом,
Sp (Т) = С1 \ р (Т).
Докажем следующее важное предложение.
Теорема 1. Если пространство X содержит более одного
вектора (т. е. содержит векторы, не равные нулю), то
1°. Sp(T) — непустое множество-,
2°. Sp(T) — ограниченное замкнутое множество, точнее, оно
лежит (в замкнутом) круге с центром в точке нуль и ра-
диусом, равным ||Т||.
3°. р(Г)— открытое множество.
Доказательство. К пункту Г. Предположим, что спектр
оператора Т пустое множество, т. е. что р(7') = С1. В таком случае
для любых фиксированных х £ X и х*£Х* величина Т) х, х*)=
= {(7’-V)-1 х, х*") является целой функцией переменной X. Действи-
тельно, читатель без труда проверит, что для любого фиксирован-
ного Хо
(X/ — Г) 2 (*о — М” (.У — Т)~{п+1у =
п=0
= 2 [- (Ч - *)я+1 (М - Л’(я+1) + (Ч - *)” (М - Л"я] =
л=0
= /-(Х0-Х)т+1(Х(/—	/п->оо,
188
Гл. VHI. Коммутативные банаховы алгебры
при ]Х—>0|<||М — Г||. Следовательно, для этих X
оо
/? (X; Т) = (Т - X/)-1 == 2 (-1)" (Ч *)"1Я а0. Г)]я.
< •	л=0
откуда вытекает, что (/?(Х, Т)х9 х*)— целая функция. С другой
стороны, при |Х|>||Т|| имеем
1 \ 1
1111-1-
Следовательно, ||(Х/— Т)“1||—>0» когда Х->оо, и на основании тео-
ремы Лиувилля заключаем, что наша целая функция равна постоянной
(зависящей от х и х*):
{(Г —И)-1*, х*) = С(х, х*). Но так как (Т — Х/)"1 ->0, |Х| ->оо,
то С(х, х*) = 0, т. е. (Т —	— 0 для всех X. Мы пришли
к противоречию: ввиду того что X {0}.\ 1 = (Т — X/) (Т — X/)"1 ф 0.
Это и требовалось доказать.
е 	оо
К пунктам 2° и 3°. Если |Х| > ||Т|| и	W
п~0
*	жгл Г / 7 \ m / 7 \	I
<v-7)B=^v-r)Sx^=A™ Кт) -(т) J
m=0	т«0
I.
Следовательно, {X: [Х| > || Г ||} ср (Г). Доказательство пунктов 2°
и 3° будет закончено, если мы покажем, что р открытое, мно-
жество. Мы докажем несколько больше.
Лемма. Если А, Ло, А01£&(Х) и ||А — Л0||->0, то суще-
ствует Л"1 б $ (X) для всех А, для которых || А — Ло|| <||Ло’1|
и || Л"1— Ло’1||->О.
Доказательство. При ||В — /|<1 имеем
|в-~	«
(это неравенство получается из ряда Неймана). Пусть теперь
||Л —ЛоКВЛо-’Г1. Тогда ' |ЛЛ0_1 — /| = ||(Л-До)До-1[<1
и поэтому (ЛЛо 1)“1 £ (X). Следовательно, Ло’ХЛЛо’1) =
=[(ЛЛо'1)Ло]“1= Л"1 е SS (X). Если Л-^Л0> то ЛЛ7‘->/,
ибо Ц-ЛЛо1 — /|<Mo_1|| • ЦД—-«М-’ Поэтому -из неравенства (*)
§ 1.	Алгебра ограниченных операторов в банаховом пространстве 189
♦
получаем ЦлЛо1)-1—/j—>0. Неравенством
I Л-1 - Л0-' | = | Ла-ЧСлЛ,-1)-1 - /]I < |4Г' I • I(ЛЛ» У’ - /1
доказательство леммы заканчивается.	.: .	.
Из доказанной леммы вытекает, что если Х0£р(Т) и точка 1
близка к точке Хо, то Х£р(Г), т. е. что р(Г) —открытое множе-
ство (достаточно положить Л = Х/— Т, Л0 = Х0/— Т), а этой тре-
бовалось доказать.
В следующих параграфах нам потребуется следующее довольно
очевидное предложение. •
Теорема 2. Если w— многочлен» то
<5р(^[Л]) = -ш[5р(Л)].	(1.1)
Доказательство. Пусть ц—комплексное число, а Хх.......Хл—
корни уравнения ц — w [X] = 0. Имеем
рУ —^(Л) = а(Х/ —Л)... (ХЛ/ —Л).	(1.2)
Если ц£8р(^[Л]), то по крайней мере одно из чисел Ху принад-
лежит спектру А» ибо в противном случае все множители (1.2)
обладали бы ограниченными обратными и, следовательно, оператор
pi/ — ^[Л] Обладал бы ограниченным обратным, что противоречит
условию р, £ Sp (w [Л]). Таким образом, Sp (w [Л] )сw [Sp (Л)]. Пусть
теперь Xi £ Sp (А). Пусть p. = tei[X1], и пусть Х2, ...» Хй— остальные
корни уравнения р — w [X] = 0. Из уравнения (1.2) вытекает, что
p = ^[Xj С Sp (w [Л]), т. е. что w [Sp (Л)] czSp (w [Л]).
Действительно, предположим, что р Sp (w [Л]). Тогда оператор
С °— р/ — w [Л] имеет ограниченный обратный С"1. Положим
F == X/ — Л, G °= а (Х2/ — Л) ... (kkI — Л). Операторы С, F и G
коммутируют и в силу соотношения (1.2) имеем С = FG. Поэтому
FGC~X — I и оператор F имеет ограниченный обратный У7"*1 = ОС'1.
Однако это противоречит условию Х^БрСЛ) й определению опера-
тора F = Xi/ — Л. Теорема доказана.
Мы закончим этот параграф выводом формулы для так назы-
ваемого спектрального радиуса оператора Л. Спектральным ра-
диусом оператора Л называется число ||ЛL = sup. [XL1). Имеет
Р XCSr(X)- -
место следующее утверждение.
0 Функция || • ||Sp не является нормой на W» но она является полу-
нормой. — Прим, перев*. .......
190
Гл. VIII. Коммутативные банаховы алгебры
Теорема 3. Если Л^^’(А’), то
Мк=Пт(||Ля||)1/я.
F /2->оо
Доказательство. Из п. 2° теоремы 1 и формулы (1.1) выте-
кает, что || Ап || > || Ап ||Sp = || А ||яр и, следовательно, || Ап |11/я> || A ||Sp-
Отсюда
lim inf || Л” ||1/л > || A ||s	(1.3)
И—*
Однако при 111 > || Л ||
(л-и>“=-т2т-
/2 = 0
Рассуждая так же, как в классической теории скалярных анали-
тических функций, заменяя только знак абсолютного значения знаком
норм, легко убедиться, что ряд Лорана функции (Л — V)*"1 сходится
при | X | ^> || Л ||Sp в смысле нормы операторов. Следовательно, в силу
единственности разложения в ряд Лорана имеем
оо
(л-иг1^-!^ п₽и IM>lM||Sp.
/2 = 0
Поэтому || ГВЛЯ || -> 0, и—>оо, так что || А" || < 11 |я для больших п,
откуда Iimsup|| ЛЯ||1/Я<;||А.||. Поскольку 1 обозначало произвольное
/2->оо
комплексное число, удовлетворяющее неравенству | X | > || Л ||Sp, то
lim sup || Ля ||1/я < || Л ||	(1.4)
/2->ОО	Н
Из неравенств (1.3) и (1.4) находим
lim sup || Ля ||1/я ^ || Л )| s <Jim inf || Л” ||1/в,
Л->оо	F п-*<х>
что и требовалось доказать.
§ 2. Теория максимальных идеалов Гельфанда
Переходим теперь к изучению абстрактной коммутативной бана-
ховой алгебры с единицей. Такую алгебру мы будем обозначать
через ее элементы — через xt у, z, ...» а единицу — через е.
§ 2. Теория максимальных идеалов Гельфанда	191
Как и в алгебре $ (X), введем понятие спектра Sp(x) и резоль-
вентного множества р(х) элемента х£Л.
Определение. Спектром Sp(х) элемента х£Л называется
множество всех тех комплексных чисел X, для которых в алгебре Л
не существует обратного к элементу х — \е. Элемент алгебры Л,
обладающий обратным, называется регулярным элементом. Резоль-
вентное множество р(х) элемента х£Л состоит из всех тех
комплексных чисел X, для которых элемент х — Ке регулярен
[т. е, (х — ке)"1 £Л\-
По определению алгебра Л является банаховым пространством.
Каждому элементу х£Л можно поставить в соответствие ограни-
ченный линейный оператор Ах £ S3 (</£), полагая
« опр*
АХУ = ху.	(2.1)
Теорема 1. Отображение х->Ах есть изометрический
изоморфизм банаховой алгебры А в некоторую подалгебру
^(А) алгебры 33 {Л). При этом
Sp(x) = Sp(Ax), р(х) = р(Ах).	(2.2)
Доказательство. В силу определения нормы оператора
II Лг 11= sup 1|АгУ||= sup ||ху||<||х||.
Пу 11=1	ИУЦ=1
При у = е имеем || Ахе || = || хе || = || х ||. Следовательно, || Ах || =
= || х || и, таким образом, отображение х-+Ах действительно
является изометрией. Заметим, что каждый оператор А — АХ^^31(А)
обладает тем свойством, что A(yz) — (Ay)z. Обратно, если опе-
ратор А удовлетворяет условию A (yz) = (Ay) z для всех у, z£^>
то, полагая х = Aet находим, что А = Ах £ 35 (</£)• Если оператор
А£33\(<Л) обладает обратным А~:^^(с^), то
А l(^-13’)d = 3’'2- (Л-1у).г = А~г(уг), т. е. А~'£
Следовательно, элемент х — he обладает обратным тогда и только
тогда, когда оператор Ах — М обладает обратным, принадлежащим
так что формулы (2.2) тоже доказаны.
Следствие. Регулярные элементы алгебры Л образуют
открытое множество icjl. Функция х”1 непрерывна на
множестве
Действительно, из леммы предыдущего параграфа вытекает,
что множество 7°czJ?(A) операторов А, обладающих обратным
открыто в алгебре 33 (Л) и что функция А"1 непре-
рывна на множестве 7°. Подмножество Т* П 33 \ (Л) открыто в алгебре
^i(A), а поэтому его изометрический прообраз $ при изоморфизме
192
Гл. VIII. Коммутативные банаховы алгебры
х—является открытым множеством в алгебре Л и функция х"1
непрерывна на $, что и требовалось доказать.
Напомним, что (собственным) идеалом алгебры Л называется
подмножество 1, удовлетворяющее следующим условиям:
Г. из х, у £t, р, вытекает px-^-qyf^i,
2°. i ¥= X
Идеал называется максимальным, если он не является собственным
подмножеством другого идеала.
Приведем здесь ряд теорем, открытых И. М. Гельфандом и
касающихся максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры
с единицей.
Теорема 2. 1°. Никакой идеал не содержит регулярных
элементов, 2°. Замыкание идеала является идеалом, 3°. Макси-
мальный идеал замкнут. 4°. Каждый идеал содержится в неко-
тором максимальном идеале. 5° Элемент х тогда и только
тогда принадлежит некоторому максимальному идеалу, когда
он необратим.
Доказательство. К пункту Г. Если x£t и	то
в силу определения идеала хх"1 — e£i. Поэтому у — еу Сt для
каждого у£Л, откуда Лс:1, что противоречит п. 2° определения
идеала.
К пункту 2°. Из следствия на предыдущей странице и п. 1°
вытекает, что дополнение множества S (регулярных элементов
алгебры Л) замкнуто, что каждый идеал tcz^' и что tczS' =/= Л.
Поэтому 2° вытекает из непрерывности алгебраических операций.
Пункт 3° вытекает немедленно из п. 2°.
К пункту 4°. Пусть i — идеал, а 3 — семейство всех идеалов,
содержащих в себе идеал и Семейство 3 частично упорядочено по-
средством соотношения включения с:.
Объединение идеалов, каждого линейного упорядоченного подсе-
мейства является собственным идеалом, ибо оно не содержит еди-
ницы е. Это означает, что каждое линейно упорядоченное подсемейство
обладает верхней гранью в множестве 3 и на основании леммы Цорна
(ср. дополнение 1) семейство 3 обладает максимальным элементом.
К пункту 5°. Если элемент х необратим, то множество
{ху:у£ст£} является идеалом (содержащим элемент х), который на
основании 4° содержится в некотором максимальном идеале т. Обратно,
если элемент х содержится в максимальном идеале ш, то в силу п. 1°
этот элемент необратим. Теорема доказана.
Алгеброй вычетов по модулю t (где i — идеал алгебры Л) на-
зывается множество классов эквивалентности по модулю t. При этом
элементы х и у принадлежат одному и тому же классу (эквивалентны
по модулю t), если х — у £ L . В этом случае пишут х = у (mod i).
Легко проверить, что множество вычетов по модулю i образует алгебру.
§ 2. Теория максимальных идеалов Гельфанда	193
Эту алгебру обозначают символом Алгебраические операции
над классами определяются посредством операции над представите-
лями этих классов; например, произведением двух классов является
класс, который состоит из произведений представителей (элементов)
сомножителей. Легко убедиться, что такое определение корректно.
Норму в алгебре определим следующим образом: если </£/(,
то положим
II i 11= inf ||хЦ.	(2.3)
х^х
Теорема 3. Если i — замкнутый, идеал, то <Л/1— полная
алгебра.
Доказательство. Докажем только, что функция || • ||, задан-
ная формулой (2.3), удовлетворяет условиям, предъявляемым (в бана-
ховой алгебре) к норме, и что в этой норме пространство dl/i полно.
Тот факт, что множество dt/i является алгеброй с единицей, выте-
кает непосредственно из определения.
Очевидно, нулевым вектором 0 алгебры A/i является идеал i: 0 = 1.
Докажем, что || б || = 0. Действительно, Ц 61| = inf || х || = 0, так как
0£t. Обратно, если ||х|| = 0, то существует такая последователь-
ность хп£х, что хл->0. Поскольку идеал t замкнут, то и класс х
замкнут. Поэтому 0 = Пшхл€х и x=i = 6. Проверим, что выпол-
няется неравенство треугольника
|| ху || = infj| * + y||<inf/||x|H-||y||) =
УбУ	у€у
= inf||x||-binfj|y|l = ||x|l + ||y||.
х£х	У€У
Аналогично
||U|| = |M-||x||
и
II ху 11 = inf || ху || < inf II х II • II у II = inf || х || • inf || у || = || х || • || у ||.
к£х	х£х	х£х у£у
уСу	у€у
Из только что доказанного, в частности, получаем (| е || = || ее || <
<|| е ||2. Так как ef£i, то ё^б и ||е||^1. С другой стороны,
|| е [| = inf || х |( < (I е || = 1. Таким образом, |] е || = 1.
*€ е
Остается доказать полноту пространства </£/(. Рассмотрим после-
довательность Коши (хп)с:<Л11. Заменяя в случае необходимости по-
следовательность подпоследовательностью, можно предположить, что
13 К. Морен
194	Гл. VIII. Коммутативные банаховы алгебры
[|хл+1— хп || < 2“л. Применяя метод математической индукции,
строим такую последовательность (хл), что хп £ хп и || хл+1 — хп || <2“л.
Так как пространство Л полно, то фундаментальная последователь-
ность (хл) имеет предел х и || хп — х ||	|| хп — х ||. Следовательно,
класс х (содержащий элемент х) является пределом последователь-
ности (хл). Если подпоследовательность последовательности Коши
в метрическом пространстве имеет предел, то и вся последователь-
ность имеет тот же предел. Поэтому исходная последовательность
Коши имеет тот же предел х. Доказательство теоремы закончено.
Докажем теперь простое, но весьма важное утверждение.
Теорема 4 (частный случай теоремы Мазура). Если
алгебра ut является полем (т. е. каждый элемент алгебры Л,
отличный от нуля, обратим), то алгебра Л изоморфна полю
комплексных чисел С1.
Доказательство. Мы знаем, что спектр Sp(x) элемента х ба-
наховой алгебры Л является непустым множеством [ибо Sp (х) = Sp (Ах),
a Sp (Ах) — непустое множество]. Поэтому существует число X £ Sp (х).
По определению спектра элемент х — Хе необратим, а так как
Л — поле, то х — Хе = 0. Имеем х = Хе, || х || = || Хе [| = | X | • || е || =
==|А/|, что и требовалось доказать.
Заметим, что всякая алгебра, содержащая нетривиальный идеал,
не является полем (ср. теорема 2 п. Г).
Теорема 5. Если i — замкнутый идеал, то алгебра выче-
тов Л/i тогда и только тогда изометрически изоморфна
полю комплексных чисел, когда идеал i максимален.
Доказательство. Пусть t — немаксимальный идеал, ат — ма-
ксимальный идеал, содержащий i. Тогда Л/тв является идеалом
в алгебре Л/i, причем Л/Тв ф Л/t, так что ЛЦ не является полем.
Обратно, пусть теперь тх — идеал в алгебре <т£/т, и пусть т' — про-
образ идеала тх при отображении (каноническом гомоморфизме)
Л->Л!ы. Множество т' является идеалом в алгебре Л и mcmj.
Отсюда mx = m и, далее, т1 = 0. Поэтому алгебра Л/тв не содержит
идеалов, отличных от нулевого, и поэтому является полем. Затем
применяем теорему 4.
В дальнейшем для обозначения максимальных идеалов мы будем
употреблять букву т. Множество всех максимальных идеалов алгебры Л
будем обозначать через Эй.
Пусть ст£/т —-> С1 — изоморфизм факторалгебры Л/м, на поле
комплексных чисел С1. На алгебре Л определим функцию Fm сле-
дующим образом: Fm(x) = Z, где X— комплексное число, соответ-
§ 2. Теория максимальных идеалов Гельфанда	195
ствующее (при изоморфизме классу х, к которому принадлежит
элемент х. Определим на множестве ЭК функцию х(тп) с помощью
следующего равенства:
~ опр.
х (ш) = FM (х).
Функция х(т) обладает рядом важных свойств, которые собраны
в следующей теореме.
Теорема 6.
1°. (Xi + х2Г (тп) = X! (ш) 4- х2 (т);
2°. (Xx)^(tn) = %x(m) для любого
3°.в(т)==1;
4°. (xix2)"' (т) = Xi (т) х2 (т);
5°. |х(т)|<||х||;
другими словами, функция (х) = х(т) является непрерывным
линейным и мультипликативным функционалом;
6°. х(т) = 0 тогда и только тогда, когда х£т;
7°. если иц #= т2, то существует такая функция х, что
х(пц) =/= х(т2); это означает, что алгебра функций х отделяет
точки множества ЭК;
8°. x(3K) = Sp(x).
Доказательство. Свойства Г—6° являются непосредственным
следствием того, что Fm (х) — гомоморфное (т. е. сохраняющее алге-
браические операции) и непрерывное отображение алгебры <Л
в поле С1. Действительно, это отображение мы получили, пользуясь
изоморфизмом о?€/тп —> С1 и полагая Fm (х) — const = X на классе х,
к которому принадлежит элемент х, х£х£<Я/м. В частности,
fm(x) = 0 при х£ш.
К пунктам 7° и 8°. Если т2^х£ nip то из п. 6° вытекает,
что х(ш1) = 0 и х(ш2)=#0. Остается доказать п. 8°, в соответствии
с которым функция х отображает множество максимальных идеалов
на спектр элемента х. Если %£Sp(x), то элемент х — ке необратим.
Согласно п. 5° теоремы 2, этот элемент принадлежит некоторому
максимальному идеалу ш. На основании ранее доказанных свойств
функции х отсюда следует, что
О = (ке — х) (ш) = (ке — х) (nt) = к — х (nt),
т. е. к = х (ш) £ х (ЭК). С другой стороны? если к = х (nt), то
(ке — х)"(т) = 0 и на основании п. 6° х—Хе£т. Следовательно,
13*
196
Гл. VIII. Коммутативные банаховы алгебры
согласно п. 5° теоремы 2, элемент х —ке необратим, так что X £ Sp (х),
что и требовалось доказать.
Как мы видим, каждому максимальному идеалу можно поставить
в соответствие непрерывный линейный и мультипликативный функ-
ционал Fm. Возникает вопрос, будет ли каждый такой функционал
порождаться некоторым максимальным идеалом. Утвердительный ответ
содержится в следующей теореме.
Теорема 7. Каждому (нетривиальному) непрерывному
линейному и мультипликативному функционалу т, заданному
на алгебре Л, соответствует такой максимальный идеал ш,
что m(x) = Fm(x) для всех х£Л.
Доказательство. Пусть т — {х : т(х) = 0]. Очевидно,
щ — замкнутый идеал. Но, как вытекает из леммы гл. II, § 5, фак-
торалгебра с^/тп изоморфна полю комплексных чисел (размерность
алгебры Л/т равна дефекту множества ш, т. е. равна единице). Сле-
довательно, на основании теоремы 5 заключаем, что идеал ш макси-
мален, поэтому
т(х) =	(х) = х(т),
что и требовалось доказать.
Предыдущая теорема вскрывает значение максимальных идеалов:
максимальные идеалы представляют непрерывные гомоморфизмы
алгебры Л в поле комплексных чисел С1.
Как мы видели, существует гомоморфное отображение алгебры Л
на алгебру Л функций х, заданных на множестве максимальных
идеалов SR. Нетрудно ответить на вопрос о том, когда это отобра-
жение будет взаимно однозначным. Очевидно, это будет иметь место
в том случае, когда пересечение всех максимальных идеалов, так на-
зываемый радикал алгебры Л. состоит только из нулевого элемента.
Определение. Алгебра Л называется полупростой, если она
имеет нулевой радикал.
Таким образом, мы доказали, что полупростую алгебру Л можно
взаимно однозначно с сохранением алгебраических операций отобра-
зить на алгебру Л функций х, заданных на множестве ЗЯ макси-
мальных идеалов Л- Хотя мы пришли к весьма интересному изомор-
физму полупростых алгебр Л и Л. результаты нельзя считать вполне
удовлетворительными, ибо алгебра Л наделена определенной топо-
логией, тогда как алгебра Л никакой топологией не наделена. Ока-
зывается, в множестве ЗК можно ввести такую топологию (называемую
гельфандовской), чтобы функции х стали непрерывными, множество
9)1 — компактом, а отображение Л Л — непрерывным гомомор-
физмом (изоморфизмом в случае полупростых алгебр) в С (ЗЯ).
§ 2. Теория максимальных идеалов Гельфанда	197
> Теорема 8 (Гельфанд). В множестве W? максимальных
идеалов алгебры Л можно ввести такую топологию, что в этой
топологии ЗЛ является компактным хаусдорфовым простран-
ством. При этом отображение х-+х оказывается гомомор-
физмом алгебры Л в алгебру Л скалярных функций, непре-
рывных на пространстве ЗЛ (gt£c:C(2H)). Этот гомоморфизм
является изоморфным отображением тогда и только тогда,
когда алгебра полупростая.
Доказательство. Введем в множестве Эй слабую топологию,
определяемую функциями х, т. е. слабейшую топологию, при которой
все функции х(ш) непрерывны. Это тихоновская топология в мно-
жестве линейных мультипликативных функционалов (ср. дополнение 1),
в которой окрестности определяются следующим образом. Пусть
Д = {Fm : т£9И}. Мы знаем, что множества Эй и Д канонически
соответствуют друг другу, а потому достаточно ввести топологию
в множестве А. Фундаментальную систему окрестностей функционала Fme
определим следующими соотношениями:
и(ш0, е, хг...хп){Ftn : | Fm (xi) — Fm, (xi) | < е, I = 1.п].
Очевидно, в такой топологии функционалы Fm непрерывны. Кроме
того, как мы сейчас докажем, в такой топологии множество А ком-
пактно.
Заметим, что множество А можно топологически вложить в про-
изведение Q°—где Qx °= {Х^С1: |М^11ХИЬ Действи-
тельно, в силу неравенства | Fm (х) |	|| х || имеем Fm (х) £ Qx для
всех m £ ЗЯ. Так как множества Qx (замкнутые круги) компактны,
то в силу теоремы Тихонова множество Q компактно и А оказы-
вается подмножеством компактного пространства. Достаточно прове-
рить, что множество А замкнуто. Пусть G£A; тогда окрестность
U (О, е, х, у, * + у) пересекает множество А. Поэтому существует
функционал FW£A, для которого
|О(х)—Fm (х)| < е, |G(y)-Fm(y)| <е, |G(x-|-y)—Fm (х + у)|<е;
однако Fm(x4-y) = Ftn(x) + Fm(y), откуда
|G(x + y)-[G(x) + G(y)]|<|G(x + y)-F,n(x + y)| +
+1 Fm (х) - G (х) | +1 Fm (у) - G (у) 1 < Зе-
Поскольку такое неравенство имеет место для любого е > О, то
G (х-|-у) = G (x)-|-G (у). Аналогично доказывается равенство G(Xx)==
= %G(x); при этом целесообразно воспользоваться окрестностью
G (G, е, х, Кх). Соотношение G (е) = 1 доказывается следующим
образом: при Fm£G(G, 8, е) имеем |О(£) — Fw(tf)|<e, а так как
198	Гл. VIII. Коммутативные банаховы алгебры
(е) = 1 и е произвольно, то О(г) = 1. Используя окрестности
вида U (О, е, х, у, ху), читатель докажет мультипликативность функ-
ции G. Таким образом, G является непрерывным линейным мульти-
пликативным функционалом, заданным на алгебре Л, так что G£At
А с: А, и теорема Гельфанда доказана.
Заметим, что для спектрального радиуса элемента х имеем сле-
дующие формулы:
IIх lisp = sup Iх («О I = sup IFM (x) I = lim || x" ||v".	(2.4)
Первое равенство вытекает из соотношения х (Эй) = Sp (х) (см. тео-
рему 6, п. 8°), а последнее — из соотношения || х ||Sp = || Ах ||Sp —
= lim || Ах ||1/Л = Пт || хп ||1/л (см. теорему 3 § 1).
Л->СО	Л->0О
Из формулы (2.4) вытекает, что элемент х принадлежит ра-
дикалу алгебры А тогда и только тогда, когда lim || ХЛ ||1/Л =
__________________________	п->оо
= ||x||Sp = 0 [ибо тогда х(т) = 0].
Теорема Гельфанда утверждает, что всякая полупростая
алгебра ut изоморфна подмножеству пространства непрерыв-
ных функций С (Эй). Поскольку || х ||Sp <J| х ||, то на основании
формулы (2.4) заключаем, что гельфандово представление не увели-
чивает норму [и, в частности, есть непрерывное отображение <А в С (Эй)].
Теорема 9. Пусть Л— банахова алгебра, х£<Л и
<Л(х) — наименьшая замкнутая подалгебра алгебры Л, содер-
жащая х. Если Л = Л(х), то спектр элемента х гомеоморфен
множеству Эй максимальных идеалов этой алгебры.
Доказательство. Поскольку х — функция, непрерывная на
множестве Эй и х(9й) = 5р(х), то функция х отображает множе-
ство Эй непрерывно на спектр элемента х. Так как множества Эй
и Sp(x) бикомпактны, то для доказательства их гомеоморфности
достаточно убедиться, что функция х отображает множество Эй
на множество Sp(x) взаимно однозначно. Заметим, что всякий эле-
мент алгебры (х) является пределом последовательности многочленов
от элемента х. [Действительно, <т£(х) — банахова алгебра, содержащая
элемент х, а, следовательно, также все многочлены от элемента х
и их сильные пределы; но Л(х)— наименьшая алгебра, содержащая
элемент х, поэтому указанным способом можно получить все ее
элементы.] Пусть Шр тп2^ЭЙ и иц =# ш2; согласно теореме 6, п. 7°,
существует функция у(ш)£С(ЭЙ), для которой у (тпх) + У (т2), а сле-
довательно, х (иц) #= х (т2), ибо, как мы отмечали, функция у
является равномерным пределом многочленов от функции х. Теорема
доказана.
§ 3. Коммутативные С*-алгебры
199
§ 3. Коммутативные С*-алгебры.
Теорема Гельфанда — Наймарка
Алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве
является (некоммутативной) банаховой алгеброй, и, кроме того, в ней
существует операция сопряжения * (т. е. операция взятия сопря-
женного оператора): А^+А*. Мы знаем, что эта операция обладает
следующими свойствами:
1°. (Д*)* = Д;
2°. (Ы)*==Ь4*;
3°. (ЛВ)* = В*Л*;
4°. (Л + В)* = Д* + В*;
5°. || ЛЛ*|| = || А||2.
Определение. Банахову алгебру Л, в которой задана инво-
люция, т. е. операция х-*х*. удовлетворяющая условиям:
1°. (х*)* = х\
2°. (1х)* = 1х* для всех
3°. (ху)* = у*х*;
4°. (х + у)‘ = х* + /;
5°. || хх* ||== || х ||2,
называют С*-алгеброй или банаховой алгеброй с инволюцией1).
В настоящем параграфе мы будем изучать коммутативные
С*-алгебры с единицей. Примером такой алгебры является прост-
ранство С (Эй) комплекснозначных непрерывных функций на неко-
тором компактном множестве Эй. Инволюцией здесь является переход
к комплексно сопряженной функции: если f QC(Эй), то f*(m) —‘ f (m).
Единицей является функция, тождественно равная числу 1.
Теорема 1 (Гельфанд и Наймарк). Условия 1° — 5°
дают аксиоматическое описание алгебры С (Эй); точнее, ком-
мутативная С*-алгебpa ut изометрически изоморфна алгебре
С (Эй) комплексных непрерывных функций, заданных на биком-
пактном множестве Эй максимальных идеалов алгебры Л,
причем указанный изоморфизм осуществляется канонически.
Изоморфизм с7£«->С(ЗЙ) — не что иное, как гельфандовское
представление, о котором шла речь в предыдущем параграфе. За-
метим, что в теореме Гельфанда (теорема 8 § 2) изоморфизм, вообще
говоря, не был изометрией, было лишь доказано, что он не увели-
чивает норму.
’) Понятие С*-алгебры было введено И. М. Гельфандом и М. А. Най-
марком.
200	Гл. VIII. Коммутативные банаховы алгебры
Доказательство теоремы Гельфанда — Наймарка разобьем на не-
сколько шагов.
Лемма 1. Если JL— коммутативная С*-алгебра, то
а)	II *2 II=11* II2; '
Ь)	если е — единица алгебры Л, то е =е;
с)	|]х|] = ||х*||.
Доказательство. К пункту а)
II X* ||2 = || X* (х2)‘ || = || х2 (х*)’ || = || (XX*) (XX*) || = || XX* f = || X ||<;
к пункту Ь) е* = е*е, откуда
е = (е*)* = (е*е)* = е*е** = е*е = е*\
к пункту с)
II * II2 = II *** II = II (**)* ** II = II ** (**)* II = II ** II2-
Лемма 2. Если ЗЛ — пространство максимальных идеалов
коммутативной С*-алгебры то при х£ ul, где х (m) ==	(х),
имеем следующее соотношение*.
J*(тп) =	(х*) = FTW = J(m).
В частности, если элемент у эрмитов, т. е. у = у*, то
y(m)=y*(jM)£E1, так что эрмитовым элементам соответ-
ствуют вещественные функции.
Доказательство. Достаточно убедиться, что функции, отве-
чающие эрмитовым элементам, вещественны, ибо каждый элемент х
можно представить в виде х = yt + ly^ где	= у (•*-+ х*)»
у2 = ~2Г (х — х ) — эрмитовы элементы, а поэтому
** = (51 + $2)* = 5* — 1у*2 = У1 — Z52 = X.
Предположим, что функция у принимает комплексное значение
а + lb, Ь =/= 0, где а и b — вещественные числа. Положим x = y-f-
-\-ide, где d£E\ Функция х принимает значение a+•/(# + tZ),
откуда
a2 + ^2 + 2M + rf2<||x||2=||xx*|| = ||y2 + ^|| <||у||2 + Л
Если взять d так. чтобы 2bd > || у ||2, то получится противоречие.
Лемма доказана.
Перейдем теперь к доказательству теоремы Гель-
фанда — Наймарка. Поскольку при р = 2\ k — 1, 2.......имеем
§ 3. Коммутативные С*-алгебры
201
II II = II х 11р> т0 на основании формулы (2.4) настоящей главы
IIх lisp = max IIх («о II = II х II = lim II Xя н’/п = II х II-
F m€>Dl	п->оо
т. е. радикал алгебры сводится к одному лишь нулевому элементу,
а канонический изоморфизм является изометрией. Остается только
показать, что Л — С (2)?). Как нам известно, функции х отделяют
точки множества ш; поэтому вещественные функции алгебры Л со-
ставляют вещественную алгебру, отделяющую точки пространства ЭЛ.
Поясним это. Пусть иц =/= т2 и m2 $ х £ mi- Элемент у — хх* эрми-
тов, а поэтому функция у — вещественная. Имеем
У (mi) = | X (nil) I2 = 0, у (m2) = IX (m2) |2 > 0.
На основании теоремы Стоуна — Вейерштрасса алгебра веществен-
ных функций, принадлежащих Л> плотна в алгебре Сд(2Л) всех
вещественных непрерывных функций, заданных на пространстве ЭЛ.
Поэтому алгебра Л плотна в алгебре С (ЭЛ). Вследствие изометрии
||х|| = ||х|| множесто Л замкнуто в С (ЭЛ), а поэтому с7£==С(ЗЛ).
Теорема доказана1).
Если Л(х) — наименьшая коммутативная С*-алгебра, содержащая
элемент х, то, рассуждая как при доказательстве теоремы 9 § 2,
можно доказать, что функция х отображает топологически множество
максимальных идеалов алгебры Л(х) на спектр элемента х\
х (ЭЛ) = Sp (х) —’ Л.
Таким образом, мы приходим к следующему утверждению.
Следствие. Наименьшая коммутативная С*-алгебр а Л (х),
содержащая элемент х, изометрически изоморфна алгебре С (Л)
функций, непрерывных на спектре [в алгебре Л(х)\ элемента х,
При этом самому элементу х соответствует функция х' (X) = X,
являющаяся тождественным преоб разованием множества
A = Sp(x) на себя.
Вторая часть следствия вытекает из того, что в случае когда хв1
обозначает отображение, обратное к отображению х: x(x_j(X))=sX,
элементу у£Л(х) соответствует функция у', заданная формулой
У'(Х)°— У (Х-1 (X)).
Действительно, функция Х = лГ(ш) отображает пространство макси-
мальных идеалов на спектр Л = Sp (х) элемента х. Имеем
’) Теорема остается верной, если условие 5° заменить условием || хх* || =ч
= II х || • || х* ||. — Прим. ред.
202
Гл. VIII. Коммутативные банаховы алгебры
х_1(Л) = ш и у'(Х)°— у (m) = у (xLi(X)). Таким образом мы полу-
чили новый изоморфизм £С(Л):
Л (х) «-> С (Л), Л = Sp (х),
причем	где x'(Z) = x(x_1(X))==X, что и требовалось до-
казать.
Хотя теорема Стоуна — Вейерштрасса носит элементарный харак-
тер, в университетские курсы она не входит. Поэтому приведем
здесь краткое доказательство этой теоремы.
Теорема (Стоун, Вейерштрасс). Пусть Л — замкнутая
в смысле равномерной сходимости подалгебра алгебры С^(Л)
всех вещественных непрерывных функций на компактном.хаус-
до рфовом пространстве Л, содержащая функцию е (А,)= 1; необ-
ходимое и достаточное условие того, чтобы алгебра Л совпа-
дала со всей алгеброй состоит в том, чтобы алгебра Л
отделяла точки пространства Л, т. е. чтобы для каждой
пары точек #= Х2 пространства Л существовала такая функ-
ция g^Jl, что g(X1)#=g(X2).
Доказательство. Условие необходимо, ибо компактное хаус-
дорфово пространство Л является нормальным пространством*,
следовательно, для каждой пары его точек #= Х2 существует такая
непрерывная функция <р, что ф(Х1)==1, ф(Х2) = 0.
Для сокращения доказательства достаточности мы воспользуемся
классической теоремой Вейерштрасса для отрезка вещественной оси
(доказательство этой теоремы можно найти в любом университетском
курсе математического анализа), согласно которой всякую непрерыв-
ную функцию можно приблизить многочленом. В частности, суще-
ствует такая последовательность многочленов (Рл), что
||а| — -Ря(а)1<4 при —«<«<«•
При |^(Х)|<в имеем ||g(X)|— Pn(.g(Х))|Из этого нера-
венства вытекает, что если функция g принадлежит алгебре А, то
и | g | £ с/, где | g | (X) —' | g (X) | для всех % £ Л. Введем следующие
обозначения:
(/ и g) (X) = max {/ (1), g (X)};
(/ 0 g) (X) °— min {/ (X). g (X)}.
Поскольку
/ug=}(/+£)+||/-£|
§ 3. Коммутативные С*-алгебры
203
и
/ng=4(/+g)~4i/-si-
то алгебра А замкнута не только относительно операции
но также и относительно операций U и П •
Заметим далее, что для произвольной функции Л£Сд(А) и про-
извольной пары точек Х2 С Л существует такая функция
что
/az) = A(^), Z—1, 2.
Действительно, пусть g£A и g(li) ¥= g(Х2). Тогда можно найти
два таких вещественных числа а, р, что
+	=	2.
Пусть теперь Л£СЛ(Л), X, ц£Л, а функция /(•; %, ц)£4
такова, что
/(X; 1; ц) = Л(Х),	/(ц; X, ц) = Л(р).
Поскольку функции /(• ; X, р) и h( •) непрерывны, то для каждого
е > 0 найдется такая окрестность Ue (X) точки Z, что
/(х; %, р)>Л(х)— е при х£иг(к).
Пусть	— покрытие множества Л, и пусть
/(•; и) — /(•; К н)и ... и/(•; х,. н).
Имеем /(х; р)>й(х)— е для всех х£Л. Ввиду того что
/(р; %z, р) = А(р), /(р; р) = Л(р). Поэтому существует такая
окрестность Уе(р) точки р£А, что
/(р, х)<Л(х) + е	при x£Ve(p).
Пусть (V’8(p;))5=si — покрытие множества Л; положим
/(•) = /(•; н) П...П/G; н«).
Поскольку / (х; р,г) > h (х) — е для всех х £ Л, то также
/(х) >Л(х) — е, х£Л.	(*)
Однако, с другой стороны, для произвольной точки х, принадле-
жащей, например, окрестности	имеем
/(•*)</(•«; Н/)<*(*)•+• е.	(**)
Из неравенств (♦) и (♦*) получаем
|/(х) — Л(х)|<е	при х£Л.
204	Гл. VIII. Коммутативные банаховы алгебры
Так как Л£СЛ(Л) и е> 0 были взяты произвольно, то Сд(Л)с:с?, и
теорема доказана.
Этот параграф мы закончим дополнением к теореме Гельфанда —
Наймарка, имеющим фундаментальное значение для спектральной
теории (ср. гл. XVII).
Теорема 2. Если f-+Tj—изометрический изоморфизм
алгебры С (Эй) на С*-алгебру линейных операторов в гильбер-
товом пространстве то этот изоморфизм можно рас-
ширить (причем только одним способом) на алгебру В(ЗЯ) всех
ограниченных функций Бэра на множестве ЗЛ. Если S — огра-
ниченный оператор, коммутирующий с Тf для каждой функ-
ции ф£С(ЗЛ), то S коммутирует с Tg для каждого g£B(3g).
Описанное выше расширение сохраняет инволюцию, однако,
вообще говоря, уменьшает норму.
опр.
Доказательство. Для трилинейной функции F(f\ и, v) —
— (TfU, v), где f^C^SJl), а и, имеет место неравенство
|F(/; и, f)|<||7’/||.||B||.||V|J = ||/||.||«||.||ti||.	(3.1)
откуда вытекает, что при фиксированных и и v функция F(f\ и, v)
является ограниченным интегралом на С(ЗЛ) и, следовательно, допу-
скает единственное расширение на все пространство В(ЗЛ) до три-
линейного функционала (для которого мы сохраняем прежнее обо-
значение) с сохранением неравенства (3.1):
и, w)|<||g||-||«i| -IHI-
Пусть (Tgu, 6) — F(g\ и, v). Как мы видим, отображение g->Tg
имеет норму^1. При /, Л£С(ЭЙ) имеем
1°) Tfg = TfTg=TgT},
т. е.
2°) F(fh‘, и. v)—F(f; Thu, v) = F(f. и. tJv).
Фиксируя h, мы видим, что тождества 2° сохраняются, когда / про-
бегает множество В (ЗЛ), т. е. соотношения Г имеют место, когда
f £В (Эй), a h£C (Эй). Поскольку соотношения 1° симметричны
относительно / и h, то формула 2° имеет место при /£С(ЗЙ),
й£В(ЗЛ). Снова расширяя функционал, мы видим, что формула 2°,
а потому и формулы Г сохраняются для всех /, Л£В(ЗЙ). Таким
образом расширенное отображение g->Tg является требуемым ото-
бражением алгебры В (Эй).
Пусть оператор S коммутирует с оператором Т? для всех / £ О(ЭЙ);
тогда
3°) (TfSu, v) — (STfu, v) = (Tfu, S4f).
• § 4. Максимальные коммутативные С*-алгебры операторов 205
Как и выше, доказывается, что тождество 3° сохраняется при рас-
ширении. Поэтому оператор S коммутирует с оператором Т для
всех
Нам известно, что Tj? = T*f (/(m)°— /(ш))при /£С(2К), откуда
F(/; и, v) = (T*fu, v) = (Tfvt u) = F(J\ v, и).
Поскольку тождество F(/; и, v) = F(f* vt и) сохраняется при рас-
ширении, то
Tg* = Ts=rg	<3-* 2>
для всех g£B0ffl). Теорема доказана.
Обращаем внимание читателя на то, что построенный нами изо-
морфизм алгебры В(ЗЛ) и коммутативной С*-алгебры нормальных1)
операторов в пространстве Гильберта $ не увеличивает норму.
Подчеркнем, что благодаря неравенству (3.1) F(/; и, v) = (TfUt v)
допускает представление
(Tfu, v)= f /(Х)й?р(%; и, v) (f£C@Ry, и, v£$),
ЭД
где р(*; ut v) — некоторая положительная 9й-мера. Она носит назва-
ние спектральной меры алгебры и определяется однозначно.
На этом мы вынуждены закончить общую теорию банаховых
алгебр. Остальную часть главы мы посвящаем изучению некоторых
важных для квантовой механики алгебр операторов в сепарабельном
пространстве.
§ 4. Максимальные коммутативные С*-алгебры операторов
в гильбертовом пространстве
Как нам известно, линейные операторы в банаховом пространстве
образуют (некоммутативную) банахову алгебру. В этом параграфе
мы будем изучать коммутативные С*-алгебры операторов в се-
парабельном гильбертовом пространстве. Пусть Si — максимальная
коммутативная С*-алгебра с единицей (нормальных)2) операторов
в пространстве ф. Максимальность означает, что Si не является
собственной подалгеброй коммутативной С*-алгебры операторов в ф.
Существование максимальных С*-алгебр доказывается так же (с по-
мощью леммы Цорна), как и существование максимальных идеалов
(ср. теорема 2 § 2).
0 Оператор Т называется нормальным, если ТТ* = Т*Т,
2) Если какое-либо множество коммутирующих операторов вместе
с оператором А содержит также оператор Л*, то все операторы этого мно-
жества нормальны. В частности, всякая коммутативная С*-алгебра операто-
ров состоит из нормальных операторов. — Прим, персе.-
206	Гл. VIII. Коммутативные банаховы алгебры
Максимальные алгебры обладают следующим интересным свойством.
Теорема 1. Если Si— максимальная коммутативная
С*-алгебра операторов в сепарабельном гильбертовом про-
странстве > то существует циклический вектор v£fyt т. е.
такой вектор, что
[^] = ф, где Siv= [Av: A£Si].
Доказательство. Пусть (е^ — ортогональный базис про-
странства Не ограничивая общности, можно предположить, что
SllM<°°-	(4.1)
i-1
Построение циклического вектора v алгебры Si разобьем на пять
этапов.
Г. Если бы первый вектор базиса был циклическим, т. е. если
бы [^е1] = ^>1 = ф, то конструкция была бы закончена. Предполо-
жим, что =£ 0.
Пусть Рх — оператор ортогонального проектирования на фк
Следовательно, Pi = I — Pi является оператором ортогонального
проектирования на ф1~. Докажем, что имеет место следующая лемма.
Лемма. Если St— максимальная алгебра, то Pi и Р{ при-
надлежат Si.
Доказательство. Ввиду максимальности алгебры Si доста-
точно показать, что оператор Pi коммутирует с каждым оператором
A£Si- Пусть и — произвольный элемент пространства ф; положим
й = «14-й2, где	Из определения множества выте-
кает, что существует такая последовательность Вп £ St, что Впег —> uv
Но для каждого оператора A£St имеем ABnex£\Siei\. Следова-
тельно, также Аих— lim (ABne^£\Slei}. Отсюда P'iAu\ = Q, по-
лное
этому
P'iAu = P'iA («1 + «2) = PiAu^ = Ant,	(4.2)
ибо Аи2£$±, что вытекает из следующих выкладок (в которых В —
произвольный оператор из Si): (Аи2> В^) = («2, А*Вег) = 0 (по-
тому что A*B£Si и А*Ве1^^1). Так как множество [Ве^. BQSi}
плотно в то	С другой стороны, АР[и = Аи2, сопо-
ставляя это равенство с равенством (4.2), находим PiAu = APiU для
всех и£$. Следовательно, AP.'i = Р[а, откуда P'i£St и Pi=/ —
*—P'i£Sit что и требовалось доказать.
§ 4. Максимальные коммутативные С*-алгебры операторов
207
2°. Пусть (ер2) — первый элемент базиса (et), не принадлежащий
к пространству — Имеем
Pie?2 = «ра —	(4.3)
Положим 02='в1Н-/э1,вра.	>1. Имеем [фр t»2] = l$i- А«₽а]=>
=>pi...ej- так как Р^^ и. значит. е^Р^+Р'^^,
ЛЧа]ф Однако
Р’Л = (РУ‘,. = РК-
Р\°2 = I\ei = еГ
поэтому
=	0,1 = ®, и фг=>|е,.... «),!•	(«•*)
Если ф2 = ф, то и2 является циклическим вектором и построение на
этом заканчивается.
3°. Предположим, что [<$v2] = ф2 ф ф. Повторим построения,
описанные в п. 1° и 2°; пусть Р2 и Р'2— операторы ортогонального
проектирования на подпространства ф2 и ф^- соответственно. Как и
выше, доказывается, что Р2 и Р2 принадлежат <$. Пусть ер, — пер-
вый элемент базиса (ег), не принадлежащий пространству ф2 = [Ж»2].
Положим w3 = ®24-Р2е₽>. Поскольку P2t»3 = f2, P'2vz = Р2е^, то
вследствие Рг. Рг€<$ имеем
ф3°= [<^т»з]:э[ф2, ep2]=ki....eg,].	(4.5)
4°. Продолжая такие построения, получаем возрастающую после-
довательность подпространств
ф^^Ф^с ... сфп = [^я]с ....
а также соответствующие им последовательности проекционных опе-
раторов
А< ... <Рп< ....
Р'1> ... >Р'п> ....
причем Рп, Р'п£<$, п—1, 2........... Кроме того, фя=[ег ...
.... epjskj......еп\. Так как 1 <₽2<Рз< ... и рядД||^||
сходится, то сходится также последовательность (-уя), где = е19
Vn = vtt-i-^P'ne?n, л=2, 3.... В самом деле, ||Р'перп||<||еРд||.
5°. Пусть <у = Нтдг/я. Мы утверждаем, что v является цикличе-
ским вектором алгебры т. е. что	Достаточно показать.
208
Гл. VIII. Коммутативные банаховы алгебры
что множество [<$®] плотно в Пусть Лпоскольку (ez)—базис
0 существует такое
е. НоР*© = Р*(т>й4-Рй+1ерй+ .. .)=
пространства S, то для произвольного 8
II
Л (£) > чт0
— Pkvk = <vk. Так как	то	откуда
*(е)
[<^v]=)l^vlt] = ^/i=>[e1.......ekw] Э 2 azez.
Z=1
что и требовалось доказать. Таким образом, построение цикличе-
ского вектора закончено.
Алгебры с циклическим вектором, в частности максимальные
алгебры, обладают следующим свойством.
Теорема 2. Если коммутативная С*~алгебра опера-
торов в сепарабельном гильбертовом пространстве ф обладает
циклическим вектором е, т. е. [($е] = ф, то существует та-
кая положительная мера ц, определенная на компактном
множестве Л максимальных идеалов алгебры Ж и такое уни-
тарное преобразование F пространства ф на пространство
£2(ц), которое диагонализирует алгебру т. е. при
Fu — {и (X)) £ L? (ц) имеем {FAu){\) = а(Х)и(Х) =
= a (Z) {Fu)(Л), где а£С{К), т. е. FAF'X и{К) — а(Х) а (к).
Другими словами, при изоморфизме F операторы алгебры^
переходят в непрерывные функции на множестве Л. Действие
этих операторов в пространстве £2(ц) является просто умно-
жением.
Доказательство. Пусть Т — изоморфизм Гельфанда — Най-
марка алгебры на алгебру С (Л),
А <—-—> а £ С (Л);
тогда L{a) — {Ае, е) является положительным и непрерывным функ-
ционалом на множестве С (Л); действительно, если а > 0, то {Ае, е) —
= Л elp^O1) (непрерывность функционала была показана в до-
казательстве теоремы 2 § 3). В силу теоремы Рисса (см. дополне-
ние 1) на множестве Л существует такая неотрицательная мера ц, что
{Ае, e) = L(a)= J а(А.)ф(Х)
Л
*) Если а£С (А) и а > 0, то У~а £ С (Л) и (К^)* == У а. Символ У А
обозначает оператор, соответствующий функции У а при отображении Т. Так
как Т — изоморфизм, то (К^)2 = А и (V^)* = У~А, поэтому (Ае, ё) =
(УАе, УАе). — Прим. пере$.
§ 5. Полнота системы коммутирующих операторов	209
для каждого Л£<$. Пусть u = Uet v — Vet где U, V тогда
(«, v) = (Ue, Ve) = (V*Ue, e) = L(v*u) = f «(X)o(Xjdn(X).
A
Следовательно, мы получили отображение F' множества \$е} на мно-
жество всех функций, непрерывных на Л [это множество плотно
в £2(ц)], причем отображение F' сохраняет скалярное произведение:
F'u == (и (X)), где U (и (X)), и °— Ue.
Это отображение взаимно однозначно, ибо если v = Аге = A2et то
для каждого имеем 0 = В (Лх — Л2) е = (Аг — А2) Be, Отсюда
вытекает, что А1 = А2, так как 1<Йе]=£) и оператор At — А2 непре-
рывен. Замыкая отображение F', получаем требуемое унитарное ото-
бражение F пространства $ на пространство £2(ц). Поскольку
(Аи, v) = (AUe, Ve) = J а (к) и (h) v(h) dp, (к)
А
тождественно относительно A, Ut то для всех Л£<$ и всех и,
имеем
F (Л«) (1) = а (X) и (X) = а (X) (Fa) (X),
что и требовалось доказать.
Из теорем 1 и 2 вытекает
Следствие. Для максимальной коммутативной С*-алгебры
нормальных операторов в сепарабельном гильбертовом про-
странстве имеет место утверждение теоремы 2.
§ 5. Полнота системы коммутирующих операторов
Вернемся на время к спектральному представлению эрмитова опе-
ратора в конечномерном пространстве:
k
Если размерности всех собственных подпространств	равны
единице, то говорят, что спектр оператора А прост {однокра-
тен), Это определение не переносится на случай бесконечномерного
пространства, ибо в этом случае может возникнуть непрерывный
спектр и имеет смысл говорить лишь о собственных подпространствах,
соответствующих некоторому отрезку (интервалу) непрерывного
спектра. Заметим, что эрмитов оператор в конечномернОлМ простран-
стве имеет простой спектр тогда, когда существует циклический век-
тор eQ для семейства проекционных операторов (/ЦД)), где £(Д)—
[4 К. Морев
210	Гл. VIII. Коммутативные банаховы алгебры
значение спектральной функции, соответствующее множеству Д. Такое
определение можно перенести на случай бесконечномерного про-
странства.
Дадим теперь другое определение простого спектра, которое обла-
дает тем достоинством, что легко переносится на системы операто-
ров и с этой точки зрения хорошо приспособлено к потребностям
квантовой механики (ср. К. Морен [6]).
Определение. Г. Будем говорить, что коммутативная С*-алгебра
операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве имеет про-
стой спектр, если существует диагонализирующий эту алгебру изо-
морфизм на некоторое пространство £2(р).
2°. Будем говорить, что система S попарно коммутирующих нор-
мальных операторов является полной системой, если минимальная
коммутативная С*-алгебра, содержащая S [будем ее обозначать
через /и(5)], имеет простой спектр.
Оправдание п. Г этого определения будет дано в следующей
главе в связи с рассмотрением вопроса о кратности спектра.
В своем классическом труде „The Principles of Quantum Mecha-
nics" !) Дирак высказал предположение, что каждую систему S
попарно коммутирующих эрмитовых операторов можно по-
средством присоединения эрмитовых операторов превратить
в полную систему коммутирующих эрмитовых преобразова-
ний (Дирак не дал точного определения полноты системы операто-
ров; наше определение соответствует интуитивной формулировке
Дирака).
Нетрудно доказать гипотезу Дирака. Мы уже знаем, что каждая
максимальная С*-алгебра нормальных операторов обладает простым
спектром. Рассмотрим максимальную С*-алгебру 9ft (S), содержащую
нашу систему S (существование такой алгебры вытекает из леммы
Цорна).
Обозначим через S' эрмитову часть алгебры 9ft (S),
S' = {(В + В*): В е ЭК (5)}.
Очевидно S'zdS и элементы семейства S' попарно коммутируют. Но
минимальной алгеброй, содержащей семейство S', является ал-
гебра 9ft (S), ибо всякий нормальный оператор N является линейной
комбинацией эрмитовых операторов: N = -~(N-|-N*)-|-Z (7V-—7V*)).
Таким образом, мы построили полную коммутативную систему эрми-
товых операторов, содержащую исходную систему S, что и требова-
лось доказать.
!) Имеется русский перевод: П. Дирак, Основы квантовой механики,
М., 1932. — Прим, перев,
Упражнения
211
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать существование максимальных коммутативных С*-алгебр
с единицей.
2. Алгебра А операторов в гильбертовом пространстве называется
слабо замкнутой, если вместе со слабо сходящейся последователь-
ностыб (Лл) элементов алгебры А к этой алгебре принадлежит также
(слабый) предел последовательности (Ап). При этом последователь-
ность (Лл) называется слабо сходящейся, если для любых и,
числовая последовательность ((Апи, -у)) сходится. Последовательность
операторов (Вп) называется сильно сходящейся, если для каждого
вектора и£$ последовательность векторов (Впи) сходится по норме.
Доказать, что слабо замкнутая алгебра с инволюцией сильно
замкнута, а сильно замкнутая алгебра равномерно замкнута,
т. е. замкнута в смысле равномерной сходимости операторов.
14*
ГЛАВА IX
Прямые интегралы гильбертова пространства ')•
Два доказательства спектральной теоремы.
Теорема фон Неймана о диагонализации С-алгебр
В этой главе мы рассмотрим алгебру линейных ограниченных опе-
раторов с точки зрения гельфандовой теории коммутативных банахо-
вых алгебр, что даст нам возможность, во-первых, получить элегант-
ное доказательство спектральной теоремы для функций нормального
оператора, а отсюда как частные случаи спектральные разложения
для эрмитова и унитарного оператора. Во-вторых, мы получим тео-
рему фон Неймана об (одновременной) диагонализации С*-алгебр нор-
мальных операторов, которая в частном случае дает так называемую
полную спектральную теорему фон Неймана, глубоко вскрывающую
строение спектра самосопряженного оператора и позволяющую опре-
делить кратность спектра также в случае непрерывного спектра.
§ 1. О банаховых алгебрах и теории Гельфанда — Наймарка
Мы начнем изложение с повторения ряда важных понятий и фак-
тов, фигурировавших в гл. VIII.
Множество Si всех линейных ограниченных операторов в гиль-
бертовом пространстве ф является алгеброй. Именно множество о?
является векторным пространством (над полем комплексных чисел С1),
т. е. %Л + мЛЗЕЖ если А ВЕЖ X, НЕС1. Кроме того, ЛВ£Ж
(ХЛ) В — А, (ЛВ), Л (XBt + цВ2) = ХЛ#! 4- рЛВ2. Существует единица
I: IA = AI — Л. Более того, Si является банаховым пространством
относительно операторной нормы. Наконец, || ЛВ||<^|| Л || • ||В||. Мно-
жество Ж удовлетворяющее перечисленным выше аксиомам, назы-
вается банаховой алгеброй или линейным нормированным коль-
цом. Таким образом, множество линейных непрерывных операторов
в гильбертовом пространстве образует банахову алгебру. Кольцо опе-
раторов в гильбертовом пространстве обладает еще одним интересным
свойством, а именно каждому оператору A^Sl можно поставить
в соответствие сопряженный с ним оператор Л*. Операция перехода
к сопряженному оператору, обозначаемая звездочкой, удовлетворяет
следующим условиям:
!) В русской литературе прямой интеграл гильбертова пространства назы-
вается прямой непрерывной суммой гильбертовых пространств.—Прим,
перев.
§ 1. О банаховых алгебрах и теории Гельфанда—Наймарка 213
1°. (Л*)* = А (операция * является инволюцией),
2°. (ХЛ)* = ХЛ*,
з°. (л+в)* = л*+в*,
4°. (ЛВ)* = В*Л*,
5°. || Л*Л|| == || Л ||2.
Банахова алгебра, в которой выполняются условия 1°—5°, назы-
вается банаховой алгеброй с инволюцией (С*-алгеброй).
Оказывается (см. Гельфанд и Наймарк [1]), что алгебра операто-
ров в гильбертовом пространстве является самой общей С*-алгеброй;
точнее говоря, всякая С*-алгебра изометрически изоморфна кольцу
линейных непрерывных операторов в пространстве Гильберта.
Вторым особенно важным С*-кольцом является множество (ком-
плекснозначных) функций, непрерывных на компактном простран-
стве Л. Обозначим это кольцо, как обычно, через С (Л). Нормой
элемента а £ С (Л) является || а II = max I а (%) I. Инволюция опреде-
хсд
ляется соотношением а*(Х)=' а (к). Это кольцо коммутативно.
С (Л) оказывается самым общим коммутативным С*-кольцом. Точ-
нее, имеет место следующая теорема.
Теорема (Гельфанд и Наймарк). Каждая коммутатив-
ная С*-алгебра St изометрически изоморфна алгебре С(Л) всех
непрерывных (комплекснозначных) функций на компактном мно-
жестве Л (Л — множество максимальных идеалов алгебры St)*
Имеет место следующее утверждение.
Дополнение. Изоморфизм алгебры С (Л) на коммутатив-
ное кольцо операторов в пространстве Гильберта можно рас-
ширить до представления (гомоморфизма) алгебры В (Л) всех
ограниченных функций Бэра на множестве Л.
Особенно важными примерами коммутативных банаховых алгебр
с инволюцией являются следующие.
1°. Замыкание по норме (так называемое равномерное замыка-
ние) множества всех многочленов (с комплексными коэффициентами)
от эрмитова оператора А. Напомним читателю, что доказательство
Эберлейна спектральной теоремы базируется на рассмотрении подоб-
ного кольца.
2°. Минимальная равномерно замкнутая алгебра, содержащая мно-
жество А, Д', ... попарно коммутирующих эрмитовых операторов.
3°. Равномерное замыкание всех многочленов от U и I/"1, где
U — унитарный оператор (можно доказать, что 3° — частный слу-
чай 2°).
В конце главы мы познакомимся еще с двумя коммутативными
С*-алгебрами.
214
Гл. IX. Прямые интегралы гильбертова пространства
В случае Г можно показать, что компактное множество Л,
о котором идет речь в теореме Гельфанда — Наймарка, можно ото-
ждествить со спектром оператора А.
§ 2. Доказательство спектральной теоремы,
основанное на теореме Гельфанда — Наймарка
Пусть W— нормальный ограниченный оператор, AW* = Ar7V, и
пусть m (N) — минимальная коммутативная С*-алгебра, содержащая ЛЛ
Из следствия гл. VIII, § 3 вытекает, что множество Л максимальных
идеалов алгебры m(/V) гомеоморфно спектру оператора N. Следова-
тельно, существует изометрический изоморфизм алгебры m(N) на
алгебру С (Sp (N)) комплекснозначных непрерывных функций на спектре
оператора N. В дальнейшем мы будем пользоваться обозначением
A = Sp(2V).
Характеристическим функциям Хл измеримых множеств Л1сЛ
соответствуют, согласно теореме 2 § 3 гл. VIII, операторы; эти опе-
раторы проекционные, ибо Хл— вещественная функция и идемпо-
тентный элемент
 Л/	Г/2 Л/
Лдр	ЛД1	Лд[«
Кроме того, как нам известно, при изоморфизме Гельфанда—Най-
марка m (N) С (Sp (N)) оператору W соответствует функция
2V(X) = X, преобразующая множество Л на себя тождественно.
Пусть / — непрерывная функция на множестве Л. Известно, что
каждую функцию, непрерывную на компактном множестве, можно
равномерно аппроксимировать кусочно-постоянными конечнозначными
функциями. Точнее, для каждого е > 0 существует такое разбиение
множества Л на непересекающиеся части Ль ...» Лл(е), что
п (8)
(JAZ = A, AznAy=0 при /#=/
/=1
и
|/(Х)-/(1г)|<е при Л,
1=1......п(е).
Следовательно,
е > шах
п (е)	II	п (е)	ц
/ (М - 2 /	(X) > I / (ЛГ) - 2 / (М Е (Л,) I.
Из сказанного вытекает спектральное разложение функции f(N)
от нормального оператора N.
Теорема 1. Каждому нормальному оператору N можно
поставить в соответствие спектральную функцию Е, опреде-
§ 2. Доказательство спектральной теоремы
215
ленную на спектре оператора W, причем для каждой функ-
ции f£C($p(N)) имеем
sp(M
где интеграл существует в смысле равномерной сходимости
операторов, В частности,
N = f IdE (X).
Sp (N)
В остальной части этого параграфа мы будем заниматься изуче-
нием спектра эрмитовых и унитарных операторов. С этой целью дока-
жем следующее полезное предложение.
Лемма. Если для (ограниченного) оператора А выполнены
условия
1°. ||Д«|| = ||Д*ц||, т. е. оператор А нормален1)»
2°. существует такое е > О, что || Аи\\ > & ||и|(,
то оператор А вполне обратим» т. е. область значений R(A)
оператора А совпадает со всем пространством и оператор А
обратим. Другими словами» существует оператор Л-1 и
о(л-1)=ф.
Доказательство. Из предположения п. 2° вытекает, что опе-
ратор А обратим. Поэтому достаточно доказать, что область значе-
ний R (Л) оператора А совпадает со всем пространством ф, R (А) = ф.
С этой целью проверим, что R(A) — замкнутое множество и что
область значений /?(Л) плотна в пространстве
Пусть Aun = vn —>v, п—>оо*, покажем, что vQR(A). В силу
предположения п. 2° имеем
8||вя —«и||<Мяя —Лйт||->0, т, п-+оо.
Поэтому последовательность (ип) сходится: ип-+и. Из непрерывности
оператора А вытекает соотношение
v = lim Аип = Аи» откуда v £ R (Л).
72->ОО
Пусть е — вектор, ортогональный к R (А): 0==(е, Аи) — (А*е, и).
Следовательно, 0= ||Л*г|| = ||Лг||	||в|| и г = (к Согласно тео-
реме Беппо Леви, множество Л(§) плотно в пространстве $» что и
требовалось доказать.
В качестве следствия получаем следующее утверждение.
’) Соотношение || Аи Ц = || А*и J эквивалентно соотношению (А*Аи, и) =?
= (ЛЛ*ц, и). —Прим, перев»
216	Гл. 1^. Прямые интегралы гильбертова пространства
Теорема 2. Спектр эрмитова оператора является под-
множеством вещественной оси.
Доказательство. Пусть	Докажем, что %^Sp(4).
Действительно, для каждого вектора «=/=0 имеем неравенство
0<|Х —Х|- ||«||2 = |((4 —%/)«, «) —((Л —М)«. «)| =
= |((Л —V)«, «) — («, (Л —1/)«)|<2||(Л —V)« || • |[ «||,
откуда
||(Л-М)«||>4н-М-Н«И-
Следовательно, при X =£ X нормальный оператор А — X/ обратим,
что и требовалось доказать.
Как нам известно, в соответствии с теоремой 1 § 1 гл. VIII спектр
оператора А лежит в круге радиуса ||Д|| с центром в нуле. В част-
ности, когда U — унитарный оператор, спектр U лежит в единичном
круге.
Теорема 3. Спектр унитарного оператора U лежит на
единичной окружности. Поэтому в соответствии с теоремой 1,
полагая Sp (U)Э = е/ф, Е' (ф) °= E(k)t получаем спектральное
разложение
2л
U = f e‘<f dE'(у).
О
Доказательство. Достаточно показать, что внутренность
круга не принадлежит спектру. Пусть |Х| < 1. Так как U~X = U*,
то У —Х/ = У(/ —ХУ*). Но ||ХУ*||=|Х|< 1. Поэтому оператор
QO
I —	вполне обратим, (/ — ХУ*)"1 = 2 (ХУ*)\ Следовательно,
v=0
оператор У —X/также вполне обратим: (У — /Х)“"1 = (/ — ХУ*)'1 У*,
что и требовалось доказать.
§ 3. Прямые интегралы гильбертова пространства
Как нам известно, декартово произведение X §2 X • • • конеч-
ного (или счетного) семейства (§z) гильбертовых пространств стано-
вится гильбертовым пространством ф = если скалярное произ-
ведение элементов и, где u = (uv и2, ...), v = (vv v2t •••)>
определить следующим образом: ((и, ^)) = 2(^z* vi)» где (#/»	—
скалярное произведение элементов ult tul £ $z. Пространство $ назы-
вается прямой суммой гильбертовых пространств фр Исходные
§ 3. Прямые интегралы гильбертова пространства	217
пространства $2, ... можно рассматривать как подпространства
пространства ф. [Точнее говоря, существует (унитарный) изоморфизм
пространства на подпространство ф/сф, которое мы определяем
как множество всех последовательностей вида (0.....uit 0, ...);
отождествляя пространство с пространством фь можно считать,
что является подпространством пространства £>.] Подпростран-
ства и $k ортогональны друг другу при если
то ((«, ^)) = 0 при l^k [и ((и, х>)) = (я, v) при l — k\. Отсюда проис-
ходит обозначение пространства § ортогональной суммы подпро-
странств (§z):
ф=ф&.
Если самосопряженный оператор A — A*t заданный в простран-
стве ф, обладает чисто точечным спектром, то, как нам известно,
ф = где являются собственными подпространствами опера-
тора Л: wz£$z тогда, когда Aul = Xiul> где к^Е1— собственное
значение оператора А.
Спектральное разложение самосопряженного оператора, обладаю-
щего произвольным спектром, наводит на мысль обобщить понятие
прямой суммы гильбертовых пространств до „непрерывной суммы“,
распространенной на измеримое множество Л с мерой ц(Х). Мы
ограничимся сепарабельными (счетномерными) пространствами. Пусть
Л — локально компактное сепарабельное пространство с (положитель-
ной) мерой ц, и пусть ЛЭХ->М(X) означает измеримую функцию,
принимающую значения 1, 2....оо. Пусть Я(Х)— гильбертово про-
странство типа Р числовых последовательностей, имеющее размер-
ность М (X). Символом
£2(«, 2V), или J*®//(X)dp(X), или J* Н (X) ф (X)
л	л
обозначим множество классов эквивалентности векторных полей
для которых
и«и2 °— J X 1“ИМ|2Ф(М<°°.
Л £=1
Сложение векторных полей определим обычным образом:
(и + v) (X) = и (X) -f-v (X), X £ Л. Скалярное произведение определим
формулой
(и, V) = f 2	(X).
Л #= 1
218
Гл. IX. Прямые интегралы гильбертова пространства
ф&.
Разность полей, принадлежащих одному и тому же классу эквивалент-
ности, имеет норму, равную нулю. Пространство L? (ц, N) называется
прямым интегралом пространств //(А,), Ясно, что роль про-
странств Р(Х) могут играть, например, произвольные сепарабельные
гильбертовы пространства. Несколько позже мы дадим другое опре-
деление прямого интеграла.
Примеры
1°. Л — множество натуральных чисел 1, 2, ..., а мера р, сосредо-
точена на этих числах. Предположим, что мера р({/}) одноточечного
множества {/} равна единице. Тогда прямой интеграл сводится к пря-
мой сумме
= J ©£»- ф (М=
Л=(1, 2....)
2°. Когда ЛГ(Х) = С’ (dim Н{1) = 1). то
/фЯ(Л)й?ц(Х)==Л2(|х).
Л
§ 4. Полная спектральная теорема фон Неймана
Спектральная теорема для нормальных операторов, выраженная
равенством А = £ ЪЕ(сГЕ), сыграла важную роль во многих разделах
математики. Правда, применение этой теоремы (в классической фор-
мулировке Гильберта) к задачам с непрерывным спектром, когда
собственные функции не принадлежат пространству, в котором дей-
ствует рассматриваемый оператор, наталкивалось на серьезные труд-
ности. Однако оказалось, что спектральную теорему можно изложить
в другой формулировке, которая позволяет сравнительно легко пере-
ходить от абстрактного случая к конкретным применениям. Этой
новой формулировкой, известной под названием полной спектральной
теоремы, мы обязаны фон Нейману, хотя она содержалась неявно
в более ранних работах Хеллингера и Хана.
Полная спектральная теорема оказалась особенно полезной в тео-
рии представлений локально компактных (но не просто компактных)
групп и в квантовой теории. Содержание этой теоремы состоит в том,
что всякий самосопряженный оператор (или, общее, всякую систему
перестановочных самосопряженных операторов) можно привести (одно-
временно) к диагональному виду с помощью унитарного преобразо-
вания.
Ввиду того что понятие диагонализации вызывает у начинающих
известные затруднения, мы изложим „полную" спектральную теорему
сначала для случая конечномерного пространства.
§ 4. Полная спектральная теорема фон Неймана	219
Пусть Н есть n-мерное гильбертово пространство и А = А* —
самосопряженный оператор в И. Пусть Л означает множество, со-
стоящее из п элементов Х£Л, и пусть функция %—>Л(А,) отобра-
жает множество Л на спектр оператора А:
A(A) = Sp(A).
Пусть #(Х), %£Л — ортонормированные собственные векторы опера-
тора А, отвечающие собственным значениям Л(1); их линейная
оболочка совпадает с пространством Н. Имеем
Ае(%) = А(Х)е(Х), (е(Х), e(V)) = 6U\ X, V£A.
Ортонормированный базис (е(Х))х^Л определяет унитарное отобра-
жение F пространства Н на пространство Н числовых функций, за-
данных на множестве Л:
ЯЭ «->/=« = «	где а (X) = («, е (X)), Х£Л,
причем скалярное произведение в пространстве И определяется фор-
мулой
(и,	— S я(^)^(Х) = 2 (#»	e(X) = (w, v)H.
хед	А-ел
Отображение F называется преобразованием Фурье, индуцирован-
ным оператором А. Заметим, что отображение F приводит опера-
тор А к диагональному виду
(FAF~1 «) (X) = (FAu) (X) = (Аи, е (X)) =
= («, Л*е(Х)) = Л(Х)(«, е(Х)) = Л (X) и(Х), Х£Л; (4.1)
это означает, что оператор FAF~l является попросту оператором
(в пространстве Н) умножения на функцию А(Х), значения кото-
рой принадлежат спектру оператора А. Элемент и называется
преобразеванием Фурье вектора и. При этом, обратно,
u = F~'u = 2 («• е(Х))е(Х)= 2 «(Х)е(Х).
А.£Л	кед
Приведение к диагональному виду (4.1) осуществляется неодно-
значно. Особенно простым является приведение к диагональному виду
в том случае, когда множество Л расположено на числовой оси и
совпадает со спектром оператора А. Тогда
(глг-1) и (X) = Х« (X), X € Sp (Л).	(4.2)
Приведение к диагональному виду (4.2) называется каноническим.
220	Гл. IX. Прямые интегралы гильбертова пространства
Таким образом, спектральной теореме (в n-мерном пространстве)
мы придали следующий вид:
Для каждого самосопряженного оператора А в гильбер-
товом пространстве Н существует такое гильбертово про-
странство Н функций, заданных на некотором (компактном)
пространстве Л, и такое унитарное отображение
что
где	Д(1)^5р(Д), Л(Л) = 5р(Д).
Замечание. Происхождение термина „диагонализация"
объясняется тем, что оператору «(•)—>Л( •)«(•) в пространстве
(конечных последовательностей) Н соответствует диагональная матрица
(Л^) ...	0 \
0	.. * Д(Хл)/
Вскоре мы увидим, что в общем случае сепарабельного гильбер-
това пространства для произвольного самосопряженного оператора
имеет место аналогичная теорема. В предыдущей формулировке сле-
дует лишь заменить пространство последовательностей (из п элемен-
тов) прямым интегралом Н, описанным в § 3:
Н= f
Л
причем множеством Л окажется пространство максимальных идеалов
нормированного кольца, порожденного оператором Л.
Перейдем к изложению упомянутой теоремы фон Неймана. Мы
наметим доказательство, найденное Годманном и Макки. (Этим до
настоящего времени не опубликованным доказательством автор обя-
зан Л. Гордингу.) Оно основано на теореме Гельфанда — Наймарка.
Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, о?— ком-
мутативная С*-алгебра Банаха линейных ограниченных операторов
в пространстве Н. Алгебра является банаховым пространством
в равномерной топологии (сходимость понимается как равномерная
сходимость операторов, т. е. сходимость по норме). Как нам изве-
стно, существует, изометрический изоморфизм алгебры Si на кольцо
С (Л) непрерывных функций на компактном хаусдорфовом простран-
стве Л. При этом точки 1 соответствуют максимальным идеалам
алгебры Si. (Для наших целей особенно важным является кольцо Si,
порожденное эрмитовым оператором Л. В этом случае множество Л
§ 4. Полная спектральная теорема фон Неймана	221
можно отождествить со спектром оператора Д.) Гельфандовский изо-
морфизм сопоставляет каждому оператору А £ функцию а £ С (Л),
причем А*<—>а*, где а* (Л) = а(Х);
|| А || = || а || —’ max | а (1) |; АВ <—>• ab,
ке л
где
(a£)(A,) = a(l)6(%).
В силу сепарабельности существует такая последовательность норми-
рованных векторов (аА), ||«А||=1, что
Н = ®[<%ик],	(4.1)
k
где — замкнутая линейная оболочка множества
{Auk-.A£'%}
(это будет доказано ниже, см. лемму 2). Итак, элементы и вида
и = Д2м2Ч“ ••• (А&£<$)
образуют плотное множество в пространстве Н и для них
ИUII2 = 2 И/йр Акик) = ^{Акик, Акик).
I, k	k
Поскольку при а > 0 а (X) = аУ* (X,)	(X), то в силу гельфандовского
изоморфизма функционал
Lk (а) °— (Аик, ик)
является положительным. Продолжим Lk(a) посредством этой же фор-
мулы на все пространство С (Л). На основании теоремы Рисса об
общем виде линейного функционала в пространстве непрерывных
функций заключаем, что существует такая неотрицательная мера что
£Ja)=	(4.2)
Л
причем
Положим теперь
оо
Л (а) = 2 ц («)•	(4.3)
Так определенный функционал £( •) является очевидно линейным,
непрерывным и неотрицательным. Поэтому существует такая неотри-
222
Гл. IX. Прямые интегралы гильбертова пространства
цательная мера ц, что
L(a) = ^а(%)ф(1).
А
Очевидно, что в случае, когда множество Л4 имеет ц-меру нуль,
И(М)= f Хл1(Х)ф(%) = 0
А
[в силу соотношений (4.3) и (4.2)], оно имеет также ц^-меру нуль,
ММ) = 0.
Другими словами, меры абсолютно непрерывны относительно
меры ц при А = 1, 2......В соответствии с теоремой Радона — Ни-
кодима на множестве Л существует ц-измеримые функции тЛ, такие,
что
^<Л)==|/~
(М
rfp(A) ’
[Это означает, что цА(Ж) = j т|(Х)ф(Х) для каждого ц^-измери-
лг
мого множества Л4сЛ; т2—так называемая производная Радона —
Никодима меры по мере ц.]
Лемма 1. Отображение F\u = ^ Ллв4-*(Т1(Х) а<Р’ Т2<Х)	—)
k
(гельфандовский изоморфизм) является унитарным отображе-
нием на некоторое подпространство прямого интеграла
Л2(ц, N). В этом интеграле размерность W(X) = W = oo для
всех Х£Л (поясним, что если для данного и сумма ^Akuk ко-
it
нечна, то строку (tx (X) ах (Л,)» т2 W а2(М» •••) мы дополняем до
бесконечной строки нулями).
Доказательство. Прежде всего убедимся, что рассматри-
ваемое отображение не зависит от способа представления и в виде
^Akuk. Пусть векторы иг, и2, ... удовлетворяют условию (4.1).
k
Рассмотрим два представления вектора и£Н в виде u = ^Akuk и
и — l&A'kUk, Ak, Ak£S£> k — \, 2......В силу ортогональности
членов этих рядов имеем AkUk — AkUk при Л = 1, 2, .... Отсюда
°=и w —<.)». г=(и; -л.)' (4 -л.) «.«.)=
Л
§ 4. Полная спектральная теорема фон Неймана	223
Так как мера ц* неотрицательна, то а^(Х) = аЛ(Х) почти всюду по
мере Благодаря этому построению элементу и£Н, допускаю-
щему представление 2 Akuk — а* действительно однозначно соот-
к
ветствует последовательность комплекснозначных функций
а2(Ь), ...),	А = 1, 2.....
Пусть теперь u = ^iAlul, =	гДе At>	Л
i	k
k — 1, 2, ... . Имеем
(«. ®)=2(л'и‘’	=2 (в*лЛ’ “«)=
/, k	I
=2 f
i Л
= ((о1т1, a2r2, ...). (Mi- Мг- •••))•
Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что преобразование F изомет-
рично и поэтому допускает однозначное расширение до унитарного
преобразования Н на, вообще говоря, часть пространства £2(|Л» N).
Если % таково, что во всех последовательностях («1 (%) тх (X),
а2(%)т2(%), ...) лишь первые п(Л) < оо элементов отличны от нуля,
то, очевидно, можно считать, что соответствующее пространство Н (%)
имеет размерность п(Л). Эту процедуру проделаем для каждого X.
Осталось доказать соотношение (4.1).
Лемма 2. Существует такая ортонормированная после-
довательность векторов что Н —
Доказательство. Пусть gw gx2, ...—базис пространства Н,
и пусть Pi — оператор ортогонального проектирования на
Можно предположить, что	ибо в противном случае по-
строение было бы завершено. Пусть £22 — Р^- Докажем, что
подпространства [<$£п] и l<$g22] взаимно ортогональны. В силу рав-
номерной замкнутости алгебры достаточно доказать, что
(А£п» ^2^22) = О Для произвольных Л2£<$. Но A2g22) =
~(.A2AlSll’ £22) = °- ТаК КаК Л2Л1^П € [^u]’ а 522-LP^llb ИмееМ
следующие включения:
Su € lag'll]’
^12 “ Q ^1) ^12	^1^12 €
224	Гл. IX. Прямые интегралы гильбертова пространства
Пусть, далее, Р'2— оператор ортогонального проектирования на под-
пространство ( №gu] ® [^221)Х» И ПУСТЬ 5*33 —	ТепеРЬ имеем
следующее включение:
з
^13 = (Z Ръ) £1зН"^/13в(^	^2)£13~Ь	[®£и]‘
k
Продолжая этот процесс, мы докажем, что gik С Ф [Stgu], где
/=1
опр.
gkk==^k-i^ik' а ”fe-i — оператор ортогонального проектирования
/Л-1	\1
на подпространство I © [tfflgjfl) •
Полагая
„ 2SE gkk '
к II gkk II ’
Л = 1. 2. ....
получаем требуемую последовательность.
Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема (обобщенная теорема фон Неймана). Для
каждой коммутативной С*-алгебры Банаха St ограниченных
операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н
существует прямой интеграл £2(р, п) над компактным про-
странством Л с мерой ц и функцией размерности п(Х), диа-
гонализирующий кольцо St. Или же, более четко: существует
унитарное отображение F всего пространства Н на прямой
интеграл £2(ц, я), такое, что (FAF~X и (1)) = (а(Х)я(1)); та-
ким образом, преобразование FAF~X является умножением
на функцию а(1).
Заметим, что, строго говоря, мы не доказали, что F отобра-
жает Н на все £2(ц, п). Этот пробел будет устранен в § 5, где
будет дано другое доказательство теоремы фон Неймана.
Если кольцо St порождается одним-единственным эрмитовым опе-
ратором Л = Л*, то, взяв в качестве Л спектр оператора А, полу-
чаем как следствие следующее предложение.
Полная спектральная теорема фон Неймана. Для
каждого самосопряженного оператора А в сепарабельном
пространстве Н существует унитарное отображение F про-
странства И на прямой интеграл
А
§ 5. Банаховы алгебры без единицы
225
такое, что Fq(A) F*1 и = J* <р (X) я (X) ф (X), где Л — спектр one-
л
ратора А.
Замечание. Эту теорему мы доказали только для эрмитовых
операторов. Однако нетрудно ее доказать и в том виде, в каком
она только что была сформулирована. С этой целью достаточно
ввести кольцо, порожденное (ограниченными, как нам известно) опе-
раторами (Л-)-//)'"1, (А — /У)”1 (или же преобразованием Кэли
A J- U опр.
АU == va и оператором trj1, которые, как нам известно, уни-
тарны; ср. пример 3°§ 1).
§ 5. Банаховы алгебры без единицы.
Второе доказательство полной спектральной теоремы.
Каждое локально компактное пространство Л можно превратить
в компактное пространство, присоединяя один элемент Х^, так на-
зываемую бесконечно удаленную точку. Этот факт коротко фор-
мулируется следующим образом: существует одноточечная ком-
пактификация локально компактного множества Л.
Построение, принадлежащее П. С. Александрову, состоит в сле-
дующем: пусть == Л U (Xqo); в этом множестве вводим следую-
щую топологию: открытыми множествами в Лто являются все откры-
тые множества в Л и, кроме того, все множества вида Zl^X^),
где Z— такое открытое множество сЛ, что Л — Z компактно.
Пусть (Za)— открытое покрытие множества Л^, и пусть KW^Z^
А	*7 опр* „
в таком случае — z=n является компактным подмножеством
множества Л. Поскольку множества А П 2а — открыты и покрывают
множество К. то существует конечное подсемейство, покрывающее Z.
Присоединяя Z^, получаем конечное подмножество семейства (Za),
покрывающее пространство Л^.
Функция /, непрерывная на множестве и такая, что f (Хоо) = 0,
называется непрерывной функцией, исчезающей на бесконечно-
сти. Мы видим, что если S — локально компактное, но не компакт-
ное множество, то „непрерывная функция исчезает на бесконечности"
тогда и только тогда, когда множество [/($)| ^е} компактно
для всякого положительного е. Этот факт мы символически записы-
ваем формулой
lim /(s) = 0.
$->со
Пространство непрерывных исчезающих на бесконечности функ-
ций обозначают символом /^(Л).
15 К. Морен
226	Гл. IX. Прямые интегралы гильбертова пространства
Банахову алгебру Л без единицы можно вложить в некоторую
банахову алгебру Л'. с единицей. В качестве Лг можно взять мно-
жество пар вида [х, а], х£с/£, а^С1. Для того чтобы пару [х, а]
можно было рассматривать как х-рае, достаточно принять следую-
щее определение умножения:
[Хр сцЦхг, а2]===[х1х24-а1х2-|-а2х1, а^].
Очевидно, элемент [0,1] является единицей алгебры Л\ а отобра-
жение х—>[х, 0] — вложением алгебры Л в алгебру Л'. При этом
алгебра Л является максимальным идеалом в алгебре Лг*
Топология в Л1 является обычной топологией в топологическом
произведении:
III*. а]|| —’||х|| +|а|.
Роль идеалов в случае алгебр без единицы принадлежит так назы-
ваемым регулярным идеалам. Именно идеал \^Л называется регу-
лярным, если существует такой элемент и£Л, что
их — x£i
для всех х£Л- Другими словами: идеал i регулярен, если ал-
гебра Л/i обладает единицей. Действительно, при гомоморфизме
Л A/i соотношение их — х £ t переходит в равенство UX—X = 0,
т. е. UX — X, где х->Х, u->U. Элемент и называется единицей
относительно идеала t. Нетрудно доказать что каждый регу-
лярный идеал можно расширить до максимального регуляр-
ного идеала.
Доказательство. Пусть и — единица относительно идеала t.
В таком случае и не содержится ни в одном идеале i'zot, ибо, если
w£i', то ux£V. Но так как х — tfx^ict', то каждый элемент
х = (х — их) + их £ V, т. е. V = Л. Следовательно, к идеалам f
можно применить рассуждение, которое привело к аналогичной тео-
реме для алгебр с единицей (ср. гл. VIII, § 2, теорема 2, п. 4°).
Следующая теорема позволяет свести изучение регулярных идеа-
лов в алгебре Л к изучению идеалов в алгебре Л' (с единицей).
Теорема 1. Если Л — алгебра без единицы, а Л' — ал-
гебра, полученная из Л присоединением единицы, то отобра-
жение t —> t = t Л устанавливает взаимно однозначное соот-
ветствие между всеми идеалами i' алгебры Л', не содержа-
щимися в алгебре Л, и всеми регулярными идеалами ал-
гебры Л-
Доказательство. Пусть i' — идеал алгебры Лг не принад-
лежащий алгебре Л. Пусть t = I Л Л. Очевидно, множество I
§ 5. Банаховы алгебры без единицы
227
является идеалом в алгебре Л> Покажем, что идеал i регулярен.
Поскольку V не содержится в Л. то существует в iz элемент
у =— + и^Л. Действительно, каждый элемент имеет
вид z = ue-\-x, а^С1, х^Л. Так как i' не содержится в Л. то
существует элемент z = ae-\-x£V для которого а^=0. Полагая
и = —— х, получаем и£Л, —Элемент и является еди-
ничным относительно идеала t, ибо
— х + их — (— е + и) х £ i
для каждого х£Л. Следовательно, идеал i регулярен.
Обратно, пусть г — регулярный идеал в Л* и пусть и — единич-
ный элемент относительно идеала i Легко проверить, что множество
f =’ {у £Л': иу £1} является идеалом в алгебре Лг, содержащим
идеал i Однако i' не содержится в Л, ибо из соотношения
и (и— е) = и2— и£\ вытекает, что и — e£i't причем (и — е)(£Л-
Пусть теперь у£Л', поскольку иу— y£t для всех у£Л, то y£i
тогда и только тогда, когда у £ i'; следовательно, i = i' = 1Пс^> что
и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы вытекает, что каждый регулярный мак-
симальный идеал в алгебре Л можно получить как пересечение
максимального идеала в алгебре Л', отличного от алгебры Л, с ал-
геброй Л. Применяя настоящую теорему, можно обобщить теорему
И. М. Гельфанда об изоморфизме на коммутативные банаховы ал-
гебры без единицы. Радикалом алгебры Л (без единицы) назы-
вается пересечение всех регулярных максимальных идеалов. Алгебра,
радикал которой состоит из одного лишь нулевого элемента, назы-
вается полупростой. Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Каждая полупростая коммутативная бана-
хова алгебра без единицы изоморфна алгебре ^(А) непре-
рывных исчезающих на бесконечности функций, заданных на
локально компактном пространстве А — спектре алгебры Л-
Доказательство. Пусть Л — банахова алгебра без единицы,
а Лг — банахова алгебра, полученная из алгебры Л присоединением
единицы. Обозначим через А так называемый спектр алгебры Л,
т. е. множество всех регулярных максимальных идеалов алгебры Л.
Пусть Д' — спектр алгебры Л'\ обозначим через А' множество
А' — (Л). Как нам известно, множество А' компактно. Поэтому
множество Д', полученное из множества А' удалением одной точки
(максимального идеала Л, который здесь играет роль бесконечно
удаленной точки %то), является локально компактным. Из теоремы 1
вытекает, что существует взаимно однозначное соответствие между
15*
228	Гл. IX. Прямые интегралы гильбертова пространства
элементами множеств Л и Л'. Пользуясь этим соответствием, топо-
логию множества До можно перенести на множество Л. Таким об-
разом Л — спектр алгебры Л становится локально компактным про-
странством. Если х£<^ = Х00, то х(Хоо) = 0 (ибо Л— максималь-
ный идеал в Л')- Теорема доказана.
Аналогичным методом доказывается обобщение теоремы Гель-
фанда— Наймарка на коммутативные С*-алгебры без единицы.
Теорема 3. Пусть Л — (коммутативная) С*-алгебра (без
единицы) операторов в гильбертовом пространстве ф; пусть
Л — множество максимальных регулярных идеалов. локально
компактное в топологии Гельфанда (компактное тогда и
только тогда, когда алгебра Л обладает единицей). Каждой
функции /£7^ (Л) можно однозначно поставить в соответ-
ствие такой оператор Т;£Л, что k(Tf) = f(k) для каж-
дого Х£Л. Отображение f-+Tf является изоморфизмом (так
называемым изоморфизмом Гельфанда) С*-алгебры ^(Л) на
алгебру Л. сохраняющим соотношение (это означает, что
Т^Ъ. если f^O).
Если алгебра Л сепарабельна, что имеет место, например, тогда,
когда пространство $ сепарабельно, то множество Л тоже является
сепарабельным пространством. Действительно, пусть (f$L\ — мно-
жество, плотное в ^(Л). Напомним, что ||/||°= sup|/(X)|; пусть
Az — ’ {X £ Л : | ft (X) | > 1}. Покажем, что множества Az образуют
базис пространства Л. Пусть Хо £ Л, и пусть Y — открытое мно-
жество, содержащее Хо. Пусть f^L^X). причем /(Х0) = 2 и /(Х) = 0
при X £ Л — К. Выбрав I так, чтобы выполнялось неравенство
II/ — ft II < получаем X0^AzczF, что и требовалось доказать.
Наиболее важным примером коммутативной банаховой алгебры без
единицы является групповая алгебра (групповое кольцо) П(О) ло-
кально компактной коммутативной группы G. Умножение элементов
х. у £ L1 (G) определяется следующим образом.
Пусть ц — инвариантная мера на группе G. т. е. для каждого
ц-измеримого подмножества Z группы G имеет место тождество
p,(Z) = p,(xZ). Тогда
x£Q
(ху) (g) — f х (gj у (gi xg) du (gj,
Q
Легко доказать, что алгебра П(О) обладает единицей тогда и
только тогда, когда группа О дискретна.
Оказывается, что алгебра LX(G) полупростая.
Теория групповой алгебры П(О) (коммутативной) локально ком-
пактной группы G составляет одну из самых замечательных глав
§ 5. Банаховы алгебры без единицы
229
математики двадцатого столетия. Эта теория дала возможность пере-
нести гармонический анализ из пространства Еп на произвольную
локально компактную группу О и в настоящее время с ее помощью
проще всего подойти к теореме двойственности Понтрягина.
Поскольку мы и так сильно отклонились от нашей основной
темы „Методы гильбертова пространства*, то вынуждены ограни-
читься этими краткими замечаниями. Мы делаем это с чистой со-
вестью, так как в математической литературе имеются замечательные
монографии, посвященные упомянутому кругу вопросов, например
многократно нами цитированные книги Люмиса и Наймарка.
Спектральные меры. Подобно теории С*-алгебр с еди-
ницей, можно ввести понятие спектральной меры, заданной на
спектре А алгебры Л (без единицы). С этой целью напомним только,
что спектральная мера р(«,н, v) определена однозначно и удов-
летворяет соотношению
J /(%)dp(X; и, v) = (Tfu, v)	(*)
Л
для всех
Тождество (*) обычным способом распространяется на все огра-
ниченные и измеримые относительно меры р(*,я, v) функции.
Спектральная мера обладает всеми свойствами, по существу, пере-
численными в теореме 2 гл. VIII, § З1).
Среди положительных мер, заданных на спектре Л алгебры Л>
важную роль играют так называемые основные меры.
Определение. Положительная мера ц, заданная на множестве
д =‘ Sp (Л), называется основной, если, для того чтобы подмно-
жество N имело локальную р-меру нуль2), необходимо и доста-
точно, чтобы множество N имело локально р(«, и, #)-яеру нуль
для каждого
Как видно из определения, для того, чтобы положительная мера р
была основной, необходимо и достаточно, чтобы она была эквива-
лентной некоторой основной мере.
!) Напомним основные свойства спектральных мер С*-алгебры:
Р (•;	4- l2u2, v) « Zip (•; v) -f- Л2р (•; «2, *0; р (•; u, о) = р (•; v, и);
р(«; Ц» w)>0, т. е. (/, р(-; н, н))>0 при />0;
р(.; Tfu, Г^) = /(.)7(Т)р(.; w, v), /, ^С^оо(А).
Эти соотношения имеют место всюду, за исключением множеств р-меры
нуль, зависящих от элементов и2, v.
2) Это означает, что ц(/<ПЛ0==0 для каждого компактного мно-
жества /<сЛ.
230	Гл. IX. Прямые интегралы гильбертова пространства
Из теоремы Радона — Никодима немедленно вытекает следующее
предложение.
Теорема 4.
то функция
Если ц — основная мера на множестве Л,
ЛР(Л; ц t>) ong
dp. (Л) v ’ /
определенная почти для всех % (относительно меры ц),
является ^.-интегрируемой.
Функция (ut v; X)— неотрицательная эрмитова форма на $. Это
означает, что
(aiwi + a2w2>	1) = а1(и1, г/; Х) + а2(я2»	^)»
(и, v\ K) = (vt и\ X), (и, и\ %)>0,
(Tfa, Tgv; %) = /(!)£(*.)(«. w. X) при /. £€Д»(Л)-
Проверка этих равенств элементарна, однако нужно иметь в виду
следующее обстоятельство. Множество тех Л, для которых произ-
, Л ч do (Л: и, v)
водная (и, 1) =	-- не существует, зависит, вообще го-
воря, от и и v9 хотя и имеет нулевую меру ц. Поэтому если и и я
пробегают более чем счетное множество, то может случиться, что
нет таких Л, для которых определены все (и, я\ %). Подобное
обстоятельство достаточно характерно для методов гильбертова про-
странства. Мы его будем учитывать в построениях, к которым сей-
час переходим.
Второе доказательство полной спектральной
теоремы. Рассмотрим произвольный базис (и^=х пространства Н
и образуем рациональную оболочку Н' базиса (az), т. е. множество
линейных комбинаций элементов базиса с рациональными комплекс-
ными коэффициентами. Множество Н' является счетным и НГ = Н.
Предположим временно, что основная мера ц уже построена (ее
построение будет выполнено несколько позже). Тогда мы распола-
гаем функциями ЛЭХ->(и, ‘У; X), которые можно рассматривать как
скалярные произведения на пространстве Н' при где МсЛ—
множество меры нуль, равное объединению счетной совокупности
множеств меры нуль, для которых (и, v, X) могут не существовать
(«,	Н'). Пусть
Л4(Х)={в^Я':||«||2°= («, и; Х)=о[.
Образуем унитарное пространство1)
Н'(К) = Н'/М (К)
*) Над полем рациональных комплексных чисел. — Прим, ред*
§ 5. Банаховы алгебры без единицы
231
со скалярным произведением
(и(Х), •и(Х); 1) = (в, v; X),
где и, v— произвольные представители классов «(X),	(%)
[легко проверить, что скалярное произведение (я(Х), г/(Х); 1) опре-
делено корректно, т. е. что оно зависит лишь от классов, а не от
их представителей]. Гильбертово пространство, полученное пополне-
нием унитарного пространства Hr (X), обозначим через H(k). Пусть
F (X) — каноническое отображение Hf -> Н' (X) (F (X): и -> а (X)).
Посредством F(X) мы будем обозначать и расширения канонического
отображения на все пространство Н. Пусть, далее, — подмноже-
ство множества Л — N, состоящее из тех X, для которых /?(Х) = 0.
Заметим, что |i(N1) = 0. Действительно, пусть —характеристи-
ческая функция множества Множество является ц-измеримым,
ибо соотношение Х£Л^ эквивалентно тому, что (и, Х) = 0 для
всех и£Н'\ поэтому и х^ ц-измерима. Для всех и£Н' имеем
= й) = /	я» й) =
= f *„,(*) («. it; Х)ф(Х)=о,
откуда Тх^а = 0. Отсюда заключаем, что Ttff =0, так как множе-
ство Н' плотно в пространстве Н. Пусть р,(.)==р(.; а0, zz0) (см.
излагаемое ниже построение основной меры ц). Имеем
° = (ТzM«o- «о) = / Хдг, (*)	W = И W
Поэтому множество также имеет ц-меру нуль. При X£2VjWi
возьмем произвольные сепарабельные гильбертовы пространства
Н (X) Ф 0. Таким образом мы построили поле Н гильбертовых про-
странств на спектре Л алгебры
ЛЭХ->Я(Х).
Построим базис ut поля Н следующим образом: при X £ Л —
— (N (J Ni) положим и, (X) °= F (X) ut £ Н (X), где («,) с И’ — вве-
ценный в начале доказательства базис пространства Н. Ввиду того
что замыкание линейной оболочки векторов совпадает с простран-
ством Ht замыкание линейной оболочки векторов я*(Х) совпадает
с пространством i?(X).
232 Гл. IX. Прямые интегралы гильбертова пространства
Поля и = (а(Х)), где zZ(X) = f’(X)a, и£Н', интегрируемы с ква-
дратом,
[|2||1= f (2(1); 2(1); 1)ф(1) = f (и, и; 1)ф(1) =
л	л
= J*d|i(X; и, и)=^(и, «)=||а||2.
д
Итак, изометрическое отображение
F': и	и, и£Н'
можно расширить единственным способом до унитарного преобразо-
вания
F'.H->H = f Я(1)ф(1).
Л
Проверим еще, что отображение F приводит к диагональному
виду все операторы	а, следовательно, также ал-
гебру Л.
Пусть Tf — диагональный оператор: Т/= (/(Х)/(Х)), где I (X) —
единичный оператор в пространстве Н (Л).
Из унитарности отображения F вытекает, что для всех и, *и£Н
имеем
(FTfu, Fv)n=^Tfu, v)= f f(l)(a, v; l)dg(l) =
A
= f f (A-) (« W. v (%); X) rfp, (1) =
A
= J (/W(a(l). 5(1); l)dg (l)=(r;2. 5)й'
A
откуда
FTfti — T'fU — T'fFu, t. e. FTfF~x = T/.
Таким образом, мы можем высказать полную спектральную тео-
рему фон Неймана даже для С*-алгебр без единицы в следующей
форме.
Полная спектральная теорема. Коммутативная, воз-
можно, без единицы С*-алгебра (Тf) операторов в сепарабель-
ном гильбертовом пространстве Н с точностью до сильного
изоморфизма определяет прямой интеграл J //(Х)ф(Х), при-
л
§ 5. Банаховы алгебры без единицы	233
чем естественный изоморфизм F : й->(й(Х)), действующий из Н
в прямой интеграл, диагонализирует алгебру (Т,), т. е.
где Z(X) — единичный оператор в пространстве И (Г). Изомор-
физм F называется разложением пространства Н в прямой
интеграл J*	Говоря о сильном изоморфизме, мы
л
имеем в виду тот факт, что каждые две основные меры экви-
валентны, а индуцированные ими скалярные произведения
в соответствующих пространствах Н(Г) отличаются поло-
жительным множителем.
Мы видим, что даже для С*-алгебр с единицей эта формулировка
несколько более точная, чем приведенная в § 4.
Нам остается лишь доказать существование основной меры.
Теорема. Пусть — максимальная коммутативная С*-
алгебра, содержащая алгебру Л операторов в сепарабельном
гильбертовом пространстве Н, и пусть uQ — циклический век-
тор алгебры Тогда р(Х; uQ, uQ) — основная мера.
Доказательство. Требуется доказать, что мера р(«; v, v)
абсолютно непрерывна относительно меры р(*; «0, я0). Пусть сна-
чала v = Tuq, где Т Следовательно, для произвольной функ-
ции f > 0 имеем
f /(X)dp(X; v, v) = (Tfv, v) = (TfTu0, Tu0) =
= (T*TTfuQ, u^\\T\UTfu0, =
= IIГ ||2 f f (X) rfp(X; й0, й0).
Л
В этом частном случае теорема доказана.
В соответствии с теоремой Радона — Никодима достаточно про-
верить, что для каждого е>0 и функции g, 0<^g£C(A), суще-
ствует такое б = б(е, g), что для всякой непрерывной функции h,
удовлетворяющей условиям О С й g и J Л(Х)ф(Х; и$, «0)<б, вы-
Л
полняется неравенство J* h (1) dp (X; v, v) < e.
A
Пусть v— произвольный элемент пространства И; поскольку
«q — циклический вектор алгебры то для каждой функции
234
Гл. IX. Прямые интегралы гильбертова пространства
f £С (Л), / > 0, существует такой вектор v' = Тя0, что
Д”—’’'К 4ц/|.||„II » II’'II<11 «II-
Следовательно, для каждой непрерывной функции Л, 0 Л g,
имеем
J А (X) rfp(X; v,
Л
V)— f А(X)dp(X; v', v')I =
Л	I
— \{Thv, v) — (Thv', v')\^\(Th(v — v'), tOI + KV —®'])K
<2||Tft||.||V—»'||.|hl]<2||g||.|h-y||.|p||<|(*).
Но, как мы только что доказали, существует такое б, что из нера-
венства
J h (X) dp (%; zz0, я0)Сб вытекает J* Л(Х)йр(Х;	(**)
Л	Л
Из соотношений (♦) и (**) вытекает утверждение теоремы.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Пусть Н есть A-мерное унитарное пространство. Операторы
в Н — матрицы. Сформулировать в этом простейшем случае теорему
фон Неймана.
2.	Доказать, что для заданного Х££! существует убывающая
последовательность многочленов Рп (Д), слабо сходящаяся к Е (X), т. е.
(Р„(Д)и, V)\(E(K)U, v).
3.	Доказать, что для любой существенно ограниченной борелев-
ской функции f на спектре нормального оператора N имеем
/(Л0= f /(№&).
Sp (AT)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Понятие прямого интеграла было введено фон Нейманом примерно
в 1938 г., однако его фундаментальная теорема была опубликована
только в 1949 г. [4]. Прямые интегралы стали важнейшим инстру-
ментом в теории представления групп, о чем информирует интерес-
ная статья Наймарка и Фомина [2] (см. также работу Маутнера [1]).
В 1953—1954 гг. Л. Гординг заметил, что теорема фон Неймана
представляет собой абстрактную основу разложений по собственным
функциям интегральных операторов (с ядрами Карлемана), а также
235
Библиографические замечания
обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных
производных. Замечательная теорема Гординга излагается в гл. XVII.
Нам кажется, что полная спектральная теорема фон Неймана является
подходящим математическим инструментом квантовой механики (ср.
гл. VIII, § 5).
Читатель, по-видимому, заметил, что мера ц(Х), а также функция
размерности п(Х), которую следовало бы назвать кратностью
спектра, составляют полную систему унитарных инвариантов,
т. е. если два эрмитовых (или даже самосопряженных) оператора А
и Аг определяют соответственно меры ц и ц' и кратности д(Х),
пг (К), причем меры ц и р/ эквивалентны (абсолютно непрерывны
друг относительно друга), а функции п (X) и n' (X) эквивалентны
в том смысле, что не равны только на множестве меры нуль, то
операторы А и Af унитарно эквивалентны: существует такой уни-
тарный оператор U, что A = UA'U~\
ГЛАВА X
Однопараметрические полугруппы линейных
операторов (теория Иосида). Теорема Стоуна.
Теорема Гординга о представлениях групп Ли
Параграфы 1—3 настоящей главы посвящены теории Иосида,
касающейся представления и дифференцируемости однопараметри-
ческих полугрупп линейных операторов в банаховом пространстве.
Полученные результаты дают возможность в § 4 получить элегантное
доказательство знаменитой теоремы Стоуна относительно однопара-
метрических групп унитарных операторов. В § 6 излагается теорема
Гординга о представлениях групп Ли.
§ 1. Эвристические рассуждения. Основные понятия
В этой главе мы изложим так называемую теорию Иосида одно-
параметрических полугрупп линейных непрерывных операторов в
(комплексном) банаховом пространстве X. Напомним некоторые обо-
значения. Пространство, сопряженное с пространством X, т. е. мно-
жество всех линейных непрерывных функционалов, образует банахово
пространство X*. Элементы пространства X мы обозначаем через
и, v....элементы пространства X*— через «*, V*....а значение
функционала и* в точке и — символом (и, «*). В случае когда X
является гильбертовым пространством ф, имеет место „равенство"
= ф и значение функционала и* в точке и является просто ска-
лярным произведением: (д, и*) —(и, и*) для всех и, и*£$. Для
облегчения понимания дальнейшего можно иметь в виду полугруппу
операторов в гильбертовом пространстве.
Напомним, что однопараметрическое семейство векторов и (t),
a	в пространстве X (кривая в пространстве X) называется
сильно (слабо) дифференцируемой в „момент* если конечно-
разностное отношение
ц(/о + А) —п(/0)
h
сходится сильно (слабо) при Л->0.
Определение. Однопараметрическое семейство линейных и
непрерывных преобразований (Tt), 0 t < оо, банахова простран-
ства X в себя называется полугруппой, если для любых $, / С [О» °°)
имеют место соотношения
TtTt = Tt+t,	То = 1.
§ 1. Эвристические рассуждения. Основные понятия	237
Если операторы Tt обратимы, то, полагая Tf1—получаем
однопараметрическую группу операторов.
Если В — ограниченный оператор, ||В|| < оо, то легко определить
показательную функцию eiB\
(1.1)
v=0
ряд в правой части равенства сходится равномерно (т. е. в смысле
нормы операторов), ибо
lie- II
v=0
Аналогично тому как это делается в элементарном курсе диффе-
ренциального исчисления, можно доказать, что
etBesB — e(t+ s)B9 st [0, oo), fl'B = I.
Таким образом, семейство операторов Tt —* etB, t £ [0, oo), образует
однопараметрическую полугруппу [а при —oo, -f-oo) — группу]
линейных преобразований пространства X в себя.
Более того, существует так называемая бесконечно малая обра-
зующая полугруппы etB:
Г)а=Ва.	(1.2)
л->о Л	“
Ва является, очевидно, сильной производной однопараметрического
семейства векторов v (t) =’ etBu пространства X в момент t = б.
Очевидно, имеет место равенство
lim-J-(T/+ft-Tz)«=5Tz« = 7'A.	(1-3)
Л->0 п
/610» оо), и£Х.
В случае неограниченного оператора В показательную функцию
нельзя определить так, как это было сделано выше (вспомним труд-
ности, с которыми мы встретились при определении функций от не-
ограниченного самосопряженного оператора в гильбертовом про-
странстве).
К. Иосида показал, как можно получить формулы, подобные
формулам (1.2) и (1.3), в случае общей однопараметрической полу-
группы.
ограничены
(2.1)
*610. оо),
(2.2)
существует
238 Гл, X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
§ 2. Теория Иосида
Будем предполагать, что элементы полугруппы (Ts)
в совокупности единицей:
sup
О < 5 < ОО
и что траектории полугруппы, т. е. кривые (Ttu),
и£Х, сильно непрерывны в каждый „момент" /0,
lim Ttu = TtQu при /0 £ [0, со), и £ X.
t -Ыо
Оказывается, что даже при столь слабых предположениях
инфинитезимальная (бесконечно малая) образующая!) полугруппы (7\),
которую мы будем коротко называть образующей или производной
полугруппы (Т5) в „момент" t — 0. Имеют место две фундаментальные
теоремы Иосида.
Первая теорема (Иосида). Множество D(A), на кото-
ром определен оператор А,,
Аи —* слабый предел 4-(7\ —/) и,	(2.3)
Но Л
плотно в пространстве X. Оператор А является замкнутым
линейным оператором, обладающим следующими свойствами:
\im-^{Tt+h — Tt)u = ATtu = TtAu, u£D(A).	(2.3')
й-»0 Л
Справедливо представление посредством показательной
функции в следующем смысле: существует последовательность (1п)
линейных ограниченных операторов, коммутирующих с каж-
дым преобразованием Tt, а также с оператором А, таких, что
Г. R (/n)czD (Л), А1п = 1пА = п(1п — I) [7? (Л) обозначает область
значений оператора Л];
2°.	lim /яи = и;
3°. Ttu= lim etAI" равномерно относительно t на каждом
Я-»оо
конечном отрезке [т. е. почти равномерно на [0, оо)].
Далее, верны соотношения
||(Л — п/)а||>п||я||, п=\, 2..... u£D(A) (2.4)
и
Д(А — пГ) — Х,	(2.5)
т. е. операторы А — nl, п=1, 2, ... вполне обратимы.
9 Инфинитезимальную образующую называют также бесконечно малым
производящим оператором.—11рим. перев.
§ 2. Теория Иосида
239
Если иа°—(А—пГ)~* и, п—1, 2........то
lim Л(—л«„) = Нт [—«(« + ««„] = Аи	(2.6)
й->оо	Д->оо
при u£D(A).
Имеет место и обратная теорема.
Вторая теорема (Иосида). Если для линейного опера-
тора А с плотной областью определения D(A)cX и областью
значений R(A)czX выполняются соотношения (2.4) — (2.5), то
существует однопараметрическая полугруппа операторов Tt,
для которой имеют место соотношения (2.1) — (2.3) (/п. е. та-
кая, для которой оператор А является образующей).
Доказательство первой теоремы. Дифференцируе-
мость. Слабый предел [7\—7]7\я=слабый предел ±-[Tt+h—Tt\u—
п	hi о п
1
= Т{ слабый предел -^[Тп—1\и (заметим, что каждый ограничен-
но п
ный линейный оператор В слабо непрерывен: если fn -* /, то
Bfn-^Bf). Поэтому, согласно (2.3), ТtD{A)cz.D{А) и ATtu = TtAu
при u£D(Л), т. е. оператор А коммутирует с каждым из опера-
торов Tt. Кроме того, существует правосторонняя слабая производная
D+Ttu = ATtu — TtAu для каждого я£Р(Л).
Из сильной непрерывности полугруппы Tt вытекает, что для каж-
дого
t
{Ttu, »*) — <“• г’*)= f D+{Tsu, v*)ds —
0
* t	t
— J* ^TsAu9 v^dt — l^ TsAuds, v*}.
о	0
Поясним эти преобразования. Из равенства D+Tsu = TsAu и сла-
бой непрерывности подгруппы Ts вытекает, что D+ {Tsut v*} есть
непрерывная функция параметра $, а поэтому правосторонняя про-
изводная является обычной производной. Следовательно, применяя
t
формулу Ньютона — Лейбница, находим J D^su, v*}ds—{Ttu, v*)—
о
— (ut v*). Из сильной непрерывности полугруппы Tt вытекает
существование интеграла §TsAuds как предела по норме соот-
о
240 Гл, X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
t
ветствующих интегральных сумм. Равенство J* v*}ds=x
о
t
= (f TsAudst вытекает из непрерывности функционалам*. Итак,
о
требуемое соотношение установлено. Из него благодаря произволь-
ности м* следует
t
Ttu — и — J TsAttds при tt£D(A). (2.7)
о
Таким образом, мы доказали дифференцируемость и формулу (2.3').
Отсюда немедленно получается замкнутость оператора А: если
ttn^D(A)t ttn-+tit Attn->vt то, согласно формуле (2.7),
t
Tttt — а — f Tsv dst
о
т. е. tt£D(A) и Au — v (напомним, что То = /), что и требовалось
доказать.
Переходим к наиболее трудной части доказательства — доказа-
тельству представления посредством показательной функции.
Пусть <р ($) — комплекснозначная дифференцируемая функция,
такая, что
Определим оператор
С(ф)«°— J <f(s)Tsuds
о
(поскольку мы имеем дело с сильно непрерывными функциями, то
рассматриваемые интегралы существуют в сильном смысле). На осно-
вании определения полугруппы имеем TtTs = Tt+5, откуда
00
4-(Тй-/]С(ф)« = -1-/^s)ThTsuds-
О
~т/ 4>(8)Tsads = -y J <₽(s)Th+^ds —-у f q>(s)Tsuds;
0	0	о
§ 2. Теория Иосида
241
вводя в первом интеграле новую переменную 4- h и разбивая
оо со h
второй J =5 J + J, получаем,
о л о
оо	h
Ttudt_\_ j<p(s)7><fc.
Л	о
В силу равенства То = / и формулы (2.8) получаем
lim 4-17’А-ЛС(ф)« = с(—g-)«-<p(O)«.	(2.9)
h f 0 п	\ аъ j
Проверим, что выполняются п. Г и 2°; поскольку sup ||7\||	1,
0<5 <00
оо
то, полагая I пи °— J ne~nsTsu ds, имеем
о
II4» IK JII ne~MTsu \\ds^J ne~Mds—l
о	0
при ||и 11 = 1. Поэтому ||In|К 1 при »=1, 2, .... Из соотноше-
dne"ns	у
ния (2.9) вследствие равенств —п,----------— = ппе~п > полу-
чаем AInu = n(In— Г) и, так что Г и 2° выполняются.
Поскольку оператор А замкнут, его можно внести под знак
интеграла, определяющего преобразование С (ф). Поскольку опе-
ратор А коммутирует с каждым из операторов полугруппы Ts, имеем
ЛС(ф)я = С(ф)Аи для каждого u£D(A) и, в частности,
А1п—1пА,	(2.10)
Аналогично
Т/С(ф)« = у Tfl>(s)Tsuds = J <p(s) TsT/uds = C((p)T/u. (2.11)
о	о
Следовательно, операторы /„ коммутируют как с оператором А,
так и со всеми операторами полугруппы при п = 1, 2, ....
Проверим теперь п. 3°. Так как AIn = tt(Jn — I), то
|| etA'n || = ||	1| = ||	||	е|| м/„ \\е-ш < ^-tn = ,
(2.12)
J6 К. Морен
242 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
Ввиду того что оператор А1п коммутирует с каждым из преобра-
зований Tt> при u£D (Л) имеем
Ttu — eiMnu
t
/	— Al J и ds
0
t	t
< f ||Л|[.[|(Л-Л7я)а||Л< f ||(Л-Л7я)а||^ = 7||(7-7я)Ла|1;
0	0
однако, как сейчас будет доказано, ||(/—/л)^||->0, п—>оо
и D(A) — X, а поэтому п. 3° тоже выполняется.
Изложим доказательство соотношений D(A) = X и Inv -*> v, п->оо,
h
Для произвольного и£Х положим uh — * Л"1 J* Tsu ds. Так как TQ = It
о
то uh->u, при /г —> О и поэтому множество [uh: и£Х] плотно
в пространстве X. Далее,
h
е-1 (Те —/) «А = (еЛ)"1 J (7\+е — Тs) и ds =
о
Отсюда е-1(Тг — 7)ай—>Л_1(7'Й— Г) и, е->0. Поэтому uh£D(A)
и Л«й = Л~1(7'й — 7) а. Так как многообразие О (Л) содержит плот-
ное в X множество {aA:a£X), то D(A) = X. При а£О(Л) имеем
а(7я —7)а = Л7яа = ’7яЛа. Так как |[7Я|| <1, то ||(7Я —7)з||<
11| Ля || —>0, п —>оо. Используя плотность многообразия D(A)
и равномерную ограниченность последовательности (/я), убеждаемся,
что || (/л — /)я||->0, п->оо для всех и£Х. Выше доказано, что
| Ttu — etAInu ||->0 лишь при я£О(Л). Пусть и£Х> a ue^D(A)t
I # — «е|| <в/2* Тогда, учитывая, что ||7\||	1, || etAIfl||	1» имеем
§ 2. Теория Иосида
243
|| Ttu - etAInU|[ < || Tt (и - ut) || + \\Ttut- etMnu&\\ _|_||?^(e-«e)||<
e/2 +1| T tuR — etAtnue || -|- e/2 —>	при n —>oo.	Таким образом,
|| Ttu — etAInu || —> 0 для каждого и £X.
Докажем, что множество R(A — nl) плотно в X при п= 1, 2....
Действительно, в противном случае существует такой вектор v* £ X*,
ti*=/=0, что ((Л — nl)at = 0 для всех u^D{A). Однако так как
TtD(A)<=.D(A). то
{ATtut v*} = n{Tta, tf*),
т. е. в силу формулы (2.3х)
v*) = n{Ttu, v*}.
Интегрируя это дифференциальное уравнение при начальном
условии {TQu, v*) = {ut tf*), получаем
{Ttu, = v*}ent.	(2.13)
Так как многообразие D(A) плотно в X, a	то суще-
ствует такой вектор u£D(A), что (и, ^*)=/=0. В этом случае
{и,	/~>оо, что противоречит соотношению (2.13), ибо
\{Ttu, <ОКИН-ИЛИ-1ИК1И1 -ИИ.
Докажем теперь формулу (2.4), т. е. неравенство
|[ (Д — nl) и || п || и || при и £ D (Д), п — 1, 2, ....
Предположим, что это неравенство неверно, и пусть
||(Л — д7)»0|| = а < п при «0^D(H). ||«0|| = 1.
Кроме того, пусть («0> к*)=1, || о* || = 1. Тогда из уравнения
Ttu0 = TtAu0 — nTtUQ-\-Tt{A — пГ)uQ
получаем
df(t)
di

где
f (0 = {Ttu0, v*}, g (0 = {Tt (A - nl) u0, v*}.
Так как
/(О) = (То«о, гО = <«0. *•) = !.
ТО
/(0 = ^
t
J e^gisyds-^ 1
о
16*
244 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
Вследствие неравенства
1^(01 <||М.||(Л-п/) и0II-1|
имеем
откуда | / (01	[1 — ~ (1 — е-л<)] • что противоречит неравенству
1/(0|<И ЛИ - 1|«о11Р*11<1-
Докажем далее, что R(A — п!) = Х. Пусть в силу плот-
ности в пространстве многообразия R (Д — пГ) существует такая по-
следовательность uk£D(A)t что (Л — nl)uk->v, k~>oo. Однако
II (Л — пГ) (ик — ир) II > «II ик — ир ||.
т. е. (ий)— последовательность Коши. Пусть ик->а; имеем
v — lim (Л— пГ)ик = lim (Аик— nItik) = Au— nlu,
/?->оо	k-*<x>
ибо оператор А замкнут. Итак
(Л — пГ) и = V,
что и требовалось доказать.
Остается доказать формулу (2.6). Пусть иа — (единственное) ре-
шение уравнения (Л — nl) ип = V, в соответствии с п. 1° /„ (Л — пГ) =
=— и/, а потому /„-» = — пип. Следовательно,
lim Л(—««„) = lim AInv = lim I„Av = Av,
П->оо	Л->оо	Л->оо
что и требовалось доказать.
Таким образом, мы закончили доказательство первой теоремы
Иосида.
Замечание. В случае группы Tt> t £ (— оо, оо), повторяя
предыдущие рассуждения с той лишь разницей, что /-> — оо, по-
лучаем
Я(Д + п7) = Х, п=1, 2................... (1.6')
§ 3. Теория Иосида (продолжение;
доказательство второй теоремы Иосида)
Пусть А — линейный оператор с областью определения D (Д),
плотной в пространстве X, удовлетворяющий условиям (2.4) — (2.6),
Нам нужно доказать, что существует однопараметрическая полугруппа,
образующей которой служит именно оператор Д. Поскольку опера-
торы А — п/ вполне обратимы: R (А — nJ) = X и || (Д — л/) я || ^
п || и ||, то уравнение (Д — nl)tin = и имеет единственное решение иа.
§ 3. Теория Иосида (продолжение)
245
Пусть Jn — оператбр, заданный равенством
Jnu = — пип = — п (Л — п/)”1 и.	(3.1)
Очевидно, имеем
=	(3.2)
однако
AJnu = — пАип = — п(и-\- пип) = n(Jn — 7) и. (3.3)
Таким образом, AJn — ограниченный оператор, поэтому существует
tAr
оператор е п и
|| etAjnu (I = || entJne~tttIa || < ente~nt ||«||
и, следовательно, оператор Т<л) — etAJn имеет норму
Ц7Г1К1.	(3-4)
Так как
t
etB—I = § BeSBds
О
для произвольного ограниченного оператора В, то
t
Tfu — a = f T^AJnu ds;	(3.5)
0
аналогично
Пт | [Tf^ - 7*1Я)] и = T^AJna.	(3.6)
Очевидно, JmJn = Jn^m ICM- (ЭЛ)], откуда вытекает, что AJn
коммутирует c AJmi а следовательно, и с etAJn. Поэтому, рассуждая
как при доказательстве п. 3° первой теоремы, получаем
|| [/Г- ГН «|| = || [ешт - etAj»\ и || =
= ^[e^AjnTru]dS =
О
= Де(/-’)А,я]7'(Д)[Л7т—AJn} и ds <
О
t
< f || (AJ„ - AJm) и Ц ds = tfl (AJ„ - AJm) и ||
о
[мы воспользовались соотношениями (3.6) и (3.4)].
246 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
Покажем теперь, что из условий (2.4) и (2.5) вытекает соотно-
шение (2.6). В самом деле, легко видеть, что Jnu — a = ~^JnAu при
«6Д(Л). В силу (3.2) отсюда получаем || Jnu—и ||	|| Аи || и
Jnu->u при л—>оо и	Так как D(A) = X, то для каждого
и £ X существует такой элемент u6£D (4), что || и — иБ || < е. Имеем
|| JnU — IK II — м + II (Л — /) (w — ие) || < II Jnue — яе|| + 2е,
ибо ]|/л—^|KlHill + ll ЛК^* Следовательно, Jnu->u для всех
и£Х. В частности, при u£D(A) имеем AJn и = JnA и —> Аи
при п->оо.
Итак, lim (— пАи^ = lim AJnu = Аи. Следовательно, при
П->ОО	72->ОО
u£D(4) последовательность Т^и фундаментальна и существует такой
вектор Ttuf что
Ttu= lim Т^и,
п->оо
причем сходимость является равномерной по t в каждом конечном
интервале. Ввиду того что ||Т?}Ж 1» #=1» 2..........а многообра-
зие D(A) плотно в X, оператор Tt можно однозначно продолжить
на все пространство X. Построенная таким образом полугруппа удо-
влетворяет условиям (2.1) и (2.2).
Переходя к пределу при п—>оо в формуле (3.5), получаем
t
Ttu — и = f TsAu ds при и £ D (Д).
о
Вторая теорема Иосида доказана.
§ 4.	Однопараметрические группы унитарных операторов
В случае гильбертова пространства § особенно важную роль
играют группы унитарных преобразований. Напомним, что унитар-
ные преобразования являются автоморфизмами пространства ф, именно
отображают пространство ф изометрически на себя. Если U — уни-
тарное отображение, то U = U~}.
Мы знаем, что операторы вида
J	где Н= J KdEQ.).
— ОО	—00
являются унитарными:
== J e~iM dE(l) = (eitH)~'.
j e^dE(K)
§ 4. Однопараметрические группы унитарных операторов 247
Очевидно, операторы
Ut = eitH>
где Н — самосопряженный оператор, образуют однопараметрическую
группу: eitHeisH= ei(t+s)th бесконечно малой образующей этой
группы является оператор 1Н.
М. Стоун открыл теорему фундаментального значения.
Теорема (Стоун). Каждая непрерывная однопараметри-
ческая (полу)группа унитарных операторов Ut обладает
инфинитезимальной образующей А вида 1Н, где Н — самосо-
со
пряженный оператор. Если Н — J ZdE(X), то
— со
Ut= f eltldE(k).
—со
Теорема Стоуна сразу же нашла весьма важные применения:
через несколько месяцев после появления работы Стоуна [2] фон
Нейман опубликовал первое доказательство так называемой квази-
эргодической гипотезы; доказательство фон Неймана мы приведем
в § 3 гл. XX.
Теорема Стоуна играет важную роль в квантовой механике (пере-
ход от представления Шредингера к представлению Гейзенберга) и
в теории уравнения теплопроводности. В последние годы Иосида
нашел основанное на теореме Стоуна элегантное доказательство
теоремы Ходжа из теории гармонических полей. Эти вопросы рас-
сматриваются в дальнейших главах книги.
Изложим интересное доказательство теоремы Стоуна, принадле-
жащее К. Иосида.
Доказательство теоремы Стоуна. ПолагаяU_t= =
= Ut при /^0, получаем однопараметрическую сильно непрерывную
группу ((/,), — оо < t < сю, унитарных операторов. Полагая в фор-
муле (2.3) А = 1Н, получаем [так как ||{7J|=1, то выполняется
условие (2.1)]
^v = lHUtv==lUtHv при D(H).
Следовательно, при и, v£D(A)
(Ни, ъ)=±-[±(и(и,	^)]/=0 = («. Но),
так что Н — симметрический оператор. Докажем, что Н = Н*. С этой
целью достаточно проверить, что дефектные пространства фя,
248 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
нульмерны, т. е. что R (ИП) ** R (Н— II) Но как раз
формула (2.5) при п = 1 показывает, что ф = R (Л — 1/) *=
= R А — A-/j = R(H + ZZ). Пользуясь замечанием, сделанным
в конце § 2, получаем также R(H — Ц) = $. Следовательно, опера-
оо
тор Н обладает спектральным представлением Н = J KdE (X).
— ОО
Положим, как и в § 2, Jn — —п [Л — nl] * 1 = р— ~ л1 ; тогда
1 1
=	—	" = J*/х(1 —1/х) rf£(X).
—оо
Следовательно, имеем экспоненциальное представление
Utv = lim е
П->СО
-ZX-1) 1]dE(X)v =
= J e“KdE(k)v,
что и требовалось доказать1).
§ 5.	Дополняющие замечания
Теорема Стоуна была в последние годы обобщена на абелевые
локально компактные группы (ср. например, Люмис [1]), причем
показательную функцию еш заменяли непрерывными характерами
группы G (определение характера см. ниже).
>) Имеет место следующая теорема о предельном переходе к пределу
под знаком операторного интеграла. Пусть /л(Х)->/(Х) при л->оо и
I fn (М КI (^) I Для всех достаточно больших X, за исключением мно-
жества значений £-меры нуль. Если & (X) есть Е — почти всюду конечная
функция (все рассматриваемые функции предполагаются ^-измеримыми), то
оо
для каждого элемента и £ для которого J* [ 3" (X) |2 d (Е (X) и, и) < оо,
имеем J* fn (X) dE (X) и -> J* /(X)d£(X)u при п->оо. — Прим, перев.
-OQ	-9?
§ 5. Дополняющие замечания
249
Имеются также обобщения на некоммутативные группы Ли.
Иосида успешно применял свою теорию к параболическим уравнениям
вида
= Ахи (х, t), и (0, х) = <р (х),	(5.1)
где Ах— некоторый эллиптический оператор, обладающий свойствами,
позволяющими применять вторую теорему Иосида [2], [4J, [5]1).
Замыкание оператора Ах является инфинитезимальной образующей
определенной полугруппы (7\). Решение задачи с начальным усло-
вием (5.1) получается в виде
и (х, /) — Ttq (х),	0.
Здесь я хотел бы лишь упомянуть о чрезвычайно интересной
тесной связи теории полугрупп операторов с (диффузионными) про-
цессами Маркова и параболическими уравнениями.
Пусть Rn есть n-мерное риманово пространство (в частности,
евклидово пространство Ея). Однородным (во времени) процессом
Маркова в пространстве Rn называется однопараметрическое семейство
„вероятностей перехода" Р (/, х, Е), t > 0 [Р (/, х, Е) — вероятность
того, что частица, находящаяся в начальный момент в точке х, через
время t окажется в (измеримом) множестве EczRn}t удовлетворяющее
следующим условиям:
Р(^ + $» х, Е) = JP(t, х, dy)P(st у, £).
я"
Процесс Маркова индуцирует в банаховом пространстве C(Rn)
ограниченных и равномерно непрерывных на множестве Rn функций
однопараметрическую полугруппу операторов сдвига
(7У)(х)°=^ f f (у) P(t. X, dy).
я"
Для того чтобы бесконечно малый производящий оператор был
дифференциальным (эллиптическим) оператором, нужно наложить до-
полнительные ограничения непрерывности. Если предположить, что
!) В связи с этим отметим работу В. Э. Л яйце [1], где вторая теорема
Иосида применяется для доказательства существования решения задачи Ди-
рихле для параболической системы уравнений с сильно эллиптической про-
странственной частью. В работе [1] доказывается также, что для того, чтобы
оператор А в гильбертовом пространстве удовлетворял условиям второй
теоремы Иосида, достаточно, чтобы Re (Ли, н)<0 для всех и£ D(A) и
Ке(Л*г, v)<0 для всех v£D(A*). Как доказал С. Г. Крейн, это условие
также необходимо.— Прим, перев.
250 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
существуют трижды непрерывно дифференцируемая плотность р (/, х, у)
меры P(t, х, Е) относительно объема dy в пространстве Rn и предел
lim Jfd3(x, у)Р(/4-Д/, х, dy)/fd2(x, у)Р(/-]-Д/, х, dy)l=0
А'*° р	Ь»	I
[d(«,*)— расстояние в пространстве /?"], то существуют также
пределы
aU(t> х) = lim (ДО"1 f (у1 — х1)(у^— х^)Р х, dy),
д^о
Ь* (t9 х)= lim (Д/)"1 f (у^ — х^Р^ + ДО х, dy).
Здесь координаты берутся в некоторой локальной системе координат;
(aZ;) образуют симметрическое положительно определенное тензорное
поле. В силу однородности по времени коэффициенты a^{t, х), &(/, х)
можно взять не зависящими от переменной Л
Производящий оператор полугруппы имеет вид
п	п
W)(X)= 21“"(JC>^7-+

£
§ 6.	Теорема Гординга о представлениях группы Ли	|
Топологическое пространство, локально гомеоморфное п-мерному
евклидову пространству Еп, называется n-мерным топологическим *
многообразием G. Пусть ср: О $ g -> х £ Еп —г гомеоморфное отображе-
ние окрестности Ус: О на окрестность Qczf'1; тогда функции xz — <pz (g),	|
g£V, Z=l, ..., n, где (xp ...» хл) = х = <?(£•), называются ло- |
кальными координатами, покрывающими окрестность V.	J
Будем говорить, что вещественная функция V Э g’-*£(g,)€£1	1
является функцией локальных координат хг.....хп класса Ckt |
если существует такая функция /^C^(Q)1), что в окрестности V |
справедливо тождество (по g)	|
Ug)^fMg)t .... хя(^)).	I
Топологическое многообразие О называется многообразием класса	?
Ck(k = 1, 2, ...), если каждой точке g£ О можно поставить в соот-
ветствие множество вещественных функций Ogt заданных в некото- г
!) Как обычно, Ск (□) обозначает совокупность k раз непрерывно диффе-
ренцируемых функций в области й.
§ 6. Теорема Гординга о представлениях группы Ли	251
рых окрестностях точки g (различные функции определены, вообще
говоря, в различных окрестностях точки g) и удовлетворяющих
следующим условиям:
1. К классу Og принадлежат локальные координаты, покрываю-
щие окрестность V (g) точки g.
2. Класс Og, где gx — произвольная точка окрестности V(g), яв-
ляется множеством функций класса Ск локальных координат, покры-
вающих окрестность V (g).
Если элементы класса Og являются аналитическими функциями
локальных координат ..., хл, то О называется аналитическим
многообразием.
Определение. Группой Ли называется множество G, являю-
щееся группой и одновременно аналитическим многообразием, причем
групповая операция gjg^1 — аналитическая функция, т. е. если через
gl (l — 1....п) обозначить локальные координаты точки g группы (7,
то
(«’1«Г21У==Ф/(^1’ Sy ............gty (/==1........«)•
где функции Ф‘ в окрестности каждой точки являются суммой схо-
дящегося степенного ряда.
В 1900 г. Гильберт высказал предположение (знаменитая пятая про-
блема Гильберта), что всякая непрерывная и связная группа, яв-
ляющаяся топологическим многообразием, представляет собой
группу Ли. Эта проблема была решена положительно только в 1953 г.
Глисоном, Монтгомери и Зиппином1) (см. Монтгомери, Зиппин [1]).
Представлением топологической группы Q называется сильно
непрерывный гомоморфизм группы Q в группу линейных непрерыв-
ных отображений некоторого банахова пространства В. Обычно рас-
сматривают гомоморфизм в группу унитарных преобразований некото-
рого гильбертова пространства.
Очевидно, однопараметрическая группа линейных преобразований,
рассмотренная в настоящей главе, является представлением веществен-
ной оси Е1 как абелевой группы относительно сложения. Таким об-
разом, теория однопараметрических групп является разделом теории
представлений групп Ли. Из этой обширной, важной и постоянно раз-
вивающейся теории мы изложим только теорему Гординга.
Прежде чем переходить к формулировке, приведем несколько
понятий и определений. Пусть е — единица, и пусть а~>Т(а) — пред-
ставление группы G, Т (а)£3? (В, В). Представление предполагается
непрерывным в том смысле, что для каждого элемента и£В, Т(а) и->
->Т(Ь)и, если а->Ь, причем Т(е)и = и. Пусть Д = {а($)}—одно-
!) Решение пятой проблемы Гильберта для компактных групп было по-
лучено Л. С. Понтрягиным в 1934 г. — Прим, перев.
252 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
параметрическая подгруппа группы О: ЛсО. Как и в § 1, определим
оператор Тл:
ТАи = lim s^(T(a ($)) — /) и
s-X)
(если предел существует); в этом случае мы пишем и £ D (Тл). В связи
с результатами теории Иосида можно ожидать, что множество D(T^)
плотно в В. Возникает вопрос, является ли множество ®	’ П^(ТЛ),
А
где А пробегает все однопараметрические подгруппы, плотным в В.
Положительный ответ содержится в следующей теореме.
Теорема 1 (Гординг). Пусть г — натуральное число ила
бесконечность, и пусть Вг — множество элементов простран-
ства В вида
u(.<P) = f<P(g)T(g)udg, <p6C'(G), u£B,
О
где dg— левоинвариантная мера на О [т. е. d(sg) = d(g) для
произвольного	a Cq(G) — совокупность функций класса
Сг на G, имеющих компактные носители. Тогда все множества
ВТ плотны в В, Br+1czD (ТА) и TABr+xczBr для каждой одно-
параметрической группы А.
Доказательство. Пусть — последовательность таких не-
отрицательных функций, что: 1 °<pv £ Cg° (О), 2°J* (pv (g) dg == 1 и 3°
о
для всякой окрестности Q единицы
J Фй (g) dg = 0 при k > К (Q) > 0.
O\S2
Имеем: u($k)£Br и u(<pk)->u при £->оо, ибо для всех и и г имеет
место равенство
«(Фй) —« = «(Фл) —Г(е)« = j* <pk(g')T(g)udg —
а
— f 4>k(g)T(.e)4dg= f q>k(g)[T (g) — T(e)] udg==
o	a
— /ч>к (S’) (g) — T («Л« dg'
Q
§ 7. Унитарные представления группы Ли	253
С другой стороны, при заданном а существует такое Q, что ||[Г (g)—
— Т(е))«1Ке при g£Q. Следовательно,
II«(<₽*) — «II< е f <fk(g)dg = е,
Q
и первая часть утверждения (Вг плотно в В) доказана.
Переходим теперь к доказательству второй части утверждения.
В силу инвариантности меры dg при $ =/= О имеем
J Ф (а~1 (s) g) Т (g) и dg = J <р (g) Т (a (s) g) и dg;
Q	G
отсюда
(a(s) —л а(ф) = J$_1[ф(а-1(5)£-)—ф^Гп^а^.
о
Поэтому при s->0 получаем
7’ла(ф) = а(фл),
где
опр. .	’(з) g) — <p(g)	r
Фа(£) = hm~--------7-------€С0(О),
s->0	°
когда ф£Со+1(0), что и требовалось доказать.
Аналогичную теорему можно доказать для полугрупп с единицей
и даже для произвольных дифференцируемых многообразий.
Замечание. Множество @, о котором речь шла в теореме,
называется пространством Гординга.
Читатель, интересующийся представлениями топологических групп,
может перейти к гл. XXI, в частности к § 7 гл. XXI.
§ 7. Унитарные представления групп Ли.
Представления алгебр Ли.
Связи с квантовой механикой
Теперь мы приведем важное понятие алгебры Ли и представле-
ния (посредством неограниченных операторов) алгебры Ли, а также
обертывающей алгебры. Эти понятия имеют важное значение в кван-
товой механике. Мы вынуждены ограничиться лишь кратким введением
в эту большую и чрезвычайно интересную, но трудную область, на-
ходящуюся в состоянии непрерывного развития.
Касательная плоскость Г в единице е группы Ли G является не
только n-мерным векторным пространством. С этим пространством
естественным образом связана структура алгебры Ли. Именно каждому
элементу X £ Г можно взаимно однозначно поставить в соответствие
однопараметрическую подгруппу X (f) = exp/X, t£E\ для которой
254 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
X является касательным вектором в точке е. Вектору X можно, да-
лее, поставить в соответствие дифференциальный оператор, который
мы будем обозначать также через X. Оператор X определяем сле-
дующим образом:
(*/) (g) °- lim Гх [f {X (0 g)-f (g)J, f е С°° (О).
t+0
Очевидно, оператор X является правоинвариантным, т. е. (RyX)
~(XRy)f, f^C^G), где (/?y/)(g) = /(gy). у С О. Паре операторов
X, Y на группе G можно поставить в соответствие их коммутатор
[X, Г], заданный формулой
[X. Y]f = X(Yf)-Y(Xf)9 X. Г£Г, /6 С00 (О)-
Легко проверить, что оператор [X, Г] также является дифференци-
рованием, т. е.
[X, Г](/.ф) = ф[Х, Y}f+f[X, У]ф, /,ФСС°°(О)
и принадлежит Г.
Пусть Хг.....Хп—база пространства Г. Ввиду того что
[Xit Xk\ С Г, имеем
п
[xt, хк} = з сЪХч-
V=1
Числа c{k называются структурными константами алгебры Г (или
группы О). Легко проверить, что коммутаторы удовлетворяют сле-
дующим соотношениям:
[X. Y] = -[Y. *],[[Х Г], Zl + [ [Г, Z], Х1 + [ [Z, Х],Г] = 0, (*)
П равоинвариантной обертывающей алгеброй группы G на-
зывается ассоциативная алгебра порожденная операторами X £ Г.
Таким образом, элементами S являются полиномы, составленные из
операторов X £ Г. Умножение в $ связано соотношениями
XiXk = XkXi+
V=1
Более общим образом обертывающей алгеброй алгебры Г
(группы G) называется ассоциативная алгебра с образующими Xv Х2> -..
..., Хп, связанными только что приведенными соотношениями.
Всюду в дальнейшем S подразумевается правоинвариантной обер-
тывающей алгеброй группы О.
Можно дать более общее определение, не требующее привлечения
группы Ли G. Именно, алгеброй Ли Г называется векторное простран-
ство (над некоторым телом) с операцией [X, У], которая является
билинейным отображением Г X Г Г, удовлетворяющим условиям (♦).
§ 7. Унитарные представления группы Ли	255
Очевидно, всякая ассоциативная алгебра с операцией [X, Y\ — XY — YX
является алгеброй Ли.
Определение. Представлением л алгебры Ли Г называется
гомоморфизм алгебры Г. в множество (вообще говоря, неограничен-
ных) операторов некоторого банахова пространства В, обладающее
общим инвариантным линейным подмножеством О, плотным в про-
странстве В:
:ГЭ^->л(Х)6^(В, В),
л ([X, Г]) и = (л (X) л (Г) — л (Г) л (X)) и	(7.1)
для всех u£D, причем л(Х)Ос:О, D = B.
Представление алгебры Ли группы G можно расширить до пред-
ставления л обертывающей правоинвариантной алгебры & группы Ли G.
В обертывающей алгебре S существует инволюция
такая, что Х+ °— — X для всех X £ Г. Элементы L, для которых
L — L+, называются симметрическими. Из теоремы Гординга
непосредственно вытекает следующее утверждение.
Теорема 1. Каждое (сильно непрерывное) представление
группы Ли G, G^g->T(g)£^(Bt В), индуцирует представле-
ние алгебры Г группы G [определенное на пространстве Гор-
динга ® представления ?(•)!, заданное формулой л(Х) =
= dT(X)t Х£Г, причем
dT (X) (и(ф)) =' Т (Адр) и — - lim t~1 (Т (X (Q) — Z)и (<р), (7.2)
/->о
где
Г((р)и°= f (p(g)T(g)udg = u(<p), ф€Со°(0). и£В.
О
Представление X->dT(X) называется дифференциалом
представления Т(-)1). В частности, для элементов базиса (Xv)y=1
имеем
dT([Xt, =
V
Нетрудно показать, что в случае унитарного представления
о5g->и(g)€S’(§. £>) операторы Ak =‘ IdU^X^, I = )/— 1,
симметричны. Следовательно, унитарное представление группы Ли
!) Отметим, что из (7.2) следует Также (L) (и (<р)) == Г (Дер) и = а (Аср)
для всех
256 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
индуцирует представление алгебры Ли Г симметрическими операторами
[dT(X) кососимметричны] на подпространстве Гординга
Докажем теперь следующее простое утверждение.
Теорема 2. Пусть Af£$. Для произвольных (р, 4>£Co°(0)
имеет место тождество
(dU{M)u^\ «Ш = («(Ф). dU(M+)u($)\
а. следовательно, для произвольных и, v£® имеем
(dU(M) и, v) = (u, dU(M+)v).
В частности, оператор dU (Al) симметричен на подпростран-
стве Гординга ®, если М — М+.
Доказательство. Используя определение А1+, докажем сперва
соотношение для М = X £ Г. В этом случае достаточно доказать,
что
(dU(X)u, v) = (u, dU (X+)v) — — (u, dU(X)v). (*)
Однако из теоремы Гординга вытекает
(dU(X)a, <0= lim (-J-(£/(*(/)) —')«. *) =
/-Х) V г	/
= llm_Um_
/->0 \	1	/ i+Q\	*	/
^limfa,—CZ(X(s)~/^ = —(«, dU(X)v),
s->0 \	5	/
что и требовалось доказать.
Пусть теперь
Л1= s Са а х X .
°1..«й 1 k	*
тогда в силу определения оператора М+
а1 • • • ak
Поэтому при и,
(dU(уИ+) и, v) = ( 2	••• ak dU(X“6) • • • dU(*«.)	») =
“.-••“ft
= IU, 2	.a. dU{X. )...dU(Xa )«)=(«. dU(M)v),
и, таким образом, теорема доказана.
Возникает естественный вопрос: когда операторы dT (£), £ £ $
в существенном самосопряжен#, т. е. когда их замыкания явля-
ются самосопряженными операторами?
§ 8. Признаки самосопряженности представителей dU(L) 257
Уравнение состояния квантовомеханической частицы естественно
приводит к унитарному представлению некоторой группы Ли, именно
группы Галилея в случае нерелятивистской теории и группы Лоренца
в случае релятивистской частицы. (Некоторые математики считают,
что релятивистская частица является унитарным представлением группы
Лоренца.)
Структурные константы этой группы тесно связаны соотношени-
ями перестановочности Гейзенберга. Дело в том, что некоторые сим-
метрические элементы (£ = £+) обертывающей алгебры S группы
Лоренца допускают динамическое истолкование (например, момент,
спин и т. д.). Дифференциал dU(£), ££$ представляет эти симмет-
рические элементы посредством симметрических операторов на под-
пространстве Гординга ® гильбертова пространства состояний ф.
Эти операторы удовлетворяют „соотношениям Гейзенберга". Для
того чтобы эти величины были наблюдаемыми, они должны быть
в существенном самосопряженными. Тогда спектральная теория этих
операторов будет допускать физическую интерпретацию: „вероятности
перехода", „правила отбора" и т. д.
К сожалению, здесь мы сразу же сталкиваемся с серьезными труд-
ностями: простые примеры показывают, что не всякий симметрический
оператор L = L+ £ & обладает в существенном самосопряженным пред-
ставителем (ср. упражнения и дополнения). В следующем параграфе
мы познакомимся с важными теоремами, содержащими необходимые
и достаточные условия для того, чтобы операторы dU (L), L — L+,
были в существенном самосопряженными.
Квантовая механика поставила проблему, в известном смысле
обратную: в каких случаях представление алгебры Г (односвязной
группы Ли О) в существенном самосопряженными операторами по-
рождается унитарным представлением ОЭ^-^^(^) и когда это
представление однозначно определено?
В дополнениях мы приведем (инфинитезимальный) критерий, кото-
рый дает ответ на поставленный вопрос.
§ 8. Признаки самосопряженности (в существенном)
представителей dU (£)
Результаты настоящего параграфа принадлежат Э. Нельсону и
В. Стайнспрингу (ср. Нельсон—Стайнспринг [1]). Прежде чем пере-
ходить к доказательствам, мы приведем ряд простых признаков само-
сопряженности в существенном, а также введем понятие положительно
определенной функции на группе О.
Определение. Симметрический оператор А называется в суще-
ственном самосопряженным, если его замыкание А является са-
мосопряженным: (Л)* = Л.
17 К. Морен
258 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
Лемма 1. Оператор А является в существенном самосоп-
ряженным тогда и только тогда, когда А —А*.
Доказательство. Пусть оператор А в существенном само-
сопряжен. Тогда А — (Л)* = Л* = А*. Наоборот, если Л = Л*, то
(Л)*= Л** = Л (ср. упражнение 1).
Лемма 2. Если оператор А симметричен, а оператор
(Л + /)”1 является ограниченным и имеет плотную область
определения, то оператор А в существенном самосопряжен.
Доказательство. По условию R(Л + /) — R(Л + /) =
поэтому оператор А-\-1 самосопряжен (ср. гл. V, § 3). Следова-
тельно, оператор Л = (Л-|~/) — I самосопряжен.
Из спектральной теоремы вытекает следующее предложение.
Л е м м а 3. Если Ak = Л*, k = 1,2, причем разложения единицы
операторов Ak коммутируют, то операторы Лх ± Л2 в суще-
ственном самосопряжены.
Лемма 4. Если оператор В в существенном самосопряжен
а В>0, то /?(/Н-В) = ф.
Доказательство. 1-\-В является самосопряженным поло-
жительно определенным оператором, а поэтому /?(/, + #) = §.
Лемма 5. Пусть — линейное множество, плотное в про-
странстве $, а пусть 7\©с© = ©(7\), k — 1, 2. Предположим,
кроме того, что TicTz и что оператор TiT2 в существенном
самосопряжен. Тогда Т\ = Т2-
Доказательство. Достаточно доказать, что график О(Т*2)
оператора Т2 не содержит отличного от нуля элемента, ортогональ-
ного [в смысле скалярного произведения в пространстве 0(Т2)]
к графику 0(7*1) оператора 7\. Предположим, что этЪ не так: пусть
{и, 0 £ 0(Т*2), т. е. v==T*2U, и пусть {и,	| GTь т. е. (у, w)+(T у, 0=0
для всех у £$). В частности, при у = Т2х тождественно относительно
x£S) имеем: 0 — (Т2х, «) + (Л^*» 0 = (х, 0 + (?iT2x, 0 =
= ((/ 4“7’1Т2)х,0. Однако в силу леммы 4 область значений опе-
ратора 1-\-7\Т2 плотна в пространстве $, потому что 7*iT2^>0.
Следовательно, о = 0, а потому (у, 0 = 0 для всех у £ так
что « = 0.
Введем теперь понятие положительно определенной функции на
(произвольной) группе Q, играющее важную роль в теории представ-
ления групп (ср., например, Наймарк [2]).
§ 8. Признаки самосопряженности представителей dU(L) 259
Определение. Функция G$ g->f(g)£C называется поло-
жительно определенной, если для каждой конечной системы
элементов gx......gn группы О и произвольных комплексных
чисел ...» имеет место неравенство
п
г,й=1
Всякое (слабо) непрерывное унитарное представление U (•) про-
извольной топологической группы G определяет непрерывную поло-
жительно определенную функцию
/ te) °—	(g) V, V), v 6 £>•	(8.4)
Действительно,
2/ (gkgT1)^=2 (и(gn) и~х (gi)v>	=
itk
= (2 (gn) V, 2 W* (gi) <0 > 0-
k	i
После этих приготовлений переходим к выводу результатов
Нельсона и Стайнспринга. Имеет место следующее интересное пред-
ложение.
Лемма 6. Пусть f	(G)— положительно определенная
функция на группе Ли G. Пусть К — элемент обертывающей
алгебры Тогда (K+Kf)(e) ^0.
Доказательство. Дифференциальный оператор К можно
представить в виде
(К<р) (а) = lim 2	ф <gk (N) о)	(<р £ С", а £ О).
7V->oo k
Числа Ck(N) и элементы gk(N) можно выбрать так, что
(К+<р)(а)= lim 2 СAN)<p(g;'(N)o)
N->oo q
И
(о) = Jim 2 С9 (АТ) Ск (АТ) <р	(ЛГ) g;' (AT) о).
Тогда в силу положительной определенности функции f
(K+Kf)(e)=lhn 2 СЛ(АТ)С,(Л0/(^(ЛО^-1 (ЛТ))>0.
17*
200 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
Теперь мы можем высказать следующее утверждение.
Теорема 1 (Нельсон и Стайнспринг). Пусть g->U(g)
(сильно непрерывное) унитарное представление группы Ли G.
Если — гипоэллиптический оператор, то
dU(L+) = (dU (L) )*;
при этом оператор называется гипо эллиптическим,
если каждая функция и, интегрируемая с квадратом на группе
G и обладающая тем свойством, что (Лр, я) = 0 для всех
<p£Cg°(O), имеет производные всех порядков1).
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, именно
предположим, что
1°. L = K+K,	*
Докажем, что в этом случае оператор A=dU(L) является
в существенном самосопряженным.
Ввиду того что dU (•) является представлением обертывающей
алгебры
А = dU (К+К) = dU (К+) dU (К).
Отсюда при и£®
(Аи, u) = (dU(K*)dU(K)u, u} = (dU(K)u, dU(K)u)^0
(см. теорему 2 § 7).
Покажем, что область значений оператора А-\-1 плотна в про-
странстве ф, откуда на основании леммы 2 можно будет заключить,
что оператор А является в существенном самосопряженным. Предпо-
ложим, что вектор v ортогонален к множеству /?(Л-|~/). Тогда для
всех (р £ Со° (О) имеем
0 = (И+/)i/(<p)V, v) = J(i+/)<p(g)(CZ(g)«, v)dg.
Следовательно, так как оператор (гипо)эллиптичен, то
(£+1) (U (g) -о, -о) 4 0, (U (•) V, v) е С°° (О).	(8.5)
Однако функция g-+(U (g)v, v), как нам известно, положительно
определена, поэтому в силу леммы 6
L(U(-)v. tf)(*)>0.
!) Эллиптический оператор является частным случаем гипоэллиптического;
при этом эллиптичность определяется обычным образом, если ввести локаль-
ные координаты.
1
§ 8. Признаки, самосопряженности представителей dU(L) 261
Но при 0 имеем (U (e)v, v) —1| v ||2 > 0, что противоречит со-
отношению (8.5). Таким образом, v = 0.
Переходим теперь к рассмотрению (общего) случая 2°. Пусть
££& — произвольный (гипо)эллиптический оператор. Из п. Г
вытекает, что dU (L+L) = dU (£+) dU (L) является в существенном
самосопряженным оператором. Теперь утверждение теоремы вытекает
из леммы 5 [ибо dU(L+)cz(dU(£))*].
С помощью теоремы 1 мы докажем основную теорему настоящего
параграфа.
Теорема 2 (Нельсон — Стайнспринг). Пусть G^g~>
-+U(g) — унитарное представление группы Ли G. Пусть
L = L+— эллиптический оператор. Если оператор
обладает тем свойством, что оператор dU(M^M) коммути-
рует с оператором dU(£), то dU(M+} — (dU(M)).
Доказательство. Пусть г — натуральное число, большее
порядка дифференциального оператора М, и пусть А == dU (£2г)»
В —' dU(7И+Л4) = dU(7И+)dU(7И). Положим С — А-\-В. Ввиду
того что оператор L эллиптичен, эллиптичен также и оператор L2r,
а следовательно, эллиптичен оператор L2r~p М, ибо порядок
1?Т выше порядка М+М. Таким образом, А и С являются эллиптиче-
скими операторами.
Из теоремы 1 вытекает, что операторы А и С в существенном
самосопряжены. Так как оператор А коммутирует с оператором В,
то он коммутирует и с оператором С. Заметим, что замыкания
А и С обладают перестановочными разложениями единицы. Действи-
тельно, ограниченные операторы (/ + Л)-1 (/-|-С)-”1, (/-(-Q^X
ХС^ + Л)”1 равны на области значений оператора (/ + Л)(/-|-С).
Но (/ -р Л) (/ + С) представляет собой симметрический эллиптический
оператор, а поэтому в силу теоремы 1 является в существенном
самосопряженным. Кроме того, Л + С + ЛС^О и, следовательно
(лемма 4), оператор / + Л -}-С-\-АС имеет плотную область значений.
Итак, перестановочность разложений единицы замыканий Л и С
доказана.
Теперь достаточно доказать, что оператор В — dU (М+) dU (М)
является в существенном самосопряженным. Действительно, если мы
это докажем, то, учитывая включение dU(M+)cz(dU(М))* и применяя
лемму 5, получаем утверждение теоремы. Положим В1 = А — С.
Из спектральной теоремы следует, что Вх является в существенном
262 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
самосопряженным. Теперь достаточно проверить, что —BjcB, так
как симметрический и замкнутый оператор В» будучи замыканием
самосопряженного оператора —Вр является самосопряженным.
Пусть v ^©(В!)?=©(Л)П©(С)- Из замкнутости оператора С
вытекает, что существует такая последовательность (vn), что
® Э vn	Cv*	(*)
Для произвольного элемента	выполняется неравенство
Я Аи || < ||Ся||; действительно, так как A = dU(Lr)dU(Lr), то
(Си, Си) = ([А^В]и, [Л + В]я) = || Д//||2+ ||Ва ||2 +
-\-2(В dU (Lr) и, dU(Lr)u).
Здесь второе и третье слагаемые неотрицательны (ибо В^О),
а поэтому || Аи ||<J| Ся||. Полагая u — vn— vm, имеем
|| Av„~ Л®т||<|]Сг>„ — Сг»т||->0 при т>п->оо.
Следовательно, последовательность (Avn) сходится, а так как опера-
тор А замкнут, то
Avn->Av.	(**)
Из соотношений (*), (**) вытекает, что
Bvn = Cvn — Avn -> Cv — Av = — Bxv,
а поэтому —B1v = Bv, т. e. — BjcB, на чем доказательство за-
канчивается.
Из доказанной теоремы вытекают важные следствия.
Следствие 1. (Обобщение теоремы Э. Сигала.)
Пусть О — произвольная группа Ли, Если М — элемент центра
алгебры S (т. е. М коммутирует с каждым элементом
алгебры S), то dU (M*) — (dU (Л1))*. В частности, если М = М+,
то dU (М)— в существенном самосопряженный оператор.
Доказательство очевидно, поскольку оператор М коммутирует
с эллиптическим оператором, принадлежащим S.
Следствие 2. Пусть О — абелева или компактная группа
(тем самым в S существуют центральные симметрические
элементы). Тогда для каждого элемента имеет место
утверждение следствия 1.
Следствие 3. Пусть G — полупростая группа Ли (это
означает, что алгебра Г является полупростой). Из теории
полупростых групп известно, что группа G содержит максимальную
компактную подгруппу К (отличную от тривиальной подгруппы е).
Признаки самосопряженности представителей dU(L)
263
Центральный элемент второго порядка алгебры S называется опера-
тором Казимира и имеет вид Д14-Д2, где является центральным
эллиптическим элементом алгебры подгруппы К. а оператор Ai -1- Д2
эллиптичен на группе О. Для каждого оператора	ком-
мутирующего с оператором Aj (а, следовательно. также
с A1-j-A2), имеет место соотношение
dU(M+) = (dU(M)')*.
Дальнейшие применения мы приведем в дополнениях.
Пусть — группа Ли, содержащая данную группу Ли О
в качестве подгруппы, и пусть Э gi -> Л (g*i) — представление
группы Пусть ?(•) есть сужение представления Т\(*) на
группу О. Пространство Гординга представления 7\(*) часто
бывает полезным ввиду следующего факта.
Лемма (Нельсон — Стайнспринг). Пусть g-+T(g) —
сильно непрерывное представление группы Ли G в банаховом
пространстве 2J и пусть А — линейный оператор (в про-
странстве представления), обладающий следующими свойст-
вами*.
1° его область определения ®(Д) плотна и инвариантна
относительно операторов Т(<р), ф£Со°(С);
2° 4(Т(ф)и) = Т(£ф)г1 при <о£Ъ(А). где
Тогда АтэбТ^Ь).
Доказательство. Пусть	п->оо. Для
каждого ф£Со°(0) имеем
А (Т (Ф) vn) — T(Lq)vn->T(£Ф)v.
что доказывает наше утверждение.
Читатель заметит, что предположения леммы будут выполнены,
если положить Д = 6?Т1(£), 55(24) = ©^ Все три следствия пере-
носятся на случай операторов А, заданных на пространстве Гординга
®1 представления объемлющей группы ОР В частности, имеем
следующее важное предложение.
Следствие 4. Если X — элемент алгебры Ли Г группы
Gx. а р — какой-либо вещественный многочлен, то оператор
dU(p(lX)) в существенном самосопряжен.
Доказательство. В качестве G возьмем однопараметриче-
скую группу, порожденную элементом X. Наше утверждение выте-
кает из следствия 2 и леммы. В частности, IX является в существен-
ном самосопряженным оператором.
264 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что всякая положительно определенная функция f
на группе G обладает следующими свойствами:
а) /(е)>0. b) /(g-!) = 7(i). с) |/(£)| </(*).
Указание. Полагая в определении положительной определен-
ности функции /	= g2 — e, Х1 = 1,	= получаем нера-
венство
Соотношение а) получается при А, = 0.
В случае соотношения с) рассмотреть две возможности: / (е) = О
и f{e) > 0.
2. Доказать следующую теорему. Пусть g->U(g) — сильно
непрерывное представление группы Ли G. Пусть оператор L £ S
обладает тем свойством, что {dU (Ь)УхаВ, где В — вполне непре-
рывный оператор. Тогда для каждой функции /^//(О) оператор
U (/) является вполне непрерывным.
Указание. Заметим, что при <p£Co°(G) имеет место равенство
U (ф) — BU (£ф) (см. примечание на стр. 255). Для получения утвер-
ждения теоремы достаточно аппроксимировать оператор U (/) опера-
торами вида U (ф).
ДОПОЛНЕНИЯ
1. Приведенный ниже пример показывает, что не всякий пред-
ставитель dU (£) симметрического оператора £ = является
в существенном самосопряженным.
Пусть G — трехмерная группа (коммутационных соотношений
Гейзенберга) вещественных матриц вида
1 а Ь\
О 1 с I
0 0 1/
В качестве пространства представления возьмем пространство L2 (f1).
Рассматриваемая группа обладает (неприводимым) представлением,
производящими операторами которого являются djdx, ix и /. Сле-
довательно, обертывающая алгебра представляется всевозможными
дифференциальными операторами с полиномиальными коэффициентами.
Как известно, среди них имеются симметрические операторы с раз-
личными индексами дефекта.
Теперь мы приведехМ (без доказательств) ряд результатов
Э. Нельсона, имеющих важное значение в квантовой теории и
теории представлений групп.
Дополнения
265
Как известно, алгебра Ли ® определяет с точностью до изомор-
физма односвязную группу Ли О, имеющую ® своей алгеброй Ли.
Нижеприводимая теорема содержит условие, достаточное для того,
чтобы заданная алгебра Ли кососимметрических операторов Г (опе-
ратор А называется кососимметрическим, если оператор !А является
симметрическим) индуцировала единственное унитарное представление
группы Ли G.
Теорема (Нельсон). Пусть Г — алгебра Ла кососим-
метрическая операторов в гильбертовом пространстве
обладающих общим инвариантным линейным многообразием ®,
плотным в пространстве Пусть Хх..............XN — базис
алгебры Г и пусть
д0=^х?+...+^.
Предположим, что оператор А в существенном самосопряжен.
Тогда на пространстве $ существует единственное представ-
ление G^g-+U(g) группы Ли G, для которой Г является
алгеброй Ли, такое, что для каждого X £Г имеет место
равенство dU(X) = X.
Ниже приводится следствие, в котором мы освобождаемся
от предположения о том, что существует плотное множество, инва-
риантное относительно алгебры Г.
Следствие 1. Пусть Г — вещественная алгебра Ли и
пусть Г£Х->П(Х) — представление алгебры Г кососим-
метрическими операторами П(Х). Это означает, что сущест-
вует плотное линейное подмножество Осф, такое, что для
любых X, ЕСТ, ®(II(Ar)II(K))oQ, отображение П линейно и
П([Х, Г])а = ПС¥)П(У)« — П(Г)П(Х)н, u£Q.
Пусть, далее, ХГ	XN — базис алгебры Г и пусть суже-
ние А оператора П(Х1)2-|- ... -|~П(Л’Л)2 на множество Q
является в существенном самосопряженным. Тогда существует
единственное унитарное представление g-+U (g) группы Ли G,
имеющей Г своей алгеброй Ли, такое, что
йи{Х) = ЩХ)
для всех X £ Г.
Будем говорить, что самосопряженные операторы А и В сильно
коммутируют, если коммутируют их разложения единицы (или, что
эквивалентно, коммутируют их преобразования Кэли СА и Св).
266 Гл. X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
Если это имеет место, то оператор С = А 1В называется нормиль-
ним. Следующее следствие содержит важный признак сильного
коммутирования, а следовательно, нормальности оператора.
Следствие 2. Пусть А а В — симметрические операторы
в пространстве ф и пусть Q — линейное плотное подмноже-
ство в £>, обладающее следующими свойствами:
Г Q содержится в областях значений операторов
А, В, АВ, ВА, А2, В2,
2° АВи — ВАи для всех u£Q.
Если сужение оператора А2-}-В2 на множество Q является
в существенном самосопряженным, то операторы А и В в су-
щественном самосопряженные и их замыкания А и В сильно
коммутируют.
Доказательство вытекает непосредственно из следствия 1: доста-
точно выбрать в качестве Г двумерную алгебру Ли Г, натянутую
на X, Y, и положить
П(аХ-НГ)°= 1(аА + ЬВ), а,
Предыдущие признаки содержали достаточные условия сущест-
вования унитарного представления. Следующая теорема дает не-
обходимое и достаточное условие.
Следствие 3. Пусть Xv ...» XN — базис вещественной
алгебры Ли Г односвязной группы Ли G и пусть ©— линейное
плотное многообразие в гильбертовом пространстве Пусть
Г^-V—>П(Х) — представление алгебры Г на множестве ©
кососимметрическими операторами. Тогда унитарное пред-
ставление g-+U(g) группы Q в пространстве ф, для которого
© является множеством бесконечно дифференцируемых векто-
ров1) и для которого dU(X) == П(X), Х£Г, существует тогда
и только тогда, когда оператор
д°^П(^1)2+ ... +П(Л„)»
является в существенном самосопряженным и ©= П ©(Лл).
л=1
’) Вектор v называется бесконечно дифференцируемым, если функция
на группе U (g) v со значениями в $ бесконечно дифференцируема в сильном
смысле.
Дополнения'	267
Исходя из следствия 2 и теоремы Сигала, получаем следующее
предложение, полезное в теории представления групп Ли.
.Теорема 2 (К. Морен). Пусть G^ g-^U(g) — унитарное
представление группы Ли О и пусть Z—центр обертываю-
щей алгебры $ {центром алгебры & называется подмножество
элементов S, коммутирующих с каждым элементом g). Тогда
для любых симметрических элементов Lt M£Z самосопряжен-
ные операторы dU (L) и dU (М) сильно коммутируют.
Очевидно, каждый оператор вида dU (£) коммутирует с каждым
оператором U (g), g £ G.
ГЛАВА XI
Основная теорема о слабых решениях
эллиптических систем. Функция Грина
В § 1 мы приводим определение слабого решения эллиптической
системы, а также доказательство так называемой основной теоремы
о слабых решениях. Применяя основную теорему, в § 2 мы дока-
зываем теорему Браудера об итерациях резольвенты самосопряжен-
ного расширения эллиптического оператора. В § 3 изложено совре-
менное определение функции Грина как ядра резольвенты. Оказыва-
ется, что так определенная функция Грина обладает всеми свойствами
классической функции Грина.
§ 1.	Основная теорема
Определение. Слаб ым решением системы А и = т), где
— заданная функция из Z,2’г(йл) (йл— область «-мерного простран-
ства, возможно, и неограниченная), мы будем называть функцию
для которой
(м, Л+ф) = (т], ф) для всех ф£Со’г(Йл),	(1.1)
где о—порядок дифференциального оператора А, а Д+—оператор,
формально сопряженный с оператором А. [В этом определении
можно ограничиться функциями ф класса С^°’r (йл).]
Классическое решение [принадлежащее классу Са’г(Йл)] является
слабым решением, так как если Аи = х\, то (Аи, ф) = (т|, ф) и,
производя соответствующее интегрирование по частям, получаем со-
отношение (1.1). Однако слабое решение может не быть дифферен-
цируемым, и поэтому, вообще говоря, оно не является классическим
решением.
Применение методов гильбертова пространства к теории диффе-
ренциальных уравнений часто приводит к получению слабых реше-
ний. В связи с этим возникает важный вопрос о том, при каких
условиях слабое решение является классическим. Следует обратить
внимание на то, что, поскольку слабое решение определено с помощью
скалярного произведения в L2’ т (йл), т. е. с помощью интегрального
тождества, его изменение на множестве меры нуль не нарушает его
свойства „быть слабым решением". Другими словами, слабое решение
определено лишь с точностью до множества меры нуль или, иначе
§ 1. Основная теорема
269
говоря, слабое решение — это класс интегрируемых функций,
удовлетворяющих тождеству (1.1).
Поэтому поставленный выше вопрос следует понимать в том
смысле, что требуется выяснить, когда слабое решение почти всюду
совпадает с гладкой вектор-функцией, точнее с вектор-функцией из
Ca,r(Qn) (как обычно, Са,г(йл) обозначает совокупность г-мерных
векторных функций на Qn, для которых существуют и непрерывны
все производные порядка^ о). В дальнейшем мы будем говорить,
что данное слабое решение является решением класса /С, если оно
эквивалентно элементу из класса /С
После этих приготовлений можно высказать следующую теоремух).
Основная теорема (о слабых решениях эллипти-
ческих систем) (К. Морен [2]). Пусть
Аи°— S аа(x)Dau = <r]	(1.2)
— эллиптическая система г уравнений с гладкими коэффици-
ентами. Мы предполагаем, что элементы матрицы аа = (х)),
I, £ = 1, ..., г, принадлежат классу Ca+|al(Q„) при | а | < о,
а при |а| — о — классу Стах(а+2,2а)(Оя). По определению эллип-
тичности det(aZjfe(x, £))#=0 при х£йл и вещественных |	0;
при этом aik(x, %) = 2 «“*(*)(|° =	... £“»). Для каж-
о	|а| = а	о
дой точки х£Йя существует такая окрестность U*(x) [на-
о	о
пример, тар &£*(х, е) с центром х и радиусом 8] и две квад-
ратные матрицы г(х, у) и s(x, у) порядка г, заданные на
множестве £/е (х)Х (х), что если и — слабое решение системы
Au = t\, где i]^L2,r(Q„),
то
о
а)	почти всюду в е%*(х, 8/2) имеет место равенство
«(У)= J u(x)r(x, y)dx-[~ f i\(x)s(x, y)dx,
Х(х,е)	Х(х,в)
где
г	г
Z \ 0ПР» VI	Z X 0ПР» VI
(«')/ = £“vrvb
!) Первые результаты относительно гладкости внутри области слабого
решения эллиптического уравнения принадлежат С. Л. Соболеву, Катчио-
ноли, Г. Вейлю. Общие утверждения относительно внутренней регулярности
получены различными методами рядом математиков: Л. Шварцом, Фридрих-
сом, Браудером и др. — Прам. ред.
270 Гл. XI. Основная теорема о слабых решениях эллиптических систем
Ь)	если в>п/2» то я£С/,г(йл), 1 = [а—п/2];
с)	если х]£С1,г (£2Л) (достаточно даже, чтобы выполнялось
условие Гёльдера), то u^Ca,r(Qn) и является классическим
решением уравнения Аи — ху,
d)	матрица г регулярна, т. е. rlk^Ca,r(q%*(x,&) Хе%*(х, е)),
а матрица s(x, у) имеет особенность вдоль диагонали х = у,
точнее»
Л а. Л а -J р. Л 0Я £ ^л+|а|+| 01-<Х<2^	е^’
дх,1 ... дхУду^р ... дурп 1 1 |Р1
1	П ' I	' П
где RP(U) означает класс квадратных матриц порядка г,
элементы о/й(х, у) которых непрерывны eU\U вне диаго-
нали; при р > 0, или р = 0, или р < 0 функции соответственно
®1к(х> У)1|х —у||р. или ®ik(x' У)/1пIIх — У ||» «•«« у) явля-
ются равномерно ограниченными.
Замечание. Прежде чем переходить к доказательству, обратим
внимание на то, что утверждения Ь) и с) являются следствиями
предложения а): интегралы в правых частях формулы в п. а) обла-
дают свойствами, перечисленными в п. Ь) и с).
Читатель, знакомый с теорией эллиптических уравнений, заметит,
что матрица s(x, у) обладает свойствами фундаментального реше-
ния системы Аи = 0 ^например, фундаментальным решением уравнения
п
Лапласа 2 (Ри/дх^ = 0 является функция С || х — у ||2-л, п > 2 .
Доказательство основано на следующем результате Я. Б. Лопа-
тинского [1].
Лемма. Для каждой точки х £ йл существуют окрестность
е2Г(х, е) и квадратная матрица со(х, у) порядка г (норми-
рованное фундаментальное решение системы A*u = ty, обла-
дающие следующими свойствами*.
dlal+IPto
, а, _ а„ ~ 0, х 0„
<4 • » • дх^ду^ • • • ду„»
€/?в+(а|+|₽|-а (еЯГ (х> е)) (|<*|=<*i—Н • • •
• ••+«„)»	(1.3)
причем для каждого хЕС1,г(£2я) имеет место равенство
ау f ® (х. у) X (х) dx = е (у) х (у).	(1.4)
где 7®в — такое открытое множество, что Т‘пс.^,{х, е), а
( 1 при xQTn,
= 1 0	при
§ 1. Основная теорема
27)
Доказательство основной теоремы. К пунктам а)
и d). Из определения слабого решения вытекает тождество
J «(х) Atty(x)dx=. J	ipgCo’ r(<s%'(x, e)).
X(x, e)	X(x, e)
(1-5)
Пусть
где
причем
Имеем
ф(х)= J Ре(||у — х||)о(х, у)ф(у)йу,
Х(х, е/2)
ф € Со0’ Г (Ж {X, 8/2) ), Ре € С°° (О, ОО),
Ре(О =
О при
1 при
ф(х)= У [р8(||х — у||) — 1)®(х, у)ф(уИу +
ЯГ (л, е/2)
4- у <в(х, у)ф(у)<*у-
Ж(х, е/2)
В силу (1.4)
Лж<р(х)= у л£{[ре(||х — у||)— 1]©(х, у))ф(у)<*у4-е(х)<р(х).
ЯГ (х, е/2}
(1.6)
На основании теоремы Фубини и тождеств (1.5) и (1.6)
У t)(x)i|)(x)dx =
Х(х, е)	______________________________________
= У nW У ре(11* —У||)<й(х, у)ф(у)йу«/х =
е)	ЯГ (ж, е/2)
= У У nWp8(ll*—y||)®W у)^1ф(у)^у==
ЯГ (Jr, е/2) е)	. J
= у и(х) Ф(х)й1х =
ЯГ (х, г)
~ у и (х) е (х) ф (х) dx— у а(х) Г j' г(х, у)ф(у)</у 1 dx,
ЯГ(ж, е)	ЯГ(л,в)	е/2?	-I
272 Гл. XI. Основная теорема о слабых решениях эллиптических систем
где
г(х, у) = — Лх{[р8(||х — у||) — 1]а>(х, у)}.
о
Поскольку носитель функции ф(х) лежит в (х, е/2), а на
(х, е/2) имеем я(х)=1, то
J И (у) ф(У) dy= f J т) (х) ре(||х — у ||)®(х, у)dx ] X
X (х, е/2)	X (х, е/2) L ж (х, е)	J
Хф(у)</у+ J / «(x)r(x. y)dxl<p(y)dy.
Х(Д е/2) (Д е)	J
Полагая
Ре(||* — У 11)®(х. y) = s(x, у),
получаем
«(У) = J* !](•*)$(*• y)rfx+ J* «(x)r(x, y)<Zx
УС (х, е)	УС (х, 8)
°	(Т т	°
почти всюду в е2Г(х, е/2), ибо множество Со (е2Г(*» е/2)) плотно
в пространстве А2, т (х, е/2)).
Из свойств матрицы <о(х, у) немедленно вытекает, что матрицы
г(х, у) и $(х, у) обладают свойствами, указанными в пункте d).
К пункту с). На основании классических свойств интегралов
типа потенциала заключаем, что правые части формулы в а) принад-
лежат классу Са’т в каждом достаточно малом шаре, а потому и
во всем множестве £2л.
К пункту Ь). Поскольку г — регулярная функция, то доста-
точно доказать, что
g (у) °— / nU)«(х, у) dx € С1'т.
и
Другими словами, достаточно доказать, что
г
g^ = ^ f ^(х)8у1(х, y)dy£Cl.
v==l и
Следовательно, тебрема будет доказана, если мы покажем, что ка-
ждое слагаемое в последней сумме принадлежит классу С1. В связи
с этим мы рассмотрим интеграл вида
А(у) = J* tf(x)x(x, y)rfx,
и
§ 2. Следствия основной теоремы о слабых решениях	273
где v£L2(U), £>“т(х, у)£Яя+1а|-а- Пусть п + |а|—а<«/2 и
пусть
Л°(У) — f v(x)DyX(x, y)dx,
и
Л? (у) — f ” (х) [1 — Р6( II х — у ||)] Dayx (х, у) dx.
и
Из неравенства Шварца получаем
|й“(у) —Аб(у)| = |/г»(х)р6(||х —y||)DyT(x, у) dy |< || v ||	,
и
где £i = const>0 и £б->0 при 6->0. Поскольку йб£С°({7), то
ha£C°(U), если | а | < о—п/2.
Остается еще доказать, что ha (у) = Dy h (у). Доказательство пс
индукции проведем для случая |а| = 1; докажем, например, что
J-h{y) = ^v{x)~x{x. y)dx.
и
Интегрируя правую часть по ух в пределах от а до b и меняя
порядок интегрирования (применяется теорема Фубини), получаем
ь
/А’(У1.....УЯМУ1=/f(x)[T(x; а. у2.........у„) —
а	и
— т(х; Ь, у2......yn)\dx = h(a, у2.....Уя) — h(b, у2........у„)
для почти всех у2» • • •» Ул» поскольку, как это было показано выше,
обе части равенства непрерывны, оно имеет место всюду. Меняя bt
на основании классической теоремы интегрального исчисления полу-
чаем
у)dx = (у)=-^7h(у)-
Доказательство основной теоремы закончено. ’
§ 2.	Следствия основной теоремы о слабых решениях
Предположим, что оператор А формально самосопряжен, т. е.
А = Д+. Обозначим через До сужение оператора А на множество
&(Ло) = Со°’г(Йл). Очевидно,	где построен относительно
пространства £2* т (2„). Пусть
Ло«(-. 0°-А(*- О-
18 К. Морен
274 Гл. XI. Основная теорема о слабых решениях эллиптических систем
где и( • , t)— некоторая функция из О(Ло). Функция и(х, t) является
слабым решением уравнения Ахи(х. /) = А(х, /).
Теорема 1. Если «(•, /) и Л(*, /) обладают сильной
[в смысле пространства £2, Г(2Л)] непрерывной производной на
отрезке [а. Ь} и
«(у, /) —* J и(х. f)r(x. y)dx+ J Л(х, t)s(x. y)dx.
Qn	Qn
то при a — n/2 > 0
1°. «(.. /)6CZ,r(2B) (/ = o-n/2).
2°. u(y,	Я).
Доказательство. Соотношение 1° является непосредствен-
ным следствием предложения, содержащегося в § 1.
К пункту 2°. Поскольку по предположению о—п/2 > 0, то
sik> rik€Rn-o(Un), где п — в<п/2, и, следовательно, slk. rikQ
£ L2 (С7Д). Отсюда вытекает, что при фиксированном х оба интеграла
являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра /;
фактически мы используем лишь слабую дифференцируемость функ-
ций и ( • , t) и h (•, t). Теорема доказана.
Этой теоремой мы будем пользоваться в гл. XVIII.
В качестве второго следствия приведем важную теорему, прина-
длежащую Браудеру.
Теорема 2. Если Аг — самосопряженное расширение опе-
ратора Ло {являющегося сужением формально самосопряжен-
ного эллиптического оператора порядка а с достаточно глад-
кими коэффициентами), то оператор
{Ax — iiym = [R{l\ ЛОЛ	т>п/2о
является ограниченным интегральным оператором типаКар-
лемана. Это означает, что существует такая матрица
У)»	°ik (*» •) 6 & Фя) пРи	причем если
v6£2'r(Q«). то имеет место равенство
Т
[(Xi — /Z)“ravL(x) = 2 J У)**(УМУ-
Доказательство. Поскольку число I не принадлежит спектру
оператора Аг. то (Ах — 1Г)"1— ограниченный оператор, а поэтому
|| (Л| — Z/)"w|| < оо при /п>0.
$ 3. Функция Грина и ее свойства
275
Положим и °= (Л1 — U)~mv\ тогда	— 1Г)ти = v, а так как
ДоэЛ1, то и является слабым решением эллиптического уравнения
(А__U)mu = v порядка то >	= у. Следовательно, для каждой
точки х существует шар ^{х, е) и такие две матрицы г(х1у),
$(х, у), что при х^еЯ^х, е)
Г	Т
и}(х) = ^ J uk(y)rki(y,	J Vk(y)ski(y, x)dy.
**1Х1х,г)	k=1X(x,e)
Поскольку
na	n n
n — ma<n —
TO
Гц(х, •). «<»(*.	e)).
Следовательно, на основании неравенства Шварца
I M*)I<C[|I«II + IMI 1 = С[||(Л—*/)”М+М]<
<С[1 + ||(Л1-/7)-'и||].||сф
Поскольку
то для каждой точки х £	(х, е) и каждого значения индекса I
величина (х) является линейным функционалом от элемента
£ £2»г (£2Я). Следовательно, на основании теоремы Рисса — Фреше
существует такое Hlt x£L2,r (Qn), что zzz (х) = (у, Ht< х); полагая
Ol/t(y, х)°= (//Z>X)A (у),
получаем
г
Ui(x)= f^vt(y)Oik(y, x)dy.
°п *Я1
О
Поскольку х— произвольная точка, теорема доказана.
Подчеркнем, что 2Я в этой теореме может быть и неограничен-
ной.
§ 3. Функция Грина и ее свойства
Для упрощения записи в настоящем параграфе мы будем рассма-
тривать только дифференциальные операторы, хотя доказательства
излагаемых здесь теорем переносятся без всяких изменений на эллип-
тические системы.
18*
276 Гл. XI. Основная теорема о слабых решениях эллиптических систем
Читатель, знакомый с классической теорией эллиптических урав-
нений, знает, какие серьезные трудности встречаются при доказа-
тельстве существования функции Грина уже в случае простейшей
краевой задачи — задачи Дирихле. В настоящем параграфе мы при-
водим современную1) формулировку определения функции Грина и
рассматриваем ее различные свойства2).
Пусть А— 2 aa(x)Da— формально самосопряженный эллип-
|а|<а
тический оператор с коэффициентами, регулярными в области йд.
Предположим далее, что о > п/Ч и что сужение Ло оператора А на
С°о(2л) обладает самосопряженным расширением Л1 = Xiz>X0- Пусть
А = 2 аа (х) Da, Е)а — —--------___ # Легко видеть, что опера-
дх^...дх^
тор А также формально самосопряжен, а оператор Лр заданный
соотношениями D (Д^ = {/ : / £ D (Л^}, Axf = Axf при f £D (Xj),
— опр.
где f(x) = является самосопряженным расширением опера-
тора Л0(Я(Л) = С“(£Ш
В соответствии с теоремой 2, § 2, резольвента /?(1, Hj) опера-
тора является интегральным оператором с ядром типа Карлемана
0(1; х, у)
(Л1-1/)-1/(х)= / 0(1; х, y)f{y)dy.	(3.1)
о»
Определение. Ядро G(X; х, у) в формуле (3.1) называется
функцией Грина оператора ДР
Функции, принадлежащие области определения оператора Др
удовлетворяют некоторым самосопряженным „краевым условиям",
например в случае ограниченной области £2Д— обобщенным условиям
Дирихле или Неймана. Если область йд неограниченна или совпа-
дает со всем пространством Еп, то эти условия касаются и поведе-
ния функций на бесконечности. В связи со свойствами функции
Грина см. также гл. XIV. Покажем теперь, что функция G обладает
свойствами, которыми должна обладать функция Грина в классиче-
ской теории дифференциальных уравнений.
!) Излагаемым здесь подходом автор обязан письменному сообщению
Л. Гординга.
2) Без налагаемого ниже предположения о > п/2 функция Грина изуча-
лась вплоть до границы области Ю. М. Березанским и Я. А. Ройтбергом.
Изучение функции Грина классическими методами вплоть до границы урав-
нений второго порядка в ограниченной области проводилось В. А. Ильиным
и И. А. Шишмаревым. — Прим» ред.
§ 3. Функция Грина и ее свойства
277
Теорема 1. Функция Грина обладает следующими свой-
ствами*.	________
Г. О (К; х, у) = О(Х; у, х) (так называемая симметрия
функции Грина)*,	__
2°. (Ах — X)G(X; х, у) = (Ду— Х)О(Х; х, у)=0 при х=/=у;
3°. Функция Грина удовлетворяет самосопряженным гра-
ничным условиям.
Последний пункт следует понимать следующим образом. Пусть
х — фиксированная точка области Qn. Тогда для каждой бесконечно
дифференцируемой функции яр, равной 0 в некоторой окрестности
точки х и равной 1 в некоторой граничной полоске, имеет место
соотношение
Ч>( - )О(Х; X, OCOcJi).
Доказательство. К пункту Г. Мы знаем, что оператор
((Дг— V)-1)* обладает ядром О (А,; у, х). Но Л1 = Л*, поэтому
((д!— %/) J =(-<4, — V)-1, откуда и вытекает наше утверждение.
К пункту 2°. При <p^Co(Qn), очевидно, имеем (Ах — М)ф =
= (А — Х/)(р. Следовательно, в силу формулы (3.1)
<р(х) = (Д1 —	— 1/)ф)(х) = J О(Х; х, у)(Ду — l)<p(y)dy.
Qn
Пусть теперь фЛ £ C<j (£2Л) — функция, равная нулю в некоторой
окрестности точки х; имеем
f О(Х; х, у)(Д —%)фж(у)^у = 0 = (0, Фж)
У	Jx
278 Гл. XI. Основная теорема о слабых решениях эллиптических систем
и по теореме о слабых решениях
(Лу— Л)О(Х; xt у) = 0 при х=£у,
что и требовалось доказать.
К пункту 3°. Пусть х £ Qn, ф £ Со°(£2л) и ф (у) = 1 в некоторой
окрестности точки х. Положим /== {у :ф(у) = 1}, R= {у :ф(у)=£0,
ф(у)¥=1}- Тогда найдется такая функция Ф16Со°(2л)» что если
Л = {У'Ф1(У) = 1}. Я1 = {у:<Р1(у)=£0. <Р1(у)¥=1}. ТО xCint^c
с J, (J RxcJ.
Таким образом, на заштрихованных кольцах R и Rx (см. рис. 2)
имеем
Ф =# О	и	<р	1	на	R,
<₽! ф 0	и	ф1	1	на	Rx.
опр.
Достаточно доказать, что для функции ф — 1 —ф имеет место
формула
ф (• )О(Х;х, •) С D (Лх — X/) = D (В) = D (Л^,	(3.2)
где В = АХ — 1/, В' — Ах— V; формула (3.2) будет доказана, если
нам удастся показать, что при f£D(B) справедливо тождество
/о(Х;л,у)Ф(у)В/(у)</у = - f х, у)Ф(у)]/(уМу. (3.3)
°л	ап •
В самом деле, соотношение (3.3) может быть переписано в сле-
дующем виде: (ф( •) О(Х; х, • ), В/)=—(B'G(X; х, • )ф(•),/), и если
оно выполняется для всех f£D(B), то по определению сопряжен-
ного оператора имеет место (3.2).
С этой целью заметим, что при f£Cmf]D(B)
f а (Л; х, у)ф(у)В/(у)= f В'[О(%;л?,у)ф(у)]/(у)^у+/(х). (8.4)
О	Й
л	п
Действительно, левую часть последнего тождества можно записать
в виде
J ОфВ[(1 — Ф1)/]</у 4- J ОфВ(Ф1/]</у.
°п	°п
Но так как
в;о км х, у)ф (у)] [1 —Ф1(у)] = (Лу-Л)[(О(М х.У)ф (У)1 (1 ~Ф1(У)))^0
Функция Грина и ее свойства
279
только при и» кроме того, <р1 = 0 на R, а на J ср — 1, то
имеем
J G<pB[<Pi/]dy == J 0В[ф1/1^ = (ф1/)(х) = /(х),
ап	°Л
а также
/ ОфВ[(1— Ф1)/]^= /В'[(7ф](1— Ф1)/</у = /в'[Оф]/^у.
ап	ап	ап
Таким образом, формула (3.4) доказана.
Из теоремы о слабых решениях нам известно, что B~'h£СОТ(£2Л),
если	Из определения функции Грина вытекает, что
В“1Л(х) = (Л1 —Х/)-1А(х) = J О (А,; х, у) h (у) dy, (3.5)
причем равенство имеет место для всех значений х, так как обе
части равенства непрерывны. Положим теперь в формуле (3.4)
f = B~{h. Принимая во внимание равенство (3.5), а также равенство
ф=1—<р, получаем формулу
- |О(Х; х, у)Ф(у)Л(уМу = f ВЯО(Х;х,у)ф(у)]В-1Л(у)йу. (3.6)
Q/l	%
Поскольку при фиксированном х обе части являются непрерывными
функциями переменной h (ибо J|Gip|2dy<oo) и множество С1 (£2Л)
плотно в £2(£2Л), формула (3.6) верна для всех й££2(£2л) и x£Jv
Полагая f = B~ihQD(B)t получаем (3.2). Теорема доказана.
Замечание. Рассмотренные выше свойства функции Грина
потребуются при доказательстве спектральной теоремы Кодаира
(гл. XVII, § 11).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что элементы множества D (Л i) принадлежат
классу С’’ Г(2В) при р > ~ +1.
2. При каких предположениях слабое решение уравнения
Apu(xt f) = h(x9 t) обладает следующими свойствами:
«(•.	ч{х. .)€C?,r((a. b))t
Контрольный вопрос. Справедливы ли теоремы настоящей
главы для обыкновенных дифференциальных уравнений? (Указание:
рассмотрите функцию Грина.)
ГЛАВА ХП
Метод самосопряженных расширений
Эта глава состоит из двух частей. В первой из них (§§ 1 и 2)
излагается сравнительно простой способ доказательства теорем суще-
ствования для эллиптических формально самосопряженных операторов
в ограниченных областях, основанный на методе самосопряженных
расширений. Здесь же рассмотрены и задачи на собственные значения.
Во второй части (§ 3) мы реферируем важные результаты М. И. Вишика
относительно классификации краевых задач.
§ 1.	Задача Дирихле
В этом параграфе, основываясь на теореме Фридрихса — Стоуна —
Винтера и основной теореме о слабых решениях эллиптического
уравнения, мы докажем весьма общую теорему существования реше-
ния краевой задачи (с самосопряженным граничным условием) для
неоднородных уравнений Аи — f.
Будем действовать по следующей схеме.
Пусть А = А+ — формально самосопряженный оператор]) эллип-
тического типа, такой, что его сужение AOi D (До) = С™ (Qn) является
отрицательно определенным оператором, т. е. —(4ф, ф) ц (ф, ф)
для всех ф £ С£° (QZI), причем р, — положительная постоянная, не
зависящая от ф. Рассмотрим теперь самосопряженное отрицательно
определенное расширение (по Фридрихсу) оператора До : (Л)* = ЛэД0.
Мы знаем, что область значений оператора А совпадает со всем про-
странством [в нашем случае — с пространством £2(йл)]; следова-
тельно, уравнение
Aa = f	(1.1)
однозначно разрешимо. Относительно функций из множества D(A)
говорят, что они удовлетворяют обобщенному условию Дирихле
(ср. § 3).
Решение й = Л уравнения (1.1) является элементом простран-
ства £2(ЙЛ); для того чтобы функция u — A~xf была классическим
!) Аналогично могут быть рассмотрены эллиптические системы. Мы
предлагаем читателю внести соответствующие изменения.
§ 1. Задача Дирихле
281
решением, т. е. функцией класса С° (Qn), где а — порядок оператора,
достаточно, чтобы правая часть уравнения (1.1) принадлежала классу
СЦЙд), а коэффициенты оператора А были достаточно гладкими.
Как нам известно, AqZdA^ откуда Aa = Aou = f и, следовательно,
A~xf является слабым решением уравнения Au = f. Но в наших
предположениях по основной теореме о слабых решениях слабое
решение Л"1/ является классическим решением. Мы пока что не ка-
саемся вопроса о граничных условиях.
Заметим в заключение, что в наших предположениях относительно
оператора А (обобщенная) задача Дирихле однозначно разрешима
при „произвольной" правой части /, а также для произвольных
(ограниченных) областей. Относительно границы мы ничего не пред-
полагали.
Проиллюстрируем теперь эту схему на примере оператора вто-
рого порядка. Пусть оператор А имеет следующий вид:
п
Аи (х) =	-Д’ [«/* (х)	(*)] + с (х) и (х),
I, k=i
где aM(x) = aw(x) и
причем н — положительная постоянная, зависящая лишь от ограни-
ченной области Йл, а с (х)	0. Мы докажем, что сужение Ло опера-
тора Л на бесконечно дифференцируемые функции с компактными
носителями, лежащими в □л(0(До) = СГ(0„) ), отрицательно опре-
делено. Другими словами, мы докажем существование такой постоян-
ной р. > 0, что
— (Лф. ф)>р(ф, ф) для всех ф£С“(йл).	(1.2)
Доказательство неравенства (1.2). Если ф£С”(£2л), то
— (Лф, ф) =
п
2	<х)+с(%)1ф wi2
п	___
п
> ” J 215-« Г ” I * I! > 7«Ч> IP=f II ч-IP
“л i=i
282
Гл. XII. Метод самосопряженных расширений
[ср. (2.1)], где
п
2Л / = 1
что и требовалось доказать.
Исследуем еще область определения расширения по Фридрихсу А
оператора До. Мы видели, что
П(Л) = О(Л^Лфл..
где ф. —пополнение множества D (Ло) = Со°(Ол) по метрике
•"О
1|ф||д ~ (—А)Ф» ф)* Однако, как нетрудно видеть, в наших пред»
положениях относительно коэффициентов aik и с оператора А нормы
| • |i и || • ||л эквивалентны,
К|ф|1>1|ф||д0 = — (4)ф. Ф)>*|Ф 11-
Правая часть неравенства была доказана при выводе соотношения (1.2),
левую мы получим, полагая # = max(|aZJfe(x)|, |с(х)|), где максимум
берется по всем х£Йл, /, А = 1, ..., п.
Следовательно, элементы пространства §л обладают всеми первыми
производными в смысле Никодима — Соболева (ср. гл. XIII и XV).
Мы будем говорить, что функции из равны нулю на границе д£2л
области йл в смысле вариационного исчисления (или в смысле
Фридрихса — Куранта). Из неравенства К |<Pi|2 > ЦфНд,^ х |ф|? сле“
дует, что пространство совпадает после перенормировки с про-
странством Ht (2Л), введенным в § 6 гл. I.
§ 2.	Задачи на собственные значения
Схема, аналогичная изложенной в § 1, применяется для задачи
на собственные значения (в последнее время привился термин „задача
вибраций"). Пусть (Д)* — Дю До—самосопряженное расширение суже-
ния До оператора Д, о котором шла речь в § 1. Существует спек-
тральное разложение A— J* A dE (А) самосопряженного оператора А.
—оо
В гл. XVII мы ознакомимся с замечательным решением задачи разло-
жения по собственным функциям эллиптических операторов, принадле-
жащим Л. Гордингу (см. также гл. XIII). В настоящей главе мы
покажем, что сравнительно простые средства позволяют получить
важный критерий точечности спектра самосопряженного оператора //,
а именно имеет место следующее предложение.
§ 2. Задача на собственные значения
283
Теорема 1 (Реллих). Предположим, что Н = Н* и что
(Ни, и)^(и, и). Тогда оператор Н"1 вполне непрерывен в том
и только в том случае, когда множество {и '.(Ни, и) 1}
п редко мпактно.
Доказательство. Мы знаем, что оператор Н имеет следующее
спектральное разложение:
Н = JldEty).
1
.	СО
Поэтому существует оператор Я-1 = J* X-1 dE (X), причем || Н~х ||	1.
1
Пусть теперь || Ф || -С 1 и пусть и = Я-1ф. Тогда
(Яп, и) = (НН~\, я-1ф) = (ф.	< || Я-11| • || ф ||2.
Если множество {и *.(Ни,	предкомпактно, то отсюда
вытекает, что предкомпактно и множество {« =	: || <р ||	1},
а, следовательно, оператор Я”1 вполне непрерывен.
Пусть теперь Z/-1 — вполне непрерывный (положительный) опе-
ратор. В таком случае Н~^2 также является вполне непрерывным
эрмитовым оператором (так как его спектр аналогичен спектру опе-
ратора Я"1). Пусть (Ни,	положим я = 7/~,/2ф. Имеем
1>(Я«. «) = (ЯЯ-‘Аф. Я-‘Лф) = (ф. ф) = ||ф||2.
т. е.
{« : (Ни, и)<^ 1) = {а = Я_1/*ф : ||ф||<< 1).
В силу полной непрерывности оператора Н последнее множество
предкомпактно, что и требовалось доказать.
гг л V ( ди \ I
Пусть Аи = 2j I aik	1 “Г сй — эллиптический оператор,
о котором шла речь в § 1, и пусть Л=эЛ0. Применяя теорему Рел-
лиха, мы докажем следующее важное предложение.
Теорема 2. Спектр оператора А чисто точечный с един-
ственной предельной точкой на бесконечности. Точнее, опера-
тор Л”1 вполне непрерывен.
Доказательство. В силу эквивалентности норм || • ||л и | • |х
достаточно доказать предкомпактность множества	это
множество даже более широкое, чем фигурирующее в теореме
Реллиха (именно здесь не учитывается обращение функций в 0 на <Й2Я).
284
Гл. ХП. Метод самосопряженных расширений
Пусть и€С?(&п). Поскольку	---) = 0прих=£у,
М=1
по формуле Грина — Остроградского
д|х— у|2 п
dxk
dx —
п
— /
ая-кл(у,8) z’*=1
л	о
+ f a^S-X-Li' ПЪ(^х,
дКп(у,е)	Z = 1
где v(x) = (v1(x), ..., vn(x)), |v(x)| — 1—поле единичных векто-
ров, нормальных к поверхности шара Кп(у, е). При 8->0 последний
интеграл стремится к рли(у), где рп — площадь n-мерной единичной
сферы. Таким образом, мы получили классическую формулу теории
потенциала
Л	о_
и(у)== 7Г JS~Jx7x?1 ” dx ПРИ “€co“W (*)
ол /=1
Ввиду того что интегральные операторы с ядрами Ki(x, у) =
|х— у |2~л ограничены, при я £ С£° (Q«) получаем неравенство
||«||<d|«|i.	(2.1)
которыми пользовались при доказательстве неравенства (1.2).
Переходя к пределу по норме | • |р мы видим, что аналогичная
(*) формула верна при я £ 2) (Л), причем dujdxi следует понимать
как слабую производную.
На основании неравенства Шварца находим
f-^-dx
J дХ[
Q
п

Ввиду того что ядра Ki(x, у) —	1 х — у |2 п определяют инте-
гральные операторы со слабой особенностью, а такие операторы
вполне непрерывны в пространстве L2(Q,n) (гл. VII), из формул (*)
и (**) вытекает, что множество, ограниченное по норме | • |р пред-
компактно по норме || • ||, что л требовалось доказать.
Применяя снова теорему о слабых решениях, можно высказать
следующее утверждение.
§ 3. О теории Вишика
285
Следствие. Задача на собственные значения Аи — Хи,
соответствующая краевым условиям Дирихле (u£D(A)), обла-
дает счетным множеством собственных значений конечной
кратности 0 > Aq > Х2 > ...» стремящихся к —оо. Собственные
функции регулярны и образуют базис в пространстве L2(Qn).
Замечание. В гл. XIII мы ознакомимся с аналогичной теоремой
для общих эллиптических уравнений произвольного порядка.
§ 3.	О теории Вишика
Как известно из классической теории линейных уравнений эллип-
тического типа,
п	п
Z,£ = l	Z = 1
п	п
с<0, 2	(3-1)
/,Л = 1	4 = 1
так называемая первая краевая однородная задача
[дйя, как всегда, означает границу ограниченной области £2Я, в которой
ищется решение уравнения (3.1)] обладает следующими основными
свойствами:
а)	она однозначно разрешима при произвольной правой части h
(мы не уточняем предположений, имея в виду лишь эвристическое
введение в проблематику);
б)	при малых изменениях функции’ h мало меняется решение
задачи /.
М. И. Вишик [2] поставил и, применяя аппарат гильбертова про-
странства, решил следующую важную задачу: найти общий вид
однородных краевых условий, обладающих свойствами а) и б).
В этой же работе [2] М. И. Вишик поставил другую чрезвы-
чайно интересную задачу: предположим, что нам дано краевое условие
{обобщенная задача Римана) вида
п
«1/и„+Я2-Ца =0. 4= S a^^7cos<v’
п	itk^\
где и /?2 — дифференциальные операторы, заданные на границе dQn
области йл. Как узнать, обладает ли задача свойствами а) и б)? Эта
проблема также была решена М. И. Вишиком в работе [2].
Основная идея состоит в следующем. Рассмотрим оператор Ло
(соответствующий сужению оператора L на регулярные функции
286	Гл. XII. Метод самосопряженных расширений
с компактными в Йл носителями) в абстрактном сепарабельном гиль-
бертовом пространстве $ [которому в случае дифференциального
оператора соответствует пространство £2(йд)]. Предположим, что
оператор Ло замкнут и обладает ограниченным обратным оператором
Ао 1: || Ло’| < оо.
Пусть MQ — линейный оператор, обладающий такими же свой-
опр.
ствами, что и оператор £0 — AQ, причем
(£0/, g)ftg~(f, Mog), f£D(£0), geD(Af0).
Полагая L —* Л4о> первую проблему Вишика можно сформулиро-
вать следующим образом: найти все расширения А оператора
Aq=zL^ содержащиеся в операторе L и обладающие свой-
ствами а) и б), т. е. найти все такие операторы Л, £осЛс£ что
а) существует оператор Л”1 и О(л~1) = /?(Л) = ф, б) IIА 11| < оо.
Решение поставленной задачи содержится в следующей теореме.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы рас-
ширение AidLq обладало свойством а), является существование
следующего разложения в прямую сумму области определе-
ния D(A) оператора А
D(A) — D (£0) + (Л’1 + С) V+ (7-1.
где А—фиксированное расширение оператора LQt Loc:AcL,
обладающее ограниченным обратным, заданным на всем про-
странстве ф : || Л”11| < оо, V — пространство решений уравне-
ния Afo = 0, Л4 =’ L^, V — замкнутое подпространство про-
странства V, VczV, U±- — замкнутое подпространство про-
странства U решений уравнения Lu —0, U^czU, С — такой
ограниченный оператор, что D(C) = V и C(V)a:U.
В случае б) требуется дополнительно выполнение условия
dim U± = dim (V Q V) < оо.
Переходя к эллиптической реализации операторов, М. И. Вишик
каждому расширению ставит в соответствие (однородное) краевое
условие. Здесь следует заметить, что такое соответствие, естественно,
не может быть взаимно однозначным, поскольку если многообра-
зие О (Л) состоит из всех функций, удовлетворяющих краевому
условию
/Wba.+'^L,-0-	<32)
то множество О(Л) может быть также описано и краевым условием
(3.2')
$ 3. О теории Вишика
287
где R— обратимый оператор. Условия (3.2х) и (3.2) отличаются лишь
формально. В действительности оба условия определяют один и тот же
класс функций. В связи с этим М. И. Вишик каждому расшире-
нию А оператора £0, £осЛс:£ ставит в соответствие краевое усло-
вие в так называемой канонической форме. При этом он указывает
метод приведения каждого условия к канонической форме. С этой
целью вводятся граничные операторы и у2, которые, грубо говоря,
определяются следующим образом: оператор сопоставляет функции
f£D(L) ее граничное значение
Yi/ = /ba •
Я
а
здесь P/|dQ = -^-|	> где и — решение первой краевой задачи для
однородного уравнения £я = 0 при неоднородном краевом условии
и |dQ = / |dQ . (Более точно, операторы у, определяются с помощью
предельного перехода в специально подобранном гильбертовом про-
странстве функций, заданных на множестве д£2л.)
Краевое условие в каноническом виде выражается в виде некото-
рой линейной зависимости между функциями и у2/. Например,
расширению А, обладающему свойствами: а') уравнение Af — h имеет
лишь одно решение, б') Л-1— вполне непрерывный оператор, соот-
ветствует краевое условие (в канонической форме) вида у1/ = Су2/,
где С — вполне непрерывный оператор.
Для того чтобы узнать, какими свойствами (с точки зрения вопро-
сов разрешимости) обладает данное краевое условие
 <3'3)
для уравнения (3.1), где /? — определенный линейный оператор в про-
странстве функций, заданных на множестве дйл, приводим усло-
вие (3.3) к каноническому виду следующим образом: вычитаем от
обеих частей равенства (3.3) функцию Pf\dQ » а затем переписываем
(3.3) в виде
эЯ	=Y2/ = (/?-^)Yi/.	(3.3')
’дйл	я
В зависимости от типа оператора R — Р граничная задача обла-
дает теми или другими свойствами. Например, если оператор R,—Р
имеет вполне непрерывный обратный (7? — Р)~{> то краевая задача
288	гл хп. Метод самосопряженных расширений
обладает свойствами а') и б') или, в терминологии, введенной
М. И. Вишиком, является вполне разрешимой.
На этом мы вынуждены закончить наш краткий обзор глубоких
исследований М. И. Вишика, настоятельно рекомендуя читателю эту
важную работу.
Исследования Вишика продолжал Бирман, который применил их
к нахождению новых прямых методов решения краевых задач, обоб-
щающих (вариационный) метод Трефтца.
Аналогичные результаты можно получить для эллиптических опе-
раторов любого порядка, для которых изучена первая краевая задача
(см. гл. XIII).
Замечание. В последнее время в интересной диссертации
Хёрмандера (1955) были получены несколько другие теоремы, касаю-
щиеся общих граничных условий (Хёрмандер [1]; ср. гл. XXII).
ГЛАВА ХШ
Краевые задачи и задачи на собственные
значения для общих эллиптических операторов
произвольного порядка.
Сильно эллиптические системы.
Метод Галеркина
В этой главе мы будем заниматься краевыми задачами и задачами
на собственные значения в ограниченных областях для операторов
эллиптического типа произвольного порядка (а также для так назы-
ваемых сильно эллиптических систем).
В § 1 мы вводим гильбертовы пространства, с помощью которых
формулируется обобщенная задача Дирихле. В § 2 доказывается полу-
ограниченность произвольного эллиптического оператора. В § 3 мы
занимаемся' интегралами Дирихле и с их помощью вводим новую
унитарную норму, благодаря которой в § 4—6 удается свести задачу
Дирихле и обобщенную задачу Неймана к уравнениям с вполне не-
прерывными операторами. В § 7 излагается доказательство сходи-
мости метода Галеркина для общих эллиптических уравнений произ-
вольного порядка. Глава заканчивается § 8, в котором при помощи
так называемого преобразования Грина решены задачи на собствен-
ные значения.
В гл. ХП излагался метод самосопряженных расширений для реше-
ния краевых задач с формально самосопряженным оператором. В по-
следние годы удалось получить общие теоремы для произвольных
операторов эллиптического типа методом, являющимся обобщением
метода ортогональной проекции Зарембы — Вейля (ср. гл. XV). Этим
методом мы обязаны главным образом трем математикам: М. И. Ви-
шику, Браудеру и Гордингу. Самые общие результаты и наиболее
законченный вид рассматриваемый метод получил в работе Л. Гор-
динга [1], которую мы изложим в этой гиаве.
§ 1. Формулировка общей задачи Дирихле
Пусть Л—* 2 ap(x)D?—эллиптический оператор сдоста-
I ₽ I < 2m
точно гладкими коэффициентами (ср. гл. XI), рассматриваемый в огра-
ниченной области £2Я.
Введем в множестве С™ (Ял) следующие скалярные произведения:
(/• g)j= f S	dx> J = i-2........m-
sm
19 К. Морен
290 Гл. XIII. Краевые задачи и задачи на собственные значения
Пополняя множевтво (Q^) по норме | • |у» | f |у- = (/» /)J2, по-
лучим гильбертово пространство Как мы знаем, $0 = L2(Q„).
Нетрудно показать (см. ниже лемму 2), что после перенормировки
пространство совпадает с пространством Hj (2Д), введенным
в гл. I. Для задачи Дирихле основное значение имеет пространство
Как мы увидим, функции из этого пространства обладают всеми
производными Соболева порядка ^т и их производные порядка
т — 1 в определенном смысле равны нулю на границе dQn области
Йд. Первым класс этих функций изучал польский математик Ни-
кодим [1].
Функции, о которых идет речь (точнее говоря, это не функции,
а классы эквивалентных функций), после „исправления" на множестве
меры нуль становятся абсолютно непрерывными на каждой прямой,
параллельной какой-нибудь оси координат, и почти всюду равны
нулю на гладких частях границы дйд. В последние годы подобные
классы функций изучал С. М. Никольский [1]. Задача Дирихле фор-
мулируется теперь следующим образом.
Найти решение и уравнения
Au = h (h — заданная функция)
такое, что (и — g)£$m-
Это и означает, что и функция и и ее производные порядка
т — 1 должны на границе дЙд принимать такие же значения, как
заданная в Qn функция g и ее производные порядка С т — 1.
§ 2. Полуограниченность эллиптического оператора
Установим важную зависимость между нормами | • |у и | • |й.
Лемма 1. Если f QC™(Йл) и то существуют такие
числа ckj > 0, что
I2
dx,
(2.2)
\f\k<cllj\f\j.	(2.1)
Доказательство. Неравенство (2.1) доказывается путем по-
следовательного применения неравенства
/|/(x)|2dx<|QJ2J
где | Йд [ обозначает диаметр области йд. Неравенство (2.2) — про-
стейший случай неравенства Пуанкаре; оно вытекает непосредственно
xk
из соотношения / (х) = J (хр ...» /, ..., х„) dt, если к нему
— оо
применить неравенство Шварца и проинтегрировать затем по йд.
§ 2. Полуограниченность эллиптического оператора	291
Из соотношения (2.1) немедленно вытекает следующее предло-
жение.
Лемма 2. В пространстве $т нормы | • [т и || • ||т =’
/ т \ Va
= 1 S I * I* эквивалентны.
\£ = 0	/
Доказательство. Очевидно,	Из (2.1) полу-
т
чаем || /1|^ = 2 I / Is + О с | / Im’ где в качестве с можно взять
#=о
максимальное из чисел с1/п, ..., стт, что и требовалось доказать.
В дальнейшем окажутся полезными следующие равенства:
I /1) = -^уг f 2	1 (Ff) (I) Г dl, (2.3)
101=/
где
= fe^f(x)dx, x^X1U+ ...
[F (/)(£) называется преобразованием Фурье функции f(x)], а также
равенство
..	I/Im-I л
lim sup --------s--------т = 0.
>-»оо, /е Cg° (%) I / к + 1 / 1о
(2.4)
Равенство (2.3) вытекает немедленно из того, что D$f(x) имеет
своим преобразованием Фурье (—0,РЧ₽(^/) (^)» и из изометричности
преобразования Фурье (теорема Планшереля, см. конец § 11 гл. XVII).
Так как при j < т
‘-°-
равномерно относительно то из соотношения (2.3) вытекает соот-
ношение (2.4):).
’) Действительно, если j < т, то для каждого е > 0 существует такое
число /е, что при / > 4
|{И=/	' \l0l=m	J
19*
292 Гл. XIII. Краевые задачи и задачи на собственные значения
Из равенства (2.3) вытекает очень важная лемма.
Лемма 3. Если а(х)—ограниченная и интегрируемая
в области Qn функция, то равенство
f а (х)	(х) 07' (х) dx = (Л/, /X.	(2.5)
где а, и |а|-|-|₽| < 2т, a f, f' и Af£$m,
определяет вполне непрерывный линейный оператор А
(в пространстве £>т).
Доказательство. Имеем
f а (х) D7 (х) О7'(х) dx < | а | • | D7101 D₽/' |0,
Q
п
где |а| = sup | а (х) |. Следовательно, в силу леммы 1 левая часть
х^®п
формулы (2.5) является непрерывной билинейной формой от f и /
в пространстве Поэтому А — линейный ограниченный оператор.
Для определенности предположим, что | а| < т. Из соотношения (2.5)
получаем
|(Л/. /Х1<С|/|т_1|Г|т,
где С — некоторая постоянная; полагая /' — Aft находим
т. е.
'	(2.6)
Пусть (Д) — последовательность таких элементов из (йл), что
|Д|т<1. Из (2.1) вытекает, что последовательность (|Д|0) огра-
ничена. Поэтому можно выбрать такую подпоследовательность (Д,),
чтобы ее преобразование Фурье (ГД,)(|) = eix^fv, (x)dx было
2
п
почти равномерно сходящимся (сходилось равномерно в каждом шаре).
(Действительно, преобразование Фурье Ff(g) функции
2 (g₽)2+^ |/7(g)l2.
|₽| = т	/
интегрируя по g и принимая во внимание соотношение (2.3), мы убедимся
в том, что при j < т и t > t&
l/l;<e(l/l2m + <l/lo).
9то доказывает справедливость соотношения (2.4),
Умножая обе части этого неравенства на “^л)"
§ 3. Обобщенный интеграл Дирихле
293
является целой функцией переменных ......£Л. Если | f |0 < С, то
|~-m)| = S xke^f{x)dx <с/ / IxJ’dxV1, |/W|<c.
Qn	^Qn	'
Следовательно, семейство функций {F/ (£): f £ Cg° (Q„), | f |0 С C}
является равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.)
Отсюда на основании формул (2.6) и (2.3) имеем
+ С2 у
первый интеграл в силу почти равномерной сходимости F/ , стре-
мится к нулю при min(p/, v')->oo. Далее, |£|2'и“2 = |£|2'” • |£|~2,
а поэтому при 11| R
С2 у	(|)_pf^(|)|2dl<_£ у |£|*»|/7v,G)-
1£|>Я	|£1>Я
-	(D I2 К < C2R~21 fv, -	|2m < 4C2/?’2 -> 0, R -> co;
следовательно, последовательность (ДД,) сходится и оператор А
вполне непрерывен, что и требовалось доказать.
§ 3.	Обобщенный интеграл Дирихле
Теперь мы уточним предположения, связанные с эллиптичностью
оператора Д. Это позволит нам получить теорему о его полуогра-
ниченности.
Пусть т— фиксированное натуральное число. Предположим, что
для каждого х££2п задана вещественная однородная форма a(xt £)
вещественных переменных .... £л степени 2/п, причем:
1° коэффициенты формы а (х, |) достаточно гладки и равномерно
непрерывны в £)л;
2° inf а (х, у имеет положительную нижнюю грань в области £2Л.
Каждой такой форме можно сопоставить форму Дирихле
|a|=|p|=m
294 Гл. XIII. Краевые задачи и задачи на собственные значения
где коэффициенты лаз (х) вещественны, симметричны, удовлетворяют
условию 1° и, кроме того, обладают тем свойством, что
2	а^(х)^ = а(х, |).
|а|=|0| = т
Для того чтобы показать, что такие формы существуют, запишем
а(х, У в виде
Л (X, £).	2	... *2771^1 ’ * * ^Ь21П*
где индексы kv ..., k2tn независимо друг от друга пробегают все
значения от 1 до /г, а коэффициенты	симметричны. Тогда
выражение
у^	dmf ' dmf
Ч •••	dxt ... dxi ’ dXj ... dXj
является формой Дирихле.
Если т = 1 (Д — оператор второго порядка, например оператор
Лапласа), то существует только одна форма Дирихле:
V а df д7
*tk dxi dxk *
причем эта форма положительно определена.
При т > 1 может оказаться, что ни одна форма Дирихле не
является положительно определенной.
Возьмем какую-нибудь форму Дирихле, принадлежащую форме
а(х, £), и построим (обобщенный) интеграл Дирихле
(/• Лд°= J 2 aep(x)D7(x)Dp/(x)dx. (3.1)
I а 1 = 1 ₽l = wi
При m—1, аар = ба3 и f — f выражение (3.1) является обычным
интегралом Дирихле.
Положим
(Л Лл(< = (/. Лд-Н(Л Ло.
где t — вещественное число. Имеет место следующее весьма важное
утверждение.
Теорема 1. Если (/, /)л — какой-либо интеграл Дирихле,
принадлежащий форме а(х, £), то
inf (/•/)д>—
f Г Г°° /п \
Замечание. Следующий пример показывает, что эта нижняя грань
может быть отрицательной. Пусть 1 h (х) е > 0 в области йя
§ 3. Обобщенный интеграл Дирихле
295
и пусть форма й2 (х) (£2ймеет интеграл Дирихле
Qn
+ 3Rey4(x)y4(x)— —(х)2 \dx.
дхх дх2	дхх дх2 J
Подинтегральная функция является отрицательной, когда f РС°° (£2„)
d2f d2f	d2f
такова, что—^ = —2=0, ~—-—=1. Зафиксируем теперь точку
ОХ^ 0^2	ОХ^ ОХ2
у = (Ур У2) € и положим f (х) = (хг — уг) (х2 — у2) b (х), где
#£Со°(£2Л) и равна 1 в некотором круге достаточно малого
радиуса с центром в у. Ясно, что f £С§° (йл). Вместе с тем понятно,
что (/, /)л для построенной / окажется отрицательным, если Л(х)
будет достаточно близка к характеристической функции круга
Итак, мы построили такую а (х, £) и функцию f (Qrt), что
(/> /)д<0.
План доказательства состоит в следующем.
Г. Доказывается, что (/, /)л>С'|/|^, когда а(х, £) — а(£),
т. е. когда коэффициенты формы а (х, £) не зависят от х.
2°. Аналогичное неравенство в случае переменных коэффициентов
доказывается для области йлП<2^Г» где — достаточно малый шар.
3°. Общий случай получаем с помощью разложения единицы,
соответствующего (конечному) покрытию области £2л шарами и сво-
дящего случай 3° к случаю 2°.
Доказательство. К пункту Г. В силу (2.3)
Еп	|₽| = т
аналогично
(Л/)x=w	«(&)<*£•
Еп
Поскольку форма а (£) степени 2т положительно определена,
то частное а(£)Г 2 (£р)21 ограничено снизу некоторой положи-
тельной постоянной С7; поэтому
/)т = С'|/|2т. _	(3.2)
К пункту 2°. Пусть — шар с центром х и радиусом р.
Если / £ Со° (Qrt П в/Г)> а (/, /)_ — интеграл Дирихле, соответствующий
296 Гл. ХШ. Краевые задачи и задачи на собственные значения
форме а(х, I), то. обозначая общий модуль непрерывности коэф-
фициентов аа?(х) через
<о(р)°— sup |<м(х) —аар(у)|. *•
а, Р» х, у
имеем
/ 2 (<М (X) - аа? (х)) Daf (х) d7 (X) dx
Qnf}Xa, P
<y®(p) f ^(IOaf(x)l2 + [^f(x)l2)dx = 0>(p)dml/Pm,
йлПЖа, P
где dm — число различных производных порядка zn; отсюда на осно-
вании неравенства (3.2) получаем
(/.	/)д~1(/.	/)д|>(2^-®(р)^)|/|2т.
где 2с =’ inf inf а (у, £). В силу предположения 2° с > 0, а в силу
m=i
предположения 1° lim <о(р) = 0. Следовательно, существует такое е>0,
р->о	_
что при р < е (и для произвольного х £ йл) имеет место неравенство
со (р) dm < с. Отсюда следует требуемое неравенство
(/. /)д>с|/12и при /€Со°(ОяЛеГ(е))- (3.3)
N
К пункту 3°. Пусть Q„cU<3^’z(e/2) и пусть — шар ра-
z=i
диуса е. концентрический с шаром e^"z(e/2). Если f £Со° (Оя), то
интеграл Дирихле (/, /)д можно записать в виде
______
(/• /)д =	h2 (х) аа? (х) Da f (х) D9f(x) dx,
/=ia„ ap
N
где hi CCo°(ezf/) и 2 й2(х)= 1. Оценим /-й член предыдущей суммы
z=i
Л= f flap (х) Da (hif) (x) (htf) (x) dx-Ri,
Qn
где выражение Rit полученное при соответствующем интегрировании
по частям, является суммой интегралов произведений ограничен-
ной функции и двух производных порядка не являющихся
§ 3. Обобщенный интеграл Дирихле	297
одновременно производными порядка т. Применяя обычные оцен-
ки и лемму 1 § 2, получаем
At>(hj, htf)A-at\f\m\f |OT_P	(3.4)
где at— некоторая положительная постоянная; так как hif £
6C»(Q„n/G(8)). ТО в силу (3.3)
Повторяя рассуждение, которое привело нас к соотношению (3.4),
получаем
f 2 |d₽(V)(*)I2^>
Qn IP
> f hhx) Id3/(x)|2dx-M/|m|/|m_1(
Qn	IPI = m
где ь. — положительная постоянная. Таким образом,
A^cfhhx) |D7(x)|2^-(<^ + aal/U/k-i.
a„ l?l=«
Суммируя эти неравенства от 1 до W, имеем
(/. /)4>d/|2m-a|/LI/lm_p
N	N 2
где a — 2 {сЬг + az), так как 2 A2 (х) = 1. Из доказанного сле-
i=i	/=1
дует, что
(/. /)д,/-(/> /)д+'(/- /)o>d/l2m+d/g-«l/LI/L_I.
Обозначим на время |/]2 — с | / \2т 4~£| /тогда
>1/|20 - a|/r2|/M/|m-i)>l/|2(l - ^-Ч/lm-il/r1). ’ ибо
1/1 > с'г\/\т. в силу формулы (2.4) |/|т|/Г ->0, /->оо равно-
мерно относительно /. Отсюда при больших t > О
(/./)ли>4(с1/12т + ^1/12)- .	<3-5)
Таким образом, теорема доказана, и одновременно мы даже полу-
чили несколько более общий результат.
Теорема 2. Существует такая постоянная tQ > 0, что
при >/0 форма (/, f)A,t является нормой в $т, эквивалент-
ной норме (l/l^ + d/lo)72. Эквивалентность является равно-
мерной при больших значениях t.
298	• Гл. XIII. Краевые задачи и задачи на собственные значения
Доказательство. Неравенство, обратное к (3.5),
где Cj не зависит от Л получается следующим образом:
(/. /)д = f 2 (X)D^f(x)dX <
< sup |<м(х)|4 f dm 2 (|D7(x)|2 + |o7U) \2dx = cx\f\2m,
^,x	Qm |al = m
где dm, как и выше, означает число разлйчных производных по-
рядка tn. Неравенство (3.5) называется неравенством Гординга.
(3.6)
§ 4. Задача Дирихле
После этих приготовлений приступим к доказательству существо-
вания решения задачи Дирихле.
Пусть А — формально самосопряженный оператор порядка 2/п:
Л/(х) = (-1)т X D\aa^x)tff(x)}.
|a| = |₽l<m
Тогда при /, /' £C“(Q„) имеем
(/• Па, t = (М + 0 Л По = (/• + О Ло- (4-1)
Самый общий эллиптический оператор Q с той же главной частью»
что и у оператора А, можно записать в виде Q = (Д-j-1)-1- (/? — /),
где
/?/(х)= S rv(x)D7(x),	(4.2)
I v) < 2т
причем коэффициенты rv являются комплекснозначными достаточно
гладкими и ограниченными функциями (на коэффициенты мы нала-
гаем такие ограничения, чтобы оператор Q удовлетворял условиям
основной теоремы гл. XI).
Задача Дирихле формулируется следующим образом.
Пусть в области Qn задана такая функция Ь, что ||Z>||m =
(т	\1 д
SI42 <°° и функция h£Cx(Q^ (достаточно, чтобы
k = Q	/
функция h удовлетворяла условию Гельдера, ср. К. Морен [2])
Найти решение и QC2m(Qn) уравнения
Qu = h,	(4.3)
такое, что (Ь — и)£$т (т. е. решение и должно вместе с про-
изводными порядка ^т—1 принимать те же граничные зна-
чения, что и функция />).	‘	'
§ 4. Задача Дирихле
299
Доказательство существования решения задачи Дирихле проведем
сначала для формально самосопряженного оператора А + Л где t > tQ
(см. теорему 2 § 3). В случае fi = Q излагаемый метод сводится
к методу ортогональной проекции (ср. гл. XV).
Рассмотрим выражение
(*./)о.
(4-4)
Из леммы 1 § 2 и очевидных оценок вытекает, что
10. /)ди-(А.
где I — постоянная (не зависящая от /); следовательно, выраже-
ние (4.4) является (анти)линейным функционалом от f в $т и на
основании теоремы Рисса — Фреше существует такой вектор Ьг £
что
/)а, t -	/)о=(*'• /)л, t Для всех / € Со°° Ш (4.5)
Однако (b'9 f)At t = (У, (Л +1) /)0; это очевидно при b' £С£° (йя),
а при произвольном bf £ $т получается с помощью предельного
перехода по норме || • ||ш (в силу того, что | • |0 < cQm | • |т, и в силу
непрерывности скалярного произведения можно перейти к пределу
в обеих частях равенства).
Аналогично имеем (b, f)At t = (b9 (Л 4-t) /)0. Поэтому оконча-
тельно
(b- b'. (A + t)f)Q = (h, /0).
Отсюда в силу основной теоремы о слабых решениях вытекает, что
и — й — b' £C2m(Qn) и (A-\-t)u — h (после исправления на мно-
жестве меры нуль). Однако в силу определения и имеем и — Ь —
=sb'£$m. Поэтому и является решением задачи Дирихле.
Обратим здесь еще внимание читателя на связь этого метода
с методом самосопряженных расширений: Л — положительно
определенный оператор и поэтому имеет самосопряженное положи-
тельно определенное расширение Л-}-£7 с областью определения
D (Л + tl) = П В (Ло), где Ло является сужением оператора Л, задан-
ным на множестве С^°(йл). Следовательно, уравнение (A-\-tI)v = l
обладает единственным решением, равным вместе с производными
порядка —1 нулю на границе области при произвольном
Z££2(Qrt); при Z £ С1 (Qn) имеем v £С2/П(ЙЛ).
Пусть Ь' = (А + И)"	Л (Л 4-1) b). Тогда (Л 4-1) (b — Ь') =
= (Л4-о* — (Л4-/)У = (Л4-0&— (— Л4-(Л4-/)^) = Л.
Следовательно, если функция b достаточно гладкая, то ее „орто-
гональная проекция" на пространство равна
(Л4^/)-1[(Л4_/)^_А].
300 Гл. XIII. Краевые задачи и задачи на собственные значения
Как мы видим, в случае неоднородного краевого условия метод
самосопряженных расширений требует, чтобы краевая функция b
удовлетворяла более сильным предположениям.
Теперь мы переходим к общему случаю несамосопряженного
оператора Q. Оператору /? поставим в соответствие билинейную
форму
(/. f')R = (/?/• /)о = (Л Л /' €	(йя).
После соответствующего интегрирования по частям форму (/, f)R
можно записать в виде суммы таких выражений, как в лемме 3 § 2;
таким образом, (/, /')/? является билинейным непрерывным функцио-
налом, который можно распространить на все пространство X
Из леммы 3 § 2 и теоремы 2 § 3 вытекает, что равенство
(/• f')R.-t=(Л/, /ъ, /. /.
определяет в пространстве $т вполне непрерывный оператор /?.
Заметим теперь, что если и— решение задачи, то, полагая
(b, f)Q = (ь, f)A 4- (b. f)R,	f 6 Со00 (Qra),
после умножения обеих частей равенства Qu = h на f и интегриро-
вания по частям получаем
(«. /)q = <b, f)Q - (У, f)Q = (Л, /)0,	(4.6)
где b'Q— b — и, так что и = Ь — bf. Обратно, если функция Ь'£$т
удовлетворяет уравнению (4.6), то функция и — Ь—Ь' является
решением задачи Дирихле, ибо (и, Q+/)0 = (ft, /)0, /£С^(Од), что
и доказывает утверждение. Поэтому достаточно ограничиться рас-
смотрением соотношения (4.6). Представляя оператор Q в виде
Q = (X-|~ 0 + (Я — 0» имеем
(*'. f)Q = (b', f)A,t + (b'.	=	f)Ali + (Rb', f)Aif. (4.7)
Выражение (b, f)Q — (Л, /)0 является (анти)линейным функционалом
(переменной /) на пространстве $т, а поэтому существует такой
вектор Ь£$т, что
(b,	f)Q = (b, f)Ait.	(4.8)
Принимая во внимание соотношения (4.7) и (4.8), равенство (4.6)
можно переписать в виде
(3,/)Аи=(/У, f)Att + (Rb', f)At(
для всех f (&п). Следовательно, Ь' является решением уравне-
ния Фредгольма
~b = Ib' + Rb'9
(4.9)
§ 5. Пара уравнений с сопряженными операторами	301
где 7? — вполне непрерывный оператор в $. Применяя теорию Рисса,
можно получить следующую теорему.
Теорема (Гординг). Если задача Дирихле обладает не
более чем одним решением {однородная задача Q-v = 0,
обладает лишь тривиальным решением), то решение суще-
ствует при произвольной правой части h и произвольной
краевой функции b (удовлетворяющих сфо рму лированным
выше предположениям). Другими словами, задача Дирихле
разрешима при каждых hub, если однородная задача обла-
дает лишь тривиальным решением.
Доказательство вытекает из того, что уравнение b = bf + Rb'
разрешимо (при произвольном Ь) тогда и только тогда, когда Ь' = 0
является единственным решением однородного уравнения br + Rbf = 0,
т. е. и — Ь — br = b, Qu = Qb = h, что налагает условия на пары b, h.
§ 5.	Пара уравнений с сопряженными операторами
О паре уравнений
Qu = h,	(5.1)
Q+v = g	(5.2)
говорят, что она составляет пару Фредгольма, если для этой пары
имеют место три теоремы Фредгольма.
Теперь нетрудно показать, что для эллиптического оператора Q,
описанного в предыдущем параграфе, уравнения (5.1) и (5.2) со-
ставляют пару Фредгольма.
Доказательство. Умножая скалярно [в £2(йя)] (5.1) и (5.2)
на £€Со°(йл), получаем пару уравнений
(и, k)Q = (h, k)Q, (v, k)Q+ = (g, k)Q.	(5.3)
Однако, так как
(/. /'V=(я+/. /')=(я/. /)=(/'. /)я.
то
(/- /%+, -t=-t=(ГГЛд, t=(Ид t=
=(77ГлТ)д,/=(/?7.
Поэтому пару уравнений (5.3) можно переписать в виде
(и, k)Att + (/?«, k)A> t = (Ch, k)A t, т. e. u = Ru = Ch, (5.4
(v, k)Ai t + (R*v, k)Att«=(Cg, k), t. e. v 4- R*v = Cg,	(5.5)
302
Гл. XIII. Краевые задачи и задачи на собственные значения
где С — вполне непрерывный оператор, заданный в £2(ЙЛ), прини-
мающий значения в и определенный с помощью равенства
(й, А)°= (Ch, k)At(.
Очевидно, что уравнения (5.4) и (5.3) образуют пару Фредгольма.
§ 6.	Обобщенная задача Неймана
Как известно, классическая задача Неймана в теории потенциала
состоит в том, чтобы найти в области гармоническую функцию и
(решение уравнения Лапласа), которая на границе дО.п имеет такую же
нормальную производную \ut что и заданная в функция Ь, т. е.
6j(tf — />) = 0 на dQn.
Л. Гордингу принадлежит остроумное обобщение постановки этой
задачи. Ограничимся случаем оператора Л из § 4, коэффициенты
авр(х) которого равны нулю при 0 <|а|, |Р|<т и аоо(х)^6>0.
Предположим дополнительно, что
аа? (х) Daf (х) О₽/ (х) > 8^ | Daf (x) |2 (e > 0).
|a|=l₽l=m	|a| = m
Пусть (как и в гл. XV)	— пополнение множества ограничен-
ных функций из С°° (Qn) относительно метрики
(ЛЛд = / 2 a^f.Wf'dx.
|al=H3ll=^
Пусть Ь — такая функция, что Л£££2(£2л); обозначим через Ь'
„проекцию" b на заданную равенством
(Ab. f)^(b', f)A, f£$m.
Считая, что / £ Со° (Йл), с помощью интегрирования по частям
из предыдущего тождества получим
(Ь-Ь\	= f £(%(&).
Отсюда, как обычно, делаем заключение, что функция и —' b — Ь'
принадлежит классу С1”1 (Qn) (после исправления на множестве меры
нуль) и удовлетворяет уравнению Ла = 0. Следовательно, АЬ' =
==— Аи-\~АЬ = АЬ существует и справедливо тождество
(Л&',/) = (&',/)л,
Если в области Qn функция b обладает непрерывными производ-
ными до порядка 2т включительно и если граница дйя гладкая,
§ 7. О методе Галеркина
303
то предыдущее равенство, записанное в развернутом виде
(—J S Da(aa9(x)D?b'(x))f(x)dx =
Qn |а|=1Р1<гл
— /	2 aa9(x)Dab'(x)D9f(x)dx,
% la| = l₽l<w
означает, что некоторые нормальные производные dvZ/ функции bf
порядка v, т < 2m равны нулю на множестве
Следовательно,
6v(zz— Z>) = 6v&' = 0 на дйя.
В случае оператора Лапласа получаем классическое условие
Неймана.
§ 7.	О методе Галеркина
Теорема Гординга — это теорема существования; оказывается,
что, исходя из полной последовательности элементов можно
построить последовательность так называемых галеркинских прибли-
жений, сходящуюся к классическому решению. Эта теорема — так же
как и теорема Гординга — имеет место для особо важного класса
эллиптических систем, так называемых сильно эллиптических систем.
Прежде чем переходить к более точной формулировке, сделаем
несколько замечаний. Как известно, пространство является сепа-
рабельным и имеет счетный базис фр ф2, • • • • где Ф/ представляют
собой 2m раз дифференцируемые функции, причем ффг- £ L2 (йя).
Пусть Hk— подпространство, натянутое на первые k элементов
базиса: фр ..., ф^, и пусть Ek — оператор ортогонального проекти-
рования на подпространство Hk при скалярном произведении (•, *)л>г
Для произвольного	имеем
lim ||£4v — v||A/ = 0.	(7.1)
Й->оо
Теорема 1 (Морен). Пусть выполняются условия теоремы
Гординга (обеспечивающие единственность решения задачи
Дирихле, см. § 6) и пусть b£D(Q), т. е. b£C2m(Q>n) и
Qb £ £2(ЙЯ). Рассмотрим последовательность приближений
Галеркина (uk), определяемую следующим образом:
k
и	ь—г>',	ь'к 2 «/Ф,-;	(7-2)
9	&	К	I I
304
Гл. XIII, Краевые задачи и задачи на собственные значения
коэффициенты at определяются из системы так называемых
уравнений Галеркина
k
^a((Q(pk, (f>v)0 = (Q^ — h' <pv)o. V=1.k, (7.3)
которые однозначно разрешимы для больших значений k.
Последовательность (uv) сходится по метрике || • ||т к эле-
менту и, который является классическим решением задачи
Дирихле. Таким образом,
Пт \и — uk\Ait= Пт || и — aj| = Пт | и — wJy = 0,
£~>оо	£->оо	&->оо
у —О, 1....т.
Доказательство. Как известно из § 6, решение задачи
Дирихле имеет вид и = Ь— Ь', где Ь' — решение уравнения Фред-
гольма
b' + Rb' = b,
причем b определяется из тождества (4.8), которое при наших более
сильных предположениях относительно краевой функции b можно
записать в виде
(£/)д, ,==((#./)0-(Л, /)0,	(7.4)
Вместо того чтобы решать уравнение Фредгольма, решим &-мер-
ное приближенное уравнение
Ekbk~\~EkRbk — Ekb —0, Ekbk = bk-	(7.5)
Поскольку уравнение Фредгольма однозначно разрешимо и по-
скольку, кроме того (гл. VII), имеют место соотношения
lim \E^g — £|Д1/ = 0, lim —/?|д z = 0,
£->оо	#->oo
то для больших значений k уравнение (7.5) однозначно разрешимо.
Уравнение (7.5) эквивалентно k скалярным уравнениям
О=(*. И+w; - »)	,=к+- ъ. Ф„)л (7.6)
ибо	H,£ftq>v==(pv; однако
и+w..	м,-
Ввиду соотношения (7.4) уравнение (7.6) принимает вид
(^-qb-h, <pv)o=o.	v=i.......k.
§ 8. Задача на собственные значения
305
или, полагая
k
Ь'к = ^а^,
получаем
k
S «z (Q<PZ. q>v)0 = (Qb - h, <pv)0, V = i.k.
Поскольку \bb — b'l —>0, k—>oo, то, полагая ub = b— b' имеем
| Я « |	ft	К
откуда вытекает наше утверждение.
Уравнения Галеркина (7.3) имеют такой же вид, как уравнения
Ритца, однако они не допускают столь изящной геометрической интер-
претации; метод Галеркина не является вариационным методом.
§ 8. Задача на собственные значения.
Преобразование Грина
В гл. XII нам удалось решить задачу на собственные значения,
так называемую проблему вибраций, для определенного класса
формально самосопряженных операторов. Рассмотрения настоящей
главы касаются общих эллиптических уравнений (произвольного
порядка) в ограниченных областях.
Подобно тому как краевую задачу оказалось возможным свести
к уравнениям с вполне непрерывными операторами в соответствующим
образом подобранном гильбертовом пространстве—пространстве —
так и задачу на собственные значения оказывается возможным
свести к соответствующей задаче для определенного вполне непре-
рывного оператора, называемого преобразованием Грина данной
краевой задачи.
Здесь мы будем заниматься задачей на собственные значения
только для краевых условий Дирихле; точнее, задача формулируется
следующим образом.
Изучить существование и свойства решений из С2т (йл)
уравнения
(Q — KI)u = Qu — Ки = 0,	(8.1)
принадлежащих пространству
В силу основной теоремы о слабых решениях уравнение (8.1)
эквивалентно тождеству
(М
Для всех f£$m.
?0 К. Mopeii
306
Гл. XIII. Краевые задачи и задачи на собственные значения
Теорема 1 (Гордин г). Для достаточно больших t
тождество
(f,H)0 = (Gtf,h)Q+t, f,h,Gtf£§m,	(8.3)
определяет вполне непрерывный оператор Gt, причем обрат-
ный оператор является расширением дифференциального
оператора
Определение. Оператор Gt называется преобразованием
Грина задачи Дирихле.
Доказательство теоремы 1. Пусть t > /0, где /0— число,
о котором речь идет в теореме 2 § 3. Тогда, как известно, урав-
нение (/, f')R — (Rtft ff)A+t, где /, Rf определяет вполне
непрерывный оператор + = + + где R— оператор
порядка < 2т). Имеем
.2 опр.	| (/. f')R |2	.
1 SUP (/-W'-Aw <
l/'lml/Zm-l
Р (l/l^+N/QCl/'l^+d/lo2) Pl/l2m + d/l02’
где постоянная С не зависит от t.
Следовательно, при /—>оо | Rt |z->0. Из леммы 3 § 2 и тео-
ремы 2 § 3 вытекает, что тождество
(/, h)0 = (B(f, h)A+t, где /. h,
определяет другой вполне непрерывный оператор Bt. Как мы видим,
уравнение (8.3) эквивалентно уравнению
(/. Л)0 = (О//. ft)Q+/= «?,/, h)A+t + (Gtf, h)R = (Gtf + RtGtf, h)A+t.
Но для достаточно больших t | Rt |z < 1, а поэтому существует огра-
ниченный оператор (/-]-7?/)“1 (ряд Неймана). Следовательно, для
достаточно больших t существует оператор
Gt = (J + Rt)'xBt,
который как произведение вполне непрерывного и ограниченного
оператора вполне непрерывен. Докажем теперь, что оператор Gt
обратим. Действительно, если Oz/ = 0, то (/, h) — (Qtf, Л) —0
для всех Л^Со°(йЛ), а поэтому / = 0, т. е. существует оператор Of1.
Будем теперь рассматривать Q-^tl как оператор, заданный в про-
странстве фт. Пусть графиком оператора Q-J-/7 является множество
всех пар {/, (Q+ £/)/}, где /, (Q + ^/C^ и f^C2m(Qn). Имеем
(Gt[Q + iI]f, h)Q+t = ([Q + tI]f, h)Q = (f, Л)9 + /, где ЛЕС^),
§ 8. Задача на собственные значения
307
откуда
Это означает, что график оператора Q-\-tI является подмно-
жеством множества всех пар {Otf'» /'}» где f т- е- график
оператора Q + является подмножеством графика оператора Of1,
так что
Q7'=>Q+tI.
что и требовалось доказать.
Теперь легко доказать следующую важную теорему.
Теорема 2 (Гординг). Для того чтобы функция и была
собственной функцией задачи (Q — M)u = 0t и£$т» необходимо
и достаточно» чтобы и была собственным вектором опера-
тора Qt» соответствующим собственному значению (Х + 0”1*
О/В = (% + <)-1а.	(8.4)
Доказательство. Предположим, что 0 #= и £ $т и
(Q — М)я = 0, т. е. что для всех	имеет место равенство
(«. /)<г-х=°- Тогда
(«. /)в+/=(НШ /) = (^+0(О<«. /)«+/
для всех / £ $т» так что (X + f) 0 и
Gtu = (X “4“ 0
Пусть теперь вектор и =/= 0 удовлетворяет уравнению (8.4). Тогда
(% + 0(^> Д = (Н0((?Л	= Дж
для всех	Таким образом, Qzz~Zzz, что и требовалось
доказать.
Следствие. Ввиду того что вполне непрерывный оператор
может иметь не более чем счетное множество собственных значений,
единственной предельной точкой которого является нуль, мы видим,
что рассматриваемая в этом параграфе проблема вибраций может
иметь не более чем счетное множество собственных значений (каждое
из которых имеет конечную кратность), не имеющих предельных
точек ни в какой конечной части комплексной плоскости.
В частности, в том случае, когда оператор Q формально само-
сопряжен, преобразование Грина является вполне непрерывным эрми-
товым оператором и в качестве следствия теоремы Реллиха — Гиль-
берта— Шмидта можно получить следующее важное утверждение:
Теорема 3. Если Q = Q+, то задача на собственные зна-
чения» соответствующая краевому условию Дирихле» имеет
20*
308 Гл. ХШ. Краевые задачи и задачи на собственные значения
вещественный чисто точечный- спектр с единственной пре*
дельной точкой на бесконечности. Собственные функции при-
надлежат классу С2т (йл) и образуют базис пространства
а, следовательно, также пространств	</п (см, упраж-
нение 1).
Замечание. Все теоремы этого параграфа остаются верными
для сильно эллиптических систем. Этим замечанием мы воспользуемся
в гл. XX при доказательстве теоремы, утверждающей, что на ком-
пактном многообразии Римана существует лишь конечное число
линейно независимых гармонических полей.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1.	Доказать, что если (uv) — базис пространства #z, то (uv) —
также базис пространства $k при 0^&<Z. Верна ли обратная
теорема?
2.	Пусть Ви— 2 (—l)lalDa(/?a(x)Dazz(х)), где коэффи-
I а К т
циенты Ьа — достаточно гладки и ограничены' (вместе с произвол-
ными) в области йя. Доказать, что тождество (/,	=	/)0,
где /,	определяет эрмитов оператор Н.
Определение. Система
(Q«)/(x)=S 2
к=1 ia\<p
называется сильно эллиптической в области Q„, если матрица
а‘к (х, £) = Re ( S aik (х)	. 1° = # .. •
\|al=p	/	л
равномерно положительно определена в для каждого веществен-
ного £ ¥= 0.
3.	Доказать, что все результаты этого параграфа верны для
сильно эллиптических систем.
4.	Гординг доказал, что в том случае, когда порядок опера-
тора Q выше размерности пространства, т. е. 2т > п, оператор
Грина Gt является интегральным оператором
(О//)(*) = f y)f(y)dy.
ап
Его ядро &t(x, у) называется функцией Грина краевой задачи.
В случае формально самосопряженного оператора функция Грина
эрмитова (почему?).
Упражнения и дополнения
309
Если ортонормировать собственные функции (uv) задачи и зану-
меровать их так, чтобы соответствующие собственные значения
v=l, 2, ... образовали невозрастающую последователь-
ность, то функцию Грина можно представить в виде равномерно
сходящегося ряда
оо
(ЙДх. у)= S(Xv + /)-1«v(x) uv(y)
v=l
(ср. Гординг [1]).
Слабые и сильные расширения эллиптических
операторов. Для простоты будем рассматривать операторы
с коэффициентами, принадлежащими классу С°°; читатель перенесет
приведенное ниже рассуждение на случай операторов с достаточно
гладкими коэффициентами. Пусть
Л^а(х,О)= 2 ae(x)D“,
|a|<m	“	4 nj
и пусть Ло— сужение оператора Л, заданное на множестве С2°(£2Я).
Определение. Слабым расширением As оператора А назы-
вается оператор (Л^) .
Определение. Сильным расширением оператора А назы-
вается оператор Ам, равный замыканию Ах оператора Лр опреде-
ляемого следующим образом:
D (Л1) = {« g А2 (□„) П С” (Q„): Аи £L2 (□„)}.
Ахи — Аи при	u£D (Л^.
Очевидно, имеет место включение Ам с As.
5.	Доказать, что для эллиптических формально самосопряженных
операторов (Л = Л+) AM = AS.
Указание. Воспользоваться следующей теоремой фон Ней-
мана*. D (Л0 = D (Ло) Е (/) 4- Е (— где Е (± Z) — множество
решений уравнения (A, qz II) ф = 0, a -j-' обозначает прямую сумму.
Затем применить основную теорему о слабых решениях.
6.	Доказать следующее более общее утверждение.
Теорема (Нарасимхан [1]). Пусть — ограниченная
область, а А — равномерно эллиптический оператор*, в этом
случае AS = AM.
Указание. Воспользовавшись неравенством Гординга, заметим,
что равенство (Л + Oj = (A + 0jf, t^E1, эквивалентно равенству
= Далее, нам известно, что при достаточно больших t one-
310 Гл. ХШ. Краевые задачи и задачи на собственные значения
рятор Л + Г ^положительно определен. Пусть Ж — унитарное про-
ойр.
странство со скалярным произведением (г/р = (г/р rz2)0
_|_ ((Д	Z)5zzp (Л + 0^2)0- Нужно показать, что множество
ЖПС°°(^л) плотно в пространстве Ж. Определим расширение
Фридрихса (Л + Оо оператора (Л + ^)о, и пусть N — О (Л-|-/)0.
Для рассматриваемого £ (Л + Оо N = £2 (йл); это топологический изо-
морфизм N на £2(йл) (2V топологизировано посредством Ж). Опе-
ратор (Л + 0^1 отображает С°° (йл) П £2 (йл) в плотную часть 7V. Из
основной теоремы о слабых решениях тогда следует, что эта часть
входит в C°°(Q/Z). Поэтому множество МПС°°(ЙЛ) плотно в N. За-
вершается доказательство при помощи подхода, подобного упомяну-
тому в упражнении 5.
7.	Обобщить теорему Нарасимхана на сильно эллиптические
системы с регулярными коэффициентами.
В заключение заметим, что оператор Ам можно определять еще
и более жестким образом, считая его равным замыканию в £2(£2Л)
оператора Л2, где D (Л2) = С°° (йл U <?йл) и Л2и = Аи (ясно, что так
определенный Ам является сужением ранее определенного). И в этом
случае справедливы утверждения типа сформулированных в упраж-
нениях 6 и 7, если только достаточно гладкая.
ГЛАВА XIV
Неравенства Эрлинга. Полная непрерывность
оператора вложения. Лемма Соболева. Слабая
полунепрерывность функционалов вариационного
исчисления функций многих переменных
В настоящей главе изучаются функционалы вариационного исчи-
сления функций многих переменных, связанные с эллиптическими
уравнениями высшего порядка. Основным инструментом являются
неравенства, найденные Г. Эрлингом (§ 2 и 3). Из неравенств Эр-
линга мы получаем простое доказательство леммы Соболева, которая
является главным звеном, связывающим функциональный анализ
с теорией дифференциальных уравнений.
В § 4 мы приводим простое доказательство теорем типа Рел-
лиха — Кондрашева о полной непрерывности. Эти теоремы дают
возможность обобщить теорему Гординга о полной непрерывности
преобразования Грина. В § 5 мы вводим изученные П. Д. Лаксом
пространства являющиеся пространствами, сопряженными к про-
странствам В § 6 излагаются так называемые фундаментальные
неравенства, которые позволяют в § 7 получить решение одной
краевой задачи иным способом, чем в гл. XIII. В § 8 мы доказываем
обобщенную теорему Вейерштрасса о достижении нижней грани
функцией, полунепрерывной снизу. В § 9 излагается теория форм
Лежандра, представляющая собой абстрактную основу теории квад-
ратичных функционалов вариационного исчисления.
Развитый аппарат позволяет в § 10 и 11 доказать слабую полу-
непрерывность важных функционалов вариационного исчисления,
найти необходимые и достаточные условия для достижения этими
функционалами абсолютного минимума и изучить дифференцируемость
элемента, на котором достигается абсолютный минимум. В § 12
излагаются некоторые вопросы, связанные с так называемыми не-
равенствами коэрцитивности, а в § 13 — некоторые дополнительные
сведения о резольвенте эллиптического оператора; § 12 тесно связан
с § 7.
§ 1. Введение
Рассмотрения предыдущей главы с точки зрения классического
анализа обладают существенным недостатком. С одной стороны,
были изложены методы решения краевых задач для обширного
класса эллиптических уравнений (даже систем) в произвольных огра-
ниченных областях. Мы доказали, это эти решения в случае гладкой
312
Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
правой части уравнения являются классическими решениями, т. е.
внутри области являются решениями в обычном смысле. В то же
время краевые условия понимались в обобщенном смысле и с клас-
сической точки зрения, собственно говоря, неизвестно, какая задача
решалась.
В последние годы было приложено много усилий для того,
чтобы разобраться в возникшей ситуации, и в конце концов удалось
добиться успеха. В настоящей главе описывается попытка отыскания
разумных условий, при выполнении которых обобщенное решение
задачи обладает требуемой степенью гладкости в замыкании области,
а следовательно, удовлетворяет краевым условиям поточечно, т. е.
в классическом смысле.
В этой главе мы рассматриваем также достаточно общие интегро-
дифференциальные краевые условия, охватывающие граничные условия,
встречающиеся в теории плит.
Главным инструментом, позволяющим относительно просто по-
лучить общие и точные сведения, являются интересные неравенства
для интегралов от сумм квадратов производных, полученные в част-
ных случаях Фридрихсом [1], а в изложенном здесь общем виде
принадлежащие Эрлингу [1], и вытекающие из них априорные оценки.
Эти оценки мы называем фундаментальными неравенствами.
Неравенства Эрлинга дали нам возможность весьма просто до»
казать теорему о полной непрерывности оператора вложения, из
которой в свою очередь непосредственно вытекает доказательство
полной непрерывности преобразования Грина в различных прост-
ранствах.
Настоящую главу можно читать независимо от гл. XIII. Однако
весьма поучительно сравнение результатов, полученных двумя мето-
дами.
§ 2. Области Эрлинга
Большая часть рассмотрений настоящей главы будет касаться
гильбертовых пространств функций, заданных в областях, удовлет-
воряющих некоторым достаточно общим условиям. Эти условия,
с одной стороны, настолько ограничительны, что позволяют высказать
ряд интересных теорем относительно различных норм (так называе-
мые неравенства Эрлинга и теоремы о вложении одного пространства
в другое), а с другой — настолько общи, что охватывают многие
случаи, встречающиеся на практике. Для упрощения формулировок
такие области и многообразия мы будем называть областями
Эрлинга.
Определение. Многообразием Эрлинга размерности J от-
носительно ограниченной n-мерной области	называется тео-
§ 2. Области Эрлинга
313
ретико-множественная сумма конечного числа листов 7\ которые
обладают следующими свойствами.
Г. Каждый лист в соответствующей системе ортогональных
координат ур ...» уп описывается уравнениями
Ъ+1 = «/+1(У1......У/).
...................................... (2.1)
УЯ = ®Я(У1......У А
где у — (У1.......У/)	пробегает замкнутую область D, а все функ-
ции (j)k удовлетворяют условию Липшица
1	1 Л £
|®й(у) — <->й(У)| <С|У — у|;	(2.2)
£ 2
здесь постоянная С не зависит от у, у.
2°. В плоскости у = const существует такой (п — /)-мерный ша-
ровой сектор 2 с положительным радиусом и положительным сфе-
рическим углом, что каждая точка у£Т может быть вершиной
сектора 2у, полученного из сектора 2 сдвигом и содержащегося
в йл, за исключением, быть может, самой вершины.
Рис. 3.
Если J — п—1, то лист Т описывается уравнением уп =
= ®п(У1.....ул-1), а условие 2° требует, чтобы для каждой точки
У = (У1..... Уя-1. ®я)€7’ отрезок у = (У1....... y„-i) = const,
(<ол > ул > сол— h) принадлежал области Йл, где h — положительное
число, не зависящее от у.
На рис. 3, а окружность и касательная к ней малая окружность
образуют одномерное многообразие Эрлинга относительно области й2»
которая является внутренностью большой окружности; граница сле-
дующей области й2 (рис. 3, Ь) является многообразием Эрлинга от-
носительно Qg, в то же время граница третьей области (рис. 3, с)
не является подобным многообразием.
Относительно области £2Л предполагаем следующее:
I.	Граница д£1п области 2Л является (п—1)-мерным многообра-
зием Эрлинга относительно £2Л.
314	Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
II.	Множество является границей множества |J д2я.
III.	Существует такой n-мерный шаровой сектор S с положи*
тельным радиусом и положительным сферическим углом, что каждая
точка х£АЛ является вершиной сектора содержащегося в мно-
жестве	и равного S.
IV.	Область йл является теоретико-множественной суммой конеч-
ного числа областей, из которых каждая в соответствующей системе
прямоугольных координат задается неравенством вида
О < У/ < = const, I < n, 0 < yn < Y (У1........y^),
где Y — непрерывная функция и inf Y > 0.
Условия I и II обеспечивают существование почти всюду на
границе дО>п внешней нормали; из этих условий также вытекает,
что если функция /£С(ЙЯ) и частная производная df/dXi суще-
ствует и интегрируема в то имеет место равенство
f	f 7(x)eiMdx,
an	1	dQn
где et (x) — косинус угла между внешней нормалью к dQn в точке х
и осью В этом случае имеет также место формула Грина.
Условие Липшица влечет существование почти всюду (относи-
тельно dy — dyt ... dyj) на Т якобианов
опр.	.....
D(yi....уу) .
Многообразие Sj обладает поверхностной мерой
2 (Dki.......
Почти всюду относительно меры dSj многообразие обладает /-мерной
касательной плоскостью. В частности,
=	+C2dy.	(2.3)
§ 3. Неравенства Эрлинга
Пусть Н— множество бесконечно дифференцируемых функций, за-
данных на £2Я и обладающих вместе с производными непрерывными
расширениями на замыкание йя области йл. Пусть
(«. J 2 DvuDvvdx, |«|2°—(«. и)ь>~
Qn I v| = *
k
1|и|1й°—S l"lz-г')°—(« ^ и, ven.
i=0
§ 3. Неравенства Эрлинга
315
Для больших значений / >0 имеют место три соотноше-
ния'.
|«|’ = 0(z-''-"”){/|»l2+|«£)	(3.1)
при O^k^m-,
| Dva (х) |2 = О (И1-	(л+21 v 1 ’1) (Н и |2 +1 и |2т).	(3.2)
если показатель степени при t отрицателен, т. е. если
т> n/2 + |v| равномерно относительно x^Qn, и
f | Dv« (х) |2dSy = О (И1’*" <л-''+2Ь’»1) (/1 и |2 +1 и □ (3.3)
si	.........................
для отрицательного показателя степени при t.
Неравенства (3.1) — (3.3) будем называть первым, вторым и
третьим неравенством Эрлинга. Прежде чем переходить к до-
казательству, укажем на некоторые интересные свойства этих нера-
венств. Обозначим символом Hk = Hk(Q^ пополнение множества Н
по норме || • ||Л. Функции множества Hk имеют все сильные произ-
водные,-т. е. |( • ||0 — пределы соответствующих разностных отноше-
ний (ср. упражнение 1). .
v О
Если (u)i является || • ^-последовательностью Коши в Н, а и и и —
предельные функции (элементы) последовательностей (Dvи^ и (и{),
то при | v | т и для произвольной функции
v
(«, £)==(—l)|v| (a, Dvg).
Таким образом, сильные производные являются слабыми про-
изводными или так называемыми производными в смысле Соболева.
Общую теорию этих производных развил Лоран Шварц [1]. Не-
равенства Эрлинга по непрерывности переносятся на пространства
Из первого неравенства Эрлинга вытекает не только, что нормы
|| • И* и | • |0+ I’k эквивалентны, но и что || и ||^ = о(1) р | и |^4-
4-|я|2] при I > k, где о(1)->0 при /~>оо. Аналогичные следствия
имеют место для интегралов по поверхности в третьем неравенстве
Эрлинга.
Этими замечаниями мы воспользуемся в § 5 при доказательстве
фундаментальных неравенств для эллиптических операторов.
316	Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
Из второго неравенства Эрлинга вытекает непосредственно весьма
важная лемма.
Лемма (Соболев). Если и £ /7In/2]+i+p, то и£Ср&п\
Доказательство. Из неравенства (3.2) вытекает, что
II * 11[л/21+14-р’сходимость последовательности Коши влечет равномерную
сходимость самой последовательности, а также последовательности
требуемых производных в замыкании £2Й области Qn.
Лемма Соболева приобретает все большее значение при исследовании
дифференцируемости решений в £2Й: для того чтобы доказать, что
решение и обладает требуемой степенью гладкости в замыкании £2Й
области достаточно доказать, что	где k достаточно
велико.
После этих замечаний переходим к доказательству неравенств
Эрлинга.
Доказательство первого неравенства Эрлинга.
Пусть Т — лист, принадлежащий множеству Ой и описываемый урав-
нением уя = о(у), у = (ур .... Уя-Д где у пробегает замкнутую
область D = D. Вследствие предположения I можно считать, что
область Т (Л), заданная соотношениями у £ D, (о— h < уй < со, содер-
жится в области £2Й при некотором h > 0. Значение функции и£Н
на границе д£2й можно вычислить по формуле
<Ну)
«(у. ®(у))=«(у. ул)+ J ~д^аУп при у€Г(й).
Уп
В силу неравенства | а + b |2	2 (| а |2 -1~ | b |2) и неравенства Шварца
имеем
~ . 03
|м(у, о (у)) |2 < 2 | и (у) |2+ 2Л J 12 ^уй.
Уп
Интегрируя это неравенство по Т (h) и принимая во внимание (2.3),
находим (ниже h может принимать произвольные достаточно малые
значения)
(У + сГ'1' $\U?hdT^ j I и J3 dy-j-2Л2 fl^-fdy^
Г	T(h)	п
п
<2 /|«|2dy + 2A J 2|-g-|2dy,
ТФ) <=l
§ 3. Неравенства Эрлинга
317
Складывая оценки для различных листов Т, получаем
J | и |2 dx А [Л”11 и |q + h | и Ij.
dQn
(3.4)
В дальнейшем А будет обозначать положительную постоянную,
не всегда одну и ту же, однако не зависящую от функции и и
параметра h.
Обратим внимание на то, что в (3.4) интеграл по поверхности
оценивается с помощью интегралов по объему. Существенными
являются показатели степени параметра h в правой части. Это не-
равенство используется в § 4 при доказательстве полной непре-
рывности оператора вложения.
Применяя (3.4) к производным функции и и складывая результаты,
получаем
п
f S М«ii+А ।«й]-	<3-5>
еап /=1
Из формулы Грина, которую мы запишем в виде
|« I, —F J uk.tidx= j'u-^-dx,
Qn	dQn
318
Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
после применения неравенства Шварца и соотношения 2аЬ—2 (й ,/4а) %
X (Л*М	h'1 а2+fib2 получаем
где h > 0 произвольно. Оценивая интегралы по поверхности с по-
мощью формул (3.4) и (3.5) и заменяя в (3.4) h на fi^ftA, а в (3.5) —
на 4Ah'!t, получаем
|«|^ с Л [А-1 1«1о	«1г].
Применяя это неравенство к производным порядка k — 1 и !
складывая результаты, получаем
l«ll<MA"1l«lLi+Al4+i]- (3-6) |
Докажем по индукции, что имеет место неравенство	]
+	й>1.	(3.7)	'
Предположим, что это неравенство верно для Мы должны
доказать, что оно имеет место также для р + 1. Легко показать,	|
что если это неравенство справедливо при р = 0, то оно спра-
ведливо также при р = 1. Но для р — 0 неравенство (3.7) три- I
виально.	_	!
Из индуктивной гипотезы (относительно k) вытекает	*
|и|11<Л[й-(А-1)|«|о2 + й|«|^.	J
Подставляя это неравенство в (3.6), получаем	i
и* < Л [4- Ч I «|„ + 4 I « а + л |« It,].	;
а следовательно, для достаточно малого hx имеем
| и |0 -J- | и
Теперь на основании индуктивного предположения	I
1“£ <-4[4-'|«i; + 4"|«|’м];
§ 3. Неравенства Эрлинга
319
с другой
в виде
стороны, записывая доказанное для р = 1 неравенство (3.7)

получаем
+ J-) I и 1^ + л'*' |«|;+и1].
Взяв в самого начала h достаточно малым, получаем
i«u я[г‘н+гни
Таким образом, мы доказали справедливость неравенства (3.7).
Положим в (3.7) k-\-p = m и h — тогда неравенство (3.1)
в случае 0 < & </п выполняется. В случае О и k — m нера-
венство (3.1) очевидно. Таким образом, доказательство первого
неравенства Эрлинга закончено.
Доказательство второго неравенства Эрлинга.
Положим
ф(0°—+ где || ВII = 1-
Из формулы Тейлора для функции ф, записанной в виде
ф(S)=ф(0+—($—о4-... ч-------------—	(	fyk-1 +
YW 'ГЧ-'Гл dt \	/Т~ I ^_1)!	V >	-Т-
♦ J	dx*
имеем
Jfe-l	о
/ (х) = ф(0) = 2 ф(0 (0 (- t)1 + k / (- T)ft-1 ф<*) (т) dx,
1=0	t
где
/! dt1
Поскольку мы собираемся переходить к сферическим координа-
там, то будем брать столько членов разложения Тейлора, чтобы
под знаком интеграла получить множитель тл-1б?т. Используя не-
равенство
("оН- «л-Ь ••• +«а)2<(А4-1)(«Н^+ ••• + «1)
320
Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
2
2
2__14- k — 1	n~^
2 -T 2 <p(*)(T)dT
о
и учитывая соотношение
fr“(n"1)+2<ft"1)dT. JТ»-’ |(pW(T)|2</T =
о
fik-n г .
о
. о
получаем
2k — п > 0. (3.8)
(jfe-l
£|ф(*)(/)|2^ +
Z=O
fik-n p
0
Принимая во внимание условие III § 2, введем л-мерный сфери-
ческий сектор 2(й)с:йл с центром в точке х и радиусом Л.
Вводя сферические координаты и интегрируя по переменному (3.8),
получаем
(й-1
2 л2' f |<p<z>|2dx +
Z=0	2(Л)
h	t	\
/» и 1	/»	п	л	\
ап-1	0	/
где a„_i — единичная сфера, ah" — мера сектора 2(A). Меняя
порядок интегрирования, получаем
А	р Лк-п	р
f 2fe —л J тл-1|ф(*>|2</т =
о .	о
л-1
j.2k — 1
= faxf 2k^adt fT”-11ч(к)I2dan-i =
h
о
о
о
~2k (2k —n) J
0
h
h2k Г .
n(2k — n) J X d
0

ал-1
_ h2k С
n(2k — n) J
S(A)
§ 3. Неравенства Эрлинга
321
откуда	* *
|/(х)|’<Л jjA2'-" J|<p(0|2<Zx + ^-^7 J|<p(*)|2</x.
Z=o 2 (Л)	2 (ft)
Поэтому тем более
1/(х)12<л2л2/-"|л;,
z=o
а для производных
k
|d7(x)|2<h3*2,'"I/Iz+1v1	(3.9)
при h > h0 равномерно в £2Я.
Применяя к правой части формулы (3.9) первое неравенство •
Эрлинга, полагая при этом в (3.9)	и u—f. получаем
ь 1 ™	H|v| \
। о’» ы г < л з г	> р ।«I’+1»а=
итак, мы доказали второе неравенство Эрлинга.
Доказательство третьего неравенства Эрлинга
проводится аналогично доказательству второго.
Пусть Tj есть /-мерный лист многообразия Sjt описываемый
уравнениями
У/+1== С«>;+1(У1» .... У/). .... У„ = <Ол(У1.У;)-
Выразим значение функции f в точке у = (ylt .Ур Оу+1, ..., (dn)£Tj
через ее значение (р(0 = /(у + ^) на луче у + ^, £^>0,
... = £у. = 0, |£| = 1, проходящем через (п—1)-мерный
сектор Sy с вершиной у. Предположим, что £>у(я — /)• Из (3.8)
получаем
,	/	/2Й-П+;	/	\
1/(У)|2<(А+1)	+	тв’у"1,ф(й)(х)|2</т •
V 1=0	о	'
(3.10)
Возьмем объемный интеграл от обеих частей неравенства (3.10)
по переменному z — у + по области Sy (К) X Тгде Sy (h) обо-
значает ту часть сектора Sy, которая лежит в шаре радиуса h
с центром у. Переходя к соответствующим сферическим координа-
там и производя выкладки, аналогичные предыдущим, а также скла-
21 К, Морен
322
Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
дывая	оценки,	полученные для	различных	листов Гу, при достаточно I
малых	значениях	h получаем	1
&	ж
/|/|2dx<^^|/|zA2Z-',4	I
5у	Z=0	•
Применяя это неравенство к производным и полагая u—f,
найдем
k
f\Dvu\2dx^h2l-n+j\u\l+v.	(3.11)	'
Sj	1=0
Применяя, как и раньше, первое неравенство Эрлинга и опять пола-
гая h = получаем (3.3), что и требовалось доказать.
§ 4.	Предкомпактность подмножеств пространства L2.
Полная непрерывность оператора вложения It,k
Пространство Ht можно рассматривать как подмножество
пространства Hk при k < /. Вложением (инъекцией) Ilt k про-
странства Ht в пространство Hk называется линейный оператор
Iltk:	заданный при u£Ht соотношением
Из первого неравенства Эрлинга немедленно вытекает, что —не-
прерывный оператор. Цель настоящего параграфа состоит в том,
чтобы доказать полную непрерывность вложения, т. е. доказать,
что единичный шар в пространстве Н1 является предкомпактным
множеством в пространстве Hk. Доказательство проведем по индук- |
ции. Достаточно доказать полную непрерывность оператора /Л+1>	| <
при & = 0 Hk = и для того, чтобы доказать полную непре- |
рывность вложения /1э 0, нам потребуется признак предкомпактности |
в пространстве £2(йл). Пусть Еп есть n-мерное пространство (ана- I
логичный признак имеет место и в более общем случае, когда |
Еп— топологическая группа).
Для того чтобы множество Фс 1?{Еп) было предкомпакт-
ным, необходимо и достаточно, чтобы:
Г множество Ф лежало в некотором шаре, т. е. чтобы
существовало такое число М, что ||ф||<:Л1 для всех <р£Ф;	"
2° для каждого е > 0 существовало такое компактное
множество К — К(е)с:Еп, что для произвольной функции ф£Ф
выполняется неравенство ]| <р — ф' ||<^е, где
ф(х) при х £ К,	|
0	при х К;
Ф' = ф | К, (ф | К) (х) =
§ 4. Предкомпактность подмножеств пространства L2 323
3° для каждого г > 0 существовало такое 6 > 0, что для
каждого Н£Еп, | h | < 6,
II Фл ~ ФII < с, где <pft(х) = <р(х + Л).
Доказательство. Условия Г — 3°, очевидно, необходимы.
Действительно, пусть ..., /р(8) есть (е/3)-сеть множества Ф;
поскольку множество С™ плотно в пространстве L?(En\ то, не ограни-
чивая общности, можно предположить, что fv £C™(En)t v=l.р(&)>
В качестве числа М можно взять max {|| /v|| + 8/3}, в качестве
множества К — компактное множество, содержащее носители функ-
ций f1..../р(е), а в каЧестве числа 6(e)— такое число, что
||fvh — /v||<0/3 при |Л|<б(е) (функции fv равномерно непре-
рывны). Прежде чем переходить к доказательству достаточности,
покажем, что условия Г—3° достаточны для предкомпактности
множества Ф в пополнении CQ(En) множества финитных функ-
ций из С(Еп) относительно нормы
||/|| = sup|/(x)|
х€Еп
(теорема Асколи).
Благодаря условию 2° можно ограничиться тем случаем, когда
функции множества Ф имеют носители в компактном множестве /С.
Условие 1° означает, что эти функции ограничены в совокупности,
а условие 3° — что они равномерно непрерывны. ВыберехМ число 6(e)
в соответствии с условием 3°.
Рассмотрим покрытие множества К конечным числом шаров
радиуса 6 = 6(e) с центрами xz (шары обозначаем /C(xz, 6)). Выбе-
рем теперь конечную последовательность функций fv £Ф так, чтобы
для произвольной функции /£Ф существовал такой показатель v,
для которого
|/(xz)— fv (х*) | е при всех х1.
Поскольку каждая точка х£К лежит в одном из шаров К(х1, 6),
то в силу условия 3° имеем
|/(х)~ /v(x)| <|/(х)-/(?)|+|/(?)-/V)l+
+ I/V)-/V(*)I<38.
Очевидно, при х К имеем | f (х) — /v (х) | = 0.
Случай пространства L2 сводится к предыдущему посредством
регуляризации функций ф'=’ф|/С: пусть ££С£°(/С(О, 6)), §*(х)^0,
J g (x)dx = 1 и
Еп
21*
324
Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
Т. е.
ф" (X) = f g (У) ф' (х — У) dy.
Еп
Заметим далее, что
J |(ф"—ф')(х)|2<*х= J
Еп	Еп
/ £(У)[ф'(х—У)—<f(x)]dy dx<||g||;
Еп
|2е2,
т. е.
||ф"—ф'И < <*,
где с не зависит от ф. Аналогично
II ф"(х) II < II g II Г JI ф' (х — у) I2 dy
1£л
1,2 ||^||.
так что функции ф" ограничены в совокупности.
Далее имеем
Ф* (х — у) — ф" (X) | = I ф" (х — К) — ф" (х) I =
= / £(у)[ф'(х — у — Л) — ф'(х — У)] dy = (£й —g)* ф'(х);
Еа
для достаточно малых h
|Фл(х) — Ф"(х)|<е.
Кроме того, функция ф" имеет носитель в некотором компактном
множестве. Таким образом, семейство (ф") удовлетворяет всем усло-
виям теоремы Асколи и существует е-сеть ф'\ .... Ф^(е). Отсюда
вытекает предкомпактность множества Ф, что и требовалось доказать.
Из этой теоремы получаем следующее достаточное условие пред-
компактности множества Ф с L2 (£2Я), где £2Я с: Еп и множество йя
компактно.
Продолжим функцию из Л2(йя) нулем вне £2Я; обозначим такое
продолжение функции ф££2(£2л) символом ф. Теперь можно при-
менить предыдущую теорему. Множество Ф с £2(йя) компактно, если
1° ||ф||<м,
2° Йл —?|1<е при |Л|<6(8).
Полученный нами признак предкомпактности применим к доказа-
тельству следующего утверждения.
Теорема (Реллих). Вложение	является вполне
непрерывным отображением.
Доказательство. Пусть — единичный шар в Нг: «£ФР
|| « Hi < 1. Из первого неравенства Эрлинга вытекает, что множество
§ 4. Предкомпактность подмножеств пространства L2 325
ф1 с HQ равномерно ограничено (лежит в некотором шаре). Тре-
буется доказать, что выполняется условие Пусть Q*—подмно-
жество множества йл, состоящее из точек, находящихся на расстоя-
нии меньше чем 6 от границы dQn.
Разобьем интеграл в неравенстве 2° на сумму двух интегралов:
первый по области Q„, а второй по области йл — Если
то
1
u(x-\-h)— и(х) — J* ’—u(x^th)dtt
о
откуда
J* |	+ h) — и(х) |2
о5 6
п 1
< f R|2f 2|-^-(x+^)|2dX^<A2<d2.
й» о
Для того чтобы оценить интеграл J* |а(х+Л)— w(x)|2dx,
О
л “л
достаточно оценить интеграл типа J [ и (х) |2 dx\ однако послед- *
ал-ал
ний интеграл в силу (3.4) для малых 6 есть 0(6). Таким образом,
в случае k = 1 теорема доказана.
Переходим теперь к доказательству общего случая полной не-
прерывности вложения Hk-± Hk_x.
Пусть Фл — (единичный) шар в Hk\ из неравенств Эрлинга и
уже рассмотренного случая k = 1 вытекает, что достаточно дока-
зать сходимость подпоследовательности по норме | •	!); однако
| и [*—1 является суммой интегралов квадратов Dk~xu, причем произ-
водные Dku являются выражениями вида (dldxj)Dk~lu\ из предыду-
щего (k = 1) вытекает, что посредством (возможно, многократного)
перехода к подпоследовательности можно найти такую подпоследова-
v
тельность, чтобы ит было || • Переходящимся, что и требовалось
доказать.
5
|a|=ft-l
326
Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
Перейдем теперь к сопряженным пространствам
гг 2£Р‘ гг*
H-k — пк
(подробное определение пространств H_k см. в § 5).
Пусть J—Jk+X k — вложение пространства в пространство
Нк :	=	В таком случае в силу определения сопря-
женной операции имеем
<ч+1- «;>=<«й+1-
откуда
Таким образом, оператор	вложения	сопряжен
вполне непрерывному оператору k и поэтому сам вполне непре-
рывен. Мы получили следующее важное утверждение.
Теорема. Вложение Hl~> Hk при l>k является вполне не-
прерывным отображением, если Qn—область Эрлинга (k—про-
извольное целое число).
§ 5.	Пространства H_k
В последнее время в теории уравнений в частных производных
(главным образом благодаря теории обобщенных функций Шварца)
важную роль стали играть пространства, сопряженные с простран-
ствами Hk, т. е. пространства линейных непрерывных функционалов
на пространстве Hk(Qn). Ввиду того что в настоящей монографии
мы не предполагаем, что читатель знаком с теорией распределений, мы
изложим элементарный подход, которым мы обязаны П. Д. Лаксу
(ср. Лакс[1]). Поясним сразу, что так как Hk(Qn) — гильбертово
пространство, то каждый функционал I (w) на нем записывается
в виде Z(w) = (w, v)k, где «/ — некоторый элемент из //Й(йл). Однако
оказывается удобным записывать такой функционал в терминах, грубо
говоря, скалярного произведения (• , • )0; это сейчас и будет сделано.
В дальнейшем Hk = Hk (Q„), & > 0.
Для каждого и£Н$ выражение («е/, и) = (w, и)0 является линейным
функционалом переменной w, непрерывным относительно нормы || • ||0,
короче: || • ||0-непрерывным, а поэтому также || • [^-непрерывным.
Обозначим его норму символом
||и||-й — sup-fep-. *>0.	(5.1)
W П w llfc
Эти линейные функционалы образуют полную систему: они равны
о
нулю на некотором фиксированном элементе	тогда и только
§ 5. Пространства Я-л
327
тогда, когда w = 0. Пространство Hk как гильбертово пространство
является рефлексивным. Нам известно (ср. гл. II), что в таких про-
странствах полные множества плотны в сопряженном пространстве.
Таким образом, функционалы / (•) вида Z(w) = (^, и) плотны в
В свою очередь мы знаем, что в гильбертовом пространстве
= ,5J'>
где и* пробегает какое-либо плотное множество в пространстве
Обозначим через H_k замыкание множества С£°(£2Л) по норме ||• ||_д.
Пространство H_k изометрически изоморфно пространству Нк:
и, следовательно, тоже является гильбертовым пространством. Сле-
довательно, каждому элементу и пространства H_k можно поставить
в соответствие линейный функционал l^Hk с помощью формулы
Z(tef)==(w, и),
где (w. й)= lim (w, и„), ип£Нй> lim ||«л —«||_ft = 0.
/1->ОО	л~>оо
Отсюда вытекает следующее обобщенное неравенство Шварца\
К®*, »>| = к®. «)| < II & II* • II«ILr
Теорема (Лакс). Всякий линейный непрерывный функцио-
нал 1(и) на пространстве H_k можно представить в виде
„скалярного произведения*
l(u) = (w, и) = (и, w)t где <w£Hk.
Мы предоставляем доказательство читателю. Заметим, что, как
вытекает из формулы (5.1'), норма функционала /(•) = (•, w)
равна ||w||^. Поскольку пространство Hk является полным, множество
линейных функционалов указанного вида является замкнутым.
В дальнейшем мы будем заниматься областями Эрлинга.
Из предыдущих глав нам известно, что, для того чтобы в тер-
минах гильбертова пространства сформулировать некоторую гранич-
ную задачу, следует выделить некоторое линейное пространство —
пространство однородных краевых условий. В теории задачи Дирихле
для эллиптического оператора порядка 2m (т^>1) допустимые функции
должны равняться нулю на границе д&п вместе с производными
до порядка m—1 включительно. В терминах гильбертова пространства
328
Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
этот факт формулируется следующим образом: и £ Нт, где
Нт—Нт (2Л), как и в § 6 гл. I, является пополнением множества С™ (йл)
по норме II • ||т.
В общем случае будем говорить, что функция и удовлетворяет
однородным краевым условиям, если и£В, где В—подпростран-
ство пространства Нт, содержащее подпространство Нт,
НтсВсНт.
Такого рода общие граничные условия изучал Эрлинг [1].
В дальнейшем мы будем заниматься только граничными условиями
первого рода, т. е. такими, что и£Нт. Большинство приводимых
ниже теорем переносится на общие однородные граничные условия.
Отметим, что построение пространства H_k переносится и на тот
случай, когда роль Hk играет В и, в частности, Нт. Формула (5.1)
сохраняется с w £ В. В дальнейшем Н_т означает пространство функ-
ционалов, соответствующее Нт.
§ 6.	Проблемы вибраций
Предположим, что оператор
Аи (х) — а (х, О) и (х) = 2 av (*) Dvu (х) =
| V I < 2т
= (-l)m	2	О'1 (egv (х) Dva (х)) +
j|X|s|vl=m
|Ц |<m, I v|<m
||il + | v|<2m
является равномерно эллиптическим в области £}л, т. е. суще-
ствует такая постоянная J, что для каждого х £ йл
2 И!> 2
|ц|»ш	IЦ | и | v | = т
при всех$*€С\ Л = 1....я; =	...	|ц|=Н14- ...+р.„.
В силу неравенств Эрлинга для достаточно большого tQ\>0 форма
а {и, vt ’ J а^(х)Оци(х)Л(х)(/х +
сл |Ц| = 1 vl = m
л—1
-Но(а. v) + M(u, гО+2 JKj(u, v)dSjt
§ 6. Проблемы вибраций
329
где Af(zz, J* J] (*) D*u (х) Dvv (х) dxt ||i|</n,
|v|<^/n, |«| + |v| < 2mt Sj есть /-мерное многообразие Эрлинга
относительно области £2Я, Kj(u, v) = 2c^D^uD^, причем |я|,
|v| < т—^(п— J), а коэффициенты c^v ограничены, удовле-
творяет условиям теоремы Лакса — Мильграма (ср. гл. II, упражне-
ние 7), т. е.
1° функция #(•, • , /0) линейна относительно первого и анти-
линейна относительно второго аргумента; кроме того, существуют
такие постоянные су с2 > 0, что
2° |а(«, V, 4))l<M«llmMlm.
3° [а(и, a, ^o)l>c2|l«llm
для всех и, v£Hm(Qn).
Таким образом, имеем следующую теорему.
Теорема. Отображение Gfi t^tQ, заданное формулой
(и, v} — (ut v) = a(Gtu, vt t), u£H_m, v£Hm
(или v£BcHm', и^В^Н-ы), является линейным непрерывным
отображением, т. е. гомеоморфизмом пространства Н_т на Нт
(или Gt: В*->В). При и£Н2т имеет место неравенство
IJorMa. OIH + Oallo* 1)-
п-т
Доказательство. Мы должны лишь -доказать неравенство.
В силу определения нормы || • || о имеем
л-т
Цог’иЦо sup ф)= sup |а(и, qr,OI =
ff-m ||<Р11га<1	J|q>llm<l
= sup |((Л + 0«. ф)| <||Л«-Н«||о	(ф€С”(йл)).
И фИт<1
что и требовалось доказать.
*) Читатель, знакомый с элементами теории распределений Шварца,
-1	°	°
легко заметит, что обратное отображение	является
Дифференциальным оператором a(xt D, t) ===	2 av(x)Dvu-^tut где
I v К 2m
— теперь оператор дифференцирования в смысле теории распределений.
Таким образом, G^x является некоторым расширением дифференциального
оператора a (xt D, t) (ср. Шварц [1]).
330
Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
§ 7. Проблемы вибраций (продолжение)
Следуя Эрлингу, мы изложим далее общую формулировку про-
блемы вибраций.
Определение. Собственной функцией ик проблемы вибра-
ций {а, В}, соответствующей собственному значению X, называется
такой элемент иЛВсН , что для всех ф£ В имеет место тождество
ф’°) = X(«V <Р).	(7.1)
Опираясь на полную непрерывность оператора вложения, мы
можем доказать некоторое обобщение теоремы Гординга — Эрлинга.
Теорема. Для достаточно большого t тождество
(и, v) = a(Gtu*, v; t), и£Н_т, Gtu, v£B, (7.2)
определяет оператор Gt. Оператор Gt, называемый преобра-
зованием Грина, рассматриваемый либо как отображение
1°	где —либо как отображение
2° Gt: Hs->Hp, где s > — т, р^т, является вполне непре-
рывным оператором. Проблема вибраций и оператор Qt имеют
одни и те же собственные векторы*, если К— собственное
значение проблемы вибраций, то (Х + 0-1 является собствен-
ным значением оператора Gt.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из следую-
щих диаграмм:
— >Нт	Hk, — m^k < т,
s> — т, р<т;
при этом 1тр— оператор вложения пространства Нт в простран-
ство Нр.
Пусть ик£В, и* пусть OtuK = (Х + 0~1 тогда на основании
соотношения (7.2), определяющего оператор Gt, имеем
a(«v ф; f)==(A,-M)(«v ф)	(7.3)
откуда вытекает (7.1). Обратно, если а(и^ ф, 0) = %(и, ф), то
а(«х, ф; = (Х +1) (ик, ф) = а(С/[Х + Л «v W О’
откуда вытекает второе утверждение.
Если проблема {а, В} самосопряжена, т. е. если форма
а (• , • ; t) является эрмитовой на множестве В, то преобразование
Грина является эрмитовым оператором; в этом случае, объединяя
§ 7. Проблемы вибраций
331
предыдущую теорему со спектральной теоремой Реллиха, получаем
важное следствие.
Следствие. Если проблема вибраций самосопряжена, то
ее собственные функции образуют базис в пространстве В и,
следовательно, являются полной системой в пространстве HQ.
Перейдем к выводу фундаментальных неравенств. Ввиду сложности
выкладок мы сможем дать лишь беглый набросок соответствующей
теории. Прежде всего установим одну простую лемму.
Лемма. Если эрмитова матрица B — (bik) положительно
определена, то тензорное (кронекеровское) произведение В®В
является положительно определенной матрицей. Если * ма-
трица В(х) равномерно положительно определена, то то же
имеет место и для матрицы В(х)® В(х)1).
Доказательство. Напомним, что порядок (квадратной) матрицы
В® В равен г2, где г — порядок квадратной матрицы В\ при этом
ее элементы определяются следующим образом (два первых индекса
указывают строку, а третий и четвертый — столбец):
а	A h
° и, kr — bikblT.
После приведения матрицы В к диагональному виду (посредством
унитарного преобразования, которое, как нам известно, не меняет
спектра) получаем матрицу В® В в диагональной форме. Элементы
на диагонали имеют вид ХДр I, 1=1, ...» г, где Zv > 0 — соб-
ственные значения матрицы В. Если Zv(x)>d>0, то очевидно
Х^х)^^ (х) > t/2 > О, что и требовалось доказать.
Для того чтобы лемму можно было применить к выражению
J* jaU ^M-v («*)	(%)	(*)	(<#) бХ,
Qn
(|j*|, |v|. |м|, |X|=m,
потребуется выполнить соответствующее интегрирование по частям,
так чтобы под знаком интеграла получить сумму выражений вида
agv (х) анК (х) D^D^u (х) DvDKu (х).
Мы наложим на функции такие краевые условия („допусти-
мые условия"), чтобы в полученных интегралах по поверхности
*) Кронекеровское произведение матриц Вь В2, рассматриваемых как
отображения векторных пространств Xf —->Х1} Х2 —->Х2» является по опре-
делению матрицей тензорного произведения В{ ® В2 отображений Вх, В2,
записанной в базисе ei®lb, где е/ и 1ь — базисы в пространствах Хх и Х2
соответственно. 7	7
332	рл xiV. Неравенства Эрлинга
не встречались выражения вида cp(SDpuDgut где |р|+|о| — 4т— 1.
Можно проверить, что условием такого рода является, например,
однородное условие Дирихле. Эта проверка довольно громоздкая,
и мы ее опускаем.
Наметим доказательство фундаментального неравенства. Из сде-
ланных замечаний леммы, а также первого и третьего неравенства
Эрлинга вытекает, что
IM“llo+/ll«llo>d2|“l2m + /2|«lo+ ••••
где многоточие означает выражение, состоящее из интегралов по по-
верхности и объему, которые при £->оо малы по сравнению
с
Применяя теперь опять первое неравенство Эрлинга, мы видим,
что существуют такие постоянные с1 >0, с2 > 0, что
т. е.
II « IL<С11Аи |о+с2| « |о-
Может быть также доказано и более общее неравенство
II« IL+Z < I Л« Iz + с21«Io (/ > 0).
Эти неравенства мы называем фундаментальными неравенствами.
Отметим, что приведенная выше схема их вывода приводит к цели
в случае уравнений второго порядка и условий Дирихле; в случае
более общих уравнений и граничных условий на этом пути можно
получить лишь отдельные  результаты. Вместе с тем в последнее
время разработаны общие методы получения фундаментальных не-
равенств; см. в связи с этим § 12!).
Рассмотрим теперь однопараметрическое семейство (равномерно)
эллиптических операторов Lx —’ г А + (1 — т) F, где F = (— Д)т -|- с,
Д — оператор Лапласа, а с—такая постоянная, что ||M||2m+z^ci II ||р
Оператор А является равномерно эллиптическим оператором, а функ-
ции и удовлетворяют краевым условиям, о которых шла речь выше.
Легко заметить, что операторы La равномерно эллиптичны, т. е.
имеет место неравенство 2 Aiv (х> т) б 2 | Iй где б > 0
m|=|vi = m	ц
не зависит от х и £; при этом 1Цу(х, т) — коэффициенты при про-
изводных порядка 2т в операторе Lx. В качестве б можно взять
*) Фундаментальное неравенство впервые было получено С. Н. Берн-
штейном для уравнения Лапласа и условий Дирихле. Для сильно эллипти-
ческих уравнений второго порядка и условий Дирихле оно было получено
О. А. Ладыженской, С. Г. Михлиным, Каччополи, а для общих сильно
эллиптических уравнений и условий Дирихле — О. В. Гусевой, Браудером,
А. И. Кошелевым. Намеченная выше схема доказательства восходит
к С. Н. Бернштейну и принадлежит О. А. Ладыженской. — Прим. ред.
§ 7. Проблемы вибраций
333
min (d, //), где d — положительная нижняя грань собственных значе-
i
ний ХДх) матриц (agv(x)), a — собственные значения матрицы
главной части оператора (— Д)т.
Таким образом, мы получаем следствие.
Следствие. Если а0(х) является достаточно большим,
то существуют такие постоянные сг > 0 и х, что для всех
u^H2m+lnBi выполняется неравенство
где Вх — линейное множество функций, удовлетворяющих до-
пустимым краевым условиям.
Это следствие позволяет нам доказать следующую важную теорему.
Теорема. Если коэффициент а0 является достаточно
большим, то оператор А осуществляет гомеоморфное ото-
бражение множества Н2т+1(\ВХ на пространство Ht для таких
областей 0>п, для которых оператор F = (—А)т-\-с отобра-
жает множество	в множество, плотное в про-
странстве f/z(Z^O). Из леммы Соболева вытекает, что при
l-\-2m>^-\-q граничная задача имеет решение класса Cq(йл).
Прежде чем переходить к доказательству, заметим, что эта теорема
является более сильной, чем теорема Гординга из предыдущей главы,
ибо она дает нам сведения относительно дифференцируемости реше-
ния в замыкании £2Л области ЙЛ, а не только внутри этой области,
и, следовательно, мы получаем решение граничной задачи в класси-
ческом, а не в обобщенном смысле. Эту дополнительную информа-
цию мы получаем за счет ограничений, накладываемых на границу
области йл (ср. упражнения), тогда как в методе Гординга мы
обошлись без этих ограничений1).
Доказательство. Заметим сначала, что в том случае, когда
краевая задача
[(— A)'n + c]« = Fa==/C^P
где f пробегает множество, плотное в Ht, разрешима, предыдущее
уравнение разрешимо для каждой правой части, принадлежащей Ht,
О Теорема, подобная сформулированной выше, имеет место и для Z < 0.
При Z< — 2т она восходит к М. И. Вишику и С. Л. Соболеву, для «про-
межуточных" Z £ (— 2т, 0) она в случае условий Дирихле доказана Лионсом
и Мадженесом, а в случае общих граничных условий — Ю. М. Березанским,
С. Г. Крейном и Я. А. Ройтбергом. Подобные результаты при Z любом знаке
имеют место и в случае неоднородных граничных условий.—Прим. ред.
334	Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
и F является гомеоморфизмом множества	на простран-
ство Ht, Действительно, пусть f—произвольный элемент простран-
ства Hlt и пусть fn=F^1un, где ||/л—/||z->0. Поскольку из фун-
даментального неравенства для оператора F вытекает ||zzrt—
—/p||z-~>0 ПРИ п, р->&\ то un-+u£H2tn+l(]Bv Ввиду
того что F является непрерывным отображением Н2т+1 П
то Fun->Fut однако Fun — fn~>f, а поэтому Fu — f.
Докажем теперь что все операторы	являются ото-
бражениями на Ну следовательно, в частности, мы покажем, что
At = А является гомеоморфизмом. Мы это докажем при помощи
метода продолжения. Рассмотрим уравнение ATlzz=[F4’t1(X—F)]zz=
Оно эквивалентно уравнению [/-1-TjF"1 (Д — F)]u = Ff
в пространстве H2m+lftBv Применяя ряд Неймана, мы заключаем,
что это уравнение однозначно разрешимо при
T1<IIF ’(л —Oll2nl+Z< х||
Сделаем теперь второй шаг: опираясь опять, как и выше, на
фундаментальное неравенство, докажем, что оператор ЛТ1+Т2 =
= £Т1 + т2(Д — F) является обратимым при c2<>z/z. Продолжая
этот процесс, после [x/cj-pl шагов приходим к оператору L1 = Ai
что и требовалось доказать.
В заключение заметим, что в доказанной теореме линейное мно-
жество Bi было одним и тем же для всех операторов этим
существенно сужается класс возможных граничных условий. Мы не
будем здесь останавливаться на других методах получения из фун-
даментальных неравенств теорем типа доказанной и позволяющих
рассмотреть более общие граничные условия.
§ 8.	Полунепрерывные функции
В вариационном исчислении при доказательстве существования
абсолютного минимума важную роль играет понятие полунепрерыв-
ной функции или функционала.
Определение. Скалярная функция /, заданная на метриче-
ском пространстве X, называется полунепрерывной снизу (сверху)
в точке xq£X, если
Нт /(*)>/ (х0) *)	( lim / (х) < / (х0)\.
что эквивалентно условию: для каждого е > 0 существует такая
’) Напомним, что lim / (л) = sup ( inf f (х)\, где U (x0) пробегает
x-+xQ	U(x0) \x^U (x0)	/
всё окрестности точки
§ 9. Слабо полунепрерывные квадратичные формы
335
окрестность U (х0; е) точки х0, что / (х) > / (Хд) — е (/ (х) <
</(*о) + е)> если x^U(x0; е).
Если функция f(x) полунепрерывна снизу (сверху) в каждой
точке пространства X, то мы говорим, что она полунепрерывна
рнизу (сверху) на X.
Примеры
1. Непрерывная функция является одновременно полунепрерывной
снизу (сверху).
2. Характеристическая функция замкнутого множества А полу-
непрерывна сверху. (Другие примеры приведены в § 10.)
Для вариационного исчисления фундаментальное значение имеет
следующее обобщение классической теоремы Вейерштрасса.
Теорема. Функция f, полунепрерывная снизу (сверху) на
компактном множестве КсХ, достигает своей нижней (верх-
ней) грани на множестве К- [В частности, f на X ограни-
чена снизу (сверху).}
Доказательство достаточно провести для функций, полунепрерыв-
ных снизу. Пусть т = inf f (х). Существует такая последователь-
нее
ность хп£К> что f (хп) ^т-^Х/п. Поскольку множество К является
компактным, то можно указать подпоследовательность сходя-
щуюся к точке х0£/С; пусть xkn£U(xQ', i/n). Так как функция f
полунепрерывна снизу в точке х0, то т-{- l/п /(х*я)
откуда т + 2/n f (х0) т при п=1, 2........... т.	е. f(x^ — m,
что и требовалось доказать.
§ 9. Слабо полунепрерывные квадратичные формы.
Формы Лежандра
В вариационном исчислении рассматриваются функции (функцио-
налы) в соответствующих гильбертовых пространствах. Как известно,
шар в бесконечномерном гильбертовом пространстве не является
компактным, однако, как было доказано в § 6 гл. VI (теорема 1),
шар в гильбертовом пространстве является слабо компактным. Этот
факт вместе с доказанной в предыдущем параграфе теоремой указы-
вает на целесообразность изучения полунепрерывных снизу в слабой
топологии функций, т. е. так называемых функций слабо полунепре-
рывных снизу. Особенно простой и красивой является теория ква-
дратических полунепрерывных форм, которой мы будем заниматься
в настоящем параграфе. Наши рассмотрения возникли под влиянием
работы Гестенеса [1]; в следующем параграфе будет показано, как
их применить к квадратичным формам вариационного исчисления.
336
Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
Будем предполагать, что квадратичная форма Q(u) = (Tu, и)
определена с помощью непрерывного оператора Т — Г*. Из спек-
тральной теоремы вытекает следующее утверждение.
Лемма 1. Эрмитов оператор Т индуцирует ортогональ-
ное разложение гильбертова пространства § =	На
подпространстве имеем Q(u)^0, а на подпространстве
Q(«)<0. Оператор Т = Т +-\-Т_, где Q+(w)=’ (Т+и, и),
a Q_(u)°—(Т_и, и). Имеют место следующие соотношения:
ь
Доказательство. Пусть Т = J*XdE(X). Для определенности
а
предположим, что а^О^Ь. Полагая
ъ	о
Т+ = J % dE (X), Т_ = J X dE (X),	= [£ (b) — Е (0)] ф.
0	а
ф_=[Е(0)-Е(а)]ф,
получаем наше утверждение.
Лемма 2. Положительный {отрицательный) эрмитов опе-
ратор определяет квадратичную форму, слабо полунепрерыв-
ную снизу (сверху).
Доказательство достаточно провести для положительного
оператора Т+. Пусть Q+ (и) ==(7\и, и). Поскольку
(Т+и, и)- (Т+и0, и0) = 2(Т+ [« — м0], «0)4-
+ (Т+[« —«0J. [и— «0]) = 2(и — и0, T+u0)-\-Q+(u — «0),
то
lim Q+ (и) — Q+ (м0) > 0,
U->Uq
что и требовалось доказать.
Из этих лемм вытекает интересная теорема.
Теорема 1 (Гестенес). Для того чтобы квадратичная
форма Q(u) = (Tu, и) была слабо полунепрерывной снизу, не-
обходимо и достаточно, чтобы отрицательная часть Т_ опе-
ратора Т была вполне непрерывным оператором, /п. е. чтобы
форма Q_(u) = (T_u, и) была слабо непрерывной,
§ 9. Слабо полунепрерывные квадратичные формы
337
Доказательство. Достаточность только что была доказана,
ибо сумма непрерывной функции и функции, полунепрерывной снизу,
является функцией, полунепрерывной снизу. Из леммы 2 вытекает,
что форма Q_ является слабо полунепрерывной сверху; на подпро-
странстве форма Q+ равна нулю, так что Q(u_) = Q_(u_) при
Следовательно, если форма Q полунепрерывна снизу, то
форма Q_ является полунепрерывной снизу на ф_. Но это означает,
что форма Q_ является слабо непрерывной на подпространстве
На подпространстве форма Q_ равна нулю и поэтому также
слабо непрерывна. Докажем теперь слабую непрерывность формы
на всем пространстве ф =	Пусть и = и+-±-и_, иУ = uv+~}-u\,
где	Поскольку Q_(-v) = 0 при
то Q_ (wv) = QQ_) = Q_ (я),	так что форма Q_(u)
является слабо непрерывной, что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к важному классу слабо непрерывных снизу
квадратичных форм, так называемых форм Лежандра.
Определение. Квадратичная форма Q(a) = (T«, и) называется
формой Лежандра, если она является суммой положительно опре-
деленной формы и вполне непрерывной (т. е. слабо непрерывной)
формы. Другими словами, Т =/>-)-/С» где (Ра, р(и, и), р > О,
а оператор К вполне непрерывен.
Поскольку вполне непрерывной оператор можно сколь угодно
точно аппроксимировать конечномерными операторами, то имеет
место следующее предложение.
Лемма 3. Форма Q(u) = (Tu, и) тогда и только тогда
является формой Лежандра, когда оператор Т является
суммой положительно определенного оператора Рх и конечно-
мерного оператора Sn:T — Px-\-Sn, причем
(Рхи, и)^рх(и, и), рх > 0; dim5n§ = п < оо, S*n = Sn.
Лемму 3 мы применим для доказательства еще одной важной
теоремы Гестенеса.
Теорема 2 (Гестенес). Для того чтобы форма (Ти, и)
была формой Лежандра, необходимо и достаточно, чтобы
существовало такое конечномерное подпространство $п, что
при имеет место неравенство (Th, h)^ рх(и, и), рх > 0.
Доказательство. Пусть форма (Ти,и) является формой
Лежандра, т. е. пусть 7,=Р14“5Л. Положим	При
имеем 0 = (5яи, й) = («, Snh), откуда	{0}. Следовав
тельно, при имеем (ГА, hy-iP^h, h).
£2 К. Морен
338	Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
Пусть теперь существует конечномерное подпространство фл,
о котором речь идет в тёореме, и пусть Ег обозначает оператор
ортогонального проектирования на	тогда / — Ег— оператор орто-
гонального проектирования на Положим
ODD.
₽! = (/- Е1)Т(/-Е1) + P1El,
S„ ТЕ,+Е,Т - Е,ТЕ, - р,Е„
Очевидно имеем T — Pl-\-Sn, Sn = Sn.
Так как Т — непрерывный оператор, то оператор Sn является
конечномерным. Нам нужно доказать, что оператор Рг является по-
ложительно определенным. Имеем
(Р,и, u) = ([I — E,]T[I—E,]u. и)-]-р,(Е,и, U) =
= (Т[1 — Е,}а, {1 — Е,\и) + р,(Е,и. Е,и)>
> Pl (II (/ - El)«II2 + II Е,и ||2) = р, II и ||2.
что и требовалось доказать.
Дадим теперь спектральную характеристику форм Лежандра, ко-
торой мы воспользуемся в следующем параграфе.
Теорема 3. Для того чтобы квадратичная форма была
формой Лежандра, необходимо и достаточно, чтобы сущест-
вовало такое положительное число рх, что подмножество
спектра оператора Т, расположенное слева от числа pv
ь
было конечным, точнее, чтобы оператор Е(р), где Т = j\dE(k)
а
и р < pv проектировал на конечномерное пространство
%р°^Е(р)&
Доказательство. Достаточность условия является очевидной:
в качестве конечномерного подпространства в теореме 2 достаточно
взять пространство Е(р)$.
Пусть теперь (Ти, и) — форма Лежандра, и пусть $п есть п-мер-
ное пространство, а рг — положительное число, о которых шла речь
в теореме 2. Докажем, что пространство $Р°—Е(р)$ имеет раз-
мерность п. Предположим, что dim > п; в таком случае в про-
странстве содержится единичный вектор v, ортогональный к под-
пространству $п (в качестве вектора v можно взять произвольный
орт из подпространства $р Е (р) $п). Поскольку вектор v принад-
§ 9. Слабо полунепрерывные квадратичные формы	339
лежит подпространству имеет место неравенство (7Х
px(v, ty — Pv С другой стороны, так как v = E(p)v, то
р
(Tv, v) = (TE(p)v, -0 = j* kd(E(k)v, v)<p(v, v) — p < pv
a
Мы пришли к противоречию. Следовательно,	что и
требовалось доказать.
Отметим два следствия, вытекающие из этой теоремы.
Следствие 1 (Гестенес). Положительная форма Ле-
жандра является положительно определенной.
Доказательство. Как было только что доказано, существует
такое число рх > 0, что слева от рх находится не более конечного
числа точек спектра оператора Т\ по условию собственные значения
оператора Т могут быть только положительными; обозначим наимень-
шее из них через р. Следовательно, для произвольного я £ ф имеем
(Ти, и) ^р(и, и), что и требовалось доказать.
Следствие 2. Пусть (Ти, и) — форма Лежандра, и пусть
(и, v)Q—такое скалярное произведение в пространстве ф, что
неравенство (и, й)0<^(й, и) имеет место для всех Пусть
следующая „проблема вибраций**.
(Tuv, <p) = Xv(«v, <р)0 для всех
обладает спектром (Xv)~, имеющим единственную предельную
точку на бесконечности, т. е. |Xv|—>oo, v->oo. Тогда Xv—>+оо;
точнее, существует такое число рг > 0, что только конечное
число собственных чисел .......Хя меньше, чем pv
Доказательство. В соответствии с теоремой 3 существует
такое число рг > 0, что при X < Pi существует не более конечного
числа линейно независимых векторов и, для которых
(Ти, и) = К(и, и)< pi(u, и).
Но так как (и, u)Q^.(u, и), то существует только конечное число
таких линейно независимых векторов и, что при X < рх имеет место
неравенство
(Ти,	u)Q,
что и требовалось доказать.
22*
340	Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
§ 10. Квадратичные формы вариационного исчисления
Применим теперь абстрактные рассмотрения предыдущего пара-
графа к квадратичным формам вариационного исчисления кратных
интегралов (ср. К. Морен [7]). Мы можем сразу высказать следующую
важную теорему.
Теорема 1. Квадратичный функционал
опр.
Q(u) — а (и, и) =
= J	agv (х) D^u (х) Dvu (х) dx +
а„ l«l = lvl<m
+ S f S cU(x)Dau(x)I&^X)dx, (10.1)
j = l Sj lai, Ipl
где
»,2(б“)’< 2 «„toft’’<*,2(6“)’.
U	l|X| = |v| = m	ц,
|a|, |P | <Zm — (n— /), a Sj есть J-мерное многообра-
зие Эрлинга относительно области йд(5л_1 = й£2л), является
формой Лежандра в пространстве Нт.
Доказательство. Выберем число /0 так, чтобы форма
—’«(«. «. to) —а (и, и)-Но (а, «)0
была положительно определенной в пространстве Нт. Форма
1^{Ки, и)т —’ /0(я, «)0 является слабо непрерывной в пространствеНт
(как известно, оператор К вполне непрерывен), а форма Q допу-
скает следующее разложение:
<?(«) = в (в. и; t0) — t0(Ku, и)т.
Таким образом, функционал Q является суммой положительно опре-
деленной формы и формы слабо непрерывной и потому этот функ-
ционал слабо полунепрерывен снизу, что и требовалось доказать.
Из теоремы 1 вытекают такие следствия.
Следствие 1. Функционал (10.1) достигает нижней гра-
ницы в каждом таре.
Следствие 2. Если а (и, и) > 0, то существует такая
постоянная р > 0, что
РIIм с < Q (и) для всех и 6 нт.
§ 10. Квадратичные формы вариационного исчисления
341
Следствие 3. Проблема вибраций
a{uKi ф) = %(яъ ф), ик, q£Ba.Hm,
имеет не более конечного числа отрицательных собственных
значений.
Следствие 3 является уточнением результата Эрлинга, в соот-
ветствии с которым |lz|->oo при /->оо.
Следствие 1 дает положительный ответ на вопрос о достиже-
нии минимума квадратичным функционалом вариационного исчисления
в каждом шаре пространства Нт. Остается еще неясным вопрос
об абсолютном минимуме, т. е. вопрос о достижении функционалом Q
нижней грани в случае, когда рассматриваются все функции
пространства Нт. Следующая теорема содержит необходимые и
достаточные условия для того, чтобы функционал Q достигал нижней
грани > — оо. Эта теорема служит обоснованием того, что в прямых
методах вариационного исчисления ограничиваются положительно
определенными формами а (и, и).
Для более удобной формулировки теоремы представим функционал
а (и, u) — 2{f, и},	и£Нт
(( •, • ) обозначает двойственность пространств Нт и Н_т, см. § 5),
в виде скалярного произведения в пространстве Нт. Поскольку
а (и, и) — эрмитова форма в пространстве Нт, то а (и, и) = (Аиу и)т
для всех и£Нт. Аналогично (/, u} = (h, и)т, где элемент h одно-
значно определяется заданным элементом /: h£Qf (как известно,
оператор G является топологическим изоморфизмом пространства Н_т
на пространство ср. определение преобразования Грина, § 6).
Теорема 2. 1°. Для того чтобы функционал
F(u) — a(ti, u) — 2{f, и} — (Аи, u)m — 2(h, u)m
при всяком f£H_m достигал абсолютного минимума >—оо,
необходимо и достаточно, чтобы форма а (и, и) была поло-
жительной, т. е. чтобы а (и, и) > 0 при и=£0. Элемент uQ,
на котором функционал F принимает абсолютный минимум,
является решением уравнения AuQ = h, т. е. uQ = A~1h = A~1Gf.
2°. В случае когда форма а (и, и) принимает отрицатель-
ные значения, нижняя грань функционала равна — оо.
3°. В случае когда множество HQm решений уравнения
а (и, и) = 0 ((Аи, и)т = 0) не сводится к нулевому вектору,
I1
342	Гл. XIV. Неравенства Эрлинга	К
необходимым и достаточным условием для того, чтобы функ-
ционал F достигал абсолютного минимума >—оо, является
условие h = Gf	|
Конечная нижняя грань в случаях Г и 3° равна	,i
inf F («) = — </, «0) = — (h, u0)m = — (h, A~lh)m.	|
“tHm	I
Доказательство. Докажем, что в случае 2° нижняя грань	g
равна —оо, так что этот случай является неинтересным. Пусть	j
(Av0, v0)m < 0 для некоторого £ Нт. Тогда	|
F (гег>0) = ге2 (Дг/0, v0)m — 2n(k,	—оо, n->oo,	?
что и требовалось доказать.
К пунктам 3° и Г. Можно считать, что (Аи, и)т^0.
Пусть Нт = {и: (Аи, ^ = 0} =£ {0}, и пусть h^Hm)1. В этом
случае существует такой вектор ъ0£Н°т, что (h,	> 0, поэтому
Пш/7(от0) = — limn(tf0, h)m = —оо
п->оо	л->оо
и, следовательно, условия Г и 3° необходимы.
Пусть а (и, и) = (Аи, и)т > 0 при и =И= 0. В соответствии со след-
ствием 2 оператор А положительно определен: (Aut и)т р(и, и)т,
р > 0. Ввиду того что оператор А эрмитов, существует оператор Л”1.
заданный на всем пространстве Нт. Пусть uQ = A h или, что то
же, AuQ = h. Для произвольного и£Нт имеем
F(и) = (А [« — «01, [и — и0])т — (Аи0, и0)т^
> — (ti, = —	и0\
т. е.
inf F(u) — — (h, u^m = — (h, A~'h)m.
и£Нт	<
m
Таким образом, условие 1° достаточно.
Остается еще только доказать достаточность условия 3°. Пусть
h^HmQH^m. В предыдущем параграфе было доказано, что оператор
А индуцирует разложение пространства Нт в ортогональную сумму:
нт=н°т®н+, причем на подпространстве Нт оператор А поло- |
жительно определен. Пусть А+ — сужение оператора А на подпро-
странство Нт. Так как h£Hm* а оператор А* положительно опре-
делен, то с помощью только что проведенного рассуждения мы убеж-
§ 10. Квадратичные формы вариационного исчисления
343
даемся, что
— оо< inf F(u) — — (h, (Д+)-'/г)т = F(zz0) <0,
где А+и0 = Аи0 = h.
Пусть теперь а — произвольный элемент подпространства Н°т.
Имеем
F(a) = (Au, u)m-2(h, a)m = 0 —0 = 0,
поэтому
inf F(u) — F («0) > — oo,
m
где	причем AuQ = h, что и требовалось доказать.
Как известно, функционал F часто рассматривают не на всем про-
странстве Нт, а только на подпространстве В однородных краевых
условий. Мы увидим, что и в этом случае можно высказать теорему,
аналогичную теореме 2. С этой целью разложим пространство Нт
в ортогональную сумму
Hm = B®BL (B1 = HmQB)
и положим h ==	где hx £В, Л2 £ В\ Обозначим через FB суже-
ние функционала F на подпространство В. Так как (Л,	= и)т
при и£В, то функционал FB имеет вид
FB(u) = (ABu, u)m — 2(hx, и)т, и£В.
Таким образом, роль пространства Нт перешла к подпространству В,
а роль оператора А—к оператору Ав, заданному тождеством
а(и, v) = (ABu, v)m при и, vQB. Таким образом, мы доказали сле-
дующую теорему.
Теорема 3. Для того чтобы FBa.F>
FB(u)°^' а (а,и) — 2 (/, и)0==а(и, «) —2(ЛР и)т, и£В,
достигал абсолютного минимума > — оо, необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялось неравенство а (и, «)>(«, и)т при
и£В. Если подпространство В0 —* [и£В\ а (и, й) = 0} не сво-
дится к нулевому вектору, то необходимое и достаточное
условие состоит в том, чтобы (h, bQ)m — § для всех bQ£BQ.
В каждом из этих случаев inf fF (w) = F («0) = — (hv и0)т —
u£B
=— (ft, и^т = — (/, ао)о» причем ABua=h (т. е. UQ = A^fi).
Дифференцируемость элемента uQ может быть изучена с помощью
основной теоремы о слабых решениях или методами, развитыми в пре-
дыдущих параграфах настоящей главы,
344	Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
§ 11. О функционалах, встречающихся в теории упругих
пластин. Дифференцируемость элемента, на котором
достигается абсолютный минимум
Предыдущие рассуждения переносятся непосредственно на функ-
ционалы вида
Fi («) = а (и,и ) + Ъ (и),
где линейный член Ь(и) имеет следующий вид:
п-1	___
&(и)==2 f 2 bt(x)Dlu(x)dx+ 2 f 2	4(x)D“«(x)rfx +
|Z|</n	7 = 1 J	n-j
+ f 2 d$ (x) D₽a (x) ф (x) == bi («) + Ьг (и) -|- Ьз (и);
здесь ц — конечная мера на ЙЛ: ||ц|| < оо. Члены такого вида встре-
чаются, например, в теории упругих пластин: п — 2, zn = 2, ^JSy =
= dQ2 — край пластины; мера ^характеризует силы, сосредоточен-
ные в точках (в точках опоры и т. п.). Из неравенства Эрлинга
вытекает, что Ь(и) является линейным непрерывным функционалом
в пространстве Нт, так что b(u) = 2(h, и)т. Таким образом, функ-
ционал /^(w), являющийся обобщением функционалов, встречающихся
в теории упругих пластин (ср. Фридрихе [2]), можно представить в сле-
дующем виде:
F(u) — a(ut и)— 2{h, и)т.
Этот функционал, очевидно, является также слабо полунепрерывным
снизу, ибо скалярное произведение (h, и)т слабо непрерывно, а
поэтому для него верны теоремы 1, 2 и 3 § 10.
Докажем теперь, что элемент й0, на котором функционал Fx(u)
достигает минимума, является решением некоторого уравнения эллип-
л-1
тического типа на множестве Z = Qn—	— Ц, где Н — носитель
/=1
меры ц1).
Теорема. Пусть а (и, и) > 0 при и=£0, и пусть Рх(и^ —
== Inf Fx(u) = inf (F(/z)— 2b (и)). Тогда функция uQ у до влет-
т	т
!) Мы говорим, что мера р равна нулю в открытом множестве V, если
опр. /•
(ф, и) = | Ф (х) ф (х) = 0 для каждой функции ф£Со (Ю- Носителем р
меры р называется дополнение наибольшего множества У, на котором мера р
равна нулю,
§ 11. О функционалах в теории упругих пластин
345
П-1
вор нет на множестве Z = Qn— |J Sy— ц уравнению
/=1
а(«о)°-	2 (-l),v,Dv(fl(lv(x)D\(x))- S (-l)1'1^ х = 0.
|ц|, |vj<m	Ul<m
(Мы предполагаем, что коэффициенты a^v(x), bt(x) таковы,
что для оператора а имеет место основная теорема о сла-
бых решениях, ср. § 1 гл. XI.)
Доказательство. На основании неравенств Эрлинга и теоремы
Рисса —Фреше мы заключаем, что для всех и£Нт имеет место ра-
венство bi(u) = — 2 и)т (1=1, 2, 3), h = й1 + ^2-М3-
Из теоремы 2 предыдущего параграфа вытекает, что элемент я0,
на котором функционал Fx(u) достигает абсолютного минимума,
удовлетворяет уравнению Дя0 = й = Л14-й2 + /*з- Пусть (p£Cg°(Z).
Имеем
(Л«о. ф)т — (Л1. ф)т —(А2- Ф)т —(*3- ф)т==°-
Но
Ф)т = (^з. ф)в = 0.
ибо носитель функции ф лежит в множестве Z. Поэтому имеет место
тождество
о = (Л«о, ф)т — (Лр Ф)т = а (и0, ф) —	(Ф) =
==(«о. а+ф)о-4 -2( 3 (-1)'Z,DZ^ (х). Ф) ,
z \ 11 |<пг	/О
т. е.
а«0(х)= 2 НАШ
I i I < т
что и требовалось доказать.
Аналогичную теорему мы можем получить для функционалов
вида
F(ji)=a(u, u)~\-b(u),
где я обозначает векторное поле х и (х) £ЕТ с г компонентами.
Можно доказать не только то, что форма а (и, и) является полу-
непрерывной снизу на пространстве Нт>Т, но и что она является
формой Лежандра. Далее, можно получить теорему о достижении
абсолютного минимума и дифференцируемости поля, на котором
абсолютный минимум достигается. Это поле оказывается решением
некоторой сильно эллиптической системы.
346	Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
§12. Коэрцитивность интегро-дифференциальных форм
В гл. а также в предыдущих параграфах настоящей главы
мы видели, насколько важные следствия вытекают из неравенств
вида
dl«lim-*oll«Но <Re(a(«. «)).	(12.1)
где а ( • » •) — некоторая интегро-дифференциальная квадратичная
форма, заданная на множестве Ст (йя) П В, а В — линейное много-
образие функций, удовлетворяющих определенным однородным гра-
ничным условиям.
Определение (Ароншайн). Интегро-дифференциальная
квадратичная форма
я(«, и)=^’/	2 Oafi(x)DauD^udx, =	(12.2)
% I a I; 131 < гп
называется коэрцитивной на множестве функций В, если суще-
ствуют такие числа с, с0 > 0, что для всех функций и£В выпол-
няется неравенство (12.1).
Сейчас мы приведем результат С. Агмона, разрешающий проблему
коэрцитив мости.
Будем говорить, что ограниченная область	принадлежит
классу если для каждой точки х°£д£2я существует окрест-
ность Uo мочки х° (в относительной топологии множества Qn), кото-
рую можно отобразить посредством гомеоморфизма класса Ст (это
означает, ’что обратное отображение также принадлежит классу Ст)
на полушар	хл^>0, причем множество дйяПЦ>
отображаемся в гиперплоскость хп — 0.
Теорема 1 (Агмон). Предположим, что выполнены
следующие условия*,
1°	---ограниченная область класса Ст\	_
2° коэффициенты аа$ (•) принадлежат классу С(йя) (или.
общее*, коэффициенты при производных порядка т непре-
рывны. а остальные коэффициенты ограничены и измеримы в £2Я);
3° коэффициенты bJa операторов
bJ(x, О) —’ 2 bJa(x)Da,
| Cl ) k j
определяющих однородные краевые условия
b\x, D)u\dQ ^Q.	/=1.......p,	(12.3)
Л
§ 12. Коэрцитивность интегро-дифференциальных форм
347
принадлежат классу Ст kJ(Qny,
4° оператор
l(x,D) — R.e. 2	аа«(х)С>а£>0
|а| = |р| = /п
положительно эллиптичен в области йя, т. е.
Re 2	M(x)|V>0
I a| = |(J| = m
для каждого вещественного вектора £; при этом |а °= 1 ... £ял;
5° для каждой точки xQ£dQn и каждого вектора | ¥= О,
ортогонального к орту v(x°) (внутренней) нормали к гра-
нице dQn в точке х°, имеет место неравенство
оо	а Г--------------Р---
Ref 2 M(^0)[^+v(x»)-^-]“/(s)^+v(x0)4] f(s)ds>Q,
о |а|=|р| = т
где f (s)=£0—произвольная функция, удовлетворяющая обыкно-
венному дифференциальному уравнению
W | + v(x°)Di)/ = 0.
принадлежащая множеству Ст (eV) П Нт (Е*) (£?+—положи-
тельная ось t> 0) и удовлетворяющая однородному краевому
условию
здесь bj(x, D) — главная часть оператора bj(x, D), т. е. часть,
содержащая лить производные высшего порядка.
В предположениях Г—5° форма (12.2) коэрцитивна на
множестве функций, удовлетворяющих краевым условиям (12.3).
Замечание. Можно доказать, что (в предположении, что вы-
полнены условия Г—3°) условие 4° необходимо для коэрцитивности.
Условие 5° также является необходимым.
Условие 5° (как всякое необходимое и достаточное условие)
является мало удобным для практического использования. В важном
случае положительных форм его можно заменить легче проверяемым
условием, а именно имеет место следующее утверждение:
Теорема 2 (Агмон). Пусть кроме условий Г—3° пре-
дыдущей теоремы выполняются также следующие условия:
348
Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
4° форма а (и, и) является формально положительной,
т. е. имеет вид	к
а (и, a) — j' | ak(x, D)u^dx,
ал *si
где ak(x, D) — дифференциальные операторы порядка ^т
с коэффициентами, непрерывными в области йл. Пусть
к
М|2>0
Л=1
для каждой точки х£йл и каждого вещественного вектора
0. Пусть, как в условиях теоремы 1, x°£dQn, v(x°) — орт
внутренней нормали к поверхности dQn в точке х°, а каса-
тельный вектор. Пусть, далее, r(xQ, £) обозначает число общих
корней с положительными мнимыми частями (каждый корень
считается столько раз, какова его кратность) многочленов
4(х°, | + zv(x0)), Л = 1, 2................К,
относительно переменной z.
Обозначим эти корни через ^(х0, £), ...» тл(х°, £) и положим
г (х°, £)
0(х°,	z)°= П lz — xk(xQ, £)], если г(х°, |)> 1
Л=1
и
G(xQ, |, г)=1, если r(xQ, |) = 0.
Пусть, наконец, выполняется следующее предположение*.
5° для каждой точки х°£д£2л и каждого вещественного
вектора %, касательного к поверхности дйл в точке х°, среди
многочленов
b'j (х°, 14- ZV(х°)).	J = 1..р,
содержится г(х°, £) многочленов линейно независимых по
modO(x°, |, s)1).
Тогда имеет место утверждение теоремы 1.
Из теоремы 1 вытекает следующее важное утверждение, обобща-
ющее на общие граничные условия фундаментальные неравенства § 7 2).
9 Многочлены P\(t), ..., РТ (0 называются линейно независимыми по
mod Q (t) [Q (t) — некоторый многочлен], если из того, что при некоторых
постоянных <?1, ..., сг многочлен схРх (0 + ... + с2Р2(0 делится на Q(t),
следует сх— ... == с2 = 0.
0 Фундаментальные неравенства для общих эллиптических уравнений
и граничных условий и их различные усиления были получены рядом авто-
ров (Л. Н. Слободецкий; Агмон, Дуглис, и Ниренберг [1], Шехтер [1],
Браудер). Условия, при которых они имеют место, впервые сформулированы
Я. Б. Лопатинским (в более частных случаях — 3. Я. Шапиро); условия
имели другую форму и обеспечивали сведение краевой задачи к регулярному
интегральному уравнению. — Прим. ред.
§ 12. Коэрцитивность интегро-дифференциальных форм 349
Теорема 3. Предположим, что выполняются следующие
условия'.
Г) М (х, D) является линейным эллиптическим дифферен-
циальным оператором порядка 2р^.т, обладающим коэф-
фициентами класса Ст~2р (йл), п > 2, т^2\
2°) bJa( • )£Cm~rj (ЙЛ), где г.- — порядок оператора ЬЛх, D),
/=1, 2, .... р;
3°) для каждого орта £, касательного к поверхности д&п
в точке х°, многочлены b'j(xQ, £ + zv(x0)), /=1, ..., pt ли-
нейно независимы mod Л4+ (х°,	z), где
р
. М+ (Z %, z) = П [z — (х°, £)],
причем Ту(х0, |), /=1, р,—корни многочлена ЛГ(х°, £ +
4~-zv(x0)) с положительными мнимыми частями.
Тогда существует такая постоянная с, что неравенство
iHkoaiw. z))«ii+piio)
имеет место для каждой функции и£Ст(йп\ удовлетворяющей
однородным краевым условиям
3 ^(x)D“«|dB =0,	/=1......р.
|a|<ry
Для доказательства следует применить теорему 2 к формально
положительной квадратической форме
а (и, и) °— J | DaM (х, D) и |2 dx.
Qn |а| = ги-2р
Замечание. В случае двумерного пространства условие эллип-
тичности надлежит заменить условием „правильной эллиптичности*,
которое состоит в том, что многочлен Л4'(х°, ^ + ^v(x0)) имеет
в точности р корней с положительной мнимой частью. Можно по-
казать, что в случае п > 2 всякий эллиптический оператор правиль-
но эллиптичен. Если граница dQn связна, а коэффициенты непрерывны
и оператор эллиптичен, то из правильной эллиптичности в какой-ни-
будь одной точке х° £ dQn вытекает правильная эллиптичность во всех
точках границы области Используя результаты Агмона, Шех-
тер доказал важную теорему, касающуюся дифференцируемости в
области (а не только внутри области) слабых решений краевых
задач/).
0 Доказательству гладкости вплоть до границы слабых и обобщенных
(т. е. из Ну I < 0) решений краевых задач для эллиптических уравнений
посвящены работы ряда авторов (Ниренберг, Браудер, Шехтер, Петре,
Ю. М. Березанский, С. Г. Крейн и Я. А. Ройтберг). — Прим. ред.
350
Гл. XIV Неравенства Эрлинга
Теорема 4 (Шехтер [1]). Пусть
[«. ®] =
— билинейная форма, заданная на множестве функций, удовле-
творяющих краевым условиям, о которых речь шла выше;
при этом Ej, Fj — линейные операторы в частных производных
порядка ^mj^m. Предположим, что квадратичная форма
а (и, и) —[и, и] коэрцитивна на множестве функций, удовле-
творяющих однородным граничным условиям
Bj(x, О)а|5а =0,	/==1.....s.
Л
Пусть, далее, и£Нт (йя), а ф£Н*(О). Если функция и удовле-
творяет уравнению
[и, v} = (f, ^)0 для всех	(12.4)
то и^Н2т^(0).
Применяя эту теорему и лемму Соболева, получаем следующее
предложение.
Следствие. Если выполнены условия теоремы 4, то каждое
решение уравнения (12.4) является (после исправления на мно-
жестве меры нуль) функцией класса Cd(Q^), где a = 2/n-j-
+ / —[п/2] — 1.
§ 13. О резольвенте эллиптической краевой задачи
В гл. XI была доказана теорема Браудера, в соответствии с кото-
рой /-я итерация резольвенты самосопряженного расширения эллип-
тического оператора порядка г является интегральным оператором
типа Карлемана, если rJ>n/2. Теперь мы увидим, что в случае
ограниченных областей можно доказать больше: оказывается, что
та же итерация резольвенты (не обязательно самосо-
пряженного) эллиптического оператора является инте-
гральным оператором Гильберта — Шмидта, Это означает, что
если R — резольвента задачи в пространстве' L2 (йя), то
(/?'/)(*) = f К(х, y)f(y)dy,	(13.1)
где
J |/<(х, y)|2dxdy<oo, > [n/2] + 1.
Qn x %
§ 13. О резольвенте эллиптической краевой задачи	351
Доказательство вытекает из теоремы Шехтера, а также из сле-
дующей теоремы.
Теорема 1 (К. Морен). Вложение	явля-
ется отображением Гильберта—Шмидта при
>к/2]+1-
Доказательство этой теоремы излагается в гл. XVII.
Мы предполагаем, что граница dQn области £2Л удовлетворяет
условиям леммы Соболева, которые, как известно, являются менее
стеснительными, чем соответствующие предположения в теоремах
Агмона и Шехтера.
Докажем теперь упомянутое ранее предложение.
Теорема 2 (К. Морен). Пусть краевая задача
а(х, D)u = f£Ht($n)t ВДх, £>М% = 0, j=\............р, (13.2)
определяет отображение Л”1: //Д£2л)->//г4.Д£2й); это озна-
чает, что выполняются неравенства
Ми11г+/<11 л"|1р ^>°»	=	1.2,...,	(13.3)
причем А — отображение, определяемое эллиптическим диф-
ференциальным выражением а(х, D) 2 a (x)Da порядка г
|а|<г
и однородными граничными условиями Ву(х, D)~ 2 b3a(x)Da,
|а | < my
о которых речь идет в теоремах Агмона и Шехтера. Говоря
проще, неравенства (13.3) означают, что рассматриваемая
эллиптическая краевая задача имеет единственное решение
[в этом случае неравенства (13.3) выполняются в силу тео-
ремы 3 § 12].
Пусть R— резольвента рассматриваемой краевой задачи
в пространстве £2(йл). Тогда & является интегральным опе-
ратором Гильберта — Шмидта при rj'^nft. Это означает,
что существует такая функция /С £ £2 (йл X йл), что соотно-
шение (13.1) выполняется для всех ip^Z,2^).
Доказательство вытекает непосредственно из теоремы 1 и неравен-
ства (13.3). Действительно, обозначим символом 1р вложение
/7р(£2л)->£2(йл). Резольвенту R нашей задачи можно представить
в виде	*
Я = /гоЛ-1 :£2->£2.
Поэтому R3 = Irj ° AJ1, где AJ1 обозначает отображение
-	Д-1	Л~1	А~ 1	Д-1
А]1 : А2(Й„) = //о-+ НТ----+ Н2г------> ...---->Яу,=Я„(Йя).
352	Гл. XIV. Неравенства Эрлинга
Отображение A'J1 = A~1o ... о Л”*1 как суперпозиция непрерывных
отображений является непрерывным отображением пространства L2(Qn)
в пространство Hjr(Qn). Однако в силу теоремы 1 вложение Irj
является отображением Гильберта — Шмидта при rj>n[2. Так как
суперпозиция непрерывного отображения и отображения Гильберта —
Шмидта [в нашем случае в пространстве L2 (йл)] является отображе-
нием Гильберта—Шмидта, то теорема доказана.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1.	Доказать, что элемент u£Hk обладает сильными производными
порядка k. Заметим, что когда u£Hj = Hj(Qn) и область £2Л под-
вергнута обратимому преобразованию класса (У : xt = (х), где
то «(х) = «[©(x)](=#y(Q„), где Q„ ==©(□„).
2.	Если а££2(йл) является слабым пределом последователь-
ности (/zv), где	и || wv||y т. е. (и— ит, /)->0 при
/п->оо для каждого /££2(йл), то и входит в Hj и производ-
ные Dau являются слабыми пределами соответствующих производных
функций #v.
Указание. Применяя теорему Банаха — Сакса, мы заключаем,
что существует слабо сходящаяся подпоследовательность },
| а | < /. Так как производные функции и определены однозначно,
то они являются слабыми пределами производных не только под-
последовательности, но и всей исходной последовательности.
3.	Если функция и обладает (сильными) производными до
порядка I включительно и производные Dlu сильно дифферен-
цируемы j раз, то функция и сильно дифференцируема
1-4-j раз.
Доказательств о. Пусть gj£ С™ (/С)( К = \х£Еп : | х| < 1}),
<о>0, J co(x)dx = 1. Пусть U — подобласть области Йл, состоя-
Е
щая из всех точек, расстояние которых от границы д£1п больше е,
оператор усреднения J8 определяем следующей формулой:
4м О) °— е“" / ° а d?-
 Е"
Очевидно, оператор Л коммутирует с оператором дифференцирова-
ния и Jerz£C°°.
Далее имеем
lim || J&u и ||£2	— 0,	|| Jeu ||£2 w || и ||0.
Упражнения и дополнения
353
Перейдем теперь к доказательству нашей теоремы. Пусть при е0 > О
область находится на расстоянии > е0 от границы Найдем
такое 8 < е0/2, что
" Jett Ц+л (У) < к’	Зга ~	(и) = °’
где К > 0 не зависит от 8. Теперь наше утверждение вытекает из
результатов упражнения 2.
4.	Пусть йл = \х£Еп : [х| < 1}. Докажем, что множество зна-
чений оператора (—+ заданного на функциях, равных нулю
на дйл вместе с производными до порядка — 1, плотно в про-
странстве Нг.
Пусть Р(х)— произвольный’многочлен (в силу теоремы Вейер-
штрасса множество многочленов плотно в пространстве Ht при
любом /7Z). Применяя метод неопределенных коэффициентов, можно
найти решения уравнения Fa = [(— Д)т -j- с] а = Р вида (х2 — 1) П (х),
где П —также многочлен от переменных хр ..хд, откуда и выте-
кает наше утверждение. Отсюда на основании упражнения 1, а также
основной теоремы о слабых решениях заключаем, что задача Дирихле
разрешима для односвязных областей с достаточно гладкой границей.
23 К. Морен
ГЛАВА XV
Метод ортогональной проекции (принцип Дирихле)
и его связь с методами Трефтца и Ритца
В этой главе мы дадим геометрическую формулировку знамени-
того принципа Дирихле, а также его современное доказательство.
В § 2 и 3 мы выясним геометрический смысл методов Трефтца и Ритца,
что, с одной стороны, позволит нам достичь большой общности
в формулировке теорем и, с другой стороны, сделает их доказа-
тельство почти тривиальным. В § 4 результаты предыдущих пара-
графов переносятся на достаточно широкий класс систем эллипти-
ческих уравнений произвольного порядка.
В § 6 приводится общая схема метода ортогональной проекции
в теории краевых задач, основанная на теории форм Лежандра,
развитой в предыдущей главе. Кроме того, изложен современный
подход к альтернирующему методу Шварца и методу выметания,
а также дано его обобщение в форме, предложенной Браудером.
§ 1, Эвристические замечания
Из формулы Грина
п
(/. „) = f У W "У dxa
” 'Ь J лЛ dxi dxi
ап z=i
п
*= — f f(x)^u(x)dx-{- f ^if(x)vi(x)^^-dx
dQn < = 1
вытекает, что „скалярное произведение" (/, й)д равно нулю, если
Да = 0 . и f |d0 = 0. Этот факт допускает следующую геометри-
ческую формулировку: гармонические функции в области орто-
гональны функциям, равным нулю на границе dQn области Qn. При-
дадим более точный смысл этому высказыванию. Из того, что
(и, zz)A = O, очевидно следует, что и = const. Таким образом, сейчас
нужно рассматривать не функции в £2Л, а классы функций, причем
§ 1. Эвристические замечания
355
функции одного класса отличаются друг от друга на постоян-
ные слагаемые. В этом смысле класс, содержащий некоторую гармо-
ническую функцию, ортогонален в смысле (• , • )д классу, содержа-
щему функцию, равную нулю на dQn. Поэтому гармоническая функ-
ция ортогональна функции, равной const на dQn.
Задача Дирихле: найти решение уравнения Лапласа, прини-
мающее на множестве д0,п одинаковые значения с функцией Ь,
заданной в области Qn, сформулируем несколько иначе: раз-
ложить заданную функцию b в сумму u-[-f — b, где и — гар-
моническая функция, a f равна нулю на границе дйя. Вслед-
ствие ортогональности функций и и f задачу Дирихле можно поста-
вить в следующей геометрической формулировке: заданную
функцию b разложить на два ортогональных слагаемых,
b = u~\-f, где (и,	для всех f, равных нулю на гра-
нице дйя, и /|dQ =0 (конечно, при более точной формули-
ровке нужно иметь в виду, что мы оперируем по существу
с классами).
От этой последней формулировки уже один только шаг до прин-
ципа ортогональной проекции, называемого принципом Дирихле
в классическом анализе. Решение задачи Дирихле мы получаем, беря
ортогональную проекцию функции b на пространство Z функций,
равных нулю на границе дйл, и вычитая эту проекцию из функции Ь\
и = Ь — ПЬ — Ь — f.
Замечание. Предыдущее является, очевидно, геометрической
формулировкой вариационного принципа Дирихле: функционал
(Ь — z, b — г)д 0, где z пробегает множество Z функций, равных
нулю на границе д&п, достигает минимума на гармонической функ-
ции, ибо, как нам известно (ср. гл. И, теорема об ортогональной
проекции), выражение || b — z ||д, z £ Z имеет минимум, когда эле-
мент z равен ортогональной проекции элемента b на подпростран-
ство Z.
Если бы нам удалось построить такое (полное) гильбертово про-
странство ф со скалярным произведением (• , • )д, что
$ = U®Z
(U = Z±— множество функций, гармонических в области С2Я),
то вместо проектирования на Z с последующим вычитанием из b
можно было бы получить решение задачи Дирихле сразу, взяв орто-
гональную проекцию функции b на пространство гармонических
функций U:u=Pb.
23*
356
Гл. XV. Метод ортогональной проекции (принцип Дирихле)
§ 2. Пространство & и его ортогональное разложение Z®U
Для того чтобы избежать трудностей, связанных с тем, что
форма Дирихле определяет не норму, а полунорму, равную нулю на
функциях и = const, рассмотрим модифицированную форму Дирихле
{и, v\c™S:	+ cuv)dx, c(x)>Y>0.
2
л
Эта форма определяет на пространстве Нх (йл) новое эквивалентное
скалярное произведение
с2 II и Hi (и> и\с С1II и Иг
В дальнейшем будем считать, что скалярное произведение в про-
странстве Нх (йл) равно (•, • )дс; пространство Н} (2Л) с так вве-
денным скалярным произведением можно принять за пространство
о котором шла речь в § 1.
Сформулируем теперь задачу Дирихле (для оператора — Д 4- с)
(—Д + с)м = 0,	(2.1)
(«-*)1дй =°-	(2-2)
л
В терминах гильбертова пространства Н} со скалярным произве-
дением ( • , • )дс краевое условие (2.2) должно, очевидно, означать,
что разность и — Ь, где b £ Нх (йл) — наперед заданная функция,
равна в определенном смысле нулю на границе dQn области йл.
Более точно введем следующее определение.
Определение. Обозначим через Z пополнение множе-
ства (Qn) по норме || • ||(или, что то же самое, по норме || • ||х).
Нетрудно доказать, что в случае гладкой границы непрерывные
функции из подпространства Z равны нулю в классическом смысле
на д£2л. В связи с этим условие (2.2) заменим условием
u—b£Z.	(2.2')
Докажем теперь основное утверждение.
Теорема. Пусть U== HiQZ = Z\ где Hi — гильбертово
пространство со скалярным произведением (• , • )дг. Тогда
элементы подпространства U удовлетворяют дифференциаль-
ному уравнению
(—Ь + с)и = Ъ.
Таким образом, пространство НХ=НХ (йл) является орто-
гональной суммой Н1 — Z ф U подпространства Z функций,
равных нулю на границе д£1п области и подпростран-
§ 3. О методе Трефтца и Ритца
357
0 = («, Ф)дг = («, — Дф4-С(р),
что и требовалось доказать.
В заключение заметим, что небольшие
с рассмотрением классов функций (см. §
аналогичные результаты и для оператора
См. также § 6.
ства U решений уравнения (2.1). Таким образом, для получе-
ния решения задачи Дирихле (2.1), (2.2') надлежит взять орто-
гональную проекцию элемента b на подпространство U : и=РЬ,
где Р — оператор ортогонального (в смысле (•» • )дс) проек-
тирования на подпространство U.
Доказательство. Включение РЬ— b£Z является следствием
ортогонального разложения Нг = Z ф U, и нам нужно лишь дока-
зать, что произвольный элемент и £ Z± является решением уравне-
ния (2.1). Но для этого, как нам известно, достаточно доказать, что
этот элемент является слабым решением уравнения (2.1).
Пусть u£Z\ Тогда, в частности,
(и, ф)дс = 0 для всех ф6Со°(Ол).
Отсюда
ф Е Со° (й/г)>
усложнения, связанные
1), позволяют получить
— Д, а не —Д + f.
Ритца
введенного в § 2 про-
§ 3. О методе Трефтца и
Располагая ортогональным разложением
странства
мы можем предложить два метода, позволяющие конструировать
последовательности приближений решения задачи Дирихле, допол-
няющие друг друга.
1°. Поскольку пространство U сепарабельно, то существует по-
следовательность vn, полная в U. Образуем возрастающую последова-
тельность подпространств Un = [г^, v2........ vn}, п=1, 2..........
натянутых на первые п векторов базиса пространства U. Последо-
вательности (£/Л) поставим в соответствие последовательность проек-
ционных операторов Рп. Очевидно, что последовательность проекций
»п = Рпь	(3.1)
сходится по || • (|дс-норме к элементу РЬ = и. Как вытекает из самого
построения последовательности (ип), имеют место неравенства
II «л IIд* < II «л+1 Ндс < II pb IIд* = II« Пд- < II b Пд*>	(3.2)
Описанный процесс назовем методом Трефтца (см. упражне-
ние 2).
358
Гл. XV. Метод ортогональной проекции (принцип Дирихле)
2°. Второй метод, более близкий принципу Дирихле, мы полу-
чим, взяв в пространстве Z полную последовательность (Z„) и воз-
опр.
растающую последовательность подпространств Zn = [Zi.......^л].
Пусть Пл — соответствующая последовательность операторов орто-
гонального проектирования. Образуем последовательность
опр. .	_ ,
гп — Ь — ПпЬ,	(3.3)
которая сходится по норме || • ||дс к элементу и — Ь—П&.
Теперь имеют место следующие неравенства:
IIГП Ид* >1кл+1 Ид* > II« Ид*>	2......... (3-4)
Последовательность гп будем называть последовательностью
Ритца. Полученные результаты подытожим в следующей теореме.
Теорема. Последовательности приближений Трефтца и
Ритца
опр- п .	ОПр. , т-г .
сходятся по норме || • ||дс к классическому решению задачи
Дирихле (для у равнения — ки-\-си — 0). Приближения Т рефтца
являются приближениями с недостатком, а приближения
Ритца — с избытком в том смысле, что имеют место нера-
венства (3.2) и (3.4).
Соверщенно аналогично с учетом замечания в конце § 2 строятся
процессы Трефтца и Ритца для уравнения —Дя = 0. Формулировку
соответствующих утверждений мы предоставляем читателю. Заметим,
что в следующем параграфе будет рассматриваться именно случай
оператора —Д.
§ 4. Классическое построение последовательностей
Трефтца и Ритца
Докажем теперь, что наше построение (в случае гладкой гра-
ницы дйл), проведенное для оператора —Д, дает классический про-
цесс Трефтца и Ритца.
Теорема, k-e приближение Трефтца uk=Pkb может быть
получено как линейная комбинация
k
===
v=l
где коэффициенты cv вычисляются из так называемых алге-
браических уравнений Трефтца
k
2 cv{vv, vi)=(p,	1=1, k. (4.1)
V=1
§ 5. Самосопряженные системы линейных эллиптических уравнений 359
k
Приближения Ритца можно получить в виде rk=b —
V=1
где коэффициенты dv определяются из так называемых урав-
нений Ритца
k
^dv{zv, zi)A = (b, z,) ,	1=1.......k. (4.2)
v=l
Доказательство проведем только для уравнений Трефтца; анало-
гичное доказательство для уравнений Ритца мы предоставляем чита-
телю в качестве упражнения (см. упражнение 1).
Доказательство. Из определения последовательности Трефтца
вытекает
k
«Й = S	= Pkb — ъ + {РкЪ — ъ\
V=1
Умножая обе части этого равенства на и учитывая, что в силу
определения оператора Pk(JPkb—bt	= 0 при Z=l, 2.......kt
приходим к уравнениям (4.1).
Замечание. В случае гладкой границы с помощью интегри-
рования по частям в выражениях для (vv, vi)^t (b, можно полу-
чить уравнения Трефтца в классической форме
k
g=l dQn
n
= f	1 = 1....k.
dQn Z = 1
Для вычисления коэффициентов из уравнений Трефтца в этом
случае достаточно знать функцию b лишь на границе dQn области йл.
§ 5. Самосопряженные системы линейных эллиптических
уравнений
Анализ доказательств в § 1—3 показывает, что метод ортого-
нальной проекции можно перенести на более общие классы эллипти-
ческих уравнений. Пусть дана следующая краевая задача: найти
решение уравнения Au — Q порядка 2т в области £2Л, которое
на границе д&п принимает вместе с производными до порядка
ui—1 те же значения, что и заданная функция b и ее
360 Гл. XV. Метод ортогональной проекции (принцип Дирихле)
производные соответственно. Относительно оператора А нужно
предположить, что
Г он формально самосопряжен, т. е. {Аи, ф) = (ц, Дф), ф^С?0 (£2Л)
(или Л+ = А);
2° соответствующий интеграл Дирихле удовлетворяет неравенству
(«, й)л=и 2	0ap(x)D“«(x)D₽« (х) +
ап ' I а|. IPI = rn
4- (производные порядка < т) | dx
>c(Qn) f 2 |D“«(x)|2dx, c(Q„)>0.
|a|<m
(Когда Au = Q является уравнением Эйлера — Лагранжа для функ-
ционала (и, и)А, то форма (и, и)А называется интегралом Дирихле
оператора Д.) Кроме того, мы будем еще предполагать достаточную
гладкость коэффициентов оператора Д. Так как из 2° следует его
эллиптичность, то при достаточной гладкости коэффициентов всякое
слабое решение уравнения Аи = 0 будет входить в класс C2m{Qn).
Предположение 2° касается одновременно оператора А и области Qn.
Обобщая определение Дени — Лионса, области Ол, для которых имеет
место неравенство 2°, будем называть областями Соболева отно-
сительно оператора А.
Лемма. Если имеет место неравенство пункта 2°, то
элементы пространства §л, являющегося пополнением мно-
жества C^iQ^ по норме ||ф||^ = (ф, ф)д, обладают обобщен-
ными производными в смысле Соболева до порядка т включи-
тельно.
Доказательство. Из неравенства пункта 2° вытекает, что
§лсЯт(£2л) (ср. гл. V, § 2 и гл. I, § 5, пример 3°), но элементы
пространства Hm(Qn) обладают свойством, указанным в лемме, что
и требовалось доказать.
Аналогично заключаем, что пространство Z, являющееся замыка-
нием по норме || • |(д множества Со° (йл), является подмножеством
пространства Hm{Qn) функций, равных нулю вместе с производными
порядка < т на границе
После этих замечаний видно, что имеют место все теоремы § 1—3,
в формулировках надлежит лишь заменить оператор —Д-|-с опера-
тором А. Полученные таким образом приближенные методы будем
называть обобщенными методами Трефтца и Ритца.
Сформулируем теперь новую теорему, уточняющую высказывания
теорем § 3 относительно сходимости последовательности Трефтца.
§ 6. Метод ортогональных проекций
361
Теорема. Обобщенная последовательность Трефтца почти
равномерно сходится вместе с производными до порядка 2т
включительно к решению задачи Дирихле. Это означает, что
в каждом компактном подможестве области последователь-
ности (ра(ир— и)) сходятся равномерно к нулю при |а| ^2т.
Доказательство. Последовательность приближений Трефтца(ир)
является последовательностью решений уравнения А(ир — ир+я) — 0.
о
Следовательно, на основании теоремы 1 § 2 гл. XI для каждого x£Qn
°	°	о
существует такая окрестность V (х)а£2д точки х, что для всех х £ V (х)
имеем
«р(*) — “/>+?(•*) == / 1«р(У)— «р+«(У)]г(У- x)dy,
О
V(x)
Дифференцируя обе части последнего равенства и применяя нера-
венство Шварца, получаем
|о“(«р — «р+?)(х)| =
f (ар(у) — ар+1г(у))ОхГ(у, x)dy
О
V(X)
<£(а, V(x))||«p —ap+J|,
где
L(a, V(x))= max ( f |D“r(y, *)|2dyYA,
*^4)	7
|a[ =	... -|-ад<;2/п.
В силу теоремы Бореля — Лебега каждое компактное подмно-
жество ZczQ>n можно покрыть конечным числом шаров К(х, е).
Поэтому, полагая xa= max £(а, /С(х, £)) дла каждого x$Z,
имеем неравенство
I D*Up (х) — D*Up+q (х) | < Xa || Up — Up+q ||	0, р -> ОО,
что и требовалось доказать.
§ 6. Метод ортогональных проекций для общих
неотрицательных эллиптических форм.
Другие приближенные методы (метод Шварца и метод Пуанкаре)
Рассуждения предыдущих параграфов, несмотря на свою простоту,
обладают одним серьезным дёфектом: мы прёдполагали, что рас*
сматриваемые интегро-дифференциальные формы строго положительны»
362 Гл. XV. Метод ортогональной проекции (принцип Дирихле)
а наиболее важная классическая форма (• , • )д является лишь
неотрицательной. Этот недостаток можно устранить, используя вве-
денное в гл. XIV понятие формы Лежандра.
Напомним, что квадратичная форма а (• , •), заданная на
гильбертовом пространстве § со скалярным произведением (• , •),
называется формой Лежандра, если она представима в виде суммы
положительно определенной и вполне непрерывной форм.
В этом случае а (и, v) = (Tu, v), где Т = Q4-/G (Qu, и) р || и ||2,
р > 0, а К — вполне непрерывный оператор. Неотрицательной форме
Лежандра а соответствует разложение пространства § в прямую
сумму
$ = «&о+Ф+.	(6-1)
Здесь dim < оо, на подпространстве форма а положительно
определена
а(и+, я+)>/||я+ Ц2 для всех	(6.2)
где р' > 0, а на подпространстве $0 форма а тождественно равна
нулю, точнее
a(uQ, ci) = 0 при	и	(6.3)!)
Целесообразно ввести в пространстве $ новое скалярное про-
изведение [ • , • ], связанное с заданной неотрицательной формой
Лежандра а и эквивалентное исходному скалярному произведению
[и, v] = а (и, -р) + («о- f0) = «(«+• v+)+(a0. ®о)>	(6.4)
9 Возможность такого разложения пространства £ вытекает из теоремы
Г. Вейля о сохранении предельного спектра самосопряженного оператора
при возмущении его вполне непрерывным самосопряженным оператором
(см., например, Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь [1], стр. 395); напомним, что
предельный спектр ограниченного самосопряженного оператора состоит, по
определению, из точек его непрерывного спектра, предельных точек точеч-
ного спектра и собственных значений бесконечной кратности. Так как пред-
полагается, что (Qu, и) р || и ||2, то оператор Q является самосопряженным,
причем весь его спектр, а значит, и его предельный спектр, содержится
в отрезке [/?, ((Q || ]. Так как К =Т — Q, то оператор К также самосопря-
жен; кроме того, он, по предположению, вполне непрерывен, и потому в силу
упомянутой теоремы Вейля предельный спектр оператора Т = Q К содер-
жится в отрезке [р, |l Q || ]. Поэтому точка 0 либо не принадлежит спектру Т
(и тогда оператор Т, будучи положительным, является и положительно
определенным, т. е. £)0 = {0},	$), либо является изолированным соб-
ственным значением конечной кратности. В этом последнем случае, полагая
£)0 = Кег Г = {w: Ти = 0],	для любого имеем (Ти,
^р' II и ||2, где pf > 0 — ближайшая к 0 точка спектра оператора Г. Таким
образом, можно даже считать, что разложение, о котором идет речь в тексте,
ортогонально, т. е. £>0 J_ ф+. Впрочем, этот факт может быть легко выведен
и из результатов гл. XIV. — Прим, ред.
§ 6. Метод ортогональных проекций
363
где
и = «04-«+, v = v0+v+-, и0, ©оС^О’ «+• v+€$+.
Из неравенства (6.2) вытекает, что скалярные произведения (•, •)
и [ • , • ] эквивалентны *).
Пусть Bj — какое-либо линейное подмножество пространства ф+,
Вусф+. Ввиду того что [й+, v+] — а(и+, v+) на §+, замыкание Bj
множества Bj можно получить, пополняя это же множество по ска-
лярному произведению а( • , •). Обозначим [ • , • ]-ортогональную
проекцию на подпространство Bj- через Pj, Pj =’ Р ., Bj~ = $QBj.
Имеет место следующее утверждение.
Лемма (Какутани — Браудера). Пусть (Pj)— произволь-
ная последовательность операторов ортогонального проекти-
рования в гильбертовом пространстве ф, и пусть л — допу-
стимая последовательность индексов, л = (пр п2» •••) (это
означает, что для каждого /, такого, что 1	где J^oo
зафиксировано, существует такое /Су, что каждая система, состоящая
из Kj последовательных индексов \^nk^J, содержит число J по
крайней мере один раз). ПустьRs=PnPns^ • • • Рп2Рп^ « пусть 33lj
означает область значений оператора Pj. Кроме того, поло-
жим 93t — П331/ я через Р = Р^ обозначим оператор орто-
гонального проектирования на подпространство 93J. Тогда
последовательность (Rs) слабо сходится к оператору Р, т. е.
для каждого и£$ последовательность (Rsu) слабо сходится
к элементу Ри.
Доказательство. Ввиду того что 93lc93iy, /=1, 2..........то
Py93l = 93i и	для каждого /. Так как на подпростран-
стве 931 оператор Rs равен оператору тождественного преобразова-
ния, то достаточно доказать, что последовательность (Rsu) слабо
сходится к нулю, Rsu~^§, при	Не ограничивая общности
рассуждения, можно считать, что 93£={О}. Положим us = Rsu.
Так как
us_i — as — (I — Рп^ us-x J_ иs =
то
II	IP = II «,-1 II2 “И «Л2-
После сложения получаем
 2II	II «II1-
!) То есть эквивалентны порожденные ими нормы. — Прим. ред.
364
Гл. XV. Метод ортогональной проекции (принцип Дирихле)
а поэтому || й5_1 — ^||-* О ПРИ $-*оо. Повторяя это рассуждение
для каждого г, найдем, что
II «i+r — Ms II ~*0 ПРИ	(*)
Так как последовательность (и5) ограничена, именно ||us|| <С||мII»
то в силу слабой компактности шара в гильбертовом пространстве
достаточно доказать, что если (uSf^— подпоследовательность, слабо
сходящаяся к элементу V, то # = 0. Ввиду того что uSk~^v при
&->oo, в силу соотношения (*) для произвольного j имеем uSk+T-^v
при /г—>оо, 0-^г^Лу Аналогичным свойством обладает каждая
подпоследовательность, полученная объединением этого конечного
числа подпоследовательностей. Для каждого k выберем такое rk,
0	что nSk+rk—j\ Следовательно, ask+rk~^v при А->оо.
Но uSk+Tk^Wtj. Так как всякое (сильно замкнутое) подпространство
является слабо замкнутым, то v £ ЗЛр в силу произвольности J имеем
П/®1/ = 2®= {0}» т« е- = Лемма доказана.
Пример. При 7=2 допустимой является так называемая альтер-
нирующая последовательность, составленная попеременно из нулей
и единиц. В дальнейшем мы увидим, что эта последовательность
связана с обобщением альтернирующего процесса Шварца.
Теперь мы предположим, что а(«, •) является интегро-диф-
ференциальной формой Лежандра в пространстве Ят(Йя). Такие
формы мы будем называть (квадратичными) эллиптическими фор-
мами. В гл. XIII приведены важные примеры эллиптических форм.
Для определенности будем изучать неотрицательные эллиптические
формы вида
a(ut v)= J	аар(х)D^uD^vdx4- J--».	(6.5)
labIPKm	0Qn
с эллиптической формой (6.5) связан эллиптический оператор по-
рядка 2/п:
Лй°= 2	(—l)₽D₽(aap(x)D“«).	(6.6)
|а|, |₽1</п
В качестве By возьмем пространство функций, бесконечно диф-
ференцируемых в области и обладающих компактными носите-
лями, содержащимися в некотором множестве ОуСЙл. Мы предпо-
лагаем, что Qn и Oj являются областями Эрлинга или даже областями
класса Ст.
Замечание. В качестве By можно брать другие подпростран-
ства функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям
на границе dOj области Оу. Читатель заметит, что достаточно пред-
§ 6. Метод ортогональных проекций
365
положить, что подпространство Bj является частью подпространства
где В — подпространство аналогичных краевых условий на
границе дйл области Qn. В рассматриваемом здесь частном случае
условия Дирихле порядка т имеют вид
^₽«1бО/ = 0. I₽l<w	(6-7)
для получения «требуемого вложения функцию и, удовлетворяющую
условию (6.7), продолжаем нулем на множество йл— Gj.
Как вытекает из наших предположений, пространство Bj является
множеством функций, удовлетворяющих однородному условию Дирихле
на границе dGj области Gj и равных нулю тождественно на мно-
жестве Йл—Оу. Полагая, в частности, Оу = йл, получаем Bj = B,
где В — подпространство функций, удовлетворяющих однородному
условию Дирихле на дйл. Теперь нетрудно получить основной
результат настоящей главы.
Теорема 1. Векторы hj^Bj-, [ • , • }-о ртогональные к функ-
циям, удовлетворяющим однородному условию Дирихле на
границе dQj подобласти GjtzQn, удовлетвори от в Gj уравнению
Ahj = 0.	(6.8)
Следовательно, пространство Hm(Qn) можно представить
в виде [•, • \-о ртогоналъной суммы пространств Bj и Mj.
при этом Mj — пространство решений в Gj у р гене +ия (6.8>,
а скалярное произведение [ • , • ] задается формулой (6.4):
HM = Bj®Mj.	(6.9)
Функция hj = PjU является решением следующей задачи Дирихле
для подобласти GjCiQn : Ah = §, u—h £ Bj, т. е. Da (u—h)\ dG^ — О,
|a| < т. В частности, функция h = Pu = PMu является реше-
нием задачи Дирихле для области йл.
Доказательство. В силу теэремы о слабых решениях доста-
точно доказать, что
(Лу, Лфу)0 = а(Лу, Фу) = 0	(6.10)
для всех фу £ С™ (G.y В силу нашего предположения
BjcHm +. С”(Оу)<=Вг а поэтому <р° = 0,	=<ру,
откуда
Q = \hj. qfi — athj, +	0) = a(hj, <py)
для всех фу £ (% (Q), что и требовалось доказать.
366 Гл. XV. Метод ортогональной проекции (принцип Дирихле)
Из теоремы 1 и леммы Какутани — Браудера вытекает следующее
обобщение теоремы Браудера.
Теорема. Пусть а(«, •) — эллиптическая неотрицатель-
ная квадратичная форма на пространстве Нт(О>п) = Н. Пусть
ЙЛ— объединение областей Эрлинга Gj : Йя = (JOy, и пусть
J
В — множество функций, удовлетворяющих некоторым одно-
родным краевым условиям, например условиям Дирихле на дО>п.
причем ВаН+. Пусть Bj означает подпространство функций,
удовлетворяющих однородным граничным условиям на мно-
жестве dGj (относительно элементов пространства Bj предполагаем,
что их можно вложить в пространство BjCzBczH^. т. е. продолжить
на всю область £2Я). Пусть Pj означает оператор [•, ^-ортого-
нального проектирования на подпространство В]-, так что PjU
является решением граничной задачи для области Gj. Положим
Rs^PnPns-i ... Рп<1Рпх. где (ns) — заданная допустимая после-
довательность индексов л. Тогда*.
1° последовательность (Rsu) сходится слабо в пространстве
Нт(О>п) к решению Ри краевой задачи для области £2Я;
2° последовательность (Rsu) сходится сильно к элементу Ри
в пространстве Нт_х($п);
3° последовательность (Rsu) сходится (сильно) в простран-
стве СТ(йя) при п-\-г > п/2;
4° последовательность (Rsu) сходится равномерно вместе
с производными на каждом компактном подмножестве мно-
жества G — (JdQy;
5° если л — альтернирующая последовательность при J=2.
то последовательность (Rsu) сходится сильно в пространстве
Нт(О>п) к элементу Ри.
Доказательство* Утверждения 1° и 2° являются непосред-
ственными следствиями теоремы 1 и леммы Какутани — Браудера,
а также леммы Реллиха, в соответствии с которой вложение Нт (£2Я) ->
-“►Яот-ЛЦ,) является вполне непрерывным отображением и поэтому
преобразует слабо сходящуюся последовательность в последователь-
ность, сходящуюся сильно. Утверждение 3° вытекает из усиления
леммы Соболева, полученного Кондрашевым, в соответствии с которым
вложение Нт+Т (йя) -> СГ (Йл) является не только непрерывным (Собо-
лев), но и вполне непрерывным (Кондрашев) отображением. Утвер-
ждение 4° вытекает из теоремы § 5, согласно которой последова-
тельность решений эллиптического уравнения Аи = 0, сходящаяся
в A2(G), является почти равномерно сходящейся вместе с производ-
ными всех порядков; кроме того, следует воспользоваться тем, что
Упражнения
367
каждое компактное подмножество К с: G —	можно разложить
/
на конечное число подмножеств Кр> из которых каждое содержится
в одном из множеств Gp а для всех s, начиная с некоторого, все
элементы Rsu являются решениями уравнения Ah — 0.
Для доказательства утверждения 5° заметим, что /?25+1 = Р1Р2Р1.
Но	является эрмитовым оператором с нормой, не превы-
шающей единицы. Отсюда вытекает, что последовательность (/?2s+iw)
сходится сильно (Реллих — Нейман) к элементу v. С другой стороны,
R^u — P2R2s^u, а поэтому последовательность (/?2?0 также (сильно)
сходится к элементу w. Поэтому имеют место равенства P2tf = w,
= откуда ||w|| < || ||	|| w||. Из равенства норм здесь выте-
кает равенство элементов = P1v = P2v — tw.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Замечание. В случае когда А = Д и граничное условие
является условием Дирихле, метод, соответствующий п. 5°, сводится
к так называемому альтернирующему методу Шварца, разработанному
после вейерштрассовской критики принципа Дирихле. Если А = Д и
по-прежнему граничное условие является условием Дирихле, J=oo,
л — произвольная допустимая последовательность, то мы получаем
так называемый метод выметания (balayage) Пуанкаре в трактовке
Куранта.
Весьма поучительно рассмотреть метод Шварца в тривиальном
одномерном случае п=1: гармонические функции являются линей-
ными, последовательность ломаных (состоящих из двух отрезков),
являющихся аппроксимациями Шварца, приближается к графику
гармонической функции на всем интервале.
Упражнение. Построить график для метода Шварца в одно-
мерном случае: Qj = [a, b} (J к» где
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Провести доказательство второй части теоремы § 3.
2.	Какой вид имеют обобщенные уравнения Трефтца в случае
гладкой границы?
3.	Имеет ли место изложенная выше теория в случае, когда йл
является дифференцируемым многообразием с границей?
4.	Какие из теорем настоящей главы верны для неограниченных
областей?
ГЛАВА XVI
Теорема Бохнера об аналитическом вложении
компактного риманова пространства
в евклидово пространство
В этой главе мы наметим модернизированный вариант доказатель-
ства теоремы Бохнера об аналитическом вложении компактных ана-
литических римановых многообразий в евклидово пространство!).
Приведенное здесь доказательство короче оригинального доказа-
тельства Бохнера, ибо мы располагаем более сильными средствами;
идея доказательства принадлежит Бохнеру.
§ 1. Идея доказательства
Одной из основных проблем дифференциальной геометрии является
задача топологического отображения риманова многообразия Rn
в евклидово пространство, так чтобы функции, определяющие ото-
бражение
^v = /v(x1, ...» хя), v=l, 2, ..., 2п—|— 1»	(1.1)
принадлежали классу Cq на многообразии Rn и чтобы матрица (dt^dx^
имела ранг, равный п (так называемое отображение класса q). Ве-
личины х19 ..., хп в (1.1) обозначают локальные координаты на Rn.
Как доказал Уитни, отображение класса q всегда существует для
произвольного многообразия класса#, 1^#^схэ (необязательно
риманова). Однако проблема аналитического вложения до недавнего
времени не была решена даже в случае риманова пространства2).
Одним из наиболее важных результатов в этом направлении является
теорема С. Бохнера, содержащая положительное решение проблемы
в случае компактного риманова многообразия. Идея Бохнера весьма
проста и красива. Оператор Лапласа
Дф = g-'h JL (g'/>gl}	, g = det glk, (1.2)
где gik = gik(x) — фундаментальный тензор многообразия Rn, обла-
дает (в силу компактности пространства Rn) чисто точечным спек-
тром. Коэффициенты уравнения Дфу— Хуфу = 0 являются аналитиче-
скими, аналитическими являются также собственные функции фр ф2...»
и они образуют базис пространства £2(/?я); таким образом, всякую
функцию, принадлежащую пространству £2(/?я), можно сколь угодно
9 Всюду в этой главе аналитичность функций и многообразий пони-
мается в вещественном смысле. — Прим. ред.
2) См. замечание в конце настоящей главы.
§ 2. Спектр оператора Д®
369
точно аппроксимировать (в среднем) аналитическими функциями (ко-
нечными линейными комбинациями собственных функций фр ф2, •••)•
Пусть t(x)— дифференцируемая функция; нетрудно доказать, что
для каждого е > 0 существует такая аналитическая функция фе (х), что
|*(х) — /(x)|<e и	— фе(х)]| <е (1.3)
ОХ1	I
на всем многообразии Rn.
Аппроксимируя таким образом построенные Уитни функции (/у)1Л+1>
мы замечаем, что функции
=	•••• *")>	v==1..........2»+	1,
при достаточно малом 8 > 0 дают требуемое отображение [матрица
х*)) имеет ранг п в силу непрерывности определителя как
функции его элементов и компактности многообразия Rn].
Здесь мы изложим доказательство теоремы Бохнера, значительно
отличающееся от оригинального доказательства Бохнера. Однако при
этом мы будем руководствоваться его основной идеей. Доказатель-
ство разобьем на две части: в § 2 мы изучим спектр оператора
д = д с (с < о), а в §3 изложим доказательство возможности
равномерной аппроксимации дифференцируемой функции на простран-
стве Rn аналитическими функциями.
§ 2. Спектр оператора
Докажем, что оператор
s дх* Г дх /
-Нф,
где
с = с(х) < 0, является отрицательно определенным.
Доказательство. Для наших рассмотрений подходит, очевидно,
гильбертово пространство £2(/?л), т. е. множество классов эквива-
лентности функций со скалярным произведением
(Л g)°^ / f(x)J(*jdv,
Rn
где dv — элемент объема: dv = g'h dx1 ... dx11 в римановом про-
странстве (ср. гл. XIX). Имеем
(— Дсф, <р) = — f [g-4t J- ^g'l2gij	ф + с | ф (х) |2 dx =
Rn
= / [gfy >xf ~c|<P2Wl2]g',/’rfx> — С(ф. ф),
Rn
24 K. Mopeif
370
Гл. XVI. Теорема Бохнера
Аналогично доказывается симметрия оператора &с : (Асф, ф) = (ф, Дсф).
Следовательно, на основании теоремы Фридрихса — Стоуна — Винт-
нера существует самосопряженное расширение \с оператора А*, также
отрицательно определенное. Применяя теорему Реллиха, так же как
и в главе о самосопряженных расширениях, доказываем, что опера-
тор (А6)"1 является вполне непрерывным и, следовательно, его спектр
является чисто точечным. (Другое доказательство аналогичной тео-
ремы для эллиптических операторов произвольного порядка изло-
жено в гл. XIII.)
Как мы знаем, D(A*)<ZjD( [А*]*); следовательно, собственный век-
тор фу оператора Дс(Дфу = Хуфу) является слабым решением уравне-
ния эллиптического типа с регулярными коэффициентами (ср. гл. XI)
Де<р; (х) —	(х) = 0.	(2.1)
Поэтому (после исправления на множестве меры нуль) он является
функцией класса С2(/?л), а так как коэффициенты уравнения (2.1)
аналитичны, то на основании теоремы Хопфа [1] этот собственный
вектор является даже аналитической функцией на многообразии /?л.
Таким образом, мы доказали, что оператор Ас имеет чисто
точечный спектр. Его собственные функции принадлежат
пространству L2(Rn), аналитичны и образуют счетный базис
в L2(Rn). Итак, каждую функцию из L2(Rn) можно сколь угодно
точно аппроксимировать в среднем конечными линейными ком-
бинациями собственных функций оператора Дс, т. е. анали-
тическими функциями на многообразии Rn.
§ 3. Равномерная аппроксимация дифференцируемой
функции посредством аналитических функций
В этом параграфе мы докажем, что для произвольной дифферен-
цируемой функции t (х) и произвольного е > 0 можно найти такую
аналитическую функцию ф8 (х), что для каждого х £ Rn
|/(х) — фе(х)|<е и	<е-	(3.1)
Мы докажем, что искомой функцией является ф8 — (Дс) ^ф,
’где т > n/44-З, а ф — такая аналитическая функция, что при
некотором г| > 0
II (fryt-ф|| <П-	(3.2)
Существование функции ф, удовлетворяющей (3.2), вытекает из ска-
занного в § 1: любую функцию из £2(/?л) [в частности, (Д8)т
можно аппроксимировать аналитическими,
§ 3. Равномерная аппроксимация
371
Заметим сначала, что ф8 = (Дс) т<р — аналитическая функция: это
вытекает из того, что ф8 является решением эллиптического уравне-
ния с аналитическими коэффициентами
(Ас)тфе(х) — ф(х) = 0
и уже применявшейся теоремы Хопфа (напомним, что функция ср
аналитична).
Полагая « = (Дс)~т/, для точек х, принадлежащих окрестно-
о
сти V (х), имеем
«(*)= Jr(х, y)«(y)dy + J S(x; y)f(y)dy, (3.3)
О	о
V(x)	V(x)
Дтг== j~hr^x’ y)u(y)dy-\- f -£is(x'' y)f(y)^y (3-4)
OX	' ox	ox
о	0
V(x)	V(x)
(ср. гл. XI). Следовательно» на основании неравенства Шварца
| < Ci [ II«II + II f II1 < Cl [ II (AT"1 II + 1] II /1|. (3.5)
Полагая f =	— <p, имеем u — (№) m f — t — (Д6)	= /—ф8.
Итак, из соотношений (3.5) и (3.2) получаем
IIIII+ 4<«
при т) > 0 достаточно малом. Аналогично доказывается первое нера-
о
венство (3.1) при x£V(x).
В силу компактности пространства Rn можно выбрать конечное
о
покрытие окрестностями V (х), встречающимися в формулах (3.3)
и (3.4), и получить (3.1) уже для любого x£Rn.
Доказательство теоремы Бохнера закончено.
Замечание. В 1958 г. немецкий математик Ганс Грауэрт дока-
зал знаменитую гипотезу Уитни: всякое сепарабельное аналити-
ческое многооб разие можно аналитически вложить в евклидово
пространство. Грауэрт доказал эту замечательную теорему, при-
меняя глубокие результаты теории пучков на многообразиях Штейна.
24*
ГЛАВА XVII
Общая теория разложений по собственным функциям.
Спектральная теория общих ядер1)
Настоящая глава занимает в известном смысле центральное место
в нашей монографии. Цель вводных замечаний — разъяснить основ-
ную идею теории, подсказанную более тридцати лет назад физиком
Дираком. В § 1 доказывается основная теорема, в формулировке кото-
рой главную роль играет понятие отображения Гильберта — Шмидта
(см. гл. VI, § 7). В качестве следствий мы получаем теоремы
Ю. М. Березанского, позволяющие непосредственно получить спек-
тральную теорию операторов типа Карлемана. В § 2 доказывается,
что вложения Hm+k(QN)->Hk(QN) при т ^>JV/2, £>0, являются
отображениями Гильберта — Шмидта. Это в соединении с результата-
ми § 1 приводит к теореме о разложении по собственным функциям
дифференциальных операторов произвольного порядка; в § 3 дано
уточнение полученных результатов для гипоэллиптических операторов.
Э В связи с неполнотой ссылок в этой главе остановимся более под-
робно на истории вопроса. Построение разложений по собственным функ-
циям в случае непрерывного спектра приводило к значительным трудностям,
которые преодолевались во многих работах, в особенности посвященных
спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов. Из работ
в этой области, больше всего повлиявших на создание общей теории раз-
ложений, отметим следующие. М. Г. Крейном [2, 3, 4] был создан общий
метод направляющих функционалов и доказана с его помощью теорема раз-
ложения по собственным функциям для обыкновенных самосопряженных
дифференциальных операторов произвольного порядка, а также даны его
приложения к интегральному представлению положительно определенных
ядер. Другое доказательство теоремы о разложении принадлежит Кодаира [4].
Первой работой, посвященной спектральной теории самосопряженного
эллиптического оператора в неограниченной области была работа Карлемана
1934 года. Теория разложений по собственным функциям оператора Шре-
дингера в неограниченной области была построена А. Я. Повзнером [1],
работа которого послужила отправной точкой ряда исследований в этой
области. Для общих самосопряженных эллиптических операторов подобные
результаты были получены Гордингом [3, 4] и Браудером [2]. В работе
Маутнера [1] была четко высказана идея дифференцирования разложения
единицы, а в работе Хёрмандера [1] были впервые построены разложения
по собственным функциям неэллиптических (а именно — гипоэллиптических)
операторов. С другой стороны, создание теории разложений по обобщенным
собственным функциям стимулировали некоторые стоявшие задачи. К их числу
относится задача доказательства наличия собственных функций у динами-
ческой системы (см. § 4) и задача С. Л. Соболева об исследовании собствен-
ных функций вида А<р==АВф, где А и В — дифференциальные операторы.
Общая теория разложений по собственным функциям 873
Эти результаты приведут к теории разложения по обобщенным соб-
ственным функциям динамических систем (§ 4). В § 5 излагается
построение ядерного пространства, позволяющее применить общую
теорию к произвольной счетной системе коммутирующих нормальных
операторов. В § 6 выясняется, что спектральная теория бесконечно
малых производящих операторов произвольного унитарного предста-
вления группы Ли охватывается общей схемой, изложенной в преды-
дущих параграфах. Общая спектральная теория абстрактных ядер
излагается в § 7. Такой подход позволяет получить, с одной сто-
роны, теорию Березанского, обобщающую теоремы типа Бохнера, и
с другой — спектральный анализ ядер на дискретной абелевой группе,
что в частном случае положительно определенных ядер дает новое
доказательство обобщения теоремы Герглотца и теорему Понтрягина.
В § 8 и 9 излагается спектральная теория операторов типа Карле-
Исследуя последнюю задачу, Р. А. Александрин еще в 1949 г. впервые
сформулировал частное понятие обобщенной собственной функции.
В 1955 г. появилась основополагающая в рассматриваемом направлении
работа И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко [1], в которой было показано,
что всякий самосопряженный оператор Л, действующий в сепарабельном
функциональном гильбертовом пространстве имеет полную систему
обобщенных собственных функций, являющихся функционалами над неко-
торым линейным топологическим пространством основных функций Ф. Авторы
рассматривали конкретные виды Ф; однако из методики доказательства было
видно, что оно проходит для любого счетно нормированного Ф, ядерного
в смысле И. М. Гельфанда. В 1956 г. появилась работа Ю. М. Березанского
[1], в которой было показано, что в качестве Ф может быть взято не линей-
ное топологическое, а некоторое гильбертово пространство. Тем самым
обобщенные собственные функции становились функционалами конечного
порядка, который зависел лишь от характера В 1956 г. Браудер на осно-
вании статьи И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко [1] подробно изучил раз-
ложение по обобщенным собственным функциям типа Аф = ЛВ(р. Гординг
в реферате на статью Ю. М. Березанского [1] наметил другой подход
к основному результату статьи; этот подход затем был развит в абстрактном
виде К. Мореном для весьма общих случаев, он и излагается в этой книге.
В 1957 г. Д. А. Райков показал, что ядерные в смысле Гротендика прост-
ранства являются ядерными и в смысле И. М. Гельфанда, этим самым было
произведено обобщение теоремы И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко на
абстрактные гильбертовы § с вложенным в него ядерным в обычном пони-
мании Ф. Вместе с тем представлялось важным выбирать Ф как можно
ближе к -£> (в идеальном случае конечномерного пространства Ф = §, и каж-
дый собственный вектор не обобщенный, а обычный). О том, что зазор
между Ф и § мог быть не очень большим, говорили результаты Ю. М. Бе-
резанского [1] о возможности выбора в качестве Ф гильбертовых прост-
ранств, однако они не давали ответ на вопрос в абстрактном и законченном
виде. Здесь завершающую роль сыграла работа Г. И. Каца [1], в которой
было подчеркнуто, что существенна не внутренняя структура Ф, а то, как
гильбертово Ф вложено в § (вложение должно быть Гильберта — Шмидта).
Другой подход к этим результатам был предложен Ю. М. Березанским [3]
в плане развития его статьи [1]. В заключение отметим работу Фояша [1],
в которой Ф предполагается не гильбертовым, а банаховым пространством. —
Прим. ред.
374 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
мана и эллиптических операторов (Маутнер — Гординг) в классиче-
ской формулировке. В § 11 мы приводим классическую формули-
ровку теории Титчмарша — Кодаира для обыкновенных дифферен-
циальных операторов и, в частности, теорию Планшереля, связанную
с оператором Idldx. Параграф 12 представляет собой реферат резуль-
татов Гординга относительно асимптотики спектральной функции
произвольного самосопряженного расширения эллиптического опера-
тора.
Введение
Как известно, спектральная теорема возникла как обобщение клас-
сических разложений по собственным функциям интегральных опе-
раторов (Гильберт). Однако конкретная реализация этой теории даже
в случае обыкновенных дифференциальных операторов требовала
весьма трудных и остроумных рассуждений (Вейль).
В гл. IX было изложено понятие прямого интеграла гильбертовых
пространств и теорема Неймана об одновременной диагонализации
системы коммутирующих самосопряженных (общее — нормальных)
операторов, которая гораздо ближе классическому преобразованию
оо
Фурье, чем разложение А= J* X£(dX).
— оо
Теперь мы продолжим реализацию программы перехода от спек-
тральной теоремы к теоремам о разложении по собственным функ-
циям операторов классического анализа.
Как известно, в случае когда оператор А обладает точечным
спектром [например, в случае когда оператор А или (Д —Z)^1 вполне
непрерывен], спектральной теореме можно придать следующий вид.
Пусть
$ Э ф -* (F<pA) (%) = ф* (1) = (ф. ек (А)).	(0.1)
где ^(А,), Л=1, 2, ..., W (%) — линейно независимые (ортонормиро-
ванные) собственные векторы оператора Д, соответствующие собст-
венному значению Л кратности N (X):
ДвД%) = Х^(Х),	&=1, 2.......ЛГ(Х).
Формула обращения Фурье (т. е. формула обратного перехода
от преобразования Фурье ф к элементу ф) имеет в данном случае вид
Ф = f 2 (Ф. Ч (А)) ek (А) ф (А).	(0.2)
J
Л
где Л—спектр Бр(Д) оператора А (или, что то же, спектр комму-
тативного кольца, порожденного оператором Д), а мера ц сосредо-
точена на собственных значениях X £ Sp (Д): р,([Х})= 1.
§ I. Основная теорема и следствия из нее
875
В случае когда имеется непрерывный спектр, нельзя ожидать
полной аналогии с формулами (0.1) и (0.2), ибо в пространстве
не существует элементов, соответствующих собственным векторам.
Однако примеры классических разложений, например классический
интеграл Фурье— Планшереля, и соображения, высказанные Дираком,
указывали на возможность обобщения соотношений (0.1), (0.2).
Не будем здесь излагать истории исследований последних лет, о ней
будет сказано в заключении. В настоящей главе мы воспользуемся
подходом, принадлежащим автору и весьма просто приводящим к цели.
Оказывается, что обобщенные собственные элементы являются
линейными непрерывными функционалами на некотором плотном
подпространстве с более сильной топологией, чем топология
гильбертова пространства ф. Например, топология в Ф такова, что
вложение /:Ф~>§ является оператором Гильберта — Шмидта или,
общее, Ф = lim ind фл, где вложения 1п	являются операторами
п
Гильберта — Шмидта. Тогда е*(Х)£Ф' и формулы (0.1), (0.2) сохра-
няются в предположении, что <р £ Ф, а скалярное произведение (• , •)
заменено двойственностью (• , • ) пространств Ф и Ф'.
В § 8 и 9 сохранен прежний „полуклассический* подход Гординга,
хотя в § 3 аналогичные результаты получены проще и в более общей
форме. При этом мы руководствовались следующими соображениями.
1°. Целью этой книги является изложение в первую очередь
методов, и лишь во вторую очередь нас интересуют результаты. Весьма
поучительно проследить различные пути, ведущие к одному и тому
же результату (ведь часто ландшафт, открывающийся нашему взору при
подъеме на вершину, не менее красив, чем то, что видно с вершины).
2°. Подход Гординга (или Маутнера) не требует никаких других
средств, кроме общей спектральной теоремы (или теоремы Хана — Хел-
лингера) и теории интеграла.
§ 1.	Основная теорема и следствия из нее
Сначала мы напомним формулировку общей спектральной теоремы.
Для каждой коммутативной системы	самосопряженных
операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве § сущест-
вует такой прямой интеграл ф = § Н (К) d\i (X) гильбертовых про-
д
странств Н (X) и такое унитарное отображение F	и -+Fu =
которое одновременно приводит все операторы	к диагональному
виду. При этом прямой интеграл § является семейством векторных
полей, интегрируемых с квадратом по локально компактному про-
странству А с мерой р:
ДЭХ->«(Х)^/?(Х)с:/2.	(1.1)
376 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
Скалярное произведение в пространстве § задается формулой
dim Я (Л.)	____ •
(и,	= f 2	(*) (М Ф (К).	(1.2)
$ j Л = 1
Л
Описанное выше унитарное отображение F :§—>§, (F«, Fv)^ =
$
= (й, называется (Лр)-преобразованием Фурье. Оно приводит
операторы Лр к диагональному виду в том смысле, что
(Р4рй)Л(Х) = Л₽(А,)«й(Х).	(1.3)
где Лр(«)— комплекснозначная функция.
Функция Лр (•) отображает множество Л на спектр оператора Лр
5р(Л₽) = {Л₽(Х):ХеЛ).	(1.4)
Теперь мы переходим к основной теореме.
Основная теорема (К. Морен). Пусть — линейное
подмножество гильбертова пространства наделенное та-
кой предгильбертовой структурой1), что вложение
1а^а-*Ъ	(1-5)
является оператором Гильберта — Шмидта.
П редпаложим, кроме того, что
индуктивный предел Ф = lim ind является множеством,
п
плотным в пространстве	(1.6)
Тогда преобразование Фурье (1.3) задается формулой
ФЭф~>фД*) = <ф.	* = 1...dimtf(%), (1.7)
где ek(K) — так называемые обобщенные собственные элементы,
принадлежащие пространству Ф*. Формула (1.3) принимает
теперь вид (в предположении, что ЛрФсзФ)
<ЛрФ, ek (М) = <Ф, Лр (X) ek (X)).	(1.8)
Преобразование Fn(T), заданное формулой
Рп W9 Ф -> Ф W - (^Ф) W € И (%),	(1.9)
является отображением Гильберта—Шмидта для [1-почти
всех
!) То есть !$п является унитарным пространством относительно некото-
► нового скалярного произведения.
§ 1. Основная теорема и следствия из нее	377
Доказательство. Так как пространство Ф является индук-
тивным пределом пространств фл, то из соотношений (1.9) вытекает,
что отображение
^(Х):ФЭф->ф(Х)е^(М
является непрерывным [ибо отображения Fn (X) непрерывны как
отображения Гильберта — Шмидта]. Поэтому преобразование Ф^ф-*
->ФЛ(Х) является линейным непрерывным функционалом, и, следо-
вательно, существуют такие элементы еДХ)£Ф*, что фй(Х) =
= (ф» ф£Ф. Таким образом, достаточно доказать соотноше-
ние (1.9).
Из предположения (1.5) вытекает, что
$яЭф->/лф = 2(ф>
I	®п
где	причем
2И||2<ОО.	(1.10)
I
Так как преобразование F унитарно, то F • !п является пре-
образованием Гильберта—Шмидта
'&яЭф->ф = (/7-/я)ф = 2(ф- "П/Ъ
где Л"С причем
2|1*?11«=2М11<~- (ми
Докажем теперь, что преобразование (1.9) имеет вид
FB (X) ф = ф (X) = 2 (ф. h" (X),
i
где
211	< 00 для почти всех по мере ц. (1.12)
Однако соотношение (1.12) вытекает непосредственно из нера-
венства (1.П) и теоремы Фубини
оо > 2 || hl ||^=2 f || h'l (X) ||JW ф (*) = /£1| hni (X) Ha(Jl) ф (X);
l	i Л.	Л. I
поэтому существует такое подмножество NncA. меры нуль, что
при X £ Nn
2II л" (X) ||й(М < со.
Полагая ф(Х) = 0 при XC(J^«- получаем наше утверждение.
378 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
Нам осталось заметить, что соотношение (1.8) следует из (1.3)
и (1.7).
Замечание. Часто встречается случай, когда имеется лишь
одно пространство и Ф = фг Тогда доказательство становится
еще более простым. Ниже сформулированы следствия, относящиеся
как раз к этому частному случаю. Эти интересные утверждения
были найдены (другим способом) Ю. М. Березанским1).
Следствие 1 (Березанский). Пусть В — такой опера-
тор в пространстве что
®(В) = $	(1.13)
и
В"1 является оператором Гильберта—Шмидта. (1.14)
Положим 0 = ^ = 5) (В) и в пространстве определим
скалярное произведение формулой
опо.
(ф. Ф)Ф1 = (5ф. Вф) + (ф« 40-
Тогда имеет место утверждение основной теоремы.
Доказательство вытекает немедленно из следующего замечания:
вложение Э ф -* Лф € Ф является суперпозицией непрерывного
отображения ^Эф-^фЕФ и отображения Гильберта — Шмидта В"1
ф э Вф -*• В'1 (Вф) — Ф £ <£,
поэтому оно также является отображением Гильберта — Шмидта.
Совершенно аналогично доказывается несколько более общее
предложение.
Следствие 2 (Березанский). Пусть в алгебре, порож-
денной системой (Аз)^в, найдется такой оператор А, что
для некоторого 1^1 существует оператор К. обладающий
следующими свойствами:
W) = $;
оператор (A-^-iy1 /С*"1 = (/< (Л —{-Z)z) 1 является операто-
ром Гильберта—Шмидта.	(1.15')
Если положить В — К{А-\-1)1. то имеет место утверждение
следствия 1.
Более того, можно показать (это мы предоставляем читателю),
что в качестве оператора В можно взять К [а не
если только выполнены условия (1.15) и (1.15').
(Ы5)
!) Точнее» Г. И. Кацом [1] и Ю. М. Березанским [3].—Прим. ред.
§ 2. Вложение Гильберта—Шмидта
379
Отметим, что сам К может не быть оператором Гильберта —
Шмидта.
§ 2. При m^N/2 вложение ///7г(Ялг)->Яо(йту)
является отображением Гильберта — Шмидта
Прежде чем переходить к следствиям, относящимся к операторам
классического анализа, докажем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть &N обозначает область Эрлинга. Тогда
вложение (Яд^)-^//^ (йл), /п>^/2]+1>	является
отображением Гильберта — Шмидта. Поэтому вложение
H2m+k(pN)->^k(^N) является ядерным отображением.
Доказательство. Согласно второму неравенству Эрлинга —
Соболева, отображения ///?г+л = ///и+л(йЛГ)Эф->(Оа(р)(л:)^С1 яв-
ляются линейными ограниченными в совокупности функционалами,
заданными на пространстве Нт+ь при условии, что |<х| ^kt
sup <g> (2Л)
т+к
т. е.
D°<p(x) = (<p, b^)m+k, ||^L+ft < c,x€Qn, (2.1')
причем константа с не зависит от х.
Если (e^i — ортогональный базис пространства Нт{к, то в силу
равенства Парсеваля и соотношения (2.1) имеем
l«t+. = 2|(S, 6UI’ = 2|О%«|’ <г. (2.2)
Поэтому (на. основании теоремы Лебега) ряд можно интегрировать
почленно:
оо> J 2 dx = 2 J J} I £)%(*)|2й?х =
йдг |aj<£	|а|<£йдг I
=S 2 jio%r^=2; s	<2-3)
/«1 laK^Qjy	I
Следовательно, вложение
Hm+k Э Ф~> S (ф> el)m+k k (^дг)
в силу соотношения (2.3) является отображением Гильберта — Шмидта»
что и требовалось доказать.
380 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
о
Ввиду того чтов случае пространства Нт+k (Одг) неравенство (2.1)
имеет место для произвольной ограниченной области одновре-
менно мы доказали следующую теорему.
Теорема (К. и Л. Морен). Для произвольной ограничен-
ной области вложение
00	Г ДИ
Hm+k (йдг) Hk m > 0, m + 1,
является отображением Гильберта—Шмидта.
Г	0
[Напоминаем, что пространство H^n) является пополнением
множества С™ (QN) по норме
Wf ® S (О’ф. о»ф),1
|а|</	J
§ 3. Теорема о разложении по собственным функциям
для операторов классического анализа
Теперь мы покажем, как из теорем § 1 получить основные тео-
ремы, касающиеся разложений по собственным функциям интеграль-
ных, дифференциальных, а также интегро-дифференциальных опера-
торов. Сначала мы изложим доказательство теоремы Маутнера (ср.
Маутнер [1]) относительно собственных функций оператора Карле-
мана. Напомним определение интегрального оператора типа Карле-
мана. Пусть Q — локально компактное пространство с мерой о,
конечной на компактных подмножествах множества Q, L2 (о) —’ £2 (Q, о).
Интегральное преобразование
£2 (о) Э и -> {Ни) {х) = f Н(х, у) и (у) do (у) £
Q
где
J |7/(х, у) |2 da (у) = С2 (х) < оо
почти всюду, называется оператором Карлемана.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1 (Маутнер). Пусть А — самосопряженный
оператор в пространстве £2(о), причем для некоторого I
оператор	является оператором Карлемана. Тогда
собственные элементы оператора А являются' линейными
функционалами на пространстве Ф = ©(В), где оператор В
задается формулой В~К (А~\-я)1>
- (з.1)
§ 3. Теорема о разложении по собственным функциям 381
причем А(х)^1 и
J IН (X, у) I2	da (х) do (у) < оо;	(3.2)
QXQ
Я(х, у) означает ядро оператора (A-\-zYl.
Доказательство вытекает непосредственно из следствия 2 § 1. /С-1
является оператором умножения на функцию 1/&(х), а соотноше-
ние (3.2) означает, что оператор (Л2')-z К”1 является операто-
ром Гильберта — Шмидта.
Замечание. Теорема имеет место и тогда, когда А является
оператором Карлемана. В этом случае надлежит применить след-
ствие 1 § 1 к оператору В = К, где К описывается формулами (3.1)
и (3.2), в которых Н(х, у)— ядро А.
В спектральной теории дифференциальных операторов важную
роль играет локально выпуклое пространство	являющееся
о
индуктивным пределом пространств Hm(Qn)t
о
Hm(Q) = lim ind
п
ГДв
Сопряженное пространство [Hm (Q)]* будем обозначать через
/У_т(й). Элементы Н_т(О) являются обобщенными функциями по-
рядка ^.т (ср. гл. XIV, § 5).
Прежде чем переходить к частным случаям, мы выскажем след-
ствие, которое является реализацией основной теоремы § 1 в случае
пространства Z,2(Q) = //0.
Теорема 2. Пусть (^з)^^ — коммутативная система само-
сопряженных операторов в пространстве L2 (Q). Полагая
о
в основной теореме § 1 ф = £2(й),	= Нт (£2Л), т. е. Ф = /7т(й),
мы видим, что в этом случае (А$)-преобразование Фурье за-
дается формулами
Нт (Q) э Ф Фл (X) = <ф. ek (X)), k = 1.....dim Н (X).
где eft(X) являются обобщенными функциями из пространства
m>N/2.
Теперь мы приведем обобщение предыдущей теоремы, которое
Другим способом было получено Гордингом.
Пусть В — положительная эрмитова форма порядка г, заданная
на пространстве Cq° (Q) X С^°(2). Это означает, что для каждого ком-
382 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функции
пактного множества KcQ существует такая постоянная С (К) > 0, что
|В(Ф, 1|И<С(Ю||ф|И1Н при ф,-ФбОю.
Пусть Н(В) означает пополнение множества С£° (Q) по скалярному
произведению В(«, •). Из этого определения следует, что простран-
ство //r(Q) можно рассматривать как подпространство простран-
ства Н(В). Вложение Нr (Q) —> Н (В) является непрерывным, ибо
о
непрерывно его сужение Hr (Q) -> Н (В) и в то же время ffr(Q) =
о
= limindATr(Qrt),
п
Рассмотрим вложение
Z:tfr+w(Q)->//(B), m>N^
Сужение
о
1пхНг+т^)^Н{В)
отображения I можно представить в виде суперпозиции
о	о
In: Нг+т (□*) -> нг (Q") -> Н (В)
непрерывного отображения и отображения Гильберта — Шмидта
(т > 7V/2, г 0). Так как выполняются предположения основной тео-
ремы, то мы доказали следующее утверждение.
Теорема 3 (Гординг). Пусть (Лр) означает коммутатив-
ную систему самосопряженных операторов в пространстве
Н(В), где В(-, • )—скалярное произведение порядка г (г = 0,1,...).
Тогда (А$-преобразование Фурье задается формулой
(Гф), (%) = (X) = (ф, ek (X)), k = 1....dim Н (X),
где ekCk)^H^m+r)Q, причем m = [ЛА/2] 4-1.
Примером скалярного произведения первого порядка является
форма Дирихле
N _
.	,. опр. f dq> <Эф ,
(<Р. Ф)д= J
Й / = 1
Общее,
В (ф. ф) = f 2	W dx' <3-3>
Q |a|, IPKr
где функции Ьа$ измеримы и локально ограничены. На каждом ком-
пактном подмножестве только конечное число этих функций не равно
тождественно нулю.
В общих теоремах настоящего параграфа собственные элементы
оказывались обобщенными функциями из пространства
§ 3. Теорема о разложении по собственным функциям
383
Однако возможна ситуация, в которой обобщенные функции_являются
регулярными. Это имеет место тогда, когда среди операторов (Др)р^в
имеется хотя бы один гипо эллиптический (дифференциальный) опе-
ратор А, т. е. такой оператор Д, что все решения уравнения
(Д + с)и = 0 (дифференцирование здесь понимается в смысле Собо-
лева— Шварца) являются классическими решениями. Как нам известно,
этим свойством обладают эллиптические уравнения. Достаточные усло-
вия гипоэллиптичности приведены в гл. XXII1).
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть среди операторов	фигурирую-
щих в теореме 2, имеется оператор Д, порожденный гипо-
эллиптическим выражением 2 aa(x)Da, где аа( •	Тогда
собственные функции ek(K), о которых речь шла в теореме 2,
являются регулярными функциями и (А$)-преобразование Фурье
имеет классический вид
ФИ^^Ф- **(*•)) = J ф(х)ей(х,
Прежде чем доказывать теорему, сделаем одно замечание. Со-
гласно основной теореме из § 1, в теореме 2 требуется, чтобы
Др///п(й)сз/7т(й). Однако, как нетрудно видеть, для справедливости
теоремы 2 достаточно требовать, чтобы А$3	(Q), где
<2?(й)— пространство основных функций, введенное в гл. III. Этим
замечанием мы сейчас воспользуемся.
Доказательство. Из предположения относительно коэффи-
циентов а<х(‘) вытекает, что оператор А отображает пространство
3 (Q) в пространство Нт (Q): 3) (Q) 3 ф -> Дф 6 Нт (Ф- Поэтому
можно применить теорему 2 и написать
Лфй (%) = (Лф, ек (Л)) = (Л (X) ф, ek (X)), ф £ (Q).
Таким образом, тождественно относительно ф £ 3) (Q) имеем
О = ([ Л - А (X)] ф, ей> = <Ф, [А+ - А (X)] ek (Ь)>,
т. е.
(л+-Л(%))мМ = о.
Однако выражение Л+ — Л(Х)7 гипоэллиптично (Л+ — выражение,
формально сопряженное с выражением Д), а поэтому функции ek(K)
регулярны.
!) Ниже идет речь о регулярности (гладкости) собственных функций
внутри области. Более тонким является вопрос о гладкости вплоть до гра-
ницы. Теперь Ф с Н нужно выбирать не столь грубо как линейное тополо-
гическое пространство стр. 381, а как некоторое гильбертово пространство
и пользоваться результатами о повышении гладкости, упомянутыми на
стр. 349. —Прим. ред>
384 Гл. XVII. Общая теорий разложений по собственным функциям
Спектральным синтезом данного элемента /£Фи его пре-
образования Фурье / Е Ф мы будем называть элемент
dim Н (X)
2	(з.4)
& = 1
Нетрудно проверить, что
(<р, Ж/> = (ф, /) = ($, /)§•	(3.5)
Интересной иллюстрацией к теореме 4 является случай, рассмо-
тренный Гельфандом и Костюченко [I]1).
Предположим, что ф = /7(В), т. е. что (•» •) = /?(•» .) и что М
является дифференциальным оператором. Это имеет место в случае
скалярного произведения, заданного формулой (3.3). Предположим
далее, что
В(Дф,/) = (ф, I/),	(3.6)
где L также является дифференциальным оператором. Следовательно,
преобразование Фурье принимает вид
(ф, ей(Х)) = фй(Х) = <Ж+ф. /*(%)>.
Лф (X) = (£+ф, fk (Х)> = Л (1) < М+Ф. fk (Х)>	(3.7)
тождественно относительно ф£Ф.
Таким образом, обобщенные собственные функции fk (X) являются
решениями дифференциального уравнения
(£_д(Х)Л4)/ИМ = 0.	(3.8)
Предположим, что оператор L — Д(^)Л4 гипоэллиптичен (это имеет
место, например, тогда, когда £—эллиптический оператор, а М —опе-
ратор низшего порядка; тогда L — AM просто эллиптичен). Тогда
7aW — регулярные функции. Однако в силу соотношения (3.7)
ek(h) =	а поэтому регулярны также функции ek(k).
Таким образом, мы доказали следующее важное предложение.
Теорема 5. Пусть выполняются условия теоремы 2, и,
кроме того, пусть среди операторов системы (Др) имеется
такой оператор Д, что оператор L — А(К)М является гипо-
эллиптическим оператором} при этом М и L—операторы,
заданные соответственно соотношениями (3.6) и (3.7). Тогда
обобщенные собственные функции ek(k) системы (Др) являются
регулярными функциями, заданными в области Q, для почти
всех Х£Л по мере ц.
В случае когда В(ф, ф)= J* ффб?х, оператор М является опера-
!) И детально Браудером. — Прим. ред.
§ 4. Разложения по собственным функциям динамических систем 385
тором тождественного преобразования и спектральный синтез совпа-
дает с исходным элементом
dim И (к)
/ (X) = Mf (х) = f S ff (x) ek x) dx ek (x, X) Jp (X). (3.9)
Л £ = 1 Q
Формула (3.9) является поэтому далеко идущим обобщением фор-
мулы обращения Фурье.
§ 4.	Разложения по собственным функциям
динамических систем
Динамической системой на N-мерном дифференцируемом много-
образии Q называется система обыкновенных дифференциальных
уравнений
-^- = а/(х1......xN), 1 = 1. .... N, x£QN. (4.1)
Здесь мы приведем интересный результат Гельфанда — Костю-
ченко [1] (см. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов [4]) относительно раз-
ложения по обобщенным собственным функциям системы (4.1).
Предположим, что правые части уравнений (4.1) удовлетворяют
условиям однозначной разрешимости задачи Коши. Тогда динамиче-
ская система (4.1) определяет группу преобразований многообразия Q:
Q Э х Ttx = xt €
где функция
является решением системы (4.1), принимающим в момент / — О зна-
чение х = (х1.....xNy Из однозначной разрешимости задачи Коши
вытекает групповое свойство:
TtlTti-=Tt,Tt,=Tt,+li. То = 1,	=	(4.2)
Относительно системы (4.1) предположим дополнительно, что
определяемая ею однопараметрическая группа Tt сохраняет меру о
на многообразии Q. Это означает, что на Q существует такая поло-
жительная мера о, конечная для компактных подмножеств Q, что вся-
кое о-измеримое множество Zc:Q любым преобразованием Tt пре-
образуется в о-измеримое множество
Zt = [Ttx : х £Z}t
причем o(Zz) = o(Z), t£Ex 2).
!) Известно, что консервативные системы Гамильтона обладают выше-
указанным свойством.
25 К. Морен
386 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
Рассмотрим теперь гильбертово пространство L2 (Q) = £2 (Q, а).
Группа (Tt) индуцирует в пространстве £2(Q) однопараметрическую
группу унитарных операторов (Ut):
(Utf) (х) f (Ttx),	(Q).	(4.3)
В главе, посвященной эргодической теории, мы будем изучать
потоки, т. е. динамические системы, сохраняющие меру, с другой
точки зрения. Здесь же нас будут интересовать обобщенные собствен-
ные функции системы (4.1).
Согласно теореме Стоуна, существует (единственный) самосопря-
женный оператор А — А* в пространстве L? (Q), порождающий группу
преобразований (4.3)
Ut = eitA, где /Лф = lim	(4,4)
Оператор А является самосопряженным расширением оператора До,
заданного на множестве 3) (Ло) = С™ (Q) и являющегося реализацией
дифференциального выражения
в пространстве Л2(£2). Действительно,
Мт (х) = Um -J- (У,ф — Ч>) = -i- Ф (7» |,_0 =
Применим основную теорему настоящей главы к рассматриваемому
случаю. Мы имеем дело с самосопряженным оператором А в сепара-
бельном гильбертовом пространстве L2(Q) — $. Выберем в L2(Q)
в качестве пространства Ф пространство Нх (Q), построенное анало-
гично пространству с тем же обозначением на стр. 316. Для Cq (Q)
имеем H0CS°(Q)cz/7i(Q), поэтому можно воспользоваться теоремой 1
(см. замечание, следующее после формулировки теоремы 3). Следова-
тельно, существует спектральная мера р, на оси Е1, носителем кото-
рой служит спектр Л оператора AzdAq. Пусть ek(K)t Л = 1, ...
..dim/?(X)— обобщенные собственные функции оператора Л, т. е.
Ф*(^) = <Ф- <Лф. МЬ)> = б%Ф. —
Согласно теореме Стоуна [см. (4.4)], имеем
<^Ф, ek (X)) = eiKt (ф, ek (X)), k = 1....dim Н (X),	(4.5)
где dim/7(X)— кратность точки X спектра оператора А. Соотно-
§ 5. Теорема о разложении
387
шение (4.5) может быть записано короче:
Utek (X) = eitK ek (X), k = l, dim/f(X).
Как нам известно, элементы ek (X) принадлежат пространству
(Q) =	(Q)) . Таким образом, мы наметили доказательство
следующей теоремы.
Теорема (Гельфанд и Костюченко). Существует систе-
ма(ек(^У) элементов пространства H_i (Q) = (нг (Q))*, являю-
щихся обобщенными собственными функциями дифференциаль-
ного оператора a(x, D) = 2az(x)^/dxz, связанного с динами-
ческой системой (4.1), сохраняющей меру.
Замечание. Спектр Л оператора А называется спектром дина-
мической системы (Tt) или (£7Д
§ 5. Теорема о разложении по собственным
функциям (продолжение).
Построение ядерного пространства
Сейчас будет намечен несколько другой подход к теории разло-
жений по обобщенным собственным функциям. Как нам известно
из теории обобщенных функций, в множестве С™ (Q) можно ввести
такую локально выпуклую топологию, что операторы дифференци-
рования непрерывно отображают соответствующее пространство 36 (Q)
в себя. Сейчас мы докажем, что для произвольной счетной системы
коммутирующих нормальных операторов (Ду)^=1 в сепарабельном
гильбертовом пространстве $ можно построить плотное подмноже-
ство Ф, являющееся ядерным пространством (т. е. таким локально
выпуклым топологическим пространством, что всякое его линейное и
непрерывное отображение в какое угодно банахово пространство
является ядерным отображением), обладающим тем свойством, что все
операторы Ду непрерывно отображают пространство Ф в себя.
Именно имеет место следующий вариант основной теоремы из § 1.
Теорема (К. Морен). Пусть для коммутативной системы
операторов	пересечение = Q ®(4) плотно в про-
J, р
странстве ф. Тогда
1° существует такое ядерное пространство Фс®0, что
операторы А? отображают пространство Ф в себя и при
этом непрерывно',
2° преобразование Фурье, индуцированное системой (Ду)^°.
25*
388 Гл. XVIJ. Общая теория разложений по собственным функциям
задается формулой
ФЭФ-*фНМ = <Ф. ей(Х)).
(5.1)
£ = 1....dim/7 (Я),	^(Х)СФ*.
Доказательство. Построим сначала ядерное пространство Ф.
Пусть 0 #=	£ ©0. Образуем конечномерное (и поэтому ядерное)
пространство
ф°.; «» = !“=, 2 МЧЬ (5-2)
( I а I <т	)
где в обозначениях сохранена аналогия с теорией дифференциальных
операторов:
а = (а1..aNj, |а[==а1-|-	= Л“« ... Л“л\
Пространство (5.2), будучи конечномерным, обладает единственной
(с точностью до эквивалентности) локально выпуклой топологией,
которую можно определить, например, следующим образом:
тогда и только тогда, когда тах|ла п | -> 0, п~>оо. В случае
надобности берем факторпространство по нулевому подпространству
и пополняем его. В результате получаем конечномерное, а следо-
вательно, ядерное пространство. Образуем далее индуктивный предел
ф1= lim шаФ1(Яг>Лг.	(5.3)
т, N
Согласно теореме Гротендика, пространство Фу является ядерным
и ЛуФу с Фу. Если множество Ф! плотно в пространстве ф, то
полагаем Ф = Ф1, и построение на этом заканчивается. В противо-
положном случае берем произвольный вектор	и п0
нему строим пространство Ф2. Далее образуем прямую сумму ф Ф2.
В случае надобности повторяем это построение (однако не более
чем счетное число раз, ибо пространство ф сепарабельно). В резуль-
тате нужное нам пространство Ф получаем в виде
Ф = + Фу = + pirn ind Фу, mt дЛ.	(5.4)
J J \т, N	У
Линейная сумма —Фу снабжена обычной топологией индуктивного
предела, а поэтому (на основании теоремы Гротендика) является
ядерным пространством. Очевидно, пространство (5.4) обладает всеми
требуемыми свойствами.
Перейдем теперь к доказательству п. 2°. Ввиду того что топология
пространства Ф с § сильнее ^топологии пространства $, вложение
/ :Ф—>«£) является непрерывным, а так как, кроме того, простран-
§ 5. Теорема о разложении
389
ство Ф ядерно, а $ — банахово пространство, то вложение / является
ядерным отображением. Поэтому
/:ФЭф-»/ф = 2(ф. ф))йу€&
J
причем на пространстве Ф существует такая псевдонорма [| • ||р, что
<s-5)
где hj — Fh j и
Цф'||_/= sup |<Ф. ф'>|;	(5.6)
р пф11<1
следовательно,
фэф->ф=(^./)ф=^(ф, ф;>йуе$. (5.7)
Как и при доказательстве основной теоремы, убеждаемся, что ото-
бражение
F (X): ф -> ф (X) °^' 5 <Ф- <Р}> Ъ W 6 й W	<5-8)
является непрерывным на пространстве Ф для р-почти всех Х£Л.
Пронормируем элементы hj : || hj || = 1, /=1, 2, имеем
SHii.P=2h;uiM!<“- <5-9>
Из соотношения (5.9) вытекает, что
Л j
а поэтому по теореме Фубини
(5J0)
для p-почти всех %£Л. Из соотношения (5.6), неравенства Шварца
и соотношения (5.10) находим
(2 <». в s, и il)! < (2 и ф и,  и; L, и |Q2 <
<Hii;2||4>;t,||SyW|iI<«2wwi‘-
Таким образом, мы доказали даже больше: отображение F(k)
обладает свойством (5.9), аналогичным свойству Гильберта — Шмидта
2цф;мм<<~.
Приведем простой, но важный (в теории представления групп)
пример.
390 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
Пример. Пусть G — дискретная абелева группа и пусть
Aj =	— операторы сдвига
(fyp) (х) = ф (g;’x) = ф (х — gj).
Операторы Aj коммутируют и являются унитарными в пространстве
L2(G) = L2(G, о), где о — мера Хаара на группе G. В качестве эле-
мента возьмем функцию 60(^), равную 1 при £ = 0и0 при g=#0.
Нетрудно видеть, что пространство Фг в данном случае будет совпа-
дать с пространством С0(О) функций (непрерывных, ибо группа О
дискретна) с компактными носителями с обычной (псевдо)тополо-
гией: Ф1Эфл->0> если носители функций фл заключены в некотором
фиксированном компактном множестве, а сами функции фл стремятся
равномерно к нулю. Мы полагаем Ф = ФР ибо Ф1 = £2(О).
§ 6. Разложения по собственным функциям дифференциальных
операторов на группе Ли
Как нам известно из § 6 и 7 гл. X, если
= -24$. $)
— унитарное представление группы Ли О, то на пространстве Гординга
® = {^(Ф)® = J и (5,)Ф(5')®^ = '»(Ф). ф€С<Г(О)}
это представление индуцирует правоинвариантное представление обер-
тывающей алгебры 1В; при этом симметрическим элементам £ = £+
соответствуют симметрические операторы на пространстве ® с:
dU (L) (v (ф) V) = и (Аф) V, © (dU (£)) = ®.
Симметрические элементы из центра Z алгебры Ц представляются
существенно самосопряженными операторами, самосопряженные замы-
кания которых коммутируют в сильном смысле, а поэтому инду-
цируют преобразование Фурье. Пусть Lj£Z, /=1, 2, ...—такие
элементы, a Aj = dU (Lj) = Aj, J = 1, 2, ...—их самосопряженные
представители. В этом случае операторы Aj удовлетворяют условиям
теоремы § 5: $)0 = Q 2) (Л;) о ®, пространство Гординга ® плотно
У» р
в пространстве ф. Следовательно, мы можем применить построение
ядерного пространства Ф, о котором говорилось в предыдущем
параграфеJ).
Однако для того, чтобы обобщить понятие пространства ^(G),
рассматриваемого в теории обобщенных функций, мы поступим
0 Пространство основных функций на группе Ли в связи с близкими
вопросами независимо строилось Г. И. Кацом [2].
$ 6. Разложения на группе Ли
391
несколько иначе, так чтобы в случае регулярного представления
g'->Lg получить именно пространство Шварца 3(G).
Только первый шаг построения отличен от вышеописанной про-
цедуры:
— (<₽)©;}.
В множестве Фу введем топологию, индуцированную топологией
пространства 3(G)/Nj, где Nj = (<р £3(О): U(<р)Vj = 0}.
Далее положим
опр.
Ф= lim ind Фу.
Следующие шаги построения сохраняются без изменения. Таким
образом получается следующее утверждение.
Теорема 1 (К. Морен). Пусть g~>U(g)— сильно не-
прерывное унитарное представление (ср. нижеследующее заме-
чание) группы Ли G в сепарабельном гильбертовом простран-
стве £). Тогда существует такое ядерное пространство
Фс®а§, что преобразование Фурье, индуцированное ком-
мутативной системой (Ду), где Aj — dU (Lj),	=	£Z,
задается формулами
ф э <р -> а)=<ч>. ч <х». ek (X) е ф'.
Л^й(Х) = Лу(Х)ей(Х), * = 1......dim/?(X).
опр.
В случае {левого) регулярного представления U(g)f(x) =
Lgf (х) = f(g~1x) пространство Ф является пространством
Шварца 3(G), а поэтому обобщенные собственные эле-
менты ek(K) принадлежат пространству D'(G).
Замечание. Построение пространства Ф можно выполнить для
произвольного сильно непрерывного представления g->T(g) в про-
извольном сепарабельном банаховом пространстве. Линейные непре-
рывные функционалы, заданные на пространстве Ф, т. е. элементы
пространства Ф', будем называть Т-обобщенными функциями, а эле-
менты тензорного произведения Ф' ®Ф' назовем Т-ядрами.
Этими понятиями мы будем пользоваться при определении харак-
теров группы Ли.
В случае левого представления группы Ли g-^Lg операторы
dLg(Lj) — Aj являются самосопряженными расширениями левых диф-
ференциальных операторов £у на группе О. Применяя построение
пространства Нт (G), где т [А^/2] + 1, п — размерность группы G,
получаем следующее уточнение теоремы 1,
392 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
Теорема 2. В случае регулярного представления N-мер-
ной группы Ли Q обобщенные собственные элементы симме-
трических дифференциальных операторов Lj = Lj из центра Z
обертывающей алгебры ё являются обобщенными функциями
порядка m^[N/2]-|-1, принадлежащими пространству
^(О)Эф~>фД^) = (ф>	^(Х)СЯ^т(О).
§ 7, Спектральное представление (обобщенных) ядер
Известной является роль, которую в современном анализе и
теории вероятностей играет теорема Бохнера о представлении поло-
жительно определенной функции /?(•)> заданной на оси Е\ в виде
интеграла Фурье — Стильтьеса
р(х)= J	(7.1)
— ОО
(определение положительной определенности см. на стр. 259; мера ц
определена с точностью до эквивалентности).
Аналогичный характер носит теорема Герглотца. Здесь мы изложим
далеко идущие обобщения, охватывающие замечательные теоремы
Березанского [2], Браудера [4] и других авторов 1). Для того чтобы
читателю стала понятной связь нашей теоремы с теоремой Бохнера,
мы перепишем формулу (7.1) в „ядерном" виде:
оо
к (X, у) = р (X - у) = f elK(x~y) dp (X).	(х. у) е £* X Е1. (7.2)
— ОО
Заметим, что ядра Кк(х, у) °—	являются собственными функ-
циями оператора дифференцирования
Л=4	(7.3)
*	(/А
где оператор А определяется соотношениями (Л, /) (х) = (Af) (х),
/(х) = 7(х).
Понятие положительной определенности для ядра К вводится
*) Первыми в этой серии теорем являются работы М. Г. Крейна [2, 3]
относительно представления положительно определенных ядер через соб-
ственные функции обыкновенного дифференциального оператора, получен-
ные им при помощи метода направляющих функционалов. Основная идея
этих работ — рассмотрение дифференциального оператора в пространстве,
порожденном положительно определенным ядром — использовалась также
последующими авторами. — Прим, ред.
§ 7. Спектральное представление
393
следующим образом:
п	_
2 К(хр xz)Cy£z^>0 для каждой конечной системы
хЛ1--. £i...........:„€ci.
Из положительной определенности ядра К вытекает положительная
определенность билинейной формы
(ф, 1р)=/<(фЛ)0— / /С(х, у)ф(х)ф(7)</х</у, ф,	(7.4)
Е» X Е1
Приведем теперь одну из возможных формулировок нашей теоремы.
Теорема 1 (К. Морен). Предположим, что
1° Ф является ядерным пространством',
2° коммутативная система операторов (Aj) отображает
пространство Ф в себя непрерывным образом',
3° К является положительной эрмитовой формой на про-
странстве Ф и
(Ф, ф) °— К (ф, ф)» ф, ф С Ф;
4° операторы Aj—K симметричны, т. е. (Ajq>, ф) = (д>, Луф)
при ф, ф£Ф.
Пусть § — пополнение пространства Ф0 = Ф/Л7\ где
N = {фСФ : (ф> ф) = 0} и пусть
5° операторы Aj индуцируют в пространстве $ коммута-
тивную систему самосопряженных после замыкания опера-
торов (которые мы в дальнейшем будем обозначать также
через Aj)',
6i на пространстве Ф определена билинейная форма В,
индуцирующая (на Ф) коммутирующий с операторами Aj не-
прерывный оператор В:Ф->Ф.
Условие 61 можно заменить (неэквивалентным) условием
62 оператор В допускает расширение до оператора, не-
прерывного на пространстве
В этих предположениях форма (ядро) В обладает спек-
тральным представлением
В = J BKd\i (X) /точнее, В (ф, ф) — J* Вк (ф, ф) dp(ХЙ ,
л	\	л	/
где р— некоторая, вообще говоря, комплекснозначная мера.
В частности,
Л
Ц мера р, здесь уже не отрицательна,
394 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
При этом ядра Вк(Кк) являются одновременными собствен-
ными ядрами операторов Af.
Вк (ф, АУ4>) = Вк	1|>) = Aj (X) Вк (ф. Ф).	(7.5)
Короче это записывается следующим образом:
AjBk = Aj(k)BK.
Элементарные ядра Кк тоже положительно определены для
[i-почти всех Х£Л.
Доказательство. Заметим сначала, что AjN cz N. Действи-
тельно, при (p£N имеем
(л*ф, Я’)=(ф- 4rt>)=o
тождественно относительно ф£Ф, а поэтому A*q£N. Аналогично
AjN cz Af. Следовательно, операторы Aj индуцируют линейные пре-
образования (мы их обозначаем также через Aj) в факторпростран-
стве Фц — Ф/N. Таким образом, операторы Aj, о которых речь идет
в п. 5°, правильно определены.
Из теоремы § 5 и п. 6Ь 62 вытекает, что оператор В индуци-
рует ядро ВК£Ф' ®Ф' или, иначе говоря, билинейную форму (непре-
рывную по каждому аргументу)
ф X Ф Э {<р. Ф} -* (Вф (X). $ (X) \ = Вк (ф. ф).
В силу общей спектральной теоремы имеем
в (ф. -ф) = (Вф, 1|>) = J (Вф (X), $ (X) \ du (X) =
Л
= J* Вх,(ф. ip)d|A(X)= J (ф. Вхф)ф(Х).
Л	Л
Для ц-почти всех Х£Л
Вк (Aj(p, ф) = ( (ВЛ^>) (X), $ (X) \ =
= ((Л^Вф) (X), $ (X) \ = Aj (X) ((Вф) (X). $ (X) X =
= Лу(Х)Вх(ф, ф).
что и требовалось доказать. Положительная определенность ядер Кк
является непосредственным следствием определения прямого инте-
грала, ибо (ф« Ф) —’ (ф(Х), Ф(^\ является скалярным произведе-
нием в пространстве /?(Х). Нетрудно также понять, что для ядра К
мера р неотрицательна.
7. Спектральное представление
395
Перейдем теперь к рассмотрению частных случаев. Предположим,
что ядерное пространство Ф является пространством Шварца
£fr=3t (йдг)» гдей^—область в /V-мерном евклидовом пространстве ENt
или TV-мерное дифференцируемое многообразие. Как известно из тео-
ремы о ядрах, 3b' ®ЗУ = ЗУ (й^ X й^). Следовательно, элементы
пространства Ф'® Ф' являются в этом случае обобщенными функциями
на произведении йдг X Предположим далее, что по крайней мере
один из операторов (Ду) является гипоэллиптическим (этот оператор мы
в дальнейшем обозначаем через Ду) или что обобщенные собственные
функции оператора Ду являются функциями класса C°°(QN) (читатель
без труда видоизменит приводимые ниже высказывания на случай
оператора Ду с достаточно гладкими коэффициентами).
Соотношение (7.5) теперь принимает вид
(Л/р, Вк^) = Лу(%) (ф. 5хф) == (Bvtyp, ф).
т. е.
([Ду —Ду(1)]ф, Вхф) = 0 для всех ф^С“(Й^).
Таким образом, обобщенная функция Вхф, будучи обобщенным
собственным элементом гипоэллиптического оператора Ду, является
элементом пространства & (QN), где ^(й^)— пространство функций
класса C°°(^) с равномерной сходимостью вместе с производными
всех порядков на каждом компактном подмножестве. Поэтому
(<р, Вхф) = Г Ф (х) Вхф (х) dx.
Вк, по определению, линейное непрерывное преобразование из про-
странства 3) в пространство^', однако, как мы показали, S(Йл,).
Ввиду того что график отображения В^\35->% замкнут (действи-
тельно, если	—->0 и >w, то w = 0, ибо отображение
Вк:31 —>33 непрерывно), из общей теоремы о замкнутом графике
вытекает, что отображение В^ : 3) (й^)—> S (Й^) является непрерыв-
ным. Поэтому отображение
^ЭФ^(ад(х)€С1
является линейным непрерывным функционалом на пространстве
т. е. обобщенной функцией. Следовательно, для каждого xQQN су-
ществует единственная обобщенная функция, заданная формулой
<ф. В (х, •; Л)> = (ВлФ) (X), ф € 3> (QN).
Так как
<ф. В КА	(к) (ф, Влф).
то
5ДЛуф)(х)=<Лу(Х)Вхф(х).
396 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
Поэтому
; Х)) = А}(К) (ф, В(х; . ; Х)>.
Таким образом, В(х, •; %) опять оказывается обобщенной собствен-
ной функцией оператора Aj, а поэтому Вк(х, •; Х)£С°° (Q^) и
А^уВк(х, у; Х) = Aj(k)B(x, у; Z).
Следовательно, окончательно имеем
(ф, В(х, • ; Х))= JВ(х, у; Х)ф(у)б?у.
Аналогично получаем
AjxB (у, х; К) — Aj(k)B(y9 х, 1).
Итак, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 2 (К. Морен). Пусть Q>N означает N-мерное
дифференцируемое многообразие и пусть (Лу) — система (произ-
вольной мощности) коммутирующих самосопряженных опера-
торов в пространстве § = £2(Q/V), содержащая по крайней
мере один дифференциальный оператор Aj9, обладающий тем
свойством, что обобщенные собственные функции этого опе-
ратора принадлежат классу С°°. Взяв в теореме 1 в каче-
стве Ф пространство 31 (QN) и предполагая, что ядро В удо-
влетворяет условиям теоремы 1, утверждение этой теоремы
можно уточнить следующим образом*.
Вк (ф. 4) = <Ф-	= J В (х, у; %) Ф (х) Ар (у) dx dy,
qn х Qn
где ядра В(>, •; X) (так называемые элементарные ядра) являются
собственными функциями оператора А^ и, значит, принад-
лежат классу С°°:
В(х, •;%), В(«, у; 1)6C°°(Q^,
AhxB(y, х; Х) = ЛЛуВ(х, у; А) == ЛЛ (X) В (х, у; X).
Предлагаем читателю доказать следующее интересное дополнение
к теореме 2.
Элементарные ядра можно разложить следующим образом
по собственным функциям оператора А^*.
dim Н(К)	________
в (х. у; А) = 2 ек (х; к) ек (у. к),
£=1
§ 7. Спектральное представление
397
где
AjQek(Xt X) = А у (X)## (х, X),
**(•. X)eCoo(Q/v), k=\.........dimtf(X).
Наконец, заметим, что если ЛУо — эллиптический оператор, то можно
доказать, что ядра £(• , • ; X) входят в С°°(QN X Цу).
В качестве последнего примера на применение теоремы 1 приве-
дем обобщенную теорему Герглотца.
На этот раз роль ядерного пространства Ф будет играть про-
странство C0(G) функций, непрерывных на дискретной абелевой
группе G, обладающих компактными носителями (ср. § 5, пример).
Для удобства формулировки теоремы напомним определение характера.
Определение. Характером коммутативной локально ком-
пактной группы Q называется каждая непрерывная на группе G ком-
плекснозначная функция х» удовлетворяющая следующим условиям:
X(g’lg,2) = X(g‘l)X(g’2)- gl>	(7-6)
|Х(^)| = 1.	(7-7)
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 3 (К. Морен). Пусть B(gv ^ = b(g~yg^ =
= #(g2— S\\ #£G(O)— ядро на дискретной абелевой группе G.
Тогда ядро В обладает следующим спектральным разложением*.
b(g)= f h(g)dn(b),	(7.8)
Л
где Ьк—собственные функции операторов сдвига Aj — Lgj.
а р, — некоторая, вообще говоря, комплекснозначная мера.
В частности, если В = К — положительно определенное ядро
вида
K(gv g^ = k{g2 — gx),
то
k (g) = J kK (g) dp (X) =	(g) dp' (X).	(7.9)
A	A
Здесь —характеры группы G. а неотрицательная мера р/
получается из неотрицательной меры р. нормировкой
*Н'(*) = Лх(е)ф(Х), Xx(g-) = -M^-,	(7.10)
где е — единица {нуль) группы Q.
Доказательство. В теореме 1 (которая применима также
к унитарным операторам) положим Aj — Lgj (.Ajf)(g) = (Lgjf)(g) =
gj). Эти операторы унитарны на пространстве ф = £2 (О, а),
398 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
где а—инвариантная мера. Так как О — абелева группа, то опера-
торы Lg^ коммутируют. В силу своего определения ядро В (• , •)
коммутирует с операторами Lg^. Таким образом, выполняются усло-
вия теоремы 1. Следовательно, доказано соотношение (7.8), ибо
• )СФсзС0, будучи мерами на дискретной группе О, являются не-
прерывными (на О) функциями. Остается лишь доказать соотноше-
ние (7.9.). С этой целью докажем сначала возможность норми-
ровки (7.10). Исключим тривиальный случай Л = 0. Как нам известно,
0. Докажем, что (е) > 0. Предположим, что (е) = 0 для
ц-почти всех X; тогда мы имели бы
kK (g) = Lg_xkK {е) = Zg-i (X) kK (e) = 0
для ц-почти всех %, а отсюда в силу (7.9) получается противо-
речие: k (•) = 0.
Положим
Хл(*)	~k^k^
Теперь нужно доказать соотношения (7.6) и (7.7). Из общей спек-
тральной теоремы вытекает
le = le = lg <*) К (О = Lg*K (*) = Хл (£’)•	(7-11)
откуда
Z(^2)-1 w = ^-1 a)ifri (X) = Хх (^) Хл(^2).
Наконец, так как Lg—унитарные операторы, то в силу (7.11) и
спектральной теоремы
- W=lV'»l=1’
что и требовалось доказать.
Из теоремы 3 получаем в качестве непосредственных следствий
знаменитые теоремы Герглотца и Понтрягина.
Следствие 1 (теорема Герглотца). Пусть k — положи-
тельно определенная функция на множестве целых чисел. Тогда
существует такая {единственная) положительная мера р/, что
2л
k(n) = j' ехр(/пХ)ф'(Х).	(7.12)
о
Доказательство. Положительно определенная функция k
определяет ядро К (т, n) — k(m — п), удовлетворяющее всем усло-
виям теоремы 3. В случае группы целых чисел фактически имеем
дело с единственным оператором сдвига Lx: (£х/)(п)°=/(д—1).
§ 8. Ядро Карлемана
399
Принимая во внимание канонический вид унитарного оператора £р
согласно спектральной теореме, из соотношения (7.11) получаем соот-
ношение (7.12), ибо г = 0, (n) — exp (ZnZ) [exp (Z/Д)— собственные
функции оператора сдвига].
Следствие 2 (теорема Понтрягина). Группа характе-
ров G дискретной абелевой группы G компактна.
Доказательство. В группу характеров 0Q вводится тополо-
гия компактного множества Л.
Замечание. Теорему 1 можно применять к инвариантным на
однородных пространствах ядрам. В этом случае возникают разло-
жения по так называемым обобщенным сферическим функциям, а также
получаются теоремы, обобщающие важные в квантовой теории поля
теоремы Кэллена и Лемана. Эти теоремы можно найти, например,
в заметках автора.
§ 8. Теорема о разложении по собственным функциям,
связанным с ядром Карлемана
Сейчас мы приведем более элементарный (хотя не столь общий)
подход к спектральной теории оператора Карлемана, которым мы
обязаны Л. Гордингу [3, 4]. Изложение не будет опираться на результаты
предыдущих параграфов этой главы. Пусть (X, U, а}—пространство
с мерой а, причем X — объединение счетной совокупности множеств
конечной меры, принадлежащих U, где U — класс всех а-измеримых
подмножеств пространства X. Пусть // = £2(а),
(/, g)= J/(х) g(x)da(x): Н — сепарабельное пространство.
х
Частные случаи:
1° X — область в Еп, а — мера Лебега, Н — 1?(Х)>
2° X — счетное множество (например, совокупности всех нату-
ральных чисел) и а(х)=1 для всех х£Х.
Напомним, что оператор В называется оператором типа Карле-
мана (или интегральным оператором с ядром Карлемана), если суще-
ствует функция b (х, у), заданная на X X ЛС измеримая относительнс
и такая, что
£>(х)°= | J|6(у, x)|2da(y)p <оо
И
Bf (х) = (В/) (X) f f (у) da (у)
х
почти для всех х при условии, что
400 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
В случае 2° всякий ограниченный оператор задается ядром Кар-
лемана, именно своей матрицей. Действительно, полагая
{1 при z = х,
п
0 в остальных случаях,
получаем полную ортонормированную систему в пространстве 77, так
что f = 2/ (X)hx или / (х) = (/, hx) для всех /их. Следовательно,
В/(х) = (В/, Лх) = 2/(У)(5Лу. hx),
причем
2 I (Bh, hx) |2 = 51 (Лу, B*hx) |2 = || B*hx ||2 < со
У	У
для всех х. Является очевидным, что b(y, x) = (Bhy, hx)— функция,
измеримая на X X А’.
В случае 1° оператор / уже не является оператором типа Карле-
мана (доказать!).
Пусть А = А*, D(A) = H и пусть
Л
— унитарное преобразование, приводящее оператор А к диагональ-
ной форме. Каждая о-измеримая и о-почти всюду конечная ком-
плекснозначная функция <р(Х) определяет оператор В = ф(Д),
D(B) = H, следующим способом:
D(B) — \f£H: J|<p(X)F(X)|2da(X)<oo, F = T/1.
I A	J
(Bf, g)=H f ф (X) (F (X), О (X)) da (X). G = Tg.
Эквивалентное определение: В = 7’~1ф7', где ф мы рассматриваем как
операцию умножения на ф(Х).
Докажем, что Т является интегральным оператором, если
соответствующая функция В = у(А)—оператор типа Карле-
мана. Предположим, что ф=#0 (это условие будет потом несколько
ослаблено). Дадим более точную формулировку теоремы. Она по
существу является другой формой теоремы 1 § 2.
Теорема 1. Существуют заданные на Ak X X функции
ek(X9 х)> измеримые относительно о®а и обладающие следую*
щими свойствами:
1° почти для всех k и к
FkW==(.Tf)k(£)== J ek(%, x)f(x)da(x) (8.1)
х
§ 8. Ядро Карлемана
401
при условии, что
J \f(x)\b(x)da(x) <	&(х) = J* |й(х, у) |2 da (у) (8.2)
(совокупность таких f мы обозначаем £)0);
2° почти для всех х
«(М
/(x) = (T’1f)(x) = J*	x)rfa(X), (8.3)
А й=1
при условии, что F£H и
f I <Р (X) Г21F(X) I2 da (X) < оо.	(8.4)
А
Применяя векторные обозначения e(k, х) —*(^(Х, х), е2(к, х),...),
формулы (8.1) и (8.3) можно переписать короче:
F(X) = f е(к, x)f(x)da(x)
х
(8-5)
и
/(х)= f (F(X),e(X, x))do(X) =
A
= J J e(k, x)f(x)da(x), e(k, x) da(k). (8.6)
A LX	_
Заметим, что DQ — H, т. e. что множество функций F, удовлетво-
ряющих условию (8.4), плотно в Н. (Следовательно, DQ = D (В"1)',
В-1 существует, ибо по предположению <р=/=0.) Ядро e(k, х) воз-
никает следующим образом:
В(Х, х)°— (Tb( * t х))(Х)£Я для почти всех х.
Функция В (X, х) не определена однозначно: она может быть изме-
нена для каждого х на подмножестве Л о-меры нуль. Мы докажем,
что все ее компоненты Bk (X, х), заданные (как мы помним) на Лй X -АГ,
можно так модифицировать, чтобы они стали измеримыми относи-
тельно о®а. После этой модификации имеем
е(к, х) — В(к, х) почти для всех пар (X, х).
Замечание. Заметим, что функции ek(k, •) следует рас-
сматривать как собственные функции оператора А, принадлежащие
собственному значению Л. (Вообще говоря, они неинтегрируемы
в квадрате: X может быть точкой непрерывного спектра.) Пусть,
например, X принадлежит точечному спектру оператора А. Выберем
26 К. Морец
402 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям

все компоненты F равными нулю, за исключением Fk, и положим
0	при X =/= Хо,
[a(%0)]~* при Х = Х0.
Условие (8.4) в этом случае выполнено, а (8.6) принимает вид
/(x) = (T-1F)(x) = J(F(%), е(%, x))da = e(k0, х).
Л
Поскольку F^D^TAT"1) и ТЛТ”1Г = %0Г, то e(KQ, -)^О(Л) и
Лв (Хо, •) = (Xq, •).
Когда Н — пространство последовательностей (пример 2°), можно
взять (р(Х) — (Х + Z)”1 так, что теорема о разложении по собствен-
ным функциям верна для любого самосопряженного оператора Л.
Его собственные функции ек(к, •) являются последовательностями
комплексных чисел, для которых сумма квадратов абсолютных ве-
личин может быть бесконечной.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы 1, докажем
следующую лемму.
Лемма. Пусть {X. U, а) и (У, U, р)— два пространства
с мерой. Пусть Н и соответственно FF — сепарабельные
пространства функций, интегрируемых с квадратом на X и
соответственно К. Пусть почти для всех х£Х определен
линейный функционал 1{х, g) на Н', причем , g)— функция,
измеримая относительно а.
Тогда существует функция Ку* х), заданная на Уу^Х
измеримая относительно р®а и такая, что
l(x, g) = f x)dp(y)
Y
для всех g и почти всех х.
Доказательство. Пусть
I (х) °— || I (х, • || = sup	< 00 почти для всех х.
Поскольку FT — сепарабельное пространство, то для получения
верхней грани достаточно, чтобы g пробегало счетное плотное в Н'
множество, а поэтому | Z (х) | — измеримая функция. Так как X
является объединением счетной совокупности множеств конечной
меры, то существует такая положительная измеримая на X функ-
ция $, что
s (х) da (х) < оо. Пусть
х
t(x) =
1,
s(x)|Z(x)| 2 при |Z(x)|
s(x) в остальных случаях.
§ 8. Ядро Карлемана
403
Так определенная функция t является измеримой и почти всюду
положительной. Пусть Ht — пространство функций, интегрируемых
с квадратом относительно меры t(x)dxt(x). Поскольку отображение
у является взаимно однозначным отображением Ht на Н (меры
являются эквивалентными), то пространство Ht тоже сепарабельно.
Конечные суммы вида /(х, у) —
образуют линейное многообразие, плотное в H®Ht, т. е. в про-
странстве функций, интегрируемых с квадратом относительно
меры ₽®а,.
ПуСТЬ	A (f) = J J} hj (х) I (х, gj) t (х) da (х).
х j
Подинтегральная функция измерима, и имеет место неравенство
|2лу(х)/(х. £У)|=|/(*; ^hjixygj |<
f If (у, x)|2dp(y) Л.
_У
Поэтому на основании неравенства Шварца и теоремы Фубини
f 2	1	* W da
х j
<f |/(X)|2 f(x)da(x) f f\f(y, x)|2 dpi t (x) da (x)<
X	X Lr
< J s (x) da (x) f If (y. x) I2 dp (y) t (x) da (x).
x	rxx
Поскольку оператор A (/) линеен и A (/) — A (ff), когда f = f
почти всюду на YXX, то Л может быть расширен до линейного
ограниченного функционала на Н' ®Ht. Последний будем обозначать
тоже через А. Следовательно (на основании теоремы Рисса — Фреше),
существует элемент l£H®Ht, такой, что
Л(/)= f f (у, x)l(y, x)d$(y)t(x)da(x)
УХХ
тождественно при f £Н' ®Ht. В частности, полагая /(у, х) =
= g (у) h (х), g £ //', h £ Hti на основании теоремы Фубини имеем
А (/) = J h (х) J g (у) 1(у, х) dp (у)] t (х) da (х).
X Lr	J
С другой стороны, согласно определению,
A (f)=J h (x)l (х, g) t (x) da (x).
x
2
26*
404 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
Следовательно,
l(x, g) = f g (у)/(у. X) 4/р (у)	(8.7)
Y
почти для всех х при фиксированном g. Это же равенство имеет
место почти для всех х, когда g пробегает счетное всюду плотное
в Н' множество. Но почти для всех х
J U(y. ^)|2rfp(y)<oo.
Y
Поэтому вследствие непрерывности по g почти для всех х фор-
мула (8.7) имеет место для всех gQH't что и требовалось доказать.
Переходим теперь к доказательству теоремы 1.
Рассмотрим подпространство HkdHt элементами которого
являются те векторные поля	для которых все компоненты,
кроме Gk, равны нулю. Отображение О—>ОЙ является унитарным
отображением пространства Нк на пространство Hk — L?(Ak, о), где
Ак =	: п (%) > &}. Пусть О £ Н*ь и b(x) = J16 (х, у)|2 da (у) < оо.
Y
Положим
I (X. g) = J g (у) ft (у. х) da (у) = Bg (х);	(8.8)
l(x, •) является линейным функционалом, о котором говорилось
в лемме. Следовательно, существует функция Bft(X; х), измеримая
на Лл® X относительно меры а®о и такая, что
/(X. О)= J Os(x)Bft(A, x)da(X), GQH*k (8.9)
почти для всех х. С другой стороны, выражение /(х, g), заданное
формулой (8.8), является линейным функционалом на Ht а поэтому
имеет вид
/(х, О) = f О (А) К (A, x)da(K),	(8.10)
Л
где /<(•, х)£Н. Сравнивая (8.9) и (8.10), имеем
J Gk (А) ВЙ(А, х) da (А) = J* Gk (А) Kk (А, х) da (А)
Ak *
для всех GQHk и почти всех х. Следовательно, почти для всех х
функции ВЙ(Х, х) и /Q(X‘, х) отличаются лишь на множестве о-меры
нуль, так что, не меняя класса эквивалентности /<(Х, х), можно
заменить х) на х).
§ 8. Ядро Карлемана
405
Обозначая эту новую функцию /<(Х, х) через В (к, х), из (8.8)
и (8.10) находим, что
Bg(x) = J G(X)B(X, x)rfo(X)	(8.11)
Л
почти для всех х при g£D(B), Рассмотрим теперь интеграл
j= /|/(х)|й?а(х) f (2l<M*)l -l^a. *)|Ua(X).
X	A
Подинтегральное выражение мажорируется функцией |G(X)| • |В(Х, х)|,
поэтому, оценивая внутренний интеграл с помощью неравенства
Шварца, получаем
J<|0| J* Z> (х) | / (х) | da (х) < оо,
х
как только / £D0 [см. (8.4)]. В частности,
f |/(х)|da(x)f |О(Х)В(Х, x)|do(X)<|O|p(x)|/(x)|da(x)<oo.
ХА	X
Рассуждая аналогично, находим
J|/(x)|da(x)| J ]В(у, x)|g(y)da(y)<|g-| J b (х) | f (х) da (х) < оо.
х	у	х
Умножая обе части (8.11) на /(х) и интегрируя, на основании
теоремы Фубини получаем
(В/, g) = f da (X) J О (X) В (X, х) / (х) da (х).	(8.12)
Л	X
Так как J < оо, то
f 21 ок (Х)| • IВ ДХ. х) I. I f (х) I da (х) < оо
X k
почти для всех X; следовательно, в соответствии с теоремой Лебега
f О (X) 5 (Л; x)/(x)da(x) =	ВА(Х, x)/(x)da(x) (8.13)
X	X
почти для всех X. Полагая Вй(/, X) —’ ^ВДХ, х)/(х) da (х),
х
можем левую часть (8.13) записать в следующей форме;
О(Х)В(Х, /),
I
•<
I
406 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям	|
так что (8.12) принимает окончательно вид	|
(Bg, f) = f о (X) фШ F (X) da (X) = f G (X) В (X. /) da (X).
л	л	. i
где g£D(B), f£DQ. Но оба интеграла мажорируются величиной I
| О | J* b (х) j / (х) | da (х). Следовательно, рассуждая обычным спосо- ;
бом, получаем
=	/)	(8.14)
почти всюду и
f|q>(X)|2|F(X)|2</a(X)<oo,
Л	’	Т;
а поэтому О0сВ.
Разделив обе части соотношения (8.14) на <р (1), помня, что <р=/=0
почти всюду, и полагая е(к» х) «= В (к, х), получаем (8.5).
Чтобы доказать (8.6), предположим, что F удовлетворяет усло-
вию (8.4), т. е.
J |<p(X)|-2|F(X)|2da(X) < оо.
Л
Рассмотрим интеграл
h (X) = j* F (X) е (X. X) da (X).	(8.15)
Л
Этот интеграл оценивается следующим образом:
7'= f	x)|da(XX J|F(X)|. |г(Х, x)|rfo(X)<
A	A
<[ JI<P(X)г21F(X)I2da(X) J |B(X. x)|2da(X)l'/s =
La	л	J
=*(х)Гу |ф(Х)Г21Р(Х)|2</о(Х)1,л<оэ
La	J
почти всюду. Умножая обе части (8.15) на g(x) (g^DQ)t интегрируя
и рассуждая подобно тому, как при доказательстве (8.11) и (8.12),
получаем
(/*» g)= f F(k)e(kt g)da(k),
л
где
е(к, g)°— J * (Ь» *) g W М = ° W	I
х
почти всюду. Поэтому
(Л. g) = (T F. g)
§ 9. Эллиптические операторы
407
почти для всех g£DQ\ но так как многообразие £>0 плотно в Н,
то h (-*0 = (Т (х)*
п. в.
Таким образом, доказательство окончено. Предположение <р =/= О
можно ослабить. Именно можно допустить, что ср = 0 на точечном
спектре оператора В.
Пусть О(Х) = 0 при X Хо и пусть а0 = о({Х0}) > 0. Тогда
формула
л (М _________
Оо 2	g)
Л = 1
показывает, что каждое Ffe(X) является не равным нулю линейным
непрерывным функционалом от элемента / и поэтому обязано иметь
вид
Pk (Ч) = /е» (х> х) f (*)da (х)>	(*)
X
где ek(k, -)£Я. Определяя функцию е(к, •) формулой (*), когда X
принадлежит точечному спектру, мы видим, что указанные в теореме
свойства функции е (измеримость) сохраняются, и формула (8.5)
остается в силе. Остается также верной формула (8.6). Только
формулу (8.4) нужно заменить следующей:
f |ф(%)г2|т|мо1(Л) < оо,	(8.4')
л
где Gj — непрерывная часть меры о. Последнее замечание позволяет
получить теорему о разложении, например, в том случае, когда сам
оператор А является оператором типа Карлемана, т. е. <р (X) = X.
§ 9. Линейные эллиптические операторы произвольного порядка
Применим результаты предыдущего параграфа к построению
спектральной теории эллиптических операторов1). Пусть £2Д — откры-
тое подмножество в пространстве Еп и пусть г(х)>0—достаточно
гладкая функция в йл. Пусть Н — множество измеримых функций,
суммируемых с квадратом с весом г (х). Вводя в Н скалярное произ-
J) Как уже упоминалось в сноске к стр. 372, результаты типа приведен-
ных в § 8—9 для случая оператора Шредингера впервые получил А. Я. Повз-
нер [1], а для общих эллиптических операторов они были получены Гор-
дингом [3, 4] и Браудером [2]. Как следствие общих фактов о разложении
по обобщенным собственным функциям они были получены Ю. М. Бере-
занским [1], им же был исследован вопрос о граничных значениях собствен-
ных функций, о поведении разложений при подходе к границе ит. д.-
Прим, ред,
408 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
ведение
(/. £) °— f f(x)g (*) Г (х) dx,
получаем сепарабельное гильбертово пространство.
Пусть	опр. j
£ /а(х)£>7(х)
I а |<ш
— формально самосопряженный эллиптический оператор порядка т,
а £0— сужение оператора £ на множество С^°(йя). Мы предполагаем,
что оператор £0 обладает самосопряженным расширением A = A*z>£0.
Пусть	~	~
H = j ®HKda(M	(*)
л
— прямой интеграл, диагонализирующий оператор А. Мы докажем,
что при k^n/^m оператор (A-|-Z/)“* является оператором типа
Карлемана, так что имеет место теорема о разложении по собствен-
ным функциям из предыдущего параграфа.
В этом случае о собственных функциях можно сказать больше.
Теорема. Если оператор Т :	f ->Тf = F £Н является
унитарным оператором, диагонализирующим оператор А,
то при
Tf (%) =’J е (X, х) f (х) г (х) dx,
Й
п
U
T-'F (х) = f F (X) е (X, х) do (X).
Л
если функция F имеет компактный носитель.
Все координаты ek(Kt х) функции е(Х, х) можно выбрать так,
чтобы функции ek{ • , •) были измеримы относительно о®а (а—мера
Лебега на Еп)\ они являются собственными функциями в смысле
теории дифференциальных уравнений
£е^(Х,	=	х).	(9.1)
Читатель без труда проверит, что сформулированная теорема легко
обобщается на эллиптические системы уравнений, когда f прини-
мает значения в конечномерном унитарном пространстве.
Лемма. Пусть k > п/2т и 5 —‘ (А Z/) k. Существует такое
(карлемановское) ядро Ь(х, у), что
= f b(y, x)f(y)r(y)dy
§ 9. Эллиптические операторы
409
для почти всех х и
— непрерывная функция.
Доказательство мы получаем подобно тому, как в главе, содер-
жащей теорему о слабых решениях (с помощью преобразования
Изложим теперь доказательство теоремы. Полагая da(x) = r(x)dx,
ф(х)=’(А+0“\ из соотношения (8.2) в силу непрерывности функ-
ции Ь(х) имеем
J|/(x)|Z>(x)da(x)<oo при /6со(йл)-
ап
Нетрудно видеть [ср. (8.4)], что неравенство
/(X + Z)«| F (%) |2 da (1) < оо
имеет место в том случае, когда функция F(A) равна нулю вне
конечного интервала. Следовательно, остается доказать только (9.1).
Пусть	тогда
/ 7(Г7) [Lf (х)] г (х) dx = (Т (Lf) (%) = (TAf) (X) =
== (ТАТ'Тf) (X) = % (Tf) (%) = X f e(K, x) f (x) r (x) dx
Й
n
почти всюду. Таким образом, для каждого счетного множества функ-
ций f^Co(Qn)
f e(k x)(L — M)f(x)r(x)dx = 0	(9.2)
Qn
для почти всех %. Однако из свойств функции В (к, х) — (ТЬ (• , х)) (А)
(ср. § 8) вытекает, что
м
J do (A) J* | е (А, х) |2 г (х) dx < оо
-Л4 С
Для каждого М > 0 и компактного множества CczQn. Отсюда
J | е (А, х) |2 г (х) dx < оо
с
410 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
для почти всех X и счетной возрастающей последовательности мно-
жеств	v->oo. Таким образом, соотношения (9.2) и (9.3)
имеют место одновременно для почти всех X и каждого счетного
подмножества функций f (Q„). Поэтому по непрерывности
равенство (9.2) выполняется для всех f (Qn)t если К не при-
надлежит некоторому множеству Z меры нуль.
Таким образом, все координаты е*(Х, х) являются слабыми реше-
ниями эллиптического уравнения (L — V) g = 0. Следовательно,
х) = <(Х, х)£Стфя)
для почти всех х при
При Л £ Z П ЛЛ полагаем e'k = 0. Но
«;(!. x) = lim К(г)Г’ f ек(к, y)dy, %£ZnAft,
Г*°	К(х,г)
где | К (г) | — объем шара К (х, г) радиуса г с центром в точке х.
Таким образом, функция e’k как предел измеримых функций измерима
на множестве Лй X относительно меры о® а. Положив в самом
начале рассуждения ek — e'k, мы заканчиваем доказательство.
§ 10.	О разложении по „собственным функциям* произвольных
самосопряженных операторов в пространстве L2(Qn) 9
В § 1—7 настоящей главы мы рассматривали теорию разложений
по собственным функционалам в произвольном гильбертовом про-
странстве Н. В § 8—9 исследуется совершенно классический случай:
пространство // = L2(Q), оператор А является эллиптическим опера-
тором или интегральным оператором типа Карлемана.
Теперь мы рассмотрим „полуабстрактный" случай: /7 = £2(Q),
но оператор А может быть дифференциальным оператором произ-
вольного типа. Для понимания этого параграфа не является необхо-
димым знание предыдущих. Здесь мы еще раз напомним ряд элемен-
тарных свойств обобщенных функций (распределений).
Определение. Говорят, что последовательность q?z^^(Qjfe)
стремится к нулю: (pz->0, если Г носители функций <pz, / = 1,
2, ... содержатся в некотором фиксированном [своем для каждой
последовательности (<pz)] компактном множестве; 2° функции вместе
с производными Dpcpi любого порядка сходятся равномерно к нулю.
Теперь мы можем дать определение обобщенной функции.
!) Настоящим параграфом я обязан беседе с проф. Л. Гордингом вес-
ной 1956 г.; ср. с аналогичными результатами Ю. М. Березанского [1], а также
Картье.
§ 10. О разложении по «собственным функциям»
411
Определение. Обобщенной функцией Т (в смысле Л. Шварца)
называется линейное непрерывное отображение пространства ^(й^)
в комплексную плоскость С1, т. е. линейный непрерывный функционал
над ^(ЙД Совокупность всех обобщенных функций, естественно,
обозначается через ЗУ (йл). Приведем примеры обобщенных функций.
1.	Мера ц, конечная на компактных подмножествах йл, поро-
ждает обобщенную функцию по формуле
<ф. |А) —’ f ф (X) dU (х), ф £ 35 (Qft),
так как это выражение определяет линейный непрерывный функционал
на пространстве <^(ЙД Меру ц отождествляют с порождаемой ею
обобщенной функцией.
2.	Измеримая локально интегрируемая (по Лебегу) функция Т
порождает обобщенную функцию
(ф, Т) =’ J ф (х) Т (х) dx\
Qk
эта функция отождествляется с Т.
3.	„Дельта-функция Дирака" Ъх, обозначаемая обычно через
б(х'— х), является обобщенной функцией (говоря точнее — единичной
мерой), сосредоточенной в точке х. Она определяется с помощью
тождества
(ф.	= ф (х), ф 6 35 (Qft).
Напомним определение производной от обобщенной функции.
Пусть £ = Л(х, D) — дифференциальный оператор с неограниченно
дифференцируемыми коэффициентами, a L+ — оператор, формально
сопряженный с оператором L, и пусть T^3'(Qkyf тогда значение
LT £ЗУ (Йй) оператора L на обобщенной функций Т опреде-
ляется с помощью тождества
(Ф, £Т)=<£+ф. Т’Х ФбШ
Из этого определения вытекает, что оператор слабого дифферен-
цирования (Соболева) является частным случаем операции дифферен-
цирования в смысле теории обобщенных функций. Мы обращаем
внимание на то, что операция L (а значит, любое дифференцирование
и умножение на функции класса С°°) всегда выполнима на множе-
стве 3' (Йй) и что эта операция является непрерывной как операция,
сопряженная с непрерывной операцией L+ в 3(Qk).
412 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
Теперь мы можем перейти к основной теме настоящего пара-
графа. Пусть А — самосопряженный оператор в пространстве /7 =
= L2 (Qk)t А = А*, и пусть U — унитарное отображение, диагонали-
зирующее оператор Л. Имеем
Z,2 (Qft) —Z,2 (о, п),
UAU~XF (X) = XF (X). F(X) = (C7q>) (X) С Сп (К)
(Ctt™ при п(Х) = оо обозначает пространство Р).
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Пусть Ft (X) ==	(X) — (ф. ez(X)), 1= 1, 2, ...
.... »(Х), где	^(X)€D'(Qft), е (X) £ £ (D (Q„), СЯ(Х)).
Если А — дифференциальный оператор, то
Ае^ (X) = Ке^ (X),
т. е. г(Х) является собственным элементом оператора А.
Доказательство. Пусть b — дифференциальный оператор,
& = (—Д)Р4~1, где р > 2k, Как нам известно (см. теорему Брау-
дера § 2 гл. XI), оператор b обладает фундаментальным решением
B£L2(Qk), При этом имеет место тождество (<р, g) — (Bbq>, g),
g^L2(Qk), где
В<р (х) °= f В (х — у) ф (у) dy.
°к
В силу равенства Парсеваля (унитарность отображения £/) для
произвольного g£L2(Qk) имеем
(F, О) = (£7Ф. t/g) = (T. g)==(t/Bfcp, О) =
= ff ^л5(х —у)(дф)(у)«?у G(X)do(X).
Л Qk
Элемент Q определяется по g так же, как F по <р. Ввиду того
что G — произвольный элемент прямого интеграла £2(о, п), мы имеем
F(X) = (£/ф)(Х) = f С (X. у) (дф) (у) dy,
где
С(Х, у)^ихВ(х-у).
§11. Преобразование Фурье в L2
413
Иными словами,
(47ф)(Х) = Р(Х) = ^Ф, С(1. .)) = (ф, ЬС&, .)) = {ф, е(Х)).
где
е(К) = ЬС(к. •), т. е. et(k) = bCi(k, •), 1=1. .... п(%).
Предположим теперь, что оператор А является дифференциальным
оператором [достаточно предположить, что А — непрерывный опе-
ратор на 3) (£2Л)]. Поскольку (t/Лф) (X) = XF (X), то
(Дф, г(Х)) = (ф, Д£(Х)) = Х(ф, £(Х)) = (ф, Хг(Х)}
для всех ф £ S (£}Д т. е. Ае (X) = Хе (X) и Aet (X) = Xet (X),
I s 1, ..., n (X), что и требовалось доказать.
Упражнение. Доказать, что если Qk — Ekt то
f f dq(X)dy < °° при 8 > °*
Л Ек 7
откуда вытекает, что интеграл
Г |С(Х, у)|Му
J 1 + |у|»+«
/Г
является конечным для почти всех X.
§ 11. Обыкновенные дифференциальные операторы.
Спектральные матрицы. Преобразование Фурье в L2
(теория Планшереля)
В случае обыкновенного дифференциального оператора £ =
= 2 aa(x)da/dxa порядка т спектральную теорему можно
0<a< m
высказать в значительно более точной форме, чем для эллиптического
оператора в частных производных. Это связано с тем, что в случае
обыкновенного дифференциального оператора собственные прост-
ранства являются конечномерными\ в наших обозначениях n(X)<^zn.
Общую теорию разложений по собственным функциям оператора
второго порядка (zn = 2) построил в 1910 г. Г. Вейль. В 1946 г.
результаты Вейля уточнил в своей монографии Титчмарш. Кодаира
в 1949—1950 гг. получил результаты Титчмарша (последний поль-
зовался утомительным, хотя и элементарным, методом вычетов) весьма
изящным методом при помощи спектральной теории и обобщил эти
результаты на системы обыкновенных дифференциальных уравнений
четного порядка с действительными коэффициентами (Кодаира [4]).
414 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
В этом параграфе мы излагаем замечательное доказательство
спектральной теоремы Вейля — Титчмарша — Кодаира !), которое со-
общил автору Л. Гординг. Это доказательство, как и результаты § 8
и 9, не опирается на общую теорию, развитую в § 1—7, а также
в § 10. Применяемый метод дает возможность получить обобщение
этой спектральной теоремы на операторы произвольного порядка
(в том числе и нечетного) с комплексными коэффициентами2).
Наиболее простой и важный оператор D = ^-^-— оператор им-
пульса'в квантовой механике — не охватывался спектральной тео-
ремой в формулировке Вейля — Кодаира. Непосредственное примене-
ние спектральной теоремы к оператору y-Jy дает наиболее важный
факт теории Планшереля: унитарность преобразования Фурье в LPfjE1).
В гл. XI (см. § 2, теорема 2) было доказано, что достаточно
высокая степень (Д—//)“р,	резольвенты (А — Z/)”1 само-
сопряженного расширения А эллиптического оператора L является
интегральным оператором типа Карлемана. В случае обыкновенных
дифференциальных операторов (п=1) это имеет место уже при
р=1. Пусть п и т таковы, что р=1 > п/Ът*, ядро О(Л; х, у)
резольвенты называется функцией Грина оператора А
(Д-//)-*/(х)= / 0(1- х, y)f(y)dy.
Qn
Отметим здесь несколько простых свойств функции Грина.
Имеет место следующее соотношение:
(Ах— U)G(l; х, у) = 0 при х^у. (11.1)
Доказательство вытекает непосредственно из определения функ-
ции Грина. Пусть /£С£°(ЙЛ) и пусть носители функций / лежат
в множестве — {у}; тогда
0 = /(у)=[(Л-7/)-*(Д-7/)]/(у) = f О (Г, у, x)(Ax-Tl)f(x)dx
__________ п
l) М. Г. Крейном [2] в 1946 г. был развит метод направляющих функ-
ционалов и дано его применение к построению разложений по собственным
функциям обыкновенного дифференциального оператора с комплексными
коэффициентами, самосопряженного в гильбертовом пространстве, порожден-
ном положительно определенным ядром К (х, у). Если К (х, у) == д (х — у),
где 5 (Z) — d-функция, то это пространство переходит в пространство 12» а
развитая М. Г. Крейном теория — в теорию § 11. Этот частный случай был
опубликован М. Г. Крейном [4] в 1950 г. Таким образом, имеются все осно-
вания считать основную теорему этого параграфа принадлежащей М. Г. Крей-
ну и Кодаира. — Прим. ред.
2) Заметим, что общая теория, конечно, весьма быстро приводит к ре-
зультатам этого параграфа. — Прим. ред.
§ 11. Преобразование Фурье в	415
для всех /£С§°(ЙЛ—{у}). Поэтому в соответствии с основной тео-
ремой о слабых решениях
(Lx—II)G (I, у, х) = 0 при х ф у,
или (см. теорему 1 § 3 гл. XI)
(Lx — U)Q(l\ х, у) = 0 при х =/= у,
что и требовалось доказать.
Теперь мы перейдем к обыкновенным дифференциальным уравне-
ниям (п=1). Нетрудно проверить — это элементарный факт теории
обыкновенных дифференциальных уравнений, — что G (Z; • , у) £
а на прямой х = у функция
дт^ G(l\xt у)	м 1/ ч
-----у t~ имеет скачок, равный a“J(x):
4- j-O(Z; х-4-0, х) °——Q^ х — о, х) = —— (11.2)
дхт~1 v	7 дхт~х 4 •	ат(х) 4 7
1
вне диагонали х = у функция -y-^-O(Z; У) непрерывна .
Рассмотрим каноническую фундаментальную систему решений
($;(/, *))у=1 уравнения (Lx— х) = 0:
1	о	о
—х) = д^, где x£Qp /, А=1.................т.
dxK J	J	1
Как известно, при фиксированном значении х Sj(lt х) является ана-
литической функцией параметра Z.
Используя свойства (11.1) и (11.2), находим функцию Грина
в следующем виде:
G(Z; х, у) =
x)sk(l, у)	при
X)sk(l, у)	при
X ^у,
(И.З)
X
где
—	ОПП. —
S(Z, у) = 5(/. У).
416 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
Из симметрии функции Грина сразу получаем тождество
M]k{l) = M^k{l) J, k=l....................т.	(11.4)
Имеет место следующая лемма.
Лемма 1. Функции — AJJa» (Z)) аналитичны.
Доказательство. Из определения функции Грина вытекает
/0(1; х, y)(Ly-lI)f(y)dy = f(x)	(11.5)
для всех /£CS°(Qi). Подставляя в это тождество значение G(Z; х, у)
из формулы (11.3), находим
2 М* (I) Sj (I, х) Г f sk (I, у) (Ly - II) f (у) dy -
j, k	U
- R(/. y)(Ly-U)f(y)dy] +
х>У .	J
4- S (0 Sj (I, x) Jf 7, (/. y) (Ly - II) f (y) dy == / (x).
j,k	x>y
Но так как
fsk(l, y)(Ly — lI)f (y)dy = O,
Qi
то имеет место равенство
2 s. (/, X) (MJ, (I) - M+]k (/)) f sk (I. y) (Ly - II) f (y) dy = f (X).
Ввиду того что
dT 1	/7 °\ лг
•') = дг
ПОЛуЧИхМ
Ck (I. f) (м^ (0 - М7, (0) = -	/ (х).	г = 1......т,
k=l
где
^ (/./)— /тй(/. y)(Ly —//)/(y)dy
§ 11. Преобразование Фурье в L2	417
о
—-аналитические функции параметра Z. При заданных I и г можно
так выбрать функции /х.....fmt чтобы det(r^(Z, /5))=И=0 в неко-
торой окрестности точки Z. Поэтому [2И+ (Z)— АГ (Z)]^ — аналити-
ческая функция в окрестности произвольной точки Z, что и требо-
валось доказать.
Рассмотрим теперь собственные функции (ер(1, о которых
говорилось в теореме § 9. Выразим эти собственные функции через
аналитические функции нашей фундаментальной системы решений
х))^.
eP(l, -)=S^(/)Sv(/. •)•
V-1
Отсюда вытекает равенство Парсеваля в следующем виде, получен-
ном впервые Вейлем:
(ф (A) f,g) = f	Ф (*) Sj (*• 7) S, (I, g) dp}i (%),	(11.6)
A k
где
$k (I* f) — J* (Z, x) f (x) dx,	= (Ljk (X) da (X),
причем
ajk w “	cvj w cvk (M*
v=l
Матрицы p (X) = (pjk (X)) называются спектральными матрицами;
наша ближайшая цель состоит в том, чтобы выразить спектральные
матрицы через матрицы М+ (Z) и (Z), содержащиеся в формуле
для функции Грина.
Докажем теперь важную лемму.
Лемма 2 (Кодаира). Выражения
N
Кд (0 = 4 [Mfr (!) - му* (/)] - f (% -1)-1 dplk (X) (11.7)
-АГ
являются аналитическими функциями переменной I, за исклю-
чением, быть может, вещественных значений I, удовлетворяю-
щих условию |/|<^. Таким образом, особенности функций
MJk (0 °— 4 [Af^ (Z) + M]k (Z)] в конечной 1-плоскости опреде-
ляются величинами Ру* (Z).
27 К. Морен
418 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
Доказательство. Из определения функции Грина, формулы
(11.3) и равенства Парсеваля (11.6) вытекает
((Л - II)-1 /./)=/ 2 (X - /)-1 SJ <*’ 7) (I, /)	(А) =
A j,k
= J 2®Sj s>t& ff(x)dxdy4-
+ / 2 М]к (/) Sj {I, х) 7к (/. у) f (у) f(x)dx dy =
= 24 Ид (0 +	(О] (I, f) sk (I, f) +
+ f 2 4 Ид (0 — Mjk (/)] Sj {l, X)-Sk {I, y) f (y) f(x) dx dy —
~~ /24Ид(0 — MJk(l)]sj(l, X)sk(l. y)f{y)f(y)f7yc)dxdy.
X>y
Разлагая функции $/(Х/), ^*(Х, /) в ряд по степеням разности
(X — Z), принимая во внимание аналитичность функций у[А1д(/)—
— MJHO] й полагая (Z) = y [уИд (Z) + MJft(Z)], получаем
Г	n
2 ^д(0- f (\-l)-lfd9jk Sj(l, f)sk(l, f) =
= 2 f a - о-1 sдг. 7) sk (i, f) dPjk (X)+
j,k\k\>N
-j- аналитическая функция переменной Z.
Поскольку предыдущее равенство имеет место для всех f £ Cq (Qt),
то, рассуждая как при доказательстве леммы 1, приходим к нашему
утверждению.
Из формулы (11.7) получаем (см. добавление 3) так называемую
формулу Титчмарта—Кодаира
1	6+^
Рд = л б^0f [Л1у4 (и 4- fe) _ MJk (ц - te)] ф (11.8)
д
(р, и е — вещественные).
Полученные в этом параграфе результаты мы подытожим в сле-
дующей теореме.
Спектральная теорема Кодаира1). Пусть А — самосо-
пряженное расширение обыкновенного дифференциального one-
О Точнее, М. Г. Крейна — Кодаира. — Прим, ред.
-N
*
«
к
>
§ 11. Преобразование Фурье в L2
419
ратора L — ^aa(x)da/dxa порядка т, рассматриваемого
d
в области с Е1. Пусть 0{1, х, у)— функция Грина опера-
тора A, a {Sj{l, х))?— фундаментальная система аналитиче-
ских по I решений уравнения (L — Н)з{1, х) = 0. Пусть, кроме
того,
0{1; х, у) =
т
2 M+k(!)Sj(!, Х)вк(1, у) при
J, *=1
т
2 MJk(l)s}(l, x)sk{l, у) при
J, Л = 1
X у,
х>у.
Тогда существует спектральная матрица
dp (%) = (dpJk (X) = {cJk (X) do (X))™,
где с (%) = (Cjk (%) — положительная эрмитова матрица, а
п(Х)— положительная мера {сосредоточенная на спектре Л
оператора L). Матрица р(Х) связана с функцией Грина фор-
мулой
Х+д
Pu(M = lirallm f	+ —	— /е)]ф. (11.9)
6->0 e->0 J
Функции
4	</ /V *
аналитичны, за исключением, быть может, вещественных зна-
чений I, для которых |/|:>ЛЛ
Пусть L2>m(Ex,p) обозначает гильбертово пространство, по-
лученное пополнением унитарного пространства векторных
полей Съ,т(О^ с т компонентами и со скалярным произведением
т
(F, Н)°— f J] Fj^H^jdpj^), F, H€CF'm(Qi).
Й, J, * = 1
Отображение Т {обобщенное преобразование Фурье)
/	f sk(k x)f(x)dx^Sk(X, /).
Qi
k = 1, . . . , П
(11.10)
является унитарным отображением пространства A2(Qt) на
пространство L2^m{Ev р) {точнее говоря, это изометрическое
27*
420 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
отображение, которое посредством замыкания расширяется
до унитарного отображения), приводящим оператор А к диа-
гональному виду.
Обратное отображение Т-1 задается формулой
F —* f (х) = b bm f 2 s}(X. х)Fk(X)dpJlt(X). (11.11)
-oo j, fc==l
Имеет место обобщенная формула Парсеваля
(<р(Л)/, g) = Д1Ф(Х)5У(Х, f)sk(K, g)dpJk(X). (11.12)
Проиллюстрируем эту теорему примером (теория Планшереля).
Пусть
idx 1
так что L является оператором импульса квантовой механики, дей-
ствующим на функции, заданные на вещественной оси. Мы можем
принять
s(l, x) — eilx\ тогда s(l, x) = e~ilx.
Нетрудно проверить, что функция Грина имеет вид:
при Im I > О
{О	при
при х>у,
так что 2И+(/) = 0, М~ (l) = l, М — ЦЪ*,
при Im I < О
( lei/(x~y) при х<Су,
0(Ц х, у)= _	.
( 0	при х>у,
так что М+ (Г) — — I, M~(l) = Q, М = —112.
Поэтому
б+Х
р(Ч=^а.'5/ Ш“Н)Ь=тгг-
б
Таким образом, мы получили основной факт теории Планшереля:
Преобразование Фурье — Планшереля Т
f~+F (Х)= f e-luf(x)dx
§ 12. Асимптотика спектральной функции	421
является унитарным отображением пространства L2(El) на
пространство L2(Elt dk/2rt). Обратное отображение имеет вид
-1 00
* /(х) = f e^F^dK.
— СО
Если в качестве собственных функций взять функции s'(I, х) =
==(2л)~1/2 то получим унитарное отображение Т'
оо
f (х) — * /' (Х)°— у= J e-‘Kxf(x) dx
— ОО
пространства 1?(Ег) на себя.
В качестве непосредственного следствия получаем следующую
теорему.
Теорема. Преобразование U:
f(x) —> 7(у) = (2л)_(л/2) f e~l^^f(x) dx.
Еп
п
где (х,	= v, является унитарным преобразованием
v=l
пространства L2(En) на себя.
Обратное преобразование U^1 имеет вид
Ш —* f (*) °- (2л)’я/2 f е‘ <* »/(у) dy. -
Е"
Доказательство. Очевидно, для функций вида /(х) —
—	••• fn(xn) преобразования U и t/-1 сохраняют скалярное
произведение [убеждаемся в этом, применяя п раз преобразование
Фурье в £2(£!)]. Наше утверждение вытекает из того, что линейные
комбинации функций вида fx (Xj) ... fn (хл) образуют множество,
плотное в пространстве L2(En).
§ 12. Асимптотика спектральной функции полуограниченного,
самосопряженного расширения эллиптического оператора
В этом параграфе мы приводим ряд существенных теорем Л. Гор-
динга, обобщающих и объединяющих знаменитые результаты, касаю-
щиеся асимптотического поведения собственных функций и собствен-
ных значений эллиптического оператора произвольного порядка.
Читателя, желающего ознакомиться с доказательствами этих теорем,
мы отсылаем к оригинальной работе Гординга [5].
422 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
Проблема асимптотического поведения собственных значений явля-
лась одной из основных и наиболее трудных проблем математической
физики. Эта проблема была поставлена в 1910 г. выдающимся фи-
зиком Лоренцом в связи с теорией излучения черного тела. Нужно
было показать, что асимптотическое поведение собственных значений
не зависит от формы черного тела, а только от его объема, так что
известные в то время формулы для параллелепипеда остаются верными
и в общем случае. Эта проблема была уже в следующем году решена
молодым в то время Г. Вейлем, посвятившим ей ряд работ (Вейль
[4, 5, 6]). Эти же проблемы решались Курантом вариационным мето-
дом (ср. Гильберт — Курант, т. 1).
Значительно более трудными являются проблемы, связанные с упру-
гими пластинами (уравнение AAzz—	= ибо случай прямоуголь-
ной пластины не допускает таких простых вычислений, как случай
прямоугольной мембраны. В работах Вейля и Куранта применялся
метод аппроксимации произвольных областей областями, составленными
из прямоугольников (параллелепипедов).
Аналогичного типа теоремы для собственных функций были по-
лучены только в 1934 г. в основополагающей работе Карлемана [1],
который свел задачу к изучению асимптотики функции Грина. Ряд
трудных задач этого же типа был решен А. Плейелем [1].
Следует отметить глубокие исследования по асимптотике спек-
тральной функции Б. М. Левитана, Л. Гординга и Ф. Браудера.
Выше отмечались результаты, касающиеся случая чисто точечного
спектра (ограниченная область); поэтому мы считаем исключительно
сильными результаты Гординга, полученные им для произвольных
полуограниченных эллиптических операторов произвольного порядка.
Заменяя в сформулированных ниже теоремах комплекснозначные
функции функциями со значениями в r-мерном унитарном простран-
стве, мы получаем теоремы для систем уравнений. Метод Гординга
без изменений переносится с области	на область в произ-
вольном дифференцируемом многообразии.
ПуСТЬ	опр.
А = а (х, D) = 2 аа (*) D (в > 0)
I а|
— эллиптический оператор с достаточно гладкими коэффициентами
аа(х), заданными в открытой области	Предположим, что
оператор А обладает самосопряженным расширением Лр ограничен-
ным снизу. Пусть т— нижняя грань оператора Ах: (Л^, w)^>zn(zz, и)
при u£D(Ax). [Напомним, что самосопряженным расширением опе-
ратора А мы называем самосопряженное расширение сужения Лос4
оператора А с. областью определения /)(Л0) = С^° (йл); ср. гл. IV и V.]
Отсюда вытекает, что многочлен
«(*. |)= 2	...
Iuka u
§ 12. Асимптотика спектральной функции
423
положительно определен. Пусть А1 = J KdE (X) — спектральное раз-
rn
ложение оператора А^Ац. Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Для каждого KQE1 существует ядро е(к, х, у)
типа Карлемана, обладающее тем свойством, что почти для
всех у
(Е (X) и) (у) = J* е(К\ х, y)u(x)dx, x££2(Qn).
Qn
Ядро е является борелевской функцией на множестве
Е1Х^п'Х.^п» при фиксированном^ функция е(к*, • , •)£Са(£2лХЦ|)
и обладает эрмитовой симметрией*. е(К\ х, у) = е(К; у, х).
Кроме того, эта функция равна нулю при А, < zn. Полная ва-
риация (по X) ядра е ограничена на компактных подмноже-
ствах области йл.
Две следующие теоремы Гординга касаются асимптотики ядра
е(к\ х, у), которое мы будем называть спектральной функцией опе-
ратора Аг по аналогии с теорией интегральных уравнений. Пусть
z £ йл — фиксированная точка области Йл; рассмотрим дифферен-
циальный оператор с постоянными коэффициентами
a2(D) = a(z, Dxj= S aa(z) D“,
|а|=а
являющийся главной частью оператора А в точке Рассматривая этот
оператор, точнее — его сужение, как преобразование С£°(йл)->£2(йл),
мы замечаем, что оно обладает самосопряженным расширением Az,
заданным формулой
A2 = F-'3(z,
где F означает преобразование Фурье
Ff (У = ((I) -	(х) dx, f£Cr (En),
En
F-7(x) = (F-7)(x) = (2л)-л f e^^yf^dl,
En
f e Co00 (E").	(x.	= x& + ... + x„l„,
a a(z, •) обозначает оператор умножения на функцию a(zt 5).
Областью определения оператора Az является множество
D(AZ) = 1«е£2(£л): f IFua)a(z, £) |2 < оо ] ;
I	Еп	)
424 Гл. XVII. Общая теория разложений по собственным функциям
со
Если Az= J* hdEz(K). то
— оо
{Ez (X)«) (у) = f Fu (£) е1<у. М = f ez(X; х - у) и (х) dx,
Qn
где
ег(к; х — у) = (2п)-л	J е~г«-У.	(12.1)
a (z, Ъ)<К
Ввиду того что многочлен a(zt £) положительно определен, пре-
дыдущий интеграл существует и
?(Х; 0)=-^г f	f д- (12-2)
0(2, £)<Л	я(г,£)<1
Если х =# у, то
ег(Х; х —у) = о(Х(л-1)/а);	(12.3)
эта оценка равномерна, когда х— у стремится к нулю.
Следующая теорема Гординга объединяет ряд различных резуль-
татов, касающихся асимптотики собственных функций и собственных
значений проблемы вибрации.
Теорема 2. Для больших значений X
е (X; х. у) = ех (X; х — у) + о (Хл/“)	(12.4)
равномерно на компактных подмножествах произведения
X Цг
Если оператор Д имеет точечный спектр без конечных
предельных точек и {(<рй,	является полной системой
собственных функций. Л^ = А^фЛ, то. как известно.
е(Х; х. у) = 2 Ф* (*) Фа (У)-	(12-5)
Уже этот частный случай охватывает ряд важных результатов
Карлемана, Вейля, Браудера и совпадает с более ранними результа-
тами Гординга.
Если коэффициенты оператора А постоянны, то можно получить
лучшие результаты. Рассмотрим оператор A2 = F~xa( • )F. являю-
щийся самосопряженным замыканием оператора А (с постоянными
коэффициентами) с областью определения С™(Еп). Пусть
е2(Х; х —у) = (2л)-л f e-^-^dl-,	(12.6)
a (SXX
§ 12. Асимптотика спектральной функции	425
__спектральная функция оператора Л2. Пусть р — функция с огра-
ниченным изменением. Положим
х
/*р (X) = (Г (А))-1 f (X - и)6-1 (X - Хо)1-* dp (ц), k > 0.
Хо
Величина /*р(Х) называется риссовской средней порядка k функции р
в интервале [А,о, v].
Теорема Гординга, которую мы приводим ниже, является обобще-
нием теоремы Б. М. Левитана для расширения оператора Лапласа,
отвечающего краевым условиям Дирихле. Эта теорема, с одной
стороны, показывает, что функция е2(%; х— у) хорошо аппрокси-
мирует функцию e(fa х — у) для больших значений X; с другой
стороны, из нее вытекает, что разность е — е2 сильно осциллирует.
Теорема 3. Если коэффициенты оператора А постоянны
и если Хо < min (т, т2), где т(т2)— нижняя грань опера-
тора Л(Л2), то
lke(%; х. у)=7%(Х; х — у) 4- о (Х(п ~*)/а)
при n> 1 « А^-1 равномерно на компактных подмножествах
топологического произведения £2ЯХ^Я.
ГЛАВА XVIII
Метод Фурье
В этой главе мы дадим решение ряда смешанных задач с крае-
выми и начальными условиями для важнейших уравнений математи-
ческой физики. Излагаемый здесь метод является обобщением метода
собственных функций и охватывает как частные случаи метод обоб-
щенных рядов Фурье и метод обобщенного интеграла Фурье.
В § 1 излагаются некоторые эвристические рассуждения и поста-
новка задач. В § 2 смешанная задача формулируется в терминах
гильбертова пространства, что приводит к так называемому опера-
торному варианту задачи. Мы излагаем решение операторного вари-
анта и доказываем его корректность. Для более частных начальных
условий в § 3 доказывается регулярность решения операторного
варианта.
Ввиду того что решение представляется посредством обобщенных
интегралов Фурье, мы одновременно получаем обоснование метода
собственных функций для произвольных спектров. В § 4 и 5 дается
решение задачи для уравнений параболического типа и типа уравне-
ний квантовой механики. В § 6 мы реферируем результаты, полу-
ченные Л. Морен для неоднородных задач.
§ 1. Эвристические рассуждения
Многие уравнения математической физики имеют вид
c^ = Axu(x',f) + f(x,t),	(1.1)
utK
где Ах— эллиптический оператор порядка $, действующий на функ-
ции переменных хг, ..., хп, с — постоянная, й= 1, 2, ..., f(x, /) —
заданная функция (характеризующая источники теплоты, токи и т. п.),
t означает время.
Для таких уравнений часто ставят следующие краевые задачи.
Г. Задача с начальными условиями (или задача Коши),
которая состоит в нахождении решения уравнения (1.1), удовлетво-
ряющего в начальный момент времени, например при t = 0, условиям
0)=<?*<*)> н = 0, I....... к-l. (Н)
vf
§ 1. Эвристические рассуждения
427
(Г)
Ло,
А*
так
(1.2)
(Н)
(Г)
2°. Сметанная задача с начальными и краевыми условиями,
которая состоит в нахождении решения, удовлетворяющего не только
начальным условиям Коши (Н), но и некоторому краевому условию
(не зависящему от времени) на границе дО>п области Йл (например,
и |№ =0). Если область не является конечной, например если
эта область совпадает со всем пространством, то роль краевого
условия будет играть требование определенного поведения решения
на бесконечности.
Краевые условия могут быть записаны в виде соотношения
«(•, 0€О(Л1),
где является некоторым замкнутым расширением сужения
D (Ло) = Со° (ЙЛ).
В задачах описанного типа в случаях, когда коэффициенты
не зависят от /, физики обычно применяют метод Фурье, т. е.
называемый метод собственных функций оператора Ах.
Для того чтобы пояснить сущность этого метода, рассмотрим
смешанную задачу для уравнения теплопроводности с краевым усло-
вием Дирихле:
du Л
—^хи>
и(х, 0) = <р(х),
и(х, t) |йа —0 при 0
Полагая и(х, f) = v(x)h(f) и подставляя в уравнение теплопро-
водности, получаем
v (х) h (t)	,
 \	’ — Const.
Таким образом, функция v должна удовлетворять уравнению
=	(1.3)
Для того чтобы удовлетворить условию (Г), потребуем, чтобы г» |dQ = 0.
Как мы знаем, уравнение (1.3) при краевом условии v |dQ =0
имеет нетривиальные решения только для счетного множества так
называемых собственных значений X оператора Дж. Пусть —
•С — ^2^ • •• —(точечный) спектр оператора Так как функ-
ция h(t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению
dhvldt = Kxhv, то hv(f) = cveKvt. Таким образом, мы получаем после-
довательность собственных „колебаний" (вибраций) системы: (uv) =
== (vv (х) cveKyjt}, v= 1, 2.Для того чтобы удовлетворить также
начальному условию (Н), естественно попытаться найти решение
428
Гл. XVIII. Метод Фурье
в виде ряда	|
и (х, 0=2 cvetvtvv (х).
v=l	;
При t — О имеем
ОО	ч
и (х, 0) = S CvVv (х) — ф (х),
V=1
а так как собственные функции vit v2, ... попарно ортогональны
ТО = (ф. Vy).	;
Таким образом, в соответствии с этими эвристическими рассу- |
ждениями	следует ожидать,	что решение	нашей задачи имеет вид	|
и (xt t) — 2 (<Р> Vv) (*)>	1
v=l	i
где	/
(ф. vv)= J* ф (x) ov (x) dx.
q
П	t
Сразу же возникают следующие вопросы:
1° для какой начальной функции сумма написанного ряда будет
функцией, дважды дифференцируемой по х и по
2° удовлетворяет ли эта сумма начальным и краевым условиям;
3° пригоден ли аналогичный метод в случае неограниченной
области йл при появлении непрерывного спектра?
Последний вопрос является особенно интересным, так как при
этом „собственные функции", соответствующие непрерывному спектру,
неинтегрируемы с квадратом, а собственные функции, соответствую-
щие точечному спектру, не образуют базиса пространства Л2(£2Л).
Благодаря теореме Гординга о разложении по собственным функциям
произвольного самосопряженного расширения эллиптического опера-
тора удается получить положительный ответ на вопрос 3°.
§ 2. Операторный вариант и его решение
После этих эвристических рассуждений мы переходим к изложе-
нию теории, позволяющей получить решение смешанной задачи для
широкого класса дифференциальных уравнений в произвольных
областях йя евклидова пространства. В этом параграфе мы решим
смешанную задачу для систем типа волновых уравнений, т. е. систем
^ = -Лх«(х, 0.	(2-1)
где и = («р .... иг), а Л — эллиптическая формально самосопряжен-
ная система с достаточно гладкими не зависящими от t коэффициен-
Й
§ 2. Операторный вариант и его решения
429
тами, рассмотренная в гл. XI и ХШ. Относительно оператора АХ = А
мы предполагаем, что его сужение Ло (£> (До) = т (Йя)) обладает
полуограниченным снизу самосопряженным расширением А^ = Д1ГэД0*
Таким образом, существует такая постоянная и > — оо, что
(Д^, ci)>х(V,	v£D(A^,	(2.2)
т. е.
Ai = f №(dh);
X
при ЭТОМ
г
(w, v) =	(х) (х) dx.
ап Z=1
(Как нам известно, полуограниченные самосопряженные расширения
существуют, например, тогда, когда оператор Ао полуограничен;
как мы знаем, это имеет место, например, в случае оператора
Лапласа и в более общем случае сильно эллиптического оператора.)
Краевое условие имеет вид
(О
а начальное условие — вид
и(х, 0) = ф°(х),
0) = ф1(х).	(Н)
Для того чтобы можно было применить спектральную теорию,
нужно сформулировать нашу задачу в терминах гильбертова про-
странства, которым в данном случае является пространство £2,Г(ЙЛ).
Уравнение —— Ахи вместе с краевым условием (Г) мы заменяем
соотношением
—=-Л1И(-, 0.	(2.3)
Условия Коши мы записываем в виде
«(., О)=Ф«61»(Л1),	0)=ф1со(4’)-	(Н')
Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема. Операторный вариант смешанной задачи обла-
дает в точности одним решением, и это решение зависит
430	Гл. XVIII. Метод Фурье
непрерывно от начальных данных. Точнее: если и*(*, t) —
решение задачи
(/=ъ 21 х=0’ 1)’
то имеет место неравенство
II «1 ( . . О - «2 ( . , t) || < С { || 1Ф° - 2ф° || +1| 1Ф1 - 2Ф1 || }
при	где С — положительная постоянная.
Это решение можно представить в виде обобщенных инте-
гралов Фурье
и (х. /) = F"1 cos a‘/2F<p°+ F“ V/2 sin ft^Fy' =
= cos tA \'1г <p° + A f1/2 sin Mjfo1,
где
(^<p)a (^) °= 1. i. m I ek (k, x) <px (x) dx,
L2^ Q
un
^гй(х)°= 1. i. m f hk(K)ek(h> x)da(K),
l2, T(Qn) £=1
m. e.
f 00 ЛГ(Х)
u(x, f)= 1. i. m I f V cosX,/2 t(F<f)kek (X, x)rfa(A,) +
£2,r(QJlx £=1
oo N (K)
+ f l~',a sin X'/a1 (f^)* ек (X, x) da (%) .
X Jfc=l
Функции ek(K, x) являются собственными функциями в смысле
теории дифференциальных уравнений оператора А, соответ-
ствующими собственному значению К (в случае оператора А
в частных производных может случиться, что Л^(Х)“Оо),
ek^. •)eCs’T(Qn), Аек(К, х) =	х).
х
а a — положительная мера, заданная на полуоси (н, оо)
(ср. гл. XVII).
Доказательство не вызывает никаких затруднений, ибо при сде-
ланных относительно ф° и ф1 предположениях допустимо (сильное)
дифференцирование по ?:
= — (Д! cos мУ2<р°+ Ai2 sin М^ф1) = — Aiu.
§ 2. Операторный вариант и его решения
431
Непрерывную зависимость от начальных условий мы получим из
следующих неравенств:
11«>(о-«2(ои<
|созЛ,/1</Е(Х)(1ф0-2<р°)||-Ы| f l-,,2sina,/sdE(X)(i<p1-2q)1)
X	X
<С{||1фО_2фоц + ||1ф1_2ф1||1.
Последнее неравенство вытекает из того, что операторы cosM1/*,
ограничены во всем замкнутом интервале [О, Г] (н >—оо).
Для того чтобы доказать единственность решения, ввиду линей-
ности операторов d2/dt2 и А1 достаточно доказать, что однородная
задача
-§ = Л1И, И(0) = 0, ^- = 0	(2.4)
имеет только нулевое решение. Как известно, если В — ограничен-
ный оператор, то единственным решением уравнения dtv/dt2 = Bv
при нулевых граничных условиях является нуль (ибо правая часть
удовлетворяет условию Липшица: || Bv || <11| В || • || v ||). Случай неогра-
ниченного самосопряженного оператора можно свести к случаю огра-
ниченного оператора, а именно пусть Рп °— Е (п) — Е (— п), где
Е(к) — спектральная функция оператора Как мы знаем, =
и Рп коммутирует с Af. РпАг = АхРп [точнее, РлР(Д1)с:О(Д1) и
РпА1х = А1Рпх при	кроме того, РпАх — ограниченный
п
оператор: PnAt = J1 dE (1), ||РЯЛ11| п. Подействуем на обе части
-Л
соотношений (2.4) оператором Рп. Ввиду того что ограниченный
оператор Рп коммутирует с d)dtt получим
PnS- = -^-(Рл«) = />ПЛ1«=РЯРЯЛ1И = (РПЛ1)(Р„И) (2.5)
и
Ря«(0) = 0, Ря^.(0)=-^-(0) = 0.	(2.6)
опр.
Из соотношений (2.5) и (2.6) вытекает, что ип = Рпи и является
решением задачи Коши
^ = (РЯЛ1)«Я, «я(0) = 0. -^(0) = 0,
432
Гл. ХУНТ. Метод Фурье
с ограниченным оператором PnAv а поэтому, как отмечалось выше,
«л(0=о. Но
О = lim и„ (t) = lim Рпи (t) — и (t)
П-><Х>	П-*<Х>
для каждого t, так что	что и требовалось доказать.
§ 8. Дифференцируемость обобщенного решения
Решение операторного варианта будем называть обобщенным
решением (задачи Коши).
Обобщенное решение как однопараметрическое семейство элемен-
тов пространства £2,Г(£2Л) является семейством классов функций
(системы г функций), интегрируемых с квадратом в £2Л; при этом
к одному классу причисляются функции, отличающиеся на множе-
стве меры нуль. Доказательство дифференцируемости обобщенного
решения состоит в проверке того, что в классе, представляющем
это решение, содержится дифференцируемая функция. Другими сло-
вами, для того чтобы доказать „дифференцируемость обобщенного
решения" и (/), нужно доказать, что и (t) почти всюду совпадает
с функцией u(xt t), которая является дифференцируемой по х и Л
Если нам удастся найти такую функцию и(х, f), которая является
дважды непрерывно дифференцируемой относительно t и s раз не-
прерывно дифференцируемой по х во всей области Йл:
«(х, -)€C2’r([0. TJ). и(-, t)^Cs’r(Q„),
то и будет классическим решением рассматриваемой нами смешанной
задачи, ибо
1 о\	d2u д2и ,	л ~ л	лч
О	~dP=~3P^x' t) = AiU = Axu(x, t).
причем равенство имеет место почти всюду в ЙЛХ[О, Г], а, сле-
довательно, в силу непрерывности левой и правой части всюду
в £2Л X [О, Г];
2°) краевое условие u(t)£D (А^ было условием для всего
класса и, следовательно, для функции «(х, t)\
3°) начальные условия
-^-(х, 0) —<рх(х), х = 0, 1.
выполняются
(аналогично
вытекает из
тождественно, если функции срх непрерывны в области йл
д*и	дки
	в-	, если обе производные существуют, что
dtH------dtH
определения сильной, и частной производной).
§ 3. Дифференцируемость обобщенного решения	433
После этих приготовлений уже нетрудно понять, как доказать
дифференцируемость обобщенного решения. Как нам известно из
главы о слабых решениях (гл. XI, упражнения), достаточно относи-
тельно начальных функции фх сделать такие предположения, кото-
рые обеспечивали бы принадлежность обобщенного решения и (I)
области определения некоторой достаточно высокой итерации one-
ратора Л1:	Но
(- Ах)т и (0 = (— Ах)т cos t (- Л1)'/а q> + (— sin t (— ДаЧ .
Ввиду того что в наших предположениях (полуограниченность)
cos/(—А^2 и sin/(—А^2 являются ограниченными операторами,
и(06Г>(дГ). если только <р°€О(лГ), a (р1 £ D (А™~'1г).
Итак, при /п n/2s-j-2 для каждого	существует такая
окрестность V^xQ, V с: Йл, что
а(х>	Jг(х' У)и(У> 0<*у + /s(x, у)(А?и)(у, t)dy, (3.1)
V (х°)	V (х°)
где, как нам известно, интегралы в правой части являются непре-
рывными функциями в области V (х°) X [О, Т], дифференцируемыми 5
раз по х. В предположении, что	эти интегралы дважды
непрерывно дифференцируемы по t в интервале [О, Т]. В самом
деле, имеем
(_ лг) 4=4 <- А^т А^т cos * <- А^г <»,0+
+	sin t (- Д^ ф1 = - (- Д1)я1+‘/‘ sin t {- Ах)4' ф° +
+ (-Д1)тсо8#(-Д1),/*ф1.
Это позволяет написать для du/clt представление, аналогичное (3.1),
откуда следует непрерывность du/dt. Подобным же образом убеж-
даемся, что и dtuldt2 непрерывна.
Как показала Л. Морен [1], дополнительное предположение
является излишним, ибо и £D(A\) с: Р(дГ-1), а поэтому
и(х> / г1<х’ у)«(у> 0<*у + / А*.у)(Л1*_1в)(у> 0<*у.
У1 (х°)	V» (х«)
(3.2)
причем правая часть принадлежит классу С (V1 (х°) X [О, Г]), где
г1, s1, V1, вообще говоря, не совпадают с г, $, К
28 К. Морен
434
Гл. XVIII. Метод Фурье
Однако в силу доказанной единственности решения и непрерыв-
ности правой части имеем тождество
f r(x, у)и(у, t)dy+ f s(x, у)(лГ«)(у. f)dy =
vfl v‘	vflv
= frl(x, У)и(у, t)dy-f- f s'fx, y)(A™~'u)(y, t)dy. (3.3)
vHp	rflv1
Правая часть равенства является достаточно гладкой (она s раз
непрерывно дифференцируема по х и дважды непрерывно дифферен-
цируема по /). Очевидно, для дальнейших рассуждений такого типа
не хватает непрерывности, и соотношение, подобное (3.3), уже не
получится.
Таким образом, мы пришли к основной теореме этой главы.
Основная теорема. Если функции <р°, ф1 непрерывны
и если
где
Г п 1 । о
т=Ы+2>
то существует классическое решение смешанной задачи
^ = — Ахи(х, 0.
«(..оепсл),	(Н)
0) = ф*(х), х = 0,1.	(Г)
01
Это решение можно представить в виде обобщенных инте-
гралов Фурье.
Если ограничиться рассмотрением решений, принадлежа-
щих классу 1?'Т(йл), то полученное решение является един-
ственным решением-, оно зависит непрерывно от начальных
условий.
Если
ф°. ф’бяС^)
для всех натуральных значений q, то полученное решение
будет неограниченно дифференцируемым в области йл X [О, Г].
Здесь следует подчеркнуть, что под термином „классическое
решение" понимается достаточно гладкое по х и t решение w(x, t),
удовлетворяющее граничным условиям до х в том смысле, что
и (• , 0 £ D (Дх). Если расширение Ai описывается посредством гра-
ничных условий, заключающихся в равенстве нулю на дЙл некото-
§ 4. Решение смешанных задач
435
рых дифференциальных выражений, то и и (• , t) будет удовлетво-
рять такого рода „классическим" условиям.
Замечание. Эта теорема остается в силе, если интерпрети-
ровать как достаточно гладкое открытое дифференцируемое много-
образие с границей или без границы. В первом случае получим реше-
ние смешанной задачи, а во втором — решение задачи Коши. В этом
последнем случае условие и (• , t) £ D (Xj) следует понимать как
условие „на бесконечности".
§ 4. Решение смешанных задач для параболических
систем вида du/dt= — Ахи
То же самое рассуждение, что и в предыдущих параграфах настоя-
щей главы, приводит к аналогичным теоремам существования реше-
ния и применимости обобщенного метода Фурье к смешанной задаче
для параболической системы вида du/dt = — Ахи, где сужение Ло
оператора Ах (ср. § 1—3) является эллиптической системой, полу-
ограниченной снизу
(ЛОС1,	-и), х>—оо, v ^Co°,r(Qn).
К системам такого типа относится уравнение теплопроводности
duldt = \iit где и— скалярная функция, а также системы уравнений
теплопроводности du/dt = \2и на римановых многообразиях, играю-
щих важную роль в теории гармонических полей (ср. гл. XIX).
Этот тип уравнений является существенно более простым, чем
ранее рассмотренный, ибо решение задачи
=	и(., 0) = <p(.)GA2’r(Q„)
дается формулой
оо
v (• , t) — J e~u dE (%) ф = e~tA^, х > — оо.
X
Ввиду того что х > —оо, операторы e~tAl и Axe~tAl, q=\, 2, ..
ограничены при t > 0, так что ^(*,	для произвольной
<?-й итерации самосопряженного расширения о До и при произ-
вольной начальной функции ф££2,г(йЛ). Поэтому мы можем выска-
зать следующую важную теорему.
Теорема (Браудер). Если оператор Ах обладает доста-
точно гладкими коэффициентами, то существует регулярное
решение системы du/dt = — Ахи, удовлетворяющее граничному
условию и(- , t)£D(Ax), где Ах— некоторое самосопряженное
расширение оператора До, причем функция и(-^удовлетворяет
28*
436
Гл. XVIII. Метод Фурье
следующему начальному условию: и(- , /)->ф, /->0, в смысле
сильной сходимости в £2, Г(ЙЛ).
Это решение единственно в классе £2,г(йл), зависит непре-
рывно от начальной функции и представимо в виде обобщен-
ного интеграла Фурье
и = F~xe~uFq,
где F — обобщенное преобразование Фурье, приводящее опе-
ратор Ах к диагональному виду (ср. гл. XVII).
При достаточной гладкости начальной функции ф, т. е. если
ф£О(Лр с достаточно высоким т, найденное регулярное реше-
ние будет и классическим в смысле, описанном в предыдущем параг-
рафе. Доказательство мы предоставляем читателю (ср. упражнение 3).
§ 5. Смешанная задача и задача Коши для уравнений типа
= (уравнения квантовой механики)
Наиболее важными для квантовой механики дифференциальными
уравнениями являются уравнение Шредингера
ди th * i , ч
-dt=2^^U—hV^U'
где v(x) — потенциал, т и h — постоянные, и система уравнений
Дирака
з
h	=S Р -£+4 ф* (*>)+4 фо w -imc^
где
u(xt t) = (ui(x, t), u2(xt /), u3(xt t), u4(x, f))t Фо
— скалярный потенциал, ФЛ — составляющие векторного потенциала,
ak и р — матрицы Дирака.
Если в случае уравнения Шредингера вследствие вещественности
коэффициентов (и даже полуограниченности оператора Лапласа) всегда
существуют (их может быть много) самосопряженные расширения
правой части, что, как мы знаем, очень существенно для всей теории,
то в случае уравнений Дирака этими двумя критериями нельзя поль-
зоваться: оператор в правой части не является ни вещественным
(матрицы Дирака имеют комплексные элементы), ни полуограни-
ченным.
Однако, как показала Л. Морен (ср. гл. VI), оператор в правой
части системы Дирака является формально самосопряженным эллип-
тическим оператором, сужение Ао которого обладает (быть может,
не одним) самосопряженным расширением Ai = Ai Ло.
§ б. Неоднородные уравнения
437
Таким образом, наша теория охватывает и этот частный случай.
Решение задачи Коши для уравнения квантовой механики
т4г = л»й’ «(•. 0)=<pG£2,W
(оператор Аг называется в квантовой теории гамильтонианом)
имеет вид
#(., t) — eitA^— § eiKtdE(k)q).
— сю
Следовательно, состояние и(* , t) системы в момент t получается
из начального состояния ср воздействием на <р однопараметрической
группы унитарных операторов eitA*. Решение и в этом случае зависит
непрерывно от начальных условий и задается обобщенным интегра-
лом Фурье (ср. § 2)
и = F~VwF<p.
Для того чтобы получить классическое решение, нужно началь-
ную функцию подчинить следующим условиям:
Фео(лг), «=Щ+2.
Читатель без труда восстановит детали доказательства.
§ 6. Смешанная задача для неоднородных уравнений
На практике часто встречаются неоднородные дифференциальные
уравнения следующих типов:
^(х, f) = Ахи(х,		0.	(6.1)
-^-(х, t) = Axu(x,	f) + f(x,	0.	(6-2)
. dt (х. t) = Axu(x,	t) + f(x,	0.	(6-3)
где /(х, t) — заданный ток, заряд и т. п., а Ах— оператор, удовле-
творяющий таким же предположениям, как в предыдущих параграфах.
Л. Морен в работе [1] показала, как можно распространить на
этот случай теорию, изложенную выше. Ввиду того что это распро-
странение требует тонких рассуждений, я ограничусь здесь лишь
изложением результатов Л. Морен без доказательств, отсылая чита-
теля, желающего изучить детали, к цитированной работе [1].
Получен следующий результат: если функции <р° и (р1 непре-
рывны и при m — [nl(2s}-\-<2 имеют место соотношения <р°£D(A™\
438
Гл. XVI11. Метод Фурье
ф1 £ О(лГ-1/2)> а f (’ ’ 06 D(A™ i/2), причем функция А™ 1/2f( • , t)
интегрируема в смысле Бохнера в интервале /£[0, Т], а функ-
ции A{l2f(-, / = 0, ...» 2т— 2 сильно непрерывны по t, то
уравнение (6.1) при условиях
иЕО(Аг\ (Г)	— (х, 0) = фх(х), х = 0, 1, (Н)
обладает решением, которое можно представить при помощи
обобщенных интегралов Фурье
u = F~'cost (— Х)'д Fq>°+ F-1 (— Х)-1/гsin t (— Х)/2 Fq? +
t
+ / F~1 (- X)",/2 sin [(/- t) (- X)-'/2] Ff (• , t) dx.
0
Это решение единственно в пространстве £2(ЙЛ) и непрерывно
зависит от заданных функций ф°, ф1 и f.
В случае уравнения (6.3) достаточные условия существования
решения смешанной задачи имеют аналогичный вид, а именно
ф££)(дГ)> /(• >	причем функция A™~'/2f(- , t) должна
быть интегрируемой в смысле Бохнера, а функции л{/2/(‘, /), где
/ = 0, ..., 2т— 2, должны быть сильно непрерывными по t.
§ 7. Заключительные замечания
Обобщение теорем § 1—5 на дифференцируемые многообразия
не встречает трудностей, ибо применение разложения единицы !) дает
возможность формулировать проблемы в таком же виде, как и для
областей £2Л в и-мерном евклидовом пространстве. Основная трудность
этой теории, именно исследование регулярности обобщенного решения,
не увеличивается для дифференцируемых многообразий, достаточно
ограничиться областью покрытий одной локальной системой координат
(дифференцируемость — это локальное свойство).
Приведенная в этой главе теория представляет собой первое общее
обоснование метода Фурье.
!) Если Мп — n-мерное дифференцируемое многообразие, то существует
последовательность (/Са) таких пред компактных множеств, что 1° Мп = (J ;
а
2е каждое множество Ка можно покрыть одной локальной системой коорди-
нат; 3° каждое компактное множество Кс:Мп пересекает только конечное
число множеств семейства (/Са). Разложением единицы называется такая
последовательность (<ра), что фа£С£°(Ка) и	11 <₽а>°-
§ 7. Заключительные замечания
439
Для гиперболического уравнения второго порядка
л
в случае отрицательно определенного оператора А, краевого условия
типа Дирихле и Неймана в ограниченной области первое строгое
обоснование метода Фурье было дано О. А. Ладыженской [1]. Метод
Ладыженской применим исключительно к операторам, обладающим
чисто точечным спектром, что имеет место (в основном) в случае
ограниченных областей. Ее исследования требовали весьма трудных
оценок для доказательства равномерной сходимости рядов Фурье1).
Наша теория применима для произвольного спектра, что имеет
существенное значение для задач математической физики (в неогра-
ниченных областях). В случае точечного спектра мера о(Х) концен-
трируется в точках спектра и интегралы сводятся к обобщенным
рядам Фурье. Эта теория показывает еще раз, что в задачах, связан-
ных с проблемами собственных функций, спектральная теория опера-
торов в гильбертовом пространстве является наиболее подходящим,
сильным и проще всего приводящим к цели аппаратом.
В частном случае задачи, рассмотренной О. А. Ладыженской,
имеем две теории: во-первых, построенную О. А. Ладыженской,
во-вторых, изложенную в этой главе. Ввиду того что О. А, Лады-
женская пользовалась совершенно другими методами, прежде всего
теорией С. Л. Соболева, предположения относительно начальных
функций были получены О. А. Ладыженской в другом виде: в тер-
минах пространств Шаудера — Соболева Wk (Qn X [0»	)• Возникла
интересная задача сравнения результатов, полученных этими разными
методами. Эта задача была решена Л. Морен следующим образом. Для
некоторых размерностей п = 4/ -|- 2 и п = 41 + 3, где I = 0, 1,2, ...,
а, следовательно, также для важных с точки зрения физики размер-
ностей п — 2 и п — 3 условия, найденные Л. Морен, оказались менее
ограничительными, чем условия О. А. Ладыженской.
Физики применяли метод функций самосопряженного оператора
к уравнению Шредингера без теоретического обоснования. К. Ио-
сида [3] первым систематически применял метод функций самосопря-
женного расширения симметрического оператора и таким образом
получил первое доказательство существования в целом решения задачи
!) Следует иметь в виду, что методика § 2—6 при исследовании сходи-
мости рядов и интегралов Фурье и изучении решения и (х, t) вплоть до
границы области также по существу требует проведения тонких оценок.
Действительно, описание областей определения степеней оператора Л! тре-
бует привлечения фундаментальных неравенств гл. XIV. — Прим. ред.
440	Гл. XVIII. Метод Фурье
Коши для волнового уравнения на римановом пространстве класса С°°.
К. Иосида мы обязаны также понятием операторного варианта. Вопрос
о дифференцируемости обобщенного решения Иосида рассмотрел дру-
гим весьма остроумным способом, который требовал отдельного
исследования в случае четной и нечетной размерности. Теорему
о существовании для нечетных размерностей Иосида получил с
помощью метода спуска по размерности. Теория Иосида требует сво-
бодного владения тензорным аппаратом в римановом пространстве.
Случай параболических уравнений был исследован в интересной
работе Браудера [2] также с помощью спектральной теории. Однако
метод Браудера неприменим к волновому уравнению. То, что метод
Иосида приводит фактически к решению смешанной задачи с краевым
условием и |dQ = 0, было замечено автором в 1953 г. Изложенная
здесь общая теория построена в работах автора [5] и [7].
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Проверить, что уравнения Клейна — Гордона (квантовая меха-
ника), а также система волновых уравнений Максвелла принадлежат
к типу уравнений, рассмотренных в § 2.
2.	Проверить, что уравнения теории упругости принадлежат
к уравнениям типа (Pu/dt2 = Ахи -f- /, рассмотренного в § 5.
3.	Найти условия, которым должна удовлетворять начальная функ-
ция ф, для того чтобы обеспечить дифференцируемость обобщенного
решения уравнения типа
ди -
-Я = Аа-
где А — эллиптический оператор (см. основную теорему).
4.	Рассмотреть вопрос упражнения 3 для уравнений квантовой
механики.
ГЛАВА XIX
Теория гармонических полей
В § 1 мы излагаем основные понятия теории тензорных полей
на римановых многообразиях, вводим операторы dt 6 и — Д = д?6-}-6^
и излагаем классическое определение гармонического поля. Параграф 2
посвящен четырем теоремам Кодаиры, в частности теореме об орто-
гональном разложении. В § 3 описывается связь теории уравнения
теплопроводности на римановых многообразиях с методом ортогональ-
ных проекций в теории гармонических полей. В § 4 доказывается
теорема Кодаиры — Гаффни. В случае компактных многообразий в ка-
честве следствия из теорем де Рама и Кодаиры в § 5 мы получаем
знаменитую теорему Ходжа о существовании гармонических полей
с наперед заданными периодами, а также теорему об изоморфизме.
Созданная в 1936 г. Ходжем теория гармонических тензорных
полей благодаря исследованиям Кодаиры (1944—1949 гг.), применив-
шего к ней методы гильбертова пространства, стала теорией исклю-
чительной красоты. Она является, с одной стороны, обобщением
теории потенциала на тензорные поля на римановых многообразиях,
а с другой — обобщением теории функций комплексного переменного
на римановых поверхностях. В последние годы была открыта тесная
связь между теорией гармонических полей, „распространением тепла*
на римановых поверхностях и методом ортогональной проекции.
В этой главе мы предполагаем, что читатель знаком с тензорным
исчислением, а также с элементами теории риманова пространства.
В последнем параграфе излагается доказательство теоремы Ходжа —
Кодаиры о существовании гармонических полей с наперед заданными
периодами; в этом месте мы предполагаем, что читатель знаком
с простейшими понятиями теории гомологий.
§ 1.	Определение гармонического поля1)
Ориентированное n-мерное риманово многообразие будем обозна*
чать через йл. Локальные координаты на многообразии будем
обозначать через x = (x\ ..., хп). Величина gik = gik(^) является
полем метрического тензора многообразия йл. Другие тензорные
!) См. также де Рам [1], Лихнерович [1], Чжень Шэн-шэнь [1].—
Прим. ред.
442
Гл. XIX. Теория гармонических полей
поля на многообразии валентности р будут обозначаться строч-
ными последними буквами греческого алфавита, например <р или
фр = <ра1 ’ аР(х). Мы предполагаем, что эти поля кососимметричны
{антисимметричны). Определитель метрического тензора мы обо-
значаем через g = det(g,Zft).
Оператор внешнего дифференцирования ставит в соответствие
полю валентности р поле валентности р+1 по следующему закону:
v=l	ил
где, как обычно, <р -	= Ф„ „	„ .Как мы
видим, он является оператором обобщенного ротора, Двойствен-
ным к нему является оператор обобщенной дивергенции б, пони-
жающий валентность на единицу:
п
Напомним, что ф”1 " ‘ аР = gai₽i ... ^аЛф^ причем подразуме-
вается суммирование от 1 до п по индексам, встречающимся одно-
временно внизу и вверху; в данном случае производится суммирование
по индексам Pj....Рр.
Поле ф называется безвихревым (соленоидальным), если
d(f = 0 (бф = 0).
Определение. Поле ф класса C2(Q), где Q — открытое под-
множество многообразия Qn, называется гармоническим, если оно
удовлетворяет системе уравнений в частных производных (эллиптиче-
ского типа)
0 = — Дф = (d6 + 6d) ф.
(Иногда принимают другое определение: тензорное поле ф называется
гармоническим, если оно принадлежит классу С1 и является без-
вихревым и соленоидальным, т. е. dqp = 6(p = 0.)
Определение. Поле ф называется гомологичным (когомоло-
гичным) нулю, если существует такое поле ф, что
Ф — б?ф (ф = бф).
Носителем поля называется теоретико-множественная сумма
носителей его компонент (являющихся обычными скалярными функ-
циями).
Введем теперь скалярное произведение полей класса С°° с ком-
пактными носителями так, чтобы получить унитарное пространство.
§ 1. Определение гармонического поля
443
Как обычно, с помощью пополнения мы получаем гильбертово про-
странство, которое обозначим через
(фр, 4*% = (/. мОр = J 1/РI <POi... Ор(X) 1|)а1 • • • ао(X) vTdx,
^ai-ap^Co(Q).
Исходным пунктом для дальнейших рассмотрений является орто-
гональная сумма $ пространств фр
р
Суммирование распространяется фактически на п+1 слагаемых:
р = 0, ...» п, ибо поля степени выше п равны нулю.
Напомним, что (ф, ф) —* 2(ф₽. /L если ф, ф £	т. е. ф = 2 фр,
р р	р
Ф = 2'ФР •
р
Можно доказать, что операторы d и 6 формально сопря-
жены, J+==6, т. е. что для полей ф, ф с компактными носителями
имеет место тождество (£?ф, ф) = (ф, дф). Последнее соотношение
эквивалентно системе тождеств
(йфр-\ фр)==(фр’1, бфр), р = 1, 2......
По определению р-мерная цепь С$ является р-мерным алгебраи-
ческим комплексом Ср == 2 V/P» где каждое /р является топологическим
образом в области йл евклидова р-мерного симплекса Тр, yt — вещест-
венные коэффициенты, а суммирование производится по конечным на-
борам Л Пусть (и) —(и......яр)—система координат на симплексе
ТР(ТР—выпуклое множество в евклидовом «-пространстве). Тогда
точки p£tp описываются посредством соотношений р = р(а) и ло-
кальные координаты xz = xz (/?(«)) точки являются непрерывными
функциями переменной и. Система (и) образует, следовательно, си-
стему параметров на /р. Цепь Ср = 2т/Р называется регулярной,
если функции х1 (и) = х1 (р («)) параметров uk обладают непрерыв-
ными производными до второго порядка включительно и
...» хаР)
rang-^—-------ST— Р
д (и1, ..., иг)
в каждой точке всех симплексов tQ. Под „поверхностным анте-
444
Гл. XIX. Теория гармонических полей
гралом* на Ср поля фр мы будем понимать выражение
* т”
Полагая
. а, ...апопР- д(лО1,...» х°р) .	(.	, 1	, р\
dx 1 р = — --7-1--- - du (du ~du ... dup\
dGA ...» up) v	7
нашу билинейную форму можно записать кратко
Общая формула Стокса на дифференцируемом многообразии
(читатель заметит, что в определении поверхностного интеграла мы
не пользовались римановой метрикой) записывается, согласно Кодаира,
следующим образом:
{dqp-\ cp}=($r\ дср};
где дСр — граница цепи Ср (здесь мы встречаемся с двойственностью
операций d и д).
Приведем еще обобщенную формулу Грина
(dq>p, /+1)0-(<рр. 6^+1)о= f {<р. $\anVgdOan-,
дО
{ф, ф)Л — некоторая билинейная форма переменных ф и ф;
dO^1.._a2= (^yfSgn	jrfx1"aP;
v r/	\(Zp+i, ...» ctp_n, ...» ад, dp/
</Oap+1...an являются двойственными координатами поверхностного
элемента dxai ”‘aP. Имеют место формулы ddy — ббф = 0, ддС = О.
Цепь С, граница дС которой равна нулю, называется циклом.
Цикл Z ограничивает (гомологичен нулю), если существует такая
цепь С, что Z = дС.
Из теоремы Стокса вытекает следующее важное следствие.
Следствие. Если dZ = 0, то Z) = ^, dZ) = 0.
Это следствие является весьма далеко идущим обобщением тео-
ремы о независимости интеграла полного дифференциала от пути
интегрирования, ибо в случае скалярного поля (р = 0) имеем
(б/ф°)а/ =	, т. е. ^ф = grad ф.
дх 1
§ 2. Теорема Кодаиры
445
р-мерные циклы образуют (вещественное) векторное простран-
ство 2Р(ЙЛ); циклы, гомологичные нулю, образуют подпростран-
ство Нр(&п) пространства Zp (Йл). Фактор-пространство
ВР(^) =
называется р-мерной группой гомологий многообразия йл. Рас-
сматривают также операцию взятия кограницы, двойственную к опе-
рации взятия границы (эта операция повышает размерность на еди-
ницу). Аналогично вводят понятия коциклов Zp (йл) и коциклов, ко-
гомологичных нулю, образующих пространство Hp(Qn). Аналогично
получаем р-мерное пространство когомологий многообразия Йл:
В § 5 мы докажем теорему Ходжа, устанавливающую связь (изо-
морфизм) пространства Bp(Qn) с пространством гармонических полей.
§ 2. Теорема Кодаиры
После этих приготовлений переходим к теории гармонических
полей. Аппарат, которым мы располагаем, позволяет нам высказать
следующее утверждение.
Теорема 1 (Кодаира). Если измеримое поле а конечной
нормы, ||а||< оо, заданное в области Qc:Qn, удовлетворяет
тождеству
(а, Др) = 0 для всех p^CS°(Q),	(2.1)
то Да = 0, т. е. а — гармоническое поле.
Эту теорему можно сформулировать еще следующим образом:
каждое непрерывное интегрируемое с квадратом слабо гар-
моническое поле является гармоническим полем.
Эта теорема является частным случаем „теоремы о слабых ре-
шениях эллиптических систем", ибо Д — формально самосопряженная
эллиптическая система.
Из теоремы 1 вытекает следующее предложение.
Теорема 2 (Кодаира). Если поле а, заданное в об-
ласти Йс:2л, удовлетворяет равенству
(а, ф)0 = (а, dy)Q = O для всех р, у^С^°(£2),	(2.2)
то поле а является гармоническим.
Доказательство. При <р£Со°(й) в силу (2.2)имеем (а, Д<р)2 —
~ — (а, dd<p)a— (а, 6tZ(p)Q = O и, следовательно, в силу (2.1) Да = 0.
446	Гл. XIX. Теория гармонических полей
Заметим, что из Да = 0 следует da — 0 и 6а = 0. Действительно,
используя (2.2), получаем (da, y)Q = (a, 6y)Q = 0; аналогично
Y	Y
(6a, 0)Q = (a, d0)Q = O, а поэтому da = 6a = 0, что и требовалось
Р	3
доказать.
Следуя Кодаире, введем теперь особенно важные подпростран-
ства пространства ф, именно = 6/р+1> где/р+1— множество р~-|- 1
регулярных полей с компактными носителями. Аналогично фр —
Положим
®р = № е $) n № е $)•	(2-3)
(Кодаира для того, чтобы подчеркнуть связь с топологией, полагает
3Р = $р е и *3 е так что @р = Зр П *зр-)
Мы имеем следующее разложение пространства §р в ортогональ-
ную сумму:
$р=$?®$е®р>	(2.4)
ибо подпространства и §р взаимно ортогональны [так как (da, 60) =
= (dda, 0) = 0 при а, 0^Со(2я)].
Из определения (2.3) имеем
@Р±$. ®Р±$.	(2.5)
Таким образом, полагая в теореме 2 й = йя, мы получаем сле-
дующее важное предложение.
Теорема 3 (Кодаира). Имеет место ортогональное раз-
ложение фр = ф?®ф2®®р> причем §?==6ZP+1, $ =
а элементы пространства & гармоничны.
Замечание 1. Множество <£р можно определить как подпро-
странство гармонических полей, ибо если поле а гармонично, то
da = 6a = 0, так что (da, 0) = (a, 60) при 0£С£°(йя) и в силу не-
3	ГР
прерывности скалярного произведения a | фУ; аналогично доказы-
ваем, что а_|_фр> откуда а£®р, что и требовалось доказать.
Замечание 2. Ввиду того что каждое связное открытое под-
множество Сс:Йя также является римановым многообразием, для
каждого такого множества G имеет место теорема 3.
Замечание 3. Частный случайдеоремы 3, когда является трех-
мерным евклидовым пространством Е3, а р = 1, С. Л. Соболев применил
к решению некоторых задач электродинамики (см. С. Л. Соболев [2]).
Читатель без труда докажет следующее предложение.
§ 3. Метод ортогональных проекций
447
Теорема 4 (Кодаира). Обозначим через v£)p подмноже-
ство пространства фр, элементы которого принадлежатклассу
Cv (v = 1, 2,.. .)• Тогда множества 3? = П 3Р. *3? °~ v£>₽ П *3Р
удовлетворяют следующим соотношениям',
3S = {<P6v<>P:&P = O},
*3? = {ф€Л>Р:*Р = 0),
зр=гем *3S=6p®v$.
v'&i== Л С • J!= 1 »2>
v$=v£pe*3p
у$=у$резр.
§ 3. Уравнение -j— = 4<z и метод ортогональных проекций
в теории гармонических полей
Третья теорема Кодаиры наводит на мысль применить метод ор-
тогональных проекций в теории гармонических полей: для того чтобы
получить гармоническое поле с требуемыми свойствами, например
удовлетворяющее наперед заданным граничным условиям, или обла-
дающее наперед заданными периодами (на данных компактных цик-
лах), или обладающее данными особенностями и т. д., сначала строим
(не обязательно гармоническое) поле а, обладающее требуемыми
свойствами, например имеющее наперед заданные периоды, а затем
берем его ортогональную проекцию на подпространство 6 гармо-
нических полей; мы имеем основание ожидать, что построенное поле
а® = где Р® — оператор ортогонального проектирования на
подпространство ®, обладает требуемыми свойствами.
Полученное нами поле а@ является, несомненно, гармоническим,
нужно только доказать, что отображение Р& сохраняет заданные
свойства, например периоды. В случае краевого условия не было
этих трудностей (ср. гл. XV), и поэтому доказательство существова-
ния решений краевых задач было сравнительно простым.
В последние годы удалось преодолеть вышеупомянутую трудность
исключительно остроумным способом, напоминающим доказательство
эргодической теоремы фон Неймана и опирающимся на теорию одно-
параметрических полугрупп (ср. гл. X). Этим методом мы обязаны
Мильграму и Розенблюму, Иосида [2] и Гаффни [1]. Излагаемая
ниже теория является вариантом метода Иосида, несколько улучшен-
ным Гаффни.
Идея доказательства состоит в следующем.
448	Гл. XIX. Теория гармонических полей
1°. Строим положительное самосопряженное расширение Д' one-
ратора До, (D (Ло) =	(S„))-
2°. С помощью оператора AZ=)ZAO строим однопараметрическую
полугруппу	, ^^>0.
3°. Как мы знаем из гл. X, поле а, —’ 7\а удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению
и начальному условию а+0 = а [в нашем случае это уравнение, вве-
денное Мильграмом и Розенблюмом, является уравнением теплопро-
водности (диффузии) на римановом многообразии
4°. Легко заметить, что является оператором ортогонального
проектирования на собственное подпространство оператора Д', соот-
ветствующее собственному значению X = 0, т. е. = Е (4- 0) — Е (0).
00
Действительно, д' = J e~tKdE (X), а предел подинтегральной функ-
о
ции таков:
(	0	при	X > О,
lim	\
(>«	I	1	при	Х = 0’).
5°. Для того чтобы доказать, что поле а@ = Р@а = 7’ооа имеет
те же периоды, что и поле а = Тоа, достаточно доказать, что се-
мейство полей at = Tp9	обладает периодами, не зави-
сящими от времени t.
Затруднения вызывают только п. 1° и 5°: нужно так подобрать
положительное самосопряженное расширение Д' оператора Д°, чтобы
удалось доказать п. 5°. Следующий параграф посвящен рассмотре-
нию п. Г и 5°.
§ 4. Построение оператора Д'зэД0.
Доказательство теорем Кадаиры и Гаффни
Пусть dQ и д0 — сужения операторов d и б на неограниченно диф-
ференцируемые поля с компактными носителями Z)(d0)=Z)(rf0) =
= Со° (2Л), где С™ (2Л), ’ как обычно, означает совокупность полей
класса С°°(2Л) с компактными носителями.
!) Процесс, применяемый в п. 4°, имеет следующую физическую интер-
претацию: а/ = Г/а является распределением температуры в момент времени t
при начальном распределении а. С неограниченным возрастанием времени t
распределение а/ стремится к гармоническому распределению	= Гтоа.
§ 4. Теоремы Кодаиры и Гаффни	449
Определим теперь оператор Д' следующим образом:
Д' = do Й?о4-бо6о-	(4.1)
Докажем следующую простую лемму.
Лемма 1. Имеют место тождества
6о<Са==О при a£D(do)‘	(4.2)
(Zo6o*P = O при 0£D(6o*)*	(4.3)
Доказательство. Докажем, например, формулу (4.2); фор-
мула (4.3) доказывается аналогично. Как мы знаем, при 0, ау£0о°(2„)
имеем
0 = (d0Ov. 6o₽) = («v 6?оМ)->(«> <йМ) = (^о*а> 6oP) = (6odo«. ₽)>
т. e.
dodo a = 0,
что и требовалось доказать.
Теорема 1 (Гаффни). Оператор Д'= do* do + до* до само-
сопряжен.
Доказательство. Как известно, если оператор С замкнут и
О(С) = §, то оператор С*С является самосопряженным и положи-
тельным. Ввиду того что операторы do и до имеют плотные области
.	опр. ** * опр. ** *
определения и замкнуты, оба слагаемых А = do do и В = Оо Оо, из
которых состоит оператор А, самосопряжены и непрерывны. Поэтому
операторы	и (/-J-2?)’1 ограничены (их норма < 1) и
(/ + Л)-1-/ = (/-(/ + Л))(/ + Л)-1 = -Д(/ + Л)-1; (4.4)
аналогичные равенства можно получить для оператора В.
Доказательство самосопряженности оператора А-\-В мы прове-
дем, используя прием, который впервые в подобной ситуации при-
менял фон Нейман.
Мы докажем сначала, что оператор
$0=22-(/ + (Д+В))-1
является эрмитовым, откуда на основании одной из теорем фон
Неймана (ср. гл. VI) будет вытекать, что оператор / + (Л + ^)
является самосопряженным, а поэтому также самосопряженным
является оператор А 4- В = (/ + (4 #)) — I*
29 К» Морен
450	Гл. XIX. Теория гармонических полей
Покажем, что S = Sj °= (/ -|- Л)-1-|-(/ 4-В)-1 — /; действительно,
принимая во внимание, что
АВ = d$ (б?о бо ) 6о = 0
(ср. лемму 1), имеем
Л51 = Л(7 + Л)-1 + Л((7 + В)"1-/) =
=/—(/+Л)"1 — ав (I+ву1 = I—(7 4- Л)"1.
Аналогично
а поэтому
(/ + Л + В)51 = 51 + /-(/+Л)-1 + /-(/+В)",=
= (/-|-Л)-1 + (/+В)-1-/+/-(/+Л)-1 +
+/_(/ + В)-1 = /.
Ввиду того что оператор + обрдтим, имеем 5 = 5Х =
= (/4-Л)"1 + (/ + В)“1 — L Однако операторы (/ + Л)-1, (/ + В)""1
эрмитовы, а следовательно, оператор S1 = S также эрмитов, что и
требовалось доказать.
Оператор Д' обладает важным свойством, которое описывает сле-
дующая лемма.
Лемма 2. Если pv->P и A'pv->A'pv, то 6opv~>6oP и doPv->tfoP
Доказательство. Наше утверждение вытекает немедленно из
равенства
(Д pv, pv) = (d?o doPv, Pv) + (бо 6oPv» Pv) = II ^Opv II + II 6oPv II
J* X*
и из того, что операторы Uq и Оо замкнуты.
Лемма 3. При />0 и	имеем
=	(4.5)
Доказательство. Ввиду того что
1е-‘ д'а = —Д'е-'Д'а,
at
при а^О(Д') имеем
(Д'е-<д'а) = ^Ле~^' Д'а) = — Д' (Д'е-^Д' а) = Д' (е-'д' а).
air ’	'	ат
§ 4. Теоремы Кодаиры и Гаффни
451
На основании леммы 2
«)=i к'4'«)=Й	а=
=д!(«+ «)г'4,а=*Г(*-'4'а).
что и требовалось доказать.
Пусть ф/°— 6ое"/Л а; если а£.£)(А')> то А'е-/А'а-> А'а, t —>-1-О,
а поэтому опять на основании леммы 2
ф/ = б^~/д а-> боа при £->4-0.	(4.6)
Расширим положительный симметрический оператор бобо* до поло-
жительного самосопряженного опер^ора Д = Д*г)бобо*. Из формул
(4.5) и (4.6) вытекает, что поле ф/ = 6о^”/Л а при а£О(д), £>0
удовлетворяет дифференциальному уравнению d^Jdt = Лф* и началь-
ному условию фо==бо^> а следовательно, в силу единственности реше-
ния задачи Коши (ср. гл. XVII) имеем
Ф/ =	« = *"Мфо = £~MdjJa.	(4.7)
Из формулы (4.7) получаем важное следствие.
Следствие (Гаффни). Если поле а безвихревое и a£D (А'),
то при поля а/ = е~/д'а тоже являются безвихревыми.
(Заметим, что б0=)б/, где оператор d задан на таких полях а£ф,
что ]| tfa|( < оо; поле а называется безвихревым, если da = 0; для без-
вихревых полей имеем 0 = da = боа.) Ввиду того что а, £ D (d) (ср.
гл. XVII), поле г“/Л а является безвихревым: de~^' а = бо$”*д а =
= 0, что и требовалось доказать.
Для безвихревых полей можно ввести понятие периода.
Определение. Если Z — компактный цикл, аф — безвихревое
поле, то число (ф, z} называется периодом поля на цикле Z.
Напомним, что в случае, когда поле имеет степень р,
<ф.	= 1 Jcpvi... Vpdxv« • v₽.
z
Теперь мы можем доказать важную теорему.
Теорема 2 (Гаффни). Если а—безвихревое поле и a£D(A'),
то все поля
а/ = в“‘/д'а,
являются безвихревыми и имеют один и тот же период.
Доказательство. Как доказал Кодаира, компактному циклу Z
можно поставить в соответствие такое поле £ (с компактным носи-
телем), что для всех безвихревых полей р (степени р) имеет место
29*
452
Гл. XIX. Теория гармонических полей
тождество
<р, Z) = (p, £).	(4.8)
в
По следствию, поляа/ = е~/Л/а безвихревые. Используя непрерыв-
ность скалярного произведения, получаем
Я	0 = (йе-'14 ?) =
= —(Д'е-^'а, £) = —(Д'е-'д'а, Z) = 0; (4.9)
действительно,
Д'е-^ а = (/о*^*в-<л а4-6о*6ов-<А'а = ^о*(^ов-/Л а) = </(бе-/л а),
откуда, применяя обобщенную теорему Стокса, получаем
,	(Д'е-/Д'а, Z) = (d(6e-M'а), Z) = (e_<A'а, dZ) = O
[при t > 0, а££>(Д') поля е_/д'а как решения параболического
уравнения регулярны, поэтому оператор do можно заменить опе-
ратором d, а оператор do — оператором д].
Из (4.9) заключаем, что ( £_/д'а, Z) не зависит от t. Кроме
того,
(е_/А'а, Z) = GHA'a, £)->(<*. 0 = <а, Z), /-> + 0. (4.10)
В соответствии с теоремой Лебега о предельном переходе под
знаком интеграла
az = e"/A'a->aoo = P@a, /~>оо.	(4.11)
Формулы (4.8) — (4.11) составляют утверждение теоремы.
Теорема 2 является обобщением теоремы Кодаиры: опера-
тор сохраняет периоды полей на компактных циклах.
Таким образом, для того чтобы доказать существование гармони-
ческих полей с заданными периодами, достаточно доказать существо-
вание полей с заданными периодами. Как мы увидим в следующем
параграфе, эта проблема была решена де Рамом в случае компактных
многообразий.
§ 5.	Гармонические поля на компактных многообразиях
В случае компактных многообразий из последней теоремы преды-
дущего параграфа вытекает знаменитая теорема Ходжа.
Теорема 1 (Ходж). На компактном многообразии суще-
ствуют гармонические поля с наперед заданными периодами.
Прежде чем переходить к доказательству, заметим, что до настоя-
щего времени мы не доказали существования нетривиальных гармони-
ческих полей. Теорема Ходжа, являющаяся центральным пунктом по-
§ 6. Заключительные замечания
453
строенной им теории, показывает не только то, что эта теория не
является беспредметной (не висит в пустоте), но и то, что существует
„много" гармонических полей: настолько много, что можно строить
поля с заданными периодами.
Доказательство теоремы Ходжа вытекает из первой теоремы
Кодаиры, а также из так называемой первой теоремы де Рама,
утверждающей, что на компактных (не обязательно римановых)
дефференцируемых многообразиях существуют безвихревые
поля с заданными периодами.
Ввиду того что оператор Л = 6б?4-б?д образует сильно эллипти-
ческую систему, на основании заключительного § 8 замечания гл. XIII
можно высказать следующее утверждение.
Теорема 2 (Ходж). Если Qn— компактное многообразие,
то существует конечное число линейно независимых гармони-
ческих полей
О < dim ®р < сю, р = 0, 1, п.
Эта теорема наводит на мысль о том, что гармонические поля
тесно связаны с топологией многообразия. Действительно, имеет место
следующая интересная теорема.
Теорема 3 (Ходж). Группы гомологий и когомологий
(с вещественными коэффициентами) компактного многообразия
изоморфны с соответствующими пространствами гармониче-
ских полей. Точнее:
ВР(£2Л)^6Р, *ЯР(ЙЛ)^®Р.
Доказательство. Из четвертой теоремы Кодаиры вытекает
аз?=р-з?/С->=ер,	(•)
В соответствии с известной теоремой де Рама имеют место изомор-
физмы
ВР (Q„) S $?,	*ВР (Q„) s *®?	(**)
(эти изоморфизмы поясняют происхождение терминов: поле, когомо-
логичное нулю, и поле, гомологичное нулю).
Объединяя соотношения (*) и (**), получаем утверждение теоремы.
Как вытекает из второй и третьей теорем Ходжа, число линейно
независимых гармонических полей степени р равно р-му числу Бетти
компактного многообразия.
§ 6.	Заключительные замечания
Так как на каждом дифференцируемом многообразии можно ввести
риманову метрику, то на дифференцируемых многообразиях можно
определить гармонические поля и с их помощью построить теорию
454	гл XIX. Теория гармонических полей
гомологии. По мнению Г. Вейля, это самый простой подход к теории
гомологии дифференцируемых многообразий. Я не знаю, является, ли
этот подход действительно наиболее простым, однако, как показали
последние исследования Кодаиры, Д. Спенсера, Ходжа и других*
с уверенностью можно утверждать, что именно с помощью гармони-
ческих полей удалось получить ряд внушительных результатов по*
теории вещественных и комплексных дифференцируемых многообра-
зий; в частности, решен ряд весьма важных проблем по теории алге-
браических многообразий.
Каждому антисимметрическому тензорному полю фр (х) = ф01 .. &р (*>
можно поставить в соответствие (внешнюю) дифференциальную форму
фр<->фр =	2	4>a....aodX ' ...dxP
«!<•••<«₽
Формы, соответствующие гармоническим полям, называются гармо-
ническими. Можно ввести скалярное произведение форм, дифферен-
цирование и т. д., аналогично тому, как это было сделано для тен-
зорных полей. Поэтому, вместо того чтобы говорить о гармонических
полях, можно говорить о гармонических формах. Интеграл, под зна-
ком которого находится гармоническая форма, называется гармони-
ческим интегралом. Создатель теории гармонических полей В. Ходж
озаглавил свою классическую монографию «The theory and applications,
of harmonic integrals» «Теория и применения гармонических интегра-
лов», по-видимому, по той причине, что эта теория возникла как
обобщение интегралов на римановых поверхностях на случай произ-
вольных (компактных) римановых многообразий.
§ 7.	Некоторые приложения теории гармонических
полей к исследованию компактных римановых многообразий
В качестве применения теории гармонических полей мы рассмот-
рим замечательную теорему Бохнера, указывающую на глубокую
связь между кривизной Риччи и числами Бетти. Бохнер заметил, что
следующая элементарная теорема Э. Хопфа, относящаяся к теории
эллиптических уравнений, имеет далеко идущие следствия в римано-
вой геометрии.
Теорема (Хопф). Если на компактном римановом много-
образии Qn функция <р£С2(2л) удовлетворяет неравенству
W—jJT4-Az(x)^>0, где (gik) = (g 1к)~\ а
дх} дх“	дх1
hl — некоторые непрерывные коэффициенты, то <р = const на
многообразии Rn.
Следовательно, в частности, верна следующая лемма.
§ 7. Приложения теории
455
Лемма (Бохнер). Если функция q удовлетворяет неравен-
ству Дф = gM<p,	гд# ф/й — вторые ковариантные про-
изводные, то ф = const и Дф = 0.
Прежде чем переходить к формулировке теоремы Бохнера, на-
помним несколько основных понятий римановой геометрии.
Тензором Римана — Кристофеля называется выражение
Jkl dxAjk]	IsZf — \jl J W’
здесь употребляется обычное соглашение относительно записи суммы
( Z ) is I dgsj t d&sk_____\
и (jk J 1g \ dxk ' dxj ~dx° / ’
С помощью свертывания относительно Z, Z получаем так назы-
ваемый тензор Риччи Rjk = Rsjks и кривизну R —’ gjkRjk-
Имеет место важное тождество Риччи для вторых ковариантных
производных ковариантного поля
I/, ь,1 —	= — hRljki*	(7.1)
Единичному вектору V соответствует важный инвариант — так
называемая кривизна Риччи RjkVKk, (Можно доказать, хотя нам это
не потребуется, что сумма кривизн Риччи относительно п ортого-
нальных единичных векторов равна R.)
Предположим, что поле gik принадлежит классу С2. Пусть (£z) —
О	Z”*9	ОПр. • о
произвольное векторное поле на класса С2; положим ф =
(^1 = gij&). После простых вычислений находим
Дф = 2(Г
где °= ^vg-v-\ a g‘v— ковариантная производная поля
Но V’ ‘Ч/, j=gKKSabla,% %>ь, к является положительно определенной
формой переменных а поэтому, если поле удовлетворяет
уравнению вида
и если имеет место неравенство	то
Дф = 2^’+ по-
следовательно, на основании леммы Бохнера имеем
j + Т— 0 (параллельное поле).
Поэтому
|/;> = 0, т. е. 7^ = 0.	(7.2)
456
Гл. XIX. Теория гармонических полей
Если тензор положительно определен, то
V = 0.	(7.3)
Положим Titj = Rij и воспользуемся полученным результатом. С этой
целью из тождества Риччи найдем
£/, ъ, с — di, Ь — b, i)c — Ь, с, i = — ^aRa,bic-
Умножая предыдущее равенство на gbc, получаем
gbCli. b, с - gbC (li, b - lb. i)c - 1%. I = W-
Таким образом, если поле £z удовлетворяет уравнению
+	=	(7.4)
то оно удовлетворяет также уравнению
Л, Л , =	(7-5)
Мы пришли к важному предложению.
Следствие. Если на компактном римановом многообра-
зии существует векторное поле (V), удовлетворяющее
условию (7.4), и если	то £z>y = 0 и автоматически
R^^ — 0 (кривизна Риччи равна нулю). В частности, если
многообразие Rn имеет положительную кривизну Риччи, то
на нем не существует векторных полей, удовлетворяющих
условию (7.4) и не равных нулю тождественно.
Как нам известно, на гармонических векторных полях gz опера-
торы d и б аннулируются, так что
и Ц=°-
Поэтому такие поля удовлетворяют условию (7.4); таким обра-
зом, мы доказали следующую теорему.
Теорема (Бохнер). Если на компактном римановом мно-
гообразии гармоническое поле удовлетворяет условию
то 1^ = 0 и = 0.
В частности, если многообразие обладает положительно опре-
деленной кривизной Риччи, то на Qn не существует отличных от
нуля гармонических полей, а поэтому в силу теоремы Ходжа,
если Qn — ориентированное многообразие, то его первое число
Бетти равно нулю.
Дальнейшие глубокие теоремы, касающиеся интегральных свойств
компактных римановых многообразий, например теоремы о существо-
вании однопараметрических групп движения, связи кривизны Риччи
с числами Бетти и др., читатель найдет в интересной и доступно
написанной монографии К. Яно и С. Бохнера [1].
ГЛАВА XX
Эргодическая теория
Параграф 1 имеет своей целью выяснение происхождения эрго-
дической теории: в нем излагается (квази)эргодическая гипотеза
Больцмана — Эренфеста. В § 2 вводится понятие потока, метриче-
ской транзитивности и эргодичности потока, а также формулируется
статистическая эргодическая теорема фон Неймана. Параграф 3 по-
священ доказательству эргодической теоремы, опирающемуся на тео-
рию однопараметрических групп унитарных преобразований. В § 4
излагается замечательное доказательство Ф. Рисса эргодической
теоремы, показывающее ее близкую связь с методом ортогональной
проекции. В § 5 мы приводим эргодическую теорему Иосида — Ка-
кутани, охватывающую ряд других эргодических теорем. Глава за-
канчивается доказательством теоремы Крылова — Боголюбова о су-
ществовании инвариантных мер в компактных динамических систе-
мах (§ 6).
§ 1. О (квази)эргодической гипотезе в статистической механике
В этой главе мы рассмотрим ряд важных применений методов
гильбертова пространства к эргодической теории (компактных) динами-
ческих систем. Для того чтобы читатель понял связь теорем § 3—5
с так называемой эргодической гипотезой Больцмана (вернее с квази-
эргодической гипотезой Эренфеста), мы напомним некоторые по-
нятия статистической механики, из которых возникла замечательная
абстрактная теория, имеющая в настоящее время (на первый взгляд)
мало общего с физикой и называемая эргодической теорией.
Состояние механической системы, состоящей из W материальных
точек, определяется точкой в бАЛмерном фазовом простран-
стве (ql, р^. Движение описывается интегралами системы уравнений
Гамильтона
dql	дН (q, р) dpj	dH(q, р)
dt dpt	’ dt	dqi
являющимися кривыми (траекториями) в фазовом пространстве. В стати-
стической механике рассматривают большое число таких систем,
обладающих одинаковой функцией Гамильтона Н (q, р). Множество
(Z, /=1, ..., ЗАП, (Н)
458
Гл. XX. Эргодическая теория
систем можно мыслить как множество точек в фазовом пространстве,
и если их рассматривать как „фазовую жидкость", движение которой
описывает изменение систем, то ее бМ-мерная скорость
имеет в силу уравнений Гамильтона (Н) дивергенцию, равную нулю,
div v = 0. Следовательно, „фазовая жидкость" является несжимаемой.
Другими словами, можно сказать, что однопараметрическая группа
канонических преобразований Tt, определяющих движение
pft(/o)) = (^(^o + 0.	+
сохраняет меру (объем) в фазовом пространстве.
В частности, если множество состоит из замкнутых систем,
то движение фазовых точек происходит исключительно на гиперпо-
верхности R-.H(qt /?)==£ = const. На этой поверхности постоянной
полной энергии можно ввести инвариантную меру
||gra~d#(x)ll ’ * = P^R'
где do — элемент объема в фазовом пространстве.
Физики называют замкнутую систему (квази) эргодической, если
траектория точки, представляющей эту систему, плотна в R. В ста-
тистической механике предполагают, что некоторые системы (напри-
мер, газы) являются эргодическими (так называемая эргодическая
гипотеза), для того чтобы можно было заменить среднее по вре-
мени (в бесконечно большом интервале времени) для одной системы
пространственным средним по большому числу систем в один и тот же
момент.
Таким образом, статистическая механика имеет дело с траекто-
риями однопараметрической группы преобразований компактного
метрического пространства /?, сохраняющих меру подмножеств про-
странства R.
§ 2. Метрическая транзитивность и эргодичность потока.
Эргодическая теорема фон Неймана
Динамической системой называют однопараметрическую непре-
рывную группу (7\) преобразований метрического пространства R
(в дальнейшем мы ограничиваемся случаем компактного простран-
ства R) на себя:
TtR = R, — оо < t < оо,
и
T.Tt = ТТ = Т-,
очевидно, TQ~J (1 — тождественное преобразование).
§ 2. Теорема фон Неймана
459
Динамическая система называется потоком (несжимаемой жид-
кости), если в пространстве R определена мера р.» инвариантная
относительно группы Tt\ это означает, что для каждого р-измери-
мого подмножества А пространства R равенство
ц(^Д)=р(Л)	(2.1)
выполняется для всех t£El.
Пронормируем меру ц так, чтобы р (/?) = 1 (ср. определение
инвариантной меры на топологических группах, см. Дополнение II),
Как заметил Купмен, соотношение (2.1) можно сформулировать
в терминах функциональных пространств. Если /, g£L2(JR). то,
полагая
(Utf)(x)^f(Ttx),
будем иметь
(/. g) = //(*)Л^)Ф= f ^tf(.x)U^g(x')dii, = (Utf, Utg),
R	R
ибо в обоих интегралах лебеговские аппроксимационные суммы
являются одинаковыми (в силу инвариантности меры). Таким обра-
зом, группе (Tz) соответствует однопараметрическая группа унитарных
преобразований пространства £2(/?). Обычно параметр t истолко-
вывают как „время".
Теперь мы можем сформулировать следующую важную теорему,
доказательство которой будет приведено в следующем параграфе.
Статистическая эргодическая.теорема (фон Ней-
ман [3]). Для каждой функции f£L2(R) существует среднее
по времени f* [в смысле средней сходимости в L2{R)\x
1° lim
(Г—5)->оо
т=з- 7
S
= 0
или. записывая это по-другому.
т
1. i. m. (Т —S)"1 f f(Ttx)dt = f(x)-,
О
2° среднее f* инвариантно относительно группы (Tfr.
utf=r.
3° среднее f* однозначно определяется тождеством (f.
s(/*, h). имеющим место для каждой инвариантной функции
h*.Uth — h*. иными словами, f*— проекция f на подпростран-
ство инвариантных функций.
460
Гл. XX. Эргодическая теория
Замечание. Прежде чем переходить к доказательству этой
теоремы, заметим, что в п. 2° утверждается постоянство средней по
времени /* вдоль траекторий Тtx : /* (Т tx) == /* (х); другими сло-
вами, /* является „первым интегралом" динамической системы.
Определение. Поток Tt называется эргодическим, если для
каждой функции f£L2(R) ее среднее по времени является постоян-
ным (почти всюду в /?).
Если в качестве f взять характеристическую функцию множества
т
А : /=%л, то J Хд(Лх)^ означает время (количество мгновений)
s
пребывания точки 7\х в множестве А за интервал времени (S, Г).
Следовательно,
т
Т J* Ха dt
s
означает среднее время пребывания точки Ttx в множестве А за
этот же интервал времени (ST). В применении к характеристическим
функциям п. 1° теоремы фон Неймана означает, что существует
среднее время пребывания в каждом измеримом множестве. Если
поток эргодичен, то точка Т^х находится в множестве А „в среднем
одинаково долго". Употребляя физическую интерпретацию, мы можем
сказать, что каждая частица (материальная точка), как правило, на-
ходится в множестве А одинаково долго. Легко вычислить, как долго
в среднем каждая такая частица находится в множестве А, ибо
(ц (/?)=!):
4 = const = f 7*Adn= J
R	R
1. i. m.
(Г—5)->oo
ф (x) =
T
= 1. i. m. --Ч f ( f %A(T(x)dp(x)\dt==p(A).
(T-S) + co 1	° У I /	I
Следовательно, в случае эргодического потока каждая частица на-
ходится в множестве А в среднем так долго, как велика мера этого
множества. Таким образом, мы получили первую связь со статисти-
ческой теорией Больцмана (ср. § 1).
Для того чтобы понятие эргодичности сделать более доступным,
введем более наглядное понятие (метрической) транзитивности.
Определение. Поток называется транзитивным (неразло-
жимым), если единственными множествами AczR, инвариантными
относительно потока (т. е. такими, что TtA = А для всех t), являются
§ 2. Теорема фон Неймана
461
множества нулевой или полной р-меры:
либо ц (Д) = 0, либо ц (/? — А) — 0.
Применяя „физическую" терминологию, можно сказать, что поток
является транзитивным, если не существует таких „настоящих" частей А
множества /?, в которых жидкость кружит, не попадая в остальные
части пространства.
Заметим, что инвариантность множества А означает в терминах
функционального пространства инвариантность его характеристиче-
ской функции
U&A = Ха- т- е- Хд (Тtx) == Ха (*)•
п.в.
В обычных механических потоках линия тока, проходящая через
точку х (т. е. множество {у : у = Т(х, t^E1]), называется тран-
зитивной линией, если она лежит всюду плотно в /?. Легко дока-
зать (см. Хопф [1], стр. 29), что если поток является транзи-
тивным, то для почти всех точек x£R проходящие через
них линии тока являются тразитивными (читатель заметит
близость понятия транзитивности потока с понятием квазиэргодич-
ности в смысле Эренфеста).
Оказывается, что транзитивность эквивалентна эргодичности.
Таким образом, мы получили вторую связь со статистической меха-
никой Больцмана.
Транзитивные потоки характеризует следующая лемма.
Лемма. Транзитивность потока эквивалентна тому, что
единственными инвариантными функциями являются постоян-
ные. В терминах дифференциальных уравнений это означает,
что транзитивные динамические системы обладают только
тривиальными (постоянными) первыми интегралами.
Доказательство. Если функция / является инвариантной,
/(Т^х) = /(х), то множество Аа={х : f(x)^a] является, очевидно,
п.в.
инвариантным для каждого а; аналогично множество Ва — {х : f (х) <
< а} тоже инвариантно; но = Таким образом, для каж-
дого а £ Е1 мы имеем разложение Аа U Ва = R и в силу транзитив-
ности потока одно из множеств Аа или Ва имеет меру нуль, т. е.
почти всюду f(x) — const. Обращая это рассуждение, получаем то,
что утверждалось.
Т е о р ем а (фон Нейман). Т ранзитивность эквивалентна
эргодичности.
Доказательство. Предположим, что поток является транзи-
тивным. Тогда инвариантные функции, в частности средние по вре-
мени, постоянны, а, следовательно, поток является эргодичным.
462
Гл. XX. Эргодическая теория
Докажем обратное утверждение. Пусть f — инвариантная функ-
ция / (Ttx) = / (х); тогда
т	т	т
уДу fff dt = f(x).
s	s	s
Переходя здесь к пределу, заключаем, что инвариантная функция
равна своей средней по времени. Поэтому если поток эргодичен,
т. е. средние по времени постоянны, то постоянными являются все
инвариантные функции и в силу леммы поток является транзитивным.
§ 3. Доказательство эргодической теоремы
Так как поток представляет собой однопараметрическую группу
унитарных преобразований, то напрашивается применение теоремы
Стоуна. И действительно, первое доказательство статистической эрго-
дической теоремы было получено на этом пути. Позже мы ознако-
мимся с другими доказательствами этой теоремы.
Доказательство. Пусть
оо
l/( =
— ОО
— спектральное представление группы (£7Д
Положим
М (S, Т, 1) = f el*dt.
1 — о J
S
M(S,	utfdi.
s
Последний интеграл, очевидно, следует понимать как сильный инте-
грал (функция Utf сильно непрерывна) от функции параметра t со
значениями в гильбертовом пространстве £2(/?).
Имеем
Т оо
Af(S. Т’)/ = 7-1т f dt f eltldE(k)f=s
S	— oo
Г	оо
J eludt dEQ.)f —	T', X)dF(X)/.
S	Л	_-oq
Однако
lim Л1(5, T, X) = e(X) = f 1 ПрИ K~~°’
(Г-S)->00	( 0 при X 0.
§ 4. «Непосредственное» доказательство	463
Ввиду того что имеет место неравенство | М (S, Т, X)— е(А,) | <2,
на основании теоремы Лебега о предельном переходе под знаком
интеграла находим
оо
||[Л4(5, Г) — £01 / II2 =	Т, X) —e(%)|2||dB(X)/||2->0,
—ОО
(Т —5)~>оо.
Итак, для каждого элемента f £L2 (R) имеем М (S, Т) f -> Ео/ °= /*.
Однако
U tf = U tE.f = ад/ = IE.f = /*.
[Здесь мы воспользовались непрерывностью функции Ut\ напомним,
что Eq — Е(О) — Е(—0).] Таким образом, доказаны п. Г и 2° ста-
тистической эргодической теоремы. Пусть теперь h — Uth\ имеехМ
(/*. Л) = (£/^ /*, h) = (U_t EQf, h) = (EQf, Uth) = (f. EQh) = (J9 h)
для каждой инвариантной функции, ибо, как мы знаем, h*=EQh=h.
Таким образом, доказательство эргодической теоремы закончено.
§ 4. „Непосредственное" доказательство эргодической теоремы
В предыдущих параграфах мы рассматривали потоки, т. е. одно-
параметрические группы преобразований (компактного) множества R
на себя, сохраняющие меру. В последнее время изучают также ци-
клические группы (Тп) таких отображений. По словам Хопфа, „мо-
делью такого математического процесса может служить замешивание
теста" — очевидно, после того, как тесто уже настолько вымешано,
что его объем сохраняется. От такого „дискретного" случая нетрудно
перейти к однопараметрической группе (см., например, Хопф [1]).
После ознакомления с предыдущими параграфами нас не удивит
следующая абстрактная формулировка статистической эргодической
теоремы.
Теорема. Если U — унитарное преобразование гильбер-
това пространства ф, то средние арифметические произволь-
ного элемента
M(j>. яУ -
k=p
сходятся (сильно) при (q — р)~+оо к элементу /*£$, инва-
риантному относительно'преобразования U> —
Доказательство (по Ф. Рисе у). Обозначим совокупность
неподвижных точек оператора U через фр = {/i: UJ\ = /;}.
464
Гл. XX. Эргодическая теория
В качестве второго подпространства ф2 мы возьмем множество
всех элементов вида g— Ug и их сильных пределов. Это означает,
что / € тог'па и только тогда, когда для каждого е > 0 суще-
ствуют такие элементы g и g', что
f=g — Ug + g'> причем || g' || <е.	(*)
Докажем, что 1° Ф2 = §©Ф1 и чт0 2° Л1(р, ^)/2->0 при
(<? — Р)->°о и /2€£2. Очевидно, М(р, q)fr — fv если
Если / = /!+/,, то М(р, q)f = M(p, q)fx + M(j), q)/2->
<7)/2 = /2 = /*. Другими словами, среднюю f* мы можем
получить как ортогональную проекцию элемента f на подпростран-
ство инвариантных векторов f* — fx=Pf, где Р — оператор орто-
гонального проектирования на подпространство инвариантных эле-
ментов фр Как мы видим, эргодическая теорема тесно связана
с методом ортогональных проекций, который был рассмотрен в гл.
XIII и XV. По этой причине Иосида метко назвал свой метод дока-
зательства второй теоремы Ходжа, касающейся гармонических полей,
„стохастическим" доказательством.
После этих замечаний переходим к доказательству п. 2°. Если
/2^ ф2, то в СИЛУ соотношения (*) имеем
^-1	0-1
М(р. 4}f2 = j±1^U\g-Ug)+-^'^iUkg' =
k-p	k-p
0-1
k=p
а поэтому, так как || Ug> ||	|| g' || < е,
IIW. ?) AII <-7=^-+е
и при достаточно больших значениях q — р
Ц41(р, 9)/2||<2е,
т. е.
^(р> ^)/2->0. (9 —р)->оо,
что и требовалось доказать.
Доказательство ортогональности подпространств ф2 и ^1 весьма
просто, а именно мы докажем, что множество элементов h, ортого-
нальных элементам вида g—Ug, совпадает с множеством элементов,
инвариантных относительно оператора £/* = 17~1, а тем самым также
относительно оператора U, так что это множество тождественно
с подпространством фР Но так как множество элементов вида g—Ug
плотно в подпространстве ф2, то на этом доказательство будет закон-
§ 5. Теорема Иосида — Какутани	465
чено. Очевидно, 0 = (/z, g— U g) = (Ji — U*h, g), т. e. U*h~h, что
и требовалось доказать.
Замечание. Как видно из хода доказательства, мы пользова-
лись только следующими свойствами унитарного оператора U:
а) оператор U линеен и =
Р) операторы U и U* имеют одинаковые инвариантные элементы;
Y) II Uf II II / II (оператор U не увеличивает норму).
Легко убедиться, что условие р) является излишним. Действительно,
предположим, что выполняются только условия а) и у), следовательно,
имеем || 171|	1, ||£/*||<^1. Если f — Uf, то
II / II2 = (/. /) = «7/. /) = (/. и*Г) <11/11II u*f II < II / II2.
а поэтому (/, U*f) = ||/1|  ||£/*/П и 11^711 = 11/11. откуда
||/-tr/||2 = ||/||2-(/, tT/)-(£/*/, /) +1| U*f ||2 = о,
т. е. U*f = f, что и требовалось доказать.
Следствие (теорема Ф. Рисса). Эргодическая теорема
имеет место для линейных не растягивающих отоб ражений
пространства ф в себя.
§ 5. Эргодическая теорема Иосида — Какутани
Ввиду большой важности эргодических теорем мы приведем здесь
доказательство „обычной эргодической теоремы" в банаховом про-
странстве, охватывающей теоремы предыдущих параграфов, а также
ряд других эргодических теорем. Этой теоремой мы обязаны Иосида
и Какутани [1], применившим ее к изучению процессов Маркова.
Для того чтобы потом не отвлекаться, приведем сначала две про-
стые леммы, касающиеся слабой сходимости.
Лемма 1. Линейный ограниченный оператор Т отображает
слабо сходящиеся последовательности в слабо сходящиеся
последовательности*, если хп—^х, п->оо, то Тхп—^Тх, п~~>оо.
Доказательство. Пусть х* — произвольный элемент сопря-
женного пространства Х*\ имеем
{Тхп — Тх, х*) = (Т(хя —х), х*) = (хл —х, Гх*)->0, п->оо,
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Каждое подпространство Хх банахова прост-
ранства X является слабо замкнутым.
Доказательство. Пусть (хл)^°— последовательность элемен-
тов пространства Xv и пусть хп-^х. Предположим, что х^Х^.
30 К- Морей
466
Гл. XX. Эргодическая теория
Так как Хг — замкнутое множество, то расстояние точки х от мно-
жества Хг является положительным числом: d (х, Хг) = d > 0. На
основании следствия из теоремы Хана — Банаха заключаем, что суще-
ствует такой линейный функционал х*, что
(х, х*) = d, (хл, х*) = 0, п = 1, 2, ... .
Таким образом, 0 = Ит(хл, х*) — (х, х*) == d > 0. Мы пришли
к противоречию, и лемма доказана.
Сформулируем теперь теорему Иосида — Какутани.
Теорема (Иосида и Какутани). Пусть Т — линейное
преобразование банахова пространства X в себя. удовлетво-
ряющее следующим условиям:
1° существует такая постоянная С > 0, что || Тп || < С при
п= 1, 2, ... ;
п
2° для каждого х£Х последовательность хл —‘Tkx
k
содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к эле-
менту х£Х.
В этих предположениях последовательность (хл) сильно
сходится к элементу х, а соотношение Рх — х определяет
ограниченный проекционный оператор Р, проектирующий на
подпространство инвариантных элементов оператора
Т :Тх — х. Таким образом,
РТ = ТР = Р2 = Р, ||Р|| < С.	(5.1)
Доказательство. Пусть х £ X. В силу условия 2° суще-
ствует подпоследовательность (xrtv), v=l, 2, ... последователь-
ности (хл), слабо сходящаяся к некоторой точке х£Х. Докажем,
что х является инвариантным элементом, т. е.
Тх = х.	(5.2)
Имеем
л+1	п
_1||(Г+1-Т)х||<-^-||х||.	(5-3)
Так как хЛу~^х, то на основании леммы 1 Txnv-^Tx. Полагая
в соотношениях (5.3) n = nv и переходя к пределу при v—>оо, по-
лучаем соотношение (5.2). (Мы воспользовались следующим триви-
альным обстоятельством: если уп—^у и ||ул||->0, то у = 0.)
§ 5. Теорема Иосида — Какутани	467
Теперь мы докажем, что последовательность хп сходится сильно
к элементу х. С этой целью разложим вектор х на две составляю-
щие: х —	— х). В силу соотношения (5.2) имеем
п
хп = х+^£тк(х — х).	(5.4)
Следовательно, для того чтобы получить наше утверждение, доста-
точно доказать, что последовательность элементов
п
L^T\x-x)
сильно сходится к нулю при п->оо. Обозначим через Хх подпро-
странство, являющееся замыканием множества значений оператора
I — Т. В силу леммы 2 множество Хг слабо замкнуто. Так как
(Л \
Л«1	/
то х — x£Xv
Следовательно, наше утверждение будет доказано, если мы убедимся
п
в том, что ~	Тку -»0 при л->со для каждого	Рассмо-
Л=1
трим сначала частный случай: пусть у принадлежит области значений
оператора / — Т, т. е. имеет вид y — z— Tz.
В этом случае имеем
п
п
Й = 1
Л=1
•С-Т- 1И1 ->о.
п->оо.
Пусть теперь у — произвольный элемент подпространства Х1 =
= (/—Т)Х. Для каждого е > 0 существует такой элемент у'=У—
— Tz't что || у — у' || < е. Для такого элемента у' имеет место соот-
ношение
п
п
30*
468
Гл. XX. Эргодическая теория
Однако, как мы только что убедились, первое слагаемое в правой
п
части стремится к нулю, а поэтому — Tky -> 0 при п—>оо для
а=1
каждого	Таким образом, доказательство рассматриваемого
утверждения закончено,
опр. —
Положим теперь Рх = х. Оператор Р является, очевидно, ли-
нейным, и его норма удовлетворяет условию ||Р||<;С. Так как
Тх = х для всех хл, то ТР = Р, откуда ТпР = Р, а поэтому
п
~ ТпР — Р при п=1, 2............Отсюда вытекает, что Р2 = Р.
Для того чтобы доказать соотношение РТ=Р, заметим, что
п	п
^ТЧТх)-^Тьх
а=1	/г=1
Левая часть последнего неравенства имеет при п—>оо предел
ЦРТх — Рх ||, а правая — нуль. Поэтому РТх = Рх для всех х £ X.
Таким образом, доказательство теоремы Иосида — Какутани закон-
чено.
Заметим, что только что доказанная теорема является далеко
идущим обобщением теоремы Ф. Рисса, изложенной в § 4. Действи-
тельно, можно высказать следующее утверждение, принадлежащее
Иосида [5].
Следствие. Если Т является линейным слабо вполне не-
прерывным оператором в банаховом пространстве X (т. е.
оператор Т преобразует тар в слабо предкомпактное мно-
жество) и если, хроме того, существует такая постоянная
С > 0, что || Tk || < С при й=1, 2, то последовательность
п
сильно сходится к ограниченному проекционному опе-
ратору, удовлетворяющему условию (5.1).
Как нам известно (ср. § 6, гл. VII), в рефлексивном банаховом
пространстве, в частности в гильбертовом пространстве и простран-
ствах Lpt р>1, ограниченный оператор является слабо вполне не-
прерывным, ибо в таких пространствах шар слабо компактен. Сле-
довательно, в рефлексивных банаховых пространствах эргодическая
теорема имеет место для ограниченных операторов с нормой
Таким образом, последнее следствие действительно является обобще-
нием теоремы Ф. Рисса.
В 1952 г. М. Альтман распространил теорему Иосида на общие
локально выпуклые пространства.
§ 6. Инвариантная мера
469
§ 6. Существование инвариантной меры на компактных
динамических системах
В рассуждениях § 2 и 3 мы предполагали, что на динамической
системе существует нормированная инвариантная мера. В случае дина-
мической системы, заданной с помощью дифференциальных уравне-
ний Гамильтона, такая мера действительно существует. Однако этот
факт не является очевидным для общих компактных динамических
систем.
Крылов и Боголюбов доказали, что для компактной динами-
ческой системы существует нормированная инвариантная
мера, благодаря чему к таким системам можно применять эргодиче-
ские теоремы.
Ввиду фундаментального значения этого факта мы приведем здесь
идею доказательства. Мы ограничимся случаем одного преобразова-
ния Т (а не группы 7\).
В силу теоремы Радона — Ф. Рисса мерам на компактном простран-
стве R взаимно однозначно соответствуют линейные положительные
функционалы, заданные на пространстве C(R) непрерывных на R
функций, причем норма функции / определена следующим образом:
||/||==тах|/(х)|. Это соответствие дается формулой
x^R
=	/(1) = р|х=1.
R	R
Прибегая к терминологии функционального анализа, можно сказать,
что пространство, сопряженное к пространству С(/?), является про-
странством мер Радона. Инвариантной мере (р (ТА) = р (Д)) соот-
ветствует инвариантный функционал	где U — отобра-
жение пространства С(/?), соответствующее отображению Т множе-
ства R:
Uf(x^f(Tx)
Таким образом, вместо того чтобы доказывать существование инва-
риантной нормированной меры, достаточно доказать существование
линейного положительного и нормированного инвариантного функ-
ционала.
Доказательство. Пусть
и
а»(/. х. k)°^ ^f(Tlx), Л = 1. 2..............
Г=1
Рассмотрим произвольный элемент х°£/?; в силу компактности R и
непрерывности f существует такая возрастающая последовательность
470
Гл. XX. Эргодическая теория
натуральных чисел (fev), что функционал /(/)—' lim Ф? (/, х°, kv)
*	V-»oo
существует для всех функций, принадлежащих некоторому счетному
множеству, плотному в пространстве С (R) (достаточно применить
диагональный процесс Кантора). Расширяем функционал 1(f) на все
пространство С (R) и получаем функционал, обладающий требуемыми
свойствами:
1° l(l) = lim 1 = 1;
V->co
kv
2° l(Uf) = Um±^lf(TiTx^ =
v i=i
«V
/ (Tzx°) + / (T*v+,x®) _ f (Гх0)
kv
=lim2/(ТгЛ°) = /(/);
V Z«1
3° функционал 1(f) положителен, ибо если /^>0, то и l(ff^>^.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Как можно определить инвариантные множества с помощью
их характеристических функций?
2.	В каком месте доказательства теоремы § 2 мы пользуемся
компактностью пространства 7??
3.	Доказать „дискретную" эргодическую теорему, пользуясь спек-
тральным представлением оператора
2л ,
Un — j' etavaE(<f>).
о
4.	Доказать „континуальную" эргодическую теорему, исходя из
ее „дискретной" формулировки и выполняя предельный переход (ср.
Хопф [1]).
5.	В каком месте мы пользуемся компактностью при доказатель-
стве теоремы Крылова — Боголюбова?
ГЛАВА XXI
Теория почти периодических функций и векторов.
О представлениях топологических групп.
Шаровые функции
В этой главе мы покажем, как, развивая идеи Г. Вейля, Реллиха
и Маака, можно очень просто получить обе основные теоремы тео-
рии общих почти периодических функций на группах, а также анало-
гичные факты теории почти периодических векторов Г. Вейля—Маака.
Ввиду того что излагаемая здесь теория опирается на теорему Рел-
лиха из гл. VII, советуем читателю вспомнить основные факты,
касающиеся спектральной теории вполне непрерывных эрмитовых
операторов.
§ 1. Бохнеровская теория почти периодических функций
Бора. Почти периодические векторы
Рассмотрим периодическую с периодом о > 0 функцию /, непре-
рывную на всей вещественной оси Е1 : f£C(Ex)t /(/ + ^со) = /(/)
при £ = 0; ±1, ±2......Обозначим через of сдвиг на вели-
чину о функции f:
0/(0 =/(-а+0.
Докажем, что непрерывная периодическая функция обладает
тем свойством, что множество ее сдвигов является предком-
пактным в метрике пространства непрерывных функций
II/ — £|| = sup|/(O--g(Ol-
t£E'
Доказательство. Так как функция f периодична с перио-
дом Q, то достаточно рассмотреть лишь такие ее сдвиги о/, для
которых 0<^о<со. Пусть б > 0; так как функция f равномерно
непрерывна, то существует такое е = е (б), что | / (0 — f (f) ] < б
при \ t —	Пусть ор о2...oN — конечная е-сеть на интер-
вале [0, со). Тогда функции orf, o2f.oNf образуют конечную
б-сеть в множестве всех сдвигов функции /. Действительно, если
0<^а<со, то для некоторого I	|az— а|<е и поэтому
k/-o//|==sup|/(-o + 0-/(-az + 01<^	(М)
Таким образом, множество (о/) предкомпактно,
т
Гл. XXI. Почти периодические функции
Доказанное нами свойство периодической функции можно сфор- *
мулировать несколько иначе: если на вещественной оси Е1 ввести
псевдорасстояние
р/(с. t)=||a/ —VII. 6-
то в ^метрике* Ру множество Е1 является предкомпактным.
Мы придем к определению Бохнера и фон Неймана почти периоди-
ческой функции на произвольной (не обязательно топологической)
группе <£?, если в предыдущем свойстве заменим множество Е1 мно-
жеством <£?, а число — о + / — элементом о-1/ (о-1 — элемент группы,
обратный элементу о).
Определение (Бохнер — фон Нейман). Комплекснознач-
ная функция /, заданная на абстрактной группе <£?, называется
почти периодической (в этой главе мы будем употреблять сокращение
п. п.), если группа & является предкомпактной в метрике
Р/(о. Т) = sup I f (Q-Ч) — f (х~Ч) I = I af — xf |.
t&r
Если в качестве группы & взять вещественную ось Е1, то по-
лучится бохнеровское определение п. п. функции Гаральда Бора,
именно, ограниченная и непрерывная на Е1 функция / называется
п. п. функцией Бора, если множество ее сдвигов является предком-
пактным в смысле метрики пространства функций, непрерывных и
ограниченных на Е1, Как было доказано в начале настоящего пара-
графа, непрерывная на Е1 периодическая функция является п. п.
функцией Бора.
Отметим, что классическое определение п. п. функции Бора
можно сформулировать следующим образом: число т называется
ь-периодом функции /, если |/(т-1) — f (t)| < е для всех t£E\
Подмножество AlcE1 называется относительно плотным, если су-
ществует такое число I > 0, что в каждом интервале длины I найдется
число, принадлежащее М. Функция /^C(EJ) называется почти пе-
риодической функцией Бора, если для каждого е > 0 она обладает
относительно плотным множеством е-периодов. Можно показать, что
эти два определения п. п. функции Бора эквивалентны.
Следующее обобщение почти периодичности было дано в 1949 г.
Вейлем, а затем Мааком. Прежде всего обратим внимание на то,
что, рассматривая в определении фон Неймана элементы о,
как операторы, действующие на векторы f комплексного банахова
пространства $ с нормой | • |, мы находим, что оператор о является
линейной изометрией*.
|<Vl = l/l при /€£>;
P(ai/} + a2/2) = «iVi + fl2°/2. /1- Л€£>. «1.
§ 1. Теория Бохнера
473
Далее заметим, что для п. п. функций f(t) на группе & суще-
ствует (двусторонне) инвариантный интеграл1) ^/(0^(0 (см- до~
полнение II): для любого о имеем
f (o/)(t)dv(t) = f f(t)d^(t).
& &
Отсюда
(0/1- 0/2)— J (о/1)(®72)^(0 =
= f (O (/! • /2)) (0 du (t) = f f, (T) ftf) d» (T) = (Д, Д).
&
В связи с этим банахово пространство § целесообразно рассматри-
вать как пространство, в котором существует еще вторая — унитар-
ная— метрика: ||/||—(/. Нормы | • | и || • || находятся в со-
отношении
II/IKI/I-
В самом деле,
ll/ll2 = f |/(0|2<W)<sup|/(0l2 f Ф(0 = 1/|.
ибо
рц(0=1.
Известно, что абстрактная точка зрения обычно позволяет упро-
щать рассуждения, дазт возможность лучше увидеть существенные
черты теории и, кроме того, расширяет границы „классической"
теории. Поэтому читателя не удивит, если, следуя Вейлю, мы введем
следующее определение.
Определение почти периодического вектора. Пусть
дано полное комплексное банахово пространство $ с элементами /,
g, ... и нормой | • |, и пусть дана группа & изометрических ото-
бражений о, т, ... пространства § в себя. Вектор / С Ф называется
почти периодическим (п. п.), если группа & является предком-
пактной в метрике р^:
Ру (о; Т)°^‘ |о/ —т/ |.
Далее предполагается, что пространство $ является унитарным
пространством со скалярным произведением (/, g), определяющим
другую норму || f ||2 = (/, /)*\ Между обеими нормами имеет место
!) Точнее говоря, не интеграл, а среднее. Г. Вейль доказал, что эти по-
нятия по существу совпадают.

474	Гл. XXI. Почти периодические функции
соотношение
II/IKI/I-	(1-2)
Наконец, считается, что элементы группы <£? являются унитарными
преобразованиями пространства ф на себя
(О/. <>£) = (/. £). о* = а"1.
§ 2. Теория почти периодических векторов
В этом параграфе мы докажем две основные теоремы теории
почти периодических векторов. В последующих рассуждениях рас-
сматривается фиксированный п. п. вектор /, поэтому целесообразно
ввести подпространство, имеющее своей „образующей" вектор /.
Рассмотрим конечные линейные комбинации вида
k
где	(2.1)
i ss 1
Замыкание множества всех линейных комбинаций вида (2.1) в бана-
ховой метрике | • | (унитарной метрике || • ||) обозначим через фу (фу).
Очевидно, множество фу обладает следующими свойствами:
1° фу является полным банаховым пространством с нормой | • |; .
2° фу является инвариантным (относительно группы а?) подпро-
странством: если /г С Фу, то о/г£фу для всех
3° фу является унитарным пространством со скалярным произве-
дением ( • , •).
Операторы о, т, ... £ а? являются изометрическими преобразова-
ниями пространства фу.
Мы докажем, что в пространстве фу {которое, вообще говоря,
является бесконечномерным) существуют конечномерные инва-
риантные подпространства фу:
(11тфу<оо, оф¥с:ф^ v=l, 2.............
причем
= Ф $v-	(2.2)
V
Формула (2.2) составляет содержание первой основной теоремы
Вейля, в соответствии с которой каждый п. п. вектор можно
разложить в ортогональный ряд вида
/ = 2(Л hk)hk>
k
где (hk. h^ — bik. причем hv является элементом конечномер-
ного инвариантного подпространства фу.
§ 2. Почти периодические векторы
475
Мы докажем даже несколько больше.
Теорема. Введем следующее отображение пространства
в себя:
ГЛ — J* (Л, о/) о/ de
&
[для краткости мы пишем do вместо йц(а)]. Оператор F об-
ладает следующими свойствами*.
а)	оператор F симметричен*. (Fh*, g) — (Jr, Fg), h, gfzfyf,
p) оператор F вполне непрерывен в пространстве рас-
сматриваемом как унитарное пространство или как про-
странство с нормой | • |;
у) (ГЛ, Л)>0 при Л =# О {отсюда вытекает, что нуль не
является собственным значением оператора F: если Fh — Q,
то Л = 0);
б)	преобразования перестановочны с оператором F*.
xF = Fx.
Из этой теоремы на основании теоремы Реллиха (гл. VII, § 5)
заключаем, что:
Г собственные пространства cz являются конечномерными;
2° соотношение б) означает, что собственные подпространства
являются инвариантными: o§v cz £v; действительно, если h £ $v, т. е.
Fh — 'k^ то F{Gh) — oFh —	= K^h, так .что
3° инвариантные подпространства $v, v= 1, 2..как собствен-
ные подпространства являются взаимно ортогональными; |
при v #= щ
4° имеет место формула
J V
Доказательство теоремы.
К пункту а). Имеем
{Fh, g)=( f (h, (jf)Gfda, g}= f (h. of)(pf, g)da =
= J of) (of, h)do — (Fg, h) = (h, Fg),
9
что и требовалось доказать.
К пункту р). Мы докажем несколько больше, чем утверждали:
преобразование F отображаем множество, ограниченное по
476
Гл. XXI. Почти периодические функции
норме ]| • || (а следовательно, и множество, ограниченное по
норме |. () на множество, предкомпактное по норме |.(
(а следовательно, предкомпактное также по норме ||.||, ибо (• [-фун-
даментальная последовательность является || • ||-фундаментальной).
опр.
С этой целью заметим, что функции вида £л(о) = (h, of), где
11^11^1» являются равномерно ограниченными и равностепенно не-
прерывными на предкомпактном множестве &, а поэтому в силу
теоремы Арцела образуют предкомпактное множество по метрике
пространства непрерывных функций Действительно,
|^(а)| = |(Л. а/)|<||А||||о/|| < 1 ||<т/|| = ||/||.
Итак, функции где ||Л||^1, ограничены в совокупности
числом || /||. Равностепенная непрерывность этих функций вытекает
из неравенства
| (а) - lh (а') = | (Л. а/) — (А, а/) | = | (h, of - o'f) | <
<IIАIIII®/—<//1|< 1 • Р/(о. О-
Компактность множества {Fh : || А ||	1} вытекает из неравенства
gFA I =
/(A. of)ofdo < J1 |(А, о/)11of |dа<
<sup|(A. <т/)| f |/|rfa=|£A||/| f l<fo=|&A|J/l
if	if
(мы воспользовались неравенством Шварца и изометричностью опе-
раторов а).
Следовательно, если (Az) — такая последовательность, что после-
довательность (£Л/) фундаментальна, то последовательность
является | • (-фундаментальной, а так как пространство фу полно, то
последовательность (Fhj) имеет в этом пространстве предел. Это
означает, что множество [Fh : || h || <; 1} является | • (-компактным.
К пункту у). Так как
(Fh, h) = f\(h, of)\2do,
то в силу непрерывности функции |й(а) = (А, of) из равенства нулю
скалярного произведения (FAj h) вытекает, что (А, о/) = 0 и
(Л, 2М//) = ° для каждой конечной линейной комбинации вида
Таким образом, вектор h ортогонален
к множеству, плотному в гильбертовом пространстве фу, а это воз-
можно лишь в том случае, когда h = 0, что и требовалось доказать.
§ 3. Теория п. п. векторов
477
К пункту б). Принимая во внимание инвариантность меры
Хаара, в силу унитарности оператора при получаем
t(FZt) = t J (Л; Qf)Qfd<3— J* (Л, о/) то/do =
у	&
== J (A; %^of)fd = J* (тЛ, af)of do = F(xh),
? &
что и требовалось доказать.
Таким образом, наша теорема, и в частности первая теорема
Вейля, полностью доказана.
§ 3. Теория п. п. векторов (продолжение)
Прежде чем переходить к формулировке и доказательству второй
основной теоремы теории п. п. векторов, заметим, что элементы
пространства являются п. п. векторами. Это имеет место
по следующим простым причинам:
1°. Вектор т/ является п. п. вектором, ибо если ор ..., Одг(е)
есть е-сеть, соответствующая метрике ру, то о, Т"1......
является е-сетью, соответствующей метрике рт^, где
Рт/ (а. а) = | о (т/) — о' (rf) |.
2°. Вектор ат/, где а — комплексное число, также является п. п.
вектором, ибо если ор ..., oN — сеть с расстоянием узлов е | а |
в метрике, заданной п. п. вектором т/, то .........aN является
е-сетью, соответствующей метрике рат^.
3°. Конечная линейная комбинация вида	является п. п.
вектором. Это вытекает из п. 1°, 2° и из того, что сумма двух
п. п. векторов является п. п. вектором (доказательство предоставляем
читателю).
4°. Если (/z) — сходящаяся последовательность п. п. векторов,
\fi —	* —> оо, то предел /0 также является п. п. вектором.
Действительно, пусть \ fn — /01 < е/3 и пусть .....— сеть с
расстоянием узлов е/3 в метрике соответствующей п. п. век-
тору /д. Докажем, что (о/)^(е) является е-сетью, соответствующей
предельному вектору /0. Если о — произвольный элемент группы
то существует узел сети, скажем оР находящийся от о на расстоянии
е/3 в метрике руя:
Р/«(о- О/) = \ofn — <hf„ | < е/з.	(*/
478	Гл. XXI. Почти периодические функции
Таким образом, в силу неравенства (*) и изометричности ото-
бражений о и oz
I О/о — ° if О I < I °/о — О/л 1 +1 ofn — °ifn I +1 Oifn — Olfo I <
<1/о-Л1 + е/3 + |Л-/о1<е/3 4-е/3==е.
Итак, группа <£? является предкомпактной в метрике и, сле-
довательно, предел /0 является п. п. вектором, что и требовалось
доказать.
После этих приготовлений докажем теорему, которую для функ-
ций совершенно другим методом доказал Маак.
Теорема. Каждое инвариантное подпространство $v=/=0
пространства содержит нетривиальное конечномерное
инвариантное подпространство.
Доказательство. Пусть — неравный нулю вектор.
Так как с: то h — п. п. вектор. Пусть — подпространство,
для которого вектор h служит „образующей"; это означает, что
является замыканием множества конечных линейных комбинаций вида
2/ a, ft ft. Как мы видим, теперь роль пространства § играет про-
странство а роль пространства фу— пространство ф. Так как
фу—замкнутое инвариантное подпространство, то фЛсфу. Опреде-
лим теперь оператор Н (заменяющий оператор F):
Hg°= J (g, ah)oh da при
У
Он обладает всеми свойствами оператора Р с той разницей, что
его областью определения служит пространство фЛ, а область зна-
чений R(H) принадлежит фЛ. Поэтому к оператору Н применима
теорема Реллиха. Таким образом, существуют нетривиальные конеч-
номерные собственные подпространства оператора Н, являющиеся
инвариантными подпространствами пространства фл, что и требова-
лось доказать.
§ 4, Скалярные почти периодические функции.
Вторая основная теорема. Теорема Бора
Как Отмечалось, основной моделью теории, изложенной в преды-
дущих параграфах, служит теория п. п. функций на группе а?.
Если f — п. п. функция на группе <£?, то
О/(0°— f (а~*0. (/> g)°— f f (0g(t)dt,
11/ —^11= sup I/(0 — ^(01-
§ 4. Теорема Бора
479 •
В § 2 мы доказали, что каждую п. п. функцию можно разло-
жить в ортогональный ряд п. п. функций, принадлежащих к конечно-
мерным инвариантным подпространствам
¥/=©
V
(4.1)
причем
a£>v<=£v (v=l. 2. ...),
dim < oo.
Обозначая через Pv оператор ортогонального проектирования на
подпространство £v, для любого элемента в силу формулы (4.1)
имеем
/ = SPV/ = S/V.	(4.2)
V
где g Pvg, причем очевидно, что ogv £ для всех о £ <£Р. Фор-
мула (4.2) означает, что каждый элемент пространства в част-
ности функцию /, можно сколь угодно точно аппроксимировать
конечными суммами вида 2 fv> f v = PJ • f — S fv < e. Число
V	V=1
слагаемых зависит лишь от е > 0 (т. е. от точности аппроксимации).
Вторая основная теорема в одном отношении утверждает несколько
больше, в другом — несколько меньше.
Вторая основная теорема. Почти периодическую функ-
цию можно равномерно аппроксимировать линейными комби-
Л (8)
нациями вида S Л®, где	ecexo£&t однако теперь
v»l v
функции hy зависят от е,
Л (8)
/-2 Av
v=l
л(в>
v=l
е.
(4.3)
Доказательство этой теоремы (следуя Вейлю, будем называть ее
теоремой о сильной аппроксимации) вытекает из формулы (4.1)
и следующих двух замечаний.
Замечание 1. Сверткой функции и с функцией g (и, g^Cffl))
называем выражение вида
(и * g) (t) °— J и (о) g (о"1/) do.	(4.4)
Зг
В силу неравенства Шварца и инвариантности интеграла имеем
|(я*£)(х)| =
J* u(p)g(p~4) do
у
<1ИНИ1>
480
Гл. XXI. Почти периодические функции
откуда
I и*ё\<11 « II Ill'll-
(4-5)
Пусть теперь и* — неотрицательная функция, непрерывная на
группе <£? с носителем V, содержащимся в шаре с центром в еди-
нице группы и радиуса е, причем | иг (о) do = 1. Имеем
|/(0-(«8 */)(/)!= f
f (a) I f (о — f (о~Ч) I do < sup | f (t) — f (o~4) | <
(j£V
<\ef — of\ = pf(e, o)<e
(e— единица группы о?), откуда
| f — ue * f | e.
(4.6)
Формула (4.6) означает, что п. п. функцию можно аппроксими-
ровать равномерно свертками этой функции с непрерывными функ-
циями, имеющими носители в достаточно малой окрестности единицы
группы.
Замечание 2. Если / £то
«* А 6
(4-7)
Действительно, выражение а * / является пределом сумм вида
2 ctu (nz)oz/v, которые вследствие инвариантности подпростран-
ства принадлежат этому подпространству.
Доказательство второй основной теоремы. Пусть
л (е)
III «‘"IF1.
где w8/2 — такая непрерывная функция, что |/ — яе/2*/|<е/2.
Следовательно, на основании неравенства (4.5) и соотношения (4.7)
имеем
п(е)
/—«е/2*2л
п(е)
I/—«8/2*/|+ «е/2* / — £/v <
<|+Н «е/2Н-||1 «е/2Ц-1 —е.
Полагая Л® —* яе/2 * /, получаем наше утверждение.
§ 5. Вторая основная теорема
481
Рассмотрим теперь классические п. п. функции Бора. Для этих
функций группой S служит вещественная ось с топологией, инду-
цированной п. п. функцией f. Теперь мы сможем доказать значи-
тельно больше.
Т е о р е м а (Б о р). Почти периодическую функцию Бора можно
Г разложить в ряд Фурье по показательным функциям eiKvt
в смысле метрики || • ||;
2° равномерно аппроксимировать тригонометрическими
многочленами вида 2cv(s) elKvt.
V
Для доказательства утверждений 1° и 2° достаточно убедиться,
что в каждом инвариантнохМ подпространстве можно взять базис,
состоящий из показательных функций. Нам известно, что сдвиги
(t~lg)(x) = g(t + x), — оо < t < оо, образуют однопараметриче-
скую группу унитарных преобразований каждого инвариантного под-
пространства и, в частности, подпространства $v. Элементы этой
группы мы обозначим через U (/). Кроме того, нам известно, что
однопараметрическая группа унитарных преобразований конечномер-
ного пространства имеет спектральное представление (ср. § 4 гл. X)
4/(/) = «"" = 2
(£\v — операторы ортогонального проектирования на собственные
подпространства оператора // = //*). Ввиду того* что каждый вектор
имеет ВВД g,(O = g,(^ + v) = £/(Og(v), получим
g (О = S e‘^EKvg (v) = S cveiK<
V	V
Поэтому, действительно, каждая функция, принадлежащая подпро-
странству $v, является линейной комбинацией показательных функций,
что и требовалось доказать.
§ 5. Вторая основная теорема теории почти периодических
векторов
Теорему о равномерной аппроксимации, доказанную в § 4, можно
сформулировать несколько по-другому. Обозначим символом [(&v)]/
линейную оболочку подпространств замкнутую по метрике р^;
вторую основную теорему теории п. п. функций на группах можно
записать в виде формулы
где — множество всех конечномерных инвариантных подпро-
странств, содержащихся в пространстве
31 К. Морен
482
Гл. XXI. Почти периодические функции
Заметим, что формула (5.1) имеет место в произвольном замкну-
том по норме | • | пространстве п. п. функций.
Теперь мы докажем, что аналогичная формула имеет место также
в общем случае почти периодических векторов, т. е. что для общих
п. п. векторов имеет место теорема о сильной аппроксимации. Впер-
вые эта теорема была доказана Вейлем с использованием дополни-
тельной аксиомы: при и£С(&) имеет место неравенство (4.5),
т. е. неравенство
и (р) of do
<||«||||/||.
&
Очевидно, при этом дополнительном предположении изложенное
нами доказательство проходит также в случае п. п. векторов. Однако,
как заметил Маак, эта аксиома не является вовсе необходимой, более
того, если доказана теорема о сильной аппроксимации для скалярных
п. п. функций, т. е. доказана формула (5.1), то нетрудно доказать
аналогичную формулу (и этим самым теорему о сильной аппроксима-
ции) для абстрактных почти периодических векторов, используя при
этом только прежние аксиомы.
Во избежание недоразумений инвариантные "подпространства ска-
лярных п. п. функций на группе & будем обозначать прописными
греческими буквами Ф, Фу ...; прописными готическими буквами
Фу» €v • • • будем обозначать множества п. п. векторов.
Как и раньше, мы считаем, что группа <^, метризированная по-
средством расстояния ру(о; т) = |о/— т/|, предкомпактна. Заметим,
что непрерывные числовые функции на группе & являются почти
периодическими. Множество всех п. п. функций на группе & будем
обозначать через Ф.
Обозначая конечномерные инвариантные подпространства в Ф
через Фу, вторую основную теорему для п. п. функции можно запи-
сать в виде формулы
Ф = [(«Му	(5.2)
Как и в предыдущем параграфе, при ф£Ф имеем
ф * f °— J ф (О) О/ da €	(5.3)
пусть
Ф * f == [ф * / : Ф 6 Ф};
множество [Ф * является линейным инвариантным подпростран-
ством, содержащим вектор /.
§ 6. Представления групп
483
В силу включения (5.3) имеем [Ф*/]уС-^. Однако фу—мини-
мальное инвариантное подпространство, содержащее вектор /; поэтому
(5.4)
Сопоставляя формулы (5.2) и (5.4), находим
Ф/ === [®v * f\f*	(5*5)
Однако Фу*/ — конечномерное подпространство, ибо (НтФу<оо.
~ , опр.
Полагая %? — Фу * /, мы приходам ко второй основной теореме
(в формулировке Маака)
*/=[(W	<5-6)
§ 6. Почти периодические функции и представления групп
Пусть дана произвольная группа & и функция /, почти перио-
дическая на <£?. Рассмотрим ортогональное разложение простран-
ства ф^:
dim£v<oo, a$v = £v,
Мы видим, что каждому элементу поставлено в соответствие
унитарное преобразование Uv (о) конечномерного пространства на
себя, причем, очевидно,
£/v(QT) = (7v(a)t7v(T);
Следовательно, п. п. функция / определяет последовательность (t/v(o))
унитарных представлений группы Если пространства фу(у=1, 2,...)
не содержат (нетривиальных) инвариантных подпространств, то гово-
рят, что пространства ф^ (v=l, 2, ...) неприводимы и что
представление Uv(p) является неприводимым представлением
группы Ввиду того что всегда можно считать, что простран-
ства ф неприводимы (см. упражнения), п. п. функция / определяет
последовательность неприводимых унитарных представлений группы <£?.
Могло бы показаться, что таким образом проблема представлений
произвольных групп решена, причем исключительно простым спо-
собом.
Однако оказывается, что существуют группы (например, группа
квадратных неособенных матриц n-го порядка), для которых един-
ственными почти периодическими функциями являются константы.
С другой стороны, обнаруживается, что непрерывные функции
на компактной группе являются почти периодическими и, следова-
31*
484	Гл. XXI. Почти периодические функции
тельно, вся замечательная теория Вейля и Петера представлений ком-
пактных групп (Петер и Вейль [1], ср. упражнения) получается как
частный случай теории, изложенной в этой главе.
Метод п. п. функций имеет значение для тех групп, на которых
существует множество S п. п. функций, отделяющих точки группы.
Это означает, что для каждой пары различных элементов о,
существует п. п. функция f£S, для которой / (т) =/= / (о).* Такие
группы Фрейденталь называет группами с достаточным множе-
ством п. п. функций (в терминологии фон Неймана такие группы назы-
ваются максимально почти периодическими). Как нам известно,
компактные группы, а также группа одномерных сдвигов (связанная
с почти периодическими функциями Бора), а, следовательно, также
группа n-мерных сдвигов обладают достаточным количеством п. п.
функций. Фрейденталю мы обязаны важной теоремой, в соответствии
с которой перечисленные выше типы групп в принципе исчерпы-
вают все максимально п. п. группы, точнее: каждая связная,
локально компактная группа, обладающая достаточным мно-
жеством п. п. функций, является прямым произведением группы
сдвигов пространства Еп (п = 0, 1, 2 ...) и связной компакт-
ной группы.
Сформулируем теперь полученную теорему о представлении ком-
пактной группы & в форме, допускающей обобщение на случай ло-
кально компактной группы. С этой целью напомним определение
унитарного представления топологической группы & (ср. гл. X, § 6).
Определение. Будем говорить, что отображение о->U(о)
является {непрерывным) унитарным представлением топологи-
ческой группы & в гильбертовом пространстве если каждому
элементу о£*Р соответствует унитарное преобразование простран-
ства U (о) так, что единице группы соответствует оператор тожде-
ственного преобразования: U{e) = I, а произведению элементов группы
соответствует произведение операторов, соответствующих этим эле-
ментам: U(от)=(7(т). Другими словами, представление о-> t/(o)
группы & является гомоморфизмом группы & в группу унитарных
операторов пространства
Представление предполагается непрерывным в том смысле, что
для любой пары векторов /, ф скалярное произведение {U (о) /, g)
является функцией, непрерывной на группе &. Представление назы-
вается неприводимым, если в пространстве § нет нетривиальных
подпространств, инвариантных относительно всех операторов U (о),
Если ф = ф где $v — инвариантные подпространства, то опе-
ратор U, рассматриваемый только на подпространстве #v, будем
обозначать через i/v и пнг^ь U — ф Uv; при этом оператор U будем
§ 6. Представления групп
485
называть прямой (ортогональной) суммой операторов Uv. Полученную
нами теорему о представлении компактной группы & можно сфор-
мулировать следующим образом.
Теорема (Г. Вейль). Представление g->U(o) компактной
группы & разлагается в прямую сумму (вообще говоря, не-
счетную) конечномерных неприводимых представлений G-+U (о)
$ = dim£v<oo,
f/(o) = ®f7v(a),
V
В случае локально компактных, но не компактных групп ситуа-
ция является значительно более сложной. Прежде всего, как заметил
в 1939 г. Вигнер, для таких групп может не существовать ни одного
нетривиального [т. е. такого, что U (о) =£ /, о £ &\ конечномерного
представления. Кроме того, унитарное представление не всегда раз-
ложимо в прямую сумму неприводимых представлений: здесь возни-
кает разложение в прямой интеграл представлений. Приведем здесь
основной результат Маутнера, дополненный Наймарком.
Каждому непрерывному унитарному представлению g->U (о)
локально компактной группы & в пространстве $ можно по-
ставить в соответствие прямой интеграл J* §хф(Х), где ц —
л
мера Радона на локально компактном пространстве Л,
а также отображение о->(/х(а), где U^(o)— унитарные пред-
ставления в пространствах так что
1° $ = f
Л
2° t/(o)= f £/х(о)ф(Х),
Л .
3° множество Л содержит множество Ло локально меры
нуль1), вне которого $z=#(0), a o->Uk(g) является унитар-
ным неприводимым представлением группы <&.
Читателя, желающего ознакомиться с современным состоянием
теории представлений топологических групп, мы отсылаем к замеча-
тельному обзору Березина, Гельфанда, Граева и Наймарка [1]. До-
ступное изложение доказательства теоремы Маутнера, а также ряд
интересных применений прямых интегралов можно найти в обзоре
Наймарка и Фомина [1]. Обе статьи содержат обширные литератур-
ные указания.
!) То есть для каждого компактного К имеем |1(Л0ПЮ = О.
486
Гл. XXI. Почти периодические функции
§ 7. Функции на однородных пространствах.
Шаровые функции
Взаимно однозначные и непрерывные отображения топологического
пространства X на себя образуют группу. Говорят, что группа <£?
непрерывных преобразований пространства X является транзитив-
ной, если для каждой пары точек х2£Х существует такое пре-
образование что ох1 = х2; в этом случае говорят также, что
пространство X является однородным пространством. Употребляя
более абстрактную терминологию, можно сказать, что однородное
пространство — это пара (X, &), где X — топологическое простран-
ство, а &— транзитивная группа преобразований пространства X.
Функции F, заданной на однородном пространстве X, можно поста-
вить в соответствие функцию /х, заданную на группе зафикси-
руем точку х £ X и положим
Л (О) °— F(ax),
Если функция F непрерывна, то и функция fx непрерывна. Если
группа & компактна, то, как мы знаем из предыдущего параграфа,
функция /Л(о) является почти периодической функцией. Таким обра-
зом, мы получаем вторую модель нашей теоремы: непрерывные функ-
ции на компактных однородных пространствах. Важным примером
компактного однородного пространства является единичная сфера
S2 — {х£Е3: | х| = 1}. Группой & является здесь, очевидно, группа
вращений пространства £3. В рассматриваемом случае аппроксима-
ционные теоремы принимают следующий вид.
I. Каждую непрерывную функцию, заданную на сфере S2,
можно разложить в ортогональный сходящийся в смысле L2(S2)
ряд функций, принадлежащих к конечномерным неприводимым
инвариантным относительно вращений подпространствам.
II. Каждую непрерывную функцию на сфере S2 можно рав-
номерно аппроксимировать конечными линейными комбина-
циями (с коэффициентами, зависящими от точности аппрокси-
мации) функций, принадлежащих конечномерным неприводимым
инвариантным относительно вращений подпространствам.
Функции из инвариантных подпространств, о которых говорится
в этих теоремах, называются сферическими (шаровыми) функциями.
Таким образом, мы естественным способом получили основные тео-
ремы о полноте системы шаровых функций.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1.	Доказать, что сумма п. п. векторов является п. п. вектором.
2.	Почти периодические функции на группе ®, о которых речь
шла в настоящей главе, называются левосторонними почти пер ио-
Упражнения и дополнения
487
дическими, поскольку рассматривались левосторонние сдвиги:
/а (5) —’Заменяя в определении левосторонний сдвиг право-
сторонним, мы получаем так называемые правосторонние почти
периодические функции. Доказать, что левосторонняя почти перио-
дическая функция является одновременно правосторонней почти перио-
дической.
Указание. Применить диагональный процесс Кантора.
3.	Доказать, что изложенная в этой главе теория п. п. векторов
охватывает теорию почти периодических векторных функций; при
этом имеется в виду следующее определение почти периодической
векторной функции.
Определение. Пусть Нх — гильбертово пространство со ска-
лярным произведением (• , •)' и нормой.* || • ||'. Пусть, далее, f —
функция, заданная на <£? со значениями в Н. Введем на группе & рас-
стояние следующим образом:
Р/(о, т) = sup |[ / (а~4) — f (Т~4) II'.
Векторная функция / называется почти периодической, если
группа & предкомпактна в метрике Ру.
4.	Набросаем изящное доказательство обобщения теоремы фон
Неймана о п. п. функциях на группе, которым мы обязаны Мааку.
Мы должны доказать формулу
Ф=[Фу];
это означает, что всякое инвариантное замкнутое в смысле
равномерной сходимости пространство п. п. функций на
группе & является замкнутой линейной оболочкой в смысле
равномерной сходимости конечномерных неприводимых содер-
жащихся в нем инвариантных подпространств.
Докажем сначала одну лемму.
Лемма. Если Ф' — замкнутое инвариантное подпрост-
ранство пространства Ф, то °=2& {ф£ф:(р ±ф')
является
также равномерно замкнутым инвариантным подпростран-
ством.
Доказательство. Можно предположить, что Ф'=£ Ф. До-
кажем, что множество Ф'-^ непусто. Заметим, что множество Ф' не
является плотным в унитарном пространстве Ф, ибо в противном
случае на основании свойства свертки [формулы (4.6) и (4.7)] можно
было бы равномерно аппроксимировать все элементы множества Ф
элементами из Ф', откуда Ф' =Ф (так как пространство Ф' равно-
488	Гл. XXI. Почти периодические функций
мерно замкнуто). Следовательно, на основании теоремы Беппо Левй
о существовании вектора, ортогонального к неплотному множеству,
множество Ф'1 не пусто. Очевидно, множество Ф'1 инвариантно,
ибо если (фр ф') = 0, то для всех о £ а? имеем (сир, ф') == (ф, сг-1ф') = О,
ф'£Ф'. Из равномерной непрерывности скалярного произведения вы-
текает, что множество Ф'1 равномерно замкнуто, что и требовалось
доказать.
Доказательство теоремы Маака. Обозначим через [Фу]
равномерно замкнутую линейную оболочку конечномерных инвариант-
ных подпространств пространства Ф. Как показывает теорема (5.1),
множество [Фу] не является пустым (заметим, что пространства Фу
можно считать инвариантными). Очевидно [Фу]с:Ф. Если бы имело
место неравенство [Фу] =/= Ф, то на основании леммы и теоремы (5.1)
множество [Фу]1 содержало бы нетривиальное конечномерное (не-
приводимое) подпространство ФосФ, откуда Фос[Фу]. С другой
стороны, Фос[Фур, Фо = (О), и мы пришли к противоречию.
Таким образом доказательство теоремы Маака закончено.
ГЛАВА ХХП
Общая теория дифференциальных операторов
(теория Хёрмандера)
В этой главе содержится очерк теории Хёрмандера. Параграф 1
вводит в проблематику и напоминает некоторые понятия и теоремы,
нужные в дальнейшем. В § 2 доказывается существование фунда-
ментального решения для операторов с постоянными коэффициентами,
а также существование решений для обширного класса операторов
с переменными коэффициентами. В § 3 вводится понятие сравнения
(силы) дифференциальных операторов и дается характеристика эл-
липтических операторов с постоянными коэффициентами порядка п
как операторов более сильных, чем любой оператор порядка не
выше п. Кроме того, вводится понятие операторов главного типа и
дается их полная характеристика. В § 4 доказываются неравенства
Трева, из которых вытекают основные неравенства Хёрмандера. Пара-
графы 5 и 6 посвящены теории операторов с переменными коэффициен-
тами главного типа и составляют, по всей вероятности, наиболее труд-
ную часть теории. Эти результаты мы привели в их оригинальном
виде, желая ознакомить читателя со стилем Хёрмандера.
В упражнениях и дополнениях излагается определение свертки
обобщенной и основной функций (а также описывается „регуляриза-
ция* обобщенных функций). Кроме того, приводится построение фун-
даментального решения для произвольного оператора с постоянными
коэффициентами. Наконец, изложено понятие гипоэллиптичности и
прореферированы (без доказательств) результаты Хёрмандера, касаю-
щиеся единственности решения задачи Коши.
§ 1. Введение
Начало так называемой общей теории операторов в частных про-
изводных было положено в 1955 г. замечательной докторской дис-
сертацией молодого шведского математика Л. Хёрмандера1). С тех
пор появилось много работ, развивающих идеи Хёрмандера. Основ-
ной вклад в теорию принадлежит по-прежнему Хёрмандеру, однако
*) Не желая нисколько умалять достоинств выдающихся работ Л. Хёр-
мандера, отметим, что общая теория дифференциальных операторов выросла
из общей теории дифференциальных уравнений, разработку которой пред-
принял Ж. Адамар еще в начале века. — Прим. ред.
490	Гл. XXII. Теория Хёрмандера
рядом важных работ мы обязаны также Мальгранжу, Гордингу, Треву,
Эренпрайсу и другим. В этой главе мы изложим существенные вопросы
теории Хёрмандера, следуя работам этого автора, и лишь в одном месте
обратимся к интересным неравенствам Трева, позволяющим значительно
упростить оригинальные доказательства Хёрмандера. Неравенства Тре-
ва позволили также Хёрмандеру получить в последнее время новые
внушительные результаты в вопросах единственности решения задачи
Коши для широкого класса дифференциальных уравнений.
Благодаря Хёрмандеру мы смотрим теперь на операторы в част-
ных производных совсем по-другому, чем на протяжении последних
ста лет. До настоящего времени (во всех монографиях) теория диф-
ференциальных выражений второго порядка
а (х, D) = aik (х) -577^ + \t>i (х)
обычно начиналась классификацией, в основе которой лежит класси-
ческая теория квадратичных форм	В зависимости от
типа формы операторы подразделяются на эллиптические {случай
положительно определенной формы), параболические (случай выро-
жденной формы), гиперболические и ультрагиперболические (случай
невырожденной неопределенной формы). Далее, для каждого типа
ставят соответствующие граничные задачи: для эллиптических урав-
нений— краевые задачи, для гиперболических — задачи с начальными
и краевыми условиями и т. д. Применение функционального анализа
навело лоск на стареющую теорию и позволило взглянуть по-новому
на граничные задачи. Введение соответствующего функционального
пространства (обычно гильбертова пространства, являющегося под-
пространством пространства L2(QN), состоящего из элементов, удо-
влетворяющих однородным граничным условиям) и реализация диффе-
ренциального выражения посредством линейного оператора сделали
необходимым расширение понятия частной производной (Соболев,
Фридрихе, Шварц).
Первой попыткой выхода за рамки классической схемы явились
усилия Л. Шварца и его школы по включению теории дифферен-
циальных операторов в общую теорию обобщенных функций. Так,
например, Лоран Шварц называл (дифференциальное) преобразование
А : D' (EN) Df (EN) эллиптическим (соответственно аналитично-
эллиптическим), если всякое обобщенное решение уравнения Аа = f,
f € С°° (EN) (соответственно f — аналитическая функция) является
(после исправления на множестве меры нуль) бесконечно дифференци-
руемой функцией (соответственно аналитической функцией). Л. Шварц
поставил также ряд проблем, касающихся существования и свойств
фундаментального решения, т. е. такой обобщенной функции Et
которая удовлетворяет уравнению
ДЕ — ^ Е^ЗУ 6Q — дельта-функция Дираку
§ 2. Существование фундаментального решения
491
Следует также отметить относящиеся к этому периоду работы
Б. Мальгранжа и Л. Эренпрайса, в которых, между прочим (неза-
висимо и впервые), доказывалось существование фундаментального
решения для произвольного оператора А с постоянными коэффи-
циентами.
Характерной чертой теории Хёрмандера является доминирующая
роль априорных оценок, т. е. неравенств типа
||Q<p[|<C||Л(р||, ф€С0~(Цу),
при этом || • || — норма в пространстве L2 (Q^, a Q — некоторый
оператор, имеющий не больший порядок, чем оператор А (в част-
ности, тождественный). Потребность в неравенствах такого типа вы-
зывалась теорией операторов в банаховом пространстве. Оказывается,
что такие неравенства позволяют получать ответ на ряд основных
вопросов теории уравнений в частных производных, таких, как су-
ществование фундаментального решения и его свойства, разреши-
мость неоднородных уравнений вида Аи = f с „произвольной" пра-
вой частью (например, с правой частью £2(йдг), или (2^),
единственность регулярного в том или ином смысле решения и т. д.,
причем ответы получены независимо от типа оператора.
Из внушительных результатов Хёрмандера (полученных на про-
тяжении неполных пяти лет) мы опишем лишь немногие, руковод-
ствуясь при этом признаком доходчивости и простоты. Вообще
говоря, мы будем пользоваться гильбертовыми пространствами [такими,
как /У° = £2(йлг), Нт (QN)t	и только при доказатель-
ствах существования фундаментального решения мы вынуждены, по
самому существу дела, привлечь пространства обобщенных функций
и воспользоваться теоремой Хана — Банаха.
Теория Хёрмандера составляет один из наиболее красивых и на-
иболее современных разделов „методов гильбертова пространства",
и поэтому мы ей посвящаем последнюю главу этой монографии.
§ 2. Существование фундаментального решения
Прежде чем переходить к доказательству существования фунда-
ментального решения для произвольного оператора с постоянными
коэффициентами (способ построения такого решения изложен
в упражнениях и дополнениях), напомним несколько элементарных
фактов и определений теории обобщенных функций, а также общую
теорему Хана — Банаха.
Через	будем обозначать (как и раньше) пространство
бесконечно дифференцируемых функций, обладающих компактными
носителями, содержащимися в области QN пространства EN, причем
сходимость последовательности к нулю определяется следующим
492	Гл. XXII. Теория Хёрмандера
образом:
^(Й„)Эф„->0 при л —>оо,
если
Г носители фдс:К(К — фиксированное компактное подмножество
множества QNyf
2° £)афЛ—>0, я —> оо равномерно в QN при |а|=0, 1, ...
(топология пространства 35 (QN) описана в гл. III).
—совокупность всех бесконечно дифференцируемых функ-
ций в области QNt причем сходимость в §(йя) определяется сле-
дующим образом: S (й^) Э Фя -> 0, если Оафл->0 равномерно на
каждом компактном подмножестве множества QN при |а|=0, 1,
2.....
35'(QN)— пространство всех обобщенных функций в области QNt
т. е. пространство всех линейных непрерывных функционалов на
35 (QN), Аналогично &' (QN) — пространство, сопряженное с про-
странством S (йуу). Пространство V (йл) является пространством
обобщенных функций с компактными носителями1). Если не прини-
мать во внимание топологии, то
(Qn)*
Дельта-функцией Дирака называется обобщенная функция
б0 С (^/у)> заданная формулой2)
(д0, ф) = ф(0),	ф£&(йд,).
Очевидно, носитель дельта-функции состоит из одной точки нуль:
6о={О}.
Оператор порядка г
А — 3	^(ааСС00^))
|а | <г
определяется в пространстве 35'(£1N) посредством тождества
(ф. ЛТ)°^<Д+Ф, Т). Ф^(О„), T^'{Qn).	(2.1)
(Л+ф)(х)= 2 (-1)|а|Оа(М^)ф(х)).	(2.2)
Iа |<г
Кроме пространства /УО = £2(ЙЛГ), мы будем применять следую-
щие гильбертовы пространства: пространство Hm (QN)t являю-
!) Здесь (как и раньше) дается весьма приблизительное описание про-
странств основных и обобщенных функций. Читатель, желающий более под-
робно ознакомиться с предметом, может обратиться к неоднократно цити-
рованной монографии Л. Шварца или к серии „Обобщенные функции*
И. М. Гельфанда, Г. Е. Шилова и др. — Прим, ред,
2) Предполагается, что начало координат принадлежит области 2^.—
Прим. ред.

§ 2. Существование фундаментального решений	493
щееся пополнением векторного пространства Со° (Цу) по норме || • ||т,
соответствующей скалярному произведению
(a, v)m = f J} DauD“vdx.	(2.3)
Йдг I а К т
а также пространство	сопряженное с Hm(QN) относи-
тельно расширения билинейной формы (•,•):
<2-4)
(см. в связи с этим определением гл. XIV).
В случае когда = ENt определение пространства Hm — Нт (EN)
можно следующим образом распространить на произвольные веще-
ственные показатели s.
Определение. Символ Hs> — со < $ < -|- оо, обозначает
подпространство пространства состоящее из обобщенных функций
и с преобразованиехМ Фурье я, удовлетворяющим условию
II«II? - f i«©i2a + штai<со,
/	BN	х (2-5)
(Ф(5)°- f e-^^^(x)dx, & 4 = |1х14-...4-и*лф
\	вЛГ	/
Применяя равенство Парсеваля, немедленно убеждаемся в том,
что при s = т (где т — натуральное число) Н$ является подпро-
странством всех функций и £ £2, для которых Dau £	|а[
Нетрудно проверить, что
причем имеется в виду двойственность относительно формы
<•. •>=(•. •>).
Иногда целесообразно введение в пространстве Hs эквивалентной
нормы
Н«11?,е- /|«(В)12(1^12 + е-Т<	(2.6)
Основная цель настоящей главы состоит в выводе фундаменталь*
ных неравенств типа
||ф||о<С||Лф[|о.	(ф€Со°(^))	(2-7')
*
Гл. XXII. Теория Хёрмандера
494
или типа
. ($ > о,
ФбСо°Ш C.sS=C_SiQe	(2.7")
йл= {х€йдг:|х —х0|<е), x0£Qw
для широкого класса дифференциальных операторов. Оказывается,
что при А(х, D) = A(D), т. е. в случае, когда оператор А имеет
постоянные коэффициенты, неравенство (2.7') всегда имеет место
для произвольной ограниченной области^. В случае переменных
коэффициентов неравенство (2.7'), вообще говоря, не имеет места.
Вместе с тем для так называемых операторов главного типа (с пере-
менными коэффициентами) выполняется более сильное, чем (2.7'),
неравенство (2.7"). Сейчас мы рассмотрим некоторые следствия из
фундаментальных неравенств типа (2.7'), (2.7"), касающиеся решений
уравнения
Au — f.	(2.8)
С этой целью напомним общую формулировку теоремы Хана —
Банаха.
Теорема (Хана — Банаха). Пусть на линейном подмно-
жестве Фо локально выпуклого пространства Ф задана не-
прерывная линейная форма 1\ это означает. что существует
такая (непрерывная) полунорма р, что
П(Фо)|<Р(Фо) для всех <ро€фо- (2.9)
Тогда существует такой линейный функционал I, что Z (ср0) =
а=/(ф)0 при Фоб Фо « для всех ф£Ф
Н(ф)| <Р(ф).
Из теоремы Хана — Банаха и фундаментального неравенства (2.7")
немедленно вытекают следующие предложения.
Теорема 1 (Хёрмандер) [о существовании регу-
лярных решений уравнения (2.8)]. Если	при
|<х | где и если для оператора А+ (xt D) выполняется
неравенство (2.7")> то в области 0^ существует (в смысле
теории обобщенных функций) такое решение и уравнения (2.8),
что Dau£ £2(йл) при |а|<;£ 4- т — 1. Если k [A//2J -4 2, то и
является обычным решением, причем
u^CmW.
§ 2. Существование фундаментального решения	495
Доказательство. Последнее утверждение (карающееся регу-
лярности решения) является следствием леммы Соболева:
Hp = Hp(Q?N)cCa(QN) при а</>- [ЛГ/2]-1.
Поэтому достаточно доказать, что существует решение
u£Hs, s = m-}~k — 1.
С этой целью рассмотрим отображение
Л+ф->(ф, /> = (ф. /)0,	(2.10)
заданное на функциях Л+ф, где ф^Со^О#). Это отображение ли-
нейно. Положим в неравенстве
2 е2(|«,-'")||оа<р||2^ е<С_Лл+ф||2_, в (2.7")
| а I < т	’	*
s = k-\-m—1. Принимая во внимание равенство
ЛГ
; = 1
вытекающее из (2.6), мы можем оценить е'2 ||ф ||т—1—е через левую
часть неравенства (2.7") и получить (s = k-\-m—1)
Следовательно, полагая в обобщенном неравенстве Шварца
Кт. ЛКИ/Ь,.  WL,,.
k = — /и + 14- s, получаем
|(<Р. AK(c'ell/lk, е)||л+ф|1_,,е = /’(л+ф)-	(2.11)
Соотношения (2.10) и (2.11) позволяют применить теорему Хана —
Банаха: существует линейная форма и £ (Я_5)* = //5(0дг), являющаяся
расширением формы (2.10), для которой || и ILe^C'sll/lke- Сле-
довательно, элемент и обладает требуемым свойством:
<л+ф, «> = <ф, />,	фЕС0°°(й^),
что и требовалось доказать.
Рассуждая аналогично, мы докажем существование фундамен-
тального решения для операторов с постоянными коэффициентами.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Предположим, что для оператора А+ выпол-
няется неравенство
•М+ф||Л+1-та. фС^Ду). Л>«-1. (2.12)
Тогда АЗУ (%)=>&'(QN).
496	Гл. XXII. Теория Хёрмандера
Доказательство. Если S£&'(Цу)» то существует такая
полунорма || • ||Л, что
|<Ф. 5>|<С||ф||А.	ф6Со°°(0^.	(2.13)
Из неравенств (2.12) и (2.13) находим
|<ф, $)|<С||Л+ф||р. фССо00^).
Отсюда, опять на основании теоремы Хана — Банаха, заключаем,
что существует обобщенная функция Е £ ЗУ (ОдД являющаяся рас-
ширением линейной формы Л+ф->(ф, S), такая, что
<Л+ф, £) = (ф, S) для всех ф6<2ЧЦу).
Это и требовалось доказать.
Следствие 1. Дифференциальный оператор Л = Л(х, D)
из теоремы 2 обладает фундаментальным решением.
Доказательство. Достаточно положить S = д0 (д0 — мера
Дирака).
Применяя лемму Соболева и неравенство типа (2.7'), получаем
новое доказательство следующей теоремы.
Теорема 3 (Мальгранж). Для произвольного опера-
тора А порядка т с постоянными коэффициентами суще-
ствует фундаментальное решение Е £ Н > р [2V/2] + 1,
==(#/, где Wp = limind/f/,(Q«), Й" /EN.
п
Доказательство. В силу леммы Соболева
|ф(0)|<|(ф, б0)1 <С(О^||ф||1ЛГ/2]+1, ФбС^). (2.14)
Однако для произвольного оператора Л с постоянными коэффи-
циентами имеет место неравенство Хёрмандера (2.7') (доказательство
будет изложено в следующем параграфе)
||ф||0<С||д+ф||0, C = CaN. фбСо00^)-	(2.15)
Из неравенств (2.14) и (2.15) получаем
|<Ф. 60)|<С|| Л+ф||(ад+1;	ФбСо°°(^).	(2.16)
В силу теоремы Хана — Банаха и неравенства (2.16) существует
такое расширение	формы Л+ф->ф(0) на все простран-
ство (2дг), что для всех элементов (2дг) имеет место соотношение
(Л+ф. £) = (ф. 60>-
что и требовалось доказать.
§ 3. Сравнение операторов
497
Замечание. Как показывает пример оператора I: <р<р, обла-
дающего единственным фундаментальным решением б0, показатель р
не может быть понижен без дополнительных предположений, относи-
тельно оператора А.
В ближайших параграфах мы будем изучать операторы с постоян-
ными коэффициентами и некоторые операторы, главная часть кото-
рых имеет постоянные коэффициенты. Нашей целью будет доказа-
тельство априорных оценок, о которых речь шла в § 1 и 2.
§ 3. Сравнение операторов с постоянными коэффициентами
В общей теории операторов с постоянными коэффициентами ос-
новную роль играет преобразование Фурье. При	имеем
(Л (D) ф)Л (В) = J е~2я1 <5* х> A (D) ф (х) dx =
eN
= J А GB) в-2я/ <*’ ж> ф (X) dx = А (® фЛ (I),	(3.1)
В*
где В = (В1> •••• U)-
Нам потребуется так называемая обобщенная формула Лейб-
ница-. если f, g^Cc°(EN), то
A (D)(f • g) = 2 Aw(D)g.	(3.2)
где Aw(x) = DaA(x), al=a1l... aNl
Докажем формулу (3.2). Из формулы Dk(fg) = gDkf-\-fDkg
вытекает, что
A(D)(f-g) = ^D*f.Qa(D)g,	(3.3)
где Qa является некоторым многочленом (симметричным относительно
перестановок а). Для определения многочлена Qa положим в фор-
муле (3.3) f = e& х\ g — e^' после сокращений получим
A (B + n) = S^Q0(1D> &а=
На основании формулы Тейлора
так что
ee(4>=-<n^(e,(4)-
Сравнение дифференциальных операторов с постоянными коэф-
фициентами базируется на введенном в гл. III понятии Д-ограничен-
§2 К. Морен
498
Гл. XXII. Теория Хёрмандера
ности оператора 5, допускающего замыкание в гильбертовом (или
банаховом) пространстве Н.
Определение. Пусть А — замкнутый оператор, т. е. для его
графика О(Д) = О(Д). Оператор В называется А-ограниченным»
если
||Ви ||2 <С(|| Л« ||2+ || «К2).	(3.4)
где константа С > 0 не зависит от элемента u^D (Л).
Согласно доказанному, оператор В Д-ограничен тогда и только
тогда, когда D (A) a D (В).
Как нам известно, дифференциальный оператор с достаточно глад-
кими коэффициентами, заданный на функциях класса C^(en) или
Со° (йдг), допускает замыкание. Дифференциальный оператор, индуциро-
ванный дифференциальным выражением А (х, D) с областью определения
C£°(Qjv), будем обозначать символом До.
Определение. Дифференциальное выражение В будем назы-
вать более слабым» чем дифференциальное выражение А, и запи-
сывать В < А (или А > В), если замыкание Во оператора Во является
Д0-ограниченным, т. е. имеет место включение
О(Л0)сО(В0)
или, что то же самое, неравенство
||В«||2<(|| л« II2+ || и ||2)	(3.5)
выполняется для всех функций ф£С£° (йдг)-
Замечание. Неравенства (3.5) и (3.4) эквивалентны: так как
Р(Д0)	С^°(Йдг), то из неравенства (3.4) вытекает неравенство (3.5).
Обратно, предположим, что выполняется неравенство (3.5). Тогда
для каждой функции u£D (До) существует такая последовательность
ип £ (йдг), что ип—> и и Аип—> А^и. Применяя неравенство (3.5)
к функции ип — ит» обнаруживаем, что последовательность (ВмЛ)
сходится. Ввиду того что оператор До замкнут, Вип = BQun->BQu.
В дальнейшем, как и в предыдущих главах, мы не будем педан-
тично различать дифференциальные выражения и операторы, опре-
деляемые этими выражениями.
Как известно из общей теории операторов в гильбертовом про-
странстве (см. гл. HI, § 1), понятие Д-ограниченности имеет важное
значение (Д-ограниченность налагает определенные требования на
индексы, спектр и т. д.), однако, как обычно, важные вопросы ока-
зываются весьма трудными» в частности трудно проверить, является ли
§ 3. Сравнение операторов
499
данный оператор Л-ограниченным. Поэтому, большой интерес пред-
ставляет следующая теорема Хёрмандера.
Теорема 1 (Хёрмандер). Пусть операторы А и В имеют
постоянные коэффициенты, и пусть ограниченная область.
Для того чтобы оператор В был слабее оператора А, В < Л,
необходимо и достаточно» чтобы существовала такая по-
стоянная С > 0, что
для всех %£EN.
Доказательство необходимости. Применим неравен-
ство (3.5) к функции и (х) = <р (х) е1 & ) , где 0 ф £ Со (Qjy).
В соответствии с обобщенной формулой Лейбница находим
A(D)и(х) = х> J] Д(“>(ф-2^,
В (О) и (х) = в1 <*’	В<₽) <ZD —J}X) •
Из формул (3.5) и (3.6), обозначая
Фар == ‘аГ JT f В ф£>рф dx,
получаем следующие неравенства:
2в(о) 01)В(₽>а)фар<С(2 Л(о’(/|) А(р,^)Фа3 + Фоо). (3.7)
Пусть т — наибольший из порядков операторов Л и В. Суммы (3.7)
распространяются лишь на члены, соответствующие (а| ^т\ |р| ^т.
Обозначим через t = (ta) такую систему комплексных чисел, 0
что ta = ta't если а' — перестановка а. Тогда для квад-
ратичной формы переменной t имеем
?(0 =
S V№= f S
|a|, 131 < m	eN |a|<m
= C1
/ 2
EN |a|<m a!
>0,

если многочлен S не равен тождественно нулю, т. е. не равны
нулю все величины /а (здесь мы воспользовались равенством Парсе-
валя /|ф(£)|2^- f 1<Р(*)12
EN	eN	/
32»
500	Гл. XXI1. Теория Хёрмандера
Итак, квадратичная форма Q(f) положительна: существует такая
постоянная с2 > 0, что
С2 5	2 | |2'	(3-8)
Полагая теперь ta — B№(jl), из соотношений (3.7) и '(3.8) полу-
чаем
2 I ^а) (it) Г < С2 2	(Л)(Ф Фа₽<
< W (2 л(а) ав) Л <р> (/В) ФаР+Фоо) < С 21 Л(о) (/В) I*.
Доказательство достаточности гораздо труднее. Мы его получим
в следующем параграфе как следствие из общих рассмотрений Трева.
Изложим теперь несколько фактов, связывающих подход Хёрман-
дера с традиционной классификацией дифференциальных операторов,
опр.
Определение. Главной частью РА (О) оператора Л (О) =
—	2 ao.Da называется оператор РА(р) —' 2 flaO“- One-
[ al <m	|a | = m
ратор А называется эллиптическим, если его главная часть РА
удовлетворяет условию
РА(&)ФЪ при	(3.9)
Имеет место следующая интересная теорема.
Теорема 2 (Хёрмандер [1]). Оператор А порядка т
эллиптичен тогда и только тогда, когда он сильнее любого
оператора В порядка, не большего т.
Доказательство вытекает непосредственно из теоремы 1.
а)	Достаточность. Предположим, что существует такой ве-
щественный вектор |	0, что РЛ(/|) = 0 и, следовательно,
(2|Л^(«В)Г)‘/, = 0(^-1) при f->oo.
Пусть B(D) — однородный оператор порядка т, и пусть £?(£)=£ 0.
Имеем B(tiQ = tmB(lQ, и это выражение не может быть оценено
сверху выражением (WW)’’ при
b)	Необходимость. Пусть с"1 означает нижнюю грань формы
|R4(Z£)| на единичной сфере. Имеем
|1Г<с|РЛ(«в)|.	(зло)
а поэтому
| В |2т < с21 РА (£) Г < с21Л (/В) |2+q is rm_1
§ 3. Сравнение операторов
601
где ct > 0 — некоторая постоянная. Следовательно, при | £ | > 2сг
имеем
15 |2т < 2с21 А (11) |2.	(3.11)
Поэтому существует такая постоянная с2 > 0, что
О +1112*) < Ъ (| А (ф |2+ 1).	(3.12)
Однако многочлен S | Д(а) (г|) |2 ограничен снизу, так как некоторая
производная многочлена А является отличной от нуля константой.
Поэтому существует такая константа с3 > 0, что
(1+|^|2я,)<сз2М(0)(^)Г-	(3.13)
Ввиду того что для каждого оператора В порядка	много-
член 2|В(а)(С)Г можно оценить сверху посредством выражения
1 + | £|2т» неравенство (3.13) заканчивает доказательство.
Замечательный класс операторов с постоянными коэффициентами
образуют операторы так называемого главного типа.
Определение. Оператор A(D) называется оператором глав*
ного типа, если его главная часть удовлетворяет неравенству
при
Другими словами, поверхность РА (|) не должна иметь веществен-
ных особых точек, отличных от 0. [Это определение оправдывается
следующими предложениями.
Теорема 3. (Хёрмандер [1]). Пусть Р — однородный one*
ратор с посрюянными коэффициентами. Для того чтобы все
операторы, имеющие своей главной частью оператор Р, имели
одинаковую силу, необходимо и достаточно, чтобы оператор Р
был оператором главного типа:
N
2|-^г|2>0, °*^£ЛГ-
/=1 1
Доказательство необходимости. Предположим, что
существует такая точка l,£EN, £ #= 0, что дР(£)/д£у = О при J =
==1, 2, ...,2V. Так как оператор Р однороден, то по теореме Эй-
лера Р(£) = 0. Поэтому
502
Гл. XXII. Теория Хёрмандера
Рассмотрим оператор В порядка т—1, для которого В (1%)	0.
Тогда выражение Р (tl^) В (ti^) не является уже О(^~2) при /->оо,
а поэтому оператор Р-\-В сильнее оператора Р.
Доказательство достаточности. Рассуждая аналогично
доказательству неравенства (3.13), получаем
I а I ¥*0
при условии, что главная часть оператора А равна Р. Следовательно,
оператор А сильнее всех операторов порядка /п — 1, а поэтому
он сильнее всех операторов, обладающих такой же главной частью.
Примеры. Оператор Лапласа и волновой оператор являются
операторами главного типа. Оператор Шредингера, а также оператор
теплопроводности не являются операторами главного типа.
Другие интересные примеры читатель найдет в упражнениях.
§ 4.	Неравенства Трева и их следствия
Сейчас мы докажем ряд замечательных неравенств, которые при-
надлежат Ф. Треву [1] и из которых, в частности, вытекает весьма про-
стое доказательство второй части теоремы 1 § 3.
Трев заметил, что неравенства, подобные неравенству Хёрман-
дера, выполняются в произвольном унитарном пространстве Н для
многочленов от операторов, действующих в этом пространстве,
лишь бы эти операторы удовлетворяли некоторым условиям комму-
тирования.
Теореме Трева мы предпошлем несколько простых лемм, носящих
чисто алгебраический характер.
Пусть JL — ассоциативная (некоммутативная) алгебра над телом
комплексных чисел С1, обладающая единицей 1. Положим
[Л, В] = лв—вл,	л, в g л.
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть Д, B£dt и [Л, 23] = 1. Тогда для любых
двух многочленов Р(А) и Q(B) имеет место равенство
Q (В) Р (Л) =	Р,Р> (.A) QW (В).	(4.1)
Р>0
Доказательство. Ввиду аддитивности обеих частей соотно-
шения (4.1) доказательство достаточно провести для одночленов
Р(А) = Аа, Q(B) = Bb, где а, b — целые неотрицательные числа.
Предположим сначала, что
§ 4. Неравенства Трева
503
1)	л, & = 0; тогда соотношение (4.1) очевидно, ибр в этом слу-
чае правая часть содержит лишь одно слагаемое, соответствующее
р = 0.
Применим теперь индукцию по а.
2)	Пусть Ь—1, а а произвольно. Имеем Q(В)Р(Л) — ВАа —
= (ВДа“1) Д. В силу индуктивного предположения
Q (В) Р (Л) = (Аа~'В — (а — 1) Аа~2 • 1) А =
= Аа~г {В А) — (а — 1) Л“-1 =
= (ла-1(ЛВ —1) —(а — 1) Ла-1) = АаВ — аЛ*"1-
Рассмотрим теперь общий случай.
3)	Пусть а, b произвольны; применим индукцию по Ь. Для &=0
и b = 1 лемма уже доказана. Имеем
Q (В) Р (Л) = Вь Аа = В (Вь~1 Л“) =
0
... (b — m)Aa~mBb~m~'1.
Но по доказанному ВАа~т = Аа~тВ — (а — т)Аа~т~1, а поэтому
ВьАа—
==	^Г~ а (а—1) ... (а—т+ l)(b— 1) ... (Ь—т) Аа-тВь~т—
т>0
— S	••• (a — m+l)(a — m)(b— 1) ...
ш> О
... (Ь — т)Аа~т~1В?~т~\
Если в первой сумме положить т = п, а во второй т = п — 1, то
ВьАа — АаВь	2 ^^-а. ... (а —«+!)(£—1) ...
... (b — п + 1) (Ь — п + п) Аа-п^~п = 2	(Ла)(л)(В&)(п) =
п>0
= S ^-^P\A}Q(p\B},
р>0
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть	Z = l, ...» N. [Ду, Вй] = 5уЛ и,
кроме того,
И/.	= ^J = 0(	/.	,.„N,
504
Гл. XXII. Теория Хёрмандера
Тогда для произвольных многочленов Р и Q (N переменных)
имеет место тождество
..... Bn)P{Ai, .... An)=
=	.....А^аЧвг........BN),	a = (at....<х„).
a
(4-2)
Доказательство достаточно провести для одночленов
Q(Bi.....Bn)P{Ax.......An) = B\1 ... В$А*1 ...
... A^—B^'Ai1 ... B^AaNN.
Но в этом случае достаточно применить W раз подряд лемму 1.
В дальнейшем мы будем пользоваться сокращенным обозначением
Р(А) = Р(АУ ...» AN), которое однозначно в силу коммутатив-
ности Ль ..., AN.
Предположим теперь, что в алгебре Л существует инволюция
Л->Л+, т. е/ отображение, удовлетворяющее следующим соотно-
шениям:
(%1Д1+12Д2)+ = М1Ч-М2+; (Д+)+ = Л; (ДВ)+==В+Д+.
Заметим, что если коммутируют элементы Л!...AN, то комму-
тируют также элементы Л^, ...» Лдг. Имеем
(Р(Д))+ =Р(л+), где Р(х) = 2м°,	(4.3)
если Р (х) = 2 aaJC“-
Лемма 3. Пусть N элементов Aj, У=1, 2.........N, удовле-
творяют следующим соотношениям'.
[Я/. Ak] = blk, [Aj. Д*) = 0, /. k = \....N.
Тогда для произвольного многочлена Р{А) от переменных
Л1.....An имеем
(Р(Л) )+ Р (Л) = У ± P(a) (А) (Р(а) (Л))+.	(4.4)
лшЛ I* *
а
Доказательство. Достаточно положить в соотношении (4.2)
Bk = — А%> Q(x) = P (— х) и принять во внимание соотношение (4.3).
Пусть теперь 21 обозначает алгебру операторов на унитарном
пространстве Н со скалярным произведением (• , •) и нормой || • |] •
Предполагается, что эти операторы определены во всем Н. Через Л+
будем обозначать оператор в Н, действующий по правилу (Л+я, v) =
= (и, Av), т. е. сопряженный к Л оператор. Будем требовать, чтобы
§ 4. Неравенства Трева	505
алгебра St вместе с каждым А содержала и А+. Переход Л->Л+
является инволюцией.
Отметим соотношение
(А+Аи, «) = || Ди||2 = («, Л+Ла)(«€#)•	(4-5)
Следующая замечательная теорема является конкретизацией
леммы 3.
Теорема 1 (Т р е в)^ Пусть Лр ..., AN — операторы на уни-
тарном пространстве Н из описанной алгебры St. Предпо-
ложим, что они удовлетворяют следующим соотношениям'.
[Л/, Д»]=дЛ*./, [Лу, Л*] = 0 J, k=l........N.
Тогда для каждого элемента и£Н и каждого многочлена Р
справедливы формулы
II р И)«II2=2	II (p(“W«II2.	(4.6)
а
X || Р'₽) (Л) и ||2 < 2m || Р(Л) и ||2.	(4.7)
г *
где т означает степень полинома Р.
Доказательство. Достаточно доказать формулу (4.7), так
как формула (4.6) является непосредственным следствием соотноше-
ний (4.4) и (4.5). Очевидно, многочлен Р(Р)(Л) обладает свойствами,
подобными свойствам многочлена Р(Л), а поэтому, полагая
/ а \ опр. ТТ ( ai\ __"ГТ	опр. а!
ll(az-pz)!₽z! “ («-ДОГ
получаем
а
=2тгЫТЖ°+,’<л>+»11<
а
< ₽I 2т 2	|| Р(а+₽) (Л)+ и |Г < ₽12т || Р(Л) и 1|2.
а
Теорема доказана.
Возьмем теперь в качестве унитарного пространства Н мно*
жество (£2дг) со скалярным произведением пространства L2(Qn)i
(и, v)= j’ a(x)v(x)dx.
506	Гл. XXII. Теория Хёрмандера
Пусть tx.....tN— некоторые вещественные отличные от 0 числа.
Нетрудно видеть, что операторы
л 1 / 1 д ,	\ л+	1 / 1 д , .	\
---- ----//X; , А] —--------— (---------М/Х;
7	/2 \ tj dxj } Ч J /2 \tj dXj J Ч
(точнее, операторы, определяемые этими дифференциальными выра-
жениями на С™ (Qn)) сопряжены друг относительно друга и удовле-
творяют условиям теоремы 1. Введем временно вспомогательные мно-
гочлены
Л(^)°- P(/2^) = P(/2fl|l............ V2tNlN).
Из формулы (4.7) получаем
-X || М) и ||’, < 2m || Pt (Л)« ||2,,	(4.8)
где || а ||’, = J | «|2dx. Однако так как
qn
Р^ (£) = (/2)1 “1 ? Р'а} (/2 ^).
то из неравенства (4.8) вытекает, что
(4.9)
Заметим, что если	то ехР 0г S € £q° (Q;v) и
(317—ехр (т С*/) и=ехр (т и (Qyv)* Следова’
тельно, заменяя в неравенстве (4.9) элемент и элементом
ехр	я, получаем следующее утверждение.
Теорема 2. Справедливо следующее неравенство Трева-.
||ехр (-1 У}^х2у'|^’(4))и1|2 >	(4-Ю)
||	\2 Jiad J J)	||£2
где
^_21“1 = /Г2“| . . . t~}aN.
г
I
I
§ 4. Неравенства Трева	507
В дальнейшем норму в L2 (Ол) будем обозначать через [| • ||.
Из неравенства Трева вытекают важные следствия.
Следствие 1 (Хёрмандер [1]). Для каждого опера-
тора Р(Р) с постоянными коэффициентами и каждой
области существует такая положительная константа
С„ , что
||P(a\D) «||/>(£>)«||, «(QQ.v).	(4.11)
В частности, выбрав а так, чтобы P<a}(D) = I, получаем
11«11<^11р(°)«11- «6^0° Av).	(4.12)
Доказательство. Так как область £1N ограничена, то при
х £ Qjy и фиксированном t имеем
1 <ехр 0-	/2Х2) <(?2 < °°’
а поэтому в силу неравенства (4.10)
44 врЫ (°) °< 4г-1| “р (4 S	р“' <°>«If <
^2'”Г2|а|С2||Р(Д)и||2,	(4.13)
откуда и вытекает наше утверждение.
Замечание. Таким образом, мы доказали фундаментальное не-
равенство (2.7') для произвольного оператора AN с постоянными
коэффициентами и произвольной ограниченной области Q. Следова-
тельно, теоремы существования, сформулированные в § 2 (теорема 2
и следствия), имеют место для произвольных операторов с постоян-
ными коэффициентами.
Сейчас мы приведем следствие, содержащее недостающую часть
доказательства теоремы 1 § 3.
Следствие 2. Предположим, что для многочленов Р и Q
имеет место неравенство
|3(ф|2<с2 S l/^W2. l^EN. (4.14)
|а | > 0
Тогда для произвольной ограниченной области и функции
^€Со°(йлг) имеем
|| Q (D) и ||2 < С1И (°) * П2>	(4.15)
где постоянная сх > 0 не зависит от и (это означает, что
Q <Р в области QN).
508
Гл. XXII. Теория Хёрмандера
Доказательство. Из равенства Парсеваля и неравенств (4.11),
(4.14) при « £ С” (Оу) получаем
c3||Q(D)«||2 = f |Q(<1)|2|£(£)|M<
en
<c2 J’2lp(e)^)i2i2a)i2^=
= c4c2 2 f I PM Ф) и |2 dx < c51| P (D) и |p.
E-N
Итак, мы доказали следующее усиление теоремы 1 § 3.
Теорема 3 (Хёрмандер [1]). Для того чтобы в ограни-
ченной области QN дифференциальное выражение В было
более слабым, чем дифференциальное выражение А (коэффи-
циенты А и В постоянны), необходимо и достаточно, чтобы
существовала такая положительная постоянная с, что
|5(/|)|2<с22|Я(а)(г|)|2.	(4.16)
а
§ 5. Операторы главного типа с переменными
коэффициентами
В § 3 было введено понятие операторов главного типа для слу-
чая постоянных коэффициентов. Мы видели, что оператор А(р)
является оператором главного типа тогда и только тогда, когда его
сила определяется главной частью. Отсюда вытекает, что для произ-
вольной ограниченной области с: EN имеет место неравенство
2 II Dau ||2 < с |] A (D) и ||2, «6Cg°(Qy).
|а| <т
Это неравенство, грубо говоря, мы принимаем в качестве опре-
деления оператора главного типа с переменными коэффициентами.
Определение. Дифференциальный оператор А(х, D) порядка т,
заданный в области £2^, называется в этой области оператором
главного типа, если для любой точки	имеет место нера-
венство
2 82(1“l“'”)||D0«||2<c|| Д(х, О)а ||2,
|a|<m	(5
(^лг)» е < е0 = ео (*о) *
где £2^ =	: \х — х0| < е}.
• § 5. Операторы главного типа	509
Нетрудно видеть, что эллиптические операторы являются при-
мером операторов главного типа.
Приведем теперь простое необходимое условие.
Теорема 1 (Хёрмандер [2]). Если оператор А(х, D)
имеет непрерывные коэффициенты и выполняется неравен-
ство (5.1), то
N
S| Г ¥=° пра	(5.2)
Доказательство. Можно считать, что хо = О. Пусть
«£C“(Qk), положим
ие (х) = е”1-1- у/2 и (у).
Очевидно, «е € (Qk) и
D“We(x) = e"JV/2D“a(y)
при | а | = т—1. С помощью замены переменных убеждаемся, что
|] Dauz || -> || Dau || при е->0.
Аналогично получаем
ел (х, О) «е = 2 аа(х) ет-1о|е-ЛГ/2(Оа«) (*),
1| еЛ (х, О) «е ||2-> || РА (0, О) и ||2, и 6	(&к).
Отсюда
2 || Dau ||2 < с || РА (0, О) и ||2, и 6 Со°° (Qk) •
|а| = т-1
Теперь для оператора с постоянными коэффициентами РА неравен-
ство (5.2) следует из полученного неравенства при помощи рассу-
ждений, примененных при доказательстве теоремы 3 § 3.
Перейдем к условиям, достаточным для того, чтобы данный опе-
ратор был оператором главного типа.
Теорема 2. Пусть A(xt D)— оператор главного типа
с непрерывными коэффициентами. Любой оператор с непре-
рывными коэффициентами, имеющий такую же главную часть,
что и А(х, D), является также оператором главного типа.
510
Гл. XXII. Теория Хёрмандера
Доказательство. Если для оператора А (х, D) выполняется
соотношение (5.1), а оператор /?(х, D) имеет порядок г < т. то
при е < е0
। 2 e2<|el-m)||Doa||2<c||4 (х, D)a ||2<
<2с||(Л(х. D)4-/?(x, Я))«||2 + ||Я(х. D)«||2<
< Чс || (Л (х, D)+R (х. D)) и ||2 + сг 2 || Dau ||2.
1а |< т
в^ЗД).
Возьмем е настолько малым, чтобы выполнялись неравенства
< у и е < min(l, 80). Тогда имеем
2 е2(|а|-т)||О“«||2<4с||(Л(х, D)-|-/?(x, О))«||2, а£СГ(О&,
1а | < т
так что Л4~/? является оператором главного типа.
Прежде чем переходить к основному результату настоящего
параграфа, докажем следующую лемму.
Лемма. Пусть р и q—однородные дифференциальные опе-
раторы порядка тит—\ с коэффициентами класса cl(QN).
Для произвольных функций и. v£C™(Qn) имеем
(p(xt D)vt q(x. D) u) = (q(x. D)v. p(xt D)u)-\-
+ X (ca^Dav, D^a).	(5.4)
lai, ipi = m-l
где коэффициенты c^ непрерывны, а
Р (X, I) = р (X, I), ~q (X, I) °=^' q (X. 1).
Доказательство. Пусть
P(X,D)= 2 fla(x)D“, q(x, D)—	2	^(X)D₽
|al = m	|P| = m-l
и, следовательно,
(p (x, D) vt q (x, £)) u) — 2 (aa£>V btf/u).
Теперь будем интегрировать по частям, перебрасывая сначала одну
из производных в Da слева направо, а затем одну из производных
в справа налево и т. д. При этой процедуре придется иногда
дифференцировать также и коэффициенты. Появляющиеся при этом
§ 5. Операторы главного типа
511
члены, которые содержат производные от и и v порядка т — 1,
мы будем сохранять. В результате мы получим следующее соот-
ношение:
(р (х, D) v, q (х, D) «)=£ (aaD\>t b^u) +	S (c^Davt D$u).
|а | = | [3|-m-l
Ввиду того что функции Сар являются линейными комбинациями
коэффициентов операторов р и q, а также их производных, эти
функции непрерывны. Имеем
Ь$Оаи) — (д(х> D)v, р(х, D)u)t
отсюда и следует лемма.
Теорема 3 (Хёрмандер [2]). Пусть р(х, D) — PA(xt D)
(главная часть оператора A(xt D)) имеет коэффициенты, при-
надлежащие классу С1 (2^, и пусть выполняется неравенство
2Ж*. m,l2 * * * * * В>o.	(5.2)
/=1
Положим £2дг= {х : | х | < е}. Тогда существуют такие постоян-
ные с и е0 > 0, что при е < е0
2 e2na|-m)||Z)“a||2<c(||/,(x,D)«||2 + ||p(x, D)«||2) (5.5)
l«l <т
для всех (Одг).
Доказательство. Из обобщенной формулы Лейбница получаем
р(х, D)(xku) = xkp(x, D)u-+ ptt'Hx, D)u, p^ —
а поэтому
D)u, p(k>(x, D)u) =
= (p(x, D)(xku), pk(x, D)u) — (xkp(x, D)a, p№(x, D)u).
Ввиду того что при x£Qn имеем |xft| < е, в силу неравенства
Шварца
|| p,k\x. D)«||2<Re(p(x, D)(xku), р^(х, D)u) +
Н-е||р(х, D)«||.||//‘>(x,D)«||, «еСо00^).	(5.6)
В первом члене в правой части положим q = p^k\ | и || =
= S ||Л||2 и применим доказанную только что лемму. Ввиду
1а|=£	_	__	_
того что p(ft)(x, D) (xku) = xkp^(x, D)u-^ р^(х, D)u, где
512	Гл. XXII. Теория Хёрмандера
p(kk) _ получим
Re(p(x, D)(xft«), /Х*)(х, D)a)<
< Re (p<*> (x, D) (xfta), p (x, D)«) + ct | и |m_! | xku |m_i <
< c2( || p (x, D) и || +1 и ^(e | и |m_j +1«|m_2).	(5.7)
Будем считать, что 8< 1. Из неравенств (5.7) и (5.6) после сумми-
рования по k получим
2 II Pw(x. D)«||2<
<c3(l|P(x. D)и|| + ур(х, D)a|| + |«|m_i)(e|a|m_i + |«|m_2). (5.8)
Однако, принимая во внимание (ср. гл. XIII, § 2, лемма 1) соот-
ношение
|«|ft<c4e|«l4+i.	(5.9)
получаем
2||р(*>(х, Я)«||2<*5е(Ц р(х, D)u || + ||р(х, D) «||+| и\т^.
(5.10)
Доказательство будет закончено, если мы покажем, что
l«|2m_i<*62||p(ft)(x, D)«||2	(5.11)
при н^СоЧ^ат)1 и е<е1. Действительно, из трех последних нера-
венств вытекает неравенство (5.5) при условии, что е -^min с^/2).
Из однородности (степени tn — 1) многочлена (0, £) в силу (5.5)
вытекает
|£|2<т-1)<С2|р(*)(0. £)|2,	1£Е».
Умножая на |«(|)|2, интегрируя и применяя равенство Парсеваля,
получаем
О)«||=. <6сг(в").
Следовательно,
I “ lm-i < с7 2II PW + £>)« + (Р<й) (0. О) — р™ (х, D)) а ||2 <
< 2*7 (2 II Р(к) (х. D)«||2 + 2II (PU) (0. D) - р^ (х. D)) и ||2).
Ввиду того что коэффициенты оператора р(л)(0, D) — p^(x,D)
имеют порядок О(|х|), имеем
I« L-! < *8 2IIZ’ (*• D) и II2 + е I и |2m_lt « С Со°
§ 6. Априорные оценки
513
Отсюда при с8е2 < V2 получается соотношение (5.11), и, таким обра-
зом, доказательство закончено.
Следующее предложение содержит весьма общее достаточное
условие для того, чтобы оператор был главного типа.
Теорема 4. (Хёрмандер [2].) Пусть А(х, D) — оператор
порядка т с непрерывными коэффициентами, причем коэффи-
циенты главной части р = РА(х, D) принадлежат классу С2.
Если, кроме условия (5.2), выполняется также условие:
коммутатор [р(х, D), p(x,D)] имеет порядок <2т — 1, то
А(х, D) является оператором главного типа.
Доказательство этой теоремы читатель найдет в работе Хёрмандера.
о
§ 6. Априорные оценки в пространстве H~s
Докажем теперь для операторов главного типа фундаментальное
неравенство (2.7")» т. е. покажем, что из неравенства (5.1) вытекает
аналогичное неравенство, но уже для нормы || • || , s > 0. С этой
целью нам придется несколько более подробно изучить простран-
ство H-s, $>0. Если	и£3>’, то я * ф = ф * и обозна-
чает свертку обобщенной функции и с основной функцией ф (см.
упражнения и дополнения. Все результаты настоящего параграфа
заимствованы из работы Л. Хёрмандера [2]).
Лемма 1. Пусть ф £ С£°(En) и J ф dx 0. Положим фе(х) =
==8“^(x/e). Тогда для каждого $>0 существуют такие по-
стоянные с2 > 0, что
/ ||a*4’e||2e2i-1rf8<c2J|«||_JjEo	(6.1)
О
при и £ H_st е0 > 0.
Функций и c2(s) ограничены при ограниченном в.
В силу равенства Парсеваля имеем
5 JIH *	IP е2*~1 dz = J ।" ® I2 d^s J । I2 е25-1 dQt
о	en	о
поэтому соотношение (6.1) эквивалентно неравенству
Со
^(НР+ео-2)'-* f |ф(ф|282‘-1^<с2.
о
(6.2)
33 К. Морен
514
Гл. XXII. Теория Хёрмандера
Для того чтобы доказать соотношение (6.2), заметим, что имеют
место следующие неравенства:
во	со
Id2' sf |$(eB)|282*-1 de<|i|2*s f |ф(е|) ре2*-1 </е =
о	о
= з у (ф^'ЭРе2*-1 de,
о
00	1	00	1
где |'=£/|] 11|. Интеграл J* = J-|- J сходится, ибое~2*з J |ф(е|')|2Х
0	0	1	о
ОО
Хе25"1 б?е*<Л42/2, где М ==sup|ф|, а интеграл sj*| $(e^')le2,s”1
1
ограничен, ибо ф(е, £') быстро стремится к нулю, когда ||е£'|( =
= 8—>оо. Таким образом, правая часть соотношения (6.2) доказана.
Для того чтобы доказать левую часть этого соотношения, заметим,
что O=#cJ* cp(x)dx = c ф (х) eixQ dx == ф (0). Отсюда вытекает, что
существуют такие постоянные а, b > 0, что | ф(£) |> а, когда || £ || <#.
Полагая 6 = min (е0, Z>/|| III)» находим
$ J | ф (е£) |2 825""1 de	sa2 J s25”1 de = —2
о	о
Полагая теперь c1 = a2min(l> ft2*)/2, получаем отсюда левую часть
соотношения (6.2).
Перейдем теперь к следующей лемме.
Лемма 2. Для каждой функции	и каждого $>0
существует такая постоянная cz = cz(v> в),что
е0
/IIV (и * фе) — (vu) * фе ||2 е2*-1 de < с31| и |]_	(6.3)
*	0
где	е0< 1.
Если s ограничено, то функция с3 тоже ограничена.
Доказательствоё Преобразованием Фурье функции
es(у (и * фе) — (w) * Фе),
является функция
p\l, е)= J е*5 (£ — т]) (Ф(еп) — ф (е£)) и (г])^П
en
§ 6. Априорные оценки
515.
(ср. упражнения). Положим
к (е. ъ n) = | v (В - П) I (ф (еп) - Ф (In) )(|| П |Г’ + еГ+1)-	(6.4>
В силу неравенства Шварца имеем
IF(В- е) I2 < J К(е. п)	/ К (е,	п) | и (п) |2/(п*+1 +
En	En
Предположим временно, что уже доказаны неравенства
J К (е, П) Л] < с4> е < е0.	(6.5).
en
Со
f dl J К (е, £, n)^-<c5.	(6.6),
Е^ О
Заметив, что
(||пГ‘ + е«— ,)S>ll’lll’<*+14-^-ai*+‘>>2-J(llnll’-+-eo-T+'..
в силу неравенства (6.5) получаем
|F(|, 8)|2<с42‘ f К(г, &, n)|2(n)|2(||»|||2+e0-2)-i’-1dn.
d&
Интегрируя по d^ — и принимая во внимание неравенство (6.6),.
находим
во
f f I?& e)|2dade/C<c4C52MI«||U_1>eo.
О en
что эквивалентно соотношению (6.3). Таким образом, остается дос-
казать лишь неравенства (6.5) и (6.6). Будем различать два случаям
1°) величина ||£ — т| || мала; 2°) величина ||£ — т) || велика.
Пусть || £—г| ||>||т] ||. Тогда, полагая М — sup || grad ф||, получаем
*(8. a, nX^e^lvd-TOlllg-nlKS^Hg-nir’-beo4"1). (6.7>
Пусть теперь ||т]|| > 21|| — т]||; в этом случае отрезок, соеди-
няющий точки £ и т], лежит вне шара радиуса || т| Ц/2. Обозначим
через Ф(0 верхнюю грань || grad ср || вне шара радиуса //2. Имеем
к (г, I. n) < eJ+11® (l-n) I • II В-n IIФ (е lln II) (IIП |Г+ ‘ + ео"*’1)- (6.8>
Функция Ф быстро, убывает на бесконечности, ибо этим свойством
обладает функция <р, а, следовательно, выражения Ф(е||т]|() и
33*
516
Гл. XXII. Теория Хёрмандера
с||т]||*+1Ф(е||t]||) ограничены. Так как 0<£<^е0<^1, то из нера-
венств (6.7) и (6.8) вытекает, что
К(г, т])<С|^^-т))|-|||-лГ+1+1)-	(6.9)
Так как (вследствие условия 21| £ — ЛII < IIЛII) интеграл по аг)
ют правой части последнего неравенства конечен и не зависит от г
и то неравенство (6.5) доказано. Остается доказать неравен-
ство (6.6). Имеют место следующие соотношения:
JФ(еп) || T]|r+Vde< JФ(е1])|| t)||5+1e'srfe = JФ^^еМе, (6.10)
ООО
•где rf = Т1/Ц t|||. Ввиду того что выражение Ф(ег/) быстро стремится
к нулю, когда ||erf || =е—>0, то последний интеграл является огра-
ниченной функцией переменной rf. В силу ограниченности функции Ф
из неравенств (6.7), (6.8) и (6.9) получаем соотношение
ео
J*(e. I. п)4<с15^-^Н1£-ч11(11В-111Г1-1-1). (б.и)
о
из которого непосредственно вытекает неравенство (6.6).
Теперь мы перейдем к основному результату настоящего параграфа.
Теорема 1. Пусть Д(х, D) — оператор главного типа
порядка т с коэффициентами класса C°°(2^, и пусть —
область, о которой речь шла в определении (5.1) оператора
главного типа. Тогда для каждого $>0 существуют такие
положительные постоянные c(s), £($), что
2 е2(|а|-'и,||Оа«||2_^ е<С(5)||Л(х. D)»||2_je	(6.12)
|аI < т	*	’
для всех и£С™ (QN) и е < е ($).
Доказательство. Пусть <р £ С^° {К (0, 1)) [/<(0, 1) — шар
радиуса 1 с центром в 0], и пусть J* <pdx=£0. Положим, как обычно,
en
фр(*) = р”^ф(*/р) при р < е; пусть zz£C^(Q^), тогда
При 2е<е0 к функции ир можно применить неравенство (5.1):
2 (2е)2(1 ° |-п01| D“«p ||2 < Со || А (х. D) ир ||2.
1а | <т
§ 6. Априорные оценки
517
поэтому
е	е
2 (28)2(|a,-m)s J|| Oe«p||2P2i-’</p<e0s f ||Л(х, D)«p||2p2"-1dp.
I«l <m	•	0	(6.13)
Ввиду того что = (Оаи) * <рр (ср. упражнения), то левую
часть неравенства можно оценить снизу при помощи леммы 1. Поэтому
е
(2е)2(|а|-га)ЦDn и ||2_s, Е< с0± f ||Л(х. D)«||2p2j-1dp.	(6.14)
| а | < т	©
Полагая f = А (х, D) и, находим
Л (X, £)« =/ + 2 (аа((°“й)*фр) — (aaD“a) * Фр)- (6-15)
|а|</и
Из леммы 1 вытекает, что
* / II/pIPp2-1 dp<M/ll2_s>e;	(6.16)
а из леммы 2 при е < 1 получаем
е
f II «а ( (/>“«) * Фр)- (*/>’«) * Фр 1ГР2*"1 <*Р < сзII D“« lit-,, е (6-17)
0
Подставляя выражение (6.15) в неравенство (6.14), применяя не-
равенство Шварца и учитывая соотношения (6.16) и (6.17), получаем
2	+ з	у (6.18)
I a | < т	\	|а |<лг	/
Принимая во внимание неравенства
ЦоМ^,. e<8||Da«||-,.e.	(6.19)
l|Oa«IL,_,.e<||O₽«L,e’ Da = DjD\ |₽|=m-l, (6.20)
вытекающие непосредственно из того, что
N
2||^/«Н1е+е_8||«И*(в=11«11р+1>е. — оо<р<оо, (2.6')
из соотношения (6.18), находим
2 «2(IO|-m)ll^ftt.e<^(H/llt.e + (e2 + ^) 2 11^а«1Г-4,еУ
laj<m	' V	la|<m	,с/
34 К. Морей
518	Гл. XXII. Теория Хёрмандера
Выбрав е < 1 так, чтобы С4е2 (e2-{-N) < */2» получим
2	<2c4h/Ip ,
|al < т	’
что и требовалось доказать, ибо / = Д(а;, D)«.
Таким образом, мы доказали фундаментальное неравенство (2.7")
для произвольного оператора А (х, D) главного типа. Как вытекает
из теоремы 2 § 5, фундаментальное неравенство выполняется также
для оператора А+(х, D).
Опираясь на теорему 1 § 2, получаем следующее утверждение.
Теорема 2 (Хёрмандер [2]). Пусть А — оператор глав-
ного типа с бесконечно дифференцируемыми коэффициен-
тами. Если Daf £ 1?(En) при [ a j С k (k 0 любое) и число е > О
достаточно мало, то в области^ существует (в смысле теории
обобщенных функций) такое решение уравнения А(х, D)u = f,
что Dau£L2 (Qfjy) при	—1.
Замечание. Хотя, согласно доказанному, для широкого класса
уравнений существует решение при „произвольной правой части",
не следует думать, что все уравнения имеют решения. Как показал
Г. Леви в 1957 г., уравнение первого порядка
А(х, D)u = (—lDi + D2 — 2(x1 + lx2)D3)u = f
для некоторых функций /£С°°(Е3) не имеет гладких решений ни
в какой области (ср. с соответствующим результатом Хёрмандера,
описанным ниже).
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Построение фундаментального решения
для оператора с постоянными коэффициентами1).
Прежде чем приступить к этому построению (в котором мы сле-
дуем Хёрмандеру), приведем несколько классических определений
из теории обобщенных функций.
!) Здесь, по существу, будет дан лишь набросок конструкции. Аккурат-
ное построение фундаментального решения в одном из классов обобщенных
функций можно найти, например, во втором выпуске „Обобщенных функций*
И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова.
Напомним, что впервые существование фундаментального решения для
любого дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами было
доказано Б. Мальгранжом. В настоящее рремя существование (и конструкция)
фундаментальных решений для таких уравнений известно во многих классах
обобщенных функций. — Прим. ред. .
Упражнения и дополнения
619
Напомним, что сверткой f * ф непрерывной функции / и непре-
рывной функции ф с компактным носителвхМ называется функция
(/*Ф)(х) = f/(x — y)q>(y)<iy= f f(y)<p(x — y)dy = (<p*f)(x).
еХ	ех	(1)
Теперь естественно следующее определение.
Определение. Если Т £ 3' {En\ а <р £ С™ (En), то
(Т * ф) (х) °= Ту (<р (х — у)).
Читатель докажет следующее утверждение.
Теорема 1. Если Т^З'(Е^, а ф^Со^Я*), то
Т *<p£Cc’°(EN)	(2)
и
Da (Т * ф) = Т * О“ф.	(3>
Указание. Обратить внимание на то, что ф(хл—у)—>ф(х—у)
в смысле сходимости в пространстве 3) (EN)t когда хп —> х, а поэтому
функция Т * ф непрерывна. Обозначим через ек единичный вектор
оси хк. Разностное отношение h~\(T *ф)(х + йгл)— (Т *ф)(х)) =
= Ту ((ф (x-{-hek— у) — ф(х — У)) Л"*1) сходится к выражению
Ту (ду!дхк (х — у)). Применить индукцию.
Упражнение 1. Если Т £3)' (Е**), а ф и	то
(Т * ф) * ф = Т * (ф * ф).	(4)
Указание. Рассмотреть суммы Римана
uh (х) = hN 2 Ф (* — АЛ) (АА), h > О,
где k пробегает узлы решетки в пространстве EN. Заметить, что
Dauh (х) -► Da (ф * ф) (х) равномерно.
Упражнение 2. Регуляризация обобщенных функ-
ций. Пусть Фе£С~(£^, фе>0, J Фе^х= 1 и фе с К(0, $)
Е*
Доказать, что С™ (En)^T *фе~>Г при £->0.
Указание. Заметить, что Т(ф) — (Т *ф) (0), где фС^о°(^)>
ф(х) — ф(—х), и применить соотношение (4).
Ч Напомним, что ф означает носитель функции ф.
34*
Гл. XXII. Теория Хёрмандера
Определение. Оператор тЛ, заданный формулой
тЛ<р(х) = (р(х — Л),
называется оператором сдвига.
Очевидно,
тЛ(Т *ф) = Т *(тЛф).	(5)
Упражнение 3. Пусть А — линейное непрерывное отображе-
ние, А : 3 (EN) -> § (fW), перестановочное с каждым оператором
сдвига xh. Существует (единственная) такая обобщенная функция
Т £ 3' (EN), что Лф = Т * ф.
Указание. Существование обобщенной функции Т вытекает
из теоремы о ядрах (см. § 10 гл. III). Однако оно может быть доказано
непосредственно следующим образом: линейная форма 3 (EN)^q-+
->(Лф)(0) является некоторой обобщенной функцией Т, а поэтому
(Лф) (0) = (Т * ф) (0). Заменяя ф на т_Лф и пользуясь перестановоч-
ностью оператора x_h с оператором Л и свертыванием, получаем
(Лф) (h) = (Т * ф) (Л), что и требовалось доказать.
Определение. Если хотя бы одна из обобщенных функ-
ций 7\ и Т2 имеет компактный носитель, то отображение
^(Елг)Эф->Т1*(Т2*Ф) 6 ё(Е”)
удовлетворяет предположениям в упражнении 3, а поэтому суще-
ствует такая обобщенная функция Т £ 3r (EN), что
7’1*(7’2*ф) = Т*ф, фССо^").	(6)
Обобщенная функция Т называется сверткой обобщенных функ-
ций 7\ и Т2:
ЛП Т* ОПР' 'ту
Т1 * Т 2 — Г.
Упражнение 4. Доказать, что 7\ * Т2 = Т2 * 7\.
Указание. Проверить, что если * (ф * ф) = S2 * (ф *ф) для
всех ф, ф С Со° (EN)t то обобщенные функции Sj и S2 совпадают.
Упражнение 5. Проверить, что
T*f>Q = T, Т£3',	(7)
DaT = (£>%) * Т.	(8)
Следовательно, дифференцирование (и вообще воздействие диффе-
ренциального оператора с постоянными коэффициентами) может быть
заменено свертыванием с производными функции Дирака.
Упражнения и дополнения
521
Упражнение 6. Опираясь на результаты предыдущих упраж-
нений, доказать, что
Л (7\ * Л) = (АТ.) * Т2 = 7\ (Л * Т2),	(9)
где А == 2	— дифференциальный оператор с постоянными коэф-
фициентами.
Определение. Преобразованием Фурье обобщенной функ-
ции Т £ называется обобщенная функция Г, заданная формулой
т (Ф)=(ф, Т> °^' <£, Т>, ф 6	(10)
Из равенства Парсеваля вытекает, что определение (10) есте-
ственно.
После этих приготовлений можно приступить к построению
фундаментального решения. Это построение уточняет следующие
эвристические рассуждения физиков.
Пусть
Л(ф = # + ««-1(Ь........••• +«о&.....................Ы(*)
(в таком виде после некоторого поворота может быть записан всякий
полином). Нужно придать математический смысл формальному выра-
жению
(Е * ф) (х) = f е2я/*> d\, ф е CoV").
en
Поясним, что формальные выкладки дают
А (О) (Е * ф) (х) = (Е * A (D) ф) (х) = f	dl =
en
= f Т(7|)	= f Ч в2Я/ U’S> d^> = ф (х)’
en	en
т. е. Д^ = б0. Таким образом, Е является фундаментальным реше-
нием. Легко понять, что оно будет определено, если будет придан
смысл выражению
Е(ф) = (Е*ф)(0)=	(И)
en
Трудность состоит в том, что знаменатель Л(/£) равен нулю на
некотором подмножестве пространства EN. „Интеграл" (11) мы будем
35 К. Морен
522
Гл. XXII. Теория Хёрмандера
рассматривать как повторный
f	где < = &...
£ЛГ-1
а пробегает соответствующую кривую в комплексной плоскости С1.
С этой целью обозначим через = нули многочлена (*) пере-
менной Пусть о = о(£) — наименьшее из чисел интервала [—е, е],
для которых min Io — Im tk | принимает наибольшее значение. Нетрудно
Л = 1,2...л
видеть, что е/п<;|аКе. Функция о(-) ограничена и измерима.
Ввиду того что	—	имеем
Л(/£-|-/(1е)Хе/п)л, где е = (1, 0.0)	и l£ENt
поэтому интеграл
f f<12>
существует. Проверим, что E(<рл)-> 0, если фл->0 в смысле сходи-
мости в пространстве 35, а поэтому Е£ЗУ (EN).
Ввиду того что
(Е * <р) (х) = j е™	• • • +XNlN> d%2 ...
£ЛГ-1
-   ««X оз»
— 00
имеем Е * A (D) (р = ф для каждого ф £ 35. Действительно, подставляя
в соотношении (13) Л(О)ф вместо <р, мы видим, что знаменатель
сокращается; сдвигая путь интегрирования на вещественную ось
получаем
(Е * А (D) ф) (х) = f e2nt	(|) dl = ф (х),
&
что и требовалось доказать.
Упражнение 7. Доказать, что только операторы B(D), где
+ ••• “&)•
являются более слабыми, чем нестационарный оператор Шредингера,
определяемый многочленом
N-1
Упражнения и дополнения	523
2.	Пространства Н(К,
В теории преобразования Фурье важную роль играют так назы-
ваемые взвешенно медленно растущие функции, т. е. функции,
удовлетворяющие следующим условиям:
0</С(-)ЕС(£"), К(* + у)<К(х)К(у). х, у£Е»,	(14)
причем
К(х)<с(1 +11 х||Л х^Е», с, р>0.
В теории дифференциальных операторов часто встречается весо-
вая функция А ( • ), где
[Ax)]2 = SU(“W	(15)
Упражнение 8. Доказать, что для весовой функции поли-
нома А степени т имеет место неравенство
Л°(х + у)<(1 + ||х]|.сГ Л(у), х,
Указание. Воспользоваться формулой Тейлора.
Определение. Если	а функция К удовлетворяет
условиям (7.14), то
11“	/ l^(y)«(y)l2rfy-	(16)
en
Гильбертово пространство с нормой (7.16) будем обозначать
через Н(К, EN) или Н(К)- Заметим, что || и ||5 = || и ||ft( у где
(ЛГ (у))2 = (1+|| у ||2/.
Аналогично •
л <,;=w- v и л<”>(О)<
|а |>О
Упражнение 9. Доказать, что если функции К\ и Кг удо-
влетворяют условию (14) и выполняется неравенство (х)<+ЛГ2 (х),
то Н(К2)=>Н(КХ).
(К \
-о-) , если
Определение. Нлок (К, Йдг) = [и £ ЗУ (£^): фи £ И (К) для всех
ФбСо00^)}.
35*
524	Гл. XXIL Теория Хёрмандера
Упражнение И. Доказать следующее соотношение, имеющее
важное значение для исследования гладкости решений:
А(Р)и£Нл0К1—6“»	если и^Нлок(К, Йуу). (17)
\ А /
Упражнение 12. Доказать следующую теорему.
Теорема. Пространство Нлок(К, 0>N) является F-про-
странством, топология которого определяется полунормами
ф€Со°(^дг)-
Указание. Пусть {/Сл}—последовательность компактных обла-
стей в CN и Kn/AQN. Рассмотреть такую последовательность
{фл}сС^°(йЛГ), что фл(х) = 1 в некоторой окрестности множества /Сл.
3.	Гипоэллиптичность
Определение. Оператор A (D) называется гипо эллипти-
ческим, если каждое решение и уравнения Аи = /, где / £ С°° (й^у),
принадлежит классу C°°(^). (Легко проверить, что для гипоэллип-
тичности оператора A(D) с постоянными коэффициентами достаточно,
чтобы всякое решение уравнения Д« = 0 было бесконечно дифферен-
цируемым.)
Эллиптические операторы являются гипоэллиптическими. Хёрман-
дер в работе [1] нашел ряд необходимых и достаточных условий
гипоэллиптичности. Мы приведем здесь одно из наиболее интересных.
Теорема. Пусть d(£) обозначает расстояние от точки
%£EN до множества	Л(/С) = 0}. Для того чтобы опера-
тор А(р) (с постоянными коэффициентами) был гипоэллипти-
ческим, необходимо и достаточно, чтобы d(|)~>oo при
Заметим, что среди операторов главного типа только эллипти-
ческие операторы являются гипоэллиптическими.
Оказывается, что аналогичная теорема имеет место для систем
уравнений.
Теорема (Хёрмандер). Система
(Ла)* = /4, « = («!• .... Un), f = (Jx.fn)
является гипоэллиптической тогда и только тогда, когда
расстояние d(g) от точки до множества точек из CN,
на котором ранг матрицы A(fy меньше п, стремится к беско-
нечности при ||£||—>оо; <*(|) —> оо при || ^ || —> оо.
Имеет место следующее важное утверждение.
Упражнения и дополнения
525
Теорема (Хёрмандер). Если оператор A(D) гипоэллип-
тичен и и^З то из того, что A(D) и £Нлок(К, QN), выте-
кает и£Нлок(КА, QN).
Ввиду того что для достаточно быстро возрастающих функций К (•)
элементы пространства Нлок(К, 0>N) являются гладкими функциями
(это вытекает из леммы Соболева), на основании предыдущей тео-
ремы заключаем, что с ростом гладкости функции f возрастает
также гладкость решения уравнения Аи = f. Мальгранж, Трев,
Хёрмандер и др. изучали достаточные условия гладкости обобщен-
ных решений. Имеет место следующее предложение.
Теорема (Хёрмандер). Если 1° операторы А(х, D) и
А(у, D) (при фиксированных х и у) имеют одинаковую силу для
любой пары точек х, y£QN и 2° в некоторой системе коор-
динат оператор А(х0, D) гипоэллиптичен (х0 — фиксированная
точка), то оператор А(х, D) (с переменными коэффициентами)
класса C™(QN) является гипоэллиптичным.
4.	Единственность решения задачи Коши
Анализируя метод Карлемана доказательства единственности реше-
ния задачи Коши, Хёрмандер нашел достаточные условия для выпол-
нения неравенства вида
Л f \Ви \2e2ta^dx^c f | Аи \2e2ta{x}dx,
qn
u€C?(Qn). f>0,	(18)
где A = A(D) — однородный оператор порядка m, B = B(D) — опе-
ратор порядка /п, а а (х) — некоторая фиксированная функция.
Это понадобилось при исследовании решения и неравенства
||Лсд:, £>)й||<К У, || D“«|], и£Ст, (19)
I а I < т
равного нулю вне области Ub(]K((6, 0, ...» 0); б), где U&— неко-
торая окрестность нуля, К((Ъ> 0, ...» 0); б)— шар с центром
(б, 0, .. ., 0) радиуса б. Оказывается, что при определенных усло-
виях (см. ниже) имеем и~0 в некоторой окрестности нуля. Ввиду
того что решение уравнения А(х, D)u = 0 удовлетворяет соотно-
шению (19), таким образом можно, в частности, получить условия
единственности решения задачи Коши для широкого класса опера-
торов.
Изложим теперь (без доказательства) несколько глубоких теорем
Хёрмандера. Первая из этих теорем является естественным обобще-
нием теоремы 3 § 4.	,
526
Гл. XXII. Теория Хёрмандера
Пусть a£C3(QN). Линейная оболочка множества векторов
grad а (х) — grad а (у), х, у £ QN cz EN является подпространством про-
странства (EN)*. Пусть — 0, ...» £^ = 0— это подпространство;
о.	опр.
обозначим через а* индекс, полученный из индекса а = (а!.....а^)
отбрасыванием его компонент, меньших п+1. Относительно функ-
ции а мы предположим, что
форма
положительно определена
в плоскости уплЛ = Ъ, ..., ^ = 0.
(20)
Имеет место следующее предложение.
Теорема (Хёрмандер). Пусть а£С3(О^) и в области QN
выполняется условие (20), причем QN — ограниченная область.
Предположим, что операторы А и В удовлетворяют нера-
венству
ta IВ (£ — I grad а (х)) |2 < С1 2 | Аа	— I grad а (х)) | ? “*	(21)
а> 0
zdet^X, a£,£EN. Тогда выполняется также неравенство (18).
Полагая здесь а — const, получим, очевидно, теорему 3 § 4.
Оказывается, что для того, чтобы для каждого оператора
порядка ^т существовала функция а(»), для которой имеет место
неравенство (21), достаточно (а также необходимо), чтобы выпол-
нялись следующие условия:
1° вещественные характеристики оператора А однократны,
т. е. многочлены Л(а)(/|) = 0, | а |	1 не имеют общих нулей,
кроме £ = 0;
2° комплексные характеристики не более чем двукратны, т. е.
многочлены Л(а) (/С), | а |	2 не имеют общих решений (отличных
от нулевого) вида C = £ + *7grad а(х), ^£EN\ t £Ex.
Аналогичная теорема имеет место для операторов Л(х, D)
порядка т (с переменными непрерывными коэффициентами), главная
часть которых РД(х, D) — Д(0, D) является оператором с постоян-
ными коэффициентами, удовлетворяющим условиям Г и 2°. Действи-
тельно, выражение А (х, D) — А (0, D) является оператором порядка
^т—1, а в силу непрерывности (а следовательно, ограниченности)
коэффициентов выражения || D$u ||0, | (3 | < т, можно оценить с помощью
неравенств (18).
В случае эллиптических операторов Хёрмандер получил более
сильный результат. Пусть а (х) °— (Xj — б)2 + б (х2 + ... + х2^;
имеет место следующее предложение.
Упражнения и дополнения	527
Теорема (Хёрмандер). Если Л (О, Z|) ¥= 0 при Q=h^£EN
и уравнение Л (О,	...» i^N) = G не имеет двукратных реше-
ний (^2> • • •, £дг) для вещественных значений £2» • • •,	¥= О,
то существует такая окрестность нуля £/&, что для всех
u^C^(U^) выполняется неравенство
(14-62От_'аН1 ^”'“1/|О“и|2е2М(Л)</х<с J\А(х, D)u\2e2ta(x}dx,
Щ	иь
где М» 6<б0, а и % — положительные постоянные.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исторические и библиографические замечания1)
В нашем изложении мы пользовались аксиоматическим методом:
мы начинали с аксиом гильбертова пространства, банахова простран-
ства или аксиом банаховой алгебры; был выведен ряд теорем, объем
которых увеличивался в меру введения новых определений и „спуска
вниз". Иллюстрирующие примеры и модели, на которых реализова-
лась абстрактная теория, оказывались классическими теориями, на-
пример теорией интегральных уравнений или теорией разложений по
собственным функциям дифференциальных уравнений.
Аксиоматический подход позволил нам лучше выявить внутрен-
ние связи и унифицировать методы. Благодаря этому подходу бодее
выпуклыми становились существенные черты теории, отбрасывалось
все несущественное, „случайное".
Употребляя сравнение Германа Вейля, можно сказать, что „дело
обстоит так, как с человеком, которого забрали из среды, в кото-
рой он жил не потому, что она была для него подходящей, а в силу
приобретенных навыков и предрассудков; после освобождения этому
человеку разрешили входить в связи и группировки, соответствующие
его подлинной внутренней природе". Однако необходимо осознать,
что плодотворная аксиоматика не может возникнуть, если не суще-
ствует богатой „модели" — классической теории, богатой важными
построениями и глубоким содержанием. Целью настоящих замечаний
является облегчение читателю правильного понимания генезиса (проис-
хождения) теорий, с которыми он ознакомился на страницах настоя-
щей работы и которые излагались нами здесь в форме, вероятно, уже
окончательной. По нашему мнению, этого понимания нельзя достичь
без непосредственного знакомства с оригинальными работами, и на-
стоящие замечания имеют также своей целью вызвать у читателя же-
лание обратиться к непосредственному изучению работ великих сози-
дателей науки.
Теория пространства Гильберта — пространства /2 в современной
терминологии — была создана Д. Гильбертом в связи с его теорией
интегральных уравнений, которой посвящено шесть крупных работ,
опубликованных в Nachrichten der KOniglichen Gesellschaft der Wis-
senschaften, Gottingen (так называемые Gott. Nach.) в 1904—1911 гг.
!) Этот обзор (особенно во второй своей части) не претендует на пол-
ноту. — Прим. ред.
Заключение. Исторические и библиографические замечания 529
Точнее говоря, понятие пространства Р и спектральная теория огра-
ниченных квадратичных форм были изложены в работе Гильберта
„Grundziige eines allgemeinen Theorie des linearen Integralgleichungen*
(пятое и шестое сообщения) в 1906 г. Эти работы весьма доступны,
ибо Гильберт издал их в виде книги без существенных изменений
в 1912 г. (второе издание появилось в 1924 г.). По-видимому, и в на-
стоящее время еще нет монографии с более всесторонним охватом
различных применений интегральных уравнений. Потрясает грандиоз-
ность и монументальность здания, воздвигнутого одним человеком.
В четвертом сообщении Гильберт рассматривает интегральные
уравнения с симметричным ядром с помощью квадратических форм
бесконечного числа независимых переменных
К (х)	2^ kpqXpXq' kpq = &qp
(в современных обозначениях (Кх, х), /С* ===== /С); классическая теория
интегральных уравнений с симметрическим ядром была построена
Гильбертом в предыдущих главах.
Следует отметить, что Гильберт пока ничего не говорит о сим-
метрических, т. е. эрмитовых, операторах, а пользуется все время
квадратичными формами и матрицами. Он пытается выделить класс
квадратичных форм, которые можно привести к каноническому виду
с помощью ортогонального (унитарного) преобразования.
Сразу же в гл. XI (мы имеем в виду книжное издание работы)
Гильберт вводит понятия ограниченной и вполне непрерывной формы,
а также понятие резольвенты. Быстрыми шагами Гильберт продвигает
спектральную теорию ограниченных форм и находит спектральное
представление резольвенты в совершенной форме, используя интеграл
Стильтьеса. При этом он открыл замечательное явление: существо-
вание непрерывного спектра.
Удивительной является уверенность, с которой Гильберт подби-
рает определения и названия для новых понятий, которые сохранились
без существенных изменений до настоящего времени. Так, например,
спектральное представление резольвенты квадратичной формы К имеет
у Гильберта следующий вид:
г, z	м
(а)	-М
Бросается в глаза гениальное выделение части, происходящей от
точечного спектра, и части, связанной с непрерывным спектром.
Отметим, что, вводя термин „спектр", Гильберт забегает более чем
на двадцать лет вперед: в 1926 г. Борн и Гейзенберг обнаружили,
что энергия атома выражается квадратичной формой, спектр которой
соответствует спектру светящихся атомов (наблюдаемому в спектр о-
530 Заключение. Исторические и библиографические замечания
скопе). Это редкий случай опережения физики математикой. Не слу-
чайно матричная механика возникла в Геттингене.
После открытия того, что каждую ограниченную форму К бес-
конечного числа переменных всегда можно и при этом только одним
способом преобразовать с помощью ортогональной подстановки к виду
к=М+М+ ••• +
(5)
(теорема 33), Гильберт вводит вполне непрерывные формы и пока-
зывает, что они допускают представление вида
••••
где kv k2, ... — обратные величины собственных чисел формы /С.
Предчувствуя важность понятия полной непрерывности, Гильберт
ищет для нее необходимые и достаточные условия. Затем следует
изложение теории уравнений второго рода с вполне непрерывными ма-
трицами. Располагая общей теорией квадратичных форм, в гл. XII—XVI
(пятое сообщение 1906 г.) Гильберт показывает, как можно получить
в качестве следствий из общей теории его теоремы по теории
интегральных уравнений. Аналогично сводя интегральные уравнения
с несимметрическим ядром к системе из бесконечного числа уравнений
(с помощью соответствующих скалярных произведений), Гильберт
получает три теоремы Фредгольма.
Гильберт сознает, что метод бесконечного числа переменных
(сегодня мы бы сказали — теория операторов в гильбертовом про-
странстве) обладает большей общностью, чем теория интегральных
уравнений, и ставит задачу введения этого метода непосредственно
в дифференциальные уравнения, минуя интегральные. Сам Гильберт
не выполнил этой программы, он открывал все время новые методы
сведения задач теории дифференциальных уравнений (отметим здесь
метод функции Грина) к соответствующим задачам теории интеграль-
ных уравнений. Только Шаудер для уравнений второго порядка эллип-
тического типа, а Вишик и Гординг (об этом мы скажем еще более
подробно) для общих сильно эллиптических систем реализовали про-
грамму Гильберта.
Огромное влияние на дальнейшее развитие теории линейных урав-
нений имели работы Эргарда Шмидта и его диссертация 1905 г.,
опубликованная в 1907 г. в 43 томе Mathematische Annalen и озаглав-
ленная „Entwicklung willkiirlichen Funktionen nach Systemen vorge-
schriebener und AuflOsung der allgemeinen linearen Integralgleichungen".
Для этих работ характерна простота средств — ортогонализация
Шмидта, неравенство Бесселя — и классическая красота. Шмидт по-
казывает в этих работах, что некоторые дополнительные ограничения
на ядро, допущенные Гильбертом, являются излишними. Метод, изло*
Заключение. Исторические и библиографические замечания 531
женный нами в гл. VII, заимствован из работы Шмидта 1908 г. „Ober
die AuflOsung der nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzwei-
gung iherer Losungen". Методы, которые Шмидт применял к частным
моделям теории, благодаря их простоте можно перенести без изме-
нений на абстрактный случай. Для того чтобы это подчеркнуть, мы
приняли такое определение полной непрерывности, которое является
наиболее близким методу Шмидта: „Вполне непрерывный оператор
является пределом непрерывных конечномерных операторов". Оказы-
вается, что именно это определение (очевидно, с соответствующими
изменениями) было принято А. Гротендиком в его подходе к теории
Фредгольма в локально выпуклых векторных пространствах.
Дальнейшее развитие теории уравнений с бесконечным числом
переменных связано с именами Э. Шмидта, Ф. Рисса, Э. Хеллингера,
О. Тёплица, Ю. Шаудера, Г. Кёте и многих других.
Ввиду того что эти работы не являются непосредственно связан-
ными с настоящей книгой, мы ограничиваемся указанием на замеча-
тельную энциклопедическую статью двух близких учеников Гильберта —
Э. Хеллингера и О. Тёплица, которая легко доступна, так как она
издана в виде .книги „Die Integralgleichungen und Gleichungen mit
unendlich vielen Unbekannten", Лейпциг, 1927.
Под влиянием работ Гильберта Ф. Рисе и Е. Фишер доказали
полноту пространств А* 2 и изоморфизм пространств Р и £2. Однако
только в 1927—1930 гг. Дж. фон Нейман, вдохновленный лекциями
Гильберта по квантовой теории (1927 г.), создал полную спектраль-
ную теорию неограниченных симметрических и нормальных операто-
ров, основные результаты которой мы изложили в гл. V. Только
в этих работах фон Нейман вводит аксиомы сепарабельного гильбер-
това пространства.
Бурное развитие теории неограниченных операторов в гильбер-
товом пространстве, несомненно, связано с квантовой механикой,
и, кроме фон Неймана, следует здесь указать фамилии А. Винтнера,
К. Фридрихса (работы по теории полуограниченных операторов),
а также М. Стоуна1).
В этот период были написаны такие крупнейшие монографии,
как монография фон Неймана „Mathematische Grundlagen der Quan-
tenmechanik"2), содержащая, . пожалуй, самый глубокий анализ основ
квантовой механики, а также монография М. Стоуна „Linear trans-
formations in Hilbert space and their application to analisis", которая,
кроме полного изложения спектральной теории и вопросов самосо-
пряженных расширений, содержит применения к теории разложений
’) Полное решение проблемы расширений симметрических операторов
было дано в работах М. Г. Крейна и М. А. Наймарка. — Прим, перев.
2) Русский перевод: фон Нейман, Математические основы квантовой
механики, Мм изд-во „Наука", 1964. — Прим, ред»
532 Заключение. Исторические и библиографические замечания
по собственным функциям операторов Штурма — Лиувилля, а также
применения к интегральным операторам с ядром Карлемана (обе книги
вышли в 1932 г.,‘ причем вторая из них не переиздавалась и не пере-
водилась).
Следующие годы приносят ряд новых доказательств спектральной
теоремы, а также попытки по возможности полного решения про-
блемы унитарной эквивалентности. В связи с этими вопросами сле-
дует указать на работы Э. Хеллингера, X. Хана, М. Стоуна, Ф. Ве-
кена, Г. Накано, А. И. Плесснера, В. А. Рохлина, П. Халмоша.
Особенно простые условия и доказательство унитарной эквивалент-
ности содержатся в работе К. Иосида „On unitary equivalence in
general Euklid Space".
Крупнейшим достижением в развитии спектральной теории в гиль-
бертовом пространстве, несомненно, является большая работа 1949 г.
фон Неймана „On rings of operators, Reduction theory". В этой ра-
боте Нейман вводит исключительно плодотворное понятие прямого
интеграла гильбертовых пространств, а также доказывает полную
спектральную теорему, которая, как нам известно, дает также есте-
ственное условие унитарной эквивалентности. Эта теорема — как обна-
ружил в 1953—1954 гг. Л. Гординг — составляет абстрактную основу
теорем о разложениях по собственным функциям (см. гл. XVII) и должна
играть основную роль в математическом аппарате квантовой механики,
о чем свидетельствует работа Л. Гординга и А. Уайтмана [1].
Проблемы разложения по собственным функциям были одним из
главных двигателей развития спектральной теорий. Если вопрос о раз-
ложимости по собственным функциям интегральных операторов, при-
водящих к вполне непрерывным эрмитовым операторам, был в ко-
роткое время полностью решен в работах Гильберта и Шмидта, то
аналогичный вопрос для дифференциальных уравнений вследствие
непрерывности и неограниченности спектра приводил к непомерно
большим затруднениям. Первое общее решение для уравнений второго
порядка мы находим у Г. Вейля в его работе „Ober gewdhnliche
Gleichungen mitSingularitaten und die zugehOrigen Entwicklungen will-
kiirlichen Funktionen", Math. Ann., 68 (1910).
С тех пор появилось большое количество работ, из которых сле-
дует отметить работы Е. Титчмарша, а также К. Кодаиры, цитиро-
ванные в гл. XVII. Этим проблемам посвящена замечательная моно-
графия М. А. Наймарка, в которой содержится весьма полный лите-
ратурный указатель по 1952 г. Г. Вейль, реферируя эти проблемы
в 1949 г., считал, что только решение Кодаиры от 1949 г. является
удовлетворительным (нам кажется, что таковым является только ре-
шение, приведенное в гл. XVII), и не смог удержаться от едкого за-
мечания о том, что потребовалось 40 лет, чтобы полностью решить
проблему, и что математики предпочитали заниматься абстрактными
вопросами, а не вопросами, имеющими конкретное значение.
Заключение. Исторические и библиографические замечания 533
Вопрос о разложении по собственным функциям сингулярных
эллиптических операторов долгое время оставался нерешенным.
Со времени фундаментальной работы Т. Карлемана „Sur la th£orie
mathematique de liquation de Schrodinger", Arklv f. Mat, Astr.
о Fysik, 24, 11 (1934), прошло 19 лет, прежде чем А. Я. Повзнер [1]
и Ф. Маутнер [1] атаковали эту проблему. Работа Маутнера носит
более общий характер. Общее решение для произвольного самосопря-
женного расширения эллиптического оператора нашли Л. Гординг [3, 4]
и Браудер [2], причем только во второй работе Гординга явно исполь-
зуется полная спектральная теорема фон Неймана.
Об истории проблем, связанных с асимптотикой собственных зна-
чений и собственных функций, мы говорили в заключении гл. XVII.
В аналитических исследованиях по теории чисел Гарольд Бор
подметил свойство, которое назвал почти периодичностью. Сразу после
появления больших работ Бора в Acta Mathematica (1924—1925 гг.),
„Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen", появилась работа
Г. Вейля1), в которой основные теоремы Г. Бора доказываются с по-
мощью теории Э. Шмидта, примененной к интегральному уравнению
с ядром К ($, /) = /($ —1\ где f — исследуемая почти периодиче-
ская функция. Идеи этой классической работы Вейля составляют
основу работ многих авторов (например, Ф. Реллиха, В. Маака,
Г. Вейля, Дж. фон Неймана, К. Морена).
Именно подход Г. Вейля к теории почти периодических функций
привел к потребности в несепарабельном гильбертовом пространстве.
В 1934 г. Ф. Реллих показал, как построить теорию вполне не-
прерывных эрмитовых и нормальных операторов в несепарабельном
гильбертовом пространстве, а в следующем году применил свои ре-
зультаты к теории фон Неймана почти периодических функций на
группе (Реллих 13]).
В 1949 г. Г. Вейль вернулся к теории почти периодических
функций и показал, как с помощью его идей 1926 г. построить тео-
рию так называемых почти периодических векторов. Теория, из-
ложенная нами в гл. XXI, освобождает подход Вейля от интеграль-
ных уравнений с помощью перехода к вполне непрерывным опера-
торам.
Почти периодические функции на вещественной оси близко свя-
заны с эргодической теорией, что было продемонстрировано в инте-
ресной работе В. Эберлейна „Abstract ergodic theorems and weak
almost periodic functions".
Метод самосопряженных расширений дифференциальных опера-
торов (главным образом полуограниченных) развил Курт Фридрихе [1]
в своих фундаментальных работах в 1934—1935 гг. Этому методу
!) Weil Н., Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen, Math.
Ann., 97 (1926), 338—356.
534 Заключение. Исторические и библиографические замечания
в применении к эллиптическим уравнениям С. Г. Михлин посвятил
две весьма доступно и интересно написанные монографии.
Весьма драматичной является история принципа Дирихле, геоме-
трической интерпретацией которого является, как нам известно, метод
ортогональной проекции. Возведенный Риманом в основной принцип
теории функции, вследствие критики Вейерштрасса этот принцип пал
до роли эвристической гипотезы, применяемой всерьез лишь физи-
ками, но затем, благодаря работам Гильберта в 1900—1901 гг., опять
приобрел право гражданства. В своей знаменитой лекции „Ober das
Dirichletsche Princip" *) Гильберт говорил следующее: „Если понять,
что задача Дирихле является лишь частной проблемой вариационного
исчисления, то можно прийти к следующей общей формулировке
принципа Дирихле:
Каждая регулярная задача вариационного исчисления имеет
решение, если только наложить соответствующие ограничения
на заданные граничные условия и разумно обобщить понятие
решения*.
Опять поражает нас уверенность и смелость высказывания, которое
стало программой исследований, по вариационному исчислению по
сегодняшний день.
Методом ортогональной проекции неявно пользовалсяБеппо Леви* 2).
Разложение пространства § в ортогональную сумму пространства
гармонических функций и пространства функций, равных нулю на
границе (ср. гл. XII), появилось в работе Г. Вейля „The method of
ortogonal projection in potential theory", Duke Math. J., 7 (1940),
414—444. Эта работа явилась мощным импульсом для дальнейших
исследований; в ряде работ К. Кодаира [2] построил ортогональные
разложения пространства тензорных полей. Вершиной этих публи-
каций явился большой труд К. Кодаиры „Harmonic fields in Rieman-
nian manifolds (generalized potential theory)", Ann. of Math., 50
(1949), 587—665, благодаря которой молодой японский математик
выдвинулся в разряд ведущих математиков нашего времени. Уже
в 1944 г. Кодаира применил метод ортогональной проекции к неод-
нородной задаче, остроумно используя теорему Фреше — Рисса.
М. И. Вишик применил метод ортогональной проекции к уравнениям
высших порядков, а также к введенному им классу сильно эллипти-
ческих систем (1947—1951 гг., [1, 2]). В 1953 г. Гордингу удалось
доказать неравенство (8.3) (см. гл. XIII), благодаря чему одно огра-
’) Лекция была прочитана на заседании Германского математического
общества (Jahresberlcht der Deutschen Mathematikervereinigung) в 1909 г.
2) L е v i В., Sul Principo di Dirichlet, Rend. Ciro. Math. Palermo, 22
(1906), 293—300; Z a r e m b a S., Sur le principe de minimum, Bull, de Г Acad,
de Set. de Cracovle. (1909), а также Z a r e m b a S., Sur un probleme toujours
possible, comprenent a titre de cae particulier le ргоЫёте Dirichlet et celui de
Neuman, J. Math. Pares Appl. (serie 6), 9 (1927), 127—163.
Заключение. Исторические и библиографические замечания 535
ничивающее условие М. И. Вишика оказалось ненужным. В 1955 г.
автор открыл связь между методом ортогональной проекции и мето-
дом Трефтца и Ритца (см. гл. XV).
На развитие применений теории самосопряженных операторов
к теории эллиптических операторов большое влияние оказали работы
К. Фридрихса [1, 2]. Методы Фридрихса упростил и развил С. Г. Мих-
лин в упомянутых выше монографиях [1, 2]. Во второй из них, име-
ющей более теоретический характер, широко применяются теоремы
вложения Соболева и Кондрашева, благодаря которым получены
изящные доказательства полуограниченности различных эллиптических
операторов.
В последние годы появилось большое количество работ по так
называемым прямым методам анализа: геометрическое истолкование
понятий гильбертова пространства наводит на все новые методы, по-
зволяющие приближенно решать различные задачи анализа, что имеет
много применений в технике.
Из этого краткого обзора видно, что методы гильбертова про-
странства позволили решить ряд классических проблем в такой
общности, о которой классики не могли и мечтать, причем очень
простым способом. Они дали возможность создать новые методы,
имеющие большое практическое и теоретическое значение.
ДОПОЛНЕНИЕ!
Общие сведения
В дополнении I собраны те сведения по общей топологии (§ 1)
и теории интеграла (§ 2), которыми мы пользовались в книге. До-
казательства приведенных здесь теорем можно найти в каждом учеб-
нике топологии и теории функции действительного переменного.
Краткое изложение этих фактов содержится в многократно цитиро-
ванной монографии Люмиса [1].
§ 1.	Топология
Множества. Теоретико-множественную сумму произвольного
семейства множеств мы обозначаем через |J Л, а их общую
часть — через Q А. Пустое множество обозначается символом 0,
а дополнение множества А относительно заданного пространства —
через Д'.
Упорядочение. Множество А называется частично упоря-
доченным, если для некоторых пар его элементов а, b установлено
соотношение порядка а < b (можно также писать b > а), которое
1° транзитивно: из a и ft < с вытекает а < с\ 2° рефлексивно:
а < а; 3° если а < b и Ь < а, то а = Ь. Частично упорядоченное мно-
жество является линейно упорядоченным, если для каждой пары
его элементов а, b либо а < Ь, либо b < а.
Элемент bQ является верхней гранью подмножества В частично
упорядоченного множества Л, если b < bQ для всех b£B-f aQ яв-
ляется максимальным элементом в А, если из а > а0 вытекает,
что aQ — a. О существовании максимальных элементов говорится
в лемме Цорна.
Лемма Цорна. Каждое частично упорядоченное множе-
ство содержит максимальное линейно упорядоченное подмно-
жество. Если каждое линейно упорядоченное подмножество
множества А имеет в А верхнюю грань, то множество А со-
держит максимальный элемент.
§ 1. Топология
537
Топология. Семейство т подмножеств пространства (множе-
ства) Е называется топологией в Е, если
а)	семейство т содержит пустое множество 0 и все пространство Е\
Ь)	если TjCZT, то также (J
лет,
с)	общая часть произвольного конечного количества множеств
семейства т принадлежит этому семейству.
Если и т2 — две топологии на Е и если то говорят,
что топология Tj слабее топологии т2.
Если —семейство подмножеств в Е, то топологией т(^),
индуцированной (порожденной) семейством , называется сла-
бейшая топология на Е, содержащая семейство <ЗГ.
Множество Е с заданной на нем топологией т называется то-
пологическим пространством, а множества, входящие в семей-
ство т,— открытыми множествами. Подмножество AczE назы-
Л/ 0П0- D	Л
вается замкнутым, если его дополнение А =Е — А является от-
крытым. Замыкание А множества А является (по определению)
наименьшим замкнутым множеством, содержащим А. Имеем А = А.
Элементы топологического пространства обычно называют точ-
ками, а открытое множество А, содержащее точку р,— окрест-
ностью точки р.
Хаусдорфовым пространством называется топологическое про-
странство, каждые две точки которого обладают непересекающимися
окрестностями. В дальнейшем, говоря о пространстве, мы будем
иметь в виду исключительно хаусдорфово пространство.
Подмножество А пространства Е называется компактным (иногда
употребляется термин бикомпактное множество), если каждое се-
мейство открытых множеств, покрывающих множество А, содержит
конечное подсемейство, покрывающее А (аксиома Бореля — Лебега).
Множество А называется относительно компактным, если его
замыкание А компактно.
Метрическое пространство Е (ср. гл. I) называется предкомпакт-
ным, если его пополнение компактно; в полном (метрическом) про-
странстве понятия относительной компактности и предкомпактности
совпадают. Для того чтобы множество А было предкомпактным,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > 0 существовало
конечное число таких точек at £ А, что каждая точка из А нахо-
дится на расстоянии меньше £ хотя бы от одной из точек по-
следнее условие называют условием существования конечной
е-сети.
Пространство Е называется локально компактным, если каждая
его точка обладает окрестностью с компактным замыканием.
Пусть дано непустое множество индексов А, и пусть каждому
элементу а£Д поставлено в соответствие множество Sa. Декар-
538	Дополнение I. Общие сведения
товым произведением Sa называется множество всех функ-
ций р, заданных на множестве А и таких, что р (а) = ра Q 8а.
В случае конечного числа пространств ........Sn декартово про-
изведение обозначают символом X • • • X Sn. Если 8а, где а £ А —
топологические пространства, то в множестве Е = JT 8а топологию
вводят следующим образом: элементарным множеством в декар-
товом произведении Е называют множество вида JJ Fa, где Fa —
a£A
открытое множество в Sa для каждого а и Fa = Sa, за исключе-
нием конечного числа индексов а£Д. Топология т, порожденная
всеми элементарными множествами в множестве Е, называется то-
пологией Тихонова на Е, а топологическое пространство Е с то-
пологией Тихонова называется декартовым прризведением топо-
логических пространств Sa.
Теорема Тихонова утверждает, что для того, чтобы декар-
тово произведение было компактным, необходимо и достаточно,
чтобы все сомножители Sa были компактными.
Непрерывные отображения (функции). Пусть даны два
топологических пространства Ех и Е2 и отображение /: Е1—>Е2
пространства Ех в пространство Е2 (f (Ех)с2Е2). (Если f(Ex) — E2,
то / — отображение Ех на Е2.) Отображение f называется непре-
рывным в точке a£Ev если для каждой окрестности Ua точки f(a)
существует такая окрестность Ux точки а, что f(Uy)czUa. Отобра-
жение называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке.
Это условие эквивалентно каждому из трех следующих. ______
1°. Для каждого подмножества	имеем /(Д1)с/(Л1).
2° (3°). Полный прообраз /“* (Л) каждого открытого (замкнутого)
множества АаЕ2 является открытым (замкнутым) множеством в Ех.
Непрерывное отображение компактного (относительно компакт-
ного) множества является компактным (относительно компакт-
ным) множеством при условии, что Е2 — хаусдорфово пространство.
Топологическим отображением (гомеомо рфизмом) называется
такое взаимно однозначное отображение f пространства Ех на про-
странство Е2, что отображения f и /-1 непрерывны. Взаимно одно-
значное и непрерывное отображение компактного пространства Ех
на хаусдорфово пространство Е2 является гомеоморфизмом Ех на Е2-
Отображение f\Ex->E2 остается непрерывным, если в Ех взять
более сильную топологию, а топологию в Е2 заменить более слабой
(чем сильнее топология в Ех и слабее в Е2, тем больше существует
непрерывных отображений Ех —> Е2).
В функциональном анализе важную роль играет так называемая
слабая топология на множестве Е-, определяют ее следующим об-
разом: пусть (fa), а£Л, является множеством отображений множе-
§ 2. Теория интеграла
539
ства Е в топологические пространства Sa(/a : £*—>Sa); слабой то-
пологией на множестве Е, индуцированной отображениями (/а),
называется слабейшая топология, в которой все отображения /а, а£ А,
являются непрерывными.
Слабая топология тесно связана с топологией Тихонова. Отобра-
жение /а, сопоставляющее каждому элементу р
EE=Hsa
а£А
его коор-
динату ра, называется проекцией множества Е на пространство Sa.
Оказывается, что слабая топология на декартовом произведении Е,
индуцированная проекциями /а, а£Л, является именно топологией
Тихонова.
Теорема Стоуна — Вейерштрасса. Если Е — компакт-
ное пространство, Н — множество непрерывных функций на Е,
принимающих вещественные значения, отделяющих точки про-
странства Е (это означает, что для каждой пары х, у различных
точек пространства Е существует такая функция	что
/(х)¥=/(у))’ т° каждая вещественная функция, непрерывная
на Е, может быть аппроксимирована равномерно многочле-
нами от функций из Н (т. е. функциями вида х —> g (fx (х), ...
..., /л(х)), где	а g— многочлен). Другими словами,
каждая подалгебра алгебры в(Е, Е1), содержащая постоян-
ные функции и разделяющая точки пространства Е, является
плотной в пространстве в(Е, Е1) непрерывных отображений
множества Е на вещественную ось Е1.
§ 2.	Теория интеграла
Здесь мы изложим основные факты по теории интеграла в ло-
кально компактных пространствах, причем вначале мы приведем
классические определения меры и интеграла, а затем ознакомим
читателя с трактовкой Бурбаки, которая, по-видимому, обладает
определенными преимуществами.
Мера. Пусть Е — локально компактное пространство. Мини-
мальный класс множеств, замкнутый относительно операций счет-
ного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнитель-
ному (относительно Е) множеству и содержащий все компактные
подмножества пространства Е, называется борелевским телом мно-
жеств S, а его элементы — борелевскими множествами. Веществен-
ная 'функция |х, определенная на борелевском теле множеств, назы-
вается мерой, если она обладает следующими свойствами:
1° р(Л)>0 при А С 5;
/ 00	\ оо
2° н ( U А ) = 2 Н (Л)« если Ai п Aj~ 0 ПРИ 1 — i (счетная
аддитивность);
540
Дополнение I. Общие сведения
3* р(0) = О,
4® р-(Ю < 00 лля компактного множества /G
Борелевские множества называем измеримыми относительно
меры р.
Измеримость, интегрируемость. Вещественная функ-
ция, принимающая на множестве Е неотрицательные значения, назы-
вается измеримой, если для каждого а>0 множество значений
аргумента, для которых /(х)^>а, является измеримым. Комплексно-
значная функция / называется измеримой, если ее можно предста-
вить в виде f = fi—/2 + К/3 — /4)» где Функции вещественны,
неотрицательны и измеримы. Если f — неотрицательная измеримая
функция, то существует (конечный или бесконечный) предел сумм
Лебега, который называют интегралом J* /(x)dp(x) функции /.
Е
Если J* f(x) < 00, то функция f называется интегрируемой.
Е
Функция, полученная из измеримых функций посредством обыч-
ных операций анализа (алгебраические действия и предельный пере-
ход), является измеримой.
Теорема Фубини. Пусть — мера на множестве Elt
Z=l, 2; тогда на множестве Ег\Е2 — Е существует мера v,
называемая произведением мер щ, ц2, такая, что если A^Ei
есть цгизмеримое множество, то X Д2) == ^ (Лх) ц2 (Л2).
Для каждой ^-интегрируемой функции имеет место следую-
щая формула*.
. J /(хр x2)dv(xp х2) = J dgiCXi) J /(Хр х2)ф2(х2) =
E\%Ei	Е\	Е%
= J dp2(x2) f/(xi< xi)^l(xl)-
Е2	Et
Каждое из этих чисел обозначают символом
f J f (xlt х2) dp (xj dp (х2).
E\ Е^
Если на множестве Е заданы две конечные меры, причем ц2(Л4) — О
для каждого множества М, для которого ^(714) = О, то мера р2
называется абсолютно непрерывной относительно меры (в этом
случае пишут	и» как утверждает теорема Радона — Никодима,
существует такая интегрируемая (неотрицательная) функция /, что
р2 (Л) = J f (x) tfpq (л:) для каждого борелевского множества А.
д
§ 2. Теория интеграла
541
Обозначим через С0(В) пространство всех непрерывных комплекс
позначных функций на Et обладающих компактными носителями
Мера ц определяет положительный ограниченный функционал на про-
странстве С0(В):
опр. Р
Ц(/) — J f р(/)^>0 при /^>0 (положительность),
|Ц (/)|< Н (Ю || f ||tf,	где ||/|^= max |/(х)| (ограниченность).
х£КСЕ
Имеет место обратное утверждение.
Теорема Рисса. Каждый положительный линейный огра-
ниченный функционал I, заданный на пространстве Сц(Е\
определяет такую меру ц, что
f J
В том случае, когда пространство Е является вещественной
осью Е\ р, определяется функцией ограниченной вариации:
= J /(Х)ф(х).
Ех
Собственно говоря, Ф. Риссу принадлежит лишь случай Е = Е\
а общая формулировка была дана рядом математиков, в том числе
Радоном, Марковым, Саксом, Какутани.
При подходе Бурбаки отправной точкой является теорема Рисса,
служащая определением меры; интеграл задается раньше меры мно-
жеств как значение линейного непрерывного функционала на про-
странстве непрерывных функций с компактными носителями. Точнее,
мерой р на локально компактном пространстве Е называется ли-
опр. (*
нейный непрерывный функционал /->р(/) = I f ф, определенный
на всем пространстве С0(В). Непрерывность функционала понимается
в том смысле, что для каждого компактного множества КаЕ су-
ществует такое число а (К) > 0, что
|Н(/)К« (K)sup|/(x)|
х^К
для каждой функции /£С0(£), носитель которой содержится в мно-
жестве К>
Если для каждой функции /^0, принадлежащей простран-
ству С0(В), имеем р(/)^>0, то р называется положительной ме-
рой.
Вели В —банахово пространство, В* — сопряженное к нему про-
странство (пространство линейных функционалов, непрерывных на В),
а р— мера, заданная на пространстве В, то интегралом непре-
36 К- Морен
542
Дополнение 1. Общие сведения
рывного отображения f\E->B (обладающего компактным
носителем в Е) относительно меры ц называется элемент р(/) =
= f dp. пространства В, для которого тождество
(//<&• “*)=f О-
выполняется для всех а*£В*.
Вещественная функция /, заданная на топологическом простран-
стве F, называется полунепрерывной снизу (сверху), если для каж-
дого числа k множество {х £ F : f (х) > А?} (множество {х £ F:
У(х)<А.}) является открытым.
Отсюда вытекает, что для того, чтобы множество AczF было
открытым (замкнутым), необходимо и достаточно, чтобы его харак-
теристическая функция хл была полунепрерывна снизу (сверху).
В прямых методах вариационного исчисления важную роль иг-
рает следующая теорема Вейерштрасса (ср. гл. XIV, § 8).
Функция, полунепрерывная снизу (сверху), на компактном
множестве достигает своей нижней (верхней) грани.
В дальнейшем ц будет обозначать положительную меру на про-
странстве Е.
Пусть h 0 — полунепрерывная снизу функция, заданная на про-
странстве Е\ верхним интегралом функции h относительно меры р,
называется неотрицательное число (или +©о)
|Х*(Л)—’ SUp |A(g).
0<£<Л
^€Со(£)
Пусть / — произвольная вещественная неотрицательная функция, за-
данная на пространстве Е. Верхним интегралом функции / от-
носительно меры |х называется число
|1’(/) ='int |1* (Л) =' Г/ф.
h	J
где h пробегает множество функций, полунепрерывных снизу, и
удовлетворяет неравенству h^f. Внешней мерой р,*(Л) подмно-
жества АаЕ называется верхний интеграл р*(хл) характеристиче-
ской функции множества А.
Будем говорить, что функция, заданная на пространстве Е, обла-
дает некоторым свойством почти всюду (п. в.) (относительно меры ц),
если множество А значений аргумента, для которого рассматривае-
мая функция этим свойством не обладает, имеет внешнюю меру
нуль: ц*(Л) = 0.
Пусть f — функция, заданная почти всюду на Е, принимающая
значение в банаховом пространстве В; для каждого вещественного
числа р 1 обозначим через Np (f) корень степени р из верхнего
§ 2. Теория интеграла
543
интеграла |х*(^), где g— конечная числовая функция на Е, почти
всюду равная Н /	(т. е. g (х) —1| f (х) ||р для почти всех х^ В,
||*|| —норма в В). Для двух функций /р /2, заданных почти
всюду в Е, принимающих значения в В, имеют место соотношения
NP (Л + Л) < Np (Д) 4- Np (Д). Np (afi) = | a I Np (Д),
где a — произвольное комплексное число.
Говорят, что функция, заданная почти всюду на В, со значениями
в пространстве В, интегрируема в р-й степени (или просто инте-
грируема, если р—1), если для каждого е>0 существует такая
непрерывная на Е функция g со значениями в В, обладающая ком-
пактным носителем, что Np(J — g)<e. Для того чтобы функция /
была интегрируема в р-й степени, необходимо и достаточно, чтобы
функция ||/||р~1/ была интегрируема. Множество функций, заданных
на пространстве Е со значениями в бахановом пространстве В, инте-
грируемых в р-й степени, обозначаем через (Е, В). Множество
If (В, В) классов эквивалентности функций из ^Р(Е, В) является
банаховым пространством с нормой ||/||p = Afp(/)» где / — какая-
либо функция из класса /. В случае когда пространство В является
комплексной плоскостью С1, вместо LP(E, С1) пишут коротко If (Е)1).
Если желательно подчеркнуть, что имеется в виду интегрирование
относительно меры ц, то пишут Lp (В, В, р,). В этой книге нас инте-
ресовали лишь случаи р=1, 2.
Как видно из определения, пространство С0(В, В) плотно в про-
странстве Д1 (В, В) интегрируемых функций; отображение f dV>
пространства С0(В, В) в пространство В продолжается по непре-
рывности до линейного отображения пространства Л1 (В, В) в про-
странство В; продолженное отображение мы обозначаем так же, как
исходное: J/ф, f£D(E,B). Для каждой интегрируемой функ-
ции f (заданной почти всюду на В) существует элемент простран-
ства В, равный J gd[it где g—интегрируемая функция, заданная
всюду на В и равная функции f почти всюду. Этот элемент назы-
вается интегралом функции / и обозначается символом
или ц(/). Следовательно, функция ||/|| интегрируема ц выполняется
неравенство
||J/^||< J Н/НФ.
') Ср. гл. I, § 2.
36*
544	Дополнение I. Общие сведения
Для каждой вещественной интегрируемой функции /^>0 имеем
Множество А£Е называется интегрируемым, если интегрируема
его характеристическая функция %л. Число ц(Л) I %лф назы-
вается мерой множества А\ следовательно, для интегрируемого А
р,* (Д) = р, (Д). Для того чтобы множество А было интегрируемым,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого 8 > 0 существовало
такое компактное множество К с: А и открытое множество U о Д,
что р* (U П К') < е, К' = Е — К.
Отображение f локально компактного пространства в топологи-
ческое пространство F называется измеримым, если для каждого
компактного множества К и каждого 8 > 0 существует такое ком-
пактное множество (= К. что Л Ад) и отображение f,
рассматриваемое лишь на множестве Кх, является непрерывной
функцией.
Множество А с Е называется измеримым, если измерима его
характеристическая функция. Эквивалентное условие состоит в том,
чтобы для каждого компактного множества К множество А П К
было измеримым.
Для того чтобы отображение f пространства Е в банахово про-
странство В было интегрируемым, необходимо и достаточно, чтобы
функция f была измеримой и выполнялось неравенство Wi(/)<oo.
Замечание. Определенная здесь интегрируемость совпадает
с так называемой интегрируемостью в смысле Бохнера.
Приведем теперь несколько классических теорем в общей фор-
мулировке (эти теоремы обычно формулируют для случая В^Е1,
т. е. для числовых вещественных функций).
Если (/я) — последовательность Коши в пространстве Lp (Е, В),
то существует подпоследовательность абсолютно сходящаяся
[т. е. такая, для которой сходится последовательность (Ц/^Ц)]
почти всюду к некоторой функции f^^p{E, В)\ последователь-
ность (/я) сходится в среднем в р-й степени к функции /.
Теорема Лебега. Если fn — последовательность функций
из (Е, В), такая, что: Г последовательность (fn(x)) схо-
дится почти всюду к пределу f(x)£B, 2° существует такая
числовая функция	что J gpdp<oo и || ftl (х) || g (х)
почти всюду в Е для всех п, то функция f интегрируема
В р-й степени и последовательность (fn) сходится в среднем
§ 2. Теория интеграла
545
в р-й степени к функции f. ^В случае р = 1 имеем jf dp ==
= Ilm f
Л~>оо J	/
Пусть F— метрическое пространство, a f — отображение про-
странства В X F в банахово пространство В, обладающее следую-
щими свойствами:
1° для каждого t£F функция х—>/(х, t) интегрируема,
2° для каждого х£Е функция t-+f(x> f) непрерывна в точке
3° существует такая окрестность U точки t0 и такая числовая
функция g > 0, что J dp < оо и || f (х, t) || g (х) для всех х £ Е
и t£U. В этих предположениях отображение J/(x, Z)rfp(x)
пространства F в пространство В является непрерывным в точке tQ,
Пусть J—отрезок вещественной оси, a f — отображение мно-
жества EXJ в банахово пространство В, такое, что:
Г для каждого a£J отображение х—>/(х, а) пространства Е
в пространство В является интегрируемым,
2° для каждого х£Е отображение а->/(х, а) обладает в J
сильной производной df(xt a)/da,
3° существует такая интегрируемая функция §*^0, что
||d/(x, a)/da || <: g (х) для всех х£В.
В этих предположениях функция и(а) = I /(х, a)d|i(x) является
(сильно) дифференцируемой в J и имеет место равенство
rfu(a) _ f d/(x, a) , , .
} fa
Если A — линейное непрерывное отображение банахова простран-
ства Bj в банахово пространство В2, то для каждой интегрируемой
функции	функция Af является интегрируемой и
J* Af (х) ф (х) = А J/(х)ф(х).
В частности, (В2==С1), если Ь*— произвольный линейный функ-
ционал, непрерывный на B\(b*£В*), то числовая функция (/(•),
является интегрируемой, причем
/</(*). b*)dH(X) = (f f(x)dll(x), b*).
Соотношение между пространствами Lp(Е, В),
Если множество Е имеет конечную меру: |1(В)<оо,
то при г < s имеем U(E, p)a.Lr(E, ц) и сходимость в среднем
в степени $ влечет сходимости в среднем в степени г,
546	Дополнение I. Общие сведения
Произведение мер. Пусть	1, ...» п)— локально
п
компактные пространства с мерами Пусть	Тогда
на пространстве Е существует в точности одна такая мера V, что
при /z€^o(^z) имеет место равенство
п
{fl® ... ®/„,	=	|xz);
здесь (fi® ... ®fn)(Xi.......хп)°Л£-Цfi(xt), xt^Et. Мера v
Z = 1
называется тензорным произведением мер |ЛХ........|хл и обозна-
чается символом
опр. п
v = ® Ц/ = Н1® ... ®|Л„
Z = 1
(часто применяют обозначение щ . цд, хотя более правильным
является тензорное обозначение). Имеет место теорема Фубини
об изменении порядка интегрирования.
ДОПОЛНЕНИЕ II
Мера Хаара. Полупростые группы.
Среднее почти периодического вектора
1. Пусть О — топологическая локально компактная группа; это
означает, что О — локально компактное пространство и группа,
причем групповые операции непрерывны. Мера р- (соответственно
интеграл) на группе G называется левой мерой Хаара, если она
левоинвариантна: для каждой непрерывной функции /(•) с компакт-
ным носителем выполняется соотношение
Н (/) = f f (*) dp (х) = J f (g-’x) Ф (x). g£G. f$co (0).
Q
Аналогично определяется правая мера Хаара. Теорема Хаара
утверждает, что на каждой локально компактной группе существует
единственная (с точностью до числового множителя) мера Хаара.
Группы, для которых левая мера Хаара равна правой, называются
унимодулярныма. Ниже мы приведем построение меры Хаара для
компактной группы. Из этого построения будет следовать, что ком-
пактная группа является унимодулярной. Очевидно» что коммута-
тивные группы унимодулярны.
В случае группы Ли левоинвариантные интегралы впервые по-
строил А. Гурвиц. Легко проверить, что в локальных координатах
левоинвариантный интеграл Гурвица имеет вид
Н(/) = ff(x)vt(x)dx, /CC0(G).
где левоинвариантная плотность vz (•) является якобианом:
vz(x) =
' . I <*PZ (х; у) \
det I —4--------1
\	/у=.
при этом е — единица группы и
<p*G*i...*«; У1......уя)=ф<(*; у)=(*у)< /=1..........«•
С точки зрения применений, а также ввиду их значения для раз-
вития теории представлений топологических групп особенно важную
роль играют полупростые группы Ли. Полупростыми являются,
например, группа вращений и (однородная) группа Лоренца.
548
Дополнение II. Мера Хаара
Сейчас мы дадим аналитическое определение полу простой группы.
Пусть Г — алгебра Ли правоинвариантных дифференциальных опера-
торов на группе Ли G. Пусть ...» Хп— базис алгебры Г,
а [X, F] — коммутатор произвольной пары ее элементов. Тогда
Ир **] =	гДе — структурные константы алгебры Г
(называемые также структурными константами группы G). Матрица
(тензор)	является симметричной, и группа G
'	'	a, v
называется полупростой, если det(gZft) #= 0.
В теории представлений групп Ли фундаментальное значение имеют
дифференциальные операторы из обертывающей алгебры $, принад-
лежащие центру S (т. е. коммутирующие со всеми элементами (В).
В случае полупростой группы такие операторы впервые определил
Казимир. Операторы Казимира имеют вид
с = 2 g1**^ где (glk) = {glky\
i, k
T. e- g^gbj^Vj-
Так как в случае полупростой ‘компактной группы матрица (gik)
является положительно определенной, то оператор Казимира на ком-
пактной группе является оператором эллиптического типа. Так как
gik — gkit то оператор Казимира симметричен: С = С+. Полупростая
группа обладает нетривиальной компактной подгруппой (#= {г}).
2. Среднее почти периодического вектора. Пусть
Н — комплексное банахово пространство с нормой | • |, и пусть
G— группа линейных изометрических операторов: |g/| = |/1, g£G,
f £Н. Множество o/STy (cf, е) = ’ {g* £ G : | gf — af | < е) называется
/-шаром радиуса е с центром о.
Определение*. Вектор называется почти периодиче-
ским (относительно группы G), если для каждого е > 0 существует
конечное покрытие группы G /-шарами радиуса < е; описанное
свойство группы G называют f-предкомпактностью.
Очевидно, что функция р/ (g, а) =’ ] gf — af | является только
псевдометрикой. Заметим, что имеет место следующее обобщение
теоремы Арцела. Пусть множество К наделено некоторой псевдо-
метрикой р, и пусть множество К является р-предкомпактным. Если
множество р-равностепенно непрерывных отображений
/С 9 х-> Ф(х)^// обладает тем свойством, что множество
является п редко мпактным в Н, то множество является
предкомпактным в пространстве В (К, Н) всех ограниченных
отображений пространства К в пространство Н.
Дополнение II. Мера Хаара
549
Если Н — С1, то предкомпактность эквивалентна ограниченности,
и мы получаем формулировку теоремы Ариела, которой мы поль-
зовались в теории почти периодических векторов.
Прежде чем переходить к построению интеграла, докажем сле-
дующее предложение.
Лемма (теорема о сватовстве). Пусть п юношей дружит
с девушками. Предположим, что для каждой группы, состоя-
щей из k юношей (l^k^n), имеется по крайней мере k де-
вушек, имеющих друзей среди этих k юношей. Тогда каждого
юношу можно женить на девушке, с которой он дружит1).
Доказательство (по индукции). При п—\ справедли-
вость леммы не вызывает сомнений. Предположим, что теорема дока-
зана при п— 1, 2, ...» р—1. Рассмотрим группу, состоящую из р
юношей. Предположим сначала, что имеется некоторая группа,
состоящая из k < р юношей, которые дружат в точности (т. е.
не более чем) с k девушками. В силу индуктивного предположения
можно женить k юношей.
Группа из оставшихся холостыми р — k юношей удовлетворяет
условиям леммы2), а поэтому (опять в силу предположения индукции)
этих юношей также можно женить, и в данном случае все заканчи-
вается благополучно. Если же любая группа из k юношей дружит
по крайней мере с & —|— 1 девушкой, то одного из юношей мы женим
на девушке, с которой он дружит. Группа оставшихся холостыми
молодых людей удовлетворяет условиям леммы3), а поэтому в силу
индуктивного предположения и на этот раз счастливый конец обе-
спечен.
Теорема. Пусть <р обозначает f-непрерывное отображение
G^g->^(g)^H группы О в банахово пространство Н (в част-
ности, в плоскость С1). Тогда существует единственный эле-
мент пространства Н, обозначаемый символом 7И(ф) или
9 Имеется в виду, что дважды выходить замуж воспрещено. — Прим,
перев.
2) Действительно, предположим, что существует такая группа Л/у из 5
неженатых, что в любой группе из s незамужних найдется хотя бы одна
девушка, которая не имеет друзей в Ms. Обозначим через группу
женатых, через Wk— группу их жен. Рассмотрим группу Mk U Ms до всту-
пления в брак. В произвольной группе из девушек найдется s не при-
надлежащих группе JKk и, следовательно, не имеющих друзей в Среди
них имеется одна, которая не имеет друзей в а следовательно, в Мь (J Ms.
Таким образом, среди любых k-}-s девушек имеется хотя бы одна, которая
не имеет друзей в (J Л45, что противоречит условию леммы. — Прим,
перев.
3) Действительно, для любых k оставшихся холостыми (по условию)
имеется k +1 подруг, и если даже одна из них вышла замуж, то остается k
родруг, не вышедших замуж. — Прим, перев.
550
Дополнение II. Мера Хаара
J*<p(g)rfg\ такой, что отображение g-+M($) обладает сле-
дующими свойствами*.
1°) для каждого е > О существуют такие элементы
хр ...» хп £ О, что | \/п 2 Ф (cxi d) — Л4 (ф) | < е для всех c,d£Q\
2°) отображение М является линейным*,
4°) если £-><p(g)>0, g£O, то 7И(ф)>0;
5°) J <p(cgd)dg=& fq>(g)dg для всех с, d£G’,
6°) если ф(£)==1, то j'<p(g)dg = М(1)== 1.
Если, кроме того, Н является унитарным пространством
со скалярным произведением (•, •), то для произвольного
вектора h£H
(Л4(ф), *) = (/ <f>(g)dg, *) = J(ф(^). h)dg = M (($(-), h))
[в правой части стоит интеграл от скалярной f — непрерывной
функции O$g-+(<p(g), Л)]; при атом мы предполагаем, что
(Л, Л)<|Л|2.
Величина ЛГ(ф)= J* cp(g)dg называется интегралом, или сред-
ним отображения ф.
Прежде чем переходить к доказательству теоремы, введем поня-
тие е-разбиения группы О, предложенное В. Мааком.
Определение. Конечное покрытие (Ли)^, U цЛц = О группы G
называется г-разбиением (полу)группы О [соответствующим функ-
ции ф ( • )], если для произвольных х, у £ G существуют такие cQ,
dQ £ О, что для некоторого ц
сох^о>
и
|ф(схб?) — ф(су^)|<е для всех ct d£Q.	(1)
Доказательство существования интеграла. При
данном е > 0 рассмотрим произвольное е-разбиение (Лу)* с мини-
мальным п. В силу групповых свойств и непрерывности ф совокуп-
ность {cAxd, .... cAnd) при с, d£Av также является е-разбиением
С минимальным п. Множества Av назовем „юношами", а множества
cApd — „девушками". О „дружбе" будем говорить в том случае, когда
ЛуПяЛи^=£0. Если для некоторой группы „юношей" Л/р ..., А^
число s тех индексов для которых
/ к \
U А{}^0,
Дополнение II. Мера Хаара
551
меньше, чем k, то
k	S
г=1	0=1
где 5 < kt и в таком случае множества cA^Gd вместе с оставшимися
множествами At образовали бы е-разбиение, состоящее менее чем
из п частей, а это противоречит минимальности п. Вследствие леммы
существует такая перестановка (Л;) чисел 1....л, что пересечение
A^cA^d содержит элемент Пусть	тогда
|« — »-1
— п~х 2ф
Если
п"1
т
т
-^2ф(сх^)—^2Ф(Ж<) ’
Z-l	Z=1
42ф<су/)—421ф(ъ)
для произвольных с, d£G, то
Л J I
j
I

Аналогично имеем
/	l.J
Из этих неравенств получаем
J	I
Полагая е= 1,	73, ....
;&

<
пр
Л1^(Ф) °—7-S<P(Jfi>P).	Р=1. 2, ...
р i*i
е.
(2)
(3)
О)
552
Дополнение И. Мера Хаара
(5)
и выбрав пр так, чтобы
пр
МДф)—
Р Z=1
_1_
Р
для всех с, d £ О (что, как мы недавно показали, возможно, если
пользоваться минимальными е-разбиениями), мы видим, что последо-
вательность {7Ир(<р)}, р=1, 2, ...» сходится.
Итак, последовательность {Л4р(ф)} сходится к некоторому эле-
менту Л4(ф)£7/. Очевидно, элемент 2И(ф) удовлетворяет условию Г
нашей теоремы. Остальные пункты вытекают непосредственно из п. Г.
Замечание. Полагая ф(£)== gf. g£G> получаем так назы-
ваемое среднее почти периодического вектора
М (/) = М (ф) =х J gf dg.
Маак ввел несколько другое определение почти периодического
вектора.
Определение (Маак). Вектор h£H называется почти перио-
дическим относительно группы G изометрических операторов, если
для каждого е > 0 существует е-разбиение группы G9-
Оказывается, что можно разумно определить векторы, почти
периодические относительно полугруппы G операторов в банаховом
пространстве (см. замечательную книгу: Jacobs К-. Neuere Metho-
den und Ergebnisse der Ergoden Theorie, Berlin, 1960).
3. Очевидно, для функции, непрерывной на компактной группе О,
существует е-разбиение группы G для произвольного е > 0. В этом
случае линейный функционал
С(О)Эф^ / Ф(^)^=Л1(ф)6С1
является инвариантной слева и справа мерой Хаара (п. 2°—-4°). Бо-
лее того, величина М является нормированной мерой Хаара (п. 6°);
мера всей группы равна единице. Непрерывность функционала
ф->Л1(ф) вытекает из очевидного неравенства
| (Ф) -<; ]| Ф || == sup IФ (•*) I-
х^а
Таким образом, мы видим, что компактная группа является уни-
модулярной.
9 Соответствующее функции <р, где ср (g) =’ gh. — Прим, перев.
ДОПОЛНЕНИЕ III
Доказательство формулы (5.11) из гл. XVII.
N
Пусть функция RN(l) — М (Z)— J* X —Т аналитична ВС1°ДУ* за
-N
исключением, быть может, таких действительных значений Z, для
которых | Z | АЛ
Имеем
N	мм
М (ц + Ze) — М (у, — Ze) Г е d\k j RN (у, + Ze) — RN (у, — Ze)
2Z	— j (а-ц)Чв2 +	2Z
-AT
Проинтегрируем это соотношение по интервалу [Хр Л2], где —/V <
<'-С ^*2	N •
%2
f ^(H + Ze) — M((I — Ze)	_
J	2л1	ац~
Kl	N	U
= fdp(O>lf,
J	nJ (a — |i)2 + e2
-N	Л,
Ho
7?^ (p.-|-Ze) —(ц — Ze)
2ш
d[i.
X»2
1 r e tfp,
л J (a — p,)24"£2
Xi
1 Г . u, — af’
- [arctg-lL—
10.
JI
где 0 = 0 (a, lp X2, e) — угол, изображенный на рис. 4.
Переходя к пределу при £—>0, получаем
х,
цт [	ф==1,т fldp(oy (b
При фиксированных e, lp 12 функция 0 переменной a обладает при-
мерно таким графиком, какой изображен на рис. 5.
В интервале (Хр %2) при фиксированном о функция 0 возрастает,
приближаясь к числу л, когда 8->0. При	или а->Л2
554
Дополнение III
функция 0 возрастает, приближаясь к л/2; вне интервала 12]
функция 0 убывает равномерно, приближаясь к нулю.
Если функция р не имеет скачков в точках и Х2, то правая
часть в формуле (1) равна р(Х2)— р(1х).
Если функция имеет в точках и Х2 скачки а1 = р(11-|“0) —
— p(Aq — 0) и а2 = р(Х24-0) — р(Х2—0), то рассуждаем следующим
образом. Пусть т — ступенчатая функция, имеющая в точке ска-
чок ар 1=1, 2, и пусть т(а) = 0 для больших отрицательных зна-
чений о. Пусть Pi (а) —* р (о) + т (а). Функция pi не имеет скачков
в точках и 12, поэтому правая часть формулы (1) равна
Pi (М — Pi (М + у ai + 4 а2‘
Однако
Pi (М) — Pi (^i ± 0) — Р (М — 0)» Pi (^2) — Pi (^2 — 0) — Р (^2 — 0) — а1»
поэтому Pi (Х2) — Pi(^i) = p(%2 — 0) — Р(^1 + °) и величина (2) равна
у[р(Х24-0)4-р(А<2-0)]-|[р(11Ч-0)+р(Х1-0)].
Не нормируя функцию р, получаем формулу
^2
Пт тн±/в)-Л1(ц_/е)^==
е->0 У	2я/	s
Aj	w
= у [р а2 -ь 0)+р (Х2 - 0)] — у [р (1,4- 0) -|- р (%, - 0)].	(3)
(Эта формула имеет, очевидно, место также тогда, когда Х2 Xj.)
Дополнение III
555
Пронормируем теперь р следующим образом: р (X + 0) = р (X)
для всех % и р(0) = 0. Тогда формула (3) принимает вид
д+х
lim lim — f -Д-[Л1 (ц4~/е) — М (ц — /е)]ф =
в->+о е->о п J 21
О
= lim Н[р(% + б4-0) + р(Х4-6 —0)1 —
6->+0 t 2
—--i [р (6-f-0) — р (б — 0)] = р (X),
что и требовалось доказать.
БИБЛИОГРАФИЯ1!
Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л.
[1]	Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных
производных при общих граничных условиях. I, М., ИЛ, 1962.
Альтман (Altman М.)
[1]	On linear functional equations in locally convex linear topological spa-
ces, Stud. Math. 13 (1953), 194—207.
Березанский Ю. M.
[1]	О разложении по собственным функциям общих самосопряженных
дифференциальных операторов, Докл. АН СССР, 108 (1956), 379—382.
(2]	Обобщение теоремы Бохнера на разложения по собственным функ-
циям уравнений в частных производных, Докл. АН СССР, НО (1956),
893—896.
[3]	О разложении по собственным функциям самосопряженных операто-
ров, Укр. матем. журн., 11 (1959), 16—24.
Березин Ф. А., Гельфанд И. М., Граев М. И., Наймарк М. А.
[1]	Представления групп, Успехи матем. наук, 11, 6 (72) (1956), 13—40.
Бохнер (Bohner S.)
[1]	Analytic mappings of compact Riemann spaces into Euclidean space,
Duke Math. 3 (1937), 339—354.
Браудер (Browder F E.)
[1]	The Dirichlet and vibration problems for linear elliptic differential equa-
tions of arbitrary order, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 38 (1952), 741—747.
[2]	The eigenfunction expansion theorem for the general self-adjoint singu-
lar elliptic partial differential operator, ibid., 40 (1954), 454—463.
[3]	On the regularity properties of solutions of elliptic differential equations,
Comm. Pure. Appl. Math., 9 (1956), 351—361.
!) Этот список литературы является неполным; он неполон даже
в отношении ссылок, делаемых автором: в большинстве случаев К. Морен
приписывает результаты тому или иному математику, не указывая соответ-
ствующую статью. Далее нужно иметь в виду, что К. Морен обычно име-
нует теорему по фамилии автора, давшего излагаемую в книге модификацию
результата, не вдаваясь в историю вопроса. Это, конечно, далеко не всегда
справедливо. Редакция не решилась увеличивать список, так как ввиду ши-
роты материала это вылилось бы в слишком трудоемкую работу. Укажем
здесь лишь книги, в которых имеется значительная библиография: Гель-
фанд И. М.„ Шилов Г. Е. [2, 3, 4]; Наймарк М. А. [1, 2]; Хилле Э., Фил-
липс Р. [1], Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория,
М., ИЛ, 1962; Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям
самосопряженных операторов, Киев, «Наукова Думка», 1965. — Прим. ред.
Библиография
557
[4]	Eigenfunction expansions for поп-symmetric partial differential opera-
tors. Ill, Amer. J. Math., 81 (1959), 715—734.
Бурбаки (BourbakiN.)
[1] Intёgration. Elements de Mathematique, Livre VII, Paris, 1952.
[2] Топологические векторные пространства. Элементы математики, кни-
га V, М, ИЛ, 1959.
Вайнберг М. М.
[1]	Вариационные методы исследования нелинейных операторов, М., Гос-
техиздат, 1956.
Вейль (Weyl Н.)
[1]	Die Idee der Riemannschen Flache, Berlin 1955.
[2]	Method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math. J., 7
(1940), 417—444.
[3]	Almost periodic invariant vector sets in metric vector space, American
J. of Math., 71 ((1949), 178—205.
[4]	Das asymptotische Verteilungsgesetz der Elgenwerte linearer partieller
Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohl-
raumstrahlung). Math. Ann., 71 (1912), 441—479.
[5]	Uber das Spektrum der Hohlraumstrahlung, Journ. f. relnen u. angew.
Math., 141 (1912), 163—181.
[6]	Uber die Randwertaufgabe der Stranhlungstheorie und asymptotische
Spektralgesetze, Journ. f. reinen u. angew. Math., 143 (1913), 177—202.
В и ш и к M. И.
[1] Метод ортогональных и прямых разложений в теории эллиптических
дифференциальных уравнений, Матем. сб., 25 (67) (1949), 189—234
[2] Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных
уравнений, Труды, ММО, 1 (1952), 187—246.
Ганелиус (Ganelius Т.)
[1] On the remainder in a Tauberian theorem, Kungl. Fysiografiska Salls-
kapets i Lund Forhandlingar, 24 (1954), № 20.
[2] Un theoreme tauberien pour la tansformation de Laplace, C. R. Acad.
Sci. Paris, 242 (1956), 719—721
Гаффни (G a f f n e у M. P.)
[1] The heat equation method of Milgram and Rosenbloom for open Rie*
mannian manifolds, Ann. of Math., 60 (1954), 458—466.
Гельфанд И. M.
[1] Normierte Ringe, Матем. сб., 9 (51) (1941), 3—14.
Гельфанд И. M. и Костюченко А. Г.
[1]	О разложении по собственным функциям дифференциальных и других
операторов, Докл. АН СССР, 103 (1955), № 3, 349—352.
Гельфанд И. М. и НаймаркМ. А.
[1]	On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert
space, Матем. сб., 12 (54) (1943), 197—213.
Гельфанд И. M. и Шилов Г. Е.
[1]	Об одном новом методе в теоремах единственности решения задачи
Коши, Докл. АН СССР, 102 (1955), 1065—1068.
[2]	Обобщенные функции, Вып. 1, Обобщенные функции и действия над
ними, М., Физматгиз, 195?.
37 к- морен
558	Библиография
(3]	Вып. 2, Пространства основных и обобщенных функций, М., Физмат-
гиз, 1958.
[4]	Вып. 3, Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, М.,
Физматгиз, 1958.
Гестенс (HestenesM. К.)
[1] Applications of the theory of quadratic forms in Hilbert space to the
calculus of variations, Pacific. J. Math., 1 (1951), 525—581.
Гильберт (Hilbert D.)
[1] Gesammelte Abhandlungen, Berlin 1935 (Dziela zebrane).
Горд инг (Gar ding L.)
[1]	Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations, Math.
Scand., 1 (1953), 55—72.
[2]	On the asymptotic distribution of the eigenvalues and eigenfunctions of.
elliptic differential operators, Math. Scand., 1 (1953), 237—255.
[3]	Eigenfunction expansions connected with elliptic differential operators,
Comptes Rendus du Douzieme Congres des Mathimaticiens Scandina-
ves, Lund, 1953, p. 44—55.
[4]	Applications of the theory of direct integrals of Hilbert spaces to same
integral and differential operators, University of Maryland. The Insti-
tute for Fluid Dynamics and Applied Mathematics, Lecture series, 11
(1954).
[5]	On the asymptotic properties of the spectral function belonging to a
self-adjoint semi-bounded extension of an elliptic differential operator,
Kungl. Fysiografiska Sallskapets i Lund Forhandliger, 24 (1954), № 21.
[6]	Note on continuous representations of Lie groups, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 33 (1947), 331—332.
[7]	Kvantmekanikens matematisca bakgrund, Lund 1956 (skrypt).
Гординг и Уайтман (Girding L. and Wightman A.)
[1]	Representations of (anti)commution relations, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 40 (1954), 617-626.
Гусева О. В.
[1]	О краевых задачах для сильно эллиптических систем, Докл. АН
СССР, 102 (1955), 1069—1072.
Дени и Лионе (DenyJ. et Lions J. L.)
[1]	Les espaces du type de Beppo Levi, Ann. Inst. Fourier, 5 (1955),
305—370.
Диксмье (DiximierJ.)
[1]	Les algibres d’opirateurs dans 1’espace hilbertien (Algebres de von
Neumann), Paris 1957.
За рем 6 a (ZarembaS.)
[1]	Sur un problime toujours possible, comprenant i titre de cas particulier
le probleme de Dirichlet et celui de Neumann., J. Math. Pares Appt.
(sirie 6), 9 (1927), 127—163.
Цосида (YosidaK.)
[1]	On differentiability and the representations of one-parametric semi-
groups of linear operators, Journ. Math. Soc. Japan, 1 (1948).
[2]	An ergodic theorem associated with harmonic integrals, Proc. JdP^
fagg., 27 (1951), 540—543,
Библиография
559
(3]	On Cauchy’s problem in the large for wave equations, Proc. Japan.
Acad., 28 (1952), 396—403.
[4]	On the integration of diffusion equations in Riemannian spaces, Proc.
Amer. Math. Soc., 3 (1952), 864—873.
[5]	An operator-theoretical integration of the ware equation, Journ. Math.
Soc. Japan, 8 (1956), 79—92.
[6]	On unitary equivalence in general Euclid space, Proc. Japan. Acad., 22
(1946), 242-245.
[7]	Mean ergodic theorem in Banach spaces, ibid., 14 (1938), 292—294.
Иосида и Какутани (YosidaK. and KakutaniS.)
[1]	Operator theoretical treatment of Markov’s process and mean ergodic
theorem, Ann. of Math., 42 (1941)\
Канторович Л. В. и Акилов Г. П.
[1]	Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., Физмат-
гиз, 1958.
Карлеман (Carleman Т.)
(1]	Ober die Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen,
Ber. Sachs. Akad. d. Wiss., 86 (1936), 119—132.
КацГ. И.
[1]	О разложении по собственным функциям самосопряженных операто-
ров, Докл. АН СССР, 119 (1958), 19—22.
[2]	Обобщенные функции на локально компактных группах и разложение
регулярного представления, Докл. АН СССР, 125 (1959), 27—30.
Кодаира (KodairaK.)
Uber die Rand- und Eigenwertprobleme der linearen elliptischen Diffe-
rentialgleichungen zweiter Ordnung, Proc. Imp, Acad. Tokyo, 20.(1944),
262—268.
[2]	Uber die Harmonischen Tensorfelder in Riemannschen Mannigfaltig-
keiten, ibid., 186—198, 257—261, 353—358.
[3]	Harmonic fields in Riemannian manifolds (Generalised potential theory),
Ann. of Math., 50 (1949), 587—665.
[4]	On ordinary differential equations of any even order and the correspon-
ding eigenfunction expansions, Amer. Jour, of Math., 72 (1950), 502—544.
[5]	On Kahler varieties of restricted tyre, Ann. of Math., 60 (1954), 28—48.
К p e й н M. Г.
[1]	Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых
операторов и ее приложения, I, II, Матем. сб., 20 (62) (1947), 431—498;
21 (63) (1947), 365—404.
[2]	Об одном общем методе разложения положительно определенных
ядер на элементарные произведения, Докл. АН СССР, 53 (1946), 3—6.
[3]	Про epMiTO3i оператори з напрямними функцюналами, 36ipHUK прац
in-ту матем. АН УРСР, 10 (1948), 83—106.
[4]	Об одномерной сингулярной краевой задаче четного порядка в ин-
тервале (0,оо), Докл. АН СССР, 74 (1950), 9—12.
Крейн М. Г., Красносельский М. А.
[1] Основные теоремы о расширении эрмитовых операторов и некоторые
их применения к теории ортогональных полиномов и проблеме момен-
тов, Успехи матем. наук, 2 (3) (1947), 60—106.
87*
560
Библиография
Ладыженская О. А.
[1] Смешанная задача для гиперболического уравнения, М., Гостехиздат,
1953.
Лакс (L а х Р. D.)
[1] On Cauchy’s problem for hyperbolic equations and the differentiability
of solutions of elliptic equations, Comm, Pure and Appl, Math., 8 (1955),
615—633.
Лакс и Ми л ьгр а м (LaxP. D. and Milgram A. N.)
[1] Parabolic equation. Contributions to the theory of partial differential
equations, Ann. Math. Studies, 33 (1954), 167—190.
Лихнерович A.
[1] Теория связностей в целом и группы голономий, М., ИЛ, 1960.
Лопатинский Я. Б.
[1] Фундаментальные решения системы дифференциальных уравнений
эллиптического типа, Укр. матем. журнал, Ъ (1951), 290—316.
Л ю м и с Л.
[1] Введение в абстрактный гармонический анализ, М., ИЛ, 1956.
Л я н ц е В. Э.
[1] О задаче Коши в области функций действительного переменного,
Укр. матем. журн., 1, 4 (1949), 42—63.
[2] Об одной краевой задаче для параболических систем дифференциаль-
ных уравнений с сильно эллиптической правой частью, Матем. сб.,
35 (77) (1954), 357—368; 39 (81) (1956), 525,
Маак (Maak W.)
[1] Festperiodische Funktionen, Berlin 1950.
MayTHep(MautnerF.)
[1] On eigenfunction expansions, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 30 (1953),
49-53.
Михлин С. Г.
[1] Прямые методы в математической физике, М.—Л., Гостехиздат, 1950.
[2] Проблема минимума квадратичного функционала, М.—Л., Гостехиз*
дат, 1952.
Монтгомери и Зиппин (Montgomery D. and Zippin L.)
[1] Topological transformation groups, New York 1955.
Морен К. (M a u r i n К.)
[1]	On Parseval equation for almost periodic vestors, Stud. Math., 13
(1953), 83—86.
[2]	Der Fundamentalsatz fiber schwache Losungen der allgemeinen linearen
System? der elliptischen Differentialgleichungen beliebiger Ordnung,
Bull. Acad. Pol. Sci., Cl. Ill, 2 (1954), 457—461.
[3]	Losbarkeit der Randwertaufgaben fur allgemeine stark elliptische Sy-
steme mit Hilfe Galerkin’schen Verfahrens, ibid., 3 (1955), 207—212.
[4]	Bemerkungen fiber die Methoden von Trefftz und Ritz, ibid., 3 (1955),
573—577.
[5]	Ober gemischte Rand- und Anfangswertprobleme im Grossen fur eine
Klasse von Gleichungssystemen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
Eine Begriindung der Fouriermethode, ibid., 3 (1956), 471—475.
Библиография
561
[6]	Elementare Bemerkungen Uber kommutatuve C*-Algebren. Bewels elner
Vermutung von Dirac, Stud. Math., 16 (1957), A—79.
[7]	Elliptizitat und schwache Halbstetigkeit gewisser Funktionale der
Variationsrechnung mehrfacher Integral. Vollstetigkeit Greenscher Trans-
formationen, Stud. Math., 17 (1958), 175—187.
[8]	Allgemeine Eigenfunktionsentwicklungen..., Bui. Acad. Pol. Scl., Cl. Ill,
7 (1959), 471—479.
[9]	Abbildungen vom Hilbert — Schmidtschen Typus und ihre Anwendun-
gen, Math. Scand., 9 (1961), 359—371.
Mo p e н Л. (M a u r i n L.)
[1] Ober die Fouriersche Losung von Gemischten Problemen in beliebigen
Gebieten fur eine gewisse Klasse von inhomogenen Differentialgleichun-
gen mit partiellen Ableitungen, Stud. Math., 16 (1958), 200—229.
Надь (Nagy В. v. Sz.)
[1] Spektraldarstellung linearer Transformationen des Hilbertschen Raumes,
Berlin, 1942.
НаймаркМ. A.
[1] Линейные дифференциальные операторы, M., Гостехиздат, 1954.
[2] Нормированные кольца, М., Гостехиздат, 1956.
НаймаркМ. А. и Фомин С. В.
[1] Непрерывные прямые суммы гильбертовых пространств и некоторые
их применения, Успехи матем. наук, 10, 2 (64) (1955), 111—142.
Нарасимхан (N а г a s i m h a n М. S.)
[1] The identity of the weak and strong extensions of a linear elliptic diffe-
rential operator, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 43 (1957), 513—514;
620.
Нейман фон (N e u m a n n J. v.)
[1] Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren, Math.
Ann., 102 (1929), 49—131.
[2] Математические основы квантовой механики, М., изд-во «Наука»,
1964.
[3] Proof of the quasi-ergodic hypothesis, Proc. Nat. Acad. Scl. USA, 18
(1932), 70-82.
Г4] On Rings of operators. Reduction theory, Ann. of Math., 50 (1949),
401—485.
Нельсон (Nelson E.)
[1] Analytic vectors, Ann. of Math., 70 (1959), № 3,572—615 (Русский пере-
вод: «Математика», 6:3 (1962), 89—131).
Нельсон Э., Стайнспринг Ф. (Nelson Е., Stinespring W. F.)
[1] Representation of elliptic operator in an enveloping algebra, Amer.
J. Math., 81, 3 (1959), 547—560. (Русский перевод: «Математика», 5:3
(1961), 81—94).
Никодим (Nikodym О.)
[1] Sur une classe de fonctions considerees dans I’etude du probleme de
Dirichlet, Fund. Math., 21 (1933), 123—150.
Никольский С. M.
[1] Об одном семействе функциональных пространств, Успехи матем. наук,
11, 6 (72) (1956), 203-212.
562
Библиография
Петер и Beйль (Р^tег F. und Wеу 1 Н.)
[1] Die Vollstandigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen
kontinuierlichen Gruppe, Math. Ann,» 97 (1927), 737—755.
П л e й e л (P 1 e i j e 1 A.)
[1] Propri£t£s asymptotiques des fonctions et valeurs propres de certaines
problemes de vibrations, Ark. Mat. Astr. Fys., 27 A, № 13 (1940),
1-100.
Повзнер А. Я.
[1] О разложении произвольных функций по собственным функциям опе-
ратора — Аи +.си» Матем. сб„ 32, 1 (1953), 109—156.
де Рам Ж.
[1] Дифференцируемые многообразия, М., ИЛ, 1956.
Р е л л и х (R е 11 i с h F.)
[1] Ein Satz fiber die mittlere Konvergenz, Gott. Nachr., 1930.
[2] Spektraltheorie in nichtseparablen Raumen, Math. Ann., П0 (1934),
342—356.
[3] Uber die Neumannsche fastperiodische Funktionen auf einer Gruppe,
ibid., Ill (1935), 660-567.
РиссФ. иСекефальви-НадьБ.
[1] Лекции по функциональному анализу, М., ИЛ, 1954.
Соболеве. Л.
[1] Некоторые применения функционального анализа в математической
физике, Л., Изд. ЛГУ, 1950.
[2] Об одной новой задаче математической физики, Известия АН СССР»
18 (1954), 3—18.
Стоун (S t о n е М. Н.)
[1] Linear transformations in Hilbert space and their applications to ana-
lysis, New York 1932.
[2] On one-parameter unitary groups in Hilbert space, Ann. of Math., 33
(1932), 643—648.
Титчмарш Э. 4.
[1] Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциаль-
ными уравнениями второго порядка, ч. I, М., ИЛ, 1960.
ТревЖ.
[1] Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоян-
ными коэффициентами, М., «Мир», 1965.
Фояш (Foias С. )
[1] Decompositions intfcgrales des families spectrales et semi-spectrales en
operateurs qui sortent de I’espace hilbertien, Acta ScL Math. Szeqed, 20,
2—3 (1959), 117—155.
Фрейденталь (Freudenthal H.)
[1] Topologische Gruppen mit geniigend vielen fastperiodischen Funktionen,
Ann. of Math., 37 (1936)?, 57—77.
[2] Ober die Friedrichssche Fortsetzung halbbeschrankter Hermitescher Ope-
ratoren, Proc, Acad, Amsterdam, 39 (1936), 832—833.
Фридрихе (Friedrichs K.)
[1] Spektraltheorie halbbeschrankter Operatoren, Math, Ann,» 109 (1934),
465-487, 685-713; ibid,, 110 (1935), 777*779,
Библиография
563
[2] Die Rand- und Eigenwertsprobleme aus der Theorie der elastischen
Platten, Math. Ann., 98 (1928), 206—247.
Хал мош (HalmosP.)
[1]	Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity,
New York 1951.
Хёрмандер Л.
[1]	К теории общих дифференциальных операторов в частных производ-
ных с постоянными коэффициентами, М., ИЛ, 1959.
[2]	Differential operators of principal type, Math. Ann., 140 (1960), № 2,
124—146. (Русский перевод: «Математика» 5:5 (1961), 89—114).
[3]	Линейные дифференциальные операторы с частными производными,
М., «Мир», 1965.
Хилле Э., Филлипс Р.
[1] Функциональный анализ и полугруппы, М., ИЛ, 1962.
Ходж (Hodge W. V. D.)
[1] The theory and applications of harmonic integrals, Cambridge 1952.
Хопф (Hopf E.)
[1] Ergodentheorie, Eig. d. Math., v. 2, Berlin, 1937.
Чжэнь Шэн-шэнь
[1] Комплексные многообразия, М., ИЛ, 1961.
Шварц (Schwartz L.)
[1] Thiorie des distributions, I, II, Act. Sci. Ind., 1091, 1122, Hermann et
Cie., Paris (1951).
Шехтер (Schechter M.)
[1] General boundary value problems for elliptic partial differential equa-
tions, Comm. Pure and Appl. Math., 12, 3 (1959), 457—486. (Русский
перевод: «Математика», 4, 5 (1960), 93—122.)
Ш и л о в Г. E.
[1] Математический анализ (специальный курс), М., Физматгиз, 1960.
Эберлейн (EberleinW. F.)
[1] A note on the spectral theorem, Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946),
328—331.
Эрлинг (EhrlingG.)
fl] On a type of eigenvalue problems for certain differential operators,
Math. Scand., 2 (1954), 267—287.
Я но К. и Бохнер С.
[1] Кривизна и числа Бетти, М., ИЛ, 1957,
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию .....................................  5
Предисловие ........................................................  7
Глава I. Метрические пространства, пространства Банаха, унитар-
ные пространства и пространства Гильберта............................13
§ 1.	Вводные понятия ........................................  •	13
§ 2.	Эрмитовы формы на векторном пространстве....................15
§ 3.	Примеры унитарных пространств. Вещественные пространства . 16
§ 4.	Определение гильбертова пространства ..... ................ 20
§ 5.	Пространство непрерывных отображений в (Е, F) ..............22
§ 6.	Пополнение унитарного пространства..........................25
Упражнения и дополнения...................................... • • 28
Глава II. Геометрия гильбертова пространства ..................... . . 30
§ 1.	Линейная зависимость векторов, n-мерное пространство .... 30
§ 2.	Бесконечномерное гильбертово пространство..................-31
§ 3.	Полные множества..............• •...........................34
§ 4.	Теорема Беппо Леви. Ортогональное разложение гильбертова
пространства	.......... • ................ 35
§ 5.	Дефект подпространства. Общий вид линейного функционала. . 40
§ 6.	Теорема Хана—Банаха	................45
Упражнения и дополнения . ....................................  48
Г л а в а III. Локально выпуклые векторные пространства. Общая тео-
рема о графике.	Теорема о ядрах.......................,51
Введение ......................................................   51
§ 1.	Теорема Бэра............................................... 52
§ 2.	Теорема о замкнутом графике в линейных метрических про-
странствах ..................................................... 33
§ 3.	Другие теоремы Банаха	и	их	связь	с	теоремой о графике ... 36
§ 4.	Билинейные формы............................................38
§ 5.	Локально выпуклые	векторные	пространства.....................60
§ 6.	Линейные отображения локально выпуклых пространств. Даль-
нейшие двойства борнологических пространств и /-пространства 70
Оглавление	ЭДб
§ 7.	Построение локально выпуклых пространств.................74
§ 8.	Примеры локально выпуклых пространств  ..................78
§ 9.	Общая теорема о замкнутом графике ....................* 81
§ 10.	Тензорное произведение. Теорема о ядрах	85
§ 11.	Отображения, допускающие замыкание. Индексы оператора • . 91
Упражнения и дополнения.................................   •	• $4
Глава IV. Эрмитовы операторы. Спектральное разложение эрмитова*
оператора ....  ...................................................Ю2
§ 1.	Сопряженные операторы  ...................................Ю2
§ 2.	Примеры эрмитовых операторов...........................  106
§ 3.	Спектральная теорема (конечномерный случай)............... . 107
§ 4.	Спектральная теорема в произвольном гильбертовом про-
странстве ...............................................     109
Упражнения .................................................. . 116
Глава V. Симметрические и самосопряженные операторы. Самосо-
пряженные расширения симметрических операторов . . . .117
§ 1.	Неограниченные операторы................................ 117
§ 2.	Оператор Л*. Примеры сопряженных операторов..............118
§ 3.	Теоремы фон Неймана...................................   121
§ 4.	Симметрические и полуограниченные операторы. Расширения по
Фридрихсу ..............................................      123
§ 5.	Спектральное представление полуограниченного оператора . . . 126
§ 6.	Функции самосопряженного оператора. Операторное исчисление
Стоуна — фон Неймана........................................  127
§ 7.	О спектре самосопряженного оператора ....................134
§ 8.	Примеры симметрических дифференциальных операторов .... 136
Дополнения ............................................    .	138
Глава VI. Изометрические и унитарные операторы. Расширение сим-
метрического оператора до самосопряженного. Спектраль-
ная теорема для самосопряженного оператора..........................139
§ 1.	Изометрические операторы . .........................   .	139
§ 2.	Расширение изометрического оператора до унитарного........141
§ 3.	Преобразование Кэли и доказательство теоремы фон Неймана . . 142
§ 4.	Примеры дифференциальных операторов, обладающих само-
сопряженными расширениями. Лемма Л. Морен.....................144
§ 5.	Спектральная теорема для общего самосопряженного оператора . 147
Упражнение ..............................................    149
Глава VII. Вполне непрерывные операторы. Теория Рисса линейного
уравнения с вполне непрерывным оператором. Примеры 150
§ 1.	Конечномерные операторы. Определение вполне непрерывного
оператора ......................•...........................  150
§ 2.	Свойства вполне непрерывных операторов	153
566	Оглавление
§ 3.	Теория Рисса линейных уравнений второго рода . ........157
§ 4.	Спектр вполне непрерывного эрмитова оператора. Теорема Гиль-
берта— Шмидта...............................................161
§ 5.	Спектральная теорема Реллиха.........................  163
§ 6.	Слабая сходимость в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса 166
§ 7.	Операторы Гильберта — Шмидта ......................... 170
§ 8.	Отображения Гильберта — Шмидта.......................  173
§ 9.	Ядерные отображения. Ядерные пространства..............175
Упражнений й дополнения.................................  179
Дополнение ..................	. . . •................  .181
Упражнения (продолжение) ...............................  183
Глава VIII. Коммутативные банаховы алгебры. Теорема Гельфанда —
Наймарка. Максимальные С*-алгебры. Применения ... 186
§ 1.	Алгебра ограниченных * операторов в банаховом пространстве
Спектр оператора ............................................ . 186
§ 2.	Теорема максимальных идеалов Гельфанда................190
§ 3.	Коммутативные С*-алгебры. Теорема Гельфанда — Наймарка . . 199
§ 4Ч	Максимальные коммутативные С*-алгебры операторов в гильбер-
. товом пространстве.....................• . ...............205
§ 5.	Полнота системы коммутирующих операторов .............209
Упражнения ...........................................    211
Глава IX. Прямые интегралы гильбертова пространства. Два дока-
. . зательства спектральной теоремы. Теорема фон Неймана
о диагонализации С*-алгебр..................................212
§ 1.	О банаховых алгебрах и теории Гельфанда —Наймарка • . • . 212
§ 2.	Доказательство спектральной теоремы, основанное на теореме
Гельфанда — Наймарка ....................................  .214
§ 3.	Прямые интегралы гильбертова	пространства . . . .......216
§ 4.	Полная спектральная теорема	фон	Неймана................218
§ 5.	Банаховы алгебры без единицы. Второе доказательство полной
спектральной теоремы........................................225
Упражнения . ..........................................   234
Библиографические замечания	 .........................234
Глава X. Однопараметрические полугруппы линейных операторов
(теория Иосида). Теорема Стоуна. Теорема Гординга
о представлениях групп Ли .....................................236
§ 1.	Эвристические рассуждения. Основные понятия	.	. .......236
§ 2.	Теория Иосида......................................... 238
§ 3.	Теория Иосида (продолжение; доказательство второй теоремы
Иосида) ....................................................244
§.4.	Однопараметрические группы унитарных операторов.......246
Оглавление	567
§ 5.	Дополняющие замечания . .  ..........................  248
§ 6.	Теорема Гординга о представлениях группы Ли	• 256
§ 7.	Унитарные представления групп Ли. Представления алгебр Ли.
Связи с квантовой	механикой ..........................263
§ 8.	Признаки самосопряженности (в существенном) представи-
телей dU(L)..............................................   257
Упражнения ............................................   264
Дополнения ................................................ • 264
Глава XI. Основная теорема о слабых решениях эллиптических си-
стем. Функция Грина............................................268
§ 1.	Основная теорема....................................   268
§ 2.	Следствия основной теоремы о слабых решениях . ........273
§ 3.	Функция Грина и ее свойства..............•	. • • . . . . .275
Упражнения ...........................................    279
Глава XII. Метод самосопряженных расширений................... . .280
§ 1.	Задача Дирихле.......................................  280
§ 2.	Задачи на собственные значения ........................282
§ 3.	О теории Вишика.................. • • .................285
Глава XIII. Краевые задачи и задачи на собственные значения для
> . общих эллиптических, операторов произвольного порядка
Сильно эллиптические системы. Метод Галеркина .... 289
§ 1.	Формулировка общей задачи Дирихле....................  289
§ 2.	Полуограниченность эллиптического оператора...........•	290
§ 3.	Обобщенный интеграл Дирихле........................... 293
§ 4.	Задача Дирихле . ................................  «...	298
§ 5.	Пара уравнений с сопряженными операторами .............301
§ 6.	Обобщенная задача Неймана............................. • • 302
§ 7.	О методе Галеркина..................................  .	303
§ 8.	Задача на собственные значения. Преобразование Грина .... 305
Упражнения и дополнения.................................  308
Глава XIV. Неравенства Эрлинга. Полная непрерывность оператора
вложения. Лемма Соболева. Слабая полунепрерывность
функционалов вариационного исчисления функций многих
переменных..................................................   311
§ 1,	Введение .............. . ..........................  .311
§ 2.	Области Эрлинга .....................................  312
§ 3.	Неравенства Эрлинга ....................... . . .......314
§ 4.	Предкомпактность подмножеств пространства £2. Полная не-
прерывность оператора вложения h,k ......................  .	. 322
§ 5.	Пространства Н-ь ......................................326
§ 6.	Проблемы вибраций . f t 9 . . . . .................... 328
568
Оглавление
§ 7.	Проблемы вибраций (продолжение) ...................... • 330
§ 8.	Полунепрерывные функции..............................  .	• 334
§ 9.	Слабо полунепрерывные квадратичные формы. Формы Ле-
жандра ......................................................  335
§ 10.	Квадратичные формы вариационного исчисления . •..........340
§ 11.	О функционалах, встречающихся в теории упругих пластин.
Дифференцируемость элемента, на котором достигается абсо-
лютный минимум . . . • ....................................... 344
§ 12.	Коэрцитивность интегро-дифференциальных форм.............346
§ 13.	О резольвенте эллиптической краевой задачи...............350
Упражнения и дополнения...................................... 352
Глава XV. Метод ортогональной проекции (принцип Дирихле) и его
связь с методами Трефтца и Ритца.............................	... 354
§ 1.	Эвристические замечания . •...............................354
§ 2.	Пространство § и его ортогональное разложение Z@U .... 356
§ 3.	О методе Трефтца и Ритца................................. 357
§ 4.	Классическое построение последовательностей Трефтца и Ритца 358
§ 5.	Самосопряженные системы линейных эллиптических уравнений . 359
§ 6.	Метод ортогональных проекций для общих неотрицательных
эллиптических форм. Другие приближенные методы (метод
Шварца и метод Пуанкаре).....................................  361
Упражнения .............................................      367
Глава XVI. Теорема Бохнера об аналитическом вложении компакт-
ного риманова пространства в евклидово пространство 368
§ 1.	. Идея доказательства . ..................................368
§ 2.	Спектр оператора Д°.......................................369
§ 3.	Равномерная аппроксимация дифференцируемой функции по-
средством аналитических функций ...............................370
Глава XVII. Общая теория разложений по собственным функциям.
Спектральная теория общих	ядер....................372
Введение . ....................................................374
§ 1.	Основная теорема и следствия из нее..................... . . 375
§ 2.	При m>NI2 вложение (Qn)’->//o(Hn) является отображе-
нием Гильберта — Шмидта . ................................    .379
§ 3.	Теорема о разложении по собственным функциям для операто-
ров классического анализа ...... ..............................380
§ 4.	Разложения по собственным функциям динамических систем . . 385
§ 5.	Теоремы о разложении по собственным функциям (продолже-
ние). Построение ядерного пространства ..... .... . .387
§ 6.	Разложения по собственным функциям дифференциальных опе-
раторов на группе Ли ......... ..............................  390
. . , §, 7, Спектральное представление (обобщенных) ядер . ........302
Оглавление	569
§ 8. Теорема о разложении по собственным функциям, связанным
с ядром Карлемана.........................• • •.............  399
§ 9. Линейные эллиптические операторы произвольного порядка . . 407
§ Ю. О разложении по «собственным функциям» произвольных само-
сопряженных операторов в пространстве L2(Qn) ...•••• 410
§ 11. Обыкновенные дифференциальные . операторы. Спектральные
матрицы. Преобразование Фурье в L2 (теория Планшереля) . . 413
§ 12, Асимптотика спектральной функции полуограниченного само-
сопряженного расширения эллиптического оператора . . • . . 421
Глава XVIII. Метод Фурье......................................... 426
§ 1.	Эвристические рассуждения................................426
§ 2.	Операторный вариант и его решение........................428
§ 3.	Дифференцируемость обобщенного решения...................432
§ 4.	Решение смешанных задач для параболических систем вида
du/dt — ~Ахи...................................................• 435
„ „	о 1 ди
§ 5.	Смешанные задачи и задача Коши для уравнении типа у =*
= Ахи (уравнения квантовой механики) . . *.............  •	. 436
§ 6.	Смешанная задача для неоднородных уравнений .............437
§ 7.	Заключительные замечания................................ 438
Упражнения ............................................... • • . 440
Глава XIX. Теория гармонических полей.............................441
§ 1.	Определение гармонического поля........................  441
§ 2.	Теоремы Кодаиры . ...................................... 445
§ 3.	Уравнение = Да и метод ортогональных проекции в теории
гармонических полей  ........................................  447
§ 4.	Построение оператора Д'Х)Д°. Доказательство теорем Кодаиры
и Гаффни..................................................     448
§ 5.	Гармонические поля на компактных многообразиях...........452
§ 6.	Заключительные замечания...........................    .	• 453
§ 7.	Некоторые приложения теории гармонических полей к исследо-
ванию компактных римановых многообразий........................454
Глава XX. Эргодическая теория ................................... 457
§ 1.	О (квази)эргодической гипотезе в статистической механике . . 457
§ 2.	Метрическая транзитивность и эргодичность потока. Эргодиче-
ская теорема фон Неймана •...............................    .	. 458
§ 3.	Доказательство эргодической теоремы..................  .	. 462
§ 4.	«Непосредственное» доказательство эргодической теоремы . . . 463
§ 5.	Эргодическая теорема Иосида — Какутани...................465
§ 6.	Существование инвариантной меры на компактных динамических
системах ....................................................  469
Упражнения ...... •.......................................   470
570
Оглавление
Глава XXI. Теория почти периодических функции и векторов. О пред-
ставлениях топологических групп. Шаровые функции . . .471
§ 1.	Бохнеровская теория почти периодических функций Бора. Почти
периодические векторы ... ..................................«471
§ 2.	Теория почти периодических векторов •.................• . 474
§ 3.	Теория п. п. векторов (продолжение) ....................477
§ 4.	Скалярные почти периодические функции. Вторая основная тео-
рема. Теорема Бора............................................ • 478
§ 5.	Вторая основная теорема теории почти периодических векторов . 481
§ 6.	Почти периодические функции и представления групп .... 483
§ 7.	Функции на однородных пространствах. Шаровые функции . . 486
Упражнения и дополнения '.................................  486
Г л а в а XXII. Общая теория дифференциальных операторов (теория
Хёрмандера) ....................................................489
§ 1.	Введение ..............  .	’.........................  489
§ 2.	Существование фундаментального решения.............	491
§ 3.	Сравнение операторов с постоянными коэффициентами.......490
§ 4.	Неравенства Трева и их следствия........................502
§ 5.	Операторы главного типа с переменными коэффициентами . . . 508
§ 6.	• Априорные оценки в пространстве ......................511
Упражнения и дополнения.....................................518
Заключение. Исторические и библиографические замечания .... 528
Дополнение 1< Общие сведения  ................................  .536
§ 1. Топология.........................................   .	. . 536
§ 2. Теория	интеграла.......................................  539
Дополнение II. Мера Хаара. Полупростые группы. Среднее почти
периодического вектора ..........................................547
Дополнение	III	 ...................................... 553
Библиография	 .......................................... 555
К. Морен
МЕТОДЫ
ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
Редактор Е. А. Горин
Переплет художника А. Г. Антоновой
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. А. Иовлева
Сдано в производство 26/П 1965 г.
Подписано к печати 9/Х 1965 г.
Бумага 60х907,6=17,88 бум. л.
35,75 печ. л. Уч.-изд. л. 33,16
Изд. № 1/0176. Цена 2 р. 47 к. Зак. 1270
(Темплан изд-ва „Мир“ 1965 г., № 15)
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР*
Москва, 1-й Рижский пер., д. 2
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета
Министров СССР по печати
Измайловский пр., 29
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
ГОТОВИТ к ВЫПУСКУ В 1966 г.
СЛЕДУЮЩИЕ КНИГИ:
Ауслендер Л., Грин Л., Хан Ф., Потоки на однород-
ных пространствах. Принстон, 1963, перевод с английского, 8 изд.
л., цена 60 коп.
Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными
производными. Нью-Йорк, 1964, перевод с английского, 20 изд. л.,
цена 1 р. 70 к.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Б е й д У. Г., Б а р т л Р. Г.,
Линейные операторы. Часть II. Самосопряженные операторы в гиль-
бертовом пространстве. Нью-Йорк — Лондон, 1963, перевод с ан-
глийского, 60 изд. л., цена 4 р. 50 к.
Ко пс он Э., Асимптотические разложения. Кембридж, 1965,
перевод с английского, 6 изд. л., цена 45 коп.
Лере Ж.» Гординг Л., Котаке С., Решение задачи
Коши. Париж, 1963, перевод с французского, 8 изд. л., цена 60 коп.
М а к - Л е й н Г., Асимптотические значения голоморфных
функций. Хаустон (США), 1963, перевод с английского, 6 изд. л.,
цена 45 коп.
Рудин У., Основы математического анализа. Нью-Йорк, 1964,
2-е переработанное издание, перевод с английского, 18 изд. л.,
цена 1 р. 50 к.
Хейл Дж., Колебания в нелинейных системах. Нью-Йорк,
1963, перевод с английского, 12 изд. л., цена 1 р. 10 к.
Хейман У., Мероморфные функции. Оксфорд (Англия), 1964,
перевод с английского, 14 изд. л., цена 1 р. 25 к.
ВНИМАНИЮ ПОКУПАТЕЛЕЙ!
Предварительные заказы на печатающиеся книги принимают
магазины Книготорга и потребительской кооперации.
Предварительные заказы оформляются в книжных магазинах
на почтовой открытке.
По мере поступления литературы в книжный магазин покупа-
тели извещаются по почте.
Своевременно оформляйте предварительные заказы на интере-
сующие вас книги!