Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ (10-11 классы) - Балаян Э.Н.

Автор: Балаян Э.Н.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа математика учебные пособия и учебники по математике егэ по математике
ISBN: 978-5-222-19817-9
Год: 2013
Похожие
Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ЕГЭ 2019. Математика. Задачи по планиметрии. Задача 6. Задачи 8 и 15. Рабочая тетрадь
ЕГЭ 2012. Математика. Решение задачи С4
Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ
Текст
                    задачи на готовых
чертежах для подготовки
к ЕГЭ	.
10-11
классы

Большая перемена
Э.Н. Балаян
ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на готовых
чертежах
для подготовки к ЕГЭ
10-11 классы
Ростов-на-Дону
/феникс
2013
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
КТК 444
Б20
Балаян Э.Н.
Б20 Геометрия : задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ:
10-11 классы / Э.Н. Балаян. — Ростовн/Д : Феникс, 2013. —
217с. : ил.— (Большая перемена).
ISBN 978-5-222-19817-9
Предлагаемая вниманию старшеклассников книга содержит более 600 разно-
уровневых задач по всем основным темам геометрии (стереометрии) 10-11 клас-
сов на готовых чертежах, скомпонованных в 80 таблицах.
Эти задачи не только помогут учащимся углубить свои знания, проверить и
закрепить практические навыки при систематическом изучении курса стереомет-
рии, но и предоставляют хорошую возможность для самостоятельной эффектив-
ной подготовки к успешной сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам по математике.
Для удобства пользования книгой приводятся подробные решения к наиболее
трудным задачам, а также краткие теоретические сведения, сопровождаемые
определениями, рисунками и необходимыми справочными материалами. Ко всем
задачам даны ответы.
Пособие является прекрасным дополнением к существующим учебникам
геометрии, предназначено учителям, старшеклассникам общеобразовательных
школ, лицеев, колледжей как для подготовки к урокам, так и сдаче ЕГЭ, а также
репетиторам.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
ISBN 978-5-222-19817-9	© Балаян Э.Н., 2012
© Оформление, ООО «Феникс», 2012
ПРЕДИСЛОВИЕ
Не секрет, что геометрические задачи вызывают у учащихся наи-
большие затруднения. Достаточно сказать, что многие абитуриенты,
как правило, обходят решения геометрических задач на ЕГЭ. Кроме
того, выполнение наглядного чертежа также вызывает затруднения,
не говоря уже о трудностях при нахождении идеи решения задачи.
Упражнения на готовых чертежах оказывают неоценимую помощь
в усвоении и закреплении новых понятий и теорем. Эти задачи дают
возможность в течение минимума времени усвоить и повторить значи-
тельно больший объем материала, тем самым наращивать темп работы
на уроках. Кроме того, эти задачи способствуют активизации мысли-
тельной деятельности учащихся, обучают их умению грамотно рассуж-
дать, находить в них общее и делать различия, сопоставлять и противо-
поставлять, делать правильные выводы.
В книге на всех чертежах равные углы и равные отрезки отмечены
одинаковыми знаками, прямые углы — квадратиками, что дает воз-
можность учащимся значительно быстрее ориентироваться в условиях
задачи.
Книга состоит из четырех разделов.
В первом разделе, для удобства пользования книгой, приводятся
краткие теоретические сведения по курсу стереометрии, сопровож-
даемые необходимыми определениями, свойствами и справочными
материалами. Изложение материала сжатое, в конспективной форме,
но достаточное, чтобы им мог пользоваться не только старшеклассник,
но и тот, кто незнаком с каким-либо разделом, и тот, кто окончил шко-
лу ранее и изрядно позабыл материал.
Во втором разделе приводятся базовые задачи, составленные в виде
таблиц на нахождение углов и расстояний в пространстве, которые
развивают геометрические представления, лежащие в основе решения
любых задач по стереометрии.
Количество задач в самих таблицах — различно, среди них есть
легкие, а более сложные расположены, как правило, в конце каждой
таблицы, что дает возможность учителю вести дифференцированное
обучение учащихся, а старшекласснику выбрать те или иные задачи
в зависимости от уровня своей подготовленности.
В третьем разделе автором собраны разные задачи на многогранни-
ки и фигуры вращения. При выполнении задач происходит активная
мыслительная деятельность учащихся, что, в свою очередь, приводит
к эффективному непроизвольному запоминанию определений, свойств
и признаков изучаемых фигур. В свою очередь, определения, свойства
4 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
и признаки рассматриваемых фигур периодически повторяются в про-
цессе решения разнообразных задач, что приводит в итоге к продуктив-
ному запоминанию.
Немаловажное значение имеет и то (как показывает опыт), что уча-
щиеся с большим удовольствием предпочитают решать эти задачи,
чем отвечать на теоретические вопросы.
В заключительном, четвертом разделе приводятся подробные реше-
ния к наиболее трудным задачам, по одной из каждой таблицы.
Решение задач на готовых чертежах, несомненно, способствует по-
вышению творческой активности учащихся, развитию логического
мышления, является эффективным средством усвоения и закрепления
теоретического материала.
Ко всем задачам в конце книги даны ответы, что дает возможность
проверить правильность решенной задачи.
Отметим, что предлагаемые задачи не ставят целью заменить систе-
му задач из существующих учебников по геометрии, а являются лишь
(как надеется автор) прекрасным дополнением к учебникам. Они дают
возможность учителю сэкономить значительную часть времени на изу-
чение соответствующих тем и способствуют усилению практической
направленности преподавания геометрии.
В дополнение к этой книге и для основательной подготовки к урокам
и ЕГЭ, автор настоятельно рекомендует использовать вышедшие в изда-
тельстве «Феникс» книги автора «Геометрия. Задачи на готовых черте-
жах. 7-9 классы» — 4-е изд., 2012 и «Репетитор по геометрии для под-
готовки к ГИА и ЕГЭ. 7-11 классы», 2012.
Разлел I
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
ПО КУРСУ СТЕРЕОМЕТРИИ
X-XI КЛАССОВ
При решении задач стереометрии возрастают требования к качеству
чертежа и его наглядности.
Освоение принципов и техники построения пространственного черте-
жа — необходимое условие для успешного решения задач.
Пространственные тела можно условно разделить на удобные для
пространственного изображения и неудобные. К первой категории отно-
сятся многогранники: параллелепипед, треугольная призма, треуголь-
ная и четырехугольная пирамида. Все остальные будем считать неудоб-
ными для изображения.
В некоторых случаях при решении задач можно вообще обойтись од-
ним плоским чертежом или несколькими (в случае необходимости) и не
строить пространственное изображение.
Основным средством решения задач является аналитический метод.
Многогранники
К этому разделу отнесем два основных типа задач:
1) задачи на вычисление;
2) задачи на сечения.
К задачам на вычисление относятся те, где требуется найти линейные
элементы правильных призм и пирамид, а именно: сторону основания,
боковое ребро, апофему и т. д., далее угловые элементы: двугранные углы
при основании, линейные углы при вершине; площади: боковой поверх-
ности, полной поверхности, основания.
В основе второго типа задач — задач на построение лежит умение
построить сечение данного многогранника плоскостью и определить вид
этого сечения. В задачах этого типа сечение задается точкой и прямой,
тремя точками, двумя точками и прямой, параллельной плоскостью се-
чения и т. д.
6 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Многогранником называется тело, граница которого состоит из мно-
гоугольников.
Эти многоугольники называются гранями, их стороны — ребрами, а
вершины — вершинами многоугольника.
Отрезки, соединяющие две вершины, не лежащие на одной грани, назы-
ваются диагоналями многогранника.
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.
Если многогранник целиком расположен по одну сторону от плоскос-
ти каждой его грани, то он называется выпуклым.
Например, тетраэдр, октаэдр, параллелепипед — выпуклые много-
гранники.
Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми много-
угольниками.
В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой
его вершине меньше 360°.
7. Призма
Призмой (рис. 1) называется многогранник,
у которого две грани ABCDE и AiBiCiD-lEi (ос-
нования призмы) — равные многоугольники с
соответственно параллельными сторонами, а все
остальные грани (АА^В^В; ВВ^С^С и т. д.) — па-
раллелограммы, плоскости которых параллель-
ны одной прямой (А415 BBi и т. д.).
Параллелограммы AAiBiB, ВВ^С^С и т. д.
называются боковыми гранями, а ребра АА1?
BBi и т. д. называются боковыми.
Перпендикуляр FFlf опущенный из любой
точки одного основания на плоскость другого,
называется высотой призмы.
Если в основании призмы лежит треуголь-
ник, четырехугольник и т. д., то призма назы-
вается соответственно треугольной, четырех-
угольной и т. д.
Призма называется прямой, если боковые ребра перпендикулярны к
основаниям, в противном случае призма называется наклонной.
Если в прямой призме основание — правильный многоугольник, то
призма называется правильной.
У правильной призмы все боковые грани — равные прямоугольники.
Сечение, которое образовано плоскостью, перпендикулярной боково-
му ребру призмы, называется перпендикулярным сечением (см. рис. 1).
Разлел I. Краткие теоретические свеления по курсу стереометрии X-XI классов •» 7
Произвольная призма
^бок. -^сеч. '	^осн. ’	*^сеч.
С — Q	ОС
‘-’полн. ‘-’бок. 1 ^‘-’осн.
Прямая призма
^бок. ' Н, ^полн. ^бок. + 2S0CH5 V <SoCH. " Н •
Замечание. Для произвольного параллелепипеда справедливы те же
формулы.
2. Параллелепипел
Параллелепипедом называется призма, осно-
вание которой — параллелограмм (рис. 2).
У параллелепипеда 6 граней и все они парал-
лелограммы.
Противоположные грани попарно равны и па-
раллельны.
Параллелепипед имеет 4 диагонали, которые
пересекаются в одной точке и делятся в ней по-
полам.
Любая грань параллелепипеда может быть
принята за основание.
Параллелепипед, у которого боковые грани —
прямоугольники, называется прямым.
Прямой параллелепипед, у которого все гра-
ни — прямоугольники, называется прямоуголь-
ным (рис. 3).
Прямоугольный параллелепипед, у которого
все грани квадраты, называется кубом.
Прямоугольный параллелепипед (рис. 3):
S6oK. = Р • Н = 2(а + Ъ)<г,
V = abc;
^полн. 2(ab Н- Ьс Н- не),
d2 = а2 4- Ь2 4- с2.
Куб
Если а — ребро куба, то
V = a3; d = a4s ; SnoJIH. = 6а2.
8 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
3. Пирамила
Пирамидой называется многогранник, у ко-
торого одна грань — основание пирамиды —
произвольный многоугольник ABCDE (рис. 4),
а остальные боковые грани — треугольники с
общей вершиной М.
Перпендикуляр МО, опущенный из вершины
на основание, называется высотой пирамиды.
Если в основании пирамиды треугольник,
четырехугольник и т. д., то пирамида называ-
ется треугольной, четырехугольной и т. д.
Треугольная пирамида называется тетраэд-
ром (четырехгранником).
Если в основании пирамиды лежит правиль-
ный многоугольник, а высота проецируется в
центр основания, то пирамида называется пра-
вильной (рис. 5).
В правильной пирамиде все боковые ребра
равны, все боковые грани — равнобедренные
треугольники.
Высота боковой грани MD называется апо-
фемой правильной пирамиды.
Произвольная пирамида
^полн. ^бок. ^ОСН.’	g 'S'oCH. ’ Н.
Правильная пирамида (рис. 5)
Ябок.= |р-Л; S6OK.= ^;
2	cos ср
*^ПОЛН. ^бок. ^ОСН.»	2 ^ОСН. ’	’
Если в пирамиде провести сечение, параллельное основанию, то часть
пирамиды, заключенная между секущей плоскостью и основанием, на-
зывается усеченной пирамидой (рис. 6).
Параллельные грани усеченной пирамиды (АВС и А1В1С1) называют-
ся ее основаниями; расстояние между ними (OOi) — высотой.
Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из ко-
торой она получена, была правильной.
Разлел I. Краткие теоретические свеления по курсу стереометрии X-XI классов •» 9
Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равно-
бедренные трапеции.
Высота боковой грани называется апофемой правильной усеченной
пирамиды.
Произвольная усеченная пирамида
V = —(S, + S,+JS,S2).
Правильная усеченная пирамида (рис. 6)
5бок. = “(Л +р2) ♦ где Р2 — периметры
оснований.
^полн. ^бок. + ^1 + ^2» где S2 пло-
щади оснований.
4. Дополнительные соотношения между элементами
призмы и пирамиды
1.	Если в пирамиде МА1А2..^4П все боко-
вые ребра образуют с плоскостью основа-
ния равные углы (рис. 7), длины всех боко-
вых ребер равны, то вершина М пирамиды
проецируется в центр окружности, описан-
ной около основания пирамиды (эта точка
О является также точкой пересечения се-
рединных перпендикуляров, проведенных
к сторонам основания пирамиды).
2.	Если в пирамиде MAiA2...An все боко-
вые грани образуют с основанием равные
углы и длины всех апофем боковых граней
равны, то вершина М пирамиды проеци-	Рис. 7
руется в центр окружности, вписанной в
основание пирамиды. Эта точка является также точкой пересечения
биссектрис углов в основании пирамиды (рис. 8).
3.	Если высота треугольной пирамиды МАВС проходит через точку
пересечения высот ДАВС, лежащего в основании, то противоположные
ребра пирамиды перпендикулярны, т. е. AM ± ВС, МС LAB и МВ ± АС.
Справедливо и обратное утверждение (рис. 9).
4.	Если МО — высота пирамиды МАВС и МА ± ВС, то (МАО) ± ВС
(рис. 9).
1 0 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-17 классы
5.	Если в наклонной призме А1А2..АПВ1В2...ВП
боковое ребро AiBj составляет равные углы со
сторонами основания, образующими вершину
то точка О основания высоты ВгО лежит
на биссектрисе ZAr (рис. 10).
Круглые тела
Заметим, что круглые тела по сравнению с
многогранниками относительно трудно под-
даются изображению. Это замечание прежде
всего относится к шару. По этой причине при
решении стереометрических задач, как прави-
ло, сам шар (а тем более шары) стараются не
изображать, так как многие задачи на круглые
тела сводятся к задачам планиметрии.
При решении задач, связанных с цилиндром, используются такие
понятия, как высота, образующая, радиус основания, осевое сечение,
основание, поверхность (боковая и полная) и соответственно параметры:
площадь осевого сечения, площадь боковой и полной поверхностей, пло-
щадь основания, объем цилиндра, радиус основания.
Что касается прямого кругового конуса (или просто конуса), то здесь
добавляются угол при вершине осевого сечения и угол наклона образую-
щей конуса к плоскости основания.
Раздел I. Краткие теоретические свеления по курсу стереометрии X-XI классов •» 11
7. Цилиндр
Тело, ограниченное цилиндрической по-
верхностью и двумя кругами с границами L
и Iq, называется цилиндром (рис. 11).
Цилиндрическая поверхность называется
боковой поверхностью цилиндра, а круги —
основаниями цилиндра.
Образующие цилиндрической поверхнос-
ти называются образующими цилиндра, а
длина образующей — высотой цилиндра.
Прямая OOi называется осью цилиндра.
Всякое сечение цилиндра плоскостью,
проходящей через ось цилиндра, представ-
ляет собой прямоугольник, у которого две
стороны — образующие, а две другие — диа-
метры оснований цилиндра, а само сечение называется осевым.
Всякое сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси, яв-
ляется кругом.
‘S'бок. 21lRH\ £Полн. ‘S'бок. "I- 2SOCH>,
«полн. = 2nR(R + H); V = nR2H.
2. Конус
Конусом называется тело, ограниченное ко-	с
нической поверхностью и кругом с границей L	А
(рис. 12).	/ :\
Коническая поверхность называется боковой	/ ! \
поверхностью конуса, а круг — основанием ко- / ; \
нуса.	у	\н \
Точка С — вершина конуса, а образующие ко- /	!	\
нической поверхности — образующие конуса.	/	!	\
Прямая ОС называется осью конуса, а отре- /	________ \
зок ОС называется высотой конуса.	--t1-- -- >
Заметим, что конус может быть получен вра-	°	__.
щением прямоугольного треугольника вокруг	L
любого катета, при этом боковая поверхность	Рис-12
конуса образуется вращением гипотенузы, а основание — вращением
катета.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса, называет-
ся осевым.
‘S'Gok. 1lRl> ^полн. ‘S'Gok. ‘S'och.’
5полв. = лЯ(Я + Z); V = |пЯ2Н .
О
1 2 «• Геометрия. Задачи на юювых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Если конус пересечь плоскостью, перпенди-
кулярной к его оси, то та часть конуса, которая
\ заключена между секущей плоскостью и основа-
\ нием, называется усеченным конусом (рис. 13).
\ Отрезок, соединяющий центры оснований,
\	называется высотой усеченного конуса.
\ Часть конической поверхности, ограничиваю-
________2А щая усеченный конус, называется его боковой
поверхностью, а отрезки образующих кониче-
ской поверхности, заключенные между основа-
Рис. 13_ниями, называются образующими усеченного
конуса.
Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной
трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям.
*$бок. nl(R + г); £полн. = £бок. + S4 + S2; Si = лЯ2;
S2 -= лг2-, V = ^~(R2 + Rr + г2).
О
3. Шар
Шаровой, или сферической, поверхно-
стью (или просто сферой) называется геомет-
рическое место точек пространства, равноуда-
ленных от одной точки — центра шара (точка
О, рис. 14).
Тело, ограниченное шаровой поверхнос-
тью, называется шаром.
Шар можно получить вращением полу-
круга (или круга) около его диаметра.
Сечение шара плоскостью, проходящей
через центр О, представляет собой наиболь-
Рис. 14	ший КРУГ-
Если плоскость имеет со сферой только одну
общую точку, то она называется касательной плоскостью к сфере, а их об-
щая точка — точкой касания плоскости и сферы.
Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, пер-
пендикулярен к касательной плоскости. Верно и обратное.
Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера
касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в много-
гранник.
Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины
лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около много-
гранника.
Раздел I. Краткие теоретические сведения по курсу стереометрии X-XI классов •» 1 3
«шара = 4лЯ2 = яО2; Гшара = |лЯ3 = |лО3 .
о	О
1.	Шаровой сегмент (рис. 15).
Если S — площадь сферической поверх-
ности сегмента, h — высота, V — объем,
1— радиус основания, то
S = 2nRh = TtDh = n(r2 + Л2);
«пола. = л(2ЯЛ + г2) = л(Л2 + 2г2);
Г=лЛ2(Я--Л).
3
2.	Шаровой сектор (рис. 15).
S = TtR(2h + г);
V = —nRzh =—ndzh.
3	6
3.	Шаровой пояс (рис. 16).
Если h — высота шарового пояса, т\ и
г2 — радиусы оснований, то
S6oK. = 2nRh = nDh;
S = n(2Rh+ rz+rz);
V= -Tth(3rz+3rz+hz).
Рис. 16
Раздел II
ЗАДАЧИ В ТАБЛИЦАХ
§ 1. Угол между двумя прямыми
КУБ
Таблица 1
1 В единичном кубе A...Dr най-
--- дите угол между прямыми АС
и BD.
3
В единичном кубе A...DX най-
дите угол между прямыми А4]
и В^С.
2
В единичном кубе A...Dr най-
дите угол между прямыми ССГ
В единичном кубе A...D\ най-
дите угол между прямыми ВВ^
и А^С.
Раздел II. Задачи в таблицах •» 1 5
Продолжение табл. 1
5 В единичном кубе A...Dr най-
дите угол между прямыми AiC
и DCi.
3 В единичном кубе A...D^ най-
---дите угол между прямыми AD^
и BD.
В единичном кубе A...D! най-
дите угол между прямыми ADj
и А^В.
В единичном кубе A...D^ найди-
те угол между прямыми А^С^ и
BjC.
7
В единичном кубе A...D1 найди-
те угол между прямыми DC} и
ВД.
В единичном кубе A...DX най-
дите угол между прямыми А^С
nAD.
1 6 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Продолжение табл. 1
11 В единичном кубе A...DX най-
--- дите угол между прямыми АгВ
и АС.
14 В единичном кубе A...D^ най-
---- дите угол между прямыми ВгС
и BDr.
В единичном кубе A...D^ най-
дите угол между прямыми АС
и BjDp
15 В единичном кубе A...D1 най-
--- дите угол между прямыми АВ
и САр
13 В единичном кубе A...Di най-
---- дите угол между прямыми А^В
и СВр
15 В единичном кубе A...D± най-
---- дите угол между прямыми ВАХ
и BjBp
Раздел II. Задачи в таблицах •» 1 7
Окончание табл. 1
17 В единичном кубе A...Dr най-
--- дите угол между прямыми АВг
и BD^.
13 В единичном кубе A...Dr най-
— дите угол между прямыми АВ
и DBi.
1 8 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 2
1
В правильной треугольной
призме АВСАХВХСХ, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми АС и BjCp
4
В правильной треугольной
призме АВСАХВХСХ, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми АСХ и АХВ.
2
В правильной треугольной приз-
ме АВСАХВХСХ, все ребра ко-
торой равны 1, найдите угол
между прямыми ААХ и ВХС.
В правильной треугольной приз-
ме АВСАХВХСХ, все ребра ко-
торой равны 1, найдите угол
между прямыми АХСХ и ВХС.
3
В правильной треугольной
призме АВСАХВХСХ, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми АС и ВСХ.
6
В правильной треугольной
призме АВСАХВХСХ, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми АВХ и АХС.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 19
Окончание табл. 2
9
В правильной треугольной
призме ABCAiBiCi, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми AM и CN, где
М и N — соответственно сере-
дины ребер AjCj и В^.
В правильной треугольной
призме ABCAiBjCi, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми АЕ?! и ВСр
8
В правильной треугольной
призме ABCAiBiCi, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми АВ и СА^.
20 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 3
1
4 В правильной шестиугольной
--- призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми A4j и Е]С.
В правильной шестиугольной
призме A...Fx, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми ВВХ и FiEl.
В правильной шестиугольной
призме A...Fx, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми AAi и DXE.
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
3
В правильной шестиугольной
призме A...FX, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми ССХ и FE{.
6
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми CCi и ВЕ\.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 21
Продолжение табл. 3
7
10
В правильной шестиугольной
призме все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми А]В и Е]С.
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми АВ] и F]D.
В правильной шестиугольной
призме все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми АВ,, и BjC.
11
В правильной шестиугольной
призме A...F], все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми F]C 1дАВ].
9
В правильной шестиугольной
призме A...F], все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми AF] и DEi.
12
В правильной шестиугольной
призме A...F], все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми А]В и АЛ].
22 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Продолжение табл. 3
13 В правильной шестиугольной
---- призме А...РЪ все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми ADj и FXD.
16 В правильной шестиугольной
---- призме A...Fi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми AtC и ADp
14
В правильной шестиугольной
призме А...РЪ все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми BEi и АВр
17
В правильной шестиугольной
призме A...Fj, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми ADi и CFi.
15
В правильной шестиугольной
призме A...Flf все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми AC j и ВЕ^.
18
В правильной шестиугольной
призме A...Fp все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми FD} и СЕ у.
Раздел II. Задачи в таблицах •» 23
Продолжение табл. 3
19 В правильной шестиугольной
---- призме A...Fr, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми FC nADi.
22
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми ABj и ВС^.
20
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми AD и CF\.
В правильной шестиугольной
призме A...F}, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми ABi и DCi.
21
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми АВ и FEi.
24
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду прямыми ABi и BDi.
24 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Окончание табл. 3
25 В правильной шестиугольной призме A...F}, все ребра которой равны 1,
---- найдите угол между прямыми ВАГ и DBY.
Разлел II. Задачи в таблицах •» 25
ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР
26 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 5
1
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми МО и BE, где Е — середина
ребра AM.
2
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все ребра которой
равны 1, точка Е — середина ребра МС. Найдите угол между прямыми
МА и BE.
Разлел II. Задачи в таблицах •» 27
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 6
1
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми МА и BD.
4
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а
боковые ребра равны 2, найди-
те косинус угла между прямы-
2
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми МВ и AD.
5
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а
боковые ребра равны 2, найдите
угол между прямыми ME и CD.
3
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а
боковые ребра равны 2, найди-
те косинус угла между прямы-
28 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
§ 2. Угол между прямой и плоскостью
КУБ
Таблица 7
1
В кубе A...D1 найдите угол меж-
В кубе A...D1 найдите угол меж-
ду прямой АХВ и плоскостью
ду прямой ВВ] и плоскостью
А]ВС.
А	В
В кубе A...!?! найдите угол меж-
ду прямой АВГ и плоскостью
АВС].
В кубе A...D1 найдите угол меж-
ду прямой DDX и плоскостью
А]ВС].
3 В кубе A...D1 найдите угол меж-
--- ду прямой АВ] и плоскостью
АСС].
В кубе А...В] найдите угол меж-
--- ду прямой А]В и плоскостью
АСВ].
Раздел II. Задачи в таблицах •» 29
Продолжение табл. 7
7
В кубе А...ВХ найдите угол меж-
ду прямой ACi и плоскостью
BBiDi.
Ю В кубе A...D1 найдите угол меж-
---- ду прямой BDi и плоскостью
ВСС v
8 В кубе A...D1 найдите угол меж-
--- ду прямой АГС и плоскостью
ВССр
В кубе A...D1 найдите угол меж-
ду прямой АВ и плоскостью
CBxDr.
9
В кубе A...Dr найдите угол меж-
ду прямой ABi и плоскостью
BC]D.
12
В кубе A...D\ найдите угол меж-
ду прямой A]Dr и плоскостью
АСВр
30 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Окончание табл. 7
13 В кубе A...DX найдите угол меж-
---- ду прямой DDi и плоскостью
АСВр
15 В кубе A...D1 найдите угол меж-
---- ду прямой АА1 и плоскостью
BCrD.
14 В кубе A...Dr найдите угол меж-
---- ду прямой АС и плоскостью
BCDr.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 31
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица8
1
4
В правильной треугольной
призме ABCA^BiCi^ все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой ВВГ и плоско-
В правильной треугольной
призме АВСА^В^Сх, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой BCi и плоско-
2
5
В правильной треугольной
призме ABCAiBiCi, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой АА1 и плоско-
В правильной треугольной
призме ABCA]BiCi, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой АС и плоскостью
3
В правильной треугольной
призме АВСА^В^С^, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой ВС и плоско-
5 В правильной треугольной
--- призме ABCAiBtCi, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой ССГ и плоско-
32 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 9
1 В правильной шестиугольной
--- призме A...Fj, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой CCi и плоскостью АВС.
В правильной шестиугольной
призме A...Fr, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой CFr и плоскостью АВС.
4
2
5
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой AFi и плоскостью АВС.
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой BBi и плоскостью ABDi.
3
6
В правильной шестиугольной
призме A... Fi, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой АхС и плоскостью АВС.
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямойАВХ и плоскостьюABDi.
Разлел II. Задачи в таблииах •» 33
Продолжение табл. 9
7 В правильной шестиугольной
--- призме А... Гр все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой EEi и плоскостью FCDi.
10
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой AAi и плоскостью BDiF.
8
11
В правильной шестиугольной
призме A... Fi, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой ABi и плоскостью ACEi.
В правильной шестиугольной
призме A... Fi, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой CCi и плоскостью ACDi.
9
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой АВ J и плоскостью АВС р
12
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой BCi и плоскостью BDEi.
34 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Окончание табл. 9
13 В правильной шестиугольной
---- призме A... Flf все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой CD и плоскостью АВВГ.
16 В правильной шестиугольной
---- призме A... Fi, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой BCi и плоскостью AFFi.
14
В правильной шестиугольной
призме A... F\, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой FF{ и плоскостью AE-Dp
17
В правильной шестиугольной
призме A...Гр все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой FCi и плоскостью ВСЕ^.
15
В правильной шестиугольной
призме A... Гр все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой А4.! и плоскостью BCEi.
Разлел II. Залачи в таблииах •» 35
ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР
Таблица 10
1 В правильном тетраэдре МАВС,
--- все ребра которого равны 1,
найдите угол между апофемой
MD и плоскостью АВС.
В правильном тетраэдре МАВС,
все ребра которого равны 1,
точка D — середина ребра ВМ.
Найдите угол между прямой
AD и плоскостью АВС.
3
2
В правильном тетраэдре МАВС,
все ребра которого равны 1,
найдите угол между ребром МС
и плоскостью АВС.
В правильном тетраэдре МАВС,
все ребра которого равны 1, най-
дите угол между медианой BD
грани МВС и плоскостью МАВ.
М
В
36 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 11
1 В правильной четырехугольной
--- пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой АЕ и плоскостью
МВС, где Е — середина MD.
3 В правильной четырехугольной
--- пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между плоскостью, проходя-
щей через точку D перпендику-
лярно АС.
2
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой BD и плоско-
стью МВС.
Разлел II. Задачи в таблицах •» 37
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 12
1
3
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите синус угла между прямой
AF и плоскостью МВС.
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите синус угла между прямой
MF и плоскостью МАВ.
2
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите синус угла между прямой
ВС и плоскостью МАВ.
38 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
§ 3. Угол между двумя плоскостями
КУБ
Таблица 13
4
В кубе A...Dy найдите углы меж-
ду плоскостями АВС и АССг.
В кубе A...D1 найдите углы меж-
ду плоскостями АВС1 и АВС.
В кубе A...Dr найдите углы меж-
ду плоскостями ACCi и BDDr.
В кубе A...Dj найдите углы меж-
ду плоскостями АВС и CDD±.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 39
Продолжение табл. 13
7
В кубе A...DX найдите углы меж-
ду плоскостями АВС?! и АВ^С.
10 В единичном кубе A...D1 най-
---- дите угол между плоскостями
AB\D-y и ВА^С^.
8
В кубе A...DX найдите углы меж-
ду плоскостями АВС± и BB^D^.
11 В единичном кубе A...DX най-
---- дите угол между плоскостями
ABCnDArCx.
9 В единичном кубе A...Dr най-
--- дите угол между плоскостями
BDCi и ADDX.
12 В единичном кубе A...DX най-
---- дите угол между плоскостями
АВСХ и BCD!.
40 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Разлел II. Задачи в таблииах •» 41
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 14
1
В правильной треугольной приз-
ме ABCAiBtCi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями ACCi и ВССр
В правильной треугольной приз-
ме ABCAiBiCi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВгС пА^ВС^.
2 В правильной треугольной приз-
--- ме ABCA^iCi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АСС} и АВС.
В правильной треугольной приз-
ме АВСАГВГСЪ все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВС и АГСВГ.
3
В правильной треугольной приз-
ме ABCAiBiCi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВС и AtBC.
42 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 15
1 В правильной шестиугольной
призме A...Fj,' все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями AFFi и DD^E^.
4
В правильной шестиугольной
призме A...Fx, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями BFFr и ВССХ.
2
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВВ^ nAFFx.
В правильной шестиугольной
призме A...FX, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АССГ иАЕЕг.
3
В правильной шестиугольной
призме A...Fх, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВС и DEE^.
6
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями BFFi и DEEr.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 43
Продолжение табл. 15
7
В правильной шестиугольной
призме A...Flf все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВС и ABDX.
10
В правильной шестиугольной
призме А...РЪ все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВС и BED}.
8
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВС и АВрОр
11
В правильной шестиугольной
призме A...F}, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями BCDx и FED}.
9
В правильной шестиугольной
призме А...Гр все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВС и BCDp
12
В правильной шестиугольной
призме A...Fr, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВС и FBDr.
44 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Окончание табл. 15
13 В правильной шестиугольной
призме A...F^ все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВС и DB)F\.
15
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями AFFi и BDDr.
14
В правильной шестиугольной
призме A...Fly все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями ВСС} nAFFr.
16
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите угол меж-
ду плоскостями АВС и BFEX.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 45
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 16
1
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между плоскостями MAD и
мвс.
3
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все реб-
ра которой равны 1, найдите
угол между плоскостями АВС
hMCD.
2
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите дву-
гранный угол между гранями
MAD и AM В.
4
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, точка Е —
середина ребра МС. Найдите
угол между плоскостями АВС
и BDE.
46 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 17
В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основа-
ния которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла
между плоскостями MFE и МАВ.
2
В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основа-
ния которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла
между плоскостями MAF и MCD.
3
В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основа-
ния которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла
между плоскостями АВС и МВС.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 47
§ 4. Расстояние от точки до прямой
КУБ
Таблица 18
48 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Продолжение табл. 18
7 В единичном кубе A...Dx най-
дите расстояние от точки В до
10 В единичном кубе A...D1 най-
---- дите расстояние от точки В до
прямой АгС.
8 В единичном кубе A...Dl най-
дите расстояние от точки А до
прямой BjC.
11 В единичном кубе A...Dr най-
---- дите расстояние от точки А до
прямой В-Ор
В единичном кубе A...D1 най-
дите расстояние от точки А до
прямой А^С.
12
В единичном кубе A...Dr най-
дите расстояние от точки В до
прямой DA1.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 49
Окончание табл. 18
13 В единичном кубе А...#! найдите расстояние от точки В до прямой АСр
50 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 19
3
4
В правильной треугольной приз-
ме АВСА^В^!, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой ССр
В правильной треугольной приз-
ме ABCA^B^Ci, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки С до прямой Ах-Вр
В правильной треугольной приз-
ме АВСА1В1С1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой ВС.
В правильной треугольной приз-
ме АВСАх-ВхСд, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой АВГ.
6
В правильной треугольной приз-
ме ABCAiByC^, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой АхСд.
В правильной треугольной приз-
ме AjBCAx-BxCi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой АСх-
Раздел II. Задачи в таблицах •» 51
Окончание табл. 19
7
В правильной треугольной призме АВСА^В^С^, все ребра которой рав-
ны 1, найдите расстояние от точки А до прямой СВ±.
52 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 20
1 В правильной шестиугольной
призме A...F 15 все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой FF\.
В правильной шестиугольной
призме A...FX, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой DE.
4
2
В правильной шестиугольной
призме A...F все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой ЕЕХ.
5 В правильной шестиугольной
--- призме A...F 15 все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки С до прямой FE.
3
6
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой DD±.
В правильной шестиугольной
призме	все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой АЕ.
Разлел II. Задачи в таблииах •» 53
Продолжение пгабл. 20
7 В правильной шестиугольной
--- призме A...FX, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки С до прямой BE.
Ю В правильной шестиугольной
---- призме A...Fr, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки Е до прямой АС.
В правильной шестиугольной
призме A...F\, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой AjBp
В правильной шестиугольной
---- призме A...Fi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой FC.
9
12
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки С до прямой BD.
В правильной шестиугольной
призме A...Fu все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой CD.
54 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Продолжение табл. 20
13 В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой D^E^.
16 В правильной шестиугольной
---- призме A...Flt все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой ВСр
14
В правильной шестиугольной
призме A...F!, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки С до прямой F^i.
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки С до прямой AJF\.
15
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой D^Ci.
18
В правильной шестиугольной
призме A...Flt все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой АВр
Раздел II. Задачи в таблииах •» 55
Продолжение табл. 20
19 В правильной шестиугольной
---- призме A...FX, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой АЕ}.
22
В правильной шестиугольной
призме A...F^ все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой СЕр
20
В правильной шестиугольной
призме A...Flt все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой CFX.
23
В правильной шестиугольной
призме А...РЪ все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой DpFp
21
В правильной шестиугольной
призме A...FX, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой ADp
24
В правильной шестиугольной
призме A...Fr> все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой АрГр
56 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Окончание табл. 20
25 В правильной шестиугольной
---- призме A...Fr, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки С до прямой AXD\.
28 В правильной шестиугольной
---- призме A...F!, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой BE
26
В правильной шестиугольной
призме A...FX, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки В до прямой FEr.
29 В правильной шестиугольной
---- призме A...Fr, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой Ci-Dp
27
В правильной шестиугольной
призме A...Flf все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние от точки А до прямой В^Е.
Раздел II. Задачи в таблицах •» 57
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 21
1
3
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите расстояние от точки А до
прямой МВ.
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите расстояние от точки С до
прямой MF.
2
4
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите расстояние от точки М до
прямой АС.
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите расстояние от точки В до
прямой MF.
58 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Разлел II. Залачи в таблииах •» 59
§ 5. Расстояние от точки до плоскости
КУБ
Таблица 22
1---В единичном кубе A...Dx най-
---- дите расстояние от точки А до
плоскости CDDi.
4 В единичном кубе A...D1 най-
---дите расстояние от точки А до
плоскости BCDi.
2---В единичном кубе A...Di най-
---- дите расстояние от точки В до
плоскости ADDi.
В единичном кубе A.-.Pj най-
дите расстояние от точки В до
плоскости АССГ.
В единичном кубе A...D1 най-
дите расстояние от точки С до
плоскости АВС^.
6
В единичном кубе A...D} най-
дите расстояние от точки В до
плоскости ACDr.
60 «• Геометрия. Задачи на ютовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Продолжение табл. 22
7
В единичном кубе A...DX най-
дите расстояние от точки А до
плоскости АуВС}.
Ю В единичном кубе A...DX най-
---- дите расстояние от точки А до
плоскости BZMp
8
В единичном кубе A...Dl най-
дите расстояние от точки С до
плоскости BDCy.
11
В единичном кубе A...D1 най-
дите расстояние от точки В до
плоскости DA]Ci.
9
В единичном кубе А...Вг най-
дите расстояние от точки С до
плоскости АВ]1){.
12 В единичном кубе A...Dr най-
---- дите расстояние от точки В до
плоскости ABiDi.
Разлел II. Залачи в таблииах •» 61
Окончание табл. 22
13
В единичном кубе A...Dr найдите расстояние от середины отрезка BCj
до плоскости АВx-Dp
62 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 23
1
В правильной треугольной
призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите рас-
стояние от точки В до плоскос-
ти AjBxCp
3
В правильной треугольной
призме ABCAjBjCt, все ребра
которой равны 1, найдите рас-
стояние от точки В до плоскос-
ти ABjC.
2
В правильной треугольной
призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите рас-
стояние от точки А до плоскос-
ти ВСС1.
4
В правильной треугольной
призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите рас-
стояние от точки А до плоскос-
ти A^BCi.
Разлел II. Задачи в таблииах •» 63
Окончание табл. 23
5
В правильной треугольной
призме АВСА]В]С1, все ребра
которой равны 1, найдите рас-
стояние от точки В до плоскос-
ти AiB]C.
В правильной треугольной
призме ABCAjBjCj, все ребра
которой равны 1, найдите рас-
стояние от точки В до плоскос-
ти ABiCi-
7
6
8
В правильной треугольной
призме ABCAiBiCi, все ребра
которой равны 1, найдите рас-
стояние от точки А до плоскос-
ти BCAt.
В правильной треугольной
призме ABCAiBj^i, все ребра
которой равны 1, найдите рас-
стояние от точки А до плоскос-
ти AjBjC.
64 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 24
1
В правильной шестиугольной
призме все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки С до плоскости AiBiCi.
4 В правильной шестиугольной
--- призме все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
2
5
В правильной шестиугольной
призме А...]?!, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки В до плоскости DEEr.
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
3
В правильной шестиугольной 6
призме А...]?!, все ребра которой -
равны 1, найдите расстояние от
точки С до плоскости EFFi.
В правильной шестиугольной
призме A...FJ, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки С до плоскости АВВр
Раздел II. Задачи в таблииах •» 65
Продолжение табл. 24
В правильной шестиугольной
призме A...FX, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки А до плоскости FCC^.
10
В правильной шестиугольной
призме A...F\, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки В до плоскости AEDX.
8
11
В правильной шестиугольной
призме А...]?!, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки В до плоскости CFA}.
В правильной шестиугольной
призме А...]?!, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки В до плоскости АСС1.
9
В правильной шестиугольной
призме A...FJ, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки В до плоскости FDD1.
12
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки А до плоскости DEA1.
66 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Окончание табл. 24
13 В правильной шестиугольной
---- призме A...Fi, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки А до плоскости CEFi.
15
В правильной шестиугольной
призме A...FV, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки В до плоскости AC-Dp
14
В правильной шестиугольной
призме А...]?!, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки В до плоскости АСВр
Разлел II. Задачи в таблииах •» 67
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 25
1
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите рас-
стояние от точки А до плоско-
сти MCD.
2
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, точка Е —
середина ребра ВМ. Найдите
расстояние от точки В до пло-
скости АЕС.
68 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 26
1
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите расстояние от точки В до
плоскости MED.
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите расстояние от точки А до
плоскости МВС.
2
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите расстояние от точки В до
плоскости MDF.
4
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите расстояние от точки В до
плоскости МАС.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 69
§ 6. Расстояние между двумя прямыми
КУБ
Таблица 27
1 В единичном кубе A...D1 найди-
--- те расстояние между прямыми
ВВГ и ССр
4 В единичном кубе A...Di найди-
---те расстояние между прямыми
ВВ\ n DDr.
В единичном кубе A...Dr найди-
те расстояние между прямыми
CCi n AD.
В единичном кубе A...Dr найди-
те расстояние между прямыми
АС и ВВг.
В единичном кубе А...Вг найди-
те расстояние между прямыми
ВВ± и CD.
В единичном кубе A...DY найди-
те расстояние между прямыми
АА1 и BDi.
70 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Продолжение табл. 27
7 В единичном кубе A...DX найди-
те расстояние между прямыми
ВАХ и СС\.
Ю В единичном кубе A...Dr найди-
---- те расстояние между прямыми
АгВ и B^Dy.
В единичном кубе A...Dr найди-
те расстояние между прямыми
BBj и ADp
11 В единичном кубе A...D! найди-
---- те расстояние между прямыми
АВ1 и BDj.
9
В единичном кубе A...D^ найди-
те расстояние между прямыми
АГВ и DCX.
12 В единичном кубе A...DX найди-
---- те расстояние между прямыми
А^иСВр
Разлел II. Задачи в таблииах •» 71
Окончание табл. 27
13 В единичном кубе A...DX найди-
---- те расстояние между прямыми
АВ и А^С.
15 В единичном кубе A...D1 найди-
---- те расстояние между прямыми
ABi и ВСр
14 В единичном кубе A...Dr найди-
---- те расстояние между прямыми
72 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 28
2
4
В правильной треугольной приз-
ме АВСА^В^С^, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми АВ и В]С\.
В правильной треугольной приз-
ме ABCAiBjCj, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми ABj и ВС.
5
В правильной треугольной приз-
ме АВСА]ВГ(\, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми BBj и АС.
В правильной треугольной приз-
ме ABCAiBxCx, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми АВ^ и ВС±.
6
В правильной треугольной приз-
ме АВСА^В^Сх, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми ВВГ и АСР
В правильной треугольной приз-
ме ABCAiBjCj, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми АВ и СВГ.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 73
Окончание табл. 28
7
В правильной треугольной приз-
ме АВСА^В^Сх, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми АА^ и ВСХ.
В правильной треугольной приз-
ме ABCAiB^Ci, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми СС\ и А^В.
8
В правильной треугольной приз-
ме	все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми АВ и СС\.
74 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 29
1
В правильной шестиугольной
призме все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми ВВг иАЕг.
4 В правильной шестиугольной
призме A...FX, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми АА1 и В(\.
2 В правильной шестиугольной
призме все ребра которой
равны 1, найдите расстояние
между прямыми и BtCi.
5
В правильной шестиугольной
призме A...Fr, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми FFX и В(\.
3
В правильной шестиугольной
призме A...Fr, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние
(у В правильной шестиугольной
--- призме A...Fr, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние
Раздел II. Задачи в таблицах •» 75
Продолжение табл. 29
7
В правильной шестиугольной
призме все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми ВВг и FEi.
10 В правильной шестиугольной
---- призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми ВС^ и АОР
8
В правильной шестиугольной
призме A...F!, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми СС^ иАЕ^.
11
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние
между прямыми А^В и ED±.
9
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми ВВХ и CFr.
12
В правильной шестиугольной
призме A...Flt все ребра которой
равны 1, найдите расстояние
между прямыми АВг и ВЕГ.
76 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Окончание табл. 29
13
В правильной шестиугольной призме A... Fr, все ребра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми EDX и FEi.
Разлел II. Задачи в таблицах •» 77
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 30
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра ко-
торой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми МВ и МС.
3 В правильной четырехугольной
--- пирамиде MABCD, все ребра ко-
торой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми МВ и АС.
2
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра ко-
торой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми МА и ВС.
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра ко-
торой равны 1, найдите расстоя-
ние между прямыми МА и BE.
78 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 31
1
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите расстояние между прямы-
ми МА и BD.
3
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите расстояние между прямы-
ми МА и СЕ.
2
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, най-
дите расстояние между прямы-
ми МА и ВС.
Разлел II. Задачи в таблицах •» 79
§ 7. Плошали сечений многогранников
КУБ
Таблица 32
80 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Продолжение табл. 32
7
Найдите площадь сечения еди-
ничного куба A...Dr плоскос-
тью, проходящей через верши-
ну В и середины CD, В^С^.
1 0 Найдите площадь сечения еди-
ничного куба A...Di плоскос-
тью, проходящей через верши-
ны Alf В и середину ребра Cj-Dp
8
Найдите площадь сечения еди-
ничного куба A...Di плоскос-
тью, проходящей через середи-
ны ребер AD, АВ, ВВХ.
1 1 Найдите площадь сечения еди-
---- ничного куба A...Di плоскос-
тью, проходящей через верши-
ны Ai, Ci и середину ребра DC.
9
Найдите площадь сечения еди-
ничного куба A...D1 плоскос-
тью, проходящей через верши-
ны А, С и середину AiDr.
*| 2 Найдите площадь сечения еди-
---- ничного куба A...Di плоскос-
тью, проходящей через верши-
ны А, В, Ср
Раздел II. Задачи в таблииах •» 81
Окончание табл. 32
13
Найдите площадь сечения еди-
ничного куба A...Dx плоскостью,
проходящей через середины
AAlf CCi и точку на ребре АВ,
отстоящую от вершины А на 0,2.
15
Найдите площадь сечения еди-
ничного куба A...DX плоско-
стью, проходящей через сере-
дины ребер CD, AiBi и точку
на ребре C^D^, отстоящую от
вершины на 0,25.
14
Найдите площадь сечения еди-
ничного куба A...Z>i плоскостью,
проходящей через середины
A4.i, CCi и точку на ребре АВ,
отстоящую от вершины А на 0,8.
16
Найдите площадь сечения еди-
ничного куба A...Z)i плоско-
стью, проходящей через сере-
дины ребер A4.i, ССг и точку на
ребре ВС, отстоящую от верши-
ны С на 0,25.
82 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Таблица 33
1
Найдите площадь четырех-
угольника, вершинами которо-
го являются вершины A, Alt С,
Ci прямоугольного параллеле-
пипеда ABCDA1B1C1D1 с ребра-
ми АВ = 2, ВС = 1, АА1 = 1.
3
Найдите площадь четырех-
угольника, вершинами кото-
рого являются середины ребер
AD, AiDi, DC, DiCi прямоуголь-
ного параллелепипеда
ABCDA^iCiDi с ребрами АВ =
= 2, AD= 1,ААХ = 1.
2 Найдите площадь четырех-
--- угольника, вершинами ко-
торого являются середины
ребер AD, ВС, DDlf СС^ пря-
моугольного параллелепипеда
ABCDAiBiCiPi с ребрами АВ = 2,
AD = 1, ААХ = 1.
Найдите площадь четырех-
угольника, вершинами кото-
рого являются вершины А, А1?
середины ребер ВС, В^С^ пря-
моугольного параллелепипеда
ABCDA^iC^Di с ребрами АВ =
- 2, AD = 1, AAi = 1.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 83
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 34
В правильной треугольной приз-
ме АВСА^В^С}, все ребра кото-
рой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящее через сере-
дины ребер АС, ВС, А^.
В правильной треугольной приз-
ме ABCAiBiCi, все ребра которой
равны 1, найдите площадь сече-
ния, проходящее через вершины
A, Aj и середину ребра ВС.
2
В правильной треугольной приз-
ме АВСА1В1С1, все ребра которой
равны 1, найдите площадь сече-
ния, проходящее через вершины
А, В и середину ребра В^.
В правильной треугольной приз-
ме АВСА1В1С1, все ребра которой
равны 1, найдите площадь сече-
ния, проходящее через вершины
Аь Bi и середину ребра АС.
3
В правильной треугольной приз-
ме АВСА^В^Сх, все ребра кото-
рой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящее через сере-
дины ребер AAlt ВВГ и ВГСХ.
В правильной треугольной приз-
ме ABCAiBiCj, все ребра кото-
рой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящее через вер-
84 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 35
1
4
В правильной шестиугольной
призме A...Fr, все ребра кото-
рой равны 1, найдите площадь
четырехугольника, проходяще-
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящее через вер-
шины F, В и Ср
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящее через вер-
В правильной шестиугольной
призме A...F-1, все ребра кото-
рой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящее через вер-
3
В правильной шестиугольной
призме A...F}, все ребра кото-
рой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящее через вер-
шины В, С и Е1.
6
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра кото-
рой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящее через вер-
шины F, С и Dp
Разлел II. Задачи в таблииах •» 85
ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР
Таблица 36
1
В единичном тетраэдре МАВС
найдите площадь сечения, вер-
шинами которого являются се-
редины ребер АВ, ВС, CM, AM.
3
В единичном тетраэдре МАВС
найдите площадь сечения, про-
ходящего через вершины А, М
и середину ребра ВС.
2
В единичном тетраэдре МАВС
найдите площадь сечения, вер-
4
шинами которого являются
середины ребер АВ, ВС и ВМ.
В единичном тетраэдре МАВС
найдите площадь сечения, про-
ходящего через вершину М и
середины ребер АВ и ВС.
86 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 37
1
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра ко-
торой равны 1, найдите площадь
сечения, вершинами которого
являются вершины М, А, С.
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра ко-
торой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящее через сере-
дины ребер AD, ВС и МС.
2
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра ко-
торой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через вер-
шины В, С и середину ребра MD.
5 В правильной четырехугольной
--- пирамиде MABCD, все реб-
ра которой равны 1, найдите
площадь сечения, вершинами
которого являются середины
3
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра ко-
торой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящее через вер-
шины А, В и середину ребра MD.
Раздел II. Задачи в таблицах •» 87
2
МНОГОГРАННИКИ
Таблица 38
Найдите площадь сечения мно-
гогранника, проходящее через
вершины А, В и D2. Все дву-
гранные углы прямые.
Найдите площадь сечения мно-
гогранника, проходящее через
вершины А, А2 и С2. Все дву-
гранные углы прямые.
Найдите площадь сечения мно-
гогранника, проходящее через
вершины А, С и А2. Все дву-
гранные углы прямые.
Найдите площадь сечения мно-
гогранника, проходящее через
вершины A, Ai и D2. Все дву-
гранные углы прямые.
3 Найдите площадь сечения мно-
--- гогранника, проходящее через
вершины Br, С\ и А2. Все дву-
гранные углы прямые.
6
Найдите площадь сечения мно-
гогранника, проходящее через
вершины А, А1 и С2. Все дву-
гранные углы прямые.
88 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Окончание табл. 38
7 Найдите площадь сечения мно-
--- гогранника, проходящее через
вершины A, Aj и D3. Все дву-
гранные углы многогранника
прямые.
9 Найдите площадь сечения мно-
--- гогранника, проходящее через
вершины А, В и С^. Все дву-
гранные углы многогранника
прямые.
8
Найдите площадь сечения мно-
гогранника, проходящее через
вершины А, В и D3. Все дву-
гранные углы многогранника
прямые.
1 0 Найдите площадь сечения мно-
---- гогранника, проходящее через
вершины А, В и D3. Все дву-
гранные углы многогранника
прямые.
Раздел II. Задачи в таблицах •» 89
§ 8. Плошали поверхностей вращения
плоских фигур
КВАДРАТ
Таблица 39
1 Найдите площадь боковой по-
--- верхности цилиндра, полученно-
го вращением единичного квад-
рата ABCD вокруг прямой ВС.
3 Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
единичного квадрата ABCD
вокруг перпендикуляра к диа-
гонали, проведенного через ее
конец.
2
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
единичного квадрата ABCD во-
круг прямой BD.
4 Найдите площадь поверхности
---тела, полученного вращением
единичного квадрата ABCD во-
круг внешней оси, параллель-
ной его стороне и отстоящей от
нее на длину стороны.
90 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Таблица 40
1 Найдите площадь боковой по-
--- верхности цилиндра, получен-
ного вращением прямоугольни-
ка ABCD со сторонами АВ = 1,
ВС = 2 вокруг прямой ВС.
3 Найдите площадь поверхнос-
--- ти вращения прямоугольника
ABCD со сторонами АВ = 2,
ВС = 1 вокруг оси, проходящей
через вершину С параллельно
диагонали BD.
2
Найдите площадь поверхнос-
ти вращения прямоугольника
ABCD со сторонами АВ = 2,
ВС = 1 вокруг прямой, прохо-
дящей через середины АВ и CD.
4 Найдите площадь поверхнос-
--- ти вращения прямоугольника
ABCD со сторонами АВ = 2,
ВС = 1 вокруг перпендикуляра
к диагонали BD, проведенного
через ее конец В.
В
Раздел II. Задачи в таблицах •» 91
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Таблица 41
1 Найдите площадь боковой по-
--- верхности конуса, полученного
вращением прямоугольного
треугольника АВС с катетами
АС = ВС = 1 вокруг прямой ВС.
Найдите площадь боковой по-
верхности тела, полученного
вращением прямоугольного
треугольника АВС с катетами
АС = 2, ВС = 1 вокруг прямой АВ.
4
2 Найдите площадь боковой по-
--- верхности тела, полученного
вращением прямоугольного
треугольника АВС с катетами
АС = ВС = 1 вокруг прямой АВ.
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
прямоугольного треугольника
АВС с катетами 5 и 12 вокруг
внешней оси, параллельной
большему катету и отстоящему
от него на 3. D
5
3
6
Найдите площадь боковой по-
верхности конуса, полученного
вращением прямоугольного
треугольника АВС с катетами
АС = 2, ВС = 1 вокруг прямой ВС.
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
Жкоугольного треугольника
с катетами 15 и 20 вокруг
перпендикуляра к гипотенузе,
проведенного через вершину
большего острого угла В.
92 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Таблица 42
1
4
Найдите площадь полной по-
верхности конуса, полученного
вращением равнобедренного
треугольника АВС с основани-
ем АС = 4 и боковой стороной,
равной 5, вокруг прямой, со-
держащей высоту BD этого тре-
угольника.
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
равнобедренного треугольника
АВС, у которого боковые сторо-
ны равны по 5, а один из углов
120°, вокруг основания АС.
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
равнобедренного треугольни-
ка АВС с основанием АС = 6 и
боковой стороной, равной 5,
вокруг прямой АВ.
Найдите площадь полной по-
верхности конуса, полученного
вращением равностороннего
треугольника АВС со сторо-
ной 1 вокруг прямой, содержа-
щей медиану BD.
3
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
равнобедренного треугольни-
ка АВС с основанием АС = 6 и
боковой стороной, равной 5,
вокруг прямой АС.
5 Найдите площадь поверхности
--- вращения равностороннего тре-
угольника АВС со стороной 1
вокруг прямой АВ.
Разлел II. Задачи в таблицах •» 93
РОМБ
Таблица 43
1
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
ромба ABCD с площадью, рав-
ной 1, вокруг стороны ВС.
3 Найдите площадь поверхности
---тела, полученного вращением
ромба ABCD со сторонами, рав-
ными 1, и острым углом 60°,
вокруг прямой АС.
4
2 Найдите площадь поверхности
--- тела, полученного вращением
ромба ABCD со сторонами, рав-
ными 1, и острым углом 60°,
вокруг прямой BD.
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
ромба ABCD со сторонами, рав-
ными 1, и острым углом в 60°,
вокруг оси, проведенной через
вершину С перпендикулярно к
стороне DC.
94 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
КРУГ И ЕГО ЧАСТИ
Таблица 44
1 Найдите площадь поверхности
--- вращения круга радиуса 1 во-
круг прямой, содержащей его
диаметр.
3 Найдите площадь поверхности
--- вращения четверти круга ра-
диуса 1 вокруг прямой ОВ.
2 Найдите площадь поверхности
--- вращения полукруга радиуса 1
вокруг прямой ОА, перпенди-
кулярной диаметру MN.
Разлел II. Задачи в таблицах •» 95
ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК
Таблица 45
1 Найдите площадь поверхности
--- тела, полученного вращением
правильного шестиугольника
ABCDEF со стороной, равной 1,
вокруг оси, проходящей через
его вершину С перпендикуляр-
но к радиусу, проведенному в
эту вершину.
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
правильного шестиугольника
ABCDEF со стороной, равной 1,
вокруг внешней оси, которая
параллельна стороне и отстоит
от нее на длину апофемы.
2
96 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
§ 9. Объемы тел вращения плоских фигур
КВАДРАТ
Таблица 46
1 Найдите объем тела, получен-
--- ного вращением единичного
квадрата ABCD вокруг перпен-
дикуляра к диагонали, прове-
денного через ее конец.
2
Найдите объем тела, получен-
ного вращением единичного
квадрата ABCD вокруг внеш-
ней оси, параллельной его сто-
роне и отстоящей от нее на дли-
ну стороны.
В
Раздел II. Задачи в таблииах •» 97
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Таблица 47
1 Найдите объем тела, получен-
--- ного вращением прямоугольни-
ка ABCD со сторонами АВ = 1,
ВС = 2 вокруг прямой ВС.
3 Найдите объем тела, получен-
--- ного вращением прямоугольни-
ка ABCD со сторонами АВ — 2,
ВС = 1 вокруг оси, проходящей
через вершину С параллельно
диагонали BD.
С
В
2
4
Найдите объем тела, получен-
ного вращением прямоугольни-
ка ABCD со сторонами АВ = 2,
ВС = 1 вокруг прямой, прохо-
дящей через середины АВ и CD.
Найдите объем тела, получен-
ного вращением прямоугольни-
ка ABCD со сторонами АВ = 2,
ВС = 1 вокруг перпендикуляра
к диагонали BD, проведенного
через ее конец.
98 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Таблица 48
1
Найдите объем тела, полученно-
го вращением прямоугольного
треугольника АВС с катетами
АС = ВС = 1 вокруг прямой ВС.
3 Найдите объем тела, получен-
--- ного вращением прямоугольно-
го треугольника АВС с катета-
ми АС = ВС = 1 вокруг прямой
CD, где D — середина АВ.
2
Найдите объем тела, полученно-
го вращением прямоугольного
треугольника АВС с катетами
АС = ВС = 1 вокруг прямой АВ.
4 Найдите объем тела, получен-
--- ного вращением прямоуголь-
ного треугольника АВС с ка-
тетами АС = 2, ВС = 1 вокруг
прямой ВС.
Раздел II. Задачи в таблииах •» 99
Окочание табл. 48
7
Найдите объем тела, получен-
ного вращением прямоуголь-
ного треугольника АВС с ка-
тетами АС = 2, ВС = 1 вокруг
прямой АВ.
Найдите объем тела, получен-
ного вращением прямоугольно-
го треугольника АВС с катетами
15 и 20 вокруг перпендикуляра
к гипотенузе, проведенного че-
рез вершину большего острого
угла В.
6
Найдите объем тела, получен-
ного вращением прямоугольно-
го треугольника АВС с катета-
ми 5 и 12 вокруг внешней оси,
параллельной большему катету
и отстоящему от него на 3.
1 00 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Таблица 49
2
Найдите объем тела, получен-
ного вращением равнобедрен-
ного треугольника АВС, АВ =
= ВС = 1, ZB = 120°, вокруг
прямой АС.
Найдите объем тела, получен-
ного вращением равнобедрен-
ного треугольника АВС со сто-
ронами АВ = ВС = 5, АС = 6 во-
круг прямой АВ.
Найдите объем тела, получен-
ного вращением равнобедрен-
ного треугольника АВС со сто-
ронами АВ = ВС = 5, АС = 6
вокруг прямой, содержащей
биссектрису BD этого треуголь-
ника.
Найдите объем тела, получен-
ного вращением равнобедрен-
ного треугольника АВС со сто-
ронами АВ = ВС = 5, АС = 6
вокруг прямой АС.
Разлел II. Задачи в таблицах •» 101
Окочание табл. 49
5 Найдите объем тела, полу-
--- ченного вращением равносто-
роннего треугольника АВС со
стороной 1 вокруг прямой, со-
держащей высоту BD.
7
Найдите объем тела, полу-
ченного вращением равносто-
роннего треугольника АВС со
стороной 1 вокруг перпендику-
ляра к стороне, проведенного
через ее конец.
Найдите объем тела, получен-
ного вращением равносторон-
него треугольника АВС со сто-
роной 1 вокруг прямой АВ.
8 Найдите объем тела, полу-
---ченного вращением равносто-
роннего треугольника АВС со
стороной 1 вокруг перпендику-
ляра к прямой, отстоящей от
продолжения АС на длину 1.
102 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
ТРАПЕЦИЯ
Таблица 50
Найдите объем тела, полученно-
го вращением трапеции ABCD,
у которой AD = DC = ВС = 1,
АВ = 2 вокруг прямой АВ.
4 Найдите объем тела, получен-
--- ного вращением прямоугольной
трапеции ABCD с основаниями
AD = 2, ВС = 1 и меньшей бо-
ковой стороной CD = 1, вокруг
прямой CD.
2
Найдите объем тела, полученно-
го вращением трапеции ABCD,
у которой AD = DC = ВС = 1,
АВ = 2 вокруг прямой CD.
5
Найдите объем тела, получен-
ного вращением прямоуголь-
ной трапеции ABCD с основа-
ниями АО = 2, ВС — 1 и острым
углом в 45°, вокруг прямой CD.
3
Найдите объем тела, получен-
ного вращением прямоугольной
трапеции ABCD с основаниями
АО = 2, ВС = 1 и меньшей бо-
ковой стороной СО = 1, вокруг
прямой АО.
6
Найдите объем тела, получен-
ного вращением прямоугольной
трапеции ABCD с основаниями
АО = 2, ВС = 1 и меньшей бо-
ковой стороной СО = 1, вокруг
прямой ВС.
Раздел II. Задачи в таблицах •» 103
РОМБ
Таблица 51
1
Найдите объем тела, получен-
ного вращением ромба ABCD
со сторонами, равными 1, и
острым углом 30°, вокруг сто-
роны ВС.
3
Найдите объем тела, получен-
ного вращением ромба ABCD со
сторонами, равными 1, и ост-
рым углом в 60°, вокруг пря-
мой, содержащей большую
диагональ АС.
2
Найдите объем тела, получен-
ного вращением ромба ABCD со
сторонами, равными 1, и ост-
рым углом 60°, вокруг прямой,
содержащей меньшую диаго-
наль BD.
4
Найдите объем тела, получен-
ного вращением ромба ABCD со
сторонами, равными 1, и ост-
рым углом в 60°, вокруг оси,
проведенной через вершину С
перпендикулярно к стороне DC.
1 04 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК
Таблица 52
1
Найдите объем тела, получен-
ного вращением правильно-
го шестиугольника ABCDEF
со стороной, равной 1, вокруг
внешней оси, которая парал-
лельна стороне и отстоит от нее
на длину апофемы.
2
Найдите объем тела, получен-
ного вращением правильного
шестиугольника ABCDEF со
стороной, равной 1, вокруг оси,
проходящей через его вершину
С перпендикулярно к радиусу,
проведенному в эту вершину.
МНОГОУГОЛЬНИК
Таблица 53
1
Найдите объем тела, получен-
ного вращением многоуголь-
ника ABCDEF, составленного
из трех единичных квадратов,
вокруг прямой AF.
2 Найдите объем тела, получен-
--- ного вращением многоуголь-
ника A.BCDEF, составленного
из трех единичных квадратов,
вокруг прямой ВС.
Раздел II. Задачи в таблицах •» 105
КРУГ И ЕГО ЧАСТИ
Таблица 54
1
Найдите объем тела, получен-
ного вращением круга радиу-
са 1 вокруг прямой, содержа-
щей его диаметр.
3 Найдите объем тела, получен-
--- ного вращением четверти круга
радиуса 1 вокруг прямой ОВ.
2
Найдите объем тела, получен-
ного вращением полукруга ра-
диуса 1 вокруг прямой ОА, пер-
пендикулярной диаметру MN.
1 06 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
§10. Объемы тел вращения многогранников
КУБ
Таблица 55
Найдите объем тела, получен-
ного вращением единичного
куба АВСВА1В1С1В1, вокруг
прямой СС}.
2 Найдите объем тела, получен-
--- ного вращением единичного
куба ABCDAxBxCiDiy вокруг
прямой, проходящей через цен-
тры граней ADD^Ai и BCCjBp
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 56
1
2
Найдите объем тела, получен-
ного вращением правильной
призмы АВСАцВ^С^, все ребра
которой равны 1, вокруг пря-
мой СС}.
Найдите объем тела, получен-
ного вращением правильной
призмы ABCAiBiCi, все ребра
которой равны 1, вокруг пря-
мой, проходящей через центры
оснований ABC nAiB^C^.
Раздел II. Задачи в таблицах •» 107
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 57
2
Найдите объем тела, получен-
ного вращением правильной
четырехугольной пирамиды
MABCD, все ребра которой рав-
ны 1, вокруг прямой, содержа-
щей высоту МО пирамиды.
Найдите объем тела, получен-
ного вращением правильной
четырехугольной пирамиды
MABCD, все ребра которой рав-
ны 1, вокруг прямой, содержа-
щей диагональ основания АС.
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 58
1
Найдите объем тела, полученного вращением правильной шестиуголь-
ной пирамиды MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боко-
вые ребра равны 2, вокруг прямой, содержащей высоту МО.
1 08 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
МНОГОГРАННИКИ
Таблица 59
1 Найдите объем тела, получен-
ного вращением многогранни-
ка вокруг прямой AD. Все дву-
гранные углы прямые.
2 Найдите объем тела, получен-
--- ного вращением многогран-
ника вокруг прямой АА2. Все
двугранные углы прямые.
Раздел III
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
§11. Многогранники
КУБ
Таблица 60
2
Площадь поверхности куба
равна 150. Найдите его объем.
3 Площадь полной поверхности
---куба равна 48. Найдите длину
диагонали грани куба.
Площадь поверхности куба
равна 96. Найдите ребро куба.
4 Диагональ куба равна 18. Най-
--- дите площадь его одной грани.
110 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Продолжение табл. 60
5
Ребро куба равно 5л/2. Найдите
расстояние от плоскости диаго-
нального сечения до непересе-
кающего его ребра.
8 Площадь сечения куба плоско-
--- стью, проходящей через три не-
смежные вершины, равна 18^3.
Найдите длину ребра куба.
6
Найдите площадь диагонально-
го сечения куба, объем которо-
го равен 4^2.
В кубе A...D± через середины
ребер AjBj, и вершину В
проведено сечение, площадь
которого равна 32х/б. Найдите
7
Площадь сечения куба плоско-
стью, проходящей через диаго-
нали верхнего и нижнего осно-
ваний, равна 16>/2. Найдите
длину ребра куба.
10
В кубе через сторону основания
проведено сечение под углом
30° к плоскости основания.
Найдите площадь сечения,
если ребро куба равно 7\/3.
Раздел III. Разные задачи •» 111
Окончание табл. 60
11 Найдите объем куба, если рас-
---- стояние от его диагонали до
непересекающегося с ней ребра
равно 1.
13
Сечение куба плоскостью пред-
ставляет собой правильный
шестиугольник, площадь кото-
рого равна 1. Найдите полную
поверхность куба.
Объем куба равен 12. Найдите
объем четырехугольной пи-
рамиды, основанием которой
является грань куба, а верши-
ной — центр куба.
1 1 2 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ И ПРЯМОЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЫ
Таблица 61
Найдите квадрат расстояния меж-
ду вершинами Aj и С прямоуголь-
ного параллелепипедаA...DX, если
АВ = 6, ВС = 3, AAj = 4.
4
В прямоугольном параллеле-
пипеде A...Dj найдите Z.DBDX,
если известно, что АВ = 13,
ВС = 5, AAi = 12.
Найдите расстояние между вер-
шинами В и Ci прямоугольного
параллелепипеда A...Bi, если
АВ = 6, AD = 3, AAi = 4.
5
Два ребра прямоугольного па-
раллелепипеда, выходящие из
одной вершины, равны 6 и 8.
Площадь поверхности этого па-
раллелепипеда равна 208. Най-
дите длину третьего ребра, вы-
ходящего из той же вершины.
3
В прямоугольном параллеле-
пипеде A...Di найдите ZDBjAi,
если известно, что АВ = 13,
ВС = 5, AAi = 12.
6
Стороны основания прямоуголь-
ного параллелепипеда равны 6
и 8. Диагональ параллелепипе-
да составляет с плоскостью ос-
нования угол, тангенс которого
равен 0,8. Определите полную
поверхность параллелепипеда.
Раздел III. Разные задачи •» 11 3
Продолжение табл. 61
7 Определите объем прямоуголь-
--- ного параллелепипеда, диаго-
наль которого равна 1 и состав-
ляет с одной гранью угол 30°,
а с другой 45°.
10
В основании прямого параллеле-
пипеда лежит параллелограмм
со сторонами 2 и 8 и острым уг-
лом 60°. Большая диагональ па-
раллелепипеда равна 2>/33.
Определите его объем.
В прямоугольном параллеле-
пипеде A...D\ АВ = 2, AD = 4,
AAi = 3, точка К — середина
ребра АВ. Найдите угол между
прямыми AjCj и ВХК.
11 В прямоугольном параллелепи-
---- педе ABCDA\BxC\D\ известно,
что АГС = 12, АА1 = 4,АВ = 2>/7.
Найдите длину ребра В^.
9
Угол между диагоналями осно-
вания прямоугольного паралле-
лепипеда равен 30°. Диагональ
параллелепипеда составляет с
плоскостью основания угол 45°.
Найдите высоту параллелепи-
педа, если его объем равен 16.
12
В прямоугольном параллелепи-
педе ABCDA\BXC\D\ известны
длины ребер: АВ = 6, AD = 8,
CCi = 18. Найдите угол между
плоскостями АВС и D^AC.
114 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Окончание табл. 61
13
В прямом параллелепипеде сто-
роны основания равны 2 и 1,
острый угол между ними равен
60°. Большая диагональ осно-
вания равна меньшей диагона-
ли параллелепипеда. Найдите
объем параллелепипеда.
15
Основанием прямого паралле-
лепипеда A...Di является ромб
ABCD, сторона которого равна
4>/з, а угол BAD равен 60°.
Найдите расстояние от точки А
до прямой CjDi, если известно,
что боковое ребро данного па-
раллелепипеда равно 8.
14
Основанием параллелепипеда
служит ромб с острым углом
30°. Диагональ одной боковой
грани перпендикулярна плос-
кости основания, а боковое реб-
ро составляет с плоскостью ос-
нования угол 60°. Найдите
сторону основания, если пол-
ная поверхность параллелепи-
педа равна 4V3.
16
Объем параллелепипеда
ABCDAiBiCiDi равен 18. Най-
дите объем треугольной пира-
миды D^ABC.
Раздел III. Разные задачи •» 115
ПРАВИЛЬНАЯ И ПРЯМАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМЫ
Таблица 62
1
Объем правильной треугольной
призмы равен 25>/з. Радиус
окружности, описанной около
основания призмы, равен 5 / -Уз.
Найдите высоту призмы.
3
Боковая поверхность правиль-
ной треугольной призмы рав-
на 6. Найдите высоту призмы,
если прямая, проходящая че-
рез центр верхнего основания и
середину стороны нижнего ос-
нования, наклонена к плоско-
сти основания под углом 60°.
2
Объем правильной треугольной
призмы равен 72>/з, ее высота
равна 8. Найдите сторону осно-
вания.
4
Объем правильной треугольной
призмы равен 3. Найдите пло-
щадь сечения, проведенного
через боковое ребро и равного
ему высоту основания.
116 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Продолжение табл. 62
5
Через сторону основания пра-
вильной треугольной призмы
проведена плоскость, отсекаю-
щая от призмы пирамиду, объем
которой равен 1. Найдите пло-
щадь сечения, если угол между
секущей плоскостью и плоско-
стью основания равен 30°.
7 В правильной треугольной
--- призме через сторону нижнего
основания и противоположную
вершину верхнего основания
проведена плоскость, состав-
ляющая с плоскостью нижнего
основания угол 45°. Плоскость
сечения равна 1. Найдите объ-
ем призмы.
6
Основанием прямой треугольной
призмы служит прямоугольный
треугольник с катетами 5 и 12.
Объем призмы равен 75. Найди-
те длину бокового ребра.
8
В основании прямой призмы
лежит прямоугольный тре-
угольник с острым углом 30°.
Через гипотенузу нижнего ос-
нования и вершину прямого
угла верхнего основания про-
ведена плоскость, образующая
с плоскостью основания угол
45°. Определите гипотенузу ос-
нования, если объем треуголь-
ной пирамиды, отсеченной от
призмы плоскостью, равен 2.
Разлел III. Разные залачи •» 11 7
Продолжение табл. 62
9
Основанием прямой призмы
ABCAjBjCj является равнобед-
ренный треугольник АВС, АС =
= ВС = 10, АВ = 16. Высота приз-
мы равна 6. Найдите угол между
прямой CjB и плоскостью АВВр
11
Основанием прямой призмы
служит равнобедренный тре-
угольник с углом 45° при осно-
вании. Найдите основание тре-
угольника, если объем призмы
равен л/2-1, а боковая поверх-
ность равна сумме площадей
оснований.
10
Основанием прямой призмы
АВСА1В1С1 является прямо-
угольный треугольник АВС,
ZC = 90°, АВ = 10, ВС = 2>/5,
12
высота призмы равна 2л/з.
Найдите угол между прямой
BCj и плоскостью АВВр
Основанием прямой призмы
ABCAjBjCi является равнобед-
ренный треугольник АВС, бо-
ковая сторона которого равна
8л/3, a ZACB = 120°. Найдите
расстояние от точки А до пря-
мой В1Сг, если боковое ребро
AAi = 5.
1 1 8 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Окончание табл. 62
13
Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с
острым углом 15°. Наибольшая по площади боковая грань призмы
представляет собой квадрат. Найдите тангенс угла между пересекаю-
щимися диагоналями двух других боковых граней.
Раздел III. Разные задачи •» 119
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 63
Диагональ правильной четы-
рехугольной призмы равна 14,
а диагональ боковой грани —
10. Определите полную поверх-
ность призмы.
3
В правильной четырехуголь-
ной призме сторона основания
равна 1, а диагональ призмы
образует с плоскостью боковой
грани угол 30°. Найдите объем
призмы.
2
Диагональ правильной четы-
рехугольной призмы равна 9,
а полная поверхность ее равна
144. Определите сторону осно-
вания и боковое ребро.
4
Объем правильной четырех-
угольной призмы равен 1. Най-
дите сторону основания, если
угол между диагональю приз-
мы и боковой гранью равен а.
1 20 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Окончание табл. 63
5 В правильной четырехугольной
--- призме площадь основания
равна 144, а высота — 14. Опре-
делите диагональ этой призмы.
7
В правильной четырехугольной
призме A...Di, стороны основа-
ния которой равны 2, а боковые
ребра равны 4, найдите угол
между прямой АВ} и плоско-
стью BDDi.
6
Определите диагональ правиль-
ной четырехугольной призмы,
если диагональ основания рав-
на 8, а диагональ боковой грани
равна 7.
Объем правильной четырех-
угольной призмы равен 1, а
cos а =
где а — угол между
диагоналями двух смежных бо-
ковых граней. Найдите сторону
основания призмы.
Разлел III. Разные задачи •» 121
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 64
1
В правильной шестиугольной
призме A...FV, все ребра кото-
рой равны V13, найдите тан-
генс угла ADXD.
3
В правильной шестиугольной
призме все ребра кото-
рой равны 13, найдите расстоя-
ние между точками С и Ер
2
В правильной шестиугольной
призме A...Fi, все ребра кото-
рой равны у/1, найдите угол
АСХС.
4 В правильной шестиугольной
--- призме А...РЪ все ребра кото-
рой равны 2л/б, найдите рас-
стояние между точками В и Ер
122 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Окончание тпабл. 64
5
В правильной шестиугольной
призме А..^, стороны основа-
ния которой равны 6, а боковые
ребра равны 8, найдите рас-
стояние от точки F до прямой
-Ei-Di.
7
Найдите площадь боковой по-
верхности правильной шести-
угольной призмы, если боковое
ребро равно 5, а наибольшая
диагональ — 13.
6
Найдите площадь боковой по-
верхности правильной шести-
угольной призмы, если сторона
основания равна 3, а диагональ
боковой грани — 5.
8
Определите объем правильной
шестиугольной призмы, если
длина наибольшей диагонали
равна 1, а боковые грани —
квадраты.
Раздел III. Разные задачи •» 123
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 65
1
В правильной треугольной пи-
рамиде МАВС площадь основа-
ния равна 13, объем пирамиды
равен 91. Найдите длину высо-
ты МО.
3 В правильной треугольной пи-
--- рамиде МАВС D — середина
ребра ВС. Известно, что АВ = 8,
а площадь боковой поверхно-
сти равна 96. Найдите длину
апофемы MD.
2
В правильной треугольной пи-
рамиде МАВС объем равен 72,
а высота МО равна 12. Найдите
площадь основания пирамиды.
4 В правильной треугольной пи-
--- рамиде МАВС D — середина
ВС. Известно, что MD = 12,
а площадь боковой поверхно-
сти равна 90. Найдите длину
отрезка АВ.
1 24 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Продолжение табл. 65
5
Определите объем правильной
треугольной пирамиды, если
высота треугольника в основа-
нии пирамиды равна 1, а апо-
фема равна 2.
7
Высота правильной треуголь-
ной пирамиды равна 4\/3, а бо-
ковое ребро образует с плоско-
стью основания угол 45°. Найдите
объем пирамиды.
6
Определите высоту правильной
треугольной пирамиды, объем
которой равен 4х/з, если все
плоские углы при вершине
прямые.
8
Высота правильной треуголь-
ной пирамиды равна 4>/3, а бо-
ковая грань образует с плоско-
стью основания угол 60°. Найдите
объем пирамиды.
Раздел III. Разные задачи •» 125
Продолжение табл. 65
В правильной треугольной пи-
рамиде МАВС D — середина
АВ, АВ = 9, MD = 6. Найдите
площадь боковой поверхности
пирамиды.
11
Боковая грань правильной тре-
угольной пирамиды составляет
с плоскостью основания угол,
тангенс которого равен 2. Най-
дите тангенс угла между боко-
вым ребром и апофемой проти-
волежащей грани.
10
Двугранный угол при основа-
нии правильной треугольной
пирамиды равен 60°. Найдите
боковую поверхность пирами-
ды, если расстояние от центра
основания до середины апофе-
мы боковой грани равно 1.
В правильной треугольной пи-
рамиде МАВС с основанием
АВС, точка D — середина ребра
МА, точка Е — середина ребра
МВ. Найдите угол между пло-
скостями CDE и АВС, если МС
= \Ъ,АВ = 12.
126 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Продолжение табл. 65
13
Отрезок прямой, соединяющий
центр основания правильной
треугольной пирамиды с сере-
диной бокового ребра, равен
стороне основания. Найдите
тангенс угла между смежными
боковыми гранями.
15
В правильной треугольной пи-
рамиде сторона основания рав-
на 2. Расстояние между боко-
вым ребром и непересекающей
его стороной основания рав-
но 1. Найдите двугранный угол
при основании пирамиды.
14
В правильной треугольной пи-
рамиде расстояние от стороны
16
основания до непересекающего
ее ребра в 3 раза меньше стороны
основания. Найдите тангенс угла
между боковой гранью и плоскос-
тью основания пирамиды.
Сторона основания правильной
треугольной пирамиды равна 2,
а высота, опущенная из вершины
основания на противополож-
ную ей боковую грань, равна 1.
Определите объем пирамиды.
Разлел III. Разные задачи •» 127
Продолжение табл. 65
*17 В правильной треугольной пи-
---- рамиде, объем которого равен
9л/2 и плоский угол при верши-
не 90°, найдите расстояние меж-
ду боковым ребром и противопо-
ложной стороной основания.
19
Из основания высоты правиль-
ной треугольной пирамиды опу-
щен перпендикуляр длиной 1 на
боковое ребро. Найдите объем
пирамиды, если двугранный
угол между боковой гранью и ос-
нованием пирамиды равен 30°.
18
Из основания высоты правиль-
ной треугольной пирамиды
20
опущен перпендикуляр дли-
ной 1 на боковое ребро. Най-
дите объем пирамиды, если
двугранный угол между ее бо-
ковыми гранями равен 60°.
Из основания высоты правиль-
ной треугольной пирамиды
опущен перпендикуляр дли-
ной 1 на боковую грань. Най-
дите объем пирамиды, если
боковое ребро составляет с
плоскостью основания угол 60°.
128 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Окончание табл. 65
21
В правильной треугольной пи-
рамиде двугранный угол при
основании равен 60°. Найдите
боковую поверхность пирами-
ды, если расстояние от центра
основания до боковой грани
равно 1.
22
Высота правильной треуголь-
ной пирамиды равна 1. Боковая
грань составляет с плоскостью
основания угол 60°. Через сто-
рону основания и середину про-
тиволежащего бокового ребра
проведена плоскость. Найдите
площадь полученного сечения.
Разлел III. Разные залачи •» 1 29
ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР
Таблица 66
Вычислить объем правильного
тетраэдра, если радиус окруж-
ности, описанной около его
грани, равен 1.
3 В правильном тетраэдре через
--- сторону основания проведе-
на плоскость, делящая объем
пирамиды в отношении 2:3,
считая от основания. Найдите
угол между этой плоскостью и
плоскостью основания.
2
Полная поверхность правиль-
ного тетраэдра равна 24у/3.
Определите высоту тетраэдра.
Площадь поверхности тетраэд-
ра равна 6,8. Найдите площадь
поверхности многогранника,
вершинами которого являются
середины сторон данного тет-
раэдра.
130 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
ТРЕУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 67
1
Основанием пирамиды служит
равносторонний треугольник.
Две боковые грани пирамиды
перпендикулярны плоскости
основания. Найдите угол меж-
ду третьей боковой гранью и
плоскостью основания, если
боковая поверхность пирамиды
относится к площади основа-
ния как 13 : 3.
3
Основанием пирамиды служит
равнобедренный треугольник,
у которого основание равно 6 и
высота 9; боковые ребра равны
между собой, и каждое равно
13. Определите высоту пира-
миды.
2
Основанием пирамиды служит
равносторонний треугольник.
Одна из боковых граней — так-
же равносторонний треуголь-
ник и перпендикулярна пло-
скости основания. Определите
сторону основания пирамиды,
если полная поверхность пира-
миды равна л/б +2.
4
Основанием пирамиды служит
равнобедренный треугольник,
у которого основание равно 12,
а боковая сторона — 10. Боко-
вые грани образуют с основа-
нием равные двугранные углы,
содержащие по 45°. Определите
высоту пирамиды.
Разлел III. Разные задачи •» 131
Окончание табл. 67
Боковые ребра треугольной пи-
рамиды взаимно перпендику-
лярны, каждое из них равно 6.
Найдите объем пирамиды.
7
В основании пирамиды лежит
прямоугольный треугольник с
гипотенузой, равной 1, и ост-
рым углом 30°. Боковые ребра
пирамиды наклонены к плос-
кости основания под углом 45°.
Найдите объем пирамиды.
6
В треугольной пирамиде боко-
вые ребра попарно перпендику-
лярны. Их длины составляют
соответственно 3; 5 и 8. Найди-
те объем пирамиды.
Основанием пирамиды слу-
жит равнобедренный треуголь-
ник, площадь которого равна 3,
а угол между боковыми сторо-
нами равен 30°. Все боковые
ребра пирамиды составляют с
плоскостью основания одина-
ковые углы. Найдите тангенс
этого угла, если объем пирами-
ды равен 1.
132 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10 11 классы
ТРЕУГОЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Таблица 68
1
Основаниями усеченной пира-
миды служат прямоугольные
треугольники с острым углом
30°. Гипотенузы треугольников
равны соответственно 6 и 4.
Найдите объем усеченной пира-
миды, если ее высота равна >/3.
3
Стороны оснований правильной
усеченной треугольной пирами-
ды равны 2 и 1, а боковые ребра
наклонены к плоскости осно-
вания под углом 60°. Найдите
объем усеченной пирамиды.
2
Основаниями усеченной пира-
миды служат равнобедренные
прямоугольные треугольники,
гипотенузы которых равны 7
и 5. Найдите объем усеченной
пирамиды, если ее высота рав-
на 12.
4
Стороны оснований правиль-
ной треугольной усеченной пи-
рамиды равны 6 и 12, высота
равна 1. Найдите боковую по-
верхность.
Раздел III. Разные задачи •» 133
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 69
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD известно,
что МО = 12, АС = 10. Найдите
длину бокового ребра МС.
3
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD МА = 20,
высота МО =12. Найдите дли-
ну BD.
2
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD известно,
что МС = 10, АС = 12. Найдите
длину высоты МО.
Боковая поверхность правиль-
ной четырехугольной пира-
миды равна 60, а сторона ос-
нования — 6. Найдите объем
пирамиды.
134 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Продолжение табл. 69
5
Высота правильной четырех-
угольной пирамиды равна 12,
а сторона основания — 18. Най-
дите площадь боковой поверх-
ности пирамиды.
7
Определите объем правильной
четырехугольной пирамиды,
если ее боковое ребро составля-
ет с плоскостью основания угол
45°, а площадь диагонального
сечения равна 1.
6
Диагональ квадрата, лежащего
в основании правильной четы-
рехугольной пирамиды, равна
длине бокового ребра и равна 1.
Найдите полную поверхность
пирамиды.
8
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, точка Е —
середина ребра МА, точка F —
середина ребра МС. Найдите
угол между плоскостями BEF и
АВС, если АВ = 6, МС = 8.
Раздел III. Разные задачи •» 135
Продолжение табл. 69
9
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD боковое реб-
ро МА = л/б, сторона основания
равна 2. Найдите расстояние от
точки М до плоскости ABN, где
N — середина ребра МС.
11 В правильной четырехугольной
---- пирамиде косинус плоского
угла при вершине равен 16/25.
Найдите отношение площади
диагонального сечения к йло-
щади ее основания.
Ю В правильной четырехугольной
---- пирамиде сторона основания
равна 1, а плоский угол при
вершине пирамиды равен 30°.
Найдите расстояние от центра
основания пирамиды до ее бо-
кового ребра.
12
Апофема правильной четырех-
угольной пирамиды равна 10.
Тангенс двугранного угла при
основании равен 4/3. Найдите
площадь полной поверхности
пирамиды.
136 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Окончание табл. 69
1 3 Апофема боковой грани пра-
---- вильной четырехугольной пи-
рамиды равна 6^3, а угол меж-
ду апофемой боковой грани и
плоскостью основания — 60°.
Найдите объем пирамиды.
15
В правильной четырехугольной
пирамиде двугранный угол при
боковом ребре равен 120°. Най-
дите площадь диагонального
сечения, если боковая поверх-
ность равна 4.
14
Боковое ребро правильной че-
тырехугольной пирамиды рав-
но 1 и наклонено к плоскости
основания под углом 60°. Най-
дите объем пирамиды.
16 В правильной четырехугольной
---- пирамиде расстояния от центра
основания до боковой грани и
до бокового ребра равны соот-
ветственно V2 и >/з. Найдите
двугранный угол при основа-
нии пирамиды.
Разлел III. Разные залачи •» 137
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 70
1
В основании пирамиды лежит
квадрат. Две боковые грани
перпендикулярны плоскости
основания, а две другие накло-
нены к нему под углом 45°.
Найдите объем пирамиды, если
длина среднего по величине
ребра равна 1.
3
Основанием пирамиды служит
ромб с диагоналями, равными
6 и 8; высота пирамиды про-
ходит через точку пересечения
диагоналей ромба, лежащего
в основании пирамиды, и рав-
на 1. Определите боковую по-
верхность пирамиды.
2
В основании пирамиды лежит
прямоугольник. Две боковые
грани перпендикулярны пло-
скости основания, а две другие
наклонены к ней под углами
30° и 60°. Найдите площадь ос-
нования пирамиды, если объем
равен 9.
4 Основанием пирамиды служит
параллелограмм, у которого
стороны равны 20 и 36, а пло-
щадь равна 360, высота пирами-
ды проходит через точку пересе-
чения диагоналей основания и
равна 12. Определите боковую
поверхность пирамиды.
138 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Таблица 71
Стороны оснований правиль-
ной четырехугольной усечен-
ной пирамиды равны 3 и 5,
ребро усеченной пирамиды рав-
но V17. Найдите площадь пол-
ной поверхности.
3
Определить объем правильной
четырехугольной усеченной
пирамиды, если ее диагональ
равна 18, а длины сторон осно-
ваний равны 14 и 10.
2
Стороны оснований правиль-
ной четырехугольной усечен-
ной пирамиды равны 3 и 1.
Найдите объем усеченной пира-
миды, если ее высота равна 3.
Высота правильной четырех-
угольной усеченной пирамиды
равна 3, сторона большего осно-
вания равна 9\/2. Найдите объ-
ем пирамиды, если боковое
ребро составляет с основанием
угол 45°.
Разлел Ш. Разные залачи •» 139
Окончание табл. 71
5
Основаниями правильной усе-
ченной пирамиды служат квад-
раты со сторонами 2 и 1. Боковые
ребра наклонены к плоскости
основания под углом 45°. Опре-
делите объем усеченной пира-
миды.
7
Стороны оснований правиль-
ной усеченной четырехуголь-
ной пирамиды равны 2 и 1.
Найдите объем пирамиды, если
боковая поверхность равна по-
ловине полной поверхности.
6
Стороны оснований правиль-
ной четырехугольной пирами-
ды равны 2 и 1. Определить
объем пирамиды, если острый
угол боковой грани равен 60°.
8
В усеченной пирамиде разность
площадей оснований равна 6,
высота усеченной пирамиды
равна 9, объем — 42. Определи-
те площади оснований.
140 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 72
1
В правильной шестиугольной
пирамиде апофема равна 1,
а двугранный угол при основа-
нии равен 60°. Найдите полную
поверхность пирамиды.
Объем треугольной пирамиды,
являющейся частью правиль-
ной шестиугольной пирамиды,
равен 1. Найдите объем шести-
угольной пирамиды.
2
Найдите боковую поверхность
правильной шестиугольной
пирамиды, высота которой рав-
на 1, а боковое ребро равно 2.
Сторона основания правиль-
ной шестиугольной пирамиды
равна 8, а угол между боковой
гранью и основанием равен 45°.
Найдите объем пирамиды.
Раздел III. Разные задачи •» 141
Окончание табл. 72
5 Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды,
объем которой равен 9V1T/4, если известно, что ее боковая поверх-
ность в 10 раз больше площади основания.
142 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
МНОГОГРАННИКИ
Таблица 73
1 Найдите площадь поверхности
многогранника (все двугран-
ные углы прямые).
3 Найдите объем многогранника,
--- изображенного на рисунке (все
двугранные углы прямые).
2 Найдите площадь поверхности
--- многогранника (все двугран-
ные углы прямые).
Найдите объем многогранника,
изображенного на рисунке (все
двугранные углы прямые).
Раздел III. Разные задачи •» 143
Окончание табл. 73
5
Найдите объем многогранника
(все двугранные углы прямые).
8 Найдите квадрат расстояния
--- между вершинами Вг и D2 мно-
гогранника. Все двугранные
Найдите объем многогранника
(все двугранные углы прямые).
9 Найдите tg ZADB многогран-
--- ника. Все двугранные углы
прямые.
7
Найдите квадрат расстояния
между вершинами А и С2 мно-
гогранника. Все двугранные
углы прямые.
Ю Найдите tg ZDjBjC! много-
---- гранника. Все двугранные углы
прямые.
144 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
§12. Фигуры вращения
ЦИЛИНДР
Таблица 74
Площадь боковой поверхности
цилиндра равна 81л, а диаметр
основания — 9. Найдите высо-
ту цилиндра.
3 Объем цилиндра равен 8л>/5,
а высота — 2>/5. Найдите диа-
гональ осевого сечения.
2
Площадь боковой поверхности
цилиндра равна 20л, а высо-
та — 4. Найдите диаметр осно-
вания.
4
Площадь боковой поверхнос-
ти цилиндра равна 24л, а его
объем равен 48л. Найдите его
высоту.
Раздел III. Разные задачи •» 145
Продолжение табл. 74
5
7
Осевым сечением цилиндра яв-
ляется квадрат с диагональю
6^2/л2. Найдите объем ци-
линдра.
В основании прямой призмы
лежит прямоугольный тре-
угольник с катетами 6 и 8. Бо-
ковые ребра равны 7/л. Найди-
те объем цилиндра, описанного
около этой призмы.
6
8
Осевым сечением цилиндра яв-
ляется квадрат с диагональю
у72у/2/п. Найдите объем ци-
линдра.
В основании прямой призмы
лежит прямоугольный тре-
угольник с катетами 12 и 5.
Боковые ребра равны 16/л.
Найдите объем цилиндра, опи-
санного около этой призмы.
1 46 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Окончание табл. 74
9
В основании прямой призмы
лежит квадрат со стороной 5.
Боковые ребра равны 18/л.
Найдите объем цилиндра, опи-
санного около этой призмы.
11
Цилиндр и конус имеют общие
основание и высоту. Найдите
объем конуса, если объем ци-
линдра равен 150.
1 0 Правильная треугольная приз-
---- ма вписана в цилиндр, радиус
основания которого равен 2^3,
а высота равна 2. Найдите пло-
щадь боковой поверхности
призмы.
1 2 Прямоугольный параллелепи-
---- пед описан около цилиндра,
радиус основания которого ра-
вен 4. Объем параллелепипеда
равен 16. Найдите высоту ци-
линдра.
Раздел III. Разные задачи •» 147
КОНУС
Таблица 75
1
Высота конуса равна 8, а диа-
метр основания — 30. Найдите
образующую конуса.
3 Найдите площадь боковой по-
--- верхности прямого кругового
конуса, если образующая его
равна 7, а площадь основания
равна 36/л.
2
Диаметр основания конуса ра-
вен 56, а длина образующей —
53. Найдите высоту конуса.
4 Площадь боковой поверхности
--- конуса равна 13, длина обра-
зующей — 1/л/Зл. Найдите
площадь основания конуса.
148 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Продолжение табл. 75
7
Образующая конуса I = 6 / Vk и
составляет с плоскостью осно-
вания угол 30°. Найдите объем
конуса.
Площадь боковой поверхности
конуса равна 65л:, образующая
конуса — 13. Найдите котан-
генс угла между образующей
конуса и его высотой.
Образующая конуса I = 4^/9 / л
и составляет с плоскостью осно-
вания угол 30°. Найдите объем
конуса.
8 Объем конуса равен 4,5л, высо-
--- та его равна 6. Найдите тангенс
угла между высотой и образую-
щей конуса.
Разлел III. Разные залачи •» 149
Продолжение табл. 75
9 Объем конуса равен 2л2/3, а бо-
--- кован поверхность равна сумме
площадей основания и осевого
сечения. Найдите радиус осно-
вания конуса.
11
Осевым сечением конуса слу-
жит равнобедренный прямо-
угольный треугольник, пло-
щадь его равна 9. Найдите
объем конуса.
10
Разность между образующей и
высотой конуса равна 1, а угол
между ними равен 60°. Найди-
те объем конуса.
1 2 Объем конуса равен 24. Через
---- середину высоты параллельно
основанию конуса проведено
сечение, которое является ос-
нованием меньшего конуса с
той же вершиной. Найдите объ-
ем меньшего конуса.
1 50 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Окончание табл. 75
1 3 Высота конуса 20, радиус его
---- основания 25. Найдите пло-
15
Найдите объем V части конуса.
В ответе укажите значение V/п.
щадь сечения, проведенного
через вершину, если его рас-
стояние от центра основания
конуса равно 12.
14
Через вершину конуса под уг-
лом в 45° к основанию прове-
1 6 Найдите объем V части конуса.
---- В ответе укажите значение V/n.
дена плоскость, отсекающая
четверть окружности основа-
ния. Высота конуса равна 10.
Определите площадь сечения.
Разлел III. Разные залачи •» 151
УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
Таблица 76
1
3
В усеченном конусе диагональ
осевого сечения равна 10, ради-
ус меньшего основания 3, высо-
та 10. Найдите радиус больше-
го основания.
Радиус одного основания усе-
ченного конуса вдвое больше
другого; боковая поверхность
равна сумме площадей основа-
ний; площадь осевого сечения
равна 36. Найдите объем.
2
4
В усеченном конусе диагональ
осевого сечения равна 10, ра-
диусы оснований 2 и 4. Найди-
те высоту конуса.
Высота усеченного конуса рав-
на 3. Радиус одного основания
вдвое больше другого, а обра-
зующая наклонена к основанию
под углом в 45°. Найдите объем.
152 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Окончание табл. 76
5 В усеченном конусе диагонали
--- осевого сечения взаимно пер-
пендикулярны, длина каждой
из них равна 7(2 + ТЗ)/>/2.
Угол между образующей и плос-
костью основания равен 75°.
Найдите полную поверхность
усеченного конуса.
Радиусы оснований усеченного
конуса и его образующая отно-
сятся как 1:4:5, высота равна
8. Найдите площадь боковой
поверхности.
6
Разлел III. Разные залачи •» 153
ШАР
Таблица 77
1
Площадь поверхности шара 64.
На расстоянии 3 / 2>/л от цент-
ра шара проведена плоскость.
Найдите площадь полученного
сечения.
Дан шар радиуса R = 8/y/n. Че-
рез конец радиуса проведена
плоскость под углом 60° к нему.
Найдите площадь сечения.
2
Площадь поверхности шара
равна 37/л. На расстоянии 1/2л
от центра шара проведена плос-
кость. Найдите длину получен-
ной в сечении окружности.
Дан шар радиуса R = 12/y/n.
Через конец радиуса проведена
плоскость под углом 30° к нему.
Найдите площадь сечения.
1 54 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Окончание табл. 77
В шар вписан конус. Найдите
высоту конуса, если радиус
шара 5, а радиус основания
конуса 4.
7 Около куба с ребром 2\/з опи-
сан шар. Найдите объем этого
шара, деленный на л.
6 В шар вписан конус, образую-
--- щая которого равна диаметру
основания. Найдите отношение
полной поверхности этого ко-
нуса к поверхности шара.
Раздел Ш. Разные задачи •» 155
ТРЕУГОЛЬНИК
Таблица 78
1
3
Прямоугольный треугольник с
гипотенузой 10/-Л и острым
углом 30° вращается вокруг ги-
потенузы. Найдите объем тела
вращения.
Прямоугольный треугольник
с острым углом 60° и гипоте-
нузой, равной 1, вращается
вокруг биссектрисы внешнего
прямого угла. Найдите объем
тела вращения.
2 Прямоугольный треугольник с
катетами 5/л/п и 12/л/п вра-
щается вокруг меньшего кате-
та. Найдите площадь полной
поверхности тела вращения.
Прямоугольный треугольник с
острым углом 60° и противоле-
жащим катетом длиной 1 вра-
щается вокруг прямой, лежа-
щей в плоскости треугольника,
проходящей через вершину
данного угла и перпендикуляр-
ной его биссектрисе. Найдите
объем тела вращения.
156 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Продолжение табл. 78
6
Равнобедренный треугольник с
основанием 2^3?^ и высотой
^15/л вращается вокруг вы-
соты. Найдите площадь полной
поверхности тела вращения.
7 Равносторонний треугольник
со стороной ^/16/л вращается
вокруг одной из сторон. Найди-
те объем полученной фигуры
вращения.
Равнобедренный треугольник с
основанием 6/л и высотой 5-^2
вращается вокруг основания.
Найдите объем тела вращения.
3 Равносторонний треугольник
со стороной а = 6 / Vtt вращает-
ся вокруг одной из сторон. Най-
дите объем полученной фигуры
вращения.
Разлел III. Разные залачи •» 157
Окончание табл. 78
9	Правильный треугольник со стороной, равной 1, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину треугольника и составляющей со стороной угол 45°. Найдите объем полученного тела вращения.
158 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Таблица 79
1
Прямоугольник со сторонами
и у]125/п вращается во-
круг меньшей стороны. Найди-
те площадь полной поверхно-
сти тела вращения.
Прямоугольник, площадь кото-
рого равна 1, а угол между диа-
гоналями равен 15°, вращается
вокруг оси, проходящей через
его вершину параллельно диа-
гонали. Найдите поверхность
тела вращения.
2
4
Прямоугольник со сторонами
2у1т7п И 2^1/7я вращается
вокруг прямой, проходящей
через середины больших сто-
рон. Найдите площадь полной
поверхности тела вращения.
Прямоугольник со сторона-
ми 5 и 12 вращается вокруг
перпендикуляра к диагонали,
проведенного через ее конец.
Найдите объем тела вращения.
	 / '  "— —>			) /	
Разлел III. Разные залачи •» 159
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ
Таблица 80
1
Ромб, площадь которого равна
13, вращается вокруг стороны.
Определите поверхность полу-
ченного тела вращения.
3
Ромб с диагоналями V15 и
120/л вращается вокруг боль-
шей диагонали. Найдите объем
полученного тела вращения.
2
Ромб со стороной 7 и острым
углом в 60° вращается вокруг
оси, проведенной через верши-
ну этого угла перпендикулярно
к стороне. Определите поверх-
ность тела вращения.
4
Квадрат со стороной ^/81/2л2
вращается вокруг диагонали.
Найдите объем полученного
тела вращения.
160 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Окончание табл. 80
5
6
В равнобедренной трапеции
с острым углом 75° большее
основание равно 1, а диаго-
наль перпендикулярна боковой
стороне. Найдите объем тела,
полученного вращением трапе-
ции вокруг ее большего осно-
вания.
Равнобедренная трапеция с
острым углом в 45° вращается
вокруг боковой стороны длиной
6, равной меньшему основа-
нию. Найдите объем получен-
ного тела вращения.
ОТВЕТЫ
Таблица 1
1. 90°. 2. 90°. 3. 45°. 4. arccos^. 5. 90°. 6. 60°. 7. 60°. 8. 60°. 9. 60°.
V3
10. arccos-^. 11. 60°. 12. 90°. 13. 60°. 14. 90°. 15. arccos^. 16. 60°.
V3	V3
17. 90°. 18. arctgV2.
Таблица 2
1. 60°. 2. 45°. 3. arccos—. 4. arccos—. 5. arccos—. 6. arccos—.
4	4	4	4
7. arccos 0,7. 8. arccos—. 9. arccos—.
Таблица 3
1. 90°. 2. 45°. 3. 45°. 4. 60°. 5. 60. 6. arccos-^. 7. arccos
V5
9. arccos—. 10. arccos—. 11. arccos—12. 90°. 13. arccos—14. 90°.
4	8	V10	V5
15. arccos—. 16. arccos—17. arccos—. 18. arccos—. 19. arccos—.
10	V5	5	8	5
20. arccos—r=. 21. arccos-^—. 22. arccos—. 23. arccos—. 24. arccos——.
V5	4	4	4	4
25. arccos—.
4
1 62 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Таблица 4
2
>/2	<3
1. 90°. 2. arccos—. 3. arccos—.
6
3
Таблица 5
1. arccos-i. 2. arctg л/2.
л/б
Таблица 6
./Q	1
1. 30°. 2. 60°. 3. —. 4. -
4	4
5. 60°.
Таблица 7
1. 45°. 2. 30°. 3. 30°. 4. 45°. 5. arctg 6. 0°. 7. arctg V2. 8. arctg
л/2	V2
9. 0°. 10. arctg-i. 11. arcsin-J=. 12. arcsin-i. 13. arcsin-i. 14. 30°.
V2	л/3	л/3	л/3
х 1
15. arctg-7=.
л/2
Таблица 8
>/3	>/3	>/6	л/21	л/3
1. arctg——. 2. arctg——. 3. 60°. 4. arcsin-—. 5. arcsin----. 6. arctg—.
2	2	4	7	2
Таблица 9
1	/fi	/о
1. 90°. 2. 45°. 3. 30°. 4. arctg—. 5. 60°. 6. arcsin—. 7. arctg—. 8. 45°.
2	4	2
о	4	3
9. arcsin—t=. 10. arctg 1,5. 11. arcsin—12. arcsin—. 13. 60°. 14. 45°.
V42	V26	4
л/6	V15
15. 60°. 16. arcsin——. 17. arcsin----
4	5
Ответы •» 1 63
Таблица 10
1.
1.
1 о 1 о . V2 . V7
arccos—. 2. arccos—3. arcsm—. 4. arccos—.
3	л/з	3	3
Таблица 11
. л/2 _	.	1	_	1
arcsin—. 2. arcsm—3. arccos—^.
3	V3	л/3
Таблица 12
1.
15 _	3	_ V15
5	V15 Ю
Таблица 13
1. 90°. 2. 90°. 3. 90°. 4. 45°. 5. arctg >/2. 6. arctg л/2. 7. 90°. 8. 60.
9. arctg >/2. 10. arccos i. 11.
3
arctg V2. 12. 60°. 13. arcsin-i.
<3
Таблица 14
2	12
1. 60°. 2. 90°. 3. arctg—4. arccos—. 5. arctg—
V3	7	V3
Таблица 15
1. 60°. 2. 120°. 3. 90°. 4. 90°. 5. 60°. 6. 30°. 7. 30°. 8. 45°. 9. arctg
2	12	2
10. arctg —j=. 11. arccos—. 12. arctg—. 13. arctg—. 14.60°. 15.30°.
V3	7	3	3
2
/з‘
16.45°.
1 64 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах лля полготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Таблица 16
1. arccos^. 2. arccos (|. 3. arccosi. 4.45°.
з V 3j Vs
Таблица 17
1. 0,2. 2. 0,6.3.
Таблица 18
1. 1. 2. у[2. 3. 1. 4. л/2. 5. 4- 6. —. 7. 1. 8. >/2. 9. —. 10. —. 11. —.
V2 2	3	3	3
2	3
Таблица 19
1 1 О	Q ^7 А <7 к <2 а ^14
1. 1. 2. ---. 3. -. 4. ---. 5. -. 6. --
2	2	2	2	4
. 7.
14
4
Таблица 20
1. 1. 2. >/з. 3. 2. 4. >/з. 5. 73. 6. 1. 7. —. 8. 1. 9. -. 10. -. 11. —.
2	2	2	2
./о	./7	Л./Г4	Г-	xi?
12. —.	13. 2. 14. 2. 15.	—.	16.	—.	17.	л/з.	18.	—.	19. 1. 20.
2	2	4	2	5
о -/оо !—	./7	./7 г— /оп о
21.	22.	23. >/2. 24. —. 25. —. 26. V3. 27.	28. -==.
V5 4	2	2	5 V5
29. 2.
Таблица 21
л/15 9 V13 R V39	л/42
1. -----. Л. -----. о. л/о. 4. ------. □. ----
4	2	4	4
Ответы •» 1 65
Таблица 22
1.	1. 2. 1. 3. -4 4. 4--	5. -4-	6. -4- 7. 4- 8-	4=-	9. -4-	10. -4
<2 V2 >/2 V3 >/3	V3 >/3 V3
11.	-4-12.4-. 1з. -4-
л/З л/З л/З
Таблица 23
1. г 2. Д 3.	4.	5.	6. Т. Ж 8.
2	7	7	7	7	7	7
Таблица 24
12.	—. 13. —. 14. 4-- 15- —•
2	4	л/5	4
Таблица 25
1.^
3
2. i
2
Таблица 26
2л/15 Q 9	, 715 Л 3
-----. 2. —,=. 3. ---. 4. —т=.
5	V39	5	V39
Таблица 27
1. 1. 2. 1. 3.	1. 4.	л/2.	5. 4-	6. - . 7. 1. 8. 1. 9. 1. 10. 4- 11. 4-
л/2	V2	л/3	л/6
12. -4.	13.	-4.	14.	-4. 15.	4--
л/з	л/2.	V6	л/з
1 66 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Таблица 28
1. 1. 2. —. 3. —. 4.
2	2
К 5. 1 . в. ^1. 7.	8. Д 9.
7 VK 7	2	2	2
Таблица 29
/о	/о	о	/О
1. 1. 2. —. 3. 7з. 4. —. 5. >/з. 6. л/з. 7. >/з. 8.	9. —. 10. —.
2	2	2	2	2
Таблица 30
1. —. 2. —. 3. i. 4. arctgV2.
3	3	2
Таблица 31
1.
6
л/39
2. Л 3.
2	4
Таблица 32
1. 1 . 2. * 3. Д 4. Д 5.	6. Д 7.	8.	9. ».
72^222	24	2	16	48
10. 9. 11. 9. 12. 42. 13. 2^. 14.	15.	16.
8	8	50	25	4	16
Таблица 33
/— г-	Ji 7
1. V5. 2. V2. 3. —. 4. —
2	2
Ответы •» 167
Таблица 34
зТ19 , зТт , 7з , з71э „ 77
i« -----• о. -----• 4. -• Э. ------. о. ---.
16	16	2	16	4
Таблица 35
1. 2. 2. >/б. 3. 3. 4. >/б. 5. —. 6. —.
4	4
Таблица 36
./Q ./9	л/1 1
1. 0,25. 2. —. 3. —. 4. —
16	4	16
Таблица 37
1. 0,5. 2.	3.	4.	5. 0,5.
16	16	16
Таблица 38
1. 12л/2. 2. 12>/2. 3. 4>/5. 4. 8>/5. 5. 6>/з. 6. 12. 7. 2>/б. 8. 12>/2. 9. 8>/5.
10. 8>/13.
Таблица 39
1. 2л. 2. >/2л. 3. 4л/2п. 4. 12п.
Таблица 40
24тг
1. 471. 2. 471. 3. =^. 4. бл/бя.
>/5
1 68 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Таблица 41
1. 42 п. 2. 42 я. 3. 24b я. 4.	5. 270я. 6. 1440я.
4ь
Таблица 42
Чтт г-
1. 14я. 2. 26,4я. 3. 40я. 4. 25я. 5. —. 6. V3 я.
4
Таблица 43
1. 4я. 2. >/з я. 3. я. 4. 6я.
Таблица 44
1. 4я. 2. Зя. 3. Зя.
Таблица 45
1. 12я. 2. 6я.
Таблица 46
1.	2. Зя.
42
Таблица 47
1. 2я. 2. я. 3.	4. 2>/5 я.
л/5
Таблица 48
1 я	2 л/2я	л/2я	4 4	5 4л/бя	6 2g()^ ? 3400Яе
3	6	12	3	15
Ответы •» 1 69
Таблица 49
1
12
2. 12л. 3.	4. 32л. 5. —. 6.	7. —. 8.
5	24	4	4	4
Таблица 50
1.	2. з. 4. 7п 5.
4	3	3
7л	5л
—. 6. —.
3	3 .
Таблица 51
1 Л	л Q Тзл	3\/3л
4	4	12	4
Таблица 52
1. 9л. 2.
12
Таблица 53
1. 7л. 2. 5л.
Таблица 54
1.	2	3. —
3	3	3
Таблица 55
Я
1. 2л. 2.
2
Таблица 56
1. л. 2.
3
Таблица 57
л/2л о >/2л
12	6
170 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах лля полготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Таблица 58
3
Таблица 59
1. 80я. 2. 104п.
Таблица 60
1. 125. 2. 4. 3. 4. 4. 108. 5. 5. 6. 4. 7. 4. 8. 6. 9. 512. 10. 98. 11. 2>/2. 12. 2.
Таблица 61
Jo
1. 61. 2. 5. 3. 45°. 4. 45°. 5. 4. 6. 320. 7. —. 8. arctg 7. 9. 4. 10. 69. 11. 10.
8
15	г-
12. arctg—. 13. 2V3. 14. 2. 15. 10. 16. 3.
4
Таблица 62
4/б
1. 4. 2. 4. 3. 1. 4. 3. 5. 2^3. 6. 2,5. 7. —. 8. 4. 9. arctg 0,6. 10. 45°. 11. 2.
2
V17
12. 13. 13. —.
4
Таблица 63
1. 192 + 32 >/б. 2. 6 и 3 или 4 и 7. 3. ^2. 4. з slI?a . 5. 22. 6. 9.
у Vcos2a
7. arcsin . 8. \/2.
J10
Таблица 64
1. 2. 2. 60°. 3. 26. 4. 10. 5. V91. 6. 72. 7. 180. 8.
50
Ответы •» 171
Таблица 65
1. 21. 2. 18. 3. 8. 4. 5. 5. в. 2. 7. 144. 8. 192. 9. 81. 10. 6>/3. 11. 3.
27
12. arctg—. 13.	14. -^=. 15. arctg V2. 16. —. 17. 3. 18. —.
5	7	,/23	6	8
19. 13Лз 20 13^39 21 24 22 ^7
8	12	6
Таблица 66
1. —. 2. 4. 3. arctg—. 4. 3,4.
4	11
Таблица 67
1. arctgi. 2. -$=. 3.12. 4. 3. 5. 36. 6. 20. 7. —. 8. — (л/з+1).
8	i/3	48	12
Таблица 68
1. 9,5. 2.109. 3. —. 4. 54.
12
Таблица 69
./Q	о	*/2Ч	л/Ч	9
1. 13. 2.	8.	3. 32.	4. 48.	5.	540.	6.	—.	7.	-.	8.	—. 9. 1. 10. —. 11. -.
12	3	6	2	3
12.	384.	13.	324.	14.	—.	15.	1.	16. arccos-^
12	7з
Таблица 70
1. —. 2. 9. 3. 26. 4. 768.
12
172 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Таблица 71
1. 98. 2. 13. 3. 872. 4. 342. 5. —. 6. —. 7. —. 8. 2 и 8.
6	6	9
Таблица 72
. зТз о зТзэ
1. ---• А» -----
2	2
3. 6. 4. 384. 5. 1.
Таблица 73
1. 298. 2. 294. 3. 66. 4. 116. 5. 31. 6. 129. 7. 21. 8. 41. 9. 7. 10. 5.
Таблица 74
1. 9. 2. 5. 3. 6. 4. 3. 5. 27. 6. 9. 7. 175. 8. 5. 9. 225. 10. 36. 11. 50. 12. 0,25.
Таблица 75
1. 17. 2. 45. 3. 42. 4. 507. 5. 27. 6. 72. 7. 2,4. 8. 0,25. 9. Vn2-1. 10. я.
11. 9 л. 12. 3. 13. 500. 14. 100 V2. 15. 30. 16. 220,5.
Таблица 76
1. 5. 2. 8. 3. 84л. 4. 63л. 5. л7Г1 + х/2)(1 + 73). 6. 100л.
Таблица 77
1. 13,75. 2. 6. 3. 16. 4. 108. 5. 8. 6. 0,5625. 7. 36.
Таблица 78
1. 12,5. 2. 300. 3. ^ЭД + 1). 4. —. 5. 7,5. 6. 100. 7. 4. 8. 54.
48	6
9. — (V3+1).
8
Ответы •» 173
Таблица 79
1. 72. 2.18. 3. 2п(-Тз+1). 4. 780л.
Таблица 80
1. 52л. 2. 294п. 3.150. 4.1,5. 5. — (л/з+1). 6. 36п(5+Зл/2).
Разлел IV
РЕШЕНИЯ НАИБОЛЕЕ ТРУДНЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Угол между двумя прямыми
К таблице 1
4. Заметим, что угол между прямыми ВВ\ и А^С равен углу между
прямыми АА1 и AjC. Пусть ZAAjC = а, тогда из j\AyAC (ZA^AC = 90°)
АА
имеем cosa =---, где ААг = 1, А^С — диагональ куба. По свойству пря-
АгС
моугольного параллелепипеда, имеем: А^С2 = АВ2 + ВС2 + АА2, или
А^С = \la2 + a2 + а2 = \13а2 = а^З = V3, где а = 1. Тогда cos a = -i, откуда
\ 3
1
a = arccos—.
V3
Ответ: arccos
V3
К таблице 2
3. Угол между прямыми АС и ВС^ равен углу
между прямыми ВС^ иА^С^. Пусть ZA^C^B = а. Так
как призма правильная, то А^В = С^В как диагона-
ли равных квадратов (по условию все ребра призмы
равны 1). Значит, zXAiBCj — равнобедренный. Про-
ведем высоту BD. В ABDC\
DCi = —А^Сх = -.
2	2
Из ACjBjB ВС2 = 1 + 1 = 2; ВСХ = х/2.
Тогдаcosа=
Bq 1/2	1 _У2
ВСХ ~ V2 2^2 ” 4 ’
V2
а = arccos—.
4
Ответ: arccos—.
Разлел IV. Решения наиболее трудных задач •» 175
К таблице 3
8. Угол между прямыми АВ\ и D±C
равен углу CD±E = а. Так как D^E = D^C
(как диагонали равных квадратов), то
MED^C равнобедренный.
Из AEDDi EDi = V1 + 1 = л/2. Сторону
СЕ найдем из \DECy где DE = DC = 1,
Z.EDC = 180° • (6 - 2) : 6 = 120° (см. на
плане), тогда Z.EDM = 60°.
_/q
Из \EMD ME = DE sin 60° = —,
2
x/3 r~
тогдаЕС = 2 —= \/3.
Из &ED±C по теореме косинусов имеем:
СЕ2 = D^E2 + DyC2 - 2 • D\E • DTC cos а, или 3 = 2 + 2- 2 5/2 5/2 cos a, или
A	1	1
4 cos a = 1, откуда cos a = —, тогда a = arccos—.
4	4
1
Ответ: arccos—.
4
К таблице 4
2. Так как BD — медиана боковой грани
МВСу то MD = DC = —а, где a — ребро пра-
2
вильного тетраэдра.
Из точки D опустим перпендикуляр DE на
плоскость основания АВС, тогда ОЕ = ЕС —
по теореме Фалеса. Так как АВ = a = В5/З, то
ОС = —Высоту МО тетраэдра найдем из
7з
ЬМОС: МО = \1мС2-ОС2
DE = —МО = — J— a --7= (средняя линия АМОС). BE = — ВС5/З = ^——.
2	2 V 3 yjQ	2	2
176 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Пусть ABDE = а — угол между высотой и медианой BD, тогда cos а =
= — =	BD = JBM2-MD2 а2-| -а | = ^~,
BD	\	{2 )	2
а 2	2	2^2 V2	J2
cos а = -7=-7=г = —= --= —, откуда а = arccos—.
Тб а>/3 Зл/2	3 2 3	3
Ответ: arccos—.
3
К таблице 5
1. Из точки Е — середины AM опус-
тим перпендикуляр ЕК на плоскость
основания ABCD. ЕК — средняя линия
ДАОМ. Так как высота МО ± (АВС) и
МО || ЕК, то ЕК 1 (АВС), значит,
ЕК 1 ВК. Поскольку МО || ЕК, то угол
между прямыми МО и медианой BE
равен Z.KEB = а. Поскольку все ребра
пирамиды равны 1 (по условию), то из
ДАВЕ, где АВ = 1, АЕ = -,
2
В ЛАОМАО - МО, тогдаАО2 + МО2 = AM2, или 2АО2 = 1,
АО2 = -, АО = МО = -L, КЕ = — МО = —
2	V2 2	2^2
KE 1	<3
cos а = = —: —
BE 2V2 2
Теперь найдем искомый угол из \ЕКМ'.
2	1	1
=-—=-—== тогда а = arccos—^.
Тб	Тб
Ответ: arccos
V6
К таблице 6
5. Известно, что в правильном шести-
угольнике а = R, где а — сторона правиль-
ного шестиугольника, R = АО = ВО = ЕО =
= OF = ОС — радиус описанной окруж-
ности. По условию АВ = 1, МА = 2. Угол
между прямыми ME и CD равен углу меж-
ду ME и BE. Но ME = МВ = BE = 2, зна-
чит, АМЕВ — правильный и АМЕВ = 60°.
Ответ: 60°.
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 1 77
§ 2. Угол между прямой и плоскостью
К таблице 7
15. Угол между прямой АА^ и плоско-
стью BC^D равен углу между прямой ССГ
и плоскостью BCi-D, т. е. ZOCjC.
В AOCCi CCi = 1, ОС = R — радиус
описанной окружности. Известно, что в
правильном четырехугольнике со сторо-
ной a a = В>/2, откуда R = -5=-, или ОС =
V2
1
= -=, где a = 1.
V2
Из прямоугольного AOCCi
ОС 1
tg а = —- =	где а = ZOCiC, тогда
ССг <2
х 1
а = arctg—т=-.
х/2
X 1
Ответ: arctg—
V2
К таблице 8
5. Угол между прямой АС и плоскостью ABiCi
равен ZAiCiO = а, где точка О — основание пер-
пендикуляра, опущенного из точки Ai на пло-
скость АВХС1. Так как АА^ ± (А1В1С1), то
AAi ± AiOi. Катет AiDi найдем из прямоугольно-
го AAiOiCi, где AiCi = 1, CiDi = — CiBi = i;
2	2
Из AAAiDi найдем гипотенузу ADr:
AD1 = yjAA^ + A^, ADt =	+
Заметим, что AAiOZ>i ~ AAAiOi (как прямоугольные, имеющие общий
острый угол AiAO).
Имеем:
АгО = ААГ
AiDl ~ ADX1
откуда AiO =
178 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
л/21
Из прямоугольного AAjOCj, где катетAiO = ——, гипотенуза А^С^ = 1.
находим искомый угол:
sin а =
А.О у/21	. V21
—1, откуда а = arcsm---------
А& 7	7
• V21
Ответ: arcsin --
7
К таблице 9
9. Обозначим точку М — пересечение
прямых и В^р Далее, из точки Вг
опустим перпендикуляр BXN на прямую
ВМ. Тогда ZBjAJV = а — искомый угол
между прямой АВ± и плоскостью АВС±.
В прямоугольном ABBjM известно: ВВ1 = 1
1	л/з
(по условию), ВАМ = —ByD^ = — (см.
№ 8, табл. 3), тогда ВМ = ^ВВ2 + ВГМ2,
I Ч
ВМ= J1 + -
V 4
Заметим, что AB}NM ~ АВВХМ (как прямоугольные, имеющие общий
V21	/-- г
угол BjMtV), тогда имеем В(см. № 5). Так как ABj = VI+ 1 = V2,
л/42	.	3
то из AABiN sin а = BiN:AB, = ----, тогда а = arcsin—?=.
14	V42
Ответ: arcsin
3
V42’
V7
2 ’
К таблице 10
4. Пусть в правильном тетраэдре
МАВС АВ = 1, ME — апофема грани МАВ,
О — центр правильного ДМАВ. Так как BD =
= ME как высоты правильных треугольни-
ков, то DN — средняя линия АМОС, тогда
СО ± (МАВ), СО || DN, значит, DN 1 (МАВ) и
ADBN = а — искомый.
Поскольку ОЕ = ON = NM (N — середина
2
МО), то EN = —ME. Из ДАЕМ, где AM = 1,
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 1 79
1	I 1 х/3	2 х/3 л/3
АЕ = ME = ,1—=—, тогда EN =----= —. Сторону BN найдем
2 V 4	2	323
из прямоугольного ABEN: BN = \{ВЕ2 + EN2 у BN =
Наконец, из ABND найдем искомый угол:
BN	IY 73	V7 2 2>/7 V7
cos а =----= .—:— =	у
ВО V12 2	J12 х/з	6	3
V7
откуда а = arccos-^-.
V7
Ответ: a = acrcos—.
3
К таблице 11
3. Пусть Е — середина ребра AM.
Так как диагонали АС и BD квадрата
перпендикулярны и МО ± АС, то пло-
скость (MBD) ± АС. Значит, плоскость
(MBD) и есть плоскость, проходящая
через точку D перпендикулярно АС.
Соединим точку Е с точками О и С. По-
скольку AMDC правильный, то AM ± СЕ.
В ДАОМ ОЕ — медиана и высота, тогда
ОЕ ± AM. Следовательно, Z.OEC = а —
искомый угол.
г-	х/2
Из ДАВС АС = х/2, тогда ОС = —; из
2
АЕ = —AM = —, найдем ОЕ = \1аО2 -АЕ2у
2	2
V2
ААОЕ, где АО = ОС = — и
2
1 1
или ОЕ = .----
N2 4
1
—; из
2
/	1 х/Ч
ЛЕСМСЕ = 1—=—.
V 4	2
Наконец, из &ОЕС по теореме косинусов имеем ОС2 = ОЕ2 4- СЕ2 -
о _ _	1 1 з _ 1 7з 7з 1
- 2 • ОЕ • СЕ • cos а, или — = — + — 2-• cos а, —cosa = —,
2 4 4	2 2	2	2
1	1
cos а = -7=, откуда а = arccos—^.
V3	V3
Ответ: arccos
л/З
1 80 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
§ 3. Угол между двумя плоскостями
К таблице 13
6. Очевидно, что в единичном кубе
A...Dr плоскость AByDy || плоскости B(\D,
так как BD = B^D^AB^ = DC± иАВ1 = В(\.
Пусть О — точка пересечения диаго-
налей АС и BD квадрата ABCD. Тогда
искомым линейным углом а между плос-
костью АВС и плоскостью BC^D будет
АСХОС = а.
В прямоугольном АС^ОС (ZC = 90°),
ССг = 1, ОС = R = тогда
v 2
tg а
ССг
ОС
\[2, а = arctg V2.
Ответ: arctg \[2.
К таблице 14
4. Плоскости АВ]С и АхВС^ пересекаются
по прямой MN. Пусть Е — середина MN и
D — середина BD, тогда Z.BED = а — иско-
мый.
Из ДВВС, где ZD = 90°, ВС = 1 и CD =
= — АС-—, найдем BD:
2	2
Так как AABrC = ABA^Ci (по трем сторо-
нам), то BE = DE, MN = —AC = -A& =i,
2	2	2
ME- -MN- i, MB- -A^- -4i+I = —
2	4	2	2	2
Из NBME BE = у1мВ2-МЕ2, или BE =	Из \BDE no
V 2 16	4
теореме косинусов имеем BD2 — DE2 4- BE2, — 2 • DE • BE • cos а, или
Разлел IV. Решения наиболее трудных задач •» 181
3	7	7 о у/7 у/7	377	1
— = — +-----2---------• cos а, — =----• cos а, cos а = —, откуда
4 16 16	4 4	4 8 8	7
а = arccos—.
7
Ответ: arccos—.
7
К таблице 15
10. В плоскости BED^ из точки
опустим перпендикуляр D^M на пло-
скость основания призмы. Так как FE
= ED и диагональ BE проходит через
центр основания, то ЕМ — медиана,
биссектриса и высота AFED, тогда М —
середина FD.
В прямоугольном &MDD1 имеем: DDi
1
= 1, MD = —FD = —— (см. № 8, табл. 3),
2	2
, PPj	12
тогда tg а = —±, или tg а = -т=— = -у-,
MD	л/3/2 ч/З
х 2
откуда а = arctg-7=.
V3
ж 2
Ответ: arctg-7=.
V3
К таблице 16
3. В плоскости боковой грани MDC
проведем высоту ME. Так как все ребра
пирамиды равны 1, то &MDC — правиль-
ный. Из АМЕС, где МС = 1, СЕ = —,
2
ME = -Jmc2-ce2
Из точки О — пересечения диагоналей
основания проведем высоту ОЕ, тогда
Z.OEM = а — искомый угол между
плоскостями АВС и MCD.
ОЕ = —ВС = — — средняя линия ДАОС.
1 82 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
В l\MOE cos а =
ОЕ
ME
1 7з 1	1
—: — = —откуда а = arccos—.
225/3	5/3
Ответ: arccos—7=.
х/3
К таблице 17
2. Так как пирамида правильная, то
грани МАЕ и MDC равные равнобедрен-
ные треугольники, боковые ребра кото-
рых равны 2, а основания по 1.
Тогда Z.KMP — искомый угол между
плоскостями. Апофему (высоту) МК най-
дем из прямоугольного ЬАМК, где AM = 2,
АК = —AF= i-l = i, тогда
2	2	2
Известно, что в правильном шести-
угольнике a = 7?, где а = АВ = 1,7? = АО =
= АВ = 1, тогда из ААОВ ОК = у]аО2-АК2
значит, КР =
/3, следовательно, из АКМС по теореме косинусов имеем:
КР2 = МК2 + МР2 - 2 • МК • MP cos а, где а = ЕКМС.
15 15	V15 V15
3 = — +-2-cos а, или 15 cos а = 9, cos а = 0,6.
4	4	2	2
Ответ: 0,6.
§ 4. Расстояние от точки до прямой
К таблице 18
11. Расстояние от точки А до прямой BDX есть длина перпендикуля-
ра АВ.
Так как A...Bi единичный куб, то длины всех ребер равны 1. Приме-
ним метод сравнения площадей.
Задав = ^АВ • ABj = |bBj -АВ, откуда
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 183
АВ • AD1
= ——-А где АВ = 1,
АЛг = ^AD2+DDf = V2,
BD2 = АВ2 + ВС2 + АА2 (по свойству пря-
моугольного параллелепипеда), BDr =
= \/3, тогда АЕ =
3
Замечание. Задачу можно решить другими способами.
К таблице 19
6. Расстояние от точки В до прямой ACi есть
длина перпендикуляра BD. Проведем диаго-
наль BCi боковой грани, а из точки проведем
высоту С]Е равнобедренного AACjB.
Применим метод сравнения площадей.
S.Ar я =—ACi • BD = —АВ • CiE, откуда BD =
ZWlVjZJ 2 Х	у)	Х	*
АВСГЕ _	Л
= ----4—. Так как длины всех ребер призмы
равны 1 (по условию), то АВ = 1. Из ААСхВ, где
АЕ = —АВ = ~, ACi = Jac2+СС2 или ACi =
2	2	v
= л/1 + 1 = л/2; CiE найдем из прямоугольного /^АЕС^.
СгЕ= yjAC2-AE2
ТогдаВР_ 14^-4=^.
42	2л/2	4
Ответ:-----.
4
К таблице 20
29. Соединим точку А с точками С и Ср Заметим, что в правильном
шестиугольнике AC LAF, так как Z.FAB = 180° • (6 - 2) : 6 = 120°, а
ZBAC = 30°. Кроме того, АС — проекция АС^ на плоскость основания
призмы. По теореме о 3-х перпендикулярах имеем BCr ± C^Di. Следова-
1 84 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах лля полготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
тельно, АСг — искомое расстояние от точки
А до прямой CjDj. В прямоугольном AACCj
CCj = 1, AC = л/з (см. № 8 к табл. 3), тогда
АСг = д/ГГз = 2.
Ответ: 2.
К таблице 21
4. Расстояние от точки В до прямой MF
есть длина перпендикуляра BL. Соединим
точки В и F, проведем высоту МК в равно-
бедренном AMFB. Применяя метод сравне-
ния площадей к AMFB, имеем:
— MF-BL = -BF-MK,
2	2
D_ BF MK ' гс .
откуда BL = -------, где BF = <3 (см.
MF
№ 8 к табл. 3), MF = 2 (по условию), МК
найдем из прямоугольного AFKM:
2-2	4
Ответ:
§ 5. Расстояние от точки до плоскости
К таблице 22
13. Так как A...D1 единичный куб и F —
середина ВС1} то Е — середина ADX (ВСХ =
= ADr как диагонали граней куба).
Из точки F проведем перпендикуляр
FK к плоскости ABXDX (см. рис. на плане),
FE LADX, значит, KE LADX, следователь-
но, точка К лежит на отрезке ВХЕ ± ADX
(ByD^ = ВХА как диагонали граней куба,
Е — середина ADj, значит, В^Е — медиана
и высота равнобедренного AABiDj).
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 1 85
Отрезок FK — расстояние от точки F до плос-
кости ABiDi.
Имеем —FK • ВrE = —EF • ЕВЪ откуда
EFFBl_ 1V2/2	V2/21
Ответ:
7з
К таблице 23
3. Плоскость АВХС представляет собой рав-
нобедренный треугольник, где АВ у = ВГС как
диагонали равных квадратов (все ребра пра-
вильной призмы равны 1 по условию задачи),
тогда B±D — высота и медиана ААВ^С. Соеди-
ним точки В и D. Искомым расстоянием от
точки В до плоскости АВ^С будет расстояние
BE от точки В до прямой BrD. Применяя ме-
тод сравнения площадей к ABjB-D, имеем:
-BrDBE= -BBrBD,
2	2
ВВ, • BD	х/3
откуда BE = ——-----, где ВВ± = 1, BD = —
B.D	2
(находим из ДВВС), B^D = ^BBf +BD2
ь А 21
Тогда ВЕ= МА=А±±
J? 7
К таблице 24
15. Пусть М — точка пересечения
прямых АС и BE. Заметим, что угол меж-
ду прямой BE и плоскостью ACBj равен
углу между прямыми CD и CDr. Так как
ADCDl = 45°, то АКМЕ = AD^CD = ABMN =
= 45°, где BN перпендикуляр, опущенный
из точки В на плоскость ACD, т. е. BN =
= ВМ sin 45°.
1 86 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
В АМВС ЛМСВ = 30°, ВС = 1, тогда МВ = |.
1 х/2
Значит, BN =-
’	2 2
х/2
4 ’
V2
Ответ: —
4
К таблице 25
1. Поскольку все ребра правильной че-
тырехугольной пирамиды MABCD равны 1,
то ММ DC — равносторонний, где точки Е —
центр треугольника, ME = R — радиус опи-
санной окружности.
Так как a = R х/з, где а = DC = 1,7? = ME,
то ME = 1/х/з. Тогда искомым расстоянием
от точки А до плоскости MCD будет длина
перпендикуляра АЕ. Из ААМЕ, где AM = 1,
ME = 1/ х/з, найдем АЕ: АЕ - л/аМ2-МЕ2,
или АЕ =
Ответ: —
3
К таблице 26
3. Поскольку прямая AD || ВС, то AD ||
плоскости МВС, значит, расстояние от точ-
ки А до плоскости МВС равно расстоянию
от точки О до плоскости МВС. Проведем
апофему MN. Так как боковые грани пира-
миды равные равнобедренные треугольни-
ки, то N — середина ВС и ON ± ВС (ON —
радиус вписанной в основание окружности,
N — точка касания). Искомым расстоянием
от точки А до плоскости МВС будет длина
перпендикуляра ОК. Расстояние ОК найдем
методом сравнения площадей прямоуголь-
ного \MON (МО ± ON), где ON = х/з/2.
Длину МО найдем из ДАОМ: АО = АВ = 1, AM = 2, тогда МО =
= л/Гл= х/з.
Из MMON MN = ^MO2+ON2, MN = V3+3/4 = >/15/4 = х/15 /2.
Разлел IV. Решения наиболее трудных задач •» 187
Samon = ymo on== ~mn ’ ок> откуда ОК =
2	2
MN " V15 / 2
Зл/15 х/15
V15	15 ~ 5
Ответ:
15
5
§ 6. Расстояние между двумя прямыми
К таблице 27
15. Поскольку BD || BiD^, АВ^ || DC^
и ADt || ВСг, то плоскость ABiDi || пло-
скости BDCi. Значит, расстояние между
данными скрещивающимися прямыми
равно расстоянию MN между этими
плоскостями, где М и А — точки пере-
сечения диагонали AjC соответственно с
плоскостью AB^Di и плоскостью BDC^.
Итак, длина MN есть расстояние между
данными прямыми АВГ и ВСГ. В ДАМС
AM || ON. Так как О — середина АС и
ON || AM, то, по теореме Фалеса N — се-
редина МС, значит, ON — средняя линия
ДАМС. Аналогично, МО\ — средняя линия ДА^С1, т. е. А^М = MN.
Следовательно, MN = — А]С.
Так как АС = V2, AAi = 1, то из AAjAC АгС = V1 + 2 = \/з, тогда
Ответ: /3.
К таблице 28
9. Поскольку прямая А±В пересекается с пря-
мой ААХ и лежит в плоскости АВВу, параллель-
ной CCi, то искомое расстояние между прямы-
ми CCi и А^В равно расстоянию от прямой CCi
до плоскости АВВ^. В основании призмы прове-
дем высоту CD. Заметим, что CD ± ВВу, так как
BBi ± плоскости АВС. Значит, CD — искомое
188 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
расстояние. В равностороннем &АВС АС = 1, AD = — АВ =—, тогда из
ЛАСЕ CD =
г» >/3
Ответ: —
2
К таблице 29
11. Искомым расстоянием между пря-
мыми АУВ и DrE будет расстояние между
параллельными плоскостями АВВ± и
DEE^, т. е. АЕ (или BD). В i\AFE AF =
= FE = 1, ZAFE = 120°, тогда Z.EFK
= 60°. Из \FEK EK = FE sin 60° =
= 1 . V3 = V?. Зна = 2 • EX’ = 7з.
2	2
Ответ: V3.
К таблице 30
Так как ВС || AD, то ВС || плоскости AMD.
Значит, расстояние между скрещивающи-
мися прямыми AM и ВС равно расстоянию
от прямой ВС до плоскости AMD.
Соединим точки Е и F соответственно
середины ребер AD и ВС. Тогда высота FK
&MEF будет искомым расстоянием.
В /±MEF EF = АВ = 1; ME найдем из ЛАМЕ,
1	/ Г х/з
гдеАЕ = АМ= 1, ME = J1—=—.
2	V 4	2
Высоту МО пирамиды найдем из ЛМОЕ\
q 1 \2	1
МО =	где ОЕ = -EF.
V4 4 2	2
Из сравнения площадей AMEF имеем:— • ME • FK = — • EF • МО,
откуда. FK =
EF-MO 1-42/2
ME ~ V3/2
[2=4б
N3 ~ 3 ‘
л/6
Ответ: —
3
Разлел IV. Решения наиболее трудных задач •» 189
К таблице 31
Проведем высоту МО пирамиды и
диагональ AD основания. Пусть К —
точка пересечения прямой СЕ и AD.
Тогда расстоянием между скрещи-
вающимися прямыми МА и СЕ будет
длина перпендикуляра, опущенного
из точки К на боковое ребро AM. Так
как АВ = OD = 1 и К — середина ОЛ,
1	13
тоОК= -, АК=АО+ОК=1+ - =
2	2 2
Из \АОМ МО = \1аМ2-АО2 = л/4^1=>/3;
из МОК МК = \1МО2+ОК2 = 3 + - = —. Пусть МР = х, АР = у, тогда
V 4	2
х + у = 2. Из ШРК и ЬАРК имеем: РК2 = МК2 - х2 и РК2 = АК2 - у2.
Сравнивая правые части, получим:
13	2^2	221
----х = — у , или xz - у£ = 1.
4	4
[ г2 _ 2 _ -I	5
Решая систему уравнений р _о ’ находим х = —, тогда искомое
|х + 1/-2	4
v I л л-г^-2	2	(13 25	V27 3\/з
расстояние РК = \1МК -х =-------------= -------=-----.
V 4 16	4	4
„ Зч/З
Ответ:-----
4
§ 7.	Плошади сечений многогранников
К таблице 32
14. Сечение представляет собой
шестиугольник EMPFNK, стороны
которого соответственно параллельны
(построение и доказательство выпол-
нить самостоятельно).
По условию ребро куба равно 1 и AM =
4	1
= 0,8 = —, тогда МВ = —. Пусть S —
5	5
площадь сечения. Соединим точки Е и
F. Так как EvlF — соответственно сере-
дины ААг и СС^, то EF II АС и EF = АС.
190 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Из ААВС АС = л/2, значит, EF = V2. Так как АХК = АМ = —, то KD{ =
5
1/ \ 2	/ \ 2
= DrN = i. Из AKDtN KN = . | -| + |1| = -^2, KE = NF - ЕМ = PF,
5	Ы 5
т. е. трапеция EKNF — равнобедренная, тогда
KN + EF
<8 = 2- SEKNF = 2 •----- • KL = (KN + EF) • KL, где KL — высота тра-
\2 (4 \2 /ой
пеции. Из ЬКАГЕ КЕ= . - + - =^-. Из &KEL KL= у]кЕ2-ЕЬ2.
Ы ю
гт ГГ	2^2	Г39 8~ V57
Но EL = — (EF — KN) = -, тогда KL = J------=----.
2	5	N100 25 10
Значит, В =
Уб7
10
6V2-V57 Зл/114
510	25
_	Зл/114
Ответ:-------
25
К таблице 33
4. Так как AAi ± (ABCD), то ААГ ± АЕ,
значит, четырехугольник АА^Е^ — пря-
моугольник, где AAl = 1. Длину АЕ най-
дем из прямоугольного ЛАВЕ, где АВ = 2,
BE = -ВС = ~, тогда АЕ = у1аВ2+ВЕ2,
2	2
или АЕ =
17
2
<17
Значит, =АА^АЕ= —
Ответ:
К таблице 34
5. Сечение, проходящее через данные точки А1? В^ и D, представляет
собой равнобедренную трапецию (доказать самостоятельно), где AiB^ = 1,
DE = — (средняя линия ДАВС).
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 191
Боковую сторону AXD найдем из прямоуголь-
ного ДАрА-О, где AAj = 1, AD = —, тогда A^D =
Из вершины D опустим на основание AjBj вы-
соту трапеции тогда
1(14)4.
Из AAiPiZ) РР1 =
5 1 J19
4 16 “ 4
Следовательно, Sce4 = —(DE + A^j) • DDly или
3 -У19 3-J19
4 4	16 '
гч Зл/19
Ответ:------
16
К таблице 35
6. Сечение, проходящее через точки F,
С и Dlf представляет собой равнобедрен-
ную трапецию (доказать самостоятельно).
See,. = |(fc + £1В1) ' Е1М, где FC =
= 2АВ = 2; EjDj = 1.
Высоту трапеции Е±М найдем из
AEiFM; FM = |(FC -F\DJ =
Из ^FEEr, где FE = 1, ЕЕг = 1, FEr =
= Vl2+12 = V2, тогда ЕгМ = ^E^-MF2 =
следовательно,
So«. = 4(2 + 1)
Л	л
3 л/7=зТ7
2 2	4
Ответ:
Зл/7
1 92 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
К таблице 36
4. Так как по условию тетраэдр еди-
ничный, а точки D и Е соответственно
середины ребер АВ и ВС, то сечение
MDE — равнобедренный треугольник,
тогда Sce4 = — DE • МК, где DE =
2
= —АС = — — средняя линия ААВС,
МК — высота сечения.
Из ШВК МК = \Imd2-dk2,
DK = —DE = —, MD = у] AM2-AD2 =
2	4
Тогда Sce4
1 1 Vii Vii
2 2 4 " 16 '
„ Vll
Ответ: ----
16
К таблице 37
4. По условию все ребра правильной
пирамиды равны 1. Так как Е, F и Р —
середины соответственно ребер AD, ВС
иМС, тоEF = АВ = 1,КР = —DC= - —
2	2
средняя линия &MDC, аналогично КЕ =
= PF = — МА = А‘.
2	2
Следовательно, сечение, проходящее
через данные точки, — равнобедренная
трапеция. Проведем высоту трапеции
PL,TorflaLF=i(EF-7CP)=i[l-^ = i;
из APLF PL = y]PF2-LF2
|_1_J_ = ч/З
4 16 " 4 ’
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 193
Значит, 8сеч == — (EF + KP)-PL =	+	=
2	2V 2) 4	16
~ зТз
Ответ:-----.
16
К таблице 38
10. Сечение многогранника, проходящее через точки А, В и D3, пред-
ставляет многоугольник AEiE2D3C3F2FiB. Соединив точки Е2 и F2, Е2 и
М, F2 и N, видим, что многоугольник состоит из четырех равных пря-
моугольников.
Значит, S = 4-S^^
SAFFM = AM  АЕЪ где AM = -АВ = - -6 = 2.
Из AAAi-Ei, гдеЛАх ААг = 2,	= iArDi = —AD = 3, найдем
2	2
AEr = V4 + 9 = V13, значит, SAFFM=2jl3t S= 4-2л/1з=8л/13.
Ответ: 8\/13.
1 94 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
§ 8. Плошали поверхностей врашения
плоских фигур
К таблице 39
4. Рассмотрим осевое сечение тела вращения. Так как квадрат еди-
ничный, то a = Н = 1, то S = 2tlR(R + Н) = 2л • 2 • (2 + 1) = 12л.
Ответ: 12л.
К таблице 40
2. При вращении прямоугольника
ABCD вокруг прямой, проходящей
через середины АВ и CD, образуется
цилиндр, у которого R = 1 и высота
Н = 1, тогда <$полн. = 2лЯ(В + Я) =
= 2л • 1 • (1 + 1) = 4л.
Ответ: 4л.
К таблице 41
4. Рассмотрим осевое сечение тела
вращения, полученного вращением пря-
моугольного ДАВС вокруг прямой, содер-
жащей гипотенузу АВ. При вращении
образуются два конуса с общим основа-
нием.
Тогда S = SAc(\ +&вссх + яЯ/2 =
= nR(li + Z2), гДе G = 2, l2 = 1.
Из ААВС АВ = ^+1% =y/b.
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 195
^авс = —АВ • ОС == — li • Z2, откуда ОС = R = или R = ^=1 = -^=г,
2	2	АВ	V5 V5
тогда В = л •	• (2 + 1) = ДД-.
л/ 5	у/ 5
хч	6л
Ответ:
V5
К таблице 42
6. При вращении равносторонне-
го треугольника вокруг прямой АВ
образуются два равных конуса CBCi
и CACi с общим основанием.
Тогда S = 2SCBCj = 2 • л-RZ, где
1 = 1,ВО = i, R = Jl--=—.
2 V 4	2
а/3
Значит, В = 2 • л • — • 1 = л/Зл.
2
Ответ: у/Зп.
К таблице 43
3. При вращении ромба ABCD со сторона-
ми, равными 1, образуются два равных кону-
са с общим основанием.
Тогда S = 2Sbad = 2лВ/, где I = АВ = 1, R =
= ВО = (AABD — равносторонний, так как
ZA = 60° и ZABD = ZADC = 60°).
Значит, В = 2л • — • 1 = л.
2
Ответ: л.
К таблице 44
3. При вращении четверти кру-
га радиуса 1 вокруг прямой ОВ об-
разуется полушар. Площадь по-
верхности полушара будет равна
S = А • 4лВ2 + nR2 = Зл-R2. Так как
2
R = 1, то В = Зл.
Ответ: Зл.
1 96 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
К таблице 45
1 (см. рис. к табл. 52, № 2).
При вращении правильного шестиугольника со стороной, равной 1,
вокруг оси, проходящей через его вершину С перпендикулярно радиусу,
проведенному в эту вершину, получим два равных усеченных конуса с
общим основанием и два «пустых» конуса.
Следовательно, 8 = 2(л/(Д + г) - лгу/) = 2nl(R + г - Гу), где I = EF = 1;
Q	1
R = ЕС = 2; г = ЕМ = -; Гу = DM = -, тогда
2	2
( q i \
8 = 2л • 1 • 2 +--= 2л • 3 = 6л.
12 2;
Ответ: 6л.
К таблице 46
1. Заметим, что ADOC = ЭСМВ
и kAOD = &ABN. Равные тре-
угольники имеют равные площа-
ди, следовательно, квадрат ABCD
можно заменить прямоугольни-
Dx ком ACMN. Тогда при вращении
прямоугольника ACMN получим
цилиндр с осевым сечением
АССуАу. Значит, Ут в = nR2H, где
R = OB - Д, Н = 2R = Д.
V2	V2
Ответ:
у2
К таблице 47
ci	4. При вращении пря-
\	моугольника ABCD вокруг
\	прямой, перпендикулярной
\	диагонали BD, проведенной
" '	\	через точку В, получим два
усеченных конуса с общим
г/	основанием и два «пустых»
конуса с основаниями ССу
и А4у. Введем обозначения,
показанные на рисунке.
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 197
Высоту Н найдем из соотношения: — CD • СВ = —BD • Н, или 1 • 2 = R • Н.
Но R = у]CD2 + ВС2	тогда Н = г = ^22-Н2
Следовательно, искомый объем будет равен:
VT.B. = Vcdb - VCBCi + VADB -	+ r2 + Rr) -	+
О	о
+ —(В2 +r2 + Rrr) - -7ir2H = — (2R2 + r2 + r2 + R • r + R • rr - r2 -
3	3	3
2 ч лП R z л	,
-T) = —— ’ (2Я + r + n).
Подставляя числовые значения, находим:
Итв =	2 .75.(275+-^ + -^ = — -(гТб + Тб) = —-з75=2п75.
3 75 I Тб 75)	3	3
Ответ: 2л>/5.
К таблице 48
6. При вращении прямоуголь-
ного ДАВС вокруг внешней оси,
параллельной большему катету и
отстоящему от него на 3, получим
усеченный конус и «пустой» ци-
линдр.
Тогда Vj.b, ^ус.к. -^цил.» или
VT.B. = — (R2 + г2 + Rr) - пг2Н =
3
= ^-{R2 - 2r2 + Rr)y где Н = 12,
В г Вх
-Н=5 + 3 = 8, г = 3. Следовательно,
7Т.В. = 4л • (64 - 18 + 24) = 280л.
Ответ: 280л.
К таблице 49
7. Рассмотрим осевое сечение тела вращения. Оно состоит из усечен-
ного конуса АВВ^А-х и конуса СВВг.
198 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Пусть ВМ = г, АС = R, МС = Н, тогда
—
VT в = Vvc к - ик = — (R2 + г2 + Rr) -
X  D •	у V • iv •	XV •	V	J
- — nr2H =	(R2 + г2 + Rr - г2) =
3	3
uHR . п	.
(R + г), или
т.в.
л-Уз/2-1 Г 1
3	1 +2
3
лл/З 3 _ лл/З
Тз~ 2~^Г'
Ответ:
К таблице 50
6. DC = R = 1,AD = H = 2, h = 1,ЯиН
соответственно радиус и высота цилинд-
ра, h — высота конуса.
Следовательно, VT B. = Уцил. - VK0H. =
= nR2H - -TiR2h = -nR2(3H - h), или
3	3
Tz 1 c 5л
в = — л • 1 • 5 = —.
тв- 3	3
„ 5л
Ответ: —.
3
К таблице 51
4. При вращении ромба со сторонами, равными 1, и острым углом в
60° вокруг оси, проведенному через вершину С, перпендикулярно сто-
Разлел IV. Решения наиболее трулных залач •» 1 99
роне DC, образуются усеченный конус AD-DpAj и конус ВСВр Пусть в
усеченном конусе R = АО = 1 + r1? г = DC = 1, СО = DE = Н, а в конусе
ВСВХ ВО = гь тогда объем тела вращения будет равен:
VT.„. = Vyo.K. - VK. = ^(Л2 + г2 + Яг) -	= ^((1 + n)2 + 1 +
+ (l + n)-l-г.Ъ-лНа + П).
Заметим, что в ЛА1)Е EADE — 30°, тогда АЕ = ВО = DE = СО = Н =
2
= а/AD2 - АЕ2 = |1 — — =—. Значит, Утв = л- —+	=
V 4	2	2 V 2)	4
~ За/Зл
Ответ:-----.
4
К таблице 52
2. Рассмотрим осевое сече-
ние тела вращения. Проведем
прямую FF±. При вращении
правильного шестиугольника со
стороной, равной 1, вокруг оси,
проходящей через его вершину
С перпендикулярно радиусу,
проведенному в эту вершину,
получим два равных усеченных
конуса с общим основанием и
два «пустых» конуса. Следова-
тельно, объем тела вращения буд<
Пусть FC = R, ЕМ = г, DM =
гг равен: VT.B. = 2(Vyc K> - VK).
MN = H, MC = —H, тогда VT.B. =
2
= 2f—(R2 +Rr + r2)--пг2-н] = ^^(R2 + Rr + r2- -r2).
v 3	3	2 )	3	2 1
14	1	r-
Ho R = FC = 2, r = 1 + - = -, fi = -, H = MN = BD = V3, значит,
2 2	2
9_ П = 2>/Зл 73 73>/3л
4 8 J 3	8 " 12
73а/Зл
Ответ:------.
12
200 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
К таблице 53
2. При вращении многоугольни-
ка ABCDEF, составленного из трех
единичных квадратов, образуются
два цилиндра с радиусами оснований
соответственно 2 и 1 и высотой 1.
Пусть АВ = R = 2;DC = r=l,H=l,
тогда Ут.в. = Vi + V2 = nR2H + nr2H =
= tiH(R2 + г2), или
Ут.в. = л • 1 • (22 + l2) = 5л.
Ответ: 5л.
К таблице 54
2. При вращении полукруга радиу-
са 1 вокруг прямой ОА ± MN образуется
полушар, ограниченный снизу кругом.
14	2
Тогда VT в =---л/?3 + tiR2 = — nR3 +
2 3	3
, d2 2 . 5я
+ П/Г = — л + л = —.
3	3
5^
Ответ: —
3
§ 9. Объемы тел вращения многогранников
К таблице 55
2. Повернем куб так, как показано на
рисунке. При вращении единичного куба
вокруг прямой, проходящей через цент-
ры граней ADD]Ai и ВСС^В^, получим
цилиндр радиуса R = — ВС = -^= и высо-
2	\ 2
той Н = 1, тогда VT в = Уцил. = tiR2H =
я
Ответ: —.
2
л
?
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 201
К таблице 56
2. При вращении правильной призмы,
все ребра которой равны 1, вокруг пря-
мой, проходящей через центры основа-
ний, получим цилиндр, у которого высота
Н = 1, радиус основания R =	=
л/3 л/ 3
тогда VT.B. = Тцил.
tiR2H = л • - • 1 =
3	3
Опгвепг: —
3
К таблице 57
2. При вращении правильной че-
тырехугольной пирамиды MABCD,
все ребра которой равны 1, вокруг
прямой АС, образуются два равных
конуса радиуса ОС = R и высоты
МО = Ъ1.
Тогда VT B. - 2УКО„. - 2 	=
О
9	1	1 г- х/2
= -nR2H, rp,eR= —AC — -V2=—.
3	2	2	2
Высоту H найдем из прямоуголь-
. ного &АОМ, где AM = 1, тогда
Следовательно,
х/2л
2	1у2
— л---
3 2 2
„	>/2л
Ответ:-----
6
К таблице 58
1. При вращении правильного шестиугольника MABCDEF вокруг
прямой, содержащей высоту МО, получим конус, у которого радиус ос-
нования АО = R, а высота МО = Н. Тогда VT в = VKOH = ^лВ2Н.
По условию АВ =1 — сторона основания, AM = 2 — длина бокового
ребра. Известно, что в правильном шестиугольнике АВ = a = R = АО = 1;
202 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
из АДОМ найдем МО = Н= у] AM2 - АО2,
или И = л/22 -I2 =л/3, тогда
>/Зл
Ответ:-----
3
К таблице 59
2. Тело,полученное вращением мно-
гогранника вокруг прямой АА2, состоит
из двух цилиндров, у которых радиусы
оснований равны и R2, а высоты рав-
ны AiB2 = CCj = Н = 2.
Тогда VT.B. = Vi + V2 - nR?H + itR%H = лНС^+К2). Из АА2В2С2, где
А2В2 = 2, В2С2 = ВС - 4, имеем R\ = л?22 +42 = V20 = 2л/б. Аналогично из
ААВС R2 = >/42 +42 - 4>/2. Значит, Ит в. = л • 2 • (20 + 32) = 104л.
Ответ: 104л.
Разлел IV. Решения наиболее трудных задач •» 203
§10. Многогранники
К таблице 60
13. Пусть a — ребро куба, b — сторона шестиугольника, тогда b = ~^=.
л/2
По условию площадь шестиугольника равна 8 = 1. С другой стороны,
с, Зу/З ,2	Зу/З ,2 1	Зу/з Л2 1 о ГТ 2 А 2	4
S = -----Ь, значит,-----Ъ =1, или---------= 1, Зу/За = 4, а =—?=.
2	2	2	2	Зу!з
п	с л 2	8 Зу/З
Следовательно, 8полн. = oaz = —j= =----
yj3 3
„	8^3
Ответ:-----
3
К таблице 61
15. Из точки А опустим перпендику-
ляр АЕ на продолжение CjDj и соединим
точки Е и F, где EF || D^D и EF = DyD =
= А1А = 8.
Поскольку D±D ± (ADC), то EF 1 (ACD),
значит, AF — проекция АЕ на плоскость
основания.
Так как D^C^ || DC, то АЕ ± CD, следо-
вательно, AF ± CD (согласно теореме о
трех перпендикулярах).
Из AADF, где AADF = ABAD = 60°,
AF = 4V3 sin 60°= ±у[3-у[з/2 =6;
из AAEF АЕ = \lAF2 + FE2, или
АЕ = л/б2+82 = 10.
Ответ: 10.
К таблице 62
5. Пусть ADB — секущая плоскость; проведем СЕ ± АВ, тогда
DE ± АВ, ADEC = 30°. Пусть АВ = а — сторона основания.
1	х/Я	х/Я
В АСВВ BE = -а, ВС = а, тогда СЕ = —а, CD = — a tg 30° =
2	2	2
у!з 1
—a—j=
2	у}з
а
2*
204 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах лля полготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
Aj	Cj	По условию объем пирамиды DABC
Ответ: 2^3.
К таблице 63
7. Проведем диагонали АС и BD основа-
ния. Пусть О — точка пересечения. Заметим,
что АО — перпендикуляр, опущенный из точ-
ки А на плоскость BDDr. Тогда ЛАВ^О есть
угол между прямой АВ± и плоскостью BDDr.
В прямоугольном AABiO АО = -ir =	= >/2,
V2 72
АВ! = ^AB2+BBf, или ABi = л/22+42 =2>/5,
тогда sin zL4BjO =
АО _ V2 _ V10
АВХ ~ 2^5 " 10 ’
откуда
Ответ:
Vio
ю *
ZABiO = arcsin
vio
ю ’
К таблице 64
8. Пусть АВ = AAi = а, тогда AD = 2а,
так как в правильном шестиугольнике
a = R = АО, AD = 2R = 2а.
Из AADi-D, где ADi = 1, имеем:
AD2 + D^D2 = 1, или 4а2 + а2 = 1,
1
a =
х/5
q _ с . q _ д . a Vs _ Зл/За
*^осн. и ’ ^ЛАОВ U '	—
4	2
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 205
П	Л TZ О тт тт 3<3(Г	3<3 з
Следовательно, объем V = 8ОСН> • Н, или V =--------а =----а =
2	2
Зл/з 1 _ Зл/з = Зл/15
2 (л/5)3-2 5>/5	50
3V15
50
К таблице 65
12. Из точки С проведем пер-
пендикуляр CN к DE. Из точки
N опустим перпендикуляр NF
на плоскость основания. СК —
медиана, биссектриса и высота
ЛАВ С. NF 1 DE и CN ± DE, зна-
чит, Z.NCF — линейный угол
между плоскостями CDE и АВС.
В ЬАВС ВС = ОС- >?3,
ОС= ДВ = 4>/3.
7з
Из АМОС МО = 7182-(473)2
= V324-48 = л/276=2л/69.
NF - — МО = 4б9 — средняя ли-
ния ЛКОМ. Из АСКВ, где ВС = 12, ВК = 6, КС = V144-36 = Л08 = бТз.
5	г-
Так как СО = 2 • ОК и OF - FK, то FC - -КС = 5у/3.
6
п	+	NF V 69	V 23
Следовательно, tg Z.NCF = ---= —-j= = ----, откуда
FC 5>/3	5
ANCF = arctg
л/23
Ответ: arctg—g—
206 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
К таблице 66
м
3. Пусть АВ = a — ребро правиль-
ного тетраэдра, тогда из ДСВВ, где
ВС = a, BD = -, CD = Прове-
2	2
дем высоту МО тетраэдра. Проведем
EF 1 пл. АВС, ВС = ОСу/З, откуда
ос =
V3
Из АМОС МО = x/МС2-ОС2
2 а2 ауб „
a-----=----. Согласно условию
3	3
__ 2ТТ	2 ___	2 ауб 2ауб
задачи VEABC= -VMABC, тогда EF = -МО =
5	5	5	3	15
Так как AEFC ~ АМОС (как прямоугольные, имеющие общий острый
EF FC FC 2	™ 2	2 a 2a
угол С), то --=---, или  = —, откуда FC =—OC =--------т= = —?=•;
МО ОС ОС 5	5	5 уЗ 5уЗ
DF = DC - FC =
ауЗ 2a _ 11а
2 бТз'Юл/з’
EF
Искомый угол между плоскостями найдем из ADEF'. tgoc =-, где
DF
а = ZEDF;
ж 2а>/б 11а	2а>/б10>/3 4л/2
tga =----:----=-------------=----
15 Ю>/3	1511а	11
Ответ:
4у2
11
м
К таблице 67
7. Так как ААВС — прямо-
угольный, то точка О — середина
гипотенузы АВ.
По условию ZCAB = 30°,
л/з
АВ = 1, тогда АС = —^~.
В
^пир. = “£ОСн. • МО, где МО —
О
высота пирамиды.
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 207
1	1 х/Ч 1 х/ч
£осн	1 АС • АВ	• sin 30° =	— ZZ.l- = —.
ос •	2	2 2 2 8
Так как ZMAO = 45°, то АО = МО = -АВ = -.
2	2
Следовательно, У1!ир.
1 Уз 1 = Уз
3 8 2 ~ 48
х/3
Ответ: —
48
К таблице 68
3. Так как пирамидаАВСАуВхСх —
правильная, то АО
А.
А Уз’
Д О =-т=г. Из вершины Ai опустим
Уз
перпендикуляр AyD на основание
АВС.
Тогда AD = АО - OD = АО - A^i =
= _2___L = JL
у/з Уз ~ Уз*
Из AADAt AyD = AD • tg 60° =
1 к .
= —7= -5/3=1, тогда
Уз
2
Тз) 7^3
2 ) 12 ’
Ответ:
7у[з
12 *
К таблице 69
16. Пусть в правильной пирамиде MABCD ОЕ = Уз, ОК = у/2, где
ОЕ — расстояние от центра основания до боковго ребра AM и ОК — рас-
стояние от точки О до боковой грани МВС. /.MFO = a — двугранный
угол при основании пирамиды. Заметим, что Z.MFO = Z.MOK — а,
ZMAO = ZMOE = р.
у/2	у/2
Из КМКО и &OKF соответственно имеем: МО =------------; ОК =------. Из
cos а	sin а
АМЕО и ААОЕ соответственно находим: МО =
АО =
COS0
Уз
sinp
208 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
„ V2 V3 V2 V3
Значит, -----=--- и------= —т=---
cos a cosp sin а V2sinp
Следовательно, cos<x =
V2-\/2sinp 2sinp
sm а = -----------= —7=^-.
V3 V3
Ho sin2 а + cos2 а = 1, тогда
(V2)2cos2p	2 • (V2)2 sin2 p	,
(V^)2	(V^)2 ,или
2cos2p 4sin2p _
3	+	3	"
2 cos2 p + 4(1 - cos2 p) = 3, 2 cos2 p = 1, cosp = -i.
v 2
V2 1	1
Тогда cos a = cos p = -y=, откуда a = arccos -j==.
Ответ: arccos-^.
V3
К таблице 70
2. Пусть боковые грани MDC и
ADM перпендикулярны плоско-
сти ABCD. В этом случае MD —
высота пирамиды. По условию
задачи ABCD — прямоуголь-
ник, тогда МС 1 СВ и МА ± АВ,
ZMCD = 30°, ZMAD - 60°.
Пусть AD = х, DC = у, тогда из
\ADM MD = х tg 60° = л/З х, а из
AM DC MD = у tg 30° = у/73.
Сравнивая правые части полу-
ченных равенств, получим >/Зх = г/ / >/3, откуда у = Зх.
Так как объем пирамиды V = 9, то V = — S0CH • Н, где S0CH. = AD • DC =
3
= ху, Н = MD, или — ху • Н = 9, ху • Н = 27, у = Зх, Н = л/з х, тогда
3
Г~	9 г~ г~	г~	г~
х • Зх • л/3 х = 27, или х3 = —т= = 3л/3 =(л/3)3, откуда х = уЗ, у = 3 V3.
Разлел IV. Решения наиболее трудных задач •» 209
Значит, Восн = ху = у/З -Зх/з = 9.
Ответ: 9.
К таблице 71
7. В правильной усеченной че-
тырехугольной пирамиде АВ = 2,
~ 1, «бок — ^«полн’
Но 8ПОЛН «бок + «н "l- «в» где
SH — площадь нижнего основания,
SB — верхнего. SH = АВ2 = 4, SB =
=	= i.
Значит, Вбок =
-(«бок + 5), или
&
2«бок «бок ОТКуДа «'бок
Но Вбок = |(РН + Л) • Л, где Рн =
&
= 4АВ = 8; Рв = 4АгВ = 4, h = МЕХ — апофема (высота боковой грани).
1	5
Получим — (8 + 4) • h = 5, 671 = 5, h = —. Проведем Е±Е ± ОМ. Из ГхЕ^ЕМ,
2	6
где ЕМ = ОМ - ЕО = ОМ - О]ЕХ = — (АВ - AXBJ = —, найдем ЕЕГ =
2	2
Следовательно, Vyc пир
= AsH + sB+ 7s„sB) =
О
= i -(4+ 1 + V44) =—.
3 3	9
i4
Ответ: —
9
К таблице 72
5. Пусть АВ = х — сторона основания. Так как в основании пирамиды
правильный шестиугольник, то х == R = ОС, где R — радиус описанной
окружности.
210 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
В \ОКС КС = -х, тогда ОК =
2
По условию 8бок = 10 • 80СН.
Но 8бок = — Р • h, где Р - 6АВ =
2
= 6х, h = МК — апофема боковой
грани.
х2Уз
4
зТз 2
~ х , тогда
• 6х • h = 10 •
зТз 2
----X
2
0, ЗЛ = 15 л/Зх, откуда h = МК = 5 л/Зх.
Из шок мо = н = х1мк2-ок2
297
----х =
2	2
Soch = 6 •
1
2
Л	9л/11	1 о „	9л/11
По условию задачи объем V =-------, или — 8ОСН ♦ Н = ----, или
4	3	4
1
3
Зл/з 2 зТзЗ 9л/11 ч ,
—— х —-—х = —-- , или х6 = 1, откуда х = 1.
Ответ: 1.
К таблице 73
8. По свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда имеем:
d2 = a2 + b2 + с2, где d = BXD2, a = BXCX =A2D2 = 1, Л - AB = 6, c = C2D2 =
= 2, тогда d2 = l2 + 62 + 22 = 41.
Ответ: 41.
§11. Фигуры врашения
К таблице 74
11. Так как цилиндр и конус имеют общее основание и высоту, то
^кон. = “ nR2H. По условию задачи Ицил = 150, или tiR2H = 150, тогда
3
^кон. = | • 150 = 50.
Ответ: 50.
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 211
К таблице 75
6. Пусть R — радиус основания конуса, Н — высота. По условию,
образующая / = 4^9/л, VKOH = —nR2H. Зная угол между образующей
3
конуса и плоскостью основания, имеем:
Н = I  sin 30°= 4з/9/я-| = 2^9Тл;
R = I • cos 30° =4^9?л — = 2>/3
2
Значит, VKoa =	(2^3 )2-(^э/л)2-2^Тп = in 12 2 - = 72.
3	3 л
Ответ: 72.
К таблице 76
6. Рассмотрим осевое сечение усе-
ченного конуса — равнобедренную
трапецию ABCD, где АО = R, DO± = г,
ООг = DE = Н, соответственно радиу-
сы верхнего и нижнего оснований и
высота. По условии задачи г : R : I =
= 1:4:5, где I — образующая усе-
ченного конуса.
Пусть г = х, тогда R = 4х, I = 5х.
Так как DE = 8, то из AADE (5х)2 -
- (4х - х)2 = 82, или 16х2 = 64; х = 2.
Значит, г = 2, R = 8,1 = 10, следовательно,
8бок. = Til(R + г) = л • 10 • (8 + 2) = 100л.
Ответ: 100л.
К таблице 77
5. Рассмотрим осевое сечение шара и
вписанного в него конуса. Пусть R = 5 — ра-
диус шара, г = 4 — радиус основания кону-
са. Пусть CD = Н — высота конуса. Заме-
тим, что АО = СО =5 — как радиусы шара.
Из ААОО OD = л/б2-42 = 3.
Значит, CD = СО + OD = 8.
Ответ: 8.
212 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10—11 классы
К таблице 78
3. Рассмотрим осевое сечение тела
вращения. Из ДАВС ВС = АВ • cos 60° =
1	/ч
= АС - АВ • sin 60° = —.
2	2
По условию I — биссектриса прямого
угла ВСВХ, значит, BD = DC = х —
= ВС АВ cos 60° = 11/2	1
42 ~	л/2	42 ”2х/2’
. „	„„ AC АВ sin 60°
АЕ = СЕ = у =	= ——-.=---
42	42
1-Уз/2_ Уз
42 ~ 242'
Следовательно, VT в
= ^ус.к. - Увсв, - VACA, =|л(х + у)(х2 + Ху + у2) ~
^х3+^у3 г|л(х + У^х2 + ХУ + У2)-	+ У**2 - ху + У2) =
2тс	тс • 1^
= — ху(х + у) = - sin 120° • sin 105°.
/з
Но sin 120° = sin (90° + 30°) = cos 30° sin 105° = sin (60° + 45°) =
2
= sin 60° • cos 45° + cos 60° • sin 45° = — . — + — • —= —(4з +1).
2	2	2 2	4
Значит, VTB = — • —(Уз+1) = -^^-(Уз+1).
6 2 4	48
Ответ:	(Уз +1).
48
К таблице 79
2. Пусть a = 2 У? / л
и b = 2 У1 /7л соответственно длина и ширина
прямоугольника. При вращении его вокруг прямой, проходящей через
середины больших сторон, получим цилиндрическую поверхность.
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач •» 213
Тогда 8ПОЛН = 2nR{R + И), где R = —а = у/7/п, НЬ- 2^/1/771, зна-
2
чит, Sno4H = 2л • ^/7/я(>/7/ л +2у]1/7п) = 2л- — + 4л	- 14 + 4 = 18.
л л
Ответ: 18.
К таблице 80
6. Рассмотрим осевое сечение тела вращения, полученного вращени-
ем равнобедренной трапеции ABCD с острым углом в 45° вокруг боковой
стороны ВС, длина которой равна DC. Так как ZA = 45°, то Z.CDE = 45°,
тогда DE = СЕ = г.
По условию AD = DC = СВ = 6.
Тогда VT B. = Ущ - VDCDi; в ADEC DE = CE =
Д=з>/2.
V2
о
= -ti(AD + DE)2 - BE = —л(6 + 3>/2)2 (6 + 3>/2) = ^л 9(2 + V2)2-3(2 + V2) =
3	3	3
= 9л(2 + >/2)3 = 9л(8 + 12>/2+12 + 2>/2) =9л(20 + 14>/2) - 18л (10+ 7^2);
 DEZ  СЕ -	-
О	О	о
= ^л(3>/2)3 =i л • 27 • 2>/2 =18>/2л.
3	3
Значит, Рт в = 18л(10 + 7>/2)-18>/2л =
= 18л(10 + 7>/2->/2) = 18л • (10 + 6V2) = 36л(5 + 3>/2).
Ответ: 36л(5 + 3>/2).
ЛИТЕРАТУРА
Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразова-
тельных учреждений. — М.: Просвещение, 2011.
Балаян Э.Н. Геометрия: задачи на готовых чертежах. 7-9 классы. —
4-е изд. — Ростов н/Д: Феникс, 2013.
Балаян Э.Н. Репетитор по геометрии для подготовки к ГИА и ЕГЭ. —
Ростов н/Д: Феникс, 2012.
Рыбкин Н. Сборник задач по геометрии. Стереометрия для 9 и 10
классов. — М.: Просвещение, 1972.
Смирнова И.М., Смирнов В А. Геометрия. Эффективная подготовка к
ЕГЭ. — М.: Экзамен, 2008.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................................3
Раздел I. Краткие теоретические сведения по курсу стереометрии
X—XI классов....................................................... 5
Раздел II. Задачи в таблицах..........................................14
§ 1. Угол между двумя прямыми......................................14
Таблица 1. Куб..................................................14
Таблица 2. Правильная треугольная призма........................18
Таблица 3. Правильная шестиугольная призма......................20
Таблица 4. Правильный тетраэдр..................................25
Таблица 5. Правильная четырехугольная пирамида..................26
Таблица 6. Правильная шестиугольная пирамида....................27
§ 2. Угол между прямой и плоскостью................................28
Таблица 7. Куб..................................................28
Таблица 8. Правильная треугольная призма........................31
Таблица 9. Правильная шестиугольная призма......................32
Таблица 10. Правильный тетраэдр.................................35
Таблица 11. Правильная четырехугольная пирамида.................36
Таблица 12. Правильная шестиугольная пирамида...................37
§ 3. Угол между двумя плоскостями..................................38
Таблица 13. Куб.................................................38
Таблица 14. Правильная треугольная призма.......................41
Таблица 15. Правильная шестиугольная призма.....................42
Таблица 16. Правильная четырехугольная пирамида.................45
Таблица 17. Правильная шестиугольная пирамида...................46
§ 4. Расстояние от точки До плоскости..............................47
Таблица 18. Куб.................................................47
Таблица 19. Правильная треугольная призма.......................50
Таблица 20. Правильная шестиугольная призма.....................52
Таблица 21. Правильная шестиугольная пирамида...................57
§ 5. Расстояние от точки до плоскости..............................59
Таблица 22. Куб.................................................59
Таблица 23. Правильная треугольная призма.......................62
Таблица 24. Правильная шестиугольная призма.................... 64
216 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы
Таблица 25. Правильная четырехугольная пирамида..................67
Таблица 26. Правильная шестиугольная пирамида....................68
§ 6.	Расстояние между двумя прямыми.................................69
Таблица 27. Куб..................................................69
Таблица 28. Правильная треугольная призма........................72
Таблица 29. Правильная шестиугольная’призма......................74
Таблица 30. Правильная четырехугольная пирамида..................77
Таблица 31. Правильная шестиугольная пирамида....................78
§ 7.	Площади сечений многогранников.................................79
Таблица 32. Куб..................................................79
Таблица 33. Прямоугольный параллелепипед.........................82
Таблица 34. Правильная треугольная призма........................83
Таблица 35. Правильная шестиугольная призма......................84
Таблица 36. Правильный тетраэдр..................................85
Таблица 37. Правильная четырехугольная пирамида..................86
Таблица 38. Многогранники........................................87
§ 8.	Площади поверхностей вращения плоских фигур....................89
Таблица 39. Квадрат..............................................89
Таблица 40. Прямоугольник........................................90
Таблица 41. Прямоугольный треугольник............................91
Таблица 42. Равнобедренный треугольник...........................92
Таблица 43. Ромб.................................................93
Таблица 44. Круг и его части.....................................94
Таблица 45. Правильный шестиугольник.............................95
§ 9.	Объемы тел вращения плоских фигур..............................96
Таблица 46. Квадрат..............................................96
Таблица 47. Прямоугольник........................................97
Таблица 48. Прямоугольный треугольник............................98
Таблица 49. Равнобедренный треугольник......................... 100
Таблица 50. Трапеция........................................... 102
Таблица 51. Ромб............................................... 103
Таблица 52. Правильный шестиугольник........................... 104
Таблица 53. Многоугольник...................................... 104
Таблица 54. Круг и его части .................................. 105
§ 10.	Объемы тел вращения многогранников...........................106
Таблица 55. Куб.................'.............................. 106
Таблица 56. Правильная треугольная призма...................... 106
Таблица 57. Правильная четырехугольная пирамида................ 107
Таблица 58. Правильная шестиугольная пирамида.................. 107
Таблица 59. Многогранники...................................... 108
Разлел III. Разные залачи •» 217
Раздел III. Разные задачи..........................................109
§ 11.	Многогранники.............................................109
Таблица 60. Куб............................................. 109
Таблица 61. Прямоугольный и прямой параллелепипеды.......... 112
Таблица 62. Правильная и прямая треугольная призмы.......... 115
Таблица 63. Правильная четырехугольная призма............... 119
Таблица 64. Правильная шестиугольная призма................. 121
Таблица 65. Правильная треугольная пирамида................. 123
Таблица 66. Правильный тетраэдр............................. 129
Таблица 67. Треугольная пирамида............................ 130
Таблица 68. Треугольная усеченная пирамида.................. 132
Таблица 69. Правильная четырёхугольная пирамида............. 133
Таблица 70. Четырехугольная пирамида........................ 137
Таблица 71. Правильная четырехугольная усеченная пирамида... 138
Таблица 72. Правильная шестиугольная пирамида............... 140
Таблица 73. Многогранники............’...................... 142
§ 12.	Фигуры вращения...........................................144
Таблица 74. Цилиндр......................................... 144
Таблица 75. Конус........................................... 147
Таблица 76. Усеченный конус................................. 151
Таблица 77. Шар............................................. 153
Таблица 78. Треугольник..................................... 155
Таблица 79. Прямоугольник................................... 158
Таблица 80. Параллелограмм и трапеция....................... 159
Ответы.............................................................161
Раздел IV. Решения наиболее трудных задач..........................174
§ 1.	Угол между двумя прямыми...................................174
§ 2.	Угол между прямой и плоскостью.............................177
§ 3.	Угол между двумя плоскостями...............................180
§ 4.	Расстояние от точки до прямой..............................182
§ 5.	Расстояние от точки до плоскости...........................184
§ 6.	Расстояние между двумя прямыми.............................187
§ 7.	Площади сечений многогранников.............................189
§ 8.	Площади поверхностей вращения плоских фигур................194
§ 9.	Объемы тел вращения многогранников.........................200
§ 10.	Многогранники.............................................203
§ 11.	Фигуры вращения...........................................210
Литература.........................................................214
Серия «Большая перемена»
Балаян Эдуард Николаевич
ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на готовых чертежах
для подготовки к ЕГЭ
10-11 классы
Ответственный редактор С.Осташов
Технический редактор Л. Багрянцева
Сдано в набор 25.05.2012. Подписано в печать 30.09.2012.
Формат 70 х 100/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Школьная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 18,06. Тираж 3000 экз.
Заказ № 4301/1
ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80
Сайт издательства: www.phoenixrostov.ru
Интернет-магазин: www.phoenixbooks.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов
в ООО «Кубаньпечать»
350059, г. Краснодар, ул. Уральская, 98/2