Галицкий, Виктор Михайлович
Часть 2.Задачи по квантовой механике: Учебное пособие для вузов.- 3-е
издание, исправленное и дополненное. - М.: Едиториал УРСС, 2001.- 304 с. : ил.
ISBN 5-354-00003-3, б/т экз.
Вторая часть содержит задачи различной степени трудности, иллюстрирующие
приложения квантовой механики к атомной физике, ядру и к физике частиц в
той мере, в какой это можно сделать, не прибегая к специальным методам и
представлениям этих областей физики. Предложено значительное число задач,
посвященных различным вопросам теории столкновений, а также квантовой
теории излучения и релятивистским волновым уравнениям. Ко всем задачам
даны решения. Книга адресована физикам — студентам и аспирантам высших
учебных заведений, как экспериментаторам, так и теоретикам, изучающим
квантовую механику.
Квантовая (волновая) механика. Нерелятивистская квантовая механика
Математика
ББК 22.1я73, 22.314

Оглавление
Предисловие к третьему изданию - 4c.
Принятые сокращения - 5c.
Наиболее часто используемые обозначения - 5-6c.
Универсальные константы - 6c.
Глава 10 Тождественность частиц. Вторичное квантование - 7-31c.
§1 Симметрия волновых функций - 8-1 3c.
§2 Основы формализма вторичного квантования (представление чисел
заполнения) -13-23 c.
§3 Простейшие системы из большого числа (N>>1) частиц - 23-31c.
Глава 11 Атомы и молекулы - 32-111c.
§1 Стационарные состояния атомов с одним и двумя электронами - 33-49c.
§2 Многоэлектронные атомы. Статистическая модель атома - 49-61c.
§3 Основные представления теории двухатомных молекул - 61-69c.
§4 Атомы и молекулы во внешних полях. Взаимодействие атомных систем
69-89c.
§5 Нестационарные явления в атомных системах - 89-111c.
Глава 12 Атомное ядро -112-139c.
§1 Основные представления о ядерных силах. Дейтрон -114-122c.
§2 Модель оболочек - 122-133c.
§3 Изотопическая инвариантность - 133-139c.
Глава 13 Столкновения частиц - 140-235c.
§1 Борновское приближение -144-158c.
§2 Фазовая теория рассеяния -159-166c.
§3 Низкоэнергетическое рассеяние. Резонансные явления при рассеянии -
166-192c.
§4 Рассеяние быстрых частиц. Приближение эйконала -192-201c.

§5 Рассеяние частиц со спином - 202-209c.
§6 Аналитические свойства и унитарность амплитуды рассеяния - 209-215c.
§7 Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения - 216-23 5c.
Глава 14 Квантовая теория излучения - 23 6-25 8c.
§1 Излучение фотонов - 238-246c.
§2 Рассеяние фотонов. Излучение фотонов при столкновениях - 246-258c.
Глава 15 Релятивистские волновые уравнения - 259-298c.
§1 Уравнение Клейна—Гордона - 261-280c.
§2 Уравнение Дирака - 280-298c.
Дополнение - 299-300c.
Список литературы - 301-303c.

Предисловие к третьему изданию
Эта книга — непосредственное продолжение первой части и потому имеет с ней
единую нумерацию глав. Она содержит задачи, иллюстрирующие приложения кванто-
квантовой механики к атомной физике, ядру и к физике частиц в той мере, в какой это можно
сделать, не прибегая к специальным методам и представлениям этих областей физики.
Предложено значительное число задач, посвященных различным вопросам теории
столкновений. Две главы посвящены квантовой теории излучения и релятивистским
волновым уравнениям.
Ко всем задачам даны решения, при необходимости — достаточно подробные.
Б. М. Карманов
В. И. Коган

Принятые сокращения
у. Ш. — уравнение Шрёдингера
в.ф. — волновая функция
с.ф. — собственная функция
с.з. — собственное значение
д.с. — дискретный спектр
с. ц. и. — система центра инерции
"" — символ оператора (матрицы), однако нал операто-
операторами умножения он, как правило, не ставится
ос — знак пропорциональности
~ — знак порядка величины
{т\Т\п) н fmn = /™ =
_ — матричный элемент оператора 7
/
f, (/) — среднее значение величины /
[/>Л = /<? — 9f ~ коммутатор операторов / и ~д
По двум одинаковым («немым») векторным или спинорным индексам подразумевается вы-
выполнение суммирования.
Наиболее часто
используемые обозначения
Смысл используемых обозначений поясняется либо в условии, либо в решении каждой
задачи. Однако имеется ряд величин, встречающихся во многих задачах, для которых мы
старались придерживаться стандартных обозначений. Обозначения таких величин во всех
случаях, когда это не может привести к недоразумениям, в тексте не поясняются.
*/(?) ~ ПРИ такой записи волновой функции q обозначает совокупность переменных
используемого представления, а / — собственные значения соответствующих
физических величин или квантовые числа рассматриваемого состояния
Ф?" — с.ф. линейного осциллятора, см. (II 2)
е — заряд частицы''
с — скорость спета
Я — гамильтониан
Е, е — энергия
?, Э? — напряженности электрического и магнитного полей
А — векторный потенциал электромагнитного поля
U — потенциальная энергия (потенциал взаимодействия)
'' Но если речь идет о конкретной реальной частице (электроне, протоне, атомном ядре и т д), то е
обозначает элементарный заряд е а 4,80 • 10"" ед СГСЭ (так что зарид электрона равен -е, протона +«,
ядра Ze и т д.)

Универсальные константы
V
A,d
<P, Aa
o»
i,
Э
w, W
Z, Ze
R
m, M
ц
P, P
к
A
w
— оператор возмущения
— дипольный момент
— скалярный потенциал электромагнитного поля
— боровский радиус
— фазовый сдниг
— матрицы Паули
— вероятность переходе:, вероятность перехода в единицу времени
— заряд ядра
— радиус потенциала
— масса, магнитное квантовое число
— масса, магнитный момент
— импульс
— волновой вектор
— массовое число ядра
— частота
(, Ь, j, J — момент (орбитальный и полный)
з, S — спин
ЗЛг) ~ функция Бесселя
Я„(х) — полином Эрмита
Yim(e,ip) — шаровая функция
Y(z) — гамма-функция
6{х), 6(т) — б-функция Дирака
б,ъ — единичный тензор, символ Кронекера
е,н — антисимметричный единичный псевдотензор, е,п = I и т.д.
Формулы теоретических Введений в начале каждой главы нумеруются римскими цифрами.
Универсальные константы
Решение ряда задач предполагает проведение числовых расчетов. Для удобства вычислений
ниже приведены значения используемых физических величин.
Постоянная Планка — ft = 1,055 • 10"" эрг-с
Элементарный заряд — е = 4,80 IO'1U ед. СГСЭ
Масса электрона
Скорость света
Боровский радиус (ат.ед. длины)
Атомная единица энергии
Атомная единица частоты
Атомная единица напряженности
электрического поля
Постоянная тонкой структуры
Масса протона — тпр — 1836т, = 1,673 10
Энергии покоя электрона — т,сг = 0,511 МэВ
с =
<>о
т,
~к
т(
л
е
Ц
а =
= 9,11
= 3,00-
¦10
10'°
= 0,529 • 10
л
= 5,14
_ е2 _
= fie ~
,36-
,13-
¦10'
1
Т37
"Jsr
см/с
"8 см
10"" эрг = 27,21 эВ
10" с"'
' В/см

Глава 10
Тождественность частиц.
Вторичное квантование
Волновая функция системы, включающей тождественные частицы, обладает
определенной симметрией относительно перестановки таких частиц, так что
*(•¦¦• *..••¦.*».•••) = **(•••,&.••¦.&.•¦•);
здесь ?„ = (г„, сг„) — совокупность переменных (пространственных и спиновых) со-
соответствующих частиц. При этом волновая функция симметрична при перестановке
частиц с целым спином — бозонов и антисимметрична для частиц с полуцелым
спином — фермионов. Соответственно в случае, когда отдельные частицы систе-
системы находятся в определенных квантовых состояниях, волновая функция системы
в целом получается в результате симметризации произведения волновых функ-
функций одночастичных состояний для системы бозонов и антисимметризации — для
фермионов. При этом состояние системы определяется лишь указанием занятых
одночастичных состояний (для различимых частиц важен и способ распределения
их по таким состояниям).
Исследование многочастичных систем, автоматически обеспечивающее кван-
товомеханический учет их тождественности, удобно проводить на основе предста-
представления чисел заполнения. Используемые при этом операторы S,+,2| — операторы
рождения и уничтожения частиц (в соответствующих дискретных квантовых состо-
состояниях, характеризуемых индексом г) в случае бозонов удовлетворяют соотношению
коммутации
[о„ о*] = [а,+, at+] = 0, [о,, а?} = а,а? - а?а, = д,к, (X. I)
а в случае фермионов — антикоммутационным соотношением
{о,, 3А} = {а,+, аЛ+ } = 0, {о,, о*"} = Ъ,а? +а?а, = 6,k (X.2)
(так что для фермионных операторов а,2 = (а,+) = 0).
Операторы п, = 2,+ а, являются операторами числа частиц в соответствующих
квантовых состояниях. Для нормированных на единицу состояний с определенными
1
значениями чисел заполнения имеем
'1
3,+ | ...,71,,...) =
(для фермионов п, = 0 или 1, для бозонов п, = О, I, 2,...).
Для системы тождественных частиц (как бозонов, так и фермионов) оператор
аддитивной одночастичной физической величины, F^ = ^ /] , я представлении
" Для фермионных систем здесь «опушен» фазовый множитель, см. 11]. §65

Глава 10. Тождественность частиц
чисел заполнения следующим образом выражается через Ф(?)-операторы2'
, (х.з)
здесь /W — уже обычный одночастичный оператор в координатном представлении,
операторы же Ф,Ф+ — операторы в пространстве функций чисел заполнения
и зависят от ? как от параметра.
Для двухчастичной физической величины, Р<2) = J2 fib > оператор в предста-
предстаfib
ла
нлснии чисел заполнения имеет вид
= I Ц Ф
(X.4)
§ 1. Симметрия волновых функций
10.1. Для системы из двух одинаковых частиц со спином s найти число различных
спиновых состояний, симметричных и антисимметричных по отношению к перестановке
спиновых переменных обеих частиц.
Решение. Спиновые функции системы (несимметризованные в спинах) имеют вид3' x,.(cri)x
Xi',{ffi)' их число равно Bs + IJ. Следующие комбинации этих функций
К* = ^ {
нормированные на единицу, имеют определенную симметрию относительно перестановки
частиц: Ф+ — симметричные, а Ф~ — антисимметричные функции. Число независимых
симметричных состояний равно (s + l)Bs + I), а антисимметричных — sBs + I)
Приведенные функции не отвечают, вообще говоря, определенному значению S сум-
суммарного спина частиц (исключая случай з — 1/2, см. 5.10). Однако имея в виду ре-
результат 3.30, можно утверждать, что и симметричных состояниях представлены значения
5 = 2s, 2* - 2,2s-4,..., а в антисимметричных — 5 = 2$ - I, 2s - 3, .. (при этом, конечно,
S>\s, + s',\).
10.2. Показать, что если п тождественных частиц со спином s находится в различных
орбитальных состояниях Vi(r),у>2(г)> ¦• • > ^п(г) (при этом (ipi\<Pk) = 5,^), то общее
число независимых состояний системы с учетом спиновых степеней свободы равно
G = Bs + I)" независимо от того, какой статистике подчиняются частицы.
Каково число состояний в случае различимых частиц?
2'Операторы *(f)i Ф+Ю являются важным частным случаем операторов а,,а*, соответствующим
выбору I ~ г,а Другой часто используемый выбор <*,,ot+ соответствует i = р, <г При этом с целью
получении дискретною спектра с з импульса, рассматриваемая система считается помешенной и «яшик»
большого, но конечного объема V — L1 Разложение Ч>-оператора по плоским волнам принимает вид
к.»
Предельный переход V -> со в полученных выражениях осуществляется с помощью замены ?.. —
WU*K) Jdh... к
Обобщение формул (Х.З), (Х.4) на случай произвольного в,-оператора (вместо *(()) состоит
в использовании » них «t-представления» для операторов /*'*, /'".
Здесь ХгЛ*7) — нормированная спиновая функции отдельной частицы с определенным значением
проекции спина я, В «.--представлении она имеет вил Xs.fo) — *<т.а, •

§ 1. Симметрия волновых функций
Решение С учетом спина в ф. рассматриваемых одночастичных состояний имеют вид
'Де X». — спиновая функция (индекс i у sZi, подчеркивает, что для разных орбитальных
состояний s2 имеет свое, равное sIt, значение). Задание набора значений sti, однозначно
определяет п различных одночастичных состояний
tfi,»,.,.^г,».,а> •••>&..». „ (О
и единственное состояние системы из п одинаковых частиц в целом, волновая функция
которого получается симметризацией (или антисимметризацией) произведения функций (I),
см следующую задачу Любое изменение набора значений sZi, приводит к новому набору
одночастичных состояний (I), а соответственно и к новому состоянию системы в целом
(при этом существенно, что все в.ф. <р, — различные'). Так как каждое s2|, принимает Bs I I)
значений, то общее число различных наборов одночастичных состояний (|), с а ним и числом
независимых состояний системы равно Bs + 1)°.
Для системы различимых частиц важен способ их размещения по различным одноча-
стичным состояниям. Число различных орбитальных состояний при этом равно п1, а общее
число состояний системы с учетом спиновых степеней свободы составляет Bs + l)"n' (при
этом симметризация (или антисимметризация) волновой функции не производится)
10.3. Пусть TpjXC) являются нормированными на единицу волновыми функциями
одночастичных состояний (/, — совокупность квантовых состояний чисел полного
набора). Написать нормированные волновые функции состояний системы из трех
тождественных: о) бозонов и б) фермионов, находящихся в состояниях с квантовыми
числами /,, /2, /3-
Решение. Для бозонов вид волновой функции системы зависит от того, совпадают или нет
занятые одночастичные состояния. При этом следует различать три случая.
1) Все частицы — в одинаковом состоянии, /i = /г = /з = /¦ Нормированная на еди-
единицу в.ф. системы Ф — ^A)^B)^/C) (здесь и ниже вместо переменных частицы указываем
лишь ее номер, так ip(\) = ip(rha^) и т.д).
2) Два из трех занятых состояний совпадают. Теперь
* = ^т>,(!Ш2ШЗ) + ^A)^|B)^C) + ^AШ2)*,C)} A)
(для определенности положено f\ Ф /j = /3 и для краткости записи указан индекс а
вместо /„). Вид выражения в фигурных скобках определяется из условия симметричности в. ф
по отношению к перестановке переменных ? любых двух частиц. Коэффициент 1/\/3 выбран
из условия нормировки п ф. Ф на единицу.
J
B)
(интегрирование по ? включает и суммирование по спиновой переменной); при вычислении
нормировочного интеграла из девяти слагаемых в |Фг| отличный от нуля вклад дают лишь
три из-за указанной в B) ортогональности волновых функций одночастичных состояний.
3) Если Rce три занятые состояния различны, то
Ф = ^={Vi@iM2)iM3) + ^A)^B)^,C) + V3(l)V>iB)tfjC) ±
± iMl)iM2)fcC) i 03AM2)V.C) ± ^@^,B)^C)}, C)
при этом для системы бозонов следует выбрать верхние знаки.
В случае фермионов все три занятые состояния должны быть различными и антисимме-
антисимметричная волновая функция системы определяется выражением C) с выбором в нем нижних
знаков.

10 Глава 10. Тождественность частиц
10.4. Три тождественных бозона со спином $ — 1 находятся в одинаковых орби-
орбитальных состояниях, описываемых волновой функцией <р(т). Написать нормированные
спиновые функции возможных состояний системы. Каково число таких независимых
состояний? Каковы возможные значения суммарного спина частицы?
Решение Так как координатная часть волновой функции системы, имеющая нид y(ri )?>(гг) х
<р(т)). симметрична, то спиновая часть з. ф также должна быть симметричной относительно
взаимной перестановки частиц. Несимметризованные в спинах функции имеют вид
где ХгА") ~ спиновая функция отдельной частицы с определенным значением проекции
спина «j Их число равно 3 х 3 х 3 = 27, однако условие симметричности существенно умень-
уменьшает число независимых состояний Тйкие состояния отвечают различным наборам {sia}
значений «j отдельных частиц (не сводящимся к взаимной перестановке «.,„!), а соответству-
соответствующие сшшовыс функции системы получаются в результате симметризации одночастичных
спинонмх функций, сравнить с предыдущей задачей.
Так, например, для набора значений s2i i = s.,2 = s.,3 = 1, имеем
j ) A)
а дли набора s., = s.%2 = I, s.i3 = 0
Иыпншем также другие наборы значений (s: , s: 2l s. j), приводящие к вояым независимым
состояниям системы: (I, 1,-1), A,0,0), (l,o|-f), A,-1,-1), @,0,0), @,0,-1), @,-1,-1),
(-1, -1,-1) Как пилно, общее число независимых спиновых состояний системы равно 10.
Из этих 10 состояний 7 соответствуют значению 5 = 3 суммарного спина системы,
а 3 — значению S -- 1. Действительно, очевидно, что спиновая функция A) отвечает 5 = 3
Также 5 = 3 отвечает и функция B), как единственное состояние с 5; = 2 Значение S, = 1
имеют два состояния (I, I, —I) и A,0,0). Существование одного из них связано с суммарным
спином S — 3, а лруюго — с S = 1
10.5. Какие ограничения на квантовые числа (спин /д и внутреннюю четность Рл)
нейтральной частицы А° следуют из факта существования распадов этой частицы
на два тг°-мезона: А" —> 2тг° (для пиона J% = 0 "), сравнить с 5.30.
Решение Полный момент двух пионов в их системе и и (она же — система покоя ча-
cruiibi А") совпадает с орбитальным моментом L их относительного движения и в силу
сохранения момента равен спину частицы Л", так что Jt\ = L. Но из условия симметрично-
симметричности I). ф днух 7г°-мезонов следует, что L может принимать лишь четные значении, и поэтому
JA — 0,2,4 (действительно, перестановка пионов эквивалентна отражению координат в их
системе ц. и , так как г -. г, - г2, и приводит к умножению в ф. на (-1)') При этом четность
двухпионнои системы — положительна и сечи она сохраняется в распаде, то Pt = +I
10.6. Установлено, что в реакции ж~ + <i —> п + п захват медленного тг"-мезона
(его спин J, ~ 0) происходит из основного состояния мезодейтерия с сохранением
четности.
Учитывая, что внутренние четности протона и нейтрона одинаковы и квантовые
числа дейтрона 3% ~ l + , найти отсюда внутреннюю четность пиона.

§ 1. Симметрия волновых функций 11
Решение В условиях задачи квантовые числа jr'd-системы таковы4'. J — Jj — I — полный
момент, Р — Р„ — четность, совпадающая с внутренней четностью пиона. В силу сохранения
момента дна нейтрона в конечном состоянии также имеют полный момент J = I (в систе-
системе ц. и ), и так как для них J = L -r S (? — орбитальный момент относительного движения,
5 —суммарный спин, спин нейтрона s = 1/2), то возможны лишь следующие значения ?и5:
l)? = 0, S=\, 2) i= 1, S-0;
3) ? = 1, S- 1; 4) ? = 2, 5= I. U
Легко заметить, что условие антисимметричности волновой функции системы из двух
нейтронов запрещает им находиться в состояниях с кнантовыми числами наборов I), 2)
и 4). Для этого следует учесть, что спиновые функции с 5 = 1 и 5 = 0 соответственно
симметричны и антисимметричны (см. 5.10), а симметрия координатных функций с данным
значением орбитального момента ? совпадает с четностью этих функций (-\)L (так как
перестановка координат эквивалентна их отражению относительно центра масс, г = г, — г2).
Таким образом, при полном моменте J = I система двух нейтронов может иметь только
квантовые числа Ь = I и 5 = I, а соответственно и отрицательную четность Отсюда следует,
что Рх = — 1 и пион, как говорят, является псевдоскалярной частицей, т.е. у него JJ? = 0".
10.7. Три тождественных бозона со спином s = 0, слабо взаимодействующие друг
с другом, находятся в стационарных состояниях с одинаковыми квантовыми числами пг
и I, причем I = I, в некотором центральном поле. Показать, что суммарный момент L
системы не может принимать значения L = 0.
Решение. Задача о возможных состояниях рассматриваемой системы из трех одинаковых
бозонов по существу эквивалентна 10.4, а волновые функции могут быть получены заменой
спиновых функций Ха, в 10.4 на шаровые функции Ytm(n). Отсюда, в частности, следует, что
полный орбитальный момент может принимать лишь значения ? = 3 и ? = I.
Факт отсутствия у рассматриваемой системы состояния с суммарным орбитальным мо-
моментом ? = 0 более наглядно следует из вида волновой функции Ф^о- В условиях задачи в. ф
трех независимых состояний частицы с I = I могут быть выбраны « виде ф, = х,/(г), где х, —
компоненты радиуса-вектора г, см. 3.21. При этом в. ф. (несимметризованные!) для системы
из трех частиц с I = I имеют вид'
ФШ = *,.*Л13|/(Г|)/(Г?)/(Г3). A)
Волновая функция состояния с суммарным моментом ? = 0 не изменяется при вращениях
системы координат. Из волновых функций A) можно составить только одну скалярную
(точнее, псевдоскалярную) функцию, обладающую таким свойством'
B)
но она антисимметрична относительно перестановки частиц и не может описывать состояния
системы одинаковых бозонов
10.8. Какие значения может принимать суммарный спин 5 двух тождественных
бозонов со спином s в состоянии с относительным орбитальным моментом L (L —
момент в с. ц. и.), т. е. какие состояния г5+|? системы возможны? Рассмотреть,
в частности, случай s = 0.
Решение. Перестановка координат двух частиц эквивалентна их отражению относительно
центра масс (так как г = Г| — гг) Поэтому симметрия координатной части волновой функиии
состояния с данным значением ? момента относительного движения совпадает с орби-
орбитальной четностью состояния, равной (— \)L. Соответственно условие симметричности в.ф.
системы тождественных бозонов требует, чтобы в четных состояниях перестановка спиновых
переменных частиц не изменяла волновой функции, а в нечетных состояниях приводила
к изменению знака в. ф. Отсюда, имен в виду результат задачи 3 30 о характере симметрии
в ф. при сложении двух одинаковых моментов, заключаем, что в состояниях с орбитальным
моментом ? = 0,2,4,... возможны лишь значения суммарного спина S = 2s,2s - 2,... ,0,
а для состояний с ? = 1, 3, 5,..., возможны лишь значения 5 = 2s - 1, 2s - 3,..., I.
'''Для оснооного состояния мезодейтсрия (т с ?г~(/-ато.ча) орбитальным момент / = 0

12 Глава 10. Тождественность частиц
В частности, для бесспиновых бозонов, s = 0, возможны только четные значения L.
Следствием этого результата является, например, запрет на распады нейтральной частицы
со спином S, = I (векторного мезона) на два !г°-мсзона, см. также 10.5.
10.9. То же, что и в предыдущей задаче, но для тождественных фермионов.
Ответ. В системе из двух тождественных фермионов при четных значениях L орбитального
момента суммарный спин может сринимать также только четные значения 5 = 2s — 1,
2s - 3,..., 0. а при нечетных L возможны только нечетные S = 2s, 2s - 2, .., 1, сравнить
с предыдущей задачей, а также с 10.6
10.10. Система состоит из двух одинаковых бесспиновых бозонов, находящихся
в состояниях, описываемых нормированными на единицу, взаимно ортогональными
волновыми функциями 1р\,г{Г)- Какова вероятность нахождения обеих частиц в одном
и том же малом объеме dVl Сравнить ее со случаем различимых частиц.
Решение. Нормированная в. ф. системы имеет вид
fJ\2dV,dV2=r\. (I)
Вероятность нахождения обеих частиц одновременно в одном и том же объеме dV равна
Л»*» = 1«<г, r)|J dV dV = №,(r)|2 dV ¦ №3(г)|2 dV + W;(r)^2(r)|2(dVJ, B)
что больше аналогичной вероятности
*»юм = КМО12<пм^(г)|2<гк C)
в случае различимых частиц. Этот результат иллюстрирует существование интерференции
между различными (но тождественными1) частицами. Качественно эту интерференцию можно
охарактеризовать как тенденцию бозонов к взаимному сближению Несколько иной аспект
такой интерференции рассмотрен в следующей задаче
Подобная интерференция между различными тождественными частицами, находящи-
находящимися в одинаковых спиновых состояниях, имеет место и в случае фермионов. При этом
dwgep,, = 0 и характер интерференции можно описать как тенденцию фермионов к взаимному
отталкиванию. Для частиц (как фермиоиоп, так и бозонов) в различных (ортогональных)
спиновых состояниях отмеченная интерференция не проявляется
10.11. Два одинаковых бесспиновых бозона находятся с состояниях, описываемых
нормированными на единицу вогновыми функциями ip\ г(г)- Найти (среднюю) плот-
плотность частиц в такой системе и сравнить ее со случаем различимых частиц.
Решение. Нормированная на единицу волновая функция системы имеет вид
где 2С2 = A + КтЫ^гЯ2) Средняя плотность частиц получается усреднением соответству-
соответствующего оператора
?; (г-г.), B)
|де суммирование проводится по всем частицам системы. Такой вид оператора связан с тем,
что аналогичная ему классическая величина зависит только от координат частиц (но не от их
импульсов, сравнить с операторами потенциальной энергии 11{та) — U(ra) в координатном
представлении), при этом г выступает как «внешний» параметр. Очевидно
п(г) = <Ф|п(г)|Ф> = 2С2{>,(г)|2 + |02(г)|2 + Д(г)}, C)
где
Д(г) = iMrMWWiliM +*i(i\M(r){V2l0i>-
Обсудим полученный результат для п(г). Прежде всего отметим, что, как и следовало
ожидать, fn(r)dV — 2 независимо от вида функций ^i.j(r) Далее, если эти функции

§ 2. Основы формализма вторичного квантования
ортогональны, так что {$, \тр;) — О, то С2 = I/2, Д(г) =0и
H(r) = |V-,(r)|2 + |^(r)|J = npill,(r), D
как и в случае различимых частиц. Однако если (V>i \ip{) ?* 0, то п(г) отличается от п„л,(г)
В этом проявляется отмеченная уже в предыдущей задаче интерференция между различным]
(но тождественными!) частицами. Так как 2С2 < 1, то в тех областях пространстна, гд
в Ф- Vi,j(r) не «перекрываются» (так что V'(r)^2(r) ~ 0), имеем п < n^. Соответственно
учитывая нормировку й(г), заключаем, что в существенной области перекрытия в. ф уж
" > "ран в согласии с характером интерференции — тенденцией бозонов к взаимному сбли
жснию Случаю фермионов, находящихся в одинаковых спиновых состояниях, соответствуе
изменение знака слагаемых, содержащих К^, | tpi}\2 и Д (теперь 2С1 < 1) и противоположны!
характер интерференции — взаимное отталкивание, сравнить с 10 10.
§ 2. Основы формализма вторичного квантования
(представление чисел заполнения)
10.12. Найти коммутационное соотношение для операторов, представляющих эрми
тову и антиэрмитову части бозонного оператора уничтожения а (или рождения а+).
Решение. Записав
3= - (а Ьа+) + « — E-3+) = A + tB,
(при этом А = (а +5'')/2), находим [A, S] = i/2; сравнить с \р, х\ = -th, см. следующук
задачу.
10.13. Построить из операторов координаты х и импульса р частицы операторы о
и 5+, обладающие свойствами бозонных операторов уничтожения и рождения.
Какова волновая функция ^о(х) «вакуумного» состояния?
Решение. Записав а — ах + Рр н о+ =а'х + 0'р, имеем
[o,o*J = th(a/3' -a'p) = I.
Как видно, выбор параметров а, /3 не однозначен. Можно взягь, например.
•/2L' \/2h
(L — вешестненный параметр с размерностью длины, как и у координаты х).
При этом из условия 3|0) = 0, или
находим волновую функций «вакуумного» состояния:
Ф„(*) = {*?')-ехр{-^}. (I)
Эта волновая функция имеет вид с ф. основного состояния линейного осциллятора, см. A1.2),
для которого такое состояние не изменяется со временем (является стационарным) В случае
реальной свободной частицы гяуссовский волновой пакет (I) расплывается, см. F.2) и F 21),
что в терминах введенных «псевдочастиц», которым сопоставляются операторы а и а*, может
интерпретироваться как их порождение со временем.
10.14. Можно ли для преобразования вида а' = 3+,а'+ = 2 рассматривать а',3' +
как операторы уничтожения и рождения некоторых новых частиц? Провести анализ
состояний |я') (т. е. состояний с определенным значением п новых частиц) в базисе
состояний исходных частиц. Указать вид унитарного оператора U, осуществляющего
рассматриваемое преобразование.

14 Глава 10. Тождественность частиц
Решение Для бозонных операторов — нельзя, так как при этом [и',и'*] - -I (в отличие
от [о, а ' j = 1)
В случае фермионных операторов — можно, так как по-прежнему а'2 = 0 и {а', а' "}, = I
При этом вакуумное состояние «новых» частиц |0'> яапяется одмочастичным состоянием |1)
исходных частиц, т.е. |0') = |1), и наоборот |1') = |0). Такие «новые» части называют дыр-
кими (на фоне исходных частиц). Для фермионов рассматриваемое преобразование является
унитарным и осуществляется оператором V = о +31, так что при этом а' — U a U ' = а '.
10.15. Найти собственные функции и собственные значения операторов рождения
и уничтожения. В рассматриваемых состояниях найти распределение по числу частиц.
Обсудить случаи бозонных и фермионных операторов.
Показать, что применительно к линейному осциллятору собственные функции
оператора уничтожения 2 = (mwx + гр)/V2mhu описывают когерентные состояния,
см. 6.21.
Решение. I) Напомним, что операторы 5 и 5' действуют в пространстве функций —
векторов состоянии
I*) = ?>>> = с»1°> + с'1|>+---'
где символ |п) соответствует n-частичному состоянию. При этом
а]п) = \/п\п - I), а'\п) - \/п+ 1 \п + I),
для фермионов 2' 11) = 0.
Собственные функции \а) = 53 сп\п) и собственные значения а бозонного оператора S
определяются из уравнения а\а) -- а\а). Так как5'
а\а) =2
го уравнение принимает вид
^/ТТ (I)
Отсюда с учетом независимости состояний |л), следует
а а «
B)
Как видно, собственным значением бозонного оператора а является любое комплексное
число а (оператор о — неэрмигов!), а соответствующая с. ф. \а) может быть нормирована
на единицу. Условие (а\а) = 1 ласт
так что распределение по числу частиц в состоянии |ft) определяется пыражением
и'„ = |с„|:-ехр{-|а|2}!^ D)
и прелегавляет собой распределение Пуассона сл = |а|г
Уравнение на с. ф и с з. бозонного оператора 3* не имеет ни одного решения.
У фермионных же операторов 3, 3* имеется по одной с ф : |0) — с ф 3, л |1) - с.ф 2",
соответствующие им с з в обоих случаях равны О
2) Рассмотрим темерьлинеиный осциллятор и найдем для него вил с ф. Ф„(г) оператора
1
2= -c==(mai + ip) E)
Чдси. п ниже суммирование по п ко иесх формулах веде ген от и — 0 до п — 1С

§ 2 Основы формализма вторичного квантования 15
в координатном представлении. Из уравнения оф„ = аФв следует
..„,.„.,{-=(.-,/?.)¦}.
что совпадаете в.ф когерентного состояния, рассмотренной в 6.21, если положить (сравнить
выражение для с.з. с видом оператора E))
(тшх0
Далее замечаем, что изменение во времени когерентного состояния для осциллятора происхо-
происходит таким образом, что его в. ф. в произвольный момент времени t остается с. ф. оператора а,
но с.з. a(t) зависит от t, причем
<*(«) = ое-"'. G)
Это обстоятельство очевидно и гейзенберговском представлении, в котором а = е~"*1Ъ
(сравнить с 6.25), а в. ф. Ф„ от времени не зависит. Оно также следует из установленного
выше рахпожения \а) = ?с„|п), если учесть, что для осциллятора
и воспользоваться соотношением B) для коэффициентов разложения
10.16. Является ли переход от операторов о,о+ к новым операторам а' — а + а,
а'+ — 2+ + а* (а — комплексное число) унитарным преобразованием? Каков при
этом вид унитарного оператора? Рассмотреть случаи как фермионных, так и бозонных
операторов а, 2+.
Провести анализ состояний вакуума «новых» частиц |0') в базисе состояний \п)
исходных частиц и найти распределение по числу последних.
Решение Для фермионных операторов (а1J = 2аа + а2 Ф 0 (при а Ф 0) и рассматриваемое
преобразование не является унитарным.
Для бозонных же операторов по-прежнему [З',3м] = I и преобразование является
унитарным. Имея в виду результат 6.19, легко найти явный вид унитарного оператора
U = ехр{а'о - ао'}, (I)
осуществляющего такое преобразование, при этом 5' = UaU*. Далее, с помощью формулы
из условия задачи 1.10 оператор A) можно записать н виде
после чего легко найти состояние «нового» вакуума в исходном базисе-
|0') - и\0) е-|<1|>/! в"" Vs |0) = е''2 V {-^?- \п), B)
если воспользоваться разложением экспоненте операторами а и а '
Другой способ определения состояния |0') непосредственно из уравнении о|0') = 0
см. в предыдущей задаче; при этом распределение по числу исходных части и состоянии |()'),
следующее из B), совпадает, естественно, с выражением D) (распределением Пуассона)
указанной задачи.
10.17. То же, что и предыдущей задаче, для преобразования вида а' = «а + /За*,
а'+ = аа+ + ра (а, /3 — вещественные числа).
Решение Для фермнониых операторов рассматриваемое преобразование является унитарным
при выполнении условий
(а? = (аа+Ра+У = а/3 = 0, {а',я' + (, = а? +/3? = I,

16 Глава 10 Тождественность частиц
1 е юлько п тривиальном случае о -• ±1, /3 = 0, а также к случае а = 0, f) — ±1,
соопимстующем переходу от частиц к дыркам, см. 10.14.
Для OojoiiHiiix операторов преобразование является унитарным при выполнении условия
а1 — р! = I При этом, записав |0'> = ]Г}с„|п) и поступая, как и при решении задачи 10 15,
из уравнения о'|0') -- 0 можно найти
и с„ = 0 дли нечетных значений п. Из условия нормировки @' |0') = I получаем |со|2 = jo! ';
распределение по числу исходных части! в состоянии «нового» вакуума есть wn = \с„\!.
10.18. Произвольное одночастичное состояние |1) можно представить в виде jl) =
Y2 CfUt |0), где aj является оператором рождения частицы в состоянии Ф^ (/, —
совокупность квантовых чисел полного набора). Какой квантовомеханический смысл
имеют коэффициенты С/, ?
Рассмотреть, в частности, одночастичное состояние бесспиновой частицы вида
10 =
Нормировать его на единицу и вычислить среднее значение физической величины /
с помощью вторично квантованного оператора (Х.З).
Решение Рассматриваемое соотношение между векторами состояний
эквивалентно разложению''' ф = YL^I^f волновой функции Ф произвольного одночастнч-
ного состояния по полной системе собственных функций Ф/. Поэтому С/ является в. ф
рассматриваемого сосюянин в /-представлении
Так как оператор Ч'|1(г) «рождает» частицу в точке г, то у?(г) (см. условие) являет-
является и. ф (обычной Ф-функцисй) состояния частицы в координатном представлении (/ н г).
Естественно, что вычисление среднего значения любой аддитивной физической величи-
величины, оператор коюрой в представлении чисел заполнения определяется выражением (Х.З),
и рассматриваемом состоянии приводит к обычной кваитовомеханической формуле A.5) для
средних значении
а условие нормировки A|1) = I принимает вид f \<р\г dV = 1 Читателю предлагается само-
самостоятельно подтвердить эти соотношения, воспользовавшись общими свойствами операторов
рождения и уничюженин. сравнить с ренением задачи 10.23.
10.19. Операторы 5^,5/, и 2^,2,, являются операторами рождения и уничтожения
частицы 8 состояниях, определяемых квантовыми числами Д. и pt двух различных
полных наборов. Указать соотношения между этими операторами.
Решение Операторы связаны линейными соотношениями
sf.=12cU»9i)K< Ч =1] ?¦•(/„gJS^. A)
Формальное ituKtiJui'c.iiiciHo этою cooi ношении состой г и проектировании иск торов состоиниП п (I)
НЛ llCklOpM Ю. »1Р» ">1»М (Jjl 0 = *«)• {(\ а/ @) = */(О

§ 2. Основы формализма вторичного квантования 17
Для определения С(/,, J») подействуем (I) на вакуумное состояние.
Это равенство эквивалентно соотношению между собственными функциями
t
сравнить с предыдущей задачей. Отсюда следует, что
= J
так что C(f,,gt) является с. ф. ФЛ в ^-представлении
10.20. Двухчастичное состояние системы тождественных бозонов (или фермионов)
описывается вектором состояния |2) = a t'at |0>. Нормировать его на единицу. Указать
вид нормированных волновых функций в координатном представлении. Рассмотреть
случай как одинаковых, так и различных квантовых чисел /i,j.
Решение Если /| ^ /2, то вектор состояния |2) = а,+ а2+|0) нормирован на единицу;
действительно:
<2|2> = @|22а,2,+ а/ |0> = @|32(l ±a,+ a,J2+|0) =
= <0|! ±22432 ±а2а?{±а!а,)\0) = @|0) = I
(знаки + и - соответствуют бозонам и фермионам).
В случае /i = /г = / нормированное двухбозоннос состояние имеет вид
|2> = -L(a;J|0),
а аналогичною двухфермионнога состояния не существует.
Волновые функции рассматриваемых двухчастичных состояний в координатном пред-
представлении имеют вид
10.21. То же, что и в предыдущей задаче, для трехчастичного состояния |3) =
444W-
Решение. В случае различных значений всех трех квантовых чисел /0 для указанного вектора
состояний имеем C|3) = 1 (как для бозонов, так и для фермионов) При этом в.ф. системы
в координатном представлении описываются формулой C) из 10 3.
Если все три Д — одинаковые, то для сохранения нормировки следует ввести множитель
1/\/ЗТ = \/V6; в ф соответствующего трехбозонного состояния Ф = ^/((г)^/FH/F)
Если же совпадают лишь два значения квантовых чисел /„, то нормировочный коэффициеш
в векторе состояний следует взять равным \/V2, а соответствующая в.ф описывается
формулой A) из 10.3
10.22. Для системы, состоящей из одинаковых частиц, найти в представлении чисел
заполнения вид оператора плотности числа частиц п(г) (в точке г пространства) и числа
частиц N(v) в некотором объеме v.
Решение Плотности числа частии, с данным значением s, проекции спина, в ючке г
пространства сопоставляется оператор
(сравнить с 10 11, оператор записан в координатном представлении для орбитальных перемен-
переменных и it Sj-представлении — для спиновых). Он является суммой одночастичных операторов

18 Глава 10. Тождественность частиц
(плотность част ми — аддитивная всличт а), так что его вид в представлении чисел заполнения
определяется формулой (Х.З), согласно юторой получаем
Я(г,5,) = Ф*(г,^)Ф(г,^), n(r) = ^n(r,s:), B)
здесь п(г) — оператор плотности частиц уже безотносительно к значению их проекции
спина Операторы N{v,s.) и N{v) получаются из п интегрированием по соответствующему
объему v; в связи с данной задачей см. также 10 28-31.
10.23. Доказать коммутационные соотношения
[р,Ф(О] =»fc|r$@, [р,Ф+(О] =«^ф+«).
где Р, Ф(О — операторы импульса и поля (Ф-операторы) в представлении чисел
заполнения для системы тождественных бозонов или фермионов.
Решение Оператор Р импульса (аддитивной физической величины) системы тождественных
части», согласно формуле (Х.З), имеет вид
Используя коммутационные соотношения для бозоиных Ф-операторов
[*(«),*«')] = [*'({),*'({')] =0: [$(«),*'(«')] =««-«'),
ом
легко находим
= -xhj *Ч4')^7
«К - О^; *(С) < = «й|: *(«)• (I)
Аналогично получаем
[Р, *'(?)] =-'Лу*'(«')?;««-«')^' = й^Ф'Ю- B)
Теперь нетрудно заметить, что замена коммутационных соотношений для боюн-
ных Ф-операторов на антикоммутационные для фермионных не изменяет полученных ре-
jy.lblillOll
10.24. Исследовать стационарные состояния (энергетический спектр и волновые функ-
функции) поперечного движения заряженной бесспиновой частицы в однородном магнит-
магнитном поле, введя соответствующим образом выбранные операторы рождения и уни-
уничтожения'1. Воспользоваться выражением !к~\Жх\12 для векторного потенциала.
Решение I) Гамильтониан поперечного движении частицы в чапштном поле имеет вил
(смТ 7 I)
''лналшично himv. как чткяеллегся ,lth линейного ociln.i wюра с нмГтрпм Я = (тих -~ 1р),Ч'2Лши.
iipiino.iMiiiiiM r.iMM.ibiomiaii к пилу Я = Ли)(Я ' а I 1/2) 1Ьтя рассматриваемом задачи необходимо инееiи
лпо пары операторов роллення и ушгможения. при соотвегстиуюшем выборе гамильтониан завнип
ГОЛККО Ol OttMOH И t }1НЧ

§ 2. Основы формализма вторичного квантования 19
где о> = \е\У(/2тс Его, виеля обычным образом операторы уничтожения (и рождения)
«квантов колебаний» вдоль осей х и у:
\2тпш
можно преобразовать к виду
я, = гш | а; аг + a; s, +1 + i щ (ays; - г; г,) | B)
Вместо операторов о1у удобно ввести их линейные комбинации
также являющиеся операторами уничтожения (причем независимыми), так как для них
[а„а*\ =«,*, |a,,ot] = [a.'.af] =0; i, fc = 1,2.
Теперь имеем (шя = 2w):
Я( = Гшц C,* 3, + ¦- I, J, = -- C2 32 - 3,+a,). D)
Так как эти операторы выражаются только через операторы чисел «квантов» п, 2, то собствен-
собственные векторы |П|)) последних являются также собственными векторами гамильтониана Н,
и оператора lz. Отсюда сразу следует выражение для спектра уровней Ландау
Е,,„, =hui,,(n, + - j
и их бесконечная кратность вырождения, так как они не зависят от nj, при этом 1: —
(е/|е|)(пз — П|), сравнить с 7.1.
2) Покажем, как можно найти вид с ф. Ф„|П! в координатном представлении. Сначала
получим в. ф. Фоо «вакуумного» состояния. Из решения уравнений 3|Фоо = 0 и ОгФоо = 0
имеем
Волновые функции
получаются из *оо дифференцированием. При этом вместо х, у удобно ввести переменные
В случае е > 0 находим
«"'«¦'¦', (б)
для е < 0 с. ф получаются комплексным сопряжением F)
10.25. Энергетический спектр Е„1П1 = Ли».Gi| + 1/2) i-hui2(n2+ 1/2) двумерного (плос-
(плоского) осциллятора, U = m(u)fxJ + ш\уг)/2, в случае кратных частот W|,2 содержит
вырожденные уровни. Для частных случаев a) cj| = wj и б) и>\ = 2wj связать это свой-
свойство спектра с симметрией гамильтониана. Указать явный вид операторов симметрии.
Решение. 1) Гамильтониан плоского осциллятора имеет вид Я = 11^+Н,, где Я,., — гамиль-
гамильтонианы линейных осиилляторов Коммутативность ЯЛ1) друг с другом и с гамильтонианом Я
позволяет сразу найти спектр последнего
14 - 'Я1 + 1): ,,,=0,1,2,... (.)

20 Глава 10 Тождественность частиц
и его с ф о пиле произведении осиидляторных волновых функций, сравнить с 2.48. Для
несоизмеримых частот уровни осциллятора — невырожденные
2) В случае кратных частот появляется дополнительная симметрия гамильтониана81,
проявляющаяся п существовании новых операторов, коммутирующих с Я (и не комму-
коммутирующих с Яг.у). и объясняющая вырождение уровней При этом операторы симметрии,
действуя на собственные функции гамильтониана, отвечающие данному уровню, преобразуют
их друг через друга Характер такой симметрии особенно нагляден в случае совпадения частот
w, = шу (т. е для изотропного осциллятора) и состоит в инвариантности 1амильтониана отно-
относительно поворотов системы координат, приводящей к сохранению компоненты момента 1:
Учитывая сказанное и вид энергетического спектра (I), операторы симметрии легко свя-
связан, с операторами рождения и уничтожении «кнангов колебаний» вдоль осей г и у В случае
соотношения, между частотами fcuJi — su>j, где к, s — целые числа, такие «дополнительные»
операторы симметрии, как легко сообразить, могут быть выбраны в виде
д=(з;I(з,)', $* = (в,)»(8;)\ B)
При эгом эрмитовы комбинации таких операторов
Q, = Q + Q+, & = •(§-§*) C)
являются операторами сохраняющихся физических величин — интегралов движения рассма-
рассматриваемой системы В частности, в случае и, = и; (когда к = s = 1) имеем (выражение для а,
см , например, в 10 15):
v Q4). D)
Сохранение 1г для изотропного осциллятора не требует комментария Появление же второго
интеграла движения в D) отражает специфическую особенность изотропного осциллятора,
переменные в гамильтониане которого разделяются как в декартовых, так и в полярных
координатах; сравнить с 4 4 и 4.5 для сферического осциллятора.
10.26. Рассмотреть так называемый суперсимметричный осциллятор, характеризу-
характеризуемый гамильтонианом
# = Йв +НР = Ьш{Ъ*Ъ + /*/): (I)
здесь Ь(Ь') и /(/ + ) — операторы уничтожения (рождения) бозона и фермиона,
соответственно; Яд = Нш[ b+b + 1/2) и Ну = ftu>(/*/ - 1/2). Спектр такого гамиль-
гамильтониана En = huN, N = пП + п„, а собственные векторы — \п„, п,). Характерные
особенности спектра: En > 0, уровни с Е^ > 0 двукратно вырождены, основной
уровень Ео = 0 — невырожденный.
Указать вид операторов симметрии гамильтониана и показать, что гамильтониан мо-
может быть выражен через антикоммутатор этих операторов; объяснить свойства спектра.
Замечание. Симметрия, проявляюиаяся в преобразованиях, переводящих бозоны и фермио-
ны друг в друга (и соответствующая их равноправному рассмотрению), называется суперсим-
суперсимметрией Она обладает рядом привлекательных особенностей и с нею связывают, в частности,
надежду на создание единой Teopi-и элементарных частиц. В данной и следующей за ней
задачах рассмофены характерные черты суперсиммегрии и ее проявления в простейших
кнантовомечанических системах.
Решение Так как для рассматриваемой системы энергетический спектр Я,\- = йш(пи + п,.)
зависит только от общего числа частиц N - nB + nf, то, очевидно, операторы
§ = 9b*7, Q'^qbf', при лом Q- = (Q'J = U B)
(<7 — вещественный параметр, удобно выбрать q — Vhu). «заменяющие» фермион на бо-
бозон (Q) и, наоборот, бозон на фермион (<?'), коммутируют с 1амильтонианом и являются
операторами симметрии рассматриваемой системы (сравнить с предыдущей задачей).
' В классической физике гакач симметрия проявляется н том. что траектории п.юского осциллятора
становится ю минуты ми кривыми

§ 2. Основы формализма вторичного квантования 21
Важное свойство рассматриваемой симметрии состоит в том, что гамильтониан систе-
системы Я сам выражается через операторы симметрии и совпадает с их антикоммутатором,
так что'*
{Q.Q^sQQ1 +§+3 = Я, {Q,Q} = {Q+,Q+}=0, [H,Q] = [8,Q>] = 0. C)
Если вместо операторов Q.t?* ввести их эрмитовы комбинации
то соотношения C) принимают более компактный вид:
{Q,,Qk} = 2 6,iH, [Q,,B}=0: »,fc=l,2. D)
Появление n C) и D) наряду с коммутаторами также и антикоммутаторов, через которые
выражается гамильтониан системы — характерное свойство суперсимметрии. При этом
только из алгебры операторов C) (или D)) следует ряд заключений относительно спектра
гамильтониана (без конкретизации вида операторов Q, Q* и Я1). Перечислим их.
1) Неотрицательность с. з. гамильтониана, т.е. Е ^ 0. Действительно, в любом состоя-
состоянии средние значения QQ? ^ 0 и Q*Q > 0 (сравнить с 1.15), так что Я ^ 0, а соответственно
и Е^ 0.
2) Двукратное вырождение уровней с Е Ф 0. Сначала заметим, что эрмитов опера-
оператор S = Q*Q коммутирует с гамильтонианом, так что существует полная система функ-
функций Ф?$, являющихся собственными функциями Я и 5 одновременно. Далее, из уравнения
SVes = 5Фе5. ввнлу равенства (Q1) = 0, следует SQ'Ves = 0- Отсюда л ибо с. з. 5 = О.либо
Q*^bs — 0; ново втором случае из уравнения ЯФ?$ = ЕЧ/gs находим, чтос.з. 5 = Е. Других
собственных значений (на состояниях с данным Е) у оператора S нет. Существенно, что при
Е Ф 0 реализуются оба значения St — 0 и 5г = Е, а соответствующие им с. ф переходят друг
в друга под действием операторов Q и Q*, что и объясняет двукратное вырождение уровня'"'
с Е Ф 0. Действительно, пусть ФЕ0 Ф 0 (при этом Qigo = 0), тогда имеем Я/г.к х Q+^eo Ф 0
(так как <?(<?+Ф?„) = ВФ^о Ф 0); аналогично Ф?0 ос QVjsb (при этом §*¦«• = 0)
3) Невырожденность уровня"' Е = 0 (если он вообще существует!) Из уравне-
уравнения ЯФ0 = 0 следует, что <?Фо = 0 и <?'Фо = 0, так что под действием операторов
симметрии Q, Q* нового состояния из *о Уже не возникает.
Спектр и собственные векторы гамильтониана суперсимметричного осциллятора на-
наглядно иллюстрируют отмеченные общие закономерности. Укажем еще одну, тривиальную
реализацию алгебры операторов C), связанную с выбором (J = /nQ' =/*, при этом II = I.
Спектр такого «гамильтониана» состоит из одного «уровня», Е = I (при этом Е > 0!), явля-
являющегося двукратно вырожденным с собственными векторами !"(•), где nf -— 0 или I, уровня
с Е = 0 нет. Более интересные примеры см в следующей задаче, а также в 7.9.
10.27. Введем операторы
Q = A+l Q( = Af+, H = QQ++ Q+Q,
где /, /+ обладают свойствами фермионных операторов уничтожения и рождения,
а А, А* — некоторые коммутирующие с ними операторы.
Убедиться, что рассматриваемая система13' обладает суперсимметрией (см. пре-
предыдущую задачу).
"Напомним- |М*|= I, {/, 7*} = I. 7! = (/*K =0.
10' При этом нмрожленные состояния называют суперпартнерами Подчеркнем, что речь идет о выро-
вырождении уровней, связанном именно с суперсиммстричностью гамильтониана О возможном «дополни-
«дополнительном» вырождении см , например, в 7 9
'" Если состояния с ? = 0 не существует, то говорят о спонтанном нарушении супгрсимметрии.
12) При этом Н — ее гамильтониан, а пространство векторов состоиниИ^системы определяется гем
пространством, на котором определены операторы Л, /, а тем самым и Q, Ql , J/

22 Глава 10. Тождественность частиц
Показать, что при подходящем выборе «координатных» операторов А, Л+ и спино-
спиновых /, /4 рассматриваемый суперсимметричный гамильтониан характеризует одномер-
одномерное движение частицы со спином s = I /2. Каковы при этом следствия суперсимметрии?
Решение I) Легко убедиться, что в условиях задами
{<?,<?>} = Я. [Q,H] = \Q\H) =0. Q1 ={Q')' = 0,
как эю и требуется для суперсимметричной системы. При эгом, записав А = А, + гА;,
1ле Л|,2 — эрмигопы операторы, преобразуем гамильтониан системы к виду
Я - А* ~ Л! - ,[Л„ Л,] (/*/- //')¦ A)
Теперь замечаем, что если выбрать
L 22 = W(x),
2m
где IV(ar) — вещественная функция, а операторы /,/4 связать со спиновыми операторами:
Ч )( )
то яамильтомиан (I) принимает вил гамильтониана Паули (VII 1) для одномерного движения
частицы со спином s = 1/2.
Я = ^-р- + и(х)-A.Гф)сг1, B)
2т
где
U(x) = W2{x), ,1Ж{х) = -А= Ж'(г).
V2m
На основе общих свойсгп с. з и с. ф. супгрсимметричного гамильтониана, установленных
в иредылушей задаче, можно сделать рял интересных замечаний в отношении спектра
обычного одномерного гамильтониана (уже бесспиновой частицы). Действительно, с. ф. ф?„
гамильтониана B) и коммутирующего с ним оператора ?, имеют вид
При этом из уравнения Шредингера, ЯФ? = Е^1:. следует
= Е±гр^ C)
где
2lL D)
Хогя формально уравнения C) явJlяютcя у. Ш для одномерного движения в днух
различных потенциалах U±(x), на основе суперсимметричности гамилмониана B) следует
вывод о совпадении дискретных спектров уровней"' Et, за исключением, быть может,
одною уровня Е„ — 0, который может существовать только в одном из этих полей Такое
заключение основано на том. что функции ф?„ соопадают с введенными в предыдущей
задаче функциями Ф^, причем, как легко заметить, 5 = A ±<г)Е/2. Учитывая отмеченную
ранее связь с.ф Фкл для различных значении 5, находим соотношения для с.ф Фе(х) из C)
(для состояний с Jb\ — Е-).
(L^Ux). E)
'Тик как Е± 5* 0, то существование состояний дискретного спектра предполагает, что пределы
U±{r) — Ct > 0 при х — ±оо (гдк что при эгом lnnW(j) ? 0) Ьслн W[z) — четная функции, ю
нотснииа;1ы и^(х) получаются друг из друга зеркальным ограженисм и соппаленпс спектров, Е+ - /?_,
очевидно, при jro.M уровня А'о — 0 не существует

§ 3 Простейшие системы из большого числа (N !> I) частиц 23
2) Отмеченное для уравнений C) совпадение уровней, JS+ = ?L, позволяет в ряде
случаев найти спектр чисто алгебраическим способом, вообще не прибегая к решению
уравнения Шрёлимгера Так, рассмотрим осциллятор с U = тш1хг/2 и обозначим его спектр
как Е„ Выберем теперь суперпотенциал
W = w —— х, при этом 6Г± = - тш х т - ftw, F)
а соответствующие спектры Е* = Еп ^ ftw/2 Различие их означает, что в одном из них
(очевидно среди Е*) реализуется значение Е-> — 0. а совпадение остальных уровнен означает,
что jBn'+| = Е^. Отсюда следует Ео = Яш/2 и Епц — Е„ + Иш, что сразу воспроизводит спектр
линейного осциллятора Е„ = Нш(п+ 1/2) Читателю предлагается аналогичным образом
найти спектр в поле U - -Uoch ~2(х/а), выбрав суперпотенииал W ос th(z/a), и сравнить
с результатом решения уравнения Шрёдишера, см. [I, §23)
3) Обсудим вопрос о возможности существования связанного состояния с энергией
Еи = 0. Для него из уравнения ЛГФо = 0 следует, что
(сравнить с предыдущей задачей), отсюда в приложении к гамильтониану B) получаем
(*) = 0, *? = В* exp |±^ J W dx
о
Имея в виду, что W(±oo) ф 0 (см. подстрочное примечание), замечаем, что одна из функ-
функций ф? заведомо возрастает на больших расстояниях и для нее следует выбрать 5 = 0
(и согласии с общим результатом о невырожденности уровня с Е = 0). Для другой из них
возможность выполнения граничных условий -фа(±о^) = 0, а тем самым и существования
состояния Фо, определяется только лишь различием знака (') суперпотенциала при х — ±оо.
Если И'(+со) > 0, а W(—oo) < 0, то состояние с Еа = 0 существует и реализуется при
значении а — +1; при изменении знаков W(±oc) ему отвечает уже а = — 1. Если же знаки
супернотенциала при х —» ±со одинаковые, то состояния с Eq = 0 не существует. Так, для
W(x) = WQ = const в уравнениях C) имеем U± = Wq = const и отсутствие состояния с^=0
очевидно. В случае W(x) = Hoi/|ii уже
Ut (x) = W% т ai(x), а = J— h Wo
V m
и существование состояния с Ей = 0 очевидным образом связано с наличием единственного
дискретного уровня в <$-яме, см. 2.7.
В заключение рекомендуем читателю вопрос о связи энергетических спектров частицы
в потенциалах U±(x) D) обсудить п квазиклассическом приближении на основе правила
квантования Бора—Зоммерфелша (при этом слагаемые ^hW'/••/2m ex ft в потенциалах
рассматривать как возмущение).
§ 3. Простейшие системы из большого числа (N 3> 1) частиц
10.28. В основном состоянии бозе-газа из N невзаимодействующих частиц со спи-
спином s = 0, находящегося в объеме V, найти среднюю плотность числа частиц, среднее
число частиц в некотором объеме v и флуктуацию этого числа частиц.
Задачу предлагается решить усреднением соответствующих операторов в пред-
представлении чисел заполнения.
Решение. Выразив в операторе плотности числа частиц п(г) - Ф' (г)Ф(г) (см 10.22) Ф(г)-опс-
раторы через операторы уничтожения at и рождения ak* частицы с данным импульсомр = ftk
(при этом Ф(г) - 53A/\/К)е|кгак), находим

24 Глава 10 Тождественность частиц
Средняя плотность числа частиц п(г) получается усреднением оператора A) по оснопночу
состоянию бозс-газа I*,,) = !J4_o,Oki<o) (все частицы имеют импульс р = 0). Так как при этом
= | ' ''
<*° I К »1ч I *»>= | о ' в'осталыш'х случаях,
го для » имеем естественный результат п = N/V
Среднее число частиц в объеме v получается усреднением оператора N(v) = Jn(r)d!r
г
и ракно N(v) = Nv/V
Для расчета флуктуации числа частиц усредним сначала оператор N-(v) по состоянию
I'l'o). Так как
io дли вычисления Л'3(и) прежде всего найдем значения матричных элементов
Используя пил |Ф0). замечаем, что они отличны от нуля лишь при выполнении условий
к, = к4 = 0, кг = к) и равны N2 для к2 = к) = 0 и N — для к^ = kj = к ф 0. С учетом этою
получаем
Внилу полноты системы функций Фк = е *' /W. сумма здесь равна V6(v—г')— I и элементарное
интсфирование лает
WM-r—)\ — -— О)
К V J V V2
Соответственно
Nv ,
(ДЛГ(«))г = ЛГ»(») - Лг-(в) =— (l-yj-
При v = V имеем (A/V(K)) =0 очевидный результат, так как полное число частиц
н системе равно N и не флуктуирует. В случае v ^C V, согласно D), имеем
Отметим, что для системы из N невзаимодействующих классических частиц, находя-
находящихся и обьеме V, распределение по числу частиц Nr в объеме v имеет вид
•V.
(биномиальное распределение). Вычисление для такого распределения средних значений Nr.
N*, (ANrJ приводит к результатам, соималаюшим с полученными выше (см по этому поводу
юмечание. сделанное в следующей задаче)
10.29. В условиях предыдущей задачи рассмотреть пространственную корреляцию
флуктуации плотности числа частиц. Для однородной системы она характеризуется
корреляционной функцией и(г) (г = Г| - г2), равной
П|П2 -те'
П| 2 = п(Г|,2),
п
где п — средняя плотность числа частиц.
Сравнить с соответствующим результатом для системы из классических частиц.

§3. Простейшие системы из большого числа (N » I) частиц 25
Решение Так как операторы плотности числа частиц в различных точках пространства
коммутируют друге другом, то оператор величины п,п2 имеет вид
Й,п2 = Ф+(г,)Ф(г,)$+(г2)Ф(г2) = ^ ]Г C"P {*[(kj -k,)r, + (k4 - k,)r2] }ak+ak!ak',akj
Milton,
и его среднее значение н основном состоянии бозе-газа
сравнить с выводом формул B) и C) в предыдущей задаче. Таким образом|4),
и корреляционная функция оказывается равной
-=-!¦ »
Чтобы лучше понять полученные результаты, найдем аналогичные (I), B) характе-
характеристики для случая невзаимодействующих классических частиц. Учитывая, что при этом
распределение вероятностей значений координат частиц системы описывается произведени-
произведением вероятностей й}г„/У и п(г) = Y1 <5(г~ г«). легко находим
что совпадает с A) (заметим, что слагаемое с <5-функцией в C) отвечает членам суммы с а = Ь,
их число /V; второе слагаемое — от членов с о ф 6, их число N(N — I)).
Конечно, для макроскопических систем значение N огромно, так что последнее слагае-
слагаемое в (I) пренебрежимо мало и соответственно в B) имеем v = 0 (корреляция отсутствует).
С другой стороны, для конечных значений N уже v ф 0. При этом характерные свойства v:
независимость от г и ее знак и < 0 имеют простое объяснение для классических частиц.
Действительно, значение ЩЩ меньше чем п2 по той причине, что одна и та же частица
не может вносить вклад в плотность числа частиц одновременно в различных точках про-
пространства, независимо от расстояния между ними (в случае N 2> I плотность в разных точках
пространства определяется в основном вкладом различных частиц).
Характеристики бозе-газа в основном состоянии, рассмотренные в данной и преды-
предыдущей задачах, оказались такими же, как для газа классических частиц. Это не случайно.
Действительно, волновая функция основного состояния имеет вид
M)
т. е представляет собой произведение в ф отдельных частиц, как и в случае различимых
частиц. Соответственно частицы не интерферируют друг с другом, и для каждой из них
|^0|2 = i/V, что соответствует равновероятному распределению их по объему.
10.30. В основном состоянии идеального ферми-газа из N частиц в объеме V найти
среднюю плотность числа частиц и среднее число частиц в некотором объеме v.
Задачу предлагается решить усреднением соответствующих операторов в пред-
представлении чисел заполнения.
Решение. Оператор плотности числа частиц п(г) имеет вид
14' Слагаемое с Й-функиией, обращающееся п нуль при г Ф 0, носит универсальный характер и вообще
не зависит от вида функции распределения.

26 Глава 10. Тождественность частиц
сравнить с 10.28 и 10.22, а = s.. Оснопное состояние ферми-гага определяется числами
заполнении пк„, равными 1 для ]к| < кг ч 0 дли |к| > ку, так что Л.-1Я него
где произведение включает операторы 3^ с квантоными числами (k<r) заполненных состояний.
При эгом импульс Ферми, ру = hkt., находится из условии
. iwtl
= N, C)
т е. для него
Замечая, что матричный элемент (Ф^З^Ок,,, |Фо) отличен от нуля (и равен при этом I)
лишь лля к, = кг = к, причем |к| SC ?|., по формулам A) и B) получаем
iV
п = Dо|й(г)|фо)= —
(чю и следовало ожидать), наконец, п(а) = n/Bs + 1), a N(v) = nv = Nv/V.
10.31. В условиях предыдущей задачи рассмотреть корреляцию плотностей числа
частиц с определенными значениями проекции спина на ось z в различных точках про-
странства: найти тг(г|, szi)n(r2, s^) и сравнить с произведением п(г|, sz\)- nfa, 5zj).
Рассмотреть случаи различных и одинаковых значений s-\ и sZ2-
Найти корреляционную функцию плотности (см. 10.29).
Решение. Оператор величины п(г|,<Г|)п(гг,о'2) имеет вид
(сравнить с 10.29 и 10.30). Легко сообразить, что получающийся при усреднении матричный
элемент
(% | а^а^а^рь., \ *о), B)
где |ЧУо) — указанная в предыдущей задаче и. ф. основною состояния ферми-газа, в случае
(г, ^ <Г) отличен от нуля (и равен при этом 1) лишь для значений k, ~ kj, kj = K4, причем
|ki,jl ^ kf.. Учитывая это, для cr, jt a2 находим
<*.|й«.)й(Ы|«.> = |!у Е ' = 17717' " = Т «
(вычисление сумм пок|,г, см в предыдущей задаче). Так как п(<т) = n/Bs-f 1),то полученный
результат C) означает, что ЩЩ = n, nj, т.е. в случае различных значений проекции спина
<Т| Ф аг, между плотностями частиц н различных точках нет корреляции.
В случае «г, = <гг ситуация иная. Теперь матричный элемент B) отличен от нуля, и равен I
в следующих случаях
1) k,=k2, |kj|<*,.. k, = k,, |k,K*f;
2) k,=k4, IbKfcr. kj = k3, \H>kv.
Учитывая это обстоятельство, находим
4

§3. Простейшие системы из большого числа (N >• I) частиц 27
Далее, воспользовавшись соотношением
ik|<*F
и вычислив интеграл (в сферических координатах с полярной осью, направленной вдоль
вектора г):
E.kr v
приводим выражение D) к виду (г = г, - r2, п(<г) - n/B* +I))
п(г,, <7)п(г2, <7) = п(о-J - —- I — - к? cos fcFr | .
Отсюда получаем корреляционную функцию
I \ [sm kFr-kfr cos к,:г\г
Обсудим полученные результаты Характер установленных корреляций плотностей ча-
частиц физически весьма нагляден. Тождественные частицы с различными значениями проекции
спина ведут себя как различимые частицы, и отсутствие корреляций вполне естественно. Знак
корреляционной функции и(г, <т) < 0 в случае одинаковых проекций спина — также есте-
естественный результат, отражающий «отталкивательный» характер обменного взаимодействия
для фермионов, при этом для значений г = |г( — т^\ —» ос корреляция исчезает.
В заключение заметим, что корреляционная функция v(r) плотности числа частиц
вообще (безотносительно к значениям проекций спина) совпадает с f(r, a).
10.32. Рассматривая взаимодействие между частицами как возмущение, найти в пер-
первом порядке теории возмущений энергию основного состояния бозе-газа, содержаще-
содержащего N частиц со спином s = 0 в объеме V (взаимодействие частиц друг с другом описы-
описывается парным короткодействующим потенциалом отталкивания U(r) ^0, г = г0 — i>).
Решение. Оператор взаимодействия между частицами в представлении чисел заполнения,
согласно (Х.4), имеет вид
jf - г,|)Ф(г2)Ф(г,) A, dVj (I)
Воспользовавшись разложением Ф-оператора по плоским волнам (оно приведено в 10.28),
преобразуем выражение (I) к виду
(/ = )Е KZKKw^ B)
где матричные элементы потенциала взаимодействия
/ /
V V
В первом порядке теории возмущений имеем
So^i-f+i?J" = <*o|CMu)>, C)
где |Ф0> — в ф. основного состояния системы невзаимодействующих частиц, в котором все
частицы имеют импульс р = Нк = 0. При этом E§} = 0, а матричный элемент
(*o|3k;a^ak!ak,|4'(,>
отличен от нуля лишь в случае, когда нее к„ = 0, и равен N(N - I) и N1 (ннилу N > I).
Поэтому
002

28 Глава 10. Тождественность частиц
Так как радиус Д покнциала V(r) предполагается, естественно, имеющим микроско-
микроскопические размеры, так что R <? L ~ V1'3, то при вычислении интеграла
х
r/(r, - r2) dV2 = HI г/(г, - г2) dV, = I щт) dV = г7„ (.Г)
V -X
можно интегрировать по всему пространству и он оказывается не зависящим от Г| В результате
получаем U$o — Uo/V и окончательное выражение для энергии
] - N2 \ ~ N
E0*jUv — = -nU,>N, й--. D)
Оно имеет простой смысл, представляя собой произведение fo/V — средней энергии взаимо-
взаимодействия любой пары частиц друг с другом при их равновероятном распределении по объему
(хи - \/V) на обшее число JV2/2 пар
В заключение сделаем следующее замечание. Полученный на основе теории возмущений
по потенциалу результат D) предполагает, что взаимодействие между частицами является
достаточно слабым, так что выполняется условиеIJI I/o 4C h2R/m. Однако с помощью теории
возмущений по длине рассеяния (см. 4 29, 4.31 и 11 4) его легко обобщить на случай сильного
отталкинательного потенциала с малым радиусом действия. Имея в виду отмеченный
в 11.4 способ учета короткодействущего потенциала и замечая, что С/о лишь множителем,
Г/о = 2nh1afl/fi (ц = т/2 — приведенная масса частиц) отличается от длины рассеяния а0
в борновском приближении, можно утверждать, что формула D) для Еа, выраженная через
точную длину рассеяния а0, остается справедливой и в случае сильного короткодействующего
потенциала, когда аа <? (п)'3; дальнейшее исследование вопроса — см. [28), §25 (для бозе-
газа) и §6 (для ферми-газа).
10.33. То же, что и в предыдущей задаче, для ферми-газа частиц со спином s — 1/2.
Предполагается, что потенциал парного взаимодействия частиц не зависит от спина
и удовлетворяет условию krR<> -С 1, где Нц — радиус потенциала, hkr — граничный
импульс.
Решение. Задача решается аналогично предыдущей. Оператор U взаимодействия частиц друг
с другом определяется приведенными в ней формулами A), B). в которых следует только
снабдить операторы а^, а? спиновым индексом а = st (т.е. заменить а^ на а^,,, и т. д,
а н суммирование по к„ включить и суммирование по <7-|>, при этом <7j = о-, и <т4 = &i).
При вычислении поправки Е^ = (Фл|^1*о> первого порядка к энергии Е^ основного
состояния ферми-газа в огсугстнии взаимодействия следует учесть значения чисел заполне-
заполнения П|,„ н этом состоянии |Фо). равные 1 для Jt < Лр и 0 для к > ку. При этом легко заметить,
что в суммах но К, при усреднении оператора U (см. формулу B) из 10 32) все слагаемые, для
которых хотя бы одно из *„ больше кг, обращаются в нуль, так что в Ег^ входят матричные
элементы V^' с ка < *,.. Перейдя к новым переменным
Г| + Г?
r = r,-rj, Rz=-L_-i,
преобразуем рассматриваемый матричный элемент к виду
/ { $ (к к к *)} d' / exp
Учитывая условие Д) < V1'3 для радиуса потенциала U(r), интегрирование по г можно
распространить на все пространство (сравнитьс предыдущей задачей) и ввиду предполагаемого
'''Заметим, что Uq ~ УоЛ3. где ?/и, Л — характерная величина и радиус потенциала парною
{доимодейсшии частно.
161 Именно отталкияательный характер взаимодействия обеспечивает устойчивость газообразной фазы
при температуре Т = 0.

§ 3. Простейшие системы из большого числа (N > I) частиц 29
неравенства k^Ro < 1 заменить экспоненциальный множитель на единицу; при этом получаем
иЖ ~ ^ ^^иД. по = IU(r) dr3
(множитель в*,4к;.ки 1ч отвечает сохранению импульса при взаимодействии частиц), и соот-
соответственно __
4" = ^<*oi ? ? ь,«ъъ+ьК>,К.гъ*1ъ,., i*e>. (о
»|.1 1М
Основываясь на явном виде в. ф. |Ф0), замечаем, что здесь из всех слагаемых отличны от нуля
лишь такие, для которых либо к3 = к|, к4 = к2, либо к, = к,, к] = к2, так что (I) можно
преобразовать к виду
?j" = ^Ш^Л^Кч +К;К'1ЖчЪ,„\*а)- B)
«I 7 kl !
Здесь двойная сумма по ku2 при значениях сг, = <г2 равна нулю, так как для фермионных
операторов
К°К*+К°К< = {К" К'} = °-
При <?\ ^ С;, первую часть суммы B), используя аитикоммутационные свойства операторов 3,
а'*, можно записать к виде
где пк,„ — операторы чисел заполнения. Так как N(a) — $Z"k» является оператором числа
к
частиц в спиновом состоянии <т, а в основном состоянии эти числа имеют определенные
значения, равные N/2, то усреднение выражения C) по состоянию |Ф0> дает 2 {N/2I = N2/2.
Вторая же часть суммы в B) при <г, Ф <г2 отлична от нуля лишь при значениях к) = к2 и, как
легко заметить, оказывается равной ЛГ, т е. пренебрежимо малой (ввиду N > I) по сравнению
с первой частью суммы. Таким образом, находим
,„ 1 - N2
и энергию основного состояния ферми-газа
гт2ю\2'3 д2 I ~ N2
-^-«--О-.—. E)
Появление дополнительного множителя 1/2 в выражении для Е^ по сравнению со случаем
бозе-газа, см. предыдущую задачу, имеет простое объяснение в рассматриваемом прибли-
приближении, kfR0 < 1, фермионы с одинаковым значением проекции спина не взаимодействуют
друг с другом в силу принципа Паули, сравнить с 10.31.
В заключение заметим, что указанное в предыдущей задаче обобщение результата тео-
теории возмущений на случай сильного короткодействующего потенциала справедливо и для
ферми-газа.
10.34. Идеальный ферми-газ нейтральных частиц со спином s — 1/2, имеющих
спиновый магнитный момент /*0 (так что Д = Мо<?). находится во внешнем однородном
магнитном поле. Для основного состояния рассматриваемой системы найти:
1) числа заполнения одночастичных состояний;
2) магнитную восприимчивость газа (для слабого поля).
Взаимодействие магнитных моментов друг с другом пренебрежимо мало.
Решение. Энергия частицы с импульсом р и проекцией спина s: на направление магнитного
поля равна (для з = 1/2):
_ I г
"' ~ 2т ^° *'

30 Глава 10. Тождественность частиц
Обозначим через JV* числа частиц и основном состоянии ферми-та, имеющих соответ-
стненно s. = ±1/2. Так как н осноином состоянии энергия системы имеет минимальное
значение, то ему отвечают следующие значения чисел заполнения.
nf.t~\ для ip| < рг,± и п,.± = 0 .глм |p!>pi.,±,
причем
Это соотношение, означающее равенство максимальных значений энергий заполненных
состояний с $¦ = ±1/2, обеспечивает минимальность энергии всей системы в целом.
Выражая обычным для ферми-газа образом р?,± через N±~
f
J
Рт.±
находим couiacHO A) уравнение для определения N±:
V \2'*
+ N. = N. B)
/
При эюм магнитный момент газа в целом равен
• flt =Po(-V+ -N-), .//;=./fg = Q. C)
В огсутстоне магнитного поля Nt = iV_ = N/2. Соответственно в случае достаточно
слабою поля значения N± мало отличаются от N/2. Записав их в виде Nt = N/2 ± n
и выполнив после этого в уравнении B) разложение по малому параметру n/N (используя
(N/2 ± п):п и (N/2)m (I ± 4п/ЗЛГ)), находим
2п = (N+-N.) = miiaN.X I -r-j- ) D)
(условие n/N < I как раз и определяет случай слабого поля).
Согласно C) и D), в случае слабого поля имеем
Так как магнитная восприимчивость хэ > 0, то рассматриваемый ферми-газ является парамаг-
парамагнетиком.
С увеличением поля значение \N., - JV_j монотонно возрастает и при ,У( ^ ^р, где
_
спины всех частиц выстраиваются в одном направлении При этом магнитный момент
системы достигает насыщения
. f( = \no\N G)
и ориентирован в направлении магнитного поля.
10.35. Выяснить характер экранировки электронами проводимости электростатичес-
электростатического поля точечного заряда q, помещенного внутрь проводника. Воспользоваться ста-
статистическими соображениями, рассматривая электроны проводимости как ферми-
газ (на фоне равномерного распределения положительного заряда, обеспечивающего
электронейтральность проводника) при температуре Т = 0. Искажение электронной
плотности вблизи заряда считать малым.
Решение При температуре Т = 0 электроны занимают нижние по энергии состояния. При
этом электронная плотность п(г), максимальная кинетическая энергия электронов в точке г,
раннан Co(r) — pj(r)/2m, и электростатический потенциал у»(г) внутри проводника'8' связаны
1 Аналогичными используемым н методе Томаса—Ферми, см главу 11, § 2, а гакже |1|. § 70

§ 3. Простейшие системы из большого числа (iV>l) частиц 31
соотношениями
(I)
где
B)
Здесь е > 0 — величина заряда электрона, 6п(г) — изменение электронной плотности,
вызванное внесением заряда q; соотношение B) обеспечивает минимальность энергии всей
системы электронов, при этом е? характеризует нсвозмушенную систему (каковой она
остается и при внесении заряда на большом расстоянии от него)
Ввиду предполагаемой малости \6п\ < Щ имеем |р0 - Pf\ <Pf. и из соотношений B)
получаем
е<р~ — pF(po(r) -рк), йп = —-—г pF (ро(г) - pF).
При этом уравнение (I) принимает вид
C)
а его решение р(г) = ? е"" D)
показывает, что электрическое поле в проводнике экранируется на расстояниях г ~ 1/х.
10.36. Найти распределение заряда вблизи поверхности заряженного (с «поверх-
«поверхностной» плотностью заряда а) проводника. Воспользоваться статистическими со-
соображениями, рассматривая электроны проводимости как вырожденный ферми-газ.
Считать изменение электронной плотности вблизи поверхности проводника малым,
сравнить с предыдущей задачей.
Решение. Так как ширина приповерхностной области внутри проводника, в которой рас-
распределен заряд (т.е. р Ф 0), имеет микроскопические размеры, то при рассмотрении поля
вблизи поверхности можно пренебречь ее кривизной и ограничиться одномерным случаем.
При этом распределение заряда электронов и потенциала вблизи поверхности проводника,
которую выбираем как плоскость 2 = 0, описываются уравнением
/(г) = -4тгр(г) = 4тге 6n(z) и x2ip{z), (I)
сравнить с предыдущей задачей. Решение уравнения, удовлетворяющее граничному условию
<p(z) —» <ръ = 0 при г —• со (считаем, что области проводника отвечают значения z > 0),
имеет вид
ф) = Ае-", О 0, B)
а объемная плотность заряда 2 2
cW = ~^) = ~e-", O0. C)
Значение А определяется «поверхностной» плотностью заряда
U)dz, A = -4-^. D)
п
Это же значение А следует, естественно, и из граничного условия ?„@) = у5г@) = 4тг<7о
электростатики проводников.
181 Рассматриваемые величины сферически симметричны относительно точки г ~ 0 расположения
вносимого заряда q. Подчеркнем, что в отличие от атома теперь л(г) — щ ф 0 при г -» ее.
"' Сравнить, например, с 4 20.

Глава 11
Атомы и молекулы
Большинство расчетов атомных систем основано на предположении, что от-
отдельные электроны (а не только вся система в целом) находятся в определенных
квантовых состояниях. При этом золновая функция системы записывается п ви-
виде антисимметричной комбинации произведений волновых функций таких одно-
электронных состояний. Наиболее точные расчеты в этом приближении связаны
с численным решением уравнений Хартри—Фока, полученных на основе метода
самосогласованного поля для одноэлектронных состояний.
Для систем с большим числом электронов простая реализация идеи самосогла-
самосогласованного поля лежит в основе метода Томаса—Ферми. В этом методе (средняя)
электронная плотность п{т) в основном состоянии нейтрального атома (или поло-
положительного атомного иона) на основе статистических соображений связана с элек-
электростатическим потенциалом системы уз(г) соотношением '•
Для нейтрального атома у>о = 0 и из электростатического уравнения Пуассона,
Дуз = —4тгр, следует уравнение Томаса—Ферми (г Ф 0)
Aip = 4*п = — <ру2 (XI.2)
Зтг
(самосогласованное уравнение длк потенциала). Вводя более удобные величины х
и х(х)< согласно
где Ь = (Ззг/8%/2) и 0,885, Z — число электронов (заряд ядра), приводим
уравнение (XI.2) к пилу
с граничными условиями х@) = I и х(°°) - 0- Функция х(х) является универсальной
(одинаковой для всех атомов) в методе Томаса—Ферми. Числовые расчеты дают
х'@) = -1,589, при этом энергия полной ионизации атома в модели Томаса-
Ферми равна So = -(Зх'(О)/76)^7/3 = 0,769^3 = 20,9227/3 эВ, см. 11.21.
В этой главе представлена серия задач, связанных с исследованием свойств
во внешних электрическом и магнитном полях частицы, слабо связанной (т.е. с ма-
малой энергией связи е — х2/2, хт* <§; 1) центральным короткодействующим потен-
11 При этом атомные электроны рассматриваются как фермн-газ при температуре 0° К в медленно
изменнюшемем поле с потенциальной энергией U{r) =. — eip(r), величина —etpQ определяет максимальную
полную анергию состояний, «занятых, электронами, а е(у>(г) - ^) — их максимальную кинетическую
энергию (l/2m,)pf-(r) Случай уо > 0 отвечает поюжшпыышм атомным ионам.
Здесь (и часто не оговаривая я дальнейшем) испо.чыусм атомные единицы (а е ), е = Л = т, — I

§1. Стационарные состояния атомов с одним и двумя электронами 33
циалом радиуса Г5. Такая одночастичная система21 используется в атомной физике
для моделирования отрицательных атомных ионов, в которых внешний слабосвязан-
слабосвязанный электрон рассматривается как движущийся в короткодействующем потенциале,
создаваемом нейтральным атомом.
В этих задачах доминирующую роль играют большие расстояния, на которых
невозмушенная волновая функция имеет асимптотическое поведение (к случае
короткодействующих потенциалов)
I K р~кг
2тг г
где CKi - так называмый асимптотический коэффициент (на бесконечности).
Заметим, что решение уравнения Шрёдингера для связанных состояний одно-
электронного атома (иона с зарядом ядра Ze и одним электроном), т.е. в случае
кулоновского потенциала U(r) = —Ze2/r, приведено в главе 4; радиальные волновые
функции для нижних уровней описываются формулами (IV.4) ci = h /(meZe2).
§ 1. Стационарные состояния атомов
с одним и двумя электронами
11.1. Найти поправку к уровням энергии водородоподобного атома за счет так на-
называемой релятивистской зависимости массы частицы3' от скорости в первом порядке
теории возмущений.
Решение. Релятивистская поправка к функции Гамильтона заряженной частицы в электро-
электростатическом поле 8 классической теории согласно формуле (-е — заряд частицы, р <? тс)
j р! р4
~ 2т 8m3cJ
равна — p*/Sm3c2. Кнантовомеханическим обобщением этой поправки является оператор
V = —р4/8т3сг, рассматриваемый как нозмущение гамильтониана. Так как он коммутирует
с операторами I г и I., то с.ф tyj, ы невозмущенного гамильтониана (с U — —е<р — —Ze1/г,
см. (IV.3)) являются правильными функциями нулевого приближения при наличии нозмуиде-
ния. При этом согласно (VIII.I) сдвиг уровня
,+ —— J \пг1т) -
= --Ц (пТ1т\Щ + Я„ — + — Но + (—) |nrlm), B)
2тс1 г г \ г J
где J5T0 — невозмущенный гамильтониан водородопояобною атома
2' Многие свойства состояний частицы с малой энергией Е <? h Jmrs определяются лишь двумя
параметрами энергией связи и асимптотическим коэффициентом Cxi (см 11.36 и II 37). Они, в свою
очередь связаны с параметрами низкоэнергетнческого рассеяния- длиной рассеяния п( и эффективным
радиусом п, см (XIII. 15)
'' Водородонодобным (и аналогично гелиоподобным) атомом или ионом мы называем систему, состоящую
из ядра с произвольным зарядом Ze и одного (двух) электронов
Для бесспиновой частииы получаемый результат определяет тонкую структуру уровней волороло-
подобного атома В случае же электрона, как эго следует из уравнения Дирака |29|, кроме такой поправки,
имеется еше одно слагаемое я гамильтониане, описывающее так называемое епин-врбшалыюе взаимо-
взаимодействие, вклад которого в смешение уровней имеет такой же порядок величины, как и рассчитанная
в данной задаче поправка.
2 I..- :оч

34 Глава 11. Атомы и молекулы
Так как i/^lm является с. ф. оператора Яо, то во всех слагаемых последнего из равенств B)
можно Яо заменить4' его с.з., равным
После этого расчет поправки первого приближения сводится к вычислению двух матричных
элементов
~ 2 I 4тЕт
(n,lm\ — K/m) = -2S'°\ {пг/т[ ^КЫ) = - "v D)
Их значения проше всего получить с помощью соотношения A.6) Для этого заметим, что C)
можно рассматривать как с. з оператора
~ _ ft2 I d , d h}l{l + 1) Ze2
' ~ 2m r2 dr dr T 2mr- r
Теперь дифференцирование C) в соответствии с (I 6) по параметрам Z и I соответственно,
приводит к соотношениям D).
В результате получаем
Отсюда видно, что учет релятивистской поправки полностью снимает случайное вырождение
уровней вкулоновском поле: уровень с данным п расщепляется на п компонент в соответствии
с возможными значениями момента i = О, I,..., (п- I) для невозмущенного уровня. При этом
сдвиг уровня с увеличением момента уменьшается, что физически естественно. Действительно,
чем больше значение I, тем в среднем на больших расстояниях от ядра находится частица.
Соответственно тем больше и ее потенциальная энергия, а кинетическая энергия и сдвиг
уровня Е^1т <х р*, наоборот, меньше (так как Т' + V = Е„). По этой же причине ширина
интервала тонкой структуры уровня — разность энергий крайних компонент, отвечающих
значениям I = 0 и I = (п- 1), равная
АЕ„(п) = 4{ZaO ~^y l40|l, F)
уменьшается с ростом п, здесь а = eVftc = 1/137 —- постоянная тонкой структуры. Отметим,
что для уровня с п = 2 согласно F) расщепление составляет &Et$B) = 1,21 • VT*Z* эВ.
Для значений п ~ 1 формула E) дает
так что условие применимости полученного результата предполагает, что Z <? 137 (это —
естественный результат, так как скорость электрона в атоме v ~ Ze2/h = Zac и при значениях
Z ~ 100 его уже нельзя считать нерелятивистским)
Сделаем несколько заключительных замечаний
Как отмечалось в условии задачи, рассматриваемая поправка, не учитывающая спин-
орбитального взаимодействия, относится к случаю бесспиновой частицы. При этом она пра-
правильно описывает сдвиг уровня в первом порядке теории возмущений по {ZaJ. Однако,
как это следует из релятивистского уравнения для таких частиц — уравнения Клейна—Гордона,
в более высоких приближениях возмущение гамильтониана не «повторяет» разложения (I)
г J г" У г "
(ивиду эрмитовости Но его действие можно перенести на функцию, стоящую в матричном элементе слеш).

§ 1. Стационарные состояния атомов с одним и двумя электронами 35
классической функции Гамильтона, см. в связи с этим 15 13—15-15. Впрочем, реально су-
существующие частицы со спином s ¦ - 0 (например, ж- и /Г-мезоны) обладают сильным
взаимодействием, оказывающим более существенное влияние на сдвиги атомных уровней,
чем релятивистские поправки, см. 11 4
При учете спин-орбитального взаимодействия для электрона тонкая структура водородо-
подобного атома с точечным ядром согласно уравнению Дирака имеет следующую характерную
особенность [29]. Уровень с данным п, имеющий, согласно нерелятивистской теории, крат-
кратность вырождении 2п} B — из-за спина), при учете релятивистских поправок расщепляется
на п компонент (как и в случае бесспиновой частицы), каждая из которых отвечает определен-
определенному значению j полного момента электрона j = 1/2,3/2,... ,п- 1/2. При этом случайное
вырождение снимается не полностью, так как остаются вырожденными уровни с одинаковым
значением j, нос различными значениями орбитального момента 1 = j± 1/2. Так, при п — 2
уровень расщепляется на две компоненты, одна из которых отвечает 2рз/2-состоиниям, а дру-
другая — вырожденным 2з,/2- и 2р|/2-состояниям. При этом интервал тонкой структуры равен
Д|5 и 4,5 ¦ \Q~SZ* эВ. Дальнейшее снятие вырождения по I (лэмбовский сдвиг) возникает при
учете так называемых радиационных поправок [29], о величине эффекта см. 11.62
11.2. Рассмотреть сверхтонкую структуру s-уровней водородоподобного ато-
атома, связанную с взаимодействием магнитных моментов электрона и ядра. Ядро
имеет спин J и магнитный момент ^о> так что для него /2 = Цо1/1 (и рассма-
рассматривается как точечная частица). Оценить сверхтонкое расщепление и сравнить его
с интервалом тонкой структуры (из предыдущей задачи); магнитный момент ядра
порядка eh/nipC, тр — масса протона. В случае атома водорода сравнить полу-
полученный результат с экспериментальным значением сверхтонкого расщепления основ-
основного уровня Ai^hfs = &EHfs/2irh и 1 420 МГц5', магнитный момент протона равен
цр = 1,396 eh/mpC.
Решение. I) Согласно классической электродинамике, взаимодействие двух магнитных мо-
моментов друг с другом имеет вид6) V = -/i,5^(r), см. [27], где
Щт) = rotA2 = rot iHjl! s {(A»2V)V - /*2Д} 1
— магнитное поле, создаваемое 2-м моментом в точке нахождения 1-го. Квантовомеханиче-
ским обобщением этого взаимодействия на случай спиновых магнитных моментов является
оператор взаимодействия V, получаемый заменой классических величин на соответствующие
операторы (считаем 1-й момент электронным, е > 0):
eh /lo.~
При этом эрмитов оператор V можно записать в виде
я еЛ/1„ ~ / д д \ 1
V= -I,Si, -— д,ьД I —. (I)
mtcl \дх, $xk J г
Рассматривая его как возмущение и учитывая вилс.ф. з-состояний невозмущенного гамиль-
гамильтониана Ф<0) = щ}(г)х* гле X — спиновая функция электрона и ядра, усредним оператор V
в соответствии с секулярным уравнением" (VIII.5) по координатам электрона. При этом
" Энергия, соответствующая частоте v — I МГц, равна ?о я 4,136 10"' эВ
61 Взаимная перестановка частиц не изменяет вида взаимодействия
'* Такое усреднение является общим для всей матричных элементов оператора возмущения V между
рассматриваемыми ««-состояниями атома При этом то обстоятельство, что при вычислении сверхтонкого
растепления правильные функции нулевого отвечают определенному значению орбитального момента
(I = 0 о данной задаче), связано с тем, что случайное кулоновское вырождение атомных уровней снимается
уже при учете релятивистских поправок, приводящих к (более «грубой») тонкой структуре атомного
спектра, см предыдущую задачу (заметим, что рассматриваемое взаимодействие взаимодействие V
не приводит к перемешиванию я\/2- и p^j-состояний).

36 Глава 11. Атомы и молекулы
(пропорциональность интеграла тензору Stl связана с тем, что ввиду сферической симме-
симметрии s-состояния нет никаких других тензорных величин) Для определения значения С
выполним свертку но индексам t и к. Учитывая, что <5„ = 3 и
ах, Эх, г г
находим С = (8тг/3){^«'(О)! . Таким образом, в результате усреднения получаем
При этом V все сшс является оператором, действующим в пространстве спиновых состояний
электрона и ядра Очевидно, что собственными функциями этого оператора являются спи-
ноиые функции, отвечающие определенному значению J = / ± 1/2 полного момента атома,
а его с. з. определяют сверхтонкое расщепление ns-уровня
(т. с. уровень расщепляется на два подуровня в соотвстстпии с двумя возможными значениями
суммарного момента атома, сравнить с 3.27).
Величина сверхтонкого растепления
Срапнение (для значений п ~ I и 2 ¦* 1) с интервалом тонкой структуры F) из 11.1 дает
AfiiFs/A^s ~ "»e/mp ~ 10~3, т. е сверхтонкое расщепление значительно меньше тонкой
структуры.
2) Для основного состояния, п=1, атома водорода согласно D) получаем Д^ниО*) =
&EHfs/2irh и 1 420 МГц, как и экспериментальное значение. Однако более тщательное
сравнение показывает, что теоретический результат I 418,6 МГц отличается от эксперимен-
экспериментального значения I 420,4 МГц на и 0,1 %. Это на порядок превосходит величину неучтенных
релятивистских поправок (~ qj ~ 1С, при вычислениях следует учесть отличие приве-
приведенной массы ер-системы от тс) Объяснение расхождения связано с наличием у электрона
аномального магнитного момента, с учетом которого его магнитный момент равен ца(\+а/2п),
|де fit, = -eft/2mec, см. |29|.
Сделаем два заключительных замечания. При обобщении полученных результатов
на компоненты тонкой структуры с отличным от нуля орбитальным моментом следует,
наряду с взаимодействием спиновых магнитных моментов, учитывать также взаимодействие
с Munim ным полем ядра и орбитального тока электрона, j^ = 0 при 1 = 0. Далее, магнитное
взаимодействие не является единственной причиной сверхтонкого расщепления уровней.
Вклад r него пносиг также и искажение кулоновского потенциала, связанное с наличием
у ядра со спином I > I квадрупольного момента. Однако он менее существен, чем вклад
ог магнитного взаимодействия, я для s-состояний вообще отсутствует.
11.3. Вычислить в первом порядке теории возмущений сдвиги s-уровней водородо-
подобных атомов, обусловленные неточечностью ядра. Распределение заряда в ядре
считать сферически симметричным. Оценить значение поправки, рассматривая ядро
как равномерно заряженный шар радиуса R к 1,2 х Ю"'1^1/3 см, А и 2Z, А —
массовое число ядра; сравнить с результатами двух предыдущих задач.
Насколько существенна неточечность ядра для /х-мезоатома? Взаимодействие
мюона, как и электрона, с ядром имеет чисто электростатический характер.

§ 1. Стационарные состояния атомов с одним и двумя электронами 37
Решение. Обозначим tp(r) потенциал, создаваемый ядром. Вне ядра8' (ft = Ze/r, а отли-
отличие потенциала от кулоновского д(р = <р - Zc/r в области ядра определяет возмущение
V — — е6<р(г). При этом сдвиги кулоновских ns-уровней равны
АЕ„, = J V(p)|*2(r)|2 d'r « -е|Ф<°>@)|2 J Щг) d3r (I)
Здесь положено |Фп°>(г)| « |ф1"'@)| , так как в ф. ф5,°}(г) в области ядра (т.е. на расстояниях
г^Лк 1СГ13-КГ12 см), по которой и проводится интегрирование, почти не изменяются".
Значение интеграла A) зависит от характера распределения заряда в ядре. При этом
учитывая, что Дг2 = 6, интеграл A) можно преобразовать к виду10'
6y(r) dV = \ [ 6<p&r2 dV = \ [ г!Д («y>(r)) dV =
Ь J Ь J
p(r)dV = —^(г2). B)
Здесь р(г) — плотность заряда внутри ядра,
при этом ге называют среднеквадратичным зарядовым (протонным) радиусом ядра. Заметим,
что величина (г2) определяет также поведение электрического формфактора ядра F(q)
при q -* 0:
(сравнить с атомным формфактором, см [I, § 139)).
Для равномерного распределения заряда по шару радиуса R имеем, очевидно, (г2) =
ЗД2/5 и согласно формулам A) и B) получаем"'
Z'R^>@)\\ |4<U(O)|J ^ C)
Числовое значение отношения
;Г ~ 5п ' \а«/ ~ п
(здесь для оценки положено Я яг 1,5 ¦ 10~"Z''J см). Оно существенно меньше аналогичных
отношений для релятивистской поправки, см. 11.1, и сверхтонкого расщепления, см. 11.2,
и при Z ~ I составляет ~ 10~5 и ~ 10 от значений этих величин соответственно.
Интересно оценить вклад размера протона, для которого среднеквадратичный зарядовый
радиус ге и 0,8-10~'3 см, в величину лэмбовского сдвига уровней 2з\р и 2р\/2 атома водорода,
см. II 1. Согласно A) и B), получаем
Д?2, = — [ --] — я 5,2- 10""'эВя!0,!2 МГц
12 \а„/ ав
81 Имеется в виду ядро со сферически-симметричным распределением заряда
"Для состояний с моментом I Ф 0 на малых рассюяниях Ч! « г', так что сдвиг уровня резко
уменьшается с увеличением (
10' При этом использовано уравнение Пуассона электростатики, согласно которому АFр) = -Ля х
(р - Ze *(r)), и учтено, что иклад слагаемого с ^-функцией в интеграл B) равен нулю
"' Этот же результат может быть получен непосредствен но по формуле (I), если в ней воспользоваться
известным из электростатики выражением \р — f|;fl)~r J для потенциала внутри равномерно заряженного
шара радиуса Л.

38 Глава 11. Атомы и молекулы
(сдииг 2р|/2-уровня при этом n (aB/rt)J ~ 1010 раз меньше!). Так как экспериментальное
значение лэмбовского сдвигл состанляет Д^ ~ 1058 МГц, то вклад размера протона в нею
несуществен и находится на уровне экспериментальной ошибки в измерении А|^.
Заметим, что эффекты неточечности идра более резко проявляются в /*-мезоатомах. Это
связано с тем, что боровский радиус мюона а„1В — (mjm^a^ в 207 раз меньше электронного
Соответственно в оценку D) теперь должен быть введен дополнительный множитель, равный
(mp/rrieJ а 4,3 • 10*. При этом для основного уровня, п = I, уже при значении Z = 27 имеем
11.4. Рассмотреть сдвиги кулоновских ns-уровней пионных, и вообще адронных'2>
атомов, вызванные короткодействующим сильным (ядерным) взаимодействием пи-
пиона с ядром. Показать, что сдвиг уровня описывается формулой теории возмущений
по длине рассеяния:
m
где Фп»@) — значение невозмущенной кулоновской волновой функции, а о, —
так называемая длина рассеяния пиона на ядерном потенциале (сравнить с 4.29;
обобщение на случай I ф 0, см. в 13.36).
Замечание. Влияние короткодействующего потенциала Us(r) радиуса г5 на уровни ?„'" <
tf/mrl в дальнодействуюшем потенциале Ui радиуса г? > rs можно учесть как изменение
[ раним и ого условия: вместо ограниченности волновой функции на малых расстояниях теперь
Ф„ ос A - а,/г) при г <? rL. Соответственно сдвиг уровня определяется лишь длиной рассея-
рассеяния а, на потенциале Us и не зависит от его конкретного вида.
Решение. I) Рассмотрим влияние короткодействующего потенциала U,(r) радиуса г, (так что
можно считать U,{r) « 0 при значениях г >г,) на уровни-частицы с энергией |М°'| <
h^/mr],существующие в«далыюлействующем» потенциале Ui(r) радиуса rL~S> г,. Последний
на расстояниях г ~ г, предполагается слабым, так что Uj, <? h2/mr]\ однако при r>rt никаких
ограничений на его величину не накладывается. Применительно к адронным атомам в роли UL
выступает потенциал кулоновского притяжения адронов, а U, описывает их сильное (ядерное)
взаимодействие. При лом, например, для пионных атомов rL ~ о», в =h1/mtei ss 2-10"" см,
а г, и 2 ¦ 10"" см. Для достаточно произвольного взаимодействия U, сдвиги невозмушенных
уровней Е„ малы и описываются формулами теории возмущений по длине рассеяния, которые
могут бьп ь получены в результате простой модификации формул обычной теории возмущений
по потенциалу.
Начнем со случая, когда Ui(r) — центральный потенциал, и рассмотрим сдвиги з-уров-
ией. Согласно обычной теории возмущений по потенциалу в первом приближении имеем
АЕ„, = J 17,(г)|*Я(г)|2 d!r « I*!»!2 j U,(r) d\ (I)
(в интеграле существенны расстояния г ? г,, ввиду малости г, значение невозмушенной
в. ф. при этом почти не изменяется и она может быть вынесена из-под интеграла, сравнить
с формулой A) из предыдущей задачи)
Теперь заметим, что последний интеграл в формуле A) с точностью до множителя
совпадает с амплитудой рассеяния частицы с энергией Е = 0 в потенциале U,{r) в борнонском
121 Лдронные атомы — связанные кулоновским взаимодействием системы их двух адронов; например,
пион-протонный (х~р) или протон-антипрогонный (рр) атомы н др. Кулоновскис уровни такой системы
" ~ " v'J •гдс "* = яГ+д приведенная масса системы. С = -2iZj > 0, 2|,j — мрнлы адроиов,
радиус Бора такой системы оя = t^jj.

§ 1. Стационарные состояния атомов с одним и двумя электронами 39
приближении, см. (XIII 6). Учитывая, что а, = — /(? = 0) является длиной рассеяния («-волны)
для потенциала Ua(r), перепишем A) в виде
tl&ns ~~ *щ W Л,, CLt = * I Uj\T) U Г, \l)
тп iith J
здесь а" — длина рассеяния в борновском приближении.
2) Формулы (I) и B) применимы лишь в случае «слабого» потенциала U,(r), удовле-
удовлетворяющего условию применимости теории возмущений, U, <? h2/mr], при этом также
|а"| < г,. Если же потенциал U, является «сильным», то они непосредственно не приме-
применимы. Тем не менее и в этом случае выражение для сдвига уровня может быть получено
в результате простой модификации формулы B)' в ней следует только заменить борноискую
длину рассеяния af на точную длину рассеяния а, в потенциале U,(r). При этом, вообще
говоря, о, ~ г, и сдвиг уровня остается малым. Действительно, для дальнодействующего
потенциала притяжения Ui(r) радиуса г^ характерные значения энергетических уровней
Еп ~ fi2/rarj, и для «-состояний в ф. в нуле |Фл»@)| ~ г?3 Сдвиги «-уровней согласно B),
&Е„, ~ (a,/ri)E^l, при значениях а, <С г^ малы (случай a, >rL см. ниже).
Для пояснения указанного формального приема учета
влияния короткодействующего потенциала прежде всего при-
приведем рис I, иллюстрирующий качественное изменение в.ф.
рассматриваемого состояния частицы (сравнить с 4.29 и при-
]\ веденным там рисунком). Сплошная линия на нем изображает
\ . невозмущенную в.ф. ф?' (г), удовлетворяющую условию огра-
v~~(\-ajr) ниченности при г = 0. Штриховая линия соответствует в.ф
\ Фп,(г) при учете потенциала U,(r). Эта в. ф. обладает следую-
\ щими свойствами: I) она ограничена в точке г = 0; 2) ее явный
>. вид на расстояниях г < г, существенно зависит от потенциа-
потенциала U,(r); 3) вне области действия U, на расстояниях
0
г«г„ (^) C)
Рис. 1 она имеет вид Ф,„ =» А(\ — а,/г), где о4 — длина рассеяния
в потенциале U,, и (почти) не зависит от величины Еа и вида
потенциала Ui. Это связано с тем, что на расстояниях C) у. Ш. приближенно принимает яид
ДФп,(г) = 0, или (гФ„,(г))" = 0.
Теперь заметим, что при значениях длины рассеяния, удовлетворяющих условиям
|а,|«г, и la.K^^j , D)
точная в ф. Ф„,(г), сильно отличаясь от невозмущенной в.ф. *i,°i(r) на малых расстояниях,
в области г 3> |<»j| с ней уже почти совпадает. Отсюда и следует вывод о том, что сдвиг уровня
мал, а его величина зависит лишь от значения длины рассеяния а,, но не от конкретного
вида потенциала U,(r). На этом основана возможность рассмотрения влияния короткодей-
короткодействующего потенциала U,, состоящая в замене его на некоторый фиктивный потенциал
(псевдопотенциал) U,(r), который уже можно рассматривать как возмущение; при этом бор-
нопекая длина рассеяния а/ в таком потенциале13' должна совпадать с а,, а его радиус
должен удовлетворять условиям, аналогичным D) для о,, сравнить с [28, §6).
^ Выбор потенциала Ut(r), конечно, неоднозначен и достаточно произволен. Имея в виду рассмо-
рассмотрение его в первом порядке теории возмущений, можно ограничиться простейшим выражением
U, = a 6(t), где а = '-.
771
Заметим, что такой «потенциал», в отличие от одномерного f-потснциала и потенциала трехмер-
трехмерной {-сферы, имеет формальный смысл и должен рассматриваться только как возмущение, причем лишь
а первом порядке.

40 Глава 11. Атомы и молекулы
3) Получим теперь формулу для сдвига уровня непосредственно из уравнения Шрсдин-
гера. Исходим из уравнении
- ~ Д i ut - я;?] *!? = о, [- ^ д < uL . и, - ещ] ¦» = о.
Умножая перкое и) них на У'„,, а второе — на ф!,",''. почленно вычитая одно из другого
и интегрируя по всему пространству, за исключением шаровой области радиуса d вблизи
начала координат (причем выбираем d так, что г, CiiCrj), находим
J
E)
(фазы в. ф. выбраны так. что отношение ф'^'/Ф,, вещественно, при этом слагаемые с UL
сокращаются).
Имея в виду малость сдвига уровня и близость в ф. Фл* и Ч>„, в области расстояний
г 3> Гд,о,, вносящей доминирующий вклад в нормировочный интеграл, интеграл в левой
части соотношения E) можно заменить единицей. В правой же части можно воспользоваться
асимптотиками волновых функций на расстояниях г, <?С г <|С rj вида
* A-7) *«<
'@)
\ г /
и получить
Д?„, — Е„, — Е^ — |Ф11»@)| о, F)
и toi.'iacmi с отмеченным выше обобщением формулы B).
Сделаем несколько замечаний в отношении формулы F).
(i) Условием ее применимости является выполнение использованного при ее выводе со-
соотношения D). Оно может нарушаться только в резонансном случае, когда \а,\ j> г%,
и в потенциале U,(r) имеется «мелкий» (реальный или виртуальный) уровень14' с мо-
моментом / = 0 и энергией
"' ""
В этом случае слыиги уровней уже не описываются формулой F) и Moiyr быть
большими'*1, сравнимыми с расстоянием между невозмутенными уровнями Е\,, так что
может возникать перестройка энергетического спектра в дальнодействуюшем потенциале
под влиянием короткодействующего центра — эффект Зелы)овича (сравнить с 4 11 и 9.3).
(ii) Формула F) применима, вообще говоря, и в случае нецентральных потенциалов Ui(r).
(ш) Обратим внимание на то, что знак сдвига уровней определяется знаком длины рассе-
рассеяния а, (а не потенциала lr,(r)) Для отталкивательного потенциала длина рассеяния
всегда больше нуля и уровни, естественно, сдвигаются вверх («выталкиваются»). Для
потенциала притяжения возможны оба знака а, (в случае «мелкой» ямы а, < 0 и уровни
сдвигаются вниз)
(iv) Отмеченный выше прием учета влияния «сильного» короткодействующего центра U,(r),
основанный на предварительном рассмотрении ею кик «слабою» возмущения с после-
последующей заменой борновской длины рассеяния на точную а,, является общим и может
бьпь применен и в тех случаях, когда исходная формула отличается от (I), как например,
в задачах 4.27 и 8.61
е в потенциале Ut(r) своих «глубоких» уровней с энершей |Л',] ~ ft /тг} не приводит
к клкпм-лиГю ограничениям в применимости формулы F) (такие уровни, если они существуют, пол
Ш1ИИНИСМ потенциала (//.(г) 1акже испытывают лишь небольшой сцвиг)
'^'Пслн область притяжения о потенциале U,{r) отделена малопроницаемыч барьером, то елниги
уровнен «лалмюлейстпуюикгп» потенциала псегла малы. В частности, это имеет место ллн состояний
с отличнмм от иу.ы орбитальным моментом, где в роли такого барьера выступает центробежный
потенциал, см также 11.74

§ 1. Стационарные состояния атомов с одним и двумя электронами 41
(v) Обобщение формулы F) на случаи отличных от нуля орбитальных моментов частицы
дано в 13 36, а теория возмущении по длине рассеяния для состояний непрерывною
спектра рассмотрена в 13 37
(vi) Отметим, наконец, что формула F) справедлива без каких-либо ограничений на вид вза-
взаимодействия на малых расстояниях. Оно может даже не носить потенциальною характера
и, в частности, приводить к неупругим процессам (как, например, в случае рр-атома, для
которого возможна аннигиляция в пионы) При этом, однако, длина рассеяния а, ста-
становится комплексной величиной Комплексным оказывается и сдвиг уровня При этом
его мнимая часть определяет ширину уровня, так как при включении неупругого взаимо-
взаимодействия рассматриваемое состояние становится уже квазистационарным, см. задачи §5
главы 6.
11.5. Рассчитать в первом порядке теории возмущений энергию основного состояния
двухэлектронного атома (или иона), рассматривая взаимодействие между электронами
как возмущение. Получить значение потенциала ионизации системы и сравнить его
с экспериментальными данными для атома гелия и ионов лития, бериллия, углерода
и кислорода: /(Не) = 24,6 эВ; /(Li+) = 75,6 эВ; ДВе+~) = 154 эВ; /(С4*) = 392 эВ;
/(О60 = 739 эВ.
Решение. I) В пренебрежении взаимодействием между электронами энергия основного со-
состояния системы Eq = —Z2, а его волновая функция имеет вид
*«0| = izJcxp {-*(.-, тг2)}.
Поправка первого порядка к энергии за счет взаимодействия электронов друг с другом
Б° J |г. - r2| dV' dV* ж2 J e wV= + г? - 2r,r, ' A)
v/r? + г] - 2r2r2
Для вычисления интефалов вида
^ = у /(»-i)ff(r2) А, , _ ¦¦- B)
rfr| dr, dr2 du,
- rl ~ 2r,r2
удобно сначала при фиксированном гг проинтегрировать по углам вектора rj в сферических
координатах, выбрав направление г, за полярную ось. При этом
~, Г, > Г;,
(
Г,
и выражение B) принимает вид
/=
/(r.)r, J g(r,)rUridr,+ J g(r})r3 J f(r,)rUridrX B')
о on
По формулам B) и B') нетрудно найти
^^ = 32^ + f+3g C)
г| а2р>(я ( ру
и согласно (I) получить (положив в C) а = /3 = 2Z)
5
При этом потенциал ионизации оказывается равным
I j 5
/„ = ?„,„ -Ео=- Z --Z (э)
(здесь ?о н = —Z2/2 — основной уровень соответствующего одноэлсктронного иона).

42
Глава 11. Атомы и молекулы
2) Заметим, что полученные на основе первою порядка теории возмущений по взаимо-
взаимодействию электронов лруг с другом результаты можно улучшить, не производя фактически
дополнительных вычислений. Для этого изменим «разбиение» омильтониана системы на Нц
и возмущение, выбрав в невозмущенном гамильтониане вместо заряда Z ядра некоторый
эффективный заряд Z^f,, т.е. положим
Я = Яо + К,
Т/
1
In"
При этом выбор Z,^ < Z, отражающий взаимную экранировку электронами заряда ядра,
приводит к «уменьшению» возмущения V^ по сравнению со случаем V = 1/|г, - г2|,
использованным в A). Из физических соображений представляется естественным такой
выбор значении 2,фф, при котором поправка первого приближения обращается в нуль, т е.
г ^}!ф — V. InK K<iK ICIlCpb Г/q — —^эфф' н
(последнее соотношение следует, например, из теоремы вириала, см. также 11.1), то из условия
Кэфф = 0 находим Я-фф = Z - 5/16 и получаем
25
F)
(сравнить с D) и E); заметим, что «новое» значение Ео совпадает с результатом вариацион-
вариационного расчета я 11 6).
В таблице представлено сравнение результатов расчета потенциалов ионизации 1а в эВ
с экспериментальными данными для ряаа двухэлектронных ионов (атомная единица оперши
равна 27,2 эВ).
Ион
Согласно E)
Со1ласно F) и 11.6
Эксперим. значение /0
Не
20,4
23,1
24,6
Li*
71,4
74,0
75.6
Be'*
150
152
154
С4*
388
390
392
О*+
735
737
739
Заметим, чго поправки второго приближения к полученным результатам D), E) и F)
по параметру теории возмущений Z'' и
соответственно не зависят от Z. Поэтому
видная и) представленной таблицы «слабая» зависимость от Z разницы экспериментального
и рассчитанного значений /0 вполне естественна.
11.6. Найти энергию и потенциал ионизации основного состояния двухэлектронного
атома (иона) вариационным методом. В качестве пробной функции взять произведение
водородных функций с некоторым эффективным зарядом Z-^, играющим роль
вариационного параметра. Сравнить с результатом из 11.5. Можно ли сделать вывод
о существовании устойчивости иона аодорода Н"?
Решение. Среднее значение энергии двухэлектронною иона и состоянии с пробной волновой
функцией
*„рос. = — схр{-а(г, + г,)}, а = г^ф,
найти, если
1) записать гамильтониан системы в виде
!г, -гг|*

§ 1. Стационарные состояния атомов с одним и двумя электронами 43
2) учесть соотношение
(;*¦=)•--7--.
3) воспользоваться значениями интегралом
(вычисление второго из них см. в 11.5)
В результате находим
Минимизация по параметру а дает (при а = Zy^ — Z — 5/16) искомое вариационное
значение энергии основного состояния днухэлектронного атома (или иона)
() (I)
и потенциал ионизации системы
Сравнение с экспериментальными данными см. в таблице из предыдущей задачи.
Для иона Н~, согласно A), имеем Во.юр = —0,47, что выше энергии основного уровня
атома водорода, равной —0,50, и поэтому нельзя сделать вывода о существовании устойчивого
(относительно автоионизации) иона Н", см по этому поводу 11.8.
11.7. Показать, что рассмотренная в предыдущей задаче пробная функция с эффек-
эффективным зарядом #эфф = Z — 5/16 является наилучшей из всех пробных функций вида
, т. е. зависящих только от переменной и = г, + rj.
Решение. Для решения задачи запишем В = (ФПроб|#|Фцроб) в виде интеграла по перемен-
переменной и. Варьирование получающегося функционала по ф'(и) позволит получить оптимальный
вид в. ф. Ф(и). Для преобразования исходного интеграла по координатам электронов удоб-
удобно воспользоваться сферическими переменными и, сделав замену переменной г? = и — г,,
проинтегрировать по г,.
Нормировочный интеграл принимает вид
N = j \Ч^\гт} dr, dihrl dr2 dil2 = У ^ №(u)|2 dv. A)
0
Заметив, что „ „
Л,*(г, + г,) = ^^ - (« - г,J - «(«),
находим среднюю кинетическую энергию электронов в рассматриваемом состоянии*
Т = 2Т3 = - J ф'{и) J ^- (« - г,J ? rp(u)r] dr, du =
а
Энергия взаимодействия электронов с ядром описывается выражением
х. и ос 4
V,»* = 2пг = -2Z J Щи)\г J(u - г,)г? dr, du = - j Ц- Щи)? du,
C)

44 Глава 11. Атомы и молекулы
а энергия взаимодействия электронов лруг с другом можег быть записана » виде
---= 2 У |*(и)|2 У"(« - r,)rf rfr, Л = У ^- !*WI2*• D)
= 2 JJ |
Aак как ^(ri f Г2) не зависит от углов, то интегрирование но углам в исходном выражении D)
можег бьиь выполнено так же, как и в интеграле B) из задачи 115). _ _
Вид оптимальной, нормированной на 1 функции i/>(u), для которой Е = Т + UtM I- ?/«
принимает минимальное значение, удобно искать из условия экстремальности функционала
Е - i'U.mpN. Здесь ?о.нр шрает роль множителя Лагранжа; введение слагаемого ?o,MpJV
позволяет при варьировании не «эяботр.ться* о нормировке п ф ф{ч) Воспользовавшись
выражениями A)-D), из условия обраи:ения в нуль вариации рассматриваемого функцио-
функционала при варьировании функции Ф'(и). приходим к уравнению (сравнить с вариационным
принципом для уравнении Шрелингера и [I, §20|):
Отсюда заменой функции >р(и) ~ u VJ^(u) (которая предполагает, что д@) -'- 0) получаем
уравнение
¦ <; / т: \ i
Х = 0. E)
Оно имеет вид радиального у. Ш. AV.5) (с ft = т = 1) для частицы в кулоновском потенциа-
потенциале -а/г са= ;B-j) и с «моментом» I таким, что 1A f I) = 15/4, или I = 3/2; при
этом Е„,1 — j А'о,«ар- Спектр собственны)! значений
а2 25B-5/16)'
"'' ~ ~2(п,+Г»-1J ~ ~ 8 (г., + 5/2J
и минимальное из них, с л, = 0, определяет вариационное значение энер!ии основного
состояния системы на рассматриваемом классе пробных функций
?o.i»i> = 2йо, 1/2 = ~ ( Z ~ fft J '
F)
При этом соответствующая функция, минимизирующая значения Е. имеет вид (согласно E)
она — радиальная кулоновская функция для I = 3/2 ип = пг+/+1— 5/2)
X-Cu'r'e-"L/", или *о = -^схр{-7^(г1+г2)}, G)
где Z,№ = 2-5/16.
Эги результаты и доказывают утверждение задачи.
11.8. Найти среднюю энергию двухэлектронного иона с зарядом ядра Z в состоянии
с волновой функцией
Ф(п,п)-С[ехр{-ат, -/?г2} + ехр{-0г, -аг2}].
Выбрав значения параметров а = I, /3 = 0,25, доказать существование стабильного
иона водорода Н ".
Для другого значении, / ^ — 5/2, волновал функиии j^ <х » ' не удовлетворяет фаничному условию
и нуле.

§ 1. Стационарные состояния атомов с одним и двумя электронами
45
Решение Расчет В = // Ф(г1,г3)ЯФ(г|,г2)<^У] dV2 сводится к вычислению нескольких ин-
интегралов, которые иыражаются через следующие четыре
J
dV = -
dV =
и интеграл C) из задачи 11.5.
В результате вычислений получаем
f (а, Р) = 2С71 -Z{a + /3) + ^ (а2 + /З2)
(I)
где 2Сг = (I + 64а3/33/(а + /3N)~ из условия нормировки пробной волновой функции
При значениях о = /3 = Z - 5/16, из A) следует результат 11.6 Однако возможность
независимого варьирования параметров а и /3 позволяет его уточнить В частности, для
иона Н~, выбрав а = 1 и /3 = 0,25, находим
Д),«лр = Е — —0,512,
B)
что ниже энергии основного состояния атома водорода, равной -1/2, и тем самым дока-
доказывается существование устойчивого иона КГ (прецизионный вариационный расчет дает
Е„ = -0,528).
11.9. Оценить значения энергий и потенциалов ионизации возбужденных состояний
гелиеподобных атомов в приближении, в котором взаимодействие между электронами
эффективно учитывается как экранирование заряда ядра электроном, находящимся
в основном, I «-состоянии (при рассмотрении движения возбужденного электрона).
Сравнить полученный результат с экспериментальными данными, приведенными в ре-
решении.
Решение. 8 рассматриваемой модели энергия ni-состояния гелиемодобного атома, одина-
одинаковая для пара- и ортосостояний, представляет сумму энергии Еп=1 = -Z2/2 основного
состояния водородоподобного атома с зарядом ядра Z и энергии Еп = ~(Z - lJ/2n2 состо-
состояния с главным кпантовым числом п и поле экранированного заряда Z — 1. Таким образом,
энергия и потенциал ионизации системы в рассматриваемом приближении равны
E-i(g)- Z7 (Z~!]\ Ш-(г',"' A)
Для 2?-состояний атома гелия получаем ^(Не) = 0,125, что следует сравнить с экспе-
экспериментальными значениями, представленными в таблице
Терм
A) с поправкой Ридбсрга
235
0,175
0,172
2'5
0,146
0,145
2JP
0,133
0,134
2'Р
0,124
0,124
Для ЗЬ-состояний атома гелия согласно модели /)(,(Не) = 556-10, а экспериментальные
значения
Терм
A)с поправкой Ридбсрга
33S
685
684
3'5
612
611
З^Р
580
582
З'Р
550
551
560
557
3'?>
555
556

46 Глава 11. Атомы и молекулы
Рассмотренная модель основана, по существу, на возможности пренебрежения «пере-
«перекрытием» в.ф. I*- и п/-элсктронов (с / = L). При значениях п S> I это обеспечивается
большим размером орбиты nl-электрона (напомним, что г„ ос л2) и соответственно малой
вероятностью нахождения его в области локализации ls-электрона Для уточнения результата,
учитывающего квазиклассичность движения электрона при п~3> \, следует ввести поправку
Ридберга Д( (не зависящую от л, см. [1, §68)), заменив в формуле (I) л. на л + Д/. Как
видно из таблиц, ее введение171 существенно увеличивает точность, особенно для S-тсрмов,
и при рассмотренных выше значенияхls) n — 2 и 3 Что же касается состояний с моментом
/ Ф О, то для них рассмотренная модель неплохо воспроизводит экспериментальные данные
и без введения поправки Ридберга. Это связано с тем, что с ростом I вероятность нахождения
электрона в области малых расстоянии быстро уменьшается, так как при этом 4!i ос г'.
Соошетствснно быстро уменьшается с ростом I и значение поправки Ридберга.
11.10. Найти энергию и потенциал ионизации 235-состояния гелиеподобного атома
вариационным методом. В качестве пробной функции взять должным образом сим-
метризованное произведение водородных функций Is- и 2«-состояний с некоторым
эффективным зарядом ядра 2>фф, играющим роль вариационного параметра. В случае
атома гелия и иона лития Li+ сравнить полученные результаты с экспериментальными
данными (в атомных единицах): /нсBэ?) = 0,175 и /(,- B3S) = 0,610.
Решение. Нормированная пространственная часть волновой функции 215-состояния имеет
вид (а = Z^)
B)
Для вычисления средней энергии в состоянии с в.ф (I) удобно записать гамильтониан
системы в виде суммы трех слагаемых
• C)
Так как волновая функция A) является с ф. гамильтониана Я,, то сразу находим И^ = —5а2/8.
Также сразу, с использованием теоремы вириала, находим среднее значение
Наконец, Я) = К - J, где
= Jj
dV,dV,
характеризует кулоновское взаимодействие электронов. Первая часть его, связанная с ин-
tciралом К, имеет очевидную классическую интерпретацию, определяя кулоновское взаи-
взаимодействие плотностей заряда, отвечающих Is- и 2з-электронам. Интеграл J определяет
'"Экспериментальные значения поправок Ридберга &si для атома гелия E — суммарный спин
электронов) равны ||, §68|
До» = -0,140, Дп, = +0,012, Дм = -0,0022 (при 5 = 0),
Д|, = -0,269, Д|, = -0,068, Дц- -0,0029 (при S -- I)
'"' Чдссь опять проявляется отмечавшаяся ранее в задачах главы 9 особенность квазиклассического при-
приближения при правильном выборе квазкклассической поправки в правиле квантования оно обеспечивает
достаточно высокую точность даже при значениях п ~ I

§ 1. Стационарные состояния атомов с одним и двумя электронами 47
так называемое обменное взаимодействие Оно является частью кулоновского взаимодействия
электронов и имеет чисто квантовое происхождение, связанное со свойствами симметрии
в. ф. системы тождественных частиц
Имея в виду выражения B) для функций г[>:,2(г), замечаем, что расчет К и J сводится
к вычислению интегралов
где n, k — целые числа. Для них
* 0 я' я"
s (-|)U" к w *••
а интеграл /@,0) был вычислен ранее, см. формулу C) из 11 5 Теперь простое, но не-
несколько утомительное вычисление дает К — 17а/81 и 3 — 1ба/729 (заметим, что обменная
часть кулоновского взаимодействия в 10 раз меньше прямого кулоновского взаимодействия
электронов).
Таким образом, получаем
— — — 5 5 137
Е(а) = HS LHi+K-J=-a2--aZ+ — a,
и минимизация по параметру а = Z-^, дает искомое вариационное значение энергии
w-|(«-0,IS0J, G)
при этом ?зфф — Z — 0,150, и потенциал ионизации рассматриваемого состояния
/B3S) = g(Z-0,l50J-;U2. (8)
о /
Согласно (8), имеем / = 0,139 для атома гелия и / = 0,576 для иона лития Li+ (довольно
значительное отличие для атома гелия вариационного значения I от экспериментального
связано с тем, что в пробной функиии было использовано одинаковое значение эффективного
заряда как для «внутреннего» Is-, так и «внешнего» 2$-электронов, сравнить с 11 6 и 11.8).
11.11. Рассчитать сверхтонкое расщепление для триплетного 235-состояния атома
гелия с ядром Не3; спин ядра / = 1/2, магнитный момент у. — -1,064eh/mpc. При
вычислениях воспользоваться приближенным видом волновой функции 235-состояния,
отвечающим пренебрежению взаимодействием электронов друг с другом. Сравнить
полученный результат с экспериментальным значением величины сверхтонкого рас-
расщепления Д^нк = &Eufs/2irh = 6 740 МГц.
Решение Задача решается аналогично П.2 Теперь оператор возмущения имеет вид V —
V| + Vj, где V, 2 описывает взаимодействие каждого из электронов с магнитным полем
ядра, см. формулу (I) из II.2 (из-за сферической симметрией 5-состояния взаимодействие
орбитального тока электронов с магнитным полем в первом порядке отсутствует) Усредняя
оператор V с волновой функцией Ф(гь гг) пространственного движения электронов в 2'5-со-
стояиии, находим
где S =?| +?2 — оператор суммарного спина электронов, а
С = J [Ф@, r,)|J dV2 = У |Ф(г,,0)|! dV{. B)

48 Глава 11. Атомы и молекулы
Собстпснныс значения операюра V (в пространстве спиноиых состояний) определяют
сверхтонкую структуру уроння Так как S = I, а / = I/2, то
2
(J — полный момент системы), при этом величина сверхтонкого расщепления равна
SnehftC
- 2) ~ E
Воспользовавшись для в.ф. приближенным выражением
|де 1р\щ] — волновые функции водоролоподобного атома с 2 = 2 для Is- и 25-состояний,
находим
С - - \ ШО)? + ^.'(О)!2) = 7" "Т. «в = ^Ц. E)
2 2тг а№ тее'
Численное знамение A?Hi-s< сомасно D) и E), оказывается равным
A"HfS = ^^ ~ 7 340 М Гц F)
Как нилно ич E), доминирующий нклал и сверхтонкое расщепление вносит ls-электрон.
Вклад 25-элекгрона в рассматриваемом приближении к 8 раз меньше. На самом деле его
вклад еще меньше, так как а. ф. 2«-элсктрона в нуле (при г = 0) меньшее из-за экранировки
заряда ядра ls-мектроном Если для н.ф ^.>(г) воспользоваться значением, отвечающим
экранированному заряду Z - I, то вклад 2*-элсктрона оказывается меньше уже в 64 раза; при
этом нмесю F) получаем Afn»s ~ 6630 МГц, что, естественно, ближе к экспериментальному
значению.
В заключение заметим, что для вычисления сверхюнкого растепления можно бы-
было бы сразу воспользоваться выражением дли магнитного поля, создаваемого s-электроном
• на ядре», см 7.24, и учесть «мимодейсгнис с ним магнитного момента ядра
11.12. Показать, что у гелиеподобнык атомов все устойчивые возбужденные состоя-
состояния, стабильные относительно распада на соответствующий водородоподобный атом
и свободный электрон, имеют электронную конфигурацию \snl, т.е. один из элек-
электронов обязательно находится в основном, ls-состоянии (неустойчивые относительно
ионизации состояния атомных систем с двумя или более возбужденными электронами
называют овтоионизационными, см. 11.72).
Решение. Замечаем, что в пренебрежении взаимодействием электронов, когда
энергии актиния, в котором оба электрона возбуждены, т е. ;(ля них nL2 ^ 2. выше оперши
Ей - ~Z'/2 основною состояния соответствующею одноэлектронного иона, что и указывает
на неустойчивость системы Действительно, п результате взаимодействия между электронами
может произойти (aiiio)iioi(iiJaitiiM системы, котла один из элсктронпи перехолит в сосюянис
непрерывною спектра, а одиоэдектронный ион при этом оказывается в своем основном,
I.S СОС1ОЯШ1Н.
Представляется очевидным, что учет взаимодействии между электронами, носяше-
ю oi 1алкив.иельный характер, лишь повышает энерппо системы, так что сделанный вывод

§2. Многоэлектронные атомы. Статистическая модель атома 49
сохраняется Формальное доказательство повышения энергетических уровней основано на со-
соотношении A 6) Для этого рассмотрим гамильтониан
Для его с. з. Е„(Р), относящихся к д. с, имеем
дЕ„ дН
|-Г;|
так что включение ее-взаимодействия повышает уровни.
В заключение заметим, что сделанный вывод о неустойчивости относительно автоиони-
автоионизации рассматриваемых состояний двухэлектронной системы основывался только на энерге-
энергетических соображениях. При этом среди состояний, связанных с электронной конфигурацией
2pnl с n ^ 2, имеется ряд состояний, устойчивых относительно ионизации, так как их
распад запрещен законами сохранения момента и четности Это — состояния с суммарным
орбитальным моментом системы L ^ I и четностью, ранной (~1)i+l (например, ХР*-терм
для электронной конфигурации Bр)!, см по этому поводу 11.72).
11.13. Оценить значения потенциалов ионизации основного 2S- (электронная конфи-
конфигурация (lsJ2s) и первого возбужденного 2Р-состояний (электронная конфигурация
(lsJ2p) литиеподобного атома, считая, что взаимодействие электронов, находящихся
в основном состоянии, с возбужденным сводится эффективно к экранировке на 2 за-
заряда ядра (для возбужденного электрона).
В случае атома лития сравнить полученные значения с экспериментальными:
IBS) = 5,39 эВ и Г{2Р) = 3,54 эВ.
Решение. В рассматриваемой модели энергию состояния трехэлектронного атома (или иона)
с электронной конфигурацией (\sJnl, п ^ 2, можно приближенно представить в виде двух
слагаемых: Ец — энергии основного состояния соответствующего двухэлектронного иона,
сопоставляемой двум ls-электронам, и Е„ — энергии внешнего nl-электрона в кулоновском
поле ядра, заряд которого частично экранирован двумя U-электронами, определяющей
потенциал ионизации системы
г |
А -
Его численное значение для нижних 2S- и 2Р-состояний атома лития одинаково (в рассма-
рассматриваемой модели) и составляет /г/, = 0,125 а. е. и 3,40 эВ
В заключение отметим, что общие соображения о характере рассмотренной модели
и о возможности ее уточнения аналогичны высказанным в решении II 9 Имея их в виду,
ограничимся указанием значения поправки Ридберга Дл = —0,400 для 5-состояний, с учетом
которой получаем I1S = 5,31 эВ (близкое к экспериментальному значению; для Я-термоп
Д, = -0,047).
§ 2. Многоэлектронные атомы. Статистическая модель атома
11.14. Найти возможные термы атома со следующей электронной конфигурацией
(сверх заполненных оболочек):
а) пр; б) (прJ; в) (прK; г) (пр)'; д) (прM; в) (пР)<\
Каковы их четности? Пользуясь правилами Гунда, указать нормальный терм.

50
Глава 11. Атомы и молекулы
Решение Атомные термы, отвечающие электронной конфигурации (прI снерх заполненных
оболочек, представлены п таблице
Конфигурации
Термы
Четность /
"Р. (»РM.
J-P| 2 1 2
_ 1
(прJ, (прL,
'с < п
Эц, IJ2,
Р
0.1.2
+ 1
¦Р|/2,1/2,
+ 1
Так как четность состояния электрона с орбитальным моментом I равна (—1)' и является
мультипликативной величиной (при этом для электронов, образующих заполненную оболочку,
она положительна, +1), то / = (—IL-
Нормальными термами, согласно правилам Гунда, являются 2Р]/2, 3Ро, 4$з/ь 3Pi, 2Р\/}
соответственно в случаях а)-д) (в порядке возрастания к), см. по этому поводу 11.17, 11.18
11.15. Указать атомные термы, возможные для электронной конфигурации (nlJ.
Решение. Волновая функция двух электронов должна быть антисимметричной по отноше-
отношению к перестановке спиновых и пространственных переменных обоих электронов. Так как:
I) радиальная зависимость в.ф двух эквивалентных электронов симметрична при переста-
перестановке г, иг;, 2) спиновая часть в ф. симметрична при суммарном спине электронов 5 — I
и антисимметрична при 5 = 0, 3) характер симметрии угловой зависимости в.ф. определя-
определяется значением L суммарного орбитального момента, см. 3.30, то приходим к следующему
заключению о значениях S » L для термов, отвечающих электронной конфигурации (nlJ:
(синглетные термы),
(триплетные термы, I
0),
S = 0, ? = 2l,2J-2,...,0
5=1, L= 21- l,2i-3, ...,1
сравнить с 10.8 и 10 9.
11.16. Состояниям атома, имеющим электронную конфигурацию nsn'l сверх запол-
заполненных оболочек, отвечают два терма: 'L и 3L (L — суммарный орбитальный момент,
L — I). Рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение, показать,
что энергия триплетного терма ниже энергии синглетного. Вид радиальных функций
ns- и п'1 -электронов не конкретизировать.
Решение. Пространственные части волновых функций термов имеют вид
Vi(ri)}, О)
где знаки + и - отвечают синглетночу и триилетному термам, \р, и фг представляют
I) ф. па- и nl -электронов. В пренебрежении взаимодействием электронов в ф A) отвечают
одинаковой энергии, изменение которой за счет взаимодействия электроноп в первом порялке
теории возмущений равно
± I i
= к ±
При этом обменный интеграл (сравнить с 11.10)
-//««
B)
определяет расщепление термов.
Покажем, что J > 0. Замечая, что без ограничения общности н. ф тр\ (невырожденного)
ni-состояния можно считать вещественной и записав
"'
— y>i + 1V2,
Олноэлскгронныс »/-уровни с / Ф 0, как и рассматриваемые термы ll L с L — lt вырождены
по проекции момента Так как энергия не зависит от значения (.., то, рассматривая состояние с Lt --

§ 2. Многоэлектронные атомы. Статистическая модель атома 51
уже вещественные функции, перепишем выражение B) следующим образом.
J = [[ Г~^—- ^("-.МгЛЫпМгг) +Vj(r,)v>2(r2)} dV, dV2.
J J K Г
Положительность этого выражения следует из сравнения его с известными формулами
для энергии электростатического поля, соэданаечого распределением заряда с объемной
плотностью р(г) [27]:
W =
Таким образом, J > 0 и синглетный терм выше триплетного. Физическое объяснение
этого обстоятельства состоит в том, что п антисимметричном по координатам электронов
триплетном состоянии плотность вероятности обращается в нуль при Г| = rj, что приводит
к уменьшению энергии кулоновского взаимодействия электронов (и энергии системы в целом)
по сравнению со случаем синглетного терма; сравнить с условием максимальности S для
основного терма атома согласно правилу Гунда [I, §67].
В заключение заметим, что в рассматриваемом приближении не фигурируют элек-
электроны заполненных оболочек. Их наличие проявляется неявно в виде самосогласованного
поля, определяющего одноэлектронные в. ф Vi.2 «внешних» электронов. О точности такого
приближения см. задачи 11.17 и 11.18.
11.17. Атом содержит сверх заполненных оболочек два эквивалентных пр-элек-
трона. Рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение, найти
расположение термов 'S, ]D, 3P атома в порядке возрастания энергии. Убедиться
в том, что значения квантовых чисел S и L нормального терма подтверждают правило
Гунда. Показать, что энергии термов удовлетворяют соотношению
_ E(*S)-E(]D) _ 3
= ?('?>)- Е(*Р) ~ 2
(в рассматриваемом приближении оно относится также к атомам с электронной кон-
конфигурацией (прL). Явный вид радиальной волновой функции np-электрона не кон-
конкретизировать.
Замечание. При составлении правильных функций нулевого приближения, отвечающих
определенному значению L орбитального момента, удобно использовать тензорный форма-
формализм (см. задачи §4 главы 3).
Решение. Нормированная на единицу волновая функция отдельного р-электрона имеет вид
— х
(M) J ||!l
о
а координатная часть волновой функции системы из двух пр-электроном с определенным
значением L суммарного орбитального момента описывается выражением
сравнить с 3.45. При этом в зависимости от значения L тензор о,к(?) обладает следующими
свойствами.
:t,t, Л = 0 (терм 5),
зу^Cub!, |Ь|2= I, ?=1 (термР),
9
«т. «и = 0, а,ка;к = -—г, L = 2 (терм D).
/, = 0 и учитывая вещественность в этом случае волновой функции V'2, можно заключить, что J > О
непосредственно на основании выражения B)

52
Глава 11 Атомы и молекулы
Как видно, и ф. S- и D-гермов симметричны но отношению к перестановке Г| и t2, так
что эти термы являются синглегными, S — 0, а антисимметричный в координатах Р-терм —
триплетный, S = I
В пренебрежении взаимодействием np-электронов все термы имеют одинаковую энер-
1ию, изменение которой за счет их взаимодействия в первом порядке теории возмущений
V, C)
r
- Г2|
можно записать i> виде
" = 2atk,i;m I dr2 J <*г,г?г2У(г,)?>!(Ы JJ
п„пип„п1т dtl,
D)
0 0
Здесь учтено, что вклад областей интегрирования г, > г2 и г, < г: в выражении C) одинаков,
выполним в D) сначала интегрирование по направлениям радиуса-вектора первого
электрона, записав из соображений о тензором характере интеграла
п,,пи dil,
= AS,, ¦(¦ Bn2ln2l.
1
E)
Взяв здесь первый раз свертку по индексам i и J, а второй раз, умножив E) на щ,пц,
получаем два cooiношения (при г> > г,):
„ / 2wz2dz тг /8 2 „ Д
В= / , , = —, - rf ¦»¦ 4r! ,
попюляюшие определить Aw В (при вычислении интегралов по ви <р, удобно папярную ось
направить вдоль вектора п2, при этом П|П2 = cose, = г).
Теперь выполним интегрирование по направлениям радиуса-вектора второго электрона,
воспользовавшись известными соотношениями
/4зг /* 4л1
n,ni dii = — Eа, / n,nkn,nm dil = — (<5,t 6,m + 6,, 6km + 6im 6tt)
П результате интегриропаний по углам выражение D) принимает вид
\ Г)
[L)a;a(L) J dr:j dr,r?r2V2(r,)
А
у 6,1
( -^{S,t 6lm v St, 6km f 6,m SU)B
]¦
G)
Эгу формулу, исполыуи соотношения B) и значения А к В, следующие из F), можно
записать в виде
" = 2 У dr2 J dr,r2, >V(r,)v>?(r2) J^l + ~ 6,. ^ j ,
(8)
I
4'
I
1 = 0,
I «• r'=2-

§ 2. Многоэлектронные атомы. Статистическая модель атома
53
Отсюда непосредственно следует порядок расположения термов
Е(гР) < E(*D) < ECS),
так что нормальным является терм УР в согласии с правилами Гунда [1], а также приведенное
в условии задачи соотношение между энергиями термов Подчеркнем, что это соотношение
не зависит от конкретного вида в. ф np-электрона, определяемого самосогласованным полем
электронов заполненных оболочек (их явный вид вообще не требуется!), и поэтому может
быть использовано в качестве критерия точности рассматриваемого приближения. В связи
с этим сравним рассчитанное значение отношения Д = 3/2 с его экспериментальными
значениями для некоторых атомов и ионов, имеющих электронную конфигурацию (прJ,
а также (прL (т е. две дырки на np-оболочке), представленными н таблице (они взяты
из книги [17, с. 138]):
Атом
Конфигур.
Д„СИ
С
У
1,13
У
1,14
о2-
2Р2
1,14
О
У
1,14
Si
Зр2
1,48
Се
4р>
1,50
Sn
5Р2
1,39
Те
1,50
11.18. То же, что и в предыдущей задаче, но для атома с тремя эквивалентными
np-электронами. Показать, что энергетические расстояния между термами удовлетво-
удовлетворяют соотношению
ЕBР) - EBD2 _ 2
EBD) - EYS) ~ 3"
А =
Решение Возможные термы 4S, 2Р, 2D. Расчет сдвигов их энергий за счет взаимодействия
np-электронов друг с другом может быть выполнен так же, как и в предыдущей задаче.
Однако теперь он более громоздок, что связано с более сложной структурой волновой
функции трехэлектронной системы.
I) Начнем с терма *S, отвечающего максимально возможному значению суммарного
спина S =¦- 3/2. При этом спиновая часть Хару волновой функции симметрична по от-
отношению к перестановке спиновых переменных любых двух электронов. Соответственно
пространственная часть в. ф. (фактически угловая часть, так как радиальная зависимость в. ф
для всех электронов одинакова) должна быть антисимметричной, что однозначно определяет
угловую зависимость волновой функции в виде
п||п2пз] =
(так как координатная часть в.ф. является скаляром, точнее псевдоскаляром, и ее вид не из-
изменяется при вращениях, то она действительно отвечает моменту L = 0 и описывает 5-терм,
сравнить с 3.47) Нормировка в ф. (I) дает С2 = 9/128т3 (при вычислении нормировочного
интеграла следует учесть значения «угловых» интегралов, указанные и предыдущей задаче
и известное соотношение е2и = 6).
Сдвиг 45-терма за счет взаимодействия электронов друг с другом в первом порядке
теории возмущений равен
, = з712 = з
После элементарного интегрирования по Г) это выражение принимает вид формулы D)
из предыдущей задачи, в которой только следует заменить att,a'lm на
6„ 6кт - 6Ш би);
C)
при этом использовано соотношение

54 Глава 11. Атомы и молекулы
С учетом указанной замены и вес остальные формулы из 11.7, нилотI. ло G) включи-
включительно, непосредственно переносятся на данную залпчу. Более того, после подстановки C)
и формулу G) из 11.17, для сдвига B) 45-терма получается выражение, отличающееся
от результата (8) из II 17 лишь дополнительным множителем, равным 3, причем значение
параметра Ьц оказывается равным Ь( S) = —1/8.
2) Перейдем к терму гР Так как сн отвечает орбитальному моменту Ь = I, то ко-
координатная часть в. ф терма должна выражаться через компоненты вектора. Такой вектор,
п условиях задачи линейный по всем трем векторам п„, еде а = 1,2, 3, может быть образован
тремя независимыми способами'
При этом условие антисимметричности волновой функции, представляющей суперпозицию
этих векторов, умноженных на соответствующие спиновые функции, однозначно определяет
се вид:
где а, р, f — спиновые переменные соответственно I, 2 и 3 электронов; антисимметричная
спиновая функция sai> = -с^а = ( , » ) описывает состояние соответствующих двух
электронов с их суммарным спином, равным нулю (она нормирована на 2), х = ( j ) —
нормированный на единицу спинор, определяющий как спиновое состояние одного из элек-
электронов (у двух других при этом суммарный спин ранен нулю), так и всей системы с 5 = 1/2
в целом. Вектор С2 характеризует орбитальное состояние терма, сравнить с 3.45. Даль-
Дальнейшие нычислення аналогичны проведенным для *5-терма. Нормировка в. ф. D) дает
|Сг|2 = 9/256ir\ Сделанные выше замечания о связи сдвига ^-терма с результатами предыду-
предыдущей задачи непосредственно переносятся и на 'Р-терм. Только теперь вместо выражения C)
появляется множитель
4ffl2|C3| «,i<5jm + 2С2,Сг,*»т + 2C3iC;,etm - 3CjmG2|i,t - JCjiCi^O.tJ, Q5)
а формула (8) из 11.17, умноженная на 3, определяет сдвиг терма ДВ(!Р), если в ней
положить Ь/. равным ЬBР) — О
3) Наконец, терм 2D отвечает моменту L = 2 и координатная часть соответствующей
ему волновой функции должна выражаться через компоненты симметричного тензора второго
ранга, в условиях задачи линейного по всем векторам па, с равным нулю следом. Такой тензор
представляет определенную суперпозицию тензоров вила
и других, получаемых из приведенного перестановкой как индексов, так и векторов п„
Вид этой суперпозиции определяется требованием антисимметричности волновой функции
трехэлектронной системы20':
Здесь С,к - Ск, и С„ = 0, этот тензор определяет орбитальное состояние системы, см. 3 45
Смысл спиновых функций zap и Xt такой же, как и и выражении D). Нормировка этой
волновой функции лает
'* '4 ~ 128*''
Вычисление сдвига ДВ(!О) терма опять приводит к выражению (8) из 11.17, умноженному
на 3, причем значение bi следует положить равным Ь('D) = —1/20.
г0) Заметим, что выражение F) антисимметрично по отношению к перестановке «скторо» п, и пг
Анало1ично иыраженне G) антисимметрично при перестановке внугри фигурных скобок индексов р и, /.
свернутых с индексами антисимметричного тензора ?tpi

§ 2. Многоэлектронные атомы. Статистическая модель атома
55
Из приведенных выше значений bL следует порядок расположения термов.
так что нормальным является 4S-TepM в согласии с правилом Гунда в отношении значения
суммарного спина S такого терма2'1, а также указанное в услопии задачи отношение Л = 2/3
энергетических расстояний для рассматриваемых термов. Экспериментальные значения этого
отношения для атомов с электронной конфигурацией (пр)\ взятые из [17, с. 138], приведены
в таблице
Атом
Конфигур
Д»си
N
2р3
0,500
О+
2р3
0,509
Зр]
0,651
As
0,715
Sb
5р3
0,908
Bi
1,121
Сравнить с результатами предыдущей задачи.
11.19. Рассмотреть статистическую модель основного состояния нейтрального атома
с зарядом ядра Z > I в пренебрежении взаимодействием электронов друг с другом.
В рамках этой модели найти:
1) электронную плотность п(г) и г* для отдельного электрона,
2) распределение электронов по импульсам п(р), а также р и р2,
3) характерную величину орбитального момента электрона,
4) энергию полной ионизации атома Епал„ „он = —Ец.
Обратить внимание на зависимость от Z рассчитанных величин и сравнить с ре-
результатами модели Томаса—Ферми.
В пренебрежении электрон-электронным взаимодействием получить точное вы-
выражение для энергии основного состояния атома Ео и при Z > I сравнить его
с результатом статистической модели.
Решение. Основное состояние системы как целого возникает в результате последовательного
заполнения нижних по энергии одноэлектронных состояний. При этом в квазиклассичес-
квазиклассическом приближении плотность электронов п(г) связана с максимальным значением ра(г) их
импульса соотношением
1 !М _ 2v2 Z'" A -X)"' __ r
Здесь учтено, что максимальное значение полной энергии электронов
">
?о = j Р« ~ 7 = consl S " д ^2^
не зависитот г (этообеспечивает минимальность энергии нсей системы). При г > R имеем"'
п = 0, а само значение R определяется из условия нормировки и для нейтрального атома,
fn(r)dV = Z, оказывается равным R = (I8/ZI'3.
Найденную плотность числа электронов интересно сравнить с результатом модели
Томаса—Ферми. Для этого заметим, что если записать (I) в виде (XI.1), (XI.3), то для х(х)
получим (при г ^ R).
аЛ*) = 1-? = 1 - 0,338s; x =
-,
= 0,885.
"' В рассматриваемом случае S — 3/2. При этом для системы из трех эквивалентных р-электронов
орбитальный момент L — 0
"' Так что в рассматриваемой модели атом имеет четко выраженный радиус. Однако для «периферий-
«периферийных» электронов эффект экранировки заряда ядра является определяющим и предсказания модели для
них уже несостоятельны.

56
Глава 11 Атомы и молекулы
Сопоставление рсзулыпгов рассматриваемой модели и модели Томаса—Ферми представлено
и таблице
X
X,
X.
¦ <*>
0
I
!
0
0
0,5
.607
.К31
1,0
0,424
0,662
| 1.5
| 0,439
2,0
0,243
0,324
2.5
0,193
0,155
3,0
0,157
0
Более высокая вблизи ядра плотность электронов в рассматриваемой модели отражает отсут-
отсутствие экранировки заряда ядра, связанно: с пренебрежением взаимодействием электронов
др>'| с друюм. носящим о гтал к и нательный характер.
Обсудим основные закономерности, следующие из рассматриваемой модели.
1) Так как плотность л(г) нормирована па полное число электронов, равное Z, то функ-
функция w(r) n(r)/Z имеет смысл функции распределения вероятностей координат отдельного
электрона. Очевидно г" ос Z'*. при этом нетрудно получить, что г « 0,98 2"''' Таким
обраюм. электроны находятся в среднем на расстоянии от ядра, убывающем с ростом Z
как Z'"\
2) Плотность числа электронов в пространстве импульсов
I -. . 8Z'
сравнить с (I). Здесь Vq(p) — объем в г-пространстве, находясь в котором, электрон еще
может иметь импульс р Как видно из соотношения B), это — объем шара радиусом
->7.
D)
Эта плотность также нормирована на число электронов Z, так что выражение w(p) = n(p)/Z
имеет смысл функции распределения вероятности значений импульсов отдельного электрона.
Теперь нетрудно получить
Таким образом, характерная величина иьчгульса электрона с ростом Z возрастает как if3'3.
3) С учетом I) и 2) для характерных значений орбитального момента электронов имеем
очевидную оценку
«|i ~ *\.,|, ' Р>.ф ~ л ¦ (->)
4) Воспользовавшись теоремой вирпала, согласно которой для кулоиовскою взаимодей-
взаимодействия К ¦- U/2. находим энертю полны ионизации атома
, » ^ ,-,y/J
о
(mircipaji вычисляется подстановкой r/R = sin'и) 3roi же результат следует и in соотно-
соотношения — Е — Г - 2р?/2. в го время как в модели Томаса—Ферми ?,„,,„ „„,, й 0,7727/| (более
высокое значение F) связано с пренебрежением взаимодействием электронов друг с друюм,
носящим опалкиванмьнмй характер, что понижает полную энергию сиекмы).
Теперь заметим, 1\\о в пренебрежении лчекфон-элекфонным взаимодействием энершя
атома равна сумме энернш отдельных электронов ?„ = -Z2/ln: Разметая их по нижним
уровням с учетом принципа Паули и кратности вырождении кулоновских уровней, равной 2тг
(множикмь 2 — из-за спина электрона), имеем
?'„ -
2п! -
G)
|дс n,,m — максимальное значение главною квантовою числа уровня, на который еще
попадают >лекгроны В случае п,„„ » 1, заменяя во второй из сумм в G) суммирование

§ 2. Многоэлектронные атомы. Статистическая модель атома 57
интегрированием, находим п,„.,( » C2Г/2I/3 При этом энергии основного состоянии атома,
согласно первой из сумм в G), оказывается совпадающей с результатом статистической
модели, см. F).
В заключение подчеркнем, что результаты рассмотренной простой модели атома для
основных физических характеристик электронов в нем отличаются от результатов .модели
Томаса—Ферми лишь численным коэффициентом ~1 и правильно перелают их зависи-
зависимость от Z.
В связи с данной задачей см. также 11 39
11.20. Определить зависимость от Z числа электронов распределения Томаса—
Ферми, находящихся в s-состоянии.
Решение. Одноэлектронные s-уровни определяются квазиклассическим правилом квантова-
квантования для электрона в самосогласованном поле (U = -р(г)):
B,, + ?.(r)]dr = w(n + T). (I)
По смыслу распределения Томаса—Ферми (в каждом из нижних по энергии состояний —
один электрон) общее число л-электроно» в атоме равно удвоенному (с учетом спина) числу
занятых уровней, для которых Е„ ^ Ет„, где Ет„, — максимальное значение энергии томас-
фермиевских электронов. Для нейтрального атома Е„их = 0, и для соответствующего значения
nma< в (I) следует положить г0 = со. Переходя к томас-фермиевским единицам (XI 3) и опуская
квазиклассическую поправку 7 ~ I u выражении (I), получаем для общего числа «-электронов
в атоме
JV(l=0) = 2nnma-4/26 2 / vЫ^- dx = aZ]'\ B)
Я" J у X
о
причем численное значение а и 3,5 (его можно оценить, воспользовавшись для х(х) простым
приближенным выражением из II.22).
Согласно B), для Z = 27 имеем N я: 10, в то время как в атоме з;Со число j-электронов
равно 8. Для Z = 64, согласно B), N = 14, а число s-электронов в атоме uGd составляет 12.
11.21. В модели Томаса—Ферми выразить через электронную плотность п(г) кине-
кинетическую энергию электронов, энергию их взаимодействия друг с другом и с ядром,
а также полную энергию J?[n(r)] атома.
Показать, что функция щ(г), минимизирующая функционал Ь'[п(г)], является
решением уравнения Томаса—Ферми (XI.2) с <р = A/2)C7г2по(г)) ', и используя
это экстремальное свойство функционала, доказать в рамках модели Томаса—Ферми:
о) соотношение UeiM = -Wee между энергиями взаимодействия электронов друг
с другом Ucc и с ядром Uemu б) теорему вириала.
Используя пробную функцию вида23'
ехр {-^rZul }. / nnpo6dK -aZ,
и' Подчеркнем, что п рассматриваемой задаче речь нлет о fiejyc.iomioM минимуме функционала
?[п(г)] без дополнительного условия о нормировке п(г), при этом точная функции по(г) оказывается
авюматически нормированной на число Z электронов. Приближенная же пробная функция не обязана
удовлетворять такому условию.
Отметим интересное свойство функционала энергии В услопиях ланкой задачи ?[п(г)) для ней-
нейтрального атома принимает минимальное значение Если же ввести функционал ?'[^(г)|, см. II 22, то дли
нейтрального аюма он, наоборот, принимает максимальное значение Таким образом, результаты II 21,
11 22 дают ограничения как сверху, так и снизу для энергии атома в модели Гомаса—Ферми.

58 Глава 11. Атомы и молекулы
где а, А — вариационные параметры, найти энергию Е основного состояния нейтраль-
нейтрального атома с зарядом ядра Z вариационным методом; сравнить с точным результатом
модели Томаса—Ферми.
Решение. 1) Энергии взаимодействия электронов друг с другом и с ядром определяется
известными формулами электростатики |27)
<„
Кинетическая энергия электронов определяется из условия, что они распределены (с числами
заполнения п* = I) по нижним энергетическим уровням в самосогласованном поле атома,
и равна
^ f B)
(это выражение является непосредственным следствием квазиклассической формулы для
числа квантовых состояний
A"=B^= B*)> ''
которая при значениях Д1^ = I и AVP = 4тгр^11</3 связывает плотность электронов n = AN
с Рта,, при этом р2 = 3pJM,/5).
Таким образом, энергия атома (или иона) в квазиклассическом приближении выражается
через электронную плотность в виде
Вариация функционала ?(п(г)| равна
и условие, 6Е = 0, его экстремальности приводит к уравнению для функции п(г), миними-
минимизирующей энергию атома
¦ n(r') dV' ,
— dV = 0. D)
Подействовав оператором Лапласа на обе части этого уравнения и учтя при этом соотношение
1
= -4*г<5(г - г'),
получаем дифференциальную форму уравнения D)
Д [1 (ЗтУ V'J(r)] = -4т [Zt(r) - n(r)]. E)
Отсюда, имея в виду уравнение Пуассона электростатики, Ау> = —4irp, заключаем, что
величина (р — \Aк2J/>п21' описывает электростатический потенциал атома, а уравнение E)
при этом
*„ = _„*
(mm значений г ф 0) совпадает с уравнением Томаса—Ферми (XI.2).
Из уравнения D) при г —» со следует, что fn(r)dV = Z, т.е. минимальную энергию
имеет именно нейтральный атом, а не ион2". Это доказывает устойчивость такого атома
241 Иэ экстремальности функционала ?(л(гI при дополнительном условии Jn(r)dV = Z', отвеча-
отвечающем числу 7.' электронов, при значениях Z' < Z следуют обычные результаты для положительных
атомных ионов см [I, §70|, в случае Z' > Z функционал не имеет экстремума

§ 2. Многоэлектронные атомы. Статистическая модель атома 59
в модели Томаса—Ферми и в то же время означает, что статистическая модель не может
объяснить существование устойчивых отрицательных ионов35': «лишним» электронам в таком
ионе энергетически выгоднее покинуть его.
2) Установим теперь соотношения между величинами Т, Va, EU для нейтрального
атома. Обозначим через щ(т) объемную плотность электронов согласно модели Томаса—
Ферми. Изменение значения функционала ?![по(г)], определяющего энергию атома, при
замене функции По(г) на п(г) = A + А)по(г) с |А| С 1 равно
6Е = Е[п(г)} - Е[Мг)) « (j ^ + lUtt + С/,„)
и условие его экстремальности, SE = 0, дает
521 + 6tf« + 3tU = 0. F)
Аналогичным образом, рассмотрев преобразование вида п(г) = по(A + А)г) с |Л| 4С '•
получаем
ЗТ + 5С/« + 2CU = 0. G)
Из F) и G) следуют как соотношение Ue,a = -WK, так и теорема вириала 2Т = -(Uce+UC,B) =
-U.
3) Наконец, воспользуемся условием минимальности Е{щ(г)} для вычисления энергии
основного состояния нейтрального атома вариационным методом Для указанной в условии
пробной функции, согласно выражению C) получаем
Ж«, А) = ± (?) 'VW1 - \ a^Z1» + I a^Z^ (8)
(при вычислении Ua удобно воспользоваться значением интеграла B) из II 15). Минимизация
значения выражения (8) сначала по параметру А даст
Е{а) = min Е(а, А) = -— ( — ) а"\а - iJZv\ (9)
при этом
У/3
а последующая минимизация по параметру а при а = ао = 8/7 определяет энергию атома
Д>,МР« -0,759 Z713, A0)
и значение параметра Ао(ао) = 1,761; сравнить с точным результатом Ео = -0,769 Z113 для
модели Томаса—Ферми
В заключение сделаем замечание о свойствах пробной функции n,lpoe(r). Формально она
нормирована на число электронов, равное aZ, но получаемое с помощью ее значение E<,tMS
относится именно к нейтральному атому с числом электронов Z (выбор же о = 1 приводит
к менее точному значению Ей, хотя отличие и несущественно: вместо 0,759 в A0) появляется
значение 0,757). Рассматриваемая пробная функция после выполнения минимизации по А
соответствует выбору универсальной функции х(х) модели Томаса—Ферми в виде (Ь = 0,885)
Нетрудно заметить, что отличие х^л от томнои функции Хт-а, гораздо более значительное,
чем в случае значений энергии Ео. Так, для а = 8/7 имеем Хпроб@) = t, 19, в то время как
Хт-« @) — ' (такая ситуация не является удивительной для вариационного метода, сравнить
с 8.22).
J5' Существование таких ионов связано со свойствами внешних электронных оболочек, рассмотрение
которых в рамках статистической модели несостоятельно.

60 Глава 11. Атомы и молекулы
11.22. В рамках статистической модели нейтрального атома записать его энергию
JS(y?(r)] через потенциал <р(г) в таком виде, чтобы из условия экстремальности
функционала i5[y>(r)| следовало уравнение Томаса—Ферми (XI.2).
Используя пробную функцию
где а — вариационный параметр, найти энергию основного состояния атома вариа-
вариационным методом, сравнить с предыдущей задачей и с точным результатом модели
Томаса—Ферми.
Решение. Записав электростатический потенциал атома в виде <р = Z/r + <pv, где <р„(г) —
потенциал, создаваемый электронами, и воспользовавшись соотношением
п(г) = -л.(г)=^-,
см. (XI.I), по известным формулам электростатики находим
J P«(r)v>(r) dV = - |-2 У <pin(r) dV = 2UK + U,u,
V = UK> (I)
8тг
T = ^ / v"' dV
(о выражении для кинетической энергии электронов см формулу B) из предыдущей задачи).
Отсюда
Л. ft Г I Г / 17\ / Г7\
V. B)
Варьируя tp(r), из условия экстремальности функционала В[у>(г)] (в данном случае —
максимальности!, сравнить с предыдущей задачей) действительно приходим к уравнению
Томаса—Ферми для потенциала Далее, рассмотрев потенциал26':
где voM — решение уравнения Томаса—Ферми, |А| < I, из условия экстремальности [
приходим к соотношению
T + 4U« + Vtu = 0, C)
а из выражений (I) имеем
5Г + 6Г/М + 3!7С„ = О. D)
Отсюда следуют как равенство (/еня = -7[/„, так и теорема вириала для кулоновского
взаимодействии к атоме.
Для вариационною расчета энергии Ей основного состояния нейтрального атома по фор-
формуле B) ее удобно преобразовать к виду
/[|Ы))]2* E)
15)г
о
!" При варьировании потенциала должно соблюдаться условие if(r) « Z/r при г -• 0; в противной
случае, как видно из выражений (I). значение Ua обращается в бесконечность

§ 3. Основные представления теории двухатомных молекул
61
(так как функция <р - Z/r не имеет особенности в точке г = 0, то во втором из интегралов B)
можно заменить Д на '- j-jr, после чего интегрирование по частям приводит к выраже-
выражению E)). Отсюда для указанной в условии пробной функции получаем (первый интеграл
подстановкой х = •/? сводится к Д I.5).
F)
I 2
~Ja ~ 5
Максимальное значение Е(а0) этой величины определяет энергию основного состояния
атома
Я»,»р = В(оо) = -0,771 Z7/\ G)
при этом
'35
2/3
(в условиях задачи G) является ограничением снизу для истинного значения Ец в модели
Томаса—Ферми, равного Ео - -0,769 Z713, сравнить с результатом предыдущей задачи).
В заключение заметим» что рассмотренная пробная функция воспроизводит с высокой
точностью не только значение Е9, но и универсальную функцию х{х) модели Томаса-
Ферми. Сравнение Хпров " 0 +ах)'2, х = Z]/ir/b, a = aob ~ 0,569, с точной функцией хт.ф
проведено в таблице
X
Хт-о(*)
0
1
1
0,5
0,607
0,606
1,0
0,424
0,406
2,0
0,243
0,219
5,0
0,079
0,068
Различие их особенно мало в области х < 1, где сосредоточено наибольшее число элек-
электронов; с ростом х отношение Хпроб/хт-Ф убывает. Это связано с тем, что рассматриваемая
пробная функция п = Bу>K/2/C'1'2) нормирована на число электроном, ранное
35
меньшее Z; сравнить с предыдущей задачей.
§ 3. Основные представления теории двухатомных молекул
11.23. Произвести классификацию возможных термов молекулярного иона водоро-
водорода Hj'. Указать возможные значения орбитального момента электрона L по отношению
к центру симметрии для различных термов иона.
Решение. Для термов молекулярного иона водорода Н^ с квантовым числом Л проекция
орбитального момента электрона на направление оси, проходящей через ядра — протоны,
может принимать лишь значения т = ±Л. Поэтому волновые функции таких термов могут
быть записаны я виде следующего разложения по шаровым функциям:
*™(г,0,9) =
= R(r, в)е
(О
где г, 9, <р — сферические координаты с полярной осью, направленной вдоль оси симметрии
иона, и началом системы координат в центре отрезка, соединяющего ядра
Для Е-термов (у которых т = Л = 0) волновая функция A) при отражении координат
электрона в плоскости, проходящей через ось симметрии иона, не изменяется (при таком
преобразовании координат гиб остаются неизменными, а от <р в ф. не зависит, так
как т = 0) Это означает, что 2-состояния являются 2"-термами, а ?~ -термов у иона Н^
не существует, что является специфическим свойством одноэлектронной системы.

62 Глава 11. Атомы и молекулы
В.ф. терма (I) может быть выбрана собственной функцией оператора / отражения (ин-
(инверсии) координат электрона относительно точки г = 0, коммутирующего с гамильтонианом
системы Так как при этом IYim = (-1LЦ„, то сумма в A) включает либо лишь четные
значения L, либо только нечетные L В первом случае в.ф. A) соответствует четным термам
с квантовыми числами Л9, а во втором — нечетным термам Л, (напомним, что классификация
термов двухатомной молекулы на четные и нечетные возникает в случае одинаковых зарядов
ядер молекулы и связана с поведением п. ф. терма при отражении координат только лишь
электронов, см. [I, §78]).
Итак, возможные термы иона:
2е;, 2е;, 2п„ 2п„ 2д„ 2д
11.24. Состояние системы из двух электронов описывается волновой функцией Ф =
iKn> ^)Хар, где Хар — спиновая функция, а ^(гь г2) имеет вид
а) i>
б) V
в) i>= ((г|Г2)по)/(г|,г2);
г) f = (г1П0 + г2п0)([Г|Г2]п0)/(Г|,г2).
Произвести принятую в теории двухатомных молекул классификацию указанных
состояний, рассматривая постоянный вектор По как аналог радиус-вектора относитель-
относительного положения ядер.
Решение. Все четыре указанные в условии в. ф. не изменяются при повороте системы
координат вокруг оси, параллельной вектору по и проходящей через точку г = 0. Поэтому
все они описывают состояния с проекцией т — А = 0 суммарного орбитального момента
электронов на эту ось, т.е Е-состояния.
Далее, приведенные в. ф. имеют определенную четность по отношению к инверсии
координат электронов: в.ф. а) и в) являются четными, т. е описывают Е„-состояния,
а нечетные в.ф. 6) и г) описывают ^„-состояния (сравнитьс предыдущей задачей)
Наконец, при отражении координат электронов в плоскости, проходящей через указан-
указанную выше ось, в.ф. а) и б) не изменяются, т.е. отвечают Е^-состояниями, а меняющие
знак в.ф. в) и г) описывают 2"-состояния.
Таким образом, имеем следующую классификацию рассматриваемых состояний:
а) Е,+ ; 6) Е;; в) Е- г) ЦТ
(их мультиплетность — I или 3 — определяется значением S суммарного спина электронов,
зависящим от симметрии координатных в ф. г/>(Г|,гг) по отношению к перестановке координат
электронов).
11.25. Для двухатомной молекулы оценить по порядку величины отношения следую-
следующих величин:
а) интервалов между электронными, колебательными и вращательными уровнями;
б) межъядерного расстояния и амплитуды колебаний ядер;
в) характерных периодов и скоростей электронных и ядерных движений.
Решение. Основным физическим обстоительстном в квантопой механике молекулы является
малость отношения
- ~ 1(Г<-1<Г'
м
(т — масса электрона, а М — приведенная масса ядер) которая и обусловливает значительные
различия порядков величин, перечисленных в условии задачи.
а) Линейные размеры молекулы а^, и расстояния ам между ядрами в ней имеют
такой же порядок величины, как и линейные размеры а„ области локализации валентных
(инешних) электронов в атоме.

§ 3. Основные представления теории двухатомных молекул 63
Характерные значения энергий валентных электронов в атоме и в молекуле, как и раз-
разности соседних электронных термов молекулы при «закрепленных» ядрах, равны по поряд-
порядку величины Е%1 ~ Л2/тав. Характерные же значения интервалов между колебательными
и вращательными уровнями молекулы для одного и того же электронного терма имеются
существенно меньший порядок
ft2 h2
, (и + 1/2), — уровни осциллятора с массой М
и коэффициентом упругости к, порядок величины которого из соображений размерности
определяется соотношением ка2я ~Д2/та|, а шкш = \JkjM. Вращательные уровни молеку-
молекулы В^.к = h2K(K + 1)/2/ — уровни сферического ротатора с моментом инерции / = МЯ2,,
где До — равновесное расстояние между ядрами, До ~ ав (фактически в случае термов
с Л Ф О вращение молекулы моделируется симметричным волчком)
б) Оценка амплитуды колебаний ядер из соотношения Екоя ~ kalm дает
/т\|/4
а™~\м) Ов<<а-
в) Характерные периоды различных движений в молекуле:
^oe^moij L^(M.\'P Т °° (МЛ —
Гм vM Л ' Гк<" и™ \mj Гзл> Т"р «нл.р ~°°\-б.р/ m Г"'
Различные порядки этих периодов обусловливают применимость адиабатического приближе-
приближения (см. §6 главы 8), согласно которому энергетические уровни молекулы представляются
в виде
причем В»р < ?,„„ « ?„
11.26. Считая известными следующие характеристики молекулы водорода Hi-
1) энергию диссоциации основного состояния молекулы на два невозбужденных
атома водорода Jo = 4,46 эВ;
2) частоту колебаний шс молекулы, hwc — 0,54 эВ;
3) ротационную постоянную Вс = 7,6 • 10~3 эВ,
найти соответствующие величины для молекул HD и Dt, в которых одно или оба
ядра-протоны заменены на дейтрон.
Сравнить величины эффекта изотопического смещения уровней атома и молекулы
водорода.
Решение. Энергия основного состояния молекулы равна
I
jEb = Ям,о I" Б«м,0 = ^o(Ro) + Г Л^коя ¦ С)
Здесь ?о(Л) — основной терм, До — равновесное расстояние между ядрами, avM = ше =
\/E'i(Rt)IM, М — приведенная масса ядер; ротационная постоянная молекулы Ве =
о
Так как при замене ядер молекулы их изотопами зависимость Е0(Я) и значение До
остаются неизменными, то с учетом соотношения тЛ ж 2тр находим
(ЛиОно «= ^(ЛЫс)н> = °'46 эВ] (Bc)hd К 5(Вс)н' = 5)? ' '° 3 ЭВ:
(ДшеH! « ^=(ftwe)H! = 0,38 эВ, (Ве)Ог « ^(Ве)нг = 3,8 • Ю эВ.

64 Глава 11. Атомы и молекулы
Энергия диссоциации молекулы
I = Ет + Ет - Е
где В\\ — основные уровни соответствующих атомов водорода с учетом конечности массы
их ядер2'1
4 / \ • \
Jpl * **«» _ I 1 — \ — _ ]  ЛЛ | I __ I ^ D
2ftJ \ MM/ ' \ M».,/
По приведенным формулам получаем
Эффект изотопического смещения уровней в атоме водорода имеет величину порядка
Я1 ~ тс/МЦЛ ~* I0, а в молекуле составляет
'40'
при этом п молекуле он наиболее ярко проявляется в изменении частоты колебаний ядер шм„.
11.27. Каковы возможные вращательные состояния молекул Н?, дейтерия D2 и HD,
находящихся в основном, Е^"-состоянии, в зависимости от значения суммарного
ядерного спина (спин дейтрона равен 1)?
Как зависит от значения орбитального момента молекулы знакп) терма?
Решение. I) Ограничение на возможные значения орбитального момента К молекулы при
фиксированном значении суммарного ядерного спина возникает по той причине, что волновая
функиия системы тождественных частиц (п данном случае — ядерной подсистемы в моле-
молекулах Н; и Dj) должна обладать определенной симметрией по отношению к перестановке
переменных (спиновых и координатных) любых двух частиц. Учитывая, что спиновая в ф.
системы двух спинов величины29' i при значениях суммарного спина / = 2i, 2» — 2,... сим-
симметрична по отношению к перестановке спиновых переменных, а при I = 2i — 1,2i — 3,...
антисимметрична (см 3.30), а также характер симметрии в.ф для тождественных бозонов
и фермиоков, заключаем, что при перестановке пространственных переменных ядер волновая
функиия молекулы не изменяется при четном значении ядерного спина (I = 0 у Н2 и 7 = 0;
2 у Dj) и меняет знак при нечетном /. Подчеркнем, что это заключение, как и окончатель-
окончательный результат о возможных значениях момента К, относятся к любой двухатомной молекуле
с Л — 0 и тождественными ядрами Выясним, к каким ограничениям на значения К приводит
отмеченное обстоятельство
Для рассматриваемых молекул с Л = 0 зависимость волновой функцией от ядерных
координат определяется выражением
(О
Здесь Ykm — шаровая функиия; в, f — полярный и азимутальный углы радиуса-вектора
R = R2- R, = Дп взаимного расстояния ядер; 1Р„л=о — в. ф электронного Е-терма молекулы,
^мм(Л) — и. ф. колебательного движения ядер. При перестановке координат ядер, т. е при
преобразовании R -» -R. колебательная часть в. ф. не изменяется, а шаровая функция
умножается на (—1)*
Более тонким является вопрос о преобразовании ». ф Ф„Л=о электронного терма. Эта
функции является скаляром (или псепдоскаляром, в зависимости от квантовых чисел терма),
зависящим лишь от векторов г,, гг и R. Наиболее общий вид такой функции
Ч'пл-о = *(г,, г,, R, r,R, r,R, Г|Г3, [r,r2JR) B)
271 См подстрочное примечание в решении задачи 11 30
' Напомним, что знак терма — положительный или сприцгпельнмй — характеризует поисдение
иолновой функции молекулы при одновременной инверсии координат всех электронов и ядер » определяет
по своему физическому смыслу четкость состояния молекулы
к) Спины ялер обычно обозначаются буквами i » I

§ 3. Основные представления теории двухатомных молекул 65
(она не изменяется при вращении электронной подсистемы вокруг оси, проходящей через
вектор R, как и требуется для терма с Л = 0). При отражении координат электроном
в плоскости, проходящей через вектор R, имеем
Р|Ф„д-о = Ф(г|, г2, й, r,R, r2R, r,r2, -[r,r2]R) =
= <7,ф(г|, r2l Д, r,R, r2R, r,r2, (r,r2lR), C)
где О\ равно +1 и —I соответственно для ?+- и Е~ -термов. Аналогично при отражении
координат электронов относительно центра отрезка, соединяющего ядра, получаем
АФял-о = Ф(п, г2, Л, -r,R, -r2R, r,r2, (r,r2)R) =
= <ГзФ(гь г2, R, r,R, r,R, r,r2l (r,r2]R), D)
где <r2 равно +1 для четных ?s- и -I для нечетных ?„-термов.
Теперь замечаем, что преобразование R -» -R эквивалентно произведению преобразо-
преобразований, выполненных в C) и D), т.е. Р(Н -* -R) = Р,Р2, так что
и для волновой функции молекулы
P(R -. -R)*^,WnA=0 = H)V<^a-m»a=o- E)
В соответствии со сказанным в начале решения имеем
(-1)*<7,<Г2 = (-1)'. F)
Это соотношение определяет связь возможных значений квантовых чисел К, I, аи <г2
для двухатомной молекулы с тождественными ядрами. В частности, для молекулы водорода
основной терм Ej . При этом <Г| = <т2 = +1, так что, согласно F), у молекулы Н2 при суммар-
суммарном ядерном спине I = 0 и у молекулы D2 при / = 0, 2 возможны только четные значения
орбитального момента К =0,2,4,..., а при I = ] — только нечетные К (возможные же
значения К для молекулы Н D с различными ядрами не зависят от суммарного спина ее ядер).
2) Теперь заметим, что из соотношений C) и D) следует, что для в.ф. B) произведение
преобразований P(R —» — R)P2. соответствующее инверсии координат как электронов, так
и ядер, эквивалентно преобразованию Р| и в.ф (I) при инверсии умножается на (-1)ксГ|.
Этот множитель и определяет знак состояния молекулы с Л = 0 (но уже не обязательно
с тождественными ядрами!). Соответственно для ?' (? ) термов состояния молекулы с чет-
четным (нечетным) моментом К являются положительными, а при нечетном (четном) К —
отрицательными30'.
Сделаем несколько заключительных замечаний Прежде всего обсудим вопрос о значе-
значениях орбитального момента ядер. Он не совпадает со значением К вращательного момента
молекулы и, более того, не имеет определенного значения, как и орбитальный момент элек-
электронов Однако для S-термов молекулы с одинаковыми ядрами все его возможные значения
Lm имеют одинаковую четность, так что (-\I" = (-IO; при этом соотношение F) свя-
связывает значении Ьт с квантовыми числами К, <гь ст2. Так, для Х?" и 2» -термов имеем
LM = К, К ± 2,... .
С определенным значением величины (-1)Л" (для двухатомных молекул с одинаковыми
ядрами), отвечающим инвариантности гамильтониана по отношению к взаимной перестанов-
перестановке координат ядер, связана классификация состояний молекулы на симметричные относитель-
относительно ядер при (—I)'"* = (— 1)*<Г|<г2 = +1 и антисимметричные при (— I)*" = (— 1)*<Т|<Т2 = —I
(напомним, что множитель (~\)к<гх = (-IJ'ctj определяет знак молекулярного уровня).
Установленное ограничение F) на возможную величину вращательного момента мо-
молекулы К при различной четности суммарного спина ядер I приводит к зависимости
молекулярных уровней от / за счет различных значений вращательной энергии (даже в отсут-
отсутствие спиновых слагаемых и гамильтониане). В этом проявляется обменное взаимодействие
ядер. Однако ввиду малости вращательной энергии (~ mt/My,,) оно значительно слабее
' Не путать знак молекулярного уровня со знаками + и — электронных термов ?*!

66
Глава 11. Атомы и молекулы
обменного взаимодействии электронов в атоме. Так, для соответствующих уровней В/к
ортоводорода (I = I) и параводорода (I = 0) имеем
Еыикп ~ Еыо.к = 2В<(К + I) = 0,015(Я + I) эВ,
здесь К = 0,2,4,... (значение ротационной постоянной для молекулы Н? см. 11.26).
11.28. Найти электронные термы E(R) отрицательного молекулярного иона (АВ)~
в рамках модели, в которой взаимодействие внешнего электрона с атомами А и В
аппроксимируется потенциалами нулевого радиуса, см. 4.10.
Обратить внимание на:
1) возможность существования устойчивого иона (АВ)~ в случае, когда стабиль-
стабильные ионы А" и В" не существуют;
2) закон изменения при R —» оо разности энергий четного и нечетного термов
(в случае одинаковых атомов А = В).
Решение. Решение у. Ш. для частицы н совместном поле лвух потенциалов нулевого радиуса,
локализованных в точках r,i2, при значениях энергии Е = -Н2х*/2т < 0 имеет вид31'
МО =
е-*-"'
¦" + ¦
(О
|r-r2|
Граничные условия для в. ф. при г —> Г| 3) определяющие потенциалы нулевого радиуса, дают
(см. 4.10)
(х - сг|)Лс, = е""ясг, e~*RCi = (х - а2)Яс2, B)
здесь R = Г| - г2. Условие совместности этой системы уравнений относительно С||2 приводит
к уравнению для спектра E(R), моделирующего электронные термы молекулярного иона.
C)
Рассмотрим некоторые следствия этого уравнения.
?,.,(/»'
I) В случае а||2 > 0 в каждом из потенциалов в от-
отдельности существуют связанные состояния (отрицатель-
(отрицательные атомные ионы) с энергиями Е] 2 = —Лго{^/2т. При
R совместном действии потенциалов состояния с E(R) < 0,
— соответствующие термам молекулярного иона (очевидно,
— что это К+ -термы, так как в.ф. (I) не изменяется при вра-
вращении вокруг оси, проходящей через вектор R), обладают
следующими свойствами При Я —» оо таких состояний
два, причем для них ?12(Д) -» Е®2, я их в.ф. в случае
а, Ф ct2 локализованы на каждом из центров в отдельности.
При уменьшении R более низкий терм понижается, при-
причем дли него E{R) —< -оо при R -* 0, а более высокий терм
идет вверх и при R = Re = (a,ai)~ выходит в непрерыв-
непрерывный спектр, см рис 2 Понижение терма с уменьшением Я
(притяжение) указывает на существование устойчивого иона (АВ)~. При этом в рассматри-
рассматриваемой модели равновесное расстояние между ядрами До = 0 и E(Ro) = -оо (т.е возникает
«паление» на центр). Это означает, что истинные значения этих величин существенно зависят
от кила потенциала на атомных расстояниях. В связи с этим подчеркнем, что аппроксимация
взаимодействия электрона с атомом потенциалом нулевого радиуса действия оправдана лишь
в случае, когда энергия связи электрона в атомном ионе \Ец\ <S h}/ma\, а область локализа-
локализа' 1
Рис.2
ции его в. ф.
ав. Второй, повышающийся с уменьшением Я электронный терм
31) Српмшть с 4.10. Заметим, что янплогичная (I) суперпозиция определяет вид решения для связанных
состояний часгиим при произвольном числе потенциалов нулевого радиуса (это следует из интегральной
формы ураинсния Шреаингера, см. 4.20).

§ 3. Основные представления теории двухатомных молекул 67
соответствует отталкивптельному взаимодействию и не приводит к образованию устойчивого
молекулярного иона.
В случае at = а^ = а, из B) и C) видно, что для рассматриваемых термов с, = ±сг, так
что они имеют определенную четность, т.е. являются ?/- и ?+-термами. Для разности их
энергий при Д —» ос из C) получаем
E»(R)-E,(R)*^e-°R D)
(при этом в правой части уравнения C) можно положить х = а, гак что (к}<и -a) a ±e~aR/R,
а АЕ йй2аДи/т)
2) В случае «, > 0, «2 < 0 су шествует л ишь один устойчивый атомный ион. Согласно C),
при этом имеется также лишь один терм с E(R) < 0, причем для него, как и в предыдущем
случае, E(R) -* i?{0> при R — оо и E(R) -> -оо при R -» 0.
3) Наконец в случае <*| 2 < 0 устойчивые атомные ионы не существуют. Однако для
электрона в поле двух атомов, находящихся на расстоянии R < Rc = (aia2)"l/2, уже воз-
возникает связанное состояние При этом E(RC) = 0 и E(R) с уменьшением R понижается,
причем E(R) -» -оо при R —• 0. Это указывает на возможность существования устойчи-
устойчивого молекулярного иона Однако этот вывод обоснован лишь в случае Rc 2> ав Если же
Re ? On, то рассмотрение, основанное на модели потенциалов нулевого радиуса, является
уже несостоятельным (так, взаимодействие частицы с непроницаемой сферой радиуса о при
значениях энергии Е < И2/та2 может быть аппроксимировано потенциалом нулевого ради-
радиуса с а = -I/a; вывод же о существовании связанного состояния в поле двух непроницаемых
сфер, конечно, ошибочен)
11.29. Найти основной терм Ец(К) молекулярного иона водорода Н^" вариационным
методом, аппроксимируя волновую функцию терма «водородной» функцией вида
где г — расстояние электрона от центра отрезка, соединяющего ядра-протоны, a —
вариационный параметр.
Рассчитать минимальную энергию терма Ео, равновесное расстояние между ядра-
ядрами B,q, энергию нулевых колебаний ядер ?Кол,о и сравнить их с экспериментальными
значениями: Ец ~ -0,60 а. е., До w 2,0 а. е., 25к0л,о й 0,0044 а. е.
Можно ли на основании результата расчета сделать вывод о существовании
стабильного иона HJ"?
Решение. Среднее значение гамильтониана электрона при «закрепленных» ядрах иона
я =_!д!L i
2
д+
2 |r-R/2| |r + R/2| R
в состоянии, описываемом волновой функцией Ф|,роб(г), равно
, a) = IM = ^j-[3-2B+ й)е-°]-1 (I)
(так как в ф имеет вид «водородной» функции, то для средних значений Т и |r±R/2|~
можно воспользоваться известными выражениями; в частности
R
как это следует из формулы D) задачи 4.6, если в ней положить г = Д/2, а = R/a, е = I
и вычесть 2/Д).
3'

68 Глава 11. Атомы и молекулы
В рамках вариационного метода выражение (I) можно рассматривать как некоторое
приближенное значение истинной энергии E0(R) основного терма, причем наилучшее
приближение получается после минимизации A) по параметру а. Оптимальное значение а(Д)
их условия Э?о(Л, а)/да = 0 таково, что
ае" =2Д. B)
При этом выражения (I) и B) определяют зависимость ?о|Мр, имеющую вблизи точки
абсолютного минимума вид
\ ЯоJ. C)
В результате несложного (с помощью компьютера) численного расчета получаем
Яо,«ф(Д) = -0,470+ О,О78(Д- 1,78J. D)
Согласно D), искомые характеристики основного терма
До = -0,47, До = 1,78, E,M,,= ]-u>t
Эти результаты значительно отличаются от экспериментальных значений, что связано с крайне
простым выбором пробной функции (отметим, что в [I0J проведено более реалистическое
исследование иона Н2* с пробными функциями в виде суперпозиции «водородных» волновых
функций, связанных с каждым из ядер иона).
11.30. Оценить характерное расстояние между ядрами в /i-мезомолекулярном ио-
ионе водорода"', а также значения величин шA и В,, для иона в адиабатическом
приближении, воспользовавшись результатами из предыдущей задачи для обычного
иона HJ.
Решение. Так как т„1т0 к 1/9 < 1, то характерные скорости ядер много меньше скорости
мюона и можно использовать адиабатическое приближение. При этом движение ядер происхо-
происходит п эффективном потенциале U(R) = EU(R), определяемом энергией основного мюонного
терма при «закрепленных» ядрах и имеющем такой же вид, как и в случае обычного молеку-
молекулярного иона Hj , если воспользоваться мюонными атомными единицами m^-e-h— I.
В этом приближении характерный размер иона определяется расстоянием До, отвечаю-
отвечающим минимуму зависимости ?ч>(Д) и для мезомолекулирного иона составляв! До ~ 2 а.е. =
irf/m^e1 ~ 5 • 10"" см. Значения величин ш„ и В„ (в мюонных атомных единицах):
где М ~ приведенная масса ядер, сравнить с 11.26.
Необходимо сделать замечание об особенностях применения адиабатического прибли-
приближения для мезомолекулярных систем, связанных со значением х ~ '/'О параметра адиа-
батичности, сравнить с х ~ Ю-Ю для обычных молекул, см 11 25 Хотя приближение
«закрепленных» ядер для вычисления ?0(Д) еще оправдано (но с существенно меньшей
точностью), дальнейшего разделения ядерного движения на независимые колебательное
и вращательное уже не происходит. Колебательное движение носит сильно ангармонический
' Волее точно, к Н^ следовало бы добавить также малое слагаемое 1^,/2МЛ <х jne/MkKl получаю-
получающееся при усреднении по электронному состоянию центробежной энергии ядер, сы |1, §82]
331 Из-за малости размера п мезомолекулнрном ионе сушественно возрастает проницаемость кулонов-
ского барьера, разделяющего ядра Поэтому н случае, когда ядрами иона являются тяжелые изотопы
водорода (<i или t), мюон выступает как катализатор реакипй ядерного синтеза (например, tit —
п« + 17,6 МэВ); см в связи с этим II 59, II 74, а также обзор no /i -катализу Зельдович Я. Б., Гер-
штейнС.С УФН. I960 T.7I С 581.

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях 68
характер и существенно зависит от величины момента К, так что использование формулы
адиабатического приближения для спектра
+^+В^К(К + \) B)
уже не оправдано. Впрочем, для состояний с и = О, К = 0 и I она дает еще разумные
значения энергии Так, для df/j-системы из нее следуют значения энергии связи34': ск, =
-1/2 - EKv, равные гад и 0,059 а е. и 330 эВ и сц> ss 0,036 а. е. ~ 200 эВ; сравнить
сточными значениями 319 эВ и 232 эВ соответственно. Заметим, что, как показывают точные
вычисления, у мезомолекулярных ионов водорода имеется по два связанных состояния (и = 0
и I) с К = 0 и I, одно (и = 0) — с К = 2, а устойчивых состояний с К ^ 3 не существует.
§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях.
Взаимодействие атомных систем
Атомные системы во внешнем электрическом поле
11.31. Рассчитать поляризуемость основного состояния атома водорода вариацион-
вариационным методом, воспользовавшись пробными функциями
а) Ф(г) = СФ0(г) (I + а$>г) = С тг~''7 е~г(I + а$>г cos в);
б) Ф(г) = С к-1'2 (е~г +а-у5'2^ге'^ cos6] ,
где а, 7 — вариационные параметры, Фо = е~г/%/тг — волновая функция основ-
основного состояния невозмущенного атома водорода, <?о — напряженность внешнего
электрического поля. Сравнить с точным значением /?о = 9/2 (использованы атомные
единицы).
Решение. Запишем пробную волновую функцию в виде Ф|фов = С(Ф0 + a^4ff), где
Теперь заметим, что нормированная на единицу (как и Фо) функция Ф| совпадает с в ф.
состояния с квантовыми числами n = 2,/=l,m = 0 водородоподобного атома с зарядом
ядра Z = 27 ("с = I в случае а)) и поэтому удовлетворяет уравнению
\ 2 г / 2п2 2
Соответственно записав гамильтониан системы в виде
Я=--Д 1- $г = Но + ?г cos в (I)
(ось z направлена вдоль электрического поля), находим
5 = <Ф,| -^ Д- ^ + ^Lzi|*t> = ll^_i B)
2. V Т Л
3<) Здесь в энергии основного состояния мезоатома, рапной —1/2, не сделана поправка на конечность
массы (более тяжелою) ядра, приводящая к увеличению энергии свизи Ее величина такою же порядка
~ш)д/М>„, как и вклад п энергию терма от слагаемого 1,,/2Л^Л2, получающегося при усреднении
по мюонному состоянию иентробежкон энергии ялер, см. [I, §82] Это слагаемое в мезомолекуле
более существенно, чем в обычных молекулах и приводит к повышению терма (и уменьшению энергии
связи). Таким образом, укаинные неучтенные слагаемые имеют противоположные знаки и частично
компенсируют друг друга
Заметим, что мюонная атомная единица энергии к 5,63 кэВ

70 Глава 11. Атомы и молекулы
(значение (Ф||;|Ф|) = jf(*i \Ц |Ф|) = \ непосредственно следует из теоремы вириала).
Далее очевидно.
(Фо|#о|Фо> = ~\, <Ф»|г|Фо> = (Ф| l«l*.> = 0,
(Ф,|Яо|Фо) = {*о|Я0|Ф,) = -1(Ф, |Ф0> =0, C)
(заметим, что в. ф. Фо и Ф, взаимно ортогональны как отвечающие различным значениям
орбитального момента). Наконец
Соотношения A)-D) позволяют найти E(q,j) = (Ф|Я|Ф) с точностью до членов
включительно.
В случае а) имеем _ i i
Щ) '7 \
Минимизация по параметру а дает
JSo.hp = minJB(a) = S(a0) = -- -2с*2, а0 =-2. E)
Сравнивая это приближенное значение энергии основного состояния атома водорода, нахо-
находящегося в слабом электрическом поле, с точным -1/2 - /30<*2/2, где Ро — поляризуемость
основного состояния атома, находим ее приближенное (вариационное) значение
А>,*,р = 4. F)
В случае 6) имеем
Минимизация по параметру а дает
I 2'У
а последующая минимизация по параметру"' 7 позволяет найти более точное, чем в случае а),
значение поляризуемости
отличаюшееся от точного, /?о — 9/2, лишь на 0,6 %.
В заключении заметим, что если пробная функция выбрана таким образом, что в отсут-
отсутствие электрического поля она совпадает с точной волновой функцией невозмущенного га-
гамильтониана, то вариационный расчет поляризуемости основного состояния дает ограничение
снизу на ее точное значение (поэтому, даже не зная точного значения поляризуемости, можно
утверждать, что результат G) заведомо более точен, чем F)).
11.32. Используя известное значение ро = 9/2 а. е. поляризуемости основного состо-
состояния атома водорода, получить приближенное значение поляризуемости основного,
l'S-состояния двухэлектронного атома или иона,
а) пренебрегая взаимодействием между электронами,
б) учитывая его результативно как взаимное частичное экранирование заряда
ядра, выбрав эффективный заряд равным Z^ = Z - 5/16, см. 11.6.
35'Оптимальное значение 70 получается из услооии OE/df = 0, представляющего алгебраическое
уравнение третьей степени относительно 7- Из него следует 7о й 0,797 (два других корня уравнения —
комплексные).

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях
71
Сравнить полученные результаты с экспериментальными данными, приведенными
в решении задачи.
Решение. Гамильтониан и энергия основного состояния атома водорода, находящегося в од-
однородном электрическом поле, имеют «ид
причем El = — j (me'/Л1), a /3o = f (fi2/meJ)J. Для иодородоподобного атома с зарядом
ядра Ze гамильтониан
Я =
27П
(О
а энергия Ео может быть получена из приведенных выше выражений с помощью замен
е -» \/Ze, (< -»<f/y/Z. так что
и поляризуемость такого атома 0О = 9
Гамильтониан гелиеподобного атома в электрическом поле в пренебрежении взаимо-
взаимодействием между электронами равен Н = Н\ + Hi, где H\i имеют вид A). Очевидно,
энергия и поляризуемость основного состояния такой системы получаются умножением на 2
соответствующих величин для водородоподобного аюма с тем же зарядом ядра Z. В этом
приближении
4
Физически естественным представляется, что более точное значение поляризуемости
двухэлектронного атома (иона) может быть получено в результате замены в формуле B)
заряда Z на эффективный заряд:
C)
Сравнение рассчитанных значений поляризуемости с экспериментальными данными ¦"'
для l'5-состояний атома гелия и некоторых двухэлсктронных ионов представлено в таблице
Ион
Согласно B)
Согласно C)
Эксперим. знач.
Не
0,56
1,11
1,36
Li+
0,111
0,173
0,196
Be2*
0,035
0,049
0,054
BJ+
1,4- IO"J
1,9-10'2
2- 10
C4+
6,9- Ю
8,6- 10
Й,8- 10
11.33. Рассмотреть эффект Шторка для возбужденных состояний атома водоро-
водорода с главным квантовым числом п = 2 в первом порядке теории возмущений. При
решении задачи воспользоваться собственными функциями невозмущенного гамиль-
гамильтониана Фп/т в сферических координатах. Указать правильные функции нулевого
приближения и условия применимости полученных результатов.
Решение. Ненозмушенный уровень атома водорода с п — 2 является четырехкратно вы-
вырожденным (без учета спина электрона). Для расчета его расщепления в однородном
электрическом поле воспользуемся сскулярным уравнением. Соответствующие с. ф Ф^,„
невоэмущенного гамильтониана перенумеруем следующим образом:
*?» = «»,.,
= »„„ Ф4т = *„,.,.
м)Они вэиты из книги1 Киттелъ Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. С. 480

72
Глава 11. Атомы и молекулы
При эгом <i!Vm = Дл(г)У,т, где
а шаровые функции Уоо и Y,m приведены в (III.7). Легко заметить, что отличны от нуля
только следующие матричные элементы возмущения V — ezt = ercosfl ¦ <*:
- i)r4 cos 2в dr dn - ~w'
так что секулярное уравнение, |К* - ?>''йа| = 0, и его решение принимают вид
Е[п -3teau<* О О
3«eeBt* -e['} О О
О 0 -Е\п О
О
-В!
.(О
Таким образом уровень расщепляется на три подуровня, из которых два являются невыро-
невырожденными, а один — двукратно вырожденным (с учетом спина электрона эти кратности
вырождения удваиваются; заметим также, что в более высоких порядках теории возмущений
дальнейшего снятия вырождения не происходит — сравнить с 8.11).
Правильные функции нулевого приближения Ф±\ отвечающие расщепленным уров-
уровням е['\щ = ±3еав/, имеют вид
*?> = -L (
- г т г cos
В этих состояниях, нс имеющих определенной четности, электрон имеет отличный от нуля
средний дипольный момент, направленный вдоль электрического поля <f и равный ?3еав.
Здесь проявляется специфическое для кулоновского потенциала случайное вырождение уров-
уровней с различными значениями / и с противоположной четностью, приводящее к линейному
эффекту Штарка в атоме водорода (лля возбужденных уровней). Состояния же Ф™ с J = I,
I, — ±1 отвечают определенной четности и изменение их энергии в электрическом поле к ?2.
Условие применимости полученного результата (I)'
5 1(Г5 эВ < 6еав <? 3 эВ, или 2 • 103 В/см <? t «; 108 В/см
(шгарковское расщепление должно быть много большим интервала тонкой структуры, см. II I,
но мною меньшим разности энергий соседних невозмущенных уровней атома).
11.34. Рассчитать вариационным способом энергетический сдвиг в однородном элек-
электрическом поле и поляризуемость связанного состояния частицы в потенциале нулевого
радиуса действия, используя пробную функцию вида37'
где А, 7 — вариационные параметры, Фо — волновая функция невозмущенного
состояния. Сравнить с точным значением, см. следующую задачу.
"' Обращаем внимание на то, что Фцрол(г), как и Фп(г), при г — 0 удовлетворяет граничному условию,
определяющему потенциал нулевого радиуса, см. 4.10.

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях 73
Решение Записав пробную функцию в виде Ф,|рОб = CD?o + *i). roe Ф| = A^rje""", находим
матричные элементы невозмушенного гамильтона Яо.
(Фо|Яо|Ч?о> = -™, <*о|Яо|Ф,> = {Ф,|Яв|Ф0> = О,
1пх
и возмущения V = -е(Л)-
<Фо|К|Фо> = {Ф,|К|Ф,> = 0,
(Ф| |^|Фо) = (Фо|У|Ф;) = — Aew — / -(^>гJе~'7+"°'г dK
V 2я" У г
Выбрав теперь
с2 = !—-т» i - *aV5/2
1 + 7гА27~ »
из условия нормировки пробной в. ф. на единицу, имеем
После минимизации по параметру А получаем
а последующая минимизация по параметру -у (минимум A) достигается при 7 = «о) приводит
к вариационному значению энергии смещенного под действием электрического поля уровня
и поляризуемости состояния
что совпадает с точным результатом, см. следующую задачу.
11.35. Найти точное значение поляризуемости связанного состояния частицы в по-
потенциале нулевого радиуса, см. 4.10. Применить полученный результат к иону Н~,
сравнить с 11.36.
Решение. Для расчета сдвига основного уровня в потенциале нулевого радиуса под влиянием
возмущения V = — e?z удобно в качестве системы собственных функций невозмущенного
гамильтониана выбрать и ф , отвечающие также определенным значениям момента / и его
проекции f, Так как в ф основного состояния
отвечает значению / = 0, то матричные элементы возмущения (п\(—еЛ)|0) отличны от нуля
лишь для состояний \п) с I = I и /: = 0. Потенциал нулевого радиуса не оказывает действия
на частицу с моментом 1^0, поэтому с. ф. Яо для / Ф 0 совпадают с в. ф. свободной частицы,
и при / = I, I, = 0 они имеют вид [I, §33J-
(они нормированы так, что {k'l'm'\klm) = 6(к — к')бц'6тт').

74 Глава 11. Атомы и молекулы
Вычислив матричный элемент возмущения
= -4i^^^TyI> B)
согласно (VIII I) получаем (теперь надо заменить JD' —* ]C/dfc, причем в сумме по (, m
т I, m О
отлично от нуля лишь одно слагаемое с i = 1, m = 0)
,2,_ 32meW2 f k'dk _ me2 ,
о
Отсюда поляризуемость состояния
О приложениях ртой формулы, после введения поправки на конечное значение радиуса
потенциала, к иону Н", см. в следующей задаче.
11.36. Найти поляризуемость слабосвязанного состояния заряженной частицы с мо-
моментом I — 0 в центральном потенциале Us (г) радиуса г$, так что xrs <С I,
где х = у—2Е§ /Л2, Ej> — энергия невозмущенного состояния. Применить по-
полученный результат к иону Н~.
Отметим, что достаточно надежные вариационные расчеты свойств иона Н~ (двух-
электронной системы) приводят к следующим результатам: х = 0,235 а. е. (энергия
связи Со = 0,754 эВ), квадрат асимптотического коэффициента (см. (XI.5)) С^о = 2,65,
поляризуемость /Зо = 206 а. е.
Решение Ввиду того, что в. ф. состояния с малой энергией связи с увеличением г убывает
достаточно медленно, а возмущение V = —e&z при этом возрастает, доминирующую роль
в сумме (VIII 1) второго приближения теории возмущений, определяющей сдвиг уровня,
играют состояния непрерывного спектра с малой энергией Ei < h2x2/m Действительно,
для таких состояний матричные элементы возмущения (fc| V10), в которых определяющую
роль играют большие расстояния г ~ х~\ особенно велики (но мере увеличения энергии
их значения начинают уменьшаться из-за осцилляции в ф). С другой стороны, на боль-
больших расстояниях волновые функции рассматриваемых состояний достаточно просто связаны
с п. ф свободных частиц Так, нормированная на единицу в. ф невозмущенного связанно-
связанного состояния с моментом I = 0 вне области действия потенциала лишь дополнительным
множшелем См отличается от в ф. в потенциале нулевого радиуса, см. предыдущую за-
задачу. Волновые функции непрерывного спектра для медленных частиц с моментом / ф О
на рассюянимх т > г,, фактически совпадают (в отсутствие возмущения) с в ф свободной
часгицы (из-за наличия центробежного барьера, мало проницаемого для медленных частиц,
они не «чувствуют» потенциала центра) и описываются формулой (I) из предыдущей задачи
С учетом высказанных соображений очевидно, что сдвиг и поляризуемость мелко-
мелкого 5-уроннм в короткодействующем потенциале определяются непосредственно формулами
предыдущей задачи для потенциала нулевого радиуса введением в них дополнительного
сомножителя С^; гак, поляризуемость описывается выражением
Подчеркнем, что отмеченная выше доминирующая роль больших расстояний в матричных
элементах (fc|e<'z|0) для состояний с малой энергией в случае мелкого ^-уровня (наглядно
видная из формул B) и C) предыдущей задачи) проявляется в расходимости выражений
для йп и Д при к —» 0.

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях 75
Сделаем несколько заключительных замечаний.
1) Для s-состояния частицы с малой энергией связи в короткодействующем потенциале
два параметра, х и С«о, определяют большинство его физических свойств, проявляющихся
во влиянии на него внешних электрических и магнитных полей (см. II 46 и II 66) Они же
определяют и рассеяние медленных частиц, кг, <& I, на этом потенциале. В приближении
эффективного радиуса (см. [I, § 133], а также задачи §3 главы 13)
, * ' *2
fcctg<50 = -—+ г0 —,
Оо 2
при этом параметры низкоэнергетического s-рассеяния — длина рассеяния аа и эффективный
радиус взаимодействия Гц — связаны с х и С'о соотношениями
(дли потенциала нулевого радиуса С^р = 1 и г( = 0).
2) В отрицательных атомных ионах внешний электрон с известной точностью может
рассматриваться как находящийся в короткодействующем потенциале нейтрального атома.
На основе такого подхода (без какой-либо детализации состояний «внутренних» электронов')
можно описать свойства иона, определяемые этим внешним электроном. Для иона Н~,
воспользовавшись приведенными в услонии задачи значениями х = 0,235 а. е. и С*о = 2,65
согласно A) находим Д = 216; сравнить с результатом вариационного расчета /Зо = 206
См. также 13 40 о рассеянии медленных электронов на атомах водорода.
3) Отметим, что доминирующая роль больших расстояний о значениях поляризуемости
состояний с малой энергией связи сохраняется как при I = 1 (при этом Pi-\ ос к~5,
см следующую задачу), так и для I = 2 (j8j=j ос «"')¦ Для ббльших значений момента
поляризуемость определяется уже расстояниями г <, г$ и зависит от конкретного вида
потенциала и волновой функции на таких расстояниях, при этом порядок ее величины
Отмеченный характер зависимости поляризуемости от значения момента связан с уменьше-
уменьшением проницаемости центробежного барьера с увеличением I, приводящим к более сильной
локализации связанного состояния частицы с ростом I.
11.37. То же, что и в предыдущей задаче, для слабо связанного состояния частицы
с моментом I = I.
Решение. Расчет поляризуемости аналогичен проведенному в двух предыдущих задачах.
Теперь волновая функция невозмущенного связанного состояния вне области действия по-
потенциала, при г > rs, имеет вид (для ( = !)•
фЦ 2С JwflHl'hW, (I)
где ЙГ„ — функция Макдональда, Cxi — асимптотический коэффициент*3). Как и в 11.36, в ка-
качестве волновых функций состояний непрерывного спектра можно выбрать в. ф. свободных
' Асимптотика в. ф.
при г — оо Как и п случае 1 = 0, асимптотический коэффициент связан с параметрами низкоэнергети-
низкоэнергетического рассеянии частицы с моментом I, определяющими разложение эффективного радиуса
1 к2
fc2'+'ctgd,« +т, —,
соотношением
_ = -г,*11 + (-1)'B1 + I) + O((xts)-3-v).
При этом Г| < 0 и Cli а х!1"' при х — 0 дли значений момента I ^ I.

76 Глава 11. Атомы и молекулы
- Jlt,/2(kr)Y!m(n). B)
Приведенные в. ф совпадают с точными лишь на больших расстояниях г > г, (вне обла-
области действия потенциала) Однако матричные элементы возмущения {klm\(-e6z)\x\m)
при к < х определяются именно большими расстояниями г ~ 1/х При вычислении матрич-
матричного элемента (klm\z\x\m) интегрирование по углам проводится элементарно, а значения
к
радиальных интегралов, имеющих вид J г!K}p(xr)J,,(kr) dr, приведены в [33, с. 707].
о
Для связанных состояний частицы с / = I и проекцией момента на направление
электрического поля I. = ±1 отличен от нуля лишь один матричный элемент возмущения,
для которого
Соответственно сдвиг уровня во втором порядке теории возмущений оказывается равным
B) 2т f |(*,2,±l|e<<z|x,l,±l)|2 Jt me2C,;, ,2
* = "W -ЦТ ак = -ЩГ^
о
так что поляризуемость таких состоянии
ОС —г
х'
(напомним, что С*, с< х, см. примечание в 11.36).
Для состояния с I = I и /, = 0 отличны от нуля уже два матричных элемента возмущения,
отвечающие значениям момента { = 2 и 1 - 0, для которых
Вычисление интегралов, аналогичных для i?}±|, позволяет найти изменение энергии рассма-
рассматриваемого состояния и его поляризуемость, которая оказывается равной
0,,о = 7/3,.±, D)
(в состоянии с 1г = 0 область локализации частицы более «вытянута» в направлении элек-
электрического поля, чем и состояниях с /.. = ±1, так что поле оказывает на частицу более
существенное влияния)
11.38. Получить приближенные выражения для поляризуемостей возбужденных 2'5-
и 2'5-состояний двухэлектронного атома (или иона). Сравнить с экспериментальными
значениями для атома гелия и иона лития Li+ (в ат. ед.): /?HeB3S) = 316, /ЗнеB'5) =
803, /?,.,. B35) = 47, /JU.B'S) = 99.
Учесть близость 2S- и 2JP-уровней и экспериментальные-значения для разности
их энергий: ?ИеB3Р) - ^ncB3S) = 1,14 эВ и EUcB'P) - ?>teB'S) = 0,602 эВ, а также
аналогичные значения 2,26 эВ и 1,29 эВ для иона Li+. Электрон в возбужденном
состоянии рассматривать как движущийся в поле заряда ядра, экранированного
на единицу ls-электроном, а обменными эффектами пренебречь.
* 'Дли медленных частиц, кг, <ЗС I. в. ф. непрерывного спектра при произвольном значении момента (
мне области действия потенциала существенно отличается от волновых функций свободной частицы
лишь п резонансной волне, см §3 глапы 13 (о данной задаче это р-волна) Однако для резонансно!)
волны матричный элемент возмущения 8 рассматриваемой задаче равен нулю

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях 77
Решение. Характерной особенностью рассматриваемых состояний, определяющей большие
значения их поляризуемостей, япляется близость 2S- и 2Р-уровней гелнеподобных атомов
(ионов). Соответственно в сумме (VIII 1) дли сдвига уровня под влиянием возмущения
V = (г, + 22)<? во втором порядке доминирующую роль играет одно слагаемое, так что
Е$ = -^/3BSKJ« |{2Я, L^0\(zl+z7)\2S)\2 *' (I)
E2S - Е7Р
(символ мультиплетности пока опущен).
8 состояниях 25 и IP один из электронов находится в основном Is-, а другой — в воз-
возбужденном 2s- или 2р-состоянии. Так как «возбужденный» электрон находится в среднем
на существенно больших расстояниях от ядра, чем «невозбужденный», то для вычисления
матричного элемента возмущения в формуле (I) можно воспользоваться следующими при-
приближенными выражениями для волновых функций (одинаковыми как для синглетных, так
и для триплетных состояний):
*zs « *,.(?„ г)фъ(тъ Z-\), Я/2Р я ^,(г„ Z)tplp(r2, Z-\) B)
(эти в. ф. не имеют определенной симметрии, что соответствует пренебрежению обменными
эффектами). Одночастичпые волновые функции в выражениях B) — соответствующие ку-
лоновские в. ф., причем для «возбужденного» электрона заряд ядра выбран равным Z — I,
что отражает его частичную экранировку Is-электроном, сравнить с 11 9. Воспользовавшись
известными выражениями для кулоновских в ф., находим матричный элемент возмущения
Z - I
(вклад в него вносит лишь 2-й, «возбужденный» электрон) и согласно (I) получаем
18
Воспользовавшись теперь экспериментальными значениями для разности энергий 25-
и 2Р-состояний, приведенными в условии задачи, находим значения поляризуемостей
/ЗнсB35) = 428, /3„еB'5) = 813;
Д,Ч235) = 54, /3,,*B'S) = 95
В заключение отметим, что аналогичная близость энергетических уровней является
типичной для многих атомных систем и объясняет большие численные значения их поляри-
поляризуемостей. Так, для основного 225-состояния атома лития Ei$ — 5,39 эВ, а для возбужденно-
возбужденного 2гЯ-состояния Е2р — 3,54 эВ. Оценка поляризуемости, согласно формуле C), с заменой
в ней Z - \ на 2-2 (из-за наличия двух ls-электронов) дает /3,, а 265 п. е. (эксперименталь-
(экспериментальное значение составляет 162; основная причина более завышенного значения Р согласно C)
связана с рассмотрением «возбужденного» электрона как движущегося в поле заряда ядра,
экранированного на 2 двумя ls-электронами' для атома лития экранировка проявляется
не так сильно, что видно из значения поправки Ридберга Д, = -0,40)
11.39. Оценить порядок величины поляризуемости атома и зависимость ее от заряда
ядра Z в модели Томаса—Ферми. Пренебрегая взаимодействием между электронами,
см. 11.19, найти значение коэффициента 8 полученной зависимости поляризуемости
от Z. Сравнить с вкладом в поляризуемость атома валентных электронов.
Решение. Для оценки поляризуемости томас-фермиевских (т. -ф) электронов /3т _ф , опреде-
определяющей их индуцированный электрическим полем дипольный момент d = /Зт _ф ?, заметим,
что хотя приведенное соотношение строго справедливо лишь для достаточно слабого поля,
оно тем не менее дает правильный порядок величины due случае сильных полей Но при
значениях напряженности поля #~ с*т-ф (здесь (?т-ф ~2е/гт.ф — характерное значение
напряженности атомного электрического поля в области г ~ гт_Л ~ ов/2'/3, где в основном

78 Глава 11. Атомы и молекулы
локализованы электроны) смещения электронов под действием внешнего поля будут порядка
Гд _ф , так что при этом d ~ Zery и
Для оценки числового значения коэффициента в полученной зависимости /Зг-ф =f/Z
рассмотрим статистическую модель атома в пренебрежении взаимодействием между электро-
электронами, сравнить с 11.19. Теперь при наличии слабого электрического поля в соотношении
п(г) = p(|(r)/3w2 для ро(г) имеем
2Z(R-r)
Соответственно
/ ЗгДг/
где по(г) = 2Z^x\~x'li — электронная плотность в невозмущенном атоме, х = г/Я, а значе-
значение R = (\8fZy1 остается неизменным. Вычисление дипольного момента40'
даст значение поляризуемости в рассматриваемой модели
л- = ш- B)
Аналогичная A) оценка для внешних (валентных) электронов, находящихся на перифе-
периферии атома (г ~ Od), где характерная величина поля <f,r ~ е/а\ -С <^т -ф . Дает /Зщ., ~ oj = I a. e ,
так что поляризуемость атома определяется валентными электронами Отметим, однако, что
типичные значения поляризуемости атомов обычно велики и составляют — 10 -г- 100 а е.,
см в связи с этим 11.38.
11.40. Найти штарковское расщепление вращательных компонент уровней двухатом-
двухатомной молекулы, имеющей постоянный дипольный момент (в системе координат, жестко
связанной с осью симметрии молекулы). Штарковское расщепление предполагается
малым по сравнению с расстоянием между соседними вращательными уровнями, элек-
электронный терм молекулы '?; сравнить с результатом задачи 8.11 для сферического
ротатора.
Решение. Стационарные состояния молекулы в отсутствие электростатического поля описы-
ваю1ся волновыми функциями (сравнить с 11.27, Л = 5 = 0).
*!1-м = *».n(R. f.,fc,--0*W(*)*,,p,«M(*,?>) (I)
Dо ¦¦ координаты и спиновые переменные электронов), а их энергия
5)
I).
Матричные элементы возмущения V = — it удобно вычислять в два приема, сначала
проинтегрировать по координатам электронов и относительному расстоянию R между ядрами
при фиксированной ориентации оси молекулы, а затем уже выполнить интегрирование
по углам 9. >р, определяющим направление этой оси В случае диагональных по квантовым
числам n, v матричных элементов первое интегрирование дает
R
эл.пФмм,.) ЛФм.Лол.г dr = й = dn0, na = — B)
К
^ Сравнить, например, с вычислением и н те фала I я 7 22

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях 79
(направление вектора d вдоль оси молекулы очевидно из соображений симметрии). Направив
теперь ось г вдоль электрического поля & и учтя, что вращательная в. ф Ф^д-дг (при Л = 0)
является шаровой функцией Ymi(e,tp), находим, что матричные элементы возмущения
между в ф A), относящимися к данному уровню молекулы (т.е. отличающимися лишь
значениями М), равны нулю, так как f co59Y^M,YKtf du = 0. Соответственно в первом
порядке теории возмущений уровни молекулы не смешаются. Так как н случае однородного
поля проекция момента на направление вектора ? является «хорошим» квантовым числом,
то в.ф (I) являются правильными функциями нулевого приближения и можно использовать
теорию возмущений для невырожденных уровней При этом поправка второго порядка
где для краткости записи использован один индекс к для описания различных состояний
молекулы.
Теперь заметим, что в сумме C) можно ограничиться лишь такими состояниями \к'),
которые отвечают исходному электронному терму и отличаются только вращательным кван-
квантовым числом К. При этом в формуле C)
а вклад состояний с другими квантовыми числами существенно меньше из-за гораздо боль-
большей величины энергетических знаменателей, так как Вор С Ека„ < Ем. Учитывая это
обстоятельство и соотношение B), выражение C) можно записать в виде (К ^ 0):
B) = d^ у- \(K'M\cose\KM)\7 = dV*[X-(K+l)-3M*]
\,км ~ в^ Z_j к^к + ,) _ Кцк, + |) ~ 2BtK(K + \)BК - \)BК + 3)' ^ '
Здесь использован результат задачи 8.11. Так как волновая функция состояния \КМ) является
шаровой функцией, то сумма D) аналогична вычисленной в 8.11 и получается из нее
с помощью замен I —> К, т —> М, h2/2I -> Bt
В случае К = 0 имеем Е% = -<Р(('/6ВС, см. 8.10.
Заметим в заключение, что для двухатомных молекул с одинаковыми ядрами дипольный
момент B) обращается в нуль и влияние электрического поля на уровни таких молекул требует
специального рассмотрения
Атомные системы во внешнем магнитном поле
11.41. Рассмотреть эффект Зеемана для атома водорода. Магнитное поле считать
настолько сильным, что зеемановское расщепление много больше тонкой структуры
уровней (см. 11.1). Указать условия применимости полученных результатов.
Решение. В линейном по магнитному полю приближении возмущение гамильтониана атома
где ца — магнетон Бора, а ось z направлена вдоль вектора 9? Так как операторы /in
и ?, коммутируют друг с другом и с гамильтонианом, то с. ф невозмущенного гамильто-
гамильтониана Ф„|т,\;,, (см. (IV 3), Xi, ~ спиновая часть в. ф) являются правильными функциями
нулевого приближения и поправка первого порядка к уровням энергии равна
Si!!,, = <"«**= I V\nlllSz) = »аЖ{1: + 2s,). (I)
Как видно, 2п2-крат но вырожденный уровень расщепляется на 2п+| компоненты (напомним,
что /г = 0, ±1,.. , ±(п - 1), а $г = ±1/2), крайние из которых невырожденные.
41) Спиновый магнитный момент электрона /jc = ~ца = — \e\h/2mcc

80 Глава 11. Атомы и молекулы
Условия применимости результата A) предполагают, что расщепление уровня
7пцвЖ много больше интернала его тонкой структуры Д-Eis, см. Ill, но много меньше
расстояния Д.Е„ между соседними уровнями атома водорода. Для п = 2 условие Д??^ <?
Д-Ез«ч <К ДД, принимает вид
5-IO"S 3B«:4/iU.y «2эВ, или 3 • 103 Э < Ж -С H8 Э
(напомним, что е/ав = 5,14- Ю9 В/см = 1,17- 107 Э).
11.42. Рассмотреть эффект Зеемана для основного уровня атома водорода с учетом
его сверхтонкой структуры, см. 11.2. Обратить внимание на характер зависимости
от SV сдвигов уровней в случае слабого: \1\\ЭР <Д и сильного: Д -С цъ<№ внешних
магнитных полей; здесь Д и I 420 МГц — сверхтонкое расщепление уровня.
Решение Обозначим Доо) сдвиги основного уровня атома водорода за счет взаимодействия
спиновых магнитных моментов электрона и протона для состояний с их суммарным спином
5 = 0A). Они определяются формулой C) из 11.2, причем Д = Д| - До = 1420 МГц.
В отсутствие магнитного ноля и ф. соответствующих невозмущенных состояний имеют
вид *o(r)^ss,. где Xss, ~ спиновая Функция системы, а Фо(г) — в ф. основного состояния
атома водорода, уровень с 5 = 0 — невырожденный, а с 5 = 1 — трехкратно вырожден.
Для расчета смешения (и расщепления) рассматриваемых близких уровней под влиянием
возмущения42' V —¦ /*в('* + 23"<,,).Я" найдем его матричные элементы. Используя следующую
нумерацию состояний 1 — для S =0, St = 0; 2 — для I, 0, 3 — для I, +1, и 4 — для 1,-1,
а также явный вид спиновых функций43- xSSl (см. 5.10), находим, что отличны от нуля лишь
четыре матричных элемента
Включая в матрицу возмущения также и невозмущенные сверхтонкие сдвиги До, i, как
обычно, приходим к секулярному уравнению
До-Я(" 11йЖ О О
цаЖ' А,-Еи) О О
О ОД, + ръЖ - ЕA) О
0 0 0 й^-цнЖ-Е'
из которого легко находим
= Д, ± \1%Ж. B)
Отсюда видно, что для состояний с 5 = I компоненты уровня с 5, = ±1 испытывают
линейный по .УС сдвиг. Для состояний с 5, = 0 синглетного и триплстного невозмущенных
уровней, «перемешиваемых» магнитным полем, сдвиги уровней в слабом поле, рйЖ < Д
(отметим, что .//0 — Д/^в * Ю3 Э), квадратичны по полю:
B1 -*и('1 -г л \-/
?Д| — iio
(из-за малости сверхтонкого расщепления Д, — До эта часть сдвига существенно больше, чем
от отброшенных в возмущении членов ос Ж^).
4" Мы ограничились линейной по нолю Ж его частью, при этом взаимодействие магнитного момента
протона, ввиду его малости (Рр//хе ~ mc/mv ~ I0), с магнитным полем не учитываете»
431 В частности.
ПРИ ЭТОМ О-,, гХ|@).0 = Х0A).О-

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях 81
В сильном же поле, когда Д С цйЖ, имеем
Е\[\ й ТМп»И"| Xhd * ~7= (*о,о Т Xi.o), D)
при этом в возникающих состояниях проекции электронного и протонного спинов на на-
направление магнитного ноли имеют определенные значении (а нарушающее их сохранение
взаимодействие спиновых магнитных моментов выступает как возмущение).
11.43. Рассмотреть эффект Зеемана для основного уровня позитрония — связанно-
связанного состояния системы из электрона и позитрона (аналогичной атому водорода) — с уче-
учетом его тонкой структуры44'. Указать спиновые функции при наличии магнитного поля.
Решение. Решение задачи аналогично предыдущей. Теперь взаимодействие системы с маг-
магнитным полем имеет вид451
У = 2^„(?М-3-ИЛ)./Л
Используя такую же нумерацию состояний, как и н предыдущей задаче, с заменой спина
протона на спин позитрона, замечаем, что отличны от нуля лишь два матричных элемента
возмущения: A1 V|2) = B|V| 1) = 2ц$Ж'', а секулярное уравнение принимает вид
= 0
Д| -
0 0
0 0
0
0
-?<•
0
)
д.
0
0
0
(До(|) — сдвиги уровней пара-(орто-) позитрония, определяющие его тонкую структуру). Его
решение дает сдвиги уровней
\'.2 = \ [(До
- ДоJ
Таким образом, компоненты уровня ортопозитрония с S, = ±1 в рассматриваемом
приближении вообще не испытывают сдвига в магнитном поле. Сдвиг же компоненте St = 0,
как и в предыдущей задаче, » слабом иоле, p^Yf <^ Д, квадратичен по Ж и описывается
формулой C) из нее, если во второе слагаемое ввести множитель, равный 4. В случае сильного
поля, Д0(|) С йв^С сдвиги уже линейны: ё\'\ я t2/jb<#°-
Спиновые функции для состояний с S. = 0, «перемешиваемых» магнитных полем,
определяются по известному общему правилу и имеют вид
JT)
В частности, в случае сильного поля имеем C\IL и ТС'Л, так что
«-(!).@.- «¦"(!).(!).¦
т.е. проекции спинов частиц на направление поля Jf уже имеют определенные значения —
естественный физический результат. В случае же слабого поля «перемешивание» состояний
мало (однако это обстоятельство, тем не менее, существенно сказывается на времени жизни
позитрония, см. в связи с этим 11.61).
44'Так как магнитный момент позипрона лишь знаком отличается от электронного, то магнитное
взаимодействие спиноп в позитронии такого же порядка величины (нет малости ~ те/тр), как и другие
релятивистские поправки в гамильтониане, так что в отличие отобычных атомов в позитронии уже не име-
имеет смысли говорить о сверхтонкой структуре уровня Классификация уровней позитрония по значению 5"
@ или I) суммарного спина сохраняется и при учете релятивистских эффектов (пара- и ортопоштроний)
Тонкое расщепление для основных уровней орчо-и парапозитрония составляет Д = Д|-До « 8,2 \0~* эВ.
4" Орбитальный магнитный момент позитрония ранен нулю, так как пклады п него электрона
и позитрона компенсируют яруг друга

82 Глава 11. Атомы и молекулы
11.44. Для основного уровня атома водорода найти диамагнитную часть сдвига
уровня, связанную с орбитальным движением электрона.
Решение. Рассматриваемый сдвиг уровня равен ДВ = - \ х-^г< гас х определяется известной
формулой для диамагнитной восприимчивости461.
бтс2 ¦ ¦ ' " •"•»• Л - 2 '
(I)
(среднее значение г1 вычисляется для основного состояния атома водорода) Этот сдвиг оди-
одинаков для всех спиновых состояний электрона Зависящая от спинового состояния электрона
(и доминирующая!) часть сдвига уровня рассмотрена в 11.41, см. также 11.42.
11.45. Найти магнитную восприимчивость атома гелия в основном состоянии, ис-
используя приближенный вид волновой функции из вариационного расчета, см. 11.6.
Рассчитать также магнитную восприимчивость I см3 газообразного гелия при нор-
нормальных условиях и сравнить ее с экспериментальным значением, равным -8,4- !0~".
Решение Согласно известной формуле для диамагнитной восприимчивости, получаем
b?7 bit
Здесь средние значения rj вычисляются с волновой функцией из 11.6, причем Zy^ = 27/I6
Численное значение восприимчивости согласно A) составляет хпг = -2,77 ¦ 10"и см3 (см под-
подстрочное примечание в предыдущей задаче). При нормальных условиях можно считать все
атомы газа находящимися в основном состоянии, так что для магнитной восприимчиво-
восприимчивости 1 см1 газа гелия получаем
Хне = ЯоХч =-7.5 Ю"",
здесь щ = 2,69- 10" см — число Лошмидта
11.46. Найти сдвиг и магнитную восприимчивость основного уровня заряженной ча-
частицы в потенциале нулевого радиуса во внешнем однородном магнитном поле. Обоб-
Обобщить полученный результат на случай слабосвязанного состояния частицы с моментом
I = 0 в короткодействующем потенциале U$(r) радиуса г$; сравнить с 11.35 и 11.36.
Решение. Рассматриваемое состояние имеет момент ( = 0, а его невозмущенная и ф. Фо =
¦Ух с~" /-/Tirr, см 4.10 Диамагнитный сдвиг уровня равен
е2 У(Л Г е2
Д?„ = —^—г / г2^ dV = — г-т.*2, (I)
12mc2 J 24mcV
так что мапштная восприимчивость
Условие применимости полученного результата ДЯ?и <S \Е„ | =Д2х2/2т.
Полученные формулы справедлива и для состояний частицы с малой энергией связи
и орбитальным моментом I — 0 в достаточно произвольном короткодействующем потенци-
потенциале (отрицательный атомный ион) ГД(г) радиуса г,, когда область локализации частицы,
она ~ х"', много больше г, При этом доминирующая роль больших расстояний проявляется
в расходящемся мри х —* 0 характере зависимости АЕа и х0 от оперши связи частицы
J6* Здесь и — е~/Ьс « 1/137 — постоянная тонкой оруктуры Подчеркнем, что малосчь "- а2 и вели-
величине х отражает рел)пиоис1скмй характер нзг.нмоасйствмя с магнитным полем, срамниц, со значениями
ft ~ <t|, нолярщусмосго) атомных систем в электрическом поле

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях 83
Поправка на конечность (г, ф 0) радиуса потенциала определяется введением в полученные
выражения множители Сйо, гае Со — асимптотический коэффициент, сравнить с 11 36 При
этом, в частности, магнитная восприимчивость
11.47. Найти пара- и диамагнитный сдвиги уровня для слабосвязанного состояния
заряженной частицы с моментом / = ! в короткодействующем потенциале Us(t).
Решение Ввиду того, что п. ф. состояния частицы с малой энергией связи убывает набольших
расстояниях достаточно медленно, а возмущение (его квадратичная по полю часть)
при этом возрастает, доминирующую роль в интеграле матричного элемента {\1г |[Р?г]3| \1.),
определяющего ос ,У1*2 диамагнитную часть сдвига уровня, играют большие расстояния'"'.
Вне области действия потенци&та U, в.ф невозмущенного состояния имеет вид, указанный
в 11 37. При вычислении матричного элемента возмущения этим выражением для в. ф. можно
воспользоваться уже при всех значениях г (вклад области )• ? г$ несуществен). Теперь, имея
в виду значение интеграла
00
/¦
(см [33, с 707]), легко находим энергетические сдвиги (ось г направлена вдоль магнитного
поля):
]0| 10) /г'ЛГ|/2(кг) dr = ^
B)
Подчеркнем, что линейный по полю член возмущения (I) приводит только к линейному же
по Ж', парамагнитному сдвигу уровня (высшие поправки по нему равны нулю). Напомним
также, что С', ос х при х -> 0, см. 11 37, так что АЕт ах.
11.48. Найти зеемановское расщепление вращательных компонент уровней двухатом-
двухатомной молекулы, предполагая его малым по сравнению с расстоянием между соседними
вращательными уровнями. Электронный терм молекулы '?.
Решение. Возмущение гамильтониана молекулы при наложении однородного магнитного
поля имеет вид
^ *•'-(г.*")'}. О)
Здесь суммирование ведется по всем электронам молекулы, L и S — их суммарные ор-
орбитальный и спиновый момент, а ядерный магнетизм, ввиду его малости ~ тс/М„л, не
учитывается.
4 ' Это проявляется в расходимости восприимчивос|и при х —¦ 0 Отмстим, что при знамениях
момента / ^ 2 роль больших расстояний уже не выделена. Диамагнитная восприимчивость определяется
видом полноооИ функции на расстояниях ~тл и ее величина
зависит от конкретного вида потенциала Us Сравнить со свойствами поляризуемости слабоевнзанных
состояний, рассмотренными в ) I.36 и 11 37.

84 Глава 11 Атомы и молекулы
Используя выражение для с.ф Ф,,.л/ невозмутенного гамильтониана молекулы, при-
приведенное в 11.40, и указанный там способ вычисления матричных элементов, замечаем, что
в первом порядке но Ж сдвиг уровней молекулы отсутствует, так как Л = 5 = 0 и
^'ФГ')* ЦК*Т) = Лпп = Лп0 = 0.
Сдвиг уровня за счет второго слагаемого в выражении (I) равен
Проинтс|рировав по координатам электронов и переменной R, получаем
гкм{а ?it - Ьп^щ^Укя dO.^, C)
/¦
где а и Ь — некоторые постоянные, не зависящие от квантовых чисел К и М. Воспользо-
Воспользовавшись соотношением
1К2 + 2К - I - Ш2
Г
J
Y^,nmnOiYKM du^ = у cos 26\YKil\2 rfS2 =
{2K _ {){2К
(см 8.11), согласно формулам B) и C), гахолим
3)
Теперь заметим, что вклад второго приближения теории возмущений для слагаемого
V' = jinL^f u выражении A) имеет такую же зависимость от К и М, как и в формуле D). Это
связано с чем, что вся зависимость от К, М п соответствующей сумме (VIII I) определяется,
по существу, лишь матричным элементом возмущения, а в энергетических знаменателях
ею можно пренебречь ввиду малости вращательной энергии Поэтому после выполнения
суммирования но всем промежуточным состояниям в формуле теории возмущений второго
приближения она принимает вид, аналогичный выражению B).
Таким образом, формула D) определяет искомое зеемановское расщепление вращатель-
вращательных уровней двухатомной молекулы с электронным термом 'Е, возникающее во втором
порядке по магнитному полю. Заметим, что вклад в сдвиг уровня Е$м непосредственно
от квадратичного по Ж слагаемого в (I) положителен Он, как и в случае атомов с L = S — О,
соответствует диамагнетизму молекул. Вклад же второго приближения отлинейного по .^сла-
(асмого вA) (отсутствующий в случае атомов с L — $ = 0) может иметь оба знака. В частности,
если рассматриваемый молекулярный тери является основным, эта часть сдвига отрицательна
В заключение заметим, что для молекул с термами, отличными от '?, сдвиги уровней
и слабом магнитном ноле линейны по У(, см задачи к § 113 из |1|.
Взаимодействие атомных систем на далеких расстояниях"*
11.49. Найти потенциал взаимодействия заряженной частицы (иона, электрона и т. д.)
с невозбужденным атомом водорода на больших расстояниях друг от друга.
Решение Оператор взаимодействия час.ицы с атомом (обычное электростатическое взаи-
взаимодействие системы зарядов) с учетом малости по сраинснию с расстоянием между ними
размера атома имеет вид (Ze — заряд частицы, атом — в начале координат)
(I)
Потенциал же взаимодействия U(R) частицы и аюма при их медленном относительном
движении, когда возбуждением атома можно пренебречь, в соответствии с основной идеей
1)81 При этом предполагается, что относительные скорости сталкивающихся составных частиц не
слишком велики, так что применимо адиабатическое приближение.

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях 85
адиабатического приближения (см. задачи § б главы 8, особенно 8.58) определяется изме-
изменением энергии атома поя влиянием взаимодействия A) и получается усреднением этого
оператора, рассматриваемого как возмущение, по состоянию атома, т е. U(R) = U В первом
порядке теории возмущений U = 0, так как все мультипольные моменты атома обращаются
в нуль ввиду сферической симметрии (для состояний с L = 0) Во втором порядке, ограни-
ограничиваясь в (I) первым, наиболее медленно убывающим с ростом R дипольным слагаемым,
получаем искомый потенциал взаимодействия:
Здесь учтено, что возмущение V = ZedR/il3 эквивалентно взаимодействию атома с од-
однородным электрическим полем ? = -ZeR/R*, и использовано значение Д) - 9<4/2 для
поляризуемости основного состояния атома водорода. Подчеркнем, что взаимодействие B)
(его называют поляризационным) имеет характер притяжения и убывает a FT* с ростом R.
11.50. Найти энергию взаимодействия заряженной частицы и двухатомной молекулы,
находящихся на большом расстоянии друг от друга. Предполагается, что молекула
обладает постоянным дипольным моментом d (в системе координат, жестко связанной
с осью молекулы) и находится в состоянии с вращательным квантовым числом К = 0.
Электронный терм молекулы '2.
Решение. Как и в предыдущей задаче, взаимодействие определяется дипольным слагаемым
V = Ze($K)IR} (при этом существенно, что молекула находится в состоянии с вращательным
числом К = 0, так как в противном случае доминирующим будет квадрупольное взаимодей-
взаимодействие, отличное от нуля уже в первом порядке теории возмущений и убывающее с ростом R
как Л). Соответственно
Hi)'~m-
здесь в поляризационном потенциале использовано значение поляризуемости молекулы
из II.40 (при К = 0)
11.51. Каков закон изменения с расстоянием взаимодействия заряженной частицы
с атомом водорода, находящимся в возбужденном состоянии? Сравнить с 11.49.
Решение. Вообще говоря, U(R) ос Д"!, что соответствует взаимодействию заряда с дипольным
моментом, наличие которого у невозмущенного атома водорода в возбужденном состоянии
связано со специфическим для кулоновского потенциала случайным вырождением уровней
с различными значениями 1 и различной четностью. Коэффициент пропорциональности
в указанном законе зависит от состояния атома, причем соответствующие независимые
состояния49', диагонализирующие возмущение — точно такие же, как для атома полнородном
электрическом поле, и для уровня с п = 2 рассмотрены в 11 33
8 заключение отметим, что среднее значение U(R) по всем независимым состояни-
состояниям атома водорода с данным п обращается в нуль Также равно нулю и среднее значение
следующего, <х R~3, члена в потенциале^ соответствующего взаимодействию частицы с ква-
друпольным моментом атома Значение U(R) ос R~* носит рассмотренный и двух предыдущих
задачах поляризационный характер.
11.52. Найги энергию взаимодействия двух атомов водорода (находящегося в основ-
основном состоянии) на большом расстоянии R друг от друга вариационным методом. При
Для них проекция орбитального момента на направление R имеет определенное значение При
этом вектор d направлен вдоль R, причем 5 = 0 и состояниях с I, — ±(п - I) Следует, однако, иметь
в виду, что при движении чаежи между рассматриваемыми состояниями возникают переходы, сравнить
с II 55.

86 Глава 11 Атомы и молекулы
расчете воспользоваться пробной функцией вида501
Ф„роб = СФо(г,)Фо('12)[1 + а(г,х2 + yty2 - 2z,z2)],
где ФоС7") — волновая функция основного состояния атома водорода, а — вари-
вариационный параметр; п, г2 — радиус-векторы электронов первого и второго атомов
относительно своих ядер, ось г направлена вдоль оси, проходящей через ядра.
Решение Потенциал взаимодействия атомов U(R) определяется электронным термом E(R),
см. [I, §89]. Для атомов, находящихся и основных состояниях, терм Eq(R) можно рассчитать
вариационным методом. В рассматриваемой задаче гамильтониан электронной подсистемы
имеет вид
я-Я л. Я А.П-Я л. Я ^
Н = Яо1 + -Ню +1/ и Яш + лог
где Я0|B) — гамильтонианы изолированных атомов водорода, а их взаимодействие учитывается
в липоль-дипольном приближении, сравнить с 11 49
Среднее значение энергии системы Е(а, R) в состоянии с волновой функцией Ф,|(ю6
легко найти, если учесть значения следующих интегралов-
1) @|i|0> = fxil\(r)dV = 0 ввиду нечетности по х подынтегральной функции;
аналогично равны нулю все интегралы, и которых какая-либо из компонент векторов г,
или Г) входит в нечетной степени,
2) @|Я0|0) = -ег/2ац, так как Фо является собственной функцией оператора Яо,
3) @|г3|0) = @|уг|0> = <OU'|0> = i@|r2|0) = ав,
4) {0|гЯ0г|0> = @\уН0у\0) = {0\zSoz\0} = f(z<H0)H0{z'Z0)dV = 0, наиболее простой
способ вычисления таких матричных элементов указан в начале решения задачи 11.34.
В результате получаем (при этом С1 и I- 6а7аАв из условия нормировки на единицу
пробной в. ф)
— е1 1
Е(а, R) « 6У3 12V
+ 6аУав + 12aeVB .
о в R
и после минимизации по параметру а нахедим приближенное вариационное значение энергии
основного состояния рассматриваемой системы из двух атомов водорода Ba(R) и энергии их
взаимодействия U(R):
E0(R) = -^ + U(R), U(R) = -6e-?., (I)
здесь слагаемое -е*/ак соответствует энергии двух изолированных атомов
Полученный закон изменения с расстоянием энергии взаимодействия атомов U <x R'b
соответствует силам Ван-дср-Ваальса. Отмстим, что точный численный расчет приводит
к значению коэффициента, равному 6,5 (вместо 6 в формуле (I)).
11.53. Найти энергию взаимодействия на больших расстояниях двух молекул, обла-
обладающих постоянными дипольными моментами d\ и d2 (в системах координат, жестко
связанных с осями молекул). Предполагается, что молекулы находятся в состояниях
с вращательными квантовыми числами К\^ = 0, а их электронные термы — 'Е.
Решение Взаимодействие молекул возникает во втором порядке теории возмущений по ди-
поль-дипольному взаимодействию (сравнить с предыдущей задачей)
-._ (d|d;).R;-3(d|r)(d,R)
51" Рассмогренис электронов как локализованных вблизи «сиоих» ядер соответствует пренебрежению
обменным взаимодействием, убывающим эксгоненциально на больших расстояниях Выбор пробной
функции (отличие ее от невозмушенной к ф ) отражает диполь-липольныП характер взаимодействия
атомов

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях 87
и определяется выражением
у-уКМИЗ&Я' -3(d,R)(d;R) |0,0)f
^ ________ (|)
^ , (|)
где fcij наборы квантовых чисел, характеризующие стационарные состояния изолирован-
изолированных молекул, см 11.40 При этом существенно, что вращательные квантовые числа моле-
молекул К) = Ki = 0, так как в противном случае взаимодействие возникает в первом порядке
по квадрупольному взаимодействию и убывает с расстоянием как Д.
Теперь заметим, что доминирующую роль в сумме (I) играют слагаемые, отвечающие
таким состояниям, все квантовые числа которых, за исключением К и М, такие же, как
и у сталкивающихся молекул, так как при этом аномально малы энергетические знаменатели
(ввиду малости вращательной энергии, сравнить с 11.40) Направив ось z вдоль вектора R
и выполнив в матричных элементах интегрирование по координатам электронов и относи-
относительному расстоянию между ядрами для каждой из молекул, запишем сумму (I) в ниде
здесь П|,2 единичные векторы, определяющие ориентации осей молекул, волновые функции
состояний \КМ) — соответствующие шаровые функции. Учитывая их вид (III 7), находим,
что матричные элементы (КМ\п, |00) отличны от нуля лишь при К = 1 и равны при этом
<П |пх|00> = A1| s\necos<p\00) = -A,-Ппх|00) = -^=,
Окончательное выражение для энергии взаимодействия молекул принимает вид
(ван-дер-ваальсовское притяжение)
11.54. Рассмотреть взаимодействие, включая и обменный потенциал51', отрицатель-
отрицательного иона с собственным атомом (система А"А) на больших расстояниях. Валентный
электрон в ионе рассматривать как слабосвязанную частицу в короткодействующем
потенциале Us(r) атома, аппроксимируя его потенциалом нулевого радиуса.
Решение. Рассматриваем электрон п совместном поле двух одинаковых атомов как находя-
находящийся в поле двух потенциалов нулевого радиуса Электронные термы такой модели были
определены в 11.28, откуда следует, что обменный потенциал на больших расстояниях ранен
Я5(Д)-?!„(.К) = -^е-аЛ. (I)
Записав теперь потенциал взаимодействия для четного и нечетного термов в виде С/9,„(Д) =
Uo(R) ± j Д(-й), находим для общей их части выражение
*^.-" -^е— -§?, B)
тД 2тй' 2Д4
51* Обменным потенциалом Д(й) = Щ(Л) - ВЧ{Я) называют разность энергий четного Вд и нечет-
нечетного Вл электронных термон. Он определяет (с коэффициентом 1/2) матричный элемент оператора
взаимодействия B|Я(Л)|1), взятый между состояниями |1) и |2), и которых электрон локализован
cootbctctrchho вблизи 1-го и 2-го ядер Наглядно этот матричный элемент (» отличие от диагональных
AB)|Я(Л)| 1B))) характеризует изаимодейстиие, при котором происходит обмен электроном между
атомом и ионом (сравнить, например, с обменным потенциалом ядерного взаимодействия нуклонов |1|.
§ 117). Обменный потенциал играет важную роль о процессах перезарядки, см 13 К8

88 Глава 11. Атомы и молекулы
в котором также учтен согласно 11 49 поляризационный потенциал, при этом Рц — поляри-
поляризуемость атома (этот достаточно медленно убывающий с расстоянием потенциал при более
последовательном рассмотрении должен учитываться в потенциале взаимодействия электрона
с атомом, приводящем к образованию иона). Заметим также, что для выхода взаимодей-
взаимодействия B) из формулы C) задачи 11.28 последовательными итерациями, ее следует переписать
в пиле (л, = а2 = а)
*.. - « = ±? е*р {-*».-•«> ~ ±5 «""* - 5 еой
Здесь дли *,,„ в показателе экспоненты использовано его значение первого приближения,
xJiB « a ± e~aR/R, и выполнено соответствующее разложение экспоненциального сомножи-
сомножителя
11.55. Рассмотреть взаимодействие невозмущенного атома водорода с атомом водо-
водорода, находящимся в возбужденном состоянии с п = 2. Указать правильные функции
нулевого приближения, диагонализирующие оператор диполь-дипольного взаимодей-
взаимодействия атомов.
Решение. Потенциалы взаимодействия (для различных состояний) получаются а результате
лиагонализации оператора диполыюго взаимодействия атомов
~ (d,d2)fi2-3(d,r)(d2R)
У= дЗ • dl,2 = "П.2.
где Г|.2 — ради усы-векторы электронов в атомах водорода относительно своих ядер, сравнить
с П.49. Такая диагонализация проводится на базисе из собственных функций оператора
Гамильтона Щ — Щ, + Яог для двух невзаимодействующих друг с другом атомов водорода,
отвечающих вырожденному невозмущенному уровню
?(o) = _j L = _5
2п] 7n\ 8
(одно из п равно 1, а другое 2). В условиях задачи для вырожденных состояний отличны
от нуля как матричные элементы операторов d|i3, так и возмущения V.
С учетом того, что.
1) матричные элементы d, 2 отличны от нуля л ишь для состояний с различной четностью,
2) проекция момента на направление R является интегралом движения,
а также ввиду
3) симметрии задачи относительно обоих одинаковых атомов, — вид комбинаций не-
возмутенных собственных функций, диагонализируюших оператор возмущения V, т.е.
являющихся правильными функциями нулевого приближении, представляется очевидным'
Ф,,2 = -^(|1». 2s>±|2s; U)). ?Slt:=-L(|l*, 2pl)±|2pl; Is));
*j.« = ^=(|U, 2рО> ± |2рО. Is»; *7,, = -i=(|l«, 2p, -l)±|2p, -I; Is».
Здесь первые символы Is, 2s, 2pm в векторах состояний |...) характеризуют состояние
электрона в первом атоме, вторые — во втором (каждый из атомов с вероятностью 1/2
находится как в основном, ls-состоянии, так и и возбужденном состоянии с п = 2, ось z
направлена вдоль вектора R)
Воспользовавшись известными выражениями для «водородных» в ф 4!nim ¦= RniYim,
см. (IV.3) и A11.7), находим значения отличных от нуля матричных элементов <2(m|r| Is)
, d0 = ~=. B)
4/2) + -(z, - «!/i)(ij + ty2) + г,г2,
Теперь, записан

§ 5 Нестационарные явления в атомных системах 89
нетрудно найти потенциалы диполь-диполыюго взаимодействия Ua[R) = {a\V\a) в указан-
указанных выше (I) состояниях, а = I -г 8. Они имеют вид
4 -о - 2 - -±1
R1' ' ' ' 3' ' '' 3
В заключение отметим, что при относительном движении атомов направление вектора R
в пространстве изменяется. Поэтому между рассмотренными, почти вырожденными состо-
состояниями (I), являющимися собственными векторами «мгновенного» гамильтониана, будут
возникать переходы, см. в связи с этим 13 89.
11.56. Найти потенциал взаимодействия двух атомов на далеких расстояниях в случае,
когда валентный электрон одного из атомов является слабосвязанным, так что |2?о1 <К
h2/ma\. Воспользоваться теорией возмущений по длине рассеяния, см. 11.4, и указать
условия применимости полученного результата.
Решение. Потенциал взаимодействия U{R) = &E(R) определяется изменением энергии Д.Е
валентного электрона, вызванным его дополнительным взаимодействием с другим атомом. Это
взаимодействие можно описать короткодействующим потенциалом Us(r) с радиусом действия
порядка атомного размера Ввиду того, что область локализации валентного электрона
по условию задачи достаточно велика: L и х^1 3> ац> сдвиг уровня определяется формулой
теории возмущений по длине рассеяния
—|*<">(*)|Ч, (о
где Ф@'(г) ~ непозмущенная в. ф. валентного s-электрона, а, — длина рассеяния электрона
на «чужом» атоме, см. 11.4 и 4.29.
Сделаем несколько заключительных замечаний в отношении условий применимости
выражения (I).
1) Предполагается, что |а,| ^С L, см. 11.4. Это означает, что не существует слабосвязан-
слабосвязанною отрицательного иона для «чужого» атома.
2) Эта формула справедлива для расстояний R~L.Hu ббльших расстояниях она приво-
приводит к экспоненциально малому сдвигу При этом взаимодействие атомов будет определяться
ван-дер-ваальдовскими силами (считается, что оба атома находятся в 5-состояниях).
3) Формула A) требует уточнения в случае, когда орбитальный момент I слабосвязан-
слабосвязанного электрона отличен от нуля. Теперь взаимодействие будет зависеть от значения проекции
момента на направление вектора R Если 1С = 0, то потенциал по-прежнему описынается
выражением A) В случае же I, Ф 0, формула (I) дает U(R) = 0; при этом сдвиг уровня будет
определяться взаимодействием электрона с атомом в состоянии с орбитальным моментом,
равным |/.|.
4) Отметим, что формула A) описывает также взаимодействие отрицательного иона
со слабосвязанным внешним электроном с «чужим» атомом (для «своего» атома заведомо
не выполнено условие I), см в связи с этим 11.54)
§ 5. Нестационарные явления в атомных системах
11.57. Атом трития (сверхтяжелого изотопа водорода) находится в основном состоя-
состоянии. В результате /J-распада тритон превращается в гелий: 'Н —» е + ?+3Не. Найти:
1) среднее значение энергии, приобретаемой атомным электроном при Д-распаде
ядра,
2) вероятность того, что при /?-распаде образуется ион гелия Не+, находящийся
в основном состоянии,
3) вероятности образования возбужденных состояний иона гелия с главным
квантовым числом п = 2.
При решении задачи иметь в виду, что электрон C -распада является релятивист-
релятивистским (энерговыделение в распаде составляет ~ 17 кэВ).

90 Глава 11. Атомы и молекулы
Решение 1) Ввиду малости времени пролета ,0-электрона через атом, в результате его
пзаимолеиствия с атомным электроном состояние последнего не успевает заметно измениться
и задачу можно решать в приближении внезапных воздействий, считая, что гамильтониан
электрона до распада ядра Н\, в момент распада мгновенно превращается в Hj, здесь52'
При эюм п ф. атомною электрона непосредственно сразу после распада ялра (в момент
времени I = 0), как и до его распада, име:т вид
*,,(г, Z) = \[^e-Zr с Z=l.
Изменение энергии атомною электрона происходит только н момент распада ядра, а при t > 0
среднее значение ее уже не зависит от времени и равно
M=(\s, г = 1|я2|1«, г = 1>з {is, чя,-i|is, i) = -^. (i)
Таким образом, средняя приобретаемая при распаде ядра энергия атома (за счет /3-элсктрона)
составляет _ _
В„р = Е - Е„ = -1 а. е. = -27,2 эВ
(?,,„ < 0, т.е энергия атома (иона) уменьшается).
2) Вероятность электрону остаться в основном состоянии образующегося при распаде
ядра иона гелия, согласно исходной формуле теории внезапных воздействий, см. 8 47,
составляет
I С 2 512
«».,-.„= У Ф„(г, 2 = 2)Ф,Дг, Z=\)dV = — «0,70. B)
Аналогично, учитывая вид в. ф. 2»-состояния водородоподобного атома (иона гелия при Z = 2)
находим вероятность перехода в это состояние
Ф„(г, г = 2)Ф„(г, Z = \)dV
Заметим, что ввиду сферической симметрии гамильтонианов Hti в приближении мгно-
мгновенного пмлета /3-электрона орбитальный момент атомною электрона сохраняется, и так как
он равен нулю н исходном состоянии, то после распада ядра возможны переходы электро-
электронов лишь I) ^-состояния. При распаде ялра может произойти ионизация атома (иона), т.е.
переход атомною электрона в состояния непрерывного спектра с Е > 0; при этом угловое
распределение вылетающих электронов изотропное Впрочем, вероятность ионизации мала,
как это видно из рассчитанных значений вероятностей B) и C).
11.58. Ядро атома, находящегося в стационарном состоянии Фо. испытывает вне-
внезапный толчок, в результате которого приобретает импульс Р. Выразить в общем
виде вероятность перехода атома в стационарное состояние Фп в результате такого
«встряхивания». В случае атома водорода, первоначально находящегося в основном
состоянии, вычислить суммарную вероятность возбуждения и ионизации.
Решение. Обычно под в. ф. атома понимают волновую функцию электронной оболочки
Ф(Г1,Г21-- ,гл) (спиновые переменные для краткости записи опущены), а атомное ядро
считается неподвижным и находящимся в начале координат. При этом свободное равномер-
равномерное движение ядра (положение которого практически совпадает с центром масс системы)
5!' Эффект отдачи ядра при рясиаде тпкжс несуществен, сравнить с 11 58. Поэтому ядро на всех стадиях
процесса считается неподвижным и находящимися в начале координат.

§ 5. Нестационарные явления в атомных системах 91
не влияет на состояние электронов Для определения изменения состояния атома при вне-
внезапной передаче ядру импульса Р = MV (М — масса ядра) замечаем, что и силу принципа
относительности Галилея оно эквивалентно изменению состояния системы при внезапном же
изменении на р = -mV импульсов всех электронов (и прежнем импульсе ядра). Соответ-
Соответственно в ф. электронной оболочки сразу после «встряхивания» принимает вид
Фо = exp I-'- mV ]Г г„ |фо(г„..., i
где Фо — в- Ф непосредственно перед «встряхиванием», сравнить с 6.26. Дальнейшая эволюция
волновой функции атомных электронов определяется уравнением Шредингера, а вероятности
возбуждения различных стационарных состояний атома
|У|?5>|<1т B)
от времени не зависят, сравнить с 8 47.
В частности, для водородоподобного атома, находящегося п основном, ls-состоянии,
вероятность остаться в исходном состоянии согласно формуле B) равна (q = mP/hM):
г
U>o =
тов
—г / ехр < iqr } dV
I
C)
При этом суммарная вероятность возбуждения и ионизации атома to = 1 — wo- Для нее
в предельных случаях слабого, qaa/Z С 1, и сильного, qaB/Z > I, «встряхивания» имеем
-(^)8«1,
(заметим, что qaB/Z = V/vit, где war = Zh/тав — характерная скорость электрона в исходном
состоянии).
11.59. Для мезомолекулярной dt /^-системы, находящейся в основном состоянии
{К — v = 0), оценить вероятность того, что а-частица, образующаяся в реакции
синтеза dt-* па+ 17,6 МэВ, «подхватит» мюон53'.
Решение. Имея в виду адиабатическое приближение для (ft/u-системы, см 11 30, замечаем,
что когда дейтрон и тритон сближаются до ядерных расстояний, на которых протекает
реакция синтеза dt —» па, волновая функция мюона сводится к в. ф. основного состояния
водородоподобного атома с зарядом ядра Z = 2. Далее, в результате реакции образуется
быстрая а-частица (ядро 4Не) и вероятность подхвата ею мюона, т.е. образования мюонного
атомного иона (ра)*, определяется формулой B) предыдущей задачи. Доминирующую
роль играет подхват мюона в основное состояние, вероятность wt> которого рассчитывается
непосредственно по формуле C) этой задачи, если в ней положить Z = 2, а под ав понимать
мюонный радиус Бора Значение q2 при этом определяется энерговыделением 17,6 МэВ
в реакции dt —• па, из которых 3,52 МэВ приходится на а-частнцу. Учитывая, что тц =
207те, та = 7 286те находим q}al я 35,5 и соответственно w0 я 9,3 • 10"'. Таким образом,
один мюон может вызвать около 100 актов реакции dt —> па. Более точные расчеты,
учитывающие адиабатические поправки в волновой функции, конечность отношения тц/та,
а также и переходы в другие связанные состояния системы (ца)+ приводят к числу ~ 160 актов
реакции синтеза (при этом отношения времени жизни мюона как ко времени образования
«новой» dtp -системы освободившимся мюонам, так и ко времени протекания реакции синтеза
в мезомолекулярном ионе, см. 11.74, существенно больше этого числа).
53' Оказываясь при этом связанным в мезоатомный ион /iHc, мюон перестает выступать в роли
катализатора реакций синтеза Именно это обстонтсльстис (а не конечность времени жизни мюона)
ограничивает число актои реакций, инициируемых олним мюоном, а тем самым — и энергетическую
эффективность /I-катализа, см также 11.74

92 Глава 11. Атомы и молекулы
11.60. Обобщить результат 11.58 на случай двухатомной молекулы, т.е. получить
общее выражение для вероятности перехода молекулы из стационарного состоя-
состояния Фо в состояние Ф„ в результате внезапного «встряхивания», при котором одному
из ядер молекулы сообщается импульс Р (например, импульс отдачи при излучении
возбужденным ядром кванта). Применить полученный результат для вычисления веро-
вероятности того, что молекула останется в исходном состоянии, если изменение скорости
ядра много меньше характерных скоростей электронов в молекуле. Электронный терм
молекулы 'Е, и она находится в состоянии с квантовыми числами К = v = 0. Обсудить
условия возбуждения вращательных и колебательных степеней свободы молекулы.
Решение. I) Волновая функция всей системы непосредственно перед «встряхиванием» имеет
вид
( )
Здесь п. ф ^(R,, „) описывает движение центра масс системы, а Фо является волновой
функцией «внутреннего» состояния молекулы Именно ее имеют в виду, когда говорят
о состоянии молекулы, сравнить с 11.40, при этом г„ = ра — R,, м являются радиусами-
векторами электронов относительно центра масс молекулы.
Считая, что импульс Р передается ядру I, радиус-вектор которого R|, имеем в. ф.
системы сразу после «встряхивания» в виде
PR, 1ф (\\
Учитывая соотношение (R = R| - R2, M — М, + Mi)
R| = R" " + ~М R ~ М ^р" ~ R" ")'
Л
из формулы (I) находим изменение волновой функции молекулы в результате «встряхива-
«встряхивания» (сравнить с (I) из 11.S8 для атома):
Теперь вероятности переходов в молекуле вычисляются по обычной формуле w@ —» п) =
К*л1*оI2, при этом в матричном элементе проводится интегрирование по координатам
всех электронов, относительному расстоянию между ядрами Л и по углам, определяющим
ориентацию оси молекулы (а также суммирование по спиновым переменным).
2) Для молекулы с электронным термом '? вероятность остаться в исходном состоянии
с квантовыми числами К = v = 0 с учетом вида в. ф. из 11.40 определяется выражением
г
B)
Так как по условию Р/М < !>„ я h/mae, а характерные значения координат элект-
электронов г~ац, то, заменив множитель ехр {—i(mP/hM) ?] г„} единицей, в B) получим
а
/|ф"| dr^ = I (это соответствует тому, чго изменение электронного терма в условиях задачи
происходит с малой вероятностью). Выполнив далее интегрирование по углам (что легко
сделать, направив полярную ось вдоль вектора Р)
I f f MiPR cos в\ sin aR МгР цУ
приведенная масса ядер), приводим выражение B) к виду
2
C)

§ 5. Нестационарные явления в атомных системах 93
Волновая функция
Г
существенно отлична от нуля лишь в области значений
h >п
\R-Ro\< (
(До — равновесное расстояние между ядрами молекулы, о»е — частота колебаний). Поэтому
при вычислении интеграла в C) значение Д в знаменателе можно заменить на До, после чего
ом вычисляется элементарно, так как
J\*r(R)\2e±laRdR = (??) "V*» f ехр {™<Л - ЪJ ± «*(Д - ДоI dR =
= ехр
(ввиду быстрой сходимости интегрировать можно в бесконечных пределах).
В результате окончательное выражение для вероятности молекуле остаться в исходном
состоянии с квантовыми числами К = v ~ 0 принимает вид
/sinaRoV / fia2\
«'о = I ^— ехр - 1. D)
Появление в нем доух сомножителей имеет простой смысл Первый из них, [(sin оДо)/аДо] ,
определяет вероятность того, что не возбуждаются вращения Он становится заметно отлич-
отличным от единицы лишь при условии с*До> 1, или /1УДо>Л. Это — естественный физический
результат, если учесть, что fiVRq характеризует величину перелагаемого молекуле момен-
момента, и иметь в виду условие квантования момента. Второй сомножитель в выражении D)
определяет вероятность того, что не возбуждаются колебания молекулы. Как видно, условие
возбуждения их ha > /*wt, или ftV2 > fiwe, что не требует комментария.
11.61. Найти изменение времени жизни основных состояний орто- и парапозитрония,
см. 11.43, при наложении однородного магнитного поля.
Замечание Конечность времени жизни позитрония связана с аннигиляцией электрон-по-
зитронной пары в фотоны При этом в отсутствие внешних полей времена жизни орто-
и парапозитрония имеют существенно различные значения, т, я 1,4- 10~7 с для ортомо-
зитрония и т0 и 1,2- 10"'° с для парапозитрония [29], что связано с различием каналов
их распада — на три и на два фотона соответственно. Отметим также, что при наличии
нескольких каналов распада полная вероятность его ш (величина, обратная времени жизни т)
равна сумме парциальных вероятностей.
Решение. Физическая причина существенного влияния магнитного поля на время жизни по-
позитрония определяется тем обстоятельством, что оно «перемешивает» орто- и парасостояния,
см. 11 43, имеющие сильно различающиеся времена жизни. Времена жизни возникающих
при этом кпазистационарных состояний определяются соотношением
где wo'('j = |Cjj')| являются вероятностями нахождения позитрония в пара- (орто-)состоянии.
Спиновые функции для основного состояния позитрония в магнитном поле были установлены
в 11.43. Так как состояния ортопозитрония с проекцией спина 5.- = ±1 на направление
магнитного поля остаются (квази) стационарными и не искажаются слабым магнитным
полем, то время жизни их не изменяется.
Совершенно иная ситуация имеет место для состояний с 5; = 0. Теперь магнитное
поле «перемешивает» орто- и парасостояния. Воспользовавшись результатами 11.43 для

94 Глава 11. Атомы и молекулы
коэффициентов C^'j, согласно (I) находим
__ = _ + ?_ . B)
Тц2) 2у Tq 2y Т\
Здесь у = \j 1 + D/xR.^/Д) (Д — тонкое расщепление основного уровня позитрония),
знаки + и - соответствуют состояниям I и 2, первое из которых при выключении магнитного
поля описывает ларапозитроний, а второе — ортопозитроний Так как г, > т0, то из B)
иидно, что даже слабое магнитное поле сильно влияет на время жизни ортопозитрония,
уменьшая его:
(этот результат непосредственно следует из выражения (I), если в нем воспользоваться
значениями коэффициентов CJ2) и I и С22) и г^о.Й'/Д, согласно формуле (VIII 2) теории
возмущений).
По мере увеличения магнитного ноли значение Т| также увеличивается, а т2 уменьшается
и в сильном поле, когда (ЛцЛ' ~3> Д, эти времена жизни сравниваются' г, яг ?j я; ru/2
(при этом в рассматриваемых состояниях I и 2 с равной вероятностью представлены орто-
и парасостояния позитрония)
11.62. Найти изменение времени жизни метастабильного 25-состояния атома водо-
водорода при наложении слабого однородного электрического поля.
Замечание. Возбужденные состояния атомных систем являются, строго говоря, квазиста-
иионарным состояниями, так как имеют конечное время жизни, связанное с переходом
электронов на более низкие уровни с излучением фотонов. Обычно характерное время жизни
составляет т ~ !0~' с, так, время жизни 2р-состояния атома водорода г2р = 1>б- Ю~9 с. Одна-
Однако время жизни 2»-состояния несоизмеримо большее: тг, к 0,1 с и определяется переходом
в основное состояние с излучением дпух фотонов (см. в связи с этим задачи I4.6, 14.8). При
решении задачи следует иметь в виду аномальную близость энергий 2si/i- и 2р|/2-состояний,
разность которых составляет Д-Е/2згй гг I 058 МГц (так называемый лэмбовский сдвиг).
~ Решение Физическая причина сильного влияния даже слабого
электрического поля на время жизни 2«-состояния атома водоро-
г' да состоит в том, что оно «перемешивает» его с 2р-состоянисм,
&и 2sifi а последнее уже быстро излучает фогон, переходя и основное
— 2м состояние; сравнить с предыдущей задачей. Выделенность 2р-
m (и особенно 2р\ц-) состояний определяется почти вырожденно-
- , стью их по энергии с 2з-состоянием. Схема уровней, возникающих
из нерелятивистского уровня ?п=2 атома водорода за счет реля-
релятивистских и так называемых радиационных, см. [28], поправок, приведена на рис 3 При
этом Д|$/2я7> = I 058 МГц— лэмбовский сдвиг, a Ahs/2jr/i и 1,1 • 10* МГц — тонкая структура.
При наложении слабого электрического поля вместо «чистого» 2«|^-состояния возникает
суперпозиция
в которой мы ограничились лишь состоянием 2р,р ввиду малости Д|$ по сравнению с Д(.$
(см. ниже). Время жизни такого состояния
-=|C,|J -+|С2|г--1.
Как обычно, из уравнения Шре'дингера, H\4l?) = Blt^), последовательным умножением
на Bs,/2|, Bp,/2| получаем
V'C. = В("С,, VC, = (?<" + Ди)Сг, (I)
где Еи) — энергия состояния, отсчитываемая от невозмущенного уровня E{2J, a
V =

§5. Нестационарные явления в атомных системах 95
Этот матричный элемент возмущения вычисляется для состояний с одинаковыми зна-
значениями проекции момента j, = ±1/2 на направление электрического поля и лишь
множителемS4) 1/У5 отличается от матричного элемента Bp0le<?z\2s), вычисленного и 11.33
в пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием
Мы не будем приводить общего решения55' системы уравнений (I), определяющего
сдвиги 2st/2- и 2р|/2-уронней и значения соответствующих коэффициентов С;, а ограничимся
лишь предельными случаями.
При выполнении условия eaBJ -С AL$ для коэффициентов С,, описывающих искажение
в.ф 2з-состояния электрическим полем, можно воспользоваться результатом теории возму-
возмущений (VIII.2), согласно которому C2s ~ I и С2р./2 « K/Ai.s. и получить для времени жизни
рассматриваемого состояния выражение
^i B)
'ls т2р
Заметим, что при этом C2pin = Vl V/(Als - AFS) и поправка, связанная с учетом 2рур-со-
стояния, составляет и 4% от второго слагаемого в правой части соотношения B).
В случае же еаа<* > Ди (отметим, что «SJ = Ац/еаЙ я; 800 В/см) в рассматривае-
рассматриваемой суперпозиции 2$- и 2р-состояния представлены с одинаковой вероятностью и теперь
т и г2,/2.
В заключение отметим, что как в данной, так и в предыдущей задачах ширины рассма-
рассматриваемых состояний Г = й/т малы по сравнению с расстоянием АЕ между невозмушенными
уровнями. В аналогичных задачах в случае Г > АЕ необходимо учитывать затухание состоя-
состояний, см. в связи с этим A4, с 118|.
11.63. Найти в первом порядке теории возмущений вероятность вырывания заря-
заряженной частицы, связанной потенциалом нулевого радиуса, электростатическим полем
монохроматической электромагнитной волны. Длина волны А предполагается много
большей области локализации частицы, так что электрическое поле можно считать
однородным, изменяющимся во времени гармоническим образом.
Рассмотреть наиболее общий случай волны эллиптической поляризации. Обоб-
Обобщить полученный результат на случай слабосвязанного состояния частицы в коротко-
короткодействующем потенциале Us(r) конечного радиуса.
Замечание. Для монохроматической волны эллиптической поляризации, распространяю-
распространяющейся в направлении оси г, электрическое поле в данной точке пространства изменяется
во времени по закону
?(t) = (<^cosw<, ^sinijit, О),
где ? — степень эллиптичности (|?| ^ I), а <^ — амплитудное значение напряженности
поля; знак f определяет направление вращения вектора ?(t) При ( = 0 волна линейно
поляризована, а при ( = ±1 обладает круговой поляризацией.
Решение. Воспользуемся общей формулой для вероятности перехода в единицу времени
из состояния дискретного спектра п состоянии непрерывного спектра под действием перио-
периодического возмущения
Ли„ = у \F>J 6{EV - Е™ -hw)du, (I)
см. [I, §42). В рассматриваемой задаче возмущение имеет вид
f = -erf'(<)r = Fe-1"'+i?V"',
причем
~_ -е<3> (х + <Су)
5<) Он представляет соответствующий коэффициент Клсбша—Гордона, его значение следует, например,
из результата задачи 5.18
55'Оно может быть получено в результате очевидных переобозначений из формул, даюшнх решение
задач 1161 и 11.43 (для состояний eS, = 0).

96 Глава 1). Атомы и молекулы
В матричном элементе возмущения Fm = (ф10) |.Р| Ф»01) под п. ф. ф!,0' исходного состояния
следует понимать п.ф.
г
основного состояния частицы в потенциале нулевого радиуса, см 4.10. Выбрав в качестве
v волновой вектор к вылетающей при ионизации частицы на бесконечности, под Ф1
следует понимать волновые функции ф?~', см [I, § 136]. Однако в условиях рассматриваемой
задачи вместо Ф^"' можно воспользоваться волновыми функциями свободной частицы Ф^0' =
B;г)-э'2е'кг. Это связано с тем, что в случае потенциала нулевого радиуса Ф^ ' отличается
от ф[ лишь слагаемыми, отвечающими моменту I = 0 (на частицу с / ф 0 п. н. р не оказывает
влияния), а их вклад в матричный элемент (¦?"'| f | Фо) равен нулю.
Таким образом,
Входящий сюда интеграл равен
(он вычисляется в сферических координатах с полярной осью, направленной вдоль вектора к).
Учитывая, что
, , mk dnk <Щ,
Ли = d3k = к2 dk dQt = ±—-
ft
ft
и выполняя в формуле (I) интегрирование по В; = Е„, получаем
dw 2J$
ЛО = 4 2 Л* S1" 9'(C0
при этом направление полярной оси выбрано вдоль оси г, так что кх = fc sin в ¦ cos у; так как
jBJ0) = -ft2xo/2m, то для вылетающих частиц hk = y2mhu> - Л3*2,-
Отметим следующие закономерности в угловом распределении вылетающих частиц. При
значениях С, — ±1 (отвечающих круговой поляризации) имеем
dw . ,
в
что соответствует частице с моментом J = 1 и его проекцией I. = ±1. В случае < = 0
(линейная поляризация волны вдоль оси х) угловое распределение
dw , .
—- ос cos ff,
где в1 — угол между вектором к и осью х, что соответствует вылетающей частице с / = 1
и 1Х = 0.
Выполнив и выражении D) интегрирование по углам, получаем полную вероятность
ионизации в единицу времени
здесь ш0 = ftxo/2m — порО!Х>вая частота ионизации. Отметим, что зависимость
ui ос {и> - Wo) ос к' при ш -> «о
определяется значением момента (ui ос fc2l+l) вылетающей частицы, равным / = I, и связана
с проницаемостью центробежного барьера для медленных частиц, сравнить с 9.30.
361 Напомним, чго и представляет собой набор квантовых чисел для описании невозмушенных
состояний непрерывного спектра. Еще один удобный набор v - (к,1,т), где ( — момент вылетающей
частицы При эюм матричный элемент возмущения отличен от нуля лишь для значении / = I,
а соответсгвуюшие в ф. *!,' соииадаютс и.ф. Ф„т свободной 'шетниы, см. II 33.

§ 5. Нестационарные явления в атомных системах 97
Сделаем несколько заключительных замечаний
1) При ш < ш0 вероятность ионизании согласно (I), E) равна нулю В этом случае она
определяется более высокими порядками теории возмущении.
2) Отметим, что обобщение полученных результатов D) и E) на случай ионизации
состояния с малой энергией связи и моментом I = 0 в короткодействующем потенциа-
потенциале U,(r), учитывающее конечность его радиуса, г, Ф 0, получается введением в эти формулы
множителя Схо> сравнить с 11.36.
3) Подчеркнем, что кроме обычного условия применимости теории возмущении,
l-f'ml <К \Е,, — Еп\ или em$o/h7XQ <С 1, справедливость выражений D) и E) предполагает
выполнение еще двух условий: хог, С I и кг, < I. Первое из них отражает слабосвязанный
характер рассматриваемою состояния, а второе накладывает ограничение на частоту вол-
волны, ftk><ft2/mrf. в противном случае в интеграле матричного элемента Fm существенную
роль будет играть область расстояний г < г$ (в случае кг, > 1 это связано с быстрым
осцилляииями е'1'), в которой волновые функции ф10> и Ф^"' уже зависят от конкретного
вида потенциала и замена его потенциалом нулевого радиуса не оправдана.
4) Рассматриваемое состояние в периодическом во времени поле волны, строго говоря,
является уже квазиэнергетическим, см. §5 главы 6. Соответственно по формуле (8) из 8.42
можно рассчитать его квазиэнергию, мнимая часть которой определяет ширину этого КЭС,
связанную с вероятностью ионизации E) соотношением Г = йш, см. в связи с этим 11 66.
Отметим, наконец, что в последнее время интенсивно исследовалось поведение атомных
систем в поле сильной волны, см. \юнографию B1].
11.64. То же, что и в предыдущей задаче, но для слабосвязанного в короткодей-
короткодействующем потенциале Us(r) состояния частицы с моментом I = l в поле линей-
линейно поляризованной волны57); частота ее предполагается удовлетворяющей условию
ftu» -С h2/mr2s, где rs — радиус потенциала.
Решение. Задача решается аналогично предыдущей. Ввиду слабоснязанного характера рас-
рассматриваемого состояния, щг, < I, и предполагаемого ограничения на частоту волны
Иш <?Л3/тг', в матричном элементе возмущения (v\e?z\n) (ось z направлена вдоль векто-
вектора &(t)) существенную роль играет область больших расстояний58' г 2> г,, на которых для
волновой функции исходного состояния Фп = Фх,ы\,т можно воспользоваться выражени-
выражением A) из задачи 11.37. Волновую функцию конечного состояния, как и в 11.63, можно взять
в виде плоской волны Фк = Фк (это связано с тем, что вылетающая частица является
медленной, кг, < I, и соответственно малы фазовые сдвиги 6t ~ (Ату)!'+|, см. (XIII. 15),
определяющие при г > г, отличие радиальных в. ф. от случая свободной частицы). С учетом
этих значений и выражения У|т(п) = а,(т)х,/г для шаровой функции, см. 3 41, матричный
элемент возмущения можно преобразовать к виду
2^? e.(m) ±±J r-^<e-k'ifV2(*or) dV, (I)
причем ? —• 0 (e > 0; сразу полагать е = 0 нельзя из-за возникновения «искусственной»
расходимости интеграла, которая устраняется после дифференцирования по *,). Интеграл
здесь после выполнения интегрирования по углам в сферических координатах с полярной
осью, направленной вдоль вектора к, принимает вид
' При этом волновые функиии возникающих в поле волны квазистпционарных состояний характери-
характеризуются определенным значением проекции момента частицы на направлении электрического поли Для
них вероятность ионизации п единицу прсмени непосредственно связана с шириной уровня Г = Ли.
Сравнить со случаем статического электрического поля в условиях задачи 11 37

98 Глава 11. Атомы и молекулы
см. [33, с. 761], где F — гипергеометрическая функция.
Замечая, что при е —» О
'^ г"
FG + е, е, 7, г) гг 1 +1 Y] — = I - e In A - z)
и Г(с) я с, интеграл в выражении A), согласно B), можно записать в виде
Первое слагаемое здесь, расходящееся ос 1/е при е -> 0, не зависит от А и поэтому не вносит
«клада в значение матричного элемента (I)
Теперь, учитывая приведенную BbiiLe связь а,(т) с Y,m(n), находим значение выражения
д д . , 2. -4fc cos в ¦ У,т (к/*) + 2iy374^(fc2 + хог) Д„.о
определяющего фактически матричный элемент возмущения (I), и получаем угловое распре-
распределение вылетающей при ионизации частицы
у — we,Jl0 + 2Цш - шо) cosfly,,, f-j , D)
сравнить с выводом формулы D) из 11.63.
Обсудим полученный результат D).
При ионизации из состояний с проекцией момента I, = ±1 угловое распределение
вылетающей частицы описывается выражением
dw ^ ч 1
•—acos2e-sin2ea|y2||2,
aft
что соответствует частице, имеющей момент I = 2 и /г = ±1. При этом на пороге ионизации,
т.е. при и —> о/о = ftxo/2m, имеем dw/dil <х (и - шоK'2, как и следует (a fc2'+l) при
моменте / = 2; сравнить с предыдущей задачей.
В случае значении Z, = 0 у связанной частицы угловое распределение D) описывает
интерференцию *- и d-волн, при этом иа пороге доминирует «-волна и
dw i \\n
—- <х (ш - ы0) ' при ш -• w0.
ai!
Выполни» в выражении D) интегрирование по углам, находим полную вероятность
ионизации в единицу времени Для частицы, имеющей в исходном состоянии момент i = I
и его проекцию 1, = ±1, получаем
а для частицы с I = I и (, = О,
е2С2, <*0Vw -
" =
11.65. То же, что и в задаче 11.63, но для водородоподобного атома, находящегося
в основном состоянии. При этом ограничиться случаем большой частоты внешнего
поля, Пш > m(?e2J/ft2, так что вылетающей электрон является быстрым.
Замечание. При решении задачи воспользонаться для описания взаимодействия заряженной
частицы с однородным электрическим полем оператором вила V — -(е/тс) A(t)'p, соответ-

§ 5. Нестационарные явления в атомных системах 99
ствуюшим выбору скалярного потенциала tp = 0; при этом ?(t) — ~dk(t)/cdt, так что для
эллиптически поляризованной монохроматической полны
А(«) = -— (sinwt, -(coswc, 0).
ш
Такое взаимодействие эквивалентно использованному в двух предыдущих задачах V = — e<?(t)r
(А' = 0, <р' = —<?(i)r) и получается из последнего калибровочным преобразованием с х —
-aj?(t)dt (см., например, 6.27). Его преимущество, по сравнению с V, определяется
тем, что в случае большой частоты ш, когда вылетающая частица является быстрой, при
вычислении матричного элемента возмущения в качестве волновой функции конечного
состояния Щ можно воспользоваться плоской волной.
Решение. Как и в двух предыдущих задачах, расчет вероятности ионизации выполним
по формуле A) из 11.63. Теперь, однако,
7Г
!0) и n*\-Ws*
(используем атомные единицы), но по-прежнему Я/„ и Bir)
Матричный элемент возмущения
(под интегралом операторы рх,у, перенеся их действие «налево», можно заменить на кху,
после чего он легко вычисляется в сферических координатах с полярной осью вдоль к,
в приведенном выражении учтено, что к ss \fbj 3> Z). Соответственно вероятность ионизации
в единицу времени с заданным направлением вылета электрона оказывается ранной
»V). 0)
Угловое распределение имеет такой же вид, как и в условиях задачи 11.63, см. формулу D)
этой задачи и связанный с ней комментарий.
Интегрирование выражения A) по углам дает полную вероятность ионизации атома
(иона) в единицу времени:
B)
здесь мы перешли к обычной системе единиц, ша = me*/h3.
11.66. Найти динамическую поляризуемость /?o(w) для частицы в потенциале нуле-
нулевого радиуса. Обобщить полученный результат на слабосвязанное состояние частицы
с моментом 1=Ов короткодействующем потенциале Us(r) и в соответствующих пре-
предельных случаях сравнить его с 11.36 и 11.63. При решении задачи воспользоваться
развитой в 8.42 теорией возмущений для квазиэнергетических состояний.
Решение Динамическая поляризуемость рп(ш) определяет изменение квазиэнергии (ее ква-
квадратичной по полю части) системы, находящейся в монохроматическом однородном элек-
электрическом поле, в квазиэнергетическом состоянии Ф?,. В случае линейно поляризованной
волны, т е. электрического поля вида <"(t) = c^coswi, КЭС характеризуются определенным
значением проекции момента на направление поля (выбираемое вдоль оси z), так что для
их рассмотрения можно воспользоваться развитой в 8.42 теорией для невырожденных (в от-
отсутствие возмущения) уровней. Отметим, что для состояний с отличным от нуля моментом
в поле эллиптически поляризованной волны возникают осложнения, связанные с отысканием
правильных функций нулевого приближения. Однако для исходных состояний с моментом
I = 0 их нет, при этом изменение квазиэнергии описывается выражением
я = -;0+<2)А>И<"о2,
где ? — степень эллиптичности

100 Глава 11. Атомы и молекулы
Итак, исходным для вычисления Д|(ш) является выражение (8) из 8.42, которое теперь
имеет вид
и = 2 у"'
"Id -ш-- V)
здесь 7 > 0 — бесконечно малая величина, волновые функции Ф и Щ такие же, как
и в 11.63, Еа = —хо/2 ~ энергия рассматриваемого невозмушенного состояния, Ек = к2/2
и a/no = (Л2 + х$)/2, при этом используем систему единиц е = Л = m = 1.
Матричный элемент координаты г в выражении A) был вычислен в 11.63. Его угловая
часть ос кс = Jfecos#, и после элементарного интегрирования по углам (d*k — k2dkdil)
выражение (I) оказывается равным
32х0 J
-х
Входящий сюда интеграл вычисляется с помощью вычетов замыканием контура интегрирова-
интегрирования, например, в верхнюю полуплоскость комплексного переменного к. Вычисления можно
несколько упростить, если предварительно выполнить простые алгебраические преобразова-
преобразования и записать сначала подынтегральную функцию в выражении B) в виде
1 I
-i7.r
При этом интеграл от первого слагаемого в скобке вычисляется элементарно (и особенно
просто, если записать в нем (г + it2) с z = к2, как ?(z + tfy'/ldz* и вынести дифферен-
дифференцирование по z за знак интеграла). Оно дает вклад в А)(и>), равный -\/и>2. Далее, записав
слагаемое, отпечаюшее второму члену в скобке выражения C), в виде
fc4 / 2 1 1 \
32w*V xo2+fc2 + x2+fc*2ut7 + ^ + fc2 + 2(j + i7/
xo2+fc2 +
(ш > 0), легко приходим к окончательному результату
+ 5(х 2w
Здесь мы ввели множитель С«о (квадрат асимптотического коэффициента), что соответствует
обычному обобщению результата, полученного для потенциала нулевого радиуса, на случай
слабосвязанного состояния частицы с моментом I = 0 в короткодействующем потенциа-
потенциале U,(r), сравнить с 11.36 и 11.63
Отметим ряд свойств выражения (S) дли динамической поляризуемости
1) Дли малых частот, ш <?. к2,, имеем
) = ^<&, F)
при этом До воспроизводит значение статистической поляризуемости из 11 36.
2) При значениях частоты ш > у.1/2 (выше порога ионизации) у Ро(ш) появляется
мнимая часть, определяющая ширину Г рассматриваемого состояния, Е§ = Д? - «Г/2,
->±У2 V)
Наличие ширины квазиэнергетического уровн» отражает возможность ионизации системы,
вероятность которой в единицу времени w = Г (так как ft = 1) совпадает, естественно,
с результатом из 11 63.
3) В случае потенциала нулевого радиуса С20 = 1 и из выражения E) имеем 0q(w) и
— 1/ш2 при ш —> оо в согласии с общим результатом, см 6.40. Для потенциала же конечного
радиуса г, формула E) применима лишь для не слишком больших частот и> 4С rj2, по поводу
этого ограничения см. 11 63

§ 5. Нестационарные явления в атомных системах 101
11.67. Оценить с точностью до предэкспоненциального множителя вероятность вы-
вырывания в единицу времени заряженной частицы, связанной центральным потенциа-
потенциалом U(r) (при этом U(r) —> 0 при г —> со), слабым однородным электрическим полем.
Решение. Наиболее существенный, экспоненциальный множитель в искомой вероятности
определяется проницаемостью электростатического барьера V = -e$z и равен (ниже е = ft =
т = I)
w ~ — D г схр < -2 I Jxl - 2$z dz > я: -у exp < 7 \ (I)
rs П I J V I rs I u I
Здесь Ь = «о/2<^ — правая точка поворота, левая точка поворота а ~ г,, где г, — радиус
потенциала, и положено x^r, <S I (слабосвязанная частица, ее энергия So = —Xq/2) и,
наконец, ч/г, — число ударов о барьер в единицу времени; сравнить с 9.30 и 9.28.
Для уточнения этого результата заметим, что использованное в выражении (I) значение
проницаемости барьера отвечает частице, движушейся строго вдоль поля (в направлении
оси z). Для частицы, движущейся под углом в к полю, барьер менее прозрачен и это
обстоятельство качественно можно учесть, считая, что эффективное электрическое ноле для
нее есть <?cos# ~ $ (l -в2/2). При этом для вероятности туннельной ионизации частицы
из состояния с орбитальным моментом I и его проекцией m на направление поля получаем59'
1 г. |2 1 Г, ,2 Г 2*п / #J\ 1
Щт и — / Vim(n) DFcos6) dfi и -у / У,т ехр < --j I + — ) } du и
г| J т\ J \_ U \ 2 ) J
^ 2f + I (i -Н Imp / 3<? \ н+|
(так как существенны лишь малые углы 9 < I, то в шаровой функции достаточно ограничиться
лишь а 0|т| сомножителем). Для короткодействующего потенциала эта формула правильно
передает зависимость вероятности ионизации от напряженности слабого электрического поля
как в экспоненциальном, так и в предэкспоненциальном сомножителях.
11.68. Найти вероятность выбрасывания .RT-электрона из атома при дипольном пе-
переходе ядра из возбужденного состояния в результате прямого электростатического
взаимодействия электрона с протонами ядра (внутренняя конверсия в пренебреже-
пренебрежении запаздыванием). В качестве волновой функции начального состояния электрона
использовать Ф -функцию Я-электрона водородоподобного атома. Скорость вылета-
вылетающего электрона считать много большего атомной.
Решение. Гамильтониан системы «ядро + электрон» имеет вид
Здесь Я„л — гамильтониан ядерной подсистемы в с. ц. и. ядра (и всей системы в целом),
суммирование проводится по всем протонам ядра. Записав
(начало координат выбрано в центре масс), замечаем, что V представляет собой часть взаимо-
взаимодействия, зависящую от состояния ядерной подсистемы и отпетстпеннуюза рассматриваемый
переход (в приближении точечного ядра V = 0). Его вероятность (в единицу времени)
рассматривается по формуле
б(Е„ - Si0)) du. B)
5" Строго говори, 8 выражение B) следовало бы также ввести множитель ~ {xo^sO'*' • учитывающий
уменьшение вероятности вылета частицы из-за центробежного барьера, сравнить с 9 30

102 Глава 11. Атомы и молекулы
Волновые функции, входящие в матричный элемент возмущения Vun, имеют вид
/23\ I
где Ф^|( — в.ф. ядерной подсистемы, так что
К„. = —-— // Ф7"е'""' 5l —• |er'*frfr dV..
V&*4J ' ^\К-г,\ rj °
Здесь dr — произведение дифференциалов всех независимых координат ядра (включая
и спиновые переменные).
Для вычисления матричного элемента воспользуемся разложением кулоновского потен-
потенциала и интеграл Фурье:
*-^ 1 I
при этом
Здесь можно разложить «ядерную» экспоненту и ряд по степеням qrp. Это соответствует
разложению слагаемых |ге - гр|"' по малому параметру гр/г, ~ ZR^/ав <? 1 (однако оно
менее удобно дли дальнейших преобразований, чем используемый прием с переходом к фурье-
компонентам) Разложив экспоненту, получаем
j фг Е(е"Го - 0 ¦•"dT * J *"" (-'ч Е гр) *•"dr = -«4d.o. w
р р
где d|0 обозначает матричный элемент дигюльного момента ядра. Далее, проинтегрировав
по координатам электрона, что дает
приводим матричный элемент C) к виду
Так как скорость вылетающего электрона много больше атомной60', т.е. *>2 (при этом
энергия вылетающего электрона Я» = к1/7 и Еш,а ~ Еях i), то в интеграле E) доминирующую
роль играет область значений q, для которых |q — k| <, Z, и поэтому
J YKZ' + h-by]2*'^ J
(q » k, отсюда, кстати, следует неравенство дг„ < 1, непосредственно подтверждающее
возможность использованного выше разложения экспоненты). Таким образом,
Так как в формуле B) dv = kidkdu = k dEk du, то, выполняя в ней с учетом F) интегриро-
интегрирование сначала по Et, а затем и по углам вылета электрона, находим
4Z №,ор 167 ,
м' Именно о этом случае о качестве волновой функции вылетающего электрона можно выбрать
плоскую волну (в ф. свободного электрона).

§ 5. Нестационарные явления в атомных системах 103
Так как в атоме имеется два А"-электрона, то полная вероятность внутренней конверсии
(в единицу времени) на электронах if-оболочки равна
— * =1Г«'- *&?»* »
(в последнем выражении мы перешли к обычной системе единиц).
С другой стороны, вероятность дипольного излучения фотона при ядерном переходе
4w3 ,
"'¦» = SH?|d'01'
см. (XIV. 10), Тш — mv2/2, так что коэффициент внутренней конверсии
™ "и/,,» 2 V /ш/ ) ' he 137-
Как видно, он резко возрастает с увеличением Z и с уменьшением частоты ш.
11.69. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае, когда начальное и конечное
состояния ядра имеют равный нулю момент и одинаковую четность (такие процессы
называют конверсией при монопольном, или Е0- переходе).
Решение. Задача решается аналогично предыдущей, причем начальная стадия решения обеих
задач одинакова. Однако теперь при вычислении ядерной части матричного элемента уже
нельзя воспользоваться формулой D), так как в условиях данной задачи d,0 = 0. Беря
следующий член разложения экспоненты по степеням qrp, получаем ядерную часть матричного
элемента в виде
«Л • I 2 / Ч
Зр.ЖркФо dT= ~ -2Ъ<1кЧо6>1 = -7Я Qo, (I)
р " " р
где
г / \
B)
(при этом предполагается, что четности начального и конечного состояний ядра одинаковые,
в противном случае Qo — 0).
Соответственно матричный элемент возмущения равен
rt)d\dVt,
и после интегрирования по q, приводящего к tf-функции 6(ге), получаем
-—'ММ
3
Теперь легко находим угловое распределение вылетающего электрона и полную вероятность
его вылета (в единицу времени)
— = ifc|Qol2|*k(O)*o(O)! I w — *|фо|21*k@)*o(O)| W
(изотропный характер распределения dw/du очевиден заранее из соображений симметрии).
С учетом наличия в атоме двух А'-элекгронов вероятность рассматриваемого ?0-перехода
равна ui?o = 2w В частности, если вылетающий электрон является быстрым, к 3> Z, то
Фк@) я; Bя-)'2, и соответственно
wso = I Z'klQof. E)
В заключение отметим, что из полученных формул видно, что доминирующую роль
внутренняя конверсия играет именно на электронах Jif-оболочки (так как w <х |Ф@)| ,
сравнить с 14.18 и 14 19).

104 Глава 11. Атомы и молекулы
11.70. Найти вероятность выбрасывания .йГ-электрона в результате эффекта Оже
в мезоатоме (при этом находящийся в возбужденном состоянии /*~-мюон переходит
на более низкий уровень, передавая энергию электрону). Ограничиться рассмотре-
рассмотрением диполького, или так называемого F-перехода Оже, при котором изменение
орбитального момента мюона |Д1| = 1. При проведении расчетов считать размеры
мюонной орбиты много меньшими электронных и электроны в конечном состоянии —
свободными. Рассмотреть, в частности, мюонный переход 2р —» Is.
Решение Гамильтониан системы, состоящей из мюонп и электрона (представляющего один
из электронов if-оболочки), находящихся в кулононском поле ядра с зарядом Z, имеет вид
ЯLa ?' a Z ' (,)
2т," г, 2Ле
г, 2 r, |r«-r,l
Так как размер мюонной орбиты много меньше электронной (тр = 2О7те, а радиус Бо-
Бора аи ос т), то этот гамильтониан естественно записать в виде
И = Я„ + Д. + V,
где
Я А Я Л
V =
В пренебрежении возмущением V рассматриваемая система представляет две независимые
подсистемы: мюонную и электронную (с экранированным на единииу зарядом ядра).
Легко заметить, что расчет эффекта Оже совершенно аналогичен расчету вероятности
внутренней конверсии, см. II 68, так как формально можно рассматривать мюонную под-
подсистему как ядро. Более того, формулы, описывающие дипольный (или Р-) эффект Оже,
получаются из формул задачи 11.68 заменой в них Z на Z - I и подстановкой мюонных в. ф.
начального и конечного состояний вместо ядерных в. ф. tfJV Вероятность его (в единииу
времени) с учетом наличия двух if-электронов имеет вид
32 (Z - 1)У г?1 ,
Wp~ 3 hv ft' ' '0| [)
(сравнить с формулой (8) из 11.68), где v — скорость вылетающего электрона, d,0 — матричный
элемент дипольного момента мюона. В частности, для мюонного перехода 2р -» 1з имеем
н атомных единицах, т^ - 207, и согласно B) получаем
wPGp - \з) и 4,6 ¦ IO"(Z - IK/Z3 с'1,
сраинить с вероятностью ихпучения фотона u/,,u « 1,3 • IO"Z4 с'1.
В заключение отметим, что так как размер мюонной орбиты а„{11 ~ пг12т1:, а размер
орбиты if-электрона ~ 1/2, то условием применимости формулы B) является неравенство
пг <g mp и 200 (при этом вылетающий электрон является быстрым).
11.71. То же, что и в предыдущей задаче, но для Д/ = 0 (S-переходы Оже).
Ограничиться случаем, когда орбитальный момент мюона в начальном и конечном
состояниях равен нулю. Рассмотреть, в частности, мюонный переход 2s -» Is.
Решение Если дипольный переход Оже аналогичен процессу внутренней конверсии при
димольном переходе ядра, см. 11.68, то S-переход Оже в случае, когда мюон имеет орбиталь-
орбитальный момент 1=0 и и начальном и в конечном состояниях, япляется аналогом конверсии
при В0-псреходе в ядре, см. 11.69. Точно так же, как решение предыдущей задачи дублировало
решение 11.68, решение данной задачи дублирует II 69.

§ 5. Нестационарные явления в атомных системах 105
Вероятность рассматриваемого перехода (с учетом наличия двух К -электронов) описы-
описывается выражениями
Qo
= J *;io
сравнить с формулами E) и B) из 11 69.
В частности, используя явные выражения для в ф. *n00 водородоподобного мезоатома,
находим для мюонного перехода 2$ -> Is значение Q\ = 2"/C'°Z''mJ), и так как при этом
к2 = 3Z2mll/4, то согласно (I) получаем
22: (Z - \У
11.72. Произвести классификацию (т.е. указать возможные значения квантовых
чисел: суммарного электронного спина S, полного орбитального момента L и чет-
четности /) нижних автоионизационных состояний6^ (АИС) двухэлектронного атома
или иона, связанных с электронной конфигурацией nlnl' при п — 2. Рассматривая
взаимодействие между электронами как возбуждение, найти в первом порядке теории
возмущений энергетические уровни этих состояний. Указать правильные волновые
функции нулевого приближения.
Обсудить вопрос о зависимости ширины уровней АИС от заряда ядра Z.
Решение. I) Существует 4 (с учетом спина 8) независимых одночастичных состояния с глав-
главным квантовым числом п — 2: одно 2в-состояние и три 2р-состояния (с I. = 0 и ±1). Для
электронной конфигурации 2аг имеем, очевидно, ? = О, J = +1, S = 0; при этом в. ф такого
терма '5' имеет вид
где 1рг,(г) = \JZ^ /8тг (\—Zr/2)e~Zr'2 — в.ф. 2s-coctohhhh водородоподобного атома, а хйр ~~
антисимметричная спиновая в.ф, отвечающая значению 5 ¦— 0 (в силу принципа Паули
состоянии с 5 = I для конфигурации 2s2 не существует).
Для конфигурации 2s2p имеем L = 1, / = -1 и возможны как синглетные, S = 0, так
и триплстные, 5=1, состояния Координатные части волновых функций таких термов li3P"
имеют вид
^ г,)}, B)
где ^2р(г) = \//?s/32ir (ar)e~Zr'J — в.ф 2р-состояний, при этом |а| = 1, см. 3 42, а знаки + и —
относятся к значениям .9, ранным 0 и 1.
Наконец, с четной, I = +1, конфигурацией 2р' связаны как синглетные 'S* и 'О+-тер-
мы, так и триплетный 3Я""-тсрм Волновые функции этих термов определяются формулой B)
из 11.17, где под ip(r) следует понимать радиальную в ф 2р-состояния В частности,
для '5+-терма имеем
В пренебрежении взаимодействием между электронами энергия всех указанных состоя-
состояний одинакова и равна ?*"' = —2(Z2/2n2) = —Z2/4 Она больше энергии основного состояния
соответствующего одноэлектронного иона, равной —Z2/2, что и указывает на неустойчивость
таких состояний в результате электрон-электронного взаимодействия возможен переход
одного из электронов и ls-состояние с одновременным вылетом другого, сравнить с 11.12
"' Автоиошпаципшшми называют неустойчивые относительно ионизации (пмлста электрона) состоя-
состояния атомных систем с двумя или более иозбужденными электронами, при передаче возбуждения одному
электрону последний вылетает из атома (иона) ЛИС нвлмютсн кыазистационарными состояниями и обыч-
обычно лрояолиютсы как резонаксы.

106 Глава 11. Атомы и молекулы
2) Перейдем к расчету изменения энергии рассматриваемых состояний за счет взаимо-
взаимодействия электронов друг с другом. Начнем с 'S''-термов. Так как их два (для конфигура-
конфигураций 2$2 и 2р2), то следует воспользоваться секулярным уравнением Вычисление матричных
элементов дает
(методы вычисления соответствующих интегралов описаны в задачах 11.5, II. 10 и 11.17).
Теперь решение сскулярного уравнения позволяет найти сдвиги 'S^-термов и правильные
функции нулевого приближения:
_ 47*7241 f 0,123* = <
*"¦'«- 256 Z
|'S+, О = 0,880{|2а2) +0,540|2р2)},
\'S+, 2) = O,88O{-O,54O|2s2> + |2р2)}.
Как видно, в нижнем по энергии из расщепленных '5+-термов с большей вероятностью
представлена конфигурация 2s2, для нее и>2<!,> и 0,774, а в верхнем, наоборот, конфигура-
конфигурация 2р2. Соответственно эти термы иногда так и классифицируют как 2s2 'S* и 2р2 'S+
(следуют, однако, иметь в виду, что «смешивание» конфигураций F) существеннейшим
образом сказывается на значениях ширины этих автоионизационных состояний).
Сдвиги остальных термов определяются средним значением возмущения V = |г, - г3|~'
в соответствующих состояниях и оказываются равными
2?1'( D-) = Z и 0,1852,
, /0,19,2,' 'Р-, (?)
~ v * '~ 512 "0,1332, >Р-.
Отметим, что сдвиги термов для конфигурации 2р2 легко вычислить по формуле G)
из 11П7
Из выражений E) и G) видно, что наименьшую энергию имеет один из термов 'S
(у другого из них, наоборот, энергия максимальна) Для этого АИС энергия вылетающего
электрона равна Z2/4+0,\23Z. что для атома гелия составляет 33,9 эВ, энергия же возбуждения
этого состояния из основного состояния атома (Е0(Не) = -79,0 эВ) равна 58,5 эВ (хотя Z = 2
невелико, тем не менее приведенные значении отличаются от точных лишь на 0,5 эВ, дня
других термов отличие не превышает 2 эВ)
3) Перейдем к вопросу о ширинах рассматриваемых АИС Их значения в первом
приближении по возмущению V = |Г| — г2|~' могут быть найдены по обычной формуле для
вероятности перехода в единицу времени (Г, = tu,_/, h — 1):
w,.., =2* J \(f\V\i)\26(E, - E,)dv,. (8)
Дли описания конечных состояний \f) в качестве набора квантовых чисел вылетающего
электрона удобно выбрать к, I, т; Е^ = к}/2. Так как при этом другой электрон переходит
в If-состояние, а суммарный спин при ионизации не изменяется, S/ = 5,, то координатная
часть в ф. Ф/ получается п результате соответствующей симметризации (или антисимметри-
антисимметризации) функции
>(т(П|)Яц(>'|,2)Ф|1(г2), (9)
где Rti является радиальной в. ф электрона в кулоновском потенциале

§ 5. Нестационарные явления в атомных системах 107
Здесь, по сравнению с [1, §36), произведена модификация, учитывающая вид потенциала:
-Z/r (а не -1/г, как в [1|), и введен дополнительный множитель Bтг)"'/2, соответствующий
нормировке в ф. Я/Ит = YtmRu вида
(klm\k'l'm) = 6u'dmmi6(k — к').
При такой нормировке интегрирование f dv/ .. в формуле (8) сводится к ?) f dk ... и она
принимает вид т
">>-) = —r^V)\(k,lj,m,ls\- г|*,)|2 (Ю)
к т 1Г| ~ Г}1
(момент вылетающего электрона If совпадает с орбитальным моментом L рассматриваемого
состояния). Здесь в.ф. конечного состояния совпадает с (9), т.е. не является симметризо-
ванной; поэтому в формулу A0) введен дополнительный множитель, равный 2 (при этом
существенно, что в ф начальных состояний, указанные выше, должным образом симметри-
зованы1).
Вычисление радиальной части матричного элемента возмущения в формуле A0) требует
численных расчетов (интегрирование же по углам проводится обычным образом, например,
как в 11.17). Поэтому ограничимся рядом общих замечаний в отношении ширин рассматри-
рассматриваемых автоионизационных состояний.
1) Если для к воспользоваться нсвозмущенным значением, к*/2 = Bt — Е>}, т.е.
к = Z/V2, то легко заметить, что значение ширины Г, = w,^f, согласно A0), оказывается
не зависящим от заряда ядра Z.
2) Числовые значения ширины существенно различны для разных АИС. Наибольшую
ширину, Г ~ 0,2 эВ, имеют нижний '5+-, а также 'D+- и '.Р'-термы (то, что величина
ширины на два порядка меньше характерного значения те*/Н2 я 27 эВ, можно понять, если
заметить, что согласно F), G) матричный элемент возмущения имеет малость ~ 0,1—0,2).
Для состояния 3Р~ и второго терма 'S+ ширины существенно (более чем на порядок)
меньше. Это связано с заметной компенсацией в матричном элементе вкладов различных
слагаемых, представляющих с случае JP~ -состояния «прямое» и «обменное» взаимодействия,
а в случае '5+-терма — вклады от 2s3- и 2р2-конфигураций, см. F).
3) Вычисление ширины в первом порядке теории возмущений при небольших значени-
значениях Z не обеспечивает достаточно хорошей точности (результаты носят скорее качественный
характер). Это связано, в основном, с эффектом экранировки заряда ядра для вылетающего
электрона, оказываемой Is-электроном.
4) Отметим, наконец, интересное обстоятельство, связанное с состоянием 3Я+ (для кон-
конфигурации 2р2), имеющим орбитальный момент L = 1, положительную четность и электрон-
электронный спин 5=1. Распад такого состояния с переходом одного из электронов в Is-состояние
и вылетом другого запрещен законами сохранения момента и четности. Действительно,
вылетающий электрон должен иметь орбитальный момент I/ = I, но при этом четность
конечного состояния оказывается отрицательной. Это означает, что при учете лишь кулонов-
ского взаимодействия такое состояние, находящееся непосредственно на фоне непрерывного
спектра, остается истинно связанным состоянием Релятивистские поправки к взаимодей-
взаимодействию (их часть, описывающая взаимодействие спина и орбиты) приводят к появлению
у этого состояния ионизационной ширины.
11.73. Найти зависимость от времени вектора поляризации ^+-мюона в основном
состоянии мюония, находящегося в однородном магнитном поле, перпендикулярном
начальной поляризации мюона (т. е. исследовать прецессию спина мюона). Ограни-
Ограничиться случаем слабого магнитного поля, когда ц? ЭР ¦< Д, где (i? — электронный
магнетон Бора, Д — сверхтонкое расщепление основного уровня мюония (сравнить
с 11.2). Считать, что при образовании мюония электрон является неполяризованным,
а мюон, наоборот, полностью поляризован"'.
6!' Мюони'и — своеобразный атом водорода, «ндром» которого является /1+-мюон. Изменением поля-
ризаиий мюона и электрона в процессе образования мюокии можно пренебречь Напомним основные

108 Глава 11. Атомы и молекулы
Решение. Гамильтониан спиновой подсистемы для основного состояния мюония, находяще-
находящегося в магнитном поле (направленном вдоль оси z), имеет вид
Й=-9*ЭМ+ — .УГ^\ (I)
4 7тес
Первое слагаемое здесь описывает взаимодействие спиновых магнитных моментов мюона
и электрона и определяется формулами B) и D) задачи 11.2; при этом
является сверхтонким расщеплением основного, U-уровня мюония. Во втором слагаемом в A)
пренсбрежено взаимодействием с Ж магнитного момента мюона ввиду малости (в 207 раз)
соответствующего магнетона Бора по сравнению с электронным /*J .
Рассматривая взаимодействие с магнитным полем как возмущение {^ Jf < Д), за-
замечаем, что спиновые функции xss, электрон-мюонной системы, отвечающие состояниям
с определенными значениями суммарного спина 5 и его проекции 5, (см. 5.10), являются
правильными функциями нулевого приближении для гамильтониана A). Соответствующие
с.з. Ё55, определяются формулами (VIII.I) теории возмущений первого и второго приближе-
приближений (см. также 11.42):
*,±, = ?^, *,*$ + . *.*?. B)
Дни временной зависимости спиновой волновой функции системы согласно форму-
формуле (VI.2) имеем63' (n = S,St):
Ф(«) = ?cne-*""W C)
п
Коэффициенты с„ в этом разложении определяются начальными условиями. Так как при t = 0
мюон поляризован в направлении, перпендикулярном магнитному полю, то, выбирая это
направление за ось х, имеем (см 5.1).
Ф@) ос х[%>, так что Ф@) = ^
Используя явный вид спиновых функций xss ¦
*-@.(J).- *-(!
из условия совпадения в ф. C) при t = 0 с функцией D) находим
С|П + соо = ¦/гс,,., =о,, Сц,-Соо = \/2сп =а2. E)
Отсюда
о, ±о;
С|@),0 - X ¦
характеристики мюон<т спин 1/2, масса mM « 207mc. магнитный момент равен еЛ/2тис, время жизни
Тр и 2,2 ¦ 10~6 с. Так как поляризацию мюона можно достаточно просто измерить по угловому распре-
распределению позитронов, возникающих при его распаде /i+ — e*vv, то динамика спина мюона может быть
использоиана ллн исследования сиойств исшестиа, см обзор И. И. Гурсвичи и Б Л. Никольского // УФН
1976 Т 119 С. 169.
'" Сначала рассмотрим чистое спиновое состояние системы, а затем перейдем к описанию с помощью
матрицы плотности.

§ 5. Нестационарные явления в атомных системах 109
Задание (комплексных) величин а, однозначно определяет спинопую функцию систе-
системы *(t). Соответственно именно через них — в виде билинейной комбинации но а'к.п, —
выражается в произвольный момент времени любам спиновая характеристика электрон-мюон-
ной системы. Как видно из выражения D), эти величины а, определяют спиновую функцию
электрона в момент времени t = 0 Если же начальное состояние электрона задано матрицей
плотности р, то в соответствующих билинейных комбинациях следует сделать подстановку
а,а'к -> а,а'к = ра,
причем для полностью неполяризованного состояния (как в условиях задачи)
___ I
а^а] = а2а\ = -, а,а'2 = 0. , F)
Для вычисления вектора поляризации мюона
предварительно удобно рассмотреть действие операторов ?? и <?? + «?? на спиновые функ-
функции xss, ¦ При этом
( ) ^i, i),
Теперь нетрудно найти
Р<"'@ + ^"'«) = ^Ее'"". ^M)W = 0, G)
Тшх = Еи - Ет = $Ж - i^lL, Тш, = Ем - Е,,.> = Пи, - А,
I (О уЛг
Гш2 = ?,„ - ?!,,., = $Ж + VMBA ; , Пша = Еи-Е00 = Тшг + А.
Обсудим полученные результаты.
1) При t = 0 имеем Р@) = 1 — полностью поляризованный (вдоль оси х) мюон
в соответствии с условием задачи. Однако в последующие моменты времени уже P(t) < I,
так что возникает деполяризация.
2) Зависимость Рх + гРу ос е1"' описывает равномерную прецессию с частотой и вектора
поляризации Р(<) вокруг оси г. Согласно G) полученную временную зависимость P(t)
наглядно можно охарактеризовать как четырехчастотную прецессию
3) Частоты прецессии шк имеют существенно различный порядок величины. Две из них:
ш} и ш4 нелики, для них
— « — = vt, «4,5- I03 МГц
27Г 2-яП
(сравнить с I 420 МГц для водорода, см. 11.2). Частоты w.,2 ввиду условия ц^Ж < Д, имеют
значительно меньшую величину. Если усреднить вектор Р(?) по периоду быстрых осцилляции,
Т = vjf' ~ 10~'° с (это время существенно меньше времени жизни мюона), то выражение G)
принимает вид
(уже двухчастотная процессия), где шИ = /л? Ж'/h. Заметим, что в отсутствие магнитного
поля Ш| = wi = 0, так что <Р@) = A/2.0,0), т.е. степень деполяризации мюона вообще
не зависит от сверхгонкого расщепления Д (именно поэтому интересна динамика мюонного
спина при наличии магнитного поля).
11.74. Оценить скорость протекания реакции ядерного синтеза dt —» па в мезомо-
лекулярном At\i~ ионе в состоянии с вращательным квантовым числом К = 0. Как ее
величина сказывается на числе актов реакции, инициируемых одним мюоном, сравнить
с 11.59?

110 Глава 11. Атомы и молекулы
Указоние. Воспользооаться адиабатическим приближением и формулой теории возмущений
по длине рассеяния, см. II.4. Длина рассеяния в резонансном ^-состоянии для («-системы
а, ~ -(90 \ t¦ 30) Фм (см. комментарий «решении задачи) Оценку неличины |Ф@'@)|2 спязать
с проницаемостью кулоновского барьера, разделяющего ядра в мезомолекулярном ионе.
Решение. Формула теории возмущений по длине рассеяния для сдвига уровней, см., на-
например, E) из И.4, остается справедливой и при наличии в системе поглощения на малых
расстояниях. Такое поглощение, соответствующее неупругому взаимодействию, возникает
за счет связи различных каналов64', которые в отсутствие короткодействующего взаимодей-
стния выступают как независимые системы М и па в условиях данной задачи. При этом
длина рассеяния является комплексной величиной.
Изменение энергии системы под влиянием коротко-
короткодействующего взаимодействия также становится ком-
комплексным, а мнимая часть его, Д? = ДВГ - «Г/2,
описывает ширину 5-уровня
Г=_!^|ф<°>@)|>,та,, A)
т
определяющую время жизни рассматриваемого со-
состояния г = ЙГ и скорость протекания реакции
А, = г = Г/h.
Для мезомолекулярного иона под волновой функ-
функцией *&т(гЛ) в выражении (I) следует понимать в.ф
Рис.4 ядерной подсистемы в адиабатическом приближении
для s-состояния (так как вращательное квантовое чи-
число К = 0) График эффективного потенциала для этой подсистемы без его короткодейству-
короткодействующей ядерной части приведен на рис 4
Для оценки величины |Ф@)@)|г прежде всего заметим, что характерные значения |Ф@)(г)|2
и существенной области локализации ядер в ионе порядка
UXr)
и»
\
\
\
- о,
1
^ г
где Яо = 2L)I — характерный размер иона, см 11.30; L,, = fi2/m/Je2 и т,, — масса мюона.
В связи с этой оценкой заметим, что в адиабатическом приближении более естественной
является оценка .
|Ф1* B5)
соответствующая области локализации волновой функции в сферическом слое радиу-
радиуса До и шириной порядка удвоенной амплитуды колебаний ядер в ионе. Так как акш ~
(ти1Мм)'''/,„ (сравнить с 11.25 и II 30), то обе указанные оценки приводят к одинаковым
значениям.
Однако величина |Ф|0)@)|2 существенно меньше, что связано с наличием малопроницае-
малопроницаемого кулоновского барьера, разделяющего «молекулярную» область движения ядер и ядерную
область, где протекает реакция синтеза dt — па С учетом этого обстоятельства для |Ф<0)@)|2
имеем следующую оценку:
|Ф|0)@)|2 ~ Р(*)|Фир|2 к 3 е-5'""». C)
Здесь ов = h2/me2, т — приведенная масса ядер, как и в (I), В = ft2A2/2m — энергия
относительного движения dt-системы на ядерных расстояниях. Множитель
Р(к) = — '
*¦ ' кав exp {2jr/fcaB} - I
характеризует отношение квадратов волновых функций частицы при г -* 0 в кулоновском
потенциале отталкивания, U - е2/г, и свободной, сравнить с [I, § 143] (при этом наиболее
**' Включай каналы с непрерывным спектром при рассматриваемой энергии (na/i-качал в данной
задаче)

§5. Нестационарные явления в атомных системах 111
существенный при кав < 1 экспоненциальный сомножитель cxp{-2ir/kaa] может быть
рассчитан согласно квазиклассической формуле (IX.7), см. 9.31).
Важным в рассматриваемой задаче является числовое значение энергии Е в выражении
для Р(к). Оно определяется наследующих соображений. Эффективный потенциал dt -системы
в адиабатическом приближении, см. рис.4, вне ядерной области имеет вид U = е2/г + Е^г),
где Е„(г) — энергия основного мюониого терма при «закрепленных» на расстоянии г ядрах.
При г -» 0 (в существенной области кулоновского барьера) имеем
где ^ = m^M/im,, + M). M = md + m(. Это следует из того, что при г < ?,, молекулярный
терм Е^г) совпадает с основным уровнем уже /j-мезоатома с ядром, имеющим заряд Z = 2
и массу М. Если обозначить через jBjv мезомолекулярные уровни (с К = 0) в эффективном
потенциале, то, очевидно, искомое значение энергии Е — E®J - Щ. Обычно мезомолекуляр-
мезомолекулярные уровни характеризуют энергией связи 4?> которая отсчитывается от основного уровня
мезоатома с более тяжелым из ядер иона (определяющего нижнюю границу непрерывного
спектра энергии системы при разведенных ядрах). При этом
„@) _ Де jo)
где /7 = rn^mtKm^ + m(), так что
2/хе4 /ie^ @,
или Е ~ 8,3 кэВ — 4, ¦
Воспользовавшись для <#-системы значениями а$ = 24,0 Фм, h*/ma\ = 60,0 кэВ,
?,, = 2,56-10"" см и положив Е = 8 кэВ, так что katt = 0,52 (об энергии связи молекулярных
уровней см. 11.30), по формулам A) и C) находим
Г~ 1,5-10эВ, г~5-10'|3с"'. D)
Сделаем несколько заключительных замечаний.
1) Время протекания ядерной реакции в мезомолекуле на 7 порядков меньше времени
жизни мюона Поэтому оно не играет заметной роли в кинетике р, -катализа и не сказывается
на числе актов реакций синтеза6S', инициируемых одним мюоном, сравнить с 11 59.
2) Обращает на себя внимание большое значение длины рассеяния для dt-системы.
Оно связано с существованием в системе квазистаиионарного состояния с малой энергией —
ядра 5НеC/2+) (энергия резонанса Ец « 50 кэВ и ширина Гя и 70 кэВ; резонансные явления
при рассеянии обсуждаются в задачах §3 главы 13).
Приведенное выше значение т относится именно к резонансному «-состоянию di-си-
стемы с суммарным спином I = 3/2. Для нерезонансного состояния с /= 1/2 оценка г (и Г)
отличается от D), однако вывод о малости времени протекания реакции синтеза сохраняется
и для этого состояния.
3) Как отмечалось и задачах 11.4, 9 3, при существовании в короткодействующем
потенциале s-состояний с малой энергией происходит перестройка спектра «-уровней в даль-
нодействующем потенциале Однако перестройка мезомолекулярных уровней под влиянием
ядерного резонансного взаимодействия не происходит. Это связано с малой проницаемостью
кулоновского барьера, разделяющего молекулярную и ядерную области движения ядер в мезо-
мезомолекуле Аналогичная ситуация, из-за центробежного барьера, имеет место и для состояний
с отличным от нуля орбитальным моментом (даже в огсутстние кулоновского барьера) При
этом сдвиги уровней с I Ф 0 в условиях резонанса также малы, см 13 36.
65' Заметим, что кал а y/3m,,/m и показатель экспоненты » проницаемости кулоновского барье-
барьера яз —12,5 При переходе к обычным атомным системам (замене т^ на тпе) величина показатели
экспоненты сильно возрастает и время жизни молекулы оказьшаетсн сюль большим, что протекание
реакции синтеза становится ненаблюдаемым

Глава 12
Атомное ядро
I) Ядерные силы, дейстнующие между нуклонами — протонами и нейтронами, —
из которых состоят атомные ядра, характеризуются малым радиусом и большой
интенсинностью. Качественные закономерности низкоэнергетического нуклон-ну-
клонного взаимодействия можно описать, только предположив, что радиус сил соста-
составляет R « 2-Ю"'3 см, а характерная величина потенциала" ядерных сил Uq = 40 МэВ
При этом и протон-нейтронной системе имеется, единственное в двухнуклонной
системе вообще, связанное состояние — дейтрон с энергией связи ?о = 2,23 МэВ;
квантовые числа дейтрона Jp = l + .
Близость свойств протона и нейтрона: одинаковое значение спина, s = I/2,
и малое различие масс тр = I 836,1те, то„ = 1 838,6те, является отражением изото-
изотопической симметрии, проявляющейся в свойствах и взаимодействиях ядерно актив-
активных (или, как говорят, силыювзаимодействующих) элементарных частиц — адронов.
Согласно этой симметрии адроны группируются и изотопические мультиплеты",
характеризующиеся определенным значением Т изотопического спина. Изоспин
можно рассматривать как векторную величину п некотором абстрактном трехмер-
трехмерном пространстве — пространстве изотопического спина. Формальные свойства
изоспина, в том числе и вид соответствующих операторов Т, аналогичны свойствам
момента (спина) » обычном пространстве. Возможные значения Т при этом связаны
с собственными значениями Т(Т4- I) оператора Т2 и равны 0, 1/2, I,... . Частицы,
принадлежащие данному изомультиплету, различаются значением электрического
заряда и отвечают различным значениям компоненты Гз изоспина31; число частиц
в изомультиплете равно BТ + I). Все они имеют одинаковые спин и внутреннюю
четность, близкие массы и обладают сходным сильным взаимодействием. Подобную
близость свойств имеют и системы, состоящие из частиц, принадлежащих одним
и тем же изомультиплетам4', в состояниях, различающихся лишь значением ком-
компоненты Tj суммарного изоспина системы (но одинаковыми другими квантовыми
числами, включая и значение Г).
Изотопический спин нуклона Тц = т = 1/2 Операторы компонент изоспина
нуклона т имеют вид (сравнить с матрицами Паули для спина s = 1/2)
-
О-
'' Дли сравнения укажем, что потенциал кулонопскою кшимодсистния на таком расстоянии составляет
UKy:, — с/Л « 0,7 МэВ, а взаимодействие магнитных момешон н уклони и — еще меньше С/чаш ~ ft /R ^
10* МэВ, где /х ~ eh/nipC
В дополнение к изодуплету нуклонов (р, п) отметим и^отриилст пионов (пт, тг'\ т"). при
эгом 7H(ir*) - ±\, Tj(ff°) = 0.
' Физическая вылсленноегь «оси кпантования* в нзомространстве снизана с нарушением изотопиче-
изотопической симметрии, причем, н основном, ja счет электромажигного взаимодействия, оно же ответственно
за сраипительно нсбаи.шос pacutei лсиие масс о изомультиплете
4* Например, системы рр, рп, пп или различные зарядовые состояния nN-системы

Атомное ядро
113
Физические состояния нуклона — протон и нейтрон — описываются собствен-
собственными функциями оператора %, так что5)
при этом собственные значения т3 = ±1/2 определяют заряд частицы q = еA +
2г3)/2.
2) Классификация состояний и ряд свойств атомных ядер могут быть получены
на основе модели оболочек. В этой модели каждый нуклон рассматривается как дви-
движущийся в некотором среднем (самосогласованном) поле, создаваемом остальными
нуклонами ядра. При этом для описания последовательности Е„г}1 одночастичных
нуклонных уровней, согласующейся с экспериментальными данными, наряду с (до-
(доминирующим) сферически симметричным самосогласованным потенциалом U(r)
необходимо также ввести спин-орбитальное взаимодействие вида U[S = -/(r)l?.
В модели оболочек спин и четность Jp, магнитный \х и квадрупольный Q
моменты ядра определяются лишь нуклонами сверх заполненных оболочек. В част-
частности, в случае ядра с одним таким нуклоном на оболочке nl, оно имеет спин
J = j — I ± 1/2 и четность Р = (-1)'. При этом оператор магнитного момента ядра
принимает вид Д = gtl+gss, где gi и gs — орбитальный и спиновый гиромагнитные
множители, равные: <?( = 1, д, = 5,59 для протона и gi = 0, gs = -3,83 для нейтрона
(fj. и д выражены в единицах ядерного магнетона, равного eft/2mpc). Усреднение
этого оператора с использованием результата 3.40 дает магнитный момент нуклона
на оболочке nl} и соответствующего ядра:
v-з - 9,3 = U, i, h = Я Pi I;, i, h = j) =
_ (9i + g«)j(j + О + (g, - g.)[i(i +\) - 3/4]
значения д; и д} для ряда состояний даны в таблице
( 3)
| «1/2
Протон
Нейтрон
V- \ 2,79
д
д
5,59
-1,91
-3,83
Pl/2
-0,26
-0,53
0,64
1,28
Pi/2
3,79
2,53
-1,91
-1,27
<*3/2
0,12
0,08
1,15
0,77
ds/i
4,79
1,92
-1,91
-0,76
(XI 1.4)
Приведенные результаты модели оболочек для ядер, имеющих лишь один ну-
нуклон сверх заполненных оболочек, непосредственно переносятся и на случай ядер
с одной (протонной или нейтронной) дыркой, причем (i и g для дырочного со-
состояния такие же, как для соответствующего нуклона. Для других ядер (например,
с незаполненными оболочками как по протонам, так и по нейтронам) предсказа-
предсказания модели оболочек с одночастичным нуклонным потенциалом уже не являются
однозначными. Свойства таких ядер существенно зависят от остаточного взаимо-
взаимодействия нуклонов незаполненных оболочек друг с другом. Как показывает анализ
экспериментальных данных, такое взаимодействие для нуклонов одного и того же
5' В литературе используется также и «обращенная» классификации, при которой т3 — +1/2 со-
соответствует нейтрону, а г; - —1/2 — протону; под т часто подразумеваются матрииы, удвоенные
по отношению к (XII I) (так что т, = 5,).

114 Глава 12. Атомное ядро
зарядопого состояния носит характер попарного «спаривания» в состояние с сум-
суммарным моментом, равным нулю. Поэтому при четном числе протонов и (или)
нейтронов их суммарный момент в основном состоянии ядра равен нулю; при
этом спин и четность ядра с нечетным числом нуклонов полностью определяются
квантовыми числами неспаренного нуклона.
Характерный размер ядра, состоящего из А нуклонов, составляет R «
где го= 1,2- КГ13 см.
§ 1. Основные представления о ядерных силах. Дейтрон
12.1. Аппроксимируя потенциал взаимодействия протона с нейтроном сферической
прямоугольной потенциальной ямой радиуса6' R = 1,7 • 10~13 см, оценить глубину
ямы, используя значение е0 = 2,23 МэВ энергии связи дейтрона и найти для него
вероятность нахождения нуклонов вне ямы, а также (г) — среднее расстояние между
нуклонами.
Решение Для частицы с массой у, в прямоугольной потенциальной ямс радиуса Д и глуби-
глубины t/0 волновая функция s-состояния дискретного спектра энергий, Фк = ^j-^XeC»"), имеет
вид
г<Д,
Хт.= ¦ • "¦
'. Be'", г > Д,
где ?о = \Е\ = h1x1/2/i — энергия связи. Условия непрерывности в. ф. и ее производной
в точке г — R приводят к уравнению для спектра
(I)
Применительно к дейтрону под ц следует понимать приведенную массу протон-нейтронной
системы, ft к: (тр + „)/4; при этом
?51 КГ" МэВ-см2
2ц тр + т„ а
и кЯй 0,394. Из уравнения (I) находим х « 1,79 и ?/и = 48,1 МэВ (этот наименьший
положительный корень уравнении отвечает яме, в которой рассматриваемый уровень является
основным и единственным дискретным уровнем вообще).
Поучительно также получить оценки с помощью общих формул для частицы с малой
энергией и потенциальной яме с мелким уровнем. Для этого достаточно знать в ф лишь в мо-
момент возникновения связанного состояния. Для частицы в прямоугольной яме она имеет вид
Г С sin Ar, r < Д,
*"=°(Г)=\|, г>Д, B)
где А = у 2(tUo/h2, я f/u — глубина ямы в момент возникноиения s-уровня. сравнить с 4 25.
Сшивание а ф при г = Д дает
АД= (л+ 5 )* и с = (-'
"Для прямоугольной ямы эффективный радиус взаимодействия rv сонпадаст с ее радиусом Л,
см. 13.43 Значение R выбрано чак, что г0 совпадает с экспериментальным значением В сняз» с зааачен
о дейтроне — системе с мгыой энер!ией снязи — см. также 11 36

§1. Основные представления о ядерных силах 115
причем п = 0,1,2 .... Для основного (первого по счету) уроиня АЛ = л-/2. Отсюда примени-
применительно к рассматрикаемой протон-нейтронной системе имеем
(Д = 1,7 • 10"" см). При этом для дейтрона е0 < Уо, так что он действительно является
слабосвязанной системой. Чтобы уровень Е = 0 опустился до значения Ец — — ?0, яма должна
быть углублена на 6Щ. Согласно результату 4.27 находим
6U°~ V~~W ~ ~V^~ п>5 МэВ
и получаем
Uo = &о + 6Щ я 46,7 МэВ. C)
Как видно, значение ОД> существенно больше €$. Это естественный результат, так как
слабосвязанная с моментом I = 0 частица находится в основном вне области действия сил,
т е. вне ямы. Заметим также, что для слабосвязанного состояния, строго говоря, должно быть
выполнено условие xR < 1. Для дейтрона значение хД я 0,4 не так уж и мало Тем не менее
результат C) отличается от точного значения 48,1 МэВ лишь на 3 %, что неудивительно, так
как его точность порядка e/Uo-
Для слабосвязанного состояния волновая функция имеет вид
Г"х**(г), D)
где С«о — асимптотический коэффициент, сравнить с 11.36; для него
С2о = A-хгоГ' = A-хЛ)"'я 1,65 E)
(это значение можно получить и непосредственным интегрированием xii если в области
ямы положить е~*т равным 1 и выполнить в получающемся выражении разложение с учетом
малости хД).
Теперь легко оценить как вероятность нахождения нуклонов в дейтроне вне ямы
00
w = J Хв(г) dr = С19е'ъ * 1,65е-°'" я 0,75,
R
так и среднее расстояние между нуклонами
(г) «^«3,6-10-" см
2х
(в два раза превышающее радиус действия сил)
12.2. Каким был бы магнитный момент системы, состоящей из протона и нейтрона,
если бы она находилась в состоянии
a) 'So; 6) 3S,; в) 'Р,; г) 3Р0; д) 3Р,; е) 3Х>,?
Воспользоваться значениями магнитных моментов свободных нуклонов: цр = 2,79
и цп = —1,91 (в ядерных магнетонах). Имея в виду, что спин дейтрона 7j = 1, его
магнитный момент /td = 0,86 и он представляет суперпозицию 3S| - и 3D\ -волн, оценить
примесь Р-волны (сравнить с 12.3).
Решение. Напомним, что магнитным моментом /iu некоторой системы, характеризующейся
полным моментом J (и другими квантовыми числами), по определению называют среднее

116 Глава 12. Атомное ядро
значение г-компоненты оператора магнитного момента системы р в состоянии с проекцией
момента J. = J, т. е.
to = {J,J.. = J\p!\J,J1=J). (I)
Для системы, состоящей из протона и нейтрона, имеем
I I I
Р = ?ор« + Рсл= j L + A<p5p+/*„?„= -L+(/ip + /in)S + -((ip-/i,)(?,-ff,) B)
(магнитные моменты выражены н ядерных магнетонах eft/2mpc; орбитальный магнитный
момент связан с движением протона и равен L/2, так как орбитальный момент протона
составляет половину полного орбитального момента системы в с. и. и ).
В синглетных 'L-состояниих (S = 0) очевидно S = trp = <7„ = 0 и J = L, так что
со1ласно (I) и B) имеем fi('L) — L/2; в частности
А.('5„)=0; »{'Р>) = \; r('D,) = l итд.
Для триплетных по спину 3?,;-состояний замечаем, что для них Eр — &п) = 0 (спино-
(спиновая функция состояния с S = I симметрична, а оператор (99 — 9„) антисимметричен
по отношению к перестаноике епшюн протона и нейтрона), так что из (I) и B) слелует
tiCLj) = (J, Jt=J,L,S\]- L: + Ы„ + /!„)? | J, Л = J, L, S). C)
Отсюда, воспользовавшись результатом 3.40, получаем
%^ -2]} D)
(учтено, что 5 = 1 и подставлены значения /Jp,n), и частности, имеем
j,CS,) = O,88; /iCi>,) = 0,69; /*CР„) = 0; ^CJD,) = 0,31.
Для лейтрона экспериментальное значение магнитного момента /i0 = 0,86 свидетель-
свидетельствует о том, что волновая функция дейтрона, имеющего спин J& = I, представляет суперпо-
суперпозицию 5- и /5-иолн, причем примесь .D-волны мала и составляет wq * 0,04, сравнить с 12.3.
12.3. Магнитный момент дейтрона, описываемого суперпозицией C5| + 3-D|) -волн,
равен
На = (I - w)/jCSi) + wnCD\) и 0,86 яд. маг.,
где /*CS|) и /iC2?j) — магнитные моменты протон-нейтронной системы в состояниях
35|, 3JD|, w « 0,04 — примесь ?>-волны (см. предыдущую задачу).
Объяснить, почему для квадрупольного момента дейтрона нет соотношения, ана-
аналогичного приведенному выше для магнитного момента. В связи с этим отметим,
что квадрупольный момент 35|-состояния равен нулю, в состоянии 3Х>| он отрицате-
отрицателен, а его экспериментальное значение для дейтрона Qu и 2,82 • 10~27 см2 > 0.
Решение. Записав волновую функцию дейтрона в виде суперпозиции 5- и D-нолн, Фа =
*4 +*о, где
<tfdl*d>=l, <*sl*5>= I-U»D,
(конкретные выражения для в ф Ф5,о см- u 12.5), нахолим
JT= Г 4sp*sdr + Г VDfiVndT. (I)
Здесь учтено, что интерференционные слагаемые равны нулю:

§ 1. Основные представления о ядерных силах 117
Действительно, так как р = р,^ + ?С|1, см 12.2, имеем Ji^^s - jL*^ - О (L = О
для S-волны), а также
из-за ортогональности в. ф состояний с различными значениями L Непосредственным
следствием соотношения (I) и является приведенное в условии задачи выражение для цЛ.
Для квадрупольного момента дейтрона, Q,. — eCzp — г„) ситуация иная, так как
интерференционный член уже отличен от нуля.
l- IJ 4'ИЗг2 -r2)*r)<ir + J 4>'D
/ 0.
Более того, имея в виду малость примеси D-волны в дейтроне, следует ожидать, что
непосредственно ее вклад в квадрупольньтй момент ос wD будет существенно меньше вклада
интерференционного слагаемого ос
12.4. Какие свойства дейтрона указывают на зависимость протон-нейтронного взаи-
взаимодействия от спинов нуклонов?
Рассмотрев зависящие от спина потенциалы:
а) Us = V(t)&,92 = V(r)BS2 - 3);
б) U = V(r)SL (спин-орбитальное взаимодействие);
в) U - V{t)[6(Si\J - 2S2] (тензорные силы) (п = г/г, г = г, - г2, S =
I/2(<?| + а2) — оператор суммарного спина нуклонов), выяснить, какие из них
совместно с центральным потенциалом могут быть использованы для объяснения
обсуждавшихся выше свойств дейтрона. Указать интегралы движения для рассматри-
рассматриваемых потенциалов.
Решение. Совокупность экспериментальных данных о дейтроне, в том числе и об его
магнитном и квадрупольном моментах (сравнить с предыдущими задачами), указывает на то,
что его волновая функция представляет суперпозицию 5- и D-волн, так что орбитальный
момент L не имеет определенного значения, как это должно быть дли не зависящих
от спина центральных сил. Из приведенных в условии задачи потенциалов только третий,
описывающий тензорные силы, может привести к указанному состоянию дейтрона.
Действительно, периый из потенциалов является центральным, хотя для него интен-
интенсивность взаимодействия и зависит от значения суммарного спина нуклонов Us = -W(r)
п состояниях с S = 0 и Us = V(r) в случае S = I. Для этого потенциала интегралами
движения являются орбитальный момент L и суммарный спин S в отдельности.
Для спин-орбитального взаимодействия векторы L и S в отдельности не сохраняются,
интегралом движения является только суммарный момент J = L+S Тем не менее и этот
потенциал не может привести к состоянию, представляющему суперпозицию 5- и D-волн.
Это связано с тем, что хотя для такого потенциала сами векторы L и S не сохраняются,
квадраты этих векторов являются интегралами движения, операторы L2 и S2 коммутируют
с оператором спин-орбитального взаимодействия.
Тензорное взаимодействие, в отличие от спин-орбитального, не сохраняет не только
вектор L, но и его квадрат Оно приводит к состоянию, представляющему суперпозицию
35| + 3Dt и совместно с центральным потенциалом используется для описания свойств
дейтрона, см. следующую задачу
Заметим, в заключение, что потенциал тензорных сил, не сохраняя вектор S, все же
сохраняет значение S2; для всех рассмотренных потенциалов интегралами движения являются
как полный момент J (и соответственно J2), так и четность системы
12.5. Показать, что волновая функция дейтрона, представляющая суперпозицию
JS| +31?1-волн, может быть записана в виде
*d = *CS,) + *CD,) = [Mr) + f2(r)Sl2}Xs.r

118 Глава '.2. Атомное ядро
Здесь 5|2 = 6(SnJ-2S2, S = \/7{d\ + cri) — оператор суммарного спина нуклонов,
XSm, — произвольная спиновая функция для спина'1 5=1.
Считая, что потенциал взаимодействия протона с нейтроном имеет вид U =
Us(r) -у Ut(t)S\i (суперпозиция центрального и тензорного взаимодействий, сравнить
с предыдущей задачей), получить систему уравнений для радиальных функций /о,2(г)
дейтрона.
Показать также, что потенциал тензорных сил, рассматриваемый как возмущение
центрального потенциала, приводит к сдвигу 35-уровня лишь во втором порядке
теории возмущений.
Решение. 1) Сферически-симметричная полковая функция ФC5|) = fo(r)xs=i описывает
состояние с L — 0; для него 3— 5, так что эта в. ф. соответствует 35| -волне
Покажем, что в.ф. tyC.D|) = jii/)S\iXs=\ описывает 3D|-состояние. Запишем ее в виде
фC!?,) = /;(r){6n,nt - 26,k)S,SkXs=i- 0)
Угловая часть этой в.ф., Tlt = 6n,nt -26,i, яачиетси симметричным тензором 2-го ранга
с равным нулю следом, Т„ = 0, так что согласно 3.41 можно утверждать, что волновая
функция (I) описывает состояние с орбитальным моментом L = 2. Далее, так как коммута-
коммутатор [S2, S,Sk] = 0, то имеем
§2ФCО|) = /2(r){6n,nt - 26,k}S,SkS2Xs^ = 2ФC?>,),
т.е. волновая функция *CX>i) описывает состояние со спином 5=1. Аналогично, из условия
коммутативности оператора полного момента системы J, со скалярным оператором /г(гM|2
следует
14('D,) = h(r){€n,nk - 26,k}S,SkVXs=, = 2ФC?>,)
(гак как спиновая функция Xs=t не зависит от углов, то для нее J2x = S2X = 2^). Таким
образом, в. ф. ф C.D|) отвечает состоянию с 3 = 1 и действительно соответствует 3D| -волне.
2) Обсудим свойства оператора 5>г = 6(Sn)J — 2S! Учитывая, что (SnK = (Sn) для
спина 5=1, сравнить с 1.21, получаем8'
Далее, воспользовавшись значением интеграла
4л-
n,nkdu = — 6,1,
находим
5,2^ = 0, Js?,dn= 16*S2. C)
Oicioita приходим к условию нормирозки для волновой функции дейтрона в виде рассматри-
рассматриваемой суперпозиции 35| и iD> волн:
)|2}r2dr=l, D)
при эгом (xsmi \XS"\) = 1 > а также к отмеченному в условии задачи результату об отсутствии
сдвига '5,-уровня
под влиянием тензорного взаимодействия в первом порядке теории возмущений
06 хспользовании рахчнчнмх представлений ллн спина 6" — I, см. 5 26.
а)Так как возможные значения S равны 0 и 1, то (Sn)S2 -¦= 2(Sn), (S2J —- 2S2 и соотношение B)
смраиедшшо как для значении 5' = I. так и в случае А' -- 0, т.е. для всех состояний системы из двух
нуклонов.

§1. Основные представления о ядерных силах 119
Наконец, уравнение Шредингера для дейтрона
(т — приведенная масса системы) с учетом соотношения B) сводится к системе двух
дифференциальных уравнений для радиальных функций /0 2 = г/0,2-
™ /о" + [Us(r) - Et}fo + WT(r)f: = 0,
"^ 7& + ? + аЛг) ~2UAr) ~ Е] Jl + ит(г)Г<> = а
Заметим, имея и виду состояния непрерывного спектра, что тензорное взаимодействие
вызывает переходы между состояниями с различными (но одинаковой четности!) значениями
орбитального момента L лишь в триплетных по спину, S = I, состояниях. В синглетных
состояниях, 5 = 0, тензорные силы отсутствуют и орбитальный момент является интегралом
движения, совпадая с J
В заключение, в связи с рассмотренным видом волновой функции дейтрона, укажем
на соотношение
сравнить с 5.21.
12.6. Для системы из двух нуклонов:
1) найти собственные функции и собственные значения изотопического спина'
(его величины Т и проекции Тз);
2) указать значение изоспина Т в состоянии 2S+]L с определенными значениями
суммарного спина S и момента L относительного движения нуклонов (сравнить с 10.9);
3) указать изоспиновую часть волновой функции дейтрона.
Решение I) Ввиду аналогии свойств изоспина и обычного спина изоспиновые волновые
функции "Sjvj диухнуклонной системы с определенными значениями суммарного изоспина Т
и его проекции Tj могут быть найдены как в 5 10, см. (XII.I) и (XII.2):
Подчеркнем, что в состояниях Фт,г}«о каждый из нуклонов не находится в определен-
определенном зарядовом состоянии, а с вероятностью 1/2 может находиться как в протонном, так
и в нейтронном состояниях. Поэтому взаимодействие, сохраняющее изоспин, носит вообще
говоря, обменный характер.
2) Согласно изотопической симметрии протон и нейтрон рассматриваются как различ-
различные зарядовые (или изотопические) состояния одной и той же частицы — нуклона Так как
нуклон является фермионом, то волновая функция системы нуклонов должна быть анти-
антисимметричной по отношению к перестановке всех переменных — координатных, спиновых
и изоспиновых — любых двух нуклонов (обобщенный принцип Паули)
Так как для системы из двух нуклонов:
а) перестановка координат эквивалентна иноерсии относительно центра масс системы
и поэтому симметрия координатной функции с данным значением орбитального момента L
совпадает с четностью (-\)L,
** ¦ Ж 0), (I), - (?), (J)Js 75

120 Глава 12. Атомное ядро
6) симметрия спиновой функции для состояний с суммарным спином $ относительно
перестановки спиновых переменных определяется множителем (-1)"*+|,
н) симметрия изоспиновой волновей функции, аналогично спиновой, дается множите-
множителем (-1)т".
то полковая функция Фиг состояния с определенными значениями квантовых чисел L, S
и Т при перестановке нуклонов умножается на (-l)ifStr, при этом из условия антисимме-
антисимметричности п. ф. следует соотношение
(-1)г = (-1)*'*+1. B)
Так, и состояниях с S — 1 и четными значениями Ь — как, например, у дейтрона,
см 12 5, — изоспин двух нуклонов Т = 0 (при этом аналогичные состояния в системе
из двух одинаковых нуклонов — двух протонов или двух нейтронов, соответствующие Т = \,
запрещены принципом Паули, см. 10.9).
3) Изоспиновая часть волновой функции дейтрона, имеющего Г = 0, описывается
функцией Фда из выражений (I).
12.7. От каких свойств инвариантности реальных ядерных сил пришлось бы отказать-
отказаться, если бы состояние дейтрона представляло суперпозицию 'Pi + 3P| (а не iS\ + iDl,
как у реального дейтрона)? Указать возможный вид взаимодействия, которое могло бы
привести к такому состоянию.
Решение. В состояниях 3Р и 'Р протон-нейтронная система имеет различные значения изо-
спина, соответственно Т = 1 и 0, см. предыдущую задачу. Это означает, что взаимодействие,
приводящее к состоянию в виде суперпозиции 'Р, + iP], не сохраняет изоспин, т е. не явля-
является изоскаляром Так как в рассматриваемом состоянии суммарный спин (обычный) также
не имеет определенного значения, то обсуждаемое взаимодействие не сохраняет и спин
В качестве примера такого взаимодействия можно указать
и = к(г)(с?,?3(" + ?2f/2))T= i v(r)(9f - agT.
Заметим, что это взаимодействие не только не является изотонически симметричным, но даже
не является и зарыдово независимым, сравнить с 12.8.
12.8. Предположив, что взаимодействие двух нуклонов имеет следующую изотопи-
изотопическую структуру: U = V, +V1Tyfj>, где Vlj2 — операторы, уже не зависящие
от изоспиновых переменных (они — операторы в пространстве координат и спинов,
симметричные по отношению к перестановке нуклонов), найти вид взаимодействия
в системе из а) двух протонов, б) двух нейтронов и в) протона и нейтрона.
Согласуется ли рассматриваемое взаимодействие с 1) изотопической инвариант-
инвариантностью; 2) зарядовой симметрией ядерных сил?
Решение. Гак как для протона и нейтрона rip = И/2 и т3„ = —1/2, то для рассматриваемого
взаимодействия и различных зарядовых состояниях имеем
о№ = ?/„„ = v, +]- ?г, е?р„ = ?,-*-%
Ранспсию J/pp = 11„„ свидетельствует о зарядовой независимости рассматриваемою взаимо-
лейсшня. Однако оно не обладает изотопической инвариантностью, так как представляет су-
суперпозицию изоскаляра V, и компоненты тензора Vj т,"' т,|!|, сравнить с 12.9 Поэтому взаимо-
взаимодействие в рп-системе отличается от взаимодействия в системе из диух одинаковых нуклонов.
12.9. Для системы из двух нуклонов:
1) указать наиболее общий вид изотопически инвариантного оператора взаимо-
взаимодействия U и выразить его через операторы и? нуклон-нуклонного взаимодействия
в состояниях с определенным значением изотопического спина Т = 0 и I;
2) указать изотопическую структуру оператора кулоновского взаимодействия ну-
нуклонов.

§1. Основные представления о ядерных силах 121
Решение I) Искомый оператор, являющийся скаляром в изопространстве, может выражаться
только через следующие изоскапярные операторы:
I.??.!, т\9\,..., т,г2, (?,ггJ,...,
здесь Т|>г — (изовекторные) операторы изоспина отдельных нуклонов Однако из всех этих
операторов независимыми являются только два: I и тхт2. Действительно, операторы т\ =
т\ = 3/4, т. е кратны единичному оператору, а степени оператора Т|Т2 линейно выражаются
через I и т,т2, так как
сравнить с 5.I2. Соответственно, наиболее общий вид искомого операюра в изопространстве
есть
tf = Pi+ ?,(?, г,), (I)
где V\ti — уже не зависящие от изоспина операторы в координатном и спиновом простран-
пространствах, симметричные относительно перестановки нуклонов.
Так как т,тг = (I/2)T! - 3/4, где Т — оператор суммарного изоспина двухнуклонной
системы, то согласно соотношению (I) для взаимодействия в состояниях с определенным
значением Т получаем
0(т = о) = v, - г- Р,, и(т = I) = v, +1 % B)
Отсюда можно выразить V,j через U(T) и записать взаимодействие (I) в виде
0= ]-(U0 + 3U,) + (?/,- C?o)r,f2, C)
где п0,, =й (Т = 0, I).
2) В двухнуклонной системе кулоновское взаимодействие отлично от нуля лишь 8 случае,
когда оба нуклона находятся в протонном зарядовом состоянии. Так как оператор заряда
нуклона
то оператор кулоновского взаимодействия нуклонов имеет вид
Отметим, что кулоновское взаимодействие нарушает как изотопическую инвариантность, так
и зарядовую независимость ядерных сил, сравнить с предыдущими задачами.
12.10. Найти среднее значение энергии кулоновского взаимодействия протонов
в ядре 3Не и оценить размеры зеркальных ядер трития 3Н и гелия 3Нс исходя
из того, что в /9-распаде 3Н —» 3He+e~+j/ максимальная кинетическая энергия
электрона ео = 17 кэВ.
Замечание. У рассматриваемых ядер нет возбужденных состояний. Напомним, что (тп„-тр)х
сгя2,5тсс2я1,3 МэВ.
Решение. Если бы изотопическая симметрия была строгим законом природы, то свойства
ядер трития и гелия 3Не (как и любой пары зеркальных ядер) — их массы, энергетические
уровни и их квантоные числа — были бы одинаковыми и /3-распад был бы запрещен законом
сохранения энергии (фактически в данной задаче речь идет о более низкой форме симметрии
взаимодействия нуклонов — зарядовой независимости ядерных сил).
Нарушение зарядовой независимости ядерных сил, проявляющееся и в различии масс
ядер 3Н и 3Не, а соответственно и в энергиях покоя Мс1 ядер, связано с электромагнитным

122 Глава 12. Атомное ядро
взаимодействием. Это различие определяется, в основном", двумя факторами- разницей
масс mpn протона и нейтрона, а также энергией кулоновского взаимодействия протонов
в ядре ^е; при этом
[МCН) - М('Не)]с2 = (т„ - тр)с2 - I — |Ф|2 dr,
где \fr — в. ф. ядра 3Не, а г = г, - г2 — расстояние между протонами. Отсюда, с учетом
соотношения
тсс2 + с0 = [МCН) - МCНе)]с2,
находим
— /е2\
?/,,„ = ( — \ = (т„ - т, - тс)с2 - с0 а 1,5т?с2 я 0,77 МэВ,
что позволяет получить оценку среднего расстояния между нуклонами и размера R рассма-
рассматриваемых ядер:
Д~(г>~ /-\ и 1,9-10"" см
(напомним, чго е2/ов ~ 27 эВ, а, ~ 0,53 ¦ 10~8 см).
12.11. Как известно, размеры ядер определяются соотношением R = tqA1^, где А —
число нуклонов в ядре.
Оценить значение г0 из данных о /3+-распаде ядра, содержащего (Z+ I) протонов
и Z нейтронов, так что А = 2Z + 1, выразив его через максимальное значение энергии
?о позитронов распада. Считать, что распадающееся ядро и ядро — продукт распада,
являющиеся зеркальными ядрами, находятся в одинаковых состояниях (т. е. имеют
одинаковые квантовые числа, за исключением значений Т}-компонент изоспина). Энер-
Энергию кулоновского взаимодействия протонов в ядре считать равной электростатической
энергии равномерно заряженного шара, имеющего такие же заряд и радиус, как и ядро.
Получить числовую оценку го из распада 2J,Si -» "А1 + е+ + и, для которого
е0 = 3,48 МэВ.
Решение. Имея в виду соображения о разности масс зеркальных ядер, высказанные в преды-
предыдущей задаче, и учитывая значение J/w = 3(ZeJ/5R электростатической энергии равномерно
заряженного шара с зарядом Ze и радиусом R, находим
2 3B2 + 1)е2
е„ = -(т„-тр)с+5Bг+1)|/3го,
где последнее слагаемое представляет разность электростатических энергий для двух шаров
радиуса R — гО/4|/3 с зарядами (Z + 1)е и Ze соответственно, при этом А = 1Z + I Отсюда
Г°~ 5B2+I) (?„ + Д)'
где Д = (т„ - mf)t? « 1,29 МэВ, и из данных, основанных на C-распаде ядра 27St,
получаем г0 яз 1,6- 10~'3 см.
§ 2. Модель оболочек
12.12. Считая, что самосогласованное поле, действующее на нуклон в ядре, можно
аппроксимировать потенциалом U(r) = ~Uq + ты2г2/2 (m — масса нуклона), найти
одночастичные энергетические уровни.
' При эгом пренебрегаете}* как пэаимодейстпием магнитных моментов нуклонов я ядре (оно много
меньше кулоновского взаимодействия), так и влиянием электромагнитного взаимодействия непосред-
непосредственно на ядерный потенциал

§ 2. Модель оболочек
123
К каким значениям магических чисел приводит такая модель самосогласованного
потенциала?
Каковы предсказания модели в отношении моментов и четностей основных со-
состояний ядер?
Оценить значение параметра Иш модели, основываясь на данных о размерах ядер.
Решение. Задача определения одночастичных энергетических уровней и соответствующих им
собственных функций из уравнения Шрё'дингера
1
фактически была решена ранее, см. 4.4. При этом
н>
N =
= 0,1,2,...
Каждому уровню с данным значением N отвечают одночастичные состояния Я>^т с ор-
орбитальными моментами I = N, N - 2,..., 1@); кратность вырождения уровня G(N) =
(N + ])(N + 2)/2 (без учета спина нуклона).
На рис. 5 изображен спектр одноча-
одночастичных уровней для рассматриваемого по-
потенциала. Справа указаны следующие чи-
числа: G(N) — кратность вырождения уров-
уровня; n(N) = 2G(N) — максимальное чи-
число нуклонов каждого зарядового состоя-
состояния (т.е. как протонов, так и нейтронов),
которые могут находиться на соответствую-
соответствующем уровне (удвоение значения G(N) свя-
связано со спином нуклона); M(N) — мак-
макN
6-
5-
4-
3-
2-
¦3p,2fAh
¦3s,2d,\g
¦ 2sjd
¦Is
GV)
28
21
15
10
6
3
1
n(N)
56
42
30
20
12
6
2
M(N)
168
112
70
40
20
8
2
симальное число нуклонов каждого зарядо- i
вого состояния, которые могут быть раз-
размещены по всем уровням, начиная с ниж-
него и кончая рассматриваемым, при этом Рис.5
V + 1) = M(N) + n(N + I).
Найденные числа M(N), равные 2,8,20,40,70,..., представляют значения магических
чисел для рассматриваемой модели.
Специфической особенностью осцилляторного потенциала является случайное выро-
вырождение уровней. Если слегка изменить на iU(r) потенциал, то случайное вырождение
снимется, что приведет к расщеплению каждого уровня на столько подуровней, сколько раз-
различных значений I ему отвечает10' Это обстоятельство иллюстрируется на рис.6, на котором
схематически изображена картина расщепления уровней с N = 3 и 4
N=3
N--
¦1/
2
3s,2d,\g
'3s
Рис.6
Предсказания значений полных моментов (спинов) J ядер в рассматриваемой модели
носят весьма неопределенный характер (исключая легчайшие и дважды магические ядра) ввиду
большой кратности вырождения уровней по J Однако предсказания четностей основных
состояний ядер — вполне определенные, что связано с одинаковой четностью, равной Р =
(-1)' = (-1)" всех одночастичных состояний, отвечающих уровню с данным значением /V,
|0' Порядок расположения подуровнем по / зависит от конкретного вида возмущении 6U(t) Заметим
также, что характерное для осциллиторного потенциала случайное вырождение и порядок следовании
уровней с различными значениями I в кваэиклассическом приближении справедливы и для достаточно
произвольных потенциалов, см. правила квантования из 9.7.

124 Глава 12. Атомное ядро
и с тем обстоятельством, что четность является мультипликативным квантовым числом
Так, для основного состояния ядра $'С модель предсказывает отрицательную четность, для
ядра g'O — положительную и т д.
Оценку значения параметра Нш для ядер с А « 1Z > I можно получить, отождествив
размер кдра R = г0Л|/5, где г0 = 1,2- 10~'3 см, с «радиусом» R(Nmlx) квазиклассической
орбиты нуклона на верхнем из заполненных уровней, определяемым из соотношения
Отсюда, учитывая оценку /Vm>, = (ЗЛ/2)'/3, следующую из условия
? 2Wa
(сумму можно заменить интегралом), находим
И±р? "> МэВ.
12.13. В условиях предыдущей задачи обсудить изменения энергетического спектра
однонуклонных состояний, возникающее при введении спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия вида Ui, = -al?. Для а = Ли/10 нарисовать картину нижних одночастичных
уровней"'.
В рамках рассматриваемой модели найти моменты (спины) и четности основных
состояний следующих ядер ^Не, <Li, J°B, '2С, ]63С, }3N, J4C, \6О, ?О, fjAI. ^Ca.
Решение. Энергетические уровни частицы со спином в центральном потенциале не зависят
ог ее спинового состояния и определяются лишь квантовыми числами пт, I (но не /,, s,). При
наличии спик-орбитального взаимодействия уровень частицы со спином s = 1/2 с данным
значением ( расщепляется на два подуровня, отвечающие значениям j = I ± 1/2 полного
момента (за исключением 5-уровнен). В этом случае «хорошими» квантовыми числами явля-
являются: полный момент j, его проекция j, и четность Р = (-])' (хотя вектор I не сохраняется,
его квадрат по-прежнему является интегралом движения, оператор I2 коммутирует с га-
гамильтонианом). Соответственно собственные функции гамильтониана могут быть выбраны
в виде
где спин-орбитальные функции <H,ilA обсуждались в 5.24 (впрочем, их явный вид для
дальнейшего не существен)
Так как операторТ? =р -Т2 - 3/4 в состояниях частицы с определенными значениями
квантовых чисел j и ( также имеет определенное значение
(, в состоянии с } = I + -,
—I — 1, в состоянии с j = I — -,
то рассматриваемое спин-орбиталыюе взаимодействие приводит к расщеплению и сдвигу на
«('+!). 3=1-\,
I 0)
-а', 3 = ' + г
'" Параметр а > 0, так как согласно экспериментальным данным уровень с j = I + 1/2 лежит ниже
уровня с j = I - 1/2.

§2. Модель оболочек 125
непозмущеиного уровня Е„г1 независимо от конкретного вида центрального потенциала У (г).
Соответственно энергетические уровни для рассматриваемой модели описываются выраже-
выражением
ЕПт1, = -U0 + hwBnr + l-rr) + ДЯ,,. B)
Как видно, ширина расщепления уровня
АЕ, = Я,.,-,/,,, - S,.i+i/2,i = B1 + 1)а, 1 ф О,
возрастает с ростом I. Для вырожденных уровней осциллятора максимальное значение
орбитального момента 1т„ = N, так что для них полное расщепление составляет
Д-Едг = BЛГ + 1)а, N%\.
Отметим также, что среднее значение смещения уровней с учетом их статистических
весов, равных 2j + 1, обращается в нуль, так как
На рис.7 слева изображено расщепление уровня невозмущенного осциллятора с ЛГ = 2,
а справа представлена картина нижних одночастичных уровней для рассматриваемой модели.
Она лишь взаимной перестановкой 2si/2- и ldj/2-уронней отличается от последовательности,
определяемой непосредственно из анализа экспериментальных данных (следует, однако,
иметь в виду, что при заполнении одночастичных уровней иногда возникают нерегулярности,
как и в случае заполнения электронных оболочек в атомах).
14и
N=2 ъ%
1 dw( А Е=За) ч I rfv2
Рис.7
Имея в виду, что основное состояние ядра в модели оболочек определяется размещением
нуклонов по нижним одночастичным уровням с учетом принципа Паули, полный момент J
и четность Р нуклонов заполненных оболочек равны Jp = 0+,а квантовые числа «дырочного»
состояния такие же, как у соответствующего одночастичного уровня, приходим к следующим
предсказаниям в отношении спинов и четностей основных состояний указанных в условии
задачи ядер
1) У ядер 12С, |4С, "О, 40Са квантовые числа Jp = 0+ (эти ядра имеют лишь
заполненные как по протонам, так и по нейтронам оболочки)
2) Ядра IJC, I3N, "О, 27А1 имеют сверх заполненных оболочек лишь один нуклон
(протон или нейтрон) или одну дырку, квантовые числа которых определяют З1" этих ядер:
A/2)-, A/2)', E/2)+, E/2)* соответственно.
3) Предсказания модели в отношении спина (но не четности) ядер 'Не, 6Li, IOB неод-
неоднозначны. Так, для ядра 'Li, имеющего сверх заполненной оболочки (IsL протон и нейтрон
в состоянии 1рз/ь согласно модели Jp может принимать одно из следующих значений:
3+, 2+, I*, 0+. Аналогично предсказание и для ядра 10Л, имеющего по одной протонной
и нейтронной дырке на оболочке \pi/2 Ядро 4Не имеет два нейтрона в состоянии Ipj/i
сверх заполненной оболочки (IsL, и согласно модели возможные значения Jp есть 2+ и 0+
(квантовые числа 3+ и 1+ запрещены принципом Паули, сравнить с 12 6) Однако если иметь
н виду спаривашельный характер остаточного взаимодействия нейтронов, то для ядра 6Не, как
и для любого четно-четного ядра, предсказание однозначно: Jp = 0+.

126 Глава 12. Атомное ядро
12.14. В рамках модели оболочек указать спин-изоспиновую зависимость волновых
функций основных состояний ядер трития 3Н и гелия 3Не.
Решение. В рассматриваемых ядрах три нуклона находятся на оболочке Is. Такую конфигу-
конфигурацию можно рассматривать как одну дырку в ls-состоянни, чем и определяются квантопые
числа — спин, четность и изотопический спин — этих ядер. J1' = A/2)+, Т = 1/2 (при этом
Т] = -1/2 и +1/2 для ядер JH и 3Не, соответствен но).
Орбитальная (координатная) часть волновых функций ядер симметрична относительно
перестановки координат нуклонов (так как все они находятся в одном и том же Is-co-
стоинии). Соответственно сиин-изоспиноная часть в. ф. должна быть антисимметричной
(сраннить с 12.6) Ее явный вид определяется согласно общему правилу антисимметризации
волновой функции системы тождественных фермионов в случае, когда указаны занятые
одночастичные состояния. Для краткости записи ниже будем использовать для одночастич-
ных спин-изоспиновых волновых функций обозначения вида: р,A) — в. ф. 1-го нуклона
и протонном зарядовом состоянии с определенным значением s, = +1/2 проекции спи-
спина и т.п.
Если три нуклона занимают состояния pt, р(, и п,, то спин-изоспиновая часть в.ф.
такого состояния системы в целом определяется детерминантом
1
РтО) PiO) "t(O
yg PiB) Pitt) "iB)
p,C) p,C) n,C)
(О
Эта п.ф соответствует ядру 3Не в состоимии с J2 = +I/2.
Сделав в выражении A) замены р «-» п, получим спин-изоспиновую в. ф. ядра 3Н
с J, = +1/2. Аналогично, замены Т*-»1 дают в ф рассматриваемых состояний с J, =
-1/2
12.15. Указать возможные значения полного момента J и изотопического спи-
спина Т ядер, содержащих сверх заполненных оболочек два нуклона в состоянии р\ц
с одинаковым п. Ядрами, имеющими такую конфигурацию, являются ?4С, J4N, g4O
{два нуклона сверх заполненных оболочек (ISi/2L(l?3/2)8)-
Решение. Так как момент и изоспин полностью заполненной нуклонами обоих зарядовых
состояний оболочки равны нулю, то сгин ядра J и его изоспин Т определяются нуклонами
сверх заполненных оболочек При этом возможные значения J и Т для ядра ограничи-
ограничиваются условием антисимметричности вол но ной функции таких нуклонов (в соответствии
с обобщенным принципом Паули, сравнить с 12 б)
Имея it виду характер симметрии изоспиновой части в. ф. двух нуклонов- ее сим-
симметричность при значении Т = 1 и антисимметричность при Т = 0 относительно пе-
перестановки изоспиноных переменных нуклонов, а также характер симметрии в ф двух
моментов одинаковой величины, в данной задаче j, = ji — 1/2, по отношению к пе-
перестановке их j.-переменных в ji-j'j.-представлении (в данном случае эта симметрия со-
совпадает с симметрией спин-угловой части волновой функции), см. 3.30: симметричность
в ф. для значений J = 2j, 2] —2, ... и антисимметричность ее для J = 1j — 1, 2j — 3, ...
и, наконец, учитывая одинаковую радиальную зависимость в. ф. обоих нуклонов, заклю-
заключаем:
1) для Г = I возможны лишь значения J — 2j - 1, 2j - 3, ...;
2) для Т = 0 возможны лишь значения J = 2j, 2j -2
12.16. То же, что и в предыдущей задаче, для двух нуклонов в состоянии pyi-
Ответ. Для Т = I возможны лишь значения J = 2 и 0, а для Т = 0 — лишь J = 3 и I.

§ 2. Модель оболочек
127
12.17. В модели оболочек найти спины и магнитные моменты основных состояний
следующих ядер12'
i,
; -2,1 з
2,69);
-1,89);
О,7о);
-0,5s).
; -0,2в);
При решении задачи воспользоваться схемой одночастичных уровней из 12.13.
Решение. Имея в виду порядок расположения однонуклонных уровней, установленный
в 12.13, замечаем, что рассматриваемые ядра содержат сверх заполненных оболочек лишь
один нуклон (или имеют только одну дырку) Именно им (или дыркой) определяются спин J
и четность Р ядра, а согласно (XII.4) и магнитный момент у.
Ядро
3H(p(ls,/2))
3He(n(lsl/2))
"B(p(lP)/2)"')
UC(n(lp,/2))
Jp
1/2+
1/2+
3/2-
1/2-
2,79
-1,91
3,79
0,64
Ядро
l3N(p(lp,/2))
'7O(n(ldj/2))
2'S,(nBs,/2))
Jp
1/2-
5/2+
l/2f
Л
-0,26
-1,91
-1,91
(n таблице указана конфигурация ядра лишь сверх заполненных оболочек; запись (nij) '
означает дырку в состоянии nlj).
Согласие рассчитанного и экспериментального значений у. вполне удовлетворительное,
за исключением ядер "В и 29Si.
12.18. В модели оболочек найти магнитный момент ядра, содержащего сверх за-
заполненных оболочек по одному протону и нейтрону (или имеющего соответствующую
дырку) в одинаковых состояниях nlj, в зависимости от спина ядра 3.
Сравнить полученный результат с экспериментальными данными для следующих
ядер:
7H(J = I; д = 0,86); ^Li(l; 0,82);
13'
J°BC; 1,80); }4NA; 0,40);
воспользоваться схемой однонуклонных уровней из 12.13.
Решение. В модели оболочек магнитный момент, спин и четность ядра определяются нукло-
нуклонами сверх заполненных оболочек. В рассматриваемом случае оператор магнитного момента
ядра принимает вид3'
„ (I)
где gf,n(l,j) — гиромагнитные множители для протона и нейтрона в состоянии /,, см табли-
таблицу (XII.4). Усредняя этот оператор, с помощью результата 3.40 находим магнитный момент
ядра с нуклонной конфигурацией р(п^)'п(пг;)' при спине ядра J (при этом J =Xp+Jn,
a h = }* = ))¦
Л = J\fi,\J, Jz = J) = -
B)
ir> й скобках указаны экспериментальные значении спина J и магнитною момента /j ядра. Заметим,
что рассматриваемые ядрп содержат сперх заполненных оболочек лишь один нуклон (или имеют одну
дырку п незаполненной оболочке)
13) Сравнить с 12.20

128
Глава 12. Атомное ядро
Эта формула определяет также магнитный момент ядра, имеющего по одной прогонной
и нейтронной дырке » состоянии nlj. Согласно B) получаем
Ядро
2Н(рA*)\ nilsI)
6Li(p(lp^)\ n(\Pm)[)
l"B(pApJ/!)-1, n(lp)/2)-')
"N(p(lPl/2)\ пAр,/2)')
J
1
1
3
1
0,88
0,63
1,89
0,38
(о вычислении ft а схеме LS-свизи см. 12.19 и 12 21).
12.19. Рассчитать магнитный момент ядра, содержащего сверх заполненных оболо-
оболочек по одному протону и нейтрону (или имеющего соответствующие дырки) в одина-
одинаковых состояниях 8 условиях ?5-связим).
Применить полученный результат к основному состоянию ядра 'Li, имеющему
спин J = 1. Считая, что нуклоны сверх заполненной оболочки (IsL находятся в 1р-со-
стоянии, найти магнитный момент ядра для различных возможных значений L и S
и сравнить с экспериментальным значением fiMm = 0,82, а также с результатом
предыдущей задачи. Каков изотопический спин рассматриваемых состояний?
Решение В условиях задачи оператор магнитного момента ядра
А» = ?z? + gsS,
we gL_s — орбитальный и спиновый гиромагнитные множители для нуклонов незаполненной
оболочки. Усредняя этот оператор согласно 3.40, находим
,S,7O = {J, J, =
= 2(J'+ ^
{(9l + gs)J(J +1) + iSL - 9s) [1A + 1) - S(S + 1)]},
(I)
где L, S — полные орбитальный и спиновый моменты нуклонов, которые в схеме ?5-связи,
наряду с J, характеризуют состояние ядра.
Найдем 9/,,s для протон-нейтронной системы. Оператор орбитального магнитного мо-
момента для нее (сравнить с 12.21)
(орбитальные гиромагнитные множители gt р = 1 и gt „ = 0) и он принимает вид р^ = giL
лишь после усреднении по состоянию системы с определенным значением Ь. Как и выше,
с помощью 3.40 получаем (при этом 1Р = /„).
Аналогично находим
9s = -
= 0,88
B)
C)
и согласно A), B), C) приходим к искомому значению
rfL.S.J) = 0,697-т-^
'При этом одночастичные уровни характеризуются квантовыми числами п, /, а не п, /, j, как
в схеме jj-связи.

§ 2. Модель оболочек 129
В применении к ядру **Li с J = I формула D) дает при различных значениях L, S
(совместимых с J ¦- I)
МО, I, I) = 0,88 (Т = 0); ЯB,1,0 = 0,31 (Т = 0),
Ml,0,1) = 0,50 (Т = 0); Ml, 1,0 = 0,69 (Т = I),
здесь также указаны значения изоспина Т для соответствующих состояний ядра, сравнить
с 12.6 и 12.15. Совокупность экспериментальных данных о свойствах ядра 6Li указывает
на «предпочтительный» характер LS-связи в этом ядре, при этом L = 0, 5 = I.
12.20. Найти в схеме jj -связи магнитный момент ядра, имеющего одинаковое число
протонов и нейтронов сверх заполненных оболочек в одинаковых состояниях nlj
в зависимости от спина ядра J.
Применить полученный результат к ядру JJNa, имеющему спин J = 3 и магнитный
момент ftMCn = 1,75.
Решение. Оператор магнитного момента нуклона в состоянии nt, может быть записан в виде
(сравнить с 12.9)
где гиромагнитные множители jPiI1 определяются (XII.3) и (XII.4). Соответственно для ядра
Р= j вр + ^^Та + ^р-аО^лД, A)
а а
где сумма берется по всем нуклонам на (незаполненной) оболочке nlr При усреднении
этого оператора по состоянию ядра с определенным значением изоспина Т вторая сумма
обращается в нуль ввиду того, что в условиях задачи Ту = 0; действительно,
(Т, Т, = OlrJT, Ъ = 0) ос (Г, Tj = 0|Т3|Г, Гз = 0) = 0.
Поэтому магнитный момент ядра определяется первой суммой в A), и так как 2ja = J, то
для него получаем
|[s,(i,J) + j.(i,i)lJ- B)
Ядро "Na в основном состоянии имеет нуклонную конфигурацию р( i dj/2)Jn( Ids/3)J сверх
заполненных оболочек, см. схему одночастичных уровней в 12.13 Учтя значения &,.„(',./),
находим согласно B) предсказание модели оболочек для магнитного момента /Jo&u = 1,74
ядра !2Na (имеющего J = 3), практически совпадающее с экспериментальным значени-
значением цж„ = 1,75.
12.21. То же, что и в предыдущей задаче, но в условиях LS-связи; сравнить с 12.19.
Решение. Оператор магнитного момента нуклона
n 1.о «,р ^2 у '•" '•" \2 V
где гиромагнитные множители gtiP = I, 51.п = 0, да,р = 5,59, j,,r = —3,83. Соответственно
для ядра имеем
ь]Ъ., С)
= 2'
5 Ut. 269

130 Глава 12. Атомное ядро
где сумма берется по всем нуклонам в незаполненной оболочке (сравнить с формулой (I)
предыдущей задачи, определяющей магнитный момент в схеме jj-связи).
После усреднения выражения A) по состоянию ядра, отвечающему определенному
значению изоспина Т и его проекции Tj = О, последнее слагаемое (сумма) обращается в нуль.
Соответственно магнитный момент такого ядра определяется лишь первой, изоскалярной
частью ри]ос. = gcb + gsS оператора р и равен
г я 7^ (9l+9s)J(J + 1) + {9l - 9s)[L(L + 1) - S(S + I))
, 5, J) = щ^ , B)
сравнить с 12.19 и 12.20.
12.22. 8 рамках модели оболочек найти соотношение между магнитными моментами
основных состояний зеркальных ядер. Считать, что все нуклоны (обоих зарядовых
состояний) сверх заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях nlj.
Решение Оператор магнитного момента ядра, в котором все нуклоны сверх заполненных
оболочек находятся в одинаковых состояниях nlj, имеет вид (сравнить с 12.20)
Д = \ Ы'.» + 9n(i, Л] J + [д„A, Л - 9«(t, Л] ]С ?^
* а
После соответствующего усреднения (сравнить с 12 18 и 12.21) для магнитного момента ядра
получаем
где
/•^ухк = Г (Sp + 9n)J, /*«о»ск = (?р - Sn) ( У^ ^аУи ) ¦ (•)
2 ^ \IV I/
Так как зеркальные ядра, обозначим их Л и Л, различаются лишь знаком проекции
изоспина 1\, то для них изоскалярные части магнитного момента одинаковы, а изовекторные
части имеют противоположные знаки, так что
,Ф- B)
Применительно к зеркальным ядрам 'Н и 3Не согласно B) получаем
а экспериментальное значение составляет 0,78 (см. 12.17)
12.23. Найти квадрупольный момент Qo ядер, имеющих сверх заполненных оболочек
лишь один протон в состоянии: а) $\/2; б) ру2: <3) ds/2 (выразить Qo через (rjj)).
Считать А » I.
Решение. Напомним, что квадрупольным моментом ядра по определению называется среднее
значение
Для рассматриваемых ядер доминирующий вклад в Qo вносит лишь протон сверх заполненных
оболочек, поэтому
Qo « J К,„ C cos гв - I) *„,„ г3 dV, A)
где *п;|„ — в- Ф- такого протона, при этом J = j и J, — j,. Так как вданной задаче j = 1+1/2,
то волновая функция имеет вид
/(г),

§2. Модель оболочек 131
При этом согласно A) имеем
B/ + I)!! Г 2 -21 J
где
X
= (njlj\r2\njlj) = J
о
— среднее значение квадрата радиуса-вектора для рассматриваемого протона.
Элементарное интегрирование в выражении B) по углам дает
о) ЯоЫ) = 0; б) Q0(P3/;) = -\ (г2); в) <?0(<М = -j (г2)
(обратить внимание на знак Qa\ см. также две следующие задачи).
При вычислении квадрупольного момента пренебрегалось вкладом протонов заполнен-
заполненных оболочек Они дают сферически симметричное распределение заряда, квадрупольный
момент которого относительно центра симметрии равен нулю. Вклад же их в Qo, определяе-
определяемый относительно центра масс ядра, составляет ~ Z/A2 < I от величины B), сравнитьс 12.26.
Заметим в заключение, что квадрупольные моменты ядер, имеющих соответственно
один протон сверх заполненных оболочек и одну протонную дырку, различаются знаком
(в противоположность магнитным моментам таких ядер).
12.24. Обобщить результат предыдущей задачи на случай ядер с протоном в состо-
состоянии с произвольным значением I и j — I + 1/2.
Решение. Квадрупольный момент определяется формулой B) предыдущей задачи. Переписав
ее в виде
Qo = jCco%29- ])\Yu\2du{rl) A)
и воспользовавшись соотношением
(см. выражение для |Уц|2 в 12.23), в формуле A) легко выполнить интегрирование и получить
8 заключение сделаем замечание о знаке QQ < 0 и предельном значении Qo = -(г2,)
при ] —» со. Оба эти свойства представляются естественными, если заметить, что в классичес-
классическом пределе траектория частицы cj, = / лежит в экваториальной плоскости (при этом z = О
и из выражения для Qo следует Qq — -(rl)).
12.25. Найти квадрупольный момент ядра, имеющего сверх заполненных оболочек
лишь один протон в состоянии с произвольным орбитальным моментом I и j = I — 1/2.
Сравнить с результатами предыдущих двух задач.
Решение. Выражение для Qo через значение полного момента протона j, полученное в пре-
предыдущей задаче, остается справедливым и и случае j = (— 1/2. Этот результат непосредственно
следует из отмеченного в 5.25 одинакового вида угловых распределений плотности вероятности
в состояниях, описываемых волновыми функциями *;ii(,,j, с i>,2 =j ± 1/2.
Соответственно сделанные в двух предыдущих задачах замечания о знаке квадрупольного
момента ядра непосредственно переносятся и на рассматриваемый случай.
12.26. Найти квадрупольный момент ядра, имеющего сверх заполненных оболочек
лишь один нейтрон в состоянии с орбитальным моментом I и полным моментом
j=l±\/2.
5*

132
Глава 12. Атомное ядро
Указание Ядро рассматривать как систему, состоящую из двух подсистем: нейтрона сверх
заполненных оболочек и нуклонов заполненных оболочек (как целого), движущихся относи-
относительно центра масс ядра.
Решение. В приближении, в котором центр масс ядра совпадает с центром масс системы
нуклонов замкнутых оболочек, квадруполычый момент ядра в условиях данной задачи равен
нулю (сравнить с 12.23).
Руководствуясь указанием к условию задачи, замечаем, что центр сферического распре-
распределения заряда нуклонов заполненных оболочек, совпадающий с их центром масс, находится
в точке
г - Г"
где г„ — радиус-вектор нейтрона относительно центра масс ядра. При этом квадрупольный
момент ядра связан с протонами заполненных оболочек, определяется выражением
Ф„;1;)
(сравнить с 12.23), где
i,, — в ф. нейтрона, и равен
2J+2
(О
как это непосредственно следует из результатов двух предыдущих задач: при этом спин
ядра J = j. Заметим, что Qq < 0.
12.27. В модели оболочек с самосогласованным однонуклонным потенциалом ос-
цилляторного вида, см. 12.12, получить на основе квазиклассических соображений
выражение для радиальной плотности нуклонов в ядре с А > 1. При решении
задачи пренебречь кулоновским взаимодействием протонов и рассматривать ядра
с одинаковым числом протонов и нейтронов. Согласуется ли полученный результат
с экспериментальными данными для тяжелых ядер?
Решение. Основному состоянию ядра соответствует распределение нуклонов по нижним
одночастичным уровням с учетом принципа Паули. В пренебрежении кулоновским взаимо-
взаимодействием уровни для протона и нейтрона одинаковы При этом для ядра с А = 2Z в основном
состоянии будут занятыми одни и тс же одночастичные протонные и нейтронные уровни.
Обозначив через eF максимальную энергию занятых состояний
(см. рис. 8, постоянная -?/0 в потенциале опущена), замечаем, что и(г),
объем фазового пространства, соответствующий занятым состояниям
в объеме dV, равен
А
dV =
Ц
2 dV.
Разделив его на Bя-ЛK, получим число занятых орбитальных состо-
состояний. 8 каждом из них находится по четыре нуклона (в различных
зарядовых или спиновых состояниях), так что общее число нуклонов
в объеме dV составляет
dN =
dV, г < R =
3;rJfi3 v ' V '  I "' ' "* " " V m,.,2'
Соответственно плотность нуклонов в ядре описывается выражением
2
"(Г) ~ Ззг2Л' '
(при этом п„ = п„ = п/2; для т > R очевидно, п = 0)
(I)
B)

§3. Изотопическая инвариантность ' 133
Условие нормировки выражений A), B) на полное число нуклонов приводит к соотно-
соотношению
Л
между параметрами и> и Я рассматриваемой модели ядра и позполяет записать выражение B)
в виде
г2 \ WJ
0
(нормировочный интеграл вычисляется подстановкой г/Я = sin и).
Заметим, что для тяжелых ядер выражение C), основанное на осцилляторном само-
самосогласованном потенциале, противоречит экспериментальным данным, согласно которым
для таких ядер плотность нуклонов почти постоянна, за исключением узкой области вблизи
границы, сравнить с 12.28.
12.28. То же, что и в предыдущей задаче, для самосогласованного потенциала вида
-Do, r < Д,
, r>R.
Выбрав в соответствии с экспериментальными данными параметр R модели равным
радиусу ядра R = гдА1^, tq = 1,2-10~13 см, найти граничный импульс нуклонов в ядре
и максимальную их скорость.
Решение. Задача решается аналогично предыдущей. Теперь, однако, граничный импульс
внутри ядра постоянен, р = >/2meF, так что вместо формулы B) предыдущей задачи получаем
= const, г<Я. A)
Нормировка на полное число нуклонов Л дает (pf-RK = 9xAh}/&, или
pf = ]w"!- B)
с учетом выражения для R.
Соответствующая такому импульсу pf максимальная скорость нуклонов в ядре (рассма-
(рассматриваемом в условиях задачи как идеальный ферми-газ) составляет
m 2 m r0 mcaB 4
(где m/mc a I 840, a0 « 0,53 • 10~8 см, v,, = h/mcaB = с/137, с — скорость света),
а максимальная кинетическая энергия ер * 30 МэВ <ЗС тс2 яз 940 МэВ, так что нуклоны
в ядре еще можно рассматривать как нерелятивистскис
§ 3. Изотопическая инвариантность
12.29. Заряды (в единицах заряда протона е) различных частиц, входящих в один
и тот же изотопический мультиплет, в общем случае следующим образом выражаются
через значение компоненты изоспина Т%, соответствующее данной частице: q =
A/2) У Ч-Гз# гДе У — так называемый гиперзаряд (так, для нуклона Ум = 1, для
пиона У, = 0, и т.д.).
Показать, что сохранение изотопического спина во взаимодействиях частиц влечет
за собой и сохранение гиперзаряда.
Решение. Будем нумеровать индексами t и / частицы в начальном и конечном состояниях,
так что

134
Глава 12. Атомное ядро
Из закона сохранения заряда следует 53 9i = 53 7/> а из сохранения изоспина15' имеем
53 2з,, = 53 2j,/. Отсюда получаем 53 *• = 23 */¦ что и означает сохранение гиперзаряда.
Заметим, что так как среднее значение Tj для частиц данного изомультиплета равно нулю,
то гиперзаряд равен удвоенному среднему электрическому заряду частиц в изомультиплете.
12.30. Найти наиболее общий вид изотопически инвариантного оператора взаимо-
взаимодействия пиона с нуклоном.
Как операторы irN-взаимодействия в состояниях с определенным значением
изоспина U (Т = 1/2, 3/2) связаны с найденным оператором ?/?
Выразить U через операторы (/(Г).
Решение. Искомый оператор в изопространстве должен выражаться через следующие: еди-
единичный 1, операторы компонент изоспина нуклона г, и пиона h и быть изотопическим
скаляром. Так как операторы т, t являются изовекторными операторами, то из них можно
построить только следующие изоскалярные операторы: т2, Т2, (т?), а также различные
комбинации этих операторов. Однако псе они линейно выражаются через дна оператора: 1
и тТ, сравнить с 12.9. Действительно, операторы т2 = 3/4 и Т2 = 2 кратны единичному,
а для т?справедливо соотношение (т1)а = (I - тТ)/2. Оно следует, например, из 1.21, если
заметить, что оператор ??=Т2/2- 11/8 имеет лишь два различных с.з., равных -1 и +1/2
(в состояниях с суммарным значением изоспина tfN-системы Т — 1/2 и 3/2, соответственно).
Таким образом, искомый оператор имеет вид
0 =
(т 1),
A)
а также связь V с этими операторами:
где VKJ — операторы в конфигурационном пространстве, не зависящие от изоспина. Отсюда
находим вид операторов U(T) *N-взаимодействия в состояниях с определенным значени-
значением Т = 1/2 и 3/2 суммарного изоспина-
( ^?,+ ]-?ь B)
12.31. То же, что и в предыдущей задаче, для системы из двух пионов. Выразить опе-
оператор U через операторы тиг-взаимодействия в состояниях с определенным значением
изоспина.
Решение. Задача решается аналогично предыдущей. Различие проявляется в том, что теперь
оператор Т1Т2 = jf2 - 2 имеет три различных с.з., равных -2, -I, +1, соответственно
значениям 0, 1, 2 суммар_ного_изосиина пионов.^Поэтому независимыми изоскалярными
операторами являются I, 1,12 и A, t2J (при этом (t, t2)' = 2+( t|72) —2(t|T2J),a изотопически
инвариантное тпг-взаимодействие имеет вид
и„ = v, + и (?,?,) + v3(?,T2J. (i)
Операторы взаимодействия пионов в состояниях с определенными значениями изоспина.
и„(Г=1) = Р,-?2 + Рз; 0„{Т = 2) = V, + V2 + Р,.
12.32. Для двухпионной системы указать изотопическую структуру оператора куло-
новского взаимодействия пионов.
|5'Фактически достаточно сохранения лииь Tj-компоненты изослинв.

§3. Изотопическая инвариантность 135
Решение Так как оператор заряда пиона связан с оператором ею t3-компоненты изоспина
соотношением у, = et3 (сравнить с 12 29, е > 0), то оператор кулоновского взаимодействия
двух пионов имеет вид
о*. =
12.33. То же, что и в предыдущей задаче, для кулоновского взаимодействия
в 7гЫ-системе.
Ответ. Оператор кулоновского jrN-взаимодействия
2|г» -rN|
сравнить с 12.9 и 12.32.
12.34. Каковы возможные значения изотопического спина двухлионной системы
в состояниях с определенным значением L орбитального момента относительного
движения?
Решение Изотопическая инвариантность предполагает, что различные частицы, относящи-
относящиеся к одному и тому же изомультиплету, следует рассматривать как тождественные частицы,
находящиеся в различных зарядовых состояниях. При этом кнантовомеханический принцип
неразличимости тождественных частиц распространяется и на различные частицы одного
и того же изомультиплета В частности, при взаимной перестановке двух пионов, являющихся
бесспиновыми бозонами, волновая функция системы должна оставаться неизменной (быть
симметричной).
Для двухпионной системы перестановка пространственных переменных пионов эквива-
эквивалентна отражению координат относительно центра масс, так что симметрия координатной в. ф.
совпадает с четностью (-II. Симметрия же изоспиновой части в.ф. определяется множите-
множителем (— 1)т, где Т — суммарный изоспин системы, как это следует из результата 3.30 с учетом
аналогии свойств момента и изоспина (и значения Т, = 1). Отсюда, ввиду симметричности
волновой функции двухпионной системы, следует (-l)L+r = 1, так что возможные значения L
и Т — одинаковой четности: в состояниях с четным L — лишь Т = 0 и 2, с нечетным L —
лишь Т= I.
12.35. Для системы, состоящей из двух тг0-мезонов, найти вероятности ги(Т) _раз-
личных значений суммарного изотопического спина системы и среднее значение Т2.
Решение Для пиона Т» = I, T}(ir") — 0. Ввиду аналогии свойств момента и изоспина,
решение данной задачи дублирует решение 3.32. Приведем ответ'
и/(Т = 2) = ?, ш(Г=1) = 0, w{T = 0)=1-, T* = 4.
12.36. Найти вероятности различных значений суммарного изотопического спина
пион-нуклонной системы и среднее значение Т2 в следующих зарядовых состояниях:
5Г+р, 7Г+П, ЯГ°р, ЭТ0П, V~p, 1Г~П.
Решение. В рассматриваемых зарядовых состояниях irN-системы ij-компоненты изоспина
нуклона и пиона имеют определенные значения '6\ Поэтому, учитывая аналогию свойств
момента и изоспина, решение данной задачи может быть получено аналогично 3.29 При-
Приведем окончательные результаты для Т2 и вероятностей w(T) значений суммарного иэоспи-
на TrN-системы Т = I/2 и 3/2 в рассматриваемых изотопических состояниях:
1) для тг+р и 1Г~п-систем ЦЗ/2) = I, T2 = 15/4;
2) для it1 п и 1г-р-систем_Р = 7/4, tu(l/2) = 2/3, u>C/2) = 1/3;
3) для тг°р и Л-систем Т2 = 11/4, w(l/2) = 1/3, u>C/2) = 2/3.
161 Напомним, что для пиона Т, = I и ТзAг*) = ±|, Tj(ir0) = 0.

136 Глава 12. Атомное ядро ,
12.37. Нейтральная частица /° с изотопическим спином Т = 0 распадается на два
пиона: /° —» 2я\ Возможные каналы распада: /° —» тг+тг~ и /° —» 2?г0. Найти
соотношение между вероятностями распада по этим каналам.
Решение. Задачу можно решить различными способами. Например, учитывая аналогию
снойстн момента и изоспина, можно воспользоваться коэффициентами Клебша— Гордана.
Для случая сложения двух одинаковых моментов в результирующий момент, равный нулю,
они были найдены в 3.39. В применении к рассматриваемой задаче результат 3.39 дает
*™Bт) = ^= {^,(l)V-,B) - VoO)«M2) + V-,0)«,B)}. A)
Здесь Фг=оBя') — изоспинояая в ф. состояния двух пионов с Т = 0, а ^AB)) — изоспино-
вые в. ф. отдельных пионов с определенным значением компоненты tj изоспина (tj = ±1,0).
Вероятности распада частицы /° в различные зарядовые состоянии двухпионной систе-
системы, ir*ir~ и 2к°, пропорциональны вероятностям нахождения пионов в таких состояниях при
суммарном изоспине Т = 0 (п силу сохранения изоспина в распаде). Согласно (I) вероятность
зарядового состояния с двумя *° равна Wf^Bir°) = A/\/3J = 1/3 (напомним, что tj(*°) = 0);
соответственно ш3-,о('г+'г") = 2/3, так что
Приведем два других способа решения.
1) Рассмотрим распад некоторого числа N частиц /°. В результате их распада образуют-
образуются Nw(f° -»тг+я~) заряженных *+-мезонов, столько же ir" и 2Nw(f" -> 2т°) незаряженных
пионов (в распаде /° -» 2тг° образуется сразу два *°). Исходная система из /° является
изотопически симметричной (изотропной в изопространстве, так как Т/ = 0). Также изото-
изотонически симметричным должно быть конечное состояние, включающее распадкые пионы.
Отражением этой симметрии должно быть одинаковое число пионов в различных зарядо-
зарядовых состояниях ir+, х~, я-0, что сразу приводит к установленному выше другим способом
соотношению B)
Приведенное решение представляется очень наглядным с физической точки зрения.
Оно может быть обобщено и на случаи более сложных (в отношении изоспина) распадов
и реакций, см., например, 12.39.
2) Воспользуемся результатом из 1.43, согласно которому |Фд(Б)|2 = |Фв(у1)|2. Будем
понимать под В операторы Т}A), Т3 компонент изоспина отдельных пионов, а под А —
операторы Т2, Т} квадрата суммарного изоспина и его компоненты. Приведенное соотношение
при этом принимает вид (сравнить с 3.33)
Положив здесь Г = 0, t^ = (j2) = 0, получаем
и>тМ**'') = щАТ = 0)=]-, (А)
где использовано значение вероятности суммарного изоспина Т = 0 в системе из 2зг°,
полученное » 12.35. Указанный способ решения основан на возможности вычисления в ряде
случаев коэффициентов Клебша—Гордана (точнее, их квадратов) с помощью соотношения C).
12.38. Показать, что изоспиновая часть волновой функции системы из трех пионов
в состоянии с суммарным изотопическим спином системы Т(Зчг) = 0 имеет определен-
определенную симметрию по отношению к перестановке изоспиновых переменных любых двух
пионов, и выяснить характер этой симметрии.
На основании полученного результата показать, что нейтральная частица а/0
с изотопическим спином Т = 0 не может распадаться на три тг°-мезона, т.е. распад
ш° —» Зтг° запрещен.

§3. Изотопическая инвариантность 137
Решение. Изоспиновую в ф. трехпионного состояния с суммарным изоспином Т = 0 легко
найти, имея в виду формальную аналогию свойств момента и изоспина, если учесть следующие
обстоятельства.
1) Возможность описания изотопического состояния отдельного пиона, имеющего
t, = I, с помощью вектора (р в изопространстве При этом связь векторного представления
с обычно используемым (з~пРеДставлением такая же, как и в случае момента, см. 3.44; так,
пион в зарядовом состоянии тг0, т.е с tj — О, описывается в изопространстве вектором <р„и
с компонентами уз „о = @,0, 1)
2) Волновая функция состояния с изоспином Т = 0 является скаляром (или псевдо-
псевдоскаляром) в изотопическом пространстве (не изменяется при вращениях в этом пространстве).
3) Из трех векторов <ра, описывающих изоспиновые состояния отдельных пионов,
можно построить лишь одну скалярную (точнее, псевдоскалярную) изоспиновую в. ф трех-
пионной системы.
Фг=оC*) = ?>,[V2Vj] = ^ki9\,9imi- (I)
Найденная изоспиновая функция антисимметрична относительно перестановки изоспи-
новых переменных любых двух пионов Поэтому она не содержит слагаемого, отвечающего
нахождению всех трех пионов в одинаковом зарядовом состоянии, что и доказывает невоз-
невозможность указанного в условии задачи распада (при сохранении изоспина).
12.39. Частица Д, имеющая изотопический спин Г = 3/2 и зарядовые состояния
Д++, Д+, Д°, Д", отвечающие соответственно значениям +3/2, +1/2, -1/2, -3/2
проекции У) изоспина, распадается на пион и нуклон: Д —»7гГМ.
Указать возможные каналы распада для различных зарядовых состояний части-
частицы Д и найти соотношения между вероятностями распада по этим каналам.
Решение. 1) Распады частиц Д'+, Д" происходят по одному зарядовому каналу, а распады
частиц Д+, Д°, — по двум:
Д++->я-+р, Д--.тГп,
'"' щ' Д0-./*Г Р' *"" ^
Р. Щ, ~~* I т°п, ш2.
Заметим, что в силу изотопической инвариантности вероятности распада в единицу времени
для всех частиц одного и того же изомультиплета одинаковы "' Также одинаковы и относи-
относительные вероятности различных каналов распадов, являющихся зеркальным отражением друг
друо it изопространстве (как, например, распады Д* —» w+n и Д° —» т"р)
Для расчета относительных вероятностей распадов ш|2 частиц Д+, Д° заметим, что они
определяются вероятностями реализации соответствующих зарядовых состояний irN-системы
с учетом того, что она находится в изотопическом состоянии с Т = 3/2 и Зз = ±1/2.
Изоспиновая в ф. jrN-системы, образующейся при распаде Д+, имеет вид
*T=VJ.r,=i/2 = C,|jrf n) + CjlVp) = C,iM*№-i/j(N) + C3<M*M/2(N),
где 0[j(t(N)) являются нормированными изоспиновыми в. ф пиона (нуклона) в состоянии
с определенным значением ?3-компоненты изоспина. При этом величины |С||2 и |Cj|2 опреде-
определяют вероятности различных зарядовых состояний (тг^п и 7г°р, соответственно) тгЫ-системы,
а тем самым и вероятности распада Д по различным каналам: w, = |C:|2 и w2 = |C2|2 Имея
в виду аналогию свойств момента и изоспина, замечаем, что Ci,j представляют фактически
соответствующие коэффициенты Клебша—Гордана и легко могут быть найдены по известным
формулам для этих коэффициентов. Впрочем, их значения С> = \/-/3 и С;= ^/2/3 были
получены в 5.18. Отсюда следуют искомые соотношения
Одним из следстний нарушения изотопической симметрии иилнстся различие масс частиц данного
изомультиплета Это отражается на энерговыдслении в распаде и в случае сравнительно малой его
величины может существенно отразиться на соотношениях между вероятностями распадов по различным
каналам.

138 Глава 12. Атомное ядро
2) Приисдем еще дна способа расчета вероятностей, не требующие предварительного
вычисления коэффициентов С^.
Первый из них оснонан на наглядных физических соображениях. Рассмотрим изотопиче-
ски неполяризованный «пучок» частиц Д, в котором вес зарядовые состояния Д представлены
в одинаковом количестве No. Среди продуктов распада — пионов и нуклонов — различные
зарядовые состояния будут представлены в следующем количестве.
Из физических соображений представляется очевидным, что «пучок» распадных пионов
в изопространстве также будет неполярнзованным и различные зарядовые состояния пиона
будут представлены в нем одинаково: W(irf) = N(n~) = /*/(т°). Отсюда находим wt = 1/3
и приходим к соотношению B).
Отметим, что при этом «пучок» распадных нуклонов, естественно, также является
неполяризованным, т.е. N(p) = N(n)
Второй способ основан на использовании соотношения C) из 12.37. Получить резуль-
результат B) таким образом читателю предлагается самостоятельно, см. 12.36.
12.40. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы N*, имеющей изоспин Т = I/2,
зарядовые состояния N*+ (Гз = 1/2), N*0 (Тз = —1/2), и распадающейся на пион
и нуклон: N" —»irN.
Решение. Поступая как и в предыдущей задаче, находим
12.41. Показать, что
do-(p-ip-> d + 7r+) _
где da — дифференциальные сечения соответствующих реакций, взятые при одних
и тех же относительных энергиях, углах разлета и взаимных ориентациях спинов.
Решение. Поскольку изосиины Тл = О, ТТ = I, то конечные состояния обеих рассма-
рассматриваемых реакций являются различными изоспиновыми состояниями одной и той же
физической системы «пион + дейтрон» с изоспином Т = I, отличающимися лишь зна-
значением Т3-компоненты изоспина. В силу сохранения изоспина рассматриваемые реакции
происходят лишь в состояниях начальной нуклон-нуклонной системы с Т= I. При этом
и реакции рр —» d7r+ оба нуклона находятся как раз в требуемом изотопическом состоя-
состоянии с Т — I (и Т) = !), в то время как в реакции рп —» dn° требуемое изотопическое
состояние системы нуклонов с Т = I и Tj = 0 представлено лишь с вероятностью 1/2. С та-
такой же вероятностью представлено состояние нуклон-нуклонной системы с изоспином Т = О
(эти утверждения являются непосредственным следствием аналогии свойств момента (спина)
и изоспина).
По условию отбора сечений обе реакции совершенно одинаковы в смысле координатных
и спиновых степеней свободы, так что в силу изотопической инвариантности отношение их
сечений равно отношению вероятностей необходимого изотопического состояния с Т = I
в начальных состояниях, т. е 2, что и требовалось доказать
12.42. Показать, что
= 2,
> d + p + ir°)
где смысл da такой же, что и в предыдущей задаче.

§3. Изотопическая инвариантность 139
Решение. Так как То = О, то в смысле изоспина дейтрон в рассматриваемых реакциях играет
роль «катализатора» в процессе «диссоциации» протона на нуклон и пион:
•N
и
В начальной стадии процесса Т = 1/2, Гз = '/2 и в силу сохранения изоспина такие же
значения Г и Г) имеет jrN-система в конечном состоянии По условию отбора сечений
обе рассматриваемые реакции совершенно одинаковы в смысле координатных и спиновых
степеней свободы, так что в силу изотопической инвариантности отношение их сечений равно
отношению «весов» зарядовых состояний тг+п и тг°р в пион-нуклонной системе с Т = 1/2
к Г) = 1/2 Последнее отношение равно 2 (сравнить с 12.40 и 12.36), что и доказывает
утверждение задачи.
12.43. Предполагая, что рассеяние пионов нуклонами (в некотором энергетическом
интервале) происходит главным образом через промежуточные состояния irN-системы
с полным изотопическим спином Т = 3/2 (так что при этом взаимодействие в состоянии
Т — 1/2 пренебрежимо мало), найти при одинаковых относительных энергиях, углах
разлета и ориентациях спинов соотношения между дифференциальными сечениями
следующих трех реакций:
@
(II)
(III)
Решение Поскольку по условию рассматриваемые реакции идут только через состояние
с изоспином Т = 3/2 и совершенно одинаковы в смысле координатных и спиновых степеней
свободы, то их сечения пропорциональны вероятностям («весам») требуемого изотопического
состояния сГ= 3/2 как в начальных, так и в конечных состояниях пион-нуклонной системы
(I)
Требуемые вероятности были вычислены в 12 36 (см. также 12.39) а равны: 1 — для я"+р-,
2/3 — для jr°n- и 1/3 — для яг~р-систем Отсюда непосредственно следует соотношение
B)
7Г+
ж~
+ р->
+ р-
+ р-
т+ + р,
7Г° + П,
я-'+р.
между сечениями рассматриваемых реакций (заметим, что доминирующая роль взаимодей-
взаимодействия с Т = 3/2 в 7гг-1-системе проявляется в окрестности Д-резонанса).
12.44. Основываясь на зарядовой симметрии нуклон-нуклонных и пион-нуклонных
взаимодействий, найти соотношение между дифференциальными сечениями процессов
П + р —> р + Р +1Г~, П + р —» П + П +7Г+.
Решение Реакции
являются «зеркальным» отражением лру| друга в изопространстве. Поэтому в силу изотопи-
изотопической инвариантности дифференциальные сечения этих реакций при одинаковых импульсах
и спинах соответствующих «зеркальных» частиц (р и п, -а* и jr") совпадают. Подчеркнем, что
замена частиц их «зеркальными" изотопическими партнерами должна производиться на обеих
стадиях процесса — начальной и конечной. Это означает, что импульсные и спиновые ха-
характеристики протона и нейтрона в начальных состояниях рассматриваемых реакций должны
быть взаимно заменены.

Глава 13
Столкновения частиц
I) Исследование рассеяния частиц с импульсом р0 = Лко потенциалом U(r)
связано с решением уравнения Шрёдингера
имеющим следующую асимптотику на больших расстояниях'*:
к — волновой вектор рассеянной частицы (к = fco = у2т?/Л2 )• При этом ампли-
амплитуда рассеяния /(к, ко) определяет дифференциальное сечение рассеяния da/dSl =
|/(к,ко)|2, а интегрирование его по углам дает полное сечение рассеяния а =
/|/(k,ko)l2<«V
Воспользовавшись функцией Грина свободной частицы
уравнение (XIII.I) вместе с граничным условием (XIII.2) можно записать в виде
интегрального уравнения
,.*|r-V|
—— 17(г')Ф+(г') dV'. (XIII.4)
Отсюда, в частности, следует выражение для амплитуды рассеяния непосредственно
через волновую функцию в области действия потенциала
/(к, ко) = -— J e-krtf(r)«r) dV, (XI 11.5)
удобное для различных приближенных вычислений.
Так, при Ф^ = е|к°г из (XIII.5) следует приближение Борна для амплитуды
рассеяния
= J e-vU(r)dV. (XM1.6)
Здесь q = k-ко определяет изменение импульса частицы h<\ = р - ро при рассеянии,
при этом q = 2fcsin (в/2), a 9 —угол рассеяния. Это выражение представляет первый
''При этом предполагается, что потенциал убывает быстрее, чем ос 1/г; в противном случае
как падающая, так и рассеянная волны искажаются на больших расстояниях (сравнить с рассеянием
на кулоновском потенциале)

Столкновения частиц 141
член разложения амплитуды по степеням потенциала (кратности) взаимодействия.
Условием его применимости является выполнение хотя бы одного из неравенств:
h2 hv
где Uo и R — характерная величина потенциала и его радиус.
При рассеянии в центральном потенциале амплитуда рассеяния зависит лишь
от энергии Е и полярного угла в (нет азимутальной асимметрии), а в борновском
приближении — лишь от величины hq передаваемого импульса. При этом (XI 11.6)
можно преобразовать к виду
f»(<l) = -~]u(r)^f-r*r. (Х.И.8)
о
2) В случае центрального потенциала для амплитуды рассеяния справедливо
разложение по парциальным волнам:
s«), W = ^r^=,,, ' tV (XIII9)
;=0 ¦"*- *ЧС18 Oi - г)
где фазовые сдвиги 6i(k) связаны с асимптотикой на больших расстояниях радиальной
волновой функции гЯы ~ С sin (kr - ttI/2 + 6/), отвечающей моменту I частицы.
При этом полное сечение рассеяния
о- = Х>ь <r1 = ^BHl)sin25, = тт Bf-+- I)(ctg2<5, + l). (XIII.10)
Из сопоставления (XIII.10) и (XIII.9) следует соотношение — оптическая теорема11:
Im f(E, в = 0) = — а(Е). (Xlll.ll)
Приведем приближенные формулы для фазовых сдвигов. В борновском при-
приближении (при этом \6f\ < I)
о
В квазиклассическом приближении (г0 — точка поворота)
(X1II.I3)
причем в случае \U(r)\ < Е это выражение упрощается:
uV*2-0+i/2Or2
••о
2* Это соотношение носит общий характер Оно справедливо и для рассеяния составных частиц, когда
возможны неупругие процессы. При этом под а(Е) следует понимать полное сечение столкновения,
а под /(?,0), амплитуду упругою рассеянии на угол в = 0 (без изменения внутренних состояний
сталкивающихся части и).

142 Глава 13. Столкновения частиц
3) При рассеянии медленных частиц, kR <g, I, в случае достаточно быстрого
убывания потенциала (см 13.28-30) справедливо разложение эффективного радиуса
fc2f+l ctg5, = -- + ^- + ..., (XIII.15)
а, 2
где а/ и Г| называют длиной рассеяния^ и эффективным радиусом взаимодействия
а состоянии с орбитальным моментом I; эти параметры согласно (XIII.9, 10)
определяют низкоэнергетическое рассеяние и соответствующей парциальной волне.
Если в потенциале нет мелкого реального или виртуального (при / = 0) и квази-
квазистационарного (при I -ф 0) уровня, то член с эффективным радиусом выступает как
поправка. В этом случае
<5, «-a,fc2l+l, |а,|<Я!'+| и а, < 4тгB/+ \)(kR)MR2,
так что доминирующий вклад в сечение вносит рассеяние в s-состоянии.
При наличии в потенциале мелкого уровня с энергией |JE|| <C h2/mR2 и момен-
моментом I рассеяние в соответствующей парциальной волне имеет резкую энергетичес-
энергетическую зависимость, а величина crt(E) значительно превышает нерезонанснос значение.
В случае существования мелкого s-уровня имеем |an| >Л и
<r(E) «aUS)* —1±^
т Е + ?о
где |J?ol = Со = fi2«o/2m. а *Ь определяется соотношением4' Хп = 1/ао + о
При uq > 0 также хц > 0, и ео определяет энергию связи реального уровня
дискретного спектра; при ао < 0 уровень — виртуальный.
Для резонансного рассеяния с моментом I Ф 0 характер энергетической за-
зависимости и величина ert(E) существенно зависят от природы уровня (реаль-
(реальный он или квазистационарный). При uj < 0 уровень квазистационарный. Запи-
Записав Ei — Ец — гГл/2 (где Ец и Гд — положение уровня и его ширина, из уравнения
ctg Si(Ei) = г находим51
h2kl Л2 / 2П
ER=—-*« >0 и Г(
2т тпаГ
В этом случае сечение имеет резкую энергетическую зависимость в области энергий,
близких к Er, в которой
4) При рассеянии быстрых частиц, когда выполнены условия kR » I и Е >
|O(г)|, для амплитуды в наиболее существенной области малых углов рассеяния
в < \/kR справедливо выражение
/(ко, Пх) = ?lf[S(P) - "К""' d*P (XIII-18)
3> Подчеркнем, что эти параметры имеют размерность длины лишь дли ( = 0 В общем случае их
размерность' (ad = i"*1, |r(| = ?'"", где ? — размерность длины
4*С учетом (XIII 15) оно следует из условия cigi((E,) = t, определяющего положения полюсов
парциальной амплитуды, х = —lylmE/h1 В случае / = 0 имеем, вообще говоря, г0 ~ R и слагаемое
с эффективным радиусом пыстулает как поправка, при этом ко ~ 1/о0. со %A2/2mtig и гохо « I.
51 В условиях существования мелкого уровня с / Ф 0 эффективный радиус г( < 0, так что, как
и следует, Br, Tr > 0, см. 13 44

Столкновения частиц 143
{приближение эйконала). Здесь qj. — составляющая q в направлении, перпендику-
перпендикулярном импульсу ftko падающих частиц (при этом qLrzqzz кв, q\\ я кв2/2), a
00
J U(p,z)dz.
-оо
Воспользовавшись оптической теоремой, получаем согласно (XIII. 18) полное сече-
сечение рассеяния"
а(Е) = 2 f(\ -cos2 6(p))d2p.
В случае центрального потенциала выражение (XIII.19) для 6(р) совпадает с квази-
квазиклассическим (XIII. 14) при I « кр "Э> 1, а (XIII. 18) можно записать также в виде
со
J(k,e) = ik f(\ -e2tHl>))j0(kpe)pdp, (XII 1.21)
О
где Jo(z) — функция Бесселя.
5) При столкновении частиц с отличными от нуля спинами и с зависящим
от спина взаимодействием амплитуда рассеяния является уже матрицей / — опе-
оператором в пространстве спиновых состояний. Ее матричные элементы x'jfXi опре-
определяют амплитуду рассеяния из начального спинового состояния, описываемого
спиновой функцией Хг> в конечное состояние, описываемое функцией %]¦ При
рассеянии частицы со спином s = 1/2 на бесспиновой частице и при сохраняющем
четность взаимодействии7) '
[ (ХИ1.22)
Дифференциальное сечение рассеяния, просуммированное по различным спиновым
состояниям рассеянной частицы
%- = |Л|2 + |В|2 + 2 lm (АВ>Р0, (XIII.23)
ail
где Ро = 2x*?^t — вектор поляризации частиц в начальном (до столкновения)
состоянии. Поляризационное состояние рассеянных частиц зависит как от взаимо-
взаимодействия в системе, так и от начальной поляризации Ро- Если до столкновения
частицы были не поляризованы, Ро = 0, то после рассеяния вектор поляризации
Приведем также разложение амплитуды (XIII.22) по парциальным волнам-
I »
'°° (XI 11.25)
В = — У~)(схр {2t 6?} - exp {2i <5,"}) sin 0P,'(cos в),
6)Для справедливости этого соотношения досгато'шо выполнения лишь одного условия. kR S> I,
см. 13.51.
'* Обращаем внимание на оыделение перед В множителя г по сравнению с формулой A404) из (I].

144 Глава 13. Столкновения частиц
здесь 6f — фазовые сдвиги (в радиальных волновых функциях) для состояний
с определенными значениями орбитального момента / и полного момента j — idbl/2.
6) Амплитуды процессов столкновения обладают определенными аналитичес-
аналитическими и унитарными свойстпами. В частности для амплитуды рассеяния в потенциа-
потенциале U(r) справедливо условие унитарности8':
/(к, ко) - /'(ко, к) = ~ J /(к', ко)/'(к', Ю dSi (XI1I.26)
(при к = ко оно воспроизводит оптическую теорему).
Отражением аналитических свойств амплитуд являются дисперсионные соотно-
соотношения или них. Наиболее простыми аналитическими свойствами обладает амплитуда
рассеяния на угол в = 0 в центральном потенциале, рассматриваемая как функция
энергии" в комплексной плоскости Е. Она удовлетворяет (на физическом листе)
дисперсионному соотношению вида
f(E,0) = /»@) + ? ^~ + I
71 "о
Здесь /в@) — борновская амплитуда, см. (Х111.6); суммирование ведется по всем
уровням дискретного спектра, существующим в потенциале, при этом вычет в соот-
соответствующем полюсе
определяется нормировочным коэффициентом в асимптотике на больших расстоя-
расстояниях радиальной функции связанного состояния, гЛ„ & Antxp{-xnr}, с момен-
моментом 1„, сравнить с (XI.5).
§ 1. Борновское приближение
13.1. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния и полное сечение
рассеяния частиц в указанных ниже полях:
a) U{t) = - e~r/R; б) U(r) = a 6(r - R); в) U(r) = Uoe~r'R;
г) U(г) = ?; д) V(r) = | ^Ol l>%. e) U(r) = иое-г''п\
Исследовать предельные случаи медленных и быстрых частиц. Указать условия
применимости результатов.
Решение Вычисления амплитуды рассеяния в борновском приближении по формулам (XIII. 6,
8) и полного сечения рассеяния согласно
О О
(g = 2fc sin (в/2)) приводят к следующим результатам.
*' Оно является следствием унитарности S-матрицы Такой же нил имеет условие унитарности и для
рассенкии составных частиц, но лишь при таких значенных энергии, при которых невозможны неупругие
процессы (*упругая» унитарность)
''Она имеет следующие особые точки Е = 0и? = со— точки ветвления и полюсы ?„ на веще-
вещественной полуоси Е < 0. совпадающие с положением дискретных уровней частицы.

§1. Борновское приближение 145
а) f .-
При конечном значении Д сечение рассеяния имеет также конечную величину. Однако
при Л -» оо рассматриваемый короткодействующий потенциал Юкавы переходит в даль-
нодействуюший кулоновский потенциал U = а/г. При этом дифференциальное сечение
da/du = 4m2a2/h4q* описывается формулой Резерфорда, а полное сечение рассеяния —
бесконечно.
imatfOnqR _ 4,гта2Д2 Г sin^x
' 7 ~ П2 qR ' ( > " Д'В У * ( '
о
В предельных случаях отсюда имеем:
ss i-j '—, (т(Е) «
In
j, (т(Е) « = In г—
Д" ' v ' е-* h*E ft2
(при Е —¦ со интеграл к C) расходится; дли иычисления его расходящейся части следует
заменить осциллирующий множитель sin 2x средним значением, равным 1/2).
e)f-—} --у- ) <r{E)= " " 1 : — . D)
Полное сечение рассеяния бесконечно, что связано с достаточно медленным убыванием
потенциала на больших расстояниях; о рассеянии на потенциале U = а/г2 см. 13.19
1 -
В предельных случаях имеем
(случай Е —• оо см. также в 13.2).
^од^ ,я! <T№) = IW^(,_e). G)
' 2Л2 4Л2В V ' W
Ввиду экспоненциального убывания f(q) борновское приближение неприменимо при доста-
достаточно больших значениях q2 (см. 13.13) Соогветстиенно и учет в выражении для а(Е) при
больших значениях Е экспоненциально малого слагаемого является превышением точности
13.2. Показать, что при больших энергиях частицы, kR 3> I, полное сечение рассея-
рассеяния в потенциале U(r) в борновском приближении описывается выражением'"'
(импульс частицы до рассеяния направлен вдоль оси z; p — двумерный радиус-вектор
в перпендикулярной ей плоскости).
|0) В связи с данной задачей см также 13 14, 13.51, 13 52

146 Глава 13. Столкновения частиц
Применить полученный результат к полю U{r) = Щ ехр {-г2/Л2} и к прямоуголь-
прямоугольной потенциальной яме (барьеру) глубиной Щ и радиусом R; сравнить с 13.1.
Показать также, что в этом случае транспортное сечение рассеяния имеет
асимптотическое поведение
-со
Указать условия применимости полученных результатов.
Решение. I) В борновском приближении амплитуда рассеяния /o(q), см (XIII.6), как и фу-
рье-компонента потенциала C/(q),
т Г
/B(q) = - —I U(q), CT(q) = / е-*17(г) dV
существенно отлична от нуля лишь при qR ? I (Д — радиус потенциала), так как при qR 2> I
интеграл мал из-за быстрых осцилляции подынтегральной функции, связанных с множите-
множителем е~"*. Так как q2 = 2fc2(l -COS0), то из условий kR » I и qR < I следует известный факт,
что рассеяние быстрых частиц происходит в основном под малыми углами в ~ \/kR < I,
при этом q ~ кв ~ Д.
Для дальнейших преобразований разложим
вектор q на две составляющие: q = qy + qi, где
вектор qn направлен вдоль ко (импульса частицы
до рассеяния), aqxl к0, рис.9. При в < I имеем
о, = fc(l - cos в) я - квг, q± = к sin в а кв,
2 Рис.9
?ц. При этом q я
= Jjj
, z) dz d'p. C)
Далее, величина *2dft (dfi — элемент телесного угла, заключающий направления
импульсов рассеянных частиц) представляет элемент площади сферы радиуса к. Часть сферы
иблизи полярной оси, напракленной вдоль kg, можно рассматривать как плоскую поверхность,
перпендикулярную ко, и поэтому k2du = dS = dqxxdqxv = сI qx. Соответственно
= J |
2 du «
//¦
Воспользовавшись здесь выражением C), имеем
а(Е) = —^j— fj\ ffje'"l''U(p,z)dzd2p\\ fffe'fi'''u(p',z')dz'(
После выполнения интефирования по qx
ехр {-tfll(p - р')} d2qL = B*J6(р - р') D)
благодаря й-функции сразу можно проинте1риропать по р' и получить асимптотическое
поведение сечения рассеяния
<т(Е) = —j-
?--^ 2Л
Для потенциалов U = С/оехр{-г2/Я3} и прямоугольной ямы (барьера) по этой формуле
получаем
соответственно, сравнить с 13.1 д, е.

§1. Борновское приближение 147
2) Аналогичным образом можно найти энергетическую зависимость B) при Е -» со
транспортного сечения
ах,(Е) =J(\- cosS) Дг ?х —^ JJ ?it^Dx)|2 Ax- E)
Теперь вместо D) появляется интеграл вида
После несложных преобразований в E) для случая центрального потенциала получаем иско-
искомую асимптотику
-30
Это выражение не содержит постоянной Планка и совпадает с ах, для быстрых частиц,
Е » U, в классической механике, если при вычислении транспортного сечения
воспользоваться известной формулой для рассеяния под малыми углами, см. [26, §20].
Совпадение результата борновского приближения с классическим, на первый взгляд,
может показаться удивительным. На самом деле ничего удивительного в этом нет, так как
такой же результат следует и из квазиклассического эйконального приближения (XMI 18),
сравнить со случаем формулы Резерфорда.
Условие применимости формулы B) предполагает, что дифференциальное сечение
рассеяния при больших переданных импульсах убывает быстрее, чем a q'2, и верхний предел
интегрирования по дг можно положить равным бесконечности
13.3. Получить выражение для амплитуды рассеяния частиц в борновском прибли-
приближении в случае потенциала, имеющего обменный характер"', так что Уоб„Ф(г) =
ЩгЩ-т).
Как амплитуда рассеяния в этом случае связана с амплитудой рассеяния на обыч-
обычном потенциале С/(г)? Каково угловое распределение при рассеянии быстрых частиц?
Решение. Заменив в формулах (XII.4, 5) l/Ф^ на ^„Ф^, Ф^(г) на е'*°' и учтя вид
оператора ?/<*>„, находим
/1,(к„, к) = /°М(Д) = - J!lj J e-*'U(r) dV, (I)
здесь Д = к + 1ц,, при этом Д3 = 2Лс2( 1 + cos в). Таким образом,
где fB(E,6) — амплитуда рассеяния обычным центральным потенциалом U(r). Как видно,
в случае обменного потенциала рассеяние быстрых частиц, kR > 1, происходит в основ-
основном назад, под углами я — в < (kR)~' В связи с рассеянием на обменном потенциале
см. также 13.56.
13.4. Найти дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния быстрых элек-
электронов на атоме водорода, находящемся в основном состоянии, пренебрегая поляри-
поляризацией атома, см. также 13.77.
"'Применительно к задаче двух тел г = ri - г: и такой потенциал описывает взэимодейсшие,
в результате которого происходит перестановка (обмен) чаепш Такое взаимодействие естественным
образом возникает в задачах ядерной физики

148 Глава 13. Столкновения частиц
Решение. В условиях задачи рассеивающий потенциал имеет вид
см. 4.6. Согласно формуле (XII 1.8) получаем
Полное сечение упругого рассеяния (dtl = irk'2 dq1):
T Jilt
здесь учтено, что условие применимости борновского приближения (XIII.7) принимает
нид кав > I. Несколько иной способ расчета сечения, связанный с вычислением форм-
фактора, см. в следующей задаче. В связи с данной задачей см. также 13.77 и 13.78.
13.5. То же, что и в предыдущей задаче, для атома гелия. Волновую функцию атома
выбрать на основании вариационного расчета, выполненного в 11.6.
Решение. В приближении задачи 11.6 средняя плотность электронов в основном состоянии
атома гелия п = ^ е'1'1", где а = aa/Zy^ = 1б/27а8. Вычислив формфактор
J-(q)= /n(r)e-"dV = -
и поспользовавшись известной формулой [1,§ 139]
do 4[Z-F{g)J
находим дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния электрона атомом гелия:
- I ак о. -Ь 12Л о 28ягд
я- Г da j 4тгв
= тч dudg =щ
(fcoB 3> 1; полное сечение отличается от сечения рассеяния атомом водорода множите-
множителем 4A6/27Jя 1,40)
13.6. Найти зависимость от Z сечения упругого рассеяния быстрых электронов
нейтральным атомом cZ>l; воспользоваться моделью Томаса—Ферми.
Решение Взаимодействие рассеиваемого электрона с нейтральным атомом в приближении
Томаса—Ферми и в пренебрежении поляризацией атома имеет вид
^)-
где х(х) — универсальная функция модели Томаса—Ферми, см (XI.3) (используем атом-
атомную систему единиц е = fi = me = I). Амплитуда рассеяния в борновском приближении
описывается выражением

§1. Борновское приближение 149
где новая универсальная (одинаковая для всех атомов) функция Ф(х) равна
B)
о
Отметим, что при х -» со а интеграле B) существенна область лишь малых у вблизи нижнего
х
предела. Учитывая при этом, что х@) = ' и /sinj/dy = 1 (для вычисления интеграла
о
следует ввести «обрезающий» множитель e"ov с а > 0 и в окончательном выражении поло-
положить а = 0), находим Ф(г) »г 2/г2 при х -> со Соответственно при g > Z'/3 согласно (I)
имеем /" я22/д2, что, как и следовало ожидать, описывает амплитуду резерфордопского
рассеяния электрона на атомном ядре, так как при больших переданных импульсах несуще-
несущественно экранирующее действие атомных электронов. При х —> 0 функция Ф(х) принимает
конечное значение.
Формулы (I), B) определяют дифференциальное сечение упругого рассеяния; при этом
полное сечение рассеяния
где С = 7,14 [22].
13.7. Выразить в борновском приближении амплитуду рассеяния на двух одинаковых
силовых центрах, находящихся на расстоянии а друг от друга, так что U(r) =
Gо(г) + Uo(\r - а|), через амплитуду рассеяния /,f (q) на одном центре Uo(r).
Используя полученное соотношение, обсудить связь между дифференциальными
сечениями рассеяния быстрого электрона на атоме и на двухатомной молекуле (из оди-
одинаковых атомов; при этом усреднить полученный результат по различным ориентациям
оси молекулы, считая их равновероятными).
Найти соотношения между сечениями рассеяния на двух и на одном центрах
в случаях:
а) ко, < I (при этом величина kR может быть произвольной, R — радиус
действия сил отдельного центра);
б) kR ~ 1 и о 3> R (т. е. расстояние между центрами много больше радиуса
действия сил отдельного центра).
Решение. Амплитуда рассеяния на двух центрах
"'[С/о(г) + Уо(|г-а|)] dV = /0в(9) [| + «-•], (I)
а дифференциальное сечение рассеяния
der2u = 2( 1 + cos qa) (/<?(д)O du. B)
Возможность применения соотношений A), B) к рассеянию быстрых электронов двух-
двухатомной молекулой (при этом /ов описывает рассеяние на изолированном атоме) связана
с тем, что при образовании молекулы существенно изменяются состояния лишь внешних,
валентных электронов атомов. Поэтому в случае не слишком легких атомов их взаимодействие
с налетающим электроном при этом существенно не изменяется и потении;1Л имеет приве-
приведенный а условии задачи вид, где теперь а определяет расстояние между ядрами молекулы.
Выражение B) следует усреднить по иозможным положениям вектора а. Так как амплитуда
колебаний ядер мала, см. 11.25, то |а| я: const и все сводится к усреднению по ориентациям
а. Для изотропного распределения, dw = dfln/4ir (здесь dfi, — элемент телесного угла,
заключающий направления вектора а = an), находим
1 Г sin ga
cos qa = — / cos qa dil- =
Ait J qa

150 Глава 13. Столкновения частиц
(дли вычисления интеграла удобно направить полярную ось вдоль вектора q) и соответственно
получаем
dcr^, ,Л sin да\ dcr,,
du ~ \ qa ) Аи'
Как видно, соотношение между «атомным» и «молекулярным» сечениями непосредственно
определяется межъядерным расстоянием а (подобные соотношения возникают и в случае
многоатомных молекул, причем и с различными атомами, они лежат в основе дифракционных
методов исследовании молекулярных структур).
Обсудим связь между полными сечениями рассеяния. В случае ка <ЗС I также и qa <? I,
при этом /"„ я: 2/о° и сечение рассеяния на двух центрах в четыре раза больше одноцентрового.
В случае kR <, 1 и a>it имеем ка Э> I, и поэтому величина qa заметно изменяется уже
при небольшом изменении угла рассеяния. Соответственно при интегрировании по углам
выражения B) слагаемое с быстро осциллирующим множителем cosqa даст вклад, много
меньший вклада первого слагаемою, так что н этом случае сечение рассеяния на двух центрах
больше одноцентрового в два раза.
13.8. Обобщить результат предыдущей задачи на случай системы из произвольного
числа N одинаковых центров, расположенных в точках а„, п — I, 2,..., N.
Обсудить характерные особенности углового распределения рассеянных частиц
при упорядоченном расположении большого числа {N ~^> I) центров вдоль прямой
линии с одинаковым расстоянием b между ближайшими соседями.
Решение. В борновском приближении амплитуда рассеяния описывается выражением (срав-
(сравнить с предыдущей задачей)
Подчеркнем, что множитель Gjy(q) зависит только от взаимного расположения центров
и вектора q (но не от вида взаимодействия частицы с отдельным центром).
В случае упорядоченного расположения рассеивающих центров вдоль прямой с ортом j
имеем а„ = Ь(п — l)j; при этом
В случае jV > 1 величина |Gjv(q)| особенно велика при выделенных значениях ц = q, таких,
что|!) 6q,j = 2ns, где s = 0,4:1, ±2,.... Поэтому частицы рассеиваются в основном лишь
о определенных направлениях, для которых
k,,j 2тгз
где р, — угол между векторами к и j (заметим, что qj = kj-k,j). В точках максимума
|G,v|2 = N7. Максимумы очень резкие: их ширина ЛР, ос 1/-//V. Сечение рассеяния в такой
интервал углов ос N Для остальных углов рассеяния |G;v|! ~ I
Отмеченные результаты могут быть наглядно получены на основе следующего преобра-
преобразования выражения для |G/y|3 при N 3> 1. Имея в виду соотношение (см [1,§42|)
lim г— = <5(а)
и разлагая sin (bqj/2) в выражении B) в окрестности векторов q,, находим
-^-~). C)
1!) Офаннчсние на l»!™, определяется импульсом рассеиваемых частиц В случае к < т/6 возможно
только значение з = 0; при этом q = 0, так что когерентное рассеяние отсутствует

§1. Борновское приближение 151
Такой подход допускает простое обобщение и на случай «кристаллического» расположения
рассеивающих центров. В частности, для системы центров $ц„) = П|Ь, + n3b; I- tj3bj с по =
O,l,...,JVe- I имеем"»
exp {-iq.,.,}! = ^^ 52
где JV = NiN^N} — общее число рассеивающих центров,
Т = Л,а, +«2*2+ «3*3, «о = 0, ±1,...,
ai = ~[b2,bj], a2 = ^[bj,b,J, а3 = ^[Ь„Ь,], Д = (Ь„ [Ь,,Ь3])
(при этом а,Ь, = агЬ2 = а3Ь3 - I).
Фигурирующие в выражении D) E-функционные слагаемые определяют направления,
к = ко + 2тгт, упругого рассеяния частицы в кристаллах (условие Вулыра—Врэга).
13.9. В борновском приближении найти амплитуду рассеяния для столкновения
двух протяженных частиц, взаимодействующих друг с другом электростатическим
образом. Частицы считаются протяженными в том смысле, что они характеризуются
некоторым распределением заряда Р\,г(т), предполагающимся сферически симме-
симметричным относительно центра масс соответствующей частицы|4) и не изменяющимся
в процессе столкновения. Выразить амплитуду рассеяния через формфокторы ^1,2(9)
зарядовых плотностей /?|,г(г)-
Решение. В условиях задачи потенциал взаимодействия частиц определяется известной фор-
формулой электростатики
где т— г, — г2, а г|2 — радиусы-векторы центров масс сталкивающихся частиц. Имея в виду
соотношение
'dV 4» ,„,,._,
|г+г,-г2|
согласно формуле (XIII.6) получаем
(m — приведенная масса частиц), здесь
являются формфакторами соответствующих распределений электростатического заряда При
q = 0 имеем Р|г@) = e,i7 — заряды частиц. Ряд свойств формфакторов составных частиц
рассмотрен в задачах 13.80 и 13.84.
13.10. Получить выражение члена тг-го порядка ряда теории возмущений для ампли-
амплитуды рассеяния частицы в потенциале U(r).
"' При этом использовано соотношение
з ,
м' Неточсчность распределения заряда указывает на составной характер сталкивающихся части»
(сравнить, например, с I3.4). Так как, однако, изменением их внутренних состояний в процессе
столкновения пренебрегаете», то задача сводится к обычной задаче рассеяния двух таг В связи с данной
задачей см также I3.8O

152 Глава 13. Столкновения частиц
Указание Предварительно получить согласно (XIII.5, 4) интегральное уравнение для ампли-
амплитуды рассеянии {уравнениеЛиппмана— Швингеро).
Решение. Подставив в формулу (XIII 5) выражение (XIII.4) и воспользовавшись импульсным
представлением для функции Грина свободной частицы
et*o|r-r'l | <• gix(r-i')
lr-гЧ = 2тг2 J H2-kl-iedK
(е > О, ? —» 0), приходим к уравнению Липпмана—Швингера
3H
Подчеркнем, что для реального упругого рассеяния к1 = к% = 2тЕ/Н7. Уравнение же (I)
связывает амплитуды и при значениях к2 Ф к\ (как говорят в таких случаях, вне энер-
энергетической поверхности; «выход» с энергетической поверхности осуществляется согласно
формуле (XIII 5)).
С помощью уравнения (I) легко установить рекуррентное соотношение для членов
разложения, /(к, ко) = ? /(п), амплитуды по степеням кратности взаимодействия и получить
п
для них явные выражения (q = к - к0):
/(l'(k,ko) = /B(q) = -jl/(q), U(<\) =
/ m \" f /• rr/V/ _« .\/*J>/ . Til-*. _i».wl>/. ' '
(о приложениях полученных результатов см. 13.15 и 13.50).
13.11. В борновском приближении амплитуда рассеяния вперед (на угол 9 = 0) явля-
является вещественной величиной и поэтому не удовлетворяет оптической теореме (XIII. 11).
Почему это обстоятельство не противоречит успешному описанию дифференциально-
дифференциального и полного сечений рассеяния в рамках борновского приближения в условиях его
применимости?
Написать выражение для амплитуды рассеяния во втором порядке теории возму-
возмущений. Найти Im f^(E, в = 0) и объяснить полученный результат.
Решение. Борнонское приближение является первым, линейным членом разложении ампли-
амплитуды рассеяния в ряд по степеням кратности взаимодействии (точнее, по одному из параме-
параметров, приведенных в (XIII.7)). Подобное разложение для сечения рассеяния начинается с чле-
членов второго порядка малости, так как а ос /|2 Поэтому в соотношении 4jr Im f(E, 0) = ка(Е)
в лепой части, как и в правой, не должно быть линейного по потенциалу слагаемого. Отсюда
с необходимостью следует, что Im fR@ = 0) = 0.
Во втором порядке теории возмущений амплитуда рассеяния описывается выражени-
выражением B) из предыдущей задачи. В частности, для рассеяния вперед (в = 0, к = ко) оно дает
(здесь учтено, что f/(q) = U'(~q)). Отсюда следует

§ 1 Борновское приближение 153
Замечая, что15' е/ж(х2 + е2) = 6(х) (при бесконечно малом е > 0), и записав х — хп,
d3x = \хdx2 <Шп, выражение B) легко преобразовать к виду
It" Ako, ко) = -?^s JJ №*п ~ Ь>)\2>F(х2 ~ kl) <*k2 d&* =
м ~ko)|2 du^vJ I/B(k - k°>l2 du"
или Im/B)(?, 9 = 0) = A<rB(?)/47r, что выражает оптическую теорему во втором порядке
теории возмущений.
13.12. Найти во втором порядке теории возмущений амплитуду рассеяния на потен-
потенциале Юкавы U(t) = S е"г/л. Сравнить /С и /<2) для различных значений энергии
и угла рассеяния.
Решение. Для потенциала Юкавы
и согласно формуле B) из 13.10 во втором порядке теории возмущений имеем
,2) 2тУЯ* Гd\
Восиользопаишись здесь соотношением (А2 =
= Г
J {]
0 -Ok]}2'
в выражении B) легко выполнить интегрирование по углам (<Рк — х2 dx du) и получить
х2
C)
О -00
где
К = {(I + *2Л2 4-х2 Л2J - 4х2Л'[*2 - 5A -О?'] }"' D)
и, с учетом четности подынтегральной функции, интегрирование по переменной х распро-
распространено на нею ось.
Выражение D) для К удобно преобразовать к виду
К .
(хД - О|)(хЛ - a-i)(xR - л3)(хЛ - Qt)
Эта функция, рассматриваемая какфункиия комплексного переменного х, является (как и по-
подынтегральное выражение в формуле C) в целом) мероморфной и имеет только простые полюсы
в точках х„ = an/R, при этом
а, = о = yW - {(I - yj
(так как 0 $ { ^ I и q2 < 4fcJ, то оба радикала здесь вещественны и положительны) и а2 = а',
ct} = —а, а4 = —а".
Теперь в выражении C) легко выполнить интегрирование по х с помощью вычетов,
замыкая контур интегрирования в верхнюю полуплоскость комплексного переменного х.
|5'Действительно, эта функция отлична от нули лишь при \х\ < \fl — 0, а интеграл от нее
в бесконечных пределах равен единице, как и требуется лли ^-функции.

154
Глава 13. Столкновения частиц
-kR-k
a-,
«2
Рис. 10
Расположение полюсов показано на рис 10. Вклад в интеграл
выражения C) от полюса в точке х = к + хс составляет
Эта часть интеграла — чисто мнимая. Суммарный же вклад
полюсов, расположенных в точках н = at/R и х = .
является вещественным и равен
. . if
92*2?(l-O [I + 4*2Я2(|
Наконец, выполняя интегрирование по переменной { в формуле
приходим к окончательному выражению для амплитуды рассеяния на потенциале Юкавы
во втором порядке теории возмущений:
A*) it, ъ \
2т2а2Я' f 2arctg(g?/2,/A(*,g))
Обсудим некоторые следствия полученных результатов. Прежде всего отметим, что,
вычислив мнимую часть амплитуды второго порядка теории возмущений при 6 — 0 (при этом
также и q = 0) и воспользовавшись оптической теоремой (XIII II), можно найти полное сече-
сечение рассеяния в борновском приближении. Получающийся результат совпадает, естественно,
с вычислением сечения по формуле сц = /(/BJdfl, см. 13.1 а).
Интересно сравнить lm/<2) и Re/B) друге другом и с амплитудой первого приближения
при различных значениях энергии и угла рассеяния. В случае медленных частиц, когда АЯ< I,
согласно выражениям (S) и A) получаем
Im/'2'
/<2>
mcR
Имея в виду оптическую теорему, можно заключить, что малость отношения Im/(J>/ Re/B)
(при kR < I) является общим результатом для достаточно произвольных короткодействующих
потенциалов. Малость же отношения /B)//"' предполагает выполнение условия тогЯ/Л2 <? I,
обеспечивающего применимость борновского приближения, см. (XIII 7) (для потенциала
Юкавы Щ ~ а/Я). Приведенные оценки сохраняются и для частиц «умеренной» энергии,
А:Я ~ I; теперь Im /B) и Re /B> являются величинами одного порядка при произвольном угле
рассеяния.
Рассмотрим случай быстрых частиц, kR > I. При малых углах рассеяния, когда qR ^ 1
(эта область вносит доминирующий вклад о полное сечение рассеяния), находим
-ЛЯ» I,
Re /">
Малость Re/(!) по сравнению с Im/B) является общим результатом (см. 13.14) а условие
1/(г>//AI "К '. как и следовало ожидать, предполагает выполнение условия применимости
борновского приближения для быстрых частиц — rvroporo из условий (XIII.7). Приведенные
оценки сохраняются и при увеличении значения qR (при этом проявляются характерные
для юкавского потенциала, как потенциала со степенным убыванием U(q) при q — со,
закономерности; сравнить с результатом следующей задачи).

§1. Борновское приближение 155
13.13. Найти во втором порядке теории возмущений амплитуду рассеяния в потен-
потенциале U(г) = Uoe~r /л при больших передаваемых импульсах, qR *5> 1. Сравнить
вещественную и мнимую части /'2' друг с другом и с борновской амплитудой.
Решение. Фурье-компонента потенциала
= f Уоехр {-н)г- ^| dV = тг3/2с;0Л3е-'!я!/4
и согласно формуле B) из 13.10 амплитуда рассеяния во втором порядке теории возмущений
описывается выражением
Г
У
К '
Доминирующую роль в интеграле играет область значений н, в которой \х - (к + ko)/2|R < I
(вне этой области подынтегральная функция экспоненциально мала). При высоких энергиях,
kR > 1, и больших переданных импульсах, qR > I, в этой области знаменатель подынте-
подынтегральной функции и выражении A) изменяется незначительно и его можно вынести за знак
интеграла в точке у = к + ко/2 После этого простое интегрирование дает (fc3 = kl):
B)
В этом приближении амплитуда /'2' — вещественная функция. Ее мнимую часть согласно A)
легко найти в общем случае, если заметить, что
(сравнить с 13.11). Записав d3x = xdx2dCl/2 и интегрируя сначала по х2, а затем
по углам (выбрав полярную ось вдоль вектора к + ко), находим
<2du =
C)
/
(заметим, что |к + ко| = D*2 - ?2)).
При больших энергиях, kR Э- I, и малых углах рассеяния, когда qR <, I, амплитуда
второго порядка определяется в основном мнимой частью C), как это следует из 13 14
(формула B) при qR < I неприменима). При больших же изменениях импупьса, наоборот,
доминирующей является вещественная часть амплитуды /B). Более того, так как
Re/B)oce""«1/?'/s, a f) = fa<xU(q)<xe">'Rl'\
то при достаточно больших значениях qR будет | Re/B)| > |/"|, что указывает на непри-
неприменимость борновского приближения независимо от величины параметра Uo, характеризую-
характеризующего силу взаимодействия16'. Подчеркнем, что отмеченные закономерности характерны для
потенциалов с экспоненциальным убыванием фурье-компоненты U(q) <х ехр {-aqn} с n ^ I
при q -» оо (сравнить с 8.29, а также со случаем степенного убывания U(q), рассмотренным
в предыдущей задаче).
"' Это относится к Большим значениям qR (вклад которых в полное сечение рассеянии мал).

156 Глава 13. Столкновения частиц
В заключение отметим, чтос помощью формулы C) и оптической теоремы (Ж 111.11) мож-
можно найти сечение рассеяния в борновском приближении; результат, естественно, совпадает
с вычислением его по формуле cj = J*(/BJdfl (см. 13.1е).
13.14. Показать, что амплитуда рассеяния второго приближения теории возмущений
при больших энергиях, kR > 1, и передаваемых импульсах"' qR < I описывается
выражением
{R — радиус потенциала). Применить полученный результат к потенциалу U(r) =
f/oe~r '* и сравнить с 13.13.
Решение. Во втором порядке теории возмущений амплитуда рассеяния описывается выраже-
выражением
(см. 13.10) При большой энергии, М>1,и малом угле рассеяния, когда qR < I, как видно
из (I), вектор к, как и к, «близок» к ко. Запишем эти векторы в виде
к = ко + q = Ajiio + 4i, « = «цПо + *i,
где По = ко/fco. а Чл. Xj. J- no- При этом |q±| a q и Лц = k0 + q\\, % « -<f2/2fco, сравнить
с 13.2. После подстановки явных выражений для фурье-компонент потенциала (через U(r))
интеграл в A) принимает вид
f
•I
,r ^, ^^
Здесь xf| = X|| - fco и в показателе экспоненты опущено слагаемое -tg||*j, так как
1?ц^2| ^ 92ЯАо < 1. Заметим, что члены ряда теории возмущений для амплитуды рас-
рассеяния, см. формулу B) из 13.10, наглядно можно интерпретировать как описывающие
последовательность однократных столкновений частицы с внешним полем, в каждом из ко-
которых происходит соответствующее изменение импульса частицы. В этом смысле радиус-
вектор Г| в приведенном интеграле соответствует точке первого столкновения, после кото-
которого импульс частицы ко становится равным х (после второго столкновения он принимает
конечное значение к).
Замыканием контура в верхнюю полуплоскость комплексной переменной х[| в случае
2; > :,, ив нижнюю полуплоскость при z2 < z, в выражении B) можно выполнить
интегрирование по х\у
J
ехр{-Ц(г, -z2)}dx'n _, ко kiR0 , (з)
Показатели возникающих экспоненциальных сомножителей здесь имеют сущестненно раз-
различные значения. Так как |*о^1,з1 ~ *o-R 3> I, то в случае z, > zi экспонента в C) является
быстро осциллирующей функцией. Это означает, что при последующем интегрировании
' ^га область переданных импульсов вносит доминирующий вклад я полное сечение рассенния. При
этом Iq^i ^ ?( гДе ч*х — перпендикулярная перпоначальному импульсу ко (напрааленному вдоль оси z),
составляющая q. Замешм, что из выражении для /'2) согласно оптической теореие следует результат
Лорновского приближения дли сечения рассеяния, сравнить с 13 2 и 13.11.

§1. Борновское приближение 157
по Z|i2 в выражении B) вклад таких гиг будет малым и им можно пренебречь. Соответствен-
Соответственно выражение C) можно считать ранным
где r)(z) — ступенчатая функция18), а так как характерные значения zK2 <, R и Xj, <¦ R~', то
экспоненту вообще можно заменить на I Появление в выражении D) ступенчатой функции
допускает наглядное объяснение: для быстрых частиц каждое последующее «столкновение»
происходит при все ббльших значениях z (нет рассеяния назад).
Теперь в выражении B) легко выполняется интегрирование по хх, а возникающая при
этом 0-функция 6{р\ - р^) позволяет проинтегрировать и по рг. В результате получаем
Наконец, заменяя здесь нижний предел интегрирования по г2 на —со и вводя при этом коэф-
коэффициент 1/2, приходим к приведенному в условии задачи выражению. Отметим, что для цен-
центрального потенциала оно является чисто мнимым (вещественная часть амплитуды /<2) много
меньше мнимой и в рассматриваемом приближении не возникает, сравнить с 13.12 и 13.13).
Применительно к потенциалу U = Uo exp {-г2/й2} получаем
' 8ft"*0
что совпадает с формулой C) из 13.13 для значений qR <. |.
В заключение заметим, что, положив q = 0 в формуле для /B) и воспользовавшись опти-
оптической теоремой (XIII II), получаем выражение, определяющее в борновском приближении
полное сечение рассеяния и совпадающее с результатом 13.2.
13.15. Из решения уравнения Липпмана—Швингера (см. 13.10) найти амплитуду
рассеяния частицы в случае сепарабельного потенциала, ядро которого имеет вид
U(r, г') = Лх(г)х*(г')- Каково угловое распределение и полное сечение рассеяния?
Решение. Уравнение Липпмана—Швингера ((I) из 13.10) остается справедливым для до-
достаточно произвольного взаимодействия U, если заменить фурье-компоненту потенциа-
потенциала U(k - к') на ядро С(к,к') оператора U в импульсном представлении. Для сепарабельного
потенциала
У(М') = \g(k)g'(k'), g(k) = Je-Vr
и уравнение Липпмана—Швингера принимает вид
Обозначив фигурирующий здесь интеграл через F(ko), имеем
и после подстановки этого выражения в указанный интеграл находим F(k(,) и амплитуду
рассеяния (к — кц):
\+K(k)'
|8' Напомним, что >)(г) = I для г > 0 и tHO = 0 лля г < 0

158 Глава 13. Столкновения частиц
где
' - к' - %е
Одним из характерных свойств ее является независимость от угла рассеяния'", так что
угловое распределение рассеянных частиц оказывается изотропным и полное сечение рассея-
рассеяния <г(Е) = 4*|/|2 (поучительно убедиться 8 совпадении его с результатом вычисления соглас-
согласно оптической теореме). Отметим также предельный случай больших энергий: а(Е) ос \д(к)\*
при Е -» оо.
13.16. Сравнить при Е = О значения точной и борновской амплитуд рассеяния
в потенциале U{r) в случаях:
о) потенциала отталкивания U(r) J} 0;
5) потенциала притяжения, в котором, однако, нет связанных состояний (т. е. по-
потенциальная яма достаточно «мелкая»).
Показать, что борновское приближение в случае а) дает завышенное, а в случае б),
наоборот, заниженное значение сечения рассеяния.
Решение. При Е = 0 имеем
^f (I)
где в. ф. Фо(г) удовлетворяет уравнению (XIII.4)
*о(г) = ' " i / Щг>) \ГТ\ Ыг'] dV'- {2)
Если в потенциале U(r) нет связанных состояний частицы, то волновая функция
при Е = 0 не имеет нулей, и так как Фо(°°) = I, то Фо(г) > 0. При этом, как следует из урав-
уравнения B), для потенциала отталкивания 0 < Фо(г) ^ 1 и согласно A) имеем неравенство
|/в@)| > |/,Оч@)|, т. е борновское приближение дает завышенное значение сечения рассе-
рассеяния. Аналогично в случае потенциала притяжения, U(r) $ 0, получаем |/8@)| < |/гоч@)|,
так что борновское приближение дает заниженное значение сечения рассеяния (в отсутствие
в потенциале связанных состояний). Подчеркнем, что установленные соотношения между
сечениями не предполагают малости потенциала, требуемой для применимости борновского
приближения. В связи с данной задачей см. также 13.69 и 13.70.
13.17. В борновском приближении получить выражение для амплитуды рассеяния
заряженной частицы магнитным полем Ж(х). Убедиться в калибровочной инвариант-
инвариантности полученного результата20'.
Решение. В первом порядке по магнитному полю взаимодействие имеет вид
Подставляя это выражение «формулу (XIII 5) вместо Л7(г) и заменяя в ф *? плоской волной,
получаем амплитуду рассеяния
/(k ^
где A(q) = / e~'vA(r) dV — фурье-компонента векторного потенциала. При калибровочном
преобразовании А(г) изменяется на Vx(r), при этом к A(q) добавляется слагаемое »qxD)-
Однако так как q(k + k0) = 0, то значение /, как и величина дифференциального сечения
рассеяния, не изменяются в согласии с калибровочной инвариантностью.
"' Сравнить с рассеянием на потенциале нулевого радиуса, рассмотренным в 13 20
^ В связи с данной задачей см. также 13 24

§2. Фазовая теория рассеяния 159
§ 2. Фазовая теория рассеяния
13.18. Получить выражение для фазовых сдвигов непосредственно из разложения
по парциальным волнам амплитуды рассеяния в центральном потенциале в борновском
приближении.
Решение. Воспользуемся разложением
singr sin \/2fc2r2 - 2fcV cos в я- .
— = v^2r2-2*Vcos* = ^g
которое следует из теоремы сложения для цилиндрических функций, если заметить, что
(sin z)/z = \/7t/2z Ji/i{z) Подставив его в формулу (XIII.8), получаем борновскую амплитуду
в виде ряда
™ fu(r)[Jl+lll(kr)]2rdr}p,(coS9). (I)
Сравнивая с разложением (XIII.9) амплитуды рассеяния по парциальным волнам, заключаем,
что борновское приближение соответствует случаю малых фаз рассеяния21', \6t(k)\ <g I, когда
Ц^ + О ПГ P'(cos*> B>
Из сопоставления (I) и B) следует известное выражение (XIII. 12) для фазовых сдвигов
в борновском приближении, представляющее первый, линейный по потенциалу член разло-
разложения <5|(fc) (сравнить с задачей к § 126 из [1]).
13.19. Найти фазовые сдвиги в поле U(t) = а/г2, а > 0.
Выполнить суммирование ряда (XIII.9) разложения амплитуды по парциальным
волнам в случаях:
а) та/h2 < 1 при произвольном угле рассеяния;
б) ma/h2 > 1 при достаточно малом угле рассеяния;
в) ma/h2 3> I при рассеянии частиц назад (в — 7г).
Найти в указанных случаях дифференциальное сечение рассеяния и сравнить
его с результатами расчетов в борновском приближении и согласно классической
механике.
Решение. Записав в. ф. ФИга = иц(г)У,т/л/г, имеем для функции «и(г) уравнение (сравнить
с (IV.6))
Решение его, удовлетворяющее граничному условию и@) = 0, есть ul( = CJu{kr), где ./„
функция Бесселя с индексом
_ и 1\г 2"и*
По асимптотике решения при г —* со
2I> Малость всех фазовых сдвигов является необходимым (но не достаточным') условием применимости
борноаского приближения; именно она обеспечивает вещественность амплитуды рассеяния R этом
приближении.

160 Глава 13 Столкновения частиц
находим фазовые сдвиги
Так как 6t не зависит от к, то согласно формуле (XIII 9) амплитуда рассеяния имеет
вид }{к, 9) = F(9)/k, а дифференциальное сечение рассеяния dcr/du <x к'1 ос Е"' Такая же
зависимость от энергии22' (но не от угла рассеяния!) характерна и для дифференциального
сечения рассеяния в классической механике, см. (S).
Рассмотрим некоторые частные случаи, когда удается (приближенно) выполнить сумми-
суммирование ряда (XI 11.9) с фазовыми сдвигами (I).
а) В случае тпог/Л2 <&. I согласно (I) имеем
Л я; г, при этом 16; I <S I, B)
B/+l)ft21
и, разлагая eW| в выражении (XIII.9), получаем

ы 2ft:fcsin(9/2)' V '
что совпадает с результатом борновского приближения, см. 13.1 г). При этом угловая зависи-
зависимость дифференциального сечения
имеет мало общего с результатом классической механики [26]
я-2а(тг - в)
(А
E)
б) В случае ma/h1^ 1 выполнить суммирование ряда по парциальным волнам при про-
произвольном угле рассеяния не удается. Легко, однако, заметить, что для достаточно малых углов
рассеяния сохраняют силу выражения C) и D). Это связано с неограниченным возрастанием
амплитуды рассеяния при 9 -» 0 Так как каждый член ряда (XI 11.9) ограничен, то такая
расходимость амплитуды означает, что в сумме существенно много слагаемых с большими
значениями I (тем большими, чем меньше угол рассеяния). Но при достаточно больших ( по-
прежнему справедливо соотношение B), из которого и вытекают формулы C), D). То обсто-
обстоятельство, что при малых углах рассеяния борновское приближение применимо независимо
от величины параметра та/А2, вполне естественно, в условиях данной задачи при этом суще-
существенны большие расстояния (ввиду расходимости амплитуды), на которых V = a/r2 <S hv/r
и потенциал можно рассматривать как возмущение.
в) Рассмотрим рассеяние частиц назад. Так как
l)P,(cos9) = 4«(l -cose),
221 Для потенциала V = а/г2 зависимость da/du а ?~' как 8 классической, так и в квантовой
механике легко получить из соображений размерности.
331 Для суммирования ряда использована производящая функция полиномов Лежандра (с z = cosB
и г = I):

§2. Фазовая теория рассеяния 161
т.е такая сумма при в Ф 0 равна нулю (см. (I, § I24J) и fl(-l) = (-I)', то ряд (ХП1.9)
принимает вид
F)
В случае ma/ft1 2> I в этой сумме основную роль играют слагаемые с большими
значениями24' I < (гаа/ft2I'4. При этом соседние слагаемые мало отличаются друг от друга
и суммирование можно заменить интегрированием.
С помощью подстановки х = ul1 + 2ma/h1 получаем
При этом дифференциальное сечение рассеяния для в = п совпадает с результатом E) класси-
классической механики. Это замечание справедливо и для области углов рассеяния (расширяющейся
с увеличением а), примыкающих к в = т, см. по этому поводу (I, § 127]
Заметим и заключение, что в случае потенциала притяжения, а < 0, фазовые сдвиги (I)
могут стать комплексными. Формально это соответствует появлению «поглощения» в си-
системе. Причина появления неустойчивости связана с возникновением «падения на центр»,
см. в связи с этим 9.14. Что же касается рассеяния под малыми углами, то оно описывается
формулами C), D) независимо от знака а
13.20. Найти волновую функцию Ф|?(г), амплитуду рассеяния и сечение рассеяния
частицы на потенциале нулевого радиуса (см. 4.10). Каково значение эффективного
радиуса г0?
Решение. Так как потенциал нулевого радиуса оказывает действие на частицу только с мо-
моментом / = 0, то отлична от нуля лишь фаза s-рассеяния 6о(к), я амплитуда рассеяния
не зависит от угла в. При этом асимптотическая форма волновой функции
определяет фактически точное решение у. Ш. для всех г > 0 Сравнивая при г -* 0 разложе-
разложение в. ф.
с граничным условием, задающим потенциал нулевого радиуса, см. 4.10, находим
B)
здесь по = 1/а0; при этом /@) = — а0, так что uq является длиной рассеяния на п. н. р.
Наконец, используя равенство еы — 1 = 2»/(ctg? —:), получаем для фазы s-рассеяния
на п. н.р. соотношение
fcctg«0(*) = --- C)
во
Сравнение его с разложением эффективного радиуса (XIII. 15) показывает, что для рассеяния
на п. н.р. эффективный радиус взаимодействия г0 = 0.
34> При ббльших значениях I слагаемые суммы F) начинают быстро осциллировать и в результате
взаимной компенсации их вкладов соответствующая часть суммы оказывается малой. Заметим, что для
вычисления ряда F), как и предшествующей суммы для ^-функции при в ^ 0, а также и интеграла G) сле-
следует ввести обрезаюшнй множитель типл с' с 7 > 0 и затем в окончательном результате положить 7 = "•
6 г». w>

162 Глава 13. Столкновения частиц
13.21. Восстановить потенциал взаимодействия U(t) по фазе s-рассеяния <5o(fc),
считая ее известной при всех энергиях частицы и предполагая, что \6o(k)\ < I.
Для иллюстрации полученного результата рассмотреть зависимости вида:
ак
а) 50(к) = const; б) 60{к) = ¦ .
Решение. Так как по условию \бц(к)\ <?С I при всех энергиях, то потенциал можно рассматри-
рассматривать как возмущение и воспользоваться выражением (XIII.12) для фазового сдвига s-нолны:
х х
S0(k) = - -^ I U(r) sin 2kr dr = - -^- [ U(г) [ I - cos 2kr] dr. (I)
о о
Умножим обе части равенства A) на (-ftJfc/2m), а затем продифференцируем по к;
в результате получим
. X 3L
г)sm 2fcrdr=- I rU(\r\)e ' dr B)
0
(здесь использовано четное продолжение потенциала, С/(-|г|) = f {|r|), на область отрица-
отрицательных значений г).
Формула B) определяет фурье-компоненту потенциала (точнее, функции rU(\r\)) и по-
позволяет найти сам потенциал с помощью обратного преобразования Фурье:
Так как согласно (I) ^о(^) следует рассматривать как нечетную функцию переменной к
и соответственно 6'0(к) — как четную функцию, то выражение C) принимает пил
2 Х
Щг) = -2!L у яп B*г) ^ [**(*)) Л- D)
о
Рассмотрим приложения этой формулы.
а) В случае 69(к) = const = С (при к > 0) согласно D) получаем
irmr J
о
е"л*
(для вычисления интеграла следует ввести «обрезающий» множитель е"л* с А > 0 и в окон-
окончательном результате положить А = 0).
б) Подставляя [*io(*)] ~ 2afc/(l + 0к*J а формулу C) и вычисляя интеграл с помощью
вычетов, находим
3{7>} •*•¦"¦
Заметим, что условие \бо(к)\ <& I предполагает, что \С\ < I и |а| <S \ffi\ при этом най-
найденные потенциалы (S), F), как и следовало ожидать, удовлетворяют условию применимости,
первому из (XI 11.7), борноиского приближения при любой энергии.
13.22. Получить выражение для фазовых сдвигов в борновском приближении в случае
обменного потенциала (см. 13.3).
Решение. Так как действие оператора Uifa> на волновую функцию состояния с определенным
значением ( момента сводится к умножению ее на (-1)'(/(г), то выражение для фазового
сдвига <5га|((Л) лишь множителем (—1)' отличается от борцовского выражения (XIII.12) для
обычного потенциале U(r).

§2. Фазовая теория рассеяния 163
13.23. Развить фазовую теорию рассеяния в случае двумерного движения частицы
в аксиально-симметричном потенциала U(p).
Каково обобщение оптической теоремы на этот случай?
Решение. Фазовую теорию рассеяния в двумерном случае можно развить в полной аналогии
со случаем центрального поля, рассмотренным в [I, § I23] Имея в виду содержание этого
параграфа, укажем изменения, которые следует внести в соответствующие формулы для
обобщения их на рассматриваемый случай.
Гамильтониан плоского движения и аксиально симметричном поле имеет вин
(I)
а интересующее нас решение уравнения Шрёдингера имеет асимптотику
(поток частиц падает в направлении оси х, при этом х = pcosip). Заметим, что теперь
расходящаяся волна — цилиндрическая (а не сферическая), и поэтому вместо 1/г появляет-
появляется l/v7>- Далее, в двумерном случае амплитуда рассеяния f(k,<p) имеет размерность корня
из длины, а дифференциальное сечение рассеяния da/dip = |/|2 — размерность длины
Наконец, фазовый множитель Vi введен для удобства.
Так как оператор /, = -» д/д<р коммутирует как с гамильтонианом свободного движения,
так и с гамильтонианом A), то плоскую двумерную волну и точную в. ф. Ф^'(Р) удобно
разложить по с. ф Фга = e'mv этого оператора (аналогично разложению по шаровым функциям
в случае центрального потенциала):
в.*,™„ = J2 Amjakp)e'mv, *k+ - ? BmRkm(pVm*. C)
Здесь учтено, что радиальная функция свободного движения с «моментом» m выражается
через функцию Бесселя J,mf(kp), при этом коэффициенты разложения Ат = i1™', см. [33,
с. 987]. Значения коэффициентов Вт определяются из условия, что разность Ч>? - е'1"
содержит на больших расстояниях лишь расходящиеся, с< е'1', волны для каждого члена
суммы no m. Записав асимптотику радиальной функции в виде
находим Вт — е''"Ат В результате для амплитуды рассеяния получаем искомое разложение
по парциальным волнам
L l)e"T E)
Заметим, что фазовый сдвиг 6т не зависит от знака т
Согласно формуле E) полное сечение рассеяния равно
с = / I/I dip = - > sin й,„, F)
о
а оптическая теорема в двумерном случае гласит
G)
!5) Нормировочный множитель в этой функиии и фаза 6т выбраны таким образом, что при 6т = О
асимптотика D) совпадает с асимптотикой функции Бесселя — радиальной функции спобояного
лвиженим
Л"

164 Глава 13. Столкновения частиц
(при этом существенным является отмеченное выше выделение множителя \Д в выраже-
выражении B); в борновском приближении пля двумерного случая, когда |<5т| < I, так введенная
амплитуда согласно E) оказывается вещественной).
13.24. Используя фазовую теорию рассеяния, найти амплитуду и дифференциаль-
дифференциальное сечение рассеяния заряженных частиц в аксиально-симметричном магнитном
поле 2Р(р), направленном вдоль оси z и локализованном на малых расстояниях р < а
около этой оси.
Указание. Ограничиться предельным случаем а — 0, но конечной величины Фо потока
магнитного поля. При этом векторный потенциал удобно выбрать в виде Av = Ф^/2-irp,
А, = А =
в [I. § 131].
Решение. Гамильтониан поперечного движения заряженной частицы в магнитном поле Н± =
(¦р — eA/cJ/2/i для рассматриваемого случая в полярных координат принимает вид24'
где А = еФо/2тгЛс. Так как оператор Н± коммутирует с 1г, то развитая в предыдущей задаче
фазовая теория рассеяния для двумерного случая применима и в данной; теперь, однако,
фазовый сдвиг 6т зависит от знака т. Радиальные функции в рассматриваемой задаче,
как и в случае свободного движения, выражаются через функции Бесселя Jv(kp), но уже
с индексом v = \т - А|. Используя их асимптотику, находим
При этом амплитуда рассеяния (см. формулу E) из предыдущей задачи) оказывается равной
i ж
/(*, V) = ТТ=° ? {eM<"-l~iD - 1} elm". B)
Обозначив через т0 минимальное из значений т, которые еще больше А, и разбив сумму
на дне: со значениями т ^ то и с т ^ т0 — 1, соответственно, находим значения последних
(представляющих суммы геометрических прогрессий), что позволяет получить замкнутые
выражения для амплитуды и дифференциального сечения рассеяния:
, exp {i(mo — 1/2)^?} sinirA da sin 2(еФо/2Ле) _3
пг-г -:-л./-1\' fy ~ 2irfcsin2(v>/2) «.-о*5
Интересной особенностью полученного результата является бесконечное значение пол-
полного сечения рассеяния, т.е. рассеяние частиц происходит даже при сколь угодно большом
прицельном параметре. С точки зрения классической теории это обстоятельство представля-
представляется удивительным' магнитное поле и сила Лоренца отличны от нуля лишь на оси и поэтому
вообще не оказывают никакого влияния на движение частиц! Дело в том, что этот эффект
Ааронова—Бома является чисто квантовым и исчезает при переходе к классической механике
при Л —» 0 также fc"' = h/p —• 0 и рассеяние действительно отсутствует. В квантовой ме-
механике взаимодействие заряженной частицы с магнитным полем характеризуется векторным
потенциалом: именно он входит в гамильтониан2''. В данной задаче, несмотря на то, что вне
оси 54* = 0, векторный потенциал никаким калибровочным преобразованием не может быть
обращен в нуль (/Adi = Фо), а его медленное, а 1/р, убывание на больших расстояниях
объясняет бесконечность сечения рассеяния
26' Свободное движение вдоль поля не представляет интереса Отметим, что при расписывании
гамильтониана учтен вид азимутальной компоненты градиента V^ =в/рд<р
27) См. в связи с этим интересное обсуждение вопроса о «реальности» векторного потенциал» в «ФеИ-
мановских лекииях по физике», т.6, гл IS.

§ 2. Фазовая теория рассеяния 165
13.25. Найти энергетическую зависимость фазовых сдвигов 6t(k) с фиксированным
значением / при к —> оо. Рассмотреть случаи потенциалов, имеющих на малых
расстояниях г —> 0 вид U и а/г" с a) v < 1; б) 1 < v < 2; в) v — I.
Решение. При больших энергиях применимо, вообще говоря, борновское приближение и для
фазовых сдвигов можно воспользоваться выражением (XIII 12). В нем при к —» оо во всей
области интегрирования, исключая узкую область малых значений г, аргумент функции
Бесселя х = кг > 1. Воспользовавшись известной асимптотикой J^(x), получаем
(быстро осциллирующий множитель sin 2(г — тг{/2) заменен его средним значением, рав-
равным 1/2). Этот результат справедлив в случае а), когда rU(r) —* 0 при г —• 0.
Для более сингулярных при г —» 0 потенциалов формула (I) неприменима ввиду расхо-
расходимости в ней интеграла Такай расходимость означает, что теперь область малых г играет
доминирующую роль и в ней нельзя заменять J^x) ее асимптотикой. Разбив область инте-
интегрирования по г в выражении (XI И. 12) на две. от г = 0 до некоторого малого, но конечного Я
и от г = Л до бесконечности, замечаем, что вклад второго из этих интегралов в значение Si,
как и в (I), пропорционален к~]. Доминирующим же является вклад первого из интегралов,
в котором можно положить U = а/г" и, сделав подстановку х = кг, получить
*та Т{у-\)ГA + {3-у)/2) , 2
та „_; 7 J|+i/;(j) dx _ тгта T(v
ft3 J x»-' ~ ft3 2-T»
' B)
1 < v < 2.
Здесь для указанных значений28' v верхний предел интегрирования, равный kR, при к —» оо
заменен на со. При v — I такая замена не оправдана ввиду расходимости интеграла (на верх-
верхнем пределе). Воспользовавшись асимптотикой 7„(г) при х —» со, легко вычислить его
расходящуюся часть и получить
(эта формула имеет логарифмическую точность в соответствии с неопределенностью в значе-
значении R).
Отметим, что установленная различная зависимость от значения v закона убывания 6t(k)
при к —» со отражается на рассеянии частиц с большим изменением их импульса Это связано
с тем, что /в a U(q) при больших значениях q определяется особенностями потенциала U(r)
как функции г. Для сингулярных при г -» 0 потенциалов U » а/г" имеем V ос q"~3 ос к"'у
при q —¦ оо. На величину же полного сечения рассеяния, а ос \/Е, определяемого моментами
1 ~ kR 2> I, такое различие в энергетической зависимости фаз с фиксированным значением I
не влияет.
13.26. Показать, что при больших значениях энергии и момента, когда kR ~ I >• I,
борновское выражение (XIII. 12) для фазового сдвига переходит в квазиклассичес-
квазиклассическое (XIII. 14).
Решение В выражении (XIII.12) при значениях I ~ kR > I (Я — радиус потенииала)
разобъем область интегрирования на две' от г = 0 до г = г0 н (I + 1/2)Д и от г = г0
до г = оо. Во втором из получающихся интегралов воспользуемся приближением тангенсами
^ При v ~ 2 независимость фазового сдвига от к имеет место при любых значениях а и I даже когда
борновское приближение неприменимо, см. 13.19. Значение интеграла в выражении B) см. в C3, с 706]
Отметим также, что для v > 2 борновское приближение неприменимо.

166 Глава 13. Столкновения частиц
для функции Бесселя, т.е. асимптотикой (см.C3, с.977])
2 ,._.*... (|)
При этом v — I + 1/2, a v/ cos/} = kr, так что Kg/3 = fc-y/r2 - г2,. После замены быстро
осциллирующего множителя cos!(...] под интегралом его средним значением, равным 1/2,
получаем
Мы ограничились здесь вкладом в <5,° лишь второго из указанных выше интегралоп, так как
вклад первого пренебрежимо мал. Его малость связана с тем, что при v 2> I функция ./„(г)
быстро (экспоненциально) убывает с уменьшением х от значения х — v. Такое убыва-
убывание 3„(х) — проявление обычного убывания квазиклассической функции в глубь барьера
(в данном случае — центробежного барьера; непосредственно оно видно из аналогичной A)
асимптотики, но уже при х < v).
По форме B) совпадает с известным квазиклассическим выражением (XIII. 14) для
фазового сдвига в случае |С/(г)| < Е (вто зремя как использование борновского приближения
предполагает выполнение более жесткого условия \U{r)\ <? hv/r, при этом |й,в| < I).
Согласно B) зависимость фазового сдвига от 1 и к (в наиболее существенной области
этих параметров) определяется выражением
№=?, <-Ц^. C)
где функция g(s) зависит от конкретного вида потенциала. При этом в условиях применимости
борновского приближения по формуле (XI 11.9), заменяя в ней суммирование по / интегриро-
интегрированием, приходим к известному результату а ос \/Е при Е —» со (для короткодействующих
потенциалов).
§ 3. Низкоэнергетическое рассеяние.
Резонансные явления при рассеянии
13.27. Найти энергетическую зависимость сечения рассеяния а(Е) в поле, спадаю-
спадающем на больших расстояниях по закону U(r) « а/г", г-» со, 2<i/^3 при энергии
частицы Е —* 0.
Решение. Для потенциалов с рассматриваемым поведением на больших расстояниях борцов-
борцовская амплитуда при значениях д — 0 расходится Так как q = 2А sin @/2), то при Е -» 0
и борцовском приближении будет расходиться и полное сечение рассеяния (при этом д — 0 для
всех углов рассеяния). Расходимость сечения рассеяния означает, что в задаче становятся су-
существенными большие расстояния, на которых выполнены условия (XIII.7), так что использо-
использование борновского приближения действительно оправдано При этом согласно (XIII 12) имеем
х
, . 2тпо
(ограничиваясь рассмотрением лишь расходящихся частей амплитуды и полного сечения
рассеяния, вклад конечных расстояний г < R, на которых потенциал не описывается своей
асимптотикой, не обсуждаем).
При v < 3 в выражении (I) можно положить нижний предел интегрирования qR = 0
и получить
f=— С = *та /,ч
' г3""' " ft'r(i/-l)cos(Ti//2)'

§3. Низкоэнергетическое рассеяние 167
воспользовавшись значением интеграла
/sin х , . in/ я- sin (itv/1)
dx = ГB - v) sin — = -—
о
При этом полное сечение рассеяния (дг — 2fc2(l - cos0))
Для случая i/ = 3 заменять нижний предел интегрирования в (I) нулем нельзя из-за
расходимости интеграла. Так как sin х и х при х -> 0, то расходящаяся часть интеграла раина
in(]/qR), так что
2та
/и_1п9Л, D)
а полное сечение рассеяния
а= />dn« /^,n^dfi=i^|n^oo E)
У У ft й
(при вычислении расходящейся, <х \п2к, части сечения можно положить 1пдД ss In АД;
неопределенность в значении Д характеризует логарифмическую точность формул D) и E)).
13.28. Найти зависимость от к фазовых сдвигов <5;(А:) для медленных частиц и об-
обсудить разложение эффективного радиуса в борновском приближении. При каких
ограничениях на убывание потенциала на больших расстояниях справедливо разложе-
разложение (XIII. 15), т.е. можно ввести параметры низкоэнергетического рассеяния — длину
рассеяния щ и эффективный радиус взаимодействия г/ — с моментом П
Решение. При it —» 0 аргумент х = кг функции Бесселя в выражении (XIII.12) мал и, вообще
говоря, можно воспользоваться известным разложением J^{x) при х -» 0. Оставляя лишь
первые два члена разложения3", получаем
*,п(*)«*21+1[Л,+В,*2 + ...Зсс*21+', (I)
здесь
А, = с,
Имей и миду разложение эффективного радиуса (XIII 15) и учитывая малость фазового
сдвига в борновском приближении, находим
а? = -А,, г,° = -7В,А:\ C)
Одним из условий применимости полученных результатов является достаточно бы-
быстрое убывание потенциала на больших расстояниях, обеспечивающее сходнмостэ интегралов
в выражениях B). При экспоненциальном убывании потенциала не возникает никаких огра-
ограничений для всех значенийw> l. Для потенциалов со степенным убыванием, U я а/г",
ситуация иная. Для значений I < (и — 5)/2 интегралы в B) сходится на вер<нем преде-
пределе и понятия длины рассеяния а( и эффективного радиуса г, по-прежнему определены.
2" Описываемые преобразовании справедливы и при фиксированном конечном значении к,
но 1 > (АА)г. что позволяет сделать заключение о фазовых сдвигах для больших значений момента:
S, a (fcft/!)!i+l.
^ При этом зависимость 6{ ос Jk2'+I справедлива и для «сильных* лотеимиалоц, к которым борновское
приближение применимо

168 Глава 13. Столкновения частиц
В случае (и - 5)/2 $/<(«/- 3)/2 второй их интегралов B) расходится При этом разло-
разложение эффективного радиуса (XIII 15) уже несправедливо, однако понятие длины рассеяния
и зависимость 6\ « -a,fc!l+l для медленных частиц сохраняются. Наконец, для значений
l~^(v- 3)/2 нарушается и зависимость tf| ос к71*' при * -• 0. Низкоэнергетическое рассеяние
с произвольным моментом I в потенциалах со степенным «хвостом» рассмотрено в двух
следующих задачах, см также 13.27.
13.29. Для потенциала со степенным убыванием на больших расстояниях, U и а/г",
v > 2, найти зависимость от к фазовых сдвигов для медленных частиц с различными
значениями момента I. Рассмотреть приложения полученных результатов к потенциа-
потенциалам, имеющим на больших расстояниях вид U « а/г3 и U « а/г* {поляризационный
потенциал, см. 11.49).
Решение Для значений I < (v - 3)/2. как обычно [1, § 132), S, = А,к21+'. В борнопском
приближении коэффициент At в этой зависимости получен в предыдущей задаче. В случае
I ^ (i/ - 3)/2 заменять н формуле (XIII 12) функцию Бесселя Jp{x) ее первым, a x*F
членом разложения, приводящим к зависимости Si a к21*', нельзя ввиду позникновения
расходимости интеграла. Теперь, разбив область интегрирования в (XIII.12) на две: от г = 0
до г = R и от г = R до т = со (значение R таково, что при г > R для потенциала можно
использовать его асимптотическое выражение), замечаем, что вклад первой из областей,
пропорциональный к2{+1, менее существен, чем вклад второй области. Таким образом находим
J
При значениях I > (i/ - 3)/2 здесь можно заменить нижний предел интегрирования
нулем и получить (интеграл см. в [33, с. 706]
'~
В случае I = (и - 3)/2 интеграл в выражении (I) при * -» 0 расходится на нижнем
пределе Воспользовавшись разложением Jp(x) при х —* 0, легко найти расходящуюся часть
интеграла и значение фазового сдвига
Сделаем два заключительных замечания.
1) Хоти полученные результаты основаны на использовании борновского приближения,
они на самом деле при v > 2 носят достаточно общий характер. Действительно, в задаче
существенны большие расстояния, на которых |1/(г)| ^ Л2/тг3, так что потенциал можно
рассматривать как возмущение.
2) Для потенциала, предстанляющего суперпозицию «сильного» короткодействующе-
короткодействующего и «слабого» дальнодействуюшего (со степенной асимптотикой) потенциалов, вообще
говоря31', их вклады в фазовый сдвиг аддитивны, S, я 5j,Kop + i(JUL, При этом для аномально
малых к доминирующим будет вклад дальнодействующего потенциала, а для не слишком
малых к — уже вклад короткодействующего потенциала; см. в связи с этим 13.37, а также 13.42.
13.30. Для потенциала со степенным убыванием на больших расстояниях, U as а/т",
обсудить модификацию разложения эффективного радиуса (XIII. 15) при орбитальном
моменте частицы I, удовлетворяющем условиям (i/ - 5)/2 ^ I < (v - 3)/2. В качестве
иллюстрации полученного результата рассмотреть s-рассеяние медленных частиц
в потенциале, имеющем на больших расстояниях вид U « а/г*.
31' Исключая случай, когда в короткодеПствующем потенциале имеется состояние с малой энергией
связи

§ 3. Низкоэнергетическое рассеяние 169
Решение Имея и виду решении двух предыдущих задач, нетрудно получить следующие
разложения:
В случае I = (у-5)/2 в аналогичном (I) выражении нижний предел интегрирования равен kR
и, вычисляя расходящуюся часть интеграла, находим
В частности, для потенциала, имеющего на больших расстояниях вид V » а/г* (т.е.
v = 4), при / = 0, согласно формуле A), получаем
So + Оо^н, „ _2Н« fcJ ? 1 Г«п^ _ 1 ^ = 2*ma fc,_
h J x* I x J ЗЛ
о
При этом обобщение разложения эффективного радиуса (XIII. 15) принимает вид
1 2-пта
а0 2л 0$
13.31. Найти длину рассеяния а0 в потенциалах:
о)Щг) = \ 0) ;
б) U(r) = -U0R6(r-R);
в) U(г) = -Uoe-rlR;
г) U(r) = -U0[\+(r/RJ]'2;
д) U(г) = Uo(R/r)\ Щ > 0.
Чем примечательны значения параметров потенциала, при которых длина рассея-
рассеяния обращается в бесконечность?
Какова причина неаналитической зависимости ao(fo) °т параметра Uq при Со —• О
в случае <Э)?
Решение. Для вычисления длины рассеяния ао следует найти ограниченное решение ради-
радиального уравнения Шредингера с Е — 0 и / = 0. Его асимптотика321
ПРИ Г -« 00
определяет значение ао. Решения у. Ш. для рассматриваемых потенциален обсуждались
в задачах главы 4, поэтому здесь ограничимся лишь некоторыми замечаниями33', ниже
X = гЯя.0,,.0 и А = \j2mUoR4h2.
а) Для прямоугольной потенциальной ямы
АшТ' r<R'
т-а0, т> R.
и'Такая асимптотика предполагает более быстрое, чем ос 1/г3, убыпанис потенциала на больших
расстояниях
33' Используемое Д-1Я состояний д. с. граничное условие Ф(оо) = 0 теперь, естественно, н; возникает.

170 Глава 13. Столкновения частиц
Из условий непрерывности х и х' в точке г = R находим
о0= (l-i 18а)д. (I)
б) Для 4-сферического потенциала
_ f Сг, г < Д,
Х ~ \ а0 - г, г > R.
Сшивание решения в точке г = R, см. 4.8, дает
°о = -Т^* B)
в) Для экспоненциального потенциала решение радиального уравнения Шредингера
X = J0BX)N0{x) - N0BX)J0(x), где х = 2Хе"п",
Jo и JVo — функции Бесселя и Неймана При этом учтено граничное условие х(г = 0) = О,
сравнить с 4 8 Так как при г —» со имеем х —» 0, то, используя соотношения G = е =
1,781 ..., ? = 0,5772 ... — постоянная Эйлера)
по асимптотике х(г) находим длину рассеяния
г) Для указанного потенциала решение у. Ш. имеет вид (сравнить с 4.25)
I IP ( т\
Фв=о,1=о = Су 1 + -j- sin К aretg — I,
где ( = у/\ + А'. По его асимптотике находим
а0 = {Д ctg ( j 'С ) • D)
д) Аналогично решению задачи 4.25 находим волновую функцию
**>о 1-о = -4 ехр | - — |
и длину рассеяния
оо = АД E)
Переходя к обсуждению полученных результатов, прежде всего отметим существенное
отличие характера занисимости длины рассеяния а<> от параметра А ос \/С/0 при Uo —> 0
в случае д) по сравнению с другими случаями а)-г). Согласно A)~D) °о при малых А
разлагается в ряд по степеням X1 и является аналитической функцией параметра IV При этом
в занисимости от знака Uo эти выражения определяют длину рассеяния либо в потенциале
притяжения Uo > 0, либо в потенциале отталкивания — при t/o < 0. Так, формула (I)
при Uo < 0 принимает вид
и описывает длину рассеяния на потенциальном барьере. В случае потенциала U = a/r't
а = UqR*, зависимость а0 от параметра а (или 1/0) является уже неаналитической, так
как an ос \/а. Такая неаналитичность отражает существенно различный характер влияния
потенциала на частицу при малых значениях а > 0 и а < 0, проявляющийся в возникновении

§3. Низкоэнергетическое рассеяние
171
¦паления на иентр» н случае34' о < 0. При этом формула E) несправедлива, так как
использованное при ее выводе граничное условие Ф@) = 0 уже не может бить реализовано
и требует модификации, сравнить с 9 14.
Далее, формулы A)-D) отражают общий характер за-
зависимости длины рассеяния ао от параметров [f( и Л для
знакопостоянного (как функции г) регулярного потенциа-
потенциала вида U{r) = -Uof(r/R), где f(\z\) ^ 0 (притяжение —
при Uo > 0, и отталкивание — при С/о < 0) Качественный ее
характер изображен на рис. 11. Здесь проявляются следующие
закономерности.
1) При |А|2 < 1 («слабый» потенциал) длина рассеяния
также мала, так как |ао| ~ |А|2Д < R- Записав а0 = -уЗА2Я
согласно A)-D) находим значения параметра/3, равные соот-
соответственно 1/3, 1,2,7г/4 Эти результаты могут быть получе-
получены непосредственно по формуле борновского приближения р ..
при этом знак длины рассеяния совпадает со знаком потенциала.
2) При увеличении |А|2 величина длины рассеяния также возрастает. При этом зави-
зависимость ао от Uo является монотонной, кроме исключительных значений Ап параметра А
в случае притяжения, при которых длина рассеяния о0 обращается в бесконечность. Такие
значения А„ отвечают условию возникновении в потенциале нового связанного состояния
с моментом I = 0 по мере углубления ямы35'. Действительно, асимптотика волновой функции
при г —» со в момент появления связанного состояния имеет вид Фе=о ос 1/г (а не С\ + Ci/r,
как в общем случае, сравнить с 4.25), что и соответствует длине рассеяния щ, = оо.
Покажем монотонность изменения ао с изменением Uo D случае знакопостоянного
потенциала. Запишем два уравнения Шрёдингера:
при значениях Е = 0 и I — 0. Граничные условия имеют вид Хо(О) = х@) = 0, а асимптотика
решений при г -» со соответственно ^ и о0 - г и \ а а ~ г. причем а = а0 + Sao
Fа0 определяет изменение длины s-рассеяния при изменении потенциала на -SUof).
Умножая первое из уравнений на х< второе — на \о, почленно вычитая их друг из друга
и интегрируя по г в пределах от 0 до со, получаем
В интеграле положено, X а Х0' что имеет место ввиду предполагаемой малости 6Ua —• 0
и условия по Ф оо; при этом Sa0 также мало, причем 6ао/био < 0, ч~о и доказывает
монотонность зависимости aa(Uo).
3) Наряду со значениями А, близкими к А„, для которых длина рассеяния аномально
велика (резонансное рассеяние), существуют и такие значения А„ параметра А, при которых,
наоборот, Qo = 0- Так, в случае прямоугольной ямы согласно (I) это имеет место при условии
tg А„ = А„. Для таких значений А„ параметров потенциала сечение рассеяния а = 4ка1 частиц
с энергией Е = 0 обращается в нуль. Соответственно при значениях А, близких к Ап, сечение
рассеяния медленных частиц, kR <^C 1, может быть аномально малым, что и проявляется
в эффекте Ромзауэра—Таумсенда. Подчеркнем, что отмеченная малость сечения рассеяния,
34' Сравнить с аналогичным свойстпом фаз рассеяния 6i в случае потенциала притяжения V — —|о|/г2,
следующим из формулы (I) задачи 13.19, когда при 2m|a|/ft2 = (/ + 1/2J иозникает «падение на центр»
частицы с моментом I.
35) В случае 6-ямы при ее углублении появляется только одно связанное состояние с моментом 1 = 0
при значении параметра А ^ Ао = I, см. B)

172 Глава 13. Столкновения частиц
а < тгД2, медленных частиц в «сильном» короткодействующем потенциале радиуса R может
позникпть только в том случае, если он имеет притягивающий характер.
Наконец, отметим следующую закономерность для длины рассенния в случае очень
сильного потенциала, когда |А| 2> I. Если потенциал имеет резко выраженный радиус R
как для прямоугольной или 0-ямы (или соотпетствующих барьеров), то при этом а0 ~ R,
исключая лишь очень узкие области значений А вблизи точек361 А„, см. выражения A), B).
Подобная ситуация сохраняется и п случае резко — экспоненциально — спадающих потенци-
потенциалов Из формулы C) при In 7A 2> 1 имеем оо « Дэфф ~ 2Я In 7A, исключая близкие к нулям
функции Бесселя JoBA) значения А, отвечающие появлению новых связанных состояний.
Отличие от предыдущего случая состоит лишь в слабой, логарифмической зависимости Д^
от А, которая может быть получена из соотношения |У(Л,фф)| и H2/mRl^,. Для потенциалов
со степенным убыванием, как видно из формулы D), ситуация иная. Теперь ао(А) явля-
является «жиной» функцией А во всем интервале между точками А„ и АпН и выполаживания
зависимости а<>(Л) не происходит.
13.32. Найти длину рассеяния и сечение рассеяния медленных частиц непроницаемым
эллипсоидом, т. е. 8 потенциале
Ulr) =
Специально обсудить предельные случаи с « Ь и с 3> 6.
Решение. Задача сводится к решению уравнения Шрёдингера с энергией Е — 0, прини-
принимающего вид ДФ(г) = 0, с граничным условием Ф(г0) = 0 на поверхности эллипсоида
и асимптотикой решения Ф ~ 1 - о0/г на больших расстояниях, определяющей длину
рассеяния"' а0 = -f(E = 0).
Для функции <р(т) = I — Ф уравнение, граничное и асимптотическое условия принимают
вид
Ду> = 0, у>(г0) = I, V— при г —• со. A)
Согласно соотношениям (I) функцию ^(г) можно рассматривать как электростатический
потенциал заряженного эллипсоида вращения (ось вращения — ось z), принимающий на его
поверхности значение tp0 = I, при этом е = а0 — заряд эллипсоида. Так как е = С<ро, где С —
емкость проводника, то длина рассеяния частиц на «непроницаемом» эллипсоиде численно
равна электростатической емкости проводника такой же формы38'. Решение электростатиче-
электростатической задачи (I) для вытянутого эллипсоида вращения известно и имеет вид (при с > Ь)
(оно может быть получено методом изображений: потенциал такого проводящего эллипсоида
вращения совпадает с потенциалом равномерно заряженного отрезка, концы которого на-
находятся в фокусах эллипсоида с координатами х = у = 0, z = ±\/с2 — Ь2 ) Определяя е
36'Эти узкие области включают и точки Ап Как янлно из (I) и C), дли быстро спадающих
потенциалов А„ и А„ сближаются при п -» оо; для степенного потенциала — см. D) — это замечание
несправедливо.
37' Подчеркнем, что в пределе нулевой энергии рассеяние частиц является изотропным даже в случае
нецентрального короткодействующего озаимодеЛстння
"'Соотношение а<> = С справедливо для «непроницаемого» тела произвольной формы В частности
при рассеянии частиц на непроницаемом диске радиуса R сечение рассеянии а(Е = 0) = Aб/я*)Л
(емкость диска С = 2Я/т)

§3. Низкоэнергетическое рассеяние 173
из условия ?>(го) = I (для чего удобно выбрать точку эллипсоида, лежащую на оси вращения-
х = у = 0, г = с) находим длину рассеяния
Отсюда в случае с = b имеем оо = с и а — 4ncJ — известный результат для рассеяния
медленных частиц непроницаемой сферой радиуса R = с Для сильно вытянутого эллипсоида,
с > Ь, формула C) дает
ao«_?_ a{E = 0}* | 4^ 2. D)
Заметим, что обобщение на случай сплюснутого эллипсоида вращения, Ь > с, может
быть получено с помощью аналитического продолжения длины рассеяния C). Для этого,
записав Vc2 — б2 = iVb2 — с2 = iv, воспользуемся соотношением
I
In (с ± iv) =
Отсюда
1 5 2 V
In (с ± iv) = - In (с + v ) ± i arctg -
с + iv v Vb2 — с1 с
In = 2» arctg - = 2i arctg = 2t" arccos -,
с — iv с с о
и для длины рассеяния получаем (Ъ > с)
arccos (с/о)
Положив здесь с = 0 и Ь = R, приходим к длине рассеяния а0 = 2R/k на непроницаемом
диске радиуса R.
13.33. В квазиклассическом приближении найти длину рассеяния а0 для отталкива-
тельного потенциала, имеющего асимптотическое поведение U « а/г4 на больших
расстояниях.
Для иллюстрации полученного квазиклассического результата применить его
к потенциалам a) U - a(R2 +r2)'2 и б) U = а(Я + г)~4, где R > 0, и сравнить
с точным.
Решение. На конечных расстояниях квазиклассическое решение уравнения (IV.5) для функ-
функции х — ГЩГ) ПРИ значениях Е = 0 и I = 0 следует выбрать в виде
(О
Здесь оставлена лишь затухающая к началу координат квазиклассическая в ф. Пренебрежение
возрастающей частью решения соответствует учету граничного условия3" х@) = 0.
Однако на больших расстояниях, при г —* со, имеем !р(г)| к l/rJ —¦ 0 и квазиклассика
неприменима. Поэтому решение A) на больших расстояниях, где уже V я а/г*, следует
сшить с точным решением у Ш., асимптотика которого х(г) а °о - г определяет длину
рассеяния. Такое точное решение имеет вид (см. 4.25).
— sh--ch- a oo-г, d-J—~. B)
а г rl г—со V й
"* Если U(r) — ограниченный потенциал, то в этом случае Хкв@) хотя и отлично от нуля, но экс-
экспоненциально мало. Такое нарушение граничного условия приводит лишь к экспоненциально мллым
погрешностям в значениях и других величин. Более существенны поправки, связанные с отклонением
потенциала от его асимптотического выражения на больших расстояниях, см. следующую задачу

174
Глава 13. Столкновения частиц
Сшивание решений (I) и B) может быть выполнено лишь в случае, если в B), как и в (I).
на конечных расстояниях отсутствует экспоненциально возрастающее к началу координат
слагаемое. Отсюда находим значение длины рассеяния в квази классическом приближении:
C)
Этот результат для потенциала, имеющего вид U = а/г* во всем пространстве, совпадает
с точным
Для указанных в условии потенциалов точные значения длины рассеяния (см. 13.31 г);
' ~> = d/R):
a) ao =
0) а„ =
D)
Как и следовало ожидать, они при ? —• со переходят в C). Однако и для значений ? > I
квазиклассический результат не сильно отличается от точного. Для иллюстрации приведем
таблицу, в которой представлено отношение rj = do,к„/а0 для ряда (.
п. б)
1
1,571
3,202
2
1,145
1,862
4
1,033
1,332
6
1,014
1,200
Меньшая точность в случае б) связана с более существенной ролью квазиклассичес-
квазиклассических поправок, обусловленных отличием потенциала ?/(г) на больших расстояниях от ею
асимптотического выражения а/г4; см. по этому поводу следующую задачу.
13.34. В условиях предыдущей задачи найти квазиклассическую поправку к длине
рассеяния, связанную с учетом следующего члена в разложении потенциала на больших
расстояниях: U = аг~\\ + Ь/г + ...).
Решение. Если потенциал U(r) отличается от а/И лишь на конечных расстояниях г $ Д,
то для ? = \/2та/й7Я2 2> I отличие ац от квазиклассического значения yjlma/h1 экспо-
экспоненциально мало и находится за пределами точности квазиклассического приближения.
Если же разность !7(г) - а/И отлична от нуля и при г > Д, то возникают степенные
поправки по параметру \Ц ос ft. Для определения первой такой поправки в случае, когда
U(r) и (л/г4)(l + Ь/r) при г —• оо, надо найти такое решение у Ш. на больших расстоя-
расстояниях, точность которого обеспечивает хорректный учет поправочного члена в асимптотике
потенциала Это легко сделать, заметив, что с рассматриваемой точностью U = а/(г — Ь/А)*,
а для такого потенциала ураинения Шргдингера допускает точное решение Оно очевидным
образом (заменой г на г - 6/4) может быть получено из формулы B) предыдущей задачи
При этом сразу опущено второе незаеисимое решение у. Ш , экспоненциально растущее
с уменьшением г, как этого требует сшивание A) с квази классическим решением на конечных
расстояниях. По асимптотике выражения A) при г —» оо получаем
hb
V32ma
Аналогичным образом для потенциала с асимптотикой
B)

§ 3. Низкоэнергетическое рассеяние 175
может быть найдена и следующая квазиклассическая поправка к формуле B), если заметить,
что с рассматриваемой точностью его можно записать в виде
а 1 2_ 5 2 1
- где - - ,, - — , - - 2-
Для такого потенциала решение у Ш. с Е — 0 может быть получено как в 4 25, после чего
легко найти уточнение формулы B):
Учет квазиклассических поправок существенно увеличивает точность полученного ре-
результата. Так, согласно формуле C) вместо чисел, приведенных в таблице предыдущей задачи,
теперь появляются соответственно. 0,786, 1,002, 1,0005, 1,0001 в случае а) и 0,0,931, 0,999,
0,99998 в случае б).
В заключение приведем коазиклассические выражения для длины рассеяния аъ в случае
потенциалов отталкивания с другим асимптотическим поведением при г —» со.
В случае степенной асимптотики U = (ог/г")A + Ь/г + . .) с v > 3 можно получить
2mg "*
где V(z) — гамма-функция. При v —• 3 имеем ао,ка —• оо, что отражает то обстоятельство, что
в потенциале U = q/г' сечение рассеяния частиц при Е —» 0 обращается в бесконечность.
Для потенциала с экспоненциальным убыванием, V и Uoe~'IR:
(^L E)
где i(T = 0,5772 ... — постоянная Эйлера.
13.35. Для потенциала притяжения, U(t) < 0, имеющего степенное убывание U «
—а/г" с v > 3 на больших расстояниях, найти длину рассеяния а^ в квазиклассическом
приближении. При этом считать, что на малых расстояниях г —» 0 потенциал U а г~Р
и 0 ^ р < 2. Чем примечательны значения параметров потенциала, при которых а<>
обращается в бесконечность?
Рассмотреть приложения полученного результата к потенциалам a) U~ -a(r+R)~4
и б) U = —а(г2 + Д2)~г и сравнить с точным решением.
Решение. На конечных расстояниях квазиклассическое решение у. Ш. AУ.5)для Е = 0 и / = 0
имеет вид (сравнить с 9.9)
г
Хк, = rR(r)=-~smQJp(r)dr + ^j, p=yJ-7mU(r), (I)
где значение параметра 7 зависит от вида потенциала на малых расстояниях; и случае U ~
—А/г^ при г —» 0 имеем
/
7 4B-/3)'
На больших расстояниях р(г) -» 0 и кваэиклассика неприменима Здесь, однако, учиты-
учитывая вид потенциала U « —а/г", можно получить точное решение ураннения Шрёдингера.
Х = ^(С,ЛB^г-"") +С,Л.B»^г-"?')], B)
где з = l/(i/ - 2), а 5 = 2та/й2 На расстояниях г, для которых аргумент функции Бесселя
велик, уже применимо квазиклассическое приближение и наряду с выражением B) спрансл-
ливо и (I). При этом, воспользовавшись асимптотикой функций Бесселя ./„(.;) при z -> оо.

176 Глава 13. Столкновения частиц
решение B) можно преобразовать к виду
где /?(г) = \/2то/г", и из условия совпадения выражений C) и (I) получить
С, sin (т + ;rs/2 + jt/4)
ES -i//5=«*+T.
D)
С2 sin (т - тгз/2
о
Далее, воспользовавшись разложением J±,(z) при z —* 0 находим асимптотику реше-
решения B) на больших расстояниях.
и так как при этом ja г — о0, то с учетом соотношения D) приходим к искомому
квазиклассическому выражению для дллны рассеяния:
,0) ГA -s) sin (т + л-а/2 + jt/4) / /2та \2'
"о... я Г/| » S|n , _ -2 H. T/4) ["У ~7}~ ) ¦ W
Значения параметров потенциала, при которых длина рассеяния обращается о беско-
бесконечность, соответствуют такой ситуации, когда при углублении потенциальной ямы в ней
появляется новое по счету состояние дискретного спектра. Согласно формулам F), D) это
имеет место при выполнении условия (I = 0)
Н Н ! -), G)
о
где N — 1,2, .. — порядковый номер появляющегося связанного состояния; сравнить с 9.9.
Для указанных в условии потенциалов имеем v = А, $ = 1/2,7 = Д = 0ипо формуле F)
получаем
а) <>„ = Л? c«g {, б) а^, = Щ c.g Qc) > (8)
где $ = y/S/R. Точное значение длины рассеяния равно, соответственно40'
в) ао = Л««g«-l). 5) о0 = RVe + I ctg (т^+')¦ (9)
Как видно, при { -» со квазиклассическое и точное выражения для длины рассеяния
совпадают. Их различие ~ 1/{ при конечных значениях ( связано с квазиклассическими
поправками. Вычисление таких поправок теперь более трудоемко, сравнить с 13.34, так как
необходимо учитывать следующее по h слагаемое в фазе волновой функции на конечных
расстояниях (т. е в области кназиклассичности), см. формулу D6 ll) в [I]. Этот вопрос
предлагается читателю для самостоятельного исследования
13.36. Получить формулу теории возмущений по длине рассеяния для сдвига
уровня с произвольным моментом I а потенциале Ui(r) под влиянием короткодей-
короткодействующего потенциала Us{r) радиуса г$ (обобщение результата 11.4 для I = 0).
Предполагается, что на малых расстояниях г < rs взаимодействие Vr, является
слабым, \Ui\ <g h2/mrg, т$ <С гд и дг.я рассматриваемых уровней
'Точное решение уравнения Шредмнгсра может быть получено с помощью подстановок, аналогичных
использованным в 4 255), в)

§ 3. Низкоэнергетическое рассеяние 177
Решение. Воспользуемся приемом, описанным в 11.4. Исходим из выражения для сдвига
уровня обычной теории возмущений по потенциалу Us(r):
AEnrl = Ш = / (r)|*2L(r)|2 dV. (I)
Учитывая, что на существенных в интеграле малых расстояниях (в области локализации Us(r))
для невозмущенной волновой функции справедливо разложение
Ф^М = Ям(г)У1т(п), ЯЛр,(г) я <?„,/ при г-.О,
выразим интеграл в выражении A) через длину рассеяния с моментом I на потенциале U$(r)
в борновском приближении (см. 13.28)
о
о
Заменяя, наконец, а" на точную длину рассеяния о, в короткодействующем потенциа-
потенциале Us(r), приходим к искомой формуле теории возмущений по длине рассеяния для сдвига
уровня:
ДВ„,, = ^[B*+ 1)'!] 2Q',,a<s) B)
(здесь использовано, что 2|+'Г(/ + 3/2) = %/гг B1 + II1; заметим также, что для ^-состояний
Ql = 4jt*L(O)).
Сделаем несколько замечаний в отношении формулы B).
1) Так как, вообще говоря, о, <х rj'+l, а Q\rl ос г?2'~', то с увеличением I сх,виги уровней
быстро уменьшаются, <х (rs/rLJ', что связано с уменьшением проницаемости центробежного
барьера, разделяющего коротко- и дальнодействующие области потенциала.
2) Если с короткодействующим взаимодействием связана возможность протекания не-
неупругих процессов (как, например, аннигиляция в пионы за счет ядерного взаимодействия
для рр-адронного атома, см. также 11.74), то у длины рассеяния a}s) появляется мнимая часть.
Соответственно теперь &ЕПг, описывает не только сдвиг, но и уширение уровня, который
становится уже квазистационарным с конечным временем жизни
Заметим, что возникающая ширина уровня
Г„г, = -2 Im ДЯМ a Im a\s)
может быть связана с сечением неупругого рассеяния (с сечением реакций) of? в парциальной
волне с моментом / за счет короткодействующего взаимодействия для медленных частиц, так
-lmaiJ>=^Bi + l)^-'L0 C)
(см. [1, § 143]; подчеркнем, что наличие дальнодействующего потенциала может существенно
изменить сечение реакций для медленных частиц, см. следующую задачу)
3) Как отмечалось в 11.4, в случае момента / = 0 при нарушении неравенства |a{,S)| < rL
формула B) неприменима При этом возможны большие сдвиги s-уровней i> дальнодей-
ствующем потенциале — перестройка спектра, см. также 9 3. В случае I ф 0 ситуация
иная и больших сдвигов уровней не возникает, что связано с наличием малопроницаемого
центробежного барьера. Однако в случае большой длины рассеяния, |oj5)| » r2sl+l, когда в по-
потенциале f/j(r) имеется мелкий уровень с моментом 1, формула B) требует модификации.
Для выполнения ее заметим, что решение у. Ш. в потенциале Us{r) для медленных частиц,
krs -С 1, на расстояниях г, С г < k~', rL имеет вид (I, § 132]
[ |, D)
где

178 Глава 13. Столкновения частиц
Нерезонансному случаю, когда a\S) ? г?+|, отнечает замена *2'и c(gi,( ' на -\/а, , приво-
приводящая к формуле B) для сдвига уровня (при этом ее формальное обоснование может быть
получено, как и в 11.4 для момента I — 0). Обобщение этой формулы на резонансный случай
с учетом разложения эффективного радиуса (XIII.15) получается заменой a\s> множителем'"
E)
в котором, вообще говоря, можно положить Е = Е„^. При этом для значений I Ф 0 независи-
независимо от величины о, второе, сингулярное слагаемое (сх 1/г'+|) в выражении D) при переходе
в область расстояний г ~ rL оказывается малым, что и требуется для обоснования справед-
справедливости формул B), E) и соответствующей модификации выражения для сдвига уровня-
F)
4) Существенность условия ( Ф 0 для справедливости выражения F) в резонансном
случае связана с большой величиной при этом эффективного радиуса, так как г, ос rxs'2'
(см. 13.44), обеспечивающей малость сдвига уровня Указанная замена Е = Е{^, в форму-
формулах E), F) не оправдана лишь в случае, когда
с.(") _ ' (S) ^ р(°) п\
&S = 15) ri ~Ai,i> I'/
физическая выдсленность которого определяется тем, что Еу* описывает уровень с мо-
моментом I, существующий в изолированном потенциале Us[r). Таким образом, в условиях
выполнения соотношения G) в системе имеются два близких уровня, связанных как с далыю-
действуюшим, так и короткодействующим потенциалами Не делая в формуле F) замены Е
на Е^,, получаем уравнение для АЕп,, = Е - E^J,, решение которого
Е,г = 1140) + EZ ± [(Ef - Е%? + ^(B1 + l)!!I^,] ^ (8)
даст энергии этих уровней с учетом их взаимодействия. Как видно, оно носит характер
квазипересечения термов, сравнить с [1, §79]. В случае Е®] > Е®}, первый из корней (8)
описывает смещение вверх невозмушенного уровня Es в потенциале Us(r) под влиянием
дальнодействующего потенциала42' Ui(r), а второй — смещение уровня Е®}, под влиянием
короткодействующего uempa Us(r) (он смешен вниз) В случае Е{°} < Е®},, наоборот, уже Е,
отвечает смещенному, причем вверх, уровню Е^.
4|' Ниже ft = m = 1, так что Е = кг/2. Заметим, что выражение D) можно рассматривать как свое-
своеобразное граничное услопис на малых расстояниях к у Ш. с потенциалом Uc(r), связанное с включением
короткодействующего потенциала Us(r). сравнить с 114 Однако в случае / Ф 0 в нем невозможен
переход к пределу г — 0 из-за возникновения расходимости нормировочного интеграла (так как он
лает Ф ос \/г'*', на малых расстояниях г < т, в ф совпадает с в ф в короткодействующем потенциа-
потенциале) В случае же I = 0 предел г, = 0 возможен и соответствует моделированию короткодействующего
потенциала потенциалом нулевого радиуса. См 4 10
'Строго говоря, при этом воспроизводится лишь часть сдвига, связанная с действием потенциа-
потенциала Ui\r) на больших, г з> г», расстояниях. Влияние Vi на малых расстояниях на сдвиг уровня Bg
проявляется в так называемой перенормировке параметров а\ , г, . Так, если Ui(r) a Ua для г < г$,
то более точно заменить Е в формуле E) на Е - Ua Такая замена соответствует перенормировке длины
рассеяния, т.е. замене о'5' на о; , причем I/O, = 1/о; + rj Uq. Эффективным радиус при этом
не перенормируется, см также 13 42.

§ 3. Низкоэнергетическое рассеяние 179
Обсудим вопрос о виде нолноиых функций п условиях квазипересечения уровней. При
не слишком близких значениях Ef и ZjJJ, в случае Е^ > Е„г\ первому из уровней в (8)
отпечаетв.ф и Фу\ локализованная на малых, г <rs, расстояниях, а второму — в. ф и ф'^',,
локализованная набольших, r>ri: расстояниях В случае jEj0' < Е^, сопостаиляемые уровням
волновые функции (в существенной области локализации) меняются местами. В случае же
точного резонанса, Еу = Е^,, частица в обоих состояниях I и 2 с одинаковой вероятностью,
равной I/2, находится как в области локализации связанного состояния в потенциале Us(r)
(при г < rs), так и в области г ~ rL. В. ф. соответствующих состояний, одинаковые
при г <г$, отличаются знаком в области г > г,, что обеспечивает их ортогональность
13.37. Потенциал представляет суперпозицию сильного короткодействующего по-
потенциала U§(r) радиуса rg и далычодействующего Ui(t) радиуса г^ 2> г$, причем
последний на расстояниях г < г$ предполагается слабым: \Ui\ <S Чг/тт2в. Считая
известным решение уравнения Шрёдингера для потенциала Ui(t), найти измене-
изменение Л 6[ фазового сдвига в этом потенциале под влиянием U$ в случае медленных
частиц, когда krs < 1. Выразить Д <5, через длину рассеяния а) в потенциале Us.
В каком случае фазовый сдвиг в поле U = Us 4- Ui приближенно равен сумме
фазовых сдвигов в потенциалах Us и Ui в отдельности?
Рассмотреть приложение полученного результата к дальмодейстнующему куло-
новскому потенциалу.
Решение. Для решения данной задачи можно воспользоваться приемом, аналогичным ис-
использованному в предыдущей: найти изменение A<5,ls) фазы по теории возмущений, выразить
его через длину рассеяния на короткодействующем потенциале в борновском приближе-
приближении и затем заменить ее на точную длину рассеяния a]s) п «сильном» потенциале Us(r).
Формальное обоснование такого подхода может быть получено как и в 11.4.
Для определения сдвига Д<5, под влиянием Us(r) по теории возмущений запишем два
у Ш. для радиальных волновых функций, ф1(м = XkiYtm/r< непрерывного спектра
@)" Г. г <(* + <) 2т 1 @)
Xi + [k ~2 "jp- u^r)\ Xu =
- ^ (%(r) + Us(r
))] Хы =
Их решения, удовлетворяющие граничному условию х@) = 0, имеют следующие асимптотики
на больших расстояниях:
/ z - B)
, a sin ( kr ± I
причем для общности рассматривается случай, когда на больших расстояниж Ui, и /
an=fiJ/me2;cM [I, §36]
Умножая первое из уравнений (I) на хи< второе — на xi°\ почленно Еычитая и инте-
интегрируя по г в пределах от 0 до оо, с учетом асимптотик B) получаем
ос
ks.n A6lS) = -^J Us(T)Xu(r)X™{r) dr C)

180
Глава 13. Столкновения частиц
Здесь можно заменить- синус — его аргументом, Хи — на Хы и> учитывая короткодейству-
короткодействующий характер потенциала Us, а также соотношение
Х
Qtir'*' Для г —» 0, получить
D)
Интеграл здесь, как и следовало ожидать, выражается через длину рассеяния с моментом I
в борновском приближении, см. предыдущую задачу; заменяя се на точную длину рассеяния,
приходим к искомому результату:
A<5'S)(fc) = -[BJ+l)"]2aJ-9)^i- E)
Рассмотрим некоторые следствия формулы E).
I) Заметим прежде всего, что в случае У/, = 0 имеем
При этом
Дб, =-а, к
F)
т.е., как и следует, F) совпадает с фазой рассеяния 6\s) на изолированном потенциале lfs(r).
2) Такое же соотношение, Дй, = б, приближенно имеет место и в том случае,
если дальнодействующий потенциал С//,(г) можно рассматривать как возмущение, см. усло-
условия (XIII.7). В этом случае фаза рассеяния в потенциале, представляющем суперпози-
суперпозицию Us(r) + U[,(r), равна сумме фаз рассеяния для каждого из них в отдельности.
3) Обсудим случай дальнодействующего кулоновского потенциала, Ul = T^e2/r. При
этом (см [1, §36])
здесь к' = kaB/Z, так что
(при / = 0 произведения заменяются на 1).
В случае «быстрых» частиц, когда кав 3> Z (но по-прежнему кг, <S I), кулоновский
потенциал можно рассматрипать как возмущение и из выражений E), G) следуют результаты,
отмеченные выше в I) и 2).
Совершенно иная ситуация возникает в случае, когда kaR ^ Z. При этом значения Qff
сильно отличаются от невозмущенного, приведенного в I). В частности, при kat <C Z
согласно E) и G) для j-волны получаем:
а) Д<50 = ——
о) Д<50 = —— е 0
кав
S)
(8)
соответственно для кулоновского потенциала притяжения и отталкивания. Существенное из-
изменение величины фазового сдвига — увеличение его в 2irZ/kaa 3> I раз в случае притяжения

§3. Низкоэнергетическое рассеяние 181
и экспоненциальное уменьшение при отталкивании — имеет очевидную физическую причи-
причину в случае медленных частиц дальнодейстиующее кулоновское притяжение (отталкивание)
сильно увеличивает (уменьшает) вероятность нахождения частицы на малых !эасстояниях
Отмеченный эффект проявляется и в изменении сечений неупругих процессов, вызываемых
короткодействующим взаимодействием, сопровождающих столкновение медленных заряжен-
заряженных частиц.
В заключение отметим, что проведенное рассмотрение предполагает, что рассеяние
на короткодействующем потенциале носит нерезонансный характер, т. е в потещиалс Us(r)
нет «мелкого» уровня. При этом ojx> < г|'*' и ?,E) « -ajs)fc2'+l <? I Однако с помощью
обсуждавшейся в предыдущей задаче замены длины рассеяния а] выражением
(9)
формула E) может быть непосредственно обобщена и на резонансный случай При этом
условием ее применимости является малость Аб, < I (что было использовано при пре-
преобразованиях выражения C)). В связи с этим условием заметим, что для отталкивательного
дальнодействуюшего потенциала оно может быть выполнено даже в том случае, когда фа-
фаза рассеяния 6, на изолированном короткодействующем потенциале Us(r) не является
малой<5'; сравнить результат (86) теории возмущений по длине рассеяния для отталкивательного
кулоновского потенциала с точным выражением для фазового сдвига из [!, § I3S).
13.38. Как надо модифицировать формулу Резерфорда, чтобы описать диффе-
дифференциальное сечение рассеяния частиц в кулоновском потенциале, U == ±Ze7/r,
искаженном на малых расстояниях г < г$7 Предполагается, что выполняются условия
kr$ < I и Ze2 <Лг). Искажение кулоновского поля описывается потенциапом Us{r),
для которого известна длина рассеяния с% •
Решение. В условиях рассматриваемой задачи амплитуда рассеяния описывается выражением
7i2^ ...
кор = -"о • VI
Это следует из того, что можно ограничиться влиянием короткодействующего потенциа-
потенциала Us{r) лишь на частицы с моментом I = 0 (так как krs < I) и рассматривать кулоновский
потенциал как позмущение (ввиду Ze? <? hv). При этом согласно предыдущей задаче фазовый
сдвиг в потенциале, представляющем суперпозицию ику„ + Us, равен (приближенно) сумме
сдвигов для каждого из потенциалов в отдельности. Отсюда, учитывая их малость, и приходим
к выражению (I).
Дифференциальное сечение рассеяния описывается выражением
dfi \2mv2J sin «@/2) ( ° ' mv2 sin 2(в/2)' l '
Последнее слагаемое здесь отражает интерференцию амплитуд рассеяния для купоновского
и короткодействующего взаимодействий. Как видно, характер ее зависит от знака длины
рассеяния <4'9>
13.39. Найти длину рассеяния aj с произвольным моментом I для следующих потен-
потенциалов:
а) непроницаемая сфера радиуса R; б) U{r) = -aS(r - R); в) прямоугольная
яма радиуса R и глубины Щ-
Сравнить со случаем I = 0 из 13.31.
4" При этом я случае большой длины рассеянии может стать существенной перенормировка параметроп
ниэкоэнергетического рассеяния, см. предыдущую задачу, а также 13.42.

182 Глава 13. Столкновения частиц
Решение. Длина рассеяния а, может быть найдена по асимптотике радиальной полновой
функции Лц(г) для Е = 0:
,«r'--i {B/ - l)»B< + 1)!!о,} при г -> оо.
Это следует, например, из сопоставления выражения для в ф в случае медленных частиц
на расстояниях d < г < \/к (см. [I, § 132J, d — радиус потенциала)
с разложением эффективного радиуса (XIП.IS).
Приведем окончательные результаты-
о) для рассеяния на непроницаемой сфере
б) для рассеяния на 6-яме
f 2maR
в) для рассеяния на прямоугольной потенциальной яме
Обсудить свойства длины рассеяния а, как функции параметров потенциала (в случаях б)
и в)), во многом аналогичные рассмотренным в 13.31 для s-волны, читателю предлагается
самостоятельно. Ограничимся лишь замечанием, что в момент возникновения связанного
состояния длина рассеяния а( обращается в бесконечность.
13.40. Оценить значение синглетной (с суммарным электронным спином 5 = 0)
длины 5-рассеяния ао( I) электрона на невозбужденном атоме водорода, учитывая
существование слабосвязанного состояния — иона Н™ — с энергией связи ?q =
0,754 эВ = 0,0277 а. е. и
а) пренебрегая конечностью размера атома водорода и области взаимодействия
внешнего электрона с атомом;
б) рассматривая внешний электрон как слабосвязанный в потенциале конечного
радиуса и используя для него знамение С*о = 2,65 асимптотического коэффициента
(см. 11.36).
Сравнить с результатом вариационного расчета: аоA) = 5,97 а. е.
Решение, а) В приближении, соответствующем рассмотрению внешнего электрона как на-
находящегося в потенциале нулевого радиуса, имеем (см. 13 20 и 4 10):
(в атомных единицах).
б) Рассматривая внешний электрон иона как слабосвязанный в потенциале конечного
радиуса г,, прежде всего воспользуемся связью эффективного радиуса взаимодействия г0
с асимптотическим коэффициентом (см. [1, § 133]).
С1 - I

§ 3. Низкоэнергетическое рассеяние 183
Теперь, имея в виду разложение эффективного радиуса (XIII.15) и то обстоятельство, что
амплитуда рассеяния как функция энергии имеет полюс при Е = -?0 (при этом в полю-
полюсе Actgio = »* — ~«о). находим
Как видно, поправка на эффективный радиус существенно сказывается на значении
длины рассеяния. Это связано с тем, что в данном случае xor, ~ 0,6 не так уже и мало. В связи
с этим отметим роль следующего, ос it4, члена в правой части разложения эффективного
радиуса (XIII.15). Его обычно записывают как
-Pryok\ C)
где Р — так называемый параметр формы. Как правило, числовое значение этого параметра
мало, |Р| ? 0,1, см. B3]. С учетом этого замечания следует ожидать, что неличина длины
рассеяния B) определена с точностью порядка нескольких процентов.
13.41. Для протон-нейтронной системы оценить значение триплетной длины s-рассея-
ния аоC), учитывая существование в такой системе слабосвязанного состояния —
дейтрона — с энергией связи Со = 2,23 МэВ. Сравнить с экспериментальным значением
аоC) = 5,39- Ю-'3 см.
Решение. В пренебрежении эффективным радиусом взаимодействия
ft2 \ |/2
J =4,3-10-" см, (I)
где fi и тр/2 — приведенная масса рп-системы. Так как радиус действия ядерных сил
г, ~ 10~13 см, то щ,г, ~ 0,3. Такую же точность, и 20 %, имеет полученный результат (I).
Учет слагаемого с эффективным радиусом в разложении (XIII.15) воспроизводит эксперимен-
экспериментальное значение триплетной длины рассеяния, сравнить с предыдущей задачей.
13.42. а) Используя экспериментальное значение синглетной длины рассеяния
«оО) = -23,7- 10~13 см для протон-нейтронной системы, оценить энергию мелко-
мелкого виртуального уровня44' в такой системе в состоянии с5 = 0и/ = 0.
б) Для протон-протонной системы аоО) = —7,77 • 10""'3 см. Не противоречит ли
такое существенное различие длин рассеяния для рп- и рр-систем изотопической
инвариантности ядерного взаимодействия? В связи с этим приведем значения эф-
эффективных радиусов взаимодействия »"оA), равные 2,67 • 10~13 см и 2,77 ¦ 10~'3 см
соответственно для рп- и рр-систем.
Решение, а) В пренебрежении эффективным радиусом взаимодействия получаем (сравнить
с 13.20 и 4.10, а также с 13.40)-
56B
здесь ц = тр12 — приведенная масса рп-системы
б) Так как кулоновскос взаимодействие на малых расстояниях примерно на дна по-
порядка слабее ядерного, то, на первый взгляд, следовало ожидать, что отличие параметров
низкоэнергетического рассеяния для рр-системы от параметров рп-системы будет в пределах
нескольких процентов. Это действительно так в отношении значений эффективных радиусов
взаимодействия.
Длины рассеяния различаются существенно: в 3 раза. Это, однако, не означает сильного
нарушения изотопической инвариантности ядерного взаимодействия нуклонов, так как может
4 ' Виртуальный характер уровня н знак ao(l) < 0 следуют из факта отсутствия реального связанного
состояния. С учетом эффективного радиуса гоA) следует ?виот = 67 кэВ.

184 Глава 13. Столкновения частиц
быть объяснено кулоновским взаимодействием в рр-системе. Дело в том, что п рп-системе
имеется мелкий виртуальный уровень и длина рассеяния велика (примерно в 20 раз больше
радиуса взаимодействия!), а п таких условиях она является резкой функцией параметров
потенциала, см. 13.31, и сильно изменяется уже при небольшом изменении потенциала
(в данной задаче — за счет кулоновского изаимодействии).
Приведем простую оценку рассматриваемого эффекта — перенормировки длины рассея-
рассеяния. Запишем потенциал рп-взаимодействия в виде 0р„ = Uo(r) + SU(r), где Uo(r) отвечает
моменту появления связанного состояния; при этом SU(r) ^ 0, так как уровень в рп-системе
виртуальный. Для рр-системы, считая протоны точечными, имеем ит = Uo + iU + е2/г.
Воспользовавшись теперь результатом задачи 4 27 для глубины залегания мелкого з-уровня,
находим
о
Здесь Хо(г) — волновая функция (\ = гЛ) в момент возникновения уровня, нормированная
условием Хо(г) = 1 вне области действия потенциала. Верхний предел интегрирования d~
ап=Д2/треги29-IO"U см (на ббльших расстояниях вклад кулоновского взаимодействия
учитывается уже независимым образом и представлен в амплитуде кулоновского рассеяния
протонов). Интеграл 6U(r) в выражении A) определяет значение хр„ (в обеих системах
х < 0, так как уровни — виртуальные) Для оценки интеграла с кулоновским потенциалом
положим в нем Хо(г) — '¦ При этом из-за возникновения расходимости на нижнем пределе
введем «обрезание» на расстоянии г, я 10"" см (порядка радиуса ядерного взаимодействия)
Учитывая, наконец, соотношения х„„ = l/ajn(l) и хю = l/ajp( 1), согласно (I) получаем
0 П W
(здесь вместо г, мы подставили эффективный радиус взаимодействия г0; подчеркнем, что
имеющаяся неопределенность в значениях параметров d и г,, для которых rf/г, ^ 1,
в окончательном результате B) «сглаживается» тем, что они входят под логарифмом). Теперь
нетрудно убедиться, что учет «слабого» кулоновскою взаимодействия протонов естественным
образом объясняет существенное различие длин рассеяния для рр- и рп-систем.
13.43. Показать, что для эффективного радиуса взаимодействия г0, см. (XIII.15),
справедливо выражение
где Хо(г) — радиальная волновая функция (хо = ГД)) состояния с I = 0 и Е = О,
нормированная условием хо(г) — (~г/°о + I) ПРИ г —» со (оо — длина рассеяния).
Найти го для непроницаемой сферы радиуса R, а также для 5-ямы, U(r) —
—a 6(r — R), и прямоугольной ямы радиуса R в момент возникновения в них связанных
состояний, когда ад = со.
Решение Обозначим через хо и X радиальные волновые функции для значений энергии
Е = 0 и Е = h2k*/2m Для них
x'i-U{r)Xv = 0, x"-{V(r)-k1]X = 0: U=^-U(r). (I)
Нормируем Хи(г) условием хо(г) ~ С - т7во) Для г » d (d — радиус потенциала) Для
в ф х(г) на расстояниях d < г С l/fc имеем (сравнить с [1, § 132])
X(r) = fcctgio ¦ r[l + Oik1?)) + [I + O(*V)], B)
где O(fc3rJ) соответствует поправочным членам в асимптотике.

§3. Низкоэнергетическое рассеяние 185
Умножая первое из уравнений A) на х, второе — на хо, почленно вычитан одно из дру-
другого и интегрируя в пределах or 0 до значения г, для которого справедливо разложение B),
получаем
г
x'}dr = ~r0*2 + o(Vr, к2-,к2^) = *2 fx(r)Xi>(r)dr. C)
Здесь в левой части соотношения учтены указанные выше асимптотики волновых функций,
граничное условие х@) = 0 и разложение эффективного радиуса (XIII 15). Интеграл справа
преобразуем следующим образом.
-- + i) ]dr= [\xl- (--
Щ «о
(здесь использовано, что х ** Хо; запись ±(-г/а0 + IJ означает добавление и вычитание
соответствующего слагаемого). В последнем интеграле уже можно распространить интефи-
рование до бесконечности, после чего, оставляя в выражении C) лишь не зависящие от г
слагаемые, получаем
J I \ "о / J
о
Для рассеяния на непроницаемой сфере радиуса R имеем хо = ' ~ г/^ ПРИ г > Л
и хч = О ПРИ f < Л; при этом длина рассеяния оо = R и согласно D) находим эффективный
радиус взаимодействия r<, = \R.
При ао = оо из выражения D) следует известный результат для эффективного радиуса Го
в момент возникновения s-уровня (I, § 133]. В частности, в этом случае для рассеяния
на i-яме имеем хо = ' ПРИ г > R и Хо = г/# ПРИ г < R; согласно D) с а0 = ос получаем
го = jA Для рассеяния на прямоугольной потенциальной яме г0 = Д — эффективный радиус
одинаков в момент появления любого по счету связанного состояния (теперь при г < R в ф
где пт — О, 1, 2,... в порядке появления «-уровней при углубления ямы).
Подчеркнем в заключение, что установленные для рассеяния на потенциальных ямах
свойства эффективного радиуса г0 в момент возникновения связанного s-состояния: величи-
величина го ~ R и знак Го > 0 являются достаточно общими для потенциалов притяжения U(r) ^ 0;
сравнить со случаем моментов ( Ф 0 в 13.44, а также со случаем / = 0 для ямы, окруженной
потенциальным барьером, в 13 47
13.44. Показать, что эффективный радиус взаимодействия г/ в состоянии с I # О,
см. (XIII. 15), в момент появления в потенциале связанного состояния431 равен
где С/ — нормировочный коэффициент в волновой функции с Е = 0, при этом
оо
X<°>(r)«C(i при г-со и J(x<i>)(r)Odr=\.
о
Найти Г) для 6-ямы.
4^ Этот случай наиболее интересен, так как в т^сутстнис в потенциале мелкого уровня слагаемое
с эффективным радиусом в (XIII 15) выступает как малая поправка.

186 Глава 13. Столкновения частиц
Решение. Поступим как и при решении предыдущей задачи. Учитывая, что теперь волновая
функция в момент возникновения уровня имеет нид х\ — Cir~' при г > d, а также
соотношение
(сравнить, например, с 13.39), находим
1
[B1 - I)!!]
7 C,V'+1 ctg б, = k11 XHXf> dr, rf « г « 1.
Отсюда, заменяя ввиду малости А:2 в правой части xti на xi°\ распространяя интефирование
до бесконечности (в случае ( = 0 этого нельзя сделать ввиду расходимости интеграла
на верхнем пределе) и используя соотношение fc2l+l ctg 6j = r(fc2/2 (так как at = со и момент
появления связанного состояния), получаем
г, = -2[B(-1)»]2СГ2, 1>\. (I)
При этом значение С} однозначно определяется условием нормировки радиальной в ф. х{0) на I.
Как видно, теперь в отличие от случая 5-рассеяния, эффективный радиус взаимодействия
отрицателен, rf < 0 и по порядку величины |г,| ~ Л11, где R — радиус потенциала
(такого же порядка и размер области локализации волновой функции связанного состояния
с моментом Ij'Ok энергией Е = 0).
Для <5-ямы в. ф. в момент возникновения связанного состояния с моментом { имеет вид
iC,r-', t>R,
С'^ '<*¦
Из условия нормировки находим С2 и эффективный радиус взаимодействия
_ 4B)-3I!(Л+1)!! ,.„
г,- ^3 Л , J>l.
В заключение подчеркнем, что при небольшом изменении потенциала эффективный
радиус изменяется также незначительно. Поэтому значение п в момент возникновения
связанного состояния применимо и в случае, когда уровень является мелким (реальным или
кназилискретным).
13.45. Найти фазовый сдвиг <5о(^) и сечение рассеяния медленных частиц:
о) непроницаемой сферой радиуса R;
б) б-ямой, Щг) - -a 6(r - R);
в) прямоугольной ямой радиуса R и глубины Щ.
Воспользоваться разложением эффективного радиуса.
Решение а) У. L1J. для радиальной функции xi — г&1 в случае I = 0 и его решение,
удовлетворяющее граничному условию х,-(Я) = 0, имеют вид
Отсюда фаза j-рассеяния 6ц{к) = ~kR и сечение рассеяния медленных частиц, когда
описывается выражением
а я <г,,0 (fc) = -? sm 2«0 й 4*Я2 ( I - - k}R-
(напомним, что поправка к сечению, связанная с рассеянием в р-волне, ж к1; вклад более
высоких волн еще менее существен).

§3. Низкоэнергетическое рассеяние 187
В случаях 6) и в) также можно было бы найги 6$(к) из точного решения у. Ш. Однако
более просто рассеяние медленных частиц может быть рассмотрено на основ; разложения
эффективного радиуса (XIII.15). При этом параметры низкоэнергетического рассеяния а(
и г( могут быть получены с помощью решения у. Ш. для энергии Е = 0, см. 13.31 и 13 43
для s-рассеяния.
б) Решение у Ш. при Е = 0 и I = 0 имеет вид
. , Г г - во, г > R,
*°М =\Ст, г < R.
Сшивание решения в точке г — R, см. 2.6, дает
CtR uq _ 2xnccR
Если 5 не близко к 1, то |ао| <Яи для медленных частиц cr ~ 4тгад (поправку порядка кг&}
к этому выражению можно найти, вычислив эффективный радиус г0 согласно 13.43). Если
же а близко к 1, то |aol >йи сечение рассеяния имеет резкую энергетическую зависимость,
описываемую резонансной формулой (XIII 16), при этом эффективный радиус всаимодействия
для 6-ямъ\ в момент возникновения связанного «-состояния г0 = jR, см. 13.43. Отметим, что
соотношение <г и 4тта1 требует уточнения также при значениях параметра 5, близких к 21 + I
с I ^ 1 (когда в системе появляется связанное состояние с орбитальным моментом 1), ввиду
резонансного характера рассеяния в 1-й парциальной волне, см 13.46.
в) Параметры низкоэнергетического рассеяния ао и Г(, для прямоугольной потенциаль-
потенциальной ямы были найдены в 13 31 и 13 43.
13.46. Рассмотреть рассеяние медленных частиц в парциальной волне с моментом
I Ф 0 в потенциале U(r) — —а6(г — R). Специально обсудить случай резонансного
рассеяния в условиях существования в потенциале квазистационарного состояния
с малой энергией Ец -С Иг/тД}, найти его ширину Гц.
Решение. Как и в предыдущей задаче, воспользуемся разложением эффективного радиуса
(XIII. 15) Длина рассеяния
1 а 31+1 _ 2maR
п' = ~B1 - l)!<Bf +1)" 21 + 1 - a R ' а~ Л2 '''
была вычислена в 13.39. Пока S не близко к 2( + 1, рассеяние в 1-Я парциальной волне носит
нерезонансный характер, при этом для медленных частиц
Oa,V
и доминирующим является s-рассеяние.
Если же 5 близко к 21 + I, то в потенциале имеется мелкий реальный (при а > 21 + I)
или квазидискретный'^ (в случае 5 < 2/+ I) уровень. При этом рассеяние носит резонансный
характер и существен член с эффективным радиусом, равным, согласно 13 44,
Ц21г)пB1\у\ B)
Энергетический спектр системы определяется полюсами парциальной амплитуды рас-
рассеяния fi(E) = l/fc(ctg<5( — :). В полюсе Ei имеем ctg<5((Bi) = : и с помощью разложения
эффективного радиуса (XIII 15) для «мелких» уровней получаем уравнение
*Г = -¦!¦ +j ***¦ (з)
о, 2
В случае / ^ I величина левой части этого уравнения мала по сравнению с каждым
из слагаемых в праиой части уравнения, так что его можно решать последовательными
""'Так как I ^ 1; «-уровень при 5 < I является виртуальным

188 Глава 13. Столкновения частиц
итерациями В «нулевом» приближении, пренебрегая левой частью в уравнении C), получаем
р Д2" (Д-')(М + 3)(Я + 1-5) ft2 ..
"~mr,o, ~ 4B1+1) тй2' У)
Так как г, < 0 (для I ^ 1), то в случае а< > 0 (т.е. при 5 > 21 + 1) имеем ?Л < 0, так что
уровень отвечает связанному состоянию в б-яме (сравнить с 4.9). При рассеянии медленных
частиц в этом случае /( я (fectg<5,)"', а соответствующее парциальное сечение рассеяния
а,(Е) =
Как видно, <7i а (ЛД)<('~"Д2, т.е. в этом случае резонансное сечение в 1-й парциальной волне
по порядку величины совпадает с нерезонансным сечением в более низкой парциальной
волне с моментом, равным {—1. Поэтому, кроме случая 1 = 1, оно вносит малый вклад
в полное сечение рассеяния.
В случае о, < 0 (т е. для значений 5 < 21+ 1, 1 > 1) ситуация иная. Теперь, согласно D),
Ец > 0 и левая часть уравнения C) является мнимой Следующая итерация позволяет получить
мнимую часть полюса амплитуды, Ei = ER-irR/2, определяющую ширину рассматриваемого
квазистационарного состояния,
Заметим, что занисимость Гя от kR определяется энергетической зависимостью коэффициента
прохождения центробежного барьера'
(Ь = A + \/2)/kR — квазиклассическая точка поворота), сравнить с 9 30.
Теперь парциальное сечение рассеяния <7|(?) в узкой области, шириной ~ Гя, энергий,
близких к Ец, описывается выражением
Как видно, оно велико, vi ~ к'^ > Д2, и значительно превышает сечение рассеяния
в 5-валне (<70 ~ тгД2), так что полное сечение а к trt. Вне этой области энергий, при \Е -
Ец\ > Гя, сечение описывается аналогичным E) выражением, с заменой в нем (Е + |Вд|J
на (Е-ЕпI, соответственно приведенная выше оценка сечения рассеяния при о( > 0
переносится и на рассматриваемый случай at < 0.
13.47. На примере модельной задачи: потенциальная яма глубины Щ и радиу-
радиуса Л, окруженная tf-барьером U(r) = a6(r - R) (рис. 12), обсудить особенности
резонансного рассеяния медленных частиц в s-состоянии, связанные с наличием
малопроницаемого барьера4'1, maR/h7 ^> 1.
Указание. Воспользоваться разложением эффективного радиуса, обсудив влияние малопро-
нииаемого барьера на значение эффективного радиуса взаимодействия г9.
Решение. Дли решения задачи воспользуемся разложением эффективного радиуса и вычислим
параметры низкоэнергетического рассеяния ао и г0 Волновая функция хо = r^o(r) «ля
47)Длн физических приложений особенно интересен случай, когда такой барьер связпн с кулоновским
отталкиванием заряженных частиц. Однако войду медленного убывания кулоновского потенциала этот
случай требует специального рассмотрения, см. |1, § 138).

U(r)
§3. Низкоэнергетическое рассеяние 189
значений Е = 0 и I = О имеет вид
A
С sin хог, г < Я, ко = - ^/2тУ0>
1 , r>R.
°о
Из условий сшивания решения в точке г = R, см 2.6, получаем
r CsinA=I , — + ACcosA = 5( I ), (I)
Go flO \ ^C /
где A = xqR и 5 = 2maR/h7. Отсюда находим длину рассеяния
Рис.12 , , ч
ao = -Rl1-5 + AClgAJ B)
При выполнении неравенства а > I имеем, вообще говоря, а^а R, что соответствует длине
рассеяния на непроницаемой сфере радиуса R (физически естественный результат ввиду
малой проницаемости барьера).
Существенное отличие от рассеяния на непроницаемой сфере возникает при такой
глубине ямы Щ, когда А близко к птг с п = 1,2 Записав в этом случае А = пя +7.
где |-у| <S 1, получаем
1. C)
Как видно, когда у ~ 7o,i> = -пт/5, длина рассеяния уже велика, |ао| > К, и обращается
в бесконечность при j = 7o,n- Такие значения параметров потенциала соответствует появле-
появлению в системе уровня с энергией Е = 0 (п-го по счету) при углублении ямы. В случае \ац\ 3> R
рассеяние медленных частиц носит резонансный характер.
Вычислим эффективный радиус г0. Согласно A) при а0 = со имеем С » (-1)п+|5/птг
и по формуле для эффективного радиуса г„ в момент возникновения s-уровня
00
г0 = 2 / A - xl{r)) dr, хо - 1 при г -¦ со
о
(сравнить с 13.43 для случая а0 = со), находим
г0 = ЛB - С2) а -С2Д a - f-^Л R. D)
Теперь, в отличие от случая s-рассеяния ямой без барьера (когда г0 ~ R и г0 > О,
см 13.43), эффективный радиус в момент возникновения связанного состояния велик,
|>"о| 2> R, и отрицателен, г0 < 0. Это приводит к тому, что слагаемое с эффективным радиусом
в (XIII.IS) является существенным481 при описании резонансного s-рассеяния. Ситуация
аналогична имеющей место при рассеянии с отличным от нуля орбитальным моментом
частицы, а физическая причина этого связана с наличием малопроницаеиого <5-барьера,
играющего при I — 0 такую же роль, как и центробежный барьер при I Ф О
Амплитуда резонансного рассеяния
. . _ 1 ,,.
/ ~ /о — 1 , i _ ., . > К3)
как и сечение рассеяния, а ~ 4*|/0|г, имеет резкую энергетическую зависимость, характер
которой зависит от соотношения между тремя малыми параметрами kR<$' I, R/\an\ <S I.
Д/!Го1 С I. Ограничимся анализом двух случаев.
"'* Заметим, что соотношение |го| > Я имеет место лишь а условиях сушестповании «мелкого» урооия
в системе.

190 Глава 13 Столкновения частиц
I) Если |ool > Ы. то
(*)'¦
так что сечение рассеяния (почти) не зависит от знака длины рассеяния. При этом в области
значений к < 1/|го| слагаемое с эффективным радиусом, как и вобычном случае л-рассеяния,
выступает как поправка; оно начинает играть существенную роль мри к > 1/|го|
2) В случае |aol < |г-0| рассеяние существенно зависит от знака длины рассеяния.
При этом для значений а0 > 0 имеем (в знаменателе выражения E) можно пренебречь
слагаемым -ik)
(»2 \ 2 . .2
) 7^ jt. f = >°- G)
mroj (Е + еУ тааг„ v '
Аналогичной формулой (но уже с t = — Er < 0) описывается сечение и в случае во < 0,
исключая узкую область значений энергии4" \Е - Er\ ~ Гя, в которой
г =
m|r,|
Параметры Er и Гд определяют положение и ширину квазидискретного уровня, суще-
существующего в системе в рассматриваемом случае; значение ширины связано с проницаемо-
проницаемостью i-барьера, сравнить с предыдущей задачей, а также с 13.48
В заключение рекомендуем читателю обсудить вопрос о полюсах амплитуды рассеяния E)
и о связи энергетической зависимости сечения рассеяния F)-(8) с характером уровня
(реальный, виртуальный или квазистационарный).
13.48. Найти парциальную амплитуду s-рассеяния в потенциале U(r) = ct6(r - R).
В случае малой проницаемости ^-барьера определить положения Е^п и ширины Гд1П
нижних квазидискретных s-уровней (с Е^п ~Л2/тД2).
Сравнить сечения рассеяния на 6- и непроницаемой сферах. Каково значе-
значение Ла(Е) разности этих сечений при энергии частиц, близкой к энергии квазидис-
квазидискретного уровня?
Решение У. Ш и его решение для j-полны имеют вид
ы ~ы г.\ ,2 „ 2mor , ч f-Asinfcr, г < К,
X - а6(г - R)X + к>Х = 0, а = -^, Х(г) = | ^ >_ е_,4г) _ р > д|
Из условий сшивания в ф в точке г = R, см. 2 6, находим
_ 2'»о _ -2.1я aRsin kR + kRcoskR + «fcflsin kR
"~e ~e 5R sin kR + kR cos kR - ikR sin kR'
При выполнении условий 5R Э> 1 и kR ~ I (точнее, kR <S 5R), из (I) имеем,
вообще говоря, So & е~мн, т е 60 a -kR, что соответствует рассеянию на непроницаемой
сфере (см. 13.45).
Специального рассмотрения требует при этом случай таких энергий частицы, для
которых kR и гиг с п = I, 2,... , и в выражении (I) нельзя заменять дробный сомножитель
на 1. Записав kR = гиг + 7, с I7I < I, имеем
aR sin kR + kR cos kR- ikRsinkRfs (-])" (SR-f + nx - in*~t) «
я (- 1)*E?Д - inir)(kR - nit + A + »A2),
^ В которой iteiuccTRCHH.iH часпь знаменателя в выражении (.5) близка к нулю.

§ 3. Низкоэнергетическое рассеяние
191
где А = пж/aR 4С I, и выражение (I) оказывается рапным
АД — птг + А + :'А2
B)
пягЛ2
Умножив здесь числитель и знаменатель на
(kR + пк - А)
преобразуем выражение B) к более удобной форме
_ 2limE-ER,n-iVR,n/2
5°~е вя + .г/г*
2тЛ2
C)
где 6Г = -*Я и
2тг2п2Л2 П1Г
"•" тД2 EДJ "" "¦"¦
Выражение C) имеет обычный для случая резонансного рассеяния на квозидискретном
уровне вид, см. [1, § 134]. При этом 6$ описывает фазу потенциального рассеяния (т.е. фазу
вдали от резонанса), a ER<n и I\n определяют положение и ширину квазидискретного
уровня. Таким образом:
1) фаза потенциального рассеяния совпадает с фазой рассеяния на непроницаемой сфере
радиуса Д;
2) положение ЕЛп квазидискретных уровней почти совпадает с уровнями в бесконечно
глубокой яме радиуса Д;
3) ширина уровня, определяющая время жизни квазистационарного состояния, может
быть представлена в виде
h , 7гпЛ
Да,,
т. 2тД21
где D — коэффициент проницаемости (при однократном столкновении) 5-барьера при
энергии, равной ?я„ (см. 2.30), а N = и/2Д = я-пЛ/2»пД2 характеризует число ударов
частицы о «стенку» в единицу времени.
Из физических соображений следует ожидать, что
аналогичные результаты имеют место и для значений
момента J Ф 0 Поэтому при значениях kR «С 5Д се-
сечение рассеяния на <5-сфере почти совпадет с сечением
рассеяния на непроницаемой сфере такого же радиуса,
за исключением узких областей ДЯ вблизи положе-
положений квазидискретных уровней Так как парциальное
сечение описывается выражением
1
,2
Рис. 13
и при энергии частицы, близкой к резонансной энергии Ец,п для «-уровней, рассеяния
с моментом i = 0 на непроницаемой сфере не происходит (при этом б\ я: пи), то разность
сечений рассеяния на 6- и непроницаемой сферах в окрестности квазидискретного «-уровня
оказывается раиной (рис. 13)
Д<г = я-Д2-
г2
13.49. Параметры потенциала Uq(t) выбраны так, что в нем имеется связанное
состояние с энергией Е = 0 и моментом I (длина рассеяния а] = схэ). Найти длину
рассеяния а< в этой парциальной волне при малом изменении потенциала на 6U(r).
Используя полученный результат, обсудить вопрос о различии .зависимостей
энергии уровня от 6U(t) в случаях ( = 0 и / Ф 0; сравнить с 4.27 и 4.28.

192 Глава 13. Столкновения частиц
Решение Обозначим через Xi и Xt регулярные решения уравнения Шредингера (х = гЛ)
с нулевой энергией в потенциалах Оо(г) и Un(r) + 6U(r), нормированные условиями
j.;0) = r-' и xi = г~'- r'+i {(V - \)ПB1 + \)»а,}~[ при г - со
(сравнить и 13.39). Написав у. Ш. для х\ ' и Xi> умножив первое из них на д;(, а второе —
на хТ и вычтя почленно, проинтегрируем по г в пределах от 0 до со, в результате получим
2[B/ - 1)!!J moi ¦> J
(сравнить с аналогичным преобразованием в 13.31, подчеркнем, что соотношение (I) спра-
справедливо при любом значении момента частииы).
Используя полученный результат и разложение эффективного радиуса (XIII 15), из усло-
условия ctg<5,(S|) = t можно найти положение полюса парциальной амплитуды рассеяния, опре-
определяющего изменение уровня В, = 0 в потенциале &о(г) под влиянием возмущения 6U(r).
В случае момента частииы I = 0 имеем
«о = -i\
и для значений длины рассеяния а0 > 0 (при 6U < 0) приходим к известному результату
B)
о квадратичной зависимости, Ец ос —FUJ, от 6V глубины «залегания» s-уровня, сравнить
с 4.27. В случае а0 < 0 также и х0 < 0, так что уровень JEo является виртуальным (находится
на нефизическом листе) Подчеркнем, что сечение 5-рассеянил слабо зависит от знака 6U(r),
см (XIII.16)
В случае орбитального момента частицы / ф 0, воспользовавшись выражением (I)
и результатом 13.44 для эффективного радиуса взаимодействия г( в момент возникновения
связанного состояния, замечаем, что сдвиг уровня (полюса парциальной амплитуды)
линеен по 6U и описывается первым порядком теории возмущений, сравнить с 4 28. Для
значений а, > 0 уровень — реальный с Е, < 0 Если же а, < 0, то Е, > 0 определяет энергию
квазистационарного состояния; при этом его ширина
-() D)
т|г,| V Л2 / W
В случае i Ф 0 характер резонансного рассеяния существенно зависит от знака 6U(r),
определяющего характер уровня, см., например, 13 46.
§4. Рассеяние быстрых частиц.
Приближение эйконала
13.50. Получить выражение (XIII. 18) для амплитуды рассеяния быстрых частиц сум-
суммированием ряда разложения ее по степеням потенциала (кратности взаимодействия),
см. 13.10.
Решение. Общее выражение для членов разложения, / = 2/'' амплитуды рассеяния
л
по степеням кратности взаимодействия дается формулой B) из 13.10. Так как входящие

§4. Рассеяние быстрых частиц. Приближение эйконала 193
в нее фурье-компоненты потенциала U(x) существенно отличны от нуля лишь при значе-
значениях xR <, I (Я — радиус потенциала), то замечаем, что в случае быстрых частиц, kR 3> I,
и малых углов рассеяния, когда qR = |k - ко|Л <, I, в интегралах по хк в этой формуле
доминирующую роль играют области интегрирования, в которых \хк - ко| < 1/Л Записав
где по = ko/fco и ** -•- по. имеем для энергетических знаменателей приближенное выражение
нк: - Ц - и и 2*о^' - it (I)
(здесь пренсбрежено слагаемыми (хк) и (хк) по сравнению с 2Лох^, что приводит
к относительной погрешности ~ 1/ЛД) Теперь, после подстановки в указанную формулу
выражений для фурье-компонент потенциала
Щрк, z,) ехр
замечаем, что с помощью соотношения
(pt+l - Pi)xt} rfV = BirJ<5(pt+1 - pk)
Ih
выполняются интегрирования по хк , а появляющиеся й-функции позволяют проинтегриро-
проинтегрировать и по рк, так что во всех множителях U(pk<Zi,) значения рк (с разными к) оказываются
одинаковыми Используя, наконец, значение интеграла
ir)(z) — ступенчатая функция, см. 13 14), находим в результате описанных преобразований
к = *„)¦
к / im \n V
/"' * — ( -гтг ) / d»!
2згг \ h к/ J
причем здесь в показателе экспоненты пренебрежено слагаемым — iq\\zn, так как ?ц <?. ?х
(сравнить с 13.2). В этом выражении можно по всем Zi интегрировать вбесконеч! ых пределах,
если ввести множитель (п!); после этого получаем амплитуду рассеяния в чйкональном
приближении-
-X
В заключение укажем условия применимости этого выражения, следующие из приве-
приведенного выше его вывода. Пренебрежение в показателе экспоненты формулы B) слагаемым
9||г ^ Ч^К/к я k6^R <С 1 предполагает, что угол рассеяния в <S \/VkR. Так как kR 2> I,
то эта область включает углы рассеяния 9 < \/kR, вносящие доминирующий ьклад в пол-
полное сечение. Далее, в связи с соотношением (I) отмечалось, что его использование вносит
погрешность ~ \/kR Однако вычисляемая (приближенно) величина входит г показатель
экспоненты выражения C). Поэтому условием его применимости является малость по срав-
сравнению с единицей абсолютной (а не относительной!) погрешности показателя экспоненты,
что приводит к следующему ограничению:
--УЛ~«1, т.е. |У(г)|«Я
/iv к л
(известному из других соображений, см. [1, § 131]).
7 \,\Ь -(>'>

194 Глава 13. Столкновения частиц
13.51. Показать, что полное сечение рассеяния быстрых частиц kR > I, в потенциа-
потенциале U (г) радиуса R может быть вычислено по формуле
00 00
= 4,/{ 1-е» [?
(I)
независимо от соотношения между энергией частиц и характерной величиной потен-
потенциала, т.е. справедливость формулы не предполагает выполнения условия Е > \U(r)\
применимости приближения эйконала50'.
Использовать полученный результат для вычисления сечения рассеяния частиц
потенциальным барьером (или ямой): U — Uo при г < R и U = 0 при т > R.
Решение. Приведенное в условии задачи выражение для сечения рассеяния следует из опти-
оптической теоремы, если для амплитуды рассеяния воспользоваться эйкональным прибли-
приближением (XIII. 17). Условием его применимости для быстрых частиц является выполнение
неравенства \U(r)\ <? E\ при этом оно справедливо для существенной области углов рас-
рассеяния в ? i/kR (см предыдущую задачу). В случае «сильного» потенциала, для которого
1^(гI ? & "Ри г ~ Я> рассеяние под углами в ~ \/kR уже не описывается эйкональным
выражением. Однако для рассеяния вперед, т.е. под углом в = 0, амплитуда
^5>(ем<-|) B)
по-прежнему сохраняет эйкональный вид (фактически это справедливо для области малых
углов рассеяния в <? 1/кД, пока не начинают сказываться осцилляции полиномов Лежандра
с I <, kR и можно положить Pt a I в разложении амплитуды (XIII.9) по парциальным 8олнам).
Чтобы пояснить сделанное утверждение, заметим, что эйкональная формула для амплитуды
рассеяния получается при использовании для фазовых сдвигов квазиклассического выраже-
выражения (XIII 14), см. [1, § 131J. В случае же «сильного» потенциала для них следует использовать
более общее выражение (XIII.13) Однако это обстоятельство не отражается на значении
амплитуды рассеяния вперед B). Дело в том, что для таких значений I в сумме B), для ко-
которых \U(ro)\>E (го — квазиклассическая точка поворота в выражении (XIII. 13)), фазовый
сдвиг обладает следующими свойствами: он велик, \St\ S> 1, и быстро изменяется с ростом I,
так что |$,+1 -6i\>\, причем эти свойства следуют как из формулы (XIII.13), так и из51'
(XIII. 14). Это приводит к тому, что в соответствующей части суммы B) вклад слагаемых
с expBti|) пренебрежимо мал из-за взаимной компенсации, связанной с быстрыми осцил-
ляпиями. Такая компенсация вкладов соседних слагаемых имеет место независимо от того,
какое выражение — правильное (XIII.13) или «неправильное» (XIII. 14) — используется! Для
значений же /, для которых |J/(ro)| С Е, по-прежнему справедливо (XIII.14). Таким образом,
амплитуда рассеяния вперед быстрых частиц описывается эйкональным выражением и при
нарушении условия |1/(го)| < Е; отсюда, согласно оптической теореме, и следует утверждение
задачи Отмстим, что унитарные свойства амплитуды рассеяния в эйкональном приближении
рассмотрены и 13.76
В случае потенциального барьера (или ямы) находим
я
j
C)
2mU0R
' Это условие требуется для применимости эйконального приближения при вычислении дифферен-
дифференциальною сечении рассеяния
51>T;ik, согласно (XIII 14) имеем
I

§4. Рассеяние быстрых частиц. Приближение эйконала 195
(интеграл вычисляется подстановкой х — у/\ - p2/R2) При значениях ( < I из выраже-
выражения B) следует результат борцовского приближения
для быстрых частиц (см. 13 1), а при ? > 1 имеем <г я 2тгД2 — известный результат для
сечения рассеяния быстрых частиц непроницаемой сферой (см. 13.57).
13.52. Найти полное сечение рассеяния частиц в потенциале U(r) = a/r" ci/>2
и а > 0 при энергии Е —> оо. Сравнить с 13.2.
Решение. Воспользуемся квазиклассической формулой для сечения рассеяния из предыдущей
задачи. Учитывая значение интеграла
-х О
(подстановкой 1 + u2 = \/t интеграл приводится к эйлерову интегралу — бета-функции
В(х,у) с х = 1/2 и у = (v — 1)/2), можно выполнить интегрирование52' по переменной р
и получить
где A = (i/-3)/(i/-l) ир = 2/(|/-1).
Как видно из формулы A), убывание сечения рассеяния при Е —» со является более
медленным, чем в условиях применимости борновского приближения, когда а ос ]/Е. Это
связано с тем, что при рассеянии быстрых частиц в потенциале U ос г~" с v > 2 до-
доминирующую роль играют малые расстояния (малые прицельные параметры), на которых
потенциал нельзя рассматривать как возмущение. Соответственно формула A) .три значениях
энергии Е —> оо справедлива для достаточно произвольного потенциала, имеющего рассма-
рассматриваемый вид лишь на малых расстояниях. Заметим, что для значений v —• 2 энергетическая
зависимость сечения, определяемая формулой A), «сшивается» с результатом, полученным
в борновском приближении
13.53. Рассмотреть «потенциал» вида U = д(Е)е~Т/11, экспоненциально спадающий
на больших расстояниях и с константой связи"', возрастающей степенным образом
с увеличением энергии: д(Е) — до{Е/Ео)". Показать справедливость следующего
ограничения:
на возможный рост сечения рассеяния при Е -+ оо.
Решение. Для вычисления сечения рассеяния воспользуемся результатом 13.5!. Квазиклас-
Квазиклассический фазовый сдвиг при значениях прицельного параметра р 2> R равен
(для вычисления интеграла следует воспользоваться разложением s/р1 + z1 « р + z2/2p).
52'Сначала делаем подстановку х — />2 и выполняем интегрирование по частям, что приводит
к интегралу вида / jj sin (jj) dx с з = (и - |)/2. Выразив теперь синус через экспоненты и сделав
подстановки v = ±га/х', приходим к интегралам, определяющим гамма-функцию
'"Отмстим, что слин-орбитальнос взаимодействие, 0 =?Т/(г), эффективно растет, а </Ё, с увели-
увеличением Ё.сравнитьс 13.59 Обсуждаемое ограничение на рост сечения в теории сильных взаимодействий
элементаоных частиц известно как теорема Фруиссара.

196 Глава 13. Столкновения частиц
Обозначим через р0 значение р, для которого 6(ра) — I. В случае п > 1/2 и больших
энергий имеем р0 3" R (при Е -» оо также и ро -* оо). Теперь заметим, что фазовый
сдвиг является резкой, быстро убывающей функцией р. Поэтому при вычислении сечения
но формуле из 13.51 вкладом области интегрирования р> ри можно пренебречь вообще
(так как в ней 6 ~ 0), а в области значений р < ри можно пренебречь вкладом, отвечающим
быстро осциллирующему слагаемому с cos 26(р) (ввиду 6 > 1) и получить в результате а{Е) ~
2irpl(E). Отсюда, используя выражение II), находим
0{Е) ~2 07) In I —- , где (То = 2ir I n — — I R . B)
\EoJ' " \ 2J '
в случае п > 1/2 (при приближенном вычислении Ро(Е) из соотношения In б(р0) = 0
пренебрежено слагаемым In (po/R) по сравнению с po/R, заметим, что при значениях п < 1/2
сечение рассеяния с ростом Е убывает).
13.54. В приближении эйконала найти амплитуду и дифференциальное сечение
рассеяния частиц в кулоновском потенциале U = а/г в противоположном борновскому
предельном случае \a\/hv > I, сравнить с 13.1.
Замечание При пычислении амплитуды считать кулоновский потенциал «обрезанным» на не-
некотором большом, но конечном расстоянии й (т.е. положить U = 0 для г > R)
Решение. Согласно (XIII.19) имеем для значений р -С й
п IK
@
hv p
и для амплитуды рассеяния (XIII.19) при q фй получаем выражение
ос 2»
где
¦?=-^In —-g/?cosv>. B)
В случае |о| 3> hv фаза экспоненты велика и быстро изменяется с изменением р и <р. В такой
ситуации значение интеграла определяется в основном вкладом областей интегрирования
в окрестностях экстремальных точек фазы как функции переменных р, <р. Из условий
экстремума находим
2cv = hvpaq cos у?о, qpo sin <po = 0;
отсюда pa = 2\a\/hvq и щ =¦ 0 в случае а > 0 или <р = ir для а < 0 (при этом \а\/ро <? hkv,
т. е \U\ <& Е, что оправдывает использование приближения эйконала). Разлагая S(p,ip)
а окрестности экстремальной точки ра, <р0 с «квадратичной» точностью и используя значение
интеграла Пуассона, получаем амплитуду рассеяния
C)
При этом дифференциальное сечение рассеяния
1п =
что, как и н условиях применимости борцовского приближения, совпадает с формулой
Резсрфорда (для углов рассеяния в <К I).
Заметим в заключение, что необходимость «обрезания» потенциала и отсутствие предела
при й —• оо для амплитуды рассеяния (но не для дифференциального сечения) связано

§ 4. Рассеяние быстрых частиц. Приближение эйконала 197
с медленным убыванием кулоновского потенциала, гак что на больших расстояниях волновая
функция не переходит в и. ф. свободной частицы. Возникающее при этом искажение, равное
Д(г) ^
hv
фазы радиальной функции, см [I, §36], при обрезании потенциала на расстоянии г = R пе-
переносится в амплитуду рассеяния в виде множителя exp {2iA(i?)} Соответственно, исключая
его из выражении C), получаем амплитуду рассеянии
уже не зависящую от радиуса обрезания и совпадающую, как и следовало ожидать, с ампли-
амплитудой кулоновского рассеяния54'
/кул —
а ГA +ia/hv)
2mu2 sin '(в/2) ГA -ia/hv)
Г 2ia .81
eXp|-_lnsm_|,
см. [1, § 135], в квазиклассическом случае \a\/hv > 1 (причем для всех углов рассеяния, хотя
формально эйкональное приближение применимо для углов 0 <К hv/\a\).
13.55. Выразить в приближении эйконала амплитуду рассеяния частиц в поле двух
силовых центров, находящихся на расстоянии а друг от друга, т. е. в потенциале
U (г) = fb(|r-a/2|)-(-J7o(|r+a/2|), через амплитуду /0 рассеяния на одном центре Щ(т).
Какова связь полного сечения рассеяния с одноцентровым oq?
Применить полученный результат к вычислению полного сечения рассеяния на сла-
слабо связанной системе из двух центров (подобной дейтрону), когда ео характерный
размер много больше радиуса взаимодействия налетающей частицы с отдельным
центром.
Решение. В приближении эйконала амплитуда рассеяния описывается выражением
Отсюда с помощью преобразования Фурье получаем
ос
е*р{-^ /'U(p,z)dz} = I + ^ Jj'/(fc.Kje1"*' d7xx. B)
-X
Подстапляя теперь н формулу A) потенциал
и переходя в получающемся выражении к одноцентровым амплитудам рассеячия /i.j на по-
потенциалах {/|,г@ согласно соотношению B), получаем амплитуду рассеяния на двух центрах
и эйкональном приближении
<--qj.»x > + /3(*,qx)expj - ^ях > +
l- 5^ //< (*.^ + у) h (k, -Xj. + y) exp {-ixxSj } d^A, C)
здесь a^Xj; — составляющие векторов, перпендикулярные направлению импульса падающих
частиц п0; так, а = ацПц + а^.
^ Здесь отношение гамма-функций определяется лишь их фазами, которые /ici ко найти, если
воспользоваться известными асимптотиками для 1пГ(г).

198 Глава 13. Столкновения частиц
Дли приложения формулы C) к вычислению амплитуды упругого рассеяния частицы
на связанной системе из двух центров (т. е на некоторой составной частице), ее следует
усреднить с волновой функцией Фо(а) составной системы, т.е. выполнить интегрирова-
интегрирование /d3a|*o(a)l! (при этом предполагается, что скорости частиц «мишени» малы по срав-
сравнению со скоростью налетающей частицы) Подчеркнем также, что ФоМ является в. ф.
составной системы в ее с. ц. и. (причем мишень как целое считается неподвижной) Далее,
поскольку радиусы-пекторы частиц мишени были пыбраиы равными ±а/2, то имеется it виду,
что у них одинаковые массы (подобная дейтрону составная система). Возникающие при от-
отмеченном усреднении интегралы выражаются через формфактор составной системы, равный
В результате усреднения выражение C) принимает вид
*х + у) Л (*,-** + у)*1^) dJ*x. D)
Полное сечение рассеяния на составной системе с помощью оптической теоремы
(XIII.11) может быть выражено через амплитуду упругого рассеяния на угол в = 0 (при этом
qj. = 0), так что
-g Re J
E)
здесь <7li2 — сечения рассеяния на свободных частицах мишени (подчеркнем, что полное
сечение рассеяния включает и процессы с «развалом» исходной состаоной системы).
Теперь заметим, что специфика рассеяния на слабосвязанной системе определяется тем
обстоятельством, что убывание ее формфактора происходит при значениях импульса
где R — размер системы, ес, и /* — энергия связи и приведенная масса частиц мишени,
причем R существенно превосходит радиус взаимодействия Так как характерные значения q
при рассеянии порядка обратного радиуса взаимодействия, т.е. велики по сравнению с F),
то в выражении E) амплитуды /,,2 можно вынести из-под интеграла в точке хх — 0 и после
этого выполнить следующее преобразование:
J F(btx) d2xx = Jjj exp {-^р}|Ф„(р, z)\> d'p dz
X ОС
= BrrJ J |*0@, *)? dz = It J i|$0
J dr = 2^
Здесь предположено, что орбитальный момент составной системы равен нулю, и поэтому
в. ф. Фо(г) янляетси сферически-симметричной; {R'7) —среднее значение обратного квадрата
расстояния между частицами мишени. Таким образом, получаем
=^^ Re (/,(*, 0)/2(*,0)). G)
В частности, если /\,г(к,О) — чисто мнимые величины, то, используя оптическую теорему
для одноцентровых амплитуд, находим
1 / 1 \
<«)
Заметим, что такой случай мнимых амплитуд можно рассматривать (моделировать) как рассе-
рассеяние на непроницаемых (или «черных») сферах, сравнить с 13.57 и 13.90 При этом несколько
меньшее (так как А < 0), чем суммарное а, + а2, сечение рассеяния на двух центрах

§ 4. Рассеяние быстрых частиц. Приближение эйконала 199
наглядно можно объяснить как результат взаимного «затенения» сфер. Читателю предлагается
убедиться в том (ограничиваясь, для простоты, случаем одинаковых рассеивающих центров),
что при Я>о расчет эффекта «затенения» в рамках классической механики воспроизво-
воспроизводит результат (8) данной задачи при условии, что радиусы сфер о выбраны такими, что
одноиентровые сечения а, = сгг = на1.
13.56. Обобщить приближение эйконала на случай обменного взаимодействия, когда
г70вмФ(г) = U(г)Ф(-г). Какова связь дифференциальных и полных сечений рассея-
рассеяния для обменного и обычного потенциалов? Сравнить с рассеянием в борновском
приближении, рассмотренным в 13.3.
Решение. Имея в виду вывод выражения для амплитуды рассеяния в эйконалыюм при-
приближении для «обычного» потенциала, основанный на использовании квазиклассического
выражения (XIII. 14) для фазового сдвига и замене суммирования по парциальным волнам
интегрированием по прицельному параметру, см. [I, §131], и замечая, что в приближе-
приближении (XIII. 14) для обменного потенциала фазовый сдвиг
«.,<*„ = Н)Ч<*«„ (|)
легко прийти к следующим результатам.
В области малых углов рассеяния, 9 «С 1, в случае обменного потенцигла амплитуда
рассеяния описывается аналогичной (XIII.18) формулой с cos2<5г вместо е'1'1, т.е.
/*»(*,«)« у- f[[cos26(p)-l] exp{-iqp}d2p =
wCl лТГХ JJ
х
= -ikJ[cos2S(p) - \]ja(kp6)pdp, B)
о
где S(p) определяется прежним выражением. Это связано с тем, что появление множи-
множителя (—1)' в формуле A) не изменяет значения части амплитуды рассеяния, связанной
с четными, как функциями St, слагаемыми. Для нечетных слагаемых, ос sin 2<5|%о6„, про-
происходит сильная взаимная компенсация вкладов соседних членов суммы по I, и эта часть
амплитуды пренебрежимо мала.
Заметим, что амплитуда B) — чисто мнимая и совпадает с мнимой частью амплитуды
рассеяния на обычном потенциале U(r). С учетом оптической теоремы совпадают и полные
сечения рассеяния (одинаковы и парциальные сечения рассеяния <т()
В случае обменного потенциала амплитуда рассеяния имеет резкий максимум в области
углов, близких к л- (при рассеянии назад, сравнить с 13.3). Учитывая соотношение для
полиномов Лежандра Pi(z) — (— l)'Pj(—z), находим
ос
d1p = fc fsui26{p)Jt{kp(*-0))pdp, C)
J
где Д = к + ко. В этой области углов амплитуда — вещественная функции и соипадает
с вещественной частью амплитуды рассеяния на обычном потенциале под углом С' = 1г-в <& I.
Из полученных выражений B) и C) для амплитуды равенство полных сечений рассеяния
на обменном и обычном потенциалах очевидно и без приолечения оптической георемы
13.57. В случае рассеяния быстрых частиц, kR > 1, идеально отражающей (не-
(непроницаемой) сферой радиуса R найти амплитуду и дифференциальное сечение
рассеяния под малыми углами, когда kR9 < 1, а также полное сечение столкновения.
Воспользоваться квазиклассическим выражением (XIII. 13) для фазового сдвига.
Решение. Для вычисления амплитуды рассеяния быстрых частиц воспользуемся разложением
ее по парциальным волнам (XIII 9) и квазиклассическим выражением (XIII.13) для фазовых
сдвигов. Так как V = 0 при г > Л, то интегрирование по частям в (XIII. 13) дает
\L, A)
= (. + 1) arccos Ц^ - yJkW " (' + 5)J,

200 Глава 13. Столкновения частиц
где Ь = kR — I/2 (при этом г0 = R), адля значений I > L получаем (при этом г0 = ((+ \/2)/к)
6, = О, 1>L. B)
При I > L точные фазовые сдвиги экспоненциально малы; поэтому квазиклассика, не обес-
обеспечивающая такой точности, дает 6i - 0 Заметим также, что, строго говоря, и формулу (I)
слеловалобы внести дополнительное слагаемое, равное -г/А, имеющее такое же происхожде-
происхождение, как и рассмотренная в 9.2 модификация правила квантования (для I < L в данной задаче
кназиклассика применима, вообще говоря, непосредственно вплоть до точки поворота г = R).
Укажем, наконец, что полученные результаты для 6t требуют уточнения при значениях I,
близких к L, так как в этом случае в окрестности точки г = Л квазиклассика неприме-
неприменима и условия сшивания решений требуют дополнительного исследования (отмеченные
обстоятельства несущественны для дальнейших вычислений).
Воспользовавшись соотношениями (I) и B), амплитуду рассеяния удобно записать в виде
/ = А.,фр + /к.1> C)
где
L . L
/д..Фр = ^ !>' + Ofi(«»0), Д., = — YP-1 + 1)е!"'Я,(со5в).
1=0 |«Н>
Поясним, имея в виду дальнейшее исследование в данной и в следующей за ней задачах,
смысл используемого разбиения амплитуды на «дифракционную» и «классическую» части.
В области малых углов рассеяния (фактически при значениях в 4С (АД)'1 <§С I) име-
имеем |/,„ф,,| 3> IA.il. при этом вклад в полное сечение этой области составляет -irP} Рассеяние
под малыми углами в условиях, подобных данной задаче, называют дифракционным, так как
по своей физической природе оно аналогично дифракции плоскопараллельного пучка света,
падающего на непрозрачный (отражающий или поглощающий) экран — дифракции Фраунго-
фера B7], см. также 13.90. При углах рассеяния в 2> (кЯ)~'/3 уже пренебрежимо мала часть
амплитуды /,1Ифр. При этом /„ описывает изотропное распределение рассеянных частиц:
da/dil ss |/ш|3 й R1 /4, так что сечение рассеяния под такими углами также составляет xR*
(как и в классической механике). Полное сечение рассеяния равно 2згЛ2. Наконец, в области
углон $ ~ (АЛ)"'/3 амплитуды /я„фр и Д., одного порядка; вклад в сечение от рассеяния под
такими углами пренебрежимо мал по сравнению с я\й2.
Для достаточно мапых углов рассеяния (пока не начинают сказываться осцилляции
полиномов Лежандра как функций /; при в = 0 они вообще отсутствуют, так как Р(A) = I)
дифракционная часть амплитуды рассеяния оказывается доминирующей и / и /ЛИф,,. Дей-
Действительно, так как фазовые сдвиги A) велики, |Л(| ^ I, и быстро изменяются, то в сумме
лли /к., происходит взаимная компенсация, из-за осцилляции е2, вкладов различных слага-
слагаемых. Воспользовавшись соотношением Pj(cosfl) а Л((' + 1 /2)б) при I > 1, в <S 1 и заменяя
суммирование в /ЛцфР интегрированием по I, получаем (L^ikR):
№+->*((.+ ^)*««^ D)
о
(здесь использована формула f xJq(x) dx =xJ\{x))
Амплитуда диффракиионного рассеяния — чисто мнимая. Воспользовавшись оптической
теоремой и соотношением J, а х/2 при х — 0, находим полное сечение рассеяния <r = 2nR2,
ччо в дна раза превышает классическое сечение (сравнить с 13.51)
В области малых углов рассеяния дифференциальное сечение da/du — |/л„фр|г ниляется
осциллирующей функцией в, причем расстояние между соседними максимумами имеет
порядок величины Ав ~ \/kR Воспользовавшись известными асимптотиками функций
Бесселя, согласно D) находим
^ а LrkR)iRi. *
<Т/1й 4
а kR)R a
Наибольшую величину лиффсренииальнос сечение рассеяния имеет в области углов в ^ \/kR
и быстро спадает с ростом в.

§ 4. Рассеяние быстрых частиц. Приближение эйконала
201
Полное сечение дифракционного рассеяния
1 е. составляет половину полного сечения рассеяния; ппилу быстрого убывания г одынтеграль-
ной функции интегрирование распространено до бесконечности и использовано значение
интеграла
13.58. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае не очень малых углов рассеяния
в > (kR)~^}. Сравнить с результатом классической механики.
Решение Рассмотрим часть /„ амплитуды рассеяния
1 1
L = kR,
С)
где <5| даются формулой A) предыдущей задачи.
Общий подход к вычислению сумм нила A) о квазиклассическом случае изложен в [I,
§ 127] Не повторяя вывода основных формул, укажем лишь результаты их применения
к рассматриваемому случаю Формула A27.3) из [I]
принимает вид
do f
da
1+ 1/2
2 arccos — ± в = 0.
kR
Отсюда следует, что экстремум имеетсч лишь у по-
показателя первой экспоненты в A27.2) причем для
экстремальной точки Jo имеем
1 в I / 1\
- =kRcos-, «,„ = -No+ j N -
Окончательное выражение для /„ определяется не-
непосредственно формулой55' A27 6), принимающей
вид
'•- Г -¦- ^ B)
Рис. 14
Отсюда имеем
da*,
C)
что совпадает с результатами классической механики.
В заключение приведем рис 14, иллюстрирующий качественную зависимость дифферен-
дифференциального сечения рассеяния da/dii от угла в при рассеянии быстрых частиц, fc.R ~3> 1 (более
точно, при (kR)'11 > I), на непроницаемой сфере согласно результатам данной и предыдущей
задач
55*Она относится фактически к отгалкииательному потенциалу; в ней пропущен фаювыи множи-
множитель е~"'4. возникающий при переходе от суммирования но / к интсфированию по { {что, конечно,
не отражается на пелнчкне лифференииального сечения рассеннин)

202 Глава 13. Столкновения частиц
§ 5. Рассеяние частиц со спином
13.59. Оператор взаимодействия частицы со спином s = 1/2 с внешним полем имеет
вид56»
и = ио(г) + и,(г)эТ
Рассмотреть рассеяние в борновском приближении. Какова энергетическая за-
зависимость полного сечения рассеяния для быстрых частиц? Сравнить с рассеянием
бесспиновых частиц.
Найти зависящую от спина часть амплитуды рассеяния электрона в кулоновском
поле ядра, Щ = —Ze2/r, учитывая, что спин-орбитальное взаимодействие для него
описывается выражением U, = Ц?14тг(?-т)дий1дг.
Решение. Формулы (XIII.I— XIII.5) очевидным образом обобщаются на случай рассеяния
частицы с отличным от нуля спином. Подстановка оператора взаимодействия U (вместо
потенциала U) и невозмущенной волнопой функции Ф^ = ell°rX>> где Х< ~~ спиновая
функция частицы до столкновения, в (XIII.5) определяет спинорную амплитуду рассеянной
волны F = /х, в борновском приближении. Отсюда
¦ — U^q)), (I)
qdq J
где Uo, i (g) = / Uo, i (r) exp {-iqr} dV.
Согласно (I) и (XI11.23) полное сечение рассеяния в борновском приближении описы-
описывается выражением (сравнитьс 13.1)
вй<9> l ,j B)
5?
(подчеркнем, что в общем случае слагаемое в дифференциальном сечении ос i^Po, описыва-
описывающее азимутальную асимметрию в рассеянии, см. (XII,23), при вычислении полного сечения
рассеяния исчезает: сечение, просуммированное по проекциям спина рассеянных частиц,
от вектора поляризации Ро в начальном состоянии не зависит). Отсюда для быстрых частиц
получаем '
„(?) я ?l + с C)
где
Х 2 Х ~ / \ 2
8?rft J 47rft J dq
о о
Оставленные здесь слагаемые отвечают различным взаимодействиям, и при большой, но ко-
конечной энергии они могут быть одного порядка. Фактически из релятивистского характера
и' Классический аналог спин-орбитального взаимодействия U[r)Si рассмотрен о 13.60 Если для
частаиы со спином j = 1/2 записать магнитный момент в виде /io = e/i/2mc + ц , гле е, m —
зарил и масса частицы, а р! — ее аномальный магнитный момент, то правильное коантопомеханическос
обобщение классического результата из 13 6Э получаете» при подстановке вместо ц оператора вида /i'o5
с ц'„ = eft/"tmc + ц'\ см. 15.32, а также |29|.
' Читате,1ю предлагается самостоятельно обсудить вопрос о применимости борновского приближения
дл» спин-орбитального взаимодействия и вопрос об ограничении на закон убывании U\(t) на больших
расстояниях, обеспечивающем конечность полного сечения рассеянии Подчеркнем лишь, чго независи-
независимость от энергии при Е — со сечения рассеяния при таком взаимодействии отражает его эффективный
рост с упеличением Е, так как /,фф ~ k/i« -/Ё.

§ 5. Рассеяние частиц со спином 203
спин-орбитального взаимодействия для электрона следует, что именно второе, не убывающее
с ростом энергии слагаемое в нерелятивистском случае оказывается менее существенным.
Для рассеяния электрона в кулоновском поле получаем
где v = [kok]/|[kok]|, зависящая от спина часть амплитуды рассеяния имеет малость ~ $v*/c2.
Сделаем замечание о вычислении зависящей от спина части амплитуды рассеяния
в случае спин-орбитального взаимодействия с Ut(r) = ^JL JJ0(r). Имея в виду для нее
выражение (I), выполним следующие преобразования:
' dV
= J U-, [rkole-" dV = -7 J e'"" [koVi7o(r)] dV = -i
Поэтому для рассматриваемого спин-орбитального взаимодействия амплитуда рассеяния
в борновском приближении описывается выражением
/ = -r%U(?)(l-»7M]i?). E)
Отсюда, воспользовавшись выражением Uq — —4irZe2/q2 для фурье-компонеты кулонопско-
го потенциала и значением параметра 7 = Л2/4т2с2, приходим к D).
13.60. Найти в борновском приближении амплитуду и дифференциальное сечение
рассеяния быстрых нейтронов кулоновским полем.
Решение. Сначала установим вид взаимодействия движущегося магнитного диполя с элек-
электрическим полем в классической электродинамике В исходной системе координат имеется
только электрическое поле / = -V(p с <р = Ze/r. Чтобы получить выражение, описывающее
взаимодействие с ним нейтрона, движущегося со скоростью v = р/М, перейдем в систему
координат, связанную с нейтроном. В этой системе появляется магнитное поле ЭГ я: [<?V]/c,
см. [27], и энергия взаимодействия оказывается равной (ft — магнитный момент нейтрона)
I 8<р
у = -1хЖ=— -%L, L=[rp). (I)
Mct or
Квантовомеханическое обобщение этой формулы, получающееся путем замен: ц на опе-
оператор спинового магнитного момента38' Д = /*о?. где ро = ре h/2Mc (для нейтрона экспе-
экспериментальное значение /3 = —1,91), и L на АI, определяет оператор взаимодействия
Используя выражения для амплитуды рассеяния при спин-орбитальном взаимодействии
в борновском приближении, полученные в предыдущей задаче, находим
^^'**^^ C)
(и = [kok]/|[ki>k]| — орт нормали к плоскости рассеяния). Дифференциальное сечение
рассеяния, просуммированное по спиновым состояниям рассеянного нейтрона,
^1 D)
здесь F = fx, — спинорная амплитуда рассеянной волны. Для рассеяния под м;шыми углами,
в -» 0, имеем da/dQ. а в'1, так что полное сечение рассеяния оказывается бесконечным
(расходимость сечения устраняется при учете экранировки заряда ядра).
58'См сноску к условию задачи 13.59.

204 Глава 13. Столкновения частиц
13.61. Какие ограничения накладывает условие эрмитовости гамильтониана на взаи-
взаимодействие U = Щ(г) + U\(r)\ Э частицы со спином s = I/2 с внешним полем?
Какова в первом борновском приближении поляризация рассеянных частиц, если
первоначально они были не поляризованы? Показать также, что если до столкновения
частицы были поляризованы, то в результате рассеяния происходит лишь поворот
вектора поляризации.
Решение. Эрмитовость оператора взаимодействия U = U0(r) + Ui(r)<r I предполагает ве-
шестиенность функций J/o.i(r)- При этом вещественны и их фурье-компоненты Uo,i(q),
а соответственно и инвариантные функции А и В о выражении для амплитуды рассеяния
/'= А{к,в) + *В(к,в)и& (I)
в борновском приближении, см формулы (I) и E) из 13.59. Отсюда согласно общей
формуле (XI 11.24) для поляризации рассеянных частиц следует, что вектор поляризации Р = 0,
если первоначально частицы были неполиризоианы, Ро = 0.
При рассеянии поляризованных частиц вектор поляризации рассеянных частиц равен5*',
см. (I. § 140]:
_ (|А|3 - |В]2) Рр + 2\B\7v (t/P0) - 2 Re AB' [i/P0] + 2 Im AB V
~ |A|2 + |?|2 + 2lmABVP0 '
Так как к борновском приближении А и В — вещественные функции, то
| A/Ро) -2АВ[иР0}},
и, как легко убедиться, Р\ - f\. Поворот вектора поляризации происходит вокруг нормали
к плоскости рассеяния, при этом i/P0 = i/Рц.
13.62. Найти поляризацию, возникающую при рассеянии быстрых (так что Ze2/hv <C I)
неполяризованных электронов в кулоновском поле ядра. Какова поляризация при рас-
рассеянии позитронов?
Указание. Спин-орбитальное взаимодействие указано в 13.59. При вычислении амплитуды
второго приближения теории возмущений рассмотреть сначала экранированный кулоновский
потенциал Ус(г) = ~Bег/г) e"/R, и в окончательном результате перейти к пределу й -> со
(сравнить с 13 54).
Решение. В первом порядке по взаимодействию
амплитуда рассеяния имеет вид
(см. формулы D) и E) из 13 59) Функции Л'1' и 5'1' — вещественные, и поэтому в первом
порядке теории возмущений поляризация при рассеянии не возникает, см формулу (XI11.24)
Общее выражение для амплитуды второго приближения получается, как и в случае
рассеяния бесспиновых частиц (см. 13.10}.
B)
При вычислении Ат — не зависящей от спина части амплитуды /'г>, в амплитудах первого
приближения /(|) и выражении B) следует учитывать только слагаемые Ат (вклад в Ат
"' Напомним, что по сравнению с |1, § 140) в выражении (I) перед инвариантной функцией В впеден
множитель t.

§ 5. Рассеяние частиц со спином 205
от «спиновых» слагаемых в обеих амплитудах /''' имеет дополнительную малость ~(«/с)'1).
При этом Ат совпадает с амплитудой рассеяния второго приближения на потенциале U0(r).
Для потенциала Юкавы она была рассчитана в 13.12. С помощью формулы (>) этой задачи
получаем (с заменой в ней а на -Ze2)
»4g=? R»l C)
к
Для зависящей от спина части амплитуды /'2' согласно B) и A) находим
e7\2 Г [qx] dflK
(\х\ = к = &о, ° вычислении мнимой части интеграла см., например, 13.11). Входящий сюда
интеграл запишем в виде
[(к, - хJ + R-i] [(к - хУ + R-2}
После умножения на (к + ко) получаем
1 I
ko)+C2q. E)
,-xy + R-2
Интегралы от первых двух слагаемых здесь вычисляются элементарно, а интеграл от третье-
третьего слагаемого непосредственно выражается через мнимую часть амплитуды рксеянмя /B>
на потенциале Юкавы, см 13.12; в результате получаем при kR > 1 (напомним, что |х| = fc)-
(ко + кJС, = 2тг I - -J- In 2kR + —
Замечая, что слагаемое С^Ч в E) не вносит вклада в значение интеграла D) и что (ко 4 кJ =
4*2cos2@/2), находим
1/Яе2у sine Hn2kR 4А=1пдД]
Теперь, используя соотношения A), C), F), по формуле (XIII.24) получаем поляричацию
электрона при рассеянии в кулоновском поле ядра:
(А(ЧJХ ' he с cos(e/2) V 2/ . .
v
~ I [kok) I
(подчеркнем, что радиус обрезания потенциала в окончательный результат не входит)
При рассеянии позитронов вектор поляризации имеет противоположное направление
(амплитуда /''' изменяет знак, а /'2' остается неизменной).
13.63. Взаимодействие частицы со спином s — 1/2 с внешним полем имее1 вид
U = Uo(r) + J/|(r)T<7. Найти фазовые сдвиги 6f:
а) в борновском приближении,
б) в квазиклассическом приближении.
Получить также выражение для амплитуды рассеяния в приближении эйконала,
исходя из разложений (XIII.25) по парциальным волнам.

206 Глава 13. Столкновения частиц
Решение. Решение уравнения Шрёдингера, отвечающее определенным значениям квадрата
орбитального момента 1A + 1), полного момента j = / ± 1/2 и его проекции jt, имеет вид
ft2fc2
Здесь *,!,, — спин-угловая часть волновой функции (см. 5.24 и 5.25, впрочем в данной задаче
ее явный вил несуществен). Так как
то замечаем, что радиальное уравнение Шрёдингера для Rt), имеет точно такой же вид, как
и в случае бесспиновой частицы с орбитальным моментом I в потенциале
(верхние и нижние знаки относятся ссответственно к значениям j = I ± 1/2). Поэтому
замена н выражениях (XIII.12-XIII 14) потенциала U(r) на С/,* определяет фазовые сдвиги 6f
вразложениях (XIII.25) инвариантных функций амплитуды рассеяния по парциальным волнам
в соответствующих приближениях. Так, обобщение выражения (XIII.14) имеет вид
Используя это соотношение, с помощью формул (XIII.25), как и в случае бесспи-
бесспиновых частиц [I, § 131], можно получить выражения для иннариантных амплитуд А и В
и приближении эйконала; при этом полезно иметь в виду, что
sinetf(cos0)a-— MW) = IJI{16); l»l, fl«l.
OS
Особенно наглядно выглядит в эйкональном приближении выражение для амплитуды
рассеяния / как оператора (матрицы) в пространстве спиновых состояний
если ввести оператор квазиклассического фазового сдвига (сравнить с (XIII.19))
X
?(ко, Р) = -^ f{Uo(p,z) + У,(р, г) [рко] 9} dz. B)
С помощью соотношения
exp {ia&i/} — cosa + tffi/sin а, где i/2=l,
теперь не представляет труда получить эйкональные выражения для амплитуд А и В и фор-
формуле (XIII.22).
13.64. Для столкновения частицы со спином j = 1/2 с бесспиновой частицей найти
связь между амплитудами рассеяния в спиральном представлении (см. 5.20) и инвари-
инвариантными функциями А и В в (XIII.22).
Решение. Пусть плоскость реакции есть плоскость (x,z), причем ось г направлена вдоль
импульса ро частицы со спином з = 1/2 в с. ц и. до столкновения При этом имеет место"
Ро = @,0,р), р = (р sin в, 0, рcos в) и 1/ = @,1,0), так что аи = <?„.
Учитывая, что спиральные состояния. <рх —• до столкновения и х? — после рассеяния,
описываются спинорами (см. 5.20)
(\\ {0\ fcos{e/2)\ ( -sin (9/2) \
*"/2= V°/ * Ч'-'п=\\)'' *'/2= Vsm(e/2)J- X-4i={ cos(«/2)J«

§ 5. Рассеяние частиц со спином 207
находим спиральные амплитуды /л^ = xlf9\'-
f,П.Ч1 = /-i/J.-i/2 = c°s@/2) • А - sin @/2) • В,
/l/2.-l/2 = -/-1/2.1/2 = - Sin (9/2) • Л - COS (в/2) ¦ В.
13.65. При столкновении двух бесспиновых частиц происходит реакция с образова-
образованием также двух частиц, одна из которых имеет спин s = I, а другая — спин s = 0.
Внутренние четности всех частиц — положительные.
Используя для описания спиновых состояний частицы с s = 1 векторное пред-
представление (см. 5.26), показать, что спиновая структура амплитуды рассматриваемой
реакции описывается выражением
где а — спиновая функция, ро и pi — импульсы относительного движения до и после
столкновения.
Выполнить разложение }(Е, 9) по парциальным волнам.
Указать также спиновую структуру амплитуды в случае, когда частица со спином
s = 1 имеет отрицательную внутреннюю четность.
Решение. Волновая функция относительного движения сталкивающихся бесспиновых частиц
на больших расстояниях имеет вид
Слагаемое t'Bi + l)Pj(cos0)e~''tr~*''2'/2fcr этой суммы описывает состояние стачивающихся
частиц (до взаимодействия) с моментом j = Z, четностью /| = (-1)' и проекцией момента
на ось z, направленную вдоль импульса р0 =fik, равной нулю, т.е. j, = I, = 0. Возникающие
при этом в результате взаимодействия частицы 8 рассматриваемом канапе реакции на большом
относительном расстоянии г, друг от друга будут описываться расходящейся полной вида
*?<(S)*,-u,,,2=o(n,)^e""', п, = ^. A)
Здесь ф;/;,(п) описывает спин-угловую зависимость в ф. разлетающихся частиц в состоянии
с соответствующими квантовыми числами; величина параметра 17, определяется интенсивно-
интенсивностью взаимодействия. Для определения явного вида Ф(П|) замечаем, что орбитальный момент
в конечном состоянии совпадает с исходным I Действительно, при полном моменте j = I
и спине 4 = I орбитальный момент может принимать лишь значения I' — I, t t \\ при этом
с учетом значения четности состояния следует, что I' = I (причем I Ф 0). Поэтому
Ф«,о(п,)= Y, С?.,,-тК„„(п,)х_т. B)
т»0, ±1
Используя здесь выражения для шаровых функций Ylm, компонент вектора Хт (сч 3.41)
и коэффициентов Клебша—Гордана:
[91 4-
5Л(П
приводим выражение B) к виду
гае

208 Глава 13. Столкновения частиц
Замечая, что вектор с компонентами ипв,(— sin<pt,cos<p\,Q) равен [poPil/p»Pi> и вы-
выполняя суммирование по I, приходим к выражению для векторной амплитуды «рассеянной»
волны — коэффициенту перед е'1|Г|/г| в асимптотике волновой функции при г, -> со
в рассматриваемом канале реакции
Ф(л,) = f(E, в) [pop,], f(E, в) = ^2 '«(•E)fi'(cos9). C)
здесь rji[E) = t]i(E)-fi/popi. При этом дифференциальное сечение реакции, просуммированное
по спиновым состояниям, dcr/du = (и|/иц)|Ф!2; где uo,i — скорости относительного движения
частиц в начальном и конечном состоянии. Полное сечение реакции
Oti\ ar,i — —I7il РоРиЧм = —I
, «о и0
Из условия унитарности 5-матрицы вытекает ограничение на парциальные сечения реакции:
ari si B1+ \)ir/l?,CM [I, §142]
Амплитуда реакции с образованием частицы с s = 1 в конкретном спиновом состоянии,
описываемом вектором поляризации а. определяется выражением
Оно очевидно заранее (и не требует проведенного выше исследования) из соображений
о скалярном характере амплитуды реакции, так как представляет единственно возможную
скалярную комбинацию, которую можно образовать из векторов ро, Pi и а (причем в силу
принципа суперпозиции вектор поляризации должен входить линейно). При этом следует
учесть, что а является аксиальным вектором (псевдовектором), так как при инверсии /а = +а
ввиду положительной внутренней четности частицы с s = I Заметим, что согласно D) частица
с а = I, образующаяся в рассматриваемой реакции, оказывается линейно-поляризованной
в направлении, перпендикулярном плоскости реакции (проекция спина на это направление
имеет определенное, ранное нулю, значение)
В случае реакции, когда частица со спином 5 = I имеет отрицательную внутреннюю чет-
четность, ее вектор поляризации v является полярным вектором (так как при инверсии Iv = -v).
Соответственно теперь из условия скалярности амплитуды перехода следует, что се спиновая
структура имеет вид""
</l/l«>=v*{/.№>9)po + /2(JE,e)p1}. E)
Появление здесь двух инвариантных амплитуд Д; связано с тем, что приданном орбитальном
моменте 1 сталкивающихся частиц орбитальный момент частиц в конечном состоянии может
принимать два значения' I' = I ± I.
13.66. Бесспиновая частица рассеивается на системе одинаковых, распределенных
в пространстве центров со спином s = I/2. Взаимодействие с отдельным центром
описывается выражением U — Щ(г) + U\(rOa. Исследовать в борновском прибли-
приближении амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния в случае неполяризованных
центров (Р„ =-- 0). Сравнить с рассеянием на системе бесспиновых центров.
Решение В борцовском приближении амплитуда рассеяния описывается выражением (срав-
(сравнить с I3 7 и 13 8)
]Г Ча„}; @
здесь а„ — радиус-иектор п-го центра; вещественные функции Ao(q) и Во(?) определяются
формулами из 13 59
''"'При этом, клк и и предыдущем случае, существенно, что все остал.ные Гксспиковыс частицы,
участуюшис в реакции, ичеют положительную внутреннюю четоегь (точнее: лолжно быть положтси,-
ным ич произведение, п противном случае выражении D) и E) должны быть взаимно заменены дру|
лруюм)

§6. Аналитические свойства и унитарность... 209
Дифференциальное сечение рассеяния, усредненное по начальному спиновому состо-
состоянию рассеивающих центров и просуммированное по их конечным спиновым состояниям,
имеет вид
„1/) (<rkv) cos (q(an - ak)),
B)
где черта означает усреднение по исходному спиновому состоянию центров. Если между
состояниями отдельных центров нет корреляции, то
и в случае неполяризованных центров, Р„ — 0, из всех слагаемых в выражении B) отличны
от нуля лишь первое и третье. Первое из них определяется не зависящей от спина частью U0(r)
взаимодействия и имеет такой же вид, как и к случае рассеяния на бесспиновых центрах,
сравнить с 13.8. Слагаемое же NBl(q) определяется спин-орбитальным взаимо.аействием. Ха-
Характерная его особенность — пропорциональность числу рассеивающих центров — указывает
на некогерентность рассеяния. Дело в том, что это слагаемое отвечает рассеянию, при кото-
котором происходит «переворот» спина рассеивающего центра (так что можно указать, на каком
именно центре произошло рассеяние; в таких условиях интерференция не возникает, см. A3|).
13.67. Каково обобщение оптической теоремы на случай столкновения частиц с от-
отличными от нуля спинами?
Решение Из условия унитарности 5-матрицы следует оптическая теорема
Iпгс (р, а |/|р, а) = — <г,0, (р, а),
где р = йк — импульс относительного движения сталкивающихся частиц, а а карактеризует
их спиновое состояние, так что в левую часть равенства входит мнимая час"ь амплитуды
упругого рассеяния вперед, в — 0, без изменения спинового состояния частиц, а в правую
часть — полное сечение рассеяния (включая неупругие столкновения) для того ке спинопого
состояния.
§ 6. Аналитические свойства
и унитарность амплитуды рассеяния
13.68. Обсудить аналитические свойства и дисперсионное соотношение для ампли-
амплитуды рассеяния на потенциале нулевого радиуса, см. 13.20. Рассмотреть случаи как
существования, так и отсутствия связанного состояния в таком потенциале. Сравнить
с (XIII.27).
Решение Амплитуда рассеяния на потенциале нулевого радиуса действия (см П.20)
/а„ - i/hv2mE
(I)
Как аналитическая функция комплексной переменной Е она имеет точки петлении Е = 0
и со и полюс в точке Ео, для которой Е3 = -ft'/2nwo- Проведя, как обычно, разрез вдоль
вещественной полуоси, см. рис. 15, и выбирая фазу на верхнем берегу разреза рапной <р = О,
замечаем, что полюс Ео находится на физическом листе при ац > 0 и соответствует связанному
состоянию, существующему при этом в потенциале нулевого радиуса (сравнить с 2.30)
В случае <10 < 0 полюс находится на нефизическом листе и отвечает виртуальному уровню.

210
Глава 13. Столкновения частиц
Рассмотрим взятый по контуру С на рис. 15 интеграл
I Г /(Е1) dE1
2жх J (?' - Е) '
с
B)
Используя теорему Коши и устремляя радиус окружности
контура к бесконечности, RE -* со. в случае а0 > 0 получаем
№ = -
тао{Е -
X
Im /(E1) dE1
Е1 -Е '
C)
Рис. 15
Здесь также учтено, что величина скачка амплитуды на раз-
разрезе (при Е1 > 0) совпадает с 2: \mf(E') (на нижнем берегу
разреза \/Ё — — \*/Ё\) и что значение интеграла определяется вкладом двух полюсов:
в точках Е и Еа.
В случае по < 0 полюс Ей находится уже на нефизическом листе. Он не вносит вклада
и значение интеграла B) и теперь дисперсионное соотношение имеет аналогичный C) вид,
но уже без полюсного слагаемого.
Дисперсионное соотношение в случае потенциала нулевого радиуса можно подтвердить
непосредственным вычислением. Подставив мнимую часть амплитуды рассеяния (I), равную
Е>0,
в интеграл в выражении C) и вычислив его, получаем
(E'-EWEol+E1)
о
что в случае а0 < 0 (в отсутствие связанного состояния) совпадает с амплитудой рассеяния (I).
В случае же Оо > 0 приходим к амплитуде рассеяния после добавления, согласно C),
полюсного слагаемого.
Установленные дисперсионные соотношения отличаются от (XIII.27) отсутствием бор-
новского слагаемого /в ос f U dV Это имеет простое объяснение. Потенциал нулевого
радиуса можно получить из потенциала конечного радиуса R предельным переходом R -» О,
при котором UqR1 = const, так что при этом /в a UqR3 -» О В потенциале конечного радиуса
амплитуда рассеяния в пределе Е -» со совпадает с борновской и для обращения и нуль
интеграла в B) по окружности бесконечного радиуса из / надо вычесть /а; для потенциала
нулевого радиуса амплитуда рассеяния сама обращается в нуль при Е — со.
В заключение отметим, что вычет в полюсе Е = Ец в выражении C) равен —Л2/тоо =
—И2Л1/2т. При этом А = \/2/оп = V2xo совпадает с нормировочным коэффициентом
в волновой функции
_ ехр{-хог}
»о — Л
связанного состояния в потенциале нулевого радиуса, см. 4.10, в согласии с (XIII.27)
и (XIII 28).
13.69. Воспользовавшись дисперсионным соотношением, показать, что для энергети-
энергетической зависимости сечения рассеяния частицы в потенциале отталкивания, U(r) ~? 0,
существует следующее ограничение:
ос
а(Е)
V2m
22|Лг(г)*.

§6. Аналитические свойства и унитарность... 211
Решение. Так как согласно оптической теореме Im/(?, 0) = k<r(E)/4n, то из дисперсного
соотношения (XIИ 27) при энергии Е — 0 следует
Здесь также учтено, что в отталкивательном потенциале, U(r) ^ 0, нет связанных состояний.
Отсюда, ввидуюго, что втаком потенциале f(E = 0) < 0 (см. 13.16 и 13.31), сразу приходим
к приведенному в условии задачи неравенству.
Заметим, что в случае «слабого» потенциала, Uo <? h2/mR2, рассматриваемое неравенство
представляется достаточно очевидным (так как / ос Uo, a a <x Uq) и должно выполняться
с большим «запасом». Однако для «сильного» отталкивательного потенциала, Щ ~Р />2/тЯ2,
уже6'1 |/п| > \}(Е = 0)| и значения обеих частей неравенства близки друг к другу, так что
в этом случае
о о
В заключение укажем, что из соотношения A) следует полученный ранее в 13.16 другим
способом результат о том, что в отталкивательном потенциале борновское приближение при
энергии Е = 0 дает завышенное значение сечения рассеяния.
13.70. Показать справедливость соотношения
U I Sit I
2тгД2
для рассеяния в потенциале притяжения, U(r) ^ 0, в котором, однако, не существует
связанных состояний частицы (яма недостаточно глубокая); здесь <т@) = 4nal —
сечение рассеяния при Е = 0. В каком случае обе части неравенства близки друг
к другу?
Решение Пока в потенциале притяжения нет связанных состояний, справедливо соотноше-
соотношение A) из предыдущей задачи, однако теперь все три слагаемых в нем уже положительные.
Отсюда, в частности, следует результат из 13.16 для потенциала притяжения. Далее, отме-
отмеченное в условии задачи неравенство в случае «слабого» потенциала должно выполняться
с большим запасом, сравнить с предыдущей задачей. Однако при приближении потенци-
потенциала к «критическому», когда появляется связанное состояние, имеем f(E = 0) —» со; при
этом f{E = 0) > /в и значения обеих частей неравенства уже близки друг к другу, так что
Впрочем, это соотношение в случае существования в потенциале «мелкого» реальною или
виртуальною s-уровни достаточно очевидно заранее. Согласно (XIII.16) при эт-эм в области
малых энергий сечение рассеяния
аномально велико. Именно эта область вносит доминирующий вклад в значение интеграла;
вычислив его, убеждаемся в справедливости соотношения A).
6" Так, для прямоугольного потенциального барьера радиуса R при С/о — с» имеем также и |/ц| -» оо,
в то время как при этом f(E = 0) = -Л = const

212 Глава 13. Столкновения частиц
13.71. Используя только условие унитарности и дисперсионное соотношение (при
q1 Ф 0), можно, в принципе, по известному выражению для амплитуды рассеяния
в борновском приближении восстановить"' ее в виде ряда по степеням потенциала
(кратности) взаимодействия.
Показать на примере амплитуды второго приближения при q2 = 0, что такой
расчет ее воспроизводит результат теории возмущений по потенциалу, основанный
непосредственно на уравнении Шрёдингера (см. 13.10).
Решение. Итерационная процедура вычисления амплитуды рассеяния / = ?/1"' рассма-
п
тривасмым способом состоит в следующем. Сначала по известной амплитуде первого при-
приближения, /''' = /в, с помощью условия унитарности (XIII.26) находим мнимую часть
амплитуды второго приближения61' Im /'"(?, q2), а затем, используя дисперсионное соотно-
соотношение при q2 Ф 0 (аналогичное (XIII 27)), и всю амплитуду /<!) в целом. Подобным образом
вычисляются и члены более высоких приближений
В частности, при значении д2 = 0 таким способом сразу находим
Злесь мнимая часть амплитуды рассеяния с помощью оптической теоремы выражена через
сечение рассеяния в борновском приближении и во избежание загромождении формул
использована система единиц h = 2m = I, при этом В = к2. Борновская амплитуда /в
записана в виде fa(q2).
С другой стороны, по втором порядке теории возмущений согласно результату из 13.10
имеем
Для доказательства равенства приведенных выражений выполним во втором из них
следующие преобразования (заметим, что при Е —¦ 0 равенство становится очевидным,
если в соотношении A) выполнить интегрирование по частям). Прежде всего «внутренний»
интеграл в формуле B) разобьем на два, с точкой х = 0 в качестве одного из пределов
интегрировании Далее, в первом из получающихся при этом слагаемых сделаем подстанов-
подстановку 2х' = к + \ЛЁ, а во втором 2х' = к — у/Е. В возникающих интегралах по к' опять разобьем
области интегрирования на две одну в пределах от 0 до со, а вторую — в пределах от 0
до ±\/Е/2 Вклады вторых областей инт;грирования взаимно сокращаются, а сумма вкладов
первых из них после подстановки Е' = (к')г воспроизводит формулу (I).
13.72. Считая, что для парциальных волн с ! ^ I» = кВ. 2> 1 взаимодействие
пренебрежимо мало, получить ограничения сверху на величину амплитуды рассеяния
бесспиновых частиц при высоких энергиях для различных углов рассеяния64'.
6J' Подчеркнем, что урапнение Шредннгерп при таком подходе не используется!
6" При этом, и принципе, получающееся выражение определяет мнимую часть амплитуды и при
«нефизических» значениях энергии 0 < Е < ftJijJ/Sm
w' l\ задачах 13 72-13 75 рассмотрен ряд простых общих ограничении на сооИстпа амплитуд и сечений
пзанмодейстнии частиц при больших эиергтх, стланных, п основном, с возможностью пренебрежения
изпимодейсгвием нп расстояниях, преямшпюшпх его радиус R Такая ситуация характерна для физики
элементарных частиц. При этом эффективный радиус взаимодействия расктс энергией, но не быстрее,
чем a In (Ы/Ео), см 13 53. Необходимость использования релитииистской кинематики фактически
не отражается на полученных результатах

§6. Аналитические свойства и унитарность . 213
Решение. В разложении амплитуды рассеяния (XIII.9) по парциальным волнам имеем нера-
неравенство \<fii\ < \/k, так что в соответствии с условием задачи получаем
I °
\f(k,e)\^-J2Bl+\)\P,(cose)\. (I)
Отсюда, заменяя суммирование интегрированием, для углов $ = 0 и ir находим
|/К у = *Д2> « = 0; тт. B)
Для углов рассеяния в, не слишком близких к 0 и 7г, имеем (см. [I, §49])
и аналогичным образом получаем
1/2
C)
Заметим, что из-за осцилляции полиномов Лежанлра при 0^0 такое ограничение для произ-
произвольного угла рассеяния представляется слишком слабым и должно выполняться с большим
запасом. Дейстиителыю, вытекающее из неравенства C) ограничение на величину полного
сечения упругого рассеяния, <тс] = / |/|2df! ^ CR2 kR вообще не представляет интереса, так
как заведомо ас1 ^ от $ 47гД2, а значение kR ^ I.
13.73. В условиях предыдущей задачи получить ограничение снизу на величину
сечения упругого рассеяния <ге) быстрых частиц при заданном значении <7,01 полного
сечения столкновения.
Решение. Из выражений для парциальных сечений (полного и упругого рассеяния)
<т!2 = 2тгB1+1IA-Re S,),
<т™ = тB! + 1I11 - S,\2 = жB1 + 1I (I - 2 Re S, + \S,\2)
следует, что при заданном значении сг.'и величина <га минимальна при Im Si = 0. Соответ-
Соответственно
где О| = Re St. Для отыскания минимального значения 5е, как функции переменных а(
при заданной величине <гт = YL °Ji воспользуемся методом неопределенных множителей
i
Лагранжа и введем А(а,) = 5С, - А(Г,„, Из условий экстремума (теперь все переменные а,
можно варьировать независимо) для Л(о;) находим at = const = а (не зависят от I). Заменяя
суммирование по / интегрированием и исключая а из выражении для <га и от, получаем
неравенство
<rel ^ mm 5е| = ^—j <г,20,. (I)
Как отмечалось в 13 53, в теории сильных взаимодействий элементарных частиц устано-
установлено ограничение на возможный рост радиуса R взаимодейстиия с увеличением энергии:
R ^ Ro In тг "Ри -Е -> со B)
А)
так что неравенство (I) принимает вид

214 Глава 13. Столкновения частиц
13.74. Найти при больших энергиях ограничение сверху на величину вещественной
части амплитуды упругого рассеяния вперед, в = 0, считая известным полное сечение
столкновения и предполагая, что взаимодействие частиц на расстояниях, превышаю-
превышающих R, пренебрежимо мало. Каково ограничение на \f(E, 9 — 0)|?
Решение. Обозначив S, = \S,\eWl, имеем для парциальных амплитуд и (XIII 9) выражения
Imp, = — (l-|S,|cos2«,), Re Vt = — |5,|sin25,.
При заданном значении Imp, величина |Rep,| максимальна при |S,| = I (в этом случае
неупругое рассеяние отсутствует и ат = ае)), так что, записан Imp, = A — a,)/2ft, получаем
|Re/(JS,0)| < ?B* + l)|Rep,| « -^
Поступая как и в предыдущей задаче, приходим к следующему ограничению на вещественную
часть амплитуды упругого рассеяния вперед при заданных полном сечении рассеяния и радиусе
взаимодействия:
Отсюда, учитывая, что <т,м ^ 4я-Д2, и офаничение на рост радиуса взаимодействия с увели-
увеличением энергии, см. предыдущую задачу, получаем
% B)
(здесь для мнимой части амплитуды рассеяния использована оптическая теорема).
Как отмечалось, офаничение A) предполагает отсутствие неупругих процессов. Анало-
Аналогичным образом (с помощью метода неопределенных множителей Лафанжа) можно получить
менее жесткое офаничение на амплитуду рассеяния при заданных значениях как полного ат,
так и нсупругого <т,пе| сечений столкновения
13.75. Показать, что при высоких энергиях имеют место следующие ограничения
на производную по 9 мнимой части амплитуды упругого рассеяния при 9 = 0:
32^ ^"dq1
5=0
¦R2
—, q = 2fcsm
(!)¦
где <т101 — полное сечение столкновения, a R — радиус взаимодействия (на расстоя-
расстояниях, превышающих А, оно пренебрежимо мало).
Проверить выполнение приведенных ограничений для амплитуды дифракционного
рассеяния из 13.57 и 13.90.
Решение. Так как для полиномов Лежандра ^A) = 1A + 1)/2, то с помощью разложения
амплитуды рассеяния но парциальным волнам (XIII.9) при высоких энергиях получаем
dcosS
lm f(E,8)
as Y"/3 Imp,. A)
]Г
Имея n виду, что Imp, ^ l/k, замечаем, что при заданном полном сечении рассеяния, а сле-
следовательно, и мнимой части амплитуды рассеяния lm/(?, 0) (ввиду оптической теоремы),
величина суммы (I) принимает минимальное значение, если
fe' l^Lu B)
0, 1>L,.

§6. Аналитические свойства и унитарность... 215
При этом значение ?, определяется величиной полного сечения взаимодействия
? ^
I 7.0
Заменяя суммирование по I интефироваиием, получаем L] = к7а1а/4я и приходим к следу-
следующему ограничению:
4>пЬ**«>- (з)
Подчеркнем, что соотношения B) соответствуют «насыщению» полного сечения рассеяния
за счет низших парциальных волн. При этом <г,о1 = <те1 (нет неупругих процессов) и более
того, для ( ^ Ь\ все фазы Ь\ = v/2, так что Офаничение C) должно выполниться с большим
запасом.
Аналогичным образом замечаем, что максимальное значение сумма F- выражении (I)
принимает в случае, когда полное сечение рассеяния насыщается за счет высших парциальных
волн и
• О, I < ?,;
/•0,
{-
Теперь приходим к следующему офаничению (уже сверху):
I -
Для амплитуды дифракционного рассеяния на непрозрачной сфере радиуса R (см. 13.57
и 13.90)
kR.
/«ПФР = » Л(?Я)
отмеченные в условии задачи офаничения, являющиеся непосредственным следствием со-
соотношений C) и D), принимают вид следующего неравенства (после сокращения на Л2/4):
1/4 < 1/2 < 1.
В заключение подчеркнем, что, как отмечалось выше, офаничения C) и D) предполагают
отсутствие неупругих процессов. С помощью метода Лафанжа, как и в 13.73, можно получить
менее жесткие ограничении при заданных независимым образом значениях как полного, так
и неупругого сечений столкновения.
13.76. Показать, что амплитуда рассеяния в эйкональном приближении удовлетворяет
условию унитарности.
Решение. В условиях применимости эйконального приближения существенны лишь малые
углы рассеяния. В этой области углов правая часть соотношения (XIII.26) с учетом эйкональ-
эйконального выражения (XIII.18) для амплитуды рассеяния может быть преобразован» к виду
~ JJ[S'(P) - 1] [S{P) - I] exp {-iqxP) d7p (I)
(для выполнения интефирования по углам, приводящего к формуле A), следует воспользо-
воспользоваться соотношениями
k-Ko=sq.i, k'-kowq'x, k' - к к <ц - Чх, du' a — d1^;
хотя qx, q'± < к, но ввиду быстрого убывания подынтсфальной функции по д'± можно
интегрировать в бесконечных пределах).
Теперь, используя для $(р) выражение (XIII. 19), замечаем соотношение
[S'(p) - 1] \S{p) - 1] = [I - S(p)) - [S-(p) - 1],
так что A) принимает вид /(к,ко) - /'(ко,к), что и доказывает унитарность амплитуды
рассеяния в эйкональном приближении. Отсюда, в частности, согласно оптической теореме
следует выражение для сечения рассеяния быстрых частиц, обсуждавшееся в 13.51.

216 Глава 13 Столкновения частиц
§7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения
13.77. Показать, что амплитуда упругого рассеяния электрона на атоме — составной
системе — в борновском приближении в пренебрежении обменными эффектами64 сов-
совпадает с амплитудой рассеяния электрона статическим локальным потенциалом U{r),
и выяснить его физический смысл. Сравнить с 13.4—6.
Решение. Взаимодействие налетающего электрона с атомом имеет вил (г, — радиус-векторы
атомных электронов)
7 2
Амплитуда упругого рассеяния электрона на атоме в борновском приближении в пренебре-
пренебрежении обменными эффектами, играющими роль, аналогичную поправкам более высокого
приближения, описывается подобным (XIII.6) выражением:
Л = ~~2 f *«{.)«-"V(r, K)KM*ofc) dV dr( (I)
(интегрирование по ?, включает и суммирование по спиновым переменным атомных элек-
электронов) Выполняя в нем интегрирование по {„ и учитывая, что
B)
определяет среднее значение электростатического потенциала, создаваемого атомом, замеча-
замечаем, что выражение A) принимает вид формулы (XIII 6) для амплитуды рассеяния в борнов-
борновском приближении для локального потенциала U(r) = -etp,,(r) Приложения ее рассмотрены
в задачах 13 4-13.6.
13.78. Поляризованный электрон с sz = +1/2 сталкивается с атомом водорода,
находящимся в основном состоянии, электрон в котором имеет противоположное
значение, st = —1/2, проекции спина. Найти в борновском приближении амплитуду
и сечение столкновения с «переворотом» спина (т.е. в случае, когда sz = -I/2 уже
у рассеянного электрона, a sz = -f I /2 у атомного), атом остается в основном состо-
состоянии. Сравнить со случаем упругого рассеяния (без изменения спинового состояния
электронов), см. 13.77.
Замечание Иметь в виду, что рассматриваемый процесс относится к числу процессов с «пе-
«перераспределением» частиц, см B5], гл. IS.
Решение Гамильтониан системы (с бесконечно тяжелым ядром-протоном) описывается вы-
выражением
При этом проекции спинов s. для каждого электрона сохраняются и электроны cs, = +I/2
и s. = -1/2 можно расемшривать как различимые частицы (антисимметризация волно-
волновой функции не отражается на результатах) Соответственно, обозначив через е, электрон
с s. — -I 1/2, я с2 — электрон с s. = —1/2, замечаем, что рассматриваемый процесс
е, + (г3р) - е, + (е,я), (I)
где сим пап (е<,р) соответствует атому водорода с электроном е„, является процессом с пере-
перераспределением частиц, и котором начальный и конечный каналы реакции — различные
Н уеюннях применимости бпрновского приближении (:ии бмегрых частиц) пренебрежение обмен-
обменными эффектами онранаэно; при лом существенно, чго спиноное состояние снободного электрона, как
и атом ною, и процессе столкновении не изменяется, сравншь с 13 78.

§7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения 217
Амплитуды таких процессов выражаются через матричные элементы соответствующе-
соответствующего Т-оператора, который может быть записан в двух различных видах (см., нагример, главу 18
в [25])-
*v K* <2)
где а, 0 нумеруют каналы реакции, Va^ описывают взаимодействие разлетающихся ком-
комплексов — потенциалы взаимодействия — в каждом из них (а — начальный, f} — конечный
каналы, отметим, что хотя Т, Ф Т}, тем не менее амплитуды реакции (/9|fi,j|a) совпадают).
В дальнейшем мы будем использовать для плоских волн Фр = е'*1" относительного дви-
движения в каждом из двухчастичных каналов6*' нормировку на единичную плотность вероятно-
вероятности. При этом дифференциальное сечение процесса связано с элементом Т-матрицы (/J|T|o)
соотношением
d
где р,|2 и ^i,; — импульсы относительного движения и приведенные массы для сталкива-
сталкивающихся (разлетающихся) частиц в каналах а, /3; dfi — элемент телесного /гла рассеяния
в с. ц и Обычно используемая амплитуда упругого рассеяния (fif = /xj, Pi = Pi) связана
с Т-матрицей соотношением
Гакое же соотношение справедливо и в случае неупругих столкновений, если /4, и ft}. Pi ~ Рг-
Воспользовавшись выражением Bа), рассчитаем амплитуду процесса (I) в первом при-
приближении, т.е. ограничиваясь слагаемым Va в Tt В данном случае Vu = —е^/г, + e2/ki — гг|
и амплитуда рассматриваемого процесса с о перепоротом» спинов электронов принимает вид
где Pi, з — импульсы падающего и рассеянного электронов, ФоМ — в. ф. основного состояния
атома водорода. Воспользовавшись импульсным представлением (ниже используем атомные
единицы е — h = m = 1)
U(r) = 1 = j ell"U(x) d\ »,(r) = J= е-г = —Щ J e"W(«) J3x,
выражение (З) можно преобразовать в виду
—{2тгJ| у y»;(pi + x)V9o(P2 + x)tfi2(K)<i3K+?>o(P2) / VoCPi +«)UCp(«)rf3«}- D)
Так как pt г ^ I (как необходимое условие применимости борновского приближения),
а ч>о(р) при р —* оо убынает быстрее, чем U(p), то замечаем, что доминирующую роль
п интегралах D) играют области интегрирования, п которых аргумент одной из волновых
функций <f>o(x) порядка 1 При этом в обоих интегралах к ж |Р|,г1 = р и можно вынести
из-под интегралов С(р), после чего они легко вычисляются (сравнить с 4.17).
J ?>5(Pi + x) ?>n(P! + *) d\ = J ?>;(*') v50(q + x') dV = J 9'0(x') f,
= P2-p,
66* Именно они (а не расходящиеся или сходящиеся волны') » произведении с волновыми функциями
связанных cocioiimiil, соотьетегиуюших сост.шным частицам в каналах, ерлииить с вьражеинсм (У),
фигурируют п матричных элементах </3|f |ci), определяющих амплитуды реакций.

218 Глава 13. Столкновения частиц
(интеграл сводится к формфактору основного состояния атома водорода) и
?>5<р, + У) d\ = BjtK/2*J(O) = л/8 it.
В результате получаем амплитуду рассматриваемого процесса
Отсюда видно, что доминирующую роль в рассеянии играет область значений q < I, т. е.
углов рассеяния в <, 1/р. При этом второе слагаемое в выражении E) пренебрежимо мало,
так что дифференциальное, da/dfl = |/|2, и полное сечения рассеяния оказываются равными
— - 4 [ _ ]6* _ 16яов
du ~ р4A + р><?74L ' ~ р; °" ~ Зр' ~ 3(*а„)' ( '
(заменив du на inddB, можно интегрировать по в в пределах от 0 до со ввиду быстрой
сходимости интеграла).
Сделаем несколько заключительных замечаний
1) Сечение рассеяния электрона на атоме водорода с «переворотом» спинов, предста-
представляющего фактически неупругий процесс, при больших энергиях много меньше сечения
упругого рассеяния <т)||р = 7т/3р2, см. 13.4.
2) Появление дополнительной малогти ~ l/(pauJ в амплитуде (и ~ 1/(равL в сечении)
рассматриваемого процесса по сравнению со случаем упругого рассеяния (без переворота
спина) имеет простое объяснение Действительно, чтобы «поменяться» местами, электроны
должны рассеяться друг на друге под углом « 180° в с. ц и Зависимость амплитуды резерфор-
довского рассеяния от переданного импульса, / ~ U(q) ~ l/(gaBJ, как раз и приводит к такой
малости; при этом q и р (в случае упругого рассеяния уже qaB ~ I, значение д„„„ ~ \/ац при
этом определяется экранировкой кулонозского потенциала в атоме на расстояниях ~ ов).
3) Существенным является то обстоятельство, что в рассматриваемом процессе большое
изменение импульса имеют именно две частицы (два электрона) и оно может быть обеспечено
уже при их однократном взаимодействии. В других реакциях с перераспределением частиц
вида а + (be)-ч b + (ас) в случае т, Ф т*, уже рг Ф Ръ и большое изменение импульса
части» а и b требует также большой передачи импульса и частице с. Это приводит к появле-
появлению дополнительной малости амплитуды процесса'7' ~ U(q)/q2. Такая ситуация возникает
и и рассматриваемом процессе (I) при не слишком малых углах рассеяния, когда у 3> 1, как
это видно из формулы E). Такая дополнительная малость связана с тем, что амплитуда про-
процесса включает в. ф. атома водорода (составной системы в обшем случае) у(р), имеющую при
больших импульсах (р ~ q 3> 1) асимптотику вида уз(р) ~ f/(p)/p2 ~ 1/р4 (для «-состояний,
сравнить с 4.17 и 4.18) Отмеченная малость имеет такой же порядок величины, как и в чле-
членах второго приближения по взаимодействию в Т-операторе. В этом случае (когда велико
изменение импульса всех частиц) расчеты амплитуды и сечения процесса на основе первого
приближения теории возмущений даже при больших энергиях носят лишь качественный
характер. Последовательный расчет асимптотики требует учета в Г-опсраторс членов более
высокого порядка по взаимодействию (для процессов с большим изменением импульса всех
частиц в трехчастичной системе, как, например, в условиях задачи 13.79, следует учитывать
члены второго порядка по взаимодействию VaJ})
13.79. Оценить сечение перезарядки при столкновении быстрого позитрона с атомом
водорода, находящимся в основном состоянии (т. е. найти сечение образования
позитрония — водородоподобной системы из электрона и позитрона).
Воспользоваться приближением Оппенгеймера—Бринкмана—Крамерса (ОБК)
для процессов перезарядки, основанным на пренебрежении взаимодействием ядер
друг с другом (в данном случае — позитрона с протоном); сравнить с предыдущей
задачей.
б;) Сравнить с 13.79.

§7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения 219
Решение. Приближение Оппенгсймера— Бринкмана—Крамерса для процесса перезарядки
е+ + (е_р) —> (е+е_) + р основано на использовании для Т-оператора выражения68'
где Г|,2 — радиусы-векторы позитрона (электрона). Обозначим через р, импульс налетающего
позитрона (в системе покоя атома водорода, тр = со), а р2 — импульс эбразующегося
позитрония (его масса т{с*е~) = 2). Из закона сохранения энергии следует, что рг = \/2pi
(Е — pi/2 = pl/4, энергией связи в атоме водорода и в позитронии можно пренебречь, так
как р,, 2 » I).
Волновые функции начального (канал а) и конечного (канал р) состояний имеют вид
*о = е» *,(!¦,), Ф, = ехр |1 Р2(г, + г2)} ¦ ~ 4>„1т (-
Здесь Vnjm(r) — в. ф. атома водорода (с массой т = I1), коэффициент 1/\/8 и множитель 1/2
в аргументе в. ф. соответствует тому, что радиус Бора для позитрония в 2 pa;ia больше, чем
у атома водорода.
Амплитуда процесса н ОБК-приближении описывается выражением (сделана подстанов-
подстановка р = (г, - rj)/2)
Первый интеграл здесь равен Bir)y>uG) с q = р, — р2, а второй, с учетом у. Ш., есть
Bт)'/2 ( j ?? - Еп)<р'ыт(ъ), где q, = 2р, - р,.
Так как q, д\ 3> 1, то воспользовавшись для волновых функций у(р) в кулоновском потенциа-
потенциале U = -1/г (при этом U(j>) = -|/27ггрг) их асимптотикой при р -» со согласно 4.18:
Vu(p)=^, ?>nta(p) = \J\ Щ (-2i)lSnl@)Ylm(n) B)
(здесь учтено соотношение для координатных кулоновских волновых функций
см. [I, §36]), получаем
Здесь По = (-Рг + 2р,)/(|р2 - 2р,|), а также учтено, что q} = 2q* = 2C - 2\/2 cos 9)p\, где в —
угол между некторами р2 и ра.
Как видно, в ОБК-приближении угловое распределение образующегося позитрония"',
dcr/du = \T\2/V2 ir!, не зависит от величины импульса налетающего позитрона, резко анизо-
анизотропно (значения 3-2\/2cos0 для углов в = 0 и ir различаются в я 35 раз), а поляризационное
состояние образующегося позитрония характеризуется тем, что проекция его орбитального
момента на направление вектора пэ (лежащего в плоскости реакции) имеет определенное,
68*Те же результаты следуют и из выбора Гй^й Uc-p; см. предыдущую задачу, где сделан ряд
общих замечаний о процессах с перераспределением частиц. Отметим, что для процессов перезарядки
результаты как точного вычисления амплитуды и первом порядке теории возмущений согласно Т = К»,/),
так и в ОБК-приближении носит лишь качестпенный характер (последовательный расчет асимптотики
амплитуды требует учета членоо второго приближения)
*" См. 13 78 о нормировке амплитуд, п данной задаче (л< = I, Цг = 2, рг « \/2р|.

220 Глава 13. Столкновения частиц
ранное нулю, т„ = О, значение, гак как YlmF = 0) = -^/B/ + l)/4ir 6mfi. Для полного се-
сечения перезарядки, просуммированного по значениям проекции орбитального момента m
образующегося позитрония, получаем
где V = р|Оц/Л — относительная скорость сталкинаюшихся позитрона и атома подорода
в атомных единицах. Отсюда, в частности, сечение перезарядки в ns-сосгояния позитрония
можно записать н виде
о2в/2,89\12
j . E)
Обратим внимание на резкую энергетическую зависимость сечения перезарядки, а ос
p-o-2i (сравнить с результатом предыдущей задачи и со случаем упругого рассеяния, см. 13.4).
Она объясняется тем, что псе частицы, участвующие в процессе, имеют большое изменение
импульса В снязи с этим отметим, что подобную энергетическую зависимость имеют и се-
сечения перезарядки при столкновении быстрых тяжелых т ^> тс частиц с атомом водорода.
При m^ me сечение перезарядки не зависит от массы налетающей частицы (например,
протона, мюона и т.д.). В частности, в зтом случае сечение перезарядки и ns-состояние
(Z — заряд частицы). Из сравнения E) и F) видно, что сечение перезарядки при столк-
столкновении позитрона с атомом водорода и ~ 7 раз больше, чем при столкновении протона
(при одинаковых скоростях).
13.80. Выразить в борновском приближении амплитуду процесса А, + В, —» А/ + В/
столкновения быстрых составных частиц А и В, взаимодействующих электростатиче-
электростатическим образом, через электрические формфакторыю)
efffm(<\) = (*л,в,/ | J2 е° ехР <-*«'.} I **<">•>
а
для соответствующих переходов i ~* f.
Обсудить поведение формфактора при q —» 0 в зависимости от квантовых чисел
начального и конечного состояний.
Рассчитать для атома водорода формфакторы переходов Is —> Is, Is —* 2s,
Is —» 2pm; обратить внимание на их поведение при q —* со.
Найти сечения столкновений для следующих процессов:
1) H(ls) + H(ls) —> H(ls) + H(ls) — упругое рассеяние атомов водорода друг
другом;
2) столкновения заряженной бесструктурной частицы (электрона, мюона, про-
протона и т.д., но не иона!) с атомом водорода, находящимся в основном состоянии,
сопровождающегося возбуждением a) 2s-; 6) 2р-состояний атома.
Решение. Обозначим через Ra(B) радиусы-векторы центров масс частиц А(В), т^щ и р^; —
их массы и импульсы относительного движения до (I) и после B) столкновения. Волновые
'"' Подчеркнем, что г0 является радиусом-пекторон а-й заряженной частицы в составной системе А{В)
относительно центра масс этой системы
Обычный атомный формфиктор, см [I], §139. соответствует случаю, когда атом до и после
столкновения находится в оснопном состоянии, при этом Fonfa) = 2 — .Far(q).

§7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения
221
функции начального и конечного состояний системы имеют вид
7''
а,{х^}Ф,„{г;}, R = RA - RB,
Ф/ = exp I - p^RJ Фл/{х'а}Фв/{гп}, ftq = Pi - Pi-
m
Амплитуда рассматриваемого процесса в борновском приближении описывается выра-
выражением (сравнить с 13.77 и 13.78)
где /j = тАтп8/(тЛ + mB) — приведенная масса частиц А и В. Интегрирование в матричном
элементе B) проводится как по независимым «внутренним» координатам xj,, rj, (н случае
атома — это координаты всех электронов), так и по радиусу-вектору R относительного
движения частиц. Записав в нем х,, = RA -f \[ и Гь = Ru + г'ь, восгюльзоваваись известным
разложением в интеграл Фурье кулоновского потенциала
1
1 [
: = 2^ У схр
|х,-гь|
и учтя вид волновых функций A), получаем
Здесь
C)
D)
— электрические формфакторы для соответствующих переходов в составных частицах А(В)
Такой амплитуде C) можно сопоставить график-диаграмму Фейнмана, приведенный на рис. 16.
Он наглядно передает важное свойство амплитуды — се факторизованный вид по отношению
к участвующим в процессе частицам А и В. На этом рисунке волнистой линии между
вершинами сопоставляется множитель, равный 4тг/?', а самим вершинам — формфакто-
формфакторы eF,j (тч) (заметим, что изменении импульсов частиц А и В в процессе столкновения
отличаются знаком).
Отметим ряд свойств формфакторов.
1) Для точечных (бесструктурных) частиц F(?) — Z = consc,
где Ze — заряд частицы.
2) При q —> 0, разлагая exp{-tqr} в выражении D) для F(q)
а ряд, замечаем, что отличен от нуля и равен при этом Р„„@) = Z
лишь упругий (без изменения состояния составной частицы) форм-
фактор, причем для системы с отличным от нуля зарядом Ze, Во всех
остальных случаях jF!/(O) — 0 (для заряженной частицы — как след-
следствие ортогональности волновых функций). Характер «зануления»
формфактора при q —> 0 зависит от квантовых чисел — момента
и четности — начального и конечного состояний Наиболее мед-
медленно, eF.f и -i</|d|i)q ос q убывает формфактор для дипольных
(или Е\-) переходов. Для переходов с одинаковыми значениями мо-
момента и четности (например, для S-состояний) уже F,j <x q2¦ По мерс
увеличения разности значений моментов начального и конечного со-
состояний обращение формфактора в нуль при q -» 0 происходит все
более резко
Рис. 16
"' Волнопые функции Фд(в) составных частиц описывают состояния входящих в них частиц относи-
относительно центр.) масс соотпетствующей системы (в случае атомов — соппадаюшего с положением ядер).

222 Глава 13. Столкновения частиц
3) При q -» со формфактор любой составной системы обращается в нуль72'. Закон
убывания формфактора при этом уже существенно зависит от числа частиц в системе
и от характера убывания фурье-компоненты потенциала взаимодействия. Их физических
соображений представляется очевидным, что чем быстрее убывает U(q) и чем больше частиц
в составной системе, тем быстрее убывает и формфактор, сравнить с 13.84.
Для рассматриваемых переходов атома водорода формфакторы
= J *;ta(r)(l - е-*)*„(г) dV
легко вычислить, учтя вид волновых функций — см. (IV4), если воспользоваться сферичес-
сферическими координатами с полярной осью, направленной вдоль нектора q:
р m
В случае 2р-состоянийудобнозаписатьугловую часть волновой функции в виде \/Т/4тг [е(т)а),
где |е(т)|2 = I (сравнить с 3.41 и 3.42), после чего получаем
(формфактор отличен от нуля лишь для состояний с проекцией орбитального момента
электрона на направлении вектора q равной нулю).
Переходя к вычислению сечений столкновения, заметим, что
92 = р\+р\ - 2р,р2cos», pi = y/p]-2p(e, - е7)
где е |,2 > 0 — энергии связи рассматриваемых систем до и после столкновения. Соответствен-
Соответственно, du можно заменить на irdq2/p\ и интегрировать по q1 в пределах от 0 до оо (ввиду быстрой
сходимости на верхнем пределе, g^,, «4pj). Заменять нижний предел интегрирования
на 0 нельзя, ввиду возникающей расходимости, лишь для таких неупругих столкновений,
в которых одна из сталкивающихся частиц имеет отличный от нуля заряд и се состояние
и процессе столкнонения не изменяется, так что для нее .F(O) = Z Ф 0, а для другой частицы
рассматриваемый переход является дипольным, так что eF,j » — id.^q при q —• О
Элементарное интегрирование приводит к следующим результатам:
G)
2) .(I, - 2.) - igf^Mtf , ?l*L «0,444^, (8)
о
где V = р{/ц — относительная скорость сталкивающихся частиц, Ze — заряд частицы,
сталкивающейся с атомом водорода
Для столкновений с переходом Is -> 2рт для атома водорода полное сечение, про-
просуммированное по проекциям момента m (при этом J3 |?(m)q|! = q1), удобно вычислять,
72)Для атомов п приближении бесконечной массы ядра при q — оо упругий формфактор t\nf - Z
(он определяется вкладом неподвижного ядра).

§ 7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения 223
записав его в пиле (х = q1, а = 9/4)
s(o + г),
(9)
здесь q2mm = (г,, - ?,,J/V2 = 9/64V2 Сумма (8) и (9) дает
(.0)
— полное сечение возбуждения состояний атома водорода с главным квантовым числом п = 2
заряженной частицей.
13.81. Рассмотреть столкновение быстрой заряженной частицы с двухатомной мо-
молекулой, имеющей собственный дипольный момент do и находящейся в основном
состоянии; электронный терм молекулы 'Е. Оценить сечения столкноиений, со-
сопровождающихся возбуждением различных вращательных и колебательных уровней
молекулы; сравнить со случаем столкновений с атомом, см. предыдущую задачу.
Решение. Как и в предыдущей задаче, сечение столкновения может быть связано с электри-
электрическим формфактором молекулы
# v
е^о-чкм(ч) = ("> Л = 0, vKM| 2_^ 2«е'чг° |п,0); (I)
для начального состояния квантовые числа A = w = Jf = M = 0, an характеризует
электронное состояние молекулы. Волновые функции состояний молекулы с Л = (), входящие
в матричный элемент (I), имеют вид
Здесь ?„ — электронные переменные (координатные и спиновые); R = Rn = R| — R2 —
радиус-вектор относительного положения ядер, их массы — M,l2, а радиусы-векторы в с ц. и.
молекулы: К, = М2Н/(М, + М2) и R2 = -M,R/(M| + М2). Суммирование в (I) ведется как
по электронам молекулы (г„ — их радиусы-векторы относительного центра масс молекулы),
так и по ядрам, вклад которых есть ^е"" + Zje'*2.
Переходя к оценке сечений столкновения заряженной частицы с молекулой
—""'°ки = ( **. , ) \Ро~,км(ч)\7, C)
где Ze — заряд частицы, у. — приведенная масса ее и молекулы, заметим, что особенно
наглядно они могут быть получены, если пренебречь изменением состояний валентных
электронов атомов при образовании молекулы В этом приближении волновая функция
электронного терма молекулы
где Ф|,2(г>,ь) — ВФ атомов, входящих в молекулу, и для формфактора ее получагм
*i-.«f * («КМ | е-*""*1, (?) + e^'FM 11 0>, D)
где Flj2(q) — формфакторы атомов, входящих в молекулу (включающие и вклады соответ-
соответствующих ядер). Заметим, что при q = 0 формфактор молекулы, как и любой незаряженной
системы, ранен нулю (см. обсуждение свойств формфакторов в предыдущей задаче).
Если ввиду малости амплитуды колебаний ядер заменить Д|,2 их значениями в положе-
положении равновесия, то из-за ортогональности колебательных в. ф. отличными от нуля окажутся
формфакторы лишь для переходов с v = 0 (т. е. без изменения колебательного состояния
молекулы). Для таких переходов дифференциальное сечение C), просуммированное по зна-

224 Глава 13. Столкновения частиц
чениям квантовых чисел К, М конечных состояний молекулы, в приближении D) с учетом
условия полноты системы шаровых функций, согласно которому
]Г|(/<ГЛ*И|0>|2 = ?>|Р \КМ){КМ\АЩ =
КМ К.\{
принимает вид
сравнить с 13 7
Сечения столкновений без возбуждения колебаний молекулы имеют те же закономер-
закономерности, хак и в случае столкновений заряженной частицы с атомами (сравнить с предыдущей
задачей). 8 частности, для столкновений с возбуждением вращательного уровня молекулы
с моментом К ф I сечение процесса
(V \ *
~7Г) ' К ^ '•
E)
где V — относительная скорость сталкивающихся частиц и АКы ~ 1 для наиболее суще-
существенных переходов
Для столкновений с возбуждением вращательного уровня с К = 1, связанного с основ-
основным уровнем дипольным переходом71', при q —• 0 имеем (сравнить с предыдущей задачей).
(б)
Здесь е(М) — вектор поляризации, определяющий вращательное состояние молекулы с К = I
и связанный с шаровой функцией соотношением Y]M = ^/3/4тг е(М)п, при этом |е|г = I.
Формула F) следует из выражений (I) и C), если учесть, что. 1) при q — 0 сумма в A)
принимает вид —tqd, где d — оператор дипольного мо.мента молекулы, 2) усреднение d
по электронному состоянию молекулы с Л = 0 дает d(R)n и 3) при последующем усреднении
по колебательному состоянию с v — 0 можно заменить d(R) на d(Ra) = do ввиду малости
амплитуды колебаний ядер (сравнить с 11 25). Суммирование в выражении F) по М да-
дает ?3 1?СЮч12 — Я < последующее интегрирование по q2 с учетом расходимости интеграла
на нижнем пределе (при q1 —> 0) и значения
я2 -[V
(Д — приведенная масса ядер молекулы), позволяет получить сечение перехода в состояния
молекулы с К = I с логарифмической точностью7'*
G)
v
Рассмотрим закономерности для процессов столкновения, сопровождающихся возбу-
возбуждением колебательных уровней молекулы. Как отмечалось выше, замена R на равновесное
значение Ло ввиду малости амплитуды колебаний ядер правомерна лишь для переходов
без возбуждения колебаний, для состояний с v Ф 0 в этом приближении формфактор
обращается в нуль из-за ортогональности в. ф Соответственно для переходов cti^O в рас-
рассматриваемых выражениях необходимо выполнить разложение по малому параметру ДЛ/Ло,
где 6.R = Д-До — порядка амплитуды колебаний ядер Для линейного члена разложения, от-
"*Для этого перехода приближение D) при q —• 0 ке опряндано дипольный момент молекулы
определяется как раз валентными электронами.
При jtom, как обычно, для яерхнего предела интегрирования выбрано значение 9тач ~ Оц ¦ Заметим,
что хотя аргумент логарифма п выражении G) существенно больше, чем п случае диполького перехода
п агоме из-за малости энергии прошения, тем не менее точность формулы G) от этого не возрастает
Дело в том, что обычно дипольный момент молекулы do заметно меньше характерной величины сая

§ 7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения 225
вемаюшего за переходы с Av = I, в выражении (I) при v = I, по сравнению со случаем v = О,
появляется малый множитель, по порялку величины равный (см (II 3) и 11.25)
Л-До
-До ., в»ш /т.
5— и = °) = -7Г7Г ~ ~
где, как и выше, ? — приведенная масса ядер молекулы. Это приводит к существенно мень-
меньшим, в ~ (Д/тпс)''г раз, значениям сечений переходов с v = 1 По мере увеличения значения v
необходимо брать все более высокие степени разложения по ДД/Ло, что приводит к более
резкому, в (filmty^ раз, подавлению сечений для соответствующих переходов молекулы
13.82. Найти сечение столкновения быстрой заряженной частицы с атомом водорода,
находящимся в метастабильном 2«-состоянии, сопровождающегося переходом атома
в 2р-состояния.
Замечание В данной задаче необходимо учитывать релятивистское расшеплемие s- и р-уров-
ней, см 11 62.
Решение Для столкновений заряженной частицы с атомом, сопровождающихся липольным
переходом атома, доминирующую роль играет область малых значений q2 При этом сече-
сечение столкновения с переходом из s- в р-состояние атома с логарифмической точностью
описывается выражением (сравнить с 13 80)
где Zc — заряд налетающей частицы, V — относительная скорость сталкивающихся частиц
Для перехода 2s —• 2р в атоме водорода матричный элемент75' (l,0|d,|0; = Зеац был
вычислен в 11.33 в связи с эффектом Штарка для состояний с п = 2
В пренебрежении релятивистскими поправками состояния 2s и 2р атома вох.орода выро-
вырождены по энергии, при этом <^,л = 0 и сечение (I) расходится Расщепления Д уровней 2sl/2;
2р1/2 и 2р)/2, определяющие значения ^„„ = (A/hVJ, обсуждались в 11.62 Поскольку те-
теперь переходы в состояния атома 2р,/2 и 2р3/2 следует рассматривать раздельно, необходимо
учесть, что для них в формулу A) нужно ввести дополнительные множители, равные 1/3
и 2/3 соответственно для р,/г- и руг-состояний. Эти множители — квадраты соответствую-
соответствующих коэффициентов Клебша— Гордана (см , например, 5 18) — отражают вклад р-состояния
с 1г = 0 в состояния"' pi/2 и р3/2 С учетом отмеченных обстоятельств получаем
B)
здесь До - EBs,n)~EBp,n) и Д, = EBplp)-EBs,n), числовое значение Д^'д,71 и 8-Ю
(в атомных единицах)
Как видно из выражения B), сечение процесса а ^> (V^r/VJ(To, где <га = лг2 = 40jraJ
характеризует поперечный размер атома водорода в состояниях'7' с п = 2. Это означает, что
в задаче существенны большие прицельные параметры (^ Оо). Эффективное взаимодействие
на таких расстояниях Zedr/r3 ~ Zed/r2. Условие применимости к такому потенциалу теории
возмущений, см (XIII 7), начинает выполняться на расстояниях г > Zed/hV. Даяедля значе-
значений V я; I эти расстояния не превосходят отмеченные выше, что указывает на применимость
формулы B) и для таких скоростей столкновения
?5' Подчеркнем, что выражение (I) описывает сечение, просуммиропаинос по проекциям момента р-со-
столння Хоти л A) фигурирует состояние с I. — 0, следует, однако, иметь в виду, чго выбор оси
квантования z — пдоль вектора q — зависит от угла рассеяния.
При учете релятивистских попраоок /; уже не является интегралом доижения.
"'Дня hs-состояний атома водорода г1 - ^п2Eп2 + I) [1, §36].
8 и>. ;от

226 Глава 13. Столкновения частиц
Заметим в заключение, что большая величина сечения перехода B) означает, что
время жизни метастабидьного 2з-состояиия в газе может существенно уменьшиться за счет
столкновений (для изолированного атома зодорода rBs) = 1/8 с, при переходе в 2р-состояние
атом «ныснечивает» за время ~ 10"' с).
13.83. Найти с логарифмической точностью сечение расщепления быстрого дей-
дейтрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (ядро, для простоты, считать точечным
и бесконечно тяжелым). Волновую функцию дейтрона, учитывая малость энергии связи
протона и нейтрона, выбрать как в случае потенциала нулевого радиуса, см. 12.1.
Решение. Дифференциальное сечение расщепления дейтрона с переходом протон-нейтрон-
протон-нейтронной системы в состояние непрерывного спектра с импульсом относительного движения р = ftk
в с. ц. и пары в случае точечного ядра описывается выражением
(I)
Здесь ftq = Pf - Р,, Р, = mdv — импульс дейтрона, Р/ — суммарный импульс нуклонов
после столкновения, dQ/ — элемент телесного угла, заключающий направление вектора Р/,
m и mj = 2m — массы нуклона и дейтрона. Матричный элемент
Fo~, = (P, -|exp{-:qrp}|0)
можно рассматривать как неупругий формфактор для переходов в состояния непрерывного
спектра, сравнить с 13 80 Волновая функция начального состояния в нем является в ф
дейтрона в приближении потенциала нулевого радиуса действия (см. 4.10 и 12.1)
-
(?о — энергия связи дейтрона), причем гр = г/2. В качестве волновых функций конечных
состояний следует выбрать78' в. ф. *i(r), имеющие асимптотику «плоская + сходящаяся»
полны, см по этому поводу [I, § 136); они нормированы на <5(к - к').
Доминирующий вклад в сечение расщепления вносит область малых значений q2, при
этом существенны переходы в состояния двухнуклонной системы, связанные с дейтроном
динольным переходом, так как дли них da <x dq^/q7 (сравнить с 13.80). Для таких q имеем
<р, -1 exp {-iqr,} |0) и <р, -|(-tqr,)№>, B)
причем в последнем выражении уже можно заменить в. ф. Ф^ на плоскую волну фк =
Bir)'V". Это связано с тем, что в потенциале нулевого радиуса в ф. Ф^ и Фк отличаются
лишь s-волнами, не дающими вклада в матричный элемент дипольного момента B) (до раз-
разложения экспоненты заменять Фк на Фк нельзя из-за неортогональности в ф. Фк и ф0)
Вычисление матричного элемента липольного момента дает
= 1ПТ Ж J r e~*"*'dV = "IT дк И^1 = " *(к> +"х»)* C)
(здесь углопая зависимость ос (qk) от вектора к отражает то обстоятельство, что для дипольного
перехода момент нуклонной пары в конечном состоянии I = I).
Подставив C) в выражение (I), выполним интегрирование по направлениям вектора к,
воспользовавшись соотношениями
dJfc = k1 dk dfi, /(qkJ dU = у gV.
После этого dUf в A) можно заменить на nrfdq'lP}. Далее, значение Р/, следующее
из закона сохранения энергии
'" Другой удобный выбор волновых функций конечных состояний см. о И 63.

§ 7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения 227
где е = fiJfc2/m — энергия относительного движения нуклонной пары после столкновения,
определяет
Интегрируя теперь по q1 в пределах от ^„, до"' $5»»
8(Ze')Wr
Как видно, характерные значения е ~ ?0. Интегрирование выражения D) по е дает полное
сечение электрорасщепления дейтрона. При этом с логарифмической точностью можно пре-
пренебречь зависимостью от е под логарифмом и получить (сделав подстановку х == -/i, см. Д I 5)
^ Ш -, E)
где .?? = mdl'2/2 — энергия дейтрона.
Согласно E) значение сечения для Е = 200 МэВ, г0 = 2,2 МэВ составляет <Тр,ст =
1,1 • Ю~28?2 см2. Эта величина для всех ядер, кроме самых тяжелых, много меньше их
геометрического размера, что указывает на доминирующую роль ядерного взаимодействия
в процессе расщепления дейтрона при столкновении его с ядром.
В связи с этим отметим наглядную квазиклассическую оценку сечения растепления бы-
быстрого дейтрона с освобождением одного из нуклонов — протона или нейтрона — при столк-
столкновении с ядром радиуса R, считая последнее непрозрачным для падающих на него нуклонов:
а~2тгЛДД, ДД~Д,, F)
(площадь кольца радиуса й и шириной порядка размера дейтрона).
В заключение подчеркнем, что каждый освободившийся при расщеплении дейтрона
нуклон уносит энергию EN а В/2 и движется в направлении падающего пучка с углом
разлета Д# ~ (ец/Е)'12 (поперечная составляющая импульса нуклона р± ~ \/те$ определяется
энергией связи дейтрона).
13.84. Найти асимптотику при q —» оо электрического формфактора диухчастичной
системы. Предполагается, что фурье-компонента U(q) потенциала взаимодействия,
ответственного за образование составной системы, при q —» оо имеет степенное
убывание: U(q) « q~n с n > 1; сравнить с 4.18. Рассмотреть приложения полученных
результатов к атому водорода.
Решение Электрический формфактор для перехода между состояниями Ф, и Ф2 двухчастич-
двухчастичной составной системы описывается выражением (см , например, 13 80)
«Fl-!(q) = <n2BBi|ele-" +e,e-tv' \ n,l,l,t), (I)
где в|,2 и Ш|,2 — заряды и массы частиц, rt,2 — их радиусы-векторы в с. и и., при этом
т2 Ш|
Г, = Г, Г3 = Г, Г = Г| — Гг
B)
(fiq — импульс, передаваемый системе).
Выражение A) включает два интеграла
7^ Заметим, что для ббльших значений ц уже необходимо учитывать конечность размера ядра,
формфактор которого быстро падает при q > 1/Л. Так как в окончательный ответ цпг\ входит под
логарифмом, его детальное значение не столь существенно
хш

228 Глава 13. Столкновения частиц
здесь qi 2 = imjiq/m, + т2. Асимптотика этих интегрален при q —» со определяется
сингулярными слагаемыми радиальных волновых функций в *ii2, см. 4.I8. Запишем
где Л^^г) и Йс1ш|(г) — регулярная и сингулярная части радиальной функции Напомним,
что регулярная часть разлагается в ряд по четным — (г2)' — степеням переменной г,
при этом Лкг@) Ф 0. а для сингулярной части ДсИ1„@) = 0. Для получения асимптотики
интеграла B) в нем одну из радиальных функиий надо взять при г = 0, а у другой — сохранить
сингулярную часть, так что
д д 8 д
/(q) й ?; „B)е, ,(!).— ...« — г— ..«т-х
х (яг@) /Yivtf, CHm(r) dV + Л,@) f е-"Д2 cm,,(r) d\\
\ J J }
C)
(сингулярная часть от обеих радиальных функиий имеет более высокий порядок малости
при г -• 0 и не влияет на асимптотически старший член разложения 1{ц) при q — со).
Входящие сюда интегралы связаны с асимптотиками волновых функций в импульсном
представлении. Согласно 4.18 имеем
*^-В [ e-"*R\*m{r)d\ a -R@)D ( е~^и(г)л\ D)
2/^ J ч—^ J
где дифференциальный оператор D — с, „(i,lz) d/dq,... d/dqn, a fi — приведенная масса
частиц.
Формулы C), D) определяют асимптотику интеграла B), а с ним и асимптотику
формфактора (I) при q —> со. В частности, для перехода между состояниями системы
с орбитальными моментами (( = 0 и fj = 1, находим
E)
где символ \q, -* q2] означает выражение пила, выписанного и первой квадратной скобке,
и котором ?i заменено на <jj, a
Заметим, что закономерности убывания формфактора при q -> со подобны отмеченным
в 4 18 «связи с асимптотиками волновых функиий в импульсном представлении. В частности,
для потенциалов со степенной асимптотикой U ~ —а/q" с п > I формфакюр
Ft-.jV.q-0"*1'*" при 9-оо. F)
Для иллюстрации полученного результата рассмотрим приложение формулы E) к атому
водорода. В приближении бесконечно тяжелого ядра формулу E) надо несколько видоиз-
видоизменить, имея в виду, что при этом jj = 0 Поэтому слагаемое е^е'"*1 п выражении (I),
соответствующее вкладу протона, теперь сводится к его заряду е и для неупругих переходов
не дает вклада в формфактор из-за ортогональности волновых функций. Имея в виду, что
для кулоновского потенциала U = — e2/2x*q1, и используя для него значения радиальных
функиий в нуле (они приведены в 13.79), находим для переходов Is —» п$ и Is —» пр с п ^ 2
16
n3/2(ga8)') ' п5'2(</а0M
что естественно совпадает с асимптотиками точных выражений для формфакторов, рассчи-
рассчитанных в 13.80.

§ 7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновений 229
13.85. Найти дифференциальное и полное сечения кулоновского возбуждения атом-
атомного ядра, находящегося первоначально в состоянии с моментом J = 0, быстрой
легкой заряженной частицей30' при а) дипольном (Е\-) и б) монопольном (Е0-)
переходе ядра.
Решение. Как и в предыдущих задачах, сечения процессе» могут быть сиязс.ны с электри-
электрическим формфактором ядра ^-/(q) = </| J2 e"l<|r'|t) для соответствующих переходов (сум-
р
мирование проводится по всем протонам ядра, гр — их радиусы-векторы относительно центра
масс ядра).
Специфика нерелятивистских столкновений легкой частицы с ядром определяется тем,
что для них qrp < pR/h « I (Л - радиус ядра, р = mV — импульс налетающей частицы),
так что в выражении для формфактора можно выполнить разложение экспоненты и огра-
ограничиться первым неисчезающим членом разложения При этом дифференциальные сечения
рассматриваемых процессов da^/dq1 ос q~7 и d(rFlu/dq7 — const, а полные селения
(О
(сечение просуммировано по проекциям момента р-состояния; хотя в нем фигурирует
состояние с J, = 0, следует, однако, иметь в «иду, что выбор оси киантэмания z вдоль
вектора q зависит от угла рассеяния, сравнить с 13 80) и
(ЛЕ'2.!') B)
(параметр Qo определяет также вероятность внутренней конверсии при соответствующем
переходе ядра, см. 11 68 и 11.69) В приведенных выражениях р' — импульс частицы после
столкновения.
13.86. Найти соотношения между амплитудами и дифференциальными сечениями
упругого рассеяния нейтрона на протоне и нейтрона на атоме водорода, находящемся
8 основном состоянии. Взаимодействием магнитного момента нейтрона с электроном
пренебречь. Указать условия применимости полученного результата.
Решение. Ввиду малости радиуса ядерных сил время взаимодействия протона и нейтро-
нейтрона много меньше характерного атомного времени. Поэтому по отношению к электрону
результат взаимодействия нейтрона с протоном можно рассматривать как внезапное изме-
изменение на V = ftq/mp скорости ядра-протона Отсюда следует искомое соотношение между
амплитудами рассматриваемых процессов
/пн(Я, q) ~ /прС?,?)а(<?), (О
где
! B)
I + {qm,aB/2mpy]
— амплитуда вероятности атому остаться в основном состоянии (сравнить с II 58, заметим,
что a(q) совпадаете атомным формфактором, см 13.80)
Так как а@) = I, то, воспользовавшись оптической теоремой и соотношением (I),
заключаем, что полные сечения рассеяния нейтрона на протоне и на агеме водорода
одинаковы81'. Как видно из формул A) и B), дифференциальные сечения, drr/dSl -- |/|J,
начинают различаться лишь при qa^ ]> mr/me, что соответствует энергиям нейтрона, много
большим атомной (так как hq ^ 2р).
80' Частицей (электрон, мюон), комптоновская длина оолны которой fi/mc превосходит размер ядра,
ззряд частицы ±е
' При эгом сушестиенно, что тц ft: тр. Сонершенно иная ситуация имеет месте при рассеянии
нейтрона на протоне, связанном а молекуле В случае тяжелой молекулы, М > тр, сечение рассеяния
при малых энергиях на сосанном протоне и 4 раза препышает сечение рассеяния свободным нуклоном,
см. |1, § 151|, а также |15|.

230 Глава 13. Столкновения частиц
13.87. Найти сечение рассеяния тяжелых заряженных частиц (например, протонов
или ионов) нейтральными атомами, имеющими момент, равный нулю. Скорость рас-
рассеиваемых частиц предполагается много меньшей скоростей атомных электронов,
но в то же время V ^ К/Мад, М — масса частицы. Воспользоваться кваэиклассиче-
ским выражением для сечения рассеяния, см. 13.51.
Решение Энергия взаимодействия заряженной частицы с атомом на больших расстояниях,
г > ов, имеет вид (поляризационный потенциал, см. 11.49)
m.!gL..!.,*#, <„
где 2е — заряд частицы, р — поляризуемость атома.
Расчет сечения рассеяния по квазиклассической формуле (см. 13.51)
l-cos Ц- f U(y/pTT?)dz \\pdp B)
для степенного потенциала был выполнен в 13.52; применительно к поляризационному
потенциалу (I) он дает
GX^r-
Сделаем несколько замечаний в связи с полученным результатом Как следует из C),
существенные в процессе рассеяния расстояния имеют величину ро ~ -/В ~ и'3 (в атомных
единицах), положено Z ~ 1 и /3 ~ а\ (такая же оценка следует из условия, что для р ~ рй
аргумент косинуса — квазиклассическая фаза — порядка I; заметим, что для г < а^ фор-
формула (I) неприменима, однако в условиях задачи такие расстояния не играют существенной
роли). Эти расстояния должны быть большими, р0 3> I, чтобы можно было воспользоваться
выражением (I); отсюда и <? I (при этом также выполнено условие po/v > «й'> обес-
обеспечивающее адиабатичность воздействия частицы на электроны атома; при нарушении его
становятся существенными процессы динамического возбуждения атома и понятие потен-
потенциала взаимодействия теряет строгий смысл). С другой стороны, должно быть выполнено
условие квазиклассичности: I ~ М/з<>« !^ I, отсюда и''3 3> \/М (М — масса рассеиваемой
частицы). Таким образом, полученный результат C) справедлив при выполнении условий
3'J
".г «««"«, D)
(т \
так что рассеиваемая частица должна быть тяжелой, М ~2> mt (для электронов формула C)
неприменима).
13.88. Найти сечение перезарядкип) при столкновении медленного, v <C vaT, отри-
отрицательного иона А" с собственным атомом А. Считать атом и ион находящимися
в 5-состояниях, а валентный электрон иона рассматривать как слабо связанный,
см. 11.28. Относительное движение атома и иона рассматривать квазиклассически
в приближении прямолинейных траекторий.
Решение. Специфика расчета сечения рассматриоаемого процесса резонансной переза-
перезарядки при относительной скорости сталкивающихся частиц, удовлетворяющей условиям
\lsfM 4С v С I (в атомных единицах, М — масса атома или иона), определяется следу-
следующими обстоятельствами. I) Сечение перезарядки велико, rrMSX> 2> т<»и- т-е существенны
большие прицельные параметры. 2) Относительное движение атомов квазиклассично, при-
причем можно ограничиться приближением прямолинейных траекторий, так как Mv1 3> I.
"'Сравнить с лсрезаридкой при столкновении медленного протона с атомом водорода, см |14.
с. 99], а также монографию A9), и которой иможена теории резонансных проиессоп при медленных
столкноиеиних атомных частиц.

§7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения 231
3) Состояния «внутренних» электронов атома и иона в процессе столкновения не изменя-
изменяются, а совершающий переход «внешний» электрон можно рассматривать к.чк находящийся
в поле двух потенциалов нулевого радиуса действия 4) Ввиду адиабатичносш столкновения
(для электронной подсистемы) существенны переходы лишь между близкими по энергии
состояниями атомных систем, представляющими четное (д-) и нечетное (и-) состояния
квазимолекулярного иона. Напомним, что при R —> оо эти состояния вырождены по энергии.
С уменьшением расстояния, при R^ = I/a, нечетный терм выходит в непрерывный спектр
(становится возможной ионизация), см 11.28. Однако в процессе перезарядки существенны
расстояния, много большие Дс.
В отмеченных условиях волновая функция внешнего электрона при больших расстояни-
расстояниях R(<) = р + W между атомами имеет вид
где Eg U(R) и
— энергия и в. ф. четного (нечетного) молекулярного терма на таких расстояниях, а ^'оМ —
волновая функция связанного состояния в изолированном потенциале нулевого радиуса,
см. 4.10. Коэффициенты в суперпозиции A) выбраны таким образом, что при t -» -co
в. ф. имеет вид Ф и C(?)Vo(r- R/2),t. e описывает электрон, локализованный вблизи одного
атома, что соответствует иону до столкновения. Соответственно при t —» Jot) коэффициент
при волновой функции $о(г + Л/2) (квадрат его модуля) определяет вероятность перезарядки
для заданного прицельного расстояния:
{< 1 .,
ехр|-:У^<й}ф«+мр|-1-уВ„л|ф„|, (I)
Wmto(p)=sm4 (E.(R)-E,(R))t-\ B)
(Д2 = pJ + z2, z = vt); при этом сечение перезарядки
„(P)dp О)
(сравнить формулы B), C) с выражением для сечения упругого рассеяния на потенциале U(r)
в квазиклассическом приближении, рассмотренным в 13.51)
Согласно 11.28 на больших расстояниях Еа - Es ~ 2ae'""/R, где ес„ = о2/2 — энергия
связи электрона в ионе. Записав
находим значение интеграла в выражении B) в случае ар 3> I; он равен
Ввиду его резкой зависимости от р, аргумент синуса в B) быстро уменьшается с ростом р
Поэтому доминирующий вклад в интеграл C) дает область прицельных расстояний р ^ рц,
здесь 1(ро) = I, в которой быстро осциллирующий множитель sin 2/(p) можно заменить его
средним значением, равным 1/2, что дает
2^« 55

232 Глава 13. Столкновения частиц
Заметим, что значение р0 из урапнения 1[ро) = 1, которое удобно записать н ниде In /(/?„) — О,
можно получить последовательными итерациями Первая итерация даст ари = In (Vbra/v).
Наконец подчеркнем, что большая величина сечения перезарядки D) определяется тем,
что для слабосвязанного электрона а<1.
13.89» Для столкновения одинаковых атомов, один из которых находится в основном
состоянии, а другой — в возбужденном состоянии (состояния связаны дипольным пере-
переходом), оценить сечение взаимодействия и, в частности, сечение передачи возбужде-
возбуждения. Считать орбитальные моменты атомов равными 0 и 1. Скорость относительного
движения атомов предполагается малой по сравнению с характерной атомной скоро-
скоростью, а энергия наоборот, много большей атомной; сравнить с предыдущей задачей.
Решение. Характерная особенность рассматриваемого процесса, приводящая к большой ве-
величине сечения передачи нозбуждения (как и сечения упругого рассеяния), связана с вы-
вырождением по энергии при больших расстояниях между атомами состояний, отвечающих
возбуждению одного из одинаковых (') атомов. В такой ситуации, как и и рассмотренном
в предыдущей задаче процессе перезарядки, при мешенных столкновениях переходы между
близкими но энергии состояниями происходят при достаточно больших значениях прицель-
прицельного параметра. Взаимодействие атомов, носящее диполь-дипольный характер, обсуждалось
в II 55. По сравнению с предыдущей задачей теперь возникает усложнение, связанное
с увеличением числа состояний: имеется по три как д-, так и u-тсрма. Соответствующие
независимые состояния отвечают различным поляризационным состояниям возбужденного
атома (с моментом 1=1).
Одно из таких состояний, отвечающее проекции момента L = 0 возбужденного атома
с моментом I = I, эволюционирует независимо от двух других. При этом, как и в предыдущей
задаче, поступательное движение атомсв рассматривается квазиклассичсски в приближении
прямолинейных траекторий и ось z выбрана перпендикулярно плоскости движения. Для
этого состояния U9l, = ±d1/[iR3), см. 11.55, и расчет сечения передачи возбуждения может
быть выполнен непосредственно по формулам B) и C) из 13 88. Вычислив интеграл
как и о предыдущей задаче, находим сечение передачи возбуждения с L = 0:
f , / 2d2 \ 2ird2 Г , dx ?r2d2
(То = / 27rpsin —г- d? = —— /sin x —г = ——. (I)
у \3p-u/ 3« У г2 3«
о к
Как и следовало ожидать, оно существенно превышает атомные размеры (напомним, что
««!).
Для двух других поляризационных состояний возбужденного атома (с I. = ±1, или
с lXill = 0; см. 3.21, а также 3.41) вычисление сечения передачи возбуждения требует чи-
численных расчетов. Это связано с тем, что между такими состояниями возникают переходы,
т.е. в процессе передачи возбуждения чожет измениться поляризационное состояние атома
Дело втом, что выполненная в II 55 диагонализация «мгновенного» гамильтониана основана
па выборе оси квантования вдоль направления, проходящего через центры атомов Но из-за их
движения соответствующая «вращающаяся» система является неинерциальной При переходе
в такую систему п гамильтониане возникает дополнительное слагаемое, имеющее вид
— кориолисово взаимодействие'^, сравнить с 6 29. Этот оператор не коммутирует с операто-
операторами симметрии «мгновенного» гамильтониана и приводит к переходам между собственными
""Здесь L — оператор момента относительного движении атомон, / = /j/J2 — момент инерции
относительно центра масс В кваэиклассическом приближении оператор L можно заменить едмкствснноЛ
отличной от нуля компонентой момента Lt = m>v

§ 7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения 233
состояниями последнего, исключая отмеченный выше случай I. = 0. Что же касается оценки
сечений передачи возбуждения для обсуждаемых поляризационных состоянии атома, то она,
очевидно, как и в (I), имеет вид а ~ xd!/v
13.90. Найти полное сечение стЮ1, сечения упругого ас\ и неупругого cmci рассеяния
быстрых частиц, kR ^> I, поглощающей («черной») сферой радиуса R. Найти также
дифференциальное сечение упругого рассеяния. Сравнить с 13.57 и 13.51!.
Указание Воспользоваться квазиклассическими представлениями о движении частиц Счи-
Считать, что все частицы, достигающие поверхности сферы, поглощаются ею.
Решение. В соответствии с постановкой задачи в выражении (XIII 9) для амплигуды упругого
рассеяния фазы рассеяния следует считать равными: S, — jco, при этом е!|<< = 0, для
/<(<> = kR и 6i = 0 для I > Iq. Такие значения it соответствуют следуюшгн физической
картине (движение частиц квазиклассично, так как kR Э> 1) при прицелы-ых параметрах
частиц р = l/k < Я они «поглощаются» сферой, а при р > R движутся свободно. При этом
упругое рассеяние является проявлением волновых свойств частиц и по сво;и физической
природе аналогично дифракции Фраунгофсра на непрозрачном экране (в даш ом случае —
поглощающем экране); оно описывается амплитудой рассеяния, сравнить с 13 57,
/т.фр = ^г У]B1 -i- l)P,(cos0) a ^ JAkRB), в « I.
(I)
Воспользовавшись оптической теоремой, находим полное сечение столкновения
о\о, = у1т//1ифр(е = 0) = 21Л2. B)
Сечение неупругого рассеяния (сечение поглощения частиц) равно
<7,r.el = ¦?} 2_
а сечение упругого рассеяния
этот результат получается и непосредственным вычислением по формуле
<7е, =
как и в 13 57
13.91. Как известно, в результате взаимодействия электрона с позитроном может
произойти их аннигиляция, т. е. превращение пары в фотоны. Вследствие этого уровни
позитрония приобретают ширину, связанную с конечным временем жизни состояний,
см. 11.61.
Найти соотношение между шириной уровней Г„, для s-состояний позитрония
и сечением аннигиляции пары <?w(v).
Указание Учитывая малость радиуса анпигиляционного взаимодействия, Даи ~ h/mec < aD.
воспользоваться формулами теории возмущений по длине рассеянии для сдвига /ровней и для
фазового сдвига, см 13 36 и 13 37.
Решение. Характерные особенности рассматриваемых процессов определяются малостью ра-
радиуса Я,„ аннигиляиионного взаимодействия, так что в нерелятивистском случае А:Д,,„ < 1
Поэтому аинигиляционные процессы наиболее существенны для s-состояний. Влияние
короткодействующего взаимодействия па «-состояния описывается лишь одним парамет-
параметром Oq — длиной рассеяния (для момента I ¦— 0) на изолированном центра, см. 13 36
и 13.37. При наличии неупругих процессов (аннигиляции) длина рассеяния им.;ет отличную

234 Глава 13. Столкновения частиц
от нуля мнимую часть. Соответственно, и сдвиг уровня, см 13.36, приобретает мнимую часть,
определяющую ширину уроння,
Г„ = -2 lm ДЯ„ = -— К>@)|2 lm С- 0)
тс
Здесь учтено, что для позитрония приведенная масса m = m,/2, Фп°«@) — волновая функция
и нуле для невозмущенного состояния.
С другой стороны, изменение фазового сдвига j-волны для кулоновского потенциала,
U = —ег/г, под влиянием короткодействующего взаимодействия согласно 13.37 равно
ДС(*) = ~QWo\ B)
при этом
где ав = Л2/те«2 (» формулах C) учтено, что радиус Бора для позитрония в два раза больше
атомного). По фазооому сдвигу амплитуды упругого рассеяния (его мнимой части) находим
сечение аннигиляции
^ ^^ = -у01о1т4Я. D)
Согласно формулам (I) и D) приходим к искомому соотношению
^ E)
здесь v = hk/m = 2hk/me — относительная скорость электрон-позитронной пары. В случае
ftu/e2 > I, когда кулоновский потенциал можно рассматривать как возмущение, соотноше-
соотношение E) несколько упрощается, так как при этом Ql0 и 1.
В заключение подчеркнем, что как сечение аннигиляции, так и ширина уровней по-
позитрония (а соответственно и их время жизни т = ft/Г) существенно зависят от значения
суммарного спина электрон-политронной пары, см. 11.61, так что орто- и парасостояния
позитрония следует рассматривать раздельно. Заметим также, что полученные результаты
непосредственно переносятся на адронные атомы Однако условие их применимости предпо-
предполагает, что в сильном короткодействующем потенциале нет s-уровня с малой энергией связи,
см 11.4, а также 11.74.
13.92. С помощью принципа детального равновесия связать сечения радиацион-
радиационного захвата нейтрона протоном, п + р —> d + 7i и фоторасщепления дейтрона,
d + 7 -+ n + р.
Указание. Соотношение между сечениями взаимно обратных двухчастичных процессов, вы-
выряжающее принцип детального равновесия (см |l|, § 144), справедливо и в релятивистской
области. Заметим, что хотя спин фотона равен I, у него имеется лишь два независимых по-
поляризационных состояния (что является отражением поперечности электромагнитных волн).
Решение Согласно принципу летального равновесия для двух взаимно обратных реакций
А ^ R спрлнедлино соотношение
Здесь а — полные сечения соответствующих реакций А —• В и В —* А, усредненные по спинам
частиц в начальном и просуммированные по спинам частиц в конечном состояниях; дк,ъ —
спиновые статистические веса, рА в — импульсы относительного движения в двухчастичных
системах А и В, взятые при одной и той же энергии в с. и. и (аналогичные соотношения имеют
место не только для полных, но и для дифференциальных сечений реакций, см. [I, § 144]).
В рассматриваемом случае реакции n + p^d + f имеем (rA_0 = <rUM, (сечение ради-
радиационного захвата нейтрона) и <7В_Л = <70-р (сечение фоторасщепления дейтрона). Так как

§7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновений 235
спиновый (поляризационный) статистический вес для частииы со спином з ранен д, -- Bs+1)
(исключая фотон, для которого д-, — 2 ввиду поперечности его поляризации), то
Импульсы Ра,в. входящие в соотношение A), равны импульсам частиц и системах А, В
вс ц. и. Для рассматриваемых реакций рА = рр = р„ и рв s p7 = pd. Сч1-тдя все частицы
нерелятипистскими (исключая, конечно, фотон; для него имеем Я, ^С McJ. где М — масса
нуклона), согласно закону сохранения энергии получаем
I , _
М
Здесь е0 — энергия связи дейтрона, ш — частота фотона; значением ?'Л пренебрежено
по сравнению с Еу (для нерелятивистского дейтрона ЕЛ <? ?т при одинаковом импульсе
с фотоном).
Учитывая, что р7 = Нш/с, согласно соотношениям A)-C) находим
&1пхв 3 hw hw
<Тф_р 2 Мс2 hw — Со
Отсюда следует, что в нерелятивистском случае, hw < Me2, вообще говоря а^ > <гя„
Исключением является узкая область значений ftw вблизи порога реакции у + d —* п + р
(при этом hw и ?о), в которой, наоборот, Сф-П <tC »»».
В заключение подчеркнем, что соотношение D), как и A), не связано с каким-либо
предположением о механизме реакций, а основано только на симметрии уравнений квантовой
механики относительно отражения времени.
13.93. Найти соотношение между сечениями фотоэффекта из основного состояния
атома водорода и радиационной рекомбинации электрона с протоном (процесс,
обратный фотоэффекту) в основное состояние атома водорода.
Решение. Задача решается аналогично предыдущей (более того, рассмотренные в этих двух
задачах процессы родственны и по своей физической природе, см. также 14.18 и 14.19).
Усредненные по спинам сечения взаимно обратных реакций фотоэффекта, 7 + Н —> е + р,
и радиационной рекомбинации, е + р —» Н +7, связаны соотношением
<Гф(ц) _ _Ре_ _ Пш ~ \Ео\ т>сс2
">*«(«<) ~ 2р]~ hw hw ' U
Для получения A) следует учесть, что с. ц. и. для рассматриваемых реакций совпадает
с системами покоя атома водорода и протона, спиновый статистический пес для атома
водорода в основном состоянии84' равен 4, как и для системы е + р. Энергии фотона
и электрона связаны законом сохранения энергии
I ,
^ + ^ = ее=—Рс,
где Eq — энергия основного состояния атома водорода.
84' При этом пренебрегают сверхтонкой структурой основного состояния ;ггома водорода, см. 11.2
Заметим также, что для процессов с участием атома водорода в состояниях с орбитальным моментом /,
•спиновый» статистический вес для Н равен уже 4B1 + I).

Глава 14
Квантовая теория излучения
I) Последовательная теория процессов излучения и поглощения фотонов свя-
связана с использованием представления чисел заполнения для фотонной подсистемы.
При этом полю излучения (т.е. свободному электромагнитному полю) сопоставляется
оператор векторного потенциала"
1/2
Здесь а^а, о^ — операторы уничтожения и рождения фотона с волновым векто-
вектором к, частотой ш* = ск и поляризацией а; ек(Г — единичный (|е|2 = 1) иектор
поляризации фотона, удовлетворяющий условию поперечности kekff = 0. Состоя-
Состояние поля излучения описывается волновой функцией Ф(П|,0,{), где щв — числа
заполнения фотонных состояний.
Оператор Гамильтона свободного поля излучения /f^d = ^D '"ь"*2|^2|и,, а вза-
имодействие нерелятивистской частицы с этим полем имеет вид2' (в кулоновской
калибровке р\ = Ар):
V.m = -— AfaA(r)p4- -^4 A?ad(r) - Z-ЪЗг^г), (XIV2)
тс 2тс' s
где е„, т., s,fi —заряд, масса, спин и магнитный момент частицы, Ж,^ = rotA,ad(r).
Взаимодействие частицы (системы частиц) с полем излучения характеризуется
малым параметром а = е2/Ис и 1/137 (для еЛ ~ е). Поэтому обычно существен-
существенны лишь переходы, сопровождающиеся излучением или поглощением минимально
возможного числа фотонов. При этом вероятности процессов можно рассчитывать
по теории возмущений. В частности, для вероятности перехода (в единицу време-
времени) между состояниями дискретного спектра системы частиц с излучением одного
фотона имеем
dv>n« = ^-\U\VM\i)\2dPl (XIV 3)
Здесь волновые функции (векторы состояний) начального и конечного состояний
системы «частицы + фотоны» имеют вид
1*> = Ф.«)ЮO, Е,=е„
''Срлвнить с Ф — операторами из гл 10 Дли описании поли использована кулоновская ксыиброака
divArod = 0, фпй - 0, оператор AraJ(r) зад?.н п шредингерооском представлении. Объем V, п который
считается заключенной система, при V —» оо не входит в физически наблюдаемые величины.
Описываемое классически (некбйнтовамное) внешнее поле, как и кулоновское взаимодействие
частиц, обычным образом включено в гамильтониан частиц Заметим, что если система частиц находится
ио внешнем магнитном поле, так что А Ф 0, то в (XIV2) следует заменить р на "р — (еа/с)А.

Квантовая теория излучения 237
? — совокупность независимых координат частиц, Ф1,/D) и exj — волновые функ-
функции и энергии соответствующих состояний системы частиц, |0O и 11^,0,. .O —
векторы состояний фотонной подсистемы, соответствующие вакуумному и одно-
фотонному состояниям Матричный элемент в (XIV.3) с учетом (XIV.l), (XIV.2)
(и свойств операторов а, а + ) принимает вид
E)к^}е"'кг'|ф->- <XIV-4>
2) В дипольном приближении здесь можно заменить е~1кг на 1, пренебречь
слагаемыми с магнитными моментами частиц и преобразовать" матричный элемент
возмущения к виду
(XIV.5)
гас А}, — (Ф/1 5D еа>"а I^i) — матричный элемент дипольного момента системы
а
частиц. Так как для каждой из двух независимых поляризаций фотона плотность
конечных состояний
dp, = J б(е, - е, - М — = ^^-3
(XIV.6)
где hu = е, — ?j, dQn — элемент телесного угла в напраапении излучения фотона,
k = kn, то выражение (XIV.3) принимает вид
\ек<Т d/,12 <1П„ (XIV. 7)
Суммирование по поляризациям фотона, выполняемое с помощью формулы41
52№,Мк = бЛ-^, (xiv.s)
сг—1,2
дает угловое распределение излучаемого фотона:
а последующее интегрирование по направлениям вылета его определяет вероят-
вероятность излучения фотона для соответствующего перехода »••-»/ в системе частиц
в дипольном приближении
= J dwn = з^з №/,|2. (XIV. 10)
" Воспользовавшись при этом соотношением
|>д
та
Оно справедливо и для системы, находящейся в магнитном поле, когда рп следует заменить на "ра —
(еа/с)А(гв)
4' При этом
= ab-(na)(nb) = |an| |bnj.

238 Глава 14. Квантовая теория излучения
Заметим, что гшимодействие (XIV 2), имеющее в дипольном приближении вид
экииналентно выбору более простого по форме взаимодействия5)
v;m = -d/rad@), (XIV. 12)
где d = er — дипольный момент частицы, а
(XIV. 13)
Из (XIV. 12) непосредственно следует выражение (XIV.5) для матричного элемента
возмущения, определяющего излучение фотона в дипольном приближении.
В задачах данной главы для волновых функций свободных частиц6' Фр =
y-i/2eipr/A используется нормировка на I в объеме V. При этом связь вероятности
dw какого-либо перехода (в единицу времени) с участием такой частицы с диффе-
дифференциальным сечением соответствующего процесса определяется соотношением
da=d^- = V—, (XIV. 14)
где j = pv — плотность потока, р = 1/V — объемная плотность частиц, v — отно-
относительная скорость сталкивающихся частиц; для столкновений фотонов с частицей
(атомом) v — с.
§ 1. Излучение фотонов
14.1. Найти время жизни и ширину уровня для возбужденного 2р-состояния атома
водорода.
Применить полученный результат к /z-мезоатому и сравнить со временем жизни
свободного мюона т^ = 2,2 ¦ 10"' с.
Решение. Волновые функции начального и конечного состояний атома водорода имеют вид,
см. (IV.4),
(I)
ав J 8aB
Здесь е(т) — единичный вектор. \е\2 = 1, описывающий поляризационное состояние атома
водорода с орбитальным моментом / = 1 При этом матричный элемент дипольного момента
перехода
«I/. = / *}(-ег)Ф, dV = ~Ч^р еаве(т), B)
'Такое изменение вида взаимодействия возникает & результате выполнения определенного уни-
унитарного преобразования. Подчеркнем, что (XIV 12) эквивалентно именно полному выражению (XIV.II)
(а не только линейной по оперпторам о, Sf его правой части1).
" При этом возможные значения импульса, образующие дискретный набор, определяются условием
ортогональности полковых функций, <р|р'> = 6„, число независимых состояний в элементе объема d}p
составляет V<i3p/B»AK.

§ 1. Излучение фотонов 239
сравнить с 3.41 и 3 42. Согласно (XIV. 10) вероятность рассматриваемого перехода 2р —> Is
атома водорода с излучением фотона
'ида*-
Время жизни г = \/w и ширина уровня Г = fi/r = hw для 2р-состояния атома водорода
составляют:
ш и 0,63- 109 с, т и 1,60- 10"' с, Г я 0,41 • 10"' эВ.
Время жизни 2р-уроння /i-мезоатома (т„ я 207mt) составляет я 10"" с Это значение
много меньше времени жизни свободного мюона и позволяет понять то обстоятельство,
что мюон, будучи захваченным на атомную орбиту, успевает до своего распада путем ряда
каскадных переходов перейти на основной уровень (это замечание справедливо и для пионных
атомов, т„± « 2,6 • 10~8 с).
14.2. Найти время жизни первого возбужденного уровня заряженного сферического
осциллятора.
Решение. Волновые функции сферического осциллятора обсуждались в 4.4 и 4.5. Для началь-
начального и конечного состояний в рассматриваемом случае они имеют вид (сравнить с предыдущей
задачей)
*¦=**=1=ЫЬ)
Так как первый возбужденный уровень осциллятора имеет орбитальный момент /= I, то
излучение фотона носит дипольный характер. Матричный элемент дипольного момента
перехода d = ег
"" = e/S /(«Jre-'1"' d\ = ± еае, B)
и вероятность излучения фотона (в единицу времени) оказывается рапной
)
как видно, w <ь/.
14.3. Найти вероятность электромагнитного перехода (в единицу времени7') для
сферического ротатора, находящегося на первом возбужденном уровне; ротатор
имеет момент инерции / и дипольный момент d, направленный вдоль его оси.
Решение. Волновые функции начального ({ = I) и конечного (/ = 0) состояний ротатора
имеют вид (сравнить с двумя предыдущими задачами и с 3.3).
= Уоо = у/^.
Матричный элемент дипольного момента перехода А = don
Г \/lda Г I
d/> = / Ф/don*. du = —— / n (en) du = ~= doe,
а вероятность излучения фотона согласно (XIV. Ю)
'' В ряде последующих задач эта оговорка ллн краткости опускается

240 Глава 14 Квантовая теория излучения
14.4. Найти вероятность электромагнитного перехода между вращательными уровня-
уровнями двухатомной молекулы (без изменения электронного и колебательного состояний),
имеющей дипольный момент do. Электронный терм молекулы 'Е. Ограничиться слу-
случаем первого возбужденного ротационного уровня.
Произвести оценку вероятности перехода и сравнить ее с вероятностью диполь-
ного перехода для атомов.
Решение. Свойства вращательных состояний двухатомной молекулы с Л = 0 аналогичны
снойстнам сферического ротатора с моментом инерции I = /хЯ", где ц — приведенная масса
ядер молекулы, аи — ранноиссное состояние между ними Отмеченная ранее в 11 40 аналогия
свойств молекулы и ротаюра, имеющих собственный дипольный момент, в электрическом
поле непосредственно переносится и на процессы излучения фотона при чисто вращатель-
вращательных переходах молекулы. При этом вероятность рассматриваемого процесса описывается
формулой (I) предыдущей задачи
Опенка вероятности излучения существенно отличается от типичного значения w,, ~
10' с для дипольного излучения атомов (сравнить с 14 I) ввиду малости, ~ тс/ц, энергии
вращения молекулы по сравнению с электронной энергией, см. 11 25, а соответственно и ча-
частоты излучаемого фотона Так как ш ос ш3, то для вероятности излучения при вращательных
переходах молекулы получаем оценку и\,ол ~ 1(Г2 с"' (для конкретности положено ц = Зтр).
В заключение заметим, что излучение с более высоких вращательных уровней в диполь-
ном приближении происходит лишь при переходах на ближайший уровень, т е вращательный
момент молекулы изменяется на \ш К/ = К, — I При этом частота излучаемого фото-
фотона и — hK,/I, а вероятность излучения, просуммированная по независимым конечным со-
состояниям ротатора (с различными значениями проекции момента), описывается выражением
14.5. Показать, что дипольные переходы между
о) уровнями атома с различной мультиплетностью (например, между состояниями
орто- и парагелия),
6) компонентами тонкой структуры одного и того же терма атома (т. е. между
различными подуровнями одного и того же мультиплета с данными значениями L и S)
запрещены.
Решение, а) Оператор дипольного момента d = Yl e«ra зависит только от пространствен-
пространственных координат и поэтому коммутирует с любым спиновым оператором В частности,
(IS!-S!d = 0, где S — суммарный спин системы. Матричный элемент этого соотно-
соотношения, отвечающий переходу между состояниями », / с определенными значениями S,/,
лает
[5,E,+ I)-5/E/+ l)J(*/|d|*.>-0.
Отсюда для 5, Ф S/ следует d/, = 0. так что дипольное излучение дпя таких переходов
отсутствует
б) Все состояния тонкой структуры одного и того же атомного терма имеют одинаковую
чепюсть (так как в них электроны занимают одни и те же олиочастичные орбитальные состо-
состояния). Учитывая антикоммутгивность операторов отражения / и дипольного момента, /d +
Л1 = 0, и вычисляя матричный элемент этого равенства между состояниями Ф,_/ с определен-
определенными четностями, получаем (/, 4-7/)d/; = 0 Отсюда следует запрет на дипольное излучение
при переходах между состояниями с одинаковой четностью рассматриваемой системы частиц
14.6. Для 2«|/2-состояния атома зодорода найти вероятность электромагнитного
перехода в 2р|/2-состояние. Полученный результат сравнить с вероятностью перехода
2si/2 —* l«i/2 с излучением двух фотонов w^ й8сч и с результатом 14.8. Напомним,
что разность энергий 2si/2- и 2р\^-уровней (так называемый лэмбовский сдвиг)
составляет AE,,S « I 058 М Гц « 4,4 I О эВ.

§1. Излучение фотонов 241
Решение. Волновые функции начального и конечного состояний атома водорода имеют вид,
см. (IV4),
Ф, = ФмоХ, = 4
Ф/ = Я
Здесь спинор Xi характеризует спиновое состояние электрона в начальном 2$|/2-состоинии
атома, а спинор {<тп)х/ определяет спин-угловую часть волновой функции 2;>|/2-состоиния.
см 5 21; спиноры \\,i нормированы условием (х\х) - '¦
Матричный элемент дипольного момента перехода 2si/2 —> 2pt/2 атома водорода
dVh -
как и вероятность излучения фотона согласно (XIV 10), зависит от выбора значении проекции
момента в начальном и конечном состояниях атома Суммирование вероятности перехода
по двум независимым значениям проекции момента jz — ±1/2 атома в конечном состоянии,
выполняемое с помощью соотношения
дает полную вероятность рассматриваемого перехода
u»Bs1/2 -* 2р,/2) = 12 --??- C)
(она уже, естественно, не зависит от начального спинового состояния электрона ввиду
изотропии пространства), ее числовое значение составляет (hu = ЛЕ^5 « 4,4 ¦ 10"' эВ)'
шйО,81 • 10"'с, г=-к 39 лет D)
w
(I год составляет 3,15 -10* с). Столь малая вероятность дипольного перехода и соответственно
большое время жизни, сравнить с 14.1 и 14.4, определяется исключительно малым значением
частоты излучаемого фотона. В связи с данной задачей см. также 14.8
14.7. Свободная нейтральная частица со спином s = I/2, имеющая магнитный
момент ц (так что Д = /*<?), находится в однородном магнитном поле Р0о в состоянии
с определенным значением проекции спина на направление поля. Найти вероятность
излучения фотонов в единицу времени в результате переворота спина.
Решение Взаимодействие частицы с электромагнитным полем описывается выражением
& = -p(P85 + ^™i(r)), (I)
сравнить с (XIV 2), где
Пренебрегая влиянием орбитального движения частицы на излучение8', будем^рассматривать
только спиновую степень свободы, положив г = 0 При этом слагаемое Яо s -pP^ =
—ii'Jfffi^ в выражении (I) для V (ось z направлена вдоль внешнего магнитного поля) имеет
смысл невозмущенного гамильтониана спиновой подсистемы. Его собственные функции
и собственные значения описываются выражениями
8* При этом, в частности, пренсбрегаетсн доплеровскимуюирением спектральной линии

242 Глава 14. Квантовая теория излучения
Считая, для определенности, что fi > О, замечаем, что Еу > Е, , и под действием
возмущения V = -?2?\,d@) возможен переход из состояния 4f2 в Ф|, сопровождающийся
излучением фотона с энергией Нш = Е\ - ??| ' = 2/j5So (при этом состояние ф, стабильно
относительно излучения; в случае ft < 0 роли состояний Ф^г взаимно заменяются).
Преобразования, аналогичные (XIV.3)-(XIV.7) приводят к следующему выражению для
дифференциальной вероятности рассматриваемого перехода
А».. = Ц W,,\2dp; = ^~ |[keL,]*;?4'2|3dn.. B)
Обозначив здесь
что является матричным элементом оператора магнитного момента перехода, и введя вектор
а,г = [k/jl2], перепишем выражение B) в виде
сравнить с (XIV.7) Суммирование по поляризациям фотона, выполняемое как и в (XIV 8),
(XIV.9), дает (при этом учтено, что ка1г =0):
dw. = J2dv>~> = 2^{*2|'1»|J ~ (MuXk/iu)*} du,, D)
и после интегрирования по направлениям вылета фотона получаем
VI = I *». = з^ 1М.2|2 E)
(при этом использовано значение интеграла
У"(ак)(Ьк) Ш = а,Ь„ J ktkk du = «Ay k2S,k = у A!(ab)).
Заметим, что выражения C)-E) являются фактически общими формулами теории
магнитно-дипольного излучения.
Учтя явный вид функций Ф|2 и матриц Паули, находим матричные элементы
и приходим к окончательному выражению для полной вероятности излучения фотона, сопро-
сопровождающего «переворот» спина в магнитном поле
64 „^
F)
14.8. Оценить вероятность однофотонного перехода атома водорода из возбужден-
возбужденного 2s|/2-состояния в основное lsi/2-состояние. Сравнить полученное значение с ре-
результатом 14.6. Какова мультипольность перехода?
Решение Взаимодействие Km электрона с полем излучения описывается выражением (XIV.2),
в котором следует положить /ia = -сЛ/2тс (-е — заряд электрона) Матричный элемент
такого возмущения для однофотонного перехода дается формулой (XIV.4), « которой под вол-
волновыми функциями начального и конечного состояний *,,/ = Ф,и(г)х.,/ следует понимать
в ф. соответствующих ns-состояний атома водорода с учетом спинового состой ни и электро-
электрона. При этом первое слагаемое в матричном элементе (/|V;m|i), включающее оператор р,
обращается в нуль. Действительно, ввиду сферической симметрии в. ф. Ф„, замечаем, что
матричный элемент
<Ф„|е-""р|3<2<)с<к, но keto=0.
Таким образом, дли рассматриваемого перехода атома водорода
(I)

§ 1. Излучение фотонов 243
Ввиду того, что коц < 1, в матричном элементе можно выполнить разложение экспоненты
(впрочем, соответствующий интеграл можно вычислить точно, см. значение формфакто-
ра F,,^ls(q) в 13.80). Первые два члена разложения, е~'у' я 1 - »кг, дают нуль (первый —
из-за ортогональности в. ф., второй — ввиду нечетности подынтегральной функции), гак что
(Is|e"lr 12s> « -1 J *;,(r) (кгJФ2Дг) d'r.
Интеграл здесь равен 29\/2 к2a2Bfi6 (в сферических координатах интегрирование по углам дает
/(кгJ dfi = Dir/3)/s2r2, последующее интегрирование по г, с учетом явного вида в ф Ф|B)я
выполняется элементарно); дифференциальная вероятность излучения фотона
сравнить с переходом от (XIV.5) к (XIV 7), а также с формулой C) из предыдущей задачи
В выражении B)
Зе2
Гш = hkc ¦- Е2, - Еи =
8ав
и введено обозначение <т ,2 = (xtl^lto)- Суммирование в формуле B) по поляризациям
фотона и последующее интегрирование по направлениям его вылета, выполняемые как
и в предыдущей задаче, дают вероятность перехода
1 /е2\9 те*
Она зависит от спиновых состояний электрона. Чтобы найти полную вероятность излучения
при переходе 2si/2 —» 1«|/2 атома водорода, выражение C) следует просуммировать по двум
независимым спиновым состояниям ls-электрона; поступая как в 14 6, получаем
wBsin — \s[/7) = —— ( J- ) ^" « 0,62 • 10~б с"', D)
2' ¦ у \FicJ h
что соответствует времени жизни 2в|/2-состояния по отношению к рассматриваемому пере-
переходу г = )/w я 18 дней.
Сравнение результатов данной задачи и задачи 14.6 с вероятностью двухфотонного
перехода ш27 я 8 с~' показывает, что однофотонное излучение из 2st/2-состояния имеет
существенно меньшую (на много порядков) вероятность, чем двухфотонный переход, т. е. оно
сильно подавлено. В условиях 14 6 такое подавление имеет очевидную причину — малость
частоты излучаемого фотона, в то время как вероятность излучения wEI ос оЛ
Подавление однофотонного перехода 2si/2 — lS|/2, носящего магнитный дипольный
характер, объясняется тем обстоятельством, что в пренебрежении запаздыванием, е'Лг я I,
он является запрещенным из-за ортогональности координатных частей волновых функций,
как отмечалось выше. В связи с этим следует отметить, что малость матричного элемента
(имеющая порядок величины A2aJ, ~ a2 = A/I37K и, соответственно, a4 ~ 10"9 в выражении
для вероятности излучения), возникающая при разложении экспоненты, имеет такой же
порядок величины, как и релятивистские поправки к волновым функциям. Учет последних
приводит к увеличению значения вероятности D) в 9 раз, см [29, §52] (так что рассмотрение,
проведено в данной задаче, носит лишь качественный характер).
14.9. Найти вероятность электромагнитного перехода между компонентами сверх-
сверхтонкой структуры основного состояния атома водорода9' (см. 11.2).
Решение В основном состоянии атома водорода с ядром-протоном триплетный уровень,
S = 1. сверхтонкой структуры выше синглстного, 5 = 0, на AShfs = 1 420 МГц я 5,9-10~6 эВ,
'' Отметим, что излучение, связанное с рассматривлемым переходом (относищееся к радиодиапазону,
длина полны 21 см), играет иажную роль в астрофизических исследовяниих; так, по красному смещению
спектральной линии определяют расстояния до (удаляющихся) галактик.

244 Глава 14. Квантовая теория излучения
см 112 Волновые функции этих состояний имеют вид (для определенности ограничимся
рассмотрением триплетного состояния с S, = 0)
Здесь x$s ~ спиновые функции электрон-протонной системы.
Матричный элемент взаимодействия (XIV 2) для однофотонного перехода между состо-
состояниями (I) атома имеет вид
сравнить с выиодом формулы A) из предыдущей задачи (при этом пренсбрежено взаимодей-
взаимодействием магнитного момента протона с полем излучении, 1ак как оно примерно в тр/те я; 210'
раз слабее, чем для электрона). Заменив, экспоненту единиией и элементарно вычислив ком-
компоненты вектора
<Г\г = (Хт\°ЛХ\») = @,0,1),
получаем
Теперь обычным образом (сравнить, например, с решениями двух предыдущих задач)
находим полную вероятность рассматриваемого перехода, носящего магнитный дипольиый
характер:
что соответствует времени жизни триплетного уровня т = 1/ш « Ю7 лет (столь большое
значение его связано с малой величиной частоты излучаемого фотона, г ос о>~3)
14.10. Какова мультипольность излучения для доминирующих электромагнитных пе-
переходов между компонентами тонкой структуры одного и того же терма атома? Оценить
численное значение вероятности соответствующих переходов в единицу времени.
Решение. Вероятности однофотонных электромагнитных переходов (в единицу времени) раз-
различной мультипольности для не слишком сильно возбужденных состояний атома но порядку
пеличины рлвньг
d]2w} , / ш \ 3
а) ш?, ~-—— ~о( — N» (I)
he1 \var/
для диполыюсо электрического, или El -перехода,
б) „„„^„^у^ B)
для дшю.чьного магнитного, или Ml-перехода,
для квалрунолыюго электрического, или В2-перехода
В приведенных оценках положено rf,2 ~ еаИ, /i,2 ~ e.hjmc, Qt2 ~ евв — характерные
значения матричных элементов дилольного, магнитного, квадрупольного моментов, а =
e'jhc = 1/137 — постоянная тонкой структуры, ш„ = те4/ft3 = 4,13 I0'6 с"'. Для переходов

§ 1 Излучение фотонов 245
межлу различными термами ш ~шэт. При этом вероятности М\ и Е2 переходов по порядку
величины одинаковы (если они не запрещены правилами отбора) и в сг~г ~ 104 раз меньше
вероятностей Е\ переходов
Специфика излучения при переходах между компонентами тонкой структуры одного
и того же электронного терма определяется следующими двумя обстоятельствами Во-первых,
соответствующие состояния атома имеют одинаковую четность и Е\-переходы между ними
запрещены, см 14.5. Во-вторых, для таких переходов энергия излучаемых фотонов порядка ин-
интервала тонкой структуры терма, т. е их частоты малы, ш ~ агшяг. Сравнение B) и C) показы-
показывает, что при этом вероятность ?2-псрехода в оГг ~ 10й раз меньше вероятности М1 -перехода.
Таким образом, квалруполыюе излучение сильно подавлено и доминирующими являются маг-
магнитные дипольные переходы. Так как для таких переходов правило отбора по моменту требует,
чтобы |Д7| = 0 или I, а энергия уровней тонкой структуры по мере увеличения J изменя-
изменяется монотонно, то Ml-переходы осуществляются между соседними компонентами тонкой
структуры терма Оценка вероятности излучения согласно формуле B) с ш ~ а'ч,,, дает
гиш ~а"ш.„ = а'2 — « 1СГ7 с.
14.11. Для частицы в поле ?/(г) доказать справедливость следующих соотношений
(так называемых «правил сумм», сравнить с 6.13):
\\п)\ =(п\х2\п);
б) X>mn|(m|zin)|32 = —;
в)
г)
Здесь fi — масса частицы, суммирование проводится по всем стационарным состоя-
состояниям частицы, |п> — стационарное состояние дискретного спектра, (п\п) = I.
Решение. Для доказательства «правил сумм» следует воспользоваться условием полноты
системы с. ф гамильтониана, 2|m)(m| = 1, равенствами штп = -и„т и хт„ = (х„т)',
а также соотношениями
UmnZmn = JT {"I | [Я, х] | п) = --<m|p,|n>,
w;Ai = -i (р*)т„ = —^{т\{Н,рг]\п} = -(т| —|п>.
Учитывая сделанные замечания, выполним следующие преобразования
а) ]Г|<т|г|п)|2 = ]Г<п:1|т>(т|:г|п) =<«|*2|п>;
т т
б) ][>mn|<mMn>|! = ±
г)
1 ft
- (n|x|m)(m|pjn)} = — (пЦр,,я||п) = —,

246 Глава 14. Квантовая теория излучения
Установленные соотношения справедливы и для других, у- и ^-компонент. Соот-
иетственно, если в левых частях соотношений заменить матричные элементы |(m|z|n.)|
на |(т|г|п)| , то правые части окажутся равными:
а) (г»|г2|п>; 6) ^; в) -^(п|р2|п); г) -^ <п|ДУ|п>.
2fi ji' 2/л'
Заметим, что для частицы в кулоновском потенциале, V = -а/г, имеем AU = 4жа6(г),
так что в случае г) сумма оказывается раиной
и обращается в нуль для состояний |п> с отличным от нуля орбитальным моментом.
§ 2. Рассеяние фотонов.
Излучение фотонов при столкновениях
14.12. Найти дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния фотонов сво-
свободной заряженной частицей. Сравнить с результатом классической электродинамики.
Решение. Рассчитаем вероятность перехода в единицу времени системы «частица + фотон»
из начального состояния, описываемого волновой функцией
^ |?| Я, =йш„ (I)
в состояние с волновой функцией
*/ = !U!,!,O,...>-J=exp{ip2r}; Я, = ^+йы2 B)
под действием возмущения (сравнить с (XIV 2))
? ?*^« C)
Она определяется общей формулой теории возмущений второго порядка, см. [1, §43],
2тг
dp,. D)
Специфика взаимодействия C) как оператора возмущения в том, что оно включает в себя
члены различною порядка малости — линейные и квадратичные — по параметру разложения
теории возмущений, определяемому зарядом е частицы (фактически в процессах взаимодей-
взаимодействия с полем излучения параметром разложения является а = e2/Ftc). Соответственно учет
эффектоп, связанных со слагаемым ос е2А: в первом порядке теории возмущений, должен
производиться одновременно с учетом второго приближения по взаимодействию, определя-
определяемому первым членом в выражении C) Вклад в матричный элемент Vt, дает лишь второе,
ос e'A^d, слагаемое в возмущении C), В матричных же элементах Vyv и V,,, суммы по про-
промежуточным состояниям должен учитываться вклад лить первого в C), линейного по «е»
слагаемого. Так как в условиях данной задачи ^Ф, — р,Ф, = 0, то сумма в выражении D)
равна нулю и соответственно
</1 V11> = ^
E)
(сравнить с выводом (XIV.4); использованы обозначения е, вместо е*,,,, и т.д.).

§ 2. Рассеяние фотонов 247
Появление в выражении E) множителя вк,,кз+р,/Д отражает сохранение импульса в про-
процессе рассеяния фотона и означает, что конечное состояние системы полностью определяется
заданием квантовых чисел ki, o~i фотона. При этом энергией отдачи частицы можно прене-
пренебречь, так как
р2 ~ fifei,г <? тс, Ei = -— р\ ~ — h2k2 7 н hkc— < fiw, 2
2т т ' тс '
и, воспользовавшись выражением (XIV 6) для плотности конечных состояний dp/ cw=w;S;
ш,, согласно D), E) получить
V е4
do- = - dw = —^ Keje,)!2 dfl, F)
(о связи дифференциального сечения с вероятностью см. (XIV. 14)).
Сделаем замечание о поляризационных явлениях при рассеянии фотона. Для векторной
частицы (имеющей спин sv = 1) с отличной от нуля массой зависимость амплитуды упругого
рассеяния от векторов поляризации вида / = j4ejei означает, что поляризационное состояние
частицы при рассеянии остается неизменным. В случае рассеяния фотона ситуация иная из-за
поперечности его поляризации. Это приводит, в частности, к возникновению поляризации
даже при рассеянии неполяризованных фотонов. Так, при рассеянии под углом в = тг/2
фотон оказывается полностью линейно поляризованным в направлении, перпендикулярном
плоскости рассеяния.
Вычислим дифференциальное сечение рассеяния для неполяризованных фотонов. Запи-
Записав |(ejeiJ|2 = е^е^еце]/,, с помощью соотношения (XIV8) в формуле F) можно выполнить
усреднение по поляризациям падающих и суммирование по поляризациям рассеянных фото-
фотонов и получить дифференциальное сечение рассеяния иеполяризованных фотонов свободным
зарядом (в — угол рассеяния, к|кг = к7 cos<?):
1 е2
d<r= -rl(\+cos2в) d(l, го=—7. G)
2 тс'
Здесь г0 — классический радиус заряженной частицы [27]. Интегрирование по углам дает
полное сечение рассеяния
«=Цг1 (8)
(оно не зависит от поляризации падающего пучка фотонов)
Выражения G) и (8) не содержат постоянной Планка и совпадают с соответствующими
результатами — формулой Томсона — классической электродинамики (квантовые эффекты
проявляются в релятивистской области, когда йы >тсг).
14.13. Найти дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния фотонов
сферическим ротатором, имеющим момент инерции / и электрический дипольный
момент d (направленный вдоль оси ротатора) и находящимся в основном состоянии,
см. также следующую задачу.
Решение. Переход из начального состояния системы «ротатор + фотон», описываемого
волновой функцией
Ф. = |1м,,0,...>Уоо. Е,=Гши
в конечное
Ф/ = |1кОТ,0,- ->По, Е,=Пыг
под влиянием взаимодействия ротатора10) с полем излучения V = -don«?rKi(O), см (XIV. 12),
происходит во втором порядке теории возмущений Вероятность его (в единицу времени)
определяется согласно общей формуле, приведенной в предыдущей задаче В рассматрива-
рассматриваемом случае в ней Vf, = 0, а отличный от нуля вклад в сумму вносят лишь следующие
t0) Рассматриваем тольки внутреннюю степень свободы ротатора и, пренебрегая эффектами огдачн,
считаем его. как целое, локализованным в точке г = 0.

248 Глава 14. Квантовая теория излучения
промежу!очные состояния
*и =l'im(n)|li.,<.,.U!»i.O. >. ?„ = у-(-ft
*,г = К.»|0>7, ?„2 = у,
и которых ротатор находится на первом возбужденном уровне с I = I (для других состояний
ротатора ькпричиый элемент динольного момента в операторе возмущения равен нулю).
Учитывая, что о/| = oij = ш — частоты падающего и рассеянного фотонов одинаковы,
м нмражепие (XIV6) для плотности конечных состояний dp/, находим
Сумму по т здесь можно легко вычислить, если заметить, что суммирование по т при I = I
можно распространить на все возможные значения I, т, так как (Уоо|п|У|„) ф 0 лишь
для / = I. Воспользовавшись после этого условием полноты системы шаровых функций,
JZ \Ytm){Yim\ = I. и учтя значение интеграла
(ГооКп^Ум) - ~ J n,nkdQ= ]-6,lt
получаем дифференциальное сечение упругого рассеяния фотона сферическим ротатором,
находящимся в основном состоянии,
(о связи сечения рассеяния с вероятностью перехода см (XIV 14), где
16т <f04
<">= — ??¦ ^
Заметим, что поляризационные явления при упругом рассеянии фотона на ротаторе такие
же, как и при рассеянии фотона свободным зарядом сравнить выражение B) с формулой F)
из предыдущей задачи и связанный с ней комментарий Поступая как и в предыдущей задаче
(усредняя и суммируя по поляризациям фотонов), находим дифференциальное сечение
рассеяния неполяризонанного пучка фотонов
D)
Интегрирование по углам дает полное сечение упругого рассеяния фотонов невозбужденным
ротатором
_ 2_ ^ ш4
Oiciojui и предельных случаях имеем
при Лш -С —,
— а и при hw 3> —.
3 /
При частоте ш —> h/I сечение рассеяния нео1раничскно возрастает, что отражает его
резонансный характер {резонансная флуоресценция), отечаюший возможности возбуждения
poiaiopa при поглощении фотона (мри таких частотах формулы B), D), E) непосредственно
не применимы; теперь при расчете сечения необходимо учитывать естественную ширину
возбужденною уровня ротатора).
В связи с данной задачей см также 14.14, где рассмотрено неупругое рассеяние фотонов
ротатором.

§ 2. Рассеяние фотонов 249
14.14. В условиях предыдущей задачи найти дифференциальное и полное сече-
сечения неупругого рассеяния фотона ротатором. Какие состояния ротатора при этом
возбуждаются?
Решение Решение может быть получено в результате простых преобразований в формулах
предыдущей задачи. Так как в случае |/ —1'\ Ф 1 матричные элементы (Vi,,,l"!^Si/) = 0, то
замечаем, что но втором порядке теории возмущений, кроме упругого рассеяния, происходит
неупругое рассеяние фотонов, сопровождающееся возбуждением состояний ротатора только
с моментом ( = 2 При этом для возможных конечных состояний системы имеем в ф.
*/ = >2™(n)|lk2<,1,0,...> и Я/ = -у-.ьДш2=йш1.
Поступая, как и в предыдущей задаче, получаем дифференциальное сечение неупругого
рассеяния фотона ротатором
dff2m e iJ{y
Выполним суммирование но проекциям момента т ротатора. Дли этого запишем сначала
|Bm|n,nt |0)е5,ецj = e'7,elke2,e]mll0\nlnm \2т){2т\п,щ |0>
и воспользуемся соотношением
@|n,n1|0)<0|n1nt|0> = - {3<5,Ai + 36„6и - 2Sa63l),
при выводе которого учтено, что слагаемые суммы I, m отличны от нуля лишь при зна-
значениях I — 0 и 2, использованы условие полноты системы шаровых функций и значения
интегралов
{0!n,nx.|0> = ^ Jп,щ du=]- 6,k,
{0\п,щп,п, |0) = — (б,ь6„ + 6„6и + 6„6к,)-
В результате отмеченных преобразований получаем
После усреднения и суммирования по поляризациям фотонов (соответственно, до и после
рассеяния, сравнить с 14 12) дифференциальное сечение неупругого рассеяния пеполяризо-
ванных фотонов принимает вид
полное сечение неупругого рассеяния
Вблизи порога возбуждения ротатора, т.е. при ftw, —» ЗН1/!, имеем
а при больших частотах фотонов
16тг <4 ft
»
- F)

250 Глава 14. Квантовая теория излучения
Последнее выражение, как и сечение упругого рассеяния фотона <ту|1р, найденное п предыду-
предыдущей задаче, не содержит постоянной Планка; при этом полное сечение рассеяния
16эг do Л
совпадает с результатом классической электродинамики для сечения рассеяния электромаг-
электромагнитной волны сферическим ротатором [27, §78]
14.15. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния фотонов заряженным
сферическим осциллятором, находящимся в основном состоянии.
Решение. Расчет сечения рассеяния может быть выполнен как и в задаче 14.13 При этом
удобно воспользоваться выражением для взаимодействия частицы с полем излучения в ви-
виде (XIV. 12). Учитывая вид волновых функций сферического осциллятора, см 4.4 и 4.5, и то
обстоятельство, что для (линейного) осциллятора матричные элементы дипольного момента
отличны от нуля лишь для переходов между соседними уровнями, см. (I! 3), замечаем, что все
изменение в расчете сечения рассеяния фотона на осцилляторе по сравнению с рассеянием
на рогаторе из 14 13 сводится к замене шаровых функций Уоо >¦ Ylm на волновые функции
осциллятора tn,!™:
о2 = h/mw0, и энергии ротатора Ei на Еу = hwo(N + 3/2). Соответственно матричный
элемент дипольного момента дли ротатора с(о<У|ТП | n | Уоо) следует заменить на
@1m|er|000) = ^-ео(Г|т
Как и it случае амплитуды рассеяния фотона на ротаторе во втором порядке теории воз-
возмущений, в сумму по промежуточным состояниям вносит вклад лишь первый возбужденный
уровень осциллятора с моментом I — I и при суммировании по значениям его проекции
по-прежнему применим прием, связанный с переходом к суммированию по полной систе-
системе собственных функций гамильтониана осциллятора. В результате для дифференциального
сечения упругого рассеяния фотона на осцилляторе получаем (вместо формулы B) из 14.13
в случае ротатора):
Для рассеяния неполяризованных фотонов после усреднения (суммирования) по поляриза-
поляризациям фотонои, сравнить с 14 12, имеем
где полное сечение рассеяния фотона осциллятором
Полученные результаты не содержат постоянной Планка и совпадают с классическими
результатами для рассеяния электромагнитных волн осциллятором (сравнить с предыдущей
задачей; в связи с этим отметим, что при рассеянии фотона на осцилляторе во втором
порядке теории возмущений неупругое рассеяние отсутствует, т.е. возбуждение осциллятора
не происходит, в отличие от рассеяния на ротаторе)
14.16. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния фотонов нейтральной
частицей со спином s = 1/2, имеющей магнитный момент /i. Рассмотреть следующие
случаи:
1) до рассеяния частица находится в состоянии с определенным значением
проекции спина sz = +I/2 на ось z и в процессе рассеяния спиновое состояние
частицы не изменяется (ось z направлена вдоль импульса падающих фотонов);

§2. Рассеяние фотонов 251
2) в процессе столкновения происходит переворот спина, т. е. в конечном
состоянии уже sz = —1/2;
3) спиновое состояние частицы после столкновения не детектируется.
Обобщить полученные результаты на случай частицы с произвольным значением
спина.
Решение. Рассматривая только спиновую степень свободы (т. е пренебрегая эффектами
отдачи при рассеянии), считаем, для определенности, частицу локализованной в точке г = 0.
Рассчитаем вероятность перехода системы из начального состояния
в конечное (здесь xi,2 — соответствующие спиновые функции)
под влиянием возмущения V = -Д P?V.d@), сравнить с 14.7.
Переход происходит во втором порядке теории возмущений и его вероятность рассчи-
рассчитывается по формуле [1, §43)
2*
dw = —
h
dp,. (!)
В данной задаче сумма по промежуточным состояниям |i/) содержит четыре слагаемых,
соответствующих состояниям, описываемым волновыми функциями (с зг = ±1/2).
Фи =Х.< 10,0,...), ?„,=0;
Ф»2 = X.r IU,,,, 'к,»,. 0, • ¦ •), Е„1 = 2Пш,
где, как обычно, Хи—ин = ( о )' ^»г--'/2 = ( I ) и Учтем0 равенство частот (энергий)
ф
фотонов: и>| = шг = ш
Сумма в выражении (I) принимает вид
где введены обозначения ai^ = (ct B)^i B)] - Учтя здесь условие полноты, ^2\Хзг){Хзг\ ~ '>
системы спиновых функций x»t> получаем
-1
(при этом использовано коммутационное соотношение для матриц Паули 9,9к - ?t?, =
2»?tti?i) Отсюда, имея в виду соотношении (XIV.6) и (XIV 14), находим дифференциальное
сечение рассеяния фотона магнитным моментом
rf<r» = rT-tk./iiaj,OiiX'j?/>:i|3 dU7. B)
п ш'
Выполним и этом выражении усреднение (суммирование) по поляризациям фотонов.
Для этого запишем
Так как а» = d.,l,el,kip, то, воспользовавшись соотношением (XIV.8), получаем
а'т = 2 2L/ e*»»'i«'riye«««e*«'>i» = л *'p*i«*'»i>fn«»[ *»• - ^з fcij*i«J — ~ fi;'^"»!*!?*1»-

252 Глава 14. Квантовая теория излучения
Аналогично имеем
/¦
'1
Теперь можно выполнить интегрирование по углам рассеяния фотона
—ч 4>г , 8?г ,
Y, а;,о2,„ Л2, = е.г,€„„, ¦ — к2бр„ = — к\т.
В результате описанных преобразований получаем сечение рассеянии неполяризованных
фотоновв виде
или, учитывай соотношение ?,*(?,„( =
16тг
к,
}. т
j и С J п <
Сечение зависит от спинового состояния частицы до и после столкновения Отметим
следующие случаи
1) Сечение рассеяния из чистого спинового состояния с вектором поляризации Р,
|Р| = I, без изменения спинового состояния
где а — угол между векторами Р и к|. Как видно, это сечение максимально в случае, когда
спин ориентирован одоль импульса падающих фотонов (а = 0 или тг).
2) То же, что и в предыдущем случае, но уже с «переворотом» спина, т. е Р/ = —Р:
3) Сечение рассеяния в случае, когда спиновое состояние частицы после столкновения
не детектируется,
64* MV
<т = <Тц + <Т[[ = — у—, (о;
3 пс
оно, в отличие от D), E), уже не зависит от исходного поляризационного состояния частицы.
Для частицы с произвольным значением s спина имеем ft = fis/s. Читателю предлага-
предлагается показать, сделав необходимые изменения п приведенном решении задачи, что полное
сечение рассеяния фотонов на неполяризованных частицах, просуммированное по конечным
спиновым состояниям фотона и частицы, равно
что при s » I совпадает с результатом классической электродинамики для сечения рассеяния
электромажитной волны магнитным моментом, усредненною по различным ориентациям
момента в предположении их эквивалентности.
Здесь х — гиромагнитное отношение — определяется соотношением fi = «М, где М —
механический момент частицы.
14.17. Выразить сечение рассеяния фотона малой частоты, hu —» 0, атомом, находя-
находящимся в стационарном состоянии с равным нулю моментом, через поляризуемость /?о
атома (определяющую сдвиг уровня, АЕ = -Ро&2/2, в однородном электричес-
электрическом поле).

§ 2. Рассеяние фотонов 253
Решение Вероятность перехода » системе «атом + фотон» между состояниями
(Фо — волновая функция атома) под влиянием взаимодействия электронов с полем излучения,
имеющего в дипольном приближении вид (X1V.12) с d = -е ? га (суммирование проводится
по всем электронам атома), рассчитывается согласно известной формуле второго приближения
теории возмущений
dp,, (О
г-п ¦ " ¦" 2
d* = - Е irz
ft
Е,
см. [I, §43]; в данном случае Vf, = 0 Вклад во входящую сюда сумму дают промежуточные
состояния двух типов, волновые функции и энергии которых
Ф„,=Фп|0,0,. ), Еи[=Еа,
Ф„г = Ф,|1к,„|,1к1,г,01...I Bri = ?.r2to
(Ф„, Еп — в. ф. и энергии стационарных состояний атома) С учетом соотношений (XIV 12)
и (XIV.I3) эта сумма принимает вид
Содержащиеся здесь две суммы имеют следующую тензорную структуру (ввиду сферической
симметрии рассматриваемого состояния атома ф0, имеющего равный нулю момент):
Выполнив здесь свертку по индексам » и к, получаем
и так как в условиях задачи ш —• 0, находим
Замечая, что В@) = — jft/3o лишь множителем отличается от значения поляризуемости Д)
рассматриваемого состояния атома, и используя соотношения (XIV.6) и (XIV. 14), приходим
к дифференциальному сечению рассеяния фотона с малой частотой атомом
d<r=^|e5e,|Jda C)
После усреднения и суммирования по поляризациям фотонов, сравнить с 14.12, получаем диф-
дифференциальное сечение рассеяния неполяризованных фотонов и полное сечение рассеяния
?-?(.+-ч .«-?*:.
Как иллюстрацию этого соотношения см рассеяние фотона на ротаторе и осцилляторе н 14 13
и 14 15, поляризуемости этих систем были найдены в 8.10 и 8 2.
Заметим в заключение, что формулы D) в явном виде не содержат постоянной План-
Планка (в отличие от самих поляризуемостей квантовых систем) и совпадаю! с аналогичными
результатами классической электродинамики для рассеяния электромагнитной волны поля-
поляризующейся системой
14.18. Найти сечение фотоэффекта для водородоподобного атома, находящегося
в основном состоянии. Предполагается, что частота фотона удовлетворяет условию
fko 3> /, где / — потенциал ионизации атома.

254 Глава 14. Квантовая теория излучения
Решение. В системе «подородоподобный атом + фотон», находящейся в состоянии, описы-
описываемом волновой функцией
(о = hl/Zme2), в результате поглощения фотона электроном, происходящего под действием
возмущения V = ^Апч)(г)'р, сравнить с (XIV2), может произойти ионизация атома. Так как
в рассматриваемом случае при этом энергия электрона равна Е; « hw 5> / = mBe2J/2ft ,
т е вылетающий электрон является быстрым, то в конечном состоянии можно пренебречь
влиянием поля ядра на электрон и выбрать соответствующие волновые функции в виде
Вероятность перехода рассчитывается согласно формуле dw = -f |V),|J dp;, матричный
элемент возмущения в которой описывается выражением (сравнить с (XIV.4))
(I)
Интеграл здесь легко вычислить, перенеся предварительно действие оператора р" на экспоненту
слева от него; после чего он вычисляется в сферических координатах и оказывается равным
где х = р/Л — It; в последнем равенстве учтено, что р 5> Лк, как это следует из соотношений
Р2 2
— яНш = hck <? me
2т
(возможность пренебрежения к соответствует замене в матричном элементе e'kt ~ ! в диполь-
ном приближении), и pa/li S> 1 ввиду условия /ш 3> I Наконец, учитывая выражение для
плотности конечных состояний
и связь (XIV. 14) сечения с вероятностью процесса, находим дифференциальное сечение
фотоэффекта
dil. B)
*-32^
тс (haI!1
Выполнив в нем усреднение по поляризациям фотона с помощью соотношения (XIV.8), что
дает |et,,p|2 = yp2 sin !в {в — угол между векторами р и к), получаем дифференциальное
сечение фотоэффекта для неполяризованных фотонов
)V\^ C)
Заметим, что преимущественный вылет электронов перпендикулярно импульсу фотона от-
отражает «преобладание» в нерелятивистском случае волновых свойств фотона, именно в этом
направлении действует на электрон сила Лоренца со стороны электромагнитной волны В ре-
релятивистском случае, для более жестких фотонов, начинают проявляться их корпускулярные
свойства, что приводит к преимушественному вылету электронов в направлении импульса
фотона, см. B9].
Интегрирование выражения C) по углам дает полное сечение фотоэффекта
(=)(=.)(?)
где /о = I/Z1 = 13,6 эВ потенциал ионизации атома водорода Заметим, что сечение D) для
значений Z = I и Ни = 5 кэВ составляет =s 6 • 10"J6 см2

§ 2. Рассеяние фотонов 255
Выражение D), умноженное на 2 (дпа К -электрона), можно использовать и для (при-
(приближенного) вычисления сечения фотоэффекта на атомах, отличных от иодородоподобного.
Вклад в сечение других электронов атома, находящихся в возбужденных состояниях, меньше,
чем if-электронон' они более слабо связаны с ядром, а в пределе свободных электронов
поглощения ими фотонов не происходит Оценка сечения фотоэффекта на таких электронах
атома может быть выполнена аналогично тому, как это сделано в следующей задаче 14 19 для
процесса радиационной рекомбинации электрона
14.19. Найти сечение радиационной рекомбинации быстрого электрона с покоя-
покоящимся протоном (процесс, обратный фотоэффекту) с образованием атома водорода
8 ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ.
Решение. Решение данной задачи может быть получено в результате простых замен в решении
предыдущей задачи (заметим, что общее соотношение между сечениями взаимно обратных
процессов фотоэффекта и радиационной рекомбинации электрона непосредственно следует
из принципа легального равновесия, см. 13.93). Перестановка начального и конечного со-
состояний не изменяет значения |V},|2 в силу эрмитовости оператора V. Следует произвести
следующие изменения
1) в выражении для плотности конечных состояний, теперь dpj описывается форму-
формулой (XIV.6) с Пи = ?е + / я ?с;
2) в соотношении (XIV. 14), связывающем вероятность и сечение, в данной задаче
da = Vdw/v,;
3) заменить усреднение по поляризациям фотона суммированием по ним, что дает
дополнительный множитель 2 в сечении процесса.
В результате указанных замен приходим к следующим выражениям для дифференци-
дифференциального и полного сечений радиационной рекомбинации быстрого электрона на основной
уровень водоролоподобного атома (иона):
Отметим, что рекомбинация быстрого электрона на возбужденные уровни атома имеет
значительно меньшие сечения. Действительно, из формулы A) предыдущей задачи следует, что
V/, ос ерф,(р), где Ф,(р) — волновая функция рассматриваемого состояния электрона в водо-
родоподобном атоме в импульсном представлении. Для ns-состояний асимптотика этой а ф
при больших импульсах имеет вид Ф„, и C/Vrfp*, так что"' а,**,™ ос 1/п3 (для состояний
с орбитальным моментом J ?? О в. ф. Ф„|(р), а соответственно и сечение рекомбинации убывает
при р —• со еще более быстро, чем в случае «-состояний, см 4 18) Поэтому учет рекомби-
рекомбинации на возбужденные уровни сводится к умножению сечений (I) на ]П п'3 = ?C) = 1,202
(?(з) — дзета-функция Римана), т. е. увеличивает сечение рекомбинации всего на 20 %.
14.20. Найти дифференциальное и полное сечения фоторасщепления дейтрона, т.е.
процесса у + d —> р + п.
Указание Волновую функцию дейтрона взять в приближении потенциала нулевого радиуса,
а в конечном состоянии протон и нейтрон рассматривать как свободные.
Решение. Процесс фоторасщепления дейтрона по своей физической природе аналогичен
фотоэффекту и расчет сечения его дублирует решение задачи 14 18. Укажем изменения,
которые следует произвести в формулах этой задачи применительно к данной.
"'Такую же зависимость, оп> ос п, имеет сечение фотоэффекта из позбужденного гм-состоднни
водородоподобного атома.

256 Глава 14 Квантовая теория излучения
Под полноиой функцией Ч'о^) теперь следует понимать в. ф дейтрона, имеющую
и приближении потенциала нулевого радиуса дейсгния сил вид
Здесь ги — энергия связи дейтрона (М — масса нуклона, ц = М/2 — припеденная
масса pn-системы) и, соответственно. В, = hu - е0 Заметим, что в волновую функцию (I)
введен асимптотический коэффициент С„о. учитыиающий поправку на конечность радиуса
взаимодействия, см по этому поводу 12.1, а также 11 36
В выражении для взаимодействие (протона) с полем излучения следует произвести
замены, е -» -е, т ¦¦¦-» М, г -» гр = г/2
Вид волновых функций конечных Состояний Ф; не изменяется, но теперь Et = p2/M
Соответственно изменяется и значение интеграла в матричном элементе возмущения
(см формулу (I) из 14.18), теперь он равен
B,
(слагаемое ikr/2 в показателе экспоненты опушено по указанной в 14.18 причине).
Плотность конечных состояний в условиях данной задачи
Учитывая сказанное, приходим к следующему выражению для дифференциального
сечения фоторасщепления дейтрона:
d* = 2n^or!#T|ep|3<ifi. C)
' йс
После усреднения по поляризациям фотонов (сравнить с 14 18) получаем
Интегрирование по углам дает полное сечение фоторасщепления дейтрона
3 he Mhu'
Сделаем заключительное замечание в отношении области применимости полученных
результатов. Они основаны фактически на использовании приближения нулевого радиуса для
потенциала рн-взакмолействин Такое рассмотрение предполагает, что в задаче существенны
расстояния, много большие радиуса действия ядерных сил Как видно из выражения B), оно
оправдано при р ~ftx, т е. при таких частотах фотонов, что hu ~ с0 (и неприменимо при
значениях импульсов «освобождающихся* нуклонов p>ft/r0, где го — радиус ядерного взаи-
взаимодействия, при больших импульсах из-за быстрых осцилляции экспоненты в интеграле B) су-
существенны малые расстояния, на которых уже важен вид точной волновой функции дейтрона)
14.21. Найти дифференциальное сечение тормозного излучения электрона в куло-
новском поле ядра. Исследовать угловое и спектральное распределения излучаемых
фотонов. Взаимодействие электрона с ядром рассматривать как возмущение.
Решение I) В тормозном излучении быстрого электрона начальное состояние системы —
свободный электрон и вакуум фотонов — описывается волновой функцией
Рассеяние электрона, сопровождающееся излучением одного фотона, происходит под влия-
влиянием возмущения
!—т^^-м* (-)
сраннить с (XIV.2) (слагаемое ос А^ опущено, так как оно отвечает за переходы с четным
изменением числа фотонов).

§ 2. Рассеяние фотонов 257
Для конечных состояний
Вероятность рассматриваемого перехода, происходящего во втором порядке теории
возмущений, рассчитывается по формуле [I, §43]
. 2*
aw — —
я
Е,-Е,
dp,. B)
Отметим, что матричный элемент возмущения V,, отличен от нуля уже в первом
порядке за счет второго слагаемого в возмущении A) Однако он содержит множитель
'pi,pi+»ii> выражающий сохранение импульса при излучении фотона свободным электроном,
что совместно с законом сохранения энергии приводит к невозможности излучения фотона
свободным электроном. Поэтому взаимодействие с внешним полем, приводящее к передаче
импульса ядру, является существенным элементом рассматриваемого процесса.
Промежуточные состояния \v) в сумме B), дающие отличный от нуля вклад, описыва-
описываются волновыми функциями двух типов:
()
при этом суммирование по v\ 2 сводится к сумме по всем возможным значениям волновою
вектора х электрона в промежуточном состоянии
2) Используя явный вид волновых функций и оператора А„к|(г), см (X1V.I), находим
матричные элементы возмущения, входящие в выражение B)
-- -0).,. = ^
Наличие в них множителя вида ttutt+t позволяет сразу выполнить суммирование по и
в выражении B) (в сумме по состояниям v\ отлично от нуля лишь одно слагаемое с х = к, — к,
я для состояний v2 — лишь с х = к2 + к) и получить
где ftq = й(к| - kj - к) « Л(к, - кг) — импульс, переданный ядру. При этом пренебрежено
импульсом фотона hk по сравнению с импульсами электронов й*1|2 (это оправдано для
нерелятивистских электронов и соответствует, фактически, использованию дипольного при-
приближения при излучении фотона, сравнить с 14 18), так что энергетические знаменатели
оказываются равными -hu> и fiw, соответственно, для состояний i/l и 1/2.
Наконец, учитывая, что плотность конечных состояний для рассматриваемого процесса
равна
Vd3k, Krf'fc f fh'kl h2k]\ Уш2к,т h2kl
тУк]Ш
= B7)^? 7 7du
9 in. да

258 Глава 14. Квантовая теория излучения
и связь (XIV.I4) сечения и вероятности процесса, находим дифференциальное сечение
тормозного излучения г 2 2
^га формула дает наиболее полную информацию о процессе тормозного излучения.
Интересуясь лишь спектральным составом тормозного излучения, проделаем следующие
преобразования.
3) Прежде всего выполним в выражении (S) суммирование по двум независимым
поляризациям фотона с помощью соотношения (XIV.8), что дает
" ~ Кс jr!ft2c2fc,wg2 V ~ g2*2/ 1 * ¦ w
Теперь выполним интегрирование по направлениям вылета излучаемых фотонов (оно
проводится элементарно, если выбрать полярную ось вдоль вектора q, при этом da ос
Наконец, выполнив интегрирование по углам вылета рассеянных электронов, которое
проводится элементарно, если выбрать полярную ось вдоль вектора к, (при этом q' =
fcj+fcj — 2fc|fcjcos92). находим дифференциальное сечение тормозного излучения как функцию
частоты излучаемых фотонов (т.е. спектральное распределение фотонов):
daw = - - г— - In dui, (8)
3 пс тс'Е ш пш
здесь Е — начальная энергия электрона.
Так как dcr/du а \/ш при w -* 0, то полное сечение тормозного излучения беско-
бесконечно (это — так называемая инфракрасная катастрофа). Однако эта расходимость сечения
несущественна при вычислении потери энергии электроном на излучение, характеризуемой
«эффективным торможением», или «эффективным излучением» к = f hw dou; используя (8),
нетрудно получить
^тсЧ (9)
3 Лс
о
где ге = е2/тс2 — классический радиус электрона.
В заключение подчеркнем, что так как при решении задачи действие поля ядра рас-
рассматривалось как возмущение, то применимость полученных результатов E)-(8) требует
выполнения условий Ze2/hvt г -С 1 (электрон должен быть быстрым как в начальном, так
и в конечном состояниях). Поэтому они неприменимы, если почти вся энергия налетающего
электрона передается излучаемому фотону. Однако формула (9) справедлива при выполнении
лишь одного условия, Ze7/hv, < 1, так как вклад области интегрирования, примыкающей
к верхнему пределу, где неприменимо выражение (8), не играет существенной роли в значении
интеграла (9) в целом.
Наконец, укажем обобщение выражения (8) на случай тормозного излучения при
столкновении двух частиц с зарядами и массами е,, т, и е2, т2 в случае их чисто элек-
электростатического взаимодействия. Как нетрудно сообразить, оно получается из формулы (8)
с помощью замен -Ze2 -> eie2l e/m — (e,/mt) - (e2/m2) и имеет вид12'
/
= г ejej ( — - — ) ¦— - In i '- du,
3 \m, m2/ he3!! ш Ьш
A0)
где ft — приведенная масса частиц (при этом Е = я«2/2, v — относительная скорость
сталкивающихся частиц).
12'Обращение dtru в нуль в случае e\/m\ = ei/mj соответствует известному уже из классичес-
классической электродинамики запрету на дмпольное излучение для замкнутой системы частиц с одинаковым
отношением e/m.

Глава 15
Релятивистские волновые уравнения
Характерная особенность физических явлений в релятивистской области состо-
состоит в возможности взаимного превращения (рождения и анигиляции) частиц при их
взаимодействии. Поэтому постановка задачи о свойствах состояний одночастичной
системы во внешнем поле имеет ограниченную область применимости, а обычная
квантовомеханическая интерпретация волновой функции частицы в координатном
представлении как амплитуды вероятности оказывается несостоятельной''. Для обес-
обеспечения релятивистской инвариантности теории описание одночастичных состояний
связано с использованием волновых функций, обладающих определенными транс-
трансформационными свойствами относительно преобразования Лоренца. Эти свойства, как
и вид соответствующего волнового уравнения, зависят от значения спина частицы.
1) В случае бесспиновой частицы волновая функция Ф(г,<) — однокомпо-
нентная величина — является четырехмерным скаляром1^. Релятивистское волновое
уравнение для такой свободной частицы, уравнение Клейна—Гордона, имеет вид
)Ф = 0, или (д-1|^)ф=(д^ф. (XV. I)
Волновое уравнениедля заряженной бесспиновой частицы, находящейся во внешнем
электромагнитном поле, описываемом потенциалами А, <р, получается из (XV.1)
заменами р -¦ 1> - еА/с, ih(d/dt) -* ih{d/dt) - eip (e — заряд частицы) и имеет вид
Из этих уравнений следует уравнение непрерывности
вр
ih
2rm?
j = _ 2*. (V уф - ф V*' - ^ АФ'ф)
2то \ h J
и сохранение во времени величины Q — f p(r,t) dV. Хотя эти соотношения внеш-
внешне подобны существующим в нерелятивистской квантовой механике (и играющим
''Действительно, из соотношения неопределенности ДрДх>Л следует, что локализация частицы
в малой области пространства, Ах < h/mc, сопровождается передачей большой энергии частице
(требует сильных внешних полей). При этом становятся возможным процессы рождения новых частиц
и одночастична* задача теряет смысл.
г) При этом по отношению к преобразованиям лишь пространственных координат, включающим
и отражение, волновые функции могут быть как скалярными, так и псевдоскалярными. Этн две возможности
отвечают частицам с различными (противоположными) внутренними четностями, см. 15.5.
9*

260 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
важную роль в интерпретации теории), существенное отличие состоит в том, что
теперь р не является положительно определенной величиной и не может рассматри-
рассматриваться как плотность вероятности. Однако в связи с отмеченным выше ограничением
на область локализации одночастичного состояния возможность введения плотности
вероятности координат р ^ 0 не является необходимым элементом релятивистской
квантовой теории. Некоторые вопросы, связанные с интерпретацией решений урав-
уравнения Клейна—Гордона, и свойства состояний бесспиновой частицы во внешних
полях рассмотрены в задачах § I данной главы.
2) Для свободной частицы со спином s = 1/2 релятивистское волновое урав-
уравнение, уравнение Дирака, имеет вид
ih jt<6 = Н Ф ее (cap + тс2/3)Ф, Ф = ( ? ) = | ? | . (XV.4)
При этом волновая функция Ф частицы является четырехкомпонентной величи-
н.ой1' — биспинором; матрицы Дирака
0). /3 = 74=@ _,
' ' (XV.5)
= 7.727374 = -
J
J,
где <т, 1,0 означают двухрядные матрицы Паули, единичную и нулевую матрицы
(символ оператора над ними опущен).
Для электрона во внешнем электромагнитном поле с потенциалами А, <р = Ао
уравнение Дирака получается из (XV.4) с помощью указанных выше замен (заряд
электрона обозначен как -е < 0):
^-<$ = (са
t \
(са(р+-А] + тпс2р - еА0 ) Ф. (XV.6)
\ \ с ) J
Отсюда следует наличие у электрона спинового магнитного момента це =
—eh/imc, так что для него гиромагнитное отношение4' равно -е/тпе в согласии
с экспериментальным значением
Из (XV.4) и (XV.6) следует уравнение непрерывности
^ Ф'Ф, ; = сф'аф. (XV.7)
Ковариантная форма уравнения (XV6) имеет вид
+ гос2] Ф(г, г) = 0, (XV 8)
с
где р = p)i7p = Р7 + Рч74 = Р7 — \ 74 Jj и А =
51 Улиоение, по сравнению с нерелнтивнетским случаем, числа компонент в. ф. отражает то общее
обстоятельство, чго интерпретации решении релятивистских волноны.х ураннений приводит к кониелцин
античастицы. R слумпе бесспинооых чистин 1оноление «лополнитсльных» решений, соответствующих
античастице, связано с тем, что уравнение Кл;Пна—Гордона, в отличие от уравнения Дирака, содержит
вторые производные по времени
*' Этот результат, как и уравнение (XV.6), справедлив лишь для частиц со спином 1/2, не обладающим
сильным юаимодеИствием.

§1. Уравнение Клейна—Гордона 261
§ 1. Уравнение Клейна—Гордона
15.1. Показать, что если Ф±(г, t) представляет собой волновой пакет, составленный
из частных решений уравнения Клейна—Гордона, отвечающих энергии (или частоте)
определенного знака (либо е ~? тс2, либо е ^ -тс1), то независимо от конкретного
вида такой суперпозиции значение сохраняющейся во времени величины
является знакоопределенным.
Решение. Обшее решение уравнения Клейна—Гордона (XV.I) можно представить в виде
суперпозиции
,«). Ф*(г,«)= /V(k)*f(r,0<*3fc (I)
частных решений этого уравнения, образующих полную систему.
= JW + (j?-V
*k=e , "(*)= kV+ — >0 B)
(обращаем внимание на используемое обозначения в. ф. *jf).
Функция Ф|^ описывает частицу, имеющую импульс р = fik и энергию е = hu ^ тс2.
Функция Ф? формально отвечает состоянию частицы с энергией е' = — hu> ^ — тс2 и им-
импульсом —fik. Такое решение уравнения после выполнения операции зарядового сопряжения
сопоставляется уже состоянию античастицы, имеющей энергию е — hu> ^ тс2 и импульс fik,
см 15.2. Всвязисэтим подчеркнем, что общее решение A) уравнения Клейна—Гордона имеет
лишь формальный смысл, так как оно не описывает никакого одночастичного состояния.
Одночастичные состояния описываются лишь функциями Ф+(г,<) и Ф"(г,<) в отдельности.
Ограничиваясь в выражении (I) суперпозициями Ф+ и Ф" по отдельности, подста-
подставим их в выражение для Q, приведенное в условии задачи. Элементарное интегрирование
с использованием формулы
/*
приводит к следующему соотношению:
»|a*(k)|a cf3*. C)
Как видно, Q* действительно имеют определенный, но разный для функций Ф* знак.
Однако подынтегральные выражения /э*(г, t) в координатном представлении для Q* таким
свойством, вообще говоря, не обладают (т. е не являются знакоопределенными), так что р*,
как и р~, нельзя интерпретировать как плотность вероятности.
В случае заряженных частиц величинам р* можно дать наглядную интерпретацию, связав
их с объемной плотностью заряда. Для частицы, имеющей заряд е, выражение вр*(т, t) при
нормировке Q~ = 1 можно рассматривать как плотность заряда в соответствующем одноча-
стичном состоянии. Величина ер~ описывает плотность заряда в соответствующем состоянии
античастицы, при этом нормировка Q" = -1 автоматически обеспечивает противоположные
знаки зарядов частицы и соответствующей ей античастицы
Для нейтральных часгип наглядная интерпретации локальных величин p±(r, t), вообще
говоря, невозможна. Однако это обстоятельство не следует рассматривать как порок теории,
так как локальные пространственные характеристики в релятивистской области, как это
отмечалось во вводных замечаниях к главе, лишены глубокого физического смысла. По этой
причине в релятивистских теориях физический смысл волновой функции частицы как ампли-
амплитуды вероятности сохраняется лишь в импульсном (но не в координатном!) представлении,
сравнить с 15.7.

262 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
15.2. Показать, что уравнение Клейна—Гордона для свободной частицы инвариантно
относительно антилинейного преобразования волновой функции вида
Преобразование С описывает зарядовое сопряжение. Оно позволяет поста-
поставить в соответствие не имеющим непосредственного физического смысла решениям
Ф"(г,<) уравнения Клейна—Гордона (Ф~ — суперпозиция частных решений, отве-
отвечающих формально отрицательной энергии частицы, см. 15.1) функцию Ф* = СФ~,
отвечающую уже положительным энергиям и интерпретируемую как волновая функция
античастицы.
Убедиться в том, что, если функция Ф является собственной функцией какого-
либо из операторов Г = tft jj, ?, /х, Т2, то соответствующая зарядово сопряженная
функция Фс также является собственной функцией. Как связаны собственные значения
указанных операторов для таких функций?
Решение. Инвариантность уравнения Клейна—Гордона для свободной частицы
НУД+т'сХм) = -ft2 j? »(r,«) A)
относительно зарядового сопряжения С означает, что, если Ф(г, t) является решением
уравнения (I), то функция Фс = СФ также является решением этого уравнения, т.е. Ф и Фс
удовлетворяют одному и тому же уравнению.
Произведя в (I) комплексное сопряжение, очевидным образом убеждаемся в рассматри-
рассматриваемой инвариантности уравнения.
Так как оператор С удовлетворяет соотношению С2 — 1, то в соответствии с условием
задачи общее решение уравнения Клейна—Гордона, см. формулы (I) и B) предыдущей задачи,
можно записать в виде
Ф = Ф+(г, 0 + ф-(г, t) = Ф+(г, 0 + СФе+(г, t). B)
Аналогично для решения зарядово-сопряженного уравнения имеем
Фе = Фе+ + ф; = фс+ + сф+. (з)
Общие решения рассматриваемых уравнений включают в себя как волновую функцию ча-
частицы Ф+, так и в. ф. Ф* соответствующей ей античастицы и имеют лишь формальный смысл
(так как преобразование С является антилинейным, то рассматривать соотношения B) и C)
в духе обычного квантовомеханичсского принципа суперпозиции не имеет глубокого смысла).
Физически реализуемые одночастичные состояния частицы или античастицы описываются
лишь суперпозициями частных решений с частотами (энергиями) одного и того же знака.
Отметим, что физический смысл преобразования С как зарядового сопряжения для
бесспиновых частиц наглядно проявляется при рассмотрении не свободных, а заряженных
частиц, находящихся во внешнем электромагнитном поле, которое по-разному действует
на частицы и античастицы, см. IS.3.
Так как Фс = СФ = Ф', то уравнение / Ф/ = /Ф/ на с. ф. и с. з оператора / при зарядо-
зарядовом сопряжении принимает вид /'(Ф/)е = /(Ф/)с- Отсюда следует, чтоесли /' = /, тозаридо-
RO-сопряженная с.ф. (Ф/)с = Ф^ также является с. ф. оператора /, отвечающей тому же само-
самому с. з. /. Если же /' = -/,то(Ф/)е тоже является с. ф , но отвечает уже с. з., равному -/. Со-
Соответственно с. ф. операторов р = -ihV, lt = -ijj, f = tftJj при зарядовом сопряжении «из-
«изменяют» с. з. на противоположное по знаку, а с. ф. оператораТ2 при этом «сохраняет» свое с. з
15.3. а) Какой вид принимает уравнение Клейна—Гордона для заряженной бесспи-
бесспиновой частицы во внешнем электромагнитном поле при преобразовании волновой
функции

§1. Уравнение Клейна—Гордона 263
5) Какое преобразование электромагнитного поля следует осуществить одновре-
одновременно с указанным преобразованием функции Ф(г, t), чтобы получающееся при этом
уравнение имело такой же вид, как и исходное?
в) На основании полученных результатов дать интерпретацию преобразования С
как преобразования зарядового сопряжения, осуществляющего переход от частицы
к античастице (сравнить с 15.2).
Решение, а) Так как Фс = СФ = Ф*, то замечаем, что уравнение Клейна—Гордона для
частицы с зарядом е во внешнем электромагнитном поле
Ф A)
| с2 (-ihV - ~с Aj + mV \ ф = (ihjt
сного сопряжения принимае
1 А) + m V 1 Фс = (ih i
после выполнения в нем комплексного сопряжения принимает вид
\„ B)
что также представляет собой уравнение Клейна—Гордона, но уже для частицы с зарядом -е
и такой же массой т, как и в исходном уравнении (I), причем в том же электромагнит-
электромагнитном поле.
б) Совершив в (I) одновременно с преобразованием зарядового сопряжения волновой
функции также преобразование потенциалов А —» А, — —А и <р —» <ре — —у>, приходим
к уравнению
Фс, C)
* «" /
имеющему такой же вид, как и исходное уравнение A).
в) Чтобы дать интерпретацию установленным выше закономерностям, рассмотрим по-
постоянное электромагнитное поле (потенциалы А и у> не зависят от времени). В этом случае
уравнение (I) имеет «стационарные» решения вида Ф? = е'"'11Уфс(г). Все такие решения
можно разбить на две группы, Ф* и tyf, в зависимости от того, в какие состояния свобод-
свободной частицы, ct > тс1 или с с ^ -тс1, они переходят при адиабатическом выключении
внешнего поля5'. Решения Ф*, переходящие при выключении поля в состояния верхнего
континуума, имеют смысл волновой функции состояния частицы с энергией е в рассматрива-
рассматриваемом электромагнитном поле. Решения Ф,~ ассоциируются с состояниями античастицы. При
этом, как и в случае отсутствия внешнего поля, волновой функцией античастицы является
Фе+ = СФГ = (Ф7Г, D)
а энергия античастицы в рассматриваемом состоянии равна — с.
Таким образом, общее решение уравнения Клейна—Гордона A) для частицы в электро-
электромагнитном поле представляется, как и в случае свободной частицы, в виде (сравнить с 1S.2)
При этом волновая функция Ф* античастицы имеет «правильную» временную зависимость
и удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона B) для частицы с зарядом —е, противополож-
противоположным заряду той частицы, нолнопой функцией которой является Ф+.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что оба уравнения, A) и B), несут в себе
одинаковую физическую информацию, так как решения каждого из них включают описание
состояний как частицы, так и соответствующей ей античастицы (это замечание справедливо
и в случае внешних полей любой природы). Однако описание состояний частицы и анти-
античастицы в каждом из уравнений является «несимметричным», так как одни представлены
s* Заметим, что такая классификации решений имеет смысл лишь в случае не очень сильных внешних
полей, пока нижняя граница энергетического спектра состояний *,+ лежит выше верхней границы
спектра состояний Ф^. В сильных полях, когда эти границы «сливаются», одночастичная задача теряет
смысл станопитсп возможным спонтанное рождение пар частица-античастица; см. по этому поводу
задачи 15.12 и 15.13

264 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
непосредственно их волновыми функциями, а для других переход к волной функции требует
выполнения зарядового сопряжения соответствующего решения уравнения.
Данная выше интерпретация преобразования С как зарядового сопряжения, осуще-
осуществляющего переход от «нефизических» состояний частицы к «физическим» состояниям
соответствующей ей античастицы, основана на результате п а) решения. В этом смысле
инвариантность уравнения Клейна—Гордона, установленная в п. б), отражает зарядовую
симметрию описываемых им закономерностей: любому физическому состоянию частицы,
описываемому волновой функцией Ф'Чг,*), соответствует точно такое же состояние анти-
античастицы с в. ф. Ф*(г, ?) = Ф+(г,4) При этом существенно, что при переходе к античастице
у потенциалов внешнего электромагнитного поля следует изменить знак, что согласуется
с физическим смыслом зарядового сопряжения (сравнить с результатом задачи 15.4).
15.4. Показать, что внешнее скалярное (по отношению к преобразованию Лоренца)
поле оказывает одинаковое действие на бесспиновую частицу и соответствующую ей ан-
античастицу. Сравнить со случаем частицы во внешнем электромагнитном поле (см. 15.3).
Замечание. Уравнение, описывающее бесспиновую частицу во внешнем скалярном по-
поле U(r,t), имеет вид
{с2р2 + mV + 2тс2С/}Ф = -ft2 —5 Ф.
Не следует путать скалярное поле с электростатическим (последнее представляет временную
компоненту 4-всктора). В нерелятивистском пределе U(r,t) имеет смысл обычной потенци-
потенциальной энергии.
Решение. Так как оператор зарядового сопряжения С для бесспинопых частиц дается форму-
формулой Фс = СФ = Ф* (см. 15.2 и 15.3) и U{r, t) япляется вещественной функцией (что является
аналогом вещественности потенциала и эрмитовости гамильтониана в нерелятивистском
случае), то, совершая в уравнении
(-Л2с2Д + т3с4 + 2тс2!7)ф = -й2 — Ф A)
комплексное сопряжение, получаем точно такое же уравнение для зарядово-сопряженной
функции:
Э2
(-й2с2Д + mV + 2тс2!7)фе = -Л2 —j Ч/е, B)
что и доказывает инвариантность уравнения Клейна—Гордона для частицы в скалярном поле
относительно зарядового сопряжения.
Сделаем несколько замечаний. Уравнения A) и B) имеют одинаковый вид, но только
первое из них (точнее, положительно-частотная часть его решений) непосредственно описы-
пает частицу, а второе — соответствующую ей античастицу, см. более подробное обсуждение
этого Ronpoca в предыдущей задаче Поэтому, если волновая функция Ф+(г,<), являющаяся
решением уравнения A), описывает некоторое физически реализуемое состояние частицы
и поле U, то точно такое же состояние с в. ф. Ф* = Ф+ возможно и для античастицы в том же
поле. Это указывает на одинаковый характер воздействия скалярного поля на частицу и со-
соответствующую ей античастицу6' и является отражением зарядовой симметрии уравнений (I)
и B) (сравнить с заряженной частицей в электромагнитном поле, где для обеспечения
зарядовой симметрии требуется изменить знаки потенциалов на противоположные, см 15.3)
15.5. Показать, что внутренние четности бесспиновой частицы и соответствующей
ей античастицы — одинаковые.
Решение. Внутренняя четность бесспиногой частицы определяется характером преобразова-
преобразования ее волновой функции при отражении координат РФ(г,?) = ±Ф(-г,0, и равна +I и -I
соответственно для скалярной и псевдоскалярной функций.
' Сравнить с одмнаконым действием на чзстииу и античастицу гравитационного поля.

§1. Уравнение Клейна—Гордона 265
Как отмечалось в I5.2 и 15.3, волновые функции частицы и соответствующей ей анти-
античастицы связаны с различными частными решениями уравнения Клейна—Гордона для одной
и той же (скалярной или псевдоскалярной) функции Ф(г, J), которую можно записать в виде
ф = ф+ + ф" = Ф+ + СФС+, (I)
при этом Ф* = СФ~ = (Ф~)' Функции Ф+ и Ф^ являются волновыми функциями состояний
частицы и античастицы соответственно.
Так как функции Ф~ и Ф~ имеют одинаковый характер по отношению к инверсии
координат (т.е. обе являются либо скалярными, либо псевдоскалярными функциями) и он
не изменяется при комплексном сопряжении, то отсюда вытекает, что функции Ф+ и Ф* также
имеют одинаковый характер относительно отражения координат, что и доказывает одинаковое
значение внутренних четностей бесспиновой частицы и соответствующей ей античастицы.
Сделаем несколько заключительных замечаний. В нерелятивистском случае при взаимо-
взаимодействии частиц число их (каждого вида) не изменяется, и поэтому внутренняя четность всех
частиц системы на разных стадиях процесса одна и та же и не является экспериментально на-
наблюдаемой величиной Соответственно невозможно различить характер поведения волновой
функции относительно отражения координат и из соображений простоты полагают, что она
является скалярной неличиной В релятивистском случае внутренние четности бозонов могут
быть, в принципе, определены из закона сохранения четности ввиду возможности процессов
рождения и поглощения бозонов поодиночке (сравнить, например, с 10.5 и 10.6) Наконец,
отметим, что для частиц произвольного спина внутренние четности частицы и античастицы
одинаковы для бозонов и противоположны по знаку для фермионов.
15.6. Основываясь на сохранении величины Q (см. 15.1), обсудить вопрос об ор-
ортогональности и нормировке функций Фр,г(г, ?), являющихся решениями уравнения
Клейна—Гордона, отвечающими определенным значениям энергии (обоих знаков)
и импульса.
Решение. В нерелятивистской квантовой механике условие ортогональности собственных
функций эрмитова оператора / определяется соотношением
f 4f},(r)<bf(T)dV = 6(f-f) (или <5/7 для д.с), (I)
вид которого тесно связан с сохранением во времени нормировки волновой функции состоя-
состояния частицы / |Ф|2 dV = const = I, непосредственно следующим из уравнения Шредингера.
В случае уравнения Клейна—Гордона (XV.I) во времени сохраняется величина
Именно это выражение должно использоваться для нормировки в ф. состояния и опре-
определять структуру интеграла, выражающего условие ортогональности собственных функций
(обобщение формулы (I) на релятивистский случай)
Запишем в.ф Фр,с> являющиеся решением уравнения (XV.1), в виде (сравнить с 15.1)
тс2 C)
При этом ф* описывает состояние частицы с импульсом р и энергией е, а плоская волна Ф~
отвечает формально импульсу -р и энергии -е Такое рещение уравнения Клейна—Гордона
сопоставляется античастице уже с импульсом р и энергией с, см. 15 2. Подставив в интеграл B)
вместо функций Ф и Ф* соответственно в. ф. Ф* и Ф^', убеждаемся в том, что он равен нулю
в случае выбора в нем функций с разными знаками частоты и пропорционален 6(р — р') для
функций одного и того же вида. Выбрав в выражении C) значения

266 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
получаем условие ортонормированности рассматриваемой системы функций в виде
D)
представляющем собой обобщение формулы (I) на релятивистский случай.
15.7. Показать, что для бесспиновой частицы в релятивистском случае можно со-
сохранить обычную интерпретацию волновой функции в импульсном представлении как
амплитуды вероятности значений импульса (в отличие от координатного представления,
см. 15.1).
Какова связь волновых функций частицы и античастицы в импульсном предста-
представлении с решениями Ф±(г, t) уравнения Клейна—Гордона? Обсудить вопрос о соб-
собственных функциях оператора координат частицы.
Сравнить с нерелятивистским случаем.
Решение. 1) Записав положительно-частотное решение Ф+(г, t) уравнения Клейна—Гордо-
Клейна—Гордона (XV.I), описывающее физическое состояние частицы, D виде суперпозиции плоских
волн <l/f(r,t), см. формулу C) предыдущей задачи с указанным в ней значением коэффици-
коэффициента С+(р):
••(г, 0 = / .-«#¦<* о «>р = / }f^O **ww «>р, (I)
получаем для сохраняющейся во времени величины Q+ выражение (сравнить с 15.1)
Отсюда, по аналогии с нерелятивистским случаем, функцию а*(р) (точнее, a+(p,t) =
о+(р)е~'"'л) следует рассматривать как волновую функцию состояния частицы в импульсном
представлении в обычном квантовомеханическом смысле и использовать значение Q* = I
для ее нормировки.
Аналогично можно ввести волновую функцию античастицы в импульсном представле-
представлении, используя разложение отрицательно-частотного решения Ф~(г,?) уравнения Клейна—
Гордона по плоским волнам Ф^ = (Ф|Т) .
и связь волновой функции античастицы Ф* = СФ~ = (*")' с решением Ф", см. 15.2.
При этом в. ф античастицы в импульсном представлении имеет вид а*(р,<) = а~'(р)е~"'/я,
а условие ее нормировки J |a*(p, t)\2d3p = I эквивалентно значению Q~ = -I.
То обстоятельство, что иолновая функция частицы в импульсном представлении имеет
обычный смысл амплитуды вероятности, позволяет, исходя непосредственно из импульс-
импульсного представления, получить обобщение соответствующих квантово-механических формул
и на координатное представление, см. в связи с эти задачи 15.8-15.10.
Подчеркнем, что согласно формуле A) переход от импульсного представления к коор-
динатному отличается от нерелягивистского случая появлением дополнительного множите-
множителя ^/mc2/s(p) в разложении в. ф. по плоским волнам. Формально именно с этим обсто-
обстоятельством связана невозможность введения положительно определенной величины р ^ 0,
претендующей на роль плотности вероятностей для координат
2) Несмотря на отмеченный ранее ограниченный смысл локализованных состояний
частицы и релятивистском случае, методически поучительно обсудить вопрос о собственных
функциях координаты на примере бесспиновой частицы. Исходным'1 при этом является

§1. Уравнение Клейна—Гордона 267
вид оператора координаты, 7= &щ, » импульсном представлении. В этом представлении
искомые с. ф.
exp {-»pr0},
как и в нерелятивистском случае; здесь и ниже А = с = I. В координатном представлении
согласно формуле (I) получаем
1 т д 7 cos (mpr) _ m3 #5/4G71?)
о
где г = |r - ro|. Для выполнения интегрирования по импульсам в первом интеграле исполь-
использованы сферические координаты с полярной осью вдоль направления вектора (г — г0); для
второго (однократного) интеграла использовано его выражение через функцию ТИакдональда,
см. [33, с. 973].
Обсудим свойства собственных функций Фг*. Прежде всего отметим предельные случаи
(мы «восстановили» А и с):
1Г^- |r-rol«i
Эти с. ф. несподятся к 6(т-тц), как в нерелятивистском случае, а локализованы на расстояниях
порядка комптоновской длины волны частицы h/mc. В нерелятивистском пределе, т. е.
при с -» оо, область локализации функции Ф^(г) стягивается в точку и так как при
этом f Ф^(г) dV = 1 (для вычисления интеграла удобно подставить в него разложение C)
в. ф. по плоским волнам и выполнить сначала интегрирование по переменной г, дающее <5(р)),
то в этом пределе с.ф Ф^(г) сводится к 6(т — Го), как и следовало ожидать.
15.8. Получить выражение для среднего значения энергии свободной бесспино-
бесспиновой частицы в произвольном состоянии, описываемом решением Ф+(г,() уравнения
Клейна—Гордона.
Решение. Для вывода искомого соотношения воспользуемся тем обстоятельством, что для
свободной частицы волновая функция в импульсном представлении
(О
имеет, как и в нерелятивистской квантовой механике, обычный смысл амплитуды вероятно-
вероятностей импульсов, см. предыдущую задачу. Поэтому при нормировке этой волновой функции
условием
B)
среднее значение энергии частицы дастся обычным выражением
(р, t) d>p. C)
Теперь заметим, что в координатном представлении волновая функция Ф+(г,?) произ-
произвольного состояния свободной частицы описывается суперпозицией положительно частотных
7) Несколько иной подход к этому вопросу и обсуждение роли таких локализованных состояний
см. в книге: ?*. вигнер. Этюды о симметрии М.: Мир, 1971.

268 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
решений уравнений Клейна—Гордона (XV I), связанной с в. ф. в импульсном представлении
соотношением
см. 15 I и 15.7, из которого следует
Используя последнее соотношение, преобразуем выражение C) следующим образом-
е =
= {2Jymci J *+t(r,0(-*VA + mV) exp |^p(r- r')J *+(r',t)dspd\' d
F)
(обратить внимание на порядок расположения сомножителей в последнем интеграле, удобный
для его дальнейших преобразований). После выполнения в F) интегрирования по импульсам
с помощью формулы
1
элементарно выполняется интегрирование и по г*, так что для среднего значения энергии
частицы получаем следующее выражение:
тс2 J ' '
При этом условие нормировки B) волновой функции в координатном представлении прини-
принимает вид (см. формулу B) предыдущей задачи)
'г=1. (8)
Можно получить и несколько иное, эквивалентное G), выражение для среднего значения
энергии частицы, если воспользоваться вытекающим из формул A) и E) соотношением
y at* B,*)v
С помощью выражения (9) формулу C) легко записать в координатном представлении
следующим образом:
Согласно полученным выражениям G) и A0) среднюю энергию бесспиновой частииы
можно записать также в виде
аналогичном (с точностью до нормировочного множителя) энергии классического скалярного
(или псевдоскалярного) комплексного поля, удовлетворяющего волновому уравнению
Энергия такого поля Е = jT^d^r выражается через компоненту Too (или Т«) тензора
энергии-импульса, имеющую вид [27]
[Зг ш
см. также следующую задачу о связи среднего импульса частииы с импульсом классического
поля.

§1. Уравнение Клейна—Гордона 269
В заключение заметим, что проведенное рассмотрение непосредственно переносится
на случай античастицы, если для описания ее состояний используется зарядово-сопряженная
полисная функция Ф*(т,1), см. 15.2 и 15 3.
15.9. То же, что и в предыдущей задаче, но для среднего значения импульса частицы.
Решение. Как и при решении предыдущей задачи, исходим из импульсного представления,
в котором волновая функция частицы, как и в нерелятивистской квантовой механике, имеет
смысл амплитуды вероятностей значений импульса. При этом среднее значение импульса
частицы определяется выражением
Р = Jр|а+<М)|2 <*3P = J a+(p,t)pa(v,t)d}p. (I)
Используя соотношения (см формулы E), (9) решения предыдущей задачи; там же обсуждает-
обсуждается связь в. ф в координатном и импульсном представлениях и используемая нормировка в. ф.)
выражение (I) можно записать в виде
Здесь элементарно выполняется интегрирование сначала по переменной р (дающее множи-
множитель 6(г - г1)), а затем и по г7, что позволяет получить искомое выражение для среднего
импульса частицы:
Имея в виду отмеченные преобразования, легко сообразить, что оно может быть записано
и более симметричной форме:
h2 rjd9+' дФ* аФ+> ЭФ+
9~~7тсЧ \ Or dt + dt Or
D)
Это выражение для среднего импульса бесспиновой частицы с точностью до норми-
нормировочного коэффициента имеет такой же вид, как и формула для импульса классического
скалярного (или псевдоскалярного) комплексного поля. Компоненты импульса поля опреде-
определяются выражением Р, = / Т,о d3r, где Т,о (или jT,4) — плотность импульса поля, являющаяся
соответствующей компонентой тензора энергии-импульса [27|; при этом
где > = 1,2,3 (сравнить с аналогичным замечанием в предыдущей задаче относительно
энергии).
15.10. То же, что и в предыдущих двух задачах, но для среднего значения момента
частицы.
Решение. Задача решается аналогично двум предыдущим Исходя из формулы для средних
значений компонент орбитального момента частицы в импульсном представлении
I = J о*'V d%p =-i j a*-(p,t)[pVp\a^(Vl t) d}p

270 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
и используя преобразования, аналогичные описанным в решениях указанных задач, приходим
к выражению
или в более симметричной форме:
г с я*+> йл+ Я\Ь+< лф+п ,
V (I)
В таком виде оно совпадает с формулой для момента L классического скалярного поля
(сравнить с аналогичными замечаниями в отношении энергии и импульса, сделанными
в указанных выше задачах). При этом выражение для плотности Л момента поля имеет
наглядный физический смысл, так как его можно записать в виде
|
где тг(г, t) является плотностью импульса поля, см. предыдущую задачу.
15.11. Найти в релятивистском случае энергетический спектр заряженной бесспино-
бесспиновой частицы, находящейся в однородном магнитном поле.
Решение. Энергетический спектр и соответствующие волновые функции стационарных состо-
состояний определяются из решения (стационарного) уравнения Клейна—Гордона для заряженной
частицы в магнитном поле, имеющего вид
с2(р--А) + mV >Ф = Е2Ф; A)
здесь е — заряд частицы, 3f? = rot А. Это уравнение отличается от нерелятивистского
уравнения Шрёдингера
2
2m v *"-'"'" ~ ~ *
лишь заменой Е на (ег - mV)/2mc2. Поэтому, воспользовавшись известными результатами
решения последнего уравнения для частицы в однородном поле в 7.1, где оно было получено
при различных калибровках векторного потенциала, в релятивистском случае находим
-— >0.
\ t/ тс
Отсюда следует
/ / i \
C)
= ±Wm2c4 + pJc2 + 2mc2ftwfn+ - J
(сравнить с е(р) = ±\/тгс* +р}с3 для свободной частицы).
Интерпретация двух значений еГ1„, отличающихся знаком, точно такая же, как и в случае
свободной частицы (см. 15.2 а также 15.3). Одно из них, ?,,„ > тс2, описывает энергети-
энергетический спектр частицы, заряд которой равен е, как и в уравнении (I). Отрицательные
значения tPzn < -me2 ассоциируются с состояниями античастицы, имеющей заряд -е; при
этом энергия античастицы равна —е > гги?. Таким образом, энергетические спектры частицы
и античастицы в магнитном поле одинаковы (это обстоятельство очевидно заранее, так как
энергетический спектр не зависит от знака заряда частицы).
В заключение сделаем замечание о характере энергетического спектра. Как и в нере-
нерелятивистском случае, он имеет непрерывную зависимость от рг, связанную со свободным
продольным (вдоль магнитного поля) движением частицы, а также включает дискретную
зависимость от квантового числа п, связанную с поперечным движением частицы (носящим
финитный характер). При этом поперечное движение частицы отражается на кинемати-
кинематике свободного продольного движения (в отличие от нерелятивистского случая) и согласно

§1. Уравнение Клейна—Гордона 271
формуле C) может быть наглядно описано как «изменение»
t-*mn = mJ\ +Bn+ I)
hu
массы частицы.
15.12. Найти энергетический спектр «-состояний бесспиновой частицы во внешнем
скалярном поле (см. 15.4) вида
(Г' ~ \ 0, г > о.
Каков энергетический спектр античастицы в таком поле?
Обсудить трудности в интерпретации энергетического спектра, возникающие при
значительном углублении ямы.
Решение. Энергетический спектр частицы в скалярном поле определяется из решения урав-
уравнения
[-П2с2Д+ 2тс2С/(г)]ф = (е2-т2с4)Ф. A)
Оно имеет вид нерелятивистского уравнения Шрёдингера для частицы в потенциале U(r),
в котором энергии Е заменена на (е2 - mV)/2mc2. Ограничиваясь рассмотрением s-co-
стояний частицы (ток что в. ф является сферически симметричной) и сделав подстанов-
подстановку Л(г) = гФ(г), приводим уравнение A) к виду
Для рассматриваемой потенциальной ямы его решение, удовлетворяющее граничному усло-
условию Д@) = 0, в случае (е2 - т2с4) < 0 описывается выражениями
2mU0 ,
—5 * г> г < а
. Be'", г > о,
где
я = — \/т V - е1 > 0 C)
пс
(так как V = 0 при г > о, то в области значений ег > т2с4 энергетический спектр непрерыв-
непрерывный; рассеяние на скалярном потенциале рассмотрено в 15.19). Условия непрерывности в. ф.
и ее производной в точке г = а приводят к трансцендентному уравнению
определяющему энергетический спектр связанных s-состояний.
Обсудим основные особенности энергетического спектра, которые легко понять, имея
в виду отмеченную выше аналогию рассматриваемой задачи с задачей об уровнях д. с
нерелятивистской частицы в сферической потенциальной яме.
1) В достаточно «мелкой» яме связанные состояния отсутствуют; они, как и » иереляти-
вистском случае, появляются лишь при выполнении условия Щ > jr2fi2/Sma!.
2) При дальнейшем углублении ямы (т.е. при увеличении параметра CAio2) будут по-
яиляться новые дискретные уровни; при этом для уже существующих уровней значение
величины (m!c4 - el) будет увеличиваться, что соответствует увеличению \Е„\ при углубле-
углублении ямы в нерелятивистском случае, т.е. е2, уменьшается при углублении ямы.
3) Специфическая для релятивистского случая ситуация при углублении потенциальной
ямы возникает при достижении основным уровнем значения el = 0 При дальнейшем увели-
увеличении Ui, значение ?о становится мнимым, что свидетельствует о появлении нсусюмчипосгн
в рассматриваемой задаче.

272 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
Для понимания причины лозникновеним такой неустойчивости необхолимо иметь в виду
следующее обстоятельство Решение задачи позволяет найти величину е2, так что при
этом ?„ = ±\/EJ- Получающиеся два значения энергии, различающиеся знаком, следует
интерпретировать так же, как и в случае свободной частицы, одно из них, е„ > 0, дает уровни
энергии частицы, другое, е„ < 0, отвечает уже античастице, энергия которой равна (-?¦„) > 0.
Действительно, при уменьшении глубины ямы все уровни е„ > 0 идут вверх и переходят
в верхний континуум « > тс1, а уровни е„ < 0 «сливаются» с нижним континуумом е < -тс1.
Соответственно, энергетический спектр частицы и античастицы во внешнем скалярном
иоле одинаков, те поле оказывает на них одинаковое воздействие (в отличие, например,
от электростатического поля, сравнить с 15.3 и 15.4)
Таким образом, при рассматриваемых критических значениях параметров ямы (ее глуби-
глубина и ширины) энергия основного состояния как частицы, так и античастицы в яме принимает
значение ?(, = 0 При этом оказывается возможным спонтанное рождение пар «частица +
античастица» (или одиночных частиц, если они истинно нейтральные). Именно это обсто-
обстоятельство является физической причиной возникновения отмеченной выше неустойчивости
решения одночастичной задачи в сильном внешнем поле8'. В сильных полях возникает также
перестройка вакуума, см по затронутым вопросам монографию А. Б Мигдала C1)
Обсудим зависимость критического значения {/0. w глубины ямы от ее ширины а
Положив в формулах C), D) сц = 0, приходим к уравнению
E)
F)
*'П' тс' , h
Из него в предельных случаях «широкой», а ^ ft/me, и «узкой», а <? h/mc, ям имеем:
me2 ir2h2
) u
2 v ' me
(отмстим, что, независимо от ширины ямы f/0,tp > me2/2, приведенные выражения опреде-
определяют наименьший корень ?^о,«р уравнения (S), другие корни уравнения отвечают обращению
в нуль fj с 8 J 1). Как видно, «широкая» скалярная яма «съедает» энергию покоя при
глубине Uu ~ тс7/!. По мере уменьшения ширины глубина критической ямы возрастает.
В отмеченном случае б) «узкой» ямы значение Г/о, ьр относительно мало отличается от глубины
ямы, отвечающей возникновению связанного состояния.
15.13. Найти энергетические уровни дискретного спектра заряженной бесспиновой
частицы (заряд — с) в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (ядро считать точечным
и бесконечно тяжелым).
В случае Za «С ! (а = е2/Ис « 1/137), сравнить полученный результат с соответ-
соответствующим выражением нерелятивистской теории.
Обратить внимание на трудности, возникающие в интерпретации энергетического
спектра при достаточно больших значениях заряда ядра, и объяснить их причину.
Решение. Уровни энергии и соответствующие им волновые функции определяются из реше-
решения уравнения Клейна—Гордона (стационарной формы уравнения (XV.2) с А = 0 и <р = Ze/r).
I. (I)
' Злметмм, что одничаоичнан задача теряет физический смысл также и в случае не слишком сильных
милей, если они шинютси быстропеременнымн во времени, так что существенно отличны от нуля
фурьс-компоненгы «потенциала» Щи), отвечающие частотам ы^тс2/Л Формально неприменимость
олмочастичного иолхолл и этом случае связана с невозможностью «разбиения* решений нолнового урав-
уравнения на независимые положительно- и огрицптсльно-частотные части (из-ia переходов между ними),
являющегося существенным элементом и интерпретации решении полноиого уравнения, сопоставляемых
состояниям олноп частицы (или античастицы, физическая причина состоит и возможности рождения
ноных частиц)

§1. Уравнение Клейна—Гордона 273
Учитывая сферическую симметрию задачи, решение уравнения ищем а виде Ф(г) = Л/(г) х
Yim{0, Ч>)- При ЭТОМ И3 @ следует
f ft'N' ft4(l-H/2);-1/4) g«'e ZV 1
1 2m?*1 2mr2 mc!r 2mcV j
2mc2
Это уравнение имеет форму радиального уравнения Шрёдингсра AV.2) для водородонодобного
атома в нсрслятивистской теории:
/>2 I
и получается из него с помощью следующих замен (а = e2/hc):
Теперь воспользовавшись известным выражением для энергетического спектра нереля-
нерелятивистского водородоподобного атома (иона)
и произведя в нем замены C), находим
(е7 - mV) \nr + - +
Отсюда следует выражение для искомого энергетического спектра.
1/2
, = mc'<l- Z ° '
[пг + 1/2 + у/{1 + 1/2K -
У
1 f
(формально здесь и правой части следовало бы ввести два знака, ±, однако выбор знака « —»
отвечает «лишним» уровням, не входящим в энергетический спектр; такие уровни ассоци-
ассоциировались бы со связанными состояниями античастицы, а их в условиях рассматриваемой
задачи, т.е. для точечного ядра, нет, сравнить с 15.16).
Сделаем несколько замечаний в связи с полученным результатом E) Как видно,
учет релятивистских эффектов снимает «случайное» вырождение уровней в кулоновском
поле в нерелятивистской теории теперь они зависят от орбитального момента частицы
В случае Za <? 1 из формулы E) следует
Второе слагаемое здесь представляет релятивистскую поправку к результату нерелятивистской
теории, сравнить с 11.1.
При значениях Za > 1/2 формула E) приводит к комплексным значениям энергии
(сначала для ^-состояний, а затем и для больших значений орбитального момента), что
указывает на появление неустойчивости в рассматриваемой задаче Причину ее легко понять,
если заметить, что слагаемое —Z7e*/2mc2r* в уравнении B), сингулярное при г —¦ 0, можно
рассматривать как часть потенциальной энергии, имеющую характер притяжения При зна-
значениях Za > 1/2 такое притяжение является настолько сильным, что нозникает «падение
на центр», см. [I], а также 9.14 При учете конечности размеров ядра потенциал ограничен
и, соответственно, такой неустойчивости уже не возникает Однако даже в случае ядра ко-
конечного радиуса Д дальнейшее увеличение его заряда приводит при некотором значении ZKp
(зависящем от радиуса R) к появлению новой неустойчивости спектра рассматриваемой си-
системы. Физическая причина ее аналогична обсуждавшейся в предыдущей задаче: в достаточно
сильном электростатическом поле (как и в скалярном поле) становится энергетически воз-
возможным спонтанное рождение пар «частица + античастица», так что одночастичная задача

274 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
теряет физический смысл. В таких сильных полях возникает также перестройка вакуума.
В связи с этим отмстим, что неустойчивость вакуума относительно рождения электрон-по-
зитронных пар в поле ядра с обычной плотностью возникает при заряде ядра Z»o ~ 170;
см. по затронутым вопросам [31].
15.14. Показать, что для состояний свободной частицы уравнение Клейна—Гордона
можно записать в виде уравнения Шрёдингера, ihdty/dt = Яге1Ф. Найти соответству-
соответствующий гамильтониан и обсудить его нерелятивистский предел.
Какова связь шрёдингеровской волновой функции Ф с решением Ф+ (см. 15.1
и 15.7) уравнений Клейна—Гордона?
Решение. Уравнение Клейна—Гордона для свободной частицы (XVI) можно записать в виде
кг = О. (I)
Его решения Ф?г, описывающие физически реализуемые состояния частицы, соответствуют
положительным энергиям (частотам), см. 15.1, и удовлетворяют уравнению
Kr = 0, B)
имеющему уже вид уравнения Шрёдингера, «й|гФ = ЯФ, с гамильтонианом
H = Hnl = v/c2p2 + m^ C)
(для отрицательно-частотных решений уравнения имеем »Л^Ф" = — ЯФ~0; после выпол-
выполнения зарядового сопряжения, Ф^ = СФ", это уравнение принимает вид B), но уже для
волновой функции Ф? античастицы, см. 15.2).
Для перехода к нерелятивистскому случаю сделаем подстановку
D)
(выделение здесь экспоненциального сомножителя соответствует записи энергии частицы
в виде с = тс1 + Е, т. е. выделению из нее энергии покоя тс1) и выполним разложение
радикала B) по степеням р2/т2с2. В результате приходим к уравнению
где второе и последующие слагаемые в скобках в правой части уравнения представляют
релятивистские поправки к гамильтониану Н$ = р2/2"> свободной нерелятииистской частицы.
В заключение обратим внимание на следующее обстоятельство. Из уравнения Клейна—
Гордона следует сохранение во времени величины Q+ = fp~dV, где р* определяется
выражением (XV.3) с ip = 0, см. также 15.1. В то же время согласно уравнению Шрёдин-
Шрёдингера E) сохраняется значение Q — f pdV, где уже р = |Ф|2. Сравним Q* и Q Для Q+
с учетом уравнения B) имеем
г dV. F)
Для справедливости соотношения Q* = Q (= I для нормированных волновых функций) при
переходе от ф?, к шрёдингеровской в ф. ф в принципе следует выполнить, в дополнении
к C), неунитарное (!) преобразование
( ) , G)
обеспечивающее сохранение нормировки при различных способах ее определения (при обыч-
обычных унитарных преобразованиях остаются неизменными как значение, так и «ид — /|Ф|гс(К =

§1. Уравнение Клейна—Гордона 275
const — нормировочного интеграла). Однако в случае свободной частицы оператор этого пре-
преобразования 5 коммутирует с гамильтонианом и поэтому уравнение B) имеет такой же
вид, как и уравнение для шрёдингеровской в. ф. Ф = 5~'ф?г; сравнить со случаем частицы
во внешнем поле, рассмотренным в 15.15.
15.15. Исходя из стационарного уравнения Клейна—Гордона для заряженной бес-
спиновой частицы, находящейся в постоянном электромагнитном поле:
а) получить в нерелятивистском пределе уравнение Шрёдингера;
б) найти первые две (~ 1/с2 и ~ 1/с4) релятивистские поправки к гамильтониану
частицы.
Показать, что поправка ~ 1/с4 включает слагаемые, отличающиеся от разложения
гамильтониана
:*-т)
+ т2с!* +etp- тс2.
Решение. Стационарное уравнение Клейна—Гордона для заряженной частицы во внешнем
электромагнитном поле
Wfr = {е -
в случае \е<р\ С гги? и \Е\ <?; тпс2, где с = rru? + Е, удобно записать в виде (далее индекс
у в.ф. ф?г, см. 15.1 и 15.3, опускаем):
*- о)
При этом правая часть уравнения много меньше каждого из слагаемых левой части, и,
пренебрегая ею, получаем в «нулевом» приближении уравнение Шрёдингера нерелятивистской
теории с гамильтонианом Но = 92/2m + eip, где 5? = р - еА/с.
Расчет релятивистских поправок к гамильтониану связан с последовательным вычисле-
вычислением членов его разложения по степеням параметра, включающего множитель 1/с2, и основан
на возможности приближенного преобразования уравнения A) к виду уравнения Шрёдингера
(с точностью, соответствующей рассматриваемому приближению по 1/с2). Теперь ситуация
отличается от случая свободной частицы, для которой сразу можно написать замкнутое
выражение для релятивистского гамильтониана, см. формулу C) предыдущей задачи.
Начнем с вычисления первой, а 1/с2, поправки. Имея в виду, что в правой части
уравнения (I) уже фигурируют множитель 1/с2, замечаем, что в ней можно заменить
(Е — еузJФкг его значением в «нулевом» приближении. Так как в этом приближении
(Е-е^)ФКги(Яо-е*0*кг = ^'?2*кг. B)
то в правой части уравнения (I) можно выполнить следующие преобразования:
(Е - еу>J ФКг « (Е - е<р)^ Фкг = | - — \е<р, ж1] + — т?2(Е - е<р) \ Фкг *
В результате это уравнение с рассматриваемой точностью ~ 1/с2, принимает вид

276 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
Хотя внешне оно подобно уравнению Шредингера, но таковым еще не является. Это связано
с тем, что оператор в фигурных скобках, претендующий на роль гамильтониана, не является
эрмитовым. Для перехода от уравнение C) к искомому уравнению Шредингера следует еще
выполнить преобразование волновой функции вида
Такое нсунитарное преобразование обеспечивает сохранение нормировки в ф.
/ *'ki —; (с - е?>)*кг dV = |Ф|! dV,
J тс2 J
обсуждение этого вопроса см в предыдущей задаче.
Подставив выражение D) с учетом в нем членов порядка'' 1/с2 н уравнение C) и заметив,
что в рассматриваемом приближении, как и выше, можно в слагаемых с 1/с2 воспользоваться
соотношением B), приходим к уравнению Шрёдингера с первой релятивистской поправкой
Г 1 _, 1 _-
\2«
Как видно, эта поправка к гамильтониану, равная -т?а/8т'с2, такая же, как и в случае
свободной частицы, и представляет собой естественное квантовомеханическое обобщение
соответствующей релятивистской поправки в классической теории. Следует, однако, под-
подчеркнув, что такая «естественность» пропадает уже в членах ~ 1/с4.
Для вычисления поправок ~ 1/с4 (и более высокого порядка) удобно, перенеся в (I) сла-
гаемос (Е — е<р)^^у направо, сначала перейти согласно D) к уравнению для шрёдингеровской
волновой функции. С рассматриваемой точностью получаем уравнение
5г2 / Е-е? ЦЕ-ец>O\ / (Е-е<рJ
Как и выше, в слагаемых, содержащих множителем 1/с4, для выражения (E—eip)ty можно
воспользоваться «нулевым» приближением изаменитьего на E?2/2т)Ч>. Вслагаемыхжес 1/с2
следует учесть и члены 1-го порядка, т.е. заменить
(Е - ей)* на ( — тг2 - —— ff4 ) Ф.
После простых алгебраических преобразований уравнение F) принимает вид уравнения
Шредингера с гамильтонианом
(который мы снабдили штрихом по отмеченному ниже обстоятельству), где
Установленный вид оператора Н' н принципе решает поставленную задачу. Однако этот
гамильтониан можно несколько упростить, имея в виду возможность выполнения унитарного
преобразования, изменяющего выражение дли гамильтониана, но оставляющего неизменным
физическое содержание теории. Для этого заметим, что с рассматриваемой точностью, ~ 1/с4,
во втором слагаемом в правой части соотношения G) можно заменить тг /2m + eip на Н
При этом Я' с такой же точностью принимает вид
(9)
" Заметим, что в «нулем»!» приближении Фкг = *•

§1. Уравнение Клейна—Гордона 277
Так как оператор F = i[5r , etp\ является эрмитовым, a U = exp {iF} — унитарным, то
согласно (9) операторы Н и II' связаны унитарным преобразованием и с одинаковым правом
могут рассматриваться как гамильтониан частицы. Поскольку выражение для Я несколько
проще, чем Я', то более удобно использовать именно его. Как видно, релятивистские
поправки к гамильтониану, следующие из уравнения Клейна—Гордона, уже в членах ~ 1/с4
отличаются от разложения оператора Яге| = v 5?!сг + тгсА + еу>.
15.16. Показать, что в достаточно сильном электростатическом поле заряженная
бесспиновая частица испытывает притяжение (в квантовомеханическом смысле) неза-
независимо от знака ее зарядаiU).
Решение. Ограничимся для наглядности случаем, когда энергия частицы близка к энергии
покоя, и запишем с = тс" + Е, где \Е\ ^. тс}. Стационарное уравнение Клейна—Гордона
для частицы в электростатическом поле
{-П2с2А + т2с*}И = (е- еу>Jф
при этом можно записать в виде
тс1 2тс2
аналогичном уравнению Шрёдингерас эффективной потенциальной энергией
В Ы2 Е7 М2
Как видно, в случае |еу>| > 2тс2 в соответствующей области пространства Е/^фф < 0, так
что взаимодействие частицы с полем носит характер притяжения независимо от знака ее
заряда. В связи с этим заметим, что в релятивистском случае в одном и том же сильном
электростатическом поле могут существовать связанные состояния как бесспиновой частицы,
так и ее античастицы, см. C1|.
15.17. Найти в борновском приближении амплитуду и дифференциальное сечение
рассеяния релятивистской заряженной (заряд е\) бесспиновой частицы в кулоновском
поле ядра с зарядом Ze (ядро считать бесконечно тяжелым).
Сравнить со случаем нерелятивистской частицы.
Указать условия применимости полученных результатов.
Решение Стационарное уравнение Клейна—Гордона, соответствующее вре.меннбму уравне-
уравнению (XV 2) с е<р = Zeejr и А = 0, может быть записано в виде
2m" mc'r 2mcVJ / "*> ~ 2m **' v/
где e — \Zp\\C1 + т2сл, тождественном нерелятинистскому уравнению Шрёдингера с эффек-
эффективной потенциальной энергией (зависящей от полной энергии е частицы)
U ., = Zee'€ - <Zee'>2 /2)
Так как интерпретация волнопой функции свободной частицы в виде плоской волны
в релятивистской и нерелятивистской теориях одинакова, то общий подход к задаче рассеяния
в нерелятивистском случае, основанный на решении стационарного волнового уравнения,
имеющем требуемую асимптотику на больших расстояниях (плоская + расходящаяся волны,
см вводные замечания к гл. 13).
Ф»(г) * е"^'" + - e'tr,
w /-х г
|П) Это утверждение справедливо и дли частиц с отличным от нуля спином

278 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
а соответственно и многие результаты теории рассеяния нерелятивистских частиц непо-
непосредственно переносятся (или легко обобщаются) на релятииистский случай В частности,
амплитуда рассеяния в бориовском приближении описывается прежним выражением (X1II.6):
d\ ftq = p-Po. C)
Более внимательным следует быть при выяснении условий применимости борновского при-
приближения. Отмеченная выше аналогия уравнения (I) и у. Ш. предполагает использование для
описания состояния свободной частицы (на больших расстояниях) ее импульса (а не скорости
или энергии). Поэтому известные условия (XIII.7) применимости борновского приближения
D рассматриваемом релятивистском случае принимают вид
^ ^. D)
Для первого слагаемого в выражении B) первое из условий D) требует выполнения неравенства
ftp Ze1 v , ,
^или<<l (v?=pc2 |e|e)
Zee,e
тс1 г
E)
(Zee,J fi2 /Ze2\2
К—y^f « —г, ИЛИ — « I.
mc2r2 mr2 \ he )
(как и в нерелятивистском случае; необходимым условием применимости теории возмущений
является ограничение Z <S. 137). возможность применения теории возмущений для второго
слагаемого в эффективном потенциале B) Офаничивается вторым из условий D), требующим
F)
Как пидно, это более слабое условие, чем предыдущее E).
Теперь заметим, что при вычислении амплитуды рассеяния по формулам B) и C) вторым
слагаемым в выражении B) следует пренебречь. Это связано с тем, что оно второго порядка
малости по параметру Za, т.е. вносит такой же вклад, как и первое слагаемое в B) во втором
порядке теории возмущений и поэтому находится за пределами точности рассматриваемого
приближения. Учитывая высказанные соображения и используя значение интеграла
Ir
находим амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния бесспиновой частицы в электри-
электрическом кулоновском поле:
/в " й'сУ ' du ~ |Л ~
сравнить с формулой Резерфорда нерелятивистской теории.
15.18. Найти в борновском приближении энергетическую зависимость сечения рассе-
рассеяния ег(е) заряженной бесспиновой частицы во внешнем электростатическом поле <р(г)
при е -* оо.
Указать условия применимости полученного результата; сравнить его в результа-
результатом нерелятивистской теории.
Решение. Амплитуда рассеяния заряженной бесспиновой частицы в электростатическом поле
с потенциалом <р(г) в борновском приближении описывается выражением
где эффективная потенциальная энергия
(общие соображения по поводу формул A), B) и условий применимости борновского
приближения в релятивистском случае см. в предыдущей задаче).

§1. Уравнение Клейна—Гордона 279
В ультрарелятивистском случае, когда е аре —> со, вторым слагаемым в выражении B)
можно пренебречь и амплитуда рассеяния оказывается равной
Соответственно сечение рассеяния описывается выражением
d92 C)
(напомним, что <Ш = (nrf/p1) dq2)
При р —» со верхний предел интегрирования в C) можно, вообще говоря, положить
равным бесконечности, так что сечение рассеяния сг(е) при t —» со является постоянной
величиной (в нерелятивистском случае оно убывает а ос Е~' —• 0 при Е —* со, см. 13.2).
Это связано с тем, что согласно B) взаимодействие частицы с электростатическим полем
возрастает при увеличении ее энергии.
Применимость борцовского приближения в рассматриваемой задаче определяется пер-
первым из выражений D) предыдущей задачи и требует выполнения неравенства \е<ро\ С hc/a
где у>о и о — характерные значения потенциала и радиус его действия. В «сильном» элек-
электростатическом поле, при нарушении этого условия, борновское приближение неприменимо.
Однако вывод о постоянстве сечения рассеяния при s —> со сохраняется и в этом случае При
этом сечение рассеяния может быть рассчитано по квазиклассической формуле
p dp, D)
Л ОС
представляющей собой обобщение результата 13.51 на рассматриваемый релятивистский
случай (для такого обобщения в формуле из 13.51 надо заменить U(r) на К,фф и вместо hk
подставить р я; г/с, см. предыдущую задачу).
В заключение отметим, что для справедливости полученных результатов требуется, чтобы
потенциал на больших расстояниях убывал быстрее, чем <х 1/гг; в противном случае сечение
рассеяния обращается в бесконечность, как и в нерелятивистской теории, из-за расходимости
интеграла в выражении C) на нижнем пределе (за счет малых углов рассеяния).
15.19. Найти в борновском приближении энергетическую зависимость сечения рас-
рассеяния <г(е) бесспиновой частицы во внешнем скалярном поле U(r) (см. Замечание
к 15.4) при е —* со.
Указать условия применимости полученного результата; сравнить его с результа-
результатами нерелятивистской теории и предыдущей задачи.
Решение Стационарное волновое уравнение для релятивистской бесспиновой частицы
но внешнем постоянном скалярном поле можно записать в оиле
тождественном по форме нерелятивистскому уравнению Шрелингера Ввиду такой аналогии
для амплитуды рассеяния можно непосредственно воспользоваться известными результатами
нерелятивистской теории (сравнить с 15 17). В борновском приближении
МЧ) = -:гЬ fu(r)e-vdV = -~ 0{q).
2!гл J 2irn
Соответственно сечение рассеяния (сравнить с предыдущей задачей)

280 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
в ультрарслитипистском пределе (ро « tic) определяется выражением
Услоние применимости борцовского приближения Щ С hpo/ma, где Ua, a — характерная
иеличина потенциала и радиус его действии
§ 2. Уравнение Дирака
15.20. Выяснить, какие из ниже указанных операторов коммутируют с гамильтони-
гамильтонианом свободной релятивистской час?ицы со спином s — 1/2 (и тем самым являются
интегралами движения):
1)p=-iftV; 2)T=^rp] = -i[rV]; 3) V;
4)s=^S; 5)?2; б) J=T+?; 7) р;
8)Л = р?; 9) j[f*(r) = »(-r)]; 10) Р = pi; 11) Ъ.
Сравнить со случаем свободной нерелятивистской частицы.
Решение. Гамильтониан частицы Я — ссср + тсгр, см. (XV.4, 5). При вычислении коммута-
коммутаторов удобно воспользоваться результатом 1.4 и учесть то обстоятельство, что два оператора,
один из которых (р,1, и т.д) действует на пространственные переменные, а другой (а, Е,
и т.д.) — на спиновые, коммутируют друг с другом.
0 |?,Я]=0,
2) \?„ Я] = [Т„ cap] = cat[T,,pk] = iceMatp, ? 0;
3) [V,H]= [Т,Т„Й] =Щ,Я]
4) Так как
0 \ / 0
о)-{ъ о До „
_ ( 0
- \ 2Ым<г,
0 <т,<тк -а&Л _ ( 0 2«1Ы<7Л_
-w, 0 ) - \ 2Ым<г, 0 ) ~
>J,,р\ = 0, то (?,, Я) = - [П,, ak\pk - ic?,ua,pu = -1семаф;
\ ( \ (Ъ 0
поэтому оператор?2 = A/4)?г = 3/4 и, очевидно, коммутируете Н
Воспользовавшись значениями коммутаторов I), 2), 4), находим
6) [У„Я] =0; 7) [?,Я]=0;
8) |?р,Й\ = |Е„Й\р, + ?.1р„Я] = 2icMa,fkp, = О,
9) Тпк как / р = -р/, то [/, Я] = [f, cap] = -2capf;
10) (Р, me1 /Э| = О, [Р, Я) = [Д/, cap] = срТар - cap/37 = 0;
11) G5,/?| = 2m
(и для частицы с массой m = 0 этот коммутатор равен нулю).

§2 Уравнение Дирака 281
В нерелятииистском случае первые девять операторов коммутируют с гамильтонианом
свободной частицы Яо = р2/2т В релятивистском случае ситуация несколько иная Со-
Сохраняющаяся коммутативность оператора импульса ? с гамильтонианом свободной частииы
является отражением свойства однородности пространства, так же как коммутативность
оператора суммарного момента частииы j = \+t с Н — следствие его изотропии. Одна-
Однако и отдельности операторы 1 и ? не коммутируют с гамильтонианом. Это означает, что
в релятивистском случае имеется некоторая кинематическая корреляция между возможным
спиновым состоянием частицы и ее орбитальным движением (сравнить с 15.23). Об этом
свидетельствует также и некоммутативность оператора квадрата орбитального момента I2 с Н.
Тем не менее, согласно 1) и 8), спиральность, по-прежнему является «хорошим» квантовым
числом. Коммутативность оператора отражения Р = 01 с гамильтонианом свободной части-
частииы является отражением зеркальной симметрии свободного пространства (неразличимости
«правого» и «левого»). При этом ввиду отмеченной выше корреляции спинового и орбиталь-
орбитального состояний частииы оператор отражения уже не сводится лишь к инверсии координат I,
а «дополняется» преобразованием спинового состояния частицы.
15.21. Найти решения уравнения Дирака, описывающие свободную частицу, имею-
имеющую определенные импульс и энергию.
Для конкретизации спинового состояния частицы воспользоваться коммутативно-
коммутативностью оператора Л = Ир с операторами риЯ (см. также 15.26).
Решение. Решения уравнения Дирака для свободной частицы, соответствующие определен-
определенным значениям энергии е и импульса р, имеют вид
Фр,,(г, 0 = и(р, е) ехр у- (рг - <•*)}. (О
где биспинор «(р, с) удовлетворяет стационарному уравнению Дирака, см. (XV.4),
(сар + тс1р)и(р,е) = еи(р,е), B)
или, для двухкомпонентных спинорон,
отру - тс х =
Второе из уравнений C) дает
и после подстановки этого выражения в первое из уравнений C) получаем (с учетом
соотношения (<гр)г =р2).
Отсюда следует, что s = ±-^/р!с2 + mici. При этом спинор <р остается неопределенным
и может быть выбран произвольным образом, причем двумя независимыми способами
(для каждого из двух различающихся знаком значений с).
Таким образом, при фиксированном импульсе р, существует четыре независимых реше-
решения уравнения Дирака вида A), для которых биспиноры и(р, е) равны
u(p,? = B)= ( c<rp I , u(p,f = -E)= [ cap | , E)
E + me2 I \ -B + roc2
где E = + \/р2сг + m2c* ^ me2
Существование решений уравнения Дирака, отвечающих формально отрицательной
энергии частицы, ассоциируется с состояниями античастицы, см. 15.27. Именно в связи
с «теорией дырок», сформулированной Дираком для наглядной интерпретации состояний
с отрицательной энергией, и возникла концепция античастицы.

282 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
Для конкретизации вида спинора у. а с ним и в ф A). E), воспользуемся коммута-
коммутативностью эрмитова оператора Л = ?]> с операторами риЯи введем полную систему
с. ф. Ф,<д. При этом из уравнения ЛФ^Л = ЛФ^д, гае
(i I f ^ \
**л =«(р,г,Л)схр|-(рг-?«)|. ч(Р,е,Л)= I согр I,
следует
(<гр)^Л = Л^Л, или Г— nJv>A = Ау?л, п = —, Л=2А|р|. F)
Решения уравнения F) были получены ранее в нерелятивистской теории спина, см. 3.3
и 5 20; напомним, что состояния частицы с определенным значением А (с.з. А равны ±1/2)
называют спиральными.
8 заключение отметим, что при зарядовом сопряжении спиральность А не изменяется,
см. 15 27 (в отличие от значений р и е, изменяющих знак; отмеченное обстоятельство
наглядно проявляется в теории дырок).
15.22. Найти компоненты 4-вектора плотности тока свободной дираковской частицы
в состоянии, характеризующемся определенным значением ее импульса.
Сравнить с соответствующими выражениями нерелятивистской теории.
Решение. Подстапин в известные выражения (XV.7)
j = c*'a* = :с*7*. р=Ф'ФнФ/ЗФ (!)
волновую функцию состояния дираковской частицы с определенным импульсом р и энерги-
энергией ? = 2
^| B)
где биспинор и равен (см. предыдущую задачу)
(значение N выбрано таким образом, что нормировка биспинора и совпадает с нормировкой
спинора if, т. е u'u = tp'(p; напомним, что
и = N(v\ х) = N (V;V<-2ZL^, (<тР)г = pJ),
получаем
* ' ' D)
Отсюда, воспользовавшись соотношением
".(^P) + (crp)c, = (cr
следующим из свойств матриц Паули, имеем
где v — скорость классической релятивистской частицы, обладающей импульсом р.

§2. Уравнение Дирака 283
В заключение обсудим вопрос об операторе скорости V дираковской частицы. Формаль-
Формальное вычисление согласно (VI.4) коммутатора [Я, г] дает
,-t-i [*,,]««,. G)
В связи с этим равенством напомним, что введение оператора / = ?[Я, J] как оператора про-
производной по времени физической величины / (для которой df/dt - 0), в нерелятивистской
теории связано с использованием соотношения, см. [I, §9],
(8)
и непосредственно следует из него в случае отсутствия каких-либо существенных допол-
дополнительных ограничений на в. ф. Ф состояний системы. В случае релятивистской частицы,
удовлетворяющей уравнению Дирака, как раз и возникают подобные ограничения. Они свя-
связаны с тем, что непосредственный физический смысл волновой функции состояния частицы
имеет лишь суперпозиция положительно-частотных решений уравнений Дирака (сравнить
с 15.1 для бесспиновой частицы). Такую суперпозицию Ф+ можно выделить из уже произ-
произвольного решение уравнения Дирака с помощью проекционного оператора Р+ для решений
с положительной энергией:
при этом Р* = Р+. Воспользовавшись свойствами матриц а и /3:
а,а* + сча, = 2S,t, j3a, + a,f) = О,
0 cxaka{ \
I =
= I
находим соотношение
y
Теперь, сделав в выражении (8) подстановки
/-¦г, Ф-»Ф+ = Р+Ф+, Н
и выполнив, воспользовавшись соотношением A0), следующее преобразование
Ф+) = <Ф+|^Р+|Ф+) = <Ф+|^|ф+), (II)
приходим к естественному соотношению 9 = с2р/Г между операторами скорости, импульса
и энергии свободной релятивистской частицы (в частности, в импульсном представлении
получаем v = сгр/е(р)).
15.23. Найти среднее значение вектора спина дираковской частицы, имеющей опре-
определенный импульс (при этом спиновое состояние частицы — произвольное). Считать
для простоты, что импульс направлен вдоль оси z.
Сравнить с результатом нерелятивистской теории.
Решение. Волновая функция рассматриваемого состояния имеет вид
где биспинор и(р) равен
. е + тс'
(см. 15.2); использована нормировка и'и = tp'ip = I).

284 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
Среднее значение вектора спина вычисляется по формуле
тс2
17
Ч> '
-(• 171С
S. =
1
2
тс2
о,<р.
Р = (О,О,р).
)
Отсюда, воспользовавшись сиойствами (V. 3) матриц Паули, получаем
N2 . д а =
B)
Заметим, что вектор so = \<р'<г<р имеет смысл среднего вектора спина в рассматриваемом
состоянии, но уже в системе координат, в которой частица покоится, см. 15 25. Поэтому
полученные результаты B) наглядно можно охарактеризовать как своеобразное сокращение
поперечных составляющих вектора § чри лоренцевых преобразованиях При этом для ультр-
ультрарелятивистской частицы, е » гпс2, вектор s оказывается направленным вдоль импульса
частицы (сравнить со случаем частицы с массой покоя m = 0, рассмотренным в 15 24).
15.24. Рассмотреть унитарное преобразование биспиноров, задаваемое унитарным
оператором (матрицей)
Какой вид имеют в новом представлении оператор спина частицы и уравнение
Дирака для двухкомпонентных спиноров
Обсудить случай безмассовой частицы, т = 0.
Решение. Дли рассматриваемого унитарного преобразования
'-«•-яО-Ои ОС-D-d-:)
Таким образом, оператор вектора спнна в новом представлении сохраняет свой прежний
иид jS, а ураинение Дирака в новом представлении
записанное через двухкомпонентные спиноры ( И1], принимает иид
д д
i( = capi + mcrj, thri = cirpr) + mc'$ (I)

§2. Уравнение Дирака
285
Обсудим более подробно случай частицы с массой покоя m = 0 (нейтрино) Из уравне-
уравнений A) видно, что в этом случае новое представление особенно удобно, так как спиноры { и "?
подчиняются независимым уравнениям. Более того, эти спиноры преобразуются независимо
друг от друга и при лоренцевых преобразованиях (сравнитьс 15.25). Таким образом, при m = О
каждое из уравнений (I) в отдельности является релятипистски инвариантным уравнением —
уравнением Вейля. Однако такое уравнение неинвариантно относительно пространственной
инверсии, в отличие от уравнения Дирака Это связано с тем, что при инверсии спиноры {
и т) «переставляются» местами, как это следует из преобразований Ф' = РФ' = 7/3'Ф' с учетом
вида матрицы (У. Отмеченная неинвариантность уравнений A) проявляется в том, что опи-
описываемые их решениями состояния частицы с энергией е = рс > 0 отвечают определенным,
но противоположным по знаку значениям спиральности А, равным +1/2 и -1/2 соответ-
соответственно для спиноров {«!) (античастица имеет противоположное значение спиральности,
при этом каждое из уравнений A) СР-иннариантно).
В заключение заметим, что совокупность существующих экспериментальных данных сви-
свидетельствует о том, что нейтрино проявляет себя как частица с отрицательной спиральностью
15.25. Считая известным спиновое состояние в системе покоя частицы, найти биспи-
нор и(р) в произвольной системе координат, в которой частица имеет импульс р.
Используя полученный результат, найти связь средних значений вектора спина
частицы в указанных системах координат.
Решение. В системе координат К, в которой частица покоится и имеет энергию е =
тс7, ее спиновое состояние описывается биспинором и@) = ('п0 ), где <ро — некоторый
двухкомпонентный спинор.
В системе К', движущейся относительно системы К со скоростью —v, частица имеет
скорость v и импульс р = mv/\/\ — (v/cJ, а ее спиновое состояние описывается биспи-
биспинором и(р), выражающимся через и@) по известной формуле преобразования Лоренца для
биспиноров.
Г 1
= ехр< --
u(p) = u' = Su@),
1 вв
апО\ = сп - - sh -a
Ith9=-J,
(О
B)
где n = —v/v — единичный вектор скорости К' относительно К
Воспользовавшись соотношениями
по формулам A) и B) получаем
( И)
«(р) =
9а
¦ <Ро
сир
? + me2
C)
Это выражение для биспинора ч(р) согласуется с видом общего решения уравнения Дирака,
найденного в 15.21 В этом смысле существенным элементом полученного результата является
установление того факта, что спинор <р и биспиноре и(р) = ( ) во всех лорениевых системах
одинаков (с точностью до нормировки) и равен yj0.

286 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
Используя нормировку y>oVo = 1, получаем среднее значение вектора спина частииы
в системе К', где она имеет импульс р, в виде
D)
Его связь со средним значением вектора спина в системе покоя частицы, равным So = ~ip'oaifi(,,
легко установить, если направить ось г вдоль вектора р и воспользоваться свойствами (V. 3)
матриц Паули:
те2 . _ тс1 _ _
сравнить с IS.23.
15.26. Как известно (см. 15.21), для частицы со спином s = 1/2 волновая функция
состояния с импульсом р и энергией с = л/р2^ + т?с* имеет вид
{ V \
ФР+ = «(Р)е1(|>г-?')/Л; и(р) = со-р
Указанное состояние является двукратно вырожденным (существует два независимых
способа выбора спинора <р), что связано со спиновой степенью свободы. Рассмотрим
два таких независимых состояния, соответствующие выбору спинора <р в виде ip\, где
п — произвольный единичный вектор, А = ±1, см. 5.12.
Убедиться в ортогональности спиновых состояний релятивистской частицы, отве-
отвечающих различным значениям Л.
Используя результат предыдущей задачи, выяснить физический смысл вектора п
и соответствующих собственных значений Л.
Каков смысл вектора ^ (р'епр при нормировке <р*<р — 1?
Решение. Имея в виду, что
> »л(р) = ( c<rp I, «Up) = \v'x,v'x
\е + тс1 )
что доказывает ортогональность рассматриваемых спиновых состояний релятивистской части-
частицы, отвечающих различным значениям Л (при этом использована ортогональность у>Л<у>д = <5ул
двухкомпонентных спиноров как с.ф. эрмитова оператора ел).
Ответы на вопросы, поставленные в условии данной задачи, становятся очевидны-
очевидными, если учесть результат предыдущей задачи. Согласно последней, спинор <р в биспино-
ре и(р) = [ У J, описывающем одно и то же физическое состояние частицы с определенным
импульсом, в разных инерциальных системах координат одинаков (с точностью до норми-
нормировочного множителя). В системе покоя биспинор имеет вид и@) = ( о ) и соответствен-
соответственно чл@) = I fq J. Но в системе покоя частицы уравнение (<гп)рл = А^л эквивалентно
(EH)ua(O) = Аи,@), A)
т.е. является уравнением на собственные функции оператора ? п = 2?п — удвоенной проек-
проекции спина на ось, направленную вдоль вектора п. Таким образом, наглядный смысл вектор п,

§2. Уравнение Дирака 287
фигурирующий в определении биспинора ид(р), имеет не непосредственно в исходной систе-
системе координат, в которой импульс частицы равен р, а в системе, где она покоится, определяя
направление, на которое проекция спина частицы имеет определенное, равное А/2, значение.
Далее, вектор ^<р'<г<р определяет среднее значение вектора спина в системе покоя частицы
(во избежание недоразумений подчеркнем, что в задаче рассматриваются состояния частицы
с определенным значением импульса и именно поэтому имеет смысл говорить о системе
покоя частицы).
В заключение заметим, что рассматриваемой задаче о классификации спиновых состоя-
состояний частицы с определенным импульсом по квантовому числу Л можно придать ковариантную
форму. Для этого введем оператор
А = %Ъи & i7sG v + w*) = ( ™ -аи)'
B)
где v, = (у, i/4) — некоторый единичный 4-вектор, так что и? = и2 + и* = 1, ортогональный
4-импульсу частицы р, = (р, ic/c), т. е. v,Pi = ир-и^е/с — 0, a i/, = хщ. При этом уравнение
АиЛ(р) = Аид(р) C)
эквивалентно уравнению (<гп)у>д = А^д, где связь трехмерного вектора К с 4-нектором i/, опре-
определяется тем условием, что в системе покоя частицы к, имеет вид Pj = (ri, 0). Действительно,
учитывая выражение для биспинора ид(р) и оператора Л находим
D)
Далее, выразив и, i/0 через компоненты G,0) с помощью преобразования Лоренца для
4-вектора:
где знаки ±, || соответствуют перпендикулярным и параллельным составляющим векторов
по отношению к вектору р/|р|, получаем
С1/Ор "о{е - тс3)р
= и,. + — I/,, = п.
e + mc7 cp2 e
При этом, как видно, верхний спинор в биспиноре D) совпадает с (<тК)у>л. Аналогично
убеждаемся в справедливости соотношения
c(<ri/)(<rp)\_ _ с(<тр) , _
для нижнего спинора в D). Из приведенных равенств и следует эквивалентность уравне-
уравнения C) уравнению (an)tpx = А^д. Заметим, наконец, что такая эквивалентность уравнений
очевидна из следующих соображений. Введенный оператор А является скалярным (точнее,
псевдоскалярным) оператором по отношению к преобразованию Лоренца. Соответственно
из ковариантности уравнения C) вытекает, что выполнение его в одной из систем отсче-
отсчете автоматически обеспечивает справедливость уравнения и в любой лоренцевой системе;
а в системе покоя частицы уравнение C) имеет вид (<тп)у>д = Ау>А.
15.27. Выполнив преобразование зарядового сопряжения, найти явный вид волновой
функции Ф* состояния античастицы, соответствующего решению уравнения Дирака Ф~
с определенным импульсом, равным -р, и отрицательной энергией Е = — е =
- \/р2с2 + то2с" частицы. Сравнить с волновой функцией физического состояния
частицы (с энергией ? ^ тс? и импульсом р), см. 15.21 и 15.26.
Как изменяется квантовое число спиральность при зарядовом сопряжении (срав-
(сравнить с 15.2)?

288 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
Решение Решения уравнения Дирака, отвечающие определенным значениям импульса
и энерши частицы, имеют вид"', см. 15 21,
) (I)
X, /
где t = \/Р2<;! + "»!с4 ^ тпсг. При этом решение ф? имеет физический смысл волноиой
функции состояния частицы с импульсом р и энергией с.
Решение Ф^,, отвечающее формально отрицательной энергии и импульсу -р, не имеет
непосредственного смысла в. ф. состояния частицы. Такое решение сопоставляется антича-
античастице, причем в. ф. античастицы ФГ = СФ~ получается в результате применения операции
зарядового сопряжения С к функции Ф^. Это преобразование при используемом выбо-
выборе (XV.5) матриц Дирака записывается а явном виде следующим образом
Фс+ = СФ- = ЪЪ*~ = ЪЪ(Я1"Р), B)
или более подробно, с указанием биспинорных индексов:
О)
(здесь использовано, что /3 = 7<- Д2 = ' >
Воспользовавшись соотношениями
согласно (З) находим в. ф состояния античастицы, соответствующего «нефизическому» ре-
решению Ф^ уравнения Дирака:
\ Хо / \ ? + 771С /
В этом сосюянии античастица имеет импульс р и энергию с = y/fJc* + т*с*
Обозначив (рс? = —t<T2X'f перепишем выражение D) в виде
( \
К* = cap e""-'", E)
что по форме совпадает, естественно, с волновой функцией аналогичного состояния частицы
с импульсом р и энергией s.
Волновая функция состояния античастицы с определенной спиральностью Ф^д удо-
удовлетворяет уравнению
5(Sn)*{%,. = A<KA, п = щ,
из которого следует
,(^n)vc.pA = Av)c,PA. F)
"'Обращаем ониманис нп соответствие таких обозначений использованным ранее в случае бесслино-
uoti чпегииы. см. 15 1

§2. Уравнение Дирака 289
Учитывая установленную выше связь спинора <pCiP в в. ф. античастицы со спинором хр~
в решении Ф^ уравнения Дирака (у>с,р = -»С2Хр')> замечаем, что уравнение F) эквивалентно
уравнению
(во избежание недоразумения подчеркнем, что спинор х? соответствует решению уравнения
Дирака с импульсом -р; поэтому оператором спиральности для него является -\(arri)). Это
означает, что при зарядовом сопряжении Фс' = СФ~ квантовое число спиральность сохраняет
свое значение (в то время как импульс и энергия изменяют знак; отмеченное свойство спи-
спиральности наглядно проявляется в «теории дырок», в которой античастица интерпретируется
как дырка среди заполненных состояний частицы с отрицательной энергией).
15.28. Показать, что для дираковской частицы с массой т = 0 оператор (матрица)
75 коммутирует с гамильтонианом свободной частицы.
Найти собственные значения указанного оператора и выяснить их физический
смысл.
Решение. Коммутативность эрмитова оператора Ъ — ~{i 0) с гамильтонианом И -
cap = с( „)р безмассовой дираковской частицы очевидна: [75,Я] = 0.
Для выяснения физического смысла с. з. /i оператора 75 найдем общие с. ф. Ф,*,,
коммутирующих друг с другом эрмитовых операторов Я, р, 7s- Эти функции имеют вид
с I е , ? = ±рс (I)
. е
(сравнить с 15.21), причем из уравнения 75*jw» = M^ptf следует
--а = - и B)
с t
Отсюда fi2 = I, т.е собственные значения равны ц = ±1 (что, впрочем, очевидно заранее,
так как у2 = ]). Имея н виду соотношения B) и равенство (сгрJ = р2 = Е2/с2, замечаем, что
уравнения
75*i*u = Р^пч и (?п)*|>?« = -Рт; Фрги, C)
1?1
где п = р/р, эквивалентны друг другу. Отсюда следует физический смысл величины -ре/\е\
как удвоенного значения 2А спиральности состояния. Таким образом, для решений уравнений
Дирака с положительной энергией е — рс > 0 имеем fi = —2А, а для решений с отрицательной
энергией (сопоставляемых античастице) уже ц = 2А; в связи сданной задачей см. также 15.27
и 15 29.
15.29. Показать, что операторы (матрицы) Р± = j(l ±7s) являются проекционными.
Для дираковской частицы с массой та = 0 эти операторы коммутируют с га-
гамильтонианом. На какие состояния частицы и античастицы проектируют указанные
операторы Р±?
Решение Так как Р± = Р±, то эрмитовы операторы Р± = \(\±-у^ являются проекционными,
см 1.31. Имея в виду установленную в предыдущей задаче связь с. з. оператора 7s со спираль-
ностыо А, замечаем, что оператор Р+ проектирует на состояния со спир&чьностью А| = -1/2,
действуя на решения уравнении Дирака с положительной энергией, и с А2 = +1/2 — в случае
отрицательной энергии (т е для состояний, сопоставляемых античастице, сравнить с 15.27).
Оператор Р- проектирует на состояния с противоположными значениями спиральности.
В заключение заметим, что противоположность по знаку значений спиральности частицы
и античастицы, сопоставляемых с.з. ц матрицы 75. связана с тем. что уравнение 7s* = М*
при зарядовом сопряжении принимает вид 75*с = ~li<^c так как С75 = ~1iC-
10 I.U. 26V

290 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
15.30. Квантовомеханическое описание фотона может быть осуществлено с помощью
двух векторов <?(r, t) и 2i?(r,t), удовлетворяющих'г) таким же уравнениям, как урав-
уравнения Максвелла классической электродинамики для свободного электромагнитного
поля ?(т,t), aF(r,t) (т.е. для электромагнитных волн в вакууме).
Показать, что эти уравнения можно представить в виде, аналогичном уравнениям
Дирака для двухкомпонентных спиноров (следует учесть, что масса фотона т. — О,
а его спин з = I).
Решение. Уравнения Дирака для двухкомпонентных спиноров в случае безмассовой частицы,
m = 0, имеют вид (сравнить с 15.2!, а = 2? = ?/«)
ih — = со-?* н j?px, ift-^ = сару>г= j?p>. A)
Они содержат два спинора у> и х> описывающие спиновые свойства частицы * = 1/2
по отношению к чисто пространственному вращению системы координат и незаиисимым
образом преобразующиеся при таком преобразовании (но не при преобразовании Лоренца).
Естественное обобщение уравнения A) на случаи частицы с произвольным спином з
(и массой m = 0) состоит в отождествлении в этих уравнениях <р и х с двумя спиновыми
функциями, отвечающими спину s и имеющими по Bs + 1) компонент каждая; при этом
под ? следует понимать оператор спина величины s.
В случае спина s = I удобно воспользоваться векторным представлением, в котором ком-
компоненты спиновой функции являются декартовыми компонентами вектора (см. задачи §4 гла-
главы 3), а операторы компонент спина определяются соотношениями 7,at = -ieMai. При этом
а
?pot = ?,p,at = -Ле|И — о, = fi(rota)t,
т.е. Csj))a = ft rot а, и отождествив в уравнениях (I) <р и х соответственно с векторами /
и iSf, приходим к уравнениям
представляющим собой часть системы уравнений Максвелла. Два других уравнения, div/ = 0
и divP? = 0, выступают как дополнительные условия, накладываемые на векторы 4 и Р?\
В классической электродинамике они приводят к поперечности электромагнитных волн,
а в квантовомеханическом аспекте соответствуют исключению состояний фотона с рав-
равной нулю спиральностью. Заметим, что подробное изложение квантовой механики фотона
содержится и книге [29]
15.31. Найти нерелятивистский предел (с точностью до членов порядка «I /с» включи-
включительно) выражений для плотности заряда и тока дираковской частицы, находящейся
во внешнем электромагнитном поле.
Решение. Плотность тока и плотность заряда для дираковской частицы описываются выра-
выражениями (XV.7) (е — заряд частицы):
j = ec*'otty 3 tec?7*. р = еФ'Фне?7<Ф A)
(подчеркнем, что они справедливы как для свободной частицы, так и для частицы во внешнем
электромагнитном иоле).
В нерелятивистском пределе (энергия частицы с я тс1) в волновой функции (биспино-
ре) Ф = I ™ 1 нижний спинор х< удовлетворяющий уравнению
«ft— =c<rfp- -
131 Подчеркнем, что t, ЯС, как и векторный потенциал А. при этом являются комплексными величи-
величинами в отличие от вещественных соответствующих функиий, используемых для описания классического
электромагнишою поля

§2. Уравнение Дирака 291
приближенно равен (так как при этом tft|j к тс'х)
I
уз, т.е. 1x1 «М-
Соответственно в. ф. частицы описывается выражением
/ V \
а комплексно сопряженная в. ф.
Подставив выражения B) и C) в формулы (I), находим с точностью до членов поряд-
порядка A/сJ
р = еф'ф x.etp'<p, D)
сг<р
Воспользовавшись соотношением сг,^. = й,ц +1?,цО'| лля матриц Паули, выражение E) можно
упростить:
h = 2^ | /".с* (Р* - " AkJ V - ( (Р* + " Л*J Р* J "*o-.V > =
= ^ |Ч>'Р,<Р - (?.?>')V - "J A,ifi'
этом
Г • д ( д Л 1 a •
'"*' Г СГ''дх''Р+ 1эаГ ^ j'*1 =?'"9гТ ^ ^'^^
и так как при этом
С)
то получаем
j = --— {VVy> - (V(p')ip} \<р'<р + -— rot tip'a-ip), F)
2m me 2m
что совпадает с формулами (VI 1.4—VI 1.6) нерелятивистской теории для плотности тока частицы
со спином 5 = 1/2, имеющей заряд е и магнитный момент у. = eh/2mc.
15.32. Гамильтониан частицы со спином s — 1/2, находящейся во внешнем электро-
электромагнитном поле, имеет вид
~ „ , Ы
Н = cap + тс /3 + — F^-y^y,,,
2
где к — некоторый параметр, характеризующий частицу, F^ — тензор электромаг-
электромагнитного поля.
Рассмотрев нерелятивистский предел (с точностью до членов порядка «1/с»
л (
включительно) волнового уравнения|3) ih%i Ф = НФ, выяснить физический смысл
"' Это уравнение можно записать п явно релятииистски инвариантом виде
tcp + у F,,*w + тс2) * =
10*

292 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
параметра х, т.е. установить его связь с электромагнитными характеристиками ча-
частицы. Сравнить со случаем заряженных дираковских частиц — электрона и мюона,
гамильтониан которых имеет вид
Й = са (р — Aj + тс2р +¦ еЛ0
Решение. Учитывая явный вид матриц Дирака (XV.5) и тензора электромагнитного поля
рассматриваемый гамильтониан легко преобразовать к виду
if = са|> — x/3?Pi" +>х/3а^ +тс/3. (I)
При этом волновое уравнение й^Ф = ЯФ приводит к следующим уравнениям для двухком-
понентных спиноров <р и х в биспинорной волновой функции Ф = ( у j:
. ?
' at*'
а
ift — х = ccrpip - тс х - ixaSif + х
at
Для перехода к нерелятивистскому пределу, когда энергия частицы е я тс1, следует,
как обычно, выделить из волновой функции множитель е~'"" ''*, т.е. записать ее в виде Ф =
g-irnc'/" / т^ J и учесть неравенство
' Л. " |~»|^Л."»~|*|| » \^/ ''
в выражении
(J? — характерная величина энергии нерелятивистской частицы) При этом второе из урав-
уравнений B) принимает вид
с2х k<jXx + Л х
2тс2х - k<jXx + Л — х = (с<гр - ix<r?)y. D)
Из приведенных соотношений с учетом предполагаемого неравенства \хЖ\ <К тс2 следует
(заметим, что |jf| < |^|, как и в случае свободной нерелятивистской частицы).
Далее, подставляя E) в первое из уравнений B) (предварительно выделив из спиноров у
и х множитель е"" ''*), получаем
Ь 1 / «х \ / Ы \
ft — tp= -— I <грн <r«f <гр <xt )tp-
at 2m \ с J \ с J
F)
Записав здесь <гр = a,p,, <r? = (rt^ и воспользовавшись соотношением a.a» = Sttt + ie,u
для матриц Паули, находим

§2. Уравнение Дирака 293
причем
(p<?)-(<fp) = -tfidiv/, [p.?]- [^p) = -t»rot/-2[/p]«-2[*p]
(так как rot ? = —дЖ/с dt, то слагаемое с rot ? можно опустить как имеющее более высокий
порядок малости по 1/с; в стационарном случае оно обращается в нуль тождественно).
Учитывая эти соотношения, равенство (<трJ = р2 и пренебрегая слагаемым <х (Я/сI,
приводим уравнение F) к виду
В пренебрежении «малым» спинором х в волновой функции ф, это уравнение является
уравнением Шрёдингера с гамильтонианом
# = 5--ХО-РГ+— (--d\v ? - [?р}<т\ (8)
2т гас \ 2 /
сравнить с гамильтонианом Паули (VII.1) Отсутствие в Я слагаемого еАо означает, что
описываемая им частица является нейтральной (-40 — скалярный потенциал внешнего
электростатического поля), а наличие слагаемого —кетЭР указывает на то, что частица имеет
магнитный момент, равный ц = х.
Последний, третий член в выражении (8) описывает спин-орбитальное взаимодействие.
При этом слагаемое"' "^[^р)^ в этом взаимодействии является естественным квантово-
механическим обобщением энергии взаимодействия движущегося классического магнитного
диполя с электростатическим полем, обсуждавшимся в 13.60.
Гамильтониан A) и его нерелятивистский предел (8) используют для описания ней-
нейтрона в электромагнитном поле. Выражение ^ц'PyT^vFTr применяют также для описания
взаимодействия с электромагнитным полем аномального магнитного момента ц' заряженных
частиц со спином s = 1/2. При этом взаимодействие нормальной части магнитного момента,
равной eh/2mc, как и заряда е частицы с полем, описывается выражением -еаА + е-40.
Соответственно релятивистское волновое уравнение для такой частицы в электромагнитном
поле имеет вид
rtdi*= |СаГ~ сА)
(напомним, что для частицы со спином э = 1/2, имеющей заряд е и магнитный момент (i,
«разбиение» последнего на нормальную и аномальную части определяется соотношениями
У- = /«поим + Раком; /*ноРи = eft/2mc; /*аном = ц - еЛ/2тс).
15.33. Найти энергетический спектр заряженной дираковской частицы в однородном
магнитном поле.
Решение. Энергетический спектр и соответствующие биспинорные волновые функции ста-
стационарных состояний частицы определяются из решения уравнения Дирака п магнитном
поле (е — заряд частицы)
или для двухкомпонентных спиноров
(? -тс2)<р = сег U-IaU, (? + тс2)х = сстУр-^Л*>. A)
Исключая спинор х из этой системы, получаем
(j)) . B)
14' Слагаемое - j-j-j div t% отличное от нуля и тех точках пространства, где находятся заряды, создающие
внешнее электрическое поле, div/ = 4т/>, не имеет наглядной классической интерпретации.

294 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
Это уравнение, воспользовавшись соотношением
(см , например, 7.10), можно записать в виде
12m V с / 2mc J
2тс2
C)
отличающемся лишь заменой Е на (е2 - т1с*)/2тс2. от уравнения Паули для частицы
со спином з = 1/2, имеющей заряд е магнитный момент р = eft/2mc. Уравнение C)
для случая однородного магнитного поля Жц было решено в 7.9. При выборе векторного
потенциала А = @, Жах, 0) решение уравнения C) имеет вид
Лшо ( "
где постоянный спинор у><г, является собственной функцией оператора <г,, отвечающей
с.з. сг, = ±1 (подчеркнем, что ось z направлена вдоль магнитного поля).
Второе из уравнений A) определяет спинор Хпр^я,, а тем самым и в ф. Фпя,рг»г
рассматриваемых состояний.
Заметим, что в нерелятивистской теории квантовое число s, = <rs/2 определяет проекцию
спина частицы на ось z. В релятивистском случае а. утрачивает этот смысл, так как
спинор Хлрур,», уже не является с. ф. оператора а,, а соответственно и в. ф. ФПр,я,»г
не является собственной функцией оператора 7Z = 5S,. Тем не менее, имеющее место
в нерелятивистской теории для диракооской частицы вырождение уровней поперечного
движения по значениям <т,, см. 7.9, согласно D) сохраняется и в релятивистском случае.
Выражение D) дает два значения энергии, различающиеся знаком Одно из них, е > тс2,
непосредственно представляет собой энергетический спектр частицы, другое, е $ —тс2,
соответствует античастице, имеющей уже положительную энергию (сравнить со случаем
свободной частицы, рассмотренным в 15 27). При этом энергетические спектры в магнитном
поле частицы и античастицы одинаковы — очевидный физический результат (сравнить
со случаем бесспинояой частицы в магнитном поле, рассмотренным в 15.11).
15.34. Найти в первом порядке теории возмущений дифференциальное сечение
рассеяния дираковской частицы в кулоновском поле ядра с зарядом Ze. Ядро считать
бесконечно тяжелым.
Решение. Гамильтониан дираковской частицы во внешнем электростатическом поле имеет
нид (е, — заряд частицы):
Н = cap + mc2p + elAo(r) = Ho + V, V = е1А„ = ?^-
Рассчитаем дифференциальное сечение рассеяния частицы согласно формуле теории воз-
возмущений для переходон в непрерывном спектре между состояниями свободной частицы
с определенными значениями импульса'3', сравнить с [I, § 126].
15' Более последовательный способ расчета дифференциального сечения, основанный на вычислении
амплитуды рлесеинии яборнопском приближении, см. 15 37.

§2. Уравнение Дирака 295
При нормировке волновой функции начального состояния частицы с определенным
импульсом Pi на единичную плотность потока (см. 15.22).
V/ Otf* I "'.-111*. Э1
(e, w — энергия и скорость частицы), а волновой функции конечного состояния с импуль-
импульсом рг — на единичную плотность вероятности:
V/ \
.с + тс2*')*
(спиноры ip,j нормированы на единицу: \<p,j\2 = i, энергия частицы в начальном и конечном
состояниях одинакова) — известная формула теории возмущений для дифференциальной
вероятности перехода в единицу времени определяет дифференциальное сечение рассеяния
d<r = dw = у |V,,|J dp,. C)
Плотносгь конечных состояний равна
" Ре<*п
dp, = J б(е,-е,)^р
Матричный элемент возмущения имеет вид
где, как обычно, Aq = Рг — Pi ¦ Воспользовавшись соотношениями (в — угол рассеяния)
(<гр7)(<гр,) =pj,pR<7,<rt = P2,p)jt(<5.t +«eaiO"i) = p,p2 + «|pjPi|o- =p2cos9 - грг sin$cri>;
KPiftll" ' J г - ,» -pJsinWZI
преобразуем выражение (S) к более удобному виду:
Формулы (З), D), F) определяют дифференциальное сечение рассеяния. Оно зависит
от энергии частицы, угла рассеяния, а также спиновых состояний частицы до и после рассея-
рассеяния, описываемых спинорами ifi,j He интересуясь поляризационными яплениями при рассе-
рассеянии, выполним в дифференциальном сечении усреднение по спиновому состоянию частицы
в падающем пучке, предполагая его неполяризованным, и суммирование по независимым спи-
спиновым состояниям рассеянной частицы (ниже эта операция обозначена чертой над матричным
элементом). Воспользовавшись известным из нерелятивистской теории соотношением
в рассматриваемом случае получаем
<р',{(е +тс2J +р2с2 cose - ip2c2sin$<rv}<p,\2 = 4s2(e + тс*J( 1 —j- sin2- 1
и приходим к окончательному выражению для дифференциального сечения рассеяния нспо-
ляризованных частиц:
(сравнить с рассеянием бесспиновых частиц, рассмотренным о 15.17). В нерелятивистском
пределе v/c < l,psm« оно переходит в формулу Резерфорда.

296 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
В заключение укажем, что условием применимости полученного результата является
выполнение неравенства \Zee,\ < hv.
15.35. Найти в первом порядке теории возмущений энергетическую зависимость
сечения рассеяния а (с) заряженной дираковской частицы во внешнем электрическом
поле Аа(г) при е —> со.
Сравнить с результатом 15.18.
Решение. Выражение для дифференциального сечения рассеяния неполяризованных частиц
4*2ftV \ с3 2 J v '
можно получить непосредственно из формулы G) предыдущей задачи, если в ней произвести
очевидную замену
Воспользовавшись соотношением du = (jrfiJ/p2) dq2, находим полное сечение рассеяния
о
В ультрарелятивистском пределе имеем р ж с/с, «ас. Учитывая, что в интеграле B)
существенна область конечных значений q2 < Д, где Л — радиус потенциала А0(г),
замечаем, что при с —» со сечение рассеяния стремится к постоянному значению
/
о
(совпадающему с сечением рассеяния заряженной бесспинояпй частицы, см. IS. 18). Отметим,
что сходимость интеграла в выражении C) на нижнем пределе (q2 — 0) предполагает следую-
следующее убывание потенциала набольших расстояниях: Ио(гI < -В/1*2 (как и в нерелятивистском
случае, иначе полное сечение рассеяния обращается в бесконечность).
15.36. Найти функции Грина Gf ap(t, г*) стационарного уравнения Дирака для сво-
свободной частицы при энергии е ^ тс7, удовлетворяющие уравнению
(Я - e)G( = (-ihco. V + тс2р - e)Gc = <5(r - г')
и имеющие при г —¦ со асимптотики вида
Найти также функции Грина /* уравнения Дирака, записанного в симметричной
форме:
(icp + тс2)Ф? = 0, р = -ihyV + — 74-
Решение. Искомые функции Грина легко могут быть выражены через соответствующие
функции Грина свободной нерелятивистсхой частицы д*(г, г'), для которых
Воспользовавшись соотношением
-й^с'д -е2 + т!с' = (cap + тс2р - е) (cap + тс20 + е),

§2. Уравнение Дирака 297
имеем (e^
= (cap + ™!/i - e) (cap + m^/J + e) Wp {**'Г "'f.l} = «<r - r').
Ч7ГЛ С [Г *~ П I
С [Г *~ П I
Отсюда непосредственно следует вид функций Грина свободной дираковской частицы
<•>
или, с явным указанием биспинорных индексов,
Аналогично, воспользовавшись соотношением
-Л2с2Д - е2 + mV = {гср + тс2) (-icp + тс2),
находим функции Грина
-icp + mc2 exp{±ifc|r-r'|} _ -/1C7V -f ?74 + тс7 exp {±ifc|r-
л (г>г)~
удовлетворяющие уравнению
15.37. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния дираковской частицы
во внешнем постоянном электромагнитном поле.
Применить полученный результат к случаю электростатического поля Ай = Ze/r,
и сравнить с 15.34.
Решение. Используя функцию Грина G^'for1) из предыдущей задачи, запишем уравнение
Дирака для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле (исчезающем на беско-
бесконечности)
(сар + тсгр -е)Ф(г) = е(оА(г) - 4>(г))Ф(г) (I)
в интегральной форме, соответствующей задаче о рассеянии частицы с импульсом р, = hk,
B)
На больших расстояниях, г -» со, второе слагаемое в правой части этого уравнения принимает
вид
(cap + тс2р + е) ^ J e-kM> (aA(r') -
где п = г/г, р2 = hk} = hkn — импульс рассеянной частицы, сравнить с (XIII.I)—(XIII 6).
В этом выражении оператором импульса следует действовать лишь на сомножитель e>tT
(при этом ре'кг = Лкпе'1"), так как действие оператора р на другие сомножители приводит
к асимптотически несущественным слагаемым, убывающим как г при г —• со. Поэтому
асимптотика волновой функции B) на больших расстояниях принимает вид
Ф^ЮиМрОе*"**1^, г -.со, C)
где биспинор
F = ^j (cap2 + тс7р + е) j е'^ («А(г') - Л0(О) Ф^@ dV D)
является амплитудой рассеянной волны

298 Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
В борнонском приближении вместо точной волновой функции ч>р, (г) в D) следует взять
ее невоэмущеннос внешним полем значение U|(pi)elk'r, при этом
F »Fe = FB«,(Pi), E)
FB = —^-r (cap2 + mc2f} + с) [ е-"' (аЛ(г') - 4.@) dV, F)
4тгд с J
где q = k2 -k,, fiq = р2 - [h-
Оператор (матрица) FB является матрицей рассеяния в борнонском приближении. Его
матричные элементы fu = uHP2)^uu>(Pi) при нормировке биспиноров и\ ju^ j = I (на
единичную плотность, р|,2 = 1) определяют соответствующее дифференциальное сечение
рассеяния
*r,, = |uS(p2)FBUi(Pi)|2<fn2. G)
Подчеркнем, что это выражение зависит от спиновых состояний рассеиваемой и рассеянной
частиц, описываемых соответствующими биспинорами. Если спиновое состояние рассе-
рассеянной частицы не фиксируется, то дифференциальное сечение рассеяния в этом случае,
в соответствии со смыслом биспинорной амплитуды рассеяния, определяется выражением
Выражение G), в котором FB определяется формулой F), можно упростить, если учесть,
что согласно уравнению Дирака
(сар2 + тс2/3)и2(р2) = еагЫ, "ЛР2){сар2 + mcJ/3) = ги'2(р2).
Поэтому
U2(P!)^bUi(Pi) = «5(Pj)§««i(Pi). (8)
где
бе = -^ I е-" (аА(г) - *(г)) dV. (9)
Дифференциальное сечение рассеяния
,)|Jdn2 A0)
(подчеркнем, что это выражение тождественно G)) в случае чисто электростатического поля
принимает вил
ее
¦/•-
Спиновая зависимость этого выражения, определяемая биспинорами U|i2, принимает более
наглядный вид, если ее выразить через «верхние компоненты» (спиноры) ^ч.з биспиноров
согласно
( 2J {? g - i(pcJ sin
(в — угол рассеяния). В результате суммирования по спиновым состояниям частицы после
рассеяния и усреднения по ее начальному спиновому состоянию получаем'6'
|V>,(« + me2J + (рсУ cos« + ЦрсУ sin в<ги<р,|2 = 4?3(г + тсУ(\ - ^ sin2 (^\\
^ ^A3)
(и — скорость частицы)
Дифференциальное сечение рассеяния, описываемое выражениями (II), A2) и A3),
совпадает с формулой (I) из предыдущей задачи (полученной другим способом), а в случае
кулонопского поля, Ао = Ze/r, приводит к формуле G) из 15.34.
"'Эта операция обозначена чертой, начальное спиновое состояние предполагягяется нсполиризо-
8ЛННЫМ.

Дополнение
Д 1. Интегралы и интегральные соотношения
Аналогичное соотношение справедливо и для n-мерного пространства.
Здесь о<10<6;?>0— бесконечно мало; / — интеграл в смысле главного значения,
о вычислении мнимой части интеграла см. 13.11.
3.
^^ ^ , (Д)
-x7^te х J k2+x2 х
х и х — вещественные, причем х > 0; е > 0 бесконечно мало. Интегралы вычисляются
с помощью вычетов замыканием контура интегрирования в верхнюю (при i > 0) или нижнюю
(при i < 0) полуплоскость комплексной переменной к.
Интефал (определяющий при х -- 0 фурье-компоненту кулоновского потенциала) вычисля-
вычисляется асферических координатах с выбором полярной оси вдоль вектора к.
7. J - ^f(x-a)(b-x)dx= | (a + b-2Vab), 0<а<Ь. (Д1.7)
J X Z
a
<x
Г sin x л"
J x X~ 1'
0
Д 2. Цилиндрические функции
Цилиндрическими функциями ?»(;) называют решения дифференциального уравнения
#(*) + j
Функции Бесселя

300 Дополнение
являются частным видом цилиндрических функций. Если индекс v не совпадает с це-
целым числом, то функции Бесселя Jtu(z) представляют два линейно независимых решения
уравнения (Д2 I), так что его общее решение
Zu(z) = C,Jjz) + С27_Лг), и ф 0, 1, 2,... .
Поведение функций Бесселя при z —» 0 непосредственно следует из их определе-
определения (Д2.2), а асимптотика при z —» со имеет вид
Функции Неймана
Nv[z) = У„[г) = —— [cos (ru)Jv{z) - Л„(г)]. (Д2.4)
Sin itv
Для целочисленных значений индекса v = п они, Nn(z) = lim Nu(z) при v —» п, являются
вторым, линейно независимым с Л(^) решением уравнения (Д2 1); при этом
Щг) « - Ш ^
i-o ir 2
^(г) и — ( - ) аля и > 0,
1—0 jr \г/
(Д2.5)
здесь 7 = ес = 1,781 ... — постоянная Эйлера, С = 0,5772. Асимптотика функций Неймана
при z —» со имеет вид:
С функциями Бесселя и Неймана тесно связаны функции Ганкеля
Н1%) = Л(^) + «^„(z), Hll)u(z) = 7„(г) - «ЛГ„(г), (Д2.7)
а также модифицированные функции Бесселя Iv(z) и К„(г) (функции Макдональда), опре-
определяемые соотношениями
Для целочисленных значений индекса ifn(z) = lim Kv(z) при i/ —• n = 0,±l,±2,...; при
этом
*.(,)«: ml; ^^дЦЛ!^)", „=,,2,..., (Д2.9)
сравнить с (Д2.5). Суперпозиция модифицированных функций Бесселя
и„(г) = г„(м) = С,/„(г) + С2ЛГ„(г)
(предстааняюшая цилиндрическую функцию мнимого аргумента) является общим интегралом
уравнения
""+""''-- (l + ^)«»=0. (Д2.10)
В заключение отметим, что с цилиндрическими функциями связаны решения диффе-
дифференциальных уравнений
« = 0, „
„я о, и =
u"(z) + G3e3' - S)u(z) = 0, u = Z,{ye'), (Д2.13)
имеющие важные квантовомехакические приложения.

Список литературы
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.: Наука, 1989.
2. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. М.' Наука, 1983.
3. Давыдов А. С. Квантовая механика. М.' Наука, 1973.
4 Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч. Квантовая механика. М.: Наука, 1979.
5. Елютин П. В, Кривченков В. Д. Квантовая механика. М.: Наука, 1976.
6. Мессиа А. Квантовая механика. М.: Наука, 1978. Т. 1, 1979 Т. 2
7. ШиффЛ Квантовая механика. М.. ИЛ, 1957.
8. Коган В. И., Галицкий В. М. Сборник задач по квантовой механике. М.: Гостехиздат, 1956.
9 Гольдман И. И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике. М.: Гостехиздат,
1957
10. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. М : Мир, 1974, Т 1, 2.
11. КронинДж., Гринберг Д., Телегди В Сборник задач по физике с решениями. М.: Атомиздат,
1975.
12. Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики. М: Наука, 1979.
13. Фейнман Р, Хибс А Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968.
14. Мигдал А. Б. Качественные методы в квантовой теории. М.1 Наука, 1975.
15. БазьА. И., Зельдович Я. Б , Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивист-
нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1971.
16. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: Физ-
матгиз, I960.
17. Бете Г. Квантовая механика. М.: Мир, 1965; см. также Belhe Н.А , Jackiw R. W. Intermediate
Quantum Mechanics; Benjamin W. A. INC. New York, Amsterdam, 1968.
18. Фок В. А. Начала квантовой механики. М.- Наука, 1976.
19. Смирнов Б М. Асимптотические методы в теории атомных столкновений. М.. Атомиздат,
1973.
20 Демков Ю. И , Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике.
Л.: ЛГУ, 1975.
21. Делоне Н. Б, Крайнов В. П. Атом в сильном световом поле. М.: Энергоатомиздат, 1984
22. Мотт И., Месси Г. Теория атомных столкновений. М : Мир, 1969.
23. Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений. М.' Мир. 1967.
24. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М • Мир, 1969.
25. Тейлор Дж. Теория рассеяния М : Мир, 1975.
26 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика М.: Наука, 1988.
27. Ландау Л Д , Лифшиц Е. М. Теория поли М : Наука, 1988.
28. Лифшиц Е. М , Питаевский Л. П. Статистическая физика. 4.2. М.' Наука, 1978.
29 Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика М.: На-
Наука, 1989.
30. Боголюбов Н. Н., Ширков Д В. Квантовые поля. М.. Наука, 1980.
31. Мигдал А Б Фермионы и бозоны в сильных полях. М.: Наука, 1978.
32. Собельман И И. Введение н теорию атомных спектров М.: Наука, 1977.
33. Градштейн И С, Рыжик И М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений М.: Физ-
матгиз, 1962.
34. Справочник по специальным функциями / Под редакцией М. Абрамоница и И.Стиган
М.: Наука, 1979.
35. Янке ?., Эмде Ф, Леш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы М.: Наука,
1977.

Содержание первой части
Глава 1. Операторы в квантовой механике
§ I. Основные понятия теории линейных операторов
§2. Собственные функции, собственные значения, средние
§3. Проекционные операторы
§4. Представления операторов и волновых функций.
Унитарные преобразования
Глава 2. Одномерное движение
§ I. Стационарные состояния дискретного спектра
§2. Уравнение Шредингера в импульсном представлении.
Функция Грина уравнения Шредингера.
Интегральная форма уравнения Шредингера
§3. Состояния непрерывного спектра. Прохождение через потенциальные барье
§4. Системы с несколькими степенями свободы.
Частица в периодическом потенциале
Глава 3. Момент импульса
§ I. Общие свойства момента
§2. Момент L = 1
§ 3 Сложение моментов
§4. Тензорный формализм в теории момента
Глава 4. Движение в центральном поле
§ 1. Состояния дискретного спектра в центральных полях
§2. Состояния с малой энергией связи. Частица в совместном поле
короткодействующего и дальнодействуюшего потенциалов
§3. Системы с аксиальной симметрией
Глава 5. Спин
§1. Спин s=l/2
§2 Спин-орбитальные состояния частицы со спином s = 1/2.
Высшие спины
§3. Спиновая (поляризационная) матрица плотности.
Угловые распределения и корреляции в распадах
Глава б. Изменение состояния во времени
§ I. Предстанление Шреяингера Движение волновых пакетов
§2. Изменение во времени физических величин Интегралы движения
§3. Унитарные преобразооания, зависящие от времени
Гейзенберговское представление
§4. Временные функции Грина
§5. Квазистационарные и квазиэнергетические состояния
Глава 7. Движение в магнитном поле
§ 1 Стационарные состояния частицы в присутствии магнитного поля
§2. Изменение состояний во времени
§ 3 Магнитное ноле орбитальных токов и спинового магнитного момента

Содержание первой части 303
Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод.
Внезапные и адиабатические воздействия
§ I. Стационарная теория возмущений (дискретный спектр)
§2. Вариационный метод
§3 Стационарная теория возмущений (непрерывный спектр)
§4. Нестационарная теория возмущений. Переходы в непрерывном спектре
§5. Внезапные воздействия
§6. Адиабатическое приближение
Глава 9. Квазиклассическое приближение. 1/iV -разложение в квантовой механике
§ 1. Квантование энергетического спектра
§2. Квазиклассические волновые функции, вероятности и средние
§3. Прохождение через потенциальные барьеры
§4. \/N-разложение в квантовой механике