Предисловие редактора перевода
Вступление
Предисловие
Глава 1. Введение
1.2. Развитие теории нечетких множеств
Глава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
2.3. Лингвистические модификаторы нечетких множеств
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств
2.5. Нечеткие множества типа 2
2.6. Два вида неопределенности — нечеткость и вероятность
Глава 3. Нечеткая арифметика
3.2. Сложение нечетких чисел
3.3. Вычитание нечетких чисел
3.4. Умножение нечетких чисел
3.5. Деление нечетких чисел
3.6. Особенности нечетких чисел
3.7. Различия между нечеткими числами и лингвистическими значениями
Глава 4. Нечеткая математика
4.1.3. Компенсирующие операторы
4.2. Нечеткие отношения
4.3. Импликация
Глава 5. Нечеткие модели
5.1.2. Вывод
5.1.2.2. Определение активизированных функций принадлежности заключений отдельных правил при заданных входных значениях нечеткой модели
5.1.2.3. Определение результирующей функции принадлежности вывода из базы правил
5.1.3. Дефаззификация результирующей функции принадлежности вывода из базы правил
5.1.4. Пример нечеткого моделирования
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей
5.2.2. Зависимость числа правил от числа входных параметров и нечетких множеств
5.2.3. Полнота нечеткой модели
5.2.4. Непротиворечивость базы правил
5.2.5. Связность базы правил
5.2.6. Избыточность базы правил
5.3. Рекомендации по построению базы правил
5.4. Сокращение базы правил
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях
5.7. Типы нечетких моделей
5.7.2. Модели Такаги—Сугено
5.7.3. Реляционные модели
5.7.4. Глобальные и локальные нечеткие модели
5.7.5. Нечеткие мультимодели
5.7.6. Нейронечеткие модели
5.7.7. Альтернативные модели
5.7.8. Принципы подобия систем и моделей систем
5.7.9. Нечеткая классификация
Глава 6. Методы нечеткого моделирования
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей на основе измеренных данных о входах и выходах системы
6.2.1.2. Преобразование нечеткой модели Мамдани в нейронечеткую сеть
6.2.1.3. Преобразование в нейронечеткую сеть нечеткой модели Такаги—Сугено
6.2.2. Настройка параметров нечеткой модели с помощью генетического алгоритма
6.3. Построение самоорганизующихся и самонастраивающихся нечетких моделей на основе измеренных данных о входах и выходах системы
6.3.2. Определение нечетких кривых
6.3.3. Самоорганизация и самонастройка параметров нечеткой модели
6.3.3.2. Самоорганизация и самонастройка нечетких / моделей методами кластеризации
6.3.3.3. Самоорганизация и самонастройка нечетких моделей методом поиска
Глава 7. Нечеткое управление
7.2. Динамические нечеткие регуляторы
7.3. Формирование структур и настройка параметров нечетких регуляторов
7.3.2. Разработка нечеткого регулятора на основе модели эксперта, управляющего объектом
7.3.3. Разработка нечеткого регулятора на основе модели объекта управления
7.3.3.2. Некоторые замечания относительно идентификации инвертированных моделей динамических объектов
7.3.3.3. Настройка нечеткого регулятора с заранее выбранной структурой
7.3.3.4. Нечеткое управление, основанное на структуре с внутренней моделью
7.3.3.6. Адаптивное нечеткое управление
Глава 8. Устойчивость нечетких систем управления
8.2. Круговой критерий устойчивости
8.3. Применение теории гиперустойчивости для анализа устойчивости нечетких систем
8.3.2. Условия во временной области для гиперустойчивости непрерывных нелинейных систем управления, включающих стационарную нелинейную часть
8.3.3. Условия гиперустойчивости в частотной области для дискретных нелинейных систем управления, содержащих стационарную нелинейную часть
Список литературы
Предметный указатель

Автор: Пегат А.  

Теги: анализ   математика   моделирование  

ISBN: 978-5-9963-1495-9

Год: 2013

Текст
                    АДАПТИВНЫЕ И
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Пеr т
еч тко
модели
ОБ
ие
и
а л
и
Теория нечетких множ:еств
Нечеткая математика
J АТе1Ь Т8й
01
Нечеткие модели
етодынечеткоrо
моделирования
Нечеткое управление
Устойчивость систем
с нечетким управлением


Нечеткое моделирование и управление 
Andrzej Piegat Fuzz аn Modeling Control With 680 Figures and 96 Т аБlеs  Physica  V erlag А Springer Verlag Campany 
АДАПТИВНЫЕ И ИНТFЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ А. Пеrат Нечеткое моделирование и управление 2e издание Перевод с анrлийскоrо А. [. Подвесовскоrо, ю. В. Тюменцева под редакцией ю. В. Тюменцева i Москва БИНОМ. Лаборатория знаний 
УДК 517.11+519.92 ББК 22.18 П23 с е р и я о с н о в а н а в 2005 2. Пеrат А. П23 Нечеткое моделирование и управление / А. Пеrат ; пер. с анrл.2е изд.М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. 798 с. : ил.  (Адаптивные и интеллектуальные системы). ISBN 97859963 14959 Дается развернутое введение в проблемы нечеткоrо и нейронечеТКОl'О моделирования применительно к задаче управления системами. Материал основан на новейших результатах в данной области и иллюстрируется мноrочисленными примерами. Для специалистов в области нечеткоrо и нейронечеткоrо моделиро вания и управления, а также студентов и аспирантов соответствующих специальностей. УДК 517.11+519.92 ББК 22.18 Учебное издание Серия: «Адаптивные и интеллектуальные системы» Пеrат Анджей НЕЧЕТКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ Ведущий редактор М. с. СтРИс?}'1l0ва Художник Н. А. Лозинская Художественный редактор Н. А. Новак Технический редактор Е. В. Денюкова Ориrиналмакет подrотовлен М. ю. Копаницкой в пакете IbTEX 2 Е Подписано в печать 26.10.12. Формат 70 х 100/16. Усл. печ. л. 65,00. Тираж 1000 экз. Заказ 8324 Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний» 125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3 Телефон: (499) 1575272, email: binom@Lbz.ru, http://www.Lbz.ru При участии 000 AreHTcTBo печати «Столица» тел.: (495) 33]  1438 email: арstоliса(щЬk.ru 01 I1ечатано в ОАО «Первая Образцовая ТИПOf'рафия», филиал «УЛЬЯНОВСКИЙ ДОМ ПЕЧАТИ». 432980, 1. Ульяновск, ул. rончарова, 14 ISBN 97859963 14959 Translation frorn the English language edition: Fuzzy Modeliпg aпd Coпtro! Ьу Andrzej Piegat Copyright @ Physica Verlag Heidelberg 2001 All Rights Reserved @ БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013 
Предисловие редактора перевода в последние два десятилетия резко возрос интерес к различным аспектам проблемы интеллектуальноrо управления. Одно из основных направле ний, связанных с решением этой проблемы, состоит в использовании ап.. парата нечетких систем: нечетких множеств, нечеткой лоrики, нечеткоrо моделирования и т. п. Применение этоrо аппарата приводит к построе нию нечетких систем управления различных классов, позволяющих pe шать задачи управления в ситуациях, коrда традиционные методы неэф.. фективны или даже вообще неприменимы ИЗо.за отсутствия достаточно точноrо знания об объекте управления. Литература по нечетким системам, вышедшая с 1965 r., даты публика.. ции первой статьи Л. Заде по этой тематике, orpoMHa. Только книr насчи.. тывается несколько сотен. Например, с 1993 r. издательством «Шприн rep» выпускается серия «Исследования по нечетким системам и мяrКИlVl вычислениям» (Studies in Fuzziness and Soft Computing), редактором ко.. торой является Януш Кацпшик (Janusz Kacprzyk). В этой серии, одним из томов которой является и книrа Анджея Пеrата «Нечеткое модели рование и управление», по состоянию на середину 2008 r. издано более 230 томов. На русском языке к числу первых серьезных публикаций по нечетким системам относится перевод двух больших статей Лотфи Заде [6] и [7] (вторая из них в соавторстве с Ричардом Беллманом), и книrи [8], также написанной Л.Заде. Ряд книr, в частности, [1][22], [27], [28] был издан в дальнейшем. Эффективность применения методов нечеткоrо моделирования и управления существенно повышается, если их использовать совмест.. но и во взаимодействии с методами, основанными на искусственных нейронных сетях (см., например, [23][31]) и rенетических алrоритмах (см. [28], [32], [33]). Именно этот Kpyr вопросов и рассматривается в книrе «Нечеткое мао. делирование и управление». Ее автор, Анджей Пеrат, профессор Щецин" cKoro техническоrо университета (Польша)  видный специалист в обла сти мяrких вычислений и теории управления. 
6 Предисловие редактора перевода В книrе дается расширенное введение в теорию нечетких множеств, затем обстоятельно рассматриваются вопросы нечеткоrо моделирования систем. На этой основе излаrаются проблемы построения нечетких си стем управления динамическими объектами. Большое внимание уделено rибридным методам моделирования и управления, в которых сочетается применение нечетких систем, искусственных нейронных сетей и reHe тических алrоритмов. Одна из интересных и нетипичных особенностей книrи состоит в том, что методы мяrких вычислений излаrаются и TpaK туются с позиций специалиста по системам управления. Книrа будет полезна научным работникам, инженерам, аспирантам, студентам старших курсов, интересующимся математическим моделиро ванием, мяrкими вычислениями, системами управления, а также приме нением этоrо аппарата к решению задач в разнообразных прикладных областях. Работа по переводу книrи распределилась следующим образом: rлавы с 1 по 6  А. [. Подвесовский, вступление, предисловие, rлавы 7 и 8, предметный указатель  ю. В. Тюменцев. Список литературы [1] Аверкин А. Н., Батыршин и. З., Блишун А. Ф., Силов В. Б., Тарасов В. Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственноrо интеллекта / Под ред. д. А. Поспелова.  М.: Наука, 1986.  312 с.  (Серия «Проблемы искусственноrо интеллекта») [2] Алиев Р. А., Церковный А. Э., Мамедова Т. А. Управление производством при нечеткой исходной информации / Ред.: В. Н. Васин, В. и. Петухова.  М.: Энерrоатомиздат, 1991.  240 с. [3] Батыршин и. З., Недосекин А. о., Стецко А. А., Тарасов В. Б., Язенин А. В., Ярушкина Н. Т. Нечеткие rибридные системы: Теория и практика / Под ред. Н. [. Ярушкиной.  М.: Физматлит, 2007.  208 с. [4] Борисов А. Н., Алексеев А. В., Меркурьева Т. В., Слядзь Н. Н., fлушков В. J1. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений.  М.: Радио и связь, 1989.304 с. [5] Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей: Приложения к представлению знаний в информатике: Пер. с франц. В. Б. Тарасова под ред. С. А. Орлов СКОсО.  М.: Радио и связь, 1990.  288 с. [6] Заде л.. Основы HOBoro подхода к анализу сложных систем и процес сов принятия решений / / в сб.: Математика сеrодня: Пер. с анrл.  М.: Знание, 1974.  С. 521.  (Новое в жизни, науке, технике. Серия «MaTe матика, кибернетика». Вып.7, 1974) 
Предисловие редактора перевода 7 [7] Заде л.. Принятие решений в расплывчатых условиях / / В сб.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений / Под ред. и. Ф. Шахнова, с пре дисл. Т. с. Поспелова.  М.: Мир, 1976.  С. 172215. [8] Заде л. Понятие линrвистической переменной и ero применение к приня тию приближенных решений: Пер. с анrл. Н. и. Ринсо под ред. Н. Н. Mo исеева и с. А. Орловскосо.  М.: Мир, 1976.  165 с.  (Серия «Новое В зарубежной науке: Математика», вып.3 / Ред. серии А. Н. Колмосоров и с. п. Новиков) [9] Классификация и кластер / Под ред. Дж. ВЭН Райзина: Пер. с анrл. п. п. Кольцова под ред. ю. и. Журавлева.  М.: Мир, 1980.  389 с. [10] Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. С предисл. л. А. Заде: Пер. с франц. В. Б. Кузьмина под ред. с. и. Травкина. С предисл. М. А. Aй зермана.  М.: Радио и связь, 1982.  432 с. [11] Кузьмин В. Б. Построение rрупповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений.  М.: Наука, 1982.  168 с.  (Серия «Теория и методы системноrо анализа») [12] Лю Б. Теория и практика неопределенноrо проrраммирования: Пер. с анrл. ю. В. Тюменцева и ю. Т. Касанова под ред. ю. В. Тюменцева.  М.: БИ НОМ. Лаборатория знаний, 2005.  416 с.  (Серия «Адаптивные и интел лектуальные системы») [13] Малышев Н. Т., Бернштейн Л. с., БО.женюк А. В. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР.  М.: Энерrоатомиздат, 1991.  136 с. [14] Мелихов А. Н., Бернштейн л. с., Коровин с. Я. Ситуационные советую щие системы снечеткой лоrикой.  М.: Наука, 1990.  272 с. [15] Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения / Под ред. Р. Р. Ясера: Пер. с анrл. В. Б. Кузьмина под ред. с. и. TpaвKи на.  М.: Радио и связь, 1986.  408 с. [16] Новак В., Перфильева и., Мочкорж и. Математические принципы нечет кой лоrики: Пер. с анrл. под ред. А. Н. Аверкина.  М.: Физматлит, 2006.  352 с. [17] Орлов А. И. Задачи оптимизации инечеткие переменные.  М.: Знание, 1980.  64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибер нетика» . Вып.8, 1980) [18] Орловский с. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной ин формации.  М.: Наука. 1981.  208 с.  (Серия «Оптимизация И исследо вание операций») [19] Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи и М. Сусэно: Пер. с япон. ю. Н. Чернышова.  М.: Мир, 1993.  368 с. [20] Пытьев ю. п. Возможность: Элементы теории и применения.  М.: Эди ториал УРСС, 2000.  192 с. [21] Пытьев ю. П. Возможность как альтернатива вероятности: Математиче ские и эмпирические основы. применение.  М.: Физматлит, 2007.  464 с. 
8 Предисловие редактора перевода [22] Шапиро д. и. Принятие решений в системах орrанизациооноrо управ ления: Использование расплывчатых катеrорий.  М.: Энерrоатомиздат, 1983.  184 с. [23] rоловко В. А. Нейронные сети: Обучение, орrанизация и применение / Под общ. ред. А. и. Fалушкина.  М.: ИПРЖР, 2001.  256 с.  (Серия «Нейрокомпьютеры и их применения». Кн. 4) [24] rорбань А. Н., ДунинБарковский В. Л., Кирдин А. Н. и др. Нейроинфор матика / Отв. ред. Е. А. Новиков.  Новосибирск: Наука, 1998.  296 с. [25] rорбань А. Н., Россиев д. А. Нейронные сети на персональном компьютере / Отв. ред. В. и. Быков.  Новосибирск: Наука, 1996.  276 с. [26] Ежов А. А., Шумский С. А. Нейрокомпьютинr и ero приложения в эконо мике и бизнесе.  М.: Издво МИФИ, 1998.  224 с. [27] Круслов В. В., Дли М. М., Fолунов Р. ю. Нечеткая лоrика и искусственные нейронные сети.  М.: Физматлит, 2001.  224 с. [28] Рутковекая д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, rенети ческие алrоритмы и нечеткие системы: Пер. с польск. И. д. Рудинскосо.  М.: rорячая линия  Телеком, 2004.  452 с. [29] Сисеру о., Марзуки К., Рубия Ю. Нейроуправление и ero приложения: Пер. с анrл. Н. В. Батина под общ. ред. А. И. rалушкина и В. А. Птички на.  М.: ИПРЖР, 2000.  272 с.  (Серия «Нейрокомпьютеры и их при менения». Кн. 2) [30] Терехов В. А., Ефимов Д.В., Тюкин и.ю. Нейросетевые системы управ ления.  М.: ИПРЖР, 2002.  480 с.  (Серия «Нейрокомпьютеры и их применения». Кн. 8) [31] Хайкин С. Нейронные сети: Полный курс: Пер. с анrл. Н. Н. Кусеуль И А. Ю. Шелестова под ред. Н. Н. Кусеуль.  М.: Вильямс, 2006.  1104 с. [32] rладков Л. А., Курейчик В. В., Курейчик В. м. rенетические алrорит мы. Изд. 2e, испр. и доп. / Под ред. В. М. Курейчика  М.: Физматлит, 2006.  320 с. [33] Емельянов В. В., Курейчик В. М., Курейчик В. В. Теория и практика эволю ционноrо моделирования.  М.: Физматлит, 2003.  432 с.  (Серия «Про блемы искусственноrо интеллекта») 
Вступление Концепция нечетких множеств, введенная в середине 1960x rr. проф. Лотфи Заде из Калифорнийскоrо университета в Беркли, вызвала Heoд нозначную реакцию в научном сообществе. С одной стороны, постоянно росло число сторонников этой концепции, осознавших потенциальные возможности нечетких множеств для решения разнообразных приклад ных задач. Но, с друrой стороны, имелось и весьма значительное чис ло противников этоrо подхода  и достаточно часто из числа известных ученых и специалистов  которые резко выступали против этоrо нарож давшеrося класса средств моделирования. Одним из их aprYMeHToB было отсутствие прикладных результатов. Ситуация изменилась с середины 1980x rr., коrда начался так Ha зываемый «бум нечеткости». Первоначально он возник в Японии, затем в Корее и Европе, в существенно меньшей степени  в США. Решаю щую роль в этом процессе сыrрало появление на рынке разнообразных устройств, основанных на использовании нечеткой лоrики, применявших ся для решения задач управления поездами метрополитена, подъемными кранами, лифтами и т. д. Они были первыми успешными при мера ми при менения методов нечеткоrо управления, основы KOToporo заложили такие исследователи, как Мамдани, CyreHo, Такаrи и др. С тех пор задачи нечеткоrо управления стали иrрать роль эталонных тестовых проблем для нечетких множеств, а мноrими эти задачи и BO обще воспринимаются как синоним приложений нечетких множеств. По данной теме опубликовано множество прекрасных книr. Мноrие из них, однако, были написаны авторами, не принадлежащими к сообществу спе циалистов по системам управления. Одним из следствий TaKoro положе ния дел было то, что в этих книrах слишком большой, на мой взrляд, акцент делается на лоrические, реляционные и тому подобные аспекты нечеткоrо управления, и при этом слишком мало внимания уделяется вопросам, связанным с управленческой спецификой. Одним из таких вопросов является /vtоделuрованuе как основа управ ления. На самом деле, значимость моделирования, скорее Bcero, суще ственно выше, чем значимость собственно управления, поскольку об ласть применения моделирования несравненно шире как общеrо средства и метода для решения проблем практически во всех областях. К сожа лению, проблемы моделирования не нашли должноrо освещения в лите 
10 Вступление ратуре по нечетким системам, хотя исследования в области нечеткосо моделирования и ведутся достаточно широким фронтом. Из всей имеющейся на данный момент литературы представляемая книrа, по всей видимости, дает наиболее полное освещение проблем нечеткоrо моделирования и управления. Прежде Bcero, rлубоко paCCMOT рена критически важная область нечеткоrо моделирования, с попыткой вникнуть во все ее аспекты. В книrе обсуждаются все наиболее извест ные методы, в частности, моделирование на основе правил, лоrические модели, а также rибридные модели, к примеру, нейронечеткие. Подходы к нечеткому моделированию излаrаются автором просто и ясно, но в то же время достаточно cTporo, с применением соответствующеrо формаль Horo аппарата, что при влечет, несомненно, ВНИlVlание как тех читателей, которые интересуются теоретическими аспектами рассматриваемой обла сти, так и тех, для Koro важнее ее практические применения. Затем, после подробноrо изложения нечеткоrо моделирования, автор переходит к рассмотрению проблем нечеткоrо управления. Начинает это рассмотрение он с более традиционноrо подхода, который можно было бы назвать управлением на основе использования только средств нечеткой лоrики, без применения нечетких моделей. После этоrо, автор переходит к рассмотрению cOBpeMeHHoro подхода, потенциально HaMHoro более MHO rообещающеrо, oCHoBaHHoro на применении нечетких моделей объектов управления и управляемых систем, а также более развитых схем управ ления, включая адаптивное управление и MHoroKoHTypHoe управление. В завершение автор рассматривает вопросы, относящиеся к устойчи вости нечетких систем управления. И опять, трудно указать друrие пуб ликации, сопоставимые с данной книrой по широте охвата материала. По моему мнению, это выдающаяся книrа, равной которой в суще ствующей литературе практически нет. Она дает всестороннее описание нечеткоrо моделирования и управления, причем написана в стиле, при емлемом для специалистов по системам управления. Написание такой книrи требует не просто хорошеrо знания соответствующей области, но rлубокой эрудиции и исследовательской зрелости, чтобы отобрать из об ширнейшей литературы наиболее мноrообещающие методы и средства. Профессор Пеrат заслуживает блаrодарности и признательности Bce [о сообщества специалистов и исследователей в области нечетких систем за подrотовку такой исключительной книrи, которую должны прочитать все интересуюuиеся современными подходами к нечеткому моделирова нию и управлению. Варшава, Польша, декабрь 2000 [. Януш Кацпшuк 
Моей семье Предисловие Традиционная математика обеспечивает работу с данными точноrо характера, например: . температура 39.7 ос, . скорость 90 кмjч, . коммерческий платеж 12317 долл., . высота морской волны 1.75 м. Однако в окружающем нас мире мы очень часто встречаемся и с неточной информацией, например: . высокая температура, . высокая скорость, . небольшой коммерческий платеж, . спокойное (штилевое) море, . приятный продавец, . значительный покупательский интерес, . небольшое помутнение жидкости, . высокое качество стали, и т. д. Неточная информация используется людьми уже тысячи лет. Однако до совсем недавнеrо времени ее никак нельзя было употреблять в paM ках методов, основанных на обычной математике, и она терялась. По этой причине эффективность мно.rих методов проектирования, управле ния, моделирования, проrнозирования и принятия решений была весьма оrраниченной, особенно в случаях, коrда об исследуемой системе не бы ло никакой друrой информации, кроме неточной. Кроме Toro, каждая порция «точной» информации измеряется с определенной (часто значи тельной) поrрешностью, так что на самом деле также является неточной. Область математики, имеющая дело с неточной информацией, полу чила наименование теории нечетких множеств. Эта теория, во взаимо действии с обычной математикой, позволяет обрабатывать и использовать информацию любоrо вида. Она открывает новые и очень интересные воз можности и перспективы для науки и техники. 
12 Предисловие Эта книrа предоставляет читателю основную информацию, относящу юся к теории нечетких множеств, нечеткому моделированию и управле нию. Она основывается на публикациях в данной области, а также на результатах исследований, проводившихея автором. Хорошее понимание теории  это основное условие ее применения, а также база для развития и совершенствования собственных идей и KOH цепций. Чтобы упростить ее освоение, автор иллюстрирует представляе мые методы большим числом рисунков и примеров. Автор надеется, что читатели извлекут для себя MHoro пользы из информации, содержащейся в данной книrе. Автор хотел бы выразить свою признательность следующим лицам: . проректору по научной работе Щецинскоrо техническоrо университе та, професеору Валериану Арабчику (Walerian Arabczyk) за финан совую поддержку работ по подrотовке книrи, . декану факультета вычислительной техники и информационных си стем Щецинскоrо техническоrо университета, професеору Ежи Сол деку (Jerzy Soldek) за финансовую поддержку работ по подrотовке книrи, . Фонду поддержки разработок Щецинскоrо техническоrо универси тета и в особенности ero директору Кшиштофу Лещиньскому (Krzysztof Leszczynski) за финансовую поддержку работ по подrо товке книrи, . дpy Боrдану rживачу (Bogdan Grzywacz), Станиславе Левандов ской (Stanislawa Lewandowska) и Еве Лисек (Ewa Lisek) за перевод книrи на анrлийский язык, . Ричарду Старку (Richard Stark), Великобритания, за помощь в улуч шении анrлийскоrо языка данной книrи, . дpy Марцину Плуциньскому (Marcin Plucinski) за выполнение KOM пьютерноrо набора этой книrи. Щецин, декабрь 2000 r. Анджей Песат 
rЛАВА 1 Введение 1.1. СУЩНОСТЬ теории нечетких множеств Традиционные математические методы предназначены для обработки точ ных данных, таких как «скорость автомобиля v == 111 км/ч». Предста вить такие данные rрафически можно с использованием так называемых одноточечных (одноэлементных) множеств (рис. 1.1). о 111 160 и, кмjч Рис. 1.1. Визуальное представление точноrо измерения скорости Точные данные MorYT быть получены только с ПОl\10ЩЬЮ высокоточных технических измерительных устройств, в то время как человек способен непосредственно оценивать скорость автомобиля, оперируя такими Tep минами, как «низкая», «средняя» И «высокая». Эти приближенные оценки также можно представить rрафически (рис. 1.2). С помощью функций «низкая», «средняя» И «высокая», называемых ФУНКЦИЯМИ принадлежности, можно определить, является ли HeKO торое точное значение скорости соответственно низким, средним или м( V) 1 низкая средняя высокая о о 50 60 80 100 111 160 1\ км/ч Рис. 1.2. Визуальное представление приближенных оценок скорости 
14 rлава 1. Введение МСи) очень низкая низкая средняя высокая очень высокая 1 о о 20 40 60 7 О 80 90 1 00 120 160 и, км/ч Рис. 1.3. Оценка скорости с использованием пяти информационных rранул ВЫСОКИМ. Человек, наблюдающий автомобиль, движущийся со CKOpO стью V == 111 км/ч, не в состоянии оценить это значение точно, но при ближенно он может оценить такую скорость как высокую (рис. 1.2). О подобноrо рода оценках rоворят как об информационных rpaHY лах (Zadeh 1979, 1996). Если трех rранул «<низкая», «средняя», «BЫCO кая») недостаточно, точность оценки скорости можно повысить, введя, например, 5 rранул  «очень низкая», «низкая», «средняя», «высокая», «очень высокая» (рис. 1.3). Точность оценки можно, наоборот, снизить, если использовать только две rранулы  «низкая» И «высокая». Степень rранулированности информации будет определяться потребностями и ин теллектуальными способностями использующеrо ее человека, либо будет зависеть от контекста, в котором он ее использует. Информация, получаемая от человека, обычно менее точна (более [pa нулирована), в то время, как информация от измерительных устройств является более точной (менее rранулированной). fранулированность информации можно определить с помощью ширины rранулы (функции принадлежности), и таким образом rранула «средняя» может иметь раз личную ширину, зависящую от общеrо количества используемых челове ком rранул (рис. 1.4). Как видно из рис. 1.4, уменьшение степени [paHY лированности дает в пределе ТОЧКУ (rранулу бесконечно малой ширины), которая и соответствует точно заданной информации  именно той, с KO торой оперируют традиционные математические методы. ИНфОРl\1ация, представленная в виде rранул, имеющих конечную и ненулевую ширину, называется нечеткой информацией  автором данноrо термина является ПрОlр. Лотфи Заде, впервые исследовавший явление информационноЙ rраНУJIИРОВ3ННОСТИ. Область мзтеl\ifатики, зани мающаяся обработкой такой ИНфОРlVlации, БыlI3a названа теорией нечет ких множеств (Zimmclrnan 1994). ВажнеЙIl1ИМ направлением данной теории является нечеткая лоrика, применяеl'лая в нечеТКОl\1 модели 
1.1. Сущность теории нечетких множеств 15 M(V) M(V) средняя средняя О О 50 75 100 1', км/ч БО 75 90 V, км/ч м ( 1) ) р( v) средняя средняя О О 70 75 80 (" км/ч 75 7', км/ч Рис. 1.4. Различная ширина информационной rранулы, соответствующей «средней» скорости ровании и управлении. Укажем на новые возможности, появившиеся в научнотехнических исследованиях блаrодаря теории нечетких MHO жеств. 1. Возможность создания искусственноrо интеллекта, сходноrо с ин теллектом человека, и ero применения в автоматах и роботах. В настоя щее время наблюдается устойчивая и даже растущая тенденция к полу чению в этом направлении результатов, свидетельствующих о том, что для ряда конкретных приложений искусственный интеллект превосходит человеческий по объему и скорости обработки информации. 2. Создание компьютеров, проrраммируемых с помощью eCTeCTBeHHO [о языка (Zadeh 1996). Применение таких компьютеров в автоматах и po ботах делает возможным управление ими и «общение» с ними на eCTe ственном языке с использованием нечетких понятий. В настоящее вреl'v1Я имеются устройства, способные распознавать оrраниченное число слов и словосочетаний. 3. Использование информации любой степени rранулированности в задачах моделирования, управления, оптимизации и диаrностики. Бо лее высокая степень rранулированности может привести к сокраllJ.ению объемов обрабатываемой и хранимой информации и к повышению быст родействия алrоритмов. 
16 rлава 1. Введение 4. Возможность подстройки уровня rранулированности информации под требуемую точность моделирования, управления, оптимизации, диа rностики и т. д. Такая подстройка выполняется человеком, как показано на рис.l.51.7. 1 5 х Предположим что на первом этапе управления объектом взаимосвязь меж ду входными и выходными параметрами KOToporo представлена на рис. 1.5, при нимаются во внимание только предель ные состояния объекта и на основе этоrо формируется модель, основанная на двух правил ах (рис. 1.6). Для определенности, под моделью объекта будем понимать некоторое ero приближенное представ ление, обладающее необходимой точно стью. у 7 3 Рис. 1.5. Зависимость выхода от входа для объекта управления у у Б 7 ./: ./ I ./ : ./ I ,/ I I ././ модель : ,/ : , I I I I м )  I М(У) 1 :5 х I I I I I I М(Х) I I I I I I Б I :М I I 1 .r Rl : R2 : ЕСЛИ ЕСЛИ (значение х J\'lа.пое) (значение х большое) ТО ТО (значение у малое) (значение у большое) Рис. 1.6. Модель объекта, основанная на двух информационных rранулах: «малое» И «бо.n:ыиое» 
1.1. Сущность теории нечетких множеств 17 у у 7 I 71 7 : '/ : I I I I I I Б 5.5 (7    м М(У) 1 1 3 5 х М(Х) м (7 Б 1 х Rl : R2 : R3 : ЕСЛИ ЕСЛИ ЕСЛИ (значение х малое) (значение Х среднее) (значение Х большое) ТО (значение у малое) ТО (значение у среднее) ТО (значение у большое) Рис. 1.7. Модель объекта, основанная на трех информационных rранулах: «малое», «среднее» и «большое» Если точность модели, представленной на рис. 1.6, является HeДOCTa точной, будем пытаться повысить ее, дополнительно принимая во внима ние наиболее существенное (Babuska 1995Ь) промежуточное состояние (рис. 1.7), тем самым задавая еще одно правило, определяющее поведе ние объекта, и приходя в итоrе к новым, более мелким информационным rранулам. Более Toro, если модель, представленная на рис. 1.7, все еще имеет недостаточную точность, можно рассмотреть друrие существенные состояния объекта и тем самым уменьшить rранулированность информа ЦИИ, увеличить число вербальных правил, характеризующих поведение объекта, и получить таким образом более точную модель. Как показали исследования по психолоrии (Kruse 1994), человек со средними способностями в состоянии одновременно хранить в памяти от 5 до 9 характеристик объекта, и по этой причине для описания лю 60ro параметра используется не более, чем 59 информационных rранул. Заметим, что в общеI\1 случае, при управлении летатеЛЬНЫ1\1И аппаратами, друrими средствами передвижения и объектами, а также при решении 
18 rлава 1. Введение множества повседневных задач такая rранулированность является вполне достаточной. Компьютерные технолоrии обеспечивают возможность практическо [о использования информации любой степени rранулированности, вслед ствие чеrо можно получать значительно более точные модели. Опыт MO делирования реальных систем rоворит о том, что практически всеrда есть некоторый пороr точности, превышение KOToporo не дает особой пользы. Возникновение подобных ситуаций связано с определенными, имеющими место в сложных системах эффектами, охарактеризовать которые можно следующим образом. 1. Существование хаоса. Внутри ядра систем возникают активные воз мущения, не поддающиеся измерению. Кроме Toro, об их существовании может быть даже не известно. Друrими словами, в системах возмож ны неконтролируемые процессы. Влияние указанных факторов зависит от Toro, насколько они интенсивны, и может привести к непредсказуе мым изменениям в системе, которые можно трактовать как хаотические. 2. Стремительный рост числа возможных решений. Увеличение сложности системы приводит к резкому возрастанию числа факторов, обусловливаЮIЦИХ ее наблюдаемое поведение  этот эффект называется «комбинаторным взрывом» и ero обычно невозможно учесть в математи ческой модели. При формировании модели такой системы в нее следует включать лишь наиболее значимые факторы, влияющие на ее поведение. Это снижает сложность модели, но может привести к ошибке (изза зо ны нечувствительности модели), обусловленной не столь очевидными, но существенными факторами. 3. Невозможность точноrо измерения некоторых сиrналов при pa боте с системой. При неточном измерении входных сиrналов реальной системы, вычисляемые для нее выходные сиrналы (выходная информа ция) даже в случае очень точной модели MorYT не соответствовать пове дению реальной систеl\1Ы, известному из опыта. Признавая существование описанных выше эффектов, основатель нечеткой лоrики проф. Л. Заде выдвинул утверждение, названное им принципом несовместимости (Zadeh 1973): «По мере возрастания сложности системы H3ilJ3 способность формулиро вать точные и при этом осмысленные утверждения о ее поведении уменьша ется вплоть до HeKoTopoI'O nopora, за пределами KOToporo точность и смысл становятся практически взаИМОИСКЛlочаЮIЦИl\rlИ характеристиками». 
1.2. Развитие теории нечетких множеств 19 Точное моделирование с использованием очень малых информацион ных rранул возможно лишь в случае простых систем с малым числом входных величин. Для нетривиальных систем, особенно систем с боль шим количеством входов, приходится использовать информацию, пред ставленную с помощью более крупных rранул  нечеткую информацию. 1.2. Развитие теории нечетких множеств Теория нечетких множеств вызывает сеrодня немалый интерес. По oцeH кам (Altrock 1993), в 1993 [. насчитывалось от 15 до 16 тыс. публикаций, связанных с этой тематикой. В 2000 [., на момент написания данной кни rи, число публикаций превысило 27 тыс. и продолжало интенсивно расти. Орrанизуются научные конференции, возрастает количество промышлен ных приложений. Что же является причиной столь высокой популярности теории нечетких множеств в современной науке? Начало развитию теории нечетких множеств положила основопола rающая статья «Fuzzy Sets» «<Нечеткие множества»), опубликованная профессором из США Лотфи Заде (Zadeh 1965), который впервые ввел понятие нечеткоrо множества, предложил идею и первую концепцию Teo рии, которая давала возможность нечеткоrо описания реальных систем. Важнейшим направлением теории нечетких множеств является нечеткая лоrика (Zimmermann 1994а), применяемая для управления системами, а также в экспериментах по формированию их моделей. В 60e [оды начался период быстроrо развития компьютеров и циф ровых технолоrий на базе двоичной лоrики. В то время считалось, что использование данной лоrики позволит решать мноrие научные и Tex нические проблемы. По этой причине появление нечеткой лоrики OCTa валось почти незамеченным, несмотря на всю ее концептуальную peBO люционность. Тем не менее, важность нечеткой лоrики была осознана рядом представителей научноrо сообщества и она получила развитие, а также практическую реализацию в рамках различных промышленных приложений. Через некоторое время стал повышаться интерес к ней и со стороны научныIx школ, объединявших приверженцев технолоrий на oc нове двоичной лоrики. Это произошло изза Toro, что обнаружилось дo статочно MHoro практических задач, которые не поддавались решению с помощью традиционных математических моделей и методов, несмотря на СУПLественно возросшие доступные скорости реализации вычислений. Требовалась новая методолоrия, характерные черты которой предстояло найти R нечеткой лоrике. 
20 rлава 1. Введение Подобно робототехнике, нечеткая лоrика была с большим интересом встречена не в стране cBoero происхождения, США, а за ее пределами, и как следствие этоrо, первый опыт промышленноrо использования нечет кой лоrики  для управления котельными установками электростанций (Assilian 197 4)  связан с Европой. Все попытки использовать для управ ления паровым котлом традиционные методы, порой весьма замыслова тые, оканчивались неудачей  настолько сложной оказалась эта нели нейная система. И только применение нечеткой лоrики позволило синте зировать реrулятор, который удовлетворял всем требованиям. В 1976 r. нечеткая лоrика была положена в основу системы автоматичскоrо управ ления карусельной печью в производстве цемента (Mamdani 1977). И тем не менее, первые практические результаты применения нечеткой лоrики, полученные в Европе и Америке, не вызвали какоrо"либо значительноrо повышения интереса к ней. Точно так же, как было с робототехникой, страной, которая первой начала повсеместное внедрение нечеткой лоrи ки, осознав ее оrромный потенциал, стала Япония (Bellon 1992). Среди созданных в Японии прикладных нечетких систем наибольшую известность получила разработанная компанией Hitachi систеlVIа управ ления поездами метрополитена в r. Сендай. Реализация проекта велась с участиеlVI опытноrо машиниста, знания и опыт KOToporo леrли в oc НОВУ разработанной модели управления. Систеl\1а автоматически снижа ла скорость поезда при подъезде ero к станции, обеспечивая остановку в требуемом месте. Еще одним преимущеСТВОlVl поезда была ero BЫCO кая комфортабельность, обусловленная плавностью набора и снижения скорости (Abel 1991). Имелся и целый ряд друrих преИl\1уществ по cpaB нению с традиционными системами управления. Тестирование и совершенствование системы управления продолжа лось в течение двух лет. Эти усилия были нацелены на проверку HOBoro метода управления и обеспечение максимальной безопасности пассажи ров. О том, что данный проект можно считать успешным, свидетель ствует тот факт, что спустя 12 месяцев разработку своих собственных приложений с использованием нечеткой лоrики вели уже 50 крупных японских компаний. В 1991 r. вклад Японии в мировое производство про.. Дукции, использующей нечеткую лоrику, исчислялся миллиардами дол ларов  в абсолютных величинах это составляло 80% (по данным Market InteIligence Research). rfачиная с 1989 r. в Японии было создано не менее 5 научных сообществ, связанных снечеткой лоrикой, среди которых: 1. Лаборатория Международных нечетких технических исследований (Laboratory for International Fl1zzy Engineering Reseatrll  LIFE). 2. Японское Сообщество теории нечетких JYIножеств и нечетких систем (Japan Society of FL1zzy Theory аl1еl Systerns  50FT). 
1.2. Развитие теории нечетких множеств 21 3. Ассоциация биомедицинских нечетких систем (Biomedical Fuzzy Systems Association  BMFSA). 4. Институт систем нечеткой лоrики Иидзука (Fuzzy Logic Systems Institute Iizuka  FLSI). 5. Центр развития нечеткой лоrики (Center for Promotion of Fuzzy Logic). С 1986 r. функционирует Японское отделение международной орrани зации IFSA (International Fuzzy Systems Association  Международная ассоциация нечетких систем). Среди перечисленных орrанизаций наиболее известна лаборатория LIFE, созданная Министерством международной торrовли и промышлен ности Японии совместно с рядом крупных промышленных предприятий, среди которых Honda, Kawasaki Steel, Tokyo Electric и др. (общее их число в 1991 r. составляло 49). Целью деятельности данной лаборато рии является разработка нечетких методов для нужд промышленности, торrовли, поддержки принятия решений (например, в области валютных операций) и т. д. В состав LIFE вошли лучшие специалисты в области нечеткой лоrики из японских университетов и промышленных компа ний. Помимо этоrо, финансовую поддержку лаборатории осуществляет ряд крупных компаний за пределами Японии, среди которых Bosh, Zeiss, Siemens, Audi, Volkswagen. Спонсоры LIFE посылают в нее своих ин женеров для прохождения стажировок и выполнения исследований под руководством специалистов. Быстрое развитие нечеткой лоrики в Японии привело к тому, что ее практические приложения появились не только в промышленности, но и в производстве товаров народноrо потребления. Примером здесь может служить видеокамера, оборудованная нечеткой подсистемой CTa билизации изображения (Abel 1991), применявшейся для компенсации колебаний изображения, Bbl3BaHHHlx малоопытностью оператора. Данная задача была слишком сложной для решения ее традиционными MeToдa ми, поскольку требовалось отличать случайные колебания изображения от целенаправленноrо перемещения объектов съемки (например, движе ния людей). Друrим примеРОlVl является автоматическая стиральная Ma шина, управляемая одним нажатиеl\1 кнопки (Zimmerman 1994). Подоб ная «целостность» вызвала интерес и была встречена с одобрением. 11c пользование методов нечеткой лоrики позволило оптимизировать процесс стирки, обеспечивая автоматическое распознавание типа, объема и степе ни заrрязненности одежды, не rоворя уже о том, что сведение механизма управления машиной к одной единственной кнопке позволило значитель но упростить обращение с ней. 11зобретения в области нечеткой лоrики 
22 rлава 1. Введение были воплощены японскими фирмами и во мноrих друrих устройствах, среди которых микроволновые печи (Sanyo), антиблокировочные систе мы и автоматические коробки передач (Nissan), интеrрированное управ.. ление динамическими характеристиками автомобиля (INVEC), а также реrуляторы жестких дисков в компьютерах, обеспечивающие уменьшение времени доступа к информации. Находясь в аванrарде исследований в сфере приложений нечеткой лоrики, японские инженеры получили в данной области orpoMHoe ко.. личество патентов. Только компания Omron из rорода Киото в 1993 r. владела более чем 700 патентами. Массовое применение нечеткой лоrики в изделиях японской промыш" ленности привлекло внимание во всем мире и особенно в Европе, rде BЫ зов лидерству Японии был брошен rлавным образом учеными и предпри нимателями из rермании. в r. Аахен находится штаб"квартира европей.. ской орrанизации ELITE (European Laboratory for Intelligent Techniques Engineering Foundation), занимающейся разработкой и продвижением методов искусственноrо интеллекта, таких как нечеткая лоrика и ней.. ронные сети, с упором на научные исследования в данных областях. Под ее эrидой проводится множество международных конференций, среди которых ежеrодная Европейская конференция по искусственному ин теллекту EUFIT (European Congress оп Intelligent Techniques and Soft Computing  Европейский KOHrpecc по интеллектуальным технолоrиям и мяrким вычислениям). Помимо упоминавшихся выше приложений, с начала 1990x rr. на.. блюдается интенсивное развитие нечетких методов в рамках целоrо ряда прикладных областей, в том числе и не связанных с техникой. Чтобы дать читателю представление о возможностях нечеткой лоrики, перечис.. лим некоторые из известных ее приложений. . система управления электронным кардиостимулятором (Akaiwa 1990; Kitamura 1991; Sugiura 1991); . система управления механическими транспортными средствами (Altrock 1992); . водоrрейные котлы (Bien 1992); . химические реакторы и установки (Altrock 1995; Bork 1993; Hanakuma 1989; Hack 1997; H6hmann 1993; Kolios 1994; Roffeld 1991); . системы охлаждения (Becker 1994; Hakata 1990); . кондиционеры и вентиляционное оборудование (Tobi 1991; Wata паЬе 1990); . оборудование для сжиrания мусора (Altrock 1993; Fujiyoshi 1992; Оhпishi 1991); 
1.2. Развитие теории нечетких множеств 23 . стеклоплавильная печь (Aoki 1990; Hishida 1992); . система контроля кровяноrо давления (Arita 1990), . диаrностика опухолей (Arita 1991), . диаrностика текущеrо состояния сердечнососудистой системы (Altrock 1993), . система управления подъемными и мостовыми кранами (Altrock 1993; Watanabe 1991), . насосная станция (Chen 1992), . обработка изображений (Fij iwara 1991; Franke 1994), . быстродействующее зарядное устройство (Altrock 1993), . распознавание слов (Fujimoto 1989), . лечение диабета и контроль уровня сахара в крови (] асоЬу 1994; Kage уаmа 1990), . электроэнерrетическая система (Hiyama 1991), . оборудование для металлообработки (Hsieh 1994), . управление биопроцессорами (Hanss 1994), . отопительные приборы (Heider 1994), . управление электродвиrателями (Kawai 1990; Lee 1992), . сварочное оборудование и процессы сварки (Murakami 1989; Reshuffled 1994), . системы управления движением транспорта (Sasaki 1988; Voit 1994), . биомедицинские исследования (Takahashi 1990), . оборудование для уборки помещений (Yamashita 1992), . оборудование для очистки от шлама (Yu 1990), . водоочистные сооружения (Altrock 1995). По теории нечетких множеств издан ряд книr, например (A1trock 1993,1995; Brown 1994; Bezdek 1981; Driankov 1993,1996; Gottwald 1993; Hung 1995; Kahlert 1994,1995; Knappe 1994; Kandel 1994; Kruse 1994; Kiendl 1997; Kaufmann 1985; Koch 1996; Kacprzyk 1986,1992,1997; Nguyen 1995; Pedrycz 1993; Rutkowska 1997; Tilli 1991; Wang 1994а; Yager 1994,1995; Zimmermann 1994а,1994Ь). На рынке проrраммноrо обеспечения имеется несколько продуктов, осущеСТВЛЯЮlUИХ поддержку нечеткоrо'I\10делирования и управления. Ин формацию о них можно найти в (Ader 1996; Baldwin 1995а; Koch 1996; Кuhп 1994; Krieger 1994; Кlопе 1996с). В Польше исследования в области нечетких множеств ведутся с 1970x rr. (Kacprzyk 1977,1978). Польскиl\tlИ учеными, внеСU1ИМИ cy щественный вклад в развитие данной теории в мире, являются профес сора Е. Czogala, J. Kacprzyk и w. Pedrycz (фамилии перечислены в алфа витном порядке). 
24 rлава 1. Введение и хотя теория нечетких множеств позволяет решать задачи, с KOTO рыми часто не справляются обычные методы, не следует считать ее «па нацеей». Было бы ошибкой rоворить о ней как о единственно возможной замене всех остальных подходов. Практика показывает, что применять нечеткую лоrику целесообразнее Bcero там, rде остальные подходы до сих пор терпели неудачу (Altrock 1993), и следовать традиционным методам, если приемлемые результаты MorYT быть получены на их основе. 
r ЛАВА 2 OCHoBHbIe понятия теории нечетких множеств 2.1. Нечеткие множества Человек использует нечеткие множества для оценки и сравнения физиче ских величин, состояний объектов и систем на приближенном, качествен ном уровне. Так, любой из нас способен оценить величину температуры, не прибеrая к помощи термометра, а руководствуясь лишь собственны ми ощущениями и шкалой приближенных оценок, подобной тем, которые представлены на рис.2.1. Отметим, что качественная оценка имеет нечисловой характер, по скольку не обладает свойством аддитивности, присущим числам. Пример. 1 см + 1 см == 2 см, но: небольшая сумма денеr + небольшая сумма денеr ==7 Результат подобной операции не всеrда будет соответствовать боль шой сумме денеr. Понятия «небольшой» и «большой» суммы являются нечеткими и субъективными и зависят от смысла, вкладываемоrо в них в каждом конкретном случае. Поэтому качественные оценки нельзя складывать по добно тому, как это делается с числовыми величинами. очень холодно холодно I О тепло очень тепло тое нулевая очень малая малая средняя большая I О уродливый обычный непривлекательный привлекательный красивый I . + О красота паника пессимизм неопределенность оптимизм эйфория I . + О обстановка на бирже . + температура очень большая I . + 1000/0 облачность Рис. 2.1. Примеры качественных оценок, используемых человеком 
26 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств Качественные оценки человек использует и тоrда, коrда средства точ Horo измерения ему доступны. Например, несмотря на точные показания скорости на спидометре автомобиля, характеризуя свою поездку, води тель чаще Bcero rоворит: . «Я ехал очень быстро», . «Я ехал со скоростью примерно 100 км/ч», . «Я ехал со скоростью более 100 км/ч». Если бы водитель попытался вспомнить точное значение скорости в каждый момент своей поездки, то это бы было, вопервых, практи чески невыполнимым, вследствие оrраниченных возможностей человече ской памяти, а BOBTOpЫX, совершенно излишним, поскольку для челове ка бывает достаточным сделать rрубую оценку, позволяющую избавиться от больших объемов ненужной информации, сосредоточившись на той, которая является наиболее существенной, и которую можно быстро об работать, чтобы принять необходимое решение. В окружающем нас мире имеется большое число величин, которые нельзя оценить с помощью измерительных устройств, поскольку таких устройств просто не существует. К таким величинам относятся, напри мер, женская красота, порядок в доме, опасность начала войны, шансы на успех в бизнесе и т. п. Но У каждоrо человека есть свои собственные, неизведанные или понятные лишь отчасти «измерительные устройства», позволяющие ему давать качественные оценки подобных величин и ситу аций, представляющихся настолько сложными, что с ними невозможно справиться средствами современной науки. Пользуясь подобным HeCOBep шенным, нечетким механизмом оценивания, люди отлично справляются с окружающей действительностью, приспосабливаются к ней, преобра зуют ее, распознают (идентифицируют) существующие в ней системы, которыми управляют затем оптимальным или субоптимальным образом. Качественно оценивая действительность, люди выработали у себя весьма совершенные лоrические и интеллектуальные способности, KOTO рыми робототехнические устройства не обладают, несмотря на непрекра щающуюся интенсивную работу в этом направлении. По этой причине у ученых и инженеров возникла идея создания искусственноrо интеллекта, который имитировал бы человеческий интеллект и использовал сходные с ним подходы. Важнейшее условие создания TaKoro интеллекта состоит в том, что бы перевести нечеткие, качественные оценки, применяемые человеком, на язык математики, понятный вычислительной машине. В результате станет возможным: 
2.1. Нечеткие множества 27 . преобразовывать четкие и точные показания приборов в форму каче ственных оценок, применяемых людьми, и использовать их в алrорит мах искусственноrо интеллекта, основанных на правилах, подобных тем, которые лежат в основе человеческих рассуждений, . вводить в системы обработки информации, математические модели управляемых систем и алrоритмы управления величины, определить которые может только человек, например платежеспособность поку пателя, вероятность сбора боrатоrо урожая в данном rоду и др. Видно, таким образом, что нечеткие, качественные оценки позволяют значительно расширить традиционные методы математическоrо модели рования, требующие точной информации о входных величинах системы. Это становится возможным за счет использования информации о пара метрах, ранее не учитываемых изза отсутствия средств их измерения (т. е. вводятся rибридные модели, имеющие как четкие, так инечеткие составляющие). Тем самым, нечеткие методы качественноrо оценивания следует рассматривать не как альтернативу, а как дополнение к точным техническим измерениям, позволяющее создать более полную картину или модель действительности. Формализация качественных оценок может осуществляться на OCHO ве теории нечетких множеств. Понятие нечеткоrо множества появилось в научной литературе в 1965 r., блаrодаря работе ученоrо из США Лот фи Заде (Zadeh 1965), внесшеrо существенный вклад в развитие данной теории. Рассмотрим далее основные понятия, связанные с нечеткими множе ствами. . Линrвистическая переменная Линrвистической переменной является переменная (которая может быть как входной или выходной, так и переменной состояния) с линrвистиче скими значениями, выражающими качественные оценки. Примеры: скорость судна, электрическое напряжение, температура. На практике для задания линrвистических переменных можно ис пользовать не только линrвистические значения, но и нечеткие числа (Bertram 1994; Koch 1993), т. е. определенноrо рода комбинированный подход. . Линrвистическое значение Линrвистическое значение представляет собой значение линrвистической переменной, выраженное в словесной форме. 
28 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств Примеры: очень большой отрицательный, средний отрицательный, cpeд ний положительный, очень большой положительный, старый, молодой, хороший, средний, приятный, неприятный, истинный, ложный. Линrвистическое значение всеrда присутствует в модели совместно со связанной с ним линrвистической переменной. Примеры: высокое атмосферное давление, сильное течение, молодой воз раст (человека), истинная информация, ложная информация. . Нечеткие числа Понятие нечеткоrо числа будет рассмотрено в rлаве з. Примеры нечетких чисел: около нуля, примерно 5, более (менее) 5, HeMHoro более 9, приблизительно между 10 и 12. Оценка пара метров системы с использованием линrвистических зна чений основана на восприятии человека и не требует технических изме рительных устройств, в то время как при использовании с этой целью нечетких чисел подобные устройства необходимы. С помощью нечетких чисел можно обобщать большие объемы точных данных, являющихся результатами измерений или обращений к базам данных, например ин формацию о цене X i на акции не которой компании (рис. 2.2). Данные, представленные на рис.2.2 в точной (четкой) форме, можно обобщенно представить в виде нечеткоrо числа: «приблизительно в пределах между 9 и 11» или  «около 1 О». цена акций 10 11 9 о время Рис. 2.2. Пример большоrо объема данных о точном значении пара метра 
2.1. Нечеткие множества 29 На практике применяются смешанные наборы значений линrвистиче ских переменных  см., например, (Abel 1991; Koch 1993). В частности, возможны шкалы следующеrо вида: отрицательный, около нуля, положительный, большой отрицательный, средний отрицательный, малый отрицатель ный, около нуля, малый положительный, средний положительный, большой положительный. . Линrвистическое терммножество переменной Линrвистическим терммножеством называется множество всех линr вистических значений, используемых для определения некоторой линr вистической переменной. Данное множество также называют базисным линrвистическим множеством (Bertram 1994), линrвистической предмет ной областью, либо линrвистической областью (пространством) значе ний. Для обозначения терммножеств будем использовать прописные ла тинские буквы: X L == {отрицательный. положительный} == {lLl,.1;L'2}' Y L == {малый. средний большой} == {YLl  YIJ2 YL;3} . Линrвистическая область значений (линrвистический универсум) представляет собой конечное множество. . Область значений переменной Областью значений переменной является множество всех числовых зна чений, которые может принимать определенный пара метр изучаемой си стемы, либо множество значений, существенных с точки зрения решае мой задачи (модели системы). Для области значений используются также следующие названия: пространство значений (пространство рассуждений) (Bertram 1994), поле значений (Abel 1991), пространство (Kacprzyk 1986; Yager 1994,1995), множество (Kacprzyk 1986), область значений (область рассуждений), предметная область (Yager 1994,1995), базисный диапазон (Кпарре 1994), множество элементарных значений (Kruse 1994). СЛОБО «числовых» употреблено здесь, чтобы подчеркнуть отличие этих значений от линrвистических. Области значений переменных бу дем обозначать прописными латинскими буквами, например: 
30 rлава 2. Основные понятия теории нечетких 1\1ножеств х \ а о 100 мм х == {х: х Е 1R. O:(:r :( 100 (м м) } Рис. 2.3. Непрерывный числовой интервал значений позиции поршня ;с х == {х}  бесконечная (непрерывная) область, ..tY == {Х1, Х2, ..., Х п }  конечная, дискретная область. При мер непрерывной области значений переменной приведен на рис. 2.3. Пример дискретной области значений: Х == {.Т 1 ==  1. .Т'2 ==  о. 75. .... l' К == о. 75. .r 9 == 1} . МОЩНОСТЬ числовой области значений ощность числовой области значений (числовой предметной области) есть число содержащихся в ней элементов: IIXII == n. (2.1) . Нечеткое множество Нечетким множеством А, определенныl'Л на не которой числовой пред метной области х, называется множество пар: А == {( '! А (.1" ) , .с )}. V.T Е Х. (2.2) rде для каждоrо элемента Х Е Х степень РА ero принадлежности множе СТВУ ..14 задается с помощью функции принадлежности IlA(X), при этом РА(Х) Е [0.1]. Функция принадлежности отображает числовую область значений Х данной переменной на отрезок [0,1]: JL А: ..  [О, 1]. Понятие нечеткоrо множества обеспечивает возможность математиче cKoro представления качественных оценок, выражаемых людьми в форме линrвистических значений и нечетких чисел. 
2.1. Нечеткие множества 31 . МОЩНОСТЬ нечеткоrо множества Мощность нечеткоrо множества определяется как число содержащихся в н е м пар (р 4 ( х ) . .]; ) : 11..411 == п. Значение мощности нечеткоrо множества А совпадает со значением мощности ero предметной области х. . Функция принадлежности и степень принадлежности Функция принадлежности ставит в соответствие каждому значению х заданной переменной некоторое число из интервала [0,1]: РА(Х): Х  [Ol]. Vx Е х. (2.3) Это число, называемое степенью принадлежности, характеризует степень, с которой элемент х принадлежит нечеткому множеству А. Функция принадлежности может быть задана в виде: rрафика (в непрерывном случае) или диаrраммы (в дискретном слу чае) , аналитическоrо выражения (формулы), таблицы, вектора степеней принадлежности, суммы или интеrрала. При задании функции принадлежности с помощью формулы целе сообразно ввести лоrическую переменную ш, оrраничивающую область значений пере мен ной .r: { 1 1['== О если  а  .Т  a в друrих случаях. (2.4) в этом случае функция принадлежности, представленная на рис.2.4, допускает следующую форму записи: 11 (:1") == ш ( а }Ixl ) . (2.5) Дискретная функция принадлежности может быть представлена в ви де табл.2.1. Замечание. В качестве значений х в таблице MorYT выступать не толь ко числа, но и какиели60 объекты, человеческие индивидуумы или аб страктные понятия. Например, таблица может содержать информацию о принадлежности различных компаний множеству А преуспевающих предприятий (табл.2.2). 
32 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств {L( х) б) М(Х) а) «примерно ноль» 1.0 О 0.75 (i) 0.5 I I 1 : 00.25 1 1 I 1 I I 1 0.75 (i) 0.5 (i) 1 I I 0.25 (i) : I 1 I 1 1 I t I I 1 a: I 1 1 1 1 .... о I 1 а: Х I 1 1 , . 1 a о а Х w Рис. 2.4. rрафическая форма задания непрерывной (а) и дискретной (б) функции принадлежности нечеткоrо числа «примерно ноль» Таблица 2.1 При мер табличноrо задания функции принадлежности хЕХ Xl == а Х2 == o. 75а Хз == O.5a Х4 ::::: O.25a Х5 == О МА(Х) 0.00 0.25 0.5 0.75 1.00 хЕХ Ха == О.25а Х7 == О.5а Xg == о. 75а Xg == а МА(Х) 0.75 0.5 0.25 0.00 Если порядок следования всех n элементов Xi области определения Х фиксирован, то функция принадлежности l\10жет быть задана в виде вектора степеней принадлежности VA: VA == {fLA(Xl), fLA(X2), ..., fLA(X n )}. (2.6) Пример. VA == {о.оо, 0.25, 0.50, 0.75 1.00, 0.75 0.50, 0.25, о.оо}. Дискретное нечеткое множество также может быть записано в форме суммы (Zimmermann 1994а): n А == МА (Xl) + Р,А (Х2) + . . . + МА (х,,) == L /l A ;Xi) . (2.7) Xl Х2 Х п i==l 1 Таблица 2.2 Табличное задание функции принадлежности множества преуспевающих предприятий хЕХ Компания 1 Компания 2 . . . Компания (п 1) Компания n МА (:r» 0.4 0.5 . . . 1.00 1.00 
2.1. Нечеткие множества 33 Приведенная запись означает, что множество А представляет собой объединение (а не арифметическую сумму) пар (MA(x)jx)*. Пример. А 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 == a + 0.75a + 0.5a + 0.25a + о + 0.25а + 0.5а + О.75а +  . Непрерывное нечеткое множество может быть записано в виде инте.. rрала (Zimmermann 1994а): А == J МА;Х) . (2.8) х Приведенная запись означает, что нечеткое множество А представля ет собой объединение континуума пар (мл(х)jх). Пример. «Вещественные числа, близкие к нулю» (рис. 2.4). А == J w ( alxl ) jx. (2.9) х При записи функции принадлежности элементы Xi, степень принад лежности которых нулевая, как правило, опускаются. . Пустое нечеткое множество Нечеткое множество А, функция принадлежности МА(Х) KOToporo равна нулю на всей предметной области Х, называется пустым и обозначается символом 0: 0: Ме;(Х) == О, \/х Е х. (2.10) . Универсальное нечеткое множество Нечеткое множество, все элементы предметной области KOToporo име ют степень принадлежности, равную 1, называется универсальным (Кпарре 1994) и обозначается символом И: и: J-L[J(х) == 1, \/х Е х. (2.11) Пустое (3 и универсальное И множества соответствуют предельным случаям. Соотношение 0АU (2.12) справедливо для любоrо нечеткоrо множества А. * Пару МА (x) / X, i == 1, . . . , n, МА (х l) > о можно рассматривать как одноэлементное нечеткое множество. Тоrда А есть объединение таких множеств. В случае дискретноrо нечеткоrо множества А это утверждение имеет вид (2.7), [де вместо традиционноrо зна ка U, соответствующеrо операции объединения множеств, принято использовать знаки + и L::.  Прuм. ред. 
34 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств м Ми (х) 1  о о х х х х Рис. 2.5. Пустое нечеткое множество Рис. 2.6. Универсальное нечеткое множество и . Нормальные нечеткие множества Допустимый диапазон значений функции принадлежности не обязан оrраничиваться интервалом от О до 1. Теоретикомножественные опе рации не выводят за пределы данноrо интервала, в то время как при BЫ полнении арифметических операций MorYT получаться значения степени принадлежности, большие 1. Если обозначить максимальное значение степени принадлежности множеству через SUP x МА(Х), то любое непустое нечеткое множество А может быть нормировано (Кпарре 1994; Zimmermann 1994а) путем дe ления исходной функции принадлежности на ее максимальное значение. Функция принадлежности результирующеrо множества А п будет прини РА(Х) м А ( :r: ) SUP x МЛ(Х) == 1 SUP. r Мл (х) < 1 1 о о х х а) 6) Рис. 2.7. При меры нормальноrо (а) и субнормальноrо (6) нечетких множеств 
2.1. Нечеткие множества 35 мать значения в интервале от О до 1: ILА п МА (х) SUPx МА(Х) . (2.13) Нечеткое множество называется нормальным (нормированным), ec ли ero функция принадлежности принимает значения в интервале от О до 1 (при этом существуют элементы, степень принадлежности которых равна 1). Нечеткое множество называется субнормальным, если максималь ное значение ero функции принадлежности меньше 1. Субнормальными являются результаты некоторых операций над нормальными нечеткими множествами. . Набор Набором (пакетом) В называется любое множество элементов предмет ной области (области определения) Х, при этом допускаются MHoroKpaT ные вхождения одноrо и Toro же элемента в набор. Пример. На предметной области Х == {Х1,Х2,ХЗ,Х4} можно задать Ha бор: В* == {Xl, Х2, Х2, ХЗ}. Различие между понятиями множества и набора состоит в том, что множество не может содержать MHoroKpaTHbIe вхождения одноrо и TO ro же элемента. Нечетким набором В (Yager 1994,1995) называется набор пар вида (элемент Х, степень принадлежности элемента Х набору В): B=={(X,ILB(X))' VXEX}. (2.14) П В  { 0.7 0.9 0.6 0.5 } ример.    , . Tl Х2 Х2 Тз Нечеткие наборы появляются в результате выполнения арифметиче ских (т. е. не относящихся к теоретикомножественным) операций над нечеткими множествами, например, суммирования нескольких нечетких множеств (Yager 1994,1995). Поскольку один и тот же элемент может входить в набор MHoroKpaTHo, то совокупная степень ero принадлежно сти (в арифметическом, а не теоретикомножественном смысле) может превосходить 1. 
36 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств При меры нечетких множеств приведены на рис. 2.82.10. ХОЛОДНЫЙ очень теплый  10 о 10 20 30 40 тое Рис. 2.8. Возможный вид нечетких множеств «холодный», «теплый» И «очень теплый» при их использовании для качественной оценки температуры м( К) 1 хороший коллеrа О О О О К 1 К 2 К з К4 К5 коллеrи K Адам Бен Крис Дэйв Эдди 0.5 о Рис. 2.9. При мер дискретноrо нечеткоrо множества «хороший коллеrа» м( Z) 1 средняя большая 0.5 О 25 50 75 100 степень облачности [%] Рис. 2.10. При меры нечетких множеств, используемых для rрубой оценки степени облачности z 
2.2. Характеристические параметры нечеткоrо множества 37 2.2. Характеристические параметры (показатели) нечеткоrо множества . Высота нечеткоrо множества А Определяется как максимальное из значений, принимаемых функцией принадлежности нечеткоrо множества на всей области определения Х: lt(A) == sup (МА(Х)). хЕХ Поскольку функция принадлежности нечеткоrо множества в общем случае может иметь несколько локальных максимумов, высота (2.15) определяется с помощью точной верхней rрани (sup). (2.15) . Носитель нечеткоrо множества А Представляет собой четкое подмножество области определения Х, co держащее все элементы, степени принадлежности которых множеству А отличны от нуля: S(A) == supp(A) == {х : !LA(X) > О, Х Е Х}. (2.16) Носитель нечеткоrо множества является более узким по сравнению с областью определения либо совпадает с ней. . Ядро нечеткоrо множества А Представляет собой четкое подмножество области определения Х, co держащее все элементы, принадлежащие множеству А со степенью, paB ной 1: С(А) == core(A) == {х : !lA(X) == 1, Х Е Х}. (2.17) Нормальное нечеткое множество имеет непустое ядро, в то время как ядро субнормальноrо нечеткоrо множества является пустым. J1(X) 1 ядро А о носитель А х Рис. 2.11. Характеристические показатели нечеткоrо множества 
38 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств JLA (Х) 1.0  I I 0.5 8(.4.) == {7} о 4 5 6 7 8 9 10 Х Рис. 2.12. Одноэлементное нечеткое множество . Одноточечное (одноэлементное ) нечеткое множество Представляет собой нечеткое множество А, носитель KOToporo S(A) co держит в точности один элемент (т. е. А имеет только один элемент с ненулевой степенью принадлежности). . Вертикальное представление нечеткоrо множества Вертикальная форма представления нечеткоrо множества COOTBeTCTBY ет ero представлению в виде множества пар (элемент х множества А, степень принадлежности элемента х множеству А). Такая форма пред ставления нечеткоrо множества (рис.2.13) используется наиболее часто (Kruse 1994). jLЛ (х) 1.0 IrIIT1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I (f) I I I I I I У I I I I I I I I I I I I I I I I I I 0.5 i1iii I I I I I I I I I I I I I I ).., I I I I I I l,J) I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I о 1234567 х JJА(Х) 0.25 0.5 0.75 1 0.5 х 1 2 3 4 5 Рис. 2.13. При меры вертикальноrо представления дискретноrо нечеткоrо множества 
2.2. Характеристические параметры нечеткоrо множества 39 м(х) 1 Ao.5 AO.25 0.75  0.5  0.25  о AO "" х  носитель Рис. 2.14. Примеры асрезов нечеткоrо множества А . fОРИЗ0нтальное представление нечеткоrо множества rоризонтальная форма представления нечеткоrо множества соответствует * ero заданию с помощью так называемых о:срезов Ай (рис.2.14). Введение понятия о:срезов обусловлено тем, что в ряде случаев ero использование упрощает процедуру извлечения экспертных знаний для построения функции принадлежности. Например, если эксперт затруд няется задать конкретные значения степеней принадлежности элементов нечеткому множеству, то ero можно спросить о том, какие из них при надлежат нечеткому множеству со степенью, не меньшей а; ответить на такой вопрос, как правило, леrче. Пример. Построить функцию принадлежности нечеткоrо множества «друзья» можно, задавая вопросы вида: «Koro из ваших знакомых вы считаете приятелями (о: > О.Б)?» «Koro вы считаете настоящими друзьями (а == 1)?» «Koro вы не считаете своими друзьями (о: == О) ?» Существуют два способа определения асрезов (Кпарре 1994): А>Й == {х : Х Е Х, Aa == {х : х Е Х, ILA(X) > а}, ILA(X)  о:}. (2.18) При () () осрез совпадает с носителем множества S(A), а при а == 1  с ero ядром С(А) (рис. 2.14). По множеству Qсрезов нечеткоrо множества можно с требуемой точ НОСТЬЮ восстановить ero функцию принадлежности. Для дискретноrо '" в отечественной литературе альфасрезы часто называют множествами альфа уровня, а rоризонтальное представление нечеткоrо множества  разложением нечеткоrо множества по множествам уровня.  Прuм. перев. 
40 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств ILA (х) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 О   -т    r  .,    ....,   т   I   т   I I I Ф I I I I I I I I I I I I I I    1   :   1    L   p   L   J    L   J I I I I I I I I I I I I I I  I I I I I I I I UJ I I I LLJLL I I I I I I I I I I Ф I I I I I I I I I I I I ,.l I I I I I I I I W I I   -t    r   -t    1""   ---1    т   I   +   ' I I I I I I I I I т I I I I I I (т) I У I I I I I I У I а==l а ==0.75 () == о..') а == 0.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l' Рис. 2.15. Дискретная функция принадлежности нечеткоrо множества А множества число необходимых срезов конечно, для непрерывноrо  BO обще rоворя, бесконечно (хотя во мноrих частных случаях оказывается конечным). Если на области определения известны элементы отдельных асрезов нечеткоrо множества А, то ero функцию принадлежности МА (х) можно * аппроксимировать следующим образом : МА(Х) == sup (о: ./LA>Ct (х))  cxE[O,l] либо МА(Х) == sup (о:. МА?й (х)). cxE[O,l] (2.19) При мер 2.2.1. Пусть задано нечеткое множество (рис. 2.15) A== {  0.4 0.9  0.80.6 0.3  } l' 2' з' 4  5' 6  7' 8 . Срезы Aa: Al == {}, Ao.75 == { '  '  } , Ao.5 == {     } AO.25 == {       } 3'4'5'6 · 2З'4'5'6'7  AO == {         } l'2'З'4'56'7'8 . Степени принадлежности элементов о:срезам MorYT принимать толь ко значения О и 1. Представление множества А через ero о:срезы имеет :r Здесь, в отличие от (2.2), через МА (х) обозначается приближенное представление функции принадлежности рА (х), \/х Е Х, посредством асрезов.  Прuм. ред. 
2.2. Характеристические параметры нечеткоrо множества 41 МА (х) 0.4 0.2 О 1.0 .,.rl ""TITI I I / I ,1 I I I I О 8 I I / I \ I I I I I . I I I / l' I I I I T:  I , iti о. 6 I I / I I I ", I I I I I / I I 1', I I I 1.I ,/.iLJ .JL.J I I I I I I I , I I I I / I I 1 1', I I I I / I I I 1', I I I 1/ I I I l' I I ;- t"---1T +' I / I I I I 1 1', I I / I I I I I I \ I " I I I I I 1" I 2 3 4 5 6 7 8 9 х Рис. 2.16. Исходная функция принадлежности f-LA (х) (сплошная линия) и функция f-LA (х), восстановленная с помощью асрезов (пунктирная линия) вид: * ( ( 1 ) ( 1 1 1 ) h ( 1 1 1 1 ) I/ А( Х ) == SH p 1.  +0.75.    +0.0.     +  4 34'5 З'4'56 аЕ[о,l] h ( 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 )) + 0.20. 2':3' 4 ' 5 ' 6 ' 7 + О. 1':2':3' 4 ' 5 ' {3 , 7 . 8  ( О 0.25 0.75 1.0 0.75 0.5 0.25 О )  1'2'3'4'5'6'7'8 . Если сопоставить исходную функцию принадлежности МА(Х) с функ цией fLЛ(Х), восстановленной с помощью асрезов (рис. 2.16), то можно заметить, что результат восстановления не является абсолютно точным. Повысить точность можно путем увеличения числа асрезов, либо за счет оптимизации их выбора. . . МОЩНОСТЬ (кардинальное число) нечеткоrо множества Для дискретноrо нечеткоrо множества мощность IIAII, или кардинальное число card(A), определяется как сумма степеней принадлежности всех ero элементов: IIAII == card(A) == L {LA(X), .rES(A) [де )(A)  носитель нечеткоrо множества. Мощность непрерывноrо нечеткоrо множества мощи интеrрирования функции принадлежности: (2.20) вычисляется при по IIAII == cat"d (А) == ! I1А (:r) d:r. YES'( А) (2.21) 
42 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств Интеrрирование или суммирование про изводится по элементам носи теля нечеткоrо множества, поскольку степень принадлежности осталь ных элементов области определения равна нулю. Понятие мощности поз воляет сравнивать различные нечеткие множества между собой. Пустое нечеткое множество имеет нулевую мощность. . Относительная мощность нечеткоrо множества Относительная мощность дискретноrо нечеткоrо множества определяется как доля ero мощности, приходящаяся на один элемент области опреде ления Х: L fLA(X) IIAI\x == хЕХ N (2.22) rде N  число элементов области определения. Относительная мощность непрерывноrо нечеткоrо множества задает ся формулой f fJ А ( Х ) dx I/AI/x == .тЕХ J dx .тЕХ (2.23) в случае бесконечно большоrо числа N элементов дискретноrо нечет Koro множества или неоrраниченной области определения непрерывноrо нечеткоrо множества суммирование или интеrрирование можно произво дить по элементам носителя В(А). . Выпуклые и не выпуклые нечеткие множества Примеры выпуклоrо и невыпуклоrо множеств представлены на рис. 2.17. м(х) м(х) 1 1 а  А>а О О Хl Х2 ХЗ Х Х а) 6) Рис. 2.17. Примеры выпуклоrо (а) и невыпуклоrо (6) нечетких множеств 
2.3. Линrвистические модификаторы нечетких множеств 43 Выпуклое нечеткое множество обладает тем свойством, что все ero a срезы являются связными, одноинтервальными подмножествами области определения х. У невыпуклоrо множества имеются несвязные асрезы, состоящие из нескольких частей (рис. 2.17, б). Невыпуклые нечеткие множества MorYT возникать в результате BЫ полнения теоретикомножественных, алrебраических и арифметических операций над множествами (исходные множества при этом MorYT быть выпуклыми). Для выпуклых нечетких множеств справедливы следующие условия: хl  Х2  ХЗ ==> МА(Х2) ? min (МА(Хl),МА(ХЗ)), V' X l, Х2, ХЗ Е х, (2.24) или МА ( лх l + (1  л)хз) ? min (МА(Хl), МА(ХЗ)), V' л Е [0,1] и V'Xl, ХЗ Е х. (2.25 ) 2.3. Линrвистические модификаторы нечетких множеств Линrвистические модификаторы используются для создания нечетких множеств, являющихся производными от некоторых ранее заданных. Ha пример, если имеется нечеткое множество «холодный», то на ero основе с помощью линrвистических модификаторов можно получить множества «очень холодный» или «более или менее холодный». Существуют три основных модификатора (называемых также опера торами) : оператор концентрирования, оператор растяжения, оператор повышения/понижения контрастности. . Оператор концентрирования нечеткоrо множества Если А  нечеткое множество, соответствующее линrвистическому зна чению li, то данный оператор позволяет получить производное значение «очень l». Действие оператора концентрирования можно описать в виде следующей формулы"': f1JCON(A)(X) == CON (МА(Х)) == МА(х)2, Vx Е х. (2.26) Результат действия оператора на линrвистическое значение «средний» С треуrольной формой функции принадлежности показан на рис. 2.18, а.  От concentration  концентрирование.  Прuм. ред. 
44 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств М(Х) М(Х) 1 средний большой 1  I , очень большой  J J I I I I / / " очень средний \ \ \ \ , , , , о о с Х Х а) 6) Рис. 2.18. Пример действия оператора концентрирования на внутреннее (а) и крайнее (6) нечеткие множества Применительно к внутреннему нечеткому множеству с треуrольной формой функции принадлежности (рис. 2.18, а), смысл концентрирова ния заключается в том, что «очень средними» следует считать только те значения х, которые расположены очень близко к центру с носителя множества. Использование данноrо оператора возможно и для крайних нечетких множеств, таких как множество «большой» на рис. 2.18, 6, oд нако вместо этоrо в подобных ситуациях часто строят новое крайнее нечеткое множество «очень большой» (рис. 2.19). . Оператор растяжения нечеткоrо множества Данный оператор преобразует исходное нечеткое множество А, COOTBeT ствующее линrвистическому значению l, во множество, соответствую щее линrвистическому значению «слеrка li» или «более или менее li». М(Х) 1 средний большой очень большой о х Рис. 2.19. Альтернатива концентрированию множества «большой» 
2.3. Линrвистические модификаторы нечетких множеств 45 М(Х) 1 " " / / I I I I I , , I р,(х) более или менее средний ,  , , \ \ \ \ средний \ , , , 1 ,  слеrка холодный , , \ \ \ \ \ холодный о о с Х Х а) 6) Рис. 2.20. Действие оператора растяжения на внутреннее (а) и крайнее (6) нечеткие множества Ero действие противоположно действию ко нцент рирования *: /LDIL(A)(X) == DIL (МА(Х)) == V llA(X), Vx Е х. (2.27) Оператор растяжения приводит к увеличению степеней принадлеж ности элементов нечеткоrо множества. Пример ero действия представлен на рис. 2.20. Смысл операции растяжения заключается в том, что элементы х носи теля множества, расположенные дальше от ero центра с, соответствуют понятию «более или менее средний» в большей степени, чем понятию «средний» . . Оператор повышения контрастности нечеткоrо множества Характерной особенностью моделей, основанных на применении нечет ких оценок, является нечеткость rраниц между отдельными линrвисти ческими значениями (рис. 2.21). rраницы между отдельными линrвистическими значениями являют ся размытыми при нечетком оценивании (рис. 2.21, а) и, наоборот, явно выражены при использовании четких оценок (рис. 2.21, б). Используя опе ратор повышения контрастности, нечеткие множества lVIОЖНО приводить К четкому виду. Изменяя уrлы наклона ветвей функции принадлежности, он позволяет более четко выделять rраницы перехода от одноrо нечеткоrо множества к друrому (рис. 2.22). Оператор повышения контрастности задается с помощью двух фор мул, первая из которых соответствует степеням принадлежности, MeHЬ * От dilаtаtiоп  растяжение.  При.М. ред. 
46 --- [лава 2. Основные понятия теории нечетких множеств М(Х) малый средний большой 1 о с d е а) М(Х)  малый средний большой 1 о ... .... f Х е Х 6) Рис. 2.21. Нечеткие (а) и четкие (6) rраницы линrвистических оценок .... 1 2 ( 1M(x))2 .... \ , 2M(x)2 (х)  " о Х Рис. 2.22. Действие оператора повышения контрастности нечеткоrо множества * шим 0.5, а вторая  степеням, большим либо равным 0.5 (рис.2.22) : J-LINT(A) (х) == INT (J-LA (х)) == { 2(J-LА(х))2  12(1J-LA(X))2 для МА(Х) < 0.5, в остальных случаях. (2.28) Повышение контрастности можно усиливать, используя степени, большие 2. При стремлении показателя степени к бесконечности функ ция принадлежности МА(Х) принимает прямоуrольную форму и мы при ходим к обычному множеству с четкими rраницами (рис. 2.23). . Оператор понижения контрастности нечеткоrо множества Действие данноrо оператора противоположно действию оператора по вышения контрастности. Операция понижения контрастности, обозна '" От intensification  усиление, ПОВЫIllение.  [7рим. рсд. 
2.3. Линrвистические модификаторы нечетких множеств 47 М(Х) 1 1  2(n1)(1  м(х))n , n..........,.оо 1/ 1 1 1 о Х Рис. 2.23. Четкое множество как предельный случай повышения контрастности нечеткоrо множества чаемая аббревиатурой BLR*, выполняется в соответствии с формулой (Kacprzyk 1986): fLBLR(A)(X) == BLR(JLA(X)) ==  { 1  2(1  МА(х))2  2(МА(х))2 для МА (T) < 0.5, для МА (х)  0.5. (2.29) Для усиления действия данноrо оператора можно использовать степе ни n > 1. При очень больших степенях нечеткое множество преобразует ся в точку, которая совпадает с ero модальным значением m (рис. 2.24, б). М(Х) М(Х) n"""* 00 2(n1)(MA(X))n Х х 1  2(1  fLл(х))2 о о \ а) 6) 1  2(п1)(1  /LA(X))n Рис. 2.24. Понижение контрастности нечеткоrо множества при 'П == 2 (а) и пре дельная форма нечеткоrо множества при п  00 (6) * От ыlп'iпgg  размывание.  Прuм. перев. 
48 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств М(Х) а) 6) М(Х) 1 1  о о m Х m Х М(Х) в) 1  тl + т2 2 о 1пl тп т2 Х Рис. 2.25. Модальное значение m нечетких множеств различных типов: а) треуrольноrо, 6) одноэлементноrо, в) трапециевидноrо . Модальное значение нечеткоrо множества Понятие модальноrо значения (Kahlert 1995) rлавным образом использу ется для нечетких множеств с ядром, содержащим единственный элемент области определения Х (рис. 2.25, а, 6). Если ядро нечеткоrо множества содержит более одноrо элемента, то для TaKoro множества модальное значение определяется как среднее значение элементов ядра (рис. 2.25, в). . Нечеткие множества, для которых выполняется условие разбиения единицы Важным и полезным свойством нечетких множеств, описывающих BXOД ные параl\lетры системы управления, является выполнение условия разби ения единицы (2.30) (Brown 1994), которое состоит в равенстве 1 CYf\1Mbl степеней принадлежности для каждоrо из ЭЛСl\1ентов х области опреде ления: L МА/, (з:)  1, Ух Е Х, h (2.30) 
2.3. Линrвистические модификаторы нечетких множеств 49 р,(х) р,(х) а б о о р,(х) х х в Al А 2 Аз А4 о х Рис. 2.26. При меры нечетких множеств A't, для которых выполняется (а) и не выполняется (Б J в) условие разбиения единицы rде h  номер нечеткоrо множества. Пример выполнения данноrо условия приведен на рис. 2.26, а, пример невыполнения  на рис. 2.26,6) 8. При выполнении условия разбиения единицы модель обычно имеет более rладкую поверхность отклика по сравнению с моделями, исполь зующими нечеткие множества, подобные представленным на рис. 2.26,6, в то время как множества на рис. 2.26, 8 приводят к более плоским по верхностям. Нечеткие множества, для которых условие разбиения едини цы не выполняется, можно привести к виду, удовлетворяющему данному условию. Пример 2.3.1. Коррекция нечетких множеств A i на рис. 2.27 выполня ется следующим образом (А:  преобразованные множества): * ( ) /1/! i (а) 11.4 1 (а) 1 JL 4 а == == == .1 ILAl (о) + /1'А 2 (0) ILAl (а) , * (Ь)  Р'.4 1 (Ь)  0.2  О 5 f-lА   .. 1 /lЛ 1 (Ь) + !1А 2 (Ь) 0.4 
50 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств а) р(х) р(х) б) 0.5 А 2 Аз , ) о а Ь с d е х о а Ь с d е х Рис. 2.27. Приведение нечетких множеств, не удовлетворяющих условию раз биения единицы (а), к виду, для KOToporo данное условие удовлетворяется (6) Преобразование функций принадлежности нечетких множеств A h , представленных на рис. 2.27, а, приводит к множествам на рис. 2.27, 6. Однако, следует отметить, что в результате TaKoro действия изменяется форма функции принадлежности, а также возникают сложности, связан ные с обработкой интервалов, не принадлежащих ни одному из множеств, например интервала (d; е) на рис. 2.27. Интервалы TaKoro типа MorYT воз никать при подстройке (адаптации) нечетких моделей на основе входных и выходных данных (т. е. применении алrоритмов самообучения). В pe зультате возникает совокупность областей, нечувствительных к измене нию соответствующих входных параметров. Условие разбиения единицы называют иноrда также условием пере крытия функций принадлежности или условием приведения этих функ ций К единице. . 2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств в практических приложениях теории нечетких множеств используется большое количество различных типов функций принадлежности. Здесь мы рассмотрим ряд как простых, так и сложных ВИДОВ этих функций и обсудим их свойства. . ФУНКЦИИ принадлежности, состоящие ИЗ прямолинейных участков Такие функции применяются на практике достаточно часто, что оБУСJIОВ лено их простотой. На рис.2.28 показаны различные формы наиболее часто используемой функции мноrоуrольной формы. 
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 51 р(х) 1 о х Рис. 2.28. Формы наиболее часто используемых кусочнолинейных функций принадлежности: а  крайняя левая функция принадлежности; б, ж  асим метричная треуrольная функция принадлежности; в, з  асимметричная трапе циевидная функция принадлежности; r  симметричная трапециевидная функ ция принадлежности; Д  симметричная треуrольная функция принадлежно сти; е  прямоуrольная функция принадлежности; и  крайняя правая функция принадлежности Существенным преимуществом мноrоуrольных функций принадлеж ности является то, что для их определения требуется наименьший по сравнению с остальными функциями объем информации, который в данном случае оrраничивается данными об уrловых точках, что явля ется весьма важным обстоятельством при моделировании систем в усло виях оrраниченности объема исходных данных. Чтобы определить MHO rоуrольную функцию принадлежности, на практике обычно требуется за дать лишь модальное значение соответствующеrо нечеткоrо множества. При мер 2.4.1. Значения входных и выходных величин реальных систем обычно оrраничиваются некоторым диапазоном изменения. Например, перемещение поршня в серводвиrателе может изменяться в пределах диа пазона Xmin  Х  Хmах. Функция принадлежности может иметь форму, представленную на рис. 2.29. В случае, представленном на рис. 2.29, для полноrо задания трех функций принадлежности достаточно трех (вместо девяти) значений: J' ll1iп, :1" пнd . .Т ПНtх . Если, Пi) мнению эксперта, модальное значение внутренней функции принадлежности находится в середине диапазона изменения параметра, то требуется только два значения: .Т П11П И J>lnax, поскольку В этом случае значение X'nled однозначно определяется на их основе. . 
52 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств М(Х) малый средний большой о Х mlll Xmect Х mаХ Х Рис. 2.29. При меры функций принадлежности для случая, коrда диапазон изменения пара метра оrраничен с обеих сторон Чтобы определить модальное значение треуrольной функции (т. е. Be личину Xmed), следует ответить на единственный вопрос о том, какое значение х следует считать наиболее характерным для данноrо линrви стическоrо значения (наприrvlер, значения «средний» на рис. 2.29). Для записи математическоrо выражения f\1ноrоуrольной функции при надлежности следует использовать лоrические переlVlенные W( {0,1}. При мер 2.4.2. В случае трапециевидной функции принадлежности (рис. 2.30, а) вводятся следующие лоrические переменные: 1111 == { 1 для а  х < Ь, О в друrих случаях, 102 == { 1 для Ь  х < с, (2.31) О в друrих случаях, wз == { 1 для с  х  d, О в друrих случаях. М(Х) а) 6) р(.т) о ..r {/ о :Т Ш2 Н):З 'Ш Рис. 2.30. Асимметричная трапециевидная и симметричная треуrОJ1ьная функции принадлежности 
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 53 Функция принадлежности, имеющая форму асимметричной трапеции, может быть представлена в виде ( xa ) ( dX ) м(х)==ш] ba + UJ 2+ ИJ з dc . (2.32) в случае симметричной треуrольной функции (рис. 2.30,6) требуется ввести только одну лоrическую переменную Ш: ш=={ для (е  а) ( Х < (е + а), в друrих случаях. (2.33) Функция принадлежности может быть записана в виде ( alxel ) М(Х)==Ш . а (2.34) . Достоинства мноrоуrольных функций принадлежности 1. Для их задания требуется малый объем данных. 2. Простота модификации параметров (модальных значений) функции принадлежности на основе измеряемых значений входных и выходных величин системы. 3. Возможность получения в рамках модели отображения «BXOДBЫXOД» в виде rиперповерхности, состоящей из линейных участков. 4. Для мноrоуrольных функций принад,лежности леrко обеспечивается выполнение условия разбиения единицы (в соответствии с которым сумма степеней принадлежности для любоrо элемента Х должна paB няться 1). Недостатки мноrоуrольных функций принадлежности 1. Мноrоуrольные функции принадлежности не являются непрерывно дифференцируеМЫlYIИ. Пример 2.4.3. Как l\10ЖНО видеть на рис.2.31, производная функции принадлежности в точках разрыва изменяется скачкообразно. Таки:rvl об разом, модель системы, содержащая подобные функции, также не явля ется непрерывно дифференцируемой. . 
54 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств J-L(X) 1 dp,(x)   dx l/a о I I I I I b а : h I I I  1/ а  I Ь+и Х ... ... ba Ь Ь+а Рис. 2.31. Треуrольная функция принадлежности и ее производная В некоторых работах (Preuss 1994а; Rummelhart 1986) высказывается мнение о том, что отсутствие непрерывной дифференцируемости функ ций принадлежности усложняет процесс адаптации (обучения) нечетких моделей. Вместе с тем, результаты исследований автора и ero коллеr (Piegat 1996,1997а) позволяют утверждать, что модели с функциями при надлежности paccMoTpeHHoro вида все же обладают хорошими адаптив ными свойствами. . Интуитивные функции принадлежности Функции принадлежности, которые, часто на подсознательном уровне, использует человек, называют интуитивными функциями принадлежно сти. Исследования, преимущественно связанные с методами классифика ции решений (Altrock 1993), позволили сделать вывод о том, что для ин туитивных функций принадлежности справедлив ряд свойств, именуе мых аксиомами Шваба. Аксиома 1. Интуитивные функции принадлежности М(Х) являются непрерывными на всей числовой области определения х. Выражаемая человеком качественная оценка величины Х не изменяет ся скачкообразно ни при каком достаточно малом изменении ее значения. Таким образом, интуитивная функции принадлежности не может иметь вид, представленный на рис. 2.32. Пример 2.4.4. Весьма сомнительно, что для качественной оценки po ста мы стали бы использовать функцию принадлежности прямоуrольной формы (рис. 2.33), в соответствии с которой человек с ростом 179.9 см считается имеющим средний рост, а тот, кто Bcero лишь на 2 мм выше (т. е. имеет рост 180.1 см), относится уже к ВЫСОКИl\1 ЛЮДЯl\1. Мало кто соrласился бы с подобной классификацией. . 
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 55 Аксиома 2. Первая производная интуитивной функции принадлежности М(Х): . ( )  dl1 (х) М х  dx ' является непрерывной на всей числовой области определе ния х. Это следует из наблюдения, соrласно которому скорость изменения оценки пара метра Х (т. е. производная этой оценки) не меняется скачко образно при любых малых изменениях caMoro параметра. При мер 2.4.5. В случае, коrда функция принадлежности имеет Tpe уrольную форму (рис. 2.34), любое небольшое изменение переменной Х в окрестности точки Ь приводит не только к скачкообразному изменению значения производной м(х), но также и к изменению ее знака. Тем caMbIlVl, треуrольная функция принадлежности дает весьма rрубое приближение Toro, как делает оценку человек. Отмеченное свойство, тем не менее, не означает, что данные функции не следует использовать в нечетких моделях, поскольку точность модели, содержащей треуrольные функции принадлежности, может быть вполне удовлетворительной. . Аксиома 3. Вторая производная интуитивной функции принадлежности М(Х): .. ( )  d 2 J-L ( х ) М Х  dx 2 ' непрерывна на всей области определения. Аксиома 4. Интуитивная функция принадлежности имеет минимальное значение кривизны. Данное утверждение означает, что из множества возможных функций принадлежности человек выбирает ту, для которой значение максимума р(:1') 1  о (l т Рис. 2.32. Функция принадлежности, имеющая разрыв в точке Х' == (1 
56 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств М(Х) 4 низкий средний высокий 179.9 180.1 '\. ./ J J ... .... о 160 180 Х == рост (см) Рис. 2.33. Пример разрывной функции принадлежности для линrвистической переменной «рост» второй производной является минимальным среди всех таких функций: JL ( х): JL ( х) == aIg min П1ах ( d2 J-L ( Х ) ) . 1), Х dx2 При мер 2.4.6. Для треуrольной функции принадлежности (рис. 2.34) значение кривизны в точках (Ьa), Ь, (Ь+а) столь велико, что ее вторая производная Д(х) обраLЦается в этих точках в бесконечность. Принци пам оценивания, которыми руководствуется человек, в большей степени соответствует функция, представленная на рис. 2.35, обладаЮLЦая малой кривизной и непрерывными первой и второй производными. . м(х) 1/ М(Х) +00 +00 М(Х) 1 Х Х I ba :Ь 'Ь+а I I  о ba Ь Ь+а oo Рис. 2.34. Треуrольная функция принадлежности и ее производные р(х) il(.T ji СТ ) Ь Рис. 2.35. При мер непрерывной функции принадлежности с малой кривизной 
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 57 Далее мы рассмотрим различные виды функций, которые можно ис пользовать для математическоrо представления интуитивных функций принадлежности. . Симметричная raYCCOBa функция * [ауссова функция описывается выражением IL(X)==exp[( X:b )2] . Вид этой функции изображен на рис. 2.36. Вид данной функции, иноrда называе мой rayccoBbIM колоколом (Preuss 1994а), определяется двумя параметрами  а и Ь, rде Ь задает ее модальное значение, и а  ширину. На уровне М(Х) == el I"'V 0.36788 (2.35) М(Х) 1 х 0.36788 О ba Ь Ь+а Рис. 2.36. Функция принад лежности rayccoBCKoro типа ширина rауссовой функции равна 2а. Mo дальное значение получают экспертным путем, задавая вопрос о наиболее характерном значении Х для данноrо нечеткоrо множества. Пример 2.4.7. В качестве числовоrо значения, в наибольшей степени характеризующеrо нечеткое множество «средний рост», может быть BЫ брано Ь == 170 см. Для Toro чтобы экспертным путем определить значение параметра а, характеризующеrо ширину функции, можно воспользоваться понятием критической точки k функции принадлежности, под которой понима ется точка со степенью принадлежности, равной 0.5. Любая rayccoBa функция имеет две таких точки (рис. 2.37). Если предположить, что соседние функции принадлежности пересе каются примерно на уровне P(Xk) == 0.5 (что, однако, в нечетких Moдe лях выполняется не всеrда), то критическую точку k можно рассматри вать как точку, для координаты r которой мы не можем указать, какому из нечетких множеств  левому или правому  она принадлежит в боль шей степени (Altrock 1993). Обычно эту функцию определяют HeMHoro иначе: М(Х) == ехр [ (х i)2 ] . в этом случае точки Ь ::::t: а будут как раз точками переrиба.  Прuм. перев. 
58 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств f-L(X) низкий средний высокий 0.5 о Xk 1 h Xk2 х == рост Рис. 2.37. [ауссова функция, используемая в качестве функции принадлежности нечеткоrо множества «средний рост» Таким образом, если мы не в состоянии решить, к какой rруппе лю дей низкоrо или среднеrо роста  следует отнести человека, имеющеrо рост 165 см, то можно считать, что данное значение принадлежит обо им названным нечетким множествам с одинаковой степенью, равной 0.5, и задает тем самым координату критической точки функции принадлеж ности: Xk == 165 см. По известному модальному значению rауссовой функции (Ь == 170 см) можно вычислить значение BToporo параметра а: [ ( ) 2 ] Xk  170 IL(Xk) == ехр  а  IXk  ы rv 6 а    см. == 0.5, . Понятие критической точки k является особенно полезным при опре делении пара метров функции принадлежности путем экспертноrо оцени вания, так как человеку леrче Bcero указать rраничные значения предъ явленноrо показателя и выделить значения, имеющие смысловое разли чие для заданной области ero изменения. При этом эксперт, как пра вило, не в состоянии задать точные значения степеней принадлежности элементов, не имеющих в заданной области смысловоrо различия. По верхность отклика нечеткой модели, использующей rayccoBY функцию, в общем случае является rлобально и локально нелинейной. Достоинства rауссовой функции принадлежности 1. Использование rayccoBbIX функций обеспечивает получение rладких, непрерывно дифференцируемых rиперповерхностей отклика нечеткой модели. 
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 59 2. Являясь непрерывно и, более Toro, бесконечно дифференцируемыми (бесконечная дифферецируемость означает наличие производной лю боrо порядка), [ауссовы функции дают возможность проведения Teo ретическоrо анализа нечетких систем (Brown 1994). Недостатки rауссовой функции принадлежности 1. [ауссова функция симметрична, что приводит к нарушению условия разбиения единицы (рис. 2.38). 2. Использование rауссовой функции принадлежности предполаrает за дание большеrо, чем для треуrольной функции, числа параметров (по два пара метра для каждой функции), что усложняет настройку нечет кой модели. 3. [ауссова функция имеет неоrраниченный носитель, что означает, что любой элемент х области определения Х будет принадлежать лю бому нечеткому множеству, задаваемому с помощью этой функции (рис. 2.38), и это может не соответствовать представлениям экспер та о моделируемой системе. Вместе с тем, степени принадлежности элементов х, находящихся далеко от центра rауссовой функции. пре небрежимо малы, вследствие чеrо ширина этой функции на практике оказывается не столь велика. 4. Использование rауссовой функции затрудняет получение простых ло кально линейных поверхностей отклика нечеткой модели. в качестве альтернативы [ауссовым функциям принадлежности с неоrраниченным носителем были предложены бесконечно дифферен цируемые [ауссовы функции с оrраниченным носителем (Werntges 1993). Пример такой функции (Brown 1994) показан на рис. 2.39. р(х) Аl А 2 А: з о Хшill а ь с :r III ах Рис. 2.38. Неравномерное расположение rayccoBbIX функций принадлежности на области определения Х для различных значений ширины 
60 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств р(х) х Л1 Л1 + Л2 2 Л2 Рис. 2.39. [ауссова функция принадлежности с оrраниченным носителем (Лl, Л2) Форма данной функции определяется выражением { ехр [ 4(Л 2  х)(х  Лl)  (Л2  Л 1 )2 ] f1(X) == 4(Л2  х)(х  Лl) о для '\1  Х  '\2, в друrих случаях, (2.36) [де '\1, '\2 задают узловые точки функции (оrраничивающие ее носитель). [ауссова функция вида (2.36) является симметричной. . Асимметричная raYCCOBa функция Данная функция сочетает в себе преимущество rауссовой функции, свя занное с бесконечной дифференцируемостью, с отсутствием недостатка, выражающеrося в ее симметричности (рис. 2.40). Если ввести вспомоrательную лоrическую переменную w=={ для  (х) < х  т, в друrих случаях, (2.37) р(х) о e 1 0.36788 Рис. 2.40. Бесконечно дифференцируемая асимметричная rayccoBa функция 
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 61 а) р(х) б) М(Х) 0.5 0.5 х о о ь h Рис. 2.41. Левая (а) и правая (6) сиrмоидальные ФУНКЦИИ то асимметричная rayccoBa функция задается в следующем виде: (x) == ш. ехр [ ( х :lт ) 2] + (1  ш) . ехр [ ( х :2 т ) 2] . (2.38) rде тп  ее модальное (среднее) значение. При использовании асимметричной rауссовой функции имеется воз можность выполнения условия разбиения единицы (Brown 1994). . Сиrмоидальная функция принадлежности Будучи симметричными, rayccoBbI функции подходят для представления внутренних нечетких множеств. Для представления крайних множеств можно использовать левую и правую сиrмоидальную функцию (рис. 2.41). Правая сиrмоидальная функция зада * ется с помощью выражения : р(х) 1 J1(x) == 1 + ехр [  а . (х  Ь)] . Параметр Ь задает координату точки k, принадлежащей нечеткому множеству со степенью 0.5, поэтому ero значение мож но достаточно леrко получить от эксперта. Коэффициент а определяет наклон функ ции В точке переrиба k  с увеличени ем ero значения растет величина наклона. При а == 10 вид функции близок к ступен чатому (рис. 2.42). (2.39) J. Рис. 2.42. Форма сиrмоидаль ной ФУНКЦИИ при различных значениях коэффициента Ha клона а '" Здесь а  О, потому что при отрицательных а это уже будет левая сиrмоидальная функция.  Прuм. перев. 
62 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств Коэффициент наклона а можно вычислить на основе экспертной oцeH ки значения ХО.99, т. е. наименьшеrо значения переменной х, которое может с практически полной уверенностью считаться принадлежащим нечеткому множеству, задаваемому сиrмоидальной функцией. Рассматриваемая сиrмоидальная функция достиrает значения 1.0 при Х  00: lim 1 == 1 XOC 1 + exp[a . (х  Ь)] , с учетом чеrо на практике можно предполаrать, что значение функции, равное, например 0.99, соответствует полной принадлежности значения переменной хнечеткому множеству. (2.40) Пример 2.4.1. Нечеткое множество «высокий рост» можно задать с по мощью сиrмоидальной функции, представленной на рис. 2.43. Если предположить, что людей, имеющих рост 180 см, можно с пол ной уверенностью (11 == 0.99) отнести к высоким, то коэффициент накло на а вычисляется соrласно выражениям: 1 11 (Хо 99) == . н 1+exp[a.(XO.99Ь)] а == ln(99) == ln(99) rv 0.919. X>O.9)  Ь 180  175 (2.41) (2.42) . Левая сиrмоидальная функция (рис. 2.41, а) задается выражением: 1 J1(x) == 1  1 + ехр [  а . (х  Ь)] ехр [  а . (х  Ь)] 1 + ехр [  а . (х  Ь)] . (2.43) По аналоrии с правой, левая сиrмоидальная функция имеет точку переrиба х == Ь, и ее значение в этой точке равно 0.5. Коэффициент I-l(Х) высокий 1 0.5 о ь == 175 :r == рост (см) Рис. 2.43. Сиrмоидальная функция принадлежности нечеткоrо множества «высокий рост» 
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 63 fJJx) 1 х IL( х) Д(х) 7r Jr2 20 4а 2  7r ba х 2 7r  2а 4а 2 о ba Ь Ь+а Рис. 2.44. rармоническая функция принадлежности и ее производные наклона а вычисляется по формуле: а ==  ( ln(99) ) . ХО.99  Ь (2.44 ) Сиrмоидальная функция имеет те же достоинства и недостатки, что и rayccoBa. . fармоническая функция принадлежности Выражение для внутренней rармонической функции имеет вид: IL(X) == { .5. [1 + cos ( 7r Х : ь ) ] для (ba)x(b+a), в друrих случаях. (2.45) Вид этой функции показан на рис. 2.44. Достоинства rармонической функции принадлежности 1. rармоническая функция имеет оrраниченный носитель [(ba), (Ь+а)], что позволяет задавать ее пара метры экспертным путем. 2. Будучи бесконечно дифференцируемой, rармоническая функция упро щает получение rладких, непрерывно дифференцируемых поверхно стей отклика модели. з. Первая производная rармонической функции в rраничных точках HO сителя равна нулю, вследствие чеrо данная функция хорошо соrласу ется с некоторыми из а КСИОl\tl Шваба. Недостатки rармонической функции принадлежности 1. rармоническая функция является симметричной и, если функции при надлежности расположены на области определения неравномерно, это нарушает условия разбиения единицы и отрицательно сказывается 
64 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств р(х) 1 ft(X Д(х 7r 4а 8а 2  , , , Ь+а 0.5 7r Х Х 7r ba о ba Ь Ь+а ba Ь Ь+а Рис. 2.45. Правая внешняя rармоническая функция принадлежности и ее производные на качестве моделирования на участках, слабо охватываемых функ циями принадлежности. Для минимизации данноrо недостатка мож но воспользоваться асимметричной rармонической функцией, зада ваемой аналоrично тому, как это делалось в случае асимметричной rауссовой функции (2.38). Правая внешняя rармоническая функция принадлежности задается с помощью формулы 1 для х>(Ь+а), JL(X) == 0.5 . [ 1 + SiIl ( П Х 2а Ь ) ] дЛЯ (Ь  а)  Х  (Ь + а), О для x«ba). (2.46) Вид правой внешней rармонической функции представлен на рис. 2.45. Как и в случае внутренней rармонической функции, ее пер вая производная равна нулю в rраничных точках носителя [(b а), Ь+а)]. Функция имеет малую кривизну, вследствие чеrо хорошо (хотя и не пол ностью) соrласуется с аксиомами Шваба. Левая внешняя rармоническая функция принадлежности задается с помощью формулы u для Х> (Ь+а), p(T) == 0.5 . [ (('b)] (ba) :1;  (Ь+а), 1  Sill п' 2а для 1 для x«ba). (2.47) Функция имеет вид, представленный на рис. 2.46. 
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 65 М(Х) 1 м(х) Д(Х) ba Ь Ь+а 7r 8а 2  ba Ь+а 7r  8а 2 Х 7r 4а о ba Ь Ь+а Рис. 2.46. Левая внешняя rармоническая функция принадлежности и ее производные . Полиномиальные функции принадлежности Достоинство этих функций состоит в том, что их сложность определяется числом аксиом Шваба, справедливость которых следует обеспечить. Наиболее простой является внутренняя полиномиальная функция принадлежности BToporo порядка, которая определяется выражением { ( xь ) 2 J1(X) ==   а ' если (Ь  а)  х  (Ь + а), (2.48) в друrих случаях. Вид этой функции показан на рис. 2.47. Правая внешняя полиномиальная функция принадлежности BToporo порядка определяется по формуле J1(X) == О, 1 ( х:ь )2, если x«Ьa), 1, если (Ь  а)  х  Ь, если х > Ь. (2.49) М(Х) 1 м(х) 2 Д(х) ba Ь о Ь+а а ba 2 а 2 I : Х I I I I о х о ba Ь Ь+а Рис. 2.47. Полиномиальная функция принадлежности BToporo порядка и ее производные 
66 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств м(х) м(х) 1 1 о Х L ь Ь+а о ba Ь Рис. 2.48. Левая и правая внешние полиномиальные функции принадлежности BToporo порядка Левая внешняя полиномиальная функция принадлежности BToporo порядка определяется по формуле fL(X) == 1, 1 ( х:ь )2, О, если Х < Ь, если bx(b+a), если х>(Ь+а). (2.50 ) Левая и правая полиномиальные функции принадлежности BToporo порядка изображены на рис. 2.48. Достоинства полиномиальной функции принадлежности BToporo порядка 1. Функция является непрерывно дифференцируемой во всех точках HO сителя, а стало быть более rладкой, чем треуrольная. 2. Пара метры а, Ь леrко задаются экспертным путем. Недостатки полиномиальной функции принадлежности BToporo порядка 1. Функция не удовлетворяет в достаточной степени аксиомам Шваба. В частности, ее производная не обращается в ноль в rраничных точ ках носителя (рис. 2.47). 2. Функция симметрична, т. е. для нее может не выполняться условие разбиения единицы. Чтобы обеспечить выполнение большеrо числа (в том числе всех) аксиом Шваба, следует воспользоваться полиномиальной функцией n ro порядка, [де п == m  1, m  число основанных на аксиомах Шваба требований, предъявляемых к функции принадлежности. 
2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств 67 JL( Х ) м(х) 1 м(х) 1 Х Х о о о XL XR Х Т, Х /1.1 Х R XL ХН левая внутренняя правая Рис. 2.49. Примеры полиномиальной функции принадлежности Полиномиальная функция принадлежности nro порядка задается формулой М(Х) == { апх n + an1xn1 + . . . + аlХ + ао, О или 1 если XL  Х  XR, В друrих случаях. (2.51) Примеры внешних и внутренней функций принадлежности представ лены на рис. 2.49. Метод построения полиномиальной функции принадлежности pac смотрим на следующем ниже примере. Пример 2.4.1. Предположим, что к левой полиномиальной функции принадлежности предъявляются следующие основанные на аксиомах Шваба требования (число требований можно варьировать): 1. M(XL) == 1, 2. fL(XR) == о, з. iL(xL) == о, 4. jL(XR) == О, rде XL, XR  заданные узловые точки функции принадлежности, Хл!  ее модальное значение. Для выполнения указанных условий (rп == 4) следует воспользоваться функцией принадлежности Зrо порядка: fL(X) == аЗ ХЗ + а2 х2 + аl Х + ао. Производная этой функции имеет вид 2 М(:Т) == Заз х + 2а2Х + аl. Полаrая координаты узловых точек равными XL == О, XR == 1, прихо дим к системе четырех уравнений, выражающих предъявленные к функ ции требования: 1. ао == 1, 3. аз + а2 + 1 == О, 2. аl == О, 4. Заз + 2а2 == О, 
68 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств решая которую, получаем: 1. ао == 1, 2. а 1 == о, 3. а2 == зо, 4. аз == 2. Окончательно, имеем следующее выражение для функции принад лежности: М(Х) == 2х З  зх 2 + 1. . Преимущества полиномиальных функций принадлежности BbIcoKoro порядка 1. Возможность выполнения накладываемых на функции принадлежно сти условий, связанных с аксиомами Шваба, положением критической точки (/L(Xk) == 0.5) и др. 2. Возможность значительноrо повышения точности модели и ее адап тации к моделируемой системе блаrодаря большому числу степеней свободы полиномиальных функций принадлежности. 3. Повышение возможности получения rладких, непрерывно дифферен цируемых поверхностей отклика нечеткой модели. 4. Простота построения асимметричных внутренних функций принад лежности, что позволяет повысить точность моделирования. Недостатки полиномиальных функций принадлежности BbIcoKoro порядка 1. Сложность нахождения большоrо числа параметров, необходимых для задания полиномиальной функции BbIcoKoro порядка. 2. Невыполнение (вообще rоворя) условия разбиения единицы. . Рекомендации при выборе функции принадлежности Выбор функции принадлежности в значительной мере определяется объе мом имеющейся информации о моделируемой системе, а также качеством имеющихся в распоряжении исследователя методов настройки модели. Малый объем информации о системе При малом объеме имеющейся информации о системе следует исполь зовать простейшие функции принадлежности, состоящие из прямоли нейных участков, для нахождения пара метров которых требуется зна чительно меньшее, по сравнению с остальными функциями принадлеж ности, количество информации. Кусочнолинейные функции принадлеж 
2.4. Типы ФУНКЦИЙ принадлежности нечетких множеств 69 у Р 2 у Р 2 / " Р з Р З / /....... ./ модель х Рl Х О 6 Р 1 о а Рис. 2.50. Локально линейная (а) и локально нелинейная (6) модель системы ности приводят К получению локально линейных поверхностей отклика модели (при условии правильноrо выбора друrих составляющих нечет кой системы), что положительно сказывается на точности моделирования в условиях малоrо объема исходных данных. Пример 2.4.1. Пусть известны только три точки поверхности отклика моделируемой системы: Р 1 , Р 2 И Р з (рис. 2.50). При отсутствии информации о поведении системы в интервалах меж ду точками P 1 , Р 2 И Р з наиболее надежным будет использование Moдe ли, состоящей из прямолинейных участков (рис. 2.50, а). Использование функций принадлежности с криволинейными участками приведет к по верхности отклика, также содержащей криволинейные участки, однако, вследствие сложности нечетких моделей, будет сложно предуrадать Be личину и направление их кривизны (рис. 2.50, б). Указанное свойство, вообще rоворя, неrативно отражается на точно сти моделирования. Идентифицировать же параметры нелинейных функ ций принадлежности по причине недостатка информации о системе в этом случае часто не удается. . Большой объем информации о системе Наличие большоrо объема информации о системе в форме измеренных входных и выходных данных дает возможность идентификации больше ro числа параметров нечеткой модели, что позволяет использовать более сложные функции принадлежности, такие как [ауссовы или полиноми альные, и тем самым приводит к моделям более точным, чем в слу чае простых функций, состоящих из прямолинейных участков. Вместе с тем, для идентификации большоrо числа пара метров нечеткой Moдe ли требуются высокоэффективные методы ее адаптации (настройки), KO торые не всеrда имеются в распоряжении исследователя. Кроме Toro, более сложные функции принадлежности состоят из кривых, что повы 
70 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств шает степень нелинейности модели, увеличивая в свою очередь число локальных экстремумов функции ошибок. В результате процесс иденти фикации сопровождается значительными трудностями, для преодоления которых следует применять достаточно мощные rенетические алrорит мы (Davis 1991; Goldberg 1995; Kahlert 1995), которые, однако, не всеrда дают удовлетворительные результаты (Preuss 1995) вследствие сложно сти моделей и наличия у них большоrо числа степеней свободы. Опыт автора (Piegat 1996,1997а) и друrих исследователей (Hensel 1995) поз воляет rоворить о преимуществе в данной ситуации более простых, co стоящих из прямолинейных участков функций принадлежности, упро щающих процесс настройки (обучения) нечеткой модели, обеспечивая при этом ее высокую точность. Некоторые исследователи (Altrock 1993) рекомендуют на начальном этапе построения модели использовать простейшие функции принадлеж ности, а на последующих этапах проводить тестирование модели с при менением более сложных функций для Toro, чтобы проверить, не приво дят ли эти функции к повышению точности модели. Также отметим, что существующее мнение (Altrock 1995; Zimmermann 1994) о том, что вид и форма функции принадлежности не оказывают существенноrо влияния на точность и качество нечеткой модели, является неверным  об этом также свидетельствуют результаты исследований, приведенные, в част ности, в (Baglio 1994; Brown 1994). 2.5. Нечеткие множества типа 2 Если для множества Al каждому элементу х области определения Х co поставлено значение МА 1 (х) степени принадлежности этому множеству, лежащее в интервале [0,1] и задаваемое с помощью функции принадлеж ности М А l (х): Х  [0,1], (2.52) то об А 1 rоворят как о нечетком множестве типа 1. Пример 2.5.1. Множество А 1 == «высокий рост»: х == {170 см, 172.5 см, 175 см, 177.5 см, 180 CM 190 см, 200 см}, 4  { О 0.25 0.5 0.75 1.0 1.0 1.0 } .1. 1  170см' 172.5см' 175см' 177.5см' 180см' 190см' 200см . Функция принадлежности множества представлена на рис.2.51. . 
2.5. Нечеткие множества типа 2 71 I-LАl(Х) высокий 0.5 (ЭЕ) I I I I I I I I Ф I I I I I I I I (j I I I I I I I I I Ф I I I I I I I I I 170 172.5 175 177.5 180 190 200 Х Рис. 2.51. Функция принадлежности нечеткоrо множества типа 1 «высокий рост» Однако не всеrда возможно определить степень принадлежности точ но, в числовой форме  иноrда это можно сделать только линrвистиче ски, используя нечеткую меру. Пример 2.5.2. Х == {Эндрю, Бен, Чарли} == {Xl,X2,X3}  множество студентов, L == {низкая, средняя, высокая} == {ll, l2, lз}  множество нечетких CTe пеней принадлежности нечеткому множеству «способных студентов», А 2  множество «способных студентов»: А ' == { высокая средняя низкая } == { !2   } 2 Э  Б ' ч ' , . ндрю ен арли Хl Х2 ХЗ Нечеткие степени принадлежности множеству «способных студентов» можно наrлядно представить так, как это показано на рис. 2.52. Множество «способных студентов» можно rрафически представить в соответствии с рис.2.53. При оценке способностей студентов обычно трудно точно оценить CTe пень принадлежности KOHKpeTHoro студента множеству «способных CTY дентов», в виде, например: МА 2 (Эндрю) == 0.99. 
72 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств Ml (у) t средняя == [2 низкая == [1 высокая == lз 1 уЕ[О.l] о 0.5 1 у == способности (непрерывная мера) Рис. 2.52. Наrлядное представление функций принадлежности нечетких степе ней принадлежности I.lZl в множестве «способных студентов» Единственной разумной формой измерения принадлежности в данном случае будет ее нечеткая оценка с использованием значений «высокая», «средняя» или «низкая». . Друrие при меры использования нечетких степеней принадлежности: . множество привлекательных девушек, . множество опасных или безопасных периодов для rосударства, . множество кредитоспособных клиентов банка. Если степени принадлежности МА (х) нечеткому множеству А задают ся с помощью нечетких мер (также являющихся нечеткими множества ми), то А называется нечетким множеством типа 2. Нечеткое множество типа 2 представляет собой множество пар (2.53) вида: (нечеткая степень принадлежности элемента :r множеству А 2 , эле мент х). Индекс 2 в обозначении множества используется, чтобы отличить ero от множеств типа 1: А 2 == {(М А 2(Х)' х)}, Vx Е X (2.53) JLl (z ) Ml (z ) Мl  (z ) 1 1 А 2  {О 0.5 1 z о 0.5 1 z о 0.5 Z} Эндрю Бен Чарли Рис. 2.53. rрафическая форма представления множества «способные студенты» 
2.5. Нечеткие множества типа 2 73 rде /-lА 2 (х)  степень принадлежности элемента х множеству А, зада ваемая с помощью функции принадлежности /-lА 2 (х) вида: МА2(Х): Х  L, (2.54 ) [де Х  область определения множества А 2 , L == {ll,..., lm}  множество нечетких значений степени принад лежности А 2 , { (/-ll (у), у)}  нечеткая степень принадлежности множеству А 2 , /-llt (у)  функция принадлежности нечеткой степени принадлежно сти li множеству А 2 , У  область определения нечетких степеней принадлежности, у : у Е У. Функция принадлежности множества типа 1 зависит от одной пере менной х Е Х, в то время как функция принадлежности множества типа 2 является функцией двух переменных вида: /-lА 2 (Х, у): Х  L, У  L. (2.55) При мер 2.5.3. Х  множество проезжающих мимо автомобилей, обо значаемых Ci, i == 1,2,3,4; Х == {Сl,С2,СЗ,С4}; А2множество aBTOMO билей, превышающих допустимую скорость V == 60 км/ч; { N У У N } А 2 ==     Cl ' С2 ' Сз ' С4 ' rде N «<нет») соответствует скорости, лежащей в допустимых пределах (V  60 км/ч), У «<да») соответствует скорости, превышающей оrраничение (V > 60 км/ч), L == {N, У}  множество нечетких степеней принадлежности. Измерение скорости производит инспектор полиции, оценивая ее зна чения с точностью :::1:10 км/ч. На рис. 2.54 представлена функция принад лежности /-lL : V  L. . Нечеткие множества типа 2 можно использовать при моделировании систем, для которых возможна оценка значений входных и/или выходных величин с помощью нечетких мер (рис. 2.55). Подобная форма оценивания имеет место, например, в экономических и политических системах, коrда в условиях недостатка информации при ходится руководствоваться в основном интуицией. Поскольку нечеткие степени принадлежности «<малая», «средняя», «большая») можно пред ставить в виде нечетких чисел, нечеткие множества типа 2 можно пре образовывать на основе принципа обобщения либо упрощенных методов 
74 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств ML (V) N (нет) у (да) 1 о 50 60 70 V, км/ч Рис. 2.54. Функции принадлежности нечетких степеней принадлежности множеству автомобилей, превышающих допустимую скорость м(хl) средний модель системы М(Х2) большой у ==7 Рис. 2.55. Моделирование системы с использованием нечетких оценок входных величин (LRпредставления). Более подробную информацию по данному вопросу можно найти в (Kacprzyk 1986; Zimmermann 1994а). 2.6. Два вида неопределенности ......... нечеткость и вероятность Поскольку нечеткость часто путают с вероятностью, следует коснуться различий между этими двумя понятиями. Среди существующих видов неопределенности выделяют, в частности, следующие два (Altrock 1993): 1. стохастическая неопределенность, 2. лексическая неопределенность. Примером стохастической неопределенности может служить утверждение: Вероятность выисрать славный приз в лотерее «6 из 49» cocmaв ляеm 1/13983816. 
2.6. Два вида неопределенности  нечеткость и вероятность 75 Событие «выиrрыш rлавноrо приза» является в данном случае точно определенным и означает наличие шести правильно уrаданных номеров. Точное значение вероятности наступления данноrо события можно BЫ числить (Empacher 1970), зная число всех сочетаний из 6 элементов множества, содержащеrо 49 элементов (т == 6, n == 49): С т == 11! (2.56) n m!(nrп)!, Стохастическая неопределенность в данной ситуации проявляется в виде вероятности возникновения KOHKpeTHoro, точно определенноrо события, состоящеrо в выиrрыше rлавноrо приза или, что то же самое, правильном уrадывании шести номеров. Пример лексической неопределенности В утверждении «Вероятность 8ЫИ2рать большую сумму 8 лотерею "б из 49{{мала» присутствуют два понятия: 1) большая сумма выиrрыша, 2) малая вероятность. Оба эти понятия являются нечеткими, неточными и зависят от субъ ективных представлений Toro, кто их выражает. Так, человек со средним достатком будет считать большой суммой ту, которую можно выиrрать, уrадав четыре или пять номеров, человек же с достатком выше среднеrо будет относить сюда только выиrрыш при уrаданных шести номерах. Точно определить понятие «малая вероятность» в данном случае TaK же представляет собой сложную задачу, поскольку большинство иrраю щих в лотерею не задумываются не только о точном числовом значении вероятности выиrрать rлавный приз, вычисляемом по формуле (2.56), но даже и о приближенном ее значении, оценивая данную величину ин туитивно, на основе степени своей уверенности в выиrрыше. Тот, у Koro эта степень высокая, в лотерее участвует, тот же у Koro она низкая, от участия отказывается. Из рассмотренных примеров видно, что нехватка точной информации об окружающей действительности не является препятствием для дея тельности человека и принятия им решений. На протяжении мноrих лет ведется разработка точных математических моделей различных явлений окружающеrо мира, но rоворить об успешных результатах моделирования можно лишь для малой их части, поскольку построение модели явления требует наличия большоrо количества информации о нем. Вместе с тем, человек, независимо от уровня своей образованности, способен эффективно моделировать в своем воображении как окружа 
76 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств ющую действительность, так и работающие механизмы, машины, aBTO мобили, летательные аппараты и т. п. Подобноrо рода модели основаны на использовании таких понятий, как: . большой, малый, . привлекательный, отталкивающий, . разумный, неразумный, . подобный Х, непохожий на Х и др. Все они представляют собой неточные лексические понятия, и их оценка зависит от способа описания человеком действительности. Чем шире словарный запас человека, тем точнее формулировки, используемые им в описании интересующих ero объектов окружающеrо мира. Сказанное можно подытожить следующим образом: . стохастическая неопределенность означает неопределенность появле ния события, которое является само по себе точно описанным, . лексическая неопределенность означает неопределенность в описании события. Неопределенность описания означает ero нечеткость, и теория нечет ких систем занимается методикой построения моделей с применением нечетких понятий, используемых человеком. Отметим здесь, что, поми мо лексических нечетких понятий, человек также использует интуитив ные понятия и образы, вообще не имеющие словесноrо описания. Люди, не знающие ни одноrо языка, также как и животные, строят информа ционные образы объектов окружающеrо мира на интуитивном, отличном от лексическоrо, уровне, и такие образы позволяют им в этом мире жить и действовать. Развитием теории нечеткоrо моделирования в будущем может стать теория интуитивноrо моделирования. Различие между нечеткостью и вероятностью проиллюстрируем TaK же с помощью следующеrо примера, oCHoBaHHoro на (Bezdek 1993). Пример 2.6.1. Обозначим через Х множество всех жидкостей, через A D  множество жидкостей, приrодных для питья, и через AN  MHO жество жидкостей, для питья не приrодных. Степень принадлежности ключевой воды множеству AD равна 1, а степень ее принадлежности AN равна о. Допустим, что речную BO ду, взятую из устья Вислы, можно отнести к питьевой со степенью 0.6 (ее пьют дикие водоплавающие птицы) и к неприrодной для питья  со степенью 0.4, и что сосуд А наполнен именно такой водой. Степень принадлежности соляной кислоты множеству A D равна О, а степень ее принадлежности А 1у равна 1. Пусть мы извлекли сосуд В из корзины, содержащей 10 сосудов, 6 из которых наполнены ключе 
2.6. Два вида неопределенности  нечеткость и вероятность 77 вой ВОДОЙ, а остальные 4  соляной КИСЛОТОЙ. Вероятность извлечь сосуд с жидкостью, приrодной для питья, равна 0.6. Пусть мы должны выбрать один из следующих двух сосудов: Сосуд А J-LA D (А) == 0.6 Сосуд В PA D (А) == 0.6 rде J-LAD (А)  степень принадлежности содержимоrо сосуда А множе ству A D жидкостей, приrодных для питья, PAD (А)  вероятность Toro, что сосуд В содержит приrодную для питья жидкость. Что следует выбрать, если употребление жидкости из сосуда А опасно для здоровья, а употребление жидкости из сосуда В опасно для жизни? . 
rЛАВА 3 Нечеткая арифметика Нечеткие числа MorYT при меняться при моделировании систем, дЛЯ KO торых зависимость между входными и выходными сиrналами известна и представима в виде традиционной математической модели у == f(X), однако входные сиrналы не поддаются точному измерению, а доступны лишь приближенной оценке, например: Хl == «примерно 9», Х2 == «примерно 10», у == .Еl + Х2. В этом случае значение выхода системы у может быть получено в фор ме нечеткоrо числа (рис. 3.1). Если модель у == f(X) задана в виде математическоrо выражения, содержащеrо операции сложения, вычитания, умножения или деления, то должны быть определены методы выполнения этих операций над нечеткими числами. Данные методы иrрают важную роль, поскольку поз воляют вводить В традиционную математическую модель системы нечет кие оценки входных значений, которые человек формулирует на основе cBoero восприятия или интуиции. Кроме Toro, на основе таких методов можно создавать rибридные модели, состоящие из четких и нечетких бло IL( Х 1) М(У) 1 Хl ? м( Х2) 1 8 9 12 ..... ... у == f(Xl, Х2) .... .... ..... .... у 7 10 11 Х2 Рис. 3.1. Нахождение нечеткоrо Вblходноrо значения модели с нечеткой информацией о входных значениях 
3.1. Принцип обобщения 79 ков, при этом четкие элементы модели MorYT использоваться в том числе и для обработки нечеткой информации, выдаваемой соответствующими нечеткими элементами. 3.1. Принцип обобщения Классическая арифметика предоставляет методы выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления над четкими числами, таки ми как 4, 5, 6. В свою очередь, нечеткая арифметика определяет методы выполнения указанных операций над нечеткими числами, такими как: примерно 4, плюс/минус 5, приблизительно 6. В нечеткой арифметике базовые математические операции над нечеткими числами представляют собой обобщение соответствующих операций над обычными числами (Kacprzyk 1986; Kaufman 1985; Oriankov 1993,1996). Правила TaKoro обобщения предложены Заде в виде принципа обобщения, который ниже формулируется в двух вариантах  для систем типа SISO (с одним входом и одним выходом) и систем типа MISO (с несколькими входами и одним выходом). Система типа SISO (одии ВХОД  одии ВЫХОД) Пусть имеется обычная система с одним входом и одним выходом, реализующая отображение j множества Х входных значений во множе ство У выходных значений (рис. 3.2). Если А  нечеткое множество, за данное на множестве Х, то результатом j(A) ero отображения, в COOTBeT ствии с принципом обобщения, является нечеткое множество В == j(A), определяемое в виде (3.1), rде символ V означает операцию ИЛИ (объ М(Х) р(у) 1 .......................... .1 1 ............---- у == f(x) . т у у Х Е ..tY, У Е }/, f:..{J(Y Рис. 3.2. Традиционная система типа SISO (один вход  один выход) с четкими входом х и выходом у 
80 rлава 3. Нечеткая арифметика единение нечетких множеств): В(у) == f(A) == v {А(х)/ f(x)} == {(MB(y)/y)ly == f(x), х Е Х}, х ( ) { VMA(X) для всех х, для KOTOpbIxf(x) == у, Мв У == О в друrих случаях, или кратко: мв(У) == Mf(A)(Y) == V мА(х), х Е Х, У Е У. (3.1) y===f(x) Для мноrих реальных систем входные и выходные величины (напри мер, напряжение или сила тока) MorYT быть выражены с помощью Be щественных чисел, поэтому в дальнейшем изложении мы будем предпо лаrать, что универсальные множества Х и У совпадают с множеством вещественных чисел R. Отметим, что в общем случае Х и У MorYT представлять собой множества произвольных элементов. Если входное значение х и выходное значение у удовлетворяют условию VX,yER, (3.2) то принцип обобщения для функции одной переменной (случай системы типа SISO) фактически задает функцию принадлежности мв(х) BЫXOД Horo параметра по формуле мв(У) == Mf(A)(Y) == V МА(Х), Vx,y Е R. y===f(x) Если для выполнения операции V используется оператор МАХ, то BЫ ражение (3.3) может быть представлено в виде: (3.3) мв(У) == МАХМА(Х), Vx, У Е R. у=== f (х ) Принцип обобщения для функции одной переменной иллюстрируется рис. 3.3. (3.4) РА (х) рв (у) 1 1 I у == f(x) . у х у Рис. 3.3. Отображение нечеткоrо входа х в нечеткий выход у обычной SISОсистсмой 
3.1. ПРИНЦИП обобщения 81 При мер 3.1.1. Пусть SISОсистема реализует отображение Х  У, rде у == х 2 . Входное значение х задано в форме нечеткоrо числа А(х) == «при мерно О», представленноrо в табл. 3.1. Таблица 3.1 Нечеткое число А(х), «примерно О» (LA (х) О 0.5 1 0.66 0.33 О х 2 1 О 1 2 3 Для данноrо входноrо значения определим нечеткое выходное зна чение В(у), функция принадлежности KOToporo может быть получена по формуле: '1В(У) == МАХILА(Х), Vx, У Е R: Х Е Х, У Е У. (3.5) у==х 2 Например, значение у == 1 соответствует случаю х == 1 или Х ==  1. По этому формулу для вычисления степени принадлежности ILВ(У) для У == 1 можно представить в виде: LB (у) == МАХ( (0.5), (0.66)) == 0.66. у==l Нечеткое множество В представлено в табл. 3.2. (3.6) Т а б л и ц а 3.2 Нечеткое число В(у), «примерно О» Мв (у) 1 0.66 0.33 О у О 1 4 9 На рис. 3.4 представлены нечеткое число на входе системы и резуль тат ero преобразования на выходе. . рА (х) J-LB(Y) «примерно О» 1 «примерно О» I ' [ у == х 2 [ \ I , , \ I , У , I 'G. х  Э, I I Ф , , ...... , I , , ... I  'э... I ... I , ... I , , ......... I .. .... .. 2 ] О ] 2 3 х О 1 4 9 у Рис. 3.4. Преобразование обычной SISОсистемой входноrо нечеткоrо числа в выходное 
82 rлава 3. Нечеткая арифметика ILA(Y) ILА(Х) A А   11 \ 111 , I \ 1 11 , I \ 1 1\ , I \ I I 1 J: \ / : Ф: ф (f) : " \ I l' I I \ I l' I I \ I I \ I I \ " l' I I \ I l' , I \ I \ ILA(Y) ILА(Х) A А aA d4 3 2  1 О 1 2 3 х, у тA тА х,у Рис. 3.5. Число А == «примерно 2» и число В ==  А == «примерно 2» Далее мы рассмотрим, как на основе принципа обобщения для функ ции одной переменной можно определить некоторые операции над нечет ким и числами. . Противоположное нечеткое число Противоположным для нечеткоrо числа А является нечеткое число  А, которое может быть получено на основе принципа обобщения, принима ющеrо в данном случае вид: ILA(Y) == V ILА(Х), Vx,y Е R. y==x (3.7) При мер 3.1.2. Найдем противоположное число для А == «примерно 2» (табл. 3.3). Результаты вычислений представлены в табл. 3.4 и на рис. 3.5. т а б л и ц а 3.3 Нечеткое число А == «примерно 2» МА(Х) О 0.5 1 0.5 О Х 1 1.5 2 2.25 2.5 Таким образом, можно прийти к выводу, что число А и противопо ложное ему число  А симметричны относительно оси ординат. . т а б л и ц а 3.4 Противоположное нечеткое число  А == « примерно  2» М,4 (х) О 0.5 1 0.5 О .Т l 1.5 2 2.25 2.5 
3.1. Принцип обобщения 83 Параметры противоположных друr друrу чисел связаны соотношени ями: тA == тA aA == (ЗА, (ЗА == аА. (3.8) * Если число А задано с помощью LRпредставления : А == (тА, аА, ;ЗА), то I...Rпредставление противоположноrо ему числа A имеет вид: (3.9) A == (тA, (ЗА, аА). (3.10) . Обратное нечеткое число Обратное нечеткое число А 1 вычисляется на основе принципа обобще ния в форме: ILA1(Y) == v ILA(X), Vx,y Е R, х Е х. yl .( (3.11 ) Пример 3.1.3. Найдем нечеткое число, являющееся обратным к нечетко му числу А == «примерно 2», заданному с помощью табл. 3.5. Результаты вычислений представлены в табл. 3.6 и на рис. 3.6. Таблица 3.5 Нечеткое число А == « примерно 2 » МА(Х) О 0.5 1 0.5 О х 1 1.5 2 2.25 2.5 На рис. 3.6 показаны число А и обратное к нему число А 1. . '" Нечеткое унимодальное число А является нечетким числом (LR)типа (L  Left, левый; R  Right, правый), если () { L((rпx)/o;), Vxm, 0;>0, РА Х == R((x  т)/(3), Vx  т, (3 > О, [де тп  среднее значение (мода) нечеткоrо числа, о; и (3  левый и правый коэффициенты нечеткости, соответственно. Учитывая введенные обозначения, нечеткое число принято представлять в виде тройки пара метров А == (т, 0:, (3). Примерами функций L(.r) (также, как и R(x)) MorYT быть ( ) lxlP ( ) ] L ,Х == е , р  о; L х == 1 + Ixl P , Р  о и т.п. При этом обычно требуют, чтобы функции L(x) и R(x) удовлетворяли следующим условиям: L(.r) == Е(х), R(x) == R(x); L(O) == R(O) == 1. Нечеткие числа (LR)типа часто используются в задачах математическоrо моделирова НИН.  Прuм. ред. 
84 rлава 3. Нечеткая арифметика PA1(Y) РА (х) 1 Al А 0.5 'f ',\ " \ " \ " \ " \ '1 \ II \ '1 \ I I \ ф, Ф '1 \ I I \ I I \ , I \ I I \ , I \ '1 \ I I \ , I , I '1 \ J ' I \ I \ / \ I \ I \ I \ I \ I \ / \ Ф  I \ I \ / \ I \ I \ I \ I \ I \ I \ \ о 0.4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 х,у Рис. 3.6. Нечеткое число А «примерно 2» и обратное к нему число А 1, найденное с использованием принципа обобщения Таблица 3.6 Обратное нечеткое число Al == «примерно 0.5» МА(Х) О 0.5 1 0.5 О х 1 0.66 0.5 0.44 0.4 Операцию нахождения обратноrо нечеткоrо числа можно упрощен но определить с помощью LRпредставления (Kacprzyk 1986; Kaufman 1985). Обозначения, используемые в LRпредставлении числа А, пока заны на рис.3.7. JLAl (у) РА (х) Al А о (mЛl  a:Al) тп А  1 \ тп \ (1'11А  О:А) (TпAl + L3Al) '. у (rпЛ+,вА) Рис. 3.7. Обозначения разбросов (отклонений) и номинальных значений нечет ких чисел А и А l 
3.1. ПРИНЦИП обобщения 85 Характеристические точки числа А и обратноrо к нему А 1 связаны соотношениями: 1 1пA1 == , тА #- о; тА 1 тAl  aAl == тА + fЗА ; 1 (3.12) тAl + (3Al == тА  аА тА #- аА. Используя формулы (3.12), можно получить значения величин левоrо и правоrо разбросов (отклонений) числа А  1: ;ЗА aAl == , тА #- о, тА(тА + fЗА) аА (341 == · тА #- аА.  тА (тА  аА) I Таким образом, LRпредставление обратноrо нечеткоrо числа Al можно выразить в виде формулы Al rv (  {ЗА а А )  тА' тпА(тА + ;3.11) , ТnА(тА  аА) . Пример 3.1.4. Используя LRпредставление, найдем обратное нечеткое число Al для А == (2,1,0.5). В результате применения формулы (3.15) получаем: (3.13) (3.14 ) (3.15) Al rv (0.5,0.1,0.5). Рисунок 3.8 позволяет сравнить нечеткое число A.l, полученное в предыдущем примере с помощью принципа обобщения, и нечеткое чис ло Al, полученное в данном примере с помощью LRпредставления. ILЛl ( ) ..41 ILA1 ( Al LR А == «примерно 2» А  1 == «примерно 0.5» 1 \>  \ 11 \ 11 \ '1 \ '1 \ 1, \ , I \ II \ '1 \ '1 \ (1\. Ф У I \ 1 I \ I I \ I I \ (1 \ I 1 \ I f \ :  \ '1 \ , I \ 1 О. 5 0.5 о о 0.40.5 1 у 0.4 0.5 1 !J Рис. 3.8. Нечеткое число .<4 1, полученное с помощью принципа обобще ния, и УПРОJценный вариант этоrо же числа AL' полученный с помощью LRпредставления 
86 rлава 3. Нечеткая арифметика Из рис. 3.8 видно, что для обратноrо нечеткоrо числа с помощью фор мулы (3.15) получаются точные значения номинальной величины и раз броса, но в целом функцию принадлежности данная формула описывает лишь приближенно. . Используя принцип обобщения, можно также определить и друrие унарные операции над нечеткими числами. Дополнительную информа цию по данному вопросу можно найти в (Kacprzyk 1986; Kaufmann 1985). Система типа MISO (несколько ВХОДОВ  одии ВЫХОД) Пусть имеется обычная МISОсистема (рис. 3.9), реализующая отобра жение у == (Хl, Х2, . . . , Х п ). Входной вектор J( определен на декартовом произведении областей определения отдельных входных величин Х 1 х Х2 Х . . . х Х п : Xl Х2 J(== Х п Функция f отображает множество элементов области определения вектора входных величин J( на область значений выходной величины У: f: Х 1 х Х 2 Х . . . х Х п  У. (3.16) Если А 1 ,..., А п  нечеткие множества, заданные на областях опре деления Хl,..., Х п входных величин, то в соответствии с прин f-LA 1 (Хl) у == f(rl,... ,Хn) о Хl МА п (Х п ) Хl у Хн Рис. 3.9. Обычная МISОсистема с нечетким входами и нечетким выходом 
3.2. Сложение нечетких чисел 87 ципом обобщения, на выходе системы получим нечеткое множество В == f(Al,..', А п ), являющееся результатом отображения входных нечетких множеств: В(у) == v [Al (Xl) /\ А 2 (Х2) /\ . . . /\ Аn(хn)] == XEX 1 х...хХ п , f(X)==y == {МВ(У)/У\ У == f(X), Х Е Х 1 Х . . . х Х п } (3.17) Области определения X i и У обычно совпадают с множеством веще ственных чисел R. В большинстве практических ситуаций принцип обобщения для функции нескольких переменных фактически представляет собой задание функции принадлежности выходноrо значения системы, исполь зуя выражение вида: МВ(У) == V (МА 1 (Xl) /\ М А 2(Х2) /\ ... /\ ILАп(Х п )), y==f(Xl ...,Xп) V Хl, . . . , Х п , У Е R, (3.18) * rде символ V означает объединение множеств на основе опера цИИ МАХ, алrебраической суммы или друrой SHOpMbI, символ 1\ означает пересечение множеств на основе операции MIN, произведения или друrой tHOpMbI. Далее мы рассмотрим использование принципа обобщения при выпол нении основных арифметических операций для случая системы с двумя входами. 3.2. Сложение нечетких чисел Сложение двух нечетких чисел представляет собой отображение BXOДHO ro вектора Х == [Хl, Х2]Т, определенноrо на декартовом произведении R х R, в выходное значение У, определенное на множестве R (рис. 3.10). Если А 1 И А 2  нечеткие числа, то их сумма также является нечетким числом и задается выражением (Аl + А2)(У) == v [A 1 (Xl) 1\ А 2 (Х2)], VXl, Х2, У Е R. у==х 1 +Х2 (3.19) * u Операции над нечеткими множествами вводятся и объясняются в с.педующеи rла ве.  Прuм. ред. 
88 rлава 3. Нечеткая арифметика jJA 1 (Хl) «примерно аl» jJA 1 +А2 (у) al РА2 (Х2) Xl «примерно а2» « при м е р н о (а 1 + а 2 ) » у у == Хl + Х2 al + а2 У а2 Xl Е X 1 == R, Х2 Е Х 2 == R, У Е У == R Рис. 3.10. Обычная система, реализующая сложение двух нечетких чисел Для вычисления суммы нечетких чисел достаточно определить функ ЦИЮ принадлежности f.-LA 1 +А 2 (у) по формуле МАl +А2 (у) == V [f.-LA 1 (Хl) Л МА 2 (Х2)], VX1, Х2, У Е R, Y==Xl +Х2 (3.20) [де символ V соответствует оператору объединения множеств (напри мер, на основе SHOpMbI* ), символ Л соответствует оператору пересечения множеств (напри мер, на основе tHopMbI). Таблица 3.7 Нечетко е чи сло Al == «п рим ерно 5» fLA:Xl) ЕЕ 0;31 0.;6133 065 ЕЕ При мер 3.2.1. Пусть заданы нечеткие числа А 1 == «примерно 5» (табл.3.7), А 2 == «примерно 7» (табл.3.8). Найдем нечеткое число (А 1 + А 2 ). Т а б л и ц а 3.8 Нечетко е ч исло А 2 == «примерно 7» MAX2) rn 065 8J 0.;61 0.:311 I * Понятия SHOpMbI И tHOpMbI ВВОДЯТСЯ И объясняются В следующей rлаве.  Прuм. ред. 
3.2. Сложение нечетких чисел 89 Таблица 3.9 Нечеткое число (А 1 + А 2 ) == «примерно 12» PA 1 +А2 (у) о о 0.33 0.5 0.66 1 0.66 0.5 0.33 О О у 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 jJA 1 (Xl) 1. О 1 0.66 ,. .о , ,. , ,. ,Cf , 0.33 ''о 0.5 ,. ,. о,. , , ,. , ,. , , о ,. , Х2 I I I I I I 2: 3: 4: 5: 6: 7: I , I I , I I I I I I I I I I I I 10 О: О: I О: О: О' / 12 13 14 15 16 / / 0.33 cf / 9 О 0.33 0.33 033 / Ti 12 13 14 / / 0.66 d / 8 О 0.33 0.66 / 10 11 12 / / / 7 / О 0.33 1.0 Q 9 10 , , , , 6 , 0.5 О 'Q 12 13 0.5 " , , 5 , О О О О ILA 2 (X2) , о 9 10 11 12 1 О Хl I\lAX MIN {!1Л 1 (Xl ), РА 2 (Х2)} дЛЯ всех (т 1, Х2) та ких, что Хl + Х2 == 13 MIN {jJA 1 (7), РА 2 (6)} Хl + Х2 == 13 Рис. 3.11. Метод определения функции принадлежности нечеткоrо числа (А 1 + А 2 ), rде Al == «примерно 5», А 2 == «примерно 7», и результат (A 1 + А 2 ) == «примерно 12» получен с использованием операторов 11АХ (v) и IIN (1\) Вычисление суммы нечетких чисел (Аl + А 2 ) с использованием прин ципа обобщения иллюстрируется схемой на рис.3.11. Полученный pe зультат (А] + А 2 ) == «примерно 12» представлен в табл. 3.9 и на рис.3.12. Рассмотрим более подробно первый столбец на рис.3.11. Он coдep жит значения степеней принадлежности МАl +А 2 (у) выходноrо пара метра при фиксированном значении первоrо входноrо пара метра Хl == 2 и из менении значения BToporo входноrо пара метра Х2 в пределах от 5 до 10. Анализ данноrо столбца показывает (см. рис.3.13), что несмотря на то, что значение выходноrо параметра моделируемой системы может изме няться от 7 до 12, значения степеней принадлежности МА 1 +А 2 (у) остают ся постоянными (равными О). 
90 rлава 3. Нечеткая арифметика J-LАl +А2 (у) «примерно 12» 1.0  f \ f \ f \ I \ I \ f \ I \ 6 ь 0.66 I \ , , , ' 0.5 Р 'q , \ , , 0.33 6' 'с? I \ f \ I \ ( \ f \ I \ 0/\ 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 У Рис. 3.12. Дискретная функция принадлежности числа «примерно 12», явля ющеrося суммой нечетких чисел «примерно 5» + «примерно 7 » и полученноrо с использованием операторов МАХ (v) и MIN (л) Х2 5 О 12 О 11 О 10 О 9 О 8 О 7 IIN {J-LАl (Xl), J-LA2 (Х2)} 10 9 8 Х1 + Х2 7 6 2 Xl Рис. 3.13. Иллюстрация принципа преобразования изменений входноrо значе ния системы в ее выходное значение в модели сложения двух нечетких чисел с использованием оператора 1,1IN Указанное обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что в дaH ной ситуации оператор пересечения 11IN не обеспечивает KoppeKTHoro механизма преобразования изменений входноrо значения модели в изме нение ее выходноrо значения. На рис. 3.14 показан метод получения нечеткоrо числа «пример но 5» + «примерно 7 » == «примерно 12» с использованием в каче стве основы операции пересечения (!\) оператора I\1EAN (среднеrо) 
3.2. Сложение нечетких чисел 91 Таблица 3.10 Нечеткое число (A 1 + А 2 ) == «примерно 12» f-lА 1 +А2 (у) о 0.25 0.5 0.66 0.83 1 0.83 0.66 0.5 0.25 О у 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 j);.4 1 (Х1 1 1.0 .о 0.66 ,,"','" "" 0.33 """а' "'00.5 о'" " " , о "",'" " о о I I I 5 : 6: 7: I I I I I I 2'1 1.0 2: I Х2 3: 4 I I I I I I 10 о: 016 : 033 / 12 13 14 / I 0.33 I 9 0.16 d 0.33 0.5 / Tl 12 13 / / 0.66 / 8 0.33 / 0.5 0.66 /0 10 11 12 / / / 7 / Ц , " , , 6 , 'Q 0.5 , , , " 5 , , о о 16 16 0.33 15 0.5 14 j);A2 (Х2) 0.75 0.5 11 12 0.5 0.25 10 11 0.25 J'vIЕАN{ILЛl (7). j);'\2 (6)} l: 12 Х1 + Х2 == 13 1 о МАХ MEAN {j);Al (Х1), j); A 2 (Х2)} дЛЯ всех (Х1, Х2) таких, что Xl + Х2 == 10 Рис. 3.14. Метод определения функции принадлежности нечеткоrо числа В == (A 1 + А 2 ), rде Al == «примерно 5», А 2 == «примерно 7» и В == «при мерно 12», с использованием оператора 1,1EAN (1\) (Yager 1994,1995). Функция принадлежности числа «примерно 12», BЫ численная с использованием сетки, изображенной на рис. 3.14, представ лена в виде табл.3.10 и в виде rрафика на рис.3.15. Как следует из рис.3.15, функция принадлежности нечеткой суммы, полученной с помощью оператора MEAN, является более rладкой, чем в случае суммы, соответствующей применению оператора J\1IN. Исполь зованная для построения нечеткоrо числа сетка (рис. 3.15) отражает и тот факт, что оператор MEAN обеспечивает более корректный механизм пре образования входных изменений модели в выходные, чем оператор MIN. Первый столбец изображенной на рис. 3.15 сетки показан на рис. 3.16. 
92 rлава 3. Нечеткая арифметика J-L.4 1 +.42 (у) «примерно 12» 1.0  I \ I \ I \ Р q I \ I \ I \ d Q I \ I \ I \ 0.5 d Ь I \ I \ I \ I \ I \ I \ I Ь о \ I \ I \ I \ I \ I \ 0/\ 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 У Рис. 3.15. Функция принадлежности нечеткой суммы «примерно 5» + «пример но 7» == «примерно 12», найденной с использованием оператора MEAN (1\) Х2 5 О 12 0.16 11 0.33 10 0.5 9 0.25 8 О 7 J-L.4 1 +А2 (у) 10 9 8 Хl + Х2 == У 7 6 Хl 2 Рис. 3.16. Первый столбец сетки, соответствующей нечеткой сумме «пример но 5» + «примерно 7» == «примерно 12» ИСХОДЯ из рис. 3.16, приходим к выводу, что при фиксированном зна чении Хl  2 изменение входной величины Х2 приводит к изменению как выходной величины моделируемой системы у, так и функции при надлежности МВ(У). Аналоrичная ситуация имеет место и для друrих столбцов и строк сетки, изображенной на рис. 3.14. Вследствие своей aд дитивной природы оператор MEAN обеспечивает более корректное BЫ 
3.2. Сложение нечетких чисел 93 Р,Л 1 (Х1) Р,Л2 (Х2) р'Л 1 +Л2 (у) 1  о у о о тА. 1 (тА 1  ал 1 ) тА2 (тЛ2  аА 2 ) (rпA 1 +A 2 ) ( rп Л 1 +А2  QAl +А2) ( rп Л 1 + ал 1 ) тА 2 + ВА 2 (тпА 1 +А2 + /3А 1 +А 2 ) Рис. 3.17. Характеристические пара метры складываемых нечетких чисел полнение аддитивной операции суммирования нечетких чисел, чем опе ратор MIN. . При рассмотрении при мера вычисления суммы нечетких чисел на oc нове принципа обобщения можно заметить, что данный метод хотя и то.. чен, но при этом является трудоемким. Поэтому в большинстве случаев используется упрощенный механизм выполнения арифметических опера.. ЦИЙ, основанный на LR"представлении нечетких чисел (Kacprzyk 1986; Kaufmann 1985). Если нечеткие числа А 1 и А 2 представлены тройками следующеrо вида: А 1 == (тА 1 , аА1' ,8.111)' А 2 == (тА 2 , аА2' ,8.112)' (3.21) а их сумма  тройкой вида (Аl + А 2 ) == (тА 1 +А2' аА 1 +А2' ,8A1+A2) (3.22) то параметры суммы (Аl + А 2 ) и слаrаемых Аl, А2, как показано на рис. 3.17, связаны соотношениями: тА 1 +.112 == тА 1 + тА2' тA 1 +A2  (УА 1 +А 2 == (mA l  аА 1 ) + (тА 2  аА2), rпAl+A2 + ,8.111+.112 == (тА 1 + ,8.111) + (тА 2 + ;3.112). с учетом соотношений (3.23), параметры суммы (A 1 + А 2 ) определя" ются с помощью выражений вида: (3.23) aAl +.112 == аА 1 + аА2' ,8.111+.112 == ,8.111 + (3А2. (3.24) 
94 rлава 3. Нечеткая арифметика !-1A 1 (X1) !-1А2(Х2) !-1A 1 +A 2 (Y) 1 «примерно 5» «примерно 7» «примерно 12» о 2 3 4 5 6 7 0/11  \2 IJA 1 +А2 Хl Х2 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 у 5 6 7 8 9 10 Рис. 3.18. Сложение двух нечетких чисел с использованием LRпредставления Таким образом, LRпредставление суммы (А 1 + А 2 ) может быть вы.. ражено формулой: (A 1 + А 2 ) == (пA1 + тA'2 (1,41 + (A2' (3А1 + ,аА 2 ). (3.25) Пример 3.2.2. Найдем сумму двух симметричных нечетких чисел A1(Xl) == «примерно 5» и А 2 (Х2) == «примерно 7», функции принадлеж" ности которых имеют заданы в виде: 1 ILA1 (Xl) == 1 + (:(1  5/1? ' oo < Xl < +00, 1 11А2 (.т2) == 1 + (.1:2  7/2)2 ' oo < Х2 < +00. (3.26) (3.27) LRпредставление данных чисел задается соотношениями: А 1 == (тА 1  aA1-IЗ А1 ) == (5 1, 1). А 2 == ( тА 2' ОА 2  Р А 2) == (7.2,2). (3.28) (3.29) в соответствии с формулой (3.25), их сумма представляется в виде (A 1 +А 2 ) == (5,1,1) + (7.2.2) == (12.3,з), (3.30) а ее функция принадлежности выражается формулой 1 ILA1 +А 2 (у) == 1 + (у  12/3)2 . (3.31) Нечеткие числа Al и А 2 , а также результат их сложения rрафиче.. ски представлены на рис.3.18. Очевидно, что величины разбросов а и fЗ для суммы Al + А 2 больше соответствующих величин для отдельных слаrаемых А 1 , А 2 . . 
3.3. Вычитание нечетких чисел 95 Пример 3.2.3. Найдем сумму двух треуrольных нечетких чисел А 1 (Xl) == «примерно 5» и А 2 (Х2) == «примерно 7», LRпредставление которых выражено формулами: ftAl (Xl) == L ( Х  т ) == МАХ (о, 1 + Xl; 5 ) , R ( Х  т ) == МАХ (о. 1  Xl; 5 ) , 'v'Xl : Xl < 5, 'v'Xl : Xl  5. (3.32) МА2 (Х2) == Х2  7 11АХ O 1 + 2 ' l\IAX О 1  Х2  7  3 'v'X2 : Х2 < 7, (3.33) \!Х2 : Х2  7. LRпредставление суммы (A 1 + А 2 ), полученное с помощью формулы (3.25), имеет вид (A 1 + А 2 ) == (5, 3 2) + (7 2.3) == (12,5, 5) ( 3.34 ) а функция принадлежности выражена в виде ftAl +А 2 (у) == l\IAX О 1 + у  12  5 МАХ О 1  у  12 , 5 'v'y : у < 12. (3.35) 'v'y : у  12. Учитывая то, что нечеткое число (A 1 + А 2 ) является симметричным (о: == fЗ == 5), ero функцию принадлежности fL41 +А 2 (у) можно представить в более просто м виде: ( у  12 ) fJAl +А 2 (у) == l\IAX O 1  5 ' 'v'y : CX) < у < +ос. (3.36) rрафическая иллюстрация paccMoTpeHHoro при мера представлена на рис. 3.19. . 3.3. Вычитание нечетких чисел Пусть A1(Xl) и А 2 (Х2)  нечеткие числа. Их разность может быть полу чена с помощью принципа обобщения в форме: (Аl  А2)(У) == V [Al (Xl) /\ А 2 (Х2)]. 'v'Xl  X2 У Е R. У==Хl .r2 (3.37) 
96 rлава 3. Нечеткая арифметика f-L А l (Хl) f-LA2 (Х2) f-LA 1 +А2 (у) «примерно 5» «примерно 7» «примерно 12» 2 3 4 5 6 7 5 6 7 8 9 10 7891011121314151617 Xl Х2 у Рис. 3.19. Сложение двух нечетких чисел с использованием LRпредставления Таблица 3.11 Нечеткое число А 1 == «примерно 5» МА 1 (Хl) о 0.33 0.66 1 0.5 О .2'1 2 3 4 5 6 7 Вычисление разности нечетких чисел фактически сводится к вычис лению ее функции принадлежности по формуле: м А 1  А 2 (у) == v [м А 1 (х 1) Л !l А:2 ( Т 2 ) ] , V.1; 1 . х'2, У Е R, У==Тl X2 (3.38) rде V  оператор объединения множеств (например 1IAX или друrие SHOpMbI), Л  оператор пересечения множеств (например MIN, PROD или друrие tHOpMbI). При мер 3.3.1. Найдем разность (Al  А 2 ) двух нечетких чисел, задан ных в виде дискретных выборок (табл.3.11 и табл. 3.12). Метод вычитания нечетких чисел А 1 и А 2 показан на рис. 3.20. Функ ция принадлежности нечеткоrо числа (A 1  А 2 ) == «примерно 2», BЫ численная с использованием сетки, показанной на рис. 3.20, представлена в виде табл. 3.13 и в виде rрафика на рис.3.21. . Таблица 3.12 Нечеткое число А 2 == «примерно 5» !1Л 2 (Х2) о 0.5 1 0.66 0.33 О Х2 5 6 7 8 9 10 
3.3. Вычитание нечетких чисел 97 т а б л и ц а 3.13 Нечеткое число (Аl  А 2 ) == «примерно 2» fLA1A2(Y) О 0.16 0.33 0.5 0.66 0.83 1 0.75 0.5 0.25 О у 8 7 6 5 4 3 2 1 О 1 2 j-LA 1 (Х1) 1 1. О ,Q 0.66 ",,,'" " (f , о. 33 "",,,," ''0,0.5 ",О " О " , О "," , о о 9 / / / о. 33 // /0 , / 0.66 о' / / / , / 1.0 Q , , , , , Q. 0.5 " , , , , 8 I 6: I Хl 4 I 5: 7: I I I I I I I t 1 I I I I I I I I 0.33 ! 0.51 0.251 01 6 5 4 3 0.5 0.66 0.41 0.16 5 4 3 2 0.66 0.83 0.58 0.33 4 3 2 1 Х2 о 7 6 0.25 ........... А !1А 2 (Х2) O 3 0.58 0.75 0.5 2 1 О 0.33 0.5 0.25 1 О 1 1 МАХ l'v1EAN {PA 1 (Х1), j-LA 2 (Х2)} дЛЯ всех (Х1, Х2) таких, что Хl  Х2 == 2 j-LB (у) == MEAN {j-LАl (Хl), j-LA 2 (Х2)} о Рис. 3.20. Метод определения функции принадлежности нечеткоrо числа (Аl  А 2 ) на основе принципа обобщения с использованием операторов МАХ (v) и lVIEAN (!\) (А 1 == «примерно 5», А 2 == «примерно 7», (Аl  А 2 ) == «при.. мерно 2») Более простой метод вычисления разности нечетких чисел основан на использовании L Rпредставления (рис. 3.22). Пусть А 1 И А 2 пред ставлены в форме А 1 == (тА 1 , аА 1 , ;ЗА 1 ), А 2 == (тпА 2 , аА 2 , ;ЗА 2 ). (3.39) 
98 rлава 3. Нечеткая арифметика Мв (у) «примерно  2» 1 / J:t' :', / I 'Q... Jf : , / I , Р I О / I , 01, / I О J:t' : , / I , 8 7 6 54 3 2 1 О 1 2 У Рис. 3.21. Функция принадлежности нечеткоrо числа «примерно 2», полу ченноrо в результате вычитания нечетких чисел «примерно 5» и «примерно 7» с использованием принципа обобщения МА!(Х1) МА2 (Х2) 1 1  вл l О Х1 (mA l  ал!) тА! (тл! + {ЗА!) МА! Л2 (у) о Х2 (тЛ2  аЛ2) тА2 ( тА 2 + {ЗА 2 ) 1 ал! Л2 {ЗА! A2 о (rпл! Л2  ал! A2) тА! Л2 у (тА 1 A2 + {ЗА! A2) Рис. 3.22. Обозначения, используемые при вычитании нечетких чисел, задан ных в виде LRпредставления Параметры нечетких чисел А 1 , А 2 И их разности (A 1  А 2 ) (рис. 3.22) связаны соотношениями: тА1 A2 == тА 1  тА2' тА1 A2  аА1 A2 == (тА 1  аА1)  (тА 2 + jЗА2)' тА1 A2 + ;ЗА 1 A2 == (тА1 + ;ЗА 1 )  (1пА2  аА2)' на основе чеrо можно получить формулу (3.41) для определения величи ны разброса разности (Аl  А 2 ): (3.40) aA l A2 == а.А 1 + {ЗА 2 , ,eAl A2 == аА2 + ;ЗА l . (3.41) 
3.3. Вычитание нечетких чисел 99 МА 1 (Х1) J-lА 2 (Х2) «примерно 5» «примерно 7» 1 1 0234 567 А 1 == (5,3,2) 5 6 7 8 9 10 А 2 == (7, 2, 3) J-lА 1 A2 (Х1 «примерно  2» 1 8  7 6 5 4 3 2  1 О 1 2 Рис. 3.23. Вычитание нечетких чисел с использованием LRпредставления Таким образом, LRпредставление разности (А 1  А 2 ) задается в виде тройки: (Аl  А 2 ) == (тА 1 , аА 1 , ;ЗА 1 )  (тА2' аА 2 , ;ЗА 2 ) == == (тА 1  тА2' аА 1 + ;ЗА2' аА 2 + ;ЗА 1 ). (3.42) При мер 3.3.2. Найдем разность чисел А 1 == (5,3,2) и А 2 заданных в виде LRпредставления. Воспользовавшись формулой (3.42), получаем: (7,2,з), А 1  А 2 == (5,3, 2)  (7,2,3) == (2, 6, 4). (3.43) Результат вычитания представлен на рис. 3.23. . Отметим, что разность треуrольных нечетких чисел «пример но 5» и «примерно 7», найденная с помощью принципа обобщения (рис. 3.21), совпадает с их разностью, полученной с использованием * LRпредставления (рис. 3.23). * Разумеется, это свойство не только нечетких чисел «примерно 5» и «примерно 7», а вообще нечетких чисел с кусочнолинейной функцией принадлежности, в том числе, заведомо,  для случая треуrольной функции принадлежности.  Прuм. перев. 
100 rлава 3. Нечеткая арифметика 3.4. Умножение нечетких чисел Пусть А 1 (Хl) И А 2 (Х2)  нечеткие числа. Их произведение (А 1 .А 2 ) можно найти, используя принцип обобщения в форме: (Аl . А2)(У) == v [A 1 (Xl) 1\ A 2 (.r2)]. \ixi_ J>'2. У  R. У::::::::'ХI Х 2 (3.44 ) Фактически вычисление произведения нечетких чисел сводится к Ha хождению ero функции принадлежности по формуле: Jl А 1 А 2 (у) == V [м А 1 (х 1) 1\ Jl А 2 ( Х 2 ) ] , \i Х 1 , Х 2, У Е R, У::::::::'ХI Х 2 (3.45) rде V  оператор объединения множеств (например МАХ или друrие SHOpMbI), 1\  оператор пересечения множеств (например IIN, PROD или друrие tHOpMbI). Таблица 3.14 Нечетко е чи сло А 1 == «п рим ерно 5» I PAXl) ЕЕ 0;31 0.:6 ВJ °65 [Е Пример 3.4.1. Найдем произведение (Аl . А 2 ) нечетких чисел, функции принадлежности которых заданы в табл. 3.14 и табл.3.15. Таблица 3.15 Нечетк ое ч исло А 2 == «примерно 7 » I MAX2) tE °65 [Е 0.:61 0':311 I Процедура умножения показана на рис. 3.24. При использовании изображенной на нем сетки результатом будет являться нечеткое чис ло (Аl . А 2 ) == «примерно 35», представленное на рис. 3.25. Из рис. 3.25 видно, что «плоское» нечеткое число «примерно 35», яв ляясь произведением двух выпуклых нечетких чисел, само выпуклым не является. Данное свойство является следствием Toro, что функция принадлежности рассматриваемоrо числа представлена в двумерном про странстве У * МАI А 2. Значения у на оси абсцисс (см. рис.3.25) не co держат информации об элементах (Xl, Х2), участвующих в формировании произведения, т. е., например, значение у == 42 можно представить в виде ХIХ2 == 6.7 либо в виде ХIХ2 == 7.6. Если нечеткое произведение предста вить в трехмерном пространстве Х 1 х Х 2 Х МАIА2 (рис. 3.26), то число «примерно 35» оказывается выпуклым (здесь МАIА2 : МА 1 А 2(У) Е МА 1 А 2). 
3.4. Умножение нечетких чисел 101 1 1 A 1 (Xl) 1 1 ,о о. 66  ", cf "r\0.5 о. 33 a "', О  " О   , о I 5: I I Х2 2: I I I 10 о: ----------20 I I 3: 4: I I I I I I о: о: 30 40   I 0.33 d '   0.66 {/   I I 1 О, , , , , 'о. 0.5 ", ", 5 9 о ----------пr 8 7 /1А2 (Х2) о Xl 1 /1АIА2 (у) == PROD{/1A 1 (Xl), /1А2 (Х2)} 'IA.X PROD{/1A 1 (Xl), /142 (Х2)} дЛЯ всех (Xl, Х2) таких, что XIX2 == 36 XIX2 == У Рис. 3.24. Метод нахождения функции принадлежности нечеткоrо числа (А 1 . А 2 ) на основе принципа обобщения с использованием операторов lAX (v) и PROD (!\), (А 1 == «примерно 5», А 2 == «примерно 7») МА 1 А 2 (у) «примерно 35» 1  - , , I , I , I I I , I f'::'\ ' I  I 1 I \ ,': :' I I : Qr6 \ i \ " G7<\>  I , , \ J # I \ I 1...:) Q I \ I , \' / \ ;([) о Q , , I \ ,/ Q I "'&<\> \ \ \ , \ I "Q /"'/ " 10 50 60 20 30 35 40 70 у Рис. 3.25. Функция принадлежности нечеткоrо числа «примерно 35», яв.ляюще rося результатом перемножения чисел «примерно 5» и «примерно 7» с исполь зованием оператора PROD 
102 rлава 3. Нечеткая арифметика ILAiA2 (Х1, Х2) о 10 7 0.8 0.6 0.4 02 Х2 5 2 ;1'1 Рис. 3.26. Трехмерное представление функции принадлежности !LA 1 A 2 (Xl, Х2) произведения нечетких чисел «примерно 5» и «примерно 7», полученноrо с ис пользованием оператора PROD в практических приложениях характеристики составляющих (Хl, Х2) результирующеrо числа у иrрают очень важную роль, поскольку, напри мер, одно и то же значение мощности электрическоrо тока L == u . i может достиrаться при различных значениях напряжения u и силы TO ка i, при этом в системах электроснабжения величина тепловых потерь Q == i 2 Rt существенно зависит от силы тока i, но не зависит от напря жения u (здесь t  время, R  сопротивление). Принцип обобщения Заде определяет упрощенное, «плоское» (ДBY мерное) сечение произведения двух нечетких чисел, представимоrо пол ностью только В четырехмерном пространстве. Представление произведе ния в трехмерном пространстве (рис. 3.26) уже является некоторым упро щением с потерей информации (отсутствие координаты у). Тем самым, представление произведения в двумерном пространстве является весьма существенным упрощением, которое, тем не менее, может использовать ся в случаях, коrда для моделируемой системы не важно, на основе каких именно значений Xl и Х2 получено произведение у == Хl -:1'2, а важно лишь само результирующее значение произведения у. Если нечеткие числа А 1 и А 2 заданы в форме дискретных выборок, то «механическое» использование принципа обобщения приводит к HeBepHO му представлению произведения (Al . А 2 ), являющеrося на самом деле выпуклым. Плоское представление произведения  это сечение ero Tpex 
3.4. Умножение нечетких чисел 103 {LA 1 (Xl) 1 .а 0.66 ",," " ""Cf "'о 0.5 0.33 ,," , ,,0 " о " , о о ,," , о I 3: I I I I О I 30 I 4: 1 I I I o 40 I 5: I I I I 01 50 I 7: I I Хl :1'2 о 2: 1 I I !g9 : 20 6: I I I I О I 60 / / / 0.33 // /0 / / 0.66 // /0 / / / / 1 Q. , , , , , 'Q 0.5 " , ", 5 .P 0.11 18 27 I 0.22 0.33 36 45 9 0.22 16 24 0.44 0.66 32 40 о 56 7 о 0.33 .................... 14 21 0.66 28 о 49 90 12 0.25 36 о 42 МА 2 (Х2) о 25 о 30 о 35 Х]Х2==У 1 {LAIA2 (у) == PROD{{LA 1 (Хl), МА2 (Х2)} Рис. 3.27. Простейшая линия сечения четырехмерноrо произведения нечетких чисел (A 1 . А 2 ) MepHoro представления вдоль прямых линий, соединяющих точку, име ющую максимальную степень принадлежности (МА 1 А 2 == 1), с точками, соответствующими минимальному и максимальному значениям произве дения. Соединяя указанные точки прямыми линиями, получаем прибли женное «плоское представление нечеткоrо произведения, которое наи более реrулярно отражает ero выпуклость (рис. 3.27 и 3.28). В рассмотренном примере при вычислении произведения нечетких чи сел использовался оператор PROD (про изведение). Поскольку умноже ние является операцией мультипликативноrо типа, использование дaH Horo оператора наилучшим образом отражает принцип преобразования входных изменений в выходные, т. е. изменения входных величин (Хl, Х2) преобразуются в изменение выходной величины у точно так же, как в pe альной системе. Вместе с тем, если, например, Хl == О, то, как и в случае с реальной системой, независимо от изменения входной величины Х2, OT сутствуют изменения и на выходе нечеткой модели мв(у) (первый стол бец вычислительной сетки на рис. 3.27). Вместо оператора PROD можно 
104 rлава 3. Нечеткая арифметика /--LАlА2 (у) А 1 . А 2 == «примерно 35» 1 \ 11 \ 1 \ 1 \ , \ 1 \ 1 \ , \ , \ o .... // ............ / ........ / ...., e  , .... "".""."'" " , .... 10 20 30 40 50 60 70 у Рис. 3.28. Простейшее двумерное сечение произведения нечетких чисел (А 1 . А 2 ) использовать друrие tHOpMbI, например l\1IN, однако в этом случае будет иным и результат умножения. . Возможность приближенноrо вычисления произведения нечетких чи сел А 1 .А 2 обеспечивается использованием LRпредставления (рис. 3.29). Пара метры положительных нечетких чисел А 1 , А 2 И их произведения (Аl . А 2 ) связаны соотношениями: п1А1А2 == тА 1 тА 2 , тА1А2  О:А 1 А2 == (тпА 1  аА 1 ) ( тпА 2  аА2)' тА1А2 + РА1А2 == (тА 1 + БА 1 ) ( тпА 2 + РА 2 ). (3.46) /--LА l (Х1) /--LA2 (Х2) 1  PA l о ( ) mAl Х1 rrAl  aA l (mA l + 8Al) /--LАlА2 (у 1 РА 2 О тпА 2 Х2 ( rп Л 2  аА 2 ) ( тА 2 + РА 2 ) P A lA2 о (mA l ,42  аА1 А 2 ) тА1А2 у (тА 1 А 2 + PA l A 2 ) Рис. 3.29. Обозначения, используемые при перемножении положительных нечетких чисел А 1 и А 2 
3.4. Умножение нечетких чисел 105 {lA 1 (Хl) р,А 2 (Х2) А 1 1  А 2 1 о о 2 3 4 5 6 7 а 5 6 7 8 9 10 ь f LA IA2 (у (А 1 * А 2 ) 1  о 1 О 20 30 40 50 60 70 у Рис. 3.30. Перемножение двух положительных нечетких чисел на основе LRпредставления Отсюда можно получить формулы, задающие характеристические па раметры произведения (A 1 . А 2 ): аА 1 А 2 == т J Al аА 2 + тА2аА2  аА 1 аА 2 , РА1А2 == тА 1 РА 2 + тA2P41 + РА 1 РА 2 0 (3.47) * Таким образом, произведение двух положительных нечетких чисел, заданных с помощью LRпредставления, определяется выражением: (Al. А 2 ) == (тAlaAl,PAl)(тA2,aA2PA2) == == (тА 1 тА 2 , тА 1 аА 2 + тА 2 аА 1  аАl a42' тА 1 РА2+ (3.48) + тА 2 РА 1 + РА 1 РА 2 ) дЛЯ Al > о, А 2 > о. При мер 3.4.2. Найдем произведение положительных нечетких чисел А 1 == (5.3.2) и А 2 == (7.2.3) (рис. 3.30). Используя формулу (3.48), по JIучаем: (Аl . А 2 ) == (5,3,2) . (7,2.3) == (35,25,35). Из рис. 3.28 и рис. 3.30 видно, что в результате перемножения нечет ких чисел на основе принципа обобщения и LRпредставления получа Положительным считается нечеткое число, носитель KOToporo полностью находится на положительной полуоси (содержит только положительные числа),  Прuм. перев. 
106 rлава 3. Нечеткая арифметика ются нечеткие числа с совпадающими номинальными значениями и Be личинами разброса, хотя формы функций принадлежности MorYT разли чаться. . Перемножение положительноrо и отрицательноrо чисел Перемножение нечетких чисел различноrо знака с использованием прин ципа обобщения не имеет никаких отличий от случая двух положитель ных нечетких чисел. Таблица 3.16 Нечетко е ч исло A l == «п рим ерно 5 » A:Xl) [Е 0;31 0.:6 ЕЕ °651 Пример 3.4.1. Найдем произведение нечетких чисел А 1 и А 2 , заданных в виде табл.3.16 и табл.3.17 соответственно. Таблица 3.17 Нечеткое число А 2 == «примерно  7 » I AX2) I 51  I 71 06861 031 o Число А 2 == «примерно  7» является противоположным числу А 2 == «примерно 7», которое использовалось в примере 3.4.2. Метод перемно жения А 1 и А 2 представлен на рис. 3.31, а двумерное представление изоб раженноrо на нем сечения показано на рис. 3.32. . Приближенное произведение положительноrо и отрицательноrо нечетких чисел может быть также получено с использованием LR представления (рис. 3.33). Пара метры чисел А 1 и А 2 (рис. 3.33) связаны соотношениями: mAIA2 == тА 1 тА 2 , тА1А2  йА1А2 == (тА 1 + 'вА1 )(тА2  йА2)' mA1A2 + ,вАIА2 == (тА 1  йА1 )(тА 2 + ,вА2)' с учетом соотношений (3.49), параметры произведения положитель Horo и отрицательноrо нечетких чисел задаются формулами: (3.49) DА1А2 == 71tA1 (}А 2  тА2/6А1 + й.А2'вАl  ,ВАIА2 == 71LА 1 fЗА 2  тА2йАl  йА 1 fЗ А 2' (3.50) 
3.4. Умножение нечетких чисел 107 1 ..а 0.66 ",," """" О 5 "а' 'о . 0.33 о""" "" О " " " " О ,," " РА 1 (Хl) 1 о 6: I 1 1 1 01 зо I , 4: 5: 1 I 1 I 1 I 1 I O 01 20 25 2: I I 1 3: 1 1 I 1 01 15 о 0.5 зо 0.25 36 / / / 0.5 // JJ / / / / / 1  , , , ь 0.66 \ , ,  0.33 \ , , " 60. 12 " " !} 14 0.33 21 0.66 28 0.5 42 8 о :T6 0.22 24 0.44 0.66 32 40 ..2.9 18 0.11 27 0.22 0.33 36 45 !9Q 20 о 50 о 60 о Х2 РА 2 (Х2) J'1Al (А2) (у) == PROD{J'1A 1 (Хl), РА 2 (Х2)} 1 7: 1 1 1 1 01 35 Хl о 42 о  49 о 56 о 63 , ТIХ2 == У Рис. 3.31. Произведение положительноrо и отрицательноrо нечетких чисел и простейшая линия пересечения (А 1 * А 2 ) РА 1 А 2 (у) /?, 1 / , / , / , / , / , / , / , / , / , / О /0 , / , / , ,А  " , " " ", " 70 60 50 40 30 20 10 О у Рис. 3.32. Приближенное плоское сечение произведения положительноrо и OT рицательноrо нечетких чисел Таким образом, LRпредставление произведения положительноrо и отрицательноrо нечетких чисел (rде А 1 > О, А 2 < О) имеет вид: (А 1 . А 2 ) f"'-.J (rпA 1 , йА1 , )3 А 1 ) (тА2' СХА2' )3 А2) == == (тА 1 тА2,т.А 1 йА 2  rпJA2)3A1 + ОА2fЗА1' (3.51) т,А 1 ВА2  тА 2 йА 1  О:А1fЗА 2 ). 
108 rлава 3. Нечеткая арифметика J1A l (Xl) LA2 (Х2) 1 fЗ А 2 mA l (rrAl + /3А 1 ) (тА2  СУА 2 ) тА 2 (тА 2 + fЗА 2 ) Хl  1 Х2 о (mA l  QA l ) J1A l А 2 (у)  1 QA l А 2 fЗ А 1 А 2 у ( mA lA2  QA l A 2 ) mA l A 2 ( mA lA2 + fЗА l А 2 ) Рис. 3.33. Обозначения парамеТРОБ произведения положительноrо нечеткоrо числа А 1 и отрицательноrо нечеткоrо числа А 2 J1 A l (Хl М А 2 (Х2 А 1 1  А 2 о 2 3 4 5 6 7 Хl 10 9 8 7 6 5 Х2 J1A l А 2 (у) А 1 * А2 1 70 60 50 40 зо 20 10 О у Рис. 3.34. Результат перемножения положительноrо нечеткоrо числа .<41 и от.. рицательноrо нечеткоrо числа А 2 с использованием LR"представления 
3.4. Умножение нечетких чисел 109 Пример 3.4.2. Используя LRпредставление, найдем произведение по ложительноrо нечеткоrо числа А 1 и отрицательноrо нечеткоrо числа А 2 : А 1 == «примерно 5» == (5, 3, 2), А 2 == «примерно  7» == (7, 3, 2). В соответствии с формулой (3.51) получаем: (А 1 . А 2 ) == (5,3,2)(7,з,2) == (35,35,25). Результат перемножения представлен на рис. 3.34. Сравнивая ero с произведением, полученным на основе принципа обобщения (рис. 3.32), леrко видеть, что совпадают как величины разброса CtA 1 A 2 и fJ A I A 2' так и номинальные значения тА 1 А 2' а функции принадлежности имеют cxoд ную форму. . Перемножение положительноrо и отрицательноrо нечетких чисел LRпредставление произведения нечетких чисел А 1 > О И А 2 < О имеет вид: (А 1 . А 2 ) rv (тАl,ОАl,'вА 1 )(тА 2 ,ОА 2 ,!3А 2 ) == == (тА1 тА2' тА1(ЗА2 + тА2йА1 + йА1'вА2,  тА 1 аА2 + тА2(ЗА1 . йА 2 ;ЗА 1 ). (3.52) Перемножение отрицательных нечетких чисел Произведение нечетких чисел А 1 < О И А 2 < О выражается формулой: (Аl . А 2 ) rv (тА1' йА1' (ЗА 1 )(тА2' йА 2 , (ЗА2) == == (тА1тА2' тА1(ЗА2  mА2;ЗА1  (3А1fЗА2'  тА1 аА2  тА2йА1 + йА1 O:42). (3.53) Перемножение нечетких нулей Пусть А 1 И А 2  нечеткие числа «примерно О» С неравными значени ями разброса. Процедура перемножения таких чисел с использованием принципа обобщения описывается в примере 3.4.5. Пример 3.4.1. Найдем произведение нечетких чисел А 1 и А 2 , COOTBeT ствующих понятию «примерно О», заданных в виде табл. 3.18 и табл. 3.19 соответственно. 
110 rлава 3. Нечеткая арифметика т а б л и ц а 3.18 Нечеткое число А 1 == «примерно О» MAl (Хl) о 0.33 0.66 1 0.5 О Хl 3 2 1 О 1 2 Таблица 3.19 Нечеткое число А 2 == «примерно О» МА2 (Х2) о 0.5 1 0.66 0.33 О Х2 2 1 О 1 2 3 !--lА 1 (Хl) 1 / / / 0.33 d/ / / / 0.66 // /0 / !--lА2 (Х2) /// '" 0.66 (J';';' о. 33 ",;,'" о;' О ;';';' ;' Х2 о: I I I I I О' О , , , ''о 0.5 , , ", о 1: 2 : I I I I I , I I 01 3 Хl !J2 3 I .22 0.33 О 2 О 4 0.22 О 2 2 0.33 0.66 О О О О 0.16 0.33 0.5 0.25 О 2 l О l 2 ХIХ2 == У О О 0/ 4 2 4 2 О 6 1 ", , , Q. 0.5 " , , ',2 О О 6 о О б 10 3 !--lА 1 А 2 (У) == PROD{!--lА 1 (Хl), !--lА2(Х2)} Рис. 3.35. Перемножение нечетких нулей с использованием принципа обобще ния Метод вычисления произведения Al . А 2 С использованием принципа обобщения представлен на рис. 3.35, а а плоское сечение произведения  на рис. 3.36. 11 Для перемножения нечетких нулей можно также использовать LR представление (рис. 3.37). 
3.4. Умножение нечетких чисел 111 МА 1 (А 2 )(У) 1 I \ I \ I \ I \ I \ I \ I \ I \ ....0 \  \ ; Ь ........ , ",,,,' " .... e   ..--........ .................. 98765432l 0123456 у Рис. 3.36. Простейшее плоское сечение результата перемножения нечетких HY лей в соответствии с рис. 3.35 МА 1 (Хl) РА 2 (Х2) аА 1 {ЗА 1 Хl О'А2 fЗА 2 Х2 тА1 == о (тпА 1  аА 1 ) (тА 1 + {ЗА 1 ) тА2 == о (ТnА2  0.42) ( тА 2 +/3А 2 ) аА 1 А2 {ЗА 1 А2 у (тА1А2  аА1А2) тА 1 А 2 == о (тА 1 А 2 + /3А1 А 2) Рис. 3.37. Обозначения, используемые при перемножении нечетких нулей на oc нове LRпредставления Параметры чисел А 1 , А 2 и их произведения А 1 . А 2 связаны COOTHO шеНИЯl\IИ: Al == (О, (ХА 1 , !3А 1 ), А 2 == (О, (ХА2' !3А2)' mAl.A2 == т'Аl '((A2 == О, (ХА 1 А 2 == МАХ(аА 1 fЗ А 2' аА2!3А1), !3А 1 А2 == 11АХ(О'А 1 О:.42' !3А 1 fЗ А 2). (3.54 ) 
112 rлава 3. Нечеткая арифметика fLA 1 (X1) МА 2 (Х2) 3 2 1 О 1 2 Х1 2 l о 1 2 3 Х2 fLAl А2 (у) 98765432l О 1 2 3 4 5 6 у Рис. 3.38. Результат умножения нечетких нулей с использованием LRпредставления Таким образом, LRпредставление произведения нечетких чисел BЫ ражается формулой: (А 1 . А 2 ) rv (О, (ХА 1 , !ЗА1 )(O аА 2 , jЗА 2 ) == (3.55) == (О, МАХ( (ХА 1 !ЗА2' (ХА 2 jЗА 1 ), МАХ( a41 аА 2 , !ЗА l jЗ А 2 )). Пример 3.4.2. Найдем произведение двух нечетких нулей следующеrо вида: А 1 == (0,3,2), А 2 == (O 2, 3). С учетом формулы (3.55), LRпредставление произведения А 1 . А 2 имеет вид: (А 1 . А 2 ) rv (О, З, 2) . (О, 2, 3) == (О, I\IAX(9, 4), МАХ( 6 6)) == (О, 9, 6). Результат умножения представлен на рис. 3.38. Сравнивая произ ведения нечетких нулей, полученные на основе принципа обобщения (рис. 3.36) и LRпредставления (рис. 3.38), можно видеть, что у них COB падают номинальные значения и величины разброса, но формы функций принадлежности между собой только похожи. . Носитель положительноrо нечеткоrо числа содержит только положи тельные элементы (рис. 3.39, а), в то вреJ\1Я как носитель отрицательно ro числа состоит полностью из отрицательных элеrvlентов (рис. 3.39,6), 
3.4. Умножение нечетких чисел 113 а) А 1 > о 1  6) РА 2 (Х2) А 2 < О Р,А 1 (Хl) о Xl З'2 f-LА з (хз) в) 113 о ХЗ Рис. 3.39. Положительное нечеткое число Al (а), отрицательное нечеткое чис ло А 2 (6) и число неопределенноrо знака Аз (в) а элементы носителя числа неопределенноrо знака MorYT быть любыми (рис. 3.39, в). Нечеткие числа неопределенноrо знака можно перемножать с ис пользованием как принципа обобщения (см. пример 3.4.7), так и LR представления (см. пример 3.4.8). Пример 3.4.3. Используя принцип обобщения, перемножим числа неопределенноrо знака, заданные в форме табл. 3.20 и табл. 3.21. Таблица 3.20 Нечеткое число неопределенноrо знака Al МА 1 (Xl) о 0.33 0.66 1 0.5 О Xl 2 1 О 1 2 3 Процедура вычисления произведения представлена на рис. 3.40, а pe зультат вычисления  на рис.3.41. 11 Упрощенное произведение двух нечетких чисел неопределенноrо зна ка можно также вычислить, используя LRпредставление (рис. 3.42). Для произвольных нечетких чисел LRпредставление их произведения 
114 rлава 3. Нечеткая арифметика Нечеткое число неопределенноrо знака А 2 т а б л и ц а 3.21 МА 2 (Х2) о 0.5 1 0.66 0.33 О Х2 3 2 1 О 1 2 2'2 МА2 (Х2) / / / о. 33 // /0 " / " / / /" 0.66 " / 1 О. , ..... ..... ..... ..... 'Q , 0.5 ....., ..... , ..... " 0.33 о""" " О ,," " о 2 '  I I I I I 2 О: 4 /-LА1(Хl) 0.66 I  1: I I I I О, 2 0.22 О 0.44 О 0.66 О 0.33 О :}Q О 6/ 3 PROD{/-LАl (Хl), МА 2 (Х2)} t.9 2 0.11 1 1 .D " , " , " , "о 0.5 , , , ..... , QQ О 0.22 О I о: I I I I O О I 3: I I Xl l О 2 0.33 1 I 1: I I I 1 01 2 I 2: I I I I О! 4 2 О ............................-- 4 0.16 2 0.33 1 О 3 о 0.66 О О О линия сечения 0.5 2 О 6 О О .. О 3 у == ХI Х 2 Рис. 3.40. Перемножение нечетких чисел неопределенноrо знака с использова нием принципа обобщения /-LAIA2 (у)   ...",......... Q " , /' , " \ " \ ,," \ " , " \ " \ ,," \ " \ " " " " O 1 ....(}      9 8 7 6 5 4 3 2 1 О 1 2 3 4 5 6 у Рис. 3.41. Представление произведения двух нечетких чисел неопреде.ленноrо знака Al == «примерно 1» и А 2 == «примерно ] » В форме плоскоrо сечения четырехмерноrо нечеткоrо числа (рис.3.40) 
3.4. Умножение нечетких чисел 115 f-LА 1 (Хl) f-L A 2(X2) (3А 1 о тАl f-L A I A 2 (у) тА2 О Х2 Х1 а А I А 2 (3АI А 2 тА 1 А 2 О у Рис. 3.42. Обозначения, используемые при перемножении нечетких чисел неопределенноrо знака (произвольных чисел) задается формулой: ( т А 1 , ((41 , ,в А 1) . (т А 2 , а А 2 , 'вА 2) == (т А 1 А 2 , а А 1 А2 , ,в А 1 А 2 ) , rде: тА 1 А2 == тА 1 тА2' аА1 А 2 == тА 1 тА 2  l\1IN[(mA 1  аА1)(тА2  аА2)' (тА1  аА 1 )(тА 2 + (ЗА2)' (тА 1 + (ЗА1 )(тА2  йА 2 ), (тА 1 + (ЗА 1 )(тА 2 + (ЗА2)]' !JAlA2 == МАХ[(тА 1  йА 1 )(тА 2  аА2)' (mA l  йА 1 )(тА 2 + 'вА2)' (тА1 + 'вА 1 )(тА 2  аА 2 ), (тА 1 + (ЗАl)( тА 2 + 'вA2)] тAlтA2' (3.56) При мер 3.4.4. Найдем произведение нечетких чисел Al и А 2 неопреде ленноrо знака: Al == (1,3,2) А 2 == (1,2,3). Перемножение по формуле (3.56) при водит к результату (3.57), также представленному на рис. 3.43: (  41 . .L4 2 ) == (т) А 1 А2  а А 1 А 2 , ,в А 1 А 2 ) , 
116 rлава 3. Нечеткая арифметика f-LA 1 A 2 (у) 9 8 7 6 5 4 3 2 l О 1 2 3 4 5 6 у Рис. 3.43. Произведение двух нечетких чисел неопределенноrо знака А 1 == «примерно 1» и А 2 == «примерно  1», найденное с использованием LR представления [де: nl,A 1 A2 ==  1, а А I А 2 == 1  11IN(6, 4, 9, 6) == 1 + 9 == 8, ;3АI А 2 == l\1AX(6, 4, 9, 6)  (1) == 6 + 1 == 7. (3.57) Сравнивая рис. 3.41 и рис. 3.43, можно видеть, что произведения нечетких чисел неопределенноrо знака, найденные с использованием принципа обобщения и LRпредставления, имеют одинаковые номиналь ные значения и величины разброса, хотя формы функций принадлежно сти имеют некоторое различие. . 3.5. Деление нечетких чисел Пусть Al И А 2  нечеткие числа. Независимо от их знака, частное (Al/A2) может быть найдено с помощью принципа обобщения по Форму ле (3.58): (41/A2)(Y) == v [Аl (rl) 1\ А 2 (Х2)], VXl, Х2, У Е R Х2 -1 O (3.58) у==х 1/ Х2 [де V  оператор объединения множеств (наПРИl'лер МАХ, алrебраиче ская сумма или друrие SHOpMbI), Л  оператор пересечения множеств (например I\1IN, PROD или друrие tHOpMbI). Деление нечетких чисел фактически сводится к вычислению функции принадлежности их частноrо по формуле: f1 А 1 / А. 2 ( у) == V I [/ L А 1 (:с 1) !\ р: А 2 ( 1> L ) ]  V T] , Х'2 . У Е R.. r 2 1= о. ( 3 . 59) у-=:.:l' 1/.1.'2 
3.5. Деление нечетких чисел 117 Нечеткое число Al == «примерно 5» т а б л и ц а 3.22 {1A 1 (Xl) о 0.33 0.66 1 0.5 О Xl 2 3 4 5 6 7 т а б л и ц а 3.23 Нечетко е ч исло А 2 == «примерно 7» ILA;X2) [1 065 Ш 0.;6 I 0'311 I Пример 3.5.1. Найдем частное нечетких чисел А 1 и А 2 , заданных в виде табл.3.22 и табл. 3.23 соответственно. Метод вычисления частноrо с использованием принципа обобщения показан на рис. 3.44. Выполнив сечение представленноrо на этом рисунке М А l (Хl 1 .о 0.66 ",/' ", 0.33 """а' ''о, 0.5 о " , " , О " , ,," , Х2 2: , I , 4: I , I , О' 0.4 о 10 / / / 0.33 d/ / / / 0.66 о/ / / / / / 1 о- , , , , , 'Q 0.5 ", ", 5 .?.9 0.22 0.33 0.55 ?!) 0.25 0.22 0.37 7 0.33 0.43 О O29 0.66 0.57 6 0.16 0.5 О --....------....-- 0.33 0.33 0.66 .05 0.83 О 0.6 МА 2 (Х2) о u 04 I 51 I , I , О' 0.5 I 7 : Хl I I I I О' 0.7 I 6: I I , I 01 0.6 0.16 0.66 О 0.77 0.33 0.75 О 0.87 0.5 0.86 О 1  линия сечения О 1 о /-lАIА2  PROD{jLA 1 (Хl).РА 2 (.Т2)} 1 у == Хl/Х'2 Рис. 3.44. Метод определения функции принадлежности частноrо нечетких чисел (А 1 /А 2 ) с использованием принципа обобщения 
118 rлава 3. Нечеткая арифметика 1 ,O, , I , " : " 18 24 5 " J " ()'  fЗ  т А А  ,,' : ""  35 '  35 ' 1 :12  "7 " I " ",а : " ",,,,'" : ", ",,,,'" : ()- о'" :    02 0.4 0.6 0.8 1.0 12 1.4 у Рис. 3.45. Плоское представление нечеткоrо частноrо (А 1 / А 2 ), rде А 1 == «примерно 5», А 2 == «примерно 7» нечеткоrо частноrо, получаем ero плоское двумерное представление рис. 3.45. В рассматриваемом при мере для вычисления частноrо используется оператор PROD (!\). Предпочтительность применения именно TaKoro опе ратора обусловлена в данном случае тем, что частное может быть пред ставлено в виде произведения А 1 . А 2 1 . Тем самым, деление является операцией мультипликативноrо типа, и оператор PROD хорошо соrласу ется с этим свойством. Более Toro, данный оператор обеспечивает еди ный принцип преобразования одинаковых входных и выходных измене ний в системе и ее модели. . Частное нечетких чисел можно приближенно вычислять, используя их LRпредставление (рис. 3.46). Если А 1 == (тА 1 ,аА 1 ,jЗА 1 ), А 2 == ( тА 2,а А 2,jЗА 2 ), причем Al > О И А 2 > о, то пара метры LRпредставления чисел А 1 , А 2 и их частноrо (А 1 /А 2 ) связаны соотношениями: тАl/А2 == тА 1 /тА 2 , тА 1 /А 2  аА1/А2 == (тАl  (ХА 1 )/( тА 2 + JЗА 2 ), тА 1 /А 2 + fЗА 1 /А2 == (тА1 + fЗА 1 )/( тА 2  аА2). (3.60) На основе данных соотношений можно получить формулу (3.61), определяющую величины разбросов частноrо: 'тА 1 /ЗА 2 + ТlLA2 QA 1 (XAl/42 == ( fЗ ) ' mЛ2 тпА 2 + А 2 fЗ  тА 1 0'А 2 + 1пА 2 fЗА 1 А 1 /42  ( ) , тА 2 ПLЛ2  йА 2 тА2 i= о. (3.61) т'А 2  аА2 i= о. 
3.5. Деление нечетких чисел 119 МА 1 (Хl) МА 2 (Х2) А 1 А 2 : (ЗА 1 тА2 Xl тА 2 Х2 МА]/А 2 (У) тА 1 /А 2 у Рис. 3.46. Обозначения, используемые при делении нечетких чисел на основе их LRпредставления Формула, используемая для деления положительных нечетких чисел, заданных с помощью LRпредставления, имеет вид: (А 1 /А 2 ) rv (тAl,aAl,;JAl)/(тA2,aA2,;JA2) == == ( mA1 тАlfЗА2 + тА 2 йА 1 тА 1 аА2 + тА2fЗАl ) тА2' тА 2 (тА 2 + fЗА 2 ) , тА 2 (тА 2  йА 2 ) . При мер 3.5.2. Найдем частное положительных нечетких чисел А 1 и А 2 , rде: (3.62) А 1 == «примерно 5» == (5, 3, 2), А 2 == «примерно 7» == (7, 2, 3). Используя формулу (3.62), получаем следующий результат: ( А / А ) rv ( 2 18 24 ) 1 2  7' 35 ' 35 . Сравнивая результаты деления нечеткоrо числа А 1 == «примерно 5» на нечеткое число А 2 == «примерно 7», полученные с помощью принци па обобщения (рис. 3.45) и I...Rпредставления (рис. 3.47), можно видеть, что у них равны как номинальные значения, так и величины разброса, в то время как формы функций принадлежности являются похожими, но не совпадают. . 
120 rлава 3. Нечеткая арифметика IL A l/A2(Y) 1 5 18 24 m  а  (.:j  А 1 / А 2  7'  35 ' fJ  35 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 11 1.4 у Рис. 3.47. Деление нечетких чисел «примерно 5» и «примерно 7 » с использова нием LRпредставления Деление положительноrо числа на отрицательное Деление указанноrо типа, подобно друrим арифметическим операциям над нечетким числами, может выполняться как на основе принципа обоб щения, так и с использованием LRпредставления. В случае деления LRпредставлений частное выражается формулой: (А 1 /А 2 ) rv (тА 1 , аАl' fЗАl)/(тА 2 , аА2' fЗА 2 ) == == ( П1А1 тАl{ЗА2  тА 2 {ЗА 1 ffiA 1 йА 2  тА2йА1 ) , ( , ( . тА 2 тА 2 т'А 2 + {ЗА 2 ) тА 2 тА 2  йА 2 ) (3.63) Деление отрицательноrо числа на положительное А 1 < о, А 2 > о, А 2 -1- о. Деление TaKoro типа может выполняться с использованием принципа обобщения либо LRпредставления. LRпредставление частноrо опре деляется по формуле: (Аl/А2) rv (тАl,аАl,fЗАl)/(тА2,lXА2,;JА2) == ( тА, , TпA, аА 2 + ' тА 2 аА , rпАJЗА2 + rпА 2 (ЗА, ) т А 2 П  А 2 ( ПL А 2  й А 2 ) Пl А 2 ( т А 2 + {з А 2 ) . (3.64) Деление отрицательных чисел А 1 < о. А 2 < о, А 2 -1- о. Деление TaKoro типа может выполняться с использованием принципа обобщения либо LRпредставления. LRпредставление частноrо опре 
3.6. Особенности нечетких чисел 121 деляется по формуле: (А 1 /А 2 ) rv (тAl,aAl,;JAl)/(тA2,aA2,;JA2) == ( тА' , тAl аА 2  rпА 2 {ЗА, TпAl (ЗА 2  тА2аА' ) тА 2 тА 2 (ТnА 2  аА 2 ) тА 2 (тА 2 + {ЗА 2 ) (3.65) Деление нечетких чисел неопределенноrо (произвольноrо) знака A 1 , А 2 , А 2 -1- о. Деление TaKoro типа может выполняться с использованием принципа обобщения либо LRпредставления. LRпредставление частноrо опреде ляется по формуле: ( А 1 / А 2 ) == т А 1 , а А 1 , fЗ А 1 (  ) fЗ == rпA 1 /A2,aA 1 /A 2 ,fJA J /A2 ' тА 2 , аА 2 , А 2 rде: ffiA l тА 1 /А2 ==   тА 2 == ffiA l  M IN( rnAl  aA l ffiA l  aA l ffiA l + {ЗА l ffiA l + {ЗАl ) а А 1 / А2 , {З ' , fЗ  тА 2 тА 2  аА 2 тА 2 + А 2 тА 2  аА 2 тпА 2 + А 2  == l\1AX ( ffi A l  аА! тА!  аА! ffiA l + (ЗА! rnA l + {ЗА! )  fJ А 1/ А2 , {З , { тА 2  аА 2 тА 2 + А 2 тпА 2  аА 2 тА 2 + fJA 2 mA l тА 2 (3.66) 3.6. Особенности нечетких чисел Операции над нечеткими числами MorYT при меняться и к четким числам, и очень важно указать на характерные различия между этими типами, уделив особое внимание двум числам  О и 1. На рис.3.48 показаны при меры чисел в нечеткой (индекс f  fuzzy) и четкой (индекс cr  crisp) формах. Если А  нечеткое число, A  число, ему противоположное, то сле дующее равенство не выполняется: А  А == Ocr. (3.67) Однако равенство А  А == Of (3.68) будет при этом справедливо. 
122 rлава 3. Нечеткая арифметика li(X) 'l(Х) 1 Оо) == «примерно» О O(cr) == О l О 1 х f.L(x) 1 О 1 Х f.L(x) 1 1о) == «примерно» 1 1 --------........------.......... l(cr) == 1 о 1 2 .r о 1 2 Х Рис. 3.48. При меры чисел О и 1 внечеткой (f) и четкой (cr) формах Указанное обстоятельство является следствием Toro, что в результа те выполнения арифметических операций над нечеткими числами всеrда получаются нечеткие числа  ни одна операция не приводит к четкому результату. Нечеткое число не может быть сокращено в уравнении так, как это делается в случае четких чисел, т. е. путем сложения с противо положным числом (A). При мер 3.6.1. Выполним вычитание двух совпадающих нечетких чи сел А (табл.3.24). т а б л и ц а 3.24 Нечеткое число А == « примерно 1 » ILА(Х) О 0.5 1 0.5 О :r О 0.5 1 1.5 2 Метод вычисления разности (А  А) с использованием принципа обобщения (3.69) показан на рис. 3.49, а сечение разности (А  А)  на рис. 3.50: JLAA(Y) == 11АХ (I\1IN(JLA(Xl), JLA(X2))), \!Хl, Х2, У Е R. Y==Xl X2 (3.69) Представленный на рис. 3.49 и 3.50 пример подтверждает, что раз ность двух совпадающих нечетких чисел (А  А) представляет собой нечеткий нуль (а не четкое нулевое значение), носитель KOToporo всеrда шире, чем носитель числа А. . 
З.6. Особенности нечетких чисел 123 f.LA 1 (Хl) 1 1 ,0., / , 0.5 d// ',0.5 / Ц / ' // " / ' Х2 :0 I I I :0.5 :I I I I I I I I I I I I 01 l :1.5 I I I I I I :2 I I I I I I Хl / / 0.5 (1;/ / / / / / / 1 о: , , , , ,  , 0.5 " , , , 0.5 о 1.5 о ..............................  1.5 0.5 , 0.5 0.5 О о 0.5 Jo l 0.5 0.5 о 1 линия сечения 0.5 о ........................ 0.5 0.5 О f.L A 2 (Х2) 9.9 о о 1 1 MIN{f.LA 1 (2'1), f.LA 2 (X2)} Рис. 3.49. Вычисление разности двух совпадающих нечетких чисел (А  А) с использованием принципа обобщения f.LAA(Y) примерно О / / / cf / / / / / , , , , Q. , , , , 2 1 о 1 2 у Рис. 3.50. Результат вычитания двух совпадающих нечетких чисел (А  А), представленный в форме сечения нечеткоrо числа на рис. З.49 в общем случае некорректным является уравнение вида: Х + А == B CI , (3.70) rде Х и А  нечеткие числа, но Bcr  четкое число. Поэтому данное уравнение не может быть разрешено относительно х. Вместе с тем, ypaB нение вида Х+А==В (3.71) корректно; здесь все входящие в уравнение числа  нечеткие. 
124 rлава з. Нечеткая арифметика В отличие от ситуации с четкими числами, решение уравнения (3.71) не представимо в форме: х == в  A (3.72) поскольку после подстановки найденноrо таким образом числа Х в ис ходное уравнение (3.71) получаем число С, не равное В: В  А + А == С -1- В. (3.73) у чисел С и В совпадают номинальные значения, но различаются вели чины разбросов а и (3. Значение Х можно найти приближенным MeTO дом асрезов (Knappe 1994), либо на основе LRпредставления нечетких чисел, используя формулы (3.74), (3.75) и (3.76). То есть если х == (тх,ах,(3х), А == (тА,ал,рл), В == (тв,ав,(3в), (3.74) то х + А == (т:х + rпл, ах + ал, (3х + ;ЗА) == в == (тв, ав, (3в). (3.75) Таким образом: х == (тв  тл, ав  ал, (3в  (з л ). (3.76) При мер 3.6.2. Найдем нечеткое число Х (неизвестное) для уравнения х + А == (5,4,3) == В, (3.77) [де А == (3,3,1). Пользуясь формулой (3.76), получаем: Х==(2,1,2). Вычисления представлены на рис. 3.51. Равенство вида . А . А  1 == 1cr (3.78) в общем случае не выполняется. С друrой стороны, справедливо следующее равенство: A.Al==lf. (3.79) Произведение двух нечетких чисел, даже взаимно обратных, никоrда не является четким. Пример 3.6.3. Используя принцип обобщения, найдем произведение чи сел А и А 1, заданных в табл.3.25 и табл. 3.26. Схема вычисления произведения А . А 1 представлена на рис. 3.52, а ero плоское сечение  на рис. 3.53. . 
3.6. Особенности нечетких чисел 125 мв (у) 6) IL А ( Х 1 ) а) в 1  А 1  о 1 2 3 4 5 6 7 8 у О 1 2 3 4 5 х мх (х) ILBA (у) в) Х == примерно 2 с) В  А == примерно 2 1 ... 1 .......................... о 1 2 3 4 4  3  2  1 О 1 2 3 4 5 6 7 8 у Рис. 3.51. Верное решение Х (в) уравнения Х +А == в иневерное ero решение, равное В  А (2), rде числа А и В имеют вид (6) и (а) соответственно т а б л и ц а 3.25 Нечеткое число А == «примерно 13» ILAl(X) О 0.333 0.666 1 0.5 О :1' 10 11 12 13 14 15 Рисунок З.5З является подтверждением Toro, что произведение нечет Koro числа А и обратноrо к нему числа А  1 является нечетким числом «1», т. е. «примерно 1». Результат перемножения нечетких чисел не может быть четким числом, поэтому некорректным является уравнение вида х . А == Bcr. (З.80) в то же время уравнение вида Х.А==В (З.81) т а б л и ц а 3.26 Нечеткое число Al == «примерно 1/13» ILА2(Х) О 0.5 1 0.666 0.333 О Х 1/15 1/14 1/13 1/12 1/11 1/10 
126 rлава 3. Нечеткая арифметика /LA (Xl) о 1 .Q 0.66 //" ", 0.33 """а' ''0,0.5 о" , О ",," " О " , Х2 : 10 : 11 I I I I I I I I О : О: l 1.1 :12 I 1 1 1 I 01 1.2 :13 I I I I I 01 1. 3 Хl / / / 0.33 d/ / / / 0.66 cf/ / / / / / 1 Q , , , , , 'Q. , 0.5 " , , , 9..:.92Q2Q 0.11 0.22 0.33 0.91 1 1.09 1.18 Q:QJ!, 0.22 0.44 0.83 0.92 1 0.0769 О 0.33 б.77 0.85 О 1.15 0.0714 О .....----.....--------.... 0.71 0.25 О 1 1.07 о О О 0.8 0.87 О О O.93I У == Хl * Х2 /LA(X2) 0.06 PROD(/LA (Хl) 1 /Lл  1 (Хl)) 1 Рис. 3.52. Произведение нечеткоrо числа А и обратноrо к нему числа Al в четырехмерном представлении корректно. Здесь X A В  нечеткие числа, Bcr  четкое число. Уравнение (3.81) нельзя решить относительно Х, произведя умноже ние обеих ero частей на обратное число .14  1, как в выражении X.A.Al ==B.Al  (3.82) поскольку Х . А . Al =1 х. Тем не менее, уравнение (3.81) решается в нечетких числах с использованием LRпредставления. Пример 3.6.4. Найдем нечеткое число Х в уравнении Х.А==В , (3.83) [де: А == (732), В == (3529,31), Х == (тx,йx,/3x). LRпредставление уравнения (3.83) может быть записано в виде (тпх,ах,/3х). (7,з,2) == (35,29,31). (3.84 ) 
З.6. Особенности нечетких чисел 127 {LAAl(Y) А * А 1 == 1} == примерно 1 1 /, " I " ,," I ' " I " .11" : 'о ,,' : " о" I ", " I , ,," I " ",," : 'o... " I  o :   0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 У Рис. 3.53. Двумерное сечение произведения нечетких чисел А . А  1, представ ленноrо на рис. З.52 {LX(Xl) А(Х2) х 1  А 1  о 2 3 4 5 6 /.LH(Y) 1 7 8 Хl 4 5 6 7 8 9 Х2 в == ..У . А о 1 О 20 30 40 50 60 у Рис. 3.54. Нечеткие числа Х и А и результат их перемножения В == Х . А Выполнив умножение по формуле (3.48), получаем: (7тп)(,3тх + 4ах, 2т..у + 9рх) == (35.29,31). Для определения нечеткоrо числа Х следует решить систему из трех уравнений: 7тх == 35, 3тп..у + 4ay == 29, 2тн..\ + 9р..у == 31. Решение будет иметь вид: Tпy == 5, ах == 3.5, * py == 2.33 . * 1 Здесь 2.33  результат окруrления точноrо решения 2 .  Прuм. ред. 3 
128 rлава 3. Нечеткая арифметика f.Lc (у) С==Х.А.Аl-l-Х 1 С == [5,4.39, 14.82] о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 у Рис. 3.55. Неверное решение С == Х . А . А  1 уравнения Х . А == В LRпредставление нечеткоrо числа Х имеет вид Х == (5,3.5,2.33), см. рис. 3.54. Неверное решение уравнения Х . А == В показано на рис. 3.55. . Для операций сложения и умножения нечетких чисел справедливы законы коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и наличия нейтральноrо элемента, представимые в виде формул (3.85)(3.88) COOT ветственно. Закон коммутативности: А + В == В + A А . В == В . А. (3.85) Закон ассоциативности: А + (В + С) == (А + В) + С, А . (В . С) == (А . В) . с. (3.86) Закон дистрибутивности: А . (В + С) == (4 . В) + (А . С). (3.87) Наличие нейтральноrо элемента: А + Ocr == Ocr + А == А, А . 1cr == 1 cI ' . А == А. rде ОСТ  четкое число О, l(т  четкое число 1. (3.88) 3.7. Различия между нечеткими числами и линrвистическими значениями с математической точки зрения, для представления как нечетких чисел (например «приблизительно 1»), так и линrвистических значений (напри мер «низкое напряжение») используются нечеткие множества. Однако 
3.7. Нечеткие числа и линrвистические значения 129 а) 6) в) l(X) высокий (рост) р,(х) высокий (человек) р,(х) примерно 7 1 1  о 1 о о о о о 175 180 см 1 2 3 4 номер 5 7 XR 9 х  [0,250 (см)] Х  {Эндрю, Бен, Чарли, Джан} Рис. 3.56. При меры задания функций принадлежности линrвистических значе ний «высокий» (рост), «высокий» (человек) и нечеткоrо числа «примерно 7» м ( х ) а) М ( х ) б) примерно 7 HaMHoro больше 10 1  х 1 х о о 5 6 7 8 9 9 101112131415 Рис. 3.57. При меры нечетких множеств, имена которых содержат числовые выражения если линrвистическое значение может быть задано множеством, coдep жащим числовые (1,2,3...) либо нечисловые (Джон, Ричард, Билл, ...) элементы, то нечеткое число должно определяться только на множестве вещественных чисел R (рис. З.56). Соrласно определению (Кпарре 1994; Zimmermann 1994а), нечеткие числа представляют собой выпуклые, нормальные нечеткие множества с ядром, состоящим из единственноrо элемента Хо (рис. З.56, в), и orpa ниченным носителем, в то время как линrвистические значения MorYT задаваться с использованием как выпуклых, так и невыпуклых функ ций принадлежности, иметь неоrраниченный носитель и OДHO либо мноrоэлементное или даже пустое ядро. Однако в практических при ложениях используются нечеткие множества, являющиеся, в COOTBeT стЩ1И с определением (Кпарре 1994; Zimmermann 1994а), не нечетки ми числами, а нечеткими интервалами (Kacprzyk 1992; Кпарре 1994; Zimmermann 1994а), рис. З.57, а. Трапециевидное множество «приблизительно 7» (рис. З.57, а) называ ется трапециевидным «нечетким числом» (Zimmermann 1994а). Множе СТВО «HaMHoro больше 10» (рис. З.57, б) не удовлетворяет требованиям, 
130 rлава з. Нечеткая арифметика М(У) 3 2 1 О 1 2 3 е Рис. 3.58. При меры функций принадлежности значений линrвистической пере мен ной «ошибка реrулирования» накладываемым определением нечеткоrо числа, поскольку имеет MHoro элементное ядро и носитель, неоrраниченный с одной стороны, однако в имени данноrо множества имеется опорное числовое значение. Число.. вые выражения можно использовать при задании целоrо ряда различных линrвистических значений. Так, значение «очень высокий» (рис. 3.56, а) можно выразить в виде «HaMHoro больше 175 см». Точно так же нечеткое число «приблизительно 7» (рис. 3.56, в), при ero использовании в каче стве значения, например, линrвистической переменной «возраст собаки», l\10ЖНО заменить линrвистическим значением «средний» (возраст). В соответствии с отмеченным выше, в практике нечеткоrо моделиро вания зачастую пользуются смешанными областями определения, содер" жащими как линrвистические значения, так и нечеткие числа, например (рис. 3.58): ошибка реrулирования == {большая отрицательная, средняя отрицательная, Ma лая отрицательная, примерно нулевая, малая положитель ная, средняя положительная, большая положительная}. Данное множество можно также задать с помощью имен, содержащих числовые выражения: ошибка реrулирования == {HaMHoro меньше 2, примерно 2, примерно  1, при мерно О, примерно 1, примерно 2, HaMHoro больше 2}. Рассмотренный пример подтверждает то, что линrвистические зна.. чения и нечеткие числа часто используются совместно. С учетом это.. ro, некоторые авторы работ по нечетким системам, такие как Калерт (Kahlert 1995), BaHr (Wang 1994), Браун и Харрис (Brown 1994) умыш" ленно не делают различия между линrвистическими значениями и нечет.. кими числами, пользуясь наиболее общим термином «нечеткое множе.. ство» . 
r ЛАВА 4 Нечеткая математика ОСНОВНЫМИ элементами нечетких моделей являются лоrические правила вида: ЕСЛИ (Хl среднее) И (Х2 малое) ТО (у большое) (4.1) Для обработки информации в таких моделях необходимо использо вать ряд операций, в основном лоrическоrо характера. Совокупность этих операций и связанные с ними понятия можно объединить под общим Ha званием «нечеткая математика» (Zimmermann 1994а). Основные ее прин ципы представлены ниже. 4.1. Основные операции над нечеткими множествами Нечеткая модель некоторой реальной системы содержит лоrические пра вила, описывающие ее функционирование. Для системы с двумя BXOД ными величинами (Хl  Х2) И одной выходной величиной у правило может иметь вид: ЕСЛИ [(Т1 малое) [ (.1'1 среднее) И (.2'2 среднее)] И (Х2 малое)] ИЛИ ТО (у среднее), (4.2) rде «малое» И «среднее»  нечеткие множества (нечеткие оценки зна чений соответствующих величин), ЕСЛИ  ТО, И, ИЛИ  лоrические связки (операторы аrреrирова ния нечетких множеств). Если нечеткие множества «<малое», «среднее») используются дЛЯ BЫ числения входных и выходных состояний системы, то лоrические связки задают качественные отношения между этими состояниями путем объ единения фраrментов правила в единое целое. Точность нечеткой модели зависит как от способа задания используемых в ней нечетких множеств (их числа, формы и пара метров функции принадлежности), так и от ис пользуемых типов лоrических связок. 
132 rлава 4. Нечеткая математика к основным типам лоrических связок (лоrическим операторам) OTHO сятся: . И, п, А  оператор пересечения (лоrическое произведение) MHO жеств, . ИЛИ, U, V  оператор объединения (лоrическая сумма) множеств, . НЕ, , I  оператор отрицания (лоrическое дополнение) множеств. Лоrические операторы имеют несколько различных форм представ ления, в связи с чем возникает задача выбора подходящей формы. Ми нимально необходимым условием правильноrо выбора является знание основных форм этих операторов. 4.1.1. Оператор пересечения (лоrическое произведение) нечетких множеств Нечеткая лоrика создавалась на основе классической, четкой, двузначной лоrики. Ее основоположник, Лотфи Заде, указал на недостатки класси ческой лоrики применительно к моделированию явлений реальноrо мира. Введя понятие нечеткоrо множества, он предоставил возможности yco вершенствования моделей, содержащих лоrические связки. Заде опре делил операцию пересечения нечетких множеств как расширение co ответствующей операции над обычными множествами, и это означает, что пересечение обычных множеств должно являться частным случаем пересечения нечетких множеств. Указанная аксиома часто встречается в литературе  см., например, (Yager 1994,1995). Вместе с тем, по прак тическим соображениям, связанным со стремлением повысить точность нечетких моделей, используются также и не удовлетворяющие этой aK сиоме операторы (Yager 1994,1995). В классической лоrике пересечение множеств А и В определяется (Driankov 1993,1996; Poradnik 1971) без использования функций принад лежности по формуле А n в == {х : х Е А и х Е В}. (4.3) Пример 4.1.1.1. Пример нахождения пересечения Апв четких множеств представлен на рис.4.1. . Основные свойства операции пересечения четких множеств А n В, заданных на универсальном множестве Х, наличие которых ожидается и в случае нечетких множеств, определяются соотношениями (4.4)(4.9). Коммутативность: А n В == В n А. (4.4) 
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 133 Апв А --,T  I \1 I : I I I I I I I I О 12 34567 I IBI 8 9 10  х А == {12,3,456} В == {3456 7,8}, Ап В == {34,5.6} Рис. 4.1. При мер лоrическоrо произведения четких множеств А n в Данное свойство означает, что порядок следования множеств операндов не влияет на конечный результат. Ассоциативность: (А n В) n С == А n (В n С). (4.5) Данное свойство определяет возможность пошаrовоrо вычисления ло rическоrо произведения нескольких множеств путем нахождения произ ведений их пар. Порядок, в котором формируются пары, не влияет на конечный результат. Идемпотентность: А n А == А. (4.6) Поrлощение (пересечение с пустым множеством 0): АП0==е5. (4.7) Тождественность (пересечение с универсальным множеством): А n х == А, (4.8) rде Х  универсальное множество. Закон лоrическоrо противоречия: АпА==е5. (4.9) Далее будет показано, что для операции пересечения нечетких MHO жеств некоторые из этих свойств не выполняются  таким является, Ha пример, свойство (4.9). Применительно к нечеТКИl\I множествам, данная операция может быть задана различными способами и потому ИlVlеет неоднозначный смысл. Указанная неоднозначность иллюстрируется при мером 4.1.1.2. Пример 4.1.1.2. Имеются два нечетких множества А и В, заданные в виде (4.10) и (4.11), rде А  множество дешевых автомобилеЙ, Xi  
134 rлава 4. Нечеткая математика M(X) Q-........ А  дешевые I ........ I ........-0.. I .... I ............ I ..... I I I I I I I в  комфортабельные ............ ........ ж.... .................... ....0.... ....х.... ................ ","" ",..,.,,»<........ ....х.... ....'0.... ","'" ""........ ........ .... ........ ............  ........ ........ .... .... ........ о Хl Х2 Хз Х4 Xs Х6 Х/ Рис. 4.2. Дискретные функции принадлежности автомобилей Х/ множеству дe шевых автомобилей (А) и множеству комфортабельных автомобилей (8) обозначение автомобиля: А == {  0.8 0.6 0.4 0.2  } , , . , . , .Т1 ];2 ХЗ Х4 Х5 Х6 (4.10) в  множество комфортабельных автомобилей: В == {  0.2 0.4 0.6 0.8  } , , , , , . 1'1 Х2 Х3 Х4 Xf) ];6 (4.11)  :j' Как показано на рис.4.2, выполняется условие А == В ". Требуется определить множество С == А n В, содержащее aBTOMO били, являющиеся одновременно дешевыми и комфортабельными. По скольку А == В, то, в случае четких множеств, соrласно свойству (4.9) (А n А == 0), мы получили бы пустое множество. Что же следует считать результатом в случае нечетких множеств? Автомобиль Х4 может быть отнесен к дешевым со степенью IlА(Х4) == 0.4 и к комфортабельным  со степенью МА(Х4) == 0.6. В какой степени ero можно одновременно считать дешевым и комфортабельным, и как определить эту степень, используя степени ero принадлежности IJ,A(X4) и МВ(Х4) соответствующим множествам? В (Zadeh 1965) Заде предложил вычислять значения функции принад лежности произведения множеств по формуле (4.12) с использованием оператора MIN : МАПВ(Х) == MIN(f-LА (х), /lB(X)) VX Е х. (4.12) '" Здесь В  дополнение нечеткоrо множества В в х, представляющее собой нечеткое множество с функцией принадлежности вида JLtJ(X) == 1  JLB(X), Vx Е х.  Прuм. ред. 
4.1. Основные операции над нечеткими ЛIножествами 135 {1А (x L ), {1В (x z ) Q...... 4  дешевые I ............ I .... .... -о.... I .... I ............ I .... I I I I I I I в  комфортабельные ...... .................. ж............ ............ ............ ....0 .;х-............ ........ ...... .... ...... ,...,.".,,-<......... ......х...... ....'0.... ...... ....  .................. .................. ............  .................................... ...... .... о {1ЛПЯ(Х/) 1 Xl Xz Хз Х4 Xs Х6 X 1 о r--.... I ............ I ........ I ............ I ............ I ............ I ......... ...... I ,.".. ::><:'" ....... I ,.".."....... I ,.".. ....... 1"""""" .............. I ,."..'" ........ I ,.".. ....... ,."..""" .............. Апв ............, ............ I ...... I .................. I ............ .................. I .................. I I I 1 I I I I Xl Xz Хз Х4 Xs Х6 Х' 1 Рис. 4.3. Произведение А n В нечетких множеств дешевых С4) и комфорта бельных (В) автомобилей, полученное с использованием оператора l\1IN Данный оператор был первым оператором, использовавшимся для pac ширения операции n пересечения обычных множеств на случай нечетких множеств. Применяя формулу (4.12) для нахождения множества Апв дe шевых и, одновременно с этим, комфортабельных автомобилей, получаем выражение: С == {  0.2 0.4 0.4 0.2  } , , , , , . Xl Х2 .тз Xi Х5 ..[6 (4.13) Нечеткое множество, являющееся результатом данной операции, пред ставлено на рис. 4.3. . Оператор J\1IN можно представить в алrебраической форме: MIN(.rl,X2) == Х1 + Х2  11'1  Х2! Х1 + Х2  (Х1  Х2)' sgn(X1  Х2) 2 2 (4.14) rде { 1 sgn(xl  Х2) == о,' 1, если Хl  Х2 < О, если Хl  Х2 == О, если Хl  Х2 > о. Оператор J\IIN в форме (4.14) называют «жестким» «<hard J\lIN,»), по скольку изменение знака разности (Xl  Т2) в корне меняет значения 
136 rлава 4. Нечеткая математика sgn(Xl  :1:2) Sgl 6(Х1  Х2) 1 1 (.Т1  .[;2) о о 1 1 Рис. 4.4. «Жесткая» (а) и «мяrкая» (6) формы оператора sgП(Хl  Х2) выражения sgn(Xl  Х2), приводя тем самым, к изменению результата действия caMoro оператора (рис.4.4). С целью уменьшения жесткости оператора NIIN(Xl  Х2) можно ис пользовать встречающуюся в литературе следующую специальную фор му бинарноrо оператора sgn: Хl  Х2 S g n ( x l  Х 2) == V ( ) 2 А2' б Хl  Х2 + u (4.15) * rде д  малое число, например, 0.05 . Увеличение значения д приводит к уменьшению жесткости действия sgn(Xl  Х2) (рис. 4.4, 6). На основе «мяrкоrо» оператора sgn можно определить «мяrкий» опе ратор J\1IN б (Хl, Х2), задаваемый формулой l\/f IN(  )  Хl + :1'2 + 62  V (Xl  1"2)2 + 62 H хl Х2  . б ' 2 (4.16) Использование «мяrкой» формы оператора sgn обеспечивает более rладкое функционирование нечетких моделей и систем управления, устраняя изломы на поверхности отображения BBoдaBЫBoдa. С друrой стороны, оно имеет недостаток, связанный с тем, что при числе сиrна лов .Т?, превышающем 2, результат вычисления зависит от порядка сле дования сиrналов и не совпадает ни с одним из значений Х? (рис. 4.5). Проявление указанноrо недостатка уменьшается при уменьшении зна чений 6. Имеется, однако, еще один недостаток, связанный с необходи мастью пошаrовых вычислений для последовательных пар сиrналов (на каждом шаrе оператор вычисляет значение минимума только для oд х Еще одно возможное значение д == 0.01, как на рис. 4.5.  Прuм. ред. 
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 137 0.990 1.000 1.010 0.990 1.000 1.010 .... ..... 0.988 I\IIN <5 .... ..... 0.987 ..... l'vlIN <5 ..... ..... ..... ... .. ... ..... 0.988 .... l'vlIN <5 .... ..... 0.998 ..... I\IIN 6 .... ..... ... ..... Рис. 4.5. Иллюстрация недостатка «мяrкоrо» оператора lVIIN (неточность BЫ числений и зависимость от их порядка) 0.990 1.000 1.010 ... .. 0.993 .... soft :ЛIN <5 .... ..... ..... .... .... Рис. 4.6. Пример вычисления значения 80ft J\lIIN(0.990; 1.000; 1.010) по формуле (4.17) ной пары сиrналов Хl и Х2). с учетом этоrо, при большом числе сиrна лов рекомендуется использовать оператор минимума в следующей фОрl\1е (Beren j i 1992): 80ft MIN(Xl"..' Х n ) == п L;];1 . elcr;1 1==1 п L ek;];i 1,==1 (4.17) i == 1, . . . , n, k > О. При мер действия оператора 80ft lVIIN представлен на рис.4.6. С YBe личением значения коэффициента k (k  (0) данный оператор по своему действию все больше приближается к «жесткой» форме 11IN. На практи ке значительная точность вычислений достиrается уже при k > 100, oд нако следует помнить, что с увеличением значения k ПОВbIшается «жест кость» действия оператора. Подводя итоr, укажем следующие достоинства и недостатки «жестко ro» оператора 1IN. 
138 rлава 4. Нечеткая математика Достоинства: 1. Простота и скорость вычислений обеспечивают меньшую заrрузку компьютеров и микропроцессоров, что дает возможность использо вать в качестве нечетких реrуляторов недоросие микропроцессоры. 2. Возможность «сrлаживания» действия оператора 1IIN, что, однако, повышает объем вычислений, одновременно понижая их точность. Недостатки: 1. Точность модели в целом ниже, чем при использовании друrих опе раторов. 2. Модель определяет менее rладкую поверхность, чем в случае исполь.. зования друrих операторов. 3. Возникновение нечувствительности и резкоrо изменения значений выходной величины модели и нечеткоrо реrулятора, содержащих опе раторы lVIIN. Анализ представленноrо на рис.4.3 результата операции пересече ния множеств А n в с использованием оператора l\/IIN подтверждает третий из перечисленных недостатков. Степень принадлежности авто.. мобилей Хl, Х2, ХЗ множеству А n в определяется только степенью их принадлежности множеству комфортабельных автомобилей  тот факт, дешевле автомобиль или дороже, на указанную степень не влияет. Для автомобиля хз, например, результат будет МАПВ(ХЗ) == МВ(ХЗ) == 0.4. в соответствии с этой моделью, сколь бы дешевым ни был хз (дa же если ero стоимость была бы равной нулю), степень принадлежности МАПВ(ХЗ) останется неизменной (равной 0.4). Иллюстрацией paCCMOTpeH Horo недостатка является рис.4.7. Представленный на этом рисунке пример показывает, что использо.. вание оператора JVIIN в качестве основы операции пересечения множеств приводит к потере части информации, поскольку данный оператор учи.. тывает только то, что одна степень принадлежности меньше друrой, без учета значения их разности. По этой причине для моделей систем, ис пользующих оператор lVIIN, обычно характерны нечувствитеJIЬНОСТЬ к ма.. лым изменениям значений входных величин, а также резкие изменения выходноrо значения при превышении HeKoToporo пороrовоrо уровня вход.. ных значений (Piegat 1995а). Указанная особенность причиняет БОЛЫllие 
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 139 f1A 1 (х 2 ), МВ(Х 2 ) Al 1 /..... / " / , / , / , / / / О I I I I I I в ........ ........ I ........ I ........ж I 'о ............ I ,.... I " ........ I .... I ,,'" ............... ...... "0........ I ",,,,'" ........................ I ...... ...... I ж...... ......R .......... ...... I  ................ I ...... ........... о Xl Х2 Хз Х4 Xs Х6 Х; МА2 (x l ), f1П(Х 1 1 о в  А .... .... I ........................ 2 I ............ .... ж.................... I ...... I ................  I ............O.... I .................. ............ I ......К...... I ................ ........... I ............ .................... 1.... ...... I ....ж.... ............ I ".../'./'.;' ..........................." ...... ...... Хl Х2 Хз Х4 Xs Х6 X 1 f1AnB(X l ) 1 о r--............ ............ ....1 ..... .<41 n В == А 2 n В .................................. : ...... ........................ .................. I .......................... /".,."..,.". I .................. I .......... ............ I ...... ::><.:" ..... I ......W..... I ............ ........... I ... ...... ...... ......... I ............ ..... I ............ ............ I Xl Х2 Хз Х4 Xs Х6 Х. 1 Рис. 4.7. Одинаковость произведений множеств Al n В == А 2 n В, полученных с использованием оператора J\llIN, для разных форм функций принадлежности множеств Al и А 2 неудобства при моделировании систем, имеющих rладкую поверхность отображения BBoдaBЫBoдa. Использование оператора l\;IIN может иметь преимущества для тех систем, в которых метод обработки информации близок к лоrическо му (большинство зависимостей между входными и выходным величи нами системы носят лоrический характер). Вследствие указанных BЫ ше недостатков данноrо оператора область ero применения сокращается. В 1995 r. результаты опроса участников 5ro Семинара «Нечеткое управ ление» (1617 октября 1995 r., Виттен, rермания) об их мнении в OT ношении использования оператора J\1IN показали, что большинство спе циалистов, участвовавших в конференции, предпочитали данному опе.. ратору оператор PROD (лоrическое произведение) (Pfeiffer 1996), в то 
140 rлава 4. Нечеткая JYIатематика время как ранее в литературе можно было встретить противоположные мнения (Kahlert 1995; Кпарре 1994). Вычисление функции принадлежно сти произведения нечетких множеств с использованием оператора PROD осуществляется в соответствии с формулой 1'" Ап В ( х)  fL А ( х) . 1'" в Се ) , \j Х Е х. (4.18) Преимуществом оператора PROD является то, что значение fLAnB(X) имеет количественную зависимость от фактических значений обеих функций принадлежности fL,,4(X) и fLB(X) (за исключением случая paBeH ства одной из функций нулю). Очевидно, что потеря информации здесь не так существенна, как для оператора MIN, коrда значение fLAnB(X) зависит лишь от меньшеrо (в пределах заданной области изменения х) значения компонентов fLA(X) и fLB(X). Сравнение результатов вычисления лоrическоrо произведения с использованием операторов MIN и PROD представлено на рис.4.8. /1A(X l ), /1B(X l ) Q.." ,,4 I """ I "" I -о... " I """ I ..... I I I I I I I в .... ........ I ж............ I ........ I ........ I .....0..... ........ I "..... ........ I .................. I ....x......... I ".,.,. ....................... t ........ .......... I .... ..)t' "Q... ..... I  .............. I .... ..... о f1AnB(X l ) 1 Хl Х2 Хз Х4 Xs Х6 Х; о 1'..... I ".......... I "....." I ""..... I ".......... I ....." I .......................... ..",," I .,.., ..;.><.. ........ I .,.., .. .... ........ I .,.., ........ ,... ................ : ,...r"'"  I ,..."'" ................ .,.., ....... IY lIN ...., .........,.,.... I ........ I ............ I ............ I ........ I I I I I I I I МАпв (х",) 1 Хl Х2 Хз Х4 Xs Х6 Х! о 1'..... I .........." I ............... I ................ I """ I ........... I ........... .... ......<.... I ............ .................. I ............. I .... ............  ............... I .... . ...... , ..............- ....... ":::ar....... I .   '-....... PROD ........, ........ I ............ I ............ I ............ I ............ I I I I I I I I Хl Х2 Хз Х4 Xs Х6 х. z Рис. 4.8. Функции принадлежности лоrическоrо произведения нечетких MHO жест в А и В, полученные с использованием операторов 11IN и PROD 
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 141 Как видно из рис.4.8, значения функции принадлежности J1АПВ(Х), получаемые на основе оператора PROD, меньше соответствующих зна чений, получаемых с использованием MIN, в связи с чем, упомянутый выше оператор иноrда называют оператором subMIN. Иллюстрация возможности использования в качестве основы для pe ализации пересечения нечетких множеств операторов как MIN, так и PROD, указывает на неоднозначность способа выполнения данной опе рации. О том, каким должен быть этот способ, имеется множество MHe ний, в связи С чем на практике оператор n зачастую выбирается ин туитивно, исходя из опыта, на основе какихлибо rипотез или же MeTO дом проб. Предлаrался ряд различных операторов пересечения множеств, но использование любоrо из них, в зависимости от KOHKpeTHoro прило жения, может приводить как к хорошим, так и к плохим результатам. Наиболее часто в качестве операторов пересечения А n в используются так называемые tHOpMbI, определяющие различные формы реализации данной операции (Driankov 1993,1996; Yager 1994,1995; Кпарре 1994). Оператор tHOpMbI представляет собой функцию Т, моделирующую опе рацию И пересечения двух нечетких множеств А и В, удовлетворяю IЦУЮ перечисленным ниже свойствам (4.19)(4.24), которые выполняются для всех Х Е х. Пространства отображения: т : [О, 1] х [О, 1]  [О, 1]. (4.19) Свойство обнуления: т(о. О) == о. Случай, коrда пара содержит один элемент с М(Х) == 1: (4.20) Т(МА(Х), 1) == MA(X) Т(МВ(Х), 1) == /LB(X). Свойство коммутативности: (4.21) T(M4(X), {LB(X)) == T(/LB(X), МА(Х)). ( 4.22) Свойство ассоциативности: T(MA(:C) т(мв(х), J1C(x))) == T(T(MA(T) ILB(X)), /LC(x)). ( 4.23) Условие монотонности: М А ( х)  МС ( Х ), м В ( Х)  IL D ( х) => => т (м А ( х )  /1' в ( .]; ))  т (/1 СУ ( Х )  /l D (.Т ) ) . Свойство коммутативности указывает на то, что для данной операции порядок следования множеств не является существенным. Свойство ac социативности rоворит о том, что операцию пересечения более, чем двух (4.24 ) 
142 rлава 4. Нечеткая математика Таблица 4.1 Некоторые непарамеТРИЗ0ванные операторы tHOpMbI Название оператора I Формула минимум (1:1IN) М AnB (х) == J\1IN (р А (З.). 11 в (.1') ) произведение MAnB(X) == МА(Х) . МВ(Х) (PROD) произведение raMa ( )  I1А(Х) 'I1В(Х) MAnB т  хера I1А(Х) + I1В(Х)  I1л(х) 'l1в(х) произведение Эйн ( )  I1А(Х) 'I1В(Х) ILAnB Х  штейна 2  (I1А(Х) + I1В(Х)  I1А(Х) 'I1Н(Х)) усиленное произве (х)  ,'1\ПN(/LА(Х),/LП(Х)) дЛЯ МАХ(/LА,/lП) == 1 MAnB  О в друrих случаях дение , оrраниченная раз MAnB(X) == J\1AX(O. МА(Т) + МВ(Х)  1) ность множеств, необходимо выполнять последовательно, но порядок образо вания пар множеств не влияет на конечный результат. Свойство MOHO тонности означает, что при возрастании значений aprYMeHToB результат операции не убывает. Выделяют параметризованные и непараметризованные tHOpMbI. Ре.. зультат действия непараметризованных tHOpM является постоянным, то.. rда как для параметризованных tHOpM он будет изменяться как коли.. чественно, так и качественно, при изменении любоrо параметра, явля ющеrося степенью свободы оператора. В табл.4.1 перечислены наиболее распространенные непараметризованные tHOpMbI, а в табл. 4.2 приведены наиболее часто используемые пара метр изо ванные tHOpMbI, для которых также указан характер зависимости операторов от своих параметров. Пример 4.1.1.3. Данный пример является иллюстрацией действия нечетких tHOpM. На рис.4.9 представлены функции принадлежности линrвистической переменной «температура при лихорадке». Требуется определить функцию принадлежности температуры Т нечеткому lVIножеству С == «средняя И высокая температура» (С == АПВ), используя различные непараметризованные операторы. Результаты пред ставлены на рис. 4.10. В соответствии с четкой, бинарной лоrикой, температура не может быть одновреl\1енно среднеЙ И высокой, в то время как нечеткая лоrи.. ка декларирует возможность существования TaKoro множества. Функция 
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 143 Таблица 4.2 Некоторые парамеТРИЗ0ванные операторы пересечения нечетких множеств Название оператора Оператор пересече ния Дюбуа Оператор пересе чения [амахера Оператор пересече ния Я repa Формула ( ) 11 АХ' М в х [ ] РАп В Х, а == l\ lAX[ ( ) ( ) ] ' а Е o 1 н М4 Х .1115 Х ,й n == о: РАПВ(Х а) == 1;IIN(рл(х). РВ(Х)) (t == 1: JLАПП(Х. о:) == PROD(PA(X) рп(х)) ( ) I1,А Х . Мв х "- РАПП Х, r == , r ? () т + (1  т)(114(Х) + рв(х)  МЛ(Х) 'I113(Х)) r == о: РАПВ(Х ,) == прои'Зведепие ral\IaXCpa r == 1: J1АПП(Хr) == PROD(PA(X)jJ13(I)) r == 2: PAnB(Ir) == произведспие Эйнштейна r  00: J1AnB (L>  ,) == усиленное про изведение 1 РАПВ(Х,Р) == l1;IIN ] ((1  РА(Х))Р + (1  рв(.т))Р)р ,р? 1 р == 1: РАпВ (х. р) == ОI'рапиченная разность р  'Х-: РАПП(ХР) == 11IN(jJЛ(.Т). рп(Х)) /1 ( Т) низкая средняя == А высокая == В о 37 38 Т(ОС) 39 Рис. 4.9. Функции принадлежности линrвистической переменной «температура при лихорадке» принадлежности этоrо множества не является CTporo определенной и за висит ОТ ИСПО<1ьзуемоrо оператора tHopMbI. . Как видно из рис.4.10, использование оператора IIN приводит К ca мым высоким значеНИЯl\l функции принадлежности, вследствие чеrо дpy rие операторы tHOpM иноrда называют suЬIINоператорами или sub 1INнормами (Кпарре 1994) (рис.4.11). Значения ФУНКЦИИ принадлежности произведения множеств Il.Аi'П(:С)' получаемые с ПОМОIЦЫО suЬl\IINоператоров (tHOpM), будут меньши 
144 rлава 4. Нечеткая математика J-LАПВ(Т) I1AnB(T) 1 1 J\1IN оrpаниченная разность 0.5 о о 38 39 Т(ОС) 38 39 Т(ОС) I1AnB(T) J-LАnВ(Т) 1 произведение Эйнштейна PROD 0.25 0.2 ....................... О О 38 39 Т(ОС) 38 39 Т(ОС) J-LАПВ(Т) произведение raMaxepa 0.33 о 38 39 Т(ОС) Рис. 4.10. ФУНКЦИИ принадлежности нечеткоrо множества «средняя И высокая температура», найденные с помощью различных tHOpM J-L(X) о J-LЯ(Х) MIN [Il А ( Х ), 11 л ( Х ) ] ,Е Рис. 4.11. Соотношение между оператором l\lJN и остальными tнормами 
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 145 ми, чем при использовании оператора lVIIN, что означает, что subMIN операторы являются более строrими, требующими более высокой степени выполнения условий А и В, входящих внечеткое произведение. Поэтому об операторе MIN rоворят, как о наиболее оптимистичном среди tHOpM (Driankov 1993). Соrласно степени оптимизма, tHOpMbI MorYT быть упорядочены сле дующим образом: минимум > произведение raMaxepa > алrебраическое произведение > произведение Эйнштейна > оrраниченная разность > усиленное про изведение. Для определения операции пересечения также используются операто ры, не являющиеся tнормами (т. е. не обладающие свойствами tHOpM). Примером TaKoro оператора является параметризованный оператор пе ресечения на основе среднеrо (Driankov 1993), задаваемый выражением (4.25). ПарамеТРИЗ0ванный оператор пересечения на основе среднеrо МАПВ(Х) ==,. MIN(PA(x)./LB(X)) + 0.5(1  ,)(МА(Х) + МВ(Х)), \/х Е Х. (4.25) [де , Е [О, 1]. При, == 1 данный оператор сводится к оператору MIN. При, == О мы получаем оператор среднеrо арифметическоrо: МАПВ(Х) == 0.5(jLA(X) + IIB(X)), \/х Е Х. ( 4.26) Поскольку неравенство: 0.5(IIA(X) + /jB(X))  l\1IN(PA(X), jLB(X)) \/х Е Х, (4.27) всеrда справедливо, оператор среднеrо называют также superl\1IN операТОРОlVl. По степени оптимизма он превосходит наиболее оптимистич НУЮ tHOPMY  оператор l\IIN. ДЛЯ случая п нечетких множеств А 1. . . .  А п используется фОРl'лула: ( )  /lA1(.T) + ...+llAn(X) РА1П...ПА II .f   . п \/х Е ..У. ( 4.28) 
146 rлава 4. Нечеткая математика Оператор среднеrо rармоническоrо Для rz нечетких множеств А 1  . . .  А п степень принадлежности их пере.. сечению вычисляется по формуле (Yager 1994) /-lА1П...пА п (х) == п \:j J' Е X". (4.29) 1 1 ( +... + РА 1 х) РА п (r) Оператор среднеrо rеометрическоrо Для п нечетких множеств Al... , А 11 результирующая степень принад" лежности находится по формуле /-l А 1 п.. . пАп ( х) == ( /-l А 1 (х) . /-l А 2 (.Т) . . . . . 11 А п (Х ) ) 1/ п . \:j Х Е х. (4.30) Обобщенный оператор среднеrо в данном случае для 71 нечетких множеств Al' . . . . А п используется фор.. мула ( 110 ( x)+/{:,(x)+...+/lO: ( .1, )) 1/0 ( ) A 1 ..1 2 Ан IL.4. 1 11.. .;iЛ п .r == , п v:r Е х. (4.31) Данный оператор пересечения является параl\летризованным: в каче.. стве пара метра выступает показатель й. В случае а  x обобщенный оператор среднеrо в предеиlе сводится к опера тору lVIIN, а ==  1 имеем оператор среднеrо rар!\10ничеСКОI'О, а == О Иl\lееl\l оператор среднеrо rеОiVlетрическоrо, (} == 1 имеем оператор среднеrо арифметическоrо, Q  +Х) Иl\lеем оператор l\IAX. На рис. 4.12 представлено сравнение результатов действия различных нечетких операторов для случая пересечения нечетких множеств .i4 и В из при мера 4.1.1.3. Как видно из рис.4.12, все операторы, определенные на основе опе ратора обобlцеННОf'О среднеrо, относятся к типу super II и вследствие 3Toro являются более ОПТИlVIИСТИЧНЫМИ, чем оператор l\lI. Степень оп.. тимизма возрастае r с РОСТО1"! КОЭффИЦИt:нта (1 в формуле (4.31). Опера тор среднеrо ариqJмrТИ4ескоrо ((1  1) об.падает СВОЙСТЕОМ аддитивности: ФУНКUИЯ прина,П)lе)f{НОСТИ реЗУЛЬТирУЮUtему МНОlкеству изменнется про порциона.льно ИЗl\ленению исходных Ч)УНКЦИЙ при наJ,.ле)кности. 
4.1. Основные операuии над нечеткими множествами 147 м(Т) низкая средняя == А высокая == В а) М4П Н (Т) 37 38 39 Т(ОС) 1 I I б) J\1IN (о:  ос) I I I I I I 0.5 I , I I I I I I I I f1АПn(Т) 37 38 39 Т(ОС) 1 в) I среднее I I I rармоническое I I I I (о: == 1) 0.5 I , I 0.375 37 \ 39 Т(ОС) {LАПП(Т) 38 38.25 1 2) среднее rеометрическое (0:==0) 0.5 0.433 {LАПП (Т) 1 37 \ 38 38.25 39 (ОС) 0.5 д) среднее арифметическое 37 38 39 Т(ОС) Рис. 4.12. lравнение результатов выполнения пересечения нечетких MHO жеств 4 и В с ПрИ:\1енением l\/IIN и операторов среднеrо 
148 rлава 4. Нечеткая математика AUB А в о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 :r А == {l, 2, , 4,5, 6}, В == {3, 4, 5, 6,7, 8}, 4 U В == {l, 2, 3, 4, Б, 6, 7, 8} Рис. 4.13. Пример лоrической суммы четких множеств 4.1.2. Объединение (лоrическая сумма) нечетких множеств в классической лоrике лоrическая сумма множеств А и В определяется без использования понятия функции принадлежности, соrласно выраже.. нию (Driankov 1993,1996; Poradnik 1971) AUB == {х: х Е А или х Е В}. (4.32) При мер лоrическоrо суммирования представлен на рис.4.13. Результат объединения четких множеств является однозначным, по.. скольку объединение выполняется всеrда одним и тем же способом. В случае нечетких множеств возможен ряд способов выполнения объ.. единения, и Te:rvl самым результат ero неоднозначен. С учетом аксиомы нечеткой лоrики (п. 4.1.1), в соответствии с кота.. рой все ее операции, при применении их к четким множестваl\1, долж.. ны совпадать с операциями классической лоrики, можно ожидать, что для операции объединения нечетких множеств выполняются перечислен.. ные ниже свойства (4.33)(4.38). Коммутативность: А U в == в u А. ( 4.33) Данное свойство означает, что порядок следования множеств, участ" вующих в операции объединения, не влияет на конечный результат. Ассоциативность: А LJ (В U С) == (А u В) u С == А u В u с. ( 4.34 ) Объединение нескольких множеств можно выполнять, последователь но формируя пары множеств, при ЭТОlVl порядок их формирования не яв" ляется существеННЫI'vl. Идемпотентность: /1 U jl == А. (4.35) 
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 149 Объединение с пустым множеством 0: А u 0 == А. ( 4.36) Поrлощение (объединение с универсальным множеством Х): А u Х == х. ( 4.37) Закон исключенноrо третьеrо А: А u А == х. (4.38 ) в следующем при мере будет показано, что при переходе к нечетким множествам некоторые свойства операции объединения, имеющие место для четких множеств, выполняться не будут. Пример 4.1.2.1. Пусть заданы lVIножество А дешевых автомобилей (4.39) и множество В == А комфортабельных автомобилей (4.40), Xi  номер автомобиля: А == {  0.8 0.6 0.4 0.2  } , , , , , . Хl Х2 .1';1 Х4 Х[) Х6 В == {  0.2 0.<1 0.6 0.8  } , , , , , . Хl Х2 ХЗ Х4 Х5 Х6 ( 4.39) (4.40) Универсальное множество имеет вид: Х == {       } , , , , , . Хl Х2 ХЗ Х4 Х5 Х6 Требуется определить множество С == А u В == А u А, содержащее дешевые или комфортабельные автомобили. Если для нахождения объединения А U В использовать оператор типа алrебраической суммы (4.41), то результатом будет множество (4.42): fL() ( х) == Jl А ( х) + /L в ( х)  J1 4 ( х) . J-L в ( х ) , С 1 == А u В == {  , 0.84 , 0.76 . 0.76 , 0.84 ,  } . Х, Х2 ХЗ Х4 Х5 Х6 (4.41) ( 4.42) Функции принадлежности множеств ..:4, В, на рис. 4.14. с представлены . Как видно из данноrо примера, если объединение нечетких множеств А u А определяется на основе оператора алrебраической суммы, то Ha рушается выполнение свойства 6 данной операции (А u ,,4 == х), которое всеrда справедливо в случае четких множеств. 
150 rлава 4. Нечеткая математика 11(.['1) 1 А В==А   I ....... ...- I I -o... Ж I I   I I   I 1 O ...x I I .......  I I  I I X "O- I 1   I 1 1 X --o... I   I I   I   о Хl Х2 Хз Х4 Xs Хб Х' 1 p,(:r l ) 1 о  AuB==4uA .. T ...........,.. I  .., I :::- ......  ..........      .....- ;:..  I   I   I   I < I   1  ....... I ./ ................. 1   I  .......   Xl Х2 Хз Х4 Xs Хб Х' 1 Рис. 4.14. Функции принадлежности множеств А, В и их лоrической суммы Первыми операторами, предложенными в качестве основы дЛЯ BЫ полнения операции объединения нечетких множеств (Zadeh 1965), явля лись оператор lVIAX и алrебраическая сумма. По мере развития нечеткой лоrики число этих операторов увеличивалось. В настояuцее время наи более распространенными операторами объединения множеств являются tKOHOpMbI, также называемые sнормами. Оператор SHOpMbI, или tKOHOpMbI представляет собой функцию S, реализующую операцию ИЛИ объединения двух нечетких множеств А и В, удовлетворяющую перечисленным ниже свойствам (4.43)(4.48), которые выполняются для всех Х Е х. Пространство отображения: 5 : [О, 1] х [О, 1]  [О, 1]. ( 4.43) Свойство обнуления: 5(0, О) == о. ( 4.44 ) Случай, коrда пара содержит один элемент, для KOToporo {lB(X) == о: 5(/I;A(X)jO) == 5(0,JLЛ(Х)) == I1Л(Х). (4.45) Свойство коммутативности: S(IIA(,r) ,/,В(Х)) == 5(/Lb(:e)./-IА(Х)). (4.46) 
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 151 Таблица 4.3 Непараметризованные SHOpMbI I Формула Название оператора . максимум (/IAX) fJAUB(X) == ?\1AX(PA(X)/1B(X)) алrебраическая /LAUB(X) == /1А(Х) + рв(х)  РА(.Е) . /LB(X) сумма сумма raMaxepa () М.1(Х) + мв(х)  2 .ILA(X) . J1B(:r) /14uB Х == . 1MA(X)'MB(X) сумма Эйнштейна () МЛ(Х) + J-1п(х) /}, 4 U В Х == . 1 + РА(Х)' МIЗ(Х) усиленная сумма ( )  {l\IАХ(РА(Х)"I П (:Т)) дЛЯ l\ПN({IA, РЕ) == О /1A 1 ..JB Х  1 в друrих случаях I оrраниченная CYM РАUП('l') == ?\IIN(l. /ll(,r) + /IU(.1')) ма  Свойство ассоциативности: s (М А ( х )  ') (р в ( т )  IL( ( Х ) )) == s ( s (М А ( Х ) , IL в ( х ) ), ILС ( х ) ) . ( 4.47) Условие монотонности: IL А (х)  IL(; (1))  IL в (х)  IL D (Х) ::::} S (IL А (х )  IL В Cl ))  S (ILС: (х ), IL D (Х ) ). ( 4.48) Выделяют параметризованные и непараметризованные операторы s норм. Результат действия непараметризованных операторов является по стоянным; наиболее часто используемые операторы этоrо типа перечис лены в табл.4.3. Таблица 4.4 содержит наиболее распространенные па раметризованные SHOpMbl. Конкретные SHOplVIbl различаются по степени оптимизма. Наи больший результат вычислений дает оператор усиленной суммы, наи меньший  оператор j\I.A.X. Последовательность SHOpl'vl, упорядоченных по степени оптимизма, имеет следующий вид: усиленная cYMl\1a > оrраниченная сумма> сумма ЭЙНIlIтейна > > а.лrебраическая сумма> суыма ral\Iaxepa > l\IX . Учитывая, что вычисление функции принадлежности J\lножества 4 U IJ с ПОМОIЦЬЮ оператора l\JAX прнводит к наименьшему результату, 
152 rлава 4. Нечеткая математика т а б л и ц а 4.4 Параметризованные SHOpMbI Название оператора Формула (, )  IJ,Л(Х) + IJ,Н(Х) + (,  1) . IJ,л(.r) . /113(Х)  1 /LAuB Х, r  1 + () () , r /" , . IJ,л Х . IJ,в Х оператор объединения r == 1: !-LAUB(X, () == сумма [амахера [амахера (== о: !-LАuВ(Х,r) == алrебраическая сумма r == 1: !-LАuВ(Х,r) == сумма Эйнштейна r  00: !-LAUB (х, [) == усиленная сумма оператор /LAUB(X,p) == MIN {l, [(РА(Х))Р + (PH(X))P]},p:) 1 объединения р == 1: !-LАUВ(Х,р) == оrраниченная сумма Яrера p Х): /LAUB(X,p) == lVIAX(PA(X), РВ(Х)) /1(Х) 1 IJ,Л (Х) о Х Рис. 4.15. Соотношение между оператором lVIAX и остальными sнормами все остальные операторы SHOpM называются suреr..:rvIАХ..операторами (рис.4.15). Операторы tHOpM и SHOpM образуют комплементарные пары, удовле творяющие условию т [м А ( Х ), JL в ( х )] == 1  S [1  JL А ( Х ), 1  JL в ( х ) ] . ( 4.49) Если задана tHopMa, то может быть найдена комплементарная ей S норма. В табл.4.5 приведены комплементарные пары t.. и SHOpM. Для реализации операции объединения множеств также применяют ся операторы ИЛИ, не являющиеся SHopMaM (не обладающие свойствами SHOpM). Примером TaKoro оператора является парамеТРИЗ0ванный опе.. 
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 153 Таблица 4.5 Комплементарные пары t и SHOpM tHopMa комплементарная SHopMa MIN МАХ алrебраическое произведение алrебраическая сумма произведение [амахера сумма [амахера произведение Эйнштейна сумма Эйнштейна усиленное произведение усиленная сумма оrраниченная разность оrраниченная сумма параметризованный оператор параметризованный оператор пересечения [амахера объединения [амахера параметризованный оператор параметризованный оператор пересечения Яrера объединения Яrера ратор объединения множеств на основе среднеrо (Driankov 1993): MAUB(X) == r . l\fAX[JLA (х). JLП(Х )]+ + 0.5 . (1  ,) . [JL А ( х) + fL в ( х ) ] , r Е [О, 1]. \/х Е х. ( 4.50) При r == 1 оператор (4.50) сводится к оператору l\IAX, при r == О  к оператору среднеrо арифметическоrо. В качестве основы для операции объединения нечетких множеств можно также использовать оператор алrебраической суммы: MA1u...UA n (х) == JLA 1 (х) + ... + JLA n (:c) \/х Е х. (4.51) Данный оператор характеризуется наибольшей степенью оптимизма среди всех операторов объединения, а также обладает свойством адди тивности. Результирующая функция принадлежности возрастает пропор ционально росту исходных функций, входящих в формулу (4.51), вслед ствие чеrо указанный оператор, как и оператор среднеrо арифметическо ro, можно назвать линейным. Использование этих операторов в нечет ких моделях способствует получению линейных секторов на поверхности отображения BBoдaBЫBoдa данных моделей. Линейные операторы пре образуют участвующие в операции нечеткие множества в так называе 
154 rлава 4. Нечеткая математика мые нечеткие наборы (Yager 1994,1995), которые далее MorYT участвовать в операциях над нечеткими наборами, описанных в rлаве 2. Пример 4.1.2.2. Пусть А  множество быстрых автомобилей, В  MHO жество комфортабельных автомобилей, li  обозначение автомобиля: A == {     } ,  ,  Хl :1;2 .r;) Т4 В == { 0.6 0.7 0.9  } , , , . Тl Х2 Х:з Х4 Пусть мы намерены приобрести быстрый ИЛИ комфортабельный aB томобиль. Применяя SHOPMY типа МАХ, приходим к результату: C == AUB == {     }U{ 0.6 0.7 0.9  } ==  . , ., Хl Х2 Х;) :1'4 .1'1 Х2 ХЗ Х4 { 1 1 1 1 }  ,,, . 1"1 :С2 ;'1.3 1" 4 ( 4.52) в результате использования оператора /IAX у нас имеется информа ция о возможности приобретения любоrо из автомобилей, поскольку CTe пени их принадлежности множеству «быстрый ИЛИ комфортабельный» одинаковы и равны 1. При использовании оператора арифметической CYM мы множества А и В на первом шаrе преобразуются в нечеткий набор (4.53), а затем, на втором шаrе  в нечеткое множество (4.54). Шаr 1 AU B == {     } U { 0.6 0.7 0.9  } == , ,  ,  , Тl Х2 .1'з Х4 ;1>1 J'2 Тз Х '1 { 1 0.6 1 0.7 1 0.9 1 1 }  ,,,,,, . Хl .1'1 .1'2 1"2 Хз Х;) .1'4 Х4 ( 4.53) Шаr 2 AUB== { , 1.7 , } . J'I Х2 Хз Х4 В результате использования оператора арифметической суммы мы по лучаем информацию о том, что следует приобрести автомобиль Х4, CTe пень принадлежности KOToporo набору «быстрый или комфортабельный» является наибольшей (степени принадлежности в (4.54) можно нормиро вать так, чтобы они находились в интервале [0,1]). Представляется, что во мноrих случаях люди, принимая решения, используют именно такой оператор, поскольку все же остаются склонными учитывать множество обстоятельств. . ( 4.54 ) 
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 155 4.1.3. Компенсирующие операторы Как tHOpMbI, так и SHOpMbI можно назвать операторами, основанными на предположениях, а именно, на предположениях о том, как операции пересечения и объединения выполняются в представлении человека. К настоящему моменту эта проблема еще не нашла полноrо объяснения, возможно, по той причине, что различные люди используют разные спо собы реализации указанных операций, зависящие от особенностей их характера, настроения и конкретной ситуации. Исследования операторов, при меняемых человеком, выполненные Циммерманном (Altrock 1993; Zimmermann 1979,1987), привели к фор мированию понятия компенсирующих операторов. Обоснованность KOM пенсации поясним на при мере рассуждений водителя, приближающеrося на высокой скорости к препятствию на дороrе. Эти рассуждения описы ваются правилом вида: ЕСЛИ (скорость высокая) И (препятствие близко) ТО (тормозить очень резко) Обозначив скорость автомобиля через и (Кl\1jч), а расстояние до пре пятствия  через d (м), исходное условие А можно представить в форме (4.55 ) А == (Al И А 2 ) == (v == Н) И (d == S). ( 4.56) Чем выше степень истинности условия, тем более резким должно быть торможение. Предположим, что функции принадлежности линrвистических значе ний «высокая скорость» И «малое расстояние» имеют формы, представ ленные на рис.4.16. JL(1') 1 высокая (н) р(а) 1 0.75 0.25 I I I I I I I f I I I I I 1 I I I  1 I I I I I I I I 0.5 60 70 100 l' (км/ч) о 25 50 100 d ( м) скорость расстояние Рис. 4.16. Функции принадлежности нечетких множеств «высокая скорость» И «малое расстояние» 
156 rлава 4. Нечеткая математика Далее, рассмотрим три возможные ситуации, в которых может нахо.. диться автомобиль, а также как их оценивает водитель, использующий оператор PROD. Ситуация 1  автомобиль приближается к препятствию 7J == 70 (км/ч) d == 50 (м) JLH(и) == 0.25 JLs (d) == 0.5 Степень выполнения условия А и, соответственно, степень интен сивности торможения (степень активации заключения, следующеrо из правила (4.55)) равны JLA(lJ, d) == JLH(V) . JLs(d) == 0.25.0.5 == 0.125. Ситуация 2  автомобиль находится в непосредственной близости от препятствия си == 70 (км/ч) d == 25 (м) Степень выполнения условия: мн(и) == 0.25 JLs(d) == 0.75 J1ACu,d) == J1HCU). JLs(d) == 0.25.0.75 == 0.1875. Ситуация 3  автомобиль врезается в препятствие v == 70 (км/ч) d == О(м) Степень выполнения условия А: J1H(V) == 0.25 JLs(d) == 1 JLA (1). (1) == МН (1J) . I1s ((1) == 0.25 . 1 == 0.25. Анализ ситуаций 1  3 показывает, что при использовании в усло вии оператора PROD как основы для операции и, степень выполнения условия равна JLA(t J . d), вследствие чеrо, несмотря на быстро приближаю щуюся опасность, степень интенсивности торможения не изменяется так быстро, как следовало бы в данной ситуации. CTporo следующий правилу (4.55) с оператором PROD водитель врезался бы в препятствие. Является ли, с учетом сказанноrо, правило (4.55) неверным? Нет, не является. Анализ поведения людей показывает, что они пользуются так называ емым принципом компенсации, модифицирующим операцию И путем не которой ее комбинации с операцией или. В качестве показателя меры компенсации выступает степень компенсации, (рис. 4.17). 
4.1. Основные операции над нечеткими множествами 157 1( И t или I I I I I I I I .. О 1 ( Рис. 4.17. Зависимость характера оператора 1, от степени компенсации, На основе экспериментальных результатов исследования принимае мых людьми решений, Циммерманн предложил оператор пересечения Ir в форме ( 1П ) (1  ,) [ m ] 1 /),А == Д !LA, 1  Д (1  !LЛ,) . (4.57) rде r  степень компенсации, О  r  1, fLA  степень выполнения Bcero условия А == Al n ... n А п , {LA 1  степени выполнения отдельных компонент условия. Если r == О, то все условие оценивается на основе только операции пересечения И, с применением оператора PROD, по формуле Пl JLA == п JLA 2 . i==l ( 4.58) Если r == 1, то все условие оценивается на основе формулы (4.59), Т. е. выполняется только операция ИЛИ: m A == 1  П (1  Al). i== 1 (4.59) Действие оператора (4.59) похоже на действие оператора l\fAX, хотя, как леrко заметить, является более предпочтительным, поскольку опе ратор 1 r учитывает все составляющие условия, а не только ту, которая выполняется с наибольшей степенью. Наиболее вероятно, что значение 1"1/ будет меняться для водителя в за висимости от ситуации: оно будет малым при нахождении вдали от пре пятствия и большим при нахождении вблизи от Hero. Используя оператор Ir для r == 1, в ситуации 3 будет получен совершенно иной результат, чем при использовании оператора PROD. Как отмечалось выше, Ситуация 3 (автомобиль врезается в препят ствие) характеризуется условиями: 1) == 70 (кмjч) d == О (м) JLH(1J) == 0.25 J1s(d) == 1 
158 rлава 4. Нечеткая математика Степень выполнения условия А, вычисленная с использованием опе ратора 1 т, r == 1, будет равной A(v,d) == 1  (1  0.25)(1  1) == 1. Тот факт, что условие удовлетворяется полностью, соrласно правилу (4.55), заставит нажать на тормоз с максимально возможной силой, что, конечно же, является наиболее естественной реакцией в подобной ситу ации. Разумеется, правило (4.55) с оператором Ir предложило бы YBe личивать силу торможения раньше, при уменьшении расстояния до пре пятствия. Поскольку коэффициент компенсации r может изменяться в преде лах О  r  1, возникает задача выбора ero оптимальноrо значения. Для технических приложений в (Altrock 1993) рекомендуется выбирать f из диапазона 0.1  r  0.4. Практический метод состоит в том, что вначале выбирается среднее значение указанноrо диапазона, r == 0.25, после чеrо исследуется точ ность нечеткой модели, основанной на данном значении. Если точность неудовлетворительна, рекомендуется выполнять пошаrовую корректиров ку коэффициента с величиной шаrа ! == 0.01 и анализировать точность получаемых моделей. 4.2. Нечеткие отношения в разд. 4.1 в качестве области определения операций над нечеткиl'ЛИ MHO жествами рассматривалось одномерное пространство, что иллюстрирует ся ПРИl'лером 4.2.1. Пример 4.2.1. Из множества студентов выделены два подмножества: подмножество Al способных студентов и подмножество А 2 успевающих студентов (см. рис. 4.18). Требуется определить множество способных и успевающих студентов, т. е. А 1 1\ .i4 2 . Х  множество студентов: Х == {Sl,S2,... 'В5}. Al  подмножество способных студентов: Al == {(81,0), (82,0.3), (8з,0.7), (84, 1), (85, 1)}. А 2  подмножество успевающих студентов: А 2 == {(81, 0.5), (82,0.8), (8з, 1), (84, 1), (85, 0.7)}. 
4.2. Нечеткие отношения 159 1 1 А 1 (8 1 ) ..41 /1А 2 (8 1 ) А 2 1  I I I I I I Q 1  I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I о Q Q Q I I I I I S1 S2 SЗ S4 S5 SI S1 S2 SЗ S4 S5 SI Рис. 4.18. Функции принадлежности подмножеств А 1 (способные студенты) и А 2 (успевающие студенты) МА 1 (8/) 1  Q I I I I I I I Q I I , I I I I I I I , I S1 S2 SЗ Q I I I I I S4 S5 SI Рис. 4.19. Функция принадлежности множества А 1 /\ А 2 (способные и успевающие студенты) Выполняя операцию 1\ пересечения подмножеств с использованием оператора l\IIIN, получаем: А 1 ;\А 2 == {(sirv!IIN(JLAl(Si)fLA2(Si))} == == {(S],O), (s2O.3), (sз,О.7) (S4, 1), (s5,O.7)}. Множество А] ;\ А 2 представлено на рис.4.19. Вследствие Toro, что оба подмножества имеют общую область опре.. деления Х, результат операции пересечения можно представить в форме поверхности в двумерном пространстве. Как подмножество А 1 , так и под множество А 2 , MorYT считаться простыми множествами, ПОСКОЛЬКУ сте.. пени принадлежности РА 1 (."1) сопоставлены с единичными элементами Si области определения Y. . Помимо одномерных, существуют MHoroMepHbIe области определения, являющиеся декартовым произведением Х HeKoToporo числа составляю щих их областей X 1 . . . . ,Хн, что иллюстрируется примером 4.2.2. Пример 4.2.2. Х 1  множество rраждан, Х 1 == {с 1 ' С2. . . .  СБ } , 
160 rлава 4. Нечеткая математика т а б л и ц а 4.6 Дискретное декартово произведение Х == Х 1 Х Х 2, представленное в форме таблицы (двумерная область определения)  Cl С2 Сз С4 Cs Ь. } b 1 Cl,b 1 С2,Ь 1 СЗ,Ь 1 С4,Ь 1 cs,b 1 Ь 2 Сl,Ь 2 С2,Ь 2 СЗ,Ь 2 С4,Ь 2 cs,b 2 Ь з Сl,Ь З С2,Ь З Сз,Ь з С4,Ь З Сs,Ь з Ь 4 Сl,Ь 4 С2,Ь 4 СЗ,Ь 4 С4,Ь 4 cs,b 4 b s Cl,b s C2,b s Сз,Ь s C4,b s Cs,b s х = Х 1 Х Х 2 Х 2  множество банков, Х 2  {Ьl,Ь2... ,Ь 5 }. Декартово произведение Х  Х 1 Х Х 2 представляет собой множество в се х в о з м о ж н ы х пар (Ci, Ь j ), i  1, . . . , 5, j  1, . . . , 5 (т а бл. 4. 6) . . Перед рассмотрением нечетких отношений целесообразно познако миться с понятием классическоrо отношения (Empacher 1970). Классическое (двухместное или бинарное) отношение  одно из важнейших понятий математической лоrики  является свойством пар объектов и описывает определенную взаимосвязь, имеющую место меж ду объектами. Понятие классическоrо отношения иллюстрируется при мером 4.2.3. Пример 4.2.3. Даны одномерные множествасоставляющие Х 1 и Х 2 . Здесь Х 1  множество rраждан: Х 1  {Cl,C2,... ,С5}, Х 2  множество банков: 2  {Ь 1 ,Ь 2 ,... .Ь 5 }. Примером классическоrо отношения на множестве Х  Х 1 Х Х 2 яв ляется отношение «иметь счет в ...» (табл.4.6). Множество Х здесь выступает в качестве области определения. Отношение может иметь сле.. дующий вид: R  {( Сl , Ь 2 ), (Сз, Ь 4 ), (С4, Ь 1 ), (С5, Ь з ) }. 
4.2. Нечеткие отношения 161 ILR(('L Ь)) ...'" ......... .........: 1...... ...... 1 "'1 ... ... 1 1...... ...... L?/?LrY?'" : ...... 1...... ...... ,,( " 1'" 1... ... ... I ... :7/47"'''' ...... ...{ ...... ...... I ,,'" ... ... 1 " ... I " lJ'" / / I / / , Ь ,',/ 1,' ,'" /' 4 ... ... 1 ... " " ' " " " " " ; " ; , ; / " ; " " " " " " " --....  --   .....I!..................... ........ ......... __.......................................... ....." Q I I I I I I I I I I I Q I I 1 I 1 Q: I 1 I I Q I I I 1 : С} С2 Сз II С4 Cs I I R С} С2 Сз С4 Cs Ь} О О О 1 О Ь 2 1 О О О О Ь з О О О О 1 Ь 4 О О 1 О О b s О О О О О 1 С. 1 Рис. 4.20. Представление отношения R в виде трехмерной функции принад лежности {l( C z , b j ) и в виде матрицы отношения Отношение R состоит из пар (Ci, b j ) и, таким образом, является би нарным отношением, сопоставляющим rраждан С 1 с банками b j , [де у них открыты счета. Данное отношение может быть описано с помощью функ ции принадлежности f1( Ci, b j ), представимой в трехмерном пространстве (рис. 4.20). Отношение R можно также представить в виде матрицы R: о о о 1 О 1 О О О О R== О О О О 1 О О 1 О О О О О О О Поскольку у rражданина С2 нет счета ни в каком банке, второй стол бец матрицы R целиком состоит из нулей. . Матрица R необязательно является квадратной  это зависит от чис ла элементов, принадлежащих составляющим областям определения X i . Отношение в при мере 4.2.3 является дискретным. В при мере 4.2.4 пред ставлено непрерывное отношение. Пример 4.2.4. Пусть даны два множества вещественных чисел Х 1 , Х 2 : Х 1 == {х 1 : 2  Хl  4}, Х 2 == {;1:2 : 1  Х'2  Б}. 
162 rлава 4. Нечеткая математика R(Xl,X2) 1 МН(Хl\Х2) I I I I I I I I r I t , I I 1, I , t : " I ' I " ! v',: I I I 2 Х 1 4 I ,- ,- ,- ,- ,-,- ,- ,- Хl ,- ,- ,- Хl  Х2 Х2 Рис. 4.21. ФУНКЦИЯ принадлежности J1R(Xl, Х2), представленная в форме непре рывной поверхности, расположенной над областью определения Х == Х 1 Х Х 2 Введем отношение «меньше либо равно», или «», заданное на де.. картовом произведении Х == Х 1 Х Х 2 : R == {(Хl, Х2) : Хl  Х2}. Отношение является непрерывным. Ero функция принадлежности представлена на рис.4.21. . Определение 4.2.1 вводит классическое napHoe отношение R, задан.. ное на области определения Х == Х 1 Х . . . х Хn. Определение 4.2.1. Классическим napHЫM отношением R, заданным на области определения Х == Х 1 Х . . . х Х n , называется упорядоченное множество кортежей из n элементов, имеющее * вид: R == {((Хl,,'. ,X n ),MR(Xl,... ,Х n )) I (Хl,... ,Х n ) Е Х}, '" в определениях 4.2.1 и 4.2.2 запись ((Хl'..., Х п ), МН(Хl,..., Х п )) следует понимать как «кортеж (Хl,.." Х п ), степень принадлежности KOToporo отношению R равняется JlR(Xl, . . . , Х п »).  Прuм. ред. 
4.2. Нечеткие отношения 163 [де '}, R (Хl, . . . , Х п ) == { ' еСЛИ(Хl,"., Х п ) Е R, в друrих случаях, представляет собой функцию принадлежности отношения R. Как известно, функция принадлежности классическоrо отношения отображает область определения Х на дискретное множество {0,1}: fLR: Х 1 х ... Х Х п  {O,l}. Нечеткое отношение отличается от классическоrо тем, что в качестве области значений функции принадлежности, вместо дискретноrо MHO жества {0,1}, содержащеrо два элемента, рассматривается непрерывный интервал [О, 1]. Определение 4.2.2. Нечетким napHЫM отношением R, заданным на об ласти определения Х == Х 1 Х . . . х Х п , называется упорядоченное MHO жество кортежей из n элементов, имеющее вид R == {((Хl,... ,X n ),fLR(Xl,... ,Х n )) I (Хl,... ,Х n ) Е Х}, [де fLR(Xl,.'.,X n ): Х 1 Х ... Х Х п  [0,1] представляет собой функцию принадлежности отношения R, которая отображает область определения Х на непрерывный интервал [О, 1]. в общем случае функция принадлежности fLR отношения R пред ставляет собой rиперповерхность в (n + 1 )MepHOM пространстве. Пример функции принадлежности для n == 2 представлен на рис. 4.22. Функции принадлежности нечетких отношений на дискретных об ластяк определения можно представить в табличной форме, с указани ем степеней принадлежности fLR(Xl, . . . , Х п ) для каждоrо дискретноrо n элементноrо кортежа, что иллюстрируется примером 4.2.5. Пример 4.2.5. Заданы две дискретные составляющие области определе ния Х 1 , Х 2 : Х 1 == {123.4} Х 2 == {12,3,4,5}. в табл.4.7 приводятся при меры степеней принадлежности отноше ния «(Хl, Х2) приблизительно равны (3,2»>, заданноrо на множестве Х == X 1 Х Х 2 . уlз табл.4.7 видно, например, что пара (Хl, Х2) == (2,3) принадлежит отношению R со степенью 0.5, или, подруrому, пара (2,3) имеет cxoд ство, в смысле данноrо отношения, с парой (з,2) со степенью 0.5. 11 
164 rлава 4. Нечеткая математика МН(Хl, Х2) 1 I-LH C r l ' :У2) Хl х == Х 1 Х Х 2 Х2 Рис. 4.22. При мер непрерывной функции принадлежности нечеткоrо отношения Таблица 4.7 Нечеткое отношение «(Xl,X2) приблизительно равны (3,2»), представленное в табличной форме  Cl С2 Сз С4 Cs b 1 cl,b 1 СъЬ] СЗ,Ь 1 c4,b 1 cs,b 1 Ь 2 Cl,b 2 С ЪЬ 2 СЗ,Ь 2 С4,Ь 2 cs,b 2 Ь 1 Сl,Ь З С2,Ь З Сз,Ь з С4,Ь З сs,Ь з Ь 4 Cl,b 4 СЪЬ 4 СЗ,Ь 4 С4,Ь 4 cs,b 4 b s Cl,b s C2,b s сз,Ь s C4,b s cs,b s Х = X 1 Х Х 2 Нечеткие отношения можно задавать непосредственно, с помощью nэлементных кортежей, при надлежащих мноrомерной области опреде ления Х} х ... х Х n , как в примере 4.2.5. Вместе с тем, внечетком моделировании и управлении чаще Bcero приходится иметь дело с OT ношениями, полученными путем аrреrации нечетких множеств, задан ных на различных одномерных областях. Примером является правило 
4.2. Нечеткие отношения 165 J1( Хl) J1 (Х2) малый (s) большой (L) 1  1 о 1 2 3 4 Хl о 1 2 3 4 5 ;(2 Рис. 4.23. ФУНКЦИИ принадлежности нечетких множеств «малый» И «большой» для отношения (4.61) ЕСЛИ ... ТО ... вида ЕСЛИ (Хl == малый) И (Х2 == большой) ТО (у == средний) (4.60) rде компоненты условия CTl == малый), (Х2 == большой) объединяются с помощью лоrических связок И, ИЛИ, образуя бинарное нечеткое OT ношение R с функцией принадлежности MR(Il, Х2), которая определя ет степень выполнения данноrо условия для конкретных числовых зна чений aprYMeHToB r], Х2. Аrреrацию нечетких множеств «малый» (5) и «большой» (L) можно выполнять, используя операторы типа tHOpM (4.61) в случае связки И и операторы типа SHOpM в случае связки ИЛИ: MR(Xl  Х2) == T(J1S(Xl) ML(X2)). (4.61) Пусть функции принадлежности JLs(.Tl) и ML(X2) имеют вид, изобра женный на рис. 4.23. Нечеткие множества S и L заданы на разных областях определения, которые в общем случае MorYT представлять различные физические Be личины (например, напряжение и силу тока). В связи с этим, в отличие от множеств, заданных на общей области определения, непосредствен ная аrреrация указанных выше множеств невозможна. Такие множества вначале следует преобразовать в специальные нечеткие отношения, за данные на декартовом произведении Х 1 х ..(2, которые называются цилин дрическими продолжениями, и лишь после этоrо выполнять аrреrацию. Понятие цилиндрическоrо продолжения вводится в определении 4.2.3. Определение 4.2.3. Пусть X 1 и Х 2  четкие множества, и А  нечеткое множество, заданное на Х 1 . Цилиндрическим продолжением А* множе ства А на область определения Х 1 х Х 2 называется отношение, представ ляющее собой декартово произведение множеств А и Х 2 , т. е. А х Х 2 : A*(XlX2) == А(х]) 1\ Х 2 (Х2) == A(Xl) 1\ 1 == A(Xl), 
166 rлава 4. Нечеткая математика Таблица 4.8 Функция принадлежности цилиндрическоrо продолжения множества А(Хl) на Х 1 х Х 2 * А = (Хl,Х2) = а} а2 аз Ь 1 1 0.5 О Ь 2 1 0.5 О Ь з 1 0.5 О для всех пар (Xl,X2) Е X 1 Х Х 2 . В случае цилиндрическоrо продолжения множества А(Хl) на n мерную область определения X 1 Х . . . Х Х'П операция продолжения BЫ полняется в соответствии с формулой: A*(Xl,'. . , Х п ) == A(Xl) Л Х 2 Л .. . л Х п == A(Xl), для всех nкортежей (Xl".' , Х п ) Е X 1 Х . . . х Х п . Цилиндрическое про должение иллюстрируется примером 4.2.6. При мер 4.2.6. Найдем цилиндрическое продолжение A*(Xl, Х2) множе ства A(Xl) на дискретное множество Xl х Х2. Области определения име ют вид: X 1 == {al, а2, аз}, Х 2 == {Ь 1 , Ь 2 , Ь з }, а нечеткое множество определяется выражением: А == {1 / а 1 , 0.5/ а2 , О/аз}. Цилиндрическое продолжение множества А(Хl) на Х 1 х Х 2 представ лено в табл. 4.8. . Следующий пример является иллюстрацией непрерывноrо цилиндри ческоrо продолжения. Пример 4.2.7. Пусть имеются два нечетких множества «малый» (5) и «большой» (L), заданные на множествах Х 1 и Х 2 соответственно (рис. 4.23). Области определения имеют вид: Х 1 == [1,4], Х 2 == [1,5]. Функции принадлежности МВ(Хl) и !-lL(Х2) показаны на рис. 4.23. На рис.4.24 представлены цилиндрические продолжения S* (Хl, Х2) и L*(Xl,X2) нечетких множеств S(Xl) и L(X2) на Х 1 х Х 2 . . 
4.2. Нечеткие отношения 167 М(Хl,Х2) М(Хl,Х2) 1 М8*(Хl,Х2) ML* (Хl, Х2) \ Х2 Х2 Рис. 4.24. Цилиндрические продолжения S* (Хl, Х2) и L * (Хl, Х2) нечетких MHO жеств В(Хl) и L(X2) на двумерную область определения Х 1 х Х 2 М(Хl,Х2) М(Хl,Х2) MS(Xl) \ " I \ I , / , " \ I , I \ I \ , \ , , , \ \ \ 1 М8* (Хl, Х2) .'. / ... " ..... 1 ML(X2) ,',  1\ 1 , 1 , 1 \ 1 \ " \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Хl ML*(Xl,X2) ; .. . . , Х2 MR (Хl, Х2) Х2 MR(Xl, Х2) а) 6) Рис. 4.25. Формирование функции принадлежности отношения !-LR(Хl, Х2) с ис пользованием цилиндрическоrо продолжения множествсоставляющих S и L (а) и результат этой операции (6), полученный с использованием оператора MIN Функция принадлежности отношения R( Хl, Х2), задаваемая форму лай (4.61), может быть вычислена с использованием в качестве tHOpMbI, например, оператора IIN: fLR(Xl, Х2) == MIN(f-Ls* (Хl, Х2), f-LL* (Хl, Х2)), (Хl, Х2) Е Х 1 Х Х 2 . (4.62) Результат этой операции представлен на рис. 4.25. Если в условии правила (4.60) содержится лоrическая связка типа ИЛИ: ЕСЛИ (Хl == S) ИЛИ (Х2 == L) ТО (у == М), 
168 rлава 4. Нечеткая математика f.-L х 1 , Х2) 1 J1R(Xl,X2)  Xl .Е2 Рис. 4.26. Функция принадлежности отношения /LR(Xl, Х2), полученная по фор муле (4.63) с использованием оператора :i\IAX то для вычисления функции принадлежности условия следует восполь зоваться какойлибо sнормой, например l\1AX: lR(Xl,X2) == :NIAX(/lS*(Xl,X2),lL*(Xl,X2)), (Xl,X2) Е X 1 Х Х 2 . (4.63) в этом случае функция принадлежности J-lR(Хl  Х2) будет иметь вид как на рис.4.26. В нечетком моделировании встречаются правила со сложными усло виями, содержащими связки как И, так и ИЛИ, например: ЕСЛИ (Xl == малый) И (Х2 == большой) ИЛИ (Хl == большой) И (Х2 == малый) ТО (у == средний). ( 4.64 ) Чтобы вычислить степень истинности условия в данном правиле, сле дует определить функции принадлежности составляющих ero отношений jLRl(:rl,X2) и PR2(XlX2), rде L Н! (.Е 1  Х 2) == т (м S ( х 1 )  J-l L ( Х 2 ) ) , f 1 1l1 (Хl. Х2) == T(J-lIJ(Хl), /lS(X2)), (Хl, Х2) Е Х 1 Х Х 2 , (Хl,Х2) Е Х 1 Х Х 2 . ( 4.65) Здесь Т означает оператор tHOpMbI, например, оператор MIN. ДЛЯ Ha хождения результирующеrо отношения R, которое является лоrической 
4.2. Нечеткие отношения 169 /1(Хl) S L 1   /1(Х2) S L 1 о 2 3 4 5 Хl о 1 2 3 4 5 6 Х2 Рис. 4.27. Функции принадлежности нечетких множеств, содержащихся в усло вии правила (4.66) суммой составляющих ero отношений R == Rl U R 2 , необходимо восполь зоваться определением 4.2.4. Определение 4.2.4. Пусть имеются два бинарных отношения R 1 и R 2 С общей областью определения X 1 х Х 2 . Тотда функция принадлежности суммы R 1 U R 2 этих отношений задается формулоЙ jj R I UR 2 == S(jjRl (Xl, Х2), I.LR2(Xl, X)), [де S означает SHOPMY (например, I\IAX). в случае если два бинарных отношения объединены лоrическими связками типа И, необходимо использовать определение 4.2.5. Определение 4.2.5. Пусть имеются два бинарных отношения R} и R 2 С общей областью определения Xl х Х 2 . Функция принадлежности лоrи ческоrо произведения Rl n R 2 этих отношений определяется по формуле jj R 1 n R 2 == Т (р R 1 (:1.1 , Х 2 ) , I.L R 2 ( Х 1 , Х 2 ) )  [де Т означает tHOPMY, например l\IIN. Данные определения MorYT быть расширены на случай пapHЫX OTHO шений. Аrреrация бинарных отношений иллюстрируется примером 4.2.8. Пример 4.2.8. Найдем функцию принадлежности /-LR(X1  Х2) условия, состоящеrо из двух подусловий: ЕСЛИ (:1;1 == S) и (Х2 == L) ИЛИ (J1 == L) И (Х2 == S), (4.66) rде функции принадлежности отдельных нечетких множеств представле ны на рис. 4.27. Функция принадлежности псрвоrо подусловия может быть найдена с использованием оператоrа IIN. Функпия принадлежности BToporo по 
170 rлава 4. Нечеткая математика М(Хl,Х2) м Х 1, Х2) ML(Xl) 1 :"'" М8 (х 1 ) I " I " I " I " I " I " I ", 1 ....1 ........ I *,,' I ........ I ........ I .... I ........ I ........ I ........ I ,;; I ML(X2) MRl (Хl, Х2) Ms (Х2) /: I I I I I , I I " I I I I I Хl " I I I I I I I I I I I I Xl Х2 Х2 MR2 (Xl, Х2) Рис. 4.28. Функции принадлежности подусловий Rl и R 2 , составляющих усло вие правила (4.67) дусловия вычисляется аналоrично: ILR 1 (Xl,X2) == MIN(ILS(Xl),ILL(X2)), IL R 1 (х 1 , Х 2) == MIN (IL L ( Х 1 ), IL S ( Х 2) ) . (4.67) Функции принадлежности подусловий представлены на рис. 4.28. Для выполнения операции ИЛИ в правиле (4.66) в качестве SHOpMbI можно взять оператор МАХ. В этом случае функция принадлежности результирующеrо отношения R == R 1 U R 2 вычисляется по формуле: ILR(Xl, Х2) == MAX(ILR 1 (Хl, Х2), ILR2 (Хl, Х2))' Указанная функция rрафически представлена на рис. 4.29. (4.68) . в нечетких моделях также при меняется операция, противоположная цилиндрическому продолжению. Она называется проекцией. Если ци линдрическое продолжение повышает размерность области определения Х 1 нечеткоrо множества А( Хl), задавая отношение А * (Хl, Х2) на обла сти определения Х 1 х Х 2 , то проекция отношения А(Хl, Х2), заданноrо на области определения Х 1 х Х 2 , дает в результате нечеткое множество А*(Хl) с областью определения Х 1 , имеющей меньшую размерность. Ta ким образом, операция проекции противоположна цилиндрическому про должению. Определение 4.2.6. Если А  нечеткое отношение с областью определе ния Х 1 Х Х 2 , то проекцией этоrо отношения на область Х 1 называется нечеткое множество А*, имеющее следующий вид: А*(Хl) == Proj А(Хl, Х2) == МАХ[А(Хl, Х2)]' Хl Х2 
4.2. Нечеткие отношения 171 М(Хl,Х2) 1 MS(Xl) ML(Xl) ML (Х 7 ) Ms (Х2 J MR(Xl,X2) Х2 Рис. 4.29. Результирующая функция принадлежности отношения R( Xl, Х2), определяющеrо значение истинности сложноrо условия в правиле (4.66) Таблица 4.9 Дискретная функция принадлежности отношения A(Xl, Х2)  3 4 5 Х2 6 1 0.5 О 7 0.5 0.5 О 8 О О О Понятие проекции иллюстрирует пример 4.2.9. Пример 4.2.9. Имеется отношение А (табл.4.9), заданное на области определения Х == X 1 Х Х 2 . Найдем ero проекцию на область Х 1 : Х 1 == {аl,а2,аз}, Х 2  {Ь 1 ,Ь 2 ,Ь з }, Proj А == J\1AX[A(Xl, Х2)] == А*('Тl)  ( , 0.5 ,  ) . Х2 аl а2 аз Окончательный вариант проекuии представлен на рис. 4.30. 11 
172 rлава 4. Нечеткая математика M(XlX2) M(XlX2) о 1 ProjXl А A(XlX2) Q I I I I I I : ь W Ь 2 Ь з о о о о Хl Хl а) 6) Рис. 4.30. rрафическая иллюстрация нечеткой проекции дискретноrо (а) и непрерывноrо (6) отношения 4.3. Импликация Импликацией называется вид отношения, имеющеrо форму правила, ис пользуемоrо при рассуждениях. Различают классическую и нечеткую им пликации. Классическая импликация выражается с помощью соотношения (Poradnik 1971): ЕСЛИ р ТО q. ( 4.69) Сокращенная ее форма имеет вид: р  q, (4.70) rде р  утверждение, называемое антецедентом (условием), q  утверждение, называемое консеквентом (заключениеl\r1, резуль TaTOlVl) . Утверждения в классической лоrике MorYT быть абсолютно истинны ми (Мр == 1, /-Lq == 1) либо ложными (Мр == О, /-Lq == О). Истинность или лож ность импликации зависит от конкретных значений Jlp и /-Lq (истинности антецедента и консеквента). Значение истинности импликации опреде ляется ее функцией принадлежности Jlpq, которая может принимать только два значения, а именно, О и 1. Функция принадлежности клас сической импликации l\10жет быть однозначно задана в форме табл.4.10 (Poradnik 1971; Кпарре 1994, Kahlert 1994). Как леrко убедиться, функция принадлежности классической импли кации может быть вычислена по формуле /-Lpt(j == IvlAX(l  JLp, Ilq). (4.71) 
4.3. Импликация 173 Таблица 4.10 ФУНКЦИЯ принадлежности кла ссичес кой импликации f-1pq [;I;J J1pq I 1 1 1 1 О О О 1 1 О О 1 Оператор классической импликации имеет ряд свойств, которые за трудняют ero использование в нечетком моделировании и управлении. Пример 4.3.1. Рассмотрим импликацию следующеrо вида: ЕСЛИ (состояние автомобиля:с == новый) ТО (расход топлива у == малый) (4.72) Область значений Х переменной «состояние автомобиля» имеет би нарную форму представления (новый: х == 1, старый: з; == О). Аналоrич ным образом задана область значений У переменной «расход топлива» (малый: у == 1, большой: у == О). Утверждение (состояние автомобиля == новый) == р является антецедентом, Утверждение (расход топлива == малый) == q является консеквентом. Можно поставить следующий вопрос: в каком случае импликация (4.72) будет истинной (jLpq == 1) и в каком случае ложной (/Lpq == О)? Заменяя линrвистические значения (новый, старый) на х и значения (малыЙ, большой) на у, получаем четыре возможных состояния Si ИМ пликации. 51: ЕСЛИ (состояние автомобиля == новый) ТО (расход топлива == малый), ''''р == 1, jL lj == 1, /l р  q == 1. При х == новый, у == малый импликация является истинной. 52: ЕСЛИ (состояние автомобиля == новый) ТО (расход топлива == боль шой), ''''р == 1, /Lq == О, ILpq == О. При х == новый и у == большой импликация (4.72) является ложной. ДанныЙ факт вполне понятен, поскольку условие (состояние автомобиля 
174 rлава 4. Нечеткая математика J-L /-Lрq(Х,у) 1 1 Мр Х . у (расход топлива) х (состояние автомобиля) н с н с у а) 6) Рис. 4.31. Дискретные функции принадлежности условия Мр и заключения J-Lq (а) и функция принадлежности импликации J-Lpq, определенной на дeKapTO БОМ произведении Х х У (н  новый, с  старый, м  малый, б  большой) (6) == новый) не изменилось, и потому изменившееся заключение (расход топлива == большой) не может быть истинным. S3: ЕСЛИ (состояние автомобиля == старый) ТО (расход топлива  ма.. лый) , Мр == О  J-Lq == 1, J-Lpq == 1. При х == старый и у == малый импликация (4.72) является истинной. Это следует из Toro, что рассматриваемая импликация (4.72) касается только факта (состояние автомобиля == новый), не rоворя ничеrо о про.. тивоположном ему факте (состояние автомобиля == старый). Соrласно классической лоrике в данном случае MorYT быть истинными как заклю" чение (расход топлива == малый), так и заключение (расход топлива = большой), входящее в S4. S4: ЕСЛИ (состояние автомобиля == старый) ТО (расход топлива == боль.. шой), Мр == О, I1q == О, J-Lpq == 1. Импликация (4.72) для данных значений х, у является истинной по той же причине, что и в случае S3. Функция принадлежности дис.. кретной импликации Jlpq, рассмотренной в данном примере, показана на рис.4.31. Недостаток оператора классической импликации состоит в том, что если условие вообще не выполняется (Мр == О), то импликация являет.. ся истинной, и это приводит К взаимно исключающим выводам (расход топлива == малый) и (расход топлива == большой) (рис. 4.32). . 
4.3. Импликация 175 Mpq(X, у) 1 Mpq(C, у) . с о , , , , 6'/ , ,/ , , 6'/ Х == С х у Рис. 4.32. Функции принадлежности импликации f.-Lр----.+q(Х, у) для Х == с (старый) в случае нечетких систем управления, при одновременной активации множества нечетких правил, использование оператора классической им пликации оказывало бы на процесс управления неблаrоприятное воздей ствие (Kahlert 1994). В данной ситуации требуются операции более OДHO значные, и потому в нечетком управлении и большинстве задач нечеткоrо моделирования чаще Bcero используется друrая импликация  имплика ция Мамдани, которая будет описана далее. Нечеткая импликация Нечеткая импликация представляет собой правило R, простейшая форма KOToporo выражается в виде (4.73): ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В), (4.73) rде (х == А)  условие (антецедент), а (у == В)  заключение (KOHce квент) . Здесь А и В  нечеткие множества, заданные своими функциями при надлежности МА(Х), flB(y) и областями определения Х, У COOTBeTCTBeH но. Обозначение нечеткой импликации имеет вид: AB. (4.74) Различие между классической и нечеткой импликацией состоит в том, что в случае классической импликации условие и заключение MorYT быть либо абсолютно истинными, либо абсолютно ложными, в то время как 
176 rлава 4. Нечеткая математика для нечеткой импликации допускается их частичная истинность, со зна чением, принадлежащим непрерывному интервалу [0,1]. Такой подход имеет ряд преимуществ, поскольку на практике редко встречаются си туации, коrда условия правил удовлетворяются полностью, и по этой причине нельзя полаrать, что заключение абсолютно истинно. Как и любое друrое нечеткое отношение, нечеткая импликация зада ется функцией принадлежности MAB(X, у), область определения KOTO рой является декартовым произведением Х х У соответствующих обла стей условия и заключения. Функция принадлежности импликации MAB(X, у) лежит в основе так называемых нечетких рассуждений (см. п. 5.1.2), обеспечивающих возможность вычисления выходноrо значения нечеткой модели (реrулято ра) для заданных входных значений. Чтобы определить данную функцию на основе функций принадлежности условия M4(X) и заключения J.lB(Y), следует использовать подходящий оператор импликации. Оператор им пликации Мамдани основан на предположении, что степень истинности заключения JlB(Y) не может быть выше, чем степень выполнения условия МА(Х): р А  В ( Х, у) == l\1IN (М А ( х )  Jl В (у ) ) . (4.75) Интуитивно такое предположение вполне понятно. Например, для правила ЕСЛИ (состояние автомобиля == новый) ТО (расход топлива == малый) (4.76) вполне очевидно, что если автомобиль не является абсолютно новым, то расход топлива у Hero не может быть таким же низким, как у абсолют но HOBOI'O автомобиля. В дополнение к оператору Мамдани, внечетком управлении также используется оператор алrебраическоrо произведения PROD: Jl А  В (Х, у) == /.l А (.т) . JL в (у) . ( 4. 77) Помимо представленных выше операторов нечеткой импликации, ис следовано также множество друrих операторов, результаты применения которых зависят от конкретной задачи. Данные операторы приведены в т а бл. 4.11. Соrласно результатам исследований, опубликоваННЫl\1 в (Кпарре 1994), оператором, имеюпl,ИМ наилучшие характеристики по определеННОl\fУ Ha бору критериев, является оператор Лукасевича. ()стальные операторы. приведенные в табл.4.11, упорядочены по убыванию степени удовлетво рения этим критериям. ПРИlV1ер 4.3.2 иллюстрирует lVlетод построения 
4.3. Импликация 177 Таблица 4.11 Операторы нечеткой импликации импликация Лукасевича 1\ 1IN (1. 1  J1 А ( х) + J1 в (у ) ) импликация КлиниДинса 1\IAX(l  МА(Х)' J1П(У)) импликация 1  РА(Х) + МА(Х) . J1B(Y) Клини Динса Лукасевича импликация rёделя { B(Y) дЛ Я J1 А (х)  /1: В (у) в друrих случаях импликация Яrера ( /1: А ( Х ) ) /1 В (у ) импликация Заде 1\ lАХ (1  J1 А ( Х ), 1\ lIN (J1 А ( Х ) , J1 п (у) ) ) JL(X) JL(Y) 1  малый Jl(Y) 1 новый JL(X) о 1 2 3 Х о 5 6 7 8 У срок службы автомобиля (лет) расход топлива Рис. 4.33. Функции принадлежности нечетких множеств «новый» И «малый», содержащихся в условии и заключении функции принадлежности импликации MAB(X, у) с использованием оператора Мамдани. Пример 4.3.2. Рассмотрим нечеткую Иl'vlпликаuию: ЕСЛИ (состояние автомобилях == новый) 'ТО (расход топливау == малый), (4.78) [де нечеткие множества «новыЙ» И \<малыЙ» заданы функциями принад J1ежности Р.п('Т) И jJJS(Y), представленными на рис. 4.33. Функция принадлежности Иl\IПJIикации (4.78) представлена на рис. 4.34. Используя ПОДХОДЯИJ,ий метод вывода и имея определен ное значение .Си переJ\ленной J>, содер)кащейся в условии правила, можнu 
178 rлава 4. Нечеткая математика J-L МВ (у) 1 МА(Х) /// ", / / , / , / , / , / , / , / , / ' / ' /// ", // " / " / , / , " 2"" , , / // / / / / / / / / / / Х (срок службы автомобиля) у (расход топлива) Рис. 4.34. Функция принадлежности МА-----+В(Х, у) импликации (4.78), получен ная с использованием оператора Мамдани J-L х == 1.5 J-L мв(у) 1 ШШШШШ/'J-LАв(1.5, у) I , / I , , 1 Х о 4 5 6 7 8 у б) MAB(X,y) у MAB(1.5, у) а) Рис. 4.35. Функция принадлежности импликации МА-----+В(Х, у) для заданноrо значения переменной Х == Ха == 1.5 (а) и ее проекция на плоскость {М, у} (6) определить функцию принадлежности заключения MAB(Xa, у), которую затем можно использовать для вычисления четкоrо значения Уа на BЫXO де нечеткой модели (рис. 4.35). Эта задача будет рассмотрена в разделах 5.1.2 и 5.1.3. 11 
r ЛАВА 5 Нечеткие модели 5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях На рис.5.1 представлена типовая структура нечеткой модели системы с двумя входами и одним выходом. На входы нечеткой модели поданы два четких числовых значения X, X. Блок «ФА33ИФИКАЦИЯ» (FUZZIFICATION) вычисляет их степени принадлежности входным нечетким множествам A i , Bj. ДЛЯ BЫ полнения указанной операции блок фаззификации должен иметь доступ к точно определенным функциям принадлежности MAl (Хl), МВ) (Х2) BXO дав. При меры таких функuий принадлежности приведены на рис.5.2. Вычисленные и представленные на выходе блока фаззификации CTe пени принадлежности MAl (xi), Мв) (x) дают информацию о том, в какой степени числовые значения xi, Х 2 принадлежат конкретным нечетким множествам, т. е. насколько эти величины являются малыми (А 1 , B 1 ) или большими (А 2 , В 2 ). Блок «ВЫВОД» (INFERENCE) на входе получает степени при надлежности МАl (xi), МВ] (х 2 ) и на выходе вычисляет так называемую результирующую функцию принадлежности выходноrо значения модели (рис. 5.1). Данная функция обычно имеет сложную форму и определяется посредством вывода, который может быть осуществлен множеством спо собов. Для выполнения вычислений блок вывода должен включать в себя следующие cTporo определенные элементы: . база правил, . механизм вывода, . функции принадлежности выходноrо пара метра у. База правил содержит лоrические правила, которые задают имею щие место в системе причинноследственные отношения между нечет кими значениями ее входных и выходных величин. База правил может, 
* Хl  * Х2  : :1 Система I  о Хl Хl .и(Хl)  l А2 * )1А 1 (Хl) * Хl Xl у .. Операция ФАЗЗИФИКАЦИЯ Элементы · функции принадлеж ности входных пара метров Х 1, Х2 )1А I(X;) * . )1A 2 (Xt) * . )1В/ Х 2) *. РВ/ Х 2)  . Операция ВЫВОД Элементы · база правил; :J . механизм вывода; . функции принадлеж ности выходноrо параметра у  о Х2 Х2 fl(X2) B2(X;) * Х2 Х2 )1 res (у) .  о у у Операция ДЕФАЗЗИФИКАЦИЯ Элементы . механизм дефаззификации )1res(Y )  Рис. 5.1. Структура нечеткой модели системы с двумя входами и одним выходом . 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 181 )l (х 1) 1 )l (х 2) 1 о 2 Х1 о 2 Х2 А 1 == малый (примерно О), В 1 == малый (примерно О), А 2 == большой (примерно 2)  В 2 == большой (примерно 2), Х 1 : О ( Х1 ( 2 Х 2 : О ( Х2 ( 2 Рис. 5.2. При меры функций принадлежности нечетких множеств с указанием их области определения )l (у) 1 о 4 8 у С 1 == малый (примерно О), С 2 == средний (примерно 4). С 3 == большой (примерно 8) Рис. 5.3. Примеры функций принадлежности нечетких значений выхода модели с указанием области определения например, иметь следующий вид: Rl : ЕСЛИ (:r'1 == А]) И ('Т2 == B 1 ) то (у == С 1 ), R2: ЕСЛИ (Хl == А 1 ) И (J2  В 2 ) то (у == (}2), R3: ЕСЛИ (rl == А 2 ) И ('Т2 == Н]) ТО (у == С 2 ), R4: ЕСЛИ (Х1 == А 2 ) И (:Е2 == В'2) ТО (у == С з ), (5.1) rде нечеткие значения входных параlVlетров (r11  fv1алый, А 2  боль шой и т. д.) представлены на рис. 5.2, а выходных  на рис. 5.3. Реluение ВОЗ.поженной на блок вывода задачи, связанной с определе нием результирующей ФУНКllИИ принадле)l(НОСТИ J1res (у), обеспечивается механизмом вывода, который состоит из следующих эле1\1ентов: IM1: элемент, вычисляющий степень выполнения каждоrо правила Ri в отдельности, 1М2: элемент, вычисляющий активизированные функции принадлежно сти заключений каждоrо правила Ri, 
182 rлава 5. Нечеткие модели 1М3: элемент, вычисляющий результирующую функцию принадлежно сти I-Lrеs(У) выходноrо значения на основе активизированных за.. ключений отдельных правил. Приведем при мер механизма вывода для системы с двумя входами: IMl: аrреrация условий правил с использованием оператора PROD дЛЯ пересечения множеств (И) и оператора J\fAX для объедине.. ния множеств (ИЛИ), 1М2: определение активизированных функций принадлежности заклю" чений правил с использованием оператора импликации Мамдани, 1М3: определение результирующей функции принадлежности I-Lrеs(У) выходноrо значения (аккумуляция) с использованием операто.. ра l\1AX. Блок «ДЕФА33ИФИКАЦИЯ» (DEFUZZIFICATION) на основе результирующей функции принадлежности I-Lres (У) вычисляет четкое числовое значение у* выходноrо параметра, являющееся результатом для входных числовых значений xi, X. Данная операция выполняется посредством механизма дефаззификации, который определяет метод вычисления. Примером механизма дефаззификации является метод цен.. тра тяжести. Далее будут описаны отдельные блоки нечеткой модели и различные варианты выбора их элементов. 5.1.1. Фаззификация в блоке фаззификации, представленном на рис. 5.4, вычисляются сте.. пени принадлежности числовых значений входных параметров модели входным нечетким множествам. Равенство 0.3 степени принадлежности входноrо значения xi == 1.4 нечеткому множеству А 1 (малый) означает, что степень соответствия данноrо значения наиболее типичному малому значению (О) равна 0.3. С друrой стороны, утверждение о том, что значение xi == 1.4 большое, является истинным со степенью 0.7. Таким образом, указанное значе.. ние Xl в большей степени соответствует типичному большому значению (2), чем типичному малому (О). ДЛЯ вычисления степеней принадлежности значений конкретным нечетким множествам, функции принадлежности последних должны быть точно заданы на качественном (вид функции) и количествен.. ном (ее параметры) уровне. Как форма функции принадлежности, так и ее параметры, оказывают существенное влияние на точность модели 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 183 * х}==1.4 * Х2 == 1.6 операция ФАЗЗИФИКАЦИЯ элементы . ФУНКЦИИ принадлеж ности входных пара метров х}, Х2 f.-lА} (х; ) == 0.3 * f.-lА2(Х} ) == 0.7 * f.-lв} (Х2 ) == 0.2 f.-lв (Х2*) == 0.8 ,ц(Хl) ,ц(Хl) Bl В 2 !i- X 2) В} В 2 1 1 ?1 1 :::: "." I ,.'" I .... .... .3 0.7 : 0.2 .... 0.8 О Х] 2 Х} О 2 Xl х; = 1.4 х; = 1.4 А 1 == малый (примерно О), В 1 == малый (примерно О), х; = 1.6 х; = 1.6 А 2 == большой (примерно 2), В 2 == большой (примерно 2) Рис. 5.4. Блок фаззификации и пример ero работы (Baglio 1994). Примером математическоrо описания ФУНКЦИЙ принадлеж насти (см. рис. 5.4) является совокупность выражений вида: fLA 1 (Xl) == 0.5(2  Xl), МВ1 (Х2) == 0.5(2  Х2), fL A 2 (Xl) == 0. 5Х l, М В 2(Х2) == 0. 5Х 2. (5.2) в процессе фаззификации четкий входной вектор J{* преобразуется в вектор М степеней принадлежности, которые, в свою очередь, являются входными данными для блока вывода: М== МА1 (xr) MA2(xi) МВ1 (Х 2 ) МВ 2 (Х2) Х* == [  ] фаззификация 5.1.2. ВЫВОД Блок вывода на основе степеней принадлежности MA (Хl), МВ) (Х2) BXOД ных значений определяет результирующую функцию принадлежности I1res(Y) выходноrо значения модели (рис. 5.5). Операция вывода включает в себя следующие шаrи: 1) вычисление степеней выполнения отдельных правил (точнее, их усло ВИЙ) , 
184 rлава 5. Нечеткие модели операция * ВЫВОД }1Аl (Хl ).... * ... элементы }1А2(Хl ).... * ... * база правил; J.1res(y) ... }1в} (Х2 ).... * механизм вывода ... * ... }1В2(Х2 ).... * функции принадлеж ... ности выходноrо параметра у Рис. 5.5. Блок вывода нечеткой модели 2) определение активизированных функций принадлежности заключе ний отдельных правил, 3) определение результирующей функции принадлежности вывода из всех правил, входящих в базу. в классической лоrике разработан ряд правил рассуждений, назы * ваемых тавтолоrиями . Одним из наиболее известных является Modus Ponens, в рамках KOToporo процесс рассуждений имеет вид: I Факт х==А , Импликация ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В), У == В. Заключение в классической тавтолоrии типа Modus Ponens для условия (х == А) и заключения (у == В) допустимы только два дискретных значения ис тинности  О И 1, а факт (х == ...) должен полностью соответствовать условной части импликации: ЕСЛИ (х == 4) ТО (у == В). Лишь в ЭТОfvl случае импликацию можно использовать в процессе рассуждений. Как условная, так и заключительная части правил должны иметь строrую, детерминированную формулировку. Утверждения, coдep Тавтолоrия  тождественноистинная формула в ИСЧИСJIении выIказыbIаний,' KOTO рая при любых ВОЗМОЖНЫХ истинностных значениях ВХОДЯЩИХ в нее переменных ис тинна, т. е. она общезначима исключительно в силу CBoero синтаксиса. На таВТОЛОП,IИ (р !\ (р 4 q))  (j основано одно из наиболее важных правил рассуждений в JIоrике  правило Modus Ропеп.  Прим. рсд. 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 185 жащие неточные, размытые формулировки, такие как (х == примерно А), (х == более чем A) (у == более или менее В), являются недопустимыми. В нечетком моделировании и управлении применяются приближенные рассуждения, позволяющие использовать в условиях и заключениях правил нечеткие формулировки. Прибли женное рассуждение, основанное на тавтолоrии типа Обобщенный (generalized) Modus Ponens (GMP), имеет вид: Факт т == А * , Импликация ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В), Заключение у == В*. Здесь А* и В* MorYT, например, иметь вид А* == более чем А, В* == более или менее В и т. п. Приведем при мер рассуждения, на основе GMP: Факт маршрут поездки очень протяженный, Импликация ЕСЛИ (маршрут поездки протяженный) ТО (время в пути длительное), Заключение время в пути очень длительное. Рассуждения, основанные на обобщенном Modus Ponens, не всеrда дают хорошие результаты. Это иллюстрируется следующим примером: Факт время нахождения на солнце очень длительное, Импликация ЕСЛИ (время нахождения на солнце длительное) ТО (кожа становится заrорелой), Заключение кожа становится очень заrорелой. Приближенное рассуждения, основанное на GMP, приводит к заклю чению «кожа становится очень заrорелой», хотя после чересчур длитель Horo пребывания на солнце наша кожа часто становится не заrорелой, а красной изза солнечноrо ожоrа. Правило вывода GMP можно использовать в том случае, если оно допускает возможность экстраполяции (Кпарре 1994), которая позволяет ero ПРИl\1енять и тоrда, коrда х лишь приблизительно равно А (нет точ ной соrJIасованности факта с условием праВИJIа). Получаемые заключе ния (у приблизитеJIЬНО равно В) также ЛИIIIЬ «приближенно» соrласуются 
186 rлава 5. Нечеткие модели Факт: х = примерно 3 = (примерно2)* J1(x) J1(x) 1  примерно 2 П р име р но 3  3 1 7 примерно 11' I I о. 75 7C' ! 1 J '1 1 1 '1 1 }, / :' 1 1 \ 1 I \ 1 : \ 5 х 2 3 4 5 х Импликация: ЕСЛИ (х == примерно 2) ТО (у == примерно 4) J1(x) J1(x) примерно 4 1 2 345 х 234 5 6 у Заключение: (у == примерно 4)* ,u(y ) 1 0.75 I 1 1 2 3 4 5 6 у Рис. 5.6. Пример вывода с использованием обобщенноrо правила Modus Ponens (методика нахождения заключения описана в разд.5.1.2.2) с действительностью. В практике нечеткоrо моделирования и управления схема вывода, основанная на GMP, демонстрирует свою корректность и является универсальной  СМ. при мер на рис. 5.6. 5.1.2.1. Оценка степени выполнения условия Для выполнения нечеткоrо вывода необходимо, прежде Bcero, определить степень выполнения (значение истинности) условия каждоrо отдельноrо правила. В отличие от классической лоrики, в качестве значений дaH ной степени MorYT выступать не только О и 1, но также дробные числа из интервала [О, 1]. в случае если степень выполнения условия правила равна О, то данное правило в процессе вывода не участвует, в то Bpe мя как чем эта степень выше, тем большее влияние правило оказывает на результат вывода. 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 187 )l(X) 1 * РА(Х 1 ) == 0.3 )lR(X *) == РА(Х*) о 2 Х * х 1 ==1.4 Рис. 5.7. Определение степени выполнения (значения истинности) простоrо условия ЕСЛИ (х == А) )l (х 1) * А 1 РА (х 1 )== 0.3 1 .., 1 I I * Х 2 == 1.6 * рв (х 2 ) == 0.8 2 * * )l R( х 1 , Х 2 ) == 0.24 * Хl == 1.4 о 2 Хl )l (х 2) 1 PROD * * * * JlR(Xl 'Х2)== РА 1 (Х 1 )РВ 2 (Х2) Рис. 5.8. Определение степени выполнения (значения истинности) конъюнктив Horo сложноrо условия ЕСЛИ (Хl == А 1 ) И (Х2 == В 2 ) eTOД вычисления степени истинности условия зависит от вида по следнеrо. В случае простоrо условия вида: ЕСЛИ (х == А), (Б.3) для х == х* степень MR(X*) выполнения условия равна степени принад лежности значения х* множеству А (рис. 5.7). В случае сложноrо условия, состоящеrо из двух простых подусловий, связанных лоrическим союзом И (конъюнктивное условие), что COOTBeT ствует выражению ЕСЛИ (Хl == А 1 ) И (Х2 == В 2 ), (5.4) степень выполнения условия для числовых значений aprYMeHToB Хl == xi и Х2 == Х2 определяется как степень принадлежности нечеткому отноше нию R: MR(x1, X) == М А I ПВ 2 (х1, x) == Т(МА 1 (х1), РВ2 (x)), (Б.5) rде А 1 , В 2  нечеткие множества, Т  один из операторов tHOpMbI, Ha пример, PROD (рис. Б.8). 
188 rлава 5. Нечеткие модели Jl (х 1) 1 !.I JlA (x) == 0.3 I 1 I * Х 2 == 1.6 Jl B (Х;) == о. 8 2 .<... JlR(X, X)== 0.8 Х; == 1.4 о Jl2) 1 МАХ JlR(X; ,х;) ==MAX(JlA1<X;), Jl B2 (х;)) Рис. 5.9. Определение степени выполнения альтернативноrо сложноrо условия ЕСЛИ (Хl == А 1 ) ИЛИ (Х2 == В 2 ) Если сложное условие состоит из двух простых подусловий, связан.. ных лоrическим союзом ИЛИ (альтернативное условие) ЕСЛИ (Xl == A 1 ) ИЛИ (Х2 == B2) (5.6) то для заданных значений aprYMeHToB Xl == xi и Х2 == Х 2 степень выпол" нения условия вычисляется как степень принадлежности отношению R: MR(x7,x) == MAIUB2(x7,x) == S(MA 1 (x7),MB2(X))' (5.7) rде S  один из операторов SHOpMbI, например, МАХ (рис. 5.9). Условия MorYT иметь более сложную форму, чем в выражениях (5.4) или (5.6), и MorYT состоять из множества частей, связанных союзами И, ИЛИ, как показано в выражении: ЕСЛИ (Х1 == A 1 ) и (Х2 == В 2 ) ИЛИ (.Tl == А 2 ) И (Х2 == в 1 ). (5.8) При нахождении степени выполнения сложноrо условия вначале сле.. дует выполнять все операции пересечения И, а затем все операции объ.. единения ИЛИ. ДЛЯ этих целей можно использовать определения 4.2.4 и 4.2.5. Процесс вычисления степени выполнения условия (5.8) для зна.. чений aprYMeHToB xi == 1.4, 12 == 1.6 показан на рис.5.10. Вычисление степени выполнения сложных условий, являющихся ком.. бинацией простых, иноrда называют аrреrированием (Кпарре 1994). В при мерах на рис. 5.75.10 в качестве aprYMeHToB условий выступали четкие числовые значения Х] == 1.4, Х 2 == 1.6. Вместе с тем, aprYMeHTbI условий (входные значения нечеткой модели) MorYT быть также заданы в форме нечетких множеств АТ, в;, отличных от нечетких множеств A i , Bj, фиrурирующих в самих условиях. Рассмотрим простое условие ЕСЛИ (х == А) в ситуации, коrда вход.. ное значение модели задано в виде нечеткоrо числа А*. Степень сходства 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 189 ).l R (х;, х;) == 0.24 PROD х;==l.4 О Р(х2) * 1 J2 )lB 2 (X2)==0.8 )lB 1 (X;)== 0.2 МАХ PROD ( * * )  J.lR 2 Xl, Х2  0.14 J.lR(X;, х;) ==MAX().lR 1 (х;, х;), J.lR 2 (X; ,х;)) J.lR ] Cx;, Х;) ==РА (Х;) Рв (Х;) ] 2 f.l R 2 (х;, х;)  f.lA 2 (X;) f.lB I(x;) Рис. 5.10. Определение степени выполнения сложноrо условия Е С Л И ( .1: 1 == 41) И ( .r 2 == В'2) И ,П и (:r 1 == 4 2) И (х 2 == В 1 ) (или, более кратко, сходство) двух нечетких множеств А и А *, которая является одновременно степенью выполнения MR(X*) условия правила, вычисляется по формуле: h == l\1AX I\fIN (м F1 (х ), м А * (;Т) ). хЕХ (5.9) При выполнении операции, задаваемой выражением (5.9), на первом шаrе определяется общая часть А n А* нечетких множеств, а на втором шаrе находится максимум ее функции принадлежности (рис. 5.11, а). В случае если нечеткое множество А* является одноэлементным, как показано на рис. 5.11,6, степень сходства h совпадает со степенью при J.1 (х) J.1 (х) А* А А*А / АnА* Х Х а) б) Рис. 5.11. Определение простейшей меры сходства h двух нечетких множеств А и А* (а) и частный случай нечеткоrо множества (одноточечное множество) ..4* == .у* (6) 
190 rлава 5. Нечеткие модели надлежности х* множеству А и равна ILА(Х*). В результате нахождения степеней выполнения условий для отдельных правил, получаем инфор" мацию о том, какие правила должны участвовать в процессе вывода, и в какой мере должно проявляться данное участие, а также возмож" ность определения активизированных функций принадлежности заклю.. чений отдельных правил при данных входных значениях х; нечеткой модели. 5.1.2.2. Определение активизированных функций принадлежности заключений отдельных правил при заданных входных значениях нечеткой модели Определение активизированных функций принадлежности заключений отдельных правил основано на степени выполнения их условий. Данная операция, которая может быть названа ВЫВОДОМ на правилах, выпол" няется с использованием операторов нечеткой импликации, описанных в разд.4.3. В настоящем подразделе мы опишем эту операцию более подробно, а также приведем примеры ее использования. Пусть вывод следует осуществлять в соответствии справилом: ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В), (5.10) rде функции принадлежности ILА(Х), ILВ(У) показаны на рис. 5.12, а вход.. ное значение х* == 6.5. Как видно из рис.5.12, степень выполнения условия правила рав" на 0.5. Используя импликацию Мамдани, можно определить активизи.. рованную функцию принадлежности импликации А  В, которая пред" ставляет собой некоторое нечеткое отношение R: ILR(X, у) == MIN(j1A(x), ILВ(У)), R : А  В. (5.11) Соответствующая данному отношению поверхность изображена на рис. 5.13. Поверхность функции принадлежности импликации ILR(X, у) полу.. чена на основе цилиндрических продолжений множеств А(х) и В(у) на декартово произведение )( х У. ДЛЯ заданноrо входноrо значения Х == х* можно перейти к двумерной функции принадлежности им.. пликации ILR(X*, у)  данная функция представляет собой специальный срез полной трехмерной функции ILR (Х, у). Проекция функции ILR(X*, У) на плоскость {IL, у}, обозначаемая IL В* (у), является результатом вывода для данноrо правила. 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 191 f.L (х) 1 f.L (у) А в 1 5 6 7 * Х == 6.5 Х 6 7 8 У Рис. 5.12. Функции принадлежности нечетких множеств А и В для правила (5.10) ,1\ / ,'/ \ " / Х " / \ * , / \ РА(Х ) ,''',' \ ,. ;r7\ " / / / I \ ,," " , / I \ / ' ,,' I \  ,/ / / I \ " '" J"" 1 2 3 /,' 4 ,,' 5,'" 6," ,,' 7 Рв(У) /' 1 // // /../'<> ' (  r\(); шшшш6,,/<::>/'//>/ x6.5 J.l В* У) 1 \,. I I \ /',,' /,'  ztfr"""" ,',' \1 1 1,,'\ , " " l' '"   5 7t;r Х ,,' 6/;L; \:; ;.' 8Iшшшшшш;;тi  ::// J..lR(X,y) J.lR(X: у) РА(Х) Х R:AB у Рис. 5.13. Иллюстрация нечеткоrо вывода для правила ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В) и входноrо значения х == х* Леrко заметить, что, в зависимости от KOHKpeTHoro входноrо значе ния х*, результат вывода J-.LB*(Y) так или иначе отличается от исход ной функции принадлежности J-.LB(Y). В отдельном случае, коrда степень выполнения условия J-.LA(X*) == 1, функции J-.LB* (У) и J-.LB(Y) совпадают. Функцию принадлежности J-.LB* (У) иноrда называют модифицированной функцией принадлежности заключения, а нечеткое множество В*  модифицированным нечетким значением В заключения (Кпарре 1994). Для Toro чтобы найти модифицированную (активизированную) Функ цию принадлежности J-.LB* (У) заключения, нет необходимости определять трехмерную функцию принадлежности J-.LR(X, у) импликации  есть более простой способ, который и используется с этой целью на практике. Как 
192 rлава 5. Нечеткие модели J1 (х) f.1 (у) 1 J1 А (х) / 1 * J1A(X )== 0.5 J1B(Y) 1', / 1 I , 1/ : \ J1 в*(у)   5 х*== 6.5 6 7 х 6 7 8 У Рис. 5.14. Упрощенный метод вывода на основе правила с использованием оператора импликации Мамдани J1 (х) 1 J1 (У) J1 А (х) 1  * 'L ( ) =: Q .:.   J1B(v) II\ 1 I , 1 , , (v) / l' J1B* 7 , 1 ' 1 1 1 1. 5 * х == 6.5 6 7 х 7 8 9 у Рис. 5.15. Вывод с использованием оператор импликации PROD видно из рис. 5.13, функции ILR(X*, у) и 11в* (у) совпадают и, в случае ис пользования импликации Мамдани (5.11), MorYT быть получены простым усечением функции принадлежности заключения fl}i(Y) до уровня степе ни выполнения ILА (х*) условия правила. Фактически, операция вывода на основе импликации Мамдани выполняется в соответствии с рис. 5.14. Применение друrих операторов импликации приводит к получению друrих модификаций функции принзд.пежности заключения. На рис. 5.15 показан вывод с использованием оператора PROD. Если в качестве входноrо значения х* выступает нечеткое множе ство А*, отличное от множества А в посылке правила: ЕСЛl1 (х == ",4) ТО (у == В), то модифицированная (активизированная) функция принадлежности {LB* (у) заключения может быть определена на основе композиционно 20 правила вывода Заде (Kahlert 1994,1995), задаваемоrо с помощью определения 5.1.2.2.1. Определение 5.1.2.2.1. Пусть А*  нечеткое множество с областью определения Х, и R  нечеткое отношение двух артументов, заданное на области определения Х х }Т. Результатом композиции А * и R (обозна 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 193 Р(Х,у) 1 РА(Х) , , 4 ,'/' 5'" ,./'/6 ,,' /' /,' " , " , ,'j1' ,/ " , r,., ,," ,," ,/ ,1 \', '" " , 1 2 3 8 Х , , , , , ,/"MIN (,иА(Х)' РА*(Х)) ,//' у J.lR(X, у)  J.l А *  R (Х , у) h == МАХ MIN (РА (х), РА*(Х)) ХЕХ Рис. 5.16. Нечеткий ВЫВОД на основе правила ЕСЛИ (.Т == А) ТО (у == В) в случае, коrда входным пара метром 1 модели является нечеткое множе ство А*(х) чается A*oR) является нечеткое множество В* с областью определения}Т и функцией принадлежности /LB* (у), имеющей вид: Jl в * (у) == МАХ MIN (М А * * (х, у ), Jl R ( х, у ) ) , хЕХ тде А ** (х, у)  цилиндрическое продолжение множества А * (х) на область определения Х х У. Схема построения модифицированной функции принадлежности JLВ*(У) изображена на рис.5.16. Как следует из рис. 5.16, в результате композиции отношения R( х, у) и нечеткоrо множества А * (х) (или, фактически, ero цилиндрическоrо продолжения А**(х. у)), получается нечеткое множество А* о R(x, у), функция принадлежности KOToporo имеет вид поверхности в трехмерном пространстве. Проекция композиции А * о R на область определения Уприводит К получению модифицированноrо нечеткоrо множества В*, которое COOT ветствует заключению правила. Функция принадлежности МВ* (у) этоrо множества имеет вид (5.12) и представляет собой функцию МВ(У), BЫCO та которой оrраничена значением h, выражающим степень выполнения 
194 rлава 5. Нечеткие модели J1 (х) J1 (у) 1 РА(Х) \ . J.lA*(X) 1 \ '\ 1\./ 1 \ 1 \./ 1 1 \ 1 \, \ h 1 1 \ 1  1 \ 1 \ 1 \ 1 \ ,.  Рв(у) ,\ 1 \ / \ Рв*(у) / 6 7 8 у MIN{J1A(X), РА*(Х)) Рис. 5.17. Упрощенный метод вывода в случае, коrда входным значением х* модели является нечеткое множество А*(х) Таблица 5.1 Дискретная функция принадлежности множества"условия А х 5 5.5 6 6.5 7 f1A (х) О 0.5 1 0.5 О условия: Jl == МАХ MIN(J1A(x),J1A*(x)). хЕХ (5.12) На практике, если в качестве входноrо значения нечеткой модели BЫ ступает нечеткое множество А*, можно использовать упрощенный метод вывода, представленный на рис. 5.17. Если модифицированные функции принадлежности МА(Х), ILВ(У) яв ляются дискретными (табл.5.1, 5.2), то модифицированную функцию принадлежности заключения ILВ* (у) можно определить, используя таб личную или матричную форму представления отношений. Иллюстрацией этому служит при мер 5.1.2.2.1. Пример 5.1.2.2.1. Найдем модифицированную (активизирован ную) функцию принадлежности заключения ILВ*(У) правила ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В) дЛЯ случая, коrда входное значение х ЯВ ляется четким числом: х == х* == 6.5, а функции принадлежности ILА(Х) и 11В(Х) представлены в дискретной форме (табл.5.1, 5.2). Используя формулу (5.13), построим таблицу отношения R == А  В, содержащую значения ILR(X, у): IL R ( х, у) == 11IN (Jj А ( Х ), IL в (у ) ) . (5.13) Функция принадлежности ILB* (у) вывода из правила при входном зна чении х* == 6.5 представлена в таблице отношения в виде строки, COOTBeT ствующей данному входному значению. Тот же самый результат можно 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 195 т а б л и ц а 5.2 Дискретная функция принадлежности множествазаключения В у 6 6.5 7 7.5 8 f1B (у) о 0.5 1 0.5 О т а б л и Ц а 5.3 Функция принадлежности отношения R == А --------+ В х\у б б.5 7 7.5 8 5 О О О О О 5.5 О 0.5 0.5 0.5 О б О 0.5 1 0.5 О 6.5 О 0.5 0.5 0.5 О  f1R(X*, у) == f1B* (у) 7 О О О О О J.l (х) 1 J.l А (х) J1 (у) R/ 1 I \ I \ 1\* I \ J1 А (х ) ?  I 1\ I I \ I I \ '\ J.lB(Y) I \ I \ I \ I \ PB*(Y) 5 х*== 6.5 6 7 х 6 7 8 У Рис. 5.18. Упрощенный вывод в случае дискретных функций принадлежности f1A(X) и ILB(X') получить путем оrраничения степеней принадлежности в табл. 5.2 поро rOBbIM значением 0.5, которое соответствует входному значению х* == 6.5. Данная упрощенная процедура определения дискретной функции принад лежности заключения 1"8* (у) схематически представлена на рис. 5.18. . в случае если условие правила состоит из множества простых под условий, соединенных лоrическими связками, результирующую степень истинности общеrо условия вычисляют, следуя принципам, изложенным в разд. 5.1.2.1 (аrреrирование условий), а на втором шаrе выполняют BЫ вод, соrласно методике, представленной в данном разделе. 
196 rлава 5. Нечеткие модели J.l (х) 1 J.l (у) 1 о 1 2 х о 1 2 3 4 У Рис. 5.19. ФУНКЦИИ принадлежности нечетких множеств, используемых в базе правил (5.14) 5.1.2.3. Определение результирующей функции принадлежности вывода из базы правил В результате вывода из т/ отдельных правил R i , составляющих базу правил, будут найдены rп модифицированных функций принадлежности заключений, на основе которых требуется получить одну результирую.. щую функцию принадлежности вывода из всей базы правил. Процесс определения общеrо вывода (заключения) иноrда называют аккумуля- цией (Кпарре 1994). Для выполнения аккумуляции существует ряд ме.. тодов, поскольку здесь можно при менять множество различных опера.. торов. Далее будут представлены наиболее часто используемые методы аккумуляции. Рассмотрим пример 5.1.2.3.1. Пример 5.1.2.3.1. Дана нечеткая модель с базой правил вида: R1 : ЕСЛИ (х == A 1 ) то (у == В}), R2: ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В 2 ). (5.14) Функции принадлежности используемых в правилах нечетких МНО" жеств представлены на рис. 5.19. Требуется определить результирующую функцию принадлежности ILres(Y) вывода из всей базы правил для вход.. Horo значения х == х* == 1.4. Все правила, входящие в базу, можно объединить в одно составное правило следующеrо вида: R: ЕСЛИ (1 == A 1 ) то (у == В}), ИЛИ ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В 2 ). (5.15) Правило R состоит из двух простых правил R1 и R2, объединенных лоrической связкой ИЛИ, что можно представить так: R == Rl U R2. (5.16) 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 197 Каждое правило представляет собой нечеткое отношение двух apry ментов (импликацию). Результирующее отношение R можно найти на основе определения 4.2.4, с использованием одной из SHOpM, например, оператора 11АХ, а ero функцию принадлежности /-LR(X, у) можно полу чить на основе функций принадлежности составляющих ero отношений (импликаций) по формуле (5.17): /-L R (Х, у) == МАХ (М Rl (х, У), /-L R2 (х, у) ). (5.17) Результирующую функцию принадлежности /-Lrеs(У) вывода из всей базы правил для заданноrо входноrо значения х == х* можно определить по формуле, задающей срез поверхности отношения при х == х*: 11res (у) == /-L R (х* , у). (5.18) Будем называть данный метод методом 1. Последовательность ero шаrов представлена на рис. 5.20, ar. Результирующую функцию принад лежности /-Lres (у) можно более точно представить в двумерной системе координат  см. рис. 5.21. Метод 2, используемый для получения результирующей функции принадлежности /-Lres (у) вывода из базы правил, включает в себя сле дующие шаrи: вначале определяются модифицированные функции при надлежности МВ* (у) заключений отдельных правил, а затем, используя 1 одну из SHOpM (например, оператор lVIAX) находится результирующая функция /-Lres (У): /-Lres (у) == 11AX(/L В; (у), /-L В 2 (у)). (5.19) Способы получения модифицированных функций принадлежности МВ* (у) заключений отдельных правил описаны в разд.5.1.2.2. Метод 2  чаще Bcero применяется на практике, поскольку является более простым. Пример определения функции /-Lres (У) на основе данноrо метода представ лен на рис. 5.22 и 5.23. . Если модифицированные функции принадлежности МВ* (У) заключе 1 ний отдельных правил определяются с использованием оператора 1IIN (рис. 5.22), а для их аккумуляции с целью получения результирующей функции принадлежности lI'es (у) при меняется оператор JVIAX, то в цe лом данная операция называется максиминным выводом (MAXMIN inference) . в случае если функции ILB* (у) определяются с помощью операто 1 ра PROD, а функция /-Lres(:lj)  С помощью оператора МАХ, то опе рация называется максимультипликативным выводом (MAXPROD 
198 rлава 5. Нечеткие модели РА}(Х) J1 (х,у) 1 РА/Х)  .....t. 11 ' 1 I " ",I I I I , '" / I , ,,'" I I I , 1 ", ,,1 I "'.... / I Х 11 Х J1 В2(У) .,.'"  D ::. PR2(X,y) 1 2 3 ...... 4 у у а) б) РА}(Х) J1A 2 (X) р(х, у) 1 1', ,,1 I , '" I I , '" I .... '" I J( I I '" .... I .... .... '" .... I .... Х Х PR(X*,y) у у в) 2) Рис. 5.20. Определение результирующей функции принадлежности {l п :>s(У) вы- вода из базы правил по срезу I1Н (х* , у) результирующей функции принадлеж- ности {lR(X у) отношения R == Rl U R2 Р(У) 1 0.7 ' J1re(Y)  \ ................................     ,'  ': I 0.3  ................. 1 о 1 2 3 4 У Рис. 5.21. Результирующая функция принадлежности JLres (у) вывода из базы правил, полученная на основе метода 1 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 199 J.l( х) 1 J.l(y ) 1  J.1Bl(y)     "'....""........     J.1B;(y) J.1A} (х*) == 0.3   о 1 * х == 1.4 2 х} О 1 2 3 R1: ЕСЛИ (х =А 1 ) то (у = В}), J1B} * (у) == MIN(PAj(X*), J1B}(v)) J.1(y ) 4 У J.1( Х ) 1 J.1B2(Y )  ,,i ",'" I J.1B2*(Y ) 2 Х} о 1 2 3 4 у R2: ЕСЛИ (х=А 2 ) то (у = В 2 ), РВ2 * (у) ::::: MIN(J.1A/X*), J1 B 2(y)) Рис. 5.22. Определение модифицированных функций принадлежности Ilп, (у) заключений отдельных правил на основе упрощенноrо метода (вывод на правилах) /l(у ) 1 0.3 ...................... J.l(y ) о 1 2 3 4 J.lres(y ) 1 '" \ ................ у I МАХ> 0.7 """" 0.3 ......",...",,,, ",1 ,'" I """,,"*' I ...... I /l(у ) 1 0.7 ",'1 ...... I ...' I "../'" I о 1 2 3 4 у R1: ЕСЛИ (х=А 1 ) то (у=В 1 ), R2: ЕСЛИ (х=А 2 ) то (у=В 2 ), J.1res(y) == MAX(цB(y)' рв;(у)) о , k 3 4 )' Рис. 5.23. Определение результирующей функции принадлежности /lres (у) BЫ вода из базы правил (аккумуляция составляющих ero заключений) 
200 rлава 5. Нечеткие модели р (х) 1 !"А l(Х) РА 2 (Х)  , , "С! I "о.. "1 , /J:I' I "0.." I p , р, I " '....... I Р "", I ",," 'а. I р(у) .... .... '"'(). .... рв 2 (У) .q .... .... ..../:).... I ........ I ........0.... I ....0........ I ........ I ........0.... ............ I ....0....... I I ...... 'О.... ' 1 рв ](у) 0'............ ,,,,,,.,.,,; ........ о 2 х о 1 2 3 4 у Рис. 5.24. Дискретные функции принадлежности нечетких множеств, исполь зуемых в правилах (5.20) Т а б л и ц а 5.4 Дискретное нечеткое множество Al r J: О 0.4 0.8 1.0 1.4 1.8 2.0 !LAl(X) 1.0 0.8 0.6 0.5 0.3 0.1 О Т а б л и ц а 5.5 Дискретное нечеткое множество А 2 х О 0.4 0.8 1.0 1.4 1.8 2.0 РА1(Х) о 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 1.0 Таблица 5.6 Дискретное нечеткое множество Bl у о 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 РВ 1 (у) 1.0 0.8 0.6 0.5 0.3 0.1 О Таблица 5.7 Дискретное нечеткое множество В 2 у о 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 РВ 2 (У) о 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 1.0 inference). При использовании друrих tHOpM и SHOpM будем полу чать друrие типы процедуры вывода. Ниже приводится пример вывода для случая нечеткой модели с дискретными функциями принадлежно сти. Пример 5.1.2.3.2. Имеется нечеткая модель с базой правил вида: Rl : ЕСЛИ (х == A 1 ) то (у == Bl) R2: ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В 2 ). (5.20) Функции принадлежности нечетких множеств, используемых в пра вилах, представлены на рис. 5.24 и в табл. 5.45.7. 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 201 Таблица 5.8 Функция принадлежности отношения Rl (импликации А 1 --------+ B 1 ) I1 J Rl (х. у) == l'vIIN (PA 1 (т)  PE 1 (у)) х\у О 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 О 1 0.8 0.6 0.5 0.3 0.1 О 0.4 0.8 0.8 0.6 0.5 0.3 0.1 О 0.8 0.6 0.6 0.6 0.5 0.3 0.1 О 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.3 0.1 О 1.4 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.1 О 1.8 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 О 2.0 О О О О О О О Используя максиминную процедуру вывода, найдем результирующую функцию принадлежности res (у) вывода из базы правил для входноrо сиrнала х == х* == 1.4. Метод 1. Найдем срез функции принадлежности отношения R == RIUR2, задаваемоrо выражением следующеrо вида: R == ЕСЛИ (х == А 1 ) то (у == В 1 ) ИЛИ ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В 2 ). Прежде Bcero, по формулам (5.22) и (5.23) следует определить функ ции принадлежности отношений импликации R1 и R2, отвечающих co ответствующим правилам (вывод на правил ах): (5.21)  R 1 (х, у) ==  А 1  В 1 == 1VIIN (р А 1 (х ) ,  в 1 (у ) ) , f1R2 (х  у) == A2B2 == l\IIN (/LA 2 (х)  B2 (у)). (5.22) (5.23) Полученные отношения R1 и R2 представлены в табл. 5.8 и 5.9. На основе отношений Rl и R2 по формуле (5.24) необходимо по лучить отношение R == Rl U R2, после чеrо следует найти срез дaHHO [о отношения при х* == 1.4, который и будет являться результирующей функцией принадлежности res(Y) вывода из базы правил: f1 R ( .1', .у) == 1\ 1 АХ (1 L R 1 ( Х  у ), 111 J{J. ( .Т  У ) ) . (5.24 ) Полученное отношение представлено в табл. 5.1 О, а функция f1res (у)  на рис. 5.25. Метод 2. В рамках данноrо метода вначале упрощенным способом опре деляются модифиuированные функции принадлежности заключений OT дельных правил, а затем выполняется их аккумуляция. Для нахождения 
202 rлава 5. Нечеткие модели Т а б л и ц а 5.9 Функция принадлежности отношения R2 (импликации А 2  В 2 ) fLR2(X,Y) == J\IIN(fLA2(X),fLB2(Y)) х\у О 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 О О О О О О О О 0.4 О 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.8 О 0.2 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 1.0 О 0.2 0.4 0.5 0.5 0.5 0.5 1.4 О 0.2 0.4 0.5 0.7 0.7 0.7 1.8 О 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 0.9 2.0 О 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 1.0 Таблица 5.10 Функция принадлежности отношения R  R1 U R2 и результирующая  функция принадлежности вывода (заключения) из базы правил fLrcs (у) == fL R ( 1.4, У ) х \у О 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 О 1 0.8 0.6 0.5 0.3 0.1 О 0.4 0.8 0.8 0.6 0.5 0.3 0.2 0.2 0.8 0.6 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.4 * 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 х == 1.4  PreiY) == PR 0.4, у) . 1.4 1.8 0.1 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 0.9 2.0 О 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 1.0 Р(У) 1 .... ...'1 "...... ,.,.'- I / '....., ,.,.""- ,/ ........ ...0'" о О '.................,.' I ....хк...... I D...... ............ I О 3 о ......... ........ I . ......... ........ I ... ........ .".",-'" '...... I Р res(y) о 1 2 3 4 У Рис. 5.25. rрафическое представление полученной на основе данных табл. 5.10 результирующей функции принадлежности lres(Y) вывода из базы правил модифицированной функции принадлежности ILBT (у) вывода из прави ла Rl используется формула (5.25), а для нахождения функции I1В 2 (у) 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 203 Таблица 5.11 Модифицированная функция принадлежности Рв; (у) для правила Rl у о 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 рв;(у) 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.1 О Таблица 5.12 Модифицированная функция принадлежности Рв; (у) для правила R2 у о 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 РВ;(У) О 0.2 0.4 0.5 0.7 0.7 0.7 Таблица 5.13 Результирующая функция принадлежности pres (у) вывода (заключения) из базы правил у о 0.8 1.6 2.0 2.8 3.6 4.0 Pres (у) 0.3 0.3 0.4 0.5 0.7 0.7 0.7 (правило R2)  фОРlV1ула (5.26): MB(Y) == f-LR1(Х*,у) == MIN(ILA 1 (х*), ILBl (у)) == 1IN(O.3,ILBl(Y)) (5.25 ) МВ2(У) == ILR2(X*,y) == l\IIN(ILA2(x*),ILB2(Y)) == l\IIN(O.7,ILB2(Y)) (5.26) Функции ILB (у), ILB 2 (у), найденные с использованием табл. 5.45.7 и формул (5.25)(5.26), представлены в табл. 5.11 и 5.12. Аккумуляция модифицированных функций принадлежности IL B (у) И МВ 2 (у) выполняется по формуле (5.27). Результат представлен в табл. 5.13: !Lres (у) == IAX(IL B (у)  fL В 2 (у)). (5.27) Сравнивая табл.5.10 и 5.13, леrко заметить, что результаты вывода, полученные с использованием методов 1 и 2, совпадают. Данная ситу ация имеет место при использовании максиминноrо вывода. В случае, коrда вместо операторов l\1AX и l\IIN используются друrие s и tHOpMbI, выводы С применением метода 1 и метода 2 будут приводить К разным результатам! . На практике чаще Bcero при меняется lVlетод 2, в силу ero меньшей трудоемкости. Ниже представлен общий алrоритм вывода с использова нием данноrо метода. 
204 [лава 5. Нечеткие модели Алrоритм вывода. Целью вывода является определение результирующей функции принадлежности !-Lrеs(У) вывода из базы правил. Пусть дана база правил, содержащая m правил конъюнктивноrо типа: Rl : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И ... И (x l == A 1l ) И ... И (Х п == А 1п ) ТО (у == В 1 ), Rj: ЕСЛИ (Хl == A j1 ) И ... И (Xi == A jz ) И ... И (Х п == A jn ) ТО (У == Bj), (5.28) Rm: ЕСЛИ (Хl == А т1 ) И ... И (Xi == A mi ) И ... И (Х п == А тп ) ТО (у == Вт), rде А 11 , . . .  A ji , . . . , А тп  нечеткие множества условий, В 1 , . . . , B rп  нечеткие множества заключений, Хl, . . . , Х п  входы нечеткой модели, * * u Хl' . . . , Х п  значения входов нечеткои модели, у  выходы нечеткой модели. Шаr 1. По формуле (5.29) определяются степени h j выполнения условий отдельных правил (аrреrация условий): h 1 == Т (/1 А 11 (х  ), . . . , 11 А 1 n (x;J )  h j == T(f-LA J1 (x), . . . , РА)11 (x)), (5.29) h m == T(/1A т1 (x),..., МА тп (x)). rде Т  какойлибо оператор tHOpMbI. Соrласно результатам опро са специалистов по нечеткой лоrике (Pfeifer 1996), наиболее часто в качестве tHOpMbI используется оператор PROD. MorYT также применяться и друrие операторы, не являющиеся tнормами. Шаr 2. Целью данноrо шаrа является определение модифицированных функций принадлежности МВ* (у) заключений отдельных правил ) (вывод на правилах), для чеrо используется формула (5.30). В дaH ной операции учаСТВУIОТ только те правила, условия которых BЫ полнены со степенью 17 > О  такие правила называются активи зированными. Неактивизированные правила (IL == О) не принимают участия в выводе: 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 205 Мв; (у) == T(h 1 , МВ1 (y)) 11,В; (у) == T(h), ILB) (у)), (5.30) Мв:п (у) == T(trп. I1 В т (у)). Шаr 3. На данном шаrе определяется результирующая функция принад лежности I1rcs (у) путем аккумуляции модифицированных функций принадлежности заключений отдельных правил с использованием формулы ILres(Y) == I1в* (у) == S(MBi (у)...., I1Bi (у)), (5.31) rде S  некоторая SHopMa, например, rvIAX; В* == Bi U . . . u в:п  нечеткое множество, соответствующее окончательному ВЫВОДУ из базы правил. Помимо SHOpM, для выполнения операции ИЛИ MorYT использоваться и друrие операторы. Рассмотренный алrоритм предполаrает, что все правила в базе (5.28) имеют конъюнктивную форму, что не является оrраничением, посколь КУ дизъюнктивная или смешанная, конъюнктивно дизъюнктивная фОрl\1Ы MorYT быть преобразованы в конъюнктивную форму. Так, правило вида ЕСЛИ (Х1 == А 11 ) И (Х2 == А 12 ) ИЛИ (Хl == -,421) И (Х2 == А 22 ) то (у == В 1 ), (5.32) имеющее смешанную форму, можно заменить двумя конъюнктивными правилами: ЕСЛИ (Х1 == А 11 ) И (.I'2 == 412) ТО (у == В 1 )  Е ел И (.т 1 == А 21 ) И (.2":2 == А 22) Т О (у == в 1) , (5.33) а вместо правила ЕСЛИ (xl == А 1 ) ТО (у == В]) ИЛИ (у == В 2 ) ( 5.34 ) можно использовать два простых правила вида: ЕСЛИ (Хl == А 1 ) ТО (у :=: В]), ЕСЛИ (Х1 == A 1 ) то (у == В 2 ). (5.35 ) Для осуществления вывода можно использовать не только различные операторы tHOpM и SHOpM, но И друrие операторы, реализующие пере сечение и объединение нечетких множеств. Как же будет влиять тип оператора на результат вывода? 
206 rлава 5. Нечеткие модели t J1 1 В* 4 У О 4 У О 4 У ВЫВОД MAXMIN t J1 1 А J1 В J1 2 1 В 0.7 1,! 1 2......1     , 0.3 "в*   1 J1 1 о 4 У о 4 У о 4 У J1 1 x==1.4 ВЫВОД MAXPROD J1 А 2 1 0.7  ...  O..: О о 4 у X == 1.4 ВЫВОД SUМMIN t SUМ: оrpаниченная сумма J.1AUB(X, у) == MIN(I, J.1A(X) + J.1B(Y)) А 2 J1 Bl J1 В 0.7 1, / 1 ...1     , *  O..: " В 1 J1 1 о 4 у о 4 у о 4 у X == 1.4 ВЫВОД SUМPROD t А 2 0.7  Ql о 4 у о 4 у Рис. 5.26. Результаты вывода с использованием различных tHOpM и SHOpM x == 1.4 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 207 На рис. 5.26 показан вывод для модели с двумя правилами из примера 5.1.2.3.1 , R1: ЕСЛИ (хl == А 1 ) ТО (у == В 1 ), R2: ЕСЛИ (хl == А 2 ) ТО (у == В 2 ), (5.36 ) выполненный с использованием различных операторов, для входноrо зна чения х* == 1.4. Анализируя рис. 5.26, леrко видеть, что использование в процессе BЫ вода различных лоrических операторов приводит к получению в качестве вывода из базы правил нечетких множеств В*, значительно отличающих ся друr от друrа (имеющих разные функции принадлежности /-Lrеs(У)). В связи С этим возникает вопрос, каким операторам следует отдавать предпочтение при использовании в нечетких моделях, или какие опера.. торы обеспечивают наибольшую точность нечеткоrо моделирования и управления? В случае самообучающихся (самонастраивающихся) моделей и pery ляторов вид используемых операторов менее важен, поскольку в ходе обучения модели (реrулятора) ее степени свободы (параметры функций принадлежности) изменяются с целью достижения максимально возмож ной точности. Поэтому выбор менее подходящих операторов в даННОlVl случае будет по крайней мере частично компенсироваться процессом Ha стройки. В случае ненастраиваемых нечетких моделей и реrуляторов влияние используемых операторов проявляется HaMHoro сильнее, поскольку выбор неподходящих операторов невозможно компенсировать ничем. С учетом этоrо, следует использовать метод проб и ошибок, исследуя характери стики модели для различных комбинаций операторов и выбирая в резуль тате лучшие операторы. Определенным показателем Toro, какие операторы лучше, а какие xy же, может служить частота их использования специалистами в области нечеткоrо моделирования и управления (т. е. их популярность у специали став). Анализ литературы по данной теме, судя по всему, свидетельствует о том, что аrреrация условий чаще Bcero выполняется с использовани ем оператора PROD, который, в отличие от оператора 11IN, реаrирует на все входные изменения модели (в то время, как оператор 11IN реаrиру ет только на изменение входа с наименьшей степенью принадлежности). Комбинацией, наиболее часто используемой в процессе вывода, являет ся 1/IAX<tvIIN. Определенный приоритет также имеет применение опера тора /IEAN дЛЯ аrреrации условий и комбинации SU11l\1IN дЛЯ вывода. Оператор SU:NI (неоrраниченная СУМl\ла), в отличие от оператора J\IAX, при вычислении функции IJres(U) учитывает все функции Рп'" (у), COOTBeT I 
208 rлава 5. Нечеткие модели ствующие отдельным правилам, в то время, как оператор МАХ учитывает только функцию, для которой степень принадлежности данноrо BЫXOД Horo значения у является наибольшей. Таким образом, вывод на основе оператора SUlVI «демократичнее» вывода с использованием l\IIAX, KOTO рый можно назвать «диктатурой» наиболее активизированноrо правила. В качестве результата вывода будет получена функция принадлеж ности flres (у) нечеткоrо множества В*, представляющеrо общий вывод (заключение) из базы правил. Если требуется получить на выходе Moдe ли (реrулятора) четкое значение у*, необходимо выполнить дефаззифи кацию соответствующеrо нечеткоrо результата. Методы дефаззификации будут обсуждаться в следующем разделе. 5.1.3. Дефаззификация результирующей функции принадлежности вывода из базы правил Под дефаззификацией нечеткоrо множества В*(у), являющеrося резуль татом вывода, понимается операция нахождения четкоrо значения у*, которое бы наиболее «рациональным» образом представляло это MHO жество. Естественно, MorYT существовать различные критерии оценки «рациональности» значения у* для представления нечеткоrо множества В*. О количестве таких критериев можно судить по числу существующих методов дефаззификации, наиболее известными среди которых являются: . метод среднеrо максимума (Middle of Maxima, ММ), . метод первоrо максимума (First of Maxima, F М), . метод последнеrо максимума (Last of Maxima, LM), . метод центра тяжести (Center of Gravity, CG), . метод центра сумм (Center of Sums, CS), . метод высот (Height, Н). Далее перечисленные методы будут рассмотрены более подробно. Метод среднеrо максимума. Функцию принадлежности можно paCCMaT ривать как функцию, которая представляет информацию о сходстве меж ду отдельными элементами множества и о наиболее типичном ero эле менте. Пример приведен на рис. 5.27. С учетом функции принадлежности, соответствующей «среднему» значению роста, человек, имеющий рост 170 см, является типичным представителем данной катеrории роста (степень принадлежности paB на 1), в то время как человека, имеЮULеrо рост 175 см, можно со CTe пенью 0.5 охарактеризовать как «среднеrо роста» и со степеныо 0.5  как «BbIcoKoro». l-1НЫl\1И словаl\IИ, ОН частично соответствует как людям среднеrо роста, так и высоким ЛЮДЯl\'l. Таким образом, можно положить, 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 209 J1 1 Средний Высокий r 11 1 I 1 : 1 I 1 I 1 : I I 1 I I I I I I I 160 170 180 Рост (см) Рис. 5.27. Нечеткое множество, соответствующее «среднему» росту Р(У) 1 Bl В 2 j1res{y) * * Yl У2 У Рис. 5.28. Результирующая функция принадлежности с бесконечным числом элементов у, имеющих максимальную степень принадлежности (y  у  y) что наиболее типичным представителем нечеткоrо множества В*, полу ченноrо в результате вывода и задаваемоrо функцией принадлежности I-LB* (у) == res (у), является значение у*, имеющее максимальную степень принадлежности. Следует отметить, что множество таких значений часто может coдep жать более одноrо элемента и даже бесконечное число элементов, как показано на рис. 5.28. Решением в данной ситуации будет представление результирующеrо множества средним значением, получаемым по фор муле: у* == O.5(y + y). (5.37) Именно поэтому рассмотренный метод назван методом среднеrо MaK симума. Достоинством данноrо метода является простота вычислений, что допускает использование в системах управления более дешевых мик ропроuессоров. B1'v1eCTe с тем, простота вычислений достиrается ценой определенных недостатков. Недостаток метода состоит в том, что на результат дефаззификации влияет rолька нечеткое множество Bj, иl\tlеющее наибольшую степень aK тивизации - множества, активизированные в меньшей степени, никакоrо влияния на результат не оказывают. В свою очередь, это означает, что 
210 rлава 5. Нечеткие модели J1(y) J1(y ) J1(y) В} В 2 1   J1res(Y) В} В 2 1   J.lres(Y) В} В 2 1   J1res(Y) * Уа У * УЬ У * Ус у а) б) в) Рис. 5.29. Иллюстрация недостатков метода среднеrо максимума (ММ) на результирующее значение у* влияет только то правило, которое coдep жит это множество в своем заключении (часто это может быть только одно правило). Тем самым, дефаззификация становится «недемократич ной», поскольку не все правила принимают участие в «rолосовании». Результат этоrо показан на рис. 5.29. В результате изменения входных значений модели Xi степень aK тивизации множества Bl на рис. 5.29, б увеличилась по сравнению с рис. 5.29, а, в то время как степень активизации множества В 2 YMeHЬ шилась. Тем не менее, результаты дефаззификации выходные значения модели у*  в обоих случаях совпадают: Y == уь. Данный факт означает, что выход модели нечувствителен к изменениям ее входов. Нечувстви тельность нечеткой модели может рассматриваться как недостаток, если в рассматриваемой области пространства входных значений реальной си стемы (являющейся объектом моделирования) подобная нечувствитель ность не проявляется. Если же она имеет место и в реальной системе, то нечувствительность 1\10дели не считается недостатком. Чувствительность метода дефаззификации и вытекающую из нее чувствительность нечеткой модели можно определить как существование отклика Ду* выходноrо пара метра модели на изменение степеней акти визации нечетких множеств Bj(Y), соответствующих заключениям базы правил. Сравнивая рис. 5.29, б и в, мы видим, что здесь имеет место рез кое скачкообразное ИЗl\lенение результата дефаззификации у*, так как УС значительно отличается от Yl). Таким образом, малое ИЗl\1енение степе ни активизации множеств Bl и В 2 вызывает большой скачок выходноrо значения модели д.у*. Данное свойство называется разрывностью (OTCYT ствием непрерывности) метода. Разрывность метода дефаззификации и вытеК3IОlцая из нее раз рывность нечеткоЙ l\lодели можно определить как I30зникновение на BЫ 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 211 (Y) (y) В 1 В 2 1   Pres(Y) Уl у Утl Уl Ут2 У а) б) Рис. 5.30. Дефаззификация с использованием метода первоrо максимума (FM), * у == Уl ходе модели скачкообразной реакции Ду* на любое малое изменение степеней активизации нечетких множеств Bj(Y) в заключениях правил. Далее приведем два схожих друr с друrом метода дефаззификации, основанных на максимизации функции принадлежности. Сразу же OTMe тим, что их чувствительность выше, чем у метода ММ. Метод первоrо максимума. В методе первоrо максимума (F М) в Ka честве четкоrо значения у*, представляющеrо результирующее нечеткое множествозаключение, выбирается наименьшее значение Уl, максимизи рующее ero функцию принадлежности I-Lrеs(У). Как показано на рис. 5.30, с увеличением степени активизации наиболее активизированноrо множе ства (В 2 ), ero представитель у* == Уl смещается в направлении модаль Horo значения Утп2 данноrо множества. Если степень активизации В 2 уменьшается, то точка у* == Уl перемещается в противоположную от ero модальноrо значения сторону, в направлении значения Yml. Достоинства метода F М: . низкая стоимость вычислений, . большая (по сравнению с методом ММ) чувствительность к измене ниям степени активизации заключений базы правил Недостатки метода F М: . неоднородность, . учет в процессе дефаззификации только множества Bj с наибольшей степенью активизации. Метод последнеrо максимума. Метод последнеrо максимума(LМ) в Ka честве четкоrо значения у* для представления результирующеrо нечет Koro множествазаключения выбирает наиболыuее значение У2, COOTBeT СТВУЮlцее максимуму функции принадлежности I'res(Y) (рис. 5.31). 
212 rлава 5. Нечеткие модели р(у) В 1 В 2 1   J.1res(Y) р(у) в 1 В 2 1   I : J.1res(Y) I I У2 У Утl Ут2 У2 У а) б) Рис. 5.31. Дефаззификация с использованием метода последнеrо максимума (LM), у* == У2 J.1 (у) В 1 В 2 1    J.1res(Y) Ус У Рис. 5.32. Дефаззификация с использованием метода центра тяжести (CG) Метод LM имеет те же достоинства и недостатки, что и метод F М, и один дополнительный недостаток, рассмотренныЙ ниже. В случае, KO rда степень активизации множества В'2 (из KOToporo выбирается пред ставитель у*) уменьшается, а степень активизации множества Вl YBe личивается (т. е. увеличивается значимость множества В 1 в процессе рассуждений, рис. 5.31, 6), значение у* == У2 должно смещаться в направ лении модальноrо значения Упl1 множества B 1 , но вместо этоrо возникает обратная ситуация: 1/2 от данноrо значения удаляется. Метод центра тяжести. Метод центра тяжести (CG) предполаrает, что в качестве четкоrо значения у* для представления реЗУJIЫИРУЮ щеrо нечеткоrо множества В*, задаваемоrо функциеЙ принадлежности fJTes(Y) == IlB* (у), должна выбираться координата ус центра тяжести фи rypbI, оrраниченноЙ rрафиком этой функции (рис. 5.32). Значение координаты центра тяжести С может быть наЙдено по фор муле (5.38) как ОТНОИlение момента фиrуры под кривой Jlrps(Y) относи 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 213 f-l (у) В} В 2 1   Р5 f-l res (У) У Рис. 5.33. Разбиение поверхности интеrрирования на секторы тельно вертикальной оси М(У) к площади этой фиrуры: * J Y!Lres(Y) dy у == ус == . , J Mres(Y) dy (5.38) Пределы интеrрирования задаются областью определения У резуль тирующеrо нечеткоrо множествавывода В*. Достоинства метода CG . В дефаззификации участвуют все активизированные функции при надлежности заключений (все активные правила), т. е. метод центра тяжести является «деl\10кратичным» И обеспечивает более высокую чувствительность нечеткой модели к изменению входных сиrналов, чем методы F М, LM и ММ. Недостатки метода CG . Высокая стоимость вычислений, связанная с интеrрированием по верхностей нереrулярной формы, особенно в случае использования функций принадлежности, не состоящих из прямолинейных участ ков (например, rayccoBbIX функций). Для интеrрирования необходи мо определить точки пересечения отдельных составляющих функций принадлежности !lB} (у), разбить поверхность на секторы и выполнять интеrрирование в пределах каждоrо из секторов (рис. 5.33). Вычисления упрощаются, если использовать прямоуrольные функции принадлежности (рис. 5.34). Еще большеrо упрощения можно достичь в случае использования нечетких множеств Bj, имеющих равную шири ну l (рис. 5.35). Отрицательной стороной упрощения дефаззификации путем исполь.. зования прямоуrольных Функuий принадлежности pJB) (:Ц) является то, что приходится оrраничиваться только ОДНОЙ формой функций принад лежности, в то время как друrие формы MorYT оказаться более ПОДХОДЯ" 
214 rлава 5. Нечеткие модели /1 (У) 1 В 1 В 2 В з о з L I-l,z, У; * ,=1 У ==Ус== з L I-l,l, ;=1 У Рис. 5.34. Метод центра тяжести с использованием прямоуrольных функций принадлежности множеств Bj, соответствующих заключениям базы правил; Yl  модальные значения множеств /1 (У) 1 В 1 В 2 В з о з L I-l,У, * , = 1 У==Ус== з L I-l, , = 1 У Рис. 5.35. Метод центра тяжести с использованием нечетких множеств В]' носители которых имеют равную ширину 1, Yl  модальные значения множеств ЩИМИ для моделируемой системы и обеспечить более высокую точность моделирования. . Сужение интервала дефаззификации является еще одним недо.. статком метода центра тяжести (рис. 5.36). При использовании классическоrо варианта метода центра тяжести на выходе нечеткой модели (реrулятора) невозможно получить минималь ное (у* == Уrпil1) или максимальное (у* == Ушах) значение из допустимоrо диапазона, даже в случае максимальной активизации крайних нечетких множеств В 1 или В з , соответствующих заключениям правил. Подобное несоответствие поведения нечеткой модели поведению моделируемой си 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 215 J1 (У) 1 В 1 В 2 В3 J.l (У) 1 В 1е В 2е В 3е С 3 С 3е Уmш Уl Уз Утах У Уlе = Уmш У3е = Утах у а) У)е*Уmш' У3е* Утах б) У1е = Уmш' У3е = Утах Рис. 5.36. Сужение интервала дефаззификации в классическом варианте метода центра тяжести (а) и устранение этоrо недостатка при использовании расши peHHoro варианта данноrо метода (6) стемы иневозможность rенерации нечетким реrулятором более широко [О диапазона управляющих сиrналов приводило бы к снижению качества управления (например, оrраничивало бы уrол поворота корабельноrо py ля). Данный недостаток можно устранить, расширяя крайние нечеткие множества так, чтобы их центры тяжести совпадали с rраницами диа пазона (Yll1in Ушах) возможных значений операции (рис. 5.36,6). Данный метод называется расширенным методом центра тяжести (Extended Center of Gravity, ECG). . Нечувствительность метода в том случае, коrда активизируется только одна выходная функция принадлежности Мв (у), является .7 еще одним ero недостатком. Если несколько правил имеют одина ковое заключение (множество В 2 на рис. 5.37), либо активизируется только одно правило, то координата центра тяжести ус не изменя ется, несмотря на изменение степени активизации результирующеrо множества (рис. 5.37, а, 6). Таким обраЗОlVl, модель нечувствительна к входным изменениям. Данный недостаток можно уменьшить, ec ли не использовать в правилах одинаковые нечеткие множества Bj. Указанным недостатком обладают также методы ММ, CS и метод oд ноэлементных множеств (если с одним элементом связаны несколько правил) . . Снижение чувствительности метода CG в случае, KorAa носители выходных множеств Bj (у) нечеткой модели значительно различаются по ширине, также относится к ero недостаткам. Данная проблема представлена на рис. 5.38. На рис. 5.38 представлен пример ситуации, коrда значительное из менение степени активизации составляющих множеств (jlRl: O.5O.2, 
216 rлава 5. Нечеткие модели р(у) В 1 В 2 1   ус а) J.1 (у ) В 1 В 2 1   у ус у б) Рис. 5.37. Метод центра тяжести при активизации только одноrо выходноrо нечеткоrо множества Bj (у) модели р(у) 1 0.5 у*== ус == 3.74 у 6.25 )1 (у) 1 0.8 у )1res(y) 0.2 у*== ус == 3.96 Рис. 5.38. Случай, коrда изменение степени активизации выходных нечетких множеств B 1 , В 2 оказывает малое влияние на результат дефаззификации МВ2: O.5O.8) вызывает минимальное смещение координаты центра тя жести (у* == ус: 3. 7 43. 96). Причиной здесь является большое различие l\1ежду поверхностями составляющих множеств, обусловленное, в свою очередь, тем, что их носители значительно различаются по ширине (В 1 : 6, В 2 : 0.5). Для Toro чтобы изменение степеней активизации MBl (у) И МВ2 (у) оказывало большее влияние на величину Ус, носители обоих множеств должны быть одинаковыми. Таким образом, для обеспечения высокой чувствительности метода CG необходимо, чтобы носители OT дельных множеств Bj мало отличались друr от друrа по ширине. В случае дискретных нечетких множеств выходное значение Moдe ли у* вычисляется по формуле, приведенной на рис. 5.39. Метод центра СУММ. В базе правил нечеткой модели MorYT часто BCTpe чаться правила, в заключении которых содержится одно и то же нечеткое 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 217 J.L (у ) Bl В 2 1  I \ I \ I \ I \ I \ I \ Р q I \ I \ Р п L J.LiYi * i= 1 У= п L Р; i= 1 Р; Yl у Рис. 5.39. Дискретный вариант дефаззификации с использованием метода центра тяжести (CG) множество Bj. При мер такой базы правил имеет вид: R1: ЕСЛИ (Хl == A 11 ) И (;r2 == А 21 ) то (у == B 1 ) R2: ЕСЛИ (Тl == A 11 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == в 2 ) R3: ЕСЛИ (Xl == A 12 ) И (Х2 == A 21 ) то (у == в 2 ) R4: ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == в з ) (5.39) в заключении правил R2 и R3 содержится одно и то же множе СТВО В 2 . Предположим, что входные значения xi и X совпадают, а CTe пень активизации выходных нечетких множеств Bj соответствует ситуа ции на рис. 5.40. Нечеткое множество В 2 активизируется двумя правилами R2 и R3. Если для вычисления функции принадлежности J-Lres (у) == МВ* (у) ис пользовать оператор l\/IAX, то в результате будет получено множество В* == Bt u B2 u ВЗ U B, представленное на рис. 5.41. Из рис.5.41 видно, что наибольшее влияние на расположение центра тяжести С и, следовательно, на результат дефаззификации оказывает множество В з (правило R4), степень активизации KOToporo максималь на (0.8). Вместе с тем, множество В 2 активизируется ДВУl\1Я правилами (R2 и R3) и общая степень ero активизации (0.4 + 0.6 == 1.0) выше, чем для в з . Существуют базы правил, в которых одно и то же нечеткое MHO жество Bj на выходе модели активизируется одновременно нескольки ми правилами. Следует ли допускать, чтобы на результат дефаззифика ции у* влияли все правила, активизирующие данное множество Bj(Y)? Да, в некоторых случаях следует. Учитывать данное влияние позволяет метод центра сумм (CS), который производит аккумуляцию множеств в;, 
218 rлава 5. Нечеткие модели Jl(y) 1 В 1 В 2 В з Jl(y) Jl Bl В 2 В З 1 Правило 2 0.4 0.2 О в; о * у у В 22 Jl(y ) В} В 2 В З Jl(y ) 1 1 0.8 0.6 о * В23 у о в; у Рис. 5.40. При мер активизации множеств В] каждым правилом Ri (5.39) в отдельности fl(y ) 1 0.8 0.6 flres (У) == МAX (fl B * (У) ,fl B * (У) ,fl B * (У) ,fl B * (У» 1 22 23 3 0.2 о * У == Ус У Рис. 5.41. Результирующее нечеткое множество В*, полученное с использованием оператора МАХ соответствующих заключениям отдельных правил, по формуле (5.40), с использованием оператора неоrраниченной суммы: m Mres(Y) == SUJ\1(/ LB i (у), . . . , /LB;', (у)) == L. мв; (у). j==l В результате использования этоrо оператора мы получаем функцию принадлежности, показанную на рис. 5.42, 6, из KOToporo видно, что при менение оператора SUM существенно увеличивает значимость активи (5.40) 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 219 }L(y) }L(y) 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 О У О У т а) ,ures(Y) ==МАХ ,uB.(Y) б) ,ures(Y)== 2:,uB.(Y) )=1,.,т } )= 1 } Рис. 5.42. Сравнение результатов аккумуляции множествсоставляющих в; с использованием операторов l\1AX и SUl\l зированноrо двумя правилам и множества В 2 , что, в свою очередь, CMe щает центр тяжести С 2 ближе к модальному значению этоrо множества. В случае использования оператора l\1AX центр тяжести С 1 сильнее Bcero «притяrивается) множеством в з . С учетом методики вычисления функции принадлежности f-Jres (у) по формуле (5.40), можно получить разные формулы для вычисления результата дефаззификации у* == ус: * J У Mres (У) d У У J Mres(Y) dy , тп-, J У ?= мв; (у) dy * )==1 У == m .! l: мв; (у) dy )==1 (5.41) (5.42) 1п ?= J у IL в; (.1;) d У * J==l У == (n l: J мв; (у) dy )==1 (5.43) Интеrрирование про изводится по области определения У. Форму лы (5.41)(5.43) эквивалентны. Интерес представляет вариант (5.42), позволяющий выполнять дефаззификацию без нахождения результиру ющей выходной ФУНКЦИИ принадлежности f-Jrеs(У)  дефаззификация MO жет осуществляться на основе знаний о результатах вывода из отдельных правил f-J В* (У). ) Если выражение (5.44) назвать моментом множества Bj(Y) относи тельно вертикальной оси f-J(Y) (рис. 5.43): J УМВ; (у) dy == MJ' (5.44 ) 
220 rлава 5. Нечеткие модели а выражение (5.45)  площадью 5j множества Bj(Y): ! JLB;(y)dy == Sj, (5.45) то формулу (5.43) можно представить в виде отношения суммы моментов Alj к сумме площадей 5 j : 1П  Аl) )==1 * у === 1п '" В. L.J .7 )==1 (5.46) Иллюстрацией paccMoTpeHHoro метода дефаззификации является рис. 5.43. Метод вычисления моментов 1\1 j и площадей 5j нечетких MHO жеств представлен на рис. 5.44. Достоинства метода С5 . Снижение стоимости вычислений по сравнению с методом CG. . Участие всех правил в процессе рассуждений, что оказывает положи тельное влияние на ряд нечетких моделей и реrуляторов. Остальные достоинства и недостатки такие же, как у метода CG. При использовании формул (5.41) и (5.42) метод центра сумм (С5), по сути, представляет собой комбинацию метода центра тяжести (CG) и вывода типа SurvI <l\1IN, rде SUl\f  оператор неоrраниченной (арифме тической) суммы. В случае дискретных функций принадлежности результат дефаззи фикации у* вычисляется по формуле: l тп  Yl  МВ* (Yl) ] * 1,==1 .7==1 У == 1 1п   МВ* (Yi) ) l==lJ==l (5.47) [де l  число элементов дискретной области определения Y q т  число правил нечеткой модели. Метод высот. Метод высот (Н) является упрощенным дискретным ва.. риантом метода центра сумм (С5). Каждое нечеткое множество Bj(Y) на выходе модели здесь заменяется синrлетоном (одноэлементным мно" жеством), совпадающим с модальным значением Yj == mj этоrо множе.. ства (рис. 5.45). Поэтому данный метод называют также методом одно... элементных множеств. В результате вывода одноэлементные множества в каждом правиле активизируются так же, как и друrие типы нечетких множеств. Для 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 221 Jl(y) В 1 В 2 В3 1 3 М ! = f YI1 B (y)dy 1 3 0.2 Sj = f 11 B (y)dy 1 О 1 2 3 4 5 У Jl(y) В 1 В 2 В3 4 1 М 22 = f YI1 B * (y)dy 22 2 4 0.4 S22= f I1 в * (y)dy 22 2 О 1 2 3 4 5 У 4 Jl(y) В 1 В 2 В3 М 2З = f YI1 B * (y)v 23 1 2 Правило 3 4 * S23= f I1 в * (y)dy 0.6 В23 23 2 5 О 1 2 3 4 5 У М з = f YI1 I!" (y)dy 3 5 Jl(y) В 1 В 2 В3 SЗ = f I1 в ; (y)dy 1 0.8 3 * М 1 +М 22 +М23 +М3 у = 81 + 822 + 823 + 8з 012345У Рис. 5.43. При мер дефаззификации с использованием метода центра сумм (С5) вычисления значения у* на выходе модели (результата дефаззификации) используется метод С5. Рисунок 5.46 иллюстрирует применение метода высот в при мере с дефаззификацией на рис. 5.43 (база правил имеет вид (5.39)) . Результат дефаззификации с использованием метода высот может быть вычислен по формуле: 
222 rлава 5. Нечеткие модели )1 (у) 1 м = Р тах [3ml (а  ml) + 3m2(f3 + т2)  а 2 +/32]/6 S = 0.5 f.1 тах 2 (т 2  т l) + а + /3] )1 mах  т] т2 у Рис. 5.44. Метод вычисления момента 1\1 и площади S нечеткоrо множества трапециевидной, треуrольной (тп 1 == т2) и прямоуrольной (/3 == а == О) форм р(у) В} В 2 В з 1 \ \ " " " , \ , , 1 \ , \ , \ I \ 1 \1 \' \ 1 \1 \1 \ I ( ( , 1 1\ 1\ \ , '\ 1, \ , 1 \ 1 \ , 1 1 \ 1 \ , I , \' \ , , \ о т} т2 тз У Yl У2 Уз Рис. 5.45. Замена нечетких множеств В) одноэлементными множествами ( синrлетонами) 7п 2: у) МВ* (у) ) * )==1 У == тн 2: МВ* (у) . 1 J )== (5.48) [де тп  число правил. Достоинства метода высот 8 Значительное уменьшение стоимости вычислений по сравнению с Me тодами CG и С5. 8 Ширина носителей выходных множеств Bj не влияет на результат дефаззификации у*. 8 Вид функций принадлежности МВ} (у) не влияет на дефаззификацию. (Для некоторых задач это может быть недостатком.) 8 Непрерывность. 8 Чувствительность. В нечетком моделировании и управлении метод высот используется достаточно часто, что обусловлено, прежде Bcero, простотой вычислений, а также остальными ero преимуществами. Если множества A ij значений входных величин Xi являются нечеткими (а не одноэлементными, как выходные), то модель (реrулятор) сохраняет свой нечеткий характер. 
5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях 223 f.1 (у) В 1 В 2 В з f.1 (у) в 1 В 2 В з 1 I 1 I I I Правило 1 Правило 2 I I I I I 0.4 в* : 0.2 11 О 1 2 3 4 5 у О 1 2 3 4 5 У f.1 (у) 1 Уl У2 уз В} В 2 В з I I I I I I I В * I 2З I  I I I f.1 (у) 1 0.8 В} В 2 В З Правило 3 Правило 4 в; / 012345 У 012345 У у* == Уl JL В 1 "' + У2 (JLJЗ 2 "' 2 + 11 15 2 * 3 ) + .Y:IL Л , ,; == ) == :3.667 1113; + 111322 + ILн 2з + ILн з Рис. 5.46. При мер дефаззификации с использованием метода высот 5.1.4. Пример нечеткоrо моделирования Чтобы проиллюстрировать все операции по обработке информации нечет кой моделью, рассмотрим нечеткую модель системы с двумя входами f1(XJ) 11 J.l (у) 1 s м L О 10 Х! О 10 Х2 10 О 10 20 у s  малый, М  средний, L  большой Рис. 5.47. Функции принадлежности, используемые в нечеткой модели системы (5.49) 
224 rлава 5. Нечеткие модели и одним выходом, реализующую известное отображение: У==Хl+ Х 2, Х 1 == [0.10]. Х 2 == [о. 10]. Y==[020]. (5.49) Знание реализуемоrо системой отображения позволяет оценить точ ность нечеткой модели. Следует, однако, иметь в виду, что для большин ства задач моделирования реализуемое системой отображение ВХОДНЫХ значений в выходные задается не в математической форме, а в виде чис ленных измерений входной и выходной информации, либо в форме зна ний о системе, полученных ее оператором или экспертом в результате наблюдений за ее поведением. Пусть функции принадлежности значений входных и выходных пара метров системы имеют вид как на рис. 5.47, и задана система правил: т1 : ЕСЛИ (Хl == В) И (Х2 == В) ТО (у == B) т2: ЕСЛИ (Xl == В) И (Х2 == L) ТО (у == .Af), тз: ЕСЛИ (Хl == L) И (Х2 == В) ТО (у == lf), т4: ЕСЛИ (Хl == L) И (Х2 == L) ТО (у == L). (5.50) Среди правил (5.50) имеются два правила (т2 и тЗ) с одинаковым заключением (у == АI). Их можно объединить в одно правило R2, что позволяет уменьшить количество правил до трех. В результате получаем базу правил следующеrо вида: R1 : R2 : ЕСЛИ (Хl == В) И (.r2 == S) ТО (у == S), ЕСЛИ (Хl == В) И (x2==L) ИЛИ (5.51) (;[;1 == L) И (2 == S) ТО (у == Af), ЕСЛИ (Х1 == L) И (.T2==L) ТО (y==L). RЗ : Объединение правил не является обязательным  можно также ис пользовать модель (5.50) с базой, содержащей 4 правила. Общая схема нечеткой модели представлена на рис. 5.48. Элементы модели: . механизм вывода: l\1AX]\;IIN, . аrреrация условий: операторы 1\IIIN и l\IAX. Чтобы иметь возможность сравнивать различные ситуации, вычислим значения у* на выходе нечеткой модели и значения у на выходе модели руемой системы для входных значений X == 2.5, X == 7.5. 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 225 ВЫВОД * J.ls(x;) хl S хl J.lL (х;) Х2 L J.l res (У) * ФАЗЗИФИКАЦИЯ J.ls(x;) S S м ДЕФАЗЗИФИКАЦИЯ У J.lL (х;) L М L БАЗА ПРАВИЛ Рис. 5.48. Общая схема рассматриваемой нечеткой модели На рис. 5.49 представлен процесс вычисления. Для входных значений xi == 2.5, Х 2 == 7.5 на выходе моделируемой системы, реализующей отоб ражение у == Хl + Х2, мы получаем значение 10. Это же значение будет получено и на выходе нечеткой модели, хотя следует отметить, что такой при мер был выбран специально. В общем случае нечеткая модель  это лишь приближение моделируемой системы, и выходные значения не COB падают, а являются близкими, при этом степень близости зависит от точ насти модели. 5.2. Важные свойства правил, баз правил u инечетких моделеи Центральным элементом нечеткой модели (реrулятора) является база правил, поскольку именно в ней содержится информация о структуре модели. Базу правил можно сравнить с каркасом палатки, на который натяrивается ткань. Конструкция каркаса определяет форму и внешний вид всей палатки. Если продолжить эту аналоrию, то можно сказать, что остальные элементы нечеткой модели (реrулятора)  форма функций принадлежности, типы используемых операций, механизмы вывода и дe фаззификации  влияют на степень изrиба и натяжения полотна, про тянутоrо между несущими элементами каркаса. База правил содержит основную информацию о моделируемой системе или rлавную составля ющую «интеллекта» нечеткоrо реrулятора, и потому умение правильно ее формировать является очень важным условием. Это умение позволя ет предотвратить ошибки, которые, учитывая значимость базы правил для нечеткой модели, обычно относятся к разряду «rрубых». В данном разделе будут рассмотрены свойства, которыми MorYT обла дать правила, базы правил и нечеткие модели. К этим свойствам OTHO сятся: . локальный характер правил, 
226 rлава 5. Нечеткие модели R1: ЕСЛИ (х} =S) И (Х2 =S) ТО (Y=S) ,ц(х}) ,ц (Х2) 11 S S * Х2 = 7.5 MIN 0.25 (И) R2: ЕСЛИ (хl =S) И (Х2 =L) ИЛИ (Xl =L) И (X2=S) ТО (y=S) ,ц (ХЙ ,ц (Х2) 11 s S * Х2 = 7.5 * X27.5 R3: ЕСЛИ (х} =L) И (Х2 =L) ТО (y=L) ,ц(Хl) ,ц(Х2) 11 S S * Хl = 2.5 * Х2 = 7.5 i ФАЗЗИФИКАЦИЯ MIN (И) 015 ,ц(у) S м L МАХ (ИЛИ) О 10 20 у MIN 0.25 'Y*10 . (И) у*= 0.25.0+0.75.10+0.25.20 = 10 0.25 + 0.75 + 0.25 MIN 0.25 (И) ОЦЕНКА СТЕПЕНИ t ВЫПОЛНЕl!ИЯ j t  УСЛОВИИ   j t ВЫВОД ДЕФАЗЗИ j ФИКАЦИЯ  i Рис. 5.49. Схема вычисления выходноrо значения у* нечеткой модели для входных значений х! == 2.5, Х 2 == 7.5 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 227 . зависимость числа правил от числа содержащихся в модели нечетких множеств, . полнота модели, . непротиворечивость базы правил, . связность базы правил, . избыточность базы правил. 5.2.1. Локальный характер правил Условие нечеткоrо правила характеризует окрестность некоторой точки пространства Х 1 х ... х Х п входных значений, в то время как ero за ключение задает окрестность некоторой точки пространства У выходных значений. Это утверждение иллюстрируется примером на рис. 5.50. В дaH ном при мере аrреrация условий выполняется с применением оператора PROD, вывод производится на основе метода I\IIAXI\1IN, а для дефаззи фикации используется метод высот. Условие правила R16, имеющеrо вид R16: ЕСЛИ (Хl == A 14 ) И (.r2 == А 24 ) то (у == B16) задает окрестность точки с координатами (a14, а24), а заключение ЭТО ro правила связывает с данной точкой окрестность точки у == b 16 . Если состояние входов (Хl, Х2) В точности соответствует значению (а14  а24:), то значение на выходе модели будет в точности совпадать с Ь 16 . Изобра женная на рис. 5.50 поверхность модели состоит из 9 cerMeHToB, вершины (узлы) которых задаются отдельными правилами. Изменение модальноrо значения Ь 16 множества B 16 вызовет смещение вверх либо вниз опорной точки поверхности модели, что приведет к изме нению поверхности в пределах только одноrо cerMeHTa (Ь 11 , Ь 12 , Ь 15 , Ь 16 ). Таким образом, данное изменение носит локальный характер. В случае изменения значения Ь 11 , соответствующеrо правилу Rll: Rll: ЕСЛИ (Xl == А 1з ) и (Х2 == А 2з ) то (у == В 11 ), изменятся поверхности прилеrающих к этой точке четырех cerMeHToB  остальные cerMeHTbl останутся без изменения. Можно сформулировать следующее утверждение: изменение заклю чения правила приводит к локальному изменению cerMeHToB поверхно сти модели, прилеrающих к задаваемой правилом опорной точке в про странстве Х 1 х Х 2 Х У. На друrие cerMeHTbl, не прилеrающие к данной точке, изменение заключения правила либо вообще не оказывает влия нин (в случае, коrда для входных функций принадлежности выполняется 
228 rлава 5. Нечеткие модели Поверхность модели Х2 Х2  All A 12 А13 A 14 Х2 А 21 Вl В 2 В з В4 А 22 В5 В6 В7 В& А 2з В9 B 10 Bll B 12 А 24 В13 B 14 B 15 B 16 База правил р(у ) 1 Bll B 10 В6 В5  B 16 B 12 B 15 B 14 В & Вl В 13 В З В 9 В7 В 2 В4 , , I'  Ir    " , Ir 'Ir ,.. , .. , , 'Ir ..... .. b 16 b 12 b 15 b 14 Ь & b 1 Ь 13 Ь З Ь 9 Ь 7 Ь 2 Ь 4 У b ll b 10 Ь 6 Ь 5 Рис. 5.50. База правил, ФУНКЦИИ принадлежности и поверхность отображения Х == Х 1 Х Х 2  У 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 229 условие разбиения единицы), либо влияет слабее (в случае не удовлетво ряющих условию разбиения единицы функций принадлежности с носите лями большой или бесконечной ширины таких как, например, rayccoBbI функции) . Характер изменения условий правил (например, модальных значений aij содержащихся в них нечетких множеств) не является локальным. Так, изменение модальноrо значения а12 множества А 12 (рис. 5.50) повлия ет на условия всех правил, содержащих данное множество, и приведет к смещению вправо либо влево опорных точек (а12, а21, Ь 2 ), (а12, а22, Ь 6 ), (а12, а23, Ь 1о ), (а12. а24, Ь 14 ). 5.2.2. Зависимость числа правил от числа входных параметров и нечетких множеств с повышением уровня сложности модели (увеличение числа правил или нечетких множеств) точно так же улучшается ее способность описывать реальную систему. В этом отношении сложность модели можно считать ее достоинством. Но с увеличением сложности значительно возрастает тот объем инфор мации о моделируемой системе, который необходим для определения параметров модели (таких, например, как параметры функций принад лежности всех нечетких множеств). В то же время объем имеющейся информации о моделируемой системе часто оказывается недостаточным для Toro, чтобы построить более сложную модель, и с этой точки зре ния сложность модели является ее недостатком. При рассмотрении задач нечеткоrо моделирования необходимо задавать некоторые разумные rpa ницы уровня сложности. И весьма важно иметь представление о том, что в первую очередь приводит к усложнению модели. Если обозначить число входов Xi модели через 'Ш, и предположить, что каждый из них задается одинаковым числом z нечетких множеств, то число r правил, имеющих простые условия, можно определить по фор муле (Kahlert 1995): ry>  ""W I ..<" . (5.52) Отсюда следует, что число r правил экспоненциально зависит от чис ла w входов модели и числа z имеющихся в ней нечетких множеств. Для Toro чтобы дать читателю представление о характере этой зависимости, сравним модели с одним и двумя входами (рис. 5.51  5.53). Сравнивая рис. 5.51 и 5.52, можно заметить, что при увеличении чис ла входов с одноrо до двух число правил возросло с 3 до 9. Чтобы полно стью определить модель с одним входом, необходимо задать 6 пара метров 
230 rлава 5. Нечеткие модели L М у Поверхность модели   Ri Rl R2 R3 х S м L v S м L s База правил f.1( х ) 1 I : х I I :L f.1 (у) о х Рис. 5.51. Число правил в модели с одним входом, задаваемым тремя нечеткими множествами S, 1\1, L функции принадлежности, а в случае модели с двумя входами  15 па раметров. На рис. 5.53 представлена модель с двумя входами. Каждый вход описывается четырьмя нечеткими множествами. Сравнивая рис. 5.52 и 5.53, мы видим, что увеличение числа нечет ких множеств с 3 до 4 привело к увеличению числа правил с 9 до 16, а числа пара метров функций принадлежности с 15 до 24. Если предпо ложить, что для каждоrо входа используется одинаковое число нечетких множеств A ij , и что с каждым правилом связано свое нечеткое MHO жество Bj, то число пара метров для задания функций принадлежности можно найти по формуле: р == r + w . z == zп, + 1и . z. (5.53) Резкое возрастание числа правил и параlVlетров функций принадлеж ности, требующих определения, с увеличением числа входов и' дeMOH стрируется в табл.5.14. Рост числа правил и пара метров функций принадлежности при YBe личении числа входов модели является столь стремительным, что в ли тературе ero иноrда называют «проклятием размерности» (Brown 1995а). В случаях, коrда для определения пара метров функций принадлежности требуется информация о большом числе точек в пространствах входных и выходных значений, экспертные методы терпят неудачу, и приходится использовать методы настройки модели на основе нормативных значений входных и выходных данных, с использованием, например, нейронечет ких сетей (Brown 1994). В то же время при большом числе настраиваемых 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 231 Х2 Ь 8 ., ,. . ! j ,J. . ' ь .J. '1 ! " '! I 9! . 1 А ! i!/! j!/!!/ 21 rrW , .. . .. . 1 I l' I l' I 1 . 1 I . 1 I ,1 А I '1 i ,1 i I 1 22 7i{  j 1 i 1 i I . 1 . 1 ,1 А ! / ! / ! / 23 F 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I А 11 / А 12 / Ав / 1 1 1 1 1 1 Поверхность модели Х2 а11 а12 а13 Хl  А 21 А 22 А 2з Хl А 11 В 1 В 2 В3 А 12 В4 Bs В6 Ав В7 В8 В9 База правил f.1 (у) 1 i В8 В9 В7 BsB4 B 6 В 1 В3 В 2  , " " , , , ., "   .... ... Ь 8 Ь 9 Ь 7 b s Ь 4 Ь 6 Ь 1 Ь з Ь 2 у Рис. 5.52. Число правил в модели с одним входом, задаваемыми тремя нечет кими множествами 
232 rлава 5. Нечеткие модели Поверхность модели Х2 Х2  All A 12 Ав A 14 Х2 A21 Bl В 2 В з В4 А 22 В5 В6 В7 В8 А23 В9 B 10 Bll B 12 А 24 ВJЗ B 14 B 15 B 16 База правил J.1 (у ) 1 B 16 B 12 B 15 B 14 В 8 Bll B 10 В6 В5 Вl ВJЗ В З В9 В7 В 2 В4 Ь 16 b 12 b 15 Ь 14 Ь 8 Ь 1 ы з Ь З Ь 9 Ь 7 Ь 2 Ь 4 У b 11 b 10 Ь 6 Ь 5 Рис. 5.53. Число правил в модели с двумя входами, задаваемыми четырьмя нечеткими множествами 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 233 Таблица 5.14 Иллюстрация влияния числа ВХОДОВ и числа нечетких множеств на уровень сложности нечеткой модели Число входов, Число множеств, Число правил, Число параметров, w z r р 1 2 2 4 2 2 4 8 3 2 8 14 .........................--...........--......--  --........................--......----  1 3 3 6 2 3 9 15 3 3 27 36   ................--......--...........----......  5 3 125 140 10 3 59049 59079 параметров уменьшается способность нейронечетких сетей к обучению, а при числе параметров, большем 4, их использование становится прак тически нецелесообразным (Bossley 1995). Поэтому, оставаясь в рамках требуемой точности моделей систем, следует стремиться к разумному их упрощению. 5.2.3. Полнота нечеткой модели Рассмотрим нечеткую модель, правила которой содержат набор простых условий (такие условия также называют элементарными), объединенных с помощью лоrической связки типа И: Rl : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) . .. И (Xi == A 1i ) . .. И (Х п == А 1п ) ТО (у == Bl) Rj : ЕСЛИ (Xl == A j1 ) то (у == В)), . .. И (Xi == A ji ) . .. И (Х п == A jn ) ( 5.54 ) Rm: ЕСЛИ (Хl == ..4 т1 ) ... И (Х 1 == A mi ) ... и (Eп == A rпn ) ТО (у == Вт). 
234 rлава 5. Нечеткие модели У Поверхность модели L База п р авил Yz Rl: ЕСЛИ (х=5) ТО (У=5) М R2: ЕСЛИ (х=М) ТО (у=М) Ут R3: ЕСЛИ (x=L) ТО (y=L) I х I s I м I L I s  .................. s м L Ys У J.i (у) I I Х I J.i( х) I I :L 1 о х Ха х у(а) == Ys . /--LS(х а ) + Ут . /--LЛI(Х а ) + Yl . /--LL(Х а ) ==  /--L S ( Ха) + /--L л 1 (х а) + 111 (х а ) О Рис. 5.54. Неполнота нечеткой модели при неполноте нечеткоrо разбиения области входных значений Х Область Х входных значений определяется как декартово произведе ние областей X i , i == 1,. . . , n, ЧИСЛОВЫХ значений отдельных пара метров: х == Х 1 Х Х 2 Х . . . х Хn. Символом У обозначим область ВЫХОДНЫХ значений. Определение 5.2.3.1. Нечеткая модель является полной, если с каж дым входным состоянием х* == (xt, . . . , X), принадлежащим области Х, она может связать некоторое выходное состояние у*. Нечеткая модель является неполной, если с некоторыми входными состояниями х ж нель зя связать ни одното выходното состояния у*. Потенциальная возможность построения нечетких моделей, не явля ющихся полными, подтверждается примерами на рис. 5.54 и рис. 5.55. Не следует при этом путать полноту модели с ее точностью. Полная MO дель необязательно должна быть точной, однако условием достижения высокой точности модели является ее полнота. Как показано на рис. 5.54, причиной неполноты модели может являть ся неполнота нечеткоrо разбиения области входных значений X". 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 235 L Поверхность модели у ?    r У, База правил s Ys Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) R3: ЕСЛИ (x=L) ТО (y=L) м Ут I ; I  I м I  I f.1(x) 1 I I I I I s: х f.1(y) о х ( )  у s . 11 S ( Х rn) + у 1 . I-L L ( Х т)  о у Х тn    J.1S(X m ) + 1-L1(ХтJ О Рис. 5.55. Неполнота нечеткой модели при неполноте базы правил Определение 5.2.3.2. Нечеткое разбиение области значений X i пере менной Xi является ПОЛНЫМ, если выполнено следующее соотношение: m L ILAJl (х;) > O хТ Е X i , j==1 тде т  число нечетких множеств A ji , которые мотут быть значениями переменной Xi. Определение 5.2.3.2 предполаrает, что каждое из значений хТ пере мен ной Xi из области значений X i принадлежит хотя бы одному нечетко МУ множеству A ji . Неполное нечеткое разбиение области значений, как в при мере на рис. 5.54, не является абстрактным понятием  такие раз биения встречаются в научных публикациях, и появляются они в HeKOp ректно построенных самообучающихся нечетких моделях. В ходе обу чения изменяются пара метры функций принадлежности, что приводит к смещению, а также расширению либо сужению последних, и без при нятия предупредительных мер возможно появление интервалов, которые не покрываются ни одним нечетким множеством A ji . Модель, представленная на рис. 5.55, является неполнои, посколь КУ дЛЯ входноrо состояния .r == J: 711 невозможно определить значение у на выходе. Причиной этоrо является неполнота базы правил. Как извест но, условия правил содержат линrвистические оценки входных состояний 
236 rлава 5. Нечеткие модели У База п р авил L У, Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (y=S) R2: ЕСЛИ (х=м) ТО (у=М) М RЗ: ЕСЛИ (x=L) ТО (y=L) Ут I I s I м I L I х У S М L S Ys f.1 (у) I I Х I I I I f.1(x) I I I 1М 1 s: L о х Рис. 5.56. Нечеткая модель с полным разбиением области Х входных значений и полной базой линrвистических правил (х == В,х == L), а заключения указывают на то, какое выходное состояние (также заданное в форме линrвистической оценки) соответствует вход.. ному состоянию, заданному в условии. В базе правил, представленной на рис. 5.55, не содержится ни одноrо правила, задающеrо значение у на выходе модели для входноrо значения .Т == Л1, и если состояние х на входе оценивается в точности как «среднее» (р,ДI(Х) == 1), что соот" ветствует ситуации Х == Х т , то не активизируется ни одно из правил Rl, R2, и вычислить выходное значение становится неВОЗl'vl0ЖНЫМ, поскольку результат дефаззификации неопределен (О/О). ДЛЯ сравнения на рис.5.56 показана поверхность нечеткой модели из предыдущеrо при мера (рис. 5.55), у которой как база правил, так и разбиение множества входных значений Х являются полными. Полная нечеткая модель на рис. 5.56 представляет собой более точ" ную модель реальной системы, чем являющиеся неполными модели на рис.5.54 и рис. 5.55. Как несложно заметить, неполная модель зна.. чительно отличается от полной. На рис.5.57 дано трехмерное представ" ление модели с линrвистически неполной базой правил. Сплошными ли.. ниями выделены участки, имеющие высокую точность, а пунктиром  участки, соответствующие низкой точности либо недостаточной надеж.. ности вычислений. Точность модели уменьшается по мере увеличения расстояния между опорными точками b i l'vl0дели, которые задаются на ос.. нове хорошо знакомых правил, содержащихся в базе. С помощью данной модели невозможно вычислить выходное значение у для представленных 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 237 Xl ,/ '" . jl 1 Х2 Х2  А]] А]2 А13 A 14 Х2 А 21 В 1 В 2 А 22 В5 В6 В7 А 2з B 10 Bll B 12 А 24 B 15 В 16 у (а 11, а24 )==0/0 у(а]2, а24)==0/0 у (а 11, а2З)==0/0 у(аI4, а21)==0/0 у(аI4, а22)==0/0 у (ав, а21 )==0/0 База правил р(у ) 1 В6 В 2 j В 16 B 12 B 15 B 11 В. О В7 В5 В. 10- , ., " ., , , " , '" " ... ..... Ь 16 Ь 12 Ь 15 Ь 11 Ь. О Ь 7 Ь 6 Ь 2 Ь 5 b 1 у Рис. 5.57. Нечеткая модель с линrвистически неполной базой правил и полным нечетким разбиением области входных значений Х == Х 1 Х Х 2 
238 rлава 5. Нечеткие модели на рис. 5.57 входных состояний (ali, a2j), а также для промежуточных состояний, лежащих на rранице области значений Х == Х 1 Х Х 2 . Отсутствие ряда правил, т. е., например, отсутствие информации о том, какое выходное нечеткое множество Bk соответствует BXOДHO му линrвистическому состоянию, задаваемому с помощью лоrическоrо произведения Al 1\ A 2j (наличие в базе правил пустых полей) означа ет, что модели можно доверять только в пределах зоны, соответствую щей имеющемуся набору правил (рис. 5.57). При удалении от этой зоны, в пустых полях, степень доверия к модели уменьшается. Для сравнения на рис.5.58 дано трехмерное представление модели с линrвистически полной базой правил. Следует различать линrвистическую и численную полноту базы пра вил. Определим вначале линrвистическую полноту. Определение 5.2.3.3. Пусть в нечеткой модели каждый вход Xi за дан элементарным линrвистическим множеством Х; == (Ail  . . . , A i7 ,), пространство входных линrвистических значений задано элементарным линrвистическим множеством X l == xf Х ... х x, которое опре деляет все возможные линrвистические состояния входното вектора (A 1k , A 2z ,... , А пр ), а выход у задан элементарным линrвистическим MHO жествам yl == (В 1 ,..., Вт). База правил модели называется ЛИНrВИ стически ПОЛНОЙ, если каждому входному линrвистическому состоянию (Alk, A 2l , . . . , А пр ) она ставит в соответствие хотя бы одно выходное линr вистическое состояние Bj. Заметим, что линrвистическая полнота базы правил не является абсо лютным или необходимым условием полноты нечеткой модели. Пример, иллюстрирующий это утверждение, приведен на рис.5.59. В представленной на рис. 5.59 ситуации, несмотря на неполноту ба зы правил, достичь полноты нечеткой модели удалось за счет правильно подобранной формы функций принадлежности /LS(X), fLL(X). Таким обра ЗОl'v1, с помощью данной модели выходное значение у можно вычислить для каждоrо входноrо значения т, в том числе для х 171, что являлось невозможным в условиях примера на рис. 5.55. В литературе приводятся разные определения полноты базы правил, но они относятся к виду полноты, который можно определить как числен ную полноту (Kahlert 1995 Oriankov 1993,1996). Приведем определение численной полноты. которое основано на определении полноты, данном Калертом (Kahlert 199.5) (без указания Toro, линrвистическая 9ТО полнота или численная). 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 239 Поверхность модели Х2 Х2  А 11 А 12 Аl3 А 14 Х2 A21 В 1 В 2 В3 В4 А 22 В5 В6 В7 В8 А23 В9 В 10 В 11 В 12 А 24 В13 В 14 В 15 В 16 База правил f1(y ) 1 В 11 В 10 В6 В5 J В 16 В 12 В 15 В 14 В 8 В 1 В 13 В3 В 9 В7 В 2 В4 "'" , ,r ,r .., .., ,,, , " ,r ,r, r .., ,. , ,. , r ,  ... Ь 16 Ь 12 Ь 15 Ь 14 Ь 8 Ь 1 Ь 13 Ь З Ь<) Ь 7 Ь 2 Ь 4 У b ll Ь 10 Ь 6 Ь 5 Рис. 5.58. Нечеткая модель с линrвистически полной базой правил и полным нечетким разбиением областей входных значений Х] и "Х"2 
240 rлава 5. Нечеткие модели L Поверхность модели   \   У/ : I I I I I I I , I База правил Ys Rl: ЕСЛИ (x==S) ТО (y==S) R3: ЕСЛИ (x==L) ТО (y==L) м Ут s 1; I  1М I  I 11(х) 1 I I I I s: М I х 11 (у ) L о х т Х х ( )  Ys . J-Ls(x'т) + У! . J-LL(Хт) .....i О У Хт-п  ;- , J-Ls(xrп) + f..LL(Xrп) , !1S(X т ) # о, J-LI,(Х rп ) # о Рис. 5.59. Полная нечеткая модель с линrвистически неполной базой правил Определение 5.2.3.4. Численно полной называется база правил, для которой каждое четкое входное состояние (xr, . . . , X N ) приводит К aK тивизации хотя бы одноrо правила (т. е. ero заключения). Поскольку активация «хотя бы одноrо правила» позволяет вычислить значение на выходе модели, это определение, по своей сути, COOTBeT ствует определению 5.2.3.1 полной нечеткой модели. Соrласно данному определению, в случае неполноты нечеткоrо разбиения областей зна чений входных параметров даже линrвистически полная база правил может не являться полной численно (рис. 5.54). Вместе с тем, линr вистически неполная база правил может быть численно полной, если подобраны функции принадлежности с достаточно широкими носителя ми (рис. 5.59). В литературе по нечетким системам под полнотой баз правил понимается линrвистическая полнота. В итоrе рассмотрения дaH ной темы MorYT возникнуть следующие вопросы: 1. Должна ли быть нечеткая модель полной? 2. Должна ли быть база правил линrвистически полной? 3. Должна ли быть база правил численно полной? Ответы на вопросы 1 и 3 будут одинаковыми, поскольку понятие полноты модели соответствует понятию численной полноты базы пра 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 241  NM NS Z PS м e NM РМ NS PS Z Z РМ PS Z NS NM PS Z NS РМ NM   1 N  отрицательный, Р  положительный, 1\;[  средний, S  малый, Z  нулевой, е  yr ловое смещение маятника относительно линии отвеса, 1  текущая мощность приводноrо двиrателя, д-е  оценка смещения маятника (изменение уrла е в единицу времени) Рис. 5.60. Линrвистически неполная база правил нечеткоrо реrулятора пере BepHYToro маятника вил. Нечеткая модель может быть неполной, если области ее HeOДHO родности лежат в неиспользуемых моделью (реrулятором) частях про странства входных и выходных значений. Аналоrично, база правил MO жет быть линrвистически неполной, если не встречающиеся в правилах входные и выходные состояния модели не являются для нее рабочими. На рис. 5.60 приводится при мер нечеткоrо реrулятора с линrвистически неполной базой правил, стабилизирующеrо перевернутый маятник в Bep * тикальном положении (Kosko 1992). Вместе с тем, использование неполных моделей связано с риском, и потому их следует предварительно подверrать ТLЦательному анализу на предмет выявления неопределенных состояний, которые MorYT воз никнуть в реальных условиях функционирования. 5.2.4. Непротиворечивость базы правил Определение 5.2.4.1. База правил называется непротиворечивой (со-- rласованной), если она не содержит несовместные правила, т. е. правила, имеющие одинаковые условия, но разные заключения. На рис. 5.61 приведен при мер модели, содержащей несовместные правила. Правила Rl и R2 в модели на рис.5.61 имеют одинако вые условия (,r' == Малый), но разные заключения (у == Малый) и (у == Очень большой). Поскольку заключения правил выражают диа метрально противоположные понятия «<малый» И «очень большой»), то в данной ситуаIlИИ можно rоворить о «сильной» несовместности пра вил. l' Здесь (на рис. 5.60) V(I)  скорость перемещения тележки, на котороЙ установлен перевернутый маятник.  ПРUJЛ. ред. 
242 rлава 5. Нечеткие модели У Поверхность модели L База правил VL У! Rl: ЕСЛИ (x==S) ТО (y==S) R2: ЕСЛИ (х==М) ТО (у= VL) R3: ЕСЛИ (х == м) ТО (у == м) R4: ЕСЛИ (x==L) ТО (y==L) s I  J Ут : I I I  o Ys : I :Xs :х т I I I s: М м 11(X ) 1 :х! Х I I S  малый L: М  средний L  большой VL  оченьбольшой х! х 11 (у) о Xs х т Рис. 5.61. База правил с «сильной» несовместностью правил Rl и R2, а также поверхность отображения Х  у модели У Поверхность модели s База правил VL L М Ут Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) R2: ЕСЛИ (х==М) ТО (у==М) R3: ЕСЛИ (х==М) ТО (y==L) R4: ЕСЛИ (x=L) ТО (у= VL) Ys l1(x) 1 м IX Z Х I I L: 11 (У) х т о Xs Х т Х! Х Рис. 5.62. База правил, содержащая «слабо» несовместные правила R2 и R3, а также поверхность отображения Х  у модели в модели на рис.5.62 также есть несовместные правила. Однако в данном случае мы можем rоворить, что их несовместность является «слабой», поскольку модальные значения несовместных заключений 1\1 и L расположены близко друr к друrу. ТаКИl\iI образом, степень несовместности правил может быть выше или ниже, в зависимости от Toro, как расположены друr относительно друrа 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 243 у у у , I I I  х х х Рис. 5.63. При меры неоднозначности систем, приводящей к правилам с одина ковыми условиями, но разными заключениями модальные значения их заключений. Рассмотрим, что может являться причиной существования несовместных правил в базе. Несовместность может быть вызвана, вопервых, ошибкой, допущен ной в ходе формирования правил, особенно в случае большоrо их чис ла. Друrой причиной может стать неоднозначность моделируемой систе мы, т. е. ситуация, коrда измерения входных и выходных данных си стемы не являются однозначными, и одному входному состоянию х* MorYT соответствовать различные выходные состояния  см. примеры на рис. 5.63. Таким образом, «несовместные» правила не являются таковыми на ca мом деле, поскольку они отражают верную информацию о системе. Для Toro чтобы в случае неоднозначности системы (например, при rистерези :r се ) избежать наличия несовместных правил, необходимо устранить ее неоднозначность, возникающую, если модель имеет слишком мало BXOД ных параметров. Так, модель rистерезиса (рис. 5.63) становится однознач ной при представлении ее в трехмерной системе координат с входными параметрами x(k), y(k  1) и выходным параметром y(k) (Piegat 1995с). В нечеткой модели, содержащей несовместные правила, выполняется операция усреднения (или близкая к ней, в зависимости от типа ис пользуемых операторов). Примером может служить модель на рис. 5.61, вычисляющая у == O.5(ys + Y-uz) при х == Xs, а также модель на рис. 5.62, для которой У == О.5(Ууп + yz) при Х == х т . Как отмечаJlОСЬ ранее, несовместность правил может проявляться в большей И/IИ !\iIрньшей степени. Интересное определение, позволяю щее оценивать уровень несовместности, при водится в (Leichtfried 1995). В данном опредеJlСНИИ рассматривается нечеткая модель, содержащая rИl'терезис  н рассмз т'риваеыо[ Cu'lучае ЭТО неоднозначная зависимость некоторой фчзическои веJIИ 1 IИНЫ от друrой величины при uиклическом изменении (увеличении и умеНЫl1ении) последнеи.  ПРU/vt. реа. 
244 rлава 5. Нечеткие модели правила следующеrо вида: Rj: ЕСЛИ (Хl == A j1 )... И (Xi == A ji )... И (Х п == A jn ) ТО (у == B j ), rде Хl, . . . , Х п  входные значения, A 1i , . . . , A mi  нечеткие множества входных значений Xi, В 1 ,. . . , Вт  нечеткие множества выходных значений у, X i  область значений переменной Xi, Х == Х 1 Х . . . х Х п  пространство входных значений модели. Если для операции И используется оператор PROD, то степень BЫ полнения условия правила Rj для входноrо состояния х* == (xi,...,x) можно найти по формуле: jJJ(x*) == fLAJl (х7) . ... . fLAJп(X), Vx* Е х. (5.55) Определение 5.2.4.2. База, содержащая п правил Rj, j == 1, . . . , т, яв ляется полной и совместной, если выполнено соотношение т L f.Lj(x*) == 1, Vx* Е Х. j==l Приведенное соотношение означает, что сумма степеней выполнения условий всех правил для любоrо входноrо состояния х* Е Х равна 1. Если сумма выполнения условий меньше 1, то для входноrо состояния х* база правил является неполной. Если же данная сумма больше 1, то для входноrо состояния х* правила несовместны. Соотношение (5.56) можно понимать в терминах процесса принятия решений. Решение у* (х*) определяется базой правил на основе степе ней выполнения условий р)(х*). И если сумма этих степеней меньше 1, то решение у*(х*) является недостаточно обоснованным, что, в свою оче редь, означает неполноту знаний о системе, содержащихся в базе правил. Если же сумма степеней выполнения условий больше 1, то это свидетель ствует о наличии факта несовместности правил, который в данной ситуа ции проявляется в следующем: если условие HeKoToporo правила удовле творяется полностью (степень выполнения равна 1), то в базе существуют также друrие правила, условия которых выполняются частично. В результате заключение (выходное значение модели) у* (х*) опре деляется не только полностью активизироваННЫIVl правилом, а coдep жащаяся в этом правиле информация перестает быть истинной (пра вило перестает «rоворить правду»). rIрИlVlер подобной ситуации показан на рис. 5.64. (5.56) 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 245 L i ::\ели 11(20,15) 1   Р(20, 14) Уn м База правил s :1:  Ys Jl(y ) Jl (х ) 1 I I I I I s: м I I I I I L: Rl: ЕСЛИ (х= 10) ТО (у= 10) R2: ЕСЛИ (х=20) ТО (у= 14) R3: ЕСЛИ (х = 40) ТО (у=3 0) X I;Ilzl1 О 1 О 20 Х т 40 Х 40  Х I1S == 30 Х  10 I1L == 30 3 fJ,S(X m ) == , fJ,M(X m ) == 1, fJ,L(X m ) == , L fJ,j(x m ) == 2 j==l * ( ) Ys . fls(X m ) + Утп . /-lЛl(Х rп ) + Yz . flL(:r'rп) у Х т == I MS(X rп ) + МАl(Х тп ) + !1L(X 1п ) == 4. (2/3) + 14 . 1 + 40 . (1/3) == 15 2 Рис. 5.64. Пример нечеткой модели, в которой сумма степеней выполнения условий для отдельных входных состояний больше 1 в при мере на рис. 5.64 при х == ;r;1п == 20 условие правила R2 yдo влетворяется полностью, т. е. I1s(20) == 1. В этом случае, в соответствии с содержашейся в правиле информацией: ЕСЛИ (х примерно равно 20) ТО (у примерно равно 14), выходной пара метр у должен получить значение у* == Ут == 14. Тем не менее, поскольку при l" == .r m активизируются также правила R1 и R2, то они тоже участвуют в принятии решения в отношении значения у*, изменяя результат так, что у* == 15. Поверхность модели не проходит через задаваемую правилом R2 точку Р(20,14), проходя вместо этоrо через точку Р] (20,15). Модели, в которых сумма степеней выполнения условий отлична от 1, также имеют право на существование и используются достаточно часто, 
246 rлава 5. Нечеткие модели поскольку сложно обеспечить равенство 1 в любой ситуации. Примеры подобных моделей леrко найти в литературе  см., например, (Кпарре 1995; Altrock 1993; Zimmermann 1994а) и др. При соответствующей Ha стройке пара метров указанные модели также имеют высокую точность. Вместе с тем, нельзя не заметить их недостаток, СОСТОЯLЦИЙ в том, что вычисляемые моделью выходные значения отличаются от тех, которые фиrурируют вправилах. 5.2.5. Связность базы правил Понятие связности базы правил вводится с помощью определения 5.2.5.1 (Driankov 1993,1996). Определение 5.2.5.1. База правил называется связной, если в ней нет смежных правил Rj, Rk таких, что пересечение содержащихся в их за ключениях нечетких множеств В]' Bk является пустым, т. е. Bj nB k == 0. Иными словами, для любоrо у, принадлежащеrо области значений У BЫ ходното параметра, выполняется соотношение: 11 в] (у) . jj в k (у) # о, v у : у Е У. ,u(y)l I I I I , I , ,u (х):, : 1  i1 i Аз : А4 As ,А6 о Rl Rl R2 R3 R4 R5 R6 х Al А 2 Аз А4 As А6 У Bl 85 В з В4 В 2 86 (5.57) В 1 пВ 5 == 0 В 5 пВ з == 0 В з пВ 4 * 0 В 4 пВ 2 == 0 В 2 пВ 6 == 0 х х Рис. 5.65. Нечеткая модель, имеющая несвязную базу правил. Для дефаззифи кации используется метод Н (одноэлементных множеств) 
5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей 247 у Поверхность модели 6 ШШ  ::3Ш 5 11    4 I I 11    : 3 : I В    : 2 I I I I 11 I I I I 1 I I I I I I I I I В 1 n 112 = 0 11 2 nВ з = 0 113 n 114 ;;j;: 0 В4nВ5 = 0 115 n 116 = 0 ,и (х) 1 I I I I I :А1 I I I I I :Аз А4 I I I I I :А 6 ,и (у ) 1 х о х R, Rl R2 RЗ R4 R5 R6 х А 1 А 2 Аз А4 А5 А6 У 111 115 113 114 112 116 Рис. 5.66. Нечеткая модель, имеющая связную базу правил. Для дефаззифика ции используется метод Н (одноэлементных множеств) Под «смежными» следует понимать правила, задаваемые в смежных ячейках таблицы правил (рис. 5.65). Нечеткая модель на рис. 5.66 имеет связную базу правил, а на рис. 5.65  несвязную. В модели на рис. 5.65 имеется ряд смежных множеств, не удовлетворяющих условию связности (5.57)  такими множествами являются, например, В 1 , В Б , содержащи еся в смежных правилах Rl, R2. Сравнивая поверхности моделей со связной (рис. 5.66) и несвязной (рис. 5.65) базами правил, мы видим, что связность базы правил повышает rладкость поверхности модели, а несвяз насть обусловливает появление на ней участков резкоrо подъема (KPYTO ra спуска). Разумеется, в случае связной базы правил не всеrда удается получить поверхности, обладающие такой, как на рис. 5.66, степенью pe rулярности последняя будет зависеть от расположения модальных зна чений выходных множеств Bj. Возникает вопрос: должна ли база правил нечеткой модели (реrулято ра) быть связной? От нет на Hero зависит от вида поверхности моделируе мой системы. Если поверхность имеет обширные участки KpYToro спуска, то для нее невозможно получить точное представление с помощью Moдe ли, имеЮlцей связную базу правил. Если же поверхность rладкая, то MO дель со связной базой правил будет точной. В случае нечетких реrуля торов чаUJ,е Bcero требуются rладкие поверхности отображения входных 
248 rлава 5. Нечеткие модели параметров в выходные, поскольку участки KpYToro спуска подразуме вают сильные и резкие изменения управляющих переменных объекта, и поэтому в данной ситуации рекомендуется использовать связные базы правил. Вместе с тем, данное требование не является абсолютно необхо димым, поскольку MorYT существовать и процессы (объекты, системы), в которых требуются резкие изменения управляющих переменных и, CTa ло быть, реrуляторы с несвязными базами правил. В модели с одним входом Х каждое правило может иметь не более двух смежных, в то время как в модели с двумя входами Хl и Х2 может быть до восьми смежных правил. С увеличением числа входов модели число правил резко возрастает, что, в свою очередь, приводит к усложне нию оценки связности базы правил, поскольку становится невозможным выполнить эту оценку путем визуальноrо контроля таблицы правил. 5.2.6. Избыточность базы правил Иноrда встречаются нечеткие модели, содержащие два или более иден тичных правила (т. е. правила, у которых совпадают условия и заключе ния). Причинами подобной ситуации MorYT быть: 1) ошибка, допущенная при проектировании базы правил (при большом числе правил); 2) в случае самоорrанизующейся нечеткой модели, rенерация дополни тельных правил, идентичных имеющимся, с целью усиления их за ключений. В первом, очевидном, случае избыточное правило следует исключить. Второй случай требует разъяснения (рис. 5.67). Поверхность модели Ml в точке Х == Х т значительно отличается от поверхности реальной системы (точки Рl и Р). Столь значитель ная ошибка возникла вследствие неправильноrо выбора пара метра Ут выходной функции принадлежности jjЛ[(У). Самообучающаяся модель в подобной ситуации может сформировать дополнительное правило, COB падающее с R2. Два одинаковых правила R2 можно заенить одним правило м R2*, заключение KOToporo имеет вид лоrической суммы: (ЕСЛИ (х == 1\1) ТО (у == N1)) U (ЕСЛИ (х == 1\1) ТО (у == 1V1)) == == ЕСЛИ (х == А1) ТО (у == Лf U 2\f). (5.58) При выполнении лоrическоrо суммирования на основе операто ра l\IAX будет получено множество 1\;1* == -,-\1 U М == 1\1. 
5.3. Рекомендации по построению базы правил 249 у Реальная система ,u(x) I I I I I I :L L м s ,u(v) 1 Х Х т Х База правил модели Мl Ri Rl R2 R3 х S м L у S м L База правил модели М2 Ri Rl R2 R2 R3 Х S м м L у S м м L Рис. 5.67. Сравнение нечетких моделей Мl и М2, соответственно без избыточ ности и С избыточностью базы правил в случае использования друrих операторов, например SUM (суммиро вание функций принадлежности), результирующее множество М* будет иметь вид JvluJ\;[ #- М, приводящий К усилению получаемоrо заключения и уменьшения ошибки модели (точки Р и Р2 на рис. 5.67). Таким обра зом, несколько совпадающих правил можно заменить одним правилом, заключение KOToporo соответствующим образом усилено. 5.3. Рекомендации по построению базы правил База правил должна обеспечивать возможность достижения требуемой точности нечеткой модели (после Toro, как определены пара метры по следней). Одновременно с этим, чтобы уменьшить стоимость вычислений и сделать модель более «прозрачной» (интуитивно понятной), число пра вил, содержащихся в базе, должно быть как можно меньшим. Более Toro, сокращение числа правил в модели с несколькими входами может быть предварительным требованием для выполнения настройки ее параметров. В литературе можно встретить утверждения о том, что настройка модели, 
250 rлава 5. Нечеткие модели Х2 Результаты измерения значений (х 1, Х2) Х==Х 1 ХХ 2 Х2 Х2mах . . . . .. . . . . . . .. · .... · ... Область .. . . .. .. · ...... .. . значений . . . . ... . . . . .... е. . .. . .. .. .. . . . .. . .... . .. . .. . . .. .. . .. ... . ... . ... ... . . . . ....... . Х2mш хl Хlmш Х 1 Хlmах хl Рис. 5.68. Задание области Х значений входных пара метров модели на основе распределения результатов измерения их значений (Xl, .Т2) имеющей более четырех входных параметров, практически не возможна либо трудновыполнима (Bossley 1995). Указанные свойства нечеткой моделиточность и число правил являются взаимоисключающими. При большом числе правил достиже ние высокой точности модели потенциально является более простой за дачей, а уменьшение числа правил в модели в общем случае снижает ее точность. При выборе числа правил необходимо учитывать следующие рекомендации: 1. Число правил увеличивается при уплотнении сетки, используемой для разбиения пространства Х входов модели. 2. Плотность используемой для разбиения сетки следует увеличивать в случае более рельефной поверхности отображения Х  у модели. 3. При неизменной плотности сетки (неизменном числе правил) точность модели может быть повышена путем правильноrо размещения зада ваемых правилами опорных точек ее поверхности. Приведем пояснения к замечаниям lЗ. Если задано распределение значений (Xl, 2'2) входов системы, то можно задать также и область зна чений Х для них (рис. 5.68). После Toro как установлена область Х значений входов модели, сле дует выбрать плотность сетки ее разбиения. В ситуации, коrда мы знаем либо предполаrаем, что поверхность отображения Х  у системы яв ляется существенно нелинейной и рельефной (рис. 5.69), необходимо ис пользовать более плотную сетку. В случае плоской (близкой к линейной) поверхности необходимость в таком разбиении отсутствует (рис. 5.70). После Toro, как выбрана плотность сетки разбиения, можно присту пать к формированию правил, задающих опорные точки поверхности MO 
5.3. Рекомендации по построению базы правил 251 у Х2 Х2 ,  Х2 X1==X 1 х Х 2  X 1 ==X 1 Х Х 2 у Xl Xl Хl Рис. 5.69. Пример ситуации, коrда плотность разбиения пространства входов необходимо увеличивать по причине более рельефной поверхности отображения Х  У, реализуемоrо моделируемой системой I I r  / I I I I I I I I I I I : I I I II i!..Y Х2 : .. X 1 .: Х I : 1 I х{: ]  X1XX2 Xl Х2 Рис. 5.70. Сетка разбиения в случае плоской (или практически плоской) по верхности реализуемоrо системой отображения Х  }Т дели. Существует два фундаментальных метода расположения опорных точек. А. Расположение точек по уrлам прямоуrольных cerMeHToB сетки разби ения. Б. Расположение точек в центре cerMeHToB. 
252 rлава 5. Нечеткие модели Поверхность модели Опорные точки Х 2 А23 А21 а21 Х 2 .1,.... ,... ""1- -'\, Х 1 Jl(y) В5 Вз Il(xi) ВВВВ ВВВ I I I I l' (Хl) : Ан A12 I : Хl I :А13 i 1 2 6 4 9 7 8 ., ., ., " " r .... ..... ы1 Ь2 Ь6Ь 4 Ь9Ь 7 Ь8 Ь5 Ьз у а 11 а 13 Хl а 12 Рис. 5.71. При мер нечеткой модели с расположением опорных точек по уrлам cerMeHToB разбиения пространства Х == X 1 Х Х 2 входных значений На рис. 5.71 приведен пример использования метода А. Если правила определяются для уrловых точек прямоуrольных cerMeHToB пространства входных значений, то соответствующий каждому cerMeHTY участок по верхности модели задается четырьмя правилами, соответствующими ero уrловым точкам. В случае модели, представленной на рис. 5.71, для зада ния поверхности, соответствующей всей области значений Х == X 1 Х Х 2 , используется девять правил: Rl : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == A 21 ) то (у == В 1 ) R2: ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == A 21 ) то (у == В 2 ) R3: ЕСЛИ (Хl == А 1з ) И (Х2 == A 21 ) то (у == в з ) R4: ЕСЛИ (.тl == A 11 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == В 4 ) R5: ЕСЛИ (Xl == А 12 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == В 5 ) R6: ЕСЛИ (Xl == А 1з ) И (Х2 == А 22 ) то (у == В 6 ) R7: ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 2з ) то (у == В 7 ) R8: ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 2з ) то (у == Вв) R9: ЕСЛИ (Хl == А 1з ) И (Х2 == А 2з ) то (у == Bg) (5.59) Приведенные правила содержат информацию о выходных значениях модели при входных состояниях (Хl, Х2), в точности соответствующих 
5.3. Рекомендации по построению базы правил 253 Поверхность модели А22 Х2  Х 2 О О  , I , I , I I I I I Х 1 i I 9 9 I I  ...j ' I I I I , I I I  ..... I I I .... I , I Xl I I A21 J.l(X2) I I I I J.l(xI) : Аll I I I I А12 : J.l (у) Вl В2 В4 Вз ыlЬ2 Ь 4 Ьз Xl у Рис. 5.72. Пример нечеткой модели с размещением задаваемых правилами опорных точек в центре cerMeHToB разбиения области значений Х == X 1 Х Х 2 уrловым точкам cerMeHTOB. Например, для Xl == a12, Х2 == а22 выходное состояние имеет вид у == Ь 5 . В пространстве между уrловыми точками нечеткая модель производит интерполяцию, характер которой зависит от методов вывода и дефаззификации, а также вида функций принад лежности. Метод Б, в рамках KOToporo задаваемые правилам и опорные точки размещаются в центре cerMeHToB, представлен на рис. 5.72. Используя метод Б для той же области значений Х, что и на рис. 5.72, получаем базу правил вида (5.60), содержащую только 4 правила: Rl : ЕСЛИ (Хl == A 11 ) И (Х2 == A 21 ) то (у == в з ) R2: ЕСЛИ (Х1 == A 11 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == B 1 ) R:3: ЕСЛИ (Хl == A 12 ) И (.1'2 == A 21 ) то (у == В 4 ) R4: ЕСЛИ (Xl == A 12 ) И (.Т2 == А 22 ) то (у == В 2 ) (5.60) Как видно из рис. 5.71 и 5.72, метод Б позволяет создавать нечеткие модели с меньшим числом правил, чем в случае использования метода А. В свою очередь, меньшее число правил приводит к уменьшению объема измеряемой информации, необходимой для lVlоделирования системы. 
254 rлава 5. Нечеткие модели Правила (5.60) содержат точную информацию о выходных состояни ях модели в точках, соответствующих (в большей или меньшей степени) центрам cerMeHToB. Для точек, находящихся между ними, выходное зна чение модели вычисляется на основе нечеткой интерполяции. За преде " лами участка между опорными точками заметны ооласти насыщения, со значениями b i , которые соответствуют ближайшим опорным точкам. Точ ность модели в данном диапазоне, как правило, является низкой. Подводя итоr, для каждоrо из двух рассмотренных методов определения правил можно указать следующие достоинства и недостатки. Метод А (опорные точки по уrлам cerMeHToB) . Достоинства:  более высокая точность модели, в том числе на rраницах простран ства Х входных значений. . Недостатки:  большее число правил, приводящее к менее «прозрачным» (интуи тивно понятным) моделям,  больший объем информации, требуемой для определения правил. Метод Б (опорные точки в центре cerMeHTOB) . Недостатки:  меньшая точность модели по сравнению с lVlетодом А, особенно на rраницах области значений. . Достоинства: меньшее, по сравнению с методом А, число правил, что приводит к большей «прозрачности» модели,  меньший объем измеряемой информаuии, необходимой для форми.. рования правил. Перед началом настройки модели пара метры опорных точек aij, b k MorYT, например, быть распределены равномерно. В процессе настрой.. ки происходит изменение позиций опорных точек (параметров нечетких множеств в правилах), обеспечивая все более высокую точность модели. Большее число опорных точек потенциально может привести к достиже.. нию большей точности нечеткой модели (при условии эффективно выпол" ненной настройки), но одновременно с этим процесс настройки модели становится все более сложным. 5.4. Сокращение базы правил Основная сложность процесса настройки MHorOMepHbIx самообучающих.. ся нечетких моделей (таких как, например, нейронечеткие сети, основан.. 
5.4. Сокращение базы правил 255 J  .. J. ... ...    ХI ХI Х} а) б) в) Рис. 5.73. Бессеточные разбиения входноrо пространства: прямоуrольное раз биение (а), квадратичное разбиение (6); а также сеточное разбиение (в) ные на реrулярном rиперпрямоуrольном разбиении пространства BXOД ных значений) заключается в большом числе подлежащих настройке па раметров. При этом данное число стремительно растет с увеличением количества входов и числа нечетких множеств, используемых для oцeH ки их значений. Исследованию данной проблемы, которая уже обсужда лась в разд. 5.2.2 и была названа в литературе «проклятием размерности» (Bossley 1995), посвящен ряд научных работ. Один из способов, предла raeMbIx для ее решения, состоит в переходе от реrулярноrо разбиения входноrо пространства к нереrулярному (Su 1995; Kwon 1994), состоя щему из непрямоуrольных cerMeHTOB. Друrой способ заключается в том, чтобы отказаться от сеточноrо разбиения входноrо пространства и ис пользовать бессеточные разбиения (Brown 1995а), такие как: . прямоуrольное разбиение (kd tree partition), . квадратичное разбиение (quad tree partition). Сущность каждоrо из этих разбиений поясняется примерами на рис. 5.73. Целью применения бессеточных разбиений является уменьшения чис ла нечетких cerMeHToB. Разбиение входноrо пространства будет плотнее в тех областях, rде для моделируемой системы поверхность отображе ния Х  у изменяется более резко (крутые спуски, неравномерности), и менее плотным в областях с более rладкой поверхностью. В пределах каждоrо cerMeHTa разбиения для задания поверхности ис пользуется только одно правило, поэтому здесь целесообразно использо вать модели Такаrиеуrено, которые будут рассматриваться в разд. 5.7.7, и в которых заключение каждоrо правила представляет собой не нечет кое множество, а функцию (как правило, линейную). Примером T3Koro правила может служить выражение вида Е ел И (х 1 == А 11) И (.т 2 == А 21 ) ТО (у == а 11 х 1 + а21 T:2 + ао 1 ) . ( 5. б 1 ) 
256 rлава 5. Нечеткие модели I I I I I I А a21 I I 21     I I 51 52: I Ji(y ) В3 В 1 В 2 , , I , I , I \ I , I \ I , I I \ I , I , I \1 Х 1\ I , \ I \ I I , I \ I , I \ I , I \ Ь з Ь} Ь 2 У Х1 а22 А    22 I I 5 3 : : I I I I j.J(X2) 1 j.J(x}) Опорные точки поверхности модели а11 а12 хl Рис. 5.74. Бессеточное разбиение входноrо пространства на три cerMeHTa 51 Sз и заданные функции принадлежности нечетких множеств Тем не менее, здесь MorYT использоваться и модели Мамдани  см. при мер 5.4.1. Пример 5.4.1. Пусть имеется бессеточное прямоуrольное разбиение входноrо пространства Х == Х 1 Х Х 2 , И заданы функции принадлежно сти (рис. 5.74). Каждому cerMeHTY может соотвтетствовать одно правило, задающее участок поверхности модели, связанный с данным сектором. Таким образом, вместо четырех, модель содержит три правила следую щеrо вида: Rl : ЕСЛИ (Хl == A 1L ) И (2:2 == A 2J ) ТО (у == В 1 ), R2: ЕСЛИ (Хl == A 12 ) И (Х2 == А 21 ) ТО (у == В 2 ), R3: ЕСЛИ (Хl == Al) И ('Т2 == А 22 ) ТО (у == В3). (5.62) Поверхность модели показана на рис. 5.75. Возможность задания большоrо cerMeHTa 5з входноrо пространства Х (рис. 5.74) при помощи только одноrо правила обусловлена тем, что в нем используется функция принадлежности А 1з , ядро которой по своей про тяженности охватывает практически всю длину cerMeHTa. Для использования бессеточноrо разбиения входноrо пространства необходимо предварительно установить характер изменчивости поверх ности моделируемой системы в различных ero областях  только в этом случае можно принять обоснованное решение об использовании боль шей или меньшей плотности разбиения. Необходимая для этоrо инфор 
5.4. Сокращение базы правил 257 у Ь 2 Поверхности модели Xl Рис. 5.75. Поверхность модели (5.62), основанной на бессеточном разбиении входноrо пространства мация может быть получена, например, на основе кластерноrо анали за выборки измерений входных и выходных данных (Babuska 1996)  см. разд.6.3.3.2. Заметим, что база правил (5.62) является линrвистически неполной, поскольку в ней присутствуют не все возможные комбинации входных нечетких множеств A 1i , A 2j . Вместе с тем, она является численно полной, вследствие использования [ауссовых функций принадлежности с Heorpa ниченными носителями. При любом входном состоянии (х!, Х2) Е Х 1 Х Х 2 активизируется хотя бы одно правило, блаrодаря чему, вне зависимости от пара метров этих функций (величин левоrо и правоrо разбросов), мож НО вычислить выходное значение модели. Возможность задания большоrо сектора 8з обусловлена использо ванием нечеткоrо множества А 1з с соответствующим размером ядра (рис. 5.74). Использование подобных функций принадлежности является одним из методов, позволяющих уменьшить число правил. Существует также метод, основанный на уменьшении числа используемых в Moдe ли нечетких множеств и позволяющий уменьшить число правил и/или упростить их форму (уменьшение числа подусловий правил). Поясним сущность данноrо метода на примерах (Piegat 1997с). . Пример 5.4.2. Рассмотрим адаптивную нечеткую модель, способную Ha страивать свои параметры на основе измерений входных и выходных дaH ных моделируемой системы. Предположим, что в начале процесса адапта 
258 rлава 5. Нечеткие модели у Система У(Х)  '" ;; ::><::,  ;::, ; , м <,><'"  ;; ::><::, s /; , Ys Rl: ЕСЛИ (х == S) ТО СУ == S) R2: ЕСЛИ (х ==!vf) ТО (v == !vf) R3: ЕСЛИ (x==) ТО (y==) / I (v _ __ш_ш ---o/ R4: ЕСЛИ (х= VL) ТО = VL) Y ///; Модель Ут(Х) / I    I Ум //: / : / I I I 1 I , I f.1 (х) 1 Дефаззификация с использованием метода высот ,u(y) 1 х I : I s  малый М  средний L  большой V  очень большой Xs ХМ XL XVL Х Рис. 5.76. Поверхности моделируемой системы и модели в начале проuесса адаптаuии ции было выбрано равномерное распределение функций принадлежности (рис. 5.76). На этом рисунке представлены также поверхность моделиру емой системы и начальный вид поверхности нечеткой модели. Пусть в результате настройки модели получены параметры функций принадлежности и поверхность модели, показанные на рис. 5. 77. Нечет кие множества «средний» И «большой» имеют близкие модальные значе ния Х т И Xz, В связи с чем объединение этих множеств в одно множество А[* == 1\;1 U L не должно привести к чрезмерному уменьшению точно сти модели, которая может оцениваться, например, с помощью суммы величин абсолютных ошибок по формуле: п 1 == L IY(Xl)  Yт(.Ti)l, i== 1 (5.63) [де n  объем выборки входных и выходных измерений значений пара метров системы. Одновременно с объединением множеств А1 U L в результирующее множество Аl* относительно переменной х следует также объединить относительно переменной у соответствующие множества Аl и L, находя щиеся в заключениях правил. Объединение можно выполнить, например, по формуле (5.64), с использованием оператора SUJ\J: /-L1vI*(Х) == SUI\/I(/-L1\;I(X),/-LL(X)), /-L1\;f*(У) == SUlVl(/-LАI(у),/-LL(У)). (5.64) 
5.4. Сокращение базы правил 259 У Система У(Х) R 1: ЕСЛИ(х == S) ТО (у == s) R2: ЕСЛИ(х==М) ТО (у==М) R3: ЕСЛИ(х==L) ТО (y==L) R4: ЕСЛИ(х== VL) ТО (у== VL) VL ""  ..,=:;c;:= L ;:... ,,' ... " ........(..... м <,/ """ . ;' ............... ",;," <..... s ;';';';';';' "..., f.1 (х) 1 I I I I I I I I VL: I Дефаззификация с использованием метода высот f.1(y) 1 х Xs ХМ XL XYL Х Рис. 5.77. Поверхности моделируемой системы и модели по завершении Ha стройки пара метров f.1(X) 1 Система У(Х)  Rl: ЕСЛИ(х == s) ТО СУ == s) * * ШШШ :/ i : :jg &:] ,/ ! "  «/ i Модель Ут(Х) I I I I I I , I I I I I I Дефаззификация с использованием метода высот Х Ум*== О.5(ум+ YL) У VL ' ............ .,"' У :><: VL (;' I I I М*I I I I L"" S /><" Ys " Ум* f.1(y) 1 Xs Хм XL XYL Х Рис. 5.78. Понерхности моделируемой системы и модели после сокращения нечетких множеств (1\1 U L == 1\1*) Результат применения данноrо метода объединения и полученная на ero основе поверхность модели представлены на рис. 5.78. Как видно из рис. 5.78, уменьшение числа множеств путем их объеди нения не привело (в данном случае) к существенному изменению точно 
260 rлава 5. Нечеткие модели У Системау(х) VL """ iii ШШШШ\... i :)(:... / I  .........  1 м* ::... ......... "'" Y H H;"/  ,," .. :  I ...  I '>' , " ... I " " , ",; " I " ... I " ... I S " : Ys I R 1: ЕСЛИ(х == 51 ТО (у == 51 R2: ЕСЛИ(х==м*) ТО (у=м*) R3: ЕСЛИ(х== VL) ТО (у= VL) Модель у т(Х) р(у) 1 I I I I I р(х) I I r м. s: VL 1 I I Дефаззификация с использованием метода высот х УМ*== О.5(ум+ YL) ХМ*== О.5(хм+ XL) Xs ХМ. XVL Х Рис. 5.79. Поверхности моделируемой системы и модели после объединения нечетких множеств Лf и L с применением упрощенноrо метода сти модели, хотя число правил уменьшилось с 4 до 3. В случае моделей со мноrими входами можно добиться значительно большеrо сокращения числа правил (см. разд.5.2.2). Для нахождения результирующих множеств 1\;1* вместо формулы (5.64) можно также использовать упрощенный метод, учитывающий то, что модальные значения этих множеств расположены посередине между модальными значениями множеств 1\1 и L, в соответствии с формулой (5.65). В этом случае мы получим HeMHoro друrую поверхность модели, представленную на рис. 5.79: XAI* == О.5(ХАI + XL), УЛf* == О.5(УА! + YL). (5.65) Таким образом, объединение двух нечетких множеств может быть BЫ полнено с применением обычноrо (5.64) или упрощенноrо (5.65) метода. Выбор KOHKpeTHoro метода зависит от Toro, насколько уменьшится точ ность модели при использовании каждоrо из них. В некоторых случаях объединение множеств может привести даже к повышению точности. . Функции принадлежности нечетких множеств в при мере 5.4.2 удовле творяют условию разбиения единицы. Рассмотренный подход применим для двух смежных множеств во входном пространстве, имеющих близкие модальные значения. В случае трапециевидных множеств объединение возможно, если они являются смежными, а их ядра расположены близко друr к друrу. 
5.4. Сокращение базы правил 261 J.l(x) 1 А 1 А 2 Аз А4 х mш х mах х х В(А 2 , Аз) == L Л Хmах  Xmin Рис. 5.80. При мер смежных трапециевидных нечетких множеств, расположен ных близко друr к друrу Понятие «близости» множеств связано не только с расстоянием L между их ядрами (рис. 5.80), но также должно учитывать длину носите ля множества (х п1ах  Xmin). Таким образом, «близкими» MorYT считаться только такие смежные множества A i , A i + 1 , для которых показатель В OT носительной близости (схожести), выражаемый формулой (5.66), не пре восходит HeKoToporo предельноrо значения: В(А . А . )  LA,AL+l , +1  Х mаХ  Xmin  л. (5.66 ) Значение л выбирается проектировщиком модели. При больших зна чениях л следует ожидать более заметноrо снижения точности упрощен ной модели. Если содержащиеся в модели функции принадлежности не удовлетво ряют условию разбиения единицы, то в ходе настройки возможны любые изменения их разброса, длины ядра и модальных значений. В этом слу чае в результате настройки можно получить функции принадлежности, в той или иной степени перекрывающие друr друrа (рис. 5.81). J1(x) А 1 А 2 J1 (х) А 1 А 2 j.1 (х) А 1 А 2 1 1 1 ''" I 1 пА2 / I I I , I , I I , I I \ I , I \ I , I , I Х Х luA2 Х Схожие множества Схожие множества Различающиеся множества Рис. 5.81. Примеры схожих и различающихся нечетких множеств 
262 rлава 5. Нечеткие модели Чтобы выбрать подходящие для выполнения объединения множества, можно воспользоваться понятием меры сходства множеств /3 (Babuska 1996). Было предложено множество различных мер, каждая из которых соответствует определенному критерию сходства. Достаточно очевидной мерой сходства двух l\1ножеств Аl и 42 является мера, задаваеl\Iая фор мулой: S ( A А, ) == IAl n А21 1, 2 I А 1 U А2/ ,т 11101>- J lVIIN [!L А 1 (х). fJ л 2 ( Х )] (1х .1' 111111 (5.67) .1'111clX J l\IAX[!LA 1 (х). J1Л 2 (х)] dx .1'llllП [де XIllin Х п1ах  rраницы области определения Х (рис. 5.79), I . I  кардинальное число (мощность) нечеткоrо множества. В случае дискретных функций принадлежности сходство множеств можно оценить по формуле (5.68): S ( A А. ) == 'Аl n 421 1, 2 /А1 U А 2 ! {n L l\JIN [р А 1 (.1') ). f1 А 2 ( Х J ) ] )==1 (5.68) т L l\IAX[!LA 1 (Xj). РА 2 (Xj)] .1==1 [де Xj Е XD, XD  дискретная область значений переменной х. В соответствии с формулами (5.67) и (5.68), степень сходства MHO жеств Al и А 2 тем выше, чем сильнее их общая часть Al n А 2 будет совпадать с их суммой А 1 U А 2 (рис.5.81). В случае полноrо совпадения множеств А 1 и А 2 получаем А 1 пА 2 == Аl UA 2 == 1. и таким образом степень их сходства S(A 1 . А 2 ) == 1. Если множества Al и А 2 , заданные на пространстве входных значе ний Y, имеют достаточную степень сходства, т. е. выполнено условие S(A 1 . А 2 )  д. (5.69) [де д : r5 Е [О. 1 J  минимально допустимая степень сходства множеств, то их объединение можно выполнить по формуле: A==A 1 uA 2 . МА(Х) == l\lAX[jLA 1 (X)jlA2(X)J. (5.70) 
5.4. Сокращение базы правил 263 Сумма А используется для замены в правил ах множеств А 1 и А 2 , что позволяет упростить базу правил. Например, если для модели с одним входным пара метро м :r и выходным параметром у база правил имеет вид: Rl : ЕСЛИ (х == А]) ТО (у == В]), R2: ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В 2 ), R3: ЕСЛИ (х == А з ) то (у == В з ), R4: ЕСЛИ (х == А 4 ) то (у == В 4 ), (5.71) установлено сходство множеств Аз и А 4 , И для их замены используется множество Аз == Аз u А4:, то при подстановке в правила множества Аз вместо ./1з и А4 мы получаем базу правил следующеrо вида: Rl : ЕСЛИ (.т == А 1 ) ТО (у == B 1 ). R2: ЕСЛИ (х == А 2 ) то (у == В'2). R3: ЕСЛИ (.т == 4;) ТО (у == В з ), R4: ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == В4). (5.72) Поскольку условия правил R3 и R4 совпадают, их можно объединить в соответствии с формулой: [ ЕСЛИ (2: == Аз) ТО (у == В з )] U [ ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == В 4 )] == ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == В3 U В 4 ) == ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == B). (5.73) rде В з == В3 U В4. Таким образом, база правил (5.72) преобразована в базу вида Rl: ЕСЛИ (Т == А 1 ) то (у == В]), R2: ЕСЛИ (.т == А 2 ) то (у == В 2 ), R3: ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == B), (5.74) содержащую меньшее число правил. Сокращенную базу правил (5.74) можно считать допустимой, если она не приводит к чрезмерному снижению точности модели. Приведем пример значительноrо сокращения числа правил в модели с двумя входами. 
264 rлава 5. Нечеткие модели Пример 5.4.3. Рассмотрим модель системы с двумя входами и одним выходом и линrвистически полной базой правил: Rl: ЕСЛИ (Х1 == А 1 ) И (Х2 == В 1 ) то (у == С}), R2: ЕСЛИ (Х1 == А 1 ) И (Х2 == В 2 ) то (у == С 2 ). R3: ЕСЛИ (Х1 == А 1 ) И (Х2 == в з ) то (у == С з ), R4: ЕСЛИ (Х1 == А 2 ) И (Х2 == В 1 ) то (у == С 4 ), R5: ЕСЛИ (Х1 == А 2 ) И (Х2 == В 2 ) то (у == С 5 ), R6: ЕСЛИ (Х1 == А 2 ) И (Х2 == в з ) то (у == С 6 ), R7: ЕСЛИ (Х1 == Аз) И (Х2 == В 1 ) то (у == С 7 ), R8: ЕСЛИ (Х1 == Аз) И (Х2 == В 2 ) то (у == С 8 ), R9: ЕСЛИ (Х1 == Аз) И (Х2 == В з ) то (у == С 9 ), (5.75) rде: А 1 , А 2 , Аз  нечеткие множества значений входа Х1, В 1 , В 2 , В з  нечеткие множества значений входа Х2, С 1 ,. . . , С 9  нечеткие множества значений выхода у. Предположим, что множества А 2 (Х1) и А З (Х1) являются схожими и MorYT быть объединены с получением множества А;(Х1), которое за тем может быть использовано для замены в правилах множеств А 2 (.т1) и А З (Х1) (А 2 rv А 2 , Аз rv А;). В результате пары правил (R4, R7), (R5, R8), (R6, R9) будут иметь одинаковые условные части, и MorYT быть объединены с использованием операции ИЛИ, что приведет к базе пра вил вида: Rl: ЕСЛИ (Х1 == А 1 ) И (1:2 == В 1 ) то (у == С 1 ), R2: ЕСЛИ (Х1 == А 1 ) И (Х2 == В 2 ) то (у == С 2 ), R3: ЕСЛИ (Х1 == А]) И (Х2 == В з ) то (у == С з ), R4: ЕСЛИ (Х1 == A) И (Х2 == В 1 ) то (у == С 4 U C7) R5: ЕСЛИ (Х1 == A) И (Х2 == В 2 ) то (у == С 5 U С 8 ), R6: ЕСЛИ (Х1 == А;) И (Х2 == в з ) то (у == С 6 U С 9 ). (5.76) в paCCl\10TpeHHoM случае уменьшение числа нечетких множеств на 1 позволяет уменьшит число правил на з. Упрощенную модель (5.76) мож но считать допустимой только в том случае, если, по сравнению с MO делью (5.75), не произошло значительноrо уменьшения ее точности. Подобная ситуация не всеrда имеет место, что подтверждается приме pOlV1 5.4.4. . 
5.4. Сокращение базы правил 265 Rl: ЕСЛИ (х==А]) то (У==В 1 ) .... R2: ЕСЛИ (х==А 2 ) то (У==В 2 ) .... I ....  .... : R3: ЕСЛИ (х==А з ) то (у==В з ) : R4: ЕСЛИ (х==А 4 ) то (У==В 4 ) I Модель Ут == fm(x) у Система у == f(x) В4 " ........ .... .........>:::::.......... ,..... ......... В з <:'" /" ............>< ' '...., В 2 : " ::><=:, В 1 ,/ ' Уl J1(y) 1 J1(X ) 1 I I I I I I I I А 1 : х 1 Х2 ХЗ Дефаззификация с использованием метода высот х Х4 Х Рис. 5.82. Поверхности моделируемой системы и нечеткой модели с четырьмя правилами Rl: ЕСЛИ (х ==А 1 ) то (у == В 1 ) R2: ЕСЛИ (х==А;) ТО (У=В 2 ) У4 R3: ЕСЛИ (х=А 4 ) то (У==В 4 )  I "',   ..    .../... у; I : : Модель Ут == fm(x) ...., ,..." I : :> I : ",," ", I : ,,"', I 1 В ,//', : 1   I I I I у Система у == f(x) В4 " ,/ /"'><''''' В* ......... 2 ............" Уl ,u(y) 1 J1(X) 1 хl Х2 ХЗ х Дефаззификация с использованием метода высот Х4 Х Рис. 5.83. Поверхности моделируемой системы (рис.5.82) и нечеткой модели с меньшим числом правил Пример 5.4.4. На рис. 5.82 приведена исходная нечеткая модель. По скольку модальные значения множеств А 2 и Аз являются близкими, эти множества можно попытаться объединить. Полученное в результа те нечеткое множество A представлено на рис. 5.83. 
266 rлава 5. Нечеткие модели Очевидный вывод, который можно сделать из рис. 5.83, состоит в том, что в результате объединения множеств А 2 и Аз и сокращения числа пра вил произошло значительное снижение точности модели. Этоrо снижения можно было в определенной степени ожидать вследствие большоrо pac стояния (УЗ  У2) между точками, представляющими множества В 2 и В з (рис. 5.82). Для моделей с одним входом произвести такую оценку значитель но проще, чем в случае объектов с несколькими входаlVlИ. Выполнение объединения нечетких множеств с возможным сокращением числа пра вил в последнем примере может быть оправдано лишь тем, что точность модели уменьшилась незначительно. . Еще одна возможность упрощения нечетких правил связана с COKpa щением множеств, имеющих сходство с областью определения Х  см. пример 5.4.5. Пример 5.4.5. Рассмотрим нечеткую модель, представленную на рис.5.84. В данной модели нечеткое множество А 1З (Хl) имеет cxoд ство с областью определения X 1 (рис. 5.85). J1 (х2) 1 j.l (х 1)   I I S3 I I I I I f I I  I I I I I I , I $-.  I I 81 I 52 I , I , I I , .... , .... р(у) В з В 1 В 2 Х 2 Ь з Ь 1 Ь 2 У Хl I I I I ' . all а12 I I I I ' Хl xi Rl: ЕСЛИ (Xl == А 11 ) И (Х2 == AH) ТО (у == В]) R2: ЕСЛИ (Т1 == А 12 ) и (Х2 == А 21 ) то (у == В 2 ) R3: ЕСJIИ (Х1  А 1з ) и (Х2 == А 22 ) ТО (у == B:) Рис. 5.84. Нечеткая модель с бессеточным разбиением области значений Х -=-= X 1 Х Х:2 на три cerMeHTa 
5.4. Сокращение базы правил 267 P(xl) 1 ,u (х 1) о 1 xi Ав I Хl mш : I I I '. Х 1 I : х 1 тах Х 1 I I I .' Хl mш ... р"'" х 1 тах Х 1 Рис. 5.85. ФУНКЦИИ принадлежности множества А 1З (Хl) И универсальноrо MHO жества Х 1 Если степень сходства множества А 1З (Хl) с универсальным множе ством Х 1 , значение которой lVI0ЖНО найти по формулам (5.67) и (5.77), является достаточно высокой (близкой к 1), т. е. S( А ( ) х" ) == 141:{(J:'1) n X 1 ! \ 13 Х 1 .  1 I  4 1 :{ Ст 1) u Х 1 I J' 1 11lАХ .r !L А 1 3 ( J' 1 ) dc 1 ,1'1 111111  д, (5.77) .f llШ1Х  l' 1111iп то в правил ах это множество можно заменить на Х 1. Поскольку функция принадлежности универсальноrо множества равна 1 во всех точках ero носителя, то часть условия, содержащую множество А]з rv X 1 , из пра вила можно исключить, что приведет к более простому ero виду. Для случая модели на рис. 5.84 мы получаем упрощенную базу правил: Rl: ЕСЛИ (.r1 == А 11 ) И R2: ЕСЛИ (.тl == А 12 ) И R3: ЕСЛИ ( .Е 2 == А 21) Т О (у == В]), (Х2 == A 21 ) то (у == В 2 ), (Х2 == А 22 ) то (у == В з ). (5.78) Упрощенная база правил (5.78) будет допустимой, если точность нечеткой модели, содержащей эту базу, по сравнению с исходной MO делью уменьшится лишь незначительно. Упрощения нечеткой модели можно достичь путем использования метода локальных моделей (Bossley 1995; Babuska 1995с). В рамках данноrо метода вместо одной rлобальной модели, заданной на всей об ласт и входов Х, используется множество локальных моделей, каждая из которых имеет собственную плотность сетки разбиения связанноrо с ней участка пространства входов. Метод локальных моделей можно использовать в случаях, коrда поверхность отображения Х  у имеет участки как малой крутизны ( «плато»), так и большой крутизны «<ro РЫ»)  см. рис. 5.86. Участок поверхности над Cer!\leHTOM 51 области значений Х (рис. 5.86) имеет большие различия по высоте и наклону, и для точноrо ero модели 
268 rлава 5. Нечеткие модели у Поверхность отображения --,Х"  У Хl Х2 Х 1 Х=Х 1 ХХ 2 Рис. 5.86. Система, поверхность которой имеет участки значительно различа ющейся крутизны Х2 Модель М 1 Модель М 2 \ Опорные точки поверхности модели S] 82 Хlр Хl РИG. 5.87. Различие в плотности нечеткоrо разбиения универсальноrо множе " ства для локальных моделей Jvl 1 и М 2 рования требуется большее число задаваемых правилами опорных точек, чем для практически плоскоrо участка поверхности над cerMeHTOM 52. По .'1 этой причине нечеткое разбиение сетмента 81 должно иметь значительно более плотную сетку, чем разбиение cerMeHTa 52 (рис. 5.87). Если бы плотность сетки разбиения была одинаковой для всей обла сти Х"== Х 1 Х Х 2 , то для задания BCX опорных точек потребовал ось бы 98 правил. Однако, мы можем использовать разные сетки, и при использова нии более плотной сетки для cerMeHTa Sl и менее плотной для cerMeHTa 82 число правил для этих cerMeHToB составит соответственно 49 и 9 (об щее число правил будет равным 58). Таким образом, при использовании 
5.4. Сокращение базы правил 269 Х2 Модель М 1 Модель М 2 Sl I I I I , S2 х2 хl JL (х д 1 JL м 1 (х 1) JL M 2 (XI) X1Gl XIG2 ХI xi Рис. 5.88. Функции принадлежности смежных локальных моделей с указанием поrраНИ4НОЙ зоны XIGl  XI  XIG2 двух локальных моделей можно добиться значительноrо уленьшения KO личества правил. Условием корректной работы модели, состоящей из множества ло кальных моделей, является непрерывность поверхности на участках co единения локальных моделей. Это условие будет выполняться, если зна чения выходных пара метров у Сl\1ежных локальных моделей в точках. ле жащих на их общей rранице, будут совпадать. В случае двух локальных моделей Jvf 1 и Лf 2 (рис. 5.87) это условие выражается в виде соотношения У1\11 (XIP. Х2) == Y\12(X]P Х2). (5.79) Условие (5.79) накладывает оrраничение на структуру rраничащих друr с друrом моделей, состоящее во взаимной заВИСИl\IОСТИ их пара метров и являющееся трудно реализуемым, особенно при БОЛЬШО1 числе входных пара метров модели. Тем не менее, в этом случае непрерывную поверхность rлобальноЙ модели можно также получить путем нечетко ro объединения локальных моделей. Для этоrо необходимо определить поrраничные зоны Сl\1ежных моделей и вычислить выходное значение у rлобальной модели на основе выходных значений YAI, для всех точек по 
270 rлава 5. Нечеткие модели rраничной зоны, умноженных на степени принадлежности этих точек, Данный метод иллюстрируется на рис. 5.88. Для тех точек cerMeHTa 51, которые не входят в поrраничную зону, выходное значение rлобальной модели у совпадает с выходным значением локальной модели УЛJ 1 . Аналоrично, для не принадлежащих поrраничной зоне точек cerMeHTa 52 выходным значением модели будет у == УЛ!2. Ec ли же значения входов принадлежат поrраничной зоне, выходное значе ние rлобальной модели вычисляется на основе выходных значений обеих локальных моделей, для чеrо используется формула У(.Т1,Х2) == {lЛf 1 УЛJ 1 (Хl,Х2) + J1JЛI2.1JЛ[2Сrl:r2), 'i(T1 Х2) : ХIСl  Xl  ХIС2, Т2 Е Х 2 . (5.80) Увеличение ширины поrраничной зоны приводит к более rладкой по верхности rлобальной модели в пределах этой зоны. Описание различных методов построения локальных моделей можно найти в (Bossley 1995 Babuska 1995с; Nelles 1998; Nelles 1999). . 5.5. Нормирование (масштабирование) входов u и выхода нечеткои модели в реальных системах значения входов Xi и выхода у обычно имеют orpa ниченные пределы изменения (рис. 5.89). Исключением являются величины, которые выражаются в виде инте rрала друrих величин: t .Т == ! z(t) dt, о х XN ДХ Х теап  t о Xmin 1 а) б) Рис. 5.89. rрафик изменения реальной величины .Т' в ходе Функционирова нин системы (а) и rрафик величины .1'1\; ПОСvlе НОр1\lИрОВ3НИЯ с ИСП()J]ьзованием Какоrоли60 метода (6) 
5.5. Нормирование входов и выхода нечеткой модели 271 Xl: Xl Е [х lmin, Х lmaxJ ..  .. Х2: Х2 Е [Х2тlт Х2тах]  Ненорми рованная нечеткая модель у: у Е [Уmш, Утах] ..  Xl: Xl Е [Хl mш , Xl max ] Х2: Х2 Е [Х2mш, Х2тах] Норми рованная нечеткая модель Рис. 5.90. Нормирование входов и выходов модели (N  операция нормирова ния, x N  нормированная величина, DN . операция денормирования) (например, увеличение уrла поворота а вала электродвиrателя происхо дит при условии, что включен источник питания), а также величины, являющиеся производными друrих величин (х == Dzjat) (например, про изводная ошибки сиrнала в системе управления). Теоретически, инте rралы и производные MorYT возрастать бесконечно, однако, в реальных системах их значения зачастую также оrраничены (хотя и MorYT быть очень большими), учитывая оrраничения мощности и быстродействия исполнительных механизмов, продолжительности работы системы и т. п. Оrраниченность сиrналов в системе может быть подтверждена результа тами наблюдений и измерений, и если оrраничения Х mаХ И Xmin известны, то можно выполнить их нормирование, называемое также масштабиро ванием (Driankov 1996; Yager 1995; Kahlert 1995). Нормирование вели чины х, имеющей интервал изменения [Xmin. X n1ax ], заключается в при ведении ero путем подходящеrо масштабирования к нормироваННОl'l1У ин тер валу [1, 1]. Также может использоваться интервал [0,1]. Принцип нормирования сиrналов нечеткой модели показан на рис. 5.90. Какие преимущества дает нормирование? 1. Для реальных систем, являюшихся подобными на качественном уровне, мы получаем сходные нормированные нечеткие модели, а при управлении подобными на качественном уровне процессаl\1И  cxoд ные нормированные нечеткие реrуляторы, что дает разработчику воз можность при обрести способности и знания в области проектирова ния моделей и реrуляторов. 2. Приобретенные способности и опыт проектирования моделей и pe rуляторов для качественно подобных систем помоrают разработчику быстро, «на rлаз» создавать модели и реrуляторы, которые далее Tpe буют только настройки (при этом часто не значительной). 
272 rлава 5. Нечеткие модели x N , , , ,    : 1 , I I , . I I , , r I , , , , , I Xmin: О Х тах , Х I I I I I , I I I , I , I , . , I I I , I I I , , I , I :  1 :    I I , I N Х Х  Хmеап Х mеаП == О.5(х mах + Хшiп) Хmах  Xmin Рис. 5.91. Нормирование величины х с использованием интервала [1, 1] На рис. 5.91 показан метод нормирования с использованием интервала [1, 1]. Достоинство данноrо метода состоит в использовании интервала [1, 1] целиком, а недостаток связан с тем, что нулевые значения вели чин х и x N не совпадают, в то время как их совпадение иноrда может иметь определенную важность. Используется также упрощенный метод нормирования (Kahlert 1995), состоящий в том, что величина х делится только на некоторый постоян ный коэффициент (рис. 5.92). Достоинство упрощенноrо метода состоит в меньших вычислительных затратах, а также в том, что нормирован ная и ненормированная величины имеют общую точку отсчета (нулевое значение). Недостаток связан с rel\1, что интервал [1, 1] используется не полностью. Как показано на рис. 5.92, при Х == Xmin значение нормированной величины х).У отлично от  1. В связи с этим упрощенный метод HOp мирования следует использовать в первую очередь для симметричных интервалов ИЗl\fенения сиrналов, Т. е. если II Пliп I == /.L'Пlах 1. На рис. 5.93 показан метод нормирования с использованием интервала [0,1 J. После вычисления с помощью нормированной нечеткой модели BЫ ходноrо значения yIV, также являющеrося нормированным, необходимо ВЫПО.:1НИТЬ ero денормирование (рис. 5.89). ДеНОРf\лирование предстаВJ1Я ет собой обратную по отношению к нормированию операцию, и для ее выполнения должны быть известны маКСИl\:1альное (У!1lах) И ]\tlИНИJ\1аль ное СtJПliIl) выходные значения моделируемой системы либо маКСИlVlальное 
5.5. Нормирование входов и выхода нечеткой модели 273 XN I I  I 1 Xmin: I I I I I I I I I I I I I : 1  I I Х mах : I I I I I I I I I I I I I I I I I  : Х N Х х Х 1пах > о Хшiп < О 1: 1 АХ ( I х шах 1. I х ш in 1) Рис. 5.92. Упрощенное нормирование величины х с использованием интерва ла [1, 1] N Х i  1 x N == f(x) \ х mш о Х mах Х N х  Хшiп Х Х шах  Хшiп Рис. 5.93. Нормирование величины х с использованием интервала [0,1] и минимальное значения, выдаваемые исполнительным механизмом си стемы управления. Формулы денормирования непосредственно выводятся из формул HOp мирования (рис. 5.915.93). Следует помнить, что нормированное BЫXOД ное значение ул r нормированной модели имеет симметричный интервал изменения r  1. 1], в то время как интервал [Yrl1il1, Ylnax] изменения дe нормированноrо выходноrо значения ,lj часто является несимметричным. Поэтому, в противоположность нормированию, здесь обычно возникает необходимость отображения СИl'лметричноrо интервала в асимметричный, что слеrка усложняет упроuенное леНОРf\1ирование. не оказывая при этом влияния на полный ero вариант (рис. 5.94). Преимущество метода денормирования. изображенноrо на рис. 5.94, состоит в полном использовании выходноrо диапазона модели 
274 rлава 5. Нечеткие модели I I  : Утах I I I I I I I I 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I , I I I у I I    1 О 1: yN I I I I I 1 I I I Ymin :    I I I I у == f(yN)  \ N У == У . (Ушах  Ушill) + YlllcaIl Уше(tll == O.5(Yт(LX + Уrпш) Рис. 5.94. Денормирование yN  У из интервала ylV : [ 1,1] с полным исполь зованием интервала У : [Уrпill< УПlах] [Ymin, Утах], а недостаток связан с несовпадением нулевых значений в шкалах yN и У (нулевое значение в шкале yN соответствует значению у == Утеаll. Для выполнения упрощенноrо нормирования MorYT использоваться два метода, представленные на рис. 5.95 и 5.96. В случае денормирования с большим коэффициентом преобразова ния (рис.5.95) при yIV == l на выходе нечеткой модели будет полу чено значение у == Yтax, лежащее за пределаrvIИ интервала изменения [Ymin, Утах] реальной системы, и тем самым, нечеткая модель будет BЫ числять несуществующие выходные значения. Будучи, как правило, Heдo пустимой в случае нечетких моделей, подобная ситуация может допус каться для нечетких реrуляторов, поскольку в этом случае исполнитель ным механизмом будет установлено значение у == УП1iп (эффект насыще ния). Тем не менее, такое денормирование вводит в систему управления дополнительную не.пинейность в виде оrраничения (насыщения) сиrна ла. На рис. 5.96 показан друrой вариант упрощенноrо денормирования: денормирование с меньшим коэффициентом преобразования. При использовании упрощенноrо денормирования с меньшим коэффи циентом преобразования (рис. 5.96) значение, выдаваемое нечеткой Moдe лью при у:У == 1, будет отличаться от максимальноrо, выдаваемоrо в этом 
5.5. Нормирование входов и выхода нечеткой модели 275 у I I I I    : Ушах I I y\N) I I I I I I I I I I I I 1: v N : 0/ I I I I I I I I I I I   I I 1  Ушах ,у У == У . :L\IAX( I Ушilll. IУшах 1) Ушах > о Ушш < О Рис. 5.95. Упрощенное денормирование из интервала yN : [1  1] с коэффици ентом преобразования, равным NIАХ(IУrпiIlI IУПlахl) случае реальной системой, т. е. представление этой системы нечеткой MO делью не будет точным. Указанные проблемы, связанные с упрощенным денормированием, будут отсутствовать в случае симметричноrо интерва ла изменения [Ymin, УПlах]' т. е. если Утах == Ymin. На рис. 5.97 показано денормирование из интервала у/\! : [O 1]. Из приведенных на рис. 5.915.97 формул можно сделать вывод, что ОНИ выполняют линейное преобразование одной величины в друrую: lY  k . ,р + I',АТ ,L  .T,L, .{" О JV У == ky . у + Уа или lN == k;r . Х, 1'v" У == ky . у  или при этом тип линейноrо преобразования зависит от выбранноrо метода нормирования (деНОрI\lирования). Коэффициенты k. r , ky являются посто янными, а .т о У , УП  константы, зависящие от rраниц интервала значений 
276 rлава 5. Нечеткие модели I I  : УПlaХ I I I I I I I , I i I I I I I I I I I I I I У I I , I I I I I I I I I I I I I I I I t у == f(yN) 'Ушiпl  1: 1: yN t I I I I I , I I I t I . I I I I I : Ymin :    I I I I У == y'V . :Lv1IN (jУшiп I  IУшах') Ушах > о Ушiп < О Рис. 5.96. Упрощенное денормирование из интервала yl\/ : l  1.1] (' коэффици ентом преобразования, равным J\1IN (IУПllпl, IУrпах ,) у Ушах I  , у == f(yN) \ \ о 11 yN I I I I I I I I I I I Уmш t- I N ( ) у == у . УШitХ  УШlll + !}шill Рис. 5.97. Денормирование из интервала y.v : [О. j] в интервал у : [УJНiП' Уrпах] заданной переменной. rlолучаемую в результате нечеткую модель (pery лятор) можно представить в виде схемы, изображенной на рис. 5.98. 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 277 Нормированная нечеткая модель Хl N k N Хl= l Х l+ Х 10 База правил Дефаззи  фикация I I : I -71 О 1 1 I I I Вывод l о 1 i Х п Рис. 5.98. Нечеткая модель с нормированной частью Если база правил нечеткой модели задана, то процесс настройки MO дели состоит в выборе подходящих модальных значений для каждоrо OT дельноrо нечеткоrо множества. Изменяя эти значения в интервале [1, 1], мы изменяем коэффициенты передачи нечеткой модели, и вследствие оrраниченности диапазона изменения указанным интервалом становит ся леrче понять процесс настройки нечеткой модели и приобрести опыт в данной области. Выполнять нормирование модели во всех возможных случаях нет необходимости. Тем не менее, оно при меняется во мноrих профессиональных системах нечеткоrо моделирования и управления. 5.6. Экстраполяция в нечетких моделях Нечеткие модели можно строить на основе выборок измерений входов и выходов системы. Точность представления реальных систем такими Moдe лями очень сильно зависит от пространственноrо распределения элемен тов выборки, используемых для моделирования. Наиболее блаrоприятной является ситуация, коrда элементы выборки распределены во входном пространстве равномерно (рис. 5.99, а). В практике моделирования часто возникает ситуация, коrда область значений не полностью покрывается элементами выборки. В особенности это касается больших систем (например, в экономике, биолоrии, эколо rии), коrда мы не в состоянии выполнить непосредственные измерения путем установки различных значений входов системы и снятия значений ее выходов, как это можно сделать, например, при измерении CKOpO сти движения судна в заВИСИl\10СТИ от частоты вращения rребноrо вин та и уrла установки ero лопастей. Для мноrих систем возможно лишь пассивное наблюдение входных и выходных состояний, например числа безработных в зависимости от числа рабочих мест, количества выпускни ков учебных заведений и величины пособия по безработице. На области 
278 rлава 5. Нечеткие модели Х2 Х2     у'  -o  --с---  """'O""    'O   t:?'  O    Х 2 о о. о.. о. Ф I I I О 'о 'о О О 9 I О О а о о о о о I I I I   -o o- 1) -o----  o--o-o--6 I I I I I I Х 2   :       :o:5:;o:::  o:i   J О 000 CQ) 8aoo#roO"oo080 OQ..°o : 00 OoD o 8ооо(Оос:Роl5 16 о о 001 9000 rj:Jt"\oo \ OO O ""'(1) е 8 o : о.'; 00 :J!, .<>P" ,,8 .в..,-А'о.D' .''.\,%и> о : о  0000:.0 00 о o: о::S!"i'оО';CDcюg8 I Фо\Оg о Y'J'=Ig8 o:f 0000 gg OOoO8 о : oO{Oo 008 о 00:.01 о о j OQ:) о % 00 ci о о : ooo0r:P.'O о 00 о о 00 о ' ,\oo"!800oOo _ oOooooooJ:c o : ooooooo OO«Ь оо:."оо( 0:- vo.J,j;- :;.;oC'cbO ft}r:.8 : : 00 OO; u :oto:s о oo:; c L v goQ; : o:o'6cfoooo 00 dJ.a;:p O ooOQ)°g %00 00 OO I о oo 0neP о о CЬ m 0-)0 o.J о 8  с8 о о ОС 'о OOQoQJD 8 I g,.Looo  ос8 о 00 о о OOQ:J:Jgoo о 0.0  'о О о : о 'o:; OC;; о о о OoDO& о 8           .2 ..LL.. .o.              I I I I I I Х 1 I I Х 1 : . .: : l1li .: xr X 1 а) б) Рис. 5.99. Равномерное реrулярное распределение элементов выборки измере ний для моделируемой системы в пространстве X 1 х Х 2 (а) инеравномерное распределение с пустыми областями (6) значений, связанной с моделируемой системой, часто появляются BHYT ренние или внешние подобласти, которые, как показано на рис. 5.99,6, не содержат элементов выборки, и несмотря на отсутствие измеренных данных, во мноrих случаях требуются хотя бы приблизительные знания о поведении системы в этих областях. Эти знания зачастую можно полу чить на основе имеющихся элементов выборки. Иноrда, с целью допол нения информации, содержащейся в измерениях, MorYT использоваться качественные знания экспертов о моделируемой системе. Расширение поверхности модели на внутренние области, дЛЯ KO торых отсутствуют результаты измерений, называется интерполяцией, а на внешние области  экстраполяцией (рис. 5.100). Х2 '...... ............ ............ .................--...-- Х) Рис. 5.100. Области интерполяции и экстраполяции модели 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 279 В настоящее время ведутся достаточно активные исследования, свя занные с моделированием областей входноrо пространства, для которых отсутствуют данные измерений. Данное направление называют исследо ванием неполной информации (Liao 1999). Анализ литературы по дaH ному вопросу позволяет сделать вывод, что в большей степени иссле дуются задачи интерполяции  см., например, (K6czy 1993; Ullrich 1998; Dubois 1992)  в то время как задачи нечеткой экстраполяции paCCMaT риваются редко. Между тем, экстраполяции является более важной для практики, по скольку часто необходимо предсказать поведение систем за пределами текущих областей их функционирования. Вот несколько примеров: . моделирование и проrноз продаж продукции с относительно неболь шой продолжительностью «жизненноrо цикла», обусловленной ее «моральным старением», как, например, в ситуации с компьютера ми. В нашем распоряжении имеются весьма оrраниченные данные за короткий период продаж, не дающие ИНфОРlVlации, которая OXBa тывала бы все аспекты данноrо процесса. Тем не менее, мы должны принять решение о том, на какие входные пара метры следует воздей ствовать, и сколько их должно быть, чтобы увеличить объем продаж; . управление с предсказанием: реrулятор должен предсказывать сле дующее состояние объекта на основе текущеrо и прошлых состояний и определять соответствующий управляющий сиrнал для следующеrо шаrа; . проrнозирование будущих значений курса акций по предыдущим ero значениям (моделирование временных рядов); . кодирование изображений с предсказанием (TianHu 1998): «для различных образов предсказываемые характеристики определяются на основе имеющихся характеристик соседних пикселов с использо ванием линейной экстраполяции». Рассмотренные при меры подтверждают важность и практическую ценность корректно выполненной экстраполяции. Все мы с той или иной степенью успеха каждый день используем ее для предсказания буду щих событий. Среди ученых есть и противники экстраполяции моделей (Niederlir1ski 1997), особенно это относится к статическим моделям. По этому представляется целесообразным рассмотреть основной смысл и об щую идею экстраполяции. Рассмотрим, что подразумевается под экстраполяций модели с об ластей, rде подтверждена ее достоверность, на новые, расширенные области, достоверность модели на которых не подтверждена. 
280 rлава 5. Нечеткие модели у Проrиб моста, мм х I Система I у  а с х  наrpузка на мост, т Измерения Рис. 5.101. Пример характеристики (модели) у == f(x) системы типа 5150, определенной на основе имеющихся на данный момент знаний о моделируемой системе, а  х  Ь  область определения (00) модели, совпадающая с ОД  областью, [де достоверность модели подтверждена имеющимися к настоящему моменту данными измерений входов и выходов Предположим, мы хотим предсказать выходное значение системы у для входноrо значения х == с, расположенноrо за пределами области, rде достоверность модели к настоящему моменту подтверждена. Примером здесь может служить мост, максимально допустимая наrрузка KOToporo, соrласно ранее проводившимся вычислениям и экспериментам, составля ет 35 тонн, но в военных условиях требуется быстро переправить на про тивоположную сторону реки rруз весом 37 тонн. Возможен ли подоб ный риск? Что произойдет с мостом под действием чрезмерной наrруз ки  несколько проrнется с превышением допустимоrо предела или же сломается? Строительство мостов производится с определенным запасом прочности, и любой мост должен выдерживать наrрузку, HeMHoro превы шающую допустимый предел, но наш мост уже достаточно старый и Me стами проржавел. Какое решение следует принять: производить или не производить транспортировку rруза, масса KOToporo HeMHoro преВЫUlает допустимую? Решение «транспортировать rруз» соответствует предположению о непрерывности экстраполяции характеристики моста на расширенную область определения  см. при мер на рис. 5.102. Решение «не транспортировать rруз» соответствует принятию rипоте зы о том, что увеличение наrрузки до значения :r == с приведет к поломке моста (рис. 5.103). При мер с мостом является иллюстрацией Toro, что экстраполяция модели (показателя) носит характер предположения, которое не MO жет быть обосновано вследствие отсутствия в MOlVleHT принятия решений 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 281 у I : Неизвестная область модели : . I I I I I I Проrиб моста, мм Участок расширения модели а с х  наrpузка на мост, т Измерения Рис. 5.102. Пример непрерывной экстраполяции характеристики моста на pac ширенную область определения у I : I I : I I : I , : I I : I I :  I Проrиб моста, мм с х  наrpузка на мост, т а Измерения Рис. 5.103. Экстраполяция известной характеристики моста в область увели ченной наrрузки х > Ь, предполаrающая ero поломку при нарузке х == с информации (результатов измерения) о поведении системы в новой обла сти. Подтверждение или опровержение rипотез можно выполнить только экспериментально, на основе будущих данных о системе, и лишь от нас зависит, каким образом будет производиться экстраполяция в область Неизвестноrо  мы сами отвечаем за собственный риск. Но после TO ro, как принято решение о способе экстраполяции, возникает возмож насть получения количественной информации о том, чеrо можно ожи дать от модели в новой, расширенной области. С этой целью необходимо 
282 rлава 5. Нечеткие модели иметь представление о возможных способах экстраполяции. Рассмотрим базовый метод, который предлаrает математика. Методы экстраполяции, используемые в рамках «традиционных» математических моделей у f ('Т1  Т2  . . . . Х 71 ), хорошо известны (Bronsztejn 1996). Оrраничимся рассмотрением системы с одним входом х, модель которой имеет вид у == /(:1'). Если модель у == f(.r) являет ся непрерывной и имеет непрерывные производные в rраничных точках области определения Х == [а, Ь], то используя разложение в ряд Тей лора, приближенное значение f*(x) в точке .1; == Ь + h, расположенной в непосредственной близости от области, [де достоверность модели под тверждена результатами измерений (будем обозначать эту область ОД), можно вычислить по формуле: h h 2 17 11 f(b  ')  f(b) + ,f'(b) +  f»(b) + ... +  f(п)(b) 1. 2. n. (5.81) [де rl  порядок экстраполяции. Простейшим вариантом экстраполяции является экстраполяция HY левоrо порядка, представимая в виде: f*(b + h) == f(b) f*(a  h) == f(a). (5.82) Пример такой экстраполяции приведен на рис. 5.104. Экстраполяция нулевоrо порядка является самой простой, и един ственная информация об области достоверности модели, которая Tpe буется при ее выполнении  это rраничное значение функции f(a) или f(b). у f(x) * f(ah)  I f(a) I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I :ОНД: * f(b) f (b+h) Q I I ОД ОНД Ь b+h х ah а Рис. 5.104. Экстраполяция нулевоrо порядка функции .f(x); [а. Ь]  область дo стоверности функции (ОД), х < а, х > Ь  области, в которых достоверность функции не подтверждена (аНД) 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 283 у f(x) * f (b+h) Q " " " f(b) ",," I I I I I I ... I f (a h ) / I \; : ОНД , ah а ОД I I I I I I I I I , I I I I I I I iонд: , I .. Ь b+h х f(a) Рис. 5.105. Экстраполяция первоrо порядка: ад  область, [де достоверность модели подтверждена измерениями, анд  область, достоверность модели в KO торой не подтверждена Экстраполяция nepBoro порядка выражается формулами f * (Ь + hJ) == f ( Ь) + 17.! ( Ь ) . f*(a  h) == f(a)  hf(a). (5.83) и ее при мер представлен на рис. 5.105. Экстраполяция первоrо порядка использует информацию не только о rранич.ном значнии функции f(a) и f(b), но также о значениях произ водной f(a) или f(b) на rранице области достоверности. Поэтому в дaH ном случае получение результата, в большей степени соrласующеrося с поведением системы в неизвестной смежной области, представляется более вероятным, чем при экстраполяции нулевоrо порядка. Указанную вероятность можно увеличивать, используя экстраполяцию BToporo по рядка (формула (5.84)) или более высоких порядков. Следует, однако. иметь в виду, что в любом случае мы имеем дело лишь с вероятностью, а не с фактом, допускающим научное обоснование. Априори, без выпол нения измерений в неизвестной области нельзя указать, какой способ экстраполяции будет более подходящим для конкретной системы. Тем не менее, во мноrих случаях требуется принимать решение на OCHO ве экстраполяции знаний, предоставляемых оrраниченными моделями систем, а также нечеткими моделями: 2 j*(b + h) == ЛЬ) + h.j(b) +  j(b), 2 2 . h.. f*(a  lL) == f(a)  hf(a) + 2. f (a). ( 5.84 ) 
284 [лава 5. Нечеткие модели Каким образом можно произвести экстраполяцию нечеткой модели? Рассмотрим упрощенную задачу о приросте прибыли. Пример 5.6.1. Концерн супермаркетов в течение нескольких лет инве стировал различные суммы в развитие своей сети. что в результате каж дый rод давало ему различные значения прироста прибыли. Данные об этом представлены в табл. 5.15. т а б л и ц а 5.15 Капиталовложения концерна и их финансовые результаты [од 1997 1998 1999 2000 Капиталовложения СЕ [млн долл.] 100 150 210 230 Прирост прибыли дЕ [млн долл.] 220 270 300 ',) Руководство концерна считает возможным в 2000 r. инвестировать в строительство новых супермаркетов СУМl'лу в 230 млн долл. Какой при рост прибыли дЕ можно при этом ожидать? Данные табл. 5.15 представляют собой единственную количественную информацию, которую можно использовать для проrнозирования прибы ли от капиталовложений в 2000 r. На ее основе можно построить про стую нечеткую модель, содержащую три правила, имеющие вид (5.85). Данная модель представлена на рис. 5.106. ЕСЛИ (капиталовложения низкие) ТО (прирост прибыли низкий), ЕСЛИ (капиталовложения средние) ТО (прирост прибыли средний), ЕСЛИ (капиталовложения высокие) ТО (прирост прибыли высокий). (5.85) Для отдельных реrионов од можно без труда получить COOTBeTCTBY ющую нечеткой модели зависимость дЕ == f(CE) см. рис. 5.106: дЕ == СЕ + 120 для дЕ == 0.5 . СЕ + 195 для 100  СЕ  150, 150 < СЕ  210. (5.86) При использовании в пределах НДобластей (областей, rде не под тверждена достоверность модели) функций принадлежности «низкий», «средний» И «высокий», значения которых оrраничены интервалом [0,1] (рис. 5.106), будет возникать эффект насыщения, и поверхность модели будет иметь вид: дЕ == 220 дЛЯ д.Е == 300 для СЕ < 100, СЕ>210. (5.87) 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 285 М, млн ДОЛЛ. Средний 300 М==З00 Высокий 270 I I I I I I I I М == СЕ + 120 I I I I I I I I I I I I I :онд: I I I I . СЕ, МЛН ДОЛЛ. р(СЕ) 1 I I I I I I I I I : од , I I r I I r r I I I I I I I I I I I I I I I Средний Низкий 220 м == 220  OHдi , I I f.J(д-Е) 1 О 100 150 21 О 230 СЕ, млн ДОЛЛ. Рис. 5.106. Отображение «BXOДBЫXOД» нечеткой модели, определяющей вза имосвязь между величиной капиталовложений СЕ и при ростом прибыли дЕ концерна супермаркетов, с функциями принадлежности, значения которых orpa ничены интервалом [О, 1] Данная ситуация соответствует экстраполяции нулевоrо порядка, ис пользующая в нд областях только информацию о значениях функции на rранице области достоверности. В результате применения TaKoro типа экстраполяции, при большем объеме капиталовложений, СЕ == 230 млн долл., проrнозируемое значение прироста прибыли будет таким же, как в случае меньшеrо объема вложений, СЕ == 210 млн долл. (рис. 5.106). Подобный проrноз возможен, но мы вправе принимать и друrие rипотезы а том, каким будет выходное значение модели в неизвестной области. Введем теперь в нашу нечеткую модель новый тип функции принадлеж насти входных значений, как показано на рис. 5.107. В результате использования данных функций, в пределах области дo стоверности вид отображения «BXOДBЫXOД» остается таким же, как и в случае использования обычных функций принадлежности вида (5.86), 
286 rлава 5. Нечеткие модели М, млн ДОЛЛ. Средний 300 270 I I I I I I I М==СЕ+ 120 Высокий Низкий 220 ОНД ОД f1(CE) 1 СЕ, млн ДОЛЛ. f1(дЕ) 1 о Рис. 5.107. Отображение «BXOДBЫXOД» нечеткой ;Vl0дели, определяющей вза имосвязь между величиной капиталовложений C.t' и приростом прибыли дЕ концерна супермаркетов, в которой значения крайних функций принадлежности не оrраничены интервалом [0.1] в то время как в нд областях формула экстраполяции приобретает сле дующий вид: дЕ == СЕ + 120 для дЕ == 0.5. СЕ + 195 для СЕ < 100 СЕ > 210. (5.88 ) в соответствии с полученной моделью проrноза, при объеме капи таловложений С Е == 230 млн долл. прирост прибыли дЕ составит 310 млн долл., что превосходит полученное в рамках предыдущей модели зна чение, равное 210 l\1ЛН долл. (рис. 5.107). Такой результат проrноза тоже является возможным, и мы сами должны выбрать, какой тип экстрапо ляции  нулевоrо или первоrо порядка следует предпочесть. Как пока зано на рис. 5.106, нечеткая модель с традиционным видом функций при 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 287 надлежности нечувствительна к изменениям входных пара метров в HД областях, rде значения функций принадлежности являются постоянными, равными О или 1. В то же время модель, представленная на рис. 5.107, является чувствительной к изменению входов как в пределах области достоверности, так и в НДобластях. В НДобласти модель использует информацию не только о rраничном значении выходноrо пара метра дЕ == 300 млн долл., но также о вели чине наклона своей поверхности в прилеrающей к rранице части области достоверности, что соответствует экстраполяции первоrо порядка. . Можно ли обосновать значения степени принадлежности, боль шие 1 и меньшие О (отрицательные степени принадлежности), с по зиций здравой лоrики? Рассмотрим данный вопрос на при мере оцени вания роста человека. При мер 5.6.2. Предположим, что функция принадлежности линrвисти ческой переменной «рост» имеет вид, представленный на рис.5.108. Элементы х, степень принадлежности м(х) которых нечеткому множе ству равна 1, можно назвать «типовыми элементами» данноrо множества. В соответствии с заданными функциями принадлежности (рис. 5.108), ти повой человек среднеrо роста имеет рост 170 см, так как данное значение роста в полной мере (со степенью 1) соответствует понятию «средний». Типовой высокий человек имеет рост 185 см, который полностью (со CTe пенью 1) соответствует понятию «высокий. Типовой «очень высокий» рост равен 200 см. Степень принадлежности JL (х) элемента х нечет 1 Очень высокий fl(X) Низкий Средний Высокий Х, СМ Рl Р2 Р3 Рис. 5.108. Принадлежность трех разных человек Рl (190 см), Р2 (200 см) и Р3 (210 см) результату экстраполяции rраничноrо нечеткоrо множества «BЫ сокий» 
288 rлава 5. Нечеткие модели кому множеству можно интерпретировать как степень ero сходства с типовым элементом данноrо множества. Степень сходства человека Р1, имеющеrо рост 190 см, с типовым высоким человеком равна 2/3, а с типовым очень высоким она COCTaB ляет 1/3. Иными словами, он обладает чертами «BbIcOKoro» человека со степенью 2/3 и чертами «очень BbIcoKoro»  со степенью 1/3. Человек Р2, имеющий рост 200 см, имеет полное сходство с типо вым очень высоким человеком (степень сходства равна 1), а степень ero сходства с типовым высоким человеком равна о. Таким образом, он пол ностью обладает чертами «очень BbIcoKoro» человека и совсем не обладает чертами «BbICOKoro». Человек Р3, имеющий рост 210 см, обладает чертами «очень BЫCO Koro» человека в большей степени (5/3), чем типовой высокий человек с ростом 200 см. Иначе rоворя, этих черт у Hero больше, чем у типовоrо очень BbIcoKoro человека. С друrой стороны, чертами «BbIcoKoro» человека он обладает в MeHЬ шей степени, чем Р2, дЛЯ KOToporo эта степень равна о. Тем самым, CTe пень обладания Р3 чертами «BbIcoKoro» человека является отрицательной (равной 2/3). Отрицательную степень сходства можно интерпретиро вать как меру несходства (различия) с типовым элементом заданноrо множества. Если считать сходство относительной мерой объема черт, присущих заданному элементу по отношению к объему этих черт, имеющихся у наиболее типовоrо элемента рассматриваемоrо нечеткоrо мно)Кества, то становится понятной возможность существования элементов, принад лежащих этому мно)Кеству со степенями, большими 1, а также с OT рицательными степенями. С учетом этоrо рассмотрим вопрос: почему для внутренних множеств всеrда следует использовать функции принадлежности, значения которых оrраничены интервалом [0,1], а функции со значениями, выходящими за пределы этоrо интерва ла, можно использовать только для внешних множеств? Рассмотрим нечеткое множество, соответствующее среднему росту (рис. 5.109). Каждое из множеств определяет некоторый класс роста. Отдельные классы отличаются друr от друrа, поэтому каждый из них можно каким либо образом выделить и охарактеризовать. Типовой человек среднеrо роста должен отличаться от типовоrо BbIcoKoro человека, иными словами, у Hero не должно быть большоrо сходства с типовыми представителями смежных классов. Таким образом, для BHYTpeHHero класса, соответствую щеrо «среднему» росту, функция принадлежности, по мере приближения 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 289 1 Очень высокий I '4/3: , I , I , I I I I , I I I I I I I  1/3 х, см р(х) 163.3 175 Рис. 5.109. Нечеткие множества «очень низкий», «низкий», «средний», «BЫCO кий», «очень высокий» со своими типовыми элементами: 130 см (очень низкий), 150 см (низкий), 170 см (средний), 185 см (высокий), 200 см (очень высокий) к смежным классам, соответствующим «низкому» И «высокому» росту, должна убывать, принимая на их типовых элементах (150 и 185 см) Ma лае либо нулевое значение. Если функция, соответствующая классу «средний», при приближе нии к центру смежноrо с ним класса (например, «высокий») возрастает, то значение в этом центре будет больше 1, и таким образом, типовой рост BbIcoKoro человека, равный 185 см, будет «более» средним, чем типовой средний рост (170 см). В случае внутренних множеств каждый эле мент х можно сравнивать с типовыми элементами двух ближайших смежных классов. Например, рост 175 см (рис. 5.109) можно сравнивать с ростом 170 см, который является типовым для «среднеrо» класса, и с ростом 185 см, типовым для «BbIcoKoro» класса. Только таким образом рост можно однозначно определить на основе двух степеней принадлеж ности: 2 Мсредний (175) == 3" ' 1 Мсредний (1 75) == 3" . Определение данноrо значения роста на основе принадлежности толь ко одному классу, например классу «средний», будет являться HeOДHO значным, поскольку рост 163.3 см принадлежит данному классу с той же степенью: 2 ILсредний (175) == 3" ' 2 /Lсредний(163.3) ==  . 3 Это следует из Toro, что внутренние функции принадлежности имеют две ветви и в дополнение MorYT быть симметричными. Поэтому с целью обеспечения однозначности задания входных значений (фаззифика 
290 rлава 5. Нечеткие модели ции) необходимо учитывать принадлежность двум смежным мно- жествам. Требование однозначности является важным при модели- tJ ровании причинноследственных связеи между входами и выходами системы, коrда нам требуется знать не только степень принадлежности элемента, но и то, находится он слева или справа от типовоrо элемента множества. Однозначность несущественна для задач распознавания образов и классификации, в которых требуется знать лишь меру близо сти определенноrо элемента к типовому, и при этом не имеет значения, с какой стороны от Hero он находится. Если же входное значение ле жит за пределами rраничноrо нечеткоrо множества, например, множества «очень высокий» на рис. 5.109, то смежные множества находятся только с одной стороны, и заданный элемент х, равный, например, 205 см, можно сравнивать только с типовыми элементами смежных множеств, находя щихся слева  «очень высокий» И «высокий». Казалось бы, для обеспе чения однозначности фаззификации значения х достаточно использовать только одно ближайшее внешнее множество «очень высокий», поскольку оно позволяет различать два разных входных значения х, например, х == 205 см и х == 210 см: 4 /-Lочень высокий (205) == 3" ' 5 JLочен ь высокий (21 О) == 3" ' с помощью степеней принадлежности. Вместе с тем, представление в нечеткой модели внешних значений х с использованием только одной функции принадлежности приведет к экстраполяции не первоrо, а HY левоrо порядка  это следует из Toro, что в данном случае в обла сти экстраполяции всеrда будет активизироваться только одно правило, и в соответствии с общей формулой дефаззификации (5.38) или (5.48), на выходе модели, содержащей одно правило, будет всеrда постоянное значение, равное координате УН одноэлементноrо множества, представ ляющеrо нечеткое заключение правила У == JLA * УВ/ МА, rде МА  степень истинности условия этоrо правила. Для выполнения экстраполяции первоrо порядка необходима ин формация о величине наклона поверхности нечеткой модели в ее rраничной области. Данную информацию можно получить на осно- ве двух множеств: rраничноrо и непосредственно ему предшествующеrо. На рис. 5.109 это множества, соответственно, «очень высокий» И «BЫCO кий» . В случае если rраничные функции принадлежности принимают зна чения только в интервале [O 1], как на рис. 5.110, невозможно обеспечить однозначность задания (фаззификации) входных значений, находящихся 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 291 МХ) Очень низкий Низкий Средний Высокий Очень высокий 1 130 150 170 185 200 Х,СМ 205 210 Рис. 5.110. Классификация роста людей при оrраничении степеней принадлеж насти внешним множествами значениями из интервала [0,1] за пределами типовых значений внешних множеств (например, значений роста, равных 205 и 210 см), поскольку: J.lочень высокий (205) == 1, J.lвысокий (205) == о, J.lочень высокий(210) == 1, J.lвысокий (210) == о. Это означает, что после выполнения фаззификации нечеткая модель не сможет их различать, и для всех входных значений х > 200 см будет получено одно и то же выходное значение. Подобная нечеткая модель выполняет экстраполяцию нулевоrо порядка. . Принадлежность нечеткому множеству можно интерпретировать в терминах истинности (как истинность Toro факта, что элемент принад лежит множеству или обладает соответствующими заданному множеству чертами). В классической лоrике используются два значения истинности, О и 1 (т. е. множество {O,l}). Указанные значения можно назвать «четкой истинностью» . Между тем, внечеткой лоrике используются также дробные значе ния истинности, при надлежащие интервалу [о, 1]. Поскольку нечеткая модель, основанная на данном интервале значений истинности, зада ет интерполяционную поверхность между точками пространства входов и выходов, задаваемыми с помощью лоrических правил (например, пра вил (5.85), рис.5.106), то значения истинности, при надлежащие ин тервалу [O 1], автор предлаrает называть «интерполяционной истин ностью». Возможность экстраполяции первоrо порядка обеспечивается использованием значений истинности, лежащих за пределами интер вала [o 1], поэтому эти значения можно назвать «экстраполяционной истинностью ». На рис. 5.111 показаны интервалы с различными типами истинности. 
292 rлава 5. Нечеткие модели Нечеткая I I I Нечеткая I Нечеткая I I экстраполя I интерполя I экстраполя I I ционная I ционная I ционная I , истинность I истинность I истинность I I ..... .1... I I I I I I I I I I I I I I I I О 9 . O: /:1 f.l(x) I Четкая I I I I истинность I I I I I f.l(x) < О I О :::; f.l(x) :::; 1 I f.l(x) > 1 Рис. 5.111. Типы истинности утверждений о принадлежности нечеткому MHO жеству Область достоверности Поверхность экстраполяции нулевоrо порядка Поверхность, соответствуН)uцая области достоверности Х2 Область достоверности хl Рис. 5.112. Расширение поверхности модели с использованием экстраполяции нулевоrо порядка Для иллюстрации понятий нечеткой экстраполяции нулевоrо и пер Boro порядков до настоящеrо времени использовались при меры систем с одним входом. На рис. 5.112 и 5.113 показаны различия между поверхно стями экстраполяции нулевоrо и первоrо порядков для системы с двумя входами. 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 293 Поверхность, соответствующая области достоверности Поверхность экстраполяции нулевоrо порядка Область достоверности Х2 Область достоверности Хl Рис. 5.113. Расширение поверхности модели с использованием экстраполяции первоrо порядка Исследования автора и ero коллеr (Piegat 1997с) подтвердили прак тическую обоснованность использования в нечетких моделях понятия экстраполяционной истинности. Для настройки нечетких моделей, представленных в форме нейро нечетких сетей, мо)Кно использовать метод обратноrо распространения ошибки (Brown 1994). На входы нейронечеткой сети подаются измерения параметров моделируемой системы, и сеть вычисляет ее выходное значе ние, а так)Ке ошибку на выходе, которая используется для корректиров ки параметров функции принадле)Кности, например, пара метров Ql, й2, аз, а4 на рис.5.114. Корректировка пара метров производится до тех пор, пока не будут найдены их оптимальные (или субоптимальные) значения, минимизиру ющие среднюю ошибку сети. В начале процесса настройки значения па раметров обычно задают случайным образом, и если эти значения, как показано на рис.5.114, находятся близко друr к друrу, то при исполь зовании оrраниченных крайних функций принадлежности (рис. 5.114, а) часть измеренных данных, попавшая в зону нечувствительности модели 
294 rлава 5. Нечеткие модели f.1(x) af.1(X) == о дх I др(х) ;t О ! дх : I I I af.1(x) о дх 1 Нечувстви тельность Нечувстви тельность х Настроечные измерения входов а) р(х) ар(х) ;t о дх 1 х б) Рис. 5.114. Различные формы rраничных функций принадлежности и их влия ние на возникновение зон нечувствительности, замедляющих процесс настройки нейронечетких сетей: а) оrраниченные функции принадлежности, б) неоrрани ченные функции принадлежности (с нулевыми производными), не приводит к какойлибо коррекции HaCTpa иваемых пара метров, вследствие чеrо процесс настройки замедляется. При использовании неоrраниченных крайних функций принадлеж ности (рис. 5.114,6) зоны нечувствительности не возникают, и все из меренные данные обеспечивают корректировку пара метров, что приво дит К ускорению обучения. Влияние экстраполяционной истинности на процесс настройки нейронечетких сетей исследовалось экспериментально (Piegat 1997с). Пример 5.6.3. В эксперименте исследовалось влияние экстраполяцион ной истинности на скорость и точность настройки нейронечеткоrо pery лятора. Задача состояла в настройке реrулятора на работу в качестве классическоrо пид реrулятора (рис. 5.115). Структура нейронечеткоrо реrулятора представлена на рис.5.116. 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 295 Модель Mrт(k) ПИДреrулятора e(k) Нейронечеткий Mr(k) реrулятор Рис. 5.115. Схема настройки нейронечеткоrо реrулятора Таблица 5.16 Ошибка настройки нейронечеткоrо реrулятора с использованием экстра поляционной истинности (С/Е) И без ее использования (С/) после прохож дения 500 эпох Начальное Абсолютная средняя ошибка состояние С Т С 1Е Sl 0,331 0,168  0,330 0,108 Sз 0,466 0,442 S4 0,296 0,074 S5 0,369 0,009 в качестве обучающеrо использовался треуrольный сиrнал e(k) еди ничной амплитуды длительностью 10 с. В ответ на этот сиrнал, пред ставленный на рис. 5.117, а, моделью реrулятора rенерировался выходной сиrнал, представленный на рис. 5.117, 6. Указанные сиrналы использовались для настройки двух нейронечет ких реrуляторов: реrулятора С1, в котором применялась только интер поляционная истинность, и реrулятора С1Е, использующеrо как интер поляционную, так и экстраполяционную истинность. Настройка каждоrо реrулятора осуществлялась в течение 500 эпох. Были выполнены пять экспериментов по настройке сети для пяти различных начальных COCTO яний 51- . . . . ,'). Их результаты приведены в табл. 5.16. Данные табл.5.16 rоворят об очевидном, основанном на экстраполя ционной истине, преимуществе реrулятора С1Е в отношении скорости настройки  в течение выбранноrо BpeMeHHoro периода для данноrо pe rулятора была достиrнута более высокая точность. Друrие эксперимен ты показали, что преимущество реrулятора С1Е перед С1 значительно увеличивается с возрастанием амплитуды входноrо сиrнала (рис.5.117). 
296 rлава 5. Нечеткие модели e(k) . M ( k ) М . ( k ) r13 M r26 (k 1 Рис. 5.116. Нейронечеткий реrулятор, использовавшийся в эксперименте в случае уменьшения амплитуды, при достаточно малом ее значении настройка обоих реrуляторов начинает происходить с одинаковой CKOpO стью. Таким образом, результаты эксперимента позволяют сделать вывод о неrативном влиянии зон нечувствительности функций принадлежно сти на скорость настройки нейронечетких сетей. На рис. 5.118 показаны типичные различия в скорости и точности настройки реrуляторов СI и C 1E . . 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 297 е 1 о 00 о о о о о 0.8 000 000 000 000 о о о о о о о о 0.6 000 000 000 000 о о о о о о о о 0.4 000 000 000 000 о о о о о о о о о о о о 0.2 000 000 000 000 о 000000 000000 00 00 о о о о  0.2 000 000 000 000 о о о о о о о о  0.4 000 000 000 000 о о о о о о о о  0.6 000 000 000 000 о о о о о о о о  0.8 000 000 000 000 о о о о о о о о  1 00 0000 00 о 2 4 6 8 t, с а) M rт 2 1.5 1 "".. oo .. 0.5 000 00 0000 000 О 000 00 00 00 00 00 00 00 000 00 00 00  0.5 о о 00 о о о о о о о 00 о 1 oJ> о <:/,0 о .5 O 2 2.5 О 2 4 6 8 t, с б) Рис. 5.117. Обучающие сиrналы, rенерируемые моделью ПИДреrулятора: е  входной, Лl rtn  выходной сиrналы Рассмотренные эксперименты подтверждают, что указанные практи ческие преимущества являются следствиеl\1 использования внечетких моделях экстраполяционной истинности. Кроме Toro, данный тип истин ности позволяет более эффективно восстанавливать числовые входные сиrналы на основе их нечетких кодов  указанная задача была поставле на Бартоланом и Педричем в (Bartolan 1997). Далее приведем пояснения к нескольким наиболее частым вопро сам и сомнениям, касающимся экстраполяции nepBoro порядка, спо собствующие более rлубокому пониманию ее сути. Вопрос 1. Идея экстраполяции функций принадлежности за пределы ин тер вала [0,1] на самом деле не является необходимоЙ. Можно ввести новые внешние термы, используя при этом обычные функции принад 
298 rлава 5. Нечеткие модели & 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 00 С/Е 100 200 300 400 N2 ЭПОХИ & 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 00 С/ 100 200 300 400 N2 ЭПОХИ Рис. 5.118. Сравнение скорости и точности настройки реrуляторов с использо ванием экстраполяционной истинности (С 1 Е) И без ее использования (С 1) лежности, и тот же самый результат будет достиrнут без нарушения принципов теории нечетких множеств. Ответ 1. Рассмотрим при мер простой нечеткой модели с базой правил вида Rl: ЕСЛИ (х == малый) ТО (у == малый), R2: ЕСЛИ (х == средний) ТО (у == большой), R3: ЕСЛИ (х == большой) ТО (у == средний), R4: ЕСЛИ (х == очень большой) ТО (у == очень большой), (5.89) и функциями принадлежности, представленными на рис.5.119. Для расширения модели путем введения новых внешних нечетких множеств «очень малый» (V S) и «оrромный» (Н) необходимо: а) определить модальные значения x\/s и ХН этих множеств (рис. 5.119); 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 299 у   b: == Ji{X ) 1 Х м В 1  bl==? S   Ji(y) 1 vs \ / I \ / , \ / , V , /\ , / \ I / \ / \ н \ /1 \ /' \ / I V I /\ I / \ , / \, Xvs ==? ХН ==?  Результаты измерений у Рис. 5.119. Расширение области определения (00) модели за пределы ОД  области, в которой достоверность модели подтверждена измерениями входов и выходов моделируемой системы, путем введения новых внешних нечетких множеств «очень малый» (V В) и «оrромный» (Н) дЛЯ входа х и выхода у б) ввести в модель новые правила, ставящие в соответствие новым BXOД ным значениям х == V S и х == Н выходные множества у == В 1 И У == В 2 : RO: ЕСЛИ (х == очень малый) ТО (у == В}), R5: ЕСЛИ (х == оrромный) ТО (у == В 2 ); В) определить модальные значения новых выходных множеств В 1 и В2, используемых для оценки пара метра у (рис.5.119). Каким образом выполнить требования а) и в) при отсутствии дaH ных измерений входов I и выходов У моделируемой системы в новой, расширенной области определения модели? Определение модальных значений на основе данных из области дo стоверности нечеткой модели означало бы применение экстраполяции, и в этом случае следовало бы выбрать определенный ее тип (нулевоrо, первоrо или более высоких порядков). Определение новых модальных значений без использования информации из области достоверности MO 
300 rлава 5. Нечеткие модели Очень Очень ( ) низкий Средний высокий JlX \В V Низкий ЫСОКИИ 1 Jl(X) 1 Очень высокий 130 150 170 185 200 Х, см 200 Х, СМ 185 а) б) Рис. 5.120. При мер нечеткой классификации человеческоrо роста (а) инечеткое множество «очень высокий», расширенное за пределы интервала [О, 1] (6) дели (а, стало быть, вообще без использования какойлибо информации) представляло бы собой ни на чем не основанные доrадки. Вопрос 2. Допуская корректность предложенноrо расширения области значений функции принадлежности за пределы интервала [0,1], в ситу ации с оценкой роста можно утверждать, что для задания роста любоrо человека достаточно только множества «очень высокий» (рис. 5.120, 6). И так как с помощью этоrо множества можно представить (закодиро вать) все возможные значения роста, понятие принадлежности оказыва ется бесполезным. Ответ 2. При мер нечеткой классификации значений человеческоrо роста представлен на рис. 5.120, а. Действительно, используя только множество «очень высокий», продолженное в области значений, больших 1, и зна чений, меньших О, можно представить (закодировать) все возможные значения роста. Однако, такое кодирование предоставляет информацию только о степени соответствия определенноrо значения роста типовому значению «очень высокий», равному 200 см, не давая при этом инфор мации о том, насколько данный рост соответствует «очень низкому», «низкому», «среднему» или «высокому». Ни одну обоснованную класси фикацию нельзя выполнить, используя для оценки роста только одну функцию принадлежности (один класс). Поэтому расширение внешних нечетких множеств не означает, что друrие множества (классы) не явля ются необходимыми. Вопрос 3. Если интерпретировать степень принадлежности МА(Х) == 1 как «Х принадлежит множеству А», то непонятно, как интерпретиро вать степень lA(X) > 1. Если интерпретировать степень принадлежности МА(Х) == О как «;1; не принадлежит множеству А», то непонятно, как интерпретировать степень МА(Х) < о. 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 301 у м 8 Поверхность модели   i I I I I I I I I   L I I I I   I I , , , , , ОД == 00 Rl: ЕСЛИ ! X=S) то (y=S) R2: ЕСЛИ х=М) ТО (y=L) R3: ЕСЛИ x=L) ТО (у=М) R4: ЕСЛИ х= VL) ТО (у= VL) VL L р(у) 1 , I Х I I I I I I I , f I , I р(х) I I I ,8 :М :L : VL I I 1 Xs Хм XL XVL х Рис. 5.121. Пример нечеткой модели системы типа SISO, rде: S  малый, А1  средний, L  большой, V L  очень большой Ответ 3. Рассмотрим нечеткую модель, представленную на рис. 5.121, co держащую правила вида ЕСЛИ (х == A i ) ТО (у == B j ), т. е., например, ЕСЛИ (х == очень большой) ТО (у == очень большой), и укажем на два важных вида информации, которую несет функция при надлежности, задающая нечеткое множество в условной части правила. 1. Функция принадлежности задает область значений входноrо парамет ра х, в пределах которой правило имеет силу и может быть активизи ровано. Например, правило R4: ЕСЛИ (х == V L) ТО (у == V L) имеет силу только на интервале XL < :С < X'/L. Если значение х находится за пределами данной области (носителя функции принадлежности), то заключение правила не активизируется (т. е. не срабатывает) BO обще и, тем самым, не участвует в выводе. Сказанное справедливо и в случае MHoroMepHbIx функций принадлежности составных условий правил в системе типа MISO. 2. Функция принадлежности условной части правила определяет CTe пень активизации ero заключения для заданноrо входноrо значе ния f (или входноrо вектора Х в случае системы типа MISO). 
302 rлава 5. Нечеткие модели Если входное значение Х совпадает с модальным значением усло вия правила R4 (х == Xv 1.1)' то заключение данноrо правила: ЕСЛИ (х == V L) ТО (у == V L) активизируется со степенью 1. При Х == XL (рис. 5.121) степень активизации правила равна О, а при значении Х, лежащем в интервале J'L < .r < J'\i/ L, данная степень является дробным числом. Таким образом, сила активизации заклю чения правила зависит от расстояния между входным значением х и модальным значением функции принадлежности, соответствующей условию правила, а также от формы данной функции, которая в об щем случае выбирается не произвольно, а так, чтобы обеспечить как можно большую точность модели (Baglio 1994). Если требуется расширение нечеткой модели вправо, то необходи мо расширить область действия правил, связанных с ее правой rраницей. Для модели, представленной на рис. 5.121, таким правилами являются R4 и R3. Расширение области действия правил подразумевает расширение области определения функций принадлежности их условий. При расши рении области определения rраничных функций принадлежности «боль шой» и «очень большой» так, как показано на рис. 5.122, а, мы получаем нулевой порядок экстраполяции модели, а при расширении, показанном на рис. 5.122, б,  первый порядок. Тем самым, мы должны принять pe шение о том, какой тип экстраполяции необходим для нашей системы. В модели, представленной на рис. 5.122, а, степень активизации за ключения «rраничноrо» правила R4: ЕСЛИ (х == V L) ТО (у == V L) при Х > XVL всеrда равна 1, а в модели, представленной на рис. 5.122, 6,  всеrда больше 1, и именно такой вариант активизации (М(Х) > 1) необхо димо использовать, если требуется первый порядок экстраполяции. Тем самым, мы получаем ответ на первую часть вопроса 3 об интерпретации значений МА(Х) > 1: в моделях типа «BXOДBЫXOД» степень принадлеж.. ности МЛ(Х) > 1 может означать, что условие правила «более чем выполняется», и это приводит К усилению активизации заключе.. ния (сказанное относится только к rраничным входным нечетким множе ствам, но не к внутренним см. пояснение к примеру 5.6.2). Утверждение вида «условие более чем выполняется» часто используется людьми в по вседнеВНОlVl общении. Аналоrично, степень принадлежности МА(Х) < О может означать, что условие правила «бо.Jlее чем не выполняется», и это приводит К отрицательному уровню активизации заключения. Значение MA(Y) понимается чаще Bcero как степень принадлежно сти 1; нечеткому 1'vlножеству А. Степень при надлежности является по J10жительной, и ее точная верхняя [рань (супреlVIУМ) равна 1 (для HOp 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 303 у VL L м s VR р(у) 1 р(х) 1 Xs ХМ XL XVL Х а) у м s I I I I I I I I   L I I I I , I I I I I : VR VL L р(х) 1 Х р(у) 1 Х б) Рис. 5.122. Расширение нечеткой модели, представленной на рис.5.121, с при менением экстраполяции нулевоrо (а) и первоrо (6) порядка мированноrо нечеткоrо множества) (Zimmermann 1991). ПОМИМО этоrо, степень принадлежности МА(Х) можно понимать как степень сходства заданноrо элемента Х с типовым для множества А элементом ХА, KO торый полностью (со степенью, равной 1) принадлежит данному множе ству (например, типовая температура теплоrо воздуха  случай функции 
304 rлава 5. Нечеткие модели р(х) Низкий Средний Высокий 1  р(х) 1 Средний t Сходство Доход, тыс. долл. XL == 1 ХМ== 5 ХН== 10 Х Хм=' 5 Х а) б) Недостаточное сходство 1.2 1 I  I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Чрезмерное сходство р(х) 1 5 ХН== 1011 х, тыс. долл. в) Рис. 5.123. Функции принадлежности линrвистической переменной Х == доход, XL == $1000, X!V! == $5000, .тн == $10 ooo типичные элементы для множеств «низкий», «средний» И «высокий» принадлежности одной переменной, типовой кредитоспособный клиент банка  случай функции принадлежности мноrих переменных). Число типовых элементов может быть бесконечным например, для трапецие видных функций принадлежности. Использовавшиеся до настоящеrо времени функции принадлежности (подобные тем, что представлены на рис. 5.123, а) несли информацию только о том, с какой степенью значение Х принадлежит заданному MHO жеству. Если же рассматривать МА(Х) как степень сходства, то воз никает вопрос, почему элементы Х, превосходящие по величине ти" повой элемент правоrо rраничноrо нечеткоrо множества (например, Х > Хl/ на рис. 5.123, в), всеrда, независимо от их значений, следует считать одинаково схожими с типовым элементом? Обратим внима ние, что в отличие элементов, находящихся справа от типовоrо элемен та .l'н, элементы слева от Hero (т. е. Х < хн) имеют различную степень сходства. Почему бы не предположить, что нечеткое множество А предстаВJ1Я ет собой множество элементов .Т, среди которых выделен типовой (xa рактеристический) элемент Т,4 (либо подмножество типовых элементов). имеющий степень сходства j1JЛ(Х) == 1, и имеются друrие элементы, CTe пени сходства которых изменяются в пределах, выбираемых с учетом удобства для решения рассматриваемой задачи? В соответствии с данной интерпретацией, нечеткое множество А можно определить слеДУЮЩИlV1 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 305 образом: А == {(Х, МА(х))1 ХА, !LAmin  LA(X)  !LАПlах, Х Е Х}. (5.90) Например, нечеткое множество Аз == «высокий доход», представлен ное на рис. 5.123,8, определялось бы в этом случае так: А { ( ( ) х  5000 10000 з == х, !LАз Х == 5000 ХА;) == , О  !LАз(Х)  199999,Х Е [0,1000000]}. Нормированное нечеткое множество в данной ситуации можно интер претировать как множество, типовой элемент (или подмножество типо вых элементов) KOToporo имеет степень сходства, равную 1. Об интервале О < МА (:У)  1 можно rоворить, как об интервале сходства, об интерва ле oo < МА(Х)  О  как об интервале несходства или различия и об интервале 1 < IL.A(X) < 00  как об интервале чрезмерноrо сходства (рис. 5.123, б, в). В условиях каждой конкретной задачи можно исполь зовать собственный интервал значений принадлежности, не обязательно оrраничивая ero пределами [О, 1]. Вопрос 4. Понятие экстраполяции связано с линейным расширением (продолжением) стандартных треуrольных или трапециевидных функций принадлежности  линейность подтверждается разложением в ряд Тей лора. Поэтому в простейших случаях, коrда для моделирования линr вистических термов используются треуrольники, линейное расширение, по крайней мере на первый взrляд, представляется обоснованным. Но что же будет при использовании функций принадлежности п, s и z типов? В этом случае первая и последняя функции (имеющие COOTBeT ственно z и sтип) на участках продолжения будут постоянными, по скольку, В соответствии с определением этих функций, их производные в пиковых точках равны нулю. И что будет в случае rayccoBbIX функций принадлежности? Ответ 4. Оrраничимся рассмотрениеl\1 нечетких моделей, внутренние множества A i которых удовлетворяют условию разбиения единицы n (L Р" l L (J') : 1). Экстраполяция нечеткой модели подразумевает расши i== 1 рение ее области определения за пределы участка достоверности Moдe ли. Это lV10ЖНО выполнить путем расширения областей действия двух содержащихся в модели rраничных правил, при ЭТОlVl «линейный Me ТОД расширения и продол/кения» применяется только в случае функций принадлежности треуrольноr'о, но, как будет показано далее, не Tpa пециевидноrо типа. В соответствии с формальным, математическим 
306 rлава 5. Нечеткие модели у VL L М R!: ЕСЛИ xS) ТО (yS) R2: ЕСЛИ XМ) ТО (y S ю: ЕСЛИ XL) ТО (y R4: ЕСЛИ х== VL) ТО (у== VL) ОД Ji(v) 1 х Ji(x) 1 х Рис. 5.124. Экстраполяция первоrо порядка нечеткой модели с трапециевидны ми функциями принадлежности значений входа х определением (5.83), экстраполяция nepBoro порядка предполаrает линейное расширение, или продолжение наклонной поверхности Moдe ли из внутренней приrраничной области во внешнюю, расположенную с ней по соседству. Наклон поверхности определяется, rлавным обра зом, ее опорными точками, координаты которых задаются заключениями отдельных правил при входных значениях Xi, равных модальным зна чениям (типовым элементам) нечетких множеств, находящихся в усло виях правил (см. разд.5.2.1). В связи с этим расширение rраничных функций принадлежности следует выполнять таким образом, что бы обеспечить их прохождение через точки, соответствующие MO дальным (типовым) значениям этих функций. Пример экстраполяции нечеткой модели с трапециевидными ФУНКЦИЯI\1И принадлежности пред ставлен на рис. 5.124. Таким образом, расширение области действия rраничных npa вил путем линейноrо продолжения rраничных функций принадлеж ности возможно только при использовании в модели треуrольных функций "ринаДJIежности (рис. 5.125). 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 307 у м s Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) R2: ЕСЛИ (х=м) ТО (y=L) R3: ЕСЛИ (x=L) ТО (У=М) R4: ЕСЛИ (х= VL) ТО (у= VL) Поверхность нечеткой модели VL L ,u(x) 1 х JL(Y) 1 х Рис. 5.125. Экстраполяция первоrо порядка нечеткой модели с треуrольными функциями принадлежности значений входа х На рис.5.126 показан метод выполнения экстраполяции моделей с rауссовыми функциями принадлежности, приводящий к небольшому Ha n рушению условия разбиения единицы (2: МА 1 (Х) == 1). i==l Поскольку экстраполяция первоrо порядка по определению являет ся линейной, то для продолжения rayccoBbIX функций принадлежности используются прямолинейные участки, проходящие через точки пересе чения rрафиков rраничных функций с линиями, проходящими через их модальные (типовые) значения перпендикулярно оси абсцисс. Для функ ции принадлежности V L (рис. 5.126) такими точками являются а2 и аз, а для функции L  аl и а4. Блаrодаря указанному обстоятельству, на rpa ницах области достоверности (ОД) не произойдет скачкообразноrо изме нения выходноrо значения модели. Для rayccoBbIX функций принадлеж ности возможна также экстраполяция первоrо порядка, существенно Ha рушающая условие разбиения единицы, но она является более сложной, поскольку в ней требуется учитывать более ДВУХ rраничных правил. Для сравнения на рис. 5.127 приведен метод выполнения экстраполяции нуле 80ro порядка для rayccoBbIX функuий принаД,,1ежности, а на рис. 5.128  для трапециевидных функций принадлежности. 
З08 rлава 5. Нечеткие модели у VL L Поверхность нечеткой модели : Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) : R2: ЕСЛИ  x=м) ТО (y=L) : R3: ЕСЛИ x=L) ТО (У=М) : R4: ЕСЛИ х= VL) ТО (у= VL) I I I I I I I I I м s Jl (у) 1 х Jl(x) 1 Рис. 5.126. Экстраполяция первоrо порядка нечеткой модели с rауссовыми функциями принадлежности значений входа х у м s Поверхность нечеткой модели VL L ОД Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) R2: ЕСЛИ (х=М) ТО (y=L) i R3: ЕСЛИ (x=L) ТО (У=М) I : R4: ЕСЛИ (х= VL) ТО (у= VL) 1 I I I I I I I Jl(x) 1 х Jl(y) 1 Xs Хм X L X VL х Рис. 5.127. Экстраполяция HYи1eBoro порядка нечеткой модели с rауссовыми функциями принадлежности, ОД  область достонерности модели 
5.6. Экстраполяция в нечетких моделях 309 у VL Поверхность нечетк I I I L I I I I I :Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (Y=S) М :R2: ЕСЛИ (х=М) ТО (y=L) :R3: ЕСЛИ (x=L) ТО (У=М) S :R4: ЕСЛИ (х= VL) ТО (у= VL) ОД JL(Y) 1 I I I I Х I I I I I , I I I I I I I I I I JL(x) I I I I I I I I I I I I :s :м :L VL: 1 Xs хм X L X VL х Рис. 5.128. Экстраполяция нулевоrо порядка нечеткой модели с трапециевид ными функциями принадлежности значений входа х Вопрос 5. На чем основано предположение о допустимости расширения функций принадлежности за пределы области существующих данных? Связь между отображением «BXOДBЫXOД» моделируемой системы и KOH кретным выбором функций принадлежности не является однозначной. В таком случае почему следует считать адекватным именно линейное продолжение модели? Теоретическое обоснование данноrо факта OTCYT ствует, а «слепое» расширение rраниц может привести к нежелательном:у эффекту, связанному с наличием высоких, резко выделяющихся значений (выбросов) степеней принадлежности данных. Ответ 5. Продолжение функций принадлежности за пределы области cy ществования данных необходимо в том случае, если предпринимается попытка выполнить экстраполяцию нечеткой lV10дели. Используемый тип экстраполяции (нулевоrо, первоrо или более высоких порядков) при этом имеет характер предположения и зависит от нашеrо выбора. Будет ли вы.. бранный метод экстраполяции корректным, в момент выбора установить нельзя, в силу отсутствия данных о поведении системы внеизученной, расширенной области. Подтвердить обоснованность выбора мо)кно лишь впоследствии, после Toro, как будут получены соответствующие данные из расширенной области. Выбор l\1етода экстраполяции определяет спо.. соб продолжения rраничных функций принадлежности, при этом pac 
310 rлава 5. Нечеткие модели у у Поверхность  модели : -, 1 I 1 I / I :: / I I I / I I I / I I t / 1 I I / I I I . I од I I I I I I I I I I /1 / I ( : , I I I I I ОД ..., "'1 1 I I I I I I I I I I I 1 I , I I I I : Расширение 00 : '. .' х I I I : Расширение 00 1. : х I I I .' а) б) Рис. 5.129. Меньшее (а) и большее (6) расширение области определения (00) нечеткой модели в зависимости от степени ее нелинейности в области ДOCTO верности (ОД) тирение нечеткой модели не обязательно должно быть линейным  можно выбирать друrие методы, которые, по нашему мнению, MorYT при вести к лучшим результатам. Большие отклонения (выбросы) расширен ной нечеткой модели возникают при неправильном выборе метода экс траполяции. Кроме Toro, поскольку вероятность возникновения выбросов увеличивается по мере удаления от области достоверности модели, pac ширение не должно быть очень большим. Вопрос 6. Область достоверности экстраполяции представляет собой OT крытый вопрос, требующий KOHKpeTHoro рассмотрения. Ответ 6. Расширение области определения модели не должно быть боль шим  например, расширение до 105% от исходной области является бо лее предпочтительным, чем до 150%. При значительной изменчивости (нелинейности) поверхности модели следует выбирать меньшее расшире ние (рис. 5.129, а), а в случае малой кривизны (рис. 5.129, 6) расширение может быть большим. Вопрос 7. Степени принадлежности, выходящие за пределы интервала [О. 1], не имеют никаких преимуществ. Ответ 7. Блаrодаря знанию методов экстраполяции нечетких моделей, можно расширять их исходные области определения путем добавления к ним участков, непосредственно прилеrающих к областям ДOCTOBepHO сти моделей (при мер 5.6.1). Как было показано в при мере 5.6.3, использо вание экстраполяции первоrо порядка в нейронечетких моделях (сетях) при водит к повышению скорости их настройки. 
5.7. Типы нечетких моделей 311 5.7. Типы нечетких моделей По мере развития нечеткой лоrики разрабатываются новые типы нечет ких моделей (Babuska 1995Ь,с; Pedrycz 1994а; Yager 1994; Brown 1994). Целью создания новых моделей является обеспечение большей точно сти и размерности, а также упрощение их структуры. Необходимость разработки новых моделей вызвана также большим разнообразием cy ществующих реальных систем, различными видами информации об этих системах и разной степенью ее доступности. Основное преимущество нечетких моделей по сравнению с традици онными математическими моделями связано с возможностью использова ния для их разработки значительно меньших объемов информации о си стеме, при этом информация может носить приближенный, нечеткий xa рактер. Далее будут представлены два основополаrающих типа нечетких моделей и рассмотрена взаимосвязь между ними. Важнейшим и наиболее часто используемым типом нечеткой модели является модель Мамдани. Рассмотрению данной модели, а также друrих моделей, производных от нее, посвящен настоящий раздел. 5.7.1. Модели Мамдани Концепция линrвистической нечеткой модели, воспроизводящей челове ческий способ мышления, была предложена в первых работах Заде. Идея применения данной концепции к нечеткому управлению динамически ми объектами принадлежит Мамдани (Mamdani 1974,1977), который Ha ряду с этим представил способ построения модели человекаоператора, управляющеrо объектом. Предложенный Мамдани метод моделирования был встречен с большим интересом и получил одобрение в связи с ero простотой и доступностью. В настоящее время этот метод использует ся чаще Bcero, хотя были разработаны и друrие типы моделей, среди которых наиболее важными являются модели ТакаrиСуrено (они бу дут рассмотрены в разд.5.7.2). В рамках метода Мамдани моделируемая система рассматривается как черный ЯIЦИК, характеризующийся HeДOCTa точностью информации о происходящих внутри Hero физических явлени ях (Babuska 1995а, Ь). Целью является разработка модели, выполняющей такое отображение своих входов (вектор Х) в выход У (оrраничимся далее рассмотрением систем типа MISO с одним выходом), которое обеспечивало бы как мож но более точную аппроксимацию реальной системы (например, в смысле средней абсолютной поrрешности). Указанное отображение предполаrа 
312 rлава 5. Нечеткие модели ет существование некоторой rеометрической поверхности, которую будем далее называть поверхностью отображения, в пространстве, задаваемом декартовым произведением Х хУ. Модель Мамдани представляет собой множество правил, [де каждое правило задает в указанном пространстве некоторую нечеткую точку. На основе множества нечетких точек формируется нечеткий rрафик, Me ханизм интерполяции между точками в котором зависит от используемо [о аппарата нечеткой лоrики. При мер 5.7.1.1. Моделируемая система типа SISO реализует отображе ние у == (х  2)2 + 1 (рис. 5.130). Ее нечеткую модель Мамдани можно представить в виде множества правил Rl : ЕСЛИ (.т: == A 1 ) ТО (у == В]), R2: ЕСЛИ (х == А 2 ) ТО (у == В 2 ), R3: ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == в з ), [де А 1 == примерно 1, А 2 == примерно 2, Аз == примерно 4, В 1 == примерно 2, В 2 == примерно 1, В з == примерно 5, х : 1  х  4. (5.91) у у R3 у у R3 В} В з В з 2 I I I I I 1 I 1 Система в; 2 Rl* 5 5 4 4 3 3 В 2 в; I :  } tR2* I I I I I I I Jl (у) о Jl(Х) 1 I I 1 2 3 4 Х I I I 1 : Аз Jl(У) О JL(X) 1 1 3 , 4 Х о 1 2 3 4 х о 1 2 3 4 х а) б) Рис. 5.130. Иллюстрация Toro, как влияет расположение «существенных» точек на точность нечеткой модели 
5.7. Типы нечетких моделей 313 Используемые в правилах функции принадлежности показаны на рис. 5.130, а. Каждое правило определяет важную типовую особенность поведения системы, rеометрически соответствующую точке пространства Х хУ. «Существенные» точки модели MorYT располаrаться непосредственно на характеристике реальной системы (рис. 5.130)  в этом случае они будут являться точками ее пересечения с характеристикой модели и, следовательно, точками, в которых модель «сообщает правду» о системе. В частности, правило Rl, имеющее вид ЕСЛИ (х примерно 1) ТО (у примерно 2), задает точку Rl, которая является существенной одновременно для си стемы и ее модели. Вместе с тем, существенные точки нечеткой модели не обязатель но должны всеrда при надлежать характеристике (поверхности) реальной системы. Как показывает рис. 5.130, 6, друrое расположение этих точек может обеспечить более высокую точность модели. В данной ситуации пара метры функций принадлежности изменяются (что в свою очередь приводит к новым нечетким множествам A, В{, B), и таким образом, правила будут иметь следующий вид: Rl * : ЕСЛИ (х == А 1 ) ТО (у == В7), R2* : ЕСЛИ (х == A) ТО (у == B), R3: ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == В з ). (5.92) Правила Rl * и R2* в (5.92) не сообщают правду о системе, поскольку задаваемые ими точки не принадлежат ее характеристике. Вместе с тем, средняя точность здесь будет выше, чем в случае модели, изображенной на рис. 5.130, а. Вид характеристики нечеткой модели на участках между «существен ными» точками, для задания каждой из которых используется отдельное правило, зависит от используемоrо аппарата нечеткой лоrики (т. е. MeTO дов выполнения фаззификации, дефаззификации и т. д.). Если в примере на рис. 5.131, а ввести друrую функцию принадлежности множества А 2 , то вид характеристики модели изменится (рис. 5.131, б). Как показано на рис.5.131, введение трапециевидной функции при надлежности множества А 2 приводит к изменению типа интерполяции, выполняемой моделью на участках между ее «существенными» точка ми Rl, R2, R3  интерполяция имеет нелинейный характер, но при этом является локально линейной. Использование на участках между «суще ственными» точками модели Мамдани нелинейной интерполяции может 
314 rлава 5. Нечеткие модели у у у у R3 В з R3 В З    5 I 5 !J / : / I / 4 I 4 / Модель / / I I Модель / I '\/ I / I I / I 3 I 3 / I / I / I / I Rl I В 1 / I В} / I / I  / 2 I 2 / Система I / I / I t В 2 В 2 I I I  r 1 :R2 1 I I I I I I I I I I I I I I I JL(Y) О 1 2 3 4 х )J(y) О 1 2 3 4 х I I I )J (х) J1(X) I I 1 :А з 1 о 1 2 3 4 х о 1 1.722.3 3 4 х а) б) Рис. 5.131. Влияние изменения функции принадлежности нечеткоrо множе ства А 2 на вид характеристики модели (5.91) привести к повышению точности модели, вследствие Toro, что xapaK тер изrиба поверхности модели между данными точками будет совпадать с характером изrиба поверхности системы. Вместе с тем, на практике характер выпуклости указанной поверх ности в общем случае неизвестен, и имеется лишь небольшой объем информации о координатах отдельных точек, для которых выполнялись измерения. Кроме Toro, в случае нечеткой модели на характер выпук лости поверхности влияет столь большое число элементов модели, что предуrадать тип локальной выпуклости оказывается достаточно слож ным, особенно для систем с мноrими входами. . Рассмотрим влияние типа оператора (используемоrо для аrреrации условий в модели системы с двумя входами) на вид поверхности нечет кой модели с помощью следующеrо примера. Пример 5.7.1.2. В табл.5.17 и на рис.5.132 представлена информация о взаимосвязи входов и выхода для системы с двумя входами Хl и Х2. Поскольку проекции точек Ri совпадают с узлами реrулярной пря моуrольной сетки в пространстве )(1 х )(2 входов объекта (рис.5.132 и 5.133), то можно непосредственно использовать эти точки для постро 
5.7. Типы нечетких моделей 315 Таблица 5.17 Информация об отображении «BXOДBЫXOД», которое реализует моделиру емая система Ri Rl R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 Хl 1 1 1 3 3 3 5 5 5 Х2 2 4 6 2 4 6 2 4 6 у 3 1 3 1 5 1 3 1 3 у Xl : I Объект I 5 .. Х2 У R5 . 3 1 1 3 5 i/ R4// / I I / / I I / / I I / / I 1/ / I ,/ 1 ** R2' / : ! / R8 / : : : I :: I I I '1 : :; :: 7R6 r y ' /'  * * ' * , I I I I I I , I I : . : Rl I I I I I I I I I I I I I I .R3 *  точка в пространстве входов X 1 Х Х 2 .  точка в пространстве BXOДOBBыxoдa Х}хХ 2 х У / / / / / / / / / / Xl "R7 Х2 I I I I I I I .R5 Рис. 5.132. Расположение точек измерения (представляющих информацию о системе) в пространстве входов X 1 Х Х 2 И В пространстве BXOДOBBыxoдa X 1 х Х 2 Х У ения базы правил (5.93) и функций принадлежности входов и выхода. R1: ЕСЛИ (Xl  1) И (Х2  2) ТО (у  3) R2: ЕСЛИ (Х1  1) И (Х2  4) ТО (у  1), R3: ЕСЛИ (Xl  1) И (Х2  6) ТО (у  3), R4: ЕСЛИ (Xl  3) И (Х2  2) ТО (у  1) 
316 rлава 5. Нечеткие модели R5: ЕСЛИ (Хl  3) И (Х2  4) ТО (у  5), R6: ЕСЛИ (Xl  3) И (Х2  6) ТО (у  1), R7: ЕСЛИ (Хl  5) И (Х2  2) ТО (у  3), R8: ЕСЛИ (Хl  5) И (Х2  4) ТО (у  1), R9: ЕСЛИ (Xl  5) И (Х2  6) ТО (у  3), (5.93) или в общем виде: Rl: ЕСЛИ (Хl == A i ) И (Х2 == B j ) ТО (у == Ck) rде i,j, k == 1,2,3. ( 5.94 ) Х2 R3 R6 ,u(Xl) R9 1 А} А 2 Аз 6 R2 R5 R8 Rl R4 R7 I 1 5 Xl 4 2 Р(Х2) 1 Bl В 2 В з р (х 1) 1 Хl 2 С 1 ,u (у) С 2 1 1 3 5 Xl 3 О 1 б) Х2 ,u(X2) 1 С з 5 у а) w  { l для 1:C:;; Х 1 < 3, v == { l для 2:С:;; -х2 < 4, 1  О в дрyrих 1 О В дрyrих случаях случаях { l для 3 s Х 1 S 5, { 1 для 4 s Х2:С:;; 6, w  v  2  О в дрyrих 2  О в дрyrих случаях случаях А 1 == примерно 1, А 2 == примерно 3, Аз == примерно 5, В 1 == примерно 2, В 2 == примерно 4, В з == примерно 6, С 1 == примерно  3, С 2 == примерно 1, С з == примерно 5. Рис. 5.133. Прямоуrольная сетка в пространстве входов системы (а), исполь зуемые функции принадлежности входов и выхода (6), а также определение лоrических переменныхиндикаторов Wi, Vj 
5.7. Типы нечетких моделей 317 Для задания функций принадлежности входов можно использовать JIоrические переменные ш"" 1)j, иrрающие роль индикаторов cerMeHToB: МА 1 (Х1) == 0.5(3  E1)11)1, ILА 2 (Х1) == 0.5(Хl  1)1[;'] + 0.5(5  -У1)Ш2 JLА: з (Хl) == 0.5(Х1  3)Ш2; /1В 1 (Х2) == 0.5(4  X2)V1 МВ 2 (Х2) == 0.5( Х2  2)V1 + 0.5( 6  Х2 )1)2, /1В;1 (Х2) == 0.5(:[2  4: )и2. (5.95) Эти переменные определены на рис. 5.133, 6. Влияние типа оператора, используемоrо для операции пересечения множеств (И). При использовании оператора PROD (алrебраическоrо произведения) в качестве основы для выполнения встречающейся в усло виях правил (5.93) операции И, значение на выходе нечеткой модели будет вычисляться по формуле * ( )  JL А 1 (1' 1 ) /l П 1 (Х:2) (  3) + Р А 1 (х 1 ) /1 в 2 (х 2 ) ( 1) + 11 А 1 (У 1 ) Il В з СТ 2 ) (  3 ) У Х1,Х2  1\1* + + /1A2(Xl)lBl (X2)(1) + /1.42 (1'1)/182 (J'2)(5) + IlА 2 (Х1)РВ з (.Т2)(1) + 111* + /l.4 3 (х 1 ) /1 В 1 (.т 2 ) (  3) + /1.4.3 (х 1 ) {l В 2 ( Х 2 ) ( 1) + р) А з ( Х 1 ) Р в 3 ( :r 2 ) (  3) . 1\1* 3 3 [де л,l* == LLILA,(X])ILB)(X2). 7==1 j==l (5.96) При использовании для выполнения операции пересечения множеств (И) в правилах (5.93) оператора J\IIN значение у** на выходе нечеткой модели будет задаваться выражением * ( )  3 j\IIN[/lA 1 (Х1), РВ 1 Cr 2 )] ", + llYIIN[/1A 1 (Х1), РВ 2 (Х2)] УХ] , .Е 2  1\1 * * + 3 j\IIN[/lA 1 ('Т1). J1 В з (Х2)] + 1 11IN[PA 2 (Х1), РВ 1 (Х2)] + 1\1** + 5l\11N[PA 2 (1'1). lB2 (.Т2)] + 1 j\IIN[/lA 2 (xl) рвз (Х2)] + 1\1** + :).\IIN[/'Аз(.Сl).lll31(Х2)] + llYIIN[РА.з(Хl),РВ2(Х2)] + 1\1** + :3 j\IIN[РА.з ('Т1). / lВ з (.1'2)] + 1\1**  з 3 [де ЛI** == L L l\IIN[ILA/ (X1) /1В) (Х2)]. i==1 )==1 (5.97) 
318 rлава 5. Нечеткие модели Таблица 5.18 Примеры выходных значений нечеткой модели (5.93), вычисленных с использованием операторов PROD и l\IIN Х1 1.5 2.5 3.5 4.33 Х2 2.5 2.5 3.5 5.33 PROD у* 1 1 3 O.33 rvlIN у** O.33 1 2.66 0.2 Поскольку формулы (5.96) и (5.97) не совпадают, то для OДHO ro и Toro же входноrо вектора [Хl, Х2]Т выходные значения у* (Xl, Х2) и У**(Хl, Х2) будут различными, хотя они и MorYT совпадать в отдельных точках, например, в тех, которые задаются условиями правил (5.93), т. е. в «существенных» точках модели. Таким образом, механизмы интерпо ЛЯЦИИ, выполняемой моделью (5.93), для операторов PROD и /IIN будет различными. На рис. 5.134 представлены поверхности нечетких моделей, полученные в результате использования операторов PROD и :rvlIN. в табл. 5.18 даны примеры выходных значений у* и у** для входных векторов [Хl, Х2]Т, не использовавшихся при построении модели. На рис. 5.134 видно, что поверхность нечеткой модели, COOTBeTCTBY ющая оператору PROD, является более rладкой, чем в случае операто ра 11IN. Чтобы определить, какая модель является более точной, необ ходимо иметь тестовое множество измерений векторов значений BXOД ных и выходных пара метров моделируемой системы, на основе KOToporo следует найти величину средней (либо квадратичной) ошибки. Интерес представляет вопрос, какой тип интерполяции обеспечивает модель MaM дани на участках между пресловутыми «существенными» точками, зада ваемыми с помощью правил. Для модели из рассматриваемоrо при мера описание интерполяцион ной поверхности может быть получено на основе формул (5.96) и (5.97). Для каждоrо cerMeHTa входноrо пространства Х 1 х Х 2 участки поверх ности будут задаваться поразному. На рис. 5.135 представлены формулы поверхностей, получаемые в результате применения оператора PROD. Интерполяционные поверхности в рассматриваемом при мере являют ся линейными, несмотря на использование в модели нелинейноrо опера тора PROD. Данный случай является особым, поскольку представленные на рис. 5.132 и в табл. 5.17 опорные точки модели, соответствующие узлам изображенной на рис. 5.135 сетки, расположены так, что через них мож 
5.7. Типы нечетких моделей 319 6 5 4 2 о 2 4 6 а) 1 6 4 2 О 2 4 6 5 б) 2 1 Рис. 5.134. Поверхности отображения «BXOДBЫXOД» нечеткой модели (5.93), полученные в результате использования операторов PROD (а) и I\'1IN (6) но провести четыре линейных cerMeHTa. В общем случае, использование оператора PROD, кусочнолинейных Функuий принадлежности для BXOД ных пара метров и одноточечных функций для выходных параметров, как правило, приводит к получению нелинейных интерполяционных функций полилинейноrо типа (полилинейных функций), содержащих произведе ния. В случае трех входов такая функция имеет вид у == ао + alxl + а2 Т 2 + аз.Тз + а 1 Х l.У2 + а5Хl.ТЗ + аGХ2ХЗ + Q7.УIХ2ХЗ. (5.98) На rраниuах cerMeHTOB интерполяционные функции в модели MaMдa ни имеют общие вершины (узлы) и общие ребра (т. е. значения функций на rраницах совпадают). Убедиться в этом можно на примере, показан 
320 rлава 5. Нечеткие модели Х2 3 1 3 6 w 1 vi= 1 W2V2== 1 у* ==7+2Хl 2X2 y*==192xl 2x2 Vl == 1 1 5 1 4 WIVl==l W2Vl== 1 V2== 1 у*==9+2хl+Д2 y*==32xl+2x2 3 1 3 2 1 3 5 Xl wl==l w2==1 Рис. 5.135. Формулы для вычисления интерполяционных поверхностей модели (5.93), соответствующих отдельным cerMeHTaM входноrо пространства X 1 х Х 2 (с использованием оператора PROD) ном на рис. 5.135. Таким образом, на rраницах cerMeHToB сохраняется непрерывность поверхности модели. . Используя непрерывно дифференцируемые функции принадлежности входных параметров модели (например, rayccoBbI функции), можно обес печить непрерывность первой производной (а также производных более высоких порядков) для данной поверхности, при условии, что не исполь зуются операторы типа 11IN, связанные с возможностью резкоrо измене ния значений. Для любой нечеткой модели Тvl0ЖНО теоретически вывести форму лу, задающую ее поверхность в явном виде (т. е. у == j(X)). Вместе с тем, на практике эти формулы не выводят в силу трудоемкости дaHHO ro процесса, которая значительно возрастает с увеличением числа входов и функций принадлежности. Значение на выходе нечеткой модели полу чают путем последовательноrо вычисления выходных значений отдель ных ее элементов при заданном векторе входных значений Х. С учетом этоrо, на практике, при применении модели Мамдани, точные форму лы, задающие интерполяционную поверхность, неизвестны. Исключение составляют следующие простые случаи: 
5.7. Типы нечетких моделей 321 . при использовании кусочнолинейных функций принадлежности, yдo влетворяющих условию разбиения единицы, для входов, одноточеч ных функций для выходов, а также операторов MEAN (среднеrо зна чения) и SUM (неоrраниченной суммы) получаем rлобально нелиней ную поверхность модели, состоящую из локально линейных cerMeH тов, которые задаются функциями вида: у == ао + аl Х l + а2 Х 2 + . . . + аnх n , (5.99 ) rде [п  число входов; . при использовании кусочнолинейных функций принадлежности, yдo влетворяющих условию разбиения единицы, для входов, одноточеч ных функций для выходов, оператора PR,OD дЛЯ пересечения и опе ратора SUM дЛЯ объединения множеств поверхность модели COCTO ит из полилинейных cerMeHToB, которые задаются функциями вида (5.98). В остальных случаях использование модели Мамдани приводит к по лучению различных нелинейных поверхностей со сложной формой опре деления. Линrвистические и нелинrвистические модели Мамдани. В самом Ha чале в моделях Мамдани использовались, как правило, только линrвисти ческие метки типа «малый» или «большой». Нечеткие модели, использу ющие подобные метки для обозначения нечетких множеств, называются линrвистическим моделями. Между тем, как было замечено на практике, присвоение нечетким множествам линrвистических меток часто оказыва ется лишенным особоrо смысла. Рассмотрим примеры на рис. 5.136. В примере на рис. 5.136, а нечеткое множество «примерно 9» Haxo дится настолько близко к множеству «примерно 10», что считать ero «средним» можно лишь С большим трудом. Наличие большоrо числа MHO жеств в примере на рис. 5.136,6 привело бы к необходимости использо вания большоrо числа меток (например, «малый», «близкий к малому», «между малым и средним», «близкий к среднему», «средний» И т. д.), что стало бы. в свою очередь, причиной их трудноразличимости. Более практичным дeCb является использование меток в виде нечетких чи сел «<примерно 1», «примерно 2», «примерно 3» и т. п.), поскольку с их помощью проще представить позицию каждоrо множества. На рис. 5.136, в приведен пример ситуации, коrда использование линr вистических меток типа «малый», «средний», «большой» имеет смысл. При малом числе нечетких множеств их ядра находятся на достаточно большом расстоянии друr от друrа. Нечеткие модели, в которых метки 
322 rлава 5. Нечеткие модели J.1(x) 1 Примерно 9 J.1 (х) 1 Примерно 5 1 9 10 х а) J.1(x) Малый Средний Большой 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 х б) 1 в) 5 10 х Рис. 5.136. Примеры, иллюстрирующие обоснованность присвоения нечетким множествам линrвистических меток (8) либо представления множеств в форме нечетких чисел (а, 6) множеств представлены в форме нечетких чисел, называются нелинrви стическими моделями. в каких случаях правила в модели Мам дани «не сообщают правду»? Истинность информации, содержащейся в условиях и заключениях пра вил модели Мамдани, очень важна для понимания взаимосвязи входов и выходов как модели, так и моделируемой системы. Наиболее предпо чтительной является ситуация, коrда правила «сообщают правду», т. е., например, если одно из правил имеет вид ЕСЛИ (Хl примерно 2) И (Х2 примерно 1) ТО (у примерно 5), то в результате подачи на вход модели вектора [Хl, Х2]Т == [2,1] на ее выходе будет получено значение у == 5, которое задается заключением указанноrо правила. Тем не менее, не всеrда подобная ситуация имеет место, и это подтверждает следующий пример. Пример 5.7.1.3. Рассмотрим нечеткую модель объекта с двумя входами, база правил которой имеет вид R1 : ЕСЛИ (Хl  1) И (Х2  1) ТО (у  4), R2: ЕСЛИ (Хl  1) И (Х2  2) ТО (у  13), R3: ЕСЛИ (Хl  2) И (Х2  1) ТО (у  5), R4: ЕСЛИ (Хl  2) И (Х2  2) ТО (у  16), (5.100) а функции принадлежности представлены на рис. 5.137. 
5.7. Типы нечетких моделей 323 J.L (х 1) 1 J.L 1 (х 1) J.L 2(Х 1 ) Р(Х2) J.L 1(х2) 1 J.L 2(Х 2) 0.2 0.2  1 2 хl 1 2 Х2 J.L (v ) 1      4 5 JЧ (Xl) == ехр [  ( ;8215 ) 2] l (Х2) == ехр [ ( ;;8215 ) 2] 13 16 У Щ(Хl) == ехр [ ( ;8225 ) 2] 2(X2) == ехр [ ( ;;8225 ) 2] Рис. 5.137. [ауссовы функции принадлежности нечетких множеств, задающих значения входов и выхода для рассматриваемой системы с двумя входами в процессе вычисления значения У на выходе модели для векторов входных значений, содержащихся в условиях правил, т. е. X(R1) == [l,l]Т, X(R2) == [1, 2]Т, Х ( R3) == [2, 1] Т , Х ( R4) == [2, 2] Т , (5.101) происходит одновременная активизация всех правил, а не только прави ла, в посылке KOToporo содержится заданный вектор X(Ri). Поскольку в вычислении выходноrо значения всеrда принимают уча стие все правила, оно будет отличаться от значения Yi, которое задается заключением правила Ri. Например, при вычислении значения на выходе модели для входноrо вектора X(R4) == [2,2]Т (с использованием опера тора PROD в качестве основы для выполнения операции И) степени выполнения условий отдельных правил будут следующими: fLRl (2, 2) == Ml (Xl)Ml (Х2) == 0.04, MR2(2,2) == Мl(Хl)М2(Х2) == 0.2, IlR3 (2,2) == М2 (Xl )Мl (Х2) == 0.2, MR4(2,2) == М2(Хl)М2(Х2) == 1. Полученные степени истинности условий MRi приводят К активизации заключений всех правил, и значение на выходе модели будет вычисляться 
324 rлава 5. Нечеткие модели Таблица 5.19 Сравнение выходных значений Ут1' вычисляемых с помощью Moдe ли (5.100), со значениями Yz, задаваемыми заключениями правил данной модели Правило Ri Rl к2 R3 R4 Входной XI 1 1 2 2 вектор Х2 1 2 1 2 Заключение )l; 4 13 5 16 Выходное Ут; 5.72 11.94 6.61 13.72 значение по формуле: Утп == 4 L Y'iJ1Rz i== 1 4 L J1R'i z==l 4 . 0.04 + 13 . 0.2 + 5 . 0.2 + 16 . 1 == 13.72. 0.04 + 0.2 + 0.2 + 1 Полученное выходное значение Ут(2,2) не совпадает со значением У4 == 16, которое задается заключением правила R4. В табл. 5.19 приведе но сравнение выходных значений модели Ymi для векторов входных значе ний (5.101), содержащихся в условиях правил (5.100), со значениями Yi, содержащихся в их заключениях. Из табл. 5.19 видно, что вычисляемые с помощью модели выходные значения Ymi не совпадают со значениями Yi, задаваемыми заключениями правил, и таким образом, правила не «co общают правду». Введем теперь в рассматриваемую модель друrие типы функций принадлежности, а именно функции, удовлетворяющие условию разбиения единицы (рис. 5.138). Для выполнения операции И в условиях правил (5.100) будем ис пользовать оператор PROD. При вычислении значения Ут4 на выходе модели для входноrо вектора X(R4) == [2,2]Т будут получены следующие I j1 (х2) р1 (х2) 1 р2(х2) р(у) 1      1l1 !! IУшI) 1 2 х. 1 2 Х2 45 13 16 У Рис. 5.138. Кусочнолинейные функции принадлежности входов, удовлетворя ющие условию разбиения единицы, и одноточечные функции принадлежности выходноrо параметра рассматриваемой системы с двумя входами 
5.7. Типы нечетких моделей 325 т а б л и ц а 5.20 Сравнение выходных значений Ymi, вычисляемых моделью (5.100), исполь.. зующей треуrольные функции принадлежности, со значениями Yi, содер" жащимися в заключениях правил данной модели Правило Ri R1 R2 R3 R4 Входной Хl 1 1 2 2 вектор Х2 1 2 1 2 Заключение Yi 4 13 5 16 Выходное 4 13 5 16 Ymi значение степени истинности условий отдельных правил: IlRl(2 2) == 1L1(Хl)1L1(Х2) == о, l R2 (2. 2) == IL 1 ( Х 1) IL2 ( Х2) == о, ILRз(2 2) == 1L2(Xl)1L1(X2) == о, ILR4(2.2) == 1L2(Xl)1L2(X2) == 1. Поскольку степень истинности, отличную от нуля, имеет только одно правило (R4), то только это правило будет активизировано, и выходное значение нечеткой модели будет соответствовать значению У4, содержа щемуся в ero заключении: Ут == 4 L Yl{LR1 1== 1 4 L 1 1 Ri ==l 4 . о + 13 . О + 5 . О + 16 . 1 == == 16. 0+0+0+1 Теперь правило R4 соrласуется с вычислениями, осуществляемыми моделью. Аналоrичная ситуация имеет место и для остальных правил. Значения Ymi на выходе модели для векторов входных значений, coдep жащихся в условиях правил, приведены в табл. 5.20. Как видно из табл.5.20, при использовании для входных парамет ров модели (5.100) треуrольных функций принадлежности, удовлетво ряющих условию разбиения единицы, все правила предоставляют ин формацию, соrласующуюся с результатами осуществляемых моделью BЫ числений. . Правила «сообщают правду», если: . для реализации операции И используются tHOpMbI, а для операции ИЛИ  SHOpMbI, т. е. такие операторы, для которых выполняются 
326 rлава 5. Нечеткие модели pW pW pW 111 х х х pW pW pW 1 1 1 х х х Рис. 5.139. Примеры функций принадлежности входов модели, при которых правила MorYT «сообщать правду» р(х) р(х) 1 1 х х PW pW 1 1 х х Рис. 5.140. При меры функций принадлежности входов модели Мамдани, при которых невозможно достичь эффекта «сообщения правды» правила м и условия МАп0(Х) == О и МАПВ(Х)  1 (этим условиям не удовлетворяют, например, операторы SUM (арифметическая сумма) и J\:IEAN), . в качестве функций принадлежности входных нечетких множеств ис пользуются функции, которые имеют конечный носитель (данному условию не удовлетворяют rayccoBbI функции) и принимают нулевое значение в точках, соответствующих модальным значениям (М(Х) == 1) смежных с ними функций. При меры приведены на рис. 5.139. На рис.5.140 приведены примеры функций, которые не позволяют достичь эффекта «сообщения правды» правилами. Влияние удаленных (не являющихся смежными) опорных точек мо" дели Мамдани на локальную интерполяцию. Существуют два способа построения нечеткой модели. В рамках первоrо способа на форму интер поляционной поверхности, соответствующей заданному cerMeHTY BXOД Horo пространства, влияют только те опорные точки, которые непосред 
5.7. Типы нечетких моделей 327 ственно примыкают к данному cerMeHTY. В рамках BToporo способа Ta кое влияние MorYT оказывать и некоторые друrие (а иноrда даже все), а не только непосредственно примыкающие точки. В последнем слу чае настройка пара метров функций принадлежности (адаптация модели на основе измерений данных о реальной системе) становится значительно сложнее. Поясним эту проблему на примере. Пример 5.7.1.4. Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом. В табл.5.21 приведены результаты измерений ее параметров, которые можно использовать для построения нечеткой модели системы. т а б л и ц а 5.21 Данные измерений парамеТРО8 системы типа SISO х 1 2 3 4 у 1 4 9 16 в первой версии модели для входов будем использовать треуrольные функции принадлежности, удовлетворяющие условию разбиения едини ЦЫ, а для выходов  одноточечные функции (рис. 5.141). Правила модели имеют следующий вид: R1 : ЕСЛИ (х  1) ТО (у  Уl), R2: ЕСЛИ (х  2) ТО (у  У2), R3: ЕСЛИ (х  3) ТО (у  уз), R4: ЕСЛИ (х  4) ТО (у  У4), (5.102) rде Уl == 1, У2 == 4, уз == 9, У4 == 16. Используя лоrические переменные Wi, определенные на рис. 5.141, можно получить формулы (5.103), которые задают отдельные функции принадлежности входа х: мl(х) == (2  х)шl, М2 (х) == (х  1 )Шl + (3  х )Ш2, Р<1(Х) == (х  2)Ш2 + (4  Х)WЗ, М4 (х) == (х  3) Wз. (5.103) Формула для вычисления значения на выходе модели в пределах всей области значений входноrо параметра 1  х  4 имеет вид у == Уl(2  х)шl + У2[(Х  1)Шl + (3  Х)Ш2]+ + уз[(х  2)Ш2 + (4  Х)Wз] + У4(Х  3)wз. (5.104) 
328 rлава 5. Нечеткие модели у У4 16 Уз 9 У2 4 Уl 1 ,u(y) 1 I I I W I W I W I 1"" 1 .... 2 ... З ..: 1 I I I I I I I ,u(x) : ,ul(x) ! ,uJx) i ,uз(х) : ,ui x ) 1     1 2 3 R4 { l Д ЛЯ 15X<2, Wl== О В друrих случаях, { 1 для 2 5 х < 3, w 2  О в друrих случаях, { l для 35 х 54, w з  О в друrих случаях. 4 х Рис. 5.141. Используемые в первой версии модели функции принадлежности входа и выхода (обеспечивающие «сообщение правды» правилами) и определе ние лоrических функций 1JJ I На основе формулы (5.104) можно получить интерполяционные фор мулы, соответствующие участкам пространства между отдельными «cy щественными» точками модели (рис.5.141): Rl  R2: Шl == 1, R2  R3: Ш2 == 1  R3  R4: wз == 1  У == Уl (2  х) + У2 (х  1). У == У2 (3  х) + Уз (х  2), У == уз(4  х) + .У4(Х  3). (5.105) Анализируя формулы (5.105), леrко видеть, что интерполяционные функции модели между ее опорными точками Ri  R(i + 1) зависят только от пара метров Yi, Yi+ 1, соответствующих точкам, которые лежат на rранице рассматриваемых cerMeHToB. Локальные интерполяци онные поверхности можно в этом случае определить на основе локальных измерений информации о системе. Подобный эффект достиrнут блаrодаря использованию входных функций принадлежности, принимающих нуле вое значение в точках, соответствующих модальным значениям смежных с ними функций принадлежности. В случае системы с двумя входами, при использовании функций по добноrо типа, а также tHOpM и SHOpM (для выполнения операций пе 
5.7. Типы нечетких моделей 329 у Интерполяционная поверхность Опорная точка Х2 I : Х} I I I I ,.i" 1 I 1 1 I 1 1 I 1 I /1 :  /I I 1 I 1 I I I 1 I " I I I I I 1 I 1 I I I I I I .' Прямоyrольный cerмeHT пространства входов Рис. 5.142. Иллюстрация зависимости локальной интерполяционной поверхно сти только от непосредственно прилеrающих опорных точек ресечения и объединения содержащихся в нечеткой модели множеств), интерполяционная поверхность будет зависеть только от координат бли жайших опорных точек, соответствующих уrловым точкам прямоуrоль Horo участка входноrо пространства [Хl, Х2], (рис. 5.142) или же уrловым точкам rиперпрямоуrольноrо участка при большем числе входов. Таким образом, интерполяционная поверхность проходит непосред ственно через опорные точки, и ее форма зависит от ряда элементов модели  используемых методов вывода, дефаззификации, типов опера торов. В данной ситуации правила модели будут «сообщать правду» об ее выходных значениях. Теперь рассмотрим друrой вариант входных Функ ций принадлежности, который представлен на рис. 5.143. Представленные на рис. 5.143 функции принадлежности входноrо па раметра можно задать с помощью формул (5.106), содержащих лоrиче ские переменные Ш( 1L1(Х) == 0.25[(5  х)(шl + Ш2 + wз)], IL2(X) == 0.25[(х + 2)ш] + (6  Х)(Ш2 + 'u)З)], ILЗ(Х) == 0.25[(х + 1)( 1О 1 + 'И'2) + (7  Х) 1LJ З], I L 4 ( х) == 0.25 [ х ( V) 1 + Ш2 + 111З)]. (5.106) 
ззо rлава 5. Нечеткие модели 40 { 1 для 1 5 х < 2 , w 1  О в друrих случаях, { l для 25 х <3, W 2 = О В друrих случаях, { l для 35 х 54, W З = случаях. Х: 15 х54 20 R4 16  30 * У4 у 44.8 * У2 R3 9  R2 4  0.8 1 )] : I I I I I J I I : Wl : W2 J.  :.-. I I I * Уl р(у) * уз р(х) 1 f i ,ul (х) Р2(Х) I I I : W :. з I I , I I I I I I I I I I I !,uз(х) I I I I I I  ' I I I I I I I I I I I I I I I i Р4(Х) х 4 10 ........ ........ ........ ",.",......",." ."",*' I ",. ,..,. ...",.;, I ...... I ...... ......... : ...................... ..................... ............... .......... : ...................... ..................... '...........,.......... 2 1 о 1 2 3 4 5 6 7 х Рис. 5.143. Используемые во второй версии модели функции принадлежности входа и выхода (не обеспечивающие «сообщения правды» правилами) и опреде ление лоrических функций w'[ База правил модели имеет вид R1* : ЕСЛИ (х  1) ТО (у  yr). R2* : ЕСЛИ (х  2) ТО (у  y), R3* : ЕСЛИ (х  3) ТО (у  y), R4* : ЕСЛИ (х  4) ТО (у  y). (5.107) На основе формул (5.106) и (5.107) можно получить выражение для определения поверхности модели: у == O.lyr[(5  X)CU'l + 102 + w:з)] + O.ly[(x + 2) rШ l + (6  Х)( ИJ 2 + 11):3)]+ + O.ly[(x + l)(Wl + 1V2) + (7  х)wз] + O.lY[X(Wl + ИJ2 + LL'З)]. (5.108) 
5.7. Типы нечетких моделей ЗЗl Интерполяционная поверхность между отдельными опорными точка ми Ri  R(i + 1) задается с помощью формул: Wl == 1, У == О.1[уТ(5  х) + y(x + 2) + y(x + 1) + yx], Ш2 == 1, У == О.1[уТ(5  х) + y(6  х) + y(x + 1) + yx], WЗ == 1, У == О.1[уТ(5  х) + y(6  х) + y(7  х) + yx]. (5.109) Анализируя формулы (5.109), мы видим, что в данной версии модели локальные интерполяционные поверхности, расположенные между каж дой парой смежных опорных точек, зависят не только от этих, но и от всех остальных опорных точек, поскольку в каждой из интерполяцион ных формул (5.109) присутствуют все координаты yi, у'2, уз, У4' задавае мые заключениями правил (5.107) (которые в данной версии не являются «сообщающими правду»). Если считать опорными точками модели точки R;: R1  R2: R2  R3: R3  R4: R7 == R1 * (1, уТ), R3 == R3* (3, y), R 2 == R2 * ( 2, y ) , R == R4 * (4, y), (5.110) а опорными точками моделируемой системы точки R( R 1 == R1(1, Уl), R3 == R3(3, уз), Уl == 1, уз == 9, R 2 == R2(2, У2), R4 == R4( 4, У4), У2 == 4, У4 == 16, (5.111) то при соответствующем выборе параметров модели у; можно добиться, чтобы ее поверхность проходила непосредственно через опорные точки системы R i , как показано на рис.5.141. Определение значения у; носит rлобальный характер, т. е. выполня ется одновременно для всех точек модели R; на основе представленных в табл.5.21 данных измерений параметров системы, а также формулы (5.108) для определения выходноrо значения у. Подставляя координаты «существенных» точек системы из табл. 5.21 в формулу (5.108), получаем слеДУЮIЦУЮ систему уравнений: R1 (1, 1) =} О.4уТ + O.3y + О.2уз + o.ly == 1, R2(2,4) =} О.3уТ + O.4y + O.3y + O.2y == 1, R3(3,9) =} О.2уТ + О'3У2 + O.4y + O.3y == 1, R4( 4,16) =} О.lуТ + О.2У2 + O.3y + O.4y == 1, (5.112) 
332 rлава 5. Нечеткие модели решение которой имеет вид y == 0.8, Y ==  10, Уз == 4, Y == 44.8. (5.113) С учетом (5.113) базу правил (5.107) можно представить в виде R1 *: ЕСЛИ (х  1) ТО (у  0.8), R2*: ЕСЛИ(х2) ТО (y10), RЗ*: ЕСЛИ (х  3) ТО (У  4), R4*: ЕСЛИ (х  4) ТО (у  44.8). (5.114) Анализ результатов использования функций принадлежности, пред ставленных на рис. 5.143, носители которых выходят за пределы, задава емые модальными значениями смежных функций принадлежности, поз воляет сделать следующие выводы. . Интерполяционная поверхность модели имеет тот же качественный тип (в рассматриваемом примере  линейный), что и в случае функ ций принадлежности, не выходящих за пределы модальных значений смежных с ними функций. Таким образом, расширение носителей функций принадлежности не изменяет свойств интерполяции. . Настройка пара метров модели в рассматриваемой ситуации должна происходить не локально, с использованием только непосредствен но прилеrающих опорных точек, а rлобально, с использованием всех опорных точек системы. Учитывая явление, называемое «проклятием размерности», r лобальная настройка значительно сложнее локальной. . Полученная после завершения процесса настройки модель является корректной (поверхность модели проходит через опорные точки R i системы), но при этом ее правила «не сообщают правду», что делает модель более сложной для понимания. Таким образом, по ряду рассмотренных в данном примере причин, ис пользование в моделях Мамдани функций принадлежности, носители KO торых не выходят за пределы, задаваемые смежными с ними функциями (в частности, функций, удовлетворяющих условию разбиения единицы), является более предпочтительным. . 5.7.2. Модели ТаКаrи........СуrеНо Впервые модели ТакаrиСуrено (ТSмодели) были описаны в (Takagi 1985). Эти модели также называют моделями ТакаrиСуrеноКанrа (Nquyen 1995; Yager 1994,1995), квазилинейными моделями инечеткими линейными модеЛЯ1\1И (Babuska 1995а,Ь). От моделей Мамдани модели ТакаrиСуrено отличаются формой правил. Если в случае модели MaM 
5.7. Типы нечетких моделей 333 дани, описывающей систему с одним входом и одним выходом, правила имели вид ЕСЛИ (х есть А) ТО (у есть В), (5.115) (rде А, В  нечеткие множества типа «малый» или «близкий к 5»), то в случае ТSмодели правила имеют вид ЕСЛИ (х есть А) ТО (у == f(x)). (5.116) Вместо нечеткоrо множества заключение каждоrо правила содержит функцию f(x), которая может быть нелинейной, хотя обычно использу ются линейные функции. Таким образом, правила ТSмодели имеют вид ЕСЛИ (х есть А) ТО (у == ах + Ь)). ( 5 .117) Если в модели системы типа SISO база правил имеет вид Rl: ЕСЛИ (х есть A 1 ) ТО (у == f1(X)), Rm: ЕСЛИ (х есть Ат) ТО (у == fm(x)), (5.118) то значение на выходе модели вычисляется на основе степеней активиза ции отдельных заключений fi, i == 1, . . . , т, в соответствии с формулой rп L /-lА1(Х)fi(Х) 1,==1 rп L /1At (х) l== 1 (5.119) у== Пример 5.7.2.1 иллюстрирует некоторые особенности ТSмоделей. Пример 5.7.2.1. Рассмотрим ТSмодель системы типа SISO с базой правил вида (5.120) и функциями принадлежности, представленными на рис. 5.144: Rl : ЕСЛИ (х есть А 1 ) ТО (у == x + 3), R2: ЕСЛИ (х есть А 2 ) ТО ( == 4х  10 ). У 3 ' R3: ЕСЛИ Cr есть ..4) ТО (у == x; 24 ) . (5.120) 
ЗЗ4 rлава 5. Нечеткие модели у 7 6 5 4 М 2 (7.7,6.4) у == (  5х 2 + 77х  258)/6 у == (  х + 24)/3 I I I I I I I 1 I У == (7 х 2 39+56)/6 I I I I I I I I I I М 1 (2.8 0.3) ! I I I I х J1 (х) 1 А 1 А 2 Аз О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х W 1 ----+1. W2 .1. Wз .1. W4 .1... Ws .1 3 2 1 Рис. 5.144. ФУНКЦИИ принадлежности входных пара метров и поверхность отображения для рассматриваемой модели ТакаrиСуrено с ПОМОЩЬЮ формул (5.121) введем следующие лоrические переменные: Шl == {  Ш2 == {  Ш:3 == {  Ш4 == {  ИJ5 == {  для О  х < 2, в друrих случаях, для 2  х < 4, в друrих случаях, для 4  х < 7, в друrих случаях, для 7  .Е < 9, в друrих случаях, для 9  х  12, в друrих случаях. (5.121) Тоrда функции принадлежности будут иметь вид {lAl == 'U)l  О.5( х  4 )W2, fJJA. 2 == О.5(х  2)и'2 + 1Vз  О.5(х  9) И'4, fLА;з == О.5(х  7)W4 + ' l1J 5. (5.122) 
5.7. Типы нечетких моделей 335 Рассматриваемые функции принадлежности удовлетворяют условию разбиения единицы: 3 LfLAt(X) == 1. i==l (5.123) Значение на выходе модели определяется по формуле: 3 " Ш2(7х 2  39х + 56) у == fLAt(x)fi(X) == Шl(Х + 3) + 6 + i==l wз(4х10) Ш4(5х2+77х258) Ш5(х+24) + 3 + 6 + 3 . (5.124) Анализ формулы (5.124) позволяет сделать вывод, что поверхность модели в точности соответствует заключениям правил (5.119) только в тех областях входноrо пространства, степени принадлежности элемен тов которых соответствующим множествам А ? удовлетворяют условию LA,(X)==l (области Шl, lОз, Ш5). В областях, rде эти степени являются дробны ми (Ш2, Ш4), поверхность модели переходит из одной линейной формы (задаваемой соответствующим заключением) в друrую. Ширина обла стей перехода определяется шириной областей дробных значений функ ций принадлежности (fLAt (х) < 1), а математическое выражение функций перехода зависит от типа используемых функций принадлежности. В рассматриваемом при мере функции перехода имеют квадратичную форму. Следует отметить, что характеризующая модель функция (5.124) непрерывна и не имеет скачков на rраницах областей. Вместе с тем, про изводная этой функции непрерывной не является и изменяется на rpa ницах областей скачкообразно, что является следствием типа исполь зуемых функций принадлежности (их кусочной линейности). Непрерыв насть производной поверхности модели и, тем самым, большую rладкость последней можно обеспечить путем использования непрерывно диффе ренцируемых Функuий принадлежности, например rayccoBbIX функций. В данном при мере использованы трапециевидные функции принадлеж ности, которые имеют зоны четкости, характеризующиеся тем, что их элементы полностью (со степенью, равной 1) принадлежат COOTBeTCTBY ющему множеству. . Интерес представляет ВОПРОС, связанныЙ с тем, как будет выrлядеть поверхность модели с той же саl\10Й базой правил, но при условии ис 
336 rлава 5. Нечеткие модели у 7 М 2 (8.7,6.6) у=( 5x2+87x240)/21 ......... 6 5 4 ....................... у= (x+ 24)/3 2  , " у= x+3 , , , , , , , y=(4x 10)/3 I / : у= (7х 2 34x+45)/15 , I , I / I 1 1 I I I I I Ml(.43, 0.25)1 I 3 1 х J.l (х) 1 2 3 Wl 789 W2 х Рис. 5.145. При мер модели ТакаrиСуrено с треуrольными (не трапециевидными) функциями принадлежности пользования друrих типов функций принадлежности. Рассмотрим с этой целью при мер 5.7.2.2. При мер 5.7.2.2. Рассмотрим ТSмодель системы типа SISO с базой пра вил вида (5.125) и треуrольными функциями принадлежности, представ ленными на рис. 5.145: R1 : ЕСЛИ (х есть А 1 ) ТО (у == x + 3), R2: ЕСЛИ (х есть А 2 ) ТО (у == (4х  10)/3), R3: ЕСЛИ (х есть Аз) ТО (у == (x + 24)/3). (5.125) Определим лоrические переменные 'Шl, Ш2 с помощью формул (5.126): ИJl == { 1 для О  х < 5. О в друrих случаях, ИJ2 == { 1 для 5  х  12, (5.126) О в друrих случаях. 
5.7. Типы нечетких моделей 337 Получим формулу (5.127), задающую поверхность модели: 0.2Wl(X5)(x+3) 0.2WIX(4x10) у== 5 + 3 +  'Ш2 (х  12) (4х  1 О) 102 (х  5) (  х + 24) + 21 + 21 Wl (7х 2  34х + 45) Ш2( 5x2 + 87х  240) == 15 + 21 . (5.127) Как видно из формулы (5.127) и рис. 5.145, поверхность модели не яв ляется линейной ни в одной из областей Wi, задаваемых заключениями правил (5.125). И даже в точках, полностью (со степенью, равной 1) принадлежащих множествам А 1 , А 2 или Аз, касательные к поверхности модели не соответствуют задаваемым правилами линейным функциям (рис. 5.145). В частности, касательная к поверхности модели в точке х == О, пол ностью принадлежащей lVIножеству А 1 , задается уравнением 14х  34 у== 15 хотя, в соответствии с заключением правила Rl, принадлежащеrо базе (5.125), следовало бы ожидать, что данное уравнение будет иметь вид у == x + 3. Подобная ситуация имеет место в точках х == 5 и х == 12, принадле жащих со степенью, равной 1, соответственно множествам А 2 и Аз. . Как показывает приведенный пример, применять ТSмодели следует rлавным образом в тех случаях, коrда функции принадлежности имеют трапециевидную или подобную ей форму (рис. 5.146). Следует отметить, что при использовании трапециеподобных функ ций с нелинейными ребрами (например, rayccoBbIX функций), вместо по верхности, задаваемой непосредственно заключениями соответствующих J1 (х) Аз J1 (х) Аз а) х б) х Рис. 5.146. Типы функций принадлежности, рекомендуемые для использования в моделях ТакаrиСУТtНО: трапециевидные (а) и трапециеподобные (6) функции 
ЗЗ8 rлава 5. Нечеткие модели Х2 В з h 119 В 2 В 1 Ji h f.l (х 2) f.l (х 1) Хl Аl А 2 Аз Хl Rk: ЕСЛИ (х есть A n BJ) ТО (у == fk(X)), i,j == 1,...,3, k == 1....,9 Рис. 5.147. Рекомендуемая форма функций принадлежности для модели ТакаrиСуrено с двумя входными параметрами, которая позволяет получить прямоуrольные cerMeHTbI, поверхности которых в точности соответствуют функ циям fk, задаваемых заключениями правил Rk. ЗаIlJтрихованные участки COOT ветствуют областям перехода между отдельными заключениями fk правил Ri (даже в тех областях, в которых степень принадлежности эле ментов множеству A i равна 1), будет получена поверхность, в той или иной степени измененная под влиянием функций h из друrих правил. Причиной этоrо является то, что [ауссовы функции принадлежности име ют бесконечный носитель, не удовлетворяют условию разбиения единицы и существенно расширяют области влияния отдельных заключений Ji. В случае систем с двумя (или более) входами использование трапе циевидных функций принадлежности приводит к получению прямоуrоль ных (или rиперпрямоуrольных) cerMeHToB, в которых степени принадлеж ности пересечениям множеств равны 1 (рис. 5.147). Интерес представляет вопрос, касающийся взаимосвязи между Moдe лями Мамдани и ТSмоделями и возможности отображать и преобразо вывать один тип модели в друrой. Для систе1\1 типа SISO это вопрос обсуждаJ1СЯ в (Babuska 1995а,Ь). 
5.7. Типы нечетких моделей 339 Для отображения ТSмодели в модель амдани необходимо иметь координаты «существенных» точек поверхности модели. Для моделей ТакаrиСуrено «существенными» являются rраничные точки отдельных cerMeHToB входноrо пространства, а также точки максимума, минимума и точки переrиба поверхности модели. На основе ТSмодели следует BЫ числить выходные значения у для «существенных» точек ее поверхности, по результатам чеrо сформировать нечеткие правила амдани, задающие состояние модели в этих точках, а также функции принадлежности. Ил люстрацией данноrо метода служит пример 5.7.2.3. Пример 5.7.2.3. Задача состоит в построении модели амдани, которая соответствует модели ТакаrиСуrено из примера 5.7.2.2. На рис. 5.148 представлена ТSмодель с указанием «существенных» точек. Для «существенных» точек поверхности ТSмодели сформированы правила Мамдани, определяющие состояние модели в указанных точках. База правил модели амдани имеет следующий вид: Rl: ЕСЛИ (х  О) ТО (у  3), R2: ЕСЛИ (х  2) ТО (у  1), R3: ЕСЛИ (х  2.8) ТО (у  0.3), R4: ЕСЛИ (х  4) ТО (у  2), R5: ЕСЛИ (х  7) ТО (у  6), R6: ЕСЛИ (х  7.7) ТО (у  6.4), R7: ЕСЛИ (х  9) ТО (у  5), R8: ЕСЛИ (х  12) ТО (у  4). (5.128) Функции принадлежности и поверхность полученной модели aMдa ни представлены на рис.5.149. Сравнивая рис. 5.148 с рис. 5.149, можно заметить, что эквивалентная модель амдани содержит большее число правил и нечетких множеств, чем ТSмодель, что обусловлено использованием в ТSмоделях трапеци евидных функций принадлежности с широкими носителями, задающих большие участки поверхности модели не поточечным, а функциональным образом. Если предположить, что точки минимума и максимума областей пе рехода для модели не важны (в рассматриваемом примере это точки (2.8, О.;)) и (7. 7  6.4)), и что «существенны» только rраничные линии об ластей, задаваемых заключениями ТSмодели (рис. 5.148), то будет полу чена более простая, но менее точная модель амдани, которая представ 
340 rлава 5. Нечеткие модели у 7 М 2 (7.7,6.4) 6 5 4 (О, 3) 3 y=(4x 10) 3 2 : (4, 2) I I 1 I ! Х J.l (х) 1 А 1 А 2 Аз О 1 2 4 5 6 7 9 10 11 12 х Wl Wз Ws Rl: ЕСЛИ (х есть А 1 ) ТО (у == x + 3) ( 4х  10 ) R2: ЕСЛИ (х есть А 2 ) ТО У == 3 ( X+24 ) R3: ЕСЛИ (х есть Аз) ТО у == 3 Рис. 5.148. Модель ТакаrиСуrено с «существенными» точками поверхности отображения Х  у лена на рис. 5.150. Упрощенная модель имеет базу правил вида (5.129): Rl: ЕСЛИ (х  О) ТО (у  3), R2: ЕСЛИ (х  2) ТО (у  l) R3: ЕСЛИ (х  4) ТО (у  2), R4: ЕСЛИ (х  7) ТО (у  6), R5: ЕСЛИ (х  9) ТО (у  5), R6: ЕСЛИ (х  12) ТО (у  4). (5.129) Представленная на рис. 5.144 ТSмодель содержит 3 правила и 3 BXOД ных нечетких множества. Эквивалентная ей УПРОULенная модель MaM 
5.7. Типы нечетких моделей 341 J.l (у ) у 7 у == (  х + 24)/3 (12, 4) х О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х Рис. 5.149. Функции принадлежности и поверхность модели Мамдани, прибли женно эквивалентной модели ТакаrиСуrено, представленной на рис.5.148 дани содержит 6 правил и 6 входных нечетких множеств, тем самым являясь более сложной. . Рассмотренный метод проектирования модели Мамдани, эквивалент ной заданной модели ТакаrиСуrено, на основе «существенных» точек поверхности является относительно простым в случае систем типа SISO. ДЛЯ систем с несколькими входами «существенными» являются уrловые точки прямоуrольных (или rиперпрямоуrольных) cerMeHToB, образован ных с помощью пересечения нечетких множеств во входном простран стве. В модели Мамдани правила определяют только выходные COCTO яния У модели в этих точках (рис. 5.147). Характер функции fk, COOT ветствующей заданному cerMeHTY, зависит от выбранных типов операто ров для выполнения операций И и ИЛИ, вида функций принадлежности и метода дефаззификации. По этой причине точное преобразование TS модели в модель Мамдани, особенно для более сложных функций fk В заключениях правил, на практике оказывается очень сложным либо вообще невозможным. Укажем преИl\1ущества использования моделей ТакаrиСУIено. 
342 rлава 5. Нечеткие модели у 7 М 2 (7.7,6.4)  ;., ;' ....., , \ \ \ 6 5 4  3 2 1 р(у) р (х) 1 (7, 6) : I I I   : (9, 5 I I I I   I I I I I I (О, 3) !! , I У ==  х + 3 у == ( 4х  1 0)/3 i I Ш (2iШ:/i (4, 2) i I I I I : : 1\ I 1 I I , III L...../ ! : М 1 (2.8,.0.3) : I I 1 I I I I I I I I I 1 I I I (12, 4) .. х О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х Рис. 5.150. Эквивалентная представленной на рис. 5.144 ТSмодели модель Мамдани, правила которой задают состояние модели только на rраничных лини ях «существенных» областей ТSмодели и не учитывают «существенные» точки (2.8,0.3) и (7.7,6.4), характеризующие области перехода ТSмодели сочетают в себе описание системы на основе линrвистиче ских правил с традиционным функциональным представлением процесса ее функционирования, которое является привычным для нас, а зачастую, в случае реально существующей системы, и хорошо нам известным. По лучить описание функционирования системы на локальном уровне, и oco бенно линейное описание, достаточно леrко. Помимо этоrо, имеются сле дующие дополнительные преимущества. . Сложные, нелинейные поверхности можно аппроксимировать с помо щью множества плоских линейных cerMeHTOB. Каждый такой cerMeHT можно задать одним правило м ТSмодели. . ТSмодели являются особенно подходящими для описания реrулято ров. В настоящее время имеются хорошо развитые методики проекти рования линейных реrуляторов, и в случае сложных нелинейных объ\ ектов можно разработать оптимальные линейные реrуляторы для наи более важных их характеристик (областей функционирования), а за тем объединить их путем создания одноrо нечеткоrо ТSреrулятора (Сао 1997). 
5.7. Типы нечетких моделей 343 . Вследствие локально линейной структуры ТSформы, ее использова.. , ние для представления объектов и реrуляторов упрощает доказатель.. ство устойчивости систем управления (Domanski 1997). Модель Мамдани можно рассматривать как простейшую форму TS.. модели, а ТS"модель как обобщение модели Мамдани. Это следует из сравнения используемых в данных моделях правил в форме (5.130) и (5.131). Правило Мамдани: ЕСЛИ (Хl есть А 1 ) И ... И (Х п есть Аn) ТО (у  со). Правило ТакаrиСуrено: ЕСЛИ (Xl есть A 1 ) И ... и (Х'n есть А п ) ТО (у == ао + alxl + . . . + аnх n ). Поскольку в ТSмодели получаемое заключение имеет более сложное математическое представление, оно обладает меньшей обозримостью, чем заключение в модели Мамдани. Методика идентификации локально ли.. нейных моделей изложена в (Babuska 1995а). (5.130) (5.131) 5.7.3. Реляционные модели Реляционные модели были предложены Педричем в 1984 r. (Pedrycz 1984). Их описание можно найти также в (Hung 1995; Pedrycz 1993). Фундаментальная особенность данных моделей состоит в том, что вме.. сто линrвистических правил, считаЮllИХСЯ абсолютно истинными, в них рассматриваются частично (более или менее) истинные линrвистические правила. С каждым правилом сопоставляется соответствующий коэффи" циент доверия. База правил задается с помощью нечеткоrо отношения, и для ее идентификации и анализа при меняется теория реляционных уравнений (Kacprzyk 1986; Pedrycz 1993). Понятие коэффициента доверия правила поясняется с помощью примера 5.7.3.1. При мер 5.7.3.1. База правил (5.132) задает отношение между умствен" ными способностями ребенка и результатами ero учебы в школе: Rl: Способный ребенок учится хорошо. R2: Обычный ребенок учится на среднем уровне. R3: Не очень способный ребенок учится плохо. (5.132) Поверхностный анализ правил (5.132) позволяет считать их истин ными. Приведенные правила можно представить в форме реляционной 
344 rлава 5. Нечеткие модели т а б л и ц а 5.22 Реляционная таблица для представления базы правил (5.132) с однозначно определяемыми коэффициентами доверия правил успеваемость хорошая средняя плохая уровень умственных способностеи способный 1 О О обычный О 1 О не очень способный О О 1 таблицы (табл. 5.22), которая содержит коэффициенты доверия, равные О или 1, связывающие входные множества с выходными. Вместе с тем, проводимые в школах статистические исследования, а также опыт большинства родителей показывают, что существуют спо собные дети, которые показывают средние и даже плохие результаты учебы, также как и не очень способные дети, имеющие средние резуль таты. В результате статистическоrо анализа rрупп способных, средних и малоспособных учеников в каждой rруппе можно получить процент ное соотношение детей, демонстрирующих хорошие, средние и плохие результаты, на основе чеrо мы можем определить коэффициенты доверия для реляционной таблицы, примером которой является табл. 5.23. Таблица 5.23 соответствует базе правил следующеrо вида: R1: Способный ребенок учится хорошо (0.6) на среднем уровне (0.3) плохо (0.1) R2: Обычный ребенок учится хорошо (0.1) на среднем уровне (0.7) плохо (0.2) R3: Не очень способный хорошо (о) ребенок учится на среднем уровне (0.3) плохо (0.7) (5.133) ,- Заключения правил (5.133) уже не являются однозначными, но при этом они в большей степени отражают реальную ситуацию, чем правила (5.132). . в реляционных нечетких моделях перед выполнением процесса pac суждений соответствующие заключениям нечеткие множества обычно 
5.7. Типы нечетких моделей 345 т а б л и ц а 5.23 Пример таблицы сопоставления уровня умственных способностей ребен ка с результатами ero учебы с использованием нечетких коэффициентов доверия (истинности) правил успеваемость хорошая средняя плохая уровень умственных способностеи способный 0.6 0.3 0.1 обычный 0.1 0.7 0.2 не очень способный О 0.3 0.7 дефаззифицируются и заменяются одноточечными множествами (син rлетонами), после чеrо выполняется аrреrация с учетом коэффициен тов доверия отдельных правил. Соответствующая процедура вычислений приведена в примере 5.7.3.2. Возникает вопрос, является ли достаточ ным использование для практических целей нечетких моделей Мамдани, и почему (или в каких случаях) необходимо использовать реляционные нечеткие модели. В задачах моделирования мы MHoroKpaTHo сталкиваемся с ситуаци ями, коrда функции принадлежности выходной переменной задаются априори, на основе знаний или интуитивных представлений эксперта (в случае отсутствия знаний о системе эксперт может предположить, что функции принадлежности распределены равномерно). Если парамет ры (и особенно модальные значения) указанных функций не являют ся оптимальными, то имеется возможность повысить точность модели. В при мере 5.7.3.2 представлена модель, для которой введено предположе ние о равномерном распределении функций принадлежности на области определения. Пример 5.7.3.2. Система типа SISO имеет следующую область опреде ления: Х: 1  х  3 У: 5  у  15. На начальном этапе функционирования системы хорошо известны только rраничные точки Рl (1, 5), P2(3 15) области определения. Предпо лаrается, что модальные значения функций принадлежности расположе ны симметрично, в соответствии с рис. 5.151. Пусть имеется база правил 
346 rлава 5. Нечеткие модели L " ,/ , " " ,,/ ",,Y:" ;/ " м <, ,,: ", ;// , " v " , " , ;/ " ;/ " s у !  2 /. Система //  / Модель 10 7           '  I I Рз / I I : I 5 / :   P 1 JL(Y) 1 о о JL (х) 1 1 2 3 х о 1 2 3 х s  малый, М  средний, L  большой Рис. 5.151. Первая версия нечеткой модели с равномерно распределенными функциями принадлежности входов и выходов вида Rl : ЕСЛИ (х малый) ТО (у малый), R2: ЕСЛИ (х средний) ТО (у средний), R3: ЕСЛИ (х большой) ТО (у большой). (5.134) С учетом введенноrо предположения о виде функций принадлежности и системы правил (5.134), поверхность модели является прямолинейt{ой и проходит через точки Pl, Р2, Рз (рис. 5.151). Это начальная, rрубая модель системы. Правилам (5.134) соответствует табл. 5.24, содержащая коэффициен ты доверия правил. В результате дальнейших наблюдений и более детальноrо изучения системы выясняется, что при значении входноrо пара метра х == 2 BЫ т а б л и ц а 5.24 Реляционная таблица для базы правил (5.134)  s м L S 1 О О М О 1 О L О О 1 
5.7. Типы нечетких моделей 347 у 15  ,  2 "" /' 12 Система  * ' / М  /71z,:   I Р 4 /11, "" I М / 1 I , 10 /. : , I I / /1 I , I I / 1 ',1 I / 11 'v{ /1 1-, !J / : : " 5 S / 1 I '   I I Р } I 1 1 0.6 : Модель f.1(y) 1 0.4 О О f.1 (х) 1  1 3 х о 1 2 3 х I s  малый, М  средний,   большой Рис. 5.152. Вторая версия модели, соответствующая базе правил (5.135) ХОДНОЙ параметр у получает значение, равное 12, а не 10, которое было в первой версии модели. Эту информацию можно учесть путем использо вания реляционной нечеткой модели (рис. 5.152) с базой правил (5.135), в которой правило R2 имеет неоднозначное заключение: R1: ЕСЛИ (х малый) ТО (у малый) (1), R2: ЕСЛИ (х средний) ТО (у средний) (0.6), (у большой) (0.4), R3: ЕСЛИ (х большой) ТО (у большой) (1). (5.135) Новое правило R2 приводит к заметному смещению одноточечноrо выходноrо множества «средний» В новую позицию у == 12, что увеличи вает точность модели. Базу правил (5.135) можно представить в форме реляционной таблицы (табл.5.25). т а б л и ц а 5.25 Реляционная таблица, содержащая коэффициенты доверия, для базы правил (5.135)  s м  s 1 О О М О 0.6 0.4 L О О 1 
348 rлава 5. Нечеткие модели Коэффициенты доверия получены на основе новой позиции (!vf*) oд ноточечноrо множества «средний» (рис. 5.152). . Как показывают примеры 5.7.3.1 и 5.7.3.2, реляционные нечеткие MO дели обеспечивают возможность повышения точности модели путем BBe дения для правил коэффициентов доверия, позволяющих выражать за ключения новых правил в виде выпуклой комбинации смежных нечетких множеств, соответствующих выходному параметру модели. Оптимальные значения коэффициентов доверия можно определить на основе измерений входных и выходных значений с использованием нейронечетких сетей, методов BeKTopHoro квантования (Pedrycz 1993) либо метода наимень ших квадратов (Babuska 1995а). При увеличении числа входных пара метров форма представления pe ляционной нечеткой модели значительно усложняется. Так, в случае двух входов базе правил будет соответствовать трехмерная реляционная таб лица, которую необходимо представлять в виде срезов. Пример реляци онной модели с двумя входами, которая соответствует системе правил (5.136), представлен в табл. 5.26. Rl: ЕСЛИ (Xl == В) И (Х2 == В) R2: ЕСЛИ (Xl == В) И (Х2 == Аl) R3: ЕСЛИ (Xl==S) И (x2==L) R4: ЕСЛИ (Xl == Af) И (Х2 == В) R5: ЕСЛИ (Xl == М) И (Х2 == М) R6: ЕСЛИ(Хl=="А;I) И (x2==L) R7: ЕСЛИ (xl==L) И (Х2==В) R8: ЕСЛИ СТ] == L) И (;1'2 == Аl) R9: ЕСЛИ (Xl == L) И (Х2 == L) ТО (у == В) (у == М) ТО (у == В) (у == А1) ТО (у == В) (у == М) ТО (у == М) (у == L) ТО (у == В) (у == А1) ТО (у == В) (у == lvf) ТО (у == М) (у == L) ТО (у == А1) (у == L) ТО (у == А!) (у == L) (0.73) (0.27), (0.66) ( О . 34) , ( 0.44 ) (0.56), (0.68 ) (0.32), (0.06) (0.94) , (0.32) (0.68), (0.7) (0.3) (0.33) (0.67), (0.4) (0.6). (5.136) 
5.7. Типы нечетких моделей 349 Таблица 5.26 При мер реляционной таблицы для модели с двумя входами Хl  малый Хl  средний Хl  большой  s м L S 0.73 0.27 О М 0.66 0.34 О L 0.44 0.56 О  s м L S О 0.68 0.32 М 0.06 0.94 О L 0.32 0.68 О  s м L S О 0.7 0.3 М О 0.33 0.67 L О 0.4 0.6 s  малый, М  средний, L  большой 5.7.4. rлобальные и локальные нечеткие модели Все чаще и чаще обсуждается вопрос, связанный со значимостью rло Саальных и локальных нечетких моделей. В качестве примеров можно при вести такие публикации, как (Babuska 1995с; Bossley 1995; Brown 1995a Nelles 1997; Zeng 1996). Первые нечеткие модели носили rлобальный характер, т. е. относи.. лись ко всей области определения. Между тем, было очень быстро за.. мечено, что для некоторых систем стремление к высокой точности rло.. бальной модели приводило к ее чрезмерной сложности, выражающейся в большом числе правил. Выяснилось также, что с точки зрения Ha стройки пара метров rлобальные модели эффективны лишь при достаточ но небольшом числе входов, n  4 (Bossley 1995; Brown 1995а). Иллю страцией указанной проблемы является рис. 5.153. Чтобы обеспечить высокую точность отображения показанных на рис.5.153 «пиков», В области их местонахождения требуются плот.. ные функции принадлежности. Таким образом, мы получаем сетку раз биения, содержащую 13 . 13 == 169 узлов (опорных точек), и поскольку с каждым узлом сопоставляется отдельное нечеткое правило, то общее число правил в модели будет большим (равным 169). Между тем, ec ли в областях «пиков» требуется высокая плотность узлов, то для при емлемоrо по точности описания областей «плато» достаточно меньшеrо числа правил (и соответственно узлов). Поэтому целесообразно разде лить rлобальную модель на 4 локальных модели, которые представлены на рис. 5.154. В рамках локальных моделей для описания областей «пла то» (рис. 5.154, а, с) используются только 4 правила, в то время как об ласти «пиков» (рис. 5.154, б, в) задаются с помощью большеrо числа (49) правил. Общее число правил в четырех локальных моделях составляет 106, т. е. на 63 меньше, чем в rлобальной модели. 
350 rлава 5. Нечеткие модели Х2 «Пию> 11 9 7 5 3 1 J1(X2) 1 о J1 (х 1) 1 1 3 5 7 9 11 13 хl Рис. 5.153. Разбиение пространства Х 1 х Х 2 входов rлобальной модели системы, имеющей два «пик а» И два «плато» Для идентификации модели с меньшим числом правил достаточно иметь меньший объем данных измерения входов и выходов системы. Это очень важное преимущество локальноrо моделирования, посколькyf име ющийся объем данных о моделируемой системе часто бывает недостаточ ным по причине высокой стоимости, трудоемкости измерений, а также больших временных затрат на их проведение. Необходимым и желательным свойством набора локальных моделей, которые используются вместо одной rлобальной модели, является непре рывность в областях стыковки локальных моделей  в указанных обла стях не должно быть резких изменений выходноrо пара метра у. Me тод, с помощью KOToporo можно обеспечить выполнение данноrо свой ства в случае линейных локальных моделей ТакаrиСуrено, описан в (Babuska 1995с). Друrой метод, применяющийся как для моделей MaM дани, так и для ТSмоделей, состоит в использовании иерархической структуры, которая представлена на рис. 5.155 для случая двух входов. В рамках иерархической структуры вначале вычисляются значения на выходе локальных нечетких моделей LM i , после чеrо происходит ar реrация этих значений с использование трапециевидных (или подобных им) функций принадлежности, имеющих переменные значения на rрани цах областей. Иллюстрацией данноrо метода служит пример 5.7.4.1. 
5.7. Типы нечетких моделей 351 Х2 5 ==========I  4 :::::::::::j I "! 3 .......... 2 2 1 1 f.1 (х2) 1 о f.1 (Xl) 1 Хl f.1 (х2) 1 о f.1 (Xl) 1 Хl а) О 1 2 3 4 5 Xl б) О 1 2 3 4 5 Хl Х2 Х2 5 5  4  4 I ..J 3 I I I 3 I I ..  I'-- .,. ........ + --1" + ""1 """"""""1"" I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 2 I I I I I 2 I I I I I I I I I I I I I I I I , I I I I I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I I I I I I I I I f.1 (х2) 1 о Xl f.1 (х2) 1 о x 1 f.1 (х!) f.1 (х й 1 1 о 1 2 3 4 5 Xl о 1 2 3 4 5 Xl в) 2) Рис. 5.154. Четыре локальные модели, используемые вместо представленной на рис. 5.153 rлобальной модели Пример 5.7.4.1. Пусть область значений входов модели разделена на три cerMeHTa, как показано на рис.5.156. Для всех cerMeHToB построены отдельные нечеткие модели fi, oc нованные на различных локальных разбиениях входноrо пространства (рис. 5.157). . Как показано на рис.5.157, плотность и распределение узлов сетки разбиения, а стало быть число правил и параметры функций принад лежности являются разными для каждоrо cerMeHTa и зависят от уровня сложности поверхности системы над данным cerMeHToM. Для определе ния оптимальных параметров каждую локальную модель fi можно Ha страивать отдельно, используя, например, нейронечеткие сети.  
352 rлава 5. Нечеткие модели Хl . . . Уl = .fl(Xl,X2) Хl GM У Xk Yk= fk(X 1, Х2) Xk Рис. 5.155. Иерархическая структура нечеткой модели, позволяющая получить непрерывную rлобальную поверхность блаrодаря нечеткой аrреrации локальных поверхностей; LM  локальная, ОМ  rлобальная нечеткая модель Х2 Х2 Ь з  Х 2 Х 1 Х Х 2 Ь 2 Ji h h Ь 1 I I I I , I I I I I ;. Х 1 I I I I I .: Хl аl а2 аз Хl а) б) Рис. 5.156. Область значений входов rлобальной модели и ее разбиение на локальные cerMeHTbI Раздельная настройка меньших локальных моделей является HaMHoro более простой задачей, чем настройка одной большой rлобальной модели. Это следует из Toro факта, что с увеличением числа правил (узлов сетки разбиения) сложность настройки модели растет экспоненциально, и при этом на поверхности, соответствующей ошибке модели, значительно YBe личивается число локальных минимумов, rде процесс настройки может остановиться. В результате раздельной настройки локальных моделей их rраницы обычно не совпадают, и переходы от одной модели к друrой MorYT сопровождаться резкими скачками выходноrо значения у. В связи с этим области переходов требуется сrлаживать, для чеrо можно исполь зовать объединяющую rлобальную нечеткую супермодель, как показано на рис. 5.158. Ширина нечеткой зоны BOKpyr rраниц локальных областей (обла стей а2 и Ь 2 на рис. 5.158) может варьироваться в зависимости от задан 
5.7. Типы нечетких моделей 353 Х2 Ь  D ь:  Х2 Ь з  I I I I   I Ь 2       I I 1 т I I Jl(X2) 1 о Jl{x}) 1 Х} J1 2) 1 Ь}  о J1 !) 1 Х} а} а2 fз: 18 правил 11: 4 правила Х} а2 аз Х} а) б) Х2 Ь2   --t , I , , bl Jl 2) 1 о J1 1) 1 Хl 12: 12 правил I а2 в) аз Хl Рис. 5.157. Разбиение пространства значений входов на три локальных подпро странства (а, 6, в), которым соответствуют три модели fl с разном числом узлов сетки разбиения (и, соответственно, с разным числом правил) ной величины «скачка» Ду на rранице раздела моделей. При большой величине «скачка» ширину зоны перехода следует увеличивать, при Ma лой  уменьшать. Очень серьезную задачу представляет выбор формы, размера и pac пределения областей, соответствующих отдельным локальным моделям. Чаще Bcero используются разбиения на прямоуrольные, квадратные и эл липтические подобласти (рис. 5.159). Учитывать неравномерность поверхностей систем при прямоуrольном разбиении проще, чем при квадратичном. В случае эллиптическоrо раз биения эта возможность еще выше (эллипсоиды MorYT частично перекры вать друr друrа). Достоинство и, одновременно с этим, недостаток KBaд ратичноrо разбиения заключается в ero недостаточной rибкости. С одной 
354 rлава 5. Нечеткие модели Х2 Ь з  Ь 2 Уl = fi (Хl, Х2) Уз = Jз(Хl У2 == h(x}, Х2) , Х2) Ь 1  j.J 2) 1 о .и (Хl) 1 х} А} А 2 о аl а2 аз Хl Rl: ЕСЛИ (Хl =А 1 ) И (Х2==В 1 ) то (У=У2) R2: ЕСЛИ (Хl =А 1 ) И (Х2=В 2 ) то (У=Уl) R3: ЕСЛИ (Хl =А 2 ) то (У=Уз) Рис. 5.158. Объединение локальных моделей f" в rлобальную нечеткую lупер модель, обеспечивающее rладкость областей перехода Х2 Х2 Х2 хl Хl Хl    Рис. 5.159. Основные методы разбиения области определения на локальные подобласти: прямоуrольные (а), квадратные (6) и эллиптические (8) подобласти стороны, rраницы областей нельзя смещать (оптимизировать), и поэтому точность модели можно повышать путем уменьшения размера областей, rде локальная точность является недостаточной (что приводит к больше му числу областей). С друrой стороны, использование больших по раз меру областей приводит к уменьшению числа подлежащих настройке па раметров модели, что обеспечивает более простую и быструю настройку. Эллиптические зоны получаются в результате использования в Ka честве функций принадлежности радиальных базисных функций 
5.7. Типы нечетких моделей 355 (Brown 1994), которые задаются с помощью соотношения у == ехр (  i)Cj  Xj)2/2 . 0-; ) ' )==1 (5.137) rде Cj  координата центра функции относительно оси переменной Xj, jсреднеквадратическое отклонение относительно оси перемен ной Xj. Оптимизацию размеров эллиптических областей и распределение их центров можно выполнить с помощью нечетких радиальнобазисных ней ронных сетей (Brown 1994), обучаемых на основе выборки значений BXOД ных и выходноrо пара метров моделируемой системы либо методов кла стеризации (Dауе 1997). rлобальное разбиение области определения модели на локальные cer менты представляет собой очень сложную задачу. В общем случае для об ластей, rде поверхность системы является плоской, требуется меньшее число cerMeHToB, а для областей с рельефной поверхностью  большее число. Вместе с тем, не так просто выделить плоские и рельефные об ласти на основе данных, подверженных воздействию шума измерения, особенно в случае MHoroMepHbIx систем. Данная проблема исследовалась Педричем и Реформатом (Pedrycz 1997), которые ввели понятие изменчи вости F поверхности отображения «BXOДBЫXOД» моделируемой системы: I F ==! :i dX ==! ! ...! (  :!; dXl dX2 .. . dXN) , (5.138) Х XN XNl Х 1  rде Х == Х 1 Х Х 2 Х . . . х XN  область определения, f == f (Х1, Х2, . . . Х N )  функция, соответствующая реализуемому моделируемой системой отображению «BXOДBЫXOД». В рамках предложенноrо ими метода на области определения выделя ются подобласти, соответствующие большей и меньшей изменчивости Р, и в зависимости от этоrо выбирается соответственно большая или MeHЬ шая плотность разбиения входноrо пространства. Однако существующий в настоящее время вариант указанноrо метода является применимым для нечеткоrо моделирования только тех систем, которые описываются традиционными математическими функциями. В условиях зашумленной информации данный метод, к сожалению, не работает. Задача выбора в указанной ситуации оптимальноrо разбиения обла сти определения, вероятно, требует дальнейшеrо исследования. В настоя щее же время можно использовать метод проб и ошибок, руководствуясь 
356 rлава 5. Нечеткие модели предварительными знаниями о моделируемой системе, либо опираться на интуицию. 5.7.5. Нечеткие мультимодели Понятие мультимодели, введенное Педричем в (Pedrycz 1996), является очень важным, так как если с мультимодельной системой обращаться как с одномодельной, это может стать причиной неправильной интерпрета ции результатов. Это важно, поскольку с мультимодельными системами приходится иметь дело достаточно часто. Рассмотрим систему, представ ленную на рис. 5.160. Данная система является однозначной относительно входа х: каждо му значению х отвечает только одно значение выходноrо парамета у. Для описания системы достаточно одной нечеткой модели, представлен ной на рис. 5.160. Сравним теперь данную модель с моделью химическоrо процесса (Pedrycz 1996), которая описывает взаимосвязь между темпера турой процесса Т и числом Дамкелера d, характеризующим определенные ero свойства (рис. 5.161, а). Как показано на рис.5.161,а, характеристика процесса не является однозначной относительно входа х  одному значению х соответствуют три (или два) значения выхода у. Какое из значений у следует в данной ситуации сопоставить с текущим значением х? Будет ли такое сопостав ление однозначным в условиях реальной системы? у у В 2 В 1 О Х О I р(у ) I Х I Р (х) I I I I а) !А 4 Rl: ЕСЛИ (x==At) ТО (y==Bt) б) R2: ЕСЛИ (х==А 2 ) то (у=В 2 ) R3: ЕСЛИ (х==А з ) то (у=В 1 ) R4: ЕСЛИ (х==А4) то (у=В 2 ) о х Рис. 5.160. Пример системы, однозначной относительно входной переменной х (а) и нечеткая модель данной системы (6) 
5.7. Типы нечетких моделей 357 d d В 2 Модель М 1   \  Ш /истема  7  Т в p(d) 1 I I I I Р (Т) ! I 1 :A 1 Т а) А 2 б) М 1 : Rl: ЕСЛИ (T==Al) то (d==Bl) R2: ЕСЛИ (Т==А 2 ) то (d==B 2 ) Т Система В3 d Система  ;  1 ",,"" "" / Модель М3 d В3 Модель М 2 \   I ............ I .... I I I I .... I ....    В4 В 2 I p(d) 1 р(Т) Т p(d) 1 р(Т) Т , I I I ,Al :А 2 Al I 11 'А 2 в) 2) Т Т М 2 : М3: Rl: ЕСЛИ (T==Al) то (d==B 2 ) Rl: ЕСЛИ (T=A 1 ) то (d==B3) R2: ЕСЛИ (Т==А 2 ) то (d==B3) R2: ЕСЛИ (Т==А 2 ) то (d==B4) Рис. 5.161. Неоднозначная характеристика химическоrо процесса (а) и три составляющие нечеткие модели M i (6,8, с) .L 
358 rлава 5. Нечеткие модели Изображенная на рис. 5.161, а ситуация обусловлена тем, что размер ность пространства, в котором представлены характеристики, является недостаточной для однозначноrо представления взаимосвязи между ни ми. Для реальных систем, демонстрирующих неоднозначность cBoero по ведения, должен существовать дополнительный вход, который определя ет выбор некоторой части характеристики системы в заданный момент. В случае системы с неоднозначной двумерной характеристикой, имеющей форму буквы S (рис. 5.161, а), однозначно определить выходное состоя ние d в заданный момент t (d(t)) можно только при наличии дополнитель ной информации о значениях двух переменных, задающих направление возникающих в ходе процесса изменений: d(t), а также T(t). Представление характеристики процесса в 4мерной системе: . . d(t) == j(T(t), d(t) T(t)) которое невозможно изобразить rрафически, обеспечивает выполнение свойства однозначности. Со свойством, которое названо неоднозначностью, часто приходит ся сталкиваться в технике: неоднозначной, например, является механи ческая система, представляющая собой подпружиненный поршень. Для этой системы характерен rистерезис, обусловленный трением (рис. 5.162). Систему rистерезисноrо типа можно однозначно представить в виде 4мерной зависмости x(t) == j(F(t) F(t) x(t)) (Piegat 1995с). Проблема неоднозначности поясняется с помощью рис. 5.163. Если модель системы не содержит (или не учитывает) некоторые ее входы (изза отсутствия информации об их значениях либо нашей HeYBe ренности в их существовании), то выходное состояние не может быть однозначным, поскольку на Hero влияют также и не принимаемые во вни мание входы, вызывая определенные изменения, характер которых неиз вестен. Рассмотрим, как следует решать проблему неоднозначности. Первый способ заключается в выяснении Toro, какие входы не были учтены, с последующим представлением модели системы в расширенном пространстве. Иллюстрацией данноrо метода является пример 5.7.5.1, в котором рассматривается задача, подобная той, что рассматривалась в примере 5.7.3.1. 
5.7. Типы нечетких моделей 359 Х Х Сила F F Рис. 5.162. Механическая система и ее двумерная rистерезисная характеристика Хl .... .... Х2 .... .... у . Система .... . .... . Х п ... .... Хт+l Х п I , I , , I I . . . , , , t , Хl .... .... . . у ... . Модель ..... Х т ... ..... т<п Xl, ..., Х т  учитываемые (известные) входы Х т + 1, ..., Х п  неучитываемые (неизвестные) входы Рис. 5.163. Иллюстрация для пояснения неоднозначности модели Пример 5.7.5.1. Обратимся к реляционной нечеткой модели (5.139), устанавливающей взаимосвязь между умственными способностями pe бен ка и ero успеваемостью в школе. Модель задана в двумерном про странстве (умственные способности, успеваемость): 
360 rлава 5. Нечеткие модели R1: Способный ребенок учится хорошо (0.6) на среднем уровне (0.3) плохо (0.1 ) R2: Ребенок со средними хорошо (0.1) способностями учится на среднем уровне (0.7) (5.139) плохо (0.2) R3: Не очень способный ребенок хорошо (О) учится на среднем уровне (0.3) плохо (0.7) Модель (5.139) обладает ярко выраженными характеристиками мулы тимодели, в которой выходное состояние является неоднозначным, и мож но указать лишь одно из ero вероятных значений. Степень вероятности определяется в данном случае с помощью коэффициентов доверия. BMe сте с тем, если принять во внимание еще один важный вход, оказыва ющий немалое влияние на успеваемость ребенка, а именно трудолюбие (прилежание), то можно сделать рассматриваемую модель в достаточной степени однозначной. База правил модели в расширенном пространстве (умственные способности, трудолюбие, успеваемость) представлена в ви де множества правил: R1: Способный и трудолюбивый ребенок учится хорошо. R2: Способный ребенок со средним трудолюбием учится на среднем уровне. R3: Способный, но не трудолюбивый ребенок учится плохо. R4: Трудолюбивый ребенок со средними способностями учится хорошо. R5: Ребенок со средними способностями и трудолюбием учится на среднем уровне. R6: Не трудолюбивый ребенок со средними способностями учится плохо. R7: Не очень способный, но трудолюбивый ребенок учится на среднем уровне. R8: Не очень способный ребенок со средним трудолюбием учится плохо. R9: Не очень способный и не трудолюбивый ребенок учится плохо. (5.140) . 
5.7. Типы нечетких моделей 361 Одной из причин неоднозначности может также являться не до конца установленная взаимосвязь между входами и выходами системы, резуль татом чеrо является невозможность определить выходное состояние, дa же если известны входные данные (примером здесь может служить про rноз поrоды). Если неизвестны причинноследственные зависимости меж ду входами и выходами системы, или неизвестна часть входов, то можно воспользоваться методом описания системы, заключающимся в присво ении различным состояниям выхода у вероятностей их возникновения при заданном состоянии входноrо вектора Х, как было показано в при мере 5.7.5.1, модель (5.139). В (Pedrycz 1996) Педрич определил мультимодель как «множество моделей Лl 1 , Лf 2 , . . . , Лl с , снабженное соответствующим механизмом пе реключения между моделями, либо, если необходимо, механизмом ar реrации результатов, предоставляемых отдельными моделями». Работа переключающеrо механизма происходит на основе дополнительной ин формации о системе (ее входных параметрах), а механизма аrреrации  на основе коэффициентов доверия отдельных моделей. Следующая важная проблема, связанная с мультимоделями, состоит в том, что на основе измерений входных и выходных данных необходимо устанавливать, является ли заданная система однозначной (т. е. COOTBeT ствует модели) или неоднозначной (т. е. соответствует мультимодели). Указанная проблема схематически представлена на рис. 5.164. Данные измерений входов и выходов системы обычно зашумлены (имеет место шу измерений) и/или подвержены влиянию не учтенных в модели BXO дАВ  в последнем случае систему следует описывать с помощью муль тимодели (при условии, что влияние неучтенных входов «достаточно» у у Модель? Мультимодель? Модель? Мультимодель? . . . . . . . . .. . . . . . . . . . х х а) б) Рис. 5.164. Иллюстрация проблемы, связанной с оценкой однозначности модели на основе степени разброса результатов измерений  
362 rлава 5. Нечеткие модели велико). Рассмотрим, каким образом можно отличить первый указанный выше случай от BToporo. Если разброс результатов измерений выхода небольшой (в пределах поrрешности измерительноrо устройства), то для представления системы следует использовать однозначную модель (рис. 5.164, а). При большом разбросе (рис. 5.164, 6) систему необходимо представ лять в форме мультимодели. Понятия «небольшоrо» И «большоrо» разбро са являются нечеткими и существенно зависят от наших интуитивных представлений или предварительных знаний о моделируемой системе. При увеличении размерности системы (числа входов) отличить влияние шума измерений от влияния неучтенных входов становится значительно сложнее. Интересный метод идентификации мультимоделей, основанный на Ha правленной кластеризации, был предложен Педричем в (Pedrycz 1996), rде были также указаны направления дальнейших исследований и пути улучшения данноrо метода, учитывающие сложность проблемы, связан ной с возможностью распознавания мультимоделей. 5.7.6. Нейронечеткие модели Чтобы построить нечеткую модель, необходимо определить все ее эле менты: базу правил, число и тип функций принадлежности для каж дой переменной модели, пара метры функций принадлежности, лоrиче ские операторы и т. п. Первые нечеткие модели создавались на основе экспертных знаний о моделируемой системе. Получение информации о системе осуществля лось с помощью эксперта в соответствующей предметной области, а за тем эксперт в области нечеткоrо моделирования выполнял преобразова ние этой информации в нечеткую модель. Указанный метод называется приобретением знаний (Preuss 1994а) и является эффективным в том случае, коrда эксперт полностью обладает знаниями о системе и может выразить эти знания в словесной форме и передать их. На практике зна ния эксперта часто являются неполными, неточными, слабо поддающими ся формулированию и MorYT даже содержать в себе противоречия. Кроме Toro, эти знания субъективны, т. е. мнения отдельных людей о функци онировании одной и той же системы MorYT различаться. С учеТОl\1 Bcero сказанноrо, представляется целесообразным, чтобы в основе модели ле жала объективная информация о системе. Такой информацией являются результаты измерения значений ее входов и выходов. 
5.7. Типы нечетких моделей 363 Процесс приобретения знаний на основе этих данных называет ся извлечением знаний. Подобной возможностью обладают нейрон ные сети. По этой причине создаются и исследуются методы преоб разования нечетких моделей в нейросетевые, называемые, с учетом своих специфических особенностей, нейронечеткими сетями. Описа ние разнообразных аспектов этой интересной проблемы можно най ти в (Altrock 1993; Brown 1994,1995а,Ь; Culliere 1995; Carpenter 1992; Eklund 1992; Feuring 1996; Gupta 1994; Higgins 1994; Hensel 1995; Hauptmann 1995; Halgamuge 1996; Horikawa 1992; Ishiguchi 1993; Kochlert 1994,1995; Lin 1991,1995; Nobre 1995; Osowski 1996; Piegat 1996,1997а; Palga 1996; Rutkowska 1997; Su 1995; Simpson 1992; Уао 1995). Нейронечеткая сеть представляет собой особую эквивалентную фор му нечеткой модели. Например, нечеткая модель с кусочнолинейными функциями принадлежности A ij значений входных пара метров Xl, Х2, одноточечными функциями Bk для описания значений выходноrо пара метра у и базой правил вида Rl: ЕСЛИ (Xl == A 11 ) И (Х2 == A 21 ) ТО (у == B 1 ), R2: ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 22 ) ТО (у == В 2 ), R3: ЕСЛИ (Xl == A 12 ) И (Х2 == A 21 ) ТО (у == вз) R4: ЕСЛИ (.Tl == A 12 ) УУ (Х2 == А 22 ) ТО (у == В 4 ), (5.141) может быть преобразована в нейронечеткую сеть, представленную на рис. 5.165. Настройка данной сети может быть произведена на основе выбор ки измерений входных и выходноrо пара метров моделируемой системы, с использованием метода обратноrо распространения ошибки или друrих методов, применяемых для нейронных сетей. Растущий интерес к нейронечетким сетям (ННС) обусловлен следу ющими их неоспоримыми преимуществами. Преимущества нейронечетких сетей (ННС) 1. ННС обеспечивают возможность оптимизации (настройки) парамет ров нечетких моделей на основе данных измерения входов и выходов реальных систем. 2. ННС позволяют корректировать недостаточно точные нечеткие Moдe ли, фОРl\1ируемые экспертами. 3. ННС дают возможность расширения формируемых экспертами нечет ких моделей на те области пространства входов, экспертные знания о которых отсутствуют. 
1 J.lA 11 * у О.5( . )2 0.5 е 2 J.l А 21 1 т + Рис. 5.165. Нейронечеткая сеть, соответствующая нечеткой модели (5.141) 1 
5.7. Типы нечетких моделей 365 4. Структура и пара метры ННС (множества типа «большой» и «малый», линrвистические правила) являются понятными человеку, а также допускают обобщение знаний, содержащихся в зашумленных изме ряемых данных о моделируемой системе, и представление их в фор ме хорошо интерпретируемых линrвистических правил (извлечение знаний). В этом отличие ННС от персептронных нейронных сетей, пара метры которых не несут никакой информации, кроме числовой, и содержащиеся в них знания недоступны для интерпретации чело веком  подобную сеть можно назвать сетью типа «черный ящик». 5. При наличии предварительных или частичных знаний о моделируемой системе их можно леrко отразить в ННС. В персептронных сетях это сделать невозможно либо крайне сложно. 6. В случае ННС определение структуры сети представляет собой зна чительно более простую задачу, чем в случае персептронных сетей, rде обычно используется метод проб и ошибок. Знание правильной структуры сети ускоряет процесс обучения и уменьшает влияние со стороны локальных минимумов функции ошибок. Методика преобразования нечеткой модели в нейронечеткую сеть яв ляется достаточно сложной и зависит от типа модели. Преобразование в ННС модели Мамдани описывается в разд.6.2.1.2, а модели Такаrи CyreHo  в разд.6.2.1.3. 5.7.7. Альтернативные модели Нечеткие модели Мамдани имеют следующие особенности: а) они осуществляют прямоуrольное (или rиперпрямоуrольное) разбие ние входноrо пространства (рис. 5.166), б) rраницы прямоуrольных cerMeHToB являются, как правило, линей ными, в) поверхности локальных cerMeHToB являются обычно «слабо» нелиней ными (например, полилинейными). В зависимости от выбранноrо критерия оценки, указанные особенно сти MorYT являться как достоинствами, так и недостатками нечетких MO делей. Прямоуrольное разбиение входноrо пространства позволяет фор мулировать модель с помощью понятных человеку правил. Вместе с тем, поскольку функции принадлежности задаются отдельно для каждой BXO дящей в модель переменной, попытка добавить в модель хотя бы одну HO вую функцию приводит лишь К значительному увеличению числа правил. Еще один недостаток прямоуrольноrо разбиения входноrо пространства иллюстрируется на рис. 5.167, а, 6.  
у 1 Результаты измерений 0.95 Поверхность модели 0.9 ... .-. ................... .... .-.'-' ... .-. ... Прямоyrольное разбиение -:. ? пространства входных ::>.:<  параметрОБ ...... ........ .............. ..... """"'...... ........" ..............-........ ............ ............ 0.85 Jl (Х2) 0.80 .-..-.<.-. .-.'-' ... ..........-......, .... ... .-..... о Jl (х 1) Х2 Функции принадлежности Рис. 5.166. Иллюстрация особенностей (а) 6) и (8) нечеткой модели Мамдани 
5.7. Типы нечетких моделей 367 Х2 Плоская область Пик С \  с@ J а) Хl Х2 /l(x2) б) в) f1(xJ) I11 111 111 111 111   ' 'I Хl Хl Х2 pz  р; , .... ..:::::::.:.:.::: \ \ \ \ \ \ ............ ...........--.       Хl Рис. 5.167. Поверхность моделируемой системы с выделенными уровнями (а), прямоуrольное разбиение входноrо пространства (6) и нереrулярное непрямо уrольное разбиение (8) 
368 rлава 5. Нечеткие модели Поверхность у == !(Хl, Х2) моделируемой системы состоит из двух «пиков» И двух плато (рис. 5.167, а). Для точноrо моделирования «пи ков» необходимо большее число функций принадлежности (рис. 5.167,6). Для построения точных моделей плато функций принадлежности и пра вил требуется значительно меньше. Вместе с тем, диктуемая «пиками» большая плотность функций принадлежности пере носится на зоны плато, заставляя задавать их с использованием необоснованно большоrо числа правил. В рамках модели Мамдани каждый узел Pj сетки разбиения подразумевает наличие одноrо правила и трех подлежащих настройке параметров, и таким образом большое число узлов приводит К необходи мости получения большоrо объема измеряемой информации о моделиру емой системе. Увеличение числа параметров модели существенно услож няет процесс ее настройки, с риском превысить пределы возможностей последней (проклятие размерности). Использование нереrулярноrо (например, треуrольноrо) разбиения пространства входов (рис. 5.167, в) позволяет значительно уменьшить KO личество cerMeHToB и соrласовать плотность их распределения со CTe пенью нелинейности моделируемой области. Большее число треуrоль ных cerMeHToB требуется в области «пиков», а в случае плато ДOCTa точной точности можно добиться, используя значительно меньшее число больших по размеру cerMeHTOB. В качестве примера на рис. 5.168, а изоб ражена поверхность модели, полученная на основе треуrольноrо разбие нин входноrо пространства, представленноrо на рис. 5.168, б. Для cpaBHe Х2 0.6 0.4 Хl 0.2 0.6 0.4 0.2 0.5 О 0.2 0.4 0.6 Хl а) б) Рис. 5.168. Поверхность модели (а), полученная путем разбиения входноrо про странства X 1 Х Х 2 (6) на треуrольные cerMeHTbI 
5.7. Типы нечетких моделей 369 u Рис. 5.169. Поверхность нечеткой модели, основанная на реrулярном прямо уrольном разбиении входноrо пространства ния на рис. 5.169 представлена поверхность нечеткой модели, основанная на прямоуrольном реrулярном разбиении входноrо пространства. В случае прямоуrольноrо разбиения для задания участка поверхности модели, соответствующеrо одному прямоуrольному cerMeHTY, необходимо измерить четыре значения входных и выходноrо пара метров моделируе мой системы, а при треуrольном разбиении требуется только три таких значения. Нечеткая модель системы с тремя входами основана на кубои дальном разбиении входноrо пространства (рис. 5.170, а), а альтернатив ная модель  на тетраэдральном разбиении (рис. 5.170, б). ХЗ ХЗ Р 7 Ps Р 4 I Р I Хl Р з Хl 4  Р з I I I P I I Р 2 а)  Рис. 5.170. CerMeHT входноrо пространства ..У 1 х Х 2 Х Х З при реrулярном rи перпрямоуrольном (а) и нереулярном rипертреуrольном (6) разбиениях входноrо пространства 
 370 rлава 5. Нечеткие модели в случае системы с тремя входами для задания поверхности модели над одним кубоидальным cerMeHToM входноrо пространства (рис. 5.170, а) требуется измерение восьми значений входных и выходноrо пара метров системы. При использовании тетраэдральных cerMeHToB (рис. 5.170, 6) дo статочно только четырех значений. С увеличением числа п входных па раметров моделируемой системы разница в количестве измерений резко увеличивается. При rиперпрямоуrольном разбиении входноrо простран ства минимальное число требуемых измерений р == 2 n , (5.142) а при rипертреуrольном разбиении оно составит Bcero лишь р==n+1. (5.143) Зависимость (5.142) имеет нелинейный, экспоненциальный характер, в то время как зависимость (5.143) является линейной. В системе, имеющей 10 входов, число измерений, необходимых для за дания одноrо rиперпрямоуrольноrо cerMeHTa, составляет р == 1024, и Bce ro лишь 11 измерений требуется, чтобы задать один rипертреуrольный cerMeHT. Разница, таким образом, оrромная. Особые преимущества ис пользование моделей с rипертреуrольным разбиением дает в случае си стем с большим числом входов, систем, которые заданы с использованием меньших объемов измеряеl\1ЫХ данных, а также коrда проведение измере ний сопровождается сложностями, связанными, например, с их высокой стоимостью, отсутствием измерительной аппаратуры и т. д. С HeДOCTa точными объемами измеряемой информации особенно часто приходится сталкиваться в экономических системах. Помимо этоrо, большое число точек, используемых для задания поверхности модели над одним rипер прямоуrольным сектором  ClVl. формулу (5.142)  значительно усложня ет настройку нечеткой модели и является причиной «проклятия размерно СТИ» (Bellmann 1961; Brown 1995а). В случае нечеткой модели Мамдани каждому узлу сетки разбиения соответствует одно правило вида (5.144), определяющее выходное состояние модели У (рис.5.171): ЕСЛИ (:Cl  Х1/) И (:Т2  .E2j) ТО (у  Yzj). (5.144) Положение задаваемой этим правилам точки F 1 ) определяется KOOp динатами .1'li, X2j, !Jij. Вместо традиционноrо нечеткоrо правила вида (5.144) можно использовать правило вида (5.145), которое задает поверх.. ность у == fk(J.l' .(2) над прямоуrольным cerMeHTolVl k входноrо простран 
5.7. Типы нечетких моделей 371 Х2 Р13 Р2З Рзз y:=fi( y:=f2(X) РЗ2 Х21 РЗ1 Р(Х2) Х1 р (х 1) 1 у:= fiX):= а Ok + alk x 1 + +a2k X 2 + аЗk Х 1 Х 2 Х11 Х12 Х13 Х1 Рис. 5.171. Прямоуrольное разбиение входноrо пространства, являющееся типичным для нечеткой модели Мамдани ства друrим способом: ЕСЛИ (Xli  Хl  Xl(i+l)) И (X2j  Х2  X2(j+l)) ТО (у == fk(Xl, Х2)). (5.145) Для моделей Мамдани с оператором PROD и кусочнолинейными функциями принадлежности поверхность fk над cerMeHToM имеет по лилинейную форму (Zeng 1996), которая задается с помощью формулы на рис. 5.171. rраницы каждоrо cerMeHTa имеют вид прямых участков. При треуrольном разбиении входноrо пространства поверхность модели над отдельным cerMeHToM задается линейной зависимостью, приведенной на рис. 5.172. Каждому треуrольному cerMeHTY в модели соответствует одно правило вида ."" "k.k -k'k ЕСЛИ (.т2  а6 +а{Хl) И (Х2  ао +ai Хl) И (Х2  аъ +а{ Хl) ТО (у - .fk(.T1. .Т2)). (5.146) в последние несколько десятилетий модели с правилами вида (5.146), содержаIЦИ1\IИ линейные заключения, известны под названием «сети Дe лоне» или «трианrуляция Делоне». Первоначально они использовались для rеодезическоrо описания земельных участков, а затем для них бы ли найдены новые приложения в моделировании технических систем и управлении (Omohundro 1989; Ullrich 1997а,Ь,с). Сети Делоне являют 
372 rлава 5. Нечеткие модели у 1 :  ijk l}k ijk I yao +а 1 х 1 +а 2 Х 2 I I I '" . 1 . lj (х(,х{, у) I 1 I I : ' 7P k х} р. 'c'i  1" : /' '" 1  'k } 'k " 1 ,.  X == а } +а Х ,1" 2 О 1 1 ,,1 ,. ,,,. . . lj(x(, x) Рис. 5.172. Фраrмент поверхности модели над треуrольным cerMeHToM входноrо пространства ся самоорrанизующимися и самонастраивающимися. Имеется множество методов их построения, при этом некоторые из них, как, например, метод размещения новых узлов сети в точках максимальной ошибки модели (Brown 1997; Piegat 1998d), не имеют типичноrо для нейронных сетей недостатка, связанноrо с остановкой процесса обучения в локальных ми нимумах функции ошибки. Поэтому обучение сетей Делоне происходит быстро и завершается вблизи rлобальноrо минимума указанной функции. Вместе с тем исследования Ульриха в области сетей Делоне с линей ными заключениями, задаваемыми с помощью формулы (5.146), показа ли, что число rенерируемых ими треуrольных cerMeHToB, необходимых для обеспечения требуемой точности модели, является слишком боль шим, И при использовании определенных методов обучения (требующих обращения матриц) для них также имеет место «проклятие размерности». Введение в правила (5.146) нелинейных заключений, т. е. делинеариза ция сетей Делоне (Piegat 1998d), позволяет получить значительно более высокую точность модели при одном и том же либо меньшем числе Tpe уrольных cerMeHTOB. На рис. 5.173 представлены примеры двух моделей, полученных на основе сетей Делоне. Модель на рис. 5.173, а, основанная на нелинейных заключениях пра вил, состоит из десяти треуrольных cerMeHTOB. Модель, представленная на рис. 5.173,6, имеющая линейные заключения, совпадает по точности с моделью (а), но при этом состоит из значительно большеrо числа ceKTO ров, а именно восемнадцати, Линейные и нелинейные сети Делоне пред ставляют собой интересный метод моделирования, альтернативный по OT ношению к нечеткой лоrике и нейронным сетям. Они быстро обучаются, и на их основе можно построить модель с использованием минимальноrо объема измеряемых данных о реальной системе. Читатель, более rлубоко 
5.7. Типы нечетких моделей 373 а) средняя абсолютная ошибка д == О у б) средняя абсолютная ошибка д == О Рис. 5.173. Модель Делоне, построенная с использованием нелинейных (а) и линейных (6) заключений интересующийся методами построения сетей Делоне, может найти необ ходимую информацию в специальной литературе, например (Brown 1997; Omohundro 1989; Ullrich 1997a,b,c,d; Piegat 1998d,e). 5.7.8. Прииципы подобия систем и моделей систем Модель однозначной статической системы, реализующей отображение 18 : х  Ys, должна в максимально возможной степени удовлетво рять двум принципам подобия: принципу подобноrо отображения BXOД Horo вектора Xs в выходное значение У д ;[ и принципу подобноrо отобра жения приращения дхs данноrо вектора в приращение Д;Y1 (рис. 5.174 И 5.175). Х 1 Xs .1 fs(Xs) Y s Xs .1 fм(X s ) Ум xs== Х 2  . Реальная система Модель системы Х п Рис. 5.174. Отображения «BXOДBЫXOД», реализуемые системой и ее моделью X S<O)+AXI Is I YS<O)+A X S<O)+AXs.1 1м Система I У,и(О) +A Модель Рис. 5.175. Отображения входных приращений в выходные, реализуемые систе мой и ее моделью  
374 rлава 5. Нечеткие модели 1. Принцип подобноrо отображения входноrо вектора ХВ в выходное значение Y1\;J определяется с помощью следующеrо выражения: Y1\!(X s )  Ys(Xs). (5.147) Данное выражение означает, что если входные векторы Xs для систе мы и ее модели совпадают, то выходное значение модели Ул! должно быть как можно более близким к выходному значению системы Ys (в смысле выбранной оценки ошибки) на всей области значений BXOД Horo вектора. 2. Принцип подобноrо отображения приращения Д ХВ входноrо вектора в приращение выходноrо параметра ДУ при совпадающих входных состояниях (Хв(О) == Хл!(О)) системы и ее модели (рис. 5.175) опре деляется с помощью выражения вида ДУ1\f(Д Xs, Xs(O))  ДУв(Д Хв, Xs(O)). (5.148) в соответствии со вторым принципом, система и ее модель являются подобными, если приращение Д Xs входноrо вектора (при заданном ero начальном состоянии (Xs(O))) приводит К примерно равным (в терминах выбранной оценки ошибки) приращениям выходноrо пара метра системы и ее модели (соответственно ДУS и ДУл!). Принципы подобия должны выполняться на всей области определения системы и ее модели. Принцип (2) подобноrо отображения входных приращений являет ся следствием принципа (1) подобноrо отображения входных значений, и, надо полаrать, не вызывает сомнений тот факт, что в случае пол ной справедливости принципа (1) автоматически является справедливым принцип (2). К сожалению, в практических приложениях нечеткоrо MO делирования мы обычно имеем дело с моделями, которые представляют собой лишь приближение реальной системы, поэтому добиться полной справедливости принципа (1) не всеrда удается. В частности, применение операторов типа MIN дЛЯ аrреrации KOM понентов условий (разд.5.1.2.1) или выполнение дефаззификации с ис пользованием метода среднеrо максимума (разд.5.1.3) приводит к воз никновению в модели зон нечувствительности, которые характеризуются отсутствием отклика на изменения входов, что уменьшает степень BЫ полнения принципа (2) и, соответственно, принципа (1). 5.7.9. Нечеткая классификация Предыдущие разделы rл. 5 были посвящены исследованию нечетких MO делей, которые задают поверхность отображения у == j(X), COOTBeTCTBY 
5.7. Типы нечетких моделей 375 Т воды : I Помещение I Т внутр  + Твнешн Твнешн Рис. 5.176. Причинноследственная связь Твнутр == f (Тводы ' Твнешн), характерная для отопления помещения ющеrо причинноследственным связям, характерным для моделируемой системы, процесса или объекта. Примером здесь может являться зависимость температуры внутри по мещения Твнутр (ОС) от температуры воды в системе отопления Т воды (ОС) И температуры за пределами помещения Твнешн (ОС) (рис. 5.176). Помимо этоrо, теорию нечетких множеств часто используют для pe шения задач классификации, примером которой является оценка клиен тов, заинтересованных в получении банковскоrо кредита. Если клиент имеет высокую кредитоспособность, то банк с большей rотовностью BЫ даст ему большой кредит и при этом может даже Уl\1еньшить процентную ставку, т. е. стоимость кредита. Если клиент не является кредитоспособ ным, то от выдачи ему кредита банк откажется. В случае же частичной кредитоспособности клиента банк выдаст ему оrраниченную CYlVIMY Kpe дита и возможно повысит процентную ставку. Пусть нами введена следующая классификация клиентов: кредито способный, частично кредитоспособный и некредитоспособный. Указан ные понятия, очевидно, являются нечеткими. В прошлом банк MHoroKpaT но выдавал клиентам кредиты. Клиентов, поrасивших кредит в YCTaHOB ленный срок и в полном объеме, можно отнести к кредитоспособным, а не поrасивших ero в полном объеме  к некредитоспособным. Кли ентов же, поrасивших кредит не в установленный срок, l\10ЖНО считать частично кредитоспособными. rраница l\1ежду понятиями кредитоспособ ности и частичной кредитоспособности клиента является нечеткой. так как отсрочка вреI\1ени поrашения полной суммы кредита (и COOTBeTCTBeH но потери для банка) может быть больше или l\lеньше. 
376 rлава 5. Нечеткие модели Каждый клиент, желающий получить кредит, должен предоставить банку ряд данных, например: Xl  среднюю величину чистоrо дохода, Х2  количество материально зависимых лиц (иждивенцев), Хз  объем имеющихся долrов, Х4  оценка стоимости ero активов, Х5  период занятости на текущем месте работы, Х6  период занятости на предыдущих местах работы, Х7  запрашиваемая сумма кредита, и друrую информацию. Данные Xj можно считать признаками клиента. Они дают банку ин формацию о том, сможет ли клиент поrасить предоставленный ему Kpe дит (об этом можно судить, например, по величине Хl дохода клиента), и возможно ли возвращение кредита в случае ero непоrашения (для чеrо можно, например, использовать стоимость активов Х4). ДЛЯ каждоrо из клиентов, ранее обслуживавшихся банком (обо значим номер клиента через i), можно получить вектор признаков (Xli, X2i,. . . , X7i). С учетом этоrо на основе имеющейся предыстории по rашения кредитов экспертом банка построена необходимая для принятия решения классификация fLi (С  кредитоспособный, Р  частично креди тоспособный, N  некредитоспособный). Пример базы данных клиентов, обслуживавшихся банком до текущеrо момента, представлен в табл. 5.27. Оценка кредитоспособности представляет собой сложную задачу, KO торая связана с необходимость рассмотрения большоrо объема данных (обычно выходящеrо за пределы семи показателей), поэтому для ее pe шения можно создать автоматический классификатор, который может обучаться на основе данных о предыдущих клиентах банка (табл.5.27), а затем использоваться для оценки будущих клиентов. На рис. 5.177 т а б л и ц а 5.27 База данных клиентов банка Номер х} ($) Х2 хз ($) Х4 ($) Х5 Х6 Х7 ($) Кредито клиента способность 1 5600 1 О 100 000 26 О 10 000 С 500 1500 6 30 000 2000 0.5 0.08 50 000 N 1000 3100 3 1000 50000 4 6 20 000 Р 
5.7. Типы нечетких моделей 377 Хl Х2 ХЗ Признаки Х4 Х5 Х6 Х7 11 кредИ1 оспособные Нечеткий классификатор 11 частично кредитоспособные Степени принадлежности классам 11 некредитоспособные Рис. 5.177. Схема взаимосвязи входов и выходов нечеткоrо классификатора клиентов банка представлена схема взаимосвязи входных и выходных параметров клас сификатора кредитоспособности клиентов. На основе вектора Xz данных о потенциальном клиенте классифи катор вычисляет степени ero принадлежности множествам кредитоспо собных (С), частично кредитоспособных (Р) и не кредитоспособных (N). Наибольшая из степеней принадлежности (которые MorYT принимать дробные значения в интервале [0,1]) указывает, какому из перечисленных множеств принадлежит клиент, т. е. каким образом ero следует класси фицировать. Друrими примерами классификации являются: . распознавание личности человека по ero лицу: в качестве призна ков Xj здесь MorYT выступать, например, отношение расстояния меж ду rлазами к размеру rоловы, цвет rлаз, относительная ширина рта и т. д.; . распознавания блока рукописных букв на основе точечнорастровоrо представления или друrих специально подобранных признаков, таких как число линий, пересекающих остроуrольные изrибы буквы; . распознавание самолетов по их силуэтам; . распознавание личности человека по ero rолосу; . распознавание типа танка по звуку работающеrо двиrателя и aBTOMa тическое принятие решения о взрыве противотанковой мины. Поскольку задачи классификации заключаются в установлении cxoд ства объекта (элемента) с наиболее типичным элементом заданноrо клас са (ero образом), то их называют задачами распознавания образов. Условием корректной работы автоматическоrо классификатора явля ется правильная настройка использующихся в нем функций принадлеж ности отдельным классам, т. е. правильное их размещение в простран стве признаков {Xl, Х2, . . . , Х п }. Рассмотрим данную проблему на при мере 
378 rлава 5. Нечеткие модели Х7 Х7 ,...... , ...... х х , ...... , ...... \ ", х \ ............ х N \, "'" х , ...... · '\ о о ............... , ..., , , · .\ о о \ Р , . . \ , С \ , ЛИНИЯ разделения Хl Хl а) б) .  кредитоспособные клиенты о  частично кредитоспособные клиенты х  некредитоспособные клиенты Рис. 5.178. Идеализированное четкоразделимое распределение значений при знаков клиентов банка во входном пространстве (пространстве признаков) {Хl, Х7} (а) и четкие функции принадлежности классам клиентов: кредитоспо собные, частично кредитоспособные, некредитоспособные (6) с клиентами банка, уменьшив для просто ты число входных пара метров до двух: Хl  средняя величина чистоrо дохода клиента, Х7  запрашиваемая сумма кредита. Пусть в наСТОЯLЦее время значения признаков банковских клиентов распределены, как показано на рис. 5.178, а. Приведенный на рис. 5.178, а пример распределения признаков пред ставляет собой задачу с четким разделением. Отдельные классы клиентов не пересекаются, и можно однозначно определить линии их разделения, на основе которых можно леrко построить четкие функции принадлеж ности отдельным классам клиентов (рис. 5.178,6). На практике распреде ление с возможностью четкоrо выделения классов встречается редко  отдельные классы, как правило, частично перекрываются. В частности, распределение значений признаков клиентов обычно является подобным изображенному рис. 5.179, а. Точки, соотвеТСТВУЮLЦие кредитоспособным клиентам, расположены rлавным образом в области высоких доходов и малых сумм кредита, точ ки, относящиеся к некредитоспособным клиентам, лежат в области низ ких доходов И больших сумм кредита, а точки, соответствующие частич но кредитоспособным клиентам, расположены в промежуточной области. Встречаются, однако и клиенты с высоким доходом, не полностью поrа сившие кредит, а также клиенты с низким доходом, которые поrасили 
5.7. Типы нечетких моделей 379 Сумма кредита х х о . х о х х . о о о . . о Х7 х . . Xl Доходы а) .  кредитоспособные клиенты о  частично кредитоспособные клиенты х  некредитоспособные клиенты Рис. 5.179. Реальное нечеткоразделимое распределение значений признаков клиентов банка в пространстве признаков {Xl. Х7} (а) и функции принадлежно сти классам клиентов: кредитоспособные (С), частично кредитоспособные (Р), не кредитоспособные (N) (6) кредит полностью и в установленный срок (рис. 5.179). Таким образом, проблема оценки кредитоспособности является нечеткой, и любой потен.. циальный клиент может быть отнесен как минимум к двум классам. Настройка модели, приведенной на рис. 5.179, на основе обучающей выборки (показателей предыдущих клиентов банка и информации о поrа.. шении выдававшихся им банком кредитов) заключается в выборе такой величины уrла /3, которая позволила бы как можно точнее оценивать клиентов и относить их к конкретным классам. В общем случае задача классификации заключается в определении размера, формы и местоположения функций принадлежности отдельным классам в пространстве признаков Х] х Х 2 Х . . . х Х n . В случае наличия двух признаков Хl, Х2 данная задача может выrлядеть подобно той, что представлена на рис. 5.180. Отдельные классы MorYT частично перекрывать друr друrа, как, Ha пример, М1 и М2 на рис. 5.180, либо быть четко отделены друr от дру" ra, как классы !--lЗ и М4. В последнем случае проведение классификации не представляет никакой сложности. Одномерные функции принадлежности представляют собой наиболее часто используемый внечеткой лоrике тип функций. На рис.5.181 даны при меры таких функций для переменных «доходы» И «расходы». Путем 
380 rлава 5. Нечеткие модели f.L 1 ).12 f.L4 Xl Класс 4 Класс 3 Рис. 5.180. Задача классификации  определение MHoroMepHbIx функций при надлежности lLi отдельным классам на основе имеющихся знаний о типовых характерных признаках конкретных классов f.1 (доходы) 1 Низкие Средние Высокие 500 700 900 1100 Доходы (тыс. долл.) f.1 (расходы) Низкие 1 Средние Высокие 400 600 800 1000 Расходы (тыс. долл.) Рис. 5.181. Функции принадлежности, определенные на основе явно задаваемых экспертных знаний композиции данных одномерных функций можно создавать двумерные функции принадлежности, дающие возможность оценки предприятия. На рис. 5.182 представлен результат подобной композиции, а также назва ния полученных функций: очень перспективные (предприятия), средние, очень слабые. Остальные функции подобным же образом задают проме жуточные оценки. 
5.7. Типы нечетких моделей 381 Очень слабые 800 600 Расходы (тыс. долл.) 700 Доходы (тыс. долл.) Рис. 5.182. Зависящие от двух aprYMeHTOB функции принадлежности, OCHOBaH ные на явно задаваемых экспертных знаниях типа: ЕСЛИ (доходы высокие) И (расходы низкие) ТО (предприятие очень перспективное) Одномерные функции принадлежности (рис.5.181) являются един ственными функциями, которые эксперт в области моделируемой систе мы может задать словесно на основе своих «осознанных» знаний о ней. Использующиеся для оценки фирмы двумерные функции, которые MO rYT быть созданы на основе указанных выше одномерных, представляют собой реrулярные функции с прямоуrольными носителями, стороны KO торых параллельны осям координат (рис. 5.183 и 5.184). Вместе с тем, человек (эксперт) использует в процессе принятия pe шений свои не только «осознанные», но также и «неосознанные» знания, которые называют «ощущениями», «интуицией» или «шестым чувством». Эти знания человек не может выразить словесно в форме правил и за частую он даже не отдает себе отчет в том, что он владеет подобными знаниями. К «неосознанным» знаниям относятся также эмоции, симпа тии и антипатии, различные предпочтения, влияющие на принимаемые нами решения. Можно предположить, что реальные функции принадлеж ности, которые соответствуют нашим решениям, являются не OДHOMep ными, а двумерными или даже имеют более высокую размерность, что в свою очередь означает, что они заданы в пространстве более высокой размерности, не параллельны координатным осям, и их форма не явля ется прямоуrольной (рис. 5.185 и 5.186). Если эксперт в своем воображении (которое представляет собой co вокупность «осознанных» И «неосознанных» знаний) для использования 
382 rлава 5. Нечеткие модели Средние предприятия Расходы (тыс. долл.) Доходы (тыс. долл.) Рис. 5.183. Зависящая от двух aprYMeHToB функция принадлежности, COOTBeT ствующая среднему предприятию, заданная на основе знаний эксперта в Tpex мерном пространстве Расходы (тыс. долл.) Средние  III' : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : I I I I I 1 I I I I I I I I I I I I  1 I I I I I I I I 1 I 1 1  1 I I I I I I I I I I I I I I I I Д I : оходы i (тыс. долл.) I 800 Высокие 400 Низкие f.1 (доходы) 1 f.1 (расходы) 1 I I I Средние : I I I I I I I : Высокие: Низкие Доходы (тыс. долл.) 500 700 900 1100 Рис. 5.184. Двумерная проекция функции принадлежности, соответствующей среднему предприятию 
5.7. Типы нечетких моделей 383 Х} Х2 Рис. 5.185. При меры функций принадлежности, используемых человеком экспертом (двумерная проекция на входное пространство) ,. ... ,.,.,.,.<:...... ,.,.:>............ ,.,." ...)(,. .........  ; , , ,. ,.... ,. ,.... ,. ,. ... ,.,.,.<......... ,.,.,.,." ............... ';><:,'""" ' ...){,. ,.,." ......... / ," ......... I ... ,. ...,. ,. ... ,. ... Рис. 5.186. При меры функций принадлежности, используемых человеком экспертом, представленные в трехмерном пространстве в процессе принят ия решений сформировал двумерную повернутую функ цию принадлежности AXlT2' представленную на рис. 5.187, то он не в co стоянии словесно выразить информацию о форме и уrле поворота данной функции  он может предоставить лишь информацию о ее одномерных проекциях AXl и А' Т2 (рис. 5.187). При формировании вербальноrо правила (композиции функций А Х1 И А Х2 ) мы получаем реrулярную, прямоуrольную двумерную функцию принадлежности В Т1Х2 , которая отличается от функции принадлежности А х1х2 , в действительности используемой экспертом (рис. 5.188). Анало 
384 rлава 5. Нечеткие модели J.1 1 .................. """"""""'" Рис. 5.187. Проекция двумерноrо повернутоrо нечеткоrо множества A.l'l.1'2 из пространства Х 1 х Х 2 Х АI на одномерные пространства Хl, х AI, с полу чением в результате нечетких множеств AXl и А' Т2 rичная ситуация возникает, если эксперт использует воrнутую функцию принадлежности А х1х2 , представленную на рис. 5.189. Задавая вербальную информацию об этой функции в виде одномерных функций А Х1 и А х2 , он точно так же не в состоянии описать воrнутую форму двумерной функции. Использование в нечеткой модели компози ции двух одномерных функций принадлежности А Т1 и А Х2 на основе операции И в данном случае также приводит к выпуклой, реrулярной, прямоуrольной функции принадлежности, параллельной координатным осям Хl, Х2 (рис. 5.188). Как показывают рассмотренные выше примеры, нечеткие модели, полученные на основе композиции одномерных функций принадлежно сти, не дают возможность формирования для условий правил MHoroMep ных функций принадлежности, имеющих нереrулярную воrнутую форму, а также функций, повернутых относительно координатных осей. Таким образом, подобные модели не позволяют точно отобразить знания че ловека (эксперта в области моделируемой системы), и если мы хотим повысить точность нечетких моделей, мы должны в условиях правил и при выполнении фаззификации использовать не только одномерные, но и MHoroMepHbIe функции принадлежности. Поскольку эксперт не в состоянии словесно задать форму и уrловое положение подобных функций, единственным способом их определения 
5.7. Типы нечетких моделей 385 J.l. 1 Рис. 5.188. Построение двумерноrо (выпуклоrо) нечеткоrо множества В Х1Т2 на основе композиции двух одномерных нечетких множеств Ах} и А х2 , полу ченных путем проекции повернутоrо множества А Х1Х2 на рис. 5.187 J.l. 1 """"""""""""""  Рис. 5.189. Проекции двумерноrо BorHYToro нечеткоrо множества А Х1Х2 их про странства Х 1 х Х 2 Х Jvf на одномерные подпространства Х 1 х ]v! и Х 2 Х Jv! (нечеткие множества А Х1 и А х2 ) 
386 rлава 5. Нечеткие модели }l 1 Рис. 5.190. Построение двумерноrо (выпуклоrо) нечеткоrо множества В Т1Х2 на основе композиции двух одномерных нечетких множеств А Х1 и А х2 , по.лу ченных путем проекции BorHYToro множества А Х1Х2 на рис. 5.189 является формирование и настройка на основе информации о тех реше ниях, которые были приняты экспертом в реальных условиях, т. е. BЫ борки измерений входных и выходных пара метров для caMoro эксперта. Данный метод, рассмотренный в примере 5.7.9.1, позволяет определить, какие функции принадлежности на самом деле применяются экспертом, коrда он использует свои полные «<осознанные» И «неосознанные» ) зна ния. Задание и настройка MHoroMepHbIx нереrулярных функций принад лежности на всем пространстве входных пара метров (признаков) Moдe лируемой системы возможны, но весьма затруднительны, особенно в си туациях со смешанными выборками измерений для различных классов. Указанная задача представляет собой интересное направление будуLЦИХ исследований в области нечеткой лоrики. Однако уже сейчас в данной об ласти можно продвинуться вперед путем построения нечетких моделей, основанных на двумерных, а не только одномерных функциях принад лежности. Преимущество двумерных функций принадлежности состоит в возможности их представления и rрафическоrо изображения. Визуа лизация функций принадлежности большей размерности (в том числе трехмерных) не является возможной. 
5.7. Типы нечетких моделей 387 Далее мы рассмотрим метод нечеткой классификации, называемый методом двумерной проекции MHorOMepHbIx кластеров. Автор данной книrи в 1999 r. сам вывел этот метод, но тем не менее, в силу простоты И очевидной, напрашивающейся идеи последнеrо, считает, что ero ранее разработал KTOTO из друrих исследователей. К сожалению, автор не MO жет этоrо подтвердить, поскольку не знает имени настоящеrо, исходноrо создателя данноrо метода. Нечеткая классификация с помощью двумерной проекции MHoro.. мерных кластеров. На основе обучающей выборки (например, точек, задающих значения признаков для предыдущих клиентов банка) в про странстве признаков X 1 х Х 2 Х . . . х Х п образуется кластер выбранноrо класса. На рис. 5.191, а представлен пример для случая TpexMepHoro про странства. В основе метода двумерной проекции лежит предположение о том, что если какойлибо элемент принадлежит кластеру рассматриваемоrо класса в nMepHOM пространстве, то ero проекции также принадлежат проекциям этоrо кластера на любое из двумерных подпространств X i х X j . Таким образом, чтобы определить nмерную функцию принадлежности класте ра заданноrо класса ILi(Xl, Х2,. .. , Х п ), необходимо определить функции Проекция кластера наХ 1 х Х з Проекция кластера на Х 2 Х Х З Хl Х2 Проекция кластера наХ 1 Х Х 2 Кластер ВХlХХ2ХХЗ О а) б) Рис. 5.191. Кластер заданноrо класса, сформированный на основе обучающей выборки (а), и ero проекции на двумерные подпространства (6) 
388 rлава 5. Нечеткие модели принадлежности ero проекций на отдельные подпространства: JLi (Хl, Х2), . . . , JLi (Хl, Х п ), JLi (Х2, ХЗ), . . . , . . . , JLi (Х2, Х п ), . . . , JLi (Xп 1, Х n ), (5.149) а затем, используя один из операторов пересечения нечетких множеств, например PROD, определить пмерную функцию принадлежности: J.Li(Xl,X2,... ,Х n ) == J.Li(Xl,X2). JLi(Хl,Хз)..... JLi(Xl,X n )X Х JLi(X2, хз) . ... . JLi(X2, Х п ) . ... . JLi(Xnl, Х п ). (5.150) Как будет показано на примере, в окончательную функцию принад лежности (5.150) не требуется включать все n!j[2!(n  2)!] комбинаций подпространств (Xj, Xk). Иноrда для точноrо определения заданноrо клас са достаточно только одноrо терма J.Li(Xj,Xk). В качестве функций принадлежности JLi(Xj, Xk) проекций кластеров MorYT использоваться различные типы функций, например, обобщенные * вращаемые несимметричные rayccoBbI функции: Х; == (Xi mi)COSQij  (Xj mj)sinQij, х; == (Xi  mi)siПQij + (Xj  mj)COSQij, [ x l'[J1 J.L(X;, xj) == ехр  1 Vij . Cil + (1  Vij) . C2 хО+: J Wj . Cjl + (1  Wij) . Cj2 l'j2] , (5.151) rде: mi  координата центра rауссовой функции относительно оси Xi, mj  координата центра rауссовой функции относительно оси Xj, Qij  уrол, образуемый rлавной осью среза (линии уровня) rауссовой функции (см. рис. 5.193), lijl, lij2  показатели степени, Vij, Wij  лоrические переменные (со значениями О и 1) для выбора раз личных значений ширины Cil, Ci2, Cjl, Cj2 несимметричной rауссовой функции (см. рис. 5.193), Cil, Ci2  различные значения ширины несимметричной rауссовой функ ции. На рис. 5.192 изображена трехмерная rayccoBa функция принадлеж ности. В двумерном пространстве значений входных пара метров такую '" в данной книrе «вращаемыми» именуются функции принадлежности, для которых в ходе настройки можно менять расположение осей координат путем их поворота на некоторый уrол й. Подробнее об этом см. текст на с.479, а также рис. 6.78. 
5.7. Типы нечетких моделей 389 Jl 1 Рис. 5.192. Трехмерная rayccoBa функция принадлежности Х2 т2 /121  /122 2 100 80 * Х 2 "\\ 60 20 , , , о ,:,:i a40 тl 20 О 20 40 60 80 100 Хl Рис. 5.193. Срезы (линии уровня) обобщенной несимметричной rауссовой функ ции при ее проекции на подпространство Х! х X j , rде i == 1, j == 2 функцию можно представить с использованием срезов (линий уровня) для разных значений высоты (рис. 5.193). Изменение значений пара метров mi, mj приводит к смещению rayc совой функции вдоль осей, изменение aij вызывает вращение функции, пара метры C z l, Ci2 асимметричным образом изменяют ширину функции, а lijl, lij2 изменяют ее форму. Блаrодаря указанным параметрам, rayc сову функцию можно визуально или автоматически переместить в центр выборки измерений заданноrо класса, а затем повернуть ее и изменить 
390 rлава 5. Нечеткие модели Xk Xk Xk Представители класса . '. '.' .', . : :::::.. .:. ..: : :;{(;::?:.:. m ..:;::(:.y; . . '. " .. . ...... :?.:: :::.:; . . . ЕВ Х' J Х} Х' J а) б) в) Рис. 5.194. Начальная позиция настраиваемой функции принадлежности (а), помещение центра функции в центр выборки (6), поворот функции и ее под стройка к распределению элементов выборки (8) Xk Х' J Рис. 5.195. Вблизи центров смежных классов степень принадлежности задан ному классу должна быть малой (HaMHoro меньше 1) ее форму таким образом, чтобы она охватила все или большинство эле ментов класса (рис. 5.194). При настройке значений ширины ajk, bjk функции принадлежности необходимо придерживаться принципа, в соответствии с которым зна чения функции принадлежности заданному классу в центрах и точках ядер функций принадлежности смежным классам должны быть малыми, например, равными 0.1 (рис. 5.195). В некоторых случаях указанному принципу следовать невозможно, в связи с тем, что в проекции на пространство )(j Х )(k два класса практически совпадают друr с друrом, и их нельзя разделить. Вместе с тем, классы MorYT различаться в проекции на друrие пары пространств, например, )(j+l Х )(k+2, И В этом случае они MorYT быть разделены. 
5.7. Типы нечетких моделей 391 Если разделение классов в nMepHOM пространстве невозможно, то pe комендуется повысить порядок (размерность) данноrо пространства, т. е. число принимаемых 80 внимание признаков, либо изменить систему KO ординат. Для иллюстрации метода классификации на основе двумерной про екции рассмотрим следующий при мер (Piegat 2000а). Пример 5.7.9.1. Оценка 49 предприятий сталелитейной nромышлен насти с использованием метода двумерной nроекции. В процессе при нятия экономических решений необходимо учитывать множество спе цифических данных, которые в конечном итоrе должны быть обобще ны 8 единый комплексный показатель, на основе KOToporo производится окончательный выбор. Поскольку сложные, мноrокритериальные oцeH ки большей частью носят нечеткий характер, теория нечетких множеств подходит здесь как нельзя лучше. В данном при мере мы рассмотрим применение метода двумерной про екции для комплексной оценки предприятий на основе трех показателей, несущих информацию об их финансовом положении: валовая прибыль + амортизация Хl == общая задолженность сумма 'баланса оборот Х2 == ХЗ == . общая задолженность' сумма баланса В табл.5.28 приведены нормализованные в интервале [0,1] значения этих показателей для некоторых из 49 подверrнутых исследованию поль ских предприятий сталелитейной промышленности и черной металлурrии за период с 1 июня 1994 [. по 31 декабря 1997 [. Последний столбец co т а б л и ц а 5.28 Нормализованные значения трех важнейших экономических показате- лей Xi и экспертные оценки у для отдельных предприятий N Хl  ХЗ Класс 1 о. О 540 0.0845 0.5643 слабое 19 0.2029 0.4047 0.2714 среднее 36 0.1457 0.0287 0.9714 перспективное 49 1.0000 0.7997 0.3119 очень перспективное 
392 rлава 5. Нечеткие модели Х2 1 ХЗ 0,8 0,8 . I I I . I . . . . . . . .":::1:::: :::::::: :::: ::::::::::::: :::::: ::::::::1 ::: ::: ::::::::1:: ."r:: .'. ................1..... 00...001..... ..00.001... о --.! .... .... .....t................ .i' ш .............t.................t. ... ... ш.......r... I I I , I . . . . . . . :: : : ::"[:"::"::..:..::]"::":.::":::"::"::"::::::::":::::::[::::: :.:::]::.::":::::::::::[ 0,2 ...! .....::.I;.............i... ш ........'.................1... о ................... ...... ... j.... ................. ......... ... ...j............ .......i... : ! ! ! i 1 0,6 0,4 0,2 о 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Хl о 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Хl хз 1 0,8 0,6 0,4 0,2 о о 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Хl Рис. 5.196. Линии уровня функции принадлежности «слабые» в различных под пр остранс тв ах. Крестиками отмечены центры классов держит комплексные экспертные оценки каждоrо предприятия, выражен ные с использованием четырех линrвистических термов: слабые, cpeд ние, перспекmивные и очень перспекmивные. На рис. 5.196 представлено расположение в подпространствах Х 1 х Х 2 , Х 1 Х Х З , Х 2 Х Х З функции принадлежности «слабые», которая настраивается первой. На втором шаrе производится настройка функции принадлежности «средние» (рис. 5.197). Указанная функция, по возможности, должна принимать малые значения в точках, соответствующих центру класса «слабые» . 
5.7. Типы нечетких моделей 393 Xz . . . . . I I I I . I . 1 .-.1......... .......t..... ... '" ... ...!..................! ..--.-.. ... ... ..t.................j... 0,8 ...I.................t.. ш ....... ..1. ..............1......... ...... ..t.................!... 0,6 ...:..000............1... .- ..... ..i . .............-.r.-- .............r-..ооо...........i... ....... .... ......... ...j..... ...... ....... ... ............ ...j................. .j... . i ! ! i 0,4 0,2 о о 0,2 0,4 0,6 0,8 Хз 1 Хз . . . . . . I I I I , , 1 0,8 0,6 .. ."f." .........-у........................ -1" '.0 ................."'t.............................t. ........ .............t... 0,4 '," ... .......ш........ . ,......ш.......1.. ............ ш I ш.... ......ш.,... ела:,:! е ...1... .............l.................t................!... , i еедНие ! ! j о . ..t .... ... .......t.. ........ ...... 'j' ш ... ..... .....t............ .., ..t. ... ... ..........t... 1 Хl 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Хl о I . . . . I I . . . . I 0,8 0,6 0,4 0,2 о о 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 5.197. Линии уровня ФУНКЦИЙ принадлежности «слабые» и «средние» в подпространствах X 1 х Х 2 (а), Х 1 х Х з (б), Х 2 х Х з (8) Как видно из рис. 5.197, сходство классов «слабые» и «средние» яв ляется значительным. Некоторые элементы с высокой степенью при надлежат обоим классам, что затрудняет их различение. На следу ющих шаrах моделирования настраиваются функции принадлежности «перспективные» И «очень перспективные» (рис. 5.198). Рисунки 5.198, а, б демонстрируют очень интересную особенность. Класс «очень перспективные» явно выделяется среди друrих, поэтому для ero полноrо описания достаточно только одной двумерной функции принадлежности, определенной, например, в подпространстве X 1 х Х;з: 
394 rлава 5. Нечеткие модели Х2 1 Х2 0,8 0,6 0,4 0,2 О О Очень . ... . ;.:.:::::.:]:.::.::::].:: о : : : : I I , . . . I . . . I . , , . . . I . . , . I . I , . ,. I . I I , , . . . . . -_.  .................._.... .... ................. .............. ...... , , . . . . . . . . . . , . . , , . . . . . . . . , . . . . о ПерпеКТиные 1 ....... . .......... i ...............t.................t.................!... . I ". 1 :: ::: Т....ШШ. ШШШ'. .Ш..Ш..Т..........fШШ 'Ш'Т' 0,8 . J..........ш . ;" ......... ; ..=...1..I.......T.. . . , . , . . I I I . . r ............ ........ "щ Т"'Ш' .. ---'Т" .....---...Т. . . :: : Очень 1 О 4 : , .;: , ': .. :. . ............ ............. п . рспект :::.  : ивны, Слабые j 0,6 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Хl о .+...:..........+.. Средние ......f................+................f... о 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Xl Х2 1 I I I . , ,. . ....,i............... +... .... . .....i.... .. .. .. .. . . 0,8 0,6 0,4 0,2 Очень .. ерспективные о о 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Хl Рис. 5.198. Проекции представляющих классы значений [Хl, Х2, х:з] и функции принадлежности «слабые», «средние», «перспективные», «очень пepcпeKтив ные» в подпространствах Х 1 х Х 2 (а), Х 1 х Х З (б), Х 2 х Х З (в) х7 == (Хl  0.735) cos 32.83  (Х3  0.141) sin 32.83, x == (xl  0.735)sin32.83 + (Х3  0.141)cos32.83, [ xi /Lочень перспективные (xI, хз) == ехр  V13' 0.112 + (1  1)1:;) . 0.249 1'з 4 ] WIЗ .0.032 + (1  U'l:З) .0.031 . 4 Данный при мер показывает, что для построения функции принадлеж ности класса в полном входном пространстве Х 1 х Х 2 Х . . . х Х п требуется 
5.7. Типы нечетких моделей 395 найти ее проекции не на все подпространства X i х X j , а только на те, для которых характерна достаточно четкая идентификация данноrо класса. Среди остальных классов  «слабые», «средние» и «перспективные»  уже нет столь явно выделяющихся, и поэтому для их описания необхо димо использовать проекции на все подпространства X i х X j . Например, функция принадлежности «перспективные» задается с помощью следу ющих соотношений: J.Lперспективные (Хl, Х2, ХЗ) == !-Lперспективные (Хl, Х2) . ,Uперспективные (Хl, ХЗ) х х !-Lперспективные (Х2, хз), х7 == (Хl  0.329) cos 1.68  (Х2  0.128) sin 1.68, X ==  (Xl  0.329) sin 1.68 + (Х2  0.128) cos 1.68, [ *4 ( * * ) Xl J.Lперспективные Хl, Х2 == ехр  V12. 0.094 + (1  V12) .0.067 1'* ] Ш12 .0.136 + (2  Ш12) .0.363 4 , х7 == (Хl  0.279) cos( 2.99)  (хз  0.669) sin( 2.99), X == (Xl  0.279) sin( 2.99) + (хз  0.669) cos( 2.99), [ *4 ( * * ) Xl J.Lперспективные Хl, Хз == ехр  VIЗ. 0.091 + (1  VIЗ) .0.084 Шlа .0.334 + 3  WIЗ) .0.283 4] , [ х* 11 ( х* х* )  ех р  2 rvперспективные 2, 3  V23 .0.088 + (1  V2З) .0.155 W2З .0.592 + 3  W2З) .0.542 4] . X == (Х2  0.218) cos 3.47  (хз  0.739)sin3.47, X == (X2  0.218)sin3.47 + (хз  0.739)cos3.47, 4 Результаты нечеткой классификации предприятий с применением метода проекции совпали с результатами экспертной классификации для 43 предприятий (из 49) и не совпали для 6 предприятий. Такой результат можно считать вполне приемлемым, если учесть, что три клас са  «слабые», «средние» и «перспективные»  оказались очень близки ми и относительно трудно различимыми, а также что в процессе оценки экспертом моrли быть допущены ошибки. . 
396 rлава 5. Нечеткие модели Расходы Расходы Х Х Х Х Х Х Слабые Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х ХоХО о Х Х х О о о о Х Х о о о 00 о о Х о о о Х Х 0000000 о о о 00 о Перспективные Доходы а) Перспективные Доходы б) Рис. 5.199. Выборка экспертных оценок предприятий (а) и линии уровня Ha строенных на ее основе функций принадлежности, соответствующих слабым и перспекmивным предприятиям (б) Очень важной и интересной задачей является определение зоны влияния функций принадлежности отдельных классов в областях, не покрываемых элементами выборки измерений (областях Heдo статочной информации). Предположим, нами исследуется задача oцeH ки предприятий на основе их доходов и расходов с использованием для оценки только двух линrвистических термов: перспекmивные и сла бые (предприятия). На рис. 5.199, а представлена выборка экспертных оценок, а на рис. 5.199, б  результаты настройки функций принадлежно сти. Теперь функции принадлежности, соответствующие слабым и пep спекmивным предприятиям, настроенные с помощью выборки эксперт ных оценок, можно использовать для оценки новых предприятий без по мощи эксперта. Предположим, нам необходимо оценить 4 новых предпри ятия, для которых значения показателей распределены так, как показано на рис. 5.200, а. Предприятие 2 следует оценить как перспекmивное (хотя степень ero принадлежности классу «перспекmивные» является очень низкой, MeHЬ шей 0.01). Предприятие 4 следует оценить как слабое. Обе эти оценки соответствуют здравому смыслу, поскольку предприятие 2 расположено в зоне высоких доходов и низких расходов, а предприятие 4 имеет BЫCO кие расходы и низкие доходы. В ситуации с предприятиями 1 и 3 мы не можем доверять резулыа там классификации, полученным на основе имеЮIILИХСЯ функций принад лежности, поскольку эти функции (рис. 5.199, б) являются точно HaCTpo 
5.7. Типы нечетких моделей 397 Расходы Расходы 4 о 02 1 а) Доходы б) Доходы Рис. 5.200. Распределение значений показателей для четырех новых предприятий, не участвовавших в настройке функций принадлежности «слабые» и «перспективные» (а), и функции принадлежности «слабые» и «перспективные» С расширенными зонами влияния (б) енными только в области обучающей выборки. Оценка вне этой обла сти представляет собой открытый вопрос, особенно если она относится к «сомнительной» области, которая расположена на более или менее оди наковом расстоянии от ядер (центров) обеих функций принадлежности. В таких неопределенных ситуациях оценку новых предприятий (1 и 3) следует возложить на эксперта, и ее результат использовать для уточ нения имеющихся функций принадлежности, т. е. для соответствующеrо расширения зон их влияния на не изученные к настоящему моменту области. Следует также отметить, что если мы в состоянии на основе Ha ших собственных знаний сделать вывод о том, в какую сторону следует расширять зону влияния определенной функции принадлежности, то мы можем сделать это без измерения дополнительных значений. В рассмотренном примере функция принадлежности, соответствую щая перспективному предприятию, может быть безусловно расширена на область высоких доходов и низких расходов, функция, COOTBeTCTBY ющая слабому предприятию  на область высоких расходов и низких доходов, как показано на рис. 5.200, б. Расширение зоны влияния выпол няется путем изменения пара метров функций принадлежности, в первую очередь значений их ширины Cil, Ci2 (5.151). Приведенный при мер являет ся иллюстрацией Toro, насколько необходимым является использование в задачах классификации несимметричных функций принадлежности. Решение о том, в какую сторону следует расширять функцию при надлежности, не всеrда является столь очевидным, как в paCCMOTpeH ной ситуации с оценкой предприятий  в сложных задачах здравая ло 
398 rлава 5. Нечеткие модели Х2 Х2 а) Хl б) Х} Рис. 5.201. Распознавание субъектов на основе их признаков как пример задачи с открытым, неоrраниченным числом классов rика может не оправдать ожиданий. Тем не менее, попытки расширения функций принадлежности на неизвестные области необходимы, посколь ку это может значительно повысить эффективность методов классифика ции. Менее рискованным расширение функций принадлежности является в случае задач с замкнутым и оrраниченным числом классов, напри мер, если рассматриваются только два класса предприятий  слабые и перспективные, и имеется уверенность в том, что не будут вводиться новые классы (например, средние предприятия). С большой осторожностью расширение зоны влияния должно выпол няться В задачах с открытым числом классов. Примером здесь может являться распознавание личности людей на основе изображений их лиц или отпечатков пальцев  в данной ситуации каждый класс COOTBeTCTBY ет определенной личности. В какойто день у нас MorYT быть функции принадлежности, способные распознавать трех субъектов (рис. 5.201, а), но на следующий день может потребоваться ввести функции принад лежности для двух новых субъектов (рис. 5.201, б). Для введения новых функций принадлежности обычно требуется свободное пространство при знаков. 
r ЛАВА 6 eTOДЫ нечеткоrо моделирования в настоящей rлаве описаны три метода нечеткоrо моделирования, т. е. по строения нечетких моделей реальных систем, а именно: а) нечеткое моделирование на основе экспертных знаний о системе, б) построение самонастраивающихся нечетких моделей на основе изме рений входов и выходов системы; в) построение самоорrанизующихся и самонастраивающихся нечетких моделей на основе измерений входов и выходов системы. Соrласно определению, данному в работах (Driankov 1993,1996), под самонастраивающейся нечеткой моделью (seIftuning fuzzy modeI) понимается модель, задаваемая на основе фиксированных правил и фик сированных нечетких множеств, в которой объектом настройки являются только пара метры функций принадлежности (рис.6.1) и, возможно TaK же, коэффициенты масштабирования входных и выходных параметров модели. ::><= у одель   р ",,," 4 3 ",'" I I I  : Система I I I I I I I I I I I I I I  / ",/:', Р2 '" I '" I '" I I I I I 1 !Р } I ! у ! , , , , , , , .,. , .,. , , )' ;';';' '-', ,," " .,. " .,.'" ........ "," ... , ....,;-<......... "", ............. Jl (у) 1 о о Jl ("'( ) 1 х о  ..... . х х Рис. 6.1. Иллюстрация процесса настройки модели 
400 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования В ходе процесса настройки осуществляется изменение парамеТРОБ функций принадлежности (определяющую роль обычно иrрает измене ние модальных значений), которое вызывает смещение задаваеМbIХ линr вистическими правилами узлов P i поверхности модели. Целью настройки является такое расположение узлов, при котором поверхность модели как можно более точно аппроксимирует форму поверхности соответствующей системы в смысле минимизации критерия моделирования, rде в качестве последнеrо может выступать средняя абсолютная ошибка, средняя KBaд ратичная ошибка, максимальная ошибка и т. п. При этом ни число нечет ких множеств, ни число правил (число узлов P i ) в процессе настройки не изменяются, и, кроме Toro, не изменяются форма правил, а также число и тип входов модели. Структура модели, тем самым, остается по стоянной. Термин «настройка» может дополнительно подразумевать изменение типов лоrических операторов (И, ИЛИ), типов функций принадлежности (кусочнолинейные, rayccoBbI и т. д.), а также методов вывода или дe фаззификации. Изменение указаННbIХ элементов приводит к изменению типа и размера кривизны участков поверхности модели (т. е. к измене нию типа интерполяции) между задаваемыми на основе правил узлами интерполяции P i (рис.6.1). Под самоорrанизующейся нечеткой моделью (setf..organizing fuzzy modet) пони мается (Driankov 1993, 1996) модель, имеющая соб ственные автоматические процедуры определения оптимальноrо числа и формы правил и нечетких множеств, использующихся для описания всех (входных и ВbIХОДНОЙ) переменных модели. Термин «самоорrани зация» подразумевает также процесс определения существенных входов модели и ее структуры (т. е., например, разделение rлобальной модели на локальные, задание связей в иерархической модели, определение MO делей, составляющих мультимодельную структуру). Результат изменения числа нечетких множеств и правил представлен на рис. 6.2. Увеличение числа нечетких множеств и правил позволяет достичь большей точности модели (при условии правильной настройки послед ней). Вместе с тем, это резко усложняет настройку модели, особенно в случае большоrо числа входов, и если модель оказалась очень сложной, то ее настройка может быть практически неосуществимой. Более Toro, указанная сложность модели зачастую является причиной ее неспособно сти к обобщению результатов измерения входов и выходов систеl'v1Ы или, наоборот, приводит к ненужному воспроизведению шумов и помех изме рений (рис. 6.3), особенно в случае малоrо числа или обширноrо разброса последних. Поэтому не следует использовать модели необоснованно раз 
rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования 401 Модель '" /  ШШШШШШ-:.. Р З , , ,. I ,,>,,' // : " ", р // : ! < > Ш ШШШШ / /  Система , ' / " , / ,К /// ,' ", // ,,' "" /// :Рl I ,u(y) 1 о о ,u(x) 1 х о  х а) ........ ",' ;х:  " ..... " ..... , ..... " ...  '::><::   ::,  R I 1   3 ,, ........ Система " / , , ... , , , ... , )<." .,' ", " , ,u(y) 1 о о ,u(x) 1 х о   х б) Рис. 6.2. Влияние числа нечетких множеств и правил (числа узлов p,J на по тенциально возможную точность модели вернутой и сложной структуры, а число правил и нечетких множеств необходимо оrраничивать разумными пределами. Оптимизация CTPYKTY ры нечеткой модели представляет собой сложную, но выполнимую aдa чу, и ДЛЯ ее решения используются саl\100рrанизующиеся модели. 
402 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у Данные измерений Система ....    . I I      i : ". I I I ...  : :  Модель ,u(y) 1 о о ,u(x) 1 х о х Рис. 6.3. Воспроизведение шумов измерений моделью, содержащей избыточное число нечетких множеств и правил (узлов) 6.1. Нечеткое моделирование на основе u экспертных знании о системе Моделирование на основе экспертных знаний о системе представляло co бой первый использовавшийся на практике подход к нечеткому модели рованию. В основе данноrо подхода лежит использование знаний и опыта человека, rлубоко компетентноrо в вопросах, связанных с моделируемой системой. В процессе наблюдения за некоторой системой или выполне ния операций с ней (например, производства мехаНИЗl\1а, машины, ca молета или корабля) человек приобретает определенные знания об этой системе, которые MorYT быть как явными, осознанными, так и неявны ми, неосознанными (способность интуитивно «чувствовать» механизм). rоворя об осознанном восприятии, можно указать ero rлавное свойство, связанное с тем, что эксперт способен вербально выразить свои знания и, тем самым, передать информацию друrим людям. В отличие от это ro, неосознанные (неявные) знания подобным образом сформулировать невозможно  они MorYT проявляться только в ходе практических опера ций с системой (например, в процессе управления автомобилеl\1), в фор ме способности человека «чувствовать» систему и предсказывать ее pe акцию на определенные действия оператора (водителя). О совокупности накапливаемых в мышлении эксперта осознанных и неосознанных знаний о реальной системе rоворят как о ментальной модели (mental model) (Babuska 1995Ь). Путем беседы с экспертом можно извлечь только «яв ную» часть имеющихся у Her'o знаний о системе, выраженную в фОРl'.ле 
6.1. Нечеткое моделирование на основе экспертных знаний о системе 403 вербальных правил, которые описывают взаимосвязи между входными и выходным пара метрами системы и имеют, например, следующий вид: ЕСЛИ (педаль rаза нажата сильно) И (передача высокая) ТО (скорость высокая), или, в общем случае: ЕСЛИ (Хl есть A i ) И (Х2 есть Bj) ТО (у есть C k ), (6.1) rде Хl, Х2  входы системы, у  выход системы, A i , Bj, C k  нечеткие множества, используемые экспертом для линrвистической оценки значений входов и выходов. Эксперт также может предоставить информацию об используемых линrвистических значениях, например: . «rоворя О сильном нажатии педали rаза, я подразумеваю, что ее по ложение соответствует более, чем 80% величины рабочеrо хода», . «rоворя О высокой передаче, я имею в виду 4ю или 5ю передачу». Опираясь на указанные примеры, можно утверждать, что линrви стические правила, определяющие взаимосвязь между входными и BЫ ходным пара метрами системы, эксперт способен выражать точнее, в то время как информация, относящаяся к используемым линrвистическим значениям, обычно выражается менее точно, поскольку эта информа ция во MHoroM зависит от «чувственноrо» восприятия системы экспертом и «неявной» части ero знаний. Множество вербально выражаемых правил, описывающих взаимо связь между входами и выходами системы, и вербальная информация об используемых экспертом линrвистических значениях называется вер" бальной моделью системы. Вербальная модель является, как правило, менее содержательной, чем ментальная, поскольку она не включает неяв ную, неосознанную часть знаний эксперта о системе, т. е. ту часть, KOTO рую он не в состоянии передать друrим. Более Toro, эксперт не в состоя нии передать свои знания ни о протекающих в ero мышлении процессах вывода, ни о типе (форме) функций принадлежности, используемых им для описания линrвистических значений, ни о типе лоrических операто ров, при меняемых в процессе обработки информации, и т. п. Все перечисленные виды информации, необходимой для построения нечеткой линrвистической модели заданной системы, должны быть по лучены на основе предположений либо интуиции человека, осуществля ющеrо построение модели, KOToporo можно назвать экспертом по нечет.. 
404 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования РЕАЛЬНАЯ СИСТЕМА Объективная информация о системе r """"111 .. МЕНТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ... (опыт, восприятие" интуиция эксперта) ..OiII Субъективные знания о системе " r- ...., ВЕРБАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ (заданные экспертом описания правил и линrвистических оценок) ....  Ин:ryитивно выбираемый математический инструментарий Субъективные, точные знания о системе , r ЭКСПЕРТ ПО НЕЧЕТКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ "'" НЕЧЕТКАЯ линrВИСТИЧЕСКАЯ ... МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ Рис. 6.4. Процесс построения нечеткой линrвистической модели реальной системы кому моделированию. На рис. 6.4 показаны потоки информации, имею щие место в процессе построения нечеткой линrвистической модели. Приведем пример нечеткой модели. Пример 6.1.1. Предположим, что оператор наблюдает систему с двумя входами Хl, Х2 и одним выходом у, реrистрируя ее поведение путем из мерения их значений. Список зареrистрированных состояний системы приведен в табл. 6.1. Задача оператора состоит в определении таких значений входных сиr налов Хl, Х2, при которых выход у принимает характеристические зна чения минимальное, максимальное, среднее и т. д. Подобноrо типа зна ния приобретаются оператором после достаточно длительноrо периода наблюдения за системой и работы с ней. Достаточная длительность под разумевает, что в течение данноrо периода имели место все возможные состояния системы. На основе данных табл. 6.11'ЛОЖНО прийти к выводу, что имеются 4 co стояния входов системы (выделенные жирным шрифтом), при которых выход принимает максимальное значение (равное 9), и одно состояние, при которым ero значение является МИНИl'v1альным (равным 1). Представ ленная в табл. 6.1 ИНфОРl'vlация составляет объективные знания, получен 
6.1. Нечеткое моделирование на основе экспертных знаний о системе 405 Таблица 6.1 Результаты измерения состояний реальной системы Хl 55555 66666 77777 88888 99999 Х2 01234 01234 01234 01234 01234 У 96569 63236 52125 03236 96569 Jl(X 1) Jl (Х2) Jl(Y) mln теап тах mю теап тах mln теап тах 1 . . . 1 . . . 1 , . , I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 5 6 7 8 9 Хl О 1 2 3 4 Х2 123456789 У Рис. 6.5. Заданные экспертом модельные значения линrвистических оценок: min  минимум, теап  среднее, тах  максимум ные на основе измерений. В случае, коrда измерительные устройства недоступны, а значения входов Xl, Х2 устанавливаются вручную (напри мер, с использованием рычаrа), оператор имеет возможность предоста вить лишь нечеткую информацию, имеющую вид, например: . «минимально возможное положение первоrо рычаrа», . «максимально возможное положение BToporo рычаrа», . «положение первоrо рычаrа, близкое к среднему», . «положение BToporo рычаrа чуть ниже максимально возмож Horo» и т. п. Для системы, описываемой с помощью данных табл. б.l, эксперт MO жет выбрать следующие линrвистические значения: Xl : минимум (min), среднее (теап), максимум (тах), Х2 : минимум (min), среднее (теап), максимум (тах), у : минимум (min), среднее (теап), максимум (тах). Заданные экспертом модальные значения отдельных линrвистических оценок представлены на рис. б.5. На основе объективных знаний о моделируемой системе, представ.. ленных в табл. б.l, эксперт может задать правила следующеrо вида, опи сывающие функционирование системы: Rl : ЕСЛИ (Xl == min) И (Х2 == min) ТО (у == Пlах), Н2: ЕСЛИ (Хl == IIlin) И (Х2 == теап) ТО (у == тсап), R3: ЕСЛИ (:Тl == min) И (Х2 == Пlах) ТО (у == тах), R4: ЕСЛИ (1:'1 == mеап) И (Х>2 == lnill) ТО (у == теап) 
406 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования R4: ЕСЛИ (Хl == теап) И (Х2 == rnin) ТО (у == теап), R5 : ЕСЛИ (хl == rnean) И (Х2 == теап) ТО (у == min), R6: ЕСЛИ (хl == теап) И (Х2 == тах) ТО (у == теап), R7 : ЕСЛИ (хl == шах) И (Х2 == min) ТО (у == шах), R8: ЕСЛИ (х] == тах) И (Х2 == шеап) ТО (у == Пlеап), R9: ЕСЛИ (хl == тах) И (Х2 == тпах) ТО (у == Пlах). (6.2) Информация, относящаяся к представленным на рис. 6.5 линrвисти ческим значениям и множеству правил (6.2), составляет вербальную модель системы. Ментальную модель в данном случае будут составлять те знания эксперта о выходных значениях системы, которые он в COCTO янии хранить и восстанавливать в памяти, а также ero «чувственное» восприятие системы, т. е. возможность определять ее выходные состоя ния с помощью методов, которые им самим до конца не осознаются. Средний человек в состоянии помнить не более, чем 59 состояний системы, т. е. значительно меньше, чем число состояний, представлен ных в табл.6.1. Более Toro, человек не может указать используемые им в процессе мышления методы фаззификации (форму и параметры функ ций принадлежности), аrреrации условий правил (при меняемый тип опе ратора И) и дефаззификации. Тем не менее, для создания нечеткой MO дели системы указанная информация необходима. Построение нечеткой модели выполняет эксперт по нечеткому моделированию (рис. 6.4), KO торый, действуя на основе «соображений интуиции» (опыта, интуиции, знаний), должен дополнить вербальную модель недостающими элемен тами аппарата нечеткой лоrики. В зависимости от адекватности выбора этих элементов модель получается более либо менее точной. Если предположить, что экспертом по нечеткому моделированию BЫ браны треуrольные функции принадлежности для фаззификации зна чений входов хl, Х2, одноточечные функции для представления значе ний выхода у (рис. 6.6) и оператор PROD дЛЯ выполнения операции И, то нечеткая модель будет вычислять значения выходов у*, приведенные в табл. 6.2. С друrой стороны, если для фаззификации значений входов хl, Х2 выбраны rayccoBbI функции, для представления значений выхода у  oд ноточечные функции (рис. 6.7), а для выполнения операции И  опера тор MIN, то нечеткая модель будет вычислять выходные значения у**, представленные в табл. 6.3. Анализ результатов, приведенных в табл. 6.2 и табл. 6.3, подтвержда ет, что каждая из двух моделей вычисляет выходное значение поразному 
6.1. Нечеткое моделирование на основе экспертных знаний о системе 407 f1 (Xl) fl (Х2) fl (у) mm теап тах тт теап тах naua теап тах 1 1 1 5 6 7 8 9 XI о 1 2 3 4 Х2 123456789 У Рис. 6.6. Первый вариант выбора функций принадлежности для входов и BЫ ходов модели т а б л и ц а 6.2 Сравнение выходноrо значения у реальной системы и выходноrо значе ния у* нечеткой модели, использующей треуrольные функции принадлеж ности значений входов (рис. 6.6) и оператор PROD 55555 66666 77777 88888 99999 I Xl Х2 01234 01234 01234 01234 01234 у 96569 63236 52125 63236 96569 * 97579 75357 53135 75357 97579 у * Iyyl 01010 1 212 1 01010 12121 01010 средняя абсолютная поrpешность модели lyy*lmean == 0.8 т а б л и ц а 6.3 Сравнение выходноrо значения у реальной системы и выходноrо значения у** нечеткой модели, использующей rayccoBbI функции принадлежности значений входов (рис. 6.7) и оператор 11IN Xl 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 999 9 9 Х2 О 1 2 3 4 О 1 2 3 4 О 1 2 3 4 О 1 2 3 4 012 3 4 У 9 6 5 6 9 6 3 2 3 6 5 2 1 2 5 6 3 2 3 6 965 6 9 ** У 7 6 5.4 6 7 6 5.4 4.9 5.4 6 5.4 5.5 4.7 5.5 5.4 6 5.4 4.9 5.4 6 7 6 5.4 6 7 Iyy ** I 2 О 0.4 О 2 О 2.4 2.9 2.4 О 0.4 3.5 3.7 3.5 0.4 О 2.4 2.9 2.4 О 2 О 0.4 О 2 средняя абсолютная поrpешность модели lyy**lmean == 1.43 и с разной точностью, обеспечивая Tel\1 самым разные виды отображения входных значений в выходные. Подытоживая рассмотренный пример, можно сделать вывод о том, что точность модели, построенной на основе знаний эксперта, определяется следующими двумя факторами: а) исчерпывающими знаниями эксперта о реальной системе, а также ero возможностью преобразовывать их в правила и линrвистические значения, 
408 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования J.1 (х 1) тlП теап тах 11  0.66 J.1 (х 2) J.1 (у )  i . тlП теап тах тlП теап тах 1 0.66 , , , .... 0.2 0.2 О 5 6 7 8 9 Х1 О О 1 J-Lшiп(Хl) == exp[((Xl  5)/1.5765)2] J-Lmеап (Хl) == ехр[  (( Хl  7) /1.5765 )2] J-Lшах(Хl) == exp[((Xl  9)/1.5765)2] ... 2 3 4 Х2 1 3 5 7 9 У J-Lшш(Х2) == exp[((X2  0)/1.5765)2] J-Lmеап(Х2) == exp[((;E2  2)/1.5765)2] 2 Мтах(Х2) == exp[((X2  4)/1.5765) ] Рис. 6.7. Функции принадлежности, выбранные для представления значений входов Хl, Х2 И выхода у во втором варианте модели б) опытом, знаниями и интуицией эксперта по нечеткому моделирова нию, задачей KOToporo является дополнение модели, разработанной экспертом по системе, соответствующими элементами аппарата нечет кой лоrики. . Замечания к нечеткому моделированию на основе экспертных зна.. ний о системе. . Ментальные модели одной и той же системы, построенные разными экспертами, MorYT различаться в зависимости от интеллекта, позна вательных способностей, квалификации и опыта эксперта, а также от степени ero знакомства с системой, количества ее состояний, KO торые он способен воспринимать, и т. д. . Качество вербальной модели, передаваемой эксперту по нечеткому моделированию экспертом по системе, зависит не только от каче ства созданной в процессе мышления последнеrо ментальной модели, но и от ero возможностей и умения точно и адекватно передавать свои знания. . Вербальная модель, передаваемая экспертом по системе, может co держать неполное множество правил, противоречивые правила или неполную информацию о линrвистических значениях и поэтому Tpe бует всесторонней верификации и при необходимости настройки или пополнения. . Если вербальная модель содержит только множество правил, без ин формации о линrвистических значениях пара метров, то она также является применимой, при условии ее использования в комбинации с методами, которые дают возможность определения недостающих па раметров. К таким методам относятся, например, методы проб и оши 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 409 бок, настройка нейронечеткой сети на основе данных о значениях входов и выходов системы и др. . Если для механических и электрических систем иноrда удается построить достаточно точные вербальные модели (Isermann 1995), то для тепловых или химических систем вербальные модели, как пра вило, менее точны. Биолоrические системы попадают в третий класс точности, а экономические и социолоrические системы соответствуют наименее точным моделям. Возникают сложности, связанные с фор мулированием термов и их нечетким характером, с проведением изме рений и определением существенных входов систем, а также с выпол нением экспериментов, для которых характерны заведомо длительные сроки получения достаточноrо объема данных. . Качественные вербальные модели MorYT быть построены только для систем небольшой размерности, rлавным образом, для систем с одним или двумя входами. Особенности человеческоrо восприятия исключают возможность запоминания состояний для большеrо чис ла входов. В последнем случае человек может демонстрировать лишь фраrментарные знания о соответствующей системе. . Возможность идентификации системы и формирования ее качествен ной модели зависит от скорости происходящих в системе изменений. В случае быстро протекающих процессов задача моделирования си стемы, имеющей даже один вход, может оказаться неосуществимой. . Владение лишь фраrментарными качественными знаниями о системе может на самом деле оказаться весьма полезным, поскольку в данном случае можно определить по крайней мере структуру модели системы (или фраrмент такой структуры), что может значительно сократить объем работы, необходимой для идентификации системы и использо вания друrих методов нечеткоrо моделирования. Л1етод нечеткоrо моделирования на основе экспертных знаний о си стеме позволяет строить модели типа Мамдани, в то время как модели типа ТакаrиСуrено MorYT создаваться только адаптивными методами на основе измеренных данных о входах и выходах системы. 6.2. Построение самонастраивающихся нечетких u моделеи на основе измеренных данных о входах и выходах системы Первые нечеткие модели строились на основе экспертных знаний о систе ме. Приобретенный в тот период практический опыт позволил выявить 
410 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования ряд неудобств, связанных с данным подходом. Среди них наиболее важ ны следующие: а) сложность точноrо определения параметров используемых экспертом нечетких множеств (вклад подсознания эксперта в построение MeH тальной модели системы), б) сложность или невозможность сбора информации о методах эксплу атации и управления, применяемых в случае систем с большим чис лом входов (более двух), быстро изменяющихся систем или систем со сложной формой отображения входов в выходы, вследствие чеrо неспособность эксперта сформировать нечеткую модель системы по добноrо рода. Указанные обстоятельства послужили причиной интереса исследова телей к разработке нечетких самонастраивающихся моделей. Обсужде нию данной темы посвящен ряд публикаций, среди которых (Babuska 1995а, b,c,d,e; Baldwin 1995Ь; Bossley 1995; Brown 1994, 1995а, Ь; Сао 1997а; Carpenter 1992; Cipriano 1995; Cho 1995; Оауе 1997; Delgado 1995,1997; Driankov 1993,1996; Eklund 1992; Feuring 1996; Fiordaliso 1996; Fukumoto 1995; Furuhashi 1995; Gonzales 1995; Gorrini 1995; Gupta 1994; Hajek 1994,1995; Halgamuge 1996; Hanss 1996а; Hauptman 1995; Hensel 1995; Higgins 1994; Horikawa 1992; Ishibuchi 1993,1995; Jackel 1997; Kahlert 1995; Kandel 1994; Katebi 1995; Kiriakidis 1995; Krone 1996а,с; Kwon 1994; Langari 1995; Lin 1991; Lin 1996; Locher 1996а,Ь; Magdalena 1995; Mannle 1996; Murata 1995; Narazaki 1993,1995; Nelles 1996,1997; Nobre 1995; Nomura 1994; Osowski 1996; Otto 1995; Park 1995; Pedrycz 1997; Piegat 1996; Preus 1994а,Ь,1995; Preut 1995; Rovatti 1996; Rutkowska 1996,1997; Simpson 1992; Su 1995; Takagi 1985; Тап 1995; Wakabayashi 1995; Уао 1995; Zhou 1995). В данном разделе под настройкой нечеткой модели будет понимать ся rлавным образом процесс определения параметров функций принад лежности входных и выходных значений с целью минимизации ошибки модели относительно моделируемой системы, задаваемой на основе ис пользуемоrо метода оценки ошибки (средней квадратичной, средней аб солютной либо максимальной ошибки). Кроме Toro, предполаrается, что структура модели известна и не подлежит изменению. Для настройки модели, т. е. оптимизации ее параметров, чаще Bcero применяются следующие методы: 1. Методы, основанные на использовании нейронечетких сетей. 11. Поисковые методы. 111. Методы, основанные на кластеризации. 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 411 IV. Методы, использующие обычные (не нечеткие) нейронные сети. У. Эвристические методы. Для практических приложений наиболее важными являются пер вые три rруппы методов. Методы первой rруппы связаны с преобра зованием нечеткой модели в нейронечеткую сеть (Bossley 1995; Brown 1994,1995а,Ь; Gupta 1994; Hauptmann 1995; Nelles 1997; Osowski 1996; Piegat 1996; Уао 1995) и применением для настройки параметров модели методов обучения сети на основе измерений входных и выходных данных о системе. Учитывая практическое и познавательное значение указанных выше методов, в разд. 6.2.1 дано их детальное описание. Методы второй rруппы представляют собой методы прямоrо поиска оптимальных пара метров нечеткой модели. Процесс поиска может быть как упорядоченным, так и неупорядоченным (метод проб и ошибок). Наи более часто используемым методом упорядоченноrо поиска является Me тод, основанный на применении rенетических алrоритмов (Murata 1995; Nobre 1995), который представлен в разд.6.2.2. Методы, основанные на кластеризации, сочетают в себе настройку пара метров модели и ее структуризацию. Эти методы будут рассмотрены в разд.6.3. Методы, связанные с использованием нейронных сетей для настройки нечеткой модели, не получили широкоrо распространения. За интересованные читатели MorYT найти примеры применения указанных методов в (Carpenter 1992; Hauptmann 1995; Ishibuchi 1993; Narazaki 1995). Это же относится и к эвристическим методам (Eklund 1992; Gorrini 1995; Simpson 1992). Различные интересные аспекты нечеткоrо моделирования и соответствующие примеры можно найти в (Beigy 1995; Bartolan 1997; Culliere 1995; Hathaway 1996; Krone 1996Ь; Lofti 1996; Ptitz 1996; Shmilovici 1996; Wang 1995а; Zizka 1996). 6.2.1. Применение нейронечетких сетей для настройки u параметров нечеткои модели Обучение нейронных сетей может производиться на основе измерений входных и выходных данных о моделируемой системе. В настоящее Bpe мя существует множество методов обучения  все они широко описаны в профессиональной литературе (Haykin 1994; Masters 1993; Zell 1994). Нечеткую модель можно представить в форме специальной нейронной сети, и настройка параметров модели может быть выполнена на OCHO ве одноrо из методов обучения. Построенная подобным образом сеть называется нейронечеткой сетью (neurofuzzy network) (Bossley 1995; Brown 1995а,Ь; Gupta 1994; Hauptmann 1995; Horikawa 1992; Nelles 1997; 
412 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Osowski 1996; Preuss 1994а; Уао 1995), и для понимания связанных с ней концепций представляется необходимым познакомиться с общей идеей нейронных сетей. 6.2.1.1. Структуризация и обучение нейронных сетей На рис. 6.8 представлена базовая структура искусственной нейронной ce ти (ИНС). Нейроны, принадлежащие ее входному слою, передают BXOД ные сиrналы нейронам cKpbIToro слоя. Чаще Bcero используются сети с одним скрытым слоем, поскольку этот тип сетей обеспечивает ДOCTa точно точное моделирование множества реальных систем. Нейроны, при надлежащие скрытым слоям и выходному слою, выполняют обработку информации, переданной из входноrо слоя. К наиболее часто использу емым ине относятся мноrослойные персептронные сети (МПС) и ней ронные сети с радиальными базисными функциями, или так называемые RВFсети (Preuss 1994а). Основным элементом персептронной сети яв ляется нейрон, схематически представленный на рис. 6.9. Функция распространения обеспечивает вычисление взвешенной CYM мы S всех входных сиrналов нейрона и ее передачу нелинейному элемен ту с функцией активации f(8) (называемой также пороrовой функцией), который rенерирует выходной сиrнал нейрона у. Значение коэффициен та ШО называется пороrовым. При достаточно больших пороrовых значе ниях ШО даже малые значения входных сиrналов Xi приводят к rенерации нейроном выходноrо сиrнала, в то время как при малом пороrовом зна чении требуются большие значения входных сиrналов. В большинстве случаев в качестве функции активации f (8) используется сиrмоидальная функция, представленная на рис.6.10. Входные сиrналы Нейроны Выходные сиrналы Входной слой 2й скрытый слой 1 й скрытый слой Выходной слой Рис. 6.8. Структура искусственной нейронной сети 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 413 Хl . ВЫХОД . У . Х р р s== LW1Xi +wo i = 1  ФУНКЦИЯ распространения ФУНКЦИЯ активации Х р Хl Рис. 6.9. Схема искусственноrо нейрона, используемоrо в мноrослойных пер септронных сетях f(s) COO 1 f(s) == 1  cs +е о s Рис. 6.10. Сиrмоидальная функция Коэффициент с влияет на наклон сиrмоидальной функции. При с --------+ ос нейрон возбуждается быстрее, и наоборот, при с --------+ О воз.. буждение нейрона происходит медленнее. Обычно МПС состоят из трех слоев (рис. 6.11). 
414 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Выходное значение Ошибка сети сети . . . . . . . 1 . . . * . у . .   Слой 1 "у Слой 2 .-1 \. ) у Слой 3 Рис. 6.11. Трехслойная персептронная сеть с одним выходом Процесс обучения нейронной сети обеспечивает постепенное измене ние значений ее весов ш, v, С, при котором достиrается l\1инимальное или субминимальное значение критерия обучения, в качестве KOToporo обычно используется средняя или суммарная квадратичная ошибка BЫ ходноrо значения у сети относительно выходноrо значения у* моделиру емой системы. Выходное значение сети у является функцией ее входных значений и обучаемых параметров: у == F (. . . , (Wj, . . . , V k  . . . , Cl, х) , (6.3) rде х == [Х], . . . , Хр]Т. Если одиночную обучающую пару, содержащую входные и выходное значения, полученные путем измерений моделируемой системы, обозна чить через {х*\ y*}, (б.4) то суммарная квадратичная ошибка сети для полноrо цикла обучения, содержащеrо m обучающих пар, умноженная на 0.5 (для удобства даль нейших вычислений), выражается с помощью формулы m m Е == 0.5 L(y*i  yi? == 0.5 L е7. il il (б.5) 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 415 0.5 е 2 (О.5де 2 ) tgy = Bg де 2 Дg=0.5а Bg gopt g(k 1) g Рис. 6.12. Иллюстрация влияния пара метров сети (g) на величину ошибки е 2 выходноrо сиrнала Суммарная ошибка Е уменьшается при уменьшении ошибок е; инди видуальных обучающих пар. Как и выходное значение у, общая ошиб ка сети представляет собой функцию ее параметров Wij, Vk, С[, которые являются переменными процесса обучения и обычно называются степе нями свободы сети. Число степеней свободы, как правило, велико, что дает возможность реализации самых сложных отображений. Настройка параметров сети обычно выполняется на основе принципа обратноrо pac пространения ошибки, с использованием rрадиентных методов (Haykin 1994; Masters 1993; Zell 1994). Если g  произвольно выбранный HaCTpa иваемый пара метр сети, то ero влияние на ошибку сети зависит от про изводной де 2 / ag (рис. б.12). В соответствии с рис. б.12, чтобы пара метр g приблизился к своему оптимальному значению gopt, ero необходимо сместить в направлении отрицательноrо rрадиента на величину g( k), которая задается на основе формулы (б.б), называемой дельтаправилом (Haykin 1994): ae 2 (k  1) b.g(k) == O.5a ag(k:  1) , (6.6) [де СУ  коэффициент скорости обучения. Новое значение параметра g(k) можно найти по формуле g(k) == g(k  1) + g(k), (б.7) rде k  номер шаrа. Величина поправки g(k) зависит от выбранноrо значения коэффи циента а. В начале процесса настройки выбирают значения, близкие к СУ == 0.1. При более высоких значениях а можно быстро приблизиться К оптимальному значению параметра, но при этом существует опасность, связанная с возникновением колебаний значений параметра BOKpyr оп тимальноrо, через которое пара метр будет «перескакивать» (рис. б.13). 
416 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования 0.5 е 2 О.5е 2 * Дg(k 1) Д*g(k) * Дg(k 1) : !Jg(k) I I ' I I I I I I I I I I I I , I I I * О.9дg(k) g(k 1) gopt g(k 2) g g(k 1) g(k) gopt б) g(k 2) g а) д * 9  поправка без использования момента (6.6) Дg  поправка с использованием момента (6.8) Рис. 6.13. Использование момента JL для устранения колебаний Данноrо явления можно избежать, если использовать для вычисления поправки формулу (6.8), содержащую момент {L: ae 2 (k  1) b.g(k) == O.5a ag(k:  1) + Mb.g(k  1). (6.8) Значение момента {L выбирается из интервала [О, 1], при этом чаще Bcero ero полаrают равным 0.9. Результат использования данноrо пара метра иллюстрируется на рис.6.13. Пусть для пара метра g, настраиваемоrо без использования MOMeH та, имеют место колебания BOKpyr оптимальноrо значения, с изменением амплитуды Д*g (рис. 6.13, а) и ее знака. Если для вычисления поправки использовать формулу (6.8), содержащую момент для шаrа (k  1), KOTO рому соответствует значение параметра g( k  1), то это сразу же приведет к уменьшению следующеrо значения поправки до О.9д*g(k  1). Таким образом, новое значение пара метра g(k) не будет «перескакивать» через оптимум, и дальнейшие шаrи обеспечат постепенное к нему приближе ние. Ключевой задачей в процессе обучения является вычисление про изводных де 2 j ag для настраиваемых параметров. Это вычисление ocy ществляется путем перемножения частных производных входных и BЫ ходных сиrналов для всех элементов сети, находящихся между сиrна лом 0.5е 2 и корректируемым пара метром (рис. 6.14). При наличии множе ства путей, ведущих к сиrналу 0.5е 2 , произведения производных, вычис ленные вдоль каждоrо пути, суммируются. Рассмотрим указанный метод вычисления производных на примере сети, изображенной на рис.6.14. Для выполнения коррекции коэффициента Су на низшем слое сети необходимо найти частную производную a(0.5e 2 )jac y соrласно выраже 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 417 1 д (о .5е 2 ) =  е а (о .5е 2 ) = е дУ де . у Рис. 6.14. Пример, иллюстрирующий метод обратноrо распространения ошибки нию д(о.5е 2 ) == д(о.5е 2 ) . де . .!!L == е. (1). afy(s) == e' afy(s) . (6.9) дсу де ду дсу дсу дсу Формула (6.9) содержит ошибку сети е, которая, двиrаясь в «противо положном» от выхода сети направлении, появляется в каждой производ ной. Именно поэтому метод назван методом «обратноrо распространения ошибки». Для коррекции коэффициента Vo на низшем слое используется про изводная a(O.5e2)javo, вычисляемая по формуле д(О.5е 2 ) д(О.5е 2 ) де Dfy(s) Ds y Dfy(s) == .  . .  == e . Dvo де ду Ds y д'ио Ds y . (6.10) Коррекция коэффициента Vl выполняется на основе производной, определяемой с помощью соотношения д(о.5е 2 ) д(О.5е 2 ) де Dfy(s) Ds y Drl Dfy(s) == .  . .  .  == Zl . е . . DVl де ду Ds y Drl DVl Ds y Поправка для коэффициента V] зависит не только от величины ошиб ки е, но и от текущеrо значения входноrо сиrнала Zl элемента Vl (рис. 6.14). Для коррекции коэффициента Wll на скрытом слое необходи (6.11) 
418 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования мо использовать производную, вычисляемую по формуле д(О.5е 2 ) . де . ду . as y . дТl . aZ 1 . aS 1 . дРl де ду as y дТ1 aZ 1 aS 1 дР1 дШll al 1 (8) al y (s) ==  х . е . '. Vl. aS 1 as y Преимущество сиrмоидальной функции активации (рис. 6.10) связано с простотой методов вычисления ее производных: д(О.5е 2 ) дШ11 (6.12) 1 У == f ( s) == 1 + е  cs , al(s) с. e('s as (1 + ecs)2 д ,,) == s(y  у2). ('s + с.е cc 2 == (1 + ecs)2 == с(у  у ), (6.13) (6.14) Одной из сложностей, возникающих при обучении нейронной сети, является проблема, связанная с определением ее структуры, т. е. числа нейронов в промежуточных слоях сети и взаимосвязей между нейрона ми отдельных слоев. Поскольку наиболее часто используются CTPYKTY ры, содержащие три слоя, один из которых является скрытым, то задача определения структуры фактически сводится к задаче определения чис ла нейронов n в скрытом слое. В литературе можно найти множество полезных рекомендаций по решению указанной задачи  см., например, (Haykin 1994; Osowski 1996; ZellI994),  но при этом они не rарантируют выбора оптимальной или даже просто приемлемой структуры. Причины этоrо будут в свое время рассмотрены. Цель настройки (обучения) нейронной сети состоит в получении Ta кой поверхности аппроксимации отображения «BXOДBЫXOД» моделируе мой системы, которая соответствует измерениям данных о системе и дает информацию о характере ее функционирования. При этом должно OCTa ваться справедливым следующее общее утверждение о структуре сети: «чем сложнее поверхность выполняемоrо системой отображения Х  У, тем большее число нейронов cKpbIToro слоя требуется для ее моделиро вания» (рис. 6.15). К сожалению, при моделировании реальных систем информация об уровне сложности поверхности зачастую оказываются неполной, особен но в случае систем со мноrими входами. Имеется обычно лишь информа ция о результатах измерения входных и соответствующих им выходных значений, которая при этом полна ошибок измерения и подвержена влия нию со стороны входных параметров, которые не были учтены в процессе 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 419 у у х х а) простая поверхность: промежуточный слой содержит меньшее число нейронов б) сложная поверхность: промежуточный слой содержит большее число нейронов Рис. 6.15. Зависимость между сложностью поверхности отображения Х  У, выполняемоrо моделируемой системой, и числом нейронов в нейронной сети моделирования. Для систем, имеющих более двух входов, модель невоз можно представить в rрафической форме, позволяющей оценить слож ность поверхности, и поэтому используется метод проб. В начале процес са моделирования число нейронов n можно положить равным среднему rеометрическому числа входов р и числа выходов l (Osowski 1996)  см. формулу (6.15). Далее, с учетом точности построенной сети, количество нейронов можно соответствующим образом скорректировать: n rv JPi. (6.15) Перед началом процесса настройки сети множество и т , содержащее измерения данных Х /У о системе, следует разделить на два подмно жества  множество U tr данных для обучения и множество U ts данных * для тестирования : и т == U tr + U ts , U tr #- U ts . (6.16) Множество U ts используется для тестирования сети, обученной на oc нове множества U tr , и оно должно содержать данные, отобранные из множества измерений и т В соответствии с принципом paBHoMepHoro pac пределения данных в пространстве входных параметров Х (рис. 6.16). В ситуации, изображенной на рис. 6.16, а, после настройки нейронная сеть будет выполнять точное моделирование системы в левой части BXOД Horo пространства, а использование для тестирования данных из правой части этоrо пространства будет приводить к значительной (или даже очень большой) ошибке. В рассмотренном случае сеть не имела возмож ности «ознакомиться» С моделируемой системой на всем пространстве * Множество U tr данных для обучения и множество U ts данных для тестирования должны быть непересекающимися.  Прuм. перев. 
420 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Х2 U Х2 т с . ......... ' Э ' . . . .... .... . :'.:.":' .....:- ..::< : : И tr @Jj Х2 U ts CJE) .:..:.::: .. . . . .. .. Х) Х) Х\ а) неправильное разделение множества измерений И т на множество обучающих данных И tr и множество тестовых данных И ts Х2 И т Х2 И tr Х2 и ts С .' >. ':.: ... ) С. '":'" ':.: ... ) Х) Х) Хl б) правильное разделение множества измерений И т на множество обучающих данных И tr и множество тестовых данных И ts Рис. 6.16. Иллюстрация проблемы, связанной с разделением множества изме рений ее функционирования. В ситуации, представленной на рис. 6.16, б, как для обучения, так и для тестирования сети используются данные, распре деленные по всему пространству функционирования системы, и в этом случае множество данных для тестирования будет обеспечивать объек тивную, корректную оценку точности сети. По результатам анализа начальной структуры необходимо корректи ровать число n нейронов на скрытом слое до тех пор, пока не будет отмечено улучшение результатов тестирования, т. е. пока средняя ошиб ка сети на множестве тестовых данных U ts , либо на общем множестве данных U т , не уменьшится. В отдельных случаях обучение выполняется без использования тестовых данных, особенно если множество данных небольшое. Процесс обучения и корректировки структуры продолжается до достижения функцией ошибки минимальноrо значения (при условии что сеть не переобучена  см. рис. 6.17)). Изменения структуры MorYT выполняться с использованием двух Me тодов: конструктивноrо и деструктивноrо. Конструктивный метод пред полаrает, что процесс обучения начинается с небольшоrо числа нейронов, которое постепенно увеличивается, пока не будет достиrнут оптимальный результат. При использовании деструктивноrо метода обучение начина ется с большоrо числа нейронов, которое затем постепенно уменьшается. Результаты некоторых исследований (Fukumoto 1995) показали, что при менение деструктивноrо метода позволяет получать структуры с MeHЬ 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 421 у х а) зашумленные данные, корректное обобщение у / х у I Система I \ Сеть х 2) незашумленные данные, корректное обучение и обобщение у / Сеть Сеть х б) зашумленные данные, переобобщение(недообучение) у х в) зашумленные данные, обобщение отсутствует (переобучение) х д) незашумленные данные, переобобщение(недообучение) у Сеть х д) незашумленные данные, обобщение отсутствует (переобучение) Рис. 6.17. Иллюстрация обобщения измеренных данных нейронной сетью 
422 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования шим числом нейронов и меньшей поrрешностью обучения, в то время как при использовании конструктивноrо метода обучение происходит быст рее. Вместе с тем, к подобным выводам следует относиться с осторож ностью ввиду большоrо разнообразия сетей и MHorocTopoHHero xapaKTe ра задач моделирования, а также Toro факта, что в друrих публикациях можно встретить иную точку зрения на эти два метода. Основная задача, связанная с обучением сети, состоит в том, чтобы обеспечить KoppeKT ность обобщения сетью данных и избежать ее переобучения. Указанная задача представлена на рис. 6.17. Недостаточно обученная сеть демонстрирует чрезмерно высокую CTe пень обобщения данных (рис. 6.17, 6 д). Поrрешность сети является BЫ сокой как для множества обучающих данных U tr , так и для множества тестовых данных U ts . Причинами этоrо MorYT быть, например, слишком малое число нейронов или недостаточное обучение. Для соответствую щей нейросетевой модели обычно характерен простой вид поверхности отображения Х  У. Средняя ошибка переобученной сети (рис. 6.17, в е) является очень малой, а ее поверхность отображения очень точно проходит через точ ки, соответствующие данным измерений. Однако между этим точками поверхность может в корне отличаться от реальной поверхности модели руемой системы. Распознать ситуацию, связанную с переобучением сети леrко, поскольку в этом случае сеть демонстрирует очень низкую по rрешность на множестве обучающих данных и высокую на множестве тестовых. Причиной переобучения может являться как слишком большое для данноrо уровня сложности моделируемой системы число нейронов, так и слишком малый объем обучающих данных. Объем данных не дол.. жен быть меньше числа степеней свободы сети (т. е. числа подлежа.. щих настройке параметров). При меньшем количестве данных настрой ка некоторых параметров осуществляется случайным образом, и поверх ность модели между обучающими элементами имеет непредсказуемый характер (рис. 6.17, в е). На основе приведенных выше рассуждений можно получить инте ресный, но при этом достаточно неожиданный вывод о том, что сеть, безупречно выполняющая аппроксимацию множества обучающих дaH ных И tr , необязательно является оптимальной сетью. Характеристикой «оптимальная» должна обладать сеть, обученная на основе множества обучающих данных и обеспечивающая минимальную ошибку на всем множестве результатов измерений И т . Нейронные сети RBF типа состоят из нейронов с радиальными базис ными функциями активации. Свойства этих сетей зависят от расстояния 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 423 у 0.60653 0.5 oo +---------- с  +00 х Рис. 6.18. [ауссова радиальная базисная функция (GRВфункция) в двумерном пространстве Ilx  cll между точкой х, принадлежащей входному пространству, и цeH тром функции с. Радиальные базисные функции задаются с помощью формулы (6.17) (Brown 1994): У == f(x) == f(lIx  cll), (6.17) rде х == [хl, . . . , Хр]Т  входной вектор, с == [Сl,..., Ср]Т  вектор координат центра функции. Из радиальных базисных функций чаще Bcero используется rayccoBa радиальная базисная функция (GRВфункция). На рис. 6.18 представлена форма данной функции в двумерном пространстве. Дисперсия 6 GRB функции определяет степень отклонения ее ветвей (рис. 6.18). Величина наклона равна 6 при высоте, равной У == ехр( 0.5) f"'V 0.60653. GRВфункция, известная как rayccoB «колокол» (Preuss 1994), имеет некоторые полезные свойства. Значения данной функции являются близ кими К 1 только для входных значений х, близких к центру функции С. Указанное свойство делает функцию особо полезной для применения в случае нечетких правил, задаваемых в форме ЕСЛИ (х близок к с) ТО (У близок к Уа), (6.18) rде У == f(x) == Уа exp[(x  с)2/26 2 ]. MHoroMepHbIe GRВфункции, задаваемые с помощью формулы (6.19), используются для моделирования систем со мноrими входами: [  (Xi  C i )2 ] У == f ( х) == ехр   262 , i== 1  (6.19) 
424 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Х2 I L I I I I I I I I Сl Хl Рис. 6.19. GRВфункция с двумя входами и ее параметры rде х == [Х1, . . . , Хр]Т  входной вектор, с == [С1, . . . , Ср]Т  вектор координат центра функции, <5 == [<51,..., <5 р ]Т  вектор дисперсий (отклонений) относительно осей переменных Xi. На рис.6.19 представлены параметры rayccoBa «колокола» С двумя входами. Выходное значение GRВфункции со мноrими входами является близ ким к 1, только если входной вектор х расположен вблизи от центра функции, задаваемоrо с помощью вектора с (6.19). Данная функция эф фективно выполняет оценку сложных условий внечетких правилах вида ЕСЛИ (Х1 близок к С1) И ... И (Х р близок к Ср) ТО (У близок к Уа), (6.20) rде {  (.т  с.)2 } У == f (х) == Уа ехр   1 2 1 . 26 i== 1 Используются два типа RBF сетей (рис. 6.20): простые (ненормализо ванные) и нормализованные. Недостаток простой RBF сети (рис. 6.20, а) связан снесовершенством интерполяции в тех случаях, коrда ветви соседних GRВфункций слеrка перекрывают друr друrа. В подобной ситуации на участках поверхности нейросетевой модели между отдельными rауссовыми «колоколами» MorYT наблюдаться «спады» (рис. 6.21, а). В случае же, если расстояния меж ду центрами «колоколов» являются большими, а охватываемые ветвями диапазоны  малыми, на поверхности модели MorYT возникнуть «ямы», 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 425 Хl Простая RВP  сеть: п у= L И;h i=l Х р f" а) Хl Нормализованная RВP  сеть: п Х р L W i J; 1=1 у= п LWi i=l б) Рис. 6.20. Структуры RBF сетей вызванные локальной нечувствительностью модели к входным изменени ям (рис. 6.21, 6). Характерных для простых RBF сетей «спадов» И «ям» можно из бежать, если для смежных функций ввести зависимость величины 6i охвата ветвей от расстояния между их центрами Ci. Имеются HeKOTO рые эвристические рекомендации, в соответствии с которыми, например, величина 6 должна быть равной удвоенному среднему расстоянию меж ду центрами смежных функций (Preuss 1994а). Вместе с тем подобная «жесткость» выбора величины 6i охвата ветвей по сути означает их ис ключение из числа степеней свободы в процессе настройки, и таким об разом настройке подверrаются только центры Ci, а величины охвата 6i выбираются в зависимости от расположения центров. В случае же, KO rда объектами настройки являются как центры, так и величины охвата, в ходе обучения простой RBF сети MorYT возникнуть «спады» И «ямы», если в начале обучения выбраны слишком малые величины охвата 6i, и для некоторых областей входноrо пространства отсутствуют данные из мерений. Адаптация параметров в подобной ситуации может оказаться сложной. Указанные выше недостатки обычных RBF сетей можно зна чительно уменьшить, если использовать нормализацию сетей (рис. 6.20), предложенную в работе (Moody 1989). Достоинством и, одновременно с этим, недостатком GRВфункций является бесконечная ширина их носителей, покрывающих все BXOД 
426 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у y=f(x)  а) обычная RВP  сеть: эффект «спадов» wlfi / / Сl С2 СЗ х у СЗ Х б) обычная RВP  сеть: эффект «ям» в) нормализованная RBF  сеть jy УЛХ\ wlfi w2f2 wзfз ' I , I I , \ I I \ \ / I \ /" I '\\1 I \ / I \.,. I , I " I \ I I \ I \., I 'у I \ , I " I''\. I \ ,1" ." I \. " I /....... /'" I \. " ........ I .... ..... Сl С2 СЗ х Рис. 6.21. Потенциальные опасности, связанные с моделированием систем на основе использования обычных RBF сетей, и их предотвращение путем HopMa лизации этих сетей ное пространство модели (рис. 6.18). Это дает возможность использо вать неполные базы правил, исключая из модели несущественные или мало существенные правила, в то время как сама модель остается чис лен но полной, т. е. rенерирует выходное значение для каждоrо входноrо состояния (см. разд. 5.2). Таким образом, становится возможным созда ние «разреженных» нечетких моделей (Вrоwп 95а). Основным свойством GRВфункций, которое иноrда трактуется как их недостаток, является невозможность выполнения условия разбиения единицы (равенства еди нице суммы смежных функций принадлежности), вследствие чеrо любое состояние входных пара метров нечеткой модели приводит к активизации всех имеющихся в ней правил, но при этом заключения правил не «co обща ют правду» (см. разд.5.7.1). Можно также использовать асимметричные GRВфункции, имеющие разные величины охвата д для областей положительных и отрицательных значений переменной. Достоинство GRВфункций связано с их непре рывной дифференцируемостью, что упрощает обучение сети. Для обуче ния RBF сетей обычно используются rрадиентные методы, как, например, 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 427 . ЕСЛИ (...) ТО (...) правило 1 . . s м L Хl . . . . . . у Х р ЕСЛИ (...) ТО (...) правило r Фаззификация База правил Дефаззификация Рис. 6.22. Общая схема нечеткой модели в случае персептронных сетей или методов кластеризации (Preuss 1994а; Osowski 1996)  см. разд.6.3.3.2. Коrда известны структура и основные методы обучения нейронных сетей, можно переходить к следующему этапу преобразования нечеткой модели в нейронечеткую сеть  см. разд.6.2.1.2. 6.2.1.2. Преобразование нечеткой модели Мамдани в нейронечеткую сеть На рис. 6.22 представлена нечеткая модель системы типа MISO. В данном разделе будут рассмотрены методы преобразования различных элементов f.J(x) S f.Js(X) f.Js{x) 1 f.JMl (х) аl а2 аз х + f.J м(Х ) Х а 2 1  а) + f.J Mr(X ) f.JL(X) f.JL(X) Рис. 6.23. Преобразование кусочно"линейных функций принадлежности (а) во фраrменты нейронной сети (6) 
428 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования нечетких моделей в элементы нейронных сетей и алrоритмы вычисления производных, применяемые в rрадиентных методах обучения. Преобразование элементов блока фаззификации. Рисунок 6.23 ил люстрирует преобразование кусочнолинейной функции принадлежности во фраrмент нейронной сети. В процессе обучения сети выполняется Ha стройка пара метров ai функции принадлежности, с учетом чеrо необхо димо определить производные выходных значений блока фаззификации по указанным выше параметрам. Функции принадлежности и их произ водные определяются с помощью формул (6.21)(6.30): 1, если Х < аl, JLS(X) == а2  Х аl  Х < а2, если а2  аl О, если х  а2; af-LS(X) { а2  х == 0 (а 2  аl)2 ' даl af-LS(X) { Х  аl == 0 (а 2  аl)2 , да2 (6.21) если аl  Х < а2, (6.22) в остальных случаях; если аl  Х < а2, (6.23) в остальных случаях; О, если Х < а2, flL(X) == Х  а2 если а2  Х < аз, аз  а2 1, если Х  аз; fl А1 ( х) == JL А II ( х) + JL Л1 r ( х) == 1  fl S ( х)  JL L ( Х ) , дМАl (х) af-LS (х) даl aal д f-L А1 ( Х ) д f-L S ( Х ) д f-L L ( Х ) да2 да2 да'2 дМАl(Х) af-LL(X) даз даз Для моделирования функций принадлежности авторы большинства публикаций по нейронечетким сетям рекомендуют использовать толь af-LL(X) да2 { Х  аз == о(аза2)2' { а2  Х == d аз  а2) 2 , af-LL(X) даз (6.24) если а2  :r < аз, (6.25) в остальных случаях; если а2  Х < аз, (6.26) в остальных случаях; (6.27) (6.28) (6.29) (6.30) 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 429 р(х) == МАХ (О, 1    cl/d) р(х)=ехр (xc)2 282 1 1 d 8==  -J2n  .. Fl ==Е; с х с х Рис. 6.24. Замена кусочнолинейной функции принадлежности на GRB функцию равной площади Б + х Рис. 6.25. Нейрон, реализующий GRВФункцию ко непрерывно дифференцируемые GRВфункции. Некоторые авторы (Horikawa 1992; Kahlert 1995; Preuss 1994а) предлаrают заменять кусочнолинейные функции на GRВфункции (сохраняя равенство пло щадей заменяемых функций  см. рис.6.24) и строить нейронечеткие сети исключительно на основе GRВфункций. Нейрон, реализующий GRВфункцию, представлен на рис. 6.25. Вычисление производных дм/дс И дм/ д8 в этом случае является очень простым. Замена кусочнолинейных функций принадлежности на GRB функции приводит к возникновению так называемой ошибки преобра зования (Preuss 1995), которая обусловлена тем, что носители и фор МЫ этих функций не совпадают. Поскольку в нечетких моделях обыч но используются асимметричные треуrольные функции принадлежности, их необходимо заменять асимметричными GRВфункциями с различ ными величинами правостороннеrо и левостороннеrо разбросов, и это еще больше усложняет задачу. Однако, исследования, проводившиеся автором данной книrи (Piegat 1996), а также Хензелем, Хольцманном и Пфайфером (Hensel 1995), показали, что обучение нейронечетких ce тей с кусочнолинейными функциями принадлежности является столь же эффективным, как и в случае сетей с непрерывно дифференцируемыми функциями принадлежностями. Единственным условием, оrраничиваю щим возможность применения определенной функции принадлежности 
430 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования в нейронечеткой сети, является возмо)Кность вычисления производной этой функции И конечное значение производной. Преобразование элементов блока базы правил. Выходными значения ми блока фаззификации являются степени принадле)Кности входных зна чений Xi нечетким мно)Кествам A ij со своей линrвистической областью определения. Указанные выходные значения одновременно представляют собой степени выполнения подусловий, содер)Кащихся в части ЕСЛИ(. . .) нечетких правил вида ЕСЛИ (х} == A 11 ) И (Х2 == А 21 ) И ... И (Х р == A p1 ) ИЛИ (х} == А 12 ) И (Х2 == А 22 ) И ... И (Х р == А р2 ) ИЛИ ТО (у == B 1 ). (6.31) Блок базы правил определяет результирующую степень выполнения Bcero сло)Кноrо условия (антецедента правила) на основе степеней BЫ полнения подусловий, находящихся в части ЕСЛИ (...) правил, а TaK )Ке на основе типов используемых в этой части лоrических операторов (И, ИЛИ). В свою очередь, указанная степень активизирует функцию принадле)Кности Bz, находящуюся в заключении (консеквенте) правил. Обычно используется метод вывода типа MAXMIN. Условие правила мо)Кно представить в виде фраrмента нейронной сети, изобра)Кенноrо на рис. 6.26. Для выполнения операций И, ИЛИ MorYT использоваться tHOpMbl и SHOpMbl либо друrие операторы. Ка)Кдое правило выполняет активизацию одноrо из выходных нечетких мно)Кеств Bz. Поскольку oд но и то )Ке нечеткое мно)Кество Bz мо)Кет активизироваться несколькими правилами Rm, то для получения окончательной формы активизирован ной функции принадле)Кности fLB l (у) выходноrо нечеткоrо мно)Кества Bz необходимо выполнить композицию их заключений, для чеrо, как прави ло, используется оператор МАХ. Общая схема нейросетевоrо представ ления базы правил обычно имеет вид, показанный на рис. 6.27. Сеть, соответствующая базе правил, содер)Кит нейроны, которые BЫ полняют лоrические операции. Вычисление производных выходных зна чений по входным для этих нейронов обычно не составляет труда, за ис ключением случая операторов JVfAX или :NIIN, присутствующих в сети независимо либо в составе друrих операторов. На рис. 6.28 представлен оператор l\1AX со мноrими входами. 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 431 PAij PB/Rт Рис. 6.26. Нейросетевая диаrрамма условия правила Rm с нейронами И и ИЛИ, приводящеrо к активизации множества Bz значений у на выходе модели РА ц . Степень активизации выходных множеств В/ отдельными правилами \ . . Рв ! . . . Результирующие степени активизации выходных множеств Bz(y) ' C тепени выполнения подусловий правил Рис. 6.27. Общая нейросетевая диаrрамма базы правил 
432 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у = MAX(XI, Х2) У=Х}=Х2 у У=Х2 Х2 о а) б) у == МАХ(Хl,. .. , Х р ), ду { 0 1, дх i == , если у == x если у -1 X Рис. 6.28. МАХнейрон (а), формула для вычисления производных выходных значений по входным и поверхность функции !vfAX(Xl, Х2) (6) РА  1 + Рв  дрв В =А, J.l в = 1  J.l А'  =  1 дРА Рис. 6.29. Преобразование оператора отрицания в элемент нейронечеткой сети МАХнейрон дает отклик на изменение ДХi входа Xi в виде измене ния Ду выхода, только если Xi == MAX(Xl, . . . , Х р ). Изменение друrих входов не приводят к формированию отклика. Поэтому значение производной по указанному выше входу равно 1, а по всем остальным параметрам равно О (рис. 6.28). Аналоrично, для МINнейрона производные вычисляются по формуле ду == { 1, если у == Xi, aXi О, если у -1 Xi. у == i\1IN ( Х 1, . . . , Х Р ) , (6.32) Если несколько входов имеют одинаковые значения, которые при этом являются максимальными (минимальными), то значения производных по каждому из этих параметров будут равны 1. Моделирование оператора отрицания также не является проблемой  соответствующее преобразо вание представлено на рис. 6.29. Преобразование блока дефаззификации. Входными параметрами бло ка дефаззификации являются степени активизации JlB 1 (у) нечетких l'vIHO жеств Bl на выходе модели. Структура нейронной сети, соответствующей 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 433 ,и (у) 1 В} Bq ,ив q I \ I \ I \ I \ r  I \ I \ I \ I \ ,ив} УВ} У В q у а) ,ив! I у ,ив q 1t  оператор умножения 11т  оператор деления б) Рис. 6.30. Нейронная сеть для представления блока дефаззификации данному блоку, зависит от выбранноrо метода дефаззификации и степе ни сложности этоrо метода. Простейшим, очень эффективным и часто используемым методом дефаззификации является метод одноточечных множеств. Одноточечные множества используются в качестве замены выходных множеств, и их расположение совпадает с пиками функций принадлежности либо с их центрами тяжести YB l ' В этом случае значе ние на выходе модели вычисляется по формуле q Е f-LВl . YBl l==l q Е f-LВl l==l Нейронная сеть, выполняющая дефаззификацию методом одноточеч ных множеств, представлена на рис. 6.30. Производные в такой сети вычисляются очень просто. В случае если в знаменателе формулы (6.33) суммарная степень принадлежности эле ментов YB l всеrда равна 1, то m == 1, тоrда нижнюю ветвь сети, также как и оператор деления l/rп (рис. 6.30), можно отбросить. В конечном итоrе, нейронная сеть, представляющая полную нечеткую модель, имеет структуру, представленную на рис.6.31. У== (6.33) 
434 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования J1B 1 J1Bq Фаззификация База правил Дефаззификация Рис. 6.31. Нейронечеткая сеть для представления нечеткой модели Предположим, мы намерены исследовать значимость отдельных пра вил модели. Для решения подобной задачи необходимо использовать KO эффициенты доверия Ui, принимающие значения в интервале [О, 1], BBO дЯ их в те ветви сети, rде происходит преобразование сиrналов {lBlR1п (выходов правил). Если в результате обучения сети на основе входных и выходных данных о системе значения некоторых коэффициентов OKa зываются близкими к нулю, то соответствующие данным коэффициен там правила не являются существенными, и их можно исключить. Опи санная процедура позволяет выполнять настройку реляционных Moдe лей. Представленная на рис.6.31 схема нейронной сети носит обобщен ный характер. Структура сети зависит от структуры конкретной нечет кой модели и ее отдельных элементов. В при мере 6.2.1.2.1 (см. ни же) приводится нечеткая модель и соответствующая ей нейронечеткая сеть. Пример 6.2.1.2.1. Рассмотрим нечеткую модель с базой правил (6.34) и функциями принадлежности, представленными на рис. 6.32. ДЛЯ BЫ полнения операции И используется оператор PROD, вывод осуществ ляется на основе метода МАХ  l\IIIN, а дефаззификация выполняется с использованием одноточечных множеств, соответствующих вершинам 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 435 .и(х!) 1 .и (Х2) А 11 А 12 А 21 1 А 22 .и (у) 1 в 1 В 2 В з В4 /, /, " " """,' " \, \, \, \ , " " " , , "",' , , ./ \, \" \ аll а12 Хl а21 а22 Х2 УВ 1 УВ 2 УВ з УВ 4 у Рис. 6.32. Функции принадлежности, используемые в нечеткой модели IlA 11 РА 21 О.5( . )2 1 + L т Рис. 6.33. Нейронечеткая сеть, соответствующая нечеткой модели (6.34) и рис.6.32 ФУНКЦИЙ принадлежности: Rl: ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == В 21 ) то (у == В 1 ) R2: ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == В 2 2) то (у == В 2 ) R3: ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == В 2 1) то (у == В 2 ) R4: ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == В 22 ) то (у == в з ) ( 6.34 ) Соответствующая данной модели нейронечеткая сеть представлена на рис. 6.33. Производная, используемая для корректировки пара метра У Н 1' Bыpa жается в виде: д(О.5е 2 ) д(О.5е 2 ) де ду Dl .... дув! де ау Dl DZ 1 ( 1 ) e . f-LВ l == е . (  1).  . (1) . 11 Н == тп 1 т aZl дув! e . Мв! JLBl + МВ 2 + f-Lв з + М В 4 (6.35) 
436 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Аналоrично можно получить формулы для вычисления производных пара метров aij нейронов, принадлежащих слою фаззификации. Однако их математическое выражение выrлядит значительно сложнее. 11 Для обучения нейронечеткой сети MorYT использоваться следующие процедуры: 1. Настройка только параметров YB l слоя дефаззификации, с coxpaHe нием постоянных значений aij пара метров входных функций принадлеж ности (например, с сохранением paBHoMepHoro распределения функций на области определения). Настройка обычно происходит быстро и зача стую обеспечивает высокую точность модели. 2. Одновременная настройка всех параметров сети. Процесс настрой ки может быть длительным и сложным, вследствие большоrо числа пара метров и наличия у функции ошибки локальных минимумов. При очень большом числе пара метров настройка сети может оказаться практически неосуществимой. Потенциально данный метод позволяет добиться луч ших результатов настройки. Для начальноrо выбора параметров можно использовать метод rенетических алrоритмов (rенетикопараметрическое представление сети). 3. Настройка пара метров YB l слоя дефаззификации и слоя фаззифи кации по отдельности. Поскольку каждый цикл обучения связан с Ha стройкой только определенных пара метров модели, то эффект появления локальных минимумов функции ошибки является менее выраженным, а приемлемый набор значений пара метров сети можно получить быстрее. Процесс обучения сети может быть реализован на основе rенетическоrо поиска. 6.2.1.3. Преобразование в нейронечеткую сеть нечеткой модели ТакаrиСуrено Основное различие между моделями Мамдани и ТакаrиСуrено связа но с формой представления заключений правил. Типовое представление правила Ri в модели ТакаrиСуrено имеет вид ЕСЛИ (.т1 == A 11 ) И (Х2 == А 21 ) И ... И (Х р == А р1 ) ИЛИ (J:.l == ..412) И (Х2 == А 22 ) И ... И (Х р == А р2 ) ИЛИ ТО (у == b iO + b11Xl + . . . + bipX p ), (6.36) rде 1  номер правила. 
Х) Хl f.1Ri  степень активизации заключения правила Ri, bij  параметры функции в заключении правила Ri. Х р Х р Рис. 6.34. Общая схема нейронечеткой сети для представления модели ТакаrиСуrено 
438 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у Результаты измерений у у:= Ь о +Ь 1 х:=ВХ х х fJ (х ) 1 А в := [Ь о ь 1 ] x=[] о аl а2 аз а4 х Рис. 6.35. Аппроксимация результатов измерений в области, задаваемой функ цией принадлежности МА (х), С использованием локальной модели Заключения правил модели ТакаrиСуrено в большинстве случаев содержат линейные функции  см. формулу (6.36)  хотя можно исполь зовать также и произвольные нелинейные функции. Таким образом, BMe сто нечетких множеств в заключениях правил находятся математические зависимости, описывающие локальную поверхность модели. Общая схема нейронечеткой сети для представления модели ТакаrиСуrено приведена на рис. 6.34. Для обучения сети, которая соответствует ТSмодели, можно исполь зовать те же методы, что и в случае сети, соответствующей модели MaM дани (см. разд.6.2.1.2). Однако, при этом существует возможность пред варительной идентификации параметров b ij выражений у == f(Xl, . . . , Х р ), содержащихся в заключениях правил (6.36) (Cho 1995; Cipriano 1995; Park 1995; Takagi 1985). В некоторых случаях cerMeHT входноrо пространства, над которым поверхность системы может быть аппроксимирована с помощью одной локальной модели у == f(X) (рис. 6.35), известен. Если локальная модель задана в MHoroMepHoM пространстве с помо щью выражения у == Ь о + b1Xl + . . . + ЬрХр, (6.37) [де р  число входов, то матрица модели имеет вид у == в Х, rде В == [Ь о , b 1 ,..., Ь р ], ХТ == [1, Xl, Х2,..., Х р ]. (6.38 ) 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 439 Координаты точки измерения P i равны x i , yi, rде: X i т [1 i i i ] == 'Хl'Х2'...'Х р . Если число всех точек измерения равно s, то вектор измерений BЫ ходов У m и матрицу измерений входов Х т можно представить, COOTBeT ственно, в виде У т == уl у2 1 1 х} xI Х т == x x 1 X S 1 X S 2 (6.39) х 1 х 2 р р Оптимальный вектор коэффициентов B opt можно получить на основе метода наименьших квадратов по формуле Bopt == (Ь О , Ь 1 , . . . , Ь р ] == (X XTп]l X;t У тn . yS S Х р (6.40) Если оптимальные значения пара метров b заключений правил из вестны, то из процесса настройки сети, соответствующей ТSl'лодели (рис. 6.34), их можно исключить, в результате чеrо потребуется выпол нить настройку только параметров aiJ функции принадлежности, принад лежащих слою фаззификации. Тем самым, настройка сети значительно упрощается. Однако, метод общей настройки всех параl\tlетров модели является потенциально более точным. Различные интересные методы настройки и орrанизации ТSмоделей можно найти в (Babuska 1995с; Fiordaliso 1996; Mannle 1996; Pedrycz 1997). Ниже приведен при мер ТSмодели и соответствующей ей нейро нечеткой сети. Пример 6.2.1.3.1. Рассмотрим нечеткую ТSмодель с функциями при надлежности и правилами, представленными на рис. 6.36. Соответствую щая данной модели нейронечеткая сеть изображена на рис. 6.37. . 6.2.2. Настройка парамеТРО8 нечеткой модели с помощью rенетическоrо алrоритма rенетические алrоритмы позволяют производить настройку большинства сложных нечетких моделей, однако их использование связано со зна чительными временными затратами. При меры решения подобных за дач можно найти в (Bastian 1996; Jakel 1997; Murata 1995). В KOHTeK сте rенетическоrо алrоритма область значений каждой переменной pac сматривается как пространство, разбитое на конечное число интерва 
440 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у Область определения: Х: ао:::; х S; as х р(х) 1 А 1 Аз База правил: Rl: ЕСЛИ (x=A 1 ) ТО (y=b IO +b l1 x) R2: ЕСЛИ (х=А 2 ) ТО (у=Ь 20 +Ь 21 х) R3: ЕСЛИ (х=А з ) ТО (у=Ь зо +Ь з1 х) о а о а 1 а 2 аз а 4 а 5 х Рис. 6.36. Поверхность у == f(x), функции принадлежности и правила нечеткой модели ТакаrиСуrено х аl а2 х аз а 4 * у  истинное значение на выходе моделируемой системы Рис. 6.37. Нейронечеткая сеть, соответствующая модели ТакаrиСуrено, пред ставленной на рис. 6.36 лов (рис. 6.38). Если заданный интервал содержит пик функции при надлежности, то он кодируется с помощью цифры 1, в противном слу чае  с помощью цифры о. Закодированная строка, соответствующая функции принадлежности для одной переменной, называется хромосомой 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 441 Jl (х) 1 х 0.0 1.0 х Рис. 6.38. При мер кода функции принадлежности в виде rенетической строки (хромосомы) (10110001011), а ее элементы (О или 1) называются rенами. Существу ет множество методов кодирования, из которых здесь рассмотрен только один. Увеличение числа reHoB, составляющих хромосому (т. е. числа интер валов разбиения области значений) приводит к увеличению разрешающей способности поиска оптимальноrо решения. Вместе с тем, чем более BЫ сокое разрешение имеет разбиение, тем быстрее происходит рост числа потенциальных решений «<комбинаторный взрыв»), что в свою очередь приводит к значительному увеличению трудоемкости. В случае системы со мноrими входами rенетическому кодированию подлежат все входные и выходные пара метры модели (рис. 6.39). При фиксированном выборе числа нечетких множеств, используемых для оценки всех входных и выходных пара метров модели, а также базы правил и остальных элементов модели, ее точность будет зависеть только от координат пиков отдельных функций принадлежности, т. е. от располо жения единиц в хромосомах. Точность модели, называемая ее функцией приспособленности (оценки) D, зависит от KOHKpeTHoro rенетическоrо представления 14: D i == f(R i ). (6.41) Перед началом процесса поиска случайным или любым дpy rим способом rенерируется определенное число исходных пред ставлений, составляющих так называемую начальную популяцию РО == {Rl/D},...,Rm/Dm}. С каждым представлением Ri связана co ответствующая ему точность модели D i . Представления 14, содержащиеся в начальной популяции, использу ются для rенерации новых представлений R; (родители производят по томков). С этой целью применяются так называемые rенетические опе 
442 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования СНХ 2 Х 2 X 1 Х 2 J1 (у) 1 у , , , \ "'" \ I /,,"', /' \/ '..... ,,.' ',,' ,', .....>..... ,"\ I \ ","" /, / \ ",;,;' "....., // " J1 (Х 2 ) 1 0.0 о J1 (х 1) 1 о XI 0.0 СНУ 1 у о 0.0 1.0 XI CHX 1 [[[Q]J]JIQ]J]J] Рис. 6.39. При мер rенетическоrо представления R нечеткой модели с двумя входами, задаваемой с помощью фиксированноrо числа множеств для каждой переменной и фиксированной базы правил раторы, осуществляющие модификацию reHoB в соответствующих XpOMO сомах (изменение позиций пиков функций принадлежности). Основными rенетическим операторами являются мутация и кроссинrовер. Мутацией (рис. 6.40) называется процесс образования потомства R: заданноrо представления R i путем модификации одноrо или нескольких ero reHOB (1  О или О  1). Если процесс настройки оrраничен исключи тельно функциями принадлежности, мутацию необходимо осуществлять таким образом, чтобы число lreHoB (нечетких множеств для COOTBeT ствующей переменной) оставалось постоянным. Кроссинrовером (рис.6.41) называется процесс обмена одним или более rенами между двумя хромосомами (родителями) с целью получе ния новых хромосом (потомков). Если настройка затраrивает исключи тельно функции принадлежности, кроссинrовер должен выполняться так, чтобы число lreHoB в хромосоме каждоrо типа (СНХ 1 , СНХ 2 , СНУ) оставалось неизменным. Каждому новому представлению R; ставится в соответствие ero CTe пень приспособленности D;, и оно вводится в начальную популяцию, дa вая начало новой популяции Рl. Новая популяция просматривается, и из нее исключаются худшие представления, т. е. представления, у которых степень приспособленности минимальна. К оставшимся представлениям применяются rенетические операции для образования новых, более пер 
6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей 443 СНХ 1 СНХ 2 СНУ Rl: 1 О 1 1 О 1 1, 1110101, 11000101     * 1111001, Rl: 1101011, 10100101 J1 (х 1) J1 (Х2) J1 (у) 1 1 1 \ 1', , \ I , , I \ I Rl \1 " О хl О Х2 О У 11 11 11 J1 (х 1) J1 (х 2) J1 (у) 1 1 1 , I " , R( , , , I , I , , I V l' О хl О Х2 О У Рис. 6.40. При мер применения оператора мутации для формирования HOBoro представления нечеткой модели ( СНХ 1 ) 1: О 1 О 1 1 О +- . (СНХ 1 )2: 1 00 1 О 1 * ( СНХ 1 ) 1: О 1 О 1 О 1 * (СНХ 1 )2: 1 О О 1 1 О Рис. 6.41. Операция кроссинrовера: (СИХ1)1, (СИХ 1 )2  родители; (СИХ1)i и (СИХ 1 );'  потомки спективных потомков. Данный процесс повторяется до тех пор, пока cpe ди вновь образованных представлений не будет найдено такое представ ление, степень приспособленности KOToporo удовлетворяет требованиям точности модели. Таким образом, rенетический алrоритм включает в себя следующие операции: . кодирование задачи с целью получения ее rенетическоrо представле ния R и определение функции приспособленности D(R) дЛЯ данноrо представления, . формирование начальной популяции Ро, . размножение и отбор полученной популяции, до тех пор пока не бу дет получено такое представление Ro, которое удовлетворяет Tpe бованиям, связанным со степенью приспособленности (например, Do ( D min ). 
444 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Существует MHoro методов решения задач с применением rенетиче ских алrоритмов. В настоящее время rенетические алrоритмы составля ют обширное и непрерывно развивающееся научное направление, и любая попытка детальноrо ero описания потребовала бы отдельной моноrрафии. И поскольку по данной теме имеется множество книr, автор этой работы рекомендует их читателям, желающим расширить свои познания (Davis 1991; Kinnebrock 1994; Kahlert 1995; Michalewicz 1996; Mitchell 1996). Применение rенетических алrоритмов дает возможность поиска оп тимальных решений в задачах повышенной сложности, включая зада чи, возможность решения которых, с учетом их сложности, оrраничена. По этой причине данный метод получил очень большую популярность, и число ero приложений постоянно растет. Вместе с тем, метод имеет определенный недостаток, связанный с необходимостью разбиения про странства значений переменных модели на конечное число интервалов, чтобы обеспечить конечное число бит в rенетическом представлении. В силу дискретизации пространства решений не всеrда удается получить такие же хорошие решения, как и в случае применения методов, действу ющих в непрерывном пространстве, например, нейронечетких сетей. Тем не менее, при правильном выборе разрешения дискретизации указанный недостаток практически не проявляется, поэтому rенетические алrорит мы можно рекомендовать к применению. Помимо этоrо, дополнительное преимущество данноrо метода состоит в возможности ero применения при исследовании влияния на точность модели различных ее составляю щих  типов операторов И и ИЛИ, методов вывода и дефаззификации, используемых типов функций принадлежности и т. д. Если в качестве одной из переменных модели ввести тип оператора И, областью значений KOToporo является множество, содержащее семь опе раторов tHOpMbI: {И} == {:L\1IN, усиленное произведение, оператор И Лукасевича, произведение Эйнштейна, произведение raMaxepa, алrебраическое произведение, оператор И Яrера}, (6.42) то представление модели следует расширить, добавив семибитную xpo мосому: с н AN D == 0000010, (6.43) позиция lreHa в которой соответствует выбранному из множества { И } оператору. В результате представление будет иметь вид: R1 : СНХ 1 1011011, СНХ 2 1110101, СНУ 11000101, CHAND 0000010 ( 6.44 ) 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 445 Следует, однако, помнить, что добавление новых хромосом хотя и поз воляет найти лучшую модель, но, с друrой стороны, требует значительно большеrо объема вычислений. 6.3. Построение самоорrанизующихся u И самонастраивающихся нечетких моделеи на основе измеренных данных о входах и выходах системы Под самоорrанизующейся моделью понимается модель, которая caMO стоятельно определяет свои существенные входные параметры, задает оптимальное число нечетких множеств для входных и выходных пара метров, и устанавливает форму и число правил. Самонастраивающейся называется модель, способная самостоятельно определять оптимальные параметры функций принадлежности, задавать коэффициенты доверия правил и т. д. Самоорrанизующиеся нечеткие модели описаны, напри мер, в (Baldwin 1995Ь; Delgado 1995; Furuhashi 1995; Gonzales 1995; Gorrini 1995; Gupta 1994; Hajek 1994; Ishibuchi 1995а; Katebi 1995; Krone 1996а,с; Locher 1996а,Ь; Rovatti 1996; Wakabayashi 1995). Moдe ли, являющиеся одновременно самоорrанизующимися и самонастраива ющимися, рассматриваются в (Cho 1995; Cipriano 1995; Delgado 1997; Fiordaliso 1996; Fukumoto 1995; Halgamuge 1996; Hanss 1996а; Horikawa 1992; Kwon 1994; Langari 1995; Lin 1991,1996; Magdalena 1995; Meanle 1996; Murata 1995; Narazaki 1993,1995; Nobre 1995; Osowski 1996; Park 1995; Preuss 1995; Su 1995; Тап 1995; Уао 1995; Zho 1995). Одновременное применение методов самоорrанизации и настройки, как правило, обеспечивает более высокую точность нечеткой модели. Oc новной целью самоорrанизации модели является получение минималь Horo числа правил, нечетких множеств и параметров, подлежащих Ha стройке, при условии сохранения приемлемой точности модели. При про стой структуре модели она леrче поддается интерпретации и настрой ке, и кроме Toro, это позволяет уменьшить объем измеряемых данных, необходимых для настройки (т. е. объем информации, которая извлека ется из моделируемой системы, но при этом не всеrда является леrко доступной). Построение сложной модели и, таким образом, расширение числа содержащихся в ней правил и нечетких множеств потенциально может повысить точность модели (в случае непрерывной функции, опре деленной на замкнутом подмножестве входноrо пространства (Lin 1995)). Сложность настройки параметров, однако, возрастает при этом до такой 
446 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования степени, что при достижении HeKoToporo уровня сложности модели ее настройка становится практически невозможной. Таким образом, CTpeM ление к упрощению структуры моделей можно считать вполне обосно ванным подходом. Наиболее выrодным способом упрощения модели является исключе ние из нее всех малозначащих входов  число правил в данном случае уменьшается в rеометрической проrрессии. В следующем подразделе бу дут описаны методы выявления несущественных входов модели. 6.3.1. Выявление существенных и несущественных входов модели Определение существенных входов модели представляет из себя весьма нетривиальную задачу. При моделировании динамических систем типа SISO обычно делается предположение о том, каким должен быть порядок модели, и, в зависимости от порядка, в качестве входов модели MorYT * рассматриваться различные сиrналы, например y(kT  Т), y(kT  2Т), y(kT  3Т)и т.д. При моделировании статических систем типа MISO возникает задача определения множества входов Xi, в отношении которых предполаrается, что они оказывают существенное влияние на выход у. В случае Moдe лирования динамических систем с мноrими входами число «кандидатов» на роль существенных значительно увеличивается: Хl (kT), . . . , Хl (kT  nl Т), . . . , Х2 (kT), . . . , Х2 (kT  n2Т), . . . . . . , у( kT), . . .  у( kT  тТ). Особенно сложной задача определения существенных входов явля ется для экономических систем. Какие факторы, например, оказывают влияние на число безработных в стране? Зависит ли уровень безработи цы от уровня безработицы в соседних странах? Каким образом влияет размер социальноrо пособия? Насколько сильной является зависимость от TaKoro показателя, как ежеrодное число выпускников университетов? Какой эффект дает ведение «оrраничительной» политики принуждения безработных к трудоустройству? Оказывает ли влияние размер «серой» экономической зоны (и как ее измерить)? Подобных примеров можно * При решении задачи идентификации модели или в случае инверсной модели (см. разд. 7.3.3.1 и 7.3.3.2). Здесь y(kT)  желаемый выход системы в момент BpeMe ни kT, Т  шаr по времени, k  некоторое положительное число.  Прuм. ред. 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 447 привести множество. Определение несущественных входов моделируе мой системы приводит не только к упрощению необходимой структуры ее модели, что в свою очередь упрощает настройку параметров, но также и к сокращению затрат на получение информации путем измерений. В OT дельных случаях определение несущественных входов процесса помоrает ответить на вопрос о принципиальной возможности ero моделирования, поскольку среди пара метров MorYT быть такие, для которых измерения значений ранее не проводились, и отсутствует возможность как получе ния, так и оценки этих данных (например, измерения среднемесячной температуры до Toro, как был изобретен термометр, определение коли чества янтаря, ежемесячно собираемоrо отдыхающими на Балтийском побережье и т. п.) Задача, связанная с исключением несущественных входов модели, за частую вообще не принимается в расчет, в качестве входов рассматрива ются все возможные «кандидаты». Еще одним подтверждением HeдooцeH ки этой задачи является достаточно малое число публикаций по данной теме. Существуют следующие методы оценки значимости входов нели нейной модели: 1. Метод проб и ошибок. 11. Метод средних нечетких кривых (Lin 1995). Метод проб и ошибок может использоваться как в конструктивном, так и в деструктивном плане. В случае применения конструктивной Bep сии строится модель с минимальным числом входов и оценивается ее точность. На следующем шаrе происходит расширение модели путем добавления HOBoro входа из числа «кандидатов», оценивается точность расширенной модели, и, в зависимости от полученноrо результата, новый вход принимается или отбрасывается и т. д. В рамках деструктивной Bep сии метода проб и ошибок строится начальная модель, содержащая MaK симальное число входов (все множество «кандидатов»), И производится оценка ее точности. Дальнейшие шаrи соответствуют последовательному исключению входов и сравнительной оценки точности получаемых упро щенных моделей. Метод проб и ошибок является достаточно трудоемким и недостаточно определенным, а ero объективность зависит от точно сти настройки модели при заданном числе входов. При этом чем больше число подлежащих рассмотрению входов, тем сложнее становится про цесс настройки, и в конечном итоrе настройка может оказаться практи чески неосуществимой. Кроме Toro, при использовании данноrо метода необходимо иметь одинаковые объемы измеряемых значений для каждо ro анализируемоrо входа, в то время как на практике для одних входов 
448 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у= I(Xl,X2) у= I(Xl,O) у= I(X,X2) у =/(0, Х2)  Х2 Х 2 а) б) Рис. 6.42. Поверхность системы у == f(Xl, Х2) == а 2  XI  X (а), поперечное сечение вдоль поверхности у == f (xt , Х2), соответствующее точке Xl == xt (6) обычно имеется больше данных, а для друrих  меньше. Усовершенство ванный, менее трудоемкий вариант конструктивноrо метода определения существенных входов можно найти в (Sugeno 1993). Друrим методом оценки значимости входов, который лишен описан ных выше недостатков, является метод средних нечетких кривых, раз работанный Лином и Каннинrэмом (Lin 1995). Преимущество данноrо метода состоит в том, что он исследует влияние каждоrо входа Xi на выход У по отдельности, что дает возможность визуализации результатов с помощью двумерных кривых YXl, YX2, ..., YXp, а также позволя ет выполнять сравнительную оценку значимости входов (т. е., например, значимость входа Xl выше, чем для входа Х2) и оценивать тенденцию влияния заданноrо входа Xi на выход У (если Xi возрастает, то У возрас тает). Помимо этоrо, с помощью метода средних нечетких кривых можно определять структуру модели и выбирать начальные значения ее пара метров, обеспечивающие ее быструю настройку. Идея данноrо метода описана ниже. Рассмотрим непрерывную функцию У == f(Xl, Х2) == а 2  xt  X (рис. 6.42, а). Если при Xl == xi произвести измерения значений функции с постоянной величиной шаrа, равной X2, то будет получено поперечное сечение (рис. 6.42, б, 6.43, а), задаваемое с помощью множества дискрет ных точек Yj (xi  X2j). Расположение проекций точек на поверхность Xl y (рис. 6.43, б), яв ляется неравномерным и зависит от кривизны поверхности функции У == f (Xl, Х2). ДЛЯ Bcero сечения можно определить среднее значение 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 449 У == f(x, Х2) У YJ{X' X2j) / y==f(Xl' О) / . . Ymean(Xl) . Хl . Хl Хl б) а) Среднее значение поперечноro сечения: 1 L Yj(X;) . j=l Утean (х 1) == Х 2 1 У Ymean 1 = fmean(x 1) У= .!i(Xl, О) У Ymean2= fmean(X2) у== 1;(0 ,Х2) / Хl Х2 в) 2) Рис. 6.43. Дискретное поперечное сечение Yj (xi , X2j) (а), ero проекция на по верхность XlY (6) и кривые средних значений поперечных сечений функции для переменных Xl и Х2 (8), (с) Утеап(х7) в точке Хl == xt, позиция KOToporo также зависит от xapaK терной для данноrо сечения кривизны поверхности. Вычисляя подобным образом средние значения Уmеап для различных сечений вдоль осей Хl и Х2, мы получаем кривые средних значений в форме Уmеапl == fmean(Xl) и Уmеап2 == fmean(X2) (рис. 6.43, в с), что дает нам информацию о том, каким образом (в cpeд нем) влияет увеличение значений отдельных переменных Хl, Х2 на YBe личение либо уменьшение значений функции. Предположим теперь, что моделируемая система реализует отображе ние Х  У, задаваемое функцией у == а 2  xi, т. е. значение на BЫXO де модели не зависит от переменной Х2. Если все же сделано ложное предположение о СУLЦествовании подобной зависимости, и про изведено измерение точек поверхности системы, то будет получен результат, пред ставленный на рис. 6.44. 
450 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Ymean = f(x) Х2 а) Х2 б) У Ymean(Xl)  / , У Ymean(X2) Дv ( X 2) *   1.   теan "' , ДУmеan(Хl) \ \ \ Xl Х2 в) 2) Рис. 6.44. Поперечные сечения у == f(xi) (а) и у == f(x 2 ) (6) функции у == а 2  xI и соответствующие им кривые средних значений (8, с) Из рис.6.44 видно, что если значение функции У зависит от пере мен ной Xi, то при изменении Xi также происходит изменение среднеrо значения функции для поперечных сечений Ymean(Xi) (рис. 6.44, в). С дpy rой стороны, если значение функции не зависит от данной переменной, то среднее ее значение для поперечных сечений остается постоянным (рис. 6.44, с). Для тестирования данноrо эвристическоrо подхода, предложенноrо Лином и Каннинrэмом для анализа значимости входных пара метров Xi, проводились мноrочисленные эксперименты, результаты которых можно найти в (Lin 1995). Критерием эффективности paccMoTpeHHoro метода является наличие достаточно большоrо числа измерений и, по воз.. можности, их равномерное распределение. Соrласно (Lin 1995), чем более выраженной является зависимость функции от заданной перемен ной, тем шире диапазон изменения соответствующих сечению средних значений ДУmеап(Хi). Ширина указанноrо диапазона составляет вполне приемлемую основу для рассуждений о значимости переменной Xi, а TaK же сравнения различных переменных и их упорядочения по степени зна чимости. 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 451 6.3.2. Определение нечетких кривых В случае реальных систем функция у == !(хl,. . . , Х р ), описывающая pe ализуемое системой отображение Х  У, обычно неизвестна, и един ственной доступной информацией о системе являются измерения значе ний ее входов и выходов, неравномерно распределенные в пространстве Х хУ и искаженные шумами измерений (рис. 6.45, а). При проецировании этих данных на плоскости X i Х У, COOTBeTCTBY ющие отдельным входам системы (рис. 6.45, б в) они MorYT выrлядеть как хаотическое множество точек. MorYT ли они послужить основой для построения сечений отображения Х  У, дающих кривые средних зна чений Утеап (х) для конкретных входов системы? Еще раз напомним, что результаты измерений распределены, как правило, неравномерно, и cy ществует ряд значений Xi, для которых соответствующие измерения OT сутствуют (либо имеется единственное измерение, также подверженное влиянию ошибки). В подобной ситуации единственная возможность co стоит в вычислении среднеrо значения Утеап(х7) для заданноrо попереч Horo сечения х7 на основе элементов выборки измерений, находящихся в ближайшей окрестности (т. е. cBoero рода фильтрация). Понятие «ближайшей» окрестности точки х7 является нечетким и MO жет быть задано с помощью функции принадлежности !Li(Xi) для каждо ro входа Xi (рис. 6.46). Вид функции принадлежности J-li(Хi) может быть любым  треуrольным, трапециевидным, GRB и др. В случае rayccoBbIX функций (рис. 6.46), ширина окрестности точки х7 определяется на OCHO ве параметра b i . Соrласно Лину и Каннинrэму (Lin 1995), рекомендуемое значение b i составляет 20% ширины ДХi диапазона изменения COOTBeT ствующей входной величины Xi. у у у о о о о о о О о о о О О О О о о О О О о о О О О О О О О О О О Хl о о о о о о о * * Х2 Хl Хl Х2 Х2 а) б) в) Рис. 6.45. Результаты измерения значений ВХОДОВ и ВЫХОДОВ системы В про странстве Х х У (а) и их проекции на плоскости Х 1 х У (6) и Х 2 х У (8) 
452 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у k=l, 2,..., т J1 (х;) ( ( * ) 2 ) 1 Х,  х, J1(Xi)=exp 2 т t I  О / ' P,JXik,yJ . I 10 I t О I I t : о о : I о О. I О . jO о t : о: I I 1 I * . I Х, t Х. I t , I ДХi t . I t t .., .' * Х, Х. 1 Рис. 6.46. Функция принадлежности нечеткоrо множества, соответствующеrо «ближайшей» окрестности точки х; r ДУmеan(ХЗ) ДУmеan(Х2) Хl а) б) Х2 в) Хз Рис. 6.47. При меры кривых средних значений для поперечных сечений отобра жения Х  у вдоль осей Xi Представляется целесообразным, однако, проанализировать значи мость входов для различных значений b i , особенно в случае HepaBHO мерной концентрации измерений вдоль оси Xi. Если введена функция принадлежности J1i(xi) «ближайшей окрестности», то по формуле (6.45) можно приближенно вычислить среднее значение Утеап (Xi) для произ вольноrо входноrо значения ХТ, получив тем самым представление о фор ме соответствующей кривой. Среднее значение, вычисляемое по форму ле (6.45), в литературе называют также взвешенным средним значени ем (Preuss 1994Ь). На рис. 6.47 представлено несколько примеров кри вых средних значений для поперечных сечений отображения Х  У. в (Lin 1995) для данных кривых введено название «нечеткие кривые (rрафики) »: тп L J-li (х ik) . У!.' ( ) k== 1 Утеап Xi == m L J-li(Хik) k==l ( 6.45 ) rде z  номер входа, k  номер измерения (рис. 6.47). Если кривая средних значений является практически ровной, то co ответствующий вход Xi оказывает малое влияние на выход У. Однако, на практике ровные кривые средних значений встречаются крайне редко, 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 453 т а б л и ц а 6.4 Результаты измерений ВХОДОВ и ВЫХОДОВ моделируемой системы k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Xl 1 1 1 2 2 2 3 3 3 Х2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Хз 1 2 2 3 2 3 3 1 1 Х4 2 3 1 2 1 3 3 1 2 у 2 5 10 3 6 11 4 7 12 вследствие ошибок измерений, а также наличия неизмеряемых величин. Поэтому степень Toro, насколько они являются ровными, можно оценить на относительном уровне, т. е., например, сравнить диапазоны ДУmеап(Хi) изменения отдельных входов и на основе этоrо упорядочить последние по уровню значимости, что даст возможность проводить тестирование только моделей с наиболее существенными входами. Вывод о несуще ственности входа можно леrко сделать тоrда, коrда значения ДУmеап(Х z ) четко различаются для разных входных значений. В противном случае подобное решение принять сложнее, и хорошие результаты может дать последовательное исключение входов, сопровождающееся анализом точ насти модели, т. е. применение метода проб и ошибок. Пример 6.3.2.1. Рассмотрим множество результатов измерений пере менных системы, реализующей отображение у == Хl + X (табл.6.4). В качестве «кандидатов» на роль входов рассматриваются переменные Хl, Х2, ХЗ, Х4, из которых существенными являются только первые две. Входы Хз и Х4 существенными не являются  их значения в paCCMaT риваемой выборке сrенерированы случайным образом. Задача состоит в исследовании Toro, сможет ли метод средних нечетких кривых обес печить правильное разделение входов на существенные и несуществен ные. На рис. 6.48 показаны проекции измерений на различные плоскости X i Х У. Уже на основе только визуальноrо анализа проекций, представленных на рис. 6.48, можно сделать вывод о значимости входов Хl, Х2, т. е. об их влиянии на выход системы у (увеличение Xl и Х2 приводит К YBe личению среднеrо значения у). Функция принадлежности «ближайшей» окрестности для всех входов имеет вид: !Li(Xi) == ехр [  ( X,k ; Х, ) 2] . (6.46) Коэффициент b i == 1, задающий величину разброса rауссовой функ ции, соответствует 50% диапазона изменения входов Xi. Вычисление 
454 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у у у у 15 15 15 15 . . . . . . . . 10 . 10 . 10 . 10 . . . . . . . . . 5 . 5 . 5 . 5 . . . . . . . . . . . . . о о о о о 1 2 3 Хl О 1 2 3 Х2 О 1 2 3 хз О 1 2 3 Х4 Рис. 6.48. Проекции измерений на плоскости X i Х У, i == 1, . . . ,4 средних нечетких значений для различных поперечных сечений произво дится по формуле: Ymean (Xi) == 9 2: {lt(Xik) . Yk k==l 9 2: {l(Xlk) k==l i == 1, . . . , 4, (б. 47) rде k  номер измерения. rрафики средних нечетких значений представ лены на рис. б.49. Рисунок б.49 позволяет сделать вывод о том, что наиболее суще ственным является вход Х2. Расположение всех рассматриваемых входов в порядке убывания их значимости имеет вид Х2,Хl,Х4,Хз. Таким образом, результаты эксперимента подтвердили зависимость (у == Xl + X), фактически имеющую место. Степень значимости входов Хз, Х4 является минимальной. . Исследования, проводившиеся автором данной книrи, показали, что предложенный Лином и Каннинrэмом в (Lin 1995) метод определения значимости входов на основе разности ДУmеап(Хi) является приближен ным и может при меняться для слабо нелинейных систем с MOHOTOHHЫ ми поверхностями отображения «BXOДBЫXOД». ДЛЯ сильно нелинейных и волнообразных поверхностей отображения Х  у оценка значимости входов на основе разности ДУmеап(Хi) является ненадежной, поскольку в данном случае нечеткие кривые также оказываются более волнисты ми (рис. 6.50, а), чем в случае слабо нелинейных или линейных систем (рис. б.50, 6). 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 455 Ymean(Xl) == 1.41 ДУmеan(Х2) == 5.67 Ymean(Xl) Уmеan(Х2) 10 10 9.57 9 9 8 8 7.37  7 7 6 6 5 5.96 5 4 4 3 1 2 3 Xl 1 2 3 Х2 ДУmеan(ХЗ) == 0.71 ДУmеаn(Х4) == 0.82 Уmеаn(ХЗ) Уmеаn(Х4) 10 10 9 9 8 8 7.12 6.99 6 79 7  7  6 6.28 6 6.30 6.41 5 5 4 4 1 2 3 Хз 1 2 3 Х4 Рис. 6.49. [рафики средних нечетких значений Ymean(Xi) моделируемой системы Ymean(X l ) Уmеаn(Х) Ymean ДУmеan Xi  Рис. 6.50. Пример волнообразной (а) иневолнообразной (6) нечетких кривых 
456 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Ymean(X,) Выпрямленная нечеткая кривая \  /1 / j / : / I / I L. / : '/ / / / I I  : Нечеткая I а. : кривая /' I / I   I I I I I Х; min Х; mах Х; Рис. 6.51. Иллюстрация понятия дуrоуrольноrо индекса В й значимости входной переменной Xi (L i  длина нечеткой кривой) Изображенной на рис. 6.50, а нечеткой кривой Ylllean(Xi) соответствует то же значение ДУmеап(Хi), что и кривой на рис. 6.50, 6, хотя указанные кривые имеют различную степень волнистости. Более высокая волни стость нечеткой кривой rоворит о более сильной зависимости выхода си стемы у от соответствующеrо входа Xi. В условиях при мера на рис. 6.50 вход Xi является более значимым, чем Xj. В качестве показателя зна чимости, который учитывает степень волнистости нечеткой кривой, ис пользуется индекс Во, смысл KOToporo поясняется с помощью рис. 6.51. Чем более волнистой является нечеткая кривая, тем сильнее Bыpa жена зависимость выходноrо параметра системы от соответствующеrо входноrо параметра Xi. Помимо этоrо, нечеткая кривая с большей вол нистостью имеет большую длину L i . Если выпрямить нечеткую кривую, как показано на рис. 6.51, то большим значениям длины L i будут COOTBeT ствовать большие значения уrла ai. Величина уrла, представляющая co бой усредненный индекс значимости входноrо пара метра Xi, может быть найдена по формуле ai == arccos Xi тах  Xi min Lt (6.48) rде L i == X'Lmax ! J d 2 Ymean + d2Xi == X'Lmax ! ( dУПlеаIl ) 2 + 1 dXi. dXi X'L l11in Х 1, 111 i 11 В практических задачах длина L i определяется численно, на OCHO ве приближенной формулы (6.49), поскольку точное математическое BЫ ражение, которое описывает нечеткую кривую, чаще Bcero неизвестно, 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 457 Уmеan(Х;) Нечеткая кривая Ymean(Xmin + kilx,) I  I I , I I I I I I I I , I I I , I , I I I I I : : Ах. : :>1 к ' I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Х , min (Х, min + kAx ,) Ximax Х , Рис. 6.52. Обозначения, используемые при численном определении длины L i нечеткой кривой и кривая задается на основе множества дискретных точек: n L i == L V [Уmеап(Хimiп + kb.xz)  Уmеап(Хimiп + (k  l)b. X i)]2 + (b. X i)2, k==l (6.49) Обозначения, используемые в формуле (6.49), поясняются на рис. 6.52. Для системы, рассматривавшейся в примере 6.3.2.1, можно полу чить следующие значения дуrоуrольноrо индекса значимости (arcangle significance index, ААSиндекс) входов, несущие информацию о средней величине абсолютноrо наклона соответствующих нечетких кривых: а1 == 35.170, а2 == 70.580, аз == 21.000, 0:4 == 29.550 . Использование дуrоуrольноrо индекса значимости (ААSиндекса) позволяет правильно определить порядок следования переменных (наи более значимыми являются Х2 и Х1). На основе результатов прово дившеrося Шведко (Szwedko 2000) сравнительноrо анализа индекса ДУmеаl1(Хi), предложенноrо Лином и Каннинrэмом, и дуrоуrольноrо ин декса ai == O:(Xi), можно сделать вывод о том, что в случае MaTeMa тических функций, свойства которых известны, ААSиндекс позволяет получить корректную оценку значимости переменных и дает в среднем лучшие результаты, чем индекс, основанный на разности Ymeal1(Xi). Проблема оценки значимости входных пара метров системы требует дальнейшеrо исследования, поскольку рассмотренные в данном разде ле индексы значимости способны дать лишь приближенную оценку. Ho вые, более усовершенствованные методы, основанные на нечетких кри вых и нечетких поверхностях, заинтересованный читатель может найти в (Lin 1998). Автором данной книrи и ero коллеrами также ведется раз 
458 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования работка методов, основанных на вычислении длины нечеткой кривой, результаты которых предполаrается опубликовать в 2001 r. 6.3.3. Самоорrанизация и самонастройка параметров u нечеткои модели Основополаrающими элементами структуры нечеткой модели являют ся база правил и число нечетких множеств, соответствующих каждо му входу и выходу модели. Существенные входы модели предполаrа ются известными. В литературе часто можно встретить методы опре деления структуры нечеткой модели, не учитывающие характер pac пределения результатов измерений, описывающих моделируемую систе му. Оптимизация пара метров модели также часто выполняется без уче та оптимизации ее структуры. Подобных публикаций довольно MHO ro (Baldwin 1995Ь; Delgado 1995,1997; Furuhashi 1995; Gonzales 1995; Gorrini 1995; Gupta 1994; Hajek 1994; Ishibuchi 1995а,Ь; Katebi 1995; Krone 1996а; Locher 1996а,Ь; Rovatti 1996; Wakabayashi 1995). Наилучших результатов моделирования можно достичь в том случае, коrда оптимизация структуры модели сочетается с оптимизацией ее па раметров. Данное утверждение поясняется примером на рис. 6.53. L Данные у измерений b2 ШШ\ I  ,/ ,/ Ь 1 ,/  ( Модель I I VL L Данные   Ш l е  Ь з /:    /-: ./: \,i I_ /:" / Модель Ь 2 · / : -" /.    Ь /:  l .( :  I I I : J s м s :аl I I I I :S а2 1 х I I I L: . 11 (У) 11 (У) l1(х) l1(х) I I I :s I I I I :М L х VL х a 1 а2 аз а4 х а) б) Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (v=S) R2: ЕСЛИ (x=L) ТО (v=L) Rl: ЕСЛИ (x=S) ТО (v=S) R2: ЕСЛИ (х=м) ТО (v=L) R3: ЕСЛИ (x=L) ТО (у=М) R4: ЕСЛИ (х= VL) ТО (у= VL) Рис. 6.53. Иллюстрация взаимосвязи между структурой модели, пара метрами функций принадлежности и двумерным распределением результатов измерений входов и выходов моделируемой системы 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 459 Исследованию указанной проблемы посвящен ряд публикаций, Ha при мер (Cho 1995; Cipriano 1995; Delgado 1997; Fiordaliso 1996; Fukumoto 1995; Halgamuge 1996; Hanss 1996а; Horikawa 1992; Kwon 1994; Langari 1995; Lin 1991,1996; Magdalena 1995; Mannle 1996; Murata 1995; Narazaki 1993,1995; Nobre 1995; Osowski 1996; Park 1995; Pedrycz 1997; Preuss 1995; Тап 1995; Уао 1995; Zhou 1995). Если распределение результатов измерений rоворит о линейности MO делируемой системы (рис. 6.53, а), то для построения точной нечеткой модели достаточно двух правил. В случае нелинейноrо распределения (рис. 6.53, 6) число правил должно быть больше. Можно также заме тить, что положение функций принадлежности внутренних множеств М и L выбирается не произвольным образом, а в соответствии с точками (а2, аз, Ь 2 , Ь з ), которые задают локальные экстремумы функции у == f(x), представленной в виде выборки измерений. Число правил, а также пара метры функций принадлежности зависят от реализуемоrо моделируемой системой (объектом) отображения «BXOДBЫXOД», и их нельзя определить заранее, без учета типа самой системы. Более Toro, их не следует за давать отдельно друr от друrа. Далее будут представлены три основных метода (или rруппы методов) самоорrанизации и настройки нечетких MO делей: 1. Метод «существенных» точек поверхности системы. 11. Методы кластеризации. 111. Методы поиска. Перед началом построения нечеткой модели следует убедиться в cy ществовании устойчивой взаимосвязи между качеством измерений с oд ной стороны и качеством и достоверностью результирующей модели с друrой стороны. На рис. 6.54 представлено несколько вариантов pac пределения результатов измерений в пространстве входов для случая си стем с двумя входами и одним выходом. Наиболее блаrоприятным яв ляется представленное на рис. 6.54, а равномерное распределение, обес печивающее достоверную аппроксимацию поверхности реализуемоrо си стемой отображения Х  у на каждом участке области определения. В остальных случаях либо невозможно сформулировать какиелибо пра вила для областей, rде отсутствуют результаты измерений, либо в YKa занных областях модель являлась бы недостаточно достоверной. По аналоrии с этапом построения модели, для ее тестирования необ ходимо использовать данные, распределенные по всему пространству BXO дов. Тем не менее, возникает вопрос, что делать в ситуации, коrда дo ступны данные, покрывающие только часть области определения. В этом 
4БО rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Х2 Х2 Х2 О О О О О О О О ( О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О r"\ О О Х} Х} Х} а) б) в) Х2 Х2 Х2 О 00 О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О 000 О О О О О О О О О О О Х} Х} Х} 2) д) е) Рис. 6.54. Различные распределения результатов измерений в пространстве Х 1 х Х 2 значений входов моделируемой системы случае необходимо выделить те области пространства, для которых OT сутствуют данные измерений, и если эти области имеют большой размер, то следует исключить их из процесса моделирования, поскольку для «пу СТЫХ» областей не требуется формирование правил, задающих выходные состояния модели. Пользователей, которым предназначена модель, сле дует про информировать о тех областях входноrо пространства, в KOTO рых модель достоверна и приrодна к использованию. Для обнаружения областей, в которых отсутствуют данные измерений, можно, например, разбить область определения на прямоуrольные (или rиперпрямоуrоль ные) cerMeHTbI, подсчитать число элементов выборки измерений в каж дом из них и выполнить поиск rрупп смежных друr с друrом пустых cerMeHToB (см. рис. б.55). Х2 u О О О о о о о о с '-', ) 1.. О ) ( 00 '" О О  Р о о u О Х} Рис. 6.55. Разбиение области определения на прямоуrольные cerMeHTbI с целью идентификации подобластей, для которых отсутствую данные измерений 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 461 у Данные измерений у данныIe измерений о о o vистема х а) б) х Рис. 6.56. Данные измерений, подверженные незначительному (а) и значитель ному (6) воздействию шума Еще одним важным фактором, влияющим на точность модели, явля ется уровень шума или возмущений, приводящих к возникновению оши бок измерения (т. е. неизмеримые входные параметры)  см. рис. 6.56. В случае, коrда воздействие шума является значительным (рис. 6.56, 6), от модели не следует ожидать высокой точности. С подобными ситуа циями приходится часто сталкиваться в экономических системах, коrда заявляемые предприятиями значения показателей, касающихся их про изводства, прибыли и т. Д., MorYT быть HaMHoro ниже их действительных значений. 6.3.3.1. Самоорrанизация и настройка нечеткой модели с применением rеометрическоrо метода точек максимума абсолютной ошибки В публикациях по вопросам орrанизации нечетких моделей часто pac сматривается подход, соrласно которому правила нечеткой модели peKO мендуется размещать в «существенных» точках поверхности реализуе Moro системой отображения Х  у  см., например, (Babuska 1995Ь; Lin 1995). К таким точкам обычно относятся экстремумы поверхности (рис. 6.57). Для MHorOMepHbIX МISОсистем экстремумами являются вершины «пиков» И днища «впадин». В случае, коrда поверхность системы можно описать с помощью непрерывной математической зависимости у == f(Xl..., Х р ), нахождение точек экстремума не составляет труда. Однако при моделировании реальных систем имеющаяся в распоряжении информация о поверхности обычно представляет собой набор поточечных дискретных измерений, искаженных шумом  в подобных ситуациях об наружить «пики» И «впадины» поверхности достаточно трудно. Хиrrин сом и [удманом в (Higgins 1994) был предложен метод структурной opra низации и настройки нечеткой модели, в соответствии с которым правила 
462 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования В} y :   Ь 4 / Л: Система /   / I Ь з /1" i /:" /: /:  / I Rl:ЕСЛИ(х=А})ТО(у=В}) / : / R2:ЕСЛИ(х=А 2 )ТО(у=В з )   / Ь 2 /: R3: ЕСЛИ (х=А з ) то (у=В 2 ) / 1 : R4: ЕСЛИ (х=А 4 ) то (у=В 4 ) I I I I I В4 В з В 2 Ь} # (х) х # (у) а} а 2 аз а 4 х Рис. 6.57. Нечеткая модель, построенная на основе задания правил в экстре мумах поверхности размещаются в «существенных» точках поверхности системы, но вместо экстремумов поверхности под «существенными» здесь понимаются точки максимума абсолютной ошибки модели по отношению к системе. Несмотря на то, что часть правил, размещенных с помощью дaH Horo метода, находится вблизи локальных экстремумов, остальная их часть все же оказывается в друrих областях поверхности. Данный метод представляет собой так называемый «rеометрический» подход К задаче моделирования (Babuska 1995), отличающийся от частотноrо подхода, применяемоrо в рамках методов кластеризации. Использование метода Хиrrинса и rудмана, обеспечивающеrо возможность последовательноrо уточнения единой rлобальной модели, приводит к обширному росту коли чества правил, что может в свою очередь привести к явлению «проклятия размерности». В данном подразделе будет рассмотрен метод, лишенный указанных недостатков. Несмотря на всю понятность и убедительность метода точек максиму ма абсолютной ошибки, который далее будем называть методом МАЕР (Maximum Absolute Error Points), ero можно применять в основном для моделирования систем, заданных на основе измерений, которые не искажены либо слабо искажены шумами. В случае сильной зашум ленности имеющихся данных их необходимо подверrнуть фильтрации, например, с помощью метода, использующеrо функции принадлежности «ближайшеrо окружения», который был описан в разд.6.3.2. Опишем вначале кратко основную идею метода МАЕР. 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 463 а) В 1 ш шшr; Р2 / / / В 2 аl а2 Х Il(Y) I I I I I Il(X) А 1 : Х А 2 аl а2 Х б) RI Mo : ЕСЛИ (х==А 1 ) то (у==В 1 ), R2 Mo : ЕСЛИ (х==А 2 ) то (у==В 2 ) Рис. 6.58. Поверхность системы (а) и базовая нечеткая модель А/о (6) Рассмотрим поверхность системы, представленную с помощью выбор ки измерений. На рис. 6.58, а эта поверхность изображена непрерывной линией. На первом шаrе метода из множества измерений выбираются точки P 1 и Р2, соответствующие максимальному и минимальному значениям входа х (в рамках области ero значений). В этих точках размещаются первые два правила R1 и R2, которые в свою очередь задают параметры ai, b i функций принадлежности (т. е. происходит настройка параметров). Базовая модель представляет собой наиболее приближенное обобще ние моделируемой системы. Содержащиеся в ней правила описывают об щие закономерности, присущие системе. В частности, если выразить пра вила, представленные на рис. 6.58, в виде (6.50), то можно сделать вывод о том, что при увеличении входа х увеличивается (в среднем) также BЫ ход у: Rl : Н2: ЕСЛИ (х близок к 1) ТО (у близок к 5), ЕСЛИ (х близок к 10) ТО (у близок к 50). (6.50) В базовой модели можно использовать различные типы функций при надлежности, что иноrда позволяет повысить ее точность. Однако, без проведения вычислительных экспериментов обычно трудно предсказать, какие функции были бы наиболее подходящими. Возможна также оп тимизация базовой модели Afo путем ее преобразования в нейронечет 
4б4 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования У у Модель /////// ", ,-.// Система Модель \ ////. TeMa "../ ./ ,- х х а) б) Рис. 6.59. Повышение точности базовой модели: (а)  исходная модель, (6)  модель после оптимизации У Мо Ео х ео == у  Уо ео у . S х Рис. 6.60. Разделение поверхности системы S на поверхность базовой модели !vJ o и поверхность ошибки Ео кую сеть и настройки с использованием результатов измерений BXOДOB выходов моделируемой системы. Обоснованием для оптимизации может служить рис. 6.59. Поверхность S реализуемоrо системой отображения Х  у можно условно представить с помощью формулы S == Мо + Ео, (б.51) rде Ео  поверхность, соответствующая ошибке базовой модели Jvl o (OT носительно поверхности системы S). Смысл формулы (б.51) поясняется с помощью рис. 6.60. Далее из множества измерений следует выделить точки, в которых Be личина ошибки является максимальной (ео п1ах ) или минимальной (еОп1iп). 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 465 В з ео Ь з == еО тах  1 р(ео) В4 о Рз Ошибка Ео " / Модель Еомошибки Ео \ '\ о х Ь 4 == eOmin о тз т4 х Рис. 6.61. Моделирование поверхности ошибки Ео базовой модели На рис.6.61 эти точки обозначены через Рз(mз, ео mах ) и Р4(т4, eOmin). В точках Р з , Р 4 задаются новые правила (6.52), которые обеспечивают моделирование поверхности ошибки Ео: R3: R4: ЕСЛИ (х == Аз) ТО (у == в з ), ЕСЛИ (х == А 4 ) то (у == В4). (6.52) При моделировании ошибки хорошие результаты дает использование функций принадлежности вида [ l ] xт J-1 ( х) == ехр  д . (6.53) Данные функции характеризуются тремя степенями свободы (рис. 6.62): m (центр), б (расстояние между ветвями), l (показатель степени, изменяющий форму функции). Поскольку для функции (6.53) можно изменять как форму, так и раз мер, то можно добиться довольно точноrо ее соответствия (после YMHO жения на величину заключения е mах или emin) локальному «пику» или «впадине» поверхности ошибки (рис. 6.61). Для этоrо необходимо преоб разовать модель ошибки ЕО в нейронечеткую сеть и выполнить настройку пара метров П1, б, l входной функции принадлежности и пара метров Ь з , Ь 4 выходной функции принадлежности на основе значений ошибки еО. В качестве исходных значений настраиваемых параметров следует ис пользовать координаты точек максимума и минимума ошибки Р З и Р4 (рис. 6.61). Исходное значение параметра б, задающеrо расстояние меж ду ветвями, должно вначале быть малым (в несколько раз меньше pac стояния l'Y1ежду центрами 1пз и тп4). В процессе настройки происходит 
466 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования }l (х) 1  / = 0.5 р(х) 1  /= 1 0.3678 0.2431 0.3678 0.1553 т Х т х р(х) 1  /=2 }l (х) 1  /=5 0.3678 8 8 8 8 0.3678 28 :28 28 28 0.0183 I 1.27.1014 т Х т Х Рис. 6.62. Иллюстрация влияния параметров функции М(Т) == elxrп/c5ll на ее форму и положение «развертывание» ветвей функции, и ее форма подстраивается под фор му «пиков» И «впадин» на поверхности модели. ПОСКОЛЬКУ ветви кривой MorYT быть асимметричными, то целесообразно использовать асиммет ричные экспоненциальные функции принадлежности вида (рис. 6.63) [ l ] х  Т11 J-L ( х) == ехр  д ( ) д ' 'и р + lv l ( 6.54 ) р(х) 1 0.3678 т . v=1 Х Рис. 6.63. Асимметричная экспоненциальная функция принадлежности (6.54) 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 467 ео Модель Еом ошибки Ео еOmax ШШ-/ i '\ /Ошибка Ео 11 : \ 7J : : '-.: т 4 I I : тз: I I х е} Е} Е} ==Eo Еом х Рис. 6.64. Определение поверхности остаточной ошибки Е 1 модели rде { 1 для х  т, v О в друrих случаях. На следующем шаrе метода поверхность модели ошибки EOJvf вычи тается из поверхности ошибки базовой модели Ео. Результатом данной операции является поверхность остаточной ошибки El (рис. 6.64). После определения остаточной ошибки моделирования Е] необходи мо вычислить ее среднее абсолютное либо среднее квадратичное значе ние. Если найденная величина является достаточно малой, то процесс моделирования можно завершить. В противном случае строится нечет кая модель следующей остаточной ошибки, которая добавляется к уже имеющимся моделям  таким образом осуществляется общее повышение точности всех моделей. В конечном итоrе будет получено множество па.. раллельных нечетких моделей (рис. 6.65), имеющих простую структуру, содержащих небольшое число правил и нечетких множеств и леrко под дающихся настройке. Разделение rлобальной модели на базовую модель и модели остаточ ных ошибок фактически соответствует ее разделению на одну простую базовую модель, покрывающую всю область определения, и множество локальных моделей, ориентированных исключительно на индивидуаль" ное описание «пиков» И «впадин» поверхностей остаточных ошибок. По скольку локальные модели заданы в локальных областях, они MorYT быть очень простыми. Рассмотренный метод позволяет избежать интенсивноrо роста числа правил, который является характерным для ситуаций, свя занных с необходимостью представления «пиков и «впадин в рамках rлобальной модели (рис. 6.66). 
468 [лава 6. Методы нечеткоrо моделирования Базовая модель Мо Уо Еом еом х Е 1м еlМ . . . . . . . . E kМ ekМ Модели остаточных ошибок Рис. 6.65. Концепция разделения rлобальной модели на базовую модель и MO дели остаточных ошибок Приведенные ниже шаrи 1  VIII описывают упрощенный вариант ал rоритма моделирования с применением метода точек максимума ошибки. 1. Определение базовой модели Л1 0 системы. 11. Настройка базовой модели на основе результатов измерений BXOДOB выходов системы. 111. Проверка точности базовой модели. Если точность удовлетворитель на  завершить моделирование, в противном случае  перейти к шаrу IV. IV. Определение ошибки Ео базовой модели. У. Идентификация точек максимума и минимума ошибки базовой Moдe ли Ео (ео lllax И ео П1iп). VI. Определение двух правил в соответствии с позициями экстрему мов  в результате получаем модель ошибки Е О Лl. VII. Настройка пара метров функции принадлежности модели ошибки E O lvl на основе выборки значений ошибки Ео базовой модели. VIII. Добавление модели ошибки Е ОА 1 к базовой модели А10. Объеди нение указанных двух моделей образует новую модель М]. Проверка точности модели. Если она удовлетворительна  завершить моделиро вание, иначе  определить остаточную ошибку El и продолжить про цесс моделирования, пока не будет достиrнута требуемая точность. 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 4б9 Х2 «Пик» 9 правил Х2 16 правил ч JI(Х2) ,u(Xl) Хl JI(Х2) JI(Хl) + 7 правил . Хl а) б) Х2 9 правил Х2 2 правила ШШ ШШ Шу I I I I I I I I JI(Х2) Хl ,u(XI)  Хl j.J (Х2) P(XI) Х} + 2 правила . Х} в) 2) Рис. 6.66. Увеличение числа правил при описании «пика» поверхности системы в рамках одной rлобальной модели (а, 6) и двух параллельных моделей (8, с) Возможны различные усовершенствования и модификации paCCMOT peHHoro алrоритма. Например, на тех шаrах, rде производится OДHOBpe мен ное устранение наибольших по высоте или rлубине «пиков» И «впа дин» поверхности ошибки, можно выполнять устранение раздельно и по следовательно, т. е. устранять выступы, соответствующие наибольшей абсолютной ошибке. Еще одна возможность заключается в устранении на поверхности ошибки выступов, которые не являются наибольшими, но при этом захватывают достаточно большую область входноrо про странства либо область, содержащую большое число элементов выборки измерений. Устранение подобных выступов должно привести к значи тельному повышению точности модели (рис. б.б7). Настройку моделей ошибки E i можно выполнять двумя способами: каждая последующая модель ошибки может настраиваться совместно 
470 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования е е mах «Пик 1» «Пик 11» о Х е mш «Впадина 1» Рис. 6.67. При мер ситуации, коrда устранение меньшеrо по высоте «пика» по верхности ошибки (пика 11) в большей степени повышает точность модели, чем устранение caMoro BbIcoKoro «пика» (пика 1) J.1(Xl, Х2) 1 а) кусочнолинейная функция принадлежности б) экспоненциальная функция принадлежности Рис. 6.68. Примеры MHoroMepHbIx функций принадлежности с базовой моделью и всеми ранее построенными моделями ошибки, либо она мо)Кет настраиваться отдельно, с использованием только значений остаточной ошибки. При моделировании систем с мноrими входами целесообразно исполь зовать MHoroMepHbIe функции принадле)Кности (Lin 1996). Примеры таких функций представлены на рис. 6.68. Использование MHoroMepHbIx функ ций принадле)Кности дает очень полезную возмо)Кность отказаться от pe rулярноrо сеточноrо разбиения входноrо пространства и выбрать вместо Hero нереrулярное разбиение (рис. 6.69), что в свою очередь позволяет значительно сократить число правил в модели. 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 471 fJ(Xl, Х2) Хl А 1 I I : : А 2 I I "'--t , I I 1 I I I I I I I I I I I I I-- I I I I I I I I I I : : А З I , I I : I 1 А 1 А 2 Х2 а) б) Рис. 6.69. Неравномерное расположение функций принадлежности во входном пространстве (а) и разбиение входноrо пространства на области чувствительно сти (зоны влияния) отдельных функций (6) При использовании функций, представленных на рис. 6.66, общее число правил в базе определяется перемножением значений, равных чис лу функций принадлежности, для каждоrо входа. В случае MHoroMepHbIx функций принадлежности минимальное число правил просто совпада ет с числом функций принадлежности. Применение подобных функций для систем с менее сложными поверхностями отображения Х  у позво ляет строить модели, содержащие только два правила, независимо от KO личества входов системы! Таким образом можно преодолеть проблему, связанную с «проклятием размерности». Пример 6.3.3.1.1. Рассмотрим выборку измерений для системы с двумя входами и одним выходом (табл.6.5). Примерный вид поверхности си стемы (полученный на основе полилинейной интерполяции) представлен на рис. 6.70. Представленную на рис. 6.70 поверхность системы можно задать с по мощью двух правил (6.55), используя при этом только одну мноrомерную функцию принадлежности А значений входов и одноточечную функцию принадлежности В значений выхода (рис. 6.71). Второе правило RIN, Таблица 6.5 Выборка измерений BXOДOBBыxoдa системы Хl 2 3 4 2 3 4 2 3 4 Х2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 у 998.3 999.1 997.9 999.2 999.9 998.8 998.2 998.8 997.7  
472 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у Данные измерений ....-o.  ............ ,I.... I .... ........ .,1' ...............  ........, I I ............... '1 ....у.... , 1 1 .... '1 ,1 I /j 1 , 1 I , 1 1 , 1 1 , 1 1  1 1 , 1 1 , I J....v........ 1 , 1 I ........I........I 1 1............. , 1 1 у 1 1 I 1 1 ........6 1 1 I 1 '? 1 I 3 1 1 14 I 1 1..... 1 1 1 1 1 1 1 1 I I 1 1 1 I I 1 1 I 1 tJ 1 / I 1 / I 1,' 1 ' I 1 , 1 I I  r l  1 1' , , , 1/ 1, 1,' 1 " 1,/ 1 / t Xl 1000 Х2 Рис. 6.70. Дискретное представление поверхности Х  у производное от первоrо, иrрает лишь вспомоrательную роль и не содер" жит новой информации о моделируемой системе, давая лишь возмож ность нечеткой модели функционировать таким образом, как будто она содержит не менее двух правил, поскольку модель, содержащая един ственное правило Rl, вычисляла бы всеrда постоянное выходное значе.. J.l (у) 1 в Ь= 1000 У 3 3 МА(Хl,Х2) == ехр [I(Xl  3)/101  I(X2  2)/101 ] { 1 для у == 1000, Мв (у) == о в друrих случаях. Рис. 6.71. Функции принадлежности входноrо и выходноrо нечетких множеств для правила (6.55) 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 473 ние: Rl : RIN: ЕСЛИ ((Хl, Х2) == А) ТО (у == В), ЕСЛИ ((Хl, Х2) == НЕ А) ТО (у == О). (6.55 ) с учетом свойств экспоненциальной функции, функцию принадлеж ности, изображенную на рис. 6.71, можно представить в виде [ Хl  3 Х2  2 ] /L(Xl, Х2) == ехр  3  3 == 10 10 [ Хl  3 ] [ Х2  2 ] == ехр  10 3 ехр  10 3 == JLA 1 (Хl) МА2(Х2). (6.56) Кроме Toro, правило Rl (6.55) можно выразить в конъюнктивной фор ме (6.57), rде в качестве условий выступают одномерные множества А 1 и А2, а для выполнения операции И используется оператор PROD: Rl *: ЕСЛИ (Хl == A 1 ) И (Х2 == А 2 ) то (у == В). (6.57) Использование в данном случае друrих tHOpM не rарантирует экви валентность правил Rl * (6.57) и Rl (6.55). На рис. 6.72 представлены р(х], Х2) 1 А] о , , , , I I I , I I I I I , , , I , I I I I , , I I I I I , I I I I , , Х] Х2 Рис. 6.72. Проекция функции принадлежности J.lА (Xl, Х2), зависящей от двух переменных, на плоскости (J.l, Xl) и (J.l, Х2), результатом которой являются функ ции одной переменной J.lА 1 (Xl) и J.lА 2 (Х2) 
474 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования т а б л и ц а 6.6 Результаты моделирования системы с использованием правил (6.55) или (6.56) Хl 2 3 4 2 3 4 2 3 4 Х2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 у 998.3 999.1 997.9 999.2 999.9 998.8 998.2 998.8 997.7 УМО 998.0 999.0 998.0 999.0 1000. О 999.0 998.0 999. О 998.0 Ео 0.3 0.1  0.1 0.2 O.l 0.2 0.2 0.2 0.3 функции принадлежности /-LАl (Х1) и /-LA2(X2), соответствующие проекци ям мноrомерной функции принадлежности /-LA(X1, Х2) на плоскости (/-L, Х1) и (/-L,X2). Разложение мноrомерной функции принадлежности на функции oд ной переменной делает нечеткие правила более доступными для понима ния. Условие правила, заданное на основе использования функций одной переменной: ЕСЛИ (Х1 близок к 3) И (Х2 близок к 2), является HaMHoro более понятным, чем условие, заданное с использова ни ем ФУНКЦИИ двух переменных: ЕСЛИ (Х1,Х2) близок к (3,2). Друrих преимуществ, кроме представления правил в более доступной для пони мания форме, операция разложения мноrомерной функции на oд номерные не имеет. Вместе с тем, обратная ей операция, т. е. создание мноrомерной функции на основе одномерных, с последующим исполь зованием ее в модели, позволяет сократить число правил по сравнению с традиционной нечеткой моделью, основанной на прямоуrольной сетке разбиения входноrо пространства. В табл. 6.6 представлены значения У на выходе системы в сравнении со значениями Ylvfo на выходе модели, а также ошибка базовой модели Ео. Модель А10 (6.57) можно представить в виде нейронечеткой сети (рис. 6.73). После настройки данной сети были получены следующие результаты: II == 3, т1 == 3, 61 == 10, 12 == 3, т2 == 2, 62 == 10. Средняя абсолютная ошибка модели составила 9 L leil == 0.189. i==l 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 475 /1 тl д 1 Хl УМО р,А, == ехр [ I(x,  т,)/8, 11,], i == 1,2, . . . Рис. 6.73. Представление базовой модели Мо в виде нейронечеткой сети Если точность базовой модели признана неудовлетворительной, то можно выполнить моделирование ее ошибки, приведенной в табл. 6.6. Максимальное значение ошибки составляет 0.3 и достиrается в точке (Х1, Х2) == (2,1), а минимальное значение, равное 0.3, достиrается в точ ке (Х1, Х2) == (4, 3). В указанных точках находятся модальные значения (центры) новых функций принадлежности: J.lАЗ4 (Xl, Х2) == ехр [  [3 [4] , Xl  тз Х2  т4 дз д4 J.lA 56 (Xl, Х2) == ехр [ [5 [6] , Xl  т5 Х2  т6 д5 д6 тз == 3, т4 == 1, тп5 == 4, т6 == 3. (6.58) Для настройки пара метров 6i и [i сформирована нейронечеткая сеть, выполняющая моделирование поверхности ошибки Ео (рис. 6.74). В результате настройки сети были получены следующие параметры функций принадлежности: тз == 2, [з == 3, 61 == 0.3, т4 == 1, [4 == 0.5, 64 == 10, т5 == 4, [5 == 2, 65 == 1, т6 == 3, [6 == 1, 66 == 2. В табл 6.7 представлены результаты моделирования: значения еЛ10 на выходе модели ошибки и остаточная ошибка е1 == ео  е Л10. Моделирование остаточной ошибки может продолжаться до тех пор, пока точность модели не будет признана удовлетворительной. Тем не Me нее, предположим, что полученная точность (среднее значение абсолют ной ошибки, равное 0.0035) нас удовлетворяет. Таким образом, получена модель М 1 == Мо + E]I.;[o, представимая с помощью формул (6.59)и (6.60): УМ 1 == УЛ;fо + емо. 
47б rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования 13 J.1. АЗ4 ХЗ 14 J.1. AS6 емо Х2 тs J.l А, == ехр [  I ( Х,  т, ) / д i \1,]. i == 3. 4. 5, 6. j == 1, 2. Рис. 6.74. Нейронечеткая сеть, осуществляющая моделирование поверхности ошибки Е л1о Таблица 6.7 Результаты моделирования ошибки Ео Xl 2 3 4 2 3 4 2 3 4 Х2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ео 0.3 0.1 0.1 0.2 0.1 0.2 0.2 0.2 0.3 емо 0.3  0.041  0.11 0.218  0.067  0.182 0.192  0.11 0.3 еl О 0.141 0.01  0.018  0.033  0.018 0.008  0.09 О 9 среднеквадратическая ошибка: Е lelil/ 9 == 0.035 i=:l Базовая модель А10: R1: ЕСЛИ ((Хl,Х2) == А 12 ) то (У А1 0 == В 12 ), R1N: ЕСЛИ ((Хl,Х2) == НЕ А 12 ) ТО (УЛfо == О), [ 3 3 ] Xl  3 Х2  2 МА 12 == ехр  10  10 ' JL НЕ А 1 2 == 1  МА12' { 1 для у == 1000, МВ 1 2 == О в друrих случаях. (б.59) 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 477 Модель ошибки Емо: е !vlo == е Л1034 + е Л1056, R2: ЕСЛИ ((Хl, Х2) == А з4 ) ТО ( еА1 034 == В З4 ), R2N: ЕСЛИ ((Хl,Х2) == НЕ А з4 ) ТО (eAIo34 == О), [ Xl  2 3 Х2  1 о ] М А 34 == ехр  .5 , 0.3 10 fL НЕ А34 == 1  МА34' { 1 для е Л1034 == 0.3, JL В З4 == О В друrих случаях, R3: ЕСЛИ ((Xl,X2) == А 56 ) ТО (еЛ 1 056 == В 56 ), R3N: ЕСЛИ ((Хl,Х2) == НЕ А 56 ) ТО (еЛ1 0 56 == О), [ xl4 2 X23 1 ] fLAr)6 == ехр  1 2' 11 НЕ 4ы) == 1  ILА ы ), == { 1 для еЛIо56 == 0.3, JL в Ы) О в друrих случаях. Нейронечеткая сеть, соответствующая модели 1\11, представлена на рис. 6.75. . (6.60) Нейронечеткая сеть, представляющая модель, построенную на основе метода максимума ошибки, похожа на нейронную сеть типа RBF. Разли чие состоит в типах используемых нейронов (функции активации не яв ляются типовыми rауссовыми функциями) и применяемом методе обуче ния. Обучение нейронечеткой сети происходит последовательно, по ча стям: первой обучается базовая модель 1\10, затем, в зависимости от pe зультатов, выполняется обучение модели ошибки E1v10 и т. д. Посколь ку В каждый момент времени обучается только часть сети, то подобное обучение выполнить проще, чем обучение сети целиком, поскольку в по следней ситуации возможен взаимный конфликт отдельных нейронов, что может привести к замедлению процесса адаптации. Эффективность процесса обучения как базовой модели ]\;[0, так и MO дели ошибки Е л11 , можно повысить еще больше, если ввести дополни тельную степень свободы с, обеспечивающую возможность сдвиrа по верхности модели вверх или вниз вдоль оси ординат у (рис. 6.76). Использование данной степени свободы может способствовать даль нейшему упрощению модели и сокращению числа правил в случае MHoro мерных нечетких моделей. В частности, если поверхность ошибки имеет 
478 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Хl тl Х2 Ум. Рис. 6.75. Нейронечеткая сеть, соответствующая модели AIl, задаваемой с по мощью формул (6.59) и (6.60) Хl 8 .и AI2(X\, Х2) rf.;) flA12 · Ь 1 . C\21 _@ Ума Х2 Хl емо Х2 Рис. 6.76. Дополнительная степень свободы с позволяет выполнять сдвиr по верхности конкретной модели вдоль оси ординат у вид, представленный на рис. 6.77, а, то для ее моделирования необходимо использование двух правил и двух функций принадлежности. Если же сдвинуть эту поверхность вверх на постоянную величину с, то достаточ но использовать одну функцию принадлежности, требующую настройки, 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 479 В 2 е мо Ь 2 О р(ем о) Bl b 1 J1) а) е Мо  b 1 в* 2 Ь 2  b 1 р(емо  b 1 ) О J1(x) б) х А 2 Rl: ЕСЛИ (x=A 1 ) ТО (емо=В 2 ) R2: ЕСЛИ (х=А 2 ) ТО (eMo=B 1 ) al а2 х х 1 А*  * * * Rl: ЕСЛИ (x=A 1 ) ТО «eMobl)=B2) * * RIN: ЕСЛИ (х= НЕ A 1 ) ТО «емо  b 1 ) = О) с =  b 1 al а2 х Рис. 6.77. Способы сокращения числа правил в модели путем сдвиrа моделиру емой поверхности на величину с вдоль оси ординат и ее отрицание, необходимость в настройке KOToporo отсутствует (впо следствии величину с необходимо вычесть из выходноrо значения Moдe ли). Преимущество TaKoro подхода значительно увеличивается в случае MHoroMepHbIx моделей. Еще одним подходом к повышению точности нечеткой модели явля ется применение эллиптических функций принадлежности с возможно стью вращения rлавных осей (рис. 6.78). Экспоненциальная эллиптиче ская функция принадлежности, зависящая от двух переменных, имеет вид (6.61) и обладает четырьмя степенями свободы (тl, т2, а, Ь), в то время как вращаемая функция (6.62) имеет пять степеней свободы (тl, т2, а, Ь, а). Однако, введение дополнительной степени свободы связа но с определенным побочным эффектом, который выражается в большей сложности нахождения производных и большем числе параметров, под 
480 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Х2 fJп2  * Хl fJпl Xl Хl (x  тl) cos й  (х;  т2) sin й Х2 (x  тl) sino: + (x  т2) coso: Рис. 6.78. Сечение эллиптической экспоненциальной функции, оси которой по вернуты на уrол а относительно системы координат (Хl  Х2) лежащих настройке: { ( ) 2 ( ) 2 } Хl  тпl Хl  т2 М ( Х 1 , Х 2) == ехр  а  Ь ' ( ) { ( Xlml)COSa(X2m2)Sina ) 2 М Хl, Х2 == ехр  а  ( (Х 1  тl) sina: (Х2  т2) cosa ) 2}. (6.61) (6.62) Показатель степени может рассматриваться как дополнительная CTe пень свободы. Общая формула для выражения не вращаемой эллиптиче ской функции (6.61) двух переменных имеет вид { 2 2 } M(Xl,X2)==exp (аlХl+а2Х2+аЗХl+а4Х2+а5) . (6.63) Общая формула, соответствующая функции, повернутой на уrол а (6.62), содержит произведение ЬЗХIХ2: М(Хl,Х2) == ехр{ (blxi + Ь2X + Ь З Х I Х 2 + Ь 4 Х l + Ь 5 Х 2 + Ь 6 )}. (6.64) в случае модели с тремя входными параметрами выражение для Bpa щаемой эллиптической функции (6.65) будет содержать три произведе ния: М(Хl, Х2, ХЗ) == ехр{ (clxi + C2X + СЗХ + С4 Х I Х 2 + + СSХI Х ,З + С6 Х 2 Х З + С7 Х l + СВ Х 2 + СgХз + СI0)}, (6.65) 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 481 При большем числе n входных пара метров модели число m произве дений определяется соотношением п! 1т == 2!(п  2)! ' (б. бб) а число k независимых элементов, содержащихся в выражении для HeBpa щаемой эллиптической функции (б.б1) может быть найдено по формуле k == 2T. (б.б7) Если модель имеет 10 входных переменных, то невращаемая функция содержит k == 20 независимых элементов, т. е. параметров, подлежащих настройке. Отсюда вращаемая функция содержит (k + тп) == 65 парамет ров, т. е. на 45 параметров больше! В случае же 100 входных переменных мы получим k == 200 и (k + rn) == 5150, Т. е. число дополнительных па раметров, подлежащих настройке, составит ни MHoro ни мало, а 4950! Таким образом, при использовании вращаемых функций принадлежно сти мы неизбежно сталкиваемся с проблемой «проклятия размерности». Указанный эффект можно ослабить, если выполнять оценку значимости отдельных произведений :ri.rj, используя описанный в разд. б.3.1 метод средних значений срезов функции (нечетких кривых), либо путем после довательноrо введения элементов в выражение для невращаемой функ ции принадлежности, исследуя их влияние на точность модели. Еще одна проблема, возникающая при моделировании систем с MHO rими входами, состоит в определении базовой lVl0дели Л1 0 . Ниже описаны некоторые дополнительные методы решения этой проблемы. В случае системы с одним входом ее базовую модель можно постро ить путем размещения правил в тех точках измерений, которые COOT ветствуют экстремальным (или rраничным) значениям входных парамет ров (рис. б.79, а). В случае системы с двумя входами, представленной на рис. б.79, б, для уrловых точек области определения результаты изме рений отсутствуют, т. е. в подобной ситуации невозможно указать зна чения координаты Jj, которые должны соответствовать заключениям пра вил, находящихся в уrловых точках. Для решения указанной проблемы можно взять точки, ближайшие к уrловым (на рис. б.79, б эти точки обо значены крестиками) и их координаты YP l использовать в заключениях правил. Если указанные точки имеют координаты Pl(XlPlX2Pl,YPl)'... , Р4(ХIР4,Х2Р4'У Р 4)' 
482 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования В 1 у   ]J ь / 2 2 Модель Мо / / / // / Система Rl: ЕСЛИ (x==At) ТО (у==В 1 ) R2: ЕСЛИ (х==А 2 ) то (у==В 2 ) В 2 /1 (у ) 1 х /1(х) 1 аl а) Х2 Данные измерений А 22 "'-. а22 о о ]J4 .0 О О О -+ ]Jз О О о О 00 О О О О О О o .0 о А 21 I 0\ а21 ]Jl ]J2 /1(Х2) 1 I хl I I I l1(х д I I I 1 А 12 : аll а12 хl б) Рис. 6.79. Базовая модель Мо системы с одним входом (а) и при мер ситуа ЦИИ, связанной с отсутствием измерений в уrловых точках области определения системы с двумя входами (6) то правила базовой модели имеют вид: Rl : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 21 ) то (у близок к У Р l)' R2 : ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 21 ) то (у близок к У Р 2)' R3 : ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 22 ) то (у близок к УРЗ), R4 : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 22 ) то (у близок к УР 4 ). (6.68) Пара метры YPz заключений правил (6.68) можно использовать в ка.. честве начальных значений для настройки нейронечеткой сети, COOTBeT ствующей базовой модели. Можно также задать начальные значения YP't случайным образом, однако это приведет (в общем случае) к усложне 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 483 А 22 Область определения Х2 модели a 22   / Область определения 1  системы I "- I "- 00 О 00 О I О 00 00 "- 00 00 00 "- ILooo О        а21 Р 1 : Р 2 Данные измерений А 21  I Р(х2) 1 , I хl I I р(х 1) I I I I 1 :All А 12 all а12 Рис. 6.80. Расширение области определения модели за rраницы области опре деления системы нию процесса настройки сети. Недостаток расположения правил базовой модели в уrловых точках области определения связан с явлением «про клятия размерности». В рассмотренном нами случае число правил, содержащихся в базовой модели, равно r == 2 n , и тем самым резко увеличивается с ростом числа n входных парамет ров. Проявление упоминавшеrося выше недостатка можно ослабить, если расширить область определения модели за rраницы области опреде.. ления моделируемой системы (рис. 6.80), предполаrая, таким образом, что область определения модели имеет форму треуrольника со следую щими координатами вершин: Р1 (а11 , а21 , У Pl ), Р2 (а 12, а21, У Р2)' Рl (аl1 , а2З, У Рз). Правила базовой модели расположены в вершинах треуrольника и имеют вид Rl : ЕСЛИ (Х1 == А 11 ) И (Х2 == А 21 ) то (у близок к YP 1 ), R2 : ЕСЛИ (Х1 == А 12 ) И (Х2 == А 21 ) то (у близок к У Р 2)' R3 : ЕСЛИ (Х1 == А 11 ) И (Х2 == А 2з ) то (у близок к урз). (6.69) Перед началом обучения базовой модели значения YP можно BЫ брать на основе ближайших точек измерений либо случайным образом. 
484 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Область определения модели Область определения системы Данные измерений ХЗ Рис. 6.81. Область определения системы с тремя входами (8 уrловых точек) и область определения модели (4 уrловых точки) в процессе обучения, объектом KOToporo является соответствующая MO дели (6.69) нейронечеткая сеть, параметры aij функций принадлежно сти правил можно положить постоянными  это один подход. В рамках BToporo подхода вводится условие, запрещающее изменения точек P i , находящихся во внутренней прямоуrольной части области определения системы. Таким образом, настройке подверrаются rлавным образом op динаты YPz. Несмотря на неполноту базы правил (6.69) в смысле традицион ной нечеткой лоrики (Driankov 1996), базовая нечеткая модель является численно полной. С ее помощью можно вычислить выходные значения для всех точек прямоуrольной области определения системы, посколь ку три правила (6.69), расположенные в точках P i , порождают интер поляционную модель с треуrольной поверхностью, включающей в себя область определения системы. В случае системы с тремя входами BMe сто треуrольной области будет получен тетраэдр, внутри KOToporo будет содержаться кубическая область определения системы (рис. 6.81). В YKa занной ситуации минимальное число правил, необходимых для задания модели в кубической области, равно 8, а для области, имеющей форму тетраэдра, полностью охватывающеrо область определения системы, это число составляет только 4. В случае модели с n входами число r правил в модели, область опре деления которой имеет форму rипертетраэдра, составляет r == n+ 1. Если число входов равно 100, то число правил, требующихся для базовой MO дели: r rv 1.2676506 . 1030, 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 485 а число правил, требующихся для модели на основе rипертетраэдра: r == 101. Комментарии излишни. Выход за rраницы области определения системы позволяет ослабить действие «проклятия размерности». В некоторых случаях (рис. 6.82) чис ло правил базовой модели можно сократить еще больше. Поверхность, Х2 f1 21   а21 Область определения системы р,   1 I I I I J I I I I I I I I r I I t I I I I 00 о o о о 00 о о 00 00 00 00 о о о  J.1 (xi) Х1 J.1 (хд 1 f1 11 а) all Х1 Х2 Область определения системы Р 1 . J.1 (xi) 1 J.1 (х 1) 1 all Х1 б) Rl: ЕСЛИ (XI =f1 11 ) И (X2=f1 21 ) ТО (у близок КУР1) RIN: ЕСЛИ (Х1 = НЕ A ll ) И (Х 2 = НЕ f1 21 ) ТО (у = О) Р 1 : (all, a21,Yp]) J.1 А = 1  РНЕ А Рис. 6.82. Базовая модель с двумя правилам и 
486 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования порождаемая моделью с двумя правилами, может быть достаточно точ ной при условии корректной настройки ее пара метров на основе измере ний данных о системе. О численной полноте модели с двумя правилами можно rоворить при условии, что области чувствительности (носители) функций принадлежности являются достаточно большими для Toro, что бы обеспечить покрытие всей области определения системы, как показано на рис. 6.82. В отдельных случаях, коrда выполнено данное условие, правило Rl можно поместить во внутреннюю точку прямоуrольной области значений входов системы (рис. 6.82, б), зависящую от формы связанной с ней по верхности. Также возможны ситуации, коrда выход за rраницы области определения позволяет получать модели с двумя правилами для MHoro мерных систем, т. е. способствует построению экономных нечетких Moдe лей (Brown 1995). Наибольшую эффективность метод моделирования, oc нованный на расположении правил в точках экстремума ошибки модели, демонстрирует в том случае, коrда измерения не подвержены или лишь незначительно подвержены влиянию шума. В условиях более сильно ro шума для повышения эффективности метода необходима фильтрация, для выполнения которой можно использовать метод взвешенных средних (Preuss 1994Ь), обсуждавшийся в разд.6.3.2. Предположим, что данные о системе представляют собой за шумленную выборку измерений с распределением, представленным на рис. 6.83, а. Элементы выборки (Xi, Yi) соответствуют зашумленному представлению поверхности модели. Поскольку измерения как входов Xi, так и выходов Yi, MorYT содержать ошибку, то определение наиболее достоверноrо значения У; выхода для точки Х == Xi на основе только па ры (Xi, Yi) не может быть достаточно объективным. Более объективноrо результата можно добиться, если значение У; выхода вычислять на OCHO ве друrих элементов выборки, при надлежащих ближайшей окрестности элемента (Xi, Yi). Для задания окрестности можно ввести функцию принадлежности «близок к Xi», тип которой может быть произвольным. Наиболее целе сообразным представляется использование rауссовой функции принад лежности (рис. 6.83), поскольку ее область чувствительности (носитель) является неоrраниченной, и, с учетом этоrо, смежные элементы учи тываются даже в случае очень большоrо расстояния между ними, что невозможно обеспечить при использовании треуrольных функций при надлежности с неправильно выбранным или слишком узким носителем. 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 487 У Данные измерений Система  0/ У, .  <;>Уп <;> У} I I I <;> О : I I I I I I I Yl : I I I У Xl ХЁ Х} Х п Х Х' 1 Х ( (XЁx) 2 ] Р(Х , ) == ехр  262 Х , Х а) б) Рис. 6.83. Подверженные шуму измерения до (а) и после (6) фильтрации Представление у7 поверхности системы в точке Х == Xi можно вычис лить методом взвешенных средних по формуле n [ (X  X j )2 ]  Yj ехр 262 у*  з1 (6.70) i  n [ (X1  хз)2 ] L: ехр 62 з==1 2 Элемент выборки Х j, находящийся ближе к Xi, В большей степени влияет на значение у7, чем элементы, находящиеся дальше. Размеры бли жайшей окрестности можно настраивать путем изменения величины OT клонения <5 функции принадлежности. На расстоянии 3<5 от точки Xi зна чение функции принадлежности равно 0.011, т. е. элементы, расположен ные за пределами соответствующей области, фактически не оказывают влияния на взвешенную среднюю величину у7. При большей плотности выборки и более изменчивой (в соответствии с ожиданиями) поверхности моделируемой системы величину <5 следует уменьшать. Используя фор мулу (6.71), можно также найти представление у* поверхности системы в произвольной точке Х, не принадлежащей выборке измерений: п [ (xx.)2 ]  У] ехр 282 .J * з1 Yi == n [ (XXj)2 ] L: ехр 62 з==1 2 (6.71) Рассмотренный метод позволяет rенерировать искусственные «изме рения» для тех областей, для которых результаты измерений отсутствуют 
488 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования (рис. 6.83, б; при этом следует помнить, что значимость и достоверность подобных искусственных элементов ниже, чем у реальных измерений). Кроме Toro, с ero помощью можно уменьшить число элементов выборки измерений в областях, для которых характерны слишком большие скоп ления этих элементов, путем замены большеrо числа элементов (Xi, Yi) меньшим числом представлений (Xk y;J. Таким образом, метод взвешен ных средних позволяет сократить объем информации. Если число входов системы равно р, то формула для вычисления взвешенноrо среднеrо У; представлений системы в точке Xi имеет вид п [ Р ( ) 2 ] '"'" '"'" Х ki  Х kJ Li УЗ ехр  Li 2 * )==1 k==l 2д К' У i (х 1 i, . . . , Х ki, . . . Х pi) == п [ Р (  ) 2 ]   .fkl Xk j ех р  < 2 )==1 k==l 2д].: (6.72) rде k  номер входа, j  номер измерения. Приведем при мер применения rеометрическоrо подхода к нечеткому моделированию трехмерной системы у == f (Хl, Х2), использующеrо rpa фическую визуализацию распределения выборки измерений на экране компьютерноrо монитора. При мер 6.3.3.1.2. В табл.6.8 приведены результаты измерений данных о моделируемой системе с двумя входами Х}, Х2 И выходом у, нормиро ванные к интервалу [О, 100]. Измерения, представленные в табличной форме  не более, чем rруда абстрактных чисел. Менее абстрактным и более образным является их т а б л и ц а 6.8 Результаты измерения значений ВХОДОВ Х1, Х2 моделируемой системы и соответствующеrо им значения выхода У Хl О О О О О О 20 20 20 20 20 20 Х2 О 20 40 60 80 100 О 20 40 60 80 100 у 35.3 31.3 25.7 18.4 13.5 8.7 67.0 59.7 48.7 36.8 25.7 16.5 Хl 40 40 40 40 40 40 60 60 60 60 60 60 Х2 О 20 40 60 80 100 О 20 40 60 80 100 у 92.3 81.9 67.1 51.2 36.0 23.3 92.3 82.2 69.5 60.1 50.0 37.2 Хl 80 80 80 80 80 80 100 100 100 100 100 100 Х2 О 20 40 60 80 100 О 20 40 60 80 100 у 67.0 60.1 55.5 62.5 65.7 42.2 35.3 31.6 28.2 28.8 28.2 18.1 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 489 Х2 8.7 16.5 23.3 32.2 42.2 18.1 10 о о о о о о 13.5 25.7 36.0 50.0 65.7 28.2 Начальная ПОЗИЦИЯ 80 о о о о о о первой rаусуовой ФУНКЦИИ : 18.4 36.8 51.2 60.1 62.5 288. 60 о о о о о о 25.7 48.7 67.1 69.5 55.5 28.2 40 о о о о о о 31.3 59.7 81.9 82.2 60.1 31.6 20 о о о о о о 35.3 67.0 92.3 92.3 67.0 35.3 I I I О О О О О О О .. 20 О 20 40 60 80 100 120 140 160 Х] у * == 2 ехр [ 2 2 Xl  1БО :r 2  40 ]  20 30 Рис. 6.84. Представление результатов измерения для моделируемой системы во входном пространстве и при мер начальной позиции первой двухвариантной rауссовой функции представление в виде точек входноrо пространства Х 1 х Х 2 , В COOTBeT ствии с рис. 6.84. rayccoBa функция представлена с помощью изолиний, соответствую щих различным уровням, например 1/3 и 2/3 высоты. До начала процесса настройки необходимо выбрать исходные значения пара метров функции, определяющие ее начальную позицию, ширину и форму (которая COOT ветствует показателю степени). В рассматриваемом при мере исходные значения были выбраны в соответствии с рис. 6.84. В процессе настройки вручную осуществляется перемещение rауссовой функции и ее растяже ние вдоль плоскости входных параметров, при этом на экране монитора отображаются разности (6.73) между значениями у измерений и COOT ветствующими значениями у*, полученными на основе текущеrо вида функции. Наблюдение значений ошибки еl дает нам информацию о том, в каком направлении следует перемещать [ауссову функцию и каким образом изменять ее форму: * еl == У  У . (6.73) На основе рис. 6.84 мы находим точки, соответствующие наибольшим значениям у (равным 92.3), т. е. определяем, куда необходимо поместить 
490 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Х2 Ошибка еl 0.0 0.0 0.5 9.4 25.7 25.7 базовой 10 о о о о функции I I I 0.0 i 14.7 АО.О 40.0 80 о о : о о о I I I 0.0 0.5 i 9.4 25.7 25.7 60 о I /1'\ о о 0.0 0.1 2.5 6.8 6.8 40 о о о о  Конечная позиция 0.0 0.0 0.3 0.7 0.7 базовой функции 20 о о о о \0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 о о о : о о i I 20 ! О 20 40 60 80 100 Хl У * =с 100 ехр [  2 2 Х 1  50 Х2 + 20 ]  50 100 Рис. 6.85. ПОЗИЦИЯ и изолинии первой rауссовой ФУНКЦИИ (базовой ФУНКЦИИ) и значения ошибки el для конкретных элементов выборки измерений моделиру ем ой системы центр rауссовой функции. Перемещение, расширение и/или уменьшение функции выполняется до тех пор, пока не будет достиrнуто минималь но возмо)Кное значение критерия J(o, в качестве KOToporo используется средняя абсолютная ошибка для всей выборки измерений: rп I: leli I 1 == 1 (6.74) J(o== т [де 'т  объем выборки. На рис.6.85 показаны найденная после нескольких попыток опти мальная позиция rауссовой функции, ее форма (изолинии) и величины ошибки относительно конкретных элементов выборки измерений. Оп тимальное значение высоты базовой rауссовой функции равно 100. По лученная на основе данной функции нечеткая модель lv10 мо)Кет быть задана с помощью правил R1 : RIN: ЕСЛИ (Х1  50) И (Х2  20) ТО (у  100) ЕСЛИ НЕ (Х1  50) ИЛИ НЕ (Х2  20) TO(yO) (6.75) и функций принадле)Кности, представленных на рис.6.86. 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 491 }J(Хl) Примерно 50 # (Х2) Примерно  20 }J(у) Примерно 100 1 r---l 1 I I I t I I I I I I I I 50 100 Хl 20 100 Х2 О 100 У М"'50 (Хl)  ехр [  Х}  50 2] [ 2] Х2 + 20 50 ' M,;:::;20 (Х2) == ехр  100 Рис. 6.86. Одновариантные функции принадлежности для базовой модели А10 Х2 Значения ошибки еl для базовой функции 0.0 0.0 0.5 9.4 25.7 25.7 100 о о о о о о Вторая функция, 0.0 0.0 0.7 14.7 40.0 40.0 используемая для 80 о о о о о о моделирования 0.0 0.0 0.5 9.4 25.7 25.7 ошибки еl 60 о о о о о о 0.0 0.0 0.1 2.5 6.8 6.8 40 о о о о о о 0.0 0.0 0.0 0.3 0.7 0.7 20 о о о о о о 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 о о о о о о о 20 О 20 40 60 80 100 120 140 160 Хl * 10 [ Хl  150 2 е 1 == ехр  20 Х2  10 2 ] 30 Рис. 6.87. Значения ошибки el для базовой модели 1\10 и начальная позиция второй rауссовой функции Среднее значение абсолютной ошибки базовой модели Мо равно 6.55. Если такая точность недостаточна, то базовую модель можно дополнить второй rауссовой функцией для моделирования ошибки е1. На рис.6.87 представлены значения ошибки базовой модели и начальная позиция BTO рой rауссовой функции. Путем изменения параметров второй rауссовой функции осуществля ется ее перемещение, а также расширение либо сужение, до тех пор, пока не будет минимизирована ее ошибка е2. Ошибку ошибки будем называть 
492 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Х2 0.0 0.0 0.0 0.0 Конечная позиция 100 о о о  второй rауссовой 0.0 0.0 0.0 о функции 00 80 о о о 0.0 0.0 0.0 о. 60 о о о 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 40 о о о о о о 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 o.  Значение остаточной 20 о о о о о о ошибки е2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 о о о о о о о 20 20 40 80 100 О 60 Х} e  40exp[ 2 х 2  80 2] Х 1  80  20 30 Рис. 6.88. Конечная позиция второй rауссовой функции после ее настройки и значения остаточной ошибки е2 остаточной ошибкой, для нахождения которой используется формула * е2 == el  el . (6.76) Оптимальная позиция и пара метры второй rауссовой функции пред ставлены на рис. 6.88. Нечеткая модель ошибки EA10 базовой модели л/о задается с помощью правил R2 : R2N: ЕСЛИ (Xl  80) И (Х2  80) ТО (el  40), ЕСЛИ НЕ (Xl  80) ИЛИ НЕ (Х2  80), ТО (еl  О) (6.77) и функций принадлежности, представленных на рис. 6.89. Как следует из рис. 6.88, средняя абсолютная ошибка К 1 модели, co стоящей из двух подмоделей Мо и E]\Io В рассматриваемом примере paB на О, т. е. вторая rayccoBa функция полностью подавила ошибку модели. На рис. 6.90 совместно представлены две rayccoBbI функции, составляю щие полную модель. Общая структура модели, включающей в себя две параллельные подмодели, показана на рис.6.91. . rеометрический подход можно использовать не только внечетком, но также и в нейросетевом моделировании. Пример TaKoro моделирования 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 493 р(х}) 1 Jl(X2) 1 Примерно 80 Jl( el) 1 Примерно 40 Примерно 80 80 100 Х} 1L",,80(Xl) ==exp[ Хl 80 2], 80 100 Х2 о 40 1 00 е 1 [ 2 ] Х2  80 f180 (Х2) == ехр  30 Рис. 6.89. Одновариантные функции принадлежности для ошибки модели Е Л10 Х2 Значение ошибки 0.0 0.0 0.0 o.o\\ модели 100 о о I I I I 0.0 I 0.0 0.0 I I 80 I t о о I raYCCOBa ФУНКЦИЯ I I I I для ошибки е} I 0.0 0.0 ! 0.0 0.0 60 о о m 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 40 о о о о о  Базовая raYCCOBa 0.0 0.0 0.0 0.0 .0 функция 20 о{ о о о о 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 о о о о о 20 100 О 20 40 60 80 Х} у** == 100 ехр [ 2 2 2 2 Xl  50 Х2 + 20] 40 [ Х 1  80 Х2  80 ] 50 + ехр  20 30 100 Рис. 6.90. Две rayccoBbI функции, составляющие полную модель х} ЕСЛИ (х}  50) И (X2  20) ТО (y 100) ЕСЛИ НЕ (х}  50) ИЛИ НЕ (Х2   20) ТО (у  О) * у Х2 ЕСЛИ (х}  80) И (Х2   20) ТО (у  40) ЕСЛИ НЕ (х}  80) ИЛИ НЕ (Х2  80) ТО (е}  О) 2 2 2 * * 1 00 [ Х 1  50 Х2 + 20 ] 40 [ Х 1  80 У == ехр   + ехр  50 100 20 Х2  80 2 ] 30 Рис. 6.91. Структура полной модели системы 
494 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования с использованием rayccoBbIX функций без возможности вращения можно найти в (Stolcman 1999), а пример, в котором вращение функций допус кается  в (Piegat 2000). Применение rеометрическоrо моделирования возможно не только для трехмерных задач, но и для задач большей раз мерности  в этом случае вначале происходит настройка нейронов в под пространстве Х 1 х Х 2 , затем в подпространстве Х з х Х 4 И т. д. По завер шении первоrо цикла настройки во всех подпространствах происходит возврат к первому подпространству X 1 х Х 2 . В нем и в остальных под пространствах цикл настройки повторяется до тех пор, пока имеется воз можность повышать точность модели. Пример нечеткоrо rеометрическоrо моделирования в четырехмерном пространстве приведен в (Korzen 2000), а нейросетвоrо rеометрическоrо моделирования  в (Rzepka 2000). 6.3.3.2. Самоорrанизация и самонастройка нечетких моделей методами кластеризации Помимо описанноrо в разд.6.3.3.1 метода размещения правил модели в «существенных» точках поверхности системы, существуют друrие MeTO ды, которые можно назвать частотными. Для мноrих явлений правила (закономерности, обобщения) MorYT быть выявлены на основе оценки OT носительной частоты различных вариантов проявления связанных с ними свойств. Примерами MorYT служить правила, представленные ниже: Rl: ЕСЛИ (закат красный) ТО (завтра будет хорошая поrода), R2: ЕСЛИ (студент прилежен в учебе) ТО (он получит хорошую работу), R3: ЕСЛИ (человек занимается спортом) ТО (он будет жить дольше). Рассмотренные правила носят статистический характер, и при Ha личии достаточно большоrо числа измерений (наблюдений) вероятность Toro, что они являются истинными, превосходит 50% (что и обуслов ливает возможность их выявления и формулировки). Для небольшоrо числа измерений (один или несколько элементов) правила MorYT OKa заться и ложными. Например, отдельные люди, занимающиеся спортом, MorYT прожить меньше, чем KTOTO из тех, кто не занимается спортом или курит. KOMYTO из прилежных студентов может достаться работа хуже, чем ero более слабому соученику, и т. д. Тем не менее, следует помнить, что подобные правила опираются не на один или несколько случаев, а на их статистическое большинство. Достоверность частотных правил можно оценить с помощью коэффициентов (факторов) доверия, которые отражают относительное число наблюдений, подтверждающих COOTBeT ствующее правило. Возникает вопрос, можно ли использовать частотные 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 495 У У В 2  Ь 2  Система В з  Ь з Измерения  дУ В}  Ь} I p(v) I Х Х I ДХ I I р(х) I I а) А}: А2, Аз . У В 2  Ь 2 а} а2 аз х В з  Ь З б) В}  Ь} Rl: ЕСЛИ (x=A 1 ) то (У=В}) .... Р} I R2: ЕСЛИ (х=А 2 ) то (У=В 2 ) p(v) х R3: ЕСЛИ (х=А з ) то (у=В з ) р(х) А 1 А 2 Аз в) аl а2 аз х Рис. 6.92. Нечеткая модель (в), полученная на основе частоты элементов BЫ борки измерений, в проекции на ось у (а) и ось х (6) методы формирования правил при моделировании поверхности реализу eMoro системой отображения Х  У. Обратимся к примеру, который представлен на рис. 6.92. Если поверхность системы представлена точками, расположенными равномерно вдоль оси х с шаrом Дх (рис. 6.92, а), то примерное распо ложение точки максимума поверхности можно определить на основе их проекций на ось у  в окрестности точки максимума имеет место наи большая плотность таких проекций. В этой точке размещается функция принадлежности В 2 , на основе которой можно сформулировать правило, определяющее максимум. е друrой стороны, если поверхность системы представлена точка ми, расположенными вдоль оси у с одинаковым шаrом Ду (рис. 6.92, 6), то плотность их проекций на ось х в окрестности точки максимума будет 
496 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у у Система Рз х х а) б) Рис. 6.93. При меры HepaBHoMepHoro распределения элементов выборки измере ний во входном пространстве системы наименьшей, и в этой точке размещается функция принадлежности А 2 . На основе двух функций принадлежности В 2 и А 2 можно сформули ровать правило R2, задающее окрестность максимума. Остальные два правила (Rl и R3) задают rраницы области определения х. На основе рис.6.92 можно утверждать, что информация, получен.. ная в результате одномерноrо (отдельно для проекции на каждую ось) анализа частоты элементов выборки, при условии равномерной дискре тизации x, y, дает возможность формирования правил для описания несложных поверхностей Х  У. к сожалению, в реальных системах результаты измерений редко бывают распределенными в пространстве равномерно  в одних областях функционирование системы может на.. блюдаться чаще, чем в друrих. Например, движение судна обычно про.. исходит на так называемой экономной скорости, которая, в зависимости от типа судна, может равняться, например, 14, 15 или 16 узлам. При.. меры HepaBHoMepHoro распределения элементов выборки представлены на рис. 6.93. В случае, показанном на рис. 6.93, а, элементы сконцентрированы во.. Kpyr точки Р2. Точка максимума поверхности системы находится спра ва от нее, но поскольку для данной области нет результатов измере ний, то определить координаты этой «существенной» точки невозмож но. С друrой стороны, в силу отсутствия данных о функционировании системы в окрестности максимума, поверхности модели без этой точки для практических целей достаточно. На рис. 6.93, б также показан случай, коrда основная концентрация элементов наблюдается в окрестности Р2. В друrих областях элементы 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 497 у В 2 Ь 2   o ............ ............ ...... ............ Система В з Ь з В} Ь} J1(X ) I I I I I I I I I :А 1 х J1(y) Аз а} а 2 аз х Рис. 6.94. Построение нечеткой модели путем расположения правил и пиков функций принадлежности в центрах кластеров распределены более или менее равномерно, вследствие чеrо становится возможным определить координаты точки максимума и поместить в нее правило. С друrой стороны, более целесообразным может оказаться раз мещение правила в точке Р2, поскольку в этом случае можно добиться значительноrо уменьшения средней ошибки модели в окрестности дaH ной точки, rде находится большинство элементов выборки. Неудачное же размещение правила в значительной мере способствовало бы росту cpeд ней ошибки модели. В рамках частотных методов в качестве «существенных» точек си стемы вместо экстремумов ошибки модели рассматриваются точки MaK симальной плотности элементов выборки измерений, и правила распола rаются именно в этих точках. Возможность задания базы правил, функ ций принадлежности и их пара метров определяется способностью выяв лять кластеры с плотными скоплениями элементов и находить их центры (рис. 6.94). Следует еще раз подчеркнуть, что даже если кластеры элементов по своему расположению не совпадают с окрестностями точек экстрему ма поверхности системы, модель, построенная методами кластеризации, может иметь очень высокую точность, если функционирование системы наблюдается в основном в области кластеров, а возникновение друrих 
498 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования состояний носит лишь спорадический характер. Поскольку значения, по лученные путем измерения входов и выходов системы, обычно представ ляют собой малопонятный набор чисел, и в случае систем с мноrими входами часто бывает трудно представить этот набор rрафически и Bыдe лить кластеры на визуальном уровне, то для выделения кластеров необ ходимо использовать специальные математические методы. Простейшим из них является метод одномерной кластеризации (Preuss 1995), KOTO рый осуществляет проекцию измерений на каждую из осей (Хl, . . . , Хр, у) в отдельности и позволяет выявлять одномерные кластеры. На рис. 6.95 представлены проекции трехмерных элементов (Х] х Х 2 Х У) на двумерную плоскость (Х 1 Х Х 2 ), а также на оси Х 1 и Х 2 . Вершины ali, a2j функций принадлежности множеств A 1i , A 2j совпадают с центрами одномерных кластеров. Следующий шаr состоит в заполнении базы правил«кандидатов»: Rr: ЕСЛИ (Хl  A]i) И (Х2  A 2j ) ТО (У  B k ), (6.78) rде i  1, . . . , тl  номера нечетких множеств для входа Хl, j  1, . . . , т2  номера нечетких множеств для входа Х2, k  1, . . . . тз  номера нечетких множеств для выхода У. Данная база содержит тl .т2 .тз правил (все возможные комбинации A 1i х A 2j Х B k ). Некоторые из этих правил вводить нельзя, поскольку они соответствуют областям входноrо пространства, для которых OTCYT ствуют результаты измерений, и это может означать, что данные области не входят в диапазон функционирования системы. Если элемент pz име ет координаты (Xll, X2l, Yl), то степень МТ, с которой он подтверждает достоверность правила Rr, может быть вычислена по формуле /-Lr(Хll, X2l, Yl)  1fIN(JLA 1t (Хlр), p1A 2 ) (Х2р), /-LВk (Ур)). (6.79) Вместо оператора MIN можно использовать оператор PROD или дpy rие tHOpMbI. Элементы выборки подтверждают достоверность каждоrо правила«кандидата» в разной степени. Если выполнено условие МАХ Рт(Хll, X2l, Yl) > о, (6.80) rде l  1, . . . , т  номер элемента выборки, то правило Rr потенциально l\10жет претендовать на включение в базу. Выполнение указанноrо усло вия означает, что правило соответствует такому участку области опреде ления, rде имеются данные ИЗf\.1ерений, на основе которых можно иссле довать достоверность правила. Если выполнено условие 11АХ /Lr.(Xll, :1;2l, YI)  O 1  1.. . . , rп p ' 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 499 А 25 Х2 о о 00 008 O  о 08, 00 0001 0000 00 о о O со &o о cP о о о oo.. о о о "'YO g o О 000  .. а 21 J1(X2) J1(Xl) А 11 . . . . . I I . А 12 : I Хl Ав А 14 .А 15 а) а 11 а 12 а 13 а 14 а15 Хl Х2 Расположение условий правил  «кандидатов» \ J1(X2) Хl J1 (х д б) Хl Рис. 6.95. Одномерная кластеризация (а) и формирование функций принадлеж ности кластеров (б) 
500 [лава 6. Методы нечеткоrо моделирования то правило«кандидат» необходимо исключить. Среди множества правил, подтвержденных с положительной степенью, MorYT содержаться правила, взаимно противоречащие друr друrу, например: R1: ЕСЛИ (Хl малый) И (Х2 малый) ТО (у малый). Мl == 0.9, R2: ЕСЛИ (Хl малый) И (Х2 большой) ТО (у большой). М2 == 0.7. Данные правила имеют одинаковые условия, но разные заключения. Подобная ситуация возникает, коrда данные измерений искажены шумом или подвержены влиянию определенных входных параметров, которые не были учтены в модели. При наличии противоречащих друr друrу пра.. вил отбрасывается то правило, которое имеет меньшую степень достовер" ности (в рассматриваемом при мере это правило R2), и остается правило, достоверность KOToporo подтверждена с более высокой степенью (прави" ло R1). Противоречащие правила также можно сохранять, при условии что заключение каждоrо правила умножается на соответствующий KO эффициент доверия МАХ МТ  в этом случае мы придем к реляционной модели. В конечном итоrе будет сформировано множество (база правил), содержащее правила, которые были подтверждены с положительной CTe пенью. Приведем пример подобной задачи. Пример 6.3.3.2.1. В табл. б.9 представлены результаты измерений дaH ных о системе, а на рис. б. 9б  их проекции на пространство входов. Кластеры в данном при мере были выделены визуально, поскольку rруппы элементов здесь ясно различимы. Центры кластеров были найде ны по формуле rrLc L X l ] )==1 aij == те i == 1,2, (б.81) rде те  число элементов кластера с. В случаях, коrда число элементов велико, а rраницы между их rруп пами недостаточно различимы, применяются специальные методы aBTO матическоrо поиска кластеров, к которым, например, относится метод k средних. (Babuska 1995е; Cho 1995; Cipriano 1995; Delgado 199б,1997; Таблица 6.9 Результаты измерений данных о моделируемой системе 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xl 1.3 0.9 1.0 1.8 2.2 2.1 3.1 3.0 2.9 2.7 Х2 0.8 1.2 0.7 2.1 1.7 1.9 2.8 3.1 3.3 2.9 у 0.9 1.1 1.3 3.9 4.3 4.1 7.1 6.9 7.2 4.5 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 501 Halgamuge 1996; Hanss 1996а; Kwon 1994; Langari 1995; Narazaki 1993; Osowski 1996; Rutkowska 1997; Su 1995; Уао 1995; Zhou 1995). Указанные методы будут описываться далее в настоящей rлаве. Модальные значения функций принадлежности совпадают с центрами кластеров aij (рис. 6.96). Формулы для задания функций принадлежности имеют вид: { 1 для Хl < аll, MAll (Хl) == Хl  а12 для аll  Хl < а12, аll  а12 МА 1 2(Хl) == Хl  аll а12  аl1 Хl  а13 а12  аl:3 для аll  Хl < а12, для а12  Хl < аl:З. ( ) { Хl  а12 для а12  Хl < аl:З, MA13 Xl == аlЗ  а12 1 для Хl  аl:З, { 1 дЛЯ Х2 < а21, МА21 (Х2) == Х2  а22 для а21  Х2 < а22, а21  а22 МА22 (Х2) == Х2  а21 а22  а21 Х2  а23 а22  а23 для а21  Х2 < а22, (6.82) для а22  Х2 < а2З, { Х2  а22 ( )  для а22  Х2 < а2:З, МА23 Х2  а23  а22 1 дЛЯ Х2  а2З, { 1 для у < Ь], MBl(Y) == yb2 дЛЯ Ь 1  У < Ь 2 , Ь 1  Ь 2 У  Ь 1 для Ь 1  У < Ь 2 , Ь 2  Ь 1 У  Ь: З для Ь 2  У < Ь:з, Ь 2  Ь: З { yb2 Ь ( )  ь ь для 2  У < Ь:з, J1Вз У  3  2 1 для у  Ь з . JlB2 (У) == Затем формируется множество правил«кандидатов» (6.83), построен ных на основе всех возможных комбинаций входных и выходных нечет 
502 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования all == 1.067 Х2 а12 == 2.033 а13 == 2.925 о о a21 == 0.9 о о а22 == 1.9 о а2З == 3.025 о о Ь 1 == 1.1 о Ь 2 == 4.2 о о Ь з == 7.067 I Хl J.l (х 2) 1 2 :3 I I J.l (х 1) All А 12 !А13 аll а12 а13 Хl I I I I 1 1 I 1 11 .. 1 , I I l' I I О 1: 2 3 4: 5 6 7: у , , В 1 : , J.l (у ) В 2 : Ь 1 Ь 2 Ь З У Рис. 6.96. Проекции результатов измерений на отдельные оси, координаты кла стеров и функции принадлежности, расположенные в центрах кластеров ких множеств A 1i , A 2j , B k : Rl : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 21 ) то (у == В 1 ), R2 : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 21 ) то (у == В 2 ), R3 : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 21 ) то (у == в з ), R4 : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == В 1 ), R5 : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == В 2 ), R6 : ЕСЛИ (Хl == A 11 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == в з ), R27 : ЕСЛИ (Хl == А 1з ) И (Х2 == А 2з ) то (у == в з ). (6.83) Таким образом, множество содержит 27 правил«кандидатов». Для каждоrо правила вычисляются коэффициенты доверия Мт, COOTBeTCTBY ющие конкретным элементам выборки измерений, на основе чеrо затем 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 503 Таблица 6.10 Коэффициенты доверия правил«кандидатов» (6.83) Правило NQ r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 МАХ J.1r 0.935 0.064 О 0.3 0.241 О 0.097 0.178 О r 10 11 12 13 14 15 16 17 18 МАХ J.1r О О О 0.097 0.925 0.105 0.097 0.252 0.105 r 19 20 21 22 23 24 25 26 27 МАХ J.1r О О О 0.032 0.748 0.2 О 0.105 0.972 определяются максимальные значения указанноrо коэффициента. Напри мер, для правила R1, значение коэффициента Мт, соответствующее эле менту (1.3, 0.8, 0.9), вычисляется по формуле М1 (1.3,0.8,0.9) :NIIN(MA 11 (1.3), МА21 (0.8), MBl (0.9)) == MIN ( ( 1. 3  а 12) / ( а 11  а 12), 1, 1) == MIN(0.759, 1, 1) == 0.759. (6.84) Степень, с которой этот же самый элемент подтверждает правило R3, вычисляется по формуле мз(1.3, 0.8, 0.9) MIN(M A l1 (1.3), МА21 (0.8), МВз (0.9)) == MIN (о. 759,1, о) == о. (6.85) Для каждоrо из правил«кандидатов» среди значений коэффициента доверия, соответствующих всем элементам выборки измерений, выби рается максимальное. Результаты вычислений, полученные в условиях рассматриваемоrо примера, представлены в табл. 6.10. В соответствии с табл. 6.10, положительную оценку получили 15 пра вил. Остальные 12 правил имеют коэффициенты доверия МАХ МТ == о, и из множества правил их следует исключить. Тем самым, получено HO вое множество, содержащее 15 правил«кандидатов», среди которых, oд нако, имеются правила, противоречащие друr друrу, т. е. имеющие одина ковые посылки, но разные заключения. В табл. 6.11 представлен резуль тат rруппировки правил по данному признаку. Для простоты, правила, имеющие вид ЕСЛИ (Х1 == A 1i ) И (Х2 == A 2j ) ТО (у == Bk) представлены в сокращенной форме (A 1i , А 2з , Bk). Проблему, связанную с наличием взаимно противоречащих правил, можно решить ДВУl\1Я способами. Первый из них состоит в создании pe ляционной базы правил (6.86), rде заключения умножаются на коэффи 
504 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Таблица 6.11 fруппы противоречащих друr друrу правил Правило N2 r A]]A 2l B 1 , Al1 A 21 B 2 A l1 A 22 B l , AllA22B2 A1l A 23 B l, Аl1А23 В 2 МАХ JLr 0.935, 0.064 0.3, 0.241 0.097, 0.178 Правило N2 r A l2 A 22 B], A l2 A 22 1h, Al2A22 B 3 А ]2А2ЗВl, А 12A23B2, А 1 2 А 23 В3 МАХ JLr 0.097, 0.925, 0.105 0.097, 0.252, 0.105 Правило N2 r A13 A 22 B l, А 13 А 22 В 2 , А13 А 22 В 3 A 13 A 23 1h, АlЗ А 23 В 3 МАХ JLr 0.032, 0.748, 0.2 0.105, 0.972 циенты доверия: Rl : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 21 ) ТО (у == 0.935В 1 ) ИЛИ (у == 0.064В 2 ), R2 : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 22 ) ТО (у == 0.3В 1 ) ИЛИ (у == 0.241В 2 ), R3 : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (T2 == А 2з ) ТО (у == 0.097 В 1 ) ИЛИ (у == О.178В 2 ), R4 : ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 22 ) ТО (у == 0.097B 1 ) ИЛИ (у == 0.925В 2 ) ИЛИ (у == 0.105В з ), R5 : ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 2з ) ТО (у == 0.097 В 1 ) ИЛИ (у == О.252В 2 ) ИЛИ (у == О.105В з ), R6 : ЕСЛИ (Хl == А 1з ) И (Х2 == А 22 ) ТО (у == 0.032В 1 ) ИЛИ (у == 0.748В 2 ) ИЛИ (у == 0.2В з ), R7 : ЕСЛИ (Xl == А 1з ) И (Х2 == А 2з ) ТО (у == 0.105В 2 ) ИЛИ (у == О.972В з ). (6.86) Если, например, заключение имеет вид (у == 0.935В 1 ), то это озна чает, что при выполнении дефаззификации степень J-1 B l (у) активизации множествазаключения В 1 необходимо умножить на коэффициент ДOBe рия J-1r == 0.935. Реляционная модель (6.86) является более сложной, но обычно обеспечивает более высокую точность. Вторым методом учета взаимно противоречащих правил является Me тод выбора доминирующих заключений, т. е. заключений с наибольшим коэффициентом доверия. Остальные правила, заключения которых имеют меньшие коэффициенты доверия, подлежат отклонению. Данный метод приводит к более простым и доступным для понимания моделям. Резуль тат упрощения реляционной модели (6.86) с применением данноrо метода 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 505 J.l СУ) 1 Bl В 2 В з b 1 == 1.1 Ь 2 == 4.2 Ь з == 7.067 У Рис. 6.97. Значительное различие модельных значений множеств Bl и В 2 , co ответствующих заключениям правил имеет вид: R1 : ЕСЛИ (Хl == A 11 ) И [(Х2 == А 21 ) ИЛИ (Х2 == А 22 )] ТО (у == В 1 ), R2 : ЕСЛИ (Хl == A 11 ) И (Х2 == А 2з ) ТО (у == В 2 ), R3 : ЕСЛИ (Xl == А 12 ) и [(Х2 == А 22 ) ИЛИ (Х2 == А 2з )] ТО (у == В'2). R4 : ЕСЛИ (Хl == А 1з ) И (Х2 == А 22 ) ТО (у == В 2 ), R5 : ЕСЛИ (Хl == А 1з ) и (Х2 == А 2з ) ТО (у == в з ). (6.87) Точность упрощенной модели (6.87) обычно ниже, чем для COOTBeT ствующей реляционной модели, при этом перепад точности тем больше, чем меньше различие между коэффициентами доверия сохраненных и OT брошенных правил. Рассмотрим, например, правило R2 из базы правил (6.86): R2: ЕСЛИ (Хl == A 11 ) И (Х2 == А 22 ) ТО (у == 0.3B 1 ) ИЛИ (у == 0.241В 2 ), (6.88) с малым превосходством (у == 0.3В}) над (у == 0.241В 2 ). Принятие за ключение (у == 0.3B 1 ) И отклонение заключения (у == 0.241В 2 ) может привести к значительному изменению точности модели, особенно если модальное значение множества В 2 значительно превосходит модальное значение множества В 1 (рис. 6.97). Множество В 2 в рассматриваемом примере оказывает большее вли яние на результат дефаззификации, чем множество Bl' Произведение коэффициента доверия f.-Lr и модальноrо значения b 1 равно 0.3. 1.1 == 0.33, а для множества В 2 аналоrичное произведение равно 0.241 .4.2 == 1.01. Если в качестве критерия доминирования заключения выбирает... ся не коэффициент доверия f.-Lr(Вk), а ero произведение с модаль.. ным значением b k множества Bk (f.-Lr(Вk) . bk), то это обычно приво.. дит к меньшему перепаду точности модели, а также к друrой форме правил. Таким образом, упрощенное правило (6.88) можно представить 
506 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования в виде R2: ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 22 ) ТО (у == О.241В 2 ), а не в виде R2: ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == О.3В 1 ). . Рассмотренные выше методы построения базы правил, тем не менее, не лишены недостатков. Один из существенных недостатков является следствием Toro, что коэффициенты доверия правил«кандидатов» вычис ляются на основе выборки измерений, которые MorYT быть в значительной степени подвержены влиянию шума. По этой причине сама оценка TaK же может оказаться зашумленной и, следовательно, неточной. С учетом этоrо, полученную модель можно рассматривать как начальную, которая должна быть преобразована в нейронечеткую сеть, а затем настроена на основе измерений данных о системе. Подобные действия часто при водят к значительному повышению точности модели. Метод исключения правил«кандидатов» на основе их коэффициентов доверия можно при менять при построении базы правил без использования кластеризации. Область определения каждоrо входноrо параметра Xi и выходноrо пара метра у системы можно разделить на произвольно (интуитивно) заданное число нечетких множеств, распределение которых может быть, например, равномерным. На следующем шаrе необходимо построить полную базу правил«кандидатов», содержащую все возможные комбинации входных и выходных множеств, и для каждой комбинации (правила«кандидата») на основе элементов выборки измерений определить коэффициент ДOBe рия. Существуют различные методы выполнения одномерной кластериза ции, среди которых одним из наиболее распространенных является метод k средних (Preuss 1995; Osowski 1996). Приведем алrоритм данноrо Me тода для одномерноrо случая: 1. Задать количество k кластеров и начальные координаты аl,..., ak их центров. 11. Включить каждый элемент выборки измерений в ближайший к нему кластер. 111. Вычислить новые координаты аl, . . . , ak центров кластеров на основе включенных в них элементов. IV. Проверить, произошли ли какиелибо изменения в расположении кластеров (в смысле среднеrо или максимальноrо относительноrо смещения) по сравнению с предыдущим циклом вычислений. Если 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 507 I О I I I I I J Элементы выборки измерений I I I I I /  I I .. х о аl а2 Начальное распределение центров кластеров ai .. х аз аl а2 аз Распределение центров кластеров после цикла вычислений .. х I О Рис. 6.98. При мер выполнения кластеризации методом k средних да, то вернуться к шаrу 11 и повторить цикл вычислений, в против но м случае  окончить вычисления. Иллюстрацией метода k средних является рис. 6.98. Представленный вариант метода является весьма общим и демонстрирует лишь основную ero идею, не затраrивая множество возможных ero модификаций, таких как, например, слияние двух смежных кластеров в один. Еще одна идея состоит в том, чтобы на основе анализа числа элементов в каждом кла стере исключать кластеры с очень малым числом элементов. Процедура обновления центров кластеров может выполняться путем последовательноrо рассмотрения отдельных элементов либо OДHOBpeMeH Horo рассмотрения всех элементов (Osowski 1996). Включение элементов в кластеры может осуществляться на основе их евклидова расстояния до центров кластеров или, в рамках нечеткой версии метода, на OCHO ве соответствующих кластерам функций принадлежности  в последнем случае один элемент может с различной степенью принадлежать OДHO временно нескольким кластерам и, в зависимости от степени принадлеж насти, в той или иной мере влиять на смещение их центров. Еще одним характерным для метода одномерной кластеризации недостатком являет ся потенциальная возможность возникновения так называемых псевдо" кластеров, которая является следствием раздельной проекции элементов на каждую координатную ось. Иллюстрацией данной проблемы является рис. 6.99. Два кластера, четко разделенные в двумерном пространстве Х х У, при проекции на ось х перекрываются, в результате чеrо одномерный анализ приводит к выводу О существовании одноrо кластера, и это поз валяет задать в пространстве Х только одно нечеткое множество А 1 , 
508 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у у Ь 2 В 2   b 1 р(х) J.l (у) х a 1 а 2 х a 1 х Рис. 6.99. Перекрытие кластеров при проекции на ось х (а) и ось у (6) у Ь 2 1 b 1 al а2 х Рис. 6.100. Частичное перекрытие трех кластеров центр аl KOToporo не соответствует ни одному из центров двумерных кластеров. Аналоrичный случай полноrо или частичноrо перекрытия кла.. стеров может возникнуть и по отношению к оси у, лишая, таким обра.. зом, возможности корректно определить число кластеров и координаты их центров. На рис.6.100 показан случай, коrда раздельные проекции элементов на оси х и у позволяют выделить на каждой оси два кластера, в то время как действительное их число равно трем. К подобному обманчивому выводу можно прийти в MHoroMepHbIx слу чаях, коrда выделение кластеров осуществляется раздельно для входноrо пространства Х == Х 1 Х ... х Х р и выходноrо пространства У. Напри мер, в ситуации, изображенной на на рис. 6.101, во входном простран стве был бы выделен только один кластер, центр KOToporo не совпадает 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 509 у 0 ::::(GJ (T:::: ::::.: I I , & !  : х I Xl Х2 Рис. 6.101. Перекрытие кластеров при проекции на входное пространство X 1 х Х 2 ни с ОДНИМ из центров двух реально существующих кластеров. Возмож насть перекрытия кластеров увеличивается с ростом числа входов систе мы. Рассмотренные при меры являются подтверждением Toro, что наибо лее безопасной является кластеризация, выполненная в полноразмерном пространстве BXOДOBBЫXOДOB системы Х хУ, [де Х == X 1 Х . .. Х Х р  входное пространство. Далее мы рассмотрим алrоритм полноразмер ной четкой кластеризации методом k средних, при описании KOToporo будем пользоваться упрощенной формой X(p+l) записи выходноrо значе ния у (у == Х (р+ 1)). 1. Инициализация кластеров. Обозначим число кластеров через k, а начальные векторы координат их центров  через mi(O), i == 1,. . . , k: ffil == [т)xl,l, . . . , mxl,l, . . . , mx(p+l),l]T, mi == [mxl,i, . . . , mxl,i, . . . , mx(p+l),i]T, т mk == [rЛJхl.k. . . . . rп,rl.k, . . . , m x (p+l),k] , rде р  число входов системы. Число кластеров k можно задавать интуитивно или rенерировать слу чайным образом. Еще один способ состоит в последовательном выполне нии кластеризации, начиная с малоrо числа кластеров, которое постепен но увеличивается, и на каждом шаrе проверяется точность получаемых моделей (Dауе 1997). Центры кластеров mi определяются, например, пу 
510 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у ту,з ту, 2 ту, 1 т х ,l а) у тз ту,з ту, 2 ту, 1 х т х ,2 тх,з х т х , 1 т х , з б) Рис. 6.102. Удачное (а) инеудачное (6) расположение начальных центров кла стеров ffii в результате их случайной rенерации тем случайноrо выбора k элементов (Х1, . . . , Х(р+1)) из множества измере ний. С точки зрения дальнейшеrо процесса моделирования, результаты случайноrо выбора MorYT оказаться как более, так и менее удачными (рис. 6.102). Минимально рекомендуемое число кластеров k должно быть равным размерности пространства Х Р хУ пара метров системы (т. е. р+ 1), чтобы с помощью модели можно было сформировать интерполяционную по верхность такой же размерности. При удачном начальном расположении кластеров сокращается объем вычислений при поиске оптимальноrо (или субоптимальноrо) решения. Неудачное расположение (рис. 6.102, 6) по вышает вероятность нежелательноrо «попадания» алrоритма в локаль ный оптимум. Как правило, чем более равномерным является начальное расположение кластеров, тем быстрее работает алrоритм. Для Toro чтобы избежать ситуации, коrда случайно выбранные цeH тры кластеров mi оказываются расположенными слишком близко друr к друrу, можно ввести условие, допускающее выбор только тех элементов, которые находятся от каждоrо из ранее выбранных центров mi на pac стоянии, не меньшем установленноrо предела d min . Расстояние d ij между элементом Xj выборки измерений и центром кластера mi может быть BЫ числено по формуле р+1 d ij == 11 Xj  mi 11 == L(X1,j  m x 1,i)2. 1==1 Минимальное расстояние d min можно определить эвристическим Me тодом, если известны такие параметры, как число кластеров k и размеры области определения, задаваемые на основе величин X1rnin, X1 тах, Y1 min, Y1max, В рамках используемой системы координат (рис. 6.103). (6.89) 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 511 У Утах Y d min = МАХ[ду, дх] r r>k kчисло кластеров Ymin Х X Xmin Х тах Рис. 6.103. Один из возможных методов определения минимальноrо расстояния d min между центрами исходных кластеров 2. Распределение элементов по кластерам. Каждый элемент выборки измерений с номером j включается в ближайший кластер с номером i. Расстояние dij между элементом и центром кластера вычисляется по фор муле (6.89). 3. Определение новых центров кластеров. Новые центры кластеров определяются как «центры тяжести» содержащихся в них элементов. Ec ли обозначить через N i число элементов кластера i, то координаты цeH тров кластеров Xl,i, 1 == 1 + р MorYT быть найдены по формуле N тхц (t + 1) := . L Xz,j ( t ) , l:= 1, . . . , (р + 1), 1, . 1 з== rде t  номер цикла кластеризации. Подход к определению новых центров кластеров на основе всех входя щих В них элементов известен как кумулятивный подход (Osowski 1996). Существует также непосредственный подход, при котором корректировка центров происходит постепенно, по мере предъявления отдельных эле ментов. В рамках непосредственноrо подхода на каждом шаrе произво дится корректировка только одноrо центра, расположенноrо ближе Bcero к рассматриваемому элементу. При этом центр смещается в направлении данноrо элемента на величину, вычисляемую по формуле (6.91) и зави сящую от коэффициента скорости обучения rJ « 1: (6.90) m х l, i (t + 1) == m х l, i ( t) + rJ [Х l  т х l, i ( t ) ] , 1 == 1, . . . , (р + 1). (6.91) Непосредственный подход, характеризующийся более плавными CMe щениями центров кластеров на каждом шаrе, демонстрирует несколько лучшую сходимость, чем кумулятивный подход, и поэтому на практике он используется чаще. 
512 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования 4. Проверка смещений кластеров Дrni. Величина смещения центров кластеров относительно их позиций на предыдущем цикле кластеризации (t  1) вычисляется по формуле д mi ( t) == 11 m 1 ( t)  mi (t  1) 11. (6.92) Если минимальное смещение д'п1'l удовлетворяет условию min Д rпi ( t)  с, i == 1, . . . , k, (6.93) [де с  пороrовое значение, то корректировка центров кластеров mi за канчивается, и осуществляется переход к шаrу 5. В противном случае происходит возврат к шаrу 2. 5. Определение функций принадлежности кластеров. Поскольку определение кластеров выполнялось во всем пространстве Х х У пара метров системы, то становится возможным более точно выделить rруп пы элементов и избежать перекрытия различных кластеров в проекциях на пространство х. Между тем, в практических приложениях обыч но требуется определить выходное значение системы у при заданном входном векторе х. Поэтому функции принадлежности нечетких MHO жеств следует задавать раздельно для входных и выходноrо параметров. Поскольку центры кластеров mix обычно распределены в пространстве неравномерно, представляется целесообразным использование экспонен циальных, [ауссовых функций принадлежности. Центры rnix этих функ ций соответствуют проекциям центров кластеров mi на входное про странство х, а их ширина ai может выбираться равной одной трети pac стояния D ij до ближайшеrо кластера (рис. 6.104). При использовании rауссовой функции степень принадлежности TO чек, находящихся на расстоянии За от центра, равна 0.011, что предотвра щает возможность конфликта между заключениями правил. Кроме Toro, в данной ситуации правила будут «сообщать правду», т. е. для вектора х, который в точности соответствует центру функции принадлежности, Ha ходящейся в посылке правила, значение на выходе модели будет равным (приблизительно) выходному значению, содержащемуся в ero заключе нии. При мер 6.3.3.2.2. Рассмотрим при мер полноразмерной кластеризации методом k средних с применением кумулятивноrо подхода. В табл. 6.12 представлено множество измерений данных о моделируе мой системе. На рис. 6.105 представлено распределение элементов выборки измере ний в пространстве Х хУ == Х 1 х Х 2 . Рисунок 6.105, а позволяет на визу альном уровне выделить три кластера Кl, К2, КЗ в пространстве Х х У. 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 513 Х2 mlх m lх  2 ms x mlх а) 1 аl МА 1 (х) ти:: Хl Х2 .и4X @4 Х )  @.и 4Х ) @ .и4 х )  .и4 х )  Хl б) min D 1 ] /3, j == 2, . . . , k ехр [((тlTl  Хl)2 + (ml X2  X2)2)/2ai] [ rп l.rl' rпlJ'2] Рис. 6.104. Иллюстрация метода определения пара метров m 1 и а 1 rауссовой функции принадлежности (а) и поперечные сечения функции принадлежности во входном пространстве (6) Выборка измерений Таблица 6.12  1 2 3 4 5 6 7 8 9 х == Хl 0.7 1.4 1.2 1.8 2.5 2.3 2.4 3.0 2.1 у == Х2 0.8 0.9 1.3 0.8 0.9 1.6 2.4 2.7 3.0 Если бы кластеризация выполнялась только во входном пространстве Х, то проекции на ось х кластеров К2 и К3 оказались бы перекрывающи мися, и кластеры были бы неразличимыми. Шаr 1. Инициализация кластеров. Рассмотрим три начальных кластера, центры которых имеют координаты: ml (О) m2(0) mз(О) [О, о]Т, [3, о]Т, [з,з]Т. ( 6.94 ) 
514 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования У=Х2 3 У=Х2 2 3 К 2 Кз(О) 2 1 КО. К 1 (О) 1 О 1 2 3 Х=ХI 1 2 3 Х ==ХI а) б) Рис. 6.105. Распределение элементов выборки измерений в пространстве Х х У (а) и исходные кластеры для алrоритма (6) Таблица 6.13 Расстояния между элементами Pj и начальными центрами кластеров mz(O), вычисленные по формуле (6.95) р. 1 2 3 ] d 1j d 2j d Зj Шаr 11. Распределение элементов по кластерам. Для каждоrо элемен.. та Pj по формуле (6.89) вычисляются евклидовы расстояния d zj до центров кластеров mi: 2 d ij == 11 Xj  mi 11 == L (Xl,j  m x l,i)2. l==l (6.95) Результаты вычислений представлены в табл. 6.13. На основе данных табл.6.13 для каждоrо элемента Pj определяется ближайший центр кластера (в табл. 6.13 соответствующие поля выделе ны). Полученные результаты представлены в виде соотношений (6.96) и рис. 6.105, 6. Кl(О) К2(О) К3(О) (Р 1 , Р 2 , Р з ), N 1 == 3, (Р 4 , РБ), N 2 == 2, (Р 6 , Р 7 , Р в , Pg), N з == 4. (6.96) 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 515 Шаr 111. Определение новых позиций центров кластеров. Новые центры кластеров mi(l) вычисляются кумулятивным методом по формуле N mxl.i == , L Xlj(O). (6.97) j==l Полученный результат представлен в виде: т1(1) т2(1) mз(l) [1.1,1.0]Т, [2.15, О.85]Т, [2.45,2.425]Т. (6.98) Шаr IV. Вычисление перемещений кластеров Дmi. На данном шаrе про изводится вычисление расстояний, на которые сместились центры кластеров mi. Результат является основой для решения о дальней шем продолжении процесса кластеризации. Перемещения опреде ляются по формуле д т 1 == "mi (О)  mi (1) 11. (6.99) В результате получаем: Дт1 == 1.49, Дт2 == 1.20, дmз == 0.80. Поскольку все величины перемещений Дmi превосходят пороrовое значение (Е == 0.1), процедуру кластеризации следует продолжать. Шаr V. Распределение элементов по новым кластерам.Вычисляются расстояния d lj между элементами Pj и центрами новых класте ров mi(l). Результаты вычислений представлены в табл.6.14. На основе данных таБЛ.6.14 произведено следующее распределе ние (в табл. 6.14 соответствующие поля выделены): К1(1) К2(1) К3(1) (Р 1 , Р 2 , Р з ), (Р 4 , Р 5 , Р 6 ), (Р 7 , Р 8 , Pg), N 1 == 3, N 2 == 3, N з == 3. Таблица 6.14 Расстояния между элементами Pj и центрами кластеров mi(l) р. } d 1 } d 2j d Зj 1 
516 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования У=Х2 У=Х2 3 о Кз(l) 3 2 2 1 К 2 ( 1 ) 1 о а) 1 2 3 Х=ХI о 1 2 3 Х =ХI б) Рис. 6.106. Кластеры, полученные на шаrе 11 и шаrе IV алrоритма Шаr VI. Определение новых позиций центров кластеров.Новые позиции центров кластеров, найденные на основе содержащихся в них эле ментов, имеют следующие координаты: тl(2) т2(2) mз(2) [1.1,1.0]Т, [2.2,1.1]Т, [2.5, 2. 7]Т. Кластеры Ki и их центры mi представлены на рис. 6.106. Шаr VII. Определение величин перемещений кластеров Дmi. Перемеще ния центров кластеров Дmi == "mi (1)  mi (2) 11 равны: Дтl == О, Дт2 == 0.255, дmз == 0.279. Поскольку величины перемещений Дт2 и Дrпз превосходят BЫ бранное пороrовое значение (Е == 0.1), процедура кластеризации продолжается. Шаr VIII. Распределение элементов по вновь полученным кластерам. В табл. 6.15 представлены величины расстояний d tj между элемен тами Р] и новыми центрами кластеров mi(2). На основе данных табл. 6.15 выполняется распределение элементов по кластерам (co ответствующие поля в таблице выделены): К1(2) К2(2) К3(2) (Р 1 , Р 2 , Р з ), (Р 4 , Р 5 , Р 6 ), (Р 7 , Р 8 , Pg), N] == 3, N 2 == 3, N з == 3. Результаты данноrо шаrа совпадают с результатами, которые были получены на шаrе У. 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 517 Таблица 6.15 Расстояния d ZJ между элементами Р) и центрами кластеров m z (2) р. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } d1j (} .4-5 6.32 0;32 0.73 1 .40 1 .26 1 .91 2.46 2.24 d 2j 1 .5 1 0.8 1 1 .22 (}i5 0:32 i\.Q.4 1 .41 0.85 2.00 d З ) 2.62 2. 1 1 1 .91 2.02 1 .8 0.92 О.З2 0.50 0.50 Шаr IX. Определение новых позиций центров кластеров. Новые пози ции центров кластеров mt(3), найденные на основе содержащихся в них элементов, имеют следующие координаты: ml(2) == [1.1, 1.0]T т2(2) == [2.2. 1.1]T т;(2) == [2.5,2.7]Т. Шаr х. Определение величин перемещений кластеров Дт/. Величины перемещений кластеров Дт/ == IImi(2)  mi(3)1I, i == 1.2.3, равны: Дml == о, Дт2 == o дтз == о. Поскольку все величины сдвиrа кластеров меньше пороrовоrо зна чения (Е == 0.1), корректировку их центров можно завершить. Te перь необходимо определить остальные пара метры функций при надлежности кластеров. Шаr XI. Определение типа и параметров функций принадлежности кластеров. Поскольку кластеры были определены на всем про странстве Х х У BXOДOBBЫXOДOB системы, это обеспечивает воз можность их полной идентификации и предотвращает эффект пе рекрытия проекций кластеров К2 и К3 на входное простран ство Х. Вместе с тем, построение модели обычно связано с необхо димостью вычисления выходноrо значения у, соответствующеrо за данному входному значению х, и поэтому функции принадлежно сти нечетких множеств должны задаваться отдельно для входноrо и выходноrо пространств. В данном при мере входное пространство является одномерным, и можно было бы использовать кусочно линейные функции принадлежности, однако, учитывая HepaBHO мерность распределения центров кластеров в случае MHoroMepHo ro входноrо пространства, более целесообразным является исполь зование экспоненциальных функций, центры которых совпадают с центрами кластеров, а значения ширины {J' зависят от paCCTO яния между соседними функциями. В рассматриваемом примере были выбраны функции, изображенные на рис. 6.107. Значения ширины (Ji выбраны равными одной трети расстояния lтxi  mx(i+l) I между центрами соседних кластеров во входном про 
518 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования У В з К з Модель  Rl: ЕСЛИ (x=Al) то (y=B 1 ) R2: ЕСЛИ (х=А 2 ) то (У=В 2 ) R3: ЕСЛИ (х=А з ) то (У=В З ) 2.7 В 2 Bl 1.1 1 iKl ,uA 1 (X) = ехр[  (х  1.1 )2/0.222] ,uA 2 (X) = exp[ (х  2.2)2/0.035] ,uАз(Х) = exp[ (х  2.5)2/0.035] . fJ(Y) 1 х fJ(x) 1 .Al А 2 Аз 1.1 2.2 2.5 х Рис. 6.107. Нечеткая модель, полученная в результате кластеризации странстве: (Тl == 12.2  1.11 == 0.367, 3 (Т2 == (J;З == 12.5  2.21 == 0.1. 3 Соответствующие rayccoBbI функции принадлежности задаются в виде ( ) { (тXiX)2 } f1A i х == ехр  2ст; . Нечеткая модель системы, которая описывается зависимостью 1 . ехр {  (х  1.1) 2 } + 1.1 . ехр {  (х  2.2) 2 } + 2. 7 . ехр {  (х  2.5) 2 } 0.269 0.02 0.02 У == ех {  (х  1.1 ) 2 } ех {  (х  2.2) 2 } ех {  (х  2.5) 2 } Р 0.269 + Р 0.02 + Р 0.02 в rрафической форме представлена на рис. 6.107. . Существуют друrие методы нечеткой кластеризации, в рамках KO торых распределение элементов по кластерам не является однознач ным  один И тот же элемент может быть с разной степенью включен в несколько кластеров. Наиболее часто используемым методом нечеткой кластеризации является FСМметод (fuzzy cmeans). Идея метода была 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 519 предложена Данном (Dипп 1973) в 1973 r., а затем обобщена Бездеком (Bezdek 1981,1984), KOToporo обычно считают автором данноrо метода. Алrоритм FСМ"метода Шаr о. Инициализация алrоритма.На данном шаrе определяются следу ющие параметры: число с центров кластеров, показатель q, опреде ляющий степень нечеткости функций принадлежности кластеров, и пороrовое значение Е > О, которое задает условие завершения процесса кластеризации. Этап инициализации соответствует ите рации с номером t == о. Кроме Toro, на данном шаrе случайным образом задается начальная матрица 8(0) == (/-Lij (О)) степеней при . . надлежности точек J кластерам . Шаr 1. Корректировка центров кластеров m и i == 1,..., с. Корректи ровка координат центров кластеров mxl.i выполняется последова тельно, по формуле mxl.i == N L: M;J(t) . Xl,J з==1 N L М;з ( t ) з==1 Vi == 1, . . . , с, (6.100) r Д е 1 == 1, . . . , (р + 1), (х р+ 1 == у). Координаты центра кластера с номером i имеют вид mi == [mxl,z, . . . , mxp,i, mx(p+l),i]. Шаr 11. Корректировка матрицы степеней принадлежности 8. На каж дом цикле корректировки (t+ 1) происходит вычисление новых зна чений /-LzJ (t + 1) степени принадлежности элементов j кластерам i по формуле: 1 /-Lij (t + 1) == 2 , t [ dZJ (t) ] q=т k==l dkJ(t) Vi == 1, . . . , с, и V j == 1, . . . , N, rде d , ) (t)  расстояние между элементом j и кластером i, дЛЯ KO торых вычисляется степень принадлежности. Величины dkj(t), k == 1, . . . , с, соответствуют расстояниям между элементом и всеми кластерами. Для вычисления расстояния dij(t) используется формула (6.101) d ij (t) == Ilx  m.( t) IIA == J (Xj  m.( t) )"l"A(xj  mi (t)), (6.102) 
520 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования rде Xj  вектор координат элемента J, А  положительно определенная симметричная матрица порядка (р + 1) х (р + 1), rде р  число входных параметров, определяю щее тип нормы " . . . " для вычисления расстояния d ij . Полаrая А == 1 (тождественная матрица), получаем евклидову норму (евклидово расстояние), и формула (6.102) принимает вид р+1 d ij (t) == L (Xl,j  тxl,i (t))2, l == 1, . . . , (р + 1). l==l Функция принадлежности J-lij (t + 1) является симметричной по всем направлениям, а ее поперечное сечение имеет вид Kpyra (или rипер Kpyra). Если положить А == С, rде С  положительно определенная, симметричная корреляционная матрица вектора Xj (С == [diag( а;)] 1), порождающая норму Махаланобиса (Zimmermann 1994а), а а;  диспер сия элемента j, то будут получены функции принадлежности J-lij (t + 1) с эллиптическими (или rиперэллиптическими) поперечными сечениями, которые обычно обеспечивают более высокую точность модели. Значе ние показателя степени q в формулах (6.100) и (6.101) выражает степень нечеткости функции принадлежности, соответствующей кластеру i. При q == 1 кластеризация перестает быть нечеткой «<жесткий вари.. ант» алrоритма), и каждый отдельный элемент j однозначно принадле жит только одному кластеру i. Недостатком «жесткой» кластеризации яв ляется ее высокая чувствительность к шуму, воздействию KOToporo обыч но подвержены измерения. Увеличение показателя q (q > 1) приводит К усилению нечеткости кластера, т. е. к увеличению расстояния между ветвями функций принадлежности «<мяrкий» вариант алrоритма), что уменьшает влияние на модель шума измерений и повышает ее обобща ющую способность (способность к обобщению информации, полученной в результате измерений). При q  ос центры кластеров приближаются к точке, соответствующей центру масс всех элементов (максимальное обоб щение информации), и для каждоrо входноrо вектора модель вычисляет одинаковое выходное значение, равное среднему всех элементов. Оптимальное значение q следует подбирать в соответствии со степе нью влияния шума на результаты измерений. При б6льших значениях q влияние на расположение центра кластера z элементов, находящихся дa леко от данноrо кластера, проявляется в большей степени; при меньших значениях q влияние более удаленных элементов уменьшается, и OДHO временно с этим увеличивается влияние элементов, расположенных бли же. В начале процесса кластеризации обычно полаrают q == 2. (6.103) 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 521 Шаr 111. Проверка условия завершения процедуры кластеризации. Cy ществуют различные методы сравнения новой матрицы степеней принадлежности 8(t + 1) с матрицей 8(t), полученной на преды дущем шаrе. Три из них можно выразить в виде (6.104)(6.106): ЕСЛИ 11 8(t + 1)  8(t)II  С1 ТО окончание кластеризации, с N ЕСЛИ L L If-llj(t + 1)  f-lij(t)1  Е2 l==1 )==1 (6.104) ТО окончание кластеризации, с N ЕСЛИ c L L Il-liJ(t + 1)  ILij(t)1  Еэ i==1 )==1 ТО окончание кластеризации, (6.106) rде 1. . .1 означает абсолютную величину приращения степени при надлежности f-lij по отношению к предыдущей итерации, а с х N  количество элементов матрицы 8. Величины Е соответствуют про.. извольно выбираемым пороrовым значениям, определяющим усло вия завершения процедуры кластеризации. При меньших пороrо вых значениях требуется большее число итераций. Наиболее простым для интуитивноrо определения, повидимому, яв.. ляется пороrовое значение С3 в условии (6.106), которое связано со cpeд ним абсолютным изменением степени принадлежности элемента j кла.. стеру i. Если для двух последовательных итераций изменения степеней принадлежности f.-lij являются достаточно малыми, то перемещения цeH тров кластеров становятся незначительными  в этом случае процедуру кластеризации можно завершить и перейти к шаrу IV. При невыполнении условия завершения процесс необходимо повторить с шаrа 1. (6.105) Критерии сходимости FCM ..алrоритма а) Для каждоrо элемента выборки измерений сумма степеней ero при.. надлежности всем с кластерам должна быть равной 1: с L /l-ij == 1, \i j == 1, . . . , N, i==l б) значение степени принадлежности должно быть оrраничено интерва.. лом [0,1]: f.-lij Е [O 1]  Vi == 1, . . . , С, И V j == 1, . . . , N. 
522 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Шаr IV. Определение нечеткой модели. В результате кластеризации цeH тры mi всех кластеров определены в полноразмерном простран стве Х хУ, что позволяет избежать перекрытия проекций двух (или нескольких) кластеров на входное пространство х. Вместе с тем, поскольку цель создания модели связана с вычислением BЫ ходноrо значения у для заданноrо входноrо вектора х, необходи мо выполнить проекцию центров найденных кластеров на входное пространство, сформировать в этом пространстве кластеры и по строить соответствующую нечеткую модель, реализующую отоб ражение Х  У. В результате выполнения кластеризации в пространстве Х хУ по лучены с кластеров mi, координаты центров которых выражаются в виде m 1 == [rпxl.i,..., mXp,l, m.T(p+l).i] (6.107) rде р  число входов системы, X(p+l) == У  значение на выходе системы. Координаты центра mt проекции кластера i на входное пространство имеют вид m; == [т x l,i, . . . , mxp,i]. (6.108) Степень принадлежности J1ij == J1i(Xj) произвольноrо элемента j (BeK тора Xj == [Xlj, . . . , Xpj]T во входном пространстве) кластеру i в простран стве Х хУ определяется по формуле (6.101) таким же образом, как и в случае полноrо пространства. Единственное различие состоит в том, что расстояние d ij между вектором Xj и центром кластера m; определяется только во входном пространстве по формуле dij(t) == Ilx  т; (t)IIA == V (Xj  т; (t))TA(xj  т; (t)). (6.109) Размерность матрицы А равна р х р. Выходное значение У для задан Horo вектора Xi, принадлежащеrо входному пространству, вычисляется по формуле с L m:r(p+l),l . lLi (х)) Y(Xj) == i==l с L Mz ( Х J ) i==l (6.110) Вместо формулы (6.101) для вычисления степеней принадлежности J.-Li (Х j) можно воспользоваться rауссовыми функциями принадлежности. В этом случае центры указанных функций должны соответствовать цeH трам найденных кластеров, а значения ширины ai следует определять как одну треть расстояния до ближайшеrо кластера во входном пространстве. Использование rayccoBbIX функций принадлежности значительно COKpa щает трудоемкость вычислений. 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 523 Замечания к FСМ"методу а) FСМметод позволяет находить центры кластеров mi путем миними зации критерия взвешенной суммы квадратов евклидовых расстояний между элементами j и кластерами i, который выражается в виде: с N Q == L L(JLij)QIlXj  mill 2  min тl,...,т е i==l j==l (6.111) б) Получаемое решение обычно соответствует только локальному, а не rлобальному оптимуму (т. е. является субоптимальным), KOTO рый зависит от начальных параметров. Поэтому для инициализации метода следует использовать различные варианты начальных значе ний параметров. в) Если выбрано подходящее число кластеров с, и структура данных подходит для кластеризации, то FСМметод обычно порождает cxoд ные * кластеры (устойчивость решения). r) Подходящее число кластеров с может быть найдено методом проб и ошибок. Менее значимые кластеры можно отбрасывать, если про водить оценку значимости кластеров путем их сравнения по каким либо критериям. В качестве критерия можно, например, использовать мощность кластера Card i , степень fi заполнения кластера элемента ми, либо показатель Va1i обоснованности кластера (Dауе 1997). Чем выше суммарная степень принадлежности всех N элементов класте ру i, тем выше ero мощность (рис. 6.108). Степень заполнения кластера i элементами вычисляется по формуле f .  Card i 1,  N ' (6.112) JLi 1 JLij == JLi(X j ) N Card i == L l1ij j=l Хl Х2 т. 1 Х. J XN Х Рис. 6.108. Иллюстрация понятия мощности кластера * При различных вариантах начальных значений пара метров.  Прuм. ред. 
524 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования JLi 1 I I I I I I I : d.. I 1J 1" I I I JLij = JLi(Xj) / N 2 Val l = L JLijdiJ j=l  Xl Х2 т. 1 Х} XN Х Рис. 6.109. Иллюстрация понятия обоснованности кластера rде N  число элементов. Степень заполнения характеризует среднюю степень принадлежности элементов кластеру. Показатель Va1i обос- нованности кластера i можно определить в соответствии с формулой, представленной на рис.6.109. Определение показателя обоснованности кластера, рассматриваемое в (Dауе 1997), не поддается простой и однозначной трактовке. Чем даль ше элементы расположены от центра кластера mi, и чем при этом выше степень их принадлежности, тем большим будет значение Val z . На основе результатов применения какоrолибо показателя обосно ванности кластеры можно упорядочить по убыванию степени их обос нованности (значимости) и, по возможности, исключить те кластеры, для которых эта степень будет наименьшей. Затем кластеризацию можно повторить, но уже при меньшем числе кластеров. Исключение класте ров может сопровождаться некоторым риском, связанным с потерей важ ной информации о моделируемой системе. В примере на рис. 6.110 кла стер К3, представленный только одним элементом, имеет соответственно очень низкую степень заполнения по сравнению с кластерами Кl и К2. Между тем, данный кластер несет информацию о наличии в COOTBeTCTBY ющей области входноrо пространства существенноrо скачка поверхности модели (рис. 6.110,6). Удаление кластера К3 и включение принадлежав шеrо ему элемента в кластер К2 приведет к модели, представленной на рис. 6.110, 8, которая будет значительно отличаться от более сложной модели, представленной на рис. 6.110, 6. Методы кластеризации должны являться устойчивыми. Класте ризация считается устойчивой (Dауе 1997), если выполнены следующие условия. 1. Модель системы, полученная путем кластеризации, демонстрирует высокую (в достаточной степени) точность. Если данные измерений являются «чистыми» (не искажены шумом), то полученная модель должна приводить к результатам, находящимся в некоторых YCTaHOB ленных пределах допустимости. 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 525 у у у К з . К} Модель к;  К 2 .::.;.:.:. ....:: .- ::..':, -. ..- .... К 2 К} К 2 х х х а) б) в) Рис. 6.110. Кластеры, характеризующиеся большим разбросом степеней запол нения (а) и влияние исключения одноrо из кластеров (в) на точность модели (6) 2. Наличие слабой зашумленности данных не должно оказывать суще cTBeHHoro отрицательноrо влияния на точность модели. 3. Сильная зашумленность данных не должна приводить к сбою Moдe ли, т. е. к такому ее поведению, которое абсолютно не соответствует поведению моделируемой системы. С точки зрения практических приложений, третье условие означа ет, что вряд ли возможно построить хорошую и устойчивую модель, если уровень шума (ошибок) измерений превышает определенный предел (Teo ретически, это 50%). На основе данных, чрезмерно подверженных вли янию шума, можно построить несколько моделей, которые будут иметь одинаковую точность, но при этом значительно отличаться одна от дpy rой и выдавать абсолютно разные и даже противоположные результаты, и в такой ситуации практически невозможно указать, какая из моделей будет подходящей или лучшей. Обеспечение устойчивости процедуры кластеризации представляет собой очень сложную теоретическую задачу, которая еще до сих пор не решена. Постоянно проводятся исследования устойчивости тех или иных методов кластеризации и разработка хороших критериев устойчи вости. В соответствии с результатами, полученными к настоящему MO менту, одно из важнейших условий обеспечения устойчивости кластери зации состоит в том, чтобы исключать или иrнорировать подмножества элементов, расположенных вдали от центра кластеров, в так называемой «сомнительной области» (Dave 1997). Вместе с тем, для определения YKa занных областей довольно сложно разработать оптимальный численный показатель  можно ввести лишь некоторое общее предположение о том, что устойчивость модели может быть повышена, если выявить так назы ваемые «большие ошибки», т. е. неправдоподобные или маловероятные элементы выборки измерений  «выбросы» (рис. 6.111)  и исключить ИХ из множества данных о системе. 
526 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования у Достоверные элементы о I Выбросы Х Рис. 6.111. Иллюстрация понятия достоверности элемента выборки измерений Таблица 6.16 Выборка измерений данных о моделируемой системе р. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 J Х ==Xl 0.7 1.4 1.2 1.8 2.5 2.3 2.4 3.0 2.1 у ==Х2 0.8 0.9 1.3 0.8 0.9 1.6 2.4 2.7 3.0 Понятие «достоверности элемента» является нечетким, и ero опреде ление зависит как от субъективных взrлядов исследователя, выполняю щеrо построение (задание) модели, так и от самой задачи. Как и друrие методы, основанные на минимизации суммарной KBaдpa тичной ошибки, FСМметод является чувствительным к шуму измерений (Оауе 1997). Наличие шума может стать причиной возникновения допол нительных локальных минимумов, rде процедура кластеризации заходит в тупик. Примером очень устойчивоrо метода может считаться метод обобщенной кластеризации Хока (Оауе 1997). Однако, следует отметить, что FСМметод имеет ряд друrих преимуществ, обусловливающих ero распространенность. Ниже приведен при мер решения задачи с использо ванием FСМметода. При мер 6.3.3.2.1. Кластеризация с использованием PCMMeтoдa. Рассмотрим множество измерений данных о моделируемой системе ( т а бл. 6.16). 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 527 У=Х2 3 К з о О о о 1 о K 100 о ОК 2 ml(0)=(1.19,1.01) т2(0) = (2.12, 1.24) mз(О) = (2.78, 3.00) 2 о о о о 1 2 3 Х = Xl Рис. 6.112. Элементы выборки измерений и исходные кластеры Шаr о. Инициализация алrоритма. В качестве начальных пара метров выбраны: . число кластеров: с == 3, . показатель степени: q == 2, . пороrовое значение: Е == 0.1, . начальная матрица степеней принадлежности элементов j кла стерам i (выбираемая произвольно): l  0.9 0.1 О 0.9 0.1 О 0.9 0.1 О 8(0) == (Мl) (о)) == 0.1 0.9 О 1j 0.1 0.9 О 0.1 0.9 О О 0.1 0.9 О 0.1 0.9 О 0.1 0.9 Шаr 1. Корректировка центров кластеров mi, i == 1..., с. На основе матрицы 8(0) и формулы (6.113) определяются координаты кла стеров: 9 L: 11] . XI. j )==1 rп:cl. i == 9 L: I1;] )==1 (6.113) Полученные результаты представлены на рис.6.112. 
528 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Таблица 6.17 Расстояния dJ (О) между элементами j и центрами кластеров mi(O) i\j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0.533 0.237 0.29 0.645 1.315 1.257 1.843 2.478 2.188 2 1.487 0.796 0.922 0.544 0.51 О 0.402 1.193 1.705 1.760 3 3.028 2.513 2.321 2.408 2.119 1.48 0.71 0.372 0.68 Шаr 11. Корректировка матрицы степеней принадлежности. По форму ле (6.114) вычисляются расстояния d ij между элементами j и OT дельными кластерами i. Результаты представлены в табл. 6.17: 2 d i j ( О) == L ( Х l.J  т, х [. l ( О) ) 2 , l == 1, 2. l==l (6.114) Для вычисления значений элементов матрицы 8(1), т. е. степеней J1ij принадлежности элементов кластерам используется формула 1 ,-щ (1) == t [ di j ( О) ] 2 . k==l dkj(O) (6.115) Отсюда получаем:   0.863 0.110 0.027 0.845 0.081 0.074 0.897 0.081 0.014 8(1) == (J1ij (1)) == 0.404 0.568 0.028 1j 0.124 0.828 0.048 0.087 0.850 0.063 0.099 0.236 0.665 0.021 0.044 0.935 0.078 0.120 0.802 3 L J1ij == 1, \/j == 1,...,9. i==l 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 529 у == Х2 3 о К з О о о тI (О) == (1.336, 1.088) 2 т2(0) == (2.151, 1.327) о mз(О) == (2.462, 2.560) о ОК 2 1 KIQ о о о о 1 2 3 Х ==ХI Рис. 6.113. Центры кластеров, полученные на итерации t == 1 Шаr 111. Проверка условия завершения кластеризации. В качестве критерия окончания процедуры кластеризации выбрано условие (6.116), которое получено на основе формулы (6.106): з 9 ЕСЛИ 3  9 L L IJlij(l)/щ(О)1 ,,;:; 0.1 ТО окончание процедуры. i==l )==1 (6.116) Имеем: 0.863 0.110 0.027 0.845 0.081 0.074 0.897 0.081 0.014 0.404 0.568 0.028 I 8(1)  8(0)1 == 0.124 0.828 0.048 0.087 0.850 0.063 0.099 0.236 0.665 0.021 0.044 0.935 0.078 0.120 0.802 з 9  '""" '""" IMij(l)  M'lj(O)1 == 0.073 < Ез == 0.1. 3 . 9 L.." L.." 1==1 )==1 Поскольку среднее изменение степеней принадлежности элементов кластерам меньше пороrО80rо значения с == 0.1, процедуру кластериза ции можно завершить. Новые центры кластеров, полученные на основе матрицы 8(1), показаны на рис.6.113. Средняя величина д'mi смещения кластеров по сравнению с их пози цией на предыдущей итерации равна 0.267. 
530 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Шаr IV. Построение нечеткой модели Х  У. в результате проекции кластеров на входное пространство Х получаем: т? == 1.336, т == 2.151, т: == 2.462. Функции принадлежности M (определенные во входном простран стве) расположены в центрах кластеров т;:: и имеют вид J1f(x) t [dX)]2 J1;(Xj), k== 1 d kJ rде df определяется по формуле х х х d'i (х) == IIX771i 11 == Ixrп7 1. i == 1, 2, 3, j == 1, . . . , 9, (6.117) (6.118) Выходные функции принадлежности одноточечноrо типа определены в точках т; проекции центров кластеров на ось у: тУ == 1.088, rrLr == 1.327, mr == 2.560. Функции принадлежности значений входноrо и выходноrо пара метров модели представлены на рис. 6.114. Значение у на выходе нечеткой модели, построенной с помощью про цедуры кластеризации, вычисляется по формуле 3 2: т; . м::: (х) у(х) == 7==1 :3 2: М;Х (х) i==l (6.119) . 6.3.3.3. Самоорrанизация и самонастройка нечетких моделей методом поиска Задача настройки параметров нечеткой модели (параметров входных и выходных функций принадлежности) рассматривалась в разд.6.2. В данном подразделе будет рассмотрена задача одновременной настройки и самоорrанизации пара метров. Термин «самоорrанизация» означает определение числа и формы пра вил и функций принадлежности входов и выходов модели, а также, по возможности, вида функций принадлежности, типов операторов И, ИЛИ и метода дефаззификации. Поиск оптимальной структуры и пара метров можно осуществлять методом проб и ошибок, исследуя различ ные, произвольно выбираемые виды структур. Вместе с тем, при приме нении данноrо lVlетода MHoroe остается за пределами нашеrо внимания, 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 531 У=Х2 В з 2.560 Модель R1: ЕСЛИ (x=At) ТО В(у=В}) R2: ЕСЛИ (х=А 2 ) то В(у==В 2 ) R3: ЕСЛИ (х=А з ) то В(У==В З ) 1.327   1.088 .......... ............................................ 1 В 2 В} р(у) 1 х=х} j1 (х) 1 А} А 2 1.336 2.151 2.462 х Рис. 6.114. Функции принадлежности значений входа и выхода, а также по верхность модели, построенной с помощью кластеризации и процесс поиска хорошей модели может занимать продолжительное Bpe мя, поэтому в подобных ситуациях крайне желательно иметь какуюлибо предварительную информацию о моделируемой системе. Методом, который позволяет выполнять оптимизацию наиболее слож ных структур моделей, является метод rенетических алrоритмов. OCHOB ным ero достоинством является способность находить rлобальное оп тимальное (или субоптимальное) решение с учетом практически всех возможных оrраничений, которые MorYT быть на Hero наложены различ ными типами задач. Достаточно часто rенетические алrоритмы использу ются в качестве основы метода оптимизации нечетких моделей. Различ ные варианты данноrо метода можно найти в (Hajek 1995; Jakel 1997; Magdalena 1995; Nelles 1995; Nomura 1994; Ohki 1997; Preut 1995; Rutkowska 1996,1997; Wagner 1997). Далее в настоящем подразделе бу дет описан l'vlетод rенетическоrо поиска оптимальной структуры нечеткой модели, разработанный Нелесом и опубликованный в (Nelles 1996). Дo стоинствами указанноrо метода являются ero ясность и возможность по строения так называемых «экономных» моделей, содержащих малое чис 
532 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования ло правил, что, в свою очередь, позволяет эффективно применять этот '" метод для систем с довольно оольшим числом входов. Для оптимизации задачи с использованием rенетическоrо алrоритма (rA), задачу необходимо представить (закодировать) в виде двоичной строки, называемой особью, хромосомой или орrанизмом. Хромосомой называется строка закодированных пара метров задачи или элементов ее структуры, подлежащих оптимизации. Каждая XpOMO '" u u сома представляет сооои одно из возможных решении задачи и, таким образом, соответствует точке MHoroMepHoro пространства поиска. Эле менты хромосом, называемые rенаМИ,представляют отдельные элементы решаемой задачи оптимизации. Множество хромосом образует популя цию. Размер популяции, в которой производится поиск лучшей особи, определяется пользователем. Каждая хромосома, входящая в популяцию, оценивается с помощью критерия, называемоrо функцией приспособ ленности. Рассмотрим последовательность шаrов традиционноrо rA. 1. Инициализация алrоритма. Кодирование задачи в виде reHoB и хромосом. Определение функции приспособленности. Определение условия завершения алrоритма (минимально допустимо ro значения функции приспособленности). Выбор начальной популяции хромосом. 2. Оценка степени приспособленности хромосом в популяции. 3. Проверка условия завершения поиска и, при ero выполнении, BЫ бор хромосомы (решения), удовлетворяющей данному условию (конец поиска). В противном случае переход к шаrу 4. 4. Селекция хромосом, т. е. их разделение на «лучшие» И «худшие» '" С целью отоора «кандидатов» на порождение новых хромосом. 5. Выполнение rенетических операций. Отобранные XpOMOCOMЫ «кандидаты» используются для порождения новых хромосом с по мощью специальных rенетических операторов. 6. Создание новой популяции. Новая популяция подлежит оценива нию  возврат к шаrу 2. В каждом новом поколении, т. е. на каждой итерации алrоритма про исходит улучшение и усиление популяции хромосом (решений). Bepo ятность Toro, что конкретная хромосома переживет селекцию, т. е. CTa нет элементом следующей популяции. пропорциональна ее степени при способленности. Путем селекции осуществляется смещение популяции 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 533 в пространстве решений в направлении областей повышения приспособ ленности. Наиболее часто используемыми rенетическими операторами являются операторы мутации и кроссинrовера. Операция кроссинrовера рассекает строковые представления двух хромосом в случайно выбранной позиции и производит между ними об мен полученными в результате рассечения фраrментами. Операция мутации изменяет в строковом представлении хромосомы '" значение одноrо из аитов на противоположное. Вероятность кроссинrовера и мутации хромосом задается пользовате лем. По аналоrии с естественными условиями, вероятность скрещивания обычно близка к 1, а вероятность мутации близка к о. Выбор подходя щей вероятности представляет собой непростую задачу, поскольку не все биты (reHbI), составляющие хромосому, имеют одинаковую, с точки зре ния оптимизации, значимость. Например, хромосома 10000 COOTBeTCTBY ет десятичному числу 16, и в результате мутации первоrо reHa будет получена хромосома 00000, соответствующая десятичному числу О  в данном случае мутация привела к значительным изменениям. Если мутации подверrается последний reH хромосомы 00001, то в результате также будет получена хромосома 00000, что в десятичной системе COOT ветствует изменению 1 на О, уже не столь значительному, как в первом случае. Поэтому представляется целесообразным каждому reHY ставить в соответствие свое значение мутации. Примером значения вероятности кроссинrовера является 0.9, а вероятность мутации составляет 0.2. Основной задачей, возникающей в процессе поиска оптимальной базы правил, является разработка подходящеrо метода кодирования. На пер вом этапе следует на основе предварительно заданных функций принад лежности определить множество всех возможных правил модели. Pac смотрим систему с двумя входами и одним выходом и предположим, что с каждым входом связаны три треуrольные функции принадлежно сти, а с выходом  множество одноточечных функций принадлежности, при этом каждому правилу соответствует свое одноточечное заключение. На рис. 6.115 представлено разбиение входноrо пространства Х, а также одноточечные множества Bj в пространстве У. База правил может содержать как элементарные, так и обобщающие правилапоследние представляют собой лоrические комбинации эле ментарных правил. Примером элементарноrо правила является правило Rj: ЕСЛИ (Хl == А 1э ) И (Х2 == А 22 ) то (у == Bj). (6.120) 
534 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования Х2 "'" I , А23 I \ \ I Р7 , РВ \ Р 9 , , , , I I I I р{у) В 1 В} Br 1 А 21 P 1 \ Р , Р з \ 2: \ I Р(Х2) \ I Хl У Р (х 1) , ...I' А 11 A 12 А13 Xl Рис. 6.115. При мер разбиения входноrо пространства на основе выбранных функций принадлежности Элементарное правило ставит в соответствие множествам А 1з и А 22 из входноrо пространства одноточечное множество В) из выходноrо про странства. Это означает, что область выходноrо пространства BOKpyr точ ки b j , в которой находится одноточечное множество Bj, соответствует области входноrо пространства BOKpyr точки Р 6 (рис. 6.115). Примером обобщающеrо правила является правило Rj: ЕСЛИ (Хl == А 12 ) то (у == Bj). (6.121) Данное правило получено на основе лоrической комбинации трех эле ментарных правил R2 : ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 21 ) то (у == B j ), R5 : ЕСЛИ (Хl == A 12 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == B j ), R8 : ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 2з ) то (у == Bj). (6.122) Указанная лоrическая комбинация имеет вид: R2 ИЛИ R5 ИЛИ R8 == ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И [(Х2 == А 21 ) ИЛИ (Х2 == А 22 ) ИЛИ (Х2 == А 2з )] то (у == B j ) == ЕСЛИ (Хl == А 12 ) то (у == Bj). С помощью одноrо обобщающеrо правила, подобноrо (6.121), можно описать большую область входноrо пространства, включающую OKpeCT ности точек Р2, Р5, РВ (рис. 6.115). Поскольку для данноrо правила то же самое заключение (у == Bj) относится к большей по размеру области входноrо пространства, чем в случае элементарноrо правила, точность 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 535 Рис. 6.116. Хромосома, соответствующая одной из возможных структур базы правил модели, содержащей обобщающие правила, обычно ниже, чем точность модели с элементарными правилами. С друrой стороны, возможность описания большой области на основе единственноrо правила позволя ет сократить число правил и получить «экономную» модель. Тем самым, применение данноrо метода позволяет избежать явления, называемоrо «проклятием размерности». Оптимальная нечеткая модель может содержать как элементарные, так и обобщающие правила. Поэтому до начала кодирования задачи необ ходимо задать множество всех возможных правил Rj. В рассматриваемом при мере подобное множество имеет следующий вид: Rl : R2: R3: R4 : R5 : Rб: R7 : R8: R9 : RIO: Rll: R12 : R13 : R14 : R15 : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) ТО (у == Bl) ЕСЛИ (Xl == А 12 ) ТО (у == В 2 ), ЕСЛИ (Хl == А 1з ) ТО (у == в з ), ЕСЛИ (Хl == А 21 ) ТО (у == В 4 ), ЕСЛИ (Хl == А 22 ) ТО (у == В 5 ), ЕСЛИ (Хl == А 2з ) ТО (у == В в ), ЕСЛИ (Xl == А 11 ) И (Х2 == А 21 ) ТО (у == В 7 ), ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 22 ) ТО (у == В 8 ), ЕСЛИ (Хl == А 11 ) И (Х2 == А 2з ) ТО (у == B g ), ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 21 ) ТО (у == В 10 ), ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 22 ) ТО (у == В 11 ), ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 2з ) ТО (у == B12) ЕСЛИ (Хl == А 1з ) И (Х2 == А 21 ) ТО (у == В 1з ), ЕСЛИ (Хl == А 1з ) И (Х2 == А 22 ) ТО (у == В 14 ), ЕСЛИ (Хl == А 1з ) И (Х2 == А 2з ) ТО (у == В 15 ). (6.123) Каждому элементу Rj множества возможных правил ставится в co ответствие определенный reH в хромосоме (рис. 6.116). Позиции, занятые lrенами, задают одну конкретную структуру базы правил. Представленной на рис. 6.116 хромосоме соответствует такая база 
536 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования правил: Rl : R3 : RI0 : Rll : R12 : ЕСЛИ (Хl == А 11 ) то (у == В 1 ), ЕСЛИ (Хl == А 1з ) то (у == в з ), ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 21 ) то (и  Bl0) ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 22 ) то (у == В 11 ), ЕСЛИ (Хl == А 12 ) И (Х2 == А 2з ) то (у == В 12 ). (6.124) Несмотря на то, что база (6.124) содержит только 5 правил, она по крывает всю область значений входов. При использовании только элемен тарных правил для покрытия той же области потребовалось бы 3 . 3 == 9 правил (R7R15), входящих в базу (6.123). Еще одной важной задачей, возникающей на этапе инициализации алrоритма, является определение функции приспособленности. Для oцe '" нивания структуры модели представляется целесоооразным использовать функцию F, которая учитывала бы следующие два аспекта: число R пра вил в базе и точность модели, выражаемую, например, с помощью абсо лютной ошибки Е в условиях используемой выборки измерений: F == Е +  . R ' (6.125) rде N Е ==  L IYi  yil, i==l N  число элементов выборки измерений, у  выходное значение систе мы, ут  значение на выходе модели. Функция приспособленности F является обратной по отношению к функции потерь S == Е + o:R, которая является мерой «неприспособ ленности» модели. Коэффициент 0:, задаваемый пользователем, изменяет важность и значимость числа правил по отношению к форме получаемоrо решения. При больших значениях а решение будет содержать меньшее '" число правил, ооеспечивая при этом меньшую точность модели, в то Bpe '" мя как меньшие значения о: оудут приводить К противоположным резуль татам. На этапе постановки задачи можно задать максимально возмож ное значение числа правил, и тоrда в процессе поиска модели с большим числом правил будут отбрасываться. Если требуется выполнить оптимизацию нечеткой модели с учетом не только числа правил, но и друrих пара метров, например, числа функ ций принадлежности для каждой переменной, типа операторов И, ИЛИ, метода импликации, метода дефаззификации и др., то строка reHoB, зада ющих правила (6.121), должна иметь дополнительные связанные с ними 
6.3. Самоорrанизующиеся и самонастраивающиеся нечеткие модели 537 а) Число функций принадлежности для каждой переменной 2 3 4 5..... О 1 О О б) Оператор И MIN PROD H.PROD. MEAN О 1 I о I о I  в) Оператор ИЛИ МАХ L.SUM E.SUM H.SUM О 1 О О в) Метод дефаззификации D} D 2 D3 О О 1 rде: D}  метод одноточечных множеств, D 2  метод центра тяжести при выводе типа МАХ  MIN, D3  метод центра тяжести при выводе SUM  MIN, D4... Рис. 6.117. При меры фраrментов rенетической строки, кодирующих различные пара метры нечеткой модели участки, соответствующие закодированному представлению интересую щих элементов модели (рис. 6.117). Хромосома, которая содержит фраrменты, отвечающие закодирован ному представлению всех пара метров и элементов структуры нечеткой модели, представляющих интерес для пользователя, называется струк" турной хромосомой или кодом структуры модели. В начале процесса поиска произвольным образом создается исходная популяция структурных хромосом, которая, в соответствии с процедурой rенетическоrо алrоритма, далее подверrается эволюции. При этом oцeH ка степени приспособленности хромосомы может представлять собой OT '" дельную проолему, поскольку каждая хромосома задает лишь структуру модели, не определяя ее оптимальных параметров. Поэтому поиск оп тимальных пара метров для каждой хромосомы в популяции становится отдельной, самостоятельной задачей, которую можно рассматривать как локальную оптимизацию в пределах структуры, задаваемой конкретной хромосомой. Объектами параметрической оптимизации являются модаль ные значения, значения ширины и друrие параметры входных и выходных 
538 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования функций принадлежности, представленных в модели, и для выполнения подобноrо типа оптимизации можно использовать как rлобальные MeTO ды, например, rенетические алrоритмы (см. разд. 6.2.2), так и локальные методы, например, нейронечеткие сети, обучение которых осуществляет ся на основе измерений входных и выходных пара метров системы или метода наименьших квадратов суммарной ошибки. Методы r А позволяют найти приемлемое rлобальное решение cpe ди сколь уrодно большоrо их множества, избежав при этом комБИI1а TopHoro «взрыва». Тем не менее, эмпирическим путем было установлено (Nelles 1996), что с увеличением пространства решений увеличивается также время поиска. Поэтому число пара метров модели и элементов ее структуры, подлежащих оптимизации, рекомендуется оrраничивать необ ходимым минимумом. Вместо одновременной оптимизации пара метров всех имеющихся функций принадлежности можно выбрать определен ные значения пара метров входных функций и оптимизировать пара метры только выходных функций, т. е. координаты одноточечных множеств  это обеспечит возможность быстрой оптимизации на основе метода наи меньших квадратов. Помимо этоrо, использование rенетических алrоритмов увеличивает время поиска при оптимизации параметров входных и выходных функций принадлежности. Хотя rенетический метод и носит rлобальный характер, он оперирует лишь с оrраниченным числом дискретных значений COOT ветствующих пара метров, т. е., в отличие от нейронных сетей, он работает в дискретном, а не в непрерывном пространстве. Поэтому на практике, несмотря на то, что нейронная сеть выполняет лишь локальную опти мизацию, ее использование может обеспечить лучшие решения, чем те, которые получаются с помощью rенетических алrоритмов. Подводя итоr, укажем, что для оптимизации структуры модели, KO торая имеет дискретную природу, рекомендуется использовать rлобаль ные методы, например rенетические алrоритмы. Но при этом оптимиза ция пара метров с непрерывной областью значений должна выполняться с применением методов, имеющих более высокое быстродействие, таких как метод наименьших квадратов или метод, основанный на использова нии нейронечетких сетей. Теоретические положения и подробное описа ние rенетических алrоритмов можно найти во мноrих книrах, например (Mitchell 1996; Goldberg 1995; Michalewicz 1996)*. * См. также книrи на русском языке: rладков Л. А., Курейчuк В. М., Курейчuк В. В. rенетические алrоритмы. М.: Физматлит, 2006; Емельянов В. В., Курейчuк В. М., Ky рейчuк В. В. Теория и практика эволюционноrо моделирования. М.: Физматлит, 2003.  Прuм. ред. 
r ЛАВА 7 Нечеткое управление 7.1. Статические нечеткие реrуляторы Статическими объектами, а также некоторыми из динамических объектов можно управлять с помощью статических реrуляторов. Это осуществля ется путем формирования сиrнала управления u на основе сиrнала ошиб ки е соrласно характеристике реrулятора u == Р(е) (рис. 7.1). Такие реrуляторы обычно используются при работе с объектами, для которых требования по точности управления невысоки. В качестве при мера можно указать управление температурой в комнате, управление pa ботой холодильника, реrулирование температуры электрическоrо утюrа, управление оборотами электродвиrателя в некоторых устройствах и т. п. Если статический реrулятор справляется с задачами, возложенными на Hero, то ero использование совершенно оправданно, особенно если учесть ero невысокую стоимость. На рис. 7.27.7 дается ряд типичных примеров различноrо рода статических реrуляторов, а также их нечетких вариантов. Из рис. 7.27.7 видно, что для любоrо из традиционных статических реrуляторов можно привести ero нечеткий вариант. Это относится и к реrуляторам с rистерезисом (рис. 7.5), однако в данном случае реrулятор будет уже динамическим, а не статическим, поскольку ero текущий BЫ ходной сиrнал u(t) зависит от значения выхода u(tl) в предшествующий момент времени. Из рис. 7.6 видно, как можно упростить характеристику реrулятора путем соответствующеrо выбора функций принадлежности. С друrой стороны, увеличение числа входных и выходных функций при Уо F(e) u Объект у Рис. 7.1. Система управления со статическим реrулятором 
540 rлава 7. Нечеткое управление u u Р о р (и) 1 N е р (е) Rl: ЕСЛИ (е==М ТО (u==N) R2: ЕСЛИ (е==Р) ТО (и==Р) N р о е Рис. 7.2. «Линейный» статический реrулятор и ero нечеткий вариант u u L s е "'1 Rl: ЕСЛИ (e==S) ТО (u==s) R2:ЕСЛИ(е==L)ТО(u==L) р(и) 1 р (е) 1 s L е Рис. 7.3. Двухпозиционный реrулятор действий и ero нечеткий вариант надлежности, как это показано на рис. 7.7, позволяет повысить степень сложности характеристики реrулятора. Если использовать функции принадлежности различноrо вида, можно получить любую нелинейную характеристику реrулятора. Исследования, проведенные специалистами в области нечеткой лоrики (см., например (Wang 1994)), показали, что нечеткие модели являются универсальными аппроксиматорами для моделируемых систем, т. е. с их помощью мож но получать приближенные представления систем с любой наперед за данной точностью. Различие между обычным статическим реrулятором и нечетким статическим реrулятором заключается в том, что алrоритм 
7.1. Статические нечеткие реrуляторы 541 и и Р е z N р (и) 1 р(е) 1 N z Rl: ЕСЛИ (e=N) ТО (u=N) R2: ЕСЛИ (e=Z) ТО (u=z) Р R3: ЕСЛИ (е=Р) ТО (и=Р) е Рис. 7.4. «Линейный» статический реrулятор с зоной нечувствительности и насыщением и ero нечеткий вариант и u Р 2 Р] N 2 е N] ..' р(и) 1 р(е) N] Z Р] Р 2 1 е Rl: ЕСЛИ (e(t)=N J ) ТО (u(t)=N J ) R2: ЕСЛИ (e(t) = N 2 ) то (u(t) = N 2 ) R3: ЕСЛИ (e(t)=Z) И (e(t)e(t 1»0) ТО (u(t)=N 2 ) R4: ЕСЛИ (e(t)=Z) И (e(t)e(t 1)=0) И (u(t 1)=N 2 ) ТО (u(t)=N 2 ) R5: ЕСЛИ (e(t)=Z) И (e(t)e(t 1)=0) И (u(t 1)=PJ) то (u(t)=P J ) R6: ЕСЛИ (e(t) = Z) И (e(t)  e(t 1) < О) ТО (u(t) = P t ) R7: ЕСЛИ (e(t) =P t ) ТО (u(t) =P 1 ) R8: ЕСЛИ (e(t) =Р 2 ) ТО (u(t) =Р 2 ) Рис. 7.5. Реrулятор с rистерезисом и насыщением и ero нечеткий вариант работы нечеткоrо реrулятора формулируется с помощью простых и по нятных линrвистических правил, а не в виде математических выражений общепринятоrо вида. 
542 rлава 7. Нечеткое управление и Р е N р (и) 1 р(е) 1 N Р а) е u u Р е N I р(и) 1 р (е) N Р б) е Rl: ЕСЛИ (е==М ТО (u==N) R2: ЕСЛИ (е==Р) ТО (и==Р) Рис. 7.6. Статический реrулятор с насыщением по входному сиrналу и ero нечеткий вариант с кусочнолинейными функциями принадлежности (а) и с rладкими функциями принадлежности, такими, например, как функция [аусса или sin(x) (6) 7.2. Динамические нечеткие реrуляторы Наиболее часто используемый на практике динамический реrулятор  это пид реrулятор *. Настройку ero можно выполнить, например, ис пользуя простые и надежные правила ЦиrлераНиколса. Система управ * пид  пропорциональноинтеrральнодифференциальный.  Прuм. ред. 
7.2. Динамические нечеткие реrуляторы 543 u u В з В 2 В 1 е В8 В7 В6   В5 В4 f.1(u) 1 f.1(e) 1 е R 1: ЕСЛИ (е == А 1) то (и == В 1) R2: ЕСЛИ (е==А 2 ) ТО (и==В 2 ) R3: ЕСЛИ (е==А з ) ТО (u==в з ) R4: ЕСЛИ (е==А 4 ) ТО (и==В 4 ) R5: ЕСЛИ (е==А 5 ) ТО (и==В 5 ) R6: ЕСЛИ (е ==А 6 ) ТО (и == В 6 ) R7: ЕСЛИ (е=А 7 ) ТО (и=В 7 ) R8: ЕСЛИ (е=А8) ТО (и=В 8 ) Рис. 7.7. Усложненная статическая характеристика реrулятора и ее нечеткий вариант ления общеrо вида пока за на на рис. 7.9, а система с ПИДреrулятором  на рис. 7.10. Если положить kI == О, получим ПДреrулятор, упрощенный вари ант ПИДреrулятора. При kD == О ПИДреrулятор преобразуется в пи реrулятор, а при kI == kD == О  в Преrулятор. Встречаются также и pe rуляторы, более сложные, чем ПИД реrулятор, например, пидд2. В цифровых вариантах реrуляторов численное дифференцирование наиболее часто осуществляется с использованием выражения вида eD(k) == e(k)  ;(k  1) , (7.1 ) 
544 rлава 7. Нечеткое управление u u р z N е "'1 J1 (и) 1 J1 (е)  1 N z Р Rl: ЕСЛИ (е =М ТО (и =М R2: ЕСЛИ (e=Z) ТО (u=Z) R3: ЕСЛИ (е=Р) ТО (и=Р) .... ... е Рис. 7.8. Трехпозиционный реrулятор действий и ero нечеткий вариант сравнивающий элемент возмущение з  d адающий управляющий r управляющий сиrнал ошибка сиrнал сиrнал "'"" "'"" реryлятор .. объект ... ..., / ... ... .... Уо    у u У е  Yo обобщенный объект r реryлятор I ПРИВОД Ь объект Уо  е ==YoY u У датчик Рис. 7.9. Система управления с динамическим реrулятором: обозначения rде Т  интервал дискретизации по времени. Численное интеrрирование выполняется соrласно выражению k e[(k) == Т . L е(Л, j==l (7.2) 
7.2. Динамические нечеткие реrуляторы 545 Уо . .. 1 ер k p .. е f ( . )dt ej ,. u У .. k j / Объект .. )  .. А"  .. d(.) eD k D .. dt Рис. 7.10. Система управления с обычным ПИД реrулятором, k p , k I , k D == const или, в более точном варианте, с помощью метода трапеций Тастина: k eI(k) ==  . 2:(с(]) + си  1)). j==l (7.3) Операция 02 (00) может выполняться путем вычисления дискретной аппроксимации второй производной сиrнала ошибки соrласно выражению ( k ) e(k)  2e(k  1) + e(k  2) eDD  т 2 . На практике для подавления высокочастотных возмущений к диффе ренцирующему элементу О добавляется некоторый фильтр (звено перво ro порядка с запаздыванием, с постоянной времени Tj). В таком случае выход eD данноrо элемента вычисляется в соответствии с выражением. (7.4) е ( k )  e(k)  e(k  1) + TjeD(k  1) . D Т + Т! С элементом типа 00 может использоваться фильтр BToporo порядка. Интеrрирующее звено лучше работает вместе с так называемым эле ментом компенсации нелинейностей типа «насыщение» (Franklin 1986) соrласно схеме, показанной на рис. 7.11. Для приводов характерны оrраничения (насыщение) И сmах И U cmin по величине вырабатываемоrо сиrнала. По этой причине они MorYT OKa заться не в состоянии выдать то значение сиrнала управления, KOTO рое вычислил реrулятор соrласно используемому им алrоритму. Элемент компенсации нелинейностей типа «насыщение» предотвращает переrруз ку интеrрирующеrо элемента и выдачу им слишком больших значений сиrнала. Таким способом удается уменьшить перереrулирование и коле бания в рассматриваемой системе, а также обеспечить работу реrулятора (7.5) 
546 rлава 7. Нечеткое управление 1 ер k p е + J ( )dt е! U и с k! еь еь U cmin r /jg а=К / ПРИВОД U сmах d() dt eD k D Рис. 7.11. Схема соединения элемента компенсации нелинейности типа «Hacы щение» с интеrрирующим звеном в ПИДреrуляторе с более высокими значениями коэффициентов усиления, что повышает качество реrулирования. Нечеткие пид реrуляторы чаще Bcero реализуются в цифровой фор ме. При этом используется один из двух вариантов: прямое реrулирова ние (рис. 7.12, а) и инкрементное реrулирование (рис. 7.12, 6). В варианте прямоrо реrулирования реrулятор вычисляет непосред ственное значение управляющеrо сиrнала Uk на каждом шаrе дискрети зации. В инкрементном варианте вычисляется только величина ДUk, на которую следует изменить управляющий сиrнал, после чеrо полная Be личина управляющеrо сиrнала определяется с помощью суммирующеrо элемента. Следует также отметить, что в инкрементном варианте, в дина мической части рассматриваемоrо реrулятора, вычисляются только при ращения входов Uk и (Uk), отвечающие первой и второй производ ным сиrнала ошибки. Сумма k С! == Т 2::>j j==l здесь не вычисляется, в отличие от варианта с прямым реrулировани ем. Вариант с прямым реrулированием менее чувствителен к шуму е во входном сиrнале. По этой причине реrулятор данноrо вида будет ни же предметом изучения. В обычном ПИДреrуляторе выход реrулятора u вычисляется как сумма выходов динамической части, умноженных на соответствующие коэффициенты усиления: U == kp . ер + kI . еI + kD . eD. (7.6) 
7.2. Динамические нечеткие реrуляторы 547 ер ... ............... 1 ... k е] Статическая u(k) ... ek T'L e j ... нечеткая ... часть ... j==l реryлятора l1 e k eD ...  ... т 2 а) l1e k = е( k)  е( k  1) 1 ер ...  ... e D Статическая l1uk kl Uk ek l1ek ... нечеткая 'Ll1u j + l1uk ............... ... часть т реryлятора j==l l1(l1e k ) eDD ...  ... т 2 б) l1(l1ek) = l1Ek  l1ek 1 = e(k)  2e(k  1) + e(k  2) Рис. 7.12. Варианты нечеткоrо ПИДреrулятора для прямоrо (а) и инкремент Horo (6) реrулирования Фаззификация Рп(ер) JlRl Jlz( ер) о рр(ер) о Дефаззификация Jlп(ef) о В 1 ............ В27 U Jlz(ef) База о правил 1LlL Jlp(ef) о о U рп (eD) о Jlz( eD) JlR9 Jlp(eD) ер е f e D Рис. 7.13. Статическая часть нечеткоrо ПИДреrулятора Итак, ВЫХОД U представляет собой линейную комбинацию ВХОДОВ CTa тической части. Коэффициенты усиления kp, k I , kD ПОСТОЯННЫ И не за 
548 fлава 7. Нечеткое управление висят от значений сиrналов. В случае нечеткоrо ПИДреrулятора стати ческая часть KOToporo показана на рис. 7.13, все выrлядит подруrому. В общем виде структура нечеткой части рассматриваемоrо реrулятора показана на рис. 7.13. Для фаззификации каждоrо из сиrналов ер, e[J, е] используются три нечетких множества .LV, Z, Р. Дефаззификация ocy ществляется по методу одноэлементных нечетких множеств с использо ванием 27 множеств B 1 , . . . , В 27 . В соответствующую базу правил входит 27 элементовправил: Rl : ЕСЛИ (ер == N) И (е[ == N) И (eD == N) ТО (и == B 1 ), R2: ЕСЛИ (ер == N) И (е[ == N) И (eD == Z) ТО (и == В 2 ), R27: ЕСЛИ (ер == Р) И (еI == Р) И (eD == Р) ТО (и == В 27 ). (7.7) Все возможные комбинации множеств входов N, Z, Р выражают ся посредством исходных посылок вправилах, порождая в итоrе прави ла (7.7). При этом некоторому данному правилу Ri соответствует един ственное выходное множество B i , i == 1, . . . , 27. Фаззификация, реализуемая на основе двух нечетких множеств, N и Р, позволяет получить менее сложный вариант нечеткоrо пид реrулятора, как это показано на рис. 7.14. Описанная выше ситуация означает, что полная база правил будет состоять из 8 правил. Таким образом, существуют различные варианты реализации нечетких ПИД реrуляторов. Рост числа нечетких множеств, связанных с входами, «порождает» увеличение числа используемых пра вил. Кроме Toro, это приводит к усложнению структуры формируемоrо нечеткоrо реrулятора. В связи с этим возникает несколько вопросов: 1. Сколько нечетких множеств следует поставить в соответствие входам и сколько правил надо использовать внечетком реrуляторе? 2. В чем состоят различия между обычным ПИДреrулятором и нечет ким ПИДреrулятором? N р р(и) 1 В 1 B g ep,e[,eD u Рис. 7.14. Простейший вариант дефаззификации для нечеткоrо ПИДреrулятора 
7.2. Динамические нечеткие реrуляторы 549 р(е р ) N Z Р р(е/) N 1 1 p(eD) Z Р 1 N Z Р В 1 В27 u Рис. 7.15. ФУНКЦИИ принадлежности для входов и выходов нечеткоrо ПИДреrулятора з. Есть ли какието соображения относительно предпочтительности использования нечетких пид реrуляторов, если обычные ПИД  реrуляторы с успехом применяются уже несколько десятков лет? Выражение (7.6) определяет линейный оператор, реализуемый обыч НЫМ ПИДреrулятором. Нелинейная операция, осуществляемая нечетким ПИДреrулятором (см. рис. 7.15), может быть выражена в виде 444 'IJ, == L L L 1J(UljQk(aOijk + a2ijk e I + аЗijkеD + a4ijk e peI+ i==l j==l k==1 + alijk e p + a5ijk e peD + a6ijk e leD + a7ijkepeleD). (7.8) Здесь фаззификация основана на использовании трех нечетких MHO жеств, лоrическая операция И реализуется с помощью оператора PROD, а для дефаззификации применяется метод одноточечных множеств. Лоrические переменные Vi, Wj, qk отражают информацию относитель но текущих значений принадлежности рассматриваемых входных сиrна лов некоторому заданному сектору используемоrо входноrо пространства. Например, значение Vi задается с помощью отношений следующеrо вида: Vl == {  V2 == {  U;) == {  V4 == {  для ер  еР1, в остальных случаях; для еР1 < ер  еР2, в остальных случаях; для еР2 < ер  ерз, в остальных случаях; для ерз < ep в остальных случаях. (7.9) Аналоrичное объяснение можно дать и для переменных Wj, qk (СМ. рис. 7.15). Можно просто проверить, что некоторый нечеткий ПИД реrулятор (далее для Hero иноrда будет использоваться аббревиатура 
550 rлава 7. Нечеткое управление НПИД) реализует отображение входов в выходы, которое можно предста вить в виде полилинейной rиперповерхности, собранной из 64 cerMeHTOB (все возможные комбинации Vi, Wj, Qk, i, j, k == 1,2,3,4). Конечно, такую поверхность, характеризующую способ функционирования реrулятора, нет возможности представить в rрафическом виде (пространство }R4). OT сюда следует, что последующее изложение надо сосредоточить на НПД реrуляторах. В этом случае (см. рис. 7.16) требуемая rиперповерхность, отвечающая отображению входов в выходы, состоит из 16 прямоуrольных полилинейных секторов. Поверхность TaKoro рода, отвечающая традиционному ПИД  реrулятору, показана на рис. 7.16, а. Это обычная плоскость с двумя свободными параметрами kp, k D , задающими ее наклон в принятой системе координат. Соответствующая поверхность для нечеткоrо ПИД реrулятора составлена из 16 cerMeHTOB, представляющих собой полили нейные поверхности, стыкующиеся между собой по отрезкам прямых линий (ребрам). Эти cerMeHTbI MorYT быть расположены в пространстве различным образом. К тому же, можно воздействовать на характеристи ки выпуклости этих cerMeHTOB. Настройки, о которых идет речь, можно выполнять, подбирая соответствующим образом значения 15 свободных переменных в описании данной поверхности (модальные значения функ ций принадлежности для входов ер, eD и выхода и). Возможность rибко изменять форму нелинейной поверхности переключения для данноrо реrулятора очень важна, поскольку позволяет обеспечить высокое каче ство реrулирования. Такое повышение качества леrче обеспечить, если реrулятор обладает большей rибкостью. Разумеется, такая rибкость тем выше, чем большее число cerMeHToB образует поверхность переключе ния реrулятора. Это число cerMeHToB прямо зависит от числа функций принадлежности. Тем не менее, следует минимизировать число функций принадлежности, чтобы избежать серьезных трудностей, которые MorYT возникнуть при подборе значений мноrочисленных пара метров настрой ки реrулятора. Таким образом, приемлемый вариант реrулятора должен быть максимально простым из числа тех, что обеспечивают требуемую точность управления объектом. Превосходство нечеткоrо ПИД реrулятора подтверждается следую щими соображениями. Должным образом спроектированный нечеткий ПИДреrулятор (т. е. такой, для KOToporo корректно выбраны вид опе раторов И, процедуры дефаззификации и вывода на правил ах, а TaK же функции принадлежности) может «воспроизвести» отображение BXO ДОВ в выходы, осуществляемое любым обычным ПИДреrулятором (Voit 1994). Обратная задача «<воспроизведение» нечеткоrо ПИД реrулятора 
7.2. Динамические нечеткие реrуляторы 551 и и = kpep + kDeD I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I " I I I I I I 1 I 1/ j ер eD а) Ии ==аоу +а ly" ер+а 2у eD +а Зij epeD б) Рис. 7.16. Поверхность, представляющая отображение входов в выходы для обычноrо ПДреrулятора (а) и нечеткоrо ПДреrулятора (6) с ПОМОЩЬЮ обычноrо пид реrулятора) решения обычно не имеет. По мнению ряда авторов (см., например, (Isermann 1996)) нечеткие пид реrуляторы следует при менять только для управления нелинейными объ ектами, особенно в случаях, коrда модель TaKoro объекта с требуемой ТОЧНОСТЬЮ получить трудно или вообще невозможно. Соrласно этому 
552 rлава 7. Нечеткое управление Реryлятор d Уо . u Объект У Рис. 7.17. Система управления с обратной связью спорному подходу, линейными объектами надо управлять с помощью обычных ПИДреrуляторов. Чтобы разобраться в этой проблеме, сформулируем следующий BO прос: в самом ли деле линейный реrулятор, при меняемый для управления линейным объектом, обеспечивает «более высокое» качество реrулиро вания по сравнению снелинейным реrулятором? Обсуждаемое качество управления оценивается на основе критериев (показателей) качества, BЫ бранных некоторым образом. Что же выражают эти критерии? На рис.7.17 показана система управления с обратной связью. Наи более распространенная «мера», оценивающая качество реrулирования для таких систем  квадратичный критерий. Эта мера представляет co бой площадь под кривой, полученной как квадрат реакции e 2 (t) paCCMaT риваемой системы на единичное ступенчатое входное воздействие, если данная ступенчатая функция представляет собой задающий (входной) сиrнал yo(t) == l(t), (К 1уо ) или возмущающее воздействие d(t) == l(t), (K 1 d). Разработчик системы стабилизации должен понимать, что демп фирование возмущений d  это более важная задача, чем отслеживание значения входноrо сиrнала. Квадратичные критерии для непрерывных (индекс «с») И дискретных (индекс «d») систем управления MorYT быть представлены в таком виде: 00 с . J 2 ( К 1уо == mln е уо t) dt, о 00 d .  2 К 1уо == ПllП  eyo(k) . Т, k==l 00 с . J 2 ( ) K 1d == mln ed t dt, о 00 Kfd == min L e(k) . Т. k==l (7.10) Соrласно друrой точке зрения, следует минимизировать обобщенные «расходы» на управление (сиrнал и) в ходе работы реrулятора и демпфи рования возмущений. Критерии, отвечающие такому подходу, MorYT быть 
7.2. Динамические нечеткие реrуляторы 553 представлены в следующем виде: 00 К 2уО == min J 11,;0 ( t) dt, о 00 К1 у О == min L U;о (k) . Т, k==l 00 K 2d == miIl J 1J,(t) dt, о 00 Kd == min L u(k) . Т. k==l (7.11 ) Существуют системы управления, основанные на минимизации KBaд рата производной (скорости изменения) входноrо сиrнала и объекта управления. Такая «оптимизация» обеспечивает «плавную» работу при вода (Kuhn 1994), а также минимизацию числа переключений (+/). По мимо интеrральных показателей, оценивающих характеристики реrули рования, очень полезными MorYT оказаться критерии, выражаемые через значения некоторых величин, характеризующих процесс изменения сиr нала ошибки е при воздействии на систему единичноrо начальноrо откло нения yo(t) == l(t) или возмущающеrо сиrнала d(t) == l(t) (см. рис.7.18 и рис. 7.19). Качество отслеживания системой управления задающеrо сиrнала, по даваемоrо на ее вход, оценивается обычно с помощью таких показателей, е е ттуо e styo о t Уо Рис. 7.18. Сиrнал ошибки е для опорноrо сиrнала yo(t) == l(t) ed emmd о estd t sd t Рис. 7.19. Сиrнал ошибки е, полученный в качестве реакции на возмущающий сиrнал d(t) == l(t) 
554 rлава 7. Нечеткое управление как статическая (установившаяся) ошибка estyo, перереrулирование OV Yo и время успокоения системы t syo . Соответствующие условия, определя ющие приемлемое качество процесса отслеживания входноrо сиrнала, устанавливают, что величины этих показателей должны лежать в допу стимых пределах. Сопротивляемость системы управления по отношению к возмущающему воздействию d можно измерить с помощью таких по казателей, как время успокоения системы tsd, максимальная амплитуда сиrнала ошибки emmd и статическая ошибка estd. Амплитуды сиrнала ошибки е для всех t > t s , [де t s  так называемое время успокоения системы, удовлетворяют условию lel < д, [де д пред ставляет собой требуемую точность реrулирования (см. рис. 7.18 и 7.19). Например, можно положить д равным 2% или 5% от амплитуды задаю щеrо сиrнала. Относительное перереrулирование OV Yo определяется BЫ ражением OV YO == етптпуо . (7.12) Уа Установившаяся ошибка est может быть определена как амплитуда сиrнала ошибки системы управления после завершения переходноrо про цесса, вызванноrо воздействием сиrналов УО или d. Тоrда набор инте rральных критериев Кl и К 2 можно дополнить «сеrментированными» критериями следующеrо вида: К зуо == min t syo , K3d == nlin tsd к 5уО == min е styO , К . emrпd 4d == mln d ' K5d == min estd. (7.13) К 4уо == min OV yo , Все приведенные выше критерии K i представляют собой нелиней ные функции пара метров реrулятора, даже для случая линейноrо объек та управления и линейноrо реrулятора. Таким образом, если ИСХОДИТЬ из качества реrулирования, то любую задачу управления, независи" мо от вида реrулятора (линейноrо или нелинейноrо), можно тракто.. вать как нелинейную (Hunt 1992). Нечеткий реrулятор, фактически реализующий нелинейное отображе ние входов в выходы, отвечает задаче оптимизации по нелинейному кри терию HaMHoro лучше, чем линейные реrуляторы. Кроме Toro, унечетких реrуляторов больше обычно и степеней свободы (настраиваемых пара метров). Например, рассмотренный выше нечеткий пид реrулятор, oc нованный на трех нечетких множествах для каждоrо входа, обладает 15 степенями свободы, тоrда как обычный линейный ПИДреrулятор  Bcero лишь тремя (можно выбирать значения пара метров kp, k[ и kI)). 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 555 Значимость числа степеней свободы реrулятора, имеющихся в pac поряжении разработчика управляемой системы, можно лучше ощутить, если представить себе, что значения критериев обычно анализируются для различных амплитуд сиrналов Уа и d. Кроме Toro, следует принять во внимание, что оценка качества управления часто осуществляется на основе нескольких частных критериев K i одновременно. Это значит, что задачу оптимизации управляемой системы следует трактовать как MHO rокритериальную: К == min(D:IKl + а2К2 + . . . + апК п ), (7.14) rде D:i  весовые коэффициенты, n  количество частных критериев. Широко используемый критерий, основанный на учете ошибки и CTO имости управления t К == шiп f[ae 2 (t) + (1  a)u 2 (t)]dt, (7.15) а представляет собой один из хороших примеров использования мноrокри териальности. Большее число степеней свободы, которыми обладает нечеткий pe rулятор, означает, что требование минимизации по частным критериям в мноrокритериальных задачах можно выполнить HaMHoro проще! OTHO сительно небольшое число степеней свободы, присущее обычному линей ному ПИДреrулятору, делает решение упомянутой задачи существенно сложнее (изза взаимосвязей между частными критериями, противоре чивости требований, обусловленных различными показателями и т. д.). Итак, есть важные причины предпочесть нечеткие реrуляторы и в слу чае линейных объектов управления. 7.3. Формирование структур и настройка параметров нечетких реrуляторов к числу подходов, ориентированных на синтез нечетких реrуляторов, относятся следующие: 1. На основе знаний, полученных от экспертов. 11. Путем моделирования действий эксперта в качестве реrулятора (на основе управляющих сиrналов, вырабатываемых экспертом). 111. На основе модели объекта управления. Нечеткое управление представляет собой одну из наиболее важных областей применения методов нечеткой лоrики (Abdelnour 1992; Сао 
556 rлава 7. Нечеткое управление 1997Ь; Fisher 1996; Fischle 1997; Gupta 1991; Gorez 1996; Hanss 1996Ь; Hunt 1992; Iwasaki 1990; Isaka 1993; Isermann 1996; Jantzen 1997; Kouatli 1991; КосЬ 1994; Kang 1995; Kuhn 1996; Li 1995; Lewis 1996; Lopez 1997; Preuss 1992; Wang 1995Ь; Wu 1994; Ying 1993). одели объектов управления не являются безоrоворочно необходи мыми для синтеза нечетких реrуляторов (Ying 1994). Этот факт сле дует рассматривать как orpoMHoe преимущество нечеткоrо подхода, по скольку проектирование обычных систем управления с использованием пространства состояний или частотных представлений основывается на приближенных моделях объектов управления. Разумеется, сказанное BЫ ше не означает, что знание об объекте управления бесполезны для слу чая нечетких реrуляторов. Если рассуждать формально, методы 1 и 11 не используют моделей объектов управления, поскольку они основаны на знаниях HeKoToporo опытноrо эксперта, который освоил «искусство» управления объектом в ходе мноrочисленных экспериментов (попыток), выполняя свою повседневную деятельность, относимую к катеrории «руч ное управление объектом». Очевидно, что «внутри» экспертноrо знания, относящеrося к свойствам объекта управления и ero динамическому по ведению, содержится интуитивная модель HeKoToporo вида для данноrо объекта. Чтобы успешно управлять автомобилем, водителю нет необходи мости знать ero математическую модель. Этому водителю просто нужен опыт и практика, что дает ему возможность «ощущать» И «понимать» поведение автомобиля в различных условиях (например, при различных скоростях, уклонах дороrи и т. п.) И при различных управляющих воз действиях (вращение рулевоrо колеса, нажатие на педали тормоза, сцеп ления и акселератора, переключение передач и т. д.). Общеизвестно, что даже хорошему водителю требуется привыкнуть к новому для Hero aB томобилю, ведь только «чувство автомобиля» позволяет ему управлять леrко и непринужденно. Существует MHoro областей, rде математические модели объектов управления можно заменить опытом экспертов (пило тирование самолетов, управление судами, управление подъемными Kpa нами, диспетчерское управление производственными процессами и т. д.) 7.3.1. Проектирование нечетких реrуляторов на основе экспертноrо знания об объекте управления J{ля проектирования нечеткоrо реrулятора можно использовать знания эксперта относительно объекта управления. Разработчик нечеткоrо pery лятора должен накопить требуемый объем знаний путем опроса ОПЫТНО ro оператора, работающеrо с данным объектом. Получаемое экспертное 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 557 знание может быть выражено как совокупность линrвистических правил следующеrо вида: ЕСЛИ (х == А) ТО (у == В), (7.16) rде у  управляемый сиrнал, а х  набор сиrналов, воспринимаемых экс пертом. Здесь А и В представляют собой линrвистические оценки, напри мер, «малый», «большой», «медленный», «быстрый» и т. д. Помимо линr вистических правил, эксперт должен сообщить о своем понимании этих линrвистических оценок. TaKoro рода информация важна для определе ния существенных пара метров функций принадлежности, в особенности их модальных значений. Пример 7.3.1.1. Разработку нечетких реrуляторов на основе экспертноrо знания можно проиллюстрировать следующим примером, который OTHO сится К управлению крановой тележкой портальноrо крана (Watanabe 1991; Zimmermann 1994Ь). При транспортировке контейнеров (см. рис. 7.20) случается так, что контейнер начинает раскачиваться (трос, крепящий контейнер к крановой тележке, выходит из oTBecHoro положения), причем уrловые перемеще ния е контейнера MorYT быть весьма велики. Эту раскачку следует OCTa навить до Toro момента, коrда контейнер будет доставлен к месту назна чения. В противном случае раскачивающийся контейнер, подобно тяже лому молоту, может повредить соседние контейнеры. Оператор порталь Horo крана управляет скоростью перемещения крановой тележки посред СТВОМ рычаrа, который может быть помещен в любое положение, находя Место I I I , ' .- d I I I I .,' Рис. 7.20. Портальный кран, транспортирующий контейнер 
558 rлава 7. Нечеткое управление щееся между двумя крайними положениями данноrо рычаrа. Оператор должен «чувствовать» реакции тележки при различных массах контей неров (массы различных контейнеров MorYT отличаться друr от друrа), чтобы предпринимать соответствующие управляющие действия с исполь зованием рычаrа управления. Есть два возможных способа управления тележкой, при которых в экспертном знании нет необходимости. Первый из эти двух подходов состоит в том, чтобы перемещать тележ ку на достаточно малой скорости, при которой раскачка rруза не возни кает. Второй способ заключается в переноске контейнера на высокой CKO рости В точку, которая находится над местом назначения. В этом случае может возникнуть раскачка rруза. Поэтому оператор, быстро переместив контейнер в указанную точку, должен затем выждать некоторое время, требуемое для затухания колебаний. После этоrо rруз медленно опуска ется на то место, куда он должен был быть перемещен. Оба этих способа требуют значительноrо времени для выполнения транспортировки KOH тейнера. Опытный оператор портальноrо крана применяет друrие способы управления. Он может переместить контейнер в требуемое место очень быстро, с последующим эффективным rашением раскачки rруза над этим местом. Обычный ПИДреrулятор не в состоянии справиться с задачей управления крановой тележкой вследствие существенной нелинейности процесса, которым требуется управлять. Если расстояние d между Te лежкой и местом назначения велико, на раскачку контейнера можно не обращать внимания и оператор может поддерживать высокую скорость перемещения тележки. По мере сокращения этоrо расстояния, оператор начинает rасить раскачку rруза. В конце концов, уrловые перемещения е контейнера вблизи места назначения почти полностью затухают. Это значит, что контейнер можно быстро опустить вниз сразу же, как только будет достиrнуто место назначения. Опытный оператор может успешно менять свои управляющие действия, если возникают какиелибо возму щения. TaKoro рода изменения зависят от интенсивности и направления ветра, а также от веса контейнера. Наличие трения покоя (статическоrо трения) существенно усложняет управление движением портальноrо крана. Чтобы кран начал движение, крутящий момент электродвиrателя должен «пересилить» сопротивление, обусловленное трением покоя. Коrда кран пришел в движение, сопротив ление трения внезапно становится маЛЫ1. Этот феномен (особенно коrда контейнер находится недалеко от места назначения и требуемые переме щения для Hero невелики) существенно осложняет для неопытноrо опе ратора решение задачи перемещения rруза. Ему приходится переключать двиrатель «вперед» И «назад», причем делать это MHoroKpaTHo. Частое 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 559 реверсирование враLЦения электродвиrателя cOKpaLЦaeT ero срок слу)К бы. Кроме Toro, такие переключения вызывают рывки, которые мешают rасить колебания rруза. Хотя управление транспортировкой контейнера представляет собой непростую задачу, есть возмо)Кность справиться с ней успешно. Правила, представленные ниже, были получены на основе значительноrо по объ ему опроса операторов крана (экспертов), а также путем наблюдений за их «реакциями» на описанное выше явление при перемеLЦении rрузов (Alltrock 1993): Rl: ЕСЛИ (d == большое) ТО (Р == положительное большое), R2: ЕСЛИ (d == малое) И (8 == отрицательное большое) ТО (Р == отрицательное среднее), R3: ЕСЛИ (d == малое) И (8 == отрицательное малое ИЛИ нулевое ИЛИ положительное малое) ТО (Р == положительное среднее), R4: ЕСЛИ (d == малое) И (8 == положительное большое) ТО (Р == поло жительное большое), R5: ЕСЛИ (d == нулевое) И (8 == положительное большое ИЛИ малое) ТО (Р == отрицательное среднее), R6: ЕСЛИ (d == нулевое) И (8 == нулевое) ТО (Р == нулевое), R7: ЕСЛИ (d == нулевое) И (8 == отрицательное малое) ТО (Р == поло жительное среднее), R8: ЕСЛИ (d == нулевое) И (8 == отрицательное большое) ТО (Р == по ложительное большое). Здесь d  расстояние, 8  уrловое смеLЦение, Р  MOLЦHOCTЬ, разви ваемая электромотором (оператор управляет этой МОLЦностью, перемещая рычаr управления). Следует учитывать, что друrой оператор портальноrо крана при тех же самых обстоятельствах будет использовать друrие правила. Это зави сит от ero опыта, ПРИСУLЦих ему рефлексов, темперамента и, возможно, какихто друrих ero особенностей ero личности. Обсуждаемые правила MorYT также зависеть от типа портальноrо крана, технических xapaKTe ристик ero электромотора, максимальноrо расстояния, на которое произ водится перемещение rрузов, значения сопротивления трения и т. д. Это значит, что рассмотренные выше правила нельзя трактовать как уни версальные, они представляют собой, скорее, лишь один из возможных примеров TaKoro рода наборов правил. 
560 rлава 7. Нечеткое управление о d s d L d E>NL E>NS E>ps E>PL Е>  1 Р нм о Ррм 1 Р Рис. 7.21. Функции принадлежности для следующих линrвистических перемен ных: расстояние (d), уrловое смещение (8), мощность (Р) Для оценки конкретных «сиrналов» И «величин» (линrвистических переменных) оператор использовал следующие варианты их значений: d  большое (L), малое (8), нулевое (Z), 8  положительное большое (Р L), положительное малое (Р S), нулевое (Z), отрицательное малое (N8), отрицательное большое (NL), Р  отрицательное большое (N L), отрицательное среднее (N А1), HY левое (Z), положительное среднее (PlvI), положительное большое (PL). Функции принадлежности конкретных переменных показаны на рис. 7.21. Значение мощности Р реrулируется путем перемещения COOTBeTCTBY ющеrо управляющеrо рычаrа. Крайнее положение данноrо рычаrа, OTBe чающее движению «вперед», можно обозначить как «1», а друrое ero крайнее положение для движения «назад»  как «1» (см. рис. 7.21). В ходе опроса оператор крана (эксперт) должен дать разработчику pe rулятора информацию относительно модальных значений функций при надлежности: ds, dL, 8NL, 8NS, 8ps, 8PL, РNЛ1, P/JlvJ. Это довольно непростая задача, поскольку оператор осуществляет управление боль шей частью «интуитивно» И обычно не в состоянии изложить детали ero 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 561 «ментальной модели управления». Из этоrо следует, что в распоряжении разработчика реrулятора будет лишь довольно неточная информация. Ec ли доступный объем информации слишком мал, настройку пара метров нечеткоrо реrулятора можно выполнить, используя нейронечеткую сеть, на основе сиrналов BBoдaBЫBoдa, вырабатываемых и получаемых опера тором в ходе сеансов управления реальным объектом. . На практике применение методов синтеза нечетких реrуляторов на oc нове экспертноrо знания оrраничивается, как правило, случаями относи тельно медленных, не очень сложных объектов управления, для которых число управляющих величин не превышает двух. Человек в качестве «pe rулятора» не в состоянии управлять ни объектами со мноrими управляю щими входами (это оrраничение обусловлено оrраниченными возможно стями человека по восприятию и обработке информации), ни относитель но «быстрыми» объектами (это оrраничение вызвано оrраниченностью скорости обработки информации человеком). Однако даже эти небла rоприятные обстоятельства не исключают участия человека в процессе сбора информации, связанной с управлением рассматриваемым объектом. Человекоператор может дать разработчику системы управления хотя бы частичную (неполную) информацию, относящуюся к решению рассматри ваемой задачи. Эта начальная информация может затем быть использова на в процессе обучения реrулятора или модели объекта. В таком случае реrулятор или модель обучаются на основе данных, полученных путем реrистрации процессов управления. Рассматриваемое начальное знание может рассматриваться также как «источник вдохновения» при форми ровании требуемой базы правил, выборе функций принадлежности и т. д. 7.3.2. Разработка нечеткоrо реrулятора на основе модели эксперта, управляющеrо объектом в ряде случаев эксперт не в состоянии сформулировать свои «ментальные знания», относящиеся к управлению объектом. В таком случае сиrналы, формируемые экспертом в процессе управления объектом, можно исполь зовать для создания модели данноrо эксперта (см. рис. 7.22). уо.... е Эксперт u у .... .... Объект ... ... ,.... .... ..... ...... н  Рис. 7.22. Эксперт как реrулятор в системе управления с обратной связью 
562 rлава 7. Нечеткое управление Чтобы построить модель эксперта, следует измерить и записать сиr нал ошибки e(t) (на нем основываются решения, принимаемые экспер том) и сиrнал u(t), вырабатываемый экспертом для управления объектом. К этим записям сиrналов e(t) и u(t) надо применить соответствующие решаемой задаче методы, чтобы построить математическую модель изу чаемоrо эксперта, т. е. реrулятор. Знание структуры ручноrо управления объектом очень полезно для создания экспертной модели. Есть результаты, описывающие свойства человека, рассматриваемоrо в качестве элемента системы управления (Pfeiffer 1995; Gruszecki 1994). Этот «человекреrулятор» работает как нелинейная адаптивная система управления. При небольших ампли тудах сиrнала ошибки человекаоператора можно моделировать пи реrулятором. По этой причине человек в состоянии ликвидировать CTa тические ошибки. Это значит, что человекоператор в состоянии успешно стабилизировать курс корабля или самолета. При увеличении значения сиrнала ошибки человек работает (приближенно) как ПДреrулятор. При больших значениях сиrнала ошибки управление, реализуемое операто ром, становится релейным (двухпозиционным) (Pfeiffer 1995), т. е. таким, в котором управляющий сиrнал u(t) часто и скачкообразно переключает ся между двумя значениями  максимальным (верхнее насыщение) и ми нимальным (нижнее насыщение). Человекоператор приспосабливает метод управления к конкретному объекту управления. Например, если человек управляет моделью Bep толета (передаточная функция такой модели имеет один или два по люса, равных нулю), тоrда ero действия будут подобны действиям пд реrулятора (интеrрирующие действия от человекаоператора в данной си туации не требуются, поскольку они реализуются компонентами объек та управления, представленными в ero передаточной функции полюсами, равными нулю, следовательно, статические ошибки будут ликвидировать ся без интеrрирующих действий человека). Приближенную передаточную функцию TaKoro человекаоператора можно записать в виде С(в) == 'И(в) == kre8To(1 + sT d ) (7.17) е ( s ) (1 + sT rHп ) (1 + sTT) . ИЗl\1ерения значений времени запаздывания То, характерных для че лове ка при управлении моделью вертолета, дают основания считать эту постоянную равной То == O.1O.2 с. Однако задержка То возрастает, если управление производится в затруд ненных условиях и принимаемые решения должны основываться на об 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 563 работке мноrочисленных данных. Инерционность нервной системы (п) и мышечной системы (т) отражается постоянной времени Т пт . Оценка величины Т пт дает значения Т пт == 0.1 0.6 с. Значения коэффициента усиления k r и постоянной времени T d , xapaKTe ризующих коррекцию по производной, а также постоянной времени ТТ зависят от рассматриваемоrо объекта управления. Аналоrичным образом, как ПИреrулятор, работает человекоператор, управляющий холодильной установкой, состоящей из поршневоrо Ha rнетателя и двиrателя. Принимая во внимание изложенные выше фак ты, можно сделать заключение, что человек, осуществляющий управ ление, может действовать как ПИДреrулятор, «наrруженный» добавоч ной инерционностью и запаздыванием. Временем запаздывания То можно пренебречь, если человек управляет медленными объектами, дЛЯ KOTO рых время дискретизации Т > О.2Б с, а также в случаях, коrда человек имеет выдающееся (очень короткое) время реакции. Динамику челове ка, управляющеrо объектом или процессом, можно приближенно описать передаточной функцией вида С() и(s) esTo ( k k k I ) S == e(s) == (l+sT nт )(l+sT r ) р+ D.S+ . Следует иметь в виду, что коэффициенты усиления kp, kD, k] MO rYT изменяться (например, коrда человек подстраивает свои управляю щие действия к параметрам объекта, виду входноrо (опорноrо) сиrнала, виду возмущающеrо воздействия). К тому же, при некоторых условиях человек может работать с объектом при kD == О или k] == о. TaKoro po да переменные коэффициенты усиления, значения которых определяются вышеупомянутыми факторами (амплитуда сиrнала ошибки, вид объекта управления и т. д.), можно С успехом моделировать с помощью нечет ких или нейросетевых реrуляторов. Обычный линейный ПИДреrулятор не в состоянии справиться с такой задачей. В приводимом ниже приме ре обсуждается моделирование человека, осуществляющеrо управление объектом, с помощью нейронечеткоrо ПИДреrулятора (Palga 1996). Пример 7.3.2.1. Решаемая задача состоит в управления курсом модели подводноrо аппарата KRAB 11, созданноrо в Техническом университете Щеuина (Польша). Этот аппарат показан на рис. 7.23. Момент рысканья ]у!, порождаемый парой rребных винтов, изменяет курс аппарата Ф. Значения момента рысканья, обусловленные техниче скими характеристиками rребноrо винта, лежат в диапазоне [18.3 28.3] (7.18) 
564 rлава 7. Нечеткое управление Рис. 7.23. ПОДВОДНЫЙ аппарат как объект управления lJIo е м*  М 1JI  .... Оператор ...  Аппарат  .'-/ .. ...  ....   rребные винты Рис. 7.24. Ручное управление подводным аппаратом (см. рис. 7.24). Имеют место два уровня насыщения для значений MO мента ]у1: верхний и нижний. Отсутствие симметрии в значениях этих уровней усложняет управление аппаратом. В ходе эксперимента оператор наблюдает фактическое значение курса аппарата Ф(t) и сравнивает ero с заданным значением Фа. Расхождение между этими двумя величинами компенсировалось выбором соответствующеrо положения ручки управле ния (джойстика). Положение этой ручки преобразовывалось в электриче ский сиrнал 1\,1* управления rребными винтами. В конечном счете, тяrа rребных винтов порождала момент рысканья ]у1, разворачивающий ап парат. В ходе проводившеrося эксперимента записывались сиrналы lv1(t) и Ф(t), полученные для различных наборов значений уrла Фа. При меры таких записей показаны на рис. 7.25. Результаты реrистрации перечисленных выше сиrналов подтверди ли, что человек действует как нелинейный реrулятор (резкие изменения управляющеrо сиrнала, нереrулярности в сиrнале курса Ф- (t)). Сиrналы e(t) и lv1(t), записанные в процессе ручноrо управления аппаратом, были использованы для настройки нейронечеткоrо ПИДреrулятора, реализу ющеrо представление 27 правил, см. рис. 7.26 (Piegat 1996). Операции И в этом реrуляторе были реализованы на основе оператора J\;IEAN. Таким образом, сумма возбуждений всех заключений правил (дефаззификация) была постоянной. Это позволило упростить выполнение дефаззификации, поскольку схема деления, подсоединенная к выходу сети, в этом случае становится излишней. 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 565 25 20 15 10 5 О 5 0.7 0.6   0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 о 5 1 О 15 20 25 30 а) управляющий сиrнал M(t) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 О 0.10 5 10 15 20 25 30 в) сиrнал ошибки e(t) о 10 15 20 25 30 б) курс 'fI(t) 5 Рис. 7.25. При меры сиrналов, представляющих момент рысканья l'vf(t) (а), курс аппарата Ф(t) (6) и сиrнал ошибки e(t) (8), полученные при ручном управлении аппаратом Настроенный реrулятор был введен в состав системы управления, по еле чеrо осуществлялась оценка ero работоспособности. Сравнение зна чений реrулируемой величины (курс Ф(t)), полученных для рассматри BaeMoro нечеткоrо реrулятора, со значениями, зареrистрированными при ручном управлении аппаратом, показано на рис. 7.27, а. На рис. 7.27, б приводится сиrнал управления l\f, формировавшийся нечетким реrулято рам. Оценка характеристик системы управления дает следующие резуль таты: :30 / lel dt == 1.07, о 30 / lul dt == 41.30. о 
566 rлава 7. Нечеткое управление e(k) . M ( k ) . ( k ) r13 M r26 (k Рис. 7.26. Схема нейронечеткоrо пид реrулятора, моделирующеrо ручное управление курсом подводноrо аппарата для ручноrо управления, и 30 J lel dt == 0.95, о для нечеткоrо реrулятора. Эти значения критериев эффективности подтверждают, что нечет кий реrулятор несколько точнее (J'lej dt), но расходы на управления у 30 J lul dt == 45.86, о 
7.3. Формирование структур и настройка парамеТРОБ реrУЛЯТОрОБ 567 lfI, рад. М,Н.М 0.7 25 0.6 20 0.5 0.4  Курс при ручном 15 управлении оператором 0.3  Курс при упраВJIе 10 нии нечетким 0.2 реryлятором 5 0.1 00 [, с О t, с 5 10 15 20 25 30 О 5 10 15 20 25 30 а) б) Рис. 7.27. Сравнение курсов при ручном управлении и управлении с помощью нечеткоrо реrулятора (а), сиrнал управления М, формируемый нечетким pery лятором (6) Hero (! lul dt) были несколько больше. Это цена, которую пришлось за платить за повышение точности управления. Сравнивая действия этих реrуляторов (т. е. человека и нечеткоrо реrулятора) можно сделать BЫ вод, что нечеткий реrулятор управляет объектом мяrче и спокойнее (см. рис. 7.25, а и 7.27,6). Человек довольно часто совершал резкие, BpeMeHa ми излишние и хаотические движения ручкой управления. . 7.3.3. Разработка нечеткоrо реrулятора на основе модели объекта управления Рассматриваемый ниже подход можно использовать в тех случаях, коrда имеется модель объекта управления. Объективную идентификацию Moдe лей объектов можно осуществлять на основе временных рядов, представ ляющих собой последовательности записанных значений входов и BЫXO ДО В исследуемоrо объекта. Такая идентификация состоит из двух этапов, подробно рассмотренных в rлаве 6: 1. Определение набора значимых входов для рассматриваемоrо объекта. 11. Определение структуры и пара метров модели. Особое внимание следует уделить определению значимых входов для рассматриваемоrо объекта, поскольку это дает возможность снизить сложность получаемой модели. В разд. 7.3.3.1 содержатся общие сооб ражения, относящиеся к моделированию динамических объектов с ПОl\tl0" щью самообучающихся систем. 
568 rлава 7. Нечеткое управление 7.3.3.1. Некоторые замечания относительно идентификации моделей динамических объектов Есть ряд исключительных случаев, коrда объекты управления можно рассматривать как статические. Статические объекты описываются COOT ношением вида y(k) == F[и(k)], (7.19) rде u  вход, у  выход объекта, k  порядковый номер замера. Статическую модель можно применять в случаях, коrда переходные процессы в объекте управления затухают быстро, т. е. продолжительность переходных процессов существенно короче интервала времени выбор ки (замера значений величин, характеризующих поведение объекта) Т. Отношение «BXOДBЫXOД» для большинства объектов управления можно представить нелинейным отображением F следующеrо вида: у (k + 1) == F [у ( k ), . . . , у (k  n + 1), u ( k ), . . . , u (k  т + 1)]. (7.20) Значение у выхода объекта для момента времени, отвечающеrо HO меру выборки (k + 1), зависит от предшествующих значений входов, представленных предыдущими 711 замерами входа и, а также от предше ствующих значений выходов, представленных предыдущими n замерами выхода у. Есть несколько подходов к идентификации параметров нейро сетевой модели Р*. Ниже дается несколько советов, относящихся к их использованию. Если идентифицируемый объект F почти полностью свободен от воз действия шумов и возмущений, то рекомендуется схема идентификации ero модели Р*, показанная на рис.7.28 (Hunt 1992). Математический оператор D означает здесь запаздывание, например: v(k  1) == D( l)(v(k)). одель объекта определяется на основе значений сиrналов, полу ченных от реальноrо объекта. Отображение «BXOДBЫXOД» для данноrо объекта можно представить следующим эквивалентным соотношением: y(k + n  т) == F[u(k),. . . , u(k  т), y(k + n  т  1),. . . , y(k  т)], или: y(k) == F[u(k  n + т),... ,u(k  n),y(k  1),... ,y(k  n)]. (7.21 ) Отображение «BXOДBЫXOД» реализуемое в ходе идентификации Moдe ли (нацеленной на определение структуры модели и подбора значений ее параметров) можно представить в виде y*(k + n  т) == F*[u(k),... ,u(k  rп),y(k + n  т  1),... ,y(k  т)], 
7.3. Формирование структур и настройка пара метров реrуляторов 569 d2O u(k) F y(k) Объект y(k) y*(k) Алrоритм идентифи кации Модель Рис. 7.28. Последовательнопараллельная структура модели для идентифика ции объекта }'. (Эта структура рекомендуется при невысоких уровнях измери тельных шумов (d 1 , d: з ) и небольших величинах возмущений (d 2 ), действующих на объект.) или: y*(k) == F*[1L(k  п + т),... , u(k  n), y(k  1),... , y(k  п)]. (7.22) Процесс подбора значений параметров модели для последовательно параллельной структуры модели (модель обеспечена входами и выходами объекта) более устойчив в сравнении с друrими подобными структурами (Hunt 1992; Narendra 1990а,Ь). После завершения идентификации выход модели у* (k + n  т) соеди няется с ее входом, взамен выхода объекта y(k + n  т). Таким образом, для практических целей (системы управления и т. п.) структура Moдe ли Р* модифицируется так, как показано на рис. 7.29. Соотношение (7.23) представляет отображение, реализуемое Moдe лью Р* после ее идентификации: y*(k+nm)== == Р* [и( k), . . . , и( k  т), у* (k + n  m  1), . . . , у* (k  т)]. (7.23) Если измерительные шумы (d 1 , d з ) и возмущения (d 2 ), воздейству ющие на объект, велики, то можно рекомендовать идентификацию, oc нованную на параллельной структуре модели (см. рис. 7.30). Разумеет 
570 rлава 7. Нечеткое управление u(k) * . у (k т) * у (k+пт) u (k 1 ) u(kт ) Рис. 7.29. Модифицированная структура последовательнопараллельной модели после идентификации ся, введенные выше атрибуты «большой» и «малый», характеризующие уровни шумов (помех) и возмущений, следует трактовать как нечеткие. Эти атрибуты нет возможности определить точно (свойства «большой» и «малый» надо рассматривать во взаимосвязи с чувствительностью pac сматриваемоrо объекта по отношению к соответствующим воздействиям). Обычно выбор подходящей структуры модели опирается на опыт и интуи цию (в противном случае потребуется значительное число экспериментов, чтобы «открыть» хорошую структуру). Часть входов рассматриваемой параллельной модели (см. рис. 7.29 и 7.30) свободна от шумов и возмущений, поскольку они «взяты» из BЫ хода модели y*(k + 'п  т). Соответственно, итоrовая точность иденти фикации может быть выше. Данная модель отображает входы в выходы соrласно соотношению (7.23). Чтобы получить хорошую модель Р*, которая действует подобно pac сматриваемому объекту Р, требуется формировать ее, используя все воз можные сиrналы и, влияющие на объект в реальных условиях ero работы. Особое внимание следует уделить амплитудному и спектральному пред ставлению сиrналов и, подаваемых на вход модели при ее настройке. Тем не менее, даже хорошие модели практическоrо характера дают результа ты, близкие к тем, что демонстрирует реальный объект Р, если входные сиrналы u представлены низкочастотными компонентами спектра. Точ ность модели падает с повышением доли высокочастотных компонент в спектральном представлении сиrналов u (Hack 1997). 
7.3. Формирование структур и настройка парамеТРОБ реrуляторов 571 d 2 u(k) y(k) F Объект F* Алrоритм идентифи кации Модель Рис. 7.30. Параллельная структура модели для идентификации объекта F (эта структура рекомендуется при значительных уровнях измерительных шумов (d 1 , d з ) и больших возмущениях (d 2 ), действующих на объект) 7.3.3.2. Некоторые замечания относительно идентификации инвертированных моделей динамических объектов В алrоритмах управления часто используются инвертированные Moдe ли l\v объектов (Hack 1997; Hunt 1992; Morari 1989). Такие модели, называемые также «инверсиями», можно определить только для случая, коrда прямая модель является обратимой. Проблему обратимости модели иллюстрирует рис. 7.31. Статическая модель Р* объекта однозначна по входу и. Каждое зна чение входа и а отображается в единственное выходное значение Уа. Об ращение Fiv такой модели не обладает однозначностью. Имеются такие области значений входов (У) инвертированной модели l\v, в которых одно значение входа Уа отображается в два или три значения выхода ( Uai ) . Инверсию модели можно получить в том случае (Babuska 1995е), если рассматриваемая модель представляет собой монотонно возрастаю щую или монотонно убывающую функцию, реализующую однозначное отображение относительно выхода У (см. рис. 7.32). 
572 rлава 7. Нечеткое управление У и И аЗ И а2 И а и Уа У * Модель F Модель (F*) 1 Рис. 7.31. Пример, поясняющий проблему обратимости статической модели У У Уа  Уа , , I I I I I I I I I I I I I I И а и И а и Рис. 7.32. При мер инвертируемой (обратимой) статической модели (представ ление отображения, однозначноrо по выходу у) Приведенные выше объяснения наводят на мысль о том, для получе ния инверсной модели y объекта F обязательно нужна ero (прямая) модель Р*. Эту модель Р* следует тщательно проанализировать, чтобы подтвердить или опроверrнуть ее обратимость (отображение Р* должно быть монотонным!). Если пренебречь подобноrо рода анализом, прямое вычисление инверсии y может привести к не которому осредненному результату, который будет плохо соотноситься с реальностью (рис. 7.31). Рассмотрим теперь проблему обратимости для динамических моделей. Что означает инвертирование динамической модели? Вначале дадим объяснение проблемы обратимости для непрерывной модели, заданной в виде передаточной функции. Идеальное обращение Ginv(S) модели G*(s) должно удовлетворять условию G*(s) . Ginv(s) == 1. Кроме Toro, полученная инверсия должна быть минимальнофазовой пе редаточной функцией. Таким образом, проблему обратимости можно про моделировать с помощью структурной схемы, показанной на рис. 7.33. 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 573 Gw(s) = 1 uw(s) :1=. t + uo(s) u(s) . t:(s) .... G*(s)  * I"  .. JII' G inv ( S )  .... y(s)  Рис. 7.33. Структура, иллюстрирующая проблему идеальной обратимости ли ней ной модели G*(s) Для идеальноrо инвертирования сиrнал и( 8) должен быть в точности равен входному сиrналу 'lLO(8). Структура, показанная на рис. 7.33, cpaB нивает действия моделей С*(8) и СТпу(8), соединенных последовательно, с работой эталонной модели С ш (8), rде С ш (8) == 1. Следовательно, пере даточная функция идеальноrо инвертирования модели будет определять ся выражением C ( ) == G ш (8) lnV 8 С* ( 8) . (7.24 ) Пусть С* (s) представляет собой инерционную систему первоrо по рядка: С* ( s) == 1 . 1+8 Используя формулу (7.24), получим выражение, представляющее co бой идеальную инверсию модели (7.25): СТпу ( 8) == 1 + 8. (7.25) (7.26) Полученный результат содержит элемент, выполняющий идеальное дифференцирование. Известно, что такую операцию нельзя реализовать физически. Коrда вводилась эталонная модель С ш (8) == 1, требовалось, чтобы все изменения входноrо сиrнала иo(s) идеально передавались на выход каскада [СТпу (8 )С* (8)]. Поскольку идеальное дифференцирование реализовать нет возможности, идеальная передача сиrнала ио также не может быть осуществлена. Это означает, что идеальная инверсия для системы (7.25) не существует. Попытаемся «смяrчить» введенные выше требования применительно к эталонной модели. Пусть С Ш (8) представ ляет собой передаточную функцию инерционноrо элемента с коэффици ентом усиления, равным 1, и постоянной времени Тш (см. рис. 7.34). Тоrда на основе соотношения (7.24) получим C ( 8 ) == 1 + s (7.27) lnV 1 + втш . 
574 rлава 7. Нечеткое управление 1 uw(s) Gw(s)= 1 + sTw U w W : t uo(s) Tw u(s) р ..... G*(s) * ... G lnV (s ) ..... ) .. .. .. / y(s)  + €(s)  Рис. 7.34. Структурная схема так называемой прямой идентификации, приме няемая для определения приближенноrо инвертирования Giпv (s) модели С* (s) Полученная приближенная инверсия (7.27) является реализуемой. Чем меньше постоянная времени Тш, тем лучше приближенное пред ставление идеальной инверсии Gnv (s) == 1 + s. При низкочастотных воз буждающих воздействиях ио данная приближенная инверсия ведет себя точно так же, как идеальная инверсия. Разумеется, чем выше часто ты спектральноrо представления возбуждающих воздействий, тем более значительными будут различия между тем, как работают идеальная ин версия и ее реализуемый приближенный вариант. Рассматриваемый при мер вызывает такой вопрос: существуют ли динаl\1ические модели, для которых использование эталонной модели С Ш (s) == 1 ведет к получению реализуемых инверсий? Примем, что модель объекта С* (s) задана соотношением С* ( s) == Ь() + b 1 S + . . . + Ь п S n . ао + alS + . . . + ans п (7.28) Порядок TL мноrочлена в знаменателе дроби (7.28) равен порядку ее числителя. Объекты, описываемые передаточными функциями TaKoro ви да, называются «собственными» (Morari 1989). Определение 7.3.3.2.1. Объект, описываемый передаточной функцией G(s) является собственным, если G(s) удовлетворяет условию lim IG( s) I конечен и отличен от нуля. S+OO (7.29) Объект называется cTporo собственным, если С( s) удовлетворяет условию lim I G ( s ) I == о. S+OO (7.30) Объекты, которые не являются собственными или CTporo собственны ми, называются несобственными. Передаточная функция С( s) описывает несобственный объект, если порядок m ее числителя больше, чем поря док n ее знаменателя. Для собственных объектов n == rп, а для cTporo 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 575 Gw(s)  ( пт uw(s) 1 :STJ Ut G*) Ь о + b 1 s + ... + bms m * u(s).. &(s .... . , uo(s) (s == п ... Ginv(s) .. ао + a}s + ... + GnS y(s) ) Рис. 7.35. Структурная схема вычисления реализуемых инверсий для моделей линейных объектов на основе инерционной эталонной модели собственных объектов n > т. Собственные и cTporo собственные объ екты  физически реализуемые. Несобственные объекты не MorYT быть реализованы физически. Их можно было бы реализовать, если бы бы ла возможна операция идеальноrо дифференцирования. Конечно, такой возможности нет изза оrраничений физическоrо характера. В смысле введенноrо выше определения, модель (7.28) является соб ственной. Ее обращение, вычисляемое на основе выражения (7.24) для эталонной модели С ш (s) == 1, задается соотношением C ( ) == Gш(s) == ао + al s + ... + ans п . (7.31) lllV s С* (s) Ь О + b 1 s + . . . + bns n Для собственных моделей (n == т) можно воспользоваться эталонной моделью С ш (s) == 1. Для cTporo собственных моделей данную эталонную модель использовать нельзя. Таким образом, если n > т, в качестве эталонных следует использовать инерционные модели соответствующеrо порядка. Каким образом выбрать правильный порядок инерции nш для эталонной модели? На этот вопрос существует простой ответ: nш == n  т, n > т. (7.32) Структурная схема вычисления инверсии для инерционной эталонной модели показана на рис. 7.35. Структура, показанная на рис. 7.35, приводит к следующему COOTHO шению, представляющему собоЙ обращение cTporo собственных моделей объектов: С * ( ) ао+аls+...+апS'П inv S == ( ) ' n  т. (Ь О + b1s + . . . + bmsrп)(l + sТ ш ) nт Следующий вопрос связан с наличием запаздывания То в модели объ екта. Существует ли инверсия модели С* ( s) == е sTo . СО ( s ) , (7.33) (7.34 ) 
576 rлава 7. Нечеткое управление если передаточная функция С О (э) является собственной или cTporo соб ственной? Предположение об идеальной инверсии (G 1U (s) == 1) приводит К сле дующему соотношению: G ( ) G1U(S) inv S == С* ( s ) u(s) y(s) е::;Т() СО ( s) . (7.35) Полученная инверсия G inv (э) является нереализуемой. Объясняется этот вывод очень просто: чтобы вычислить текущий выход u(t), необхо димо знать будущие значения входов y(t+To), например, если со(э) == 1, то и(t) == y(t + То). Реализуемую инверсию G w ( s ) == (1 + sTl/J )(пTп) sTo е (7.36) можно получить в приближенной форме, если ввести запаздывание То в эталонную модель. Приведенная выше эталонная модель приводит к инверсии в форме (7.33), которая идентична полученной ранее для модели объекта без за паздывания. Для устойчивых состояний инверсия, вычисляемая с помо щью введения запаздывания в эталонную модель (7.36), в точности равна теоретической инверсии (7.35). Это свойство сохраняется, если paCCMaT риваются очень медленно изменяющиеся сиrналы. Ошибка приближен ной инверсии быстро возрастает с ростом частоты входноrо сиrнала у. Из приведенноrо выше обсуждения инвертирования моделей с запаз дыванием следует, что приближенные инверсии таких моделей можно использовать лишь для стационарных и квазистационарных состояний. Это достаточно оrраниченная область применимости, т. е. инверсии для объектов с запаздыванием используются совсем редко (Hack 1997; Hunt 1992; Morari 1989). Следует добавить, что модели с запаздыванием мож но без труда использовать в качестве упрощенных моделей инерционных объектов высоких порядков. В таком случае проблемы инвертируемо сти можно упростить, используя инерционные модели объектов высоких порядков (наподобие модели Стрейча (Strejc) (Zuchowski 1998)) взамен моделей с запаздыванием. Идея собственных и несобственных моделей может быть приведена в исполнение для дискретных линейных моделей объектов. Определение 7.3.3.2.2. Объект, описываемый дискретной передаточной функцией G(z), является собственным, если удовлетворяется следую 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 577 щее условие (Morari 1989): lim G(z) конечен и отличен от нуля. z---------+oo (7.37) Если выполняется условие lim G(z) == О, z---------+oo (7.38) то рассматриваемый объект классифицируется как строто собственный. Объект, не являющийся собственным или cTporo собственным, клас сифицируется как несобственный. Передаточная функция G(z) описыва ет несобственный объект, если порядок m ее числителя выше, чем поря док n ее знаменателя. Для собственных объектов n == т, а для cTporo собственных n > т. Собственные и cTporo собственные объекты являют ся физически реализуемыми. Несобственный объект нельзя реализовать физически, поскольку проrнозирование значения ero входа потребовало бы вычисления выхода объекта, например: G(z) == y(z) == z + 1 {::} y(k) == u(k + 1) + u(k), и( z) 1 rде у  выход объекта, и  вход объекта. Эталонную модель Gw(Z) == 1 можно использовать для дискретной собственной модели G(z). Для cTporo собственной модели (п > т) мож но отыскать приближенное обращение, выбирая эталонную модель Gw(Z) Б форме единственноrо дискретноrо полюса порядка (п  т): ( 1 ) (nт) Gw(z) ==  с zc о  с < 1. (7.39) Реакции U w (k) единственноrо дискретноrо полюса lc Gw(z) == zc (7.40) на ступенчатый входной сиrнал иo(k) == l(k), k == 1,2,... ,00, показаны на рис. 7.36. Изучение результатов, представленных на рис. 7.36, позволяет cдe лать вывод о том, что инерция (инертность), «наполняющая» рассматри Баемую эталонную модель, увеличивается с ростом значения пара метра с. Увеличение инертности снижает точность получаемоrо обращения. Наи более точная инверсия (приrодная для быстро изменяющихся возбуж дающих воздействий) получена при с == о. в случае эталонной модели 
578 rлава 7. Нечеткое управление U w U w 0.99 1 4) 1 б о 0.75 о с=о с = 0.25 2 3 4 о 5 k 0123456 k о о 1 U w U w 0.99 0.99 1 o6or-o о 1   ообОО-О--О--О о о о о о о о 0.5 о о 0.437 о с = 0.5 с=0.75 о о о 1 2 3 4 5 6 7 8 k О 2 4 6 8 10 12 14 16 k U w 1 с==l о о 1 2 3 4 5 6 789 k uw(k) == (1  с) ио (k 1) + CU w (k 1), uo(k)= l(k), k=O,I,...,oo. Рис. 7.36. Реакции эталонной модели (7.40) на ступенчатое входное воздей ствие для различных значений пара метра с вида ( 1 ) (nт) Gw(Z) == ; (7.41) возникают наиболее серьезные проблемы, связанные с инверсией. CTPYK турная схема «быстроrо» вычисления инверсии G7nv (z) для линейной MO дели G*(z) объекта показана на рис. 7.37. 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 579 Gw(z) 0= ( ; )пт uw(z) и } l:T O" о I .. (пт) k () Ь о + ht z + ... + bmz m * u(z) , Gz== п .... Ginv(z) ... uo(z) ао + аl z + ... + a"z .... 8" y(z)  п>т + &(z) ............. Рис. 7.37. Структурная схема «быстроrо» вычисления инверсии Gtnv(Z) для линейной модели G*(z) объекта Инверсия, отвечающая схеме на рис. 7.37, выражается в виде COOTHO шения G * ( ) Gw(z)  u(z)  ао + al z + . . . + anz n ln Z ( ) ' п  т. (7.42) . v == G*(z) y(z) (bO+blZ+...+brпzm)z пт Следует еще раз повторить, что идеальный вариант эталонной MO дели Gw(Z) == 1 нельзя использовать для cTporo собственных объектов (п > т), т. е. для объектов, характеризующихся инерционностью или запаздыванием. Чем больше разность (п  т), тем более значительной будет неточность получаемой инверсии. Для больших значений (п  т) инверсия будет получаться неточной, за исключением случая статиче ских или квазистатических состояний (при наличии очень «медленных» сиrналов). Потерей точности сопровождается и увеличение частоты BXOД Horo сиrнала у. Реализуемая инверсия G;nv(Z), определяемая выражением (7.42), Bce rда принимает форму собственной передаточной функции. Это означа ет, что порядки знаменателя объекта, числителя и знаменателя обраще ния будут одинаковыми и равными п. Имея в виду проблемы, связанные с идеальной эталонной моделью и приближенной инверсией, можно cдe лать вывод, что реализуемая инверсия C;nv(Z) обычно будет отличаться от обратной передаточной функции объекта. Обычно это проявляется в том, что знаменатель инверсии будет отличаться от числителя переда точной функции объекта. Выражение (7.43) преобразует передаточную функцию модели G*(z), основанную на операторе z, в форму на OCHO ве оператора zl. Получающееся в итоrе разностное уравнение, COOT ветствующее преобразованной передаточной функции рассматриваемой 
580 rлава 7. Нечеткое управление Модель объекта uo(k) uo(k п + т) D(n+m) uo(k п + т  1) D(n+m 1) D(n) u(k п) . р* y(k) D(  1) y(k 1) y(kn+ 1) D(n) y(k п) D(n+ 1) Число входов == (п + т + 1) Рис. 7.38. Входы и выход модели объекта (оператор D( п) обозначает запаз дывание по времени, равное пТ) модели, завершает последовательность преобразований: G*(z) == y(z) == ь о + b 1 z + ... + brпz m ио ( z ) ао + а 1 z + . . . + а п z п bozn + . . . + bmlZn+m+l + brпzn+rп п + + 1 + aOz . . . anlZ а п any(k) + ... + aly(k  n + 1) + aoy(k  n)   Ь т ио (k  n + т) + . . . + Ь 1 ио (k  n + 1) + Ь о ио (k  n). (7.43) Векторы у и Uo для разностноrо уравнения (7.43) определяются co отношениями: уТ  [y(k), y(k  1),. . . , y(k  n)], Uб  [ио (k  n + т), ио (k  n + m  1), . . . , ио (k  n)]. (7.44) Входы и выходы рассматриваемой модели показаны на рис. 7.38. Функция Р* здесь реализует линейное отображение «BXOДBЫXOД», опре деляемое уравнением модели объекта (7.43). В общем случае, отображе 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 581 ние Р* может быть нелинейным: у ( k) == F * [ио (k  n + т), . . . , ио (k  n), у (k  1), . . . , у (k  п)]. (7.45 ) Если для входов uo(k  n + т) и uo(k  п) известны запаздывания, то можно найти значения пит. Для реализуемой инверсии Gtnv(z) линейной модели получим следующие соотношения: С* ( )  u(z)  ао + al z + ... + anz n inv Z  y(z)  boznm + blZТlm+l + ... + bmz m п + + 1 + aoz ... anlZ а п . bozrп + . . . + bmlZl + ь уn ' bou(k  т) +... + bmlu(k  1) + bmu(k) == == aoy(k  rL) + . . . + anly(k  1) + any(k). (7.46) Векторы у и u для инверсии модели определяются выражениями (7.47). Для сравнения, векторы у и Uo задаются соотношениями (7.48). Инверсия Fiv модели объекта: u T == [u(k), u(k  1),..., u(k  т)] , у т == [у ( k ) , у (k  1), . . . , у (k  n)] . (7.47) Модель Р* объекта: Uб == [ио (k  n + т), ио (k  n + т  1), . . . , ио (k  п)] , у т == [у (k), у (k  1), . . . , у (k  n)] . (7.48 ) Сопоставление векторов: u для рассматриваемой модели и Uo  для инверсии этой модели, приводит к выводу О том, что сдвиrи во времени соответствующих элементов обоих векторов одинаковы (п + т == О), если т == n (т. е. модель является собственной). Если данная модель будет несобственной (n + т > О), то сдвиrи во времени COOTBeTCTBY ющих элементов обратноrо вектора u будут меньше, откуда следует что обращение обрабатывает наиболее ранние отсчеты сиrнала u (например, если (n + т) == 1, то u(k) представляет собой первый элемент BeKTO ра сиrнала u, обрабатываемый данной инверсией, а uo(k  1)  первый элемент, обрабатываемый рассматриваемым объектом). Схема инверти рованной модели пока за на на рис. 7.39. Число входов модели (см. рис.7.38) и число входов инверсии (см. рис. 7.39) совпадают и равны (n + т + 1). Это означает, что совпадают также и размерности обоих входных пространств. Если линейная модель является cTporo собственной (п > т), то BeK тор модели ио будет сдвинут (смещен) на время (n  т)Т по отношению 
582 rлава 7. Нечеткое управление y(k) y(k) y(k 1) D(  1) y(kп) D(п) * F inv u(k 1) u(k) D(  1) D (2) u(k 2) D(m) и(k т) Рис. 7.39. Схема инвертированной модели (оператор D( п) обозначает запаз дывание по времени, равное пТ) к вектору u рассматриваемой инверсии. Чтобы найти инверсию такой MO дели, следует преобразовать ее в форму собственной модели с вектором смещения ио на время (n  т)Т. После TaKoro преобразования можно определить инверсию. В примере 7.3.3.2.1 даются разъяснения способа вычисления данной инверсии. Пример 7.3.3.2.1. Пусть собственная модель, заданная в форме пере даточной функции С* (z) или соответствующеrо разностноrо ypaBHe ния (7.49), описывает линейное отображение «BXOДBЫXOД», реализуемое некоторым объектом: С* (z) == y(z) == z + 0.75 uo(z) z2 + z  0.25 ' y(k + 1) + y(k)  O.25y(k  1) == uo(k) + O.75uo(k  1), т==1, n==2, nт==1. (7.49) Выполним сдвиr вектора и6 == [uo(k), uo(k  1)] на время 1Т. Такая операция приводит к получению вектора и Т == [u(k + 1), u(k)] обращения. Затем полученный вектор обращения подставляется в уравнение модели (7.49). В результате будет получено разностное уравнение обращения, а 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 583 ио( k) Модель F* * F inv u(k+ 1) + y(k)  l(k) = [uo(k)  u(k+ 1)] О y(k 1) uo(k) y(k) u(k) uw(k) 1000000 1 о 0000 1000000 1000000 о 0123456 k 0123456 k 0123456 k 0123456 k Рис. 7.40. Структурная схема модели Р*, ее инверсии Fi;lV и эталонной модели, а также важные сиrналы, связанные с данной структурой в предположении, что U w ( k) == ио ( k ) также передаточная функция, отвечающая этому уравнению: y(k + 1) + y(k)  O.25y(k  1) == u(k + 1) + O.75u(k), (G*(z)). == и(z) == z2 + z  0.25 . lllV y(z) z2+0.75z Выход модели y(k + 1) определяется уравнением (7.51), получаемым из (7.49), а выход обращения  уравнением (7.52), полученным из (7.50): (7.50) y(k + 1) == uo(k) + O.75uo(k  1)  y(k) + O.25y(k  1), u(k + 1) == y(k + 1) + y(k)  O.25y(k  1)  O.75u(k). (7.51) (7.52) Схема, основанная на последовательном соединении Р* и ее обраще ния Fiv' представлена на рис. 7.40. Подставляя выражение (7.51) в уравнение (7.52), получим соотноше ние вида и(А; + 1) == j[uo(k)], которое для условий, сформулированных выше, принимает вид u(k + 1) == uo(k) + O.75uo(k  1)  O.75u(k). (7.53) Сиrнал u(k) показан на рис. 7.40. Имеется соответствие между сиr налом 1l(k) и эталонным сиrналом и ш , формируемым эталонной моделью Fw : uw(z)/uo(z) == 1/ z для возбуждающеrо воздействия uo(k) == l(k) 
584 rлава 7. Нечеткое управление и нулевых начальных условий. Порядок данной эталонной модели Haxo дится как разность (n  т), определяемая порядками n знаменателя и т числителя передаточной функции объекта G*(z) (см. (7.49)). . Приведенный выше пример подтверждает, что инверсию для HeKO торой cTporo собственной линейной модели можно получить непосред ственно из модели объекта Р* путем ее формальноrо обращения и сдвиrа во времени вектора ио (ио  и). А как обстоит дело с инвертированием нечетких моделей нелиней ных объектов? Можно ли в этом случае воспользоваться аналоrичной процедурой? Нелинейный объект можно представить дискретной моделью вида у ( k) == Р* [ио (k  n + т), . . . , ио (k  n), у (k  1), . . .  у (k  n)]. (7.54 ) В случае n  m == О данная модель принимает вид у (k) == Р* [ио (k ), . . . , ио (k  n), у (k  1), . . . , у (k  n)]. (7.55) Выходная переменная y(k) этой модели зависит непосредственно от переменной uo(k). Это означает, что вход ио для момента BpeMe ни kT непосредственно влияет (без какоrолибо запаздывания) на Te кущее состояние y(k) модели. Модели, обладающие таким свойством, называются «скачкообразными» моделями (Hack 1997). Такие модели способны передавать ступенчатое входное воздействие на выход модели ( с м. р и с. 7.41, 6). Дискретные линейные модели, являющиеся собственными моделями, относятся к классу скачкообразных моделей. CTporo собственные Moдe ли не принадлежат к этому классу. Исходные определения 7.3.3.2.2 для собственной и cTporo собственной моделей относятся к случаю линейных моделей. Однако в случае нелинейных моделей следует принимать также во внимание принадлежность (или отсутствие принадлежности) модели классу скачкообразных. uo(k) 1000000 y(k) 1 о о о о о о y(k) 1 о о о о о о о 1 2 345 6 k о 1 2 345 6 k 0123456 k а) б) в) Рис. 7.41. Реакция y(k) модели со скачкообразным переходом (6) и модели без таких переходов (8) на входное возбуждающее воздействие uo(k) в форме дискретной ступенчатой функции (а) 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 585 Пусть нечеткая модель объекта является стандартной моделью MaM дани с результирующей частью на основе использования одноэлементных множеств, причем эта модель обладает следующими свойствами: . посылки треуrольных функций принадлежности нечетких множеств удовлетворяют условию разбиения единицы (2: J1i == 1), 1, . правила представлены в конъюнктивной форме, а для реализации опе рации И используется оператор PROD, . для дефаззификации используется метод одноэлементных множеств: к L jЗjСj j==l К L jЗj )==1 у== (7.56) rде ,8j  степень удовлетворения посылки (условия) данноrо правила с номером j, а К  число правил в базе правил, . нечеткая модель представляет собой однозначное отображение по OT ношению к выходной величине y(k), . рассматриваемая модель относится к классу скачкообразных (разрыв ных) моделей и содержит правила вида: ЕСЛИ (uo(k) == А 1 ) И ... И (uo(k  п) == А n + 1 ) И (y(k  1) == В 1 ) . .. И (y(k  п) == В п ) ТО y(k) == с, (7.57) rде Аl,..., А п + 1 , Вl, . . . , Вn  нечеткие множества, а с  одноэле ментное множество. Тоrда инверсия этой модели в целом может быть получена путем по следовательности инвертирований для каждоrо отдельноrо правила. Это значит, что посылка (uo(k) == А 1 ) данноrо правила заменяется ero след ствием (y(k) == с) и наоборот (Babuska 1995е). Таким образом, искомая инверсия представляется нечеткой моделью, включающей правила вида: ЕСЛИ (uo(k  1) == А 2 ) И ... И (uo(k  п) == А n + 1 ) И (y(k) == С) И (y(k  1) == В 1 ) . .. И (y(k  п) == Вn) ТО uo(k) == аl, (7.58) rде аl  одноэлементное множество с модальным значением, равным модальному значению множества А 1 , С  треуrольное нечеткое множество с модальным значением, paB ным модальному значению одноэлементноrо множества с. 
586 rлава 7. Нечеткое управление Приводимый ниже пример 7.3.3.2.2 иллюстрирует описанную проце дуру инвертирования модели, принадлежащей классу скачкообразных. Пример 7.3.3.2.2. С целью демонстрации процедуры инвертирования была выбрана нечеткая модель объекта у( k + 1) == Р* [ио (k), у( k)], дЛЯ KO торой функции принадлежности входов и выходов показаны на рис. 7.42, а база правил определяется соотношениями следующеrо вида: R1 : ЕСЛИ (uo(k) около О) И (y(k) около О) ТО (y(k+ 1) около О), R2: ЕСЛИ (uo(k) около 1) И (y(k) около О) ТО (y(k + 1) около 1/3), R3: ЕСЛИ (uo(k) около 2) И (y(k) около О) ТО (y(k + 1) около 4/3), R4: ЕСЛИ (uo(k) около О) И (y(k) около 1) ТО (y(k + 1) около 1/6), R5: ЕСЛИ (uo(k) около 1) И (y(k) около 1) ТО (y(k + 1) около 0.5), R6: ЕСЛИ (uo(k) около 2) И (y(k) около 1) ТО (y(k + 1) около 1.5), R7: ЕСЛИ (uo(k) около О) И (y(k) около 2) ТО (y(k + 1) около 2/3), R8: ЕСЛИ (uo(k) около 1) И (y(k) около 2) ТО (y(k + 1) около 1), R9: ЕСЛИ (uo(k) около 2) И (y(k) около 2) ТО (y(k + 1) около 2). (7.59) Из показанноrо на рис. 7.42 представления модели видно, что нечет кая модель Р* реализует операцию, однозначную в отношении ее выхода y(k + 1). Из этоrо следует, что данная модель является обратимой. Хотя ребра, оrраничивающие отдельные области поверхности функции принад лежности, являются отрезками прямых линий, фраrменты поверхности, оrраничиваемые этими линиями, вовсе не представляют собой плоско сти. В общем виде полилинейное уравнение, определяющее поверхности в конкретных областях, представляется следующим образом: y(k + 1) == ао + aluo(k) + a2y(k) + a3 u o(k)y(k). (7.60) 
7.3. Формирование структур и настройка пара метров реrуляторов 587 y(k+ 1) y(k+ 1) 2 Около 2 ио(k) 1.5 Около 1.5 4/3 .. Около 4/3 1 Около 1 0,2,2/3 2/3 Около 2/3 0.5 Около 0.5 1/3 Около 1/3 1/6 Около 1/6 Около О Il(ио(k)) 1 О 0,0,0 1 2 y(k) О 1 11 (y(k+ 1)) 11 (y(k)) о 12 y(k) Рис. 7.42. Функции принадлежности для входов и выхода, а также поверх насть отклика нечеткой модели с базой правил (7.59). Числовые метки узлов поверхности представляют собой координаты этих узлов На втором этапе процесса инвертирования модели вектор uo(k) == uo(k) подверrается сдвиrу, причем значение этоrо сдвиrа co ставляет (п  т). Для рассматриваемоrо при мера величина сдвиrа будет равна 1. Данный сдвиr вектора uo(k) преобразует нескачкообразную (неразрывную) модель (7.59) в скачкообразную (разрывную) модель вида: Rl: ЕСЛИ (uo(k + 1) около О) И (y(k) около О) ТО (y(k + 1) около О), R9: ЕСЛИ (uo(k + 1) около 2) И (y(k) около 2) ТО (y(k + 1) около 2). (7.61 ) 
588 rлава 7. Нечеткое управление На третьем этапе выводы правил, содержащие переменную y(k + 1), заменяются условиями, включающими величину uo(k + 1), и наоборот. Эти обмены приводят к получению базы правил следующеrо вида: R1: ЕСЛИ (y(k + 1) около О) И (y(k) около О) ТО (uo(k + 1) около О), R2: ЕСЛИ (y(k + 1) около 1/3) И (y(k) около О) ТО (uo(k + 1) около 1), R3: ЕСЛИ (y(k + 1) около 4/3) И (y(k) около О) ТО (uo(k + 1) около 2), R4: ЕСЛИ (y(k + 1) около 1/6) И (y(k) около 1) ТО (uo(k + 1) около О), R5: ЕСЛИ (y(k + 1) около 0.5) И (y(k) около 1) ТО (uo(k + 1) около 1) R6: ЕСЛИ (y(k + 1) около 1.5) И (y(k) около 1) ТО (uo(k + 1) около 2), R7: ЕСЛИ (y(k + 1) около 2/3) И (y(k) около 2) ТО (uo(k + 1) около О), R8: ЕСЛИ (y(k + 1) около 1) И (y(k) около 2) ТО (uo(k + 1) около 1), R9: ЕСЛИ (y(k + 1) около 2) И (y(k) около 2) ТО (uo(k + 1) около 2). (7.62) Входное пространство для непосредственноrо инвертирования модели с базой правил (7.62), а также функции принадлежности для входов показаны на рис. 7.43. Из рис. 7.43 видно, что база правил (7.62), полученная прямым инвер тированием модели, неполна. Информация о значениях выходов доступна только для 9 узлов входноrо пространства  это связано с числом пра вил в исходной модели (7.59). Неполная база правил не дает возможно сти вычислять выходы, связанные с теми областями, rде для некоторых узлов нет соответствующих правил. Чтобы преодолеть это затруднение, требуется расширить базу правил (7.62) до полной базы правил (7.63), в которой содержится 9 х 3 == 27 правил. Это значит, что требуется опре делить дополнительные значения выхода u(k + 1) для всех тех узлов, 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 589 y(k Значение выхода и (k + 1) О 1/ 2 2 iIrr(}(}ri() I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 10 I I 1 I I I I 2 I 1 1+1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I О I I 1 I I I I 2 I I Около О p(y(k)) 1 о о 1/6 1/3 0.5 2/3 1 4/3 1.5 2 y(k+l) p(y(k+l)) 1 Около 1/3 Около 1 Около 2 о 1/6 1/3 0.5 2/3 1 4/3 1.5 2 y(k+l) Рис. 7.43. Функции принадлежности для входов, разделение входноrо про странства и узлы, определяемые правилам и (7.62), полученными с помощью процедуры прямоrо инвертирования модели (7.59) которым не приписаны правила: R1 : ЕСЛИ (y(k + 1) около О) И (y(k) около О) ТО (uo(k + 1) около al), R2: ЕСЛИ (y(k + 1) около 0.5) И (y(k) около О) ТО (uo(k + 1) около al), R3: ЕСЛИ (y(k + 1) около 1) И (y(k) около О) ТО (uo(k + 1) около аз), R27: ЕСЛИ (y(k + 1) около 2) И (y(k) около 2) ТО (uo(k + 1) около а27). (7.63) Посылки (условия) правил из базы (7.63) включают 27 (все возмож ные) комбинаций, определяемых нечеткими множествами, используемые для представления входов. Параметры следствий (заключений) ai пред ставляют собой значения (позиции) одноэлементных множеств. Значения 9 одноэлементных множеств в (7.63) известны как результат прямоrо 
590 rлава 7. Нечеткое управление Таблица 7.1 Значения одноэлементных множеств ai, полученных в результате настройки полной инверсии для модели (7.63) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 а. О 0.5 1 1.167 1.333 1.667 2 О 0.833 1 1.167 1 1 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 а. 1.5 1.833 2 О 1 1.333 1.5 2 1 инвертирования исходной модели, например, аl :=: О, а27 :=: 2. Значе ния остальных одноэлементных множеств можно найти с использованием процедур, приводимых ниже. 1. Первая процедура преобразует полную базу правил (7.63) в нейроне четкую сеть с функциями принадлежности для ее входов, идентичны ми показанным на рис. 7.43, и функциями принадлежности одноэле ментных множеств для выхода. Для настройки пара метров нейроне четкой сети можно использовать замеры значений входов и выходов объекта, которые служат исходными данными для метода обратноrо распространения ошибки. Возможен также альтернативный вариант, основанный на тех же исходных данных, но с вычислением ai с при менением метода наименьших квадратов. 11. Вторая процедура совершенно аналоrична первой. Есть, однако и раз личие между ними. Оно состоит в том, что нейронечеткая сеть Ha страивается на основе значений входов и выходов, порожденных ис ходной нечеткой моделью (7.59). Процедура 1 обычно более точна. Некоторые преимущества и Heдo статки обеих процедур будут рассмотрены в дальнейшем. Первая про цедура использовалась для нахождения значений одноэлементных MHO жеств ai. Полученные при этом значения собраны в табл. 7.1. В таБЛ.7.1 имеются пустые поля. Это явление объясняется просто. Измеренные значения входов и выхода объекта неравномерно распределе ны в ero входном пространстве, определяемом в рассматриваемом случае следующими неравенствами: 01l0(k)2, 0y(k)2, 0y(k+l)2. Диапазон значений измеренных величин, используемых при обучении сети, также показан на рис. 7.42. Изза отсутствия обучающих данных в некоторых областях входноrо пространства, требуемых для прямоrо 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 591 1 Значение выхода и (k + 1) o 2 y(k) 2 i..,r 1 1 1 I 1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 I I 01 1 1 1 1 1 1 1 1 2 :  1 1 I 1 1 I I I I I J.1(y(k)) 1 о о о 1/6 1/3 0.5 2/3 J.1 (y(k+ 1)) 1 1 4/3 1.5 2 y(k+1) Около 1 Около 2 о 1/6 1/3 0.5 2/3 1 4/3 1.5 2 y(k+1) Рис. 7.44. Подпространство (заштрихованная область) входноrо пространства инверсной нечеткой модели, rде выход может быть вычислен на основе резуль татов измерений, полученных от исследуемоrо объекта инвертирования модели (рис. 7.43), нет возможности настроить одноэле ментные множества в таких областях. Таким образом, можно настраи вать только те одноэлементные множества, которые связаны с областями входноrо пространства, «покрытыми» обучающими примерами (заштри хованная область на рис. 7.44). Реальная база правил инверсной модели, включающая 19 правил, по казана в табл. 7.2. На основе результатов ИЗlVlерений, полученных от объ екта и помещенных в соответствующие правила (7.63), можно вычислить значения 19 величин выходных одноэлементных множеств. Таблица 7.2 База правил инверсной модели (7.62)  около около около около около около около около около y(k+ 1) О 1/6 1/3 0.5 2/3 1 4/3 1.5 2 около О О 0.5 1 1.167 1.333 1.667 2 около 1 О 0.833 1 1.667 1.5 1.833 2 около 2 О 1 1.333 1.5 2 /, u(k+l) 
u(k+ 1) 2 Около 2 y(k) p(y(k)) : . +J \ \ \, / \ , \ \ \ i i // \ : \ \ j \ j / \ ;\ .\ \! / \ \ . \ : \: \!, / \ \ ! i \ !! ,\ '\  \! i / / \ \:: \:: ,\ ,\; \'/ \ \   : \ \ j\ \ ;\ \ ; \ \ i' \ \ ; \ \ \ \, \ \ '\ \ \ \ '\ \ \ \ \. \' \ \ \ \: \: \ \ \ \i \. \i \1 \ \ \1 \! \ i \' \ \ 2 y(k+ 1) Около О ,u(u(k+l)) Около 1 4/3 1 о 1/6 1/3 0.5 2/3 о 1 1.5 ,u(y(k+l)) Около 1/6 1 о 1/6 1/3 0.5 2/3 4/3 1.5 2 y(k+ 1) 1 u(k+ 1) 2 1.833 1.667 1.5 1.333 1.167 1 0.833 0.5 Рис. 7.45. Поверхность отклика и функции принадлежности инверсной модели (7.62) с базой правил, определяемой таБЛ.7.2 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 593 uo(k) Pw uw(k+ 1)== uo(k) Объект + uo(k) y(k+l) * F inv u(k+ 1) р* e(k+ 1)==uo(k)u(k+ 1) y(k) uo(k) 012345 k y(k) u(k) 2/3 о о 0.5 о о о о о 1/3 о о о 012 3 4 5 (k+ 1) О 1 2 3 4 5 (k + 1) 0.5 о о о о о Рис. 7.46. Структура, полученная объединением модели Р*, ее инверсии F:71V' эталонной модели F ш и сиrналы, формируемые этой структурой для входноrо TeCToBoro ступенчатоrо сиrнала uo(k) == 0.5. l(k) Функции принадлежности, а также поверхность отклика инверсной модели с базой правил, определяемой табл. 7.2, показаны на рис. 7.45. Как видно из рис. 7.45, каждому выходному значению и(k + 1) OT вечает только одна точка поверхности модели (однозначность). CTPYK тура, составленная из нечеткой модели Р* (7.59) и ее инверсии Fiv (табл.7.2), а также реакции данной структуры на входное воздействие ио ( k) == 0.5 . 1 ( k) п о ка за н ы на р и с. 7.46. . Резюмируем сказанное выше: для Toro, чтобы определить инвер сию Fiv нечеткой модели Р*, надо выполнить последовательность шаrов TaKoro алrоритма: 1. Определить векторы ПО и у, а также запаздывание (п  т)Т. 11. Для получения скачкообразноrо варианта формируемой модели за менить вектор ПО в модели Р* смещенным вектором U (требуемый сдвиr равняется (п  т )Т). 111. Выполнить инвертирование полученноrо скачкообразноrо варианта модели Р* в ее непосредственную инверсию. IV. Если база правил полученной непосредственной инверсии неполна, то расширить ее путем введения новых правил, получаемых комби нированием множеств, представляющих нечеткие входы рассматри ваемой инверсии. 
594 rлава 7. Нечеткое управление v. Преобразовать полученную инверсию Fiv с полной базой правил в нейронечеткую сеть, используя данные измерений входов и BЫ хода, полученные от объекта управления или с помощью исходной нечеткой модели. Если модель Р* нелинейноrо объекта остается неизвестной, то ее нечеткую инверсию Fiv можно найти любым из методов нечеткоrо Moдe лирования на основе замеров значений BXOДOBBЫXOДOB объекта. Следует принять во внимание, что такая инверсия должна принадлежать классу скачкообразных моделей, т. е. текущее значение ее входа y(k) немедленно преобразуется в выход u(k) соrласно нелинейному соотношению вида u ( k) == Fiv [у ( k ), у (k  1), . . . , у (k  n), u(k  l),u(k  2),... ,u(k  n)]. (7.64 ) Размерность вектора у, а также вектора u равняется (n + 1). Чтобы найти эту размерность вектора, надо воспользоваться начальным зна нием порядка объекта управления. Если этоrо знания недостаточно, то следует провести испытания, направленные на оценку значимости входов обращения модели, затем, пользуясь полученной информацией, отсеять малозначимые входы. Различные структурные схемы настройки параметров нейронечеткой сети, полученной в результате преобразования инверсной модели, будут обсуждаться ниже. Наиболее распространенный вариант такой настройки основан на методе обратноrо распространения ошибки. Структура, показанная на рис. 7.47, а, rде инверсия идентифицирует ся с использованием реальноrо входноrо сиrнала ио объекта, может быть рекомендована для случаев, коrда измерительные шумы (помехи) прене брежимо малы, а возмущения, действующие на выход рассматриваемоrо объекта, относительно малы. Операция инвертирования в ходе процесса идентификации может быть описана соотношениями вида и( k) == Fiv [ио (k  1), . . . , ио (k  n), у( k), . . . , y(k  n)], или (и (k + n  т) == Fiv [ ио (k  1 + n  rп), . . . , {ио (k  тп), у( k + п  т), . . . , у( k  т)]. (7.65) После идентификации инверсия использует свои собственные выходы соrласно рекуррентному отображению вида 'И ( k) == Fi  v [ U (k  1). . . .  11 (k  п), у ( k ), . . .  у (k  п) 1 , 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 595 Эталонная модель Fw uw(k) == uo(k п + т) F y(k) + Объект * F inv uo(k) u(k) а) Эталонная модель uw(k) == uo(k п + т) Fw d 2 F * F inv uo(k) y(k) Объект е Алrоритм иденти фикации б) Рис. 7.47. Структурная схема прямой идентификации инверсной модели Fiv' рекомендуемая для HeBbIcoKoro уровня измерительных помех (шумов) и прене брежимо малоrо влияния возмущения на объект  схема (а). Схема (6) peKO мендуется для тех случаев, коrда шумами d 1 и d з , а также возмущениями d 2 пренебречь нельзя или u(k + n  т) == Fiv[u(k  1 + n  т), . . . , u(k  т), y(k + n  т), . . . , у( k  т)]. (7.66) Если в измерениях сиrналов содержатся существенные шумы и/или выход объекта «заrрязнен» возмущениями, то подходящей будет CTPYK турная схема идентификации, показанная на рис. 7.47,6, поскольку, co rласно упомянутой схеме, инверсная модель Fiv использует свои соб ственные, свободные от шумов замеры u(k). Разумеется, отображение, реализуемое этой инверсией, будет при этом задаваться соотношения ми (7.66). Если известна точная модель Р* рассматриваемоrо объекта, то ее можно использовать для идентификации, поскольку отображение Р, реализуемое этим объектом (см. рис. 7.47), можно заменить ero Moдe лью F1*. 
596 rлава 7. Нечеткое управление у использования прямых структур для идентификации есть свои дo стоинства и недостатки. Параметры инверсной модели можно HaCTpo ить, используя хорошо известные алrоритмы обратноrо распространения ошибки с. Имеются, однако, трудности, связанные с определением наи лучших обучающих сиrналов ио. Более Toro, в качестве входов paCCMaT риваемой инверсии нельзя использовать сиrналы ступенчатой формы. Рассматриваемая инверсия используется в системах управления в Ka честве реrулирующеrо элемента, формирующеrо сиrнал управления объ ектом и. Требуемое значение выхода объекта известно либо для CTa билизирующеrо действия данноrо реrулятора, если эталонный сиrнал yo(t) == const, либо для проrраммноrо управления, rде yo(t)  перемен ная величина, являющаяся функцией времени. Действительное значение выхода объекта «колеблется» в окрестности эталонноrо (задающеrо) сиr нала yo(t). Приближенное значение частоты и амплитуды таких колеба ний обычно известны. Непросто определить, KaKoro вида входной сиrнал u(t) должен воздействовать на рассматриваемый объект, чтобы объект преобразовал ero точно в выходной сиrнал требуемоrо вида y(t) == yo(t). Решение этой задачи, особенно в случае сложных объектов управления, сопряжено со значительными трудностями. Поскольку наиболее выrод ные с точки зрения обучения обучающие сиrналы uo(t) не известны, следует использовать набор таких сиrналов, чтобы «покрыть» возмож но более широкий диапазон изменения таких параметров, как частота, среднее значение, амплитуда. Помимо проблемы мноrочисленных BXOД ных сиrналов, имеется еще одно «узкое место». Ero можно обозначить как «отсутствие ориентированности на цель управления» (Н unt 1992). Это обстоятельство отрицательно сказывается на качестве управления в реальном диапазоне условий работы объекта. Инверсию, «ориентированную на цели управления», можно получить, используя так называемую «специализированную» структурную схему идентификации, показанную на рис. 7.48. Идентификацию инверсии, осуществляемую на основе специализи рованной структуры, можно выполнить с помощью обучающих сиrналов y*(k), которые «близки» к тем, что порождаются рассматриваемым объек том в окрестности заданноrо значения yo(t). Тоrда инверсия v форми рует такие сиrналы u(k) для управления этим объектом, что они будут поддерживать значение выхода объекта вблизи заданной точки. Таким образом, специализированная структура дает возможность определить (распознать) диапазоны изменения частоты и амплитуды управляющих сиrналов u(k), «ориентированных на цели управления». 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 597 Эталонная модель * yw(k)== у (kп+т) Fw * F inv * u (k) == u(k) + у *(k) y(k) F Объект e(k) Алroритм иденти фикации Рис. 7.48. Специализированная структурная схема идентификации инверсной модели, взаимодействующей с реальным рассматриваемым объектом Метод обратноrо распространения ошибки нельзя применить в слу чае специализированной структуры, показанной на рис. 7.48, поскольку с выходом объекта y(k) в данном случае следует обращаться как с одной из компонент сиrнала ошибки в этой структуре. Однако объект F неиз вестен. Это значит, что ошибку нельзя «проrнать» назад через данный объект и идентификацию придется выполнять на основе друrих MeTO ДО В, описываемых в rл. 7. Но если достаточно точная модель Р* объекта известна, то метод обратноrо распространения ошибки (как и друrие Me тоды) можно использовать для идентификации модели обращения. COOT ветствующие структуры показаны на рис. 7.49. Ошибку с таких структур можно пропустить В обратном направлении через известную модель Р*, параметры которой не настроены (получение инверсии этой модели яв ляется единственной целью настройки). Схему идентификации на рис. 7.48, использующую объект, можно pe комендовать для случаев, коrда измеренные значения сиrналов не иска жены измерительными шумами (помехами, ошибками), а влияние возму щений на выход объекта пренебрежимо мало. Если уровни измеритель ных шумов и возмущений велики, то более предпочтительной будет иден тификация на основе структуры, использующей модель (см. рис. 7.49). Соrласно (Hunt 1992), структура, показанная на рис. 7.49,6, приводит к получению весьма точных инверсий даже для неточной модели Р*, что является результатом использования действительноrо выхода объекта у при вычислении ошибки с. В рамках этой rлавы следует упомянуть, что не все модели являют ся обратимыми (инвертируемыми). Свойство, называемое обратимостью, присуще монотонным моделям, которые представляют собой однозначные 
598 rлава 7. Нечеткое управление Fw * yw(k)== у (kп+m) + у *(k) u *(k) у т( k) * F* F шv Модель E(k) Алrоритм иденти фикации а) * yw(k) == у (k п + т) Fw + у *(k) * y(k) * u (k) == u(k) F inv F Настройка Объект E(k) еЬр еЬр F* Модель б) Рис. 7.49. Специализированные структуры для идентификации инверсных MO делей с использованием обратноrо распространения ошибки: (а) структура с MO делью объекта; (6) структура с объектом и ero моделью отображения по отношению к своим выходам у (Babuska 1995е; Hunt 1992). Как же быть с моделями, которые не удовлетворяют указанным условиям? Можно ли «инвертировать» неинвертируемую модель? В примере 7.3.3.2.3 рассматривается сформулированная выше проблема для статиче.. * cKoro объекта класса SISO . Данное рассмотрение, однако, можно 060б.. щить и на случай динамических систем класса MISO, поскольку они содержат, помимо динамической, еще и статическую часть. Пример 7.3.3.2.3. Рассмотрим «открытую» систему управления (6ез об.. ратной связи), показанную на рис. 7.50. Объект управления в этой систе.. * SISO  Single Input Single Output, объект с одним входом и одним выходом; MISO  Multiple Input Single Output, объект с несколькими входами и единственным выходом.  Прuм. ред. 
7.3. Формирование структур и настройка пара метров реrуляторов 599 Уо .1 u .1 У * F inv F . Реryлятор Объект а) и о Уо У u ==  llo  У в) б) Рис. 7.50. Система управления (а), содержащая статический объект Р. Кри вая (8) представляет собой модель Р* этоrо объекта, а кривая (6)  инвер сию Fi;lV модели Р* ме можно классифицировать как статический объект вида SISO. Строит ся реrулятор, основанный на обращенной модели этоrо объекта. Эта инверсия не представляет собой однозначное отображение, по скольку единственному значению входа Уо отвечают два выходных значе ния, ио и иo, как это показано на рис. 7.50, 6. Отметим, что управление должно быть нацелено на получение требуемоrо значения выхода у == Уо, а упомянутая цель может быть достиr нута с использованием частичной, положительной инверсии u == J ao  у (см. рис. 7.51). Эта частичная инверсия формирует такие управляющие сиrналы 'и, которые позволяют получить любое доступное значение уровня выхода у. Реrулятор, работающий с положительной частью инверсии (рис. 7.51, 6), формирует только положительные сиrналы управления u (если исполь зовать отрицательную часть инверсии, то реrулятор будет формировать только отрицательные управляющие сиrналы и). 
600 rлава 7. Нечеткое управление Уо I * и I У F inv F .. Реryлятор Объект а) u о Уо У б) в) Рис. 7.51. Система управления (а) со статическим объектом Р. Кривая (8) пред ставляет собой модель объекта Р*, а кривая (6)  ее частичную положительную инверсию Fiv В случае объекта класса SISO с более сложными характеристиками, можно обратить лишь ту часть характеристик, которая необходима для практической работы объекта (выбранная часть характеристик должна «покрывать» требуемый диапазон Ду выходной величины у), как это ил люстрирует рис. 7.52. Аналоrичным образом можно определить инверсию для объектов класса MISO, если они реализуют мноrозначные отобра жения по отношению к своему выходу у (см. рис. 7.53). Из рис. 7.53 видно, что в качестве основы для определения частичной инверсии была выбрана только одна часть поверхности (которая отвеча ет положительным значениям координат x(k  1), x(k), y(k)). В случае использования частичной инверсии при реализации алrоритма управле ния существует возможность столкнуться с «опасными» ситуациями. Эту проблему поясняет рис. 7.54. Возмущающие воздействия d изменяют значение выхода объекта у. Небольшую ошибку е == Уа  У можно компенсировать введением в систе му обратной связи, как это показано на рис. 7.54. Однако если возмуще ния велики, то существует риск перехода состояния системы из подпро странства 1 в подпространство 11 (рис. 7.54), rде требуется отрицательный управляющий сиrнал и. Конечно, реrулятор, построенный на основе по 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 601 У Инвертируемая часть Y Ymin   Umin и тах а) Модель и тах Umin  I I I I I I I , I I U У I t I :-- Ymin Y .1 Утах б) Частичная инверсия Рис. 7.52. Модель объекта (а) и ее частичная инверсия (6) для целей управле ния x(k 1) а) Полная модель x(k 1) б) Частичная модель x(k) y(k) в) Частичная инверсия Рис. 7.53. Частичная инверсия динамическоrо объекта типа MISO, реализую щая мноrозначное отображение по выходу y(k) 
602 rлава 7. Нечеткое управление Уо .1 * U :! d u r .1 У F шv F .. + а) Реrулятор Объект ио  I I I I I I I I У 1 11 u u == aoy о Уо о d б) Частичная инверсия модели объекта в) Модель объекта Рис. 7.54. Смещение состояния объекта из квадранта 1 в квадрант 11 простран ства состояний, обусловленное возмущением d, и т  реальный входной сиrнал объекта управления ложительной частичной инверсии объекта и== y aoy (рис.7.54,б) не справится с управлением в подобной ситуации. Он бу дет работать некорректно. Это обстоятельство имеет простое объяснение. Если состояние объекта принадлежит подпространству 1, то возрастаю щим значениям входа U будут отвечать убывающие значения выхода у (см. рис. 7.54, в). Если состояние объекта принадлежит подпространству 11, то характер приведенноrо выше соотношения между приращениями входных и выходных сиrналов изменится на противоположный. Таким образом, частичную инверсию можно применять в случае управления объектами, работающими без воздействия на них «значи.. тельных» возмущений, т. е. возмущений, изменяющих под пространство, которому принадлежат состояния объекта. Если возмущения поддаются измерению, то можно вычислить и исполнить требуемую коррекцию BЫ ходноrо сиrнала и, используя данные измерений, даже в случае «значи.. тельных» возмущений. Если можно определить, какое подпространство входов соотносится с текущим состоянием работающеrо объекта (и т < О или и т > О), то влияние возмущений можно компенсировать для управля 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 603 ющих действий, основываясь на модифицированной частичной инверсии, задаваемой в виде U == sgn(ur) y aO  у  d. . Вернемся теперь назад, к исходному вопросу о том, «можно ли ин вертировать неинвертируемую модель»? Соображения, изложенные выше, приводят к следующему ответу на этот вопрос: неинвертируемую модель нельзя инвертировать полностью, однако ее инвертируемые части можно инвертировать успешно, особенно если возможностей инверсии для ее инвертируемой части достаточно для целей управления. Если реальные состояния объекта можно наблюдать непрерывно, то можно предложить друrое решение. Управление объектом можно реализовать с помощью мнаrозональноrо реrулятора, oCHoBaHHoro на некотором числе частичных инверсий. Реrулятор подстраивает свои управляющие действия под TeKY щее состояние объекта (текущий алrоритм управления всеrда представ ляет собой ту частичную инверсию, которая отвечает текущему состоя нию объекта). 7.3.3.3. Настройка нечеткоrо реrулятора с заранее выбранной структурой Мноrолетний опыт показывает, что типичные традиционные алrоритмы управления (ПИД, ПИ, ПД, П, пдд2) можно во мноrих случаях с успе хам использовать для управления объектами. Соотношение между характеристиками системы управления и пара метрами реrулятора обычно бывает нелинейным. Соответственно, если ввести в «классические» алrоритмы (ПИД, ПИ, ПД, П, пдд2) перемен ные параметры реrулятора, можно добиться удовлетворения нелинейных условий, порождаемых нелинейным критерием управления. Нечеткие pe rуляторы MorYT очень хорошо отвечать данным условиям, поскольку они сами имеют нелинейную природу. На практике широко распространены нечеткие ПИДреrуляторы. Проблемам, связанным с нечеткими ПИД реrуляторами, посвящено большое число статей и технических отчетов (Kahlert 1994,1995; Yager 1995; Brown 1994; Koch 1993,1996; Driankov 1996; Lichtenberg 1994; Altrock 1993; Kuhn 1994,1996; Pfeiffer 1995; Wang 1995; Isermann 1995,1996; Fisher 1996; Pulaczewski 1997; Piegat 1995,1996,1997,1997а,1997Ь; Palga 1996; Domanski 1997). Если известен конкретный вид реrулятора (пусть это будет ПИД реrулятор), то можно указать соответствующее число нечетких множеств для каждоrо из входов и выходов реrулятора (возможная «кривизна» по верхности управления непосредственно зависит от этоrо числа нечетких 
604 rлава 7. Нечеткое управление Эталонная модель Yw + Уо u Модель объекта У Нечеткий реryлятор Алroритм настройки Рис. 7.55. Настройка нечеткоrо реrулятора в структуре с эталонной моделью, обеспечивающей отслеживание задающеrо сиrнала yo(t) множеств). После этоrо можно про извести подбор значений (настройку) пара метров рассматриваемоrо реrулятора. Если подходящий вид pery лятора заранее не известен, то выбор ero осуществляется эксперимен тально. Настройку реrулятора можно выполнять соrласно схеме, показанной на рис. 7.55. Эталонная модель отражает представление разработчика о предпочтениях и требованиях к характеристикам управления. Для Ha стройки нечеткоrо реrулятора можно воспользоваться методом обратноrо распространения ошибки. В качестве эталонной модели для непрерывных систем часто выбира ется передаточная функция порядка (п  т) HeKoToporo интеrрирующеrо элемента: Gw(s) == ( 1 +l ST J nт . (7.67) Здесь (n  т)  разность порядков знаменателя и числителя результиру ЮLЦей передаточной функции, полученной как произведение передаточ ных функций, представляющих объект (после ero линеаризации) и pery лятор (так называемая «передаточная функция разомкнутой системы»), а ТЬ  постоянная времени системы управления с обратной связью (за мкнутой системы). Для дискретной системы часто используется эталонная модель вида Gw(z) == ( 1  c ) nт, zc (7.68) rде О  с < 1. 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 605 d Yw Эталонная модель + Уо Нечеткий реryлятор Модель объекта У Алrоритмы настройки Рис. 7.56. Настройка нечеткоrо реrулятора в структуре с эталонной моделью, задающей желаемый характер парирования возмущений Эталонную модель Gw(s) == 1 или Gw(z) == 1 можно использовать только для статических или скачкообразных Moдe лей объекта и реrуляторов (см. разд.7.3.3.2). По этой причине использо вание таких моделей является исключением, так как большинство объ ектов должны рассматриваться как динамические. Если основной задачей реrулятора является парирование возмущений, то ero настройку можно выполнять с помощью структуры, показанной на рис. 7.56. Итак, для упомянутой выше задачи реrулирования эталонную модель можно выбрать в виде дифференцирующеrо звена (элемента) с инерци онностью порядка (n  Т11): G ш ( s ) == (1 + STb)nrп или дискретноrо аналоrа этоrо элемента. Эталонная модель (7.69) orpa ничивает влияние возмущений d вплоть до их полноrо подавления. Этот процесс протекает тем быстрее, чем меньше значение постоянной BpeMe ни ть. S (7.69) При мер 7.3.3.3.1. Математическая модель уrловоrо движения подвод Horo аппарата Krab 11 приводится в (Piegat 1997а). Эта модель выражает соотношения между курсовым уrлом (курсом) 1/) и управляющим сиrна лом М Т (моментом рысканья, порождаемым rребными винтами аппарата). Данная модель представлена в виде рекуррентной нейронной сети, пока 
606 rлава 7. Нечеткое управление 1 M r ( k) lfI(k) 1  1 Z Рис. 7.57. Нейросетевая модель уrловоrо движения подводноrо аппарата занной на рис. 7.57, [де zl обозначает оператор, выражающий «единич ную» задержку, которая равняется времени выборки (времени замера) Т, а, Ь, М 1 min == M min , М 1 тах == М тах представляют собой константы и известные пара метры рассматриваемой модели. Интеrрал в модели является дискретным, вычисляемым соrласно выражению Tk ! dt: о k c(k) ==  L:)M] (k) + M](k  1)]. i==l (7.70) Соответствующий нейронечеткий реrулятор показан на рис. 7.58. Упо мянутая модель уrловоrо движения подводноrо аппарата является нели нейной. Линеаризация этой модели для продольной скорости и == о при водит к получению следующеrо соотношения: С* ( s) == Ф ( s ) == ko Afl(S) s. (1 + sT o ) . (7.71) Дискретизация передаточной функции (7.71) (выполненная с приме нением метода аппроксимации входноrо сиrнала объекта, ориентирован Horo на «сохранение нулевоrо порядка») приводит к нейросетевой модели, показанной на рис. 7.57. База правил рассматриваемоrо нечеткоrо pery 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 607 лятора задается следующими соотношениями: Rl : ЕСЛИ (ер == р) И (еI == р) И (еп == р) ТО [J\;f r == Mmax(klp ИЛИ kln)], R2: ЕСЛИ (ер == р) И (еI == р) И (еп == п) ТО [J\;f r == Mmax(k2p ИЛИ k2n)], R3: ЕСЛИ (ер == р) И (еI == п) И (еп == р) ТО [А1т == Almax(k3p ИЛИ kзn)], R4: ЕСЛИ (ер == р) И (еI == п) И (еп == п) ТО [Nf r == Mmax(k4p ИЛИ k4n)], R5: ЕСЛИ (ер == п) И (еI == р) и (eD == р) ТО [М Т == J\;lmax(k5p ИЛИ k5n)], R6: ЕСЛИ (ер == п) И (еI == р) И (еп == п) ТО [М т == Mmax(k6p ИЛИ k6n)], R7: ЕСЛИ (ер == п) И (еI == п) И (еп == р) ТО [М Т == Mmax(k7p ИЛИ k7n)], R8: ЕСЛИ (ер == п) И (еI == п) И (еп == п) ТО [М т == Mmax(k8p ИЛИ k8n)], (7.72) Функции принадлежности отрицательноrо (п) и положительноrо (р) видов для входов показаны на рис. 7.59. Дефаззификация в этом случае выполняется соrласно выражению Mr(k) == ( j;  j: ) . М тах , (7.73) rде fp  результирующая степень активации заключения (следствия) М Т == М mах , fn  результирующая степень активации заключения М т == Mтax. Имеется 11 параметров, представляющих нейронечеткий реrулятор (Кр, K 1 , Кп, k 1p ... k 8p ). Значения всех этих пара метров можно под бирать (настраивать). Однако использование дополнительных условий (7.74), обеспечивающее симметрию работы реrулятора для положитель ных и отрицательных значений сиrнала ошибки е, означает, что настраи вать следует только 6 пара метров (Кр, K 1 , Кп, k 2p , k зр , k 4p ). Разумеется, уменьшение числа настраиваемых пара метров с 11 до 6 сокращает время, 
1 т рр e(k) 0.5 k  + е[ 1  L (еи)+еИ  1)]  + J=1 2 О т[р 1. [e(k) e(k 1)] Рис. 7.58. Структура нейронечеткоrо пид реrулятора Mr(k) 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 609 т тп(е)+тр(е)= 1 Отрицательная (п) 1 Положительная (р)   e(k) 1 2k о Ха 2k Рис. 7.59. Фаззификация ВХОДОВ нейронечеткоrо пид реrулятора требуемое на обучение системы k ip == 1  k(9 i)p, k in == 1  k ip . k 1p == 1, k sp == О. (7.74 ) Моделью дискретноrо нечеткоrо реrулятора является скачкообразная модель, а дискретная модель рассматриваемоrо аппарата (рис.7.57) не является таковой, поскольку n  m == 1. Имея в виду сказанное выше про скачкообразные модели, была выбрана следующая форма эталонной модели G w , отражающая желаемый характер обработки сиrнала 1./Jo(t): Gw(s) == 1f;w(S) 'Фа ( 8 ) 1 1 + 0.28 (7.75) При настройке рассматриваемоrо реrулятора был использован Tpe уrольный желаемый сиrнал 1./Jo(t) и соответствующий задающий сиrнал фw(t) (см. рис. 7.60). Для настройки данноrо реrулятора применялся метод обратноrо pac пространения ошибки и структура с эталонной моделью, показанная на рис. 7.55. Реакция системы управления Ф на ступенчатое возбуждающее воздействие фо(t) == l(t) (рад) показанная на рис. 7.61, а, была получе на до проведения настройки реrулятора, при случайном выборе началь ных значений пара метров данноrо реrулятора. Реакция системы управ ления ф, полученная после выполнения настройки реrулятора, показана на рис. 7.61, б. Задающий сиrнал Фw, требуемый для вычисления ошибки с также показан на рис. 7.61, 6. Реакции системы управления Ф и эталонной модели Фw на желаемые сиrналы Фо синусоидальной и треуrольной формы приведены на рис. 7.62. 
610 rлава 7. Нечеткое управление 1 , . Т. . 1 1 0.8 Чf о 0.8 tJf w ....... 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 О 0.2 О 0.4 0.2 . 0.6 '. 0.4 0.8 Время..... 0.6 ..... Время....  1 . . .  0.8 О О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Рис. 7.60. Сиrнал фо(t), требуемый от системы управления и соответствующий выходной сиrнал фw(t) эталонной модели, используемый для настройки пид реrулятора 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 О О 5 10 1.2 1 0.8 tJf w 0.6 0.4 0.2 Время Время 15 20 00 5 10 15 20 tJf а) До настройки б) После настройки Рис. 7.61. Реакция Ф системы управления с нейронечетким реrулятором на возмущающее воздействие фо(t) == l(t) и реакция эталонной модели на то же самое возмущение Результаты экспериментов, представленные на рис.7.61 и рис. 7.62, показывают, что реrулятор с параметрами, подобранными соrласно реша емой задаче, успешно справляется не только с желаемыми сиrналами Tpe уrольной формы (эти сиrналы ранее были использованы при обучении), но и с сиrналами Фо друrих видов (синусоидальными, в виде единичноrо скачка и т. д.). Эксперименты, нацеленные на настройку реrулятора для эталонной модели С Ш (в) == 1, потерпели неудачу. Требование идеальноrо отслеживания желаемоrо сиrнала Фо оказалось слишком трудно дости жимым. Сходимость процесса настройки не была достиrнута. Наблюда лась быстрая потеря устойчивости (дестабилизация) процессов обучения (настройки). . 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 611 1.5 1 tp 0.8 1 0.6 0.5 0.4 0.2 О О 0.2 0.5 0.4 1 0.6 Время 0.8  1.5 1 О 2 4 6 8 10 О 2 4 6 Рис. 7.62. Сравнение реакции Фw, полученной от эталонной модели, и реакции 1/;, полученной от системы управления с настроенным нейронечетким реrулято ром: (а)  на синусоидальную форму Tpe6yeMoro сиrнала Фа; (6)  на треуrоль ную форму этоrо сиrнала 7.3.3.4. Нечеткое управление, основанное на структуре с внутренней моделью Структура системы управления, включающая внутреннюю модель объ екта управления (называемая структурой с внутренней моделью или, для краткости, ВМструктурой), была предложена, повидимому, в 1957 r., хотя KOHKpeTHoro автора этой идеи назвать трудно (Garcia 1982). Идея BMCTPYKTYPЫ развивалась и пропаrандировалась, в основном, усилиями таких авторов, как Morari, Garcia и Zifiriou (Garcia 1982; Morari 1989). Представление о BMCTpYKType очень полезно, особенно для управ ления нелинейными объектами. Разумеется, ее можно применять и для линейных объектов. К числу весьма эффективных средств моделирова ния нелинейных объектов относятся нечеткая лоrика и нейронные ce ти. Поэтому вполне естественным выrлядит стремление использовать их и для разработки нечетких и нейросетевых реrуляторов (Hunt 1992; Edgar 1997; Hack 1997; Neumerkel 1992; Narendra 1990а,Ь; Ullrich 1997Ь; Piegat 1998Ь). Идея управления на основе BMCTPYKTYpы выrлядит очень интерес ной. Рассмотрим разомкнутую систему, показанную на рис. 7.63, rде G и Q представляют собой линейные операторы (они MorYT быть как дис кретными, так и непрерывными). Если Q == Gl И операторы С, Q устойчивы, а помехи (возмуще ния) не оказывают воздействия на объект, то у == Уо- Реальный объ ект управления подвержен воздействию возмущений в ходе своей рабо ты. По этой причине в структуру системы требуется ввести обратную 
612 rлава 7. Нечеткое управление Реryлятор Уо .1 Q I U .1 G I У · Уо I u r ( Объекr .1 Q  G Yr Объект *  1 a)Q=Ginv=G Y=Yo б) У :;t: Уо Рис. 7.63. Применение инверсии объекта для управления им в двух случаях: (а)  при отсутствии возмущений; (6)  в присутствии возмущений G Реryлятор Объект Yl Q u u G R с* * У  el а) BMcтpyктypa б) Традиционная структура Рис. 7.64. Структура системы управления: (а) включающей внутреннюю MO дель С*, которая представляет объект управления с; (б) традиционная CTPYK тура системы управления связь (см. рис. 7.64, а). Влияние обоих возмущающих воздействий, d 1 и d 2 (рис. 7.63), можно представить через единственное возмущение ви да d == d 1 G + d 2 (рис. 7.64). Замечания относительно BMCTPYKTYP дЛЯ линейных объектов 1. Если модель объекта С* является точной (С == С*), а возмущение d == О, то сиrнал обратной связи еl == о. Это значит, что данная систе ма управления работает аналоrично разомкнутой системе, показанной на рис. 7.63, а. Если d -1- о, то еl == d. 2. Если С* представляет собой неточную модель объекта (С -1- С*), а выход объекта подвержен влиянию возмущения (d -1- о), то сиrнал обратной связи определяется выражением вида еl == (С  С*)u + d. (7.76) Таким образом, сиrнал еl зависит от ошибки модели (С  С*) и B03 мущения d. 3. Если модель объекта С* является точной (С == С*), то система управ ления с ВМструктурой устойчива, если G и Q устойчивы (Morari 1989). Это значит, что можно по отдельности проверять устойчи вость составных частей системы взамен анализа устойчивости систе 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 613 а) б) в) Рис. 7.65. Последовательность шаrов по преобразованию BMCTPYKTYPЫ (а) в традиционную структуру управления (8) мы в целом. Это свойство упрощает анализ устойчивости системы, что очень важно, особенно для нелинейных систем управления. 4. BMCTPYKTYPY управления можно преобразовать в эквивалентную ей классическую структуру (рис. 7.64). Реrулятор R данной классиче ской структуры, соответствующий требуемой BMCTpYKType, вычис ляется соrласно соотношению Q R == 1  QG* . (7.77) Приведенное выше преобразование означает, что модель объекта С* становится внутренним элементом реrулятора R. Отсюда и про исходит наименование «структура С внутренней моделью» (BM структура). Если G и С* устойчивы, а модель является точной (С == С*), то классический реrулятор R, полученный из (7.77), обес печивает устойчивость классической (традиционной) системы управ ления. 5. Ошибка е BMCTPYKTYPЫ (рис. 7.65) зависит от величины разности (Уа  d): (1  QG)(yO  d) е== l+Q(GG*). (7.78 ) Если модель объекта С* является точной (С == С*), а Q представ ляет собой точную инверсию объекта, т. е. Q == (G*)l, то е == О для любоrо эталонноrо (задающеrо) сиrнала Уа и возмущения d. Ta ким образом, BMCTpYKTypa становится «идеальной» (Morari 1989), а 
614 rлава 7. Нечеткое управление рассматриваемый реrулятор R принимает вид u Q R ==  == 1  QG* c*1 == ос. 1  c*1c* (7.79) Из выражения (7.79) следует, что коэффициент усиления реrулятора равен бесконечности, что можно трактовать как объяснение «идеаль ности» характеристик реrулятора. Реализация «идеальноrо» реrуля тора в виде реальной системы управления невозможна. Даже для чрезвычайно малоrо сиrнала ошибки е реrулятор начнет немедлен но формировать управляющий сиrнал U с бесконечной амплитудой (в противном случае условие е == О не будет удовлетворяться для всех t). Вследствие Toro, что любые реальные приводы (cepBOMOTO ры, вентили, рулевые машины) имеют конечную мощность, сиrналы управления с бесконечной амплитудой не существуют в реальности. С друrой стороны, идеальные модели объектов С* и соответствующие им идеальные инверсные модели Gtnv обычно не удается получить. Таким образом, в реальности имеет место соотношение С* -# С, Спу -# c*1. Ясно, однако, что более точная модель и ее инверсия обеспечат управ ление с более высоким качеством, чем менее точная модель и ее ин версия. 6. Рассматриваемая BMCTpYKTypa может при меняться для минимально фазовых объектов. Если нули модели С* положительны, то полюса инверсной модели c*1 неустойчивы. Это значит, что реrулятор Q, как и ВМсистема в целом, MorYT оказаться неустойчивыми для минимальнофазовых объектов. 7. BMCTPYKTYpы обычно используются для устойчивых объектов. Их, однако, можно использовать и для неустойчивых объектов, но разра ботка реrулятора в таких случаях становится сложнее. Метод разра ботки линейных реrуляторов Q представлен в работе (Morari 1989). Для нелинейных нечетких или нейросетевых реrуляторов и неустой чивых объектов можно при менять BMCTPYKTYpы путем введения дo полнительной обратной связи, обозначенной J( на рис. 7.66. Контур обратной связи J( стабилизирует объект G и создает «новый», моди фицированный объект G k , являющийся устойчивым. Коэффициенты усиления корректирующеrо элемента J( не должны быть слишком большими. В теоретическом плане выбор больших значений коэффи циентов усиления J( означает, что и значения амплитуды входноrо сиrнала объекта Uk (рис. 7.66) также очень велики. Следовательно, 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 615 d Уо У У * + + еl еl а) полная структура б) упрощенная структура Рис. 7.66. Стабилизация неустойчивых объектов введением обратной свя зи К для орrанизации BMCTPYKTYPЫ d Уо У + еl Рис. 7.67. ВМ CTpYKTypa с фильтром нижних частот G f, повышающим устойчивость (робастность) системы приводы реальной системы управления не cMorYT сформировать Tpe буемые входные сиrналы и новый объект G k может оказаться неустой чивым. Такая потеря устойчивости системы означала бы, что основная задача, для которой вводилась коррекция К, не может быть решена. 8. Точность модели С* убывает при увеличении частоты сиrналов (полу ченные модели являются точными для статических состояний или для медленно изменяющихся сиrналов). Указанная черта нарушает фун даментальные предположения, положенные в основу BMCTPYKTYpы, что ведет к потере устойчивости системы. Эту проблему позволяют решить дополнительные фильтры нижних частот G f со значениями статическоrо коэффициента усиления, равными 1 (см. рис. 7.67). Эти фильтры подавляют высокочастотные компоненты сиrналов. Поэто му сиrналы, проходящие через систему, становятся более медленно изменяющимися. Такой фильтр уменьшает значения амплитуды сиr налов и, формируемых реrулятором Q, а также снижает скорость нарастания сиrнала. Это позволяет сохранить линейность операции 
616 rлава 7. Нечеткое управление Q( 8 )С( 8) и линейность системы в целом, если сиrнал u не достиrает значений насыщения. Фильтр G j может быть полезен также и для решения друrих задач, таких, например, как: . устранение установившейся ошибки системы, . асимптотическое отслеживание изменяющихся сиrналов yo(t), . одновременная оптимизация и стабилизация системы. В качестве простейшей технической реализации G j для постоянноrо задающеrо сиrнала (Уо == const) можно использовать интеrрирующий (инерционный) фильтр 1 Gf(s) == (1 + sTf)P или ero дискретный эквивалент (Morari 1989). Реrулятор Q должен быть собственным. Это можно обеспечить выбором инерционности порядка р. Известное свойство фильтра нижних частот состоит в том, что увеличение значения постоянной времени Т! улучшает подавле ние высокочастотных составляющих сиrналов. Если модели С* и ин версии Gtnv относительно точны, а амплитуды насыщения для сиrна ла u велики, то значение Т! можно выбрать малым. Для задающих сиrналов вида yo(t) == at рекомендуется использовать фильтр, опре деляемый следующим соотношением: (7.80) 1 + pTfs Gf(s) == (l+sTf)P . Если фильтр используется для решения дополнительных задач, влия ющих на качество управления, то может оказаться полезным фильтр с увеличенным числом степеней свободы. В этих условиях peKOMeH дуется использовать фильтр следующеrо вида: (7.81) G (8) == 1 + Cl S + . . . + c"sl'  j (1 + sTf)P , Т" р. Дополнительные принципы выбора фильтров содержатся в работе (Morari 1989). Разработку BMCTPYKTYP можно разделить на два эта па. На первом этапе осуществляется разработка BMCTPYKTYPЫ без учета проблем, связанных с фильтром G j. Основное внимание при этом уделяется обеспечению BbIcoKoro качества управления. В ходе BToporo этапа полученная ранее BMCTpYKTypa «оснащается» филь тром G j. Этот фильтр, отвечающий особенностям сформированной структуры, должен обеспечить устойчивость системы при всех воз можных режимах работы системы. Качество реrулирования при этом обычно несколько ухудшается (по сравнению с результатами, полу (7.82) 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 617 Уо У Уо е R GfQ * 1  GfQG d У d G * + а) el б) Рис. 7.68. ВМ"структура, содержащая фильтр низких частот С ! (а) и ее преобразование в традиционную структуру (6) ченными на первом этапе) вследствие инерционности фильтра. Разу меется, опытный разработчик может начинать процедуру проектиро вания системы прямо со BToporo этапа. 9. Ошибка е дЛЯ BMCTPYKTYPЫ, включающей фильтр (см. рис. 7.68), дается выражением (1  GfQG)(yO  d) е== l+GfQ(GG*) . (7.83) Если реrулятор Q представляет собой такую неидеальную инверсию Gtnv модели объекта, что Q == Gtnv только для статических COCTO яний системы управления, а система в целом является устойчивой, то сиrнал ошибки асимптотически стремится к нулю для единичноrо ступенчатоrо входноrо воздействия Уо и возмущения d, т. е. lim е ( t) == О, too если выполняется одно из следующих двух условий: lim G f ( s ) Q ( s ) G ( s) == 1, so lim G f ( z ) Q ( z ) G ( z) == 1. zl (7.84 ) Результирующее значение коэффициента усиления для последова тельно соединенных фильтра G f, реrулятора Q и объекта G должно быть равно 1. Если статический коэффициент усиления фильтра paB няется 1, то статический коэффициент усиления инверсной модели Gtnv == Q должен быть равен величине, обратной значению статиче cKoro коэффициента усиления объекта с. Ilриведенные выше замечания 1 9 относятся к разработке ВМ  структур для случая линейных объектов. А как будет обстоять дело в случае нелинейных объектов? Передаточные функции G(s), G*(s), 
618 rлава 7. Нечеткое управление Реrулятор Объект и d Реryлятор R п I                    I Уо e l I у + 1  1+ 1 * 1 У I I I I                   I а) el б) Рис. 7.69. BMCTpYKTypa, представленная нелинейными операторами (а) и ее традиционный эквивалент, включающий нелинейный реrулятор Rn (6) Ginv(S), Q(s), использующиеся в линейных BMCTpYKTypax, требуется заменить нелинейными операторами: GF объект, модель объекта, инверсная модель объекта, ВМ реrулятор, реrулятор в традиционной структуре, фильтр (в нелинейных BMCTpYKTypax используются ли.. нейные фильтры). На рис. 7.69, а показана нелинейная BMCTpYKTypa. Соrласно (Есо.. nomou 1986; Hack 1997; Morari 1989), мноrие свойства линейных ВМ.. структур сохраняются и для нелинейных BMCTPYKTYP, если d  о. С*  F* С *  Р * lnV lnV QQп RRп С !  С! Замечания относительно нелинейных BMCTPYKTYP 1. Если модель объекта F* является точной, а реrулятор Q и объект F устойчивы, то рассматриваемая BMCTpYKTypa устойчива. 2. Если существует точная инверсная модель объекта Fiv и она исполь зуется в качестве реrулятора (Q  Fiv)' то данная ВМ"структура обеспечивает идеальное управление у  Уа. З. Если статическое состояние реrулятора Qп равняется статическому состоянию инверсной модели объекта Flnv, а ВМ"структура устойчива в целом, то статическая точность управления (устранение установив.. шейся ошибки) достиrается для постоянных значений возбуждающеrо воздействия Уа  const и возмущения d  const. 4. Идеальное управление, как и в случае линейной BMCTPYKTYpы, мож но получить только для статических состояний. Ухудшению качества управления сопутствует увеличение частоты сиrналов, проходящих через ВМ CTPYKTYPY. 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 619 5. Модель объекта Р*, ее инверсия Fiv и реrулятор Qn нет необхо димости представлять в виде обычных математических выражений. Они MorYT быть также нечеткими моделями или нейронными сетями «<черными ящиками»), может быть, с заданными заранее структурой и параметрами, например, на основе данных, полученных путем из мерения входных и выходных сиrналов. 6. Если реrулятор Qn представляет собой точную инверсную модель Fiv нелинейноrо объекта Р, то последовательное соединение объекта и реrулятора можно трактовать как некоторый линейный элемент (Neumerkel 1992). Нелинейные компоненты объекта компенсируются реrулятором, а BMCTpYKTypa в целом приобретает свойства линейной структуры, откуда следует, что можно улучшить качество процессов управления. Если инверсную модель можно рассматривать как точ ную только для статических состояний, то компенсация будет pac пространяться на статические нелинейности. 7. Полезность нелинейных BMCTPYKTYP с нечеткими или нейросете выми реrуляторами подтверждается мноrочисленными при мерами их практическоrо применения (Morari 1989; Н unt 1992; Edgar 1997; Hack 1997; Neumerkel 1992; Narendra 1990а,Ь; Ullrich 1997Ь; Piegat 1998Ь). Это значит, что теоретические соображения относительно TO ro, что преимущества линейных BMCTPYKTYP будут проявляться И В случае нелинейных BMCTPYKTYP, можно считать подтвержденными, т. е. к ним можно относиться как к полезному источнику информации для практических целей. Пример 7.3.3.4.1. Пусть F  нелинейный оператор, описывающий си стему, показанную на рис. 7.70. Система F составлена из элемента ZOH, привода с насыщением (ero рабочей характеристики) 1  и2  1 и объ екта управления G(s). Для простоты всю систему F в целом будем име новать «объект». Объект r и .1 ZOH I Ul.' *1 и2 I G(s) у .. I Рис. 7.70. Составные элементы объекта управления. Здесь ZOH (Zero Order Hold)  экстраполятор нулевоrо порядка, формирующий кусочно постоянный сиrнал 
б20 rлава 7. Нечеткое управление y(k) 1.5 о о о о о 1 9Jl<> 01234567891011k Рис. 7.71. Реакции объекта управления на ступенчатые входные сиrналы вида u(k) == al(k), полученные для а == 1 и а > 1 Дискретная модель последовательноrо соединения ZОНэлемента и G(s), полученная для момента времени Т  0.1 (с), определяется Bыpa жением вида G(z) == O.gzl  O.812 . 0.6  0.5z (7.85) Отображение «BXOДBЫXOД», реализуемое объектом, описывается Ta кими соотношениями: y(k + 1)  0.83333y(k) + 1.5u(k)  1.33333u(k  1) при  1  u  1, y(k + 1)  0.83333y(k) + 0.166667 при 1l > 1, y(k + 1)  0.83333y(k)  2.83333 при u < 1. (7.86) (7.87) (7.88) Реакция рассматриваемоrо объекта на ступенчатый входной сиrнал u(k)  l(k), для всех начальных состояний, равных нулю, показана на рис. 7.71. Рассматриваемый объект управления симметричен. Это значит, что данный объект реаrирует на любой сиrнал u таким образом, что yдo влетворяется условие у(и)  y( и). По этой причине нечеткая модель объекта Р* также должна быть симметричной. Результаты настройки мо" дели, т. е. функции принадлежности для входов модели u(k), u(k  1), y(k), а также функция принадлежности для выхода модели y(k + 1) по.. казаны на рис. 7.72. По отношению к переменной y(k) была применена экстраполяция ис тинности (extrapolation truth) (см. разд.5.б), чтобы предотвратить Hacы щение выхода модели y(k + 1), для y(k) > 1 и y(k) < 1. Нечеткая модель рассматриваемоrо объекта представляется 8 правилами Ri, KOTO рые определены в табл. 7.3 и табл. 7.4. Операции И в приведенных правил ах реализованы с использованием оператора PROD. Структурная схема, иллюстрирующая процесс настрой ки обратной модели Fiv' показана на рис. 7.73. Удовлетворить требование 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 621 l1(u(k)) Около  1 Около 1 l1(u(kl)) Около  1 Около 1 о 1 u(kl) 1 y(k) 1 о 1 u (k)  1 l1(y(k+ 1)) Около 2 Около 3.666  3.666  2  1  0.666 0.666 1 2 3.666 y(k+ 1) Рис. 7.72. ФУНКЦИИ принадлежности для входов и выхода модели объекта Р* Таблица 7.3 Правила R1  R4 y(k) около  1 около + 1 u(k) около около около 1 1 + 0.66666 около около около +1 +2 + 3.66666 R1  R4: ЕСЛИ [u(k  1) == около  1] И [u(k) == около...] И [y(k) == около...] ТО [y(k + 1) == около...] Таблица 7.4 Правила R5 R8 y(k) около  1 около + 1 u(k) около около около 1  3.66666 2 около около около +1  0.66666 +1 R5  R8: ЕСЛИ [u(k  1) == около 1] И [u(k) == около...] И [y(k) == около...] ТО [y(k + 1) == около...] y(k) == Y2(k) невозможно. По этой причине данное нереализуемое усло вне ослабляется до формы y(k) == Y2(k 1), что приводит К соотношениям 
622 rлава 7. Нечеткое управление yw(k) = Y2(k 1) Fw + Y2(k) * F inv u(k) F* y(k) s(k) = Y2(k 1)  y(k)  О Рис. 7.73. Схема системы для настройки обратной модели Fiv вида: у (k + 1) == У2 ( k ) , у ( k) == У2 (k  1). (7.89) Чтобы получить нечеткую инверсную модель, требуется изменить правила (R1  R8) соrласно соотношениям (7.89). Затем эти модифици" рованные правила преобразуются в такую форму, при которой перемен.. ная u(k), представляющая собой выход инверсной модели, должна быть введена в заключение каждоrо из правил. В качестве примера проделаем эту процедуру для правила R2. Основное правило: R2: ЕСЛИ [u(k  1) == около  1] И [u(k) == около  1] И [y(k) == около + 1] ТО [y(k + 1) == около 0.66666]. Основное правило после замены переменных: R2* : ЕСЛИ [u(k  1) == около  1] И [u(k) == около  1] И [У2 (k  1) == около + 1] ТО [У2 (k) == около 0.66666]. Правило инверсной модели, соответствующее правилу R2: Rnv: ЕСЛИ [u(k  1) == около  1] И [Y2(k  1) == около + 1] и [Y2(k) == около 0.66666] ТО [u(k) == около  1]. в качестве результата прямоrо инвертирования 8 правил модели Р* получены 8 правил для инверсной модели. Полученные правила перечис.. лены в табл.7.5 и 7.6. Чтобы завершить построение инверсной модели, требуется сформи" ровать 32 правила. Дополнительные правила можно получить на том основании, что выходная переменная у( k + 1) вместе с ее 8 функциями принадлежности переходит в состав набора входных переменных. База правил, определяемая табл. 7.5 и 7.6, неполна, и ее требуется расширить. 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 623 Таблица 7.5 Правила R1  R8 инверсии модели объекта Y2(k) около около около около около около около около Y2(k 1)  3.6666 2 1  0.6666 + 0.6666 +1 +2 +3.6666 около около около 1 1 +1 около около около +1 1 +1 I u(k) R1  R8: ЕСЛИ [u(k  1) == около  1] И [Y2(k  1) == около...] И [Y2(k) == около...] ТО [u(k) == около...] Таблица 7.6 Правила R9R16 инверсии модели объекта Y2(k) около около около около около около около около Y2(k1)  3.6666 2 1  0.6666 + 0.6666 +1 +2 +3.6666 около около около 1 1 +1 около около около +1 1 +1 I u(k) R9  R16: ЕСЛИ [u(k  1) == около + 1] И [Y2(k  1) == около...] И [Y2(k) == около...] ТО [u(k) == около...] Есть два способа сделать данную базу правил полной. Инверсию можно настроить путем применения к схеме, показанной на рис. 7.73, метода обратноrо распространения ошибки, которая содержит модель объекта. Второй способ заключается в настройке инверсной модели на основе дaH ных о входах и выходах объекта, с использованием подстановки у (k + 1) == У2 ( k ) , у ( k) == У2 (k  1) (см. разд.7.3.3.2). Если принять, что насыщение выхода имеет вид  1  u  + 1, получим результат настройки инверсной модели в фор ме базы правил, определяемой табл. 7.7 и 7.8. Функции принадлежности для переменных инверсной модели показа ны на рис. 7.74. Для завершения синтеза рассматриваемой BMCTPYKTYpы 
624 rлава 7. Нечеткое управление Таблица 7.7 Правила R1R16 инверсии F i : 1V модели объекта Р* Y2(k) около около около около около около около около Y2(k 1)  3.6666 2 1  0.6666 +0.6666 +1 +2 +3.6666 около около около около около около около около около 1 1 1 1  0.7777 + 0.1111 + 0.3333 +1 +1 около около около около около около около около около +1 1 l 1 1 1  0.7777 + 0.1111 +1 R1  R16: ЕСЛИ [u(k  1) == около  1] И [Y2(k  1) == около...] И [Y2(k) == около...] ТО [u(k) == около...] т а б л и ц а 7.8 Правила R17  R32 инверсии Fi:lV модели объекта Р* Y2(k) около около около около около около около около Y2(k 1)  3.6666 2 1  0.6666 + 0.6666 +1 +2 +3.6666 около около около около около около около около около 1 1  0.7777 +0.1111 +1 +1 +1 +1 +1 около около около около около около около около около +1 1 1  0.3333  0.1111 + 0.7777 +1 +1 +1 R17  R32: ЕСЛИ [u(k  1) == около + 1] И [Y2(k  1) == около ...] и [Y2(k) == около...] ТО [u(k) == около...] (рис. 7.75) требуется выбрать фильтр Gj. Следуя рекомендациям, приво димым в (Morari 1989), выбирается инерционный фильтр вида 1 Gf(s) == l+sTf ' 1  eT/T! Gj(z) == T/T . ze f (7.90) Разумеется, надо eLЦe выбрать и значение постоянной времени Т! фильтра. Получаемая постоянная времени обратной связи рассматривае мой системы приближенно равна (Т! + Т). Первый из возможных вари антов состоит в том, чтобы величина Т! была как можно меньшей. Это ускоряет быстродействие системы. Однако этот метод повышения быст родействия вызывает необходимость формировать сиrналы управления и с большими значениями амплитуды, в то время как используемый в си стеме привод имеет оrраничение  1  1.1/  1. Принимая во внимание сказанное выше, положим Т! == 0.3 с. Тоrда дискретный аналоr передаточной функции фильтра G f (S) дается COOTHO 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 625 о 1 u (k  1)  1 p(u(kI)) Около  1 Около 1 1 о 1 Y2(kl) p(Y2(k)) Около 2  3.666  2  1  0.666 0.666 1 2 3.666 p(u(k)) Около 0.777 Около 1  1 0.777 0.333 0.111 0.111 0.333 0.777 1 u(k) Рис. 7.74. Функции принадлежности для входов u(k  1), Y2(k  1), Y2(k) и BЫ хода u(k) нечеткой инверсной модели Fiv (определяемой базой правил, пред ставленной в таблицах 7.7 и 7.8) d Объект Уо У + Модель Рис. 7.75. Элементы и сиrналы разрабатываемой BMCTPYKTYPЫ шением вида G z  0.28347  0.28347z1 f( )  z  0.71653  1  0.7165зz1 (7.91 ) или соответствующим разностным уравнением: Y2(k) == O.71653Y2(k  1) + O.28347Yl (k  1). (7.92) Итак, все элементы, входящие в рассматриваемую BMCTPYKTYPY, из вестны. Резюмируя излаrаемую процедуру разработки этой структуры, напомним, что нечеткая модель Р* объекта определяется табл. 7.3 и 7.4 вместе с рис. 7.72, нечеткая инверсная модель Fiv  табл. 7.7 и 7.8 BMe сте с рис. 7.74, а фильтр  соотношением (7.92). 
626 rлава 7. Нечеткое управление Уо У 0.1 о о о о о о о о о о о 0.1  o-uo-o-o..--o...() о о о о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k а) о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k б) u о о о 0.1 qo о о о о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k в) Рис. 7.76. Реакция у (6) BMCTPYKTYpы на ступенчатый входной сиrнал yo(k) == O.l(k) (а) и управляющий сиrнал u(k)  вход объекта (8) Реакция у рассматриваемой BMCTPYKTYpы на «малые» значения BXOД Horo сиrнала yo(k) == O.l(k) и управляющий сиrнал u(k), формируе мый обратной моделью Fiv' для нулевых начальных условий показа на на рис. 7.76. Из рис.7.76 видно, что сиrнал u(k) не достиrает Ha сыщения  вследствие небольшой величины входноrо сиrнала. Сиrналы у( k) и ll( k) для большоrо задающеrо сиrнала Уо (k) == 1 (k) показаны на рис. 7.77. В этом случае сиrнал и( k) достиrает уровня насыщения (1и1). Если амплитуда задающеrо сиrнала продолжает нарастать или ec ли уменьшается постоянная времени Т! фильтра, то управляющий сиr нал u(k) по форме будет стремиться к единичному скачку. В предель ном случае процесс управления вырождается в процесс «включения выключения» . Процесс подавления (rашения) возмущения d(k) == O.l(k), влияющеrо на вход объекта (см. рис. 7.75), показан на рис. 7.78. Видно, что BM система исключает (в смысле полной статической компенсации, т. е. для k  (0) влияние возмущений. Если амплитуды возмущающих воздей ствий больше по величине, но все еще удовлетворяют условию (Idl < 1), то время, требуемое для полной компенсации воздействия, существенно больше, что обусловлено насыщением сиrнала 11 (1  'и  1). . 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 627 Уо у 1 о о о о о о о о 000 1 o о о о о о о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k а) б) u 1       cr o       -о-  <>-   o-- o-- о о о о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k в) Рис. 7.77. Реакция у BMCTPYKTYPЫ (6) на ступенчатый задающий сиrнал yo(k) == l(k) (а), и сиrнал управления u(k)  вход объекта (8) d y(k) о о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k о о 0.1 о о о о о О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k 0.1 о о о о о о о о о о о а) б) Рис. 7.78. Демпфирование (6) воздействия возмущения d(k) == O.l(k) (а), вли яющеrо на вход объекта При мер 7.3.3.4.2. Рассмотрим задачу управления курсом подводноrо аппарата KRAB 11 (см. рис. 7.79). Выходной сиrнал (уrол курса 1); (rрад)) управляется путем приложе ния момента рысканья lvf (Нм), формируемоrо двумя rребными винтами боковоrо расположения. Отображение АI --------t 1/) выражается с помощью нелинейных соотношений. При постоянной скорости аппарата и неболь ших отклонениях задающеrо сиrнала (курса ф) можно использовать ли ней ное приближение отображения М --------t V), представленное в виде пере 
628 rлава 7. Нечеткое управление Рис. 7.79. Дистанционно управляемый подводный аппарат KRAB 11 (Техниче ский университет Щецина) даточной функции вида kp 8(1 + 8Т р ) . Идентификация пара метров этой модели, основанная на эксперимен тальных данных для средних значений скорости (Plucinski 1996), дает: 1/;(8) Gp(S) == M(s) (7.93) kp == 0.04 rрад cjHM, Тр == 1 с. Для друrих значений скорости эти параметры принимают значения из следующих диапазонов: 0.015  kp  0.063, 0.5  Тр  11 с. Один из полюсов передаточной функции (7.93) равен нулю. Нелиней ная статическая характеристика rребных винтов (привода) показана на рис. 7.80. М, н.м  11.85 28.31  I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 11.85 И, В  18.2 Рис. 7.80. Статическая характеристика rребных винтов подводноrо аппарата 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 629 U,В 11.85  18.2 :  1.12 I I I I I , , I I I I I I I I I I    11.85 28.31 М}, Н. м Рис. 7.81. Статическая характеристика коррекции rребноrо винта Зона нечувствительности характеристики rребноrо винта имеет вид (1.12  И  1.12). Характеристика насыщения rребных винтов несим метрична: (18.20  А!  28.31). Чтобы устранить зону нечувстви тельности, использовалась корректировка характеристики rребноrо винта (см. рис. 7.81). Объект, управляемый с использованием BMCTPYKTYpы, должен быть устойчивым. Чтобы выполнить это требование, рассматриваемый объект был «оснащен» стабилизирующей обратной связью, представленной KO эффициентом усиления ks. Результаты экспериментальной проверки (Piegat 1998Ь) показали, что если этот коэффициент имеет значение ks == 8.6, это обеспечивает устой чивость аппарата для всех возможных значений пара метров kp, Тр из диа пазонов их изменения, приведенных выше. Объект F (рис. 7.82) является Корректор rребные винты Аппарат * М Gp(s) '1' Мо т ks Рис. 7.82. Расширенный объект }', состоящий из подводноrо аппарата, KoppeK ции rребноrо винта и стабилизирующей обратной связи 
б30 rлава 7. Нечеткое управление Момент рысканья, порождаемый rpебными винтами, Н . м Курс, rpад. 1jJ(k) 1jJ(k  1) N 4 N з N 2 N 1 р(ф(k + 1)) Рl Р2 Рз Р4  7.92  4.12  9.73  5.93 9.77 13.58 7.96 11.77 1 О з х 1jJ(k + 1), rpад. Рис. 7.83. Функции принадлежности для переменных, представляющих нечет кую модель Р* подводноrо аппарата неустойчивым. Нечеткая модель этоrо объекта F в форме 1/J (k + 1) == р* [чfJ (k ), 1/J (k  1), Мо (k )] была определена на основе измеренных значений выходноrо сиrнала  и входноrо сиrнала 1\10. Функции принадлежности переменных этой MO дели показаны на рис. 7.83. Для получения этих функций принадлежности была использована процедура экстраполяции истинности, описанная в (Piegat 1997с,1998а) и в разд.5.б. Поэтому модель аппарата р* можно использовать при лю бых значениях KypcoBoro уrла 1/J (на функции принадлежности не нало жены оrраничения). В табл.7.9 и 7.10 определены 8 правил, составляю щих базу правил модели аппарата Р*. Операция И при этом реализуется через оператор PROD. Анализ этой базы правил показывает, что модель объекта р* MOHO тонна. Следовательно, она является обратимой. В данном разделе coдep жится изложение метода получения инверсной модели для Р*. Число правил в обратной модели больше, чем в исходной модели. Вследствие 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 631 Таблица 7.9 Правила R1R4, представляющие нечеткую модель Р* дЛЯ J\;fo(k) == N V1(k) V1(k 1) N р N р N3 N4 Nl N2 ЕСЛИ [Mo(k) == N] И [ф(k) == ...] И [ф(k  1) == ...] ТО [ф(k + 1) == ...] Таблица 7.10 Правила R5R8, представляющие нечеткую модель Р* дЛЯ l\Io(k) == Р V1(k) V1(k 1) N р N р Р2 Рl Р4 Р3 ЕСЛИ [J\;l u (k) == Р] И [ф(k) == ...] И [ф(k  1) == ...] ТО [ф(k + 1) == ...] 'ф 2 ( k  G шv 1/Jinv (k) .. ref ) Mo(k) 1/J(k) + * Ir  F inv F*   ... е O Рис. 7.84. Структура с эталонной моделью Gf для настройки инверсии Fiv модели }'* этоrо для настройки требуемых новых функций принадлежности требу ется использовать структуру, показанную на рис. 7.84. Эталонная модель определяется следующими выражениями: C inv  Фrеf'(Z)  1 ref  Ф2 ( Z )  z , Фrеf (k) == Ф2 (k  1). (7.94) Следовательно, при с  О имеют место соотношения ф (k + 1) == Ф2 ( k ) , 'l/' ( k) == )2 (k  1). (7.95) Приведенные выше соотношения используются для замены перемен ных при получении инверсной модели. Функции принадлежности для инверсной модели показаны на рис. 7.85. Экстраполяция истинности применялась также в отношении функций принадлежности инверсной модели }v. Таким образом, оrраничения на 
632 rлава 7. Нечеткое управление N 11(1/J2(k 1)) 11(1/J2 (k 2)) 1 р 'ф2 (k 2) P(1/J2 (k)) 1/J2(k) х 103, rpад N7 N4 11 (М о (k)) Р3 Р6 N9 N8N6 N5N3 N2 Nl Рl Р2 Р4 Р5 Р7 Р8 Р9  32.94  23.44  13.44  3.45  28.19  18 2  8.21  22.95  12.96 13.56 23.07 33.54 43.05 18.32 28.32 38.4 23.56 33.06 Mo(k) Рис. 7.85. Функции принадлежности для входов ф(k2), 1/;(kl), 1/;(k) и выхода A1(k) инверсной модели Fi;lV Таблица 7.11 Правила R1R16 инверсной модели Fiv для Ф2(k  2) == N  N4 N3 N2 Nl Рl Р2 Р3 Р4 tp(kl) N N6 N5 N3 N2 Р4 Р5 Р7 Р8 Р N9 N8 N6 N5 Рl Р2 Р4 Р5 ЕСЛИ [1I'2(k  2) == N] И [Ф2(k  1) == ...] и [Ф2(k) == ...] ТО [A1o(k) == ...] выходной сиrнал Mo(k) инверсной модели отсутствуют. Отсюда следует, что рассматриваемый подводный аппарат может поворачивать на любой курсовой уrол ф. База правил, состоящая из 32 правил, представлена для данноrо случая в табл. 7.11 и 7.12. Принимая во внимание правила из табл. 7.11 и 7.12, а также функции принадлежности, показанные на рис. 7.85, можно просто проверить, что инверсная модель, так же, как и исходная, является монотонной. Полная 
7.3. Формирование структур и настройка пара метров реrуляторов 6ЗЗ Таблица 7.12 Правила R17R32 инверсной модели F i 71V для Ф2(k  2) == Р  N4 N3 N2 Nl Рl Р2 Р3 Р4 1/J(k 1) N N5 N4 N2 Nl Р5 Р6 Р8 Р9 Р N8 N7 N5 N4 Р2 Р3 Р5 Р6 ЕСЛИ [Ф2(k  2) == Р] И [Ф2(k  1) == . ..] и [Ф2(k) == . ..] ТО [A1o(k) == . . .] Фильтр 'ф} G f Инверсия Ф2 F* Мо шv Корректирующий элемент rребные d винты M 1   Z.O.H. * Аппарат G p 1/J ks стабилизирующая обратная связь модель F* * 1/J + Рис. 7.86. BMCTpYKTypa для управления подводным аппаратом Krab 11 BMCTpYKTypa с нечеткой моделью Р* и ее обращением Fiv показана на рис. 7.86. Применялся интеrрирующий (инерционный) фильтр G j, заданный co отношением: G f ( Z) == 7/'2 ( z) == 1  с , Фl(Z) z  с (7.96 ) rде с == eT/Tf, Т!  постоянная времени фильтра, Т  время выбор ки, равное 0.1 с. Упрощенно rоворя, приближенное значение получае Moro в результате значения постоянной времени системы в целом paB но постоянной времени Т! включенноrо в нее фильтра. Таким образом, значение пара метра Т! определяет время реакции системы. Сокращение времени реакции за счет уменьшения значения величины Т! означает, что значения амплитуды управляющеrо сиrнала А10 становятся больше. Наконец, большие значения управляющеrо сиrнала Л1 0 порождают эф фект насыщения, и процесс управления приобретает релейный характер «<включитьвыключить»). Одновременно с этим нарастает различие меж ду реакциями реальноrо объекта F и ero нечеткой модели Р*, что может привести к потере устойчивости системой. При относительно больших значениях Т! сиrналы в системе относительно медленные и амплитуды 
634 rлава 7. Нечеткое управление 'ф, rpад 20 10 о 10  20 -- 50 100 Время, с 150 а) М, Н'М 30 20 10 О 10 20 200 б) 50 100 150 200 Время, с Рис. 7.87. Курсовой уrол Ф (непрерывная линия) и заданный уrол KYP са Фа (пунктирная линия) (а), момент рысканья Аl, порождаемый rребными винтами (6) сиrналов Мо слишком малы, чтобы вызвать эффект насыщения. Тоrда работу системы можно трактовать как линейную. Было экспериментально найдено оптимальное значение для посто янной времени  оно равно Т! == 17 с. Реакция ф(t) BMCTPYKTYpы на задающий сиrнал фо(t), определенный в форме прямоуrольной волны с меняющимися значениями амплитуды (+200, 200), а также момент рысканья М (управляющий сиrнал), вырабатываемый rребными винта.. ми, показаны на рис. 7.87. Сиrналы, показанные на рис. 7.87, подтверждают хорошее качество управления. Для большей части отрезка времени, на котором определен сиrнал, момент рысканья М «удерживает) экстремальные значения (мак.. симальное или минимальное). По этой причине состояние фо(t) == ф(t) достиrается быстро, и перереrулирование очень невелико (если характе.. ристика rребноrо винта симметрична, это перереrулирование исключают ся вообще). rребные винты используются без излишних переключений режима их работы. Процесс подавления возмущения d показан на рис. 7.88. Возмущения KypcoBoro уrла ф(t), вызванные воздействием d в виде прямоуrольной волны, показаны на рис. 7.88, а, при этом на рис. 7.88, б показан сиrнал d (пунктирная линия) и момент рысканья М (сплошная линия). Кривые, приводимые на рис. 7.88, подтверждают, что парирование возмущающеrо воздействия d осуществляется плавно и быстро, не внося колебательных составляющих в сиrнал ф. Изменение режимов работы rребных винтов также производится быстро и без излишних переключений. 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 635 'ф, rpад 2 1.5 1 0.5 О 0.5 1  1.5 2 М, Н. м d, Н . м 10 5 О 5 10 I I I I I . I I 1 1 I 1 , , , , 1 I ' I I , ' .................... _......... ...........................1 . I I I I I I I , 1 , , I ...... 1 1 I 50 100 150 Время, с 200 50 100 150 Время, с 200 а) б) Рис. 7.88. Уrол курса (курс) Ф в процессе компенсации (парирования) возму щения (а), компенсирующий момент рысканья М (непрерывная линия), а также возмущение d в форме прямоуrольной волны (пунктирная линия) (6) Приведенный при мер подтверждает предположение о том, что BM структуры можно успешно использовать также и для управления неустойчивыми объектами. Однако вначале следует несколько изменить (подстроить) объект, чтобы обеспечить возможность ero совместной pa боты с ВМструктурой, путем введения внешней стабилизирующей об ратной связи. . 7.3.3.5. Нечеткое управление, основанное на структуре с инверсной моделью объекта (ИМструктура) Существуют теоретические возможности осуществлять «идеальное» управление с использованием системы управления со структурой, pac смотренной в разд. 7.3.3.4 (Morari 1989). Если модель С* объекта G и ее инверсия Gfnv идеально точны, т. е. С==С* и GrnvG==l (Grnv==Gl), то получающаяся в результате передаточная функция равна 1. Это озна чает, что задающий сиrнал всеrда равен выходному сиrналу объекта и возмущения подавляются немедленно (см. рис. 7.89). Рассмотрим теперь структуру, показанную на рис. 7.90, которая coдep жит инверсную модель объекта c*1, но не включает модель paCCMaT риваемоrо объекта. Если рассматриваемая система содержит абсолютно точную инверсную модель (идеальный случай), то она точно следует BBO димому задающему сиrналу (Уа == У). То есть, результаты работы этой системы будут такими же, как и для идеальной BMCTPYKTYpы, показан 
636 rлава 7. Нечеткое управление el а) R Уо е G*l У lG*lG* б) У У ooG G 0==  == == 1 у Уо 1 +ooG * *l G == G , G G == 1, У == Уо в) Рис. 7.89. BMCTpYKTypa с идеальной моделью объекта С* и ее идеальной инверсией G*l d Уо е G*l u G У 2 G == L== 2G*lG == 1 уо Уо * 1 ' l+GG У == Уо Рис. 7.90. Система управления с реrулятором, представляющим собой идеаль ную инверсную модель объекта G*l ной на рис. 7.89. Однако этот идентичный результат получен с использо ванием меньшеrо числа элементов в цепи обратной связи. Единственное требование состоит в наличии инверсной модели C* 1, поскольку BM структура «требует» наличия как модели объекта С*, так и ее инверсии. Обе структуры, т. е. BMCTpYKTypa и структура с идеальной инверс ной моделью объекта, формируют бесконечно большие сиrналы управле ния и. В случае идеальноrо управления эталонная модель (см. рис. 7.91) должна быть представлена передаточной функцией G w == 1. Имеется целый ряд причин, изза которых реализация TaKoro идеаль Horo управления (G w == 1) невозможна. Таким образом, требуется ввести более реалистичную эталонную модель. KaKoro рода эталонные модели 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 637 G = 1 w Уо u G + у Е = Yw  У  О R Рис. 7.91. Структурная схема системы управления с эталонной моделью G ш для идеальноrо управления (у == уо) G w Yw d Уо el У + Е = Yw  У  О е u G r * G inv G Рис. 7.92. Структурная схема системы управления, включающая инверсную MO дель объекта Gnv' пререrулятор (предварительный реrулятор) С, и эталонную модель G ш (ИМструктура) G ш можно «имитировать» С помощью реализуемой обратной связи? Pac смотрим структуру, показанную на рис. 7.92. Пусть передаточная функция С( 8) определяется выражением G(s) == y(s) == bo+blS+...+brпlSml +brnS rп ( ) + 71  1 п ' n  т. и s ао + а 1 S + . . . а п  1 S + а п S (7.97) Тоrда идеальная инверсная модель c 1 (8) принимает вид + + + п1 + п G  1 (s) == ао а 1 S . . . ап  1 S о, п S . ь о + b1s + ... + brпlSrпl + ьтэ тп (7.98 ) Отметим, что все замечания, высказанные в разд.7.3.3.4 относительно процесса получения инверсной модели, остаются в силе. Если идеальная инверсная модель c*l(B) не является собственной (п > rr'"t), то последовательно с ней требуется соединить дополнительный инерционный (интеrрирующий) элемент порядка (nт), чтобы получить физически реализуемую инверсию Gtnv вида + + + пl + 11 C ( 8 ) == 0,0 o,ls ... o,nlS o,ns (7.99) lnV (Ь о + b1s + ... + brпlSrпl + b п1 s rn )(1 + sTb)nrп . Получаемую в результате передаточную функцию, отвечающую по следовательному соединению реализуемой инверсной модели Gtnv и MO дели объекта G (см. рис. 7.92), можно аппроксимировать (отметим, что 
638 rлава 7. Нечеткое управление инверсия G7nv является обычно неточной) с помощью инерционноrо эле мента порядка (rL  т): 1 СIlУ ( s) . G ( s) rv (1 + sT b ) n  т . При убывании ТЬ произведение G7nv . G стремится к 1. Это значит, что процесс управления ускоряется. Следует добавить, что при уменьшении значения величины ТЬ значения амплитуды вырабатываемоrо управляю щеrо сиrнала u увеличиваются. Таким образом, технические характери стики приводов определяют выбор минимальноrо значения постоянной времени Ть. Примем теперь, что инверсная модель G7nv в системе, показанной на рис. 7.92, определяется с использованием выражения (7.99), а эталонная модель G w задается соотношением (7.100) G == 1 w (1 + sTw)пrп+l . Конечно, можно использовать и друrие виды эталонных моделей. Ha пример, эталонную модель можно представить мультиинерционным эле ментом с различными постоянными времени: (7.101) 1 G w == . (1 + SТ ш1 ) . . . . . (1 + SТш(пrп+l)) (7.1 02) Реализуемая эталонная модель для объекта с задержками должна включать часть с запаздыванием, как это имеет место в следующем co отношении: e 8To G ==  w (1 + sТ ш )пTп+l . (7.1 03) Дадим теперь определение пререrулятора G r . Эту задачу следует решать в предположении, что ИМструктура, показанная на рис. 7.92, обеспечивает управление, отвечающее эталонной модели G w . Сравнивая эту модель G w с полученной в результате передаточной функцией между сиrналами Уа и У, получаем следующее выражение: G  G w r  * (1  Gw)GinvG Если передаточная функция объекта задана в виде (7.97), а инверсная модель определяется соотношением (7.99), то разность (1  G w ) будет иметь вид (7.104) 1 1  G ( 8 ) == 1  w (1 + sTw)nm+l  S(Cl + C2S + . . . Cnm+lSпm) (1 + sTw)nm+l (7.105) 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 639 rде (1 Т ) nт+l 1 + 2 nт+l +8 w == С1 8 + С 2 8 +...Cnт+18 . Частное G w /(l  G w ) в (7.105) включает интеrрирующий элемент, KOTO рый в более наrлядной форме можно представить выражением Gш(s) 1 1  Gш(s) S(Cl + C2S + . . . Cnm+lSnm) . Подставляя соотношения (7.105) и (7.106) в формулу (7.104), получим передаточную функцию пререrулятора: G ( 8 ) == (1 + sTb)пm . r ( + nTп ) S Сl C2 S + . . . Cnm+lS Коэффициенты в этом выражении зависят от постоянной времени Tw (или от постоянных времени T wi ) эталонной модели (7.105). Тоrда, если эти коэффициенты выбраны «разумно», то мноrие элементы числителя и знаменателя в формуле (7.107) можно сократить. При блаrоприятных обстоятельствах передаточную функцию пререrулятора можно получить в очень простой форме: (7.106) (7.107) G r ( S) == k r . S (7.108) Резюмируем сказанное выше: реrулятор R состоит из двух частей, а именно, из пререrулятора G r и инверсной модели Ginv. Если выполняет ся соотношение (7.108), то настройка реrулятора упрощается, поскольку придется подбирать значение единственноrо пара метра k r . Следующая важная проблема связана с подавлением возмущений d. Как видно из рис. 7.92, компоненту у, порождаемую возмущением d, мож но вычислить, используя передаточную функцию Gd вида у G Gd(S) == d == (1 + СС' с (7.109) r lПV Если G задается соотношением (7.97), Ginv  соотношением (7.99), а G r  соотношением (7.104), то G d определяется выражением вида G d (8) == G(s)[l  G w (8)] == (Ь О + b 1 s + ... + b m S m )S(Cl + C2S + ... Cnrп+lSnm) (ао + alS + . . . + а п s n )(l + sтш)пrп+l Статический коэффициент усиления kd такой передаточной функции равен нулю, поскольку (7.110) kd == lim G d ( 8) == о. 8-------+00 (7.111) Таким образом, стационарные компоненты возмущений d подавляют ся (демпфируются) полностью, это демпфирование является статическим 
640 rлава 7. Нечеткое управление (переходный режим системы не принимается во внимание). Следует OT метить, что данный вывод относится к собственным объектам. Если объ ект G является несобственным и содержит, например, интеrрирующую часть, как в выражении (7.112), то требуется разработать соответствую щий реrулятор С т , чтобы осуществлять полное подавление (в статиче ском смысле) стационарных компонент возмущений: G(s)== bo+b1s+...+bтs Тn . (7.112) 8 (ао + а 18 + . . . + а п 8 п ) Инверсная модель для приведенной выше передаточной функции за дается выражением С * ( ) 8 (ао + а 18 + . . . + а п 8 п ) ( 3) inv S == (Ь О + b1s + . . . + b rn s rn )(l + STb),,rn+l . 7.11 Пусть передаточная функция реrулятора С Т определяется выражением Gr(s) == k,.o +2 k ,>lS . (7.114) 8 Подставляя соотношения (7.112), (7.113) и (7.114) в формулу (7.110), получим G d в виде Gd(S) == G(s) (1 + Ст(8)Сllу(8)С(8) (Ь О + b 1 8 + ... + b rп 8 m )8(1 + 8Th)п'rп+l (ао + a18 + . .. + а п 8 п )[8 2 (1 + 8Tь)nrп+l + k r1 8 + k ro ] . Используя теорему об окончательном значении, несложно проверить, что (7.115) kd == lim Gd(s) == о. s-------+oc (7.116) Это значит, что реrулятор (7.114) полностью подавляет возмущения статическоrо характера. Вычисляя входвыходную передаточную функ цию С уО , дЛЯ С Т задаваемой соотношением (7.114), получим следующее выражение: G ( )  У(8) уО S  Уо(8) G ,. (8 )СIlУ (8 )С( 8) 1 + Ст(8)Спу(8)С(8) k rO + k r >1 8 kr>o + k r1 8 + 82(1 + 8Tь)nrп+l . (7.117) Таким образом, на устойчивость системы, а также на ее xapaKTe ристики управляемости можно воздействовать с помощью пара метров реrулятора k ro и k r1 , а также с помощью постоянной времени Т ь инверс ной модели. Значения этих подстраиваемых пара метров можно YCTaHO вить (назначить) с помощью процесса настройки, либо вычислительным 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 641 G w Yw d Уо е G r е} * G inv u G У + Е = Yw  У  О а) d G wd Yw Уо е е} У + ё = Yw  У  О G r * u G inv G б) Рис. 7.93. Структура с эталонной моделью G w , представляющей желаемый характер действий по отслеживанию (а), а также вариант этой структуры с эта лонной моделью G wd , представляющей желаемый характер подавления возму щения (6) путем, на основе структур, показанных на рис. 7.93. Очевидно, что эта лонные передаточные функции G w и Gwd (см. рис. 7.93) должны быть реализуемыми. Отметим, что для объекта с интеrрирующей компонентой (7.112) числитель передаточной функции реrулятора R == GrGnv (выражение (7.118)) не должен иметь корень, равный нулю. Итак, неустойчивый по люс объекта (81 == О) (выражение (7.112)) не сокращается (не редуциру ется). Редукция подобноrо рода запрещена (Morari 1989): R( ) == G ( )C  ( ) == (k ro + k r1 s)(ao + al S + . .. + ans n ) 8 r 8 lnV 8 ( ) + 1 . S Ь о + b1s + . . . + b 1п S 1п (1 + sTb)nm (7.118) Если полюса объекта размещаются в правой полуплоскости комплекс ной величины .5 (объект является неустойчивым), то данный объект мож но стабилизировать с помощью дополнительной стабилизирующей обрат ной связи. Некоторые соображения по поводу стабилизации объектов рассматриваемоrо вида обсуждаются в разд. 7.3.3.4. После стабилизации объекта можно разработать (построить) реrулятор с инверсией. Анализ ИМструктур приводит к интересным наблюдениям. Они обсуждаются в примере 7.3.3.5.1. 
642 rлава 7. Нечеткое управление G r * G G inv Уо еl 2 1 У aO+al s + a 2 s u (1 +s1b)2 2 aO+al s + a 2 s Рис. 7.94. Система управления с инверсной моделью для объекта BToporo порядка При мер 7.3.3.5.1. Пусть рассматриваемый объект представляет собой колебательную или инерционную систему BToporo порядка: 1 G(s) == 2 . (7.119) ао + al S + a2 s Система управления с инверсной моделью, разработанной на основе правил, обсуждаемых в данной rлаве, принимает вид, показанный на рис. 7.94. Реrулятор R для рассматриваемоrо объекта представлен в виде пере даточной функции ( ) ( ) * ( ) [ а 1 ао а2 s ] R s == С т s G inv S == k r ( т. )2 + ( )2 + ( т. )2 . (7.120) 1 + s ь s 1 + STb 1 + S ь Это типичный, широко используемый и общеизвестный пид реrулятор (такой реrулятор, кстати, KaKTO назвали «ломовой лошадью» автоматическоrо реrулирования (Franklin 1986)). Если значение постоян ной времени ТЬ стремится к нулю, то передаточная функция реrулятора (7.120) стремится к стандартному виду ПИДреrулятора. Следователь но, ПИД реrулятор можно трактовать как оптимальный реrулятор для объектов BToporo порядка. Сказанное выше дает убедительное объясне ние распространенности применений ПИД реrуляторов в промышленно сти. Аналоrичные рассуждения для объектов первоrо порядка приводят к заключению о том, что для таких объектов оптимальным будет пи реrулятор (а2 == О). . Для дискретных ИМструктур рекомендуется применять нескачко образный вариант пререrулятора, описываемый передаточной функцией вида G r ( Z) == е 1 ( z) == k r e(z) zl (7.121 ) Представленной выше передаточной функции соответствует разност ное уравнение вида е 1 ( k) == k r е (k  1) + е 1 (k  1). (7.122) 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 643 Очень быстрые, даже ступенчатые изменения задающеrо сиrнала Уа не приводят к формированию ступенчатых отклонений выходноrо сиr нала реrулятора el(k), поскольку передаточная функция (7.121) описы вает дискретный вариант интеrрирования. Изза TaKoro свойства пре реrулятора амплитуды значений управляющеrо сиrнала и, вырабатыва eMoro следующим элементом реrулятора R, т. е. инверсной моделью, не будут иметь значений, слишком больших для приводов (напомним, что инверсная модель обычно содержит дифференцирующие компоненты). Таким образом, состояние насыщения привода может быть исключено. Если удается устранить состояния насыщения, потеря устойчивости си стемой менее вероятна. Приведенный выше анализ свойств ИМструктур побуждает сделать вывод о том, что рассматриваемая структура может успешно приме няться в случае линейных объектов. С использованием концепции ИМ структуры достаточно просто разрабатывать квазисовершенные реrуля торы. Обсудим теперь в контексте ИМструктур проблему управления нелинейными объектами. В этом случае модели в виде передаточных функций требуется заменить нелинейными операторами, определяющи ми отображения «BXOДBЫXOД»: G  F  объект, С*  Р*  модель объекта, Ginv  Fiv  инверсная модель объекта, R  Rn  реrулятор, составленный из пререrулятора и инверсной модели. ИМструктура для нелинейноrо объекта показана на рис. 7.95. Как и в предыдущих, линейных случаях, для нелинейных объектов нельзя найти идеальной инверсии, имитирующей требуемую эталонную модель G w == 1 (см. рис. 7.96). G w Yw d Уо е G r е} * u У F inv F Рис. 7.95. ИМструктура для нелинейных объектов 
644 rлава 7. Нечеткое управление ... G inv Yw JII" w + е == Yw еl u У , ... * ... F* .... .... .. F IDV JII" .... ...  Y O Рис. 7.96. Настройка нелинейной инверсной модели объекта .Fiv в системе с эталонной моделью GV Путем тщательноrо выбора инверсной структуры (нечеткой или ней.. росетевой) и точной настройки ее пара метров можно получить более или менее точную компенсацию нелинейных явлений, как статических, так и динамических, используя прямое (непосредственное) описание моде.. ли Р* и косвенное (непрямое) описание рассматриваемоrо объекта Р. Такую компенсацию будем считать эффективной, если отношение между выходом объекта у и входом инверсной модели еl (см. рис. 7.95) будет близким к линейному. Этими свойствами обладает мульти"инерционное выражение одноrо из следующих двух видов: y(s) I"'..J 1 (7.123) el(s) (1 + sTb)пrп , y(s) I"'..J 1 (7.124 ) el(s) (1 + sT bl ) . ... . (1 + sTb(пm)) . Поскольку значения статическоrо коэффициента усиления для обоих этих выражений равны 1, после переходноrо процесса будет выполняться соотношение у == еl. Предположение (7.123) или (7.124) означает, что реrулятор G r , как и эталонная модель G w также MorYT быть линейны.. ми. Таким образом, приемы проектирования, полученные для линейных объектов, можно при менять и для разработки реrулятора G r в случае нелинейноrо объекта. Разумеется, для получения реrулятора G r мож но также использовать и друrие методы синтеза линейных реrуляторов. Следует помнить, что полученную в результате составную модель, вклю чающую Fiv и Р, можно трактовать как линейную, если инверсная MO дель Fiv не формирует слишком больших сиrналов и, т. е. таких сиrна.. лов, которые вызывали бы насыщение привода. Компенсацию возмущения d нельзя рассматривать как линейный опе ратор, поскольку d прямо (непосредственно) воздействует на вход объ екта, минуя инверсную модель (см. рис. 7.95). Точно то же самое можно сказать и о ВМ"структуре. Однако, если известна точная модель Р* объекта, тоrда эту модель объекта можно вставить в ИМ"структуру (рис.7.95) вместо объекта Р. После такой замены можно попытаться 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 645 d G wd Yw + Е ==YwY  О Уо G r еl * u F* У F inv Рис. 7.97. Применение структуры с эталонной моделью подавления возмущений (помех) G wd для настройки реrулятора С т эффективно подавить возмущение d путем настройки реrулятора G r на основе схемы, показанной на рис.7.97 (инверсную модель Fiv можно настроить в системе, показанной на рис. 7.96). Рассмотрим при мер нечеткоrо управления на основе ИМструктуры. При мер 7.3.3.5.2. Совокупность последовательно включенных элемен тов, состоящую из ZОНэлемента, привода с симметричными верхним и нижним пределами насыщения, а также из объекта, описываемоrо дис кретной передаточной функцией (см. рис. 7.98), можно трактовать как объект управления. Время выборки (замера) здесь равняется Т == 0.1 с. Таким образом, объект управления в данном примере в точности тот же самый, что и в примере 7.3.3.4.1. Теперь нечеткую инверсную модель Fiv объекта зададим с помощью правил, определяемых табл.7.13 и 7.14. Функции принадлежности для них показаны на рис. 7.99. Операция И здесь реализуется с использова нием оператора PROD. Синтез ИМструктуры управления включает также и выбор пре реrулятора С т (см. рис. 7.100). Этот пререrулятор выберем в виде G r ( Z) == е 1 ( z) == k.. e(z) zl (7.125 ) Видно, что рекомендации (7.101) учтены и удовлетворяются. Эксперименты с характеристиками системы, нацеленные на выбор наилучшеrо значения коэффициента усиления реrулятора, приводят к ero u иl 0.9Z1  0.8z2 G(z) == 0.6  0.5z1 у Рис. 7.98. Объект и привод 
646 rлава 7. Нечеткое управление Таблица 7.13 Правила HlH16 инверсной модели FilV е} (k) около около ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО около e}(k 1)  З.6666 2 1  0.6666 + 0.6666 +1 +2 +З.6666 около около ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО около 1 1 1 1  0.7777 + 0.1111 + о.зззз +1 +1 около около ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО около +1 1 1 1 1 1  0.7777 0.1111 /+ 1 / u(k) RlR16: ЕСЛИ[u(kl)== около 1] И[еl(kl)== около ...] И [el(k) == около...] ТО [u(k) == около...] Таблица 7.14 Правила Н17  Н32 инверсной модели Fiv e}(k) около ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО около e}(k 1)  З.6666 2 1  0.6666 + 0.6666 +1 +2 + З.6666 около ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО 1 1 + 0.1111 + 0.7777 +1 +1 +1 +1 +1 ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО ОКОЛО +1 1 1  о.зззз  0.1111 + 0.7777 +1 +1 +1 / u(k) H17H32: ЕСЛИ[u(kl)== около +1] И[еl(kl)== около ...] И [el(k) == около...] ТО [u(k) == около...] значению, равному k r == 0.25. Сиrналы в системе управления для задаю щеrо входноrо сиrнала yo(k) == 0.1(k) показаны на рис. 7.101. Сиrналы в системе управления для возмущающеrо сиrнала в форме единичноrо скачка (d == 0.1 (k)) показаны на рис. 7.102. Эти результаты были получены при нулевых начальных условиях. Если амплитуды ступенчатых сиrналов yo(k) или d(k) больше 0.1, то значения амплитуды управляющеrо сиrнала u(k) также растут и условие lul  1 более не выполняется. Это приводит к выходу на насыщение в приводе. Чтобы исключить нежелательные выбросы значений сиrнала у, в ин теrрирующие реrуляторы часто включается так называемый оrраничи 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 647 #(el(kI)) около  1 около 1 1 о 1 #(u(kl)) около  1 около 1 1 о lu(kl) 1 #(el(k») около 2 #(u(k) около 0.777 около 1  1 0.777 O.333 0.111 0.111 0.333 0.777 1 u(k) Рис. 7.99. Функции принадлежности для входов u(k 1), el(k 1), el(k) и вы.. хода u(k) инверсии Fiv нечеткой модели с базой правил, определяемой табли.. цами 7.13 и 7.14 Оrpаничи вающий элемент d Уо G r еl * F inv u F У Рис. 7.100. Структура системы управления с компенсацией нелинейности типа «насыщение» вающий элементинтеrратор, не допускающий переrрузки интеrратора (Franklin 1986). Метод применения TaKoro элемента иллюстрируется рис. 7.100. Как показано на рис. 7.102, ступенчатые возмущения d полностью компенсируются ИМструктурой, если значения амплитуды этих сиrна лов не очень велики, т. е. если привод не выходит в состояние насыщения 'и'  1. Аналоrично, по тем же самым причинам, система отслеживает за дающий сиrнал 'Уаl  1. Слишком большие значения коэффициентов уси ления пререrулятора k r дестабилизируют рассматриваемую систему. . 
648 rлава 7. Нечеткое управление )ь (k) y(k) о о о о о о о о о о о 0.1             <5 ""O   <>-   <r    ...o ..o о 0.1 о о о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k u(k) о о о О 1   .().- Q....o..().-o--  o  . о о о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k Рис. 7.101. Сиrналы в системе управления для задающеrо сиrнала yo(k) == O.l(k) d(k) y(k) 0.1 о о о о о о о о о о о о о о 0.1 1J о о о о о о о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k u(k) 0.1 ooO4){ro о о о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k Рис. 7.102. Сиrналы в ИМструктуре для ступенчатоrо возмущающеrо сиrнала d(k) == O.l(k) 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 649 В при мере 7.3.3.5.3 выполняется сравнение результатов, получен ных при управлении одним и тем же объектом с использованием ИМ структуры и BMCTPYKTYPЫ. При мер 7.3.3.5.3. Для управления курсом подводноrо аппарата была использована ИМструктура. Как BMCTpYKTypa, так и ИМструктура показаны на рис. 7.103. Объект Р, ero нечеткая модель Р* и инверсная модель Fiv детально рассматриваются в примере 7.3.3.4.2. Реrулятор с ИМструктурой COCTaB лен из пререrулятора С т и инверсной модели объекта (см. рис. 7.103, б). Передаточная функция пререrулятора определяется следующим Bыpa жением: G с (z) == е} (z) == kc e2(Z) z  1 (7.126) Значительное число проведенных вычислительных экспериментов по казало, что наилучшие характеристики управления будут получены, если kc == 3. Сравнение обеих структур при отслеживании прямоуrольноrо за дающеrо сиrнала представлено на рис. 7.104. Время установления (успокоения) является более коротким дЛЯ ИМ структуры. Реакции ИМструктуры на сиrнал в виде прямоуrольной вол ны идентичны этому сиrналу по форме, они следуют задающему сиrналу и в положительной, и в отрицательной ero части. ДЛЯ BMCTPYKTYPЫ видно, что реакция rф(t) в ходе отслеживания положительной полувол ны прямоуrольной волны отличается от реакции на отрицательную часть Фильтр Инверсия d Объект Фо ф] G f Ф2 * Мо F Ф F inv + F* * еl ==ф ф модель а) Преконтроллер Инверсия d Объект е G c е] * Мо F Ф F шv AWP Оrpаничивающий элемент б) Рис. 7.103. Сравниваемые структуры: (а) ВМ"структура; (6) ИМ"структура 
650 rлава 7. Нечеткое управление ф, rpад 20 10 о 10 20 I I I I ' 50 100 150 Время, с а) ф, rpад 20 10 О 10 20 r I I I I I I I , I I 1 1 I I I I I I I ' 200 50 100 150 Время, с 200 б) Рис. 7.104. Сравнение реакций Ф(t) дЛЯ BMCTPYKTYPЫ (а) и дЛЯ ИМ структуры (6) на задающий сиrнал Фо(t) в виде прямоуrольной волны (пунк тирная линия) М, Н.м 30  20 10 О  10 20 а) 50 100 150 Время, с М, Н.м 3 О      20 10 О  \.  ( 10 20   200 200 б) 50 100 150 Время, с Рис. 7.105. Сравнение сиrналов управления AI, формируемых BM структурой (а) и ИМструктурой (6) для задающеrо сиrнала )u(t), представ ленноrо на рис.7.104 задающеrо сиrнала. В первом из этих двух случаев можно видеть пе ререrулирование, тоrда как во втором случае такое перереrулирование отсутствует. Значения момента рысканья 1\,1, вырабатываемоrо rребными винта ми для обеих управляющих структур, показаны на рис. 7.105. Эти кри вые были получены для задающеrо сиrнала фо(t), представленноrо на рис. 7.1 04 . Можно видеть, что кривая, относящаяся к моменту дЛЯ BM структуры, более плавная и rладкая, чем для ИМструктуры. Значитель ная часть задаЮlцеrо сиrнала fU}O(t) состоит из максимально или мини 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 651 50 100 Время, с 150 1jJ, rpад 0.2 0.15 0.1 0.05 О 0.05 0.1 200 О 20 40 60 80 100 Время, с 1jJ, rpад 2 1.5 1 0.5 О 0.5 1  1.5 2 а) б) Рис. 7.106. Компенсация воздействия ступенчатоrо возмущения d в BM структуре (а) и в ИМструктуре (6) мально доступных значений момента рысканья М. Это приводит К тому, что переходные процессы, вызванные ступенчатыми изменениями задаю щих сиrналов, относительно непродолжительны. Реакции ф(t) на «ступенчатое» возмущение d (10 (Нм), +10 (Нм)), воздействующее на вход объекта, показаны на рис. 7.106. Видно, что ИМсистема более эффективно парирует воздействие воз мущения d. Требуемое для этоrо время составляет примерно 10 с, тоrда как ВМсистеме для решения той же самой задачи необходимо поряд ка 6070 с. Максимальное отклонение курса ф(t), вызванное возмуще нием d, составляет 0.180 для ИМсистемы и 1.180  для ВМсистемы. Таким образом, если принимать во внимание эффективность парирова ния возмущений, между этими двумя системами имеется существенное различие. Более детальное сравнение данных систем дает анализ результатов, представленных на рис. 7.107. Кривые на этом рисунке показывают значе ния момента рысканья М для обеих упомянутых управляющих структур при воздействии на них одноrо и Toro же возмущения d (пунктирная линия). Время переключения момента рысканья с ero максимальноrо положи тельноrо значения на минимальное отрицательное значение составляет примерно 1 с дЛЯ ИМ CTPYKTYpы И около 7 8 с дЛЯ ВМ CTPYKTYpы. Для обеих структур характерно, что большую часть времени задающий сиr нал фо(t) имеет значение, равное максимально или минимально доступ ному значению момента рысканья М. Это значит, что переходные про 
652 rлава 7. Нечеткое управление М, Н. м d, Н . м MH'MdH.M , , , r-.... 10 5 .............................................................., I I I I I I I I I I I 10 5 о I I I 5 : , I I  1 О L о I I I I 5 : I I ,  1 О , V 50 100 150 Время, с 200 о 20 40 60 80 100 Время, с а) б) Рис. 7.107. Момент рысканья Jvf, формируемый в BMCTpYKType (а) и в ИМ структуре (6) в процессе компенсации воздействия возмущения d (пунктирная линия) цессы, порожденные ступенчатыми возмущениями, относительно непро.. должительны и отклонения курса 'Ф(t) быстро устраняются. Таким образом, оценивая приведенные выше результаты, можно сде.. лать вывод, что ИМ"структура предпочтительнее для управления курсом 'Ф(t) подводноrо аппарата  ее быстродействие выше, поскольку она не содержит инерционной модели объекта. Однако обобщать данное утвер.. ждение неправомерно. Для какихто друrих задач управления лучшей может оказаться BMCTpYKTypa. Результаты экспериментов показыва.. ют, что ИМ"структура, рассмотренная для управления курсом, будет устойчивой в следующих диапазонах изменения пара метров передаточ" ной функции объекта (подводноrо аппарата): 0.015  kp  0.065, 0.5  Тр  11. Хорошие результаты применения инверсной модели для нелиней.. Horo объекта (ректификационной колонны) представлены в работе (Lawrynczuk 2000). . 7.3.3.6. Адаптивное нечеткое управление В разд. 6.3.3 были рассмотрены методы идентификации нечетких моделей объектов, а также способы определения инверсных моделей, с использо.. ванием измеренных значений входов и выхода объекта. Если пара метры объекта меняются, можно воспользоваться методами оперативной (оп.. Нпе) идентификации. На этой основе можно осуществлять непрерывную подстройку пара метров нечеткоrо реrулятора или отдельных ero частей 
7.3. Формирование структур и настройка пара метров реrуляторов 653 иде}ffИ фикация * F inv Уо G f У2 * F У F inv иде}ffИ фикация адаптация F* р* адаптация Рис. 7.108. Схема адаптивноrо управления для BMCTPYKTYpы (наподобие модели Р* или инверсной модели Fiv' рассматриваемых как элементы реrулятора R  см. разд. 7.3.3.4,7.3.3.5). TaKoro рода подстрой ка характера действий, выполняемых реrулятором, вызываемая измене нием значений пара метров объекта управления, называется «адаптивным управлением» (Astrom 1989). Если значения пара метров объекта меняются очень медленно, или же если такие изменения происходят лишь время от времени, тоrда иден тификацию объекта и настройку реrулятора можно осуществлять перио дическим образом. Адаптацию элементов реrулятора для нечеткой BM структуры (разд.7.3.3.4) можно реализовать, основываясь на схеме, по казанной на рис. 7.108. Выбор значений параметров фильтра G f должен обеспечивать устойчивость системы для всех возможных значений пара метров объекта Р. С практической точки зрения это значит, что следует увеличить значения постоянных времени инерционноrо (интеrрирующе ro) фильтра. Схема адаптивноrо управления для ИМструктуры (разд. 7.3.3.5) по казана на рис. 7.109. Постоянное обновление значений пара метров нечет кой модели Р* и ее инверсии Fiv улучшает качество линеаризации операторов FivF и FivF*, включенных в структуры, показанные на рис.7.108 и 7.109, если значения параметров объекта меняются во Bpe мени. Использование описанноrо выше подхода к адаптации позволя ет пренебречь обновлением значений параметров фильтра G f и пре реrулятора С Т . При быстром изменении значений пара метров объекта точность идентификации значений пара метров модели Р* и ее инвер сии Fiv будет невысокой. По этой причине постоянные времени филь тра С f в BMCTpYKTypax следует увеличить, а значения коэффициентов 
654 rлава 7. Нечеткое управление идеlffИ фикация адаптация * F inv Уо е G r е} * u У F inv F Рис. 7.109. Схема адаптивноrо управления для ИМструктуры усиления реrулятора С т в ИМструктурах  уменьшить по сравнению со значениями упомянутых параметров, рекомендованными для объекта F с фиксированными параметрами. Если следовать этим рекомендациям, система управления получается более робастной. Адаптивные BMCTPYKTYpы и ИМструктуры, показанные на рис.7.108 и 7.109 можно сделать и более сложными, если настраивать и параметры фильтра G f, а также реrулятора с т . С друrой стороны, ec ли число подстраиваемых при адаптации пара метров слишком велико, возникают серьезные трудности с обеспечением устойчивости системы (Astrom 1989, Anderson 1986). Увеличение числа контуров адаптации па раметров приводит к появлению значительных трудностей при выполне нии аналитических вычислений, предназначенных для определения обла сти устойчивости рассматриваемой системы. Следовательно, число пара метров, настраиваемых в процессе адаптации, надо свести до минимума. Помимо BMCTPYKTYP и ИМструктур можно использовать также и адаптивную структуру общеrо вида, rде нечеткий реrулятор (РС) может иметь любой вид (например, это может быть нечеткий пид реrулятор). Пример такой структуры для адаптации реrулятора пока зан на рис.7.110. Нижняя часть данной структуры представляет собой классическую замкнутую систему управления, состоящую из объекта F и реrулятора РС. Верхняя часть этой структуры  это модель реальной системы управления, включающая модель Р* рассматриваемоrо объекта и модель РС* реrулятора. Модель объекта Р* настраивается на OCHO ве текущих значений замеров входноrо сиrнала u выходноrо сиrнала у. Обновленные значения параметров передаются в модель Р*, находящу юся в модели системы управления (адаптация параметров ). Такая MO дификация (адаптация) пара метров модели Р* активизирует алrоритм, настраивающий пара метры модели реrулятора РС*. Для адаптации па раметров модели реrулятора РС* можно воспользоваться методом обрат Horo распространения ошибки с, которая представляет собой разность между задающим (опорным) сиrналом Уш, вырабатываемым эталонной 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 655 G w адаптация FC * У с Yw + FC* * u модель адаптация Уо е u У объект Рис. 7.110. Адаптивная система снечетким реrулятором РС моделью G llJ (она определяет желаемое поведение системы управления в целом) и выходом у* модели объекта. В конечном счете модифицированные значения пара метров модели Р* и реrулятора РС* передаются в реrулятор (РС), который управляет pac сматриваемым реальным объектом (Р). Описанную адаптацию можно осуществлять непрерывно (оперативный режим), либо периодически. OT метим, что структура, изображенная на рис. 7.110, состоит из двух после довательно соединенных и одновременно настраиваемых подсистем (Ha стройка модели объекта Р* и модели реrулятора РС*). Таким образом, система может потерять устойчивость, особенно при быстром изменении значений пара метров объекта. Следовательно, по соображениям безопас насти, рассмотренную выше структуру адаптации можно при менять для «медленных» объектов, в смысле изменения значений их параметров, или же в случае изменений пара метров рассматриваемоrо объекта, проявляю щихся от случая к случаю. Хорошим примером объектов TaKoro рода яв ляются транспортные суда, для которых динамические пара метры замет ным образом изменяются нереrулярно, при их заrрузке в rавани. После отхода из rавани параметры судна меняются очень медленно, вследствие расхода топлива, питьевой воды и Т. д. Кроме тех трех структур, которые были рассмотрены в данном разде ле, MorYT ПРИl't1еняться также и друrие адаптивные структуры, включаю щие нечеткие реrуляторы. При меры решения задач нечеткоrо адаптивно ra управления можно найти в работах (Brown 1994; Fischle 1997; Koch 1996; Serac 1996; Sousa 1995; Wang 1994а). 
656 rлава 7. Нечеткое управление 7.3.3.7. MHoroMepHoe нечеткое управление (MIMO) Структурная схема мноrомерной ИМструктуры показана на рис.7.111. Векторы и операторы на рис. 7.111 определяются следующим образом: 1{о  [YOl,... ,УОр]Т, Е]'  [е ]' 1 , . . . , е тр ] т , 1{  [Уl, . . . , Ур] т , U d  [1ldl, . . . , Udp] Т , G T1 ] G r1p т Ео  [е 1 . . . . . ер] .  'Т U  [И]. . . . , и р ] , D  [d], . . . , d p ] т , Gr (7.127) С тр1 С трр Мноrомерный нелинейный оператор, представляющий модель F* объ екта F, описывает отображение «BXOДЫBЫXOДЫ» вида 1{*(k)  F*[Ud(kn+'П),..., Ud(kn), 1{(k 1),..., 1{(kn)]. (7.128) Рисунок 7.111 и связанные с ним соотношения (7.127) были получе ны для одинаковой размерности (равной р) всех векторов. Существует, однако, MHoro реальных объектов, для которых число входов отличается от числа выходов. В этом случае разработка системы управления может оказаться HaMHoro более сложной. d] d p Уо] Udl Уl F УО р Udp Объект У р а) D Уо Е G r Е,. * F inv и у F Объект б) Рис. 7.111. Структурная схема мноrомерной системы управления (MIMO) с инверсной моделью (а) и ее упроиенный вариант (6) 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 657 Объект и F У Настройка + Рис. 7.112. Система для настройки модели объекта F* G ШV Y w w Er И у* + * F* F шv Настройка Модель Рис. 7.113. Настройка инверсной модели FПV на основе структуры с эталонной моделью G::V Методы, рассмотренные в разд. 7.3.3.1, можно с успехом использо вать для определения нечеткой модели объекта F*. Принимая U d == U, можно настроить данную модель объекта, используя схему, показанную на рис. 7.112. Аналоrичным образом, для определения инверсной модели Ftnv мож НО воспользоваться мноrомерными вариантами методов, обсуждавшихся в разд. 7.3.3.2. Пример TaKoro подхода показан на рис.7.113. Отображение «BXOДBЫXOД», реализуемое инверсной моделью, опреде ляется выражением U ( k) == F tnv [Е т ( k ), . . . , Е т (k  n), U (k  1), . . . , U (k  тп)]. (7.129) Эталонную модель для данной инверсной модели можно выбрать в ви де следующей матрицы, элементами которой будут передаточные функ ции: CinY шl ] О о о Glnv О ш22 (7.130) О C inv шрр G 1n \' == ш о Передаточные Функциикомпоненты Cii можно представить интеrри рующими (инерционными) элементами порядка (n  'т). Конкретные зна чения постоянных времени передаточных Функцийкомпонент MorYT быть как одинаковыми, так и различными, в зависимости от выбора, сделан 
658 rлава 7. Нечеткое управление У О Е G r Er G lllV w У Рис. 7.114. Результат упрощения системы, показанной на рис. 7.111, б, получен ный заменой отображения (F;nvF*) ero приближенным вариантом GV Horo разработчиком. Статические коэффициенты усиления ЭТИХ переда ТОЧНЫХ функций C1 должны быть равны 1. Тоrда для непрерывноrо варианта можно сделать такой выбор: C inv ( ) 1 wii S == (1 + sT i )пт , а для дискретноrо варианта G1nY. ( z ) == ши ( 1  C'l ) nm Z  C'l (7.131) rде Ci eT/T1, т  время выборки, тz  постоянная времени, i == 1, . . . , р. Идентификация мноrомерной инверсной модели и ее настройка Ha MHoro сложнее в сравнении с системами класса SISO (см. также разд.7.3.3.2). Если модель F* объекта F и ее инверсия Fiпv достаточ но точны, то последовательное соединение Fiпv и F* (рис. 7.113) можно приближенно представить линейной эталонной моделью G;v. Предпо лаrая достаточно точную аппроксимацию в смысле приведенноrо выше утверждения, можно упростить структуру, приведенную на рис. 7.111, б, представляя ее так, как показано на рис. 7.114. Система управления, показанная на рис.7.114, является линейной. Чтобы определить реrулятор G T , можно воспользоваться хорошо извест ными методами разработки реrуляторов для линейных MHoroMepHbIx си стем управления. Это может быть, например, метод, нацеленный на син тез робастноrо реrулятора (Wеiпmапп 1991), метод управления на основе структуры с эталонной моделью G U 1 (рис. 7.115) и т. д. Чтобы не было недоразумений, надо понимать, что эталонная MO дель G w на рис.7.115 определяет желаемые динамические свойства си стемы управления в целом, тоrда как эталонная модель GV', показанная на рис. 7.113, представляет выбранный базис (последовательное соедине ние F.1\.F*) дЛЯ определения инверсной модели объекта Fiпу. Эталонная Ivl0дель для системы управления G l1' выбирается обычно в виде диаrо нальной матрицы, включаЮlцей инерционные элеl\1енты G'ш'ii (7.132). CTa тические коэффициенты усиления этих элементов равны 1 (как для GV), 
7.3. Формирование структур и настройка параметров реrуляторов 659 G w Е У О G r Er G шv w У Настройка оптимизация Рис. 7.115. Разработка MHoroMepHoro реrулятора G r на основе структуры с эта лонной моделью G w но порядок инерционности, присвоенный элементам G w , выше по cpaB нению с порядком элементов GV: о G шрр Таким образом, в зависимости от Toro, какой вариант рассматривает ся, непрерывный или дискретный, примем, соответственно: 1 GW J " J " ( s ) == +1 , (1 + SТшj)nm ( 1 ) nт+l Gшjj(z) ==  С) , Z  Cj G ш11 О О G ш22 G ш == О о о (7.132) rде С] == е7'/ТШJ, т  время выборки, Т шj  постоянная времени, j==l,...,p. Реrулятор системы, показанной на рис. 7.115, можно найти из соотно" шений G Ginv ( I  G Ginv ) l == G r ш r W ш, (7.133) [де 1  единичная матрица порядка р. Общий вид выражений, определяющих компонентные передаточные Функuии С Т1) MHoroMepHoro реrулятора G r (7.127), можно получить из соотношения (7.133). Далее, полученные передаточные функции G rij можно использовать как основу для начальноrо выбора приближенных значений пара метров реrулятора. Отметим, что упрощенная управляю.. щая структура (рис. 7.114 и 7.115) не учитывает возмущения D, оказыва ЮLцие воздействие на вход нелинейноrо объекта F, а также, как линейная структура, не учитывает оrраничений на работу приводов. Таким обра.. зом, после предварительноrо выбора пара метров реrулятора их значения 
660 rлава 7. Нечеткое управление G w + Yw Е D У О Е G r Er * F* у* F inv Настройка Рис. 7.116. Полная нелинейная структура с эталонной моделью G ш , обеспечи вающая окончательную настройку MHoroMepHoro реrулятора G r , G w Е + Y w У О F* у* D FC Настройка Рис. 7.117. Структура с эталонной моделью G ш для настройки нечеткоrо pery лятора FC представляющеrо любую заранее заданную управляющую структуру следует вновь подверrнуть настройке, на этот раз в исходной, не упро щенной структуре, показанной на рис. 7.116. Нечеткую модель F* и ее инверсию Ftпv можно представить посред ством нейронечеткой сети, а реrулятор G r  посредством нейронной сети динамическоrо типа. Для настройки реrулятора можно воспользоваться методом обратноrо распространения ошибки с. Если имеется потребность использовать друrие структуры для нечет  Koro реrулятора (РС), то вид такой структуры следует определить зара  нее. Параметры, характеризующие такой реrулятор РС, можно HaCTpo ить, используя показанную на рис. 7.117 структуру с эталонной моделью. Рассмотрим мноrомерную ИМструктуру, показанную на рис.7.118. Если можно определить достаточно точную модель F* объекта и ее ин версию Ftпv' а последовательное соединение (FinvF*) можно рассматри вать как эквивалентное требуемой эталонной модели для инверсии Gv (рис. 7.113), то выбор компонентных передаточных функций G fij MHoro MepHoro фильтра G f и начальную настройку пара метров фильтра (для D == О) можно осуществить на основе структуры с эталонной моделью (для управления), показанной на рис.7.119. 
7.3. Формирование структур и настройка пара метров реrуляторов 661 D У О G f У 2 * F У F;.nv + F*  [ G fll .. . G fl р ] Gf : : G fp1 G fpp Рис. 7.118. Мноrомерная ВМсистема управления, включающая фильтр нижних частот G.f G w Y w У О У + EO G f G lПV W Рис. 7.119. Система для определения вида фильтра G.f и предварительных зна чений ero пара метров Непосредственно из рис. 7.119 вытекают следующие соотношения: GfGV == G w , G G (G inv ) l f == w w . (7.134 ) (7.135 ) Основываясь на этих соотношениях, можно выбрать правильный вид компонентных передаточных функций G fij фильтра G f, а также опре делить предварительные значения пара метров фильтра. Окончательную настройку пара метров фильтра можно выполнить на основе полной BM структуры, показанной на рис. 7.120, rде представлены нелинейные orpa ничения и возмущения. Для настройки параметров фильтра можно при менить метод обратноrо распространения ошибки Е, а также друrие ши роко известные методы. Ошибку  следует «проrнать» через модель G * объекта, что можно осуществить с использованием нейронной сети. Инверсную модель Ftпv и фильтр G.f можно представить аналоrичным образом, т. е. также по средством соответствующих нейронных сетей. Мноrочисленные примеры MHoroMepHbIx нечетких систем управления обсуждаются в работах (Cormac 1997; Dias 1997; Lacrose 1997: Lopez 1997; Serac 1996; Soria 1996). Большей частью речь в них идет об управ 
662 rлава 7. Нечеткое управление G w Y w + Е D У О G f У 2 * У F шv F Настройка F* Рис. 7.120. Структура с мноrомерной эталонной моделью G w , рекомендуемая для настройки пара метров фильтра G f лении объектами при р == 2 (два входа и два выхода). При возрастании числа входов и выходов объекта как при ero нечетком моделировании, так и при разработке нечетких реrуляторов для них сложность проблемы существенно возрастает. То же самое верно, если принимать во внима ние еще и процессы настройки. Именно по этой причине не peKOMeH дуется разрабатывать нечеткие реrуляторы, если число входов объекта превышает четыре (Brown 1994, 1995а). Это не значит, однако, что дaH ная проблема при р > 4 не может быть решена вообще. Существуют специальные структуры нейросетевых реrуляторов, которые полезны для моделирования MHoroMepHbIx отображений, если размерность задачи дей ствительно велика. Структуры TaKoro типа подробно рассматриваются в работе (Lin 1995). Они были также кратко представлены в разд.6.3. 
r ЛАВА 8 УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Соrласно обязательным для исполнения промышленным нормативам, устанавливаемым орrанами власти во мноrих странах, требуется обос новать устойчивость системы управления с входящим в нее реrулятором предлаrаемоrо типа. Это требование рассматривается как необходимое условие для использования системы управления. Существует MHoro при кладных задач, для которых проверка устойчивости системы управления расценивается как проблема критической ва)Кности. Это случаи, коrда системы управления влияют на безопасность использующих их людей (стабилизация полета самолета и т. п.), управляют дороrостоящими объ ектами и сло)Кными производственными процессами, подверженными по тере устойчивости. TaKoro рода нормативы должны соблюдаться незави симо от Toro, является ли реrулятор нечетким или обычным. Операции, реализуемые нечеткими реrуляторами, обычно можно ин терпретировать как сло)Кные нелинейные отображения входных сиrналов в выходные. Существует MHoro прекрасных методов анализа устойчиво сти линейных систем управления, но, к сожалению, обоснование устой чивости сложных нелинейных систем до сих пор остается трудной про блемой. Не так давно, в 1992 r., высказывалась даже пессимистическая точка зрения (Preuss 1992), соrласно которой l\1етоды проверки устойчи вости нечетких систем управления вообще не MorYT быть созданы. В 1996 [., в рамках научнотехнической выставки The German Technology Fairs в rермании, были представлены новейшие разработки в области нечетких реrуляторов. Присутствие на этом мероприятии зна чительноrо числа видных специалистов в данной области обеспечило воз можность серьезноrо обсуждения важнейших аспектов нечеткоrо управ ления. В отчете о состоявшейся дискуссии было сказано: «До сих пор остается открытым вопрос о том, можно ли вообще применять нечеткие реrуляторы в критических условиях, коrда обязательно должна обеспе чиваться устойчивость системы управления» (Dobrich 1996). Трудности, возникающие при попытках подтвердить устойчивость нечетких реrуляторов, сужают область их практических применений. Чтобы ИЗIVlенить эту ситуацию, ведется интенсивная работа, нацеленная 
664 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления на преодоление указанных трудностей. Более или менее успешно рабо тающие методы проверки устойчивости нечетких систем были получены к концу прошлоrо десятилетия. Некоторые из них были позаимствова ны в доработанном виде из классической теории управления. Наиболее известные из методов, созданных для проверки устойчивости нечетких систем, перечисляются ниже: . критерий устойчивости Попова (Kahlert 1995; B6hm 1993; Opitz 1993; Buhler 1994; Cook 1986; Khalil 1992; F61linger 1993), . круrовой критерий (Kahlert 1995; Driankov 1993; Opitz 1993; Cook 1986; Khalil 1992), . прямой метод Ляпунова (Kahlert 1995; Hung 1995; B6hm 1993; Kiendl 1993; Weinman 1991; Cook 1986; Khalil 1992; F61linger 1993; Marin 1995; Sheel 1995; Tanaka 1990,1992), . анализ устойчивости системы в фазовом пространстве (пространстве состояний) (Kahlert 1995; Driankov 1993; Cook 1986; Maeda 1991), . анализ устойчивости с использованием компьютерной модели систе мы, . метод описывающей функции (Kahlert 1995; Kiendl 1992,1993; Cook 1986; Aracil 2000), . метод показателей устойчивости и робастности системы (метод би фуркаций) (Driankov 1993; Kahlert 1995), . методы, основанные на теории входвыходной устойчивости (теорема о малых значениях коэффициента усиления) (Driankov 1993; Malki 1994; Noisser 1994; Cook 1986; Khalill992; Suykens 1995; Aracil 2000), . критерий конусности (Driankov 1993; Aracil 1991,2000), . методы, основанные на теории rиперустойчивости Попова (Opitz 1986,1993; B6hm 1993; Schmitt 1996, Bindel 1995; Piegat 1997Ь, 1997 d; Нап 1970; Li 1991; Ророу 1963,1973; Anderson 1968), . эвристические методы (Ying 1994; Wang 1996; Sommer 1993,1994; Rumpf 1994; Singh 1992; Aracil 2000). Этот список методов изучения устойчивости нечетких систем посто янно пополняется за счет новых предложений. Большинство из них мож но отнести к методам эвристическоrо характера. Зачастую эти эвристиче ские методы основываются на очень интересных, но трудных для понима ния идеях. Например, в работе (Wang 1996) было предложено выполнять стабилизацию нечеткой системы с использованием известной нечеткой модели объекта следующим образом: каждому правилу вывода, связан ному с этим объектом, ставится в соответствие единственное специально 
rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления 665 разработанное правило для реrулятора. Аналоrичный подход предложен в (Aracil 2000) для нечетких систем типа ТакаrиСуrено. Большое число методов, предназначенных для исследования устойчи вости нечетких систем, порождает cBoero рода «информационный шум». Этот феномен довольно типичен для наших дней. Нет необходимости тщательно анализировать все эти методы. Надо вначале оценить CTe пень полезности Toro или иноrо KOHKpeTHoro метода и на этой основе осуществлять выбор одноrо из них. После Toro, как отобрано HeKOTO рое количество «лучших» методов, их следует подверrнуть тщательному анализу. В качестве критериев для оценки методов можно предложить следу ющие: 1) возможность получения cTpororo доказательства устойчивости системы, 2) «объем» трудностей, которые надо преодолеть при проверке устойчи вости системы, 3) простота понимания сути метода, 4) степень общности метода (возможность ero применения для различ.. ных классов систем), 5) возможность компьютерной поддержки операций, связанных с про веркой устойчивости системы. Анализ систем в фазовом пространстве, метод описывающей функ ЦИИ, анализ устойчивости с использованием компьютерной модели систе.. мы  эти методы, вообще rоворя, не дают cTpororo обоснования устойчи" вости системы, а скорее обеспечивают возможность проверки ее работо способности для случая, коrда точно известен вид возмущающих и BXOД ных воздействий на систему, вид начальных условий и т. д. Очень важен анализ устойчивости с использованием компьютерных моделей систем, поскольку с ero помощью можно изучать очень сложные MHoroMepHbIe системы, независимо от числа воздействующих на них сиrналов. Это, однако, метод экспериментальноrо (эмпирическоrо) характера, т. е. ero результаты не поддаются обобщению. Он просто подтверждает устой чивость системы применительно к конкретным условиям, рассматривав.. шимся в ходе моделирования. Широко известный метод Ляпунова для исследования устойчивости нелинейных систем позволяет получить cTporoe математическое обосно" вание устойчивости. У этоrо метода, однако, есть ряд недостатков: . Чтобы подтвердить устойчивость, требуется найти так называемую функцию Ляпунова. Это непростая задача творческоrо характера. 
666 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления X 1 Сектор, включающий точку равновесия Х 2 Рис. 8.1. Типичный пример «расщепления» на секторы для области рабочих режимов нечеткой системы (Р  точка равновесия) Разработка компьютерной проrраммы, реализующей решение задачи подобноrо вида, также сопряжена с определенными трудностями. . Метод Ляпунова позволяет оценить устойчивость системы для тех секторов области ее рабочих режимов, которые лежат вблизи состо.. яния равновесия данной системы (B6hm 1993). А как быть состаль.. ными секторами? Соrласно результатам, полученным в работе (B6hm 1993), метод Ля.. пунова не может эффективно использоваться за пределами сектора, при.. мыкающеrо к точке равновесия рассматриваемой системы. Функция Ля.. пунова должна быть непрерывно дифференцируемой. По этой причине для данной функции была избрана квадратичная форма представления, чтобы она отображала обобщенную энерrию. «Смяrченный» вариант ме.. тода Ляпунова предлаrается в (Kiendl1993). В этом варианте упомянутое выше условие не обязательно должно удовлетворяться (оно нарушается на rраницах секторов). Данный вариант рассматриваемоrо метода осно" ван на упрощенной модели нечеткоrо реrулятора, приведенной к поли.. линейной форме. Кроме Toro, необходимо принять, что область рабочих режимов реrулятора составлена из HeKoToporo числа прямоуrольных па.. раллелепипедов, оси которых параллельны. Данный метод представля.. ется интересным, но вводимые в нем упрощения сужают область ero возможных применений. Попытки улучшить применимость метода Ляпу.. нова для изучения устойчивости нечетких систем предпринимаются до сих пор. Вполне возможно, что в близком будущем удастся преодолеть недостатки данноrо метода. Следует отметить еще, что существующие 
rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления 667 и v е Рис. 8.2. Система управления с обратной связью и дополнительным входом варианты метода Ляпунова являются непростыми и трудоемкими в ис пользовании (Bohm 1995). Методы, основанные на теории ВХОД"ВЫХОДНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ, не ra рантируют нулевоrо значения установившейся ошибки системы (Driankov 1993). Основные результаты, получаемые с помощью этих методов, oc новываются на следующей теореме: система управления с обратной свя зью устойчива, если произведение коэффициентов усиления ее элемен тов, т. е. объекта g(G) и реrулятора g(H), удовлетворяет неравенству g(G) . g(H) < 1. (8.1) Аналитически определить коэффициенты усиления элементов систе мы с обратной связью в общем случае  непростая задача. Процедура нахождения коэффициентов усиления g( G) объекта и g(H) реrулятора относительно проста только для случаев линейных стационарных объек тов, управляемых с помощью статических реrуляторов без rистерезиса (см. рис. 8.2). В этом случае коэффициенты усиления можно найти с помощью сле дующих соотношений: g(H) == sup { I)I } , lel # О, g(G) == sup б{G(jw)}, w (8.2) rде Ь{ G(jw)} обозначает максимальное синrулярное значение матрицы А, полученной для уравнения, представляющеrо состояние объекта. Oc новываясь на максимальных значениях коэффициентов усиления g(G) и g(H), данная теорема дает «консервативные» результаты, обеспечивая для системы наличие HeKoToporo запаса устойчивости, который не обяза тельно будет большим. Коэффициенты усиления объекта и реrулятора не обязаны быть максимальными одновременно. Следовательно, в отдель ных случаях может получиться так, что применение рассматриваемоrо метода исследования не позволит оценить устойчивость системы, даже коrда данная система будет несомненно устойчивой. 
668 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Метод бифуркаций определяет, насколько далеко рассматриваемая система находится от состояния, rде она теряет устойчивость. Данный метод анализирует условия потери устойчивости и способы стабилиза ции системы в окрестности точек неустойчивоrо равновесия. Стабили зация осуществляется за счет соответствующеrо подбора характеристик реrулятора. Для успешноrо применения этоrо метода требуется rлубо кий теоретический анализ свойств рассматриваемой системы. Это значит, что автоматизация использования данноrо метода чрезвычайно трудна, Существует вариант этоrо метода (Driankov 1993) для нелинейных си.. стем, но, как представляется, он будет полезен только в случаях, коrда системы описываются простыми математическими моделями. Если про.. странство состояний системы является двумерным (фазовая плоскость), то настоятельно рекомендуется использовать именно метод бифуркаций, поскольку теоретический анализ свойств такой системы и ее поведения  относительно простая задача. Критерий конусности разрабатывался на основе теоремы о малых значениях коэффициента усиления. Недостатки, перечисленные выше применительно к идее входвыходной устойчивости, остаются в силе и для метода, использующеrо критерий конусности. Проведенное сопоставление методов изучения устойчивости систем приводит к выводу, что для случая SISОсистем можно рекомендовать критерий Попова и круrовой критерий, а для случая МIМОсистем  методы, основанные на использовании теории rиперустойчивости. Они позволяют получить cTporoe математическое обоснование устойчивости и при этом сводятся к использованию относительно несложных вы.. числительных алrоритмов. Особое внимание следует обратить на тео- рию rиперустойчивости. Она позволяет проверять устойчивость систем с мноrочисленными точками равновесия. При таком подходе устойчи вость можно оценивать не только вблизи этих точек (как в случае ме.. тода Ляпунова), но и rлобально, включая секторы, не примыкающие к точкам равновесия. Эти свойства метода обеспечивают ему практичность использования. По этой причине в разд.8.2 и 8.3 подробно рассматрива.. ются теория rиперустойчивости и круrовой критерий (как сходный по идее, но более простой, чем критерий Попова). Разделам 8.2 и 8.3 предшествует разд. 8.1, в котором рассматривается устойчивость нечетких систем для случая неизвестной модели объекта управления. Нечеткий реrулятор можно применять как в случае извест" ной модели объекта, так и при неизвестной модели. Если математическая модель объекта управления неизвестна, то нет возможности получить оценку устойчивости системы в аналитической 
8.1. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления 669 форме. Подходящие методы для этой цели пока еще не созданы (Ying 1994; Opitz 1993). Они, однако, MorYT появиться в будущем. В работе (Hung 1995) получены условия устойчивости, соrласно которым можно получить большое число нечетких реrуляторов, обеспечивающих устой чивую работу систем с объектами Ртипа в случае, если этим Робъектом можно устойчиво управлять с помощью реrулятора Стипа (таким pe rулятором может быть, например, человек). В (Ying 1994) представлен реrулярный алrоритм для проектирования нечетких реrуляторов, обеспе чивающих устойчивое управления объектами, модели которых неизвест ны. На первом шаrе этоrо алrоритма определяются параметры линейно ro ПИреrулятора, обеспечивающеrо устойчивое управление требуемым объектом. Это значит, что для настройки реrулятора можно использовать даже метод ЦиrлераНикольса, который позволяет решить сформулиро ванную выше задачу. Интерес представляет также и подход, предложенный в (Wang 1994Ь). Здесь дается cTporoe доказательство устойчивости системы управления для случая неизвестной модели объекта. Устойчивость управляемой си стемы обеспечивается за счет использования двух реrуляторов (нечетко [о реrулятора R 1 и управляющеrо реrулятора R 2 ). Проблема стабилиза ции нечетких систем посредством применения управляющих реrуляторов рассматривается в разд.8.1. 8.1. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления с неизвестными моделями объектов Нечеткие реrуляторы для объектов с неизвестными математи ческими моделями разрабатываются на основе знания опытноrо человекаоператора (эксперта по рассматриваемой проблеме), KOTO рый успешно освоил управление соответствующим объектом пу тем обучения. Существует, однако, риск Toro, что знания экспер та неполны. Иноrда получается так, что оператору не приходи лось иметь дело с некоторыми редко встречающимися режима ми работы объекта, которые MorYT оказаться критическими. По этой причине для обеспечения устойчивости системы целесообраз но использовать управляющий реrулятор, показанный на рис. 8.3 (Opitz 1993). Управляющий реrулятор наблюдает состояние и вход объекта управ ления. Если состояние объекта выходит за некоторые установленные [pa ницы (становится потенциально опасным), то управляющий реrулятор за 
670 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Управляющий реryлятор Измерение состояния объекта Vl V2 d УО е Нечеткий и реryлятор Объект Vl  сиrНaJI, включающий или выключающий нечеткий реrулятор V2  стабилизирующий сиrНaJI, d  возмущение Рис. 8.3. Идея введения диспетчерскоrо (супервизорноrо) управления для обес печения устойчивости нечетких систем управления пускает стабилизирующее действие V2, чтобы вернуть объект в область допустимых состояний. Если результат выполнения стабилизирующеrо действия неудовлетворителен, то сиrнал Vl осуществляет отключение входноrо сиrнала и. Метод, основанный на использовании нечеткоrо и управляющеrо pe rуляторов и позволяющий осуществить стабилизацию систем управле ния, включающих нелинейные объекты некоторых классов, описывается в (Wang 1994Ь). В этой работе устойчивость пони мается в том CMЫC ле, что состояние системы не выходит за rраницы, установленные про ектировщиком. Введение управляющеrо реrулятора здесь представляет ся весьма выrодным, поскольку на этапе разработки системы появляет ся возможность отказаться от мноrих достаточно жестких оrраничений, вытекающих из критериев устойчивости. Это значит, что можно проек тировать нечеткий реrулятор с более высоким значением коэффициен та усиления и более высокими характеристиками реализуемоrо процес са реrулирования, что обеспечивает «подтвержденную устойчивость» си стемы в целом. Критерии устойчивости наподобие получаемых соrласно BXOДBЫXOДHOMY методу и методу Ляпунова дают возможность обосновать устойчивость систем управления в основном при небольших значениях коэффициентов усиления. По мере Toro как частота выполняемых pery лятором действий увеличивается, проверка устойчивости становится все более и более трудной. Работу управляющеrо реrулятора, рассматриваемоrо в этом разделе, можно описать следующим образом: . если нечеткий реrулятор обеспечивает устойчивое управление объек том (состояние объекта находится внутри области допустимых значе ний), то управляющий реrулятор находится в режиме ожидания; 
8.1. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления 671 Управля ющий Мх реrулятор МО = const Нечеткий И r реryлятор И S И х Объект МХ  rpаница области допустимых состояний объекта МО  область состояний объекта Рис. 8.4. Структурная схема нечеткой системы управления с супервизорным управляющим реrулятором для обеспечения устойчивости системы . если состояние системы, состоящей из объекта и нечеткоrо реrуля тора, выходит за rраницы области безопасных состояний, то управ ляющий реrулятор начинает выполнение стабилизирующих действий, призванных вернуть состояние системы в область допустимых значе ний. в данном разделе основное внимание будет уделено разработке управ ляющеrо реrулятора с использованием метода, предложенноrо в (Wang 1994Ь). Структурная схема системы с управляющим реrулятором показа на на рис. 8.4. Управляющий реrулятор BaHra обеспечивает устойчивость нечеткоrо управления для HeKoToporo класса нелинейных объектов, описываемых уравнением вида х(n) == f(x) + g(x)u, (8.3) rде х Е IR.  выход объекта, а u Е IR.  ero вход. Предполаrается, что вектор состояния х== [x,x,...,x(nI)]T можно вычислить или измерить, а f, 9  неизвестные нелинейные функ ции. Математические модели мноrих нелинейных объектов можно с успе хом представить в виде (8.3). Примем, что нечеткий реrулятор (получен ный с помощью любоrо из методов) реализует управление Ur(x), а rрани ца Мх задает те состояния объекта, которые можно считать безопасными и устойчивыми. Момент активизации управляющеrо реrулятора зависит от значе ния М х , определяемоrо соотношением Jvl x : Ix(t) I  М х , \/t > О, (8.4) rде Ix(t)1  модуль вектора состояния. 
672 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления ВХОДНОЙ сиrнал рассматриваемоrо объекта определяется выражением U == ит(х) + 1 . Us(x), (8.5) rде функция инициализации 1 воздействия на нечеткий реrулятор опре деляется соотношением: 1 == { 1, если Ixl  М х , О, если Ixl < Мх. При этом U s обозначает сиrнал, формируемый управляющим реrулятором соrласно формуле (8.6) U s == sgn (хтрь с ) [ :1 ии + IkTxl) + Iurl] , (8.7) rде Ь с == о о 9 > о. (8.8) 9 В выражении (8.7) Р представляет собой симметричную положитель но определенную матрицу, удовлетворяющую уравнению Ляпунова: А;Р + РАс == Q, (8.9) rде Q > о задается проектировщиком системы. Матрица Ас имеет вид о 1 О О О О О О 1 О О О Ас== (8.10) О О О О О О 1 kn knl kn2  kп3 k2 kl rде вектор k == (k n ,..., k 1 ) Т Е }Rn содержит такие коэффициенты k i , что все корни Si полинома Sn + klSnl + . . . + k n принадлежат левой полуплоскости комплексной плоскости переменной S. Проверка устойчивости системы, управляемой с помощью нечетко ro реrулятора и упраВЛЯЮLцеrо реrулятора соrласно правилам, опреде ляемым выражениями (8.5)(8.7), представлена в работе (Wang 1994Ь). Чтобы обосновать устойчивость системы TaKoro рода, BaHr принял, что известны значения BepXHero предела jU функции j и нижнеrо предела gl функции g. Требования для функций jU И gz определяются соотношени ями jU(x): Ij(xl ( jU(x), gz(x): О < gz(x) ( g(x). (8.11) 
8.1. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления 673 Ix(t)1 rраница области [ допустимых состояний Мх 1 ......................................... Потребное МО состояние .............................................................. Начальное состояние t О МХ а) б) [* Ixl \хl а МХ о в) Рис. 8.5. Колебания в системе (а), которые MorYT быть вызваны при использо вании возмущающей функции [ (6), а также способ предотвращения колебаний за счет использования возмущающей функции друrоrо вида [* (8) ФУНКЦИЯ [ вида (8.6), активизирующая управляющий реrулятор, яв ляется ступенчатой. Эта функция переключает сиrнал U s между зна чениями «включено» И «выключено», если состояние объекта достиrает rраницы области допустимых значений Ixl == Мх. Это значит, что воз действие на объект будет довольно резким (рис. 8.5,6). По этой причине в окрестности состояния Мх MorYT возникнуть периодические колебания (см. рис. 8.5, а). Использование функции инициализации ]* (рис. 8.5, в) позволяет предотвратить возникновение этих колебаний. Такая функция ]* опре деляется соотношением О, если Ixl < а, [* == Ixl  а если а  \хl < М х , (8.12) Mxa , 1, если Ixl  М х , rде пара метр а задается разработчиком системы. Небольшое (в сопостав лении с А1х) значение пара метра а означает, что воздействие управля ющеrо реrулятора на объект будет частым, но умеренным по величине. Если значение параметра а близко к М х , тоrда управляющий реrулятор будет предпринимать воздействия на объект довольно редко, но по вели чине эти воздействия будут значительными. Соответственно, вероятность порождения колебаний в данном случае будет выше, чем в предыдущем варианте (при небольшом значении а). Итак, переключающая ФУНКЦИЯ [* обеспечивает устойчивость рассматриваемой нечеткой системы (в CMЫC ле, указанном выше). На рис. 8.5 показано, что управляющий реrуля тор не «удерживает» состояния объекта вблизи множества состояний Мо (обычно это задача успешно решается нечетким реrулятором), но пре 
674 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления пятствует работе объекта при опасных для Hero состояниях. Представ ленная идея разделения алrоритма управления на две части является xo рошим решением рассматриваемой проблемы. Очевидно, что использова ние управляющеrо реrулятора может оказаться также эффективным и в случае обычной системы управления, включающей ПИД реrулятор. Дo казательство устойчивости для реrуляторов траДиционноrо вида выпол нить HaMHoro проще. Однако при проверке устойчивости систем с пид управлением для нелинейных объектов обычно предполаrается использо вание упрощенных линейных моделей. Это значит, что из рассмотрения исключаются такие дестабилизирующие феномены, как нелинейнасти, зоны нечувствительности (трение), rистерезис и т. д. В этих условиях не существует надежноrо ответа на вопрос, обеспечит ли ПИДреrулятор устойчивость реальной системы во всех возможных для нее режимах работы. Возможность оснащения нечетких систем управления управля ющими реrуляторами представляет собой важный фактор, расширяющий область применения нечетких реrуляторов в промышленности. 8.2. Круrовой критерий устойчивости Круrовой критерий устойчивости (называемый иноrда критерием КудревичаЦыпкина) (Markowski 1985) при меняется преимущественно к тем системам SISОтипа, которые можно преобразовать к стандартному виду, представленному в виде структурной схемы на рис. 8.6 (Driankov 1993; Opitz 1993; Kahlert 1995; Cook 1986; Khalil 1992). Линейная часть G( s) системы стандартноrо вида, показанной на рис. 8.6, удовлетворяет следующим условиям L1 и L2: L1: G(s) является рациональной (порядок знаменателя выше, чем по рядок числителя); L2: С( s) является асимптотически устойчивой (все полюса распола rаются в левой полуплоскости плоскости переменной s, на мнимой оси полюса не размещаются). u = F( е) е ...  u ..... G(s) у..... ( ... ... ...  I  Рис. 8.6. Система управления типа SISO стандартноrо вида со статической нелинейностью 
8.2. Круrовой критерий устойчивости 675 е 0 и у е 0 и * k k а) б) Рис. 8.7. Введение фиктивной степени свободы k в первичную (исходную) систему (а), а также полученная в итоrе система, преобразованная к CTaHдapT ному виду (6) Нелинейная часть F удовлетворяет условиям N1N3: N1: F(e) представляет собой статическое однозначное отношение (данному значению входной величины е ставится в соответствие един ственное значение выходной величины Р(е), т. е. Р(е) не может пред ставлять rистерезис и друrие отношения «запоминающеrо типа»); N2: характеристика Р(е) состоит из прямолинейных cerMeHToB; N3: Р(О) == О (данная характеристика пересекает начало координат, т. е. точку пересечения осей е и Р(е)). Если исходная (первичная) передаточная функция С(в) не удовлетво ряет условию L2, то можно ввести добавочные фиктивные степени свобо ды, чтобы преобразовать исходную систему в эквивалентную ей вторич ную систему, удовлетворяющую условию L2. Функция первоначальных входов и выходов линейной и нелинейной частей исходной системы при введении добавочных степеней свободы должна быть сохранена неизмен ной (см. рис. 8.7). Действия, реализуемые системой, показанной на рис. 8.7, 6, описыва ются следующими соотношениями: { * С(в) G (8) == 1 + k . С( s) , Р*: и* == Р( е)  k . е. (8.13) Соответствующим выбором значения коэффициента k обычно мож но получить асимптотически устойчивую форму передаточной функ цИИ С* (в). Приводимый ниже пример демонстрирует эту возможность. Круrовой критерий устойчивости позволяет сделать выводы относи тельно устойчивости системы путем анализа принадлежности нелиней ной характеристики семейству характеристик, оrраниченному прямыми линиями u == k 2 . е и u == k 1 . е (см. рис. 8.8). 
676 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления u u = k 2 e Рис. 8.8. Оrраничения «сверху» И «снизу» для семейства статических характеристик  1/k 1 е Система управления CTaHдapTHO ro вида с линейной инелинейной частями, удовлетворяющими усло виям Li и Ni, является rлобально и асимптотически устойчивой, если Kpyr с центром на вещественной оси в точке с == 0.5 (  +  ) k 1 k 2 (8.14) и радиусом r == 0.5 (    ) k 1 k 2 (8.15) размещается целиком в области, 1т Re т Рис. 8.9. При мер размещения KpyroBbIx оrраничений, наложенных на нелиней ную часть соrласно диаrрамме Найквиста G(jw) для линейной части асимпто тически устойчивой системы управления u U=k 2 e / 1т Re Рис. 8.10. Круrовой критерий для критическоrо значения оrраничения снизу k 1 == О 
8.2. Круrовой критерий устойчивости 677 примыкающей к левой части частотной характеристики (диаrраммы Най квиста) линейной части системы G(jw), не соприкасаясь с ней (см. рис. 8.9). Величины «нуль» и «бесконечность» также можно использовать в Ka честве значений коэффициентов k 1 и k 2 (Markowski 1995). Например, если k 1 == о, то Kpyr, отображающий оrраничения, преобразуется в по луплоскость, показанную на рис. 8.10. Чтобы упростить вид KpyroBoro критерия, принимается (Driankov 1993), что k 1  о, k 2  о. Пример 8.2.1. Пусть нечеткая система управления состоит из линейноrо элемента 1 G ( s )   в(1+в) и нечеткоrо реrулятора Р(е). Характеристика элемента фаззификации, база правил и характеристика элемента дефаззификации показаны на рис. 8.11. Рассмотрим условия устойчивости для данной системы. Выбирая лоrические переменные Wi в виде { о, если е ( ep, Шl== 1 в остальных случаях, { о, если  е Р < е ( е р , Ш2 == 1 в остальных случаях, (8.16) { о, если е > е р , W  3  1 в остальных случаях, р(и) I ep: I I I .'.. ер е ЕСЛИ (е=п) ТО (и=  1) ЕСЛИ (е=р) ТО (и= 1) 1 1 u ... W 1 W 2 W З а) б) в) Рис. 8.11. Фаззификация (а), база правил (6) и дефаззификация (8), реализуе мые нечетким реrулятором 
678 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления и и=l 1  ep ер е и=l   1 1 ..1... ..'... Wl W2 Wз Рис. 8.12. Статическая характеристика нечеткоrо реrулятора для элемента фаззификации можно получить следующие функции при надлежности: мр(е) == ( е  ер ) Ш2 + wз, 2е р Iln(e) == Wl + ( e е ) W2, (8.17) Мп + Мр == 1 . Из базы правил следует (рис. 8.11), что степень принадлежности Мр( е) активирует синrлетон (+1), тоrда как /--lп(е)синrлетон (1). Следова тельно, выход нелинейной части определяется соотношением вида Мр . 1 + Мп . (1) е и == == Ш1 +  Ш2 + WЗ . (8.18) Мп + Мр ер Характеристика нечеткой нелинейной части показана на рис. 8.12. Линейная часть С(8) имеет полюса 81 == О И 82 == 1. Это значит, что линейную часть требуется стабилизировать, поскольку имеется полюс, принадлежащий мнимой оси (81 == О). Если использовать метод стабили зации, показанный на рис. 8.7, то, воспользовавшись выражением (8.13), можно получить вторичную передаточную функцию С* вида * С( в) 1 G (в)== l+kG(S) s2+s+k ' (8.19) Теперь полюса дЛЯ С* ( 8) опр еделяются выражениями 81 == 0.5. (1 + V 1  4k), 82 == 0.5. (1  V 1  4k) . Если k > О, то С* (8) является асимптотически устойчивой. Тоrда первое условие выбора значения для k принимает вид k > о. (8.20) 
8.2. Круrовой критерий устойчивости 679 и==Р(е) * * и ==Р (е) t u * Wl .: u * == е ( 1 / ер  k) I I I I I I I I I I I I I ke е ,1111 I I I I I I I I I I I I  l/k: W2 WЗ Рис. 8.13. Первичная статическая характеристика нечеткоrо реrулятора Р( е), а также статическая характеристика Р* (е) реrулятора после введения фиктивной степени свободы k Р(е) f е .Iffil u Р*(е) .1 s2s  f е .II и. .IS2++k а) б) Рис. 8.14. Исходная система управления (а) и эквивалентная ей система (6), обеспечивающая возможность применения KpyroBoro критерия устойчивости Вторичную нелинейную часть Р* можно задать на основе выраже ния (8.13). Результат вычислений дается соотношением * е k u == Шl +  Ш2 + WЗ  е. ер (8.21) Первичная и вторичная характеристики нелинейной части показаны на рис. 8.13. Первичная (исходная) система управления и ее эквивалент с фиктивной степенью свободы представлены на рис. 8.14. Как упоминалось, коэффициенты усиления k 1 и k 2 , определяемые KPy [овым критерием, имеют обычно положительные значения или равны HY лю. Это значит, что устойчивость рассматриваемой системы обеспечива ется для следующеrо диапазона значений входноrо сиrнала: 1 1 e k "- "- k (8.22) Чем меньше значение k, удовлетворяющее критерию устойчивости, тем больше диапазон значений входов (8.22). Как следует из рис. 8.13, оrраничения снизу и сверху на значения коэффициента усиления, обо 
680 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления 11т l 1+21F 1 k 1 k ер Re (j) Рис. 8.15. Результат применения KpyroBoro критерия устойчивости, представля" ющеrо в rрафической форме требование (8.26) к устойчивости системы управ ления снечетким реrулятором значаемые соответственно как k 1 и k 2 , определяются условиями: k 1 == О, 1 k 2 ==   k . ер (8.23) Поскольку значением k 2 должно быть неотрицательное число (k 2  О), соотношение между значением коэффициента k и пара метром ер, определяющим коэффициент усиления нечеткоrо реrулятора можно выразить в виде неравенства 1 ер  k . (8.24) Минимум действительной части частотной характеристики С* (jw) определяется соотношением Remin[G*(jW)] ==  1 vk 1 + 2 k Принимая во внимание условия (8.23) и (8.25), получим условие (8.26), определяющее устойчивость рассматриваемой системы (рис. 8.15): (8.25) l l (lje p )  k < 1 + 2Vk . (8.26) Объединение (конъюнкцию) условий (8.24) и (8.26) можно предста.. вить в виде: 1 1 < е   1 + k + 2# р " k . (8.27) 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 681 Если принять, что k имеет малое положительное значение, например, k == 10100, то приближенное преобразование выражения (8.27) дает: 1 < ер < 00 . (8.28) Приведенное выше условие определяет пара метры ер, характеризую щие функцию принадлежности фаззификации l1(e p ), которая rарантирует устойчивую работу системы управления. Проверка устойчивости заклю чается в сопоставлении с указанным диапазоном значений (см. рис. 8.13): 1 1 e k" "k' Указанный диапазон стремится стать бесконечно большим для очень малых положительных значений k. При увеличении значений коэффици ента k коэффициент усиления реrулятора (1/ ер) также увеличивается, но область устойчивой работы системы сужается за счет Toro, что допусти мыми становятся меньшие значения амплитуд входноrо сиrнала е. . Имеются варианты KpyroBoro критерия для систем МIМОтипа (Driankov 1993). Однако по мнению специалистов (Opitz 1993), прием лемые для практики результаты можно получить лишь для относительно простых случаев, коrда мноrомерную характеристику нелинейной части можно привести (с помощью набора линейных операций) к простой pe зультирующей форме u == f (е) == f (k т , е), (8.29) rде k  вектор коэффициентов усиления. Если условие (8.29) не выпол няется, то круrовой критерий в случае систем МIМОтипа «порождает» результаты, существенно оrраничивающие возможности получаемой си стемы. Из этоrо следует, что польза от KpyroBoro критерия в случае систем МIМОтипа невелика. 8.3. Применение теории rиперустойчивости u для анализа устоичивости нечетких систем Основы теории rиперустойчивости были созданы румынским математи * ком В. М. Поповым и опубликованы в (Ророу 1963,1973) . В том вари анте, как она была построена Поповым, теория rиперустойчивости не * См. на русском языке: Попов В. М. rиперустойчивость автоматических систем.  М.: Наука, 1970.  464 с.  (Серия «Теоретические основы технической кибернетики»); перевод с PYMbIHcKoro книrи: Ророи V. М. Hiperstabilitatea systemelor automate.  Editura Academiei Republicii Socialiste Romania, 1966.  Прuм. ред. 
682 [лава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления была рассчитана на анализ всех возможных видов систем. Она ориенти ровалась только на системы, удовлетворяющие довольно большому числу требований. Однако препятствия, создаваемые этими требованиями, бы ли постепенно устранены. И теперь уже можно утверждать, что теория rиперустойчивости перешла в «зрелый» этап cBoero развития, что позво ляет использовать ее для анализа устойчивости широкоrо класса нели нейных систем, включая и нейронечеткие системы управления. MHoro интересных результатов в данной области содержится в работах послед них лет, например, в (Schmitt 1996; Opitz 1986,1993; B6hm 1995; Bindel 1995; F61linger 1993; Piegat 1997b,1997d). Можно утверждать, что недавние результаты, связанные с примене ниями теории rиперустойчивости, выrлядят весьма обнадеживающими. Методы, построенные на базе теории rиперустойчивости, можно paCCMaT ривать в качестве конкурентоспособной альтернативы друrим методам анализа устойчивости. В данном разделе содержится подробное обсуж дение этоrо утверждения. У подхода, oCHoBaHHoro на теории rиперустой чивости, имеется MHoro преимуществ. Данный метод обеспечивает на реrулярной основе проверку устойчивости, позволяя лучше понять воз никающие проблемы, поскольку располаrает возможностями их визуали зации. Более Toro, этапы используемой аналитической процедуры можно заменить их численными аналоrами, рассчитанными на использование компьютера (т.е. данный метод поддается автоматизации). Что же такое rиперустойчивость? Этому понятию можно дать следующее определение (Anderson 1968): «[иперустойчивость представляет свойство системы, состоящее в том,  что вектор состояния системы оудет удовлетворять условию оrраниченно сти, если значения входных величин принадлежат некоторому заданному подмножеству всех возможных значений этих величин». Наиболее простой, в сравнении с друrими случаями, задачей являет ся математическая формулировка условий rиперустойчивости для линей ных систем (рис. 8.16). Но имеются такие формулировки и для HeKOTO u .....  х(Й) х=Ах+Ви y=Cx+Du  у Рис. 8.16. Мноrомерная стационарная линейная система 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 683 рых классов нелинейных систем (Нап 1970), билинейных систем (Ionescu 1978) и систем с распределенными параметрами (Jumaire 1983). Если размерность входноrо вектора u совпадает с размерностью BЫ ходноrо вектора у, а система является полностью управляемой (это за висит от матриц А и В) и наблюдаемой (это определяется матрицами С и D), то рассматриваемая система будет rиперустойчивой, если для всех и( t), удовлетворяющих интеrральному неравенству t 1 == J UT(T)Y(T)dT  136, Vt > о, 130 > о, о справедливо неравенство (8.30) Jlx( t) 11  /30 + /31I1х(0) 11, Vt > о, (8.31) rде х(О) обозначает начальное значение вектора состояния х( t), /30 и /31  некоторые положительные константы, 11 . . . 11 обозначает евклидову норму. Система, удовлетворяющая соотношениям (8.30) и (8.31), может счи таться rиперустойчивой в обычном смысле. Если для всех входных BeK торов и, удовлетворяющих неравенству (8.30), наряду снеравенством (8.31) справедливо условие lim х ( t) == О, too (8.32) то рассматриваемая система будет асимптотически rиперустойчивой. Идею rиперустойчивости систем в общих чертах можно пояснить на при мере системы SISОтипа. Предположим, что рассматриваемая система активируется входным сиrналом и, который действует в течение оrрани ченноrо промежутка времени (рис. 8.17, а). Энерrия, доставляемая в си стему сиrналом и, оrраничена. Примем, что это входное воздействие u вызывает оrраниченный рост значений переменных состояния х (этот рост оценивается по норме Ilx(t)II), как это показано на рис. 8.17, б. u х х х х(О) о а) х(О) t О б) t о в) t О 2) t Рис. 8.17. Иллюстрация идеи rиперустойчивости: ВХОДНОЙ сиrнал и(t) (а), пе ременная состояния rиперустойчивой системы для х(О) == О (6) и х(О) =1- о (8), переменная состояния для асимптотически rиперустойчивой системы (с) 
684 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Разумеется, рост значений переменных состояния сопровождается YBe личением энерrии системы. Если увеличение энерrии системы зависит исключительно от энерrии, поступающей с входным сиrналом (ее можно оценить с помощью ;За), а в конечном счете от потенциальной энерrии, определяемой начальными условиями (оцениваемой по норме IIx(O)II), см. рис. 8.17,8, тоrда данную систему можно считать rиперустойчивой. Таким образом, rиперустойчивая система не содержит внутренних ис точников энерrии. Это значит, что нарастание амплитуды переменных состояния х, порождаемое входным сиrналом и, зависит от энерrии, по ступающей с входным сиrналом. По этой причине значения переменных состояния не MorYT стремиться к бесконечности, если значения уровня входноrо сиrнала оrраничены. Если состояние системы x(t) стремится к нулю, удовлетворяя условию (8.32) (см. рис. 8.17, с), то система называ ется асимптотически rиперустойчивой. Отметим, что выходной сиrнал у == Cx+Du линейно зависит от BXOД Horo сиrнала и состояния системы (рис. 8.16). Оrраничения на значения векторов х и u приводят К оrраничениям на значения выходноrо BeKTO ра у. 8.3.1. Представление условий rиперустойчивости в частотной области для систем управления u u u со стационарнои нелинеинои частью Были сформулированы условия устойчивости для системы управления стандартноrо вида, показанной на рис. 8.18. Такая система имеет в своем составе линейную стационарную подсистему, описываемую матрицей пе редаточных функций G( s) или некоторым ее эквивалентом, полученным из уравнений состояния: G(s) == C(sI  A)lB + D, (8.33) w == о ,.. u ... G(s) У . .. j  v I F(y) I u==v Рис. 8.18. Стандартная структурная схема системы управления, рассматривае мая при обсуждении rиперустойчивости 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 685 (rде 1  единичная матрица), а также статическую нелинейную подси стему F(y). Теорию rиперустойчивости можно распространить также на случай, коrда система включает нестационарную нелинейную часть. Матрица G( s) представляет собой описание объекта управления и друrих линейных частей системы, взаимодействующих с данным объек том. Эти элементы можно объединить, используя правила эквивалентных преобразований структурных схем. Таким образом, можно рассматривать G(s) как результирующую матрицу передаточных функций линейной подсистемы для рассматриваемой системы. Аналоrичным образом, F(y) можно трактовать как результирующий набор статических нелинейных операций. Теорию rиперустойчивости можно при менять ко всем систе мам, которые представимы в стандартной форме, показанной на рис. 8.18. Чтобы применить метод rиперустойчивости к линейной части G( s) системы управления, а также к ее нелинейной части, должен удовлетво ряться ряд условий. Предварительные условия для линейной подсистемы G(s) PL1: Матрица передаточных функций G( s) должна быть квадратной. Это значит, что число входов линейноrо блока (размерность BeK тора и) должно совпадать с числом ero выходов (размерность BeK тора у). Если «первичная система не удовлетворяет этому Tpe бованию, то надо ввести добавочные сиrналы, всеrда сохраняю щие нулевые значения, чтобы привести размерности матрицы G( s) к требуемым значениям. Пример процедуры TaKoro рода иллюстри рует рис. 8.19. PL2: Линейный блок G( s) должен быть полностью управляемым и Ha блюдаемым. В ряде случаев это условие управляемости можно ослабить (Ророу 1973; Landau 1979). Если все собственные значе ния матрицы А, не связанные с входами, представлены комплекс G(s) У1 У2 и1 = О u G*(s) У1 У2 v F(y) V2 V1 =0 F*(y) а) б) Рис. 8.19. «Первичная» система (а), не удовлетворяющая требованию PLl и ЭК вивалентная ей «вторичная» система (6), удовлетворяющая требованию PLl 
686 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления G(s) у * u G(s) у G*(s) у v I F(y) I * v I F*(y) I Р(у) а) б) в) Рис. 8.20. Стабилизация неустойчивых полюсов исходной линейной под системы G(s) (а) путем введения фиктивной степени свободы К (6) и новая, вторичная, стандартная форма системы (8), эквивалентная pac сматриваемой исходной форме (а) ными числами с отрицательными вещественными частями, а ча стичная матрица передаточных функций, описывающая полностью управляемую и наблюдаемую часть линейной подсистемы, явля ется cTporo положительной, тоrда рассматриваемая система будет rиперустойчивой, если удовлетворяются и остальные требования. PL3: Все передаточные функции Gij(s), являющиеся элементами матри цы G(s), должны быть устойчивыми (полюса всех Gij(s) должны представляться комплексными числами, вещественные части KOTO рых отрицательны). Если указанное выше условие не удовлетворя ется, то можно ввести в исходную систему такие фиктивные CTe пени свободы k ij , чтобы «законсервировать» входы первичных ли нейных блоков. Такие степени свободы вводятся в форме контуров (цепей) обратной связи для линейноrо блока G(s) и параллель ных связей, охватывающих нелинейную подсистему F(y), таким образом, чтобы сиrналы, исходящие из введенных связей, взаим но компенсировали бы друr друrа в рассматриваемой системе (см. рис. 8.20). Соотношение между первичной и вторичной система ми, представленными в стандартной форме, дается выражениями следующеrо вида: G*(s) == [1 + G(s)K]lG(s), F*(y): у* == у  Ку == F(y)  Ку. (8.34) Число ненулевых элементов в матрице К должно быть достаточ ным для стабилизации всех неустойчивых полюсов. Однако в ряде 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 687 случаев требуемое число ненулевых элементов меньше, чем число неустойчивых полюсов. Тоrда обосновать устойчивость труднее. Диапазон подходящих (доступных) значений коэффициентов k ij в матрице К оказывается весьма большим. Следует, однако, иметь в виду, что значения этих коэффициентов оказывают влияние на преобразование первичноrо оператора F(y) во вторичный опера тор F* (у), который также должен удовлетворять ряду требований, определяемых теорией rиперустойчивости. Удовлетворение этих требований может оказаться невозможным при неудачном выбо ре коэффициентов матрицы К. Из опыта рекомендуется выбирать значения этих коэффициентов после формулирования всех условий rиперустойчивости системы, имея в виду оба блока  линейный G(s) инелинейный F(y). Примеры, рассматриваемые в данном разделе, поясняют способ формирования матрицы К. PL4: Порядок числителя каждой отдельной передаточной функции в Gij(s), принадлежащей матрице передаточных функций G(s), должен быть выше, чем порядок ее знаменателя. Реальные объек ты управления всеrда удовлетворяют этому условию. Предварительные условия для нелинейной подсистемы F(y) PN1: Операция v  F(y) должна осуществлять однозначное отображе ние у в v. Нелинейные элементы с памятью rистерезисноrо типа (рис. 8.21) не удовлетворяют этому условию. PN2: Отображение v  F(y) должно удовлетворять условию обнуления (см. рис. 8.22): F(O)  о. (8.35 ) v у Рис. 8.21. Пример нелинейности rистерезисноrо типа; отображение, реализуе мое элементами с такой нелинейностью, является неоднозначным 
688 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления v у Рис. 8.22. Пример отображения F(y), которое удовлетворяет требованию обну ления PN2: v(O) == F(O) == О Если требования PLlPL4 для линейноrо блока и PNlPN2 для нели нейноrо блока удовлетворяются, то можно переходить к проверке OCHOB ных условий для линейноrо блока (ML) и нелинейноrо блока (MN). Основные условия rиперустойчивости (достаточные условия). Систе ма управления стандартноrо вида, показанная на рис. 8.20, а, а также эк вивалентная ей система, полученная таким введением фиктивных степе ней свободы в первичную систему, чтобы входы и выходы ее линейноrо и нелинейноrо блоков оставались неизменными после преобразования, будут асимптотически устойчивыми, если: ML: стационарная линейная часть G( s) является cTporo положитель ной; MN: нелинейная часть (блок) F(y) удовлетворяет интеrральному Hepa венству Попова t 1 == J VT(T)Y(T)dT  ;36, Vt > 0,;30 > О. о Если рассматриваемый нелинейный блок удовлетворяет условию (8.36), то линейный блок «автоматически» удовлетворяет условию rипе рустойчивости (8.30) (поскольку u == v). Таким образом, условие (8.36) определяет устойчивость линейноrо блока системы стандартноrо вида и, в конце концов, устойчивость такой системы в целом. Если примене ние условия ML к линейному блоку позволяет классифицировать дaH ный блок как положительно определенный (вместо cTporo положительно определенноrо), то систему стандартноrо вида можно считать нормально устойчивой или устойчивой. (8.36) 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 689 Разъяснения относительно условия ML, определяющеrо rиперустой чивость линейноrо блока. Матрица передаточных функций G(s) явля ется cTporo положительно определенной, если: 1) полюса всех компонентных передаточных функций Gij(s) размеща ются слева от мнимой оси комплексной плоскости переменной s, 2) матрица вида H(jw) == 0.5[G(jw) + GT(jw)] (8.37) положительно определенная эрмитова для всех w  о. Матрица H(jw) является эрмитовой положительно определенной, ec ли она одновременно будет положительно определенной и эрмитовой. Матрица называется эрмитовой, если (Schmitt 1996): H(jw) == HT(jw). (8.38) Матрица будет положительно определенной, если (Zurmi.ihl 1964): Q == ZТПZ > О для каждоrо вектора Z Е }Rn. (8.39) Друrой способ проверить, будет матрица положительно определенной или нет, состоит в анализе ее rлавных миноров M i с помощью теоремы Сильвестра (Opitz 1986). Обозначим через hJij элементы матрицы H(jw): H(jw) == (h ij ), (8.40) а через M i  ее rлавные миноры: !vI 1 == h 11 (jW), М 2 == hll(jW) h12(jW) h 21 (jw) h 22 (jw) (8.41) h 11 (jw) h 1n (jw) А1n == h n1 (jw ) hnn(jw) Матриuа H(jw) будет положительно определенной, если удовлетво ряется следующее условие: Al i (jw) > О, \/ш, i == 1, . . . , n. (8.42) Условие (8.39), как и эквивалентные ему условия (8.41) и (8.42), BЫ ражается обычно в форме системы неравенств, содержащих элементы стабилизирующей матрицы К. Чаще Bcero получается так, что матри ца H(jw) не является положительно определенной. Однако не следует 
690 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления j1m G(jw) * j1mG (jw) d Re mm Re G(jw) Re G*(j ш) а) б) Рис. 8.23. Сдвиr диаrраммы Найквиста (6) исходной линейной части G(jw) в результате добавления подходящеrо значения константы d к исходной переда точной функции (а) (SISОслучай) воспринимать этот факт слишком пессимистически. Остается еще воз можность использовать теорию rиперустойчивости. Введением фиктив ных степеней свободы можно заменить первичную систему такой вторич ной системой, для которой условия положительной определенности MaT рицы будут выполняться. В качестве наиболее простоrо примера можно рассмотреть систему с линейным блоком G(s) SISОтипа, что позволя ет показать, какими свойствами должны обладать добавочные степени свободы. Для такой SISОсистемы матрица H(jw) будет положительно определенной, если все полюса линейноrо блока устойчивы, а матрица H(jw), получаемая для G(jw) == G(jw), удовлетворяет неравенству H(jw) == O.5[G(jw) + С Т (jw)] == Re(jw) > о. (8.43) Условие (8.43) удовлетворяется, если представление для G(jw) в KOM плексной плоскости (диаrрамма Найквиста) целиком принадлежит пра вой полуплоскости (см. рис. 8.23, б). Реальные системы, не подверrавши еся корректировке, обычно этому требованию не удовлетворяют. Что бы выполнить данное требование, диаrрамму Найквиста первичноrо линейноrо блока G(jw) следует сдвинуть вправо. При этом величи на сдвиrа должна удовлетворять неравенству d > I Re G(jw) I для всех Re G(jw) < О (см. рис. 8.23). Преобразование первичной передаточной функции G(jw) во вторич ную С* (jw) должно быть увязано с модификацией первичноrо нелиней Horo блока Р. Эта модификация должна быть проделана таким образом, чтобы входные и выходные сиrналы линейноrо и нелинейноrо блоков остались бы неизменными. Степени свободы системы типа MIMO можно представить с помощью матрицы D. Способ введения матрицы D, позво ляющий выполнить сдвиr вправо для всех компонентных передаточных функций Си(Э) матрицы G(s), показан на рис. 8.24. 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 691 u G(s) у G(s) u G*(s) * у v I I у . F(y) v F(y) * у у + * I F*(y*) I у а) б) в) Рис. 8.24. Исходная система управления (а) и ее вторичные эквиваленты (6) и (8), полученные путем введения добавочных степеней свободы (представлен ных матрицей D), сдвиrающие вправо диаrраммы Найквиста для передаточных функцийкомпонентов, принадлежащих матрице G(s) Отношения между первичной системой и вторичной системой, пока занные на рис. 8.24, можно выразить в виде G*(s) == G(s) + D, F*(y*): v == F*(y*) == F(y + Dv). (8.44) (8.45) Выбор коэффициентов d ij матрицы D не представляет собой слож ной задачи. Выбор очень больших значений для коэффициентов, напри мер, d == 10]000, можно трактовать как простейший вариант получения матрицы о. Для больших коэффициентов d нет необходимости вычис лять значения Remin [G ij (jw)], поскольку сдвиrи, определяемые такими коэффициентами, заведомо достаточны для размещения всех элементов диаrраммы Найквиста G ij (jw) В правой полуплоскости. Проблема усложняется, если вспомнить, что матрица D изменяет TaK же нелинейный блок F(y), приводя ero к виду F*(y*), и что получен ный таким образом вторичный вариант данноrо блока не удовлетворя ет части требований. Рекомендуется осуществлять окончательный выбор матрицы D после формулирования всех условий rиперустойчивости для обеих частей (блоков), линейной и нелинейной, рассматриваемой систе мы. Выбор D на основе условия ML только для линейноrо блока может привести к тому, что условие MN дЛЯ нелинейноrо блока окажется не выполненным. В таком случае всю процедуру выбора матрицы D при 
692 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления дется повторить еще раз. Таким образом, на начальном этапе целесо образно обсудить условия, при которых линейная часть системы будет cTporo положительной, основываясь на соответствующих неравенствах, записанных в общем виде, коrда коэффициенты d ij еще не представлены их числовыми значениями. Сформулировать упомянутые выше условия относительно просто, ec ли компонентные передаточные функции G ij (s), принадлежащие матрице передаточных функций G( s) первичноrо линейноrо блока, имеют устой чивые полюса, а стабилизирующие степени свободы, представленные MaT рицей К (рис. 8.20), в исходную систему управления не вводились. В Ta ком случае значения Remin[Gij(jw)] можно определить в аналитической форме или же вычислительным путем. Существуют специализированные методы, позволяющие выполнить требуемый анализ. В качестве хороше ro при мера здесь можно упомянуть интересный метод, основанный на использовании кривых rиперустойчивости (Schmitt 1996). Если в процесс формулирования условий, при которых линейный блок будет положительно определенным, вовлечены элементы матриц К и D, то можно воспользоваться методом редукции Re(w) к подфункции НТО- poro порядка. Если условие, определяющее, коrда вещественная часть Re(w) будет положительно определенной, имеет вид функции BToporo порядка Re(w) == Е 2 ш 2 + Е 1 ш + Ео  о, rде E i == Ei(K, D), то удовлетворение следующих условий I:E2 > о, II:4E2Eo  (Е 1 )2 > о, rарантирует, что Re(w) будет положительно определенной для всех ш: [oo, 00]. Функцию TpeTbero порядка Re(w) == Езw З + Е 2 ш 2 + Е 1 ш + Ео можно преобразовать в функцию BToporo порядка, если ввести условие Е з == о. Таким образом, приведенные условия 1, 11 и Е з == О можно ис пользовать для формулирования требований к положительно определен ной функции Re(w) TpeTbero порядка. Функцию четвертоrо порядка R,e(w) == Е4ш4 + Е з w 3 + Е 2 ш 2 + Е 1 ш + Е10 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 693 можно свести к функции BToporo порядка, если принять Е4 == Е з == о. Задавая Е 1 == Е з == О и ш 2 == Х, опять получаем Re(x) BToporo поряд ка. Функцию пятоrо порядка Re(w) можно редуцировать до четвертоrо порядка, вводя условие Е5 == о. Условия, позволяющие продолжить pe дукцию и получить В итоrе функцию BToporo порядка, аналоrичны тем, что использовались выше для функции Re(w) четвертоrо порядка. Для функции Re(w) шестоrо порядка можно осуществить ее декомпозицию на функции BToporo порядка 11 (w) и 12 (ш): Re(w) == Е6ш6 + Е5ш5 + Е4ш4 + Езw З + E 2 w 2 + Е 1 ш + Ео == == ш4(Е6ш2 + Е 5 ш + Е 4 ) + Езw З + (E 2 w 2 + Е 1 ш + Ео). Теперь, вводя функции 11(Ш) == Е 2 ш 2 + Е 1 ш + Еа и 12(ш) == Е6 ш2 + Е 5 ш + Е 4 , можно решить рассматриваемую задачу, при меняя условия положитель ной определенности функций BToporo порядка к следующим соотноше ниям: Е з == О, 11 (ш) == Е 2 ш 2 + Е 1 ш + Ео > o 12(Ш) == Е6 ш2 + Е 5 ш + Е4 > о. Аналоrичные методы можно применить и к функциям Re(w) более высоких порядков, хотя такие функции для практических целей исполь зуются довольно редко. Первичная система управления стандартноrо вида и ее эквивалент ное вторичное представление показаны на рис. 8.25. Вторичная система управления «оснащена» контурами обратных связей, описываемыми MaT рицами К и D. По этой причине условия rиперустойчивости линейноrо и нелинейноrо блоков обычно формулируются на основе вторичных фОрl\l, показанных на рис. 8.25, 6. Соотношения между первичной системой и ее вторичным эквивалентом можно выразить в виде G*(s) == [1 + G(8)K]lG(s) + D, F*(y*): v* == v  Ку == F(y* + Dv*)  К(у* + Dv*). (8.46) Введение фиктивных степеней свободы (матрицы К и D) выrлядит неким математическим приемом. Эти степени свободы, однако, очень важны и необходимы. Они связывают вместе линейный блок G( s) и нели нейный блок F(y) и позволяют сделать так, чтобы проверка устойчиво сти основывалась на одновременном (совместном) изучении линейноrо 
694 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления * + * * u У u u У У G*(s) У G(s) G(s) К * * v I Р(у) I у v I Р*(у *) I у к * у * v  v I Р(у) У Рис. 8.25. Исходная система управления (а) и полная структурная схема ДЛЯ ее эквивалентной вторичной формы, которая содержит добавочные степени CBO боды К, D (6), а также результат ее преобразования в систему со стандартной структурой (в) и нелинейноrо блоков. Устойчивость системы зависит от Toro, насколько хорошо все элементы системы соответствуют друr друrу, именно по этой причине оба блока должны рассматриваться совместно. Разъяснения относительно условия MN, определяющеrо rиперустой чивость нелинейноrо блока. Исходная форма интеrральноrо HepaBeH ства Попова (8.36) неудобна для ее использования в качестве средства проверки rиперустойчивости нелинейноrо блока. Однако, если подынте rральное выражения неотрицательно, то условие (8.36) удовлетворяется. Это значит, что вместо (8.36) можно рассматривать вторичное условие: yT(t)y(t)  о, Vt  о. (8.47) Разумеется, условие вида (8.47) вводит добавочные оrраничения на нелинейный блок (по сравнению снеравенством (8.36)), которые сужают используемый класс нелинейных функций, однако это плата за суще ственное упрощение необходимоrо анализа. Условие (8.47) должно yдo влетворяться для всех t  о. Если нелинейный блок является статиче ским, то выражение (8.47) не зависит от времени. Нелинейное отображение у  F(y) для нечеткой системы представ ляет собой секторное отношение, т. е. вид функции F(y) зависит от Toro, какому сектору входноrо пространства принадлежит текущее значение вектора у. По этой причине надо сформулировать и проверить вторич 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 695 ное условие для нелинейноrо блока (8.47) в каждом секторе входноrо пространства. Если размерности для v и у имеют вид v : (р, 1), у : (р, 1), то условие (8.47) можно выразить как сумму вида р р L ViYi == L Fi(Y)Yi  О, i==l i==] (8.48) rде Fi(Y) == Vi . Вторичная форма условия Попова обычно формулируется для вторич ной системы управления, которая имеет фиктивные степени свободы К и D. Следовательно, ее можно выразить в пространстве {v*,y*} вторич ной системы с помощью соотношения р у*Ту* == L v7y7  о. i==l (8.49) Точно такое же условие Попова, выраженное в пространстве {v, у} исходной (первичной) системы, дается соотношением [F(y)  Ку]Т {у  D[F(y)  Ку]}  о. (8.50) Если матрица К выражается через векторстроки K i : k 11 k 1p Kl К== k p1 kpp Кр rде K i == [k i 1, . . . , k ip ] , i == 1, . . . , р  а матрица D  через векторстроки D i : d 11 d 1p Dl D== d p1 d pp Dp rде D i == [d i1 ,..., d ip ], i == 1,..., р, то условие (8.50) для нелинейноrо блока принимает вид суммы всех рвыходов (l)i == F i (у): р L[Fl(Y)  Kiy] {У;  D;[F(y)  Ку]}  О. i== 1 (8.51) 
696 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Преобразование вторичной формы условия Попова для нелинейно ro блока к входному пространству исходной (первичной) системы (BeK тор у  единственная переменная в (8.51» очень полезно, поскольку входное пространство делится на l секторов, связанных с операциями нечеткоrо реrулятора, а это значит, что условие (8.51) можно непосред ственно сформулировать в исходном пространстве для каждоrо из ceKTO ров. Таким образом, нет необходимости переносить секторы в исходном пространстве во вторичное пространство входов у*. Чтобы упростить требуемый математический анализ, условие (8.51) можно разделить на р условий, связанных с конкретными выходами нели нейноrо блока Vi == Fi(y) (B6hm 1995): [РI (у)  к 1 у] {УI  DI [F(y)  Ку]}  О, (8.52) [Рр(У)  КрУ] {Ур  Dp[F(y)  Ку]}  О. Конкретное неравенство из системы (8.52) можно трактовать как эле мент cocTaBHoro условия (8.51). Удовлетворение требований, обеспечива ющих положительную определенность всех этих элементов, является бо лее трудным, чем та же самая задача для суммы (8.51), порожденной KOM понентами (8.52). Рекомендуется, однако, проверить возможность удовле творения условий rиперустойчивости (8.52) за счет подходящеrо выбора матриц К и D. Если эти попытки окажутся неудачными, следующий шаr состоит в том, чтобы попытаться проверить условия, задаваемые полной суммой (8.51). Оба условия, т. е. (8.51) и (8.52), являются функциями стабилизирую щей матрицы К, а также матрицы D, которые обеспечивают положитель ную определенность линейноrо блока (ero диаrрамма Найквиста значи тельно сдвинута вправо). Матрицы К и D обычно состоят из небольшо ro числа элементов (степеней свободы). Например, если линейный блок системы имеет 2 входа и 2 выхода, то общее число степеней свободы равняется 8, тоrда как полное число условий rиперустойчивости для си стемы в целом обычно HaMHoro больше. Данное обстоятельство являет ся результатом Toro, что имеется большое число рабочих секторов для нечетких реrуляторов. Один из примеров, приводимых далее, показывает, что общее число условий rиперустойчивости равняется 70 (!). Нетрудно понять, что задача решения 70 неравенств путем подбора значений 8 пе ременных будет очень непростой. Иноrда данная задача может вообще не иметь решения. Итак, введение большоrо числа фиктивных степеней 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 697 + G(s) * и ** G (s) ** у * и и * v ** ** F (у ) * v I F(y) v а) б) Рис. 8.26. Вторичная система управления, которая содержит максимальное чис ло фиктивных степеней свободы  результат первоrо этапа расширения линей ной и нелинейной частей системы: а) развернутая форма, 6) свернутая форма свободы ВО вторичную систему может оказаться единственным способом, который дает возможность подтвердить устойчивость системы. Если число степеней свободы, «поставляемых» матрицами К и D, недостаточно для доказательства устойчивости системы, то в этом случае можно ввести добавочные фиктивные степени свободы rii, i == 1,... ,р; это осуществляется в матричной форме: (  ) == diag (  , . . . ,  ) , r i i r 11 r рр ( r i i) == d i а g (т 11, . . . , r рр) . ( 8 . 53) Способ введения добавочных степеней свободы во вторичную систему управления иллюстрирует рис. 8.26. Соотношение между исходной (первичной) и вторичной системами определяется следующими зависимостями: G**(s) == (rii) [1 + G(s)K]lG(s) + (rii)D (  ) , ТU F ** ( ** ) * К У :v ==v у== (8.54 ) == [1  KD ( T,) ]  1 F [ ( T,) у** + D ( T,) у*]  к ( T,) у**. 
698 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Если число рабочих секторов, при надлежащих входному простран ству нечеткоrо реrулятора, очень велико (это число быстро растет в двух ситуациях: при увеличении числа входов нечеткоrо реrулятора и при YBe личении числа нечетких множеств, сопоставленных входам и выходам каждоrо из реrуляторов), то может случиться так, что потребуется BBe сти еще большее число фиктивных степеней свободы. Точно такая же необходимость может возникнуть, если не удается доказать rиперустой чивость системы даже после «употребления» всех степеней свободы, по казанных на рис.8.26 (матрицы К, D, (l/rii), (rii)). Это не надо BOC принимать как свидетельство неустойчивости рассматриваемой системы управления, поскольку рассматриваемая теория устойчивости порож- дает так называемые достаточные условия устойчивости. Это означает, что система, удовлетворяющая условиям устойчивости, будет несомненно устойчивой. Если же данная система этим условиям не удовлетворяет, то она может оказаться как устойчивой, так и неустой чивой (окончательное решение по этому вопросу не может быть BЫHe сено). Таким образом, если условия rиперустойчивости не выполнены, не следует пренебреrать дальнейшими попытками доказать устойчивость системы. Шансы на успех в этом случае остаются, особенно если наблю дения за работой реальной системы позволяют предположить ее возмож ную устойчивость. Чтобы добиться успеха при обосновании устойчивости в следующей попытке, можно попытаться расширить пространство BBe дением BToporo уровня фиктивных степеней свободы (см. рис. 8.27). Читателям, усомнившимся в том, что расширение пространства BBeдe нием BToporo уровня степеней свободы представляет собой эффективный метод, следует принять во внимание, что rиперустойчивость для боль шинства исходных (первичных) систем (рис. 8.18, а) доказать нельзя, по скольку обычно не удовлетворяются даже предварительные требования, обеспечивающие допустимость применения данноrо метода (одинаковое число входов и выходов для линейноrо блока, устойчивость всех полюсов, представляющих линейный блок, требование о том, что система должна быть положительно определенной). Несмотря на эти затруднения, можно успешно доказывать rиперустойчивость системы посредством введения фиктивных элементов, взаимно компенсирующих друr друrа. Для cpaB нения, нельзя решить уравнение х 2 + а 2 == О, (8.55) в одномерном пространстве Х, но решение может быть найдено в ДBY мерном пространстве, определяемом действительной и мнимой осями (см. рис. 8.28). 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 699 D 2 ( r,) D( ;J Dl ( r,) **** у ( ;J ( r,) ( r) Dl ( r,) D 2 ( r,) а) б) Рис. 8.27. Система, «оснащенная» степенями свободы первоrо уровня (а), и ее расширение путем введения степеней свободы BToporo уровня (6) jImx O+ja Re х Oja (x+ja)(xja)=O Рис. 8.28. Корни уравнения х 2 + а 2 == О в комплексной плоскости Если реальная задача выrлядит неразрешимой, то соrласно так Ha зываемому «общему принципу математическоrо моделирования» (Bezdek 1993) рекомендуется расширить пространство решений. Введение доба вочных степеней свободы означает, что математическая форма условий rиперустойчивости все более и более усложняется. Существуют специ ализированные компьютерные проrраммы, которые MorYT оказаться по 
700 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления лезными при подrотовке и проверке условий устойчивости, так как они позволяют осуществлять преобразования сложных математических BЫ ражений, записанных в общем виде. Добавочные степени свободы означают, что вторичный линейный блок G ** (s), а также вторичный нелинейный блок F** (у**) содержат больше переменных (степеней свободы), чем соответствующие исходные блоки G(s) и F(y) (в сущности, G(s) и F(y) вообще не имеют степеней свободы). По этой причине добавочные степени свободы дают возмож" ность сформировать BXOДBЫXOДHыe отображения таким образом, чтобы удовлетворялись условия rиперустойчивости (эта задача будет реализуе.. мой, если реальная система является устойчивой). Расширение простран.. ства системы путем введения более высоких уровней степеней свободы дает шанс доказать rиперустойчивость каждой из (rипер)устойчивых pe альных систем. Подведем итоr, перечислив следующие шаrи af, которые определя.. ют последовательность рекомендуемых действий при исследовании rипе.. рустойчивости непрерывной системы управления в частотной области: а) Преобразовать схему системы управления к стандартному виду (пер вичная система), включающему линейный и нелинейный блоки. Ь) Проверить, удовлетворяются ли предварительные требования, обеспе чивающие возможность применения теории rиперустойчивости. Если да, то выполнить действия, предусмотренные шаrом с), если нет, то перейти к шаrу d). с) Проверить rлавные условия rиперустойчивости системы. Если эти условия выполнены, то доказательство завершено, в противном слу.. чае перейти к шаrу е). d) Ввести фиктивные степени свободы и сформулировать предваритель" ные требования, задаваемые в виде уравнений инеравенств, содер" жащих вводимые степени свободы в качестве переменных. Перейти к шаrу е). е) Ввести фиктивные степени свободы и сформулировать предваритель.. ные требования, задаваемые в виде уравнений и неравенств, в которые введенные степени свободы входят как переменные. f) Найти такие значения степеней свободы, которые будут одновремен" но удовлетворять предварительным требованиям и основным услови" ям rиперустойчивости. Если такие значения найдены успешно, это значит, что rиперустойчивость системы доказана. В случае неудачи дальнейшие попытки можно прекратить. В этих условиях заключение 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 701 Y1FO u 2 1+8 у W==l u 2 l+s у U r  Yr  V,.  О U r  1/3., Yr  213., V r == 2/3 v 2  2 Wl ==0 иl 2 l+s у, v 2 2 б) lV 1 == И)  1 Vl U 1 == U  1 /3 V УI == У  2/3 2 V1 == V  2/3 УI 2 2 у 2 2) а) Ulr == У11' == V1 r == О Vl в) Рис. 8.29. Система стандартноrо вида, на которую воздействует задающий сиr нал 'И) == О И ее состояние равновесия (а); воздействие на систему сиrнала w == 1 и ее состояние равновесия (6); воздействие на систему сиrнала w == 1 после введения новых переменных и ее состояние равновесия (в); расположение новой статической характеристики нелинейной части объекта Vl == Р(Уl) В сравнении с исходной характеристикой V == Р(у) (2) об устойчивости системы сформулировать нет возможности. Если Ha блюде ни я, проведенные над реальной системой, показывают, что она устойчива, то процесс следует продолжить, вернувшись к шаrу d). После Toro как для вторичной системы определены значения степеней свободы, удовлетворяющие условиям rиперустойчивости, можно исследо вать также некоторые начальные требования, например, управляемость и наблюдаемость линейноrо блока. Если rиперустойчивость исследуется для сиrнала w -# о, то следует ввести новые координаты (переменные). Эти «новые» координаты должны представлять новую точку равновесия для рассматриваемой системы. Ta кая замена переменных связана с необходимостью сдвинуть нелинейную характеристику Р(у). Характерный пример представлен на рис. 8.29. .... ... 
702 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления иl 1 Уl s2+ s U ... 1 У ... s2+ s  v  у F(y) а) б) Рис. 8.30. Система управления, включающая статический реrулятор (а), а TaK же ее преобразование к стандартному виду (6) Значения переменных, представляющих состояние равновесия, можно вычислить путем решения дифференциальных уравнений, описывающих работу рассматриваемой системы. Рассматривая пример, приведенный на рис. 8.29, можно сделать вывод, что система стандартноrо вида, на KO торую воздействует ненулевой задающий сиrнал ш #- о, эквивалентна системе, на которую действует сиrнал Ш] == о, со смещенной характери стикой ее нелинейноrо блока (начало новой системы координат должно быть смещено в новую точку равновесия системы [и т , Ут, V r ]). При мер 8.3.1.1. Исследование rиперустойчивости нечеткой системы типа SISO Вернемся вновь к системе, которая рассматривалась в при мере 8.2.1. В нем для проверки устойчивости системы использовался круrовой кри терий. Эта система показана на рис. 8.30. Нечеткий реrулятор здесь pea лизует статическое отображение, которое можно представить с помощью некоторой нелинейной характеристики, составленной из отрезков прямых линий. Проверка условия PLl (число входов линейноrо блока должно быть paB но числу ero выходов). Условие удовлетворяется. Проверка условия PL2 (линейный блок должен быть полностью управ ляемым и наблюдаемым). Данное условие будет проверено позже, после введения (если потребуется) фиктивных степеней свободы. Проверка условия PL3 (вещественные части полюсов передаточных функций должны быть отрицательными). Имеется два полюса: 81 == 1 и 82 == о. Изза значения BToporo полюса 82 условие PL3 не удовле творяется. Чтобы преодолеть данное затруднение, можно ввести фиктив ную степень свободы k как в линейный блок, так и в нелинейный (см. рис. 8.31). 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 703 * u u 1 s2+ s у * u 1 У s2+ s +k G*(s) G(s) F(y) I у F(y) I у а) б) Рис. 8.31. Система стандартноrо вида после введения добавочной степени CBO боды k: развернутое представление (а) и частично свернутое представление (6) Теперь полюса 81, 82 вторичноrо линейноrо блока С* (8) принимают значения 81 == 0.5 (  1 + V l  4k), 81 == 0.5 (  1  V l  4k) . (8.56) Вещественные части обоих полюсов отрицательны, если k удовлетво ряет условию k > о. (8.57) Проверка условия PL4 (порядок числителя передаточной функции С*(8) не должен быть выше порядка знаменателя). Условие удовлетворя ется. Проверка условия PNl (отображение v* == Р* (у) должно быть однознач ным). Как следует из рис. 8.32, отображение, представляемое «новой» характеристикой нелинейноrо блока, является однозначным. Это значит, что условие PNl удовлетворяется. * v (1  ke p )  ер   (1  ke p ) Рис. 8.32. Статическая характеристика нелинейной части системы после BBe дения фиктивной степени свободы k 
704 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Проверка условия PN2 (отображение v* == Р*(у), реализуемое нели нейным блоком, должно удовлетворять условию Р*(О) == О). Из рис. 8.32 видно, что это условие выполняется. Проверка OCHoBHoro УСЛОВИЯ PL (линейный блок С* (.,,) должен быть cTporo положительным вещественным). Это условие можно разделить на несколько отдельных требований, предъявляемым к различным компо нентам. 1. Полюса передаточной функции С* (s) должны размещаться слева от мнимой оси комплексной плоскости переменной s. Для k > О дaH ное условие выполняется. 2. Матрица H(jw) линейноrо блока G*(s) должна быть положительно определенной для всех w > О и эрмитовой. Величины С* (jw) и С* (  jw) можно выразить, соответственно, сле дующим образом: k 2 . С* ( . ) ИJ JW JW == (k  ИJ 2 )2 + ИJ 2  (k  ИJ 2 )2 + ИJ 2 == == Re*(w) + j Im*(w), k 2 . С* ( . )  W JW Ju; == (k  u;2)2 + "р + (k  u;2)2 + w 2 == == Re*( w) + j Im*( w). (8.58) (8.59) Соrласно (8.37) матрица H*(jw) принимает вид H*(jw) == 0.5 [C*(jw) + G*T(jw)] H*(jw) == H*(jw). k  ИJ 2 ( k 2) 2 2 == Re * ( u; ) , ИJ +ИJ (8.60) Т.е. она является эрмитовой. Рассматриваемая матрица будет положительно определенной (форму ла (8.39) или (8.42)), если Re*(w)  о. rрубо rоворя, частотная xapaKTe ристика С* (jw) должна размещаться в правой полуплоскости комплекс ной плоскости. Из рис. 8.33 видно, что это условие не удовлетворяется. Анализ выражений (8.60) позволяет сделать утверждение о том, что Re*(w)  О для w  Vk, а максимум для I Re*(w)1 в рассматриваемом частотном диапазоне равен 11/(1 + 2Vk)I. Таким образом, для удовле творения рассматриваемых требований необходимо добавить фиктивную степень свободы d (см. рис. 8.34). 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 705 j 1т jlm Ю=оо l/k d d+ l/k Re 1 1+2Jk w=Jk а) w w б) Рис. 8.33. Частотная характеристика С* (jw) до введения степени свободы BTO poro уровня d (а) и результат введения степени свободы BToporo уровня (6) После добавления фиктивной степени свободы d вещественную часть дЛЯ С** (jw) можно записать в виде Re**(w) == (k k )2 2 + d == Re*(w) + d. ш +ш (8.61) в силу Toro, что Re*(w)  1/(1 + 2Vk), частотную характеристику следует сдвинуть вправо, за мнимую ось. При этом величина сдвиrа d будет удовлетворять условию 1 d 1 + 2Jk . (8.62) * * * u 1 u 1 +d у s2+ s +k s2+ s +k G*(s) G**(s) k k *  v I у v F(y) F(y) У + + а) б) Рис. 8.34. Система управления, включающая степени свободы k и d, представ ленная развернутой схемой (а) и частично свернутой схемой (6) 
706 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления * v == v  ky * у == у + dv * v F(y) I у * у + Рис. 8.35. Нелинейная часть, включающая фиктивные степени свободы Отметим, что минимальная величина (8.62) сдвиrа d зависит от k. Ec ли значение k уже определено ранее (сразу после анализа устойчивости полюсов дЛЯ С* (s)), то минимальное значение d можно найти заранее. Однако степени свободы d и k должны также удовлетворять и условиям для нелинейноrо блока. Поэтому может потребоваться менять значения d и k в широких пределах. Основное условие MN дЛЯ нелинейноrо блока Здесь вторичное условие Попова (8.47) принимает вид v*y*  о. (8.63) Условие (8.63) после ero преобразования к первичному пространству [v, у] приводит К выражению {и*у* == (v  ky)[y  d(v  ky)]  о. ( 8.64 ) Данное условие можно привести к виду v*y* == dv2  (k + dk 2 )y2 + (1 + 2kd)yv  о. (8.65) Выражение (8.65) будем, для удобства, именовать параболой Попова. Неравенство (8.64) можно, однако, упростить. Если обозначить v  ky == А, то (8.64) можно пере писать в виде А(у  dA) == Ау  dA 2  О, следовательно, Ау  dA 2 . Так как А 2  О, получим в итоrе: у d  А ' А # о. (8.66) 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 707 Условие (8.66) имеет место как для положительных, так и для отри цательных А. Ero можно также представить в более удобном виде, если разделить на два неравенства: у  dA  О для А > о, у  dA  О для А < о. Подставляя исходные значения вместо А, получим преобразованную форму условия Попова: у d , v  ky у d . Р(у)  ky (8.67) Анализ устойчивости системы можно выполнить с использованием параболы Попова (8.65) или, в упрощенном варианте, на основе выраже ния (8.67). Из (8.18) получается, что статическую характеристику нелинейноrо блока Р(у) можно представить в виде v == Р(у) == Шl + JL Ш2 + wз, ер rде Шl, Ш2, WЗ представляют собой лоrические переменные, которые определяют принадлежность текущеrо значения у одному из отдель ных подпространств, составляющих пространство для переменной у (см. рис. 8.36). Условие (8.67) должно удовлетворяться для каждоrо ceK тора нелинейноrо блока Р(у). (8.68) Для nepooro сектора Шl == 1, rде v ==  1, получим условие Попова (8.65) в виде fl(y) == (k + dk 2 )y2  (1 + 2dk)y  d  о. (8.69) v 1  I I I I , , I I I  ер : ер , I I I I I I I I I I :   1 I I , I I I .'. у Wl == 1 для у sep W2 == 1 для  ер < у s ер Wз == 1 для у > ер .'. Wl W2 Wз Рис. 8.36. Статическая характеристика нелинейной части (нечеткоrо реrулятора) Р(у) 
708 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления 11 (у) о у Рис. 8.37. rрафическое представление условия Попова для нелинейной части сектора Wl == 1 rрафическое представление данноrо условия показано на рис. 8.37. Из рис. 8.37 следует, что устойчивость системы можно обосновать для следующеrо диапазона, принадлежащеrо сектору Шl == 1: Уl  У  ep. Ширина данноrо диапазона увеличится, если найти подходящие зна чения для k и d, удовлетворяющие всем условиям rиперустойчивости. Эти условия для первоrо сектора можно получить, используя параболу Попова (рис. 8.37) или упрощенный вид критерия Попова (8.67). Для пер Boro сектора v == Р(у) == 1. Тоrда упрощенное условие Попова можно записать следующим образом: y d < k ' 1 + у 1 для У < О, k 1=   . у (8.70) rрафическое представление этоrо условия в пространстве [k, d] пока зано на рис. 8.38. Из рис. 8.38 ясно видно следующее оrраничение: жела ние показать устойчивость системы на более широком диапазоне значе ний переменной у приводит к тому, что подпространство [k, d], представ ляющее возможные значения коэффициентов k и d, становится меньше (заштрихованное поле на рис. 8.38). Если диапазон значений при доказательстве устойчивости в простран стве [у] слишком велик, может случиться так, что устойчивость системы не удастся показать вообще. По этой причине принимается, что область проверки устойчивости выrлядит так, как это представлено на рис. 8.37: ep  1  у  ep. 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 709 d d<O Рис. 8.38. rрафическое представление упрощенноrо условия Попова для перво ro сектора нелинейноrо объекта Для ер == 1 имеет место неравенство 2  у  1. (8.71) в силу неравенства k + dk 2 > О, ветви параболы Попова направлены вниз (см. рис. 8.37). Из соотношения между точками, порождающими данную параболу, можно сделать заклю чение о том, что удовлетворение условия Попова в двух точках у == ep и у == ep  1 означает выполнение этоrо условия во всех точках, принад лежащих области (8.71). Тоrда условия Попова для всей области (8.71) принимают вид d < 1 1  k ' d 2 < 1  2k ' для у == ep ==  1, k =1=- 1, (8.72) для у == ep  1 == 2, k #- 0.5. (8.73) Эти условия можно представить в rрафическом виде так, как это по казано на рис. 8.39. В конечном итоrе можно сделать вывод, что оба условия, (8.72) и (8.73), удовлетворяются, если k и d принадлежат под пространству, определяемому неравенствами о < k < 0.5, 1 d < k . 1   (8.74) Для BToporo сектора Ш2 == 1, rде v == Р(у) == у/ер (см. рис. 8.36), получим условие Попова (8.65) в виде f2(Y)== [( :р k) d( elp k)2]y2O, (8.75) 
710 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления 2 d < 1  2k d< lk k=1= 0.5 k* 1 о 0.5 1 k Рис. 8.39. rрафическое представление условий Попова для первоrо сектора нелинейноrо части объекта 12 (у) ep: О :е р у I I I I I I I 1 I I W2== I I I '.. .' Рис. 8.40. rрафическое представление условия Попова для BToporo сектора нелинейноrо части объекта что может быть rрафически представлено так, как это показано на рис. 8.40. Упрощенная форма условия (8.75) получается из (8.67): d < у (у/ер)  ky , ki. ер Для выбранноrо значения ер == 1 получим 1 d< lk ' k#l. (8.76) Это значит, что вид условия (8.76) для BToporo сектора идентичен ви" ду условия (8.72) для первоrо сектора. Условие (8.72) rрафически пред ставлено на рис. 8.39. 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 711 1з (у) о ер: I I I 1 I 1 w = 1 '... 3 у Рис. 8.41. rрафическое представление условия Попова для TpeTbero сектора нелинейной части объекта Для TpeTbero сектора WЗ == 1, [де v == Р(у) == 1, условие Попова (8.65) принимает вид !з(у) == (k + dk 2 )y2 + (1 + 2kd)y  d  о. (8.77) rрафически оно может быть представлено так, как это показано на рис.8.41. Соrласно неравенству (k+dk 2 ) >0, вершина параболы Попова в третьем секторе размещается над ее ветвя ми, как это видно из рис.8.41. Из соотношения, полученноrо для точек, порождающих данную параболу, следует вывод о том, что удовлетворение условия Попова в двух точках у == ер и у == ер + 1 означает выполнение этоrо условия для всех точек, принадлежащих области проверки в целом: ер  у  ер + 1. Таким образом упрощенные условия Попова (8.67), определенные на всей проверяемой области, можно выразить в виде для у == ер + 1, k # , ер k # 1 . ер + 1 (8.78) d < ер 1  ke ' р d ер + 1 < lk(f'p+l)' для у == ер, Если подставить выбранное значение ер == 1 в (8.78), получим: d< 1 для У == 1, k # 1, 1  k ' d< 2 для У == 2, k # 0.5. 1  2k ' (8.79) (8.80) 
712 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления d 1 d< 1 k 2  (0.1,1) d> 1 1+2Д о 0<k<0.5 0.5 k Рис. 8.42. rрафическое представление всех условий rиперустойчивости в зави симости от выбора значений коэффициентов k и d, для ер == 1 (коэффициент усиления реrулятора 1/ ер == 1) Условия (8.79) и (8.80) для TpeTbero сектора идентичны соответствую щим условиям (8.72) и (8.73) для первоrо сектора. Условия (8.72) и (8.73) rрафически представлены на рис. 8.39. Все условия, сформулированные как для линейноrо, так и для нелинейноrо блока, были собраны воедино с тем, чтобы получить окончательный результат: k > О, d > 1 1 + 2Д , 1 d < k . 1 (8.81) о < k < 0.5, rрафическое представление соотношения (8.81) показано на рис. 8.42. Как видно из рис. 8.42, для всех условий имеется общее подпростран ство, позволяющее сделать соответствующий выбор значений для k и d. Например, выбор k == 0.1 и d == 1 (рис.8.42) удовлетворяет всем условиям окончательноrо вида, задавае мым соотношениями (8.81). Однако изучение устойчивости реrулятора, коэффициент усиления KOToporo имеет более высокое значение во BTO ром секторе (ер == 0.2, l/е р == 5) приводит К противоположному выводу. А именно, не существует общеrо подпространства, обеспечивающеrо BЫ бор значений коэффициентов, удовлетворяющих всем условиям устойчи вости (см. рис. 8.43). Можно вновь повторить, что рассматриваемые условия rиперустойчи вости должны трактоваться как достаточные условия. Это значит, что отсутствие общеrо подпространства для выбора значений k и d в случае 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 713 d 1 d> 1 0.354  I 1 + 2Jk 0.240   0.2 d< 0.2 1  0.2k о 0< k< 0.833 0.833 k Рис. 8.43. rрафическое представление условий устойчивости системы в зависи мости от выбора степеней свободы k и d для больших значений коэффициента усиления 1/ ер == 5 (ер == 0.2) рассматриваемоrо реrулятора больших значений коэффициента усиления реrулятора l/е р == 5 не сви детельствует о неустойчивости системы. Соrласно предложенной ранее рекомендации, можно попытаться доказать устойчивость системы путем добавления новых степеней свободы. Исследование системы со мноrими степенями свободы обычно представляет собой достаточно трудоемкую задачу, однако зачастую это единственный шанс обосновать устойчивость системы. А такое обоснование обязательно при реализации нечетких pe rуляторов для промышленных применений. Для приемлемых значений степеней свободы k и d (k == 0.1, d == 1) можно довольно просто проверить управляемость и наблюдаемость ли нейноrо блока 0**(8) (см. рис. 8.34): 1 G**(s)==G*(s)+d== s2+s+k +d. Для выбранных значений k == 0.1 и d == 1 передаточная функция С** (8) принимает вид (8.82) G**(s) == 1 + 1 == 1.291 82+8+0.1 8+0.1127 1.291 1 +. 8 + 0.8873 (8.83) Представление переменных состояния на рис.8.44 показывает, что все эти переменные Хl, ;1>2, ХЗ являются управляемыми по входу и* и Ha блюдаемыми по выходу у* (Markowski 1985). Точно такой же результат можно получить и применением для проверки управляемости и наблюда емости системы строrих теоретических правил (Gunther 1984). 
714 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления * и (t) Xl(t) Рис. 8.44. Модальное представление линейной части G**(s) через переменные состояния Хl, 'у2, ХЗ 0.6126 : G*(jro ) . ** G**(jro)== G*(jro) + 1 Jlm : 0.3874 1 11 Re* а) б) Рис. 8.45. Сдвиr частотной характеристики С* (juJ) (а) в результате введения степени свободы d == 1 (б) Из рис. 8.45, а видно, что характеристика С* (jw) содержит только одну степень свободы k, введенную для стабилизации. Как показывает рис. 8.45, б, характеристика С** (jw) включает степень свободы k и доба вочную степень d, введенную для Toro, чтобы вещественная часть xapaK теристики С** (jw) стала положительно определенной. . 8.3.2. Условия во временной области для rиперустойчивости u непрерывных нелинеиных систем управления, u включающих стационарную нелинеиную часть Пусть уравнения для линейноrо блока системы в ее пространстве COCTO яний имеют вид х( t) == Ах( t) + Ви( t), y(t) == Cx(t) + Dou(t). (8.84) 
8.3. При мене ни е теории rиперустойчивости 715 u х==Ах+Ви у ... ... у == Сх + Do u .... v I F(y) I  Рис. 8.46. Система управления стандартноrо вида, описываемая уравнениями состояния Система управления стандартноrо вида (рис.8.46) будет (асимпто тически) rиперустойчивой (Opitz 1993), если выполняются следующие условия. PLl: Число входов Ui линейноrо блока равняется числу ero выходов Yi, т. е. векторы u и у должны быть одной размерности. ML: Уравнения КалманаЯкубовича вида (8.85) имеют решение, вклю чающее положительно определенную матрицу р, некоторую (pery лярную) матрицу L и некоторую матрицу У: А Тр + р А ==  L L Т , С  вТр == yTL T , DJ + Do == уТу. (8.85) Пояснения Квадратная матрица называется реrулярной (неособенной, невырожден ной), если ее строки или столбцы линейно независимы (Zurmi.ihl 1964). Определитель det L невырожденной матрицы L удовлетворяет условию det L # о. Условия для нелинейноrо блока F(y) идентичны рассмотренным pa нее, rде линейный блок представлялся в частотной области матрицей передаточных функций G( s). Чтобы доказать rиперустойчивость, используя условие ML (8.85), Ha до найти три таких матрицы р, L, У, которые будут удовлетворять ypaB нениям КалманаЯкубовича. Обычно получается так, что эти уравнения для первичной системы решения не имеют и требуется вводить фиктив ные степени свободы в виде матриц К, D, (rii), (l/rii). Метод введения таких степеней свободы рассматривался в разд.8.3.1. Наличие добавоч ных степеней свободы изменяет исходный вид уравнений состояния для 
716 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления линейноrо блока (8.84), а также первичный вид уравнений Калмана Якубовича (8.85). Похоже, что анализ условий rиперустойчивости в пространстве COCTO яний представляет собой трудоемкую проблему, а «прозрачность» данной проблемы оставляет желать лучшеrо. Чтобы упростить данный анализ и сделать ero более наrлядным, можно заменить представление во Bpe мен ной области для линейноrо блока представлением в частотной обла сти, используя известное соотношение G(s) == C(sI  A)lB + Do, (8.86) что обеспечивает последующий анализ соrласно правилам, представлен ным в разд.8.3.1. 8.3.3. Условия rиперустойчивости в частотной области для u дискретных нелинеиных систем управления, u содержащих стационарную нелинеиную часть Схема рассматриваемой системы управления стандартноrо вида показана на рис. 8.47. Если линейная часть системы описывается уравнениями состояния Xk+l == АФk + HUk, Yk == CXk + DOUk, (8.87) то матрицу передаточных функций G(z) можно вычислить, используя выражение G(z) == C(zI  ф)lн + Do. (8.88) Прежде чем переходить к проверке rиперустойчивости системы, сле дует удостовериться в том, что выполнен ряд предварительных условий. Условия, схожие с этими, были сформулированы для непрерывной систе мы в разд. 8.3.1. Wk=O Uk G(z) Yk Vk I F(y) I Рис. 8.47. Система управления стандартноrо вида с линейной частью, представ ленной матрицей дискретных передаточных функций G(z) 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 717 Uk G(z) Ylk Y2k Ulk == о U2k G*(z) Ylk Y2k Vk F(Yk) V2k VlkO I P*(Yk) I а) б) Рис. 8.48. Исходная система (а) с различающимся числом входов и выходов (условие PLl не удовлетворяется) и ее вторичный эквивалент (6), удовлетворя ющий PLl Предварительные условия для линейноrо блока G(z) PLl: Матрица передаточных функций G(z) должна быть квадратной, т. е. число входов линейноrо блока (размерность вектора Uk) долж но быть равно числу ero выходов (размерности вектора Yk). Если для первичной системы эти условия не выполняются, то можно ввести добавочные сиrналы, всеrда равные нулю, как это показано на рис. 8.48. PL2: Линейный блок должен быть полностью управляемым и наблюда емым. PL3: Все полюса всех компонентных передаточных функций Gij(z), co ставляющих матрицу G(z), должны размещаться внутри единич Horo Kpyra (компонентные передаточные функции должны быть устойчивыми). Если первичная система не обладает устойчиво стью, то В нее можно ввести фиктивные степени свободы k ij . BBe дение фиктивных степеней свободы, представляемых матрицей К, не должно изменять значения входов и выходов первичноrо ли нейноrо блока. Введение новых степеней свободы осуществляется за счет Toro, что линейный блок G(z) охватывается контурами обратной связи, для нелинейной подсистемы F(Yk) вводятся aHa лоrичные связи. Сиrналы, исходящие из введенных таким образом связей, должны взаимно компенсировать друr друrа (см. рис. 8.49). Для проверки устойчивости системы полюсов можно воспользоваться процедурой экспертных испытаний (Leigh 1985; KeelI999). В математиче ском виде условия, получаемые таким путем, выражаются относительно просто. 
718 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления G(z) Yk G(z) Yk * Uk G*(z) Yk * Vk I F(Yk) I Vk* I I F*(Yk) F(Yk) I а) б) в) Рис. 8.49. Исходная линейная часть G(z) с неустойчивыми полюсами (а) и CTa билизация ее путем введения фиктивных степеней свободы К (6), которое при водит к новой, вторичной, форме системы (8), эквивалентной исходной форме (а) Экспертные испытания. Если знаменатель BToporo порядка для pac сматриваемой передаточной функции приравнять нулю: j(z) == a2z2 + alz + ао == О, (8.89) rде а2 > О, то выполнение условий (8.90) означает, что все нули функции j(z) при надлежат внутренности единичноrо Kpyra: j(l) > О, j( 1) > О, 'аоl < а2. (8.90) Если знаменатель TpeTbero порядка для рассматриваемой передаточ ной функции приравнять нулю: j(z) == азzз + a2z2 + alz + ао == О, (8.91) rде аз > О, то выполнение условий j(1) > О, j(l) > О, laol < аз, lаб  a1 > laoa2  аlазl (8.92) означает, что все нули функции j(z) принадлежат внутренности единич Horo Kpyra. Анализ устойчивости корней j(z) можно также выполнить, используя критерий rурвица. Подстановка l+w z== 1  w преобразует внутренность единичноrо Kpyra в комплексной плоскости z в правую полуплоскость комплексной плоскости 11' (Leigh 1985). 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 719 Рис. 8.50. При мер мноrозначноrо неединственноrо отображения, реализуемоrо нелинейными элементами с rистерезисом Взаимосвязь между первичной и вторичной формой представления системы стандартноrо вида выражается следующими соотношениями: G*(z) == [1 + G(z)K]lG(z), F*(Yk): Vk == V  KYk == F(Yk)  KYk. (8.93) PL4: Для каждой из компонентных передаточных функций G ij (S), co ставляющих матрицу передаточных функций G(z), порядок ее чис лителя должен быть не выше, чем порядок знаменателя. Реальные объекты управления удовлетворяют этому требованию. Предварительные условия для нелинейноrо блока F(Yk) PNl: Операция Vk == F(Yk) должна осуществлять однозначное отобра жение у на v. Нелинейные элементы, «оснащенные» памятью на основе эффекта (рис. 8.50), не удовлетворяют данному условию (поскольку они реализуют мноrозначное отображение). PN2: Отображение Vk == F(Yk) должно быть обнуляющеrо типа, т. е. об ладать свойством (8.94) (см. рис. 8.51): F(O)  О. (8.94 ) Если начальные требования PLlPL4 для дискретноrо линейноrо бло ка удовлетворяются, то следует переходить к проверке основных условий rиперустойчивости ML и MN дЛЯ линейной и нелинеЙной частей, COOT ветственно. Основные условия rиперустойчивости (достаточные условия). Дискретная система управления стандартноrо вида, показанная на 
720 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Vk Yk Рис. 8.51. Пример отображения Vk == F(Yk), удовлетворяющеrо условию (8.94) рис. 8.49, а, а также ее эквивалент, вторичная система (полученная Ta ким введением фиктивных степеней свободы в первичную систему, чтобы входы и выходы ее линейноrо и нелинейноrо блоков оставались неизмен ными, а эффекты, обусловленные наличием добавочных степеней свобо ды, взаимно компенсировали бы друr друrа) будут асимптотически rипе рустойчивыми при выполнении следующих условий: ML: линейный блок G(z) рассматриваемой дискретной системы являет ся cTporo положительным вещественным; MN: нелинейный блок F(Yk) удовлетворяет условию в форме суммы По пова для всех k 1 > о: k 1 L VfYk ) jJ5, \/k 1 > о. k==O (8.95) Если применение условия L к линейному блоку G(z) позволяет классифицировать этот блок как положительный вещественный (вместо cTporo положительноrо вещественноrо), то данная система стандартноrо вида является нормально устойчивой. Пояснения, связанные с условием ML, определяющим rиперустой чивость дискретноrо линейноrо блока G(z). атрица передаточных функций G(z) будет cTporo положительной вещественной, если: . полюса всех компонентных передаточных Функuий G ij (Z) принадле жат внутренности единичноrо Kpyra в комплексной плоскости пере менной z, . матрица H(jw) == 0.5 [G(e JW ) + GT(ejw)] (8.96) является положительно определенной и эрмитовой для всех иJ ) о. 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 721 G(z) Yk Uk G(z) Uk G*(z) * Yk Vk I Р(Уд I Yk v I I Yk k P(Yk). + Vk I P*(Yk*) I в) а) б) Рис. 8.52. Исходная система управления стандартноrо вида (а) и ее эквивалент, вторичное представление, содержащее фиктивные степени свободы D, показан ное в развернутой форме (6) и в свернутой форме (в) Значение использованных здесь определений объясняется в разд.8.3.1. Матрицу передаточных функций G(z) обычно нельзя классифицировать как cTporo положительную вещественную. Отсюда следует, что в систему придется вводить фиктивные степени свободы, представленные матрицей D, с тем чтобы преобразовать линейный блок в cTporo положительную вещественную форму (см. рис. 8.52). Соотношения между первичной системой и ее вторичной формой, по казанной на рис. 8.52, выражаются следующим образом: G*(z) == G(z) + D F*(yl:.): Vk == F*(Yk) == F(Yk + DVk). (8.97) Если первичная система «оснащена» двумя матрицами  стабилизи рующей К и матрицей D, rарантирующей, что передаточные функции G ij имеют положительные вещественные части (см. рис. 8.53), то co отношения между первичной и вторичной системами принимают более сложный вид: G*(z) == [1 + G(z)K]lG(z) + D, F (УА'): vk == Vk  KYk == F(Yk)  KYk == == F(Yk + DVk)  К(у! + DVk). (8.98) Пояснения, связанные с условием MN, определяющим rиперустой" чивость нелинейноrо блока. Основное условие для нелинейной части (блока) дискретной системы управления представляется в виде так назы ваемой суммы Ilопова (8.95). С практической точки зрения сумма Попо 
722 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Uk G(z) Yk G(z) Yk + * Yk G*(z) * Yk Vk I P(Yk) I к * Vk I P*(Yk*) I Vk * Vk Yk F(Yk) + а) б) в) Рис. 8.53. Исходная система управления вида (а) и ее эквивалент, вторичное представление, содержащее фиктивные степени свободы К и D, показанное в развернутой форме (6) и в свернутой форме (в) ва  очень неудобное средство исследования нелинейноrо блока. Поэто му для анализа данноrо блока обычно применяется вторичное условие Попова: VlYkO, VkO. (8.99) Однако результаты, полученные из (8.99), сужают получаемую об ласть в сравнении с результатами, которые можно получить теоретически из (8.95). Если размерности векторов Vk и Yk V k: (р, 1), У k: (Р, 1), то (8.99) приобретает вид суммы: р р L l'ikYik == L Fi(Yk)Yik ) О, i==l i==l (8.100) [де F i (Yk) == 1Jik . Вторичные условия Попова, формулируемые для вторичной системы. расширенной за счет введения фиктивных степеней свободы D и К, мож но записать в виде: р *Т *  * * ......... О V k Yk == 6 'l'ik.lJik::;:; , i==l Vk? о. (8.101) 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 723 Преобразование соотношения (8.101) в пространство первичной си стемы [Vk, Yk] дает (8.102): [F(Yk)  KYk]T {Yk  D[F(Yk)  KYk]}  о, Vk  о, (8.102) или (8.103): р L[Fi(Yk)  KiYk] {Yik  Di[F(Yk)  KYk]}  о, Vk  о. i==l (8.103) Здесь K i == [k i1 ,.. . , k ip ], i == 1, . . . , р, представляют собой строки матри цы К: k 11 k 1p К 1 К== k p1 kpp Кр а D i == [d i1 , . . . , d ip ], i == 1, . . . , р, являются строками матрицы D: d 11 d 1p D 1 D== d p1 d pp Dp Определение матриц К и D, удовлетворяющих всем условиям rипе рустойчивости для линейных и нелинейных систем, означает, что ДOKa зательство rиперустойчивости рассматриваемой системы успешно завер шено. Рекомендации, касающиеся выбора матриц К и D для дискретных систем идентичны тем, что рассматривались в разд.8.3.1 применительно к случаю непрерывных систем. Ниже даются примеры анализа устойчивости систем типа SISO и MISO, управляемых с использованием нейронечетких реrуляторов пд типа. Исследование rиперустойчивости для MHoroMepHbIX систем настоль ко труднее в сравнении с системами SISОтипа, что есть потребность в поиске друrих подходов к решению данной проблемы. Высокий уровень сложности математическоrо анализа и визуализации для этой проблемы означает, что требуется использовать специализированные методы, в том числе и вычислительный эксперимент. Ниже будет рассматриваться «Me тод характеристических точек», который представляет собой хороший пример TaKoro рода специализированноrо метода. Пример 8.3.3.1. Исследование rиперустойчивости нечеткой системы управления SISО"типа Рассмотрим дискретную систему управления, включающую непре u ,., рывныи ооъект 1 Со(в) == 8.(8+1) ' 
724 . rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления J.l(u)  ер ер е ЕСЛИ (е=п) ТО (и=  1) ЕСЛИ (е=р) ТО (и= 1) 1 1 u '   W 1 W 2 W З а) б) в) Рис. 8.54. Фаззификация (а), база правил (6) и дефаззификация (в), реализу емые нечетким реrулятором иl е иl= ер ep Ul = 1 I I I I I I I I I Иl ==  1 : I   1 ер е Рис. 8.55. Статическая характеристика нечеткоrо реrулятора инечеткий реrулятор SISОтипа. Блок фаззификации, база правил и блок дефаззификации показаны на рис. 8.54. Как следует из при мера 8.2.1, реализуемое нечетким реrулятором BXOДBЫXOДHoe отображение можно представить функцией Р(е), задавае мой выражением е Ul == Wl +  W2 + Wз, ер ( 8.104 ) и представленной rрафически на рис. 8.55, rде Wi  лоrические перемен ные, которые содержат информацию, показывающую, в каком секторе входноrо пространства реrулятора размещается текущее значение BXO да е. Структурная схема рассматриваемой дискретной системы управле ния показана на рис. 8.56. Система, показанная на рис. 8.56, преобразуется в систему CTaHдapT Horo вида, приведенную на рис. 8.57, rде линейный блок представлен в 8 области посреДСТВОl\'l С(э) или в zобласти с помоиью G(z). 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 725 YOk ek I F(ek) I Ulk и2 GZOH(S) GO(S) У Yk 1 sT e GZOH(S) == 8 1 Go(s) == 8.(8+1) Рис. 8.56. Дискретная система управления, состоящая из нечеткоrо реrуля тора F(e), оrраничительноrо ZОНэлемента G Z O H (8) и непрерывноrо объекта управления С о (8) для времени выборки Т У Yk Vk Vk а) G(s)  e2seSl } б) тз G ( z )   (1z1)(T+1z1) Рис. 8.57. Система управления в стандартной форме, рассматриваемая с линей ной частью в виде непрерывной передаточной функции С(8) (а) и дискретной передаточной функцией G(z) (6), для времени выборки Т Дискретная модель непрерывноrо блока была получена с применением аппроксимации по методу обратных разностей: 1  Zl s== т Такая аппроксимация дает дискретную передаточную функцию ли нейноrо блока в виде G(z) ==Z{GZOH(S)GO(S)} ==z { \(eS } == ( 1)(T3 1) == 8 8+1 1z T+1z тз z2 T3 z2  (T+l)(:l)[(zl)/(T+l)]  (T+l)z2(T+2)z+1 . (8.105) Проверка условия PLl (число входов должно быть равно числу BЫ ходов). Данное условие удовлетворяется. Проверка условия PL2 (линейный блок должен быть управляе мым и наблюдаемым). Применение известных методов (Franklin 1986; Markowski 1985) к дискретной передаточной функции G(z) подтверждает управляемость и наблюдаемость для G(z), заданной в виде (8.105). 
726 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления * G(z) Yk Uk G*(z) Yk F(Yk) I * F(Yk) I а) б) Рис. 8.58. Дискретная система управления после введения стабилизирующей степени свободы k: расширенная структурная схема (а), частично свернутое представление (б) Проверка условия PL3 (полюса передаточной функции G(z) долж.. ны размещаться внутри единичноrо Kpyra). Первый полюс Zl == 1 не принадлежит внутренности единичноrо Kpyra. Это значит, что требуется стабилизация линейноrо блока путем введения фиктивной степени CBO боды k (рис. 8.58). Второй полюс 1 z  2T+1 всеrда размещен внутри единичноrо Kpyra, т. е. стабилизировать ero необ ходимости нет. Вторичная передаточная функция линейноrо блока С* (z) определяет ся выражением С* (z) == G(z) 1 + kG(z) T3Z2 (kT 3 + т + 1)z2  (Т + 2)z + 1 . (8.106) Применяя метод экспертных испытаний (8.90), получим условия устойчивости всех полюсов рассматриваемой передаточной функции: f(1) == kT 3 > О, f(1) == kT 3 +2Т+4 > О, 11/ < kT 3 + т + 1. (8.107) Если k>O , (8.108) то все условия (8.107) удовлетворяются, откуда следует, что все полюса передаточной функции G(z) устойчивы. 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 727 * vk (1  ke p )  ер   (1  ke p ) Рис. 8.59. Статическая характеристика нелинейной части после введения фик тивной степени свободы k Проверка условия PL4 (порядок числителя функции G*(z) не может быть выше порядка знаменателя). Данное условие удовлетворяется. Проверка условия PNl (функция 'Uk == F*(Yk) должна представлять собой однозначное отображение). Функция V k == F* (Yk) показана на рис. 8.59. Свойства функции V k == F*(Yk) обсуждались в разд. 8.3.1. Pac сматриваемая функция реализует однозначное отображение. Проверка условия PN2 (отображение V k == F*(Yk) должно удовле творять условию F*(O) == О). Из рис. 8.59 видно, что данное условие выполняется. Проверка OCHoBHoro условия ML (линейный блок G*(z) должен быть cTporo положительным вещественным). Данное условие можно разде лить на несколько более простых условий: . Полюса передаточной функции G*(z) должны размещаться внутри единичноrо Kpyra. Если k > О, то данное условие удовлетворяется. . Матрица H(e jW ) == 0.5[G*(e jwT ) + G*T(ejw7')] должна быть эрмитовой И положительно определенной для всех w  о. Передаточную функцию С* (z) можно переписать в виде Т :3 "{ 2 С * ( ) <..- ,..."  '"  (kT:3 + т + 1)21  (Т + 2)z + 1 1 2 22 2 ' а22  аl z + 1 (8.109) [де т == O.1 [2 == 103, а2 == 1.1 + 10:3k, al == 2.1. Используя тождество Эйлера pjwT == cos шТ + j sin шТ, 
728 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления получим выражения G*(e jwT ) == Re* +jlПl*, G * ( jwT )  R * . 1 * ::т е  е ) m , (8.110) (8.111) rде R *  212 cos 2 шТ  0,112 coswT + [2(0,2  1) е  4a2cos2uJT2o,1(1+o,2)coswT+(o,11)2+o,f' 1 * 12sinwT(o,12coswT) П1  2 2 2 . 40,2 cos шТ  201(1 + 0,2) cOSuJT + (0,1  1) + 01 Соrласно (8.37), матрицу H*(e JW ) можно записать в виде H*(e jW ) == O.5[G*(e jwT ) + G*T(ejwT)] == Re* . (8.112) (8.113) (8.114) Матрица Н* будет положительно определенной, если удовлетворяется соотношение: 2 ) R.e* == 2;2 COS шТ  a]12 coswT + 12(а2  1 2 2 :? о. (8.115) 40,2 cos шТ  20,1(1 + 0,2) coswT + (0,1  1) + 0,1 Определение минимума функции Re* (cos шТ) аналитическим путем представляется весьма сложным. Более Toro, оно приводит к получению существенно нелинейных условий. Таким образом, выбор коэффициен тов k и d  непростая задача. Существует друrой путь решения paCCMaT риваемой задачи. Знаменатель Af(Re*) можно записать в виде: M(Re*) == [2cos 2 wT  а] coswT + (а2  1)]2 + 2 + [sinwT(al  2coswT)] . (8.116) Данная сумма квадратов всеrда положительна. Тоrда, если числи тель также положителен, то условие (8.115) удовлетворяется. Нетрудно видеть, что числитель функции Re* представляет собой квадратичную функцию от переменной w == cos шТ, а свойства этой функции зависят от значений коэффициентов al == Т + 2 а2 == kT 3 + Т + 1. Значение степени свободы k пока еще не выбиралось. На данном эта пе рассуждений можно не задаваться точной формой функции Re* (w) и ее расположением в пространстве. Это значит, что значения функции MorYT быть отрицательными. Чтобы сделать данную функцию положи тельно определенной, добавляется фиктивная степень свободы d, как по казано на рис. 8.60. 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 729 * Uk Uk G*(z) * Uk G**(z) * Yk k k * Vk Vk I F(Yk) * vk F(Yk) Vk а) б) Рис. 8.60. Вторичная система после введения фиктивной степени свободы d, показанная в развернутой форме (а) и в частично свернутой форме (6) Добавляя степень свободы d, получаем новую передаточную ФУНКЦИЮ С** (z ), задаваемую в виде G**(z) :::: G*(z) + d :::: 2 1 2 z 2 + d. (8.117) a2Z alz+1 Вычисление вещественной части дЛЯ С** (z) дает следующий резуль тат: R ** 2/2 cos 2 шТ  al l 2 cos ИJТ + 1 2 (а2  1) d е  + 4а2 cos 2 шТ  2аl(1 + а2) coswT + (аl  1)2 + aI . Для неотрицательности вещественной части Re** должно удовлетво ряться неравенство (8.118) (2l2 + da2) cos 2 шТ  (all2 + 2ald(1 + а2)] coswT+ + [l2(a2  1) + d(a2  1)2 + da]  О. (8.119) Обозначения w  coswT , Е 2  21 2 + da2 == 2 . 103 + 1.1d + 103dk, Е 1  al12 + 2ald(1 + а2)  2.1 . 103 + 8.82d + 4.2 . lO3dk, Ео  [2(а2  1) + d(a2  1)2 + da  == 0.1 . 103 + 106k + 4.42d + 0.2 . 103kd + 106k2d, (8.120) позволяют переписать условие (8.119) в более простой форме: f == Е 2 ш 2  Е 1 W + Ео  О. (8.121) 
730 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Е 1 2Е 2 1 I W = cos со Т 1 :w=coscoT I r I I w = cos соТ 1 1 1 1 Рис. 8.61. Выбранное представление функции f == Е 2 ш 2  Е 1 W + Ео с учетом требования положительной определенности вещественной части Re** Парабола f, задаваемая левой частью неравенства (8.121), имеет ми нимум, если коэффициент Е 2 > о. Если k > О и d  О, то Е 2 > о. Определение «полярности» коэффициентов Ео, Е 1 , Е 2 В общем случае может оказаться невозможным, поскольку требуемые преобразования Be дут к очень сложным математическим выкладкам, определяемым коэф фициентами. Более Toro, в анализ полярности коэффициентов обычно вовлечены и численные значения степеней свободы d и k. На рис. 8.61 показаны три кривые, представляющие некоторые из классов функций f, задаваемых соотношением (8.121). Вещественная часть функции Re** бу дет положительно определенной, если минимум функции f положителен (достаточное условие): Е 2 Е О    о Е 2 > о. 4Е 2 // , Условия (8.122) существенно сужают допустимую область значений при выборе k и d. Как видно из рис. 8.61, 8, условие Re**  О также может быть удовлетворено, если парабола f отрицательна. Необходимое условие для f можно выразить в виде: f(w)  О, дЛЯ всех возможных w == cos шТ, т. е. ш: [1, 1]. Принятие последнеrо из упомянутых выше условий расширяет об ласть для выбора значений фиктивных степеней свободы k и d в cpaBHe нии с (8.122). Если рассмотреть более сложные отображения Р(у), значи мой можно сделать большую часть допустимоrо пространства значений для k и d. Дальнейший анализ показывает, что достаточно жесткое и cy щественно нелинейное условие (8.122) можно заменить менее сложными условиями вида: (8.122) f (  1) == Е 2 + El + Ео  о, f(O) == Ео  О, f(1) == Е 2  Е 1 + Ео  о. (8.123) 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 731 о f  1: I I  1: I I 1: w = cos юТ I I Рис. 8.62. «Выrодная» форма функции f(w) (а) и ее «невыrодная» форма (6), для которой условие положительной определенности Re** не удовлетворяется дл я ш: [1, 1] Высока вероятность Toro, что эти три условия позволят получить по ложительно определенную функцию f(w) для всех ш: [1, 1]. Может, однако, случиться так, что f(w) не является положительно определен ной между точками w == О и w == 1 (см. пример кривой, показанной на рис. 8.62, 6). Чтобы исключить «неблаrоприятные» случаи, условия типа f(w)  О можно уточнить, используя более трех точек. Конечно, Bce rда можно пренебречь этим советом и проверять, будет ли выполняться условие f(w)  О для всех ш: [1, 1], после успешноrо завершения aHa лиза всех остающихся условий и выбора числовых значений для k и d. Следуя приведенной рекомендации, можно выразить условия (8.123) как зависимости от k и d в виде: f(  1) == 4.2 . 103 + 14.34d + 106 k + 5.4 . 103 kd + 106 k 2 d  О, f(O) == 0.1 .103 + 4.42d + 106k + 0.2 .103kd + 106k2d  О, f(l) == 3.3d + 106k  3. 103kd + 106k2d  О. (8.124) Основные условия MN дЛЯ нелинейноrо блока. Эти условия идентич ны рассмотренным в примере 8.3.1.1. Тоrда для первоrо и TpeTbero ceK торов они представляются неравенствами: d < 1 1  k ' d 2 < 1  2k . (8.125) (8.126) Основное условие для BToporo сектора рассматриваемоrо нелинейноrо блока (см. рис.8.58) представляется неравенством (8.125). Из рис. 8.39 следует, что оба неравенства, (8.125) и (8.126), удовлетворяются, если выполняются условия (8.125). В дальнейшем анализе надо принимать 
732 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления d I 1 d< 2   1  k I I I I I I 1 L  106k d  3.3З.IО3k+lо6k2 о 0<k<O.5 0.5 k Рис. 8.63. rрафическое представление условий rиперустойчивости и допусти мых значений фиктивных степеней свободы d и k во внимание условие (8.125). Соберем вместе все условия для линейноrо блока (8.124) и нелинейноrо блока (8.125): а) Ь) с) d) е) о < k < 0.5, 4.2 . 103 + 14.34d + 106k + 5.4. 103kd + 106k2d  О, 0.1 . 103 + 4.42d + 106 k + 0.2 . 103 kd + 106 k 2 d  О,  3.3d + 106k  3. 103kd + 106k2d  О, 1 d< lk . (8.127) Поскольку все положительные значения k и d удовлетворяют усло виям (Ь) и (с), можно пренебречь дальнейшим анализом соотношений, представленных выше. Условие (d) можно преобразовать в новую форму: о < k < 0.5, 106k d  3.3  3 . 103k + 106k2 , d > О, 1 d < k . 1 (8.128) Условия rиперустойчивости (8.128) rрафически представлены на рис. 8.63. Например, коэффициенты k == 0.4 и d == 108 (точка Р на рис. 8.63) удовлетворяют всем условиям rиперустойчивости для рассматриваемой системы. Условие (8.121), которое определяет, будет ли требуемая вещественная часть положительно определенной, удовле 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 733 f(w) f(l)  4.2.103+0.4.106 f(O)  0.1.103+0.4.106 f( 1)  0.4.106 0.2 Рис. 8.64. rрафическое представление функции f == Re** покаЗbIвает, что Re** не всеrда является положительно определенной (соответствующее условие Ha рушается между точками w == 0.2 и w == 1) творяется для w == coswT == 1, О и 1, но между точками w == О и w == 1 оно не удовлетворяется (см. рис. 8.64). Для преодоления этоrо затруднения можно ввести дополнительное условие типа (8.121) для значения 1п, размещенное вблизи минимума функции j (ш). Хорошим выбором при этом может быть значение w == 0.6 (см. рис. 8.64). Следовательно: j(0.6) == 0.36Е 2  0.6Е 1 + Ео  О, j(0.6) == 0.44. 103 + 106k + d(0.476  1.96k + 106k2)  о. (8.129) Условие (8.129) можно разделить на эквивалентный ему набор усло вий, представляемый в виде системы неравенств: d  0.44. 10З  106k " 0.476  1.96k + 106k2 ,  0.476  1.96k + 106k2 < о, (8.130) или: 0.44 . 10З  106k d 0.476  1.96k + 106k2 ,  0.476  1.96k + 106k2 > о. (8.131) Условие (8.131) не может быть удовлетворено для О < k < 0.5. Это означает, что дальнейшее исследование rиперустойчивости будет OCHOBЫ ваться на условии (8.130). Это новое, «дополнительное», условие Bыpa 
7З4 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления k 1 .., I I I I I I I I I  106k d  3.3  3.103 k+ 106 k 2 k 0.44.1 О  3  1 О  6 k d 6  0.476  1.9k+ 10  k 2 I I k<O.5  I I d==  1.456 0.476 1.9k+ 10 6 k 2 <0 Рис. 8.65. rрафическое представление условий rиперустойчивости (8.132) жается соотношениями о < k < 0.5, d > О,  10() k d  3.3  3 . 10Зk + 106k2 , d < 1 1  k ' 0.44 . 103 - 106k d 0.4 76  1.96k + 106 k 2 '  0.476  1.96k + 106k2 < О (8.132) и представляется rрафически так, как это показано на рис. 8.65. Не существует TaKoro общеrо подпространства [k  d], в котором yдo влетворялись бы все условия rиперустойчивости (см. рис. 8.65). Это значит, что rиперустойчивость системы все еще не доказана. Возника ет следующий вопрос: надо ли следовать рекомендации, высказанной в разд. 8.З.l, и повторить процедуру проверки после введения новых CTe пеней свободы? Шансы на успех существуют, если функционирование реальной си стемы является устойчивым. Если предположить, что рассматриваемая система работает внекотором промежуточном секторе, [де Ш2 == 1 
8.3. Применение теории f'иперустойчивости 735 (рис. 8.54), а ошибки е невелики, то работа рассматриваемоrо нечеткоrо реrулятора имеет сходство с работой HeKoToporo линейноrо реrулятора Птипа с коэффициентом усиления, пропорциональным сиrналу ошибки 1 k r ==  == 1 (F(Yk) == 1). ер Для Toro чтобы оценить устойчивость рассматриваемой системы, pa ботающей в промежуточном секторе Ш2 == 1, можно воспользоваться из вестными методами исследования дискретных систем. Из рис. 8.57 следу ет, что характеристическое уравнение для данной системы при Т == 0.1 с имеет вид: 1 + F(Yk)G(Z) == О  1.101z 2  2.1z + 1 == о. Решая данное характеристическое уравнение, получим: zl == 1.0887 и Z2 == 1.0113. Оба корня размещаются вне требуемоrо единичноrо Kpyra. Это значит, что рассматриваемая система неустойчива во втором ceKTO ре. Полученный результат объясняет, по какой причине доказательство rиперустойчивости завершилось неудачей. . Следующий при мер относится к системе, которой управляет несколь ко более сложный нечеткий реrулятор ПДтипа. Этот при мер показывает, что объем работы по проверке rиперустойчивости системы резко возрас тает даже при незначительном росте сложности нечеткоrо реrулятора. При мер 8.3.3.2. Исследование устойчивости цифровой системы на основе нейронечеткоrо реrулятора, используемой для управления курсом подводноrо аппарата Krab 11 Рассматриваемый подводный аппарат Krab 11 показан на рис. 8.66. Система управления данноrо аппарата подробно описана в работе (Piegat 1996). Структурная схема этой системы представлена на рис. 8.67. Рассматриваемый аппарат управляется с использованием самообуча ющеrося нейронечеткоrо реrулятора ПДтипа. Схема этоrо реrулятора приведена на рис. 8.68. Данный реrулятор не имеет параллельной связи с сиrналом m как на рис. 6.33, поскольку сумма заключений для возбуж дающих воздействий fp и fn всеrда постоянна. В динамической части реrулятора вычисляются следующие сиrналы: сиrнал ошибки ер == е, интеrрал сиrнала ошибки t k е] == J e(t) dt rv  L [е(]) + e(j  1)] , о )==1 
736 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Рис. 8.66. Необитаемый подводный аппарат Krab 11 Нейронечеткий u ПДреrулятор ZOH M r  Винты М 1 Ь о 'Р а 2 S 2 + S Аппарат Рис. 8.67. Структурная схема цифровой системы, управляющей курсом под водноrо аппарата Krab 11: Ф  курсовой уrол аппарата (рад); ZОНэлемент  экстраполятор нулевоrо порядка производная сиrнала ошибки е D ==  '"  [е ( k)  е (k  1)] , rде Т  время выборки. Фаззификация, вывод на правилах и дефаззификация  это задачи, которые решаются статической частью реrулятора, а сиrналы ер, eI, eD рассматриваются как входы статической части реrулятора. Выходной сиr нал реrулятора А1т проходит через ZОНэлемент и управляет моментом rребноrо винта ]У!1 (Н.м). Данный момент М 1 воздействует на значение KypcoBoro уrла аппарата Ф (рад). Типичное свойство статической xapaKTe ристики rребноrо винта  асимметричное насыщение выходноrо сиrнала винта (см. рис. 8.69). Экспериментально была найдена следующая передаточная функция для рассматриваемоrо аппарата: G s  ф(s)  0.021929 ( )  M1(s)  в(1 + О.30372в) Ь О a2s2 + s ( рад ) . Н.м (8.133) Настройка нейронечеткоrо реrулятора осуществлялась с использова нием так называемой «структуры С эталонной моделью», показанной на 
1 т рр e(k) 0.5 k  + 1 е, .1  L[eU)+e(J1)] ..1  J=I 2 О т/ р 2 [e(k)e(k 1)] т Рис. 8.68. Нейронечеткий ПИД"реrулятор Mr(k) 
738 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления М 1 {Н.М) 28.31  18.3 28.31 Mr{H.M) I   18.3 I I .I . q2 == 1 ql==l qз == 1 Рис. 8.69. Статическая характеристика rребных винтов подводноrо аппарата после разделения входноrо пространства на секторы qi е 1 l+s Фт  = Фт  tjJ + Фо е M r  М 1 Ь о 2 а 2S + s Аппарат tjJ + Винты Рис. 8.70. Настройка нейронечеткоrо реrулятора (NFC) в рамках структуры с эталонной моделью рис. 8.70. Результаты такой настройки имеют вид: kp == 1.11312, k 1p == 1, k 5p == 0.038005, k in == 1  kip, k D == 0.0084089, k 2p == 0.461995, k 6p == 2.96078, i == 1,...,8. k I == О, k зр == 3.96078, k 7p == 0.538005, k 4p == 0.961995, k 8p == О, Использование соотношений k ip == 1  k (9  i) р, k in == 1  k ip , i == 1, . . . , 8, (8.134) дает возможность уменьшить число настраиваемых параметров. Уменьшение числа настраиваемых параметров позволяет ускорить процесс настройки. В итоrе настройка выполнялась для следующих ше сти параметров: kp, kD, kI, k 2p , k зр , k4p. Остальные пара метры вычисля 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 739 vз= 1 I I I I I I I I   I I . . I . I I I :  0.898 I I I I I I 118.92 :  I I I I I I . . I О : 0.898 V2= 1 I I I I I I I I I I  L I . . Vl = 1 1 : Wl= : .. . .... I I I I , I I I  118.92 : L I I . I . . . ....... ер W2= 1 Wз= 1 Рис. 8.71. Разделение входноrо пространства нейронечеткоrо реrулятора на ceK торы, определяемое лоrическими переменными Wi, Vj лись с использованием соотношений (8.134). Как завершающий результат процесса обучения был получен нелинейный ПДреrулятор (k I == О). Bы числяя сиrналы в последовательных ветвях сети, представляющей pac сматриваемый реrулятор (рис. 8.68), получим следующую функцию, pea лизуемую данным нейронечетким реrулятором: М Т == 20.689Wl + 23.029еРШ2 + 20.689wз  1.969 v l + + 0.101eDv2 + 11. 969v з, (8.135) rде Wi И Vi  лоrические переменные. Значения этих переменных показы вают, какие из секторов отвечают текущим значениям сиrналов ер и eD (см. рис.8.71). Соrласно формуле (8.135), каждый из 9 секторов входноrо простран ства реrулятора реализует свою «собственную» управляющую функцию. Выходной сиrнал реrулятора М Т получает свое максимальное зна чение lvlr == 32.658 в секторе WзVз == 1, а минимальное значение М Т == 32.658  в секторе WIVl == 1. Из рис.8.69 следует, что rреб ные винты способны развивать максимальный момент, равный только 28.31 Н.м. По этой причине разделение входноrо пространства для Ha бора нейронечетких реrуляторов и rребных винтов было преобразовано к окончательному виду, показанному на рис. 8.72. На рис. 8.72 показаны координаты, характеризующие конкретные ceK торы и выражения, определяющие выходные сиrналы M 1 набора «нейро нечеткий реrулятор + rребные винты», формируемые в соответствующих секторах. Максимальный момент, порождаемый таким набором, равняет ся 28.31 Н.м (сектор qз == 1), а минимальный равняется 18.30 Н.м (ceK тор ql == 1). Значения лоrических переменных qi показывают тот сектор 
740 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления eD (  1.2/130) . I : (  0.898/130) (0.71/130) . ( 1.2/130) . (  1/125) (0/125) . . q2 W l V З == 1 q2 W 2 V З == 1 qз == 1 Ml==8.72 Мl==23.02 9ер+ll.969 M 1 ==28.31 118. 922 . .               . (  1.2/118.922) (  0.898/118.922) (0.71/118.922)! · (1/100) I I (  1/70) : ! q2 w I V 2 == 1. : q2W2v2 == 1 : ! : (0.898/75.455) (1.2/75.455) I V2 М 1 ==  20.689 + 0.10IeD! М 1 == 23.029ер + 0.101eD . --- . / (  1.2/23.653 ) ( 0.898/23.653 ) (1.0 20) : (О/О) : q2WЗV2 == 1 I (0.7/8:0). (0.275/ 118.922) М 1 ==20.689+0.101eD  118.922  ' .. (0.898/  118.922) (1.2/  118.922) VЗ . (1.05/  135) Vl ql == 1 Ml==18.3 Q2W2vl == 1 М 1 ==23.029ер  11.969 ! . (  0.275/  150) (0.898/  150) I I I I I Q2WЗVl == 1 М 1 == 8.72 . (1.2/150) . ( 1. 2/  15 О) Wl  0.898 W2 0.898 Wз ер Рис. 8.72. Секторы входноrо пространства нелинейной части системы, состоя щей из нейронечеткоrо реrулятора и rребных винтов (окончательный вариант разделения) входноrо пространства, который отвечает данному текущему значению входноrо сиrнала, управляющеrо rребными винтами. В центральном ceK торе Q2W2V2 == 1, для ер == О и eD == о, формируемый сиrнал равняется М 1 == о. Доказательство устойчивости для нелинейных систем обычно становится все более и более трудным по мере расширения используе мой области во входном пространстве. Таким образом, рассматриваемую область следует сузить до размеров, отвечающих фактическому размеру рабочей области для рассматриваемой реальной системы. Чтобы избе жать TaKoro рода затруднений, были выбраны области  1.2  ер  1.2 и 150  eD  130 (см. рис. 8.72). После успешноrо завершения ДOKa зательства устойчивости для упомянутых «узких» областей, их можно расширить, после чеrо попытаться получить доказательство устойчиво сти в новых условиях. 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 741 ZOH F 2 1 sT М у Ml Ь о Ф F} u e s а 2 s 2 + S eD ВИНТЫ Аппарат Рис. 8.73. Схема системы управления подводноrо аппарата (представление в непрерывном пространстве состояний); ZОНэлемент  экстраполятор нуле Boro порядка G}(s)== (1 e sT) Ь о ер G}(z)= l}z2 ер a2 s3 + s2 (z 1)(z 12) G 2 (s) = (1 eST)bo eD G ( ) 13 z eD a2 s2 + s 2 Z  Z 1 М} F М} F Рис. 8.74. Квазистандартная форма системы управления в непрерывном про странстве (а) и в дискретном пространстве (6) Рассматриваемый нейронечеткий реrулятор состоит из двух блоков (рис. 8.73): линейноrо, который динамически формирует выходы ер, eD, а также статическоrо F 1 (ep,eD), реализующеrо отображение (8.135). Объ единение элементов F 1 и Р 2 В нелинейный блок F, а линейных элемен тов  в линейный блок, приводит к системе управления квазистандарт Horo вида, показанной на рис. 8.74. Поверхность, изображенная на рис. 8.75, была получена как результат BXOДBЫXOДHЫX отображений, реализуемых нелинейным блоком F, пред ставляющим действия нейронечеткоrо реrулятора и rребных винтов. Эта поверхность определяется rлавным образом выражением (8.135). Допол нительно следует принять во внимание насыщение статической xapaKTe ристики rребноrо винта (см. рис. 8.69). Поверхность, показанная на рис. 8.'75, состоит из большоrо числа cer ментов. Усложненная форма этой поверхности вызвана rлавным образом сложностью инелинейностью нейронечеткоrо реrулятора (число правил, число функций принадлежности и т. д.). Этой поверхности управления нейронечеткоrо реrулятора отвечает большое число степеней свободы. Тоrда поверхность управления можно сформировать в ходе процесса Ha стройки реrулятора, нацеленноrо на минимизацию критерия эффектив 
742 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления М 1 = 8.72 М 1 = 8.72 '" .... . ",,'" "><.' ."",-" ........................... ,.".,,-" ........... О  118.922  0.898 150 1.2 Рис. 8.75. Поверхность, представляющая отображение входов в выходы нели нейной частью F системы стандартноrо вида М 1 Рис. 8.76. При мер плоской поверхности, реализуемой обычным линейным ПД реrулятором 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 743 ности (показателя качества) системы управления. Плоские поверхности соответствуют действиям обычных ПДреrуляторов (рис. 8.76). Применяя нечеткие реrуляторы, можно оптимизировать систему по нелинейному показателю качества HaMHoro лучше, чем это можно сделать для Tpa диционных реrуляторов, т. е. нечеткие реrуляторы более эффективны с точки зрения качества процессов управления. РаСТУLЦая популярность нечетких реrуляторов тесно связана с этим обстоятельством. Аппроксимация линейноrо блока с ПОМОLЦью дискретноrо представ ления ОСУLЦествлялась с использованием аппроксимации обратными раз ностями (Leigh 1985), т. е. с использованием подстановки: Gi(z) == Gl(8)l lz1 , Т == 0.05(8). т (8.136) Дискретная передаточная функция, аППРОКСИМИРУЮLЦая функции G 1 (z) и G 2 (z), была получена в соответствуюLЦИХ видах: G 1 (z) == 7.749 .1Обz2 [1. Z2 (z  1)(z  0.859) (z  1)(z  [2) , G ( )  1.805. 104 z  lз. z 2 Z  . z1 z1 (8.137) Обе передаточные функции (8.137) содержат полюс Z1 == 1, который принадлежит единичному Kpyry Izl == 1, заключаЮLЦему область УСТОЙ чивости системы. По этой причине для стабилизации системы были добавлены степени свободы k 1 и k 2 (рис. 8.77). Для стабилизации систе мы может быть достаточно и одной степени свободы. Была добавлена, однако, и вторая степень свободы, которая УПРОLЦает удовлетворение вводимых далее условий устойчивости. Вещественные части обеих пе редаточных функций должны быть положительно определенными. Эта цель может быть достиrнута введением добавочных степеней свободы d 1 и d 2 (СМ. рис. 8.77). Введение фиктивных степеней свободы преобразует передаточные функции линейных блоков к виду С ** ( )  r})(z)  ll Z2 d  1Z  +1 j'I(z) (1 + k 1 l 1 + k 2 l з )z2  (1 + l2 + k 2 1 2 l з )z + l2 == Gt (z) + d 1 , С**( )  e'D(z)  lз z2  l2l:z d  2 Z  M(z)  (1 + k 1 l 1 + k 2 l з )z2  (1 + [2 + k 2 l 2 l з )z + [2 + 2  == G(z) + d 2 . (8.138) 
744 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления м; d 1 + * * ер ер + * G 1 (z) G 1 (z) ер ер м; * * eD eD * G 2 (z) G 2 (z) eD eD + + d 2 * eD м; 0 * ер б) ер * ер *  G;*(z) ер м; ./ *  G;*(z) eD ... М 1 * 0 + а) в) Рис. 8.77. Система управления после введения в нее добавочных степеней CBO боды k i , d j (а) и свернутые схемы для нее (6), (8) Исследование условий rиперустойчивости Предварительные условия для линейноrо блока G**(z) Условие PLl (матрица передаточных функций G**(z) должна быть квадратной). Для удовлетворения условия PLl были добавлены фиктив ные сиrналы N;k == о и Nk == О, показанные на рис. 8.78. Поскольку сиrнал Nk всеrда равен нулю, к этому сиrналу можно «прикрепить» любую передаточную функцию, например, Gi*, С 2 *. Соrласно рис. 8.78, для линейноrо блока можно сформулировать следующее уравнение: [ :t:] [  \.. У* k -v- ] . [ i: ] .   U* k (8.139) Gi* С 2 * С 2 * Gi* G**(z) Условие PL2 (линейный блок G**(z) должен быть полностью управ.. ляемым и наблюдаемым). Это условие будет проверяться самым послед 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 745 * * M 2k еп * G ** ., N 2k = О 2 .,// ** * ::l eDk * N lk =O М 1 : I F** Рис. 8.78. Система управления стандартноrо вида после добавления фиктивных сиrналов N{k == N;k == о ним из всех, после Toro, как будут определены значения коэффициентов ki,d j , удовлетворяющие остальным условиям rиперустойчивости. Условие PL3 (полюса всех компонентных передаточных функций Gij(z) должны быть устойчивы). Это требование можно выразить в виде k 1 + 3.2925k 2 > О, k 1 + 43.292k 2 + 47968.221 > О, k 1 + 23.292k 2 + 18240.72 > О, (8.140) получаемом в результате использования метода экспертной оценки (8.90). Теперь важно, чтобы новые значения k 1 или k 2 моrли принимать OT рицательные значения. В случае примера 8.3.3.1, для объекта SISОтипа, такая возможность отсутствует. Теперь же область выбора значения для k 1 и k 2 расширилась. В конечном итоrе, доказательство rиперустойчиво сти можно существенно упростить. Условие PL4 (порядок числителя для каждой из компонентных пе.. редаточных функций Gij(z) не может превышать порядка числителя для них). Данное условие удовлетворяется. Предварительные условия для нелинейноrо блока F**(Y k ) Условие PNl (функция V k == F**(YZ) должна представлять собой однозначное отображение). Из соотношения (8.135) и рис. 8.72 следует, что реализуемое первичным нелинейным блоком F отображение можно выразить в виде Д/1 1 == то + трер + mDeD, (8.141) rде значения коэффициентов то, тр, mD зависят от текущеrо активи pyeMoro сектора (рабочей области) нелинейноrо блока. Например, если 
746 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления V2W2Q2 == 1, то отображение приобретает вид Л1 1 == 23.029е р + 0.101е D. Соответствующие значения коэффициентов тпо, тр, п21) перечислены на рис. 8.72. Можно продолжить процесс получения уравнений, описывающих pa боту нелинейноrо блока F**. Так, основываясь на рис. 8.77, получим соотношения вида: ер == ер + d 1 lvI{. eD == еЬ + d 2 lvI{, AI{ == lvl 1  k 1 ep  k2ev. (8.142) Наконец, из (8.141) и (8.142) можно получить: м; == то + (тр  k1)ep + (mD  k 2 )e D 1  (тр  k1)d 1  (mD  k 2 )d 2 ' lV{ == о. (8.143) Итоrовый результат (8.143) представляет собой однозначное отобра жение, реализуемое вторичным нелинейным блоком F**. Условие PN2 (функция V k == F**(Y k ) должна отображать Y k == О В V k == О  условие обнуления). Если значения первичных сиrналов ер и eD равняются нулю, то, соrласно рис. 8.72, значение М 1 == О (j\11 == 23.029ер + 0.101eD == О). Используя эту информацию для анализа выражений (8.142), получим: M 1 == О, ер == О, еЬ == о. Поскольку Ni == о независимо от Toro, какие значения принимают ер и еЬ, условие PN2 удовлетворено. Исследование основных условий rиперустойчивости системы Условие ML (дискретный линейный блок должен быть cTporo по.. ложительным вещественным). Рассматриваемое условие можно разде лить на некоторое число более простых условийкомпонент. Условие MLl (среди полюсов всех компонентных передаточных функций Gij(Z) отсутствуют неустойчивые полюса). Если значения k 1 и k 2 удовлетворяют неравенствам (8.140), то условие MLl удовлетво ряется. 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 747 Условие ML2 (матрица H(jw) == 0.5[G(e(jw))+GT(e(jw))] является по.. ложительно определенной эрмитовой для всех w ? О). Передаточная функция Gi* (e jwT ) представляется следующим выражением: G!*(e jwT ) == G!(e jwT ) + d 1 == (Rei +d 1 ) + j1m!. Передаточную функцию С 2 * (e jwT ) можно записать в виде G 2 *(e jwT ) == G 2 (e jwT ) + d 2 == (Re; +d 2 ) + j 1т2. (8.144 ) (8.145) Элементы из соотношений (8.144) и (8.145) определяются выражени ями вида F.* cos 2 шТ  Р* cos шТ + F.* Re  == 2 1 О D 2 cos 2 шТ  Dl coswT + Do ' Е* сов 2 шТ  Е* сов шТ + Е* Re * == 2 1 О 2 D 2 С'08 2 шТ  Dl coswT + Do ' 1 * sinwT(A 1 coswT + А 2 ) т]== D 2 cos 2 шТ  Dl С08шТ + Do ' Iш; == sinwT(B 1 СОВшТ + В 2 ) . D 2 cos 2 шТ  Dl С08 шТ + Do (8.146) Коэффициенты А 1 , А 2 , В 1 , В 2 , Do, D 1 , D 2 , Е 2 , Ei, Ео, Р';, Р 1 *, ро, выражаемые соотношениями (8.147), представляют собой функции степеней свободы k 1 и k 2 : А 1 == 3.09976 . 104, А 2 == 14.40342 . 106 + 12.01067 . 1010 k 2 , В 1 == 3.09976 . 104, В 2 == 3.57399 . 104 + 12.01067 . 1010 k 1 + 5.59516 . 108 k 2 , Do == 0.01998 + 2.19084 . 106k1 + 0.5103 . 104k2 + 27.97587. 1010k1k2+ == 60.0535 . 1012 kf + 3.25813 . 108 k, D 1 == 6.90912 + 28.80528 . 106k1 + 12.47097 . 104k2+ == 24.01964 . 10 10 k 1 k 2 + 5.59497 . 108 k, D 2 == 3.43458 + 26.616 . 106k1 + 6.19952 . 104k2, Ео == 3.13582 . 104 + 13.98794 . 1010 k 1 + 5.66026 . 108 k2, Е; == 6.23558 . 104 + 12.01067 . 1010 k] + 5.59516 . 108 k 2 , E == 3.09976 . 104, ро == 1.09538 . 106 + 60.05351 . 1012 k 1 + 13.98794 . 1010 k 2 , Р: == 14.40342 . 106 + 12.01067 . 1010 k 2 , p == 13.308. 106. (8.147) 
748 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Соотношения (8.148) следуют из (8.146) и из свойств триrонометри ческих функций (соsф == соs(ф), siпф == siп(ф)): Rei*(e jwT ) == Rei(ejwT), i == 1,2, 1mi* (e jwT ) ==  1т; (ejwT), i == 1,2. (8.148) Используя соотношения (8.139) и (8.148), можно вычислить матрицу Н (j w ) : н (j w) ::::: 0.5 [G ( е (j w )) + G т ( е (  j w ) )] :::: == О 5 [ (Re! +d 1 + j 1т!) (Re +d 2 + j 1т) ] . (Re2 +d 2 + j 1Ш2) (Re]' +d 1 + j 1ш]') + о 5 [ (Re! +d 1  j 1т!) ( Re 2 +d 2  j 1nl) ] +. (Re2 +d 2  j 1Ш2) (Re]' +d 1  j 1ш]') == [ (Re! +d 1 ) (Re +d 2 ) ] (8.149) (Re2+d2) (Re!+d 1 ) . Соотношения (8.148) означают, что передаточные функции Re! и Re2 представляют собой четные функции уrла (шТ). Следовательно, Н(шТ) == нТ( шТ), (8.150) откуда получаем, что матрица Н(шТ) является эрмитовой. Из теоремы Сильвестра следует (Kaczorek 1981), что для положи тельно определенной матрицы Н(шТ) должны удовлетворяться условия: (Re! +d 1 ) > o (Ret +d 1 )2  (Re +d 2 )2 > о. Неравенство (8.152) можно преобразовать в форму [(Re;: +d 1 ) + (Re2 +d 2 )] [(Re;: +d 1 )  (Re +d 2 )] > о. (8.151) (8.152) (8.153) Неравенство (8.153) довольно просто можно заменить двумя HepaBeH ствами. В итоrе, рассматриваемая положительно определенная матрица Н(шТ) должна удовлетворять следующим трем условиям: (Rei +d 1 ) == Rei* > о, Vw  о, (Rei +d 1 ) + (Re +d 2 ) == Re7* + Re2* > о, (Re;: +d 1 )  (Re2 +d 2 ) == Rei*  Re2* > о, Vw  о, Vw ;? о. (8.154) (8.155) (8.156) Анализ приведенных выше условий приводит к очень интересным заключениям. Система SISОтипа, имеющая одну передаточную функ цию G(z), как в примере 8.3.3.1, приводит к единственному условию 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 749 G 2 ** (еjШ Т) G;* (е JШ Т) j lm(z) G 2 ** (е}Ш Т) G 1 ** (ej(J) Т) j 1т (z) /............. /' ........ I \ I \ { , \ I Re (z ) Re (z ) j 1т (z ) G 2 ** (еjШ Т) G;* (е jШ Т) /..................... /' I I { \ Re (z ) Рис. 8.79. Возможные варианты размещения полюсов C* (e jwT ) в зависимости от полюсов Gi*(e jwT ) для положительно определенной матрицы H(jw) (чтобы rарантировать это свойство матрицы, I Re;* I должно быть меньше, чем Re*, для всех w ? О) вида (8.154). Если условие TaKoro вида удовлетворяется, то частотная характеристика G(jwT) обязательно будет расположена в правой полу плоскости системы комплексных координат. Для системы МIМОтипа, как в текущем примере, условие (8.154) приводит к требованию, чтобы характеристика С!* (e jwT ) размещал ась в правой полуплоскости, а усло вия (8.155), (8.156) ставили в зависимость положение характеристики G 2 *(e jwT ) от положения характеристики G!*(e jwT ). Это не значит, что характеристика С 2 * (e jwT ) должна размещаться в правой полуплоско сти. При меры кривых Gi*(e jwT ) и G 2 *(e jwT ), удовлетворяющих условиям (8.154)(8.156), показаны на рис. 8.79. Подстановка e jwT == cos шТ + j Sill wT преобразует условия (8.154)(8.156) к виду, коrда они зависят от apry мента cos шТ. Последующий анализ поведения системы с использова ни ем условий в этой новой форме проще, поскольку область изменения aprYMeHTOB оrраничена диапазоном [1, 1]. Числитель и знаменатель Be щественных частей рассматриваемых передаточных функций С!* и С 2 * представляются параболическими функциями. Знамнатели обеих Be щественных частей идентичны. Более Toro, этот заменатель всеrда 
750 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления положителен и представляет собой сумму квадратов двух выражений: R ** F'; cos 2 шТ  F 1 * COS шТ + Fo €l == D 2 cos 2 шТ  D 1 cos шТ + Do Е* cos 2 шТ  Е* cos шТ + Е* Re * == 2 1 О D 2 COS 2 шТ  D 1 cos шТ + Do N(Re*) D(Re*) , N(Re;*) D(Re;*) . (8.157) Здесь Do, D 1 , D 2 определяются соотношениями (8.147), а Е 2 , E 1 , Ео, Р 2 , Р 1 , ро  следующими выражениями: Ео == 3.13582 . 104 + 13.98794 . 1010kl + 5.66026 . 108k2 + 3.47454d 2 + + 2.19084. 106kld2 + 6.27165 . 104k2d2 + 60.05351 . 1012kd2+ + 5.66026 . 108kd2 + 27.97587. 1010klk2d2, Е 1 == 6.23558 . 104 + 12.01067 . 1010kl + 5.59516 . 108k2 + 6.90912d 2 + + 28.80684 .106kld2 + 12.47117 .104k2d2 + 24.02134 .1010klk2d2+ + 5.59516 . 108kd2, Е 2 == 3.09976 . 104 + 3.43458 . d 2 + 26.616 . 106kld2 + 6.19952 . 104k2d2, ро == 1.09538 . 106 + 60.0535 . 1012kl + 13.9879 . 1010k2 + 3.47454d 1 + + 2.19076 .106kldl + 6.27165 .104k2dl + 27.97587 .1010klk2dl+ + 60.053511012kdl + 5.66026. 108kdl' Fl == 14.4034 . 106 + 12.0106 . 1010 k 2 + 6.90912d 1 + 28.8068 . 106 k1d 1 + + 12.47117 . 104k2dl + 24.02134 . 1010klk2dl + 5.59552 . 108kdl, Р 2 == 13.308 . 106 + 3.43458d 1 + 26.616 . 106kldl + 6.19952 . 104k2dl. (8.158) Идентичные и положительные знаменатели вещественных частей Rer* и Rer* позволяют упростить выражения (8.154)  (8.156), приведя их к виду: N(ReT*) > О, Vw  О, N(ReT*) + N(Re*) > О, N(R,eT*)  N(Re*) > О, Vw  О, Vw  О, (8.159) (8.160) (8.161) rде N(Rer*) и N(R€*) представляют собой числители вещественных частей Ret* и Re;*, соответственно. Если значения функции N(Rer*) для области изменения aprYMeHTa [1, 1] положительны, то Rer* является положительно определенной (см. рис. 8.80). 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 751 * Rel Р4  1  0.5 о 0.5 1 cos юТ Рис. 8.80. При мер функции N (Re*) == f (cos шТ) для положительно опреде ленной вещественной части Re* Удовлетворить условие (8.159) можно за счет подходящеrо выбора значений коэффициентов Fi в формуле (8.157). Однако эти коэффици енты выражаются посредством сложных функций (8.158), зависящих от пара метров первичной системы, а также от степеней свободы k i , d i . Аналитическое представление условий положительной определенности для N(Rer*) можно было бы получить с использованием формул Виета для корней квадратных уравнений. Это, однако, была бы очень TpyдoeM кая задача, не rоворя уже о возможных ошибках. Более Toro, несложно предвидеть, что конечный вид получаемых таким способом соотношений был бы очень сложным. При таких обстоятельствах MorYT появиться серьезные оrраничения на выбор значений коэффициентов k i , d i . Для упрощения всей процедуры в целом можно сформулировать условие (8.159) для выбранных точек P i , размещенных в пределах диапазона зна чений aprYMeHTa [1, 1] (см. рис. 8.80). Для дальнейшеrо рассмотрения были отобраны точки  1, 0.5, О, 0.5, 1. Таким образом, соотношение (8.159) и выбор точек P i приводит к появлению пяти условий (8.162)(8.166), которые rарантируют, что N(Rer*) > о: 28.8068 . 106 + 60.05351 . 10 12 k] + 25.99861 . 10 10 k 2 + (8.162) + d 1 (13.81824 + 57.6136 . 106kl + 24.94234 . 104k2+ + 51.99721 . 1010 k 1 k 2 + 60.05351 . 1012 kf + 11.25578 . 108 k) > O 46.49636 . 1()6 + 240.21404 . 10]2 k 1 + 79.97331 . 10 10 k 2 + (8.163) + (11(31.15098 + 93.18588. 106k1 + 56.22846. 104k2+  159.94616 . 1010 k 1 k 2 + 240.21404 . 10 12 kf + 33.83208 . 108 k) > О, 
752 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления 1.09538 . 106 + 60.05351 . 1012 k 1 + 13.98794 . 10lO k2+ (8.164) + d 1 (3.47545 + 2.19076. 106kl + 6.27165. 104k2+ + 27.97587 . 1010klk2 + 60.05351 . 1012kI + 5.66026 . 108k) > о,  11.11732 . 106 + 240.21404 . 10 12 k 1 + 31.96264 . 10 10 k 2 + (8.165) + d 1 (3.5125  22.04148 . 106 k 1 + 6.34378 . 104 k 2 + + 63.8608. 10lOklk2 + 240.21404 . 10]2kf + 11.45. 108k) > о, 60.0535 . 1012 k 1 + 1.97727 . 10lO k 2 + d 1 (0.19324 . 106 k] + (8.166) + 3.95453. 10lOklk2 + 60.05351 . 1012kI + 0.06474. 108k) > о. Аналоrичную процедуру можно применить к условию (8.160). Так, соотношение (8.160), суженное до точек P i , относящихся к значениям aprYMeHTa cos шТ ==  1, 0.5, о, 0.5, 1, можно разделить на пять неравенств: 12.75923 . 104 + 26.59914 . 1010 k 1 + 11.51541 . 108 k 2 + (8.167) + (d 1 + d 2 )(13.81824 + 57.6136 . 106kl + 24.94234 . 104k2+ + 51.99721 . 10lO k 1 k 2 + 60.05351 . 1012 kI + 11.25578 . 108 k) > о, 28.57916 . 104 + 82.37524 . 1010 k 1 + 34.63109 . 108 k 2 + (8.168) + (d 1 + d 2 )(31.15098 + 93.18588 . 106kl + 56.22846 . 104k2+ + 159.94616. 1010klk2 + 240.21404. 1012kI + 33.83208. 108k) > о, 3.14677 . 104 + 14.59324 . 1010kl + 5.80014. 108k2+ (8.169) + (d 1 + d 2 )(3.47454 + 2.19076 . 106kl + 6.27165 . 104k2+ + 27.97587. 10lOklk2 + 60.5351 . 1012kI + 5.66026 . 108k) > о, 3.06071 . 104 + 34.33256 . 1010kl + 11.77035 . 108k2+ (8.170) + (d 1 + d 2 )(3.5125  22.04148 . 106kl + 6.34378 . 104k2+ + 63.8606 . 1010 k] k2 + 240.21404 . 10]2 kt + 11.45 . 108 k) > о, 2.5778 . 1010kl + 0.08487. 108k2 + (d] + d 2 )(3.95453 . 1010klk2+ 60.05351 . 1012kf + 0.0631 . 108k) > о. (8.171) 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 753 Условие (8.161) можно разделить на неравенства следующеrо вида:  12.18309 . 104  25.39808 . 1010kl  10.99543 . 108k2+ (8.172) + (d 1  d 2 )(13.81824 + 57.61368 . 106kl + 24.94234 . 104k2+ + 51.99721 . 10lO k 1 k 2 + 60.05351 . 1012 k + 11.25578 . 108 k) > о,  27.64924 . 104  77.57096 . 10lOkl  33.03163 . 108k2+ (8.173) + (d 1  d 2 )(31.15098 + 93.18588 . 106k] + 56.22846 . 104k2+ + 159.94616 . 10lO k 1 k 2 + 240.21404 . 1012 k + 33.83208 . 108 k) > О,  3.12487. 104  13.38264. 10lOkl  5.52038. 108k2+ (8.174) + (d 1  d 2 )(3.47454 + 2.19076 . 106kl + 6.27165 . 104k2+ + 27.97587. 10lOklk2 + 60.5351 . 1012kI + 5.66026. 108k) > о,  3.28305. 104  29.52828. 10lOkl  11.13109. 108k2+ (8.175) + (d 1  d 2 )(3.5125  22.04148 . 106kl + 6.34378 . 104k2+ + 63.8606 . 10lOklk2 + 240.21404 . 1012kI + 11.45 . 108k) > о,  1.37674. 1010kl  0.04533 . 108k2 + (d 1  d 2 )(3.95453 . 1010klk2+ + 60.05351 . 1012 kI + 0.0631 . 108 k) > о. (8.176) Основные условия MN дЛЯ нелинейноrо блока. Вторичное условие Попова (8.101) принимает теперь вид р *Т *  * *  О V k Yk ==  fVikYik;/ , i== 1 Vk ? о, rде векторы Vk и Yk определяются следующим образом: *  [ J\;1k ] Vk  lv[k ' Yk == [ epk ] , eDk (8.177) V k  вектор выходов нелинейноrо блока, Yk  вектор входов нелинейноrо блока. Применение уравнения (8.141) А1 1 == т/о + трер + mDeD, представляющеrо собой общую формулу для выхода М 1 первичноrо нелинейноrо блока, а также уравнения (8.142), представляющеrо свой 
754 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления ства вторичноrо нелинейноrо блока F**, epk == epk + d 1 M{k, eDk == eDk + d2lvl;k Al{k == Al 1k  k1ejJk  k2eDk N;k == о, к вторичному условию Попова (8.101) преобразует ero к пространству [ер, eD] первичной системы. Результат этоrо преобразования дается CO отношениями вида: 2 222 f == ер(то + трер + т,DeD)  k 1 ep  k 2 epeD  d 1 [mo + трер+ + тЪеЪ + 2rпompep + 2rпOmDeD + 2mpmDeprпD+ + 2k 1 ep(mo + rпpep + mDeD) + 2k 2 eD(mO + rпpep + ffiDeD)  kfe  kеЪ  2k 1 k 2 epeD]  о. (8.178) Из рис. 8.72 видно, что коэффициенты то, тр, 77D зависят от рабоче.. ro сектора рассматриваемоrо нелинейноrо блока. Это значит, что условия Попова требуется исследовать отдельно для ка)Кдоrо сектора. Условие Попова (8.178) использует поверхность f == f(ep, eD) в трехмерном пространстве. На форму этой поверхности влияют значения указанных коэффициентов. Таким образом, можно получить rеометрическое пред ставление условия Попова как параболоид, rиперболоид или эллипсоид. До тех пор, пока значения степеней свободы k i , d j неизвестны, существу ют серьезные трудности, связанные с точным анализом условия Попова. Мы просто не знаем, какую форму принимает поверхность над ка)Кдым из конкретных секторов, как расположена эта поверхность, существует ли минимум или максимум функции f == f(ep, eD) в пределах данноrо сектора и т. д. Поскольку точное исследование условия Попова для всех секторов так затруднительно (оно может быть и не реализуемым), следует найти некий разумный компромисс. Таким образом, на первом этапе исследо вания мо)Кно сузить до HeKOToporo набора характеристик, внешних точек и одной внутренней точки каждоrо сектора. Соответствующий такому подходу при мер показан на рис. 8.81, 6. Введение условия для внутренней точки Р5 каждоrо из секторов (см. рис.8.81) уменьшает вероятность получения нежелательных результа тов, сходных с теlVIИ, что показаны на рис. 8.81, а (здесь условие Попова удовлетворяется для внешних точек сектора P 1  1, но не выполняется для значительной части внутренности данноrо сектора). В случае, коrда сектор имеет большой размер, условие Попова следует проверить для 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 755 Параболоид Попова Параболоид Попова а) б) Рис. 8.81. Нарушение (а) и удовлетворение (6) условия Попова для выбранноrо сектора нелинейной части нескольких точек из внутренности этоrо сектора и сторон сектора. Pa зумеется, функция f == f(ep, eD) должна быть неотрицательной во всех точках рассматриваемоrо сектора. Характеристические точки, выбранные для исследования нелиней Horo блока, показаны на рис. 8.72. Номера, которыми помечены точки, значения параметров ер и eD, а также коэффициентов то, тр, ffid при ведены в табл. 8.1. Основываясь на данных из табл. 8.1, можно вычислить выходы М 1 первичноrо нелинейноrо блока Р. ДЛЯ каждой из 49 точек с использованием формулы (8.178) формируются условия Попова. Данное условие, полученное для точки с номером 4, дается соотношением вида: 14 == 5.032  O.076k 1  41.25k 2 + d 1 (334.89 + 10.065k 1 + 5490k2  82.5k 1 k 2  0.076k  22500k)  о. (8.179) Условия Попова для остальных 48 точек также принимают вид функ ций от k i И d i . Выражения для них здесь не приводятся в целях экономии места. Имеется 18 условий, задаваемых неравенствами (8.140) и (8.162) (8.176), для линейноrо блока и 49 условий для нелинейноrо блока. Таким образом, общее число условий для рассматриваемой системы co ставляет 67. Эти 67 условий требуется удовлетворить путем подстройки Bcero 4 степеней свободы (!). Эти числа ясно показывают, насколько важ ным является выбор достаточноrо числа степеней свободы для успеха доказательства rиперустойчивости системы. Для сформулированных выше нелинейных условий типичным явля ется наличие большоrо числа локальных экстремумов. Была подrотов лена специальная компьютерная проrрамма, чтобы находить решения [k 1 , k 2 , d 1, d 2 ], удовлетворяющие всем 67 рассматриваемым оrраничени 
756 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Таблица 8.1 Параметры характеристических точек для секторов нелинейной части системы NQТОЧКИ то тр mD ер eD 1  18.3 О О  1.2  150 2  18.3 О О  1.2 23.653 3  18.3 О О  0.898 23.653 4  18.3 О О  0.275  118.922 5  18.3 О О  0.275  150 6  18.3 О О 0.7 80 7 28.31 О О 0.71 130 8 28.31 О О 1.2 130 9 28.31 О О 1.2 75.455 10 28.31 О О 0.898 75.455 11 28.31 О О 0.71 118.922 12 28.31 О О 1 100 13 8.72 О О  1.2 130 14 8.72 О О  1.2 118.922 15 8.72 О О  0.898 118.922 16 8.72 О О  0.898 130 17 8.72 О О 1 125 18  20.689 О 0.101  1.2 118.922 19  20.689 О 0.101  0.898 118.922 20  20.689 О 0.1 О 1  0.898 23.653 21  20.689 О 0.101  1.2 23.653 22 20.689 О 0.1 О 1 1 70 23 11.969 23.029 О  0.898 130 24 11.969 23.029 О 0.71 130 25 11.969 23.029 О 0.71 118.922 26 11.969 23.029 О  0.898 118.922 27 11.969 23.029 О О 125 28 О 23.029 0.101  0.898 118.922 29 О 23.029 0.1 О 1 0.71 118.922 30 О 23.029 0.101 0.898 75.455 31 О 23.029 0.1 О 1 0.898  118.922 32 О 23.029 0.101  0.275 118.922 33 О 23.029 0.1 01  0.898 23.653 34 О 23.029 0.101 О О 35 11.969 23.029 О  0.275  118.922 36  11.969 23.029 О 0.898  118.922 37  11.969 23.029 О 0.898  150 38  11.969 23.029 О  0.275  150 39  11.969 23.029 О 0.3  135 40 20.689 О 0.1 О 1 0.898 75.455 41 20.689 О 0.101 1.2 75.455 42 20.689 О 0.1 О 1 1.2  118.922 43 20.689 О 0.101 0.898 118.922 44 20.689 О 0.101 1.05 20 45 8.72 О О 0.898 118.922 46 8.72 О О 1.2  118.922 47 8.72 О О 1.2  150 48 8.72 О О 0.898  150 49 8.72 О О 1.05  135 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 757 ер G 1 (z) eD G 2 (z) м; eD  М 1 1;1 ep ** ер *** *** eD ер Рис. 8.82. Система управления после введения 8 степеней свободы (d 1 , d 2 , k 1 , k 2 , Tl, Т2, r:з, Т4) ям. Подход, реализуемый данной проrраммой, был построен на базе rрадиентноrо метода и rенетических алrоритмов. Несмотря на MHoro численные попытки, решить проблему для четырех степеней свободы пока не удалось. Эти неудачи привели к переформулированию проблемы путем введения в нее 8 степеней свободы вместо первоначальных 4. Система, «оснащенная» 8 степенями свободы, показана на рис. 8.82. Условие ML1. Применение процедуры экспертных испытаний (8.90) (Leigh 1985) приводит к следующим условиям, обеспечивающим устой чивость передаточных функций СТ*, С'2* (рис. 8.82 и выражение (8.192)): (Т1 1 2 + k 1 r 2 l 1 + rl k 2 l з)  [Т1 Т 2(1 + [2) + r1 k 2 l 2 l з] + 11 / 2 1 2 > О, (Т1 / 2 + k 1 r 2 1 1 + r1 k 2 l з) + [Т1 1' 2(1 + [2) + r1 k 2 l 2 l з] + r1 / 2 l 2 > O (Т]1'2 + k 1 r 2 l 1 + rl k 2[3)  1/1r2l21 > O (8.180) [де [1 == 7.749 . 106, [2 == 0.859, l3 == 1.805 . 104. 
758 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления * Rel I I I I I I I I I A I I  I : .; : I I I  1  0.5 о 0.5 1 cos Q) Т Рис. 8.83. rрафическое представление условия Re* (Zi) > О (Z  плотность расположения значений Zi в заданной области) Условие ML2. Матрица H(jw) == 0.5[G(e jwT ) + GT(ejwT)] должна быть положительно определенной и эрмитовой для всех w  о. Условие ML2 должно удовлетворяться для всех Zi == COSWiT из области [1, 1] (рис. 8.83). Была написана компьютерная проrрамма, позволяющая проверять условие ML2 дЛЯ заданной области изменения значений Zi и плотно сти ДZ расположения этих значений в данной области. Условие ML2, применительно к каждой из точек Zi, можно разделить на два условия: Ret*(Zi) > О, [Re t * ( zi ) ] 2  [Re * ( Zi ) ] 2 > о. (8.181) Эта компьютерная проrрамма проводила формирование и проверку обоих условий для всех Zi из рассматриваемой области. Вещественные части передаточных функций определяются соотношениями: R ** d АР2Сl е1 == 1 + с2 С 2 ' 1 + 2 R **  d C 1 (A D2  AD1Z i ) + A D1 (1  z;)(B 1  2B o Z i ) е2  2 + С2 с 2 , 1 + 2 С 1 == В 2  B 1 Z i + Bo(2z;  1), C == (1  z;)(B 1  2BOZi)2, A D2 == rlr4 l з, A D1 == r1 r 4 l 2 l з, В 2 == (Т1 Т 2 + k 1 r 2 l 1 + r1 k 2 l з), В] == [Т1Т2(1 + [2) + r1 k 2 l 2 l з], Во == Т1 r2 l 2  А Р2 == r2rзll, (8.182) 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 759 [де значения ll, [2, l3 были определены ранее выражением (8.180). Pe зультат (8.180) означает, что условия ML2 представляются сложными функциями, которые зависят от всех 8 степеней свободы d 1 , d 2 , k 1 , k 2 , Tl, Т2, Тз, Т4. Основные условия MN дЛЯ нелинейноrо блока. Исследование paCCMaT риваемоrо сейчас условия означает, что условие Попова (8.101), преобра зованное в форму (8.183), проверяется для всех 49 точек P i из табл.8.1: f() == М;ер* == Тз ер . м;  d 1 . А1;2 ? О, Т} (8.183) [де * k} k 2 М 1 == А1 1   ер   eD, Т} Т2 J\;1 1 == то + трер + ffiDeD. Пара метры то, тр, ffiD, ер, eD для точек P i , i == 1,. . . ,49, собраны в табл. 8.1. Допущение д.z == 0.125 дает в результате 70 условий, которые долж ны удовлетворяться посредством выбора значений степеней свободы. Решение рассматриваемой задачи теперь существует. Всем 70 условиям, представленным нелинейными неравенствами, удовлетворяют следующие значения: k 1 == 0.1, Т] == 1, k 2 == 0.172354, Т2 == 1.8, d 1 == 0.00095, Т3 == 101 d 2 == о  Т4 == 1. (8.184) Существуют также и друrие наборы значений степеней свободы, yдo влетворяющие указанным условиям. Они также должны быть выявлены. Располаrая известными числовыми значениями степеней свободы (8.184), можно точно проверить, соблюдается ли условие Попова для любых TO чек, принадлежащих заданному сектору. Ранее проверка условия Попова проводилась лишь приближенно, для нескольких точек из заданноrо сектора. Теперь же можно обнаружить возможные «скрытые» нарушения условия Попова, если они имеются, как на рис. 8.81, а. Дальнейшие исследования показывают, как пример, способ точной проверки условия Попова для сектора qз == 1 (рис. 8.72). JТрОВНИ входных сиrналов ер и ел, поставленных в соответствие этому сектору, даются соотношениями: 0.71  ер? 1.2 75.455  CD ? 130. (8.185) 
760 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Выходной сиrнал нелинейноrо блока для рассматриваемоrо сектора дает постоянное значение М 1 == 28.31. Сиrнал Mi дается соотношением Лi[ == 28.31 + О.lе р  0.14363eD. (8.186) Подставляя значения степеней свободы (8.184) в условие Попова (8.183), получим: f == М{ер* == [101ер  0.00095lV[]Ml*  о. (8.187) Подставляя (8.186) в (8.187), соотношение (8.187) можно преобразо вать к виду: f == (0.02689 + 100.99999ер + 0.00014eD) х х (28.31 + О.lе р  0.14363eD)  О, f == А . В  о. (8.188) Совершенно не трудно установить, коrда произведение двух отдель ных факторов А и В, представленное выражением в скобках, будет по ложительным. Оrраничивая исследования прямоуrольником на рис. 8.72, представленным с помощью (8.185), можно найти минимальные значения для А и В: A min == 71.69366 B min == 9.70936 для ер == о. 71ие D == 75.455, для ер == о. 71ие D == 130. (8.189) Поскольку А и В положительны, условие Попова (8.187) удовлетво ряется для всех точек сектора qз == 1. Чтобы проверить условие Попова в более сложной ситуации, например, один из факторов (А или В) прини мает отрицательные значения для ер и eD, приписанных к исследуемому сектору, можно использовать широко известные методы исследования функций. Условие Попова (8.188) можно преобразовать к виду: f == 0.76138 + 2859.30426ер + 0.00773eD  14.5066epeD + 10.0999ge  0.00002еЬ  О. (8.190) Функция f, задаваемая выражением (8.190), определяет rиперболоид. Подставляя f == о, получим уравнение такой кривой в плоскости [ер, eD], rде положительный знак функции f «переключается» на отрицательный и наоборот. rрафическое представление «переключающей кривой»  0.76138 + 2859.30426е р + 0.00773е D   14.5066epeD + 10.0999ge  0.00002еЬ == О дается на рис. 8.84. (8.191) 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 761 1>0 1==0 1<0 ер Рис. 8.84. Поперечное сечение плоскости [ep eD] в точке пересечения rипербо лоида, представляющеrо условие Попова (8.190) для сектора qз == 1 и диапазона положительных и отрицательных значений рассматриваемоrо условия * Re ( G 1 )  1  0.5 О cos ш Т Рис. 8.85. Типичный пример для случая, коrда условия положительной опреде ленности линейной части удовлетворяется в характеристических точках Рl  Р5, В то время как между этими точками (окрестность точки Р6) они нарушаются Аналитическое исследование условия Попова (8.190) можно заме нить численной проверкой. Конечно, ранее выбранное число xapaKTep ных точек (5) придется существенно увеличить. Как и для нелинейноrо блока, надо найти способ точно проверять, удовлетворяются ли условия, поставленные в соответствие линейному блоку (8.159)(8.161) между выбранными точками Pt, i == 1,. . . ,5 (см. рис. 8.85). Точно так же, как и в предыдущей задаче, аналитическое исследо вание можно заменить численной проверкой, если расстояние Дz между изучаемыми точками достаточно мало. Для мноrочисленных значений 
762 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления lkf 2 * СТ 1 ** СТ 2 ** ",;' ;;' ** " N;  О ::::q!:ш *** ер *** eD * N 1 = О Mt* I F** Рис. 8.86. Линейная часть G**(z) исследуемой системы расстояния Дz из области Дz < 0.125 был проведены численные иссле дования. Они подтвердили, что условия (8.159)(8.161) удовлетворяются. Условие PL2 (рассматриваемый линейный блок должен быть пол ностью управляемым и наблюдаемым). Линейный блок исследуемой системы управления, показанный на рис. 8.86, составлен из 4 компонент ных передаточных функций СТ*. ИЗ рис.8.82 следует, что частные передаточные функции СТ* за висят от значений степеней свободы (8.184) и MorYT быть выражены в следующей общей форме: С** ( )  ep*k'(z)  d (rз/ r l)G 1 (z) 1 z  А1*  1 + k ' 2k 1 + (k 1 /rl)G 1 (z) +  G 2 (z) Т2 С ** ( )  eDk(z)  d (r4/r2)G2(z) 2 z   2+ Mk 1 + (k 1 j r l)G 1 (Z) + k 2 G 2 (z) . Т2 (8.192) Первичные передаточные функции определяются соотношениями (8.137). Если подставить в (8.137) значения всех коэффициентов, то даль нейшие преобразования приводят к так называемым модальным формам: С** ( z ) == 0.07925 + 0.6073  0.4618 == 1 z  0.9925 z  0.8655 == d 1 + Сl + С2 z  Zl z  Z2 (8.193) G**(z) == 0.0001 + 0.6066  0.4612 == 2 z  0.9925 z  0.8655 == d 2 + СЗ + С4 z  Zl z  Z2 Представление линейноrо блока в пространстве состояний показано на рис. 8.87. 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 763 d 1 * ul(k) ==М2 (k) *** ер (k)==Yl(k) * u2(k) ==N 2 (k) == О *** eD (k) == Y2(k) Рис. 8.87. Представление в пространстве состояний для линейной части G**(z) Из рис. 8.87 следует, что на состояния Х1, Х2 можно воздействовать через вход и1, тоrда как на состояния хз, Х4  через вход и2. Следова тельно, можно исследовать управляемость состояний Хl, Х2, используя модель на основе уравнений состояния вида: X 1 (k + 1) == AX 1 (k) + BU1(k), [ Х1 (k + 1) ] == [ Zl О ] [ Х1 (k) ] + [ 1 ] и1 (k). x2(k + 1) о Z2 x2(k) 1 Управляемость состояний хз, Х4 можно изучать при помощи модели TaKoro вида: (8.194 ) X 2 (k + 1) == А X 2 (k) + BU2(k), [ :   :   ] == [ ] [ :    ] + [  ] и2 (k ). (8.195) 
764 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления Линейная, дискретная, стационарная система будет управляемой TO rда и только тоrда, коrда матрица S, определяемая соотношением (8.196), имеет максимальный paHr n, rде n  порядок систеlVIЫ (Guenther 1984): s == [В:АВ:А 2 В:... :AnlB] . (8.196) атрицы управляемости s == [ ;], rank S == 2, (8.197) поставленные в соответствие переменным состояния Хl, Х2 И Хз, Х4, идентичны, поскольку обе модели (8.194) и (8.195) создаются с исполь зованием одних и тех же матриц А и В. атрица S имеет максимальный paHr, равный 2, и имеет два различ ных собственных значения (Zl == 0.9925, Z2 == 0.8655). Хотя матрицу управляемости для переменных состояния Хз, Х4 можно классифицировать как матрицу с максимальным paHroM, в действитель ности переменные состояния Хз и Х4 не управляются посредством пере мен ной и2. Соrласно принятым правилам, пустой (фиктивный) вход и2 всеrда равняется нулю (и2 == О) (см. рис. 8.84). Это, однако, не означает, что условие управляемости PL2 нарушается. Поясним это утвержде ние следующей цитатой (Opitz 1986): «Если все собственные значения матрицы системы, на которые нельзя повлиять, имеют отрицательные Be щественные части, а матрица передаточных функций оставшейся части полностью управляемой и наблюдаемой системы cTporo положитель на и вещественна, то такая система асимптотически rиперустойчива». Процитированное условие можно назвать «смяrченным условием управ ляемости и наблюдаемости». Переменные состояния Хз, Х4 не возбуждаются воздействием и2, по скольку и2 == О (рис. 8.87). Если начальные значения этих переменных состояния равны ХЗ(О) -1 О, Х4(0) -1 О, то после HeKoToporo переход Horo процесса эти переменные затухают до значений Хз  О, Х4  О (это «rарантируется» отрицательными собственными значениями Zl, Z2 системной матрицы). Следовательно, переменные Хз, Х4 MorYT влиять только на выходы линейноrо блока Уl, У2 В течение начальноrо периода работы системы. Таким образом, выходы Уl, У2 зависят rлавным образом от переменных состояния Хl и Х2. Если пренебречь изменениями COCTO яний в переходном процессе, вызванном начальными условиями хз(О), 
8.3. Применение теории rиперустойчивости 765 Х4(О), то можно записать следующие уравнения: Y1(k) rv Y11(k) :=: С 1 X 1 (k) + d 1 U 1(k), У2 ( k) rv у 12 ( k) :=: С 2 Х 1 ( k) + d 2 U 1 ( k ) , (8.198) (8.199) rде С 1 :=: [С1, С2], С 2 :=: [сз, С4], xr:=: [Х1, Х2]' Переменные состояния Х1, Х2 можно наблюдать с обоих выходов Уl, У2. Матрицу наблюдаемости 01 для выхода У1 можно записать в виде (Guenther 1988) 01 == [CT:ATCT:...:(AT)n1CT] == [ С1 Zl ] . C2 Z 2 (8.200) Рассматриваемая подсистема будет наблюдаемой, если ранrи матрицы 01 и матрицы состояний А совпадают и максимальны. Матрица 01 имеет paHr 2, поэтому подсистема, представляемая пере менными состояния Х1, Х2, является полностью наблюдаемой (за исклю чением начальноrо периода работы системы). Переменные Х1, Х2 можно также наблюдать из выхода У2. Состояния ХЗ, Х4 равняются нулю или «эффективно» затухают до нуля (при не нулевых начальных условиях), так что установившиеся значения состояний хз и Х4 известны. Линейный блок С** (см. рис.8.87) удовлетворяет «смяrченному» условию наблюдаемости. Условие PL2 дЛЯ линейноrо блока выполняется, поскольку подсистеме переменных состояния Х1, Х2 поставлены в COOT ветствие cTporo положительные вещественные передаточные функции 0t* и 02* (8.193). Представленный при мер исследования rиперустойчивости для нели ней ной системы МIМОтипа показывает, что уровень трудностей, свя занных с доказательством устойчивости системы, существенно выше, чем в случае линейных систем. Анализируя этот пример, можно ви деть, насколько важен выбор подходящеrо числа фиктивных степеней свободы. При небольшом числе степеней свободы rиперустойчивость не будет доказана. К счастью, увеличение числа этих степеней свободы дa ет хорошее решение, ведущее к доказательству. Некоторые специалисты в области нечеткоrо управления отстаивают мнение о том, что метод rиперустойчивости консервативен, друrими словами, он позволяет полу чить доказательство устойчивости только для тех систем управления, запас устойчивости которых достаточно велик. Рассматриваемая система может быть охарактеризована, несомненно, как rлобально нелинейная, но локально, в индивидуальных секторах входноrо пространства (рис. 8.72), 
766 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления jIm(z) 0.000008 + 0.9267314 j 1 1 Re (z ) 0.000008  0.9267314 j Рис. 8.88. Расположение полюсов Zl, Z2 дЛЯ центральноrо сектора (Q2W2V2 == 1) входноrо пространства нелинейной части F ее работа имеет сходство с работой линейной системы. В центральном секторе Q2W2V2 == 1 нелинейный блок F реализует линейное отображение: М 1 == 23.029ер + 0.101eD. Следовательно, имея в виду передаточные функции линейноrо блока, задаваемые выражением (8.137) (см. также рис. 8.74), получаем следу ющие полюса, представляющие рассматриваемую систему управления (с замкнутыми контурами обратной связи): Zl rv 0.000008 + 0.926731), Z2 rv 0.000008  0.926731). Расположение этих полюсов в плоскости Z показано на рис. 8.88. Как следует из рис. 8.88, полюса располаrаются поблизости от rpa ницы единичноrо Kpyra, отделяющей область устойчивости. Несмотря на такое критическое расположение полюсов, устойчивость системы доказана. Это служит опровержением мнения о том, что теория rипе рустойчивости консервативна. . 
Список литературы [1] Abdelnour G., Chang F. and others (1992) Design of а fuzzy controller using input and output mapping factors. IEEE Transactions оп Systems, Мап and Cybernetics. NQ 21, рр. 952960. [2] Abel D. (1991) Fuzzy Control  eine Einfuhrung ins Unscharfe. Automatisierungs technik, vol. 39, NQ 12, рр. 433438. [3] Ader W., N6rling А., Hollatz J. (1996) Datalyzer, а tool for fuzzy data analysis. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, vol.3. Aachen, Germany, рр. 1541  1545. [4] Akaiwa Е. (1990) Hardware and software of fuzzy logic controlled cardiac pacemaker. Proceedings of the First International Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks. Iizuka, Japan, рр. 549552. [5] уоп A1trock С., Krause В., Zimmermann Н. J. (1992) Advanced fuzzy logic control of а model car in extreme situations. Fuzzy Sets and Systems, vol. 48, NQ 1, рр. 41 52. [6] уоп A1trock С. (1993) Fuzzy logic. Band 1  Technologie. R.Oldenburg Verlag GmbH, Munchen, Germany. [7] уоп Altrock С. (1995) Fuzzy logic. Band 3  Werkzeuge. R. Oldenburg Verlad GmbH, Munchen, Germany. [8] Anderson В. (1968) А simplified viewpoint of hyperstability. IEEE Transactions оп Automatic Control, NQ 13, рр. 292294. [9] Anderson В., Bitmed R. and others (1968) Stability of adaptive systems: passivity and averaging analysis. MIT Press, Cambridge, USA. [10] Angstenberger J., Walesch В. (1994) ATPMarktanalyse: Entwicklungswerkzeuge und Spezialprozessoren fur FuzzyAnwendungen. Automatisierungstechnische Praxis, vol.36, NQ 6, рр. 62 72. [11] Aoki S., Kawachi S. (1990) Application of fuzzy control for deadtime processes in а glas melting furnace. Fuzzy Sets and Systems, vol.38, NQ 5, рр. 251 256. [12] Aracil J., GarciaCerezo А., Ollero А. (1991) Fuzzy control of dynamical systems. Stability analysis based оп the conicity criterion. Proceedings оУ the 4th Iternational Fuzzy Systems Association Congress, Brussels, Belgium, рр. 58. [13] Aracil J., Gordillo F. (2000) Stability issues in fuzzy control. Physica Verlag, HeidelbergNew York. [14] Arita S., Tsutsui Т. (1990) Fuzzy logic control of blood pressure through inhalational anesthesia. Proceedings of the First International Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks. Iizuka, Japan, рр. 545547. [15] Arita S. (1991) Development of ап ultrasonic cancer diagnosis system using fuzzy theory. Japanese Journal of Fuzzy Theory and Systems, vol.3, NQ 3, рр. 215230. [16] Assilian S. (1974) Artificial intelligence in the control of real dynamical systems. Ph.D. Thesis, London University. [17] Astr6m К. J., Wittenmark В. (1989) Adaptive control. Addison Wesley, New York, USA. [18] Babuska R., Verbruggen Н. В. (1995а) А new identification method for linguistic fuzzy models. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95. Yokohama, Japan, рр. 905912. [19] Babuska R. (1995Ь) Fuzzy modeling а control engineering perspective. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95. Yokohama, Japan, рр. 1897  1902. 
768 Список литературы [20] Babuska R., Verbruggen Н. В. (1995с) Identification оУ composite linear models via fuzzy clustering. Proceedings оУ the 3rd European Control Conference. Rome, Italy, рр. 1207  1212. [21] Babuska R. (1995d) Fuzzy modeling and cluster analysis toolbox for MATLAB. Proceedings of the International Conference EUFIT'95, vol.3. Aachen, Germany, рр. 14 79 1483. [22] Babuska R., Sousa J., Verbruggen Н. В. (1995е) Modelbased design оУ fuzzy control systems. Proceedings of the International Conference EUFIT'95, vol.1. Aachen, German у, рр. 837 841. [23] Babuska R., Setnes М., Kaymak U., уоп Nauta Lemke Н. R. (1996) Simplification of fuzzy rule bases. Proceedings оУ the International Conference EUFIT'96, vol.2. Aachen, Germany, pp.11151119. [24] Baldwin J. F. (1995а) Fril method for soft computing, fuzzy control and classification. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95, vol. 1. Yokohama, Japan, рр. 309316. [25] Baldwin J. F., Martin Т. Р. (1995Ь) Fuzzy modelling in ап Intelligent Data Browser. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95, vol. 4. Yokohama, Japan, рр. 1885 1890. [26] Baglio S., Fortuna L., Graziani S., Muscato G. (1994) Membership function shape and the dynamic behaviour of fuzzy systems. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, vol. 8, рр. 369377. [27] Bartolan G., Pedrycz W. (1997) Reconstruction problem and information granularity. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, vol. 5, NQ 2, рр. 234248. [28] Bastian А. (1996) А genetic algorithm for tuning membership functions. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, vol. 1. Aachen, Germany, рр. 494498. [29] Becker М., уоп Recum S. (1994) Verfahren zur bedarfsgesteuerten Abtauerkennung in Kalteanlagen unter Einsatz eines Fuzzy Entscheiders. Proceedings оУ the 39th Internationales Wissenschaftliches Kolloquium. Ilmenau, Germany, рр. 316323. [30] Beigy Н., Eydgahi А. М. (1995) Fuzzy modelling of twodimensional linear systems. Proceedings of the International Symposium оп Methods and Models in Automation and Robotics MMAR'95, vol.2. Mittdzyzdroje, Poland, рр. 775 780. [31] Bellon С., Bosc Р., Prade Н. (1992) Fuzzy Ьооm in Japan. International Journal оУ Intelligent Systems, NQ 7, рр. 293316. [32] Bellman R. Е. (1961) Adaptive control processes. Princetown: Princetown University Press. [33] Berenji Н. R., Khedkar Р. (1992) Learning and tuning fuzzy logic controllers through reinforcements. IEEE Transactions оп Neural Networks 1992, vol.3, NQ 5, рр. 724740. [34] Bertram Т., Svaricek F. (1993) Zur Kompensation der trockenen Reibung mit Hilfe der FuzzyLogik. Automatisierungstechnik, vol. 41, NQ 5, рр. 180184. [35] Bertram Т., Svaricek F. and others (1994) Fuzzy Control. Zusammenstel1ung und Beschreibung Wichtiger Begriffe. Automatisierungstechnik, vol.42, NQ 7, рр. 322326. [36] Bezdek J. С. (1981) Pattern recognition with fuzzy objective function algorithms. New York: Plenum Press. [37] Bezdek J. С., Ehrlich R., Full W. (1984) FCM: the fuzzy cmeans clustering algorithm. Computer and Geosciences, NQ 10, рр. 191 203. 
Список литературы 769 [38] Bezdek J. С. (1993) Editorial. Fuzzy modelswhat are they, and why? IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, vol. 1, NQ 1, рр. 16. [39] Bdzak М. (1992) Algorytmy sterowania cyfrowego bazuj'lce па logice rozmytej i sztucznych sieciach neuronowych. Ph.D. Thesis. Technical University of Szczecin, Poland. [40] Bien Z., Hwang О. Н., Lee J. Н., Ryu Н. К. (1992) Ап automatic startup and shutdown control of а drumtype boiler using fuzzy logic. Proceedings of the Second International Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks. Iizuka, Japan, рр. 465468. [41] Bindel Т., Mikut R. (1995) Entwurf, Stabilitatsanalyse und Erprobung von Fuzzy Reglern ат Beispiel einer Durchflussregelung. Automatisierungstechnik, vol.43, NQ 5, рр. 249255. [42] Bork Р., Selig М., Krummen Н., Schiller Е. (1993) Fuzzy Control zur Optimierung der Kuhlwasseraufbereitung ап einer ChemieReaktoranlage. Automatisierungstechnische Praxis, vol.35, NQ 5, рр. 306309. [43] Bossley К. М., Brown М., Harris С. J. (1995) Neurofuzzy model construction for the modelling of nonlinear processes. Proceedings of the 3rd European Control Conference. Rome, Italy, рр. 24382443. [44] B6hm R., Krebs У. (1993) Ein Ansatz zur Stabilitatsanalyse und Synthese von Fuzzy Regelungen. Automatisierungstechnik, vol.41, NQ 8, рр. 288293. [45] B6hm R., B6sch М. (1995) Stabilitatsanalyse von FuzzyMehrgrssenregelungen mit Hilfe der Hyperstabilitatstheorie. Automatisierungstechnik, vol. 43, NQ 4, рр. 181  186. [46] Broel  Plater В. (1995) DSP system using fuzzylogic technik. Proceedings of the International Conference ACS'97. Szczecin, Poland, рр. 40 1 406. [47] Bronsztejn 1. N., Siemiendiajew К. А. (1996) Matematyka. PWN, Warszawa, Poland. [48] Brown М., Harris С. (1994) Neurofuzzy adaptive modelling and control. Prentice Hall, New York, USA. [49] Brown М., Bossley К. М., Mills D. J., Harris С. J. (1995а) High dimensional neurofuzzy systems: overcoming the curse of dimensionality. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95. Yokohama, Japan, рр. 21392146. [50] Brown М., Ап Р. Е., Harris С. J. (1995Ь) Оп the condition of neurofuzzy models. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95, vol. 2. Yokohama, Japan, pp.663670. [51] Brown М., Ullrich Т. (1997) Comparison of node insertion algorithms for Delaunay networks. Proceedings of the IMACS 2nd Mathmod Conference. Vienna, Austria, рр. 775 780. [52] Buhler Н. (1994) Stabilitatsuntersuchung von FuzzyRegelungen. GMA Aussprachetag FuzzyControl, Langen BRD, VDIBericht Nr 1113, рр. 309318. [53] Сао S. G., Rees N. W., Feng G. (1997а) Analysis and design for а class of complex control systems. Part 1: Fuzzy modelling and identification. Automatica, vol.33, NQ 6, рр. 1017  1028. [54] Сао S. G., Rees N. W., Feng G. (1997Ь) Analysis and design for а class of complex control systems. Part II: Fuzzy controller design. Automatica, vol.33, NQ 6, рр. 1029 1039. [55] Carpenter G. А., Grossberg S., Markuzon N., Reynolds J. Н., Rosen D. В. (1992) Fuzzy ART МАР: а neural network architecture for incremental supervised learning 
770 СПИСОК литературы о[ araalog mu1tidimensional maps. IEEE Transactions оп Neural Networks, vol.3, Лk 5., рр. 698713. 1561 СЬеп Н.., Mitzumoto M. Ling У. F. (1992) Automatic control of sewerege pumpstation Ьу l1sing fuzzy controls and neural networks. Proceedings of the Second Internationa[ Conference оп Fuzzy Logic and Neural Net\\Torks. lizuka, Japan, рр. 9t94. (57) СЬо К. В., Wang В. Н. (1995) Radial basis function based adaptive fuzzy systems. Proceedings of the Iпiеrпаtiопаl Conference FUZZIEEE/IFES'95, vol. 1. Yokohama, Japan, рр. 247 252. [581 Cipriano А., Kamos М., Brisefio Н., Montoya F. (1995) Comp.arative analysis оС two fuzzy mode!s identHication methods. Proceedings of the 3rd European Control Солfеrеraсе, vo. 3. Rome, Itaiy, рр. 12131218. [591 Cook Р. А. (1986) Non1inear dynamica! systems. London: Prentice НаН International. (60) Мс Cormac S. Е., Ringwood J. V. (1997) Neural and fuzzy modelling and fuzzy preddctive control of а nonHnear coupied multivariable plant. Proceedings of the International Conferefdce EUFIT"97, vol.2. Aachen, Germany, pp.13111315. [611 Czogala Е.., Pedrycz w. (1981) Оп identification of fuzzy systems and its applications Qn contr01 prob[ems. Fuzzy Sets and Systems, .м 6, рр. 738З. [621 Czogala Е., Pedrycz W. (1984) Identification and control problems in fuzzy systems. TIMS Studies in the Management Sciences, N 20, рр. 437 446. (63) Czogala Е. (1993a) Fuzzy logic c()ntroHers versus conventional controllers. Proceedings of the 16th Seminar оп Fundamentals of Etectrotechnics and Circuit Theory., vol. 1. GliwiceUstron, Poland, рр. 2329. [641 Czogala Е. (199ЗЬ) Оп the modification оС rule connective in fuzzy logic controHers using Zimmermann"s compensatory operators. Proceedings of the International Conference EUFIT'93., vol.2. Aachen, Germany, рр. IЗ29 1333. [6.51 Czogala Е. (1994) Оп modeHing knowledge bases for fuzzy and rough fuzzy controHers using the concept 01 ап input image. Proceedings of the International Conference EUFIT'94. АасЬеп, Germany. (66) CиHiere Т., TitH А., Corrieu j. М. (1995) Neurofuzzy modeHing of nonlinear systems for control purposes. Proceedings оС the International Conference FUZZ IEEE/IFES'95, vol.4. Yokohama, Japan, рр. 20092016. [611 Cytowski J. (1996) AIgorytmy geruetyczne. Podstawy j zastosowania. Akademicka ОНсупа Wydawnicza Ри. Warszawa., Poland. (68) Оаса W., Вt:dzak М., Efner Т. (1994) Fuzzy Logic fur Temperaturregelung. Proceedings of the 13th IAESTED International Conference MIC. Grindelwald, Switzerland" рр. 40040 1. (69) Dave R. N., Krishnapuram R. (1997) Robust clustering methods: а unified view. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, vol.5" .N! 2, рр. 270293. (70) Davis L. (1991) Handbook of genetics algorithms. New York: Уа" Nostrand Reinhold. (71) Delgado М. (1995) Generating fuzzy rules using clusteringbased approaches. Proceedings of the Internationa.t Conference EUFIT'95, vol.2. Aachen, Germany, рр. 810814. [721 Delgado М.., GomezSkarmeta А. F., Martin F. (1997) А fuzzy clusteringbased rapid prototyping for а fuzzy rulebased modeling. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, vol. 5.,  2, рр. 22З2З3. 
Список литературы 711 (73] Dias J. М., Correia А. о. (1997) MuJtivariabIe decoupHJl!g and с OlltroD Ьу а sel[ organizing fuzzy system with realtime learJl!ing. Proceedings о) the lJl!lеrлаtiОl11аt Conference EUFIT97" vol.2. АасЬеп,. Germany,. pp.12331231. (74] Domanski Р. D.,. Brdys М. А.,. Tatjewski Р. (1991) Fuzzy kogic muntjregioI1ai controllersdesign and stability апаlуsis. Рrосeediпgs oi the European Contro Conierence ЕЕС 97,. paper TUEG5 (619) оп disc. ВП.Dssеls ВeJgium. (75] Dobrich U., Pieifer В. М. (1996) TechJl!ologiemarkt .ЛIllgеwалdtе Fоrsсhuпg.. AutomatisjeruJl!gstechnische Praxjs,. vol.36,. !w 4,. рр. 8083. (76) Driankov О., Hellendoorn Н.,. Reinfrank М. (1993) А" introducHon to iuzzy control. BerJin: Springer Verlag. (77) Driankov D., Hellendoorn Н.. Reinfrank М. (1996) Wprowadzenie do sterowanja rozmytego. Wydawnjctwo Naukowo Т echniczne. Warszawa,. PofaJl!d. (78] Dubois D." Grabisch М.,. Prade Н. (J992) GradU!al rues 2nd the approximatioп oi functjons. Proceedings of the Second I"ternatioJl!al Confere"ce оп Fuzzy Logic aJl!d Neura) Networks. Iizuka,. Japa"" рр. 629632. (79) Оипп J. с. (1973) А iuzzy relative of the ISODATA process and its use iп detecti[]g соmрас. wellseparated clusters. Journal 01 CyberJl!eHcs t N! 3,. рр. З251. [80} Есопотоо С. G. (1986) Internal model сопtrоJ. Extension to попНпеат sys.tems. Ind. Eng. СЬет. Process Des. ОеУ.,. vol.21.. рр. 403411. (81] Edgar С. R." Postlethwajte В. Е. (1991) А iuzzy internat model сопtrrоНеr (FIMC) for nonlinear systems. Proceedings 01 {Ье Iпfеrпаtiопа' Confe1rence EUF'IT"91" Yo. 2. Aachen t Germaпy,. pp.12171221. [82] Eklund Р... Klawonn F. (1992) Neural fuzzy logic prograrnming. 'ЕЕЕ TraJl!sactions оп Neural Networks t voJ.3" NJ. 5t рр. 8158]8. (83) Empacher А. (1970) Maly slownik matematyczny. Wpedza Powszechna. Warszawa" Poland. (84] Feuring Т. (1996) DеvеJорiпg algorithms for iuzzy neural networks. ProceediJl!g5 oi the 15th IASTED Internatjonal Conference . Model iing.. Idепtifiсаtiоn and СопtrоП.. IпsЬruсk.. Austria.. рр. ]33 136. (85] Fijiwara У. (1991) ]шзgе processing usiпg iuzzy logic for video print systems. Proceedings of the International Conterence IFES"91 t Yo. 2. Токуо.. Jарап. рр. 1003 1012. (86] FiordaHso А. (1996) А prunning method lor the selistructuriJl!g 01 fuzzy systems applied {о ftlnction 3pproximation. Proceedings of the InternationaI Сопfеrелсе EUFIT t 96" vol. 1. Аасhеп,. Germany, рр. 58158б. (87] Fischle К., Schroder D. (1997) Stabile adaptive FuzzyRegelung оhпе Diiferenti3tion der Rеgеlgrбssе. Automatisierungstechnik,. vol. 45  8, рр_ 360367. (88] Fisher М., NeHes о.,. Fussel о. (1996) TuniJl!g of PIDcontroHers' ior попliпеаr processes based оп IocaJ linear fuzzy models. ProceediJl!gs ol the InterJl!atioJl!aI Conierence EUFIT'96" Уоl.2. Aachen,. Germany.. pp.189) 1895. (89] FolHnger о. (1993) NichtHneare RegeJungen. OldeJl!burg Verlag. Мйпсhеп,. GermaJl!Y. [90] Franke Н." Pribe1r U. (1994) EchtzeitFuzzyKlassiiikaHon in Bild uпd Signalverarbeitung. Proc. 39 lnternationales WisseJl!schaiHiches KoHoqium,. vol.3, IImenau, Germany" рр. 308315. (91] Fujimoto J., Nakatani Т.,. Уопеуаmа М. (1989) SpeakerindepeJl!dent word rесoqпjtiоп using iuzzy pattern matching. Fuzzy Sets and Systems, vol.32,. .N! 7., pp_181 191. 
772 Список литературы [92] Fujiyoshi М., Shiraki Т. (1992) А fuzzy automaticcombustioncontrolsystem of refuse incineration plant. Proceedings of the Second International Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks. Iizuka, Japan, рр. 469472. [93] Fukumoto S., Miyajima Н., Kishida К., Nagasawa У. (1995) А destructive learning method of fuzzy inference rules. Proceedings of the International Conference FUZZ IEEEjIFES'95, vol.2. Yokohama, Japan, рр. 687 694. [94] Garcia С. Е., Morari М. (1982) Internal model control. А unifying review and some new results. Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev, vol.21, рр. 308323. [95] Goldberg D. Е. (1995) Algorytmy genetyczne i ich zastosowania. Wydawnictwo Naukowo Techniczne. Warszawa, Poland. [96] Gonzales А., Perez R. (1995) Structurallearning of fuzzy rules from noised examples. Proceedings of the International Conference FUZZIEEEjIFES'95, vol. 3. Yokohama, Japan, рр. 1323 1330. [97] Gorez R., Carels Р. (1996) А structure and а tuning procedure for PIDlike fuzzy control. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, vol.2. Aachen, Germany, рр. 974979. [98] Gorrini У., Salome Т., Bersini Н. (1995) Selfstructuring fuzzy systems for function approximation. Proceedings of the International Conference FUZZIEEEjIFES'95, vol.2. Yokohama, Japan, рр. 919926. [99] Gottwald S. (1993) Fuzzy sets and fuzzy logic. Foundations and application  from а mathematical point of view. Vieweg Verlag. Braunschweig, Germany. [100] Gruszecki J., MieszkowiczRolka А., Rolka L. (1994) Automatyzacja procesu осепу pilot6w szkolnych па symulatorze lot6w. Materialy ХН Krajowej Konferencji Automatyki. Gdynia, Poland, рр. 213219. [1 О 1] Gupta М., Qi J. (1991) Design of fuzzy logic controllers based оп generalized Т  operators. Fuzzy Sets and Systems, vol. 40, рр. 473489. [102] Gupta М., Rao D. Н. (1994) Оп the principles of fuzzy neural networks. Fuzzy Sets and Systems, vol.61, рр. 1  18. [103] Gwiazda Т. D. (1995) Algorytmy genetyczne. Wstp do teorii. «Т. D. G.» Sp. Cyw. Warszawa, Poland. [104] Hajek М. (1994) Optimization of fuzzy rules Ьу using а genetic algorithm. Proceedings of the Third International Conference оп Automation, Robotics and Computer Vision ICARV'94, vol.4. Singapore, рр. 21112115. [105] Hajek М. (1995) Multivariable fuzzy controlgenetic optimization of fuzzy rules. Proceedings of the International Conference ICAUTO95. Indore, India, рр. 783 786. [106] Hakata Т., Masuda J. (1990) Fuzzy control of cooling system utilizing heat storage. Proceedings of the First International Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks. Iizuka, Japan, рр. 7780. [107] Halgamuge S., Glesner М. (1996) Fast transparent neurofuzzy classifiers. Proceedings of the 15th IASTED International Conference «Modelling, Identification and Control». Insbruck, Austria, рр. 407 410. [108] Нап С. D. (1970) Sufficient conditions for hyperstability of а class of nonlinear systems. IEEE Transactions оп Automatic Control, vol. 15, рр. 705706. [109] Hanakuma У. (1989) Ethylen plant destillation column bottom temperature control. Keisi, vol. 32, NQ 8, рр. 2839. [110] Hanss М. (1994) Ein FuzzyPradiktor fiir Bioprozesse. Proceedings of the Conference Dortmunder Fuzzy Tage. Dortmund, Germany, рр. 206213. 
Список литературы 773 [111] Hanss М. (1996а) Eine Methode zur Identifikation von FuzzyModellen. Automati s i е r u ngs t е с h n i k . [112] Hanss М. (1996Ь) Design and optimization of а nonlinear fuzzy controller using fuzzy process models. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, vol. 3. Aachen, Germany, рр. 1875 1880. [113] Hathaway R. J., Bezdek J. С., Pedrycz W. (1996) А parametric model for fusing heterogeneous fuzzy data. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, vol.4, NQ 3, рр. 270281. [114] Hauptmann W., Heesche К. (1995) А neural net topology for bidirectional fuzzyneuro transformation. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95, vol.3. Yokohama, Japan, pp.15111518. [115] Haykin s. (1994) Neural networks  а comprehensive foundation. Macmil1an College Publishing Сотрапу, Inc. USA. [116] Hack М., K6hne М. (1997) Internal Model Control mit neuronalen Netzen zur Regelung eines Prozessanalysators. Automatisierungstechnik, vol. 45, NQ 1, рр. 1423. [117] Heider Н., Tryba У. (1994) Energiesparen durch einen adaptiven FuzzyRegler fur Heizungsanlagen. Proceedings of the Conference Dortmunder Fuzzy Tage. Dortmund, Germany, рр. 282288. [118] Heilbronn R. (1995) Reibkraftkompensation mittels FuzzyLogik. Automatisierungs technische Praxis, vol. 37, NQ 5, рр. 5060. [119] Hensel Н., Holzmann Н., Pfeifer В. М. (1995) Optimierung von FuzzyControl mit Hilfe Neuronaler Netze. Automatisierungstechnische Praxis, vol. 37, NQ 11, рр. 4048. [120] Higgins С. М., Goodman R. М. (1994) Fuzzy rulebased net\vorks for control. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, vol. 2, NQ 2, рр. 8288. [121] Hishida N. (1992) Development of the operator support system applying fuzzy algorithms for glass tube molding equipment. Proceedings of the Second International Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks. lizuka, Japan, pp.l0971100. [122] Hiyama Т., Sameshima Т. (1991) Fuzzy logic control scheme for online stabilisation оУ multimachine power system. Fuzzy Sets and Systems, vol.39, рр. 181194. [123] Horikawa S.I., Furuhashi Т., Uchikawa У. (1992) Оп fuzzy modeling using fuzzy neural networks with the backpropagation algorithm. IEEE Transactions оп Neural Networks, vol. 3, NQ 5, рр. 801 806. [124] H6hmann J., Nerlich Н. G., Steinmeister С., Linzenkirchner К. (1993) Fuzzy Control: Regelung eines Chemiereaktors. Automatisierungstechnische Praxis, vol.35, NQ 9, рр. 514521. [125] Hsieh L. Н., Groth Н. С. (1994) Fuzzy Sensordatenauswertung fur das automatisierte Entgraten. Proceedings of the Conference Dortmunder Fuzzy Tage. Dortmund, Germany, рр. 173 180. [126] Hung Т., Sugeno М., Tong R., Yager R. R. (1995) Theoretical aspects of fuzzy control. New York: John Wiley and Sопs Inc. [127] Hunt К. J., Sharbaro D., Zbikowski R., Gawthrop Р. J. (1992) Neural networks for control systems  а survey. Automatica, vol.28, NQ 6, рр. 1083 1112. [128] Isaka s., Sebald А. (1993) Ап optimization approach for fuzzy controller design. IEEE Transactions оп System, Мап and Cybernetics, рр. 1469 1473. [129] Isermann R. (1996а) Оп fuzzy logic applications for automatic control, supervision and fau1t diagnosis. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, vol.2. Aachen, Germany, рр. 738 753. 
774 Список литературы [130] [131] [ 132] [ 133] [ 134 ] [135 ] [ 136] [137] [138 ] [139] [ 140 ] [141] [ 142] [ 143 ] [ 144 ] [145 ] [ 146 ] [147] [ 148 ] Isermann R. (1996Ь) Zur Anwendung der Fuzzylogic in der Regelungstechnik. Automatisierungstechnische Praxis, vol. 38, NQ 11, рр. 2435. Ishibuchi Н., Tanaka Н., Fukuoka N. (1989) Discriminant analysis 01 fuzzy data and its application to а gas sensor system. Japanese Journal of Fuzzy Theory and Systems, vol. 1, NQ 1, рр. 27 46. Ishibuchi Н., Fujioka R., Тапаkа Н. (1993) Neural net\\'orks that learn from fuzzy ifthen rules. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, v01. 1, NQ 2, рр. 8597. Ishibuchi Н., Murata Т., Trksen 1. В. (1995а) А geneticalgorithmbased approach to the selection of linguistic classification rules. Рrосееdiпgs of the International Conference EUFIT'95, vol. 3. Aachen, Germany, рр. 1415 1419. Ishibuchi Н., Nozaki К., Yamamoto N., Tanaka Н. (l995Ь) Sеlесtiпg fuzzy ifthen rules for classification problems using genetic algorithms. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, vol. 3, NQ 3, рр. 260270. Iwasaki Т., Morita А. (1990) Fuzzy autotuning for PID controller with model classification. Proceedings of the International Conference NAFIPS'90. Toronto, USA, рр. 9093. Jacoby Е., Zimmermann С., Bessai Н. (1994) Fuzzy Control in der Diabestherapie. Proceedings of the Conference Dortmunder Fuzzy Tage. Dortmund, Germany, рр. 214223. Jantzen J. (1997) А robustness study of fuzzy control rules. Proceedings of the International Conference EUFIT'97, vol.2. Aachen, Germany, рр. 1223 1227. Jaszczak S., Plucinski М., Piegat А. (1996) Identyfikacja parametro\\T nieliniowego napdu systemu dynamicznego. Materialy Konferencji Nauko\vo Technicznej «Wsp6Iczesne problemy w budowie i eksploatacji maszyn» Szczecin, Poland, pp.l03112. Jakel J. (1997) Fuzzy model identification based оп а genetic algorithm and optimization techniques. Proceedings of the International Conference EUFIT'97, vol. 2. Aachen, Germany, рр. 77 4 778. Kacprzyk J. (1977) Control of а nonfuzzy systems in а fuzzy enviroment with а fuzzy termination time. Systems Science, NQ 3, рр. 320334. Kacprzyk J. (1978) А branchandbound algorithm for the multistage control of а nonfuzzy system in а fuzzy епvirоmепt. Control and Cybernetics, N27, рр. 5164. Kacprzyk J. (1986) Zbiory rozmyte w analizie systemowej. Panstwo\ve Wydawnictwo Naukowe. Warszawa, Poland. Kacprzyk J.,Fedrizzi М. (1992) Fuzzy regression analysis. Warsza\va: Omnitech Press, Heidelberg: Physica Verlag. Kacprzyk J. (1996) Mu1tistage control under fuzziness using genetic algorithms. Control and Cybernetics, vol. 25, NQ 6, рр. 1181  1216. Kacprzyk J. (1997) Mu1tistage fuzzy control. New York: Jоhп Wiley and Sons, Inc. Kaczorek Т. (1981) Teoria sterowania. Тот 2. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe. Warszawa, Poland. Kageyama S. (1990) Blood glucose control Ьу а fuzzy control system. Proceedings of the First Iпtеrпаtiопаl Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks. lizuka, Jарап, pp.557560. Kahlert J., Frank Н. (1994) FuzzyLogik und FuzzyControl. Vieweg Verlag. Braunschweig, Germany. 
Список литературы 775 [149] Kahlert J. (1995) Fuzzy Сопtrоl fi.ir Iпgепiеurе. Vieweg Verlag. Вrаuпsсhwеig, Gсrmапу. [150] Kandel А., Langholz G. (1994) Fuzzy Сопtrоl Systems. Lопdоп: CRC Press. [151] Капg G., Lee W. (1995) Dеsigп оУ f uzzy state сопtrоllеrs апd observers. Рrосееdiпgs of the Iпtеrпаtiопаl Conference FUZZIEEEjIFES'95, vol.3. Yokohama, Japan, рр. 1355 1360. [152] Katebi S. D. (1995) Fuzzy rules generation: а learning process. Proceedings оУ the International Conference ICAUTO95, vol. 1. Indore, India, рр. 6366. [153] Kaufmann А., Gupta М. (1985) Introduction to fuzzy arithmetictheory and applications. New York: Van Nostrand Reinhold. [154] Kawai Н. (1990) Engine control system. Proceedings af the First International Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks. lizuka, Japan, рр. 929937. [155] Keel L. Н., Bhattacharyya S. Р. (1999) А new proof of the Jury test. Automatica 35, рр 251 258. [156] Khalil Н. R. (1992) Nonlinear systems. New York: Macmillan Publishing Сотрапу. [157] Kiendl Н. (1992) Stabilitatsanalyse von mehrschleifigen FuzzyRegelungssysteInen mit Hilfe der Methode der hаrmопisсhеп Ваlапсе. Proceedings of the International Conference 2 Workshop «Fuzzy Control», Dortmund, Germany, рр. 315321. [158] Kiendl Н., Ri.igger J. J. (1993) Verfahren zum Entwurf und Stabilitatsnachweis von Regelungssysternen mit FuzzyReglern. Automatisierungstechnik, vol.41, NQ 5, рр. 138 144. [159] Kiendl Н. (1997) Fuzzy Control methodenorientiert. 01denburg Verlag. Mi.inchen, Germany. [160] Kiriakidis К., Tzes А. (1995) Application of implicit selftuning fuzzy control to nonlinear systems. Proceedings of the International Conference FUZZIEEEjIFES'95, "'01.3. Yokohama, Japan, pp.14191426. [161] КiппеЬrосk W. (1994) Орtimiеruпg тН gепеtisсhеп und selektiven Аlgоrithmеп. 01dепЬurg Verlag. Мi.iпсhеп, Germany. [162] Kitamura Т. (1991) Design of intelligent support system for artificial heart control. Japanese Jоurпаl of Fuzzy Theory and Systems, vol. 3, NQ 3, рр. 231240. [163] Кпарре Н. (1994) Nichtlineare Regelungstechnik und FuzzyControl. Expert Verlag. Rеппiпgеп  Malmsheim, Germany. [164] Koch М., Кuhп Т., Wernstedt J. (1993) Ein neues Епtwurfskопzерt fi.ir Fuzzy Rеgеluпgеп. Automatisierungstechnik, vol. 41, NQ 5, рр. 152 158. [165] Koch М., Kuhn Т., Wernstedt J. (1994) Methods for optimal design of fuzzy controllers. Proc. 39 Internationales Wissenschaftliches Kolloqium, vol.3. Ilmenau, Gеrmапу, рр. 275282. [166] Koch М., Кuhп Т., Wernstedt J. (1996) Fuzzy Control. Oldenburg Verlag. МLiпсhеп, Germany. [167] Kolios G., Aichele Р., Nieken И., Eigenberger G. (1994) Regelung eines iпstаtiопаr betriebenen Festbettreaktors mit FuzzyKontrollregeln. Proceedings of the Conference Dortmunder Fuzzy Tage. Dоrtmuпd, Germany, рр. 429436. [168] Korbicz J., Obuchowicz А., U cinski о. (1994) Sztuczne sieci neuronowe. Podstawy i zastosowania. Akademicka ОНсупа Wydawnicza PLJ. Warszawa, Poland. [169] Коrzеп М. (2000) Conversion of а neural model of а MISO system into а fuzzy model with the method of «important» points of the inputjoutput mapping surface. Diploma thesis. Institute of Control Engineering, Technical University of Szczecin. 
776 Список литературы [170 ] [171] [172 ] [173 ] [174] [175] [176 ] [ 177] [178 ] [179 ] [180 ] [181] [ 182] [183 ] [ 184 ] [185 ] [186 ] [187] [188 ] Kosko В. (1992) Neural networks and fuzzy systems. Englewood Cliffs: Prentice Hall Inc. Kouatli I., Jones В. (1991) Ап improyed design procedure for fuzzy control systems. International Journal Mach. Tools Manufact., yol.31, pp.l07122. K6czy L. Т., Hirota К. (1993) Interpolatiye reasoning with insufficient eyidence in sparse rule bases. Information Sciences, NQ 71, рр. 169201. Krieger Н. J., Kratsch Т., Kuhn Н., Wachter Н. (1994) Das Thi.iringenFuzzy Modul der Modularen Kommunikatiyen Steuerung MKS 16. Proc. 39 Internatianales Wissenschaftliches Kolloqium, yol.3. Ilmenau, Germany, рр. 332339. Krone А., Back Т., Teuber Р. (1996а) Eyalutianares Suchkonzept zum Aufstellen signifikanter Fuzzy Regeln. Automatisierungstechnik, yol.44, NQ 8, рр. 405411. Krone А. (1996Ь) Adyanced rule reduction concepts for optimising efficiency of knowledge extraction. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, yol. 2. Aachen, Germany, рр. 919923. Krone А., Teuber Р. (1996с) Applying WINROSA for automatic generation of fuzzy rule bases. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, yal.2. Aachen, Germany, рр. 929932. Kruse R., Gebhard J., Klawonn F. (1994) Foundations of Fuzzy Systems. New York: John Wiley and Sons. Kuhn Т., Wernstedt J. (1994) SOFCONEine Strategie zum optimalen Entwurf уоп FuzzyRegelungen. Automatisierungstechnik, yol. 42, NQ 3, рр. 9199. Kuhn Т., Wernstedt J. (1996) Robust design of fuzzy control. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, yol.2. Aachen, Germany, рр. 970973. Kwon Т. М., Zeryakis М. Е. (1994) А selforganizing KNN fuzzy controller and its neural network structure. International Journal af Adaptiye Control and Signal Processing, yol. 8, рр. 407 431. Lacrose У., Titli А. (1997) Multiyariable fuzzy control using bjdimensional fuzzy sets. Application to а mixing tank. Proceedings of the International Conference EUFIT'97, yol.2. Aachen, Germany, рр. 1259 1263. Langari R., Wang L. (1995) Fuzzy models, modular networks, and hybrid learning. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95, yol. 3. Yokohama, Japan, pp.12911308. Lee К. С., Min S. S., Song J. W., Cho К. В. (1992) Ап adaptiye fuzzy current controller with neural network for fieldoriented controlled induction machine. Proceedings of the Second International Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks. lizuka, Japan, рр. 449452. Leich tfried 1., Heiss М. (1995) Ein kennfeldorientiertes Konzept fi.ir Fuzzy Regler. Automatisierungstechnik, yol.43, NQ 1, рр. 3140. Leigh J. R. (1985) Applied digital control. London: Prentice Hall. Lewis F. L., Liu К. (1996) Towards а paradigm for fuzzy logic control. Automatica, yol.32, рр. 167  181. Li У., Yonezawa У. (1991) Stability analysis of а fuzzy contral system Ьу the hyperstability theorem. Japanese Journal of Fuzzy Theory and Systems, yol.3, NQ 2, рр. 209214. Li Н. Х., Gatland Н. В. (1995) Enhanced methods of fuzzy logic control. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95. yol.l. Yokohama, Japan, рр. 331 336. 
Список литературы 777 [189] Liao S. У., Wang Н. Q., Liu W. У. (1999) Functional dependences with null values, fuzzy yalues, and crisp values. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, vol.7, NQ 1, рр. 97  103. [190] Lichtenberg М. (1994) Generierung kennliniengleicher FuzzyRegler aus den Parametern konyerttioneller (PID) Regler. Automatisierungstechnik, yol.42, NQ 12, рр. 540546. [191] Lin С. Т., Lee G. (1991) Neuralnetworkbased fuzzy logic control and decision system. IEEE Transactions оп Computers, Yol.40, NQ 12, рр. 1320 1336. [192] Lin У., Cunningham G. А. (1995) А new approach to fuzzyneural system modeling. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, vol.3, NQ 2, рр. 190 198. [193] Lin C.I., Lin С. Т. (1996) Reinforcement learning for ап ART based fuzzy adaptiye learning control network. IEEE Transactions оп Neural Networks, vol.7, NQ 7, рр. 709731. [194] Lin У., Cunningham G. А., Coggeshall S. V., Jones R. D. (1998) Nonlinear system input structure identification: two stage fuzzy curyes and surfaces. IEEE Transactions оп Systems, Мап and Cybernetics  Part А: Systems and Humans, yol.28, NQ 5. [195] Locher G., Bakshi В., Stephanopoulos G., Schugerl К. (1996а) Ein Einsatz zur automatischen U mwandlung уоп Rohdaten in Regeln. Teil 1: Prozesstrends, Wavelettransformation und Klassifizierungsbaume. Automatisierungstechnik, yol. 44, N22, рр. 61  70. [196] Locher G., Bakshi В. (1996Ь) Ein Einsatz zur automatischen Umwandlung уоп Rohdaten in Regeln. Teil 2: Eine Fallstudie. Automatisierungstechnik, vol.44, N23, рр. 138 145. [197] Lofti А., Howarth М., Thomas Р. D. (1996) Noninteractiye model for fuzzy rule based systems. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, yol. 1. Aachen, Germany, рр. 597601. [198] Lopez А. S. (1996) Тuпiпg of а mu1tivariable fuzzy logic controller using optimization tесhпiquеs. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, vol.2. Aachen, Germany, рр. 965969. [199] Lopez А. S., Lafont J. С. (1997) Tuning af а decentralized multivariable fuzzy controller. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, vol.2. Aachen, Germany, рр. 1254 1258. [200] Lawryrlczuk М., Tatjewski Р. (2000) Neural inverse modelling for disturbance campensation in папliпеаr plant control. Proceedings of Sixth International Conference оп Methods and Models in Automation and Robotics MMAR'2000 vol. 2. Midzyzdroje, Poland, рр. 721  726. [201] Maeda М., Murakami S. (1991) Stability analysis of fuzzy control systems using phase planes. Japanese Journal of Fuzzy Theory and Systems, vol.3, NQ 2, рр. 149 160. [202] Magdalena L., Monasterio F. (1995) Eyolutionarybased learning applied to fuzzy control1ers. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95, yol. 3. Yokohama, Japan, pp.11111118. [203] Malki Н. А., Li Н., Chen G. (1994) New design and stability analysis of fuzzy proportionalderiyative control systems. Transactions оп Fuzzy Systems, yol.2, NQ 4, рр. 245254. [204] Mamdani Е. Н. (1974) Applications of fuzzy algorithms for control of simple dynamic plant. Proceedings IEEE, NQ 121 (12), рр. 1585 1588. 
778 Список литературы [205 ] [206 ] [ 207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221 ] [222 ] Mamdani Е. Н. (1977) Application of fuzzy logic to approximate reasoning using linguistic synthesis. IEEE Transactions оп Computers, vol. С2б, JVQ 12, рр. 1182 1181. Marin J. Р., Titli А. (1995) Necessary and sufficient conditions for quadratic stability of а class оУ TakagiSugeno fuzzy systems. Proceedings оУ the International Conference EUFIT'95, vol. 2. Aachen, Germany, рр. 786 790 Masters Т. (1996) Sieci neuronowe w praktyce. Wycja\\'nict\\'o Nauko\\'o Techniczne. Warszawa, Poland. Mannle М., Richard А., D6rsam Т. (1996) Identification of rulebased fuzzy models using the RPROP optimization technique. Proceedings of the International Сопfеrепсе EUFIT'96, vol. 1. Aachen, Germany, рр. 587 591. Michalewicz Z. (1996) Genetic algorithms + data structures := еvоlutiоп programs. Springer Verlag, 3rd edition. Mitchell М. (1996) Ап iпtrоduсtiоп to genetic algorithms. MIT Press. Cambridge, МА. Moody J., Oarken с. (1989) Fast learning in пеtwоrks of locallytuned processing units. Neural Computation, vol. 1, NQ 2, рр. 281294. Morari М., Zafirion Е. (1989) Robust process control. Ne\\/ York: Prentice Hall. Murakami S. (1989) Weldline tracking control of arc welding robot using fuzzy ]ogic controller. Fuzzy 5ets and 5ystems 1989, vol. 32, рр. 221237. Murata Т., Ishibuchi Н. (1995) Adjusting membership fuпсtiопs of fuzzy classification rules Ьу genetic algorithms. Proceedings of the Iпtеrпаtiопаl Сопfеrепсе FUZZ IEEE/IFES'95, vol.4. Yokohama, Japan, рр. 18191824. Narazaki Н., Ralescu А. L. (1993) Ап improved synthesis method for multilayered neural networks usiпg qualitative knowledge. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, vol. 1, NQ 2, рр. 125 137. Narazaki Н., Shigaki 1., Watanabe Т. (1995) А method for extracting approximate rules from neural networks. Proceedings of the International Conference FUZZ IEEE/IFES'95, vol.4. Yokohama, Japan, рр. 1865 1870. Narendra К. S. (1990а) Neural networks for control. Cambridge: MIT Press. Narendra К.5., Parthasarathy К. (1990Ь) Identification and control for dynamic system using neural networks. IEEE Transactions оп Neural Networks, vol. 1, NQ 1, рр. 427. Nelles о. (1996) FUREGA  fuzzy rule extraction Ьу а genetic algorithm. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, vol. 1. Aachen, Gеrmапу, рр. 489493. Nelles О., Ernst S., Isеrmапп R. (1997) Neuronale Netze zur Identifikation nichtlinearer, dynamischer Systeme: Ein Oberblick. Automatisierungstechnik, vol. 45, NQ 6, рр. 251261. Nelles О., Hecker О., Iserman R. (1998) Automatische 5trukturselektion fuer Fuzzy Modelle zur Idепtifikаtiоп nichtlinearer dynamischer Prozesse (Subset selection for nonlinear system identification with fuzzy models). Automatisierungstechnik, vol. 46, NQ 6, рр. 302312. Nelles О., Fink А., Babuska R., Setnes М. (1999) Comparison аУ two c()nstruction algorithms for TakagiSugeno fuzzy models. Proceedings of 7th European Congress оп Intelligent Techniques and 50ft Соmрutiпg  оп CDROM. Aachen. GеrПlапу. 
Список литературы 779 [223] Neumerkel О., Lohnert F. (1992) Anwendungsstand Ki.instlieher Neuronaler Netze in der Automatisierungsteehnik. Automatisierungsteehnisehe Praxis, yol.34, NQ 11, рр. 640645. [224] Nguyen Т. Н., Sugeno М., Tong R., Yager R. R. (1995) Theoretieal aspeets of fuzzy eontrol. New York: John Wiley and Sons, Ine. [225] Nobre F. S. (1995) Geneticneurofuzzy systems: а promising fusion. Proeeedings of the International Conferenee FUZZIEEE/IFES'95, yol.l. Yokohama, Japan, рр. 259266. [226] Noisser R. (1994) Beurteilung der Stabilitat und der Stabilitatsreserye уоп FuzzyRegelungen mittels L2Stabilitatskriterium. Proeeedings of the Conferenee Oortmunder Fuzzy Tage. Dortmund, Germany, рр. 322329. [227] Nomura Н., Hayashi 1., Wakami N. (1994) А selftuning method of fuzzy reasoning Ьу genetie algorithm. Chapter in the book «Fuzzy Control Systems» Ьу Kandel А., Langkolz G. London: CRC Press, рр. 337 354. [228] Ohki М., Shikata Т., Moriyama Т., Ohkita М. (1997) А genetie algorithm with modified bitselection probability for optimizing the fuzzy reasoning. Proeeedings of the International Conferenee EUFIT'97, yol. 1. Aaehen, Germany, рр. 694698. [229] Ohnishi Т. (1991) А selflearning fuzzy eontrol system for ап urban refuse ineineratoin plant. Japanese Journal of Fuzzy Theory and Systems, yol. 3, NQ 2, рр. 187200. [230] Opitz Н. Р. (1986) Oie Hyperstabilitatstheorie  eine systematisehe Methode zur Апаlуsе und Synthese niehtlinearer Systeme. Automatisierungsteehnik, yol.34, NQ 6, рр. 221 230. [23]] Opitz Н. Р. (1993) Fuzzy ControlStabilitat уоп FuzzyRegelungen. Automatisie ruпgstееhпik, yol. 41, NQ 8, рр. A21A24. [232] Oso\\'ski S. (1996) Sieei neuronowe. Wydawnietwo NaukowoTeehniezne. Warszawa, Роlапd. (2ЗЗ] Otto Р. (1995) Fuzzy modelling of nonlinear dynamics systems Ьу induetiye lеаrпеd rules. Proceedings of the International Conferenee EUFIT'95, yol. 2. Aaehen, Germany, рр. 858864. [234] Palga А. (1996) NeurofuzzyPID regulator kursu pojazdu podwodnego z fuzyfikaejct potr6jnct. Praea dyplomowa. Teehnical Uniyersity of Szezeein, Poland. [235] Park М. К.. Ji S. Н., Kim М. J., Park М. (1995) А new identifieation method for а fuzzy model. Proceedings of the Iпtеrпаtiопаl Conferenee FUZZIEEE/IFES'95, yal.4. Yokohama, Japan, рр. 21592164. [236] Pedryez w. (1984) Ап identification algorithm in fuzzy relational systems. Fuzzy Sets and Systems, N 13, рр. 153167. [237] Pedrycz W. (1993) Fuzzy control and fuzzy systems. New York: John Willey апd SOIl:' . [238] Pedrycz W. (1995) Fuzzy eontrol engineering: reality and challenqes. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95, yol.l. Yokohama, Japan, рр. 437 446. [239] Pedrycz W. (1996) Fuzzy muItimodels. IEEE Transaetions оп Fuzzy Systems, yol.4, NQ 2, рр. 139148. [240] Pedrycz W., Reformat М. (1997) Rulebased mоdеliпg of попliпеаr relationships. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, yol. 5, J\[Q 2, рр. 256269. 
780 Список литературы [241] Pfeiffer В. М. (1995а) Symbolische Analyse und Synthese уоп FuzzyReglern durch Transformationen zwischen unscharfer und scharfer Darstellung. Automatisierungs technik, yol.43, NQ 11, рр. 514124. [242] Pfeiffer В. М. (1995Ь) Imitation of human operators Ьу «neurofuzzy» structures. Proceedings of the International Conference EUFIT'95, yol.2. Aachen, Germany, рр. 804809. [243] Pfeiffer В. М. (1996) 5. Workshop «Fuzzy Control». Automatisierungstechnik, yol. 44, NQ 3, рр. 141  142. [244] Piegat А., Baccari М. (1995а) Shortcomings of the control with fuzzy controllers. Proceedings of the International Symposium оп Methods and Models in Automation and Robotics MMAR'95, yol. 2. Midzyzdroje, Poland, рр. 759 762. [245] Piegat А., Plucinski М., Sk6rski W. (1995Ь) Technical system and control algorithms of underwater yehicle Krab 11. In the book «Marine Technology and Transportation», editors Graczyk Т., Jastrzbski Т., Brebbia С. А., Southampton: Computational Mechanics Publications. [246] Piegat А., Plucinski М. (1995с) Application of the radial basisfunction in modelling and identification of linear and nonlinear systems. Proceedings of the ХII International Conference оп Systems Science, yol. 1. Wroclaw, Poland, рр. 26627 4. [247] Piegat А., Jaszczak S., Plucinski М. (1996) Selflearning neurofuzzy PID controller without simplifications. Proceedings of the International Symposium оп Methods and Models in Automation and Robotics MMAR'96 yol. 3. Midzyzdroje, Poland, pp.11951200. [248] Piegat А., Plucinski М. (1997а) Fastlearning neurofuzzy PIDcontroller with minimal number of fuzzy regions. Applied Mathematics and Computer Science, yol. 7, NQ 1, рр. 171  184. [249] Piegat А. (1997Ь) Stability checking of а real digital control system with а neuro fuzzy PDcontroller. Proceedings of the European Control Conference ЕСС 97. Brussels, Belgium, paper N2 TUAG4 (141) оп disc. [250] Piegat А. (1997 с) Extrapolation truth. Proceedings of the International Conference EUFIT'97, yol. 1. Aachen, Germany, рр. 324329. [251] Piegat А. (1997 d) Hyperstability of fuzzycontrol systems and degrees of freedom. Proceedings of the International Conference EUFIT'97, yol.2. Aachen, Germany, рр. 1446 1450. [252] Piegat А. (1997 е) Rule base reduction in fuzzy models. Proceedings of the International Conference ACS'97. Szczecin, Poland, рр. 395400. [253] Piegat А. (1998а) Regulator rozmyty. Patent А 1 (21)315 399. Biuletyn Urzdu Patentowego, N23(629), р. 64. [254] Piegat А., Plucinski М. (1998Ь) Fuzzy internal model control of ап underwater yehicle. Proceedings of the International Symposium оп Methods and Models in Automation and Robotics MMAR'98 yol. 2. Midzyzdroje, Poland, рр. 691 695. [255] Piegat А., Pl ucinski М. (1998с) Fuzzy inyerse model control (Iny МС) of ап underwater yehicle. Proceedings оУ the International Conference EUFIT'98, yol.2. Aachen, Germany, рр. 834838. [256] Piegat А., Plucinski М. (1998d) Modeling of nonlinear systems with application of delinearized Delaunay nets. Proceedings of the International Conference SCM. Zakopane, Poland, оп disc. 
Список литературы 781 [257] Piegat А. (1998е) Nonregular nonlinear sector modelling. Applied Mathematics and Computer Science, vol.8, No 3, рр 101  123. [258] Piegat А., Pluciriski М. (2000) Firm evaluation with 2dimensional projection method. Proceedings of the Fifth International Conference «Neural Networks and Soft Computing». Zakopane, Poland, рр. 361 367. [259] Piegat А., Kraszewski Р., Stolcman S. (2000) Conception of geometricneural modeling and its employment to determination of the optimal setting path of the controlled pitch propeller ship propulsion system. Proceedings of the International Symposium оп Methods and Models in Automation and Robotics MMAR'2000 vol. 1. Midzyzdroje, Poland, рр. 44 7 453. [260] Piliriski М. (1997) Sterowniki rozmyte z wykorzystaniem sieci neuronowych. Ph.D. Thesis. Technical University of Czstochowa, Poland. [261] Pluciriski М. (1996) Adaptacyjny uklad sterowania kursem bezzalogowego pojazdu podwodnego, wykorzystuj'lcy rozmyt'l baz wiedzy о obiekcie. Ph.D. Thesis. Technical University of Szczecin, Poland. [2621 Pluciriski М. (1997) Adaptive control system with а fuzzy data base. Proceedings of the Internationa1 Symposium оп Methods and Models in Automation and Robotics MMAR'97 vol. 2. Midzyzdroje, Poland, рр. 809814. [263] Ророу V. М. (1963) The solution of а new stability problem for controlled systems. Automatic and Remote Control, vol. 24, рр. 1  23. [264] Ророу V. М. (1973) Hyperstability of control systems. Berlin: Springer Verlag. [265] Praca zbiorowa (1971) Poradnik iniynieramatematyka. Wydawnictwo Naukowo Techniczne. Warszawa, Poland. [266] Preuss Н. Р. (1992) Fuzzy Controlheuristische Regelung mittels unscharfer Logik. Automatisierungstechnische Praxis, vol.34, NQ 4, рр. 176 184. [267] Preuss Н. Р., Tresp V. (1994а) NeuroFuzzy. Automatisierungstechnische Praxis, vol.36, NQ 5, рр. 1024. [268] Preuss Н. Р. (1994Ь) Methoden der nichtlinearen Modellierungyom Interpolationspolynom zum Neuronalen Netz. Automatisierungstechnik, yol.42, NQ 10, рр. 449457. [269] Preuss Н. Р., Ockel J. (1995) Lernyerfahren fur FuzzyRegler. Automatisierungstech nische Praxis, у01. 37, NQ 7, рр. 1020. [270] Preut К. Н., Braun Н., H6hfeld М. (1995) Optimierung уоп NeuroFuzzy Netzwerken mit evolutionaren Strategien. Proceedings of the International Conference Fuzzy NeuroSysteme'95. Darmstad, Germany, рр. 365372. [271] Pulaczewski J. (1997) Fuzzy PID digital control algorithm using TakagiSugeno models. Proceedings of the International Symposium оп Methods and Models in Automation and Robotics MMAR'97 yol. 2. Midzyzdroje, Poland, рр. 815818. [272] PLitz А., Weber R. (1996) Automatic adjustment of weights in fuzzy rule bases. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, yol.2. Aachen, Germany, рр. 933937. [273] Rehfeld D., Schmitz Т. (1994) Schweissprozessanalyse und Qualitatssicherung mit FuzzyLogik. Proceedings of the Conference Dortmunder Fuzzy Tage. Dortmund, Germany, рр. 189 197. [274] Roffel В., Chin Р. А. (1991) Fuzzy control of а polymerisation reactor. Hydrocarbon Processing, NQ 6, рр. 47 50. 
782 Список литературы [2751 Rovattn R.., Guerieri R. ([996) Fuzzy sets of rules for system identification. Trarnsactaons оп Fuzzy Systems" vol. 4.,  2" рр. 89IOl. [2761 Rumefthart А." Мс C[eHand 1. L. (1986) Parallel Distributed Processing. Cambridge: MIT Press. (277) Rumpf о. (1994) Anwendung der Methode der konvexen Zerlegung zur StabiHtatsanalyse dY!f1lamQscher Systeme mИ neuronalen Komponenten. Proceedings of the 39th Internataonales Wissenschaftliches KoHoquim., vol. 3. Ilmenau Germany" рр. 367 374. [2181 Rutkowska О. (1996) Оп appHcatio[} оС genetic algorithm to fuzzy neural network earni1f1lg. Proceedi1l1gs of the Second Conference оп Neural Networks and Their AppHcataons. Szczyrk., Poiand" рр. 420425. (2791 Rll1tkowska О.., PHnnski М.., Rutkowski L. (1997) Sieci neuronowe., algorytmy genetycz"e i sys1emy rozmyte. Wydawnictwo Naukowe PWN. WаrszаwаLбdi" Poland.. (2801 Rzepka А. (2000) VisuaHzation program о! the tuning proceS5 of multidimensionaJ. symmetric., rotabe RBF neurons \\'ith infinite support. Dipioma thesis. Faculty of Computer Science a.nd Information Systems Technical University of Szczecin. 12811 Saito У." Ishida Т. (1990) Fuzzy PID hybrid co[}trol  ап аррНсаНоп to burner cO!I1troU. Proceedings of the First International Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks" vol.l. Hzuka" Japal1, рр. 659. [2821 SasaJki Т.., Akiyama Т. (1988) Tra[fic control process of expressway Ьу fuzzy logic. Fuzzy Sets and Systems., vo. 26 рр. 165 178. [283! Schmitt G.., Giinther 5. (1996) Das HyperstabilitatskurvenVerfahren als graphnsches Freque1l1zbereachskriterium zu.r Stabilitatsprufung nichtlinearer Меhrgrбssеrnrеgе!krеisе. Automat1sierungstechnik vol.44" N? 6, рр. 281 288. (284) Serac A. Roth Н... Gardus V. (1996) Adaptive fuzzy controller for а MIMO system. Proceeduj[]gs of the I1l1ternatlo1l1ai Conference EUFIT"96., vol.2. Aachen., Germany" рр. 901905_ [2851 SheeU Т.., KiendJ Н. (1995) StabiHty analysis of fuzzy and other nonlinear systems lU1sing iпtegrа LyapufJov funcHons. Proceedings of the International Conference EUFIT"95. АасnеП 1 GermaI1JY., рр. 765770. {286! ShmiПоviс А. , Мanmon О. (1996) Вest [uzzy rule selection ,"ith ortogonal matching pursuit. Proceednngs о[ the Interna1ional Conference EUFIT"96" vol.l. Aachen., Germany" рр. 592596. (287) Sftmpson Р. К. (1992) Fuzzy mnnmax пеUfаJ ne1\\'orks  part 1: classHication. IЕЕЕ т rа[11sаС!101ПlS оп F:t.3zzy Systems" \70J. С  1. рр. З245. 128Bi Singh S. (1992) StabiHty aflaysas оп discrete fuzzy control syslems. Proceedings of 1Ье Firs IЕЕЕ Conference оп FUIZY Systems" рр. 527 534. 1289! Sommer Н. J.. Наh'П Н. (1993) Ein ечпfасhеs Verfahren zum Test der Bibo StаЬНИаt Ье! Systeme!f1 mt Poly'TJomialn Nichtlinear!taten und FUlzyKomponenten. Proceedings оп the 3rd Workshop Fuzzy Contro. des G.l\\AUA 1.4.2., рр. IЗ26. (290) Sommer Н. J.. Hahf:1 Н. (1994) Ел e]пfacts \"erfahren ZНШ Tes1 der BIBOStabHitat Ье1 Systeme!J1 шаt pOY{'JomaJen N1Ch1Hf'jear11a1en und FtJzzyKomponenten. G.l\1A Aussprachetag FиlzyContro]. Langen. \/'DIВ€псht Nr 1113. рр.IЗ26. 291j SoriJ L. А (1996 Tuпing of а mu1tj\iariabJe fuzzy logk cor;1rolJer usii1g optim1zation techniques. Proceedjf:lgs oflhe ln1er'f11ational CO!l1erenCe EtJ FIT'96. \то1.2. Aarhen. Ge1rm.a\nlY рр. 965969. 
Список литературы 783 (292} Sousa J.,. Babuska R.,. Verbruggen Н. В. (1995) Adaptive iuzzy modellbas.ed contliol. Proceedings oi the InternationaJ Conierence EUFIT"95,. YO. 2. Aachen,. Germany,. рр. 865869. (2931 Stolcman 5.,. Piegat А.,. Szczesniak J. (1999) ЕПесtfvепеS5 invesHgaHon оЕ the RBf neural пеtwоrk applied to modeHng oi the ship propuision systems wtth contronabre рНсЬ propeller (ССР). PoHsh Maritime Research. vol. 6. М 2(20),. рр. 11lб. (294] Su М. С.,. Као С. J.,. Liu К. М.,. Liu С. У. (1995) Rule extracHon using а lflюvеJ cbass о. fuzzy degraded hypereHipsoidal composite neurat networks. Рrосeediпgs of tlhe International Conference FUZZIEEE!IFES"95. vot. 1. Yokohama,. Jарап. рр. 233238. (295] Sugeno М.,. Yasukawa Т. (1993) А ruzzyrogrcbased approach to quaHtaHve rnodeHl\1g. IEEE Тrапsасtiопs оп Fuzzy Systems, vol.l,. H], рр. 7ЗI. (2961 Sugiura Т. (1991) Fuzzy controJ 01 а rateadaptive cardDac pacemaker wEth multiple indicators. Japanese Journai 01 Fuzzy Theory зпd Systems. voI.3, М'З,. рр. 24)249. [297) Suykens J. А., Ое Moor В., VandewaHe J. (1995) StabiHty criteria [о1'" пеurаl control systems. Proceedings of the Зrd European ControI Confe'fence. Rome. Haty, рр. 27бб2771. [298 J Sz\vedko J. (2000) Program for sigfl!ificance eva'uation of rnputs of muIНdfmелsiОl1аl systems. DipJoma thesrs. FacuHy of Cornputer Scfence 2nd InformaHon Systems. Technical Uпivеrsitу af Szczecfn. [299} Tadeusiewicz R. (1993) Sieci пеurопа\vе. Akademrcka ОНсупа Wydawl1Fcza R. М Warszawa, Poland. (300) Takagi Т., Sugeno М. (985) Fuzzy fdепtНiсаtiоп of systems and Hs аррНсаtiопs to modeling and controf. IEEE Transactrons оп Systems. Маl1 and CyberrretDcs, у'О[. 15. N? 1,. рр. 116 132. (301] Takahashi М. (1990) Biomedical аррНсаtfопs of fuzzy liogic сопtrоЛеrs. Рrосееdi1ПJgs of the First International Сопfеrепсе оп Fuzzy Logtc arrd NeuraI Net\vorks. \'ot. 1 Iizuka, Japan, рр. 553556. (302] Тап 5.. Уи У. (1995) Fuzzy mоdе'Нпg: ап adaptrve appro2ch. ProceeduFtgs of the International Сопfеrепсе FUZZIEEE/IFES'95, vot.2. YOKohama, Japan. рр. 889896. (303] Tanaka К., Sugeno М. (1990) StabHHy anatysis of fuzzy sys.tems usiпg LyaptliD1ov'S direct method. Proceedings о. the Iпtеrl1аtnопаn Conterence NAFIPS.90. \'О[ 1. Toronto. USA, pp.133 136. [304) Tanaka К.. Sugeno М. (1992) StabiHty analysts and design о.! fuzzy сопtrоll system:s, Fuzzy Sets and Systems. \"01.45. рр. lЗ5 1.56. 1305} ТilН Т. (1991) FuzzyLogik. franzls Verlag. Muncnen, Germany. [306} Tobi Т." Hanafusa Т. (1991) А рrаСНСЭf аррtcаНоп of tuzzy controt nor ап airconditioning systern. Internationat JоtlП1эl of Approximate RеаSО1Пtli1g.  5. рр. ЗJI З48. (3О7) Tomera Л1.. Mora\yski L. (1996) NeurarnetworkDased fuzzy hogic mаrrле au1ropHot. Proceedings 01 the Iпtеrпаtiопаi Symposium оп Methods and Mode"s in .Аutоmаtiоп and Robotics МlАR.9б \'01. 3. Midzyzdroje. Poland. рр. 1207  1212. [308} L"Hrich Т. (1997а) Datengetriebene ModetHerung t1khHinearer StrесКеп rпit DetaunayNetzen. Automatisierungstechnik, \'0[. 45 NQ 5. рр. 2Зб245. [3091 Ollric[l Т., 8rо\\'п М. 0997Ь) Delaunaybased rъопtiпеаr fпtеrпаf rnode СQпtrоf. Proceedings of t he Iпtеrпаtiопаl СопfL'епсе CS'97. SZСlесiп. Poland. рр. 387 a94. 
784 Список литературы [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [ 317] [318] [319] [320 ] [321 ] [322] [323 ] [324] [325] [326] [327] Ullrich Т., Tolle Н. (1997с) Delaunaybased local model networks for nonlinear system identification. Proceedings of the IASTED International Conference оп Applied Modeling and Simulation. ВапП, Canada, рр. 1  12. Ullrich Т. (1998) Untersuchungen zur effizienten interpolierenden Speicherung уоп nichtlinearen Prozessmodellen und Vorsteuerungen. Shaker Verlag, Aachen. Voit F. (1994) Fuzzy Control versus konventionelle Regelung ат Beispiel der Metro Mailand. Automatisierungstechnik, vol.42, NQ 9, рр. 400410. Wagner S. (1997) А specialized еуоl utionary method for the creation of fuzzy controllers. Proceedings of the International Conference EUFIT'97, vol. 1. Aachen, Germany, рр. 699704. Wakabayashi Т. (1995) А method for constructing оУ system models Ьу fuzzy flexible interpretive stuctural modeling. Proceedings of the International Conference FUZZ IEEE/IFES'95, vol.2. Yokohama, Japan, рр. 913918. Wang L. Х. (1994а) Adaptive fuzzy systems and control, design and stability analysis. Englewood Cliffs: Prentice Hall. Wang L. х. (1994Ь) А supervisory controller for fuzzy control systems that guarantees stability. IEEE Transactions оп Automatic Control, vol.39, NQ 9, pp.18451847. Wang L. х. (1995а) Design and analysis of fuzzy identifiers of nonlinear dynamic systems. IEEE Transactions оп Automatic Control, vol.40, NQ 1, рр. 11 23. Wang L. Х., Jordan J. R. (1995Ь) The robust step performance of PID and fuzzy logic controlled SISO systems. Proceedings of the International Conference FUZZ IEEE/IFES'95, vol. 1. Yokohama, Japan, рр. 325330. Wang Н. О., Tanaka К., Griffin М. (1996) Ап approach to fuzzy control of nonlinear system: stability and design issues. IEEE Transaction оп Fuzzy Systems, vol. 4, NQ 1, рр. 1423. Watanabe Т. (1990) AI and fuzzybased tunel ventilation control system. Proceedings of the First International Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks, vol. 1. lizuka, Japan, рр. 71  75. Watanabe Т., Ichihashi Н. (1991) Iterative fuzzy modelling using membership function of degree n and its application to crane control. Japanese Journal оп Fuzzy Theory and Systems, vol.3, NQ 2, рр. 173 186. Weinmann А. (1991) Uncertain models and robust control. Springer Verlag, Wien. Werntges Н. W. (1993) Partitions of unity improve neural function approximation. Proceedings of the International Conference оп Neural Networks, vol.2. San Francisco, USA, рр. 914918. WU Q., B6ning О., Schnieder Е. (1994) Realisierung уоп FuzzyReglern mit Hilfe уоп Relationsmatrizen. Automatisierungstechnik, vol.42, NQ 4, рр. 162 169. Yager R., Filev D. (1994) Essentials of fuzzy modeling and control. New York: John Wiley and Sons. Yager R., Filev D. (1995) Podstawy modelowania i sterowania rozmytego. Wydawnictwo Naukowo Techniczne. Warszav/a, Poland. Yamashita R., Yamakawa Т. (1992) Application of fuzzy control to а localized cleanroom. Proceedings of the Second International Conference оп Fuzzy Logic and Neural Networks. lizuka, Japan, pp.l1011102. 
Список литературы 785 [328] Уао С. С., Кио У. Н. (1995) А fuzzy neural network model with threelayered stucture. Proceedings of the International Conference FUZZIEEE/IFES'95, yol. 3. Yokohama, Japan, рр. 15031510. [329] Ying Н. (1993) The simplest fuzzy controllers using different inference methods are different nonlinear proportionalintegral controllers with yariable gains. Automatica, yol.29, N26, рр. 1579 1589. [330] Ying Н. (1994) Practical design of nonlinear fuzzy controllers with stability analysis for regulating processes with unknown mathematical models. Automatica, Yol.30, N27, рр. 1l851195. [331] Уи С., Сао Z., Kandel А. (1990) Application of fuzzy reasoning to the control of ап actiyated sludge plant. Fuzzy Sets and Systems, yol. 38, N21, pp.114. [332] Zadeh L. А. (1965) Fuzzy sets. Information and Control, yol. 8, рр. 338353. [333] Zadeh L. А. (973) Outline of а new approach to the analysis of complex systems and decision processes. IEEE Transactions оп Systems, Мап and Cybernetics, yol. 3, рр. 2844. [334] Zadeh L. А. (979) Fuzzy sets and information granularity. In Adyances in Fuzzy Set Theory and Applications. Editors: Gupta М., Ragade R., Yager R., Eds. Amsterdam: NorthHolland, рр. 318. [335] Zadeh L. А. (1996) Fuzzy logic == computing with words. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, yol.4, N22, рр. 103 111. [336] Zell А. (1994) Simulation neuronaler Netze. Addison Wesley (Deutschland) GmbH. [337] Zengh Х. J., Singh М. G. (1996) Decomposition property of fuzzy systems and its applications. IEEE Transactions оп Fuzzy Systems, yol.4, N22, рр. 149 163. [338] Zhou J., Eklund Р. (1995) Some remarks оп learning strategies for parameter identification in rule based systems. Proceedings of the International Conference EUFIT'95, yol.3. Aachen, Germany, рр. 1911  1916. [339] Zimmermann Н. J., Thole и. (1979) Оп the suitability of minimum and product operators for the intersection of fuzzy sets. Fuzzy Sets and Systems, N2 2, рр. 167  181. [340] Zimmermann Н. J. (1987) Fuzzy sets, decision making, and expert systems. London: Kluwer Academic Publishers. [341] Zimmermann Н. J. (1994а) Fuzzy set theory and its applications. London: Kluwer Academic Publishers. [342] Zimmermann Н. J., уоп Altrock С. (1994Ь) Fuzzy logic. Band 2. Anwendungen. Oldenburg Verlag. Munchen, Germany. [343] Zurmuhl R. (1964) Matrizen und ihre technischen Anwendungen. Berlin: Springer Verlag. [344] Zuchowski А., Paplinski J. Р. (1998) The simplification of linear models of dynamics Ьу decomposition to zeros and poles. Proceedings of the International Symposium оп Methods and Models in Automation and Robotics MMAR'98 yol. 1. Midzyzdroje, Poland, рр. 225230. [345] Zizka J. (1996) Learning control rules for TakagiSugeno fuzzy controllers using genetic algorithms. Proceedings of the International Conference EUFIT'96, yol.2. Aachen, Germany, рр. 960964. 
Предметный указатель LRпредставление нечеткоrо числа (L R representation of а fuzzy number), 83, 93 SHOpMbI (snorms), 150 SISОсистема управления стандартноrо вида (standard SISO control system), 676 THOpMЫ (tnorms), 141 Адаптивное (adaptive) ИМуправление, управление на основе ИМмодели (adaptive InvMC control), 654 нечеткое управление (adapti\e fuzzy control). 653 аrреrирование условий (aggregation of premises), 188 аккумуляция (accumulation), 196 аксиомы Шваба (Schwab axioms), 54 алrебраическая сумма (algebraic sum), 151 ассоциативность операций над множествами (associativity of sets), 133, 148, 151 База правил (rule base). 179 линrвистически полная (linguistically complete rule base), 240 совместная (consistent rule base), 244 численно полная (numerically complete ru le base). 241 базисный диапазон (Ьаsiс range), 29 базовая модель (base model), 464 ближайшая окрестность (closest neighborhood), 452 быстрое вычисление инверсии (quick inverse), 579 Вербальная модель (verbal model), 404 виды функuий принадлежности (kinds оУ membership functions), 50 BMCTPYKTypa, структура с внутренней моделью объекта управления (IMC structure), 612, 650 входвыходная устойчивость (inputjoutput stability), 669 вывод (inference), 179, 183, 203 максиминный, типа 1\'1AXl\lI1\ CIAXl\II inference), 197 максимультипликативный, типа l\I.f\XPROD (J\IAXPROD in ference). 200 высота нечеткоrо множества (height of а fuzzy set), 37 [ауссова функция (Gaussian function), 57, 424, 466 асимметричная (asymmetrical Gaussian function), 60 симметричная (symmetrical Gaussian lunction), 57 принадлежности с оrраниченным носителем (fiпitеsuрроrt Gаussiап function)r 59 rенетические алrоритмы (genetic aIgorithms) 440. 5:32 [ены (genes). 53:3 
Предметный указатель 787 rиперустойчивость (hyperstability) , 684 асимптотическая (asymptotic hyperstability), 685 условия (hyperstability conditions)" 690 в обычном смысле (hyperstability in the ordinary sense), 685 rистерезис (hysteresis), 359, 689 rранулированность информации (grапulаritу of information), 14 rребные винты подводноrо аппарата (underwater vehicle propellers), 630 Декартово произведение (Cartesian product), 160 денормирование модели (denormalization оЕ а model), 271 дефаззификация (defuzzification), 182, 208 механизм (defuzzi fication mechanism), 182 динамика человека как реrулятора (dynamics of а тап as а controller), 563 дискретная, oe (discrete) функция принадлежности (discrete membership function), 31 отношение (discrete relation), 172 пространство, область (discrete space), 30 Закон лоrическоrо противоречия (exclusive contradiction). 133 Идеальное обрашение. инвертирование (perfect i nversion) . 637 динамических моделей (perfect inversion of dynamic models). 573 статических моделей (perfect inversion of static models), 572 идеальное управление (perfect control), 615 идемпотентность (idempotency), 133, 148 идентификация моделей динамических объектов (identification of models оУ dynamic plants), 569 избыточность базы правил (redundancy of the rule base), 249 ИМструктура, структура с инверсной моделью объекта управления (InvMC structure), 636, 650 информационная rранула (granule of information), 14 истинность (truth) интерполяционная (interpolation truth), 292 экстраполяционная (extrapolation truth), 292, 621, 632 Кардинальное число (мощность) нечеткоrо множества (cardinal number оУ а fuzzy set), 41 качественная оценка (quality evaluation), 25 кластеризация (clustering), 498 код структуры модели (model structure code), 538 коммутативность операций над множествами (commutativity of sets), 132. 141, 148, 150 компенсирующий оператор (compensatory operator), 155, 157 композиuионное правило вывода Заде (Zadeh's compositional rule of inference), 192 
788 Предметный указатель коэффициент скорости обучения (1earning rate coefficient), 416 критерий (показатель) качества системы управления (performance criteria of сопtrоl system), 553 критическая точка функции принадлежности (critical point of а membership function), 57 кроссинrовер (crossover), 443, 534 круrовой критерий устойчивости (circle stability criterion), 676 JIексическая неопределенность (lexical uncertainty), 74 линrвистическая, oe, ие (linguistic) модель Мамдани (linguistic Mamdani model), 322 модификаторы нечетких множеств (1inguistic modifiers of fuzzy sets), 42 терммножество (linguistic termset), 29 значение (1inguistic value), 27 переменная (1ingu istic variable), 27 лоrические, ая, oe (1ogical) лоrические связки, операторы аrреrирования нечетких множеств (logical connectives), 131 лоrическая сумма множеств (logical sum of sets), 148 лоrическое произведение множеств (logical product of sets), 132 локальные нечеткие модели (local fuzzy models), 350 Метод (method) k средних (kmeans method), 507 бифуркаций (bifurcation method), 670 взвешенных средних (weighted mеап method), 487 высот (Height method), 220 локальных моделей (local model method), 268 Ляпунова (Lyapunov's method), 667 максимума абсолютной ошибки (maximum absolute error method), 462 одномерной кластеризации (single dimension clustering method), 499 первоrо максимума (First of Maxima method), 211 полноразмерной кластеризации (ful1dimensional clustering method), 510 последнеrо максимума (Last of Maxima method), 211 среднеrо максимума (Middle of Maxima method), 208 Тастина (Tustin's method), 463 точек максимума абсолютной ошибки (method of maximum absolute error points), 216 центра сумм (Center of Sums method), 216 центра тяжести (Center of Gravity method), 212 механизм вывода (inference mechanism), 181 MHoroMepHoe нечеткое управление (multivariable fuzzy control), 657 модальное значение нечеткоrо множества (modal value of а fuzzy set), 48 модель (model) без скачкообразноrо перехода (nonjump model), 585 Мамдани (Mamdani model), 312 ментальная (mental model), 403 со скачкообразным переходом (jump model), 585 
Предметный указатель 789 ТакаrиСуrено (TakagiSugeno model), 334 модифицированная функция принадлежности заключения (modified conclusion membership function), 193 момент (momentum), 417 монотонность операций над множествами (monotonicity of sets), 141, 151 мощность (power) нечеткоrо множества (power of а fuzzy set), 31,41 числовой области значений (power of the numerical universe of discourse), 30 мультимодели (mu1timodels), 356 мутация (mutation), 443, 534 Наблюдаемость (observability), 767 набор, пакет (bag), 35 набор элементов, не являющийся нечетким множеством (nonfuzzy bag), 35 недостаточно обоснованное решение (insufficiently grounded decision), 245 неинвертируемая модель (noninvertible model), 599 нейронные сети с радиальными базисными функциями, RBF сети (RBF neural networks), 424 нелинrвистическая модель Мамдани (nonlinguistic Mamdani model), 322 нелинейное отображение (nonlinear mapping), 569 непараметризованные (nonparameterized) операторы SHOpMbI (nonparameterized snorm operators), 151 операторы tHOpMbI (nonparameterized tnorm operators), 142 неполнота нечеткой модели (incompleteness of а fuzzy model), 234 непреры вная, oe (continuous) область (continuous space), 30 отношение (continuous relation), 172 несовместность правил (inconsistency of the rules), 245 нечеткая модель (fuzzy model), 400 rлобальная (global fuzzy model), 350 самонастраивающаяся (selftuning fuzzy model), 400 самоорrанизующаяся (selforganizing fuzzy model), 400 нечеткий, ая, oe, ие (fuzzy) арифметика (fuzzy number arithmetic), 79 импликация (fuzzy implication), 175 линrвистическая модель (fuzzy linguistic model), 404 лоrика (fuzzy logic), 14 метод с средних, PCMMeTOД кластеризации (fuzzy cmeans method), 519 множество (fuzzy set), 25, 30 набор, пакет (fuzzy bag), 35 нуль (fuzzy zero), 109, 122 отношение (fuzzy relation), 163 теория множеств (fuzzy set theory), 14 числа (fuzzy numbers), 28 число неопределенноrо знака (undefined sign fuzzy number), 113 экстраполяция (fuzzy extrapolation), 279 нечеткий ПИДреrулятор (fuzzy PID controller) 
790 Предметный указатель в варианте инкрементноrо реrулирования (incremental version of а fuzzy PID controller), 547 в варианте прямоrо реrулирования (direct version of а fuzzy PID controller), 547 нечеткое множество (fuzzy set), 25, 30 выпуклое (сопуех fuzzy set), 42 невыпуклое (попсопуех fuzzy set), 42 нормальное (normal fuzzy set), 35 пустое (empty fuzzy set), 33 типа 1 (type 1 fuzzy set). 70 типа 2 (type 2 fuzzy set), 72 универсальное (universal fuzzy set), 33 нормализованная RBF ceTЬ (normalized RBF network), 426 нормирование модели (normalization of а model), 271 носитель нечеткоrо множества (support of а fuzzy set), 37 Область (universe) значений (universe of discourse), 29 значений входов модели (universe of discourse of а model), 251 рассуждений (domain of discourse), 29 обобщающее правило (generalizing rule), 535 обобщенное правило рассуждений Modus Ponens (generalized Modus Ponens), 185 обоснованность кластера (cluster validity) , 525 обратимость модели (model invertibility), 572 обратное нечеткое число (inverse fuzzy number), 83 обратное распространение ошибки (error backpropagation), 416 объединение (union) множеств (union of sets), 148 с дополнением множества (union with the complementary set) 1 149 с пустым множеством (union with the empty set), 149 объект (plant) собственный (proper plant), 575, 577 cTporo собственный (strictly proper plant), 575, 577 оrраниченная, ый (bounded) вывод SUMJ\IIN (bounded SUl\i[MIN inference), 206 вывод SUMPROD (bounded SUMPROD inference), 206 разность (Ьои nded di fference), 142 оrраничивающий элемент, элемент компенсации нелинейностей типа «насыщение» (antiwindup element), 546 оператор (operator) J\IAX (MAXoperator), 151, 152 l\1IN (MIN operator), 135, 142 PROD (PRODoperator), 142 subl\1IN (subMIN operator), 140 алrебраической суммы (algebraic sum operator), 153 «жесткий» MIN ("hard MIN" operator), 136 «жесткий» sgn ("hard" signum), 136 концентрирования (concentration operator), 43 « мяrкий» :tvlIN ("soft MIN"operator), 136 «мяrкий» sgn ("soft" signum), 136 обобшенноrо среднеrо (generalized meanoperator), 146 объединения raMaxepa (Hamacherunion operator), 152 
Предметный указатель 791 объединения Яrера (Yagerunion operator), 152 пересечения raMaxepa ( Hamacherintersection operator), 143 пересечения Дюбуа ( Dubois..intersection operator), 143 пересечения Яrера (У ager..i ntersect ion operator), 143 повышения контрастности (iпtепsifiсаtiоп operator), 45 понижения контрастности (contrast decreasing operator),47 растяжения (dilatation operator), 45 среднеrо арифметическоrо (arithmetic mean"operator), 145 среднеrо rармоническоrо (harmonic mеапореrаtоr), 146 среднеrо rеометрическоrо (geomet ric mеап "operator), 146 операторы (operators) импликации (implication operators), 177 su per.. I\1AX (super<l\IAX..operators), 153 опорные точки поверхности модели (support points of а model surface), 251 остаточная ошибка (residuum error), 468 относительная мощность нечеткоrо множества (relative power оУ а fuzzy set), 41 Параметризованный, ыe (раrаПlеtеrizе(i) оператор пересечения на основе среднеrо (mеап iпtеrsесtiоп operator), 145 операторы SHOpMbI (parameterized s..norm operators), 152 операторы t"HOPMbI (parameterized tnorm operators), 143 персептронные сети (perceptron networks),413 ПИД"реrулятор (PID controller), 544 пересечение множеств (iпtеrsесtiоп of sets), 132 поrлощение, пересечение с пустым множеством (set absorption), 133, 149 полилинейная функция (mu1ti1inear function), 320 полное, ..ая (complete) разбиение области значений (complete partition of the universe of discourse), 235 база правил (complete rule base), 244 полнота нечеткой модели (completeness of а fuzzy model). 234 популяция (population), 533 правило рассуждений (тавтолоrия) Modus Ponens (Modus Ропепs tautology), 184 предварительные условия rиперустойчивости (preliminary conditions of hyperstability), 687, 689 представление нечеткоrо множества (representation of а fuzzy set), 39 вертикальное (vertical representation оУ а fuzzy set), 38 rоризонтальное (hоrizопtаl representation of а fuzzy set), 39 преконтроллер (precontroller), 639 приниип (principle) 
792 Предметный указатель компенсации (campensatory principle), 156 несовместимости (principle of incompatibility), 18 проекция (projection), 170,474 прозрачность модели (transparency af а model), 254 произведение (product), 142 произведение raMaxepa (Hamacher product), 142 произведение Эйнштейна (Einstein product), 142 усиленное произведение (drastic product), 142 проклятие размерности (curse of dimensionality), 371, 482 простая RBF ceTЬ (ordinary RBF network), 426 пространство (область) рассуждений (space of discourse), 29 противоположное нечеткое число (opposite fuzzy number), 82 Радиальные базисные функции (radial basis functions), 424 разбиение входноrо пространства (input space partition) бессеточное (nongrid input space partition), 255 rиперпрямоуrольное (hyperrectangular input space partition), 370 rи пертреуrол ьное (hyper t riangu lа r input space partition), 370 непрямоуrольное (nonrectangular input space partition), 371 прямоуrольное (rectangular input space partition), 369 разрывность метода дефаззификации (discontinuity of а defuzzification method), 210 расширение области рассуждений (extension of the universe of discourse), 484 реализуемая инверсия (realizable inverse), 580 реrулятор действий (action controller) двухпозиционный (twoposition action controller), 541 трехпозиционный (threeposition action controller), 545 реrулятор с rистерезисом (controller with а hysteresis), 542 результирующая функция принадлежности вывода из базы правил (resulting membership function of the rulebase conclusion), 196 реляционная модель (relational model), 344 Связность базы правил (continuity of the rule base), 246 сети Делоне, трианrуляция Делоне (Delaunay networks), 372 сетка разбиения входноrо пространства (partition grid of the input space), 251 сиrмоидная (sigmoid) функция (function), 414 функция принадлежности (membership function), 61 синrлетон, одноточечное (одноэлементное ) множество (singleton), 13, 38, 221 система (system) типа MIMO, с несколькими входами и несколькими выходами (MIMO system), 657 типа MISO, с несколькими входами и одним выходом (MISO system), 86 типа SISO, с одним входом и одним выходом (SISO system), 79 система управления (control system) вторичная (secondary control system), 693, 699 
Предметный указатель 793 общеrо вида (general control system), 544 первичная, исходная (primary control system), 693 с внутренней моделью объекта (internal model control system, 612 сокращение базы правил (reduction of the rule base), 255 специализированные структурные схемы идентификации (specialized structures for identification), 599 специалист по нечеткому моделированию (expert in fuzzy modeling), 405 среднеквадратическое отклонение (mеап square deviation), 355 стабилизация неустойчивоrо объекта (stabilization of ап unstable plant), 616 статический реrулятор (static controller), 540 степень выполнения (значение истинности) условия (premise evaluation), 186 степень принадлежности (grade of membership), 31 стохостическая неопределенность (stochastic uncertainty), 74 структура с эталонной моделью подавления возмущений (structure with the reference model of disturbance rejection), 646 структурная схема прямой идентификации (direct structure of identification), 595 структурная хромосома (structure chromosome), 538 субнормальное нечеткое множество (subnormal fuzzy set), 35 сумма (sum) raMaxepa (Hamacher sum), 151 оrраниченная (bounded sum), 151 Эйнштейна (Einstein sum), 151 существенные (значимые) входы модели (significant model inputs), 447 Тавтолоrия (tautology), 184 тождественность, пересечение с универсальным множеством (identity), 133 традиционный, классический, ая ( classical) структура системы управления (classical control system structure), 544 импликация (classical implication), 172 отношение (classical relation), 160, 162 Уменьшение числа используемых нечетких множеств (reduction of а fuzzy sets number), 258 управляемость (controllability), 766 управляющий реrулятор (supervisory controller), 671 упрощенное (simplified) денормирование (simplified denormalization), 275 нормирование (simplified normalization), 272 уравнения КалманаЯкубовича (Kalman J akubowich equations), 716 усиленная сумма (drastic sum), 151 условие Попова (Ророу condition), 722, 724, 755 условие разбиения единицы (partition of unity condition), 48 Фаззификация (fuzzification), 179 фиктивная степень свободы (fictitious degree of freedom), 700, 706 фильтр нижних частот (lowpass filter), 616, 625 
794 Предметный указатель фильтрация результатов измерений (filtering of measurement samples), 452, 487 функция принадлежности (membership function), 13, 31, 50 внутренняя (inner membership function), 67 rармоническая (harmonic membership function), 63 интуитивная (intuitive membership function), 54 левая (left membership function), 66 мноrомерная (multidimensional membership function), 471 непрерывная (continuous membership function), 31 полиномиальная (polynomial membership function), 65 правая (right membership function), 66 функция приспособленности (fitness function), 533 Хромосома (chromosome), 533 Цилиндрическое продолжение (cylindrical extension), 165 Частичная инверсия модели (partial model inversion), 600 чувствительность метода дефаззификации (sensitivity of а def uzzification method), 210 Экспертные испытания (Jury's test), 719 экспоненциальная эллиптическая вращаемая функция (exponential rotatable elliptic function), 481 экстраполяция (extrapolation) нулевоrо порядка (zeroorder extrapolation), 283 первоrо порядка (firstorder extrapolation), 283 эталонная модель (reference model), 605 Ядро нечеткоrо множества (core of а fuzzy set), 38 ./ 
Оrлавление Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Вступление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 rлава 1. Введение................................................. 13 1.1. Сущиость теории нечетких множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Развитие теории нечетких множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств. . . . . . . . . 25 2.1. Нечеткие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Характеристические пара метры (показатели) нечеткоrо множе с т ва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. Линrвистические модификаторы нечетких множеств. . . . . . . . . . . 43 2.4. Типы функций принадлежности нечетких множеств. . . . . . . . . . . 50 2.5. Нечеткие множества типа 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.б. Два вида неопределенности  нечеткость и вероятность. . . . . . . 74 rлава 3. Нечеткая арифметика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.1. Принцип обобщения .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2. Сложен ие нечетких чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.3. Вычитание нечетких чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.4. Умножение нечетких чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 100 3.5. Делен ие нечетких чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 116 3.б. Особенности нечетких чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121 3.7. Различия между нечеткими числами и линrвистическими значе ниями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128 rлава 4. Нечеткая математика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131 4.1. Основные операции над нечеткими множествами. . . . . . . . . . . . .. 131 4.1.1. Оператор пересечения (лоrическое произведение) нечет ких множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132 4.1.2. Объединение (лоrическая сумма) нечетких множеств. .. 148 4.1.3. Компенсирующие операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155 4.2. Нечеткие отношения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158 4.3. Импликация............................................... 172 
796 Оrлавление r лава 5. Нечеткие модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 179 5.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях. 179 5.1.1. Фаззификация...................................... 182 5.1.2. Вывод.............................................. 183 5.1.2.1. Оценка степени выполнения условия. . . . . .. 186 5.1.2.2. Определение активизированных функций принадлежности заключений отдельных пра.. вил при заданных входных значениях нечет кой модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 190 5.1.2.3. Определение результирующей функции при надлежности вывода из базы правил ....... 196 5.1.3. Дефаззификация результирующей функции принадлеж насти вывода из базы правил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 208 5.1.4. При мер нечеткоrо моделирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223 5.2. Важные свойства правил, баз правил и нечетких моделей. . . . .. 225 5.2.1. Локальный характер правил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 227 5.2.2. Зависимость числа правил от числа входных пара метров и нечетких множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 229 5.2.3. Полнота нечеткой модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233 5.2.4. Непротиворечивость базы правил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 241 5.2.5. Связность базы правил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 246 5.2.6. Избыточность базы правил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 248 / 5.3. Рекомендации по построению базы правил. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 249 5.4. Сокращение базы правил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 254 5.5. Нормирование (масштабирование) входов и выхода нечеткой MO дел и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 270 5.6. Экстраполяция в нечетких моделях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 277 5.7. Типы нечетких моделей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 311 5.7.1. Модели Мамдани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 311 5.7.2. Модели ТакаrиСуrено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 332 5.7.3. Реляционные модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 343 5.7.4. rлобальные и локальные нечеткие модели . . . . . . . . . . . .. 349 5.7.5. Нечеткие мультимодели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 356 5.7.6. Нейронечеткие модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 362 5.7.7. Альтернативные модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 365 5.7.8. Принципы подобия систем и моделей систем. . . . . . . . . .. 373 5.7.9. Нечеткая классификация ............................ 374 rлава 6. Методы нечеткоrо моделирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 399 6.1. Нечеткое моделирование на основе экспертных знаний о системе 402 6.2. Построение самонастраивающихся нечетких моделей на основе измеренных данных о входах и выходах системы. . . . . . . . . . . . .. 409 6.2.1. Применение нейронечетких сетей для настройки пара.. метров нечеткой модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 411 6.2.1.1. Структуризация и обучение нейронных сетей 412 
Оrлавление 797 6.2.1.2. Преобразование нечеткой модели Мамдани в нейронечеткую сеть. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 427 6.2.1.3. Преобразование в нейронечеткую сеть нечет кой модели ТакаrиСуrено. . . . . . . . . . . . . . .. 436 6.2.2. Настройка параметров нечеткой модели с помощью reHe тическоrо алrоритма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 439 6.3. Построение самоорrанизующихся и самонастраивающихся нечетких моделей на основе измеренных данных о входах и BЫ ходах системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 445 6.3.1. Выявление существенных и несущественных входов MO дел и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 446 6.3.2. Определение нечетких кривых. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 451 6.3.3. Самоорrанизация и самонастройка пара метров нечеткой модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 458 6.3.3.1. Самоорrанизация и настройка нечеткой MO дели с применением rеометрическоrо метода точек максимума абсолютной ошибки ...... 461 6.3.3.2. Самоорrанизация и самонастройка нечетких моделей методами кластеризации.... ...... 494 6.3.3.3. Самоорrанизация и самонастройка нечетких моделей методом поиска.............. ..... 530 rлава 7. Нечеткое управление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 539 7.1. Статические нечеткие реrуляторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 539 7.2. Динамические нечеткие реrуляторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 542 7.3. Формирование структур и настройка пара метров нечетких pery ляторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 555 7.3.1. Проектирование нечетких реrуляторов на основе экс пертноrо знания об объекте управления . . . . . . . . . . . . . .. 556 7.3.2. Разработка нечеткоrо реrулятора на основе модели экс перта, управляющеrо объектом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 561 7.3.3. Разработка нечеткоrо реrулятора на основе модели объ екта управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 567 7.3.3.1. Некоторые замечания относительно иденти фикации моделей динамических объектов. .. 568 7.3.3.2. Некоторые замечания относительно иденти фикации инвертированных моделей динами ческих объектов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 571 7.3.3.3. Настройка нечеткоrо реrулятора с заранее выбранной структурой. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 603 7.3.3.4. Нечеткое управление, основанное на CTPYK туре с внутренней моделью. . . .. . . . . .. .. ... 611 7.3.3.5. Нечеткое управление, основанное на CTPYK туре с инверсной моделью объекта (ИМ структура) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 635 
798 Оrлавленне 7.3.3.6. Адаптивное нечеткое управление. . . . . . . . . .. 652 7.3.3.7. MHoroMepHoe нечеткое управление (MIMO). 656 rлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ нечетких систем управления ............ 663 8.1. Устойчивость нечетких систем управления с неизвестными MO делями объектов....... .'................................... 669 8.2. Круrовой критерий устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 674 8.3. Применение теории rиперустойчивости для анализа устойчиво сти нечетких систем ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 681 8.3.1. Представление условий rиперустойчивости в частотной области для систем управления со стационарной нели ней ной частью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 684 8.3.2. Условия во временной области для rиперустойчивости непрерывных нелинейных систем управления, включаю щих стационарную нелинейную часть . . . . . . . . . . . . . . . .. 714 8.3.3. Условия rиперустойчивости в частотной области для дис кретных нелинейных систем управления, содержащих стационарную нелинейную часть............... ....... 716 Список литературы .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 767 IIредметный указатель..... .... .... ... ........ .... .... ...... ..... 786 
ВУЗОВСКАЯ И ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА lIiiIIIiiEI Кохонен Т. CaмoopraH ка"., / т. Кохонен ; пер. 3ro анrл. юд.  2008.  655 с. : ил.  (Адаптивные И интeллeктydлыfые системы). QIмoopraнизующиеся кapТbl, вместе с их разновидностями, ПpeдcтaвllЯют собой одну из наиболее популярных нейросетевых архитектур, ориентированных на обучение без учителя. Они широко ИСООЛьзyIOтaJ в 13КИХ 06пастях, как статистика, обработка сиrнaлoв, теория ynравпения, финансовый анализ, экспериментальная физика, ХИМИЯ, медицина, для решения СЛОЖНЫХ, MHOfoмepHbIX, нелиtteЙных задач, связанных с извлечением признакоо, обработкой и классификацией изображений, адаптивным управлением и т. п. В книrе дaeтaJ деталЬНОе изложение математическorо аппарата и применений дпя caмoopraнизующихся карт. для meциanистов в области теории и применений оойросетевоrо моделирования, а также CIyдeнтoв и аспирантов соотвeтcrвyющиx meциanьностей. ИЗДАТЕЛЬСТВО «БИНОМ Лаборатория знаний» 125161, Москва, проезд Аэропорта, д. 3 Телефон: (499) 157 5272 email: binom@Lbz.ru, http://www.lbz.ru Оптовые поставки: (499) 1747616, 171  1954, 1706674 
ВУЗОВСКАЯ И ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА  Сапон Р. С. Обучение с подкреплением / Р. С. Саттон, Э. r. Барто ; пер. с анrл.  2011.  399 с. : ил.  (Адаптивные и интеллектуальные системы). Обучение с подкреплением является одной из наиболее активно развивающихся областей, связанных с созданием искусственных интеллектуальных систем. Оно основано на том, что areHT пытается максимизировать получаемый выиrрыш, действуя в сложной среде с высоким уровнем неопределенности. Дается исчерпывающее и ясное изложение идей, методов и алrоритмов обучения с подкреплением, при этом диапазон излаrаемоrо материала  от истоков возникновения рассматриваемых концепций до современных результатов в данной области. Для специалистов в области искусствен Horo интеллекта, нейросетевоrо моделирования и управления, а также студентов и аспирантов соответствующих специальностей. ,/ 125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3 Телефон: (499)1575272 email: binom@Lbz.ru, http://www.Lbz.ru Оптовые поставки: (499) 174 7616, 171  1954, 1706674 ИЗДАТЕЛЬСТВО «БИНОМ Лаборатория знаний» 
. При отсyrствии достаточно точноrо знания об объекте управления традиционные методы решения задач управления оказываются неэффективными или MOryr быть вообще непри менимы. В этом случае можно строить нечеткие системы управ  ления с применением аппарата нечетких множеств, нечеткои лоrики, нечеткоrо моделирования. Еще большая эффектив ность достиrается сочетанием указанных методов с аппаратом   искусственных неиронных сетеи и rенетических алrоритмов. Именно этот Kpyr вопросов рассматривается в книrе «Нечеткое моделирование и управление». Ее автор, Анджей Пеrат, профес сор Щецинскоrо техническоrо университета (Польша)  видный специалист в области мяrких вычислений и теории управления. Одна из интересных особенностей книrи состоит в ТОМ, что   методы мяrких вычислении излаrаются и трактуются с позиции специалиста по системам управления. Книrа будет полезна студентам старших курсов, аспирантам, научным работникам и инженерам, специалистам по системам управления при решении задач моделирования в различных прикладных областях. ISBN 9785996314959 9 785996 314959