/
Текст
АДАПТИВНЫЕ И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Пеr т еч тко модели ОБ ие и а л и Теория нечетких множ:еств Нечеткая математика J АТе1Ь Т8й 01 Нечеткие модели етодынечеткоrо моделирования Нечеткое управление Устойчивость систем с нечетким управлением
Нечеткое моделирование и управление
Andrzej Piegat Fuzz аn Modeling Control With 680 Figures and 96 Т аБlеs Physica V erlag А Springer Verlag Campany
АДАПТИВНЫЕ И ИНТFЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ А. Пеrат Нечеткое моделирование и управление 2e издание Перевод с анrлийскоrо А. [. Подвесовскоrо, ю. В. Тюменцева под редакцией ю. В. Тюменцева i Москва БИНОМ. Лаборатория знаний
УДК 517.11+519.92 ББК 22.18 П23 с е р и я о с н о в а н а в 2005 2. Пеrат А. П23 Нечеткое моделирование и управление / А. Пеrат ; пер. с анrл.2е изд.М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. 798 с. : ил. (Адаптивные и интеллектуальные системы). ISBN 97859963 14959 Дается развернутое введение в проблемы нечеткоrо и нейронечеТКОl'О моделирования применительно к задаче управления системами. Материал основан на новейших результатах в данной области и иллюстрируется мноrочисленными примерами. Для специалистов в области нечеткоrо и нейронечеткоrо моделиро вания и управления, а также студентов и аспирантов соответствующих специальностей. УДК 517.11+519.92 ББК 22.18 Учебное издание Серия: «Адаптивные и интеллектуальные системы» Пеrат Анджей НЕЧЕТКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ Ведущий редактор М. с. СтРИс?}'1l0ва Художник Н. А. Лозинская Художественный редактор Н. А. Новак Технический редактор Е. В. Денюкова Ориrиналмакет подrотовлен М. ю. Копаницкой в пакете IbTEX 2 Е Подписано в печать 26.10.12. Формат 70 х 100/16. Усл. печ. л. 65,00. Тираж 1000 экз. Заказ 8324 Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний» 125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3 Телефон: (499) 1575272, email: binom@Lbz.ru, http://www.Lbz.ru При участии 000 AreHTcTBo печати «Столица» тел.: (495) 33] 1438 email: арstоliса(щЬk.ru 01 I1ечатано в ОАО «Первая Образцовая ТИПOf'рафия», филиал «УЛЬЯНОВСКИЙ ДОМ ПЕЧАТИ». 432980, 1. Ульяновск, ул. rончарова, 14 ISBN 97859963 14959 Translation frorn the English language edition: Fuzzy Modeliпg aпd Coпtro! Ьу Andrzej Piegat Copyright @ Physica Verlag Heidelberg 2001 All Rights Reserved @ БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013
Предисловие редактора перевода в последние два десятилетия резко возрос интерес к различным аспектам проблемы интеллектуальноrо управления. Одно из основных направле ний, связанных с решением этой проблемы, состоит в использовании ап.. парата нечетких систем: нечетких множеств, нечеткой лоrики, нечеткоrо моделирования и т. п. Применение этоrо аппарата приводит к построе нию нечетких систем управления различных классов, позволяющих pe шать задачи управления в ситуациях, коrда традиционные методы неэф.. фективны или даже вообще неприменимы ИЗо.за отсутствия достаточно точноrо знания об объекте управления. Литература по нечетким системам, вышедшая с 1965 r., даты публика.. ции первой статьи Л. Заде по этой тематике, orpoMHa. Только книr насчи.. тывается несколько сотен. Например, с 1993 r. издательством «Шприн rep» выпускается серия «Исследования по нечетким системам и мяrКИlVl вычислениям» (Studies in Fuzziness and Soft Computing), редактором ко.. торой является Януш Кацпшик (Janusz Kacprzyk). В этой серии, одним из томов которой является и книrа Анджея Пеrата «Нечеткое модели рование и управление», по состоянию на середину 2008 r. издано более 230 томов. На русском языке к числу первых серьезных публикаций по нечетким системам относится перевод двух больших статей Лотфи Заде [6] и [7] (вторая из них в соавторстве с Ричардом Беллманом), и книrи [8], также написанной Л.Заде. Ряд книr, в частности, [1][22], [27], [28] был издан в дальнейшем. Эффективность применения методов нечеткоrо моделирования и управления существенно повышается, если их использовать совмест.. но и во взаимодействии с методами, основанными на искусственных нейронных сетях (см., например, [23][31]) и rенетических алrоритмах (см. [28], [32], [33]). Именно этот Kpyr вопросов и рассматривается в книrе «Нечеткое мао. делирование и управление». Ее автор, Анджей Пеrат, профессор Щецин" cKoro техническоrо университета (Польша) видный специалист в обла сти мяrких вычислений и теории управления.
6 Предисловие редактора перевода В книrе дается расширенное введение в теорию нечетких множеств, затем обстоятельно рассматриваются вопросы нечеткоrо моделирования систем. На этой основе излаrаются проблемы построения нечетких си стем управления динамическими объектами. Большое внимание уделено rибридным методам моделирования и управления, в которых сочетается применение нечетких систем, искусственных нейронных сетей и reHe тических алrоритмов. Одна из интересных и нетипичных особенностей книrи состоит в том, что методы мяrких вычислений излаrаются и TpaK туются с позиций специалиста по системам управления. Книrа будет полезна научным работникам, инженерам, аспирантам, студентам старших курсов, интересующимся математическим моделиро ванием, мяrкими вычислениями, системами управления, а также приме нением этоrо аппарата к решению задач в разнообразных прикладных областях. Работа по переводу книrи распределилась следующим образом: rлавы с 1 по 6 А. [. Подвесовский, вступление, предисловие, rлавы 7 и 8, предметный указатель ю. В. Тюменцев. Список литературы [1] Аверкин А. Н., Батыршин и. З., Блишун А. Ф., Силов В. Б., Тарасов В. Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственноrо интеллекта / Под ред. д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986. 312 с. (Серия «Проблемы искусственноrо интеллекта») [2] Алиев Р. А., Церковный А. Э., Мамедова Т. А. Управление производством при нечеткой исходной информации / Ред.: В. Н. Васин, В. и. Петухова. М.: Энерrоатомиздат, 1991. 240 с. [3] Батыршин и. З., Недосекин А. о., Стецко А. А., Тарасов В. Б., Язенин А. В., Ярушкина Н. Т. Нечеткие rибридные системы: Теория и практика / Под ред. Н. [. Ярушкиной. М.: Физматлит, 2007. 208 с. [4] Борисов А. Н., Алексеев А. В., Меркурьева Т. В., Слядзь Н. Н., fлушков В. J1. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989.304 с. [5] Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей: Приложения к представлению знаний в информатике: Пер. с франц. В. Б. Тарасова под ред. С. А. Орлов СКОсО. М.: Радио и связь, 1990. 288 с. [6] Заде л.. Основы HOBoro подхода к анализу сложных систем и процес сов принятия решений / / в сб.: Математика сеrодня: Пер. с анrл. М.: Знание, 1974. С. 521. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «MaTe матика, кибернетика». Вып.7, 1974)
Предисловие редактора перевода 7 [7] Заде л.. Принятие решений в расплывчатых условиях / / В сб.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений / Под ред. и. Ф. Шахнова, с пре дисл. Т. с. Поспелова. М.: Мир, 1976. С. 172215. [8] Заде л. Понятие линrвистической переменной и ero применение к приня тию приближенных решений: Пер. с анrл. Н. и. Ринсо под ред. Н. Н. Mo исеева и с. А. Орловскосо. М.: Мир, 1976. 165 с. (Серия «Новое В зарубежной науке: Математика», вып.3 / Ред. серии А. Н. Колмосоров и с. п. Новиков) [9] Классификация и кластер / Под ред. Дж. ВЭН Райзина: Пер. с анrл. п. п. Кольцова под ред. ю. и. Журавлева. М.: Мир, 1980. 389 с. [10] Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. С предисл. л. А. Заде: Пер. с франц. В. Б. Кузьмина под ред. с. и. Травкина. С предисл. М. А. Aй зермана. М.: Радио и связь, 1982. 432 с. [11] Кузьмин В. Б. Построение rрупповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений. М.: Наука, 1982. 168 с. (Серия «Теория и методы системноrо анализа») [12] Лю Б. Теория и практика неопределенноrо проrраммирования: Пер. с анrл. ю. В. Тюменцева и ю. Т. Касанова под ред. ю. В. Тюменцева. М.: БИ НОМ. Лаборатория знаний, 2005. 416 с. (Серия «Адаптивные и интел лектуальные системы») [13] Малышев Н. Т., Бернштейн Л. с., БО.женюк А. В. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. М.: Энерrоатомиздат, 1991. 136 с. [14] Мелихов А. Н., Бернштейн л. с., Коровин с. Я. Ситуационные советую щие системы снечеткой лоrикой. М.: Наука, 1990. 272 с. [15] Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения / Под ред. Р. Р. Ясера: Пер. с анrл. В. Б. Кузьмина под ред. с. и. TpaвKи на. М.: Радио и связь, 1986. 408 с. [16] Новак В., Перфильева и., Мочкорж и. Математические принципы нечет кой лоrики: Пер. с анrл. под ред. А. Н. Аверкина. М.: Физматлит, 2006. 352 с. [17] Орлов А. И. Задачи оптимизации инечеткие переменные. М.: Знание, 1980. 64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибер нетика» . Вып.8, 1980) [18] Орловский с. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной ин формации. М.: Наука. 1981. 208 с. (Серия «Оптимизация И исследо вание операций») [19] Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи и М. Сусэно: Пер. с япон. ю. Н. Чернышова. М.: Мир, 1993. 368 с. [20] Пытьев ю. п. Возможность: Элементы теории и применения. М.: Эди ториал УРСС, 2000. 192 с. [21] Пытьев ю. П. Возможность как альтернатива вероятности: Математиче ские и эмпирические основы. применение. М.: Физматлит, 2007. 464 с.
8 Предисловие редактора перевода [22] Шапиро д. и. Принятие решений в системах орrанизациооноrо управ ления: Использование расплывчатых катеrорий. М.: Энерrоатомиздат, 1983. 184 с. [23] rоловко В. А. Нейронные сети: Обучение, орrанизация и применение / Под общ. ред. А. и. Fалушкина. М.: ИПРЖР, 2001. 256 с. (Серия «Нейрокомпьютеры и их применения». Кн. 4) [24] rорбань А. Н., ДунинБарковский В. Л., Кирдин А. Н. и др. Нейроинфор матика / Отв. ред. Е. А. Новиков. Новосибирск: Наука, 1998. 296 с. [25] rорбань А. Н., Россиев д. А. Нейронные сети на персональном компьютере / Отв. ред. В. и. Быков. Новосибирск: Наука, 1996. 276 с. [26] Ежов А. А., Шумский С. А. Нейрокомпьютинr и ero приложения в эконо мике и бизнесе. М.: Издво МИФИ, 1998. 224 с. [27] Круслов В. В., Дли М. М., Fолунов Р. ю. Нечеткая лоrика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001. 224 с. [28] Рутковекая д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, rенети ческие алrоритмы и нечеткие системы: Пер. с польск. И. д. Рудинскосо. М.: rорячая линия Телеком, 2004. 452 с. [29] Сисеру о., Марзуки К., Рубия Ю. Нейроуправление и ero приложения: Пер. с анrл. Н. В. Батина под общ. ред. А. И. rалушкина и В. А. Птички на. М.: ИПРЖР, 2000. 272 с. (Серия «Нейрокомпьютеры и их при менения». Кн. 2) [30] Терехов В. А., Ефимов Д.В., Тюкин и.ю. Нейросетевые системы управ ления. М.: ИПРЖР, 2002. 480 с. (Серия «Нейрокомпьютеры и их применения». Кн. 8) [31] Хайкин С. Нейронные сети: Полный курс: Пер. с анrл. Н. Н. Кусеуль И А. Ю. Шелестова под ред. Н. Н. Кусеуль. М.: Вильямс, 2006. 1104 с. [32] rладков Л. А., Курейчик В. В., Курейчик В. м. rенетические алrорит мы. Изд. 2e, испр. и доп. / Под ред. В. М. Курейчика М.: Физматлит, 2006. 320 с. [33] Емельянов В. В., Курейчик В. М., Курейчик В. В. Теория и практика эволю ционноrо моделирования. М.: Физматлит, 2003. 432 с. (Серия «Про блемы искусственноrо интеллекта»)
Вступление Концепция нечетких множеств, введенная в середине 1960x rr. проф. Лотфи Заде из Калифорнийскоrо университета в Беркли, вызвала Heoд нозначную реакцию в научном сообществе. С одной стороны, постоянно росло число сторонников этой концепции, осознавших потенциальные возможности нечетких множеств для решения разнообразных приклад ных задач. Но, с друrой стороны, имелось и весьма значительное чис ло противников этоrо подхода и достаточно часто из числа известных ученых и специалистов которые резко выступали против этоrо нарож давшеrося класса средств моделирования. Одним из их aprYMeHToB было отсутствие прикладных результатов. Ситуация изменилась с середины 1980x rr., коrда начался так Ha зываемый «бум нечеткости». Первоначально он возник в Японии, затем в Корее и Европе, в существенно меньшей степени в США. Решаю щую роль в этом процессе сыrрало появление на рынке разнообразных устройств, основанных на использовании нечеткой лоrики, применявших ся для решения задач управления поездами метрополитена, подъемными кранами, лифтами и т. д. Они были первыми успешными при мера ми при менения методов нечеткоrо управления, основы KOToporo заложили такие исследователи, как Мамдани, CyreHo, Такаrи и др. С тех пор задачи нечеткоrо управления стали иrрать роль эталонных тестовых проблем для нечетких множеств, а мноrими эти задачи и BO обще воспринимаются как синоним приложений нечетких множеств. По данной теме опубликовано множество прекрасных книr. Мноrие из них, однако, были написаны авторами, не принадлежащими к сообществу спе циалистов по системам управления. Одним из следствий TaKoro положе ния дел было то, что в этих книrах слишком большой, на мой взrляд, акцент делается на лоrические, реляционные и тому подобные аспекты нечеткоrо управления, и при этом слишком мало внимания уделяется вопросам, связанным с управленческой спецификой. Одним из таких вопросов является /vtоделuрованuе как основа управ ления. На самом деле, значимость моделирования, скорее Bcero, суще ственно выше, чем значимость собственно управления, поскольку об ласть применения моделирования несравненно шире как общеrо средства и метода для решения проблем практически во всех областях. К сожа лению, проблемы моделирования не нашли должноrо освещения в лите
10 Вступление ратуре по нечетким системам, хотя исследования в области нечеткосо моделирования и ведутся достаточно широким фронтом. Из всей имеющейся на данный момент литературы представляемая книrа, по всей видимости, дает наиболее полное освещение проблем нечеткоrо моделирования и управления. Прежде Bcero, rлубоко paCCMOT рена критически важная область нечеткоrо моделирования, с попыткой вникнуть во все ее аспекты. В книrе обсуждаются все наиболее извест ные методы, в частности, моделирование на основе правил, лоrические модели, а также rибридные модели, к примеру, нейронечеткие. Подходы к нечеткому моделированию излаrаются автором просто и ясно, но в то же время достаточно cTporo, с применением соответствующеrо формаль Horo аппарата, что при влечет, несомненно, ВНИlVlание как тех читателей, которые интересуются теоретическими аспектами рассматриваемой обла сти, так и тех, для Koro важнее ее практические применения. Затем, после подробноrо изложения нечеткоrо моделирования, автор переходит к рассмотрению проблем нечеткоrо управления. Начинает это рассмотрение он с более традиционноrо подхода, который можно было бы назвать управлением на основе использования только средств нечеткой лоrики, без применения нечетких моделей. После этоrо, автор переходит к рассмотрению cOBpeMeHHoro подхода, потенциально HaMHoro более MHO rообещающеrо, oCHoBaHHoro на применении нечетких моделей объектов управления и управляемых систем, а также более развитых схем управ ления, включая адаптивное управление и MHoroKoHTypHoe управление. В завершение автор рассматривает вопросы, относящиеся к устойчи вости нечетких систем управления. И опять, трудно указать друrие пуб ликации, сопоставимые с данной книrой по широте охвата материала. По моему мнению, это выдающаяся книrа, равной которой в суще ствующей литературе практически нет. Она дает всестороннее описание нечеткоrо моделирования и управления, причем написана в стиле, при емлемом для специалистов по системам управления. Написание такой книrи требует не просто хорошеrо знания соответствующей области, но rлубокой эрудиции и исследовательской зрелости, чтобы отобрать из об ширнейшей литературы наиболее мноrообещающие методы и средства. Профессор Пеrат заслуживает блаrодарности и признательности Bce [о сообщества специалистов и исследователей в области нечетких систем за подrотовку такой исключительной книrи, которую должны прочитать все интересуюuиеся современными подходами к нечеткому моделирова нию и управлению. Варшава, Польша, декабрь 2000 [. Януш Кацпшuк
Моей семье Предисловие Традиционная математика обеспечивает работу с данными точноrо характера, например: . температура 39.7 ос, . скорость 90 кмjч, . коммерческий платеж 12317 долл., . высота морской волны 1.75 м. Однако в окружающем нас мире мы очень часто встречаемся и с неточной информацией, например: . высокая температура, . высокая скорость, . небольшой коммерческий платеж, . спокойное (штилевое) море, . приятный продавец, . значительный покупательский интерес, . небольшое помутнение жидкости, . высокое качество стали, и т. д. Неточная информация используется людьми уже тысячи лет. Однако до совсем недавнеrо времени ее никак нельзя было употреблять в paM ках методов, основанных на обычной математике, и она терялась. По этой причине эффективность мно.rих методов проектирования, управле ния, моделирования, проrнозирования и принятия решений была весьма оrраниченной, особенно в случаях, коrда об исследуемой системе не бы ло никакой друrой информации, кроме неточной. Кроме Toro, каждая порция «точной» информации измеряется с определенной (часто значи тельной) поrрешностью, так что на самом деле также является неточной. Область математики, имеющая дело с неточной информацией, полу чила наименование теории нечетких множеств. Эта теория, во взаимо действии с обычной математикой, позволяет обрабатывать и использовать информацию любоrо вида. Она открывает новые и очень интересные воз можности и перспективы для науки и техники.
12 Предисловие Эта книrа предоставляет читателю основную информацию, относящу юся к теории нечетких множеств, нечеткому моделированию и управле нию. Она основывается на публикациях в данной области, а также на результатах исследований, проводившихея автором. Хорошее понимание теории это основное условие ее применения, а также база для развития и совершенствования собственных идей и KOH цепций. Чтобы упростить ее освоение, автор иллюстрирует представляе мые методы большим числом рисунков и примеров. Автор надеется, что читатели извлекут для себя MHoro пользы из информации, содержащейся в данной книrе. Автор хотел бы выразить свою признательность следующим лицам: . проректору по научной работе Щецинскоrо техническоrо университе та, професеору Валериану Арабчику (Walerian Arabczyk) за финан совую поддержку работ по подrотовке книrи, . декану факультета вычислительной техники и информационных си стем Щецинскоrо техническоrо университета, професеору Ежи Сол деку (Jerzy Soldek) за финансовую поддержку работ по подrотовке книrи, . Фонду поддержки разработок Щецинскоrо техническоrо универси тета и в особенности ero директору Кшиштофу Лещиньскому (Krzysztof Leszczynski) за финансовую поддержку работ по подrо товке книrи, . дpy Боrдану rживачу (Bogdan Grzywacz), Станиславе Левандов ской (Stanislawa Lewandowska) и Еве Лисек (Ewa Lisek) за перевод книrи на анrлийский язык, . Ричарду Старку (Richard Stark), Великобритания, за помощь в улуч шении анrлийскоrо языка данной книrи, . дpy Марцину Плуциньскому (Marcin Plucinski) за выполнение KOM пьютерноrо набора этой книrи. Щецин, декабрь 2000 r. Анджей Песат
rЛАВА 1 Введение 1.1. СУЩНОСТЬ теории нечетких множеств Традиционные математические методы предназначены для обработки точ ных данных, таких как «скорость автомобиля v == 111 км/ч». Предста вить такие данные rрафически можно с использованием так называемых одноточечных (одноэлементных) множеств (рис. 1.1). о 111 160 и, кмjч Рис. 1.1. Визуальное представление точноrо измерения скорости Точные данные MorYT быть получены только с ПОl\10ЩЬЮ высокоточных технических измерительных устройств, в то время как человек способен непосредственно оценивать скорость автомобиля, оперируя такими Tep минами, как «низкая», «средняя» И «высокая». Эти приближенные оценки также можно представить rрафически (рис. 1.2). С помощью функций «низкая», «средняя» И «высокая», называемых ФУНКЦИЯМИ принадлежности, можно определить, является ли HeKO торое точное значение скорости соответственно низким, средним или м( V) 1 низкая средняя высокая о о 50 60 80 100 111 160 1\ км/ч Рис. 1.2. Визуальное представление приближенных оценок скорости
14 rлава 1. Введение МСи) очень низкая низкая средняя высокая очень высокая 1 о о 20 40 60 7 О 80 90 1 00 120 160 и, км/ч Рис. 1.3. Оценка скорости с использованием пяти информационных rранул ВЫСОКИМ. Человек, наблюдающий автомобиль, движущийся со CKOpO стью V == 111 км/ч, не в состоянии оценить это значение точно, но при ближенно он может оценить такую скорость как высокую (рис. 1.2). О подобноrо рода оценках rоворят как об информационных rpaHY лах (Zadeh 1979, 1996). Если трех rранул «<низкая», «средняя», «BЫCO кая») недостаточно, точность оценки скорости можно повысить, введя, например, 5 rранул «очень низкая», «низкая», «средняя», «высокая», «очень высокая» (рис. 1.3). Точность оценки можно, наоборот, снизить, если использовать только две rранулы «низкая» И «высокая». Степень rранулированности информации будет определяться потребностями и ин теллектуальными способностями использующеrо ее человека, либо будет зависеть от контекста, в котором он ее использует. Информация, получаемая от человека, обычно менее точна (более [pa нулирована), в то время, как информация от измерительных устройств является более точной (менее rранулированной). fранулированность информации можно определить с помощью ширины rранулы (функции принадлежности), и таким образом rранула «средняя» может иметь раз личную ширину, зависящую от общеrо количества используемых челове ком rранул (рис. 1.4). Как видно из рис. 1.4, уменьшение степени [paHY лированности дает в пределе ТОЧКУ (rранулу бесконечно малой ширины), которая и соответствует точно заданной информации именно той, с KO торой оперируют традиционные математические методы. ИНфОРl\1ация, представленная в виде rранул, имеющих конечную и ненулевую ширину, называется нечеткой информацией автором данноrо термина является ПрОlр. Лотфи Заде, впервые исследовавший явление информационноЙ rраНУJIИРОВ3ННОСТИ. Область мзтеl\ifатики, зани мающаяся обработкой такой ИНфОРlVlации, БыlI3a названа теорией нечет ких множеств (Zimmclrnan 1994). ВажнеЙIl1ИМ направлением данной теории является нечеткая лоrика, применяеl'лая в нечеТКОl\1 модели
1.1. Сущность теории нечетких множеств 15 M(V) M(V) средняя средняя О О 50 75 100 1', км/ч БО 75 90 V, км/ч м ( 1) ) р( v) средняя средняя О О 70 75 80 (" км/ч 75 7', км/ч Рис. 1.4. Различная ширина информационной rранулы, соответствующей «средней» скорости ровании и управлении. Укажем на новые возможности, появившиеся в научнотехнических исследованиях блаrодаря теории нечетких MHO жеств. 1. Возможность создания искусственноrо интеллекта, сходноrо с ин теллектом человека, и ero применения в автоматах и роботах. В настоя щее время наблюдается устойчивая и даже растущая тенденция к полу чению в этом направлении результатов, свидетельствующих о том, что для ряда конкретных приложений искусственный интеллект превосходит человеческий по объему и скорости обработки информации. 2. Создание компьютеров, проrраммируемых с помощью eCTeCTBeHHO [о языка (Zadeh 1996). Применение таких компьютеров в автоматах и po ботах делает возможным управление ими и «общение» с ними на eCTe ственном языке с использованием нечетких понятий. В настоящее вреl'v1Я имеются устройства, способные распознавать оrраниченное число слов и словосочетаний. 3. Использование информации любой степени rранулированности в задачах моделирования, управления, оптимизации и диаrностики. Бо лее высокая степень rранулированности может привести к сокраllJ.ению объемов обрабатываемой и хранимой информации и к повышению быст родействия алrоритмов.
16 rлава 1. Введение 4. Возможность подстройки уровня rранулированности информации под требуемую точность моделирования, управления, оптимизации, диа rностики и т. д. Такая подстройка выполняется человеком, как показано на рис.l.51.7. 1 5 х Предположим что на первом этапе управления объектом взаимосвязь меж ду входными и выходными параметрами KOToporo представлена на рис. 1.5, при нимаются во внимание только предель ные состояния объекта и на основе этоrо формируется модель, основанная на двух правил ах (рис. 1.6). Для определенности, под моделью объекта будем понимать некоторое ero приближенное представ ление, обладающее необходимой точно стью. у 7 3 Рис. 1.5. Зависимость выхода от входа для объекта управления у у Б 7 ./: ./ I ./ : ./ I ,/ I I ././ модель : ,/ : , I I I I м ) I М(У) 1 :5 х I I I I I I М(Х) I I I I I I Б I :М I I 1 .r Rl : R2 : ЕСЛИ ЕСЛИ (значение х J\'lа.пое) (значение х большое) ТО ТО (значение у малое) (значение у большое) Рис. 1.6. Модель объекта, основанная на двух информационных rранулах: «малое» И «бо.n:ыиое»
1.1. Сущность теории нечетких множеств 17 у у 7 I 71 7 : '/ : I I I I I I Б 5.5 (7 м М(У) 1 1 3 5 х М(Х) м (7 Б 1 х Rl : R2 : R3 : ЕСЛИ ЕСЛИ ЕСЛИ (значение х малое) (значение Х среднее) (значение Х большое) ТО (значение у малое) ТО (значение у среднее) ТО (значение у большое) Рис. 1.7. Модель объекта, основанная на трех информационных rранулах: «малое», «среднее» и «большое» Если точность модели, представленной на рис. 1.6, является HeДOCTa точной, будем пытаться повысить ее, дополнительно принимая во внима ние наиболее существенное (Babuska 1995Ь) промежуточное состояние (рис. 1.7), тем самым задавая еще одно правило, определяющее поведе ние объекта, и приходя в итоrе к новым, более мелким информационным rранулам. Более Toro, если модель, представленная на рис. 1.7, все еще имеет недостаточную точность, можно рассмотреть друrие существенные состояния объекта и тем самым уменьшить rранулированность информа ЦИИ, увеличить число вербальных правил, характеризующих поведение объекта, и получить таким образом более точную модель. Как показали исследования по психолоrии (Kruse 1994), человек со средними способностями в состоянии одновременно хранить в памяти от 5 до 9 характеристик объекта, и по этой причине для описания лю 60ro параметра используется не более, чем 59 информационных rранул. Заметим, что в общеI\1 случае, при управлении летатеЛЬНЫ1\1И аппаратами, друrими средствами передвижения и объектами, а также при решении
18 rлава 1. Введение множества повседневных задач такая rранулированность является вполне достаточной. Компьютерные технолоrии обеспечивают возможность практическо [о использования информации любой степени rранулированности, вслед ствие чеrо можно получать значительно более точные модели. Опыт MO делирования реальных систем rоворит о том, что практически всеrда есть некоторый пороr точности, превышение KOToporo не дает особой пользы. Возникновение подобных ситуаций связано с определенными, имеющими место в сложных системах эффектами, охарактеризовать которые можно следующим образом. 1. Существование хаоса. Внутри ядра систем возникают активные воз мущения, не поддающиеся измерению. Кроме Toro, об их существовании может быть даже не известно. Друrими словами, в системах возмож ны неконтролируемые процессы. Влияние указанных факторов зависит от Toro, насколько они интенсивны, и может привести к непредсказуе мым изменениям в системе, которые можно трактовать как хаотические. 2. Стремительный рост числа возможных решений. Увеличение сложности системы приводит к резкому возрастанию числа факторов, обусловливаЮIЦИХ ее наблюдаемое поведение этот эффект называется «комбинаторным взрывом» и ero обычно невозможно учесть в математи ческой модели. При формировании модели такой системы в нее следует включать лишь наиболее значимые факторы, влияющие на ее поведение. Это снижает сложность модели, но может привести к ошибке (изза зо ны нечувствительности модели), обусловленной не столь очевидными, но существенными факторами. 3. Невозможность точноrо измерения некоторых сиrналов при pa боте с системой. При неточном измерении входных сиrналов реальной системы, вычисляемые для нее выходные сиrналы (выходная информа ция) даже в случае очень точной модели MorYT не соответствовать пове дению реальной систеl\1Ы, известному из опыта. Признавая существование описанных выше эффектов, основатель нечеткой лоrики проф. Л. Заде выдвинул утверждение, названное им принципом несовместимости (Zadeh 1973): «По мере возрастания сложности системы H3ilJ3 способность формулиро вать точные и при этом осмысленные утверждения о ее поведении уменьша ется вплоть до HeKoTopoI'O nopora, за пределами KOToporo точность и смысл становятся практически взаИМОИСКЛlочаЮIЦИl\rlИ характеристиками».
1.2. Развитие теории нечетких множеств 19 Точное моделирование с использованием очень малых информацион ных rранул возможно лишь в случае простых систем с малым числом входных величин. Для нетривиальных систем, особенно систем с боль шим количеством входов, приходится использовать информацию, пред ставленную с помощью более крупных rранул нечеткую информацию. 1.2. Развитие теории нечетких множеств Теория нечетких множеств вызывает сеrодня немалый интерес. По oцeH кам (Altrock 1993), в 1993 [. насчитывалось от 15 до 16 тыс. публикаций, связанных с этой тематикой. В 2000 [., на момент написания данной кни rи, число публикаций превысило 27 тыс. и продолжало интенсивно расти. Орrанизуются научные конференции, возрастает количество промышлен ных приложений. Что же является причиной столь высокой популярности теории нечетких множеств в современной науке? Начало развитию теории нечетких множеств положила основопола rающая статья «Fuzzy Sets» «<Нечеткие множества»), опубликованная профессором из США Лотфи Заде (Zadeh 1965), который впервые ввел понятие нечеткоrо множества, предложил идею и первую концепцию Teo рии, которая давала возможность нечеткоrо описания реальных систем. Важнейшим направлением теории нечетких множеств является нечеткая лоrика (Zimmermann 1994а), применяемая для управления системами, а также в экспериментах по формированию их моделей. В 60e [оды начался период быстроrо развития компьютеров и циф ровых технолоrий на базе двоичной лоrики. В то время считалось, что использование данной лоrики позволит решать мноrие научные и Tex нические проблемы. По этой причине появление нечеткой лоrики OCTa валось почти незамеченным, несмотря на всю ее концептуальную peBO люционность. Тем не менее, важность нечеткой лоrики была осознана рядом представителей научноrо сообщества и она получила развитие, а также практическую реализацию в рамках различных промышленных приложений. Через некоторое время стал повышаться интерес к ней и со стороны научныIx школ, объединявших приверженцев технолоrий на oc нове двоичной лоrики. Это произошло изза Toro, что обнаружилось дo статочно MHoro практических задач, которые не поддавались решению с помощью традиционных математических моделей и методов, несмотря на СУПLественно возросшие доступные скорости реализации вычислений. Требовалась новая методолоrия, характерные черты которой предстояло найти R нечеткой лоrике.
20 rлава 1. Введение Подобно робототехнике, нечеткая лоrика была с большим интересом встречена не в стране cBoero происхождения, США, а за ее пределами, и как следствие этоrо, первый опыт промышленноrо использования нечет кой лоrики для управления котельными установками электростанций (Assilian 197 4) связан с Европой. Все попытки использовать для управ ления паровым котлом традиционные методы, порой весьма замыслова тые, оканчивались неудачей настолько сложной оказалась эта нели нейная система. И только применение нечеткой лоrики позволило синте зировать реrулятор, который удовлетворял всем требованиям. В 1976 r. нечеткая лоrика была положена в основу системы автоматичскоrо управ ления карусельной печью в производстве цемента (Mamdani 1977). И тем не менее, первые практические результаты применения нечеткой лоrики, полученные в Европе и Америке, не вызвали какоrо"либо значительноrо повышения интереса к ней. Точно так же, как было с робототехникой, страной, которая первой начала повсеместное внедрение нечеткой лоrи ки, осознав ее оrромный потенциал, стала Япония (Bellon 1992). Среди созданных в Японии прикладных нечетких систем наибольшую известность получила разработанная компанией Hitachi систеlVIа управ ления поездами метрополитена в r. Сендай. Реализация проекта велась с участиеlVI опытноrо машиниста, знания и опыт KOToporo леrли в oc НОВУ разработанной модели управления. Систеl\1а автоматически снижа ла скорость поезда при подъезде ero к станции, обеспечивая остановку в требуемом месте. Еще одним преимущеСТВОlVl поезда была ero BЫCO кая комфортабельность, обусловленная плавностью набора и снижения скорости (Abel 1991). Имелся и целый ряд друrих преИl\1уществ по cpaB нению с традиционными системами управления. Тестирование и совершенствование системы управления продолжа лось в течение двух лет. Эти усилия были нацелены на проверку HOBoro метода управления и обеспечение максимальной безопасности пассажи ров. О том, что данный проект можно считать успешным, свидетель ствует тот факт, что спустя 12 месяцев разработку своих собственных приложений с использованием нечеткой лоrики вели уже 50 крупных японских компаний. В 1991 r. вклад Японии в мировое производство про.. Дукции, использующей нечеткую лоrику, исчислялся миллиардами дол ларов в абсолютных величинах это составляло 80% (по данным Market InteIligence Research). rfачиная с 1989 r. в Японии было создано не менее 5 научных сообществ, связанных снечеткой лоrикой, среди которых: 1. Лаборатория Международных нечетких технических исследований (Laboratory for International Fl1zzy Engineering Reseatrll LIFE). 2. Японское Сообщество теории нечетких JYIножеств и нечетких систем (Japan Society of FL1zzy Theory аl1еl Systerns 50FT).
1.2. Развитие теории нечетких множеств 21 3. Ассоциация биомедицинских нечетких систем (Biomedical Fuzzy Systems Association BMFSA). 4. Институт систем нечеткой лоrики Иидзука (Fuzzy Logic Systems Institute Iizuka FLSI). 5. Центр развития нечеткой лоrики (Center for Promotion of Fuzzy Logic). С 1986 r. функционирует Японское отделение международной орrани зации IFSA (International Fuzzy Systems Association Международная ассоциация нечетких систем). Среди перечисленных орrанизаций наиболее известна лаборатория LIFE, созданная Министерством международной торrовли и промышлен ности Японии совместно с рядом крупных промышленных предприятий, среди которых Honda, Kawasaki Steel, Tokyo Electric и др. (общее их число в 1991 r. составляло 49). Целью деятельности данной лаборато рии является разработка нечетких методов для нужд промышленности, торrовли, поддержки принятия решений (например, в области валютных операций) и т. д. В состав LIFE вошли лучшие специалисты в области нечеткой лоrики из японских университетов и промышленных компа ний. Помимо этоrо, финансовую поддержку лаборатории осуществляет ряд крупных компаний за пределами Японии, среди которых Bosh, Zeiss, Siemens, Audi, Volkswagen. Спонсоры LIFE посылают в нее своих ин женеров для прохождения стажировок и выполнения исследований под руководством специалистов. Быстрое развитие нечеткой лоrики в Японии привело к тому, что ее практические приложения появились не только в промышленности, но и в производстве товаров народноrо потребления. Примером здесь может служить видеокамера, оборудованная нечеткой подсистемой CTa билизации изображения (Abel 1991), применявшейся для компенсации колебаний изображения, Bbl3BaHHHlx малоопытностью оператора. Данная задача была слишком сложной для решения ее традиционными MeToдa ми, поскольку требовалось отличать случайные колебания изображения от целенаправленноrо перемещения объектов съемки (например, движе ния людей). Друrим примеРОlVl является автоматическая стиральная Ma шина, управляемая одним нажатиеl\1 кнопки (Zimmerman 1994). Подоб ная «целостность» вызвала интерес и была встречена с одобрением. 11c пользование методов нечеткой лоrики позволило оптимизировать процесс стирки, обеспечивая автоматическое распознавание типа, объема и степе ни заrрязненности одежды, не rоворя уже о том, что сведение механизма управления машиной к одной единственной кнопке позволило значитель но упростить обращение с ней. 11зобретения в области нечеткой лоrики
22 rлава 1. Введение были воплощены японскими фирмами и во мноrих друrих устройствах, среди которых микроволновые печи (Sanyo), антиблокировочные систе мы и автоматические коробки передач (Nissan), интеrрированное управ.. ление динамическими характеристиками автомобиля (INVEC), а также реrуляторы жестких дисков в компьютерах, обеспечивающие уменьшение времени доступа к информации. Находясь в аванrарде исследований в сфере приложений нечеткой лоrики, японские инженеры получили в данной области orpoMHoe ко.. личество патентов. Только компания Omron из rорода Киото в 1993 r. владела более чем 700 патентами. Массовое применение нечеткой лоrики в изделиях японской промыш" ленности привлекло внимание во всем мире и особенно в Европе, rде BЫ зов лидерству Японии был брошен rлавным образом учеными и предпри нимателями из rермании. в r. Аахен находится штаб"квартира европей.. ской орrанизации ELITE (European Laboratory for Intelligent Techniques Engineering Foundation), занимающейся разработкой и продвижением методов искусственноrо интеллекта, таких как нечеткая лоrика и ней.. ронные сети, с упором на научные исследования в данных областях. Под ее эrидой проводится множество международных конференций, среди которых ежеrодная Европейская конференция по искусственному ин теллекту EUFIT (European Congress оп Intelligent Techniques and Soft Computing Европейский KOHrpecc по интеллектуальным технолоrиям и мяrким вычислениям). Помимо упоминавшихся выше приложений, с начала 1990x rr. на.. блюдается интенсивное развитие нечетких методов в рамках целоrо ряда прикладных областей, в том числе и не связанных с техникой. Чтобы дать читателю представление о возможностях нечеткой лоrики, перечис.. лим некоторые из известных ее приложений. . система управления электронным кардиостимулятором (Akaiwa 1990; Kitamura 1991; Sugiura 1991); . система управления механическими транспортными средствами (Altrock 1992); . водоrрейные котлы (Bien 1992); . химические реакторы и установки (Altrock 1995; Bork 1993; Hanakuma 1989; Hack 1997; H6hmann 1993; Kolios 1994; Roffeld 1991); . системы охлаждения (Becker 1994; Hakata 1990); . кондиционеры и вентиляционное оборудование (Tobi 1991; Wata паЬе 1990); . оборудование для сжиrания мусора (Altrock 1993; Fujiyoshi 1992; Оhпishi 1991);
1.2. Развитие теории нечетких множеств 23 . стеклоплавильная печь (Aoki 1990; Hishida 1992); . система контроля кровяноrо давления (Arita 1990), . диаrностика опухолей (Arita 1991), . диаrностика текущеrо состояния сердечнососудистой системы (Altrock 1993), . система управления подъемными и мостовыми кранами (Altrock 1993; Watanabe 1991), . насосная станция (Chen 1992), . обработка изображений (Fij iwara 1991; Franke 1994), . быстродействующее зарядное устройство (Altrock 1993), . распознавание слов (Fujimoto 1989), . лечение диабета и контроль уровня сахара в крови (] асоЬу 1994; Kage уаmа 1990), . электроэнерrетическая система (Hiyama 1991), . оборудование для металлообработки (Hsieh 1994), . управление биопроцессорами (Hanss 1994), . отопительные приборы (Heider 1994), . управление электродвиrателями (Kawai 1990; Lee 1992), . сварочное оборудование и процессы сварки (Murakami 1989; Reshuffled 1994), . системы управления движением транспорта (Sasaki 1988; Voit 1994), . биомедицинские исследования (Takahashi 1990), . оборудование для уборки помещений (Yamashita 1992), . оборудование для очистки от шлама (Yu 1990), . водоочистные сооружения (Altrock 1995). По теории нечетких множеств издан ряд книr, например (A1trock 1993,1995; Brown 1994; Bezdek 1981; Driankov 1993,1996; Gottwald 1993; Hung 1995; Kahlert 1994,1995; Knappe 1994; Kandel 1994; Kruse 1994; Kiendl 1997; Kaufmann 1985; Koch 1996; Kacprzyk 1986,1992,1997; Nguyen 1995; Pedrycz 1993; Rutkowska 1997; Tilli 1991; Wang 1994а; Yager 1994,1995; Zimmermann 1994а,1994Ь). На рынке проrраммноrо обеспечения имеется несколько продуктов, осущеСТВЛЯЮlUИХ поддержку нечеткоrо'I\10делирования и управления. Ин формацию о них можно найти в (Ader 1996; Baldwin 1995а; Koch 1996; Кuhп 1994; Krieger 1994; Кlопе 1996с). В Польше исследования в области нечетких множеств ведутся с 1970x rr. (Kacprzyk 1977,1978). Польскиl\tlИ учеными, внеСU1ИМИ cy щественный вклад в развитие данной теории в мире, являются профес сора Е. Czogala, J. Kacprzyk и w. Pedrycz (фамилии перечислены в алфа витном порядке).
24 rлава 1. Введение и хотя теория нечетких множеств позволяет решать задачи, с KOTO рыми часто не справляются обычные методы, не следует считать ее «па нацеей». Было бы ошибкой rоворить о ней как о единственно возможной замене всех остальных подходов. Практика показывает, что применять нечеткую лоrику целесообразнее Bcero там, rде остальные подходы до сих пор терпели неудачу (Altrock 1993), и следовать традиционным методам, если приемлемые результаты MorYT быть получены на их основе.
r ЛАВА 2 OCHoBHbIe понятия теории нечетких множеств 2.1. Нечеткие множества Человек использует нечеткие множества для оценки и сравнения физиче ских величин, состояний объектов и систем на приближенном, качествен ном уровне. Так, любой из нас способен оценить величину температуры, не прибеrая к помощи термометра, а руководствуясь лишь собственны ми ощущениями и шкалой приближенных оценок, подобной тем, которые представлены на рис.2.1. Отметим, что качественная оценка имеет нечисловой характер, по скольку не обладает свойством аддитивности, присущим числам. Пример. 1 см + 1 см == 2 см, но: небольшая сумма денеr + небольшая сумма денеr ==7 Результат подобной операции не всеrда будет соответствовать боль шой сумме денеr. Понятия «небольшой» и «большой» суммы являются нечеткими и субъективными и зависят от смысла, вкладываемоrо в них в каждом конкретном случае. Поэтому качественные оценки нельзя складывать по добно тому, как это делается с числовыми величинами. очень холодно холодно I О тепло очень тепло тое нулевая очень малая малая средняя большая I О уродливый обычный непривлекательный привлекательный красивый I . + О красота паника пессимизм неопределенность оптимизм эйфория I . + О обстановка на бирже . + температура очень большая I . + 1000/0 облачность Рис. 2.1. Примеры качественных оценок, используемых человеком
26 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств Качественные оценки человек использует и тоrда, коrда средства точ Horo измерения ему доступны. Например, несмотря на точные показания скорости на спидометре автомобиля, характеризуя свою поездку, води тель чаще Bcero rоворит: . «Я ехал очень быстро», . «Я ехал со скоростью примерно 100 км/ч», . «Я ехал со скоростью более 100 км/ч». Если бы водитель попытался вспомнить точное значение скорости в каждый момент своей поездки, то это бы было, вопервых, практи чески невыполнимым, вследствие оrраниченных возможностей человече ской памяти, а BOBTOpЫX, совершенно излишним, поскольку для челове ка бывает достаточным сделать rрубую оценку, позволяющую избавиться от больших объемов ненужной информации, сосредоточившись на той, которая является наиболее существенной, и которую можно быстро об работать, чтобы принять необходимое решение. В окружающем нас мире имеется большое число величин, которые нельзя оценить с помощью измерительных устройств, поскольку таких устройств просто не существует. К таким величинам относятся, напри мер, женская красота, порядок в доме, опасность начала войны, шансы на успех в бизнесе и т. п. Но У каждоrо человека есть свои собственные, неизведанные или понятные лишь отчасти «измерительные устройства», позволяющие ему давать качественные оценки подобных величин и ситу аций, представляющихся настолько сложными, что с ними невозможно справиться средствами современной науки. Пользуясь подобным HeCOBep шенным, нечетким механизмом оценивания, люди отлично справляются с окружающей действительностью, приспосабливаются к ней, преобра зуют ее, распознают (идентифицируют) существующие в ней системы, которыми управляют затем оптимальным или субоптимальным образом. Качественно оценивая действительность, люди выработали у себя весьма совершенные лоrические и интеллектуальные способности, KOTO рыми робототехнические устройства не обладают, несмотря на непрекра щающуюся интенсивную работу в этом направлении. По этой причине у ученых и инженеров возникла идея создания искусственноrо интеллекта, который имитировал бы человеческий интеллект и использовал сходные с ним подходы. Важнейшее условие создания TaKoro интеллекта состоит в том, что бы перевести нечеткие, качественные оценки, применяемые человеком, на язык математики, понятный вычислительной машине. В результате станет возможным:
2.1. Нечеткие множества 27 . преобразовывать четкие и точные показания приборов в форму каче ственных оценок, применяемых людьми, и использовать их в алrорит мах искусственноrо интеллекта, основанных на правилах, подобных тем, которые лежат в основе человеческих рассуждений, . вводить в системы обработки информации, математические модели управляемых систем и алrоритмы управления величины, определить которые может только человек, например платежеспособность поку пателя, вероятность сбора боrатоrо урожая в данном rоду и др. Видно, таким образом, что нечеткие, качественные оценки позволяют значительно расширить традиционные методы математическоrо модели рования, требующие точной информации о входных величинах системы. Это становится возможным за счет использования информации о пара метрах, ранее не учитываемых изза отсутствия средств их измерения (т. е. вводятся rибридные модели, имеющие как четкие, так инечеткие составляющие). Тем самым, нечеткие методы качественноrо оценивания следует рассматривать не как альтернативу, а как дополнение к точным техническим измерениям, позволяющее создать более полную картину или модель действительности. Формализация качественных оценок может осуществляться на OCHO ве теории нечетких множеств. Понятие нечеткоrо множества появилось в научной литературе в 1965 r., блаrодаря работе ученоrо из США Лот фи Заде (Zadeh 1965), внесшеrо существенный вклад в развитие данной теории. Рассмотрим далее основные понятия, связанные с нечеткими множе ствами. . Линrвистическая переменная Линrвистической переменной является переменная (которая может быть как входной или выходной, так и переменной состояния) с линrвистиче скими значениями, выражающими качественные оценки. Примеры: скорость судна, электрическое напряжение, температура. На практике для задания линrвистических переменных можно ис пользовать не только линrвистические значения, но и нечеткие числа (Bertram 1994; Koch 1993), т. е. определенноrо рода комбинированный подход. . Линrвистическое значение Линrвистическое значение представляет собой значение линrвистической переменной, выраженное в словесной форме.
28 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств Примеры: очень большой отрицательный, средний отрицательный, cpeд ний положительный, очень большой положительный, старый, молодой, хороший, средний, приятный, неприятный, истинный, ложный. Линrвистическое значение всеrда присутствует в модели совместно со связанной с ним линrвистической переменной. Примеры: высокое атмосферное давление, сильное течение, молодой воз раст (человека), истинная информация, ложная информация. . Нечеткие числа Понятие нечеткоrо числа будет рассмотрено в rлаве з. Примеры нечетких чисел: около нуля, примерно 5, более (менее) 5, HeMHoro более 9, приблизительно между 10 и 12. Оценка пара метров системы с использованием линrвистических зна чений основана на восприятии человека и не требует технических изме рительных устройств, в то время как при использовании с этой целью нечетких чисел подобные устройства необходимы. С помощью нечетких чисел можно обобщать большие объемы точных данных, являющихся результатами измерений или обращений к базам данных, например ин формацию о цене X i на акции не которой компании (рис. 2.2). Данные, представленные на рис.2.2 в точной (четкой) форме, можно обобщенно представить в виде нечеткоrо числа: «приблизительно в пределах между 9 и 11» или «около 1 О». цена акций 10 11 9 о время Рис. 2.2. Пример большоrо объема данных о точном значении пара метра
2.1. Нечеткие множества 29 На практике применяются смешанные наборы значений линrвистиче ских переменных см., например, (Abel 1991; Koch 1993). В частности, возможны шкалы следующеrо вида: отрицательный, около нуля, положительный, большой отрицательный, средний отрицательный, малый отрицатель ный, около нуля, малый положительный, средний положительный, большой положительный. . Линrвистическое терммножество переменной Линrвистическим терммножеством называется множество всех линr вистических значений, используемых для определения некоторой линr вистической переменной. Данное множество также называют базисным линrвистическим множеством (Bertram 1994), линrвистической предмет ной областью, либо линrвистической областью (пространством) значе ний. Для обозначения терммножеств будем использовать прописные ла тинские буквы: X L == {отрицательный. положительный} == {lLl,.1;L'2}' Y L == {малый. средний большой} == {YLl YIJ2 YL;3} . Линrвистическая область значений (линrвистический универсум) представляет собой конечное множество. . Область значений переменной Областью значений переменной является множество всех числовых зна чений, которые может принимать определенный пара метр изучаемой си стемы, либо множество значений, существенных с точки зрения решае мой задачи (модели системы). Для области значений используются также следующие названия: пространство значений (пространство рассуждений) (Bertram 1994), поле значений (Abel 1991), пространство (Kacprzyk 1986; Yager 1994,1995), множество (Kacprzyk 1986), область значений (область рассуждений), предметная область (Yager 1994,1995), базисный диапазон (Кпарре 1994), множество элементарных значений (Kruse 1994). СЛОБО «числовых» употреблено здесь, чтобы подчеркнуть отличие этих значений от линrвистических. Области значений переменных бу дем обозначать прописными латинскими буквами, например:
30 rлава 2. Основные понятия теории нечетких 1\1ножеств х \ а о 100 мм х == {х: х Е 1R. O:(:r :( 100 (м м) } Рис. 2.3. Непрерывный числовой интервал значений позиции поршня ;с х == {х} бесконечная (непрерывная) область, ..tY == {Х1, Х2, ..., Х п } конечная, дискретная область. При мер непрерывной области значений переменной приведен на рис. 2.3. Пример дискретной области значений: Х == {.Т 1 == 1. .Т'2 == о. 75. .... l' К == о. 75. .r 9 == 1} . МОЩНОСТЬ числовой области значений ощность числовой области значений (числовой предметной области) есть число содержащихся в ней элементов: IIXII == n. (2.1) . Нечеткое множество Нечетким множеством А, определенныl'Л на не которой числовой пред метной области х, называется множество пар: А == {( '! А (.1" ) , .с )}. V.T Е Х. (2.2) rде для каждоrо элемента Х Е Х степень РА ero принадлежности множе СТВУ ..14 задается с помощью функции принадлежности IlA(X), при этом РА(Х) Е [0.1]. Функция принадлежности отображает числовую область значений Х данной переменной на отрезок [0,1]: JL А: .. [О, 1]. Понятие нечеткоrо множества обеспечивает возможность математиче cKoro представления качественных оценок, выражаемых людьми в форме линrвистических значений и нечетких чисел.
2.1. Нечеткие множества 31 . МОЩНОСТЬ нечеткоrо множества Мощность нечеткоrо множества определяется как число содержащихся в н е м пар (р 4 ( х ) . .]; ) : 11..411 == п. Значение мощности нечеткоrо множества А совпадает со значением мощности ero предметной области х. . Функция принадлежности и степень принадлежности Функция принадлежности ставит в соответствие каждому значению х заданной переменной некоторое число из интервала [0,1]: РА(Х): Х [Ol]. Vx Е х. (2.3) Это число, называемое степенью принадлежности, характеризует степень, с которой элемент х принадлежит нечеткому множеству А. Функция принадлежности может быть задана в виде: rрафика (в непрерывном случае) или диаrраммы (в дискретном слу чае) , аналитическоrо выражения (формулы), таблицы, вектора степеней принадлежности, суммы или интеrрала. При задании функции принадлежности с помощью формулы целе сообразно ввести лоrическую переменную ш, оrраничивающую область значений пере мен ной .r: { 1 1['== О если а .Т a в друrих случаях. (2.4) в этом случае функция принадлежности, представленная на рис.2.4, допускает следующую форму записи: 11 (:1") == ш ( а }Ixl ) . (2.5) Дискретная функция принадлежности может быть представлена в ви де табл.2.1. Замечание. В качестве значений х в таблице MorYT выступать не толь ко числа, но и какиели60 объекты, человеческие индивидуумы или аб страктные понятия. Например, таблица может содержать информацию о принадлежности различных компаний множеству А преуспевающих предприятий (табл.2.2).
32 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств {L( х) б) М(Х) а) «примерно ноль» 1.0 О 0.75 (i) 0.5 I I 1 : 00.25 1 1 I 1 I I 1 0.75 (i) 0.5 (i) 1 I I 0.25 (i) : I 1 I 1 1 I t I I 1 a: I 1 1 1 1 .... о I 1 а: Х I 1 1 , . 1 a о а Х w Рис. 2.4. rрафическая форма задания непрерывной (а) и дискретной (б) функции принадлежности нечеткоrо числа «примерно ноль» Таблица 2.1 При мер табличноrо задания функции принадлежности хЕХ Xl == а Х2 == o. 75а Хз == O.5a Х4 ::::: O.25a Х5 == О МА(Х) 0.00 0.25 0.5 0.75 1.00 хЕХ Ха == О.25а Х7 == О.5а Xg == о. 75а Xg == а МА(Х) 0.75 0.5 0.25 0.00 Если порядок следования всех n элементов Xi области определения Х фиксирован, то функция принадлежности l\10жет быть задана в виде вектора степеней принадлежности VA: VA == {fLA(Xl), fLA(X2), ..., fLA(X n )}. (2.6) Пример. VA == {о.оо, 0.25, 0.50, 0.75 1.00, 0.75 0.50, 0.25, о.оо}. Дискретное нечеткое множество также может быть записано в форме суммы (Zimmermann 1994а): n А == МА (Xl) + Р,А (Х2) + . . . + МА (х,,) == L /l A ;Xi) . (2.7) Xl Х2 Х п i==l 1 Таблица 2.2 Табличное задание функции принадлежности множества преуспевающих предприятий хЕХ Компания 1 Компания 2 . . . Компания (п 1) Компания n МА (:r» 0.4 0.5 . . . 1.00 1.00
2.1. Нечеткие множества 33 Приведенная запись означает, что множество А представляет собой объединение (а не арифметическую сумму) пар (MA(x)jx)*. Пример. А 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 == a + 0.75a + 0.5a + 0.25a + о + 0.25а + 0.5а + О.75а + . Непрерывное нечеткое множество может быть записано в виде инте.. rрала (Zimmermann 1994а): А == J МА;Х) . (2.8) х Приведенная запись означает, что нечеткое множество А представля ет собой объединение континуума пар (мл(х)jх). Пример. «Вещественные числа, близкие к нулю» (рис. 2.4). А == J w ( alxl ) jx. (2.9) х При записи функции принадлежности элементы Xi, степень принад лежности которых нулевая, как правило, опускаются. . Пустое нечеткое множество Нечеткое множество А, функция принадлежности МА(Х) KOToporo равна нулю на всей предметной области Х, называется пустым и обозначается символом 0: 0: Ме;(Х) == О, \/х Е х. (2.10) . Универсальное нечеткое множество Нечеткое множество, все элементы предметной области KOToporo име ют степень принадлежности, равную 1, называется универсальным (Кпарре 1994) и обозначается символом И: и: J-L[J(х) == 1, \/х Е х. (2.11) Пустое (3 и универсальное И множества соответствуют предельным случаям. Соотношение 0АU (2.12) справедливо для любоrо нечеткоrо множества А. * Пару МА (x) / X, i == 1, . . . , n, МА (х l) > о можно рассматривать как одноэлементное нечеткое множество. Тоrда А есть объединение таких множеств. В случае дискретноrо нечеткоrо множества А это утверждение имеет вид (2.7), [де вместо традиционноrо зна ка U, соответствующеrо операции объединения множеств, принято использовать знаки + и L::. Прuм. ред.
34 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств м Ми (х) 1 о о х х х х Рис. 2.5. Пустое нечеткое множество Рис. 2.6. Универсальное нечеткое множество и . Нормальные нечеткие множества Допустимый диапазон значений функции принадлежности не обязан оrраничиваться интервалом от О до 1. Теоретикомножественные опе рации не выводят за пределы данноrо интервала, в то время как при BЫ полнении арифметических операций MorYT получаться значения степени принадлежности, большие 1. Если обозначить максимальное значение степени принадлежности множеству через SUP x МА(Х), то любое непустое нечеткое множество А может быть нормировано (Кпарре 1994; Zimmermann 1994а) путем дe ления исходной функции принадлежности на ее максимальное значение. Функция принадлежности результирующеrо множества А п будет прини РА(Х) м А ( :r: ) SUP x МЛ(Х) == 1 SUP. r Мл (х) < 1 1 о о х х а) 6) Рис. 2.7. При меры нормальноrо (а) и субнормальноrо (6) нечетких множеств
2.1. Нечеткие множества 35 мать значения в интервале от О до 1: ILА п МА (х) SUPx МА(Х) . (2.13) Нечеткое множество называется нормальным (нормированным), ec ли ero функция принадлежности принимает значения в интервале от О до 1 (при этом существуют элементы, степень принадлежности которых равна 1). Нечеткое множество называется субнормальным, если максималь ное значение ero функции принадлежности меньше 1. Субнормальными являются результаты некоторых операций над нормальными нечеткими множествами. . Набор Набором (пакетом) В называется любое множество элементов предмет ной области (области определения) Х, при этом допускаются MHoroKpaT ные вхождения одноrо и Toro же элемента в набор. Пример. На предметной области Х == {Х1,Х2,ХЗ,Х4} можно задать Ha бор: В* == {Xl, Х2, Х2, ХЗ}. Различие между понятиями множества и набора состоит в том, что множество не может содержать MHoroKpaTHbIe вхождения одноrо и TO ro же элемента. Нечетким набором В (Yager 1994,1995) называется набор пар вида (элемент Х, степень принадлежности элемента Х набору В): B=={(X,ILB(X))' VXEX}. (2.14) П В { 0.7 0.9 0.6 0.5 } ример. , . Tl Х2 Х2 Тз Нечеткие наборы появляются в результате выполнения арифметиче ских (т. е. не относящихся к теоретикомножественным) операций над нечеткими множествами, например, суммирования нескольких нечетких множеств (Yager 1994,1995). Поскольку один и тот же элемент может входить в набор MHoroKpaTHo, то совокупная степень ero принадлежно сти (в арифметическом, а не теоретикомножественном смысле) может превосходить 1.
36 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств При меры нечетких множеств приведены на рис. 2.82.10. ХОЛОДНЫЙ очень теплый 10 о 10 20 30 40 тое Рис. 2.8. Возможный вид нечетких множеств «холодный», «теплый» И «очень теплый» при их использовании для качественной оценки температуры м( К) 1 хороший коллеrа О О О О К 1 К 2 К з К4 К5 коллеrи K Адам Бен Крис Дэйв Эдди 0.5 о Рис. 2.9. При мер дискретноrо нечеткоrо множества «хороший коллеrа» м( Z) 1 средняя большая 0.5 О 25 50 75 100 степень облачности [%] Рис. 2.10. При меры нечетких множеств, используемых для rрубой оценки степени облачности z
2.2. Характеристические параметры нечеткоrо множества 37 2.2. Характеристические параметры (показатели) нечеткоrо множества . Высота нечеткоrо множества А Определяется как максимальное из значений, принимаемых функцией принадлежности нечеткоrо множества на всей области определения Х: lt(A) == sup (МА(Х)). хЕХ Поскольку функция принадлежности нечеткоrо множества в общем случае может иметь несколько локальных максимумов, высота (2.15) определяется с помощью точной верхней rрани (sup). (2.15) . Носитель нечеткоrо множества А Представляет собой четкое подмножество области определения Х, co держащее все элементы, степени принадлежности которых множеству А отличны от нуля: S(A) == supp(A) == {х : !LA(X) > О, Х Е Х}. (2.16) Носитель нечеткоrо множества является более узким по сравнению с областью определения либо совпадает с ней. . Ядро нечеткоrо множества А Представляет собой четкое подмножество области определения Х, co держащее все элементы, принадлежащие множеству А со степенью, paB ной 1: С(А) == core(A) == {х : !lA(X) == 1, Х Е Х}. (2.17) Нормальное нечеткое множество имеет непустое ядро, в то время как ядро субнормальноrо нечеткоrо множества является пустым. J1(X) 1 ядро А о носитель А х Рис. 2.11. Характеристические показатели нечеткоrо множества
38 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств JLA (Х) 1.0 I I 0.5 8(.4.) == {7} о 4 5 6 7 8 9 10 Х Рис. 2.12. Одноэлементное нечеткое множество . Одноточечное (одноэлементное ) нечеткое множество Представляет собой нечеткое множество А, носитель KOToporo S(A) co держит в точности один элемент (т. е. А имеет только один элемент с ненулевой степенью принадлежности). . Вертикальное представление нечеткоrо множества Вертикальная форма представления нечеткоrо множества COOTBeTCTBY ет ero представлению в виде множества пар (элемент х множества А, степень принадлежности элемента х множеству А). Такая форма пред ставления нечеткоrо множества (рис.2.13) используется наиболее часто (Kruse 1994). jLЛ (х) 1.0 IrIIT1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I (f) I I I I I I У I I I I I I I I I I I I I I I I I I 0.5 i1iii I I I I I I I I I I I I I I ).., I I I I I I l,J) I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I о 1234567 х JJА(Х) 0.25 0.5 0.75 1 0.5 х 1 2 3 4 5 Рис. 2.13. При меры вертикальноrо представления дискретноrо нечеткоrо множества
2.2. Характеристические параметры нечеткоrо множества 39 м(х) 1 Ao.5 AO.25 0.75 0.5 0.25 о AO "" х носитель Рис. 2.14. Примеры асрезов нечеткоrо множества А . fОРИЗ0нтальное представление нечеткоrо множества rоризонтальная форма представления нечеткоrо множества соответствует * ero заданию с помощью так называемых о:срезов Ай (рис.2.14). Введение понятия о:срезов обусловлено тем, что в ряде случаев ero использование упрощает процедуру извлечения экспертных знаний для построения функции принадлежности. Например, если эксперт затруд няется задать конкретные значения степеней принадлежности элементов нечеткому множеству, то ero можно спросить о том, какие из них при надлежат нечеткому множеству со степенью, не меньшей а; ответить на такой вопрос, как правило, леrче. Пример. Построить функцию принадлежности нечеткоrо множества «друзья» можно, задавая вопросы вида: «Koro из ваших знакомых вы считаете приятелями (о: > О.Б)?» «Koro вы считаете настоящими друзьями (а == 1)?» «Koro вы не считаете своими друзьями (о: == О) ?» Существуют два способа определения асрезов (Кпарре 1994): А>Й == {х : Х Е Х, Aa == {х : х Е Х, ILA(X) > а}, ILA(X) о:}. (2.18) При () () осрез совпадает с носителем множества S(A), а при а == 1 с ero ядром С(А) (рис. 2.14). По множеству Qсрезов нечеткоrо множества можно с требуемой точ НОСТЬЮ восстановить ero функцию принадлежности. Для дискретноrо '" в отечественной литературе альфасрезы часто называют множествами альфа уровня, а rоризонтальное представление нечеткоrо множества разложением нечеткоrо множества по множествам уровня. Прuм. перев.
40 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств ILA (х) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 О -т r ., ...., т I т I I I Ф I I I I I I I I I I I I I I 1 : 1 L p L J L J I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I UJ I I I LLJLL I I I I I I I I I I Ф I I I I I I I I I I I I ,.l I I I I I I I I W I I -t r -t 1"" ---1 т I + ' I I I I I I I I I т I I I I I I (т) I У I I I I I I У I а==l а ==0.75 () == о..') а == 0.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l' Рис. 2.15. Дискретная функция принадлежности нечеткоrо множества А множества число необходимых срезов конечно, для непрерывноrо BO обще rоворя, бесконечно (хотя во мноrих частных случаях оказывается конечным). Если на области определения известны элементы отдельных асрезов нечеткоrо множества А, то ero функцию принадлежности МА (х) можно * аппроксимировать следующим образом : МА(Х) == sup (о: ./LA>Ct (х)) cxE[O,l] либо МА(Х) == sup (о:. МА?й (х)). cxE[O,l] (2.19) При мер 2.2.1. Пусть задано нечеткое множество (рис. 2.15) A== { 0.4 0.9 0.80.6 0.3 } l' 2' з' 4 5' 6 7' 8 . Срезы Aa: Al == {}, Ao.75 == { ' ' } , Ao.5 == { } AO.25 == { } 3'4'5'6 · 2З'4'5'6'7 AO == { } l'2'З'4'56'7'8 . Степени принадлежности элементов о:срезам MorYT принимать толь ко значения О и 1. Представление множества А через ero о:срезы имеет :r Здесь, в отличие от (2.2), через МА (х) обозначается приближенное представление функции принадлежности рА (х), \/х Е Х, посредством асрезов. Прuм. ред.
2.2. Характеристические параметры нечеткоrо множества 41 МА (х) 0.4 0.2 О 1.0 .,.rl ""TITI I I / I ,1 I I I I О 8 I I / I \ I I I I I . I I I / l' I I I I T: I , iti о. 6 I I / I I I ", I I I I I / I I 1', I I I 1.I ,/.iLJ .JL.J I I I I I I I , I I I I / I I 1 1', I I I I / I I I 1', I I I 1/ I I I l' I I ;- t"---1T +' I / I I I I 1 1', I I / I I I I I I \ I " I I I I I 1" I 2 3 4 5 6 7 8 9 х Рис. 2.16. Исходная функция принадлежности f-LA (х) (сплошная линия) и функция f-LA (х), восстановленная с помощью асрезов (пунктирная линия) вид: * ( ( 1 ) ( 1 1 1 ) h ( 1 1 1 1 ) I/ А( Х ) == SH p 1. +0.75. +0.0. + 4 34'5 З'4'56 аЕ[о,l] h ( 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 )) + 0.20. 2':3' 4 ' 5 ' 6 ' 7 + О. 1':2':3' 4 ' 5 ' {3 , 7 . 8 ( О 0.25 0.75 1.0 0.75 0.5 0.25 О ) 1'2'3'4'5'6'7'8 . Если сопоставить исходную функцию принадлежности МА(Х) с функ цией fLЛ(Х), восстановленной с помощью асрезов (рис. 2.16), то можно заметить, что результат восстановления не является абсолютно точным. Повысить точность можно путем увеличения числа асрезов, либо за счет оптимизации их выбора. . . МОЩНОСТЬ (кардинальное число) нечеткоrо множества Для дискретноrо нечеткоrо множества мощность IIAII, или кардинальное число card(A), определяется как сумма степеней принадлежности всех ero элементов: IIAII == card(A) == L {LA(X), .rES(A) [де )(A) носитель нечеткоrо множества. Мощность непрерывноrо нечеткоrо множества мощи интеrрирования функции принадлежности: (2.20) вычисляется при по IIAII == cat"d (А) == ! I1А (:r) d:r. YES'( А) (2.21)
42 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств Интеrрирование или суммирование про изводится по элементам носи теля нечеткоrо множества, поскольку степень принадлежности осталь ных элементов области определения равна нулю. Понятие мощности поз воляет сравнивать различные нечеткие множества между собой. Пустое нечеткое множество имеет нулевую мощность. . Относительная мощность нечеткоrо множества Относительная мощность дискретноrо нечеткоrо множества определяется как доля ero мощности, приходящаяся на один элемент области опреде ления Х: L fLA(X) IIAI\x == хЕХ N (2.22) rде N число элементов области определения. Относительная мощность непрерывноrо нечеткоrо множества задает ся формулой f fJ А ( Х ) dx I/AI/x == .тЕХ J dx .тЕХ (2.23) в случае бесконечно большоrо числа N элементов дискретноrо нечет Koro множества или неоrраниченной области определения непрерывноrо нечеткоrо множества суммирование или интеrрирование можно произво дить по элементам носителя В(А). . Выпуклые и не выпуклые нечеткие множества Примеры выпуклоrо и невыпуклоrо множеств представлены на рис. 2.17. м(х) м(х) 1 1 а А>а О О Хl Х2 ХЗ Х Х а) 6) Рис. 2.17. Примеры выпуклоrо (а) и невыпуклоrо (6) нечетких множеств
2.3. Линrвистические модификаторы нечетких множеств 43 Выпуклое нечеткое множество обладает тем свойством, что все ero a срезы являются связными, одноинтервальными подмножествами области определения х. У невыпуклоrо множества имеются несвязные асрезы, состоящие из нескольких частей (рис. 2.17, б). Невыпуклые нечеткие множества MorYT возникать в результате BЫ полнения теоретикомножественных, алrебраических и арифметических операций над множествами (исходные множества при этом MorYT быть выпуклыми). Для выпуклых нечетких множеств справедливы следующие условия: хl Х2 ХЗ ==> МА(Х2) ? min (МА(Хl),МА(ХЗ)), V' X l, Х2, ХЗ Е х, (2.24) или МА ( лх l + (1 л)хз) ? min (МА(Хl), МА(ХЗ)), V' л Е [0,1] и V'Xl, ХЗ Е х. (2.25 ) 2.3. Линrвистические модификаторы нечетких множеств Линrвистические модификаторы используются для создания нечетких множеств, являющихся производными от некоторых ранее заданных. Ha пример, если имеется нечеткое множество «холодный», то на ero основе с помощью линrвистических модификаторов можно получить множества «очень холодный» или «более или менее холодный». Существуют три основных модификатора (называемых также опера торами) : оператор концентрирования, оператор растяжения, оператор повышения/понижения контрастности. . Оператор концентрирования нечеткоrо множества Если А нечеткое множество, соответствующее линrвистическому зна чению li, то данный оператор позволяет получить производное значение «очень l». Действие оператора концентрирования можно описать в виде следующей формулы"': f1JCON(A)(X) == CON (МА(Х)) == МА(х)2, Vx Е х. (2.26) Результат действия оператора на линrвистическое значение «средний» С треуrольной формой функции принадлежности показан на рис. 2.18, а. От concentration концентрирование. Прuм. ред.
44 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств М(Х) М(Х) 1 средний большой 1 I , очень большой J J I I I I / / " очень средний \ \ \ \ , , , , о о с Х Х а) 6) Рис. 2.18. Пример действия оператора концентрирования на внутреннее (а) и крайнее (6) нечеткие множества Применительно к внутреннему нечеткому множеству с треуrольной формой функции принадлежности (рис. 2.18, а), смысл концентрирова ния заключается в том, что «очень средними» следует считать только те значения х, которые расположены очень близко к центру с носителя множества. Использование данноrо оператора возможно и для крайних нечетких множеств, таких как множество «большой» на рис. 2.18, 6, oд нако вместо этоrо в подобных ситуациях часто строят новое крайнее нечеткое множество «очень большой» (рис. 2.19). . Оператор растяжения нечеткоrо множества Данный оператор преобразует исходное нечеткое множество А, COOTBeT ствующее линrвистическому значению l, во множество, соответствую щее линrвистическому значению «слеrка li» или «более или менее li». М(Х) 1 средний большой очень большой о х Рис. 2.19. Альтернатива концентрированию множества «большой»
2.3. Линrвистические модификаторы нечетких множеств 45 М(Х) 1 " " / / I I I I I , , I р,(х) более или менее средний , , , \ \ \ \ средний \ , , , 1 , слеrка холодный , , \ \ \ \ \ холодный о о с Х Х а) 6) Рис. 2.20. Действие оператора растяжения на внутреннее (а) и крайнее (6) нечеткие множества Ero действие противоположно действию ко нцент рирования *: /LDIL(A)(X) == DIL (МА(Х)) == V llA(X), Vx Е х. (2.27) Оператор растяжения приводит к увеличению степеней принадлеж ности элементов нечеткоrо множества. Пример ero действия представлен на рис. 2.20. Смысл операции растяжения заключается в том, что элементы х носи теля множества, расположенные дальше от ero центра с, соответствуют понятию «более или менее средний» в большей степени, чем понятию «средний» . . Оператор повышения контрастности нечеткоrо множества Характерной особенностью моделей, основанных на применении нечет ких оценок, является нечеткость rраниц между отдельными линrвисти ческими значениями (рис. 2.21). rраницы между отдельными линrвистическими значениями являют ся размытыми при нечетком оценивании (рис. 2.21, а) и, наоборот, явно выражены при использовании четких оценок (рис. 2.21, б). Используя опе ратор повышения контрастности, нечеткие множества lVIОЖНО приводить К четкому виду. Изменяя уrлы наклона ветвей функции принадлежности, он позволяет более четко выделять rраницы перехода от одноrо нечеткоrо множества к друrому (рис. 2.22). Оператор повышения контрастности задается с помощью двух фор мул, первая из которых соответствует степеням принадлежности, MeHЬ * От dilаtаtiоп растяжение. При.М. ред.
46 --- [лава 2. Основные понятия теории нечетких множеств М(Х) малый средний большой 1 о с d е а) М(Х) малый средний большой 1 о ... .... f Х е Х 6) Рис. 2.21. Нечеткие (а) и четкие (6) rраницы линrвистических оценок .... 1 2 ( 1M(x))2 .... \ , 2M(x)2 (х) " о Х Рис. 2.22. Действие оператора повышения контрастности нечеткоrо множества * шим 0.5, а вторая степеням, большим либо равным 0.5 (рис.2.22) : J-LINT(A) (х) == INT (J-LA (х)) == { 2(J-LА(х))2 12(1J-LA(X))2 для МА(Х) < 0.5, в остальных случаях. (2.28) Повышение контрастности можно усиливать, используя степени, большие 2. При стремлении показателя степени к бесконечности функ ция принадлежности МА(Х) принимает прямоуrольную форму и мы при ходим к обычному множеству с четкими rраницами (рис. 2.23). . Оператор понижения контрастности нечеткоrо множества Действие данноrо оператора противоположно действию оператора по вышения контрастности. Операция понижения контрастности, обозна '" От intensification усиление, ПОВЫIllение. [7рим. рсд.
2.3. Линrвистические модификаторы нечетких множеств 47 М(Х) 1 1 2(n1)(1 м(х))n , n..........,.оо 1/ 1 1 1 о Х Рис. 2.23. Четкое множество как предельный случай повышения контрастности нечеткоrо множества чаемая аббревиатурой BLR*, выполняется в соответствии с формулой (Kacprzyk 1986): fLBLR(A)(X) == BLR(JLA(X)) == { 1 2(1 МА(х))2 2(МА(х))2 для МА (T) < 0.5, для МА (х) 0.5. (2.29) Для усиления действия данноrо оператора можно использовать степе ни n > 1. При очень больших степенях нечеткое множество преобразует ся в точку, которая совпадает с ero модальным значением m (рис. 2.24, б). М(Х) М(Х) n"""* 00 2(n1)(MA(X))n Х х 1 2(1 fLл(х))2 о о \ а) 6) 1 2(п1)(1 /LA(X))n Рис. 2.24. Понижение контрастности нечеткоrо множества при 'П == 2 (а) и пре дельная форма нечеткоrо множества при п 00 (6) * От ыlп'iпgg размывание. Прuм. перев.
48 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств М(Х) а) 6) М(Х) 1 1 о о m Х m Х М(Х) в) 1 тl + т2 2 о 1пl тп т2 Х Рис. 2.25. Модальное значение m нечетких множеств различных типов: а) треуrольноrо, 6) одноэлементноrо, в) трапециевидноrо . Модальное значение нечеткоrо множества Понятие модальноrо значения (Kahlert 1995) rлавным образом использу ется для нечетких множеств с ядром, содержащим единственный элемент области определения Х (рис. 2.25, а, 6). Если ядро нечеткоrо множества содержит более одноrо элемента, то для TaKoro множества модальное значение определяется как среднее значение элементов ядра (рис. 2.25, в). . Нечеткие множества, для которых выполняется условие разбиения единицы Важным и полезным свойством нечетких множеств, описывающих BXOД ные параl\lетры системы управления, является выполнение условия разби ения единицы (2.30) (Brown 1994), которое состоит в равенстве 1 CYf\1Mbl степеней принадлежности для каждоrо из ЭЛСl\1ентов х области опреде ления: L МА/, (з:) 1, Ух Е Х, h (2.30)
2.3. Линrвистические модификаторы нечетких множеств 49 р,(х) р,(х) а б о о р,(х) х х в Al А 2 Аз А4 о х Рис. 2.26. При меры нечетких множеств A't, для которых выполняется (а) и не выполняется (Б J в) условие разбиения единицы rде h номер нечеткоrо множества. Пример выполнения данноrо условия приведен на рис. 2.26, а, пример невыполнения на рис. 2.26,6) 8. При выполнении условия разбиения единицы модель обычно имеет более rладкую поверхность отклика по сравнению с моделями, исполь зующими нечеткие множества, подобные представленным на рис. 2.26,6, в то время как множества на рис. 2.26, 8 приводят к более плоским по верхностям. Нечеткие множества, для которых условие разбиения едини цы не выполняется, можно привести к виду, удовлетворяющему данному условию. Пример 2.3.1. Коррекция нечетких множеств A i на рис. 2.27 выполня ется следующим образом (А: преобразованные множества): * ( ) /1/! i (а) 11.4 1 (а) 1 JL 4 а == == == .1 ILAl (о) + /1'А 2 (0) ILAl (а) , * (Ь) Р'.4 1 (Ь) 0.2 О 5 f-lА .. 1 /lЛ 1 (Ь) + !1А 2 (Ь) 0.4
50 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств а) р(х) р(х) б) 0.5 А 2 Аз , ) о а Ь с d е х о а Ь с d е х Рис. 2.27. Приведение нечетких множеств, не удовлетворяющих условию раз биения единицы (а), к виду, для KOToporo данное условие удовлетворяется (6) Преобразование функций принадлежности нечетких множеств A h , представленных на рис. 2.27, а, приводит к множествам на рис. 2.27, 6. Однако, следует отметить, что в результате TaKoro действия изменяется форма функции принадлежности, а также возникают сложности, связан ные с обработкой интервалов, не принадлежащих ни одному из множеств, например интервала (d; е) на рис. 2.27. Интервалы TaKoro типа MorYT воз никать при подстройке (адаптации) нечетких моделей на основе входных и выходных данных (т. е. применении алrоритмов самообучения). В pe зультате возникает совокупность областей, нечувствительных к измене нию соответствующих входных параметров. Условие разбиения единицы называют иноrда также условием пере крытия функций принадлежности или условием приведения этих функ ций К единице. . 2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств в практических приложениях теории нечетких множеств используется большое количество различных типов функций принадлежности. Здесь мы рассмотрим ряд как простых, так и сложных ВИДОВ этих функций и обсудим их свойства. . ФУНКЦИИ принадлежности, состоящие ИЗ прямолинейных участков Такие функции применяются на практике достаточно часто, что оБУСJIОВ лено их простотой. На рис.2.28 показаны различные формы наиболее часто используемой функции мноrоуrольной формы.
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 51 р(х) 1 о х Рис. 2.28. Формы наиболее часто используемых кусочнолинейных функций принадлежности: а крайняя левая функция принадлежности; б, ж асим метричная треуrольная функция принадлежности; в, з асимметричная трапе циевидная функция принадлежности; r симметричная трапециевидная функ ция принадлежности; Д симметричная треуrольная функция принадлежно сти; е прямоуrольная функция принадлежности; и крайняя правая функция принадлежности Существенным преимуществом мноrоуrольных функций принадлеж ности является то, что для их определения требуется наименьший по сравнению с остальными функциями объем информации, который в данном случае оrраничивается данными об уrловых точках, что явля ется весьма важным обстоятельством при моделировании систем в усло виях оrраниченности объема исходных данных. Чтобы определить MHO rоуrольную функцию принадлежности, на практике обычно требуется за дать лишь модальное значение соответствующеrо нечеткоrо множества. При мер 2.4.1. Значения входных и выходных величин реальных систем обычно оrраничиваются некоторым диапазоном изменения. Например, перемещение поршня в серводвиrателе может изменяться в пределах диа пазона Xmin Х Хmах. Функция принадлежности может иметь форму, представленную на рис. 2.29. В случае, представленном на рис. 2.29, для полноrо задания трех функций принадлежности достаточно трех (вместо девяти) значений: J' ll1iп, :1" пнd . .Т ПНtх . Если, Пi) мнению эксперта, модальное значение внутренней функции принадлежности находится в середине диапазона изменения параметра, то требуется только два значения: .Т П11П И J>lnax, поскольку В этом случае значение X'nled однозначно определяется на их основе. .
52 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств М(Х) малый средний большой о Х mlll Xmect Х mаХ Х Рис. 2.29. При меры функций принадлежности для случая, коrда диапазон изменения пара метра оrраничен с обеих сторон Чтобы определить модальное значение треуrольной функции (т. е. Be личину Xmed), следует ответить на единственный вопрос о том, какое значение х следует считать наиболее характерным для данноrо линrви стическоrо значения (наприrvlер, значения «средний» на рис. 2.29). Для записи математическоrо выражения f\1ноrоуrольной функции при надлежности следует использовать лоrические переlVlенные W( {0,1}. При мер 2.4.2. В случае трапециевидной функции принадлежности (рис. 2.30, а) вводятся следующие лоrические переменные: 1111 == { 1 для а х < Ь, О в друrих случаях, 102 == { 1 для Ь х < с, (2.31) О в друrих случаях, wз == { 1 для с х d, О в друrих случаях. М(Х) а) 6) р(.т) о ..r {/ о :Т Ш2 Н):З 'Ш Рис. 2.30. Асимметричная трапециевидная и симметричная треуrОJ1ьная функции принадлежности
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 53 Функция принадлежности, имеющая форму асимметричной трапеции, может быть представлена в виде ( xa ) ( dX ) м(х)==ш] ba + UJ 2+ ИJ з dc . (2.32) в случае симметричной треуrольной функции (рис. 2.30,6) требуется ввести только одну лоrическую переменную Ш: ш=={ для (е а) ( Х < (е + а), в друrих случаях. (2.33) Функция принадлежности может быть записана в виде ( alxel ) М(Х)==Ш . а (2.34) . Достоинства мноrоуrольных функций принадлежности 1. Для их задания требуется малый объем данных. 2. Простота модификации параметров (модальных значений) функции принадлежности на основе измеряемых значений входных и выходных величин системы. 3. Возможность получения в рамках модели отображения «BXOДBЫXOД» в виде rиперповерхности, состоящей из линейных участков. 4. Для мноrоуrольных функций принад,лежности леrко обеспечивается выполнение условия разбиения единицы (в соответствии с которым сумма степеней принадлежности для любоrо элемента Х должна paB няться 1). Недостатки мноrоуrольных функций принадлежности 1. Мноrоуrольные функции принадлежности не являются непрерывно дифференцируеМЫlYIИ. Пример 2.4.3. Как l\10ЖНО видеть на рис.2.31, производная функции принадлежности в точках разрыва изменяется скачкообразно. Таки:rvl об разом, модель системы, содержащая подобные функции, также не явля ется непрерывно дифференцируемой. .
54 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств J-L(X) 1 dp,(x) dx l/a о I I I I I b а : h I I I 1/ а I Ь+и Х ... ... ba Ь Ь+а Рис. 2.31. Треуrольная функция принадлежности и ее производная В некоторых работах (Preuss 1994а; Rummelhart 1986) высказывается мнение о том, что отсутствие непрерывной дифференцируемости функ ций принадлежности усложняет процесс адаптации (обучения) нечетких моделей. Вместе с тем, результаты исследований автора и ero коллеr (Piegat 1996,1997а) позволяют утверждать, что модели с функциями при надлежности paccMoTpeHHoro вида все же обладают хорошими адаптив ными свойствами. . Интуитивные функции принадлежности Функции принадлежности, которые, часто на подсознательном уровне, использует человек, называют интуитивными функциями принадлежно сти. Исследования, преимущественно связанные с методами классифика ции решений (Altrock 1993), позволили сделать вывод о том, что для ин туитивных функций принадлежности справедлив ряд свойств, именуе мых аксиомами Шваба. Аксиома 1. Интуитивные функции принадлежности М(Х) являются непрерывными на всей числовой области определения х. Выражаемая человеком качественная оценка величины Х не изменяет ся скачкообразно ни при каком достаточно малом изменении ее значения. Таким образом, интуитивная функции принадлежности не может иметь вид, представленный на рис. 2.32. Пример 2.4.4. Весьма сомнительно, что для качественной оценки po ста мы стали бы использовать функцию принадлежности прямоуrольной формы (рис. 2.33), в соответствии с которой человек с ростом 179.9 см считается имеющим средний рост, а тот, кто Bcero лишь на 2 мм выше (т. е. имеет рост 180.1 см), относится уже к ВЫСОКИl\1 ЛЮДЯl\1. Мало кто соrласился бы с подобной классификацией. .
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 55 Аксиома 2. Первая производная интуитивной функции принадлежности М(Х): . ( ) dl1 (х) М х dx ' является непрерывной на всей числовой области определе ния х. Это следует из наблюдения, соrласно которому скорость изменения оценки пара метра Х (т. е. производная этой оценки) не меняется скачко образно при любых малых изменениях caMoro параметра. При мер 2.4.5. В случае, коrда функция принадлежности имеет Tpe уrольную форму (рис. 2.34), любое небольшое изменение переменной Х в окрестности точки Ь приводит не только к скачкообразному изменению значения производной м(х), но также и к изменению ее знака. Тем caMbIlVl, треуrольная функция принадлежности дает весьма rрубое приближение Toro, как делает оценку человек. Отмеченное свойство, тем не менее, не означает, что данные функции не следует использовать в нечетких моделях, поскольку точность модели, содержащей треуrольные функции принадлежности, может быть вполне удовлетворительной. . Аксиома 3. Вторая производная интуитивной функции принадлежности М(Х): .. ( ) d 2 J-L ( х ) М Х dx 2 ' непрерывна на всей области определения. Аксиома 4. Интуитивная функция принадлежности имеет минимальное значение кривизны. Данное утверждение означает, что из множества возможных функций принадлежности человек выбирает ту, для которой значение максимума р(:1') 1 о (l т Рис. 2.32. Функция принадлежности, имеющая разрыв в точке Х' == (1
56 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств М(Х) 4 низкий средний высокий 179.9 180.1 '\. ./ J J ... .... о 160 180 Х == рост (см) Рис. 2.33. Пример разрывной функции принадлежности для линrвистической переменной «рост» второй производной является минимальным среди всех таких функций: JL ( х): JL ( х) == aIg min П1ах ( d2 J-L ( Х ) ) . 1), Х dx2 При мер 2.4.6. Для треуrольной функции принадлежности (рис. 2.34) значение кривизны в точках (Ьa), Ь, (Ь+а) столь велико, что ее вторая производная Д(х) обраLЦается в этих точках в бесконечность. Принци пам оценивания, которыми руководствуется человек, в большей степени соответствует функция, представленная на рис. 2.35, обладаЮLЦая малой кривизной и непрерывными первой и второй производными. . м(х) 1/ М(Х) +00 +00 М(Х) 1 Х Х I ba :Ь 'Ь+а I I о ba Ь Ь+а oo Рис. 2.34. Треуrольная функция принадлежности и ее производные р(х) il(.T ji СТ ) Ь Рис. 2.35. При мер непрерывной функции принадлежности с малой кривизной
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 57 Далее мы рассмотрим различные виды функций, которые можно ис пользовать для математическоrо представления интуитивных функций принадлежности. . Симметричная raYCCOBa функция * [ауссова функция описывается выражением IL(X)==exp[( X:b )2] . Вид этой функции изображен на рис. 2.36. Вид данной функции, иноrда называе мой rayccoBbIM колоколом (Preuss 1994а), определяется двумя параметрами а и Ь, rде Ь задает ее модальное значение, и а ширину. На уровне М(Х) == el I"'V 0.36788 (2.35) М(Х) 1 х 0.36788 О ba Ь Ь+а Рис. 2.36. Функция принад лежности rayccoBCKoro типа ширина rауссовой функции равна 2а. Mo дальное значение получают экспертным путем, задавая вопрос о наиболее характерном значении Х для данноrо нечеткоrо множества. Пример 2.4.7. В качестве числовоrо значения, в наибольшей степени характеризующеrо нечеткое множество «средний рост», может быть BЫ брано Ь == 170 см. Для Toro чтобы экспертным путем определить значение параметра а, характеризующеrо ширину функции, можно воспользоваться понятием критической точки k функции принадлежности, под которой понима ется точка со степенью принадлежности, равной 0.5. Любая rayccoBa функция имеет две таких точки (рис. 2.37). Если предположить, что соседние функции принадлежности пересе каются примерно на уровне P(Xk) == 0.5 (что, однако, в нечетких Moдe лях выполняется не всеrда), то критическую точку k можно рассматри вать как точку, для координаты r которой мы не можем указать, какому из нечетких множеств левому или правому она принадлежит в боль шей степени (Altrock 1993). Обычно эту функцию определяют HeMHoro иначе: М(Х) == ехр [ (х i)2 ] . в этом случае точки Ь ::::t: а будут как раз точками переrиба. Прuм. перев.
58 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств f-L(X) низкий средний высокий 0.5 о Xk 1 h Xk2 х == рост Рис. 2.37. [ауссова функция, используемая в качестве функции принадлежности нечеткоrо множества «средний рост» Таким образом, если мы не в состоянии решить, к какой rруппе лю дей низкоrо или среднеrо роста следует отнести человека, имеющеrо рост 165 см, то можно считать, что данное значение принадлежит обо им названным нечетким множествам с одинаковой степенью, равной 0.5, и задает тем самым координату критической точки функции принадлеж ности: Xk == 165 см. По известному модальному значению rауссовой функции (Ь == 170 см) можно вычислить значение BToporo параметра а: [ ( ) 2 ] Xk 170 IL(Xk) == ехр а IXk ы rv 6 а см. == 0.5, . Понятие критической точки k является особенно полезным при опре делении пара метров функции принадлежности путем экспертноrо оцени вания, так как человеку леrче Bcero указать rраничные значения предъ явленноrо показателя и выделить значения, имеющие смысловое разли чие для заданной области ero изменения. При этом эксперт, как пра вило, не в состоянии задать точные значения степеней принадлежности элементов, не имеющих в заданной области смысловоrо различия. По верхность отклика нечеткой модели, использующей rayccoBY функцию, в общем случае является rлобально и локально нелинейной. Достоинства rауссовой функции принадлежности 1. Использование rayccoBbIX функций обеспечивает получение rладких, непрерывно дифференцируемых rиперповерхностей отклика нечеткой модели.
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 59 2. Являясь непрерывно и, более Toro, бесконечно дифференцируемыми (бесконечная дифферецируемость означает наличие производной лю боrо порядка), [ауссовы функции дают возможность проведения Teo ретическоrо анализа нечетких систем (Brown 1994). Недостатки rауссовой функции принадлежности 1. [ауссова функция симметрична, что приводит к нарушению условия разбиения единицы (рис. 2.38). 2. Использование rауссовой функции принадлежности предполаrает за дание большеrо, чем для треуrольной функции, числа параметров (по два пара метра для каждой функции), что усложняет настройку нечет кой модели. 3. [ауссова функция имеет неоrраниченный носитель, что означает, что любой элемент х области определения Х будет принадлежать лю бому нечеткому множеству, задаваемому с помощью этой функции (рис. 2.38), и это может не соответствовать представлениям экспер та о моделируемой системе. Вместе с тем, степени принадлежности элементов х, находящихся далеко от центра rауссовой функции. пре небрежимо малы, вследствие чеrо ширина этой функции на практике оказывается не столь велика. 4. Использование rауссовой функции затрудняет получение простых ло кально линейных поверхностей отклика нечеткой модели. в качестве альтернативы [ауссовым функциям принадлежности с неоrраниченным носителем были предложены бесконечно дифферен цируемые [ауссовы функции с оrраниченным носителем (Werntges 1993). Пример такой функции (Brown 1994) показан на рис. 2.39. р(х) Аl А 2 А: з о Хшill а ь с :r III ах Рис. 2.38. Неравномерное расположение rayccoBbIX функций принадлежности на области определения Х для различных значений ширины
60 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств р(х) х Л1 Л1 + Л2 2 Л2 Рис. 2.39. [ауссова функция принадлежности с оrраниченным носителем (Лl, Л2) Форма данной функции определяется выражением { ехр [ 4(Л 2 х)(х Лl) (Л2 Л 1 )2 ] f1(X) == 4(Л2 х)(х Лl) о для '\1 Х '\2, в друrих случаях, (2.36) [де '\1, '\2 задают узловые точки функции (оrраничивающие ее носитель). [ауссова функция вида (2.36) является симметричной. . Асимметричная raYCCOBa функция Данная функция сочетает в себе преимущество rауссовой функции, свя занное с бесконечной дифференцируемостью, с отсутствием недостатка, выражающеrося в ее симметричности (рис. 2.40). Если ввести вспомоrательную лоrическую переменную w=={ для (х) < х т, в друrих случаях, (2.37) р(х) о e 1 0.36788 Рис. 2.40. Бесконечно дифференцируемая асимметричная rayccoBa функция
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 61 а) р(х) б) М(Х) 0.5 0.5 х о о ь h Рис. 2.41. Левая (а) и правая (6) сиrмоидальные ФУНКЦИИ то асимметричная rayccoBa функция задается в следующем виде: (x) == ш. ехр [ ( х :lт ) 2] + (1 ш) . ехр [ ( х :2 т ) 2] . (2.38) rде тп ее модальное (среднее) значение. При использовании асимметричной rауссовой функции имеется воз можность выполнения условия разбиения единицы (Brown 1994). . Сиrмоидальная функция принадлежности Будучи симметричными, rayccoBbI функции подходят для представления внутренних нечетких множеств. Для представления крайних множеств можно использовать левую и правую сиrмоидальную функцию (рис. 2.41). Правая сиrмоидальная функция зада * ется с помощью выражения : р(х) 1 J1(x) == 1 + ехр [ а . (х Ь)] . Параметр Ь задает координату точки k, принадлежащей нечеткому множеству со степенью 0.5, поэтому ero значение мож но достаточно леrко получить от эксперта. Коэффициент а определяет наклон функ ции В точке переrиба k с увеличени ем ero значения растет величина наклона. При а == 10 вид функции близок к ступен чатому (рис. 2.42). (2.39) J. Рис. 2.42. Форма сиrмоидаль ной ФУНКЦИИ при различных значениях коэффициента Ha клона а '" Здесь а О, потому что при отрицательных а это уже будет левая сиrмоидальная функция. Прuм. перев.
62 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств Коэффициент наклона а можно вычислить на основе экспертной oцeH ки значения ХО.99, т. е. наименьшеrо значения переменной х, которое может с практически полной уверенностью считаться принадлежащим нечеткому множеству, задаваемому сиrмоидальной функцией. Рассматриваемая сиrмоидальная функция достиrает значения 1.0 при Х 00: lim 1 == 1 XOC 1 + exp[a . (х Ь)] , с учетом чеrо на практике можно предполаrать, что значение функции, равное, например 0.99, соответствует полной принадлежности значения переменной хнечеткому множеству. (2.40) Пример 2.4.1. Нечеткое множество «высокий рост» можно задать с по мощью сиrмоидальной функции, представленной на рис. 2.43. Если предположить, что людей, имеющих рост 180 см, можно с пол ной уверенностью (11 == 0.99) отнести к высоким, то коэффициент накло на а вычисляется соrласно выражениям: 1 11 (Хо 99) == . н 1+exp[a.(XO.99Ь)] а == ln(99) == ln(99) rv 0.919. X>O.9) Ь 180 175 (2.41) (2.42) . Левая сиrмоидальная функция (рис. 2.41, а) задается выражением: 1 J1(x) == 1 1 + ехр [ а . (х Ь)] ехр [ а . (х Ь)] 1 + ехр [ а . (х Ь)] . (2.43) По аналоrии с правой, левая сиrмоидальная функция имеет точку переrиба х == Ь, и ее значение в этой точке равно 0.5. Коэффициент I-l(Х) высокий 1 0.5 о ь == 175 :r == рост (см) Рис. 2.43. Сиrмоидальная функция принадлежности нечеткоrо множества «высокий рост»
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 63 fJJx) 1 х IL( х) Д(х) 7r Jr2 20 4а 2 7r ba х 2 7r 2а 4а 2 о ba Ь Ь+а Рис. 2.44. rармоническая функция принадлежности и ее производные наклона а вычисляется по формуле: а == ( ln(99) ) . ХО.99 Ь (2.44 ) Сиrмоидальная функция имеет те же достоинства и недостатки, что и rayccoBa. . fармоническая функция принадлежности Выражение для внутренней rармонической функции имеет вид: IL(X) == { .5. [1 + cos ( 7r Х : ь ) ] для (ba)x(b+a), в друrих случаях. (2.45) Вид этой функции показан на рис. 2.44. Достоинства rармонической функции принадлежности 1. rармоническая функция имеет оrраниченный носитель [(ba), (Ь+а)], что позволяет задавать ее пара метры экспертным путем. 2. Будучи бесконечно дифференцируемой, rармоническая функция упро щает получение rладких, непрерывно дифференцируемых поверхно стей отклика модели. з. Первая производная rармонической функции в rраничных точках HO сителя равна нулю, вследствие чеrо данная функция хорошо соrласу ется с некоторыми из а КСИОl\tl Шваба. Недостатки rармонической функции принадлежности 1. rармоническая функция является симметричной и, если функции при надлежности расположены на области определения неравномерно, это нарушает условия разбиения единицы и отрицательно сказывается
64 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств р(х) 1 ft(X Д(х 7r 4а 8а 2 , , , Ь+а 0.5 7r Х Х 7r ba о ba Ь Ь+а ba Ь Ь+а Рис. 2.45. Правая внешняя rармоническая функция принадлежности и ее производные на качестве моделирования на участках, слабо охватываемых функ циями принадлежности. Для минимизации данноrо недостатка мож но воспользоваться асимметричной rармонической функцией, зада ваемой аналоrично тому, как это делалось в случае асимметричной rауссовой функции (2.38). Правая внешняя rармоническая функция принадлежности задается с помощью формулы 1 для х>(Ь+а), JL(X) == 0.5 . [ 1 + SiIl ( П Х 2а Ь ) ] дЛЯ (Ь а) Х (Ь + а), О для x«ba). (2.46) Вид правой внешней rармонической функции представлен на рис. 2.45. Как и в случае внутренней rармонической функции, ее пер вая производная равна нулю в rраничных точках носителя [(b а), Ь+а)]. Функция имеет малую кривизну, вследствие чеrо хорошо (хотя и не пол ностью) соrласуется с аксиомами Шваба. Левая внешняя rармоническая функция принадлежности задается с помощью формулы u для Х> (Ь+а), p(T) == 0.5 . [ (('b)] (ba) :1; (Ь+а), 1 Sill п' 2а для 1 для x«ba). (2.47) Функция имеет вид, представленный на рис. 2.46.
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 65 М(Х) 1 м(х) Д(Х) ba Ь Ь+а 7r 8а 2 ba Ь+а 7r 8а 2 Х 7r 4а о ba Ь Ь+а Рис. 2.46. Левая внешняя rармоническая функция принадлежности и ее производные . Полиномиальные функции принадлежности Достоинство этих функций состоит в том, что их сложность определяется числом аксиом Шваба, справедливость которых следует обеспечить. Наиболее простой является внутренняя полиномиальная функция принадлежности BToporo порядка, которая определяется выражением { ( xь ) 2 J1(X) == а ' если (Ь а) х (Ь + а), (2.48) в друrих случаях. Вид этой функции показан на рис. 2.47. Правая внешняя полиномиальная функция принадлежности BToporo порядка определяется по формуле J1(X) == О, 1 ( х:ь )2, если x«Ьa), 1, если (Ь а) х Ь, если х > Ь. (2.49) М(Х) 1 м(х) 2 Д(х) ba Ь о Ь+а а ba 2 а 2 I : Х I I I I о х о ba Ь Ь+а Рис. 2.47. Полиномиальная функция принадлежности BToporo порядка и ее производные
66 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств м(х) м(х) 1 1 о Х L ь Ь+а о ba Ь Рис. 2.48. Левая и правая внешние полиномиальные функции принадлежности BToporo порядка Левая внешняя полиномиальная функция принадлежности BToporo порядка определяется по формуле fL(X) == 1, 1 ( х:ь )2, О, если Х < Ь, если bx(b+a), если х>(Ь+а). (2.50 ) Левая и правая полиномиальные функции принадлежности BToporo порядка изображены на рис. 2.48. Достоинства полиномиальной функции принадлежности BToporo порядка 1. Функция является непрерывно дифференцируемой во всех точках HO сителя, а стало быть более rладкой, чем треуrольная. 2. Пара метры а, Ь леrко задаются экспертным путем. Недостатки полиномиальной функции принадлежности BToporo порядка 1. Функция не удовлетворяет в достаточной степени аксиомам Шваба. В частности, ее производная не обращается в ноль в rраничных точ ках носителя (рис. 2.47). 2. Функция симметрична, т. е. для нее может не выполняться условие разбиения единицы. Чтобы обеспечить выполнение большеrо числа (в том числе всех) аксиом Шваба, следует воспользоваться полиномиальной функцией n ro порядка, [де п == m 1, m число основанных на аксиомах Шваба требований, предъявляемых к функции принадлежности.
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 67 JL( Х ) м(х) 1 м(х) 1 Х Х о о о XL XR Х Т, Х /1.1 Х R XL ХН левая внутренняя правая Рис. 2.49. Примеры полиномиальной функции принадлежности Полиномиальная функция принадлежности nro порядка задается формулой М(Х) == { апх n + an1xn1 + . . . + аlХ + ао, О или 1 если XL Х XR, В друrих случаях. (2.51) Примеры внешних и внутренней функций принадлежности представ лены на рис. 2.49. Метод построения полиномиальной функции принадлежности pac смотрим на следующем ниже примере. Пример 2.4.1. Предположим, что к левой полиномиальной функции принадлежности предъявляются следующие основанные на аксиомах Шваба требования (число требований можно варьировать): 1. M(XL) == 1, 2. fL(XR) == о, з. iL(xL) == о, 4. jL(XR) == О, rде XL, XR заданные узловые точки функции принадлежности, Хл! ее модальное значение. Для выполнения указанных условий (rп == 4) следует воспользоваться функцией принадлежности Зrо порядка: fL(X) == аЗ ХЗ + а2 х2 + аl Х + ао. Производная этой функции имеет вид 2 М(:Т) == Заз х + 2а2Х + аl. Полаrая координаты узловых точек равными XL == О, XR == 1, прихо дим к системе четырех уравнений, выражающих предъявленные к функ ции требования: 1. ао == 1, 3. аз + а2 + 1 == О, 2. аl == О, 4. Заз + 2а2 == О,
68 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств решая которую, получаем: 1. ао == 1, 2. а 1 == о, 3. а2 == зо, 4. аз == 2. Окончательно, имеем следующее выражение для функции принад лежности: М(Х) == 2х З зх 2 + 1. . Преимущества полиномиальных функций принадлежности BbIcoKoro порядка 1. Возможность выполнения накладываемых на функции принадлежно сти условий, связанных с аксиомами Шваба, положением критической точки (/L(Xk) == 0.5) и др. 2. Возможность значительноrо повышения точности модели и ее адап тации к моделируемой системе блаrодаря большому числу степеней свободы полиномиальных функций принадлежности. 3. Повышение возможности получения rладких, непрерывно дифферен цируемых поверхностей отклика нечеткой модели. 4. Простота построения асимметричных внутренних функций принад лежности, что позволяет повысить точность моделирования. Недостатки полиномиальных функций принадлежности BbIcoKoro порядка 1. Сложность нахождения большоrо числа параметров, необходимых для задания полиномиальной функции BbIcoKoro порядка. 2. Невыполнение (вообще rоворя) условия разбиения единицы. . Рекомендации при выборе функции принадлежности Выбор функции принадлежности в значительной мере определяется объе мом имеющейся информации о моделируемой системе, а также качеством имеющихся в распоряжении исследователя методов настройки модели. Малый объем информации о системе При малом объеме имеющейся информации о системе следует исполь зовать простейшие функции принадлежности, состоящие из прямоли нейных участков, для нахождения пара метров которых требуется зна чительно меньшее, по сравнению с остальными функциями принадлеж ности, количество информации. Кусочнолинейные функции принадлеж
2.4. Типы ФУНКЦИЙ принадлежности нечетких множеств 69 у Р 2 у Р 2 / " Р з Р З / /....... ./ модель х Рl Х О 6 Р 1 о а Рис. 2.50. Локально линейная (а) и локально нелинейная (6) модель системы ности приводят К получению локально линейных поверхностей отклика модели (при условии правильноrо выбора друrих составляющих нечет кой системы), что положительно сказывается на точности моделирования в условиях малоrо объема исходных данных. Пример 2.4.1. Пусть известны только три точки поверхности отклика моделируемой системы: Р 1 , Р 2 И Р з (рис. 2.50). При отсутствии информации о поведении системы в интервалах меж ду точками P 1 , Р 2 И Р з наиболее надежным будет использование Moдe ли, состоящей из прямолинейных участков (рис. 2.50, а). Использование функций принадлежности с криволинейными участками приведет к по верхности отклика, также содержащей криволинейные участки, однако, вследствие сложности нечетких моделей, будет сложно предуrадать Be личину и направление их кривизны (рис. 2.50, б). Указанное свойство, вообще rоворя, неrативно отражается на точно сти моделирования. Идентифицировать же параметры нелинейных функ ций принадлежности по причине недостатка информации о системе в этом случае часто не удается. . Большой объем информации о системе Наличие большоrо объема информации о системе в форме измеренных входных и выходных данных дает возможность идентификации больше ro числа параметров нечеткой модели, что позволяет использовать более сложные функции принадлежности, такие как [ауссовы или полиноми альные, и тем самым приводит к моделям более точным, чем в слу чае простых функций, состоящих из прямолинейных участков. Вместе с тем, для идентификации большоrо числа пара метров нечеткой Moдe ли требуются высокоэффективные методы ее адаптации (настройки), KO торые не всеrда имеются в распоряжении исследователя. Кроме Toro, более сложные функции принадлежности состоят из кривых, что повы
70 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств шает степень нелинейности модели, увеличивая в свою очередь число локальных экстремумов функции ошибок. В результате процесс иденти фикации сопровождается значительными трудностями, для преодоления которых следует применять достаточно мощные rенетические алrорит мы (Davis 1991; Goldberg 1995; Kahlert 1995), которые, однако, не всеrда дают удовлетворительные результаты (Preuss 1995) вследствие сложно сти моделей и наличия у них большоrо числа степеней свободы. Опыт автора (Piegat 1996,1997а) и друrих исследователей (Hensel 1995) поз воляет rоворить о преимуществе в данной ситуации более простых, co стоящих из прямолинейных участков функций принадлежности, упро щающих процесс настройки (обучения) нечеткой модели, обеспечивая при этом ее высокую точность. Некоторые исследователи (Altrock 1993) рекомендуют на начальном этапе построения модели использовать простейшие функции принадлеж ности, а на последующих этапах проводить тестирование модели с при менением более сложных функций для Toro, чтобы проверить, не приво дят ли эти функции к повышению точности модели. Также отметим, что существующее мнение (Altrock 1995; Zimmermann 1994) о том, что вид и форма функции принадлежности не оказывают существенноrо влияния на точность и качество нечеткой модели, является неверным об этом также свидетельствуют результаты исследований, приведенные, в част ности, в (Baglio 1994; Brown 1994). 2.5. Нечеткие множества типа 2 Если для множества Al каждому элементу х области определения Х co поставлено значение МА 1 (х) степени принадлежности этому множеству, лежащее в интервале [0,1] и задаваемое с помощью функции принадлеж ности М А l (х): Х [0,1], (2.52) то об А 1 rоворят как о нечетком множестве типа 1. Пример 2.5.1. Множество А 1 == «высокий рост»: х == {170 см, 172.5 см, 175 см, 177.5 см, 180 CM 190 см, 200 см}, 4 { О 0.25 0.5 0.75 1.0 1.0 1.0 } .1. 1 170см' 172.5см' 175см' 177.5см' 180см' 190см' 200см . Функция принадлежности множества представлена на рис.2.51. .
2.5. Нечеткие множества типа 2 71 I-LАl(Х) высокий 0.5 (ЭЕ) I I I I I I I I Ф I I I I I I I I (j I I I I I I I I I Ф I I I I I I I I I 170 172.5 175 177.5 180 190 200 Х Рис. 2.51. Функция принадлежности нечеткоrо множества типа 1 «высокий рост» Однако не всеrда возможно определить степень принадлежности точ но, в числовой форме иноrда это можно сделать только линrвистиче ски, используя нечеткую меру. Пример 2.5.2. Х == {Эндрю, Бен, Чарли} == {Xl,X2,X3} множество студентов, L == {низкая, средняя, высокая} == {ll, l2, lз} множество нечетких CTe пеней принадлежности нечеткому множеству «способных студентов», А 2 множество «способных студентов»: А ' == { высокая средняя низкая } == { !2 } 2 Э Б ' ч ' , . ндрю ен арли Хl Х2 ХЗ Нечеткие степени принадлежности множеству «способных студентов» можно наrлядно представить так, как это показано на рис. 2.52. Множество «способных студентов» можно rрафически представить в соответствии с рис.2.53. При оценке способностей студентов обычно трудно точно оценить CTe пень принадлежности KOHKpeTHoro студента множеству «способных CTY дентов», в виде, например: МА 2 (Эндрю) == 0.99.
72 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств Ml (у) t средняя == [2 низкая == [1 высокая == lз 1 уЕ[О.l] о 0.5 1 у == способности (непрерывная мера) Рис. 2.52. Наrлядное представление функций принадлежности нечетких степе ней принадлежности I.lZl в множестве «способных студентов» Единственной разумной формой измерения принадлежности в данном случае будет ее нечеткая оценка с использованием значений «высокая», «средняя» или «низкая». . Друrие при меры использования нечетких степеней принадлежности: . множество привлекательных девушек, . множество опасных или безопасных периодов для rосударства, . множество кредитоспособных клиентов банка. Если степени принадлежности МА (х) нечеткому множеству А задают ся с помощью нечетких мер (также являющихся нечеткими множества ми), то А называется нечетким множеством типа 2. Нечеткое множество типа 2 представляет собой множество пар (2.53) вида: (нечеткая степень принадлежности элемента :r множеству А 2 , эле мент х). Индекс 2 в обозначении множества используется, чтобы отличить ero от множеств типа 1: А 2 == {(М А 2(Х)' х)}, Vx Е X (2.53) JLl (z ) Ml (z ) Мl (z ) 1 1 А 2 {О 0.5 1 z о 0.5 1 z о 0.5 Z} Эндрю Бен Чарли Рис. 2.53. rрафическая форма представления множества «способные студенты»
2.5. Нечеткие множества типа 2 73 rде /-lА 2 (х) степень принадлежности элемента х множеству А, зада ваемая с помощью функции принадлежности /-lА 2 (х) вида: МА2(Х): Х L, (2.54 ) [де Х область определения множества А 2 , L == {ll,..., lm} множество нечетких значений степени принад лежности А 2 , { (/-ll (у), у)} нечеткая степень принадлежности множеству А 2 , /-llt (у) функция принадлежности нечеткой степени принадлежно сти li множеству А 2 , У область определения нечетких степеней принадлежности, у : у Е У. Функция принадлежности множества типа 1 зависит от одной пере менной х Е Х, в то время как функция принадлежности множества типа 2 является функцией двух переменных вида: /-lА 2 (Х, у): Х L, У L. (2.55) При мер 2.5.3. Х множество проезжающих мимо автомобилей, обо значаемых Ci, i == 1,2,3,4; Х == {Сl,С2,СЗ,С4}; А2множество aBTOMO билей, превышающих допустимую скорость V == 60 км/ч; { N У У N } А 2 == Cl ' С2 ' Сз ' С4 ' rде N «<нет») соответствует скорости, лежащей в допустимых пределах (V 60 км/ч), У «<да») соответствует скорости, превышающей оrраничение (V > 60 км/ч), L == {N, У} множество нечетких степеней принадлежности. Измерение скорости производит инспектор полиции, оценивая ее зна чения с точностью :::1:10 км/ч. На рис. 2.54 представлена функция принад лежности /-lL : V L. . Нечеткие множества типа 2 можно использовать при моделировании систем, для которых возможна оценка значений входных и/или выходных величин с помощью нечетких мер (рис. 2.55). Подобная форма оценивания имеет место, например, в экономических и политических системах, коrда в условиях недостатка информации при ходится руководствоваться в основном интуицией. Поскольку нечеткие степени принадлежности «<малая», «средняя», «большая») можно пред ставить в виде нечетких чисел, нечеткие множества типа 2 можно пре образовывать на основе принципа обобщения либо упрощенных методов
74 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств ML (V) N (нет) у (да) 1 о 50 60 70 V, км/ч Рис. 2.54. Функции принадлежности нечетких степеней принадлежности множеству автомобилей, превышающих допустимую скорость м(хl) средний модель системы М(Х2) большой у ==7 Рис. 2.55. Моделирование системы с использованием нечетких оценок входных величин (LRпредставления). Более подробную информацию по данному вопросу можно найти в (Kacprzyk 1986; Zimmermann 1994а). 2.6. Два вида неопределенности ......... нечеткость и вероятность Поскольку нечеткость часто путают с вероятностью, следует коснуться различий между этими двумя понятиями. Среди существующих видов неопределенности выделяют, в частности, следующие два (Altrock 1993): 1. стохастическая неопределенность, 2. лексическая неопределенность. Примером стохастической неопределенности может служить утверждение: Вероятность выисрать славный приз в лотерее «6 из 49» cocmaв ляеm 1/13983816.
2.6. Два вида неопределенности нечеткость и вероятность 75 Событие «выиrрыш rлавноrо приза» является в данном случае точно определенным и означает наличие шести правильно уrаданных номеров. Точное значение вероятности наступления данноrо события можно BЫ числить (Empacher 1970), зная число всех сочетаний из 6 элементов множества, содержащеrо 49 элементов (т == 6, n == 49): С т == 11! (2.56) n m!(nrп)!, Стохастическая неопределенность в данной ситуации проявляется в виде вероятности возникновения KOHKpeTHoro, точно определенноrо события, состоящеrо в выиrрыше rлавноrо приза или, что то же самое, правильном уrадывании шести номеров. Пример лексической неопределенности В утверждении «Вероятность 8ЫИ2рать большую сумму 8 лотерею "б из 49{{мала» присутствуют два понятия: 1) большая сумма выиrрыша, 2) малая вероятность. Оба эти понятия являются нечеткими, неточными и зависят от субъ ективных представлений Toro, кто их выражает. Так, человек со средним достатком будет считать большой суммой ту, которую можно выиrрать, уrадав четыре или пять номеров, человек же с достатком выше среднеrо будет относить сюда только выиrрыш при уrаданных шести номерах. Точно определить понятие «малая вероятность» в данном случае TaK же представляет собой сложную задачу, поскольку большинство иrраю щих в лотерею не задумываются не только о точном числовом значении вероятности выиrрать rлавный приз, вычисляемом по формуле (2.56), но даже и о приближенном ее значении, оценивая данную величину ин туитивно, на основе степени своей уверенности в выиrрыше. Тот, у Koro эта степень высокая, в лотерее участвует, тот же у Koro она низкая, от участия отказывается. Из рассмотренных примеров видно, что нехватка точной информации об окружающей действительности не является препятствием для дея тельности человека и принятия им решений. На протяжении мноrих лет ведется разработка точных математических моделей различных явлений окружающеrо мира, но rоворить об успешных результатах моделирования можно лишь для малой их части, поскольку построение модели явления требует наличия большоrо количества информации о нем. Вместе с тем, человек, независимо от уровня своей образованности, способен эффективно моделировать в своем воображении как окружа
76 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств ющую действительность, так и работающие механизмы, машины, aBTO мобили, летательные аппараты и т. п. Подобноrо рода модели основаны на использовании таких понятий, как: . большой, малый, . привлекательный, отталкивающий, . разумный, неразумный, . подобный Х, непохожий на Х и др. Все они представляют собой неточные лексические понятия, и их оценка зависит от способа описания человеком действительности. Чем шире словарный запас человека, тем точнее формулировки, используемые им в описании интересующих ero объектов окружающеrо мира. Сказанное можно подытожить следующим образом: . стохастическая неопределенность означает неопределенность появле ния события, которое является само по себе точно описанным, . лексическая неопределенность означает неопределенность в описании события. Неопределенность описания означает ero нечеткость, и теория нечет ких систем занимается методикой построения моделей с применением нечетких понятий, используемых человеком. Отметим здесь, что, поми мо лексических нечетких понятий, человек также использует интуитив ные понятия и образы, вообще не имеющие словесноrо описания. Люди, не знающие ни одноrо языка, также как и животные, строят информа ционные образы объектов окружающеrо мира на интуитивном, отличном от лексическоrо, уровне, и такие образы позволяют им в этом мире жить и действовать. Развитием теории нечеткоrо моделирования в будущем может стать теория интуитивноrо моделирования. Различие между нечеткостью и вероятностью проиллюстрируем TaK же с помощью следующеrо примера, oCHoBaHHoro на (Bezdek 1993). Пример 2.6.1. Обозначим через Х множество всех жидкостей, через A D множество жидкостей, приrодных для питья, и через AN MHO жество жидкостей, для питья не приrодных. Степень принадлежности ключевой воды множеству AD равна 1, а степень ее принадлежности AN равна о. Допустим, что речную BO ду, взятую из устья Вислы, можно отнести к питьевой со степенью 0.6 (ее пьют дикие водоплавающие птицы) и к неприrодной для питья со степенью 0.4, и что сосуд А наполнен именно такой водой. Степень принадлежности соляной кислоты множеству A D равна О, а степень ее принадлежности А 1у равна 1. Пусть мы извлекли сосуд В из корзины, содержащей 10 сосудов, 6 из которых наполнены ключе
2.6. Два вида неопределенности нечеткость и вероятность 77 вой ВОДОЙ, а остальные 4 соляной КИСЛОТОЙ. Вероятность извлечь сосуд с жидкостью, приrодной для питья, равна 0.6. Пусть мы должны выбрать один из следующих двух сосудов: Сосуд А J-LA D (А) == 0.6 Сосуд В PA D (А) == 0.6 rде J-LAD (А) степень принадлежности содержимоrо сосуда А множе ству A D жидкостей, приrодных для питья, PAD (А) вероятность Toro, что сосуд В содержит приrодную для питья жидкость. Что следует выбрать, если употребление жидкости из сосуда А опасно для здоровья, а употребление жидкости из сосуда В опасно для жизни? .
rЛАВА 3 Нечеткая арифметика Нечеткие числа MorYT при меняться при моделировании систем, дЛЯ KO торых зависимость между входными и выходными сиrналами известна и представима в виде традиционной математической модели у == f(X), однако входные сиrналы не поддаются точному измерению, а доступны лишь приближенной оценке, например: Хl == «примерно 9», Х2 == «примерно 10», у == .Еl + Х2. В этом случае значение выхода системы у может быть получено в фор ме нечеткоrо числа (рис. 3.1). Если модель у == f(X) задана в виде математическоrо выражения, содержащеrо операции сложения, вычитания, умножения или деления, то должны быть определены методы выполнения этих операций над нечеткими числами. Данные методы иrрают важную роль, поскольку поз воляют вводить В традиционную математическую модель системы нечет кие оценки входных значений, которые человек формулирует на основе cBoero восприятия или интуиции. Кроме Toro, на основе таких методов можно создавать rибридные модели, состоящие из четких и нечетких бло IL( Х 1) М(У) 1 Хl ? м( Х2) 1 8 9 12 ..... ... у == f(Xl, Х2) .... .... ..... .... у 7 10 11 Х2 Рис. 3.1. Нахождение нечеткоrо Вblходноrо значения модели с нечеткой информацией о входных значениях
3.1. Принцип обобщения 79 ков, при этом четкие элементы модели MorYT использоваться в том числе и для обработки нечеткой информации, выдаваемой соответствующими нечеткими элементами. 3.1. Принцип обобщения Классическая арифметика предоставляет методы выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления над четкими числами, таки ми как 4, 5, 6. В свою очередь, нечеткая арифметика определяет методы выполнения указанных операций над нечеткими числами, такими как: примерно 4, плюс/минус 5, приблизительно 6. В нечеткой арифметике базовые математические операции над нечеткими числами представляют собой обобщение соответствующих операций над обычными числами (Kacprzyk 1986; Kaufman 1985; Oriankov 1993,1996). Правила TaKoro обобщения предложены Заде в виде принципа обобщения, который ниже формулируется в двух вариантах для систем типа SISO (с одним входом и одним выходом) и систем типа MISO (с несколькими входами и одним выходом). Система типа SISO (одии ВХОД одии ВЫХОД) Пусть имеется обычная система с одним входом и одним выходом, реализующая отображение j множества Х входных значений во множе ство У выходных значений (рис. 3.2). Если А нечеткое множество, за данное на множестве Х, то результатом j(A) ero отображения, в COOTBeT ствии с принципом обобщения, является нечеткое множество В == j(A), определяемое в виде (3.1), rде символ V означает операцию ИЛИ (объ М(Х) р(у) 1 .......................... .1 1 ............---- у == f(x) . т у у Х Е ..tY, У Е }/, f:..{J(Y Рис. 3.2. Традиционная система типа SISO (один вход один выход) с четкими входом х и выходом у
80 rлава 3. Нечеткая арифметика единение нечетких множеств): В(у) == f(A) == v {А(х)/ f(x)} == {(MB(y)/y)ly == f(x), х Е Х}, х ( ) { VMA(X) для всех х, для KOTOpbIxf(x) == у, Мв У == О в друrих случаях, или кратко: мв(У) == Mf(A)(Y) == V мА(х), х Е Х, У Е У. (3.1) y===f(x) Для мноrих реальных систем входные и выходные величины (напри мер, напряжение или сила тока) MorYT быть выражены с помощью Be щественных чисел, поэтому в дальнейшем изложении мы будем предпо лаrать, что универсальные множества Х и У совпадают с множеством вещественных чисел R. Отметим, что в общем случае Х и У MorYT представлять собой множества произвольных элементов. Если входное значение х и выходное значение у удовлетворяют условию VX,yER, (3.2) то принцип обобщения для функции одной переменной (случай системы типа SISO) фактически задает функцию принадлежности мв(х) BЫXOД Horo параметра по формуле мв(У) == Mf(A)(Y) == V МА(Х), Vx,y Е R. y===f(x) Если для выполнения операции V используется оператор МАХ, то BЫ ражение (3.3) может быть представлено в виде: (3.3) мв(У) == МАХМА(Х), Vx, У Е R. у=== f (х ) Принцип обобщения для функции одной переменной иллюстрируется рис. 3.3. (3.4) РА (х) рв (у) 1 1 I у == f(x) . у х у Рис. 3.3. Отображение нечеткоrо входа х в нечеткий выход у обычной SISОсистсмой
3.1. ПРИНЦИП обобщения 81 При мер 3.1.1. Пусть SISОсистема реализует отображение Х У, rде у == х 2 . Входное значение х задано в форме нечеткоrо числа А(х) == «при мерно О», представленноrо в табл. 3.1. Таблица 3.1 Нечеткое число А(х), «примерно О» (LA (х) О 0.5 1 0.66 0.33 О х 2 1 О 1 2 3 Для данноrо входноrо значения определим нечеткое выходное зна чение В(у), функция принадлежности KOToporo может быть получена по формуле: '1В(У) == МАХILА(Х), Vx, У Е R: Х Е Х, У Е У. (3.5) у==х 2 Например, значение у == 1 соответствует случаю х == 1 или Х == 1. По этому формулу для вычисления степени принадлежности ILВ(У) для У == 1 можно представить в виде: LB (у) == МАХ( (0.5), (0.66)) == 0.66. у==l Нечеткое множество В представлено в табл. 3.2. (3.6) Т а б л и ц а 3.2 Нечеткое число В(у), «примерно О» Мв (у) 1 0.66 0.33 О у О 1 4 9 На рис. 3.4 представлены нечеткое число на входе системы и резуль тат ero преобразования на выходе. . рА (х) J-LB(Y) «примерно О» 1 «примерно О» I ' [ у == х 2 [ \ I , , \ I , У , I 'G. х Э, I I Ф , , ...... , I , , ... I 'э... I ... I , ... I , , ......... I .. .... .. 2 ] О ] 2 3 х О 1 4 9 у Рис. 3.4. Преобразование обычной SISОсистемой входноrо нечеткоrо числа в выходное
82 rлава 3. Нечеткая арифметика ILA(Y) ILА(Х) A А 11 \ 111 , I \ 1 11 , I \ 1 1\ , I \ I I 1 J: \ / : Ф: ф (f) : " \ I l' I I \ I l' I I \ I I \ I I \ " l' I I \ I l' , I \ I \ ILA(Y) ILА(Х) A А aA d4 3 2 1 О 1 2 3 х, у тA тА х,у Рис. 3.5. Число А == «примерно 2» и число В == А == «примерно 2» Далее мы рассмотрим, как на основе принципа обобщения для функ ции одной переменной можно определить некоторые операции над нечет ким и числами. . Противоположное нечеткое число Противоположным для нечеткоrо числа А является нечеткое число А, которое может быть получено на основе принципа обобщения, принима ющеrо в данном случае вид: ILA(Y) == V ILА(Х), Vx,y Е R. y==x (3.7) При мер 3.1.2. Найдем противоположное число для А == «примерно 2» (табл. 3.3). Результаты вычислений представлены в табл. 3.4 и на рис. 3.5. т а б л и ц а 3.3 Нечеткое число А == «примерно 2» МА(Х) О 0.5 1 0.5 О Х 1 1.5 2 2.25 2.5 Таким образом, можно прийти к выводу, что число А и противопо ложное ему число А симметричны относительно оси ординат. . т а б л и ц а 3.4 Противоположное нечеткое число А == « примерно 2» М,4 (х) О 0.5 1 0.5 О .Т l 1.5 2 2.25 2.5
3.1. Принцип обобщения 83 Параметры противоположных друr друrу чисел связаны соотношени ями: тA == тA aA == (ЗА, (ЗА == аА. (3.8) * Если число А задано с помощью LRпредставления : А == (тА, аА, ;ЗА), то I...Rпредставление противоположноrо ему числа A имеет вид: (3.9) A == (тA, (ЗА, аА). (3.10) . Обратное нечеткое число Обратное нечеткое число А 1 вычисляется на основе принципа обобще ния в форме: ILA1(Y) == v ILA(X), Vx,y Е R, х Е х. yl .( (3.11 ) Пример 3.1.3. Найдем нечеткое число, являющееся обратным к нечетко му числу А == «примерно 2», заданному с помощью табл. 3.5. Результаты вычислений представлены в табл. 3.6 и на рис. 3.6. Таблица 3.5 Нечеткое число А == « примерно 2 » МА(Х) О 0.5 1 0.5 О х 1 1.5 2 2.25 2.5 На рис. 3.6 показаны число А и обратное к нему число А 1. . '" Нечеткое унимодальное число А является нечетким числом (LR)типа (L Left, левый; R Right, правый), если () { L((rпx)/o;), Vxm, 0;>0, РА Х == R((x т)/(3), Vx т, (3 > О, [де тп среднее значение (мода) нечеткоrо числа, о; и (3 левый и правый коэффициенты нечеткости, соответственно. Учитывая введенные обозначения, нечеткое число принято представлять в виде тройки пара метров А == (т, 0:, (3). Примерами функций L(.r) (также, как и R(x)) MorYT быть ( ) lxlP ( ) ] L ,Х == е , р о; L х == 1 + Ixl P , Р о и т.п. При этом обычно требуют, чтобы функции L(x) и R(x) удовлетворяли следующим условиям: L(.r) == Е(х), R(x) == R(x); L(O) == R(O) == 1. Нечеткие числа (LR)типа часто используются в задачах математическоrо моделирова НИН. Прuм. ред.
84 rлава 3. Нечеткая арифметика PA1(Y) РА (х) 1 Al А 0.5 'f ',\ " \ " \ " \ " \ '1 \ II \ '1 \ I I \ ф, Ф '1 \ I I \ I I \ , I \ I I \ , I \ '1 \ I I \ , I , I '1 \ J ' I \ I \ / \ I \ I \ I \ I \ I \ / \ Ф I \ I \ / \ I \ I \ I \ I \ I \ I \ \ о 0.4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 х,у Рис. 3.6. Нечеткое число А «примерно 2» и обратное к нему число А 1, найденное с использованием принципа обобщения Таблица 3.6 Обратное нечеткое число Al == «примерно 0.5» МА(Х) О 0.5 1 0.5 О х 1 0.66 0.5 0.44 0.4 Операцию нахождения обратноrо нечеткоrо числа можно упрощен но определить с помощью LRпредставления (Kacprzyk 1986; Kaufman 1985). Обозначения, используемые в LRпредставлении числа А, пока заны на рис.3.7. JLAl (у) РА (х) Al А о (mЛl a:Al) тп А 1 \ тп \ (1'11А О:А) (TпAl + L3Al) '. у (rпЛ+,вА) Рис. 3.7. Обозначения разбросов (отклонений) и номинальных значений нечет ких чисел А и А l
3.1. ПРИНЦИП обобщения 85 Характеристические точки числа А и обратноrо к нему А 1 связаны соотношениями: 1 1пA1 == , тА #- о; тА 1 тAl aAl == тА + fЗА ; 1 (3.12) тAl + (3Al == тА аА тА #- аА. Используя формулы (3.12), можно получить значения величин левоrо и правоrо разбросов (отклонений) числа А 1: ;ЗА aAl == , тА #- о, тА(тА + fЗА) аА (341 == · тА #- аА. тА (тА аА) I Таким образом, LRпредставление обратноrо нечеткоrо числа Al можно выразить в виде формулы Al rv ( {ЗА а А ) тА' тпА(тА + ;3.11) , ТnА(тА аА) . Пример 3.1.4. Используя LRпредставление, найдем обратное нечеткое число Al для А == (2,1,0.5). В результате применения формулы (3.15) получаем: (3.13) (3.14 ) (3.15) Al rv (0.5,0.1,0.5). Рисунок 3.8 позволяет сравнить нечеткое число A.l, полученное в предыдущем примере с помощью принципа обобщения, и нечеткое чис ло Al, полученное в данном примере с помощью LRпредставления. ILЛl ( ) ..41 ILA1 ( Al LR А == «примерно 2» А 1 == «примерно 0.5» 1 \> \ 11 \ 11 \ '1 \ '1 \ 1, \ , I \ II \ '1 \ '1 \ (1\. Ф У I \ 1 I \ I I \ I I \ (1 \ I 1 \ I f \ : \ '1 \ , I \ 1 О. 5 0.5 о о 0.40.5 1 у 0.4 0.5 1 !J Рис. 3.8. Нечеткое число .<4 1, полученное с помощью принципа обобще ния, и УПРОJценный вариант этоrо же числа AL' полученный с помощью LRпредставления
86 rлава 3. Нечеткая арифметика Из рис. 3.8 видно, что для обратноrо нечеткоrо числа с помощью фор мулы (3.15) получаются точные значения номинальной величины и раз броса, но в целом функцию принадлежности данная формула описывает лишь приближенно. . Используя принцип обобщения, можно также определить и друrие унарные операции над нечеткими числами. Дополнительную информа цию по данному вопросу можно найти в (Kacprzyk 1986; Kaufmann 1985). Система типа MISO (несколько ВХОДОВ одии ВЫХОД) Пусть имеется обычная МISОсистема (рис. 3.9), реализующая отобра жение у == (Хl, Х2, . . . , Х п ). Входной вектор J( определен на декартовом произведении областей определения отдельных входных величин Х 1 х Х2 Х . . . х Х п : Xl Х2 J(== Х п Функция f отображает множество элементов области определения вектора входных величин J( на область значений выходной величины У: f: Х 1 х Х 2 Х . . . х Х п У. (3.16) Если А 1 ,..., А п нечеткие множества, заданные на областях опре деления Хl,..., Х п входных величин, то в соответствии с прин f-LA 1 (Хl) у == f(rl,... ,Хn) о Хl МА п (Х п ) Хl у Хн Рис. 3.9. Обычная МISОсистема с нечетким входами и нечетким выходом
3.2. Сложение нечетких чисел 87 ципом обобщения, на выходе системы получим нечеткое множество В == f(Al,..', А п ), являющееся результатом отображения входных нечетких множеств: В(у) == v [Al (Xl) /\ А 2 (Х2) /\ . . . /\ Аn(хn)] == XEX 1 х...хХ п , f(X)==y == {МВ(У)/У\ У == f(X), Х Е Х 1 Х . . . х Х п } (3.17) Области определения X i и У обычно совпадают с множеством веще ственных чисел R. В большинстве практических ситуаций принцип обобщения для функции нескольких переменных фактически представляет собой задание функции принадлежности выходноrо значения системы, исполь зуя выражение вида: МВ(У) == V (МА 1 (Xl) /\ М А 2(Х2) /\ ... /\ ILАп(Х п )), y==f(Xl ...,Xп) V Хl, . . . , Х п , У Е R, (3.18) * rде символ V означает объединение множеств на основе опера цИИ МАХ, алrебраической суммы или друrой SHOpMbI, символ 1\ означает пересечение множеств на основе операции MIN, произведения или друrой tHOpMbI. Далее мы рассмотрим использование принципа обобщения при выпол нении основных арифметических операций для случая системы с двумя входами. 3.2. Сложение нечетких чисел Сложение двух нечетких чисел представляет собой отображение BXOДHO ro вектора Х == [Хl, Х2]Т, определенноrо на декартовом произведении R х R, в выходное значение У, определенное на множестве R (рис. 3.10). Если А 1 И А 2 нечеткие числа, то их сумма также является нечетким числом и задается выражением (Аl + А2)(У) == v [A 1 (Xl) 1\ А 2 (Х2)], VXl, Х2, У Е R. у==х 1 +Х2 (3.19) * u Операции над нечеткими множествами вводятся и объясняются в с.педующеи rла ве. Прuм. ред.
88 rлава 3. Нечеткая арифметика jJA 1 (Хl) «примерно аl» jJA 1 +А2 (у) al РА2 (Х2) Xl «примерно а2» « при м е р н о (а 1 + а 2 ) » у у == Хl + Х2 al + а2 У а2 Xl Е X 1 == R, Х2 Е Х 2 == R, У Е У == R Рис. 3.10. Обычная система, реализующая сложение двух нечетких чисел Для вычисления суммы нечетких чисел достаточно определить функ ЦИЮ принадлежности f.-LA 1 +А 2 (у) по формуле МАl +А2 (у) == V [f.-LA 1 (Хl) Л МА 2 (Х2)], VX1, Х2, У Е R, Y==Xl +Х2 (3.20) [де символ V соответствует оператору объединения множеств (напри мер, на основе SHOpMbI* ), символ Л соответствует оператору пересечения множеств (напри мер, на основе tHopMbI). Таблица 3.7 Нечетко е чи сло Al == «п рим ерно 5» fLA:Xl) ЕЕ 0;31 0.;6133 065 ЕЕ При мер 3.2.1. Пусть заданы нечеткие числа А 1 == «примерно 5» (табл.3.7), А 2 == «примерно 7» (табл.3.8). Найдем нечеткое число (А 1 + А 2 ). Т а б л и ц а 3.8 Нечетко е ч исло А 2 == «примерно 7» MAX2) rn 065 8J 0.;61 0.:311 I * Понятия SHOpMbI И tHOpMbI ВВОДЯТСЯ И объясняются В следующей rлаве. Прuм. ред.
3.2. Сложение нечетких чисел 89 Таблица 3.9 Нечеткое число (А 1 + А 2 ) == «примерно 12» PA 1 +А2 (у) о о 0.33 0.5 0.66 1 0.66 0.5 0.33 О О у 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 jJA 1 (Xl) 1. О 1 0.66 ,. .о , ,. , ,. ,Cf , 0.33 ''о 0.5 ,. ,. о,. , , ,. , ,. , , о ,. , Х2 I I I I I I 2: 3: 4: 5: 6: 7: I , I I , I I I I I I I I I I I I 10 О: О: I О: О: О' / 12 13 14 15 16 / / 0.33 cf / 9 О 0.33 0.33 033 / Ti 12 13 14 / / 0.66 d / 8 О 0.33 0.66 / 10 11 12 / / / 7 / О 0.33 1.0 Q 9 10 , , , , 6 , 0.5 О 'Q 12 13 0.5 " , , 5 , О О О О ILA 2 (X2) , о 9 10 11 12 1 О Хl I\lAX MIN {!1Л 1 (Xl ), РА 2 (Х2)} дЛЯ всех (т 1, Х2) та ких, что Хl + Х2 == 13 MIN {jJA 1 (7), РА 2 (6)} Хl + Х2 == 13 Рис. 3.11. Метод определения функции принадлежности нечеткоrо числа (А 1 + А 2 ), rде Al == «примерно 5», А 2 == «примерно 7», и результат (A 1 + А 2 ) == «примерно 12» получен с использованием операторов 11АХ (v) и IIN (1\) Вычисление суммы нечетких чисел (Аl + А 2 ) с использованием прин ципа обобщения иллюстрируется схемой на рис.3.11. Полученный pe зультат (А] + А 2 ) == «примерно 12» представлен в табл. 3.9 и на рис.3.12. Рассмотрим более подробно первый столбец на рис.3.11. Он coдep жит значения степеней принадлежности МАl +А 2 (у) выходноrо пара метра при фиксированном значении первоrо входноrо пара метра Хl == 2 и из менении значения BToporo входноrо пара метра Х2 в пределах от 5 до 10. Анализ данноrо столбца показывает (см. рис.3.13), что несмотря на то, что значение выходноrо параметра моделируемой системы может изме няться от 7 до 12, значения степеней принадлежности МА 1 +А 2 (у) остают ся постоянными (равными О).
90 rлава 3. Нечеткая арифметика J-LАl +А2 (у) «примерно 12» 1.0 f \ f \ f \ I \ I \ f \ I \ 6 ь 0.66 I \ , , , ' 0.5 Р 'q , \ , , 0.33 6' 'с? I \ f \ I \ ( \ f \ I \ 0/\ 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 У Рис. 3.12. Дискретная функция принадлежности числа «примерно 12», явля ющеrося суммой нечетких чисел «примерно 5» + «примерно 7 » и полученноrо с использованием операторов МАХ (v) и MIN (л) Х2 5 О 12 О 11 О 10 О 9 О 8 О 7 IIN {J-LАl (Xl), J-LA2 (Х2)} 10 9 8 Х1 + Х2 7 6 2 Xl Рис. 3.13. Иллюстрация принципа преобразования изменений входноrо значе ния системы в ее выходное значение в модели сложения двух нечетких чисел с использованием оператора 1,1IN Указанное обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что в дaH ной ситуации оператор пересечения 11IN не обеспечивает KoppeKTHoro механизма преобразования изменений входноrо значения модели в изме нение ее выходноrо значения. На рис. 3.14 показан метод получения нечеткоrо числа «пример но 5» + «примерно 7 » == «примерно 12» с использованием в каче стве основы операции пересечения (!\) оператора I\1EAN (среднеrо)
3.2. Сложение нечетких чисел 91 Таблица 3.10 Нечеткое число (A 1 + А 2 ) == «примерно 12» f-lА 1 +А2 (у) о 0.25 0.5 0.66 0.83 1 0.83 0.66 0.5 0.25 О у 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 j);.4 1 (Х1 1 1.0 .о 0.66 ,,"','" "" 0.33 """а' "'00.5 о'" " " , о "",'" " о о I I I 5 : 6: 7: I I I I I I 2'1 1.0 2: I Х2 3: 4 I I I I I I 10 о: 016 : 033 / 12 13 14 / I 0.33 I 9 0.16 d 0.33 0.5 / Tl 12 13 / / 0.66 / 8 0.33 / 0.5 0.66 /0 10 11 12 / / / 7 / Ц , " , , 6 , 'Q 0.5 , , , " 5 , , о о 16 16 0.33 15 0.5 14 j);A2 (Х2) 0.75 0.5 11 12 0.5 0.25 10 11 0.25 J'vIЕАN{ILЛl (7). j);'\2 (6)} l: 12 Х1 + Х2 == 13 1 о МАХ MEAN {j);Al (Х1), j); A 2 (Х2)} дЛЯ всех (Х1, Х2) таких, что Xl + Х2 == 10 Рис. 3.14. Метод определения функции принадлежности нечеткоrо числа В == (A 1 + А 2 ), rде Al == «примерно 5», А 2 == «примерно 7» и В == «при мерно 12», с использованием оператора 1,1EAN (1\) (Yager 1994,1995). Функция принадлежности числа «примерно 12», BЫ численная с использованием сетки, изображенной на рис. 3.14, представ лена в виде табл.3.10 и в виде rрафика на рис.3.15. Как следует из рис.3.15, функция принадлежности нечеткой суммы, полученной с помощью оператора MEAN, является более rладкой, чем в случае суммы, соответствующей применению оператора J\1IN. Исполь зованная для построения нечеткоrо числа сетка (рис. 3.15) отражает и тот факт, что оператор MEAN обеспечивает более корректный механизм пре образования входных изменений модели в выходные, чем оператор MIN. Первый столбец изображенной на рис. 3.15 сетки показан на рис. 3.16.
92 rлава 3. Нечеткая арифметика J-L.4 1 +.42 (у) «примерно 12» 1.0 I \ I \ I \ Р q I \ I \ I \ d Q I \ I \ I \ 0.5 d Ь I \ I \ I \ I \ I \ I \ I Ь о \ I \ I \ I \ I \ I \ 0/\ 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 У Рис. 3.15. Функция принадлежности нечеткой суммы «примерно 5» + «пример но 7» == «примерно 12», найденной с использованием оператора MEAN (1\) Х2 5 О 12 0.16 11 0.33 10 0.5 9 0.25 8 О 7 J-L.4 1 +А2 (у) 10 9 8 Хl + Х2 == У 7 6 Хl 2 Рис. 3.16. Первый столбец сетки, соответствующей нечеткой сумме «пример но 5» + «примерно 7» == «примерно 12» ИСХОДЯ из рис. 3.16, приходим к выводу, что при фиксированном зна чении Хl 2 изменение входной величины Х2 приводит к изменению как выходной величины моделируемой системы у, так и функции при надлежности МВ(У). Аналоrичная ситуация имеет место и для друrих столбцов и строк сетки, изображенной на рис. 3.14. Вследствие своей aд дитивной природы оператор MEAN обеспечивает более корректное BЫ
3.2. Сложение нечетких чисел 93 Р,Л 1 (Х1) Р,Л2 (Х2) р'Л 1 +Л2 (у) 1 о у о о тА. 1 (тА 1 ал 1 ) тА2 (тЛ2 аА 2 ) (rпA 1 +A 2 ) ( rп Л 1 +А2 QAl +А2) ( rп Л 1 + ал 1 ) тА 2 + ВА 2 (тпА 1 +А2 + /3А 1 +А 2 ) Рис. 3.17. Характеристические пара метры складываемых нечетких чисел полнение аддитивной операции суммирования нечетких чисел, чем опе ратор MIN. . При рассмотрении при мера вычисления суммы нечетких чисел на oc нове принципа обобщения можно заметить, что данный метод хотя и то.. чен, но при этом является трудоемким. Поэтому в большинстве случаев используется упрощенный механизм выполнения арифметических опера.. ЦИЙ, основанный на LR"представлении нечетких чисел (Kacprzyk 1986; Kaufmann 1985). Если нечеткие числа А 1 и А 2 представлены тройками следующеrо вида: А 1 == (тА 1 , аА1' ,8.111)' А 2 == (тА 2 , аА2' ,8.112)' (3.21) а их сумма тройкой вида (Аl + А 2 ) == (тА 1 +А2' аА 1 +А2' ,8A1+A2) (3.22) то параметры суммы (Аl + А 2 ) и слаrаемых Аl, А2, как показано на рис. 3.17, связаны соотношениями: тА 1 +.112 == тА 1 + тА2' тA 1 +A2 (УА 1 +А 2 == (mA l аА 1 ) + (тА 2 аА2), rпAl+A2 + ,8.111+.112 == (тА 1 + ,8.111) + (тА 2 + ;3.112). с учетом соотношений (3.23), параметры суммы (A 1 + А 2 ) определя" ются с помощью выражений вида: (3.23) aAl +.112 == аА 1 + аА2' ,8.111+.112 == ,8.111 + (3А2. (3.24)
94 rлава 3. Нечеткая арифметика !-1A 1 (X1) !-1А2(Х2) !-1A 1 +A 2 (Y) 1 «примерно 5» «примерно 7» «примерно 12» о 2 3 4 5 6 7 0/11 \2 IJA 1 +А2 Хl Х2 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 у 5 6 7 8 9 10 Рис. 3.18. Сложение двух нечетких чисел с использованием LRпредставления Таким образом, LRпредставление суммы (А 1 + А 2 ) может быть вы.. ражено формулой: (A 1 + А 2 ) == (пA1 + тA'2 (1,41 + (A2' (3А1 + ,аА 2 ). (3.25) Пример 3.2.2. Найдем сумму двух симметричных нечетких чисел A1(Xl) == «примерно 5» и А 2 (Х2) == «примерно 7», функции принадлеж" ности которых имеют заданы в виде: 1 ILA1 (Xl) == 1 + (:(1 5/1? ' oo < Xl < +00, 1 11А2 (.т2) == 1 + (.1:2 7/2)2 ' oo < Х2 < +00. (3.26) (3.27) LRпредставление данных чисел задается соотношениями: А 1 == (тА 1 aA1-IЗ А1 ) == (5 1, 1). А 2 == ( тА 2' ОА 2 Р А 2) == (7.2,2). (3.28) (3.29) в соответствии с формулой (3.25), их сумма представляется в виде (A 1 +А 2 ) == (5,1,1) + (7.2.2) == (12.3,з), (3.30) а ее функция принадлежности выражается формулой 1 ILA1 +А 2 (у) == 1 + (у 12/3)2 . (3.31) Нечеткие числа Al и А 2 , а также результат их сложения rрафиче.. ски представлены на рис.3.18. Очевидно, что величины разбросов а и fЗ для суммы Al + А 2 больше соответствующих величин для отдельных слаrаемых А 1 , А 2 . .
3.3. Вычитание нечетких чисел 95 Пример 3.2.3. Найдем сумму двух треуrольных нечетких чисел А 1 (Xl) == «примерно 5» и А 2 (Х2) == «примерно 7», LRпредставление которых выражено формулами: ftAl (Xl) == L ( Х т ) == МАХ (о, 1 + Xl; 5 ) , R ( Х т ) == МАХ (о. 1 Xl; 5 ) , 'v'Xl : Xl < 5, 'v'Xl : Xl 5. (3.32) МА2 (Х2) == Х2 7 11АХ O 1 + 2 ' l\IAX О 1 Х2 7 3 'v'X2 : Х2 < 7, (3.33) \!Х2 : Х2 7. LRпредставление суммы (A 1 + А 2 ), полученное с помощью формулы (3.25), имеет вид (A 1 + А 2 ) == (5, 3 2) + (7 2.3) == (12,5, 5) ( 3.34 ) а функция принадлежности выражена в виде ftAl +А 2 (у) == l\IAX О 1 + у 12 5 МАХ О 1 у 12 , 5 'v'y : у < 12. (3.35) 'v'y : у 12. Учитывая то, что нечеткое число (A 1 + А 2 ) является симметричным (о: == fЗ == 5), ero функцию принадлежности fL41 +А 2 (у) можно представить в более просто м виде: ( у 12 ) fJAl +А 2 (у) == l\IAX O 1 5 ' 'v'y : CX) < у < +ос. (3.36) rрафическая иллюстрация paccMoTpeHHoro при мера представлена на рис. 3.19. . 3.3. Вычитание нечетких чисел Пусть A1(Xl) и А 2 (Х2) нечеткие числа. Их разность может быть полу чена с помощью принципа обобщения в форме: (Аl А2)(У) == V [Al (Xl) /\ А 2 (Х2)]. 'v'Xl X2 У Е R. У==Хl .r2 (3.37)
96 rлава 3. Нечеткая арифметика f-L А l (Хl) f-LA2 (Х2) f-LA 1 +А2 (у) «примерно 5» «примерно 7» «примерно 12» 2 3 4 5 6 7 5 6 7 8 9 10 7891011121314151617 Xl Х2 у Рис. 3.19. Сложение двух нечетких чисел с использованием LRпредставления Таблица 3.11 Нечеткое число А 1 == «примерно 5» МА 1 (Хl) о 0.33 0.66 1 0.5 О .2'1 2 3 4 5 6 7 Вычисление разности нечетких чисел фактически сводится к вычис лению ее функции принадлежности по формуле: м А 1 А 2 (у) == v [м А 1 (х 1) Л !l А:2 ( Т 2 ) ] , V.1; 1 . х'2, У Е R, У==Тl X2 (3.38) rде V оператор объединения множеств (например 1IAX или друrие SHOpMbI), Л оператор пересечения множеств (например MIN, PROD или друrие tHOpMbI). При мер 3.3.1. Найдем разность (Al А 2 ) двух нечетких чисел, задан ных в виде дискретных выборок (табл.3.11 и табл. 3.12). Метод вычитания нечетких чисел А 1 и А 2 показан на рис. 3.20. Функ ция принадлежности нечеткоrо числа (A 1 А 2 ) == «примерно 2», BЫ численная с использованием сетки, показанной на рис. 3.20, представлена в виде табл. 3.13 и в виде rрафика на рис.3.21. . Таблица 3.12 Нечеткое число А 2 == «примерно 5» !1Л 2 (Х2) о 0.5 1 0.66 0.33 О Х2 5 6 7 8 9 10
3.3. Вычитание нечетких чисел 97 т а б л и ц а 3.13 Нечеткое число (Аl А 2 ) == «примерно 2» fLA1A2(Y) О 0.16 0.33 0.5 0.66 0.83 1 0.75 0.5 0.25 О у 8 7 6 5 4 3 2 1 О 1 2 j-LA 1 (Х1) 1 1. О ,Q 0.66 ",,,'" " (f , о. 33 "",,,," ''0,0.5 ",О " О " , О "," , о о 9 / / / о. 33 // /0 , / 0.66 о' / / / , / 1.0 Q , , , , , Q. 0.5 " , , , , 8 I 6: I Хl 4 I 5: 7: I I I I I I I t 1 I I I I I I I I 0.33 ! 0.51 0.251 01 6 5 4 3 0.5 0.66 0.41 0.16 5 4 3 2 0.66 0.83 0.58 0.33 4 3 2 1 Х2 о 7 6 0.25 ........... А !1А 2 (Х2) O 3 0.58 0.75 0.5 2 1 О 0.33 0.5 0.25 1 О 1 1 МАХ l'v1EAN {PA 1 (Х1), j-LA 2 (Х2)} дЛЯ всех (Х1, Х2) таких, что Хl Х2 == 2 j-LB (у) == MEAN {j-LАl (Хl), j-LA 2 (Х2)} о Рис. 3.20. Метод определения функции принадлежности нечеткоrо числа (Аl А 2 ) на основе принципа обобщения с использованием операторов МАХ (v) и lVIEAN (!\) (А 1 == «примерно 5», А 2 == «примерно 7», (Аl А 2 ) == «при.. мерно 2») Более простой метод вычисления разности нечетких чисел основан на использовании L Rпредставления (рис. 3.22). Пусть А 1 И А 2 пред ставлены в форме А 1 == (тА 1 , аА 1 , ;ЗА 1 ), А 2 == (тпА 2 , аА 2 , ;ЗА 2 ). (3.39)
98 rлава 3. Нечеткая арифметика Мв (у) «примерно 2» 1 / J:t' :', / I 'Q... Jf : , / I , Р I О / I , 01, / I О J:t' : , / I , 8 7 6 54 3 2 1 О 1 2 У Рис. 3.21. Функция принадлежности нечеткоrо числа «примерно 2», полу ченноrо в результате вычитания нечетких чисел «примерно 5» и «примерно 7» с использованием принципа обобщения МА!(Х1) МА2 (Х2) 1 1 вл l О Х1 (mA l ал!) тА! (тл! + {ЗА!) МА! Л2 (у) о Х2 (тЛ2 аЛ2) тА2 ( тА 2 + {ЗА 2 ) 1 ал! Л2 {ЗА! A2 о (rпл! Л2 ал! A2) тА! Л2 у (тА 1 A2 + {ЗА! A2) Рис. 3.22. Обозначения, используемые при вычитании нечетких чисел, задан ных в виде LRпредставления Параметры нечетких чисел А 1 , А 2 И их разности (A 1 А 2 ) (рис. 3.22) связаны соотношениями: тА1 A2 == тА 1 тА2' тА1 A2 аА1 A2 == (тА 1 аА1) (тА 2 + jЗА2)' тА1 A2 + ;ЗА 1 A2 == (тА1 + ;ЗА 1 ) (1пА2 аА2)' на основе чеrо можно получить формулу (3.41) для определения величи ны разброса разности (Аl А 2 ): (3.40) aA l A2 == а.А 1 + {ЗА 2 , ,eAl A2 == аА2 + ;ЗА l . (3.41)
3.3. Вычитание нечетких чисел 99 МА 1 (Х1) J-lА 2 (Х2) «примерно 5» «примерно 7» 1 1 0234 567 А 1 == (5,3,2) 5 6 7 8 9 10 А 2 == (7, 2, 3) J-lА 1 A2 (Х1 «примерно 2» 1 8 7 6 5 4 3 2 1 О 1 2 Рис. 3.23. Вычитание нечетких чисел с использованием LRпредставления Таким образом, LRпредставление разности (А 1 А 2 ) задается в виде тройки: (Аl А 2 ) == (тА 1 , аА 1 , ;ЗА 1 ) (тА2' аА 2 , ;ЗА 2 ) == == (тА 1 тА2' аА 1 + ;ЗА2' аА 2 + ;ЗА 1 ). (3.42) При мер 3.3.2. Найдем разность чисел А 1 == (5,3,2) и А 2 заданных в виде LRпредставления. Воспользовавшись формулой (3.42), получаем: (7,2,з), А 1 А 2 == (5,3, 2) (7,2,3) == (2, 6, 4). (3.43) Результат вычитания представлен на рис. 3.23. . Отметим, что разность треуrольных нечетких чисел «пример но 5» и «примерно 7», найденная с помощью принципа обобщения (рис. 3.21), совпадает с их разностью, полученной с использованием * LRпредставления (рис. 3.23). * Разумеется, это свойство не только нечетких чисел «примерно 5» и «примерно 7», а вообще нечетких чисел с кусочнолинейной функцией принадлежности, в том числе, заведомо, для случая треуrольной функции принадлежности. Прuм. перев.
100 rлава 3. Нечеткая арифметика 3.4. Умножение нечетких чисел Пусть А 1 (Хl) И А 2 (Х2) нечеткие числа. Их произведение (А 1 .А 2 ) можно найти, используя принцип обобщения в форме: (Аl . А2)(У) == v [A 1 (Xl) 1\ A 2 (.r2)]. \ixi_ J>'2. У R. У::::::::'ХI Х 2 (3.44 ) Фактически вычисление произведения нечетких чисел сводится к Ha хождению ero функции принадлежности по формуле: Jl А 1 А 2 (у) == V [м А 1 (х 1) 1\ Jl А 2 ( Х 2 ) ] , \i Х 1 , Х 2, У Е R, У::::::::'ХI Х 2 (3.45) rде V оператор объединения множеств (например МАХ или друrие SHOpMbI), 1\ оператор пересечения множеств (например IIN, PROD или друrие tHOpMbI). Таблица 3.14 Нечетко е чи сло А 1 == «п рим ерно 5» I PAXl) ЕЕ 0;31 0.:6 ВJ °65 [Е Пример 3.4.1. Найдем произведение (Аl . А 2 ) нечетких чисел, функции принадлежности которых заданы в табл. 3.14 и табл.3.15. Таблица 3.15 Нечетк ое ч исло А 2 == «примерно 7 » I MAX2) tE °65 [Е 0.:61 0':311 I Процедура умножения показана на рис. 3.24. При использовании изображенной на нем сетки результатом будет являться нечеткое чис ло (Аl . А 2 ) == «примерно 35», представленное на рис. 3.25. Из рис. 3.25 видно, что «плоское» нечеткое число «примерно 35», яв ляясь произведением двух выпуклых нечетких чисел, само выпуклым не является. Данное свойство является следствием Toro, что функция принадлежности рассматриваемоrо числа представлена в двумерном про странстве У * МАI А 2. Значения у на оси абсцисс (см. рис.3.25) не co держат информации об элементах (Xl, Х2), участвующих в формировании произведения, т. е., например, значение у == 42 можно представить в виде ХIХ2 == 6.7 либо в виде ХIХ2 == 7.6. Если нечеткое произведение предста вить в трехмерном пространстве Х 1 х Х 2 Х МАIА2 (рис. 3.26), то число «примерно 35» оказывается выпуклым (здесь МАIА2 : МА 1 А 2(У) Е МА 1 А 2).
3.4. Умножение нечетких чисел 101 1 1 A 1 (Xl) 1 1 ,о о. 66 ", cf "r\0.5 о. 33 a "', О " О , о I 5: I I Х2 2: I I I 10 о: ----------20 I I 3: 4: I I I I I I о: о: 30 40 I 0.33 d ' 0.66 {/ I I 1 О, , , , , 'о. 0.5 ", ", 5 9 о ----------пr 8 7 /1А2 (Х2) о Xl 1 /1АIА2 (у) == PROD{/1A 1 (Xl), /1А2 (Х2)} 'IA.X PROD{/1A 1 (Xl), /142 (Х2)} дЛЯ всех (Xl, Х2) таких, что XIX2 == 36 XIX2 == У Рис. 3.24. Метод нахождения функции принадлежности нечеткоrо числа (А 1 . А 2 ) на основе принципа обобщения с использованием операторов lAX (v) и PROD (!\), (А 1 == «примерно 5», А 2 == «примерно 7») МА 1 А 2 (у) «примерно 35» 1 - , , I , I , I I I , I f'::'\ ' I I 1 I \ ,': :' I I : Qr6 \ i \ " G7<\> I , , \ J # I \ I 1...:) Q I \ I , \' / \ ;([) о Q , , I \ ,/ Q I "'&<\> \ \ \ , \ I "Q /"'/ " 10 50 60 20 30 35 40 70 у Рис. 3.25. Функция принадлежности нечеткоrо числа «примерно 35», яв.ляюще rося результатом перемножения чисел «примерно 5» и «примерно 7» с исполь зованием оператора PROD
102 rлава 3. Нечеткая арифметика ILAiA2 (Х1, Х2) о 10 7 0.8 0.6 0.4 02 Х2 5 2 ;1'1 Рис. 3.26. Трехмерное представление функции принадлежности !LA 1 A 2 (Xl, Х2) произведения нечетких чисел «примерно 5» и «примерно 7», полученноrо с ис пользованием оператора PROD в практических приложениях характеристики составляющих (Хl, Х2) результирующеrо числа у иrрают очень важную роль, поскольку, напри мер, одно и то же значение мощности электрическоrо тока L == u . i может достиrаться при различных значениях напряжения u и силы TO ка i, при этом в системах электроснабжения величина тепловых потерь Q == i 2 Rt существенно зависит от силы тока i, но не зависит от напря жения u (здесь t время, R сопротивление). Принцип обобщения Заде определяет упрощенное, «плоское» (ДBY мерное) сечение произведения двух нечетких чисел, представимоrо пол ностью только В четырехмерном пространстве. Представление произведе ния в трехмерном пространстве (рис. 3.26) уже является некоторым упро щением с потерей информации (отсутствие координаты у). Тем самым, представление произведения в двумерном пространстве является весьма существенным упрощением, которое, тем не менее, может использовать ся в случаях, коrда для моделируемой системы не важно, на основе каких именно значений Xl и Х2 получено произведение у == Хl -:1'2, а важно лишь само результирующее значение произведения у. Если нечеткие числа А 1 и А 2 заданы в форме дискретных выборок, то «механическое» использование принципа обобщения приводит к HeBepHO му представлению произведения (Al . А 2 ), являющеrося на самом деле выпуклым. Плоское представление произведения это сечение ero Tpex
3.4. Умножение нечетких чисел 103 {LA 1 (Xl) 1 .а 0.66 ",," " ""Cf "'о 0.5 0.33 ,," , ,,0 " о " , о о ,," , о I 3: I I I I О I 30 I 4: 1 I I I o 40 I 5: I I I I 01 50 I 7: I I Хl :1'2 о 2: 1 I I !g9 : 20 6: I I I I О I 60 / / / 0.33 // /0 / / 0.66 // /0 / / / / 1 Q. , , , , , 'Q 0.5 " , ", 5 .P 0.11 18 27 I 0.22 0.33 36 45 9 0.22 16 24 0.44 0.66 32 40 о 56 7 о 0.33 .................... 14 21 0.66 28 о 49 90 12 0.25 36 о 42 МА 2 (Х2) о 25 о 30 о 35 Х]Х2==У 1 {LAIA2 (у) == PROD{{LA 1 (Хl), МА2 (Х2)} Рис. 3.27. Простейшая линия сечения четырехмерноrо произведения нечетких чисел (A 1 . А 2 ) MepHoro представления вдоль прямых линий, соединяющих точку, име ющую максимальную степень принадлежности (МА 1 А 2 == 1), с точками, соответствующими минимальному и максимальному значениям произве дения. Соединяя указанные точки прямыми линиями, получаем прибли женное «плоское представление нечеткоrо произведения, которое наи более реrулярно отражает ero выпуклость (рис. 3.27 и 3.28). В рассмотренном примере при вычислении произведения нечетких чи сел использовался оператор PROD (про изведение). Поскольку умноже ние является операцией мультипликативноrо типа, использование дaH Horo оператора наилучшим образом отражает принцип преобразования входных изменений в выходные, т. е. изменения входных величин (Хl, Х2) преобразуются в изменение выходной величины у точно так же, как в pe альной системе. Вместе с тем, если, например, Хl == О, то, как и в случае с реальной системой, независимо от изменения входной величины Х2, OT сутствуют изменения и на выходе нечеткой модели мв(у) (первый стол бец вычислительной сетки на рис. 3.27). Вместо оператора PROD можно
104 rлава 3. Нечеткая арифметика /--LАlА2 (у) А 1 . А 2 == «примерно 35» 1 \ 11 \ 1 \ 1 \ , \ 1 \ 1 \ , \ , \ o .... // ............ / ........ / ...., e , .... "".""."'" " , .... 10 20 30 40 50 60 70 у Рис. 3.28. Простейшее двумерное сечение произведения нечетких чисел (А 1 . А 2 ) использовать друrие tHOpMbI, например l\1IN, однако в этом случае будет иным и результат умножения. . Возможность приближенноrо вычисления произведения нечетких чи сел А 1 .А 2 обеспечивается использованием LRпредставления (рис. 3.29). Пара метры положительных нечетких чисел А 1 , А 2 И их произведения (Аl . А 2 ) связаны соотношениями: п1А1А2 == тА 1 тА 2 , тА1А2 О:А 1 А2 == (тпА 1 аА 1 ) ( тпА 2 аА2)' тА1А2 + РА1А2 == (тА 1 + БА 1 ) ( тпА 2 + РА 2 ). (3.46) /--LА l (Х1) /--LA2 (Х2) 1 PA l о ( ) mAl Х1 rrAl aA l (mA l + 8Al) /--LАlА2 (у 1 РА 2 О тпА 2 Х2 ( rп Л 2 аА 2 ) ( тА 2 + РА 2 ) P A lA2 о (mA l ,42 аА1 А 2 ) тА1А2 у (тА 1 А 2 + PA l A 2 ) Рис. 3.29. Обозначения, используемые при перемножении положительных нечетких чисел А 1 и А 2
3.4. Умножение нечетких чисел 105 {lA 1 (Хl) р,А 2 (Х2) А 1 1 А 2 1 о о 2 3 4 5 6 7 а 5 6 7 8 9 10 ь f LA IA2 (у (А 1 * А 2 ) 1 о 1 О 20 30 40 50 60 70 у Рис. 3.30. Перемножение двух положительных нечетких чисел на основе LRпредставления Отсюда можно получить формулы, задающие характеристические па раметры произведения (A 1 . А 2 ): аА 1 А 2 == т J Al аА 2 + тА2аА2 аА 1 аА 2 , РА1А2 == тА 1 РА 2 + тA2P41 + РА 1 РА 2 0 (3.47) * Таким образом, произведение двух положительных нечетких чисел, заданных с помощью LRпредставления, определяется выражением: (Al. А 2 ) == (тAlaAl,PAl)(тA2,aA2PA2) == == (тА 1 тА 2 , тА 1 аА 2 + тА 2 аА 1 аАl a42' тА 1 РА2+ (3.48) + тА 2 РА 1 + РА 1 РА 2 ) дЛЯ Al > о, А 2 > о. При мер 3.4.2. Найдем произведение положительных нечетких чисел А 1 == (5.3.2) и А 2 == (7.2.3) (рис. 3.30). Используя формулу (3.48), по JIучаем: (Аl . А 2 ) == (5,3,2) . (7,2.3) == (35,25,35). Из рис. 3.28 и рис. 3.30 видно, что в результате перемножения нечет ких чисел на основе принципа обобщения и LRпредставления получа Положительным считается нечеткое число, носитель KOToporo полностью находится на положительной полуоси (содержит только положительные числа), Прuм. перев.
106 rлава 3. Нечеткая арифметика ются нечеткие числа с совпадающими номинальными значениями и Be личинами разброса, хотя формы функций принадлежности MorYT разли чаться. . Перемножение положительноrо и отрицательноrо чисел Перемножение нечетких чисел различноrо знака с использованием прин ципа обобщения не имеет никаких отличий от случая двух положитель ных нечетких чисел. Таблица 3.16 Нечетко е ч исло A l == «п рим ерно 5 » A:Xl) [Е 0;31 0.:6 ЕЕ °651 Пример 3.4.1. Найдем произведение нечетких чисел А 1 и А 2 , заданных в виде табл.3.16 и табл.3.17 соответственно. Таблица 3.17 Нечеткое число А 2 == «примерно 7 » I AX2) I 51 I 71 06861 031 o Число А 2 == «примерно 7» является противоположным числу А 2 == «примерно 7», которое использовалось в примере 3.4.2. Метод перемно жения А 1 и А 2 представлен на рис. 3.31, а двумерное представление изоб раженноrо на нем сечения показано на рис. 3.32. . Приближенное произведение положительноrо и отрицательноrо нечетких чисел может быть также получено с использованием LR представления (рис. 3.33). Пара метры чисел А 1 и А 2 (рис. 3.33) связаны соотношениями: mAIA2 == тА 1 тА 2 , тА1А2 йА1А2 == (тА 1 + 'вА1 )(тА2 йА2)' mA1A2 + ,вАIА2 == (тА 1 йА1 )(тА 2 + ,вА2)' с учетом соотношений (3.49), параметры произведения положитель Horo и отрицательноrо нечетких чисел задаются формулами: (3.49) DА1А2 == 71tA1 (}А 2 тА2/6А1 + й.А2'вАl ,ВАIА2 == 71LА 1 fЗА 2 тА2йАl йА 1 fЗ А 2' (3.50)
3.4. Умножение нечетких чисел 107 1 ..а 0.66 ",," """" О 5 "а' 'о . 0.33 о""" "" О " " " " О ,," " РА 1 (Хl) 1 о 6: I 1 1 1 01 зо I , 4: 5: 1 I 1 I 1 I 1 I O 01 20 25 2: I I 1 3: 1 1 I 1 01 15 о 0.5 зо 0.25 36 / / / 0.5 // JJ / / / / / 1 , , , ь 0.66 \ , , 0.33 \ , , " 60. 12 " " !} 14 0.33 21 0.66 28 0.5 42 8 о :T6 0.22 24 0.44 0.66 32 40 ..2.9 18 0.11 27 0.22 0.33 36 45 !9Q 20 о 50 о 60 о Х2 РА 2 (Х2) J'1Al (А2) (у) == PROD{J'1A 1 (Хl), РА 2 (Х2)} 1 7: 1 1 1 1 01 35 Хl о 42 о 49 о 56 о 63 , ТIХ2 == У Рис. 3.31. Произведение положительноrо и отрицательноrо нечетких чисел и простейшая линия пересечения (А 1 * А 2 ) РА 1 А 2 (у) /?, 1 / , / , / , / , / , / , / , / , / , / О /0 , / , / , ,А " , " " ", " 70 60 50 40 30 20 10 О у Рис. 3.32. Приближенное плоское сечение произведения положительноrо и OT рицательноrо нечетких чисел Таким образом, LRпредставление произведения положительноrо и отрицательноrо нечетких чисел (rде А 1 > О, А 2 < О) имеет вид: (А 1 . А 2 ) f"'-.J (rпA 1 , йА1 , )3 А 1 ) (тА2' СХА2' )3 А2) == == (тА 1 тА2,т.А 1 йА 2 rпJA2)3A1 + ОА2fЗА1' (3.51) т,А 1 ВА2 тА 2 йА 1 О:А1fЗА 2 ).
108 rлава 3. Нечеткая арифметика J1A l (Xl) LA2 (Х2) 1 fЗ А 2 mA l (rrAl + /3А 1 ) (тА2 СУА 2 ) тА 2 (тА 2 + fЗА 2 ) Хl 1 Х2 о (mA l QA l ) J1A l А 2 (у) 1 QA l А 2 fЗ А 1 А 2 у ( mA lA2 QA l A 2 ) mA l A 2 ( mA lA2 + fЗА l А 2 ) Рис. 3.33. Обозначения парамеТРОБ произведения положительноrо нечеткоrо числа А 1 и отрицательноrо нечеткоrо числа А 2 J1 A l (Хl М А 2 (Х2 А 1 1 А 2 о 2 3 4 5 6 7 Хl 10 9 8 7 6 5 Х2 J1A l А 2 (у) А 1 * А2 1 70 60 50 40 зо 20 10 О у Рис. 3.34. Результат перемножения положительноrо нечеткоrо числа .<41 и от.. рицательноrо нечеткоrо числа А 2 с использованием LR"представления
3.4. Умножение нечетких чисел 109 Пример 3.4.2. Используя LRпредставление, найдем произведение по ложительноrо нечеткоrо числа А 1 и отрицательноrо нечеткоrо числа А 2 : А 1 == «примерно 5» == (5, 3, 2), А 2 == «примерно 7» == (7, 3, 2). В соответствии с формулой (3.51) получаем: (А 1 . А 2 ) == (5,3,2)(7,з,2) == (35,35,25). Результат перемножения представлен на рис. 3.34. Сравнивая ero с произведением, полученным на основе принципа обобщения (рис. 3.32), леrко видеть, что совпадают как величины разброса CtA 1 A 2 и fJ A I A 2' так и номинальные значения тА 1 А 2' а функции принадлежности имеют cxoд ную форму. . Перемножение положительноrо и отрицательноrо нечетких чисел LRпредставление произведения нечетких чисел А 1 > О И А 2 < О имеет вид: (А 1 . А 2 ) rv (тАl,ОАl,'вА 1 )(тА 2 ,ОА 2 ,!3А 2 ) == == (тА1 тА2' тА1(ЗА2 + тА2йА1 + йА1'вА2, тА 1 аА2 + тА2(ЗА1 . йА 2 ;ЗА 1 ). (3.52) Перемножение отрицательных нечетких чисел Произведение нечетких чисел А 1 < О И А 2 < О выражается формулой: (Аl . А 2 ) rv (тА1' йА1' (ЗА 1 )(тА2' йА 2 , (ЗА2) == == (тА1тА2' тА1(ЗА2 mА2;ЗА1 (3А1fЗА2' тА1 аА2 тА2йА1 + йА1 O:42). (3.53) Перемножение нечетких нулей Пусть А 1 И А 2 нечеткие числа «примерно О» С неравными значени ями разброса. Процедура перемножения таких чисел с использованием принципа обобщения описывается в примере 3.4.5. Пример 3.4.1. Найдем произведение нечетких чисел А 1 и А 2 , COOTBeT ствующих понятию «примерно О», заданных в виде табл. 3.18 и табл. 3.19 соответственно.
110 rлава 3. Нечеткая арифметика т а б л и ц а 3.18 Нечеткое число А 1 == «примерно О» MAl (Хl) о 0.33 0.66 1 0.5 О Хl 3 2 1 О 1 2 Таблица 3.19 Нечеткое число А 2 == «примерно О» МА2 (Х2) о 0.5 1 0.66 0.33 О Х2 2 1 О 1 2 3 !--lА 1 (Хl) 1 / / / 0.33 d/ / / / 0.66 // /0 / !--lА2 (Х2) /// '" 0.66 (J';';' о. 33 ",;,'" о;' О ;';';' ;' Х2 о: I I I I I О' О , , , ''о 0.5 , , ", о 1: 2 : I I I I I , I I 01 3 Хl !J2 3 I .22 0.33 О 2 О 4 0.22 О 2 2 0.33 0.66 О О О О 0.16 0.33 0.5 0.25 О 2 l О l 2 ХIХ2 == У О О 0/ 4 2 4 2 О 6 1 ", , , Q. 0.5 " , , ',2 О О 6 о О б 10 3 !--lА 1 А 2 (У) == PROD{!--lА 1 (Хl), !--lА2(Х2)} Рис. 3.35. Перемножение нечетких нулей с использованием принципа обобще ния Метод вычисления произведения Al . А 2 С использованием принципа обобщения представлен на рис. 3.35, а а плоское сечение произведения на рис. 3.36. 11 Для перемножения нечетких нулей можно также использовать LR представление (рис. 3.37).
3.4. Умножение нечетких чисел 111 МА 1 (А 2 )(У) 1 I \ I \ I \ I \ I \ I \ I \ I \ ....0 \ \ ; Ь ........ , ",,,,' " .... e ..--........ .................. 98765432l 0123456 у Рис. 3.36. Простейшее плоское сечение результата перемножения нечетких HY лей в соответствии с рис. 3.35 МА 1 (Хl) РА 2 (Х2) аА 1 {ЗА 1 Хl О'А2 fЗА 2 Х2 тА1 == о (тпА 1 аА 1 ) (тА 1 + {ЗА 1 ) тА2 == о (ТnА2 0.42) ( тА 2 +/3А 2 ) аА 1 А2 {ЗА 1 А2 у (тА1А2 аА1А2) тА 1 А 2 == о (тА 1 А 2 + /3А1 А 2) Рис. 3.37. Обозначения, используемые при перемножении нечетких нулей на oc нове LRпредставления Параметры чисел А 1 , А 2 и их произведения А 1 . А 2 связаны COOTHO шеНИЯl\IИ: Al == (О, (ХА 1 , !3А 1 ), А 2 == (О, (ХА2' !3А2)' mAl.A2 == т'Аl '((A2 == О, (ХА 1 А 2 == МАХ(аА 1 fЗ А 2' аА2!3А1), !3А 1 А2 == 11АХ(О'А 1 О:.42' !3А 1 fЗ А 2). (3.54 )
112 rлава 3. Нечеткая арифметика fLA 1 (X1) МА 2 (Х2) 3 2 1 О 1 2 Х1 2 l о 1 2 3 Х2 fLAl А2 (у) 98765432l О 1 2 3 4 5 6 у Рис. 3.38. Результат умножения нечетких нулей с использованием LRпредставления Таким образом, LRпредставление произведения нечетких чисел BЫ ражается формулой: (А 1 . А 2 ) rv (О, (ХА 1 , !ЗА1 )(O аА 2 , jЗА 2 ) == (3.55) == (О, МАХ( (ХА 1 !ЗА2' (ХА 2 jЗА 1 ), МАХ( a41 аА 2 , !ЗА l jЗ А 2 )). Пример 3.4.2. Найдем произведение двух нечетких нулей следующеrо вида: А 1 == (0,3,2), А 2 == (O 2, 3). С учетом формулы (3.55), LRпредставление произведения А 1 . А 2 имеет вид: (А 1 . А 2 ) rv (О, З, 2) . (О, 2, 3) == (О, I\IAX(9, 4), МАХ( 6 6)) == (О, 9, 6). Результат умножения представлен на рис. 3.38. Сравнивая произ ведения нечетких нулей, полученные на основе принципа обобщения (рис. 3.36) и LRпредставления (рис. 3.38), можно видеть, что у них COB падают номинальные значения и величины разброса, но формы функций принадлежности между собой только похожи. . Носитель положительноrо нечеткоrо числа содержит только положи тельные элементы (рис. 3.39, а), в то вреJ\1Я как носитель отрицательно ro числа состоит полностью из отрицательных элеrvlентов (рис. 3.39,6),
3.4. Умножение нечетких чисел 113 а) А 1 > о 1 6) РА 2 (Х2) А 2 < О Р,А 1 (Хl) о Xl З'2 f-LА з (хз) в) 113 о ХЗ Рис. 3.39. Положительное нечеткое число Al (а), отрицательное нечеткое чис ло А 2 (6) и число неопределенноrо знака Аз (в) а элементы носителя числа неопределенноrо знака MorYT быть любыми (рис. 3.39, в). Нечеткие числа неопределенноrо знака можно перемножать с ис пользованием как принципа обобщения (см. пример 3.4.7), так и LR представления (см. пример 3.4.8). Пример 3.4.3. Используя принцип обобщения, перемножим числа неопределенноrо знака, заданные в форме табл. 3.20 и табл. 3.21. Таблица 3.20 Нечеткое число неопределенноrо знака Al МА 1 (Xl) о 0.33 0.66 1 0.5 О Xl 2 1 О 1 2 3 Процедура вычисления произведения представлена на рис. 3.40, а pe зультат вычисления на рис.3.41. 11 Упрощенное произведение двух нечетких чисел неопределенноrо зна ка можно также вычислить, используя LRпредставление (рис. 3.42). Для произвольных нечетких чисел LRпредставление их произведения
114 rлава 3. Нечеткая арифметика Нечеткое число неопределенноrо знака А 2 т а б л и ц а 3.21 МА 2 (Х2) о 0.5 1 0.66 0.33 О Х2 3 2 1 О 1 2 2'2 МА2 (Х2) / / / о. 33 // /0 " / " / / /" 0.66 " / 1 О. , ..... ..... ..... ..... 'Q , 0.5 ....., ..... , ..... " 0.33 о""" " О ,," " о 2 ' I I I I I 2 О: 4 /-LА1(Хl) 0.66 I 1: I I I I О, 2 0.22 О 0.44 О 0.66 О 0.33 О :}Q О 6/ 3 PROD{/-LАl (Хl), МА 2 (Х2)} t.9 2 0.11 1 1 .D " , " , " , "о 0.5 , , , ..... , QQ О 0.22 О I о: I I I I O О I 3: I I Xl l О 2 0.33 1 I 1: I I I 1 01 2 I 2: I I I I О! 4 2 О ............................-- 4 0.16 2 0.33 1 О 3 о 0.66 О О О линия сечения 0.5 2 О 6 О О .. О 3 у == ХI Х 2 Рис. 3.40. Перемножение нечетких чисел неопределенноrо знака с использова нием принципа обобщения /-LAIA2 (у) ...",......... Q " , /' , " \ " \ ,," \ " , " \ " \ ,," \ " \ " " " " O 1 ....(} 9 8 7 6 5 4 3 2 1 О 1 2 3 4 5 6 у Рис. 3.41. Представление произведения двух нечетких чисел неопреде.ленноrо знака Al == «примерно 1» и А 2 == «примерно ] » В форме плоскоrо сечения четырехмерноrо нечеткоrо числа (рис.3.40)
3.4. Умножение нечетких чисел 115 f-LА 1 (Хl) f-L A 2(X2) (3А 1 о тАl f-L A I A 2 (у) тА2 О Х2 Х1 а А I А 2 (3АI А 2 тА 1 А 2 О у Рис. 3.42. Обозначения, используемые при перемножении нечетких чисел неопределенноrо знака (произвольных чисел) задается формулой: ( т А 1 , ((41 , ,в А 1) . (т А 2 , а А 2 , 'вА 2) == (т А 1 А 2 , а А 1 А2 , ,в А 1 А 2 ) , rде: тА 1 А2 == тА 1 тА2' аА1 А 2 == тА 1 тА 2 l\1IN[(mA 1 аА1)(тА2 аА2)' (тА1 аА 1 )(тА 2 + (ЗА2)' (тА 1 + (ЗА1 )(тА2 йА 2 ), (тА 1 + (ЗА 1 )(тА 2 + (ЗА2)]' !JAlA2 == МАХ[(тА 1 йА 1 )(тА 2 аА2)' (mA l йА 1 )(тА 2 + 'вА2)' (тА1 + 'вА 1 )(тА 2 аА 2 ), (тА 1 + (ЗАl)( тА 2 + 'вA2)] тAlтA2' (3.56) При мер 3.4.4. Найдем произведение нечетких чисел Al и А 2 неопреде ленноrо знака: Al == (1,3,2) А 2 == (1,2,3). Перемножение по формуле (3.56) при водит к результату (3.57), также представленному на рис. 3.43: ( 41 . .L4 2 ) == (т) А 1 А2 а А 1 А 2 , ,в А 1 А 2 ) ,
116 rлава 3. Нечеткая арифметика f-LA 1 A 2 (у) 9 8 7 6 5 4 3 2 l О 1 2 3 4 5 6 у Рис. 3.43. Произведение двух нечетких чисел неопределенноrо знака А 1 == «примерно 1» и А 2 == «примерно 1», найденное с использованием LR представления [де: nl,A 1 A2 == 1, а А I А 2 == 1 11IN(6, 4, 9, 6) == 1 + 9 == 8, ;3АI А 2 == l\1AX(6, 4, 9, 6) (1) == 6 + 1 == 7. (3.57) Сравнивая рис. 3.41 и рис. 3.43, можно видеть, что произведения нечетких чисел неопределенноrо знака, найденные с использованием принципа обобщения и LRпредставления, имеют одинаковые номиналь ные значения и величины разброса, хотя формы функций принадлежно сти имеют некоторое различие. . 3.5. Деление нечетких чисел Пусть Al И А 2 нечеткие числа. Независимо от их знака, частное (Al/A2) может быть найдено с помощью принципа обобщения по Форму ле (3.58): (41/A2)(Y) == v [Аl (rl) 1\ А 2 (Х2)], VXl, Х2, У Е R Х2 -1 O (3.58) у==х 1/ Х2 [де V оператор объединения множеств (наПРИl'лер МАХ, алrебраиче ская сумма или друrие SHOpMbI), Л оператор пересечения множеств (например I\1IN, PROD или друrие tHOpMbI). Деление нечетких чисел фактически сводится к вычислению функции принадлежности их частноrо по формуле: f1 А 1 / А. 2 ( у) == V I [/ L А 1 (:с 1) !\ р: А 2 ( 1> L ) ] V T] , Х'2 . У Е R.. r 2 1= о. ( 3 . 59) у-=:.:l' 1/.1.'2
3.5. Деление нечетких чисел 117 Нечеткое число Al == «примерно 5» т а б л и ц а 3.22 {1A 1 (Xl) о 0.33 0.66 1 0.5 О Xl 2 3 4 5 6 7 т а б л и ц а 3.23 Нечетко е ч исло А 2 == «примерно 7» ILA;X2) [1 065 Ш 0.;6 I 0'311 I Пример 3.5.1. Найдем частное нечетких чисел А 1 и А 2 , заданных в виде табл.3.22 и табл. 3.23 соответственно. Метод вычисления частноrо с использованием принципа обобщения показан на рис. 3.44. Выполнив сечение представленноrо на этом рисунке М А l (Хl 1 .о 0.66 ",/' ", 0.33 """а' ''о, 0.5 о " , " , О " , ,," , Х2 2: , I , 4: I , I , О' 0.4 о 10 / / / 0.33 d/ / / / 0.66 о/ / / / / / 1 о- , , , , , 'Q 0.5 ", ", 5 .?.9 0.22 0.33 0.55 ?!) 0.25 0.22 0.37 7 0.33 0.43 О O29 0.66 0.57 6 0.16 0.5 О --....------....-- 0.33 0.33 0.66 .05 0.83 О 0.6 МА 2 (Х2) о u 04 I 51 I , I , О' 0.5 I 7 : Хl I I I I О' 0.7 I 6: I I , I 01 0.6 0.16 0.66 О 0.77 0.33 0.75 О 0.87 0.5 0.86 О 1 линия сечения О 1 о /-lАIА2 PROD{jLA 1 (Хl).РА 2 (.Т2)} 1 у == Хl/Х'2 Рис. 3.44. Метод определения функции принадлежности частноrо нечетких чисел (А 1 /А 2 ) с использованием принципа обобщения
118 rлава 3. Нечеткая арифметика 1 ,O, , I , " : " 18 24 5 " J " ()' fЗ т А А ,,' : "" 35 ' 35 ' 1 :12 "7 " I " ",а : " ",,,,'" : ", ",,,,'" : ()- о'" : 02 0.4 0.6 0.8 1.0 12 1.4 у Рис. 3.45. Плоское представление нечеткоrо частноrо (А 1 / А 2 ), rде А 1 == «примерно 5», А 2 == «примерно 7» нечеткоrо частноrо, получаем ero плоское двумерное представление рис. 3.45. В рассматриваемом при мере для вычисления частноrо используется оператор PROD (!\). Предпочтительность применения именно TaKoro опе ратора обусловлена в данном случае тем, что частное может быть пред ставлено в виде произведения А 1 . А 2 1 . Тем самым, деление является операцией мультипликативноrо типа, и оператор PROD хорошо соrласу ется с этим свойством. Более Toro, данный оператор обеспечивает еди ный принцип преобразования одинаковых входных и выходных измене ний в системе и ее модели. . Частное нечетких чисел можно приближенно вычислять, используя их LRпредставление (рис. 3.46). Если А 1 == (тА 1 ,аА 1 ,jЗА 1 ), А 2 == ( тА 2,а А 2,jЗА 2 ), причем Al > О И А 2 > о, то пара метры LRпредставления чисел А 1 , А 2 и их частноrо (А 1 /А 2 ) связаны соотношениями: тАl/А2 == тА 1 /тА 2 , тА 1 /А 2 аА1/А2 == (тАl (ХА 1 )/( тА 2 + JЗА 2 ), тА 1 /А 2 + fЗА 1 /А2 == (тА1 + fЗА 1 )/( тА 2 аА2). (3.60) На основе данных соотношений можно получить формулу (3.61), определяющую величины разбросов частноrо: 'тА 1 /ЗА 2 + ТlLA2 QA 1 (XAl/42 == ( fЗ ) ' mЛ2 тпА 2 + А 2 fЗ тА 1 0'А 2 + 1пА 2 fЗА 1 А 1 /42 ( ) , тА 2 ПLЛ2 йА 2 тА2 i= о. (3.61) т'А 2 аА2 i= о.
3.5. Деление нечетких чисел 119 МА 1 (Хl) МА 2 (Х2) А 1 А 2 : (ЗА 1 тА2 Xl тА 2 Х2 МА]/А 2 (У) тА 1 /А 2 у Рис. 3.46. Обозначения, используемые при делении нечетких чисел на основе их LRпредставления Формула, используемая для деления положительных нечетких чисел, заданных с помощью LRпредставления, имеет вид: (А 1 /А 2 ) rv (тAl,aAl,;JAl)/(тA2,aA2,;JA2) == == ( mA1 тАlfЗА2 + тА 2 йА 1 тА 1 аА2 + тА2fЗАl ) тА2' тА 2 (тА 2 + fЗА 2 ) , тА 2 (тА 2 йА 2 ) . При мер 3.5.2. Найдем частное положительных нечетких чисел А 1 и А 2 , rде: (3.62) А 1 == «примерно 5» == (5, 3, 2), А 2 == «примерно 7» == (7, 2, 3). Используя формулу (3.62), получаем следующий результат: ( А / А ) rv ( 2 18 24 ) 1 2 7' 35 ' 35 . Сравнивая результаты деления нечеткоrо числа А 1 == «примерно 5» на нечеткое число А 2 == «примерно 7», полученные с помощью принци па обобщения (рис. 3.45) и I...Rпредставления (рис. 3.47), можно видеть, что у них равны как номинальные значения, так и величины разброса, в то время как формы функций принадлежности являются похожими, но не совпадают. .
120 rлава 3. Нечеткая арифметика IL A l/A2(Y) 1 5 18 24 m а (.:j А 1 / А 2 7' 35 ' fJ 35 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 11 1.4 у Рис. 3.47. Деление нечетких чисел «примерно 5» и «примерно 7 » с использова нием LRпредставления Деление положительноrо числа на отрицательное Деление указанноrо типа, подобно друrим арифметическим операциям над нечетким числами, может выполняться как на основе принципа обоб щения, так и с использованием LRпредставления. В случае деления LRпредставлений частное выражается формулой: (А 1 /А 2 ) rv (тА 1 , аАl' fЗАl)/(тА 2 , аА2' fЗА 2 ) == == ( П1А1 тАl{ЗА2 тА 2 {ЗА 1 ffiA 1 йА 2 тА2йА1 ) , ( , ( . тА 2 тА 2 т'А 2 + {ЗА 2 ) тА 2 тА 2 йА 2 ) (3.63) Деление отрицательноrо числа на положительное А 1 < о, А 2 > о, А 2 -1- о. Деление TaKoro типа может выполняться с использованием принципа обобщения либо LRпредставления. LRпредставление частноrо опре деляется по формуле: (Аl/А2) rv (тАl,аАl,fЗАl)/(тА2,lXА2,;JА2) == ( тА, , TпA, аА 2 + ' тА 2 аА , rпАJЗА2 + rпА 2 (ЗА, ) т А 2 П А 2 ( ПL А 2 й А 2 ) Пl А 2 ( т А 2 + {з А 2 ) . (3.64) Деление отрицательных чисел А 1 < о. А 2 < о, А 2 -1- о. Деление TaKoro типа может выполняться с использованием принципа обобщения либо LRпредставления. LRпредставление частноrо опре
3.6. Особенности нечетких чисел 121 деляется по формуле: (А 1 /А 2 ) rv (тAl,aAl,;JAl)/(тA2,aA2,;JA2) == ( тА' , тAl аА 2 rпА 2 {ЗА, TпAl (ЗА 2 тА2аА' ) тА 2 тА 2 (ТnА 2 аА 2 ) тА 2 (тА 2 + {ЗА 2 ) (3.65) Деление нечетких чисел неопределенноrо (произвольноrо) знака A 1 , А 2 , А 2 -1- о. Деление TaKoro типа может выполняться с использованием принципа обобщения либо LRпредставления. LRпредставление частноrо опреде ляется по формуле: ( А 1 / А 2 ) == т А 1 , а А 1 , fЗ А 1 ( ) fЗ == rпA 1 /A2,aA 1 /A 2 ,fJA J /A2 ' тА 2 , аА 2 , А 2 rде: ffiA l тА 1 /А2 == тА 2 == ffiA l M IN( rnAl aA l ffiA l aA l ffiA l + {ЗА l ffiA l + {ЗАl ) а А 1 / А2 , {З ' , fЗ тА 2 тА 2 аА 2 тА 2 + А 2 тА 2 аА 2 тпА 2 + А 2 == l\1AX ( ffi A l аА! тА! аА! ffiA l + (ЗА! rnA l + {ЗА! ) fJ А 1/ А2 , {З , { тА 2 аА 2 тА 2 + А 2 тпА 2 аА 2 тА 2 + fJA 2 mA l тА 2 (3.66) 3.6. Особенности нечетких чисел Операции над нечеткими числами MorYT при меняться и к четким числам, и очень важно указать на характерные различия между этими типами, уделив особое внимание двум числам О и 1. На рис.3.48 показаны при меры чисел в нечеткой (индекс f fuzzy) и четкой (индекс cr crisp) формах. Если А нечеткое число, A число, ему противоположное, то сле дующее равенство не выполняется: А А == Ocr. (3.67) Однако равенство А А == Of (3.68) будет при этом справедливо.
122 rлава 3. Нечеткая арифметика li(X) 'l(Х) 1 Оо) == «примерно» О O(cr) == О l О 1 х f.L(x) 1 О 1 Х f.L(x) 1 1о) == «примерно» 1 1 --------........------.......... l(cr) == 1 о 1 2 .r о 1 2 Х Рис. 3.48. При меры чисел О и 1 внечеткой (f) и четкой (cr) формах Указанное обстоятельство является следствием Toro, что в результа те выполнения арифметических операций над нечеткими числами всеrда получаются нечеткие числа ни одна операция не приводит к четкому результату. Нечеткое число не может быть сокращено в уравнении так, как это делается в случае четких чисел, т. е. путем сложения с противо положным числом (A). При мер 3.6.1. Выполним вычитание двух совпадающих нечетких чи сел А (табл.3.24). т а б л и ц а 3.24 Нечеткое число А == « примерно 1 » ILА(Х) О 0.5 1 0.5 О :r О 0.5 1 1.5 2 Метод вычисления разности (А А) с использованием принципа обобщения (3.69) показан на рис. 3.49, а сечение разности (А А) на рис. 3.50: JLAA(Y) == 11АХ (I\1IN(JLA(Xl), JLA(X2))), \!Хl, Х2, У Е R. Y==Xl X2 (3.69) Представленный на рис. 3.49 и 3.50 пример подтверждает, что раз ность двух совпадающих нечетких чисел (А А) представляет собой нечеткий нуль (а не четкое нулевое значение), носитель KOToporo всеrда шире, чем носитель числа А. .
З.6. Особенности нечетких чисел 123 f.LA 1 (Хl) 1 1 ,0., / , 0.5 d// ',0.5 / Ц / ' // " / ' Х2 :0 I I I :0.5 :I I I I I I I I I I I I 01 l :1.5 I I I I I I :2 I I I I I I Хl / / 0.5 (1;/ / / / / / / 1 о: , , , , , , 0.5 " , , , 0.5 о 1.5 о .............................. 1.5 0.5 , 0.5 0.5 О о 0.5 Jo l 0.5 0.5 о 1 линия сечения 0.5 о ........................ 0.5 0.5 О f.L A 2 (Х2) 9.9 о о 1 1 MIN{f.LA 1 (2'1), f.LA 2 (X2)} Рис. 3.49. Вычисление разности двух совпадающих нечетких чисел (А А) с использованием принципа обобщения f.LAA(Y) примерно О / / / cf / / / / / , , , , Q. , , , , 2 1 о 1 2 у Рис. 3.50. Результат вычитания двух совпадающих нечетких чисел (А А), представленный в форме сечения нечеткоrо числа на рис. З.49 в общем случае некорректным является уравнение вида: Х + А == B CI , (3.70) rде Х и А нечеткие числа, но Bcr четкое число. Поэтому данное уравнение не может быть разрешено относительно х. Вместе с тем, ypaB нение вида Х+А==В (3.71) корректно; здесь все входящие в уравнение числа нечеткие.
124 rлава з. Нечеткая арифметика В отличие от ситуации с четкими числами, решение уравнения (3.71) не представимо в форме: х == в A (3.72) поскольку после подстановки найденноrо таким образом числа Х в ис ходное уравнение (3.71) получаем число С, не равное В: В А + А == С -1- В. (3.73) у чисел С и В совпадают номинальные значения, но различаются вели чины разбросов а и (3. Значение Х можно найти приближенным MeTO дом асрезов (Knappe 1994), либо на основе LRпредставления нечетких чисел, используя формулы (3.74), (3.75) и (3.76). То есть если х == (тх,ах,(3х), А == (тА,ал,рл), В == (тв,ав,(3в), (3.74) то х + А == (т:х + rпл, ах + ал, (3х + ;ЗА) == в == (тв, ав, (3в). (3.75) Таким образом: х == (тв тл, ав ал, (3в (з л ). (3.76) При мер 3.6.2. Найдем нечеткое число Х (неизвестное) для уравнения х + А == (5,4,3) == В, (3.77) [де А == (3,3,1). Пользуясь формулой (3.76), получаем: Х==(2,1,2). Вычисления представлены на рис. 3.51. Равенство вида . А . А 1 == 1cr (3.78) в общем случае не выполняется. С друrой стороны, справедливо следующее равенство: A.Al==lf. (3.79) Произведение двух нечетких чисел, даже взаимно обратных, никоrда не является четким. Пример 3.6.3. Используя принцип обобщения, найдем произведение чи сел А и А 1, заданных в табл.3.25 и табл. 3.26. Схема вычисления произведения А . А 1 представлена на рис. 3.52, а ero плоское сечение на рис. 3.53. .
3.6. Особенности нечетких чисел 125 мв (у) 6) IL А ( Х 1 ) а) в 1 А 1 о 1 2 3 4 5 6 7 8 у О 1 2 3 4 5 х мх (х) ILBA (у) в) Х == примерно 2 с) В А == примерно 2 1 ... 1 .......................... о 1 2 3 4 4 3 2 1 О 1 2 3 4 5 6 7 8 у Рис. 3.51. Верное решение Х (в) уравнения Х +А == в иневерное ero решение, равное В А (2), rде числа А и В имеют вид (6) и (а) соответственно т а б л и ц а 3.25 Нечеткое число А == «примерно 13» ILAl(X) О 0.333 0.666 1 0.5 О :1' 10 11 12 13 14 15 Рисунок З.5З является подтверждением Toro, что произведение нечет Koro числа А и обратноrо к нему числа А 1 является нечетким числом «1», т. е. «примерно 1». Результат перемножения нечетких чисел не может быть четким числом, поэтому некорректным является уравнение вида х . А == Bcr. (З.80) в то же время уравнение вида Х.А==В (З.81) т а б л и ц а 3.26 Нечеткое число Al == «примерно 1/13» ILА2(Х) О 0.5 1 0.666 0.333 О Х 1/15 1/14 1/13 1/12 1/11 1/10
126 rлава 3. Нечеткая арифметика /LA (Xl) о 1 .Q 0.66 //" ", 0.33 """а' ''0,0.5 о" , О ",," " О " , Х2 : 10 : 11 I I I I I I I I О : О: l 1.1 :12 I 1 1 1 I 01 1.2 :13 I I I I I 01 1. 3 Хl / / / 0.33 d/ / / / 0.66 cf/ / / / / / 1 Q , , , , , 'Q. , 0.5 " , , , 9..:.92Q2Q 0.11 0.22 0.33 0.91 1 1.09 1.18 Q:QJ!, 0.22 0.44 0.83 0.92 1 0.0769 О 0.33 б.77 0.85 О 1.15 0.0714 О .....----.....--------.... 0.71 0.25 О 1 1.07 о О О 0.8 0.87 О О O.93I У == Хl * Х2 /LA(X2) 0.06 PROD(/LA (Хl) 1 /Lл 1 (Хl)) 1 Рис. 3.52. Произведение нечеткоrо числа А и обратноrо к нему числа Al в четырехмерном представлении корректно. Здесь X A В нечеткие числа, Bcr четкое число. Уравнение (3.81) нельзя решить относительно Х, произведя умноже ние обеих ero частей на обратное число .14 1, как в выражении X.A.Al ==B.Al (3.82) поскольку Х . А . Al =1 х. Тем не менее, уравнение (3.81) решается в нечетких числах с использованием LRпредставления. Пример 3.6.4. Найдем нечеткое число Х в уравнении Х.А==В , (3.83) [де: А == (732), В == (3529,31), Х == (тx,йx,/3x). LRпредставление уравнения (3.83) может быть записано в виде (тпх,ах,/3х). (7,з,2) == (35,29,31). (3.84 )
З.6. Особенности нечетких чисел 127 {LAAl(Y) А * А 1 == 1} == примерно 1 1 /, " I " ,," I ' " I " .11" : 'о ,,' : " о" I ", " I , ,," I " ",," : 'o... " I o : 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 У Рис. 3.53. Двумерное сечение произведения нечетких чисел А . А 1, представ ленноrо на рис. З.52 {LX(Xl) А(Х2) х 1 А 1 о 2 3 4 5 6 /.LH(Y) 1 7 8 Хl 4 5 6 7 8 9 Х2 в == ..У . А о 1 О 20 30 40 50 60 у Рис. 3.54. Нечеткие числа Х и А и результат их перемножения В == Х . А Выполнив умножение по формуле (3.48), получаем: (7тп)(,3тх + 4ах, 2т..у + 9рх) == (35.29,31). Для определения нечеткоrо числа Х следует решить систему из трех уравнений: 7тх == 35, 3тп..у + 4ay == 29, 2тн..\ + 9р..у == 31. Решение будет иметь вид: Tпy == 5, ах == 3.5, * py == 2.33 . * 1 Здесь 2.33 результат окруrления точноrо решения 2 . Прuм. ред. 3
128 rлава 3. Нечеткая арифметика f.Lc (у) С==Х.А.Аl-l-Х 1 С == [5,4.39, 14.82] о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 у Рис. 3.55. Неверное решение С == Х . А . А 1 уравнения Х . А == В LRпредставление нечеткоrо числа Х имеет вид Х == (5,3.5,2.33), см. рис. 3.54. Неверное решение уравнения Х . А == В показано на рис. 3.55. . Для операций сложения и умножения нечетких чисел справедливы законы коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и наличия нейтральноrо элемента, представимые в виде формул (3.85)(3.88) COOT ветственно. Закон коммутативности: А + В == В + A А . В == В . А. (3.85) Закон ассоциативности: А + (В + С) == (А + В) + С, А . (В . С) == (А . В) . с. (3.86) Закон дистрибутивности: А . (В + С) == (4 . В) + (А . С). (3.87) Наличие нейтральноrо элемента: А + Ocr == Ocr + А == А, А . 1cr == 1 cI ' . А == А. rде ОСТ четкое число О, l(т четкое число 1. (3.88) 3.7. Различия между нечеткими числами и линrвистическими значениями с математической точки зрения, для представления как нечетких чисел (например «приблизительно 1»), так и линrвистических значений (напри мер «низкое напряжение») используются нечеткие множества. Однако
3.7. Нечеткие числа и линrвистические значения 129 а) 6) в) l(X) высокий (рост) р,(х) высокий (человек) р,(х) примерно 7 1 1 о 1 о о о о о 175 180 см 1 2 3 4 номер 5 7 XR 9 х [0,250 (см)] Х {Эндрю, Бен, Чарли, Джан} Рис. 3.56. При меры задания функций принадлежности линrвистических значе ний «высокий» (рост), «высокий» (человек) и нечеткоrо числа «примерно 7» м ( х ) а) М ( х ) б) примерно 7 HaMHoro больше 10 1 х 1 х о о 5 6 7 8 9 9 101112131415 Рис. 3.57. При меры нечетких множеств, имена которых содержат числовые выражения если линrвистическое значение может быть задано множеством, coдep жащим числовые (1,2,3...) либо нечисловые (Джон, Ричард, Билл, ...) элементы, то нечеткое число должно определяться только на множестве вещественных чисел R (рис. З.56). Соrласно определению (Кпарре 1994; Zimmermann 1994а), нечеткие числа представляют собой выпуклые, нормальные нечеткие множества с ядром, состоящим из единственноrо элемента Хо (рис. З.56, в), и orpa ниченным носителем, в то время как линrвистические значения MorYT задаваться с использованием как выпуклых, так и невыпуклых функ ций принадлежности, иметь неоrраниченный носитель и OДHO либо мноrоэлементное или даже пустое ядро. Однако в практических при ложениях используются нечеткие множества, являющиеся, в COOTBeT стЩ1И с определением (Кпарре 1994; Zimmermann 1994а), не нечетки ми числами, а нечеткими интервалами (Kacprzyk 1992; Кпарре 1994; Zimmermann 1994а), рис. З.57, а. Трапециевидное множество «приблизительно 7» (рис. З.57, а) называ ется трапециевидным «нечетким числом» (Zimmermann 1994а). Множе СТВО «HaMHoro больше 10» (рис. З.57, б) не удовлетворяет требованиям,
130 rлава з. Нечеткая арифметика М(У) 3 2 1 О 1 2 3 е Рис. 3.58. При меры функций принадлежности значений линrвистической пере мен ной «ошибка реrулирования» накладываемым определением нечеткоrо числа, поскольку имеет MHoro элементное ядро и носитель, неоrраниченный с одной стороны, однако в имени данноrо множества имеется опорное числовое значение. Число.. вые выражения можно использовать при задании целоrо ряда различных линrвистических значений. Так, значение «очень высокий» (рис. 3.56, а) можно выразить в виде «HaMHoro больше 175 см». Точно так же нечеткое число «приблизительно 7» (рис. 3.56, в), при ero использовании в каче стве значения, например, линrвистической переменной «возраст собаки», l\10ЖНО заменить линrвистическим значением «средний» (возраст). В соответствии с отмеченным выше, в практике нечеткоrо моделиро вания зачастую пользуются смешанными областями определения, содер" жащими как линrвистические значения, так и нечеткие числа, например (рис. 3.58): ошибка реrулирования == {большая отрицательная, средняя отрицательная, Ma лая отрицательная, примерно нулевая, малая положитель ная, средняя положительная, большая положительная}. Данное множество можно также задать с помощью имен, содержащих числовые выражения: ошибка реrулирования == {HaMHoro меньше 2, примерно 2, примерно 1, при мерно О, примерно 1, примерно 2, HaMHoro больше 2}. Рассмотренный пример подтверждает то, что линrвистические зна.. чения и нечеткие числа часто используются совместно. С учетом это.. ro, некоторые авторы работ по нечетким системам, такие как Калерт (Kahlert 1995), BaHr (Wang 1994), Браун и Харрис (Brown 1994) умыш" ленно не делают различия между линrвистическими значениями и нечет.. кими числами, пользуясь наиболее общим термином «нечеткое множе.. ство» .
r ЛАВА 4 Нечеткая математика ОСНОВНЫМИ элементами нечетких моделей являются лоrические правила вида: ЕСЛИ (Хl среднее) И (Х2 малое) ТО (у большое) (4.1) Для обработки информации в таких моделях необходимо использо вать ряд операций, в основном лоrическоrо характера. Совокупность этих операций и связанные с ними понятия можно объединить под общим Ha званием «нечеткая математика» (Zimmermann 1994а). Основные ее прин ципы представлены ниже. 4.1. Основные операции над нечеткими множествами Нечеткая модель некоторой реальной системы содержит лоrические пра вила, описывающие ее функционирование. Для системы с двумя BXOД ными величинами (Хl Х2) И одной выходной величиной у правило может иметь вид: ЕСЛИ [(Т1 малое) [ (.1'1 среднее) И (.2'2 среднее)] И (Х2 малое)] ИЛИ ТО (у среднее), (4.2) rде «малое» И «среднее» нечеткие множества (нечеткие оценки зна чений соответствующих величин), ЕСЛИ ТО, И, ИЛИ лоrические связки (операторы аrреrирова ния нечетких множеств). Если нечеткие множества «<малое», «среднее») используются дЛЯ BЫ числения входных и выходных состояний системы, то лоrические связки задают качественные отношения между этими состояниями путем объ единения фраrментов правила в единое целое. Точность нечеткой модели зависит как от способа задания используемых в ней нечетких множеств (их числа, формы и пара метров функции принадлежности), так и от ис пользуемых типов лоrических связок.
132 rлава 4. Нечеткая математика к основным типам лоrических связок (лоrическим операторам) OTHO сятся: . И, п, А оператор пересечения (лоrическое произведение) MHO жеств, . ИЛИ, U, V оператор объединения (лоrическая сумма) множеств, . НЕ, , I оператор отрицания (лоrическое дополнение) множеств. Лоrические операторы имеют несколько различных форм представ ления, в связи с чем возникает задача выбора подходящей формы. Ми нимально необходимым условием правильноrо выбора является знание основных форм этих операторов. 4.1.1. Оператор пересечения (лоrическое произведение) нечетких множеств Нечеткая лоrика создавалась на основе классической, четкой, двузначной лоrики. Ее основоположник, Лотфи Заде, указал на недостатки класси ческой лоrики применительно к моделированию явлений реальноrо мира. Введя понятие нечеткоrо множества, он предоставил возможности yco вершенствования моделей, содержащих лоrические связки. Заде опре делил операцию пересечения нечетких множеств как расширение co ответствующей операции над обычными множествами, и это означает, что пересечение обычных множеств должно являться частным случаем пересечения нечетких множеств. Указанная аксиома часто встречается в литературе см., например, (Yager 1994,1995). Вместе с тем, по прак тическим соображениям, связанным со стремлением повысить точность нечетких моделей, используются также и не удовлетворяющие этой aK сиоме операторы (Yager 1994,1995). В классической лоrике пересечение множеств А и В определяется (Driankov 1993,1996; Poradnik 1971) без использования функций принад лежности по формуле А n в == {х : х Е А и х Е В}. (4.3) Пример 4.1.1.1. Пример нахождения пересечения Апв четких множеств представлен на рис.4.1. . Основные свойства операции пересечения четких множеств А n В, заданных на универсальном множестве Х, наличие которых ожидается и в случае нечетких множеств, определяются соотношениями (4.4)(4.9). Коммутативность: А n В == В n А. (4.4)
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 133 Апв А --,T I \1 I : I I I I I I I I О 12 34567 I IBI 8 9 10 х А == {12,3,456} В == {3456 7,8}, Ап В == {34,5.6} Рис. 4.1. При мер лоrическоrо произведения четких множеств А n в Данное свойство означает, что порядок следования множеств операндов не влияет на конечный результат. Ассоциативность: (А n В) n С == А n (В n С). (4.5) Данное свойство определяет возможность пошаrовоrо вычисления ло rическоrо произведения нескольких множеств путем нахождения произ ведений их пар. Порядок, в котором формируются пары, не влияет на конечный результат. Идемпотентность: А n А == А. (4.6) Поrлощение (пересечение с пустым множеством 0): АП0==е5. (4.7) Тождественность (пересечение с универсальным множеством): А n х == А, (4.8) rде Х универсальное множество. Закон лоrическоrо противоречия: АпА==е5. (4.9) Далее будет показано, что для операции пересечения нечетких MHO жеств некоторые из этих свойств не выполняются таким является, Ha пример, свойство (4.9). Применительно к нечеТКИl\I множествам, данная операция может быть задана различными способами и потому ИlVlеет неоднозначный смысл. Указанная неоднозначность иллюстрируется при мером 4.1.1.2. Пример 4.1.1.2. Имеются два нечетких множества А и В, заданные в виде (4.10) и (4.11), rде А множество дешевых автомобилеЙ, Xi
134 rлава 4. Нечеткая математика M(X) Q-........ А дешевые I ........ I ........-0.. I .... I ............ I ..... I I I I I I I в комфортабельные ............ ........ ж.... .................... ....0.... ....х.... ................ ","" ",..,.,,»<........ ....х.... ....'0.... ","'" ""........ ........ .... ........ ............ ........ ........ .... .... ........ о Хl Х2 Хз Х4 Xs Х6 Х/ Рис. 4.2. Дискретные функции принадлежности автомобилей Х/ множеству дe шевых автомобилей (А) и множеству комфортабельных автомобилей (8) обозначение автомобиля: А == { 0.8 0.6 0.4 0.2 } , , . , . , .Т1 ];2 ХЗ Х4 Х5 Х6 (4.10) в множество комфортабельных автомобилей: В == { 0.2 0.4 0.6 0.8 } , , , , , . 1'1 Х2 Х3 Х4 Xf) ];6 (4.11) :j' Как показано на рис.4.2, выполняется условие А == В ". Требуется определить множество С == А n В, содержащее aBTOMO били, являющиеся одновременно дешевыми и комфортабельными. По скольку А == В, то, в случае четких множеств, соrласно свойству (4.9) (А n А == 0), мы получили бы пустое множество. Что же следует считать результатом в случае нечетких множеств? Автомобиль Х4 может быть отнесен к дешевым со степенью IlА(Х4) == 0.4 и к комфортабельным со степенью МА(Х4) == 0.6. В какой степени ero можно одновременно считать дешевым и комфортабельным, и как определить эту степень, используя степени ero принадлежности IJ,A(X4) и МВ(Х4) соответствующим множествам? В (Zadeh 1965) Заде предложил вычислять значения функции принад лежности произведения множеств по формуле (4.12) с использованием оператора MIN : МАПВ(Х) == MIN(f-LА (х), /lB(X)) VX Е х. (4.12) '" Здесь В дополнение нечеткоrо множества В в х, представляющее собой нечеткое множество с функцией принадлежности вида JLtJ(X) == 1 JLB(X), Vx Е х. Прuм. ред.
4.1. Основные операции над нечеткими ЛIножествами 135 {1А (x L ), {1В (x z ) Q...... 4 дешевые I ............ I .... .... -о.... I .... I ............ I .... I I I I I I I в комфортабельные ...... .................. ж............ ............ ............ ....0 .;х-............ ........ ...... .... ...... ,...,.".,,-<......... ......х...... ....'0.... ...... .... .................. .................. ............ .................................... ...... .... о {1ЛПЯ(Х/) 1 Xl Xz Хз Х4 Xs Х6 X 1 о r--.... I ............ I ........ I ............ I ............ I ............ I ......... ...... I ,.".. ::><:'" ....... I ,.".."....... I ,.".. ....... 1"""""" .............. I ,."..'" ........ I ,.".. ....... ,."..""" .............. Апв ............, ............ I ...... I .................. I ............ .................. I .................. I I I 1 I I I I Xl Xz Хз Х4 Xs Х6 Х' 1 Рис. 4.3. Произведение А n В нечетких множеств дешевых С4) и комфорта бельных (В) автомобилей, полученное с использованием оператора l\1IN Данный оператор был первым оператором, использовавшимся для pac ширения операции n пересечения обычных множеств на случай нечетких множеств. Применяя формулу (4.12) для нахождения множества Апв дe шевых и, одновременно с этим, комфортабельных автомобилей, получаем выражение: С == { 0.2 0.4 0.4 0.2 } , , , , , . Xl Х2 .тз Xi Х5 ..[6 (4.13) Нечеткое множество, являющееся результатом данной операции, пред ставлено на рис. 4.3. . Оператор J\1IN можно представить в алrебраической форме: MIN(.rl,X2) == Х1 + Х2 11'1 Х2! Х1 + Х2 (Х1 Х2)' sgn(X1 Х2) 2 2 (4.14) rде { 1 sgn(xl Х2) == о,' 1, если Хl Х2 < О, если Хl Х2 == О, если Хl Х2 > о. Оператор J\IIN в форме (4.14) называют «жестким» «<hard J\lIN,»), по скольку изменение знака разности (Xl Т2) в корне меняет значения
136 rлава 4. Нечеткая математика sgn(Xl :1:2) Sgl 6(Х1 Х2) 1 1 (.Т1 .[;2) о о 1 1 Рис. 4.4. «Жесткая» (а) и «мяrкая» (6) формы оператора sgП(Хl Х2) выражения sgn(Xl Х2), приводя тем самым, к изменению результата действия caMoro оператора (рис.4.4). С целью уменьшения жесткости оператора NIIN(Xl Х2) можно ис пользовать встречающуюся в литературе следующую специальную фор му бинарноrо оператора sgn: Хl Х2 S g n ( x l Х 2) == V ( ) 2 А2' б Хl Х2 + u (4.15) * rде д малое число, например, 0.05 . Увеличение значения д приводит к уменьшению жесткости действия sgn(Xl Х2) (рис. 4.4, 6). На основе «мяrкоrо» оператора sgn можно определить «мяrкий» опе ратор J\1IN б (Хl, Х2), задаваемый формулой l\/f IN( ) Хl + :1'2 + 62 V (Xl 1"2)2 + 62 H хl Х2 . б ' 2 (4.16) Использование «мяrкой» формы оператора sgn обеспечивает более rладкое функционирование нечетких моделей и систем управления, устраняя изломы на поверхности отображения BBoдaBЫBoдa. С друrой стороны, оно имеет недостаток, связанный с тем, что при числе сиrна лов .Т?, превышающем 2, результат вычисления зависит от порядка сле дования сиrналов и не совпадает ни с одним из значений Х? (рис. 4.5). Проявление указанноrо недостатка уменьшается при уменьшении зна чений 6. Имеется, однако, еще один недостаток, связанный с необходи мастью пошаrовых вычислений для последовательных пар сиrналов (на каждом шаrе оператор вычисляет значение минимума только для oд х Еще одно возможное значение д == 0.01, как на рис. 4.5. Прuм. ред.
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 137 0.990 1.000 1.010 0.990 1.000 1.010 .... ..... 0.988 I\IIN <5 .... ..... 0.987 ..... l'vlIN <5 ..... ..... ..... ... .. ... ..... 0.988 .... l'vlIN <5 .... ..... 0.998 ..... I\IIN 6 .... ..... ... ..... Рис. 4.5. Иллюстрация недостатка «мяrкоrо» оператора lVIIN (неточность BЫ числений и зависимость от их порядка) 0.990 1.000 1.010 ... .. 0.993 .... soft :ЛIN <5 .... ..... ..... .... .... Рис. 4.6. Пример вычисления значения 80ft J\lIIN(0.990; 1.000; 1.010) по формуле (4.17) ной пары сиrналов Хl и Х2). с учетом этоrо, при большом числе сиrна лов рекомендуется использовать оператор минимума в следующей фОрl\1е (Beren j i 1992): 80ft MIN(Xl"..' Х n ) == п L;];1 . elcr;1 1==1 п L ek;];i 1,==1 (4.17) i == 1, . . . , n, k > О. При мер действия оператора 80ft lVIIN представлен на рис.4.6. С YBe личением значения коэффициента k (k (0) данный оператор по своему действию все больше приближается к «жесткой» форме 11IN. На практи ке значительная точность вычислений достиrается уже при k > 100, oд нако следует помнить, что с увеличением значения k ПОВbIшается «жест кость» действия оператора. Подводя итоr, укажем следующие достоинства и недостатки «жестко ro» оператора 1IN.
138 rлава 4. Нечеткая математика Достоинства: 1. Простота и скорость вычислений обеспечивают меньшую заrрузку компьютеров и микропроцессоров, что дает возможность использо вать в качестве нечетких реrуляторов недоросие микропроцессоры. 2. Возможность «сrлаживания» действия оператора 1IIN, что, однако, повышает объем вычислений, одновременно понижая их точность. Недостатки: 1. Точность модели в целом ниже, чем при использовании друrих опе раторов. 2. Модель определяет менее rладкую поверхность, чем в случае исполь.. зования друrих операторов. 3. Возникновение нечувствительности и резкоrо изменения значений выходной величины модели и нечеткоrо реrулятора, содержащих опе раторы lVIIN. Анализ представленноrо на рис.4.3 результата операции пересече ния множеств А n в с использованием оператора l\/IIN подтверждает третий из перечисленных недостатков. Степень принадлежности авто.. мобилей Хl, Х2, ХЗ множеству А n в определяется только степенью их принадлежности множеству комфортабельных автомобилей тот факт, дешевле автомобиль или дороже, на указанную степень не влияет. Для автомобиля хз, например, результат будет МАПВ(ХЗ) == МВ(ХЗ) == 0.4. в соответствии с этой моделью, сколь бы дешевым ни был хз (дa же если ero стоимость была бы равной нулю), степень принадлежности МАПВ(ХЗ) останется неизменной (равной 0.4). Иллюстрацией paCCMOTpeH Horo недостатка является рис.4.7. Представленный на этом рисунке пример показывает, что использо.. вание оператора JVIIN в качестве основы операции пересечения множеств приводит к потере части информации, поскольку данный оператор учи.. тывает только то, что одна степень принадлежности меньше друrой, без учета значения их разности. По этой причине для моделей систем, ис пользующих оператор lVIIN, обычно характерны нечувствитеJIЬНОСТЬ к ма.. лым изменениям значений входных величин, а также резкие изменения выходноrо значения при превышении HeKoToporo пороrовоrо уровня вход.. ных значений (Piegat 1995а). Указанная особенность причиняет БОЛЫllие
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 139 f1A 1 (х 2 ), МВ(Х 2 ) Al 1 /..... / " / , / , / , / / / О I I I I I I в ........ ........ I ........ I ........ж I 'о ............ I ,.... I " ........ I .... I ,,'" ............... ...... "0........ I ",,,,'" ........................ I ...... ...... I ж...... ......R .......... ...... I ................ I ...... ........... о Xl Х2 Хз Х4 Xs Х6 Х; МА2 (x l ), f1П(Х 1 1 о в А .... .... I ........................ 2 I ............ .... ж.................... I ...... I ................ I ............O.... I .................. ............ I ......К...... I ................ ........... I ............ .................... 1.... ...... I ....ж.... ............ I ".../'./'.;' ..........................." ...... ...... Хl Х2 Хз Х4 Xs Х6 X 1 f1AnB(X l ) 1 о r--............ ............ ....1 ..... .<41 n В == А 2 n В .................................. : ...... ........................ .................. I .......................... /".,."..,.". I .................. I .......... ............ I ...... ::><.:" ..... I ......W..... I ............ ........... I ... ...... ...... ......... I ............ ..... I ............ ............ I Xl Х2 Хз Х4 Xs Х6 Х. 1 Рис. 4.7. Одинаковость произведений множеств Al n В == А 2 n В, полученных с использованием оператора J\llIN, для разных форм функций принадлежности множеств Al и А 2 неудобства при моделировании систем, имеющих rладкую поверхность отображения BBoдaBЫBoдa. Использование оператора l\;IIN может иметь преимущества для тех систем, в которых метод обработки информации близок к лоrическо му (большинство зависимостей между входными и выходным величи нами системы носят лоrический характер). Вследствие указанных BЫ ше недостатков данноrо оператора область ero применения сокращается. В 1995 r. результаты опроса участников 5ro Семинара «Нечеткое управ ление» (1617 октября 1995 r., Виттен, rермания) об их мнении в OT ношении использования оператора J\1IN показали, что большинство спе циалистов, участвовавших в конференции, предпочитали данному опе.. ратору оператор PROD (лоrическое произведение) (Pfeiffer 1996), в то
140 rлава 4. Нечеткая JYIатематика время как ранее в литературе можно было встретить противоположные мнения (Kahlert 1995; Кпарре 1994). Вычисление функции принадлежно сти произведения нечетких множеств с использованием оператора PROD осуществляется в соответствии с формулой 1'" Ап В ( х) fL А ( х) . 1'" в Се ) , \j Х Е х. (4.18) Преимуществом оператора PROD является то, что значение fLAnB(X) имеет количественную зависимость от фактических значений обеих функций принадлежности fL,,4(X) и fLB(X) (за исключением случая paBeH ства одной из функций нулю). Очевидно, что потеря информации здесь не так существенна, как для оператора MIN, коrда значение fLAnB(X) зависит лишь от меньшеrо (в пределах заданной области изменения х) значения компонентов fLA(X) и fLB(X). Сравнение результатов вычисления лоrическоrо произведения с использованием операторов MIN и PROD представлено на рис.4.8. /1A(X l ), /1B(X l ) Q.." ,,4 I """ I "" I -о... " I """ I ..... I I I I I I I в .... ........ I ж............ I ........ I ........ I .....0..... ........ I "..... ........ I .................. I ....x......... I ".,.,. ....................... t ........ .......... I .... ..)t' "Q... ..... I .............. I .... ..... о f1AnB(X l ) 1 Хl Х2 Хз Х4 Xs Х6 Х; о 1'..... I ".......... I "....." I ""..... I ".......... I ....." I .......................... ..",," I .,.., ..;.><.. ........ I .,.., .. .... ........ I .,.., ........ ,... ................ : ,...r"'" I ,..."'" ................ .,.., ....... IY lIN ...., .........,.,.... I ........ I ............ I ............ I ........ I I I I I I I I МАпв (х",) 1 Хl Х2 Хз Х4 Xs Х6 Х! о 1'..... I .........." I ............... I ................ I """ I ........... I ........... .... ......<.... I ............ .................. I ............. I .... ............ ............... I .... . ...... , ..............- ....... ":::ar....... I . '-....... PROD ........, ........ I ............ I ............ I ............ I ............ I I I I I I I I Хl Х2 Хз Х4 Xs Х6 х. z Рис. 4.8. Функции принадлежности лоrическоrо произведения нечетких MHO жест в А и В, полученные с использованием операторов 11IN и PROD
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 141 Как видно из рис.4.8, значения функции принадлежности J1АПВ(Х), получаемые на основе оператора PROD, меньше соответствующих зна чений, получаемых с использованием MIN, в связи с чем, упомянутый выше оператор иноrда называют оператором subMIN. Иллюстрация возможности использования в качестве основы для pe ализации пересечения нечетких множеств операторов как MIN, так и PROD, указывает на неоднозначность способа выполнения данной опе рации. О том, каким должен быть этот способ, имеется множество MHe ний, в связи С чем на практике оператор n зачастую выбирается ин туитивно, исходя из опыта, на основе какихлибо rипотез или же MeTO дом проб. Предлаrался ряд различных операторов пересечения множеств, но использование любоrо из них, в зависимости от KOHKpeTHoro прило жения, может приводить как к хорошим, так и к плохим результатам. Наиболее часто в качестве операторов пересечения А n в используются так называемые tHOpMbI, определяющие различные формы реализации данной операции (Driankov 1993,1996; Yager 1994,1995; Кпарре 1994). Оператор tHOpMbI представляет собой функцию Т, моделирующую опе рацию И пересечения двух нечетких множеств А и В, удовлетворяю IЦУЮ перечисленным ниже свойствам (4.19)(4.24), которые выполняются для всех Х Е х. Пространства отображения: т : [О, 1] х [О, 1] [О, 1]. (4.19) Свойство обнуления: т(о. О) == о. Случай, коrда пара содержит один элемент с М(Х) == 1: (4.20) Т(МА(Х), 1) == MA(X) Т(МВ(Х), 1) == /LB(X). Свойство коммутативности: (4.21) T(M4(X), {LB(X)) == T(/LB(X), МА(Х)). ( 4.22) Свойство ассоциативности: T(MA(:C) т(мв(х), J1C(x))) == T(T(MA(T) ILB(X)), /LC(x)). ( 4.23) Условие монотонности: М А ( х) МС ( Х ), м В ( Х) IL D ( х) => => т (м А ( х ) /1' в ( .]; )) т (/1 СУ ( Х ) /l D (.Т ) ) . Свойство коммутативности указывает на то, что для данной операции порядок следования множеств не является существенным. Свойство ac социативности rоворит о том, что операцию пересечения более, чем двух (4.24 )
142 rлава 4. Нечеткая математика Таблица 4.1 Некоторые непарамеТРИЗ0ванные операторы tHOpMbI Название оператора I Формула минимум (1:1IN) М AnB (х) == J\1IN (р А (З.). 11 в (.1') ) произведение MAnB(X) == МА(Х) . МВ(Х) (PROD) произведение raMa ( ) I1А(Х) 'I1В(Х) MAnB т хера I1А(Х) + I1В(Х) I1л(х) 'l1в(х) произведение Эйн ( ) I1А(Х) 'I1В(Х) ILAnB Х штейна 2 (I1А(Х) + I1В(Х) I1А(Х) 'I1Н(Х)) усиленное произве (х) ,'1\ПN(/LА(Х),/LП(Х)) дЛЯ МАХ(/LА,/lП) == 1 MAnB О в друrих случаях дение , оrраниченная раз MAnB(X) == J\1AX(O. МА(Т) + МВ(Х) 1) ность множеств, необходимо выполнять последовательно, но порядок образо вания пар множеств не влияет на конечный результат. Свойство MOHO тонности означает, что при возрастании значений aprYMeHToB результат операции не убывает. Выделяют параметризованные и непараметризованные tHOpMbI. Ре.. зультат действия непараметризованных tHOpM является постоянным, то.. rда как для параметризованных tHOpM он будет изменяться как коли.. чественно, так и качественно, при изменении любоrо параметра, явля ющеrося степенью свободы оператора. В табл.4.1 перечислены наиболее распространенные непараметризованные tHOpMbI, а в табл. 4.2 приведены наиболее часто используемые пара метр изо ванные tHOpMbI, для которых также указан характер зависимости операторов от своих параметров. Пример 4.1.1.3. Данный пример является иллюстрацией действия нечетких tHOpM. На рис.4.9 представлены функции принадлежности линrвистической переменной «температура при лихорадке». Требуется определить функцию принадлежности температуры Т нечеткому lVIножеству С == «средняя И высокая температура» (С == АПВ), используя различные непараметризованные операторы. Результаты пред ставлены на рис. 4.10. В соответствии с четкой, бинарной лоrикой, температура не может быть одновреl\1енно среднеЙ И высокой, в то время как нечеткая лоrи.. ка декларирует возможность существования TaKoro множества. Функция
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 143 Таблица 4.2 Некоторые парамеТРИЗ0ванные операторы пересечения нечетких множеств Название оператора Оператор пересече ния Дюбуа Оператор пересе чения [амахера Оператор пересече ния Я repa Формула ( ) 11 АХ' М в х [ ] РАп В Х, а == l\ lAX[ ( ) ( ) ] ' а Е o 1 н М4 Х .1115 Х ,й n == о: РАПВ(Х а) == 1;IIN(рл(х). РВ(Х)) (t == 1: JLАПП(Х. о:) == PROD(PA(X) рп(х)) ( ) I1,А Х . Мв х "- РАПП Х, r == , r ? () т + (1 т)(114(Х) + рв(х) МЛ(Х) 'I113(Х)) r == о: РАПВ(Х ,) == прои'Зведепие ral\IaXCpa r == 1: J1АПП(Хr) == PROD(PA(X)jJ13(I)) r == 2: PAnB(Ir) == произведспие Эйнштейна r 00: J1AnB (L> ,) == усиленное про изведение 1 РАПВ(Х,Р) == l1;IIN ] ((1 РА(Х))Р + (1 рв(.т))Р)р ,р? 1 р == 1: РАпВ (х. р) == ОI'рапиченная разность р 'Х-: РАПП(ХР) == 11IN(jJЛ(.Т). рп(Х)) /1 ( Т) низкая средняя == А высокая == В о 37 38 Т(ОС) 39 Рис. 4.9. Функции принадлежности линrвистической переменной «температура при лихорадке» принадлежности этоrо множества не является CTporo определенной и за висит ОТ ИСПО<1ьзуемоrо оператора tHopMbI. . Как видно из рис.4.10, использование оператора IIN приводит К ca мым высоким значеНИЯl\l функции принадлежности, вследствие чеrо дpy rие операторы tHOpM иноrда называют suЬIINоператорами или sub 1INнормами (Кпарре 1994) (рис.4.11). Значения ФУНКЦИИ принадлежности произведения множеств Il.Аi'П(:С)' получаемые с ПОМОIЦЫО suЬl\IINоператоров (tHOpM), будут меньши
144 rлава 4. Нечеткая математика J-LАПВ(Т) I1AnB(T) 1 1 J\1IN оrpаниченная разность 0.5 о о 38 39 Т(ОС) 38 39 Т(ОС) I1AnB(T) J-LАnВ(Т) 1 произведение Эйнштейна PROD 0.25 0.2 ....................... О О 38 39 Т(ОС) 38 39 Т(ОС) J-LАПВ(Т) произведение raMaxepa 0.33 о 38 39 Т(ОС) Рис. 4.10. ФУНКЦИИ принадлежности нечеткоrо множества «средняя И высокая температура», найденные с помощью различных tHOpM J-L(X) о J-LЯ(Х) MIN [Il А ( Х ), 11 л ( Х ) ] ,Е Рис. 4.11. Соотношение между оператором l\lJN и остальными tнормами
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 145 ми, чем при использовании оператора lVIIN, что означает, что subMIN операторы являются более строrими, требующими более высокой степени выполнения условий А и В, входящих внечеткое произведение. Поэтому об операторе MIN rоворят, как о наиболее оптимистичном среди tHOpM (Driankov 1993). Соrласно степени оптимизма, tHOpMbI MorYT быть упорядочены сле дующим образом: минимум > произведение raMaxepa > алrебраическое произведение > произведение Эйнштейна > оrраниченная разность > усиленное про изведение. Для определения операции пересечения также используются операто ры, не являющиеся tнормами (т. е. не обладающие свойствами tHOpM). Примером TaKoro оператора является параметризованный оператор пе ресечения на основе среднеrо (Driankov 1993), задаваемый выражением (4.25). ПарамеТРИЗ0ванный оператор пересечения на основе среднеrо МАПВ(Х) ==,. MIN(PA(x)./LB(X)) + 0.5(1 ,)(МА(Х) + МВ(Х)), \/х Е Х. (4.25) [де , Е [О, 1]. При, == 1 данный оператор сводится к оператору MIN. При, == О мы получаем оператор среднеrо арифметическоrо: МАПВ(Х) == 0.5(jLA(X) + IIB(X)), \/х Е Х. ( 4.26) Поскольку неравенство: 0.5(IIA(X) + /jB(X)) l\1IN(PA(X), jLB(X)) \/х Е Х, (4.27) всеrда справедливо, оператор среднеrо называют также superl\1IN операТОРОlVl. По степени оптимизма он превосходит наиболее оптимистич НУЮ tHOPMY оператор l\IIN. ДЛЯ случая п нечетких множеств А 1. . . . А п используется фОРl'лула: ( ) /lA1(.T) + ...+llAn(X) РА1П...ПА II .f . п \/х Е ..У. ( 4.28)
146 rлава 4. Нечеткая математика Оператор среднеrо rармоническоrо Для rz нечетких множеств А 1 . . . А п степень принадлежности их пере.. сечению вычисляется по формуле (Yager 1994) /-lА1П...пА п (х) == п \:j J' Е X". (4.29) 1 1 ( +... + РА 1 х) РА п (r) Оператор среднеrо rеометрическоrо Для п нечетких множеств Al... , А 11 результирующая степень принад" лежности находится по формуле /-l А 1 п.. . пАп ( х) == ( /-l А 1 (х) . /-l А 2 (.Т) . . . . . 11 А п (Х ) ) 1/ п . \:j Х Е х. (4.30) Обобщенный оператор среднеrо в данном случае для 71 нечетких множеств Al' . . . . А п используется фор.. мула ( 110 ( x)+/{:,(x)+...+/lO: ( .1, )) 1/0 ( ) A 1 ..1 2 Ан IL.4. 1 11.. .;iЛ п .r == , п v:r Е х. (4.31) Данный оператор пересечения является параl\летризованным: в каче.. стве пара метра выступает показатель й. В случае а x обобщенный оператор среднеrо в предеиlе сводится к опера тору lVIIN, а == 1 имеем оператор среднеrо rар!\10ничеСКОI'О, а == О Иl\lееl\l оператор среднеrо rеОiVlетрическоrо, (} == 1 имеем оператор среднеrо арифметическоrо, Q +Х) Иl\lеем оператор l\IAX. На рис. 4.12 представлено сравнение результатов действия различных нечетких операторов для случая пересечения нечетких множеств .i4 и В из при мера 4.1.1.3. Как видно из рис.4.12, все операторы, определенные на основе опе ратора обобlцеННОf'О среднеrо, относятся к типу super II и вследствие 3Toro являются более ОПТИlVIИСТИЧНЫМИ, чем оператор l\lI. Степень оп.. тимизма возрастае r с РОСТО1"! КОЭффИЦИt:нта (1 в формуле (4.31). Опера тор среднеrо ариqJмrТИ4ескоrо ((1 1) об.падает СВОЙСТЕОМ аддитивности: ФУНКUИЯ прина,П)lе)f{НОСТИ реЗУЛЬТирУЮUtему МНОlкеству изменнется про порциона.льно ИЗl\ленению исходных Ч)УНКЦИЙ при наJ,.ле)кности.
4.1. Основные операuии над нечеткими множествами 147 м(Т) низкая средняя == А высокая == В а) М4П Н (Т) 37 38 39 Т(ОС) 1 I I б) J\1IN (о: ос) I I I I I I 0.5 I , I I I I I I I I f1АПn(Т) 37 38 39 Т(ОС) 1 в) I среднее I I I rармоническое I I I I (о: == 1) 0.5 I , I 0.375 37 \ 39 Т(ОС) {LАПП(Т) 38 38.25 1 2) среднее rеометрическое (0:==0) 0.5 0.433 {LАПП (Т) 1 37 \ 38 38.25 39 (ОС) 0.5 д) среднее арифметическое 37 38 39 Т(ОС) Рис. 4.12. lравнение результатов выполнения пересечения нечетких MHO жеств 4 и В с ПрИ:\1енением l\/IIN и операторов среднеrо
148 rлава 4. Нечеткая математика AUB А в о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 :r А == {l, 2, , 4,5, 6}, В == {3, 4, 5, 6,7, 8}, 4 U В == {l, 2, 3, 4, Б, 6, 7, 8} Рис. 4.13. Пример лоrической суммы четких множеств 4.1.2. Объединение (лоrическая сумма) нечетких множеств в классической лоrике лоrическая сумма множеств А и В определяется без использования понятия функции принадлежности, соrласно выраже.. нию (Driankov 1993,1996; Poradnik 1971) AUB == {х: х Е А или х Е В}. (4.32) При мер лоrическоrо суммирования представлен на рис.4.13. Результат объединения четких множеств является однозначным, по.. скольку объединение выполняется всеrда одним и тем же способом. В случае нечетких множеств возможен ряд способов выполнения объ.. единения, и Te:rvl самым результат ero неоднозначен. С учетом аксиомы нечеткой лоrики (п. 4.1.1), в соответствии с кота.. рой все ее операции, при применении их к четким множестваl\1, долж.. ны совпадать с операциями классической лоrики, можно ожидать, что для операции объединения нечетких множеств выполняются перечислен.. ные ниже свойства (4.33)(4.38). Коммутативность: А U в == в u А. ( 4.33) Данное свойство означает, что порядок следования множеств, участ" вующих в операции объединения, не влияет на конечный результат. Ассоциативность: А LJ (В U С) == (А u В) u С == А u В u с. ( 4.34 ) Объединение нескольких множеств можно выполнять, последователь но формируя пары множеств, при ЭТОlVl порядок их формирования не яв" ляется существеННЫI'vl. Идемпотентность: /1 U jl == А. (4.35)
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 149 Объединение с пустым множеством 0: А u 0 == А. ( 4.36) Поrлощение (объединение с универсальным множеством Х): А u Х == х. ( 4.37) Закон исключенноrо третьеrо А: А u А == х. (4.38 ) в следующем при мере будет показано, что при переходе к нечетким множествам некоторые свойства операции объединения, имеющие место для четких множеств, выполняться не будут. Пример 4.1.2.1. Пусть заданы lVIножество А дешевых автомобилей (4.39) и множество В == А комфортабельных автомобилей (4.40), Xi номер автомобиля: А == { 0.8 0.6 0.4 0.2 } , , , , , . Хl Х2 .1';1 Х4 Х[) Х6 В == { 0.2 0.<1 0.6 0.8 } , , , , , . Хl Х2 ХЗ Х4 Х5 Х6 ( 4.39) (4.40) Универсальное множество имеет вид: Х == { } , , , , , . Хl Х2 ХЗ Х4 Х5 Х6 Требуется определить множество С == А u В == А u А, содержащее дешевые или комфортабельные автомобили. Если для нахождения объединения А U В использовать оператор типа алrебраической суммы (4.41), то результатом будет множество (4.42): fL() ( х) == Jl А ( х) + /L в ( х) J1 4 ( х) . J-L в ( х ) , С 1 == А u В == { , 0.84 , 0.76 . 0.76 , 0.84 , } . Х, Х2 ХЗ Х4 Х5 Х6 (4.41) ( 4.42) Функции принадлежности множеств ..:4, В, на рис. 4.14. с представлены . Как видно из данноrо примера, если объединение нечетких множеств А u А определяется на основе оператора алrебраической суммы, то Ha рушается выполнение свойства 6 данной операции (А u ,,4 == х), которое всеrда справедливо в случае четких множеств.
150 rлава 4. Нечеткая математика 11(.['1) 1 А В==А I ....... ...- I I -o... Ж I I I I I 1 O ...x I I ....... I I I I X "O- I 1 I 1 1 X --o... I I I I о Хl Х2 Хз Х4 Xs Хб Х' 1 p,(:r l ) 1 о AuB==4uA .. T ...........,.. I .., I :::- ...... .......... .....- ;:.. I I I I < I 1 ....... I ./ ................. 1 I ....... Xl Х2 Хз Х4 Xs Хб Х' 1 Рис. 4.14. Функции принадлежности множеств А, В и их лоrической суммы Первыми операторами, предложенными в качестве основы дЛЯ BЫ полнения операции объединения нечетких множеств (Zadeh 1965), явля лись оператор lVIAX и алrебраическая сумма. По мере развития нечеткой лоrики число этих операторов увеличивалось. В настояuцее время наи более распространенными операторами объединения множеств являются tKOHOpMbI, также называемые sнормами. Оператор SHOpMbI, или tKOHOpMbI представляет собой функцию S, реализующую операцию ИЛИ объединения двух нечетких множеств А и В, удовлетворяющую перечисленным ниже свойствам (4.43)(4.48), которые выполняются для всех Х Е х. Пространство отображения: 5 : [О, 1] х [О, 1] [О, 1]. ( 4.43) Свойство обнуления: 5(0, О) == о. ( 4.44 ) Случай, коrда пара содержит один элемент, для KOToporo {lB(X) == о: 5(/I;A(X)jO) == 5(0,JLЛ(Х)) == I1Л(Х). (4.45) Свойство коммутативности: S(IIA(,r) ,/,В(Х)) == 5(/Lb(:e)./-IА(Х)). (4.46)
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 151 Таблица 4.3 Непараметризованные SHOpMbI I Формула Название оператора . максимум (/IAX) fJAUB(X) == ?\1AX(PA(X)/1B(X)) алrебраическая /LAUB(X) == /1А(Х) + рв(х) РА(.Е) . /LB(X) сумма сумма raMaxepa () М.1(Х) + мв(х) 2 .ILA(X) . J1B(:r) /14uB Х == . 1MA(X)'MB(X) сумма Эйнштейна () МЛ(Х) + J-1п(х) /}, 4 U В Х == . 1 + РА(Х)' МIЗ(Х) усиленная сумма ( ) {l\IАХ(РА(Х)"I П (:Т)) дЛЯ l\ПN({IA, РЕ) == О /1A 1 ..JB Х 1 в друrих случаях I оrраниченная CYM РАUП('l') == ?\IIN(l. /ll(,r) + /IU(.1')) ма Свойство ассоциативности: s (М А ( х ) ') (р в ( т ) IL( ( Х ) )) == s ( s (М А ( Х ) , IL в ( х ) ), ILС ( х ) ) . ( 4.47) Условие монотонности: IL А (х) IL(; (1)) IL в (х) IL D (Х) ::::} S (IL А (х ) IL В Cl )) S (ILС: (х ), IL D (Х ) ). ( 4.48) Выделяют параметризованные и непараметризованные операторы s норм. Результат действия непараметризованных операторов является по стоянным; наиболее часто используемые операторы этоrо типа перечис лены в табл.4.3. Таблица 4.4 содержит наиболее распространенные па раметризованные SHOpMbl. Конкретные SHOplVIbl различаются по степени оптимизма. Наи больший результат вычислений дает оператор усиленной суммы, наи меньший оператор j\I.A.X. Последовательность SHOpl'vl, упорядоченных по степени оптимизма, имеет следующий вид: усиленная cYMl\1a > оrраниченная сумма> сумма ЭЙНIlIтейна > > а.лrебраическая сумма> суыма ral\Iaxepa > l\IX . Учитывая, что вычисление функции принадлежности J\lножества 4 U IJ с ПОМОIЦЬЮ оператора l\JAX прнводит к наименьшему результату,
152 rлава 4. Нечеткая математика т а б л и ц а 4.4 Параметризованные SHOpMbI Название оператора Формула (, ) IJ,Л(Х) + IJ,Н(Х) + (, 1) . IJ,л(.r) . /113(Х) 1 /LAuB Х, r 1 + () () , r /" , . IJ,л Х . IJ,в Х оператор объединения r == 1: !-LAUB(X, () == сумма [амахера [амахера (== о: !-LАuВ(Х,r) == алrебраическая сумма r == 1: !-LАuВ(Х,r) == сумма Эйнштейна r 00: !-LAUB (х, [) == усиленная сумма оператор /LAUB(X,p) == MIN {l, [(РА(Х))Р + (PH(X))P]},p:) 1 объединения р == 1: !-LАUВ(Х,р) == оrраниченная сумма Яrера p Х): /LAUB(X,p) == lVIAX(PA(X), РВ(Х)) /1(Х) 1 IJ,Л (Х) о Х Рис. 4.15. Соотношение между оператором lVIAX и остальными sнормами все остальные операторы SHOpM называются suреr..:rvIАХ..операторами (рис.4.15). Операторы tHOpM и SHOpM образуют комплементарные пары, удовле творяющие условию т [м А ( Х ), JL в ( х )] == 1 S [1 JL А ( Х ), 1 JL в ( х ) ] . ( 4.49) Если задана tHopMa, то может быть найдена комплементарная ей S норма. В табл.4.5 приведены комплементарные пары t.. и SHOpM. Для реализации операции объединения множеств также применяют ся операторы ИЛИ, не являющиеся SHopMaM (не обладающие свойствами SHOpM). Примером TaKoro оператора является парамеТРИЗ0ванный опе..
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 153 Таблица 4.5 Комплементарные пары t и SHOpM tHopMa комплементарная SHopMa MIN МАХ алrебраическое произведение алrебраическая сумма произведение [амахера сумма [амахера произведение Эйнштейна сумма Эйнштейна усиленное произведение усиленная сумма оrраниченная разность оrраниченная сумма параметризованный оператор параметризованный оператор пересечения [амахера объединения [амахера параметризованный оператор параметризованный оператор пересечения Яrера объединения Яrера ратор объединения множеств на основе среднеrо (Driankov 1993): MAUB(X) == r . l\fAX[JLA (х). JLП(Х )]+ + 0.5 . (1 ,) . [JL А ( х) + fL в ( х ) ] , r Е [О, 1]. \/х Е х. ( 4.50) При r == 1 оператор (4.50) сводится к оператору l\IAX, при r == О к оператору среднеrо арифметическоrо. В качестве основы для операции объединения нечетких множеств можно также использовать оператор алrебраической суммы: MA1u...UA n (х) == JLA 1 (х) + ... + JLA n (:c) \/х Е х. (4.51) Данный оператор характеризуется наибольшей степенью оптимизма среди всех операторов объединения, а также обладает свойством адди тивности. Результирующая функция принадлежности возрастает пропор ционально росту исходных функций, входящих в формулу (4.51), вслед ствие чеrо указанный оператор, как и оператор среднеrо арифметическо ro, можно назвать линейным. Использование этих операторов в нечет ких моделях способствует получению линейных секторов на поверхности отображения BBoдaBЫBoдa данных моделей. Линейные операторы пре образуют участвующие в операции нечеткие множества в так называе
154 rлава 4. Нечеткая математика мые нечеткие наборы (Yager 1994,1995), которые далее MorYT участвовать в операциях над нечеткими наборами, описанных в rлаве 2. Пример 4.1.2.2. Пусть А множество быстрых автомобилей, В MHO жество комфортабельных автомобилей, li обозначение автомобиля: A == { } , , Хl :1;2 .r;) Т4 В == { 0.6 0.7 0.9 } , , , . Тl Х2 Х:з Х4 Пусть мы намерены приобрести быстрый ИЛИ комфортабельный aB томобиль. Применяя SHOPMY типа МАХ, приходим к результату: C == AUB == { }U{ 0.6 0.7 0.9 } == . , ., Хl Х2 Х;) :1'4 .1'1 Х2 ХЗ Х4 { 1 1 1 1 } ,,, . 1"1 :С2 ;'1.3 1" 4 ( 4.52) в результате использования оператора /IAX у нас имеется информа ция о возможности приобретения любоrо из автомобилей, поскольку CTe пени их принадлежности множеству «быстрый ИЛИ комфортабельный» одинаковы и равны 1. При использовании оператора арифметической CYM мы множества А и В на первом шаrе преобразуются в нечеткий набор (4.53), а затем, на втором шаrе в нечеткое множество (4.54). Шаr 1 AU B == { } U { 0.6 0.7 0.9 } == , , , , Тl Х2 .1'з Х4 ;1>1 J'2 Тз Х '1 { 1 0.6 1 0.7 1 0.9 1 1 } ,,,,,, . Хl .1'1 .1'2 1"2 Хз Х;) .1'4 Х4 ( 4.53) Шаr 2 AUB== { , 1.7 , } . J'I Х2 Хз Х4 В результате использования оператора арифметической суммы мы по лучаем информацию о том, что следует приобрести автомобиль Х4, CTe пень принадлежности KOToporo набору «быстрый или комфортабельный» является наибольшей (степени принадлежности в (4.54) можно нормиро вать так, чтобы они находились в интервале [0,1]). Представляется, что во мноrих случаях люди, принимая решения, используют именно такой оператор, поскольку все же остаются склонными учитывать множество обстоятельств. . ( 4.54 )
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 155 4.1.3. Компенсирующие операторы Как tHOpMbI, так и SHOpMbI можно назвать операторами, основанными на предположениях, а именно, на предположениях о том, как операции пересечения и объединения выполняются в представлении человека. К настоящему моменту эта проблема еще не нашла полноrо объяснения, возможно, по той причине, что различные люди используют разные спо собы реализации указанных операций, зависящие от особенностей их характера, настроения и конкретной ситуации. Исследования операторов, при меняемых человеком, выполненные Циммерманном (Altrock 1993; Zimmermann 1979,1987), привели к фор мированию понятия компенсирующих операторов. Обоснованность KOM пенсации поясним на при мере рассуждений водителя, приближающеrося на высокой скорости к препятствию на дороrе. Эти рассуждения описы ваются правилом вида: ЕСЛИ (скорость высокая) И (препятствие близко) ТО (тормозить очень резко) Обозначив скорость автомобиля через и (Кl\1jч), а расстояние до пре пятствия через d (м), исходное условие А можно представить в форме (4.55 ) А == (Al И А 2 ) == (v == Н) И (d == S). ( 4.56) Чем выше степень истинности условия, тем более резким должно быть торможение. Предположим, что функции принадлежности линrвистических значе ний «высокая скорость» И «малое расстояние» имеют формы, представ ленные на рис.4.16. JL(1') 1 высокая (н) р(а) 1 0.75 0.25 I I I I I I I f I I I I I 1 I I I 1 I I I I I I I I 0.5 60 70 100 l' (км/ч) о 25 50 100 d ( м) скорость расстояние Рис. 4.16. Функции принадлежности нечетких множеств «высокая скорость» И «малое расстояние»
156 rлава 4. Нечеткая математика Далее, рассмотрим три возможные ситуации, в которых может нахо.. диться автомобиль, а также как их оценивает водитель, использующий оператор PROD. Ситуация 1 автомобиль приближается к препятствию 7J == 70 (км/ч) d == 50 (м) JLH(и) == 0.25 JLs (d) == 0.5 Степень выполнения условия А и, соответственно, степень интен сивности торможения (степень активации заключения, следующеrо из правила (4.55)) равны JLA(lJ, d) == JLH(V) . JLs(d) == 0.25.0.5 == 0.125. Ситуация 2 автомобиль находится в непосредственной близости от препятствия си == 70 (км/ч) d == 25 (м) Степень выполнения условия: мн(и) == 0.25 JLs(d) == 0.75 J1ACu,d) == J1HCU). JLs(d) == 0.25.0.75 == 0.1875. Ситуация 3 автомобиль врезается в препятствие v == 70 (км/ч) d == О(м) Степень выполнения условия А: J1H(V) == 0.25 JLs(d) == 1 JLA (1). (1) == МН (1J) . I1s ((1) == 0.25 . 1 == 0.25. Анализ ситуаций 1 3 показывает, что при использовании в усло вии оператора PROD как основы для операции и, степень выполнения условия равна JLA(t J . d), вследствие чеrо, несмотря на быстро приближаю щуюся опасность, степень интенсивности торможения не изменяется так быстро, как следовало бы в данной ситуации. CTporo следующий правилу (4.55) с оператором PROD водитель врезался бы в препятствие. Является ли, с учетом сказанноrо, правило (4.55) неверным? Нет, не является. Анализ поведения людей показывает, что они пользуются так называ емым принципом компенсации, модифицирующим операцию И путем не которой ее комбинации с операцией или. В качестве показателя меры компенсации выступает степень компенсации, (рис. 4.17).
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 157 1( И t или I I I I I I I I .. О 1 ( Рис. 4.17. Зависимость характера оператора 1, от степени компенсации, На основе экспериментальных результатов исследования принимае мых людьми решений, Циммерманн предложил оператор пересечения Ir в форме ( 1П ) (1 ,) [ m ] 1 /),А == Д !LA, 1 Д (1 !LЛ,) . (4.57) rде r степень компенсации, О r 1, fLA степень выполнения Bcero условия А == Al n ... n А п , {LA 1 степени выполнения отдельных компонент условия. Если r == О, то все условие оценивается на основе только операции пересечения И, с применением оператора PROD, по формуле Пl JLA == п JLA 2 . i==l ( 4.58) Если r == 1, то все условие оценивается на основе формулы (4.59), Т. е. выполняется только операция ИЛИ: m A == 1 П (1 Al). i== 1 (4.59) Действие оператора (4.59) похоже на действие оператора l\fAX, хотя, как леrко заметить, является более предпочтительным, поскольку опе ратор 1 r учитывает все составляющие условия, а не только ту, которая выполняется с наибольшей степенью. Наиболее вероятно, что значение 1"1/ будет меняться для водителя в за висимости от ситуации: оно будет малым при нахождении вдали от пре пятствия и большим при нахождении вблизи от Hero. Используя оператор Ir для r == 1, в ситуации 3 будет получен совершенно иной результат, чем при использовании оператора PROD. Как отмечалось выше, Ситуация 3 (автомобиль врезается в препят ствие) характеризуется условиями: 1) == 70 (кмjч) d == О (м) JLH(1J) == 0.25 J1s(d) == 1
158 rлава 4. Нечеткая математика Степень выполнения условия А, вычисленная с использованием опе ратора 1 т, r == 1, будет равной A(v,d) == 1 (1 0.25)(1 1) == 1. Тот факт, что условие удовлетворяется полностью, соrласно правилу (4.55), заставит нажать на тормоз с максимально возможной силой, что, конечно же, является наиболее естественной реакцией в подобной ситу ации. Разумеется, правило (4.55) с оператором Ir предложило бы YBe личивать силу торможения раньше, при уменьшении расстояния до пре пятствия. Поскольку коэффициент компенсации r может изменяться в преде лах О r 1, возникает задача выбора ero оптимальноrо значения. Для технических приложений в (Altrock 1993) рекомендуется выбирать f из диапазона 0.1 r 0.4. Практический метод состоит в том, что вначале выбирается среднее значение указанноrо диапазона, r == 0.25, после чеrо исследуется точ ность нечеткой модели, основанной на данном значении. Если точность неудовлетворительна, рекомендуется выполнять пошаrовую корректиров ку коэффициента с величиной шаrа ! == 0.01 и анализировать точность получаемых моделей. 4.2. Нечеткие отношения в разд. 4.1 в качестве области определения операций над нечеткиl'ЛИ MHO жествами рассматривалось одномерное пространство, что иллюстрирует ся ПРИl'лером 4.2.1. Пример 4.2.1. Из множества студентов выделены два подмножества: подмножество Al способных студентов и подмножество А 2 успевающих студентов (см. рис. 4.18). Требуется определить множество способных и успевающих студентов, т. е. А 1 1\ .i4 2 . Х множество студентов: Х == {Sl,S2,... 'В5}. Al подмножество способных студентов: Al == {(81,0), (82,0.3), (8з,0.7), (84, 1), (85, 1)}. А 2 подмножество успевающих студентов: А 2 == {(81, 0.5), (82,0.8), (8з, 1), (84, 1), (85, 0.7)}.
4.2. Нечеткие отношения 159 1 1 А 1 (8 1 ) ..41 /1А 2 (8 1 ) А 2 1 I I I I I I Q 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I о Q Q Q I I I I I S1 S2 SЗ S4 S5 SI S1 S2 SЗ S4 S5 SI Рис. 4.18. Функции принадлежности подмножеств А 1 (способные студенты) и А 2 (успевающие студенты) МА 1 (8/) 1 Q I I I I I I I Q I I , I I I I I I I , I S1 S2 SЗ Q I I I I I S4 S5 SI Рис. 4.19. Функция принадлежности множества А 1 /\ А 2 (способные и успевающие студенты) Выполняя операцию 1\ пересечения подмножеств с использованием оператора l\IIIN, получаем: А 1 ;\А 2 == {(sirv!IIN(JLAl(Si)fLA2(Si))} == == {(S],O), (s2O.3), (sз,О.7) (S4, 1), (s5,O.7)}. Множество А] ;\ А 2 представлено на рис.4.19. Вследствие Toro, что оба подмножества имеют общую область опре.. деления Х, результат операции пересечения можно представить в форме поверхности в двумерном пространстве. Как подмножество А 1 , так и под множество А 2 , MorYT считаться простыми множествами, ПОСКОЛЬКУ сте.. пени принадлежности РА 1 (."1) сопоставлены с единичными элементами Si области определения Y. . Помимо одномерных, существуют MHoroMepHbIe области определения, являющиеся декартовым произведением Х HeKoToporo числа составляю щих их областей X 1 . . . . ,Хн, что иллюстрируется примером 4.2.2. Пример 4.2.2. Х 1 множество rраждан, Х 1 == {с 1 ' С2. . . . СБ } ,
160 rлава 4. Нечеткая математика т а б л и ц а 4.6 Дискретное декартово произведение Х == Х 1 Х Х 2, представленное в форме таблицы (двумерная область определения) Cl С2 Сз С4 Cs Ь. } b 1 Cl,b 1 С2,Ь 1 СЗ,Ь 1 С4,Ь 1 cs,b 1 Ь 2 Сl,Ь 2 С2,Ь 2 СЗ,Ь 2 С4,Ь 2 cs,b 2 Ь з Сl,Ь З С2,Ь З Сз,Ь з С4,Ь З Сs,Ь з Ь 4 Сl,Ь 4 С2,Ь 4 СЗ,Ь 4 С4,Ь 4 cs,b 4 b s Cl,b s C2,b s Сз,Ь s C4,b s Cs,b s х = Х 1 Х Х 2 Х 2 множество банков, Х 2 {Ьl,Ь2... ,Ь 5 }. Декартово произведение Х Х 1 Х Х 2 представляет собой множество в се х в о з м о ж н ы х пар (Ci, Ь j ), i 1, . . . , 5, j 1, . . . , 5 (т а бл. 4. 6) . . Перед рассмотрением нечетких отношений целесообразно познако миться с понятием классическоrо отношения (Empacher 1970). Классическое (двухместное или бинарное) отношение одно из важнейших понятий математической лоrики является свойством пар объектов и описывает определенную взаимосвязь, имеющую место меж ду объектами. Понятие классическоrо отношения иллюстрируется при мером 4.2.3. Пример 4.2.3. Даны одномерные множествасоставляющие Х 1 и Х 2 . Здесь Х 1 множество rраждан: Х 1 {Cl,C2,... ,С5}, Х 2 множество банков: 2 {Ь 1 ,Ь 2 ,... .Ь 5 }. Примером классическоrо отношения на множестве Х Х 1 Х Х 2 яв ляется отношение «иметь счет в ...» (табл.4.6). Множество Х здесь выступает в качестве области определения. Отношение может иметь сле.. дующий вид: R {( Сl , Ь 2 ), (Сз, Ь 4 ), (С4, Ь 1 ), (С5, Ь з ) }.
4.2. Нечеткие отношения 161 ILR(('L Ь)) ...'" ......... .........: 1...... ...... 1 "'1 ... ... 1 1...... ...... L?/?LrY?'" : ...... 1...... ...... ,,( " 1'" 1... ... ... I ... :7/47"'''' ...... ...{ ...... ...... I ,,'" ... ... 1 " ... I " lJ'" / / I / / , Ь ,',/ 1,' ,'" /' 4 ... ... 1 ... " " ' " " " " " ; " ; , ; / " ; " " " " " " " --.... -- .....I!..................... ........ ......... __.......................................... ....." Q I I I I I I I I I I I Q I I 1 I 1 Q: I 1 I I Q I I I 1 : С} С2 Сз II С4 Cs I I R С} С2 Сз С4 Cs Ь} О О О 1 О Ь 2 1 О О О О Ь з О О О О 1 Ь 4 О О 1 О О b s О О О О О 1 С. 1 Рис. 4.20. Представление отношения R в виде трехмерной функции принад лежности {l( C z , b j ) и в виде матрицы отношения Отношение R состоит из пар (Ci, b j ) и, таким образом, является би нарным отношением, сопоставляющим rраждан С 1 с банками b j , [де у них открыты счета. Данное отношение может быть описано с помощью функ ции принадлежности f1( Ci, b j ), представимой в трехмерном пространстве (рис. 4.20). Отношение R можно также представить в виде матрицы R: о о о 1 О 1 О О О О R== О О О О 1 О О 1 О О О О О О О Поскольку у rражданина С2 нет счета ни в каком банке, второй стол бец матрицы R целиком состоит из нулей. . Матрица R необязательно является квадратной это зависит от чис ла элементов, принадлежащих составляющим областям определения X i . Отношение в при мере 4.2.3 является дискретным. В при мере 4.2.4 пред ставлено непрерывное отношение. Пример 4.2.4. Пусть даны два множества вещественных чисел Х 1 , Х 2 : Х 1 == {х 1 : 2 Хl 4}, Х 2 == {;1:2 : 1 Х'2 Б}.
162 rлава 4. Нечеткая математика R(Xl,X2) 1 МН(Хl\Х2) I I I I I I I I r I t , I I 1, I , t : " I ' I " ! v',: I I I 2 Х 1 4 I ,- ,- ,- ,- ,-,- ,- ,- Хl ,- ,- ,- Хl Х2 Х2 Рис. 4.21. ФУНКЦИЯ принадлежности J1R(Xl, Х2), представленная в форме непре рывной поверхности, расположенной над областью определения Х == Х 1 Х Х 2 Введем отношение «меньше либо равно», или «», заданное на де.. картовом произведении Х == Х 1 Х Х 2 : R == {(Хl, Х2) : Хl Х2}. Отношение является непрерывным. Ero функция принадлежности представлена на рис.4.21. . Определение 4.2.1 вводит классическое napHoe отношение R, задан.. ное на области определения Х == Х 1 Х . . . х Хn. Определение 4.2.1. Классическим napHЫM отношением R, заданным на области определения Х == Х 1 Х . . . х Х n , называется упорядоченное множество кортежей из n элементов, имеющее * вид: R == {((Хl,,'. ,X n ),MR(Xl,... ,Х n )) I (Хl,... ,Х n ) Е Х}, '" в определениях 4.2.1 и 4.2.2 запись ((Хl'..., Х п ), МН(Хl,..., Х п )) следует понимать как «кортеж (Хl,.." Х п ), степень принадлежности KOToporo отношению R равняется JlR(Xl, . . . , Х п »). Прuм. ред.
4.2. Нечеткие отношения 163 [де '}, R (Хl, . . . , Х п ) == { ' еСЛИ(Хl,"., Х п ) Е R, в друrих случаях, представляет собой функцию принадлежности отношения R. Как известно, функция принадлежности классическоrо отношения отображает область определения Х на дискретное множество {0,1}: fLR: Х 1 х ... Х Х п {O,l}. Нечеткое отношение отличается от классическоrо тем, что в качестве области значений функции принадлежности, вместо дискретноrо MHO жества {0,1}, содержащеrо два элемента, рассматривается непрерывный интервал [О, 1]. Определение 4.2.2. Нечетким napHЫM отношением R, заданным на об ласти определения Х == Х 1 Х . . . х Х п , называется упорядоченное MHO жество кортежей из n элементов, имеющее вид R == {((Хl,... ,X n ),fLR(Xl,... ,Х n )) I (Хl,... ,Х n ) Е Х}, [де fLR(Xl,.'.,X n ): Х 1 Х ... Х Х п [0,1] представляет собой функцию принадлежности отношения R, которая отображает область определения Х на непрерывный интервал [О, 1]. в общем случае функция принадлежности fLR отношения R пред ставляет собой rиперповерхность в (n + 1 )MepHOM пространстве. Пример функции принадлежности для n == 2 представлен на рис. 4.22. Функции принадлежности нечетких отношений на дискретных об ластяк определения можно представить в табличной форме, с указани ем степеней принадлежности fLR(Xl, . . . , Х п ) для каждоrо дискретноrо n элементноrо кортежа, что иллюстрируется примером 4.2.5. Пример 4.2.5. Заданы две дискретные составляющие области определе ния Х 1 , Х 2 : Х 1 == {123.4} Х 2 == {12,3,4,5}. в табл.4.7 приводятся при меры степеней принадлежности отноше ния «(Хl, Х2) приблизительно равны (3,2»>, заданноrо на множестве Х == X 1 Х Х 2 . уlз табл.4.7 видно, например, что пара (Хl, Х2) == (2,3) принадлежит отношению R со степенью 0.5, или, подруrому, пара (2,3) имеет cxoд ство, в смысле данноrо отношения, с парой (з,2) со степенью 0.5. 11
164 rлава 4. Нечеткая математика МН(Хl, Х2) 1 I-LH C r l ' :У2) Хl х == Х 1 Х Х 2 Х2 Рис. 4.22. При мер непрерывной функции принадлежности нечеткоrо отношения Таблица 4.7 Нечеткое отношение «(Xl,X2) приблизительно равны (3,2»), представленное в табличной форме Cl С2 Сз С4 Cs b 1 cl,b 1 СъЬ] СЗ,Ь 1 c4,b 1 cs,b 1 Ь 2 Cl,b 2 С ЪЬ 2 СЗ,Ь 2 С4,Ь 2 cs,b 2 Ь 1 Сl,Ь З С2,Ь З Сз,Ь з С4,Ь З сs,Ь з Ь 4 Cl,b 4 СЪЬ 4 СЗ,Ь 4 С4,Ь 4 cs,b 4 b s Cl,b s C2,b s сз,Ь s C4,b s cs,b s Х = X 1 Х Х 2 Нечеткие отношения можно задавать непосредственно, с помощью nэлементных кортежей, при надлежащих мноrомерной области опреде ления Х} х ... х Х n , как в примере 4.2.5. Вместе с тем, внечетком моделировании и управлении чаще Bcero приходится иметь дело с OT ношениями, полученными путем аrреrации нечетких множеств, задан ных на различных одномерных областях. Примером является правило
4.2. Нечеткие отношения 165 J1( Хl) J1 (Х2) малый (s) большой (L) 1 1 о 1 2 3 4 Хl о 1 2 3 4 5 ;(2 Рис. 4.23. ФУНКЦИИ принадлежности нечетких множеств «малый» И «большой» для отношения (4.61) ЕСЛИ ... ТО ... вида ЕСЛИ (Хl == малый) И (Х2 == большой) ТО (у == средний) (4.60) rде компоненты условия CTl == малый), (Х2 == большой) объединяются с помощью лоrических связок И, ИЛИ, образуя бинарное нечеткое OT ношение R с функцией принадлежности MR(Il, Х2), которая определя ет степень выполнения данноrо условия для конкретных числовых зна чений aprYMeHToB r], Х2. Аrреrацию нечетких множеств «малый» (5) и «большой» (L) можно выполнять, используя операторы типа tHOpM (4.61) в случае связки И и операторы типа SHOpM в случае связки ИЛИ: MR(Xl Х2) == T(J1S(Xl) ML(X2)). (4.61) Пусть функции принадлежности JLs(.Tl) и ML(X2) имеют вид, изобра женный на рис. 4.23. Нечеткие множества S и L заданы на разных областях определения, которые в общем случае MorYT представлять различные физические Be личины (например, напряжение и силу тока). В связи с этим, в отличие от множеств, заданных на общей области определения, непосредствен ная аrреrация указанных выше множеств невозможна. Такие множества вначале следует преобразовать в специальные нечеткие отношения, за данные на декартовом произведении Х 1 х ..(2, которые называются цилин дрическими продолжениями, и лишь после этоrо выполнять аrреrацию. Понятие цилиндрическоrо продолжения вводится в определении 4.2.3. Определение 4.2.3. Пусть X 1 и Х 2 четкие множества, и А нечеткое множество, заданное на Х 1 . Цилиндрическим продолжением А* множе ства А на область определения Х 1 х Х 2 называется отношение, представ ляющее собой декартово произведение множеств А и Х 2 , т. е. А х Х 2 : A*(XlX2) == А(х]) 1\ Х 2 (Х2) == A(Xl) 1\ 1 == A(Xl),
166 rлава 4. Нечеткая математика Таблица 4.8 Функция принадлежности цилиндрическоrо продолжения множества А(Хl) на Х 1 х Х 2 * А = (Хl,Х2) = а} а2 аз Ь 1 1 0.5 О Ь 2 1 0.5 О Ь з 1 0.5 О для всех пар (Xl,X2) Е X 1 Х Х 2 . В случае цилиндрическоrо продолжения множества А(Хl) на n мерную область определения X 1 Х . . . Х Х'П операция продолжения BЫ полняется в соответствии с формулой: A*(Xl,'. . , Х п ) == A(Xl) Л Х 2 Л .. . л Х п == A(Xl), для всех nкортежей (Xl".' , Х п ) Е X 1 Х . . . х Х п . Цилиндрическое про должение иллюстрируется примером 4.2.6. При мер 4.2.6. Найдем цилиндрическое продолжение A*(Xl, Х2) множе ства A(Xl) на дискретное множество Xl х Х2. Области определения име ют вид: X 1 == {al, а2, аз}, Х 2 == {Ь 1 , Ь 2 , Ь з }, а нечеткое множество определяется выражением: А == {1 / а 1 , 0.5/ а2 , О/аз}. Цилиндрическое продолжение множества А(Хl) на Х 1 х Х 2 представ лено в табл. 4.8. . Следующий пример является иллюстрацией непрерывноrо цилиндри ческоrо продолжения. Пример 4.2.7. Пусть имеются два нечетких множества «малый» (5) и «большой» (L), заданные на множествах Х 1 и Х 2 соответственно (рис. 4.23). Области определения имеют вид: Х 1 == [1,4], Х 2 == [1,5]. Функции принадлежности МВ(Хl) и !-lL(Х2) показаны на рис. 4.23. На рис.4.24 представлены цилиндрические продолжения S* (Хl, Х2) и L*(Xl,X2) нечетких множеств S(Xl) и L(X2) на Х 1 х Х 2 . .
4.2. Нечеткие отношения 167 М(Хl,Х2) М(Хl,Х2) 1 М8*(Хl,Х2) ML* (Хl, Х2) \ Х2 Х2 Рис. 4.24. Цилиндрические продолжения S* (Хl, Х2) и L * (Хl, Х2) нечетких MHO жеств В(Хl) и L(X2) на двумерную область определения Х 1 х Х 2 М(Хl,Х2) М(Хl,Х2) MS(Xl) \ " I \ I , / , " \ I , I \ I \ , \ , , , \ \ \ 1 М8* (Хl, Х2) .'. / ... " ..... 1 ML(X2) ,', 1\ 1 , 1 , 1 \ 1 \ " \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Хl ML*(Xl,X2) ; .. . . , Х2 MR (Хl, Х2) Х2 MR(Xl, Х2) а) 6) Рис. 4.25. Формирование функции принадлежности отношения !-LR(Хl, Х2) с ис пользованием цилиндрическоrо продолжения множествсоставляющих S и L (а) и результат этой операции (6), полученный с использованием оператора MIN Функция принадлежности отношения R( Хl, Х2), задаваемая форму лай (4.61), может быть вычислена с использованием в качестве tHOpMbI, например, оператора IIN: fLR(Xl, Х2) == MIN(f-Ls* (Хl, Х2), f-LL* (Хl, Х2)), (Хl, Х2) Е Х 1 Х Х 2 . (4.62) Результат этой операции представлен на рис. 4.25. Если в условии правила (4.60) содержится лоrическая связка типа ИЛИ: ЕСЛИ (Хl == S) ИЛИ (Х2 == L) ТО (у == М),
168 rлава 4. Нечеткая математика f.-L х 1 , Х2) 1 J1R(Xl,X2) Xl .Е2 Рис. 4.26. Функция принадлежности отношения /LR(Xl, Х2), полученная по фор муле (4.63) с использованием оператора :i\IAX то для вычисления функции принадлежности условия следует восполь зоваться какойлибо sнормой, например l\1AX: lR(Xl,X2) == :NIAX(/lS*(Xl,X2),lL*(Xl,X2)), (Xl,X2) Е X 1 Х Х 2 . (4.63) в этом случае функция принадлежности J-lR(Хl Х2) будет иметь вид как на рис.4.26. В нечетком моделировании встречаются правила со сложными усло виями, содержащими связки как И, так и ИЛИ, например: ЕСЛИ (Xl == малый) И (Х2 == большой) ИЛИ (Хl == большой) И (Х2 == малый) ТО (у == средний). ( 4.64 ) Чтобы вычислить степень истинности условия в данном правиле, сле дует определить функции принадлежности составляющих ero отношений jLRl(:rl,X2) и PR2(XlX2), rде L Н! (.Е 1 Х 2) == т (м S ( х 1 ) J-l L ( Х 2 ) ) , f 1 1l1 (Хl. Х2) == T(J-lIJ(Хl), /lS(X2)), (Хl, Х2) Е Х 1 Х Х 2 , (Хl,Х2) Е Х 1 Х Х 2 . ( 4.65) Здесь Т означает оператор tHOpMbI, например, оператор MIN. ДЛЯ Ha хождения результирующеrо отношения R, которое является лоrической
4.2. Нечеткие отношения 169 /1(Хl) S L 1 /1(Х2) S L 1 о 2 3 4 5 Хl о 1 2 3 4 5 6 Х2 Рис. 4.27. Функции принадлежности нечетких множеств, содержащихся в усло вии правила (4.66) суммой составляющих ero отношений R == Rl U R 2 , необходимо восполь зоваться определением 4.2.4. Определение 4.2.4. Пусть имеются два бинарных отношения R 1 и R 2 С общей областью определения X 1 х Х 2 . Тотда функция принадлежности суммы R 1 U R 2 этих отношений задается формулоЙ jj R I UR 2 == S(jjRl (Xl, Х2), I.LR2(Xl, X)), [де S означает SHOPMY (например, I\IAX). в случае если два бинарных отношения объединены лоrическими связками типа И, необходимо использовать определение 4.2.5. Определение 4.2.5. Пусть имеются два бинарных отношения R} и R 2 С общей областью определения Xl х Х 2 . Функция принадлежности лоrи ческоrо произведения Rl n R 2 этих отношений определяется по формуле jj R 1 n R 2 == Т (р R 1 (:1.1 , Х 2 ) , I.L R 2 ( Х 1 , Х 2 ) ) [де Т означает tHOPMY, например l\IIN. Данные определения MorYT быть расширены на случай пapHЫX OTHO шений. Аrреrация бинарных отношений иллюстрируется примером 4.2.8. Пример 4.2.8. Найдем функцию принадлежности /-LR(X1 Х2) условия, состоящеrо из двух подусловий: ЕСЛИ (:1;1 == S) и (Х2 == L) ИЛИ (J1 == L) И (Х2 == S), (4.66) rде функции принадлежности отдельных нечетких множеств представле ны на рис. 4.27. Функция принадлежности псрвоrо подусловия может быть найдена с использованием оператоrа IIN. Функпия принадлежности BToporo по
170 rлава 4. Нечеткая математика М(Хl,Х2) м Х 1, Х2) ML(Xl) 1 :"'" М8 (х 1 ) I " I " I " I " I " I " I ", 1 ....1 ........ I *,,' I ........ I ........ I .... I ........ I ........ I ........ I ,;; I ML(X2) MRl (Хl, Х2) Ms (Х2) /: I I I I I , I I " I I I I I Хl " I I I I I I I I I I I I Xl Х2 Х2 MR2 (Xl, Х2) Рис. 4.28. Функции принадлежности подусловий Rl и R 2 , составляющих усло вие правила (4.67) дусловия вычисляется аналоrично: ILR 1 (Xl,X2) == MIN(ILS(Xl),ILL(X2)), IL R 1 (х 1 , Х 2) == MIN (IL L ( Х 1 ), IL S ( Х 2) ) . (4.67) Функции принадлежности подусловий представлены на рис. 4.28. Для выполнения операции ИЛИ в правиле (4.66) в качестве SHOpMbI можно взять оператор МАХ. В этом случае функция принадлежности результирующеrо отношения R == R 1 U R 2 вычисляется по формуле: ILR(Xl, Х2) == MAX(ILR 1 (Хl, Х2), ILR2 (Хl, Х2))' Указанная функция rрафически представлена на рис. 4.29. (4.68) . в нечетких моделях также при меняется операция, противоположная цилиндрическому продолжению. Она называется проекцией. Если ци линдрическое продолжение повышает размерность области определения Х 1 нечеткоrо множества А( Хl), задавая отношение А * (Хl, Х2) на обла сти определения Х 1 х Х 2 , то проекция отношения А(Хl, Х2), заданноrо на области определения Х 1 х Х 2 , дает в результате нечеткое множество А*(Хl) с областью определения Х 1 , имеющей меньшую размерность. Ta ким образом, операция проекции противоположна цилиндрическому про должению. Определение 4.2.6. Если А нечеткое отношение с областью определе ния Х 1 Х Х 2 , то проекцией этоrо отношения на область Х 1 называется нечеткое множество А*, имеющее следующий вид: А*(Хl) == Proj А(Хl, Х2) == МАХ[А(Хl, Х2)]' Хl Х2
4.2. Нечеткие отношения 171 М(Хl,Х2) 1 MS(Xl) ML(Xl) ML (Х 7 ) Ms (Х2 J MR(Xl,X2) Х2 Рис. 4.29. Результирующая функция принадлежности отношения R( Xl, Х2), определяющеrо значение истинности сложноrо условия в правиле (4.66) Таблица 4.9 Дискретная функция принадлежности отношения A(Xl, Х2) 3 4 5 Х2 6 1 0.5 О 7 0.5 0.5 О 8 О О О Понятие проекции иллюстрирует пример 4.2.9. Пример 4.2.9. Имеется отношение А (табл.4.9), заданное на области определения Х == X 1 Х Х 2 . Найдем ero проекцию на область Х 1 : Х 1 == {аl,а2,аз}, Х 2 {Ь 1 ,Ь 2 ,Ь з }, Proj А == J\1AX[A(Xl, Х2)] == А*('Тl) ( , 0.5 , ) . Х2 аl а2 аз Окончательный вариант проекuии представлен на рис. 4.30. 11
172 rлава 4. Нечеткая математика M(XlX2) M(XlX2) о 1 ProjXl А A(XlX2) Q I I I I I I : ь W Ь 2 Ь з о о о о Хl Хl а) 6) Рис. 4.30. rрафическая иллюстрация нечеткой проекции дискретноrо (а) и непрерывноrо (6) отношения 4.3. Импликация Импликацией называется вид отношения, имеющеrо форму правила, ис пользуемоrо при рассуждениях. Различают классическую и нечеткую им пликации. Классическая импликация выражается с помощью соотношения (Poradnik 1971): ЕСЛИ р ТО q. ( 4.69) Сокращенная ее форма имеет вид: р q, (4.70) rде р утверждение, называемое антецедентом (условием), q утверждение, называемое консеквентом (заключениеl\r1, резуль TaTOlVl) . Утверждения в классической лоrике MorYT быть абсолютно истинны ми (Мр == 1, /-Lq == 1) либо ложными (Мр == О, /-Lq == О). Истинность или лож ность импликации зависит от конкретных значений Jlp и /-Lq (истинности антецедента и консеквента). Значение истинности импликации опреде ляется ее функцией принадлежности Jlpq, которая может принимать только два значения, а именно, О и 1. Функция принадлежности клас сической импликации l\10жет быть однозначно задана в форме табл.4.10 (Poradnik 1971; Кпарре 1994, Kahlert 1994). Как леrко убедиться, функция принадлежности классической импли кации может быть вычислена по формуле /-Lpt(j == IvlAX(l JLp, Ilq). (4.71)
4.3. Импликация 173 Таблица 4.10 ФУНКЦИЯ принадлежности кла ссичес кой импликации f-1pq [;I;J J1pq I 1 1 1 1 О О О 1 1 О О 1 Оператор классической импликации имеет ряд свойств, которые за трудняют ero использование в нечетком моделировании и управлении. Пример 4.3.1. Рассмотрим импликацию следующеrо вида: ЕСЛИ (состояние автомобиля:с == новый) ТО (расход топлива у == малый) (4.72) Область значений Х переменной «состояние автомобиля» имеет би нарную форму представления (новый: х == 1, старый: з; == О). Аналоrич ным образом задана область значений У переменной «расход топлива» (малый: у == 1, большой: у == О). Утверждение (состояние автомобиля == новый) == р является антецедентом, Утверждение (расход топлива == малый) == q является консеквентом. Можно поставить следующий вопрос: в каком случае импликация (4.72) будет истинной (jLpq == 1) и в каком случае ложной (/Lpq == О)? Заменяя линrвистические значения (новый, старый) на х и значения (малыЙ, большой) на у, получаем четыре возможных состояния Si ИМ пликации. 51: ЕСЛИ (состояние автомобиля == новый) ТО (расход топлива == малый), ''''р == 1, jL lj == 1, /l р q == 1. При х == новый, у == малый импликация является истинной. 52: ЕСЛИ (состояние автомобиля == новый) ТО (расход топлива == боль шой), ''''р == 1, /Lq == О, ILpq == О. При х == новый и у == большой импликация (4.72) является ложной. ДанныЙ факт вполне понятен, поскольку условие (состояние автомобиля
174 rлава 4. Нечеткая математика J-L /-Lрq(Х,у) 1 1 Мр Х . у (расход топлива) х (состояние автомобиля) н с н с у а) 6) Рис. 4.31. Дискретные функции принадлежности условия Мр и заключения J-Lq (а) и функция принадлежности импликации J-Lpq, определенной на дeKapTO БОМ произведении Х х У (н новый, с старый, м малый, б большой) (6) == новый) не изменилось, и потому изменившееся заключение (расход топлива == большой) не может быть истинным. S3: ЕСЛИ (состояние автомобиля == старый) ТО (расход топлива ма.. лый) , Мр == О J-Lq == 1, J-Lpq == 1. При х == старый и у == малый импликация (4.72) является истинной. Это следует из Toro, что рассматриваемая импликация (4.72) касается только факта (состояние автомобиля == новый), не rоворя ничеrо о про.. тивоположном ему факте (состояние автомобиля == старый). Соrласно классической лоrике в данном случае MorYT быть истинными как заклю" чение (расход топлива == малый), так и заключение (расход топлива = большой), входящее в S4. S4: ЕСЛИ (состояние автомобиля == старый) ТО (расход топлива == боль.. шой), Мр == О, I1q == О, J-Lpq == 1. Импликация (4.72) для данных значений х, у является истинной по той же причине, что и в случае S3. Функция принадлежности дис.. кретной импликации Jlpq, рассмотренной в данном примере, показана на рис.4.31. Недостаток оператора классической импликации состоит в том, что если условие вообще не выполняется (Мр == О), то импликация являет.. ся истинной, и это приводит К взаимно исключающим выводам (расход топлива == малый) и (расход топлива == большой) (рис. 4.32). .
4.3. Импликация 175 Mpq(X, у) 1 Mpq(C, у) . с о , , , , 6'/ , ,/ , , 6'/ Х == С х у Рис. 4.32. Функции принадлежности импликации f.-Lр----.+q(Х, у) для Х == с (старый) в случае нечетких систем управления, при одновременной активации множества нечетких правил, использование оператора классической им пликации оказывало бы на процесс управления неблаrоприятное воздей ствие (Kahlert 1994). В данной ситуации требуются операции более OДHO значные, и потому в нечетком управлении и большинстве задач нечеткоrо моделирования чаще Bcero используется друrая импликация имплика ция Мамдани, которая будет описана далее. Нечеткая импликация Нечеткая импликация представляет собой правило R, простейшая форма KOToporo выражается в виде (4.73): ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В), (4.73) rде (х == А) условие (антецедент), а (у == В) заключение (KOHce квент) . Здесь А и В нечеткие множества, заданные своими функциями при надлежности МА(Х), flB(y) и областями определения Х, У COOTBeTCTBeH но. Обозначение нечеткой импликации имеет вид: AB. (4.74) Различие между классической и нечеткой импликацией состоит в том, что в случае классической импликации условие и заключение MorYT быть либо абсолютно истинными, либо абсолютно ложными, в то время как
176 rлава 4. Нечеткая математика для нечеткой импликации допускается их частичная истинность, со зна чением, принадлежащим непрерывному интервалу [0,1]. Такой подход имеет ряд преимуществ, поскольку на практике редко встречаются си туации, коrда условия правил удовлетворяются полностью, и по этой причине нельзя полаrать, что заключение абсолютно истинно. Как и любое друrое нечеткое отношение, нечеткая импликация зада ется функцией принадлежности MAB(X, у), область определения KOTO рой является декартовым произведением Х х У соответствующих обла стей условия и заключения. Функция принадлежности импликации MAB(X, у) лежит в основе так называемых нечетких рассуждений (см. п. 5.1.2), обеспечивающих возможность вычисления выходноrо значения нечеткой модели (реrулято ра) для заданных входных значений. Чтобы определить данную функцию на основе функций принадлежности условия M4(X) и заключения J.lB(Y), следует использовать подходящий оператор импликации. Оператор им пликации Мамдани основан на предположении, что степень истинности заключения JlB(Y) не может быть выше, чем степень выполнения условия МА(Х): р А В ( Х, у) == l\1IN (М А ( х ) Jl В (у ) ) . (4.75) Интуитивно такое предположение вполне понятно. Например, для правила ЕСЛИ (состояние автомобиля == новый) ТО (расход топлива == малый) (4.76) вполне очевидно, что если автомобиль не является абсолютно новым, то расход топлива у Hero не может быть таким же низким, как у абсолют но HOBOI'O автомобиля. В дополнение к оператору Мамдани, внечетком управлении также используется оператор алrебраическоrо произведения PROD: Jl А В (Х, у) == /.l А (.т) . JL в (у) . ( 4. 77) Помимо представленных выше операторов нечеткой импликации, ис следовано также множество друrих операторов, результаты применения которых зависят от конкретной задачи. Данные операторы приведены в т а бл. 4.11. Соrласно результатам исследований, опубликоваННЫl\1 в (Кпарре 1994), оператором, имеюпl,ИМ наилучшие характеристики по определеННОl\fУ Ha бору критериев, является оператор Лукасевича. ()стальные операторы. приведенные в табл.4.11, упорядочены по убыванию степени удовлетво рения этим критериям. ПРИlV1ер 4.3.2 иллюстрирует lVlетод построения
4.3. Импликация 177 Таблица 4.11 Операторы нечеткой импликации импликация Лукасевича 1\ 1IN (1. 1 J1 А ( х) + J1 в (у ) ) импликация КлиниДинса 1\IAX(l МА(Х)' J1П(У)) импликация 1 РА(Х) + МА(Х) . J1B(Y) Клини Динса Лукасевича импликация rёделя { B(Y) дЛ Я J1 А (х) /1: В (у) в друrих случаях импликация Яrера ( /1: А ( Х ) ) /1 В (у ) импликация Заде 1\ lАХ (1 J1 А ( Х ), 1\ lIN (J1 А ( Х ) , J1 п (у) ) ) JL(X) JL(Y) 1 малый Jl(Y) 1 новый JL(X) о 1 2 3 Х о 5 6 7 8 У срок службы автомобиля (лет) расход топлива Рис. 4.33. Функции принадлежности нечетких множеств «новый» И «малый», содержащихся в условии и заключении функции принадлежности импликации MAB(X, у) с использованием оператора Мамдани. Пример 4.3.2. Рассмотрим нечеткую Иl'vlпликаuию: ЕСЛИ (состояние автомобилях == новый) 'ТО (расход топливау == малый), (4.78) [де нечеткие множества «новыЙ» И \<малыЙ» заданы функциями принад J1ежности Р.п('Т) И jJJS(Y), представленными на рис. 4.33. Функция принадлежности Иl\IПJIикации (4.78) представлена на рис. 4.34. Используя ПОДХОДЯИJ,ий метод вывода и имея определен ное значение .Си переJ\ленной J>, содер)кащейся в условии правила, можнu
178 rлава 4. Нечеткая математика J-L МВ (у) 1 МА(Х) /// ", / / , / , / , / , / , / , / , / ' / ' /// ", // " / " / , / , " 2"" , , / // / / / / / / / / / / Х (срок службы автомобиля) у (расход топлива) Рис. 4.34. Функция принадлежности МА-----+В(Х, у) импликации (4.78), получен ная с использованием оператора Мамдани J-L х == 1.5 J-L мв(у) 1 ШШШШШ/'J-LАв(1.5, у) I , / I , , 1 Х о 4 5 6 7 8 у б) MAB(X,y) у MAB(1.5, у) а) Рис. 4.35. Функция принадлежности импликации МА-----+В(Х, у) для заданноrо значения переменной Х == Ха == 1.5 (а) и ее проекция на плоскость {М, у} (6) определить функцию принадлежности заключения MAB(Xa, у), которую затем можно использовать для вычисления четкоrо значения Уа на BЫXO де нечеткой модели (рис. 4.35). Эта задача будет рассмотрена в разделах 5.1.2 и 5.1.3. 11
r ЛАВА 5 Нечеткие модели 5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях На рис.5.1 представлена типовая структура нечеткой модели системы с двумя входами и одним выходом. На входы нечеткой модели поданы два четких числовых значения X, X. Блок «ФА33ИФИКАЦИЯ» (FUZZIFICATION) вычисляет их степени принадлежности входным нечетким множествам A i , Bj. ДЛЯ BЫ полнения указанной операции блок фаззификации должен иметь доступ к точно определенным функциям принадлежности MAl (Хl), МВ) (Х2) BXO дав. При меры таких функuий принадлежности приведены на рис.5.2. Вычисленные и представленные на выходе блока фаззификации CTe пени принадлежности MAl (xi), Мв) (x) дают информацию о том, в какой степени числовые значения xi, Х 2 принадлежат конкретным нечетким множествам, т. е. насколько эти величины являются малыми (А 1 , B 1 ) или большими (А 2 , В 2 ). Блок «ВЫВОД» (INFERENCE) на входе получает степени при надлежности МАl (xi), МВ] (х 2 ) и на выходе вычисляет так называемую результирующую функцию принадлежности выходноrо значения модели (рис. 5.1). Данная функция обычно имеет сложную форму и определяется посредством вывода, который может быть осуществлен множеством спо собов. Для выполнения вычислений блок вывода должен включать в себя следующие cTporo определенные элементы: . база правил, . механизм вывода, . функции принадлежности выходноrо пара метра у. База правил содержит лоrические правила, которые задают имею щие место в системе причинноследственные отношения между нечет кими значениями ее входных и выходных величин. База правил может,
* Хl * Х2 : :1 Система I о Хl Хl .и(Хl) l А2 * )1А 1 (Хl) * Хl Xl у .. Операция ФАЗЗИФИКАЦИЯ Элементы · функции принадлеж ности входных пара метров Х 1, Х2 )1А I(X;) * . )1A 2 (Xt) * . )1В/ Х 2) *. РВ/ Х 2) . Операция ВЫВОД Элементы · база правил; :J . механизм вывода; . функции принадлеж ности выходноrо параметра у о Х2 Х2 fl(X2) B2(X;) * Х2 Х2 )1 res (у) . о у у Операция ДЕФАЗЗИФИКАЦИЯ Элементы . механизм дефаззификации )1res(Y ) Рис. 5.1. Структура нечеткой модели системы с двумя входами и одним выходом .
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 181 )l (х 1) 1 )l (х 2) 1 о 2 Х1 о 2 Х2 А 1 == малый (примерно О), В 1 == малый (примерно О), А 2 == большой (примерно 2) В 2 == большой (примерно 2), Х 1 : О ( Х1 ( 2 Х 2 : О ( Х2 ( 2 Рис. 5.2. При меры функций принадлежности нечетких множеств с указанием их области определения )l (у) 1 о 4 8 у С 1 == малый (примерно О), С 2 == средний (примерно 4). С 3 == большой (примерно 8) Рис. 5.3. Примеры функций принадлежности нечетких значений выхода модели с указанием области определения например, иметь следующий вид: Rl : ЕСЛИ (:r'1 == А]) И ('Т2 == B 1 ) то (у == С 1 ), R2: ЕСЛИ (Хl == А 1 ) И (J2 В 2 ) то (у == (}2), R3: ЕСЛИ (rl == А 2 ) И ('Т2 == Н]) ТО (у == С 2 ), R4: ЕСЛИ (Х1 == А 2 ) И (:Е2 == В'2) ТО (у == С з ), (5.1) rде нечеткие значения входных параlVlетров (r11 fv1алый, А 2 боль шой и т. д.) представлены на рис. 5.2, а выходных на рис. 5.3. Реluение ВОЗ.поженной на блок вывода задачи, связанной с определе нием результирующей ФУНКllИИ принадле)l(НОСТИ J1res (у), обеспечивается механизмом вывода, который состоит из следующих эле1\1ентов: IM1: элемент, вычисляющий степень выполнения каждоrо правила Ri в отдельности, 1М2: элемент, вычисляющий активизированные функции принадлежно сти заключений каждоrо правила Ri,
182 rлава 5. Нечеткие модели 1М3: элемент, вычисляющий результирующую функцию принадлежно сти I-Lrеs(У) выходноrо значения на основе активизированных за.. ключений отдельных правил. Приведем при мер механизма вывода для системы с двумя входами: IMl: аrреrация условий правил с использованием оператора PROD дЛЯ пересечения множеств (И) и оператора J\fAX для объедине.. ния множеств (ИЛИ), 1М2: определение активизированных функций принадлежности заклю" чений правил с использованием оператора импликации Мамдани, 1М3: определение результирующей функции принадлежности I-Lrеs(У) выходноrо значения (аккумуляция) с использованием операто.. ра l\1AX. Блок «ДЕФА33ИФИКАЦИЯ» (DEFUZZIFICATION) на основе результирующей функции принадлежности I-Lres (У) вычисляет четкое числовое значение у* выходноrо параметра, являющееся результатом для входных числовых значений xi, X. Данная операция выполняется посредством механизма дефаззификации, который определяет метод вычисления. Примером механизма дефаззификации является метод цен.. тра тяжести. Далее будут описаны отдельные блоки нечеткой модели и различные варианты выбора их элементов. 5.1.1. Фаззификация в блоке фаззификации, представленном на рис. 5.4, вычисляются сте.. пени принадлежности числовых значений входных параметров модели входным нечетким множествам. Равенство 0.3 степени принадлежности входноrо значения xi == 1.4 нечеткому множеству А 1 (малый) означает, что степень соответствия данноrо значения наиболее типичному малому значению (О) равна 0.3. С друrой стороны, утверждение о том, что значение xi == 1.4 большое, является истинным со степенью 0.7. Таким образом, указанное значе.. ние Xl в большей степени соответствует типичному большому значению (2), чем типичному малому (О). ДЛЯ вычисления степеней принадлежности значений конкретным нечетким множествам, функции принадлежности последних должны быть точно заданы на качественном (вид функции) и количествен.. ном (ее параметры) уровне. Как форма функции принадлежности, так и ее параметры, оказывают существенное влияние на точность модели
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 183 * х}==1.4 * Х2 == 1.6 операция ФАЗЗИФИКАЦИЯ элементы . ФУНКЦИИ принадлеж ности входных пара метров х}, Х2 f.-lА} (х; ) == 0.3 * f.-lА2(Х} ) == 0.7 * f.-lв} (Х2 ) == 0.2 f.-lв (Х2*) == 0.8 ,ц(Хl) ,ц(Хl) Bl В 2 !i- X 2) В} В 2 1 1 ?1 1 :::: "." I ,.'" I .... .... .3 0.7 : 0.2 .... 0.8 О Х] 2 Х} О 2 Xl х; = 1.4 х; = 1.4 А 1 == малый (примерно О), В 1 == малый (примерно О), х; = 1.6 х; = 1.6 А 2 == большой (примерно 2), В 2 == большой (примерно 2) Рис. 5.4. Блок фаззификации и пример ero работы (Baglio 1994). Примером математическоrо описания ФУНКЦИЙ принадлеж насти (см. рис. 5.4) является совокупность выражений вида: fLA 1 (Xl) == 0.5(2 Xl), МВ1 (Х2) == 0.5(2 Х2), fL A 2 (Xl) == 0. 5Х l, М В 2(Х2) == 0. 5Х 2. (5.2) в процессе фаззификации четкий входной вектор J{* преобразуется в вектор М степеней принадлежности, которые, в свою очередь, являются входными данными для блока вывода: М== МА1 (xr) MA2(xi) МВ1 (Х 2 ) МВ 2 (Х2) Х* == [ ] фаззификация 5.1.2. ВЫВОД Блок вывода на основе степеней принадлежности MA (Хl), МВ) (Х2) BXOД ных значений определяет результирующую функцию принадлежности I1res(Y) выходноrо значения модели (рис. 5.5). Операция вывода включает в себя следующие шаrи: 1) вычисление степеней выполнения отдельных правил (точнее, их усло ВИЙ) ,
184 rлава 5. Нечеткие модели операция * ВЫВОД }1Аl (Хl ).... * ... элементы }1А2(Хl ).... * ... * база правил; J.1res(y) ... }1в} (Х2 ).... * механизм вывода ... * ... }1В2(Х2 ).... * функции принадлеж ... ности выходноrо параметра у Рис. 5.5. Блок вывода нечеткой модели 2) определение активизированных функций принадлежности заключе ний отдельных правил, 3) определение результирующей функции принадлежности вывода из всех правил, входящих в базу. в классической лоrике разработан ряд правил рассуждений, назы * ваемых тавтолоrиями . Одним из наиболее известных является Modus Ponens, в рамках KOToporo процесс рассуждений имеет вид: I Факт х==А , Импликация ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В), У == В. Заключение в классической тавтолоrии типа Modus Ponens для условия (х == А) и заключения (у == В) допустимы только два дискретных значения ис тинности О И 1, а факт (х == ...) должен полностью соответствовать условной части импликации: ЕСЛИ (х == 4) ТО (у == В). Лишь в ЭТОfvl случае импликацию можно использовать в процессе рассуждений. Как условная, так и заключительная части правил должны иметь строrую, детерминированную формулировку. Утверждения, coдep Тавтолоrия тождественноистинная формула в ИСЧИСJIении выIказыbIаний,' KOTO рая при любых ВОЗМОЖНЫХ истинностных значениях ВХОДЯЩИХ в нее переменных ис тинна, т. е. она общезначима исключительно в силу CBoero синтаксиса. На таВТОЛОП,IИ (р !\ (р 4 q)) (j основано одно из наиболее важных правил рассуждений в JIоrике правило Modus Ропеп. Прим. рсд.
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 185 жащие неточные, размытые формулировки, такие как (х == примерно А), (х == более чем A) (у == более или менее В), являются недопустимыми. В нечетком моделировании и управлении применяются приближенные рассуждения, позволяющие использовать в условиях и заключениях правил нечеткие формулировки. Прибли женное рассуждение, основанное на тавтолоrии типа Обобщенный (generalized) Modus Ponens (GMP), имеет вид: Факт т == А * , Импликация ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В), Заключение у == В*. Здесь А* и В* MorYT, например, иметь вид А* == более чем А, В* == более или менее В и т. п. Приведем при мер рассуждения, на основе GMP: Факт маршрут поездки очень протяженный, Импликация ЕСЛИ (маршрут поездки протяженный) ТО (время в пути длительное), Заключение время в пути очень длительное. Рассуждения, основанные на обобщенном Modus Ponens, не всеrда дают хорошие результаты. Это иллюстрируется следующим примером: Факт время нахождения на солнце очень длительное, Импликация ЕСЛИ (время нахождения на солнце длительное) ТО (кожа становится заrорелой), Заключение кожа становится очень заrорелой. Приближенное рассуждения, основанное на GMP, приводит к заклю чению «кожа становится очень заrорелой», хотя после чересчур длитель Horo пребывания на солнце наша кожа часто становится не заrорелой, а красной изза солнечноrо ожоrа. Правило вывода GMP можно использовать в том случае, если оно допускает возможность экстраполяции (Кпарре 1994), которая позволяет ero ПРИl\1енять и тоrда, коrда х лишь приблизительно равно А (нет точ ной соrJIасованности факта с условием праВИJIа). Получаемые заключе ния (у приблизитеJIЬНО равно В) также ЛИIIIЬ «приближенно» соrласуются
186 rлава 5. Нечеткие модели Факт: х = примерно 3 = (примерно2)* J1(x) J1(x) 1 примерно 2 П р име р но 3 3 1 7 примерно 11' I I о. 75 7C' ! 1 J '1 1 1 '1 1 }, / :' 1 1 \ 1 I \ 1 : \ 5 х 2 3 4 5 х Импликация: ЕСЛИ (х == примерно 2) ТО (у == примерно 4) J1(x) J1(x) примерно 4 1 2 345 х 234 5 6 у Заключение: (у == примерно 4)* ,u(y ) 1 0.75 I 1 1 2 3 4 5 6 у Рис. 5.6. Пример вывода с использованием обобщенноrо правила Modus Ponens (методика нахождения заключения описана в разд.5.1.2.2) с действительностью. В практике нечеткоrо моделирования и управления схема вывода, основанная на GMP, демонстрирует свою корректность и является универсальной СМ. при мер на рис. 5.6. 5.1.2.1. Оценка степени выполнения условия Для выполнения нечеткоrо вывода необходимо, прежде Bcero, определить степень выполнения (значение истинности) условия каждоrо отдельноrо правила. В отличие от классической лоrики, в качестве значений дaH ной степени MorYT выступать не только О и 1, но также дробные числа из интервала [О, 1]. в случае если степень выполнения условия правила равна О, то данное правило в процессе вывода не участвует, в то Bpe мя как чем эта степень выше, тем большее влияние правило оказывает на результат вывода.
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 187 )l(X) 1 * РА(Х 1 ) == 0.3 )lR(X *) == РА(Х*) о 2 Х * х 1 ==1.4 Рис. 5.7. Определение степени выполнения (значения истинности) простоrо условия ЕСЛИ (х == А) )l (х 1) * А 1 РА (х 1 )== 0.3 1 .., 1 I I * Х 2 == 1.6 * рв (х 2 ) == 0.8 2 * * )l R( х 1 , Х 2 ) == 0.24 * Хl == 1.4 о 2 Хl )l (х 2) 1 PROD * * * * JlR(Xl 'Х2)== РА 1 (Х 1 )РВ 2 (Х2) Рис. 5.8. Определение степени выполнения (значения истинности) конъюнктив Horo сложноrо условия ЕСЛИ (Хl == А 1 ) И (Х2 == В 2 ) eTOД вычисления степени истинности условия зависит от вида по следнеrо. В случае простоrо условия вида: ЕСЛИ (х == А), (Б.3) для х == х* степень MR(X*) выполнения условия равна степени принад лежности значения х* множеству А (рис. 5.7). В случае сложноrо условия, состоящеrо из двух простых подусловий, связанных лоrическим союзом И (конъюнктивное условие), что COOTBeT ствует выражению ЕСЛИ (Хl == А 1 ) И (Х2 == В 2 ), (5.4) степень выполнения условия для числовых значений aprYMeHToB Хl == xi и Х2 == Х2 определяется как степень принадлежности нечеткому отноше нию R: MR(x1, X) == М А I ПВ 2 (х1, x) == Т(МА 1 (х1), РВ2 (x)), (Б.5) rде А 1 , В 2 нечеткие множества, Т один из операторов tHOpMbI, Ha пример, PROD (рис. Б.8).
188 rлава 5. Нечеткие модели Jl (х 1) 1 !.I JlA (x) == 0.3 I 1 I * Х 2 == 1.6 Jl B (Х;) == о. 8 2 .<... JlR(X, X)== 0.8 Х; == 1.4 о Jl2) 1 МАХ JlR(X; ,х;) ==MAX(JlA1<X;), Jl B2 (х;)) Рис. 5.9. Определение степени выполнения альтернативноrо сложноrо условия ЕСЛИ (Хl == А 1 ) ИЛИ (Х2 == В 2 ) Если сложное условие состоит из двух простых подусловий, связан.. ных лоrическим союзом ИЛИ (альтернативное условие) ЕСЛИ (Xl == A 1 ) ИЛИ (Х2 == B2) (5.6) то для заданных значений aprYMeHToB Xl == xi и Х2 == Х 2 степень выпол" нения условия вычисляется как степень принадлежности отношению R: MR(x7,x) == MAIUB2(x7,x) == S(MA 1 (x7),MB2(X))' (5.7) rде S один из операторов SHOpMbI, например, МАХ (рис. 5.9). Условия MorYT иметь более сложную форму, чем в выражениях (5.4) или (5.6), и MorYT состоять из множества частей, связанных союзами И, ИЛИ, как показано в выражении: ЕСЛИ (Х1 == A 1 ) и (Х2 == В 2 ) ИЛИ (.Tl == А 2 ) И (Х2 == в 1 ). (5.8) При нахождении степени выполнения сложноrо условия вначале сле.. дует выполнять все операции пересечения И, а затем все операции объ.. единения ИЛИ. ДЛЯ этих целей можно использовать определения 4.2.4 и 4.2.5. Процесс вычисления степени выполнения условия (5.8) для зна.. чений aprYMeHToB xi == 1.4, 12 == 1.6 показан на рис.5.10. Вычисление степени выполнения сложных условий, являющихся ком.. бинацией простых, иноrда называют аrреrированием (Кпарре 1994). В при мерах на рис. 5.75.10 в качестве aprYMeHToB условий выступали четкие числовые значения Х] == 1.4, Х 2 == 1.6. Вместе с тем, aprYMeHTbI условий (входные значения нечеткой модели) MorYT быть также заданы в форме нечетких множеств АТ, в;, отличных от нечетких множеств A i , Bj, фиrурирующих в самих условиях. Рассмотрим простое условие ЕСЛИ (х == А) в ситуации, коrда вход.. ное значение модели задано в виде нечеткоrо числа А*. Степень сходства
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 189 ).l R (х;, х;) == 0.24 PROD х;==l.4 О Р(х2) * 1 J2 )lB 2 (X2)==0.8 )lB 1 (X;)== 0.2 МАХ PROD ( * * ) J.lR 2 Xl, Х2 0.14 J.lR(X;, х;) ==MAX().lR 1 (х;, х;), J.lR 2 (X; ,х;)) J.lR ] Cx;, Х;) ==РА (Х;) Рв (Х;) ] 2 f.l R 2 (х;, х;) f.lA 2 (X;) f.lB I(x;) Рис. 5.10. Определение степени выполнения сложноrо условия Е С Л И ( .1: 1 == 41) И ( .r 2 == В'2) И ,П и (:r 1 == 4 2) И (х 2 == В 1 ) (или, более кратко, сходство) двух нечетких множеств А и А *, которая является одновременно степенью выполнения MR(X*) условия правила, вычисляется по формуле: h == l\1AX I\fIN (м F1 (х ), м А * (;Т) ). хЕХ (5.9) При выполнении операции, задаваемой выражением (5.9), на первом шаrе определяется общая часть А n А* нечетких множеств, а на втором шаrе находится максимум ее функции принадлежности (рис. 5.11, а). В случае если нечеткое множество А* является одноэлементным, как показано на рис. 5.11,6, степень сходства h совпадает со степенью при J.1 (х) J.1 (х) А* А А*А / АnА* Х Х а) б) Рис. 5.11. Определение простейшей меры сходства h двух нечетких множеств А и А* (а) и частный случай нечеткоrо множества (одноточечное множество) ..4* == .у* (6)
190 rлава 5. Нечеткие модели надлежности х* множеству А и равна ILА(Х*). В результате нахождения степеней выполнения условий для отдельных правил, получаем инфор" мацию о том, какие правила должны участвовать в процессе вывода, и в какой мере должно проявляться данное участие, а также возмож" ность определения активизированных функций принадлежности заклю.. чений отдельных правил при данных входных значениях х; нечеткой модели. 5.1.2.2. Определение активизированных функций принадлежности заключений отдельных правил при заданных входных значениях нечеткой модели Определение активизированных функций принадлежности заключений отдельных правил основано на степени выполнения их условий. Данная операция, которая может быть названа ВЫВОДОМ на правилах, выпол" няется с использованием операторов нечеткой импликации, описанных в разд.4.3. В настоящем подразделе мы опишем эту операцию более подробно, а также приведем примеры ее использования. Пусть вывод следует осуществлять в соответствии справилом: ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В), (5.10) rде функции принадлежности ILА(Х), ILВ(У) показаны на рис. 5.12, а вход.. ное значение х* == 6.5. Как видно из рис.5.12, степень выполнения условия правила рав" на 0.5. Используя импликацию Мамдани, можно определить активизи.. рованную функцию принадлежности импликации А В, которая пред" ставляет собой некоторое нечеткое отношение R: ILR(X, у) == MIN(j1A(x), ILВ(У)), R : А В. (5.11) Соответствующая данному отношению поверхность изображена на рис. 5.13. Поверхность функции принадлежности импликации ILR(X, у) полу.. чена на основе цилиндрических продолжений множеств А(х) и В(у) на декартово произведение )( х У. ДЛЯ заданноrо входноrо значения Х == х* можно перейти к двумерной функции принадлежности им.. пликации ILR(X*, у) данная функция представляет собой специальный срез полной трехмерной функции ILR (Х, у). Проекция функции ILR(X*, У) на плоскость {IL, у}, обозначаемая IL В* (у), является результатом вывода для данноrо правила.
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 191 f.L (х) 1 f.L (у) А в 1 5 6 7 * Х == 6.5 Х 6 7 8 У Рис. 5.12. Функции принадлежности нечетких множеств А и В для правила (5.10) ,1\ / ,'/ \ " / Х " / \ * , / \ РА(Х ) ,''',' \ ,. ;r7\ " / / / I \ ,," " , / I \ / ' ,,' I \ ,/ / / I \ " '" J"" 1 2 3 /,' 4 ,,' 5,'" 6," ,,' 7 Рв(У) /' 1 // // /../'<> ' ( r\(); шшшш6,,/<::>/'//>/ x6.5 J.l В* У) 1 \,. I I \ /',,' /,' ztfr"""" ,',' \1 1 1,,'\ , " " l' '" 5 7t;r Х ,,' 6/;L; \:; ;.' 8Iшшшшшш;;тi ::// J..lR(X,y) J.lR(X: у) РА(Х) Х R:AB у Рис. 5.13. Иллюстрация нечеткоrо вывода для правила ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В) и входноrо значения х == х* Леrко заметить, что, в зависимости от KOHKpeTHoro входноrо значе ния х*, результат вывода J-.LB*(Y) так или иначе отличается от исход ной функции принадлежности J-.LB(Y). В отдельном случае, коrда степень выполнения условия J-.LA(X*) == 1, функции J-.LB* (У) и J-.LB(Y) совпадают. Функцию принадлежности J-.LB* (У) иноrда называют модифицированной функцией принадлежности заключения, а нечеткое множество В* модифицированным нечетким значением В заключения (Кпарре 1994). Для Toro чтобы найти модифицированную (активизированную) Функ цию принадлежности J-.LB* (У) заключения, нет необходимости определять трехмерную функцию принадлежности J-.LR(X, у) импликации есть более простой способ, который и используется с этой целью на практике. Как
192 rлава 5. Нечеткие модели J1 (х) f.1 (у) 1 J1 А (х) / 1 * J1A(X )== 0.5 J1B(Y) 1', / 1 I , 1/ : \ J1 в*(у) 5 х*== 6.5 6 7 х 6 7 8 У Рис. 5.14. Упрощенный метод вывода на основе правила с использованием оператора импликации Мамдани J1 (х) 1 J1 (У) J1 А (х) 1 * 'L ( ) =: Q .:. J1B(v) II\ 1 I , 1 , , (v) / l' J1B* 7 , 1 ' 1 1 1 1. 5 * х == 6.5 6 7 х 7 8 9 у Рис. 5.15. Вывод с использованием оператор импликации PROD видно из рис. 5.13, функции ILR(X*, у) и 11в* (у) совпадают и, в случае ис пользования импликации Мамдани (5.11), MorYT быть получены простым усечением функции принадлежности заключения fl}i(Y) до уровня степе ни выполнения ILА (х*) условия правила. Фактически, операция вывода на основе импликации Мамдани выполняется в соответствии с рис. 5.14. Применение друrих операторов импликации приводит к получению друrих модификаций функции принзд.пежности заключения. На рис. 5.15 показан вывод с использованием оператора PROD. Если в качестве входноrо значения х* выступает нечеткое множе ство А*, отличное от множества А в посылке правила: ЕСЛl1 (х == ",4) ТО (у == В), то модифицированная (активизированная) функция принадлежности {LB* (у) заключения может быть определена на основе композиционно 20 правила вывода Заде (Kahlert 1994,1995), задаваемоrо с помощью определения 5.1.2.2.1. Определение 5.1.2.2.1. Пусть А* нечеткое множество с областью определения Х, и R нечеткое отношение двух артументов, заданное на области определения Х х }Т. Результатом композиции А * и R (обозна
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 193 Р(Х,у) 1 РА(Х) , , 4 ,'/' 5'" ,./'/6 ,,' /' /,' " , " , ,'j1' ,/ " , r,., ,," ,," ,/ ,1 \', '" " , 1 2 3 8 Х , , , , , ,/"MIN (,иА(Х)' РА*(Х)) ,//' у J.lR(X, у) J.l А * R (Х , у) h == МАХ MIN (РА (х), РА*(Х)) ХЕХ Рис. 5.16. Нечеткий ВЫВОД на основе правила ЕСЛИ (.Т == А) ТО (у == В) в случае, коrда входным пара метром 1 модели является нечеткое множе ство А*(х) чается A*oR) является нечеткое множество В* с областью определения}Т и функцией принадлежности /LB* (у), имеющей вид: Jl в * (у) == МАХ MIN (М А * * (х, у ), Jl R ( х, у ) ) , хЕХ тде А ** (х, у) цилиндрическое продолжение множества А * (х) на область определения Х х У. Схема построения модифицированной функции принадлежности JLВ*(У) изображена на рис.5.16. Как следует из рис. 5.16, в результате композиции отношения R( х, у) и нечеткоrо множества А * (х) (или, фактически, ero цилиндрическоrо продолжения А**(х. у)), получается нечеткое множество А* о R(x, у), функция принадлежности KOToporo имеет вид поверхности в трехмерном пространстве. Проекция композиции А * о R на область определения Уприводит К получению модифицированноrо нечеткоrо множества В*, которое COOT ветствует заключению правила. Функция принадлежности МВ* (у) этоrо множества имеет вид (5.12) и представляет собой функцию МВ(У), BЫCO та которой оrраничена значением h, выражающим степень выполнения
194 rлава 5. Нечеткие модели J1 (х) J1 (у) 1 РА(Х) \ . J.lA*(X) 1 \ '\ 1\./ 1 \ 1 \./ 1 1 \ 1 \, \ h 1 1 \ 1 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ ,. Рв(у) ,\ 1 \ / \ Рв*(у) / 6 7 8 у MIN{J1A(X), РА*(Х)) Рис. 5.17. Упрощенный метод вывода в случае, коrда входным значением х* модели является нечеткое множество А*(х) Таблица 5.1 Дискретная функция принадлежности множества"условия А х 5 5.5 6 6.5 7 f1A (х) О 0.5 1 0.5 О условия: Jl == МАХ MIN(J1A(x),J1A*(x)). хЕХ (5.12) На практике, если в качестве входноrо значения нечеткой модели BЫ ступает нечеткое множество А*, можно использовать упрощенный метод вывода, представленный на рис. 5.17. Если модифицированные функции принадлежности МА(Х), ILВ(У) яв ляются дискретными (табл.5.1, 5.2), то модифицированную функцию принадлежности заключения ILВ* (у) можно определить, используя таб личную или матричную форму представления отношений. Иллюстрацией этому служит при мер 5.1.2.2.1. Пример 5.1.2.2.1. Найдем модифицированную (активизирован ную) функцию принадлежности заключения ILВ*(У) правила ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В) дЛЯ случая, коrда входное значение х ЯВ ляется четким числом: х == х* == 6.5, а функции принадлежности ILА(Х) и 11В(Х) представлены в дискретной форме (табл.5.1, 5.2). Используя формулу (5.13), построим таблицу отношения R == А В, содержащую значения ILR(X, у): IL R ( х, у) == 11IN (Jj А ( Х ), IL в (у ) ) . (5.13) Функция принадлежности ILB* (у) вывода из правила при входном зна чении х* == 6.5 представлена в таблице отношения в виде строки, COOTBeT ствующей данному входному значению. Тот же самый результат можно
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 195 т а б л и ц а 5.2 Дискретная функция принадлежности множествазаключения В у 6 6.5 7 7.5 8 f1B (у) о 0.5 1 0.5 О т а б л и Ц а 5.3 Функция принадлежности отношения R == А --------+ В х\у б б.5 7 7.5 8 5 О О О О О 5.5 О 0.5 0.5 0.5 О б О 0.5 1 0.5 О 6.5 О 0.5 0.5 0.5 О f1R(X*, у) == f1B* (у) 7 О О О О О J.l (х) 1 J.l А (х) J1 (у) R/ 1 I \ I \ 1\* I \ J1 А (х ) ? I 1\ I I \ I I \ '\ J.lB(Y) I \ I \ I \ I \ PB*(Y) 5 х*== 6.5 6 7 х 6 7 8 У Рис. 5.18. Упрощенный вывод в случае дискретных функций принадлежности f1A(X) и ILB(X') получить путем оrраничения степеней принадлежности в табл. 5.2 поро rOBbIM значением 0.5, которое соответствует входному значению х* == 6.5. Данная упрощенная процедура определения дискретной функции принад лежности заключения 1"8* (у) схематически представлена на рис. 5.18. . в случае если условие правила состоит из множества простых под условий, соединенных лоrическими связками, результирующую степень истинности общеrо условия вычисляют, следуя принципам, изложенным в разд. 5.1.2.1 (аrреrирование условий), а на втором шаrе выполняют BЫ вод, соrласно методике, представленной в данном разделе.
196 rлава 5. Нечеткие модели J.l (х) 1 J.l (у) 1 о 1 2 х о 1 2 3 4 У Рис. 5.19. ФУНКЦИИ принадлежности нечетких множеств, используемых в базе правил (5.14) 5.1.2.3. Определение результирующей функции принадлежности вывода из базы правил В результате вывода из т/ отдельных правил R i , составляющих базу правил, будут найдены rп модифицированных функций принадлежности заключений, на основе которых требуется получить одну результирую.. щую функцию принадлежности вывода из всей базы правил. Процесс определения общеrо вывода (заключения) иноrда называют аккумуля- цией (Кпарре 1994). Для выполнения аккумуляции существует ряд ме.. тодов, поскольку здесь можно при менять множество различных опера.. торов. Далее будут представлены наиболее часто используемые методы аккумуляции. Рассмотрим пример 5.1.2.3.1. Пример 5.1.2.3.1. Дана нечеткая модель с базой правил вида: R1 : ЕСЛИ (х == A 1 ) то (у == В}), R2: ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В 2 ). (5.14) Функции принадлежности используемых в правилах нечетких МНО" жеств представлены на рис. 5.19. Требуется определить результирующую функцию принадлежности ILres(Y) вывода из всей базы правил для вход.. Horo значения х == х* == 1.4. Все правила, входящие в базу, можно объединить в одно составное правило следующеrо вида: R: ЕСЛИ (1 == A 1 ) то (у == В}), ИЛИ ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В 2 ). (5.15) Правило R состоит из двух простых правил R1 и R2, объединенных лоrической связкой ИЛИ, что можно представить так: R == Rl U R2. (5.16)
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 197 Каждое правило представляет собой нечеткое отношение двух apry ментов (импликацию). Результирующее отношение R можно найти на основе определения 4.2.4, с использованием одной из SHOpM, например, оператора 11АХ, а ero функцию принадлежности /-LR(X, у) можно полу чить на основе функций принадлежности составляющих ero отношений (импликаций) по формуле (5.17): /-L R (Х, у) == МАХ (М Rl (х, У), /-L R2 (х, у) ). (5.17) Результирующую функцию принадлежности /-Lrеs(У) вывода из всей базы правил для заданноrо входноrо значения х == х* можно определить по формуле, задающей срез поверхности отношения при х == х*: 11res (у) == /-L R (х* , у). (5.18) Будем называть данный метод методом 1. Последовательность ero шаrов представлена на рис. 5.20, ar. Результирующую функцию принад лежности /-Lres (у) можно более точно представить в двумерной системе координат см. рис. 5.21. Метод 2, используемый для получения результирующей функции принадлежности /-Lres (у) вывода из базы правил, включает в себя сле дующие шаrи: вначале определяются модифицированные функции при надлежности МВ* (у) заключений отдельных правил, а затем, используя 1 одну из SHOpM (например, оператор lVIAX) находится результирующая функция /-Lres (У): /-Lres (у) == 11AX(/L В; (у), /-L В 2 (у)). (5.19) Способы получения модифицированных функций принадлежности МВ* (у) заключений отдельных правил описаны в разд.5.1.2.2. Метод 2 чаще Bcero применяется на практике, поскольку является более простым. Пример определения функции /-Lres (У) на основе данноrо метода представ лен на рис. 5.22 и 5.23. . Если модифицированные функции принадлежности МВ* (У) заключе 1 ний отдельных правил определяются с использованием оператора 1IIN (рис. 5.22), а для их аккумуляции с целью получения результирующей функции принадлежности lI'es (у) при меняется оператор JVIAX, то в цe лом данная операция называется максиминным выводом (MAXMIN inference) . в случае если функции ILB* (у) определяются с помощью операто 1 ра PROD, а функция /-Lres(:lj) С помощью оператора МАХ, то опе рация называется максимультипликативным выводом (MAXPROD
198 rлава 5. Нечеткие модели РА}(Х) J1 (х,у) 1 РА/Х) .....t. 11 ' 1 I " ",I I I I , '" / I , ,,'" I I I , 1 ", ,,1 I "'.... / I Х 11 Х J1 В2(У) .,.'" D ::. PR2(X,y) 1 2 3 ...... 4 у у а) б) РА}(Х) J1A 2 (X) р(х, у) 1 1', ,,1 I , '" I I , '" I .... '" I J( I I '" .... I .... .... '" .... I .... Х Х PR(X*,y) у у в) 2) Рис. 5.20. Определение результирующей функции принадлежности {l п :>s(У) вы- вода из базы правил по срезу I1Н (х* , у) результирующей функции принадлеж- ности {lR(X у) отношения R == Rl U R2 Р(У) 1 0.7 ' J1re(Y) \ ................................ ,' ': I 0.3 ................. 1 о 1 2 3 4 У Рис. 5.21. Результирующая функция принадлежности JLres (у) вывода из базы правил, полученная на основе метода 1
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 199 J.l( х) 1 J.l(y ) 1 J.1Bl(y) "'....""........ J.1B;(y) J.1A} (х*) == 0.3 о 1 * х == 1.4 2 х} О 1 2 3 R1: ЕСЛИ (х =А 1 ) то (у = В}), J1B} * (у) == MIN(PAj(X*), J1B}(v)) J.1(y ) 4 У J.1( Х ) 1 J.1B2(Y ) ,,i ",'" I J.1B2*(Y ) 2 Х} о 1 2 3 4 у R2: ЕСЛИ (х=А 2 ) то (у = В 2 ), РВ2 * (у) ::::: MIN(J.1A/X*), J1 B 2(y)) Рис. 5.22. Определение модифицированных функций принадлежности Ilп, (у) заключений отдельных правил на основе упрощенноrо метода (вывод на правилах) /l(у ) 1 0.3 ...................... J.l(y ) о 1 2 3 4 J.lres(y ) 1 '" \ ................ у I МАХ> 0.7 """" 0.3 ......",...",,,, ",1 ,'" I """,,"*' I ...... I /l(у ) 1 0.7 ",'1 ...... I ...' I "../'" I о 1 2 3 4 у R1: ЕСЛИ (х=А 1 ) то (у=В 1 ), R2: ЕСЛИ (х=А 2 ) то (у=В 2 ), J.1res(y) == MAX(цB(y)' рв;(у)) о , k 3 4 )' Рис. 5.23. Определение результирующей функции принадлежности /lres (у) BЫ вода из базы правил (аккумуляция составляющих ero заключений)
200 rлава 5. Нечеткие модели р (х) 1 !"А l(Х) РА 2 (Х) , , "С! I "о.. "1 , /J:I' I "0.." I p , р, I " '....... I Р "", I ",," 'а. I р(у) .... .... '"'(). .... рв 2 (У) .q .... .... ..../:).... I ........ I ........0.... I ....0........ I ........ I ........0.... ............ I ....0....... I I ...... 'О.... ' 1 рв ](у) 0'............ ,,,,,,.,.,,; ........ о 2 х о 1 2 3 4 у Рис. 5.24. Дискретные функции принадлежности нечетких множеств, исполь зуемых в правилах (5.20) Т а б л и ц а 5.4 Дискретное нечеткое множество Al r J: О 0.4 0.8 1.0 1.4 1.8 2.0 !LAl(X) 1.0 0.8 0.6 0.5 0.3 0.1 О Т а б л и ц а 5.5 Дискретное нечеткое множество А 2 х О 0.4 0.8 1.0 1.4 1.8 2.0 РА1(Х) о 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 1.0 Таблица 5.6 Дискретное нечеткое множество Bl у о 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 РВ 1 (у) 1.0 0.8 0.6 0.5 0.3 0.1 О Таблица 5.7 Дискретное нечеткое множество В 2 у о 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 РВ 2 (У) о 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 1.0 inference). При использовании друrих tHOpM и SHOpM будем полу чать друrие типы процедуры вывода. Ниже приводится пример вывода для случая нечеткой модели с дискретными функциями принадлежно сти. Пример 5.1.2.3.2. Имеется нечеткая модель с базой правил вида: Rl : ЕСЛИ (х == A 1 ) то (у == Bl) R2: ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В 2 ). (5.20) Функции принадлежности нечетких множеств, используемых в пра вилах, представлены на рис. 5.24 и в табл. 5.45.7.
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 201 Таблица 5.8 Функция принадлежности отношения Rl (импликации А 1 --------+ B 1 ) I1 J Rl (х. у) == l'vIIN (PA 1 (т) PE 1 (у)) х\у О 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 О 1 0.8 0.6 0.5 0.3 0.1 О 0.4 0.8 0.8 0.6 0.5 0.3 0.1 О 0.8 0.6 0.6 0.6 0.5 0.3 0.1 О 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.3 0.1 О 1.4 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.1 О 1.8 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 О 2.0 О О О О О О О Используя максиминную процедуру вывода, найдем результирующую функцию принадлежности res (у) вывода из базы правил для входноrо сиrнала х == х* == 1.4. Метод 1. Найдем срез функции принадлежности отношения R == RIUR2, задаваемоrо выражением следующеrо вида: R == ЕСЛИ (х == А 1 ) то (у == В 1 ) ИЛИ ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В 2 ). Прежде Bcero, по формулам (5.22) и (5.23) следует определить функ ции принадлежности отношений импликации R1 и R2, отвечающих co ответствующим правилам (вывод на правил ах): (5.21) R 1 (х, у) == А 1 В 1 == 1VIIN (р А 1 (х ) , в 1 (у ) ) , f1R2 (х у) == A2B2 == l\IIN (/LA 2 (х) B2 (у)). (5.22) (5.23) Полученные отношения R1 и R2 представлены в табл. 5.8 и 5.9. На основе отношений Rl и R2 по формуле (5.24) необходимо по лучить отношение R == Rl U R2, после чеrо следует найти срез дaHHO [о отношения при х* == 1.4, который и будет являться результирующей функцией принадлежности res(Y) вывода из базы правил: f1 R ( .1', .у) == 1\ 1 АХ (1 L R 1 ( Х у ), 111 J{J. ( .Т У ) ) . (5.24 ) Полученное отношение представлено в табл. 5.1 О, а функция f1res (у) на рис. 5.25. Метод 2. В рамках данноrо метода вначале упрощенным способом опре деляются модифиuированные функции принадлежности заключений OT дельных правил, а затем выполняется их аккумуляция. Для нахождения
202 rлава 5. Нечеткие модели Т а б л и ц а 5.9 Функция принадлежности отношения R2 (импликации А 2 В 2 ) fLR2(X,Y) == J\IIN(fLA2(X),fLB2(Y)) х\у О 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 О О О О О О О О 0.4 О 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.8 О 0.2 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 1.0 О 0.2 0.4 0.5 0.5 0.5 0.5 1.4 О 0.2 0.4 0.5 0.7 0.7 0.7 1.8 О 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 0.9 2.0 О 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 1.0 Таблица 5.10 Функция принадлежности отношения R R1 U R2 и результирующая функция принадлежности вывода (заключения) из базы правил fLrcs (у) == fL R ( 1.4, У ) х \у О 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 О 1 0.8 0.6 0.5 0.3 0.1 О 0.4 0.8 0.8 0.6 0.5 0.3 0.2 0.2 0.8 0.6 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.4 * 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 х == 1.4 PreiY) == PR 0.4, у) . 1.4 1.8 0.1 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 0.9 2.0 О 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 1.0 Р(У) 1 .... ...'1 "...... ,.,.'- I / '....., ,.,.""- ,/ ........ ...0'" о О '.................,.' I ....хк...... I D...... ............ I О 3 о ......... ........ I . ......... ........ I ... ........ .".",-'" '...... I Р res(y) о 1 2 3 4 У Рис. 5.25. rрафическое представление полученной на основе данных табл. 5.10 результирующей функции принадлежности lres(Y) вывода из базы правил модифицированной функции принадлежности ILBT (у) вывода из прави ла Rl используется формула (5.25), а для нахождения функции I1В 2 (у)
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 203 Таблица 5.11 Модифицированная функция принадлежности Рв; (у) для правила Rl у о 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 рв;(у) 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.1 О Таблица 5.12 Модифицированная функция принадлежности Рв; (у) для правила R2 у о 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 РВ;(У) О 0.2 0.4 0.5 0.7 0.7 0.7 Таблица 5.13 Результирующая функция принадлежности pres (у) вывода (заключения) из базы правил у о 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 Pres (у) 0.3 0.3 0.4 0.5 0.7 0.7 0.7 (правило R2) фОРlV1ула (5.26): MB(Y) == f-LR1(Х*,у) == MIN(ILA 1 (х*), ILBl (у)) == 1IN(O.3,ILBl(Y)) (5.25 ) МВ2(У) == ILR2(X*,y) == l\IIN(ILA2(x*),ILB2(Y)) == l\IIN(O.7,ILB2(Y)) (5.26) Функции ILB (у), ILB 2 (у), найденные с использованием табл. 5.45.7 и формул (5.25)(5.26), представлены в табл. 5.11 и 5.12. Аккумуляция модифицированных функций принадлежности IL B (у) И МВ 2 (у) выполняется по формуле (5.27). Результат представлен в табл. 5.13: !Lres (у) == IAX(IL B (у) fL В 2 (у)). (5.27) Сравнивая табл.5.10 и 5.13, леrко заметить, что результаты вывода, полученные с использованием методов 1 и 2, совпадают. Данная ситу ация имеет место при использовании максиминноrо вывода. В случае, коrда вместо операторов l\1AX и l\IIN используются друrие s и tHOpMbI, выводы С применением метода 1 и метода 2 будут приводить К разным результатам! . На практике чаще Bcero при меняется lVlетод 2, в силу ero меньшей трудоемкости. Ниже представлен общий алrоритм вывода с использова нием данноrо метода.
204 [лава 5. Нечеткие модели Алrоритм вывода. Целью вывода является определение результирующей функции принадлежности !-Lrеs(У) вывода из базы правил. Пусть дана база правил, содержащая m правил конъюнктивноrо типа: Rl : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И ... И (x l == A 1l ) И ... И (Х п == А 1п ) ТО (у == В 1 ), Rj: ЕСЛИ (Хl == A j1 ) И ... И (Xi == A jz ) И ... И (Х п == A jn ) ТО (У == Bj), (5.28) Rm: ЕСЛИ (Хl == А т1 ) И ... И (Xi == A mi ) И ... И (Х п == А тп ) ТО (у == Вт), rде А 11 , . . . A ji , . . . , А тп нечеткие множества условий, В 1 , . . . , B rп нечеткие множества заключений, Хl, . . . , Х п входы нечеткой модели, * * u Хl' . . . , Х п значения входов нечеткои модели, у выходы нечеткой модели. Шаr 1. По формуле (5.29) определяются степени h j выполнения условий отдельных правил (аrреrация условий): h 1 == Т (/1 А 11 (х ), . . . , 11 А 1 n (x;J ) h j == T(f-LA J1 (x), . . . , РА)11 (x)), (5.29) h m == T(/1A т1 (x),..., МА тп (x)). rде Т какойлибо оператор tHOpMbI. Соrласно результатам опро са специалистов по нечеткой лоrике (Pfeifer 1996), наиболее часто в качестве tHOpMbI используется оператор PROD. MorYT также применяться и друrие операторы, не являющиеся tнормами. Шаr 2. Целью данноrо шаrа является определение модифицированных функций принадлежности МВ* (у) заключений отдельных правил ) (вывод на правилах), для чеrо используется формула (5.30). В дaH ной операции учаСТВУIОТ только те правила, условия которых BЫ полнены со степенью 17 > О такие правила называются активи зированными. Неактивизированные правила (IL == О) не принимают участия в выводе:
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 205 Мв; (у) == T(h 1 , МВ1 (y)) 11,В; (у) == T(h), ILB) (у)), (5.30) Мв:п (у) == T(trп. I1 В т (у)). Шаr 3. На данном шаrе определяется результирующая функция принад лежности I1rcs (у) путем аккумуляции модифицированных функций принадлежности заключений отдельных правил с использованием формулы ILres(Y) == I1в* (у) == S(MBi (у)...., I1Bi (у)), (5.31) rде S некоторая SHopMa, например, rvIAX; В* == Bi U . . . u в:п нечеткое множество, соответствующее окончательному ВЫВОДУ из базы правил. Помимо SHOpM, для выполнения операции ИЛИ MorYT использоваться и друrие операторы. Рассмотренный алrоритм предполаrает, что все правила в базе (5.28) имеют конъюнктивную форму, что не является оrраничением, посколь КУ дизъюнктивная или смешанная, конъюнктивно дизъюнктивная фОрl\1Ы MorYT быть преобразованы в конъюнктивную форму. Так, правило вида ЕСЛИ (Х1 == А 11 ) И (Х2 == А 12 ) ИЛИ (Хl == -,421) И (Х2 == А 22 ) то (у == В 1 ), (5.32) имеющее смешанную форму, можно заменить двумя конъюнктивными правилами: ЕСЛИ (Х1 == А 11 ) И (.I'2 == 412) ТО (у == В 1 ) Е ел И (.т 1 == А 21 ) И (.2":2 == А 22) Т О (у == в 1) , (5.33) а вместо правила ЕСЛИ (xl == А 1 ) ТО (у == В]) ИЛИ (у == В 2 ) ( 5.34 ) можно использовать два простых правила вида: ЕСЛИ (Хl == А 1 ) ТО (у :=: В]), ЕСЛИ (Х1 == A 1 ) то (у == В 2 ). (5.35 ) Для осуществления вывода можно использовать не только различные операторы tHOpM и SHOpM, но И друrие операторы, реализующие пере сечение и объединение нечетких множеств. Как же будет влиять тип оператора на результат вывода?
206 rлава 5. Нечеткие модели t J1 1 В* 4 У О 4 У О 4 У ВЫВОД MAXMIN t J1 1 А J1 В J1 2 1 В 0.7 1,! 1 2......1 , 0.3 "в* 1 J1 1 о 4 У о 4 У о 4 У J1 1 x==1.4 ВЫВОД MAXPROD J1 А 2 1 0.7 ... O..: О о 4 у X == 1.4 ВЫВОД SUМMIN t SUМ: оrpаниченная сумма J.1AUB(X, у) == MIN(I, J.1A(X) + J.1B(Y)) А 2 J1 Bl J1 В 0.7 1, / 1 ...1 , * O..: " В 1 J1 1 о 4 у о 4 у о 4 у X == 1.4 ВЫВОД SUМPROD t А 2 0.7 Ql о 4 у о 4 у Рис. 5.26. Результаты вывода с использованием различных tHOpM и SHOpM x == 1.4
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 207 На рис. 5.26 показан вывод для модели с двумя правилами из примера 5.1.2.3.1 , R1: ЕСЛИ (хl == А 1 ) ТО (у == В 1 ), R2: ЕСЛИ (хl == А 2 ) ТО (у == В 2 ), (5.36 ) выполненный с использованием различных операторов, для входноrо зна чения х* == 1.4. Анализируя рис. 5.26, леrко видеть, что использование в процессе BЫ вода различных лоrических операторов приводит к получению в качестве вывода из базы правил нечетких множеств В*, значительно отличающих ся друr от друrа (имеющих разные функции принадлежности /-Lrеs(У)). В связи С этим возникает вопрос, каким операторам следует отдавать предпочтение при использовании в нечетких моделях, или какие опера.. торы обеспечивают наибольшую точность нечеткоrо моделирования и управления? В случае самообучающихся (самонастраивающихся) моделей и pery ляторов вид используемых операторов менее важен, поскольку в ходе обучения модели (реrулятора) ее степени свободы (параметры функций принадлежности) изменяются с целью достижения максимально возмож ной точности. Поэтому выбор менее подходящих операторов в даННОlVl случае будет по крайней мере частично компенсироваться процессом Ha стройки. В случае ненастраиваемых нечетких моделей и реrуляторов влияние используемых операторов проявляется HaMHoro сильнее, поскольку выбор неподходящих операторов невозможно компенсировать ничем. С учетом этоrо, следует использовать метод проб и ошибок, исследуя характери стики модели для различных комбинаций операторов и выбирая в резуль тате лучшие операторы. Определенным показателем Toro, какие операторы лучше, а какие xy же, может служить частота их использования специалистами в области нечеткоrо моделирования и управления (т. е. их популярность у специали став). Анализ литературы по данной теме, судя по всему, свидетельствует о том, что аrреrация условий чаще Bcero выполняется с использовани ем оператора PROD, который, в отличие от оператора 11IN, реаrирует на все входные изменения модели (в то время, как оператор 11IN реаrиру ет только на изменение входа с наименьшей степенью принадлежности). Комбинацией, наиболее часто используемой в процессе вывода, являет ся 1/IAX<tvIIN. Определенный приоритет также имеет применение опера тора /IEAN дЛЯ аrреrации условий и комбинации SU11l\1IN дЛЯ вывода. Оператор SU:NI (неоrраниченная СУМl\ла), в отличие от оператора J\IAX, при вычислении функции IJres(U) учитывает все функции Рп'" (у), COOTBeT I
208 rлава 5. Нечеткие модели ствующие отдельным правилам, в то время, как оператор МАХ учитывает только функцию, для которой степень принадлежности данноrо BЫXOД Horo значения у является наибольшей. Таким образом, вывод на основе оператора SUlVI «демократичнее» вывода с использованием l\IIAX, KOTO рый можно назвать «диктатурой» наиболее активизированноrо правила. В качестве результата вывода будет получена функция принадлеж ности flres (у) нечеткоrо множества В*, представляющеrо общий вывод (заключение) из базы правил. Если требуется получить на выходе Moдe ли (реrулятора) четкое значение у*, необходимо выполнить дефаззифи кацию соответствующеrо нечеткоrо результата. Методы дефаззификации будут обсуждаться в следующем разделе. 5.1.3. Дефаззификация результирующей функции принадлежности вывода из базы правил Под дефаззификацией нечеткоrо множества В*(у), являющеrося резуль татом вывода, понимается операция нахождения четкоrо значения у*, которое бы наиболее «рациональным» образом представляло это MHO жество. Естественно, MorYT существовать различные критерии оценки «рациональности» значения у* для представления нечеткоrо множества В*. О количестве таких критериев можно судить по числу существующих методов дефаззификации, наиболее известными среди которых являются: . метод среднеrо максимума (Middle of Maxima, ММ), . метод первоrо максимума (First of Maxima, F М), . метод последнеrо максимума (Last of Maxima, LM), . метод центра тяжести (Center of Gravity, CG), . метод центра сумм (Center of Sums, CS), . метод высот (Height, Н). Далее перечисленные методы будут рассмотрены более подробно. Метод среднеrо максимума. Функцию принадлежности можно paCCMaT ривать как функцию, которая представляет информацию о сходстве меж ду отдельными элементами множества и о наиболее типичном ero эле менте. Пример приведен на рис. 5.27. С учетом функции принадлежности, соответствующей «среднему» значению роста, человек, имеющий рост 170 см, является типичным представителем данной катеrории роста (степень принадлежности paB на 1), в то время как человека, имеЮULеrо рост 175 см, можно со CTe пенью 0.5 охарактеризовать как «среднеrо роста» и со степеныо 0.5 как «BbIcoKoro». l-1НЫl\1И словаl\IИ, ОН частично соответствует как людям среднеrо роста, так и высоким ЛЮДЯl\'l. Таким образом, можно положить,
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 209 J1 1 Средний Высокий r 11 1 I 1 : 1 I 1 I 1 : I I 1 I I I I I I I 160 170 180 Рост (см) Рис. 5.27. Нечеткое множество, соответствующее «среднему» росту Р(У) 1 Bl В 2 j1res{y) * * Yl У2 У Рис. 5.28. Результирующая функция принадлежности с бесконечным числом элементов у, имеющих максимальную степень принадлежности (y у y) что наиболее типичным представителем нечеткоrо множества В*, полу ченноrо в результате вывода и задаваемоrо функцией принадлежности I-LB* (у) == res (у), является значение у*, имеющее максимальную степень принадлежности. Следует отметить, что множество таких значений часто может coдep жать более одноrо элемента и даже бесконечное число элементов, как показано на рис. 5.28. Решением в данной ситуации будет представление результирующеrо множества средним значением, получаемым по фор муле: у* == O.5(y + y). (5.37) Именно поэтому рассмотренный метод назван методом среднеrо MaK симума. Достоинством данноrо метода является простота вычислений, что допускает использование в системах управления более дешевых мик ропроuессоров. B1'v1eCTe с тем, простота вычислений достиrается ценой определенных недостатков. Недостаток метода состоит в том, что на результат дефаззификации влияет rолька нечеткое множество Bj, иl\tlеющее наибольшую степень aK тивизации - множества, активизированные в меньшей степени, никакоrо влияния на результат не оказывают. В свою очередь, это означает, что
210 rлава 5. Нечеткие модели J1(y) J1(y ) J1(y) В} В 2 1 J1res(Y) В} В 2 1 J.lres(Y) В} В 2 1 J1res(Y) * Уа У * УЬ У * Ус у а) б) в) Рис. 5.29. Иллюстрация недостатков метода среднеrо максимума (ММ) на результирующее значение у* влияет только то правило, которое coдep жит это множество в своем заключении (часто это может быть только одно правило). Тем самым, дефаззификация становится «недемократич ной», поскольку не все правила принимают участие в «rолосовании». Результат этоrо показан на рис. 5.29. В результате изменения входных значений модели Xi степень aK тивизации множества Bl на рис. 5.29, б увеличилась по сравнению с рис. 5.29, а, в то время как степень активизации множества В 2 YMeHЬ шилась. Тем не менее, результаты дефаззификации выходные значения модели у* в обоих случаях совпадают: Y == уь. Данный факт означает, что выход модели нечувствителен к изменениям ее входов. Нечувстви тельность нечеткой модели может рассматриваться как недостаток, если в рассматриваемой области пространства входных значений реальной си стемы (являющейся объектом моделирования) подобная нечувствитель ность не проявляется. Если же она имеет место и в реальной системе, то нечувствительность 1\10дели не считается недостатком. Чувствительность метода дефаззификации и вытекающую из нее чувствительность нечеткой модели можно определить как существование отклика Ду* выходноrо пара метра модели на изменение степеней акти визации нечетких множеств Bj(Y), соответствующих заключениям базы правил. Сравнивая рис. 5.29, б и в, мы видим, что здесь имеет место рез кое скачкообразное ИЗl\lенение результата дефаззификации у*, так как УС значительно отличается от Yl). Таким образом, малое ИЗl\1енение степе ни активизации множеств Bl и В 2 вызывает большой скачок выходноrо значения модели д.у*. Данное свойство называется разрывностью (OTCYT ствием непрерывности) метода. Разрывность метода дефаззификации и вытеК3IОlцая из нее раз рывность нечеткоЙ l\lодели можно определить как I30зникновение на BЫ
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 211 (Y) (y) В 1 В 2 1 Pres(Y) Уl у Утl Уl Ут2 У а) б) Рис. 5.30. Дефаззификация с использованием метода первоrо максимума (FM), * у == Уl ходе модели скачкообразной реакции Ду* на любое малое изменение степеней активизации нечетких множеств Bj(Y) в заключениях правил. Далее приведем два схожих друr с друrом метода дефаззификации, основанных на максимизации функции принадлежности. Сразу же OTMe тим, что их чувствительность выше, чем у метода ММ. Метод первоrо максимума. В методе первоrо максимума (F М) в Ka честве четкоrо значения у*, представляющеrо результирующее нечеткое множествозаключение, выбирается наименьшее значение Уl, максимизи рующее ero функцию принадлежности I-Lrеs(У). Как показано на рис. 5.30, с увеличением степени активизации наиболее активизированноrо множе ства (В 2 ), ero представитель у* == Уl смещается в направлении модаль Horo значения Утп2 данноrо множества. Если степень активизации В 2 уменьшается, то точка у* == Уl перемещается в противоположную от ero модальноrо значения сторону, в направлении значения Yml. Достоинства метода F М: . низкая стоимость вычислений, . большая (по сравнению с методом ММ) чувствительность к измене ниям степени активизации заключений базы правил Недостатки метода F М: . неоднородность, . учет в процессе дефаззификации только множества Bj с наибольшей степенью активизации. Метод последнеrо максимума. Метод последнеrо максимума(LМ) в Ka честве четкоrо значения у* для представления результирующеrо нечет Koro множествазаключения выбирает наиболыuее значение У2, COOTBeT СТВУЮlцее максимуму функции принадлежности I'res(Y) (рис. 5.31).
212 rлава 5. Нечеткие модели р(у) В 1 В 2 1 J.1res(Y) р(у) в 1 В 2 1 I : J.1res(Y) I I У2 У Утl Ут2 У2 У а) б) Рис. 5.31. Дефаззификация с использованием метода последнеrо максимума (LM), у* == У2 J.1 (у) В 1 В 2 1 J.1res(Y) Ус У Рис. 5.32. Дефаззификация с использованием метода центра тяжести (CG) Метод LM имеет те же достоинства и недостатки, что и метод F М, и один дополнительный недостаток, рассмотренныЙ ниже. В случае, KO rда степень активизации множества В'2 (из KOToporo выбирается пред ставитель у*) уменьшается, а степень активизации множества Вl YBe личивается (т. е. увеличивается значимость множества В 1 в процессе рассуждений, рис. 5.31, 6), значение у* == У2 должно смещаться в направ лении модальноrо значения Упl1 множества B 1 , но вместо этоrо возникает обратная ситуация: 1/2 от данноrо значения удаляется. Метод центра тяжести. Метод центра тяжести (CG) предполаrает, что в качестве четкоrо значения у* для представления реЗУJIЫИРУЮ щеrо нечеткоrо множества В*, задаваемоrо функциеЙ принадлежности fJTes(Y) == IlB* (у), должна выбираться координата ус центра тяжести фи rypbI, оrраниченноЙ rрафиком этой функции (рис. 5.32). Значение координаты центра тяжести С может быть наЙдено по фор муле (5.38) как ОТНОИlение момента фиrуры под кривой Jlrps(Y) относи
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 213 f-l (у) В} В 2 1 Р5 f-l res (У) У Рис. 5.33. Разбиение поверхности интеrрирования на секторы тельно вертикальной оси М(У) к площади этой фиrуры: * J Y!Lres(Y) dy у == ус == . , J Mres(Y) dy (5.38) Пределы интеrрирования задаются областью определения У резуль тирующеrо нечеткоrо множествавывода В*. Достоинства метода CG . В дефаззификации участвуют все активизированные функции при надлежности заключений (все активные правила), т. е. метод центра тяжести является «деl\10кратичным» И обеспечивает более высокую чувствительность нечеткой модели к изменению входных сиrналов, чем методы F М, LM и ММ. Недостатки метода CG . Высокая стоимость вычислений, связанная с интеrрированием по верхностей нереrулярной формы, особенно в случае использования функций принадлежности, не состоящих из прямолинейных участ ков (например, rayccoBbIX функций). Для интеrрирования необходи мо определить точки пересечения отдельных составляющих функций принадлежности !lB} (у), разбить поверхность на секторы и выполнять интеrрирование в пределах каждоrо из секторов (рис. 5.33). Вычисления упрощаются, если использовать прямоуrольные функции принадлежности (рис. 5.34). Еще большеrо упрощения можно достичь в случае использования нечетких множеств Bj, имеющих равную шири ну l (рис. 5.35). Отрицательной стороной упрощения дефаззификации путем исполь.. зования прямоуrольных Функuий принадлежности pJB) (:Ц) является то, что приходится оrраничиваться только ОДНОЙ формой функций принад лежности, в то время как друrие формы MorYT оказаться более ПОДХОДЯ"
214 rлава 5. Нечеткие модели /1 (У) 1 В 1 В 2 В з о з L I-l,z, У; * ,=1 У ==Ус== з L I-l,l, ;=1 У Рис. 5.34. Метод центра тяжести с использованием прямоуrольных функций принадлежности множеств Bj, соответствующих заключениям базы правил; Yl модальные значения множеств /1 (У) 1 В 1 В 2 В з о з L I-l,У, * , = 1 У==Ус== з L I-l, , = 1 У Рис. 5.35. Метод центра тяжести с использованием нечетких множеств В]' носители которых имеют равную ширину 1, Yl модальные значения множеств ЩИМИ для моделируемой системы и обеспечить более высокую точность моделирования. . Сужение интервала дефаззификации является еще одним недо.. статком метода центра тяжести (рис. 5.36). При использовании классическоrо варианта метода центра тяжести на выходе нечеткой модели (реrулятора) невозможно получить минималь ное (у* == Уrпil1) или максимальное (у* == Ушах) значение из допустимоrо диапазона, даже в случае максимальной активизации крайних нечетких множеств В 1 или В з , соответствующих заключениям правил. Подобное несоответствие поведения нечеткой модели поведению моделируемой си
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 215 J1 (У) 1 В 1 В 2 В3 J.l (У) 1 В 1е В 2е В 3е С 3 С 3е Уmш Уl Уз Утах У Уlе = Уmш У3е = Утах у а) У)е*Уmш' У3е* Утах б) У1е = Уmш' У3е = Утах Рис. 5.36. Сужение интервала дефаззификации в классическом варианте метода центра тяжести (а) и устранение этоrо недостатка при использовании расши peHHoro варианта данноrо метода (6) стемы иневозможность rенерации нечетким реrулятором более широко [О диапазона управляющих сиrналов приводило бы к снижению качества управления (например, оrраничивало бы уrол поворота корабельноrо py ля). Данный недостаток можно устранить, расширяя крайние нечеткие множества так, чтобы их центры тяжести совпадали с rраницами диа пазона (Yll1in Ушах) возможных значений операции (рис. 5.36,6). Данный метод называется расширенным методом центра тяжести (Extended Center of Gravity, ECG). . Нечувствительность метода в том случае, коrда активизируется только одна выходная функция принадлежности Мв (у), является .7 еще одним ero недостатком. Если несколько правил имеют одина ковое заключение (множество В 2 на рис. 5.37), либо активизируется только одно правило, то координата центра тяжести ус не изменя ется, несмотря на изменение степени активизации результирующеrо множества (рис. 5.37, а, 6). Таким обраЗОlVl, модель нечувствительна к входным изменениям. Данный недостаток можно уменьшить, ec ли не использовать в правилах одинаковые нечеткие множества Bj. Указанным недостатком обладают также методы ММ, CS и метод oд ноэлементных множеств (если с одним элементом связаны несколько правил) . . Снижение чувствительности метода CG в случае, KorAa носители выходных множеств Bj (у) нечеткой модели значительно различаются по ширине, также относится к ero недостаткам. Данная проблема представлена на рис. 5.38. На рис. 5.38 представлен пример ситуации, коrда значительное из менение степени активизации составляющих множеств (jlRl: O.5O.2,
216 rлава 5. Нечеткие модели р(у) В 1 В 2 1 ус а) J.1 (у ) В 1 В 2 1 у ус у б) Рис. 5.37. Метод центра тяжести при активизации только одноrо выходноrо нечеткоrо множества Bj (у) модели р(у) 1 0.5 у*== ус == 3.74 у 6.25 )1 (у) 1 0.8 у )1res(y) 0.2 у*== ус == 3.96 Рис. 5.38. Случай, коrда изменение степени активизации выходных нечетких множеств B 1 , В 2 оказывает малое влияние на результат дефаззификации МВ2: O.5O.8) вызывает минимальное смещение координаты центра тя жести (у* == ус: 3. 7 43. 96). Причиной здесь является большое различие l\1ежду поверхностями составляющих множеств, обусловленное, в свою очередь, тем, что их носители значительно различаются по ширине (В 1 : 6, В 2 : 0.5). Для Toro чтобы изменение степеней активизации MBl (у) И МВ2 (у) оказывало большее влияние на величину Ус, носители обоих множеств должны быть одинаковыми. Таким образом, для обеспечения высокой чувствительности метода CG необходимо, чтобы носители OT дельных множеств Bj мало отличались друr от друrа по ширине. В случае дискретных нечетких множеств выходное значение Moдe ли у* вычисляется по формуле, приведенной на рис. 5.39. Метод центра СУММ. В базе правил нечеткой модели MorYT часто BCTpe чаться правила, в заключении которых содержится одно и то же нечеткое
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 217 J.L (у ) Bl В 2 1 I \ I \ I \ I \ I \ I \ Р q I \ I \ Р п L J.LiYi * i= 1 У= п L Р; i= 1 Р; Yl у Рис. 5.39. Дискретный вариант дефаззификации с использованием метода центра тяжести (CG) множество Bj. При мер такой базы правил имеет вид: R1: ЕСЛИ (Хl == A 11 ) И (;r2 == А 21 ) то (у == B 1 ) R2: ЕСЛИ (Тl == A 11 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == в 2 ) R3: ЕСЛИ (Xl == A 12 ) И (Х2 == A 21 ) то (у == в 2 ) R4: ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == в з ) (5.39) в заключении правил R2 и R3 содержится одно и то же множе СТВО В 2 . Предположим, что входные значения xi и X совпадают, а CTe пень активизации выходных нечетких множеств Bj соответствует ситуа ции на рис. 5.40. Нечеткое множество В 2 активизируется двумя правилами R2 и R3. Если для вычисления функции принадлежности J-Lres (у) == МВ* (у) ис пользовать оператор l\/IAX, то в результате будет получено множество В* == Bt u B2 u ВЗ U B, представленное на рис. 5.41. Из рис.5.41 видно, что наибольшее влияние на расположение центра тяжести С и, следовательно, на результат дефаззификации оказывает множество В з (правило R4), степень активизации KOToporo максималь на (0.8). Вместе с тем, множество В 2 активизируется ДВУl\1Я правилами (R2 и R3) и общая степень ero активизации (0.4 + 0.6 == 1.0) выше, чем для в з . Существуют базы правил, в которых одно и то же нечеткое MHO жество Bj на выходе модели активизируется одновременно нескольки ми правилами. Следует ли допускать, чтобы на результат дефаззифика ции у* влияли все правила, активизирующие данное множество Bj(Y)? Да, в некоторых случаях следует. Учитывать данное влияние позволяет метод центра сумм (CS), который производит аккумуляцию множеств в;,
218 rлава 5. Нечеткие модели Jl(y) 1 В 1 В 2 В з Jl(y) Jl Bl В 2 В З 1 Правило 2 0.4 0.2 О в; о * у у В 22 Jl(y ) В} В 2 В З Jl(y ) 1 1 0.8 0.6 о * В23 у о в; у Рис. 5.40. При мер активизации множеств В] каждым правилом Ri (5.39) в отдельности fl(y ) 1 0.8 0.6 flres (У) == МAX (fl B * (У) ,fl B * (У) ,fl B * (У) ,fl B * (У» 1 22 23 3 0.2 о * У == Ус У Рис. 5.41. Результирующее нечеткое множество В*, полученное с использованием оператора МАХ соответствующих заключениям отдельных правил, по формуле (5.40), с использованием оператора неоrраниченной суммы: m Mres(Y) == SUJ\1(/ LB i (у), . . . , /LB;', (у)) == L. мв; (у). j==l В результате использования этоrо оператора мы получаем функцию принадлежности, показанную на рис. 5.42, 6, из KOToporo видно, что при менение оператора SUM существенно увеличивает значимость активи (5.40)
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 219 }L(y) }L(y) 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 О У О У т а) ,ures(Y) ==МАХ ,uB.(Y) б) ,ures(Y)== 2:,uB.(Y) )=1,.,т } )= 1 } Рис. 5.42. Сравнение результатов аккумуляции множествсоставляющих в; с использованием операторов l\1AX и SUl\l зированноrо двумя правилам и множества В 2 , что, в свою очередь, CMe щает центр тяжести С 2 ближе к модальному значению этоrо множества. В случае использования оператора l\1AX центр тяжести С 1 сильнее Bcero «притяrивается) множеством в з . С учетом методики вычисления функции принадлежности f-Jres (у) по формуле (5.40), можно получить разные формулы для вычисления результата дефаззификации у* == ус: * J У Mres (У) d У У J Mres(Y) dy , тп-, J У ?= мв; (у) dy * )==1 У == m .! l: мв; (у) dy )==1 (5.41) (5.42) 1п ?= J у IL в; (.1;) d У * J==l У == (n l: J мв; (у) dy )==1 (5.43) Интеrрирование про изводится по области определения У. Форму лы (5.41)(5.43) эквивалентны. Интерес представляет вариант (5.42), позволяющий выполнять дефаззификацию без нахождения результиру ющей выходной ФУНКЦИИ принадлежности f-Jrеs(У) дефаззификация MO жет осуществляться на основе знаний о результатах вывода из отдельных правил f-J В* (У). ) Если выражение (5.44) назвать моментом множества Bj(Y) относи тельно вертикальной оси f-J(Y) (рис. 5.43): J УМВ; (у) dy == MJ' (5.44 )
220 rлава 5. Нечеткие модели а выражение (5.45) площадью 5j множества Bj(Y): ! JLB;(y)dy == Sj, (5.45) то формулу (5.43) можно представить в виде отношения суммы моментов Alj к сумме площадей 5 j : 1П Аl) )==1 * у === 1п '" В. L.J .7 )==1 (5.46) Иллюстрацией paccMoTpeHHoro метода дефаззификации является рис. 5.43. Метод вычисления моментов 1\1 j и площадей 5j нечетких MHO жеств представлен на рис. 5.44. Достоинства метода С5 . Снижение стоимости вычислений по сравнению с методом CG. . Участие всех правил в процессе рассуждений, что оказывает положи тельное влияние на ряд нечетких моделей и реrуляторов. Остальные достоинства и недостатки такие же, как у метода CG. При использовании формул (5.41) и (5.42) метод центра сумм (С5), по сути, представляет собой комбинацию метода центра тяжести (CG) и вывода типа SurvI <l\1IN, rде SUl\f оператор неоrраниченной (арифме тической) суммы. В случае дискретных функций принадлежности результат дефаззи фикации у* вычисляется по формуле: l тп Yl МВ* (Yl) ] * 1,==1 .7==1 У == 1 1п МВ* (Yi) ) l==lJ==l (5.47) [де l число элементов дискретной области определения Y q т число правил нечеткой модели. Метод высот. Метод высот (Н) является упрощенным дискретным ва.. риантом метода центра сумм (С5). Каждое нечеткое множество Bj(Y) на выходе модели здесь заменяется синrлетоном (одноэлементным мно" жеством), совпадающим с модальным значением Yj == mj этоrо множе.. ства (рис. 5.45). Поэтому данный метод называют также методом одно... элементных множеств. В результате вывода одноэлементные множества в каждом правиле активизируются так же, как и друrие типы нечетких множеств. Для
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 221 Jl(y) В 1 В 2 В3 1 3 М ! = f YI1 B (y)dy 1 3 0.2 Sj = f 11 B (y)dy 1 О 1 2 3 4 5 У Jl(y) В 1 В 2 В3 4 1 М 22 = f YI1 B * (y)dy 22 2 4 0.4 S22= f I1 в * (y)dy 22 2 О 1 2 3 4 5 У 4 Jl(y) В 1 В 2 В3 М 2З = f YI1 B * (y)v 23 1 2 Правило 3 4 * S23= f I1 в * (y)dy 0.6 В23 23 2 5 О 1 2 3 4 5 У М з = f YI1 I!" (y)dy 3 5 Jl(y) В 1 В 2 В3 SЗ = f I1 в ; (y)dy 1 0.8 3 * М 1 +М 22 +М23 +М3 у = 81 + 822 + 823 + 8з 012345У Рис. 5.43. При мер дефаззификации с использованием метода центра сумм (С5) вычисления значения у* на выходе модели (результата дефаззификации) используется метод С5. Рисунок 5.46 иллюстрирует применение метода высот в при мере с дефаззификацией на рис. 5.43 (база правил имеет вид (5.39)) . Результат дефаззификации с использованием метода высот может быть вычислен по формуле:
222 rлава 5. Нечеткие модели )1 (у) 1 м = Р тах [3ml (а ml) + 3m2(f3 + т2) а 2 +/32]/6 S = 0.5 f.1 тах 2 (т 2 т l) + а + /3] )1 mах т] т2 у Рис. 5.44. Метод вычисления момента 1\1 и площади S нечеткоrо множества трапециевидной, треуrольной (тп 1 == т2) и прямоуrольной (/3 == а == О) форм р(у) В} В 2 В з 1 \ \ " " " , \ , , 1 \ , \ , \ I \ 1 \1 \' \ 1 \1 \1 \ I ( ( , 1 1\ 1\ \ , '\ 1, \ , 1 \ 1 \ , 1 1 \ 1 \ , I , \' \ , , \ о т} т2 тз У Yl У2 Уз Рис. 5.45. Замена нечетких множеств В) одноэлементными множествами ( синrлетонами) 7п 2: у) МВ* (у) ) * )==1 У == тн 2: МВ* (у) . 1 J )== (5.48) [де тп число правил. Достоинства метода высот 8 Значительное уменьшение стоимости вычислений по сравнению с Me тодами CG и С5. 8 Ширина носителей выходных множеств Bj не влияет на результат дефаззификации у*. 8 Вид функций принадлежности МВ} (у) не влияет на дефаззификацию. (Для некоторых задач это может быть недостатком.) 8 Непрерывность. 8 Чувствительность. В нечетком моделировании и управлении метод высот используется достаточно часто, что обусловлено, прежде Bcero, простотой вычислений, а также остальными ero преимуществами. Если множества A ij значений входных величин Xi являются нечеткими (а не одноэлементными, как выходные), то модель (реrулятор) сохраняет свой нечеткий характер.
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 223 f.1 (у) В 1 В 2 В з f.1 (у) в 1 В 2 В з 1 I 1 I I I Правило 1 Правило 2 I I I I I 0.4 в* : 0.2 11 О 1 2 3 4 5 у О 1 2 3 4 5 У f.1 (у) 1 Уl У2 уз В} В 2 В з I I I I I I I В * I 2З I I I I f.1 (у) 1 0.8 В} В 2 В З Правило 3 Правило 4 в; / 012345 У 012345 У у* == Уl JL В 1 "' + У2 (JLJЗ 2 "' 2 + 11 15 2 * 3 ) + .Y:IL Л , ,; == ) == :3.667 1113; + 111322 + ILн 2з + ILн з Рис. 5.46. При мер дефаззификации с использованием метода высот 5.1.4. Пример нечеткоrо моделирования Чтобы проиллюстрировать все операции по обработке информации нечет кой моделью, рассмотрим нечеткую модель системы с двумя входами f1(XJ) 11 J.l (у) 1 s м L О 10 Х! О 10 Х2 10 О 10 20 у s малый, М средний, L большой Рис. 5.47. Функции принадлежности, используемые в нечеткой модели системы (5.49)
224 rлава 5. Нечеткие модели и одним выходом, реализующую известное отображение: У==Хl+ Х 2, Х 1 == [0.10]. Х 2 == [о. 10]. Y==[020]. (5.49) Знание реализуемоrо системой отображения позволяет оценить точ ность нечеткой модели. Следует, однако, иметь в виду, что для большин ства задач моделирования реализуемое системой отображение ВХОДНЫХ значений в выходные задается не в математической форме, а в виде чис ленных измерений входной и выходной информации, либо в форме зна ний о системе, полученных ее оператором или экспертом в результате наблюдений за ее поведением. Пусть функции принадлежности значений входных и выходных пара метров системы имеют вид как на рис. 5.47, и задана система правил: т1 : ЕСЛИ (Хl == В) И (Х2 == В) ТО (у == B) т2: ЕСЛИ (Xl == В) И (Х2 == L) ТО (у == .Af), тз: ЕСЛИ (Хl == L) И (Х2 == В) ТО (у == lf), т4: ЕСЛИ (Хl == L) И (Х2 == L) ТО (у == L). (5.50) Среди правил (5.50) имеются два правила (т2 и тЗ) с одинаковым заключением (у == АI). Их можно объединить в одно правило R2, что позволяет уменьшить количество правил до трех. В результате получаем базу правил следующеrо вида: R1 : R2 : ЕСЛИ (Хl == В) И (.r2 == S) ТО (у == S), ЕСЛИ (Хl == В) И (x2==L) ИЛИ (5.51) (;[;1 == L) И (2 == S) ТО (у == Af), ЕСЛИ (Х1 == L) И (.T2==L) ТО (y==L). RЗ : Объединение правил не является обязательным можно также ис пользовать модель (5.50) с базой, содержащей 4 правила. Общая схема нечеткой модели представлена на рис. 5.48. Элементы модели: . механизм вывода: l\1AX]\;IIN, . аrреrация условий: операторы 1\IIIN и l\IAX. Чтобы иметь возможность сравнивать различные ситуации, вычислим значения у* на выходе нечеткой модели и значения у на выходе модели руемой системы для входных значений X == 2.5, X == 7.5.
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 225 ВЫВОД * J.ls(x;) хl S хl J.lL (х;) Х2 L J.l res (У) * ФАЗЗИФИКАЦИЯ J.ls(x;) S S м ДЕФАЗЗИФИКАЦИЯ У J.lL (х;) L М L БАЗА ПРАВИЛ Рис. 5.48. Общая схема рассматриваемой нечеткой модели На рис. 5.49 представлен процесс вычисления. Для входных значений xi == 2.5, Х 2 == 7.5 на выходе моделируемой системы, реализующей отоб ражение у == Хl + Х2, мы получаем значение 10. Это же значение будет получено и на выходе нечеткой модели, хотя следует отметить, что такой при мер был выбран специально. В общем случае нечеткая модель это лишь приближение моделируемой системы, и выходные значения не COB падают, а являются близкими, при этом степень близости зависит от точ насти модели. 5.2. Важные свойства правил, баз правил u инечетких моделеи Центральным элементом нечеткой модели (реrулятора) является база правил, поскольку именно в ней содержится информация о структуре модели. Базу правил можно сравнить с каркасом палатки, на который натяrивается ткань. Конструкция каркаса определяет форму и внешний вид всей палатки. Если продолжить эту аналоrию, то можно сказать, что остальные элементы нечеткой модели (реrулятора) форма функций принадлежности, типы используемых операций, механизмы вывода и дe фаззификации влияют на степень изrиба и натяжения полотна, про тянутоrо между несущими элементами каркаса. База правил содержит основную информацию о моделируемой системе или rлавную составля ющую «интеллекта» нечеткоrо реrулятора, и потому умение правильно ее формировать является очень важным условием. Это умение позволя ет предотвратить ошибки, которые, учитывая значимость базы правил для нечеткой модели, обычно относятся к разряду «rрубых». В данном разделе будут рассмотрены свойства, которыми MorYT обла дать правила, базы правил и нечеткие модели. К этим свойствам OTHO сятся: . локальный характер правил,
226 rлава 5. Нечеткие модели R1: ЕСЛИ (х} =S) И (Х2 =S) ТО (Y=S) ,ц(х}) ,ц (Х2) 11 S S * Х2 = 7.5 MIN 0.25 (И) R2: ЕСЛИ (хl =S) И (Х2 =L) ИЛИ (Xl =L) И (X2=S) ТО (y=S) ,ц (ХЙ ,ц (Х2) 11 s S * Х2 = 7.5 * X27.5 R3: ЕСЛИ (х} =L) И (Х2 =L) ТО (y=L) ,ц(Хl) ,ц(Х2) 11 S S * Хl = 2.5 * Х2 = 7.5 i ФАЗЗИФИКАЦИЯ MIN (И) 015 ,ц(у) S м L МАХ (ИЛИ) О 10 20 у MIN 0.25 'Y*10 . (И) у*= 0.25.0+0.75.10+0.25.20 = 10 0.25 + 0.75 + 0.25 MIN 0.25 (И) ОЦЕНКА СТЕПЕНИ t ВЫПОЛНЕl!ИЯ j t УСЛОВИИ j t ВЫВОД ДЕФАЗЗИ j ФИКАЦИЯ i Рис. 5.49. Схема вычисления выходноrо значения у* нечеткой модели для входных значений х! == 2.5, Х 2 == 7.5
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 227 . зависимость числа правил от числа содержащихся в модели нечетких множеств, . полнота модели, . непротиворечивость базы правил, . связность базы правил, . избыточность базы правил. 5.2.1. Локальный характер правил Условие нечеткоrо правила характеризует окрестность некоторой точки пространства Х 1 х ... х Х п входных значений, в то время как ero за ключение задает окрестность некоторой точки пространства У выходных значений. Это утверждение иллюстрируется примером на рис. 5.50. В дaH ном при мере аrреrация условий выполняется с применением оператора PROD, вывод производится на основе метода I\IIAXI\1IN, а для дефаззи фикации используется метод высот. Условие правила R16, имеющеrо вид R16: ЕСЛИ (Хl == A 14 ) И (.r2 == А 24 ) то (у == B16) задает окрестность точки с координатами (a14, а24), а заключение ЭТО ro правила связывает с данной точкой окрестность точки у == b 16 . Если состояние входов (Хl, Х2) В точности соответствует значению (а14 а24:), то значение на выходе модели будет в точности совпадать с Ь 16 . Изобра женная на рис. 5.50 поверхность модели состоит из 9 cerMeHToB, вершины (узлы) которых задаются отдельными правилами. Изменение модальноrо значения Ь 16 множества B 16 вызовет смещение вверх либо вниз опорной точки поверхности модели, что приведет к изме нению поверхности в пределах только одноrо cerMeHTa (Ь 11 , Ь 12 , Ь 15 , Ь 16 ). Таким образом, данное изменение носит локальный характер. В случае изменения значения Ь 11 , соответствующеrо правилу Rll: Rll: ЕСЛИ (Xl == А 1з ) и (Х2 == А 2з ) то (у == В 11 ), изменятся поверхности прилеrающих к этой точке четырех cerMeHToB остальные cerMeHTbl останутся без изменения. Можно сформулировать следующее утверждение: изменение заклю чения правила приводит к локальному изменению cerMeHToB поверхно сти модели, прилеrающих к задаваемой правилом опорной точке в про странстве Х 1 х Х 2 Х У. На друrие cerMeHTbl, не прилеrающие к данной точке, изменение заключения правила либо вообще не оказывает влия нин (в случае, коrда для входных функций принадлежности выполняется
228 rлава 5. Нечеткие модели Поверхность модели Х2 Х2 All A 12 А13 A 14 Х2 А 21 Вl В 2 В з В4 А 22 В5 В6 В7 В& А 2з В9 B 10 Bll B 12 А 24 В13 B 14 B 15 B 16 База правил р(у ) 1 Bll B 10 В6 В5 B 16 B 12 B 15 B 14 В & Вl В 13 В З В 9 В7 В 2 В4 , , I' Ir " , Ir 'Ir ,.. , .. , , 'Ir ..... .. b 16 b 12 b 15 b 14 Ь & b 1 Ь 13 Ь З Ь 9 Ь 7 Ь 2 Ь 4 У b ll b 10 Ь 6 Ь 5 Рис. 5.50. База правил, ФУНКЦИИ принадлежности и поверхность отображения Х == Х 1 Х Х 2 У
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 229 условие разбиения единицы), либо влияет слабее (в случае не удовлетво ряющих условию разбиения единицы функций принадлежности с носите лями большой или бесконечной ширины таких как, например, rayccoBbI функции) . Характер изменения условий правил (например, модальных значений aij содержащихся в них нечетких множеств) не является локальным. Так, изменение модальноrо значения а12 множества А 12 (рис. 5.50) повлия ет на условия всех правил, содержащих данное множество, и приведет к смещению вправо либо влево опорных точек (а12, а21, Ь 2 ), (а12, а22, Ь 6 ), (а12, а23, Ь 1о ), (а12. а24, Ь 14 ). 5.2.2. Зависимость числа правил от числа входных параметров и нечетких множеств с повышением уровня сложности модели (увеличение числа правил или нечетких множеств) точно так же улучшается ее способность описывать реальную систему. В этом отношении сложность модели можно считать ее достоинством. Но с увеличением сложности значительно возрастает тот объем инфор мации о моделируемой системе, который необходим для определения параметров модели (таких, например, как параметры функций принад лежности всех нечетких множеств). В то же время объем имеющейся информации о моделируемой системе часто оказывается недостаточным для Toro, чтобы построить более сложную модель, и с этой точки зре ния сложность модели является ее недостатком. При рассмотрении задач нечеткоrо моделирования необходимо задавать некоторые разумные rpa ницы уровня сложности. И весьма важно иметь представление о том, что в первую очередь приводит к усложнению модели. Если обозначить число входов Xi модели через 'Ш, и предположить, что каждый из них задается одинаковым числом z нечетких множеств, то число r правил, имеющих простые условия, можно определить по фор муле (Kahlert 1995): ry> ""W I ..<" . (5.52) Отсюда следует, что число r правил экспоненциально зависит от чис ла w входов модели и числа z имеющихся в ней нечетких множеств. Для Toro чтобы дать читателю представление о характере этой зависимости, сравним модели с одним и двумя входами (рис. 5.51 5.53). Сравнивая рис. 5.51 и 5.52, можно заметить, что при увеличении чис ла входов с одноrо до двух число правил возросло с 3 до 9. Чтобы полно стью определить модель с одним входом, необходимо задать 6 пара метров
230 rлава 5. Нечеткие модели L М у Поверхность модели Ri Rl R2 R3 х S м L v S м L s База правил f.1( х ) 1 I : х I I :L f.1 (у) о х Рис. 5.51. Число правил в модели с одним входом, задаваемым тремя нечеткими множествами S, 1\1, L функции принадлежности, а в случае модели с двумя входами 15 па раметров. На рис. 5.53 представлена модель с двумя входами. Каждый вход описывается четырьмя нечеткими множествами. Сравнивая рис. 5.52 и 5.53, мы видим, что увеличение числа нечет ких множеств с 3 до 4 привело к увеличению числа правил с 9 до 16, а числа пара метров функций принадлежности с 15 до 24. Если предпо ложить, что для каждоrо входа используется одинаковое число нечетких множеств A ij , и что с каждым правилом связано свое нечеткое MHO жество Bj, то число пара метров для задания функций принадлежности можно найти по формуле: р == r + w . z == zп, + 1и . z. (5.53) Резкое возрастание числа правил и параlVlетров функций принадлеж ности, требующих определения, с увеличением числа входов и' дeMOH стрируется в табл.5.14. Рост числа правил и пара метров функций принадлежности при YBe личении числа входов модели является столь стремительным, что в ли тературе ero иноrда называют «проклятием размерности» (Brown 1995а). В случаях, коrда для определения пара метров функций принадлежности требуется информация о большом числе точек в пространствах входных и выходных значений, экспертные методы терпят неудачу, и приходится использовать методы настройки модели на основе нормативных значений входных и выходных данных, с использованием, например, нейронечет ких сетей (Brown 1994). В то же время при большом числе настраиваемых
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 231 Х2 Ь 8 ., ,. . ! j ,J. . ' ь .J. '1 ! " '! I 9! . 1 А ! i!/! j!/!!/ 21 rrW , .. . .. . 1 I l' I l' I 1 . 1 I . 1 I ,1 А I '1 i ,1 i I 1 22 7i{ j 1 i 1 i I . 1 . 1 ,1 А ! / ! / ! / 23 F 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I А 11 / А 12 / Ав / 1 1 1 1 1 1 Поверхность модели Х2 а11 а12 а13 Хl А 21 А 22 А 2з Хl А 11 В 1 В 2 В3 А 12 В4 Bs В6 Ав В7 В8 В9 База правил f.1 (у) 1 i В8 В9 В7 BsB4 B 6 В 1 В3 В 2 , " " , , , ., " .... ... Ь 8 Ь 9 Ь 7 b s Ь 4 Ь 6 Ь 1 Ь з Ь 2 у Рис. 5.52. Число правил в модели с одним входом, задаваемыми тремя нечет кими множествами
232 rлава 5. Нечеткие модели Поверхность модели Х2 Х2 All A 12 Ав A 14 Х2 A21 Bl В 2 В з В4 А 22 В5 В6 В7 В8 А23 В9 B 10 Bll B 12 А 24 ВJЗ B 14 B 15 B 16 База правил J.1 (у ) 1 B 16 B 12 B 15 B 14 В 8 Bll B 10 В6 В5 Вl ВJЗ В З В9 В7 В 2 В4 Ь 16 b 12 b 15 Ь 14 Ь 8 Ь 1 ы з Ь З Ь 9 Ь 7 Ь 2 Ь 4 У b 11 b 10 Ь 6 Ь 5 Рис. 5.53. Число правил в модели с двумя входами, задаваемыми четырьмя нечеткими множествами
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 233 Таблица 5.14 Иллюстрация влияния числа ВХОДОВ и числа нечетких множеств на уровень сложности нечеткой модели Число входов, Число множеств, Число правил, Число параметров, w z r р 1 2 2 4 2 2 4 8 3 2 8 14 .........................--...........--......-- --........................--......---- 1 3 3 6 2 3 9 15 3 3 27 36 ................--......--...........----...... 5 3 125 140 10 3 59049 59079 параметров уменьшается способность нейронечетких сетей к обучению, а при числе параметров, большем 4, их использование становится прак тически нецелесообразным (Bossley 1995). Поэтому, оставаясь в рамках требуемой точности моделей систем, следует стремиться к разумному их упрощению. 5.2.3. Полнота нечеткой модели Рассмотрим нечеткую модель, правила которой содержат набор простых условий (такие условия также называют элементарными), объединенных с помощью лоrической связки типа И: Rl : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) . .. И (Xi == A 1i ) . .. И (Х п == А 1п ) ТО (у == Bl) Rj : ЕСЛИ (Xl == A j1 ) то (у == В)), . .. И (Xi == A ji ) . .. И (Х п == A jn ) ( 5.54 ) Rm: ЕСЛИ (Хl == ..4 т1 ) ... И (Х 1 == A mi ) ... и (Eп == A rпn ) ТО (у == Вт).
234 rлава 5. Нечеткие модели У Поверхность модели L База п р авил Yz Rl: ЕСЛИ (х=5) ТО (У=5) М R2: ЕСЛИ (х=М) ТО (у=М) Ут R3: ЕСЛИ (x=L) ТО (y=L) I х I s I м I L I s .................. s м L Ys У J.i (у) I I Х I J.i( х) I I :L 1 о х Ха х у(а) == Ys . /--LS(х а ) + Ут . /--LЛI(Х а ) + Yl . /--LL(Х а ) == /--L S ( Ха) + /--L л 1 (х а) + 111 (х а ) О Рис. 5.54. Неполнота нечеткой модели при неполноте нечеткоrо разбиения области входных значений Х Область Х входных значений определяется как декартово произведе ние областей X i , i == 1,. . . , n, ЧИСЛОВЫХ значений отдельных пара метров: х == Х 1 Х Х 2 Х . . . х Хn. Символом У обозначим область ВЫХОДНЫХ значений. Определение 5.2.3.1. Нечеткая модель является полной, если с каж дым входным состоянием х* == (xt, . . . , X), принадлежащим области Х, она может связать некоторое выходное состояние у*. Нечеткая модель является неполной, если с некоторыми входными состояниями х ж нель зя связать ни одното выходното состояния у*. Потенциальная возможность построения нечетких моделей, не явля ющихся полными, подтверждается примерами на рис. 5.54 и рис. 5.55. Не следует при этом путать полноту модели с ее точностью. Полная MO дель необязательно должна быть точной, однако условием достижения высокой точности модели является ее полнота. Как показано на рис. 5.54, причиной неполноты модели может являть ся неполнота нечеткоrо разбиения области входных значений X".
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 235 L Поверхность модели у ? r У, База правил s Ys Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) R3: ЕСЛИ (x=L) ТО (y=L) м Ут I ; I I м I I f.1(x) 1 I I I I I s: х f.1(y) о х ( ) у s . 11 S ( Х rn) + у 1 . I-L L ( Х т) о у Х тn J.1S(X m ) + 1-L1(ХтJ О Рис. 5.55. Неполнота нечеткой модели при неполноте базы правил Определение 5.2.3.2. Нечеткое разбиение области значений X i пере менной Xi является ПОЛНЫМ, если выполнено следующее соотношение: m L ILAJl (х;) > O хТ Е X i , j==1 тде т число нечетких множеств A ji , которые мотут быть значениями переменной Xi. Определение 5.2.3.2 предполаrает, что каждое из значений хТ пере мен ной Xi из области значений X i принадлежит хотя бы одному нечетко МУ множеству A ji . Неполное нечеткое разбиение области значений, как в при мере на рис. 5.54, не является абстрактным понятием такие раз биения встречаются в научных публикациях, и появляются они в HeKOp ректно построенных самообучающихся нечетких моделях. В ходе обу чения изменяются пара метры функций принадлежности, что приводит к смещению, а также расширению либо сужению последних, и без при нятия предупредительных мер возможно появление интервалов, которые не покрываются ни одним нечетким множеством A ji . Модель, представленная на рис. 5.55, является неполнои, посколь КУ дЛЯ входноrо состояния .r == J: 711 невозможно определить значение у на выходе. Причиной этоrо является неполнота базы правил. Как извест но, условия правил содержат линrвистические оценки входных состояний
236 rлава 5. Нечеткие модели У База п р авил L У, Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (y=S) R2: ЕСЛИ (х=м) ТО (у=М) М RЗ: ЕСЛИ (x=L) ТО (y=L) Ут I I s I м I L I х У S М L S Ys f.1 (у) I I Х I I I I f.1(x) I I I 1М 1 s: L о х Рис. 5.56. Нечеткая модель с полным разбиением области Х входных значений и полной базой линrвистических правил (х == В,х == L), а заключения указывают на то, какое выходное состояние (также заданное в форме линrвистической оценки) соответствует вход.. ному состоянию, заданному в условии. В базе правил, представленной на рис. 5.55, не содержится ни одноrо правила, задающеrо значение у на выходе модели для входноrо значения .Т == Л1, и если состояние х на входе оценивается в точности как «среднее» (р,ДI(Х) == 1), что соот" ветствует ситуации Х == Х т , то не активизируется ни одно из правил Rl, R2, и вычислить выходное значение становится неВОЗl'vl0ЖНЫМ, поскольку результат дефаззификации неопределен (О/О). ДЛЯ сравнения на рис.5.56 показана поверхность нечеткой модели из предыдущеrо при мера (рис. 5.55), у которой как база правил, так и разбиение множества входных значений Х являются полными. Полная нечеткая модель на рис. 5.56 представляет собой более точ" ную модель реальной системы, чем являющиеся неполными модели на рис.5.54 и рис. 5.55. Как несложно заметить, неполная модель зна.. чительно отличается от полной. На рис.5.57 дано трехмерное представ" ление модели с линrвистически неполной базой правил. Сплошными ли.. ниями выделены участки, имеющие высокую точность, а пунктиром участки, соответствующие низкой точности либо недостаточной надеж.. ности вычислений. Точность модели уменьшается по мере увеличения расстояния между опорными точками b i l'vl0дели, которые задаются на ос.. нове хорошо знакомых правил, содержащихся в базе. С помощью данной модели невозможно вычислить выходное значение у для представленных
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 237 Xl ,/ '" . jl 1 Х2 Х2 А]] А]2 А13 A 14 Х2 А 21 В 1 В 2 А 22 В5 В6 В7 А 2з B 10 Bll B 12 А 24 B 15 В 16 у (а 11, а24 )==0/0 у(а]2, а24)==0/0 у (а 11, а2З)==0/0 у(аI4, а21)==0/0 у(аI4, а22)==0/0 у (ав, а21 )==0/0 База правил р(у ) 1 В6 В 2 j В 16 B 12 B 15 B 11 В. О В7 В5 В. 10- , ., " ., , , " , '" " ... ..... Ь 16 Ь 12 Ь 15 Ь 11 Ь. О Ь 7 Ь 6 Ь 2 Ь 5 b 1 у Рис. 5.57. Нечеткая модель с линrвистически неполной базой правил и полным нечетким разбиением области входных значений Х == Х 1 Х Х 2
238 rлава 5. Нечеткие модели на рис. 5.57 входных состояний (ali, a2j), а также для промежуточных состояний, лежащих на rранице области значений Х == Х 1 Х Х 2 . Отсутствие ряда правил, т. е., например, отсутствие информации о том, какое выходное нечеткое множество Bk соответствует BXOДHO му линrвистическому состоянию, задаваемому с помощью лоrическоrо произведения Al 1\ A 2j (наличие в базе правил пустых полей) означа ет, что модели можно доверять только в пределах зоны, соответствую щей имеющемуся набору правил (рис. 5.57). При удалении от этой зоны, в пустых полях, степень доверия к модели уменьшается. Для сравнения на рис.5.58 дано трехмерное представление модели с линrвистически полной базой правил. Следует различать линrвистическую и численную полноту базы пра вил. Определим вначале линrвистическую полноту. Определение 5.2.3.3. Пусть в нечеткой модели каждый вход Xi за дан элементарным линrвистическим множеством Х; == (Ail . . . , A i7 ,), пространство входных линrвистических значений задано элементарным линrвистическим множеством X l == xf Х ... х x, которое опре деляет все возможные линrвистические состояния входното вектора (A 1k , A 2z ,... , А пр ), а выход у задан элементарным линrвистическим MHO жествам yl == (В 1 ,..., Вт). База правил модели называется ЛИНrВИ стически ПОЛНОЙ, если каждому входному линrвистическому состоянию (Alk, A 2l , . . . , А пр ) она ставит в соответствие хотя бы одно выходное линr вистическое состояние Bj. Заметим, что линrвистическая полнота базы правил не является абсо лютным или необходимым условием полноты нечеткой модели. Пример, иллюстрирующий это утверждение, приведен на рис.5.59. В представленной на рис. 5.59 ситуации, несмотря на неполноту ба зы правил, достичь полноты нечеткой модели удалось за счет правильно подобранной формы функций принадлежности /LS(X), fLL(X). Таким обра ЗОl'v1, с помощью данной модели выходное значение у можно вычислить для каждоrо входноrо значения т, в том числе для х 171, что являлось невозможным в условиях примера на рис. 5.55. В литературе приводятся разные определения полноты базы правил, но они относятся к виду полноты, который можно определить как числен ную полноту (Kahlert 1995 Oriankov 1993,1996). Приведем определение численной полноты. которое основано на определении полноты, данном Калертом (Kahlert 199.5) (без указания Toro, линrвистическая 9ТО полнота или численная).
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 239 Поверхность модели Х2 Х2 А 11 А 12 Аl3 А 14 Х2 A21 В 1 В 2 В3 В4 А 22 В5 В6 В7 В8 А23 В9 В 10 В 11 В 12 А 24 В13 В 14 В 15 В 16 База правил f1(y ) 1 В 11 В 10 В6 В5 J В 16 В 12 В 15 В 14 В 8 В 1 В 13 В3 В 9 В7 В 2 В4 "'" , ,r ,r .., .., ,,, , " ,r ,r, r .., ,. , ,. , r , ... Ь 16 Ь 12 Ь 15 Ь 14 Ь 8 Ь 1 Ь 13 Ь З Ь<) Ь 7 Ь 2 Ь 4 У b ll Ь 10 Ь 6 Ь 5 Рис. 5.58. Нечеткая модель с линrвистически полной базой правил и полным нечетким разбиением областей входных значений Х] и "Х"2
240 rлава 5. Нечеткие модели L Поверхность модели \ У/ : I I I I I I I , I База правил Ys Rl: ЕСЛИ (x==S) ТО (y==S) R3: ЕСЛИ (x==L) ТО (y==L) м Ут s 1; I 1М I I 11(х) 1 I I I I s: М I х 11 (у ) L о х т Х х ( ) Ys . J-Ls(x'т) + У! . J-LL(Хт) .....i О У Хт-п ;- , J-Ls(xrп) + f..LL(Xrп) , !1S(X т ) # о, J-LI,(Х rп ) # о Рис. 5.59. Полная нечеткая модель с линrвистически неполной базой правил Определение 5.2.3.4. Численно полной называется база правил, для которой каждое четкое входное состояние (xr, . . . , X N ) приводит К aK тивизации хотя бы одноrо правила (т. е. ero заключения). Поскольку активация «хотя бы одноrо правила» позволяет вычислить значение на выходе модели, это определение, по своей сути, COOTBeT ствует определению 5.2.3.1 полной нечеткой модели. Соrласно данному определению, в случае неполноты нечеткоrо разбиения областей зна чений входных параметров даже линrвистически полная база правил может не являться полной численно (рис. 5.54). Вместе с тем, линr вистически неполная база правил может быть численно полной, если подобраны функции принадлежности с достаточно широкими носителя ми (рис. 5.59). В литературе по нечетким системам под полнотой баз правил понимается линrвистическая полнота. В итоrе рассмотрения дaH ной темы MorYT возникнуть следующие вопросы: 1. Должна ли быть нечеткая модель полной? 2. Должна ли быть база правил линrвистически полной? 3. Должна ли быть база правил численно полной? Ответы на вопросы 1 и 3 будут одинаковыми, поскольку понятие полноты модели соответствует понятию численной полноты базы пра
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 241 NM NS Z PS м e NM РМ NS PS Z Z РМ PS Z NS NM PS Z NS РМ NM 1 N отрицательный, Р положительный, 1\;[ средний, S малый, Z нулевой, е yr ловое смещение маятника относительно линии отвеса, 1 текущая мощность приводноrо двиrателя, д-е оценка смещения маятника (изменение уrла е в единицу времени) Рис. 5.60. Линrвистически неполная база правил нечеткоrо реrулятора пере BepHYToro маятника вил. Нечеткая модель может быть неполной, если области ее HeOДHO родности лежат в неиспользуемых моделью (реrулятором) частях про странства входных и выходных значений. Аналоrично, база правил MO жет быть линrвистически неполной, если не встречающиеся в правилах входные и выходные состояния модели не являются для нее рабочими. На рис. 5.60 приводится при мер нечеткоrо реrулятора с линrвистически неполной базой правил, стабилизирующеrо перевернутый маятник в Bep * тикальном положении (Kosko 1992). Вместе с тем, использование неполных моделей связано с риском, и потому их следует предварительно подверrать ТLЦательному анализу на предмет выявления неопределенных состояний, которые MorYT воз никнуть в реальных условиях функционирования. 5.2.4. Непротиворечивость базы правил Определение 5.2.4.1. База правил называется непротиворечивой (со-- rласованной), если она не содержит несовместные правила, т. е. правила, имеющие одинаковые условия, но разные заключения. На рис. 5.61 приведен при мер модели, содержащей несовместные правила. Правила Rl и R2 в модели на рис.5.61 имеют одинако вые условия (,r' == Малый), но разные заключения (у == Малый) и (у == Очень большой). Поскольку заключения правил выражают диа метрально противоположные понятия «<малый» И «очень большой»), то в данной ситуаIlИИ можно rоворить о «сильной» несовместности пра вил. l' Здесь (на рис. 5.60) V(I) скорость перемещения тележки, на котороЙ установлен перевернутый маятник. ПРUJЛ. ред.
242 rлава 5. Нечеткие модели У Поверхность модели L База правил VL У! Rl: ЕСЛИ (x==S) ТО (y==S) R2: ЕСЛИ (х==М) ТО (у= VL) R3: ЕСЛИ (х == м) ТО (у == м) R4: ЕСЛИ (x==L) ТО (y==L) s I J Ут : I I I o Ys : I :Xs :х т I I I s: М м 11(X ) 1 :х! Х I I S малый L: М средний L большой VL оченьбольшой х! х 11 (у) о Xs х т Рис. 5.61. База правил с «сильной» несовместностью правил Rl и R2, а также поверхность отображения Х у модели У Поверхность модели s База правил VL L М Ут Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) R2: ЕСЛИ (х==М) ТО (у==М) R3: ЕСЛИ (х==М) ТО (y==L) R4: ЕСЛИ (x=L) ТО (у= VL) Ys l1(x) 1 м IX Z Х I I L: 11 (У) х т о Xs Х т Х! Х Рис. 5.62. База правил, содержащая «слабо» несовместные правила R2 и R3, а также поверхность отображения Х у модели в модели на рис.5.62 также есть несовместные правила. Однако в данном случае мы можем rоворить, что их несовместность является «слабой», поскольку модальные значения несовместных заключений 1\1 и L расположены близко друr к друrу. ТаКИl\iI образом, степень несовместности правил может быть выше или ниже, в зависимости от Toro, как расположены друr относительно друrа
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 243 у у у , I I I х х х Рис. 5.63. При меры неоднозначности систем, приводящей к правилам с одина ковыми условиями, но разными заключениями модальные значения их заключений. Рассмотрим, что может являться причиной существования несовместных правил в базе. Несовместность может быть вызвана, вопервых, ошибкой, допущен ной в ходе формирования правил, особенно в случае большоrо их чис ла. Друrой причиной может стать неоднозначность моделируемой систе мы, т. е. ситуация, коrда измерения входных и выходных данных си стемы не являются однозначными, и одному входному состоянию х* MorYT соответствовать различные выходные состояния см. примеры на рис. 5.63. Таким образом, «несовместные» правила не являются таковыми на ca мом деле, поскольку они отражают верную информацию о системе. Для Toro чтобы в случае неоднозначности системы (например, при rистерези :r се ) избежать наличия несовместных правил, необходимо устранить ее неоднозначность, возникающую, если модель имеет слишком мало BXOД ных параметров. Так, модель rистерезиса (рис. 5.63) становится однознач ной при представлении ее в трехмерной системе координат с входными параметрами x(k), y(k 1) и выходным параметром y(k) (Piegat 1995с). В нечеткой модели, содержащей несовместные правила, выполняется операция усреднения (или близкая к ней, в зависимости от типа ис пользуемых операторов). Примером может служить модель на рис. 5.61, вычисляющая у == O.5(ys + Y-uz) при х == Xs, а также модель на рис. 5.62, для которой У == О.5(Ууп + yz) при Х == х т . Как отмечаJlОСЬ ранее, несовместность правил может проявляться в большей И/IИ !\iIрньшей степени. Интересное определение, позволяю щее оценивать уровень несовместности, при водится в (Leichtfried 1995). В данном опредеJlСНИИ рассматривается нечеткая модель, содержащая rИl'терезис н рассмз т'риваеыо[ Cu'lучае ЭТО неоднозначная зависимость некоторой фчзическои веJIИ 1 IИНЫ от друrой величины при uиклическом изменении (увеличении и умеНЫl1ении) последнеи. ПРU/vt. реа.
244 rлава 5. Нечеткие модели правила следующеrо вида: Rj: ЕСЛИ (Хl == A j1 )... И (Xi == A ji )... И (Х п == A jn ) ТО (у == B j ), rде Хl, . . . , Х п входные значения, A 1i , . . . , A mi нечеткие множества входных значений Xi, В 1 ,. . . , Вт нечеткие множества выходных значений у, X i область значений переменной Xi, Х == Х 1 Х . . . х Х п пространство входных значений модели. Если для операции И используется оператор PROD, то степень BЫ полнения условия правила Rj для входноrо состояния х* == (xi,...,x) можно найти по формуле: jJJ(x*) == fLAJl (х7) . ... . fLAJп(X), Vx* Е х. (5.55) Определение 5.2.4.2. База, содержащая п правил Rj, j == 1, . . . , т, яв ляется полной и совместной, если выполнено соотношение т L f.Lj(x*) == 1, Vx* Е Х. j==l Приведенное соотношение означает, что сумма степеней выполнения условий всех правил для любоrо входноrо состояния х* Е Х равна 1. Если сумма выполнения условий меньше 1, то для входноrо состояния х* база правил является неполной. Если же данная сумма больше 1, то для входноrо состояния х* правила несовместны. Соотношение (5.56) можно понимать в терминах процесса принятия решений. Решение у* (х*) определяется базой правил на основе степе ней выполнения условий р)(х*). И если сумма этих степеней меньше 1, то решение у*(х*) является недостаточно обоснованным, что, в свою оче редь, означает неполноту знаний о системе, содержащихся в базе правил. Если же сумма степеней выполнения условий больше 1, то это свидетель ствует о наличии факта несовместности правил, который в данной ситуа ции проявляется в следующем: если условие HeKoToporo правила удовле творяется полностью (степень выполнения равна 1), то в базе существуют также друrие правила, условия которых выполняются частично. В результате заключение (выходное значение модели) у* (х*) опре деляется не только полностью активизироваННЫIVl правилом, а coдep жащаяся в этом правиле информация перестает быть истинной (пра вило перестает «rоворить правду»). rIрИlVlер подобной ситуации показан на рис. 5.64. (5.56)
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 245 L i ::\ели 11(20,15) 1 Р(20, 14) Уn м База правил s :1: Ys Jl(y ) Jl (х ) 1 I I I I I s: м I I I I I L: Rl: ЕСЛИ (х= 10) ТО (у= 10) R2: ЕСЛИ (х=20) ТО (у= 14) R3: ЕСЛИ (х = 40) ТО (у=3 0) X I;Ilzl1 О 1 О 20 Х т 40 Х 40 Х I1S == 30 Х 10 I1L == 30 3 fJ,S(X m ) == , fJ,M(X m ) == 1, fJ,L(X m ) == , L fJ,j(x m ) == 2 j==l * ( ) Ys . fls(X m ) + Утп . /-lЛl(Х rп ) + Yz . flL(:r'rп) у Х т == I MS(X rп ) + МАl(Х тп ) + !1L(X 1п ) == 4. (2/3) + 14 . 1 + 40 . (1/3) == 15 2 Рис. 5.64. Пример нечеткой модели, в которой сумма степеней выполнения условий для отдельных входных состояний больше 1 в при мере на рис. 5.64 при х == ;r;1п == 20 условие правила R2 yдo влетворяется полностью, т. е. I1s(20) == 1. В этом случае, в соответствии с содержашейся в правиле информацией: ЕСЛИ (х примерно равно 20) ТО (у примерно равно 14), выходной пара метр у должен получить значение у* == Ут == 14. Тем не менее, поскольку при l" == .r m активизируются также правила R1 и R2, то они тоже участвуют в принятии решения в отношении значения у*, изменяя результат так, что у* == 15. Поверхность модели не проходит через задаваемую правилом R2 точку Р(20,14), проходя вместо этоrо через точку Р] (20,15). Модели, в которых сумма степеней выполнения условий отлична от 1, также имеют право на существование и используются достаточно часто,
246 rлава 5. Нечеткие модели поскольку сложно обеспечить равенство 1 в любой ситуации. Примеры подобных моделей леrко найти в литературе см., например, (Кпарре 1995; Altrock 1993; Zimmermann 1994а) и др. При соответствующей Ha стройке пара метров указанные модели также имеют высокую точность. Вместе с тем, нельзя не заметить их недостаток, СОСТОЯLЦИЙ в том, что вычисляемые моделью выходные значения отличаются от тех, которые фиrурируют вправилах. 5.2.5. Связность базы правил Понятие связности базы правил вводится с помощью определения 5.2.5.1 (Driankov 1993,1996). Определение 5.2.5.1. База правил называется связной, если в ней нет смежных правил Rj, Rk таких, что пересечение содержащихся в их за ключениях нечетких множеств В]' Bk является пустым, т. е. Bj nB k == 0. Иными словами, для любоrо у, принадлежащеrо области значений У BЫ ходното параметра, выполняется соотношение: 11 в] (у) . jj в k (у) # о, v у : у Е У. ,u(y)l I I I I , I , ,u (х):, : 1 i1 i Аз : А4 As ,А6 о Rl Rl R2 R3 R4 R5 R6 х Al А 2 Аз А4 As А6 У Bl 85 В з В4 В 2 86 (5.57) В 1 пВ 5 == 0 В 5 пВ з == 0 В з пВ 4 * 0 В 4 пВ 2 == 0 В 2 пВ 6 == 0 х х Рис. 5.65. Нечеткая модель, имеющая несвязную базу правил. Для дефаззифи кации используется метод Н (одноэлементных множеств)
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 247 у Поверхность модели 6 ШШ ::3Ш 5 11 4 I I 11 : 3 : I В : 2 I I I I 11 I I I I 1 I I I I I I I I I В 1 n 112 = 0 11 2 nВ з = 0 113 n 114 ;;j;: 0 В4nВ5 = 0 115 n 116 = 0 ,и (х) 1 I I I I I :А1 I I I I I :Аз А4 I I I I I :А 6 ,и (у ) 1 х о х R, Rl R2 RЗ R4 R5 R6 х А 1 А 2 Аз А4 А5 А6 У 111 115 113 114 112 116 Рис. 5.66. Нечеткая модель, имеющая связную базу правил. Для дефаззифика ции используется метод Н (одноэлементных множеств) Под «смежными» следует понимать правила, задаваемые в смежных ячейках таблицы правил (рис. 5.65). Нечеткая модель на рис. 5.66 имеет связную базу правил, а на рис. 5.65 несвязную. В модели на рис. 5.65 имеется ряд смежных множеств, не удовлетворяющих условию связности (5.57) такими множествами являются, например, В 1 , В Б , содержащи еся в смежных правилах Rl, R2. Сравнивая поверхности моделей со связной (рис. 5.66) и несвязной (рис. 5.65) базами правил, мы видим, что связность базы правил повышает rладкость поверхности модели, а несвяз насть обусловливает появление на ней участков резкоrо подъема (KPYTO ra спуска). Разумеется, в случае связной базы правил не всеrда удается получить поверхности, обладающие такой, как на рис. 5.66, степенью pe rулярности последняя будет зависеть от расположения модальных зна чений выходных множеств Bj. Возникает вопрос: должна ли база правил нечеткой модели (реrулято ра) быть связной? От нет на Hero зависит от вида поверхности моделируе мой системы. Если поверхность имеет обширные участки KpYToro спуска, то для нее невозможно получить точное представление с помощью Moдe ли, имеЮlцей связную базу правил. Если же поверхность rладкая, то MO дель со связной базой правил будет точной. В случае нечетких реrуля торов чаUJ,е Bcero требуются rладкие поверхности отображения входных
248 rлава 5. Нечеткие модели параметров в выходные, поскольку участки KpYToro спуска подразуме вают сильные и резкие изменения управляющих переменных объекта, и поэтому в данной ситуации рекомендуется использовать связные базы правил. Вместе с тем, данное требование не является абсолютно необхо димым, поскольку MorYT существовать и процессы (объекты, системы), в которых требуются резкие изменения управляющих переменных и, CTa ло быть, реrуляторы с несвязными базами правил. В модели с одним входом Х каждое правило может иметь не более двух смежных, в то время как в модели с двумя входами Хl и Х2 может быть до восьми смежных правил. С увеличением числа входов модели число правил резко возрастает, что, в свою очередь, приводит к усложне нию оценки связности базы правил, поскольку становится невозможным выполнить эту оценку путем визуальноrо контроля таблицы правил. 5.2.6. Избыточность базы правил Иноrда встречаются нечеткие модели, содержащие два или более иден тичных правила (т. е. правила, у которых совпадают условия и заключе ния). Причинами подобной ситуации MorYT быть: 1) ошибка, допущенная при проектировании базы правил (при большом числе правил); 2) в случае самоорrанизующейся нечеткой модели, rенерация дополни тельных правил, идентичных имеющимся, с целью усиления их за ключений. В первом, очевидном, случае избыточное правило следует исключить. Второй случай требует разъяснения (рис. 5.67). Поверхность модели Ml в точке Х == Х т значительно отличается от поверхности реальной системы (точки Рl и Р). Столь значитель ная ошибка возникла вследствие неправильноrо выбора пара метра Ут выходной функции принадлежности jjЛ[(У). Самообучающаяся модель в подобной ситуации может сформировать дополнительное правило, COB падающее с R2. Два одинаковых правила R2 можно заенить одним правило м R2*, заключение KOToporo имеет вид лоrической суммы: (ЕСЛИ (х == 1\1) ТО (у == N1)) U (ЕСЛИ (х == 1\1) ТО (у == 1V1)) == == ЕСЛИ (х == А1) ТО (у == Лf U 2\f). (5.58) При выполнении лоrическоrо суммирования на основе операто ра l\IAX будет получено множество 1\;1* == -,-\1 U М == 1\1.
5.3. Рекомендации по построению базы правил 249 у Реальная система ,u(x) I I I I I I :L L м s ,u(v) 1 Х Х т Х База правил модели Мl Ri Rl R2 R3 х S м L у S м L База правил модели М2 Ri Rl R2 R2 R3 Х S м м L у S м м L Рис. 5.67. Сравнение нечетких моделей Мl и М2, соответственно без избыточ ности и С избыточностью базы правил в случае использования друrих операторов, например SUM (суммиро вание функций принадлежности), результирующее множество М* будет иметь вид JvluJ\;[ #- М, приводящий К усилению получаемоrо заключения и уменьшения ошибки модели (точки Р и Р2 на рис. 5.67). Таким обра зом, несколько совпадающих правил можно заменить одним правилом, заключение KOToporo соответствующим образом усилено. 5.3. Рекомендации по построению базы правил База правил должна обеспечивать возможность достижения требуемой точности нечеткой модели (после Toro, как определены пара метры по следней). Одновременно с этим, чтобы уменьшить стоимость вычислений и сделать модель более «прозрачной» (интуитивно понятной), число пра вил, содержащихся в базе, должно быть как можно меньшим. Более Toro, сокращение числа правил в модели с несколькими входами может быть предварительным требованием для выполнения настройки ее параметров. В литературе можно встретить утверждения о том, что настройка модели,
250 rлава 5. Нечеткие модели Х2 Результаты измерения значений (х 1, Х2) Х==Х 1 ХХ 2 Х2 Х2mах . . . . .. . . . . . . .. · .... · ... Область .. . . .. .. · ...... .. . значений . . . . ... . . . . .... е. . .. . .. .. .. . . . .. . .... . .. . .. . . .. .. . .. ... . ... . ... ... . . . . ....... . Х2mш хl Хlmш Х 1 Хlmах хl Рис. 5.68. Задание области Х значений входных пара метров модели на основе распределения результатов измерения их значений (Xl, .Т2) имеющей более четырех входных параметров, практически не возможна либо трудновыполнима (Bossley 1995). Указанные свойства нечеткой моделиточность и число правил являются взаимоисключающими. При большом числе правил достиже ние высокой точности модели потенциально является более простой за дачей, а уменьшение числа правил в модели в общем случае снижает ее точность. При выборе числа правил необходимо учитывать следующие рекомендации: 1. Число правил увеличивается при уплотнении сетки, используемой для разбиения пространства Х входов модели. 2. Плотность используемой для разбиения сетки следует увеличивать в случае более рельефной поверхности отображения Х у модели. 3. При неизменной плотности сетки (неизменном числе правил) точность модели может быть повышена путем правильноrо размещения зада ваемых правилами опорных точек ее поверхности. Приведем пояснения к замечаниям lЗ. Если задано распределение значений (Xl, 2'2) входов системы, то можно задать также и область зна чений Х для них (рис. 5.68). После Toro как установлена область Х значений входов модели, сле дует выбрать плотность сетки ее разбиения. В ситуации, коrда мы знаем либо предполаrаем, что поверхность отображения Х у системы яв ляется существенно нелинейной и рельефной (рис. 5.69), необходимо ис пользовать более плотную сетку. В случае плоской (близкой к линейной) поверхности необходимость в таком разбиении отсутствует (рис. 5.70). После Toro, как выбрана плотность сетки разбиения, можно присту пать к формированию правил, задающих опорные точки поверхности MO
5.3. Рекомендации по построению базы правил 251 у Х2 Х2 , Х2 X1==X 1 х Х 2 X 1 ==X 1 Х Х 2 у Xl Xl Хl Рис. 5.69. Пример ситуации, коrда плотность разбиения пространства входов необходимо увеличивать по причине более рельефной поверхности отображения Х У, реализуемоrо моделируемой системой I I r / I I I I I I I I I I I : I I I II i!..Y Х2 : .. X 1 .: Х I : 1 I х{: ] X1XX2 Xl Х2 Рис. 5.70. Сетка разбиения в случае плоской (или практически плоской) по верхности реализуемоrо системой отображения Х }Т дели. Существует два фундаментальных метода расположения опорных точек. А. Расположение точек по уrлам прямоуrольных cerMeHToB сетки разби ения. Б. Расположение точек в центре cerMeHToB.
252 rлава 5. Нечеткие модели Поверхность модели Опорные точки Х 2 А23 А21 а21 Х 2 .1,.... ,... ""1- -'\, Х 1 Jl(y) В5 Вз Il(xi) ВВВВ ВВВ I I I I l' (Хl) : Ан A12 I : Хl I :А13 i 1 2 6 4 9 7 8 ., ., ., " " r .... ..... ы1 Ь2 Ь6Ь 4 Ь9Ь 7 Ь8 Ь5 Ьз у а 11 а 13 Хl а 12 Рис. 5.71. При мер нечеткой модели с расположением опорных точек по уrлам cerMeHToB разбиения пространства Х == X 1 Х Х 2 входных значений На рис. 5.71 приведен пример использования метода А. Если правила определяются для уrловых точек прямоуrольных cerMeHToB пространства входных значений, то соответствующий каждому cerMeHTY участок по верхности модели задается четырьмя правилами, соответствующими ero уrловым точкам. В случае модели, представленной на рис. 5.71, для зада ния поверхности, соответствующей всей области значений Х == X 1 Х Х 2 , используется девять правил: Rl : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == A 21 ) то (у == В 1 ) R2: ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == A 21 ) то (у == В 2 ) R3: ЕСЛИ (Хl == А 1з ) И (Х2 == A 21 ) то (у == в з ) R4: ЕСЛИ (.тl == A 11 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == В 4 ) R5: ЕСЛИ (Xl == А 12 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == В 5 ) R6: ЕСЛИ (Xl == А 1з ) И (Х2 == А 22 ) то (у == В 6 ) R7: ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 2з ) то (у == В 7 ) R8: ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 2з ) то (у == Вв) R9: ЕСЛИ (Хl == А 1з ) И (Х2 == А 2з ) то (у == Bg) (5.59) Приведенные правила содержат информацию о выходных значениях модели при входных состояниях (Хl, Х2), в точности соответствующих
5.3. Рекомендации по построению базы правил 253 Поверхность модели А22 Х2 Х 2 О О , I , I , I I I I I Х 1 i I 9 9 I I ...j ' I I I I , I I I ..... I I I .... I , I Xl I I A21 J.l(X2) I I I I J.l(xI) : Аll I I I I А12 : J.l (у) Вl В2 В4 Вз ыlЬ2 Ь 4 Ьз Xl у Рис. 5.72. Пример нечеткой модели с размещением задаваемых правилами опорных точек в центре cerMeHToB разбиения области значений Х == X 1 Х Х 2 уrловым точкам cerMeHTOB. Например, для Xl == a12, Х2 == а22 выходное состояние имеет вид у == Ь 5 . В пространстве между уrловыми точками нечеткая модель производит интерполяцию, характер которой зависит от методов вывода и дефаззификации, а также вида функций принад лежности. Метод Б, в рамках KOToporo задаваемые правилам и опорные точки размещаются в центре cerMeHToB, представлен на рис. 5.72. Используя метод Б для той же области значений Х, что и на рис. 5.72, получаем базу правил вида (5.60), содержащую только 4 правила: Rl : ЕСЛИ (Хl == A 11 ) И (Х2 == A 21 ) то (у == в з ) R2: ЕСЛИ (Х1 == A 11 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == B 1 ) R:3: ЕСЛИ (Хl == A 12 ) И (.1'2 == A 21 ) то (у == В 4 ) R4: ЕСЛИ (Xl == A 12 ) И (.Т2 == А 22 ) то (у == В 2 ) (5.60) Как видно из рис. 5.71 и 5.72, метод Б позволяет создавать нечеткие модели с меньшим числом правил, чем в случае использования метода А. В свою очередь, меньшее число правил приводит к уменьшению объема измеряемой информации, необходимой для lVlоделирования системы.
254 rлава 5. Нечеткие модели Правила (5.60) содержат точную информацию о выходных состояни ях модели в точках, соответствующих (в большей или меньшей степени) центрам cerMeHToB. Для точек, находящихся между ними, выходное зна чение модели вычисляется на основе нечеткой интерполяции. За преде " лами участка между опорными точками заметны ооласти насыщения, со значениями b i , которые соответствуют ближайшим опорным точкам. Точ ность модели в данном диапазоне, как правило, является низкой. Подводя итоr, для каждоrо из двух рассмотренных методов определения правил можно указать следующие достоинства и недостатки. Метод А (опорные точки по уrлам cerMeHToB) . Достоинства: более высокая точность модели, в том числе на rраницах простран ства Х входных значений. . Недостатки: большее число правил, приводящее к менее «прозрачным» (интуи тивно понятным) моделям, больший объем информации, требуемой для определения правил. Метод Б (опорные точки в центре cerMeHTOB) . Недостатки: меньшая точность модели по сравнению с lVlетодом А, особенно на rраницах области значений. . Достоинства: меньшее, по сравнению с методом А, число правил, что приводит к большей «прозрачности» модели, меньший объем измеряемой информаuии, необходимой для форми.. рования правил. Перед началом настройки модели пара метры опорных точек aij, b k MorYT, например, быть распределены равномерно. В процессе настрой.. ки происходит изменение позиций опорных точек (параметров нечетких множеств в правилах), обеспечивая все более высокую точность модели. Большее число опорных точек потенциально может привести к достиже.. нию большей точности нечеткой модели (при условии эффективно выпол" ненной настройки), но одновременно с этим процесс настройки модели становится все более сложным. 5.4. Сокращение базы правил Основная сложность процесса настройки MHorOMepHbIx самообучающих.. ся нечетких моделей (таких как, например, нейронечеткие сети, основан..
5.4. Сокращение базы правил 255 J .. J. ... ... ХI ХI Х} а) б) в) Рис. 5.73. Бессеточные разбиения входноrо пространства: прямоуrольное раз биение (а), квадратичное разбиение (6); а также сеточное разбиение (в) ные на реrулярном rиперпрямоуrольном разбиении пространства BXOД ных значений) заключается в большом числе подлежащих настройке па раметров. При этом данное число стремительно растет с увеличением количества входов и числа нечетких множеств, используемых для oцeH ки их значений. Исследованию данной проблемы, которая уже обсужда лась в разд. 5.2.2 и была названа в литературе «проклятием размерности» (Bossley 1995), посвящен ряд научных работ. Один из способов, предла raeMbIx для ее решения, состоит в переходе от реrулярноrо разбиения входноrо пространства к нереrулярному (Su 1995; Kwon 1994), состоя щему из непрямоуrольных cerMeHTOB. Друrой способ заключается в том, чтобы отказаться от сеточноrо разбиения входноrо пространства и ис пользовать бессеточные разбиения (Brown 1995а), такие как: . прямоуrольное разбиение (kd tree partition), . квадратичное разбиение (quad tree partition). Сущность каждоrо из этих разбиений поясняется примерами на рис. 5.73. Целью применения бессеточных разбиений является уменьшения чис ла нечетких cerMeHToB. Разбиение входноrо пространства будет плотнее в тех областях, rде для моделируемой системы поверхность отображе ния Х у изменяется более резко (крутые спуски, неравномерности), и менее плотным в областях с более rладкой поверхностью. В пределах каждоrо cerMeHTa разбиения для задания поверхности ис пользуется только одно правило, поэтому здесь целесообразно использо вать модели Такаrиеуrено, которые будут рассматриваться в разд. 5.7.7, и в которых заключение каждоrо правила представляет собой не нечет кое множество, а функцию (как правило, линейную). Примером T3Koro правила может служить выражение вида Е ел И (х 1 == А 11) И (.т 2 == А 21 ) ТО (у == а 11 х 1 + а21 T:2 + ао 1 ) . ( 5. б 1 )
256 rлава 5. Нечеткие модели I I I I I I А a21 I I 21 I I 51 52: I Ji(y ) В3 В 1 В 2 , , I , I , I \ I , I \ I , I I \ I , I , I \1 Х 1\ I , \ I \ I I , I \ I , I \ I , I \ Ь з Ь} Ь 2 У Х1 а22 А 22 I I 5 3 : : I I I I j.J(X2) 1 j.J(x}) Опорные точки поверхности модели а11 а12 хl Рис. 5.74. Бессеточное разбиение входноrо пространства на три cerMeHTa 51 Sз и заданные функции принадлежности нечетких множеств Тем не менее, здесь MorYT использоваться и модели Мамдани см. при мер 5.4.1. Пример 5.4.1. Пусть имеется бессеточное прямоуrольное разбиение входноrо пространства Х == Х 1 Х Х 2 , И заданы функции принадлежно сти (рис. 5.74). Каждому cerMeHTY может соотвтетствовать одно правило, задающее участок поверхности модели, связанный с данным сектором. Таким образом, вместо четырех, модель содержит три правила следую щеrо вида: Rl : ЕСЛИ (Хl == A 1L ) И (2:2 == A 2J ) ТО (у == В 1 ), R2: ЕСЛИ (Хl == A 12 ) И (Х2 == А 21 ) ТО (у == В 2 ), R3: ЕСЛИ (Хl == Al) И ('Т2 == А 22 ) ТО (у == В3). (5.62) Поверхность модели показана на рис. 5.75. Возможность задания большоrо cerMeHTa 5з входноrо пространства Х (рис. 5.74) при помощи только одноrо правила обусловлена тем, что в нем используется функция принадлежности А 1з , ядро которой по своей про тяженности охватывает практически всю длину cerMeHTa. Для использования бессеточноrо разбиения входноrо пространства необходимо предварительно установить характер изменчивости поверх ности моделируемой системы в различных ero областях только в этом случае можно принять обоснованное решение об использовании боль шей или меньшей плотности разбиения. Необходимая для этоrо инфор
5.4. Сокращение базы правил 257 у Ь 2 Поверхности модели Xl Рис. 5.75. Поверхность модели (5.62), основанной на бессеточном разбиении входноrо пространства мация может быть получена, например, на основе кластерноrо анали за выборки измерений входных и выходных данных (Babuska 1996) см. разд.6.3.3.2. Заметим, что база правил (5.62) является линrвистически неполной, поскольку в ней присутствуют не все возможные комбинации входных нечетких множеств A 1i , A 2j . Вместе с тем, она является численно полной, вследствие использования [ауссовых функций принадлежности с Heorpa ниченными носителями. При любом входном состоянии (х!, Х2) Е Х 1 Х Х 2 активизируется хотя бы одно правило, блаrодаря чему, вне зависимости от пара метров этих функций (величин левоrо и правоrо разбросов), мож НО вычислить выходное значение модели. Возможность задания большоrо сектора 8з обусловлена использо ванием нечеткоrо множества А 1з с соответствующим размером ядра (рис. 5.74). Использование подобных функций принадлежности является одним из методов, позволяющих уменьшить число правил. Существует также метод, основанный на уменьшении числа используемых в Moдe ли нечетких множеств и позволяющий уменьшить число правил и/или упростить их форму (уменьшение числа подусловий правил). Поясним сущность данноrо метода на примерах (Piegat 1997с). . Пример 5.4.2. Рассмотрим адаптивную нечеткую модель, способную Ha страивать свои параметры на основе измерений входных и выходных дaH ных моделируемой системы. Предположим, что в начале процесса адапта
258 rлава 5. Нечеткие модели у Система У(Х) '" ;; ::><::, ;::, ; , м <,><'" ;; ::><::, s /; , Ys Rl: ЕСЛИ (х == S) ТО СУ == S) R2: ЕСЛИ (х ==!vf) ТО (v == !vf) R3: ЕСЛИ (x==) ТО (y==) / I (v _ __ш_ш ---o/ R4: ЕСЛИ (х= VL) ТО = VL) Y ///; Модель Ут(Х) / I I Ум //: / : / I I I 1 I , I f.1 (х) 1 Дефаззификация с использованием метода высот ,u(y) 1 х I : I s малый М средний L большой V очень большой Xs ХМ XL XVL Х Рис. 5.76. Поверхности моделируемой системы и модели в начале проuесса адаптаuии ции было выбрано равномерное распределение функций принадлежности (рис. 5.76). На этом рисунке представлены также поверхность моделиру емой системы и начальный вид поверхности нечеткой модели. Пусть в результате настройки модели получены параметры функций принадлежности и поверхность модели, показанные на рис. 5. 77. Нечет кие множества «средний» И «большой» имеют близкие модальные значе ния Х т И Xz, В связи с чем объединение этих множеств в одно множество А[* == 1\;1 U L не должно привести к чрезмерному уменьшению точно сти модели, которая может оцениваться, например, с помощью суммы величин абсолютных ошибок по формуле: п 1 == L IY(Xl) Yт(.Ti)l, i== 1 (5.63) [де n объем выборки входных и выходных измерений значений пара метров системы. Одновременно с объединением множеств А1 U L в результирующее множество Аl* относительно переменной х следует также объединить относительно переменной у соответствующие множества Аl и L, находя щиеся в заключениях правил. Объединение можно выполнить, например, по формуле (5.64), с использованием оператора SUJ\J: /-L1vI*(Х) == SUI\/I(/-L1\;I(X),/-LL(X)), /-L1\;f*(У) == SUlVl(/-LАI(у),/-LL(У)). (5.64)
5.4. Сокращение базы правил 259 У Система У(Х) R 1: ЕСЛИ(х == S) ТО (у == s) R2: ЕСЛИ(х==М) ТО (у==М) R3: ЕСЛИ(х==L) ТО (y==L) R4: ЕСЛИ(х== VL) ТО (у== VL) VL "" ..,=:;c;:= L ;:... ,,' ... " ........(..... м <,/ """ . ;' ............... ",;," <..... s ;';';';';';' "..., f.1 (х) 1 I I I I I I I I VL: I Дефаззификация с использованием метода высот f.1(y) 1 х Xs ХМ XL XYL Х Рис. 5.77. Поверхности моделируемой системы и модели по завершении Ha стройки пара метров f.1(X) 1 Система У(Х) Rl: ЕСЛИ(х == s) ТО СУ == s) * * ШШШ :/ i : :jg &:] ,/ ! " «/ i Модель Ут(Х) I I I I I I , I I I I I I Дефаззификация с использованием метода высот Х Ум*== О.5(ум+ YL) У VL ' ............ .,"' У :><: VL (;' I I I М*I I I I L"" S /><" Ys " Ум* f.1(y) 1 Xs Хм XL XYL Х Рис. 5.78. Понерхности моделируемой системы и модели после сокращения нечетких множеств (1\1 U L == 1\1*) Результат применения данноrо метода объединения и полученная на ero основе поверхность модели представлены на рис. 5.78. Как видно из рис. 5.78, уменьшение числа множеств путем их объеди нения не привело (в данном случае) к существенному изменению точно
260 rлава 5. Нечеткие модели У Системау(х) VL """ iii ШШШШ\... i :)(:... / I ......... 1 м* ::... ......... "'" Y H H;"/ ,," .. : I ... I '>' , " ... I " " , ",; " I " ... I " ... I S " : Ys I R 1: ЕСЛИ(х == 51 ТО (у == 51 R2: ЕСЛИ(х==м*) ТО (у=м*) R3: ЕСЛИ(х== VL) ТО (у= VL) Модель у т(Х) р(у) 1 I I I I I р(х) I I r м. s: VL 1 I I Дефаззификация с использованием метода высот х УМ*== О.5(ум+ YL) ХМ*== О.5(хм+ XL) Xs ХМ. XVL Х Рис. 5.79. Поверхности моделируемой системы и модели после объединения нечетких множеств Лf и L с применением упрощенноrо метода сти модели, хотя число правил уменьшилось с 4 до 3. В случае моделей со мноrими входами можно добиться значительно большеrо сокращения числа правил (см. разд.5.2.2). Для нахождения результирующих множеств 1\;1* вместо формулы (5.64) можно также использовать упрощенный метод, учитывающий то, что модальные значения этих множеств расположены посередине между модальными значениями множеств 1\1 и L, в соответствии с формулой (5.65). В этом случае мы получим HeMHoro друrую поверхность модели, представленную на рис. 5.79: XAI* == О.5(ХАI + XL), УЛf* == О.5(УА! + YL). (5.65) Таким образом, объединение двух нечетких множеств может быть BЫ полнено с применением обычноrо (5.64) или упрощенноrо (5.65) метода. Выбор KOHKpeTHoro метода зависит от Toro, насколько уменьшится точ ность модели при использовании каждоrо из них. В некоторых случаях объединение множеств может привести даже к повышению точности. . Функции принадлежности нечетких множеств в при мере 5.4.2 удовле творяют условию разбиения единицы. Рассмотренный подход применим для двух смежных множеств во входном пространстве, имеющих близкие модальные значения. В случае трапециевидных множеств объединение возможно, если они являются смежными, а их ядра расположены близко друr к друrу.
5.4. Сокращение базы правил 261 J.l(x) 1 А 1 А 2 Аз А4 х mш х mах х х В(А 2 , Аз) == L Л Хmах Xmin Рис. 5.80. При мер смежных трапециевидных нечетких множеств, расположен ных близко друr к друrу Понятие «близости» множеств связано не только с расстоянием L между их ядрами (рис. 5.80), но также должно учитывать длину носите ля множества (х п1ах Xmin). Таким образом, «близкими» MorYT считаться только такие смежные множества A i , A i + 1 , для которых показатель В OT носительной близости (схожести), выражаемый формулой (5.66), не пре восходит HeKoToporo предельноrо значения: В(А . А . ) LA,AL+l , +1 Х mаХ Xmin л. (5.66 ) Значение л выбирается проектировщиком модели. При больших зна чениях л следует ожидать более заметноrо снижения точности упрощен ной модели. Если содержащиеся в модели функции принадлежности не удовлетво ряют условию разбиения единицы, то в ходе настройки возможны любые изменения их разброса, длины ядра и модальных значений. В этом слу чае в результате настройки можно получить функции принадлежности, в той или иной степени перекрывающие друr друrа (рис. 5.81). J1(x) А 1 А 2 J1 (х) А 1 А 2 j.1 (х) А 1 А 2 1 1 1 ''" I 1 пА2 / I I I , I , I I , I I \ I , I \ I , I , I Х Х luA2 Х Схожие множества Схожие множества Различающиеся множества Рис. 5.81. Примеры схожих и различающихся нечетких множеств
262 rлава 5. Нечеткие модели Чтобы выбрать подходящие для выполнения объединения множества, можно воспользоваться понятием меры сходства множеств /3 (Babuska 1996). Было предложено множество различных мер, каждая из которых соответствует определенному критерию сходства. Достаточно очевидной мерой сходства двух l\1ножеств Аl и 42 является мера, задаваеl\Iая фор мулой: S ( A А, ) == IAl n А21 1, 2 I А 1 U А2/ ,т 11101>- J lVIIN [!L А 1 (х). fJ л 2 ( Х )] (1х .1' 111111 (5.67) .1'111clX J l\IAX[!LA 1 (х). J1Л 2 (х)] dx .1'llllП [де XIllin Х п1ах rраницы области определения Х (рис. 5.79), I . I кардинальное число (мощность) нечеткоrо множества. В случае дискретных функций принадлежности сходство множеств можно оценить по формуле (5.68): S ( A А. ) == 'Аl n 421 1, 2 /А1 U А 2 ! {n L l\JIN [р А 1 (.1') ). f1 А 2 ( Х J ) ] )==1 (5.68) т L l\IAX[!LA 1 (Xj). РА 2 (Xj)] .1==1 [де Xj Е XD, XD дискретная область значений переменной х. В соответствии с формулами (5.67) и (5.68), степень сходства MHO жеств Al и А 2 тем выше, чем сильнее их общая часть Al n А 2 будет совпадать с их суммой А 1 U А 2 (рис.5.81). В случае полноrо совпадения множеств А 1 и А 2 получаем А 1 пА 2 == Аl UA 2 == 1. и таким образом степень их сходства S(A 1 . А 2 ) == 1. Если множества Al и А 2 , заданные на пространстве входных значе ний Y, имеют достаточную степень сходства, т. е. выполнено условие S(A 1 . А 2 ) д. (5.69) [де д : r5 Е [О. 1 J минимально допустимая степень сходства множеств, то их объединение можно выполнить по формуле: A==A 1 uA 2 . МА(Х) == l\lAX[jLA 1 (X)jlA2(X)J. (5.70)
5.4. Сокращение базы правил 263 Сумма А используется для замены в правил ах множеств А 1 и А 2 , что позволяет упростить базу правил. Например, если для модели с одним входным пара метро м :r и выходным параметром у база правил имеет вид: Rl : ЕСЛИ (х == А]) ТО (у == В]), R2: ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В 2 ), R3: ЕСЛИ (х == А з ) то (у == В з ), R4: ЕСЛИ (х == А 4 ) то (у == В 4 ), (5.71) установлено сходство множеств Аз и А 4 , И для их замены используется множество Аз == Аз u А4:, то при подстановке в правила множества Аз вместо ./1з и А4 мы получаем базу правил следующеrо вида: Rl : ЕСЛИ (.т == А 1 ) ТО (у == B 1 ). R2: ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В'2). R3: ЕСЛИ (.т == 4;) ТО (у == В з ), R4: ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == В4). (5.72) Поскольку условия правил R3 и R4 совпадают, их можно объединить в соответствии с формулой: [ ЕСЛИ (2: == Аз) ТО (у == В з )] U [ ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == В 4 )] == ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == В3 U В 4 ) == ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == B). (5.73) rде В з == В3 U В4. Таким образом, база правил (5.72) преобразована в базу вида Rl: ЕСЛИ (Т == А 1 ) то (у == В]), R2: ЕСЛИ (.т == А 2 ) то (у == В 2 ), R3: ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == B), (5.74) содержащую меньшее число правил. Сокращенную базу правил (5.74) можно считать допустимой, если она не приводит к чрезмерному снижению точности модели. Приведем пример значительноrо сокращения числа правил в модели с двумя входами.
264 rлава 5. Нечеткие модели Пример 5.4.3. Рассмотрим модель системы с двумя входами и одним выходом и линrвистически полной базой правил: Rl: ЕСЛИ (Х1 == А 1 ) И (Х2 == В 1 ) то (у == С}), R2: ЕСЛИ (Х1 == А 1 ) И (Х2 == В 2 ) то (у == С 2 ). R3: ЕСЛИ (Х1 == А 1 ) И (Х2 == в з ) то (у == С з ), R4: ЕСЛИ (Х1 == А 2 ) И (Х2 == В 1 ) то (у == С 4 ), R5: ЕСЛИ (Х1 == А 2 ) И (Х2 == В 2 ) то (у == С 5 ), R6: ЕСЛИ (Х1 == А 2 ) И (Х2 == в з ) то (у == С 6 ), R7: ЕСЛИ (Х1 == Аз) И (Х2 == В 1 ) то (у == С 7 ), R8: ЕСЛИ (Х1 == Аз) И (Х2 == В 2 ) то (у == С 8 ), R9: ЕСЛИ (Х1 == Аз) И (Х2 == В з ) то (у == С 9 ), (5.75) rде: А 1 , А 2 , Аз нечеткие множества значений входа Х1, В 1 , В 2 , В з нечеткие множества значений входа Х2, С 1 ,. . . , С 9 нечеткие множества значений выхода у. Предположим, что множества А 2 (Х1) и А З (Х1) являются схожими и MorYT быть объединены с получением множества А;(Х1), которое за тем может быть использовано для замены в правилах множеств А 2 (.т1) и А З (Х1) (А 2 rv А 2 , Аз rv А;). В результате пары правил (R4, R7), (R5, R8), (R6, R9) будут иметь одинаковые условные части, и MorYT быть объединены с использованием операции ИЛИ, что приведет к базе пра вил вида: Rl: ЕСЛИ (Х1 == А 1 ) И (1:2 == В 1 ) то (у == С 1 ), R2: ЕСЛИ (Х1 == А 1 ) И (Х2 == В 2 ) то (у == С 2 ), R3: ЕСЛИ (Х1 == А]) И (Х2 == В з ) то (у == С з ), R4: ЕСЛИ (Х1 == A) И (Х2 == В 1 ) то (у == С 4 U C7) R5: ЕСЛИ (Х1 == A) И (Х2 == В 2 ) то (у == С 5 U С 8 ), R6: ЕСЛИ (Х1 == А;) И (Х2 == в з ) то (у == С 6 U С 9 ). (5.76) в paCCl\10TpeHHoM случае уменьшение числа нечетких множеств на 1 позволяет уменьшит число правил на з. Упрощенную модель (5.76) мож но считать допустимой только в том случае, если, по сравнению с MO делью (5.75), не произошло значительноrо уменьшения ее точности. Подобная ситуация не всеrда имеет место, что подтверждается приме pOlV1 5.4.4. .
5.4. Сокращение базы правил 265 Rl: ЕСЛИ (х==А]) то (У==В 1 ) .... R2: ЕСЛИ (х==А 2 ) то (У==В 2 ) .... I .... .... : R3: ЕСЛИ (х==А з ) то (у==В з ) : R4: ЕСЛИ (х==А 4 ) то (У==В 4 ) I Модель Ут == fm(x) у Система у == f(x) В4 " ........ .... .........>:::::.......... ,..... ......... В з <:'" /" ............>< ' '...., В 2 : " ::><=:, В 1 ,/ ' Уl J1(y) 1 J1(X ) 1 I I I I I I I I А 1 : х 1 Х2 ХЗ Дефаззификация с использованием метода высот х Х4 Х Рис. 5.82. Поверхности моделируемой системы и нечеткой модели с четырьмя правилами Rl: ЕСЛИ (х ==А 1 ) то (у == В 1 ) R2: ЕСЛИ (х==А;) ТО (У=В 2 ) У4 R3: ЕСЛИ (х=А 4 ) то (У==В 4 ) I "', .. .../... у; I : : Модель Ут == fm(x) ...., ,..." I : :> I : ",," ", I : ,,"', I 1 В ,//', : 1 I I I I у Система у == f(x) В4 " ,/ /"'><''''' В* ......... 2 ............" Уl ,u(y) 1 J1(X) 1 хl Х2 ХЗ х Дефаззификация с использованием метода высот Х4 Х Рис. 5.83. Поверхности моделируемой системы (рис.5.82) и нечеткой модели с меньшим числом правил Пример 5.4.4. На рис. 5.82 приведена исходная нечеткая модель. По скольку модальные значения множеств А 2 и Аз являются близкими, эти множества можно попытаться объединить. Полученное в результа те нечеткое множество A представлено на рис. 5.83.
266 rлава 5. Нечеткие модели Очевидный вывод, который можно сделать из рис. 5.83, состоит в том, что в результате объединения множеств А 2 и Аз и сокращения числа пра вил произошло значительное снижение точности модели. Этоrо снижения можно было в определенной степени ожидать вследствие большоrо pac стояния (УЗ У2) между точками, представляющими множества В 2 и В з (рис. 5.82). Для моделей с одним входом произвести такую оценку значитель но проще, чем в случае объектов с несколькими входаlVlИ. Выполнение объединения нечетких множеств с возможным сокращением числа пра вил в последнем примере может быть оправдано лишь тем, что точность модели уменьшилась незначительно. . Еще одна возможность упрощения нечетких правил связана с COKpa щением множеств, имеющих сходство с областью определения Х см. пример 5.4.5. Пример 5.4.5. Рассмотрим нечеткую модель, представленную на рис.5.84. В данной модели нечеткое множество А 1З (Хl) имеет cxoд ство с областью определения X 1 (рис. 5.85). J1 (х2) 1 j.l (х 1) I I S3 I I I I I f I I I I I I I I , I $-. I I 81 I 52 I , I , I I , .... , .... р(у) В з В 1 В 2 Х 2 Ь з Ь 1 Ь 2 У Хl I I I I ' . all а12 I I I I ' Хl xi Rl: ЕСЛИ (Xl == А 11 ) И (Х2 == AH) ТО (у == В]) R2: ЕСЛИ (Т1 == А 12 ) и (Х2 == А 21 ) то (у == В 2 ) R3: ЕСJIИ (Х1 А 1з ) и (Х2 == А 22 ) ТО (у == B:) Рис. 5.84. Нечеткая модель с бессеточным разбиением области значений Х -=-= X 1 Х Х:2 на три cerMeHTa
5.4. Сокращение базы правил 267 P(xl) 1 ,u (х 1) о 1 xi Ав I Хl mш : I I I '. Х 1 I : х 1 тах Х 1 I I I .' Хl mш ... р"'" х 1 тах Х 1 Рис. 5.85. ФУНКЦИИ принадлежности множества А 1З (Хl) И универсальноrо MHO жества Х 1 Если степень сходства множества А 1З (Хl) с универсальным множе ством Х 1 , значение которой lVI0ЖНО найти по формулам (5.67) и (5.77), является достаточно высокой (близкой к 1), т. е. S( А ( ) х" ) == 141:{(J:'1) n X 1 ! \ 13 Х 1 . 1 I 4 1 :{ Ст 1) u Х 1 I J' 1 11lАХ .r !L А 1 3 ( J' 1 ) dc 1 ,1'1 111111 д, (5.77) .f llШ1Х l' 1111iп то в правил ах это множество можно заменить на Х 1. Поскольку функция принадлежности универсальноrо множества равна 1 во всех точках ero носителя, то часть условия, содержащую множество А]з rv X 1 , из пра вила можно исключить, что приведет к более простому ero виду. Для случая модели на рис. 5.84 мы получаем упрощенную базу правил: Rl: ЕСЛИ (.r1 == А 11 ) И R2: ЕСЛИ (.тl == А 12 ) И R3: ЕСЛИ ( .Е 2 == А 21) Т О (у == В]), (Х2 == A 21 ) то (у == В 2 ), (Х2 == А 22 ) то (у == В з ). (5.78) Упрощенная база правил (5.78) будет допустимой, если точность нечеткой модели, содержащей эту базу, по сравнению с исходной MO делью уменьшится лишь незначительно. Упрощения нечеткой модели можно достичь путем использования метода локальных моделей (Bossley 1995; Babuska 1995с). В рамках данноrо метода вместо одной rлобальной модели, заданной на всей об ласт и входов Х, используется множество локальных моделей, каждая из которых имеет собственную плотность сетки разбиения связанноrо с ней участка пространства входов. Метод локальных моделей можно использовать в случаях, коrда поверхность отображения Х у имеет участки как малой крутизны ( «плато»), так и большой крутизны «<ro РЫ») см. рис. 5.86. Участок поверхности над Cer!\leHTOM 51 области значений Х (рис. 5.86) имеет большие различия по высоте и наклону, и для точноrо ero модели
268 rлава 5. Нечеткие модели у Поверхность отображения --,Х" У Хl Х2 Х 1 Х=Х 1 ХХ 2 Рис. 5.86. Система, поверхность которой имеет участки значительно различа ющейся крутизны Х2 Модель М 1 Модель М 2 \ Опорные точки поверхности модели S] 82 Хlр Хl РИG. 5.87. Различие в плотности нечеткоrо разбиения универсальноrо множе " ства для локальных моделей Jvl 1 и М 2 рования требуется большее число задаваемых правилами опорных точек, чем для практически плоскоrо участка поверхности над cerMeHTOM 52. По .'1 этой причине нечеткое разбиение сетмента 81 должно иметь значительно более плотную сетку, чем разбиение cerMeHTa 52 (рис. 5.87). Если бы плотность сетки разбиения была одинаковой для всей обла сти Х"== Х 1 Х Х 2 , то для задания BCX опорных точек потребовал ось бы 98 правил. Однако, мы можем использовать разные сетки, и при использова нии более плотной сетки для cerMeHTa Sl и менее плотной для cerMeHTa 82 число правил для этих cerMeHToB составит соответственно 49 и 9 (об щее число правил будет равным 58). Таким образом, при использовании
5.4. Сокращение базы правил 269 Х2 Модель М 1 Модель М 2 Sl I I I I , S2 х2 хl JL (х д 1 JL м 1 (х 1) JL M 2 (XI) X1Gl XIG2 ХI xi Рис. 5.88. Функции принадлежности смежных локальных моделей с указанием поrраНИ4НОЙ зоны XIGl XI XIG2 двух локальных моделей можно добиться значительноrо уленьшения KO личества правил. Условием корректной работы модели, состоящей из множества ло кальных моделей, является непрерывность поверхности на участках co единения локальных моделей. Это условие будет выполняться, если зна чения выходных пара метров у Сl\1ежных локальных моделей в точках. ле жащих на их общей rранице, будут совпадать. В случае двух локальных моделей Jvf 1 и Лf 2 (рис. 5.87) это условие выражается в виде соотношения У1\11 (XIP. Х2) == Y\12(X]P Х2). (5.79) Условие (5.79) накладывает оrраничение на структуру rраничащих друr с друrом моделей, состоящее во взаимной заВИСИl\IОСТИ их пара метров и являющееся трудно реализуемым, особенно при БОЛЬШО1 числе входных пара метров модели. Тем не менее, в этом случае непрерывную поверхность rлобальноЙ модели можно также получить путем нечетко ro объединения локальных моделей. Для этоrо необходимо определить поrраничные зоны Сl\1ежных моделей и вычислить выходное значение у rлобальной модели на основе выходных значений YAI, для всех точек по
270 rлава 5. Нечеткие модели rраничной зоны, умноженных на степени принадлежности этих точек, Данный метод иллюстрируется на рис. 5.88. Для тех точек cerMeHTa 51, которые не входят в поrраничную зону, выходное значение rлобальной модели у совпадает с выходным значением локальной модели УЛJ 1 . Аналоrично, для не принадлежащих поrраничной зоне точек cerMeHTa 52 выходным значением модели будет у == УЛ!2. Ec ли же значения входов принадлежат поrраничной зоне, выходное значе ние rлобальной модели вычисляется на основе выходных значений обеих локальных моделей, для чеrо используется формула У(.Т1,Х2) == {lЛf 1 УЛJ 1 (Хl,Х2) + J1JЛI2.1JЛ[2Сrl:r2), 'i(T1 Х2) : ХIСl Xl ХIС2, Т2 Е Х 2 . (5.80) Увеличение ширины поrраничной зоны приводит к более rладкой по верхности rлобальной модели в пределах этой зоны. Описание различных методов построения локальных моделей можно найти в (Bossley 1995 Babuska 1995с; Nelles 1998; Nelles 1999). . 5.5. Нормирование (масштабирование) входов u и выхода нечеткои модели в реальных системах значения входов Xi и выхода у обычно имеют orpa ниченные пределы изменения (рис. 5.89). Исключением являются величины, которые выражаются в виде инте rрала друrих величин: t .Т == ! z(t) dt, о х XN ДХ Х теап t о Xmin 1 а) б) Рис. 5.89. rрафик изменения реальной величины .Т' в ходе Функционирова нин системы (а) и rрафик величины .1'1\; ПОСvlе НОр1\lИрОВ3НИЯ с ИСП()J]ьзованием Какоrоли60 метода (6)
5.5. Нормирование входов и выхода нечеткой модели 271 Xl: Xl Е [х lmin, Х lmaxJ .. .. Х2: Х2 Е [Х2тlт Х2тах] Ненорми рованная нечеткая модель у: у Е [Уmш, Утах] .. Xl: Xl Е [Хl mш , Xl max ] Х2: Х2 Е [Х2mш, Х2тах] Норми рованная нечеткая модель Рис. 5.90. Нормирование входов и выходов модели (N операция нормирова ния, x N нормированная величина, DN . операция денормирования) (например, увеличение уrла поворота а вала электродвиrателя происхо дит при условии, что включен источник питания), а также величины, являющиеся производными друrих величин (х == Dzjat) (например, про изводная ошибки сиrнала в системе управления). Теоретически, инте rралы и производные MorYT возрастать бесконечно, однако, в реальных системах их значения зачастую также оrраничены (хотя и MorYT быть очень большими), учитывая оrраничения мощности и быстродействия исполнительных механизмов, продолжительности работы системы и т. п. Оrраниченность сиrналов в системе может быть подтверждена результа тами наблюдений и измерений, и если оrраничения Х mаХ И Xmin известны, то можно выполнить их нормирование, называемое также масштабиро ванием (Driankov 1996; Yager 1995; Kahlert 1995). Нормирование вели чины х, имеющей интервал изменения [Xmin. X n1ax ], заключается в при ведении ero путем подходящеrо масштабирования к нормироваННОl'l1У ин тер валу [1, 1]. Также может использоваться интервал [0,1]. Принцип нормирования сиrналов нечеткой модели показан на рис. 5.90. Какие преимущества дает нормирование? 1. Для реальных систем, являюшихся подобными на качественном уровне, мы получаем сходные нормированные нечеткие модели, а при управлении подобными на качественном уровне процессаl\1И cxoд ные нормированные нечеткие реrуляторы, что дает разработчику воз можность при обрести способности и знания в области проектирова ния моделей и реrуляторов. 2. Приобретенные способности и опыт проектирования моделей и pe rуляторов для качественно подобных систем помоrают разработчику быстро, «на rлаз» создавать модели и реrуляторы, которые далее Tpe буют только настройки (при этом часто не значительной).
272 rлава 5. Нечеткие модели x N , , , , : 1 , I I , . I I , , r I , , , , , I Xmin: О Х тах , Х I I I I I , I I I , I , I , . , I I I , I I I , , I , I : 1 : I I , I N Х Х Хmеап Х mеаП == О.5(х mах + Хшiп) Хmах Xmin Рис. 5.91. Нормирование величины х с использованием интервала [1, 1] На рис. 5.91 показан метод нормирования с использованием интервала [1, 1]. Достоинство данноrо метода состоит в использовании интервала [1, 1] целиком, а недостаток связан с тем, что нулевые значения вели чин х и x N не совпадают, в то время как их совпадение иноrда может иметь определенную важность. Используется также упрощенный метод нормирования (Kahlert 1995), состоящий в том, что величина х делится только на некоторый постоян ный коэффициент (рис. 5.92). Достоинство упрощенноrо метода состоит в меньших вычислительных затратах, а также в том, что нормирован ная и ненормированная величины имеют общую точку отсчета (нулевое значение). Недостаток связан с rel\1, что интервал [1, 1] используется не полностью. Как показано на рис. 5.92, при Х == Xmin значение нормированной величины х).У отлично от 1. В связи с этим упрощенный метод HOp мирования следует использовать в первую очередь для симметричных интервалов ИЗl\fенения сиrналов, Т. е. если II Пliп I == /.L'Пlах 1. На рис. 5.93 показан метод нормирования с использованием интервала [0,1 J. После вычисления с помощью нормированной нечеткой модели BЫ ходноrо значения yIV, также являющеrося нормированным, необходимо ВЫПО.:1НИТЬ ero денормирование (рис. 5.89). ДеНОРf\лирование предстаВJ1Я ет собой обратную по отношению к нормированию операцию, и для ее выполнения должны быть известны маКСИl\:1альное (У!1lах) И ]\tlИНИJ\1аль ное СtJПliIl) выходные значения моделируемой системы либо маКСИlVlальное
5.5. Нормирование входов и выхода нечеткой модели 273 XN I I I 1 Xmin: I I I I I I I I I I I I I : 1 I I Х mах : I I I I I I I I I I I I I I I I I : Х N Х х Х 1пах > о Хшiп < О 1: 1 АХ ( I х шах 1. I х ш in 1) Рис. 5.92. Упрощенное нормирование величины х с использованием интерва ла [1, 1] N Х i 1 x N == f(x) \ х mш о Х mах Х N х Хшiп Х Х шах Хшiп Рис. 5.93. Нормирование величины х с использованием интервала [0,1] и минимальное значения, выдаваемые исполнительным механизмом си стемы управления. Формулы денормирования непосредственно выводятся из формул HOp мирования (рис. 5.915.93). Следует помнить, что нормированное BЫXOД ное значение ул r нормированной модели имеет симметричный интервал изменения r 1. 1], в то время как интервал [Yrl1il1, Ylnax] изменения дe нормированноrо выходноrо значения ,lj часто является несимметричным. Поэтому, в противоположность нормированию, здесь обычно возникает необходимость отображения СИl'лметричноrо интервала в асимметричный, что слеrка усложняет упроuенное леНОРf\1ирование. не оказывая при этом влияния на полный ero вариант (рис. 5.94). Преимущество метода денормирования. изображенноrо на рис. 5.94, состоит в полном использовании выходноrо диапазона модели
274 rлава 5. Нечеткие модели I I : Утах I I I I I I I I 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I , I I I у I I 1 О 1: yN I I I I I 1 I I I Ymin : I I I I у == f(yN) \ N У == У . (Ушах Ушill) + YlllcaIl Уше(tll == O.5(Yт(LX + Уrпш) Рис. 5.94. Денормирование yN У из интервала ylV : [ 1,1] с полным исполь зованием интервала У : [Уrпill< УПlах] [Ymin, Утах], а недостаток связан с несовпадением нулевых значений в шкалах yN и У (нулевое значение в шкале yN соответствует значению у == Утеаll. Для выполнения упрощенноrо нормирования MorYT использоваться два метода, представленные на рис. 5.95 и 5.96. В случае денормирования с большим коэффициентом преобразова ния (рис.5.95) при yIV == l на выходе нечеткой модели будет полу чено значение у == Yтax, лежащее за пределаrvIИ интервала изменения [Ymin, Утах] реальной системы, и тем самым, нечеткая модель будет BЫ числять несуществующие выходные значения. Будучи, как правило, Heдo пустимой в случае нечетких моделей, подобная ситуация может допус каться для нечетких реrуляторов, поскольку в этом случае исполнитель ным механизмом будет установлено значение у == УП1iп (эффект насыще ния). Тем не менее, такое денормирование вводит в систему управления дополнительную не.пинейность в виде оrраничения (насыщения) сиrна ла. На рис. 5.96 показан друrой вариант упрощенноrо денормирования: денормирование с меньшим коэффициентом преобразования. При использовании упрощенноrо денормирования с меньшим коэффи циентом преобразования (рис. 5.96) значение, выдаваемое нечеткой Moдe лью при у:У == 1, будет отличаться от максимальноrо, выдаваемоrо в этом
5.5. Нормирование входов и выхода нечеткой модели 275 у I I I I : Ушах I I y\N) I I I I I I I I I I I I 1: v N : 0/ I I I I I I I I I I I I I 1 Ушах ,у У == У . :L\IAX( I Ушilll. IУшах 1) Ушах > о Ушш < О Рис. 5.95. Упрощенное денормирование из интервала yN : [1 1] с коэффици ентом преобразования, равным NIАХ(IУrпiIlI IУПlахl) случае реальной системой, т. е. представление этой системы нечеткой MO делью не будет точным. Указанные проблемы, связанные с упрощенным денормированием, будут отсутствовать в случае симметричноrо интерва ла изменения [Ymin, УПlах]' т. е. если Утах == Ymin. На рис. 5.97 показано денормирование из интервала у/\! : [O 1]. Из приведенных на рис. 5.915.97 формул можно сделать вывод, что ОНИ выполняют линейное преобразование одной величины в друrую: lY k . ,р + I',АТ ,L .T,L, .{" О JV У == ky . у + Уа или lN == k;r . Х, 1'v" У == ky . у или при этом тип линейноrо преобразования зависит от выбранноrо метода нормирования (деНОрI\lирования). Коэффициенты k. r , ky являются посто янными, а .т о У , УП константы, зависящие от rраниц интервала значений
276 rлава 5. Нечеткие модели I I : УПlaХ I I I I I I I , I i I I I I I I I I I I I I У I I , I I I I I I I I I I I I I I I I t у == f(yN) 'Ушiпl 1: 1: yN t I I I I I , I I I t I . I I I I I : Ymin : I I I I У == y'V . :Lv1IN (jУшiп I IУшах') Ушах > о Ушiп < О Рис. 5.96. Упрощенное денормирование из интервала yl\/ : l 1.1] (' коэффици ентом преобразования, равным J\1IN (IУПllпl, IУrпах ,) у Ушах I , у == f(yN) \ \ о 11 yN I I I I I I I I I I I Уmш t- I N ( ) у == у . УШitХ УШlll + !}шill Рис. 5.97. Денормирование из интервала y.v : [О. j] в интервал у : [УJНiП' Уrпах] заданной переменной. rlолучаемую в результате нечеткую модель (pery лятор) можно представить в виде схемы, изображенной на рис. 5.98.
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 277 Нормированная нечеткая модель Хl N k N Хl= l Х l+ Х 10 База правил Дефаззи фикация I I : I -71 О 1 1 I I I Вывод l о 1 i Х п Рис. 5.98. Нечеткая модель с нормированной частью Если база правил нечеткой модели задана, то процесс настройки MO дели состоит в выборе подходящих модальных значений для каждоrо OT дельноrо нечеткоrо множества. Изменяя эти значения в интервале [1, 1], мы изменяем коэффициенты передачи нечеткой модели, и вследствие оrраниченности диапазона изменения указанным интервалом становит ся леrче понять процесс настройки нечеткой модели и приобрести опыт в данной области. Выполнять нормирование модели во всех возможных случаях нет необходимости. Тем не менее, оно при меняется во мноrих профессиональных системах нечеткоrо моделирования и управления. 5.6. Экстраполяция в нечетких моделях Нечеткие модели можно строить на основе выборок измерений входов и выходов системы. Точность представления реальных систем такими Moдe лями очень сильно зависит от пространственноrо распределения элемен тов выборки, используемых для моделирования. Наиболее блаrоприятной является ситуация, коrда элементы выборки распределены во входном пространстве равномерно (рис. 5.99, а). В практике моделирования часто возникает ситуация, коrда область значений не полностью покрывается элементами выборки. В особенности это касается больших систем (например, в экономике, биолоrии, эколо rии), коrда мы не в состоянии выполнить непосредственные измерения путем установки различных значений входов системы и снятия значений ее выходов, как это можно сделать, например, при измерении CKOpO сти движения судна в заВИСИl\10СТИ от частоты вращения rребноrо вин та и уrла установки ero лопастей. Для мноrих систем возможно лишь пассивное наблюдение входных и выходных состояний, например числа безработных в зависимости от числа рабочих мест, количества выпускни ков учебных заведений и величины пособия по безработице. На области
278 rлава 5. Нечеткие модели Х2 Х2 у' -o --с--- """'O"" 'O t:?' O Х 2 о о. о.. о. Ф I I I О 'о 'о О О 9 I О О а о о о о о I I I I -o o- 1) -o---- o--o-o--6 I I I I I I Х 2 : :o:5:;o::: o:i J О 000 CQ) 8aoo#roO"oo080 OQ..°o : 00 OoD o 8ооо(Оос:Роl5 16 о о 001 9000 rj:Jt"\oo \ OO O ""'(1) е 8 o : о.'; 00 :J!, .<>P" ,,8 .в..,-А'о.D' .''.\,%и> о : о 0000:.0 00 о o: о::S!"i'оО';CDcюg8 I Фо\Оg о Y'J'=Ig8 o:f 0000 gg OOoO8 о : oO{Oo 008 о 00:.01 о о j OQ:) о % 00 ci о о : ooo0r:P.'O о 00 о о 00 о ' ,\oo"!800oOo _ oOooooooJ:c o : ooooooo OO«Ь оо:."оо( 0:- vo.J,j;- :;.;oC'cbO ft}r:.8 : : 00 OO; u :oto:s о oo:; c L v goQ; : o:o'6cfoooo 00 dJ.a;:p O ooOQ)°g %00 00 OO I о oo 0neP о о CЬ m 0-)0 o.J о 8 с8 о о ОС 'о OOQoQJD 8 I g,.Looo ос8 о 00 о о OOQ:J:Jgoo о 0.0 'о О о : о 'o:; OC;; о о о OoDO& о 8 .2 ..LL.. .o. I I I I I I Х 1 I I Х 1 : . .: : l1li .: xr X 1 а) б) Рис. 5.99. Равномерное реrулярное распределение элементов выборки измере ний для моделируемой системы в пространстве X 1 х Х 2 (а) инеравномерное распределение с пустыми областями (6) значений, связанной с моделируемой системой, часто появляются BHYT ренние или внешние подобласти, которые, как показано на рис. 5.99,6, не содержат элементов выборки, и несмотря на отсутствие измеренных данных, во мноrих случаях требуются хотя бы приблизительные знания о поведении системы в этих областях. Эти знания зачастую можно полу чить на основе имеющихся элементов выборки. Иноrда, с целью допол нения информации, содержащейся в измерениях, MorYT использоваться качественные знания экспертов о моделируемой системе. Расширение поверхности модели на внутренние области, дЛЯ KO торых отсутствуют результаты измерений, называется интерполяцией, а на внешние области экстраполяцией (рис. 5.100). Х2 '...... ............ ............ .................--...-- Х) Рис. 5.100. Области интерполяции и экстраполяции модели
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 279 В настоящее время ведутся достаточно активные исследования, свя занные с моделированием областей входноrо пространства, для которых отсутствуют данные измерений. Данное направление называют исследо ванием неполной информации (Liao 1999). Анализ литературы по дaH ному вопросу позволяет сделать вывод, что в большей степени иссле дуются задачи интерполяции см., например, (K6czy 1993; Ullrich 1998; Dubois 1992) в то время как задачи нечеткой экстраполяции paCCMaT риваются редко. Между тем, экстраполяции является более важной для практики, по скольку часто необходимо предсказать поведение систем за пределами текущих областей их функционирования. Вот несколько примеров: . моделирование и проrноз продаж продукции с относительно неболь шой продолжительностью «жизненноrо цикла», обусловленной ее «моральным старением», как, например, в ситуации с компьютера ми. В нашем распоряжении имеются весьма оrраниченные данные за короткий период продаж, не дающие ИНфОРlVlации, которая OXBa тывала бы все аспекты данноrо процесса. Тем не менее, мы должны принять решение о том, на какие входные пара метры следует воздей ствовать, и сколько их должно быть, чтобы увеличить объем продаж; . управление с предсказанием: реrулятор должен предсказывать сле дующее состояние объекта на основе текущеrо и прошлых состояний и определять соответствующий управляющий сиrнал для следующеrо шаrа; . проrнозирование будущих значений курса акций по предыдущим ero значениям (моделирование временных рядов); . кодирование изображений с предсказанием (TianHu 1998): «для различных образов предсказываемые характеристики определяются на основе имеющихся характеристик соседних пикселов с использо ванием линейной экстраполяции». Рассмотренные при меры подтверждают важность и практическую ценность корректно выполненной экстраполяции. Все мы с той или иной степенью успеха каждый день используем ее для предсказания буду щих событий. Среди ученых есть и противники экстраполяции моделей (Niederlir1ski 1997), особенно это относится к статическим моделям. По этому представляется целесообразным рассмотреть основной смысл и об щую идею экстраполяции. Рассмотрим, что подразумевается под экстраполяций модели с об ластей, rде подтверждена ее достоверность, на новые, расширенные области, достоверность модели на которых не подтверждена.
280 rлава 5. Нечеткие модели у Проrиб моста, мм х I Система I у а с х наrpузка на мост, т Измерения Рис. 5.101. Пример характеристики (модели) у == f(x) системы типа 5150, определенной на основе имеющихся на данный момент знаний о моделируемой системе, а х Ь область определения (00) модели, совпадающая с ОД областью, [де достоверность модели подтверждена имеющимися к настоящему моменту данными измерений входов и выходов Предположим, мы хотим предсказать выходное значение системы у для входноrо значения х == с, расположенноrо за пределами области, rде достоверность модели к настоящему моменту подтверждена. Примером здесь может служить мост, максимально допустимая наrрузка KOToporo, соrласно ранее проводившимся вычислениям и экспериментам, составля ет 35 тонн, но в военных условиях требуется быстро переправить на про тивоположную сторону реки rруз весом 37 тонн. Возможен ли подоб ный риск? Что произойдет с мостом под действием чрезмерной наrруз ки несколько проrнется с превышением допустимоrо предела или же сломается? Строительство мостов производится с определенным запасом прочности, и любой мост должен выдерживать наrрузку, HeMHoro превы шающую допустимый предел, но наш мост уже достаточно старый и Me стами проржавел. Какое решение следует принять: производить или не производить транспортировку rруза, масса KOToporo HeMHoro преВЫUlает допустимую? Решение «транспортировать rруз» соответствует предположению о непрерывности экстраполяции характеристики моста на расширенную область определения см. при мер на рис. 5.102. Решение «не транспортировать rруз» соответствует принятию rипоте зы о том, что увеличение наrрузки до значения :r == с приведет к поломке моста (рис. 5.103). При мер с мостом является иллюстрацией Toro, что экстраполяция модели (показателя) носит характер предположения, которое не MO жет быть обосновано вследствие отсутствия в MOlVleHT принятия решений
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 281 у I : Неизвестная область модели : . I I I I I I Проrиб моста, мм Участок расширения модели а с х наrpузка на мост, т Измерения Рис. 5.102. Пример непрерывной экстраполяции характеристики моста на pac ширенную область определения у I : I I : I I : I , : I I : I I : I Проrиб моста, мм с х наrpузка на мост, т а Измерения Рис. 5.103. Экстраполяция известной характеристики моста в область увели ченной наrрузки х > Ь, предполаrающая ero поломку при нарузке х == с информации (результатов измерения) о поведении системы в новой обла сти. Подтверждение или опровержение rипотез можно выполнить только экспериментально, на основе будущих данных о системе, и лишь от нас зависит, каким образом будет производиться экстраполяция в область Неизвестноrо мы сами отвечаем за собственный риск. Но после TO ro, как принято решение о способе экстраполяции, возникает возмож насть получения количественной информации о том, чеrо можно ожи дать от модели в новой, расширенной области. С этой целью необходимо
282 rлава 5. Нечеткие модели иметь представление о возможных способах экстраполяции. Рассмотрим базовый метод, который предлаrает математика. Методы экстраполяции, используемые в рамках «традиционных» математических моделей у f ('Т1 Т2 . . . . Х 71 ), хорошо известны (Bronsztejn 1996). Оrраничимся рассмотрением системы с одним входом х, модель которой имеет вид у == /(:1'). Если модель у == f(.r) являет ся непрерывной и имеет непрерывные производные в rраничных точках области определения Х == [а, Ь], то используя разложение в ряд Тей лора, приближенное значение f*(x) в точке .1; == Ь + h, расположенной в непосредственной близости от области, [де достоверность модели под тверждена результатами измерений (будем обозначать эту область ОД), можно вычислить по формуле: h h 2 17 11 f(b ') f(b) + ,f'(b) + f»(b) + ... + f(п)(b) 1. 2. n. (5.81) [де rl порядок экстраполяции. Простейшим вариантом экстраполяции является экстраполяция HY левоrо порядка, представимая в виде: f*(b + h) == f(b) f*(a h) == f(a). (5.82) Пример такой экстраполяции приведен на рис. 5.104. Экстраполяция нулевоrо порядка является самой простой, и един ственная информация об области достоверности модели, которая Tpe буется при ее выполнении это rраничное значение функции f(a) или f(b). у f(x) * f(ah) I f(a) I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I :ОНД: * f(b) f (b+h) Q I I ОД ОНД Ь b+h х ah а Рис. 5.104. Экстраполяция нулевоrо порядка функции .f(x); [а. Ь] область дo стоверности функции (ОД), х < а, х > Ь области, в которых достоверность функции не подтверждена (аНД)
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 283 у f(x) * f (b+h) Q " " " f(b) ",," I I I I I I ... I f (a h ) / I \; : ОНД , ah а ОД I I I I I I I I I , I I I I I I I iонд: , I .. Ь b+h х f(a) Рис. 5.105. Экстраполяция первоrо порядка: ад область, [де достоверность модели подтверждена измерениями, анд область, достоверность модели в KO торой не подтверждена Экстраполяция nepBoro порядка выражается формулами f * (Ь + hJ) == f ( Ь) + 17.! ( Ь ) . f*(a h) == f(a) hf(a). (5.83) и ее при мер представлен на рис. 5.105. Экстраполяция первоrо порядка использует информацию не только о rранич.ном значнии функции f(a) и f(b), но также о значениях произ водной f(a) или f(b) на rранице области достоверности. Поэтому в дaH ном случае получение результата, в большей степени соrласующеrося с поведением системы в неизвестной смежной области, представляется более вероятным, чем при экстраполяции нулевоrо порядка. Указанную вероятность можно увеличивать, используя экстраполяцию BToporo по рядка (формула (5.84)) или более высоких порядков. Следует, однако. иметь в виду, что в любом случае мы имеем дело лишь с вероятностью, а не с фактом, допускающим научное обоснование. Априори, без выпол нения измерений в неизвестной области нельзя указать, какой способ экстраполяции будет более подходящим для конкретной системы. Тем не менее, во мноrих случаях требуется принимать решение на OCHO ве экстраполяции знаний, предоставляемых оrраниченными моделями систем, а также нечеткими моделями: 2 j*(b + h) == ЛЬ) + h.j(b) + j(b), 2 2 . h.. f*(a lL) == f(a) hf(a) + 2. f (a). ( 5.84 )
284 [лава 5. Нечеткие модели Каким образом можно произвести экстраполяцию нечеткой модели? Рассмотрим упрощенную задачу о приросте прибыли. Пример 5.6.1. Концерн супермаркетов в течение нескольких лет инве стировал различные суммы в развитие своей сети. что в результате каж дый rод давало ему различные значения прироста прибыли. Данные об этом представлены в табл. 5.15. т а б л и ц а 5.15 Капиталовложения концерна и их финансовые результаты [од 1997 1998 1999 2000 Капиталовложения СЕ [млн долл.] 100 150 210 230 Прирост прибыли дЕ [млн долл.] 220 270 300 ',) Руководство концерна считает возможным в 2000 r. инвестировать в строительство новых супермаркетов СУМl'лу в 230 млн долл. Какой при рост прибыли дЕ можно при этом ожидать? Данные табл. 5.15 представляют собой единственную количественную информацию, которую можно использовать для проrнозирования прибы ли от капиталовложений в 2000 r. На ее основе можно построить про стую нечеткую модель, содержащую три правила, имеющие вид (5.85). Данная модель представлена на рис. 5.106. ЕСЛИ (капиталовложения низкие) ТО (прирост прибыли низкий), ЕСЛИ (капиталовложения средние) ТО (прирост прибыли средний), ЕСЛИ (капиталовложения высокие) ТО (прирост прибыли высокий). (5.85) Для отдельных реrионов од можно без труда получить COOTBeTCTBY ющую нечеткой модели зависимость дЕ == f(CE) см. рис. 5.106: дЕ == СЕ + 120 для дЕ == 0.5 . СЕ + 195 для 100 СЕ 150, 150 < СЕ 210. (5.86) При использовании в пределах НДобластей (областей, rде не под тверждена достоверность модели) функций принадлежности «низкий», «средний» И «высокий», значения которых оrраничены интервалом [0,1] (рис. 5.106), будет возникать эффект насыщения, и поверхность модели будет иметь вид: дЕ == 220 дЛЯ д.Е == 300 для СЕ < 100, СЕ>210. (5.87)
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 285 М, млн ДОЛЛ. Средний 300 М==З00 Высокий 270 I I I I I I I I М == СЕ + 120 I I I I I I I I I I I I I :онд: I I I I . СЕ, МЛН ДОЛЛ. р(СЕ) 1 I I I I I I I I I : од , I I r I I r r I I I I I I I I I I I I I I I Средний Низкий 220 м == 220 OHдi , I I f.J(д-Е) 1 О 100 150 21 О 230 СЕ, млн ДОЛЛ. Рис. 5.106. Отображение «BXOДBЫXOД» нечеткой модели, определяющей вза имосвязь между величиной капиталовложений СЕ и при ростом прибыли дЕ концерна супермаркетов, с функциями принадлежности, значения которых orpa ничены интервалом [О, 1] Данная ситуация соответствует экстраполяции нулевоrо порядка, ис пользующая в нд областях только информацию о значениях функции на rранице области достоверности. В результате применения TaKoro типа экстраполяции, при большем объеме капиталовложений, СЕ == 230 млн долл., проrнозируемое значение прироста прибыли будет таким же, как в случае меньшеrо объема вложений, СЕ == 210 млн долл. (рис. 5.106). Подобный проrноз возможен, но мы вправе принимать и друrие rипотезы а том, каким будет выходное значение модели в неизвестной области. Введем теперь в нашу нечеткую модель новый тип функции принадлеж насти входных значений, как показано на рис. 5.107. В результате использования данных функций, в пределах области дo стоверности вид отображения «BXOДBЫXOД» остается таким же, как и в случае использования обычных функций принадлежности вида (5.86),
286 rлава 5. Нечеткие модели М, млн ДОЛЛ. Средний 300 270 I I I I I I I М==СЕ+ 120 Высокий Низкий 220 ОНД ОД f1(CE) 1 СЕ, млн ДОЛЛ. f1(дЕ) 1 о Рис. 5.107. Отображение «BXOДBЫXOД» нечеткой ;Vl0дели, определяющей вза имосвязь между величиной капиталовложений C.t' и приростом прибыли дЕ концерна супермаркетов, в которой значения крайних функций принадлежности не оrраничены интервалом [0.1] в то время как в нд областях формула экстраполяции приобретает сле дующий вид: дЕ == СЕ + 120 для дЕ == 0.5. СЕ + 195 для СЕ < 100 СЕ > 210. (5.88 ) в соответствии с полученной моделью проrноза, при объеме капи таловложений С Е == 230 млн долл. прирост прибыли дЕ составит 310 млн долл., что превосходит полученное в рамках предыдущей модели зна чение, равное 210 l\1ЛН долл. (рис. 5.107). Такой результат проrноза тоже является возможным, и мы сами должны выбрать, какой тип экстрапо ляции нулевоrо или первоrо порядка следует предпочесть. Как пока зано на рис. 5.106, нечеткая модель с традиционным видом функций при
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 287 надлежности нечувствительна к изменениям входных пара метров в HД областях, rде значения функций принадлежности являются постоянными, равными О или 1. В то же время модель, представленная на рис. 5.107, является чувствительной к изменению входов как в пределах области достоверности, так и в НДобластях. В НДобласти модель использует информацию не только о rраничном значении выходноrо пара метра дЕ == 300 млн долл., но также о вели чине наклона своей поверхности в прилеrающей к rранице части области достоверности, что соответствует экстраполяции первоrо порядка. . Можно ли обосновать значения степени принадлежности, боль шие 1 и меньшие О (отрицательные степени принадлежности), с по зиций здравой лоrики? Рассмотрим данный вопрос на при мере оцени вания роста человека. При мер 5.6.2. Предположим, что функция принадлежности линrвисти ческой переменной «рост» имеет вид, представленный на рис.5.108. Элементы х, степень принадлежности м(х) которых нечеткому множе ству равна 1, можно назвать «типовыми элементами» данноrо множества. В соответствии с заданными функциями принадлежности (рис. 5.108), ти повой человек среднеrо роста имеет рост 170 см, так как данное значение роста в полной мере (со степенью 1) соответствует понятию «средний». Типовой высокий человек имеет рост 185 см, который полностью (со CTe пенью 1) соответствует понятию «высокий. Типовой «очень высокий» рост равен 200 см. Степень принадлежности JL (х) элемента х нечет 1 Очень высокий fl(X) Низкий Средний Высокий Х, СМ Рl Р2 Р3 Рис. 5.108. Принадлежность трех разных человек Рl (190 см), Р2 (200 см) и Р3 (210 см) результату экстраполяции rраничноrо нечеткоrо множества «BЫ сокий»
288 rлава 5. Нечеткие модели кому множеству можно интерпретировать как степень ero сходства с типовым элементом данноrо множества. Степень сходства человека Р1, имеющеrо рост 190 см, с типовым высоким человеком равна 2/3, а с типовым очень высоким она COCTaB ляет 1/3. Иными словами, он обладает чертами «BbIcOKoro» человека со степенью 2/3 и чертами «очень BbIcoKoro» со степенью 1/3. Человек Р2, имеющий рост 200 см, имеет полное сходство с типо вым очень высоким человеком (степень сходства равна 1), а степень ero сходства с типовым высоким человеком равна о. Таким образом, он пол ностью обладает чертами «очень BbIcoKoro» человека и совсем не обладает чертами «BbICOKoro». Человек Р3, имеющий рост 210 см, обладает чертами «очень BЫCO Koro» человека в большей степени (5/3), чем типовой высокий человек с ростом 200 см. Иначе rоворя, этих черт у Hero больше, чем у типовоrо очень BbIcoKoro человека. С друrой стороны, чертами «BbIcoKoro» человека он обладает в MeHЬ шей степени, чем Р2, дЛЯ KOToporo эта степень равна о. Тем самым, CTe пень обладания Р3 чертами «BbIcoKoro» человека является отрицательной (равной 2/3). Отрицательную степень сходства можно интерпретиро вать как меру несходства (различия) с типовым элементом заданноrо множества. Если считать сходство относительной мерой объема черт, присущих заданному элементу по отношению к объему этих черт, имеющихся у наиболее типовоrо элемента рассматриваемоrо нечеткоrо мно)Кества, то становится понятной возможность существования элементов, принад лежащих этому мно)Кеству со степенями, большими 1, а также с OT рицательными степенями. С учетом этоrо рассмотрим вопрос: почему для внутренних множеств всеrда следует использовать функции принадлежности, значения которых оrраничены интервалом [0,1], а функции со значениями, выходящими за пределы этоrо интерва ла, можно использовать только для внешних множеств? Рассмотрим нечеткое множество, соответствующее среднему росту (рис. 5.109). Каждое из множеств определяет некоторый класс роста. Отдельные классы отличаются друr от друrа, поэтому каждый из них можно каким либо образом выделить и охарактеризовать. Типовой человек среднеrо роста должен отличаться от типовоrо BbIcoKoro человека, иными словами, у Hero не должно быть большоrо сходства с типовыми представителями смежных классов. Таким образом, для BHYTpeHHero класса, соответствую щеrо «среднему» росту, функция принадлежности, по мере приближения
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 289 1 Очень высокий I '4/3: , I , I , I I I I , I I I I I I I 1/3 х, см р(х) 163.3 175 Рис. 5.109. Нечеткие множества «очень низкий», «низкий», «средний», «BЫCO кий», «очень высокий» со своими типовыми элементами: 130 см (очень низкий), 150 см (низкий), 170 см (средний), 185 см (высокий), 200 см (очень высокий) к смежным классам, соответствующим «низкому» И «высокому» росту, должна убывать, принимая на их типовых элементах (150 и 185 см) Ma лае либо нулевое значение. Если функция, соответствующая классу «средний», при приближе нии к центру смежноrо с ним класса (например, «высокий») возрастает, то значение в этом центре будет больше 1, и таким образом, типовой рост BbIcoKoro человека, равный 185 см, будет «более» средним, чем типовой средний рост (170 см). В случае внутренних множеств каждый эле мент х можно сравнивать с типовыми элементами двух ближайших смежных классов. Например, рост 175 см (рис. 5.109) можно сравнивать с ростом 170 см, который является типовым для «среднеrо» класса, и с ростом 185 см, типовым для «BbIcoKoro» класса. Только таким образом рост можно однозначно определить на основе двух степеней принадлеж ности: 2 Мсредний (175) == 3" ' 1 Мсредний (1 75) == 3" . Определение данноrо значения роста на основе принадлежности толь ко одному классу, например классу «средний», будет являться HeOДHO значным, поскольку рост 163.3 см принадлежит данному классу с той же степенью: 2 ILсредний (175) == 3" ' 2 /Lсредний(163.3) == . 3 Это следует из Toro, что внутренние функции принадлежности имеют две ветви и в дополнение MorYT быть симметричными. Поэтому с целью обеспечения однозначности задания входных значений (фаззифика
290 rлава 5. Нечеткие модели ции) необходимо учитывать принадлежность двум смежным мно- жествам. Требование однозначности является важным при модели- tJ ровании причинноследственных связеи между входами и выходами системы, коrда нам требуется знать не только степень принадлежности элемента, но и то, находится он слева или справа от типовоrо элемента множества. Однозначность несущественна для задач распознавания образов и классификации, в которых требуется знать лишь меру близо сти определенноrо элемента к типовому, и при этом не имеет значения, с какой стороны от Hero он находится. Если же входное значение ле жит за пределами rраничноrо нечеткоrо множества, например, множества «очень высокий» на рис. 5.109, то смежные множества находятся только с одной стороны, и заданный элемент х, равный, например, 205 см, можно сравнивать только с типовыми элементами смежных множеств, находя щихся слева «очень высокий» И «высокий». Казалось бы, для обеспе чения однозначности фаззификации значения х достаточно использовать только одно ближайшее внешнее множество «очень высокий», поскольку оно позволяет различать два разных входных значения х, например, х == 205 см и х == 210 см: 4 /-Lочень высокий (205) == 3" ' 5 JLочен ь высокий (21 О) == 3" ' с помощью степеней принадлежности. Вместе с тем, представление в нечеткой модели внешних значений х с использованием только одной функции принадлежности приведет к экстраполяции не первоrо, а HY левоrо порядка это следует из Toro, что в данном случае в обла сти экстраполяции всеrда будет активизироваться только одно правило, и в соответствии с общей формулой дефаззификации (5.38) или (5.48), на выходе модели, содержащей одно правило, будет всеrда постоянное значение, равное координате УН одноэлементноrо множества, представ ляющеrо нечеткое заключение правила У == JLA * УВ/ МА, rде МА степень истинности условия этоrо правила. Для выполнения экстраполяции первоrо порядка необходима ин формация о величине наклона поверхности нечеткой модели в ее rраничной области. Данную информацию можно получить на осно- ве двух множеств: rраничноrо и непосредственно ему предшествующеrо. На рис. 5.109 это множества, соответственно, «очень высокий» И «BЫCO кий» . В случае если rраничные функции принадлежности принимают зна чения только в интервале [O 1], как на рис. 5.110, невозможно обеспечить однозначность задания (фаззификации) входных значений, находящихся
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 291 МХ) Очень низкий Низкий Средний Высокий Очень высокий 1 130 150 170 185 200 Х,СМ 205 210 Рис. 5.110. Классификация роста людей при оrраничении степеней принадлеж насти внешним множествами значениями из интервала [0,1] за пределами типовых значений внешних множеств (например, значений роста, равных 205 и 210 см), поскольку: J.lочень высокий (205) == 1, J.lвысокий (205) == о, J.lочень высокий(210) == 1, J.lвысокий (210) == о. Это означает, что после выполнения фаззификации нечеткая модель не сможет их различать, и для всех входных значений х > 200 см будет получено одно и то же выходное значение. Подобная нечеткая модель выполняет экстраполяцию нулевоrо порядка. . Принадлежность нечеткому множеству можно интерпретировать в терминах истинности (как истинность Toro факта, что элемент принад лежит множеству или обладает соответствующими заданному множеству чертами). В классической лоrике используются два значения истинности, О и 1 (т. е. множество {O,l}). Указанные значения можно назвать «четкой истинностью» . Между тем, внечеткой лоrике используются также дробные значе ния истинности, при надлежащие интервалу [о, 1]. Поскольку нечеткая модель, основанная на данном интервале значений истинности, зада ет интерполяционную поверхность между точками пространства входов и выходов, задаваемыми с помощью лоrических правил (например, пра вил (5.85), рис.5.106), то значения истинности, при надлежащие ин тервалу [O 1], автор предлаrает называть «интерполяционной истин ностью». Возможность экстраполяции первоrо порядка обеспечивается использованием значений истинности, лежащих за пределами интер вала [o 1], поэтому эти значения можно назвать «экстраполяционной истинностью ». На рис. 5.111 показаны интервалы с различными типами истинности.
292 rлава 5. Нечеткие модели Нечеткая I I I Нечеткая I Нечеткая I I экстраполя I интерполя I экстраполя I I ционная I ционная I ционная I , истинность I истинность I истинность I I ..... .1... I I I I I I I I I I I I I I I I О 9 . O: /:1 f.l(x) I Четкая I I I I истинность I I I I I f.l(x) < О I О :::; f.l(x) :::; 1 I f.l(x) > 1 Рис. 5.111. Типы истинности утверждений о принадлежности нечеткому MHO жеству Область достоверности Поверхность экстраполяции нулевоrо порядка Поверхность, соответствуН)uцая области достоверности Х2 Область достоверности хl Рис. 5.112. Расширение поверхности модели с использованием экстраполяции нулевоrо порядка Для иллюстрации понятий нечеткой экстраполяции нулевоrо и пер Boro порядков до настоящеrо времени использовались при меры систем с одним входом. На рис. 5.112 и 5.113 показаны различия между поверхно стями экстраполяции нулевоrо и первоrо порядков для системы с двумя входами.
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 293 Поверхность, соответствующая области достоверности Поверхность экстраполяции нулевоrо порядка Область достоверности Х2 Область достоверности Хl Рис. 5.113. Расширение поверхности модели с использованием экстраполяции первоrо порядка Исследования автора и ero коллеr (Piegat 1997с) подтвердили прак тическую обоснованность использования в нечетких моделях понятия экстраполяционной истинности. Для настройки нечетких моделей, представленных в форме нейро нечетких сетей, мо)Кно использовать метод обратноrо распространения ошибки (Brown 1994). На входы нейронечеткой сети подаются измерения параметров моделируемой системы, и сеть вычисляет ее выходное значе ние, а так)Ке ошибку на выходе, которая используется для корректиров ки параметров функции принадле)Кности, например, пара метров Ql, й2, аз, а4 на рис.5.114. Корректировка пара метров производится до тех пор, пока не будут найдены их оптимальные (или субоптимальные) значения, минимизиру ющие среднюю ошибку сети. В начале процесса настройки значения па раметров обычно задают случайным образом, и если эти значения, как показано на рис.5.114, находятся близко друr к друrу, то при исполь зовании оrраниченных крайних функций принадлежности (рис. 5.114, а) часть измеренных данных, попавшая в зону нечувствительности модели
294 rлава 5. Нечеткие модели f.1(x) af.1(X) == о дх I др(х) ;t О ! дх : I I I af.1(x) о дх 1 Нечувстви тельность Нечувстви тельность х Настроечные измерения входов а) р(х) ар(х) ;t о дх 1 х б) Рис. 5.114. Различные формы rраничных функций принадлежности и их влия ние на возникновение зон нечувствительности, замедляющих процесс настройки нейронечетких сетей: а) оrраниченные функции принадлежности, б) неоrрани ченные функции принадлежности (с нулевыми производными), не приводит к какойлибо коррекции HaCTpa иваемых пара метров, вследствие чеrо процесс настройки замедляется. При использовании неоrраниченных крайних функций принадлеж ности (рис. 5.114,6) зоны нечувствительности не возникают, и все из меренные данные обеспечивают корректировку пара метров, что приво дит К ускорению обучения. Влияние экстраполяционной истинности на процесс настройки нейронечетких сетей исследовалось экспериментально (Piegat 1997с). Пример 5.6.3. В эксперименте исследовалось влияние экстраполяцион ной истинности на скорость и точность настройки нейронечеткоrо pery лятора. Задача состояла в настройке реrулятора на работу в качестве классическоrо пид реrулятора (рис. 5.115). Структура нейронечеткоrо реrулятора представлена на рис.5.116.
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 295 Модель Mrт(k) ПИДреrулятора e(k) Нейронечеткий Mr(k) реrулятор Рис. 5.115. Схема настройки нейронечеткоrо реrулятора Таблица 5.16 Ошибка настройки нейронечеткоrо реrулятора с использованием экстра поляционной истинности (С/Е) И без ее использования (С/) после прохож дения 500 эпох Начальное Абсолютная средняя ошибка состояние С Т С 1Е Sl 0,331 0,168 0,330 0,108 Sз 0,466 0,442 S4 0,296 0,074 S5 0,369 0,009 в качестве обучающеrо использовался треуrольный сиrнал e(k) еди ничной амплитуды длительностью 10 с. В ответ на этот сиrнал, пред ставленный на рис. 5.117, а, моделью реrулятора rенерировался выходной сиrнал, представленный на рис. 5.117, 6. Указанные сиrналы использовались для настройки двух нейронечет ких реrуляторов: реrулятора С1, в котором применялась только интер поляционная истинность, и реrулятора С1Е, использующеrо как интер поляционную, так и экстраполяционную истинность. Настройка каждоrо реrулятора осуществлялась в течение 500 эпох. Были выполнены пять экспериментов по настройке сети для пяти различных начальных COCTO яний 51- . . . . ,'). Их результаты приведены в табл. 5.16. Данные табл.5.16 rоворят об очевидном, основанном на экстраполя ционной истине, преимуществе реrулятора С1Е в отношении скорости настройки в течение выбранноrо BpeMeHHoro периода для данноrо pe rулятора была достиrнута более высокая точность. Друrие эксперимен ты показали, что преимущество реrулятора С1Е перед С1 значительно увеличивается с возрастанием амплитуды входноrо сиrнала (рис.5.117).
296 rлава 5. Нечеткие модели e(k) . M ( k ) М . ( k ) r13 M r26 (k 1 Рис. 5.116. Нейронечеткий реrулятор, использовавшийся в эксперименте в случае уменьшения амплитуды, при достаточно малом ее значении настройка обоих реrуляторов начинает происходить с одинаковой CKOpO стью. Таким образом, результаты эксперимента позволяют сделать вывод о неrативном влиянии зон нечувствительности функций принадлежно сти на скорость настройки нейронечетких сетей. На рис. 5.118 показаны типичные различия в скорости и точности настройки реrуляторов СI и C 1E . .
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 297 е 1 о 00 о о о о о 0.8 000 000 000 000 о о о о о о о о 0.6 000 000 000 000 о о о о о о о о 0.4 000 000 000 000 о о о о о о о о о о о о 0.2 000 000 000 000 о 000000 000000 00 00 о о о о 0.2 000 000 000 000 о о о о о о о о 0.4 000 000 000 000 о о о о о о о о 0.6 000 000 000 000 о о о о о о о о 0.8 000 000 000 000 о о о о о о о о 1 00 0000 00 о 2 4 6 8 t, с а) M rт 2 1.5 1 "".. oo .. 0.5 000 00 0000 000 О 000 00 00 00 00 00 00 00 000 00 00 00 0.5 о о 00 о о о о о о о 00 о 1 oJ> о <:/,0 о .5 O 2 2.5 О 2 4 6 8 t, с б) Рис. 5.117. Обучающие сиrналы, rенерируемые моделью ПИДреrулятора: е входной, Лl rtn выходной сиrналы Рассмотренные эксперименты подтверждают, что указанные практи ческие преимущества являются следствиеl\1 использования внечетких моделях экстраполяционной истинности. Кроме Toro, данный тип истин ности позволяет более эффективно восстанавливать числовые входные сиrналы на основе их нечетких кодов указанная задача была поставле на Бартоланом и Педричем в (Bartolan 1997). Далее приведем пояснения к нескольким наиболее частым вопро сам и сомнениям, касающимся экстраполяции nepBoro порядка, спо собствующие более rлубокому пониманию ее сути. Вопрос 1. Идея экстраполяции функций принадлежности за пределы ин тер вала [0,1] на самом деле не является необходимоЙ. Можно ввести новые внешние термы, используя при этом обычные функции принад
298 rлава 5. Нечеткие модели & 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 00 С/Е 100 200 300 400 N2 ЭПОХИ & 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 00 С/ 100 200 300 400 N2 ЭПОХИ Рис. 5.118. Сравнение скорости и точности настройки реrуляторов с использо ванием экстраполяционной истинности (С 1 Е) И без ее использования (С 1) лежности, и тот же самый результат будет достиrнут без нарушения принципов теории нечетких множеств. Ответ 1. Рассмотрим при мер простой нечеткой модели с базой правил вида Rl: ЕСЛИ (х == малый) ТО (у == малый), R2: ЕСЛИ (х == средний) ТО (у == большой), R3: ЕСЛИ (х == большой) ТО (у == средний), R4: ЕСЛИ (х == очень большой) ТО (у == очень большой), (5.89) и функциями принадлежности, представленными на рис.5.119. Для расширения модели путем введения новых внешних нечетких множеств «очень малый» (V S) и «оrромный» (Н) необходимо: а) определить модальные значения x\/s и ХН этих множеств (рис. 5.119);
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 299 у b: == Ji{X ) 1 Х м В 1 bl==? S Ji(y) 1 vs \ / I \ / , \ / , V , /\ , / \ I / \ / \ н \ /1 \ /' \ / I V I /\ I / \ , / \, Xvs ==? ХН ==? Результаты измерений у Рис. 5.119. Расширение области определения (00) модели за пределы ОД области, в которой достоверность модели подтверждена измерениями входов и выходов моделируемой системы, путем введения новых внешних нечетких множеств «очень малый» (V В) и «оrромный» (Н) дЛЯ входа х и выхода у б) ввести в модель новые правила, ставящие в соответствие новым BXOД ным значениям х == V S и х == Н выходные множества у == В 1 И У == В 2 : RO: ЕСЛИ (х == очень малый) ТО (у == В}), R5: ЕСЛИ (х == оrромный) ТО (у == В 2 ); В) определить модальные значения новых выходных множеств В 1 и В2, используемых для оценки пара метра у (рис.5.119). Каким образом выполнить требования а) и в) при отсутствии дaH ных измерений входов I и выходов У моделируемой системы в новой, расширенной области определения модели? Определение модальных значений на основе данных из области дo стоверности нечеткой модели означало бы применение экстраполяции, и в этом случае следовало бы выбрать определенный ее тип (нулевоrо, первоrо или более высоких порядков). Определение новых модальных значений без использования информации из области достоверности MO
300 rлава 5. Нечеткие модели Очень Очень ( ) низкий Средний высокий JlX \В V Низкий ЫСОКИИ 1 Jl(X) 1 Очень высокий 130 150 170 185 200 Х, см 200 Х, СМ 185 а) б) Рис. 5.120. При мер нечеткой классификации человеческоrо роста (а) инечеткое множество «очень высокий», расширенное за пределы интервала [О, 1] (6) дели (а, стало быть, вообще без использования какойлибо информации) представляло бы собой ни на чем не основанные доrадки. Вопрос 2. Допуская корректность предложенноrо расширения области значений функции принадлежности за пределы интервала [0,1], в ситу ации с оценкой роста можно утверждать, что для задания роста любоrо человека достаточно только множества «очень высокий» (рис. 5.120, 6). И так как с помощью этоrо множества можно представить (закодиро вать) все возможные значения роста, понятие принадлежности оказыва ется бесполезным. Ответ 2. При мер нечеткой классификации значений человеческоrо роста представлен на рис. 5.120, а. Действительно, используя только множество «очень высокий», продолженное в области значений, больших 1, и зна чений, меньших О, можно представить (закодировать) все возможные значения роста. Однако, такое кодирование предоставляет информацию только о степени соответствия определенноrо значения роста типовому значению «очень высокий», равному 200 см, не давая при этом инфор мации о том, насколько данный рост соответствует «очень низкому», «низкому», «среднему» или «высокому». Ни одну обоснованную класси фикацию нельзя выполнить, используя для оценки роста только одну функцию принадлежности (один класс). Поэтому расширение внешних нечетких множеств не означает, что друrие множества (классы) не явля ются необходимыми. Вопрос 3. Если интерпретировать степень принадлежности МА(Х) == 1 как «Х принадлежит множеству А», то непонятно, как интерпретиро вать степень lA(X) > 1. Если интерпретировать степень принадлежности МА(Х) == О как «;1; не принадлежит множеству А», то непонятно, как интерпретировать степень МА(Х) < о.
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 301 у м 8 Поверхность модели i I I I I I I I I L I I I I I I , , , , , ОД == 00 Rl: ЕСЛИ ! X=S) то (y=S) R2: ЕСЛИ х=М) ТО (y=L) R3: ЕСЛИ x=L) ТО (у=М) R4: ЕСЛИ х= VL) ТО (у= VL) VL L р(у) 1 , I Х I I I I I I I , f I , I р(х) I I I ,8 :М :L : VL I I 1 Xs Хм XL XVL х Рис. 5.121. Пример нечеткой модели системы типа SISO, rде: S малый, А1 средний, L большой, V L очень большой Ответ 3. Рассмотрим нечеткую модель, представленную на рис. 5.121, co держащую правила вида ЕСЛИ (х == A i ) ТО (у == B j ), т. е., например, ЕСЛИ (х == очень большой) ТО (у == очень большой), и укажем на два важных вида информации, которую несет функция при надлежности, задающая нечеткое множество в условной части правила. 1. Функция принадлежности задает область значений входноrо парамет ра х, в пределах которой правило имеет силу и может быть активизи ровано. Например, правило R4: ЕСЛИ (х == V L) ТО (у == V L) имеет силу только на интервале XL < :С < X'/L. Если значение х находится за пределами данной области (носителя функции принадлежности), то заключение правила не активизируется (т. е. не срабатывает) BO обще и, тем самым, не участвует в выводе. Сказанное справедливо и в случае MHoroMepHbIx функций принадлежности составных условий правил в системе типа MISO. 2. Функция принадлежности условной части правила определяет CTe пень активизации ero заключения для заданноrо входноrо значе ния f (или входноrо вектора Х в случае системы типа MISO).
302 rлава 5. Нечеткие модели Если входное значение Х совпадает с модальным значением усло вия правила R4 (х == Xv 1.1)' то заключение данноrо правила: ЕСЛИ (х == V L) ТО (у == V L) активизируется со степенью 1. При Х == XL (рис. 5.121) степень активизации правила равна О, а при значении Х, лежащем в интервале J'L < .r < J'\i/ L, данная степень является дробным числом. Таким образом, сила активизации заклю чения правила зависит от расстояния между входным значением х и модальным значением функции принадлежности, соответствующей условию правила, а также от формы данной функции, которая в об щем случае выбирается не произвольно, а так, чтобы обеспечить как можно большую точность модели (Baglio 1994). Если требуется расширение нечеткой модели вправо, то необходи мо расширить область действия правил, связанных с ее правой rраницей. Для модели, представленной на рис. 5.121, таким правилами являются R4 и R3. Расширение области действия правил подразумевает расширение области определения функций принадлежности их условий. При расши рении области определения rраничных функций принадлежности «боль шой» и «очень большой» так, как показано на рис. 5.122, а, мы получаем нулевой порядок экстраполяции модели, а при расширении, показанном на рис. 5.122, б, первый порядок. Тем самым, мы должны принять pe шение о том, какой тип экстраполяции необходим для нашей системы. В модели, представленной на рис. 5.122, а, степень активизации за ключения «rраничноrо» правила R4: ЕСЛИ (х == V L) ТО (у == V L) при Х > XVL всеrда равна 1, а в модели, представленной на рис. 5.122, 6, всеrда больше 1, и именно такой вариант активизации (М(Х) > 1) необхо димо использовать, если требуется первый порядок экстраполяции. Тем самым, мы получаем ответ на первую часть вопроса 3 об интерпретации значений МА(Х) > 1: в моделях типа «BXOДBЫXOД» степень принадлеж.. ности МЛ(Х) > 1 может означать, что условие правила «более чем выполняется», и это приводит К усилению активизации заключе.. ния (сказанное относится только к rраничным входным нечетким множе ствам, но не к внутренним см. пояснение к примеру 5.6.2). Утверждение вида «условие более чем выполняется» часто используется людьми в по вседнеВНОlVl общении. Аналоrично, степень принадлежности МА(Х) < О может означать, что условие правила «бо.Jlее чем не выполняется», и это приводит К отрицательному уровню активизации заключения. Значение MA(Y) понимается чаще Bcero как степень принадлежно сти 1; нечеткому 1'vlножеству А. Степень при надлежности является по J10жительной, и ее точная верхняя [рань (супреlVIУМ) равна 1 (для HOp
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 303 у VL L м s VR р(у) 1 р(х) 1 Xs ХМ XL XVL Х а) у м s I I I I I I I I L I I I I , I I I I I : VR VL L р(х) 1 Х р(у) 1 Х б) Рис. 5.122. Расширение нечеткой модели, представленной на рис.5.121, с при менением экстраполяции нулевоrо (а) и первоrо (6) порядка мированноrо нечеткоrо множества) (Zimmermann 1991). ПОМИМО этоrо, степень принадлежности МА(Х) можно понимать как степень сходства заданноrо элемента Х с типовым для множества А элементом ХА, KO торый полностью (со степенью, равной 1) принадлежит данному множе ству (например, типовая температура теплоrо воздуха случай функции
304 rлава 5. Нечеткие модели р(х) Низкий Средний Высокий 1 р(х) 1 Средний t Сходство Доход, тыс. долл. XL == 1 ХМ== 5 ХН== 10 Х Хм=' 5 Х а) б) Недостаточное сходство 1.2 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Чрезмерное сходство р(х) 1 5 ХН== 1011 х, тыс. долл. в) Рис. 5.123. Функции принадлежности линrвистической переменной Х == доход, XL == $1000, X!V! == $5000, .тн == $10 ooo типичные элементы для множеств «низкий», «средний» И «высокий» принадлежности одной переменной, типовой кредитоспособный клиент банка случай функции принадлежности мноrих переменных). Число типовых элементов может быть бесконечным например, для трапецие видных функций принадлежности. Использовавшиеся до настоящеrо времени функции принадлежности (подобные тем, что представлены на рис. 5.123, а) несли информацию только о том, с какой степенью значение Х принадлежит заданному MHO жеству. Если же рассматривать МА(Х) как степень сходства, то воз никает вопрос, почему элементы Х, превосходящие по величине ти" повой элемент правоrо rраничноrо нечеткоrо множества (например, Х > Хl/ на рис. 5.123, в), всеrда, независимо от их значений, следует считать одинаково схожими с типовым элементом? Обратим внима ние, что в отличие элементов, находящихся справа от типовоrо элемен та .l'н, элементы слева от Hero (т. е. Х < хн) имеют различную степень сходства. Почему бы не предположить, что нечеткое множество А предстаВJ1Я ет собой множество элементов .Т, среди которых выделен типовой (xa рактеристический) элемент Т,4 (либо подмножество типовых элементов). имеющий степень сходства j1JЛ(Х) == 1, и имеются друrие элементы, CTe пени сходства которых изменяются в пределах, выбираемых с учетом удобства для решения рассматриваемой задачи? В соответствии с данной интерпретацией, нечеткое множество А можно определить слеДУЮЩИlV1
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 305 образом: А == {(Х, МА(х))1 ХА, !LAmin LA(X) !LАПlах, Х Е Х}. (5.90) Например, нечеткое множество Аз == «высокий доход», представлен ное на рис. 5.123,8, определялось бы в этом случае так: А { ( ( ) х 5000 10000 з == х, !LАз Х == 5000 ХА;) == , О !LАз(Х) 199999,Х Е [0,1000000]}. Нормированное нечеткое множество в данной ситуации можно интер претировать как множество, типовой элемент (или подмножество типо вых элементов) KOToporo имеет степень сходства, равную 1. Об интервале О < МА (:У) 1 можно rоворить, как об интервале сходства, об интерва ле oo < МА(Х) О как об интервале несходства или различия и об интервале 1 < IL.A(X) < 00 как об интервале чрезмерноrо сходства (рис. 5.123, б, в). В условиях каждой конкретной задачи можно исполь зовать собственный интервал значений принадлежности, не обязательно оrраничивая ero пределами [О, 1]. Вопрос 4. Понятие экстраполяции связано с линейным расширением (продолжением) стандартных треуrольных или трапециевидных функций принадлежности линейность подтверждается разложением в ряд Тей лора. Поэтому в простейших случаях, коrда для моделирования линr вистических термов используются треуrольники, линейное расширение, по крайней мере на первый взrляд, представляется обоснованным. Но что же будет при использовании функций принадлежности п, s и z типов? В этом случае первая и последняя функции (имеющие COOTBeT ственно z и sтип) на участках продолжения будут постоянными, по скольку, В соответствии с определением этих функций, их производные в пиковых точках равны нулю. И что будет в случае rayccoBbIX функций принадлежности? Ответ 4. Оrраничимся рассмотрениеl\1 нечетких моделей, внутренние множества A i которых удовлетворяют условию разбиения единицы n (L Р" l L (J') : 1). Экстраполяция нечеткой модели подразумевает расши i== 1 рение ее области определения за пределы участка достоверности Moдe ли. Это lV10ЖНО выполнить путем расширения областей действия двух содержащихся в модели rраничных правил, при ЭТОlVl «линейный Me ТОД расширения и продол/кения» применяется только в случае функций принадлежности треуrольноr'о, но, как будет показано далее, не Tpa пециевидноrо типа. В соответствии с формальным, математическим
306 rлава 5. Нечеткие модели у VL L М R!: ЕСЛИ xS) ТО (yS) R2: ЕСЛИ XМ) ТО (y S ю: ЕСЛИ XL) ТО (y R4: ЕСЛИ х== VL) ТО (у== VL) ОД Ji(v) 1 х Ji(x) 1 х Рис. 5.124. Экстраполяция первоrо порядка нечеткой модели с трапециевидны ми функциями принадлежности значений входа х определением (5.83), экстраполяция nepBoro порядка предполаrает линейное расширение, или продолжение наклонной поверхности Moдe ли из внутренней приrраничной области во внешнюю, расположенную с ней по соседству. Наклон поверхности определяется, rлавным обра зом, ее опорными точками, координаты которых задаются заключениями отдельных правил при входных значениях Xi, равных модальным зна чениям (типовым элементам) нечетких множеств, находящихся в усло виях правил (см. разд.5.2.1). В связи с этим расширение rраничных функций принадлежности следует выполнять таким образом, что бы обеспечить их прохождение через точки, соответствующие MO дальным (типовым) значениям этих функций. Пример экстраполяции нечеткой модели с трапециевидными ФУНКЦИЯI\1И принадлежности пред ставлен на рис. 5.124. Таким образом, расширение области действия rраничных npa вил путем линейноrо продолжения rраничных функций принадлеж ности возможно только при использовании в модели треуrольных функций "ринаДJIежности (рис. 5.125).
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 307 у м s Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) R2: ЕСЛИ (х=м) ТО (y=L) R3: ЕСЛИ (x=L) ТО (У=М) R4: ЕСЛИ (х= VL) ТО (у= VL) Поверхность нечеткой модели VL L ,u(x) 1 х JL(Y) 1 х Рис. 5.125. Экстраполяция первоrо порядка нечеткой модели с треуrольными функциями принадлежности значений входа х На рис.5.126 показан метод выполнения экстраполяции моделей с rауссовыми функциями принадлежности, приводящий к небольшому Ha n рушению условия разбиения единицы (2: МА 1 (Х) == 1). i==l Поскольку экстраполяция первоrо порядка по определению являет ся линейной, то для продолжения rayccoBbIX функций принадлежности используются прямолинейные участки, проходящие через точки пересе чения rрафиков rраничных функций с линиями, проходящими через их модальные (типовые) значения перпендикулярно оси абсцисс. Для функ ции принадлежности V L (рис. 5.126) такими точками являются а2 и аз, а для функции L аl и а4. Блаrодаря указанному обстоятельству, на rpa ницах области достоверности (ОД) не произойдет скачкообразноrо изме нения выходноrо значения модели. Для rayccoBbIX функций принадлеж ности возможна также экстраполяция первоrо порядка, существенно Ha рушающая условие разбиения единицы, но она является более сложной, поскольку в ней требуется учитывать более ДВУХ rраничных правил. Для сравнения на рис. 5.127 приведен метод выполнения экстраполяции нуле 80ro порядка для rayccoBbIX функuий принаД,,1ежности, а на рис. 5.128 для трапециевидных функций принадлежности.
З08 rлава 5. Нечеткие модели у VL L Поверхность нечеткой модели : Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) : R2: ЕСЛИ x=м) ТО (y=L) : R3: ЕСЛИ x=L) ТО (У=М) : R4: ЕСЛИ х= VL) ТО (у= VL) I I I I I I I I I м s Jl (у) 1 х Jl(x) 1 Рис. 5.126. Экстраполяция первоrо порядка нечеткой модели с rауссовыми функциями принадлежности значений входа х у м s Поверхность нечеткой модели VL L ОД Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) R2: ЕСЛИ (х=М) ТО (y=L) i R3: ЕСЛИ (x=L) ТО (У=М) I : R4: ЕСЛИ (х= VL) ТО (у= VL) 1 I I I I I I I Jl(x) 1 х Jl(y) 1 Xs Хм X L X VL х Рис. 5.127. Экстраполяция HYи1eBoro порядка нечеткой модели с rауссовыми функциями принадлежности, ОД область достонерности модели
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 309 у VL Поверхность нечетк I I I L I I I I I :Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) М :R2: ЕСЛИ (х=М) ТО (y=L) :R3: ЕСЛИ (x=L) ТО (У=М) S :R4: ЕСЛИ (х= VL) ТО (у= VL) ОД JL(Y) 1 I I I I Х I I I I I , I I I I I I I I I I JL(x) I I I I I I I I I I I I :s :м :L VL: 1 Xs хм X L X VL х Рис. 5.128. Экстраполяция нулевоrо порядка нечеткой модели с трапециевид ными функциями принадлежности значений входа х Вопрос 5. На чем основано предположение о допустимости расширения функций принадлежности за пределы области существующих данных? Связь между отображением «BXOДBЫXOД» моделируемой системы и KOH кретным выбором функций принадлежности не является однозначной. В таком случае почему следует считать адекватным именно линейное продолжение модели? Теоретическое обоснование данноrо факта OTCYT ствует, а «слепое» расширение rраниц может привести к нежелательном:у эффекту, связанному с наличием высоких, резко выделяющихся значений (выбросов) степеней принадлежности данных. Ответ 5. Продолжение функций принадлежности за пределы области cy ществования данных необходимо в том случае, если предпринимается попытка выполнить экстраполяцию нечеткой lV10дели. Используемый тип экстраполяции (нулевоrо, первоrо или более высоких порядков) при этом имеет характер предположения и зависит от нашеrо выбора. Будет ли вы.. бранный метод экстраполяции корректным, в момент выбора установить нельзя, в силу отсутствия данных о поведении системы внеизученной, расширенной области. Подтвердить обоснованность выбора мо)кно лишь впоследствии, после Toro, как будут получены соответствующие данные из расширенной области. Выбор l\1етода экстраполяции определяет спо.. соб продолжения rраничных функций принадлежности, при этом pac
310 rлава 5. Нечеткие модели у у Поверхность модели : -, 1 I 1 I / I :: / I I I / I I I / I I t / 1 I I / I I I . I од I I I I I I I I I I /1 / I ( : , I I I I I ОД ..., "'1 1 I I I I I I I I I I I 1 I , I I I I : Расширение 00 : '. .' х I I I : Расширение 00 1. : х I I I .' а) б) Рис. 5.129. Меньшее (а) и большее (6) расширение области определения (00) нечеткой модели в зависимости от степени ее нелинейности в области ДOCTO верности (ОД) тирение нечеткой модели не обязательно должно быть линейным можно выбирать друrие методы, которые, по нашему мнению, MorYT при вести к лучшим результатам. Большие отклонения (выбросы) расширен ной нечеткой модели возникают при неправильном выборе метода экс траполяции. Кроме Toro, поскольку вероятность возникновения выбросов увеличивается по мере удаления от области достоверности модели, pac ширение не должно быть очень большим. Вопрос 6. Область достоверности экстраполяции представляет собой OT крытый вопрос, требующий KOHKpeTHoro рассмотрения. Ответ 6. Расширение области определения модели не должно быть боль шим например, расширение до 105% от исходной области является бо лее предпочтительным, чем до 150%. При значительной изменчивости (нелинейности) поверхности модели следует выбирать меньшее расшире ние (рис. 5.129, а), а в случае малой кривизны (рис. 5.129, 6) расширение может быть большим. Вопрос 7. Степени принадлежности, выходящие за пределы интервала [О. 1], не имеют никаких преимуществ. Ответ 7. Блаrодаря знанию методов экстраполяции нечетких моделей, можно расширять их исходные области определения путем добавления к ним участков, непосредственно прилеrающих к областям ДOCTOBepHO сти моделей (при мер 5.6.1). Как было показано в при мере 5.6.3, использо вание экстраполяции первоrо порядка в нейронечетких моделях (сетях) при водит к повышению скорости их настройки.
5.7. Типы нечетких моделей 311 5.7. Типы нечетких моделей По мере развития нечеткой лоrики разрабатываются новые типы нечет ких моделей (Babuska 1995Ь,с; Pedrycz 1994а; Yager 1994; Brown 1994). Целью создания новых моделей является обеспечение большей точно сти и размерности, а также упрощение их структуры. Необходимость разработки новых моделей вызвана также большим разнообразием cy ществующих реальных систем, различными видами информации об этих системах и разной степенью ее доступности. Основное преимущество нечетких моделей по сравнению с традици онными математическими моделями связано с возможностью использова ния для их разработки значительно меньших объемов информации о си стеме, при этом информация может носить приближенный, нечеткий xa рактер. Далее будут представлены два основополаrающих типа нечетких моделей и рассмотрена взаимосвязь между ними. Важнейшим и наиболее часто используемым типом нечеткой модели является модель Мамдани. Рассмотрению данной модели, а также друrих моделей, производных от нее, посвящен настоящий раздел. 5.7.1. Модели Мамдани Концепция линrвистической нечеткой модели, воспроизводящей челове ческий способ мышления, была предложена в первых работах Заде. Идея применения данной концепции к нечеткому управлению динамически ми объектами принадлежит Мамдани (Mamdani 1974,1977), который Ha ряду с этим представил способ построения модели человекаоператора, управляющеrо объектом. Предложенный Мамдани метод моделирования был встречен с большим интересом и получил одобрение в связи с ero простотой и доступностью. В настоящее время этот метод использует ся чаще Bcero, хотя были разработаны и друrие типы моделей, среди которых наиболее важными являются модели ТакаrиСуrено (они бу дут рассмотрены в разд.5.7.2). В рамках метода Мамдани моделируемая система рассматривается как черный ЯIЦИК, характеризующийся HeДOCTa точностью информации о происходящих внутри Hero физических явлени ях (Babuska 1995а, Ь). Целью является разработка модели, выполняющей такое отображение своих входов (вектор Х) в выход У (оrраничимся далее рассмотрением систем типа MISO с одним выходом), которое обеспечивало бы как мож но более точную аппроксимацию реальной системы (например, в смысле средней абсолютной поrрешности). Указанное отображение предполаrа
312 rлава 5. Нечеткие модели ет существование некоторой rеометрической поверхности, которую будем далее называть поверхностью отображения, в пространстве, задаваемом декартовым произведением Х хУ. Модель Мамдани представляет собой множество правил, [де каждое правило задает в указанном пространстве некоторую нечеткую точку. На основе множества нечетких точек формируется нечеткий rрафик, Me ханизм интерполяции между точками в котором зависит от используемо [о аппарата нечеткой лоrики. При мер 5.7.1.1. Моделируемая система типа SISO реализует отображе ние у == (х 2)2 + 1 (рис. 5.130). Ее нечеткую модель Мамдани можно представить в виде множества правил Rl : ЕСЛИ (.т: == A 1 ) ТО (у == В]), R2: ЕСЛИ (х == А 2 ) ТО (у == В 2 ), R3: ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == в з ), [де А 1 == примерно 1, А 2 == примерно 2, Аз == примерно 4, В 1 == примерно 2, В 2 == примерно 1, В з == примерно 5, х : 1 х 4. (5.91) у у R3 у у R3 В} В з В з 2 I I I I I 1 I 1 Система в; 2 Rl* 5 5 4 4 3 3 В 2 в; I : } tR2* I I I I I I I Jl (у) о Jl(Х) 1 I I 1 2 3 4 Х I I I 1 : Аз Jl(У) О JL(X) 1 1 3 , 4 Х о 1 2 3 4 х о 1 2 3 4 х а) б) Рис. 5.130. Иллюстрация Toro, как влияет расположение «существенных» точек на точность нечеткой модели
5.7. Типы нечетких моделей 313 Используемые в правилах функции принадлежности показаны на рис. 5.130, а. Каждое правило определяет важную типовую особенность поведения системы, rеометрически соответствующую точке пространства Х хУ. «Существенные» точки модели MorYT располаrаться непосредственно на характеристике реальной системы (рис. 5.130) в этом случае они будут являться точками ее пересечения с характеристикой модели и, следовательно, точками, в которых модель «сообщает правду» о системе. В частности, правило Rl, имеющее вид ЕСЛИ (х примерно 1) ТО (у примерно 2), задает точку Rl, которая является существенной одновременно для си стемы и ее модели. Вместе с тем, существенные точки нечеткой модели не обязатель но должны всеrда при надлежать характеристике (поверхности) реальной системы. Как показывает рис. 5.130, 6, друrое расположение этих точек может обеспечить более высокую точность модели. В данной ситуации пара метры функций принадлежности изменяются (что в свою очередь приводит к новым нечетким множествам A, В{, B), и таким образом, правила будут иметь следующий вид: Rl * : ЕСЛИ (х == А 1 ) ТО (у == В7), R2* : ЕСЛИ (х == A) ТО (у == B), R3: ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == В з ). (5.92) Правила Rl * и R2* в (5.92) не сообщают правду о системе, поскольку задаваемые ими точки не принадлежат ее характеристике. Вместе с тем, средняя точность здесь будет выше, чем в случае модели, изображенной на рис. 5.130, а. Вид характеристики нечеткой модели на участках между «существен ными» точками, для задания каждой из которых используется отдельное правило, зависит от используемоrо аппарата нечеткой лоrики (т. е. MeTO дов выполнения фаззификации, дефаззификации и т. д.). Если в примере на рис. 5.131, а ввести друrую функцию принадлежности множества А 2 , то вид характеристики модели изменится (рис. 5.131, б). Как показано на рис.5.131, введение трапециевидной функции при надлежности множества А 2 приводит к изменению типа интерполяции, выполняемой моделью на участках между ее «существенными» точка ми Rl, R2, R3 интерполяция имеет нелинейный характер, но при этом является локально линейной. Использование на участках между «суще ственными» точками модели Мамдани нелинейной интерполяции может
314 rлава 5. Нечеткие модели у у у у R3 В з R3 В З 5 I 5 !J / : / I / 4 I 4 / Модель / / I I Модель / I '\/ I / I I / I 3 I 3 / I / I / I / I Rl I В 1 / I В} / I / I / 2 I 2 / Система I / I / I t В 2 В 2 I I I r 1 :R2 1 I I I I I I I I I I I I I I I JL(Y) О 1 2 3 4 х )J(y) О 1 2 3 4 х I I I )J (х) J1(X) I I 1 :А з 1 о 1 2 3 4 х о 1 1.722.3 3 4 х а) б) Рис. 5.131. Влияние изменения функции принадлежности нечеткоrо множе ства А 2 на вид характеристики модели (5.91) привести к повышению точности модели, вследствие Toro, что xapaK тер изrиба поверхности модели между данными точками будет совпадать с характером изrиба поверхности системы. Вместе с тем, на практике характер выпуклости указанной поверх ности в общем случае неизвестен, и имеется лишь небольшой объем информации о координатах отдельных точек, для которых выполнялись измерения. Кроме Toro, в случае нечеткой модели на характер выпук лости поверхности влияет столь большое число элементов модели, что предуrадать тип локальной выпуклости оказывается достаточно слож ным, особенно для систем с мноrими входами. . Рассмотрим влияние типа оператора (используемоrо для аrреrации условий в модели системы с двумя входами) на вид поверхности нечет кой модели с помощью следующеrо примера. Пример 5.7.1.2. В табл.5.17 и на рис.5.132 представлена информация о взаимосвязи входов и выхода для системы с двумя входами Хl и Х2. Поскольку проекции точек Ri совпадают с узлами реrулярной пря моуrольной сетки в пространстве )(1 х )(2 входов объекта (рис.5.132 и 5.133), то можно непосредственно использовать эти точки для постро
5.7. Типы нечетких моделей 315 Таблица 5.17 Информация об отображении «BXOДBЫXOД», которое реализует моделиру емая система Ri Rl R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 Хl 1 1 1 3 3 3 5 5 5 Х2 2 4 6 2 4 6 2 4 6 у 3 1 3 1 5 1 3 1 3 у Xl : I Объект I 5 .. Х2 У R5 . 3 1 1 3 5 i/ R4// / I I / / I I / / I I / / I 1/ / I ,/ 1 ** R2' / : ! / R8 / : : : I :: I I I '1 : :; :: 7R6 r y ' /' * * ' * , I I I I I I , I I : . : Rl I I I I I I I I I I I I I I .R3 * точка в пространстве входов X 1 Х Х 2 . точка в пространстве BXOДOBBыxoдa Х}хХ 2 х У / / / / / / / / / / Xl "R7 Х2 I I I I I I I .R5 Рис. 5.132. Расположение точек измерения (представляющих информацию о системе) в пространстве входов X 1 Х Х 2 И В пространстве BXOДOBBыxoдa X 1 х Х 2 Х У ения базы правил (5.93) и функций принадлежности входов и выхода. R1: ЕСЛИ (Xl 1) И (Х2 2) ТО (у 3) R2: ЕСЛИ (Х1 1) И (Х2 4) ТО (у 1), R3: ЕСЛИ (Xl 1) И (Х2 6) ТО (у 3), R4: ЕСЛИ (Xl 3) И (Х2 2) ТО (у 1)
316 rлава 5. Нечеткие модели R5: ЕСЛИ (Хl 3) И (Х2 4) ТО (у 5), R6: ЕСЛИ (Xl 3) И (Х2 6) ТО (у 1), R7: ЕСЛИ (Хl 5) И (Х2 2) ТО (у 3), R8: ЕСЛИ (Хl 5) И (Х2 4) ТО (у 1), R9: ЕСЛИ (Xl 5) И (Х2 6) ТО (у 3), (5.93) или в общем виде: Rl: ЕСЛИ (Хl == A i ) И (Х2 == B j ) ТО (у == Ck) rде i,j, k == 1,2,3. ( 5.94 ) Х2 R3 R6 ,u(Xl) R9 1 А} А 2 Аз 6 R2 R5 R8 Rl R4 R7 I 1 5 Xl 4 2 Р(Х2) 1 Bl В 2 В з р (х 1) 1 Хl 2 С 1 ,u (у) С 2 1 1 3 5 Xl 3 О 1 б) Х2 ,u(X2) 1 С з 5 у а) w { l для 1:C:;; Х 1 < 3, v == { l для 2:С:;; -х2 < 4, 1 О в дрyrих 1 О В дрyrих случаях случаях { l для 3 s Х 1 S 5, { 1 для 4 s Х2:С:;; 6, w v 2 О в дрyrих 2 О в дрyrих случаях случаях А 1 == примерно 1, А 2 == примерно 3, Аз == примерно 5, В 1 == примерно 2, В 2 == примерно 4, В з == примерно 6, С 1 == примерно 3, С 2 == примерно 1, С з == примерно 5. Рис. 5.133. Прямоуrольная сетка в пространстве входов системы (а), исполь зуемые функции принадлежности входов и выхода (6), а также определение лоrических переменныхиндикаторов Wi, Vj
5.7. Типы нечетких моделей 317 Для задания функций принадлежности входов можно использовать JIоrические переменные ш"" 1)j, иrрающие роль индикаторов cerMeHToB: МА 1 (Х1) == 0.5(3 E1)11)1, ILА 2 (Х1) == 0.5(Хl 1)1[;'] + 0.5(5 -У1)Ш2 JLА: з (Хl) == 0.5(Х1 3)Ш2; /1В 1 (Х2) == 0.5(4 X2)V1 МВ 2 (Х2) == 0.5( Х2 2)V1 + 0.5( 6 Х2 )1)2, /1В;1 (Х2) == 0.5(:[2 4: )и2. (5.95) Эти переменные определены на рис. 5.133, 6. Влияние типа оператора, используемоrо для операции пересечения множеств (И). При использовании оператора PROD (алrебраическоrо произведения) в качестве основы для выполнения встречающейся в усло виях правил (5.93) операции И, значение на выходе нечеткой модели будет вычисляться по формуле * ( ) JL А 1 (1' 1 ) /l П 1 (Х:2) ( 3) + Р А 1 (х 1 ) /1 в 2 (х 2 ) ( 1) + 11 А 1 (У 1 ) Il В з СТ 2 ) ( 3 ) У Х1,Х2 1\1* + + /1A2(Xl)lBl (X2)(1) + /1.42 (1'1)/182 (J'2)(5) + IlА 2 (Х1)РВ з (.Т2)(1) + 111* + /l.4 3 (х 1 ) /1 В 1 (.т 2 ) ( 3) + /1.4.3 (х 1 ) {l В 2 ( Х 2 ) ( 1) + р) А з ( Х 1 ) Р в 3 ( :r 2 ) ( 3) . 1\1* 3 3 [де л,l* == LLILA,(X])ILB)(X2). 7==1 j==l (5.96) При использовании для выполнения операции пересечения множеств (И) в правилах (5.93) оператора J\IIN значение у** на выходе нечеткой модели будет задаваться выражением * ( ) 3 j\IIN[/lA 1 (Х1), РВ 1 Cr 2 )] ", + llYIIN[/1A 1 (Х1), РВ 2 (Х2)] УХ] , .Е 2 1\1 * * + 3 j\IIN[/lA 1 ('Т1). J1 В з (Х2)] + 1 11IN[PA 2 (Х1), РВ 1 (Х2)] + 1\1** + 5l\11N[PA 2 (1'1). lB2 (.Т2)] + 1 j\IIN[/lA 2 (xl) рвз (Х2)] + 1\1** + :).\IIN[/'Аз(.Сl).lll31(Х2)] + llYIIN[РА.з(Хl),РВ2(Х2)] + 1\1** + :3 j\IIN[РА.з ('Т1). / lВ з (.1'2)] + 1\1** з 3 [де ЛI** == L L l\IIN[ILA/ (X1) /1В) (Х2)]. i==1 )==1 (5.97)
318 rлава 5. Нечеткие модели Таблица 5.18 Примеры выходных значений нечеткой модели (5.93), вычисленных с использованием операторов PROD и l\IIN Х1 1.5 2.5 3.5 4.33 Х2 2.5 2.5 3.5 5.33 PROD у* 1 1 3 O.33 rvlIN у** O.33 1 2.66 0.2 Поскольку формулы (5.96) и (5.97) не совпадают, то для OДHO ro и Toro же входноrо вектора [Хl, Х2]Т выходные значения у* (Xl, Х2) и У**(Хl, Х2) будут различными, хотя они и MorYT совпадать в отдельных точках, например, в тех, которые задаются условиями правил (5.93), т. е. в «существенных» точках модели. Таким образом, механизмы интерпо ЛЯЦИИ, выполняемой моделью (5.93), для операторов PROD и /IIN будет различными. На рис. 5.134 представлены поверхности нечетких моделей, полученные в результате использования операторов PROD и :rvlIN. в табл. 5.18 даны примеры выходных значений у* и у** для входных векторов [Хl, Х2]Т, не использовавшихся при построении модели. На рис. 5.134 видно, что поверхность нечеткой модели, COOTBeTCTBY ющая оператору PROD, является более rладкой, чем в случае операто ра 11IN. Чтобы определить, какая модель является более точной, необ ходимо иметь тестовое множество измерений векторов значений BXOД ных и выходных пара метров моделируемой системы, на основе KOToporo следует найти величину средней (либо квадратичной) ошибки. Интерес представляет вопрос, какой тип интерполяции обеспечивает модель MaM дани на участках между пресловутыми «существенными» точками, зада ваемыми с помощью правил. Для модели из рассматриваемоrо при мера описание интерполяцион ной поверхности может быть получено на основе формул (5.96) и (5.97). Для каждоrо cerMeHTa входноrо пространства Х 1 х Х 2 участки поверх ности будут задаваться поразному. На рис. 5.135 представлены формулы поверхностей, получаемые в результате применения оператора PROD. Интерполяционные поверхности в рассматриваемом при мере являют ся линейными, несмотря на использование в модели нелинейноrо опера тора PROD. Данный случай является особым, поскольку представленные на рис. 5.132 и в табл. 5.17 опорные точки модели, соответствующие узлам изображенной на рис. 5.135 сетки, расположены так, что через них мож
5.7. Типы нечетких моделей 319 6 5 4 2 о 2 4 6 а) 1 6 4 2 О 2 4 6 5 б) 2 1 Рис. 5.134. Поверхности отображения «BXOДBЫXOД» нечеткой модели (5.93), полученные в результате использования операторов PROD (а) и I\'1IN (6) но провести четыре линейных cerMeHTa. В общем случае, использование оператора PROD, кусочнолинейных Функuий принадлежности для BXOД ных пара метров и одноточечных функций для выходных параметров, как правило, приводит к получению нелинейных интерполяционных функций полилинейноrо типа (полилинейных функций), содержащих произведе ния. В случае трех входов такая функция имеет вид у == ао + alxl + а2 Т 2 + аз.Тз + а 1 Х l.У2 + а5Хl.ТЗ + аGХ2ХЗ + Q7.УIХ2ХЗ. (5.98) На rраниuах cerMeHTOB интерполяционные функции в модели MaMдa ни имеют общие вершины (узлы) и общие ребра (т. е. значения функций на rраницах совпадают). Убедиться в этом можно на примере, показан
320 rлава 5. Нечеткие модели Х2 3 1 3 6 w 1 vi= 1 W2V2== 1 у* ==7+2Хl 2X2 y*==192xl 2x2 Vl == 1 1 5 1 4 WIVl==l W2Vl== 1 V2== 1 у*==9+2хl+Д2 y*==32xl+2x2 3 1 3 2 1 3 5 Xl wl==l w2==1 Рис. 5.135. Формулы для вычисления интерполяционных поверхностей модели (5.93), соответствующих отдельным cerMeHTaM входноrо пространства X 1 х Х 2 (с использованием оператора PROD) ном на рис. 5.135. Таким образом, на rраницах cerMeHToB сохраняется непрерывность поверхности модели. . Используя непрерывно дифференцируемые функции принадлежности входных параметров модели (например, rayccoBbI функции), можно обес печить непрерывность первой производной (а также производных более высоких порядков) для данной поверхности, при условии, что не исполь зуются операторы типа 11IN, связанные с возможностью резкоrо измене ния значений. Для любой нечеткой модели Тvl0ЖНО теоретически вывести форму лу, задающую ее поверхность в явном виде (т. е. у == j(X)). Вместе с тем, на практике эти формулы не выводят в силу трудоемкости дaHHO ro процесса, которая значительно возрастает с увеличением числа входов и функций принадлежности. Значение на выходе нечеткой модели полу чают путем последовательноrо вычисления выходных значений отдель ных ее элементов при заданном векторе входных значений Х. С учетом этоrо, на практике, при применении модели Мамдани, точные форму лы, задающие интерполяционную поверхность, неизвестны. Исключение составляют следующие простые случаи:
5.7. Типы нечетких моделей 321 . при использовании кусочнолинейных функций принадлежности, yдo влетворяющих условию разбиения единицы, для входов, одноточеч ных функций для выходов, а также операторов MEAN (среднеrо зна чения) и SUM (неоrраниченной суммы) получаем rлобально нелиней ную поверхность модели, состоящую из локально линейных cerMeH тов, которые задаются функциями вида: у == ао + аl Х l + а2 Х 2 + . . . + аnх n , (5.99 ) rде [п число входов; . при использовании кусочнолинейных функций принадлежности, yдo влетворяющих условию разбиения единицы, для входов, одноточеч ных функций для выходов, оператора PR,OD дЛЯ пересечения и опе ратора SUM дЛЯ объединения множеств поверхность модели COCTO ит из полилинейных cerMeHToB, которые задаются функциями вида (5.98). В остальных случаях использование модели Мамдани приводит к по лучению различных нелинейных поверхностей со сложной формой опре деления. Линrвистические и нелинrвистические модели Мамдани. В самом Ha чале в моделях Мамдани использовались, как правило, только линrвисти ческие метки типа «малый» или «большой». Нечеткие модели, использу ющие подобные метки для обозначения нечетких множеств, называются линrвистическим моделями. Между тем, как было замечено на практике, присвоение нечетким множествам линrвистических меток часто оказыва ется лишенным особоrо смысла. Рассмотрим примеры на рис. 5.136. В примере на рис. 5.136, а нечеткое множество «примерно 9» Haxo дится настолько близко к множеству «примерно 10», что считать ero «средним» можно лишь С большим трудом. Наличие большоrо числа MHO жеств в примере на рис. 5.136,6 привело бы к необходимости использо вания большоrо числа меток (например, «малый», «близкий к малому», «между малым и средним», «близкий к среднему», «средний» И т. д.), что стало бы. в свою очередь, причиной их трудноразличимости. Более практичным дeCb является использование меток в виде нечетких чи сел «<примерно 1», «примерно 2», «примерно 3» и т. п.), поскольку с их помощью проще представить позицию каждоrо множества. На рис. 5.136, в приведен пример ситуации, коrда использование линr вистических меток типа «малый», «средний», «большой» имеет смысл. При малом числе нечетких множеств их ядра находятся на достаточно большом расстоянии друr от друrа. Нечеткие модели, в которых метки
322 rлава 5. Нечеткие модели J.1(x) 1 Примерно 9 J.1 (х) 1 Примерно 5 1 9 10 х а) J.1(x) Малый Средний Большой 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 х б) 1 в) 5 10 х Рис. 5.136. Примеры, иллюстрирующие обоснованность присвоения нечетким множествам линrвистических меток (8) либо представления множеств в форме нечетких чисел (а, 6) множеств представлены в форме нечетких чисел, называются нелинrви стическими моделями. в каких случаях правила в модели Мам дани «не сообщают правду»? Истинность информации, содержащейся в условиях и заключениях пра вил модели Мамдани, очень важна для понимания взаимосвязи входов и выходов как модели, так и моделируемой системы. Наиболее предпо чтительной является ситуация, коrда правила «сообщают правду», т. е., например, если одно из правил имеет вид ЕСЛИ (Хl примерно 2) И (Х2 примерно 1) ТО (у примерно 5), то в результате подачи на вход модели вектора [Хl, Х2]Т == [2,1] на ее выходе будет получено значение у == 5, которое задается заключением указанноrо правила. Тем не менее, не всеrда подобная ситуация имеет место, и это подтверждает следующий пример. Пример 5.7.1.3. Рассмотрим нечеткую модель объекта с двумя входами, база правил которой имеет вид R1 : ЕСЛИ (Хl 1) И (Х2 1) ТО (у 4), R2: ЕСЛИ (Хl 1) И (Х2 2) ТО (у 13), R3: ЕСЛИ (Хl 2) И (Х2 1) ТО (у 5), R4: ЕСЛИ (Хl 2) И (Х2 2) ТО (у 16), (5.100) а функции принадлежности представлены на рис. 5.137.
5.7. Типы нечетких моделей 323 J.L (х 1) 1 J.L 1 (х 1) J.L 2(Х 1 ) Р(Х2) J.L 1(х2) 1 J.L 2(Х 2) 0.2 0.2 1 2 хl 1 2 Х2 J.L (v ) 1 4 5 JЧ (Xl) == ехр [ ( ;8215 ) 2] l (Х2) == ехр [ ( ;;8215 ) 2] 13 16 У Щ(Хl) == ехр [ ( ;8225 ) 2] 2(X2) == ехр [ ( ;;8225 ) 2] Рис. 5.137. [ауссовы функции принадлежности нечетких множеств, задающих значения входов и выхода для рассматриваемой системы с двумя входами в процессе вычисления значения У на выходе модели для векторов входных значений, содержащихся в условиях правил, т. е. X(R1) == [l,l]Т, X(R2) == [1, 2]Т, Х ( R3) == [2, 1] Т , Х ( R4) == [2, 2] Т , (5.101) происходит одновременная активизация всех правил, а не только прави ла, в посылке KOToporo содержится заданный вектор X(Ri). Поскольку в вычислении выходноrо значения всеrда принимают уча стие все правила, оно будет отличаться от значения Yi, которое задается заключением правила Ri. Например, при вычислении значения на выходе модели для входноrо вектора X(R4) == [2,2]Т (с использованием опера тора PROD в качестве основы для выполнения операции И) степени выполнения условий отдельных правил будут следующими: fLRl (2, 2) == Ml (Xl)Ml (Х2) == 0.04, MR2(2,2) == Мl(Хl)М2(Х2) == 0.2, IlR3 (2,2) == М2 (Xl )Мl (Х2) == 0.2, MR4(2,2) == М2(Хl)М2(Х2) == 1. Полученные степени истинности условий MRi приводят К активизации заключений всех правил, и значение на выходе модели будет вычисляться
324 rлава 5. Нечеткие модели Таблица 5.19 Сравнение выходных значений Ут1' вычисляемых с помощью Moдe ли (5.100), со значениями Yz, задаваемыми заключениями правил данной модели Правило Ri Rl к2 R3 R4 Входной XI 1 1 2 2 вектор Х2 1 2 1 2 Заключение )l; 4 13 5 16 Выходное Ут; 5.72 11.94 6.61 13.72 значение по формуле: Утп == 4 L Y'iJ1Rz i== 1 4 L J1R'i z==l 4 . 0.04 + 13 . 0.2 + 5 . 0.2 + 16 . 1 == 13.72. 0.04 + 0.2 + 0.2 + 1 Полученное выходное значение Ут(2,2) не совпадает со значением У4 == 16, которое задается заключением правила R4. В табл. 5.19 приведе но сравнение выходных значений модели Ymi для векторов входных значе ний (5.101), содержащихся в условиях правил (5.100), со значениями Yi, содержащихся в их заключениях. Из табл. 5.19 видно, что вычисляемые с помощью модели выходные значения Ymi не совпадают со значениями Yi, задаваемыми заключениями правил, и таким образом, правила не «co общают правду». Введем теперь в рассматриваемую модель друrие типы функций принадлежности, а именно функции, удовлетворяющие условию разбиения единицы (рис. 5.138). Для выполнения операции И в условиях правил (5.100) будем ис пользовать оператор PROD. При вычислении значения Ут4 на выходе модели для входноrо вектора X(R4) == [2,2]Т будут получены следующие I j1 (х2) р1 (х2) 1 р2(х2) р(у) 1 1l1 !! IУшI) 1 2 х. 1 2 Х2 45 13 16 У Рис. 5.138. Кусочнолинейные функции принадлежности входов, удовлетворя ющие условию разбиения единицы, и одноточечные функции принадлежности выходноrо параметра рассматриваемой системы с двумя входами
5.7. Типы нечетких моделей 325 т а б л и ц а 5.20 Сравнение выходных значений Ymi, вычисляемых моделью (5.100), исполь.. зующей треуrольные функции принадлежности, со значениями Yi, содер" жащимися в заключениях правил данной модели Правило Ri R1 R2 R3 R4 Входной Хl 1 1 2 2 вектор Х2 1 2 1 2 Заключение Yi 4 13 5 16 Выходное 4 13 5 16 Ymi значение степени истинности условий отдельных правил: IlRl(2 2) == 1L1(Хl)1L1(Х2) == о, l R2 (2. 2) == IL 1 ( Х 1) IL2 ( Х2) == о, ILRз(2 2) == 1L2(Xl)1L1(X2) == о, ILR4(2.2) == 1L2(Xl)1L2(X2) == 1. Поскольку степень истинности, отличную от нуля, имеет только одно правило (R4), то только это правило будет активизировано, и выходное значение нечеткой модели будет соответствовать значению У4, содержа щемуся в ero заключении: Ут == 4 L Yl{LR1 1== 1 4 L 1 1 Ri ==l 4 . о + 13 . О + 5 . О + 16 . 1 == == 16. 0+0+0+1 Теперь правило R4 соrласуется с вычислениями, осуществляемыми моделью. Аналоrичная ситуация имеет место и для остальных правил. Значения Ymi на выходе модели для векторов входных значений, coдep жащихся в условиях правил, приведены в табл. 5.20. Как видно из табл.5.20, при использовании для входных парамет ров модели (5.100) треуrольных функций принадлежности, удовлетво ряющих условию разбиения единицы, все правила предоставляют ин формацию, соrласующуюся с результатами осуществляемых моделью BЫ числений. . Правила «сообщают правду», если: . для реализации операции И используются tHOpMbI, а для операции ИЛИ SHOpMbI, т. е. такие операторы, для которых выполняются
326 rлава 5. Нечеткие модели pW pW pW 111 х х х pW pW pW 1 1 1 х х х Рис. 5.139. Примеры функций принадлежности входов модели, при которых правила MorYT «сообщать правду» р(х) р(х) 1 1 х х PW pW 1 1 х х Рис. 5.140. При меры функций принадлежности входов модели Мамдани, при которых невозможно достичь эффекта «сообщения правды» правила м и условия МАп0(Х) == О и МАПВ(Х) 1 (этим условиям не удовлетворяют, например, операторы SUM (арифметическая сумма) и J\:IEAN), . в качестве функций принадлежности входных нечетких множеств ис пользуются функции, которые имеют конечный носитель (данному условию не удовлетворяют rayccoBbI функции) и принимают нулевое значение в точках, соответствующих модальным значениям (М(Х) == 1) смежных с ними функций. При меры приведены на рис. 5.139. На рис.5.140 приведены примеры функций, которые не позволяют достичь эффекта «сообщения правды» правилами. Влияние удаленных (не являющихся смежными) опорных точек мо" дели Мамдани на локальную интерполяцию. Существуют два способа построения нечеткой модели. В рамках первоrо способа на форму интер поляционной поверхности, соответствующей заданному cerMeHTY BXOД Horo пространства, влияют только те опорные точки, которые непосред
5.7. Типы нечетких моделей 327 ственно примыкают к данному cerMeHTY. В рамках BToporo способа Ta кое влияние MorYT оказывать и некоторые друrие (а иноrда даже все), а не только непосредственно примыкающие точки. В последнем слу чае настройка пара метров функций принадлежности (адаптация модели на основе измерений данных о реальной системе) становится значительно сложнее. Поясним эту проблему на примере. Пример 5.7.1.4. Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом. В табл.5.21 приведены результаты измерений ее параметров, которые можно использовать для построения нечеткой модели системы. т а б л и ц а 5.21 Данные измерений парамеТРО8 системы типа SISO х 1 2 3 4 у 1 4 9 16 в первой версии модели для входов будем использовать треуrольные функции принадлежности, удовлетворяющие условию разбиения едини ЦЫ, а для выходов одноточечные функции (рис. 5.141). Правила модели имеют следующий вид: R1 : ЕСЛИ (х 1) ТО (у Уl), R2: ЕСЛИ (х 2) ТО (у У2), R3: ЕСЛИ (х 3) ТО (у уз), R4: ЕСЛИ (х 4) ТО (у У4), (5.102) rде Уl == 1, У2 == 4, уз == 9, У4 == 16. Используя лоrические переменные Wi, определенные на рис. 5.141, можно получить формулы (5.103), которые задают отдельные функции принадлежности входа х: мl(х) == (2 х)шl, М2 (х) == (х 1 )Шl + (3 х )Ш2, Р<1(Х) == (х 2)Ш2 + (4 Х)WЗ, М4 (х) == (х 3) Wз. (5.103) Формула для вычисления значения на выходе модели в пределах всей области значений входноrо параметра 1 х 4 имеет вид у == Уl(2 х)шl + У2[(Х 1)Шl + (3 Х)Ш2]+ + уз[(х 2)Ш2 + (4 Х)Wз] + У4(Х 3)wз. (5.104)
328 rлава 5. Нечеткие модели у У4 16 Уз 9 У2 4 Уl 1 ,u(y) 1 I I I W I W I W I 1"" 1 .... 2 ... З ..: 1 I I I I I I I ,u(x) : ,ul(x) ! ,uJx) i ,uз(х) : ,ui x ) 1 1 2 3 R4 { l Д ЛЯ 15X<2, Wl== О В друrих случаях, { 1 для 2 5 х < 3, w 2 О в друrих случаях, { l для 35 х 54, w з О в друrих случаях. 4 х Рис. 5.141. Используемые в первой версии модели функции принадлежности входа и выхода (обеспечивающие «сообщение правды» правилами) и определе ние лоrических функций 1JJ I На основе формулы (5.104) можно получить интерполяционные фор мулы, соответствующие участкам пространства между отдельными «cy щественными» точками модели (рис.5.141): Rl R2: Шl == 1, R2 R3: Ш2 == 1 R3 R4: wз == 1 У == Уl (2 х) + У2 (х 1). У == У2 (3 х) + Уз (х 2), У == уз(4 х) + .У4(Х 3). (5.105) Анализируя формулы (5.105), леrко видеть, что интерполяционные функции модели между ее опорными точками Ri R(i + 1) зависят только от пара метров Yi, Yi+ 1, соответствующих точкам, которые лежат на rранице рассматриваемых cerMeHToB. Локальные интерполяци онные поверхности можно в этом случае определить на основе локальных измерений информации о системе. Подобный эффект достиrнут блаrодаря использованию входных функций принадлежности, принимающих нуле вое значение в точках, соответствующих модальным значениям смежных с ними функций принадлежности. В случае системы с двумя входами, при использовании функций по добноrо типа, а также tHOpM и SHOpM (для выполнения операций пе
5.7. Типы нечетких моделей 329 у Интерполяционная поверхность Опорная точка Х2 I : Х} I I I I ,.i" 1 I 1 1 I 1 1 I 1 I /1 : /I I 1 I 1 I I I 1 I " I I I I I 1 I 1 I I I I I I .' Прямоyrольный cerмeHT пространства входов Рис. 5.142. Иллюстрация зависимости локальной интерполяционной поверхно сти только от непосредственно прилеrающих опорных точек ресечения и объединения содержащихся в нечеткой модели множеств), интерполяционная поверхность будет зависеть только от координат бли жайших опорных точек, соответствующих уrловым точкам прямоуrоль Horo участка входноrо пространства [Хl, Х2], (рис. 5.142) или же уrловым точкам rиперпрямоуrольноrо участка при большем числе входов. Таким образом, интерполяционная поверхность проходит непосред ственно через опорные точки, и ее форма зависит от ряда элементов модели используемых методов вывода, дефаззификации, типов опера торов. В данной ситуации правила модели будут «сообщать правду» об ее выходных значениях. Теперь рассмотрим друrой вариант входных Функ ций принадлежности, который представлен на рис. 5.143. Представленные на рис. 5.143 функции принадлежности входноrо па раметра можно задать с помощью формул (5.106), содержащих лоrиче ские переменные Ш( 1L1(Х) == 0.25[(5 х)(шl + Ш2 + wз)], IL2(X) == 0.25[(х + 2)ш] + (6 Х)(Ш2 + 'u)З)], ILЗ(Х) == 0.25[(х + 1)( 1О 1 + 'И'2) + (7 Х) 1LJ З], I L 4 ( х) == 0.25 [ х ( V) 1 + Ш2 + 111З)]. (5.106)
ззо rлава 5. Нечеткие модели 40 { 1 для 1 5 х < 2 , w 1 О в друrих случаях, { l для 25 х <3, W 2 = О В друrих случаях, { l для 35 х 54, W З = случаях. Х: 15 х54 20 R4 16 30 * У4 у 44.8 * У2 R3 9 R2 4 0.8 1 )] : I I I I I J I I : Wl : W2 J. :.-. I I I * Уl р(у) * уз р(х) 1 f i ,ul (х) Р2(Х) I I I : W :. з I I , I I I I I I I I I I I !,uз(х) I I I I I I ' I I I I I I I I I I I I I I I i Р4(Х) х 4 10 ........ ........ ........ ",.",......",." ."",*' I ",. ,..,. ...",.;, I ...... I ...... ......... : ...................... ..................... ............... .......... : ...................... ..................... '...........,.......... 2 1 о 1 2 3 4 5 6 7 х Рис. 5.143. Используемые во второй версии модели функции принадлежности входа и выхода (не обеспечивающие «сообщения правды» правилами) и опреде ление лоrических функций w'[ База правил модели имеет вид R1* : ЕСЛИ (х 1) ТО (у yr). R2* : ЕСЛИ (х 2) ТО (у y), R3* : ЕСЛИ (х 3) ТО (у y), R4* : ЕСЛИ (х 4) ТО (у y). (5.107) На основе формул (5.106) и (5.107) можно получить выражение для определения поверхности модели: у == O.lyr[(5 X)CU'l + 102 + w:з)] + O.ly[(x + 2) rШ l + (6 Х)( ИJ 2 + 11):3)]+ + O.ly[(x + l)(Wl + 1V2) + (7 х)wз] + O.lY[X(Wl + ИJ2 + LL'З)]. (5.108)
5.7. Типы нечетких моделей ЗЗl Интерполяционная поверхность между отдельными опорными точка ми Ri R(i + 1) задается с помощью формул: Wl == 1, У == О.1[уТ(5 х) + y(x + 2) + y(x + 1) + yx], Ш2 == 1, У == О.1[уТ(5 х) + y(6 х) + y(x + 1) + yx], WЗ == 1, У == О.1[уТ(5 х) + y(6 х) + y(7 х) + yx]. (5.109) Анализируя формулы (5.109), мы видим, что в данной версии модели локальные интерполяционные поверхности, расположенные между каж дой парой смежных опорных точек, зависят не только от этих, но и от всех остальных опорных точек, поскольку в каждой из интерполяцион ных формул (5.109) присутствуют все координаты yi, у'2, уз, У4' задавае мые заключениями правил (5.107) (которые в данной версии не являются «сообщающими правду»). Если считать опорными точками модели точки R;: R1 R2: R2 R3: R3 R4: R7 == R1 * (1, уТ), R3 == R3* (3, y), R 2 == R2 * ( 2, y ) , R == R4 * (4, y), (5.110) а опорными точками моделируемой системы точки R( R 1 == R1(1, Уl), R3 == R3(3, уз), Уl == 1, уз == 9, R 2 == R2(2, У2), R4 == R4( 4, У4), У2 == 4, У4 == 16, (5.111) то при соответствующем выборе параметров модели у; можно добиться, чтобы ее поверхность проходила непосредственно через опорные точки системы R i , как показано на рис.5.141. Определение значения у; носит rлобальный характер, т. е. выполня ется одновременно для всех точек модели R; на основе представленных в табл.5.21 данных измерений параметров системы, а также формулы (5.108) для определения выходноrо значения у. Подставляя координаты «существенных» точек системы из табл. 5.21 в формулу (5.108), получаем слеДУЮIЦУЮ систему уравнений: R1 (1, 1) =} О.4уТ + O.3y + О.2уз + o.ly == 1, R2(2,4) =} О.3уТ + O.4y + O.3y + O.2y == 1, R3(3,9) =} О.2уТ + О'3У2 + O.4y + O.3y == 1, R4( 4,16) =} О.lуТ + О.2У2 + O.3y + O.4y == 1, (5.112)
332 rлава 5. Нечеткие модели решение которой имеет вид y == 0.8, Y == 10, Уз == 4, Y == 44.8. (5.113) С учетом (5.113) базу правил (5.107) можно представить в виде R1 *: ЕСЛИ (х 1) ТО (у 0.8), R2*: ЕСЛИ(х2) ТО (y10), RЗ*: ЕСЛИ (х 3) ТО (У 4), R4*: ЕСЛИ (х 4) ТО (у 44.8). (5.114) Анализ результатов использования функций принадлежности, пред ставленных на рис. 5.143, носители которых выходят за пределы, задава емые модальными значениями смежных функций принадлежности, поз воляет сделать следующие выводы. . Интерполяционная поверхность модели имеет тот же качественный тип (в рассматриваемом примере линейный), что и в случае функ ций принадлежности, не выходящих за пределы модальных значений смежных с ними функций. Таким образом, расширение носителей функций принадлежности не изменяет свойств интерполяции. . Настройка пара метров модели в рассматриваемой ситуации должна происходить не локально, с использованием только непосредствен но прилеrающих опорных точек, а rлобально, с использованием всех опорных точек системы. Учитывая явление, называемое «проклятием размерности», r лобальная настройка значительно сложнее локальной. . Полученная после завершения процесса настройки модель является корректной (поверхность модели проходит через опорные точки R i системы), но при этом ее правила «не сообщают правду», что делает модель более сложной для понимания. Таким образом, по ряду рассмотренных в данном примере причин, ис пользование в моделях Мамдани функций принадлежности, носители KO торых не выходят за пределы, задаваемые смежными с ними функциями (в частности, функций, удовлетворяющих условию разбиения единицы), является более предпочтительным. . 5.7.2. Модели ТаКаrи........СуrеНо Впервые модели ТакаrиСуrено (ТSмодели) были описаны в (Takagi 1985). Эти модели также называют моделями ТакаrиСуrеноКанrа (Nquyen 1995; Yager 1994,1995), квазилинейными моделями инечеткими линейными модеЛЯ1\1И (Babuska 1995а,Ь). От моделей Мамдани модели ТакаrиСуrено отличаются формой правил. Если в случае модели MaM
5.7. Типы нечетких моделей 333 дани, описывающей систему с одним входом и одним выходом, правила имели вид ЕСЛИ (х есть А) ТО (у есть В), (5.115) (rде А, В нечеткие множества типа «малый» или «близкий к 5»), то в случае ТSмодели правила имеют вид ЕСЛИ (х есть А) ТО (у == f(x)). (5.116) Вместо нечеткоrо множества заключение каждоrо правила содержит функцию f(x), которая может быть нелинейной, хотя обычно использу ются линейные функции. Таким образом, правила ТSмодели имеют вид ЕСЛИ (х есть А) ТО (у == ах + Ь)). ( 5 .117) Если в модели системы типа SISO база правил имеет вид Rl: ЕСЛИ (х есть A 1 ) ТО (у == f1(X)), Rm: ЕСЛИ (х есть Ат) ТО (у == fm(x)), (5.118) то значение на выходе модели вычисляется на основе степеней активиза ции отдельных заключений fi, i == 1, . . . , т, в соответствии с формулой rп L /-lА1(Х)fi(Х) 1,==1 rп L /1At (х) l== 1 (5.119) у== Пример 5.7.2.1 иллюстрирует некоторые особенности ТSмоделей. Пример 5.7.2.1. Рассмотрим ТSмодель системы типа SISO с базой правил вида (5.120) и функциями принадлежности, представленными на рис. 5.144: Rl : ЕСЛИ (х есть А 1 ) ТО (у == x + 3), R2: ЕСЛИ (х есть А 2 ) ТО ( == 4х 10 ). У 3 ' R3: ЕСЛИ Cr есть ..4) ТО (у == x; 24 ) . (5.120)
ЗЗ4 rлава 5. Нечеткие модели у 7 6 5 4 М 2 (7.7,6.4) у == ( 5х 2 + 77х 258)/6 у == ( х + 24)/3 I I I I I I I 1 I У == (7 х 2 39+56)/6 I I I I I I I I I I М 1 (2.8 0.3) ! I I I I х J1 (х) 1 А 1 А 2 Аз О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х W 1 ----+1. W2 .1. Wз .1. W4 .1... Ws .1 3 2 1 Рис. 5.144. ФУНКЦИИ принадлежности входных пара метров и поверхность отображения для рассматриваемой модели ТакаrиСуrено с ПОМОЩЬЮ формул (5.121) введем следующие лоrические переменные: Шl == { Ш2 == { Ш:3 == { Ш4 == { ИJ5 == { для О х < 2, в друrих случаях, для 2 х < 4, в друrих случаях, для 4 х < 7, в друrих случаях, для 7 .Е < 9, в друrих случаях, для 9 х 12, в друrих случаях. (5.121) Тоrда функции принадлежности будут иметь вид {lAl == 'U)l О.5( х 4 )W2, fJJA. 2 == О.5(х 2)и'2 + 1Vз О.5(х 9) И'4, fLА;з == О.5(х 7)W4 + ' l1J 5. (5.122)
5.7. Типы нечетких моделей 335 Рассматриваемые функции принадлежности удовлетворяют условию разбиения единицы: 3 LfLAt(X) == 1. i==l (5.123) Значение на выходе модели определяется по формуле: 3 " Ш2(7х 2 39х + 56) у == fLAt(x)fi(X) == Шl(Х + 3) + 6 + i==l wз(4х10) Ш4(5х2+77х258) Ш5(х+24) + 3 + 6 + 3 . (5.124) Анализ формулы (5.124) позволяет сделать вывод, что поверхность модели в точности соответствует заключениям правил (5.119) только в тех областях входноrо пространства, степени принадлежности элемен тов которых соответствующим множествам А ? удовлетворяют условию LA,(X)==l (области Шl, lОз, Ш5). В областях, rде эти степени являются дробны ми (Ш2, Ш4), поверхность модели переходит из одной линейной формы (задаваемой соответствующим заключением) в друrую. Ширина обла стей перехода определяется шириной областей дробных значений функ ций принадлежности (fLAt (х) < 1), а математическое выражение функций перехода зависит от типа используемых функций принадлежности. В рассматриваемом при мере функции перехода имеют квадратичную форму. Следует отметить, что характеризующая модель функция (5.124) непрерывна и не имеет скачков на rраницах областей. Вместе с тем, про изводная этой функции непрерывной не является и изменяется на rpa ницах областей скачкообразно, что является следствием типа исполь зуемых функций принадлежности (их кусочной линейности). Непрерыв насть производной поверхности модели и, тем самым, большую rладкость последней можно обеспечить путем использования непрерывно диффе ренцируемых Функuий принадлежности, например rayccoBbIX функций. В данном при мере использованы трапециевидные функции принадлеж ности, которые имеют зоны четкости, характеризующиеся тем, что их элементы полностью (со степенью, равной 1) принадлежат COOTBeTCTBY ющему множеству. . Интерес представляет ВОПРОС, связанныЙ с тем, как будет выrлядеть поверхность модели с той же саl\10Й базой правил, но при условии ис
336 rлава 5. Нечеткие модели у 7 М 2 (8.7,6.6) у=( 5x2+87x240)/21 ......... 6 5 4 ....................... у= (x+ 24)/3 2 , " у= x+3 , , , , , , , y=(4x 10)/3 I / : у= (7х 2 34x+45)/15 , I , I / I 1 1 I I I I I Ml(.43, 0.25)1 I 3 1 х J.l (х) 1 2 3 Wl 789 W2 х Рис. 5.145. При мер модели ТакаrиСуrено с треуrольными (не трапециевидными) функциями принадлежности пользования друrих типов функций принадлежности. Рассмотрим с этой целью при мер 5.7.2.2. При мер 5.7.2.2. Рассмотрим ТSмодель системы типа SISO с базой пра вил вида (5.125) и треуrольными функциями принадлежности, представ ленными на рис. 5.145: R1 : ЕСЛИ (х есть А 1 ) ТО (у == x + 3), R2: ЕСЛИ (х есть А 2 ) ТО (у == (4х 10)/3), R3: ЕСЛИ (х есть Аз) ТО (у == (x + 24)/3). (5.125) Определим лоrические переменные 'Шl, Ш2 с помощью формул (5.126): ИJl == { 1 для О х < 5. О в друrих случаях, ИJ2 == { 1 для 5 х 12, (5.126) О в друrих случаях.
5.7. Типы нечетких моделей 337 Получим формулу (5.127), задающую поверхность модели: 0.2Wl(X5)(x+3) 0.2WIX(4x10) у== 5 + 3 + 'Ш2 (х 12) (4х 1 О) 102 (х 5) ( х + 24) + 21 + 21 Wl (7х 2 34х + 45) Ш2( 5x2 + 87х 240) == 15 + 21 . (5.127) Как видно из формулы (5.127) и рис. 5.145, поверхность модели не яв ляется линейной ни в одной из областей Wi, задаваемых заключениями правил (5.125). И даже в точках, полностью (со степенью, равной 1) принадлежащих множествам А 1 , А 2 или Аз, касательные к поверхности модели не соответствуют задаваемым правилами линейным функциям (рис. 5.145). В частности, касательная к поверхности модели в точке х == О, пол ностью принадлежащей lVIножеству А 1 , задается уравнением 14х 34 у== 15 хотя, в соответствии с заключением правила Rl, принадлежащеrо базе (5.125), следовало бы ожидать, что данное уравнение будет иметь вид у == x + 3. Подобная ситуация имеет место в точках х == 5 и х == 12, принадле жащих со степенью, равной 1, соответственно множествам А 2 и Аз. . Как показывает приведенный пример, применять ТSмодели следует rлавным образом в тех случаях, коrда функции принадлежности имеют трапециевидную или подобную ей форму (рис. 5.146). Следует отметить, что при использовании трапециеподобных функ ций с нелинейными ребрами (например, rayccoBbIX функций), вместо по верхности, задаваемой непосредственно заключениями соответствующих J1 (х) Аз J1 (х) Аз а) х б) х Рис. 5.146. Типы функций принадлежности, рекомендуемые для использования в моделях ТакаrиСУТtНО: трапециевидные (а) и трапециеподобные (6) функции
ЗЗ8 rлава 5. Нечеткие модели Х2 В з h 119 В 2 В 1 Ji h f.l (х 2) f.l (х 1) Хl Аl А 2 Аз Хl Rk: ЕСЛИ (х есть A n BJ) ТО (у == fk(X)), i,j == 1,...,3, k == 1....,9 Рис. 5.147. Рекомендуемая форма функций принадлежности для модели ТакаrиСуrено с двумя входными параметрами, которая позволяет получить прямоуrольные cerMeHTbI, поверхности которых в точности соответствуют функ циям fk, задаваемых заключениями правил Rk. ЗаIlJтрихованные участки COOT ветствуют областям перехода между отдельными заключениями fk правил Ri (даже в тех областях, в которых степень принадлежности эле ментов множеству A i равна 1), будет получена поверхность, в той или иной степени измененная под влиянием функций h из друrих правил. Причиной этоrо является то, что [ауссовы функции принадлежности име ют бесконечный носитель, не удовлетворяют условию разбиения единицы и существенно расширяют области влияния отдельных заключений Ji. В случае систем с двумя (или более) входами использование трапе циевидных функций принадлежности приводит к получению прямоуrоль ных (или rиперпрямоуrольных) cerMeHToB, в которых степени принадлеж ности пересечениям множеств равны 1 (рис. 5.147). Интерес представляет вопрос, касающийся взаимосвязи между Moдe лями Мамдани и ТSмоделями и возможности отображать и преобразо вывать один тип модели в друrой. Для систе1\1 типа SISO это вопрос обсуждаJ1СЯ в (Babuska 1995а,Ь).
5.7. Типы нечетких моделей 339 Для отображения ТSмодели в модель амдани необходимо иметь координаты «существенных» точек поверхности модели. Для моделей ТакаrиСуrено «существенными» являются rраничные точки отдельных cerMeHToB входноrо пространства, а также точки максимума, минимума и точки переrиба поверхности модели. На основе ТSмодели следует BЫ числить выходные значения у для «существенных» точек ее поверхности, по результатам чеrо сформировать нечеткие правила амдани, задающие состояние модели в этих точках, а также функции принадлежности. Ил люстрацией данноrо метода служит пример 5.7.2.3. Пример 5.7.2.3. Задача состоит в построении модели амдани, которая соответствует модели ТакаrиСуrено из примера 5.7.2.2. На рис. 5.148 представлена ТSмодель с указанием «существенных» точек. Для «существенных» точек поверхности ТSмодели сформированы правила Мамдани, определяющие состояние модели в указанных точках. База правил модели амдани имеет следующий вид: Rl: ЕСЛИ (х О) ТО (у 3), R2: ЕСЛИ (х 2) ТО (у 1), R3: ЕСЛИ (х 2.8) ТО (у 0.3), R4: ЕСЛИ (х 4) ТО (у 2), R5: ЕСЛИ (х 7) ТО (у 6), R6: ЕСЛИ (х 7.7) ТО (у 6.4), R7: ЕСЛИ (х 9) ТО (у 5), R8: ЕСЛИ (х 12) ТО (у 4). (5.128) Функции принадлежности и поверхность полученной модели aMдa ни представлены на рис.5.149. Сравнивая рис. 5.148 с рис. 5.149, можно заметить, что эквивалентная модель амдани содержит большее число правил и нечетких множеств, чем ТSмодель, что обусловлено использованием в ТSмоделях трапеци евидных функций принадлежности с широкими носителями, задающих большие участки поверхности модели не поточечным, а функциональным образом. Если предположить, что точки минимума и максимума областей пе рехода для модели не важны (в рассматриваемом примере это точки (2.8, О.;)) и (7. 7 6.4)), и что «существенны» только rраничные линии об ластей, задаваемых заключениями ТSмодели (рис. 5.148), то будет полу чена более простая, но менее точная модель амдани, которая представ
340 rлава 5. Нечеткие модели у 7 М 2 (7.7,6.4) 6 5 4 (О, 3) 3 y=(4x 10) 3 2 : (4, 2) I I 1 I ! Х J.l (х) 1 А 1 А 2 Аз О 1 2 4 5 6 7 9 10 11 12 х Wl Wз Ws Rl: ЕСЛИ (х есть А 1 ) ТО (у == x + 3) ( 4х 10 ) R2: ЕСЛИ (х есть А 2 ) ТО У == 3 ( X+24 ) R3: ЕСЛИ (х есть Аз) ТО у == 3 Рис. 5.148. Модель ТакаrиСуrено с «существенными» точками поверхности отображения Х у лена на рис. 5.150. Упрощенная модель имеет базу правил вида (5.129): Rl: ЕСЛИ (х О) ТО (у 3), R2: ЕСЛИ (х 2) ТО (у l) R3: ЕСЛИ (х 4) ТО (у 2), R4: ЕСЛИ (х 7) ТО (у 6), R5: ЕСЛИ (х 9) ТО (у 5), R6: ЕСЛИ (х 12) ТО (у 4). (5.129) Представленная на рис. 5.144 ТSмодель содержит 3 правила и 3 BXOД ных нечетких множества. Эквивалентная ей УПРОULенная модель MaM
5.7. Типы нечетких моделей 341 J.l (у ) у 7 у == ( х + 24)/3 (12, 4) х О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х Рис. 5.149. Функции принадлежности и поверхность модели Мамдани, прибли женно эквивалентной модели ТакаrиСуrено, представленной на рис.5.148 дани содержит 6 правил и 6 входных нечетких множеств, тем самым являясь более сложной. . Рассмотренный метод проектирования модели Мамдани, эквивалент ной заданной модели ТакаrиСуrено, на основе «существенных» точек поверхности является относительно простым в случае систем типа SISO. ДЛЯ систем с несколькими входами «существенными» являются уrловые точки прямоуrольных (или rиперпрямоуrольных) cerMeHToB, образован ных с помощью пересечения нечетких множеств во входном простран стве. В модели Мамдани правила определяют только выходные COCTO яния У модели в этих точках (рис. 5.147). Характер функции fk, COOT ветствующей заданному cerMeHTY, зависит от выбранных типов операто ров для выполнения операций И и ИЛИ, вида функций принадлежности и метода дефаззификации. По этой причине точное преобразование TS модели в модель Мамдани, особенно для более сложных функций fk В заключениях правил, на практике оказывается очень сложным либо вообще невозможным. Укажем преИl\1ущества использования моделей ТакаrиСУIено.
342 rлава 5. Нечеткие модели у 7 М 2 (7.7,6.4) ;., ;' ....., , \ \ \ 6 5 4 3 2 1 р(у) р (х) 1 (7, 6) : I I I : (9, 5 I I I I I I I I I I (О, 3) !! , I У == х + 3 у == ( 4х 1 0)/3 i I Ш (2iШ:/i (4, 2) i I I I I : : 1\ I 1 I I , III L...../ ! : М 1 (2.8,.0.3) : I I 1 I I I I I I I I I 1 I I I (12, 4) .. х О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х Рис. 5.150. Эквивалентная представленной на рис. 5.144 ТSмодели модель Мамдани, правила которой задают состояние модели только на rраничных лини ях «существенных» областей ТSмодели и не учитывают «существенные» точки (2.8,0.3) и (7.7,6.4), характеризующие области перехода ТSмодели сочетают в себе описание системы на основе линrвистиче ских правил с традиционным функциональным представлением процесса ее функционирования, которое является привычным для нас, а зачастую, в случае реально существующей системы, и хорошо нам известным. По лучить описание функционирования системы на локальном уровне, и oco бенно линейное описание, достаточно леrко. Помимо этоrо, имеются сле дующие дополнительные преимущества. . Сложные, нелинейные поверхности можно аппроксимировать с помо щью множества плоских линейных cerMeHTOB. Каждый такой cerMeHT можно задать одним правило м ТSмодели. . ТSмодели являются особенно подходящими для описания реrулято ров. В настоящее время имеются хорошо развитые методики проекти рования линейных реrуляторов, и в случае сложных нелинейных объ\ ектов можно разработать оптимальные линейные реrуляторы для наи более важных их характеристик (областей функционирования), а за тем объединить их путем создания одноrо нечеткоrо ТSреrулятора (Сао 1997).
5.7. Типы нечетких моделей 343 . Вследствие локально линейной структуры ТSформы, ее использова.. ,