/
Автор: Галицкий В.М. Карнаков Б.М. Коган В.И.
Теги: физика механика квантовая механика задачи по механике квантовая физика
Год: 1981
Текст
В. М. ГАЛИЦКИЙ, Б. М. КАРНАКОВ, В И. КОГАН
ЗАДАЧИ
ПО КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей
высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1981
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предусловие ...... », ... f ,.¦••• f . * .. 5
Принятые сокращения 7
Наиболее часто используемые обозначения , ¦ 7
Постоянные • 8
Задачи Решения
Глава I. Операторы в квантовой механике ..... 9 126
§ I. Основные понятия теории линейных операторов 9 ОЩ
§ 2. Собственные функции, собственные значения,сред-
значения,средние II <lJ°)
§ 3. Элементы теории представлений. Унитарные пре-
преобразования И O-sB)
Глава 2. Одномерное движение 16 '4^
§ 1. Стационарные состояния дискретного спектра . 16 A44)
§ 2. Состояния непрерывного спектра. Прохождение
через потенциальные барьеры 23 067)
Глава 3. Момент импульса ........... 26 181
ft 1. Общие свойства момента 26 A81)
§ 2. Момент ?,= I 29 A89)
§ 3. Сложение моментов 30 A94)
§ 4. Тензорный формализм в теории момента ... 34 B04)
Глава 4. Движение в центральном поле 36 208
§ 1. Системы с аксиальной симметрией 36 B08)
§ 2. Состояния дискретного спектра в центральных
полях . . -. 38 B20)
Г л а в а 5. Спнн 43 240
§ I. Формализм спина s = '/в 4^ B40)
§ 2- Пространственные состояния частицы со спином 47 B53)
Глава 6. Движение & магнитном поле . 49 258
§ 1. Бесспиновая заряженная частица в магнитном
поле 49 B58)
§ 2. Частица со слипом в магнитном поле .... 52 B71)
§ 3. Магнитное поле орбитальпых токов й спинового
магнитного момента 53 B75)
Глава 7. Изменение состояния во времени 53 B80)
§ I. Бесспиновые частицы 53 B80)
§ 2. Частицы со спином 58 C02)
1* 3
Глава 8. Теория возмущений. Внезапные н адиабатиче-
адиабатические воздействия
§ 1. Стационарная теория возмущений
§ 2. Нестационарная теория возмущений. Переходы
в непрерывном спектре
§ 3. Внезапные воздействия
§ 4. Адиабатическое приближение
Глава 9. Квазиклассическое приближение . . . . .
§ I. Квантование энергетических уровней. Квазиклас-
Квазиклассические волновые функции .
§ 2. Прохождение через потенциальные барьеры . .
Глава 10. Тождественность частиц ...*•>•¦«
§ I. Симметрия волновых функций «
§ % Осщшы формдлцзма вторичного ^квантовании . *
§ 3. Системы из большого числа N ^> 1 частиц . . *
Глава П. Атомы и молекулы
§ I. Стационарные состоянии атомов с одним и двумя
электронами
§ 2. Многозлектронные атомы • • «
§ 3. Основные представления теории молекул . . ¦
§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях. Взаимо-
Взаимодействие атомов и молекул ...
§ 5. Нестационарные явления в атомах и молекулах .
Глава 12. Атомное ядро
§ 1. Основные представления о ядерных силах. ДеЙ-
трои
§ 2. Модель оболочек
Глава 13. Теория столкновений
§ 1. Борновское .приближение
§ 2. Фазовая теория рассеяшгн. Рассеяние медленных
частиц. Резонансные явления при рассеянии . .
§ 3. Рассеяние быстрых частиц (приближение эйко-
эйконала). Рассеяние частиц со спином .....
§ 4. Рассеяние составных частиц. Неупругие столк-
столкновения . , ,
Глава 14. Квантован теории излучения
§ 1. Излучение фотонов
§ 2. Рассеяние фотонов. Излучение фотонов при
столкновениях
Глава 15. Релятивистские волновые уравнения . • , •
§ I. Уравнение Клейна — Гордоиа * .
§ 2. Уравнение Дирака ¦>¦•
Глава 16. Законы сохранения
§ 1. Кинематика распадов и столкновений ....
§ 2. Интегралы движения
§ 3. Сохранение момента и четности в распадах н
столкновениях. Изотопические соотношения . . *
Дополнение ....
Литература . t
со
60
сз
66
67
69
69
72
74
74
76
79
80
80
83
85
88
92
94
94
97
100
100
103
105
107
109
109
111
112
112
116
118
118
120
122
647
648
308
(S09)
C25)
C35)
C40)
349
C49)
C73)
382
C82)
C91)
D00)
410
D10)
D28)
D39)
D49)
D66)
476
D76)
D87)
501
E01)
F12)
F35)
E42)
552
E52)
F66)
S85
E85)
F04)
622
F22)
F26)
F33)
ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
у. Ш.—уравнение Шредппгера
в. ф. — волновая функция
с. ф. — собственная функция
с. з.—собственное значение
д. с. — дискретный спектр
с. п. и — система центра инерции
"— символ оператора (матрицы), однако над оператором умножения ои,
как правило, не ставится
=о —знак пропорциональности
~ — знак порядка величины
(tn I /I n)s
f%= \ *F*mfWndT-~ матричный элемент оператора f
НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Смысл используемых обозначений поясняется либо в условии, либо в
решении каждой задачи. Однако имеется ряд величии, встречающихся во мно-
многих задачах, для которых мы старались придерживаться стандартных обозна-
обозначений. Обозначения таких величин ео всех случаях, когда это не может
привести к недоразумениям, в тексте не поясняются.
?f (q) — при записи волновой функции, как правило, q обозначает со-
совокупность переменных используемого представления, a f—¦
собственные значения соответствующих физических величин
или квантовые числа рассматриваемого состояния
*^пЩ "" с- Ф- линейного осциллятора
е — заряд частицы *)
с^ — скорость света
И — гамильтониан
В — энергия
6, <Н/ — напряженности электрического и магнитного нолей
А ~ векторный потенциал
U — потенциальная энергия
V — оператор возмущения
d — днпольный момент
*) Но если речь идет о конкретной реальной частице (электроне, про*
тоне, атомном ядре и т. д.), то е обозначает элементарный заряд cfc
ж 4,80-К)-10 ед. СГСЭ (так что заряд электрона равен — е, протона -\-et
ядра Ze н т. д.).
°o — боровский радиус
б/ — фазовый сдвиг
6 — матрицы Паулн
w, W — вероятность перехода, вероятность перехода в единицу вре-
времени J
Z, Ze — заряд ядра
R — радиус потенциала
т, М — масса, магнитное квантовое число
|i — масса, магнитный момент
р, Р — импульс
к — волновой вектор
/1 — массовое число ядра
«о — частота
/, L, /, / — момент (орбитальный и полный)
s, S — спин
А- (г) — функция Бесселя
Нп {х} — полином Эрмнта
}';т F, ф) — шаровая функция
ПОСТОЯННЫЕ
Решение значительного числа задач по физике атома, молекулы и ядра
предполагает проведение численных расчстон для сравнения результата реше-
решения с экспериментальными данными (приводимыми в условиях задач). Для
удобства вычислений ниже приведены численные значения основных физиче-
физических величин *).
Постоянная Планка ft = 1,054-Ю7 эрг-с
Элементарный заряд е = 4,80- Ю-10 ед. СГСЭ
Масса электрона те = 9,11-Ю-28 г
Скорость света с = 3,00-1010 см/с
Боровский радиус (ат. ед. длины) а0 = 0,53-10—в см
Атомная единица энергии mee4/ft2 = 4,36-Ю"1 эрг = 27,2 эВ
Атомная единица частоты tntekfh3 = 4,I3-Iflie с
Атомная единица напряженности электрического поля е/а<)=6.14-10й В/см
Постоянная тонкой структуры а = e2ftic = 1/I37
Масса протона тР = 1836те — 1,67-104 г
Разность масс нейтрона и протона mn — tnp & 2,5me
Энергия покоя электрона тес2 = 0,51 МэВ
Радиус ядра R ж 1,2-10~13 Ах'ъ см
1 эВ= 1,60-10-12эрг
*) Приведенные значения — приближенные; более точные значения см.
специальной литературе.
ЗАДАЧИ
Глава 1
ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
§ ]. Основные понятия теории линейных операторов
1.1. Рассмотреть следующие операторы (—°° <
а) отражения 7: №(i)eT(-j);
б) сдвига Та: ?„?(*)= Щх+ а)\
в) изменения масштаба Мс: МСЧ? (х) = V^ T (сх), с > 0;
г) комплексного сопряжения R: R4?{x)^ W{x).
Являются ли эти операторы линейными?
Найти вид операторов, которые по отношению к указанным
являются: транспонированными, комплексно сопряженными, эр-
эрмитово сопряженными, обратными.
1.2. Для указанных ниже операторов найти операторы, ко-
которые по отношению к ним являются транспонированными, ком-
комплексно сопряженными, эрмитово сопряженными:
а) id/dx, —оо < х < +со;
б) id/дг, г — радиальная переменная сферической системы
координат @=g: г < оо).
1.8. Для произвольного линейного оператора L') показать
следующее:
а) (?+)+ = ?;
б) операторы ?+? и СС+ являются эрмитовыми,
е) операторы ? + ?+ и i(L — ?+) эрмитовы.
1.4. Показать, что если оператор С эрмитов, то оператор
G = ЛСЛ+ также является эрмитовым.
1.5. Показать, что произвольный оператор F можно предста-
представить в виде F = A + iB, где А н В — эрмитовы операторы.
1.6. Показать, что если операторы А и В эрмитовы, то опера-
операторы АВ -f- ВЛ и i(AB — ВА) также эрмитовы.
') В дальнейшем все рассматриваемые операторы предполагаются линей-
линейными и термин «линейный» для нраткости опускается.
1.7. Оператор Р неэрмнтов. В каком случае оператор F2 яв-
является эрмитовым?
1.8. Показать, что при алгебраических действиях с коммута-
коммутаторами справедлив закон дистрибутивности, т. е. что коммута-
коммутатор суммы равен сумме коммутаторов: Г? А„ Y, В*1 = ?[А> Д*!1
Li к J 1, к
1.9. Даны три оператора: Л, В, С. Выразить коммутатор про-
произведения АВ н С через коммутаторы [Л, С] и [В, С].
1.10. Доказать тождество Якобн для коммутаторов операто-
операторов Л, В, С:
[А, [В, С]] + [В, [С, ЛЦ + [С, [Л, ВЦ = 0.
1.11. Могут ли две матрицы Р, Q конечного ранга N удовле-
удовлетворять коммутационному соотношению [Р, <3]=—?/?
1.12. Оператор Р вида P = F(f), где F(z) —некоторая функ-
функция переменной г, представимая в виде ряда F (г) = Л cnz",
можно понимать как оператор, равный F= J] cj".
п
Используя это определение, найти явный вид следующих
операторов:
а) ехрAя7); б) fo = exp(a-^)
'(оператор Т определен в 1.1). В связи с данной задачей см. так-
также 1.51.
1.13. Предполагая К малой величиной, найти разложение опе-
оператора (Л — KB)-1 по степеням I.
1.14. Доказать следующее соотношение:
еяве-а=в + [А, в] + -1 [л, [л", в]]+ ...
1.15. В общем случае линейный оператор С можно рассмат-
рассматривать как линейный интегральный оператор, т. е.
Ф (|) = lV (I) = \ L (I, %') У (%') <%,
где L{1,|')— ядро оператора С Ц — совокупность переменных
используемого представления).
Как ядра операторов ?*, С, ?+ связаны с ядром L(%,%') опе-
оператора С? Найти ядра операторов Т, Мс, Та, х == х, р ss —ihd/dx.
Операторы Т, Мс, Та определены в 1.1.
1.16. Ядро L(x,x') оператора С является функцией вида:
a) L=)(x + x-); 6) L=l(x-x-); e) L = fWg(x').
Какие ограничения на функции f{x) н g(x) вытекают нз эр-
митовостн оператора ??
1.17. Какой вид имеет ядро L(x,x') оператора С, если этот
оператор коммутирует с оператором:
а) координаты х е х; б) импульса р = —i
1.18. Показать, что оператор Р, коммутирующий с оператора-
операторами х и р (в одномерном случае), кратен единичному, т. е. F tm
== Fo = const.
§ 2. Собственные функции, собственные значения,
средние
1.19. В состоянии, описываемом волновой функцией вида
где pv,Xo,a—вещественные параметры, найти функцию распре,
деления по координатам частицы. Определить средние значений
и флуктуации координаты и импульса частицы.
1.20. Волновая функция состояния частицы имеет вид
<p(jc)—вещественная функция. Показать, что рс, — средний им-*
пульс частицы в рассматриваемом состоянии.
1.21. Показать, что среднее значение дипольиого момента
системы заряженных частиц в состоянии, характеризующемся
определенной четностью, равно нулю.
1.22. Показать, что средине значения эрмитовых операторов
?+t и LL+ (С — некоторый линейный оператор) в произвольном
состоянии неотрицательны.
1.23. Показать, что собственные значения оператора квад-
квадрата любой физической величины неотрицательны.
1.24. Эрмитов оператор / удовлетворяет соотношению /2 = с/,
где с — некоторое вещественное число. Каковы собственные зна-
значения такого оператора?
1.25. Найти собственные функции и собственные значения фи-
физической величины, представляющей линейную комбинацию од-
одноименных компонент импульса и координаты: / = ар -f- P^-
Убедиться в ортогональности полученных функций и нормиро-
нормировать их соответствующим образом. Рассмотреть предельные слу-
случаи: а-«•О; Р-+0.
1.26. Найти собственные значения и собственные функции
эрмитова оператора Р, ядро которого имеет вид F(x, x') =
— /М/*(*')¦ Какова кратность вырождения собственных зна-1
чений этого оператора?
1.27. Эрмитов оператор (матрица) / имеет N различных соб*
ственных значений. Показать, что оператор f линейно выра-
выражается через операторы T,f f~l. В качестве примера рас-
рассмотреть оператор отражения (инверсии) Т.
1.28. Эрмитов оператор f{k), обладающий дискретным спект"
ром собственных значений, зависит от некоторого параметра X
11
Доказать соотношение
д!„ (Я)
ах
в котором индекс п нумерует собственные значения, а усредне-
усреднение в правой части равенства проводится по состоянию
?„(>.;<?)•).
1.29. Эрмитовы операторы А, В, С удовлетворяют следующим
коммутационным соотношениям: [А, С\ =0, [В, С] =0,
[А, В] ф 0. Показать, что среди собственных значений опера-
оператора С обязательно есть вырожденные.
1.30. Коммутатор операторов А и В двух физических величин
имеет внд [А, В] =|С (С — эрмитов оператор). Доказать спра-
справедливость соотношения неопределенности
где все средние значения, входящие в приведенное выражение,
относятся к одному н тому же, произвольному состоянию си-
системы.
Рассмотреть, в частности, операторы х и р и найти для этого
случая явный вид волновых функций состояний частицы, в ко-
которых произведение неопределенностей принимает минимальное
значение.
1.31. В состоянии кваитовомехаиической системы, описывае-
описываемом волновой функцией Wa, физическая величина А имеет опре-
определенное значение. Имеет ли в этом состоянии определенное
значение также и величина В в случаях, если операторы А я В:
а) не коммутируют; б) коммутируют?
1.32. Показать, что операторы компонент радиуса-вектора г
и импульса р частицы аитикоммутируют с оператором отраже-
отражения Г, а операторы компонент момента L коммутируют с Т.
1.33. В состоянии, описываемом волновой функцией Тоь, фи-
физические величины А а В имеют определенные значения. Что
можно сказать о собственных значениях а, Ь этих величии, если
операторы А и В антнкоммутируют друг с другом? В качестве
иллюстрации полученного результата рассмотреть операторы
Ли Г.
1.34. Как известно, эрмитовы операторы (точнее, самосопря-
самосопряженные) обладают следующими свойствами: собственные значе-
значения таких операторов — вещественные числа; собственные функ-
функции, отвечающие различным собственным значениям, ортого-
•) В общем случае, когда спектр собственных значений /(Я) состоит нз
дискретной я непрерывной частей, утверждение задачи сохраняется для ди-
дискретной части спектра.
нальны и образуют полную систему. Если же линейный оператор
не является эрмитовым, то его собственные значения и соб-
собственные функции могут обладать самыми различными свой-
свойствами. Следующие инже примеры, в которых требуется найти
собственные значения н собственные функции указанных неэр-
неэрмитовых операторов и выяснить нх свойства, иллюстрируют эти
различные возможности:
a)x-d/dX;
+ d/dx-, »)d =
г)
1.35. Проекционным оператором P{fi), проектирующим на
состояния с определенным значением fi физической велнчнны f,
называют линейный оператор, действие которого на функций
Wfk состоит в следующем:
Показать, что оператор Р (/,•) обладает свойствами:
°) Р(/>) — эрмитов оператор; б) P"(fi)=~P(fi).
Можно также говорить о проекционных операторах P({f}),
проектирующих на состояния, в которых физическая величина f
имеет не одно определенное значение Д-, а принимает какое-либо
значение нз некоторого набора {/} = {f(i. /(l> ¦¦¦}. При этом со-
сохраняются указанные выше свойства проекционных операторов.
В частности, оператор Р = T—P(U) также является проекцион-
проекционным. На какие состояния проектирует этот оператор?
Отметим, что понятие проекционного оператора очевидным
образом может быть обобщено на случай, когда в роли fi вы-
выступает совокупность физических величин, составляющих часть
полного набора (или весь полный набор).
1.36. Какой физический смысл имеет среднее значение проек-
проекционного оператора P(Ji) в произвольном состоянии, описывае-
описываемом волновой функцией Т?
1.37. Найти оператор, проектирующий на состояния, в кото-
которых координата частицы удовлетворяет условию х ^ 0.
1.38. Найти проекционные операторы Р±, проектирующие на
четные Р+ н нечетные Р- относительно инверсии координат со-
состояния частицы.
1.39. Показать, что эрмитов оператор F, рассмотренный в
задаче 1.26, умножением на некоторую постоянную величинуе
может быть превращен в проекционный оператор: Р = ср. На
какое состояние проектирует оператор Р?
1-40. Эрмитов оператор / имеет N различных собственных
значений. Найти вид нроекционного оператора P{fi) на состоя-
состояния с заданным значением /,- величины /.
§ 3. Элементы теории представлении. Унитарные
преобразования
1.41. Написать нормированные соответствующим образом
собственные функции радиуса-вектора Wr, и импульса V в г-
н в р-представлениях.
1.42. Найтн в импульсном представлении волновую функцию
состояния частицы, рассмотренного в 1.19.
1.43. По заданной волновой функции >F(jr, у, z) вычислить
вероятность нахождения частицы в интервалах значений z от z\
ДО Z2 И Ру — ОТ pi ДО р2.
1.44. Найти вид операторов отражения Т н сдвига Го в им-
импульсном представлении.
1.45. Показать, что при переходе от координатного представ-
представления к импульсному четность волновой функции относительно
ее (соответствующего) аргумента остается неизменной.
1.46. Как известно, произвольный линейный оператор в об-
общем случае является интегральным оператором. Установить со-
соотношение между L (х, х') и L (р, р') — ядрами одного и того же
оператора С в х- я р-представлениях.
1.47. Найтн вид операторов г'1 к г~2 в импульсном пред-
представлении. Проверить равенство г^ = г V '.
1-48. Даны два эрмитовых оператора Л и В. Указать связь
между собственными функциями оператора Л в В-представле-
нии и собственными функциями оператора В в Л-представлении.
В качестве иллюстрации полученного результата рассмотреть
операторы х и р.
1.49. Обозначим через 4?t='4'>,[ нормированные соответ-
соответствующим образом волновые функции полного набора К. Вы-
Выразить через матричные элементы fik = \ xFtf^?k dx произволь-
произвольного оператора f:
а) результат действия оператора / на функции Т,-;
б) результат действия оператора f на волновую функцию
произвольного состояния в Х-представлении.
Сравнить полученные результаты.
1.50. Каков вид проекционного оператора P(fi) на состоя-
состояние с определенным значением fi физической величины f в
f-представленин?
1.51. Какой смысл можно придать оператору F видз Р =
= /r(f), где F[z) — произвольная функция переменной z, / —
эрмитов оператор? Насколько существенно предположение об
эрмнтовости /? В качестве примера рассмотреть оператор
l/У— Д, где Д — лапласиан.
Показать, что если функция F(z) представнма в виде ряда
F (г) = Xi cnz". то оператор Р, введенный в этой задаче, сов-
п
падает с оператором Р из 1.12.
14
1.52. Найтн внд оператора F — F(f), где / — эрмитов опера-
оператор, F(z)—произвольная функция, в случае, когда оператор /
имеет N различных собственных значений. Рассмотреть, в
частности, случаи N = 2 и N = 3, причем в последнем
считать спектр собственных значений состоящим из вели-
величин 0, ±?о.
1.53. Найти явный вид оператора P = F(P), где F(z) — за-
заданная функция, Р — некоторый проекционный оператор.
1.54. Какие из операторов, рассмотренных в 1.1 и 1.2, яв-
являются унитарными?
1.55. Унитарный оператор удовлетворяет уравнению 02= О,
Найти явный вид этого оператора.
1.56. Оператор О — унитарный. В каком случае оператор
С = с?>, где с — некоторое число, также является унитарным
оператором?
1.57. Показать, что произведение DiD2 двух унитарных опе-
операторов является унитарным оператором.
1.58. Может ли унитарный оператор (матрица) являться од-
одновременно н эрмитовым? В качестве примера рассмотреть опе-
оператор инверсии Т.
1.59. Показать, что оператор вида О = exp(tf) является уни-
унитарным, если Р—эрмитов оператор.
1.60. Показать, что если А и В — коммутирующие друг с дру-
другом зрмнтовы операторы, то оператор
6-
является унитарным. Представить в указанном виде унитарный
оператор O = exp(if) (см. 1.59).
1.61. Показать, что при унитарных преобразованиях опера-
операторов Л' = ОЛО+ алгебраические соотношения между операто-
операторами вида
... =0
сохраняют свой внд, т. е. F (Л<) = 0.
1-62. Квадратные матрицы Л н Л' одного ранга связаны уни-
унитарным преобразованием Л' = СЛО+. Показать, что шпуры и
детерминанты этих матриц — одинаковые.
1.63. Чем примечателен детерминант унитарной матрицы?
Показать, что, используя преобразование унитарной матрицы
вида С = сО, .рассмотренного в 1.56, унитарную матрицу можно
сделать унимодулярной, т.«. <let О' = I.
1.64. Найти детерминант унитарной матрицы вида ?> =
"= exp (iP), где Р — эрмитова матрица.
IS
1.65. Сколько имеется независимых квадратных матриц ран-
ранга N, которые являются: а) эрмитовыми; б) унитарными? Ка-
Каково число унимодулярных унитарных матриц ранга N?
1.66. Переход от одного представления к другому можно
рассматривать как унитарное преобразование. Убедиться в этом
на примере перехода от ^-представления к р-представлеиию.
1.67. Найти закон преобразования операторов х и р при уни-
унитарных преобразованиях, осуществляемых операторами:
а) отражения Т; б) сдвига ?„; в) изменения масштаба Й„.
Операторы Т, Та, Л5С введены в 1.1.
Глава 2
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 1. Стационарные состояния дискретного спектра
2.1. Найти энергетические уровни и нормированные волновые
функции стационарных состояний частицы в бесконечно глубо-
глубокой потенциальной яме ширины а, т. е.
?/(*) =
О < х < а,
х<0, х>а.
Выяснить свойства симметрии полученных функций при ни-
версии координат относительно центра ямы (преобразование
вида х->- хг = —х + d),
2.2. В стационарных состояниях частицы нз предыдущей за-
задачи найти функцию распределения по координатам и импуль-
импульсам частицы, средние значения этих величин и их флуктуации.
2.3. Найтн среднюю кинетическую энергию н ее флуктуацию
в стационарных состояниях из 2.1.
2.4. Состояние частицы в бесконечно глубокой потенциальной
яме ширины а @ < х < й) описывается волновой функцией
вида:
a) W(x)=Ax(x-a);6) W{x) = Bsm2{nx/a).
Найти распределение вероятностей различных значений
энергии частицы, среднее значение н среднюю квадратичную
флуктуацию энергии.
2.6. Для частицы из задачи 2.1 определить вид операторов
координаты и импульса в энергетическом представлении.
2.6. Найтн изменение энергетических уровней н волновых
функций стационарных состояний заряженного линейного осцил-
осциллятора прн наложеннн на него однородного электрического поля,
направленного вдоль осн колебаний.
2.7. Найти четные н нечетные энергетические уровни дис-
дискретного спектра частицы в симметричной потенциальной яме
вида (рнс. 1)
-С/о, \х\<а,
\х\>а.
U(x) =
f — t/o,
I О,
-о,
Рис. 1.
Каково число состояний частицы в дискретном спектре в за<
висимостн от глубины ямы? Каково условие появления новых
состояний дискретного спектра при
углублении ямы?
Найти энергетические уровни нижней
части спектра в случае глубокой потен-
потенциальной ямы #о » Ь2/та2 и определить
смещение этих уровней по сравнению с
энергетическими уровнями частицы 8
бесконечно глубокой потенциальной яме
(см. 2.1).
2.8. Рассмотреть симметричную по-
теицнальную яму (см. предыдущую зада-
задачу) малой глубины #0 < Ъ21тФ. Показать, что в такой яме
имеется одни уровень дискретного спектра, и получить прибли-
приближенные выражения для энергии и нормированной волновой функ<
цнн этого состояния. Найтн средние значения U(x) и Т ¦= p2/2ni.
2.9. Используя результат предыдущей задачи, найтн функций
распределения по координатам и импульсам частицы в основном
состоянии в мелкой потенциальной яме. Определить вероятность'
нахождения частицы в яме. Вычислить произведение неопреде-
неопределенностей координаты и импульса.
2.10. Потенциальная энергия имеет вид 11{х)= 0(хL-
+ аб(х~ Хо), где О(х) —ограниченная функция. Как ведут
себя решение Ч^х) уравнения Шредингера
и его производная в окрестности точки хв?
2.11. Найтн уровни энергии н нормиро-
нормированные волновые функции состояний диск-
дискретного спектра частицы в поле (/(*) =
= —ав(х), а>0 (рис. 2). Найтн средние
значения кинетической и потенциальной
энергии в этих состояниях. Сравнить с ре-
результатом задачи 2.8.
2.12. Найти соответствие между энерге-
энергетическими уровнями дискретного спектра
и нормированными волновыми функциями
стационарных состояний частицы в полях U(x)' и О(х), связан-'
ных между собой следующим образом:
¦(х).
UttA
Рис 2.
*<0,
причем потенциал U(x) симметричен, т. е. (/(*) = lT(—xft
(рис. 3).
2.13. Используя вариационный принцип, показать, что в лю-
любом поле U(x), удовлетворяющем условиям: U{x)—>-0 при x-t>
Рис, 3.
^->-±оо н \ U(x)dx<0, всегда имеется хотя бы одно состоя-
— со
ние дискретного спектра.
2.14. Частица находится в поле вида U(x)— Uof(x/a). Найти
зависимость энергетических уровней Е„ и средних значений х,
(АхJ в стационарных состояниях дискретного спектра от пара»
метра воля #» (или а) при условии ma2U0/tis = const.
2.15. Найти волновые функции стационарных состояний и
уровни энергии частнцы в однородном поле тяжести g для слу-
случая, когда движение частицы ограничено снизу идеально отра-
отражающей плоскостью.
2.16. Найтн энергию ?о и волновую функцию основного со-
состояния частицы в поле U(x) = —Ur,exp(—\x\/a). Специально
рассмотреть случай мелкой ямы
ma2ilD/hs <? 1; сравнить с результатом
задачи 2.11.
2.17. Найти энергетические уровни
°° частицы в поле U(х) вида
UK а,
\х\>а.
U-
При выполнении условия
j. исследовать структуру уровней нижней
-а В их части спектра. Показать, что энергетиче-
Рис. 4. ский спектр состоит из последовательно-
последовательности пар близко расположенных уровней,
и иайтн расстояние между этими близко расположенными уров-
уровнями (рис. 4).
Каков спектр сильно возбужденных состояний частнцы?
Какова картина энергетических уровней при а < О?
IS
2.18. Частица находится в потенциальной яме Щх)\ удовле-
удовлетворяющей условию: U (*)-»¦ 0 при х-»-±оо. Исследовать пове-
поведение решения уравнения Шредннгера прн х-*-±ао в случае
? = 0.
Показать, что не возрастающее прн х->-±оо решение We^o
уравнения Шредиигера существует только прн определенных
параметрах потенциала, отвечающих появлению новых состоя-
состояний дискретного спектра при углублении потенциала.
Применить полученный результат к полю вида
x<0> *>2°-
Uo, 0<x<2a.
Сравнить с результатом задачи 2.7.
2.19. Для частицы в поле V(x) вида (рис. 5)
-а6(х-а), х>0,
найтн зависимость числа состояннй дискретного спектра от па«
раметра % = таа/№.
Рнс. 5.
Рис 6.
2.20. Для частнцы в поле U(x) вида (рис. 6)
{Ub х<0,
О, 0 < х < а,
U2, х>а,
найти условие существования состояний дискретного спектра.
Рассмотреть предельные случаи: a) V\ = ею; б) U, = ?/2.
2.21. Показать, что среднее значение силы, действующей на
частицу в стационарном состоянии дискретного спектра, равно
нулю.
2.22. Частица находится в бесконечно глубокой потенцналь-
иой яме. Вычислить среднюю силу, с которой частица действует
19
на каждую из стенок ямы в стационарных состояниях. Сравнить
с результатом классической механики.
2.23. То же, что и в предыдущей задаче, но для основного
состояния частицы в мелкой потенциальной яме (см. 2.8).
Задачу предлагается решить двумя способами:
а) используя метод решения предыдущей задачи; 6) непо-
непосредственно усредняя оператор силы.
2.24. Частица находится в поле U(x) вида
too, x<0.
Выразить среднюю силу, с которой частица действует на
стенку х — 0 в стационарном состоянии дискретного спектра, че-
через значение ТА @)нормированной волновой функции.
Применить полученный результат к случаю частицы, нахо-
находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме, и сравнить
с задачей 2.22.
2.25. Частица находится в поле, имеющем вид двух одинако-
одинаковых потенциальных ям, расположенных на некотором расстоя-
расстоянии друг от друга так, что по-
потенциальная энергия имеет
вид, указанный иа рис. 7
A/@)= 0).
г Показать, что средняя си-
сила, с которой частица действу-
действует на ямы в стационарных со-
состояниях дискретного спектра,
приводит эффективно к взаим-
взаимному притяжению ям в четных состояниях и к нх взаимному от-
отталкиванию в нечетных состояниях.
2.26. Получить приближенное значение энергии основного
состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме
ширины а @ < х < й) вариационным методом, используя
пробные функции вида:
a) W(x) = Ax{x — а); б) W{x) = Взт"{ях/а); в) 44*) =
= С(а/2-|*-о/2|).
Сравнить с точным значением. Объяснить, почему именно
пробная функция вида а) дает результат, наиболее близкий к
точному.
2.27. Найти приближенное значение энергии основного со-
состояния гармонического осциллятора вариационным методом,
используя пробные функции вида:
где а — вариационный параметр. Сравнить с точным значением.
Если рассмотреть пробную функцию вида W(x) =
"=ЛA +ж2/а2)-у (а и v — вариационные параметры), то при
каком выборе этих параметров вариационный расчет даст наи-
наилучшее приближение?
20
Рис. 7.
2.28. Используя пробные функции вида, приведенного в пре-
двШущей задаче, найти вариационным методом энергию основ-
основного состояния частицы в поле (/(*) = — а6{х). Сравнить с
точным решением.
2.29. Для частицы, находящейся в поле U(x) вида
U(x) =
Ckx,
I °°,
х>0
х<0,
(к > 0),
найти энергию основного состояния вариационным методом, ис-
используя пробные функции вида (х > 0):
a) W{x)=-Axexp(—ах); б) ?(*)¦= В*ехр(—ах*/2)
(а — вариационный параметр). Сравнить с точным значением
(см. 2.15).
2.30. Получить приближенное значение энергии первого воз-
возбужденного состояния частицы в бесконечно глубокой потен-
потенциальной яме ширины а @ < х< а), аппроксимируя волновую
функцию этого состояния полиномом третьей степени, удовле-
удовлетворяющим необходимым граничным условиям. Сравнить с точ-
точным значением.
2.31. Используя пробную функцию вида W(x) =
= Лд;ехр(—<x|*|) (а — вариационный параметр), найтн энер-
энергию первого возбужденного состояния гармонического осцилля-
осциллятора. Сравнить с точным значением.
2.32. Для частицы, находящейся в поле U(x)' вида, приве-
приведенного в 2.19, найтн вариационным методом значения парамет-
параметров потенциала, при которых в поле имеется состояние дискрет-
дискретного спектра. При расчетах использовать пробные функции вида
@)
(
a) W{x) = Axexp{— ш); б) /
Сравнить полученные результаты с точным решением.
2.33. Найтн в импульсном представлении вид стационарного
уравнения Шредингера для частицы, находящейся в поле U(x).
2.34. Найти энергетический уровень и нормированную волно-
волновую функцию состояния дискретного спектра в поле (/(лг)=«
= —аб(х) нз решения уравнения Шредингера в импульсном
представлении.
Сравнить с результатом задачи 2.11.
2.35. Найти энергетический спектр и нормированные волно-
волновые функции стационарных состояний гармонического осцилли-
тора в импульсном представлении, исходя нз решения уравне-
уравнения Шредингера в этом представлении.
2.36. Найтн функцию Грина Ge(x, x') уравнения Шредингера
для свободной частицы прн Е<0, убывающую при \х — х?\-*-
—> оо. Функция Грина удовлетворяет уравнению
С помощью функции Грина записать уравнение Шредиигера для
состояний дискретного спектра в поле V(x) (?/(л:)-*-0 при x-r
-¦¦±00) в виде интегрального уравнения.
2.37. Найтн энергетический уровень Ео и нормированную
волновую функцию Ч?о(х) основного состояния частицы в поле
U(х) = —а?(х) из решения уравнения Шредингера в инте-
интегральной форме (см. предыдущую задачу). Сравнить с 2.11.
2.38. Используя результат из 2.36, показать, что значения
энергетических уровней Еп дискретного спектра частицы в про-
произвольном поле 1/(л:)<0 {U(x)-+O при х->±<х) удовлетво-
удовлетворяют условию
В каких случаях достигается равенство (или приближенное
равенство) в этом соотношении? Б качестве иллюстрации полу-
полученного результата см. задачи 2.8 и 2.16.
2.39. Найти функцию Грнна уравнения Шредингера для сво-
свободной частицы, движение которой ограничено непроницаемой
потенциальной стенкой (рис. 8), т. е.
О, х>0,
. х<0,
при отрицательной энергии (Е < 0). Функция Грнна удовлетво-
удовлетворяет граничному условию Ge(x — 0, х') = 0 н убывает при
Рис. 8.
Рис. а
2.40. Используя интегральную форму уравнения Шредннгера,
показать, что условие
является необходимым условием существования состояний дис-
дискретного спектра в поле U(x) вида (рис. 9)
u(x) fD{x)> x>0 (& &
loo, *<0.
22
Применить полученный результвт к случаю
' — ?/0, 0 < х < а.
. О, х > а.
?/(*) =
и сравнить с точным условием.
2.41, Найти функцию Грина GE(x, x') частицы, находящейся
в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а @ <
i)
Обсудить аналитические свойства функции Грина Ge как
функции переменной Е. Показать, в частности, что она имеет
полюсы, и установить соответствие положений этих полюсов в
плоскости комплексной переменной В с энергетическими уров-
уровнями Еп частицы в яме.
2.42. Рассмотрим потенциальные ямы различного вида U(x)',
удовлетворяющие условиям:
со
l/(*)<0; V(x)~*0 при *-*±оо; ^ U(x)dx = a = const.
Какой конкретный вид имеет потенциальная яма, в которой;
а) глубина энергетического уровня \Е0\ принимает макси-
максимальное значение; б) содержится наибольшее число состояний
дискретного спектра, возможное в полях U{x), удовлетворяю-
удовлетворяющих указанным выше условиям?
§ 2. Состояния непрерывного спектра. Прохождение
через потенциальные барьеры
2.43. Для свободной частицы, движение которой ограничено
непроницаемой стенкой, т. е.
Г , х<0,
х>0,
найтн волновые функции стационарных состояний. Нормировать
их на 6-функцию по энергии. Убедиться в полноте полученной
системы функций на интервале х > 0.
2.44. Найти волновые функции ста-
стационарных состояний частицы в поле
(рис. 10)
иы-t°' х<0- ,
I f о. х > О (Uo> 0),
для случая, когда энергия частицы Е
меньше высоты потенциальной стен-
стенки ?/о. Убедиться в ортогональности
полученных функций и нормировать
О
Рис. 10.
нх на 6-функцию по энергии. Образуютли полученные функции
полную систему?
2.45. Исходя из решения уравнения Шредингера в импульс-
импульсном представлении, найти волновые функции стационарных со-
23
стояний частицы в однородном поле U(x)= —FDx. Нормировать
их на в-функцию по энергии и убедиться в полноте полученной
системы функций.
2.46. Определить коэффициент отражения частиц от потен-
потенциальной стенки из 2.44 прн энергии частиц ? > С/о.
Рассмотреть предельные случаи ?-э-оо и Е-*- С/о.
2.47. Определить коэффициенты прохождения и отражения
частиц в случае б-функцнонного потенциала U(x) = aS(x)
.(рис. 11). Рассмотреть предельные случаи ?->-оо и ?-э-0.
Обсудить аналитические свойства амплитуд отражения А (?)
и прохождения В [Е) частиц как функций комплексной перемен-
переменной Е. Убедиться, что точки Е ¦= 0 н ? = оо являются точками
ветвления этих функций. Проведя в плоскости комплексной пе-
переменной Е разрез от точки Е = 0 вдоль вещественной полуоси
Е > 0, найти особенности функций А (?) н В (?) иа первом, так
называемом физическом, и других листах нх римановой поверх-
вости (физический лист фиксируется условием, что фаза точек Е
на вещественной полуоси ?>0 сверху равна нулю). Показать,
что такими особенностями являются полюсы, и установить со-
соответствие между положением полюсов и уровнями дискретного
спектра.
mm
0
Вт
If
"в
я 0 а ~х
Рнс. II.
Рис 12
2.48. Найти коэффициент прохождения частиц через прямо-
прямоугольный потенциальный барьер (рнс. 12)
х<0 и х>а-
IK w
UO, 0<х<а (С/„>0).
Специально обсудить следующие частные случаи:
а) Е-*-со (фактически ? 3> Uo);
б) случай барьера малой прозрачности (С/о — ?)mos/ftsS> 1;
е) ?-> 0 (фактически ?<mc2t/o/ft2 н ?«С/о);
г) та2?/о/Йг«1 и т«2?/Й2<1.
В последнем случае сравнить с результатом предыдущей за-
задачи.
2.49. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае потен-
потенциальной ямы,
2.50. Найти значения энергий, прн которых частицы не от-
отражаются от потенциального барьера вида (рнс 13)
?/(*)=а[в (х
VIX)
0
а Ъ
Рис. 13.
Вп)
Ив
0
Рнс
14.
2.51. Найти коэффициенты прохождения и отражения частив
в случае потенциала вида (потенциальная ступенька, см. рис. 14)
i+ ?&> >
Рассмотреть предельные случаи Е-*-оо и Е-*- Vo.
2.52. Определить коэффициент прохождения частиц через
потенциальный барьер вида
U{ U U0>p.
Специально обсудить следующие предельные случаи:
а) слабое поле 1 s= ma!C/0/ft2 < 1 и медленные частицы
б) слабое поле и ие очень медленные частицы ka^, 1;
в) барьер малой прозрачности ? >¦ 1 и быстрые частицы
г) барьер малой прозрачности и
|?-С/оГ«С/о;
3) барьер малой прозрачности и ?-»-0;
е) барьер (или яма) произвольной
величины и ? -> со.
(Такой подробный анализ различных
предельных случаев предлагается прове-
провести с той целью, чтобы в дальнейшем
продемонстрировать на примере рассма-
рассматриваемого потенциала применение при-
Рнс. 16.
-Г .— ..^.епциала применение при-
приближенных методов (теории возмущений и квазиклассическо-
квазиклассического), а также ряда общих результатов теории прохождения ча-
частиц через потенциальные барьеры.)
2.53. Найти коэффициент прохождения частиц через потен-
потенциальный барьер вида (рис. IS)
,,. . fO, x<0,
{Х> {С/оA-х/а), х>0 (С/0>0, а>0).
2S
Специально обсудить случай барьера малой прозрачности
is=Bma2tVft2)''>» 1 при энергиях частиц, удовлетворяющих
условию Ъ\Е — t/0|/tt> > 1.
2.54. Показать, что для барьера произвольной формы авто-
автоматически выполняется соотношение
() + {
где R — коэффициент отражения, D — коэффициент прохожде-
прохождения частиц.
2.55. Показать, что для барьера произвольной формы коэф-
коэффициент прохождения (н отражения) частиц с данной энер-
энергией Е не зависит от того, с какой стороны частицы падают на
барьер.
2.56. Поле U(x) имеет внд потенциальной ступеньки, т. е.
U(x)-*-0 прн х-*- —°о и U(x)-* Uq > О при х-*- °°. Найти энер-
энергетическую зависимость коэффициента прохождения частиц при
?-*¦ fo (иллюстрацией результата могут служить задачи 2.46,
2.51,2.53).
2.57. Найти функции Грина С1^' (х, х') уравнения Шредингсра
для свободной частицы при энергии Е > 0. Индексы (з=) у
функций Грина означают, что они имеют асимптотику
С/1 оо exp (± i y\J^- \x-x'\) при \х-х'\^оо.
Используя полученный результат, представить уравнение
Шредингера в виде интегрального уравнения, решеиия которого
описывают процесс отражения и прохождения частиц с импуль-
импульсом р в поле U(x), удовлетворяющем условиям: U(x)-rO прн
*-*- ±оо.
2.58. Используя результат предыдущей задачи, найти коэф-
коэффициенты прохождения н отражения частиц в поле ?/(*)~
= а&(х). Сравнить с решением 2.47.
2.59. На основании результата 2.57 получить выражения для
коэффициентов прохождения и отражения частиц в поле И(х),
обращающемся в нуль при ж-»-±оо, через волновую функпиго
}Ир[х) в области действия потенциала.
Г л ав а 3
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
§ 1. Общие свойства момента
3.1. Выразить оператор поворота $(фо), описывающий пре-
преобразование волновой функции системы N частиц при вращении
системы координат иа угол фо относительно оси, направление
которой в пространстве определяется единичным вектором п0,
через оператор момента системы.
Является ли оператор $((j>o): а) эрмитовым? б) унитарным?,
3.2. Дать простую интерпретацию коммутативности операто-
операторов проекций импульса и некоммутативности операторов проект
ций момента импульса, исходя из кинематического смысла этих
операторов, связанного с бесконечно малыми переносами и по-
поворотами.
3.3. Показать, что равенство Ls = /(/+!) получается с по-
помощью элементарных формул теории вероятностей, исходя нз
того, что возможные проекции момента на произвольную ось
равны т (т = —/, —/+ 1 1) и все эта значения проекции
момента равновероятны, а оси равноправны.
3.4. Найти следующие коммутаторы:
а) [L,, Н [?„ й, [1„ (рт)], [Z,, (?if];
б) [?„ (pr)Pl. Ui, &)т]„ [1„ (от + 6рI;
в) Hi. ***,], \U, PkPil \U Ш.
где г, р, С—операторы раднуса-вектора, импульса и момента
импульса частицы; а и Ъ — постоянные величины.
3.5. Найти коммутатор [if, ft], где ? и V — операторы мо-
момента импульса частицы по отношению к двум центрам, нахо-
находящимся иа расстоянии а друг от друга.
3.6. Используя коммутационные соотношения для оператора
момента, найти Sp?/, где Ct— матрица i-й компоненты мо-
момента L.
3.7. Представить оператор момента системы нз двух частиц
в виде двух слагаемых, описывающих момент частиц в с. ц. и.
(момент относительного движения) и момент центра инерции
системы.
3.8. Показать, что момент количества движения системы из
двух частиц относительно их центра инерции перпендикулярен
к оси, проходящей через обе частицы.
3.9. Найти нормированные соответствующим образом волно-
волновые функции Ч'г./т, описывающие состояния частицы, находя-
находящейся на расстоянии г0 от начала координат и имеющей мо-
момент 1 и его проекцию m на ось г.
3.10. Найти собственные функпии операторов квадрата мо-
момента частицы и его проекции на ось z в импульсном представ-
представлении следующими двумя способами:
а) непосредственно из решения задачи на собственные функ-
функции и собственные значения операторов I2 и 4 в импульсном
представлении;
б) используя соотношение между волновыми функциями в
г- и р-представлениях.
Вид собственных функций У/т(в, ч>) в координатном пред-
представлении считается известным.
3.11. Показать, что функции, получающиеся в результате дей^
ствня операторов /± = 1Х ± й„ иа собственные функции Ч^,
оператора проекции момента иа ось z (IJVm = тУ?„), также яв-
являются собственными функциями оператора U, отвечаюшими
собственным значениям т + 1 и т — 1 в случаях t+ и Г- соот-
соответственно.
3.12. Показать, что в состоянии Wm с определенной проек-
проекцией момента т на ось z:
»* f
3.13. В состоянии Ч^т с определенными значениями_момента /
и его проекции т на ось z найти средние значения ZJ, /*.
3.14. В состоянии Ф/т с определенными значениями момента
/ и его проекции т на ось z найти среднее значение и среднюю
квадратичную флуктуацию проекции момента на ось г, со-
составляющую угол а с осью z.
3.15. В состоянии частицы, характеризующемся угловой за-
зависимостью волновой функции вида ХР = А cos" <p (q> — угол по-
поворота относительно некоторой оси z, n — целое), найти вероят-
вероятности различных значений т проекции момента на ось г.
3.16. В состоянии частицы, волновая функция которого имеет
угловую зависимость вида Чг = ЛехрB/ф) (<р—азимутальный
угол сферической системы координат), найти вероятности раз-
различных значений I момента частицы.
3.17. Доказать соотношение
\Г1т(в,ч)Р-
21+1
= 4л
где Yim(e,ф) —шаровые функции.
8.18. В пространстве различных состояний момента велнчн-
яы L найти проекционные операторы Р(М) на состояния с опре-
определенной проекцией момента М на ось г.
3.19. Найтн закон преобразования волновой функции состоя-
состояния частицы с определенным значением момента I в fs-пред-
ставленин при вращении системы координат на угол щ
(см. 3.1).
3.20. Показать, что нз коммутационных соотношений \&, f ] =
= 0 оператора физической величины f с компонентами момен-
момента Ci системы следует, что матричные элементы величины f
вида
<«, L,M'\f\n,L,M)
(где и означает набор квантовых чисел, которые вместе с L и М
образуют полный набор) отличны от нуля лишь при М = М' и
прн этом не зависят от М.
3.21. Найти закон преобразования волновой функции частн-
цы в Hz-представлении при отражении координат, т. е. при пре-
преобразовании /г ¦= —г.
§ 2. Момент L = I
3.22. В случае момента частицы 1= 1 найти угловую зависи-
зависимость волновой функции VjR-ofe, ф) (в, ф— угловые переменные
сферической системы координат с полярной осью z) состояния
с определенной проекцией момента т = 0 на ось г, направление
которой в пространстве определяется полярным а и азимуталь-
азимутальным р углами.
3.23. Найтн угловые зависимости волновых функций
Ч''* (б. ф) н Wi F, ф) состояний частицы с моментом 1=1 н
определенным значением проекции момента на осн х и у со-
соответственно. Воспользоваться известным видом шаровых функ-
функций У,, „.(е.ф).
3.24. Частица находится в состоянии с моментом 1= 1 и его
проекцией т (т = 0, ±1) на ось z. Найти вероятности w(m',m)
различных значений проекции момента т' на ось г', состав-
составляющую угол а с осью г.
Задачу предлагается решить одним из следующих способов:
а) используя результат задачи 3.14;
б) путем нахождения коэффициентов разложения с(т', т)
заданной волновой функции в ряд по собственным функциям
оператора ?2> (при решении задачи этим способом ограничиться
каким-либо частным значением т, например т = 0).
Рассмотреть, в частности, случай, когда ось г' перпендику-
перпендикулярна осн г.
3.25. Показать, что в случае момента частицы (= 1 три
функции Ч^-о F, ф), 4^-0F, ф), 4^-0(8, ф), описывающие со-
состояния частицы с равной нулю проекцией момента на осн х,
у, г, образуют полную систему функций (в пространстве угло-
угловых переменных в, ф).
Какой смысл имеют коэффициенты разложения волновой
функции произвольного состояния частицы с моментом ( = 1
в ряд по этим функциям?
3.26. Указать в k-представленни явный вид операторов ком-
компонент момента, повышающего t+ и понижающего ?_ операторов
(?± = 1Л± it у) для момента I = 1.
Каков вид операторов ?±?
3.27. Найтн из решения уравнения на собственные функции
волновую функцию состояния частицы с I = 1 н проекцией мо-
момента U = 0 в 4-представлеиии.
3.28. В состоянии частицы с моментом_ Z= 1 и его проек-
проекцией т на ось г найтн следующие средние:/", # (га —целое чи-
число).
3.29. Найтн явный вид оператора F = F(al)', где а —обыч-
—обычный вектор, F(x) —некоторая функция переменной х, Т—опе-
Т—оператор момента частицы. Оператор Р действует в пространстве
Состояний частицы с моментом 1= 1 (или же 1 являются матри-
матрицами момента I = 1).
3.30. Найти явный вид оператора $((j>o) поворота системы
координат на угол (j>0 (см. 3.1 и 3.19), действующего в простран-
пространстве состояний частицы с моментом 1=1.
3.31. Используя результат предыдущей задачи, найти угло-
угловую зависимость волновой функции Ч'д-о (в, <р) состояния ча-
частицы с моментом 1=1 н его проекцией т = 0 на ось г, на*
правление которой определяется углами я, р. Сравнить с 3.22.
3.32. Ё пространстве состояний частицы с моментом 1= 1
¦найти проекционные операторы Р{т) (т = 0, ±1) на состояния
<j определенной проекцией момента т на ось z.
3.33. Обобщить результат предыдущей задачи на случай
Произвольно направленной оси г.
Используя полученный вид операторов Р(т), найти (в lz-
рредставлении) волновую функцию состояния частицы с проек-
проекцией момента т = 0 на ось 2.
Найти также указанным способом волновую функцию
Vffi-o(e, ф)состояния частицы с моментом 1=1. Сравнить с ре-
результатами 3.22 и 3.31.
§ 3. Сложение моментов
3.34. Моменты h и /2 двух слабо взаимодействующих систем
складываются в результирующий момент величины L. Показать,
что в таких состояниях (с определенным значением L) скаляр-
скалярные произведения Tilz, ТХ,УьС также имеют определенные зна-
значения.
3.35. Каков спектр физической величины, представляющей
собой квадрат векторного произведения двух моментов
/i и г2?
3.36. Найти следующие коммутаторы:
а) [Ц, (Щ, [1„ (r,fo], [Z,, (?,f2)J;
б) [?„*,*], [1„йЛ. ? = (Щ
где f|, Т2 — операторы моментов двух частиц, L = Ii +f2 — опе-
оператор суммарного момента.
3.37. Имеются две слабо взаимодействующие системы 1 и 2,
состояния которых характеризуются квантовыми числами
ffi, mi) и Aг, тг) момента н его проекции на ось г.
Указать возможные значения полного момента/, совокупной
системы A + 2) и вычислить средние аначення С iL'b рас-
рассматриваемом состоянии.
К
Усреднить полученное выражение для L2 по всем состояниям
с различными значениями т\ и т% считая их равновероятными,
и результат сравнить с соответствующим средним аиачеиием,
вытекающим из классического рассмотрения.
3.38. В условиях предыдущей задачи вычислить вероятности
различных значений суммарного момента L для частного слу-
случая mi = h, тг = k — 1.
3.39. Моменты двух слабо взаимодействующих систем, оди-
одинаковые по величине (h — li = l), складываются в результи-
результирующий момент L. Показать, что волновая функция Vi.(tni,mt)
состояния системы с определенным значением величины L в
']г4г-предсгавленин имеет определенную симметрию по отноше-
отношению к перестановке местами переменных пц и т2*). Как зави-
зависит характер симметрии волновой функции от значения вели-
величины Li
3.40. Используя результат предыдущей задачи, иайти вероят-
вероятности различных значений суммарного момента L в состоянии
двух систем с одинаковыми моментами I н определенными
проекциями складываемых моментов на ось z, равными mi = l
и тг = /~ 1. Сравнить с результатом задачи 3.38.
3.41. Две системы, имеющие одинаковые моменты I, нахо-
находятся в состоянии с определенным значением L суммарного мо-
момента, равным: a) L = 21; б) L = 21— 1 — и проекцией суммар-
суммарного момента на ось г, равной M = 2Z—1 (в обоих
случаях).
Найти вероятности различных значений проекций склады-
складываемых моментов на ось z в рассматриваемом состоянии.
3.42. Используя результаты задач 3.37 и 3.39, найти вероят-
вероятности различных значений суммарного момента в состоянии
двух систем с моментами, равными единице, и проекциями этих
моментов на ось z, равными нулю.
Обобщить результат задачи на случай произвольных (ио оди-
одинаковых) значений моментов ( каждой из систем и одинаковых
проекций складываемых моментов иа ось z, равных mi = тг =
= 1—1.
3.43. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае U =
= & = 1 и mi = l, m2 = — I.
Обобщить результат на случай произвольных значений мо-
моментов h = h = l каждой из систем и проекций моментов иа
ось г, равных mt = I, m2 = Z — 2.
*) Во избежание недоразумении подчеркнем, что следует различать двоя-
двоякий смысл употребления буквы т, а именно: т как с. з. оператора U и т
как переменная /«-представления {впрочем, это замечание относится и к про-
произвольной физической величине f).
В связи с этим напомним, что мы стремимся придерживаться такой записи
с.ф. Ч*Н<7)) в которой ц является переменной используемого представления,
а / указывает соответствующее с э.
81
3.44. Используя результат нз 3.39, показать, что в состоянии
Двух слабо взаимодействующих систем с одинаковыми момен-
моментами /, отвечающем определенному значению L суммарного мо-
момента и его проекции т на ось z, вероятности значений Проек-
Проекций на ось z складываемых моментов /яц» ¦= т и отщ) = М-— т
равны.
3.45. Основываясь на результатах 3.37 и 3.39, иайти ограни»
чення сверху и снизу на вероятности возможных значений L
суммарного момента двух слабо взаимодействующих систе^,
Имеющих одинаковые моменты h =/ 2 = 2 и их проекции на
ось г, равные mi = m2 ¦= 0.
3.46. Моменты двух систем, одинаковые по величине (/i «^
•"Ь"=0, складываются в результирующий момент L, равный
нулю: L «= 0.
Найти волновую функцию этого состояния в /иЬг-представ-
ленни н вероятности различных значений проекций складывае-
складываемых моментов иа произвольную ось.
При решении задачи воспользоваться операторами L±.
3.47. Моменты двух частиц равны /1 = 4 = 1- Построить
волновые функции Vim состояний с определенным значением L
суммарного момента и его проекции М на ось z.
Специально обсудить угловую зависимость состояния с L = 0.
Найти в рассматриваемых состояниях 4'lm вероятности
различных значений проекций складываемых моментов на
OCbZ.
Задачу предлагается решить иа основе результатов задач 3.39
и 3.46.
3.48. Произвести классификацию возможных состояний си-
системы, состоящей из трех слабо взаимодействующих подсистем
с моментами 1\ — ls = 1 и h = /¦ по значениям суммарного мо-
момента L системы.
3.49. В пространстве различных состояний моментов U и k
двух слабо взаимодействующих систем найти проекционные
операторы P(L) на состояния с заданным значением L суммар-
суммарного момента.
3.50. В пространстве различных состояний моментов k и 1г
двух слабо взаимодействующих систем найтн проекционные опе-
операторы P(L,M) на состояния с заданным значением L суммар-
суммарного момента и его проекции М на ось z.
3.51. Моменты двух слабо взаимодействующих систем равны
/, = 12 = 1. Используя технику проекционных операторов, найти
(в ЛгЬг-представлении) волновую функцию WL=o состояния с
значением ?=0 суммарного момента. Сравнить с результа-
результатом 3.47.
3.52. Исходя из коммутационных соотношений [?,,/*] =
= teinifi для операторов компонент момента ?,- н произвольной
векторной величины (ь, характеризующих некоторую систему,
показать, что;
а) иеднагональпые матричные элементы оператора /а рав-
равны нулю:
{п, L, Mlf.ln, L, М') = 0, Мф М',
где п — совокупность квантовых чисел, которая вместе с L и М
образует полный набор;
б) диагональные матричные элементы fz имеют зависимость
от М вица
(п, L, M\Un, L, M) = a(n, L)M,
где a (n, L) — некоторое число, зависящее только от квантовых
' чисел п к L (но не от М).
Таким образом из а) и 6) вытекает «условное» равенство
f = a(«, L)lz,
которое следует понимать в том смысле, что матричные эле-
элементы обеих частей равенства между произвольными состоя-
состояниями, отвечающими одним и тем же значениям га и Л (и про-
произвольным М, М'), равны.
е) Обобщить результаты а) и б) на случай х-, jz-компонент
операторов и установить «условное» равенство (в указанном
выше смысле)
1 ?
г) Показать, что величина a(n,L) равна
, .._ (в, ?,М|Гь|я, L.M)
Так как оператор (f L) — оператор скалярной величины, комму-
коммутирующий с L, то диагональные матричные элементы этого опе-
оператора не зависят от М (см. 3.20).
3.53. Используя результат предыдущей задачи, иайти матрич-
матричные элементы оператора физической неличииы f = [lilz] между
состояниями, отвечающими определенному значению L суммар-
суммарного момента (L =•= К + Г2).
3.54. Найти средние значения компонент векторной физиче-
физической величины и = gi'i + gab в состояниях с заданным значе-
значением L суммарного момента (L — li + b) и его проекции М на
ОСЬ Z. _ _
Определить li и U в таких состояниях.
3.55. Как известно, проблема сложения моментов двух ся«
стем h и k в результирующий момент L решается в общем вид*
следующим соотношением:
2 В, Мя Гллицкнй и др.
М = т, + mi,
31..
где Cfj"l(,mj — коэффициенты Клебша — Гордана (для которых
существует замкнутое выражение) ;Ч'У^2' —нормированные вол*
новые функции, описывающие системы, моменты которых скла*
дываются в результирующий L; ^Vlm — нормированная волновая
функция совокупной системы.
Используя технику повышающих (понижающих) операторов
?±, найти коэффициенты Клебша — Гордаиа в частном случав
I* — 'i + '2-
3.56. То же, что н в предыдущей задаче, но в частном случав
d fe Z 0
§ 4. Тензорный формализм в теории момента
3.57. Показать, что функция вида
где f(r) — произвольная функция, eik...a — симметричный по
любой паре индексов тензор ранга I с равным нулю следом,
Е„р...» — 0, является собственной функцией оператора квад-
квадрата момента частицы, отвечающей значению момента, рав-
равному (.
3.58. Показать, что число независимых компонент у симмет-
симметричного тензора ранга I с равным нулю следом (см. предыду-
предыдущую задачу) равно 2( + 1, как и число шаровых функций Уш.
Тем самым будет доказано, что угловая зависимость волновой
функции, рассмотренная в предыдущей задаче, является наибо-
наиболее общей для состояний частицы с моментом (.
3.59. Согласно задаче 3.57 наиболее общая зависимость от
угловых переменных 8, <р волновой функции состояния частицы
с моментом 1 = 1 имеет внд Wti = (еп) , л = г/г. Какому усло-
условию удовлетворяет вектор е в случае нормировки волновой
функции на единицу:
3.60. В частных случаях аначений момента частицы 1 = 1 и
( = 2 найти компоненты соответствующего тензора (ei(m), е« (т)),
при которых функция Vz, введенная в 3.57, описывает состояние
частицы с определенным значением момента и его проекции т
на ось z, т. е. является шаровой функцией Уш-
3.61. Используя значения компонент векторов s(m), получен-
полученные в предыдущей задаче, иайти компоненты тензора вида
i
? е;(ет)ей(т).
3.62. Б соответствии с результатом задачи 3.57 наиболее об-
общая зависимость от угловых переменных волновой функции со-
состояния частицы с моментом 1 = 1 имеет вид 4fi_i=(en), где
е —произвольный комплексный вектор. Каким условиям должен
удоалетворнть этот вектор, чтобы можно было указать такую
ось в пространстве, проекция момента на которую имеет опре-
определенное значение, равное
а) й = 0; б) й = ±1?
3.63. Показать, что для произвольного состояния частицы
с моментом 2 = 1 можно указать такую ось z в простран-
пространстве, вероятность проекции момента т = 0 на которую равна
нулю.
3.64. Угловая зависимость волновой функции состояния чя-
стнцы с моментом 1=1 имеет вид Wi=i = (en), где е — произ-
произвольный комплексный вектор. Найти вероятности различных
значений проекции момента на ось г, направление которой опре-
определяется единичным вектором по.
3.65. Найти средние значении компонент тензора пщн в про-
произвольном состоянии частицы с моментом /=1. Угловая зави-
зависимость волновой функции такого состояния, согласно 3.57,
имеет вид Wt=i =(еп).
3.66. Найти средине значения компонент вектора момента I
в произвольном состоянии частицы с моментом / = 1 (внд вол-
волновой функции такого состояния приведен в предыдущей за-
задаче) .
3.67. Согласно 3.57 угловая зависимость волновой функции
произвольного состояния частицы с моментом 1 = 1 имеет вид
4^=1= (an), т. е. полностью определяется комплексным векто-
вектором а. Поэтому прн рассмотрении состояний с моментом (= 1
можно перейти к представлению (назовем его векторным), в
котором волновой функцией является совокупность компонент
вектора ак, т. е. Ч'в = а„ (k = \, 2, 3).
Найтн явный вид операторов компонент момента в вектор-
пом представлении.
Установить соответствие между векторным н fe-представле-
ннем.
3.68. Для системы из двух частиц, имеющих моменты h =
= k = ', найти:
а) наиболее общий внд угловой зависимости волновой
функции;
б) наиболее общий вид угловой зависимости волновых функ-
функций Wl, описывающих состояния системы с определенным зна-
значением L (L = 0, 1, 2) суммарного момента;
е) угловую зависимость волновых функций Wlm, описываю-
описывающих состояния системы с определенным значением L суммар-
суммарного момента и его проекции М на ось г.
При решении использовать результаты задач 3.57 и 3.60.
2»
Глава 4
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
§ 1. Системы с аксиальной симметрией
4.1. Найти волновые функции стационарных состояний и
уровни энергии плоского ротатора *) с моментом инерции /.
Какова кратность вырождения уровней?
4.2. Состояние плоского ротатора описывается волновой
функцией вида 4r = Ccos"q> (и — целое). Найти функции рас-
распределения ротатора по энергиям и проекциям момента, а так-
также средние значения этих величин в указанном состоянии.
4.3. Найти волновые функции стационарных состояний и
уровни энергии пространственного ротатора с моментом инер-
инерции /.
Какова кратность вырождения уровней?
4.4. Состояние пространственного ротатора описывается вол-
иовой функцией вида:
о) V^Ccos'e; б) 4' = Ces'4
В указанных состояниях найти функции распределения ро-
ротатора по энергии, квадрату момента и его проекции иа ось z,
а также средние значения этих величия.
4.5. Найти энергетические уровни и волновые функции ста-
стационарных состояний плоского гармонического осциллятора.
Определить кратность вырождения энергетических уровней.
4.6. В стационарном состоянии 4^1 плоского осциллятора
(см. решение 4.5) найтн вероятности различных значений проек-
проекции момента иа ось, перпендикулярную плоскости колеба-
колебаний.
4.7. Частица находится в аксиально симметричном поле Щр).
Какую кратность вырождения имеют в общем случае (т, е.
в отсутствие случайного вырождения) энергетические уровни
дискретного спектра «поперечного» движения частицы (т. е. дви-
движения в плоскости, перпендикулнриой оси симметрии поля)?
Может ли кратность вырождения первого возбужденного
уровня «поперечного» движения быть равной 3; 4?
4.8. Найти энергетические уровни и волновые функции ста-
стационарных состояний частицы в бесконечно глубокой двумерной
потенциальной яме
f о,
t/(p)=@0>
р<а,
р>а.
*) Ротатором называется вращающаяся {в плоскости или в пространстве)
система из "двух жестко связанных друг с другом частиц. Момент инерции
ротатора равен / = (AQS, где ц — приведенная масса частиц, а—расстояние
у
4.9. Найтн энергетические уровни дискретного спектра ча
стицы в двумерной потенциальной яме С/(р) вида
?/(p) =
p<o,
О,
отвечающие значению m = 0 проекции момента частицы па на-
направление, перпендикулярное плоскости движения.
Специально обсудить случай мелкой ямы \ia2Uo/h2 <? 1;
сравнить с одномерным движением.
4.10. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае тФЧ.
Получить условие существования состояний дискретного
спектра частицы с отличным от нуля значением проекции мо-
момента т.
4.11. Для частицы, находящейся в двумерном поле С/(р) =
= —а6(р — а), найти энергетические уровни дискретного
спектра с проекцией момента, равной нулю: т = 0.
Специально обсудить предельные случаи мелкой цаа/ti2 <? 1
и глубокой fiaa/Й2 3> I ям. Сравнить с одномерным движением.
4.12. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае тфО.
Получить условие существования состояний Дискретного
спектра частицы с отличным от нуля значением проекции мо-
момента т.
4.13. Найтн энергетические уровни частицы дискретного
спектра в двумерном поле С/(р)=—а/р. Определить кратность
вырождения уровней. Сравнить со случаем кулоновского поля
U(r)=-a/r.
4.14. Для частицы, находнщейся в бесконечно глубокой дву-
двумерной потенциальной яме вида, указанного в 4.8, найти при-
приближенно энергию основного состояния вариационным методом,
аппроксимируя волновую функцию выражениями вида (р<Сй):
и) Чгс(р) = Л(а-р); б) Ч'о(р) = ВсОб(пр/2й).
Сравнить полученные результаты с точным значением.
4.15. То же, что и в предыдущей задаче, но для энергии
Еп -о. i tn i=i первого возбужденного состояния частицы с проек-
проекцией момента |т|= 1. Радиальную волновую функцию аппро-
аппроксимировать полиномом второй степени, удовлетворяющим не-
необходимым граничным условиям в точках р = 0 и р = а.
4.16. Получить приближенное значение энергии основного со-
состояния плоского осциллятора вариационным методом, исполь-
используя пробную функцию вида
Ч'0(р) = Сехр(—ар), где а — вариационный параметр.
Сравнить с точным значением (см. 4.5).
4.17. В двумерном случае найти функцию Грина уравнения
Шредиигера для свободной частицы при энергии Е < 0, убы-
убывающую прн р -> со.
37
4.18. В двумерном случае найти функции Грина Cjf'(p, p')
^авненнн Шредиигера для свободной частицы при энергии
> 0. Индексы (±) у функции Грнна указывают на характер
ее асимптотики при р-э-оо:
Gf> со ехр[± i т/ЩШ/Ш р].
4.19. Найти функцию Грина G?(q>, if') плоского ротатора
(см. 4.1).
Рассматривая функцию Грииа 0? как аналитическую функ-
функцию комплексной переменной Е, показать, что она имеет особые
точки — полюсы, — и установить соответствие между положения-
положениями этих полюсов в плоскости Е и энергетическими уровнями
ротатора.
§ 2. Состояния дискретного спектра в центральных полях
4.20. Как изменяются значения Enri энергетических уровней
частицы в дискретном спектре:
а) при фиксированном значении I с увеличением п,;
б) при фиксированном значении п, с увеличением If
4.21. Для частицы, находящейся в центральном поле,
а) могут лн быть двукратно вырожденные уровни?
б) какую кратность вырождения может иметь первый воз-
возбужденный уровень?
в) что можно сказать о квантовых числах уровня, если его
кратность вырождения равна 7; 9?
4.22. Обозначим через Ек значение энергии /V-ro уровня дис-
дискретного спектра частицы в центральном поле (нумерация
уровней ведется в порядке возрастания энергий; основному со-
состоянию соответствует N = 1). Указать ограничения на макси-
максимально возможные значения:
о) момента частицы в состояниях, имеющих такую энер-
энергию Ец\
б) кратности вырождения такого уровня.
4.23. Найти уровни энергии и нормированные волновые функ-
функции стационарных состояний сферического осциллятора С/(г) =
= kr2/2, используя метод разделения переменных в уравнении
Шредннгера в декартовых координатах. Определить кратность
вырождения уровней.
4.24. Произвести классификацию четырех нижних уровней
осциллятора по значениям квантовых чисел п„ I и четности,
исходя только нз известного значения (см. предыдущую задачу)
кратности вырождения уровней.
Какая комбинация волновых функций Ч'щп.п, отвечает со-
состоянию осциллятора с моментом I = 0 (при /V = п\ -f- п2 +]
+ п = 2)?
4.25. Найти уровни энергии и собственные функции
^nrim(r, 6, <р) оператора Гамильтона сферического осциллятора
из решения уравнения Шредингера в сферических координатах.
Произвести классификацию состояний осциллятора, относящих-
относящихся к /V-му энергетическому уровню, по квантовым числам nr, I
и четности. Какова кратность вырождения уровней?
4.26. Показать, что для пространственного осциллятора опе-
операторы
коммутируют с гамильтонианом # = ра/2ц + &г2/2.
Убедившись в том, что коммутатор операторов I2 и Тп отли-
отличен от нуля, объяснить «случайное» вырождение энергетических
уровней осциллятора.
4.27. В классической механике прн движении частицы в ку-
лоновском поле U(r) = —a/r вектор А = [рМ] /ц — иг/г яв-
является интегралом движения. Указать вид эрмитова оператора
А, который можно сопоставить классической векторной вели-
величине А.
Найтн коммутаторы [Н, А,] н [I2, А,\ и иа основании полу-
полученных результатов объяснить «случайное» вырождение энер-
энергетических уровней частицы в кулоновском поле.
4.28. В основном состоянии водородоподобного атома (иона)
найти для электрона г".
4.29. Найти эффективный (средний) потенциал <р(г)', дей-
действующий на заряженную частицу, пролетающую сквозь невоз-
невозбужденный атом водорода (пренебрегая поляризацией послед-
последнего). Получить предельные значения q>(r) для больших и ма-
малых расстояний частицы от атома.
4.30. Найти среднее электрическое поле атома водорода в
2р-состоянии с определенным значением т = 0 проекции мо-
момента электрона на ось г на больших расстояниях от атома.
4.31. Найтн среднее электрическое поле и его флуктуацию
(флуктуацию компонент поля) на больших расстояниях от ато-
атома водорода, находящегося в основном состоянии.
Обратить внимание на характер убывания найденных ве-
величин с увеличением расстояния.
4.32. Стационарное состояние электрона в атоме водорода
характеризуется «параболическими» квантовыми числами щ =
= 1 ¦ «2 = 0 и магнитным квантовым числом т = 0.
Найти распределение вероятностей координаты электрона г
и его момента ( в этом состоянии (z—ось параболического
квантовании). Определить средний дипольиый момент атома d
указанном состоянии.
4.33. Найтн уровни энергии ?„ i и волновые функции Ч^г™
стационарных состояний частицы а бесконечно глубокой сфе-
39
рическои яме
U(r) =
_( 0, г<я,
\ оо, г > а.
4.34. Найтн энергетические уровни частицы в поле
?/(/-) = — об (г — а).
Каково условие существования состояний дискретного спект-
спектра с моментом (?
4.35. Найти уровни энергии дискретного спектра s-состояннй
частицы а поле
t/(r)=-?/oexp(-r/a).
Получить условие существования таких состояний.
Каково условие появления новых s-состояний дискретного
спектра частицы при углублении ямы? Специально обсудить
случай глубокой ямы цв2С/о/Й23> 1.
4.36. Найти соответствие между энергетическими уровнями
?„гп и нормированными волновыми функциями Чг„гоо('') стацио-
вариых s-состояннй ((= 0) дискретного спектра частицы в
центральном поле U(r) и уровнями Е„ и нормированными функ-
функциями Ч'о (х) в одномерном поле О (х) вида
?/(*) =
(x),
х<0.
Используя установленное соответствие, найти условие суще-
существования состояний дискретного спектра в поле
{—С/о, г < а,
0, Г>а.
4.37. Обобщить результат задачи 2.18 на случай s-состояиий
частицы в центральном поле U(г).
Найти условие существования дискретного спектра в поле
°°. г<а,
а1гп, г>а
4.38. Обозначим через Е„ и Е„ значения n-го уровия энергии
дискретного спектра в полях U (г) и О (г), связанных условием
0{r) = U{r) + bU(r), M/(r)>0.
Показать, что Е„ >= ?„.
4.39. Показать, что если параметры центрального поля
таковы, что в поле нет «падения» частип на центр поля, то со-
состояния дискретного спектра в таком поле отсутствуют.
40
4.40. Найтн среднее давление, оказываемое частицей, нахо-
находящейся в стационарном состоянии в бесконечно глубокой сфе-
сферической яме (см. 4.33), на «стенку» ямы.
4.41. Получить приближенное значение энергии основного
состояния частицы в кулоновском поле U = —a/r варнаиион-
ным методом, используя пробные функции вида:
a)
(-aV); б)
(а —г), г<а,
О, г>а,
где а, а — вариационные параметры. Сравнить с точным зна-
значением.
4.42. То же, что и в предыдущей задаче, для осциллятора
U = kr*/2 и пробных функций вида:
а) V(г) -Смр(-ог); б) W(r)
я —г), г<а,
О, г>а.
4.43. Получить приближенное аиачеиие энергии 2р-состояиия
частицы в кулоиовском поле вариационным методом, используя
пробную функцию вида
где а — постоянный вектор (см. 3.S9 и 3.60), и —вариационный
параметр. Сравнить с точным значением.
4.44. То же, что и в предыдущей задаче, но для первого
возбужденного состояния осциллятора с моментом / = 1 и проб-
пробной функции
?(г) = (аг)юр(-аг).
4.45. Найти фуикцию Грина Ое(т,т') уравнения Шредингера
для свободной частицы при энергии Е < 0, убывающую при
г-* оо. С помощью фуниции Грииа записать уравнение Шредии-
гера для состояний частицы в дискретном спектре в поле U(г/,
убывающем при г->оо, в виде интегрального уравнения.
4.46. Как известно, у частицы в центральном поле притяже-
притяжения i/(r)<0, C/(r)->0 при г-э-оо, не всегда имеются состояния
дискретного спектра. Показать, что необходимым условием су-
существования таких состояний является выполнение неравенства
Установленное необходимое условие сравнить с точным
условием существования состояний дискретного спектра в полях:
а) прямоугольная яма (см, 4.36); б) экспоненциальная яма,
рассмотренная в 4.35.
41
4.47. Показать, что выполнение неравенства
является необходимым условием существования в центральном
поде притяжения t/{r)^O, t/(r)->0 при r-э-оо, хотя бы одного
уровня дискретного спектра частицы с моментом /.
4.48. Исходя из вариационного принципа и используя проб-
пробную функцию вида Чг = Сехр{—v.r) {и> 0 — вариационный
параметр), получить достаточное условие существования в цен-
центральном поле U(r)^.O, V(r)-*-0 при г—*оо, хотя бы одного
уровня энергии дискретного спектра частицы.
Применить полученное условие к полям:
о) 6-функционная яма (см. 4.34); б) экспоненциальная яма
'{см. 4.35)—и сравнить с точным условием.
4.49. Для указанных ниже полей сравнить следующие три
эначения параметра %, = [ia2U0/fis {характеризующего глубину
соответствующей потенциальной ямы): ?я — значение парамет-
параметра ?, которое является необходимым для существования в поле
состояний дискретного спектра согласно результату задачи 4.46;
go—значение, соответствующее точному, и |д —достаточному
условию {согласно предыдущей задаче) существования состоя-
состояний дискретного спектра.
о) б-функционная яма (см. 4.34): t/(r)=—ГЛ>аб{г—а);
б) экспоненциальная яма (см. 4.35);
е) потенциал Юкзвы V(r)=—Ucoexp(—r/o)/r (значение
go = 0,84 — результат численного расчета на ЭВМ).
4.50. То же, что и в 4.48, для частииы в поле
и пробной функции вида
Найти также и необходимое условие существования состоя-
состояний дискретного спектра согласно 4.46.
4.51. То же, что и в 4.48, но для состояния дискретного
спектра с моментом /= I. Пробную функцию выбрать в виде
^^{aOexpt—кг).
Применить полученное условие к потенциалу Юкавы V =
— —aer-rto/r и сравнить с необходимым условием, рассчитан-
рассчитанным согласно 4.47.
4.52. Найти распределение по импульсам частицы в основ-
основном состоянии в кулоиовском поле U — —а/г.
4.53. Для основного состояния частицы в бесконечно глубо-
глубокой сферической потенциальной яме {см. 4.33) найти функцию
распределения по импульсам частицы.
4.54. Решить задачу о состояниях дискретного спектра с мо-
моментом / = 0 в поле U(r)=—аб{г — а), исходя из решения
уравнения Шредингера в импульсном представлении.
4.55. Найти решение уравнения Шредингера предыдущей
задачи при граничном условии ф{р) = 0 при р^ръ (Рч1>Щ.
Показать, что в такой постановке задачи в яме произволь-
произвольной глубины имеется состояние дискретного спектра, в котором
частица локализована в ограниченной области пространства, и
найти энергию связи частицы в случае мелкой ямы цаа/Н2 -с I
{сравнить с результатом предыдущей задачи).
Образование связанного состояния частицы в рассмотренной
постановке задачи при наличии сколь угодно слабого притяже-
притяжения составляет содержание так называемого феномена Купе-
Купера — явления, лежащего в основе макроскопического механизма
сверхпроводимости.
4.56. Найти квазкдискретные уровни энергии (их положение
и ширину) s-состояний частицы в поле U(r) = аб{г— о).
Специально обсудить случай малопровнцаемого барьера
\uxafb2 >1 и не очень сильно возбужденных квазидискретных
уровней.
Глава 5
СПИН
§ 1. Формализм спина s=l/2
5.1. Для частицы со спином s= 1/2 найти из решения за-
задачи па собственные функции и собственные значения спиновые
функции Ч^ (/== 1, 2, 3), описывающие состояния частицы с
определенной проекцией спнна на оси хт у, z системы координат.
5.2. Указать вид оператора проекции спнна ?й на произволь-
произвольное направление, определяемое единичным вектором п.
Чему равно среднее звачение проекции спина нз ось п в со-
состоянии с определенной проекцией спина sz = d=I/2 на ось г?
Каковы вероятности проекции спина ±1/2 на направление и
в указанных состояниях?
5.3. Найти собственные значения оператора / = а + Ьа {а —*
число, Ь — обычный вектор, о — матрицы Паули).
5.4. Могут ли квадраты проекций электронного спина на оси
х, у, z иметь одновременно определенные значения?
5.5. Произвольный линейный оператор L, действующий в про-
пространстве спиновых переменных частицы с s = 1/2, является
квадратной матрипей 2-го ранга. Какие ограничения наклады-
накладывает эрмитовость оператора L на элементы этой матрицы?
Найтя собственные значения такого эрмитова оператора.
6.6. Убедиться в полноте системы из четырех двухрядных
матриц 1, ох, Оу, о2.
Показать, что коэффициенты в разложении произвольной
квадратной матрицы 2-го ранга Л по этим матрицам
А = ай1 + ахдх + aaby + а^ = аа + аог
могут быть вычислены по формулам
aa = -^SpA, a = -g- Sp((M).
5.7. Каков явный вид операторов \&г\, |о|, о[аа\>
5-8. Упростить выражение (ао)", где а —обычный (число-
(числовой) вектор, о — матрицы Паули, п — целое число.
5.9. Найти явное выражение оператора вида Р = F{а + Ьо),
где F(я)—произвольная функция переменной х, а = const, Ъ —
обычный вектор.
Рассмотреть, в частности, оператор Р = exp (iao).
5.Ю. Указать возможный вид операторов проекций электрон-
электронного спина sx, Sy, sz в Sjt-представленин.
Найти вид унитарного оператора О, осуществляющего пе-
переход от sz- к Sjc-представлению.
5.11. Для слииа s = \/2 указать вид повышающего и пони-
понижающего операторов s± и рассмотреть их действие на собствен-
собственные функции Yv Каковы операторы si?
5.B. Показать, что для состояния, описываемого спиновой
волновой функцией
(это есть наиболее общин вид нормированной волновой функции
спинового состояния частицы со спином s=l/2; 0 ^ а ^п/2,
Р^р<2л), можно указать такую ось в пространстве, проек-
проекция спина на которую имеет определенное значение +1/2. Най-
Найти полярный и азимутальный углы этой оси (ср. с результатом
3.62 для момента L= 1).
Используя полученный результат, решить задачу 5.1.
5.13. Найти проекционные операторы Р%г-±т 11а состояния
с определенным значением проекции спина s2 = ±1/2 на ось г.
5.14. Найти проекционные операторы PSn=±i/2 на состояния
с определенным значением проекции спина ±1/2 ра ось, на-
направление которой определяется единичным вектором п.
С помощью этих операторов найти спиновые функции
Ч*5„->±1/2. Сравнить с результатом задачч 5.12.
5.15. Для частицы со спином s= 1/2 указать закон преоб-
преобразования спиновой волковой функции *^=(ф|) ПРИ враще-
44
нии системы координат на угол щ относительно оси, направле-
направление которой определяется единичным вектором По-
Показать, что величина 0"W «s ф'ч];, + qyb 11е изменяется
при указанном преобразовании, т. е. является скаляром.
5.16. Показать, что при врашении системы координат величи-
величины У=Ф*оУ (Vt^ X ч?F/) ЛЛ преобразуются как комло-
V о. Р Р /
ненты вектора.
5.17. Для двух частиц со евчном s = 1/2 найти собственные
функции *?ssz операторов суммарного спина (точнее, его квад-
квадрата) и его проекции на ось г.
Вид функций Тю и Wim найти одним из следующих способов
(учитывая наиболее общий вид функции, отвечающей S2 = 0:
й) непосредственно из уравнения на собственные функции
оператора Sa;
#) воспользовавшись операторами $±;
в) основываясь на свойствах симметрии функций •Fs по от-
отношению к перестановке спиновых переменных обеих частиц,
аналогичных установленным в 3.39.
5.18. Показать, что оператор a\Oz в состояниях системы из
двух частиц, отвечающих определенному значению суммарного
спина, также имеет определенное значение.
5.19. Две частицы со спином s == 1/2 находятся в состоянии,
описываемом спиновой функцией вида Уяр = ф-де fa, p =
= ', 2 — спиновые переменные каждой из частиц; спиновые
функции обеих частиц нормированы на единицу, так, например,
Ф== f " V |ф| |а + |<р2|г— 0> т- е- между спиновыми состояния-
состояниями частиц нет корреляции.
Каковы вероятности различных значений_суммарного спина
в этом состоянии? Чему равно значение 5?? Рассмотреть, в
частности, случай, когда фй = уа.
5.20. Представить выражение (©югJ в виде, содержащем
матрицы Паули о\, % в степени не выше первой. Индексы I, 2
у матриц означают, что эти матрицы являются операторами,
действующими в пространстве спиновых переменных 1-й и 2-Й
частиц.
5.21. Найти явный вид оператора Р= F(a -J- froics), где
F(x) —произвольная функция переменной х, а и Ь— некоторые
числа.
5.22. Используя результат задачи 5.18, найти проекционные
операторы Ps=n, \ на состояния .двух нзетиц со спином s == 1/2,
отвечающие определенному значению суммарного спина частиц.
45
5.23. Для системы из двух частиц со спином s = 1/2 найти
оператор спинового обмена €, действие которого на спиновую
функцию Ч?ар (а, р = 1, 2 —спиновые переменные 1-й и 2-й ча-
частиц) состоит в следующем: Yap = СЧ?ар = Ура, т. е. этот опе-
оператор переставляет спиновые переменные обеих частиц (задача
состоит в явном выражении оператора С через матрицы Паули),
5.24. Для системы из двух частиц со спином s = 1/2 найти
проекционные операторы Pssz на состояния с определенным зна-
значением суммарного спина S и его проекции Sz на ось г.
5.25. Найти собственные функции и собственные значения
следующих операторов:
а) V, = a (dl2 + Ъ2г) + fi0ie2;
б) i?2 = ol
Параметры о, Ь — вещественны, так что операторы V\,% —
эрмитовы
5.26. Спины Л' частиц, равные s каждый, складываются в
результирующий спин S = Ns. Каков суммарный спин любых
2; 3; ...; п частиц в указанном состоянии?
5.27. Спиновая функция системы из Л' частиц со спином
s = l/2 имеет вид
Mi),(i).-(i).GL. •¦¦«)„•
Найти в указанном состоянии среднее значение квадрата
суммарного спина системы частиц.
5.28. В условиях предыдущей задачи в частных случаях
п = 1 и п = N — I найти вероятности различных значений ве-
величины S суммарного спина системы частиц.
5.29. Состояние частицы со спином s = 1/2 характеризуется
определенными значениями квантовых чисел I, m, s*. Найти
в указанном состоянии вероятности различных значений пол-
полного момента j = 1 -J- s частицы.
5.30. Состояние некоторой системы характеризуется опреде-
определенными значениями квантовых чисел 7 (момент системы) и
/г = Л Найти вероятности различных значений проекции мо-
момента Jn на ось, направление которой в пространстве опреде-
определяется единичным вектором п.
5.31. Моменты двух слабо взаимодействующих подсистем,
равные I и 1/2, складываются в результирующий момент 7.
В следующих состояниях совокупной системы:
а) 7 = 3/2, /г=±1/2; б) 7=1/2, 7е= ±1/2
— найти вероятности различных значений проекций складывае-
складываемых моментов на ось г и их средние значения. При решении
задачи воспользоваться операторами /±.
5.32. Показать, что спиновая функция системы из N частиц
со спином s = 1/2, отвечающая состоянию с максимально воз-
43
можным значением S = N/2 суммарного спина, симметрична
по отношению к перестановке спиновых переменных любых
двух частиц.
Имеют ли определенную симметрию спиновые функции, от-
отвечающие другим значениям суммарного спина? Сравнить со
случаем N = 2.
5.33. В системе трех частиц со спином s = I /2 имеется во-
восемь различных спиновых состояний. Произвести классифика-
классификацию этих состояний по значениям суммарного спина системы.
Найти полную систему спиновых функций ^ss^ описываю-
описывающих состояния с определенными значениями S, Sz суммарного
спина.
5.34. Произвести классификацию спиновых состояний систе-
системы из четырех частиц со спином s = 1/2 по значениям суммар-
суммарного спина S системы.
5.35. Какие отличные от нуля средние значения мультиполь-
пых моментов (dt — электрического дисольного, |л, — магнитного
дипольного, Dm — электрического квздрупельного) может иметь
система, характеризующаяся определенным значением 7 полного
момента, равным;
а) 7 = 0; б) J = 1/2?
§ 2. Пространственные состояния частицы со спином
5.36. Состояния частицы с определенным значением проек-
проекции спина на направление импульса называют спиральными со-
состояниями. Для частицы со спином 5 = 1/2 найти волновые
функции Ур;, I, описывающие состояния с определенным им-
импульсом ро и спиральностью Я = ±1/2.
5.37. Указать вид оператора спиральности и показать, что
этот оператор коммутирует с оператором полного момента j =
=1 + s частицы.
5.38. Для частицы со спином s = 1/2 показать, что наиболее
общая спин-угловая зависимость волновой функции состояния
рч, частицы (т. е. состояния с орбитальным моментом / = I и
полным моментом / = 1/2) имеет вид
гдсх=(л1 — произвольный спинор, не зависящий от направ-
направления вектора п (п = т/г или п = р/р в зависимости от того,
какое представление — координатное или импульсное —исполь-
—используется).
Нормировать на единицу указанную волновую функцию.
Каково распределение по направлениям импульса частицы
в указанном состоянии? Сравнить со случаем sv.-c°cTt)«iiHH.
Вычислив среднее значение вектора суммарного момента ча-
частицы в рассматриваемом состоянии, выяснить, как j зависит от
конкретного выбора спинора х- Найти вид функций, опнсываю-
Щих состояния с определенным значением /z = ±l/2 проекции
полного момента на ось г.
5.39. Произвести анализ состояний частицы со спином s =
= 1/2, волновые функции которых имеют в импульсном пред-
представлении еннн-угловую зависимость вида
(спинор х = (?) не зависит от вектора п), по значениям сле-
следующих квантовых чисел, полного момента частицы /, орби-
орбитального /, четности, спиралыгости h
5.40. Для частицы со спином s = 1/2 показать, что наиболее
общая спин-угловая зависимость волновой функции состояния
рз/2 имеет вид
(произвольный вектор с и спинор X=(kJ |ie зависят от век-
вектора п).
При каком конкретном выборе компонент вектора с и спи-
спинора х указанная выше функция описывает рз^-состояние ча-
частицы с определенным значением /z = ±l/2, zh3/2 проекции
полного момента на ось г?
5.41. Для частицы со спином s = 1/2 найти спин-угловую
зависимость волновых функций хУщг состояний с определенны-
определенными значениями орбитального момента /. полного момента / и
проекции \г полного момента на ось г в случае / = /+ 1/2-
Зядачу предлагается решать следующими двумя способами:
о) используя проекционные операторы Р,;
6} используя повышающие (понижающие) операторы /±.
5.42. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае
1*=1— 1/2.
5.43. Покачать, что функции Ч^, рассмотренные в двух
предыдущих задачах, связаны соотношением
V,tlU = im)V1Vj Л,2-/±1/2, n=f (или n=-jf).
Следствием этого соотношения является одинаковый вид
угловых распределений по направлениям импульса частицы в
состояниях с заданными значениями / и /« и различными зна-
значениями орбитальною момента 1\.ъ = / ± 1/2.
5.44. Для частицы со спином s = 1/2 найти спин-угловую за-
зависимость волновых функций WllzX (в импулвеном представле-
представлении), описывающих состояния частицы с определеннымн'значе-
Щями / полного момента, его проекции /г на ось г и спирячь-
ности К.
5.45. Для заряженной частицы со спином 5 = 1/2 найти
среднее значение вектора магнитного момента в состояниях
Оператор магнитного момента ji имеет вид
где Ци —спиновый магнитный момент частицы (для электрона
це = ~e0h/2mec, для протона цР = 2,79е0Н/2трс и т. д., е° > 0 —
величина заряда электрона), е — ее заряд.
Глава 6
ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ I. Бесспшооая заряженная частица в магнитном поле
6.1. Показать, что при определенной калибровке векторного
потенциала гамильтониан заряженной частицы в магнитном
поле *)
можно представить в виде
Убедиться в эрмитооости гамильтониана.
6.2. Найти оператор скорости v заряженной частицы в маг
нитном поле. Установить коммутационные соотношения между
различными компонентами этого оператора [с",-, ?к] а также
J0i, **] ¦
6.3. Для заряженной частицы в постоянном однородном маг-
магнитном поле найти операторы координат центра орбиты ро по-
поперечного (перпендикулярного магнитному полю) движения,
квадрата радиуса-вектора этого центра р^ и квадрата радиуса
орбиты Рд.
Установить коммутационные соотношения для этих операто-
операторов друг с другом и с гамильтонианом.
6.4. Найти нормированные соответствующим образом волно-
волновые функции стационарных состояний и уровни энергии заря-
*) В задачах данной главы используется координатное представление, так
что А(г, *>*" А(г, /).
женной бесспиновой частицы в однородном магнитном поле при
следующих калибровках векторного потенциала
а) Ах = О, А„ = Жох, А* = 0;
б) А* = -ЗёеУ, А» = 0, Аг = 0.
6.5. Б предыдущей задаче были найдены дое полные системы
функции ^прург и 1%^Рг, описывающие стационарные состояния
заряженной частицы в однородном магнитном поле 3i0 при двух
различных калибровках векторного потенциала. Найти соотно-
соотношение между этими волновыми функциями.
6.6. Найти волновые функции стационарных состояний и со-
соответствующие иы уровни энергии заряженной бесспнновой ча*
стицы в однородном магнитном поле, используя следующую ка-
калибровку векторного потенциала: А =-|-[JH-ог]. Какова крат-
кратность вырождения энергетических уровней поперечного движе-
движения частицы? Нормируемы ли на единицу волновые функции
стационарных состояний поперечного движения?
6.7. Найти спектр собственных значений операторов квадра-
квадратов раднуса-вектора (% центра орбиты поперечного движения
и радиуса орбиты р| частицы в однородном магнитном поле
(см. 6.3).
Показать, что волновые функции x?nmPz стационарных со-
состояний частицы в однородном магнитном поле, найденные в
предыдущей задаче, являются собственными функциями этих
операторов.
6.8. Охарактеризовать поперечное пространственное распре-
распределение заряженной частицы в однородном магнитном поле в
стационарных состояниях л?Птрг (см. 6.§) в случае т~—-у^гп.
Специально обсудить случай /)>1 и произвести предельный
переход к классической механике.
6.9. То же, что и в предыдущей задаче, но при л=0. Спе-
Специально обсудить случай \т\ > 1.
6.10. В задачах 6.4 и 6.6 было установлено, что энергетиче-
энергетические уровни поперечного движения заряженной частицы в од-
однородном магнитном поле являются дискретными, причем соот-
соответствующие этим уровням собственные функции гамильтониа-
гамильтониана обладают интересным свойством: согласно 6.4 они не могут
быть нормированы на единицу (и таким образом, не описывают
частицу, локализованную в ограниченной области пространства),
а согласно 6.6 существуют стационарные состояния, в которых
частица локализована в ограниченной области пространства.
Объяснить указанное свойство собственных функций: воз-
возможность их выбора как нормируемыми, так и неиормируемыми
на единицу. Сравнить со случаем стационарных состояний дис-
дискретного спектра частицы в потенциальном поле ?/(г).
6.11. Найти уровни энергии и нормированные соответствую-
соответствующим образом волновые функции стационарных состояний за-
заряженной бесспиновой частицы, находящейся во взаимно пер-
перпендикулярных однородных магнитном и электрическом по-
полях.
6.12. Найти уровни энергии и нормированные волновые функ-
функции стационарных состояний заряженного сферического осцил-
осциллятора (заряженная частица в центральном поле (У(г)=Аг2/2),
находящегося в однородном магнитном поле.
В случае слабого магнитного поля найти магнитную вое
приимчивость осциллятора в основном состоянии.
6.13. То же, что и в предыдущей задаче, для плоского за--
ряженного ротатора (заряженная частица, совершающая дви-
жение в плоскости на заданном расстоянии а от некоторой точ-
ки)_ находящегося в однородном магнитном поле, перпендику-
перпендикулярном плоскости вращения.
6.14. Показать, что энергетический спектр поперечного движе-
движения заряженной бесспнновой частицы, находящейся в магнит-
магнитном поле соленоида (соленоид имеет бесконечную длину и кру-
круговое сечение, так что магнитное поле вне соленоида равно нулю,
а внутри—однородно и направлено вдоль его оси), является
непрерывным и магнитное поле не может «связать» частицу, т. е,
отсутствуют стационарные состояния, в которых частица лока-
локализована в поперечном направлении в ограниченной области
пространства.
В пределе, когда радиус соленоида R = то, получается одно-
однородное во всем пространстве магнитное поле, в котором спектр
поперечного движения частицы является дискретным и суще-
существуют локализованные стационарные состояния (см., например,
задачу 6.6). Объяснить,таким образом из непрерывного спектра
при Л! Ф оо получается дискретный спектр при R = оо.
6.15. Показать, что магнитное поле Ji(r), отличное от нуля
в ограниченной области пространства, не может «спяззть» заря-
заряженную бесспиновую частицу, т. е. не существует стационарных
состояний частицы, в которых она локализована в ограниченной
области пространства.
6.16- Как известно, в одномерном и двумерном случаях в лю-
любом поле притяжения у частицы всегда имеются состояния дис-
дискретного спектра, в которых она локализована в ограниченной
области пространства. В трехмерном случае таких состояний
может и не быть, если потенциальная яма достаточно «мелкая».
Показать, что при наличии в пространстве однородного маг-
магнитного поля у заряженной частицы в произвольном поле при-
притяжения U(r), удовлетворяющем условиям U(r)^0, ?/(r)->-0
при г~*оо, всегда имеются стационарные состояния, в которых
она локализована в ограниченной области пространства (и не
только в поперечном направлении!), т. е. что при наличии маг-
магнитного поля любая яма может «связать» частицу.
§ 2. Частица со слипом в магнитном поле
6-17. Найти волновые функции стационарных состояний и
соответствующие им энергетические уровни нейтральной части-
частицы, имеющей спин s = 1/2 и спиновый магнитный момент цо
(так что [1= (loo), в однородном магнитном поле.
6.18. Найти энергетические уровни и волновые функции ста-
стационарных состояний дискретного спектра поперечного движе-
движения нейтрона в магнитном поле соленоида.
6.19. Нейтрон находится в стационарном магнитном поле
вида
(цилиндрическая система координат). Свести задачу нахожде-
нахождения волновых функций стационарных состояний нейтрона и со-
соответствующих им энергетических уровней к решению одномер-
одномерного волнового уравнения.
6.20. В полупространстве х >¦ 0 имеется однородное магнит-
яое поле вида Шх^=Жу~ 0, Жг = Шъ. В области х < 0 маг-
нитное поле отсутствует. Найти коэффициент отражения поля-
поляризованных нейтронов (т. е. нейтронов с определенным значе-
значением проекции спина на ось г) от поверхности раздела.
Рассмотреть случаи падения нейтрона как из области про-
пространства, где имеется магнитное поле, так и из области, сво-
свободной от магнитного поля. Найти соотношения между углами
падения, отражения и преломления. Падающие нейтроны имеют
определенный импульс р.
6.21. Найти волновые функции стационарных состояний и
уровни энергии заряженной частицы со спином s = 1/2 и маг-
магнитным моментом |.1о s однородном магнитном поле. Сравнить
с результатами задач 6.4 и 6.6.
6.22. Показать, что гамильтониан Паули для электрона
(а также и для ц-мезсна) в электромагнитном поле может быть
представлен в виде
Справедливо ли указанное представление гамильтониапа для
других частиц со спином s = 1/2 (протона, нейтрона и т. п.)?
6.23. Показать, что при движении электрона в стационарном
магнитном поле проекция спина на направление скорости элек-
электрона является интегралом движения.
Сохраняется ли утверждение задачи для произвольной ча-
частицы со спином s = 1/2?
6.24. Показать, что магнитное поле 31(г), отличное от нуля
в ограниченной области пространства, не может «связать» элек-
электрон, г. е. не существует стационарных состояний электрона;
52
в которых он локализован в ограниченной области пространства
(сравнить с 6 15).
Сохраняется ли утверждение задачи для других частиц со
спином s = 1/2?
§ 3. Магнитное поле орбитальных токов и спинового
магнитного монета
6.25. Найти среднее магнитное поле 31@), создаваемое в на-
начале координат заряженной бесеппновой частицей, находящейся
в KjvioKOBCKOii поле ядра V = —Ze%fr в Is- и 2р-состояниях.
6.26. В условиях предыдущей задачи найти матричные эле-
ыеиты оператора магнитного момента частицы между различ-
различными состояниями, относящимися к уровню энергии с главным
квантовым числом п = 2.
6.27. Установить соотношение между средними значениями
векторов орбитального момента I и магнитного момента ji для
заряженной бесспиновой частицы, находящейся в магнитном
поле.
Показать, что найденное соотношение не противоречит ка-
калибровочной инвариантности.
E.28. Найти компоненты плотности тока для заряженной бес-
сшпювой частицы, находящейся в однородном магнитном поле
Г( СТацНОНарНОМ СОСТОЯНИИ Wnmpz (СМ.. 6.6).
6.29. Найти компоненты плотности тока для заряженной ча-
частицы со спином s == 1/2 и магнитным моментом A0, находя-
находящейся в однородном магнитном поле в стационарном состоя-
состоянии Wnmp^sz (см. задачу 6.21 и сравнить с результатом преды-
предыдущей).
6.30. Электрон находится в кулоновском поле ядра с зарядом
Ze в основном состоянии. Найти среднее магнитное поле, созда-
создаваемое электроном в пространстве.
6.31. Найти среднее магнитное поле, создаваемое в начале ко-
координат частицей со спином s = 1/2 и магнитным моментом щ,
находящейся в стационарном s-состоянии в центральном поле.
Глава 7
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ
§ 1. Бесспиновые частицы
7.1. Вывести правило дифференцирования по времени произ-
произведения двух операторов.
7.2. Найти вид оператора скорости v = r заряженной бесспи-
ковой частицы, находящейся в произвольном электромагнитном
иоле. Сравнить с 6.2.
7.3. Найти оператор ускорения w = v заряжетшой частицы в
электромагнитном поле.
7.4. Показать, что среднее значение производной по времени
физической величины, не зависящей явно от времени, в стациб*
нарном состоянии дискретного спектра равно нулю.
7.5. Показать, что среднее значение силы, действующей на
частицу в стационарном состоянии дискретного спектра, равно
нулю.
Задачу предлагается решить двумя способами:
с) используя результат предыдущей задачи; б) непосред-
непосредственно усредняя оператор силы.
7.6. Доказать теорему вириала в квантовой механике.
Задачу предлагается решить тремя способами:
а) усреднением оператора d(pr)/dt (аналогично тому, как
эта теорема доказывается в классической механике);
б) используя экстремальные свойства собственных значений
оператора Гамильтона (энергетических уровней системы) и рас-
рассматривая масштабное преобразование волновых функций ста-
стационарных состояний системы;
е) используя результат задачи 1.28.
7.7. Показать, что для системы N заряженных частиц, дви*
жущнхся в ограниченной области пространства, справедливо
равенство (так называемое «правило сумм»; см. также 14.18)
(/=1,2,3),
где \dt)nm~-матричные элементы дипольного момента системы,
суммирование проводится по всем стационарным состояниям си-
системы, ц и е — масса и заряд каждой частицы.
7.8. Обсудить вопрос о сохранении нормировки волновой
функции состояния (в интегральной в локальной форме) части-
частицы в случае, когда ее взаимодействие с внешним полем описы-
описывается нелокальным эрмитовым потенциалом, т. е. когда опера-
оператор потенциальной энергии (в координатном представлении)
является интегральным оператором с ядром ?/(г,г');
&? (г) = J U (г, г') ? (f) dV.
Сравнить с обычным случаем локального потенциала &==
7.9. Рассмотреть уравнение Шредингера, в котором потен-
потенциальная энергия является комплексной функцией: (/(г) =
= ?/o(r)+i?/i(r); Vo, U\ — вещественные функции (так назы-
называемый оптический потенциал).
Выяснить, сохраняется ли во времени нормировка волновой
функции при движении частицы в таком поле. Изменение со вре-
Б4
менем нормировки волновой функции состояния можно интер-
интерпретировать как поглощение (или рождение) частиц во внешнем
поле. Как связан знак мнимой части потенциала с характером
такого процесса?
7.10. Состояние частицы, находящейся в бесконечно глубокой
прямоугольной потенциальной яме ширины a @<Zx<Za), в
начальный момент времени имеет вид
Найти волновую функцию в произвольный момент времени.
Показать, что через некоторое время Т частица возвращается
в исходное состояние.
7.11, Как изменяется во времени состояние плоского ротато-
ротатора, если в начальный момент (/ = 0) оно описывалось волно-
волновой функцией
7.12. Пространственный ротатор при ( = 0 находится в со-
состоянии, описываемом волновой функцией Ч? = A cos2 6. Найти
волновую функцию ротатора в произвольный момент времени.
7.13. Состояние свободной частицы в момент времени t ~ О
описывается волновой функцией вида
Найти изменение состояния частицы во времени и следую-
следующие средние: *(*), p(t). Х&кA)У. .(ДР(О)8 (см- также зада-
7.14. В условиях предыдущей задачи показать, что ширина
волнового пакета (Дк(/)J в момент времени t независимо от
параметров, определяющих волновую функцию частицы при
t = 0, не может быть произвольно малой.
7.15. Рассмотрим при /=0 нормированный волновой пакет
составленный из собственных функций We(x)' гамильтониана ча-
частицы, отвечающих энергетическим уровням Е непрерывного
спектра.
Показать, что в рассматриваемом состоянии плотность ве-
вероятности нахождения частицы в любой фиксированной точке
пространства при t-тоо стремится к нулю (это обстоятельство
не противоречит сохранению нормировки волновой функции, так
как одновременно с уменьшением плотности вероятности увели-
увеличивается ширина пакета —пакет расплывается).
7.16. Состояние частицы в поле 6-функшюниой ямы (см. 2.11)'
в начальный момент времени описывается волновой функцией
W(x,t = C) = Aexp(-fi\xl), P>0.
Какова вероятность обнаружить частицу на отрезке
(х, x + dx) при /-»-оо? Найти значение интеграла
и сравнить его с первоначальным значением. Объяснить полу-
полученный результат,
7.17. Состояние свободной частицы в момент времени / = 0
описывается нормированной волновой функцией *Ро(х) (при
этом волновая функция Ф0(р) в импульсном представлении так-
также считается известной). Найти асимптотическое поведение
волновой функции W(x,t) при t-*-oo. Убедиться в сохранении
нормировки волновой функции.
Б качестве иллюстрации полученного результата рассмотреть
при t-^-oo вид волнового пакета, обсуждавшегося в 7.13.
7.18. Гармонический осциллятор при / = 0 находится в со-
состоянии, описываемом волновой функцией вида
где а =(П/т<и)'р. Найти изменениесостояния осциллятора во
времени и следующие средние: х((), p(f), (Ajc{t))a, ,{Ap(t)J
(см. также 7.36).
7.19. Найти временную функцию Грина G(x, t; x1, ?) для сво-
свободной частицы. Эта функция удовлетворяет уравнению Шре-
Дингера (по переменным х, t) и при t = f равна б(х— хг),
С помощью найденной функции Грина решить задачу 7,13.
Обобщить полученный результат на случай свободного дви-
движения частицы в пространстве, т. е. найти функцию Грина
G(r,t;Tr,f).
7.20. Найти временную функцию Грина G(p, t;pr, t') свобод-
свободной частицы в импульсном представлении.
7.21. Найти временную функцию Грина в случае свободного
двюкения частицы на полуоси, т. е. в поле
tfW =
x>0,
x<0.
7.22. На непроницаемую стенку, описываемую потенциалом
предыдущей задачи, падает волновой пакет, имеющий при / = О
вид
feS^Tsor0' ">а-так что мокн°статать
3уяРтрм»ТР?ТЬ °тРажевие волнового пакета от стенки, исполь-
лаче УЮ ФУ"™™ ГРина, найденную в предыдущей за-
_ 7.23 ДЛ„ частицы, находящейся в однородном поле ЩхУ=.
ставлига ременную функцию Грина в импульсном пред-
7.24. Длячастацы, находящейся в однородном поле U(x)—
предсгавлеГ™ ВРШеШуЮ *1НКЩЮ ГР™а в координатном
волн1™пС;'ЬЗУЯ Пол>'ченный Результат, рассмотреть расплывание
волнового пакета, имеющего при / == 0 вид
¦С (х, t = 0) = Аехр[А? _.<i=2s>:].
оспшлятора^" "Р™6™*10 Ф>»КЦИЮ Грина гармонического
зов^нит г^™" ylfflTaPHblil оператор, соответствующий преобра-
отсчётТ те Я| Т" е' ""^«ИУ в новую инерщальную систему
относите^ МЯ " "нваРнштности уравнения Шредннгера
шносительыо этого преобразования
части™'?"™'1610'1 "РИ ЭТОМ нреобразованш. волновая функция
частицы в координатном и импульсном предстаалшиях?
вочн'™! ? у|штаРный оператор, соответствующий калибро-
V6 "™У пРеоСРаз°ванию потенциалов электромагаитного поля.
ГХёГ™"" УРЫ"™ ШеД
.шГоХёобраГв
систем Как."еобх°Димо преобразовать оператор Гамильтона
от впемр„„ "Р" ^"итарноил преобразовании, зависящем явно
нить г ?Л Уравюние ШРИЧшгера сохраняло свой вид? Срав-
"анике. КаНонтескими преобразованиями в классической ме-
гоп^п9' На"Г" ОПеРат°Ры коордннаты и импульса в гейзенбер-
гейзенберговском представлении для свободной частицы
задачу предлагается решить двумя способами-
пят™ "с"олы>'я Унитарное преобразование, связывающее оие-
%ФГКеЛтИ' ° гайзе»СеР™^™ » шр^.-геров
гайЭн?^0^6*™™"™ Решек«Ем уравнений движения ддя
гейзенберговских операторов.
7.30. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы нгхо-
дященея в однородном поле U(x)= -Рл
TBB«n«2Z Ж"' ЧТ° " " двух "Р'ЛЫДУШИХ задачах, для линейного
гармонического осциллятора.
ПРЯЛ""°Й ™c™ub" находящй
эовзться калибровкой векторного потенциала вида А =
= @, Жъх, 0) (магнитное поле направлено вдоль оси z),
Задачу предлагается решить двумя способами, указанными
в условии 7.29.
7.33. Исходя из уравнений движения для гайзенберговских
операторов, показать, что [pt @. Zk (/)] = -j Ь1Ь.
7.34. Найти значение «разновременного» коммутатора
Ш0*(П] Д
Ш0(П] Д
о) свободной частицы; б) частицы в однородном поле}
е) осциллятора.
7.35. Для систем, рассмотренных в 7.29—7.31, найти гамиль-
гамильтониан /?(() и сравнить с ЙA =0).
7.36. Используя вид гайзенберговских операторов p(Q, x(t)\
иайти зависимость от времени следующих средних: х((), р((),
L&x(t)J, (Ар(О)8-Для
а) свободной частицы; б) частицы в однородном поле;
в) осциллятора
в состоянии, описываемом волновой функцией вида
7-37. Гамильтониан системы имеет вид Я = /?0 -\- Р, где «не-
возмущеяный» гамильтониай /?о не зависит явно от времени.
Рассмотреть унитарное преобразование от шредннгеровского
представления к новому, так называемому представлению
взаимодействия, осуществляемое унитарным оператором О =
¦=е*р(г7?с</Й) (при Р = 0 это преобразование описывает пере-
переход к гейзенберговскому представлению).
Какова связь между операторами физических величин в шре-
дингеровском представлении и представлении взаимодействия?
Как изменяются во времени операторы и волновая функция си-
системы в представлении взаимодействия?
7.38. Найти вид операторов координаты и импульса, а также
вид волнового уравнения в представлении взаимодействия для
частицы в однородном поле, выбрав в качестве невозмущенного
гамильтониана оператор Гамильтона свободной частицы.
7.39. То же, что и в предыдущей задаче, для осциллятора.
§ 2. Частицы со спином
7.40. Найти операторы скорости v и ускорения w (в шредни-
геровском представлении) нейтральной частицы с отличным от
вуля спиновым магнитным моментом (например, нейтрона), на-
находящейся в магнитном поле,
7.41. Найти зависимость от времени спиновой волновой функ-
функции и средних значений компонент спина нейтральной частицы
со спином s = 1/2 и магнитным моментом ц, находящейся в од-
однородном стационарном магнитном поле.
7.42- Обобщить результат предыдущей задачи на случай од-
однородного нестационарного магнитного поли, направление ко-
которого остается неизменным, т. е. 31A) = Ж-A)Во.
7.43. Показать, что при движении заряженной частицы с от-
отличными от нуля спином и спиновым магнитным моментом в
однородном, переменном во времени магнитном поле ЗЦ() (и
произвольном электрическом) зависимость волновой функции
частицы от спиновых и пространственных переменных разде-
разделяется.
7.44. Частица со спнном s = 1/2 и магнитным моментом ц
находится в однородном магнитном поле 31 (t) вида
где Жо, <%?i, wo — постоянные величины.
При t = 0 частица находилась в состоянии с проекцией спи-
спина на ось г, равной sz ~ 1/2. Найти вероятности различных
значений проекции спина на ось г в момент времени t. Обсу-
Обсудить, в частности, случай, когда |^0/^i|< l; обратить внима-
внимание на резонансный характер зависимости вероятности «перево-
«переворота» спина от частоты ©о в этом случае.
7.45. Для частицы со спином 5= 1/2 в магнитным моментом
ц, находящейся в однородном стационарном магнитном поле,
найти операторы вектора спина s(() в гейзенберговском пред-
представлении.
Задачу предлагается решить двумя способами:
о) используя унитарное преобразование, связывающее опе-
операторы физических величин в гайэенберговскоч и шредингеров-
ском представлениях;
б) непосредственным решением уравнений движения для
гайзенберговских операторов.
Определить зависимость от времени средних значений ком-
компонент спина (сравнить с 7.41).
7.46. То же, что и в предыдущей задаче, в случае однород-
однородного нестационарного магнитного поля, направление которого
остается неизменным,
7.47. Решить задачу 7.44, используя представление взаимо-
взаимодействия (см., например, 7.37) и выбрав в качестве невозму-
невозмущенного гамильтониана
7.48. Частица со спином s = 1/2 и магнитным моментом ц
находится в однородном стационарном магнитном поле вида
Илуя представление взаимодействия (см., напр
мер, 7.37) с невоэмущенмым спиновым гамильтонианом /?о
= —уЖл ог, найти вероятности различных значений проекции
спина на ось г в момент времени t, если при (=0 проекция
спина частицы на ось г равна sz = 1/2.
7.49. В условиях задачи 7.41 найти временную спиновую
функцию Грина GaB((,O частицы (индексы а, ?, = 1, 2 описы-
описывают спиновую переменную, т. е. a, P — спинорные индексы),
7.50. То же в условиях задачи 7.42.
7.51. Для нейтральной частицы со спином s = 1/2 и магнит-
магнитным моментом |д, находящейся в однородном стационарном
магнитно^ поле, найти временную функцию Грина Gop(r, t\ г', if)
(a, p~спиновые переменные).
7.52. Обобщить результат предыдущей задачи на случаи
однородного нестационарного магнитного поля, направление
которого остается неизменным, т. е. ЗЦ0 Зё@
Глава 8
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ.
ВНЕЗАПНЫЕ И АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
§ 1. Стационарная теория возмущений
8.1. Для частицы, находящейся
тенциальной яме ширины о @
в бесконечно глубокой по-
пох < а), найти в первом
в~в а я
порядке теории возмущений смещение энергетических уровней
под действием возмущения вида (рис. 16):
Указать условия применимости полученного результата.
8.2. Показать, что поправка первого порядка ?« к энергети-
энергетическим уровням частицы из предыдущей задачи для произволь-
произвольного возмущения У(ж)_ при достаточно больших значениях п не
зависит от п.
8.3. На заряженпый линейный осциллятор наложено одно-
однородное электрическое поле 6, направленное вдоль оси колеба-
колебаний. Рассматривая действие электрического поля как возмуще-
возмущение, рассчитать в первых двух порядках теории возмущений
сдвиг энергетических уровней осциллятора. Полученный резуль-
результат сравнить с точным решением (см. 2.6).
8.4. Представим гамильтониан осциллятора в виде
kx* , ах"
Рассматривая формально слагаемое а.х^/2 как возмущение, рас-
рассчитать в первых двух порядках теории возмущений сдвиг энер-
энергетических уровней осциллятора. Ответ сравнить с точным ре-
решением. Каково условие сходимости ряда теории возмущений?
8.5. На частицу в бесконечно глубокой потенциальной яме
ширины а @ < х < а) наложено возмущение вида
Рассчитать изменение энергетических уровней частицы в
первых двух порядках теории возмущений.
8.6. В условиях предыдущей задачи найти поправку третьего
порядка к энергии основного состояния частицы.
8.7. Найтн в первых двух порядках теории возмущений сдвиг
энергетических уровней частицы в условиях задачи 8.1 под дей-
действием возмущения V(x) = ab(x—о/2). Указать условия при-
применимости полученного результата.
8.8. Как известно, приближенное вычисление собственных
функций гамильтониана по теории возмущений в первом поряд-
порядке приводит к выражению вида
а значение коэффициента с^ остается неопределенным (и обыч-
обычно выбирается равным нулю: cJj1j> = 0).
Объяснить происхождение этой неопределенности в значении
Cnl- Сохраняется ли подобная неопределенность при вычисле-
вычислении cJp} в высших порядках теории возмущений?
8.9. Плоский ротатор с моментом инерции / и электрическим
дипольным моментом d помещен в однородное электрическое
поле Ej, лежащее в плоскости вращения. Рассматривая дей-
действие поля как возмущение, нанги поляризуемость основного
состояния ротатора.
8.10. В условиях предыдущей задачи найти в первых двух
порядках теории возмущений сдвиг н расщепление энергетиче-
энергетических уровней возбужденных состояний ротатора. Указать пра-
правильные функции нулевого приближения. Специально обсудить
случаи первого возбужденного уровня.
8.11. Пространственный ротатор с моментом инерции / и
дипольным моментом d, параллельным оси ротатора, помещен
в однородное электрическое поле So, рассматриваемое как воз-
возмущение. Найтн поляризуемость основного состояния ротатора.
8.12. В условиях предыдущей задачи рассчитать в первом
неисчезающем порядке теории возмущений сдвиг энергетических
уровней возбужденных состояний ротатора. Каков при этом ха-
характер святия вырождения уровней? Происходит ли в высших
порядках теории возмущений дальнейшее снятие вырождения?
8.13. Найти расщепление первого возбужденного уровня
энергии плоского гармонического осциллятора под действием
возмущения вида V = axy (плоскость х, [/ — плоскость колеба-
колебаний) в первом порядке теории возмущений. Указать правиль-
правильные функции нулевого приближения. Сравнить с точным ре-
решением.
8.14. То же, что и в предыдущей задаче, для второго воз-
возбужденного уровня энергии осциллятора.
8.15. Частица находится внутри непроницаемого эллипсоида
вращения, т. е.
причем (о — 6|-Со. Найти в первом порядке теории возмуще-
возмущений сдвиг энергетического уровня основного состояния частицы
по отношению к уровню частицы в сферической яме такого же
объема, как и у эллипсоида.
8.16. Обобщить результат предыдущей задачи на случай воз-
возбужденных состояний частицы. Обсудить вопрос с характере
снятия вырождения по проекциям момента частицы в первом и
высших порядках теории возмущений.
8.17. Частица находится в центральном поле вида
17 М— ехр<гМ)-1 '
причем ma3i/c/ll2 ^> ]. В первом порядке теории возмущений
найти отличие энергетических уровней нижней части спектра от
уровней энергии в кулоновском поле G(r) =—V^ajr. Обратить
внимание на святие «случайного» кулоновского вырождения
уровней. Указать условие применимости полученного результата.
8.18. То же, что и в предыдущей задаче, для потенциала
Юкавы f/(r) = —aexp(—г/а)/г при условии maa/he^> I,
8.19. Найти приближенный вид волновых функций стацио-
стационарных состоянии и энергетические уровни нижней части спект*
ра плоского ротатора, имеющего дипсльный момент d, в силы
ном электрическом поле gD, таком, что Id&o/h2 > 1. Указать
условие применимости результата. [
8.20. Для частицы, находящейся в центральном поле вида
Lf(r)=~a/rp, 0<p<2,
найти энергетические уровни Enrt дискретного спектра с боль-
большим значением момента / ^> 1 (и не слишком большим значе*
нием радиального квантового числа пг). Указать условие при*
менимости полученного результата. В случае кулоновского поля
{р = 1) сравнить с точным решением задачи.
8.21. Найти энергетические уровни «поперечного» движения
заряженной частицы в поле бесконечной однородно заряженной,
нити при больших значениях проекции момента частицы на на-
направление нити. Указать условия применимости полученного
результата.
8.22. Основываясь на результатах задач 2.57 и 2.59, в кото-
которых была установлена интегральная форма уравнения Шредин-
гера и для коэффициентов отражения и прохождения частиц
получены выражения через значения волновой функции в обла-
области действия потенциала, обсудить возможность вычисления
этих коэффициентов по теории возмущений (в первом порядке).
Указать условия применимости проведенного рассмотрения.
Сравнить с результатом 8.37.
Применить полученный результат к полю О(х), допускаю-
допускающему точное решение задачи (например, 2.47, 2.48, 2.52).
§ 2. Нестационарная теория возмущений.
Перехоцы в непрерывном спектре
8.23. На частицу, находящуюся при /->—оо в основном со-
состоянии в бесконечно глубокой яме шириной о, накладывается
слабое однородное поле, изменяющееся во времени по закону:
б) V(x,Q=-Jtfcexp(-|f|/T);
в) V(*,0=-*V[l+(r/T)s]-
Вычислить в первом порядке теории возмущений вероятно-
вероятности возбуждения различных состояний частицы при /-»-«>. Ука-
Указать условия применимости полученных результатов.
8.24. Линейный осциллятор подвергается воздействию одно-
однородного электрического поля, изменяющегося во времен» по
закону:
а) &(O=#atspt-(tM*f,
б) #(<) = Лехр(-И/т).
Считая, что до включения поля (при /->—то) осциллятор
находился в я-м стационарном состоянии, иайти в нервом по-
рядке теории возмущений вероятности возбуждения различных
его состояний при /-*-оо.
8.25, Решить предыдущую задачу для поля, изменяющегося
по закону
1
при заданием импульсе силы Pq. Обсудить предельные случаи
©т < 1 и ют > 1.
8-26. На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d,
накладывается однородное, переменное во времени электриче-
электрическое поле Б(/) =:/(/)Бо. До включения поля ротатор имел опре-
определенное значение т проекции момента. Вычислить в первом
порядке теории возмущений вероятности различных значений
проекции момента и энергии ротатора при /-»-оо. Рассмотреть
конкретные зависимости $*(/) вида, указанного в условии за-
задачи 8 24.
8.27. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для простран-
пространственного ротатора, дипольный момент которого параллелен его
оси. До включения поля ротатор находился в состоянии с кван-
квантовыми числами /, lz = tn; электрическое поле направлено вдоль
оси г.
8.28. Получить выражение для амплитуды перехода системы
из начального (при t-*—оо) n-го состояния дискретного спект-
спектра в конечное (при /-»-+оо) k-e во втором порядке нестацио-
нестационарной теории возмущений. Предполагается, что возмущение
при /-> +оо равно нулю.
8.29. Как известно, применение нестационарной теории воз-
возмущений к расчет\г вероятностей перехода системы из началь-
начального п-ro состояния в конечное k-e в первом порядке приводит
к амплитудам перехода, равным
°"«ю1-Т J Vm(t)dt.
Величина Wn = jc™]2 представляет вероятность системе
остаться в первоначальном состоянии. Если воспользоваться
приведенным выше выражением для амплитуды а„„, то полу-
получится Wn > 1, что противоречит сохранению нормировки волно-
волновой функции состояния. Объяснить возникающий парадокс и
получить закон сохранения нормировки волновой функции со-
состояния с учетом переходов в первом порядке теории возму-
возмущений.
8.30. В условиях задачи 8.24 найти во втором порядке тео-
теории возмущений вероятности переходов осциллятора, запрещен-
64
ных б первом порядке*). Сравнить вероятности W'fn-*-« ± 2)"
8.31. На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d и
находящийся в основном состоянии, накладывается слабое од-
однородное электрическое поле ?(/)=з $?(/)по, лежащее в плоско-
плоскости вращения ротатора и изменяющееся во времени по закону
#/rt = /°' t<0-
W 1#оехр(-//т), />а
Найти во втором порядке нестационарной теории возмущений
вероятности переходов ротатора (при *->оо), запрещенных в
первом порядке. Сравнить со значениями вероятностей переко-
перекодов, разрешенных в первом порядке теории возмущений.
8.32. То же, что и в предыдущей задаче, но для простран-
пространственного ротатора, находящегося до включения поля в основ-
основном состоянии (см. также 8.27).
8.33. На систему, находящуюся при t < 0 в о-м стационар-
стационарном состоянии дискретного спектра гамильтониана #о, при
* >0 накладывается возмущение вида V (/)= Posin aot, где
V!o от времени не зависит. Найти волновую функцию системы
при />0в первом порядке теории возмущений. Указать усло-
условия применимости рассмотрения. Специально обсудить случай,
когда частота возмущения ш0 близка к одной из частот перехода
о™ = (?¦<?>—fwyft (ft-e состояние также относится к дискрет-
дискретному спектру гамильтониана йо).
8.34. На систему, находящуюся при (->— оо в «гм стацио-
стационарном состоянии дискретного спектра гамильтониана /?о, отно-
относящемся к двукратно вырожденному уровню ?{?, накладывается
возмущение вида 9=P^(t), где Ро от времени не зависит,
1fl^ 1. /@-*-° при t-*-— от. Найти волновую функцию системы
в «нулевом» приближении в произвольный момент времени. Для
простоты считать, что матричные элементы возмущения обла-
обладают свойствами
Я|, «а — Два независимых состояния, относящихся к двукратно
вырожденному уровню ?{? невозмущенного гамильтониана й0.
При выполнении какого условия для вычисления волновой
функции *P(t) в первом порядке теории возмущений можно
использовать стандартный подход, изложенный, например, в ре-
решении задачи 8.28?
8.35. На частицу, находящуюся при f<0 в основной со-
состоянии в поле U{x)^=,^a&(x) (см. 2.11), при *>0 наклады-
накладывается слабое однородное пале вида V(x,t) = -^xF0&\titoat,
•) То есть танкх переходов, для которых W<l>(n-*-k) =¦ 0,
3 В, М, Гялицкий в др. м
Найти вероятность WD(t) того, что частица к моменту t останет-
останется связанной в поле ямы. Считать ftwo> |?c| (|?о|—энергия
связи частицы; для частиц с энергией Е Э> \Ев\ действие потен-
потенциала можно рассматривать как возмущение, см. 8.22 и 8.37),
8.38. Решить предыдущую задачу при произвольной часто-
частоте соо возмущения. Может ли частица «покинуть» яму, если
Лшо<|?о|?
8.37. Частича находится в одномерном поле U(x); U(x)-*-0
при а*-»-±оо. Рассматривая действие поля как возмущение, най-
найти коэффициенты отражения и прохождения частиц с энергией Е
с помощью теории возмущений в непрерывном спектре. Указать
условия применимости рассмотрения. Сравнить с результатом
задачи 8.22.
§ 3. Внезапные воздействия
8.38. В рамках нестационарной теории возмущений получить
выражения для вероятностей переходов системы под действием
возмущений, характеризующихся следующей временной зави-
зависимостью:
а) мгновенное включение: Р(/)= Vtf\(t), т. е.
„ ГО, / < О,
/ > 0 [Vq от Бремени не зависит);
б) «импульсное» действие: V(f) = №о5(/).
Каково условие применимости полученных выражений, если
включение (и выключение в случае б)) возмущения происходит
не мгновенно, а за конечное время т?
8.39. Система, описываемая гамильтонианом йс, находится
в п-м стационарном состоянии дискретного спектра. При / = 0
гамильтониан системы внезапно изменяется и становится рав-
ным (при />0) Я = Я0+ Vo Фо, Vq от времени не зависят).
Найти вероятности различных стационарных состояний системы
при t ~> 0. В случае малого возмущения Ро сравнить с резуль-
результатом предыдущей задачи.
8.40. Гамильтониан системы имеет вид Й = Йо+ Wc8(t)t
При t <С0 система находилась в n-м стационарном состоянии
дискретного спектра. Найти вероятности различных стационар-
стационарных состояний системы при i > 0. Для слабого возмущения
V t= й?об(/) сравнить с результатом задачи 8.38.
Для случая VP'o = — xPQ дать наглядную интерпретацию по-
полученного результата.
8.41. Частица находится в основном состоянии в бесконечно
глубокой потенциальной яме шириной а @<л<а). В не-
некоторый момент времени правая стенка ямы за короткий ин-
интервал времени т смещается в точку Ь (Ь > а). Найти вероят-
вероятности возбуждения различных стационарных состояний частицы
после остановки стенки. Указать условия применимости полу-
полученных результатов. Рассмотреть случай Ь = 2а.
8.42. Частица находится в основном состоянии в мелкой пря-
прямоугольной потенциальной яме шириной с. Внезапно ширина
ямы изменяется до значения b ~ а, глубина ямы при этом не
изменяется. Какова вероятность того, что при этом частица по-
покинет яму? Кокова средняя энергия частицы, покидающей яму?
8.43. Решить задачу типа предыдущей в случае, когда вне-
внезапно изменяется в п раз (п ~ 1) потенциальная энергия, т. е.
глубина ямы, а ширина ямы остается неизменной.
8.44. Частица находится в основном состоянии в С-функцион-
ной яме, т. е. U(x)=*~ab(x). Внезапно параметр а, характе-
характеризующий «глубину» ямы, изменяется и становится равным а
Найти распределение по импульсам частиц, покидающих яму в
результате такого процесса. Считать, что волновые функции не-
непрерывного спектра можно аппроксимировать плоскими вол-
волнами. Указать условия применимости полученного результата.
8.45. Частица находится в основном состоянии в поле U(x)=-
=¦ —«5 (х). При t =0 яма начинает двигаться со скоростью V,
Найти вероятность того, что яма увлечет частицу за собой.
8.46. На заряженный осциллятор, находящийся в основном
состоянии, внезапно накладывается однородное электрическое
поле, направленное вдоль оси колебаний. Найти вероятности
возбуждения различных состояний осциллятора восле включе-
включения поля.
8.47. У линейного осциллятора, находящегося в основном со-
состоянии, в момент времени / = 0 «точка подвеса» начинает дви-
двигаться с постоянной скоростью V. Найтя вероятности возбужде-
возбуждения различных состояний осциллятора при t > 0.
§ 4. Адиабатическое приближение
а) Адиабатическое приближение в нестационарных задачах.
8.4$. Гамильтониан B(p,q, &(/)) некоторой системы, совер-
совершающей одномерное финитное движение*), явно зависит от
времени. Для каждого момента времени t предполагаются из-
известными спектр собственных значений En(t) «мгновенного» га-
гамильтониана и полная система соответствующих ортонормиро-
ванных собственных функций *?n(q, t).
Записать волновое уравнение для системы в представлении,
базисом которого является система функций Wn(q, t).
8.49. Гамильтониан системы, охарактеризованной в предыду-
предыдущей задаче, является медленно меняющейся функцией времени t.
Предполагая систему находящейся прн t = 0 в n-м квантовом
*) Ограничение одномерными системами, используемое в задачах В.48
В 8.49, не является принципиальным, н рассмотрение, проведенное в этих за-
задачах, может быть обобщено на системы с несколькими степенями свободы.
состоянии, найти се велновую функцию при / i> 0 в первом по-*
рядке адиабатической теории возмущений и указать условия
применимости результата.
8.50. На заряженный осциллятор, находящийся при t-*-—оо
в основном состоянии, накладывается однородное электрическое
поле вида:
а) #(/)=#оехр(-|'1/т);
Найти вероятности возбуждевия различных состояний осцилля-
осциллятора при / Ьоо в первом порядке адиабатической теории воз-
возмущений. Указать условия применимости полученных резуль-
результатов.
8.51. На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d и
находящийся в основном состоянии, при t > 0 накладывается
однородное электрическое поле вида ?(/) = #(Опо, где &A) =
= So[l —ехр(—//т)|. Найти функцию распределения по проек-
проекциям момента ротатора при /—*-ьоо в случае d&dl'&b*, но
rf$Vs ¦< тТг3 (сильное медленно включаемое поле).
8.52. Частица находится в поле двух в-функционных ям
При t-*-—оо ямы находились на бесконечно большом расстоя-
расстоянии друг от друга и частица была связана одной из ям. Рас-
Расстояние между ямами ?(/) медленно уменьшается и в некото-
некоторый момент времени Т ямы «сливаются» в одну: U{x) =
s=s—2<хб(лг). Какова вероятность того, что при этом частица
останется в связанном состоянии?
б) Адиабатическое приближение в стационарных задачах.
8.63. Гамильтониан системы, состоящей из двух подсистем,
имеет вид
где х, ?—координаты 1-й и 2-й подсистем-, 1^(^,1) описывает
взаимодействие между ними. Считая, что характерные частоты
1-й («быстрой») подсистемы много больше характерных частот
2-ii («медленной»), свести задачу приближенного вычисления
энергетических уровней и соответствующих им волновых функ-
функций совокупной системы к решению уравнений Шредингера для
отдельных подсистем.
8.54. Частица находится в двумерном поле U(x,y) вида
JO, -^Th-f^l.
Х'? \оо. г? + ?>1.
причем Ь > «. Найти энергетические уровни нижней частя
спектра и соответствующие им волновые функции.
8.55. Частица находится внутри непроницаемого эллипсоида
вращения, т. е,
V{x,
причем Ь <? а (скльно сплюснутый эллипсоид). Найти энерге-
энергетические уровни нижней части спектра и соответствующие им
волновые функции.
8.56. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае Ь » а
(сильно вытянутый эллипсоид).
8.57. Гамильтониан системы имеет вид
причем М > tn (два связанных осциллятора с сильно различаю-
различающимися массами). Найти уровни энергии системы и соответ-
соответствующие им волновые функции, используя адиабатическое при-
приближение.
Указанная задача допускает тонное решение. Найти его и
сравнить с результатом адиабатического рассмотрения.
8.58. Две частицы с сильно различающимися массами М>"
^ m находятся в бесконечно глубокой потенциальной яме ши-
шириной а. Частицы взаимодействуют друг с другом как непро-
непроницаемые точки, т. е.
(*i, а — координаты частиц). Найти энергетические уровни ниж-
нижней части спектра и соответствующие им волновые функции.
Глава 9
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
§ 1. Квантование энергетических уровней.
Квазиклассические волновые функции
9.1 > Получить квазиклассическое выражение для уровней
энергии линейного гармонического осциллятора. Указать усло-
условие применимости полученного результата. Сравнить с точным
решением.
9.2. Получить правило квантования энергетических уровней
и найти соответствующие им квазиклассические волновые функ-
функции в случае потенциала вида, приведенного на рис, 17,
69
Ряс. 17.
9.3. Получить квазиклассическое выражение для уровней
энергии частицы в однородном поле тяжести в случае, когда ее
движение ограничено снизу идеально отражающей плоскостью.
Указать условие применимости полученного результата (не-
(несмотря на то, что для нижних энергети-
энергетических уровней п ~*> 1 квазиклассическое
приближение формально неприменимо,
полезно сравнить полученный результат
для п = Ос точным значением энергии
основного состояния (см. 2.15)).
9.4. Для частицы, находящейся в поле
U(x) = UD)x/af; U0>0, v > О,
найти в квазиклассическом приближе-
нии, как изменяется расстояние между
соседними уровнями энергии с увеличе-
увеличением п в зависимости от значения параметра v. Какова плот-
плотность состояний дискретного спектра?
9.5. Найти в квазиклассическом приближении плотность со-
состояний дискретного спектра частицы, находящейся в одномер-
одномерной потенциальной яме с одним минимумом у потенциальной
энергии.
9.6. Потенциальная энергия частицы вблизи точки х0 имеет
вид U(x) ж ±а.\х— -Xol^; v ;> 0. При каких значениях пара-
параметра v решение уравнения Шредингера в окрестности этой
точки имеет квазиклассический вид? Имеет ли решение квази-
квазиклассический вид при v = 2?
9.7. Для частицы в центральном поле ?/(#¦) = —«г^; а>0,
v>-0, выяснить, в какой области пространства решение урав-
уравнения Шредингера для s-состояния с энергией Е = 0 имеет ква-
знклассический вид.
9.8. Используя квазиклассическое приближение, найти верх*
пие энергетические уровни дискретного спектра (т. е. уровни
с ?„->0) частицы в поле U(x) вида
и,-!"* х>а <й>0>-
{со,
х<а.
Указать условия применимости результата.
9.9. Получить в квазиклассическом приближении волновые
функции и энергетические уровни ^-состояний частицы в куло-
новском поле V(r)=—а/г. Результат сравнить с точным решеч
ниеы задачи.
9.10. Обобщить результат предыдущей задачи на случай
центрального поля вида U(r) = — аг^; 0 < v < 2.
9.11. Обобщить результат задачи 9.9 ва случай стационарных
состояний частицы в кулоновском поле с отличным от нуля ме«
ментом.
9.12. Используя квазиклассическое приближение, найти зна-
значения параметров потенциала
отвечающие появлению новых состояний дискретного спектра
частицы при углублении ямы. Указать условия применимости
результата.
9.13. То же, что и в предыдущей задаче, в случае потенциала
9.14. Частица находится в потенциальной яме U(x), имею-
шей при *-»±оо вид и(х)сп\х\~*ш. v > 2.
Получить в квазиклассическом приближении формулу, опре-
определяющую значения параметров потенциала, при которых в
поле появляются новые состояния дискретного спектра по мере
углубления ямы.
9.15. Для частицы, находящейся в поле U(x)=UD\x/ct\v
[Wo > 0, v>0), выяснить, при каких значениях параметра v
можно использовать стандартные формулы квазиклассического
рассмотрения: правило квантования Бора — Зоммерфельда и
условия сшивания квазиклассических волновых функций в
окрестности точек поворота, основанные на линейной аппрокси-
аппроксимации потенциальной энергии.
9.18. Исходя из правила квантования Бора—Зоммерфельда,
получить выражение для смещения энергетических уровней ча-
частицы при изменении потенциальной энергии на малую вели-
величину 6U(x).
Показать, что результат согласуется с полученным в первом
порядке стационарной теории возмущений.
9.17. Доказать теорему вириала в рамках квазиклассического
приближения.
9.18. Считая известным энергетический спектр частицы Е„,
найти ее среднюю кинетическую энергию в п-м стационарной
состоянии при п Э> 1.
9.19. В квазиклассическом приближении найти матричные
элементы Fmn оператора F вида /= F{x) в случае \т — п\ ~~ 1,
т. е. между близкими по энергии состояниями. Установить со-
соответствие между матричными элементами Fmn и фурье-компо-
нентаын Fs функции F(x(t)) в классической механике:
где Т = 2л/« — период движения в рассматриваемом поле клас-
классической частицы с энергией, равной En sv Em.
Найти в квазиклассическом приближении матричные элемен-
элементы координаты осциллятора и сравнить их с точными значе-
значениями.
9.20. Обобщить результат предыдущей задачи на случай опе-
оператора Ft=F(fi). Функцию ^(г) считать представимой в виде
ряда F=Y*cJf-
9.21. Поле Lf(x) представляет собой две одинаковые потен-
потенциальные ямы (/ и //, см. рис. 18), разделенные барьером. Если
бы барьер был непроницаем для частицы, то существовали бы
уровни энергии, отвечающие дви-
движению частицы только в одной
из ям (первой или второй), оди-
одинаковые для обеих ям. Возмож-
Возможность прохождении через барьер
Приводит к снятию вырождения
и расщеплению каждого из
этих уровней на два близких
уровня, соответствующих состоя-
состояниям, в которых частица дви-
движется одновременно в обеих
ямах.
Определить величину расщепления уровней в квазиклассиче-
квазиклассическом приближении,
9.22. Используя квазиклассическЪе рассмотрение, получить
правило квантования момента и найти асимптотический вид ша-
шаровых фуНКЦИЙ Yim-
Указать условия применимости полученных результатов.
9.23. То же, что и в предыдущей задаче, но & случае
9.24. То же, что и в предыдущих двух задачах, в случае
|т|~ 1.
9.25. Исходя из решения уравнения Шредингера для линей-
линейного осциллятора в квазиклассическом приближении, найти
асимптотику полиномов Эрмита Нп(х) при п->со (и фиксиро-
фиксированном х).
§ 2. Прохождение через потенциальные барьеры
9.26. Вычислить в квазиклассическом приближении коэффи-
коэффициент прозрачности параболического барьера вида
Указать критерий применимости полученного результата
(при этом специально обсудить случай медленных частиц Е-ъ
-С).
9.27. Оценить в квазиклассическом приближении коэффи*
пиент прозрачности барьера вида
\U0(l-x]a), x>0.
Какова точность полученного результата (сравнить с S.31
и 9.32)?
9.28, То же, что и в предыдущей задаче, для барьера вида
ГО, х<0.
Х ~I U*ехр(— х/а), х>0
(см. также 9.31).
9.29. Вычислить в квазиклассическом приближении коэффи-
коэффициент прозрачности барьера
Полученный результат сравнить с точным (см. 2.52).
9.30. В квазиклассичесвом приближении найти коэффициент
прозрачности барьера
при Достаточно малой энергии частиц.
9.31. Найти предэкспоненциальный множитель & квазиклас-
сшьееком вырвжевнв для коэффициента прозрачности барье-
барьера вида
.... /0, х<0.
UWl
(предполагается, что при *1>0 выполнены условия примени-
применимости квазиклассического рассмотрения).
9.32. В выражении для коэффициента прозрачности барьера,
рассмотренного в 9.27, сделать поправку на предэкспоненциаль-
предэкспоненциальный множитель согласно результату предыдущей задачи и срав-
сравнить с точным решением (см. 253).
9.33. Обсудить условия применимости стандартного квази-
квазиклассического выражения для коэффициента прозрачности барь-
ера ?>{Е)
Г 2 f
=ехр|—т- \ j
l в случае потенциала, убываю-
убывающего при jc-*±;oo степенным образом: ?/(x)oo|jc|-v —для ма-
малых энергий частицы Е->0. Найти закон убывания D{E) при
Е -*¦ 0, когда эти условия выполнены.
9.34. Найти коэффициент прохождения частиц через квази-
квазиклассический барьер при энергии частиц Ео = [/щах ^ U(xo)t
т. е. равной максимальному значению потенциальной энергии
?рис. 19). Предполагается ^"(лгс^О. Указать условия приме-
применимости полученного результата и в случае потенциала, ука-
указанного в задаче 9.29, сравнить с точным значением (см. 2.52).
Глава 10
ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ
§ 1. Симметрия волновых функций
10.1. Для системы из двух одинаковых частиц со спином s
найти число различных спиновых состояний, симметричных и
антисимметричных по отношению к перестановке спиновых пере-
переменных обеих частиц.
Каков характер симметрии спиновых состояний с определен-
определенным значением суммарного спина обеих частиц?
10.2. Пусть функции q>f (r) представляют пространственные
части волновых функций стационарных состояний частицы в
некотором внешнем поле. Две такие одинаковые частицы, имею-
имеющие спин s и слабо взаимодействующие друг с другом, нахо-
находятся в этом поле в орбитальных состояниях с заданными кван-
квантовыми числами fi и fs.
Найти общее число состояний с учетом спиновых степеней
свободы, считая, что частицы являются; а) бозонами; б) фер-
мионами.
Рассмотреть случаи одинаковых и различных квантовых чи-
чисел fls.
10.3. Показать, что если п тождественных частиц со спином
в находятсяв различных орбитальных состоянияхФ^(г), ф^(г),..,
.... (р (г), то общее число состояний с учетом спиновых
степеней свободы равно Q=Bs + 1)" независимо от того, ка-
какой статистике подчиняются частицы,
10.4. Пусть i]^ (|) являются нормированными на единицу вол-
волновыми функциями одночастичных состояний (ft — совокупность
квантовых чисел полного набора; | = (r,o), a — спиновая пе-
переменная). Написать нормированные на единицу волновые
функции состояний системы из трех тождественных бозонов,
находящихся в состояниях с квантовыми числами fi, f2, fa.
10.5. Три тождественных бозона со спином s = 1 находятся
Б одинаковых орбитальных состояниях, описываемых волновыми
функциями <р(г). Написать нормированные волновые функции
возможных независимых состояний системы указанного вида с
учетом спиновых степеней свободы. Каково число таких со-
состояний?
10.6. Три одинаковых, слабо взаимодействующих друг с дру-
другом бозона со спином s = 0 находятся в стационарных состоя-
состояниях с одинаковыми квантовыми числами п, и /, причем /= I,
в некотором центральном поле. Каково число различных состоя-
состояний системы указанного вида?
10.7. В условиях предыдущей задачи показать, что суммар4
ный момент L сястемы трех бозонов не может принимать зна-
значения L = 0.
10.8. Для состояния системы из двух одинаковых бозонов
со спином s = 0, описываемого нормированной волновой функ-
функцией \Р(п,гв), указать вероятность того, что одна частица на-
находится в объеме dVi, а другая — в dVs. Убедиться в правиль-
правильности нормировки полученного выражения.
Каковы вероятности того, что
а) обе частицы находятся внутри некоторого объема V;
б) одна частица находится внутри объема V, а другая — вне
этого объема?
10.9. Б системе из двух одинаковых бозонов со спином s = 0
одна частица находится в состоянии, описываемом волновой
функцией ф|(г), а другая —фг(г). Эти функции нормированы на
единицу и имеют определенные, причем противоположные, чет-
четности. Найти в указанном состоянии системы распределе-
распределение по координатам одной частицы при произвольном (не
фиксированном) положении другой. Каковы вероятности того,
что
а) одна частица; б) обе частицы
находятся в области пространства г^0? Сравнить полученные
значения со случаем различимых частиц.
10.10. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для случая
сястемы, состоящей из двух одинаковых фермионов, находя-
находящихся в одном и том же спиновом состоянии.
10.11. Для системы из двух одинаковых бозонов со спилом
s = 0 найти функцию распределения по относительному рас-
расстоянию между частицами. Как проявляется в полученном
распределении тождественность частиц? Какой смысл имеет
79
D?(ri,r8) —нормированная волновая функция системы)?
10.12. Как известно, в задаче двух тел движение центра масс
и относительное движение независимы. Убедиться в том, что
условие симметрии волновой функции системы тождественных
частиц по отношению к их перестановке не нарушает этой не-
независимости.
10.13. Какие значения может принимать суммарный спин S
двух тождественных бозонов со спином s в состоянии с относи-
относительным орбитальным моментом L (L — момент в с.ц.и.), т. е.
какие состояния as+1L возможны в системе из двух тождествен-
тождественных бозонов? Рассмотреть, в частности, случай бозонов со спи-
спином s = 0.
10.14. То же, что и в предыдущей задаче, но для тождествен-
тождественных фермионов. Специально рассмотреть случай фермионов со
спином 1/2.
10.15. Два тождественных бозона со спином s=0 связаны
потенциалом V =ft(rj —Тк)8/2- Каков энергетический спектр
системы?
10.16. Система состоит из трёх Тождественных частиц;
П.г,з —радиусы-векторы частиц в системе центр.а инерции. Как
ведет себя величина г,г8 при перестановке местами Ьй и 3-й ча-
частиц? Симметризовать указанную величину по отношению к пе-
перестановке любых двух частиц системы.
10.17. Показать, что в системе из трех частиц (не обяза-
обязательно тождественных) состояния с суммарным орбитальным
моментом L = 0 в с. ц. и. имеют определенную, положительную
четность.
§ 2. Основы формализма вторичного квантования
10.18. Найти коммутационное соотношение для операторов,
представляющих эрмитову и аитиэрмитову части бозевского опе-
оператора уничтожения й (илн рождения й+).
10.19. Построить из операторов координаты Л и импульса р
частицы операторы й и б+, обладающие свойствами бозевских
операторов уничтожения и рождения.
Найти волновую функцию \Рс(*) состояния частицы, которое
в терминах фиктивных «частиц>, операторами уничтожения и
рождения которых являются введенные выше й, й+, является
вакуумным.
10.20. Найти собственные функции и собственные значения
операторов рождения и уничтожения. В рассматриваемых со-
состояниях найти распределение по числу частиц.
Обсудить случаи бозевских и фермиевских операторов,
79
10.21. Исходя из антикоммутациоиных соотношений для фер-
миевских операторов уничтожения Ъ и рождения Ь+ показать,
что собственные значения оператора числа частиц п=Ъ+Ъ рав-
равны 0 и 1.
10.22. Является ли переход от операторов й, й+ к новым
операторам й' = й+а, &'+ = &¦ +а* (а-комплексное число)
унитарным преобразованием? Рассмотреть случаи фермиевских
и бозевских операторов рождения и уничтожения.
Провести анализ состояния вакуума «новых» частиц ]0'>
(частиц, операторами уничтожения н рождения которых являют-
являются d*. й'+) в терминах исходных частиц, т. е. найти распреде-
распределение по числу этих частиц.
10.23. То же, что н в предыдущей задаче, для преобразова-
преобразования вида
(а, р — вещественные числа; предварительно выяснить, при ка-
каких значениях а, р указанное преобразование является унитар-
унитарным).
10.24. Можно ли для преобразования вида
рассматривать й',- й'* как операторы уничтожения и рождения
некоторых новых частиц?
Провести анализ состояний |я') (т. е. состояний с опреде-
определенным значением п новых частиц) в терминах исходных ча-
частиц.
№.25. Пусть операторы tkf являются олераторами рождения
частицы в состоянии Ч^ (fi — совокупность квантовых чисел
полного набора). Произвольное одночастичное состояние ]1)
можно представить в виде
Какой квантовомеханический смысл имеют коэффициенты Q?
Рассмотреть, в частности, одночастичное состояние бесспино-
бесспиновой частицы вида
10.28. Операторы й^, &f_ и й+, &в являются операторами
рождения и уничтожения частицы в состояниях, определяемых
квантовыми числами ft и gk двух различных полных наборов.
Указать соотношения между этими операторами.
10-27. ДвукчастичнОе состояние системы тождественных бо-
бозонов (или фермионов) списывается вектором состояния
), где Щ-— оператор рождения частицы в состоя-
состоянии, определяемом квантовыми числами U некоторого полного
набора.
Нормировать вектор состояния на единицу. Рассмотреть слу-
случаи одинаковых и различных квантовых чисел ft и fa. Указать
вид нормированных волновых функций рассматриваемых состоя-
состояний в координатном представлении (как для бозонов, так и для
фермноиов).
10.28. То же, что и в предыдущей задаче, для трехчастич-
ного состояния 13) = й?й?й+10). Для определенности ограни-
ограничиться случаем, когда все три набора квантовых чисел ft, fa, f%
различны.
10.29. Для системы тождественных частиц определенного сор-
сорта указать вид следующих операторов в пространстве чисел
заполнения:
а) гамильтониана В, считая частицы свободными;
б) суммарного импульса Р;
е) радиуса-вектора центра инерции R4.H.
10.30. Используя результаты предыдущей задачи, найти опе-
оператор скорости центра инерции Уц.„ системы из N тождествен-
тождественных свободных частиц.
10.31. Для системы, состоящей из одинаковых частиц, найти
в представлении чисел заполнения вид операторов плотности
числа частиц й(г) (в точке г пространства) и числа частиц
J?(y), находящихся в некотором объеме v.
10.32. Доказать соотношения
[Р,
= lH-§FV{t), [Р, Ф+(
где Р, Ф(г) —операторы импульса и поля (\Р-операторы) в
представлении чисел заполнения для системы тождественных
бозонов со спином s = 0.
Обобщить соотношения на случай бозонов с отличным от
нуля спином и на случай фермионов.
10.33. Найти в представлении чисел заполнения вид опера-
оператора F2 квадрата аддитивной величины (F = ? fa\
Задачу предлагается решить двумя способами:
а) исходя из равенства Р2 = РР и используя известный вид
одночастичного оператора (см. 10.29)}
б) исходя из равенства
и используя стандартный вид одно- и двухчастичных операто-
операторов в схеме вторичного квантования.
Сравнить полученные результаты,
10.34. Найти в представлении чисел заполнения оператор
произведения плотностей числа частиц щп2 в различных точках
пространства Г], rE (rj Ф г2).
Отметим, что среднее значение щп^ используется для опи-
описания пространственной корреляции флуктуапнй плотности
(см. 10.36 и 10.38).
§ 3. Системы из большого числа N ~S> 1 частиц
10.35. В основном состоянии бозе-газа из N невзаимодей-
невзаимодействующих частиц со спином 5=0, находящихся в объеме V,
найти среднюю плотность числа частиц, среднее число частиц
в некотором объеме v и флуктуацию этого числа частиц.
Задачу предлагается решить усреднением соответствующих
операторов в представлении чисел заполнения.
10.38. В условиях предыдущей задачи рассмотреть простран-
пространственную корреляцию флуктуации плотности числа частиц. Для
однородной системы она характеризуется корреляционной функ-
функцией v (г) (г = Г[ — г2), равной
v (г) = \ {«^ — п.2}
п (г,) и т. д.),
где п — средняя плотность числа частиц.
Сравнить с соответствующим результатом для системы из N
классических не взаимодействующих Друг с другом частиц, на-
находящихся в объеме V.
10.37. В основном состоянии системы из N не взаимодей-
взаимодействующих друг с другом фермионов, находящихся в объеме V
(идеальный ферми-газ), найти среднюю плотность числа частиц
и среднее число частиц в некотором объеме v.
Задачу предлагается решить усреднением соответствующих
операторов в представлении чисел заполнения. _
10.38. В условиях предыдущей задачи рассмотреть корреля-
корреляцию плотностей числа частиц с определенными значениями
проекции спина на ось г в различных точках пространства;
найти n(Ti,sx\)n(rs,s^ и сравнить с произведением n(r|,szi)X
X«(f2, Szs). Рассмотреть случаи различных и одинаковых зна-
значений SZ| И Szi-
Найти корреляционную функцию плотности (см. 10.36),
10.39. Рассматривая взаимодействие между частицами как
воз\тущение, найти в первом порядке теории возмущений энер-
энергию основного состояния боэе-газа, содержащего N частиц со
спином s = 0b объеме V (взаимодействие частиц друг с другом
описывается короткодействующим парным потенциалом оттал-
отталкивания [/([Г,, —Г6 |)^:0).
10.40. То же, что и в предыдущей задаче, для фермн-газа
частиц со спином s = 1/2. Предполагается, что потенциал
парного взаимодействия не зависит от спина и удовлетворяет
условию М?о<1, где Яо— радпус потенциала, fifty- —гранич-
—граничный импульс.
10.41. Идеальный ферми-газ нейтральных частиц со спином
s = 1/2, имеющих спиновый магнитный момент щ (так что
р = моо), находится во внешнем однородном магнитном поле.
Для основного состояния рассматриваемой системы найти:
а) числа заполнения одночастичных состояний;
б) магнитную восприимчивость газа (в случае достаточно
слабого поля).
Взаимодействие магнитных моментов друг с другом прене-
пренебрежимо мало.
Глава 11
АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ
§ 1. Стационарные состояния атомов с одним
и двумя электронами *)
11.1. Найти поправку к уровням энергии водородоподобного
атома**) за счет релятивистской зависимости массы частшщ
(электрона) от скорости в первом порядке теории возмущений.
Сравнить величину поправки со значениями энергетических
уровней атома.
Для бесспиновой частицы полученный результат дает тонкую
структуру уровней водородоподобного атома. В случае же элек-
электрона, как это следует из уравнения Дирака, кроме рассмотрен-
рассмотренной поправки в гамильтониане имеется еще одно слагаемое,
описывающее так называемое спин-орбитальное взаимодей-
взаимодействие, вклад которого в смещение уровней атома имеет такой
же порядок величины, как и рассчитанная в данной задаче по-
поправка.
11.2. Вычислить в первом приближении теории возмущений
сдвиг энергетического уровня основного состояния водородопо-
водородоподобного атома, обусловленный неточечностью ядра. Ядро счи-
считать сферой радиуса R, по объему которой равномерно распре-
распределен заряд Ze. Оценить численное значение поправки и срав-
сравнить ее с релятивистскими эффектами (см. предыдущую задачу).
Насколько существенна неточечность ядра для ^-мезоатома?
11.3. Исследовать движение отрицательно заряженного ц-ме-
зонэ (мюона) в поле ядра заряда Ze (рассматриваемого как
*) В задачах этой главы часто, гагедна
зуем атомные единицы {ат. ед.); е = А = тс
•*) Водородоподобным {и аналогична п
мы называем систему, состоящую из ядра с
{двух) электронов.
оговариваясь, мы исполь-
сфера радиуса R, однородно заряженная по объему; R =
=• 1,2Л1'3-10-1* см, А да 22, Л —атомный номер ядра); вэаяыо-
действие мюона с ядром имеет чисто электростатический ха-
характер.
Найти волновые функции стационарных состояний и уровни
энергии мюона в предельных случаях малых и весьма больших
значений Z. Оценить энергию -у-квантов, излучаемых при атом-
атомных переходах в нижней части энергетического спектра ц-мезо-
атома.
11.4. Рассмотреть сверхтонкую структуру уровней s-состоя-
ний водородоподобного атома, связанную с взаимодействием
магнитных моментов электрона и идра. Ядро имеет спин / и
магнитный момент цо, так что ц = -у-Т, и предполагается то-
точечной частицей. Оценить величину сверхтонкого расщепления
и сравнить ее с интервалами тонкой структуры (см. задачу 11.1;
характерные значения магнитных моментов ядра имеют вели-
величину eti/ntpC, тр — масса протона, / — 1).
В случае атома водорода сравнить полученный результат
с экспериментальным значением сверхтонкого расщепления
(HFS) основного состояния Avhfs = A?hfs/2jiA= 1420 МГц*);
магнитный мОмёнт протона равен Цр = l,39eh/mpc.
11.5. Рассчитать в пеов&м порядке теории возмущений энер-
энергию основного состояния'двухэлектронного атома (или- иона),
рассматривая взаимодействие между электронами как возмуще-
возмущение. Получить значение потенциала ионизации системы и срав-
сравнить его с экспериментальными данными для атома гелия и
ионов лития, бериллия, углерода: /(Не) = 24,5 эВ; /(Li+) =
=75,6 эВ; /(Ве++)= 153,6 эВ; /(С4+) = 393 эВ.
11.6. Рассчитать в первом порядке теории возмущений энер-
энергию основного состояния и потенциал ионизации двухэлектрон-
двухэлектронного атома (или иона), выбрав невозмущенный гамильтониан
в виде
(использована атомная система единиц). Параметр Z9$$ в этом
гамильтониане выбрать из условия обращения в нуль поправки
первого порядка к энергетическому уровню системы. Сравнить
с результатом предыдущей задачи (см. также следующую за-
задачу) .
11.7. Найти энергию и потенциал ионизации основного со-
состояния двухэлектронного иона, исходя из вариационного прин-
принципа. В качестве пробной функции взять произведение водород-
водородных функций с некоторым эффективным зарядом Z3$$, играю-
играющим роль вариационного параметра. Сравнить с, результатом
•) Энергия, соответствующая частоте v^ 1 МГц, раава е » 4,14-JO-» ЭВ,
ч
задачи 11.5 и с приведенными там экспериментальными дан-
данными.
Можно ли на основании полученного результата сделать вы-
вывод о существовании устойчивого иона водорода Н-?
11.8. Найти среднюю энергию двухэлектронного иона с за-
зарядом ядра Ze в состоянии, описываемом волновой функцией
вида
V to, rs) = С [ехр (- or, - f>r2) -f ехр (-?/-,— or2)J.
Воспользовавшись полученным выражением и выбрав зна-
значения параметров а = I, Э = 0,25, доказать существование ста-
стабильного иона водорода Н~.
11.9. Найти приближенно энергетические уровни дискретного
спектра и соответствующие им волновые функции для системы,
состоящей из ядра с зарядом Ze, электрона и рг-мезона.
11.10. Рассчитать сверхтонкое расщепление триплетного
235-состояния атома гелия с ядром sHe (спин ядра /= 1/2,
магнитный момент р, = — l,064eft/mpe). При вычислениях ис-
использовать приближенный вид волновой функции 2э5-состояния,
получающийся в пренебрежении взаимодействием электронов
Друг с другом Сравнить полученный результат с эксперимен-
экспериментальным значением величины сверхтонкого расщепления
Avhfs = AEHFS/2nh да 6740 МГц.
11.11. Какие значения может принимать момент относитель-
относительного движения элеитронов в орто- и парасостояниях гелнеподоб-
ных атомов?
11.12. Найти уровни энергии и потенциалы ионизации воз-
возбужденных состояний гелиеподобных атомов в приближении,
в котором взаимодействие между электронами эффективно учи-
тывается как экранирование заряда ядра электроном, паходя-
ццшся в основном, ls-состояиии. Сравнить полученный резуль-
результат с экспериментальными данными, приведенными в решении
задачи.
11.13. Рассчитать энергетические уровни и потенциалы иони-
ионизации еннглетного и триплетного 25-состояний двухэлектронно-
двухэлектронного атома (или иона), рассматривая взаимодействие между элек-
электронами как возмущение.
Сравнить полученные результаты с экспериментальными
данными для атома гелия- /неB35)да 0,175 ат. ед. да 4,76 эВ,
/не B'5) да 0,146 ат. ед. да 3,97 эВ — и иона лития Li+: /u+ B3S) да
»0,605 ат. ед. да 16,5 эВ.
11.14. Найти энергию и потенциал ионизации 235состояния
гелиеподобного атома вариационным методом. В качестве проб-
пробной функции взять должным образом симметризованное произ-
произведение водородных функций Is- и 25-состояний с некоторым
эффективным зарядом ядра Za$$, играющим роль вариацион*
ного параметра.
В случае атома гелия и иона лития L1+ сравнить полученный
результат с экспериментальными данными (см. 11.13).
11.16. Показать, что у гелиеподобных атомов все устойчивые
возбужденные состояния (т. е. стабильные относительно распа-
распада на соответствующий водородоподобный атом и свободный
электрон) имеют электронную конфигурацию \stil, т. е. один
из электронов обязательно находится в основном, ls-состоянии.
11.16. Обобщить результат предыдущей задачи на случай
литиеподобных атомов (три электрона в кулоновском поле ядра
с зарядом Ze, Z ^ 3): показать, что устойчивыми являются
только такие состояния системы, электронная конфигурация ко-
которых имеет вид (ls)snl, т. е. два электрона обязательно нахо-
находятся в основном, ls-состоянии.
11.17. Оценить значения потенциалов ионизации основного
2S- (электронная конфигурация (lsJ2s) и первого возбужден-
возбужденного 2Р-состояниЙ (электронная конфигурация (ls)^/?) литие-
подобного атома, считая, что взаимодействие электронов, нахо-
находящихся в основном состоянии, с «возбужденным» электроном
сводится к экранировке на 2 величины заряда ядра.
В случае атома лития сравнить полученные значения с экс-
экспериментальными: /BS) = 5,373B и /(BP) = 3,S2 эВ.
11.18. Рассчитать вариационным методом энергию основного
состояния литиеподобного атома. Волновые функции электро-
электронов выбрать в виде соответствующих водородных функций с
эффективным зарядом ядра гэМ„ играющим роль вариацион-
вариационного параметра.
Расчет провести двумя способами:
а) пренебрегая обменными эффектами;
б) взяв в качестве волновой функции должным образом сим-
симметризованное произведение одночастичных волновых функций.
В случае атоыа лития сравнить полученные результаты с
экспериментальным значением ?о да —203,4 эВ да —7,48 ат. ед.
§ 2. Многоэлектронные атомы
11.19. Найти возможные термы возбужденных состояний
атома с электронной конфигурацией (сверх заполненных обо-
оболочек; пф «'):
а) nsn'p; б) прп'р; в) npn'd.
11.20. Найти возможные термы атома со следующей элек-
электронной конфигурацией (сверх заполненных оболочек);
о) (прJ; б) (пр)*; в) (лр)*; г) (ndJ.
Пользуксь правилом Гуида, указать нормальный терм атома,
11.21. Определить основные термы атомов N, C1 и ионов N+,
11.22. Какова четность атомных термов, имеющих электрон*
ную конфигурацию (сверх заполненных оболочек) i
«) lns\*; б) Дпр)*; в) (nrf)fc; г) .(«Р)Л(«^(?
11.23. Указать атомные термы, возможные дли электронной
конфигурация (nl)a.
11.24. Каковы мультиплетность 2S-H и полный орбиталь-
орбитальный момент L основного состояния атома с электронной кон-
конфигурацией (л/)* сверх заполненных оболочек?
11.25. Каково число различных независимых состояний (не
термов!) атома, отвечающих электронной конфигурации (nl)"
сверх заполненных оболочек?
11.26. Какое число различных независимых состояний атома,
имеющего электронную конфигурацию (nl)s, отвечает значению
S = 3/2 суммарного спина электронов?
11.27. Возбужденным состояниям атома, имеющим электрон-
электронную конфигурацию nsn'l (пфп'), отвечают два терма: '/. и SL
{L— суммарный орбитальный момент, L = I). Рассматривая
взаимодействие между электронами как возмущение, показать,
что энергия триплетного терма ниже энергии синглетного. Вид
радиальных функций ns- и n'f-электронов не конкретизировать,
11.28. Атом содержит сверх заполненных оболочек два экви-
эквивалентных лр-электрона. Рассматривая взаимодействие между
электронами как возмущение, найти порядок расположения
энергетических уровней возможных термов !5, '/>, SP атома.
Убедиться в том, что значения квантовых чисел S и L нормаль-
нормального терма подтверждают правило Гунда.
Указание. При составлении правильных функций «нулевого»
приближения, отвечающих определенному значению L момента,
удобно использовать тензорный формализм (см. задачи § 4 гла-
главы 3). Явный вид радиальной зависимости волновых функций
пр-электронов не конкретизировать.
11.29. Используя выражение для электронной плотности ней-
нейтрального атома согласно модели Томаса — Ферми, найти за-
зависимость от Z среднего расстояния электрона от идра перед-
переднего значения квадрата этой величины. Каково значение г" для
п^З?
11.30. Найти распределение электронов по импульсам в ней-
нейтральном атоме с зарядом ядра Z согласно модели Томаса—-
Ферми. Учесть, что универсальная функция %{х) этой модели,
определяющая объемную плотность электронов, монотонно убы-
убывает с ростом х.
Используя полученный результат, найти зависимость от за-
заряда ядра Z средних величин импульса и кинетической энергии
электрона.
11.31. В рамках модели Томаса — Ферми для нейтрального
атома найти зависимость от заряда ядра Z:
а) характерной величины орбитального момента электрона;
б) энергии полной ионизации атома.
11.32. Определить зависимость от Z числа электронов рас-
распределения Томаса— Ферми, находящихся в s-состоянии.
11.33. В модели Томаса —Ферми для нейтрального атома
выразить через электронную плотность п(г) кинетическую энер-
энергию электронов, энергию их взаимодействия друг с Другом и
с ядром.
Используя полученные выражения, теорему вириала и пове-
поведение на малых расстояниях г~*0 электростатического потен-
потенциала самосогласованного поля электронов и ядра
получить численное значение энергии полной ионизации атома.
11.34. В приближении Томаса — Ферми получить выражение
для полной энергии нейтрального атома через электронную
плотность п(г).
Рассматривая функционал ?[«(О], показать, что нормиро-
нормированная функция Г\ n(r)dV = z\ минимизирующая этот функ-
функционал, является решением уравнения Томаса — Ферми.
Используя полученный результат, найти энергию полной
ионизации атома вариационным методом, выбрав универсалы
ную функцию %(х) модели в виде 7пРое(х) = Иехр(—ом:), а —
вариационный параметр. Сравнить полученное выражение для
энергии ионизации и пробную функцию jcnpocfx) при малых к
с известными результатами точного численного решения.
11.35. Используя экстремальные свойства функционала
Е !«(/¦)], установленные в предыдущей задаче, доказать в рам-
рамках модели Томаса — фермн:
а) теорему вириала; б) соотношение Ve яд = —7Uee между
энергиями взаимодействия электронов друг с другом Vee и с
ЯДрОМ (УеЯд.
§ 3. Основные представления теории молекул
11.36. Произвести классификацию возможных термов моле-
молекулярного иона водорода Н2+*). Указать, какие значения может
принимать орбитальный момент электрона L (по отношению
к центру симметрии иона) для различных термов иона.
11.37. Состояние системы из двух электронов описывается
волновой функцией •? = КавФ(гь*я), где %& — спиновая функ-
функция, а функция ф(Г1,г«) пространственных переменных имеет
вид:
*) Отметим, что в задачах, связанных с классификацией термов молекул,
речь идет об описании некоторых формальных свойств атомных систем при
фиксированной положении ядер, так как вря этом остается открытым вопрос
об устойчивости такой системы по отношению к «развалу> ее на отдельные
атомы (или ионы). В случае иона Hj устойчивым является только одно,
2+-состояние (A™0).
а) fc = f(n, rsj;
б) ^etniio + r^Jf^hfi);
e) *=([riii]no)f(ri,rs);
г) *1> = (гцю + r2n0) (Irir2] n0) До, 'г)
(n0 — постоянный вектор).
Произвести принятую в теории двухатомных молекул клас-
классификацию указанных состояний.
11.38. Указать термы молекулярного иона водорода Щ, ?о-
торые могут получиться при соединении протона и атома водо-
водорода, находящегося в состоянии с главным квантовым числом
л =2.
11.39. Определить термы двухатомных молекул Nj, LiH,
HCi, NO, которые могут получиться при соединении соответ-
соответствующих атомов, находящихся в основном состоянии.
11.40. Могут ли в результате адиабатического разведения
ядер — протонов из термов молекулы водорода Н2 получиться
два атома водорода, оба находящиеся в возбужденных со-
состояниях?
11.41. Может ли в результате адиабатического разведения
ядер из термов молекулы LiH получиться атом водорода, нахо-
находящийся в возбужденном состоянии (напомним, что потенциал
ионизации основного состояния атома лития равен / =
= 0,20ат. ед.)?
1142. Для двухатомной молекулы оценить, по порядку ве-
величины, отношение следующих величин:
й) интервалов между электронными, колебательными н вра-
вращательными уровнями;
б) межъядерного расстояния и амплитуды нулевых колеба-
колебаний ядер;
е) характерных периодов и скоростей электронных и ядер-
ядерных движений.
11.43. Считая известными следующие характеристики моле-
молекулы водорода Hj:
а) энергию диссоциации основного состояния молекулы на
два невозбужденных атома водорода /о = 4,46 эВ;
б) частоту колебаний юе молекулы, Йюе = 0,54 эВ;
в) ротационную постоянную Ве = 7,6- iO эВ,
найти соответствующие величины для молекул HD и D2l т. е.
молекул, в которых одно или оба ядра —протоны заменены на
дейтрон.
Сравнить величины эффекта изотопического смещения уров-
уровней атома и молекулы водорода.
11.44. Каковы возможные вращательные состояния молекул
водорода Hg, дейтерия Da и HD, находящихся в основном, Sg-co-
стоянии, в зависимости от значения суммарного ядерного спина
молекул (sd = 11?
11.45. Обсудить вопрос о возможности существования отлич-
отличного от нуля среднего электрического дипольного момента двух*
атомной системы в стационарных состояниях:
а) электронного терма, т. е. электронной подсистемы с фик-
фиксированным положением ядер;
б) молекулы.
Рассмотреть состояния с различными значениями Л (Л = 0
и Л Ф 0) и случаи, когда ядра атомов являются:
а) д б) изотопами одного и того же элемен-
элемен) у, д д
а) тождественными; б)
та; б) различными.
11.46. Получить выраж
лучить выражение для энергии ?о№) основного
терма молекулярного иона водорода На вариационным методом,
аппроксимируя волновую функцию терма функцией вида
где г — расстояние электрона от центра отрезка, соединяющего
ядра — протоны, а, — вариационный параметр.
Выбрав в полученном выражении ?о№, а) параметр а = 1,9
(при таком значении а функция двух переменных ?о№,сс).
имеет абсолютный минимум при некотором Re, подлежащем
определению), найти размер иона Ro (/?е—расстояние между
ядрами иона в положении равновесия), минимальную энергию
терма Ео и энергию нулевых колебаний ядер — протонов иона
Екол, о- Сравнить полученные результаты с экспериментальными
данными Ro & 2,0 ат. ед., Ео *ы —0,60 ат. ед., ?Кол о ж
& 0,0044 ат. ед.
Можно ли на основании решения данной задачи сделать вы-
вывод о существовании стабильного иона Ш?
11.47. Для системы из двух частиц, одна из которых имеет
момент li=t, найти угловую зависимость волновых функций
)Р//ел состояний системы, отвечающих определенным значениям
ее суммарного момента / = 0,i, его проекции Jz на ось г и про-
проекции момента Л на направление радиуса-вектора второй ча-
частицы (при этом ограничиться случаем Л = 0),
Обобщить полученные результаты на случай произвольных
значений величин U, J, Л (но по-прежнему Л = 0).
Указание. При решении задачи удобно использовать тензор-
тензорный формализм (см. 3.68). Состояния подобного типа реали-
реализуются в двухатомных молекулах, причем в роли «первой» ча-
частицы выступает электронная подсистема, а в роли «второй» —
ядерная (правда, орбитальные моменты электронов и ядер в
отдельности не имеют определенного значения).
11.48. Для частицы со спином s=l/2 найти спин-угловую
вавнсимость волновых функций ^/j-j. состояний частицы с
определенными значениями /=1/2 суммарного момента ча-
ртицы, его проекции Jx = ±l/2 на ось г н с определенной
проекцией fc (fc = ± 1/2) спина частицы на направление ее ра-
радиуса-вектора. Каковы орбитальный момент частицы и четность
таких состояний?
11.49. Найти уровни энергии и соответствующие волновые
функции стационарных состояний асимметричного волчка с мо-
моментом / = 1 в /г/Е-представлении.
11.50. Главные моменты инерции асимметричного волчка
удовлетворяют условиям h ~~ h ^ 'з- Найти уровни энергия
волчка в первом порядке теории возмущений. Каков хараитер
энергетического спектра и, в частности, какова кратность выро*
ждения уровней в этом приближении? В каком порядке теории
возмущений происходит дальнейшее снятие вырождения уров-
уровней?
11.51. То же, что и в предыдущей задаче, в случае, когда
главные моменты инерции удовлетворяют условию \I\ — /s|<C
< Л ~ /3.
§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях.
Взаимодействие атомов и молекул
11.52. Как известно, поляризуемость ft, основного состояния
атома определяется выражением (предполагается j = 0)
A)
— оператор диполыюго момента атома (суммирование прово-
проводится по всем влектронам); по— произвольный единичный век-
вектор; сумма в выражении A) берется по всем возбужденным
состояниям системы (причем если состояния |А> относятся к
непрерывному спектру, то под суммой следует понимать инте-
интеграл).
Показать, что поляризуемость р0 удовлетворяет неравенству
(очевидно, р0 > 0)
где Ef* — энергия первого возбужденного состояния атома.
Получить также ограничение снизу на величину р0, взяв в
сумме A) лишь первое отличное от нуля слагаемое,
В случае атома водорода рассчитать указанные ограничения
снизу и сверху на величяну р0 и сравнить с точным значением,
равным ?-0 = 9/2 ат. ед.=9($2, а0 — боровский радиус.
11.53. Уточнить ограничения снизу и сверху на значение
поляризуемостн fl0 основного состояния атома водорода, полу-
полученные в предыдущей задаче, включив в рассмотрение еще одно
слагаемое (возбужденное состояние) в сумме A) (см. преды-
предыдущую задачу).
11.54. Рассчитать поляризуемость основного состояния атома
водорода вариационным методом. При решении задачи вос-
воспользоваться пробными функциями вида:
p
б) ^
— волновые функции основного (л = 1, / = 0, т =0) и первого
возбужденного B,1,0) состояний атома водорода в отсутствие
внешнего электрического поля; ось г направлена вдоль поля,
ее— вариационный параметр. Сравнить полученные результаты
с точным значением p\i =9flj/2 (см. также следующую задачу).
11.65. Уточнить результат предыдущей задачи, используя
пробное функции вида
где а, V — вариационные параметры.
При получении численного значения поляризуемостн реар
принять значение параметра у ='0Д
11.56. Рассмотреть эффект Штарка для возбужденных со-
состояний атома водорода с главным квантовым числом л,==2 в
первом порядке теории возмущений. При решении задачи вос-
воспользоваться собственными функциями невозмущенного гамиль-
гамильтониана в сферических переменных Ч?ыт. Указать условия при-
применимости полученных результатов (при этом учесть то обстоя-
обстоятельство, что при решении задачи пренебрегается релятивист-
релятивистскими эффектами, приводящими к тонкой структуре уровня; ин-
интервал тонкой структуры для уровня с л = 2 составляет A?FS «,
«4.5.|(НэВ). j
П.57. Используя известное значение ро= — аЗ_-_. ат. ед.
поляризуемости атома водорода в основном состоянии, полу-
получить приближенное значение поляризуемости основного состоя-
состояния атома гелия;
а) полностью пренебрегая взаимодействием электронов друг
с другом;
б) учитывая взаимодействие между электронами, результа-
результативно, как частичное экранирование заряда ядра (эффективный
заряд ядра выбрать равным ?Эфф = 27/16, см. 11.7).
Рассчитать диэлектрическую проницаемость гелия при нор-
нормальных условиях и сравнкть с экспериментальным значением
во х 1,000070 (такой величине ец соответствует значение поля-
поляризуемости Р = 1,40 ат. ед.).
11.58. Оценить порядок величины поляризуемости томас-
фермиевской модели атома, т. е. отношение дипольного момен-
момента d етомас-фермиевских» электронов, возникающего под дей-
действием приложенного электрического поля, к величине напря-
напряженности поля &.
Сравнить с вкладом в поляризуемость атома валентных элек-
электронов.
11.59. Для двухатомных молекул оценить порядок величины
поляризуемости р основного состояния в случаях, когда:
я) средний дипольный момент молекулы d = 0 (в системе
координат, жестко связанной с осью симметрии молекулы);
б) d ФС.
Считать, что основной терм молекулы !2.
Сравнить полученные величины друг с другом и с характер-
характерной величиной поляризуемости атома.
11.60. Найти штарковское расщепление вращательных компо-
компонент электронного терма '2 двухатомной молекулы, имеющей
постоянный дипольный момент (штарковское расщепление пред-
предполагается малым по сравнению с расстоянием менаду соседни-
соседними вращательными уровнями). Сравнить с результатом зада-
задачи 8 12.
11.61. Рассмотреть эффект Зеемана для водородоподобиого
мезоатома со спином мезона $ = 0. Взаимодействие мезона с
ядром (предполагаемым точечным) считать чисто электроста-
электростатическим. Каков характер снятия вырождения уровней с глав-
главным квантовым числом п?
11.62. То же, что и в предыдущей задаче, для атома водо-
водорода. Магнитное поле считать настолько сильным, что зееманов-
ское расщепление много больше тонкой структуры уровней. Для
уровня сп = 2 указать условия применимости полученных ре-
результатов (интервал тонкой структуры этого уровня составляет
11.63. Рассмотреть эффект Зеемана для триплетной и син-
глетной компонент сверхтонкой структуры основного состояния
атома водорода (ядро атома — протон), предполагая зееманоз-
ское расщепление малым по сравнению с величиной сверхтон-
сверхтонкого расщепления.
11.64. Выяснить влияние конечности массы ядра на эффекты
Штарка и Зеемана в Еодородоподобном атоме (или мезоатоме).
11.65. Найти зеемановское расщепление уровней позитрония
{связанное состояние электрона и позитрона), предполагая его
много большим тонкой структуры. Сравнить со случаем атома
водорода.
90
11.66. Найти магнитную восприимчивость Хат атома гелия в
основном состоянии, используя приближенный вид волновой
функции, установленный в li.7. Рассчитать магнитную вос-
восприимчивость 1 см3 газа из атомов гелия /газ при нормальных
условиях и сравнить ее с экспериментальным значением, рав-
равным -8,6-10-".
11.67. В случае триплетного 2эР-состояния атома гелия воз-
возможны следующие термы: 8РС, 3Pi. г^2, которые при учете ре-
релятивистских эффектов имеют различные энергии (тонкая
структура). Оценить магнитную восприимчивость атома в 8Ро-
состоянии "и сравнить ее с магнитной восприимчивостью и поля-
поляризуемостью основного состояния атома.
11.68. Найти зееыановское расщепление вращательных ком-
компонент электронного герма '2 двухатомной молекулы (зеема-
(зеемановское расщепление предполагается малым по сравнению с
расстоянием между соседними вращательными уровнями).
11.69. Найти энергию взаимодействия заряженной частнцы
(протона, мезона, электрона и т. д.) с невозбужденным атомом
водорода на больших расстояниях друг от друга.
11.70. Рассмотрим систему, состоящую из двух заряженных
чэстиц и нейтрального атома водорода, находящегося в основ-
основном состоянии, причем расстояние между атомом и заряженны-
заряженными частицами много больше боровского радиуса. Найти энер-
энергию взаимодействия указанной системы. Имеет ли она адди-
аддитивный характер?
11.71. Найти энергию взаимодействия заряженной частицы и
двухатомной молекулы, находящихся на большом расстоянии
друг от друга. Предполагается, что молекула обладает постоян-
постоянным дипольным моментом d (в системе координат, жестко
связанной с осью молекулы) и находится в основном состоя-
состоянии по всем квантовым числам. Электронный терм моле-
молекулы '?.
11.72. Найти энергию взаимодействия двух атомов водорода,
находящихся в основном состоянии на большом расстоянии R
друг от друга, вариационным методом. При расчетах использо-
использовать пробные функции вида:
а) Ч'прРб = СТоЫЧ'о(''2)[1 + вг1г2];
б) 4%** = СВД-,) Тс (ft) 11 + «(*i*2 + W2 ~ 2zizz) ],
где Чго(г)=у\/—jrr№ — волновая функция основного состоя-
ния атома водорода; гь г% — радиусы-векторы электронов перво-
первого и второго атомов относительно своих ядер, ось г направлена
вдоль оси, проходящей через ядра; а — вариационный параметр.
В принятых обозначениях оператор взаимодействия между
атомами в диголь-дяпольном приближении имеет вид
11.73. Найтн энергию взаимодействий на больших расстоя-
расстояниях двух молекул, обладающих постоянными дипольными мо-
моментами di и d2. Предполагается, что молекулы находятся в
основных состояниях по всем квантовым числам; электронные
термы молекул 1Е.
§ 5. Нестационарные явления в атомах и молекулах
11.74. Атом водорода находится в основном состоянии.
Ядром атома является тритон — сверхтяжелый изотоп водорода,
В результате р-распада тритий превращается в гелий:
Найти вероятность того, что нон гелия, образующийся в резуль-
результате распада, окажется в основном состоянии.
При расчете явления учесть то обстоятельство, что эффект
изменения заряда ядра является доминирующим по сравнению
с эффектами отдачи ядра (см. по этому поводу 11.77 и 11.78)
и взаимодействия электрона р-распада и атомного электрона
(скорость р-распадного электрона много больше скорости атом-
атомного: v ^,10уат).
11.75. В условиих предыдущей задачи найти вероятности
возбуждения различных состояний нона гелия (водородоподоб-
иый атом с Z = 2) с главным квантовым числом п = 2.
11.76. В условиях задачи 11.74 найти среднее значение энер-
энергии, приобретаемой атомным электроном в результате р-рас-
р-распада ядра.
11.77. Ядро атома, находящегося в стационарном состоянии
ЧЪ, испытывает внезапный толчок длительности т, в результате
которого приобретает скорость v (например, за счет отдачи при
излучении -у-кванта возбужденным ядром).
Предполагая выполненными неравенства т <. Т и т < а/и.
где Т и а — порядки величин электронных периодов и размеров
электронной оболочки соответственно, выразить в общем виде
вероятность перехода атома в состояние \РП в результате такого
«встряхивания».
11.78. Используя результат предыдущей задачи, вычислить
суммарную вероятность возбуждения и ионизации атома водо-
водорода (первоначально находящегося в основном состоянии) в ре-
результате внезапного «встряхивания», при котором ядру —про-
—протону сообщается импульс Р.
Указать условия применимости результата.
11.79. Обобщить результат 11.77 на случай двухатомной мо-
молекулы, т. е. получить общее выражение для вероятности пере-
перехода молекулы из стационарного состояния % в состояние Ч*,,
в результате внезапного «встряхивания», при котором одному из
ядер молекулы сообщается импульс Р.
11.80. В условиях предыдущей задачи найти вероятность
эого, что молекула останется в исходном состоянии, если вне-
внезапное изменение скорости ядра V много меньше характерных
скоростей электронов в молекуле. Электронный терм молекулы
'2, и она находится в основном состоянии по всем квантовым
числам (и = /( = 0).
11.81. На атом водорода, находящийся при (==0 в нормаль-
нормальном состоянии, действует однородное, периодическое во вре-
времени (зависимость от времени вида sinmf) электрическое
поле.
Пользуясь теорией возмущений, вычислить отнесенную к еди-
единице времени вероятность ионизации атома. Электрон в конеч-
конечном состоянии считать, для простоты, свободным.
11.82. Найти вероятность выбрасывания /(-электрона из ато-
атома при диполыюм переходе ядра в результате прямого электро-
электростатического взаимодействия электрона с протонами ядра (внут-
(внутренняя конверсия в. пренебрежении запаздыванием).
-- В качестве начальной волновой функции использовать
Ч'-функцию /(-электрона водородоподобного атома. Скорость
электрона в конечном состоянии считать много больше
атомной.
11.83. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае, когда
начальное и конечное состояния ядра имеют равный нулю мо-
момент (такие процессы называют конверсией при монопольном,
или ?0-переходе).
11.84. Найти вероятность выбрасывания /(-электрона из
возбужденного состояния ц-мезоатома (атом содержит один
р--мезон, находящийся на возбужденном уровне) в результате
эффекта Оже (т. е. (А-мезон переходит в более низкое энергети-
энергетическое состояние, а энергия перехода передается атомному элек-
электрону в результате электростатического взаимодействия мюона
и электрона).
Ограничиться рассмотрением так называемого дипольного,
или Р-перехода Оже, При котором изменение орбитального мо-
момента мюона |А/|=1.
При проведении расчетов считать размеры мюонной орбиты
много меньше электронных и электрон в конечном состоянии
свободным.
Указать условия применимости полученного результата. Рас-
Рассмотреть, в частности, мюонный переход 2p-*-ls.
11.85. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае Д/ = 0
(S-перехсды Оже). Для простоты ограничиться случаем, когда
орбитальный момент электрона в начальном и конечном со-
состояниях равен нулю.
Рассмотреть, в частности; ;мюоняый переход 2s~> is.
Глава 12
АТОМНОЕ ЯДРО
§ 1. Основные представления о ядерных силах.
Дейтрон
12.1. Как известно, ядерные силы характеризуются малым
радиусом и большой интенсивностью. Так, качественные зако-
закономерности низкоэнергетического нуклон-нуклонного взаимо-
взаимодействия можно объяснить, только предположив, что радиус сил
Яо « 2-Ю-13 см (на больших расстояниях ядерные силы очень
быстро убывают), при этом характерная величина потенциала
ядерных сил составляет Uc <& 40 МэВ.
Найти характерные значения потенциалов кулоновского
взаимодействия двух протонов и магнитного взаимодействия
спиновых магнитных моментов двух нуклонов на указанном рас-
расстоянии Ro и сравнить их с величиной Lr0.
12.2. Каким был бы магнитный момент дейтрона, если бы
дейтрон находился в состоянии *):
a) >SC; б) "Si; в) 1Рц г) SPO; д) sPi\ e) Ч)м?
Напомним, что магнитные моменты свободных протона и
нейтрона (в ядерных магнетонах) равны: цР = 2,79; \хп = —l,9i;
экспериментальное значение магнитного момента дейтрона
На = 0,85, а его спин h ~ i.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 3.54^
12.3. Для дейтрона оценить среднее значение г4 '(г =
= гр — гп), исходя из условия слабой связанности протона и
нейтрона и имея в виду, что с подавляющей вероятностью
дейтрон находится в состоянии SS.
12.4. Каким был бы квадрупольный момент дейтрона, если
бы дейтрон находился в состоянии:
a) 'So; б) «Si; в) *Рц г) *Р0?
Выразить квадрупольный момент дейтрона через среднее
квадратичное расстояние г2; сравнить с результатом следующей
задачи
12.5. То же, что и в предыдущей задаче, в предположении
3Ргсостояния дейтрона.
Произвести численную оценку Qo; сравнить с результатом
предыдущей задачи и с экспериментальным значением квадру-
полыюго момента дейтрона Qg = 2,82- 10-г7 смЕ.
*) Поскольку квантовые числа дейтрона твердо установлены, то задачи
такого типа, в которых рассматриваются гипотетические состояния дейтрона,
ыогут показаться искусственными. Однако следует иметь в виду, что имеиво
сравнение предсказаний физических характеристик дейтрона, рассчитанных
& различных предположениях о его квантовых числах, с экспериментальными
данными и позволило в конечном счете идентифицировать состояние реаль-
реального дейтрона,
12.6. Каковы собственные функции и собственные значения
изотопического спина (его величины и проекции Т$) для си-
системы из двух нуклонов?
12.7. Каково значение изотопического спина системы, со-
состоящей из протона и нейтрона, в состоянии системы с опреде-
определенными значениями суммарного спина S и момента относи^
тельного движения L нуклонов?
Указать изотопическую часть волновой функции дейтрона.
12.8. Указать наиболее общий вид изотоп ически-инвариант-
ного оператора взаимодействия двух нуклонов.
Выразить найденный оператор С через операторы нуклон-
нуклонного взаимодействия в состояниях с определенным зна-
значением изотопического спина Cr=o; i-
12.9. Для двухнуклонной системы указать изотопическую
структуру оператора кулоновского взаимодействия нуклонов.
12.10. На основании изотопической инвариантности ядерных
сил и экспериментального факта существования единственного
связанного состояния системы «протон -f- нейтрон» — дейтрона —
показать, что не должно существовать связанных состояний си-
системы из двух протонов или двух нейтронов.
Учесть значения квантовых чисел дейтрона: спин J& = l't
четность Рй = +i.
12.11. От каких свойств инвариантности реальных ядерных
сил пришлось бы отказаться, если бы состояние дейтрона пред-
представляло суперпозицию lPi -j- SP\ (а не 3Si + 3^ь как У реаль-
пого дейтрона)?
Указать возможный вид взаимодействия, которое могло бы
привести к указанному состоянию.
12.12. Предположив, что взаимодействие двух нуклонов
имеет следующую изотопическую структуру:
0 =
где Vi, 2 — операторы, уже не зависящие от изоспиновых пере-
переменных (они — операторы в пространстве координат и спинов,
симметричные по отношению к перестановке нуклонов), иайти
вид взаимодействия в системе из:
с) двух протснов; б) двух нейтронов; в) протона и нейтрона*
Согласуется ли рассматриваемое взаимодействие с:
1) изотопической инвариантностью; 2) зарядовой симметрией
реальных ядерных сил?
12.13, Какие свойства дейтрона указывают на зависимость"
протон-нейтронного взаимодействия от спинов нуклонов?
Рассмотрев зависящие от спина потенциалы!
S
Ч.
а) C«=VMoEtrn«=V(r)BSt —3I
б) 0= V(r)SL (спин-орбнтальное взаимодействие);
ej O=~ V(r)[6(Snls — 2S2] (тензорные силы)
^п = r/r. г = Гр — Гп, ® = -g-(вр + °п) — оператор суммарного
спина нуклонов), выяснить, какие из них могут быть использо-
использованы для объяснения сбсуждавшихся выше свойств дейтрона*
Указать интегралы движения для рассматриваемых потен-
циалов.
12.14. Показать, что потенциал тензорных сил
(s=^-(O[ + O2) — оператор суммарного спина нуклонов), рас-
рассматриваемый как возмущение центрально симметричного по-
потенциала Lro(f), приводит к сдвигу уровня S-состояния лишь во
втором порядке теории возмущений.
12.15. Показать, что при учете тензорных сил, когда 0 =
= (/0(r)_j_?rTi Где Ur = V{r)Sls, S!2?=6(Sn)a — 2S2, волновая
функция дейтрона, представляющая суперпозицию 8Si + ъ&и
может быть записана в виде
Здесь ^! = sP + Sn — оператор суммарного спина нуклонов,
%=\ ь I — произвольная спиновая функция спина S = l в
\е /
5г-представлении (соответственно оператор S и волновая функ-
функция )Р, отвечающая суммарному сгину нуклонов S = l, также
определены в Sz-представлении).
При каком выборе спиновой функции % рассматриваемая
волновая функция Ч* описывает состояние дейтрона с опреде-
определенным значением /г?
Найти в рассматриваемом состоянии <J>.
12.16. Как известно, магнитный момент дейтрона, представ-
представляющего суперпозицию 3Si + sDi, равен
jxd=(l — афрГЯОЧ-юцРА)»0,85 яд. маг.,
где l»CSi) и (*CД)—магнитные моменты системы «протон+
4- нейтрон» в состояниях sSi, sDi (см. 12.2), w яв 0,04 —вероят-
—вероятность нахождения дейтрона в 3/>гсостоянии.
Объяснить, почему для квадрупольного момента дейтрона
нет соотношения, аналогичного приведенному выше для маг-
магнитного момента. В связи с этим отметим, что квадрупольный
момент ^-состояния равен нулю, в состоянии 3?>| он отрица-
отрицателен, QCZ>i)<0, а его экспериментальное значение для дей-
дейтрона Qa ж 2.82-10-27 см*>-©.
12.17. Оценить размеры «зеркальных» ядер трития SH и ге-
гелия 3Не, исходя из того,, что при р-распаде 3Н -» 3Не + е + v
максимальная кинетическая энергия электрона ео= 17 кэВ.
Учесть изотопическую инвариантность ядерных сил и отсутствие
у рассматриваемых ядер возбужденных состояний. Напомним
следующие численные значения: {Мп — Мр)с2 & 1,29 МэВ,
теса« 0,51 МзВ.
12.18. Как известно, размеры ядер определяются соотноше-
соотношением Ц = гоА'Р, где А — число нуклонов в ядре.
Оценить значение гс из данных о р+-распаде ядра, содержа-
содержащего Z + i протонов и Z нейтронов (так что A =2Z-\- i), вы-
выразив его через максимальное значение энергии ео позитронов
распада. Считать, что распадающееся ядро и ядро — продукт
распада (являющиеся зеркальным» ядрами) находятся в оди-
одинаковых состояниях (т. е. имеют одинаковые квантовые числа,
за исключением значений 73-компоиент изоспина). Энергию ку-
лоновского взаимодействия протонов в ядре считать равной
электростатической энергии равномерно заряженного шара,
имеющего такие же заряд и радиус, как и ядро.
Получить численную оценку г0 из распада uSi-> «Ai +ef +
+ v, для которого ео = 3,48 МэВ.
12.19. То же, что и в предыдущей задаче, из распада
iJCi -> feS + e* + v, для которого со = 5,52 МэВ.
§ 2. Модель оболочек
12.20. В модели оболочек каждый нуклон в ядре рассмат-
рассматривается как движущийся в некотором среднем (самосогласо-
(самосогласованном) поле, создаваемом остальными нуклонами ядра и яв-
являющемся сферически симметричным.
Предполагая, что самосогласованный потенциал можно ап-
аппроксимировать потенциалом
найти одночастичиые энергетические уровни.
К каким значениям магических чисел приводит такая мо-
модель самосогласованного потенциала?
Какие качественные изменения в картине одночастичных
урорней происходят при малом (но сферически симметричном)
возмущении Ы1(г) рассматриваемого потенциала?
Каковы предсказания модели в отношении моментов и чет-
ностей основных состояний ядер?
12.21. Как известно, объяснение свойств основных и нижних
возбужденных состояний ядер на основе оболочечной модели
может быть получено лишь при введении, наряду с центральным
самосогласованным потенциалом U{r), также спин-орбиталыю-
го взаимодействия Vis.
В рамках модели, в которой
4 Ва М. ГалнцилВ в др.
(сравнить с предыдущей задачей), найти одночастичный энер-
энергетический спектр. Для а«й<о/Ю (сз = iJkjM ) нарисовать кар-
тину нижних одночастичных уровней (такая модель правильно
передает порядок расположения одиочастичных уровней, суще-
существенный для описания свойств не слишком тяжелых ядер).
В рамках рассматриваемой модели найти моменты (спины)
и четности основных состояний ядер: еНе, 6Li, 'gB, l|C, 13C, 'tN,
I4C, |6O, 17O, SA1, SCa.
12.22. Найти нижние одночастичные уровни для осциллятор-
ного потенциала при наличии спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия вида
Uts=~ агТо.
Обсудить характер расщепления уровней невозмущенного
гамильтониана. Сравнить с результатом предыдущей задачи.
12.23. В рамках модели оболочек найти спин-изоспиновую
часть волновых функций основных состояний ядер трития SH
и гелия 3Не.
12.24. Указать возможные значения полного момента / и
изотопического спина Т ядер, содержащих сверх заполненных
оболочек два нуклона в состоянии pi/г (с одинаковым «). Ядра-
Ядрами, имеющими такую конфигурацию, являются 'еС, '7N, 'eO
(два нуклона сверх заполненных оболочек (Ц/2L0Рзс)в)
12.25. То же, что и в предыдущей задаче, для Двух нунлонов
в состоянии р3!2.
12.26. В модели оболочек найти магнитный момент и гиро-
гиромагнитный множитель для ядра, содержащего сверх заполнен-
заполненных оболочек лишь один нуклон (или имеющего одну дырку
в незаполненной оболочке).
Применить полученный результат к основным состояниям
следующих ядер*): 3Н (/ = i/2; ц = 2,91); 3Не (i/2; —2,13);
"В C/2; 2,69); "С (i/2; 0.70); ^N A/2; -0,28); "О E/2; -1*89);
"Si (i/2; -0,55).
При решении задачи воспользоваться схемой одночастичных
уровней, установленной в 12.21.
12.27. То же, что и в предыдущей задаче, но для ядра, со-
содержащего сверх заполненных оболочек по одному протону и
нейтрону (или имеющего по одной протонной и нейтронной
дырке в незаполненных оболочках) в одинаковых состояниях
(т. е. с одинаковыми значениями п, I, /).
Расчет провести для различных значений момента (спина)
ядра, возможных при данной нуклонной конфигурации. Срав-
Сравнить с экспериментальными данными для ядер *) 2Н (/ а= 1;
^=0,85); |Li A; 0,82); 1?В C; i,80); "N (i; 0,40).
12.28. Рассчитать магнитный момент ядра, содержащего
сверх заполненных оболочек по одному протону и нейтрону (или
имеющего по одной протонной и нейтронной дырке в незапол-
незаполненных оболочках) в одинаковых состояниях в условиях LS-свя-
$и (при этом одночастичные уровни характеризуются кванто-
квантовыми числами п, I, а не п, I, /, как в схеме //-связи).
Применить полученный результат к основному состоянию
ядра GLi, имеющему спин / = i. Найти ц для различных воз-
возможных значений L и S и сравнить с экспериментальным значе-
значением ЦэКСЛ = 0,82 и результатом предыдущей задачи. Нуклоны
сверх заполненной оболочки (isL находятся в 1р-состоянии
(т. с. имеют 7= 1).
Каков изотопический спин рассматриваемых состояний ядра
GLi?
12.29. Найти в схеме //-связи магнитный момент ядра, имею-
имеющего одинаковое число протонов и нейтронов сверх заполнен-
заполненных оболочек в одинаковых состояниях пЦ.
Применить полученный результат к ядру ^Na, имеющему
спин i = и магнитный момент |1Жсп = 1,75.
12.30. То же, что и в предыдущей задаче, но в условиях
LS-связи (см. 12.28).
12.31. В рамках модели оболочек найти соотношение между
магнитными моментами основных состояний зеркальных ядер.
Ограничиться рассмотрением ядер, у которых все нуклоны
(обоих зарядовых состояний) сверх заполненных оболочек на-
находится в одинаковых состояниях пЦ.
Применить полученный результат к ядрам SH и 3Не и срав-
сравнить его с данными эксперимента, учитывая, что Цэксп (SH) =
= 2,91; ц}КСПCНе) = —2,13.
12.32. Найти квадрупольный момент ядра, имеющего сверх
заполненных оболочек лишь один протон в состоянии:
a) sE/2; б) рз/2\ е)_о5/2-
Выразить Qo через гК
Каков квадрупольный момент ядра, имеющего лишь одну
протонную дырку в указанных оболочках?
12.33. Обобщить результат предыдущей задачи на случай
прогона в состоянии с произвольным значением / н / =
= / + 1/2.
12.34. Найти квадрупольный момент ядра, имеющего сверх
заполненных оболочек лишь один протон в состоянии с произ-
произвольным значением / и /= /— i/2.
Сравнить с результатами предыдущих двух задач.
12.35. Найти квадрупольный момент ядра, имеющего сверх
заполненных оболочек лишь один нейтрон в состоянии с орби-
орбитальным моментом / и полным моментом / = / ± 1/2.
Указание. Ядро рассматривать как систему, состоящую из
двух подсистем: нейтрона сверх заполненных оболочек и
нуклонов заполненных оболочек (как целого), движущихся от-
относительно центра масс ядра *).
12.36. Как известно, модель оболочек с самосогласованным
потенциалом осциллнторного вида
позволяет понять и объяснить (при учете спин-орбитального
взаимодействия) многие свойства не слишком тяжелых ядер.
Предполагая, что осцилляторный характер самосогласован-
самосогласованного потенциала сохраняется и для тяжелых ядер Л>1, на
основе квазиклассических соображений получить выражение
для плотности нуклонов в таких ядрах. При решении задачи
пренебречь кулоновским взаимодействием протонов и рассмот-
рассмотреть ядра с одинаковым числом протонов и нейтронов.
Согласуется ли полученное выражение с экспериментальны-
экспериментальными данными?
12.37. То же, что н в предыдущей задаче, для самосогласо-
самосогласованного потенциала вида
"W = {oo, r>R.
Выбрав в соответствии с экспериментальными данными па-
параметр R модели в виде R = г0Л1'' (R — радиус ядра, г0 =
= 1,2- 1(И3 см), найти граничный импульс pF нуклонов в ядре.
Какова при этом максимальная скорость нуклонов?
Глава 13
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ
§ 1. Борцовское приближение
I3.I. Показать, что амплитуда рассеяния частицы в произ-
произвольном внешнем поле может быть выражена через волновую
функцию в области действия потенциала:
t с» k)=—sk ^-"¦¦"(¦¦mt'i'W
гле ко, к— волновые векторы частицы до и после рассеяния,
Чг[+> — волновая функция, имеющая при г~> оо асимптотическое
поведение вида
*) Обсуждение трудности модели оболочек, связанной с фиксирование!^
тра масс ядра, рассматриваемого как система независимых частиц, см. i
re [3].
13.2. Как должен убывать потенциал взаимодействия на
больших расстояниях r~*-oot чтобы асимптотика волновой
функции Ч"?] при г->оо имела вид, указанный в предыдущей
задаче, т. е. чтобы на больших расстояниях плоская волна не
искажалась внешним полем? Ограничиться потенциалами, имею-
имеющими при г—*оо степенное убывание Lr (г) со/"".
13.3. Выяснить, на каквх расстояниях от силового центра
волновая функция >Р|+' (г) может быть представлена в асимпто
тическом виде, приведенном в 13.1. Считать, что яри r^R по-
потенциал пренебрежимо мал (R — «радиус» потенциала).
13.4. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния
и полное сечение рассеяния частиц в полях U(r), указанных
ниже. Исследовать предельные случаи малых и больших энер-
энергии частиц. Указать условия применимости рассмотрения.
a)
r) = ab(r—R); б) U(r)
13.5. Для потенциалов U{r), рассмотренных в предыдущей
задаче (i3.4,fl,6), найти значение Ч'{+)@)в первом порядке тео-
теории возмущений (Ч^+1(г) — волновая функция, описывающая
процесс рассеяния частиц с импульсом /tk).
13.6. Показать, что в условиях применимости борцовского
приближения полное сечение рассеяния частиц с(Е) в произ-
произвольном центральном поле U{r) как функция энергии удовле-
удовлетворяет неравенству
т. е. Еа(Е) —монотонно растущая функция энергии Е.
13.7. Показать, что при рассеянии частиц в поле притяжения
(т. е. при (/(г) ^ 0) или в поле отталкивания ((/(г) ^ 0) в усло-
условиях применимости борновского приближения максимальное
значение сечения рассеяния о[Е) имеют частицы с энергией
? = 0.
13.8. Получить выражение для амплитуды рассеяния частиц
в борновском приближении в случае потенциала, имеющего об-
обменный характер, т. е. ^„^(r)^ U(rL?(—r).
Как амплитуда рассеяния в этом случае связана с амплиту-
амплитудой рассеяния в обычном поле U{r)? Каково различие в харак-
характере рассеяния быстрых частиц на «обычном» и «обменном»
потенциалах?
13.9. Показать, что при больших энергиях частицы kR > 1
(R — радиус взаимодействия) полное сечение рассеяния в
поле С/(г)'гг V{p,z) в борновском приближении может быть
представлено в видь
Импульс частиц до рассеяния направлен вдоль оси г; р — дву-
двумерный радиус-вектор в плоскости, перпендикулярной оси г.
Применить указанную формулу к случаю поля Lr(r) =
= Loe~rW и сравнить с результатом задачи i3.4, e.
13.10. В борновском приближении амплитуда рассеяния ча-
частиц вперед (на угол 6 = 0) является вещественной величиной
(Imf F =0)= 0) и, таким образом, не удовлетворяет оптической
теореме, согласно которой о(?) = 4я1т/(?, в = 0)/k
Объяснить, почему такой результат является естественным
и нарушение оптической теоремы не противоречит успешному
описанию дифференциального и полного сечений рассеяния в
рамках борновского приближения (естественно, в условиях его
применимости; см. также следующую задачу).
13.11. Написать выражение для амплитуды рассеяния во вто-
втором порядке теории возмущений. Найти lmf(S'F = 0) и объяс-
объяснить полученный результат.
13.12. При исследовании амплитуд процессов столкновения
частиц важной характеристикой процесса является величина
— отношение вещественной части амплитуды рассеяния на угол
«нуль» к мнимой.
Выразить |ч(?)| через полное сечение рассеяния и диффе-
дифференциальное сечение рассеяния частиц вперед. Как ведет себя
величина г\(Е) в условиях применимости борновского прибли-
приближения?
13.13. Выразить в борновском приближении амплитуду рас-
рассеяния на двух одинаковых силовых центрах, находящихся на
расстоянии а друг от друга, т. е. f/(r)== fo(r)+ Vc(r — а), че-
через амплитуду рассеяния fo на одном центре Lr0(r).
Найти соотношения между сечениями рассеяния нн двух и
на одном центре в случаях:
а) ftfl<i (при этом величина kR может быть произволь-
произвольной, R — радиус действия сил отдельного центра);
б) kR ~ 1 и а > R (т. е. расстояние между центрами много
больше радиуса действия сил отдельных центров).
13.14. Получить в борновском приближении выражение для
амплитуды рассеяния на системе из N одинаковых центров, рас-
расположенных в точках а.,, п = i, 2 N, т. е. U (г) —
Применить полученный результат к анализу углового рас-
распределения рассеянных частиц в случае, когда центры располо-
расположены вдоль прямой линии, причем расстояния между ближай-
ближайшими центрами одинаковы и равны Ь, а импульс налетающих
частиц направлен вдоль оси, па которой расположены рассеи-
рассеивающие центры. Специально обсудить случай N > I.
Считая выполненными условия: R'^. b (R— радкус действия
потенциала отдельного центра), bk *&. 1, но Nbk 3> 1, найти пол-
полное сечение рассеяния частиц указанной цепочкой центров.
13.15. Найти во втором порядке теории возмущений амплн-
ТУДУ рассеяния частиц в поле V (г) = Сое~г'да при больших пе-
передачах импульса qR >¦ i. Сравнить с борновской амплитудой.
13.16. Сравнить при энергии частиц ? = 0 значения точной
амплитуды рассеяния fT(? = 0) в поле U{r) с амплитудой рас-
рассеяния в борновском приближении /Б@) в этом поле в случаях;
а) поля отталкивания (/(г) ^0;
б) поля притяжения (/(/") ^ 0, в котором, однако, нет со-
состояний дискретного спектра (потенциальная яма достаточно
«мелкая»).
Показать, что в случае а) борновское значение сечения рас-
рассеяния больше точного, а в случае б), наоборот, меньше.
§ 2. Фазовая теория рассеяния. Рассеяние медленных
частиц. Резонансные явления при рассеянии
13.17. Получить выражение для фазовых сдвигов 6Дй) в
условиях применимости борновского приближения непосред-
непосредственно из разложения по парциальным волнам амплитуды рас-
рассеяния в центральном поле.
Указание. Воспользоваться известным из теории функций
Бесселя соотношением (*,(/>0) [12]:
sin Улг- + у2 — 2ху cos <p
s Ф).
13.18. Получить выражение для фазовых сдвигов в борнов-
борновском приближении в случае обменного потенциала (см. 13.8).
13.19. В условиях применимости борновского приближения
найти поведение фазовых сдвигов при энергии частицы ?->0.
Ограничиться потенциалами Ьг(г), убывающими при /-->со
быстрее любой степени г (например, V <*> е-"*).
13.20. Найти поведение борновских фазовых сдвигов б? (ft
с фиксированным значением I при fc->oo. Ограничиться случаем
потенциалов, поведение которых при г-*-0 удовлетворяет усло-
условию г(У(г)^-е.
13.21. Используя квазиклассическое выражение для фазовых
сдвигов, найти их поведение при фиксированном значении I
и ?->ео. Сравнить с результатом предыдущей задачи.
13.22. Найти в борцовском приближении фазовые сдвига
s-волн {/ = 0) в нолях:
a) U{r)=U0R&{r — R); б) U(r)=U0^rlK.
Используя полученный результат, найти для указанных по-
полей сечение рассеяния медленных частиц. Указать условия при-
применимости и сравнить с результатами 13.4,о, б.
13.23. Восстановить потенциал взаимодействия V(r) по фазе
рассеяния &o{k) {/=0), считая ее известной при всех энергиях
частицы и предполагая, что |5с{?) | <? 1.
В качестве иллюстрации полученного результата рассмот-
рассмотреть зависимости 50(?) вида:
В случае б) сравнить с результатом 13 22,6.
13.24. Найти точные значения фазовых сдвигов s-волн в
полях:
в) V{r)*= — Voe-rl*.
Используя полученные результаты, найти для указанных по-
полей сечения рассеяния медленных частиц. Указать условия при-
применимости полученных выражений.
13.25. Найти длину рассеяния и сечение рассеяния медлен-
медленных частиц в поле U {г) = а/г*, а > 0.
13.26. Найти длину рассеяния и сечение рассеяния частиц
с энергией Е = 0 в поле
U(r) =
Специально обсудить предельные случаи с яг 6 и с> 6.
13.27. Найти энергетическую зависимость сечения рассеяния
частиц о{Е) в ноле, спадаюшем на больших расстояниях по
закону
U{r)^<tjr", r~>oo, 2<п<3,
при энергии частиц ?~>0.
13.28. То же, что и в предыдущей задаче, в случае потен-
потенциала, имеющего на больших расстояниях вид 11{г)ж а/г*.
13.29. Найти фазовые сдвиги б/ (k) в поле V (г) = а/г2, а > 0.
Выполнить суммирование ряда, представляющего разложе-
разложение амплитуды по парциальным волнам, в случаях:
ma/h2 <C I, при произвольных углах рассеяния;
ma/h2 ~>, I, при достаточно малых углах рассеяния;
mcc//i2> 1, при рассеянии частиц назад F = я),
г айти в указанных случаях дифференциальное сечение рас-
рассеяния частиц и сравнить его с результатами расчетов в бор-
борцовском приближении и согласно классической механике.
13.30. Вычислить полное сечение рассеяния быстрых частиц
kR )» I идеально отражающей (непроницаемой) сферой радиуса
/?. Воспользоваться квазиклассическим выражением для фазо-
фазовых сдвигов и оптической теоремой.
13.31. В условиях предыдущей задачи найти амплитуду и
дифференциальное сечение рассеяния для малых углов рассея-
рассеяния Щ? ^ 1*).
13.32. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае не
очень малых углов рассеяния 6 XAR). Сравнить с результа-
результатом классической механики.
13.33. Найти длину рассеяния в полях притяжения:
а) i
как функцию параметров потенциала Uc, R.
Чем примечательны значения параметров поля, при которых
длина рассеяния обращается в бесконечность?
13.34. Вычислить сечение рассеяния медленных частиц в поле
U(r) = —аЬ(г — R) в условиях резонанса в s-волне.
13.35. То же, что и в предыдущей задаче, в случае сфери-
сферической потенциальнй ямы глубины Uo и радиуса R.
13.36. Найти парциальную амплитуду рассеяния частиц с
/ = 0 в поле V{r)= a&[r — R). В случае aR > Jis/m определить
положение Eq и ширину Г нижних квазндискретных уровней
(Eo~hs/mR2).
Сравнить сечения рассеяния частиц с энергией Е ~ H2/mR2
на б-функционной и непроницаемой сферах одинакового радиу-
радиуса R. Каково значение разности этих сечений при энергии ча-
частиц, близкой к энергии квазидискретного s-уровня?
§ 3. Рассеяние быстрых частиц (приближение эйконала).
Рассеяние частиц со спином
13.37. Получить выражения для амплитуды рассеяния быст-
быстрых частиц в приближении эйконала (q± « q f& ttQ)
/{ft, e
непосредственно из разложения ее по парциальным волнам.
•) Расселине под малыми углями б условиях, подобных данной задаче,
называют дифракциониим, так как по своей физической природе оно анало-
аналогично дифракции плосЕопараллельного пучка света, гадающего на непрозрач-
непрозрачный (отражающий или поглощающий) зиран (так называемая дифракция
Фраунгофера, см. [5]); см. также 13.56.
105
Указать условия применимости полученного результата.
13.38. Показать, что в приближении эйконала для ампли-
амплитуды рассеяния выполняется оптическая теорема (сравнить с
13.10 и 13.11).
13.39. Показать, что полное сечение рассеяния частиц в поле
U(г) быстрых частиц kR > 1 (Я—радиус потенциала) может
быть вычислено по формуле
независимо от соотношения между энергией частиц и потен-
потенциальной энергией, т. е. для справедливости формулы не тре-
требуется выполнения условий применимости приближения эйко-
эйконала.
Применить полученный результат к вычислению сечения рас-
рассеяния частиц потенциальным барьером: ?7=0 при г > R и
U = и0 при г < R.
13.40. Найти полное сечение рассеяния в поле I7(r) = cc/r*
(а >¦ 0) частиц с энергией, удовлетворяющей условию
л/тл/т»1-
1341. Выразить в приближении эйконала амплитуду рассея-
рассеяния частиц в поле двух силовых центров, находящихся на рас-
расстоянии а друг от друга, т. е. U{r)= U0(r)-\- 1Л>(|г — а|), че-
через амплитуду рассеяния /о на одном центре Uo(r).
13.42. Оператор взаимодействия частицы со спином s == 1/2
с бессшшовой частицей имеет вид
где г = г! — г2 — относительный радиус-вектор частиц, Т=
= — i[rVt] — оператор орбитального момента системы относи-
относительно центра масс.
Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния при
столкновении таких частиц друг с другом.
13.43. Найти в борновском приближении амплитуду и диф-
дифференциальное сечение рассеяния быстрых нейтронов кулонов-
ским нолем.
13.44. Получить выражение для сечения рассеяния частиц
со спином s = 1/2 на бесспиновых частицах в борновском при-
приближении. Оператор взаимодействия частиц имеет вид, приве-
приведенный в 13.42.
Какова энергетическая зависимость полного сечения рассея-
рассеяния при больших энергиях? Сравнить со случаем рассеяния бес-
спиновых частиц.
13.45. Квкве ограничения накладывает условие эрмитовости
гамильтониана на вид оператора взаимодействия частицы со
спином s = 1/2 и бесспиновой частицы (см. 13.42)
Какова поляризация рассеянных частиц в первом борнов-
борновском приближении, если первоначально (до столкновения) они
были не поляризованы?
13.46. Частицы со спином s = 1/2 до рассеяния на бесспи-
новых^ частицах были поляризованы: вектор поляризации
Р = 28=^0. Показать, что в борновском приближении в резуль-
результате рассеяния происходит лишь поворот вектора поляризации,
так что 11^1 = 1 Р|, где Р' — вектор поляризации частиц после
рассеяния (сравнить с предыдущей задачей).
13.47. Найти амплитуду рассеяния медленных нейтронов на
протонах, учитывая, что их взаимодействие обладает следую-
следующими свойствами:
о) при квантовых числах / = 0 и 5 = 1 имеется связанное
состояние — дейтрон, энергия связи которого мала (ей <? ti?/mfi?,
R ¦— радиус взаимодействия);
б) при / = 0 и S = 0 имеется мелкий виртуальный уровень;
е) при малой энергии системы «нейтрон -f- протон» потен-
потенциал взаимодействия можно считать центральным, зависящим,
однако, от величины S суммарного спина, т. е. 0 = {/()+
+ V()SJ
§ 4. Рассеяние составных частиц,
Неупругие столкновения
13.48. Найти дифференциальное и полное сечения упругого
рассеяния быстрых электронов атомом водорода, находящимся
в основном состоянии,
13.49. То же, что и в предыдущей задаче, для атома гелия.
Волновую функцию атома выбрать на основании вариационного
расчета, проведенного в 11.7.
13.50. Найти полное сечение возбуждения 2$-состояния атома
водорода при столкновении быстрых электронов с атомами во-
водорода, находящимися в основном состоянии.
13.51. Найти дифференциальное и полное сечения возбужде-
возбуждения ядра электронами при монопольном (или Е0-) переходе
ядра, т. е. когда начальное и конечное состояния ядра имеют
одинаковые момент / = 0 и четность. Электроны в начальном
и конечном состояниях считать быстрыми.
13.52. Сферический ротатор, имеющий момент инерцли 1Г
заряд е = 0и электрический дипольный момент d, параллель-
параллельный оси ротатора (простейшей моделью такого ротатора яв-
является система из двух частиц с зарядами противоположного
знака, находящихся на заданном расстоянии друг от друга),
находится в основном состоянии.
Вычислить в первом порядке теории возмущений дифферен-
дифференциальное и полное сечения неупругого рассеяния заряженных
частиц ротатором с возбуждением его /-го уровня.
13.53. Найти сечение рассеяния тяжелых заряжеипых частиц
{например, протонов или ионов) нейтральными атомами, имею-
имеющими момент, равный нулю. Скорость рассеиваемых частиц
считать много меньшей скоростей атомных электронов. Указать
условия применимости полученного результата.
Указание. Предварительно показать, что в процессе рассея-
рассеяния существенны расстояния, много большие атомных. Восполь-
Воспользоваться квазиклассическим выражением для сечения рассеяния
(см. 13.39).
13.54. Определить сечения упругого и неупругого рассеяния
медленных частиц комплексной потенциальной ямой
lift'
l о.
r<R, Ut>0,
r>R
(по поводу физической интерпретации мнимой части потенциала
см. 7.9). Считать выполненными условия | Щ, t | <? H^/mR2.
13.55. Найти полное сечение Ополи, сечение упругого оу11р и не-
упрутого Онеупр рассеяния быстрых частиц kB~S>\ поглощающей
(«черной») сферой радиуса R. Сравнить с результатом 13-30.
Указание. Воспользоваться квазиклассическими представле-
представлениями о движении частиц. Считать, что все частицы, достигаю-
достигающие поверхности сферы, поглощаются ею.
13.56. В условиях предыдущей задачи найти дифференциаль-
дифференциальное сечение упругого рассеяния частиц. Сравнить с результа-
результатом 13.31.
13.57. Найти соотношения между амплитудами и дифферен-
дифференциальными сечениями упругого рассеяния нейтрона на протоне
и нейтрона на атоме водорода, находящемся в основном состоя-
состоянии. Взаимодействием магнитного момента нейтрона с электро-
электроном пренебречь. Указать условия применимости полученного
результата.
13.58. Как известно, в результате взаимодействия электрона
с позитроном может произойти их аннигиляция, т. е. превраще-
превращение пары в фотоны. Поэтому уровни энергии позитрония (водо-
родоподобного «атома», состоящего из электрона и позитрона)
имеют конечное время жизни.
Найти соотношение между временем жизни основного со-
состояния позитрония и сечением аннигиляции пары при столк-
столкновении медленного позитрона с электроном. Считать, что взаи-
взаимодействие, ответственное за аннигиляцию, имеет радиус, малый
по сравнению с размерами позитрония, и его можно рассматри-
103
рать как возмущение (конкретный вид этого взаимодействия не-
несуществен).
13.59. С помощью принципа детального равновесия связать
сечения радиационного захвата нейтрона протоном и фоторас-
фоторасщепления дейтрона.
Указание. Принцип детального равновесия и основанное на
нем соотношение между сечениями взаимно обратных двухча-
двухчастичных реакций в курсах квантовой механики обычно выво-
выводятся для нерелятивистских частиц (см., например, [3]). Однако
если в соответствующих окончательных выражениях понимать
под величиной импульса относительного движения двух частиц
величину импульса этих частиц в с.ц. и., то они непосредственно
переносятся на случай релятивистских частиц. В связи с этим
напомним, что в нерелятивистской механике />0™ = u.i>с.™ =
= |Pi| = |P2|> гДе Pi =—рг — импульсы частид в с. ц. и., ix~
их приведенная масса, vOTh = vf — va.
13.60. Найти соотношение между сечениями фотоэффекта с
основного состояния атома водорода и радиационной рекомби-
рекомбинации электрона с протоном (процесс, обратный фотоэффекту)
в основное состояние атома водорода. Спином протона и свя-
связанным с ним магнитным моментом можно пренебречь.
Глава 14
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 1. Излучение фотонов
14.1. Найти время жизни и ширину возбужденного 2р-состоя-
иия атома водорода (спином электрона пренебречь).
Применить полученный результат к (i-мезоатому и сравнить
со временем жизни свободного ыюона (т11 = 2,2-1(Н с).
14.2. Найти время жизни первого возбужденного уровня за-
заряженного сферического осциллятора.
14.3. Показать, что дипольные (электрические) переходы
между:
а) уровнями атома с различной мультиплетностью (напри-
(например, между состояниями орто- и парагелия),
б) компонентами тонкой структуры одного и того же терма
атома (т. е. между различными уровнями одного и того же
мультиплета)
запрещены.
14.4. Для 2s, .2-состояния атома водорода оценить вероятность
электромагнитного перехода (в единицу времени*)) в 2р,/2-со-
сгояние.
*) В ряде последующих задач эта оговорка для npai
Напомним, что разность энергий 2si/j- и 2р1/гУровней (так
называемый лэмбовский сдвиг) составляет AELS«4,4 X
X НН эВ.
Полученный результат сравнить с вероятностью перехода
2si/2-».Is]/2 с излучением двух фотонов, равной цугу = 7 С, и
с результатом 14.8.
14.6. Найти вероятность электромагнитного перехода сфе-1
рического ротатора, находящегося на первом возбужденном
уровне, в основное состояние.
Ротатор имеет момент инерции / и электрический дипольный
момент d, направленный вдоль оси ротатора.
Указание. Взаимодействие ротатора с полем излучения имеет
вид V = —dSred, где Stad (г) — оператор электрического поля
фотонов.
14.6. Найти вероятность электромагнитного перехода между
ротационными уровнями двухатомной молекулы, имеющей по-
постоянный дипольный момент d. Электронный терм молекулы 12.
Ограничиться случаем первого возбужденного ротационного
уровня.
Произвести численную оценку вероятности перехода.
14.7. Свободная нейтральная частица со спином s = 1/2,
имеющая спиновый магнитный момент ц (так что ц = ца), на-
находится в однородном магнитном поле ЭЬа в состоянии с опре-
определенным значением проекции спина на направление поля.
Найти вероятность излучения фотона в единицу времени в ре-
результате переворота спина.
14.8. Найти вероятность однофотонного перехода атома во-
водорода из возбужденного гя^-состояния в основное Isi/2-состоя-
ние. Сравнить полученное значение с результатом 14.4.
14.9. Найти вероятность электромагнитного перехода между
компонентами сверхтонкой структуры основного состояния ато-
атома водорода (см. 11.4).
14.10. Какова мультипольность излучения для доминирую-
доминирующих электромагнитных переходов между компонентами тонкой
структуры одного и того же терма атома?
Оценить численное значение вероятности соответствующих
электромагнитных переходов в единицу времени.
14.11. Показать, что один фотон не может находиться в со-
состоянии с равным нулю полным моментом.
Указание. При отыскании волновых функций (в импульсном
представлении) состояний фотона с определенным значением /
воспользоваться тензорным формализмом, развитым в задачах
§ 4 главы 3.
14.12. Показать, что система из двух фотонов не может на-
находиться в состояниях с равным единице полным моментом
]*=\ (в системе центра инерции). См. указание к предыдущей
задаче; учесть тождественность фотонов,
ПО
§ 2. Рассеяние фотонов. Излучение фотонов
при столкновениях
14.13. Найти дифференциальное и полное сечения упругого
рассеяния фотонов свободной заряженной частицей. Сравнить
с результатом классической электродинамики.
14.14. Найти дифференциальное и полное сечения упругого
расеяния фотонов сферическим ротатором, находящимся в
основном состоянии.
Ротатор имеет момент инерции / и электрический диполь-
дипольный момент d, направленный вдоль оси ротатора.
14.15. Найти дифференциальное и полное сечения упругого
рассеяния фотонов заряженным сферическим осциллятором, на-
находящимся в основном состоянии.
14.16. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния
фотонов нейтральной частицей со спином s = 1/2, имеющей
магнитный момент (i (так что \i = (ш).
Рассмотреть следующие случаи:
а) до рассеяния частица находится в состоянии с опреде-
определенным значением проекции спина на ось z (вдоль которой на-
направлен импульс падающих фотонов) sz = -H/2, и в процессе
рассеяния спиновое состояние частицы не изменяется;
б) то же, что и в предыдущем пункте, но в процессе рассея-
рассеяния происходит переворот спина частицы, т. е. в конечном со-
состоянии (после столкновения) s2 = —1/2;
е) рассеяние на неполяризованных частицах.
14.17. Найти дифференциальное и полное сечения неупру-
неупругого рассеяния фотонов сферическим ротатором в основном со-
состоянии, сопровождающегося возбуждением ротатора, во вто-
втором порядке теории возмущений. Какие состояния ротатора при
этом возбуждаются?
Ротатор имеет момент инерции / и электрический дипольный
момент d, направленный вдоль оси ротатора *).
14.18. Для частицы в поле U{t) доказать справедливость
следующих соотношений (так называемых «правил сумм»):
a) XHmU|«)|2
6)
*) Решение аналогичной задачи для заряженного сферического осцилля-
осциллятора показывает, что в этом случае во втором порядке теории возмущений
в дипольном приближении процессы неупругого рассеяния фотонов не проис-
происходят (сравнить с 14.15).
Ш
где \i — масса частицы, суммирование проводится по всем ста-
стационарным состояниям, |л> — стационарное состояние дискрет-
дискретного спектра.
14.19. Выразить сечение рассеяния фотонов малой энергии
ha-*-О атомом, находящимся в стационарном состоянии с мо-
моментом, равным нулю, через поляризуемость атома.
14.20. Найти сечение фотоэффекта для водородоподобного
атома, находящегося в основном состоянии. Предполагается, что
энергия фотонов удовлетворяет условию Ла^>1, где /—потен-
/—потенциал ионизации
14.21. Найти сечение радиационной рекомбинации быстрого
электрона с покоящимся протоном (процесс, обратный фотоэф-
фотоэффекту) с образованием атома водорода в основном состоянии.
14.22. Найти дифференциальное и полное сечения фоторас-
фоторасщепления дейтрона, т. е. процесса v + d-v p -j- п.
Указание. Для волновой функции дейтрона воспользоваться
приближенным выражением, установленным в 12.3. Протон и
нейтрон в конечном состоянии рассматривать как свободные.
Расчет провести в дипольном приближении.
14.23. Найти дифференциальное сечение тормозного излуче-
излучения электропа в кулоновском поле ядра. Исследовать угловое и
спектральное распределения излучаемых фотонов. Взаимодей-
Взаимодействие электрона с ядром рассматривать как возмущение.
Глава 15
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ I. Уравнение Клейна — Гордона
15.1. Показать, что если Ч"-*(г,/) представляет волновой па-
пакет, составленный из частных решений уравнения Клейна — Гор-
Гордона, отвечающих энергии (или частоте) определенного знака
(либо е ^ тс2, либо е ^ —тс2), то независимо от конкретного
вида такой суперпозиции значепие сохраняющейся во времени
величины
является знакоопределенным.
15.2. Показать, что уравнение Клейна — Гордона для сво-
свободной частицы инвариантно относительно антилинейного пре-
преобразования функции
Преобразование С представляет зарядовое сопряжение. Оно
позволяет поставить в соответствие не имеющим непосред-
непосредственного физического смысла решениям Ч^-' (г, t) уравнения
112
(»р(-) — суперпозиция частных решений, отвечающих формально
отрицательной энергии частицы) функцию 4fI;+l = C4r(-', отве-
отвечающую уже положительным энергиям и интерпретируемую как
волновая функция античастицы.
Убедиться в том, что если функция V является собственной
ответствующая зарядово-сопряженная функция *Ре также яв*
ляется собственной функцией. Как связаны собственные значе-
значения указанных операторов для таких функций?
15.3. а) Какой вид принимает уравнение Клейна — Гордона
для заряженной бесспиновой частицы во внешнем электромаг-
электромагнитном поле при преобразовании функции
У->Ус{г, Q = C4{r, /)^Т(г, 0?
б) Какое преобразование электромагнитного поля следует'
осуществить одновременно с указанным преобразованием функ-
функции ЧЧг, 0, чтобы получающееся при этом уравнение имело
такой же вид, как и исходное?
е) На основании полученных результатов дать интерпрета-
интерпретацию преобразования С как преобразования зарядового сопряже-
сопряжения, осуществляющего переход от частицы к античастице (срав-
(сравнить с 15.2).
15.4. Показать, что внешнее скалярное (по отношению к пре-
преобразованию Лоренца) поле оказывает одинаковое действие на
бесспиновую частицу и соответствующую ей античастицу. Срав-
Сравнить со случаем частицы во внешнем электромагнитном поле
(см. 15.3).
Указание. Уравнение, описывающее бесспиновую частицу во
внешнем скалярном поле U(r, t), имеет вид
V + 2mc~V) V = -
Не следует путать скалярное поле с э.- ^ктростатическим (по-
(последнее представляет временную компоненту 4-вектора). В не-
нерелятивистском пределе U(r, /) имеет смысл обычной потен-
потенциальной энергии.
15.6. Показать, что внутренние четности бесспиновой частицы
и соответствующей ей античастицы — одинаковые.
15.6. Основываясь па сохранении величины Q (см. 15.1), об-
обсудить вопрос об ортогональности и нормировке функций
\Fp,e{r,/), являющихся решениями уравнения Клейна—Гордо-
Клейна—Гордона, отвечающими определенным значениям энергии (обоих зна-
знаков) и импульса.
15.7. Показать, что для бесспиновой частицы в релятивист-
релятивистском случае можно сохранить обычную интерпретацию волно-
волновой функции в импульсном представлении как амплитуды
вероятности импульса {в отличие от координатного представле-
представления, см. I5.I).
Какова связь волновых функций частицы и античастицы в
импульсном представлении с решениями ^^(г, /) уравнения
Клейна — Гордона?
Сравнить с не релятивистским случаем
15.8. Получить выражение для среднего значения энергии
свободной бесспиновой дастицы в произвольном состоянии, опи-
описываемом решением Ч^+Кг, /) уравнения Клейна -Гордона.
15.9. То же, что и в предыдущей задаче, по для среднего
значения импульса частицы.
15.10. То же, что и в предыдущих двух задачах, но для
среднего значения момента частицы.
15.11. Найти в релятивистском случае энергетический спектр
заряженной бесспиновой частицы, находящейся в однородном
магнитном поле.
Сравнить с нерелятивистским случаем.
15.12. Найти энергетический спектр s-состояний бесспиновой
частицы во внешнем скалярном поле (см. 15.4) вида
U {г)
10, г>а.
Каков энергетический спектр античастицы в таком поле?
Обсудять трудности в интерпретации энергетического спект-
спектра, возникающие при значительном углублении ямы.
15.13. Найти энергетические уровни дискретного спектра за*
ряженной бесспиновой частицы (заряд —е) в кулоновском поле
ядра с зарядом Ze (ядро считать точечным и бесконечно тяже-
тяжелым).
В случае Zo. <? I (а = е2/Пс ж I/I37) сравнить полученный
результат с соответствующим выражением нерелятивистской
теории.
Обратить внимание на трудности, возникающие в интерпре-
интерпретации энергетического спектра при достаточно больших значе-
значениях заряда ядра, и объяснить их причину.
15.14. Непосредственно из уравнения Клейна —Гордона для
свободной частицы:
а) получить в нерелятивистском пределе уравнение Шре-
дингера;
б) найти первую релятивистскую поправку к полученному
уравнению.
15.15. Непосредственно из стационарного уравнения Клей-
Клейна — Гордона для заряженной бесспиновой частицы, находя-
находящейся в постоянном электромагнитном поле:
а) получить в нерелятивистском пределе уравнение Шре-
дингера;
б) найти первую релятивистскую поправку к полученному
уравнению.
15.16. Показать, что в достаточно сильном электростатиче-
электростатическом поле заряженная бесспиновая частица испытывает притя-
притяжение (в квантовомеханическом смысле) независимо от знака
ее заряда.
15.17. Найти в борновском приближении амплитуду и диф-
дифференциальное сечение рассеяния релятивистской заряженной
(заряд е\) бесспнновой частицы в кулоновском поле ядра с за-
зарядом Ze (ядро считать бесконечно тяжелым).
Сравнить со случаем нерелятивистской частицы.
Указать условия применимости полученных результатов.
15.18. Найти в борновском приближении энергетическую за--
висимость сечения рассеяния о(е) заряженной бесспиновой ча-
частицы во внешнем электростатическом поле *${г) при е->оо.
Указать условия применимости полученного результата?
сравнить его с результатом нерелятивистской теории.
15.19. Найти в борновском приближении энергетическую за-
зависимость сечения рассеяния с(е) бесспиновой частицы во внеш-
внешнем скалярном поле U(r) (см. указание к 15.4) при в->оо.
Указать условия применимости полученного результата?
сравнить его с результатами нерелятивистской теории и преды-
предыдущей задачи.
§ 2. Уравнение Дирака
В задачах этого параграфа использовано следующее пред-
представление четырехрядных матриц Дирака;
'-{ID- МоЛ-
-С !)¦
где о, I, 0 означают двухрядные матрицы Паули, единичную и
нулевую").
15.20. Выяснить, какие из указанных ниже операторов ком-
коммутируют с гамильтонианом свободной релятивистской частицы
со спином s = l/2 (и тем самым являются интегралами дви-
движения) :
I)?=-mv;2fl=-j-[rp] = -/[rv]: 3) Т2; 4) s-|?; 5) P;
6) j = l-fs; 7) f; 8) A = p?; 9) /[/VfrJ^Vf—r)]; 10) P^p/;
П) Vs.
Сравнить со случаем свободной нерелятивистской частицы.
и а, р, у, Z, Ys, о, 1. 0 не
:импол оператора над мат-
15.21. Найти решения уравнения Дирака, описывающие сво-
свободную частицу, имеющую определенные импульс и энергию.
Для конкретизации спинового состояния частицы воспользо-
воспользоваться коммутативностью оператора Л = ?р с операторами р
и Я (см. также 15.26).
15.22. Найти компоненты 4-вектора плотности тока свобод-
свободной дираковской частицы в состоянии, характеризующемся опре-
определенным значением ее импульса.
Сравнить с соответствующими выражениями нерелятивист-
нерелятивистской теории.
15.23. Найти среднее значение вектора спина днраковскей
частицы, имеющей определенный импульс (при этом спиновое
состояние частицы — произвольное). Считать для простоты, что
импульс направлен вдоль оси г.
Сравнить с результатом нерелятнвистской теории.
15.24. Рассмотреть унитарное преобразование биспиноров, за-
задаваемое унитарным оператором (матрицей) U = —=¦ Г _ i J ¦
Какой вид имеют в новом представлении оператор спина
частицы и уравнение Дирака для двухкомпонентных спиноров
{г-о*- (•))»
15.25. Считая известным спиновое состояние в системе покоя
частицы, найти биспииор и(р) в произвольной системе коорди-
координат, в которой частица имеет импульс р.
Используя полученный результат, найти связь средних зна-
значений вектора спина частицы в указанных системах координат.
15.26. Как известно (см. 15.21), для частицы со спином
s= 1/2 волновая функция состояния с импульсом р и энергией
с = Vp2c2 + m2c4 имеет вид
Указанное состояние является двукратно вырожденным (суще-
(существует два независимых способа выбора спинора ф), что связано
со спиновой степенью свободы. Рассмотрим два таких незави-
независимых состояния, различающиеся выбором спинора <р в виде *f^,
где
(п — произвольпый единичный вектор, Л = ±1, см. 5.12).
Убедиться в ортогональности спиновых состояний реляти-
релятивистской частицы, отвечающих различным значениям Я.
Учитывая результат предыдущей задачи, выяснить физиче-
физический смысл вектора п н соответствующих собственных значе-
значений К.
Каков смысл вектора -^-ф'оср при нормировке ф*ф= I?
15.27. Найти явный вид волновой функции состояния ан-
античастицы, соответствующего решению уравнения Дирака* с
определенным импульсом р и отрицательной энергией
с = — Vp1^2 + *я2с4 частицы. Сравнить с волновой функцией
физического состояния частицы (с энергией е ^ тс2 и опреде
ленным импульсом).
Какие квантовые числа — импульс, энергию и спираль-
ность — имеет античастица в состоянии, отвечающем решению
*Ррег. уравнения Дирака с отрицательной энергией частицы?
15.28. Показать, что для дираиовской частицы с массой
т = 0 оператор (матрица) у5 коммутирует с гамильтонианом
свободной частицы.
Найти собственные значения указанного оператора и выяс-
выяснить их физический смысл. i
15.29. Показать, что операторы (матрицы) Р± = 'Ml ± Тз)
являются проекционными.
Для дираковской частицы с массой т — 0 эти операторы
коммутируют с гамильтонианом. На какие состояния частицы и
античастицы проектируют указанные операторы Р±?
15.30. Квантовомеханическое описание фотона может быть
осуществлено с помошыо двух векторов S (г, i) и 31 (г, (), удов-
удовлетворяющих таким же уравнениям, как уравнения Максвелла
классической электродинамики для свободного электромагнит-
электромагнитного поля ?(г, /), ЭЦг, 0 (т. е. для электромагнитных волн в -
вакууме). i
Показать, что эти уравнения можно представить в вило,
аналогичном уравнениям Дирака для двухкомпонентных сагно-
ров (следует учесть, что масса фотона т = 0, а его спин s= 1).
15.31. Найти нерелятнвистекпй предел (с точностью до чле-
членов порядка е]/с» включительно) выражений для плотности за-
заряда и тока дираковской частицы, находящейся во внешлем
электромагнитном поле.
15.32. Гамильтониан частицы со спином s = 1/2, нахо/а
щейся во внешнем электромагнитном поле, имеет вид
И = cap + тс% + —- /VvPy^Yv,
где и — некоторый параметр, характеризующий частицу, fuv —
тензор электромагнитного поля.
Рассмотрев нерелятивистский предел (с точностью до чле
нов порядка «1/с» включительно) волнового уравнения *)
yV, выяснять физический смысл параметра к, т. е.
•) Это уравнение можно записать в явно релятивистскл-инвариаитном
установить его связь с электромагнитными характеристиками
частицы. Сравнить со случаем заряженных дираковских ча-
частиц—электрона и мюона, гамильтониан которых имеет вид
?д = Са (р — -J а) + тс^ -Ь еАа.
15.33. Найти энергетический спектр заряженной дираковской
частицы в однородном магнитном поле.
15.34. Найти в первом порядке теории возмущений диффе-
дифференциальное сечение рассеяния дираковской частицы в кулонов-
ском поле ядра с зарядом Ze. Ядро считать бесконечно тяжелым,
Указание. Воспользоваться теорией возмущений для перехо-
переходов в непрерывном спектре под действием стационарного воз-
возмущения; см. также 15.37.
15.35. Найти в первом порядке теории возмущений энерге-
энергетическую зависимость сечения рассеяния а(ё) заряженной ди-
дираковской частицы во внешнем электростатическом поле Ао(г)'
пРие-»-оо.
Сравнить с результатом 15.18.
15.36. Найти функции Грнна 6efop{r, г') стационарного урав-
уравнения Дирака для свободной частицы при энергии е ^ тс2,
удовлетворяющие уравнению
(Я - е) Gt ^ (- ihcav + тс*$ — е) Ge = б (г - г')
и имеющие при г->оо асимптотики вида
Найти также функцию Грина f^' уравнения Дирака, запи-
записанного в симметричной форме: (icp -j- тс2) Ч'е = 0, р = — jft\V -j-
+-tv«-
15.37. Найти в борновском приближении амплитуду рассея-
рассеяния дираковской частицы во внешнем постоянном электромаг-
электромагнитном поле.
Применить полученный результат к случаю электростатиче-
электростатического поля AD = Zefr и сравнить с 15.34.
Глава 16
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
§ 1. Кинематика распадов и столкновений
16.1. Покоящаяся частица А распадается на три частицы а;
А->За. Энергия распада*) равна Qo-
В каких пределах заключены кинетические энергии еа рас-
падных частиц?
•) Энергией распада называют разность внутренних энергий распадаю-
распадающейся частицы и частиц, образующихся при распаде.
16.2. Покоящаяся частица А распадается на три частицы а:
А->За. Энергия распада равна Qo. Так как Xen=Qo (e« —
кинетическая энергия n-й частицы), то можно поставить в со-
соответствие распаду точку внутри равностороннего треугольника
с высотой ft = Qo такую, что расстояния от этой точки до сторон
треугольника определяют энергии распадных частиц. Однако,
в силу закона сохранения импульса в распаде, не всякой точке
внутри треугольника можно сопоставить разрешенный по кине-
кинематике распад частицы А.
Показать, что точками треугольника, которым можно сопо-
сопоставить распад А->За, являются точки крута, вписанного в тре-
треугольник.
16.3. Пусть ра, Еа; рь, Еь — импульсы и кинетические энер-
энергии частиц а и Ь в некоторой системе координат.
Показать, что следующая комбинация этих величин:
s = - <ра + РьJ + 2 (тл + п>ь) (?а + ?„),
во всех инерциальных системах отсчета имеет одно и то же
значение, т. е. является галилеевски-инвариаитной величиной.
Считая, что частицы а и b являются продуктами распада не-
некоторой частицы А: А -»- а + Ь, найти связь s с энергией рас-
распада Qo.
16.4. То же, что v в предыдущей задаче, но для величины
' = - (Ра — РьJ + 2 (та - тъ) <?а ~ Еъ).
16.5. При столкновении частицы а с покоящейся частицей Ь
происходит возбуждение частицы Ь. Энергия возбуждения рав-
равна Qo.
Найти минимальное (так называемое пороговое) значение
кинетической энергии частицы а, при котором может идти такой
процесс. Рассмотреть предельные случаи та <? тъ и т&~3> ть.
16.6. В результате столкновения частиц а И b происходит
возбуждение частицы Ь. Энергия возбуждения равна Qo.
Построить диаграмму столкновений, позволяющую графиче-
графическим способом определять соотношения между импульсами ча-
частиц до и после столкновения в системе центра инерции и в ла-
лабораторной системе координат. В чем отличие диаграммы столк-
столкновений такого процесса от случая упругого рассеяния
(см. [4])?
16.7. Рассмотреть следующие величины, характеризующие
кинематику упругого столкновения частиц а и Ь:
s - - (Р. + РЬJ + 2 К + ть) (Ев -Ь Еь), t = - (ра - р;J,
и = - (Р. " р;J + 2 (т. - ть) {Ев - Е'ь),
где ра, ?а; р'а, Е'в — имлулъс и кинетическая энергия частицы а
соответственно до и после столкновения {аналогичные обозна-
обозначения — для частицы Ь).
Показать, что значения указанных величин не зависят от
системы отсчета, т. е. они — галилеевски-инвариантные вели-
величины.
Выразить s, t, и через кинетическую энергию частиц и угол
рассеяний в системе центра инерции.
Являются ли все три величины независимыми?
16.8. В результате столкновения составных частиц Л и В
происходит реакция АЧ-В-+а+Ь + с, т. е. в конечном состоя-
состоянии образуются три частицы.
Возможны два механизма такого процесса.
I) частицы а и Ь являются продуктами распада некоторой
нестабильной частицы R, т. е. процесс A-f- В -»- а + Ь ~|- с идет
в две стадии:
в две стадии:
A + B—I
(энергия распада R-*a-f-b равна Qc);
2) все частицы в конечном состоянии образуются независимо
в том смысле, что между их импульсами нет жесткой динамиче-
динамической корреляции {не считая, конечно, кинематической корре-
корреляции, обусловленной законами сохранения энергии и им-
импульса).
Как, зная распределение по импульсам частиц в конечном
состоянии, различить эти два механизма реакции?
Указание. Рассмотреть распределение по величине
s = - (ра + рьJ + 2 (т, + ть) (?. + Еь).
§ 2. Интегралы движения *)
16.9. Показать, что если некоторое преобразование координат
системы оставляет ее гамильтониан неизменным, то оператор
этого преобразования коммутирует с гамильтонианом. В част-
частности, рассмотрев для системы из N частиц преобразования ко-
координат:
о) сдвига тп~*г'п = тп-\-а;
•) Интсгра;
й (и
> при решенш
геграм
в задачах с центральной симметрией).
В задачах датюго параграфа особое шимание уделяется вопросу
ния интегралов движении, связанных с определенными свойствами
взаи м одеистви я).
Разумеется, пексторые задачи из других глав (¦
4 27, 6 19 и др.) можно было бы поместить и в данном i
?йфе.
1.29,
120
б) поворота на угол <рр = фцПо (п0 — единичный вектор
вдоль оси поворота системы координат, ф0-—величина угла по-
поворота);
е) отражения ги—*-*'п =— гп; п=1,2, .... N,
показать, что из инвариантности гамильтониана относительно
этих преобразований следует существование у рассматриваемой
системы механических интегралов движения: импульса, орби-
орбитального момента и четности.
16.10. Указать, какие из механических величин или их ком-
комбинаций {энергия, проекции и квадрат момента, проекции им-
импульса, четность) сохраняются при движении системы N бес-
сшшовых частиц в следующих полях:
1) при свободном движении;
2) в доле бесконечного однородного цилиндра;
3) в поле бесконечной однородной плоскости;
4) в поле однородного шара;
5) в поле бесконечной однородной полуплоскости;
6) в поле двух точек;
7) в однородном переменном поле;
8) в поле равномерно заряженного прямого провода с пе-
переменным зарядом;
9) в поле однородного трехосного эллипсоида;
Ю) в поле бесконечной однородной цилиндрической винто-
винтовой линии;
11) в ноле однородного конуса: а) однополостного, б) двух-
полостного;
12) в поле кругового тора.
16.11. Показать, что если ff и fa — интегралы движения не-
некоторой системы, то 6i=tf\fa + fafi) и U2 = i(UU~UU) также
являются интегралами движения.
16.12. Показать, что если у некоторой системы Рх и 1Х —
интегралы движения, то Ру также является интегралом дви-
Объяснить полученный результат, исходя из свойств сим-
симметрии рассматриваемой системы, обеспечивающих сохранение
Р* и h-
16.13. Показать, что если у некоторой системы 1Х и 1У — ин-
интегралы движения, то /г и, соответственно. Л3 также являются
интегралами движения.
Объяснить полученный результат, исходя из свойств сим-
симметрии рассматриваемой системы, обеспечивающих сохранение
S* и /„.
16.14. Гамильтониан частицы со спином s= 1/2 имеет вид:
а) Н = -?¦ + Ut (г) -т U, {г) (al):
б) Н = -?г +
Указать интегралы движения.
Найти спин-угловую зависимость волновых функций стацио-
стационарных состояний дискретного спектра.
16.15. Нейтральная частица со спином s=s 1/2, имеющая
спиновый магнитный момент щ (например, нейтрон), находится
в аксиально симметричном магнитном поле вида (в цилиндри-
цилиндрических координатах);
а) Э№р = Эвщ = О, Жг = Ш(р);
б) 3&р = 3& = 0, ЗВ^*=3»(р).
Указать интегралы движения.
16.16. Показать, что для частицы в однородном поле опе-
оператор
(Fo — сила, действующая на частицу) является интегралом дви-
движения.
Какой смысл имеет среднее значение <С>?
Сравнить с результатом классической механики.
§ 3. Сохранение момента и четности в распадах
и столкновениях. Изотопические соотношения *)
16.17. Установить, какие ограничения на квантовые числа
(спин /Л и внутренняя четность РА) нейтральной частицы А0
следуют из факта существования распадов этой частицы на два
и-мезона (/? = 0~)**):
а) А°->л+л-; б) АС->2л°.
Считая, что покоящаяся распадающаяся частица находится
в состоянии с определенным значением проекции спина JZ = M
на ось г, найти угловое распределение продуктов распчда.
16.18. Для распада векторной частицы V (/р=1-) на два
п-мезона: V~*n+n~—найти наиболее общий вид углового рас-
распределения продуктов распада в системе покоя частицы V.
Состояние частицы V описывается поляризационной матри-
матрицей плотности Ртт., где т — проекция спина частицы на ось г.
16.19. Установлено, что в реакции я- +d->n-fn захват
медленного л~-мезона (его спин /я = 0) происходит из основ-
основного состояния мезодейтерия с сохранением четности.
•) Во
предполагае
изотопическ
**) Из
задачах данного парагрг
кая инвариантность предполагай1
ициесл к одному и тому же изотопическому мулы
нейтрон, я+, я?, л~ и т. д.) имеют одинаковые с
>сть Р,
Учитывая, что внутренние четности протона и нейтрона оди-
одинаковы и квантовые числа дейтрона/? = 1+> найти внутреннюю
четность ^--мезона.
16.20. Какова внутренняя четность частицы т, имеющей спин
Л —0, если возможен ее распад на три я-мезона: т-*-Зл (внут-
(внутренние четности пионов — отрицательные) ?
Может ли такая частица распадаться с сохранением четно-
четности на два пиона?
16.21. Найти угловое распределение продуктов распада не-
нестабильной частицы В со спином /Б = 1/2: B-*-jiN, если:
а) в распаде сохраняется четкость, и четность частицы В —
отрицательная;
б) в распаде сохраняется четность, и четность частицы В —
положительная;
в) распад происходит с несохранением четности.
Предполагается, что спиновое состояние распадного нуклона
не фиксируется.
16.22. Известно, что в распадах частиц A ii В вида А->2я,
В -> siN четность не сохраняется.
Можно ли результат о несохранении четности в указанных
распадах получить непосредственно из анализа угловых рас-
распределений продуктов распада? Считать распадающиеся части-
частицы поляризованными, так что среднее значение их вектора спи-
спина отлично от нуля.
16.23. Показать, что векторы поляризации у-квантов, обра-
образующихся в распаде псевдоскалярной частицы (Jp = th) на
два у-кванта (например, я°->2у), взаимно ортогональны, а в
случае распада скалярной частицы (/р = О*)—параллельны.
16.24. При столкновении пиона с покоящимся нуклоном в
реакции я + N -> я -j- В образуется нестабильная частица В,
спин которой /в> I-
Найти угловое распределение продуктов распада такой ча-
частицы B-*-nN (в ее системе покоя) в случае, когда специально
отбираются такие события реакции nN->nB, в которых импульс
частицы В направлен по или против направления импульса
налетающего пиона.
Указание. В силу условия /в;» I в рассматриваемой задаче
можно пренебречь спином нуклона (считать его равным нулю)*
16.25. Заряды (в единицах заряда протона е) различных ча-
частиц, входящих в один и тот же изотопический мультиплет,
в общем случае следующим образом выражаются через значе-
значение компоненты изоспина 7"э, соответствующее данной частице!
где Y — так называемый гиперзаряд (так, для нуклона У=1,
для пиона У = 0 и г. д.),
133
Показать, что сохранение изотопического спина автоматиче-
автоматически влечет за собой и сохранение пшерзаряда.
16.26. Найти наиболее общий вид изотопически-инвариант-
ного оператора взаимодействия пиона с нуклоном.
Как операторы этДО-взаимодействия в состояниях с опреде-
определенным значением изоспина О G" = 1/2, 3/2) связаны с най-
найденным оператором С*
Выразить оператор О через операторы 0{Т).
16.27. То же, что и в предыдущей задаче, для системы из
двух пионов.
Выразить оператор С через операторы ял-взаимодействия
в состояниях с определенным значением изоспина О (Т = 0, 1,2).
16.28. Для двухпионной системы указать изотопическую
структуру оператора кулоновского взаимодействия пионов.
16.29. То же, что и в предыдущей задаче, для кулоновского
взаимодействия в лМ-системе.
16.30. Изотопическая инвариантность предполагает, что раз-
различные частицы, относящиеся к одному и тому же изотопиче-
изотопическому мультиплету, следует рассматривать как тождественные
частицы, находящиеся в различных состояниях, отличающихся
значением 7Укомпоненты изоспииа (и соответственно заряда).
При этом квантовомеханический принцип неразличимости то-
тождественных частиц, требующий определенной симметрии вол-
волновой функции по отношению к перестановке переменных любых
двух таких частиц, должен быть распространен и на различные
частицы одного и того же изомультиплета.
Выяснить, какие при этом возникают ограничения на воз-
возможные значения суммарного изотопического спина двухпионной
системы в состояниях с определенным значением L орбиталь-
орбитального момента относительного движения.
16.31. Для системы, состоящей из двух л°-мезонов, найти
вероятности w(T) различных значений суммарного изотопиче-
изотопического спина системы Т и среднее значение Тв.
Указание. Воспользоваться результатами 3.37 и 3.39.
16.32. Найти вероятности w{T) различных значений суммар-
суммарного изотопического спина Т пион-нуклонной системы и среднее
значение Т2 в следующих изотопических состояниях:
ЭТ+р, Э1 + П, И°р, Л°П, Л~р, П~П.
Указание. Воспользоваться результатом 3.37.
16.33. Нейтральная частица 1° с изотопическим спином Т = 0
распадается на два пиона: [°—>2л. Возможные каналы распа-
распада: f°-*jr%-, Iе — 2л°.
Найти соотношение между вероятностями распада части-
частицы f° по указанным каналам.
16.34. Показать, что изоспиновая часть волновой функции си-
системы из трех пионов в состоянии с полным изотопическим спи-
спином системы 7'(Зл)'^0 имеет определенную симметрию по от-
отношению к перестановке изоспиновых переменных любых двух
пионов, и выяснить характер этой симметрии.
На основании полученного результата показать, что ней-
нейтральная частица со0 с изотопическим спином Г = 0 не может
распадаться на три л°-мезона, т. е. распад ы°-»-Зл0 запрещен.
16.35. Частица Д, имеющая изотопический спин Т = 3/2 и
зарядовые состояния Д++-, Д+, Д°, Д-, отвечающие соответствен-
соответственно значениям +3/2, +1/2, —1/2, —3/2 проекции Ts изоспина,
распадается на пион и нуклон: Д->яМ.
Указать возможные каналы распада для различных зарядо-
зарядовых состояний Д и найти соотношения между вероятностями
распадов по этим каналам.
16.36. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы N*,
имеющей изотопический спин Г= 1/2, зарядовые состояния
N*+(J13 = 1/2), Гч*°Gз = —1/2) и распадающейся на пион и
нуклон: N*->nN.
16.37. Показать, что
где da — дифференциальные сечения соответствующих реакций,
взятые при одних и тех же относительных энергиях, углах раз-
разлета и взаимных ориентациях спинов.
16.38. Показать, что
г = 2.
где смысл da такой же, как и в предыдущей задаче.
16-39. Предполагая, что рассеяние пионов нуклонами проис-
происходит главным образом через промежуточное состояние jiN-си-
стемы с полным изотопическим спином Т = 3/2 (при этом взаи-
взаимодействие в состоянии с Т= 1/2 пренебрежимо мало), найти
при одинаковых относительных энергиях, углах разлета и ориен-
ташшх спинов соотношения между дифференциальными сече-
сечениями следующих трех реакций:
(I) п++р^я+ + р1
(II) л' + р-^ + п,
(III) л- + р-*п- + р.
16.40. Основываясь на зарядовой симметрии нуклон-нуклон-
пых и инон-нуклонных взаимодействий, найти соотношения ме-
между дифференциальными сечениями процессов
РЕШЕНИЯ
Глава 1
ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
1.1. Операторы 7, Т„, &с — линейные, R — нелинейный.
Все указанные операторы совпадают со своими комплексно
сопряженными, т. е. являются действительными: 7* = 7 и т. д.
Вид оператора Мс следует из цепочки равенств
J Ч<* (х) Д.Ф (x) dx sb J W* (x) л/с Ф М ^ •=
j V* (xfc) Ф (х) dx
ДлГ <*)) Ф (л) rfx.
т. е.
ственно Мс
или Ме = М1[е. Соответ-
Соответ• Мц
цс.
Аналогично находим: / + = / = 7. Гй = it = f~D.
Так как оператор К нелинейный, то понятия операторов R
Я+ к нему не применимы (такие операторы не существуют).
Все приведенные операторы имеют обратные: / -1 =7, К 1 =
12. При отыскании вида операторов f и f+ из соотношений
«о
следует иметь в виду, что произвольные функции ТиФв (I)
удовлетворяют некоторым ограничениям. В частности,
B)
-fVdt = J (^) чгrfr= J (f+
что накладывает, например, ограничения на их убывание при
о) Из равенств {id/dx)* = —id/dxs
имеем i-~= — i-^ и ((-^-) ~1Чх' т- е- опеРатоР
эрмитов.
б) При отыскании idjdr необходимо учесть, что dx^r*dr
^*dV, так что
'¦•¦f—4-I- Такимо6раз„М,(,-|-У = -^. (^)=
= 1-д-Н—^- — оператор iO/dr не является эрмитовым. Отметим,
что в C) мы положили Ф'Ч^2 ?° = 0, как это следует из усло-
условий существования интегралов A), B) при f = d}dr.
1.3. При доказательстве следует учесть свойства {L*)* = L,
L = L, ЛВ = ВА, вытекающие из определения операций ком-
комплексного сопряжения и транспонирования операторов.
1.4. Ъ = мГа* = а*са, б+=8-_(А+)+с+А+ = Жлн-=а.
..5. А = 1±^. В-Ь?-.
1.6. Проверяется непосредственным вычислением.
1.7. Представим F в виде Р = А-\-Ш, где А, В —эрмитовы
операторы (см. 1.5); Р= А2 — ё! + i{AB+ В А). Если АВ +
+ ЁА = 0, т. е. операторы А и W — эрмитова и антиэрмитова
части оператора F — антикоммутируют, то F2 — эрмитов опе-
оператор.
' -8. [Е а„ Е в»]=Z А, Е в» - Е в, Е а, = JE й, ад.
1.9. Искомое соотношение вытекает из цепочки равенств
[АВ,С\ = ABC - CAB = ABC - АС В + ACB - CAB = А [В, С] +
т[Яае.
Аналогично можно получить [А, ВС] = [A, 8JC-±-В[А, С].
M.lo. Тождество проверяется непосредственным вычислением.
1.11. Нет, не могут. Условие [Я, Q] = —И означает
-&пт. (О
Возьмем след матриц в правой и левой частях равен-
равенства A). Учитывая, что Sp(PQ) => Sp(QP), Spl=N, находим,
что соотношение A) противоречиво и не может быть реализо-
реализовано матрицами конечного ранга. Матрица, являющаяся ком-
коммутатором двух произвольных матриц конечного ранга, имеет
равпый пулю след.
Читателю предлагается самостоятельно обсудить вопрос о
том, почему это утверждение теряет силу в случае матриц бес-
бесконечного ранга.
1.12. а) Учитывая, что 72= 1, находим
J] n^— i.
б) Представив оператор Та в виде ряда, получаем
Последнее равенство в соотношениях A) является разложе-
разложением функции в ряд Тейлора. Таким образом, оператор Та =
= exp (ad/dx) является оператором сдвига, тождественным вве-
введенному в 1.1.
1.13. Представим искомое разложение в виде
(о
Подействуем на обе части A) слева оператором (Л~Щ:
B)
Приравнивая члены при одинаковых степенях У, в B), находим
АСп+1^ВСп, С^^А-'ВС,,, С0 = А~1.
Таким образом, имеем
1.14. Продифференцируем по ). оператор вида f {Х)=е
А. = А
\
Аналогично находим производные второго и более высоких по-
РЯДК081
Окончательно:
1.15. г и. i')= [l в, «г. t e. i')=iF'. a. i+(i, i')-r(i', а.
Представив действие Мс на функцию *Р(л) в виде
находим Мс(х, х')=' т/с Ь{сх — х1). Аналогично:
X (х, х1) = хЪ(х — хг) — ядро оператора JE =^ х:
Р(х,х') = -1-?г1,<х-х')-„яро оператора р^-\-^.
1.16. Учитывая, что ядра операторов С и С+ связаны соотно-
соотношением 1+(х,хг)ш=[1(х',х)]*, находим из равенства ? = ?+:
а) /<*) —вещественная функция переменной X;
б) вещественная часть f(x) является четной функцией х,
а мнимая часть — нечетной функцией;
е) f{*)e cg*(x), где с —вещественное число
1-17. Учитывая вид ядра оператора С = АВ
С(х, л
J А О, х")В{х", х')йх"
A)
и вид ядра Х{х,х')^= хЬ(х — х') оператора х, находим из усло-
условия fx — xF = 0
\ {F(х, х")х"Ь(х" - х') -хЬ(х- х")F(х". хГ))dx"
Из B) вытекает вид ядра F(x, xr):
где f{x) — произвольная функция.
5 В, М_ ГялвцквЯ и др.
О-10. B)
C)
|29
Аналогично, из условия G0 — 0G =¦ 0 и вида ядра
Р{х, х') =• -г -д— б (х — х') следует после простых преобразований
0)
т. е. G(дг,лг*) является функцией вида G(x,xr)^g(x— х").
1.18. Из условия [f, *1 ='0 вытекает (см. предыдущую
дачу)
кз условия [F, 0] = 0 следует
Соотношения A) и B) одновременно могут иметь место
лишь при условии f(x) => Fo =• const; при этом F(j:, л^) =>
= Fofi(x — х'). Оператор с таким ядром имеет вид Р = Fo.
1.19. Нормировка в.ф. на единицу дает | С ] = (яс2) '\ Ис-
Используя квантовомеханическуго формулу для средних значений,
зу
находим
1.20. При | С |~2 ==« t ф2(Jt) dJt в. ф. нормирована на единицу и
1.21. Средний дипольный момент системы равен
3- J Vfr, rj^ej^fri rn)J]dVb. (I)
Сделаем в A) замену переменной гй^г^=>—гс:
TLb- и
Учитывая, что согласно условию задачи
^<-г , -г„)=./^(гь..., г„),
где /=<_±1 —_четность состояния системы, находим из A) и B);
d=-— d, т. е. d=0.
1.22. IV = \ V
Аналогично PI
1.23. Так как f+ = f, то, согласно предыдущей задаче, в про-
произвольном состоянии системы /2^0, в том числе и в состоянии,
отвечаюшем^минимальному значению величины f2; но в послед-
последнем случае/2 = (^)гп[П^0.
1.24. ft^cfp т. е. спектр с.з. величины f состоит из двух
значений- ft = 0, f2 = с.
1.25. Уравнение для с.ф. и с.з. оператора f и его решение:
0)
B)
E = ah). Из B) следует, что с. з. f — произвольные веществен-
вещественные числа, спектр — непрерывный и с. з. — невырожденные.
Выбор коэффициента С в B) из условия нормировки
$ Wl,{xL'!(x)dx = b{} — f) приводит к значению |СI«Bng)~w
Убедиться в полноте системы функций B) и рассмотреть
предельные случаи а->0, р-*-0 предоставляется читателю са-
самостоятельно.
1.26. Уравнение для с.ф. и с.з. f(x) J r[x)^(x)dx=f^(x)
имеет следующие решения:
о) имеется одна с. ф. 4fo = cf(.x), отвечающая с. s., рав-
равному f0 = \ J f {x) |s dx > 0; б) все другие с. з. оператора равны
нулю. Им отвечают с, ф. Ч', {х), обладающие свойством
\ Г (¦*) *&i (x) dx =• 0, т. е., как и должно быть, эти функции орто-
ортогональны к функции 4fo='f(*). Очевидно, что число таких функ-
функций бесконечно, т. е. с. з. ft = 0 имеет бесконечную кратность
вырождения.
1.27. Подействовав оператором С, равным
на произвольную функцию Ч', получим Gx& = 0, так как про-
произвольную функцию можно представить в виде ряда по с.ф. Ч**
оператора f: V = ? c^k (с ф. эрмитова оператора образуют
полную систему), а {/ —ftLfft = 0. Итак, С = 0, и, учитывая
A), находим
1* i +
т. е. оператор f линейно выражается через операторы /,
и.... р-1.
В частности, при W=" 2 из B) следует
P-ff. + Wf-ftfc.
<3)
В случае оператора 1 имеем /[=¦—/2= и из C) вытекает
При JV=i 3 и с.з., равных fi = 0 и f2= — fs = fo, из B) вы-
вытекает
1.28, Продифференцируем по >. обе части уравнения для с. ф.:
fWV-M-f.MV.W, С)
^i-.d). B)
Умножим обе части B) слева на Ч'п и проинтегрируем по
координатам q, от которых зависят функции 4?B{h,q). Учиты-
Учитывая равенство
вытекающее из эрмигсвости оператора f, получаем искомое со-
соотношение.
1.29. Из операторного равенства АС— ?Д = 0, примененного
к с.ф. 4?Lt оператора С (Li— с.з.), следует, что функция АЧ?ц
также является с. ф. С, отвечающей тому же с. з. Lu Если с. з. Ц
является невырожденным, то A^Li = А^ц. Точно так же в
этом случае *?L{ является с. ф. оператора В, т. е. OTl( = B*2Ll .
Если бы все с. з. Ц были невырожденные, то во всех состояниях
Чг/.; ((=1,2, ...) имело бы место соотношение
- В A) 4Ll = (AtB, -
<D
Равенство A), справедливое для всех с.ф. Фц, образующих
полную систему, означает АВ — ДД = 0, что противоречит усло-
условию задачи. Таким образом, среди с. з. Ц обязательно есть вы-
вырожденные.
132
1.30. Рассмотрим интеграл
A)
где #i =Д — a, Bi^=B — b; a, a, b — вещественные параметры.
В силу неотрицательности подынтегральной функции имеем
и всех а
у
при всех а
Переписав A) в виде
B)
/ = \ (аА\ + 1В\) V • (аД - IBi) *? dx.
используя эрмитовость операторов Лг и Ви а также определение
среднего (в.ф. предполагается нормированной на единицу),
имеем
C)
= аК\ — to, [A,,
Учитывая, что IAi.?|]=*fA.?]=wC, имеем из B). C)
а2(Л — of + oC + tfi — fcJ>0. D)
Условие положительности квадратного трехчлена D) по а тре-
требует
E)
Выбрав в E) а=Л, й=В, приходим к утверждению задачи
Случай равенства в E) реализуется, как это следует из A)
и D), при выполнении условия (aAt—?fi]Lf = 0. В частности,
для операторов А = х, В = рх, С = Тг это условие принимает
(««-Й^)*-РР F)
(f=^aa — tb — произвольная комплексная величина). Решение
уравнения F) (а < 0)
представляет явный вид в.ф., минимизирующей соотношение не-
неопределенности для операторов координаты и импульса.
Необходимо подчеркнуть, что при приложениях формулы E)
следует соблюдать осторожность. Это видно, например, уже из
результата ее применения к случаю операторов A = tz^ —id/dtp
]=—/, так что С=~ 1):
которых
физическая бессмысленность которого очевидна, так как (Л/*)
может принимать произвольные значения (в том числе и быть
равным нулю), а величина (Д«рJ во всяком случае не превос-
превосходит я!.
Дело в том, что соотношение, определяющее эрмитов опера-
оператор f (которое существенно использовалось при переходе от вы-
выражения A) к C)):
~[<fVtfVidx, G)
вообще говоря, не выполняется тождественно, а справедливо
лишь для определенного класса функций, входящих, как гово-
говорят, в область определения оператора f как эрмитова оператора.
Так, для оператора U = — id/dq в общем случае имеем вме-
вместо G) соотношение
N(-'W4'O<(<P=1 {-l^4,)'4f^-Pm,^. (8)
о о
Соответственно для веек функций Ч^.яОр), входящих в область
определения оператора —id/dq как эрмитова, должно быть вы-
выполнено условие
Ч^ <2л) V1 Bл) - ЧЦ @) V, @) = 0,
(9)
или Чг|.е@)=Чг1-2Bл) = 0, причем, как легко сообразить,
const = схр ($), р — вещественное число (9")
(при этом различным значениям р соответствуют различные же
реализации оператора —td/dq как эрмитова). Имея в виду фи-
физическую интерпретацию оператора ?г = —id/dy как оператора
проекции момента и, соответственно, физическое условие тожде-
тождественности точек (р =0 и «р = 2л, требующее выполнения равен-
равенства Чг@) = ЧгBл) для в.ф., принимаем р =0.
Уточнив деталь, связанную с важной ролью области опреде-
определения в понятии эрмитова оператора, вернемся к выводу соот-
соотношения E). Легко заметить, что справедливость формулы E)
определяется только возможностью использования соотношений
A0)
и аналогичных им, получающихся в результате взаимной пере*
етановки операторов Л и В. Формальное обоснование этих со-
соотношений состояло в ссылке на эрмитовость операторов. Те-
Теперь же, имея в виду сказанное выше об области определения
оператора как эрмитова, замечаем, что возможность использо-
использования соотношений A0) предполагает, что не только в. ф. Ч',
но также и функции ЛЧГ и ВЧГ принадлежат областям определе-
определения операторов Л и б как эрмитовых.
В физических приложениях в. ф. Ч? относится к области опре-
определения рассматриваемых операторов как эрмитовых; однако
для функций ЛЧ*1 и >ВЧГ аналогичное утверждение может быть
несправедливым, и в этом случае соотношение E) теряет силу.-
В этом смысле в случае операторов х и рх не возникает никаких
ограничений при использовании соотношений A0).
В случае же операторов U и ф ситуация иная, и соотноше-
соотношение E) для них в общем случае неприменимо. Формально это
связано с тем, что для в.ф. Чг(«р), входящей в область опреде-
определения оператора —id/dq как эрмитова (и тем самым удовле-
удовлетворяющей условию Чг@)=ЧгBл)), функция фЧ^^ЧЧф) та-
ковой уже не является, и поэтому
Однако в рассматриваемом случае довольно просто учесть воз-
возникающее осложнение и получить соотношение, являющееся
обобщением E)
Действительно, полагая в A) A = h, ?=ф, (так что С =
'=—1), сразу выбрав а = 1г, Ь=у, и учитывая соотношение
&V d<p + 2т | V Bл) р,
легко находим *)
A1)
(подчеркнем, что использовано условие нормировки \ | Ч> \2dq>=
1).
Из A1) следует соотношение неопределенности для U и <р;
(Щ2 • (Д^>|A -2я |VBл) р>».
1.31. Ответы на поставленные вопросы, вообще говоря, не-
неоднозначные. Некоммутативность операторов не означает, что
отсутствуют такие состояния, в которых соответствующие фи-
физические величины имеют одновременно определенные значе-
значения. Строгое утверждение: в. ф. таких состояний, если они и .есть,
не образуют полной системы. Пример: операторы компонент
момента не коммутируют друг с другом, но в состоянии с мо-
моментом L = 0 все компоненты момента имеют определенное
енэчение Ц = 0. См. также 1,33.
Если операторы коммутируют, то это не означает, что если А
имеет определенное значение, то и В-—тоже. Строгое утвер-
утверждение: состояния, в которых А к В одновременно имеют опре-
определенные значения, существуют, и в.ф. таких состояний обра-
*уют полную систему. Пример: в случае одномерного движения
операторы импульса P^=f~7ic' и кннетическои энергии ? =
ш=р1/2т коммутируют, однако в состоянии W(x)=* С sin (p^xfti)
"кинетическая энергия имеет определенной значение, а импульс
не имеет. Если же спектр с.з. величины А является невыро-
невырожденным, то любой оператор, коммутирующий с Л, в состоянии
4^1 также имеет определенное значение (см. 1.29).
1.32. /гЧЧг^ПгЧЧг)]^ — гЧЧ— г)^= — г/Ч^г), откуда вы-
вытекает [Л r]+=s/r"+f/ = 0. Аналогично находим: [7, PL = O,
1.33. (АВ + BALab=>(ab + Ьа)*Р„ь
fc 0 б б
ь = 0. Таким
В + Lab(a + )„ь „ь
образом, ofc = 0, т. е. либо а, либо Ь равно нулю. Пример:
?1 -\-1х=>0, и имеется только одна в.ф. Чго = о"(*)> являюшая-
ся с. ф. операторов f и/ одновременно, при этом с. з. коорди-
координаты jco = 0.
Отметим, что аитикоммутируюшие операторы могут и не
иметь ни одной общей с. ф. (см. матрицы Паули, глава 5
¦Спин»).
1.34. с) Решение уравнения для сф. и с. з. оператора
f = x~-~ приводит к сф. вида Ч^ = Сехр [{x — fK/2\. Эти
функции при любом «с.з.» f являются растущими при лг-э-±°°.
Такие функции исключаются из рассмотрения, так что следует
считать, что оператор f вообще не имеет с. ф.
б) Уравнение для с. ф. и его решения имеют вид
Из (I) следует, что с.з. f — любое комплексное число. Сф.,
отвечающие различным с.з., не являются ортогональными.
Представив с. з. f в виде f ¦= fi + ih (h e вещественны) и
введя с. ф. 4V, нормированные на единицу: *?f =-j—е 2
находим, что они образуют полную систему, так как
х- х').
е) Решение задачи на с. ф. ^а = (в) и с. з. матриц
(оператора) й
очевидно, следующее: одно с. з. а = I, ему отвечает с. ф.
ЧГ|аа"(о): ВТ0Р°е с-8- a:=DA ему отвечает с.ф. Ч*о =¦ -~=г[1.).
С. ф. Ч'о и 4^i не ортогональкы, но, очевидно, образуют полную
систему.
г) Приведенный оператор (матрица) имеет только одно не-
невырожденное с. з. Ъ *=* 0. Соответствующая с. ф. ^о = ( n J не
образует, конечно, полной системы.
1.35. Представим произвольные функции Ч/ и Ф в виде
Считаем, для простоты записи, спектр с.з. // невырождиФия^.
с) Эрмнтовость оператора P(ft) следует из цепочки- ря«ен«тв
J Ф'Р (ft) V dx « J
\ \p (fd
C)
Из (З) и D) следует /»(fi)=ip(fi).
Оператор Р=> 1—/*(f,) проектирует на состояния со зна-
значениями величины f, не равными fi. Легко найти, что Р2 = р.
1.36. Физический смысл Рф) становится очевидным, если
представить Ч? в виде 4f = Xcfe4f/tH воспользоваться форму-
формулой B) предыдущей задачи (считаем в.ф. Ч? нормированной на
единицу)!
PlFS-SvPCMMMt-ICiP-lcwp.
1.37. Р(х>О) = ц(х), где n(*) — ступенчатая функция, рав-
равная
чМв1о, *<о.
Очевидно, р2(х>0)=Р(л:>0).
1.38. Произвольную функцию Ч'(г) можно представить в виде
суперпозиции функций Ч"±, четной (+) и нечетной (—) отно-
относительно преобразования инверсии t (/Ч* (г) = Ч* (—г)):
По смыслу операторов Р± должно быть Р+Ч* = [Чг (г) ±
±4f(—Г)]/2; таким образом, Р+=-0 +*)А P_=(i-J)/2.
Очевидно, / = Я±, Р+ + Р-=1.
1.39. Оператор Р с ядром, имеющим вид
Р (х, х') - cf (x) Г (*'), с-' = J | f (х) Р их,
является проекционным. Он проектирует на состояние, описы-
описываемое в. ф, Ч< (х) ^ f{x).
1.40. Р {fi) = J^'it _rl' где штрих у символа произведения
означает, что в произведении отсутствует сомножитель с к,
равным /.
1.41. '
Фг.0
1.42.
1.43. Искомая вероятность равна
w= \ \\ \F(x.Py,
F(x, р„,
У, z)dy.
причем функция Ч'(к, ?/, г) предполагается нормированной на
единицу.
1.44. Умножим обе части соотношения lW(xJ== W(—л)" слева
на Ч'рОс) и проинтегрируем. Учитывая, что Чгр(л:) = Чг-*.(—jc),
находим
т. е, Тф(р)=,ф(~р).
Вид оператора сдвига Тв*Р(х)~ *Р(х-{- а) в импульсном
представлении легко найти, если учесть, что согласно зада-
задаче 1.12,6 его можно представить в виде Го^ехр \а~й~ }=¦
= exp {iafijh). Так как в импульсном представлении р = р, то
Ta~exp(iap/h).
1.45. Из условия Ч^г^/ЧЧ—г), где / = ±1 —четность со-
состояния, имеем
A)
(при преобразовании A) учтено свойство % (г) = 4% {—• г)).
1.46.
A)
Подставим в A) ^(xr)=--j=^(p')exp(^^\dpr, умножим
обе части A) на Фр(х) слева и проинтегрируем по х. Получаем
ф (р) «е ?ф 0?) =. J L (р, р') Ф (/) dp', B)
Обобщение A) —D) на трехмерный случай очевидно. Так,
1.47. Оператор G^=^r-I имеетвг-представлеиин ядро G
= i-fi(r — г'). Ядро этого оператора в р-представлении, со-
согласно предыдущей задаче, равно
Аналогично находим ядро оператора
(рр)'1Г'. B)
При вычислении интегралов, входящих в (I), B), учтено
J *±*. йх = п/2. $ 1 ехр (jqr) rfF = Antf.
Проверить равенство G2=G-G, т. е.
Са(р, р')=-$С(р, р")С(р". p')dp",
читателю предлагается самостоятельно.
К48. Обозначим через Ч^^) и I^fe) с.ф. операторов А
и В в некотором ^-представлении, 4f{^)—в.ф. произвольного
состояния в том же представлении. В.ф. этого произвольного
состояния в Л- и В-представлениях а (А„) и Ь (Вп) определяются
соотношениями вида
? , а (Л„) = J Ч^Ч* Л.
V <<?) = Z 6 (В«> ^m fe)' * №«* = S Ч/''"- Ч' ^Т
(для простоты ограничимся случаем, когда спектр операторов
Д и В дискретный; обобщение на случай непрерывного спектра
или общий случай, когда одновременно есть и дискретный, и
непрерывный спектры, представляется очевидным).
Взяв в качестве в.ф. произвольного состояния с.ф. 4rBft, най-
найдем вид в. ф. этого состояния в Л-предсгавлении:
авк(Ап)=\У'Ап№вкШ-<. B)
и аналогично получаем вид с. ф. ЧгЛп в В-представлении:
6^(e»)-Svb»to)^fe)dT. C)
Из выражений B) и C) вытекает oBft (Att) = b\^ (Bft).
1.49. a) fai^hiVk, б) fCt^faCb, где С,-в.ф. про-
произвольного состояния в ^.-представлении.
1.50. Р„„- (f,) = On,-6n-i, если спектр fn дискретный. В случае
непрерывного спектра Р( (/, f) =¦ й (f — f ч * '*' *ч
1-61. Оператор / = F(f) следует понимать как оператор,
с. ф. которого совпадают с с. ф. оператора f, а соответствующие
с. з. равны Fi=iF(fi). Так как система функций 4ff является
Полной (при этом существенна эрмнтовость оператора f), то
действие оператора Р на произвольную функцию Ч? определено;
^ ZZ). (I)
Из A) легко получить, что ядро F(q, tf) оператора Р (в #-пред-
ставлении), рассматриваемого как линейный интегральный опе-
оператор, равно
f.to, rt-Zfty^MiJ.M,
где сумма берется по всем с. ф. оператора f. В f-представленмн
оператор f является оператором умножения на f (f).
Записав {—Д)-!''2= ft[{—(fiVJ]-1'2, замечаем, что оператор
(—Д)-'/1 с точностью до множителя является оператором угг*
Его вид в координатном представлении определяется ядром
(сравнить с 1.47):
ftp-'fr, r') = [2^(r-r'JI-'.
1^2. Так как с. ф. оператора F(f) являются с. ф. оператора f
и у него, как и у f, имеется N различных с. з., его можно пред-
сгаьлть в виде (см. также 1.27)
F=F(f)=E/J" (?"-')¦ (О
Значения с„ находятся из системы уравнений
F(f,) = |0'^, (=1.2 П. B)
В частном случае N = 2 система B) принимает вид
F(fl) = cf) + clfl, FQ^o + cJ,,
откуда находим с0 и ct и вид оператора f согласно A):
— +fl"l?"''f- <з)
В случае TV = 3 при указанных в условии задачи с. з. fr коэффи-
коэффициенты d n формуле A) равны
D)
1^3. Проекционный оператор имеет два с. з., равные 0 и 1.
Учитывая формулу C) предыдущей задачи, находим явный
1.54. Унитарными являются операторы /, Та, ЛТе.
1.55. Из 0?=-0и 00+=- 0+0=1 следует 0 = 1,
1.56. |с|= 1, т. е. c = exp(iet), а —вещественное число.^
1.67. Из U => DtU2 следует 0* = OtGt, откуда €и+ =
= 0+0=1.
1.58. Из унитарности О следует 00+= I. Если 0 к тому же
эрмитов оператор, т. е. 0+=С, то 02=1. Эрмитов оператор,
удовлетворяющий такому уравнению, имеет с. з., равные ± I
(и только). Таким образом, эрмитов оператор, имеющий с.з.,
равные ±1, является также и унитарным. Примером такого
оператора является оператор отражения / (еще один пример —
матрицы Паули, см. гл. 5).
1-69. Так как 0+ = ехр (—iF+) = ехр (—iP), то 00+ =¦
=.0+0=1.
1.60. Унитарность оператора легко установить, если предва-
предварительно доказать соотношение (?-1) + = (?+)~1. Искомое пред-
представление оператора 0 = ехр (iF) вытекает из преобразований
p(IF) = ехр(ВД[ехр(-
со + Е c/UAtU* + ?,
я, что 0+0
жение A), м
„ИД, ... Afi*
[Д?++ ... =0. A)
Учитывая, что 0+0=1, произвольный член суммы, входя-
входящей в выражение A), можно записать в виде
Afi* ... U+OAfi* =
т. е. A) принимает вид
что по форме совпадает с исходным соотношением и доказывает
инвариантность этого соотношения по отношению к унитарному
преобразованию операторов.
1.62. Из условия A'=UAV+ следует Sp A' = Sp (UAU+) =
= Sp(A(/+t/)=-SpA, так как U+U=\ и Sp(AB...D)=>
=¦ Sp (В ... DA).
Аналогично det A1 = det ф Л(/+) = det (At?+0) = det Л.
1.63. С одной стороны, det(f/t/+) = detf=i; с другой,
det(t/?/+)=.deti/.det(/+, но deff/+!-det^[det^]*=.[det&]*.
Таким образом, |detf/|a=l, т. е. 6etU=>exj>(ta), где а —ве-
—вещественное число. Если ввести матрицу U' = ехр (— /a/TV) U,
N — ранг матрицы V, то dett/'= I.
1.64.
detf7—exp(/Spfj. (I)
Для доказательства A) следует учесть результат 1.62 и со-
совершить унитарное преобразование, диагонализируюшее эрми-
эрмитову матрицу /. В новом представлении свойство A) очевидно,
но, в силу инвариантности детерминанта и следа матрицы отно-
относительно унитарных преобразований, соотношение A) будет
иметь место и в произвольном представлении.
1.65. Всего имеется N2 независимых матриц Апт (например,
набор матриц Л»?> = 6(n6ftm; i, k=l, 2, .... N). Очевидно,
столько же имеется независимых эрмитовых матриц. Число не-
независимых унитарных матриц также равно ^V2, так как между
эрмитовыми и унитарными матрицами имеется соответствие:
С = ехр (if) (см. 1.59). -Чтобы унитарная матрица была уни-
модулярной, необходимо Sp f = 0 (см. предыдущую задачу).
Из этого условия следует, что число независимых унимодуляр-
ных унитарных матриц ранга N равно N2— 1, как и число не-
независимых эрмитовых матриц с равным нулю следом.
1.66. Связь импульсного и координатного представлений
определяется преобразованием
*ip (г) dV
(г),
т. е. оператор € является интегральным оператором с ядром
^(Р. r) = Bjtfi)-3/2exp(—(pr/ft) (оператор действует на функции
'Р(г)). Ядро оператора D+, действующего на функции Ф(р),
равно
U* {r, p) = Bnft)~3/2cxp((pr/?i).
Оператор G0+ имеет ядро, равное
(или) J ехр (— /pr/ft) ехр Aр'ф) dr = 6 (р — р').
т. е. является единичным оператором (в пространстве функций
Ф(р)). Аналогично находим 0+0=1 (в пространстве функций
образом, 00+ = С+0 = I, т, е. оператор О — уни-
(р)). Ан
(г)).
Таким
тарный.
1.67. Операторы xl=0x0+, p' = СрО+ имеют вил:
в) jt'=cJt, р'=^р.
Приведенные соотношения между операторами ?', Р' и х, Р
получаются наиболее просто в координатном представлении.
Так, для С = Та имеем
= f „ [*Ч' (* - а)]
т. е. Jt; = jt
е. p' = fi. и т. д.
Глава 2
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
2.1.
(О
При инверсии координат относительно точки к == с/2 в. ф.
преобразуются следующим образом:
V* (лг) =э V» (У) = ?я (— jt + а) = (-1)" Ч'„ (л-).
т. е. имеют определенную четность, равную (—I)". Это обстоя-
обстоятельство полезно иметь в виду при вычислении интегралов
(матричных элементов и т. д.), содержащих в.ф. Ч*„(л:) *).
*) Мы используем такую нумерацию уровней д с. Е„ и с. ф. Тя, при
которой основному состоянию отвечает значение « = О. При этом п совпадает
с числом нулей в.ф. VA*). не считая нулей при х->-±™ (или на непрони-
непроницаемых потенциальных стенкал, как в точках jc = 0. а в данной задаче).
Аналогичный смысл имеет радиальное квантовое число пг = 0, 1, 2, ... в
центральных поляк.
144
2.2. Функция распределения по координатам:
В.ф. п-го стационарного состояния в импульсном представ-
представлении
cos(pg/2/l). п-чеиме,
i sin (po/2fi), п —нечетное.
определяет распределение по импульсам частицы
I<HO)P<P- Имеем
р- \4n.{
Используя полученные значения (ДлгJ и (Д^, находим
Напомним, что в обшем случае (см. 1.30)
(&jf(Ap)<>*»/4.
Отметим, что pft можно найти и по формуле
Однако вычисление таким способом более трудоемко, чем по
формулам A^ _
2.3. Tnn = pi/2m = ErL (см. предыдущую задачу). Я=оо(!)
Бесконечное значение Т2 следует, например, из вида функции
распределения по импульсам частицы, найденной в предыдущей
задаче, при |р|-»-оо. Так как |Фи(р)|°°Р-3 ПРЙ 1р1~*°°. то
dwn{p)™dp/p* и интеграл, определяющий среднее значение
Poop*, расходится. Этот же результат можно получить иначе
с помощью квантовомеханической формулы для средних
145
если учесть, что рРЧ?п(х) = — НЧ%{х) содержит слагаемые,
пропорциональные Ь(х), Ь(х— о) (при первом дифференциро-
дифференцировании »РП(*) получается функция, разрывная в точках х = 0 и
x = at производная же разрывной функции пропорциональна
2.4. а) В. ф. нормирована на единицу при А у/ЗО/а.
Коэффициенты Сп в разложении в. ф. *Р{х) по с, ф. гамиль-
гамильтониана Чп{х), указанным в 2.1. равны (?(х)ЕСЛ())
х-44а*±Р*.*—ф.
Л/240 !+(-!)"
(О
т. е. отличны от нуля лишь для четных «-
Согласно принципам квантовой механики вероятность нахо-
нахождения частицы в и-м стациона рном состоянии равна wn =•
= | Сп 18. Учитывая A), находим w (ЕА = 960/л? » 0,999,
1Щ(?2)«0,001ит.д.
Используя известные значения сумм (см., например, [13])
So Bk + I)'4 - л4/96, ^?B^ + I) = п2/8,
находим
б) В.ф. нормирована на единицу при В =-y/s/Sa. Вероятно-
Вероятности wn отличны от нуля лишь для четных п и равны
ш(?о)=О,961; t»(?j)»0,038 и т. д.;
?=4?t/3, ?=16?i/3, ИЕ—лДШр =-4-^/2 EJ3.
2.5. В энергетическом представлении операторы jc, f) являют-
являются матрицами
Х»и=$1КЛ«»!|х. Pm.— Jw^V.rfjc, A)
где 'РлМ— с. ф. гамильтониана, приведенные в 2.1#
Вычисление интегралов, входящих в A)", дает
а/2, т=п,
7 , тфП,
{Ш {m
0,
m=n.
Эти матрицы (операторы) действуют на в.ф. в энергетиче-
энергетическом представлении, которая описывается столбцом
где Сп — коэффициенты разложения в. ф. Ч*(а;), отличной от нуля
лишь в области ямы 0<z х < о, в ряд по с.ф. *1п(х)'. гамиль-
гамильтониана.
2.6. Сделав в у. Ш.
(К(>:)=—е&оХ—потенциальная энергия заряженной частицы в
однородном электрическом поле &Л замену переменной х -*- г==
= л: — e^njk, приводим A) к виду, представляющему у. Ш. для
обычного гармонического осциллятора (без поля), и получаем
решение A):
где *$пС1{х) представляют хорошо известные в. ф. стационарных
состояний гармонического осциллятора. Отметим, что под дей-
действием однородного поля все уровни энергии осциллятора сме-
смещаются на одинаковую величину.
2.7. В.ф. четных стационарных состояний д. с. имеют вид
[ fiexp[-
Нелрерывность в. ф. и ее производной в точке х = а приво-
приводит к трансцендентному уравнению, определяющему спектр
четных уровней:
B)
Н7
Ч;
(при этом в точке х=— а условия сшивания в.ф будут выпол-
выполнены автоматически в силу четности функции).
Аналогично находим уравнение для нечетных уровней ча-
частицы:
= - Vl E I- <3)
Анализ уравнений {2), C) удобно проводить графически.
Так как этот анализ очень прост (и доступен даже школьнику),
приведем лишь окончательные результаты.
о) Уравнение B) при 0<[?|< ?/0 имеет N+ корней GV+ —
число четных состояний д. с.), определяемых условием
т. е. при любых параметрах ямы есть хотя бы один четный
уровень.
б) Число Л'_ корней уравнения C) определяется соотноше-
соотношением
¦ N_n - п/2 < ^2тиоа>№ < Л_я + л/2, E)
т. е. нечетные состояния д. с. существуют лишь при условии
в) По мере увеличения энергии четные и нечетные уровни
чередуются, причем самый нижний уровень — четный.
г) Соотношения D), E) можно объединить в одно:
— 1)п
F)
где N — общее число уровней д. с: Л' = N+-\- N-.
д) Реализация знака равенства в правых частях соотноше-
соотношений D) — F) соответствует условию появления нового уровня:
(Л/+-+- 1)-го четного, (Л'-+ 0-го нечетного или вообще
(N + 1)-го уровня, соответственно, при увеличении глубины ямы,
т. е. при увеличении параметра % = ma2Uoffo2.
В случае глубокой ямы ?й>д введем величину Е'п = Uo — \Е„ | —
энергию уровня, отсчитываемую от «дна» ямы. Для нижних
уровней частицы (таких, что Е'п < ?/с) из уравнений B), C)
можно получить следующее приближенное выражение:
Отметим, что согласно G) нижние энергетические уровни
в глубокой яме лежат несколько ниже уровней в бесконечно
глубокой яме такой же ширины 2а.
2.8. В случае мелкой ямы ma2Uo/fi2 < 1, как это следует пз
решения предыдущей задачи, имеется только одно, четное ео-
146
стояние д. с. Для нахождения энергии уровня из уравнения B)
предыдущей задачи следует учесть малость аргумента тангенса
и записать это уравнение в виде
Vt/o-l^ol <v'2m(U0-\E0\)aW» -^\Ё7\. @
Так как V2m (?/0— [?<,[)<f/A? < 1, то из A), очевидно, сле-
следует |?0| < t/0, и, пренебрегая в левой части A) величиной [?о|
по сравнению с Uo, находим
т. е. глубина уровня в мелкой яме
много меньше глубины ямы (рис. 20).
Приближенный вид нормированной
в.ф. основного состояния в мелкой
%(х)
Рве.
следует из выражения A) предыдущей задачи для в.ф„ если
учесть, что как точная, так и приближенная в.ф. в области ямы
|jcJ ^ а почти постоянны.
Искомые средние равны
2.9. Учитывая приближенный вид в.ф. (см. формулу C)
редыдущей задачи), находим: х = 0, (Дк)г = 3? =* Bи*)^',
^ 2mt/0c/fi2. Вероятность нахождения частицы внутри ямы
Легко заметить, что малая вероятность нахождения" части-
частицы в области ямы связана с тем обстоятельством, что в. ф. вне
ямы лишь медленно убывает с ростом |jc(. Действительно,
l^o!2 o<je-!ltW, так что частица с заметной вероятностью может
находиться на расстоянии | х [ ~ \/к ~ ^/Н2/2т | ?01 > о. Имея
это в виду, нетрудно сообразить, что и в случае произвольной
потенциальной ямы, характерные размеры которой порядка а,
частица с подавляющей вероятностью будет находиться вне
ямы (в классически недоступной области), если ее энергия удов-
удовлетворяет условию \Е„\ < fi2/2mos (такие энергетические уров-
уровни наливают мелкими).
149
Приближенный вид в. ф. в импульсном представлении:
2.10. -
) + об (ж
A)
Из у.Ш. A) вытекают непрерывность в.ф. Ч*(.х) в точке лго
и разрывный характер производной в.ф. в этой точке. Величина
скачка производной в. ф. должна быть такой, чтобы б-функцион-
ное слагаемое в функции W{x) (производная разрывной функ-
функции пропорциональна 6-функции) компенсировало слагаемое
аЬ(х— яо)Ф(яо) в левой части уравнения A). Проинтегриро-
Проинтегрировав A) по области jco—е < х < jto + (, е!>0, и устремляя
е-»-0, находим
У (х0 + 0) - Ч*' {х0 ~ 0) = BmqflP) Ч* Ы,
2.11. У. Ш. и его решение имеют вид
-¦?-4'"-B«M4' = E4r; Е—-1
.,,,, f ^ехр(—ki), *
Используя соотношения B) предыдущей задачи (с учетом
замены а-> —а), находим А=В и и = ко = ат/Н2, Ес =
= —maE/2fi2, т. е. имеется только одно состояние дискретного
спектра, нормированная в. ф. которого имеет вид Ч^ {х) =
= V^o ехр [— у.о | х |]. Эта функция, как и следовало ожидать,
является четной.
Имеем
U =¦ - о J 6 (лг) Фо (х) (/л =- ~ mo'/ft" = 2?0;
•) Полученное выражение для Фо(р) несправедливо при больших импуль-
импульсах \р\ ;& fi/o = Ак/иа ^ Аи, так как при таких значениях р при вычислении
интеграла в A) является существенным точный вид в. ф. Wolx) в области
1*1 ^ а. Точная в. ф. Оа (р) при |р| — со имеет вил
Потенциал t/(jey= —аб(х)" можно получить предельным пе-
переходом а^-0, LJq-*-oo, 2ot/o^a из потенциала, рассмотрев-
иого в 2.7 и 2.8. Прн таком переходе % = maaUofh2~*-O, т. е,
яма является мелкой. Как легко увидеть, приближенные ре-
результаты для энергии и в. ф. основного состояния частицы в
мелкой яме являются точными для 6-функциокного потенциала.
2,12. Обозначим Еп, ЧМ*)» л = 0,1. ...¦ уровни энергии и
нормированные в.ф. стационарных состояний в поле V{x). Эти
в.ф. имеют определенную четность (—1)", и в.ф. нечетных
уровней при х = 0 равны 4Wi@)=0. Для частицы в поле
С(х) введем аналогичные обозначения: Ёк, Ч'а(лг)'1, А=«0, 1, ... ;
Ф*@)=-0.
Функции Ч?ц{х) н нечетные функции Wn[xf удовлетворяют
(прн х ^ 0) одному и тому же у. Ш. и одинаковым граничным
условиям о точках х = 0 и х = оо; между ними имеется сле-
следующее соответствие (рис.21):
Если в поле U{x)' имеется N состояний д. с, то число таких
состояний в поле О(х) равно N/2 при четном N и (Л'—1)/2
ври нечетном N. Б случае N = 1 в попе С(х) состояний д. с. нет.
2.13. Найдем среднее значение энергии частицы в состоянии,
описываемом нормированной в. ф. 4r(jt, a) = ^а"ехр [— a| к \],
a > 0 — некоторый параметр. Учитывая, что Т = p2l2m =
7J, имеем
?(a) = fiW/2m + a$exp[-2c.|;(|][/(*)*[. (Ц
Второе слагаемое в A) при а-*-0 равно
0. B)
151
Используя (i) r B), легко заметить, что при достаточно
малых значениях параметра о. величина Е(а) отрицательна;
но ?(а)^?с, где fo —энергия основного состояния. Таким об-
образом, Ее <С 0 и основное состояние относится к дискретному
спектру.
2.14. Введя обозначения ? —e/ja/2mc2, z=*x/a, запишем
у. Ш. в виде
^ ( ^) С)
Обозначив еп(|), Ч*л(г,?) с.з. д.с. и нормированные сф.
уравнения A), получаем решение у.Ш. в поле U^UDf(x/a):
Величины ?п, г, (ДгM (усреднение проводится по функциям
Ч*й) зависят только от значения параметра |.
2.15. Потенциальная энергия частицы имеет вид (рис. 22)
—(Г Г<о
(направление (—g) принято за положительное направление
еси г, отражающая плоскость г = 0). Так как движение вдоль
осей х, у является свободным и р данной
задаче не представляет интереса, в
дальнейшем будем рассматривать дви-
движение частицы только вдоль оси г.
Заменой переменной л =
= {2m2g/h2y^{z — E/mg) у.Ш. в поле
V (г) приводится к виду
4»{x)-xV{x) = Q. A)
Рис. 22. Решением уравнения A), убывающим
при х-*- оо, является функция Эйри
Щх), т. е.Ч'(г) = Лф[(^§-I/3(г——)]. Квантование энер-
гетических уровней возникает в силу граничного условия
W (г = 0) = Ф [- Bm2gln2)lp Ejmg] «= 0. B)
Обозначив (—a.k) {k= 1, 2, ...) последовательность корней
функции Эйри в порядке возрастания ак, находим из B) энер-
энергетический спектр:
В частности, энергия основного состояния равна (п*=С, ¦«¦ »*
» 2,34)
Ео - 2,34 (т^Аа/2I/3 = 1.86 (mg2ft2)'/3.
2.16. В.ф. основного состояния является четной: 4*0(je)=«
= *Р|)(—-к), и достаточно найти ее при х ^ 0 (при этом
Ч*(|@) = 0). У.Ш. при х^О с помощью подстановок у =
= ? ехр (—Jt/2a), ? = —A V/2m, | =• -\/Sma4Jdh2 , v = 2ха
(и>0) приобретает вид уравнения Бессёля:
). A)
Так как при х-юс (при этом у-*0) в.ф. ^(Jt)" должна
убывать, решение уравнения A) следует выбрать в виде
(Э0)
W (jc) =• С1Х ((/) - C/v (I ехр (- х}2а)\.
B)
) = 0 определяет спектр четных уровней:
P)
при этом основному уровню отвечает наибольшее значение |?|.
В случае мелкой ямы ? < 1, воспользовавшись формулой
уравнение C) можно приближенно записать в виде
откуда
/
Нетрудно заметить, что при этом нормированную в.ф. основ-
основного состояния можно приближенно записать в виде (так как
E)
Результаты D) и E) длч основного состояния В мелкой яме
находятся в согласии с результатами задач 2.8 и 2.11: потен-
потенциал il(x) = —аЪ(х) можно получить предельным переходом
о-»-0, ?/о-»-°о из потенциала рассматриваемой задачи, отож*
дествив а с величиной а = — \ U(x)dx = 2aU0. Таким образом,
в случае мелкой ямы произвольного вида U(x) энергия ?о и
в.ф. WotJf) основного состояния определяются, по существу, не
конкретным видом V(x), а значением интеграла \U{x)dx.
2.17. При решении у.Ш. следует учесть условия сшивания
решения для fi-функционного потенциала (см. формулы B) за-
задачи 2.10), граничные условия Ч*(а) =¦=¦ Ф(—а) = 0, а также
определенную четность в.ф. стационарных состояний.
В. ф. четных уровней при 0 < \х\ ^ а имеют вид
Условия сшивания решения A) в точке j
отношению
>. A)
приводят к со-
определяющему спектр четных уровней.
При ? > 1 для нижних уровней (таких, что ka < ?) в пра-
правой части уравнения B) стоит малая величина. Отсюда следует,
что knO. = пп — е, где е< 1, а«=1, 2, ...— порядковый номер
корня- Учитывая это, имеем из B) —tgfefio да е tv ft«a/| яй
ps пл/s, т. е,
*<«« -2Ц1 -1/i). ?i+1«-^(l-2/|) C)
(мы ввели индекс (+), указывающий на положительную чет-
четность уровней).
Для нечетных уровней в.ф. в области |jt|<o имеет вид
V(>:) = Bsin(kx) и условие Чг(«) = 0 определяет спектр нечет-
нечетных уровней:
л = 1, 2, ...
D)
(отметим, что в нечетных состояниях частица «не чувствует»
наличия б-функционного потенциала U(x)= ab(x)).
Сравнение C) и D) подтверждает указанный в условии за-
задачи характер нижней части спектра: расстояние ЬЕп «s 2Ef(l
между четным и иечетныы уровнями с одинаковым значением п
много меньше расстояния AE = \En±i— ?ц I'-'Ёп^/п до сосед-
соседней пары уровней (п -С Е)
Спектр четных уровней в области энергий ftc>^ (например,
сильно возбужденные уровни) легко найти из B), положив
kna = {п — д/2)я-fe, еС1 (л = 1, 2, ... — порядковый номер
четного уровня),
- lg kna fb j/e да knai% к (n- 1/2) я/*,
Первое слагаемое в выражении для fcl+) описывает спектр
четных уровней в бесконечно глубокой потенциальной яме, вто-
второе—смещение этих уровней под действием потенциала аЬ(х).
Объяснить характер нижней части спектра при ? Э> 1 и рас-
рассмотреть случай а <С 0, т|а|я/йг3>1 читателю предлагается
самостоятельно.
2.18. При достаточно быстром убывании U{x) в у.Ш. при
x-t-ioc можно пренебречь И{х), так что у.Ш. и его решение
принимают вид (? = 6)
\?"(х) = Ъ, ч7 (х) л: А± -\- В±х, x^-±oo,
т. е. решение является, вообще говоря, возрастающим при
х~»±оо. При произвольных параметрах потенциала не суще-
существует решения у.Ш., которое не возрастало бы как при х-*-
-*-+оо, так и при х->—оо (совершенно аналогично тому, как
не существует убывающего при х-»-±°о решения у.Ш. при про-
произвольной энергии ?<:0). Только при специальном выборе па-
параметров потенциала (например, параметра а, если записать
V{x) в виде U(x) = aO{x)) такие, не возрастающие при х-*-
-*-±:сх> решения у.Ш. существуют. При этом поле U(x)' яв-
является критическим в том смысле, что при малейшем углубле-
углублении потенциала, г. е. при изменении поля на величину 6?/(jc)^
^ 0, в поле появляется новое состояние дискретного спектра,
т. е. число состояний д. с. возрастает на единицу.
Чтобы понять описанный выше характер решений у. Ш с
Е = 0, рассмотрим самый верхний энергетический уровень Еп
Д.с. Его в.ф. чгп{х) имеет при х-*-±;гх> вид
При уменьшении глубины потенциала все уровни д. с. смещают-
смещаются вверх (т. е. \ЕЯ\ также уменьшается), и самый верхний из
них при некотором значении параметров поля принимает зна-
значение Е„ = 0, при этом его в. ф. при х-*- ±°° имеет вид
^f?n-o(A:) ** const. Число нулей функции Ч^^с, не возрастающей
при л-*- ±оо, определяет число состоянии д. с. с Е < 0.
Не возрастающее при х-*-±со решение у.Ш. для указан-
указанного в условии задачи потенциала при Е = 0 должно иметь вид
(у)
( х<0,
В cos (ил:-f-6), 0<х<2о, A)
С, х>2а.
Условия непрерывности в.ф. и ее производной в точках х = 0
и х = 2й приводят к соотношениям
о = 0, А = В, Б cos Bий) =» С. sin Bий) = 0, B)
последнее из которых определяет условие существования такого
решения. Таким образом, условие 2ya=-\lbmV^jti2^nn, n =
==1, 2, ...4дает значения параметров ямы, при которых в ней
появляются новые состояния д. cF по мере ее углубления. Так
(А,
В c
С,
как в. ф. Ч*?=,о имеет при этом п нулей, то полученное условие
есть условие появления («-f- 1)-го уровня (напомним, что в.ф.
основного состояния не имеет нулей).
2.19. Используя соображения, высказанные в предыдущей
задаче, найдем условие существования не возрастающего при
ж-*-оо решения у.Ш. при Е = 0:
В,
(I)
Условия с
ивания решения в точке х = а (см. 2.10) дают
а А = В, 21 =г 2tnaajns «=» 1, B)
т. е. невозрастающая в. ф. VE-o существует только при одном
значении параметра ? = ?о = 1/2, причем эта в4 ф. не имеет
нулей. Полученные результаты для *УЕ~о и ?о означают, что при
I ¦< Ъ = 1/2 в рассматриваемом поле отсутствуют состояния
д. с, а при ? ;> ?о имеется только одно такое состояние.
2.20. Считаем, для определенности, Ui ^ U%. Состояниям
д. с. отвечает энергия E<U2. Найдем условие существования
не возрастающей при х-*-±оо в.ф. У?_?/» являющейся реше-
решением у.Ш. сЕ = Vs.:
{Аехр{~~ к\х\), х<Ь (к =
В cos {kx + 6), 0 < х < о (ft = м'2тЩК2),
С, х>а.
A)
ее производных в точках х = о и
Условия сшивания в. ф. i
= 0 дают
B)
Последнее из соотношений B) есть условие существования
решения у.Ш. вида A), не возрастающего при х-»-±ос. Ис-
Используя соображения задачи 2.18, заключаем, что это условие
является также условием появления новых состояний д. с.
по мере углубления ямы. Если в. ф. A) не имеет нулей (т. е.
ka<n/2), то речь идет о появлении первого состояния д.с.
Таким образом, искомое условие имеет вид
C)
В частности, при Ut = со условие C) принимает вид ?/я ^
^7x2h2/8ma2. При Ui=U2 условие C) выполнено при любых
параметрах ямы, т. е. состояние д. с. всегда существует.
2.21. Оператор силы (в координатном представлении) имеет
вид F(x)= —dUjdx, и равенство Fm = 0 вытекает из следую.
156
щвдс преобразований:
При преобразованиях были учтены равенства V(x) = U*{x),
J -^[U\x?nt2\dx=* 0 и использовано у. Ш. для Уп, У п.
2.22. Бесконечно глубокую потенциальную яму можно полу-
получить предельным переходом U(,->~oc из ямы конечной глуби-
глубины (Л>. В последнем случае оператор силы в координатном пред-
представлении имеет вид
F = — dU/dx = UQ [6 (jc) - в (х - а)] (О
(при нахождении A) было учтено, что производная ступенча-
тоё функции
.., , i°- x<°-
равна dt) (a:) /dx ~ 6 (л)).
Два слагаемых в выражении A) представляют операторы
сил, действующих на частицу со стороны левой и правой стеной
ямы. Рассмотрим силу Fnp = —?/об(х—а) со стороны прэьой
стенки. Легко заметить, что ее можно записать в виде /гпр =
= dU/da = дЯ/да (так как оператор кинетической энергий не
зависит от о).
Используя результат задачи 1.28, находим
= (дН1да)пп =
B)
Б последнем из соотношений B) для Е„ было использовано
значение энергетических уровней частицы в бесконечно глубо-
глубокой яме.
Сила, действующая на частицу со стороны левой стенкя,
равна /\л = —Fnp, так как суммарная средняя сила, действую-
действующая на частицу, равна нулю (см. предыдущую задачу).
Мы нашли среднюю силу, действующую на частицу со сто-
стороны каждой из стенок ямы. Сила, действующая со стороны
E7
частицы на стенки ямы, имеет противоположный знак и направ-
направлена, естественно, изнутри в сторону соответствующей стенки.
Выражение B) совпадает с результатом классической меха-
механики для средней по времени силы, действующей на частицу со
стороны стенки.
2.23. с) Среднее значение силы, действующей на частицу со
стороны правой стенки ямы, согласно первой из формул B)
предыдущей задачи равно
Тщ = dEold Bа) = Eola, Ео & - 2ma~ut/h2t A)
где 2а — ширина ямы и для величины Ео использован резуль-
результат задачи 2.8.
б) Усредняя оператор силы Лф = —Uob(x—о), действую-
действующей на частицу со стороны правой стенки ямы, по в.ф. основ-
основного состояния, найденной в 2.8, снова приходим к A).
Результат классической механики для средней по времени
силы, действующей на частицу со стороны правой стенки ямы:
РКд = —,(?/<) — |?о|)/о. Сравнение этой величины с результа-
результатом A) квантовой механики показывает, что ] FKB f -«^ I ^вл | *
Такое резкое различие сил в классическом и квантовом слу-
случаях можно было ожидать заранее, если иметь в виду результат
задачи 2.9, согласно которому связанная мелкой ямой частица
находится в области ямы с малой вероятностью (в противопо-
противоположность классическому случаю, где эта вероятность равна
№КЛ = Д).
2.24. Среднее значение силы, действующей на частицу в ста-
стационарном состоянии д. с, равно нулю согласно 2.21. Эта сила
складывается из силы, действующей на частицу со стороны
стенки, и силы, действующей на частицу со стороны поля О(х)
в области х > 0. Для последней, используя преобразовании,
аналогичные проделанным в 2.21, получаем выражение
Рпп — - \ I У* (*) I2 (dO/dx) dx = ~ (ftV2m)f Wn @) P. A)
0
Величина A) представляет также среднее значение силы, дей-
действующей со стороны частицы на непроницаемую стенку, рас-
расположенную в начале координат (х = 0).
Подставляя в формулу A) значение Ч^п @) для в.ф. частицы
в бесконечно глубокой яме (см. 2.1), приходим к результату
задачи 2.22.
2.25. Среднее значение силы, действующей со стороны ча-
частицы на правую яму, в стационарном состоянии д. с. дается
интегралом
(*> р (dUldx) dx.
A)
Используй преобразования интеграла A). аналогичные проде-
проделанным в 2.21, находим
B)
где индекс (±)' указывает на четный или нечетный характер
в. ф. При получении B) было учтено, что Ч*? @) = 0 для четных
и 4fn@) = 0 для нечетных в.ф.
2.26. Приведенные в условии задачи в.ф. имеют много об-
общего с в.ф. Wo (-с) основного состояния частицы: они удовлетво-
удовлетворяют необходимым граничным условиям, не имеют нулей в ин-
интервале 0 < х < а, обладают положительной четностью при
инверсии координат относительно центра ямы. Поэтому можно
ожидать, что среднее значение энергии частицы в этих состоя-
состояниях будет достаточно близко к энергии основного состояния и
тем самым являться приближенным значением величины Ео.
При вычислении средней энергии следует учесть, что U(x) =
= 0, так как в. ф. равна тождественно нулю при х^0 и х^а,
а бесконечно глубокую потенциальную яму можно получить
предельным переходом ?/0-»-°° из ямы конечной глубины. По-
Поэтому вклад в U(x) от областей jc^O, x^a равен нулю, как
и вклад от области 0 < х < о, так что Е = Т.
Учитывая, что f={h2f2m) ^| xVr(x)fdx, легко найти среднее
значение Е, предварительно пронормировав в. ф. на единицу
(см. также 2.4);
а) А2 = Ща\ E^5tf/md1= lt0l4ED,
б) В2 = 8УЗя, ? = 2/iV/3ma2=l1333?10, (U
е)Сэ=12/о3, ? = 6/12Лш2=>1,216?0.
Как и должно быть, найденные значения Е больше точного
значения ?0 = hsn2/2mas энергии основного состояния. Из {I)
следует, что наиболее близкое^ Еъ значение дает в.ф. вида а),
В случаях б) и е) отличие Е от Ес достаточно большое —
20—30%. Эти результаты вполне естественны: вид в. ф. а) наи-
наиболее близок к в. ф. Wo (jt) = V2/o sin (nxja) основного состояния
частицы. Вид в. ф. б) вблизи стенок ямы сильно отличается ог
точной в.ф.; так, при х—»0 JS(x)ooxi, a Wo (л:H0* (аналогичное
различие при х-*-а). В.ф. вида е) имеет разрывную при х =
= а/2 производную, в то время как производная s. ф. Ч*о(-*)!
в этой точке непрерывна.
2.27. Нормируя в.ф. на единицу, найдем Е(а). При любом
значении параметра с имеет место неравенство E(a)^EQ, где
Ео — энергия основного состояния. Выбрав значение а = йц из
условия E(aD)= minE(a), заключаем, что Е(о0)' представляет
наиболее точное приближенное значение (на рассматриваемом
153
классе пробных функций) величины Ер (при этом Ец^Е). Чем
ближе пробная функция к в. ф. основного состояния, тем точнее
Е(ао) воспроизводит значение Ей.
Расчеты в данной задаче очень просто произвести, если
учесть значение интеграла F >0, п —целое)
?('"o)
16/5яо, f=7/r*/lCms!, G=.faj!/10.
Vir'l»/5«0,53fia (u
B)
Результаты A) и B) следует сравнить с точным значением
?о = /ш/2. Отметим, что в обоих случаях а) и б) имеет место
соотношение T(aa)=U{a<) в согласии с теоремой вириала.
Точная в. ф. основного состояния осциллятора, как известно,
имеет вид
«РоМ = (V^.v»)"*exp С-*724), ^
Учитывая, что ехр(
пользование пробной функции вида »Р = Л
боре вариационных параметров а* = 2\х
= lim A -j- x/v)-v, замечаем, что ис-
. |- л5/а2)~* при вы-
зариациониых параметров c* = 2vxl, v-*-oc дает Е-*-?о,
т. е. точное значение энергии основного состояния.
2.28. a) E{a)~h2l4mas — 2a/mi,
?(оо) = min?(o) = — 4пш21п2№ г» 0.81Е»;
в) ? (о) == т'НОта* — 16а/5яи,
ЁЫ = minElp) =. - 256та-/70я»йг» 0,74Е0.
2.29. с) При Лв = 4а3 в.ф. нормирована на единицу. Имеем:
T=hVI2m, G=3*/2a, Ё(а) = П
Е («о) = min Ё"(а) = B43/16I/3 (й^/г/иI''1 г
?(о«) =• min ? (о) = (81/2яIл {kV/2m)'"
160
B)
Рассчитанные приближенные значения A) if B) величины Б,
следует сравнить с точным значением Ео = 2,338{k3tty2m)tJ*.
Отметим, что в обоих случаях имеет место соотношение
2Г(а0)— Р(сео) в согласии с теоремой вириала.
2.30. Наиболее общий вид полинома третьей степени, удов-
удовлетворяющего граничным условиям W @) = *Р (а) = 0, сле-
следующий:
?(х)-Ае(а-*)(х-6). (I)
Для того чтобы воспользоваться в.ф. вида A) для приближен-
приближенного вычисления энергии первого возбужденного состояния ча-
частицы вариационным методом, необходимо выбрать эту функ-
функцию ортогональной к в. ф. основного состояния. Этому условию
легко удовлетворить, если учесть различную четность в. ф. основ-
основного и первого возбужденного состояний по отношению к ин-
инверсии координат относительно центра ямы (* = о/2): пара-
параметр Ь необходимо выбрать равным Ь = о/2, так что в. ф. при-
принимает вид
У{х) = Ах{а-х){х~а}2). B)
При вычислении Е в состоянии, описываемом в.ф. B), удоб-
удобно сделать замену переменной х-*-х' = х — с/2. Простые вы-
вычисления приводят к результатам: Л2 = 840/о7 из нормировки
?/ = 0,
C)
Как и следует, величина Е дает ограничение сверху на значе-
значение энергии ?| = 2fi2n2/ma2 первого возбужденного состояния.
Найденное значение C) величины ? по смыслу расчета пред-
представляет приближенное значение энергии первого возбужденного
состояния частицы ?..
2.31. Так как приведенная функция является нечетной функ-
функцией х и поэтому ортогональна к точной в. ф. основного состоя-
состояния осциллятора, являющейся четной, то значение Е(а) в со-
состоянии, описываемом в.ф. ЧЧх.а), представляет ограничение
сверху на значение ?| энергии первого возбужденного состоя-
состояния. Минимизируя Е(а) по а, найдем ?(«о) = mm?(a). Это
значение Е(<л0) можно рассматривать как приближенное значе-
значение величины ?i-
Нормируя в. ф. (Ла = 2се3), находим
Т =. (fia/2m) J J V [х) ?dx =
V = 3ft/2a2,
A)
Значение A) для Е(аа) следует сравнить с т"очным Е\ =
= З/ш/2.
2.32. Найдем ? (к). Если Е < 0, то, так как ?<г < ? < 0, мож-
можно утверждать, что в рассматриваемом иоле имеются состояния
6 В. М, ГМПШКЛЯ в др. Ю1
д.с, {Eq—энергия основного состояния). Таким образом, усло-
условие ?(к)^0 является достаточным условием существования в
поле состояний д. с, (при этом параметры потенциала выра-
выражаются через к). Выбирая оптимальное значение параметра
к = щ из соотношения Е(ко) = О, получаем приближенные зна-
значения параметров потенциала, при которых в поле имеются со-
состояния д. с.
а) Т=№\А№тк; О=-ааЦ А?ехр{—2у.а).
Условие Е{к) ^ 0 принимает вид
I — maajh2 > ехр у/Ау > е/4 я» 0,68 {у =з 2ка). A)
б) Г=> 3 V" ^21 В F/16m i/k; 0= — «й21 В Рехр(— ка%
Условие ?(к
принимает вид
, гарантирующее наличие состояний д. с,
l>^-^>1:W-^,n (f=,va\ B)
Минимальные значения параметра Ъ, в правых частях соот-
соотношений A) и B) следует рассматривать, по смыслу прове-
проведенных вычислений, как приближенные значения параметров
поля, при которых появляются состояния д.с, и эти значения
полезно сравнить с точным значением |о = О,5. Как и следовало
ожидать, вариационный расчет параметра |о приводит к завы-
завышенному значению глубины ямы, при котором в ней появляются
состояния д. с.
2.33. Оператор кинетической энергии T = fiz/2m в импульс-
импульсном представлении имеет вид Т = р2/2ш. Оператор потенциаль-
потенциальной энергии U, являющийся в координатном представлении опе-
оператором умножения C=*U{x)', в импульсном представлении яв-
является интегральным оператором с ядром V(p, p'), равным
, Р') шшО(р- р'), U (р)
5 и (х) ехр (- ipxlh) dx.
Таким образом, у. Ш. в импульсном представлении имеет вид
ЯФ (р) ^ -?¦ Ф (р) + \0(р- р') Ф (р') dp' = ЕФ (р). B)
2.34. В случае ?/,(>:) = — aS(jt) имеем
и у.Ш. в импульсном представлении $см. предыдущую задачу)
принимает вид
—sir \®U>)dp=?<I>U>).
A)
Обозначив
находим решение уравнения A) в виде (?= —\Е\ < 0)
B)
C)
Соотношения B) и C) должны быть согласованы друг
другом. Исключая из этих выражений С, получаем
A)
Уравнение D) определяет энергетический спектр частицы. Оче-
Очевидно, оно имеет только одно решение ?о = —ша2/2Аа. Этому
уровню отвечает в. ф. C), которая при выборе С = ^\/2nmaJfl
нормирована на единицу,
2.35. Ядро оператора C = kx2/2 в имлульсном представлений
имеет вид
и у. Ш. в импульсном представлении принимает вид
совершенно аналогичный у. Ш. для осциллятора в координат-
координатном представлении. Его решение очевидно:
?вв.Аю(в+1/2), и = 0, 1,2,...
2.36. Решение уравнения для СЕ при ж < ж' имеет вид
GE (х, яГ) = А (*') ехр [к (х - х')\ + В (х')ехр [- к {х - *')
а,Лр)
Условие убывания Ge при (х — д/)-*- — оо требует В (*/)"= 0.
Аналогично, при jc> х1 имеем GE = C{x')exp [¦—х(лг — Jt')]*
В точке х = х1 функция СЕ непрерывна, а производная dOE/dx
в этой точке имеет скачок, равный ^сравнить с решением за-
задачи 2.дО)
Се (х = х' + 0, х') - Св {х = к1 - 0, хГ) — - 2m/h2.
6* , 163
Условия сшивания функции Грина GE в точке х = х' дают
А(х') = С{х')= m/ati2, в она представляется в виде
Отметим, что GEix.x") зависит только от \х — х'\ (а не от х
и х' в отдельности). Это свойство функции Грина связано с од-
однородностью пространства (в данной задаче — одномерного)
для свободных частиц.
С помощью функции Грина общее решение уравнения (? <
<0)
Чх) B)
можно записать в виде
GE(x, x')f(x')dx'. C)
Если в уравнении B) положить f{x)=—U{x)*?(x), то оно
будет представлять у. Ш., а его формальное решение C) при
этом является у. Ш. в интегральной форме. Так как для физи-
физических приложений обычно представляют интерес решения у. Ш.,
не возрастающие при х->±оо, и так как при этом интегральное
слагаемое в C) оказывается убывающим при jc->±°° (это лег-
легко заметить, если учесть поведение GE при х->±оо), то в C)
следует положить Л = В = О, так что у. Ш. в интегральной фор-
форме принимает вид
--3F \ exp(-K\x-
Уравнение D) эквивалентно у. Ш. с учетом граничных усло-
условий — убывания решения при х -> ±°°. Оно имеет решение
лишь при значениях Е < 0, принадлежащих к энергетическому
спектру частицы.
К вопросу о функции Грина можно подойти и с несколько
И11ОЙ точки зрения: ее можно рассматривать как линейный опе-
оператор Се, ядро которого в координатном представлении имеет
вид Ge(x,x'). При этом из уравнения для Ge(x, х') следует
(Н-~ЕNЕ=\,
E)
Уравнение E) справедливо в любом представлении. Его фор-
формальное решение:
Учитывая результат задачи 1.51, находим Ge(x, х?)—ядро
оператора Gf F) в координатном представлении (?<0):
\
pjx — x'yti\ d _
^| )
что совпадает с выражением (I).
2.37. Уравнение D) предыдущей задачи для 11{х)=- — ссб(х)
принимает вид
Из (I) следует условие am/y.ft2= 1, определяющее значение
единственного уровня д.с. E0=~ma2/2hs и вид в.ф. 4ro(-J0 =
= Лехр(—KD|je|).
2.38. Рассмотрим Ч^С*)—в.ф. основного состояния частицы,
Ео <. О (|?П|^|?и|)- Эта функция не имеет нулей при конеч-
конечных значениях х и является вещественной функцией, причем
WoMSsO (последнему условию всегда можно удовлетворить
соответствующим выбором фазового множителя). Функция
4*0(*) удовлетворяет интегральному уравнению— уравнению D)
задачи 2.36. Возьмем в этом уравнении х = х0, где хо — точка
максимума функции 4*0(jc)
{D
Замечаем, что подынтегральная функция в правой части (I)
ная и замена ехр(—хй\х0 — x'lJWojjt') в интегра
жет только увеличить павую ч (I) Т
Замечаем, что п
неотрицательная
ельная и замена ехр(—хй\х0 — x'lJWojjt') в интеграле
(о) может только увеличить правую часть (I). Таким об-
образом, находим
Отсюда
B)
L-«. J
что и требовалось показать.
Знак равенства в формуле B) реализуется только в случае
С-функционного потенциала U(x)= — а.6{х — а). Приближенное
равенство B) имеет место Для «мелких» потенциальных ям,
удовлетворяющих условию \Uo\ma*/h* < I, где ?/0 и о—ха-
о—характерные величины потенциала и радиуса его действия.
2.39. Функцию Грина Ge(x, х') (к, х'^0) можно найти не-
непосредственно из решения уравнения для Ge аналогично 2.36,
и она имеет вид
G?tjr, jO = r[exp(-«lJC-J('|) —ехР(-м|х + ж'|)] (I)
{вид (I) функции Грина представляется очевидным и без вы*
числений, если иметь в виду результат задачи 2.36).
2.40. У. Ш. для состояний д. с. в интегральной форме (при
С ^ 0) имеет вид
Будем понимать под Чг(х) в уравнении (I) в.ф %(*) основ-
основного состояния частицы с энергией ?0= — #Ц/2т < 0, пред-
предполагая, что в рассматриваемом поле состояния д. с. суще-
существуют. Функция х?г>(х) не имеет нулей (не считая нулей при
х = 0 и jc = oo), и, не ограничивая общности, ее можно считать
вещественной функцией, удовлетворяющей условию ^(.«J^O.
Возьмем в (I) х =хо, где хо— точка максимума функции
*Ро(х)> и вынесем из-под знака интеграла в A) функцию х?ъ{х')
в точке х' = хв — при этом правая часть (I) может только уве-
увеличиться (так как подынтегральная функция неотрицательна);
сокращая на 4f0(jtc)> 0, получим
К^$ [exp{-KD|*o-*l)-exp(-KOUo-f x\)]\0(x)\dx. B)
х'\ — \х — *'
' (напомним, что х,
(-х1 х — х'\)-ч
р(|)[р<
< ехр (— х I д: — л:' |) [ I — ехр (— 2нх')] < 2кх', C)
и, учитывая в соотношении B) неравенство C), находим
\x\O(x)\dx>\,
D)
Условие D) по смыслу вычислений представляет необходи-
необходимое условие существования в рассматриваемом поле U(x) со-
состояний д. с.
Напомним, что достаточное условие существования состоя-
состояний д. с. может быть получено с помощью вариационного ме-
метода (см. 2.32).
Применение соотношения D) ц потенциальной яме, указан-
указанной в условии задачи, дает необходимое условие существования
166
состояний д. с. в виде Uatna2/h2 ^ I; точное условие: V(imas/ti1'^
5г я»/8 к 1,24 (см., например, 2.20).
Отметим, что условие D) для потенциала С?(л:) =—аб(х—а)
является достаточным условием существования состояний д. с.
2.41. Функция Грина Ge(x,x') @^х,х'^а) удовлетворяет
уравнению
граничным условиям GE(x =
имеет вид (K=V2m?/fta)
Jt')= C?(jc = o, jc') = O и поэтому
Условия сшивания функции Се(х,х') (I) в точке х = х', со-
совершенно аналогичные использованным при решении зада-
задачи 2 36, позволяют найти Л(х') и В(х') и получить окончатель-
окончательное выражение:
СЕ(х, х') =
Из вида B) функции Грина Се следует, что она яв-
является аналитической функцией комплексной переменной Е
(к= ¦yjimEJh2'), имеющей следующие особые точки:
о) точка Е = 0 — устранимая особая точка;
б) точка ? = оо — существенно особая точка;
е) точки ?n = fi2K^/2m, где хяа =(«»-Ь 1)я, /1^=0, I, 2, ...,
являющиеся полюсами функции Грина Се.
Очевидно, положение полюсов Еп функции ОЕ в плоскости
комплексной переменной ? совпадает со значениями ?„ эпер^
гетических уровней частицы в яме.
2.42. с) Ответом на вопрос является результат задачи 2.38,
т.е. U(x)=— аб(л:— а).
б) Максимальное число состояний д. с. в условиях данной
задачи равно бесконечности. Это следует из того, что условиям
задачи удовлетворяют потенциалы U(x), имеющие при jt->±oo
вид U(x)c*>— a\x\^, I<v<2. В полях с таким поведением
на больших расстояниях, как известно C], имеются состояния
д. с. со сколь угодно малой энергией Е <С 0 — происходит сгуще-
сгущение энергетических уровней д. с. в точке Е = 0.
2.43. Решение у. Ш. для свободной частицы при х ^ 0, удов-
удовлетворяющее условию Чг@)=0, имеет вид tPk(x)= A(k)s\v(kx),
k = -^fimEfft2> 0. Выберем A(k) из условия нормировки
(О
Й7
Учитывая хорошо известные формулы
\ Tt (х) *П' W dx =1Л (А) Л' (АО J (cos [(Л - *') х] -1
D О
- cos l(ft + k')х]} dx~A(k) A-(kr)в (ft — k') =
Таким образом, A{k)~ \/2ln и нормированные на б-функцию
no k с. ф. гамильтониана имеют вид х?к (х) = л/2/я sin (kx),
х>0.
С ф. гамильтониана Ч*е(х), нормированные на б-функцшо
по энергии,
MV3?)
Полнота систем функвдй ?*(*),
J 1П (j/) 4f* (ж) dk = \ ЧГе (жО
(* > 0)
является очевидной в силу симметрии в. ф. Wkix) по отноше-
отношению к перестановке местами переменных k и х и свойства (I).
2.44. Решение у.Ш при х < 0 и jc > 0, убывающее при
э, имеет вид
A)
Условия непрерывности в.ф. и ее производной в точке х = 0
дают
Л втб = С, kA cos б = — Y.C, B)
т. е. tg б = —kfv. < 0, и, считая для определенности, что
—л/2 < Й < 0, имеем из B) C = ~VftV(# + *") Л.
Непосредственное вычисление (довольно простое, но несколь-
несколько громоздкое; его предлагается читателю провести самостоя-
самостоятельно) подтверждает ортогональность в.ф. (I) при различных
значениях ?.
Для нормировки в.ф. (I) на б-функцию по энергии или по
переменной k значение коэффициента Л в (I) следует выбр"
таким же, как и в предыдущей задаче, т. е. Л(А) = -1
А(Е)^^йЩйЁА{к).
Найденные в. ф. Ч?е(х) (I) при 0< ? ^ Uq не образуют
полной системы, так как полная система функций—-с. ф. га-
гамильтониана—включает и в.ф. состояний частицы с энергией
?></».
2.45. У.Ш. в импульсном представлении и его решение имеют
вид
7 §]. B)
в.ф. B) на б-функцию по энергии
дает С{Е) = Bnftfo)~l/2. Используя это значение для СA.),
легко установить полноту системы функций Фс(р) B):
2.46. Решение у. Ш., описывающее отражение (и прохожде-
прохождение) частиц с энергией Е > Uo от потенциальной стенки, при
к ¦< 0 и х >¦ 0 имеет вил (частицы падают на стенку слева)
3~ikx, x<0 (k =
Непрерывность в.ф. (I) и ее производной в точке
водит к соотношениям
Коэффициенты отражени
= А'|Й|Е/Й
^ = j ЛI2
-. B(fe) = T^r. B)
прохождения С =
Из (З) вытекает, как и следует, еоетнешение #-(?) -f D(f)
Предельные случаи:
O№)s
sf|/l6?!-*0
s4V№-fo»/fo
->0
при
при
Е
Е
2.47. Считаем для определенности, что падающие частицы
движутся в положительном направлении оси х. Решение у. Ш.,
описывающее отражение таких частиц, при «<0ил;>0 имеет
вид
хе * я= 0 {см, соогноше-
B)
Условия сшивания в.ф. {1) в то
ния B) задачи 2.10) дают
1 + А = В, ift (В - 1+ Л) = ЪшВ№\
Коэффициенты отражения ^{?) = ]Л|2 и прохождения
/)(?) = IВI2 обладают, как и следует, свойством /?-fc=l,
причем
^(Е)«та!/2а!-*0 при ?-¦ оо,
D(?)i»2?B7ma2-*0 при ?-*0.
©
Учитывая, что в соотношениях B) k ='y/ZmEffP, замечаем,
что функции А(Е) и В(?) являются аналитическими функциями
комплексной переменной ?, имеющими следующие особые точки:
а) точки ? = 0 и Е = оо— корневые точки ветвления;
б) полюс в точке ?©, определяемой условием! ¦\f2mE0==maJ1i.
Так как функции А(Е) и В(?) имеют точки ветвления, то
они являются многолистными функциями (в данной задаче —
двухлистными). Для однозначного
определения функций Л(Е) и В(?)
в точках плоскости комплексной
переменной Е проведем в этой пло-
плоскости разрез вдоль вещественной
полуоси ? > 0 {рис. 23) и опреде-
определим физический лист условием, что
Рис. 23. для точек плоскости ?, непосред-
непосредственно прилегающих к верхнему
«берегу» разреза (точки типа 1 на "рисунке), фаза числа ? рав-
равна нулю (физический лист — один из листов римановой поверх-
поверхности многолистных функций). Таким образом, при значениях
переменной Е на верхнем «берегу» разреза физического листа
значения аналитических функций А (Е) и В(?) совпадают со
значениями физических амплитуд отражения А (?) и прохожде-
прохождения В (?) частиц при соответствующих значениях энергии Е > 0,
Выясним, на каком листе римаиовой поверхности — физиче-
физическом или нефизическом — находится точка Ео, являющаяся по-
полюсом функций Л(Е) и В(Е). Так как фаза точек ? на отрица-
отрицательной полуоси ?<0 (Imf = 0) физического листа равна л,
то для таких точек на физическом листе -урЁ = i \ •у/Ъ ]- Учиты-
Учитывая это обстоятельство, замечаем, что точка ?п находится на
физическом листе при а < 0, т. е. в случае потенциальной ямы,
и значение ?0 совпадает со значением единственного уровня д. с.
в поле t/(jc)= —|а|й(л:). В случае потенциального барьера а >
>¦ 0 состояния д. с. в поле отсутствуют и полюс функций А(Е)
и В(Е) находится на нефизическом листе (фаза Ео равна Згс).
Этот полюс отвечает, как принято говорить, виртуальному
уровню.
2.48. Считаем, что падающие частицы движутся слева напра-
направо. В.ф., списывающая прохождение и отражение частиц с энер-
энергией Е от потенциального барьера, является решением у. Ш. и
имеет вид
Условия непрерывности в.ф. (I) и ее производной в точках
х -= 0 и х = а приводят к соотношениям
B)
а=G, к (Be1™ — Се~1™) = kG.
Решение системы уравнений B) позволяет найти амплитуды
отражения А и прохождения G частиц:
-, С
Приведенные выше результаты справедливы при любом со-
соотношении между ? и (/о. Однако следует иметь в виду, что
при ?< ?/0 величина к—чисто мнимая. Коэффициенты отра-
отражения /? = |Л|2 и прохождения ?> = |G|8 удовлетворяют соот-
соотношению R + D = 1. Поэтому приведем значение лишь коэффи-
коэффициента D(E);
D)
E)
m
Из точных выражений D) и E) для D(E) следует:
Vn I 2та2 (ё — Vn)
a) O(E)«l-1jrsln!'Y р |в1> E»f0, F)
ВЩе
В последнем случае ?>(?) имеет такое же значение, как и
в случае 6-функциониого потенциала U{x) = a§(x) с a = U(fi =
= ^U(x)dx {см. 2.47).
2.49. Задачу можно решить по образцу предыдущей. Однако
легко сообразить, что для коэффициента прохождения Ь(?)
можно непосредственно воспользоваться формулой D) преды-
предыдущей задачи, если в ней заменить Со на —?/q:
Щ
*? (? + Uq) + l4 sin2 д^2ад* (? + V$& '
где f/0 > 0 ~ глубина ямы.
В предельных случаях а) и г) (см. условия предыдущей за-
задачи) значение коэффициента D(E) определяется формулами
F) и G) предыдущей задачи (с заменой Uo на —Uo).
В пределе С->0 из выражения A) следует
Однако формула B) несправедлива, если выполнено усло-
условие л/2та2йо1Н2 = /ш, п = 1, 2 определяющее те значении
параметров ямы, при которых в ней появляются новые уровни
д. с. по мере ее углубления (см. 2.18). При выполнении отме-
отмеченного условия, как легко заметить из (I), ?>(?)-¦-1 при
?->0 (сравнить с B)).
250. Считаем, что падающие частицы движутся слева на-
направо. В. ф., являющаяся решением у. Ш. при искомых значе-
значениях энергии, имеет вид
exp(ikx), x<0 (k= л!ЪтЕ№> о),
^а(л:)= Asltikx+Bcoskx, 0<x<a, (I)
x — а)], Х>а.
В области jc<0 отраженная волна Cexp(—ikx) отсутствует
в соответствии с условием задачи.
Выполняя сшивание в.ф. A) в точках х = 0 и л: = а (усло-
(условия сшивания даются соотношениями B) задачи 2.10), находим
В = I, ft Л — /ft = 2majtft A sin ka + В cos ka = С,
ikC — kA cos Ad + kB sin Ля = 2maC/H2. B*
Система алгебраических уравнений B) для определения ве-
величин А, В, С, вообще говоря, переопределена. Она имеет ре-
решение лишь при выполнении условия
a = — kh'fam.
C)
определяющего значения энергий Е = №№/2т, при которых ча-
частицы не отражаются от рассматриваемого потенциального
барьера.
251. Заменой переменной х—*z = —ехр(—х/а) у. Ш. приво-
приводится к виду
Перейдя в уравнении (I) к новой функции ы>(г) согласно
соотношению x?(z) = w(z)z-iklt>, где Л, = фт (Е — U0)/fr2 > О,
находим
гA -г)ш" + (I -z)(I —2lkfi)uf + (*2-k7)diw= 0. B)
Уравнение B)—уравнение для гипергеометрической функции
f («, Р. V.г) с параметрами
а = — i (ft 4- *,)fl, p =i (Л — Л,)о, v = I — aftia. C)
Решение уравнений A) и B) для описания процесса отра-
отражения частиц, падающих слева, следует выбрать в виде
Щ = F (a, p. Y, гХ ЧЪ (х) = Се""^ (а, р, у. - е-*'с), D)
так как именно такое решение приводит к требуемой асимпто-
асимптотике в.ф. при ж->+оо (при этом 2-э-О): х?к(х)& Cexp(ikiX).
Используя известную формулу, связывающую гипергеомет-
гипергеометрические функции от аргументов г и 1/г [12], находим асимпто-
асимптотику в.ф. D) при *->--оэ:
Первое слагаемое б формуле {5) (k = -y/2/nEJtl2 > о) описы-
описывает отраженные частицы, а второе — падающие Используя
найденные асимптотики в.ф." при х->±оо, получаем коэффи-
173
ииент прохождения частик?
D== J-pcu. = fc|| Г(д)Г(у-Р> р
* | ГA — 2й,а)Г(— 2ifta) | * W
Это выражение может быть преобразовано к виду (если вос-
воспользоваться известными свойствами Г-функции [12])
Из G) следует
,л Eh[2
2.52. У. Ш. при переходе к новой переменной 2 = th(jc/fl) и
введении новой функции w (г) согласно формуле (А=-\/2т?УЙЪ> 0)
'Р = (|-гТш'2иМ A)
принимает вид
(г' ^8^) = 0. B)
Заменой переменной A—г) = 2ы уравнение B) приводится
к уравнению для гипергеометрической функции F(a, р1, y, ы)
i
с параметрами
- V 1/4 -
Ю = 0 C)
D)
В задаче о прохождении частиц, движущихся слева направо,
решение уравнения C) следует взять в виде w = С77(к,р\у,ы),
так как именно при таком выборе w в.ф. W A) имеет необхо-
необходимую асимптотику при *->-+ оо:
^ <*)» С D)~(fta/2 exp (/fejc),
(при этом га 1~2ехр(~2л:/й;)~».1, к-
(I - гГ1ка'2«[4 ехр(- 2
Таким образом, в.ф. 1
E)
(Ч
Учитывая, что при дг->~оо аргумент w = (I ~ th(*/o))/2
гипергеометрической функции в F) равен и « I — ехрBл/о)^-1,
и используя соотношение
f (С Р, V, г
-V. ¦ -»
находим асимптотику в. ф. F) при х-ь — о
+ СDГ
r(V-a)r(v-P)
G)
С помощью формул D), E), G) находим коэффициент прохо-
прохождения:
Е,п I г (с) г (В I
Выражение (8) справедливо при любых значениях парамет-
параметров потенциала, в том числе и при t/o<O, т. е. в случае потен-
потенциальной ямы. При 8та2(У(/йг > I аргумент косинуса в (8) чисто
мнимый, и удобна замена cos (ij?) = chn|(|sa^ZnuPUdh2 — 1/4 ).
Отметим интересное свойство коэффициента D(E): в случае
потенциальной ямы Uo ¦< 0 при выполнении условия
n=\, 2,...,
коэффициент прохождения ?>(?), согласно (8), при любой энер-
энергии частиц равен единице: С(Е)=1, т. е. частицы проходят
поле без отражения.
Рассмотрим некоторые предельные случаи формулы (8).
а) Слабое поле (ma! |t/0|/ft2 -С 1) и медленные частицы
«I)
(9)
) Слабое поле и не очень медленные частицы
D(E) « I —
e) Барьер малой прозрачности
стицы (fta » I):
A0)
в быстрые ча-
an
175
г) Барьер малой прозрачности и | Е — Uo ]<. Vtf
д) Барьер малой прозрачности и Е-*0:
е) Барьер (или яма) произвольной величины и Е->оо;
2.53. В. ф., описывающая отражение от потенциального барье-
барьера частиц с энергией Е, движущихся слева направо, в области
х < 0 имеет вид
—j,t - j (^ — о +
-1- -|?-) приводится к виду
^г + ffV-O. B)
Как известно, решения уравнения B) выражаются через ци-
цилиндрические функции Zv с v == I /3:
В рассматриваемой задаче решение уравнения B) следует вы-
выбрать в виде
где Я|'Д — функция Ганкеля, так как именно такое решение
имеет необходимую асимптотику («уходящая» волна) при
*->+«> (при этом у-*--\-оо):
Учитывай, что плотность потока частиц в состоянии, описы-
описываемом в.ф. C), при #-»- +оо равна
и»-^{^^-1^Г}-||С(?.Р(^-IВ. D.
а плотность потока падающих частиц-для в.ф (I) при х->~оо
равна fnan ^ hk/tn. находим коэффициент прохождения
Величина С(Е) находится из условия сшивания в.ф. (I) и
'C) в точке х = 0. Непрерывность в. ф. и ее производной при
х = 0 дает
где введены обозначения
Из F) следует
n, «ft D
- G)
Учитывая E) и G), находим окончательное выражение для
™f',,,, ¦ ...„...,»¦ (8)
В случае барьера, для которого |^> I, и энергии частиц,
удовлетворяющей условиям ? < ?/0, 1A —Е/1/о)»1. форму-
формулу (8) можно преобразовать к виду*)
При |»1 и E>U0, ||1— ?/[/0|»1 выражение (8) дает
0{трлш^^р- A0)
При ?—«-0 из выражения (9) следует
С (?) оо fe оэ ^fE-t. 0. A1)
Как легко заметить из (8). такое поведение D(E) при ?-»-0
имеет место при произвольном значении параметра ^
•) При преобразованиях выражения (В) в этом случае следует соблюдать
осторожность, тик как аргумент функции Гадвели (f-ffo*^!^ ("UJ)] /
при этом равен Зп/2 (аргумент функции Ганкеля в C) при у(х) -* + о°
по определению равен нулю), а приводимые в литературе соотношения дли
цвлнндрическик функций (в том числе н их асимптотики) обычно относится
:лучаю, когда их аргумент по модулю меньше п. Способ преодоления тйкого
~ "я подробно обсуждается в решения задачи 9.34. : -¦ -
177-
и имеет следующие асимптотики при х -*¦ ±ooi
2.Б4. Рассмотрим барьер наиболее общей формы, когда поле
U(x) имеет вид потендиальной ступеньки, т. е. U(x)-*-0 при
х-*-—оо и U{x)-> t/o при х-»- 4*°° (полученный результат
можно обобщить и на случай, когда потенциальная энергия
U (х) -*¦ —оо при х -> —оо и (или) х -*- +оо). Считаем для опре-
определенности, что падающие чистины движутся в положительном
направлении оси х.
В.ф. рассматриваемой задачи удовлетворяет у.Ш,
ЕУь (I)
<2>
Г2 > 0, kt = V2m (? — ^/о)/Л2 > 0.
Напишем уравнение, комплексно сопряженное уравнению (I):
-'?r< + VWxn-E4L C)
Умножив (I) слева на 4*1, а C) — на xVk и вычтя почленно
друг из друга, находим
пча - адв*=-^-(wn - чл!=о,
т. е,
Ж (*) П (х) ~ ХП (х) ХП' (х) = const. D)
Вычислив значения левой части соотношения D) при
х-*±оо с помощью выражений B), находим
M<ft)p+AjBW=Ii E)
что и доказывает требуемое равенство, так как Я=|-4ри
Подчеркнем, что соотношение E) является непосредствен-
непосредственным следствием равенства D), являющегося, в свою очередь,
следствием закона сохранения числа частиц (уравнения непре-
непрерывности) в квантовой механике: й\у]-\-д\Чг\3/д1 = 0, кото-
который применительно к стационарным состояниям {д\х?|2/5/ = 0)
принимает вид divj=O. Последнее соотношение в одномерном
случае (dix/dx*=0) эквивалентно D),
2.55. Рассмотрим потенциальный барьер наиболее общего
вида, описанный в начале решения предыдущей задачи. Обозна-
чим W-M в У+(х) в. ф. стационарных состояний, описывающие
процесс прохождения частиц с энергией Е, падающих на рас-
рассматриваемый потенциальный барьер справа и слева соотнес-
ственно. Эти в.ф. имеют при jc-»-±oo вид
удовлетворяют одному и тому же у. Ш.
- ¦5
Умножив уравнение для х?+ слева на W-, а уравнение для
х?- — на х?+ и вычитая их почленно, находим
?_ (х) ХУ+ (х) - х?+ (х) ХУ- (х) = const,
B)
Вычислив левую часть B) при jt-»-±oo с помощью в.ф. [1),
получаем kB = klBl или
что и доказывает равенство коэффициентов прохождения частиц
с данной энергией ? через потенциальный барьер независимо
от того, с какой стороны (справа или слева) они на него падают*
2.56. В.ф., описывающая прохождение частиц через потен-
потенциальный барьер, имеет при х->±°° вид
Коэффициент прохождения D(E) равен
В<Е)—xl
@
При E~>Ud имеем /г, —>О, В(ki)-*-В@) =И= 0 и из (I) находим
О (?) га д/? — fo-> 0. B)
2.57. Задачу можно решить по образцу решения задачи 2.36,
в котором была найдена функция Грина Се(х, х?) при Е < Оз
A)
179
Легко, однако, сообразить, что вид функций С^1 (х, х') при
Е > 0 может быть установлен непосредственно из выражения
A), если в нем перейти к?>Ои представить к в виде
> О,
хр (± Л | х - *
B)
С помощью функций Грина B) у.Ш. при ? > 0 можно за-
записать в виде интегрального уравнения (Е = р2/2/и):
V (х) = Ле1рх1>1 + B(Tipm - \ С1/1 (х.
W) dx*.
Легко заметить, что если в последнем уравнении выбрать
функцию Грина С1/1, положить В = 0 н Л = I, то решение
Ч;р(л) получающегося при этом интегрального уравнения
J C)
описывает прохождение через потенциальный барьер частиц с
импульсом р, причем первое слагаемое в правой части C) опи-
описывает падающие частицы, а интегральный член в уравнении
C) при л;->±оо описывает отраженные частицы и изменение
в.ф. свободных частиц exp(ipx/h)
©под действием потенциала (послед-
(последнее замечание становится очевид-
,+, ным, если рассмотреть асимптотику
,gf ^ второго слагаемого в правой части
Б Е=В *?с~' уравнения C) при х-*±оо и
учесть, что k = \p\/ti).
Рис. 24. Отметим, что функции Грина
свободной частицы Gjf' при Е > U
B) и Се при Е < 0, найденную в 2.36, можно рассматривать
как различные граничные значения единой а политической
функции
комплексной переменной Е.
Точка Е = О для этой функции является точкой ветвления.
Проведя разрез вдоль вещественней полуоси плоскости Е от
точки Е = 0 направо (рис! 24), будем рассматривать функцию
ГриНа СЕ на физическом листе ее р'имановой поверхности (см. по
этому поводу решение 2.47). Легко заметить, что на верхнем
«бер-егу» разреза {т. е. в точках Е 4- ГО, Е > 0) функция ОЕ сов-
180
падает с G1e*, на нижнем «берегу» разреза—с Gg ', а на полу-
полуоси вещественных отрицательных значений Е функция Се сов-
совпадает с функцией Грина Се задачи 2.36.
Отметим также, что на физическом листе | GE\ —*¦ 0 при
|?|->оо.
2.58. Уравнение C) предыдущей задачи для в. ф. ^(.е),
описывающей прохождение (и отражение) частиц с импуль-
импульсом р, для потенциала U{x)= ab(x) принимает вид
Из уравнения (I) находим
этого уравнения):
?р@) — (I-f imajkh2)'1.
B)
Учитывая A) и B), находим коэффициенты прохождения
и отражения:
2.59. Учитывая в уравнении C) задачи 2.57 явный вид функ-
функции Грина Gj?"l(je, x') и перейдя в этом уравнении к пределу
х->±оо, легко приходим к следующим выражениям для коэф-
коэффициентов прохождения и отражения:
B)
где х?р(х)—в.ф., описывающая процесс отражения частиц с
импульсом р и нормированная на единичную плотность частиц
в падающем потоке.
Глава 3
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
3.1. Искомый оператор должен преобразовывать произволь-
произвольную в.ф. координат системы Ч^п, га, it., rN) в ту же функ-
функцию 1Р, но от координат, повернутых на заданный угол, т. е.
ч"(г. M^CWi- -•-.Г«ИПГ1. ••••Г'Д 0)
где г' = ^г — радиус-вектор точки пространства, в которую пе-
переходит в результате поворота точка с радиусом-вектором г.
Равенство A) означает, что значение в.ф. состояния системы N
частиц не зависит от того, в переменных какой системы коор-
динат (исходной тг или повернутой г) описывается положение
точек пространства, т. е. в. ф. 1? является скаляром.
Для нахождения явного вида оператора R(tpo) введем вре-
временно цилиндрическую систему координат с полярной осью
вдоль оси поворота. В этих переменных соотношение A) при-
принимает вид
!' (Рь
Т (pi, zi
q>w + Фо)
Фо Е ДОфо IТ (Рь *
с-1 /
Рн> «». 4>и) B)
(сравнить с 1.12, где обсуждался оператор сдвига Т„). Так как
?2 = _ ,¦ ? д}дц>о является оператором проекции момента им-
импульса системы N частиц на ось г, то искомый оператор пово-
поворота имеет вид
Ы
xp (i(poL),
C)
причем второе из представлений C) оператора R является наи-
наиболее общим в том смысле, что оно не зависит от конкретного
выбора системы координат для описания положений точек про-
пространства (однако существенным является то обстоятельство,
что момент определяется по отношению к (произвольной) точке,
лежащей на оси поворота).
3.2. Операторы импульса Р и момента L системы связаны
простыми соотношениями с операторами преобразования в.ф.
при бесконечно малых переносах и поворотах системы коорди-
координат (см. задачи 1.12 и 3.1):
Любой перенос системы координат перестановочен с любым
другим переносом, поэтому коммутируют и операторы компо-
компонент импульса. Два вращения вокруг двух непараллельных осей
не перестановочны друг с другом, что и соответствует некомму-
некоммутативности операторов различных проекций момента.
3.3. В силу равноправности осей к, у, г имеем
зП. A)
Ввиду равновероятности различных значений проекция момен-
момента, получаем
B)
'(Значение суммы, входящей в выражение B), можно найти сле-
следующим образом:
Учитывая (I) и B), находим L2 = l(t+ 1).
3.4. Указанные коммутаторы очень просто вычислить, если
использовать соотношения
[А, ВС\ = [А. В]С + В[А, С],
[?„*,] = &„,*,. [?bAd = feiwft.
Так, например, коммутатор [Lh r2] равен
[I,, ****] — [?(¦ **1 *ь + ** Ui, Jf»l = 0 (8
0).
Аналогично находятся остальные коммутаторы. Приведем ответ,
о) Все коммутаторы равны нулю, что является проявлением
общего свойства равенства нулю коммутатора вида
[li.fi = 0.
где f — оператор скалярной величины.
6) Коммутаторы имеют структуру вида
B)
C)
где fk — оператор k-u проекции соответствующего векторног
оператора (так, для f ={рг)р имеем fk=(pr)pk и т. д.).
е) Указанные коммутаторы имеют структуру
[4 hi] =' (e«
S*p) fРП1 D)
где ft/ — операторы компонент соответствующего тензора (так,
в первой задаче этого пункта fki = &kXi и т. д.).
Установленная универсальная структура B) —D) коммута-
коммутаторов оператора компонент момента Li со скалярными, вектор-
векторными и тензорными операторами является отражением свойства
оператора L как оператора, описывающего преобразование в.ф.
при вращениях системы координат, и того обстоятельства, что
при вращениях системы координат все тензоры одинакового
ранга преобразуются одинаковым образом (независимо от кон-
конкретного вида тензора).
3.5. Операторы L иТ/ связаны следующим образом;
Учитывая вид коммутатора \?i,fik] =1вшр1 и воспользовавшись
известным соотношением stnu&km = OifcSmi — б«втй, находим
[Lt, Ц] = тшЦ + i в» (ар) - -f fl,&.
3.6. Из коммутационных соотношений для матриц момеЕ1та
1-Хь — I+L, = 1вшЦ
с учетом формулы $р(АВ)=$р(ВА) находим Sp?j = O.
3.7. Оператор момента L системы из двух частиц имеет вид
Перейдем от переменны:
согласно формулам
г = г2 — г,, R =
г2 к новым переменным г, R
г2
Учитывая, что
д
та
т
д
г
г.
mi
выражение (I) можно представить в виде
где первое слагаемое является оператором момента системы
двух частиц в с. ц. и., а второе представляет оператор момента,
связанного с движением центра масс.
3.8. В классической механике момент двух частиц относи-
относительно центра масс равен М = |гр], где г-—относительный ра-
радиус-вектор частиц, р — относительный импульс р = \x\OJU = цг
(ц—приведенная масса), и равенство (гМ)=;0 очевидно.
В квантовой механике для доказательства утверждения за-
задачи требуется убедиться в эрмитовости оператора (г?) и ра-
равенстве его пулю. Так как одноименные компоненты кг и Lt
коммутируют, то (rL)+ = {L4T+)= Lr =rL. Далее,
3.9, Искомые функции Ф, /,„ (г, У. ц.) являются решением си-
системы уравнений на с. ф.
f"Vtilm *= SVrJm {Г, С, ф) = ГцЧыпг (г, 6, Ч>),
и, очевидно, имеют вид
Vwm (г, в, ф) = С (г0) б (г - го) У1т F, <р),
184
Коэффициент С, определяемый из условия нормировки
ен С (гр) = 1/г0.
3.10. о) Оператор момента в координатном и импульсном
дставлениях имеет вид (так как в импульсном представле-
представлег ft д/др)
раве
3.
предста
нии г = ift д/др)
«—'HI-
Сравнивая эти выражения и учитывая известный вид с. ф. опе-
операторов Is и /г в r-лредставлении, заключаем, что в р-представ-
лении этя с.ф. имеют вид
б
где ё, ф —полярный и азимутальный углы вектора р в сфери-
сферических координатах (в р-, как и в г-представлении, оператор
момента действует в пространстве угловых переменных).
б) При нахождении с. ф. I2 и ?гэтим способом следует иметь
в виду соотношение
(kr) Y,m <п0),
^ Ylm (п) ехр (- ikruno) dQn = (- i)' 4
где п, по—единичные векторы, y/m(n)= Y,m(Q,y) @, <р —по-
—полярный и азимутальный углы направления вектора n), /j+i/a —
функция Бесселя.
3.11. Учитывая коммутационные соотношения для компонент
момента, легко находим
Применив операторное равенство A) к с.ф. Ч?т, получаем
т. е. функции t±4?m также являются с. ф. оператора U (в част-
частных случаях одна из этих функций (или обе при / = 0) может
оказаться равной нулю тождественно).
3.12. Учитывая результат предыдущей задачи и ортогональ-
ортогональность с. ф. эрмитова оператора, отвечающих различным с.з.,
находим
(m| U \т) со (т\ т + 1) = 0, {m\t\ \m) = 0. A)
Так как t\
следует
?х -[- ify, то из первого из соотношений A)
Гд + /^=0. B)
Средние значения h и ly — вещественные числа, поэтому равен-" 4
ство нулю комплексного числа B) означает 7* = Zi/=0. I
Второе из соотношений A) эквивалентно равенству ?1
или (tjg -\- tjx — вещественное число)
Из коммутационного соотношения \tx, te] — йг следует
tjy — tjx =»"» что Дает при учете C) tJy = — fjх = im/2.
3.13. Так как ?*-Ms = "l3 —?г = *(/-М)—тя, то с учетом
результата предыдущей задачи находим
3.14. Оператор проекции момента на ось z имеет вид
!г = cos а • U -Ь sin а cos р • ?к + sin а sinp • ?„, A)
где а, р—полярный к азимутальный углы направления оси г.
Усредняя оператор A) по состоянию Ч^щ, находим
(согласно задаче 3.12 1х = 1у = 0).
Учитывая при усреднении оператора /| результаты двух
предыдущих задач, легко находим
3.15. Разложение в.ф. в ряд по нормированным с.ф. Чгго(<р) =
-е^—=¦ оператора ?г имеет вид (со5ф = (е/ч> + е-ь0/2)
где С„а= ¦ "_ . Определяя | Л риз условия нормировки в. ф.
^(ф) на единицу:
гл Ел
\А\-*=\ cos-" <p d? = ^тг ? (е(|Р + e-'fp d? =
1 2 J
/ 2я .
I в B) использовано J е|тч>йф = 2лби> mJ, находим из A) отлич-
отличные от нуля вероятности проекций момента:
т^=п, п — 2, ..., —п.
3.16. В разложении нормированной в. ф. по с. ф. Vim опера-
операторов f2 и h, очевидно, отличны от нуля лишь члены суммы
с т = 2, т. е.
Учитывая явный вид шаровых функций
получаем выражение для коэффициентов d в разложении A):
B)
Интеграл в выражении B) вычисляется элементарно, если
учесть соотношения
так что вероятность различных значений момента оказывается
равной
Щ +1)Ц-2I
tf + 2;
1»
3.17. Используя известное соотношение между шаровыми |
функциями У\т = (— l)l~mYi.-m в вид оператора ?+=е"' (^+ f
+'с1бев5г)' 1ШММ :
(*Е1У|„|!!-1;(-1)^™0'|.-тГ+Уы+У,т?Л ¦ '
Учтя в (I)
(I)
(в, Ф)
1 F, Ф)
и переобозначив во второй сумме выражения (I) индекс сум-
суммирования т на т'= т — 1, находим, что выражение A) рав-
равно нулю.
Указанная в условии задачи сумма, очевидно, не зависит
от ф. Учитывая явный вид t+ и равенство нулю выражения A),
находим, что эта сумма не зависит и от 6, т. е. является по-
постоянной величиной Значение постоянной находим, положив в
сумме 0 = 0. Так как
I Ylm {8 = 0, ф) Р = (И + 1) б„. о/4я,
то утверждение задачи доказано.
Задачу можно решить также, воспользовавшись теоремой
сложения для шаровых функций
р, (cos а) = -g
m @, Ф) Y\m <8\ <
B)
где cos а = cos В cos В' + sin 0 sin 6' соэ(Ф— ц)г, взяв в B) G = 0',
<р=Ф#; при этом coso=i, Pt{l)=l.
3.18. Так как при значении момента L проекция момента на
ось г принимает конечное число BL-J- 1) значений L, L— 1, ...
..., —Z., то искомый оператор Р(М) имеет вид (см. 1.40)
где штрих у знака произведения означает отсутствие сомножи-
сомножителя с т = Л1.
3.19. В формуле, описывающей согласно 3.1 преобразование
в. ф. в координатном представлении:
v <г, е, ч)—exp (*ni) т (г, е, ф), A)
в виде (с учетом определенного значен
»' - Е С « У» F. Ф). У = Z С„ (г) У^ (в, Ф),
запишем в. ф. в виде (с учетом определенного значении мо-
момента /)
где Cm, Cm — в.ф. исходного- и преобразованного состояний
в /г-представленш1.
Умножив (I) слева на Ylm (В, <р)и проинтегрировав по углам,
находим
О, (г) = ex
„ (г)
; [ех
B}
где (L,)mn — матрица i-ft компоненты момента величины I. Со-
Соотношения B) определяют искомый закон преобразования в. ф.
(о том, как следует понимать матрицу (ехрЛ)т„, см. 1 12 и
1.52).
3.20. Из коммутационного соотношения Czf — fCz = 0 сле-
следует
т. е. функция f^Pw, как и *?м, является с. ф. Сг, отвечающей тому
же с.з. М, и равенство <Ai'|flAi> = 0 при М'фМ очевидно.
Используя коммутационное соотношение [C+,f] =0 (?+ =
= Сх + i?y), находим
(п. L.'M -t-l\Uf |«, L, M)=(n, L, M + 1 lfl+ In, L, A0. A)
Так как Z+^lm =* V(L-M) (I + M + i) ^w,
<n, /., M +11?+=[I-1«. /-, м + 0Г=-/0- - № +
X<n,*-.Mi> то равенство (^эквивалентноусловиюfMM
что и доказывает независимость диагональных элементов
от М.
3.21. Представив произвольную в. ф. в виде
3.22, Представив шаровую функцию УюF. ф) в виде
и учитывая равноправность всех направлений в пространстве,
находим
(вектор пи направлен Вдоль оси г).
3.23. Представив шаровые функции
в учитывая равноправность различных ориентации системы ко-
координат, находим с помощью циклической перестановки пере-
ценных х, у, г
в ряд по этим функциям lF,_i — J
'j-o определяют
sin 8 sin<p
se).
Вид в. ф. Ч^-о получается непосредственно из результата пре-
предыдущей задачи ери выборе а, = п/2, р = 0. Совершенно ана-
аналогично устанавливается вид в. ф. W; (G, q>).
3.24. а) Обозначим через w(l) н w(—1) вероятности проек-
проекций момента т=±1 на указанную в условии задачи ось 2.
На основании результатов задачи 3.14 имеем
= w (I) — w(— 1) = m cos a,
A)
B)
Из A) и B) легко находим
w(i,m) = rc>(l) = [2m2+2mcosa-L{2 — 3/n?)slnsay4t
a>(— I, m) = w(— I) = [2m2 — 2mcosa+ B — 3m^slnaaj/4,
i?j@,m)=i— иA) — w(— 1).
б) Решить задачу этим способом предлагается самостоя-
самостоятельно.
3.25. В. ф. ?1,-0@, Ф) (i= 1, 2, 3) имеют вид
^f Sln ° C0S ч>1
^-о = / д/j^ 7 —' л]-Ъ? sin 8 sln <p,
н их независимость и полнота (в указанном в условии задачи
смысле) очевидны (в случае i = 1 имеется три независимых в. ф,
в пространстве угловых переменных 6, q> частицы).
Легко заметить, что различные в.ф, Ч^-о ортогональны;
и поэтому коэффициенты О в разложении произвольной (но
нормированной) в. ф. 'Fj—i, отвечающей моменту частицы /=|ж
190
иость u»(i)s=lCila того, что проекция момента частицы на По
ось равна нулю.
Отметим, что полученный в задаче результат не имеет ни-
никакого отношения к обычному разложению произвольной в ф«
в ряд по с.ф. эрмитова оператора (операторы U не коммути-
коммутируют друг с другом).
3.26. Используя стандартные формулы для матричных эле-
элементов операторов U/)mm- при значении момента /=1, нахо-
находим вид искомых матриц, являющихся операторами в /я-пред-
ставлении, действующими на в.ф. в этом представлении]
=Uo );
| 1/V2" 0
; lx= i/V2 о i/V2
{ i/V2 0
/1 О 0 \
L*=[ о о о );
V0 0 -1/
с -НЦ;
i\№ о )
О V2"
О (К
О 0 );
'2 О/
V A V2
3.27. Уравнение для искомой в.ф. ixPix-o=O в /*-представ-
;нии имеет вид
э \№
1/V§" 0 \/т/2\ ( й )= |(a+c)/V2 =0;
) 1/V2
откуда Ь = 0, с = —с.
Таким образом, нормированная с. ф. Ч^-о равна Ч1/ -о =
3.28. С. з. оператора проекции момента на произвольную ось
в случае / = 1 равны 0, ±1,так что, согласно 1.27, имеем
{при желании соотношения (I) легко проверить в /я-представ-
лении непосредственным умножением матриц, приведенных
в 3.26), f
191
В состоянии с заданными значениями / = 1 r '/,««, со-
согласно 3.12 и 3.13, имеем
!! B}
Учитывая A) и B), находим
-z -= ( 0, п — н
* * I B - т*)/2, п ~ ч
п — нечетное,
четное (п > 0).
3.29. Оператор (а!) является оператором проекции момента
на направление вектора а (умноженным на величину а), н в
случае I = 1 его с.з. равны 0, ±а. Явный вид оператора Р сле-
следует из результата задачи 1.52:
3.30. Учитывая вид оператора i?(«po) = exp(iq>oi)i на основа-
основании результата предыдущей задачи представим его в виде
«{«Ю)=Ц-^шфо(п01)-A-со5фП)(п01)а A)
3.31. Выберем вектор поворота «j>0 системы координат таким,
чтобы в результате вращения ось г исходной системы координат
(проекция момента на которую имеет определенное значение т)
по отношению к осям повернутой системы координат имела бы
такую же ориентацию, как и ось г по отношению к исходной
системе. При этом в. ф. Ч^В, ф)=ЯУгт(В, <р) будет описывать
состояние частицы с моментом / и его проекцией т на ось г
(направление которой определяется углами к, р} в соответ-
соответствии со смыслом оператора Й(ч>а) как оператора вращения си-
системы координат.
Легко заметить, что для этого компоненты вектора «j>0 сле-
следует выбрать равными q>0=(asinp, —acosp, 0). Учитывая
ясный вид операторов
\к = i sin ф ~щ -[-1 cos ф ctg 6 -д—,
Н Ы = 1 +1 sin и йж sin Р - \у cos р} -
- A - cos а) Су sin р - \у cos р
и шаровой функции Уи — 'д/i^-cos В, находим после простых
вычислений
в согласии с результатом задачи 3.22. Аналогично можно най-
найти функции Wm-±i(B, ф).
3.32. Согласно 3.18 находим
Р(о) = 1-Г;, ди=(Е + и/2. P(-\)^{H-U)I2. A)
В ^-представлении эти операторы имеют вид (см.3.26)
/0 0 0\ /\ О 0\ /О 0 0\
Р@) = ( 0 1 0 ), РA)=( 0 0 0), Р(— 1)=( О О О I
\0 0 0/ \0 О 0/ \0 О 1/
в согласии с результатом задачи 1.50.
Легко установить свойства Р2(т)='Р(т} и EP(m) = f.
Действие оператора Р(т) на произвольную в. ф. приводит,
вообще говоря, к функции, являющейся с. ф. оператора /г, от-
отвечающей с. а. т (или Дает Р(т)*? = 0). Так, например,
/0 0 0\/а\ /0\ /0\
о 1 о )( ь \=Ь[ I ), так что 4^0 = 1 1 ).
Чо о o/W \о/ Чо/
3.33. Проекционные операторы Р(т) получаются непосред-
непосредственно из выражений A) предыдущей задачи заменой в них
оператора U на оператор проекции момента на ось г, направ-
направление По которой в пространстве определяется полярным а и
азимутальным fi углами:
s af2 -
sin a cos p
В частности, оператор Р(т = 0) в ^-представлении имеет
(sin2 a>/2
- e'P (sin 2<z)/2V2~
— e^'P (sin2 a}/2
№ (sin 2
— e-2<"P (sin2 a)/2
e-'fi (sin
(sin* a)/2
Подействовав этим оператором на произвольную функцию
которую удобно выбрать в виде, например, 4f = [ Oil, нахо-
Ч/
I
дим с.ф. Чгт=о опер
, отвечающую c.s
(sina)/V2 \
т~0:
Аналогично можно найти вид в.ф. Ч?м=о(В, ф) частицы в
пространстве угловых переменных, подействовав проекционным
оператором Р(т=0) на какую-либо в. ф., отвечающую момен-
моменту /=± 1 частицы (например, УюF,ф)).
4, И, Гялнцкий и др.
3.34. Обозначив через
легко находим
uh с- Ф- оператор
аторов L, li, I,
ч-„„
3.35. Обозначив V= (life], легко убеждаемся, что операторы
компонент этого вектора Р"; = еш/кЛг являются эрмитовыми.
Учитывая коммутационные соотношения для операторов ком-
компонент момента [/„ /ft] = fe.jtrff и равенство ешеар( =йаб*р —=
— fiipbfea, находим после простых преобразований вид опера-
оператора Vе:
Vя=f,Pi=Tfli - (TJeJ - (i ,T2). (О
С.з. этого оператора с учетом результата предыдущей за-
задачи представляются очевидными, и мы их не выписываем.
Если же исходить из тождества [аЬ]8 = а2Ь2 — (abJ, спра-
справедливого для обычных (неоператорных) ве-кторов, то можно
было бы определять оператор V2 следующим образом:
«" = ТЯ!-AЛг)!, B)
что отличается от выражения (I).
Различие A) и B) показывает, что однозначноге соответ-
соответствия кваытовомеханического оператора классической физиче-
физической величине, вообще говоря, не существует.
3.36. Указанные коммутаторы вычисляются точно так же,
как и в 3.4, и их структура имеет точно такой же вид, т. е.:
в случае а) коммутаторы равны нулю, в случае б) |?,/&] =
3.37. Возможные значения момента L совокупной системы
удовлетворяют условиям
тах{Ц| — /2|, |mi-bm2|XL</i + h-
Учитывая коммутативность операторов Ы и f2ft и равенство
нулю средних значений lx = lv = 0 в состояниях с определенным
значением 1г (см., например, 3.12), легко находим искомые сред*
ние (L2 = I* + Т|+ 2Til8):
Zx = Lj,= O, Iz = mi-bms, A)
L* = ;,(/i+ lJ + fe(/2+ l) + 2m,m» B)
3.38. Возможные значения суммарного момента L суть
i\ + h и «i -J- ia—I. Обозначим через w(L\ вереятнесгь значе-
значения L суммарного момента. Учитывая соотношение *(»¦ м i^-Ч
194
Ц- w(l] -f-12 — 1) = l и результат предыдущей задачи, предста-
представим Ьй в виде
/|(/. + i) + /2ft+l) + 2/i(/2-l). (i)
Из (I) следует
^ B)
3.39. Пусть функция *?lm (mi, тй) отвечает определенному
вначению L суммарного молента и его проекции М на ось г
(очевидно, она отлична от нуля лишь при пц + tn% = М).
Рассмотрим функцию ^(mi, ma) = ^LM(mz, mj). В силу сим-
симметричности операторов L2 и Сг (L = lt + Ь) по отношению к
взаимной перестановке ¦¦ и 12 и универсального вида операто-
операторов ?, компонент момента в ^-представлении (при определен-
определенном значении /) очевидно, что функция Ч? также является с. ф.
операторов L2 и ?г, отвечающей тем же с.з. L, М. Известно,
однако, что при сложении двух моментов tt и 13 в результирую-
результирующий момент L состояние с определенными значениями L и М
может быть получено единственным способом (если такие L
и М вообще возможны). Это означает, что W(mi, m2) =
= CFlai (mi, m2), и, переставив еще раз местами переменные пц
и гпъ, находим С2= I, т. е. С = ±1-
Для выяснения характера симметрии в. ф. при различных
значениях L можно поступить следующим образом. Рассмот-
Рассмотрим в ф„ отвечающую L = 2t и M^=2t, Wl^i, M*=2i(mi, тг) =
=6/4,, ,firi!. /.Эта функция, очевидно, симметрична по отношению
к перестановке переменных пц и т2. Очевидно также, что ха-
характер симметрии в. ф. зависит от значения L и не зависит от М
(так как при вращениях системы координат в.ф. с различными
значениями Af и одинаковым L преобразуются друг через друга;
более формально это утверждение можно доказать с помощью
олератора ?_:
E
учитывая его симметричность по отношению к перестановке
складываемых моментов: ?_ =/iK +/2* — й\у — it^)- Таким об-
образом, в. ф. состояния с моментом 2/ и Ж = 2/ — 1 также сим-
симметрична и поэтому имеет вид
(I)
Далее, наиболее общий вид функций Wsi-i. 2i-i(m\, тг) сле-
следующий:
Уи-i.«-1 (mi. №> = a6m]. ,б№. ,^ + рбт„ ,_ Аь,,, B1
и, учитывая ее ортогональность к в.ф. (I), находим а =—р,
т. е. функция, отвечающая моменту L = 2t — 1, антисиммет-
антисимметрична.
Расписав, далее, аналогично (I) и B) функции, отвечающие
JW = 2i — 2 и L = 2l, 41— 1, 2i — 2, и учитывая установленный
выше характер симметрии функций с L = 2l, 2i—1, легко на-
находим, что в. ф. состояния с L = 2t — 2 симметрична по отно-
отношению к перестановке переменных гщ и та-
Продолжая такое рассмотрение дальше, можно прийти к
выводу, что в.ф. состояний с данным значением L имеют сле-
следующую симметрию:
L = 21, 21 — 2, 21 —4, ... — симметричные в. ф„
L =2/~ I, 21 — 3, ... — антисимметричные в. ф.
Отметим, что при решении задачи не использовалось кон-
конкретное значение момента (. Установленный характер симмет-
симметрии в.ф. имеет место как при целочисленных значениях /, так
и при полуцелых, появляющихся при рассмотрении спина ча-
частиц (см. гл. 5).
3.40. Представив нормированную в.ф. рассматриваемого со-
состояния в /и/яг-представлении *? =6mi, t8mi, /_i в виде
и учитывая характер симметрии в.ф. при различных L по от-
отношению к перестановке переменных пц и пгв, установленный
в предыдущей задаче, находим, что вероятности двух возмож-
возможных в условиях данной задачи значении момента Z- = 2/, 21— 1
одинаковы и равны wBt)=wBl— 1) = 1/2,
3.41. Нормированные в.ф. указанных в условии состояний
в /и/гл-представленшг, согласно 3.39. имеют вид
(, At-s/-i(mi, i
f-{ikm. KW t-l-
EI-I. M-Sf-l (ПИ, m2) = "^(«ht.. Ah, 1-1 - ft
n,,i]. B)
Из (I) и B) непосредственно следует, что в рассматривае-
рассматриваемых состояниях проекции на ось г складываемых моментов мо-
могут принимать лишь значения / и /— I и вероятности этих зна-
значений одинаковы II равны 1/2.
3.42. В. ф. рассматриваемого состояния W =бШ|, общ,, о
(в /и/зг-предстввлении) симметрична по отношению к переста-
перестановке переменных пц и тг, и согласно 3.39 в этом состоянии
суммарный момент может принимать лишь два значения L =
= 0; 2. Вероятности этих значений L вычисляются совершенно
аналогично тому, как это было сделано при решении 3.38. и
равны w(L = 2) = 2f5, m(L = 0) = 1/3.
В случае произвольного значения i и кг = fax = / — 1 вероят-
вероятности возможных значений L = 2t, 2t — 2 суммарного момента
равны
n.(L = 2i)=a(/(«-l). щ<1 = 2/-2) = |~-L.
3.43. Нормированную в.ф. рассматриваемого состояния пред-
представим в виде (в /1г/2г-представлении)
v=вш,. i6ffl, _,=~ {-— (бт„ ,б№, _, + ет„ _i6№,,) +
^F»,. iS™. -1 - в™. -А*.,)}.
(I)
Возможные значения суммарного момента равны L = 0, 1, 2.
Учитывая характер симметрии в.ф. состояния с определенным
значением L по отношению к перестановке переменных т\ и mir
установленный в 3.39, замечаем, что второе слагаемое в фигур-
фигурных скобках выражения A) представляет нормированную в.ф.
состояния с L = 1, а первое описывает суперпозицию состояний
с Z- = 2 и L = 0. Очевидно, вероятность значения ?=ljiaBna
m(L=-l)=l/2 и w(L = 0)=i/2~ w{L = 2). Записав LE:
и учитывая, чю, согласно 3.37, это среднее значение равно L2 =
^ 2, находим
^A = 2)= 1/6, Hi(L=l)=l/2, ffi(L = 0)=U3-
Обобщение на случай произвольных значений и укачанный
в условии задачи, дает
3.44. Утверждение задачи является непосредственным след-
следствием двух очевидных обстоятельств:
а) в силу определенной симметрии в.ф. 4?lm(mi, nig) по от-
отношению к перестановке переменных mi и та вероятности од-
одного и того же значения т для обоих моментов одинаковы, т. е.
wifpi)=*vb(m) = w(m) A)
(wi, 2 — функции распределения по проекциям 1-го и 2-го мо-
моментов) ;
197
б) в состоянии, описываемом в. ф ФиЦти т$, проекции т\
и т2 однозначно связаны друг с другом, так как tn\-\- iri2 = M,
и поэтому вероятность значения mt для первого момента равна
вероятности значения tnz = M — mi для второго, т. е.
wl(mi) = v?i(M~~ml). B)
Из A) и B) следует утверждение задачи:
ы>1,2 (т) — к»1д {М — т).
3.45. Учитывая симметричность в.ф. Ч;=6т„ ойт!, о рассмат-
рассматриваемого состояния по отношению к перестановке переменных
nii и "i2, находим, что возможные значения суммарного мо-
момента L равны L = 0, 2, 4. Вероятности w(L) этих значений L
удовлетворяют условию
w(L = G)-i- w(L = 2) + w(L-= 4)= i, A)
a L2, согласно 3.37, равно
I*=20w(L = 4) + 6i?i(L = 2) = 12. B)
Из условий A) и B) нетрудно получить следующие ограни-
ограничения на вероятности ((L)^O)
Точные значения этих вероятностей могут быть найдены с
помощью коэффициентов Клебша — Гордана и равны
ш(/- = 0)=1/5, rc(Z, = 2) = 2/7 и h,(L = 4)= 18/35.
3.4а В. ф. состояния с L = 0 представляется в виде
(i)
где Ч!'*2' — нормированные на единицу в. ф. состояний систем
с моментом / и его проекцией т на ось г. Действие оператора
?+ = Сх-\- iСу = 11+ + fe+ на функцию (\) должно давать, оче-
очевидно,
Г+Ч^о - (?1+ + ?2+) >FL_o = 0. B)
Учитывая соотношение
из равенства B) после простых преобразований находим
т. е. Ст+1 = — Ст, так что | Ст | — const
условия нормировки в. ф. Ч^-с на единицу.
Таким образом, в состоянии с суммарным моментом ? = 0
вероятности различных значений проекций складываемых мо-
моментов на ось г одинаковы и равны w = Bi-(- I)-1. В силу
сферической симметрии состояния с i = 0 и эквивалентности
различных направлений в пространстве вероятность любого
значения проекции каждого нз складываемых моментов
(/,/—1, ..., —/) на произвольную ось также равна B/+ 1)~1.
3.47. Найдем вид нормированных функций Ч;ш в ^/иг-пред-
^/иг-представлении. Очевидно,
A)
I здесь и ниже столбцы Чг1р) = ( с" I представляют в. ф.
1 B) частицы (или подсистемы) с моментом /= 1 в ее k-пред-
ставлении).
Вид в.ф. 4fLM, отвечающих состояниям с /-= 1, 2иМ = ±1,
а также L = 1, М=^0, непосредственно следует из характера
симметрии в. ф. по отношению к перестановке переменных пц
и «i2, установленного в 3.39:
B)
C)
0)
Знак «-[-» в выражениях B) и C) отвечает 1* = 2, знак «—»
относится к L = 1.
Вид в. ф, Ч'о, с следует из результата предыдущей задачи:
F)
В. ф. Ч'г, о при учете ее свойства симметрии по отношени]
к перестановке переменных mi и тг можно записать в виде
F)
„«•г/ v"'i ^'a
Из условия ортогональности в. ф. Vs, о и IV о находим, что
C2 — 2Cit и, выбрав в F), d= 1/V6, C2 = 2J-\fG, получаем
нормированную в. ф. Ч'н, о-
Вероятности различных проекций складываемых моментов
па ось г в состояниях Ч;х.м легко находятся из установленного
вида A)—F) в.ф. Чш.
Для нахождения угловой зависимости в. ф. Ч'циF1,4I,63,412)
системы из двух частиц, имеющих моменты h ы h — 1, восполь-
воспользуемся соотношением
связывающим представление угловых переменных с /^/гг-пред-
ставленисм. Учитывая вид E) в. ф. состояния с L —0 в hzhz-
представлении и конкретный вид шаровых функций У1т@, <р)
(эти функции приведены в решениях задач 3.22 и 3.23), соглас-
согласно G) получаем после простых преобразований угловую зави-
зависимость в. ф. состояния с L — 0:
4'L=C = ^ {cos 6, cos д2 + sin б! sin 6a cos (<p, — qij) = ^(n,n2) (8)
3.48. Всего имеется 3-3-B/+1) = 9B/+I) различных со-
состояний системы. Эти состояния следующим образом класси-
классифицируются по возможным значениям L суммарного момента
системы:
B/ + Е) состояний отвечают L = /+2,
2B7 + 3) » » L = l+\.
3B/+I) y> » L = l, 0)
2<2/-i) » » L = /-i,
B/ —3) » » ?. = / — 2.
Для решения задачи удобно сначала сложить моменты двух
подсистем, имеющих /=1, в их результирующий момент L\b
принимающий значения Li2 = 0, 1, 2, а затем сложить момен-
моменты Ln и h = I в суммарный момент L всей системы. При этом
следует учесть, что данное значение L можно получить, вообще
юворя, несколькими способами Так, значение L =/+ 1 можно
получить путем сложения с моментом / третьей подсистемы как
момента L]2= 1, так и LJ2 = 2.
При получении A) считалось, что /^2. Случай *=1 чи-
читателю предлагается рассмотреть самостоятельно.
3.-19. Учитывая, что с.з. оператора 2U2 + /i(/i+ 1)+/2(/2+1)
равны L(L+I), где L — значение суммарного момента, нахо-
находим проекционный оператор P(L) (сравнить с задачей 1.40):
к {L) — Ц L{L + l)-L' {L' + \) * A'
где произведение берется по всем значениям U, удовлетворяю-
удовлетворяющим условию 1*1 — /Е|^ V г? h + h, за исключением L' = Lt
на что указывает штрих у символа произведения.
3.50. Очевидно, проекционный оператор P(LtM) можно Пред-
Представить в виде P{L,M) = P(M)P(L), где P(L) —проекционный
оператор на состояния с заданным значением L суммарного мо-
момента, найденный в 3.49, а Р(М) — проекционный оператор на
состояния с определенной проекцией М суммарного момента
?a~fi2 + /s2 на ось z. Как легко сообразить, Р(М) имеет вид
где произведение берется по значениям т, удовлетворяющим
условиям — L ^ т ^ L, за исключением т == М.
3.51. В случае h *=is —I проекционный оператор P(L = 0),
согласно формуле A) задачи 3.49. имеет вид
Подействовав этим оператором на произвольную в. ф. *? со-
состояния двух систем с моментами ii~fe=l, получим (ненор-
(ненормированную) с. ф. оператора суммарного момента, отвечающую
L = 0, т, е.
(С — нормировочный коэффициент).
Представив оператор 1^ в виде
где k—повышающие и понижающие операторы, и выбрав для
удобства в. ф. У/ в виде (в /и/гг-представлении)
/»\ /°\
•F- 1A.
находим после простых преобразований
T1J1 = C^(i = 0L'=CP(Z.= 0)( ')(') =
Чо/ЛоЛ
Выбрав в последнем выражение С = V^j получим нормиро-
нормированную в.ф. состояния с t = 0 в согласии с результатом за-
задачи 3.47.
3.52. Из коммутационного соотношения ?zfz — /г?г= сле-
следует, что недиагональные матричные элементы оператора /я
равны нулю:
{L, М', п | LJz - Ш L, М, п) = (Af -
(как и матричные элементы оператора ?г)_.
Из коммутационных соотношений
непосредственно вытекает
, п\ /г | L, М, л)-0
Из (I) следует, что оператор /+ имеет отличные от нуля
матричные элементы (/+) , лишь при М' = М -\~ I, а (/_)АГД(
отличны от нуля лишь при М' = М — I (аналогично свойствам
Взяв матричный элемент вида <п, ?, М + 2].. An, L, М) от
обеих частей операторного равенства It-bf+1 ~ 0 (являющего-
(являющегося непосредственным следствием коммутационных соотношений
для операторов С% и fn) и учитывая соотношения
L+\n, L, М)= VU-— M)(L-\-М~\-1I «1 ?. М+ 1),
B)
C)
легко находим
Из (З) следует
= о(«, L)(L+)M+l м, D)
и, учитывая сказанное выше о матричных элементах операто-
операторов /+ и ?+, заключаем, что {4) эквивалентно «условному» ра-
равенству (в указанном в условии задачи смысле)
f+ = o(«, L)L+. E)
Совершенно аналогично из условия [?-,f-] =0 находим
f_ = b{n,L)L_. F)
Взяв диагональный матричный элемент от обеих частей опе-
операторного равенства [?_, f+] = — 2/г, легко находим (Млш =
= а(п,1)М, т. е.
Аналогично из соотношения (?+, f_] =- 2fg следует (иУглм =-
= Ь (п, /-)М, что доказывает равенство а (п, L)= Ь (n, Z-), так
что выражения E)~G) можно записать в виде
f = u(«,L)L (8)
Для нахождения величины а"(п, Z,f рассмотрим диагональ-'
ный матричный элемент оператора (IL) (так как оператор
(fL)—оператор скалярной величины, он коммутирует с ?j и
его диагональные элементы не зависят от М, см. 3.20).
Непосредственное вычисление дает
(nLM\(f l)\nL
откуда
n, L){nLM\i?\tiLM)*=a(n, L)L(L+ 1),
где
aW" L) L (L + I)
3.E3. Согласно предыдущей задаче имеем
<лШ' | [ШI ni-M) = a(n, L) {L)M,M,
а (п, I Т
Так как L= lt + fa, то, учитывая коммутационные соотноше-
соотношения J/i, tr,} = iziitntn для операторов компонент каждого из мо-
моментов I], |2 и коммутативность t\i н /и друг с другом, легко
находим а => 0, т. е. все матричные элементы оператора [fifsji
между состояниями, отвечающими одному и тому we значе-
значению L суммарного момента системы, равны нулю.
3.54. На основании результатов задач 3.52 и 3.34 имеем
MWe,L fl,et|t + l»Tf1№+l|-l,|l, + l)i
Аналогичное выражение (с заменой индекса i на 2 и наоборот)
имеет место для 12.
Учитывая, что в состоянии с определенным значением М
средние значения Гл, Ев равны нулю, находим
= 0,
D —h
±м.
(I)
3.55. В данной задаче будем понимать под L его конкретное
значение L = li-\- is. Очевиден вид в. ф. *?Lr M_L;
Учитывая свойство оператора ?_:
?-4^= V№ —JH+ l)(L + M)*VL M_lt B)
имеем
Так как ?_=-fi_ + &- и онераторы U- и I*. коммутируют
друг с другой, то, учитывая явный вид в. ф- A) и свойство B),
легко находим из C)
0(L,
Г-дО ((,, d - m) G~' ft, M + m - Id X
D)
где введены обозначения
Из D) следует значение коэффициентов Клебша — Гордана:
Учитывая E), находим окончательное выражение:
3.56. Коэффициенты Клебша — Гордана для этого случая
быЛи фактически найдены в 346. Выбрав коэффициент Ст в
решевни указанной задачи при т = 1 равным С( = B(+0~1/2.
находим
3.57. Рассмотрим в. ф. вида
Учитывая, что оператор квадрата момента частицы fB про-
пропорционален угловой части оператора Лапласа в сферических
переменных, точнее,
находим
г'Д,Ф, = Л„... Л% ¦ ¦ ¦ "Л/ '
4Ф, = (№„) (№„) .,„... Лхл ...*„ =
= «1М...»(*1»'лА •¦•*«+ •••)='W...
Из A) и B) непосредственно следует
B)
... =0.
Очевидно, в.ф. Ч'л^указанная в условии задачи, также яв-
является с. ф. оператора I2.
3.58. Сначала найдем число независимых компонент § (I)
тензора 1-го ранга ёаь...а, симметричного но любой паре индек-
индексов. Обозначим: т — число индексов некоторой компоненты
этого тензора, равных 1, ns — равных 2 и ns = (l~- ni ~п2) —
равных 3. В силу симметричности тензора его компоненты с
одинаковыми числами гц и Лг равны и отличаются друг от друга
при различных «1 и п2. При фиксированном значении щ число п%
может быть равным 0, 1 (/ — п\), т. е. число различных
компонент тензора при данном п\ равно (/ — П\-\-\). Общее
число различных компонент g{l) равно
Чтобы найти число независимых компонент g(l) симметрич-
симметричного тензора «,*...п с равным нулю следом e(iP...„ = 0, заме-
замечаем, что последнее условие представляет совокупность линей'
ных соотношений между компонентами тензора ё,-*..,п. Число
этих дополнительных соотношений равно, очевидно, g(l — 2).
Таким образом.
что и требовалось показать.
3.59. Используя запись | Ч^, j2
значение интеграла
J (en) |г = e\nfnk и учитывал
находим из условия нормировки в. ф. I e J2 = -^ (следует по-
помнить, что вектор е, вообще говоря, комплексный).
3.60. Учитывая явный вид шаровых функций Yim (онв при-
приведены, например, при решеияи задач 3.22 и 3.23), находим зна-
значения компонент вектора е(т), при которых в. ф. >P/.=i =
= {e(m)n) совпадает с соответствующей шаровой функцией:
е(т = 0)=д/А@,0. 0, е(т=±1)=д/|г(Т1. I. QJ.
В случае 1 = 2 компоненты eIk(m) равны
8.CI. Простое вычисление дает
1
? e;<m)efc (т) = — «!*.
8:62. Представим комплексный вектор е в виде e=ai-b/a2,
где аь За — вещественные векторы.
а) В случае, если а^аг, т. е. е = опо (По—вещественный
вектор), проекция момента на ось, направленную вдоль п0,
имеет определенное значение, равное нулю. Если же векторы ai
и а2 не параллельны, то такой оси, проекция момента на кото-
которую имеет определенное значение in = 0, не существует.
Б) В случае ai_La2 и at = as проекция момента на ось,
направленную вдоль вектора [а^], имеет определенное значе-
йие т= 1 {и т = —1 на противоположное направление).
В общем же случае, когда ие выполнено ни одно из этих
двух условий, не существует такой оси, проекция момента на
которую имеет определенное значение. Это утверждение спра-
справедливо для любого значения момента L 5s 1 (исключением яв-
является случай момента, равного 1/2, см. 5.12).
8.63. Представив вектор е (см 3.62) в виде е = ai + 'aa.
где ai, За — вещественные векторы, и учтя результат зада-
задачи 3.60, легко сообразить, что вероятность значения проекции
момента /п = 0 на ось, напраеленкую вдоль вектора [aiR2],
равна нулю. Если ail!a2, то вероятность значения проекции мо-
меита т=0 на любую ось, перпендикулярную этим векторам,
равна нулю.
3.64.
^п1]Iг. A)
Б выражениях A) вектор е считается нормированным на
единицу, |«|2=1, m — вещественный единичный вектор, пер-
перпендикулярный по (выбор вектора -п, неоднозначен; однако от
конкретного его выбора значения выражений A) не зависит).
Для решения задачи удобно ввести новую систему координат
с осью г, направленной вдоль По, осью х— вдоль щ и осью у—¦
вдоль вектора [nonj, и воспользоваться известным видом ком-
компонент векторов е(го), соответствующих состояниям с опреде-
определенной проекцией момента_на ось z (см. 3.60).
3.65. Положив е = д/^"а' Где 1а1 = * из Усл°вия нормиров*
кв в. ф. на единицу, находим искомые средние:
Если записать комплексный вектор а в виде a=ai*-f-jaa, где
»i, а2 —вещественные векторы, то выражение A) принимает
вид
3.66. Так как ?№_1 = -йлл-~-8м-^- = -Л№
в случае нормированной на единицу в. ф. е=л!~а, гда
|а|= 1, легко находим
l=-i[a'a]. (i)
Полагая a = ai-f-ia2 r(ai,a~вещественные векторы), выра-
выражение A) можно записать в виде
гд
.. „.., .._ „„„._.._ „.„г„.«.г_ ( = — ^емхп~&г на
функцию вида Ч' = (an) дает
Ф, = X ?$ = ilQknk = — lelhrtannk n ft,. knk,
находим вид оператора /,- в векторном представлении:
т. е. если в этом представлении записывать в.ф. в виде столб-
столбто операторами компонент момента являются
матрицы ti с элементами (li)kn = —iei/mi
ЧГ=^1вз J,
трицы ti с эле
(О 0 0\ / О О i\ /-0 — / 0\
0 0 —/ 1 t„ = [ 0 О О j, tz^l I О о].
0 1 0/ \ — I 0 0/ \,0 0 0/
Легко убедиться, что коммутационные соотношения для мат-
матриц ti компонент момента имеют, как и должно быть, стандарт'
щр форму, т. е. [ti.h] = iem^n, а матрица Т3 равна 12 = 2-?
(/ — единичная матрица).
В.ф. ак [k=\, 2, 3) в векторном представлении и в.ф. ст
(пг^ 1, 0, —1) в /а-вредставдении связаны унитарным преобра-
преобразованием ак=Т/Vhntcm. Вид унитарной матрицы Utm читателю
предлагается найти самостоятельно.
3№. а) Наиболее общий вид угловой зависимости в. ф; си-
системы из двух частиц, имеющих моменты fr=f2 = i, следую^
щий:
' (Г)
207
где П|=Г|/гь пг = г2/гг, atk — произвольный тензор второго
ранга, имеющий девять независимых компонент, что соответ-
соответствует девяти различным независимым состояниям (в простран-
пространстве угловых переменных) системы из двух частиц с U == 13 = \.
б) Представив тензор aik в виде
запишем в. ф. A) следующим образом:
ф = С (n,na) + e [n,qj + et
где
C)
2е? = е,шаш, а,к — аы = 2e,ftj8,
(е« — симметричный тензор с равным кулю следом, е« = 0).
Учитывай результат задачи 3.57, нетрудно сообразить, что
представление в. ф. в виде C) является представлением ее в
виде трех слагаемых, каждое из которых отвечает определен-
определенному значению L = 0, 1, 2 суммарного момента системы;
^^ = С(П1п2), ^., = е1пМ
1 Г 2 1 ( >
^ [ + ()Й]
Выражение для ЧГ*.=о согласуется, естественно, с результа-
результатом задачи 3.47.
е) Для того чтобы приведенные в.ф. Ч^ D) отвечали со-
состоянию с определенным значением М проекции суммарного
момента на ось z, компоненты вектора Ei(M) и тензора »«(Л1)
должны быть выбраны в виде, установленном в 3.60.
В частности, в. ф. ЧГг. s при этом оказывается имеющей вид
/^ /V/-f!-y,1(O1, Ф,)Г,,@г, <рг).
т. е. действительно является с. ф. (ненормированной) операто-
операторов V и Сг, отвечающей с. з. L = 2 и М = 2.
Глава 4
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
4.1. Оператор Гамильтона, соответствующий функции Гамиль-
Гамильтона классического плоского ротатора И = м1/21 (Мг^р9~
проекция момента ротатора на ось, перпендикулярную плоско-
сти вращения), имеет вид п = -^j- *= — ^- -^-^.
206
Решение стационарного у. Ш.
с дополнительным условием Чг(фЧ-2я)==Чг(ф) дает энергети-
энергетические уровни Ет и нормированные с. ф. Ч?т (ф):
±.\m\,
\т\—целое число, |/и| = 0,1,2, ... Все уровни энергии пло-
плоского ротатора, за исключением основного т=0, двукратно
вырождены. С.ф. A) оператора В являются также с.ф. опе-
оператора ?г = —id/dqi. Составив из них линейные комбинации
(фО)
~-j=r sill \inyj,
получим с.ф. 4*1 m\. имеющие определенкую четность ±1 при
отражении координат относительно оси х (в плоскости вра-
вращения).
4.2. Задачу очень просто решить, если учесть результаты
решения задачи 3.15.
Отличные от нули вероятности различных значений проек-
проекции момента т и энергии Ет и их средние значения равны:
т = п, п — 2 — п,
w{Em) = w(m)~t- w(—m)^=2w(m), m=n, п — 2, .... 2A),
w (?о) = w (т = 0) Ф 0 лишь для четных п,
Е=\
= Щ°
— п(п— 1)) dif=
4.8. Функция Гамильтона классического пространственного
ротатора равна И = М2/2/, и, соответственно, оператор Гамиль-
Гамильтона имеет вид R=h4a/2I (f2 —оператор квадрата момента).
Уровни энергии и нормированные с. ф. гамильтониана рданш
У1т(®, ф) = ^/т(9, ф),
= 1, 1-1, .... -I,
Yim~шаровые функции. Каждый энергетический уровень ро-
ротатора вырожден B/+ 1)-кратно (основной уровень с / = 0^
невырожденный). Уровни энергии имеют опреиеленную четность,
равную (—1)'.
4.4. о) Проекция момента имеет определенное значение
tn = 0. Записав в. ф. в виде
1=- '-"'1
^F yijF J
и учитывая явный вид шаровых функций I'm и- Y%,*), легко
найти, что в уназанном состоянии момент ротатора может при-
принимать лишь два значения: / = С к 1 = 2, с вероятностями
w (I = 0) = 5/9, w (I = 2) = 4/9; Ё = ~1- = 4ft2/3/.
б) Проекция момента имеет определенное значение т = 2.
Функция распределения по значениям момента / ротатора (и со-
соответственно по его энергии) дается выражением _C) зада-
задачи 3.16. Среднее значенае энергии ротатора (как и Is) оказы-
оказывается бесконечным, что означает, что рассматриваемое состоя-
состояние ротатора не может быть реализовано «экспериментально».
4.5. Так как операторы
*—¦?&+?¦ а—??+*
коммутируют друг с другом и с гамильтонианом плоского осцил-
осциллятора, равным Я = й, -f Яг, та с. ф. гамильтониана Й, обра-
образующие полную систему, могут быть также выбраны с.ф. опе-
операторов #i и Й2. Учитывая это обстоятельство и хорошо из-
известный вид с. ф. и уровней энергии обычного линейного осцил-
осциллятора, находим нормированные в. ф, стационарных состояний
и энергетические уровни плоского осциллятора в виде
х, у)
Ц(хL%ц{у),
= 0. 1. ...
o = VM*, # = «i-f ад ni = 0, 1, 2, .... па=0, 1, 2, ...
Энергетическому уровню Ек с данным значением N отве-
отвечают линейно независимые с. ф. ЧГЯ,В, с п\ = 0, 1, ..., N (при
этом n2 = N, N — 1, .... 0), т. е. этот уровень осциллятора
(л-Ь 1)-кратно вырожден.
4.6. Иснользуя яввый вид в. ф. ^п*11^*), запишем в.ф. Wn
в виде
Ф — полярные координаты), С учетом равенства
2«os4isin4i = sin2ф = (e2i|p — e~^J2i из A) следует, что в
состоянии, описываемом в.ф. ЧГц, проекция м^омеита на направ-
направление, перпендикулярное плоскости колебаний, может прини-
принимать лишь два значения т = ±2с одинааовой вероятностью,
равной 1/2.
4.7. Гамильтониан в цилиндрических переменных имеет вид
{р.
2
Операторы фв и tx коммутируют Друг с другом и с гамиль-
гамильтонианом; поэтому существует полная -система функций, яв-
являющихся с. ф. этих операторов и имеющих вид
Где фп \т\ является решением радиального у. Ш. для «попереч-
«поперечного» движения частицы
= EVm,t.s,mk B)
определяющего также энергетический спектр «поперечного»
движения ?л \п\\ Щ — радиальное квантовое число, совпадаю-
совпадающее с числом нулей радиальной в. ф. (не считая нулей при
р = 0 и р = ро).
Волновой функции A) отвечает энергия частицы, равная
Каждому энергетическому уровню дискретного спектра «по-
«поперечного» движения.^.!т| (или, короче, уровню в двумерном
поле f/(p)) отвечает либо одна с.ф. (при т = 0), либо две
(при тфЬ). Если же имеется случайное вырождение (т. е.
энергетические уровни ЕПA \ т i при различных значениях яар чи-
чисел «р и \т\ совпадают), то кратность вырождения уровней
может принимать и другие значения (см., например, 4.5).
Основной уровень в двумерном поле (/(р) имеет квантовые
числа щ = 0, т = 0 и является невырожденным. Первый воз-
возбужденный уровень может иметь следующие квантовые числа:
либо «р —0, \т\ =1, либо щ = \, «1=0 (при случайном вы-
вырождении может оказаться, что уровни с указанными кванто-
квантовыми числами совпадают). Никаких других квантовых чисел
первое возбужденное состояние иметь ие может. Таким обра-
образом, кратность вырождения g = 3 первого возбужденного уров-
уровня в принципе возможна, а значения g=4 быть яе может.
4.8. Учитывая коммутативность операторов Я и U, с. ф. га-
гамильтониана можно представить в виде ^ГAт(р, Ф) =
™ *"„ I m 1 (р) е'"; при этом
По — радиальное квантовое число, равное числу нулей функции
Ч>Яр imi (р), не считая нулей при р = а и р == 0 (в случае m #= 0).
Решение уравнения A), имеющее необходимое поведение
при р-»-0 (фактически не возрастающее при р-»-0), представ-
представляется в виде
ФПр|т|(р) = С/т(хЛ(Iтф), C)
где Jm — функция Бесселя. Граничное условие B) определяет
энергетический спектр частицы:
D)
где а*т>0 —ft-й корень функции Бесселя /„(аА„)=0 (в по-
порядке возрастания аш); в частности, аш я* 2,40, аи я? 3,83 и
соответственно foe «2,88—^ . E0i*w7,33-^r.
4.9. Не конкретизируя пока значения т, представим с. ф.
гамильтониана в виде Чг„рт = ХЯр|т|(р)е"Пф. где %^ХпХ Удо-
Удовлетворяет уравнению (Е„р \ т \ < 0)
1 d m*-\
J4
Учитывая конкретный вид потенциала и граничные условия
для х„ |mi при р-»-0 и р-*-оо, находим решение уравнения A):
p>fl,
где К\ т |— функция Макдональда.
Условия непрерывности в. ф. B) и ее производной в точке
р = а приводят к соотношению
определяющему энергетические уровни д.с. (— Ь0<Еп |то|
212
В случае мелкой ямы | = |лаЕ?/о/Й! ^ I аргументы цилинд-
цилиндрических функций в соотношении C) малы. При т = Ос уче-
учетом формул
справедливых при jc<; 1, соотношение C) принимает внд
Последнее уравнение имеет только один корень
который легко найти, если заметить, что из D) следует
\ЕПро\ <.V0, и пренебречь |?«po| в сомножителе перед лога-
логарифмом.
Для тфО, как это следует из соотношения C), состояния
д. с. в мелкой яме отсутствуют (см. следующую задачу). Таким
образом, в мелкой двумерной яме, как и в одномерном случае
(см. 2.8), имеется лишь одно состояние д. с. Энергия этого со-
состояния мала по сравнению с глубиной ямы:
(сравнить с соответствующим значением \E0)/UD *J<1 B од-
одномерном случае).
4.10. Энергетические уровни д. с. определяются из решения
трансцендентного уравнения C), полученного в предыдущей
задаче.
В случае мелкой ямы g = (Ш2(УО/Й2 <^; 1, учитывая известный
вид функций Кт(г) и К'т(г) при г-*-0 (щфО), легко убе-
убедиться, что указанное уравнение не имеет корней (правая и ле-
левая части уравнения имеют разные знаки), т. е. состояния д. с,
с m^feO отсутствуют. Такие состояния появляются лишь при
достаточном углублении ямы. Чтобы найти значения парамет-
параметров ямы, при которых это происходит, следует учесть, что в
условиях, когда уровень только появился, он имеет малую
энергию. Рассматривая именно такой случай, запишем уравне-
уравнение C) предыдущей задачи в виде
х^Л/~^—5—°'"" A)
(мы учли, что при z-»-0 Кт{г)ж~(\т\— 01 ("f) )•
На основании A) можно сообразить, что условие
B)
га
определяет параметры ямы, при которых в ней появляются по
мере ее углубления состояния д. с. с проекцией момента т ф 0.
Условие B) эквивалентно следующему;
В частности, учитывая значение xi & 2,40 первого корня
функции Бесселя h(x), находим согласно C) условие суще-
существования в рассматриваемой яме состояний д. с. с \т\ = Ц
Отметим, что полученные условия B) и C) не только опре-
определяют параметры ямы, при которых в ней появляется первый
уровень д.с. с тфО (первый, наименьший корень уравнения
C)), но и вообще являются условиями появления новых со-
состояний д. с. с т =f= 0 по мере углубления ямы.
4.11. Задача решается аналогично 4.9.
Функция %п tm)(p) имеет вид
Условия сшивания функции A) в точке р = в, совершенно
аналогичные условиям сшивания в. ф. для 6-функциоиного по-
потенциала в одномерном случае (см. 2.Ю}, приводят к соотно-
соотношению
B)
определяющему эиергетпческий спектр частицы. Учитывая зна-
значение вронскиана tn (х) Кт (х) — /«(х) Кт {х) = — 1/л:, запишем
B) в виде
C)
Можно заметить, что левая часть уравнения C) Fm(z) ^
Кт (г) 1т (г), 2 = кЯрта5!0, является монотонно убывающей
р
функцией г, причем Fm"(z)-*-0 при z-*-oo (так как при этом
Jm (г) ж .--¦ :¦ е2, Кт (г) ** Л/~ e~z ) - Докажем монотонность
FM(z)\ Предположим противное, т. е. что Fm(z)—не монотон-
монотонная функция. Тогда график этой функции при достаточно боль-
больших значениях г будет иметь вид, указанный на рис. 25, и при
значении правой части C), равном /о, уравнение C) будет
214
иметь по крайней мере два корня: zi и г2. Это означает, что
в рассматриваемом поле имеется два уровня с одним в тем же
значением т, при этом радиальная зависимость соответствую-
соответствующих в.ф. определяется формулой A). Но таких двух уровней
быть ие может, так как соответствующие им с. ф. гамильтониа-
гамильтониана не были бы ортогональными друг другу (действительно, в. ф,
вида A) При любом мпт является знакоопределенной—функ-
знакоопределенной—функции /m(z) и Кт(г) не имеют нулей — и две такие функции при
различных кп т не могут быть ортогональными). Таким обра-
образом, Fm(z) —монотонно убывающая функция z (z^O).
Так как для т = 0 при 2-»-0
/о(г)« 1 + —-,
D)
то в этом случае Fo(z)-»- оо. Графики функций в правой и левой
частях уравнения C) изображены на рис. 26, из которого вид-f
но, что при «1 = 0 имеется один (и только один) уровень д. с*
г,щ
Для мелкой ямы g = цая/fi* «С 1 (при этом правая часть
C) велика) находим согласно C) н DJ
В случае глубокой ямы | > 1, используя приведенные выше
асимптотики цилиндрических функций, находим
4.12. Задача решается аналогично предыдущей. Различие
проявляется лишь в том, что в случае ш^О максимальное зна-
значение функции Рт(г) = 1т{г\К^г) равно /m(OJ/C*,(GJ= l/2|m|
216.
(рис. 27), и поэтому уравнение C) предыдущей задачи имеет
один (и только один) корень при выполнении условия
состояния д- с" с Данным т Ф 0 отсут-
'в'Хея*
4.13. У. Ш. для радиальной части с. ф. гамильтониана
Это уравнение и граничные условия нл т@) = 0, и„ „»(*») = О
совершенно аналогичны тем, которые возникают при нахожде-
нахождении радиальной в. ф. ы„г( и уровней энергии частицы в кулонов-
кулоновском поле U(r)=—а/г, если записать с. ф. гамильтониана в
видеЧГя#1т = К(т"пг[ (г)/г. Различие состоит только в замене мно-
множителя /(f-f-1) (в центробежной энергии) на величину т2— 1/4.
Учитывая хорошо известное выражение
E"r'= ~ 2А2(иг+ ( + »)* №
для энергетических уровней частицы в кулоновском поле и за-
заменяя, согласно сказанному выше, величину /4" 1/2 на \т\,
находим энергетический спектр частицы в двумерном поле
?*р"»'1=~2й'(^+фи|+|/2)" {3)
Из выражения C) видно, что в рассматриваемом поле, как
и в кулоловском, имеет место случайное вырождение, так
как энергия зависит только от комбинации П{,-\- \т\ квантовых
чисел П(, и т. Если ввести квантовое число N = np-$- \m\ -f-1
(являющееся аналогом главного квантового числа п = пг +1 +
+ 1 в кулоновском поле), то выражение C) можно записать
в виде
N*=l. 2, ...
D)
Энергетический уровень EN имеет, очевидно, следующую крат-
кратность вырождения:
1
4.14. Так как приведенные функции имеют много общего
с в.ф. основного «йстояния — отвечают значению т = 0 и ие
имеют нулей на интервале 0 < р < а,—то следует ожидать, что
среднее значение энергии частицы в указанных состояниях бу*
дет достаточно близким к энергии основного состояния, являясь
для нее верхним пределом.
а) В.ф. нормирована на единицу при |Л|а =™6/ita4. Имеем1
Так как в. ф. при р > а равна тождественно нулю, а беско-
бесконечно глубокую яму можно рассматривать как предел ямы ко-
конечной глубины, то ?/(р) = 0. Таким образом, находим
?,>-?„„.-•¦-°~Ё=-ц5- A)
б) |?|~Е=(я2 — 4)оа/2я — из нормировки в.ф. В результате
получаем:
B)
Приближенные значения A) и B) для энергии Ео основ-
основного состояния частицы следует сравнить с точным значением
Ео = 2,88 -^г согласно 4.8.
4.15. По условию задачи в.ф. состояния частицы с кванто-
квантовыми числами П(, = 0, т = ±1 предлагается аппроксимировать
функцией вида
Wo. ±i = Ср (а - р) ехр (± «р). A)
Эта функция имеет много общего с точной в.ф.: правильное
поведение при р-»-0, отсутствие нулей у радиальной части на
217
интервале 0 <: р < о, выполнение граничного условия при р = а.
Поэтому можно ожидать, что среднее значение энергии частицы
в указанном состоянии будет близким к точному значению ?oi
энергии первого возбужденного состояния с \т\= 1, в соответ-
соответствии с идеями вариационного метода (следует напомнить, что
в. ф. состояний с |т\ = 1 ортогональны в. ф., отвечающим
Нормировка в.ф. (I) на единицу дает |С|? = 30/ла6. Далее,
_ ?
Так как ?/(р)"=0, то в качестве приближенного значения
энергии ?01 (в рамках простейшего варианта вариационного ме-
метода) получаем
Е01^Ё=Т=7,50—,
что следует сравнить с точным значением ?oi = 7,33—j- соглас-
согласно 4.8.
4.16. Указанная в условии задачи функция нормирована на
единицу при |С|2 = 2сс2/л- Простые вычисления дают
Минимизируя величину Е(а) по к, находим в соответствии
с основной идеей вариационного метода приближенное значение
для энергии основного состояния:
?0f* min?'(c)=i
Точное значение ?о = Л<*>.
4.17. Функция Грина удовлетворяет уравнению (к =
_^-(Д_^ся(р,р'} = о(р-р'). О)
Вводя переменную р = р — р' и учитывая, что Д~ = Д&
гак как А = д*/дх2-\-д*/ду2), запишем уравнение A) в виде
—Ц-(Л?~к8)СЕ = 6(р). B)
Из B) следует, что функция Грина в переменных р, р' не
висит от р' и, как легко сообразить, имея в виду аксиальную
симметрию уравнения B), является функцией только величины
р = ]р — р'|. Решение уравнения B) при р=И=О имеет вид
Условие убывания функции Грйна при р-*-оо дает Ci = O.e
Для определения С2 проинтегрируем обе части уравнения B)
по кругу малого радиуса е с центром в точке р = 0. При этом
в правой части получаем единицу. Интегрирование второго сла-
слагаемого в левой части уравнения дает нуль при е-»-0. Интеграл
же от первого слагаемого преобразуем с помощью теоремы
Остроградского — Гаусса:
В двумерном случае dV ш; dS, rfS = dl = n<W*J. Так как
при jc-*-0 Ko(x)tv 1п2/х, то \Ко(кр)ж — р/р2 при р-*-0, и в ре-
результате интегрирования получаем -—С2= 1, так что оконча-
окончательное выражение для функции Грина имеет вид
Зависимость функции Грина только от |р —р'| является от-
отражением однородности и изотропности пространства (в дан-
данном случае — плоскости) для свободных частиц.
4.18. Рассмотрение, совершенно аналогичное проведенному
в предыдущей задаче, приводит в следующему виду функций
Грина:
где Щ' ?> (х) — функции Ганкеля.
4.19. Функция Грина удовлетворяет уравнению (х=
Щ
Из соображений симметрии очевидно, что СЕ является функ-
функцией вида Ge=G?(lq> — ф'|), и из уравнения A) при уФч?
следует
С С fl ' | + ]
Значение С = —.~2 ^ вытекает из условия сшивания функ^
ции Се в точке Ф^ф' (сравнить с решением задачи 2,36), а
¦о орт п — орт «внешней нормали»—пер-
ffll В данной задаче
•)Обращаем внимание на то,
1ендикулврен контуру интегрвровг
(р = е).
величина а находится из условия равенства функции Грина и
ее производной в точках «р — ф' = ±эт, соответствующих одной
и той же точке пространства *), и равна а = — кп.
Таким образом, функция Грина имеет вид
Функция Грина GE имеет полюсы в точках v. = ±m (m —
целые числа, т = 0, 1, 2, ...), т. е. в точках Em=hsms/2f пло-
плоскости переменной Е, так что положения полюсов совпадают
со значениями энергетических уровней ротатора.
4.20. Если с. ф. гамильтониана частицы в центральном поле
представить в виде Ч;„ 1т = /$п i (r) Ylm F, <р)/г, то энергетические
уровни Enrt и радиальная часть Rnri в. ф. определяются из ре-
решения уравнения
с граничными условиями /?n,.i@) = 0 и Rnri (оо)= 0.
о) Уравнение (I) имеет вид, совершенно аналогичный од-
одномерному у. Ш. в поле
С
{
*, x>0,
х<0.
и согласно так называемой осцилляционной теореме, гласящей,
что в одномерном случае с. ф, гамильтониана, отвечающая N-му
уровню (в порядке возрастания энергии), имеет N—1 нулей
(не считая нулей при x->--f-0°; если движение частицы ограни-
ограничено непроницаемой стенкой, так что в. ф. равна нулю «на
стенке», то такой «нуль» также не учитывается), можно утвер-
утверждать, что Е„г1 при фиксированном / с ростом Пг возрастает,
причем самому нижнему уровню (при данном /) отвечает зна-
значение л, = 0.
6) Рассматривая формально Enrt при данном п, как функ-
функцию параметра /, изменяющегося непрерывно (так что непо-
непосредственный физический смысл — значения энергетического
уровня — эта функция имеет лишь в точках, отвечающих зна-
значениям / = 0, 1, 2, ...), на основании результата задачи 1.28,
примененного к уравнению A). имеем
dEnrtldt = dR/dl = Л"(И+ l)Mir* > 0,
*) Эти условия, как нетрудно сообразить, эквивалентны равенству j
что и доказывает возрастание величины Enri с ростом I (при
фиксированном значении пг).
4.21. а) Двукратно вырожденных уровней быть не может
(подчеркнем, что речь идет о бесспиновых частицах).
б) Так как квантовые числа основного уровня п, = 0, / = 0,
то у первого возбужденного уровня, согласно предыдущей за-
задаче, могут быть только следующие квантовые числа: либо
пг*= 1, ( = 0 (при этом уровень является невырожденным), либо
л,™ 0, (=1 (уровень трехкратно вырожден). Конкретное зна-
значение инантовых чисел первого возбужденного состояния зави-
зависит от вида поля U(r). Наконец, при наличии случайного вы-
вырождения может оказаться, что величины Enfi при указанных
рыше значениях п, и I совпадают. В этом случае будет иметь
место 4-кратное вырождение уровня. Никвких других значений
(кроме полученных выше 1, 3, 4) кратность вырождения пер-
первого возбужденного уровня принимать не может.
в) Энергетическому уровню частицы в центральном поле
с кратностью вырождения в ™ 7 соответствуют состояния ча-
частицы с определенным вначением момента / = 3.
Если g = 9, то могут быть две возможности: либо данному
уровню отвечают состояния частицы с определенным значением
1=4 момента и уровень является четным, либо —при случай-
случайном вырождении — этому уровню соответствуют значения мо-
момента частицы, равные / = 0, 1, 2 (и уровень не имеет опреде-
определенной четности). Последний случай реализуется, например, в
кулоновском поле.
4.22. й) Учитывая результат задачи 4.20 о характере изме-
изменения Е„г1 с ростом /, легко сообразить, что, независимо от
конкретного вида поля V(r), в N-u состоянии д. с. значение мо-
момента частицы не монет превышать /max = N — 1 (причем если
/=/™х,топ, = 0).
6) Максимально возможное значение кратности вырождения
уровня получается в том случае, если этому уровню соответ-
соответствуют состояния частицы со значениями момента от / = 0 до
/= lmax = N— 1, и равно
t\ N* A)
(отметим, что уровни с одинаковыми значением п, (или Z) if
различными / («,), очевидно, вырожденными быть не могут).
Полученное значение A) для grr,aK(N) реализуется в куло-
кулоновском поле притяжения.
Отметим, что если для' некоторого N величина g(N) прини-
принимает максимально возможное значение, то для # ^ N величи-
величина g(J?J также принимает,максимально возможное значение A)
с N =' N. При этом для данных значений Nat однозначно опре-
определяется квантовое число n, = N — i—\. ч
4.23. Используя соображения, высказанные при решении за-
задачи 4.5 о плоском осцилляторе, легко находим решение в виде
A)
(+y2), A n,+n2fn3, tf»ti, 1. 2, ...
Кратность вырождения W-ro уровня ^основному состоянию
втвечает значение N *= 0) равна
P)
4.24. Поле # *= ftrE/2 является центральным, -поэтому энер-
энергетические уровни и с. ф. гамильтониана можно классифициро-
классифицировать с помощью квантовых чисел пг, I, m (см. также-следующую
задачу). Основному состоянию отвечают квантовые числа п, =
i=0, 1=Ь (действительно, в.ф, Урм предыдущей задачи не
йм$ет нулей « является сферически симметричной, т. е. отве-
отвечает ( = 0).
Эозможные значения квантовых чисел первого возбужден-
возбужденно* уровня следующие (в скобках указано значение кратпо-
стн вырождения уровня при соответствующих квантовых
Числах):
n,= l, /-=0 <f=l); n,=A (=1 (g = 3).
Так как согласно предыдущей задаче для осциллятора при
N*=i (первый возбужденный уровень) кратность вырождения
равна С =s3, то немедленно заключаем, что этому уровню отве-
отвечает значение момента J*=l (квантовые числа уровня пг=0.
При квантовых числах п, = 0, / = 0 основного и пг ==-0,
1=1 первого возбужденного состояний возможны только сле-
следующие квантовые числа у второго возбужденного уровня:
пг=\, г-0 (g=\); яг = 0, 1 = 2 (g = $) A)
(см. 4.20). Так как у осциллятора G = 6 при N = 2, то соглас-
во A) такое значение G можно получить единственным спосо-
способом — в случае равенства энергий Еп „i, j_o = ?о, г, соответ-
соответствующего «случайному» вырождению уровней.
Учитывая установленные выше квантовые числа осцилля-
осциллятора при N =0, 1, 2, находим возможные значения tir. l при
t = 0 U = \). B)
Так как G{./V==3) = 40, то согласно B) уровню осциллятора
е N =3 отвечают квантовые ч-исла nr = O,^ = Sii«^==IJi=J.
Классификацию произвольного энергетического уровня
осциллятора по значениям квантовых чисел пг, I см. в следую-
следующей задаче.
Учитывая явный вид в. ф.
и выражения дли полиномов Эрмита Яо = 1, Я2 = 4д:а — 8,
легко найти для N = 2 искомую функцию Ч^=е (являющуюс*
сферически симметричной):
Представив с. ф.. гамяльтонианэ
m (°i Ф>". имеем уравнение
Вводя новую переменную
к виду
Решение ураашения B^ ищем1 в- виде
Для функции гу из B) и C) следует уравнение
, преобразуем fct)
C)
Так как при г->б (нгри этом дг—>G) в. ф. ^„г( должна иметь
вид J?©ог{солг^3, то ro->comt при1 *¦-*¦(> и решение уравне-
уравнения D) следует выбрать в виде
w (х) = Cf (- Е/гЛсо -f 4B + ЗД i -г- 3/2, х), E)
где Л(а, р, х) — вырожденная гипергеометрическая функция, >
Для того чтобы радиальная в.ф. C) убывала при г-*-оо,
необходимо, чтобы гипергеометрическая функция E) свелась к
полиному (иначе F<x>e" при дг-*-+°° и /?оое*'2 расходится
кркх, г-»-оо)
Функак» E) сводится к полиному прн выполнений условия
-?72Йа>+02+4/4 = —ль л, = 0» 1, 2, .... F)
определяющего эааррететеский спектр частгода.
,1,2, ...
В. ф., отвечающие энергетическому уровню G), имеют вид
Очевидно, что данному значению N соответствуют состояния
частицы с моментом /, равным t = N, N~2, ... Кратность вы-
вырождения уровня равна
в согласии с результатом задачи 4.23.
Так как возможные значения момента частицы в состояниях,
отвечающих данному значению N, отличаются друг от друга на
величину, пратную 2, то энергетические уровни осциллятора
имеют определенную четность, равную (—¦I)".
4.26. Простое вычисление (при этом удобно использовать со-
соотношения задачи 1.9) дает \fi,Tik] = 0. В то же время опера-
операторы Тт не коммутируют с оператором Га. Так,
+2) № - *'') -
Из коммутативности операторов 1! и Тц, с гамильтонианом
и их взаимной некоммутативности следует, на основании ре-
результата задачи 1.29, наличие в спектре гамильтониана «слу-
«случайного» вырождения. Как известно (см. предыдущую задачу),
случайное вырождение уровней осциллятора обладает тем свой-
свойством, что вырождены уровни Enri с различными значениями /
одинаковой четности (либо / четные, либо нечетные). Это об-
обстоятельство является следствием того факта, что операторы tit,,
ие коммутирующие с Is, коммутируют с оператором отражения f,
так что уровни осциллятора имеют определенную четность
(сравнить со случайным вырождением в кулоновском поле, об-
обсуждаемым в следующей задаче).
4.27. Естественно в соответствие А поставить эрмитов вектор-
векторный оператор
Простое (хотя и несколько утомительное) вычисление дает
[[#,А] = 0. Однако компоненты оператора А не коммутируют
с Р. Это очевидно и без вычислений: если бы было |12, А] = 0,
то существовали бы полная система с.ф. оператора Iй и одной
из компонент оператора А; эти функции были бы также с ф.
оператора отражения (имели бы определенную четность), ко
этого не может быть, так как операторы А и 7 не коммутируют
(они антикоммутируют). Коммутативность операторов отраже-
Щя t и "компонент А с гамильтонианом и ах взаимная немншу-
тативность объясняют, (или, точнее, помогают понять) случай-
случайное вырождение уровней частицы в кулоновском поле и свойство
.атого случайного вырождения, состоящее в том, что энергетиче-
энергетические уровни не имеют определенной четности (сравнить со слу-
случайным вырождением уровней осциллятора).
4.28. Учитывая вид нормированной в. ф. основного состояния
4.29. Искомый потенциал представляет электростатический
потенциал ц>(г) системы, характеризуемой объемной плотностью
Наряда вида '' '
р{г)=е6{т)-е\Ч?о(г)Р, A)
где ЧЪ—в.ф. основного состояния электрона в атоме водорода
(она приведена в предыдущей задаче, Z = 1). Первое слагаемое
в (I) описывает плотность заряда, связанную с наличием {фо-
{фотона, второе представляет объемную плотность заряда элек-
электронного «облака».
Найдем у (г), используя общее решение уравнения: Пуас-
Пуассона, изеестиое из электростатики:
B)
Используя формулы
им 6) (г'/гI, г-<г_
1. r'>r.
где 6 — угол между векторами г и г', выполним интегрирование
в формуле B), используя сферическую систему координат с по-
полярной осью г вдоль вектора г. При интегрировании по углу G
из сумм, входящих в C), остается только первое слагаемое с
/=0 (из-за ортогональности полиномов Лежандра), я B\ при-
принимает вид
D)
Выполняя интегрирование а D), находим
Предельные случаи* „¦
<p(r)«y, r->G (кулоновское поле протона);
<р{г}& — е~^а, г-*во (практически полная экранировка про-
протона электроном).
4.30. Искомое среднее электрическое поле представляет элек-
электростатическое поле системы, характеризуемой объемной плот-
плотностью заряда
{r, в, ф) = ДД-з2?Нб fC0S&;~irp!a — В-Ф- 2/ьсостоянйя эле-
электрона (га = 2, /=1) в атоме водорода с ш = 0, а — боровскнй
радиус.
¦ Как известно из электростатики, поле системы зарядов на
большом- расстоянии представляется а веде ряда полей мульти-
полей. Так как рассматрнваеиая система имеет равные нулю
суммарный заряд в днпольный. момент (си., напраыер, 1.21}, то
ноле сжгвемы на больших раествянняя будет нолем нвадруполя.
Компоненты тензора квадруполыгого момента
Dlk =- J p Cx,xk - r%b) d V=- е ?| 4W г*{3л*1* - *„>*¦ <&
легко найти, если нжшсать со8*В = пгпг^п3п3 и учесть
J f |), A)
т. е. тензор имеет диагональный вид и его отличные от нуля ком-
гоченты равны
. B^ = _2Z>n = -2Oa= -24ш2< 0.
Электростатический потенциал <р(г) и электрическое поле
Е(ж) наездятся теперь во- известный формулам электростатики.
4.31. Среднее значение напряженности электрического поля
на больших расстотюях от атома, согласно 4.29. равно
Е(Ц) = -
- ехр (- 2RIa),
A)
т е экспоненциально убывает с увеличением расстояния.
Электрическое пеле E(R), создаваемое протоном, находя-
находящимся в начале кеординат, и электроном в точке г, равно
Ислояьзуя «редставдение (S) для ?,(R) я усредйяя выра-
выражение EtEb по различным яоложеяиям электрона в простран-
пространстве, характеризующимся функцией распределения dw =
««iToooHJ^rfV DW — в.ф. основного состояния электрона в
атоме водорода), находим
C)
Сравнение A) и C) показывает, что, хотя среднее поле
убывает с увеличением расстояния экспоненциально, флуктуа-
ционные значения электрического поля, имеющие порядок ве-
величины Vez (R), убывают лишь по степенному закону со Z?-3.
4.32. Квантование в параболических координатах изложено,
например, в книге {3]. Нормированные в. ф. стационарных со-
состояний д. с. в параболических координатах
атомные единицы
имеют вид (в этой задаче мы использу
А 1)
п = (щ -|-п2 +1т|+ I) — главное квантовое чнсло.
В.ф. рассматриваемого состояния, относящегося к первому
возбужденному уровню (п =2), имеет вид
Для нахождения функции распределения по координате г
электрона удобно перейти от переменных 1, ij, q> к цилиндриче-
цилиндрическим р. г, <р н проинтегрировать по плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной оси z:
¦ ¦€ пембвдыо'-B$ находим ьерйятиости нахождения
в полупространствах 2>0пг<0: -
а также г и средний диполышй момент атома:
г = 3, rf^ = rf^ = O, dx=— z=— 3 ат. ед.= —
Записав в. ф. (I) в виде
в учтя явный вид в. ф. W/ij-im электрона в атоме водорода»
легко найти, что в рассматриваемом состоянии момент элек-
электрона может принимать два значения (=0; I с одинаковой
вероятностью W (I = 0) = W (I = I) = 1/2.
4.33. Представив в. ф, в виде ^„rim = Yim
находим из у. Ш.
с граничным» условиями Х„^($) = Ха ((о) = 0 радиальную в. ф.
и энергетические уровни частицы:
где aal > 0 — п-й корень (в порядке возрастания, не считая
нудя при х=0) функции Бесселя Лпщ(х}, т. е. J|+i/2(a,,f) = 0.
В частности, основному состоянию (пг = 0, / = 0) соответствует
значение «ю = я (/угСж) —д/—:-sinjej»
; 4.34. Представив в. ф. в виде Ч^
из у. Ш. (?v = Ч )
радиальную в. ф.
Условия сшивания функции (I) в точке г = а (совершенно
аналогичные условиям сшивания в случае одномерного в-функ-
цконного потенциала, установленным в 2,10) приводят к соот-
соотношению
W (kvo) ffi+w («v») = ^~ • B)
определяющему энергетический спектр частицы (сравнить
с 4.11).
В задаче 4.II отмечалось, что функция Fv(x)bs /t(x)Kv(x)
на полуоси х ^ 0 является монотонно убывающей функцией,
причем при jc-*-oo эта функция стремится к нулю, а при х-+0
принимает максимальное значение, равное fv@) = I/2v (v>0).
Поэтому уравнение B) при фиксированном значении / имеет
либо один корень, если p.aa/hs > t-\-\/2, либо вообще ие имеет
корней, если указанное условие не выполняется. Таким обра-
образом, условие цас/Й8>- /+1/2 является условием существова-
существования состояний д. с. с моментом I.
Очевидно, что число уровней /V дискретного спектра частицы
в рассматриваемом поле определяется условием
|ша/Йв — 1/2 < N < iwo/^-f 1/2.
4.85. Если в. ф. Ч?„г1т для стационарных «-состояний (/ = 0)
частицы представить в виде 4fI,roo = /?nr (/")//¦ и сделать замену
переменной х —ехр(— г/2а), то у. Ш. принимает вид
сч
Решение уравнения (I) имеет вид
Ср(*) — ФУНК«ИЯ Весселя). Так как при г-* ею (при этом х-*0)
в. ф. Ч^^оо должна обращаться в нуль, то необходимо выбрать
С2=0. При этом требование ограниченности в. ф. в точке г = 0
приводит к условию
определяющему энергетический спектр «-состояний частицы.
Так как положение на оси х первого нуля функции Бессели
/р(х) с ростом р смещается вправо (р^О, х > 0; нуль при
х = 0 исключается из рассмотрения) и минимальное значение,
равное xi ри 2,40, имеет первый нуль функции Бесселя с индек-
индексом р=0: /o(#i)=0, то условие существования в рассматри-
рассматриваемом поле s-состояний д. с. (а тем самым и состояний д. с
229
вообще) ;ияеет вдд-
/ftrf
C)
Учитывая, что новые состояния д. ^появляющиеся по мере
углубления ямы, имеют малую энергию' связи (в условиях, ко-
когда уровень только появился), из формулы B) получаем значе-
значения параметров ямы, отвечающие появлению в ней Л-го-«-со-
Л-го-«-состояния д. с:
где xN — N-й корень функции 10(х). В частности, при iV»l,
используя асимптотическое представление функции ]ц(х), нахо-
находим
xHfvnN — iiJ4. E)
Соответствено число «-состояний д. с. для частицы в глубокой
яме определяется условием
4.36, Если представить в. ф. в виде У«,<*=^1Ь.г(г)/г, то
у, Ш. для функции Rnr и граничное условие /?Я|,@) = 0 имеют
точно такой же вид, как в случае одномерного движения.
Поэтому, как легко сообразить.
Учитывая установленное соответствие и результат зада-
задачи 2.20, находим, что условие существования в указанном поле
s-состояний д. с. (а тем самым и состояний дискретного спектра
вообще) имеет вид jia!t/0/fis ^ я5/8-
4.37. При г-*~оо в.ф. Ve=o,i=o('1)' имеет, вообще говоря, по-
поведение вида Too-^ const (что соответствует поведению в.ф.
We^vox при А-^оо в одномерном случае, см. 2.18). Однако
если параметры поля выбраны таким образом, что при малей-
малейшем углубления в поле появляется новое (или первое, если со-
состояния д. с. отсутствовали) состояние д. с, то в. ф. при таких
значениях параметров поля имеет при г->оо вид 4?Co{r)as а/г
(отметим, что для справедливости высказанных утверждений
требуется достаточно быстрое убывание потенциала при г->-оо:
он должен убывать быстрее, чем г~2).
Для указанного потенциала у.Ш. при ? = 0 и (=0 имеет
вид
ЯМ--3&Я-0 (с<г<оО) A)
РРо* = Rif)/r). Решение уравнения Щ следующим образом ьыра-
жается через цилиндрические функции A2}:
Я (г) = С,
B)
Первое слагаемое в B) при г-»-со принимает постоянное
значение, а второе расходится пропорционально г. Поэтому
определение параметров поля, соответствующих появлению но-
новых s-состояннй д. с, требует выбора С3 = 0. При этом гранич-
граничное условие /?(я) = 0 в неявном виде определяет искомые зна-
значения параметров потенциала:
lv($a-4*} = 0. C)
Наименьшее значение корня функции Бесселя в C) опре-
определяет параметры потенциала, при которых появляется первое
s-состояние д. с. (а тем самым и первое состояние д. с вообще).
В частности, при п = 3 имеем v = I и, учитывая значение хч =
= 3,83 первого корня фуккции Ji(x) (не считая * = 0), нахо-
находим условие существования состояний д. с в поле рассматри-
рассматриваемого вида при п = 3:
4.38. Обозначим через ЕЛ(У) энергию я-го уровня в поле вида
U(rtb) = U(r) + MU(r).
На основании результата задачи 1.28 имеем
и утверждение задачи очевидно, так как Е„ = Е„(К = 0), Е„ =
= Еп[К=1) (знак равенства в установленном соотношеиии
реализуется только при fit/ ss 0).
4.39. Как известно (см., например, C]), в поле V = —а/г9
при ц« < Й2/8 состояния д. С отсутствуют, а при ца > hs/8
имеет место падение частицы на центр поля.
Так как —f70/sh2(r/a)^ —U0os/r2, то, согласно предыдущей
задаче, можно утверждать, что при условии цаЮо < Йг/8 в
рассматриваемом поле отсутствуют состояния д. с. В случае же
p.a?U0 > №/8 имеет место падение частицы на центр поля, так
как при г->0 имеем U(r) as —Vaa2/r\ а условие падения опре-
определяется лишь поведением потенциала на малых расстояниях
4.40. Рассмотрение, аналогичное проведенному при решений
задачи 2.22, приводит к следующему среднему значению;
4.41. Имея в виду общие соображения Ч) простейших вяриа*
циоиных расчетах энергии основного состояния частицы, вы-
высказанные при решении задачи 2.27, находим: ,
а) | С Р = Bи2/«)э/2 — из услбвия нормировки пробной в. ф..
Минимизируя значение E(v) = J + U по «, )аходим
=-1^—0,31 J^.
B)
Значения (I), B) величины (?о)вар. по смыслу вычислении,
представляют приближенное значение Ео энергии основного со-
состояния частицы в кулоновском поле. Точное значение Ео =
2/2А2
Так как вариационный расчет энергии основного состоя-
состояния всегда приводит к несколько завышенному значению Ео
(Ец ^ (Ее) вяр), то с самого начала, даже не зная точного зна-
значения Ео, можно было утверждать, что значение (i) более близ-
близко к точному, чем B).
|С|а = ав/я —из условия нормировки пробной в.ф.,
4.42. с)
2=AV/2|i, U =
1,73/ш;
?¦
)..р =¦ min Ща) — 2 д/у Й«>« 1,69Йео.
О)
B)
Результаты A), B) простейшего вариационного расчета
энергии основного состояния осциллятора следует сравнить с
точным значением ?0 = Зй«/2 (см., например, 4.23).
4.43. Указанная пробная функция описывает состояние ча-
частицы с моментом 1=1. Она, как и точная в. ф, состояния с
п, = 0, 1 = 1, имеет требуемое поведение при г-*-0 (Тм г1), и
ее радиальная часть ие имеет нулей. Поэтому можно ожидать,
что среднее значение энергии частицы после минимизации по
вариационному параметру и будет достаточно близким к точ-
точному значению ?П(.-с, j-i. Вычисляя интегралы в сферических
координатах и учитывая соотношение
после довольно простых расчетов находим:
|ap = 8K5V2/n3 —из условия нормировки пробной в. ф.,
A)
Последний результат следует сравнить с точным значением
рассматриваемой величины, равным —ца?/8Йа = —0,125да2/Йя.
4.44. С учетом замечаний к решению предыдущей задачи
находим
<*)
Точное значение рассчитываемой энергии равно БЙш/2.
4.45. Функция Грина удовлетворяет уравнению (? =
г') = 6(г-г')- (I)
Из соображении симметрии представляется очевидным, что
она является функцией вида CE = f(\r — r'|) (т. е. зависит
только от |г — г']). При этом функция /(г) удовлетворяет урав-
уравнению
B)
Так как в сферических координатах А = А/ + Де, и,
г = —^-г, уравнение B) при гФ® можно записать в виде
Его решение;
Условие убывания функции Грина при г-> оо требует выбора
С2 = 0, а соотношение Ду=—4яб(г) позволяет определить
еначение постоянной С\ и окончательный вид С?:
C)
С помощью функции Грияа у.Ш. для состояний д. с можно-
записать в виде интегрального уравнения:
(сравнить с решением задачи 2.36).
4.46. Применим уравнение D) предыдущей задачи к в.ф.
основного состояния частицы (f = 0) с ?о<О, считая, что та-
такое состояние существует. Так как в. ф. Ч?«(г) основного состоя-
состояния сферически симметрична и не имеет нулей (так что, не
ограничивая общности рассмотрения, ее можно считать неотри-
неотрицательной, Ч^г) ^ 0), то в уравнении
О)
подынтегральное выражение тоже является неотрицательным.
Обозначив через г0 значение г, при котором функция ЧЪ
принимает максимальное значение, имеем из (I) неравенство
B)
справедливое при любом значении переменной г (в том числе и
при г = го).
Учитывая соотношение
которое получается интегрированием по углам разложения
Ir — r']-! no полиномам Лежандра, приведенного в 4.29, нахо-
находим из B)
C)
и так как максимальное значение левой части этого соотноше-
соотношения равно I, то из C) непосредственно следует искомое необ-
необходимое условие существования состояний дискретного спектра
в поле U(г).
Имея в виду связь энергетического спектра частицы в цен-
центральном поле со спектром в одномерном случае, установлен-
установленную в 4.36, легко заметить, что результат данной задачи яв-
является аналогом результата задачи 2.40 для одномерного дви-
движения.
а) Необходимое условие: % = цаЮо/Н* ^ I;
точное условие: i ^ я5/8 = 1,24.
б) | = уа2и0/П* 2* 1/2 ЗЕ 5*0,72—точное условней
4.47. Применим уравнение D) задачи 4.45 к кф. состояния
д. с. с квантовыми числами п, = 0 и произвольным /, считая,
что такЬе состеявне. существует.: Рассмотрим, дл» определенно-
определенности, значение m = 0, так что в. ф. *шеет вид
« ** Pi (cos в) /, (г).
A)
B)
в исхояиое уравиевяе^—
Pi (cos 6) U (г) = 2^г J "O1'^|' [- U (г')] Р, (cos 80 /@-0 dV.
Функция ft(r) в A) не имеет нулей (йе считая нулей при
г= 0, со), и, не ограничивая общности, ее можно считать неот-
неотрицательной, fi ^ 0. Так как нас интересует уеяевне существо*
ваиия состояний д. с, которые появляются по ме^е углубления
ямы, а в условиях, кода уровень трлько появнлся^ он имеет
сколь угодно малую энергию связи, те, имея в виду имени*
такую ситуацию, можно в уравнении {2) заменить
ехр (—к | г — г' |) единицей. Далее, используя разложение
|г — г'|-' в ряд по полиномам Лежандра, приведенное при ре-
решении задачи 4.29, и учитывая теорему сложения для полино-
полиномов Лежандра
Р, (cos v) = Pi (cos G) Pi (cos 6') -f
i
+ T, 2 Traf P?(cos6)PT(cos90cosmto-<Д
(у — угол между векторами г я f*); в правой части уравне-
уравнения B) можно выполнить интегрирование по углам в получить
неравенство (сравнить с решением предыдущей задачи)
C)
Взяв в C) значение г равным гс, при котором //(г)" прини-
принимает максимальное значение, и вынося из-под знака интеграла
функцию fi(r') в точке f = г0 (от чего неравенство CJ может
только усвлиться), легко приходим к искомому условию
4.48. Найдем среднее зтчещи энергия частицы в рассмат-
рассматриваемом состоянии -(|С|2=ив/я—ш условия нормировки
пробной в„ф.)|; .
Так как ?o*aU (?о—энергия основного состояния), то при
Ё^Ов поле заведомо имеется хотя бы одно состояние д. с.
Такнм образом, если при каком-либо значении параметра к > О
выполнено неравенство
то в поле имеется состояние д. с.
Очевидно, что оптимальным значением параметра к (при ко-
котором выполняется условие (I)) является такое, при котором
выражение в левой части (I) как функция к принимает мак-
максимальное значение. Так что искомое достаточное условие су-
существования состояний д. с. принимает вид
maxjx J
B\
а) Условие B) принимает вид
Точное условие существования состояний д. с: ?^0,5.
б) Е=-ё^->^йв0,84 —достаточное условие;
точное условие существования состояний д. с.
4.48. а) 1Л—0.5; Ь—0,6; ?в=е/4 to 0,68;
б) ?в=0.5; |о«О,72; ?д = 27/32 «0,84;
E O8 ? 1
Отметим, что, как и следовало ожидать,
4.60. Вычисления, аналогичные проведенным при решении
задачи 4.48, приводят к достаточному условию существования
состояний д. с. вида 1=цаЮ0}Н2'^!~~ « 1,94.
Необходимое условие: ? ^ I; точное условне (результат чис-
численного расчета на ЭВМ): ? ^ 1.34.
4.61. Достаточное услоине существовании хотя бы одного
уровня энергия д. с. с моментом (= I имеет вид
x|««\
(I)
¦ Для потенциала Юхазы условие- (i) принимает'вид-|*ш
= цас/Й8 ^ 128/27 « 4,74. а необходимое условне, соглас-
согласно 4.47, дает % > 3/2. ; '
4.5/1. В. ф. Фо(р) основного состояния частицы в импульсном
представлении имеет вид
Распределение по импульсам частицы: < ir, ,_„,,,,, „F.
4.63. Нормированная в. ф. основнрго состояния частицы, со-
согласно результату задачи 4.33^ имеет вид (п, = 0, / = 0)
В. ф. в импульсном представлении
определяет функцию распределения по импульсам частицы
dw
4.54. У. III. в импульсном представлении имеет вид (см. за-
задачу 2.33)
Для Л-функционного потенциала имеем
Подставив B) в уравнение A) и учтя, что для состояний
с 1 = 0 в. ф. Ф(р) не зависит от угловых переменных, запишем
его в виде
" После элементарного интегрирования по угну © уравнение
C) принимает вид
E)
F)
Обозначив в уравнении D)
запишем его решение:
Ф0»)=-
Условие согласования выражении E) и F) прияоднт к со-
соотношению
определяющему уровни энергии д. с. Е = —А*иУ2|1 < О.
Переписав соотношение G) в виде
G)
(8)
и вычисляя интеграл с помощью теоремы о вычетах (используя
еще соотношение cosx = (e'I + е~г*)/2), находим
^A-«-«"») = вх. (9)
Соотношение (9), определяющее энергетический спектр s-co-
стояний д. с, естественно, эквивалентно аналогичному условию
B) задачи 4.34 при / = 0, полученному лз решения у. Щ. в ко-
координатном представлении.
Из соотношения (9) следует, что при ? = цас/Ав> 1/2 в
яме имеется одно s-состояние д. а, а при ?-<1/2 состояний
д.С. нет (яма ие может «связать» частицу).
4.55. Решение данной задачи может быть получено в резуль-
результате простых замен в формулах решения предыдущей задачи.
Для этого достаточно учесть два обстоятельства.
1. Решеняе исходного уравнения — уравнения (I) предыду-
предыдущей задачи — должно удовлетворять условию Ф (р) = 0 при
р^Ро. Поэтому формулы C) —E), G) предыдущей задачи
сохраняют свою силу и в условиях данной задачи, если в них
нижний предел интегрирования по переменной р (равный нулю)
заменить на значение ра (при этом в.ф. имеет вид, приведенный
в выражении F) предыдущей задачи, лишь при р :> ро)_.
4 258
2. Связанному состоянию (состоянию д. с.) теперь отвечают
значения энергии частицы Е<Во=^р^^2ц (а не ?-<0> как
било в предыдущей задаче), так как именно величина Ео пред-
-ставлиет минимальное значение энергии «свободных» частяц.
Поэтому энергетические уровни д. с. частицы определяются из
уравнения
4цц
it)
причем искомые значения Е должны удовлетворять условию
?<?¦(,.
Легко заметить, что уравнение (i) при любых значениях па-
параметров потенциала- (ио, естественно, а>0) имеет одно (и
только одно) решение, так как левая часть уравнения A) как
функция переменной Е монотонно возрастает с унеличением Е
от значения, равного нулю, при В—*—со до значения ,-т-оо при
fc~*-ED (предполагается, что роФпяН/а).
Для нахождения величины энергий связи частицы 8 = Eq —
— Е>0 е случае мелкой ямы | = цас/Йа<? I замечаем, что
при ?-»-0 из уравнения (I) следует, что Е~*~Е0, е-*-0 (при е =
= 0 интеграл в (I) расходится на нижнем пределе), й значение
интеграла в (I) определяется областью значений р, близких и
нижнему пределу.
Таким обрлзом, при е-*-0*меш
B)
н из уравнения A) при |<; I находвм энергию связи частицы:
е ~ Foexp{— лроо/^ft sinB{poa/A)). C)
Поскольку при вычислении интеграла B) для в -»- 0 мы огра-
ограничились лишь вычислением сингулярной (расходящейся) ча-
части интеграла, то формула B) справедлива с точностью до не-
некоторого псстояниого (при е~>0) слагаемого (которое мы не
вычисляем). Поэтому в формуле C) мы не пишем приближен-
приближенного равенства, имея в виду, что для вычисления предзксшшен*
циального множителя следовало бы провести более точное вы-
вычисление интеграла B).
Отметим, что при g-»-6- энергия связи частицы «тремится
к нулю по экспоненциальному закону: е ~ ?вехр(—с/1).
4.56. Представив в, ф. стационарных состояний частицы a
/=0 в виде ^м,м.9=^(Ф. где ft = y^i?Ma, нолучаем
для функции У?* уравнение
ОД-=ОД. A)
. *,"Для .нахождения квазщискретвых-уровне^ следуем нзити
.такие решения уравнения.A), жбторые-1И»н г-*¦¦<» имеют вид
Rn(r)ooexp(tV) <как известно, в такой постановке задачи ре-
решение существует лишь при некоторых комплексных значениях
величины k — А, — ifea, *i. s > 0; лри этом ? — Во — /Г/2, ?в —
энергия уровня, Г = 2Й*й1йа/ц — его ширина).
Решение уравнения (I), удовлетворяющее требуемым усло-
условиям, имеет вид
Условия сшивания в.ф. в точке г=а (см. 2 10) приводят
к соотношению
ika — ka ctg ka = -
C)
определяющему спектр квазидискретных уровней (с / = 0).
Из уравнения C) в случае ? = цаа/Й2 » I следует, что зна-
значения величины ka для нижних уровней (таких, что |/ш| •$;?)'
близки к (п + I) л. и, представив значения корней уравнения C)'
в виде
из C) легко находим приближенные значения е, и в2:
а с ними и энергию Eq квазидискретного уровня и его ширину Г:
Энергии квазиднскретнык уровней близки к энергетическим
уровням частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ра-
радиуса а {сч. 4.33). При ?-»-оо, когда потенциальный барьер
становится непрозрачным для частиц, квазидискретные уровни
переходят в соответствующие уровни д, с.
Глава б
СПИН
5.1. С. ф. Фвк= ? ? J и с. з. я, оператора &к = &J2 находятся
из решений уравнения
откуда
.340
A)
рйл^е- решение .системы-урариений- (I) (^шествует
TjWHrfto при условии 4^ =Д,-определяющем .#вэ*№Жвы&**че-
ния (спектр) величины 5„~>±1/2. Из A) теш: лка>*-цж
s<—l/2 и о = —t при s, = —1/2. Нормированные на единицу
|4'»J1lI»»|nP+16P=I с. ф. 4"^ имеют вид
Аналогично нахбдиМ
¦(i)- ^-
5.2. Оператор спина s = o/2 является оператором векторной
(точнее, псевдо'векториой) величины; поэтому оператор проект
ции спина &„ иа произвольное направление п (п2 = I) должен
выражаться через операторы компонент спина §х, §у, &х так же,
как и в случае обычного (неоператорного) вектора, т. е.
ns = na = ^(sin Ocosip * &х + sin Bslnf д„+ cos6 • дг),
где 6, ip" полярный и азимутальный углы, определяющие на-
направление вектора п. Используя явный вид матриц Паули, опе-
оператор &п можно представить в виде квадратной двухрядной
матрицы:
* _. ' f cose einff-e-r«A
S -cose У
Значение ?п в состоянии Ф»в с определенным значением
проекции спина на ось г при sg = +1/2 равно
Аналогично, при s2 = —1/2 находим §„ = —(cos 6)/2.
Отметим, что значение sn = sz cos 6 можно было-бы напи-
написать и без вычислений, основываясь на результате задачи 3.14.
Обозначим ai(-J-) вероятность значения проекции спина
sn = 1/2, ю(—) = I —ш(+)—вероятность значения s4 = —1/2,
Учитывая, что sn = s2 cos 6, находим
В частности, прн *3 =
= sina_F/2).
*5.3. Оператор имеет два;с. э,, равные /i,g = й~±Ъ.
6.4. Так как проекция1 спвий на любую ось приннмвет лишь
два значки», равные ±1/2, то квадрат проекции слива {на
любую ось) в произвольном состоянии всегда имеет определен-
определенное значение 1/4.
5.5. Из зрмитовости оператора — матрицы ? = ?+ следует
? = Г?» с 1. где а, с — вещественные числа. Эта матрица С,
как и всякий эрмитов оператор, унитарным преобразованием
может быть приведена к диагональному виду V = ( 0' ^ ), где
вещественные числа 1\$ — с. з. соответствующей матрицы (опе-
(оператора) ?. Инвариантность следа и детерминанта матрицы от-
относительно унитарных преобразований (см. 1.62) приводит к
соотношениям
иэ которых находим искомые с. а:
6.6* Полная система квадратных матриц 2-го ракга состоит
из четырех независимых матриц. Независимость четырех мат-
матриц /, fr; представляется очевидной (ем. также замечание в ко»-
це решения задачи).
Взяв шпур от обеих частей рассматриваемого сосотношсняя
А = пц! + ло = ав7 + at&i (I)
и учитывая, что Sp#( = O, Sp5 = 2, находим ao=ysSpA
Умножив равенство AJ справа на матрицу в* и используя
свойство матриц Пвули <Г@* = 6,-*/ + /ешG1, находим (вычислив
шпур) ak = 4sSp(A~&k) = lf3Sp(&tA).
Отметим, что установленные значения величин ое, Ci дока-
доказывают независимость матриц Г, ait так как при А == 0 в равен-
равенстве A) имеем со = 0, в* = в.
5.7. {^|=^/of=?, |oI=V^ = V3"/-
Так как вХв = 2Й. «а1* это непосредственно следует из ком-
коммутационных соотиешевий для матриц Паули, то (<гчгХв) =
*= ыГ.
5.8. Так ка« o,dfc='Oift -J- feUfd|r то (оа)а=^ djii{dikaft=aiai^a2 и
(«Г=(й"" - «-четное,
1 с"-1 (оа), п — нечетное.
" '5.9. Таи как оператор f = a+ba имеет два различных с.з.
(см, 6.3), то вид оператора P = f\f) легко находится из реэуль*
тата заддчя?.5й:
На основания {1) имеем
exp (/a5) = cos a + i sin a (o -j-^.
5.10. В «^представлении оператор (ма*рица) &х дяарвналея
и имеет такой же вид, как оператор &г в «г-представленнн:
&х = -g ( 0 _ 1 J • ^ид операторов ?у и ?х в Sjc-представлении не
определен однозначно: имеется бесконечно много способов вы-
выбора этих операторов (все эти различные способы выбора свя-
связаны унитарным преобразованием, оставляющим диагональной
матрицу §К). Однако при любом выборе операторов sy, §г ме-
Кду нкми <8 ?„) должны сохраняться коммутационные соот-
соотношения для компонент момента [sj, s&] = i&itth*
Один из таких наборов операторов s имеет вид
sK=CtJ% sy=6j2, ?3=6,12 A)
(он получается циклической перестановкой из стандартного
представления операторов компонент спниа: ?^ = &x/2, ?„=*
= es/2,?, = d:/2).
Приведем еще один возможный набор операторов срана в
5*-предстааленни: ?Х=Ь^2, ?у=ду/2, sz = —dx/%.
Вид операторов компонент спина (i) может быть получен
из их стандартного представления а/2 с помощью унитарного
преобразования О: s = 0(a/2)C+. Читателю предлагается са-
самостоятельно показать, что овератор О имеет Bid
/j I / 1+1 l+i\
t/=TV J-
5.12. Найдем сф. >Р«п-1/й = ( ° ) оператора проекции спина
на ось, направление которой в пространстве определяется еди-
единичным вектором и (см. 5.2). Учитывая явный вид оператора ?„,
из уравнения на сф. ?n^sn-U2 = -2^en-Vi легко находим
a sin F/2) = be'1* cos (в/2). A)
При а = cos F/2) согласно (I) b=ePt&in(Qf2) и Ч^-де прини-
принимает вид, указанный в условии задачи, причем 6= 2а, ф = р
представляют полярный и азимутальный' углы направлений
вектора *i, проекция спина на которое имеет определенное зна-
значение sA= 1/2. " . <
Взяв 6 = 2а = я/2 и ф~р = О, находим с. ф. Ч^-цг. При
С = я/2 и ф = л получаем с. ф. шяж 1/2 и т. д.
5.13. Проекционный оператор Рч~ш должен обладать сле-
следующими свойствами.
1. При действии на в. ф. состояния с проекцией спина sx =
= — i/2 на ось г он должен давать нуль. Из этого свойства
вытекает PSj__]/2 = a{i+вг) (о-*-произвольная постоянная). -
2. При действии на в.ф. состояния с sz=i/2 он должен
оставлять ее неизменной, что дает а = 1/2.
Таким образом,
Р«г-:Ы/2 = !О±е*). A)
Проекционные операторы A), как н следует, являются эр-
эрмитовыми и удовлетворяют соотношению Psz-±ij2 = Pl -.±1/2
(см. i.35).
Б.14. PBn-±w = ^(i±on).
Подействовав оператором Р*п-цг на произвольную спиновую
функцию Ч*. получаем с. ф. 4^-1/2 оператора sn, отвечающую
с. з. sn= i/2. Выбрав V в виде Ч* = ( J), имеем
/1 ^ 1 /1+«чвв\
Найденный вид спиновой функции wS/t_i/2 (иенормирован<
ной) согласуется с результатом задачи 5.12 F, ф —полярный и
азимутальный углы направления вектора п).
5.16. Преобразование спиновой функции 4f при вращениях
системы координат — преобразование спинора — аналогично
преобразованию в.ф. состояния частицы с определенным зна-
значением момента / в fc-представлении, приведенному в 3.19;
()( -f оно)™. (i)
Из (i) следует закон преобразования спиновой функции
B)
Учитывая (I) и B), легко находим, что Ф"Ш'=Ф*Ч'.
- (к!в. Используя соотношения (I) и B) предыдущей эадлчм
и формулу djdi=ejft + te/*i&. после простых преобразовшшй
находим
что представляет закон преобразования вектора при указан-
указанном в условии предыдущей задачи вращении системы коорди-
координат. В частности, при п0 = @,0,1) (поворот системы координат
относительно оси г) из (i) следует
f = 0.
что дает Ci = — Ct в случае функции Ч'оо. Так как функции ww
и Ч'в> ортогональны, то С|=Са для функции 4V
Таким образом, нормированные с. ф. wt0 и 4fa> имеют вид
Найденные фуккции 4'ss, имеют определенную симметрию
по отношению к перестановке спиновых переменных обеих ча-
частиц (они симметричны при S = I и антисимметричны при S =
= 0) в соответствии с результатом задачи 3.39.
Б.18. Так как §>—-^i + o^ и 3* = 3. то 0А=
Б.17. Вид спиновых функций
=(?X(iX оч!виден-
Из условия S84roo = 0 следует
OFSoS^oo) = || вЧ'оо If = I! S
так что
$
и с. ф. оператора S8 являются также с. ф. и оператора ауаг,
отвечающими с. з.—3 (при S = 0) н +1 (при S = IJ. _
Отметим, что если усреднить значения оператора от* по че-
четырем'кезависимым состояниям с определенными значениями S
ДО
ш S2, считая нх равновероятными, то вреднее значение оказы-
оказывается равный нулю.
5.19. Представим спиновую функцию в виде
Учитывая результат задачи 5.i7 о симметрии спиновых функ*
цнй 4?ssz по отношению к перестановке местами спиновых пе-
переменных обеих частиц, замечаем, что первие слагаемое в пра-
правой части выражения (i) отвечает значению S = I суммарного
спина, а второе — значению S = 0.
Так как исходная функция Ч?а6 нормирована на единицу, то
нормировка каждого из двух слагаемых в выражении A) опре-
определяет вероятность соответствующего значения суммарного
'спина. Таким образом, имеем
где .знак «+* относится к S = 1, знак «—»— к S = 0; S2 =
5.20. Так как эрмитов оператор 0|О? имеет только два раз*
личных с.з, равных^—3 и +1 (ем. 5.18), то имеет место соот-
соотношение (o"iO2—i)(«i<^4-3) = 0 или (о!оа)а = 3 —2о,о2 (срав-
(сравнить с 1.27).
5.21. На основании результатов задач 1.52 и 5Л8 легко на-
находим
jp= 3F (я-f-ft)-»•*<« — S» , F(a + b)-F(a-Sb) g~
5.22. Вид проекцтшшх операторов легко найти, если учесть,
что с, ф. оператора S2 являются также с. ф. оператора оде:
5.23. Представим произвольную спиновую функцию в виде
^оц— *раЬ A)
где первое и втерое слагаемые в правой части являются спи-
спиновыми функциям», описывающими состояния с определенным
значением суммарного спина S = 1 и S = 0 соответственно, что
следует из характера симметрии этих .функций по отношению
к перестановке спиновых переменных обеих частиц. По смыслу
проекционных еператоров Ps**t, i имеем .
^ j№4-V^ B)
Согласно определению оператора С
C)
и из B), C) с учетом явного вида проекционных операторов,
установленного в предыдущей задаче, инеем
Отметим следующие свойства оператора С. Он—эрмитов
оператор. Его с.ф. — спиновые функции, отвечающие опреде-
определенному значению суммарного спина S, а соответствующие с. з,
равны +1 при S=i н —1 при S = 0. Очевлдно, что C2=i.
5.24. Легко сообразить, что проекционные операторы на со-
состояния с определенной проекцией суммарного спина на ось г,
равной ±i, имеют вид
Далее, очевидно:
¦ Из соотношения
дин вид оператора:
-1, Pl.~\=Ps,—1.
-5№) (см. S.22).
Pm+Pi» + Pn + ?i.-i=' явзт-
Б.25. а) Спиновые функции 4ssz явлиются с, ф. оператора Fit
и им соответствуют с. з. этого оператора, равные
(V,)JSs=2aS, - 36 + 2bS (S + i)
(так как S,=(»,, + 6^/2 и ад=- 3 + 2Й.
б) Найдем вид оператора
в 55г-представлении. В этом представлении он является мат-
матрицей с элементами, равными
Используя в матричных элементах следующую, нумерацию
состояний, определяемых квантовыми чнслами SSt:
S=i,S,= i-»i; I, -i->2; i, 0->3; 0, fl-*4,
и учитывая явный вид спиновых функций Ч?дав, найденных
в 5.i7, находим матрицу A):
(A 0 0 0\ т z^ '
О Б О 0 1 В=— Щ — Оз+Ь,
О ОС Ef С=Ъ, Е = ЕГ =
О О Е* D/ л
= — Zb,
Унитарным преобразованием эта эрмитова матрица может
быть приведена к диагональному виду, непосредственно опре-
определяющему ее с.з. Из вида матрицы V% легко заключить, что
два ее с.з. равны А и В и им отвечают с. ф., равные 4^-1. s -¦ и
V|. _i соответственно. Унитарный оператор (матрица), диаго-
иализирующий матрицу V2, в SSj-представлении «перемеши-
«перемешивает» лишь состояния с квантовыми числами 1,0 и 6,0, и задача
отыскания двух других с.з. матрицы сводится к диагоналнза-
ции двухрядной матрицы вида ( ^ D }.
Учитывая сказанное выше и результат задачи 5.5. находим
с. з. оператора IV
(^3.4= - Ь
Читателю предлагается самостоятельно найти с. ф., отвечаю-
отвечающие с.з. (Vab,4-
5.26. В указанном состоянии суммарный спин любых п ча-
частиц имеет определенное значение, равное S{n)=ns.
5.27. Учитывая, что
Оо = 3 и что в рассматриваемом состоянии между спинами от-
дельных частиц нет корреляции и средние значения qu равны
легко находим
{О, /=i,2,
i, /*=3, c<n,
— 1, / = 3, o>n+i.
- 4пЛГ + 2W + 4п2}.
A)
Отметим, что значение A) можно было бы написать и без
всяких вычислений, на основании результата задачи 3.37, если
формально рассматривать систему нз N частип как состоящую
248
Из Двух подсистем, одна из которых объединяет первые п Ча-
Частиц и имеет спии Si = п/2. Si* = п/2, а вторая содержит
остальные частицы и характеризуется квантовыми - числами
SE = (N - п)/2, S2Z = - (ЛГ— и)/2.
5.28. Суммарный спин может принимать лишь два значения:.
S = N/2 и S = (Ar —2)/2 jW^2), вероятности которых легко
найти, учитывая значение S"B в рассматриваемом состоянии:
5.29. Вероятности двух возможных значений полного мо-
момента частицы j = Z ± 1/2 равны (сравнить с 3.38)
,5.30. Рассмотрим систему, состоящую аз N = 2J частиц со
спином s == 1/2, причем все частицы имеют определенную про-
проекцию спина sz = +1/2 на ось г, т. е. состояние характеризуется
значениями S = /, Sz = / полного спина системы.
Согласно 5.2 в состоянии отдельной частицы с sz= i/2 ве-
вероятности значений проекции спина ±i/2 на ось, направленную
вдоль вектора п, равны w(srt!= +i/2) = cossF/2) и w(sn =
= —i/2) = sin2F/2), где G — угол между осями п и г. Выберем
m^J+Jn частиц (из общего числа 2/) и найдем вероятность
того, что для этих частиц sn = +i/2, а для остальных s4 =
= -1/2:
w= [coss<e/2)]/+'« [sin*F/2)l'-''-. (i)
Если величину (i) умножить на общее число способов, кото-
которыми можно выбрать такие т частиц нз общего числа 2/:
то получим вероятность W{Jn) того, что в рассматриваемом со-
состоянии проекция суммарного спина на направление вектора п
равна /„ (/ж-(/ + /яМ/2+</-/в)(-1/2»).
Формула B) решает поставленную задачу, так как искомая
вероятность не зависит от «природы» момента (орбитальный
пли спиновый, «элементарный» или составной и т. п.).
Отметим, что переход от формулы A) к B) может пока-
показаться некорректным с точки зрения квантовой механики, так
как при этом, грубо говоря, произведено сложение вероятностей
(а не амплитуд!). Разъяснение этого кажущегося противоре-
противоречия состоит в том, что указанные амплитуды ортогональны
(из-за ортогональности спиновых функций (о) и ( i )) и не
интерферируют друг с другом.
- 5.81. В.ф. состояния с /==3/2, /*=
яи, очевидно, имеет вид
эту функцию оператором ?_
функцию ?3/2, иг:
/, /
^м ° ) {^) - Подействовав на
7i-+lt-, находим
(вид операторов ?,i- приведен в 3.26 н 5.1 i, множитель i/V3
в выражении A) введен для нормировки).
Из (I) следуют значения вероятностей проекций складывае-
складываемых моментов на ось г в состоянии с / = 3/2, h = i /2:
»(/u= ¦) = •»(** = —s)—b »(/i« = 0) = »(/a, = -J) = |.
Представив в. ф. состояния с / = 1 /2, У2 = 1 /2 в виде
и учитывая ортогональность этой функции к Ч'з/э.ш. находим
значения Ci = — V2 Cs=V2/3 (с учетом нормировки), а с
ними и вероятности проекций складываемых моментов в со-
состоянии с / = i/2. U = i/2:
wVu= !) = »</*=- l/2) = 2/3, o;(b = 0) = i«(fc= 1/2)= 1/3.
Аналогично можно рассмотреть н другие состояния, указан-
указанные в условии задачи.
5.32. В состоянии с максимально возможным значением спи-
спина S = N/2 спин любых двух частиц равен i и спиновая функ-
функция симметрична по отношению к перестановке спииовых пере-
переменных этих (я значит, и любых других) частиц (см., напри-
например, 5.17).
Для состояний с S < N/2 при Л' > 2 спиновая функция, во-
обше говоря, не имеет определенной симметрии по отношению
к перестановке спиновых переменных любых двух частиц
(см. 5.33).
5.33. Возможные значения суммарного спина: S=3/2, i/2.
Спиновые состояния с определенными значениями S и Sz
при S = 1/2 являются двукратно вырожденными, так как сум-
суммарный спин S = i/2 может быть получен двумя независимыми
способами: i) путем сложения спинов первых двух частиц в их
результирующий спнв .S1:! = Q; 2) путей сложения резульяируЯн
щего спина Sis = 1 первых двух частиц со спином третьей V
суымарныб.спин S = 1/2.
Так как число независимых спиновых состоянии при данной
значении S равно 2S -}-1 (в отсутствие вырождения по S), то
общее число различных спиновых состояний равно B - -^ + IJ 4*
+ 2^2 • у4-1) =8, как и следует.
Вид спиновых функций Ч'а.зя, sx-±$i2 очевиден:
Спиновые функции состояний с S«=3/2, Se = ±l/2 легко
найти, если учесть свойство симметрии функций по отношению
к перестановке спиновых переменных частиц (см. предыдущую
задачу):
;
Если спиновая функция отвечает результирующему спину
первых двух частик, равному Sis=в, то она, очевидно, описы-
описывает состояние с S = 1/2. Поэтому
Как отмечалось выше, спиновые состояния с S = i/2, S«>=
= ±i/2 являются двукратно вырожденными. Вторую вару
функций Ч*1р,±1/г, линейно независимых по отношению к функ-
функциям (i), легко найти, рассмотрев состояния с результирующим
спином 5аз — О второй н третьей частиц:
B)
Отметим, что, хотя функции (IJ и BJ лгйне&ва пезйввсииы,
они не являются ортогональными (при одинаковы* аиачевян
i
$г). Наиболее общая сливовая- фу«кадя-с@стоян1№-с 5=ч4/3
представляет суперпозицию функций A). B). Читателю при-
прилагается самостоятельно рассмотреть состояния с результнрую^
щим моментом 5^ = 0 и выразить спиновые функции таких со-
состояний через функции (i), B).
¦ 6.34. Возможные значения суммарного спння: S=0, I, 2.
Спиновые состояния с определенными значениями S, Se
имеют следующие кратности вырождения: go = 2 при S =0,
gi=3 при S = i, ga=i (вырождение отсутствует) при S=2.
Таким образом, обшее число состояний paBHoG=? gtBS,+ l)=
= i6, как и следует. (Сравнить с решением 3.48.)
5.35, а) Так как состояние системы с полным моментом 1 =
= 0 является сферически симметричным — в. ф. не изменяется
ври вращении системы координат вокруг любой оси, проходя-
проходящей через точку, по отношению к которой момент имеет опре-
определенное значение J = О, — то среднее_значенне любого мультн-
польного момекта равно нулю (d = О, и = 0. D» = 0 и т. д.).
6) Рассмотрим матричные элементы вида
(«, J = 1/2, Гя | М{1, | п, } = 1/2, Jz),
(О
где п означает совокупность квантовых чисел, которые вместе
с / и h образуют полный набор, а Щ1)— символическое пред-
представление оператора произвольного мультипольного момента
f так, М{{}*^di = T, ea*ai Для днпольного, М{|} == D,k =
~= ? еа Cxafxa4 — r^fiift) для квадрупольного момента я т. д.).
После выполнения в выражений (i) интегрирования по ко-
координатам частиц (включая и суммирование по спинам отдель-
отдельных частиц) его можно представить в виде
где ЛЙ(„ являются матрицами, действующими в пространстве
спиновых переменных спина i/2 (так как / = 1/2).
Рассмотрим возможный вид матриц Мщ.
В случае квадрупольного момента О» из одиих лишь сооб-
соображений тензорной структуры рассматриваемого выражения
можно написать следующее соотношение:
но условие симметрии (по индексам I и к) требует В = 0, а
равенство нулю следа, D«=0, дает Л==о, т. е. матричные эле-
элементы тензора квадрупольного момента (в том числе н его
средние значения) в случае момента J=i/2 системы тожде-
тождественно равны нулю.
' .Для ^дяпсяьного магнитного -кшмент-а системы можно наши
и нет никаких оснований считать, что о = 0, т. е. среднее зна*
чение р7, вообще говоря, отлично от нуля.
В случае дипблъного электрического момента можно запи-
записать, аналогично C),
Так как вектор дипольного момента d — полярный (истин-
(истинный) вектор, г матричные элементы оператора спина являдатся
компонентами аксиального (псевдо-) вектора, то величина Ь
должна быть псевдоскаляром (если Ь — истинный скаляр, то
с необходимостью 6 = 0). Для того чтобы ЬфО, необходимо,
чтобы рассматриваемая система Н? имейа определенной четно-
четности, в противном случае (см. 1.2i) d = O, b =0.
5.36. Указанные функции легко найти, имея в виду резуль-
результат задачи 5.12:
где ё, ф — полярный и азимутальный углы, определяющие на-
направление вектора ро-
Б.37. Так как в импульсном представлении оператор импуль-
импульса является .оператором, умножения, то в этом представлении,
имеем "J, = (sn), где я = р/р. Коммутативность олераторов.
{;„?,} = 0 можно проверить непосредственным вычислением, од-
однако она представляется Очевидной и без вычислений как вы-
выражение общего свойства —коммутативности оператора полно-
полного момента системы с оператором произвольной скалярной (или
псевдоскалярной) величины, относящейся к данной системе.
Отметим, что оператор спиральности можно записать также в
виде \ =tj"). так' как Tn ^ 0.
6.38. Подействуем на указанную функцию оператором j*:
4)* (i)
выражение (i_)"
4'.. ., B)
285
Учитывая соотношения tji,'(on)] =0,
можно представить в виде
т котврого следует непосредственно, что функция *F отвечает
состоянию со значением j = 1/2 полного момента.
То обстоятельство, что указанная функция отвечает состоя-
состоянию со значением I = i орбитального момента, очевидно на
бснэваниа результата задачи 3.57.
Так как 4"^ = x*(enJx = x*X = cons* (не зависит ог о),
то распределение по направлениям импульса частицы является
Изотропным, как и в случае Si/г-состояния, а условие норыи~
ровки
дет выполнено при эЛс—Iaf+ !&Р= i/4«.
Из соотношения
следует, что свойства момента в рассматриваемом состоянии
точно такие же, как у вектора спина в состоянии, списываемом
спиновой функцией у. Поэтому, выбрав к = —у=- ( „ J. получим
функцию Ч*. описывающую pr/j-состояяие частицы с определен-
определенной проекцией /г = 1/2 полного момента на ось г.
Б.39. Учитывая результат предыдущей задачи, заключаем,
что приведенные функции описывают состояния частицы с
определенным значением /=1/2 полного момента. Орбиталь-
Орбитальный момент / частицы в указанных состояниях не имеет опре-
определенного значения я с одинаковой вероятностью, равной' 1/2,
М(»кет прижимать два значения: 1 = 0, i. Поэтому в рассматри-
рассматриваемых состояниях четность частицы также не имеет опреде-
определенного значения.
Приведенные функции описывают состояния частицы с опре-
определенной спиральностью X (см. 5.37);
5.40. Наиболее общий вид спин-угловой зависимости в. ф.
состояний частицы со спином s = 1/2, отвечающих моменту
1= i, следующий:
?=(сп)х, A)
где с — произвольный вектор, х = (?) — произвольный спинор
(с н % не зависят от вектора п).
Функция вида A) не отвечает, вообще говоря, определен-
определенному значению / полного момента и представляет суперпози-
суперпозиции ^.сеезяиннй .с,,/,=,|/2-и /=^ЗА.: Чтобы выделить ю,до|
функции часть, отвечающую состоянию с / = 3/2, подействуем
на функцию A) проекционным оператором^ Р/=э;г. Вид этого
оператора
B)
следует из результата задачи 3.49. Легко находим
Wt-m = Р}-шЧ> - V» {2 (сп) + / [сп] 0} х
в согласии с условием задачи. * •
Читателю предлагается самостоятельно нормировать функ-
функцию вида B) и убедиться в ортогональности ее к в.ф. pi/2-co-
стояния, обсуждавшейся в 5.38.
Отметим, то общее число независимых функций вида AJ
равно шести (три независимых способа выбора компонент век-
t&pa. с.н два —спиноре у). Независимых же функций вида {2),
как и следует, только четыре.
Функция (i) при выборе с = @,0,1) их=(д) описывает
состояние частицы с U ~0 (см., например, 3.22) н sz = 1/2, а,
следовательно, и с определенным значением \г =¦ 1/2 (при sitom
полный момент \ не имеет определённого знлчения1). Функция
\2\ при указаин©!* выборе « и j_ имеет вид
я описывает еветойнве частвцы с / = 3/2 и /г = 1/2 (проекци-
(проекционный оператор Р/ коммутирует, очевидно, с /г, и если фунн-
ция A) являете» с. ф /г, то функция B) также является с. ф.
/г, отвечающей тому жес.з. jz).
Аналогично можно найти явный вид в.ф. рэу2-состояннй ча-
частицы с другими значениями \х.
5.41. а) Рассмотрим в. ф. вида
отвечающую состоянию частиды с определенными значениями I
и [2 = т-\~ i/2. Эта функция не является, вообще говоря, с.ф.
оператора f, а представляет суперпозицию состояний с /=»
«=1+1/2й/=1-1А '
ПедеЙствовав на в.ф. (i) проекционным оператором Р(/==
= 1+1/2) ва состояния с заданным значением f=/ + i^2,
вид которого
¦т
следует из -результата задачи 3:49, и учитывая
*>».=V('+«(J-/,4 .,^.v,.
легко находим явный вид искомых функций:
где коэффициент С выбран нз условия нормировки спик-угло-
рой в. ф. на единицу.
6) Вид в. ф. состояния с определенными значениями кван-
квантовых чисел I, /==/+ i/2. /*='+ i/2 очевиден:
Подействовав на эту функцию оператором J* где п=/+
+'t/2 — /z, получим функцию ЧЪ+1й, f. f^. Учитывая, что /_ =
=/_+^_. *1=0 н поэтому
& также соотношения B), прнкоднм к уже известному виду C)
функций:
В.43. Утверждение задачи можно проверить нетюсоелГт-вм.
ным вычислением, „о проще его подтввдт ™Zhm „ас"
суждением.основанным „а коммутативности оГрХЦ П
раЦ " "ceM0CKan»PW>M характере операто-
Пусть Ч?„Л-с. ф. операторов f, Р. ?, прнчем fe=/_,/2
Эта функции имеет определенную четность,-равную J2=(-i)''.
.266
Рассмотрим функцию 4f=(onL'//1/i. Легко находим
Из выражений A) следует, что функция Ф является с. ф.
операторов Js, /z, /, причем четность этой функции противопо-
противоположна четности функции V,^. Так как при данном / воз-
возможные значения орбитального момента I равны *i.z = /± i/2.
а четность состояния равна (—i)?, очевидно, что если в состо-
состоянии Ф/уз орбитальный момент равен ts, то в состоянии Ф
он равен (( = /+1/2. Таким образом, функция V является
с. ф. операторов К Т2, /г: Ф —ТцА.
Отметим, что
откуда следует одинаковый вид функций распределения по
направлениям импульса частицы в состояниях, описываемых
в. ф. Ф и *Р/|2/г, и одинаковая нормировка этих функций.
5.44. W,.,, х-* ш = -^ (I ± @0)) ЧЧ.
Учитывая явный вид функций Ч^1/а (см. 5.4i), находим
cosF/5)У,„ +
4YI, 1-в
Ч1/. /, n—IB
где m = i,-№.
5.45. Среднее значение магнитного момента непосредственно
следует из результата задачи 3.54:
9 В, М, ГвлицниЯ
Глава 6
ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
6.1. На векторный потенциал должно быть наложено допол-
дополнительное условие div А = 0 (так называемая кулоновская ка-
калибровка) ; прн этом рА = Ар.
6.2. Как известно, в классической физике скорость и обоб-
обобщенный импульс заряженной ¦истицы в электромагнитном поле
связаны соотношением
Естественным квантовомеханнческим обобщением этого соот-
соотношения является эрмитов оператор скорости частицы
(отметим, что более последовательный квантовомеханический
способ установления вида оператора скорости A) состоит в вы-
вычислении коммутатора v = -jf\H, г], см. 7.2 j.
Использун соотношение A), легко находим
1 ад——
. pk]}=
Второй из коммутаторов B) можно записать в векторной
форме:
?^Ц C)
(если читатель недостаточно свободно владеет формулами век-
векторного анализа, то для получения соотношений B), C) ему
предлагается рассмотреть конкретные коммутаторы [ёх. 6У]',
[6Х, 6г] и т. д. и учесть, что 31 = rot A).
6.3. В классической механике движение заряженной частицы
в однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной
магнитному полю, происходит по окружности (ларморовская
орбита?, квадрат радиуса которой р* равен
(о
где щ=\е\Ж1у.с н ось г направлена вдоль магнитного поля.
Векторы р, ро, vi — раднусы-векторы частицы, центра орби-
орбиты (окружности) и скорость частицы в плоскости х, у~ связа-
связаны соотношением
[•(р-Рв)]=Уь B)
где компоненты вектора и равны ю = (о, 0, ю = ¦—j^-~ -r~ щ\.
Формула B) выражает характер движения частицы в плоско-
плоскости х, у — равномерное вращение, причем знак ю определяет
направление вращения.
Из выражения B) следует:
«0=*—S"V Уо=У+^°х> $
В качестве квантовомеханического обобщения величин Хо,
у0, (^, р* естественно ввести операторы соответствующих вели-
величин вида
где оператор скорости v был введен в предыдущей задаче.
Легко установить следующие коммутационные соотноше-
соотношения *):
[я, *„]=[
[Й.«]=о
(при вычислении коммутаторов полезно иметь в виду резуль-
результаты предыдущей задачи и задачи L9). Коммутативность рас-
рассматриваемых операторов с гамильтонианом означает, что ве-
величины Хо, уо, Ро н Рд являются интегралами движения, как н
в классическом случае.
м: Я = А
Л^ , Э1 - rot А = @, 0, Щ.
Решение задачи можно получить, не конкретизируя калибровку вектор-
векторго потенциала, однако вычисления несколько упрощаются, если воспользо-
воспользоться выбором А в виде А_= @^0)
в.4. с) Операторы ру ь рг коммутируют друг с другом и с
гамильтонианом
в поэтому с. ф. гамильтониана одновременно могут быть выбра-
выбраны я с. ф. операторов ру и рг. Эти функции имеют вид
Энергетические уровни частицы и зависимость с. ф. от пере-
переменной х определяются из уравнения
)Ч B)
где введена энергия Et поперечного движения:
Так как решение уравнения B) очевидным образом выра-
выражается через хорошо известное решение у. Ш. для линейного
гармонического осциллятора, то находим с. ф. и энергетические
уровни частицы в виде
Отметим, что энергетические уровни поперечного движения
частицы
<?1>„=-!?!г2Ч>. + -9. п=0-'-2
являются дискретными. Кратность их вырождения бесконечна
(энергия не зависит от величины ру, принимающей произ-
произвольные значения —оо < ру < +оо). «Поперечная» часть с. ф.
Ч?яр„ра не является нормируемой на единицу. Поэтому в этих
стационарных состояниях частица не является локализованной
в ограниченной области пространства (в поперечном направле-
направлении) , несмотря на дискретный характер энергетического спектра
(см. также 6.10).
= sWt 0»*
уровни энергии ЕПр не зависят, разумеется, от калибровки век-
векторного потенциала, т. е. выражаются той же формулой, что
и в п. с
6.5. Так как обе системы с.ф. гамильтониана: УПрург(х, у, г)
и Упрх?я(х, у, г)—являются полными, то каждая функция
из одной системы может быть представлена в виде суперпози-
суперпозиции с. ф., относящихся к другой; в частности.
у, г)йр'уйр'г.
(I)
Коэффициенты в этом разложении можно вычислить по об-
обшей формуле
Так как рассматриваемые системы функций описывают одну
и ту же физическую систему — частицу в однородном магнит-
магнитном поле, энергия поперечного движения которой однозначно
определяется квантовым числом п (или п'), то на первый взгляд
может показаться, что коэффициенты С^*?г отличны от нуля
лишь при п = п'. Однако это не гак! Дело в том, что хотя
физическая система одна и та же, но формально она характе-
характеризуется различными гамильтонианами, вид которых зависит от
конкретного выбора калибровки векторного потенциала. Соот-
Соответственно, с. ф. гамильтониана при одном выборе калибровки
уже не будут его с. ф. при другом выборе.
Для получения соотношения между рассматриваемыми в. ф.,
в которое входили бы лишь в. ф. с п = п', следует учесть, что
калибровочное преобразование потенциалов можно рассматри-
рассматривать как унитарное преобразование, осушествляемое опера-
оператором
6 (i)
где / определяет калибровочное преобразование
Для рассматриваемого случая А =@, Шх, 0), А' =
= (—3%>у,0,0), так что f = —Mxy. Так как сфЛР,,^ гамиль-
гамильтониана Й (в калибровке А) при унитарном преобразовании
Чг'=и*Упр р становятся с.ф. гамильтониана Я' (для калибров-
калибровки А'), отвечающими тем же самым с, э., то искомое соотноше-
соотношение имеет вид
6.6. Гамильтониан имеет вид (ftf = [гр] = — th [Г7])
Выбрав ось я иап5>авлеиной вдоль т*ъ 3U, эам«чя«м. что
операторы ?г и /)я коммутируют друг с другом и с гамильтониа-
гамильтонианом. Поэтому с.ф оператора Я можно выбрать одновременно
и с. ф. операторов U н pz. Эти функции имеют вид (в цилиндри-
цилиндрических координатах)
^[(^)]>, A)
где функция /(р) удовлетворяет уравнению
определяющему также энергетический спектр поперечного дви-
движения: Et = E — p|/2jt.
Вводя обозначения
и сделав замену переменной
уравнение B) к виду
I dl TkjJ m2
C)
= pI/2oE, можно преобразовать
Решение этого уравнения ищем в виде
При этом уравнение D) принимает вид
E)
+l—jthf—\{}+\m\—jj^-rn —AJa»)»=-O. F)
Решение этого уравнения следует выбрать в форме
i«(*> = CF[4(l + lm[—ртЖ-ф>).|т1+1,*}. G)
где F — вырожденная гипергеометрическая функция (второе,
лнкейно независимое от G) решение уравнения F) расходится
ври х (и р)-»-0 в, следовательно, не удовлетворяет условию ко-
конечности б. ф. при р-»-0).
Функция ш(а) G) должна сводиться к полиному: в против-
противном случае она ведет себя как ея при х-+ео, и функция /(ас
«ею в с. ф. гамильтониана) оказывается растущей при х
[(и р)-»-оо каке^2 = ехр(р2/4ов).. Функция G) сводится к по-
полиному при выполнении условия
1(|+|т|—щт-ку)=-г, /-—0,1.2, ....
определяющего, тем самым, энергетический спектр поперечного
движения частицы в однородном магнитном поде.
Введя обозначение
л =0,1.2, ...,
(8)
получаем следующее выражение для энергетических уровней
поперечного движения:
(?Д, = Ашо(п+ а/2), щ = ±^-. (9)
Из соотношений {8) и {9) следует, что энергетическому
уровню (Et)n с данным значением п соответствуют состояния
частицы со значениями проекции момента ж, равными
т=~п, —n+i, ..., —I, 0, 4-i
т=~со, ,.., — 1; 0, +i «
при е>0,
при е<0,
так что каждый уровазь вмеет бесконечную кратность выро-
вырождения.
С. ф. гамильтониана Й имеют вид
где г выражается через п, т согласно (8).
Отметим, что найденные с. ф. гамильтониана A0) описы-
описывают стационарные состояния частицы в однородном магнитном
поле, локализованные в поперечном направлении, и, следова-
следовательно, они могут быть нормированы на единицу {а плоско-
плоскости х, у).
6.7. Спектр с. з. операторов .Ре и р^ проще всего установить,
используя формальную аналогию с оператором Гамильтона ли-
линейного осциллятора, для которого из одник лишь соотношений
вытекает вид энергетического спектра: ?„=Йю(п+1/2), со
= УЙ|Г, п=0,1,'.--
Представив g в виде (см. 6.2 н S.3)
(ось z направлена вдоль магнитного поля), замечаем, что выра-
выражения (i) описывают «осциллятор» с ц.=с^/2 и fe = 2/(oo, при-
причем роль fi играет величина \е\ЬШ^су? (-отметим, что спектр рг
не зависит от знака правой части коммутатора в выражении (i))
Таким образом, находим спектр с. з. оператора р?:
(рЗ„=п!B"+1), п=о,1,2,... (а>—ад«|л
Совершенно аналогично находим спектр оператора
к~=ч+еъ [*»•ад•=•-
6-0,1,2,.
Отметим, что имеют место соотношения
B)
C)
где Ht — гамильтониан поперечного движения частицы в маг-
магнитном поле (Ht = H—plf2tx). При получении C) была исполь-
использована следующая калибровка векторного потенциала: А =
= у[Э1ог]. Из B) и C) следует, что в. ф. ЧптРг, полученные
в предыдущей задаче, являются с. ф. операторов р| и р^. отве-
отвечающими с. з.:
6.8. Обозначив через ?„ в.ф. рассматриваемых состояний,
имеем, согласно 6.6,
^\ О)
Используя хорошо известные формулы
легко нормировать выражение (I) на единицу (в плоскости
х, у) и найти следующие средине:
Наиболее вероятное значение р„.в переменной р, которому
отвечает максимум функции 2яр | ?„ р — пдотиости вероятности
респределения по р, — равво ре.в = а_^2п~\-1.
В состояниях, описываемых в. ф. Ч'п, операторы р^ и pjj
вмеют определенные значения (см. предыдущую задачу), равные
В случае п^-I (квазиклассический предел), учитывая асим-
асимптотическое поведение Г(д:) при х-*-оо;
ваходнм согласно B) р
C)
Соотношения C) означают, что радиальное (по р) распре-
распределение частицы при п > I имеет узкий максимум вблизи зна-
значения рн.в. Величину 2яр|Ч'л|2 при этом можно преобразовать
к виду
2яр (?„ f = С (f>!afn+l exp (- Ps/2a2J =
{^ }
(здесь показатель экспоненты разложен в ряд вблизи макси-
максимума, достигаемого в точке рн.в). Из D) следует
Др^Vp*-ps » «/V2 <р.
Таким образом, вероятность нахождения частицы заметно
отлична от нуля лишь в узкой кольцеобразной области с ра-
радиусом а^2п и шириной порядка а. Это соответствует пере-
переходу к классической картине — круговой орбите частицы, при-
причем найденный радиус орбиты связан с энергией частицы точно
так же, как и в классической механике. Отметим, что равенство
т = —-Д-п, справедливое для рассматриваемых состояний ча-
частицы, при я>1 после подстановки тп = Мя/% и п m Ei/Hao
переходит в классическую связь между моментом частицы от-
относительно центра орбиты и энергией ее поперечного движения:
Это соотношение легко получить нз классических выражений
М = Ггр1. v, =.[«•! —-^.
(по поводу в сы. 6.3), проделав следующее преобразование:
6.9. Для рассматриваемых состояний п = 0, т = -Аг\ tn |
имеем, согласно 6.6,
| %_0, м, Рг |2 = С8 (р/сJ' *" в-«^. (I)
Так как выражение {1) отличается от соответствующего вы-
выражения A) предыдущей задачи только заменой п на jmj, то
все_характеристикн пространственного распределения частицы:
р, ра, р„., и вид l^PJ2 при |/nj^>l получаются непосредствен-
непосредственно из результатов предыдущей задачи (мы их не выписываем).
Однако интерпретация рассматриваемых состояний имеет
мало общего с предыдущей задачей. Энергия поперечного дви-
движения при п = 0 принимает минимальное значение, равное
{Et)c = faoo/2, и такие состояния являются существенно «не-
«неклассическими»,
В рассматриваемых состояниях операторы $ и $* имеют
определенные значения (см. 6.7), равные
При \m\"S>l, когда
радиальное распрелеление частицы имеет узкий максимум вбли-
вблизи рн.в, причем ширина этого максимума имеет порядок ве-
величины а (см. предыдущую задачу). Рассматриваемым состоя-
состояниям можно сопоставить следующую классическую картину:
однородное распределение орбит минимального радиуса (рав-
(равного V(pJDo ~ °) п0 Узкои кольцеобразной области с радиусом
R = a V21 tn I ^>a и шириной порядка а.
6-10. В стационарных состояниях д. с. в поле [/(г) частица
всегда локализована в ограниченной области пространства.
Необычное свойство состояний Д. с. поперечного движения
частицы в однородном магнитном поле связано с тем обстоя-
обстоятельством, что энергетические уровни имеют бесконечную крат-
кратность вырождения.
Рассмотрим волновой пакет, составленный из с. ф. Ч^р
(см. 6.4, зависимость в.ф. от переменной г опускаем):
Очевидно, что б. ф. A) является с.ф. гамильтониана Я*, причем
если
\]C{pe)fdpB=.\,
то эта функция нормирована на единицу, т. е. описывает ло-*
кализованную частицу. В частности, в.ф. ^пт (см. 6.6) удов-
удовлетворяют условиям A) и B).
И наоборот, из нормированных с. ф. Ч*Пт можно составить
в. ф. вида
которые также являются с.ф. оператора й(, однако в случае
J] \Ст Is ^ оо эти функции описывают частицу, не локализован-
локализованную в ограниченной области плоскости х, у.
6.11. Направив ось г вдоль магнитного поля, ось х — вдоль
электрического и используя калибровку векторного потенциала
вида j4jc = 0, Ау~Жх, Л2 —О, имеем гамильтониан частицы
- + |~rfr*.
(I)
Так как операторы 0У и ря коммутируют друг с другом н
с гамильтонианом, то с. ф. гамильтониана можно выбрать в веде
B)
где функция / М удовлетворяет уравнению
C)
Уравнение C) легно сводится к хорошо известному у,Ш?
для лннейного осциллятора, и, учитывая это обстоятельство,
находим сф. гамильтониана A) н соответствующие им уровни
энергии в виде л
D)
где ЧС^лс) —в. ф. стационарных состояний осциллятора с соб«
ственной частотой <ао = \е\Ж/цс. !
При & = 0 выражения D) сводятся к решению задачи 6.4, в^
6Л2. При калибровке векторного вотенциалаА= g-[3lr] га*
мильтониан принимает вид (в цилиндрических координатах Q
«ОТ
осью z. направленной вдоль магнитного поля)
г, »г! а д . д'
Операторы tz и ^i = ~^'^ + -^~ коммутируют друг с
другом и с гамильтонианом, поэтому с.ф. оператора Й можно
выбрать одновременно и с. ф. этих операторов, так что
а у. Ш. сводится к следующему уравнению для функции /(р):
Сделав замену переменной g = ps/2a2, где
уравнение B) можно преобразовать к виду
совершенно аналогичному виду уравнения D) задачи 6.6 (с един-
единственной заменой величины *J<r+em/)e| на k%a3+e3@ma2fhc).
Используя решение задачи 6.6, находим нз уравнения C)
w = С (р/о)'«" ехр (
Выражения (I) н D) определяют с. ф. гамильтониана
н энергетические уровни
|^ 1+1) + »а(«2+1/2).
Согласно
ла П1=Л2 =
) основному уровню соответствуют квантовые чис-
чис= 0 и в слабом магнитном поле \\3@/^&
F)
Из F) находим значение /о магнитной восприимчивости:
6.13. При калнбровке векторного потенциала A=I/sl3lr]
гамильтониан поперечного движения заряженной частицы нме-
2 etm_* , еЭДгу
A)
Положив в A) p = a=:const, находим гамильтониан плоского
ротатора в магнитном поле (/^(ш2):
"~ 2! d<p* + 2цс d<p ф Вц1.:^ *
Очевидно, с. ф. оператора ?г=—id/dtp являются н с. ф.
гамильтониана, н решение задачи имеет вид
= 0, ±1, ±2, ,..,
т~ 2/
B)
Последнее слагаемое в выражении B) для Ет можно опу-
опустить, так как оно является постоянной величиной, не завися-
зависящей от состояния ротатора. Как видно из B), магнитное поле
снимает двукратное вырождение возбужденных энергетических
уровней свободного ротатора.
Интерпретация выражения B) для Ет очевидна: в состоя-
состоянии, описываемом в.ф. ?„, ротатор имеет магнитный момент
Щг =\"—г энергия взаимодействия которого с магнитным по-
полем равна
6-14. Утверждение задачи представляется очевидным, если
иметь в виду следующие обстоительства: 1) с.з. Et гамильто-
гамильтониана поперечного движения частицы Н,= -$- (pt — 7^') ЯБ'
ляются положительными (см. 1.23); 2) вне соленоида частица
является фактически свободной, однако при Et * 0 не суще-
существует убывающих при р -»- оо решений у. Ш. для свободной ча-
частицы.
Можно убедиться и непосредственно из вида у. Ш., что
спектр оператора fit(Et >¦ 0) является непрерывным. Для этого
воспользуемся следующим выбором векторного потенциала;
AseA(==-~ /(р)[пцг], где единичный вектор п0 направлен вдоль
оси соленоида, а функция f(p) и 91 = rot A =(
равны:
(** Р < Я. ( ж.
я)
Гамильтониан Ht принимает вид
й_ 1 г н3 в д йг д3 fefif(p) a ¦ cVf'(p)]
"*"~ 2ц L р di7Pdi7 р* бр* + с бфт 4с2 J-
С. ф. этого оператора можно выбрать в виде
При этом у. Ш. принимает вид обычного одномерного у. Ш.
<Х@H)
с эффективной потенциальной энергией
epf(p)
график которой приведен иа рис. 28 (конкретный вид графика
зависит от значений параметров т, 3@о н др.; в этом смысле
рисунок соответствует случаю тФО
и достаточно большому значению Жо,
0К/И)
Имея в виду общие соображения
о характере энергетического спектра
в зависимости от вида потенциала,
легко заметить, что для [/Эфф данной
задачи при любом Et ~> 0 существует
одно (и только одно) решение у. Ш.
> (второе решение расходится при
/з р->0). Это решение, очевидно, не
убывает при р -*- оо, так что оно опи-
описывает частицу, не локализованную в
ограниченной области пространства.
В то же время рисунок позволяет понять качественное раз*
личие между случаями R Ф оо и R = оо. При R Ф оо в рассмат-
рассматриваемой задаче существуют квазидискретные уровни энергии
(нижние из них изображены на рисунке). При R-*-co ширина
этих уровней стремится к нулю н они переходят в обычные уров-
уровни д. с. заряженной частицы в однородном магнитном поле.
Рис 28.
6.15. Решение задачи легко получить, основываясь на сооб-
соображениях, высказанных при решении предыдущей задачи.
6.16. Для решения задачи воспользуемся вариационным
методом.
При калибровке векторного потенциала А = yfi [Э^г] гамиль-
гамильтониан частицы имеет вид
A)
(ось z направлена вдоль магнитного поля, используется цилинд-
цилиндрическая система координат).
Рассмотрим нормированные на единицу в. ф. вида
где Ч'п.о,™ — нормированная на единицу (в плоскости х, у)
«поперечная» часть в. ф. у?Пяфя задачи 6.6. Найдем среднее
значение гамильтониана A) в состоянии, описываемом в. ф. B):
Ё (к) =
р dp dtp dz =
. Из выражения (З) следует ([/(r)<0), что при
достаточно малых значениях параметра х
E(k)<W2,
D)
а так как минимальное значение энергии частицы в однородном
магнитном поле равно Йюц/2, то неравенство D) означает, чтб
гамильтониан A) имеет с.з„ меньшие ftrao/2, и в соответствую-
соответствующих состояниях частица не может уйти на бесконечность, т. е.
локализована в ограниченной области пространства (как в пло-
плоскости х, у, так и вдоль оси г). Отметим, что число таких со-
состояний бесконечно велико, как и число различных значений
величины т.
6.17. Направив ось г вдоль магнитного поля, имеем гамиль-
гамильтониан частицы
_
(D
Так как операторы рн|г = &J2 коммутируют друг с дру-
другом и с гамильтонианом A), то с. ф. и с. з. оператора Н име-
имеют вид
6-18. Выбрав ось z в направлении вектора Я-о внутри соле*
нойда, имеем гамильтониан поперечного движения нейтрона
3@i) = f3®01 P<R W — радиус соленоида),
(Но — магнитный момент нейтрона). Так как оператор Sx =
= &J2 коммутирует с гамильтонианом, то с. ф. Ri можно вы-
выбрать в виде
где х*г — с. ф. оператора Sz, отвечающие с.з. s« = ±t/2. При
этом задача определения функции f(p, <р) сводится к решению
у.Ш. в двумерном поле ?/(р) вида
-.'¦ И, ~* 1>R. ("
Так как у нейтрона |io<O, то при sz=*~+\f2 потенциал (I)
представляет потенциальный барьер и состояния д. с. отсут-
отсутствуют. При s2 =—1/2 поле ?/(р) является потенциальной ямой
радиуса R н глубины t/o=|no^o[. Стационарные состояния д. с,
в такой яме были рассмотрены ранее в задачах 4.9 и 4.10.
6.19. Гамильтониан частицы в цилиндрических координатах
с осью г, направленной вдоль магнитного поля, имеет вид
р ?_Г1_* ~. д
Операторы §г, рг, U коммутируют друг с другом и с гамиль-
гамильтонианом, и поэтому с.ф. оператора Й можно представить в виде
где %s — спиновая в. ф. частицы, отвечающая определенной
проекции sz спинэ на ось г. Для определения функции /(р)]
имеем уравнение
где Et=E — рЦ%Р- Уравнение A) определяет .также и энерге-
энергетический спектр поперечного движения частицы.
272
6.20. Гамильтониан имеет вид
Операторы §*, ру, рг коммутируют друг с другом и с гамиль-
гамильтонианом, и поэтому с.ф. этих операторов могут являться од-
одновременно и с. ф. гамильтониана. В рассматриваемом процессе
отражения нейтрона от поверхности раздела «вакуум — магнит-
магнитное поле» он имеет по условию задачи определенные значения
величин Si, ру, рг и энергии Е. Поэтому в. ф. может быть пред-
представлена в виде
где %s —спиновая функция нейтрона, отвечающая определен-
определенному значению s2 проекции спниа на ось г.
Функция f(x) удовлетворяет уравнению
A)
plf2ii,
Значения энергии частицы Е и энергии «продольного» дви-
движения Ei определяются условием задачи и равны
если частицы падают из области х < 0.
при этом рх > 0 (в дальнейшем — слу-
Е{=\ чайа>-
I » если частицы падают из области х > 0,
при этом рх < 0 (случай б).
- Уравнение (I) следует решать при граничном условии, соот-
соответствующем физической постановке задачи об отражении и
прохождении частиц:
(случай б),
где р'х ~ соответствующая компонента имцульса прошедших
частиц:
р'х = ± ^[р\±^^Ж- B)
Задача определения функции f(x) и коэффициента отраже-
отражения нейтронов от поверхности раздела совершенно аналогична
2.46, н, используя результат решения последней задачи, находим
коэффициент отражения*
(знаки «±» в выражениях B) и C) относятся к случаям а к б
соответственно).
Векторы (р*, ру, рг), (—рх, ру, Р*), (р'х, рУ, рг), представляю-
щие импульсы падающих, отраженных и прошедших частиц,
лежат в одной плоскости. Очевидно, угол падения равен углу
отражения (углы отсчитываются от направ-
rZ/f} ления нормали к поверхности раздела, см,
рис. 29), а связь углов преломления и па-
падения определяется выражением
*в еПВд = (*в 6щ=) V1 ± *WL<fi&M'- D)
Формулы C) и D) справедливы при ус-
условии, что подкоренное выражение в них —
неотрицательное. В противном случае
имеет место полное отражение нейтронов
от поверхности раздела (R = 1).
6.21. Гамильтониан частицы отличается
от гамильтонианов, рассмотренных в 6.4 н
6.6, дополнительным слагаемым — ЦоЭ^о*.
Решение задачи очевидным образом выра-
выражается через решения задач 6.4 и 6.6.
Рис. 29.
р р
жается через решения задач 6.4 и 6.6.
В частности, при калибровке векторного потенциала, использо-
ваниой в 6-4, а, получаем с. ф. и с. з. гамильтониана:
6.22. Используя свойства матриц Паули и соотношения за-
задачи 6.2, находим
д
р - j- а) }2 -
м2^2 - ~ 31 (г) о,
и утверждение задачи представляется очевидным, если учесть,
что значение магнитного момента электрона и ц-мезона равно
цо = ей/2цс (е, ц —заряд и масса соответствующей частицы).
Для других частиц со спином s
гамильтониан Паули
ующей частицы).
I/2, у которых V-ъФ-^*
отличается от приведенного в условии задачи,
274
6.23. Гамильтониан электрона (а также позитрона н M*-Mej
зонов, имеющих магнитный момент |Ло = е/г/2цс), согласно пре-
предыдущей задаче, можно записать в виде
н, очевидно, оператор (ov) коммутирует с гамильтонианом.
6.24. Гамильтониан электрона, согласно 6.22, имеет вид
и его с. з. являются неотрицательными, Е ^ 0. Отсутствие свя-
связанных состояний электрона легко понять, если иметь в виду
соображения, высказанные при решении задачи 6.14.
6.25. Согласно классической электродинамике магнитное
поле тока с объемной плотностью ] (г) равно
B)
В отсутствие внешнего магнитного поля
т.
(—е— заряд частицы), н, учтя вид в.ф., легко находим, что в
случае ls-состояния ] = 0 и 31=0.
В. ф. произвольного 2р-состоявия частицы имеет вид
C)
где а = %zfZe\ и | е |2 = 1 (по поводу угловой зависимости в. ф,
C) см. 3.59 и 3.60). На основании (I)—C) имеем
•<(t'r)]dV D)
(при получении D) полезно учесть, что в выражении B) для
тока следует действовать оператором V лишь на сомножители
(ег) и (е*г) в в.ф., так как [rVf(r)} =0; V(er)*=e).
Введя вектор b — [е*е], легко находим
[г, в'(и) - «(eV)J = [г [rbJJ = г (гЪ) - Ъг',
и интеграл, входящий в выражение D), принимает вид
$7г>-*{г(гЪ)-Ьг«)<(|'-1. E)
Для вычисления вехтора 1 рассмотрим интеграл
F)
т
Взяв в соотношении F) свертку по индексам i и k, имеем
ЗС = J "pGr/fl) dV = 4яс8, G)
и из E)—G) следует 1 = —^Х~Ъ и окончательное выражение
для магнитного поля:
В частности, в 2р-состояниях частицы с определенным зна-
значением т проекции момента на ось г, учитывая вид векторов
е(т) (см. 3.60), имеем согласно выражению (8)
31 (<>>„_„= 0, »{0)п.±, - @, О, Т -5^.).
6.26. Оператор магнитного момента бесспиновой частицы в
отсутствие внешнего магнитного поля имеет вид (—е—заряд
частицы)
и, очевидно, в условиях задачи его матричные элементы
(*U=—f~- \ vJv.dv (О
стлнчны от нуля лишь в том случае, если обе в. ф. Ч'я и 4V от-
относятся к 2р-состояниям частицы (суперпозицию состояний 2s
н 2р мы не рассматриваем).
Представив в. ф. Ч?„ и ?,» в виде, аналогичном выражению
C) предыдущей задачи* можно найти
? ()
(формулу B) можно получить вычислением интеграла (I) ана-
аналогично тому, как это было сделано в предыдущей задаче; од-
однако ее можно написать н без всяких вычислений, если вос~
пользоваться результатом задачи 3.66),
6.27, Оператор орбитального момента частицы имеет вид
f=-~[rp]. Магнитный момент заряженной частицы в класси-
классической теории имеет вид
««¦~1г1"]=!5г[г(р-|А)]. О
Квантовомеханическим обобщением соотношения A) яв-
является оператор ЯЯ магнитного момента бесспиновой частицы:
«
Усредняя обе части соотношения B), находим
Установленное равенство C) не противоречит калибровочной
инвариантности. В заданном физическом состоянии частицы от
калибровки потенциала не зависит значение Ю, а величины 1 ч
ДгА] от нее зависят. При калибровочном преобразовании век-
векторного потенциала А' = А + v/ значение I изменяется по той
причине, что изменяется в. ф.:
(в. ф. Ч* при первоначальной калибровке потекциала и в. ф. Т'
при новой его калибровке описывают одно и то же физическое
состояние частицы1). При этом изменение величины I пол-
полностью компенсируется изменением второго слагаемого в пра-
правой части соотношения C) вследствие калибровочного преоб-
преобразования.
Отметим, что равенство C) можно также получить, исходя
из определения магнитного момента тока:
если использовать-известное выражение
?¦ АЧ^Р D)
для плотности тока заряженной бесспиновой частицы в маг-
магнитном поле.
6.28. Учитывая явный вид в.ф Ч/„п,Рг (см. формулу A0) за-
задачи 6.6), используемую прн этом калибровку векторного по-
потенциала A = y[3i0ri и выражение для плотности тока заря-
заряженной бесспиновой частицы в магнитном поле (см. формулу
D) предыдущей задачи), находим (в цилиндрической системе
координат)
1.-0. l.=f\4!~*.r. '.=(тГ
6.29. Плотность тока заряженной частицы, имеющей спино-
спиновый магнитный момент, представляется в виде
p
где первое слагаемое связано с орбитальным движением части-
цы и имеет вид, приведенный в формуле D) задачи 6.27, а вто-
второе представляет ток спинового магнитного момента н для спина
s = 1/2 равно
В. ф. рассматриваемых состояний имеют вид
Т ^ «ятр^ — 4nm?zXszf
где %sz — с. ф. оператора §х. Таким образом,
*№W = (О, G, 2*^| 4W^).
Учитывая, что величина | Ч?Птрв |2 зависит только от перемен-
переменной р, находим
(Up = (Ы, - О, (U, = - 2jiqcsz ¦?¦1 ^итРг \\
Ток орбитального движения в рассматриваемых состояниях
имеет такой же вид, как н в 6.28.
6.30. В. ф. электрона имеет вид
где х — спиновая функция. В рассматриваемом состоянии плот-
плотность тока, связанного е орбитальным движением электрона,
равна нулю и ток определяется свнновьш магнитным моментом!
J = Ь, = Ш>с rot {ЧГс№) = - М
где
Согласно известной формуле электродинамики векторный
потенциал искомого магнитного поля равен
(мы воспользовались теоремой Остроградского — Гаусса и со-
соотношением V,f(R — r)=— VrHR — г)) и учтя, что пчтеграл,
входящий в формулу (I), был вычислен в 4.29:
находим выражение для векторного потенциала:
- Мы не будем выписывать выражения для магнитного поля
3l^=rot А при произвольных значениях г, а приведем лишь пре-
предельные выражения:
B)
т. е. на больших расстояниях от атома магнитдое поле является
полем магнитного диполя, равного ft = (юог.
6.31. В условиях задачи ток, создающий магнитное поле, яв-
является током спинового магнитного момента, равным
c ro
= - йос I^VP (r)],
(мы учли, что в. ф. рассматриваемого состояния частицы име-
имеет вид 1F = *(r)x)-
Для нахождения магнитного лоля в начале координат
A)
рассмотрим интеграл
Выполнив в выражении B) свертку по индексам I и k и
учитывая соотношение
rvP(r>=*, ^-pW=^ t
Согласно A), B) и C) "имеем
C)
D)
В частности, в случае Is-состояния частицы в кулоновском
поле из формулы D) вытекает первое из соотношений B) пре-<
дыдущей задачи.
279
Г л а в а 7
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ
7.1. Из соотношения
после очевидных преобразований с использованием результата
задачи 1.9 получаем требуемое правило дифференцирования;
7.2. Учитывая вид гамильтониана (в координатном пред-
представлении)
где р= —ffiV, легко находим
Соотношение (I) является естественным кваитовомеханнче-
ским обобщением уравнения движения заряженной частицы в
влектромагнитном поле
Mw = мг = F = «S + ?[v3C|.
7.4. Усредняя оператор /, находим
Г- \ vtfw» rfT = —?- $ 4G (f Я - Hf) Wn dx » 0. (I)
При получении соотношения A) учтено, что ЯЧГ„ = ?„Ч'Я. н нс-
вользована эрмнтовость оператора Й.
7.5. о) Оператор силы F~ в координатном представлении
имеет вид F = — W. Так как В = ра/2ц + V, то
н на основании результата предыдущей задачи находим F = 0.
б) Утверждение задачи можно доказать непосредственным
(усреднением оператора силы, выполнив следующие преобра-
d V) 4V dV
+ ^t/ grad Wn) dV =
вован
F = -
0)
(мы учли, что в. ф. Ч/! является с. ф. гамильтониана, т. е-
UWn = (Еп — рэ/2ц) ?„) • Воспользовавшись теоремой Остро-
Остроградского—Гаусса, легко заметить, что выражение A) равно
нулю. При этом следует иметь в виду, что последний интеграл
в выражении (I) можно преобразовать, учитывая коммутатив-
коммутативность операторов V и Д и эрмитовость оператора Д, к виду
\ {(та №)+<A4S) (v^n)} dv = \ v дачу dV=о.
7.6- Теорема вириала классической механики утверждает,
что если потенциальная энергия механической системы является
однородной функцией ее (декартовых) координат и движение
системы финитно, т. е. происходит в ограниченной области про-
пространства, причем не происходит «падения» частиц друг на дру-
друга, то средние по времени значения кинетической и потенциаль-
потенциальной энергии системы связаны соотношением
nU=2f, (I)
где п—степень однородности функции V{x\, хц, ..., Jtaw), N —
число частиц системы, так что по теореме Эйлера об однород-
однородных функциях
Теорема (I) остается справедливой и в квантовой механике,
если только под усреднением понимать квантовомеханическое
усреднение по в. ф. стационарного состояния д. с. (это означает,
что если рассматриваемая система является замкнутой, то из
рассмотрения исключается движение ее центра масс).
а) Учитывая операторные соотношения
dra 2 1 " dpa 1 W
результат задачи 7.» и равенство B), находим
Доказательство квантовомеханической теоремы вириала еле-
лует непосредственно из усреднения операторного равенства C)'
по в. ф. стационарного состояния д. с„ если учесть результат за-
задачи 7.4. У
б) При доказательстве этим способом мы ограничимся слу-
случаем движения одной частицы во внешнем иоле вида U = агп.
Обозначим через Ч'й(г) нормированные с. ф. гамильтониана,
отвечающие с. з. д. с. Рассмотрим в, ф. щща
ЗД) = A + tf'Wh [(I + ВД D)
которые, как в с.ф. ?*1(г), нормированы на единицу, и найдем
среднее значение энергии частицы в состояниях, описываемых
в.ф. D):
% (/)- J Wfe(-Ц- Д + и) WkdV = A + %J fkk -f {1+«"шE)
где Гм, Pftft —средние значения кинетической и потенциальной
энергии чветшш в состошши W*(r).
При А-»Ю из соотношения E) ^следует
и условие экстремальности с, з, гамильтониана, требующее
—-дА = 0, дает доказательство теоремы вирлала.
в) Степенной потенциал U = ar" характеризуется лишь од-
одним размерным параметром о. Поэтому удобно представить
иотендиалы парного взаимодействия 11аь частиц о и Ъ в виде
где Саь — уже безразмерные величины. Удобно также предста-
представить массы частиц в виде та =tia>n, где т — некоторая эталон-
эталонная масса, так что ца — безразмерные величины. При этом га-
мильчшван системы N частиц, взаимодействие которых друг с
другом и с внешним полем {центр которого находится в точке
г = G) описывается степенными потенциалами с одинаковым по-
показателей л, принимает вил
С. з. д. с. этого гамильтониана Еь{т,й,а; Са, Саь, \ia, n) за-
зависят только от трех размерных параметров* т, ft, а, из которых
единственным способом можно составить комбинацию, имеющую
размерность энергии;
ед обрадовать »»¦ одного безравм^иого ва^аметря, та»
что из соображений размерности следует
Учитывая, что V^adHjdit, на основании результата зада-
задачи 1.28 находим
у, вЕь 2 р
Из этого соотношения и равенства Ek= Tkk + Юы> следует, оче«
видно, утверждение теоремы вириала.
7.7. Оператор дипольного момента системы имеет внд
(?j =e j) xoi. Вводя оператор производной по времени от ди-
дипольного момента dt и воспользовавшись формулой
где ?т — энергетические уровни системы, легко получаем
дующую неяочку равенств:
(при этом мы использовали правило умвевмениэ матрна).
Принимая во внимание определение *?i и коммутативность
операторов координаты Ло( и скорости Хы,=— -g~ для раз-
различных частиц (а ^ 6У, так что
находим нз соотношения A) при i=k с учетом равенства
_ —-. B)
m 0—1
что и требовалось доказать*),
*) Обращаем внимание ив то, что б B) нет суммирования по индексу I
(т. е оно справедлива для. всех трех компонент). При. выполнении такого
суммировании следует заменить \{&)пп\2 на \'йатр, а правую часть B) ум-
умножить на 3.
Отметим также, чт соотношение B) очевидным обравом может «да»
обобщено на случай системы, состоящей из частиц с различными значениями
заряда и кассы, -^_
' 7.8. Запишем у. Ш. и уравнение, комплексно сопряженное
к нему:
-Ц-ЛЧЧг. 0+ S
(О
B)
Умножив уравнение A) слева на Т*(г,О. B)—на Wfr,/) и
произведя почленное вычитание, легко находим соотношение
^^-+ divj(r,;()—i-{^'(r, 0 \ "
- У (г, 0 J ?Л (г, г') V (г', 0 dV'} C)
(вместо обычного уравнения непрерывности -^- + divj = 0J,
где
Так как правая часть уравнения C) отлична от нуля (за ис-
исключением случая локального потенциала, когда (/(г, г') =
= (/(г)б(г — г7)), то локального закона сохранения вероятности
нет (сравнить с 7.9). Легко, однако, заметить, что в интеграль-
интегральной форме в случае эрмитовости нелокального потенциала закон
сохранения нормировки волновой функции состояния (числа ча-
частиц) имеет место: проинтегрировав соотношение C) по всему
пространству, находим
(интеграл от правой части C) равен нулю в силу эрмитовости
оператора О, равенство нулю интеграла от второго слагаемого
в левой части C) следует из теоремы Остроградского— Гаусса).
Отсутствие локального закона сохранения вероятности мож-
можно интерпретировать как рождение и уничтожение частиц в раз-
различных точках пространства. Сохранение же нормировки вол-
волновой функции состояния означает, что эти процессы имеют
одинаковую интенсивность, что обеспечивается эрмитовым ха-
характером оператора О.
7.9. Стандартное рассмотрение (см., например, 7,8) приво-
приводят к соотношению вида
?t/i(r)mr,/m A)
где, как обычно,
Проинтегрировав уравнение A) по произвольному объему,
находим
%\ & l\ B)
При V\ =s 0 соотношение B) представляет закон сохране-
сохранения вероятности в том смысле, что изменение вероятности на-
нахождения частицы в объеме V за единицу времени равно (со
знаком минус) потоку вероятности через окружающую этот
объем поверхность S. При U\ Ф 0 второе слагаемое в правой
части выражения B) нарушает этот баланс и тем самым пред-
представляет дополнительный «механизм» изменения (со временем)
вероятности, а тем самым и нормировки в. ф. состояния, что
можно интерпретировать как изменение числа частиц в системе.
Очевидно, что при \}\ ~> 0 этот дополнительный «механизм»
увеличивает число частиц, а при U\ <Z 0 — уменьшает, т. е. ча-
частицы поглощаются. Отметим, что интенсивность этих процессов
(рождения и поглощения) в данной точке пространства про-
пропорциональна плотности вероятности нахождения частиц I^FI5.
7.10. Представив в. ф. в виде
W (x, t = 0) = ^- (З sin -^ — sin —)
и учитывая вид с. ф. и с.з. гамильтониана частицы (см. 2.1),
находим согласно общей формуле, определяющей временную
зависимость в. ф.,
Через время T=j.ia2/2nh частица возвращается в исходное
состояние.
7.11. Учитывая результат задачи 4.1, легко находим
РФ)]-
Через время Т = nf/Ti ротатор возвращается в исходное со-
состояние.
7.12. Представив в. ф. в виде
о) = л cos2 е=-Н(з cos2 е - о +1]
(О
и учитывая, что первое и второе слагаемые в квадратных скоб-
скобках пропорциональны соответственно шаровым функциям Уго
и Уоо, являющимся с. ф. гамильтониана (см. 4.3), находим
время 7"=2n//3ft ротатор возвращается в исходное
7.13. Разложим в. ф. по с. ф. оператора импульса (и гамиль-
ониана) i
W (х, t = 0) = J с (р) Wp (x) dp, Wp (x) = B7ih)~IJ' ехр (Ц?-),
Интеграл в выражении A) просто сводится к интегралу Пуас-
В. ф. W(x, t) состояния частицы в произвольный момент вре-
времени, согласно общим принципам, может быть найдена по 4od-
муле v p
= \ с (р)ехр(--?) Чр
я
Интеграл в выражении B) аналогичен интегралу в форму-
формуле A), и его вычисление дает после простых, но несколько
громоздких преобразований
ехр
Согласно C) имеем
- „in
Irt^i
D)
Легко найти, что при |Л|!= (яог)- в.ф. TfeO' является
нормированной на единицу. Учитывая это обстоятельство на-
юдим
Функция
представляет в. ф. частицы в импульсном представления, и,
учитывая вид с(р), находим
ffi=lp\c{p,Q?dp=nwo, J?pW=-§r. F)
Полученные результаты D) —F) имеют простой смысл!
функция распределения по координатам частицы согласно D}
имеет вид гауссовского пакета, центр которого x(t) переме-
перемещается со скоростью &о (равной р/т); при этом ширина па-
пакета, имеющая порядок величины V(A*(')Ji унеличивается
(пакет расплывается). Расплывание пакета связано с тем, что
импульс частицы не имеет определенного значения.
Ширина пакета увеличивается вдвое за время /0, равное
Приведем численную оценку времени /0-
1. Для частицы с массой т=10~27 г (электрон) при а =¦
= 10-в см (атомные размеры) находим согласно G) /0 ~j
~ 10-1е с.
2. Для макроскопической частицы (т = 10~вг, а=10-всм)
формула G) дает /0 ~ 101В с ~ 10" лет!
7.14. Согласно предыдущей задаче
Из выражения A) следует
W{0lmn = t^Jtn, т.е. a2ti)^thjm.
7.15. В. ф. состояния частицы в произвольный момент вре-
времени:
ч7С*,0=$"№)еч (—f-LB{x)dE, A)
и убывание величины |Т(ж,/)|8 при t—»oo представляется оче-
очевидным ввиду быстрой осцилляции подынтегральной функции
(точнее, осцилляции ее вещественной и мнимой частей) в вы-
выражении A).
Отмеченное условие убывания |W(jc, t) ]2 с учетом сохранения
нормировки в.ф. означает, что частица при *~>оо уходит на
бесконечно большое расстояние. Этот результат соответствуя?
инфинитному характеру движения частицы в классической ме!
ханике.
7.16. Разложив функцию Ч?(х, * = 0) по с.ф. гамильтониана
частицы в поле И(х) = —аЬ(х), представим в,ф. 4?{x,t) в вндё
= ехр(—!
B(x)dE, (I)
~-
представляют нормированную в. ф. и энергию единственного со-
состояния д. с. в рассматриваемом поле (см. 2.11).
Второе слагаемое в выражении A) (вклад непрерывного
спектра в в. ф.) при t-*-o° обращается в нуль из-за быстрой
осцилляции вещественной и мнимой частей подынтегральной
функции. Таким образом, имеем
|Ч'(^/ = оо)р = |С0Ч'о(х)|! = и0|С0рехр(-2и0|Л|). B)
Выбрав значение коэффициента А в в. ф. 4?{х, / = 0) из
условия нормировки: А2 = р — и вычислив величину
xp(- 2х„|х |)
перепишем выражение B) в виде
W{х, I = со)-| ч-{х, I = со)f
в котором оно представляет функцию распределения по коор-
координатам частицы при *-»-<». Условие нормировки этой функ-
функции имеет вид
. Тот факт, что функция W нормирована на значение, меньшее
единицы, означает, что частица с конечной вероятностью, рав-
равной A—w), уходит на бесконечно большое расстояние от си-
силового центра. Для понимания результата задачи следует иметь
в виду неравенство
C|44-M=°°)|2dx=( llmlWfoOPd*^
7.17. В. ф. 4?{х, 0 имеет вид
При t->- оо (и x-»-ii:oo) фаза в показателе экспоненты в вы-
выражении A) сильно изменяется уже при небольшом изменении
переменной р, что приводит к быстрым осцилляцийм веществен-
вещественной н мнимой частей подынтегральной функции и к взаимному
уничтожению вкладов от различных областей интегрирования.
¦Наименее скомпенсированным (а поэтому и доминирующим) яв-
является вклад тех областей интегрирования, в которых показа-
показатель экспоненты изменяется наиболее медленно, т. е. областей,
близких к экстремальным точкам этого показателя как функции
переменной р, определяемым из условия
Вынося из-под знака интеграла значение функции Фе(ро) в
экстремальной точке и вычисляя получающийся при этом ин-
интеграл, находим искомый асимптотический вид в. ф. при f-»-oo:
Отметим наглядный смысл результата B): значение в. ф. при
*-»-оо в точке x-vifcoo (Так, что x/t = const = г0 = Ро/т)
определяется в. ф. Фо(ро) в импульсном представлении — имен-
именно такой импульс ро должна иметь свободная частица в клас-
классической механике, чтобы за время / сместиться на расстоя-<
ние х.
7,18. Разложив в.ф. по с.ф. гармонического осциллятора,
имеем
* {х, 0 = L0Cn exp (
Wa (x) = B"«t а -^Г) "Vi exp (-
J W {х, t = 0) Ч?п (х) dx =
„ (х/а).
^~ B)
(мы выбрали i4 = (aV"")~'A из условия нормировки в. ф.).
Для вычисления С„ воспользуемся производящей функцией
полиномов Эрмита
exp (- 2s + 2|2) = ? ~ Я„
C)
Умножим обе части соотношения C) на ехр-[—6а+ -^—(-
+ '^°-1 и проинтегрируем по |. При этом в правой части
коэффициент при г" очевидным образом выражается через С„.
10 В, М, ГалицкиВ к др. 289
Мнтегрял от левой части преобрезуеы следующим, обравош
*••
Приравнивая коэффициенты при г" в соотношении, полу-
получающемся в результате интегрирования обеих частей равенства
C), находим
Учитывая, что ?п = ft«(n + 1/2) и найденное значение С„,
перепишем соотношение A) в виде
С помощью формулы C) ряд D) легко просуммировать:
Последнее выражение удобно записать в виде
Ч- (*, 0 = (ла'Г^ехр [- 4 (| - f- cos ш --^ sin И/)г +
+ iL (?й. cos at _ -6l sta ю/) + !?p- sin» и/ +
+ **»,-*?-*,»,-%.]. E)
Из E) следует (напомним, что a2=fi/mco)
^Ji^J], F)
т.е. распределение по координатам частицы имеет вид гаус-
совского пакета, центр которого x{t) перемещается со временем
по закону
Хо (/) 5=710—хо cos о/ + -^ sin <о(
'(осциллирует с частотой ю)", а ширина остается неизменной (от-
(отсутствует расплывание пакета) и равна (Дх(/))г"=а2/2.
Учитывая вид в.ф. E), находим характеристики распреде-
распределения осциллятора по импульсам:
р{0 = Ро cos ©f — maxu sin ©f, (Др @)г= fi!/2a2 = const.
Отметим, что величины x(t) и p(t) изменяются со временем
так же, как координата и импульс классического осциллятора.
Читателю предлагается самостоятельно обсудить вопрос о
вероятностях возбуждения различных стационарных состояний
осциллятора в состоянии, рассмотренном в данной задаче (т. е.
исследовать величину ьу„= |С„|а).
7.19. Так как временная функция Грина удовлетворяет у. III.
но переменным х, t, ома может быть представлена в виде
G(x, /; x', f>= J
4p (x)dp, A)
где 4fp(jc) = Bnfi)-1/!exp(ipx/A) —сф. оператора имцульса и
гамильтониана свободных частиц.
Коэффициенты Ср^,?) в разложении A) определяются из
условия обращения функции Грнна при ( = <' в 6-функпию:
б(* — У). Из соотношения A) при t = f и равенства
J %W)Ч?р(х) dp = t(x-x')
следует
СР = %{хг).
Согласно A) и B) находим искомый вид функции Грина:
С(х, (; *', 0= \ ехр[—^¦»-<
B)
C)
Обобщение формулы C) на трехмерный случай представля-
представляется очевидным:
С помощью временнбй функции Грина в. ф. Ч?.(ж, ()* частицы
по известной в. ф. Ч?(х, t = 0) можно найти по формуле
х, /)= J G(x, t; х', 0)Ч?(х; t=0) dx\
Отметим, что зависимость функции Грина от координат и
времени в Виде (х — х1) и (t —1'\ связана с однородностью
пространства и времени для свободных частни.
7.20. С<р, Г, р', П = е
7.21, Функция Грина отлична от нуля при x,tf<.0. По пе-
переменным х, t она удовлетворяет у. Ш. для свободной частицы
и граничному условию С (х = 0; /; if, t')= 0,
Учитывая результат задачи 7.Т9, легко сообразить, что иско-
искомая функция Грина имеет вид
G{x, t;
7.22. Подставив в формулу
W{x, i)= J G{x, t; xf, f
= O)dx'
A)
значение в. ф. ЧЧж, 0), указанное в условии задачи, и функцию
Грина, найденную в предыдущей задаче, и вычисляя получаю-
получающиеся при этом интегралы, находим вид в. ф.:
- <*+*» -
где ехр[(д:^-*—jc)] означает выражение, совершенно аналогич-
аналогичное первому экспоненциальному слагаемому в формуле B) с
единственной заменой х на (—л).
В. ф. B) представляет суперпозицию двух волновых пакетов,
первый из которых описывает частицы, падающие на стенку,
а второй — отраженные. В начальные моменты времени в вы-
выражении B) наиболее существенным является первое слагае-
слагаемое, описывающее падающие частицы. При / > ¦тХв- в случае
ро^>—*), наоборот, доминирующим является второе слагае-
слагаемое, описывающее отраженные частицы.
•) Отметин, что именно в случае рс 3> Ща в и
исходный волновой пакет как описывающий час
Б противном случае (рс^й/о) уже в исходном
ной вероятностью (~ I) имеет отрицательное
(сравнить с 1.42), как и отраженная частица; соо
первое слагаемое В фигурных скобках выражении B)
дающим на стенку частицам буквально — лишено смы
личие между «лучаями ре Э* А/а и Рв^й/я проявляе
рч^Л/а первое слагаемое в B) не является пренебрежи
нию со вторым даже при t~+oo.
292
смы
ющую на стенку.
частниа с замет-
заметимпульса р<0
о характеризовать
к отвечающее па-
паОтмеяенное раз-
разв том, что при
малым по сравне-
сравне7.23. Функция Грина в импульсном представлении имеет вид
G{p,t\p',t')= \ е*р[- 'Е1'~П]фв{р')ФвШЕ, A)
где ф?(р)=Bл/^Г*ехр[-e^ + -g?] представляет с. ф.
гамильтониана частицы (см. 2.45).
Вычисление интеграла в выражении A) дает
С(р, /; р\
7.24. Учитывая соотношение между функциями Грина в коор-
координатном и импульсном представлениях
G{x, t; х',
р. /; р\ t'jdp'dp
и явный вид функции С(р, t; p1, t'), найденный в предыдущей
задаче, легко получаем
Движение волнового пакета читателю предлагается рассмот-
рассмотреть самостоятельно. Отметим лишь, что плотность вероятности
\W(x, t) |s имеет вид распределения Гаусса, причем
*@=*o+Potfm + M2/n, (Д* @)* = ?(i+-*?-). !
7.25. Для нахождения функции Грина следует вычислить
сумму
G(x, t; x', О =
A)
Учитывая известную из теории полиномов Эрмита формулу
легко вычислять сумму. A) и найти явный вид функции Грина
7.26. Пусть система К' движется со скоростью V вдоль оси х
по отношению к системе К, так что х = хг + V'r t = t'm
Потенциальные энергии в этик двух системах связаны соот-
соотношением V{/, Г) = V{х — Vt, t)=V(х, t) (мы ограничиваем-
ограничиваемся для простоты случаем одномерного движения, обобщение на
трехмерный случай представляется очевидным).
Унитарный оператор О*), соответствующий преобразованию
Галилея, находится из того условия, что если в. ф. Ч' (х, t) удов-
удовлетворяет у. Ш. (в системе К)
ih-§f4{x,f) = f№^\^ + U{x,()\4?{x,t), A)
то функция
является решением у. Ш. в системе К' (и наоборот)
B)
Так как обе функции W, Ф описывают одно и то же физи-
физическое состояние частицы (только в различных системах коор-
координат), то должно быть выполнено условие
выражающее независимость от выбора системы отсчета плот-
плотности вероятности нахождения частицы в данной точке про-
пространства. Из равенства D) вытекает, что оператор О в соот-
соотношении B) имеет вид
U = exp{iS(x,f)), E)
где S(x,t) — вещественная функция. Подставив
F)
в уравнение C) и переходи в нем к новым переменным (х, /).
получим
Потребовав, чтобы уравнение G) было тождественно
A), получаем систему уравнений для определения вида
•) Не путать с V (*,/).
'функции S(x,t):
(8)
Из первого уравнения (8) следует
а второе уравнение позволяет найти /(/), так что
(9)
Выражение (9) (в котором можно опустить несущественную
постоянную С), согласно формуле E), определяет вид искомого
унитарного оператора.
Учитывая соотношения F) и (9), легко установить следую-
следующий закон преобразования в.ф. частицы в импульсном пред-
представлении при преобразовании Галилея:
из которого вытекает соотношение w'(p — mV, t)= w(p, t) ме-
между функциями распределения по импульсам частицы в систе-
системах К' и К.
- 7.27. Пусть в. ф. IF (г, t) является решением у.Ш.
при некоторой калибровке A(r, t), <р(г, /) потенциалов внешнего
электромагнитного поля, в котором движется заряженная ча-
частица.
Инвариантность у. Ш. относительно калибровочного преоб-
преобразования потенциалов означает, что если перейти к новой ка-
калибровке потенциалов
A' = A + V/(r,fl, ф'^р-Х^Дг,,),
то должен существовать такой унитарный оператор О, что в. ф,
ф = O4?t описывающая то же самое физическое состояние ча-
частицы, что и в. ф. W (но только в новой калибровке), и потому
удовлетворяющая соотношению
IV (г, /)р=|ч?(г f)f, B)
является решением у. Ш.
Для нахождения оператора О замечаем, что согласно B)
он должен иметь вид
¦ t/ = exp(/S(r,O). D)
где S (г, 0 — вещественная функция. Подставив в. ф. вида
V(r, r) = exp(/S(r, /)}Ч'(г, 0 E)
в уравнение C) и потребовав, чтобы получающееся при этом
уравнение для в.ф. *Р имело вид A), находим уравнения для
определения функции S(r,t) (сравнить с решением предыду-
предыдущей задачи):
ftVS(r./)=7-Vf(r.O. fi-JrS(r,0=7-Jff<r,0. F)
Решение системы уравнений F) дает
и тем самым, согласно D), определяет вид искомого унитарного
оператора (несущественную постоянную С в выражении G)
можно опустить).
Очевидно обобщение на случай системы произвольного чис-
числа заряженных частиц:
где сумма берется по всем заряженным частицам.
7.28. При унитарных преобразованиях (в том числе и зави-
зависящих явно от времени) в. ф. и операторы физических величин
преобразуются, как известно, следующим образом:
В частности,
fi' = UHU+. A)
Выясним, какой вид принимает у. Ш. ih-^г W = НЧ? при уни-
унитарном преобразовании 0{t), зависящем явно от времени. Из
у. Ш. для в. ф. *Р следует
tnu^w-m^ (?%)-гвD-) 4-=™*. B)
Учитывая, что 0*0=1, W = UW, перепишем B) в виде
C)
Й-J. Ч" = { СЙО+ + (ft (-^) 0*} W,
представляющем у. Ш. с гамильтонианом В", равным
н" - Ш>+ + т (¦§-) и*=н-+т (-f-) 0
dU \ ,~,+
D)
(легко убедиться, что оператор Я" эрмитов). Выражение D)
решает поставленную задачу.
Таким образом, при унитарном преобразовании 0{t) в со-
соответствие гамильтониану Й можно поставить два оператора:
Й' и В". Для понимания полученного результата и выяснения
роли операторов й'. В" необходимо иметь в виду следующее
обстоятельство.
Гамильтониан Й выполняет, вообще говоря, две функции:
1) он определяет временную эволюцию в. ф. системы в со-
соответствии с у. Ш.;
2) в случае, если оператор Й не зависнт явно от времени, он
является интегралом движения, а его с. з. имеют непосредствен-
непосредственный физический смысл, представляя энергетические уровни си-
системы.
Однако если B{t) зависит явно от времени, то он утрачи-
утрачивает вторую функцию (энергия не сохраняется; с.з. же мгно-
мгновенного гамильтониана /?(/) для рассматриваемой системы не
имеют, вообще говоря, глубокого физического смысла).
Если исходный гамильтониан В не зависит от времени и тем
самым выполняет обе указанные выше функции, то при зави-
зависящем явно от времени унитарном преобразовании эти функции
распределяются между операторами Й' и В": оператор В"
определяет временную эволюцию в. ф., а В' принимает на себя
вторую функцию оператора В как оператора сохраняющейся
величины. Очевидно, спектры с.З. В и В' совпадают. При этом
го обстоятельство, что оператор В' является интегралом дви-
движения, можно подтвердить и непосредственным вычислением:
Если же гамильтониан В (t) зависит от времени, то он утра-
утрачивает свою функцию интеграла движения. Соответственно в
этом случае оператор В' не имеет непосредственного физиче-
физического смысла, а оператор Й" по-прежнему является оператором,
определяющим временную эволюцию в. ф. системы.
Иллюстрацией проведенного рассмотрения является переход
к гейзенберговскому представлению, осуществляемый унитар-
унитарный оператором Гв случае -чгЙ = 0\ :
В этом случае В' = В, й" = 0 и из у.Ш в новом, гейзен-
гейзенберговском представлении следует независимость в. ф. от вре-
времени.
Имея в виду, что унитарные преобразования в квантовой
механике являются аналогом канонических преобразовании в
классической механике, нетрудно сообразить, что соотношение
297
D) является квантовомеханическим обобщением формулы
классической механики, выражающей преобразование функции
Гамильтона при каноническом преобразовании, осуществляемом
производящей функцией f(t), зависящей явно от времени [4].
7.29. а) Для нахождения вида гайзенберговских операторов
A.fft Lftt J-jit -—ы
J?@ = ? ?e * , p{f)=eh pe h , H = fr/ztn,
воспользуемся импульсным представлением, в котором, как из-
известно,
Р^р, ?=Шд!др.
Тогда легко находим
т. е. соотношения между операторами точно такие же, как ме-
между соответствующими классическими величинами, причем опе-
операторы ?, р играют роль начальных условий для операторов
ЦП, PV).
б) В гайзенберговском представлении операторы R{i), p(t)'
зависят явно от Бремени и уравнения движения для них имеют
вид
где производные d/dt понимаются как производные по времени,
явно входящему в гейзенберговские операторы; гамильтониан
fl = fi{P{t)t *(*)) выражается через операторы p{t), X{t),
удовлетворяющие каноническому коммутационному соотноше-
соотношению
P2(t)/2m и уравнения A) при-
Для свободной частицы й =
нимают вид
««<П _ Р W
Из уравнений B) имеем
dpjt) _
Ро =
B)
C)
т. е. оператор р {t) не зависит явно от времени. При / = 0 гай-
зенберговские операторы совпадают с операторами в шредин-
геровском представлении, поэтому /?о = р — обычный оператор
импульса в шредингеровском представлении^
Из первого уравнения B) с учетом C) легко находим
где ?о ^ ^— оператор координаты в шредингеровском пред-
представлении.
7.30. а) Учитывая вид гамильтониана Н=2^~?ох> опера-
операторы ?{{) и p{t) легко найти, используя результат задачи 1.14:
б) Учитывая формулы
находим уравнения движения для гайзенберговских операторов
B)
решение которых приводит к установленному выше виду A)
этих операторов (напомним, что S, /5 —операторы в шредвнге-
ровском представлении, играющие роль начальных условий для
гайзенберговских операторов ?(t),Pit)).
7.31. с) Учитывая, что для осциллятора
легко находим, воспользовавшись результатом эадачи 1.14л
Л (/) = expUHt/h)*exp(— tHt/h) =
PU) = P cos to/ — mo.C sin to/.
б) Уравнения движения для гайзенберговских операторов
имеют вид
Эту систему уравнений для операторов ?{t), p{t) в силу ее
линейности можно решать так же, как для обычных (неопера-
(неоператорных) функций, так как при этом не возникает трудностей,
связанных с некоммутативностью операторов Решение имеет
вид
* @ = С, cos to/ + С2 sin to/, р @ « — та> [Ci sin ю/ — С2 cos ©/],
где Ci и С2 — не зависящие от времени операторы, вид которых
находится из совпадения при / = 0 гейзенберговских операторов
с операторами Л, р в шредингеровском представлении:
7.32. Задача решается аналогично предыдущей. Приведем
ответ {(й = еЖо!тс):
& (t) = ft ccs of + ~- sin to/ + ™ A — cos erf),
Px @ = A*cos <°! + /V Sl"n <°! — twit sin to/,
g {f) = # — je sin ю/ + -~- (cos to/ — 1) + -J^- sin to/,
Оператор скорости частицы v{t) = dr{t)/dt находится непо-
непосредственным дифференцированием по времени оператора г(/).
Читателю предлагается самостоятельно рассмотреть соотно-
соотношения между операторами г@, v(t) и г@) = г, v@) = v и на
основании полученных соотношений обсудить задачу 6.3.
7.33. Используя уравнения движения для гейзенберговских
опеюаторов r(f), p(t), находим после несложных преобразований
jr [fit @, ** @1=\h W. ** @1+ [fit if), h W] =
= 4" Ш U). Pt Ш *k @1 + [fit (t), [8 (f), &k @1D = o,
т. е. значение коммутатора \Pi{t), Ak{t)\ не зависит от времени,
и так как при / = 0 оно равно [pi@), Jt*(O)] = \fii,&k] =
=—iHbik, то доказана совместность канонических коммутацион-
коммутационных соотношений для гейзенберговских операторов с уравне-
уравнениями движения.
7.34. Используя вид операторов #(/)', p(t), установленный в
7.29—31, легко находим:
а) [Р @. * {П\ = ~ т б) [р (/), * @1 = - т;
е) [Р @. * С')] = - Й cos to {f - Г).
7^5. Подставив в гамильтонианы указанных систем /?(?)=»
= ft{p{t),${t)) явное выражение для операторов /Э(/) и Л((),
убеждаемся в том, что Й(/) = Я@).
Последний результат очевнден и в общем случае*), так как
Н (/) = ехр (НУ @) //R) Н @) ехр (— 1"Я @) t/h) = Н @).
7.36. В гейзенберговском представлении в.ф. состояния си-,
стемы не зависит явно от времени и временная зависимость
средних значений физических величин полностыоопределяется
зависимостью от времени .соответствующих гейзенберговских
операторов.
Учитывая значения следующих средних в состояния, указан-
указанном в условии задачи (в, ф. нормирована на единицу при
р = - in J V И -~ V М их —.р„
W+T* = ~'» \ ЧГ М (х ~ + -^ "
и используя вид гайзенберговских операторов рассматриваемых
систем, установленный в 7.29—7.31, легко находим:
(отметим, что в случае осциллятора при ая =>hftrm флуктуа-
флуктуации координаты и импульса оказываются не зависящими от
времени).
7.37. Снабжая индексом int операторы и в. ф. в пред-
представлении взаимодействия и учитывая вид оператора
но, если в Пфедввгеровском представлении — fi
О = exp {ifiot/h), находим
t ы = exp (i7?c//ft) f exp (- tHJ/h).
?
A)
B)
+ *ft (-
fi)) ехр(- tf/tf/ft) =
exp ((?/#) P exp (-
(при установлении вида волнового уравнения C) в представ-
представлении взаимодействия учтен результат задачи 7.28).
Продифференцировав по времени обе части соотношения A),
находим вид уравнений движения для операторов в представ-
представлении взаимодействия:
(обычно операторы физических величин f в шредивгеровском
представлении не зависят явно от времени и для них -§ff =
-но*-*)-
7.38. В рассматриваемом случае /?о = fP/2tn, V = —F0X, и,
воспользовавшись результатом задачи 7.29, находим
. Точно так же, как н в предыдущей задаче, находим
-§¦ (*+JL
7.40. Учнтивая вид гамильтониана частицы
находим согласно стандартным формулам
Оператор ускорения можно записать в весьма наглядном
виде:
mw = — grad V,
где
(проведенное рассмотрение относится к частице со спином 5 =
= 1/2; однако обобщение на случай нейтральной частицы с про-
произвольным спином s тривиально и сводится к замене о на s/s).
7.41. Направив ось г вдоль магнитного поля, представим спи-
спиновую часть гамильтониана и волновое уравнение для спино-
спиновой в. ф. в виде
Решение уравнений A) имеет вид
С, @ => ехр (ш/) С, @), С2 (/) = exp (- tof) C2 @), B)
где « = A5^0/^, а значении постоянных Ci>2@) определяются
из начальных условий; для нормированной спиновой функции
\c,f+\Cf=\.
Средние значения компонент вектора спина изменяются со
временем по закону
т. е. вектор s(/) прецессирует с угловой скоростью 2<о вокруг
направления магнитного поля (оси г).
7.42. Результат предыдущей задачи очевидным образом
обобщается на случай переменного во времени по величине, но
постоянного по направлению магнитного поля, т. е, поля вяда
ж, (о=(о, о,з(?<о).
Волновое уравнение для спиновой в.ф. принимает вид
ис,—
A)
Решение уравнений A):
С, @ = Сх (О) ех
С2 (/) •» Сг @) ехр (- i% (ОХ
Средние значения компонент спина изменяются со временем
по закону
sAO - МО) cos 2| (/) + ^Щ sin 21 (О,
т. е. вектор s(O вращается (вообще говоря, неравномерно) во-
вокруг оси г, вдоль которой направлено магнитное поле.
7.43. Оператор Гамильтона частицы имеет вид
Пусть при f
г (р - т А с- о)"+•» •'¦ о -11 w »¦
0 в. ф. частицы представима в виде
A)
где Х(' —0) = ( л ml ) — произвольная спиновая в. ф. (не зави-
зависящая от г!), т. е. при f = 0 нет корреляции между спиновыми
и пространственными переменными. Легко убедиться в том, что
в. ф. вида
является решением временного у. Ш. с гамильтонианом A), если
функции ф и х удовлетворяют у. П1
первое из которых не содержит спиновых, а второе' — простран-
пространственных переменных частицы, так что между пространствен-
пространственными и спиновыми переменными нет корреляции и в произ-
произвольный последующий момент времени /.
Учитывая, что в. ф. произвольного состояния частицы при
/ =0 можно представить в виде
D)
где каждое из двух слагаемых представляет в.ф. с разделен-
разделенными спиновыми и пространственными переменными (т. е.
имеет вид в.ф. B)), на основании выражений B) и C) и ли-
линейности у. Ш. приходим к доказательству утверждения в уело-
вин задачи. Итак, в. ф. D) состояния частицы в произвольный
304
момент времени представляется в виде
V (г. 0 ч= ф, (г, axi W + Ыт, 0X2@.
E)
где смысл функций фь xi, фя, Хз очевиден.
Ясно, что утверждение задачи остается справедливым и для
частицы с произвольным значением спина.
7.44. Спиновый гамильтониан и у. Ш. для спиновой в. ф.
имеют вид
tha = — иЭ^,а - (i^0 ехр (- Ш) Ь, (О
itib = - (i^oexp (ifflaO a + иЭ^.Ь.
Перейдя к новым функциям 6@, 6@ согласно формулам
перепишем систему уравнений A) в виде
B)
По общим правилам находим решение системы уравнений B)
в виде
а (/) = С, ехр (М) + С, ехр (- fof),
В{1) = ^=р-С1ехр{Ш) + -
LC2exp(-to/),
где b=V! V?.
Учитывая, что согласно начальным условиям а @) = о @) = 1,
6@)=Ь@)=0, находим окончательный вид нормированной в. ф.:
так что вероятность переворота спина (т. е. значения проекции
Ег = — 1/2) в момент времени I равна
W (s« = - 1/2, Л = (-?)' sin» ш/ ¦ g sin1 ul,
_ / V! VS
где e~V » j
Величина g (а с нею,и вероятность переворота спина) при
|3f?0|<|3&i| мала по сравнению с единицей при всех значениях
частоты юо, за исключением узкой области частот вблизи точки
((!>o)pes = —2\t3$i/h шириной порядка |Ди>и| ~ Жф/h.
7.45. а) Оператор Гамильтона и унитарный оператор, осу-
осуществляющий преобразование к гейзенберговскому представ-
представлению, имеют вид
И « — рШг, О = exp {iHt/h) ^ ехр (— йв/dj
(ось г направлена вдоль магнитного поля).
Воспользовавшись результатом задачи 1.14 и учитывая ком-
коммутационные соотношения для матриц Паули [бг, бх] = 21ёу,
[&z, by] = — 2/6*, находим
?х @ = '/г ехр (- to/ftj Ьк е
, sin 2
/) = ?р cos 2@/ —
¦ct. 4@ = 4-
Так как в гейзенберговском представлении в. ф. не зависит
от времени, то из вида операторов s (*) непосредственно следует
вид s@-
б) Гамильтониан, выраженный через гейзенберговские опе-
операторы, имеет вид /?(/)= — 2цЖ2@- Временная зависимость
операторов &(/) определяется уравнениями
A)
где, как и выше, со=ц5#/Л и при получении A) учтены ком-
коммутационные соотношения [&@, ^@] = (еш& @-
Из A) следует *,@ = &@)=-Vi*^
Введем операторы 5±@ = ^@± й&@- Согласно A) имеем
. B)
Уравнения B) для операторов ?±(t) ввиду их линейности
можно решать так же, как и для обычных (неоператорных)
функций; решение имеет вид
?± {f) = ехр (=F 2/©0 $* (°) = V» ехр (=F 2Ш) (дх ± ift^). C)
Из соотношений C) следует установленный выше (в раз*
деле а)) вид гаизенберговских операторов ?*(/) " *ь@-
7.46. Задача решается совершенно аналогично предыдущей.
Следует иметь в виду, что, несмотря на явную зависимость от
времени гамильтониана в шредингеровском представлении:
Яи@ = — уЭ§A)8х, унитарный оператор, описывающий переход
от шредингеровского представления к гейзенберговскому, имеет
простой вид:
(О
(при / = 0 оба представления совпадают); для справедливости
выражения (]) существенно, что операторы B{t) в шрединге-
шредингеровском представлении в различные моменты времени комму-
коммутируют.
Приведем явный вид операторов компонент спина в гейзен-
гейзенберговском представлении:
7.47. В шредингеровском представлении гамильтониан име-
имеет вид
Я «¦» — №& - 11% (д* COS (ЪГ + ftv Sin fflfl0 а
Переход к представлению взаимодействия осуществляется
оператором С=ехр (-?¦ ЯоГJ = ехр (— /й?д2), где б=цЖ0.
Операторы компонент спина в представлении взаимодействия
имеют вид гейзенберговских операторов для гамильтониане До
и на основении результета зедачи 7.45 равны
** м <0 =• V» [К cos 20/ + ftp sin 2ЙГ], й#м (о «» Vi»,,
*, mi @ =• Vs [fiff cos 2Й/ - ft, sin 2ЙГ].
В у. Ш. в представлении взаимодействия
ffl-l-Vw-rwWVrt A)
оператор vlnt(/) равен
ftp sin (<о„+ 26) /]. B)
Уревнение A) с гамильтонианом Рц,» B) имеет вид уравне-
уравнения, рассмотренного в 7.44 (в формулах задечи 7.44 следует за-
заменить wo на wo + 2ё и положить ^i ^= 0). Используя результат
задачи 7.44, находим в. ф, в представлений взаимодействия^
удовлетворяющую начальным условиям ^Рш!(О)= Г-J:
где vMW». <o=V(« + ©o/2)+V2-
Так как оператор &int@=?V2 не зависит от времени (и со-
сохраняет диагональный вид), то смысл верхней и нижней ком-
компонент в. ф. Vim (/) такой же, как и в шредингеровском пред-
представлении: они являются амплитудами вероятностей значений
проекции спина на ось г, равных +1/2 и —1/2 соответственно.
Квадрат модуля нижней компоненты в.ф. 4W@ опреде-
определяет вероятность переворота спина в согласии с результатом
задачи 7.44.
7AS. Гамильтониан в шредингеровском представлении имеет
вид
Й = — A^,й2 - р38#ж еэ /?0 + V.
Переход к представлению взаимодействия осуществляется
унитарным оператором (? = ехр(-^-/?о/)=ехр(— K5/6J, где б =
ft '
Операторы компонент спина и у. Ш. в представлении взаи-
взаимодействия:
К ш (О *= | (** cos 2б/ + вш sin 2й0' К ы @ = -?" •
*» и* Ю и у *&ircos 2S/ - А*sin 2й0.
A)
^ @=—и
*cos
si" 2б0-
Уравнеиие A) имеет вид уравнения, которое было решено
В 7.44 (если з формулах задачи 7.44 заменить «во на 26 и по-
положить 3^1=0). Учитывая результат решения указанной зада-
задачи, находим в. ф. 4Jmt(i). имеющую при / = 0 видЧ^О^^д):
2i"V sin at exp <i
д у цЭ^с/Л, «V+V
Так как оператор ^,nl(/)=&2/2 не зависит от времени, то
компоненты в.ф. уш(/) имеют обычный смысл и вероятность
значения проекции s2 = —1/2 в момент времени t равна
7.49. Функция Грина Ga?,[t.f), удовлетворяющая по пере-
переменным а, / у. Ш. с гамильтонианом В = —цЭ^&г (ось г направ-
направлена вдоль магнитного поля) и при / = /' равная Gan = 6ats,
имеет вид
7.51. О,,(Г. I; Г1, l') = G(r. /; г', /')О„С(/, О*).
где G (г, /; г', /') — временная функция Грина свободной бесспи-
бесспиновой частицы, найденная в 7.19, Gap(/. tr)—временная спино-
спиновая функция Грина, вид которой установлен в 7.49.
7.52. Оч (г, /; г', /') = О (г, (; г', С) С„с (/, С) •).
где вид временной спиновой функции 6„р(/, tr) установлен
в 7.60.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ. ВНЕЗАПНЫЕ
И АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
8.1. С. ф. н с. з. невоэмущенного гамильтониана имеют вид
(см. 2.1)
. «=0.1,2,...
•) Мультиплн
в 7.43 результат о
вижен
ативний вид функции Грина отражает полученный ранее
разделении пространственных и спиновых переменных при
в произвольном однородном магнитном поле jl [(),
Условие применимости теории возмущеннй I Vnm
как легко сообразить, принимает вид
—Ё%! I,
|К0|<-^г(«+1). (I)
Соотношение A) означает, что при возмущении произволь-
произвольной величины сдвиг энергетических уровней с достаточно боль-
шим значением п может быть рассчитан по теории возмущений,
8.2. В выражении для ?^'
второе слагаемое под знаком интеграла, содержащее
cos 2л""в*~'--, при а > 1 быстро осциллирует, так что прн
га->оо соответствующий интеграл -»-0:
*-0.
Таким образом, ярн &-*¦ с
E?tv^-)V(x)dx. A)
о
Фактически значения п, при которых имеет место соотноше-
соотношение A), определяются условием и» а/1, где / представляет
интервал переменной х, на котором существенно изменяется
функция V{x). Иллюстрацией полученного соотношения A) мо*
гут служить результаты предыдущей задачи.
8.3. Учитывая вид нормированных с.ф, неиозмущеиного га-
гамильтониана
Ч1? С*) = B" -yfnanlY l/2exp [~ Va (xfaf]Hn (х/а), а = т[Ыть,
рекуррентное соотношение для полиномов Эрмнта
#п+] (х) - 2хН„ {х) + 2пЯя_, (х) = О
и ортогональность с. ф., легко находим матричные элементы ко-
координаты *в« (а с ними и матричные элементы возмущения
в остальных случаях.
0)
По стандартным формулам теории возмущений находим
Полученное во втором порядке теории возмущений значе-
значение Еп совпадает с точным (см. 2.6). Поэтому представляется
очевидным, что поправки третьего и более высоких порядков
теории возмущений к энергетическим уровням тождественно
равны нулю.
8.4. Матричные элементы Vnm возмущения V = ajc2/2 легко
вычислить, используя результат предыдущей задачи для зна-
значений матричных элементов хпт и учитывая соотношение
A)
в остальных случаях.
Учитывая значения A) матричных элементов, по стандарт-
стандартным формулам теории возмущений находим значения энерге-
энергетических уровней с точностью до членов второго Порядка вклю-
включительно в виде (со = ^kj )
Полученный результат полезно сравнить с точным выраже-
выражением для энергетических уровней:
т. е. первые два члена ?п* ряда теории возмущений совпадают
с соответствующими членами разложения в ряд по параметру
a/k точного значения Еп. Этого и следовало ожидать. Пред-
Представляется очевидным, что и дальнейшие члены ряда теории
возмущений ^"совпадут С соответствующими членами разло-
разложения B). Условие сходимости ряда теории возмущений, как
и ряда BJ, имеет вид \a/k\ < 1,
8.5. Простое вычисление дает следующие значения матрич-"
ных элементов Vnm возмущения:
VS.
VJ2,
A)
в остальных случаях.
Значение поправки первого порядка f& = Vnn следует из A).
Поправка второго порядка просто находится по стандартной
формуле и равна
( -§. и-=0,
Условие применимости теории возмущений:
|Г„|« ~г(п+ 1).
8.7. С. ф. невозмущенного гамильтониана приведены, напри-
например, в решении задачи 8.1. Матричные элементы возмущения
Vr.m отличны от нуля лишь при четных значениях пиши равны
(О
так что поправки первого Z&", второго ?® (и вообще произволь-
произвольного) порядка к нечетным уровням энергии равны нулю — в
согласии с точным решением, см. 2.17.
Поправка первого порядка к четным уровням равна
?j!' = 2a/a, n — четное. Поправка второго порядка к четным
уровням имеет вид (т = 2р)
B)
Сумму, входящую в выражение B), легко вычислить, если за-
312
писать ее .в виде (п ^ 2k)
у
0
4{n+l)a
(все слагаемые суммы взаимно уничтожаются, за исключением
одного: (р — й)-| при р 5= 3ft + 1). Таким образом,
п — четное.
Условие применимости полученных результатов имеет ъид
Ж«тет <"+»¦
8.8. Нормированные с. ф. любого оператора определены с точ-
точностью до фазового множителя Ак = exp(ian), где ап—веще-
ап—вещественное число. Считая, что число а„ имеет вид
(О
где в последовательности чисел CnD> каждый последующий член
имеет относительную малость порядка параметра теории возму-
возмущений по сравнению с.предыдущим, приходим к выводу, что в
любом порядке теории возмущений при расчете коэффициента
rj?} имеется неопределенность, соответствующая произвольному
выбору коэффициента Cjf" в выражении A), так как функции Чх„
и An4*n с равным правом могут быть выбраны в качестве иско-
искомых с. ф. гамильтониана.
8.9. С. ф. и с. з. невозмущенного ротатора имеют вид (см. 4.1)
п=0. ±1, ±2, ...
Возмущение равно V = — 6S>a= — d&ocosq>. Используя фор-
формулу cos<p = (e"r-f-e-!J/2, находим
|-«2, я-*±1.
" {. О в остальных случаях.
Применение стандартных формул теория возмущенна к
основному состоянию ротатора (ш м 0), являющемуся невьн
рожденным, дает
Поляризуемость ротатора а определяется как отношение ин-
индуцированного дипольного момента к напряженности внешнего
поля. Так как энергия индуцированного диполя в воле ?е равна
Л? = — aM[i% то согласно B) поляризуемость основного со-
состояния ротатора равна
8.10. Возбужденные состояния невозмущенного ротатора яв-
являются двукратно вырожденными, и следует воспользоваться
секулярным уравнением *).
Так как все четыре матричных элемента Vmm' между состоя-
состояниями m и тг, относящимися к одному и тому же энергетиче-
энергетическому уровню (/и, m' = ±|«i|), равны нулю, то поправка пер-
первого порядка к энергетическим" уровням невозмущенного рота-
ротатора тоже равна нулю.
Для вычисления поправки второго порядка ?т к возбужден-
возбужденным уровням следует воспользоваться общей формулой [3]
в которой индексы т,т'= ±JmJ нумеруют различные состоя-
йия, относящиеся к рассматриваемому двукратно вырожден-"
иому уровню, а индекс k нумерует остальные состояния невоз-
йущениого ротатора.
При применении формулы A) к первому возбужденному уро-
уровню fm|= 1 (см. 8.9) под т, т' следует понимать значения ±1,
з под ft —все остальные: 0, ±2, ... С учетом соотношений A)
предыдущей задачи выражение A) принимает вид
[ Л12
Из B) следует
Л/2
4/3-32
B)
C)
т.е. двукратно вырожденный уровень ротатора с |т|=1 в од-
однородном электрическом поле расщепляется на два (вырожде-
(вырождение снимается), '
*) Фактически в даяной задаче нет необходимости применят
ьоэмущениД в случае выроящения. Действитепыю, имея в виду с
гамильтониана, легко сообразить, что правильны ф
ближения являются (сравнить С 4.1)
и при расчете смещещй эжргеинеаои уровяеб Ет:,., можно еспользовать
более простые формулы теории возмущенна без вырождения,
8Н
Правильные функции «улевого. нриближ€ння,- даотаетстеу».
шие расщепленным энергетическим уровням C), имеют вид
^ sin ф.
^СОЗф,
очевидный заранее из соображении симметрии.
Применение формулы A) к уровням невозмущенного рота*
тора с |т|^ 2 дает (при этом яедиатоналъные элементы мэтри*
цы в левой части уравнения A) равны нулю)
т.е. в рассматриваемом приближении происходит лишь сдвиг
уровня, но не его расщепление (внимательный читатель сообра-
сообразит, что расщепление происходит в 2|т]-м порядке теории воз-
возмущений) .
8.11. С.ф. и уровни энергии невозмущенного ротатора (см,
43) и возмущение имеют вил
V = — dSo = — йШй cos б
(ось z направлена вдоль электрического поля). Учитывая орто-*
тональность шаровых функций и соотношение
Yn=*l -^/iacos Э «Уво^ л/3 cos 9,
легко находим нужные матричные элементы возмущения:
10 в остальных случаях,
(i энергию основного состояния ротатора во втором порядке тео-
теории возмущений: _
JfcwIifi + liffi+lS—fgi. A)
Из {1) следует значение а0 -поляризуемости основного состоя^
ния ротатора (сравнять с S.9):
?.12. Используя известное соотношение*)
") Его легко получил,, «ели учесть связь шаровых функцив ?ш» с пря-
еоедткнныым полиномами Лежацдра I*J*"' в воспользоваться р»урревтвыми
соотаошениими для носледанх. Наиошти, что мы лрндержвваедея таком як
«44
легко находим матричные элементы возмущения:
(а1т, Г-/+1,
. I blm. /'=-1 — 1.
I 0 в остальных слу
Так как матричные элементы между в. ф., относящимися
к одному и тому же невозмущенному энергетическому уровню
(т. е. с одинаковым значением /), равны нулю, то и поправки
первого порядка к уровням энергии равны нулю.
Для расчета поправок второго и более высоких порядков к
уровням энергии нет необходимости использовать теорию воз-
возмущений при наличии вырождения, если учесть, что оператор tx
коммутирует с гамильтонианом ротатора и при наличии возму-
возмущения, и, следовательно, точные с. ф. гамильтониана могут быть
выбраны в виде с. ф, ?2. Так как при заданном значении т не-
возмущенному уровню Ef отвечает только одна с. ф. Ytm, то для
расчета сдвига энергетического уровня состояния с квантовыми
числами /, т. можно использовать теорию возмущений без вы-
вырождения, и поправка второго порядка равна (/ S* 1)
(из секулярного уравнения очевядяым образом получается та-
такое же значение для ?%). Согласно A) B/-f- 1)-кратное вы-
вырождение уровня невозмущенного ротатора с моментом i час-
частично снимается: он расщепляется на /-(-1 уровней, вз которых
один (с т = 0) является невырожденным, а остальные / — дву-
двукратно вырожденными (ш = ± 1, ±2, .... ±0- Дальнейшего
снятия вырождения в высших порядках теории возмущений не
происходит. Это связано с тем, что, с одной стороны, величина
т = U является интегралом движения и может иметь опреде-
определенное значение одновременно с энергией возмущенного рота-
ротатора, а с другой стороны, энергия состояний, отличающихся
лишь знаком проекции момента на направление оси г, вдоль ко-
которой направлено электрическое поле, одинакова в силу инва-
инвариантности гамильтониана относительно зеркального отраже-
отражения в любой плоскости, проходящей через ось г (при таком от-
отражении проекция аксиального вектора (момент импульса) на
выбора фазовых множителей в определении шаровых функций, как и в книге
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшнца [3] (при другом их выборе фазы величин
Шт и Ьщ могут измениться, однако это обстоятельство не сказывается, есте-
естественно, на окончательном результате для сдвига уровней).
316
направление полярвого вектора (электрическое поле) меняет
знак).
8.13. Рассматриваемый уровень осциллятора является дву*
кратно вырожденным. Отвечающие ему с.ф, выберем в виде
(см. 4.5)
где хР%Пк {х)—хорошо известные с.ф. линейного осциллятора,1
Матричные элементы возмущения легко вычисляются (см.,
например, решение задачи €.3) н равны "
Секулярное уравнение и его решение имеют вид
-о, еР,й= =
т. е. вырождение уровня снимается.
Правильные функции нулевого приближения находятся co-j
гласно стандартным формулам
Отметим, что рассматриваемая задача может быть решена
точно, так как путем вращения системы координат в плоскости
х, у потенциальная энергия У {х,у) = k(x2-\-у3)/2-{-аху может
быть приведена к диагональному виду U^=kixrj2-\:k^zl2. Чи-
Читателю предлагается самостоятельно получить точное решение
задачи и сравнить его с расчетами" по теории возмущений.
8.14. Второй возбужденный уровень невозмущенного осцил-
осциллятора яаляется трехкратно вырожденным. Ему отвечают с.ф.
(см. решение предыдущей задачи)
4f>=ЧТ" (х) Ч^" (у), Ч401 = Ч*Г М V Г' ((/),
Матричные элементы возмущения, отличные от нуля, равны
Решение секулярного уравнения дает следующие значения
поправок первого порядка теории возмущений к энергетическому
уровню:
т е. уровень расщепляется на три и вырождение полностью сни-
снимается.
Правильные функции нулевого приближения, отвечающие
расщепленным энергетическим уровням, имеют вид
4^1 — («Г* ~ V2 W + 4f')/2, ??\ = (*Р - 4f)f V2,
8.15, При замене переменных х' = х, у'=у, /=аг/Ь у. Ш,
и граничное условие для с,ф. гамильтониана принимают вид
Так как |й —*(<с, то, обозначив a*=(l+e)b, |е|<1,
представим гамильтониан в виде Й = Й0-{-$, где
С. ф. и энергия основного состояния для невозмущенного га-
гамильтониана, согласно 4.33, равны {г'^. а)
Поправка первого порядка по малому параметру е к энергии
основного состояния равна
(О
Для вычисления интеграла, входящего в выражение A), за-
заметим, что в силу сферической симметрия в. ф. Щ*
а так как A"ff =• —
И'+f)-
Учитывая, что объем эллипсоида равен v = 4па?Ь/3 =
я 4яа3A + е)-'/3 » 4яа3A — s)/3 = 4^/3, находим ?0 л;
*w tfrffimR2, где /? —радиус шара, имеющего такой же объем,
как'и эллипсоид. Таквм обравом, в первом порядке теории воз-
возмущений до параметру е энергия основного состояния частицы
определяется лишь объемом эллипсоида.
•) Строго говоря, в правую часть этого соотношения следовало бы ввести
дополйятельное слагаемое — 6 (г — a) TFjf (a) {ср. с 2.3); однако учет его не
изменяет вначания й' (так как ?о0> {а) =0).
318
1
8.16. Задача решается .аналогично дредыдущеЁ.-Сф. и
невозмущенного гамильтониана имеют вид (см. 4.33)
и уровень является B/-Ь 1)-кратно вырожденным. Так как one*
ратор ?z коммутирует с гамильтонианом, то, очевидно, правиль*
ными функвдями нулевого приближения для возмущенного га-
гамильтониана являются приведенные выше в. ф. и для расчета
смещения уровня можно воспользоваться формулой
Для вычисления интеграла в A) воспользуемся условным
равенством, аналогичным установленному в 3.52 для векторных
операторов:
B)
Из условия симметрии левой части соотношения B) по ин-
индексам i и k следует 6 = 0, условие ti~g?~ = Q приводит к «ра-
«равенству»
а свертка выражения B) по индексам i и k дает
C)
D)
Из C) и D) находим Л и С и, учитывая соотношение
согласно A) и B) получаем
Из E) следует, что B/+ 1) -кратное вырождение уровня ча*
сти-чно снимается: он расщепляется на /+ 1 подуровней, из ко-
которых один (с m = 0) является невырожденным, а остальные—
двукратно вырожденными. В высших порядках теории возму-
возмущений дальнейшего снятия вырождения ие происходит. Легко
найти среднее по всем подуровням значение поправки первого
порядка;
и среднее значение энергии подуровней в первом порядке по ыа-
дому; параметру е:
т.е. Еп^т определяется только объемом эллипсоида (v
4Я3/3)
/)
8-17. При г ^ а потенциал имеет вид V <w — Uoa/r (рис. 30).
В таком кулоновском поле в.ф. нижних энергетических уровней
локализованы на расстоянии порядка
rn ~ ctott2 = -:?ц- от центра поля, и
если это расстояние много меньше ве-
A)
(л — главное квантовое число в куло-
кулоновском поле), то, очевидно, в «нуле-
«нулевом»- приближении энергетические
уровни нижней части спектра и соот-
соответствующие им в. ф. будут иметь вид
где Ч^,* — хорошо известные с.ф. гамильтониана частицы в
кулоновском поле V = — а/г с а — Uoa. Отличие рассматри-
рассматриваемого в задаче потенциала от кулоновского играет при этом
роль возмущения:
Так как функции V^im являются с. ф. операторов I2 и /г, ком-
коммутирующих с гамильтонианом частицы и при наличии возму-
возмущения, то они являются правильными функцими «нулевого»
приближения, и поправка первого порядка к энергетическим
уровням равна
C)
Разлагая возмущение B) в ряд по степеням (г/а):
), D)
и учитывая известное значение интеграла (см., например, [3])
\, E)
находим согласно C) —E)
eZ = V*{{——[3tts —/(/ + 1)]}, n-iiH-l + 1. F)
¦ Отметим, что уже учет слагаемого О (а'/о8) в формуле D)
при расчете поправки первого порядка к уровням энергии яв-
является превышением точности, так как соответствующее слагав'
мое 0(Uo/ts) в выражении для Я*'1 имеет такой же порядок ве*
личины, как и поправка второго, порядка теории возмущений.
Как видно из полученного выражения F), «случайное» вы.
рождение уровней в нулоновском поле под действием возмуще«
ния снимается и остается лишь обычное B/+ 1)-кратное вы*
рождение (по проекциям момента) уровней в центральном поле
8.18. Задача решается совершенно ана-
анай
р
логично предыдущей.
Возмущение имеет вид (|
aom/fi3)
Сдвиг уровней в первом порядке теории
возмущений равен
-И/-НН2/ + 3)]}.
Условие применимости: | "%> п2.
8.19. В сильном электрическом поле в. ф.
нижних уровней ротатора локализованы в
области малых углов |ф|^ lt так как
при <р = 0 потенциальная энергия V =
=5—ЙЙГйСОБф имеет глубокий минимум (рис. 31). Разлагая
{/(ф) в ряд и ограничиваясь первыми членами разложения:
Щ^^ — Л&осозчж-Л&о + Щ^у* (|ф|<1), A)
приводим в «нулевом» приближении гамильтониан ротатора к
гамильтониану линейного осциллятора, и в этом приближении
с. ф. и с. з. имеют вид
1ф1<я,
Условие применимости проведенного рассмотрения состоит
в малости с.ф. при |ф|~ 1. Так как в.ф. ^(ф) существенно
отличны от нуля лишь в области углов
+'k), т. е.
11 В, И, ГШ1Д.М « др.
то условие применимости полученных результатов принимает
ВИД
чЯ(в+1)«1. или #0»-^г(п+1)г,
Взяв в выражении A) следующие члены разложения по <р2,
можно уточнить значения энергетических уровней ротатора. Лег*
ко заметить, что поправка первого порядка имеет порядок вели-
величины
8.20. Для приближенного
части» с. ф. гамильтониана
определяющего также энергетический спектр частицы, разло-
разложим «эффективную» потенциальную энергию
"¦» 7F+ 2„.
в ряд вблизи точки
в которой
-rof+.
(О
При \г — г01 ^ Го в выражении A) можно ограничиться
лишь первыми двумя слагаемыми, и если в. ф. Rnft (r) сущест-
существенно отличны от нуля лишь в области таких значений пере-
переменной г, то для приближенного расчета /?Яг1 и уровней энер-
энергии Enri мы приходим, фактически, к задаче о гармоническом
осцилляторе с точкой равновесия г = г0 и упругостью к = ?/2фф (г0).
При этом
Для справедливости полученных выражений B) требуется
выполнение использованного при их получении условия: в,ф.
Нп]] должка быть существенно отлична от нуля лишь при
\r — fo|<r0. Учитывая, что в. ф. i?^( существенно отлична от
нуля при
находим условие применимости проведенного рассмотрения
которое при достаточно больших значениях / {н не слишком
больших Пг) всегда может быть выполнено' (существенно, что
<)
Точная в. Ф- Rnri равна нулю при /- = 0, в то время как
приближенная R^i этому точному условию не удовлетворяет.
Однако /?«j при г = 0 является экспоненциально малой величи-
величиной, так что условие /?J^| @) <w 0 приближенно выполняется.
В случае кулоновского поля точное значение энергии
уровня ?„ можно представить в виде (п = п\1\1)
согласующемся с найденным выражением B) для ?^j (следует
учесть, что согласно C) /3*1, так что /A+-1)»(/+1/я)а)-
8.21. Задача решается аналогично предыдущей. «Радиальная
часть Я» с. ф. 4'np,7!!=#npn.efm4/Vp гамильтониана поперечного
движения и соответствующие уровни энергии находятся из
уравнения
в котором к — линейная плотность заряда нитн, не < 0,
fl — произвольная постоянная. Введем для удобства
Эффективная потенциальная энергия при т ф 0
имеет минимум в точке ре, Вблизи этой точки (|р —РоКРо)
•В приближении B) уравнение A) сводится "к у. Ш. для ос-
осциллятора и имеет решение
Б. ф. C) существенно отлична от нуля лишь при
[йв„а -11/2 г пЛ -it/a
так что использованное при получении B) условие | р — ро! ^ Ро
принимает вид Ynp + Vs < -vT^I, чем и определяется область
применимости полученного приближенного решении.
8.22. Рассматривая в уравнении (см. 2.57)
A)
потенциальную энергию как возмущение и представив в. ф
б виде 4^=4^ + 4^*, легко находим
При получении соотношений B) было предположено, что
(У*'!^-!^**! и выполнение этого неравенства определяет об-
область применимости рассмотрения. Обозначив через а и (/о ра-
диус и характерную величину потенциала, легко находим оценку
величины jlPJj,1*! и условие применимости теории возмущений
(с учетом |?^|->1)
Отметим, что полученная оценка величины [Ч™1] справед-
справедлива при произвольной энергии частицы.
В условиях применимости теории возмущений для коэффи-
коэффициента отражения частиц получается следующее выражение
(?J№/2)
\ V{x)e*lk*dx\ < i,
C)
если в соответствующей формуле задачи 2.59 заменить точную
в.ф. на приближенную Ч^'рй)
8.23. Матричные элементы возмущения V = —
(ом. задачу 2.1)
Учитывая значения интегралов {
j - /=/тя) dt
п — четное (п Ф 0),
п -^ нечетное.
= Йявл(п-|- 2)/2/паг)
(первый из которых легко сводится к интегралу Пуассона, вто-
второй берется элементарно, а последний вычисляется с помощью
вычетов), согласно стандартной формуле теории возмущений на-
находим вероятности возбуждения различных состояний частицы
(в первом порядке теории возмущений) при /->-оо в виде
и — четное (п ф 0),
п — нечетное.
где значения к = I, 2, 3 соответствуют трем различным времен-
временным зависимостям поля, приведенным в условии задачи. Отме*
тим, что в первом порядке возбуждаются лишь нечетные уровни
частицы, причем с ростом п величина №A)@->-п) быстро умень-
уменьшается; так, <|>@-»-3)/й7<1>@-»-1)< 0.007. Условие приме-
применимости рассмотрения: maaF0 <? Й.2я2.
8.24- Возмущение имеет вид Г = — ех&{1), и его матричные
элементы равны (см. 8.3)
1о
в остальных случаях.
Отличные ст нуля вероятности переходов осциллятора в пер-
первом порядке теории возмущений равны
где /= \ ^(*)exp(±to/)d/ (знак «±» здесь относится к значе-
значениям ft = n-f 1 и k=n— l соответственно; величина |/|2 не
зависит от этого знака).
Для указанных в условии задачи зависимостей &(t) вели-
величина /равна
Согласно (I) отличны от нуля вероятности переходов осцил*
лятора из n-го состояния лишь в ближайшие по энергии (п — 1)-
н (п + 1)-состояния. Условие применимости рассмотрения:
8.25. В выражении 8{t)=80{\ + СЛJ] величина Уо опре-
определяется из условия
Ро= \ F(f)dt = e J
С учетом значения интеграла (он вычисляется с помощью
вычетов)
вероятности переходов осциллятора определяются формулой A)
предыдущей задачи, в которой величина е*|/|а равна
Искомые вероятности при фиксированном значении Ро с рос-
ростом т монотонно убывают и при х = со равны нулю.
8.26. Возмущение имеет вид Г = — dff(t)cos <р, и его матрич-
матричные элементы равны (см. 8.9)
""" I 0 в остальных случаях.
Отличные от нуля вероятности переходов ротатора в первом
порядке теории возмущений определяются выражением (т' =»
= т±1)
™> («->«')
(I)
Значения интеграла & формуле |1) для указанных в условии
задачи зависимостей S(t) приведены в решении задачи 8.24
(следует учесть, что величины com'm равны Bm+l)fc/2/ и
— Bт — l)fi/2/ для ш' = m + 1 и т' = т— I соответственно).
Условие применимости полученных результатов: d&a <k
(||+)/
Из полученного выражения для W^(m~>m) следует, что в
первом порядке теории возмущений возбуждаются лишь бли-
ближайшие по энергии уровни ротатора.
8.27. Матричные элементы возмущения Г = —dd?(f)cosO
были вычислены в 8.12:
{-d&(t)alm, (' = *+1,
-d8®blm, Г-/-1.
О в остальных случаях.
Видно, что в первом порядке теории возмущений возбуждаются
только состояния ротатора с моментом (' = ( ± 1 (при этом про-
проекция момента m на направление поля не изменяется; отсут-
отсутствие переходов с изменением значения m связано с тем, что
проекция момента является интегралом движения). Вероятности
указанных переходов:
где Г(ю)= V e?(t)exp(№t)dtr а частоты переходов otfj равны
fi(( + 1)// и —ЫЦ соответственно для fs=/+l иС=(-1.
Значения интеграла 7(ю) для временных зависимостей &(t)
вида, приведенного в 8.24, указаны в решении этой задачи.
Условие применимости результата A): d^o^.ha{t-\-t)/L
8.28. В. ф. ^(t) состояния системы с гамильтонианом Й =
= /?о + ?{О, где Р@*~зависящее от времени возмущение,
представим в виде разложения по с. ф. гамильтониана /?0:
Из у. Ш. следуют уравнения для коэффициентов разложения:
(О
41=
Считая, что до включения возмущения (т.е. при f->- — oo)
система находилась в п-м состоянии невозмущенного гамильто-
гамильтониана, т. е. Ол(?->-—oo)=fiftn (в дальнейшем пишем cthn(l)
.вместо я*@). и рассматривая возмущение как малое, предста-
представим о*(/) в виде ряда по степеням возмущения:
В выражении B) мы учли, что из A) следует о^ = 0,т. е.с^=
= const = 6ftn. Подставив B) в A) и приравнивая в обенх час-
частях равенства члены одинакового порядка малости по возмуще-
возмущению, находим (с учетом равенства gJ^ = 6ftn)
«и¦=-!•'»..«>"'*• «--тЕ^сх'»'*'- <3>
Из C) следует с учетом начальных условии ак'„2> {(= — оо) = 0:
t
Вероятность перехода системы из начального n-го в конечное
k-t (после выключения возмущения) состояние равна (ft ф п)
W(n^k) = \akn(t = + <x>)\*=\afn(t = co) + afn(t==co)+ ...\\
я если e™(f= + oo) = 0, то величина
!TP>fri-^ft)-|fl]?(f- + oo)p E)
представляет вероятность перехода системы в соответствующее
состояние во втором порядке теории возмущений.
8.29. Парадокса в действительности нет: для вычисления ква-
квадрата модуля величины а = 1 + °A) + й<2) + ..., представляю-
представляющей разложение в ряд по некоторому малому параметру К <? 1
(так что |а("'| — К") с точностью до членов второго порядка ма-
малости включительно, необходимо знать величину а также с точ-
точностью до членов второго порядка. Действительно,
fl"» + |eWp+2Re.
A)
На основании результата предыдущей задачи имеем
„„„('
Согласно A) вероятность системе остаться при /—*-|-ое-в
исходном п-м состоянии с точностью до членов второго порядка
малости по возмущению включительно равна
V™(')exp(-(»»0
(напомним, что Vnn (t) — вещественная величина). Учитывая,
что «ttJn—""*0^*» ^Itn @ = ^nfc @ (в силу эрмитовостн опера-
TXipa ^), й свойство интеграла
Jiff \dt'f(ut')= Idf^dtnun,
выражение B) легко преобразовать к виду
[ J к.
C)
где штрих у символа суммы означает отсутствие слагаемого с
т = п.
Полученное соотношение C) выражает, очевидно, закон со-
сохранения нормировки в.ф. состояния системы с точностью до
членов второго порядка по возмущению включительно.
8-30. Из выражения для амплитуды перехода во втором по-
порядке теории возмущений, установленного в 8.28:
vtm (о е'w
«-w ос «и,
с учетом значений матричных элементов возмущения Р=
= —ex&(t) для осциллятора, приведенных в решении 8.24, сле-
следует, что во втором порядке появляются переходы осциллятора
из n-ого в (л + 2)-ое и (п — 2)-ое состояния, запрещенные в
первом порядке (см. 8,24). Считывая значения Vkn(t), легко
и, аналогично.
Используя обозначения задачи 8.24: /(ш)= \ &Щеш dt,
находим во втором порядке теории возмущений вероятности пе-
переходов осциллятора, которые запрещены в первом порядке, в
виде
w Щ+Щ-\ат\ - ш, \п{п_1}1Г{_(п)\\ т = п-2.
Значения / для некоторых конкретных зависимостей &{t)
приведены в решении задачи 8.24, причем для нвх \§\*?.&о[ы,
и сравнение вероятностей переходов, происходящих в первом и
втором порядках теории возмущений, дает
в условиях применимости теории возмущении.
8.31. Согласно 8.26 в первом порядке происходят переходы
ротатора из основного состояния («г = 0) лишь в первое воз-
возбужденное (т' = ± I), и для указанной в условии задачи зави-
зависимости & (t) вероятности этих переходов равны
A)
Используя выражение для амплитуд перехода во втором по-
порядке, полученное в 8.28, и значения матричных элементов воз-
ыущенин, приведенные в 8.26, легко находим, что во втором по-
порядке теории возмущений появляются переходы ротатора из
основного (т=0) во второе возбужденное состояние (т'=±2)
с амплитудой (сравнить с решением предыдущей задачи)
B)
Для указанного в условнн задачи вида ЙГ(О интеграл в вы-
выражения B) легко вычисляется, к вероятности переходов
(m=G)-*-(m' = ± 2), запрещенных в первом порядке, оказы-
оказываются равными
1
Сравнение вероятностей переходов A) и C) дает
в соответствии с условием приментлоста теории возмущений.
8.32. Задача решается аналогично предыдущей. В первом по-
порядке теории возмущений возбуждается яишь состояние с / =* 1,
т = 0 с вероятностью
Во втором порядке появляется переход в состояние с 1
—Ос вероятностью
W«@,0->-2, C)=—
8.33. В выражении для-и. ф. вида S»(/)=X<
коэффициенты акя Щ при t > О равны (см. 8.28,
¦["
<»о+ЧО«
"J
A)
Из выражения A) видно, что условием применимости теории
возмущений jfiJJ?| ^ 1 является выполнение неравенства
ЧИ1 = «"«. И
которое при условии близости щ к одной яз частот пере-
перехода и™ (так что eftn<g;J<i>^[) существенно ограничивает при-
применимость теории возмущений. Напомним, что возмущение Vo
в рамках стационарной теории возмущений можно рассмат-
рассматривать как малое при услонин
- Отметим, что в случае возмущения, удовлетворяющего усло-
условиям C), но нарушающего B), можно получить приближенный
вид в.ф. (см., например, [3]); при этом выражение A) опре-
определяет временную зависимость в. ф. при / ^ Т, где значение Г
ограничено неравенствами Тгкп <. 1, Т\ (К0)ья| < ft, вытекающи-
вытекающими из A), если потребовать |а$| < 1.
8.34. Если бы рассматриваемое п-е состояние относилось к
невырожденному уровню, то в случае возмущения, удовлетво-
удовлетворяющего условию
переходы системы из «-го состояния были бы малы и в. ф. *?(t)
в первом порядке теории возмущений определялась бы стан-
стандартными формулами (случай резонансного периодического воз-
мущеияя, обсуждавшийся в предыдущей задаче, мы не рассма-
рассматриваем). Ситуация несколько изменяется в случае, когда ni-e
состояние относится к вырожденному уровню: хотя переходы си-
системы в состояния, отличающиеся от исходного по энергии,
малы, переходы между состояниями, относящимися к рассмат-
рассматриваемому вырожденному уровню, могут происходить с вероят-
вероятностью порядка единицы, и задача состоит в приближенном вы-
вычислении в. ф. с учетом этих переходов.
Представив приближенно в. ф. в виде Ч' (t)»[а,Ч™ +
+ а^^]е~ш (мы пишем для краткости а, вместо aHi и т. д.),
имеем, как обычно, систему уравнений для коэффициентов at (/):
Из A) следует
•д- (ai ± «а — =F -? Vof @ (а, ± а$.
A)
Уравнения B) легко решить. С учетом начальных условий
Ci{—со)=1, а2(— оо)=0 находим
о,@=cosI@, «2@ =-'sing@, ?@=х \ fifidt. C)
Из выражений C) следует, что если возмущение действует
достаточно длительное время Т, так что ||(f) |^j Vo\T/h Г^, 1,
то, действительно, переходы между состояниями «, и п2 суще-
существенны, и это обстоятельство необходимо иметь в виду при рас-
расчете переходов системы в состояния, отличающиеся от рассма-
рассматриваемых по энергии (в рамках стандартных формул неста-
нестационарной теории возмущений считается оЛ1» 1, и, как видно из
проведенного рассмотрения, при наличии вырождения это спра*
ведливо при выполнении условия | Vnn' \T ^ ft).
332
8.35. Сначала вычислим вероятность перехода (в еднпицу
времени) частицы из состояния д. с. в состояния непрерывного
спектра под действием периодического возмущения частоты ю0
по стандартной формуле [3]
J5 0)
где оператор Р входит в оператор периодического возмущения:
так что в рассматриваемой задаче F = — JjcFq/2. В. ф. Ч'п
в матричном элементе (п — набор квантовых чисел, определяю^
щих в. ф. д. с.)
fvn = J чСг^я их (т »л)
соответствует в. ф.
б-фуккционной ямы
единственного состояния д. с, в поле
= ?¦„—энергия этого состояния):
Под v — набором величин, определяющих в.ф. стационарных
состояний непрерывного спектра для невозмущенного гамильто-
гамильтониана,—будем понимать волновой «вектор» ft = p/ft частиц,
«падающих» на яму; при этом в качестве Ч'* следует взять в. ф.
?*(*), описывающие процесс прохождения и отражения частиц
с импульсом p = hk (вид этих функций обсуждался в 2.47), при-
причем если эти функции выбрать нормированными на 6-функпию
no k, то dv » 5ft: ?v = №42m.
С учетом сказанного выше в выражении A) можно выпол-
выполнить интегрирование по v (т. е. по k):
Так как в матричные элементы в выражении C) входят в. ф.
ЧМ*), отвечающие значениям ft, удовлетворяющим неравенству
|fe.2|fi! > ma, при котором потенциальную энергию можно рас-
рассматривать как возмущение, то в качестве в.ф. Ч'а(л) можно
выбрать в. ф. свободных частиц:
Учитывая явный вид в. ф. и возмущения, .находим
Искэмая вероятвость Wq связана с и» следующим образом!
8«1в. Выражение E) для вероятности о», полученное в преды-
душей задаче формально при условии fttiiD :*>|?в| (при этом
вместо точных в.ф. непрерывного спектра были использованы
в. ф. свободных частиц), на самом деле справедливо при произ-
произвольной частоте внешнего поля (Йсй0>|?о|)- Действительно,
изменим способ описании состояний частицы в непрерывном
спектре: воспользуемся в. ф. Чгл, + (х), являющимися с. ф. гамиль-
тониана и имеющими определенную четность (±1) (к =
= 2mEJh2 > 0, в то время как в предыдущей задаче
— оо"<:й < + оо). Явный вид в.ф. четных состояний нам не
потребуется, так как для соответствующих функций матричный
элемент возмущения тождественно равен нулю, а в. ф. нечетных
состояний в случае 6-функционного потенциала такие Же, как и
для свободных частиц, т. е.
**.-(*) =
=¦ sin kx.
Под v теперь следует понимать набор (k, gf, где g = d=, a
«интегрирование» по v означает интегрирование по k и суммиро-
суммирование по индексу g. Учитывая сказанное выше, легко находим
где Fk0 дается выражением D) предыдущей задачи, н приходим
к вероятности w, определяемой формулой E).
При Йшо < |?о| рассчитываемая вероятность ш, очевидно,
равна нулю. Это не означает, что переходы частицы в состояния
непрерывного спектра вообще отсутствуют: они происходят в
высших порядках теории возмущений, т. е- с существенно мень-
меньшей вероятностью. Так, при |?о|/2 < Йшо <|?о| вероятность w
отлична от нуля во втором порядке.
8.37. В стандартной формуле теории переходов в непрерыв-
непрерывном спектре [3]
«tow—?-| lWo(?v-EVi)dv. чФъ, A)
в качестве v, vo выбираем волновые «векторы» свободных час-
частиц; соответствующие в. ф.
нормированы на единичную плотность потока для «падающих»
частиц с импульсом р * hk и на 6-функцию по k' для «рассеян-
«рассеянных» (отраженных), при этом dv =з dk'. Выполнив в выражении
(I) интегрирование по v ?т, е. по к'), находим вероятность пере*
кодов в виде
B)
т. е. переходы происходят только в состоянии частицы с к'=—Н,
отвечающие отраженным частицам, и выражение B) представ*
ляет коэффициент отражения частиц R.
Обозначив через a, Uq радиус действия н характерную вели*
чину потенциала, в случае ko '^ 1 (не очень быстрые частицы)
согласно B) имеем оценку W ~ п?Щ?11$к\ Малость величины
*\JW (грубо говоря, амплитуды перехода) по сравнению с едини*
цей определяет условие применимости теорян возмущений:
8.38. Учитывая известное выражение для коэффициентов
о@ в разложении в.ф. 4>(i)~ ZafenCLf»'>e~'<Ob' (см.. напри-
например, «.28):
Л —
(в выражении для
находим прн / > 0:
^1 выполнено интегрирование по частям),
(О
(при интегрировании было учтено, что di\{t)jdt = b(t)).
Используя полученное значение A) коэффициентов о1", пред-
представим в. ф. Ч'О в виде (напомним, что овя(()«о{Щ = 1)
из которого следует, что вероятность перехода УA) (n-*- k)
определяется квадратом модуля первого слагаемого в выра-
выражении A), т. е.
wm („_> k) = -щ-1 {V0\n P, к Ф п, B)
в то время как второе слагаемое в этом выражении определяет
изменение в. ф. п-го стационарного состояния системы при / > О
аод действием возмущения Го-
Если возмущеяие включается за время т, то формулы B) в
C) определяют вероятности переходов, для которых |с)йп|х<? i.
8.39. Обозначим через Яо и Н = Ло + Ро гамильтонианы си-
системы при t < 0 и / > 0 соответственно (они не зависят от вре-
времени!); Ч'п и Ч^я — с.ф. этих гамильтонианов. В.ф. системы при
/ < 0 имеет вид 4f(()=4'nexp(— iEnl/H); такой же вид она
имеет и в первые моменты времени после включения возмуще-
возмущения Ро (не обязательно малого), так как под действием ограни-
ограниченного воздействия р„ в. ф не успевает измениться за бесконеч-
бесконечно малый промежуток времени его включения (сравнить с ре-
результатом следующей задачи), как это следует из у. Ш. В даль-
дальнейшем прн t > 0 временная зависимость в. ф. определяется га*
мильтонианом Й и имеет Вид
Коэффициенты пкп в этом разложении в.ф. определяют ампли-
амплитуды рассматриваемых переходов, так что вероятность перехода
равна w(n-*-k)=\ahn\*. В случае малости возмущения Го га-
гамильтониана (в смысле применимости стационарной теории воз-
возмущений), учитывая приближенный вид 8.ф. Ч'а, приведенный,
например, в условии задачи 8.8, непосредственно приходим к
формуле B) предыдущей задачи.
8.40. Для определения изменения в. ф. под влиянием 6-функ-
ционного воздействия будем рассматривать последнее как пре-
предельный переход при т-»-0 в возмущении вила Р(/, т)=я
= №of(t/T)/tt где функция f(y) обладает свойствами
при \у\>1;
У.Ш. принимает вид (мы опускаем слагаемое Ло в гамиль-
гамильтониане, так как нас интересует изменение в.ф. в течение беско-
бесконечно малого промежутка времени 2т (т-»-0))
'M
Ш<"т.
и решение этого уравнения определяет при т -*¦ 0 изменение в. ф.
за бесконечно малое время включения и выключения б-функни-
онного воздействия:
[
0)
Так как в. ф. рассматриваемой системы при г < 0 имеет
вид 4' = <Pj1D)exp(— iEJjh}, то сразу после окончания 6*функ-
цконного воздействия она, согласно A), равна
и по общим принципам вероятности возбуждения различных
стационарных состояний при 1>0 даются выражением
а,(„-,А) = |5^Гехр(-|#'о)^>ат|2. B)
В случае малого возмущения | (Wo) кП | < Й, разлагая в фор-
формуле B) экспоненту в ряд и ограничиваясь первыми двумя чле-
членами разложения, получаем результат задачи 8.38,6).
Воздействие вида V(x,t)=~— xPf${t) на классическую ча-
частицу состоит в мгновенном сообщении ей импульса Po="
= \ F (t) dt. Согласно A) это утверждение остается справедли-
справедливым и в квантовой механике. Действительно, сравним в.ф. со-
состояний частицы в импульсном представлении непосредственно
до и после воздействия:
т. е. (р)(р
8.41. Решение задачи получается по общей формуле для пе
реходов, приведенной в 8.39"
Условие применимости: xfinB(ft + 1J/таа ^ 1.
8.42. В.ф. единственного состояния д.с. в мелкой яме и его
энергия (а также в. ф. нижних стационарных состояний непре-
непрерывного спектра) почтв такие же, как в случае 6-функционного
потенциала U(x)= — ct6(x) ca = aUo (см. 2.8 и 2.11), и удоб-
удобно исходить из точного решения для этого потенциала. Указан-
Указанное изменение ширины ямы эквивалентно замене параметра о.
на а =* ab/a.
Вероятность вылета частицы из ямы равна и» = 1 — а»о, где
а»о — вероятность частице остаться связанной; последнюю легко
найти по общей формуле, приведенной в 8.39, если воспользо-
'387
еатьея видом в.ф. состояния л.с. в 6-функционной яме (см. 2.11 )V
Щ|«10(О-»-О) =
Далее, найдем среднюю энергию частицы при / > 0- Для это-
этого усредним гамильтониан Н = р\2/2т—аЬ(х) по состоянию с
в.ф,Чу<*):
(i)
Среднюю энергию в частиц, покидающих яму, легко найти
из очевидного представления ЁA>0) в виде
EU>G) = w0E0(b) + (l-'^e, Еоф) = -^-Е0. B)
Из A) и B) следует
C)
Если Ь = 0, то при f > 0 частица становится свободной и ее
средняя энергия, равная согласно C) |?|, совпадает со средней
кинетической энергией в исходном состоянии (при t<CO), как
и следовало ожидать.
8.43. Задача полностью аналогична предыдущей. Изменение
глубины мелкой ямы в п раз приводит к таким же последствиям,
как и изменение в л раз ее ширины. Таким образом, решение
задачи получается непосредственно из решения предыдущей за-
заменой величины b/а на п.
8Л4. Общее выражение для вероятностей переходов при вне-
внезапных воздействиях, приведенное в решении задачи 8.39, в слу-
чае переходов в состояния непрерывного спектра модифицирует-
модифицируется очевидным образом:
В условиях рассматриваемой задачи под v следует понимать
шпульс р частицы, а в роли W4 выступают, соответственно, с. ф.
импульса
Чгр(х) = BяПГтехрЦрф).
Учитывая вид- в.ф. основного состояния в 6-функциовной яме
(см. 2.11), легко находим, что в принятом приближении вероят-
вероятность вылета частицы из ямы с импульсом в интервале
(р, р + dp) дается выражением
dw{p) =
|ha вероятность нормирована на единицу, т. е. в рассматривав»
мом приближении вероятность частице остаться связанной ямой
пренебрежимо мала. Как видно из (i), характерная величина
импульса вылетающих частиц порядка р ~ Ф ~ ma/fi. Усло-
Условие применимости полученного выражения A) состоит в том,
чтобы такие частицы можно было рассматривать как свободные,
т. е. пренебречь потенциалом U(x) = — at>(x). Согласно 8.22
(или 8.37) для этого требуется выполнение неравенства та <
¦С ph, т.е. a < а (в случае 6-функционного потенциала aU0 =
*= a). Как следует из результата предыдущей задачи, при этом
действительно вероятность частице остаться связанной ямой
мала.
8.45. Для расчета искомой вероятности перейдем в систему
координат К', движущуюся вместе с ямой, г = х — Vt. В. ф,
частицы непосредственно до и после начала движения ямы в ис-
исходной системе координат имеет вид (см. 2.11)
V** ехР (— к Iх I
maJhK
В.ф. этого состояния частицы в системе координат К' связана
св. ф. A) следующим образом:
:) B)
(соотношение B) выражает тот факт, что преобразование в.ф,
состоит в замене импульса р на р — mV, его формальное обос-
обоснование основано на результате задачи 7.26 при /.= (' = 0),
Так как в. ф. связанного состояния частицы в системе К' име-
имеет вид A) с заменой х на х', то искомая вероятность равна
8.46. Учитывая вид с. ф. осциллятора (см. 2.6), находим со«
гласно общей формуле для переходов, полученной в 8.39,
m • о
Интеграл в выражении A) был вычислен в 7.18. Итак,
8.47. Задача решается аналогично 8.45. Учитывая в выраже-
явный вид с. ф. осциллятора и значение интеграла, вычисленного'
в 7.18, подучаем
(I)
где Wn{q,i), En(t)~~с.ф. и с.з. «мгновенного» гамильтониана,
т.е.
848. Представим в.ф. 4?(q, t) в виде
д. О,
B)
ft коэффициенты Cn(t) представляют в.ф. системы в требуемом
Представлении. Подставив в нестационарное у.Ш. в.ф. A),
умножим обе части этого уравнения слева на ЩA) и проинте-
проинтегрируем по координатам системы q. Учитывая ортогональность
Ч-ф. ЧМО, легко находим у.Ш. в рассматриваемом представ-
представлении:
C)
Это уравнение в случае, когда спектр оператора Я является
невырожденным, удобно преобразовать следующим образом. Во-
первых, выберем 4Fn(t) вещественными (это всегда можно сде-
сделать, если отсутствует магнитное поле, так что Л = 62/2т +j
+ ?/(Д0)). При этом
= 0.
Во-вторых, продифференцируем no t соотношение B), умно-
умножим обе части равенства на 4*1 = Ч^ с k Ф п и проинтегрируем
по координатам системы. В результате легко получим
и уравнение C) принимает вид
где штрих у суммы означает отсутствие слагаемого с п ш К
hiakn = Ek — En> (dB/dt)kn — матричные элементы оператора
дЛ/dt.
8.49. Если производная dfl/dt достаточно мала (см. ниже),
то из уравнения D) предыдущей задачи следует Ch ж 0, т. е.
C*»C^ = const=6ftnno условию задачи. В следующем прибли-
приближении адиабатической теории возмущений для k ?* n имеем
Интегрируя A) при заданном начальном условии, получаем
Как следует из вывода, необходимым условием справедливости
выражений B) является неравенство |Cj!i| *C i (ft =?*= п). Оценка
С*," согласно B) дает
Справа стоит отношение изменения гамильтониана за время по-
рндка боровского периода aj? к разности энергий соответствую-
соответствующих уровней, и малость этого отношения представляет искомое
условие применимости адиабатической теории возмущений.
Полезно иметь в виду следующее. Несмотря на медленное
изменение гамильтониана (в указанном выше смысле), за до-
достаточно длительное время он может измениться очень суще-
существенно (даже не иметь ничего общего с первоначальным). Тем
не менее система с подавляющей вероятностью в произвольный
Момент времени будет находиться в состоянии 4^@- Наглядно
этот результат можно сформулировать как сохранение номера
(в порядке возрастания энергии) квантового состояния, что
представляет обобщение закона сохранения энергии для не за-
зависящего от времени гамильтониана на случай его адиабатиче-
адиабатического изменения.
Полученный результат о (приближенном) сохранении номера
квантового состояния является квантовомеханическим аналогом
сохранения адиабатического инварианта \J = -^ ty p dqj в
классической механике (см. [4J). Последнее обстоятельство ста*
новится особенно наглядным в квазиклассическом случае (см,
следующую главу), если иметь в виду правило квантования
Бора — Зоммерфельда.
8.50. Задача решается с помощью общих результатов адиа-
адиабатической теории возмущений, изложенных в двух предыдущих
задачах
С. ф. и с. з. «мгновенного» гамильтониана Я = f>2/2m
— ex8(Q были найдены в 2.6:
Оператор dfifdt равен — ext(t), и его матричные элементы
{dR/dt)ko отличны от нуля (при k *^= 0) лишь в случае k=l
(см. 8.3), причем (dtffdlI0 = — т&/-у/2. С учетом сказанного об-
общая формула B) предыдущей задачи для адиабатических пере-
переходов принимает вид
A)
(мы заменили нижние пределы интегрирования #'("J = 0 на
t'1"* = —оо, так как по условию задачи начальное состояние
осциллятора задано при f->-— оо, и по той же причине поло-
положили / = + оо).
Фазовый множитель exp(ioo) появился в результате интегри-
интегрирования
Формально его происхождение связано с тем обстоятельством,
что мы считали *$A=* — оо) равной WjfOt)—в.ф. начального со-
состояния осциллятора, при этом фаза в. ф. при t ж 0, когда вклю-
включается поле, бесконечна (так как, грубо говоря, Ф D) —.
Квадрат модуля амплитуды перехода A) определяет вероят-
вероятность единственного разрешенного в первом порядке адиабати-
адиабатической теории возмущений перехода осциллятора W@-* 1).
Если электрическое поле при f->--f-co выключается, то инте-
интегрированием по частям в выражении A) вероятность перехода
можно преобразовать к виду
j 8(t)exp(iG>t)dt\,
аналогичному полученному ранее (сиг. 8.24) в рамках обычной
нестационарной теории возмущений (однако у этих формально
одинаковых выражений различные условия применимости*)).
Окончательные выражения для вероятностей возбуждений
»1)
8.51. Условие dSol2 < zh3 обеспечивает применимость адиа^
батического приближения, так что; согласно 8-49, в. ф. ротаггора
в момент времени t является в. ф> основного состояния ротатора
в поде #(f). В частности, при f->-t» эта в.ф. имеет вид (см,
#„<„>
Чп
Вероятности различных значений проекции момента опреде*
ляются. согласно общим принципам, выражениями
(мы заменили интервал интегрирования (—я, я) по ф на
(—оо„ +«>), так как в.ф. Фо(ф) при |<р[^>1 пренебрежимо
мала).
8.52. У рассматриваемой системы, очевидно, сохраняется чет-
четность. Поэтому удобно анализировать временную зависимость
четной и нечетной составляющих в. ф. отдельно. Обозначив
То(х) в.ф. основного состояния частицы в случае одной ямы
?/(>:) = — се$(л;) (см. 2.11) и счятая для определенности, что при
t-*—со частица была связана правой ямой, запишем в. ф.
*) Легко сообразвтц что в данной задаче причиной совпзде<п!я резуль-
результата адиабатического рассмотрении (уиловня применимости которого
17&-—, -г—j— ^1) с результатом теория воз»*ущеивй (условие прииениио-
стн , ¦ ^ I I является специфическое действие оянородяого поля на осцил-
осциллятор, сводящееся фактически лишь к сдвигу «очки подвеса».
начгаЖното состояния в виде
V (/ — — то) = -L? {V" + \р(-
О)
При бесконечном расстоянии между ямами ?(—оо)= оо как
четная, так и нечетная составляющие &.ф. A) описывают части-
частицу, находящуюся в связанных состояниях в поле двух ям с оди-
одинаковой энергией, равной энергии основного состояния в поле
одной ямы (уровень двукратно вырожден).
Каким бы ни был закон «сближения» ям, можно утверждать,
.что, когда ямы сливаются в одну, нечетная составляющая в. ф.
описывает несвязанную частицу, так как в поле одной 6-функци*
онной ямы имеется только одно, четное состояние д. с. Времен-
Временная же зависимость четной в. ф. и вероятность частице остаться
в связанном состоянии существенно зависят от характера сбли-
сближения ям. Но если процесс сближения ям носит адиабатический
характер (см. 8.49), то результат очевиден: частица будет оста-
оставаться в основном состоянии. Так как в начальном состоянии
вероятность четного состояния частицы равна '/в, то в условиях
задачи вероятность частице остаться в связанном состоянии при
медленном сближении ям также равна '/а- Условие применимо-
применимости полученного результата: \L\ <g; a/tt. Фактически это условие
должно выполняться, лишь когда ямы сближаются на достаточ-
достаточно малое расстояние L —- fis/ma (ft1/та — характерное рас-
расстояние, на котором локализована в. ф. частицы в б-функцион-
ной яме). На ббльших расстояниях такого жесткого ограничения
на скорость движения ям нет, так как в этом случае частица,
локализованная вблизи одной из ям, не «чувствует» наличия
другой, а при движении ямы с произвольной (но постоянной)
скоростью в соответствии с принципом относительности никаких
переходов не происходит. Фактически при L > ft2/ma требуется
лишь, чтобы не было слишком большим ускорение L (читателю
предлагается самостоятельно получить соответствующее огра-
ограничение) .
В заключение еще раз подчеркнем, что при решении задачи
мы использовали адиабатическое приближение только при рас-
рассмотрении четной части в. ф. Что же касается нечетной части
в.ф., то при рассмотрении ее временной зависимости адиабати-
адиабатическое приближение заведомо неприменимо, когда ямы сбли-
сближаются до расстояния La, при котором нечетный уровень дис-
дискретного спектра исчезает (сливается с непрерывным спектром;
Lo^=hs/ttia).
8.53. Обозначим через Ч^ (х, I), ЕП1 (|) с. ф. и с. з. оператора
/? = Й,(х)+ V{x, l) при фиксированных значениях | координат
«медленной» подсистемы, т. е.
[#i + V (х, I)] Y* (х, I)
<*, I).
О)
В адиабатическом приближении точные с. ф. полного гамиль-
гамильтониана системы В представляются приближенно в виде
где в. ф. Фп,п, а приближенные значения Еп,П1 энергетических
уровней системы определяются из у. Ш.
(Я, + V (х, I) + Я2) ФП1П, (I) Ч>П! (х, I) ж ?П;„,ФП:П1
, (х, I), B)
если в этом уравнении проделать следующие преобразования:
учитывая соотношение A), умножить обе ч-асти уравнения B)
слева на ЧЪЛ*» I), проинтегрировать по координатам х «бы-
«быстрой» подсистемы и пренебречь действием оператора /?g(?) на
переменную ?, входящую в в. ф. "Ч!Л1 (х, |) (т. е. считать ЯгФФ ~
« Ч7?ЯФ). В результате для определения в.ф. Фл,«, н энергети-
энергетических уровней ?„,„, получается у. Ш.
(Яа (I) + ЕП1 (|)) Ф™ A) = ЕпъФ*» (I),
в которое входят только координаты «медленной» подсистеМй,
а* взаимодействие ее с «быстрой» подсистемой эффективно ха-
характеризуется «потенциальной»энергией, равной Еп, (|).
8.54. Задача решается в адиабатическом приближении, рас-
расчетные формулы которого приведены в предыдущей задаче.
В роли «быстрой» подсистемы выступает движение частивы
вдоль оси х, в роли «медленной» — движение вдоль оси у (такое
рассмотрение возможно в силу условия a <S Ь). Использун обо-
обозначения предыдущей задачи (с единственной заменой I на у)
и выбрав Hi = p2xf2m, fh = $j2m, V(x, y) = Uix, у), легко на-
находим
(движение частицы вдоль оси х при фиксированном у — движе-
движение частицы в бесконечно глубокой яме шириной а (у) =
)
Движение частицы вдоль оси ут согласно уравнению B) пре-
предыдущей задачи, определяется «потенциалом»
V. Ш. с такой потенциальной энергией точно решено быть йе
может. Однако можно заметить, что в случае не очень сильно
возбужденных состояний в таком поле в. ф. стационарных со-
состояний локализованы на расстоянии |j/|<S Ь, а в этой области
потенциал можно разложить в ряд
При этом задача вычисления Фщп,($ и Е^п, сводится к задаче
о гармоническом осцилляторе.
Окончательные выражения для нижних уровней энергии рас-
рассматриваемой системы и приближенных с. ф. имеют вид
8J>5. Задача решается аналогично предыдущей. В роли бы-
быстрой подсистемы выступает движение частицы вдоль оси г, в
роли медленной — движение в плоскости х, у. В. ф. и уровни
энергии быстрой подсистемы при фиксированных координатах
х, у медленной имеют вид
<p> V( + y)/ V №
Движение медленной подсистемы (после усреднения по дви-
движению быстрой} характеризуется эффективной потенциальной
энергией
Разлагая U(p) в ряд вблизи точки минимума (р = 0):
(I)
замечаем, что задача вычисления в. ф. медленной подсистемы и
энергетических уровней системы сводится к задаче о плоском
осцилляторе (см. 4.5). Уровни энергии частицы в адиабатиче-
адиабатическом приближении представляются в виде
(ЛГ —главное квантовое число соответствующего плоского ос-
осциллятора; ограничение на значение N вытекает из условия ло-
калнзащщ в. ф. медленной подсистемы на расстониях р <Si а. при
которых справедливо разложение A)).
8JJ6, Выстрой подсистемой является данжение частицы в
плоскости х, у, медленной — движение вдоль оси г. В. ф. быстрой
946
подсистемы и соответствующие им уровни энергии при фиксиро-
ванном значении координаты г (см. задачу 4.8 о частице в бес-
бесконечно глубокой двумерной яме; а (г) = a *ijl—z2ftJ) имеют вид
Разлагая эффективную Потенциальную энергию медленной под*
системы в ряд вблизи точки минимума (точно так же, как это
было сделано при решении двух предыдущих задач), приходим
к выражению
Епж, = —^г3-4- Л ";tJ~m (^4- Щ, т.2—0,1, ..г,
для нижних энергетических уровней частицы & адиабатическом
приближении.
8.57. Быстрая подсистема — осциллятор, характеризующийся
координатой х. При фиксированном значении у — координаты
медленной подсистемы — в. ф. и уровни энергии быстрой под*
системы имеют вид (со = i "
В. ф. и уровни энергии медленной подсистемы определяются
согласно уравнению B) задачи 8.53
Для получения точного решения задачи сделаем замену пере-
переменной г = у *^М1т. При этом гамильтониан системы приник
мает вид
t-Jr-+i!if/+<'/\/-wxz-
Далее, перейдем к новым переменным х, г. согласно формулам
х — х cos фо + z sin фо, z = z cos Фо — х sin фо.
При этом преобразовании, представляющем поворот в плоскости
х, г (так что А = А), гамильтониан принимает вид
(т. е. координаты Jc, 2 — нормальные) и его с. з. — энергетиче^
ские уровни системы, — очевидно, равны
(отметим, что наиболее простой способ определения собственных
частот состоит не в явном выполнении преобразования B), а в
вычислении главных значений тензора kin, входящего в потен-
потенциальную энергию осцилляторов V = l/zkinXtxr; главные значе-
значения тензора kin легко находятся из условий инвариантности сле-
следа и детерминанта матрицы й,„ при вращениях системы коор-
координат) .
Из выражения C) легко увидеть, как получается результат
A) адиабатического рассмотрения.
8.58. При решении задачи используем адиабатическое при-
приближение (см. 8.53). В роли быстрой подсистемы выступает лег-
легкая частица (ее координата xi), медленной подсистемы — тяже-
тяжелая частица. Уровни энергии и в.ф. быстрой подсистемы при
фиксированной координате х2 медленной имеют вид (считаем
для определенности, что тяжелая частица находится слева от
легкой; в.ф. равна нулю при Jt| >¦ а и xi <. х2)
Энергия Еа, {х2) выступает в роли эффективной потенциаль-
потенциальной энергии для медленной подсистемы при 0<Лй<о; при
а? < О и Xz > а потенциальная энергия равна бесконечности.
Для нахождения энергетических уровней системы, соответствую-
соответствующих не слишком сильно возбужденным состояниям медленной
подсистемы, разложим эффективную потенциальную энергию
при х2 > 0 в ряд вблизи точки минимума Хг = 0:
(ср. с решением задачи 8.54). При этом из уравнения B) зада*
чи 8.53, определяющего в. ф. Фп^, медленной подсистемы и
энергетические уровни системы, легко находим уровни энергии
системы в адиабатическом приближении (с учетом результата
задачи 2.15):
Читателю предлагается самостоятельно убедиться в .том, что
условием применимости результата A) является выполнение
неравенства "
оЯ1+1 < л (n, + ХТ'ЦМ/тI13
(напомним, что ап с ростом п возрастает; см. 2.15).
Глава 9
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
9.1. Искомые уровни Еп определяются правилом квантования
Бора — Зоммерфельда
ь
п = 0,1,2, .... A>
где р(х) — ^2т(Ел — U{x)); о, Ь — точки поворота, определяе-
определяемые условием р(а) = р(Ь)^О. В случае осциллятора (V = kxyi,
Ь = —а = -^2En!k) левая часть в соотношении A) оказывается
равной (/ — х -yfk]2En, ю = -y/kfrn )
ту
B)
что совпадает с точным значением, хотя по способу получения
применимость результата B) ограничена формально условием
и>1.
9.2. В. ф. справа от правой точки остановки Ь имеет обычный
квазиклассический вид:
A)
Этой в. ф. в области х < Ъ соответствует в. ф. вида
*<*)
х<Ь.
Напомним, что значение фазы л/4 в выражении B) для в.ф.
получается при помощи сшивания квазиклассических решений
A), B) у.Ш. в окрестности точки х = Ь (где эти решения не-
неприменимы) с помошью точного решения у.Ш. в этой области
в предположении справедливости линейной аппроксимации по-
потенциала.
Для рассматриваемого потенциала кваздклассичеекое реше-
решение B) справедливо, вообще говоря, вплоть до значений х, не-
непосредственно примыкающих к девой точке поворота х = 0, и
граничное условие Ч'@)=0 определяет искомое правило кван-
квантования
ь
^ л —0.1.2, ....
C)
ь
'(отметим, что условие квантования C) можно также легко по-
получить из правила Бора — Зоммерфельда, примененного к сим-
симметричному потенциалу С(х)=и{\х\), если воспользоваться
результатом вадачи 2.12),
».8. Используя формулу C) предыдущей задачи с V(x) =
**mgx, легко находим
Еп= (¦^¦)l/S(m^iAEI/3(n -I- 3/4L A)
Выражение A), полученное в квазиклассическом приближе-
приближении, применимо при п>1. Однако обычно квазиклассические
выражения для энергетических уровней и при n ~ 1 не сильно
Отличаются от точных значений. Так, в рассматриваемой задаче
формула A) при п=0 дает Ео= ijtHirngVl*I'3, а точное зна-
значение энергии основного состояния частицы равно l,86(mg-8ftsI/3.
9.4. Используя правило квантования в квазиклассическом
•лучае
—Xt
после простых преобразований находим
я (г. + 1/2),
где Cv = J yi—Г Л-
Используя выражение A), получаем (п>1)
и так как ?„<» п8^**2», то при 2v/(v-f 2)> 1, г. е. v>2, рас-
расстояние между соседними уровнями с ростом п увеличивается;
ври v <L 2 это расстояние уменьшается; при v — 2 (т, е, в слу-
случае осциллятора) уровни эквидистантны.
860
Плотность «остояннй дискретного снектра равна
(US. В квазиклассичёском правиле квантоваинн уровней
рассматриваем формально л как функцию переменной ?, Эта
функция п(Е) представляет число состояний д. с. с энергией,
меньшей Е, и дифференцирование ее по энергии Е дает искомую
плотность состояний д. с: 1
где ©(?) имеет простой смысл: Г = 2п/а> представляет период
движения в рассматриваемом поле классической частицы с эведа
гией Е. Так как плотность состояний д.с. равна g(E)=lf&Et
где Д? — расстояние между соседними уровнями, то согласно
A) AE = ha(E).
9.6. Условие применимости квазиклассического рассмотрения
ПрИ Х-*-Ха I
I f ¦ I
A)
выполнено в случае v>2 и нарушается при v<2. При v=2
решение у. Ш, в окрестности точки х0 имеет квазиилассический
вид лишь при выполнении неравенства -фт >• ft.
9.7. У.Ш. при ? = 0 для «-состояний (/ = 0) имеет вид
_ h* йгг В_х = о
Решения этого уравнения имеют квазиклассический вид при
выполнении условия
Для v > 2 условие (i) выполнено при г <?. {ifma/vft) *
т. е. квазиклассика применима лишь на малых расстояниях; прв
v<2, наоборот, квазиклассика применима на больших рас-
расстояниях г > (V»K*7Wt)~y|2"rt. В случае v= 2 при выполнение
условия фпа 3» ft решение уЛД. имеет квазнкласснческий вид
во всем пространстве; при л/та ^Л квазиклассика вообще не-
неприменима.
9.8. При решения задачи квазиклассика может быть исполь-
использована только при выполнении условия Vma ^ Й (сравнить
с 9.7). Если указанное условие выполнено, то в.ф. имеет ква-
квазиклассический вид при всех значениях х^ра (при *< а
УезО), ?а исключение^ узкой области бблйэи правой Точки
остановки х = Ь = VWI-c I • Энергетические уровни определяют»
ся правилом квантования, установленным * $.2, т. е,
()
Из соотношений B) и C) явное выражение для Е„ можно
получить только в случаях |?"п[<се/аа и |?„[я»а/о8. В пер-
первом случае (верхние уровни) из B) и C) получаем в резуль-
результате разложения по малому параметру \Еп\а2/а
}- D)
Из выражения D) следует, что расстояние между верхними
уровнями энергии (число которых бесконечно велико) умень-
уменьшается экспоненциально с ростом п, так что плотность состоя-
вяй д. с( (сравнить с 9.5) при JjE1 |—»-0 растет как |?"|"'.
Явный вид в. ф. Ч'п (х) легко получить, если воспользоваться
общими выражениями для в. ф. справа и слева от правой точки
поворота, установленными в 9.2, и при вычислении интеграла
I р(х) их сделать указанную выше замену переменной.
9.9. Найдем в квазиклассическом приближении вид функ*
иии %(г), связанной с в.ф. Ч?Пг1т соотношением х —гЧ^уи». Эта
функция удовлетворяет одномерному у. Ш. с потенциалом V =»
= ~а/г и граничному условию х@)=0. Точками поворота яв-
являются г = а=0 и г^Ь*=а/\Е\. Квазиклассическое решение
852
справа от правой точки поворота имеет вид
Такому решению соответствует при г < 6 в. ф
-=-J, г<Ь,
(О
причем для справедливости этого выражения требуется выпол-
выполнение условия применимости квазиклассики; но в кулоновском
поле на малых расстояниях (г->0) это условие не выполняется
(см., например, 9.6 и 9.7). Поэтому, чтобы воспользоваться гра-
граничным условием %[Щ = 0, определяющим фактически энерге-
энергетический спектр, квазиклассическое решение A) следует на ма-
малых расстояниях сшить с точным решением у.Ш. (если же про-
просто потребовать Хкв(О) = О, то получаемый результат для уров-
уровней энергии будет менее точным).
На малых расстояниях г^а/\Е\ у.Ш. принимает вид
rfVrfr8 + (й/r) х = С б = 2та/&.
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию хФ) = 0,
выражается через функцию Бесселя (см., например, [12]):
B)
Квазиклассическое решение у.Ш. при r-<fc, очевидно, мож-
можакже (на A))
имеет асимптотическое поведение
-^д- sinB -Jar -i).
К р у р
но представить также (наряду с A)) в виде
C)
При значениях г в интервале, определяемом условиями
Vu<V^. О)
имеем \d!kfdr\'~(ar)~112 «С 1, т. е. применима квазнклассика, и
в. ф. C) с учетам соотношения р (г) & ^2tnajr =¦ А -^й/г >
12 В, М, Гвдвдетй и др. Ш
справедливого в интервале {4), принимает вид
E)
В то же время в интервале D) точное решение у. Ш. имеет
вид B), и сравнение выражений B) и E) для в. ф. позволяет
найти значение параметра у = —зт/4. Условие же совпадения
квазиклассических выражений A) и C) для в. ф. приводит к
соотношению
F)
представляющему искомое условие квантования энергетических
уровней s-состояний частицы в кулоновском поле в квазиклас-
квазиклассическом приближении (лг = 0, 1. ... — радиальное квантовое
число).
Из соотношения (б) легко находим
Е^ = ~*ждаг(я>.+ I)*, G)
что совпадает с точным значением при произвольном п,т хотя
формальное условие применимости выражения G) определяется
существованием интервала D) переменной г, использованного
для сшивания точного л квазивласёического решений, и требует,
как обычно, пг » 1.
Ь.Ш. Задача решается- авалегиадю предыдущей. Квазвкяас-
сичееное решение у. Ш. е области филвшго дюодеюю класси-
классической частицы имеет вид (сравнить с выражением C) преды-
предыдущей задачи)
У. Ш. на малых расстояниях /^ < а/\Е\ принимает ввд
Его решение, удовлетворяющее граничному условию x
имеет при
3» 1 асямитотическое поведение
i). B)
Интервал значений я^екгеюгой г
C)
является ©бяа-стыо «перекрытия» \ъ. е. областью, в которой при-
применимы и точные и квазиклассические выражения дли в.ф.), я
сравнение в. ф. A) в этой области
с точной в.ф. BJ позволяет яайти значение Y = -f- — -3 ,*_ у. н
тем самым получить условие квантования уровней энергии
(сравнить с выводом формулы F) предыдущей задачи):
Из соотношения D) следует
D)
E)
Условие применимости полученного выражения E): ПгЗ» 1-
9.11. Задача решается аналогично 9.9. Основная яробяема —
сшивание точного и квазиклассического решении на малых рас*
стояниях. Исходим из уравнения для фувкции % {связанной
с в. ф. Ч' следующим образом: xenrtm = Y/y
В этом уравнении при малых г можно опустить слагаемое
Е%, и оно принимает вид
= 0, a=2ma/h\
Решение этого ураииеяищ, удовлетворяющее условия» ж@)'=я
= 0 {сы^иящяше^{Щ),
имеет асимптотическое поведение
В интервале переменной г, определяемом условиями
г <•? ц/| ? |, B/ +1) < У^» B)
применимы как точное решение A), так и квазиклассическое
представление в. ф.
C)
где а —левая точка остановки, причем в выражении для р(г%
можно опустить слагаемое, содержащее Е. Простое вычисле-
вычисление интеграла
позволяет, согласно выражениям A), C), D), найти значение
параметра y^-nl-^ + n V'('+ U и получить условие
квантования уровней с моментом * в квазиклассическом при-
приближении (сравнить с 9.9):
из выражения E) после простых преобразований находим
Епг1 = ~ ад* (*-Н 4-if ' '6*
что совпадает с точным значением при произвольных л, и /,
хотя по квазиклассическому способу получения формулы F)
она формально применима лишь для пг 3» 1.
В связи с полученным в данной задаче правилом квантова-
квантования E) необходимо сделать следующее замечание. Это правило
отличается от стандартной формулы Бора — Зоммерфельда (со-
(согласно последней правую часть E) следовало бы заменить на
я(п, +1/2), и получающийся результат был бы менее точным).
Причина этого в том, что во всей области малых г (О <г"^: о),
в эффективной потенциальной энергии важную роль (домини-
(доминирующую при я-*-0) играет центробежный потенциал
ШA + 1)/2тг\ а, как было установлено в 9.6, для такого по*
тенциада квазиклассическое рассмотрение применимо лишь при
У/(*+1) » 1. Соответственно в случае 1'~ 1 квазиклассика
неприменима, и именно поэтому пришлось искать точное реше-
решение у. Ш. в области малых г.
Однако в случае / з» 1 уже применимо стандартное квази-
квазиклассическое рассмотрение и с самого начала можно было бы
воспользоваться правилом квантований Бора — Зоммерфельда.
Действительно, в этом случае в выражении для у можно поло-
положить VH'+ 1) ** / + 1/2, так что E) принимает вид формулы
Бора —Зоммерфельда.
9.12. С известной точностью (см. ниже) для решения задачи
можно воспользоваться правилом квантования Бора —Зоммер-
—Зоммерфельда
положив в нем п = Л"— 1 (N—порядковый номер уровня; на-
напомним, что первому, основному уровню отвечает п = С) и
устремляя EN-i к нулю. Учитывая явный вид U(x), легко на-
находим искомые значения параметров потенциала:
B)
По поводу точности формулы B) следует заметить, что учет
в ней в правой части слагаемого (—i/2) является превышением
точности (так же как учет слагаемого 1/2 в правой части фор-
формулы A) при расчете «верхних» энергетических уровней ?„-*-
-»-0). Это связано с тем, что при выводе формулы (^'Предпо-
(^'Предполагается, как известно, что потенциал удовлетворяет условию
квазиклассичности при всех х. за исключением узких областей
вблизи точек остановок (поворота). В задачах же, подобных
данной, точки поворота при Е„-*-0 «уходят» на бесконечность
(й-»-—то, б-*--\-оо)г а условие применимости квазиклассикн
выполнено лишь для конечных значений х. В данной задаче
условие применимости квазиклассики \dKfdx\<g.l для ? = 0
принимает вид
\ф\< T/QmUacPflP «?. C)
Изменении в условиях сшивания квазиклассического и точ-
точного решений по сравнению с теми, которые были использованы
при выводе A), проявляются обычно результативно в замене
множителя («+ 1/2) в правой части A) на (п-\-у), где у за-
ввснт от конкретного вида потенциала и обычно у ~ ' (иллкн
страцией этого обстоятельства являются результаты задач 9.2,
9.9,9.10,9.11).
Имея в виду сказанное выше, уточним результат B) (так
как квазиклассическое- рассмотрение предполагает п » 1, то
такое уточнение может показаться лишним; однако это не щ&к,
потому что ири корректном вычислении значения у квазнклас-
еический результат при п — 1 имеет высокую точность). Вспо-
Вспомним, что условию появления нового (но счету) состояния д. с,
частицы при углублении потенциальной ямы отвечает существо-
нание не возрастающего при х~* ±со решения у. Ш. для Е = О
(см. 2.18). Для нахождения решения у. Ш. поступим следую^
щим образом: при больших fjt| получим точнее решение, при
конечных |л[ — квазиклассическое и «сошьем» решения.
На больших расстояниях |л|>й у. Ш. принимает вид
(см., например,
D)
и его решение, не возрастающее при
Ц2]),
—
При ?» 1 (именно этот случай и представляет интерес с
точки зрения применения квазиклассики) в интервале а < х <
<^ag п#нмешшы как точнее решение D), так и
ское, которое иредставвм в виде
(VTsME<i/jt+^. F)
Сравнение Щ в (б) дает Xi — О-
Кваэвклассичеекое решение можно записать также в виде
F)
в котором его удобно сшивать с точным решением в интервале
а < ~~х < eg; ечевидно, Vb=0.
Условием совпадения решений E) и F), представляющих
одну н ту же функцию, явлается, очевидно, равенство
\ p{x)dx=nN, или
m
которое и представляет искомое уточненное условие появления
нового, N-то, уровня д. с. при углублении ямы.
Из выражения G) следует
¦^g^-JV. (8)
Следует указать, что рассматриваемая задача допускает точ-
точное решение, согласно которому
*^«=ЛР-1. (9)
Сравнение B), (8), (9) показывает, что, действительно,
уточненное условие (8) лучше согласуется с точным, чем «упро-
«упрощенное» B). Так, для N = Ю различие правых частей в (8) и
(9) составляет 1%, а различие между B) и (9)—10%. Отме-
Отметим также, что даже для N = 2, когда квазиклассика формаль-
формально неприменима, различие между (8) и (9) составляет лишь
25% (что же касается случая N=1, то напомним, что, соглас-
согласно 2.13, в рассматриваемом поле при любых значениях пара-
параметров всегда имеется хотя бы одно состояние д. с).
9.18. Задача решается аналогично предыдущей. Условие по-
появления нового. N-го, уровня д. с, (основной уровень — первый)
имеет вид
^=3,72.
9.14. Задача решается аналогично 9.12. На больших расстоя-
расстояниях квазиклассика неприменима. Поэтому квазикяассическое
решение {?=©)
<. ™ >
(i)
следует сшить на большом расстоянии с точным решением, не
возрастающим при х-*-±оо. У. Ш. на больших расстояниях
(С/(х) as— кг)
Г+(И?=0 (о — 2таЩ
имеет не возрастающее при x-v-f-то решение (смч например,
11211
При
C)
функция B) имеет вид
и если ва расстоянии, удовлетворяющем неравенству C), по-
потенциал уже имеет асимптотическое поведевие V(x)« —ax~v,
то в этой области переменной х, наряду с точным решением D),
справедливо и квазиклассическое A), имеющее при этом вид
Ч„ = -?-Х-'<*т(^а Vf.2*c-»I"+Vi)- E)
У
Сравнение D) и E) дает
Представив квазиклассическое решение в виде
при аналогичных предположениях находим vas=Yi и получаем
искомое выражение (сравнить с решением задачи 9.1-2):
иядг + _« _" F)
определяющее значения параметров потенциала V{xf, отвечаю-
отвечающие условию появления нового, N-ro по счету, состояния д."с.
при углублении потенциальной ямы.
9.15. Разложим потенциал вблизи правой точки поворота ха
в рад по степеням (х~ха), ограничиваясь линейным членом:
(О
Область применимости этого разложения очевидна: \х — дго|<
<S! Xf>. Для того чтобы можно было использовать стандартные
формулы сшивания квазиклассических решений справа и слева
от точки поворота и правило Бора — Зоммерфельда, необходи-
необходимо, чтобы на границе области \х — ло|<л01 где еще справед-
справедливо разложение A), уже было выполнено условие приме-
применимости квазиклассики \d\/dx\ < 1, ПОЛОЖИВ (Х — Xf,)ms ух0,
М < i, легко находим
B)
Так как для сильно возбужденных уровней ?„~>оо и соот-
соответственно jto-*-co, то из выражения B) следует, что в рассмат-
рассматриваемом случае v > О стандартные условия сшивания кваза-
классических в. ф. выполнены.
9.16. Обозначим через Ё^ и Еп = Ёп>-\-6Еп энергетические
уровни в квазиклзссяческом приближений в полях Uo(x) и
U(x)=*U{,(x) + W(x) соответственно. Они определяются прави-
правилом квантования Бора — Зоммерфельла. В частности,
) — tU(x)\ rfx
A)
Разлагая подынтегральную функцию в этом выражении с
учетом малости 6?„ и Ы/(х), находим искомое смещение
уровня*):
B)
Полученный результат ваходится в согласии с известной
формулой первого порядка теории возмущений б^п « Е^ —
=Vnn ^ Ff )„„, если в ней при вычислении матричного элемента
воспользоваться квазиклассическим видом в. ф. При этом сле-
следует иметь в виду, что доминирующий вклад в матричный эле-
элемент Ft/)«.n, как и в нормировочный интеграл \ |ч?Г(*) f dx= I,
вносит область между точквми поворота •*) (область финитного
движения классической частицы), н поэтому можно ограничить-
ограничиться следующим приближенным представлением нормированной
на единицу в. ф.:
а < х < Ь,
х<а, х>Ь,
(из-за быстрой осцилляции функции sin |...| вели*чиву sins [.. ,|
в подынтегральных выражениях для нормировочного интеграла
*) Изменение левой части A) за
Конечно, сдвиг уровня
циального рассмотрени
отлично от нуля лишь
етствующей энергией
сть и в этом случае,
области классического двв-
то согласно B) вЕ„=О.
го расч
¦и яатрнчтазго элемента (ЬЩ„„ можно заменить ее средним зна-
значением, равным 1/2).
9.17. Рассмотрим частицу в поле U{x) = a\x\v (при а>>0
также «>?., при v<0, наоборот, а<Ю; в противнем случае
в такой таэле вообще отсутствуют состояния д.с). Для дока-
доказательства теоремы вариала <см. 7.6) непосредственно в рам-
рамках квазикласснческого приближения найдем С!„„ и Т„п и срав-
сравним их.
При вычислении среднего значения ?/?,„ в п-м состоянии в
квазиклассическом случае (и >• 1) следует учесть, что домини-
доминирующий вклад в матричный элемент ?/„„, как и в нормировоч-
нормировочный интеграл, вносит область значений к между точками пово-
поворота, и зюэтому можно ограничиться приближенным видом в. ф.
Ч!п{х), приведенным в предыдущей задаче, а в получающемся
интеграле -быстро осциллирующий множитель sin2 [,..] следует
заменить его средним знавением, $ав«ым J/2 (сравнить с 9.i6).
Таким образом,
A)
(т й uXtf приведены в 9.16).
Учитывая симметричность потенциала (так что а =
и его конкретный вид. прэлелаем в (i) сле-
следующее згресгбдаа
(внеинтеграяьное слагаемое равно нулю, так как х = Ь~точка
остановки, а при подстановке нижнего предела jc = 0 учтено,
что v >¦ —2,, feSe в противном случае вевннкало бы «падение»
частиц на центр ноля х=0; более того, специального рлссмот*
рения требует уже случай поля притяжения с vag— 1, так что
рассматриваемый потенциал является «хорошим» лишь для
v>-l).
Имея в ваду B) и правило кЕантвваиия Бора —Зоммер-
фельда, получаем
&залогичйо» используя тождество Т„„ =(?„ — U-(x))mt легко
находим
Сравнение C) и D) дает 27"nn=s=vC/nn, что и составляет со-
содержание теоремы вириала.
В заключение отметим, что для рассматриваемого потенцла-
ла правило Бора — Зоммерфельда позволяет легко получить
энергетический спектр частицы (см. 9.4).
9.18. Так как «>• 1, то, вообще говоря, применимо квази-
классическое приближение и среднее, значение кинетической
энергии частицы может быть представлено в виде (см. форму-
формулу D) предыдущей задачи)
И»)
(О
(мы написали (« + у) в правиле квантования вм«ет© белее
привычного значения (п + 1/2) по правилу Бора — Зоммер-
Зоммерфельда, иыея в виду общий, случай, когда стандартные условия
сшивания квазиклассических решений вблизи точек поворота
могут и не выполняться; см., например, 9.2. 9.9 и др.).
Замечая, что
i^\'\!2m{En — V(x%dx = nn-~.
согласно A) наяодлм мскоиое среднее:
9.1-9. Демннир^кнщш вклад в матричный элемент вносит об-
область между точками поворота, и можно воспользоваться при-
бляженнЕКГ вйдем нормированныл к.ф., приведанннм в 9-М.
При этом, ввиду предполагаемой близости состввний тип,
значения точек поворота и величин т для этих состояний можно
считать одинаковыми. С учвтеы сказанного матричный але-
ыйнт Етп легко преобразовать к вщ^у
(О
Подынтегральная функция во втором слагаемом в A) быстро
осциллирует, так что его значение много меньше первого ела*
гаемого, и им можно пренебречь. Используя известный резуль-
результат, что в квазиклассике разность энергий соседних уровней
равна fta> (см., например, 9,5), причем ю = п/т, представим Ет
в виде Еп& Е„ + йш (т — п). Разлагая в ряд
и учитывая сказанное выше, выражение A) можно записать
в виде
_ 1 С F (к)
cos I о) (m — и
B)
Сделаем замену перемшной х = x{t) и, соответственно,
t = t(x), где x(t) представляет зависимость от времени коор-
координаты классической частицы с энергией, равной Em *w Еп, при-
причем считаем для определенности х@)=а. При этом лгG/2) =
= Ь, где 7 = 2т —период финитного движения классической ча-
частицы. Выражение B) принимает вид
г'2
f« = f\ FixiO)cosMm-n)t]dt,
(изменению t от 0 до 7 соответствует изменение х от а до Ь,
и обратно), т. е. имеет место равенство Fmn = Fs=m-n-
Для осциллятора х = A cos at и, очевидно, отличны от нуля
только фурье-компоиенты *i = i_i = А/2. Так как энергия клас-
классического осциллятора равна EKnaCc:=liAz/2, то отличные от нуля
матричные элементы координаты осциллятора в квазккласси-
ческом приближении равны (x)n+i. „ = (х)„.„+i ="уЫ^+ П
(сравнить с 8.3).
9.20. Задача решается аналогично предыдущей. Следует
учесть, что при действии оператора f> на квазиклассическую
функцию нужно дифференцировать по переменной к лишь в ар-
аргументе синуса. Простое вычисление дает
(Л.-
(cos [© (m — n) (\, k — четное,
* I— i sin [со (m — n) t], , ^ — нечетное.
*) При этом ыы положили
¦ Так как знаки импульса при временах О < ( < Г/2 и Г/2 ¦<
"<Ц-<Т противоположны, то оба выражения A) можно обь*
единить в одно:
и соответственно
9.21. В силу симметричности потенциала U(x) стационарные
состояния частицы имеют определенную четность, так что ква-
квазиклассические в. ф. в области барьера между ямами имеют вид
0)
Эти функции можно переписать в виде
? = ехр|~^ J I V2m {&±у — V (х)) \ их J {-Ь — прав
й
остановки при движении классической частицы в первой яме;
строго говоря, индексы «±», относящиеся к четным и нечетным
решениям, следовало бы .указывать и у р{х) и у точек останов-
остановки, во мы этого не делаем, чтобы не загромождать формул).
В. ф. A) в классической области между точками остановки
—о и —Ь соответствуют квазиклассические в.ф. вида
B)
Это — наиболее общий вид квазиклассического решения, причем
константы С, т± и Е(±) (Е(±) входит в выражение для р(х))
определяются из условия сшивания этогс решения -с- решением
A) в области барьера между ямами и с убывающим решением
при х-»-— с» в классически недоступной области слева от левов
точки остановки (при этом условия сшивания решений в правой
яме будут выполнены автоматически в силу определенной чет-
четности в.ф.). Последнее из указанных условий сшивания реше-
решений приводит, как известно, к квагиклассическому решению вида
C)
а нз тождественности решений B) в C) следует условие кван*
тованин
к -Ь
¦»(.« + tJ-vJ- (О
Для определения v± требуется сшить решения (I) и B).
Чтобы это сделать, рассмотрим два частных решения в области
ямы (—о < х < —6) вида
E)
Первому из них, как известно, в области барьера (х > —Ь)
соответствует убывающее квазиклассическое решение
Возрастающее решение в области барьера соответствует част-
частному решению ф<2>:
х>—Ь
G)
(более детальное обсуждение вопроса о виде в. ф. i]>B> в обла-
области барьера подготовленному читателю предлагается провести
самостоятельно).
Учитывая, что фA>8) являются решениями одного и того же
уравнения—у. Ш.
легко найти, что для них
=const.
(8)
Вычислив (8) для х<—Ь (т. е. с использованием функций
(Б)), находим W=— \/П\ для *> — Ь (с учетом F) и G))
W = —Сг/Н, так что
Cs=l (9)
(при вычислении W следует дифференцировать по переменной х
лишь в аргументах синуса, косинуса и экспоненты, как более
быстро меняющихся, по сравнению с IpI'3, множителей в ква-
квазиклассических функциях).
Так как в.ф. A) и B) описывают одно и то же решение
у. Ш. (в различных областях х), то они представляют одну и ту
же линейную комбинацию в.ф. ip(li2J, и, учитывая полученные
выше формулы «сшивания» E)—G), (9), легко находим соот-
соотношения
С cos \± = ± 2С/Г1, С sin y± = CR,
откуда
tdbW <Ю)
В случае полностью непроницаемого барьера R = 0 соглас-
согласно A0) т±=0 и из D) следует Й**«*.#"*¦—Й*. т. е. энергии
четного и нечетного уровней одинаковы и раины энергин Й? в
поле одной ямы. Для барьера конечной проницаемости R <; 1
сдвига четного и нечетного уровней А?^° = ??° ^ ?Й* легвд во-
лучаются из соотнои!еннй Щ и (Ю), если в левой части Щ
произвести разложение в ряд подынтегральной фувкана с уче-
учетом малости jf *
— период финитного движения в яме классической частицы о
энергией ?j?, а в выражении ?± « tg v± ограничиться несметен-
1 энергетического уровня. Таким образом,
ным значением 1
кодим
(й»0 = 2л/7); как и следовало ожидать, четный уровень лежит
ниже соответствующего нечетного. Искомое расщепление уров-
уровня равно б?'п = ?1Г) — ?^|'). Отметим, что экспоненциальный мно-
множитель в A1) можно связать с коэффициентом прозрачности
барьера, разделяющего ямы, для частиц с энергией ?^0) (см. за-
задачи § 2 данной главы).
9.22. Шаровые функции являются с, ф. операторов tг и Та и
могут быть представлены в виде *)
YLm-fLm№~^ A)
(в A) мы учли не представляющее проблемы решение задачи
на с.ф. и с.з. оператора Ц. При этом уравнение l2?Lm = Ls?Lm
принимает вид
Перейдя к новой функции %= У sin В/, получаем из B)
что по форме совпадает с одномерным у. Ш. для частицы с мас-
массой ц = 1/2 и ft= t, при этом ?2+ 1/4 выступает в роли энер-
энергии Е, a (J(Q) = (ms — l/4)/sins8 — в роли потенциальной энер-
энергии; координата частицы 0 < 6 ^ п, и в точках В = 0, л в. ф. х
удовлетворяет граничным условиям у,[0) = %(л)'^=0.
Легко заметить, что при т2 > 1 (и L*. не слишком близком
к т2) для решения C) можно воспользоваться квазиклассиче-
квазиклассическим приближением (условие т!^>1 является необходимом, в
противном случае, при ms '— 1, квазиклассика заведомо непри-
неприменима при В^С 1 и (я— 6)< 1; сравнить с 9.6), что позволяет
для определения Ls воспользоваться правилом Бора—Зоммер-
фельда, принимающим в данном случае вид
= я(«+1/2), п = 0, 1,...; D)
о, Ь—-точке поворота, в которых подкоренное выражение об-
обращается в нуль. Так как L3"^>\ и т2^>1, то легко сообра-
•) Сначала получим в
на с. ф. к с. з., а затем
лишь» шаровых функций- I
вазнк^ассическом приближении решение задачи
яжем ?ь* с асимптотикой стаидартйй' опреде-
опредезит-ь, что обе «1/4» в подкоренном выражении в D) можно
опустить (их учет в левой части D) дал бы вклад в интеграл
порядка 1./L, так как ^fL2 + 1/4 я* L + 1/81, и т. д., что нахо-
находится за пределами квазиклассической точности; сравнить со
значением правой части), и, воспользовавшись значением инте-
интеграла
— m arctg -
(интеграл легко взять, сделав замену z = tg2B), получить
(отметим, что точки поворота, для которых sin2 6 =m2//.2, рас-
расположены симметрично относительно точки В = я/2).
Полученный результат F) можно переписать в виде
?.2 = («+|т|+1/2J = (/+1/2)г; /*=0.U...; l>\m\. G)
Хотя проведенное рассмотрение предполагает L > 1 (и тем
самым /» 1). м« в выражении G) указываем и значения / =
= 0,1, .... т. е. / ~> 1, чтобы подчеркнуть смысл целого числа /
как нумерующего с.з. L? в порядке их возрастания*). Поэтому
квазиклассическое значение /,2 = (/+l/2)s следует сраинить
непосредственно с точным /(/+1).
Используя общие формулы квазиклассического приближе-
приближения, можно также найти явный вид функции %, а с нею и
hf} (8)
(значение интеграла в (8) указано выше, приведенное выраже-
выражение для 1ш относится к наиболее существенной области— ме-
между точками поворота).
Имея в виду, что значение нормировочного интеграла для
квазиклассическйх в.ф. определяется в основном областью ме-
между точками поворота, легко найти величину С в (8) из усло-
условия нормировки (\ | ?Lmpd?!= ly.
= 1, О)
*) Такой смысл / можно обоснова
ftm, равного 1—\т\ дли точного решен
(в (9) мы заменили быстро осциллирующий множитель'
sin2 {...} его средним значением, равным 1/2, и слелали замену
переменной z = cos В).
Читателю предлагается самостоятельно найти фазовый мно-
множитель у С = efa|C|«= e'a(B/ + 1)/лI/2, чтобы можно было
отождествить полученные выражения с асимптотикой стандарт-
стандартным образом определенных шаровых функций, а также рас-
рассмотреть предельные случаи / — |m|<?|m| и / 3> т2, для кото-
которых возможно дальнейшее упрощение полученных выражений.
9.23. Начальная стадия решения задачи дублирует решение
предыдущей задачи (вплоть до формулы C) включительно).
Однако теперь при решении уравнения C), очевидно, нельзя
воспользоваться квазиклассическим рассмотрением (n '— 1).
Для решения указанного уравнения в рассматриваемом слу-
случае (тй»1, Z. — |т|~ 1) замечаем, что «потенциальная энер-
энергия» V (в) имеет глубокий минимум при 0=л/2 ив.ф. нижних
«уровней» локализованы вблизи этой точки. Соответственно,
разлагая U(Q) в ряд
и сделав замену переменной х = 8 — я/2, преобразуем рассмат*
риваемое уравнение к виду
представляющему у.Ш. для. осциллятора. Учитывая известный
вид с. ф. и с.з. гамильтониана осциллятора, ваяодиы
n+1/2J
Полученное правило квантования момента согласуется, есте-
естественно, с результатом предыдущей задачи.
Для отождествления функции (L=l-i-l/2 = \m\-^n+ 1/2),
у =
с асимптотикой шаровой функции
A) следует выбрать равным
, фазовый множитель С в
В заключение отметим, что при 1 ^; «й ^; \т\ справедливы
рассмотрения как данной задачи, так и предыдущей. Читателю
предлагается самостоятельно убедиться в совпадении соответ-
соответствующих результатов (е'м. в связи с этим также и 9.24).
9.24. Начальная стадия решения задачи дублирует решение
9.22 (вплоть до формулы C) включительно). Однако теперь
(при т2 ~ 1) даже для i>l квазиклассика неприменима при
8L^; 1 и (я— В)?< 1. Для решения задачи поступим следую-
следующим образом: найдем приближенное рещеиие вне указанных ин-
интервалов, а затем «сошьем» его с точным решением в области
значений В, близких кВ = 0и6=л.
В уравнении
при L "%> 1 и m8 ~ 1 во все.м интервале изменения переменной 6,
за исключением узких областей 6/.^ 1 и (я — B)L'^. 1, можно
пренебречь слагаемым A/4 — (m2— l/4)/sin!6Ix и получить ре-
решение в виде
X = ydiili/«Msin(/,e + Y). B)
Значения L я v определяются из условия сшивания B) с точным
решением уравнения A) в окрестности точек 6=.О и 6 = я,
удовлетворяющим требуемым граничным условиям (х @) =
= Х(*) = 0>.
При В< 1 уравнение A) для функции
мает вид (см. 9.22)
и его решение, не возрастающее при В-»-0,
x/VslnB прини-
принипри 18 » 1 имеет асимптотическое поведение
В интервале \/L < 0 < 1 справедливы оба представления
решения: B) и D), так что
Вместо сшивания решения B) с точным в окрестности точ-
кв 8 = я проще поступить следующим образом: учесть сяммет-
рию уравнения A) по отношению к преобразованию переменной
й -^ а' — к — В, пр иводящую к соотношению
р
6
F)
ел
Согласно B), E), F) получаем правило квантования' мо-
момента ' '
L2 = (l+\I4)\ / = 0,1,.... 1>\т\ G)
.(знаки «+» и «—» в F) относятся соответственно к четным и
нечётным значениям величины (/ — \т\)).
Проведенное рассмотрение предполагает L ^> 1 (и тем са-
самым /S> 1). Однако, как и в предыдущих задачах, мы указы-
указываем в G) в значения / = 0,1 т. е. / ~ 1, чтобы подчерк-
подчеркнуть смысл целого числа / как нумерующего с.з. L2 в порядке
их возрастания.
Для определения А (или С) из условия нормировки
(8)
замечаем, что доминирующий вклад в интеграл (8) дает об-
область переменной В, в которой справедливо представление B), и
легко получаем
МР=2/Л, |Cp=t = B/+l)/2. (9
Для отождествления полученных выражений со стандартным
образом определенными шаровыми функциями следует выбрать
9.25. Как известно, точное решение у. Ш. для осциллятора
(используем систему единиц ft = m = ft = I, k — упругость
осциллятора; при этом ю=1) дает ?„=(л + 1/2) и нормиро-
нормированные в. ф.
B)
Решение уравнения (I) в квазиклассическом приближении
i области финитного движения классической частипы (U =
- х2/2 < Е„) имеет вид
C)
(мы учли, что квазиклассический результат для Еп совпадает
с точным, см. 9.1).
Так как с. ф. имеют определенную четность, равную (—1)".
то'величину а в C) выберем равной а = —лп/2.
Для нормировки в. ф. значение С в C) следует взять равньга
C=V2/« (при нормировке в. ф. следует учесть, что домини-
доминирующий вклад в нормировочный интеграл \ | Vn fdx = 1 вносит
Область финитного движения классической частицы, причем
ввиду быстрой осцилляции множителя coss(...) его можно за-
заменить средним значением, равным 1/2; сравнить с 9.16).
Учитывая сказанное, запишем C) в виде
*«.» = -
Сравнение B) и D) дает
E)
где € = ± 1 еще подлежит определению.
Выражение E), справедливое при п>1(и при |х|<д/2Й+П»
причем х не должен быть слишком близок к точкам остановки
± V2« + l), представляет асимптотику полиномов Эрмита.
Если х фиксировано, а п —* оо, то E) можно упростить, опустив
слагаемое Xs в подкоренных выражениях, и получить
*-=¦)¦ ©
Наконец, учитывая формулу Стирлинга
находим искомое асимптотическое выражение:
Яя(х)»2 s rta<
(мы положили С=+1, квк это следует из сравнения F) для
малых х-*-0 с известными значениями #п@) и //^@)).
9.26. Элементарное интегрирование в хорошо известном вы-
выражении для коэффициента прозрачности (коэффициента про-*
хождения) в квазиклассическом приближении дает
D«exp
—х\ жхо — координаты точек поворота),
Для справедливости полученного результата A) требуется
выполнение двух условий; ¦
О \dy.(x)fdx\<g. 1 во всей области переменней я, за исклю-
исключением узких интервалов, непосредственно примыкающих к точ-
точкам поворота;
2) расстояния Д*1р 2 зз (х — jti, 2) от точек поворота, на кото-
которых уже выполняются условия применимости квазмклассика
[d~K/dx\ ^с 1, должны быть такими, чтобы при этом можно была
ограничиться линейным разложением потенциальной энергии
U (x) m U (jci. 2) + U'(xt, 2) Ajti, г B)
(при дальнейшем увеличении |A-ci a| выполнения условия B),
конечно, не требуется).
В рассматриваемой задаче при |л|>о имеем |dX/djt|==
= О^С 1. При |л|<;а
ИХ|_ *Уу\х\ h\x}a ,„
и в случае
^/mU^fh2 ^ I D)
выражение (ЗI много меньше единицы при всех значениях х,
за исключением узких областей в окрестности течек поаорта,
причем ширина ©§ла«ти ненвазиклассвчнвств и© порядку вели-
чивы равна
(для получения этой оцешш &х в выражении C) следует поло-
положить i*i«*ob|jf-*;Mjf-*?l»lH(*-*L<)(*+*i.»)lft'
*к2Алгхе).Применимость квазиклаесикн требует выполнения оче-
очевидного неравенства
Л* ^. Ли» или
F)
Sb противном случае в интервале между точками поворота
я|;<Глв условия применимости квазиклассики1 не вшгелнены
ни при каиих ж&чеятх х}. Условие f6J дает, согласно (J),
if <С I, чте-, как иввестно, является необходимым (но не доета-
гввдын1> уело&нем применимости квазиклассичееког& рассмот-
рассмотрения.
Условие F) является реализацией первого из отмеченных
выше условий; применимости квазикласснкд. Легко- убедиться в
том, что в рассматриваемой' задаче оно почти, эквивалентно
(см. ниже) второму из указанных условий, налагающему огра-
ограничения на xapwciep поведения потенциала в окрестности точек
поворота. Различие этих условий проявляется лишь в случае
медленных частиц, когда точки поворота лрпближаютса к зна-
аи
чениям ±о. Очевидно, разложение B) потенциала справедливо
лишь при |х|^о (при |*|>о /У(*) = 0), так что |Д*1,я|=^
^ a — Jto. Так как величина (с — Хо) должна быть иного боль-
больше интервала неквазиклассичности E), го
Ax^a-xa, или ?>^ G>
Условия D), F), G) определяют пределы применимости
выражения ())¦
Отметим, что неприменимость квазикласснческого результа-
результата A) для D(E) в данной задаче при Е-^0 проявляется в том,
что, согласно A), /5(? = 0) принимает хотя и малое, но конеч-
конечное значение, в то время как для барьера произвольной формы
имеет месте точное равенство D(E = 0) = 0.
fl.27. Стандартная формула для ко&ффшшеита прозрачности
барьера в квазиклассическом приближении
A)
в рассматриваемой задаче непосредственно ни применима, так
как в окрестности левой точки поворота х =6 нарушаются усло-
условия сшивания квазиклассических решений, использованные при
выводе ^1J ?этн условяя ириведеиы в решении иредаддущей за-
задачи). Тем яе менее формулу A) можно мспользоеагь дяя оцен-
оценки коэффицвеша прозрачности. Элементарное интегрирование
дает-
Выражение B) определяет коэффициент прозраошста яншь
во порядку величины (или, как говорят, с точностью до пред-
экспоненциального множителя, который при Е ~ ?/0 имеет ве-
величину порядки единицы; следует, однако, иметь в виду, что при
?-+-'§ этот множитель обращается в нуль—см. 9.32). Ояяак© в
случае, когда под знаком экспоненты в этом выражении стэит
большое по величине отрицательное число, формула (Щ пра-
правильно передает основное — экспоненциальную малость коэффи-
коэффициента прозрачности.
9.28. Согласно формуле для коэффкциента прозрачности
барьера в результате элементарного интегрирования находим
?>-ехр|-
fl.29. В выражении
интеграл заменой переменной
приводится к виду
.и коэффициент прозрачности оказывается равным
Условие применимости
(более точно: требуется,
экспоненты), т. е.
B)
;ения B) предполагает D < 1
был велик модуль показателя
C)
Кроме этого имеется еще ограничение на энергию частицы Е,
так как при Е-*-0 в окрестности точек поворота нарушаются
стандартвые условия сшивания квазиклассических решений,
основанные на линейной аппроксимации потенциала и приводя-
приводящие к выражению A) для прозрачности барьера (сравнить с
9.26). Внимательный читатель легко получит, что указанное
ограничение имеет вид
У? 3> ^h2fina2. D)
Легко заметить, что при выполнении условий C) и D) квази-
квазиклассическое выражение B) для коэффициента прозрачности
совпадает с точным значением, найденным в 2.52.
9.30. Интеграл в показателе экспоненты в выражении для
D{E) заменой переменной jc = a sh/ приводится к виду
(sh/0=y^?-l-s6-')
\\p\dx=
A)
Интеграл в выражении A) представляет собой эллиптиче-
эллиптический интеграл второго рода. При Е <; 1/0 этот интеграл легко
вычислить приближенно, есии учесть, что яри этом подкоренное
выражение равно единице во всем интервале интегрирования, за
исключением узкой области вблизи верхнего предела интегриро-
интегрирования, в которой shf ^> 1, и поэтому можно положить stis/«e*'/4
(причем во всем интервале интегрирования!), так что интеграл
принимает вид
'~ B)
С помошью замены переменной (b/2)e'*=smz интеграл B)
легко вычисляется и оказывается равным (Ь «С 1)
Таким образом,
D{E) /в (?/16tfo)T°Фти\хр (-J-aV2mf/0). D)
Условиями применимости полученного результата является
E)
первое из которых обеспечивает применимость квазикласснки.
Второе из условий (Б) заменяет условие Е •¦? ?/0, использован-
использованное при вычислении интеграла в выражении A). Причина этой
замены состоит в том, что при приближенном расчете величины
/ вида f=eA, когда приближенно вычисляется значение А, для
того чтобы было выполнено условие /точн//присл *w 1, требуется
|ЛТОЧН — АприбЛ\ < 1 (а не просто АТОЧ„/Аври^п да 1, и это обстоя-
обстоятельство следует учитывать в случае MJS» 1). Внимательный
читатель легко убедится в том, что именно второе из условий (-5)
(а не условие Е «С Uc) обеспечивает справедливость полученного
значения коэффициента прозрачности.
9.31. Задачу можно решить аналогично тому, как получается
известная формула для коэффициента прозрачности в квазиклас-
[2 г I
Считая для определенности, что падающие на барьер части-
частицы движутся слева направо, представим в. ф. справа от правой
точки поворота Ъ в виде (С(х)<Е)
B)
«77
Соответствующая A) в.ф. в области барьера
D{x) > Е) имеет вид
{в выражении {2) мы, так обычно, пренебрегли слагемым, экс*
понетшально убывающим в глубь области х <. Ь). Подчеркнем,
$то в.ф. в области барьера в условиях данной задачи имеет вид
Щ вялэть до к = 0 (левая точка пою>рота).
В. ф. при х < 0 имеет вид (А = ^mB/h2)
C)
(так что коэффициент прохождения равен D —\С]2).
Сашв&я в. ф. {2) и <3) в точке х = G (используя непрерыв-
непрерывность в. ф. и ее производной), имеем
ряйонц множитель s этом выражения при
В ~ С/я — гюрадка единицы, ыо ири ?-^0 он обращается в нудь.
9.32. На основании результатов задач 9.27 и 9.31 коэффициент
прозрачности барьера в квазиклассическом приближений, -оче-
«шш, равен
Условием применимости выражения A) является выполнение
йеравенства
Легко заметить, что точное значение коэффициента прозрач-
прозрачности рассматриваемого барьера, наиденное в 2.53, при выпол-
выполнении условия B) совпадает с каазнкдоссяческим выраже-
выражением A).
W8
й.33. Легко убедиться (совершенно аналогично тому, как это
было сделако при. решении задачи 9.15) в том, что при v < 2 в
?¦-¦-0 на больших расстояниях х, при которых потенциал имеет
асимптотическое поведение V ~ \х\~™\ выполнены условия нрв-
меьшмости квазиклассики, причем ери сшивании кваэикласенче-
ских в. ф. в окрестности точек поворота можно ограничиться лв-
нейноб аппроксимацией, потенциала. Если к тому же уеловая
применимости квазиклассаки вьшолкены и при коначных ана-
чениях х, то при v < 2 и ?-»Q коэффициент прозрачности барье-
барьера определяется обычным квазиклассическим выражением ___
Интеграл в этом выражении при Е-»-0 расходится на боль*
ших расстояапях \х\. Расходящуюся часть интеграла легко вы-
вычислить. Так, на верхнем пределе интегрирования (вблизи пра-
правой точки поворота) имеем
(a — расстояние, начиная с которого потеицнал при ]дг|
уже имеет асимптотический вид; ври вычислений пи-тетрода- еда-
лана замена переменной / = х/х2(Е) ^ х- (Е/о^1^. Аналогично
вычвгеляетея расходящаяся часть »а пижк^л рред*ле шегегрщо-
[)p\dx.
Вклад интервала интегрирования -
Ляется конечном. Такшм ©бразом.
»<jc<c при Е-»
и ееответственно (ири Е^-»-в}
D (Е) оо ехр [-1 ^jbh CvE^-^ (a^ + «!'*)]->- 0
(см. замечание по новоду точвоетн еыражевнй вяда «* яри при-
приближенном вычисление величины ^, сделанное прн решении за-
задачи 9.30).
При v>2 квазиклассическое выражевие для D{Ef при
Е-»-0 неприменимо, так ках при ецшванин квааиклассических
решений в окрестности точек остановки уже нельзя ограничить-
ограничиться линейным разложением потенциала. Квазиклассика, приводит,
379
к отличному от нуля значению коэффициента прозрачности
D{E = 0), в то время как точное его значение равно нулю.'!
В случае v = 2 квазиклассическое выражение для D(E) при
Е-*-0 применимо лишь при условии mai.s/ft2^* 1- Энергетиче»
екая зависимость коэффициента прозрачности при этом опреде-
ляется результатом задачи 9.30.
9.34. Задачу можно решить следующим образом: квазиклас-
квазиклассические в. ф. справа и слева от точки остановки хо сшить с по-
помощью точного решения у. Ш. в окрестности этой точки.
Считая для определенности, что падающие яа барьер частицы
движутся слева направо, имеем в. ф. в квазиклассической обла-
области при х > Хо в виде
При х <. х0 (в квазиклассической области) эта функция
имеет вид
(lj"<k)+B-p(-7fj'"fa)} И
(так что коэффициент прозрачности равен D=|CJ2; R=\B\2).
Решение у. Ш. в окрестности точки х0
хр" + a (х — jc0K ? = 0, a = — ml)" (xo)/H2 > 0, C)
представляется в виде (см. [12])
D)
где Я'1-2> — функции Ганкели. Учитывая асимптотику этих функ-
функций
замечаем, что в области г = -3—¦ (х — xdf S> 1 справедливы как
точное D), так и квазиклассическое A) решения (при этом
предполагается, что существуют такие значения г ^ 1, при ко-
которых потенциал еще имеет вид t/«t/H ^-{x — Xof. и это
условие определяет применимость получающегося ниже резуль-
результата для D). Так как при этом р = h^fa \x-~хй|,то сравнение
A). D), (Б) даетС2 = 0, Ci=~- д/^-е3""^, и точное решение
D) у.Ш. C) принимает вид
v=c, v*=*/ri»(^-e*-jtf). F)
При использовании решения уравнения C). в виде F) (или
'(-4)) следует соблюдать осторожность при переходе от значений
(л — jco) > 0 к (лс — хо) < 0, так как у функции Ганкеля Н§? (г)
точка z = 0 является особой точкой—точкой ветвления. В рас-
рассматриваемой задаче при (х — *о) < 0 фаза аргумента
2:=-3^-(jc — jc0J функщ™ Ганкеля в выражении F) равна 2л
(фаза (х — хо) <Z 0 равна л), и в такой форме решение F) не-
неудобно для анализа. Его следует выразить через соответствую-
соответствующие цилиндрические функции от переменной с равной нулю фа-
фазой. Это легко сделать, записав F) через функции Бесселя:
V = C1V?::r^{(H-tVi/4B)-V2i/-v*(z)}. G)
Так как функции Бесселя Jv(z) имеют вид
J,W-=z№), (8)
где f(zs) уже не имеет особенности при г = 0, то согласно (8)
(|г| по определению имеет фазу, равную нулю).
Таким образом, решение F) у. Ш. при {х — лт0) < 0 удобно
переписать в виде (при этом ijx — x
(9)
Воспользовавшись асимптотикой функции Бесселя (|argz|<
L<n)
С другой стороны, при [х — Хо) <0 н г =
квазиклассическое решение B) имеет вид (считаем, что при
зтом еще можно ограничиться разложением V (х) = V (х0) +
fi V (o - *))
Рассматриваемая область значений х является областью пере-
перекрытия точного A0) и квазиклассического (И) решении, что
дозволяет найти значение В=* — l/i/2 , а с ним и коэффициент
отражения R=\B\a = l/2. Таким образом, в условиях рассма-
рассматриваемой задачи
Глава 10
ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ
10.1. Пусть %z*) представляют нормированные спиновые
функции отдельных частиц с определенным значением sz;
** =—s, —5 + 1, .... s. Спиновые функции системы (не сим-
метризованные в спинах) имеют вид Х*=в^'>х<|». Следующие ком-
комбинации этих функций:
й> Я^—ЗЙЦзф A)
B)
C)
нормированные на единицу, имеют* очевидно, определенную сим-
симметрию по отношению к перестановке спиновых переменных
jptt+) —симметричные, Х(~*— антисимметричные функции). Чис-
Число независимых функций типа о) равно Bs + 1), а типов б) и
«), очевидно, равно c|s+1 = Bs+ lJs/2t=sBs-f 1). Соответ-
Соответственно общее число симметричных состояний — (s + 1) Bs -f 1),
антисимметричных—sBs + 1) (а общее число всех состояний
как-и следует, равно Bs + IJ).
Приведенные функции A) — C) не отвечают, вообще говоря,
определенному значению S суммарного спина частиц. Однако,
основываясь на результате задачи 3.39, можно утверждать, что
состояния с S~2s, 2s —2, 2s —4, ... симметричны, а с S =
= 2s — 1, 2s — 3, ... антисимметричны в спинах.
10.2. В случае /i = f2 ¦= f пространственная часть в. ф. снсте-
ны d» = {pf(ri)q>/(r2) симметрична по отношению к перестановке
кеоединат fj, ¦ частиц. При этом, в соответствии с известным ха-
характером симметрии в. ф. по отношению к перестановке перемен-
переменных— пространственных и спиновых—двух тождественных ча-
частиц, спиновая часть в. ф. должна быть симметричной для бозо-
бозонов и антисимметричной для фермионов. Такие независимые спи-
*) В 52-представленил эти функции имеют вид %1г=.6в>вг, где о—пере-
о—переменная б*-представленвн (не путать ее с с. з. 5г), пробегающая значения —s,
¦-** ' *- Соответственно *?*—*„,. Sj. at~ спиновая переметная
В*й частицы я т, д-
ЮЗ
иовые фувицик в их число были определены н предыдущей зач
даче. В.ф. возможвых (независимых) состояяна имеют вид
а их число равно (& + l)Bs+ 1) в случае бозонов {&—целое)
и sBs + 1) для фермионов (s — полуцелее); см. ЮЛ.
В случае fi Ф U пространственные в. ф. вида
имеют определенную симметрию по отношению к перестановке
координат частиц (в. ф. с индексом «+»— симметричная, о
«—» — антисимметричная), и их комбинирование со спиновыми
функциями Хш дает в.ф. искомых состояинй:
число которых равно Bs + II (как ъ случае бозонов,, так и в
случае фермионов).
Отметим, что вопрос о в. ф. возможных состояинй системы
двух одинаковых частиц, можно решить иным (и более общим)!
способом, использованным в следующей задаче.
10.3. С учетом спина в.ф. возможных одночастичных состоя-
состояний, фигурирующих в задаче, представляются в виде *fisjtl==
~ЧР« (г)хв . где X, — спиновая функция частицы, отвечающая
определенной проекции евина sz (индекс / у sx.i подчеркивает,
что для разных орбитальных состояний проекция еяйва имеет
свои определенные значения). Состояние системы тождествеиввх
частиц определяется указанием их распределения по одночастич-
ным состояниям. В условиях задачи фиксирование п значений
«г. i однозначно определяет п различных одночастичных состоя-
{эти состоявия — различные, так как среди fi net одинаковых)',
в каждом из которых находится одна частица.
Любое изменение набора значения 8я1 на я'х( приводит к
новому набору одночастнчных состояний
* , * , ,..., * , <2)
'Г 4l '2'S*.S '«ffM
и, соответственно, к новому состоянию системы как целого .(при
этом существенно, что все fi — различные; если бы, например,
fjiisf^, то при Изменении значений g?i, состоящем во взаимной
перестановке 8Я, t и sz,s, мы не получали бы нового Набора одво-
383
ластичных состояний). Так как каждое sz.i принимает 2s+1
значений, то полное число различных наборов одночастичных
состояний (типа A), B)) равно Bs+l)", что и доказывает
утверждение задачи.
Конкретный вид в.ф. рассматриваемых состояний системы
как целого получается стандартным образом: симметризацией
произведения одночастичных в. ф. A) в случае бозонов и антн*
симметризацией — в случае фермнонов.
10.4. Вид в. ф. зависит от того, совпадают или не совпадают
друг с другом занятые одночастичные состояния. При этом сле-
следует различать три случая.
а) Все три частицы находятся в одном состоянии: fv=fs=3
= fi = f. Нормированная на единицу Ч'-функпия системы имеет
вид
б) Два из трех занятых состояний совпадают между собой
(например, для определенности, ft Ф fe = h). Тогда
Вид выражения в фигурных скобках определяется симметрией
в.ф. по отношению к перестановке переменных ? любых двух
частиц. Численный коэффициент l/V^ выбран из условия норми-
нормировки W не единицу: \\4r?tdlid?zdZl3 = ' (интегрирование по ?
включает суммирование по спиновой переменной); при вычисле-
вычислении нормировочного интеграла из девяти слагаемых в l^l2 от-
отличный от нуля вклад дают лишь три из-за условия ортогональ-
ортогональности одночастнчных в, ф.;
в) Все три занятые состояния различны:
В этом случае
B)
Вид в. ф. B) определяется из соображений, приведенных в пре-
предыдущем случае.
10.5, Одночастичные состояния описываются в. ф. вида
Ф#л=тФ(г)Х*е1 где Y.sg — спиновая функция, отвечающая опре-
определенному значению s*=^ 0, ±1 проекции спина. Если бы боэо-
364
ЛИ* не были тождественными, то независимые состояния састемй
¦опис*юалнсь бы в. ф.
число которых составляет 3 X ЗХ 3=27. ?
В- Ф- системы тождественных бозонов представляют комбинат
цен в,ф. (.1), симметричные по (Отношению к перестановке пере-
переменных любьщ двух частиц ,(* данной, -задаче речь идет, по су-
существу, о перестановке спиновых переменных, так как простран-
пространственная часть в. ф. симметрична)!.. Задавая конкретные зйачения
st.atS A) и производя сяычетрнадцню соответствующей в.ф.,
легко получаем1 вид независимых в. ф.рассма?рнваемоа системы.
Так, для набора вначеннй е«.1^?:**1?=в*.я= 1 имеем - ! -
= 4J<"-1)<p(ra)<p(rs)-
Выпишем также все другие наборы значений (s*. i, s2, a, sx. з)',
приводящие к независимым состояниям системы:, A. 1, —l)f
(i,b,d), A,0,-1). (г,-1.-1), (о.ао),'@,0,-1), @..-1.-1),
'.(—1,— 1,— 1) (наборы значений (sz, ь яг,2, 5Я,В), отличающиеся
лишь перестановкой чисел Й,*о; не'приводятк новым состояниям
систему). Общее число независимых состояний, системы- равно
10. Отметим, -что из этих ID состояний 7 соответствуют значению
S = 3 суммарного спина системы, а 3 соответствуют S^=\ (см.
10.7). v
ЮЛ. Задача аналогична предыдущей. Одночастичные состоя-
состояния описываются в.ф. $«, = Дг)У,т(п). (У/т—Тшаровце функ-
функции). Ёади бы бозоны не были тождественными, ТР^иезаввсимые
состояния системы описывались бы в. ф. {п}а =$, 4jl)r-s'i
число которых составляет^ X ЗУ 3 = 27.
«Для нахождения в. ф. системы тоиадзеттенных бозонов велн-
янны ггх, тч, т3 в выражении A)..следуег рассматривать Be как
13 В, М, ГалвцкнН «яр. 885
квантовые чньяв:.отдельных-адстпа (соответственно 1,2,-3)", а как
квантовые числа состояний, занятых частицами, я прои&вмти
симметризацию э,трго1 выражения. Число различных состояйнй
системы при этрмг*ра'вно числу различных наборов квантовых
чисел (mi, та, m3), не сводящихся к взаимной перестановке чи-
чисел та. ' ¦ - - г
^Этн наборы имеют вид: A,1,1), A,1,0>, <1,1,-1), A,0,0),
11,0,-1), A,-Н*-1), @,0,0), @,0,-1), (О, — 1, —1К
(—h —1, —1); соответсткнн» число независимых состояний ен-
стеиы равта 40. у
10.3; Приведен два йоказ&телъства. —" - -
. - а) .Рассмотрим возможные Значения ¦• t суммарного момента
(оч«ввДно,1^3)лСостоячнес rat = ms=w3 = l отвечает Lz=>
= 3, н, таким «образом, значение L = 3 является возможным зна-
значением момента системы. Согласно .предыдущей задаче имеется
только одно состояние системы с L* "*= 2, отвечающее набору
квантовых чисел A, 1, 0). Око относится к значению L = 3 (для
L *=!В/ейть(состояние1 с 1«,-*=2). Таким образом, состояний с
&*:?1 в /Системе нет. Состояний с Ьг=\~-два: A,1,-1),
A,0,0). Существование одного состояния е LM =-¦! ^обязано значе-
значению L = 3. Появление второго независимого состояния с Lx = 1
можно ^объяснить только су1цествочание»г ср<?гояей9 с ? = 1.
Семь независимых состояний cZ. = 3ri три с L = 1 исчерпывают
все десять состояний системы^ так что состояний с L = 0 также
не существует,
б) Более изящно доказательство на основе тензорного фор-
формализма, сформулированного 'В задачах § 4 главы 3.
В. ф,- -fipex независимых жостоявий частицы с / = 1 могут быть
выбраны а виде (л —компояентнт)
Соответственно для системы из трех частиц с / = 1 имеем в. ф.
независимых состояний вида
ЧГш=xnxaxuf (г,) / Ы f Ы- A)
В. ф. состояния с 1 = 0 является скаляром (не изменяется
при вращениях). Из в.ф. A) можно составить только одну ска-
скалярную (точнее, псевдоскалярную) функцию
4fL-e=(r,[rar3])f(r1)f(^/(r3). B)
Эта функция прн перестановке координат двух частиц изме-
изменяет знак я,'следовательно, не может описывать состояние систе-
системы из трех тождественных бозонов со спином s = 0.
10.8. Если бы частицы были различимыми, то выражение
епредеяяло -бы вероятность нахождения первой частицы в «бъ-
еме dViT а второй —в объеме ёУ* Ввцду норазлячныостн частиц
Для нормированной в. ф.
имеет смысл:говорнты(дишь.о веротгностк «яюждания одной ча*
стицы (лервой ил» вт^ю^ внутри: dV\ л., соответственно^ дру-
другой — в объеме dVs, так что искомая вероятность равна
A)
(интегрирование по координата* ri,i проводится,^всему про?
странству) распределение вероятностей A) таюке«ир|шнроа^но
на единицу. Действительно, прн определении полной вероятно-
вероятности j dm с помощью A) это вьфа&енйе 'следует п^ойкегри^о-
вать по координатам г^а по всему пространству и полученный
результат умножить нд '.Д. что Соьиадаег с B). При вычислении
полной вероятности суммирование Син^егрирование) должно
вдем независимым
местами объемов, dV\ н uV% не йрйводит оу
просто дублирует'исходное Независимое событие).
Учитывая сказанное; 'Bbibe, лйко приходим к выражениям,
определяющим вероятности "иахождёния обеих чартиц в одйом
и том же объеме: ¦---.•- - ^
и одной частицы в объеме V, а другой — вне этого объема:
10.9ч Нормированная в.ф. рассматриваемого состояния си-
системы }
^)^} A)
(здесь учтена ортогональность функций ф^к ^|).
Распределение -по координатам одной частицы пря произ-
произвольном положений другой имеет вид
B)
(по своей форме B) представляет распрей&гение-яо коордшга-
там первой частицы, в силу симметрия в. ф. *№ю такой же ряд
-имеет распределение по координатам» BKtfefi чЛстицыррвсиреде-
ление же по координатам одной^ вз^Ч«(У» одяяаков&х^чяс^рвд.
представляет полусумму |для-иормировнн.,на 1)' указанных .од*
«(•частичных раепределениб иъ ввиду Ш «дииаковост», совпадает
с каждым из идо). ;,-- ; ' .
Используя сшгчошения . ,,
легко находим с помощью B), что вероятность нахождения од-
йой частицы в Области полупространства г ^ 0 равна
1^1B^0)= '/я (при этом положение другой частицы не фикси-
фиксируется), а вёройтиоеть аахожденйя н ©Сласти г ^0 обеих частии
одновременно- * i ) *¦• '-* -*
E)
что отличается от значения *%~аИя, различимых частиц (в по-
слеадем случае не требуется прризводчть-симметризацию в.ф.
вида A)). Полученный результат D) иллюстрирует существо-
существование интерференции "между различными (но тождественными!)
частицами. Качественно эту интерференцию, в случае бозонов
можно охарактеризовать как тенденцию к взаимному сближению
(W2>uw, -'A).
аналогично, AQ.S), Б.ф. имеет вид
W2>uw, -
10.10. Задач р ачо, (Q.S), Б.ф. имеет ви
^'Йе @
(а, р— спиновые переменные 1-й и 2-й частицы).
Распределение до, координатам одной частицы при произ-
произвольном Положении другой имеет точно, такой же вид, как и в
предыдущей задаче (см. формулу B); в данной задаче при на-
нахождений распределения по координатам следует выполнить
суммирование по спиновым переменным). Соответственна веро-
вероятность нахождения одной частицы ъ области г ^ 0:также рав-
равна '/г* а для вероятности нахождения в области z ^ 0 обеих ча-
частиц получается выражение
г *FS(zi.2>0)=|(l-4|Sf} B)
(сравнить с формулами D), E) задачи 10.9),
Пблученвый результат B), как н в Яредыдущей'задаче, ил-
иллюстрирует сушествованне интерференции между различными
тождественными частицами. Однако в случае фермионов хйр»к-
тер интерференции ^отивоположен тому» который имеет.место
дя*°бозонов, а-,качесявевно его можно.сдисать как тенденцию
фервионоя в взаимному рттялциванию. , !,
р frr переменных-" tv, s
гг)/2 и г = Г| — г2. При этом
к беременным > R =
A)
Выражение. AJ,-описывает распределение по координатам ми-
митра масс и относительному расстоянию между частицами. Бч-
полнив ? нем интегрирование по координатам R, приучаем.,рас-
приучаем.,распределение по относительному расстоянию, между частицами ц
виде * " ' ' ' . о: ¦
B)
Распределения 0"), B)-при замене Г на —г, чтЪ соответствуй
перестановке койрдйнат чйспйГ (или изменению их Нумерациа>,
ие изменяются*. ,
Учитывая B), замечаем, что' приведенное в условии задачи
выражение равно-^(гв=0), f;*. лфедставл^ет тшотн&Сть вероят-
вероятности нахождения частиц на расстоянии "г = 0 Друг от друга,
т. е; в одной и той- же точке пространства.
10.12. Как хороню известно, в задаче двух тел переменена
центра MaccR = (miri-r-mBre)/(mi-T'ff's) иютнвснтельного дви-
жечия г-=t=? ri-«-fj разделяется и в.ф; системы представляется
в виде - .-.', ¦ .» ' :
(o(O О)
(или, в общем случае, в виде суперпозиции таких функций;
а, р— .спиновые пёрёйеннйе частив). '
,Б случае одинаковых частиц R = (r> + г2)/? При переста7
новке частиц R .не изменяется, н условие симметричности (или
антисимметричности) в", ф. вида '(I) по отношению к указанной
перестановке не накладывает никаких ограничений на* в,ф.
ij>(R. t),.описывающую свободное, движение центра масс, незави-
независящее от отнбЬительнрГо двнщёнпя, Требуемое,'.условие, симмет-
симметрии в.ф. система Полностью переносится на в.ф. ^Vxfl(r,')f), опи-
описывающую относительное движение.' " ч
10.13, При перестановке п^юстр.а^ственных координат двух
частиц радиус-вектор г ='{Г|—rj) относительного движения из-
изменяет знак. Такое преобразование эквивалентно отражению ко-
координат (бтносительйо центра ма"сс^, и, учитывая известную чет-
четность (—l)L шаровых функций' Ylm, заключаем;'что й'сбстоя-
ниях с йтноснтельным моментсгм L перестаиойка-4«)Ьт>д«нат fi;^
приводит к умножению в: ф. системы иат (^-1^-'(т. ё. Щ! f 1 Ллй
четных L я — 1 для нечетных)': При ЭТОМ условий йимметричио*
с'ти в: ф. тождественных б6зоной'*гр1е&ует,! ч?ббы:1вч^йтных ^ёбй-
тайьн«х состояния*1 перестанойка ^пияЬвык'иёрёмённых 'чаетни
не.иЗменаЛа вч ф!, я в нечетких —ярнавнфш* изменению знака-
в,ф; Используй результат задачи ЗЛЭ^яеиш находим, 4Tqt !
- и) при L = 0, .2, $, . .„-„-возможные значения jS; 2s,r2s ; ...
*.., 0; " '" '.,
б) при ?.= 1, 3, 5, .,, возможные значения S: 2s — 1, 2s—¦
— 3, ..¦( 1> . ...
В частности, при i = 0 возможны только четные значения L.
Следствием этого результата является, например, запрет на рас-
распады нейтральной частицы со спином S == 1 (векторного ме-
мезона) на два 7[°-мезона, так как sn = 0.
10.14. При четных" значениях ? возможные значения S также
йвляйи-ся 4етными:-2$—1, 2s—3, .... 0. При'? нечетных S мо-
может принимать только нечетные значения: 2s, 2s — 2, ..., 1.
. 110,1Б^У41Ц. для относительного движения (свободное движе-
движение центра масс не представляет интереса) является у. Ш. для
сферического осциллятора, которое было решено в задаче 4.23,
Согласно этрй задаче (й = /л/2—лриведенна'я,ыасса)
EN = h<o[N + 3j2), tf=~nL+na + tb (а^^Ш). U)
¦ *Й1ПЛ = <Ц(*)ФГ(у)<и(г), r = r,Xrj. B)
Приведенное решение не,учитывает условия^ квантовомеха-
ннческой тождественности частиц, требующего симметричности
в. ф. двух тождественных бозонов со спиной s = 0 ho отношению
к перестановке координат частиц. При такой перестановке г =¦
= П — га изменяет знак, а в. ф. B), как легко заметить, исполь^
эуя известную четность с.ф. гамильтониана осциллятора, умно-
умножаются на (—1)п'+"!+П) =(—!)". Таким образом, решения A),
B) у. Щ. реализуются в системе тождественных бозонов только
при четных N == 0,2, ..., а" при нечетных N они должны быть
исключены из" рассмотрения. Соответственно энергетический
спектр в с."ц.и..определяется'выражением A) с N = 0,2,4, ...
10,10. Обозначим через Pis оператор перестановки координат
1-Й и 3-й частнц. Так как й с.ц.и. Гв = — (п -j-rs), то Piafi =
=— (ГгКа), Pisfs=ra и, соответстненно, PiB(fir2)=—(ri+ra)r2.
Аналогично Риэ(Г1Г2)=—n(ri + fa). Симметризация величины
(Г|Г2) приводит к выражению
10.17. Б. ф. состояния с L = 0 не изменяется при вращениях
системы координат, т. е, является скалярной (или псевдоскаляр-
псевдоскалярной, в' зависимости от того, какова четность состояния)-функ-
состояния)-функцией. В с. ц. и. трех частиц независимыми являются радиусы-век-
радиусы-векторы двух ча>тнц ?i, s (при этом га = — (г, + г»)). Из двух век-
векторов Гц g можно образовать следующие скалярные величины!
t\, tg, r^j, являю&шеся нстиимыми скалярами (а не псевдоска-
ляраин!). Скалярная фушщиа, зависящая от вектора ts,t, нЪжет
быть функцией толькоуказааныа скаляров. Соответственно в,ф.
4^=0 является функцией вида
При инверсии координат fi, а-*- — П.а эта функция ие изменяет'
ся: /Ч'^-о^Ч'й-о. т.е. состояние с L = 0 имеет положительную
четность (во нзбежа-ннё' недоразумений иодчеркнем, «1то речь
идет об ор*бвдальной четности).
10.18. Представив оператор й в виде.
находим коммутационное соотношение ДЛ;Я операторов его эрми-
эрмитовой Л= з|-(<3 + ?+)и антиэрмитовой i"B = -j(d — C+) частей;
[Л, В] = (/2 (учтено, что [<3, Й+]= 1).
10.19. Так как дравъге части коммутаторов [/*, JE] = ft/i,
|d, fi+1 ^1 — постоянные величины, то условию задачи можно
удовлетворить, составив линейные комбинации й = ах -|- р/3,
fl+ = a*St + р*/5 и выбрав иадлежа&шм ббразом параметры аир:
Выбор а, $ не однозначен. "Можно взять, например, а = l/V«f L,
$ = iL}^J2 h (L — вещественный параметр, имеющий размер-
размерность длины; следует учесть, что рператоры й, <3+, в отличие от
JE и р, безразмерны). При этом вакуумное состояние фиктивных
частиц определяется из уравнения
w «о |0) =1
10.20. Операторы й и й+ действуют на функции (векторы со-
состояния) 1^) вида
где символ |п> означает n-частичное состояние. Прн этом
й|п> = Уя )п—1), <3+|л)=» Vn+l|n+ 1). Для фермионов со-
состояний с п ^ 2 ие существует, и в этом случае («> «* 0 (так
что в выражения A) остаются только вакуумное |0> и одвлзчас-
тичное |1> состояния).
С.ф. и с.з, бозевского оператора й определяются из решения
уравнения dJ'F) = «140- Так как ,. х
то уравнение на с ф. и с. э. принимает вид
откуда, j учетом, независимости состояний 1л>, следует
Условие нормировки ¦
Полученные,выше результаты означают, что с.а. бозевского
оператора й яв'ляется любое комплексное число а, при этом соот-
соответствующая с.ф. мбжет^ыть нормировала на 1. Распределение
по числу частиц в состоянии,, описываемом с.ф. оператора й,
определяется выражением
и представляет собой распределение Пуассона.
Уравнеиие.на ?.ф. и с.з. боэевского оператора й+ не имеет
ни одного решения. , ' '
У фермневских операторов й, <3+ имеется по одной с.ф.: |0> —
с.ф. й, |1> — с. ф. й+; соответствующие-с. з; в обоих случаях
равны 0.
10.21. Учитывая соотношения б3 = Of 66+ + 6+6 = 1, находим
Из операторного равенства п3 = п вытекает, очевидным обра-
образом, соотношение для с. з: ns = п, откуда^ п ш^= 0 или п = 1.
10.22. Алгебраические соотношения Для операторов (в том
числе 'коммутационные и антйкоммутаЦйЬниые) при унитарном
преобразовании сохраняют свою ферму {см.. 1.61). Дляфермиев-
ского оператора fiz=0, но й'2 = (й-(-«J=2вЙ+о9=^0, ичяо-
этому указйн(гоА-преобразование .не является унитарным (соот-
(соответственно операторы &'s й'+не имеют смысла оператбров унич^
тожения и рождения^ .'
Для бозевских операторов [<&', d/+j=[й, d+] = 1, так что
указанное преобразование является унитарным (йодготовленно-
му читателю предлагается самостоятельно найти явный вид уии-
а С, осущефгвлюоздедотэто вяео5развваннй
= О.ЗО+).
Для анализа состояния вакуума «новых» частиц ]0') в терми-
терминах исходных частиц представим его в в?
Jn> описывает состояние из п исходных частиц. Уравнение, опре-
определяющее вакуумное состояние й'1{О=0, можно записать в
виде <3|0'> =—а|0'>, В такой форме его можно рассматривать
формально как уравнение ;на с.ф. исз: оператора о (—а —с.з:;
[О'> —с.ф.). Это уравнение было решено ;вт задаче110.26, к кото-
которой мы и отсылаем читателя. Распределение по чнслу исходных
частиц в состояний |0'> иййет вид. " . <-
I0.J8. Для-фёрыиевских'операторов рассматриваемое преоб-
преобразование является унитарным при выполнении условий й'2=
= (аЙ+рй+У^ор =t) и [Я', d**3+=tf -И Р2** 1, т; е тольков три-
шальном случае а=^1±\; р = 0 (нл»ов='0, р*±* ±1;<си-. сле-
аующую задачу). ч *
Для боэевсних операторов преобразование является унитар-
унитарным при выполнении одного условия: «'— *fl=» 1 (при' этом
A7«8<1йа*>1)- ^ ( : - •
Представив в бозевском случае состояние |0'> в виде
и у чтя соотношения d[n) = 4#f Г"—: 1>, ?й+1 n}'= V*H- >; 1*»+ 1)*
запишем ypaBHeHHCj определяющее состойййе JVJ (Л*10"> —XI),
в*яде
Согласно A) для нечетных п с,
Определяя со из услбвяя норитороики ((К | О •* ?f с» Р «= 1=
получасы распределение по числу исходных частиц в состоянии
вакуума «новых» ч«стиц в виде
о.
п — нечетное.
10.24. В случае фермневскнх операторов указанное преобра-
преобразование является унитарным, так как сохраняются их основные
свойства: (d'J=(d'+)s«=0, [d',4f+]+=l. Очевидно, вакуум-
вакуумным состоянием,«новых* частиц \Щ является одаочастичное со-
состояние исходных частиц. 11) и, наоборот, одночастичныы состоя-
инем «новых» частиц |1'> является вакуумное состояние |0> ис-
исходных. Такие «новые» часхииы можно назвать дыркамя (на
фоне исходных частни)*
Б случае бозевских операторов преобразование не является
унитарным,-так как {&', Д'+3= — 1 {в отличие от \й, й+1== 1), и
операторы <3', <3'+нельзя рассматривать как операторы уничтоже-
уничтожения и рождения.
10.25. Символическое соотношение |1) = ?с,й+|0) эквива-
эквивалентно представлению s. ф. W произвольного одночастичного со-
состояния в виде суперпозиции ?.ф. Wf состояний частицы с опре-
определенными значениями квантовых чисел f: 4r = J]Cf4rf. Таким
образом, С; является в. ф. рассматриваемого состояния в /-пред-
/-представлении.
Так как оператор Ф+(г) рождает частицу в тояке г, то q>(r)
является в.ф. в координатном представлении (/ э* г).
- 10.26. Очевидно, операторы &f и <3+ft (и соответственно й^
н й \ связаны линейными соотнощениями:
,gt)tu. (О
, Для определенля C(lt, g*) применим операторное равенство
{I) к вакуумному состоянию
Это .равенство эквивалентно соотношению ыенсду я.ф. (см. пре-
предыдущую задачу)
^ B)
где Wjj *Вь) — coof ветствуййиге с-ф; операторов, входящих в
полные, наборы /, g. Согласно .B) находим г . <~
Отметим, что C(fir g») являются с.ф*.г
Аналогично легко прийти к соотношениям
10.27^ Если
>
'g-представлении.
то указанный в условии вектор состояния
ван'на единицу: •
12) ¦
+ (± й+йд) 10) = @10) = 1
(для краткости лишем.вь вместо й^и т. д.,э^акн *+» и *—» от-
относятся соответственно к бозонам и фермнонаи).
В случае U =fy = f 'ворииров'анное двухчаегичноё бозонвое
состояние имеет вид [ 2)=^j=^ff 10), а аналогичной) ферми-
онного состояния не Существует.
Обозначив через ifrj Ш (I = г, а*, ее — спиновая переменная)
нормированные на единицу в. ф. одночастичных состояний, мож-
можно записать нормированные- в. ф. рассматриваемых двухчастич-
двухчастичных состояний в координатном представлении в виде
Приведенный вид в.ф. следует непосредственно из смысла
представления чисел заподвения, автоматически учитывающего-
условие квантовомеханической неразличимости тождественных
частиц.
10.28, В случае различных наборов квантовых чисел fu fe> fs
указанное трехчастичное состояние нормировано: <3|3>' =1 (как
для бозонов, так н для фермиЬнов; сравнить с 1U27) - В. ф. систе-
системы в координатном представлении выражается симметризован-
иым (или антисимметризованным) иронзведеаием в.ф.^Шод-
ночастичных состояний. Для случаяJ6qapHCB явный вид такой
функции приведен в решении задачи JiD.4 (формула B)).
Для фермионаа ядняй вяд>?.ф* -может быть легко *айдея из
представления ее в виде детерминанта
T=-WU,,(E,) ¦,,(!,) ¦,,«,)
.... V l*l,«i) <№) ¦,,«.)
10.29. Для системы из JV частив рассматриваемые операторы
& конфигурационном пространстве имеют вид
l
a a a
где суммы берутся по всем частикам системы- Эти операторы
действуют р пространстве *,ф. 44?i, Еь .-* Ы (?=»". «; « —
спиновая переменная). -
Операторы A) выражаются через^сумму одночастичных опе-
операторов, т.е. имеют вид Ef(Ee)- По,общему правилу (см., на-
например, [3]) вид та#их операторов в представлении чисел запод-
яения, Р, определяется выражением г
где ^d}—'оператор поля [или Ч^оператор), являющийся опера-
оператором уничтожения частицы в точке* и в,соотве^тв'ующем дйи-
новом состоянии (оператор Ф+(Ц) рождает частицу).
Оператор B) можно также выразить через операторы рож-
рождения и уничтожения uf, ut частицы в состояниях tyg[ (|), опре-
определяемых квантовыми числами \gi некоторого (произвольного)
полного набора
где матричные элементы
(р ри g| выступают опе
s Ф{?)), Если же в выражении C) воспользоваться импульс-
импульсным представлением, то оператор f принимает вид
(а характеризуй СПННОвое сйстояние; например, о is s'i).
'" Используя явный вид оператора импульса f», наводим по фор-
формулам A), B), D) яскомыё операторы в представлении чисел
0
6) Т = -
следование временнбй эволюции физических систем
в схеме вторяяного квчнтбваная «можно проводить, используя
различные представления: шредингеровское, гейзенберговское и
представлении- взаимодействия. В щредянкеровскои-, представяе-
нии чисел заполнения операторы, вообще сюворя, н& зависят от
времени, а в. ф^.-состояния системы Ф*} (е* аргумйш'ами яв-
являются числа заполнения различных состояний и время) .удовле-
.удовлетворяет у. Ш. /Й-^гФ»=ЯФ, где'Я-^-гамильтониан системы в
представлении чисел заполнения'. При этом явный вид опера-
оператора f (в случае, е<Уй[Т не завися*' яЪно'от времени) опреде-
определяется коммутатором F=*-^[Ht P] (все операторы в этом выра-
выражении действуют ва функции в пространстве чисел заполнения).
Б рассматриваемой задаче -
V... = R... = hJ5r
Используя соотношения
(где анак «+» для бозолов, «—» для ферынонов), запишем A)
в виде , ¦¦
Й)
•) Не путать в. ф. Ф с операторами V,
Так как @(|) (?)(?У. <|)ф
— ± Ф'ШФ^О" и Дг'*т=<Д, то легко заметить, что последние
два слагаемых е B) в сумме дают нуль н выражение B) ока-
оказывается равным
V«.,—~-?F§V+u)lto-*№hdl. C)
Используя равенство Дг — гД =='[Дгг]== UV, запишем выра-
выражение C) в виде
- №
- Р
(Р—оператор зшпульса системы в^представления чисел запол-
жения), имеющей очевидный физический смысл.
^ 10.31. В классический физике плотность числа частиц в точке
г пространства равна' ¦'
т.е. является физической величиной, зависящей только от коор-
координат го частиц (но не от их, импульсов!) и вектора г, рассмат-
"риваейбго как некоторый параметр.
. Квантовоыеханич.еским обобщением выражения A) яаляется
оператор плотности числа частиц вида (в координатном пред-
представлении)
>?(r>«Zs(r^rJ B)
(сравнить с, оператором потенциальной энергии D(r)—I/(r)).
Оператор B) имеет вид суммы одНочастнчных оператороп
/л= 6(г -г- г?), и его вид в представлении чисел заполнения опре-
определяется по общему правилу; приведенному в решении задачи
10.29:
л (г)=J Ф+ (Г) ь (г-
=X w+ (г.
г, S
Г напомним, что \ dl означает интегрирование по координатам
и суммирование по спиновой переменной, в качестве которой
выбрана величина s2). Отдельные слагаемые суммы C):
й (г, sz) = %+ (С sz^W (г, вг) — представляют -операторы плотности
числа частиц с определенной проекцией спина s*.
Операторы Я_(ц)-=чнсла частиц и ft(vtsx)— числа частиц с
определенной проекцией спина se в объеме и, очевидно, имеют
вид
# ?# ), ^(О, «J— JV+(r, 5г)Ф(Г. S8)rfV. D)
Пря интегрировании в D) по-всему-лтрострвветву получаются
операторы п,олнрго числа частиц в системе.
10.32. Onepafop P ^меет вид (см., uanpWep, fD.29)
Используя-коыыутаднонные саотношёная.для бозоввы? Ч^ов*-
раторов 1ч>(|), .f^(^J-=^+№Lf+(?0l^0 [Ф(?)'
?+ (Ю1 _ = 6 (? - Г), легко находим
Аналогично получаем
Учитывая аитикоммутационные соотношения для фермион-
иых ^-операторов *' •
легко сообразить, что соотношения A), B) непосредственно пе-
переносятся s на случай фермйонных-юператоров шля.
10^3. а) Решение этим способом основано^Иа равенстве г#а=з
= f2 = ff. Так как по yaioBHio?='?f (|Д то по общему пра-
правилу, приведенному в решейни задачи 10.29, имеем
б) Оператор ^
(не путать его с А
ВИД
— оператор -аддитивной величины
)— в представлении чисел заполнения имеет
'Его можно записать гакже* виде
Оператор ?= J^ f Uo)f ft») является симметричным двух*
частичным оператором, и согласно общим правилам (см., на-
пй [3]) он в представлении яисея заполнения «меет вид
C)
Так как $(?)$(()—±Ф (?)$(?) («+» для бозонов,
фермионов), то C) можно записать в виде
Учитывая перестановочность операторов: ?(У)$в)(О,Ч.Л
(/(?')—оператор лишь в конфигурационном пространстве, дей-
действующей яапеременнме EvHb не |), перепишем D) следующим
образом:
Наконец, воспользовавшись соотношением
*Ф)-6(|- ?'), имеем
Так как F* *» Д + В, то, используя B) и E), приходим к по-
полученному выше другим способом выражению A) для Р.
10.34. Так как операторы плотности-числа частиц /!(г> =
= Z Ф+ (I1, s«) Ф (ff «J (см= Ю.31) в различных точках простран-
пространства коммутируют друг с другом: [й(г1),й(г3))- = 0 (читателю
предлагается самостоятельно убедиться в этом), то искомый
оператор представляет произведение
(п. 4) *<ri, si) Ф* (rs, si') Ф ft* s
A)
Оператор A) является, как В следует, эрмитовым.
, 10.35. В операторе^вдютности числа адстиц /Цг^у^г)^)
(см. 10.31) выразим ^-операторы через'операторы уничтожения
й^ и рождения .ilf ^рч^Йк — импульс частицы):
Средняя плотность числа частиц в (г) получается усреднением
оператора A) по-основному состовяию бозе-газа |44)*=|tffc-o,
Ок,м>> (в :рвиоином состояний веб ^астчаы имеют рабньй яу^ю
импульс, так j4tq ?исла даволненнй. возбуждевнмх состояний
Як+и**=Щ. Очевидно, ч,, .
(o. в остальных случаях,
н для п получается естественный "результат: п ^ N/V.
Среднее число частиц ё объеме с получается усреднением со-
соответствующего оператора #(e)=*{ Afr^r; ''
J^ B)
Для расчета флуктуации числа частиц усредйин оператор
R2{v) по состоянию IWo), Так как- ,, .',-,-' = ¦:
~"h\\ E ellk-b"e"k-
то для вычислений^о I #г (о) | То) прежде всего найден
Используя явный вид \*Рр), нетрудно сообразить, чтс =
(Ч) отличны от нули Лишь при выпйлндони' условий *i **¦ fc* = Q,
К? =*кз;гпр» этой ohit равяы № для к3 *=% =*О Й N для_Ьз'=
= к3 = кф0. Значение A^(f) представляется в виде
Так как
%в {$)' мы учли условие полноты систем^ '^Й*|щи11 .?к =
= -~сЛг\то!инте^рал в выражении..J5)h медфнтарновычисз
«яется, и вш) принимает вид "'.»i ¦-*.*¦'¦
¦ля-. , РП^7)
Соответственно
При я-в-У.имеем {AN(V)J = 0—очевидный результат, так как
ролное число частиц в системе равно N и не флуктуирует. Б слу-
чае v *? V имеем согласно (8) (АЛ'(о)J a* Nv/V = N[v).
¦¦ Отметим, что для системы иэ N невзаимодействующих клас-
классических частиц, находящихся в объеме V, распределение по чис-
числу частиц Nv в объёме v имеет вид
(так называемое биномиальное распределение^. Вычисление для
такого распределения средних значений Ne, Nv, (AWD) приводит
к результатам, в точности совпадающим с полученными выше
B), G), (8) (см. по этому поводу следующую задачу).
10.36. Решение данной задачи аналогично проведенному в
10.35 вычислению значения №(v). Оператор величины П|Ие имеет
вид (см., 10.34)
Ufa - Ф+ (г,) Ф (г,) Ф+
и его среднее значение
A)
непосредственно следует из найденяого-i в предыдущей задаче
значения матричного элемента D).
Суммирование в A) легко выполняется с помощью формулы
F) предыдущей задачи (при этом 6-функциониое слагаемое об-
обращается в нуль, так как п ф г2), так что
7Г7Г N* N 19\
я функция корреляции оказывается равной
»=-йг=-т—i- P)
Чтобы лучше понять полученные результаты B), C), най-
найдем аналогичные им характеристики для случая невзаимодей-
невзаимодействующих классических частиц. Для этого рассмотрим вели-
величину щ dV\ n2 dV2, где dV\, s — бесконечно малые объемы в окре-
окрестности точек Г|, а. Так как п dV — число частиц в объеме dV, то
рассматриваемая величина-представляет среднее значение про-
произведения чисел частиц "В Объемах dVit д. Ввиду малости dVit s
40S
можно пренебречь вероятностями того, что в этих объемах нахр-
дится более чем по -одной частице (с подавляющей вероятность^
в этих малых объемах вообще нет частиц), так что
<KV(l~a . D)
где V(J?|, N2)—вероятность того, что в объемах dV\, а цаходятся
Ni.i частиц. Для вычисления Х7(\, 1) замечаем, что-вероятность
нахождения определенной частаць* в объеме dV\ равна dVi/V,
а просто одной частицы (безразлично какой) —в N раз больше,
т.е. N dVi/V; умножив эту величину на вероятность того, что
какая-то из остальных (N—-\) частиц при этом находится в
& I) dV/V
() р
, равную (&?— I) dVs/V. находим
К1/[1) dVtdV2.
E)
Л*
Из D) и E) следует ttiib^-yf —
N
чт0 совпадает с выра-
выражением B)^
Расчет «!«! для классических чйстиц выявляет причину отли-
отличия этой величины от значения пш = п2: при вычислений плот-
плотности числа частиц сразу в двух различных точках в каждой из
них в среднем плотност> меньше п, так как часть частиц заве*
домо находится вблизи- другой точки. Однако для макроскопи-
макроскопических систем значение N огромно, так что второе слагаемое в
правой части B) пренебрежимо мало; соответственно функция
корреляции v = 0.
Характеристики бозе-газа в основном состоянин,,рассмо1рен-
ные в данной и предыдущей задачах, оказались такими же, как
¦у газа-классических1 частиц. Это не случайна. Действительно,
в. ф. основного состояния имеет вид
т.е. представляет произведение в.ф. отдельных частиц, точно
так же как в случае различимых частиц. Соответственно частицы
не интерферируют друг с другом, а для каждой из них l^oj?*™
= l/V. что соответствует равновероятному распределению дх по
объему.
10.37. Задача решается аналогично 10.35. Оператор А (г)
имеет вид ¦ ' ¦
(a ess Sz). Основное состояние ферми-газа определяется чис-
числами заполнения, равнымип^о = I для |к|<^ О
', B)
Очевидно, «атричный элемент ^[Й^Ал!4^) отличен от
нуля (и равен при этом 1) лишь-в случае к|=*к2»к, Ikl^p
Учитывая это обстоятельство н соотношения A) и B), легко на-
;я6диы
Соответственно среднее число частиц в объеме о равно N(v)=*
~NvtV.
10.88. Оператор плотности числа частиц с определенной про-
проекцией спина па ось г в тонке г имеет вид (о ят sz)
v+<r, о»Ф(г, о)--^ ? <t«--™'tiiA«-
к., k.
Соответственно оператор величины п(Ти a)n(r2l os) имеет вид
(см. 10.34)
rt (Гь CiiAfcOs) —
Рассмотрим матричный элемент
где l^o) — в.ф. основного состояния ферми-газа, описанная в
предыдущей задаче. Легко сообразить, что в случае Oi ф о2 ве-
величина B) отлична от нуля (и равна прн этом 1) лишь при вы-
выполнении условий ki=k2, iM^ftr; кз = к4, \к2\^ке- Учиты-
Учитывая это обстоятельство, находим (Ci ф оЕ)
. C)
(сравнить с предыдущей задачей); так кйй n(t^)'~njBs^-\), то ре-;
зул^тат C) означает,' что п(гь O|)n(rs, da) = nfrj, fjjnfe 0a). т. е,
в случае 0i gfe ffa между плотностями чксла частиц ^ различ-
различных точках нет корреляции. , (¦-.
В случае iK.e ai=ag ситуация иная. Матричный элемент B)
отличен от нуля (и равен при этом 1) только в' сдедуюдцих
случаях:
Воспользовавшись соотношением
kl
lkl>ft|7 (. k |k|<ftF ) |k|<*F
(в E) использовано условие поййоты системы функций
=i7rr="^rJ и вычислив интеграл
I Ь К ftF A < hF
(он вычисляется элементарно в сферических координатах с по-
полярной осью, направленной вдоль г), приводим выражение D)
к виду (г = га — г„ п{п)р*n/Bs-f. D)
1
п (г,
is 1 яг1
с) /i (г8, о) = п (о) — -^ррг {
F)
С помощью F) находим соответствующую корреляционную функ-
функцию:
От^етим? что при r= Jri—r^! -»-оо эт^а'функция обращается в
нуль, т. ё. корреляция исчезает — естественный(результат.
Характер установленных корреляций весьма нагляден. "Тож-
"Тождественные частицы с различными проекциями спина ведут себя
как различимые частицы, н установленное ^вьгаш. й'^сутствие
корреляций в этом случае — вполне естественно (сравнить со
случаем классических частиц, обсуждавшимся, в 10,36). В случае.,
одинаковых проекций спнна корреляционная функция v(r,a)<.
¦< 0—также естественный результат, отражающий «отталкива-
тельный» характер обменного1 взаимодействия Для §гермнонов
(срааикть с результатам задачи 10.10).
¦ Легко заметить, что корреляционная функция v(r) плотнести
числа частиц вообще (безразлично, с какой проекцией спина)
совпадает с v (r, о).
10.39. Оператор взаимодействия между частицами в пред-
представлении чисел заполнения имеет, вид
0
+ (г,) Ф* Ш U (ri - гз) Ч (rj> Ф (г,) dVi
0>
Используя разложение Ф (г)-оператора по плоским волнам (см.,
например, 10.35), можно преобразовать A) к виду
1 т
C)
Рассматривая взаимодействие между частицами как возму-
возмущение и учитывая значение Й0> = 0 энергии основного состояния
в отсутствие возмущения, находим по известной формуле теории
вознущений
где l^o) — в.ф. основного состояния системы невзаимодействую-
невзаимодействующих частиц. Так как1 в состоянии |?о> все частицы имеют им-
импульс р *=ftk — 0, то матричный элемент
очевидно, отличен от нуля лишь в случае, когда все кд = 0, и ра-
равен при этом N{N— 1)« N* (N^> 1). Учитывая это обстоятель-
обстоятельство, согласно B) и D) легко находим
Так как радиус Я потенциала [/(/¦) предполагается, естествен-
ио, имеющим микроскопические размеры, так что Я < L ~ V'\
то при вычислении интеграла
можно -интегрировать во всеуу. пррст-рацству, и ов оказывается
не зависящим от г(. Учитывая это, яаходим цз C)
и окончательное.выражение для Ео принимает вод
E)
Укажем, что более полное исследование рассматриваемой
задачи содержится в книге FJ.
10.40. Задача решается аналогично предыдущей. Оператор
взаимодействия частиц друг с другом имеет вид (а= Si)
(П
г* B)
Поправка первого порядка к энергии ?оИ основного состояняя
ферми-газа невзаимодействующих частиц, связанная с взаимо-
взаимодействием частиц друг с другом, имеет вид . ,, t
где |жо> — в. ф. основного состояния системы нёвз:аиУодеВствуК>-
щих фермионов. !" " !
Учитывая известные значения: чисел заполнения одночастич-
ных состояний в основном состоянии идеального ферми-газа:
л*,, = 1 для |k|^ftp и ntos=0 для Ik^Jfe/^—замечаем, что
при подстановке в C) явного вида A) оператора О все-слагае-
мые сумм по кд, для которых хотя бы одно из |кд| больше kF,
равны нулю. Соответственно в выражение C)_ входят величины
^й» для которых |кд|<^&? Перейдя в формуле B) к новым
переменным R = (n -f ra)/2, г — Г| — г^, запишем ее в виде
&ЙЬ"-т!г \c/(r)^lkt~tl-b'+fc')fd3r L((fc,+k,-i,-k1md3^, D)
v v
Учитывая микроскояичность размера Ro радиуса потенциала
V(r). так что /fo < L ~ У'\ интегрирование в этом выражении
по г можно выполнить по всему пространству (сравнить с 10.39):
а так как fc#J?o-< Ь то в интересующем нас случае в интеграле
по г можно заменить экспоненциальный сощюжйтель единицей,
и выражение D) оказывается равным
се столкновения ч
Учитывая сказанное
,C) принймаетЬид--
сохранению вмпульса в пройёс-
легко заметить, что выражение
E)
Нетрудно сообразить, основываясь-на, явном виде в,ф. №>> что
из всех слагаемых сумм по ke, входящих в (§), отличны от
нуля, вообще говоря, лишь такие, для которых либо кз = Ь1,
к« — кг, либо к#** Ki, кг ^= кз, так что E) можно записать в
виде
1 Е
Далее замечаем» что «двойная» сумма по киз в F) при
равна, нулю (тж как равны нулю ее слагаемые: Л^^ЬА
?]4А*-°> так что
ЬаЛА№+>
в F) о^Оц. Прн этом, исполизуя антикоммутационные свойства
фермиевскнх операторов й, й+, первую часть суммы в F) можно
записать в виде
где Ak0'— операторы чясел заполнения. Так как iV(c)==2jflb(J —
оператор числа частиц в спиновом состоянии о, а в основ-
основном состоянии | Ч^о) эти числа имеют определенные значения
N (а = 1/2) = JV@ = - № = W, то
.Sfe, Ol1 ¦ G)
При О1#=<ч слагаемые во второй части суммы в F) отличны
от пуля лишь прн kt~k2. и она оказывается равной
по сравнению с G).
т. е. пренебрежимо малой (в сил
Таким образом,
н энергия" основного состояния
с. учетом взаимодействия .частиц принимает вид
(?е° — энергия основного состояния идеального ферви-газа).
Более полное исследование рассматриваемой задачи содер-
содержится в книге [6|. ' ¦ . "-¦ i t
10.41. Энергия частицы, имеющей нмпульс р и проекцию 5*
спина на ось г, направлейнукГ вдоль магнитного поля, равна
Обозначим1 через N± числа частиц ..в основном, состоянии фер*
ми-газа, имеющих соответственно sir== ± '/*• Так как» яснев*
ном состоянии анергия имеет, минимальное значение, тскеиу со-
соответствуют следующие яисла заполнения: пр ± = 1 для \ ц ^
^Рр,± к пр.±~0 Л1!* lpl>Pf ±i гДе Pf ± связаны1 соотно-
соотнося л
(I)
означающим равенство максимальных энергий заполиевиых со-
стоявий cj»«=± '/s и обеспечивающим минимальность Мергни-
всей системы (сравнить со случае» .^свободного» ^^
фермн-гээа)^ . *
Выражая обычййм образом pF ± через Af±:
¦?^".'?J
находим с помощью A^ уравнение для определения Л^±:л
через которые очевидным образом выражается магнитный мо-
момент газа: .. ¦ ' *
Я;гг»1вЛГ+-М?--МЛГ+-АГ4г; ^=S№,=0. ,C)
При 5g = 0-H3 B) следует ЛГ+=- W-*= W/2.-Соответственно
в случае достаточно слабого Поля (см. ниже) значения N± tiarto
отличаются от N/%. Представив их в виде N± ='Af/2±/i- и вы-
выполнив в получающемся-:из B) после, такр^.гпрдетановки выра-
выражении разложение по .малому параметру (n/N) ((A//2^b)*t
я» (N/2)'l'(l ± 4rt/3jy»e ^пегко находим ¦.
(при этом условиеда« Лммящвдюет отрмпнвнге на величину
поля Ж, при которой его hojkho считать слабым).
Согласно C) н44) nhin случае слабого поля
и магнитная восприимчивость оказывается равной*
(напомним, что х определяется как коэффициент пропорциональ-
пропорциональности np*rffl. в выражении для магнитного момента М единицы
объема вещества^ т. е. М. =SS/V •= х«Н<).
¦ Такжак % > О, то рассматриваемый фермн-гяэ является па-
парамагнетиком ^в противоположность днамагнетикам, для кото-
которых x<Q). ¦ г
С увеличением поля, как легко увидеть из B), значение
]tf+ — N-\ монотонно возрастает и прн Ш^Щ^, где
становятся ,равньш АГ, т.е. спины всех частиц выстраиваются в
одномнаправлении, (по.или против направления Э1 в зависимо-
зависимости от знака щ). Прн этом магнитные моменты всех яастнн ори-
ориентируются вдоль поля (происходит, как говорят, насыщение),
- Гй а в a I*. . : -
АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ
11.1. Релятивистская поправка к функции Гамильтона заря-
заряженной частицы в электростатическом поле в классической тео-
теории согласно формуле "(—-е — заряд частицы, р '<?. тс)
равна —p*/8m9cs. Квантовомеханическим обобщением этой по-
поправки является дополнительное слагаемое Я' = —p*/8mscs*),
рассматриваемое как оператор возмущения гамильтониана. .Так
как операторй' коммутирует с операторами ^ и/г,тос.ф. Ч^т
невозмущенного гамильтониана являются правильными функ-
функциями нулевого приближения при наличии возмущения, так что
поправка первого порядка к уровням энергии определяется мат*
*) Сравнить с результатом задачи 15.15.
ричным .элементом- (—eig *=.-r
(#o — невозмущенный гамильтониан .водвродоподобного атома).
Учитывая соотношения (п = п, -\-1 + Т)
(первое из соотношений B) следует из теоремы вйриала, второе
легко получить на основании 1.28 дифференцированием по па-
параметру / оператора
- Р)
с. з. которого ?Пг( =—
целочисленных зна-
значениях / определяют спектр энергии водородоподобного атома;
кстати, точно- так № дйфферен^ровйянем по5 пкраыетру 2е»
можно получить простое доказательство %е6рййы внриала в слу-
случае кулоновского поля), выражение (I) легно преобразовать к
виду
Как видно-из получевног© выражения, учет .релятивистской по-
поправки полностью снимает случайное вырождение уровней в ку-
лоновском поле (напомним, что проведенное рассмотрение от-
относится лишь к .бесспиновым частицам): уровень с данным п
расщепляется на п компонент (/=0,1. -,-, п —3).
Ширина интервала тонкой структуры (разность энергий
крайних компонент, отвечающих значениям / =¦ 0 и _/mu = fi—If,
для уровня с данным значением п согласно D) равна
*) Отиегам, р у р
подобного атома с точечным. ядром согласно
дующую лерактериую особеннсжть. Уровень
При учете спина электрона' товмя структура "цодррсдо-
очечнымядром согласно yptitattouo Дира&я впит еле*
с давныйглмиый-^-—
Согласно D) имеем лло нижних уровяев'^п~1) оценку1
так что в случае Z—100 электрон в атоме уже нельзя считать
нерелятивистским (это— естественный результат, так как ха-
характерная скорость электрона в -водородоподобйом атоме равна
11.2. Потенциальная энергия И (г) = — еф (/¦) в у. Ш. с учетом
известного выражение для потенциала q>(r) равномерно заря-
заряженного шара (заряд шара Ze, радиус R) равна
(I)
3 — -jjr), г<«.
Представив гамильтониан в виде Н == Но + V. где
—гамильтониан водородоцо^обного атома, рассматриваем V
как возмущение. Очевидно,
С. ф. гамильтониана Яо 'хороню известны. В частности, в. ф.
основного состояния имеет"'вид (a0 = ft2/m<?/fw0,53 ¦ 10~" см)
ВД-
числом и, имеющий согласно иерелятввистскои теории кратность вырьжденйя
2л2 B —из-за соина электровд), при учете релятивистских поправок расщеп-
расщепляется (как и в случае ^ееспиновой частицы), на я компонент, каждая из
которых отвечает определенному значению / полного момента электрона
/= |/,, •/*, ..... я— ¦/*).-При атом случайное .вырождение унимается не пол-
полностью, так как-остайтся вырожденными урввий с одинаковый эиаченнем /,
ко различными I = / ±'/»- Так, для п = 2 уровень расщепляется на две ком.
поненты, одна из которых,представляет ?р ^-состояния, а другая — (вырож-
(вырожденные) J2p,hr и 2si,<ocipuwt Japn этом нищркал тонкой структуры р&цщ
«12
Сдвиг энергетического уровня ochobhofo состояния за- счет/рв,-
точечности ядра (т.е. под действием возмущения V(f)) равен
(при вычислений интеграла мы учли, что' в.ф. ^(г) в «власти
ядра г < « ~ A0^'^—10-'8) ?м остается- почти постоЦиноИ, я по-
поэтому вынесли1 величину fYoC)ls* l*o(O) f1 за з«ак;^йтеграла).
Численное значение oTHotue'imfl • * :
(Л яг 1,5 21'1; 10^1Э см. см. следующую задачу) при Z^= 1 Йвляет-
ся величиной порядка КН1, что сушествейно 'меньше аналогичг
ного отношения дли релятивистской попреки; ^КН {см. ifpe^-
ДЫдущуго задачу). ' > т .¦
В случае ц-мезоатомов эффект неточечности ядра проящЛя1ёт-
ся болеЁ сильно". Оценка типа {2)И УЧетби значения tn$J& Щт,
дает, очевидно, l?^Wj«3-1,0 2*3«()Д .(для Z=j&), i,?.
при больших значениях 2 иеточечность ядра с>1И^ствейно влияет
на спектр ц*мезоатома (см. следующую задачу). ' ' '
11Я. Энергетические уровни н соответствующие им в. ф. опре-
определяются из решения у. Ш. с потенциальной энергией V(г), при-
приведенной в предыдущей задаче. Решение у. Ш. для произвольно-
произвольного R оказывается довольно "громоздким. Одвакй предельные слу-
случаи допускают простое приближенное ретенне.
В случае, достаточно малых 'рачений; Z неточечиость ядра
является несущественной и уровни энергии и в.ф. имеют обыч-
ныД, хорошо известный врдородоподобный вид (с заменрй элек-
электронной массы на мюоннуго). Ядро мо^но рассматривав как
точечное, если величина й = 1,5И1/>-10-га см *и'1,5^''-10-йлШ
много меньше радиуса o0 = fia/(iZ«» первой боровекой орбиты
мезона массы ц « 207те в поле точечного ядра с аарядом Ze;
условие R < о дает Z <? 45. "' '
В противоположном случае больших R (или Z, см. ниже)
в.ф; нижних уровней локализованы в ьбласгн внутри -ядра' и
уровни энергии и в.ф. определяются потенциальной энергией ме-
мезона внутри ядре, имеющейосцилляторный^4и^г),= г^~+
-f--^-г-2. Энергетический спектр и в. ф..стацийнарных состояний
.легко, получить на основании результата задачи 1.Ц (рй;т9&же
AS). Так, уровня энергии- мезона определяются выражением
A)
В.ф., относящиеся к уровню A), локализованы на расстоянии
порядка а, определнемоы из условия
т. е. а
Неравенство Я» а, или 2 » 250 (для ЛГ = О), представляет
условие ярвменимости проведенного рассмотрения.
Отметим, что величина щ в формуле A) ре зависит от Z
(так как #оо?%); при этом Ае*, як 12 Мэ$, что оправдывает
применимость нерелятивистского рассмотрения.
Для реальных ядер черты рассматриваемого предельного
случая Z > 250 начинаю? проявляться, да и то лишь в грубом
приближении, только для самых тяжелых ядер с 2 = 80—100.
.Численное рещеане задачи дает для таких ядер характерное рас-
расстояние между нижними уровнями 2р- и ls-состоянии около
6-МэВ (сравнить с &шв= 12Мэр ц с .Нею « 20 МэВ для точеч-
ндго ядра урана), при этом мезон в основном состоянии нахо-
находится внутри ядра с .вероятностью приблизительно 0,5.
11.4, Согласно классической электродинамике взаимодействие
электрона (заряженной частицы, имеющей собственный магнит-
магнитный >Юмент) с магнитным полем 'ядра' (магнитного диполя)
определяется выражением
где
Квантовомехаиическим обобщением выражения (I) являйся
оператор взаимодействия V, получаемый заменой классических
'величин на соответствующие операторы:
Оперэтор Г легко преобразовать к виду (Р—эрмитов оператор)
Усредни» оператор Р но в.ф. VoM пространственного дви-
двиения' элейтрона в основном, 1я-состоякин; Возника^ощия при
жёния' электро
414
усреднении ни'тегралмв!кно, очевидно, представить как*?,'
Для определения величины С.в этом соотношений произведем
свертку цох индексам i и ft (т. е. положим i ~=k н просуммируем
по 0; с учетом равенств Ъ,- = 3 и ? ^ ± — Ьу = — 4«р(т)
находим C = -^-\^{Q)f. В результате указанного усреднения
получаем
t' все еще является оператором в пространстае спиновых пере-
переменных электрона njmpa. r ^j_«
С.з. оператора Р юпределяют заер№Г1йеСкие сдвиги основ-
основного уровня за счет рассматриваемого взаимодействия:
(У-^-полный момент системы «ядро + электрон», см. 3.34), т.е.
уровень расицедляется .на два в соответствии с возможнщн зна-
значениями J = I±l/s полного момента. Величина ^сверхтонкого
расщепления равна
Л?„р5-й,и (/=/ + l/2)-?HFS (/=/-l/J)= 4"""t'^';|V°"'-
B)
Для атома водорода находим численное значение величины
B): Avhfs ^ A^hfs/^й « 1420 МГц в согласии с эксперимент
тальЕыы значением.
Сравнение величины B) с интервалом тонкой структуры ирн
п ~ 1 (см. U-.I) дает lAfHFs/A?Fsf'--^'-H), т.е. свйрхтон-
кое расщепление значительно меньше тонкой структуры.
11.5. В пренебрежении взаимодействием между электронами
V= I/in — rs| (мы используем атомную систему едлшщ) в.ф.
Однако иитетрал. содержащий
условия 1лТ9(»-) = 0.ив
вие иа функцию 4»J(r)).
основного состояния яелиеподобного нона имеет вид Ч' =¦
=4;o(riL;o(r2)=^-e"Z{"+4 Она отвечает энергетическому уровню
?о"=- —Z8. Поправка первого порядка к энергии уровня равна
Интегралы вида
0)
удобно* вычислять- следующим обраэой: при фиксированном ri
интегрируем по угловым переменным rj, выбрав направление
вектора ri за полярную ось; при этом
JdQi ^f sin в йв г!ф _gf 4я/г|, ri > Га,
и выражение B) принимает вид
Учитывая сказанное, довольно просто находим
C)
Энергия основного состояния в первом порядке теории возму-
гйений равна
* ' * &&& + $**=-2?+52$, D)
и потенциал ионязации, представляющий разность энергий ос-
основного состояния водородоподобного иона —Z2/2 к рассматри-
рассматриваемого гелиеподрбного иона Еь D), определяется выражением
/=(Zs/2-5Z/8J ат. ед.
Численные значения / для некоторых ионов представлены в
таблнце^напомним, что 1 ат.ед. энергии як27,2эВ).
Согласно^.аАмче. ИЛ
Согласно 8ада<№ 11.7
Экеперяи.' внйчейие'
двухзлемроиыых систем
И.
20,4
23J
2« '
,"*
ПА
74.0
75.6
в,-
150
152
- 153,6
с^
388
891
393 ¦ '
11.в. В. ф. основного состояния системы с гамильтонианом tfe
имеет вид Ч^гв-^-expf— ?*M>(ri-f r^] и отвечает энергии
?§*= — 2^фф. Возмущение 9, очевидно, равно
С учетом значений интегралов
(вычисление второго из них обсуждалось в предыдущей задаче)
легко находим поправку первого порядка к уровню энергии:
С = Zm{2Z^ -2Z + 5/8).
Выбрав Zgj^ из условия ^0"=0, т. е. Z,^~Z — 5/16, нахо-
находим энергию основного состояния двухэлектронного иона в виде
Д>»?Г + 4"- - B -5/I6J A)
(сравнить значение (I) с результатами предыдущей и после-
последующей задач).
11.7. Среднее значение гамильтониана гелиеподобного иона
в состоянии, описываемом в, ф. вида Ч;=— Z^expf— Z
X (ri + г^Ь легко найти, если учесть соотношение
(_i4-i)r— 4-,
записать гамильтониан в вяде
и воспользоваться значениями интегралов, приведенных в преды-
предыдущей задаче:
sW(ZwMh - 2Z + 5/8).
, Минимизируя это выражение по 2,фф, находим приближен-
приближенное значение энергии основного состояния гелиенодобного иона
= (Z-5/I6)8
14 В, М, ГаянцкнВ н др.
(I)
Ч7
и потенциала ионизации системы
/ = — 2а/2 - Ео = Z*/2 - 5Z/8-f 25/256.
B)
Численные значения / для некоторых нонов, рассчитанные по
формуле B), приведены в таблице задачи 11.5.
Для иона Н~ (система «протон-f-два электрона») имеем со-
согласно A) Ец = —0,47. Это значение выше энергии основного
состояния атома водорода, равной —0,5. Поэтому на основании
данной задачи нельзя сделать вывода о существовании устойчи-
устойчивого иона Н~ (по этому вопросу см. следующую задачу).
11.8. Простое, но несколько громоздкое вычисление дает
где из условия нормировки в. ф. на единицу
0)
Растет ? — j ?(г„ rj#?(n, rJdV,dVi для указанной в. ф.
сводится к вычислению простых интегралов (правда, их много
и в этом — громоздкость вычислений). Все встречающиеся инте-
интегралы сводятся к следующим четырем:
J e-v dV
= 4л (
e-vr' dr = 8VA
"«') (Ve-S') dV =
= — <ф J «-««¦» ' dV = — 8naP/(» + №.
(по поводу вычисления последнего интеграла см. 11.5).
Выражение (I) может быть использовано для более точного
по сравнению с предыдущей задачей расчета энергии основного
состояния гелиеподобного иона вариационным методом.
Для иона Н~ (Z = 1) значение A) величины Е при а = 1,
Р = */4 равно Ё = —0,612, что ниже энергии основного состоя-
состояния атома водорода, равной —0,50, и тем самым доказывает су-
существование устойчивого иона Н . Экспериментальное значение
418
энергии этого иона равно Ео = ~-Ф*527 at. ед. (ниже вариацион-
вариационного значения ?, как и следовало ожидать).
11.9* Боровский радиус водородоцодобного мезоатома в
Шц/те « 207 раз меньше радиуса злектрониого атома, так что
для электрона наличие в атоме мюона сводится к экранирова-
экранированию заряда ядра на единицу. Поэтому представляется очевид-
очевидным следующий выбор невозмущенного гамильтониана рассма-
рассматриваемой системы:
(при написании A) мы считали ядро бесконечно тяжелым; ко-
конечность массы ядра можно приближенно учесть, заменив в A)
массу мюона соответствующей приведенной массой ц =
= т„М/(т|1 *f"M), M — масса ядра, в этом приближении центр
масс рассматриваемой системы совпадает с центром масс систе-
системы «ядро -J- мюон»).
С. з. гамильтониана Въ, относящиеся к д. с, равны
(N, п — главные квантовые числа для мюона и электрона). Сле-
Следует, однако, иметь в виду, что при N ^ 2 уровни B) не яв-
являются истинными уровнями энергии д. с. рассматриваемой си-
системы «ядро + электрон + мюон», так как из-за взаимодействия
мюона с электроном возможна ионизация системы (мюон пере-
переходит в основное состояние c^=l, а электрон выбрасывается
из атома — так называемый Оже-эффект), так что выражение
B) представляет приближенное значение энергии стационарных
состояний системы лишь при N = 1. Вид соответствующих в. ф.
представляется очевидным.
11.10. Задача решается аналогично 11.4. Оператор взаимодей-
взаимодействия электронов с магнитным полем ядра представляется в виде
двух слагаемых: V = t^i -f t^s, где t?iBj описывают взаимодей-
взаимодействие каждого из двух электронов с ядром (см. 11.4).
Усредняя оператор V по в. ф. 4х (п, г2) пространственного дви-
движения электронов в 23S-coctohhhh атома гелия, находим
где S = si-f-ss— оператор суммарного спина дкух электронов,
С = J | V @, Га) l2dVz = J IV (г„
С.з. оператора V определяют энергетические сдвиги уровня
(сверхтонкую структуру). В рассматриваемой задаче S = 1.
/ = '/г; при этом
f 1, / = 3/2,
4В
{/ — полный момент системы «ядро 8Не-т-два электрона»). Ве-
Величина сверхтонкого расщепления равна
A*hfs=I ?h!sU = 3/2) - EHFS(J = 1/2) \=*netl^C . A)
Воспользовавшись для в.ф. >P(ri, rs) приближенным пред-
предъявлением в виде
где Ч?1,а(г)— в.ф. водородоподобного атома с Z = 2 для Is- и
2з-соетояний, находим
с—i(|.4',@)F+|4'2@)F)
B)
(do — боровский радиус).
Численное значение энергии сверхтонкого расщепления со-
согласно A) и B) оказывается равным
«7300 МГп.
11.11. В орто-(пара-)состояниях гелиеподобных атомов мо-
момент относительного движения электронов может принимать
только нечетные (четные) значения.
11.12. В рассматриваемом приближении энергия nL-состояния
гелиеподобного атома представляет сумму энергий 8о = —Za/2
основного состояния водородоподобного атома с зарядом ядра Z
и еп = —(Z — 1J/2ля — состояния с главным квантовым числом
п в поле экранированного заряда Z — 1, т. е.
Е„ -= — 2Е/2 — (Z - 1)г/2яи A)
(в рассматриваемом приближении значение энергии A) отжь
сится и к орто- и к парасостояниям атома), а потенциал иониза-
йни равен /„ = (Z - lJ/2os.
Для 21.-состояний гелия приближенное значение потенциала
ионизации /s = 0,125 ат.ед. следует сравнить с эксперименталь-
экспериментальными значениями:
I
'эксп
0,146 0,133 0,124
Экспериментальные значения потенциалов ионизации различ-
различных 31.-состояний гелия равны:
'эксп-104
33S
685
3'S
612
3ЭР
Б80
З'Р
650
З8/) 3'D
660 1 655
-вто время как согласно данной задаче /з =¦ 556-Ю~4 ат.ед,
420
Приближение данной задачи основано, по существу, на воз*
можности пренебрежения «перекрытием» в.ф. Is- и nf-электро-
нов (/ s L). При п > 1 это обеспечивается большим размером
орбиты «/-электрона и малой вероятностью нахождения его в
области локализации ls-электрона (при данном л эта вероят-
вероятность тем меньше, чем больше значение момента электрона I,
поэтому даже при л = 2; 3 н f^O приближенные значения Е„,
/„ данной задачи хорошо согласуются с экспериментальными
данными).
11.13. Правильные функции нулевого приближения простран-
пространственного движения электронов имеют вид (с учетом антисим-
метричности полной в ,ф. двух электронов)
(Г,) V! (Г,)},
^ = - Z2/2
8 = - 5Z2/8,
где знаки «-[-» и «—» относятся к пара- и ортосостояниям со*
ответственно; 4^,5 (г) — в. ф. Is- и 2я-состояний водородоподоб-
водородоподобного атома с зарядом ядра Z.
Поправку первого порядка к уровням энергии за счет взаи-
взаимодействия электронов можно записать в виде
где так называемые кулоновскнй К и обменный / интегралы
равны
Имея в виду явный вид функций Ч^^г), легко заметить,
что расчет /С н / сводится фактически к вычислению нескольких
интегралов вида
(ft, n — целые числа). Такие интегралы легко вычисляются, так
как имеет место соотношение
а интеграл /0,0 был вычислен в 11.5 н равен
Простое, но несколько утомительное вычисление дает К =
~ 81 ' 729
Соответственно в первом порядке теории возмущений значе-
значения энергетических уровней и потенциалов ионизации 23S- и
2!S-cocTOflHHfi гелнеподобных атомов равны
-¦f-#*. /«ад-f-s-*- A>
Численные значения / для атома гелия н иона лития L1+ со«
гласно A) равны
/h.BsS)«0,125 ат. ед.«3,40 эВ,
'h=B'S)i»0,037 ат. ед.« 1,00 sB,
/L1.<28S)«0,56 ат. ед. «15,2 эВ,
i ат. ед. ss 11,7 эВ.
Существенное различие рассчитанного и экспериментального
значений / (особенно в случае атома гелия) свидетельствует о
неудачном «разбиении» гамильтониана на невозмущенную часть
/?о и возмущение V. Это легко понять, если иметь в виду то
обстоятельство, что в возбужденных состояниях гелиеподобного
атома один из электронов (Is) находится, в среднем, суще-
существенно ближе к ядру, чем второй (в возбужденном состоянии),
и частично экранирует заряд ядра (сравнить с результатом пре-
предыдущей задачи). В случае ядра с достаточно малым зарядом Z
такая экранировка его заряда Is-электроиом существенно ска-
сказывается на движении электрона в возбужденном состоянии.
11.14. Нормированная пространственная часть в.ф. 23S-co-
стояния системы согласно условию задачи имеет вид
V 1ГУ '*> = ^
2 Ы - ^2 О",
A)
где 4*1,2(г) представляют в. ф. Is- и 2$-состоянии водородо-
подобного атома с зарядом ядра Z^:
Для вычисления среднего значения энергии б состоянии, опи-
описываемом ъ.ф. AJ, удобно зависать гамильтониан системы
Так как в. ф. (I) является с. ф. гамильтониана Яь то
»,-{-' \ ' ' '
Среднее значение оператора #а согласно теореме вириала
равно
z— z »i ? г~П т~ГГ\ 5
-TZ,«(Z-Z.W). E)
Среднее значение оператора Н3 можно записать в виде
^з =-п~тгт = Л - А F)
G)
(8)
Учитывая явный вид в.ф. ^,2, интегралы в выражениях G),
(8) легко вычислить (см. по этому поводу 11.13):
К = вГ Z*№ ' = 29" Z=**- (9)
Таким образом,
я=Й1+яа+я3=~г^фф~-|гг9фф+ i|-zs**,
и, минимизируя это значение Е по параметру Zs$q, легко нахо-
находим вариационное значение энергии 2э5-состояния гелиеподоб-
гелиеподобного атома
т. е. Z^t&Z — 0,150) н потенциал ионизации 2 ^-состояния
/B3S)=-|-(Z-0,150)s--f-. A0)
Согласно A0) имеем / s= 0,139 ат. ед. для атома гелия и
/ = 0,576 ат. ед. для иона L1+; эти значения следует сравнить
с экспериментальными, равными соответственно 0,175 н 0,605.
11.16. Для того чтобы состояние гелиеподобного атома, отве-
отвечающее электронной конфигурации n'l', nl, было устойчивым по
отношению к ионизации атома, его энергия E(n'l',nl) должна
быть ниже энергии ?0 = —Za/2 основного состояния соответ-
соответствующего водородоподобного атома.
Легко заметить, что в пренебрежении взаимодействием ме-
между электронами, когда
?(„', п)= - i
0)
энергия состояния, в котором оба электрона возбуждены
(л', п ^ 2), не удовлетворяет условию устойчивости системы.
Представляется очевидным, что учет взаимодействия между
электронами, носящего характер отталкивания, лишь повышает
энергию системы, и тем самым вывод о неустойчивости срстоя,-
ний гелиеподобнсй системы, отвечающих электронной конфигу-
рации с обоими возбужденными электронами, сохраняется.
Формальное доказательство того факта, что учет взаимодей-
взаимодействия между электронами приводит к повышению энергетиче-
энергетических уровней системы, легко получить следующим образом.
Рассмотрим гамильтониан
с. з. которого Еф), относящиеся к д. с, при Р= 1 представляют
уровни энергии реального гелиеподобного атома, а при р = О
определяются выражением A). На основании результата за-
задачи 1.28 имеем
что и требовалось доказать.
11.16. Задача решается аналогично предыдущей. Для того
чтобы состояние литиеподобного атома, отвечающее электрон-
электронной конфигурации nih, па/д, risk, было устойчивым, его энергия
должна быть ниже энергии ?о основного состояния соответ-
соответствующего гелиеподобного атома: ?(nih.ns!s, n3k)<?0. В пре-
пренебрежении взаимодействием между электронами имеем
Минимальное значение энергии A) для состояний, в которых
лишь один электрон находится в основном состоянии (а два
других—в возбужденных), равно ?„,,„ = —32г/4 (ему соответ-
соответствуют квантовые числа щ = 1, п3 = ns = 2). Легко убедиться,
что при Z^s 3 имеет место неравенство Ёщш >¦ —(Z — 5/16J>
>?0 (мы воспользовались результатом задачи 11.7), из кото-
которого следует неустойчивость состояний литиеподобных атомов,
в которых два электрона возбуждены, по отношению к иониза-
ионизации системы (по поводу учета взаимодействия между электро-
электронами см. предыдущую задачу).
11.17. Энергию состояния литиеподобного атома с электрон-
электронной конфигурацией (\s)snl можно приближенно представить
в виде суммы двух слагаемых: ?0 —энергии основного состоя-
состояния соответствующего гелиеподобного атома, сопоставляемой
двум электронам в ls-состоянии, и энергии /iZ-электроиа в куло-
новском поле ядра, заряд которого заэкранирован двумя элект-
электронами, т. е.
? ?(Z
В этом приближении потенциал ионизации равен /„ =
= (Z— 2J/2пЕ. Его численное значение для нижних (по энер-
энергии) S- и Р-состояний атома лития одинаково и равно /в =
= 1/8 = 0,125 ат. ед. г» 3,40 эВ, в то время как эксперимен-
экспериментальные значения /(S) = 5,37 эВ и /(Р) = 3,52 эВ. Решение
данной задачи полезно сравнить с решением задачи 11.12.
11.18. Гамильтониан трехэлектронного атома
а электронная конфигурация основного состояния— (IsJ2s.
В соответствии с условием задачи одноэлектронные в. ф.
Is- и 25-электронов выбираем в виде
а) Найдем E{Zsl^ в состоянии, описываемом в. ф.
Чг = Ыг1)ЫгдЪ(гз)%, C)
где х—спиновая часть в. ф., и, минимизируя полученное значе-
значение по параметру Z3q,$, получим приближенное значение энер-
энергии основного состояния атома вариационным методом: ?0 «
г» т1пГ(гэфф).
Прежде,чем провести вычисления, отметим несколько важ-
важных обстоятельств.
Строго говоря, в.ф. C) не описывает никакого физически
реализуемого состояния трехэлектронной системы, так как ни
при каком выборе спиновой функции % такая в. ф., очевидно, не
удовлетворяет условию ее антисимметричности по отношению к
перестановке переменных любых двух тождественных фермио-
нов (электронов). В. ф. системы с требуемой симметрией легко
получить, выбрав, например, % в виде
X
ff 0J —спиновая в. ф. а-й частицы с определенным значением
sx = +1/2 и т. д.),и прризведя стандартную аитисимметриза-
цию в.ф. (см. ниже). Однако.хотя получение «правильной»в.ф.
само по себе ие вызывает затруднений, вычисления с использо*
ванием такой в. ф. становятся более трудоемкими. Б этом смысле
расчет величины ?0 с использованием «простой» в. ф. C) осно*
ван на предположении, что пренебрежение антиснмметризацией
в. ф. (а тем самым и последовательным учетом обменных эф-
эффектом в рассматриваемом приближении) не очень сильно
влияет на окончательный результат. Б связи с этим важно
иметь в виду, что использование неантисимметризованной в. ф.
C) не означает полного пренебрежения обменными эффектами,
связанными с тождественностью частиц: выбор ее в качестве
в. ф. основного состояния трехэлектронной системы уже эффек-
эффективно отражает то обстоятельство, что электроны являются тож-
тождественными фермиоиами. Действительно, в в. ф. C) уже учтен
принцип Паули, так как на нижнем одночастичном ls-уровне
находятся лишь два электрона из трех. Б этом аспекте для гипо-
гипотетического атома, содержащего вместо электронов бесспиновые
частицы — бозоны, в качестве в. ф. основного состояния следо-
следовало бы взять
Вычисления с такой в. ф. никакого отношения к обычным, элек-
электронным атомам, конечно, не имеют.
Перейдем к расчету Е. Для этого представим гамильтониан
в виде
E)
Далее, среднее значение
Z-Z,,
-2B80 + 8,)
непосредственно следует из теоремы вириала.
Наконец, среднее значение последней суммы в выражении
E) равно
(интеграл Kt был вычислен в Н.5, а Кг — в 11.13).
Б результате получаем
Минимизируя по параметру Ze^, находим искомое вариацион-
вариационное значение энергии основного состояния:
Е^ = ттЕ{г^) = -^{г—^J=-4(г-0,4643)'. A0)
Численное значение A0) для атома лития (Z = 3) равно
^свар»-7,235 ат. ед.
б) Б. ф. трехэлектронной системы, получающаяся в резуль-
результате стандартной аитисимметризации в. ф, C) с % в виде D),
определяется известным детерминантом:
*0<гв)с<2)
(И)
где а==(о). Р = ( 1) — спиновые функции. В. ф. A1) описы-
описывает состояние атома с суммарным спином S = 1/2 и Sz =
= +1/2; очевидно также L =0 (основной терм—4S).
Для вычисления среднего значения гамильтониана E) в со-
состоянии, описываемом в. ф. УР A1), замечаем^ что средние зна-
значения первой и второй сумм в E) точно такие же, как и до ан-
тисиметризации в. ф., т. е. определяются выражениями G) и
(8). Для вычисления же средней энергии взаимодействия элект-
электронов друг с другом достаточно найтн \tt~-Га]'~' и умножить
это значение на 3.
Запишем явный вид в. ф. A1):
—=¦ (*, A) а A) ^ B) р B) 4i ®) а C) +
Растет |П_!.Г1|== }Ф'|Г|_!.,,|Ф'гт включает вычисление
6 X 6 = 36 интегралов. Однако, учитывая ортогональность
функций фо и i]>i, а и р, легко заметить, чго многие из таких
интегралов равны нулю, а отличные от нуля интегралы равны
где JCi, Кг определяются выражениями (9), 8 обменный интег-
интеграл / — A6/729J.^ был вычислен в 11.13.
Окончательное выражение для средней потенциальной энер-
энергии взаимодействия электронов друг с другом имеет вид
и среднее значение Е оказывается равным
Минимизируя Е по параметру гЭфф, находим вариационное зна-
значение энергии основного состояния:
""" "" 02)
A3)
Численное значение A2) для атома лития равно
?о.вар«-7,245 ат. ед
Полученные результаты A2), A3) лишь незначительно от-
отличаются от установленных в пункте а) с более простой в. ф.
11.18. а) 1Рц *Р*.и* б) 'So; lPi, lD2; 8S,; •Ры.*: 8Dit2,3;
e) 1Рй lD? {F* 3Po,i.E; 3D,.2,3: *FSStt.
11.20. a) lSo, 'Д.; 3Ро,иъ 6)
*Р0.и? г) lSa; »Дй ^ 3Р0Л.2; t3il
Нормальными термами являются ЭРО, 4S3/2, 8Рв, 8^2 соответ-
соответственно в случаях а)—г).
11.21. Электронная конфигурация основного состояния атома
азота имеет вид (ls)BBs)BBpK и нормальный терм (см. пре-
преую задачу) *Ss/s- To же самое— в случае атома хлора:
)»B)°C)*C>5 *Р
Электронные конфигурации ионов рассматриваемых элемен-
элементов, относящихся к главным группам, такие же, как у соответ-
соответствующих предыдущих атомов (С и S), т. е.
(lsf BsJBpf и нормальный терм 3Ра для иона N*.
(lsfBs)EBpNCsJCp}\ % для иона С1*.
11.22. Так как четность состояния одной частицы с моментом
1 равна (—1)' и четность является мультипликативной величи-
величиной (четность системы равна произведению четностей состав-
составляющих ее подсистем, и поэтому четность системы электронов,
образующих заполненную оболочку, положительна), то, очевид-
очевидно, четность / равна: а) / = +1, б) / = (—1)*; в) / = -fl;
г) / = (-1)*.
11.23. В. ф. двух электронов должна быть антисимметрична
по отношению к перестановке спиновых и пространственных пе-
переменных обеих частиц. Учитывая, что радиальная зависимость
в. ф. двух эквивалентных электронов симметрична по отноше-
отношению к перестановке переменных г\ и г2, характер симметрии
спиновой части в. ф. зависит от значения S суммарного спнна
(при S = 0 спиновая в. ф. антисимметрична, а при S = 1 она
симметрична по отношению к перестановке спиновых перемен-
переменных), а характер симметрии угловой зависимости в. ф. зависит
от значения L суммарного момента (см. 3.39), легко находим
значения S н L возможных атомных термов для конфигурации
(л/J;
S = 0, Z. = 2/, 21 — 2, 2/ — 4, .... О (синглетные термы),
S = I, L=2t— I, 2t — 3, .... 1 (триплетные термы, / =э*-0).
11.24. Максимально возможное значение проекции S2 сум-
суммарного спина системы рассматриваемых электронов и макси-
максимально возможное при этом значение проекции Lz суммарного
орбитального момента определяются размещением электронов
по следующим состояниям с определенными значениями вели-
величин U, Sz\
/,1/2; ? — I. 1/2; /-2, 1/2; ...; l — k+ I, 1/2
(мы считаем пока, что k ^91-\- \, т. е. оболочка заполнена не \
более чем наполовину; см. ниже). Очевидно,
?„„-(?,),,«,•=? ('-»)=-
Полученные значения SmaK, Lma* определяют квантовые чис-
числа S2 L нормального терма, при этом значение полного моменту
равно /=[? —S|=lLn,ex —Smaul (оболочка заполнена ие оо-
лее чем наполовину).
При ft > 21 + 1 (оболочка заполнена более чем наполовину)
значения S, L основного терма определяются полученными выше
выражениями для к ^ 21 + 1, в которых следует заменить ft на
[2B/+1)—ft]; при этом значение полного момента атома
равно J=L + S.
11.25. В условиях задачи число различных независимых со-
состояний отдельных электронов (из оболочки nl) равно 2B/+ 1).
Число способов, которыми можно разместить по этим состоя-
состояниям k электронов с учетом принципа Паули, равно, очевидно,
[2Bf + i
^(д+и fe| [2 B( + 1) — к\\
и представляет искомое число различных состояний атома с
электронной конфигурацией («/)*•
11.26. Спиновая часть в. ф. состояния трех электронов с сум-
суммарным спином S — ZJ2 симметрична по отношению к переста-
перестановке спиновых переменных любых двух частиц (см. 5.32).
Б силу эквивалентности электронов сямметрична также и ра-
радиальная зависимость в. ф., т. е. и. ф. не изменяется при пере-
перестановке радиальных переменных га электронов. Поэтому в со-
соответствии с принципом Паули угловая зависимость в. ф. долж-
должна быть антисимметричной по отношению к перестановке угло-
угловых переменных любых днух электронов. Угловая зависимость
в. ф. однозначно определяется заданием квантовых чисел т\,
tn2, тз —проекций орбитальных моментов отдельных электро-
электронов, а антисимметричный характер этой зависимости требует,
чтобы эти числа та были различными. Учитывая возможные
значения величин та, легко сообразить, что число различных
состояний в пространстве угловых переменных равно (/5= I)
" (D
Ь.«+| — А {21 _ 2)[ t
а искомое число различных состояний атома получается умно-
умножением A) на 4 (число различных спиновых состояний).
11.27. Пространственная часть в.ф. стационарных состояний
атома имеет вил
)ViW. A)
где знаки «+» и «—» относятся к синглетным н триплетным со-
состояниям атома соответственно, ^(г) и Ч^О") представляют
в.ф. ns- и «'/-электронов (строго говоря, выражение (I) пред-
представляет часть в. ф„ связанную с электронами, находящимися
вне заполненных оболочек; электроны же заполненных обо-
оболочек не рассматриваются явно, однако наличие их проявляется
430
эффективно в конкретном виде в. ф. Wi, Sl определяемом самосо-
самосогласованным полем).
В пренебрежении взаимодействием ns- и «^-электронов друг
с другом в. ф. (I) отвечают одинаковой энергии, изменение ко-
которой за счет взаимодействия электронов равно
E± = K±J, B)
где обменный интеграл
ЧТ(г,)Щ(г,) |
C)
определяет энергетическое расщепление синглетного н триплет-
ного термов.
Покажем, что / > 0. Замечая, что без ограничения общно-
общности в. ф. ^i можно считать вещественной, и представив Ч*а
в виде Чгв = Х1 + ЧС2, где %и Е — вещественные функции, перепи-
перепишем выражение C) в виде
Положительность выражения D) следует из известных формул
электростатики для энергии электростатического поля, созда-
создаваемого распределением заряда с объемной плотностью р(г):
Итак, / > 0 и из B) следует утверждение задачи.
11.28. Нормированная в. ф. отдельного электрона имеет вид
Пространственную часть в. ф. системы из двух пр-электронов
с определенным значением L суммарного орбитального момента
Можно представить в виде
где свойства тензора a№(L) зависят от значения L:
/S?*ik. L=*G (S-терм),
I~т 8ш6'; 1Ъ I2 = '' L = « С-терм). B)
аьй ««=0, в|*о?*—-|^jr. L=2 (ZJ-терм)
431
(отметим, что согласно (\) и B) в. ф. S- и D-термоъ симмет-
симметричны по отношению к перестановке пространственных пере-
переменных электронов в, следовательно, эти термы являются сннг-
летными, Р-терм является триплетным).
Б пренебрежении взаимодействием между электронами ссе
термы имеют одинаковую энергию, изменение которой за счет
взаимодействия
ldV,dV,
можно записать в виде
Выполним в C) интегрирование по угловым переменным
первого элекгрона. Представив входящий сюда интеграл в виде
D)
и один раз свернув выражение D) по индексам I и I. а другой
раз—умножив обе части этого соотношения на пяпя, нахо-
находим соответственно
— — (напомним:
E)
(при вычислении интегралов по 0i, ф] полярную ось удобно на-
направить вдоль вектора п2).
Далее, выполним интегрирование по угловым переменным
нторого электрона, учитывая известные соотношения
u = ~ oJfe, J n,nkntnm rfQ = ~~ (otto/
Б результате выражение C) принимает вид
X [-f- «i А„И + -^ (oVW + в| Ал, 4- й/твы) в]. F)
Учитывая явное выражение B) для компонент тензора пи,
в состояниях с определенным значением L и значения Л, В со*
гласно {5}, формулу F) можно представить е виде
1/4, L = 0,
-1/8, t=-l, (8)
1/40, f. = 2.
Согласно G) и (8) энергии термов удовлетворяют условию
?Н>(Э/>)<?A> (!?))< ?A1A5),
и нормальным ивляется терм 8Р в гогласии с правилом Гунда.
Отметим, что на G,8) следует соотношение
»0,67
(9)
для энергетических уровней термов, связанных с конфигурацией
(пр)8, которое интересно уже потому, что не зависит от кон-
конкретного вида в. ф. лр-электрона в атоме и поэтому может быть
использовано в качестве критерия точности рассматриваемого
приближения. В связи с этим укажем, что для атома ""ЧЗе, имею-
щего электронную конфигурацию Dр)8 сверх заполненных обо-
оболочек, экспериментальное значение отношения (9) равно 0,77.
11.29, Как известно, в модели Томаса — Фермн простран-
пространственное распределение электронов в нейтральном атоме опи-
описывается объемной плотностью п(г) вида
где Z — заряд ядра, 6 = 1/я(Зя/4)в/3 я; 0,885, %(х)— универ-
универсальная функция модели. Функция п{г) нормирована на полное
число электроноа, равное Z. т. е. \n{r)dV=Z, и поэтому функция
v,(r) = ±-n(r) A)
имеет смысл функции распределения по координатам отдель-
отдельного электрона. Учитывая это обстоятельство, легко находим
= \ г"ш (г) d V
J n (r) r"+s dr = C.Z-m,
B)
В частности, г со Z~l/3, т. е. электроны находятся в среднем
на расстоянии от ядра, убывающем с ростом Z как Z-.
Функция %{х) при у-*-оо имеет вид х°° #~3. и из C) еле-
дует, что при п 5= 3 будет г" = со. Этот результат — свойство
модели, приводящей к слишком медленному убыванию п{г) на
больших расстояниях, где она, как известно, неприменима
(в реальных атомах электронная плотность на больших рас-
расстояниях убывает экспоненциально).
11.30. Как известно, в модели Томаса — Ферми максималь-
максимальное значение ро(г) импульса электронов в точке г связано с
объемной плотностью электронов л (г) соотношением
где %{х)—универсальная функция модели. Переписав это соот-
соотношение в виде
— У. О)
введем функцию g(y), обратную функции у = f(x):
x=*rl(y) = g($- B)
Так как функция %(х)/х, как и х(*). является монотонно убы-
убывающей функцией переменной х, то функция g{y)—однозначно
определенная и монотонная (отметим, чтоg@)= со, g(oo) = 0).
В модели Томаса —Ферми движение электронов в самосо-
самосогласованном поле рассматривается квазиклассическн, причем
все числа заполнения состояний д. с. равны I. Так как число
состояний равно
то при выборе AVP = d3p, а в качестве ДУв-объема, в котором
электроны могут иметь имульс р, величина AN имеет смысл
числа электронов, импульсы которых заключены в соответ-
соответствующем интервале d3p. Значение AV, легко получить на осно-
основании соотношений A), B):
и окончательное выражение для распределения электронов по
импульсам в модели Томаса — Ферми принимает вид F =
(8/4)*»/2)
По смыслу вывода распределение C) нормировано на полное
число электронов J dn (р) = Z Хэто можно доказать и непосред-
434
ственно). Поэтому выражение dw=*-~-dn представляет функ-
функцию распределения по импульсам отдельного электрона. Легко
D)
Согласно формуле D) характерная величина импульса элек-
электрона в атоме растет с ростом Z пропорционально Z2/8. Этот
результат можно было бы получить более просто (не прибегая
к рассмотрению распределения электронов по импульсам), вос-
воспользовавшись теоремой вириала и учтя, что, согласно преды-
предыдущей задаче, характерные расстояния в атоме пропорцио-
пропорциональны Z~1/3. Читателю предлагается самостоятельно проделать
соответствующие оценки.
11.31. Учитывая, что характерные расстояния в атоме убы-
убывают с ростом Z, как Z~1'3, а импульсы электронов растут про-
пропорционально Za/3 (см. предыдущие две задачи), легко на-
находим:
б) энергия взаимодействия электронов с ядром ?4 яд —
— — Z со — Z?'3; энергия взаимодействия двух электронов
друг с другом является величиной порядка l/rxaptx>ZliSt а пол-
полная энергия взаимодействия всех электронов друг с другом
t/ee'-Z2Z1/3=Z7/3 (число па'р электронов равно Z(Z —1)/2,
a Z^-l); кинетическая энергия всех электронов пропорцио-
пропорциональна Те — ZPjxp °° ¦Z7'3- Таким образом, полная энергия атома
и равная ей по величине, но противоположная по знаку энергия
полной ионизации атома в модели Томаса — Ферми имеют за-
зависимость ОТ Z ВИДа Еполя. нон °° Z7'3.
11.32. Уровни энергии s-электронов определяются квази-
квазиклассическим правилом квантования ([/=— *р(г))
(I)
По смыслу распределения Томаса — Фермн (в каждом со-
состоянии— один электрон) число s-электронов равно удвоенному
(с учетом спина) числу значений {п-$-у), для которых Е„ ^
^ ?тяя, где Етзх — максимальное значение полной энергии то-
мас-фермиеаского электрона. Для нейтрального атома это
значение равно нулю, так что г0 = оо. Поэтому максимальное
значение nmtx определяется из равенства
(мы опустили величину у — 1 в выражении A), так как прово-
проводимое рассмотреияе предполагает и>1). Переходя к томас-
фермневским единицам: г = xbZ~т, Ь = 0,885, *р (г) = -~- -^-,
получаем решение задачи
11.33. В модели Томаса — Ферми максимальная кинетиче-
кинетическая энергия электронов в точке г равна
н так как средняя кинетическая энергия равна Т = '
кинетическая энергия всех электронов в атоме
0)
Потенциал <ре@), создаваемый электронами в начале коор-
координат г = 0, где находится ядро, и энергия их взаимодействия
с ядром равны
U* и = &ъ @) = - Z \ ^- dV. B)
Энергия взаимодействия электронов друг с другом опреде-
определяется известным из электростатики выражением
±\Ц>&2*р\ C)
в котором учтено, что ре=— п{г), фв = *р— — == y
Ив A) — C) элементарно следует соотношение
57Ч-61/ее+3?7еяд=О, D)
и с учетом теоремы вириала
Е=>Т + ике + иев&=~Т E)
(отметим, что величины Т, ?/Се, ^еяд имеют смысл соответствую-
соответствующих квантовомеханических средних в квазиклассическом при-
приближении) легко находим
Учитывая значение <ре@) = —1.80Z*13, получаем энергию
полной ионизации нейтрального атома в модели Томаса —
Ферми: Еволя.вок « 0,772"» ат. ед. да 21,0л7'3 эВ.
11.34. Получим выражение для энергии атома с зарядом
ядра Z в квазиклассическом приближении через объемную
плотность электронов п{г) (подлежащую определению!). Энер-
Энергия взаимодействия электронов друг с другом t/ee и с ядром
(Jе яд определяется хорошо известными формулами элекгроста-
тики:
0)
Кинетическая энергия электронов определяется из условия,
что они распределены с числами заполнения nk = 1 по нижним
энергетическим состояниям в самосогласованном электроста-
электростатическом поле (также подлежащем определению!), и равна
(это выражение для Т является непосредственным следствием
квазиклассической формулы для числа состояний электрона
AN = 2 ДГ/BлK = 2 АУ„ ДК„/BяK, которая при AVQ = I и
AVp = 4лр^а]уз связывает плотность числа частиц n — AN
5
Итак, энергия атома (или иона) представляется в виде
. C)
и условие его экстремальности (как легко сообразить, мини-
минимальности) 6Е = О,
. D)
437
дает интегральное уравнение для определения функции *i{r),
минимизирующей энергию атома.
Подействовав оператором А на обе части уравнения D) и
учитывая известное соотношение А ¦ г __ г, ¦ ¦ = — 4лб (г — г'), по-
получаем дифференциальную форму этого уравнения.
А [&&L п™ (г)] = - 4я [ZC (г) - п (г)]. <Б)
Так как выражение в правой части этого уравнения представ*
ляет объемную плотность заряда с множителем —4я, то вели-
величина j имеет смысл электростатического потенпиапа
этого распределения заряда. Таким образом, уравнение E)
можно переписать в виде (г ^= 0)
совпадающем с уравнением Томаса — Ферми.
Отметим, что проведенное выше рассмотрение доказывает
устойчивость нейтрального атома в модели Томаса — Ферми,
так как решение уравнения E) автоматически нормировано на
Z: \n{r)dV = Z,b отвечает минимальному значению энергии C)
системы. Б то же время это означает, что статистическая мо-
модель не может объяснить существование устойчивых отрица-
тельно заряженных ионов. Действительно, при нормировке п(г)
на большее чем Z значение, соответствующее отрицательно за-
заряженным ионам, энергия системы будет больше, чем в случае
нейтрального атома, что и означает неустойчивость такой си-
системы («лишним» электронам в таком ионе энергетически вы-
выгоднее покинуть его).
Элементарное вычисление китегралов в выражении C) с
функцией «проб, приведенной в условии задачи*), дает
(по поводу вычисления китеграла Uee см. 11.5). Минимизируя
это выражение, легко находим приближенное вариапионное зна-
значение энергии атома в модели Томаса — Ферми:
которое полезно сравнить с точным значением —0,7727/3 из
предыдущей задачи. Отметим, что довольно значительное раз-
;•) Напомним; n—i
личие приближенного вариационного значения F) и точного
объясняется тем обстоятельством, что использованная прн рас-
расчете пробная функция «проб как при г-*0, так и при г-»-оо
существенно отличается от точной функции и (г), т. е. объяс-
объясняется неудачным выбором пробной функции.
11.35. Обозначим через Пп(г) истинную объемную плотность
электронов в модели Томаса — Ферми для нейтрального атома.
При этом энергия атома Bq определяется формулой C) пре-
предыдущей задачи, причем значение Ео = Е[по(г)] является ми-
минимальным значением функционала ?[п(г)].
Изменение значения функционала Е[пп{г}] при замене функ-
функции па (г) на функцию вида п(г) = (\ +Цпа(г) с 1М<1
где 7", f/ee, 1^вяд представляют кинетическую энергию электро-
электронов, энергию взаимодействия их друг с другом и энергию взаи-
взаимодействия с ядром в модели Томаса — Ферми. Условие экстре-
экстремальности функционала ?[л(г)], ЬЕ = 0, приводит к (ср. с 11.33)
Аналогичным образом, рассмотрев преобразование вида
п(г) = пп!A +tyr] с |Х]<:1, легко приходим к соотношению
Из установленных соотношений A) и B) доказательство
утверждений задачи следует элементарно.
ИМ. Для терма молекулярного иона водорода И* с кванто-
квантовым числом Л проекция орбитального момента электрона на
направление оси, проходящей через ядра — протоны, может при-
принимать лишь значения т = ±А, и поэтому в. ф. такого терма
могут быть представлены в виде
где г, 6, ф — сферические координаты с полярной осью, направ-
направленной вдоль оси симметрии иона, и началом координат в цент-
центре отрезка, соединяющего ядра.
В случае 2-термов (го = Л = 0) в. ф. A) прн отражении
координат электрона относительно плоскости, проходящей через
ось симметрии иона (при этом преобразован ки значения коор-
координат г, 0 не изменяются), остается неизменной, т. е. 2-состоя-
ния явлются 2+-термами B~-термов у системы Нг" нет).
В.ф. (I) терма должна быть с. ф. оператора отражения
координат электрона относительно точки г = 0, коммутирую-
коммутирующего с гамильтонианом системы. Так как при таком преобразо-
преобразовании координат TYLm =(—lJ'Ti.m, то для термов с квантовыми
числами Ая (Четные термы) сумма в A) содержит только чет-
четные значения L, а для нечетных термов Л„ —только нечетные
значения L орбитального момента электрона.
Мультиплетность термов равна, очевидно, двум, и возмож-
возможные термы:
11.37. Пространственные части всех четырех в. ф. не изме-
изменяются при повороте системы электронов вокруг оси, параллель-
параллельной вектору по *) и проходящей через точку г = 0, и поэтому этн
в. ф. описывают состояния с равной нулю проекцией суммар-
суммарного орбитального момента электронов на указанную ось
т = 0, т. е. 2-состояния.
Приведенные в. ф. имеют определенную четность по отноше-
отношению к отражению координат электронов относительно точки
г = 0: в. ф. а) и в) являются четными (т. е. описывают Ев-со-
стояния), а нечетные в. ф. б) и г) описывают 2и-состояния.
При отражении координат электронов относительно плоско-
плоскости, проходящей через указанвую выше ось, в. ф. а) и б) не
изменяются, т. е. описывают 2+-состояния, а меняющие знак
в. ф. е) и г) отвечают ^--состояниям.
Учитывая сказанное выше, имеем следующую классифика-
классификацию рассматриваемых состояний:
с) ??; б) l?; в) 2^; г) 1Щ.
Мультиплетность состояний зависит от характера симмет-
симметрии спиновой в. ф. ХаР- Если ХаР — ХРсо то система электронов
имеет суммарный спин S = 1 и, соответственно, мультиплет-
мультиплетность равна 25 + I = 3 (при этом пространственная часть в. ф.
согласко принципу Паули должна быть аитисимметрична по от-
отношению к перестановке пространственных переменных обоих
электронов). В случае %ар =—ХРа имеем S = 0 и мультиплет->
ность равна 1.
11Ж Возможные термы: 2*5j. 2?ST. ЕПЙ, 8П„ (цифра 2
перед символами 2-термов означает, что существуют два раз-
различных терма с соответствующими квантовыми числами).
11.39. Возможные термы:
2) LiH **??;
3) НС1 ? ) Л;
4) NO UV, *'*вП
(при решении задачи следует учесть, что основные термы ато-
атомов N, Li, Н, О, О —соответственно, 4SU, %, 2Se, 2PU, 3Pg).
'*) В двухатомных молекулах аналогом п0 является орт оси, проходящей
через ядра,
446
11.40.- Суммарная -энергия двух атомов водорода равна
E = Bl + Ei^~ l/2(«f2+nja). Если оба атома возбуждены,
то Ё ^ —l/t, т. е. их энергия выше энергии, которую может
иметь система, состоящая из атома водорода в основном со-
состоянии и свободных протона н электрона. Поэтому при адиа-
адиабатическом разведении ядер из термов молекулы Нв не могут
получиться два атома водорода, оба находящиеся в возбужден-
возбужденных состояниях.
11.41. Энергия, необходимая для возбуждения атома водо-
водорода, ?Возс ^ 0,375 ат. ед„ больше энергии связи электрона
в атоме лития; поэтому в результате адиабатического разведе-
разведения йдер из термов молекулы LiH не может получиться атом
водорода, находящийся в возбужденном состоянии (возникаю-
(возникающая при этом система нестабильна по отношению к процессу
перехода электрона в атоме водорода в основное состояние с
одновременной ионизацией атома лития).
11.42. Основным физическим обстоятельством в квантовой
механике молекулы является малая величина отношения т/М,
где т и М—массы электрона и ядер. Именно наличие этого
малого параметра (порядка НН-ь НН) и обусловливает зна-
значительные различия порядков величин, перечисленных в усло-
условии задачи.
а) Обозначим через иат порядок величины линейных разме-
размеров области локализации валентных (внешних) электронов
в атоме. Такой же порядок величины имеют, очевидно, линей-
линейные размеры молекулы оМСл и расстояния между ядрами в мо-
молекуле Овя'-
ft*
Характерные значения энергий валентных электронов в
атоме и в молекуле (как и разность соседних электронных
уровней) равны по порядку величины Е^ — ft2/mao- Характер-
Характерные значения интервалов между колебательными и вращатель-
вращательными уровнями молекулы имеют порядок
Л/— ~-V-?„,
м4 ~ V *
(колебательные уровни молекулы—уровни осциллятора с мае*
сой, равной приведенной массе ядер ЖпрНв — М, и коэффициен-
коэффициентом упругости k, порядок величины которого Определяется со-
—-~ ~ Еэл; вращательные уровни молеку»
отношением
лы — уровни ротатора с моментом инерции 1~Ма%). Таким об-
образом, Евр < Екая < Еоя.
б) Оценка величины (W — амплитуды нулевых колебаний
ядер —из соотношения Ею* ~ &&>л дает а^д ~ (tn}M)lli а0.
в) Оценки характерных скоростей v и периодов Т электрон-
электронных и ядерных движений следуют из соотношений:
fa/Л*) ft/moo
¦?¦ t
Различные порядки характерных времен электронного, ядер-
вого колебательного и ядерного вращательного движений в мо-
молекуле обусловливают применимость адиабатического прибли-
приближения, согласно которому энергетические уровни молекулы
представляются в вяде Е = Еэл + ?кол + Евр.
11.43. Энергия основного состояния молекулы равна
?Ь=?«,€+?.«. о ¦= Я. Ш + Ли*«А A)
где Eo(R) — энергия основного терма, Ro — расстояние между
ядрами в положении равновесия, &яОД *зз ©в = iJE" {Ro)/M,
М = Мi ¦ Msf(M\ + Жа) — приведенная масса ядер.
Ротационная постоянная молекулы равна Be = t?J2MR\.
Так как при замене ядер молекулы их изотопами зависи-
зависимость E0(R) остается неизменной, то с учетом соотношения
md та 2тр легко находим: (fteie)HD« ^ (Йие)На = 0,46 эВ,
(to,)D,«^(ftB«)Hi-0,38sB; (BJHD«|(B,)№, (B«)D, = I(ВД„.
Энергия диссоцивции молекулы определяется соотношекием
/o = ?i0)+?'O)-?O( B)
где ?j?2 — энергии основных состояний соответствующих ато-
атомов. Учитывая значение энергии основного состояния атома во-
водорода (с поправкой на конечное значение массы ядра Жяд
в первом порядке по малой величине те/Л1яД; те/тР ж
«1/1840 «5- 11Н)
и численные параметры, приведенные в условии задачи, со-
согласно формулам A)—C) легко находим
(/йи,« 4,50 sB. (WD]«4,549B.
Из приведенного решения следует, что эффект изотопиче-
ского смещения уровней в атоме водорода имеет величину по-
порядка (АЕ/Е) ат ~* me/mP ~ Ю~3, э в молекуле водорода
(Д?/?)мол ~ ^mefmv ~ 1/40. Изотопический эффект в молекуле
наиболее ярко проявляется в изменении <оКол.
11.44. Ограничения иа возможные значения орбитального
момента К молекулы при фиксированном значении суммарного
ядерного спина возникают по той причине, что волновая функ-
функция системы тождественных частиц (в данном случае ядерной
подсистемы в молекулах Н2 и D2) должна обладать определен-
определенной симметрией по отношению к перестановке переменных
(спиновых и пространственных) любых двух частиц. Учитывая,
что спиновая в. ф. системы двух спинов величины s при значе-
значениях суммарного спина S = 2s, 2s — 2, ..., симметрична по
отношению к перестановке спиновых переменных, а при S =
= 25—1, 2s —3, ... антисимметрична (см. 3.39), и то обстоя-
обстоятельство, что протоны являются фермионами, а дейтроны — бо*
зонами, заключаем, что при перестановке пространственных пе-
переменных ядер в. ф. молекулы НЕ при суммарном ядерной спине
S = 0 и молекулы D2 при S = 0; 2 не изменяются, а при S ¦= 1
меняют знак. Выясним, к каким ограничениям на значения К
приводит это обстоятельство.
В случае двухатомной молекулы с Л = 0 ее вращательная
в. ф. определяется только движением ядер. Это означает, что
пространственная часть в. ф. молекулы в состоянии с суммар-
суммарным значением /С полного орбитального момента ядер и элект-
электронов и его проекции М иа направление фиксированной оси z
представляется в виде
?=-ЧЬ а-о(Гь гг; lO^uOROyjcMte, <p), A)
где Ykm — шаровая функция; 0, ф — полярный и азимутальный
углы относительного радиуса-вектора ядер R = R2 — Ri5
Ч^г, л-=о —в.ф. электронного 2-терма; ЧгКол(^|)]— в.ф., описы.
вающая колебательное движение ядер.
Выясним поведение в. ф. A) при перестановке простран-
пространственных переменных'вдер, т. е. при преобразовании R->-—R.
Оченидно, что при таком преобразовании колебательная часть
в. ф. не изменяется, а шаровая функция умножается на (—1)*.
Более тонким является вопрос о преобразовании в. ф. терма
fn. л-о. Эта в. ф. является скаляром (или псевдоскаляром, в за-
зависимости от квантовых чисел терма), зависящим от векторов
гь Га, R. Наиболее общий вид такой зависимости следующий:
%,л-о=^(г1, ra, R, r,R, r2R, г,гя, [r^R). B)
Рассмотрим преобразование в.ф. B) при отражении коор-
координат электронов относительно плоскости, проходящей через
вектор R. При этом
ВД^а-о—ФСгь ra, R, r,R, r2R, г,г2, -Irira]R) =
~=о&(ги г2, R, r,R, r2R, г,г2, Ir,r2]R), C)
где Oi равно + 1 и —1 соответственно для положительных ?+-
й отрицательных Е~-термов.
Аналогично, при отражении координат электронов относи-
относительно центра отрезка, соединяющего ядра, имеем
ЙдаьА-о — ЧГ(гь г2. R, -r,R, -r^R, r,rb [r,r2]R) =
«^Tfr-i, ъ ft, r,R. r2R, r,r2, Ir,r2ER), D)
где Ов равно -f-1 для четных 2? и —1 для нечетных термов 2U.
Учитывая B) — D), легко заметить, что преобразование
R-»—R эквивалентно произведению преобразований, произве-
произведенных в выражениях C) и D), т. е, P(R-*-— R) = PiPz, так
что /"?„, л-t = oto?Vn. л-о, и так как основной терм молекулы
водорода Xj*, то в. ф. A) при перестановке ядер умножается
на (—1)*.
Учитывая сказанное, заключаем, что у молекулы Н2 при
суммарном ядерном спине S = 0 и у молекулы D2 при S — 0; 2
возможны только четные значения орбнтального момента К =
= 0,2,4, ..., а при S = 1 у этих молекул возможны только не-
нечетные значения К.
Возможные значения момента К = 0,1,2, ... молекулы HD
не зависят от суммарного ядерного спина.
Подчеркнем то обстоятельство, что орбитальный момент
ядер не совпадает со значением К момента молекулы (он даже
не имеет определенного значения, как и орбитальный момент
электронов!), однако возможные значения его по четности та-
киеже, как и у К, т. е. К,К±% К±4, ...*).
11.45. Для определенности найдем дипольный момент d
терма по отношению к точке, являющейся центром отрезка,
соединяющего ядра (для нейтральной системы d не зависит от
того, по отношению к какой точке его определяют).
В случае молекулы, ядра которой имеют одинаковый заряд
(т. е. яэляются тождественными или же различными изотопами
некоторого элемента), среднее значение d системы равно нулю.
Доказательство этого утверждения аналогично проведенному
•) Напомним, что этот результат получен для молекул, электронный терм
которых 2+. Легко ааметить, что он сохраняется в для терма 2~.
В случае термов Z+ в 2~ связь возможных значений орбвтального момента
ядер с орбитальным моментом молекулы К уже другая: /(±1, К±3, .,,
при решении задачи 1.21 с учетом того, что в.ф. электронного
терма имеет определенную четность.
В случае молекулы, ядра которой имеют различные заряды,
среднее значение d в состоянии электронного терма с опреде-
определенным значением проекции орбитального момента ^электро-
^электронов на ось симметрии отлично от нуля, причем вектор d направ-
направлен вдоль осн симметрии, а его значение не зависит от знака
проекции орбитального момента электронов т = ±Л. Однако
в стационарных состояниях молекулы, имеющих определенную
четность, среднее значение дипольного момента равно нулю
(в случае 2-термов равенство d = 0 для молекулы очевидным
образом следует из усреднения среднего дипольного момента
терма ЙПо по вращательной в. ф.).
11.46. Среднее значение оператора Гамильтона
' 1 1 . t
+ T
в состоянии, описываемом в.ф. ?пров(г), равно
^ ^ ] A)
(учктывая, что пробная функция_ имеет вид «водородной» функ-
функции, для средних Т и |г± R/2I-1 можно использовать хорошо
известные значения; в частности, —|r±R/2|-l определяется
формулой E) задачи 4.29, если в ней положить г = R/2, а =
= R/a, е=я\ и вычесть слагаемое 2/R, описывающее потен-
потенциал ядра, так что
Выражение A) в соответствии с общей идеей вариационного
метода можно рассматривать как некоторое приближенное зна-
значение истинной энергии Eo(R) основного терма, причем наилуч-
наилучшее приближение получается при таком выборе параметра а,
при котором это выражение принимает минимальное значение
(как функция переменной а, значение a(R) определяется усло-
условием о?о (R, се) /да = 0 и является функцией переменной R),
Ограничившись указанным в условии задачи значением а = 1,9,
имеем согласно A) приближенное выражение для энергии ос-
основного терма иона Н* вида
С помощью B) находим искомые характеристики терма:
R0=l,97 ат. ед. (на условия dEti(Ro)/dR^=O), EozsEo(R0)=*
= —0,47 ат. ед., ЕКОЙ,{1=~=-? V^o№)(^/n'//np)== 0F08 ат. еД.
446
В рассматриваемом приближении значение?о = —0,47ат.ед.
выше энергии основного состояния атома водорода, равной
*—0,50 ат. ед., и нельзя сделать вывод о существовании устой-
устойчивого иона. Значительное расхождение рассчитанного и экспе-
экспериментального значений энергии нулевых колебаний ядер —
протонов легко объяснить тем обстоятельством, что при расче-
расчетах не производилось варьирование параметра а и поэтому гра-
график зависимости Ej,{R) из выражения B) вблизи точки мини-
минимума /?о идет вверх более круто, чем график более точной
зависимости, получаемой из A) при варьировании а. Это при-
приводит к завышенному значению величины ??'(#ц), а с нею и
энергии нулевых колебаний.
11,47. Условия Л = 1 и Л = 0 однозначно определяют зави-
зависимость в. ф. от угловых переменных первой частицы вида
Tjru
A)
(следует учесть, что проекция суммарного момента на направ-
направление радиуса-вектора второй частицы определяется проекцией
момента только первой из частиц, так как \^л2 — 0).
В. ф. (I) является скаляром, поэтому она определяет в. ф.
состояния с моментом (суммарным), равным нулю, так что
W00O = const (n,ns).
В. ф. состояния с моментом / = 1 представляют линейную
комбинацию компонент вектора, зависящего только от векторов
П[ и пг. Так как зависимость в.ф. от вектора ni определяется
только множителем, приведенным в выражении A), то требуе-
требуемый вектор можно получить единственным образом:
?=Л(п1п?)пг. B)
Составляя из компонент вектора B) линейные комбинации,
отвечающие состояниям с определенными значениями величин
/ = 1, 1г, согласно общим принципам (см. задачи § 4 главы 3)
ваходим искомые в. ф.:
{Yim—шаровые функции).
Обобщение на случай произвольных значений U, J, h, как
нетрудно сообразить, имеет вид
V/v = АР,, (п1П?) У„я (es, ф2),
где Pi{z)— полином Лежандра.
11.48. Рассмотрим в.ф. вида ЧГо^( о) " ^ таком состоянии,
очевидно, суммарный момент / и его проекция имею^ опреде-
определенные значения J = l/t и Jz==lfe (так как /=0).АПодей-
ствуем на указанную функцию оператором^ Р+= !/я(on + 1),
где о^ матрицы Паули, п = т/г. Оператор mi является опера-
оператором псевдоскалярной величины, и поэтому он, как и оператор
Р+, коммутирует с операторами J* и h. Следствием этой комму-
коммутативности является то обстоятельство, что функция вида
S4'o=|-As+™>g,e), CD
как и функция fc, описывает состояние с определенными зна-
значениями / = '/е, /z='/e; кроме того, в.ф. A) является с. ф.
оператора 'Доп = %—проекции спина частицы на направление
се радиуса-вектора, отвечающей с.э. Х=-\-1/2. Таким образом,
в. ф. A) является одной из искомых функций. Аналогично,
воспользовавшись оператором Р_= !/s(l — mi), можно найти
в. ф. ^нг. щ.-ц2, а взяв вместо функции fo функцию ^1,= ^^,
можно найти искомые в. ф. с Jz = —'/г.
В. ф.ЧГц2,!я,котвечают состояниям, не имеющим определен-
определенной четности (орбитальный момент в таких состояниях может
принимать два значения: / = 0 и / = 1). Легко сообразить, что
в результате действия оператора отражения координат / эти
функции преобразуются следующим образом: РРц2, i# ^=4ri/a, jx -v
11.49. Учитывая известные соображения о свойствах с. ф.
гамильтониана асимметричного волчка:
а) характер их симметрии по отношению к преобразованию
отражения относительно плоскости, проходящей через ось ?
(ось ?—-третья ось системы координат, жестко связанной с
волчком; проекция k момента волчка на эту ось входит в пол-
полный набор величин /, Л, k, определяющих в. ф. волчка f//^*);
при этом преобразовании /, /* не изменяются, а величина k ме-
меняет знак;
б) то обстоятельство, что в суперпозициях в. ф. Ч1//^, пред-
представляющих с. ф. гамильтониана 4r.E = XcftlJr//zfo представлены
в. ф. со значениями k, имеющими определенную четность (либо
все k — четные, либо — нечетные);
в) то обстоятельство, что с. ф. гамильтониана могут быть
выбраны также с. ф. оператора проекции момента на ось г, при-
причем с. з. гамильтониана не зависят от Jz,
заключаем, что при / = I с. ф. имеют вид
A)
С, а. гамильтониана волчка И = -
соответствующие с. ф. A), легко найти, если воспользоваться
«47
известными значениями отличных от нуля матричных элемек*
тов операторов Jg и J4:
(A /„ k+ I l/t|/, h. *>=</, /2, k\h\l. h, k+\) =
<J,JZ, k+i\Jv\J, K. b)=-<J,h, /fef/4lJ
B)
Следствием соотношений B) при /=1 являются равенства
Используя равенства C), легко находим три с. з. гамильто-
гамильтониана Еа (а = 1, 2, 3), отвечающие с. ф. Ч$?. /г:
(каждое из этих с. з. является трехкратно вырожденным по
величине J*. так как h = 0, dhl).
Вид с. ф. гамильтониана в JJ% -представлении очевиден.
11.50. Представим гамильтониан волчка в виде Я = Й0-\-Ф,
где
С. з. и с. ф. гамильтониана #0, описывающего симметричный
волчок с /i *=s /2 = 00, хорошо известны:
причем основной уровень (fe = 0) является невырожденным*),
а все возбужденные — двукратно вырождены. Учитывая, что
правильными с. ф. нулевого приближения являются комбинации
(см. предыдущую задачу: свойство 6) с. ф. гамильтониана волч-
волчка), сдвиги энергетических уровней можно рассчитывать по
формулам теории возмущений без вырождения. Простое вы-
вычисление с использованием известных значений матричных
элементов операторов 7t и Jv (они приведены в предыдущей
от B/ + 1)-кратного вырожд
уровней во
•адаче) дает;
?S?i=?S?i=OnpB ft>2,
F*V — Ё-( 1 Л.ЛЛ #И"> _ В* ГЗ/(/4-1) —2 !./(/+!) —Д1
*" 4 V/, "Г" It)' Cl-l~ 8 L Tt ' Т;; У
^1).= ft'r/(J+1)~2 1 aftf + Ц —a1
т. е. в первом порядке теории возмущений происходит сдвиг
основного и первого возбужденного уровней волчка, причем
двукратно вырожденный возбужденный уровень расщепляется
на два подуровня (вырождеине снимается при I\=?*h). Внима-
Внимательный читатель сообразит, что сдвиг и расщепление (при
Л Ф h) уровня ?а0) с k ф 0 происходят в k-м порядке теории
возмущений и, соответственно, чем больше значение k, тем
меньше величина расщепления. Это обстоятельство проясняет
картину энергетического спектра асимметричного волчка в слу-
случае /i ~ /а > /8.
11.51. Представив гамильтониан волчка в виде # = flo-j-C,
решение задачи легко получнть по образцу предыдущей. При-
Приведем ответ;
(вид с. ф. гамильтониана в нулевом приближении и характер
энергетического спектра волчка такие же, как и в предыдущей
задаче).
11.52. Указанное ограничение на значение величины Ро сле-
следует из цепочки соотношений:
?'(?«-?»"' |{ft|dn»|0>|! <(?,-?„)-'
J10> A)
— (Et-ЕоГ1 Х @ \йщ\ k)(k Idnol 0) =
15 В, И, Галицкий в др.
(мы воспольвовались условием полноты ?|fe)(fe|=I и учли,
что @1 &t 10)=0), если учесть соотношение
™ш B)
в котором значение величины
получается сверткой по индексам ( и й.
Ограничение снвзу на величину р0 можно получить, если
удержать в еыраженни для ро лишь одно слагаемое суммы, от-
отвечающее первому возбужденному состоянию:
Подчеркнем, что под первым возбужденным состоянием сле-
следует понимать не просто первое по счету возбужденное состоя-
состояние системы, а первое возбужденное состояние, для которого
<lLl0>=sb0. Так как в основном состоянии /=0, то, учиты-
учитывая известные значения матричных элементов векторов, заклю-
заключаем, что такое сосгоявие имеет /^1 и противоположную по
отношению к основному состоянию четность (Et представляет
энергию нижнего уровни с такими квантовыми числами). Да-
Далее, если выбрать ось г направленной вдоль вектора По, то в
матричном элементе <1|*1ло|0> состояние |1> должно отвечать
определенной проекции момента: /* = 0 (при /г = ±1 такие
матричные элементы равны нулю).
В случае атома водорода установленные ограничения на ве-
величину Ро принимают вид
A00 |f 1100) ^ C)
Учитывая известный вид в. ф. состояний \ntmy атома водо~
рода, находим в результате элементарного интегрирования
<100|г2| 100)= Ъа% \ BЮ]г1100> |= 4 У2*B/3^ аь
и неравенства C) принимают вид
4(ЦJ1 D)
1143. Уточнение ограничения снизу иа величину flo можно
произвести, оставив в сумме, определяющей Ро, два слагае-
слагаемых. Учитывая ©граничения на квантовые числа Состояний |&>
в этой сумме, сформулированные в предыдущей задаче, заклю-
заключаем, что в случае атома водорода во втором отличном от нуля
слагаемом фигурирует состояние |rt^=3, l=*l, m=©> и, та-
таким образом.
~En-l
Яп-з-Еа-1
A)
Уточнение ограничения сверху можно произвести, проделав
следующее преобразование суммы, определяющей р0:
B)
и выполнив суммирование в правой части этого неравенства
способом* аналогичным использованному а предыдущей задаче:
|' C)
С учетом соотношений B) и C) получаем искомое ограниче-
ограничение сверху, которое 'применительно к атому водорода принимает
вид
Ц -в Ц }lB10|ez|100>|'.
D)
Элементарноеинтегрированиедает|C10|г| 100)|*=>-т|- C/4V\
Учитывая также значения других матричных элементов, при-
приведенные в предыдущей задаче, согласно A) и D) находим
3,36aj> < р0 < 4,96а;;.
11.54. с) Перепишем пробную в. ф. в виде ЧгВввб=С(Фв +
—"•, где в. ф.
нормирована на единицу, как и в. ф. Ч*о, у — вариационный па-
параметр (мы используем атомные единицы). Нормировка в.ф.
fnpos с учетом ортогональности функций Wo и Ч^| приводит
к значению С2 =* Ц + vS^o) l«l- v2^-
Среднее значение гамильтониана системы
?= ' Д-Т
A)
в состоянии, описываемом в. ф. Тпроб» легка найти, есл,и вос-
воспользоваться очевидными соотношениями
и заметить, что в. ф. fi представляет в. ф. состояния с кванто-
квантовыми числами п=2, t=l, m = О водородоподобного атома
с зарядом ядра Z = 2h поэтому удовлетворяет уравнению
Соответственно
(значение <?, 1IД | У,>= —VtOFi I — 2/r|У,>= Vi непосред-
непосредственно следует из теоремы вириала). Учитывая также соотно-
соотношения
B)
(учитывая предполагаемую малость электрического поля, в вы-
выражении B) оставляем лишь слагаемые с наименьшей степенью
величины $"[)). _
Минимизируя ?(v) по параметру \, легко находим
^ C)
Полученное выражение C) представляет приближенное зна-
значение энергии основного состояния атома водорода, находяще-
находящегося в слабом электрическом поле. Сравнивая его с точным
значением, равным — Уг — ViPo^o- где Ро — поляризуемость ос-
основного состояния, находим приближенное (вариационное) зна-
значение этой величины рвяр = 4.
б) Учитывая ортогональность в. ф. fo и f ь находим из ус-
ловня нормировки в. ф. fnpoe значение С =(l-|-a$'o) sw 1 —
— а2в? Используя значения следующих матричных элементов:
(f у -??.
легко находим
Минимизируя это выражение, получаем Яоввр
1 4 j 2эо ^ №^
= — -g- — -g- ^43"/ ® °' 0ТКУДа следует искомое приближенное
значение поляризуемости основного состояния атома водорода
Используя различный вид пробных в. ф., мы нашли два
различных значения поляризуемости. Так как в обоих случаях
вариационное значение энергии основного состояния при
Й"с^*-0 оказалось равным Ео==—l/s—1/фыр&?1, то, учитывая
то обстоятельство, что вариационное значение Ео не ниже точ-
точного и что энергия основного состояния равна Ео = —'/2—¦
— 'ДРо^ь, можно утверждать, что полученные значения рвар
меньше точного. Таким образом, даже не зная точного значе-
значения Ро = 9А, заранее можно бь*ло утверждать, что первое зна-
значение рвар = 4 более близко к точному.
11.55. Простое вычисление, аналогичное проведенному в
пункте а) предыдущей задачи, дает
(при этом следует учесть, что в. ф. fi является с. ф. гамильто-
гамильтониана водороподобного атома с заридом ядра Z = 2у, описы-
описывающей состояние с п = 2, /= 1, т = 0).
Минимизируя это значение Ё по параметрам а и у, можно
найти наиболее точное (на данном классе в. ф. Ч^роб) вариа-
вариационное значение энергии основного состояния: Яовар = min E.
Минимизация по параметру а (соответствующее значение ка
легко определяется из условия дЕ/да = 0) дает
>10A—V + Л "'
Минимизируя это значение по параметру у, находим ?овар,
а с ним и искомое вариационное значение рвар поляризуемости:
Оптимальное значение уо получается из условия дЕ/ду = 0,
представляющего, как легко убедиться, алгебраическое уравне-
уравнение третьей степени относительно параметра у, это дает у0 ж 0,8
(два других корня — комплексные).
Таким образом, находим рвяр = 4,475 ат. ед., т. е. значение,
отличающееся от точного на 0,6%.
11.56. Перенумеруем с. ф. гамильтониана *И,ат с п=2 сле-
следующим образом:
Ч/1 = Ч/». Чг=Ч?т. Чг = Ч!ш *i = ?„._„ 4<„,т = Яы№»,
Значения поправок первого порядка к невозмущенному че-
тырехкратно вырожденному (без учета спина электрона) уровню
атома водорода с я = 2 за счет возмущения V = ez&o =
= ег cos б.'Йо определяются из решения секулярного уравнения
V«— ?i%ftl=0. Ле^ко заметить, что отзшчны от нуля только
|е матричные элементы -возмущения:
и поэтому секулярное уравнение и его решение принимают вид
т.е. уроиенъ расщепляете» на три -подуровня-, ,из которых два
являются невырождеияыми, а один — двукратно -вырожденным
(с учетом спина электрона эти кратности вырождения -удваи-
-удваиваются) .
Условия применимости полученных .результатов (Г) имеют
вид
5.10"йэВ<6ео0ё>0<ЗэВ, или 2 ¦ Ю3В/см < &0 < 10яВ/см
(щтарковское .расщепление должно быть много большим интер-
интервала тонкой структуры, но много меньшим разности энергети-
энергетических уровней невозмущенного атома водорода).
11.57. В случае атома водорода, находящегося в однородном
электрическом поле, гамильтониан и энергия основного состоя-
состояния .имиат вид
рде ?^0)— энергия -«еисгамущенного атома, ^ = —
правка второго порядка теории возмущении во
=«4
полю #\ онрАаеляюща» поляризуемость атома- вод&рода^ fy, =»
В случае гамильтониана (водоррдввддв6яы& атом в элект-
8=-$?-Щ- + е&г A)
энергия основного уровня может быть получена из приведениык
выше выражений формальной заменой е-* *$Ъ~е, &
в частности,
т. е. поляризуемость такого атома-равна-^ = 9й? /22?*.1
Гамильтониан гелиеяедобнего атома - с зарядом^ ядра Z в
электрическом поле в1 пренебреиееиия взаимодействием-- т&к-яу
элею-ренами!равен Й>=Й\ + Щ, где 8\$— тшлилмгжнаиы-от-
деллныя-электронов; имеющие вид C): Очевидно, эн^и-ия-итю-
лйршуемоеть оеновного состоянии твкой^ «гетем-ы пойучаются
умножением на1 2 соответствукявдх величин дли вод®редопо-
дебиого атома'с тем же зарядам ядра Z-. Таким'образем,
&е=-|г=9*Г4ат:ед; B)
Прн-7 = 2'и Z = 27/16, совтветствумвднх приближениям^ а)
и б), сформулированным в условии задачи, согласна B) нахо*
дим следующие значения поляризуемости атома гелия:
а) р = 0,56йо = 0,56 ат. ед.; б) р=1,П ат. ед.
Диэлектрическая проницаемость гелия (одноатомный газ)
при нормальных условиях равна ео= 14-4лр«о, где «о =
= 2,69-10" см-3; тзк как й^= 1,49 .10"м см3, то ео=1 +
+ 5,0-lG-^ p'(pe ат. ед.). Таким образом: о) е0 = 1,000028*, б) е0 ==¦
= 1.000056.
11.58. Для оценки поляризуемости томас-фермиевских (т.-ф.)
электронов рт^Ф. определяющей их' индуцированный днпольный
момент d = jk-4& замечаем, что, хотя приведенное соотноше-
соотношение строго справедливо лишь при достаточно малых значениях
&, оно все Же дает правильный порядок величины d и в случае
сильных полей. Но при S ~ Й"т.-ф (Й"т.-ф—характерное значе-
значение напряженности поля в области, где в основном локализо-
локализованы т.-ф. электроны; очевидно, Й*т.ф — Ze/r|_^J смещения элек-
электронов под действием поля, определяющие днпалшый! момент,
будут порядка гт.-ф, так что й ~ Zer-,..^. Поэтому из соотноше-
соотношения d ~ $& при ё" ~ &ч.-ф следует (гт.-ф
т.е. поляризуемость равна по порядку величины нубу т.-ф. ра-
радиуса атома.
Совершенно аналогичная оценка для валентных электронов,
находящихся на периферии атома (г ~ по), где характерная ве-
величина поля & ~ е/а*, дает рвал ~ojj=l ат. ед. Следовательно
(так как Z 3s 1), поляризуемость атома определяется валент-
валентными, а не томас-фермиевскими электронами.
11.59. о) Поляризуемость определяется обобществленными
(валентными) электронами, и порядок ее величины р ~ 1 ат. ед.
можно получить, основываясь на рассуждениях, аналогичных
проведенным в предыдущей задаче.
б) В системе координат, жестко связанной с осью молекулы,
d ф 0 (очевидно, d ~ 1 ат. ед. и вектор d направлен вдоль оси
молекулы). Однако в стационарных состояниях молекулы ее
средний дипольный момент равен нулю, так как он из-за враще-
вращения молекулы определяется усреднением d по всем ориентациям
оси молекулы, являющимся равновероятными (при л = 0).Прн
наложении поля имеем Аялл = рб, и для оценки величины р
замечаем, что условие йквл ~ еа0 будет выполнено лишь при
преимущественной ориентации оси молекулы (а следовательно,
и вектора d) вдоль поля Б, но для этого требуется, чтобы энер-
энергия взаимодействия диполя с электрическим полем (величина
порядка d$) была сравнима с энергией вращения молекулы,
имеющей порядок величиныh2/Mal (Ж — ЙР-т- 104me— приведен
йая масса ядер), т. е.
-~ ¦¦ . Поэтому
т. е. поляризуемость молекул, имеющих дипольный момент,
много больше поляризуемости атомов, а также молекул, не
имеющих дигольного момента.
Указанные выше оценки поляризуемости можно получить
строго из анализа точной формулы, определяющей величику р.
Читателю предлагается убедиться в этом самостоятельно.
11.60. Стационарные состояния молекулы в отсутствие поля
определяются квантовыми числами п, А (Л=0), S(S = 0),
v. К, М (п — совокупность квантовых чисел, определяющих в. ф.
электронного терма, за исключением Л и S). В. ф. таких со-
состояний имеют вид
Я; Ь. Ь, ...)
(A=s=o),
а энергия состояшяравнаЕ = En\s-{- ftwKoa(v-{-lf2l-{-ВеК (К-{-1),
так что состояния, отличающиеся лишь величиной AI, являются
вырожденными (?о — пространственные и спиновые переменные
электронов).
Матричные элементы возмущения V = —d6, где d — опе-
оператор дипольного момента молекулы, удобно вычислить в два
приема: сначала интегрировать по координатам электронов и
относительному расстоянию R между ядрами (но при фиксиро-
фиксированной ориентации оси молекулы), а затем интегрировать по
переменным 6, q>, определяющим направление оси молекулы.
В случае диагональных по квантовым числам п, v матричных
элементов первое интегрирование дает
(то, что вектор d направлен вдоль оси молекулы, очевидно
нз соображений симметрии). Направив ось г вдоль поля 6 и
учитывая то обстоятельство, что в. ф. fJw (при Л=0) яр-
ляется шаровой функцией УкмF, у), находим, что матричные
элементы возмущения между в. ф. A), относящимися к данному
уровню молекулы (т. е. отличающимися лишь значением М),
равны нулю, так как
V УкмУкм' cos 8 (Ш == 0.
Соответственно в йёрвом порядке теории возмущений уровни
молекулы не смещаются и не расщепляются. Так как при нали-
наличии однородного поля проекция момента на направление поля
является «хорошим> квантовым числом, то в. ф. A) являются
правильными функциями нулевого приближения, н при приме-
применении теории возмущений можно использовать ее стандартные
формулы, относящиеся к невырожденным состояниям^ Поправка
второго порядка имеет вид
(для краткости используем один ииденс k для описания различ-
различных состояний молекулы, k ={n,A,S, v,K,M}).
Легко заметить, что в формуле C) можно ограничиться
лишь такими состояниями \k'}, для которых п' ==п, Л' = S' =
= 0 (при этом Еь — Ek. = Be[K{K + 1)—Kr(K'+ 1)]), так как
вклад в сумму состояний с другими квантовыми числами суще-
существенно меньше из-за гораздо большей величины энергетических
знаменателей. Учитывая это обстоятельство и соотношение B).
можно записать выражение C) в виде
рСТ „<№а У I jK'M' I cos С | КМ) |' _ &$* \К (К + 1) - 3M*j ..
(так как в. ф. состояния \К, М} является шаровой функцией, то
замечаем, что сумма D) совершенно аналогична рассмотренной
437
в 8.12, так что ответ к указанной задаче решает и данную: до-
достаточно сделать замену i-*- К'г т-*¦ М', №'/№-*¦ Ве).
11.6k Направив ось г вдоль магнитного поля, представим
гамильтониан атома=в виде
где Й^—гамильтониан водородоиодобиого- атома* в отсутствие
поля, —е (е>-0), т — заряд и масса незева, ц.=*е&/2)ш;—
магнетон (мезонный) Бора (считаем массу ядра Л1 = оо,:по по-
поводу учета конечности Мен. И.64$. Так, как onejtarep Я, как
и i?0, коммутирует с оператором tz, то хорошо известные с. ф.
невозмущенного гамильтониана 4?nttz даются правильными
функциями нулевого приближения также и при наличии- возму-
щения Р; так что. поправка- первого порядка к уровням энергии
равна
(мы ограничились первым слагаемым в возмущении, pdfffg, так
как учет в ?"* второго слагаемого, пропорционального 3$2,
явился бы превышением точности). Так как, возможные (цело-
(целочисленные), значения U удовлетворяют условиям |/г.|^?<
<: п— t, то л?-1фахно аьфождекный. уровень./^!? невозмулцешно-
го гамильтониана в. первом, порядке расщепляется на Bп—1)
подуровней» каждый из которых вырожден (n^|fcj) ряз^ (д?Д
данных п, [Лж\ возможные зазрения / раваы \Ца |f*|+U ...
.-., «—I).
Ш&. Задача- решается аналогично предыдущей. В гамиль-
гамильтониане появляется дополнительное слагаемое V = 2ц3^е.
Правильные функции нулевого приближения имеют вяд Ч^ус^,
где-Хгг — спиновые функции, являющиеся с. ф. оператора sz
(напомним, чтоХ1/я=(д) и т. д.). Поправка первого порядка
к уровням эяергии равна.
Условия применимости результата (I) предполагают, что рзс-
щеиление уровни Д^зеен «^.'«-i. i/г — En,-n*i. -цг^1пр.Ш м«о-
го больше интервала тонкой структуры A?fs, но много меиьше
расстояния, между, соседними уровнями невозмущенного гамиль-
гамильтониана Д?„ = ?Й-1-?1^=13,б[и-2-(о-|-1Г2]эВ1 Для гс = 2
условие Afips <? ДЯзеем < ЬЕп принимает вид 5 -10~5 эВ <
<"?F<2 эВ> йля 3*1СK эрстед < 5ё < 10е эрстед (напом-
(напомним,, что ^/«2^5» 14 ¦ Ш9 В/сл = 1,71 • 10? эрстед, а0 — боровский
радиус).
469;
11.63. Возмущение (точнее, его часть, линейная по полю Ш)л
имеет вид V = \>Ж D 4- ?«*) *i>, сяа. & наиртвлеьа -вдоль магнит-
магнитного поля. «Правильными» с.ф. гамвльтониана б нулевом при-
приближении являются функции вида *Р = YiooXss^, где fjooM —
в. ф. основного состояния атома водорода (без спива), %s$z —
спиновая функция протона и электроне, причем S и S2—сум-
S2—суммарный спин н его .проекция на ось г. Учитывая явный вид
функций %asg (см„ например, 5Л7) и то обс-теятельство, что в
основном состоянии атома водорода / = 0, легко находаш, что
в первом порядке энергия синглетной компоненты еверегонкой
структуры не изменяется, а тршлетный уровень расщепляется
на три подуровня с энергиями
#sVs^p50S* (т. е. Йт = О.±цЭ^.
Условием применимости полученных результатов является
выполнение -неравенства -pM^A-Ems, где A?Hfs — величина
сверхтонкого расщепления» см. 11.4 (при уЭ$ ^. A?hfs стано-
становится существенным «перемешквание» состояний с S = 0 и
S 1, Sx = 0, так как матричный элемент <S = 1, S* ©№13
>t0)
>)
11.64. Задача двух тел, взйамодеЪстующях друг е другом,
сводится, как известно, к задаче одного тела во внешнем поле.
При этом ^амильтоннайсистемы
преобразуется* виду ^=
,-**±-jp-
Если наряженные ¦частяцы, взаиыедеиетвухйщге друг % дру-
другом, находятся в однородном электрическом поле, то ж гамиль-
тешзну (I) сгаедтет добавить доэшдагитедаьиое слагаемое V =
=—-(«iffi -f--«i2fs) *о- 13?и этом ге'мильтонйян системи тайне
можно представить * *нде Й-= Я1 +*S?—i^mmbi даух *едно-
частнчных» гамильтонианов
первый из катор.нх ояисьгеает движение центра масс системы,
а второй представляет гамильтониан водородоподобного атома,
•J Здесь Si —ontparop электронного здина; fSaHMTOWScrraeM же иетниг-
шгв;во«ечм-я^ет»пв^швняу^етв маяоотн <tW*^ ""«ц/т, -» ю-*),-с ч
выы полем пб
находящегося в электрическом поле (при е\ = —е, е^ = Ze,
U = —Z#/r). Последнее слагаемое в Щ, V=— g""*~eaf"L rS,
представляет оператор взаимодействия такого атома с электри-
электрическим полем. Его можно записать в виде V = —dg, где d —
оператор дипольного момента атома относительно его центра
масс (при Ci ф —ej дипольный момент зависит от того, по от-
отношению к какой точке пространства он определен).
При наложении однородного магннтного поля, векторный по-
потенциал которого выберем равным А='/2[Э1г], гамильтониан
A) принимает вид
C)
В системе центра масс, где rt = -^-r, гй = — ^-г, р| =
= — р2==гр = — №~gf' гамильтониан C) можно запасать в виде
Cl=-![rVr])
Последнее слагаемое в этом выражении при в\ = —е, ег = Ze,
U — —Ze?/r описывает взаимодействие водородоподобного
атома с магнитным полем, учитывающее конечность массы
ядра.
Следует, однако, подчеркнуть, что полученное выражение
D) для гамильтониана не является строгим, так как при нали-
наличии магннтного поля задача двух тел уже не допускает разде-
разделения переменных, т. е. гамильтониан нельзя представить в виде
/? /? (R)+/?()
()+s()
Имея в виду полученные выражения B), D) для гамильто-
гамильтонианов, не представляет труда выяснить влияние конечности
массы ядра на эффекты Штарка и Зеемана в водородоподобных
атомах.
11.65. Для позитрония, находящегося в магнитном поле, га-
гамильтониан имеет вид
(мы ограничились лишь линейными по Ж членами; оператор
орбитального магннтного момента равен нулю, см. предыдущую
задачу; приведенная масса системы равна т/2).
Так как операторы ?ze,n проекций спинов частиц на ось г',
направленную вдоль магнитного поля, коммутируют с гамиль-
гамильтонианом, то, очевидно, с. ф. гамильтониана A) являются функ-
функции вида 4/nrmSieSin=4fnimXszeXszl,, где Ч?„1т — хорошо известные
с. ф. гамильтониана атома водорода (с массой m/2), Xsz— с. ф.
оператора && Этим с. ф. соответствуют энергетические уровни
т. е. каждый 4«2-кратно вырожденный уровень невозмущенного
позитрония в магнитном поле расщепляется на три подуровня.
11.66. Как известно, атом в состоянии с квантовыми числами
L = S = 0 является диамагнитным и его магнитная восприим-
восприимчивость равна
Учитывая приближенный вид в. ф. основного состояния ато-
атома гелия
легко находим r\ = t
^$$ и Хат = — fib") °е^эФФ- Магинт-
ная восприимчивость 1 смэгаза равна Хгаэ = по>Сат== — 7.7-10~11
(ио = 2,69-1019 см~8 — число атомов газа в 1 сма при нормаль-
нормальных условиях, Оо = 1,49- 10"й см3, e'I'heя; 1/137).
11.67. Гамильтониан атома в магнитном поле имеет вид
где Й„~ гамильтониан атома в отсутствие поля, включающий
релятивистские поправки, приводящие к тонкой структуре
атома. Рассматриваемый уровень 3PD является невырожденным,
а его сдвиг в первом порядке по Ж, очевидно, равен нулю
(Гг = 5г=0, так как при / = 0 нет выделенного направления,
вдоль которого могли бы быть направлены векторы L и S).
Во втором порядке по полю Ж в сдвиге уровня В-2* возни-
возникают слагаемые двух типов: получающиеся в результате усред-
усреднения последнего слагаемого в гамильтониане A) по в. ф. не-
невозмущенного уровня и обычная поправка второго порядка тео-
теории возмущений для взаимодействия
Оценка первого из указанных слагаемых в ?(В| дает, оче-
очевидно, величину порядка еЧрв^тс2. Вклад же в ?<*> слагав-
ыого второго типа существенно больше. Действительно.
B)
В этой сумме Е*о> представляют с. з. оператора /?«. Если состоя-
состояния \ky и \№) относятси к различным мультиплетам, то
|?а' —?**'| —с2/оо— 10эВ. Но в случае, если .указанные состоя-
состояния представляют различные компоненты тонкой структуры
одного терма, оценка существенно изменяется: i\Eft — Ef'\ ~
— (е /fieJ e2/ao, и если при этом матричный элемент <^|^|А> не
равен нулю, то вклад таких слагаемых оказывается доминирую-
доминирующим. В конкретном случае 2эРс-состояния атома гелия такое
слагаемое в сумме B) отвечает 23Ргсостоянию с Jz = 0. По-
Поэтому оценка суммы B) принимает вид Е{2) — аоЗё2 и, соот-
соответственно, магнитная восприимчивость оказывается величиной
порядка хЕТ~Оо"' ат. ед. (так как согласно правилу Гунда
ЕBъР0) < ?(Я?Р,), то ?™ < 0 и хат > 0, т. е. атом гелия в со-
состоянии 2?Р0 является парамагнитны»).
11.66. Гамильтониан молекулы в магнитном воле имеет вид
0)
Учитывая вид с.ф. *Ёп*км гамильтониана Йо, приведенный
в 11.60, и используя ^указанный в этой задаче способ вычисле-
вычисления матринных элементов, замечаем, что в первом порядке ло
3% сдвига уровней не происходит, так как
> Спв =
0, S = 0.
B)
Во втором порядке по Ж сдвиг уровня определяется вы-
выражением
(вклад в ?B) членов второго порядка теории возмущений по
взаимодействию Pi ==^e(L-j- 2SKt равен нулю, так как мат-
матричные элемелты возмущения Vi, входящие в соответствующую
сумму, равны нулю, как ив выражении B)).
Выражение C) после интегрирования по координатам элект-
электронов и переменной R принимает вид
где о, Ь — некоторые постоянные, не зависящие от К, М. Учи?
тывая известное соотношение (ось z||3i)
J«
находим смещение-энергетических уровней
1X.S9. Оператор взаимодействия заряженной частицы с ятО'
мом (обычное электростатическое взаимодействие системы за-
зарядов) с учетом малости размеров атома по сравнению с рас-
расстоянием между атомом и частицей имеет вид (Ze — заряд
частицы, атом — в начале координат)
В'первом порядке теории возмущений взаимодействие ЩН)Ш
гголуч^мещеёся усреднением' оператора- О пов. ф. основного со-
состояния атома водорода, отсутствует^ так квк средние значении
всех мультипольнык моментов атома (диполя, квадруполя и
т. д.) равны нулю в силу сферической симметрии распределения
заряда в основном, s-состояини атома. Во втором порядке,- сгра-
ничиваясь в выражении (I} первым, наименее быстро убываю-
убывающим с ростом /Г слагаемым Vi = ZedR/fira= — Ze1 (rR)m?, полу-
получаем искомое взаимодействие:
Рп /ЙЧ8 Э^й?
t/(«)=*--~-{l4r) ^-—ssr: 2)
где Эй==9ао/2'—поллриауемость основного состояния атома
водорода; мы учли, что взаимодействие- Vt эквивалентно взаи-
взаимодействию атома с однородным электрическим полем €=
= —ZeR//?3. Взаимодействие B) имеет, очевидно, характер
притяжения.
1Ь7Ш Учптнва» резул«гатг предыдущей1 задачи; легко нахо-
ДИМ^1
V I"rV— R.I "" 4 VlR.-RW + IR2—Rol* J
где Rfe; Rs, Rs — редиусы'векторы атомн и заряженных^ частиц
(их заряды Zve и Zag соответственно). Последнее слагаемое в
выражений (d); зависящее w пчгеменвьве^ трех* чветиц, озна-
чвег,. что взаимодействие не имеет- аддитивного характера.
11,71. Как и в 11.69, взаимодействие определяется диполь*
ным слагаемым V = Ze(dR)//?8 (при Этом существенно, что мо-
молекула находится е состоянии с" К =(Г, Taif как в противном
- случае доминирующим будет квадрупольное взаимодействие,
отличное от нуля уже в первом порядке теории возмущений и
убывающее с ростом R, как /?~3). Расчет поправки второго по-
порядка по указанному выше взаимодействию для двухатомной
молекулы, имеющей d Ф 0 и находящейся в '^-состоянии, легко
может быть выполнен аналогично тому, как это было сделано
при решении задачи 11.60: в сумме, определяющей поправку
второго порядка теории возмущений, доминирующую роль иг-
играют возбужденные состояния молекулы, имеющие такие же
квантовые числа п, А => 0, S = 0, v = 0, как и основное состоя-
состояние, и отличающиеся лишь вращательными квантовыми чис-
числами (для таких состояний энергетические знаменатели ано-
аномально малы). При этом установленная в 11.60 аналогия
свойств молекулы с d ф 0 в '2-состоянии и пространственного
ротатора, имеющего дипольный момент, по отношению к пове-
поведению их в электрическом поле позволяет, воспользовавшись
известным значением Ро => 2Ы2/Ша для поляризуемости основ-
основного состояния ротатора (см. 8.11), найти искомое выражение
для энергии взаимодействия (Бе = Н2/21):
11.72. Гамильтониан системы имеет вид
и « ны + нш + С=/?„,, + ны - ''Bм- -*¦"- '¦¦"¦>.
где Йо, Ц21 — гамильтонианы изолированных атомов водорода.
Среднее значение энергии E(a,R) в состоянии, описывае-
описываемом в. ф. Vnpoo, при соответствующем выборе параметра a
можно рассматривать как некоторое приближенное значение
энергии основного состояния системы. Его легко вычислить,
учитывая значения следующих интегралов:
1) @| лг|О)= ( x4?l(r)tlV = 0 в силу нечетности по х подын-
подынтегральной функции; точно так же равны нулю все интегралы,
в которые какая-либо компонента векторов Ti или Ге входит
в нечетной степени;
2) <0|Я0|0>= — еУ2ао, так как ?„ — с.ф. оператора #„;
3) @| ** |0>={0| ii»I0MPI 2s |0>=V3@| г* 10>=V3\r*X{r)uV=a%
4) @1 гЙог 10) = J Voztfg (г^о) d V = 0; наиболее простой способ
вычисления этого матричного элемента приведен в решении
задачи 11.54, где он обозначен <4ri|fi0|4fi>.
Для пробной функции вида а), учитывая сказанное выше,
находим Сг = A + а2а^1я# 1 —«2й2 (из условия нормировки) и
Минимизируя это значение по параметру а, находим прибли-*
женное значение энергии основного состояния рассматриваемой
системы из двух атомов водорода:
где первое слагаемое представляет энергию двух изолирован-
изолированных атомов, а второе — энергию их взаимодействия:
Совершенно аналогично для пробной функции вида б) на-
находим
Так как вариационный расчет энергии основного состояния
всегда дает завышенное значение Ео, то из двух полученных
выражений для U(R), (I) и B), второе является более точным.
Полученный закон убывания энергии взаимодействия ато*
мов U(R) соответствует силам Ван-дер-Ваальса.
Отметим, что точный численныйрасчетдает?/(Я)=—6,5е9а^//?в
т. е. выражение B) отличается от точного всего на 8%.
11.73. Взаимодействие молекул возникает во втором порядке
теории возмущений по диполь-дипольному взаимодействию:
R5
(при этом существенно, что молекулы имеют вращательные
квантовые числа Ki — Ка = 0, так как в противном случае взаи-
взаимодействие возникает в первом порядке по квадруполь-квадру-
польному взаимодействию и убывает, как R~5), w. e.
где к\д — наборы квантовых чисел, характеризующие стацио-
стационарные состояния изолированных молекул (см. 11.60). Доми-
Доминирующую роль в сумме A) играют слагаемые, отвечающие
таким состояниям молекул, все квантовые числа которых, за
исключением К. и М, такие же, как и у основных состояний, так
как при этом аномально малы энергетические знаменатели.
Выбрав ось z вдоль вектора R и выполнив в матричных элемен-
элементах интегрирование по координатам электронов и относитель-
относительному расстоянию между ядрами, как это было сделано в 11.60.
465
запишем сумму A) в.виде
(энергия состояния молекулы, отличающегося от основного
лишь квантовыми числами К, М, равна Ек = Е0 + ВК(К+\));
rri,s — единичные векторы, определяющие ориентации осей мо-
молекул, в. ф. состояний | К, Лт>— шаровые функции.
Учитывая вид шаровых функций, легко находим, что мат-
рйчный элемент <К,М|сое 6f©,0) отличен от нуля лишь при
К=\, М=0и равен <1,01cos610,0>= —i/^/г. Аналогично
мтйно наИгги" и другие отличные от" нуля матричные элементы,
входящие в-сумму B):
<*. 11Пж К»,
Гып«соз1р|0,0)=>-<1,
V6
A. HfipIO, C^«Kl,l ЫйвБЬфЮ; G)=<1, - 11%|0, 0) = -^.
©кдачательвзд выражение для эйермяг взаимодействия мо-
лек;ць имеет вид V (^==з — -^в. ^ ^yflsf •
1R74. ПаййЯИбйиая эяектройз До распада ядра йл в мо-
мент распада мгновенно превращается-в Яъ где1
вероята&еп» определйется согласно общей- формуле
вйеэайннк воадействий' (см: 8;3^L. Учт-иьая- вид в. ф.
основного состояния водородонодобнвгоатома с зарядом ядраг
ЧЪ (г, z) = Vz3/n exp (— Zr), лшжо находим
H-,75i Задача решается аяаяотично предыдущей: Так как
в условиях задачи орбитальный момент электрона сохраняется
(поле —центральное) и до распада ядра он был равен / = 0,
то после" распада ядра возможны переходы электрона' л"ишь в
состояния с / = 0. Учитывая вид в. ф !Krt,CT г л=2, / = т=0
в результате элементарного интегрирования находим искомую
вероятность:
11.76s Гамильтониан электрева при t >- 0 (t = 0'— момент
распада ядра) приведен в 11.74 (где он обозначен-Йа^. Б; ф. не-
пеередсхвеше после рвсшада ядра является в.ф. основного се-
ст&яная электрона в атоме водорода ^о. Средняя анергия элект-
электрона при О 0 не зависит от времени и равна
1-
Среднее значение энергии, приобретаемой электроном в ре-
результате распада ядра, равно Ж1№=3?—Ео=г—ь/8—(—lh) =
== — I ат. ед = —27,2 эВ (Епр < 0, т. е. энергия электрона умень*
шается).
АЦП, Обычно под в. ф. атома понимают -в. <ф. электронной
оболочки ^(г^гг, ..., Гдг) (спиновые индексы для простоты
не пишем), что соответствует рассмотрению движения электро-
электронов в системе центра масс атома, причем положение центра
масс =1? с= 0 совпадает соположением цдра ?учет движения вдра
прлврдит |р малым пояравкам). В отсутствие вйенших лол«Й
свободное движений центра пасс не оказывает -никакого влия-
влияния на в. ф. электронной оболочки. В .рассматриваемой задаче
ситуация иная. Так как ядру сообщается импульс, то движе-
движение центра масс не является свободным и следует выяснить
влияние изменения этого движения на в.ф. электронной обо-
оболочки. Для этого ^рассмотрим в. ф. Ч^нст, «лисыв-ающую как
электронную оболочку, так и движение центра масс. Непосред-
Непосредственно перед моментом «встряхивания» она^имеетиад
R^n-ft—*«.«. - -Л (О
где рд — радиусы-векторы электронов в произвольной системе
координат, Ч'ц.н—в. ф. состояния центра масс системы. В ре-
результате «встряхивания» в. ф. изменяется. Сформулированные
в условии задачи -неравенства означают, :что за время удара х
в. ф. электронной оболочки не успевает заметно измениться и
не изменяется положение ядра ^(а следовательно, и положение
центра масс), т. *. «се -изменение в. ф. состоит в 'умноякшин (I)
на .множитель *xp{(vMRBn/ft), где *М, 3*яд— агасса ядра и .его
радиус-вектор, что -соответствует изменению импульса -ядра -на
вектор Mv, так что Фсист = е ** *РСВСТ- Учитывая вид
в.ф. A) и очевидные соотношения
N
= MKK.U -m?(fia -«„. J, B)
в. ф. системы непосредственно после «встряхивания» можно
записать в виде
^хр(-^2;г„)ч'1(ГьГ2,...), C)
где го—как и раньше, радиусы-векторы электронов в системе
центра масс.
Формула C) показывает, как в результате рассматривае-
^Zvr^'T^^ «^яются в.ф. центра масс системы и
электронной оболочки. Таким образом в ф электронной ofin
лочки сразу после «встряхивания» имее^ вид ЭЛектрошюй об°*
',. г,
D)
и вероятности возбуждения различных состояний атома равны
w@~>n) =>| J ?;$„ Af. E)
11.78. Найдем w0— вероятность атому остаться в основном
*остояннн- Учитывая вид в. ф. основного состояния % =>
•^(naj) *ехр(—г/а0), согласно формулам D), E) предыдущей
задачи в результате элементарного интегрирования находим
(q = meP/ftAfp)
Искомая вероятность возбуждения и ионизации атома w, оче-
очевидно, равна а; = I — Wq. В предельных случаях слабого
(?оо<1) и сильного (?ао> I) «встряхивания» имеем
Критерии применимости использованного приближения,
сформулированные в предыдущей задаче, требуют уточнения
в случае сильного «встряхивания». Так как при этом сущест-
существенна ионизация (причем энергия вылетающих электронов
Ев « ft V/2me, а их импульс р « — hq), то длительность толчка
т должна быть мала по сравнению с воровскими периодами
для соответствующих переходов:
*<ft/\Еа — Ея\жnjEg ~ mjftq2.
11.79. Задача решается совершенно аналогично 11.77. В. ф.
системы непосредственно перед «встряхиванием» имеет вид
i -1Ы.
а сразу после «встряхивания» она становится равной
(I)
[(считаем, что вмпульс передается ядру I, радиус-вектор кото-
которого R[). Учитывая соотношение
из формулы A) находим изменение в. ф. молекулы в резуль-
результате «встряхивания»:
Искомое выражение для вероятности перехода:
т(Ъ-*п) = \\ч>'$ъйт\. B)
где интегрирование проводится по координатам всех электро-
электронов, относительному расстоянию R между ядрами и по угловым
переменным, определяющим направление оси молекулы (а так-
также проводится суммирование по спиновым индексам)'.
11.80. Искомая вероятность определяется по формуле B)
предыдущей задачи. С учетом вида в. ф. молекулы с электрон-
электронным термом !Е, приведенного в 11.60, имеем
(здесь символ \ ... dxSJ] означает интегрирование по коорди-
координатам электронов и суммирование по их спиновым переменным).
Так как по условию Р/М -С vKO^ ™ vнт *** Ытаа (аа — боровский
ралиус), а характерные значения координат электронов г~анол—
"~ант~°о> то множитель ехр|—*/ш ^г°1 можно заменить
единицей, после чего имеем \ J "V*-™ |2rftsa ^= 1. Выполнив интег-
интегрирование по угловым переменным (это легко сделать, напра-
направив полярную ось вдоль вектора Р):
приводим выражение (I) к виду
В. ф.
(основного состояния осциллятора)
существенно отлична от нуля лишь в области \Ц—Иа[%3{
^ (h/\i«>eIП < Ro (Ro— расстояние между ядрами в 'положе-
'положении равновесия, ив — настота колебаний молекулы, ц ^
= MiMs/(Mi-^-Ms)% поэтому при вычислении интеграла в вы«
ражении B) можно R т знаменателе заменить на i?o, после чего
он вычисляется элементарно, так как
Oкoнqaтeльнoe выражение для иекомо^вероятности имеет вид
Т1ДЯ. -Воспользуемся общей формулой для ¦вероятности пе-
перехода (в единицу времени) из состояния д.с. в дифферен-
дифференциальный "интервал состояний непрерывного стгехтра под дей-
действием- периодического возмущений частоты со:
(о
В рассматриваемой задаче возмущение (энергия электрона
¦в еяектри'шжом'поле) "имеет вид
т. е. F=teSjr/2. -В матричном элементе
B)
под в. _ф. YJJ' следует понимать в. ф. «ыювного состояния
атома водорода То, а под Т? —в. ф. ЧЪ свободного электрона
с волновым вектором к (напомним, что v представляет набор
величин для описания .состоянии непрерывного спектра), т. е.
Для вычисленая интеграла B) (d-P^s йУ) введем сфериче-
сферическую систему координат г, В, ф с полярной осью вдоль век-
вектора к и обозначим в, <ро полярный и азимутальный углы век-
вектора 80- Тогда
in В sinr© ces № — <роI
и матричный элемент Fvn после простого интегрирования оказы-
оказывается равным
_ S- - tkr cos О
Р.=НттШ'"* ""°"[cosecose-+
+ sin 6 sin 6 cos («p — фо)] r3 dr sin 6 dO d<p =
C)
(удобйо сначала прои«те^нровать по q>, затем по г и^ наконец,
по х 9s-cos6^. Учитывая; что
и используя значение C), перепишем выражение A) в виде
Интегрируя DI по Е^, легка- находин
Гмы ввели од согласно формуле ?¦«_!=—~- = — Ищу.
Выражение. (Щ имеет, очевидно, следующий смысл: ош оп-
определяет вероятность ионизации атома в единицу вренени, при
которой направление импульса вылетающего электрона (р =
= /А) заключено внутри телесного угла dfit; энергия элект-
электрона равна Е = h (fa — <оо).
Интегрируя- E) по всем углам .вылета электрона, подучаем
полную вероятность ионизации атома wt в? еданицу времеяя:
Так как при решении задачи в качестве в. ф. непрерывного
спектра были использованы плоские волны, то, строго говоря,
полученные^выражений справедливы лишь при условии ю ^> «о,
когда скорость вылетающего электрона много больше &ат.
Отметим, что при &>¦< too вероятность ионизации атома со-
согласно формуле (I) равна нулю. Это, однако, не означает, что
при такях значениях <д: вообще не происходит! ионизации
атома, так как отличная от нуля вероятностью ионивацин- воз-
возникает в более высоких порядках теория, возмущений.
11.82. Рассматриваемая система «ядро + f-электрон» опи-
описывается гамильтонианом
~ " о»
471
где ЙяД — гамильтониан ядерной подсистемы, сумма в (I) бе-
берется по всей протонам ядра. Представив энергию взаимодей-
взаимодействия электрона с ядром в виде
(начало координат выбрано в центре масс ядра), замечаем, что
V представляет часть взаимодействия, зависящую от состояния
ядерной подсистемы и являющуюся ответственной за рассмат-
рассматриваемый в задаче переход, вероятность которого может быть
рассчитана согласно общей формуле для вероятности перехода
под действием постоянного возмущения:
dwv = 2я | Vvn |к в (Ех - ??)) dv. B)
Матричный элемент Vvn содержит в. ф. Ч*™ и Tv, которые в
рассматриваемой задаче имеют вид
где *Pjft— в. ф. начального к конечного состояний ядра. Таким
образом,
где их—произведение дифференциалов всех координат ядра,
dVt —то же для электрона.
Для вычисления матричного элемента воспользуемся разло-
разложением кулоновского потенциала в интеграл Фурье:
C)
Легко заметить, что в интеграле C) существенны только та-
такие значения q, для которых |qrp|«Cl (см. ниже). Разложив
экспоненту в ряд по степеням qrp, выполним интегрирование
по переменным ядерной подсистемы:
J dVt exp I- ikre
re - Zre] = ~{
где через dJ0 обозначен матричный элемент дипольного мо-
меита ядра. Проинтегрировав по координатам электрона, полу-
получаем
I' + tq-k)*]"
и, таким образом, матричный элемент C) приводится к виду
По условию задачи скорость вылетающего электрона много
больше атомной, т. е. k ;§> Z (при этом энергия вылетающего
электрона определяется б-функцией в выражении B) и равна
Ей = Л2/2 = ?Яд,о — ?ид, i + ?Вл,о « ?яд.с — ?яд, i)< Учитывая
это, замечаем, что в интеграле E) доминирующую роль играет
область \q— k|^Z (и этим подтверждается использованное
выше неравенство |qrp| -с 1), и поэтому он равен (q да к)
E)
1
и соответственно
Так как в формуле B) dv •¦ к1 dk dui=k dEk liH», ?»¦«?«+?„. 1=
= Т" + ?„1. ??~?u.o + ?™.oBi?«l.» то. выполняя в не»
интегрирование сначала по By (с учетом значения F) матрич-
матричного элемента), а затем по углам вылета электрона, получаем
вероятность выбрасывания электрона в виде
(первое нз этих выражений определяет угловое распределение
электронов). Так как в атоме имеется два /f-электрона, то пол-
полная вероятность внутренней конверсии на электронах ^-обо-
^-оболочки равна
wK
G)
С другой стороны, вероятность дипольного излучения (см.. на-
например, 14.1)
ш.„=-|-^|а1„р, (8)
где <о— частота излучения, /ш = mv*/2.
Из G) и (8) получаем коэффициент внутренней конверсии:
11.83. Задаче- решается аналогично предыдущей, причем
канальная стадия решении- обеих задач совершенно одинакова
(вплоть до формулы D) предыдущей задачи). Однако при вы-
вычислении ядерной части матричного элемента теперь уже
нельзя воспользоваться формулой DJ, так как в условиях дан-
данной задачи начальное и конечное состояния ядра имеют мо-
моменты, равные нули, и поэтому А10 = 0,- Беря следующий член
разложения экспоненты по степеням (qrP), получаем ядерную
часть матричного -элемента-в-веде
О
Я соответстветао мятртгкый элемент- вшмутчення равен
Интегрирование по переменной-^, в выражении C) дает
D)
(сравнить с выражением F) предыдущей задачи).
Используя значение D) матричного элемента, легко нахо-
находим угловое, распределение- выбрасываемого электрона, и. пол-,
ную вероятность его выбрасывания.;
E)
(изотропный характер распределения dw/dQ очевиден заранее).
Умножая E) на 2 (в атоме два К-электрона), находим ве-
вероятность рассматриваемого ?0-перехода:
^lf F)
(отметим, что при ?*0-переходе четности начального и конеч-
конечного Состояний ядра должны быть одинаковыми,- в противном
случае Qo*=0). Б-1 частности, если, выбрасываемый электрон
является быстрым: -к "?> Z, то 4rk{0)'»i:Bn)-s/:' и формула FJ
дает
11.84. Гамильтониан системы, состоящей из ц-мезойа и элек*
трона' (представлякйцёго один из электронов Я-бболочкн), иа«
ходящнхся в кулоновском поле ядра с зарядом Z (йвнользуем
атомную систему единиц, масса мюона т^ = 207те ='207 ат. ёд.»
ядро считаем точечным и бесконечно тяжелым), имеет вид
Имея в виду, что размеры мюонной орбиты много меньше
электронной, запишем гамильтониан »(i) в Лжае Й = Йр. + Йе -Ц
Н- Р. где
В пренебрежении возмущением f рассматриваемая система
представляет две незавнсиные яеденстемы: -злектрмн^е зн
мгоонную.
Легко ^йметить, что расчет эффекта Оже совершенно анало-
аналогичен расчету вероятности внутренней конверсии (см. 11.82),
гак как формально можно рассматривать мюонную подсистем^
как ядро. Поэтому решение данной задачи полностью.щЬлщ
рует решение задачи 11.83, с очевидным переобозначением Z.
на Z—1 в в.ф. /(-электрона и с подстанозкой .мюонных.в.ф,
начального и конечного состояний вместо ядерных в.ф. Ч$,%
Приведем екончзтельный ответ для ввфоятнвспидипояьного
(Р-) эффекта Оже (в единицу времени) ? учетом наличия двух
Я-электронов (сравнять с формулой G) задачи 11.82):
B)
где у—скорость вылетающего электрона, d№ —матричный эле»
мент дипольного -момента мюона. В частности, для мюонного
перехода 2р -»- Is имеем i d,01 = 4 -\^"B/3Mfiz/ZesmJ1, v =
(V/2V
(ii/)
Ta« как размеры ;мкюннбй орбиты в хшетоянии х тяавным
квантовым числом л имеют величину нортгдка Пц* *~1
~ ns/ZmH ат. ед., а размеры орбиты Я-электрона порядка I/Z,
то условие применимости -выражения B) шгределтется неравея-
ством п1 -с Шц я? 200; при выполнении этого условия скорость
выбрасываемых элентройов.много-больше атомной.
11.85. Если дипольный переход Оже аналогичен процессу
внутренней конверсии при дипольном переходе ядра (см. 11.84),
то S-переход Оже в случае, когда начальное и конечное состоя-
состояния мюоиа имеют орбитальный момент / = 0, яэляется анало-
аналогом конверсии при ?0-переходе в ядре (см. 11.83).
Точно так же, как решение предыдущей задачи дублировало
решение 11.82, так и решение данной задачи дублирует реше-
решеиие 11.83.
Окончательное выражение для вероятности рассматривае-
рассматриваемого перехода имеет вид (с учетом наличия двух Л-электронов)
(I)
(сравнить с формулами G), B) задачи 11.83).
Учитывая явный иид в. ф. Wtttm водородоподобного мезо-
мезоатома, находим для мюонного перехода 2s -«- Is значение
Qo=~l6V2"B/3)BZ-sm-2, а так как при этом fe = CZ2mll/4L
то A) принимает вид
Глава 12
АТОМНОЕ ЯДРО
12.1. С/кул = ^ет-?.-^-«0,7
as 0,S • 10~e см — боровский радиус, е2/оо ta 27 эВ).
Для оценки энергии взаимодействия спиновых магнитных
моментов двух нуклонов воспользуемся известной из классиче-
классической электродинамики формулой для энергии взаимодействия
двух магнитных моментов:
^ _ ifjiHe) 8х — 3 рцЦ) (MaR)
Учитывая, что характерная величина магнитного момента нук-
нуклона (как протона, так и нейтрона) порядка цк — eh/Mc (M—•
ыасса протона), находим
и Р" Л2 _ A? me i 4 .,
*""Ш /?о At^c2/^ meflo M Me2 f§
« Ю~2 МэВ < С/о (Мс2 « 938 МэВ).
476
12.2. Магнитным моментом уц, некоторой системы, характе-
характеризующейся полным моментом / (н другими квантовыми чис-
числами), по определению называют среднее значение цг> где
|i — оператор магнитного момента системы, в состоянии с
1Х = /, т. е.
^=</,/г = /|Aг|/,/ж = Д при этом А*=»А» = О. (I)
В рассматриваемом случае
- л „ Г
V = Морб + ^сп = Y
(магнитные моменты выражаются в ядерных магнетонах,
1 яд. маг. = eh/2Mc; появление коэффициента 1/2 в выраже-
выражении для fiope связано с тем, что в дейтроне орбитальные мо-
моменты протона и нейтрона одинаковы и составляют половниу
орбитального момента относительного движения, так что L/2
представляет оператор орбитального магнитного момента про-
протона в дейтроне (в яд, маг.)).
В '/.-состояниях (т. е. в случае равного нулю суммарного
спина нейтрона и протона, S = 0), очевидно, S = oP = 0n =
= 0, / set, так что согласно A) и B) имеем ц(Ч)= L/2.
В частности,
М ('So) = 0, м ?Рi) = 1/2, М №я) = " и т. д.
Для вычисления магнитных моментов трнплетных по спину
(т.е. S = 1) а/.7-состояний системы протон—нейтрон замечаем,
что для таких состояний @Р — 0„)=О (спиновая^функция со-.
стояния с S=l симметрична, а оператор (сР — оР) антисим-
антисимметричен по отношению к перестановке спиновых переменных
протона и нейтрона), так что из A) и B) следует
»iCL/) = </,/2 = /, L, S|ia?,+ <I»p+mJS,|/, h = J, L, S>. C)
Воспользовавшись результатом задачи 3.54, C) легко преоб-
преобразовать к виду
J D)
(в D) учтено, что S= 1, и подставлены численные значения цР|Е).
Согласно D) имеем
12^, Характерной особенностью дейтрона является малая
величина энергии связи протона и нейтрона. Действительно,
е„ = 2,2 МэВ много меньше величины Й>^»20МэВ (ц =
=>Af/2, Af—масса нуклона, ./?o« 2-1(И3 см —радиус действия
ядерных сил). Это означает, что с большой вероятностью про-
протон и нейтрон в дейтроне находятся вне области действия ядер-
ядерных сил, и в. ф. системы может быть представлена в виде (срав-
(сравнить с 2.9)
A)
где х — спиновая в. ф. Выражение A) для в. ф. заведомо непри-
неприменимо в области действия сил, однако рассматркваемое при-
приближение основано как раз на возможности пренебрежения
вкладом в нормировочный интеграл \\ Ч* fdV области, где дей-
действуют силы, как для точной в. ф, (неизвестной!), так и для
приближенной (!) (в последнем случае этот вклад читателю
предлагается оценить самостоятельно). Имеем
.Численные значения:
1
B)
(fffmJo sb 27 эБ, ао tx 0,53 - |(ГВ см).
12.4. Квадруполышм моментом Qc ядра в состоянии, ха-
характеризующемся полным моментом / (и другими квантовыми
числами), по определению называется среднее значение (сум-
(суммирование проводитси по всем протонам адра)
Для системы из протона и нейтрона, находящейся в ^-со-
^-состоянии, выражение A) принимает вид
1 Р
B)
где Ч* = 4'/-L-i,7a-?a-i,s=o = f (r) Yn (n)xs=o — нормированная
в, ф. рассматриваемого состояния, /s-o — спиновая в. ф.,
I /2
) и выполнив интегрирора-
Залисав (З^—г
ние по углам:
приводим выражение B) к виду
где г* =
Квадрупольный момент протон-нейтронной системы в сад
стояниях 'So, eSi, 8Ро, очевидно, равен нулю, так как средний
плотность заряда в таких состояниях являетси сферически сим."
метричной.
12.5. Квадрулольный момент рассчитывается по формуле (Щ
предыдущей задачи, в которой теперь под в. ф. Ч* следует nof
нимать в, ф. состояния с / => L = S = I, /«=*=!. Она имеет вид
О)
— спин-угловая часть в. ф. рассматриваемого состояния,
I — спиновая в. ф. состояния двух нуклонов с5 = 1 в
52-представленин. При определении явного вида (I) были ис«
пользованы коэффициенты Клебша — Гордана.
Отметим, что спин-угловую зависимость в. ф. соетая»ия в
/ = L = S = I можно записать в изящной форме:
где n =.r/r, S —оператор суммарного спина 5—1; при эс*Х=1
и указанном значении |С|^в. ф. B) нормирована на единицу*
Для того чтобы в. ф. B) описывала состояние с /*= I, следует
выбрать %=г\ ° J (см, в связи с этим 12.15).
После установления вида в. ф. рассматриваемого состояния
не представляет труда найти
у
1 е I
Подчеркнем, что установленные значения квадруполъяы:
ментов состояний *Pi и 8Pj различаются знаком. Оценка
ГЪЙЫХ Мб.
- . - . . - ожи-
ожидаемых численных значений Qo для рассматриваемых состояний
дейтрона может быть получена, если воспользоваться значением
rs« 10-" см1 (сравнить с 12.3).
12.6. Изотопический спин является векторной величиной в
абстрактном трехмерном пространстве изотопического Спшк,
формальные свойства которого аналогичны свойствам момента
(или спииа) в обычном трехмерном пространстве.
Изотопический спин нуклона tn = т = l/z. В роли операто-
операторов компонент изоспина нуклона t выбирают матрицы (срав-
(сравнить со случаем s = 1/2 обычного спина)
При этом физические состояния нуклона — протон и нейт-
нейтрон—описываются с. ф. оператора т3, так что*)
а с. з. тз = ±1/2 определяют электрический заряд частицы
Я =¦ 7а (I + 2т3) (в единицах е заряда протона).
Имея в виду аналогию свойств изоспина и обычного спина
К результат задачи 5.17, легко находим вид изоспиновых в. ф.
*Frr3 двухнуклонной системы, отвечающих определенным значе-
значениям суммарного изоспина Т н его проекции 7*3:
Отметим, что в состояниях с определенный значением Т и
Гз = 0 каждый из нуклонов не находится в определенном за-
зарядовом состоянии, а с вероятностью 1/2 может находиться
как в протонном, так и в нейтронном состояниях.
12.7. Имея в виду изотопическую симметрию ядерных сил,
протон и нейтрон следует рассматривать как тождественные
частицы — ю/клоны, находящиеся в различных зарядовых со-
состояниях, отличающихся значением ^з-компоненты изоспина.
Так как нуклон является фермионом, то в. ф. системы нукло-
нуклонов должна быть антисимметрична по отношению к переста-
перестановке всех переменных — пространственных, спиновых и изо-
изоспиновых — любых двух нуклонов (обобщенный принцип
Паули).
Так как для системы из двух нуклонов:
о) перестановка пространственных координат эквивалентна
отражению координат относительно центра масс системы и по-
поэтому симметрия координатных функций с данным L совпадает
с четностью (—\)L,
*) В литературе используется также и «обращенная» классификация, при
которой тэ = +1/2 соответствует нейтрону, а Тэ = —1/2— протону.
б) симметрия спиновой функции, отвечающей состоянию с
суммарным спином S, относительно перестановки спиновых пе-
переменных определяется множителем (—-|M+|,
в) симметрия изоспнновой в. ф, аналогично спиновой, опре-
определяется множителем (—1)г+1,
то в.. ф. состояния системы из двух нуклонов ^lst с опреде-
определенными значениями L, S, Т при перестановке переменных нук-
нуклонов умножается на (— i)L+s+Tt так что требование антисим-
антисимметричности в. ф. дает
(-l)r=(-I)t«*1. A)
Соотношение (I) определяет возможные значения Т (О или 1)
в состояниях с данными L и S. Так, в случае S = 1 и четного L
(как, например, у дейтрона) изоспин двух нуклонов равен
Т = 0 и т. д.
Изоспиновая часть в. ф. дейтрона, имеюшего Т = 0, приве-
приведена в предыдущей задаче (функция Ч*о, о).
12.8. Искомый оператор, являющийся скаляром в изотопи-
изотопическом пространстве, может выражаться только через следую-
следующие скалярные операторы:
I. я, gv н aw ft*». 6fy\.... (о
(tj, a — операторы изоспина отдельных нуклоков).
Легко, однако, сообразить, что из всех^операторов в (I)
независимыми являются только два: I и (Т1Т2). Действительно,
*?=ajj! = 3A."T- e. они кратны единичному ^оператору, а опера-
оператор (titsJ линейно выражается через I н (fix^):
(сравнить с 5.20).
Соответственно наиболее общий вид оператора О двухнук-
лонного взаимодействия, сохраняющего изоспин (точнее, яв-
являющегося изотопически-инвариаитным), следующий:
U=Vt+Vs(ili& B)
где Pi, 2—не зависящие от изоспиновых переменных операторы
(они — операторы в координатном ,и спиновом пространствах,
симметричные относительно перестановки нуклонов).
Так как оператор (TtTs) в состоянии с определенным значе-
значением суммарного изоспина Т также имеет определенное значе-
значение, равное
,-'-. / V« В СОСТОЯНИИ С Г=>1,
с в. (т1Тй) = { _?л
то легко сообразить, что операторы яуклон-вуклонного взаимо-
взаимодействия в состоянии с определенным значением Т == 0; 1
. М, Галткик ш ар-
следующим образом выражаются через операторы 9и 9а, входя-
щие в B):
Не представляет также труда выразить операторы V\, 2 че-
через О(Т = 0; I) и записать B) в виде
О=фо-\- 3&0/4 + (t/i —1/0)(Т[Та), Uo. 1 = 0G* = 0; I).
12.9. В двухнуклонной системе кулоновское взаимодействие
отлично от нуля лишь в случае, когда оба нуклона находятся
в протонном (по изоспину) состоянии.
Имея в виду связь оператора заряда нуклона с оператором
его /в-компоненты
нетрудно сообразить, что искомый оператор кулоновского взаи-
взаимодействия ыожво записать в виде
12.10. Система из двух протонов, как и из двух нейтронов,
имеет изотопический спин 7=1. Поэтому существование свя-
связанного состояния в таких системах означало бы существование
его в состоянии с Г=1. Такое состояние с 7= I, Та = 0
должно было бы проявиться и в системе «протон + нейтрон».
Но из эксперимента следует, что единственное связанное со-
состояние в системе «протон + нейтрон» — дейтрон — имеет изо-
спин Т= 0 (см., например, 12.7), так что связанного состояния
с Т = I не существует, что и доказывает утверждение задачи.
Подготовленному читателю предлагается самостоятельно об-
обсудить вопрос о крнтичности результата задачи к возможному
слабому нарушению изотопической инвариантности ядерных
сил, имея в виду, что в системе «протон + нейтрон» имеется
мелкий виртуальный уровень в состоянии с Т = 1.
12.11. Имея в виду результат задачи 12.7, замечаем, что си-
система «протон + нейтрон» в состояниях sPi н !Р, имеет различ-
различные значении иаоспнна (соответственно Г=| ит=0). Это оз-
означает, что взаимодействие, приводящее к рассматриваемому
состоянию — суперпозиции 'Л + ВЛ. ие сохраняет изотопиче-
изотопический спин, т. е. не является нзотопичееки инвариантным.
Так как в состоянии !Л + 3Л суммарный спин (обычный)'
также не имеет определенного значения, то взаимодействие,
приводящее к такому состоянию, н« сохраняет и спин. В каче-
качестве примера такого взаимодействия можно указать
«? A)
Из A) непосредственно видно, почему это взаимодействие про-
противоречит изотопической инвариантности: при перестановке
двух нуклонов (протона и нейтрона) оно меняет знак.
12.12. Если оба нуклона являются либо протонами, либо
нейтронами, то в таких зарядовых состояниях двухнуклонной
системы взаимодействие одинаково и описывается оператором
0 = Т/ = Vt 4-'/ V (I)
Для системы же «протон + нейтрон»
Opa=Vi — %Vs. B)
Различие A) и B) отражает то обстоятельство, что рас-
рассматриваемое взаимодействие не ивляется изотопически инва-
инвариантным (в изопространстве оно представляет суперпозицию
скаляра Pi и компоненты тензора Увтз тз21, т. е. не является изо-
скаляром, как это требуется для выполнения изотопической
инвариантности).
В то же время равенство Орр = Опп свидетельствует о заря-
зарядовой независимости рассматриваемого взаимодействия.
12.13. Совокупность экспериментальных данных о свойствах
дейтрона свидетельствует о том, что его состояние представляет
суперпозицию sSi + sDlt так что орбитальный момент L не
имеет определенного значения, как это должно было бы быть
для не зависящих от спина центральных сил.
Легко заметить, однако, что из трех приведенных в условии
задачи потенциалов только третий, описывающий тензорные
силы, может привести к указанному выше состоянию дейтрона
(суперпозиция 5- и С-волн).
Действительно, первый из потенциалов является централь-
центральным, хотя интенсивность взаимодействия и зависит от значения
S суммарного спина:
( — 3V(r) в состоянии с S = 0,
s~l V(r) в состоянии с S=l.
Для этого потенциала интегралами движения являются орби-
орбитальный момент L и суммарный спин S в отдельности.
Второй потенциал ие сохраняет в отдельности L и S, а со-
сохраняет только суммарный момент J = L + S. Тем не менее он,
как и первый из потенциалов, не может привести к наблюдае-
наблюдаемому состоянию дейтрона (суперпозиции S- и С-волн). Это свя-
связано с тем, что. хотя для такого потенциала сами векторы L и
S не сокраияются, квадраты этих векторов являются интегра-
интегралами движения (операторы L2 и S* коммутируют с оператором
взаимодействия).
Что касается последнего потенциала, то ои не сохраняет ни
вектора L, ни L* и поэтому используется для объяснения
(наряду с центральным потенциалом) экспериментальных дан-
данных о дейтроне. Отметим, что потенциал тензорных сил, не со-
сохраняя S, все же сохраняет Sa.
Все рассматриваемые потенциалы сохраняют как полный
момент J (и соответственно J2), так и четность.
12.14. Воспользовавшись известной формулой
$> = 5^% Л, ^0 =
(%s — спиновая часть в. ф., отвечающая определенному значе-
значению суммарного спина S; фактически речь идет о состоянии с
S = 1, так как при S = 0 тензорные силы тождественно равны
нулю), перепишем ее в виде (V = Ст)
= \ V М *; (г) [бл** - 2
Очевидно,
- 2blk) dv
B)
(при этом существенно, что в. ф. гро(г) сферически симметрична,
так как для невозмущенного состояния L = 0). Произведя в B)
свертку по индексам i и k, находим С = 0 и соответственно, со-
согласно A) и B), получаем В^ = 0.
12.15. Задача состоит в доказательстве утверждения, что
приведенная в. ф. представляет наиболее общий вид функции,
отвечающей состоянию дейтрона в виде суперпозиции 8Si +,3?>i.
Докажем это.
Прежде всего отметим очевидний факт, что в. ф.
v.-fcWx (О
описывает состояние с L = 0 (в. ф. сферически симметрична),
5 = 1 и, таким образом, отвечает суммарному моменту /= 1,
т. е. представляет ^-состояние.
Докажем, что в. ф.
^=frO")S.2X = MOF<Sit)'-2S*},c B)
отвечает следующим квантовым числам: 5=1 (очевидное ут-
утверждение), L = 2 и / = 1, т. е. описывает 8РгВолну в дей-
дейтроне. Запишем B) в виде
C)
Угловая часть этой в. ф. T,k = Smtik — 2blk является сим-
симметричным тензором Вторбго ранга с равным нулю следом,
7"i,-s=0, так что на1»сновании результата задачи 3.57 (см. так^
же 3.68) можно утверждать, что в. ф. B) действительно описьи
вает состояние с орбитальным моментом L = 2'. ^
Осталось доказать, что в.ф. B) отвечает суммарному мо-
ыенту 1=\. Подействуем на функцию ?2 оператором J* =
(! + §)»
D)
Так как оператор f\(r)Sl& является оператором скалярной ве-
величины, то он, очевидно, коммутирует с операторами компо-
компонент момента
Й. fiMS,j=o,
а соответственно и с оператором Р, так что D) можно записать
в виде
J^a = f, (r) Sjh. E)
Далее, так как % не зависит от углов и поэтому Lt% es 0, то
J^X = (Ls + 2§L + S2) % = Sh = 2ЭС-
Соответственно, учитывая E) и B), находим JB4fa = 24f2, т. е.
в. ф. Ч^ действительно описывает состояние с/ = 1 (ис/, = 2,
5=1).
Наконец, выбрав % в виде JCsa»T. e. с. ф. оператора 5г, легко
убеждаемся в том. что
т.е. при таком выборе х рассматриваемая в.ф. ^^
является с. ф. оператора /г, отвечающей с. з. /г = 5г.
В заключение отметим, что имеет место равенство
12.16. Записав в. ф. дейтрона в виде
(конкретный вид в. ф. fs, о рассмотрен в 12.15), легко найти
М = J Ч#ЧЪ Л + J T^o dT. A)
При этом учтено, что интерференционные члены в A) равны
нулю:
J V J Si = 0 B)
Wd dx
(равенства B) представляются очевидными, если иметь в виду
явный вид |i, см. 12.2, ортогональность в. ф. \4fj4'orfT = 0 и
условие LI'sssO}.
. Непосредственным следствием A) v является приведенное
в условия задача выражение для ца-
В случае квадрупольвого момента ситуация иная, так как
интерференционный член отличен от нуля:
r^L'sdT}^0 C)
(сравнить с 12.4).
Более того, имея в виду малость примеси D-волны в дей-
дейтроне, следует ожидать, что ее вклад в квадрупольный момент
будет существенно меньше интерференционного слагаемого CJ".
Знак носледнего зависит от характера тензорных сил (притяже-
(притяжение или отталкивание). Как показывает более детальный ана-
анализ, тензорные силы носят характер притяжения.
12.17. Если бы изотопическая инвариантность ядерных сил
была строгим законом природы (фактически s данной задаче
речь идет с -более низкой форме симметрии ядерник сил — их
зарядовой независимости), то все свойства ядер трития н гелия
"Не: их массы (как я массы протона и нейтрона), энергетиче-
энергетические уровни и их квантовые числа — были <5ы одинаковыми н
•Рраспад был бы запрещен законом сохранения энергии. Нару-
Нарушение этой инвариантности, проявляющееся в различии масс
Мп и Mi^ связано с электромагнитным взаимодействием и яв-
является незначительным.
Нарушение зарядовой яезависимости ядерных сил прояв-
проявляется и в различии масс ядер Ч\ и 3Не и, соответственно, энер-
энергий покоя (Мс2) Э5гик ядер. Это различие связано с двумя фак-
факторами: разницей масс Мп и Мр и энергией кулоновского взаи-
взаимодействия протонов в ядре 3Не. Очевидно,
iMfH)— Mf He}] c* = (Afn- MJt* - J V* ~V fa, A)
где Ч'—в.ф. ядра^Не, T=rPl — rPl.
Так как
те# + е0=\М CН) - М CНе)] с*,
то согласно A) и B) находим
Т _(Мп—М^1»—щ^~ял ^ I
B)
е*/ао
C)
(ао = О,53-1О-я см —боровский радиус, ф{ай да 27 эВ>.
Полученное значение jZ) дает оценку размеров рассматри-
рассматриваемых ядер: R ^[1/г] *** 1,9-10~18 см.
12.t8. Hues В виду общие соображения, высказанные при
решении предыдущей задачи, и учитывая значение С/куя =
= 3Bе>я/5# электростатической энергии равномерно заряжен-
заряженного шара (заряд Ze) радиуса R, легко приходим к соотвоше-
eo^-*
0 B2 -f 1
A)
где Д=(А1п — Mv){? ж 1,29МэВ, а последнее слагаемое пред-
представляет разность UKyn для двух шаров радиуса И = гоА1/3
с зарядами (Z + l)e и Ze соответственно, А = 22+1.
Из A) следует
Численное значение B), основанное на данных о р-распаде
SI, составляет г0 ж 1,6-103 см.
12.19.
В A) A a Z — общее число нуклонов и протонов в распадаю-
распадающемся ядре, так это для рассматриваемого распада А = 34,
12.2% Задача о нахождении одночастнчных энергетических
уровней й соответствующих им. с. ф. из у. Ш.
фактически была решена ранее (см. 4.23 и 4.25).
Уровни энергии определяются выражением ?w = /
+ 3/2); © = ifk/M, N = 2n, + t, N = 0,1,2, ... Каждому
уровню с данным N отвечают однсчастичные состояния с орби-
орбитальным моментом I = N, N — 2, ..., 1@), г. е. имеется слу-
случайное вырождение. Кратность вырождения уровня равна
С(.у)= <* + '><* + *> .
На рис. 32 изображена картина одночастичных уровней
для рассматриваемого потенциала. Сбоку указаны следующие
числа: G(N) — кратность вырождения уровня; n(N)=2G(N)—
максимальное число нуклонов определенного зарядового со-
состояния (т. е. либо протонов, либо нейтронов), которые могут
одновременно находиться на соответствующем уровне (удвое-
(удвоение по сравнению С G(N) связано со спиновой степенью сво-
свободы); М(Щ—максимальное число вукловов определенного за-
зарядового состоянии, которые могут быть размещены по всем
оболочкам, начиная с нижней и кончая рассматриваемой; оче-
очевидно, M(N+ l) = M(N)+iN+ 1)
Найденные числа M(N), отвечающие числам нуклонов, кото-
которым соответствуют полностью заполненные оболочки (начиная
с нижней): 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168, ... представляют значения
магических чисел для рассматриваемой модели.
Специфической особенностью рассматриваемого осциллятор-
ного потенциала является случайное вырождение уровней. Если
еш) *ао то
и
В
-faff
SB
и
30
20
11
28
8
этот потенциал слегка изменить, то случайное вырождение сни-
снимется, что приведет к расщеплению уровней (каждый уровень
расщепится на столько подуровней, сколько различных значе-
значений / отвечает невозмущенному уровню, характеризующемуся
квантовым числом N). Это обстоятельство иллюстрируется ри-
рисунком 33, на котором схематически изображена картина рас-
N=3
щешгения уровней невозмущенного гамильтониана для значе-
значений N = 3 и /V=4. To, в каком порядке располагаются под-
подуровня по значениям /, зависит от конкретного вида fit/. Чита-
Читателю предлагается самостоятельно обсудить особенности рас-
расщепления в случае, когда возмущение о?/(г) характеризуется
малым радиусом.
В рассматриваемой модели, не учитывающей спнн-орбнталь-
ного взаимодействия, предсказания значений полных моментов
J основных состояний ядер носят весьма неопределенный харак-
характер ввиду большой кратности вырождения уровней по Л Легко
сообразить, однако, что предсказание четности —- вполне опре-
определенное, что связано с тем обстоятельством, что четность одно-
частичных состояний (—»)' в рассматриваемой модели равна
(—1)*, а четность — мультипликативное квантовое число. Так,
для основного состояния ядра J'B модель предсказывает отри-
отрицательную четность, для ядра J7O — положительную и т. д.
12.21. Для частицы со спином в случае произвольного цент-
центрального потенциала энергетические уровни не зависят от ее
спинового состояния и определяются лишь квантовыми числами
пг, I (но не U, «г). Соответственно уровень (для s = 1/2) имеет
кратность вырождения 2B/+ 1) (для рассматриваемого осцил-
ляторного потенциала имеет место случайное вырождение, так
как En,i ^?Bл, + /) « ?*).
При наличии спин-орбитального взаимодействия уровень с
данным значением / расщепляется на два уровня, отвечающих
значениям / = /+1/2 и / = /—1/2 полного момента частицы
(за исключением уровней с /=0). В этом случае «хорошими»
квантовыми числами являются: полный момент j, его проекция
?z, а также четность (а с нею и орбитальный момент /, так как
Iй, но не проекции U, коммутирует с гамильтонианом). Соответ-
Соответственно с. ф. гамильтониана могут быть представлены в виде
где спни-угловые функции *PWa обсуждались в 5.41 и 5.42.
Решение поставленной задачи легко получить, если заме-
заметить, что оператор Го имеет определенные значения в состоя-
состояниях частицы с определенными значениями j и /:
( в состоянии с / = (+1/2,
[ — / — 1 в состоянии с /= /— 1/2,
так что рассматриваемое спин-орбнтальное взаимодействие не
зависит от г. Легко сообразить, что независимо от конкретного
вида центрального потенциала U(r) энергетические уровни Е„гг
в таком поле под действием рассматриваемого спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия расщепляются на два подуровня, причем
смещение каждого из подуровней определяется выражением
Ч-
1 = 1-1,2. И
Соответственно энергетические уровни рассматриваемой мо-
модели определяются выражением
- Ua + fio) B/v + / + 3/2) + Aft,
C)
(во избежание недоразумений подчеркнем, что C) представ-
представляет точное решение для рассматриваемой модели, а не ре-
результат теории возмущений, так что никаких ограничений на
величины &Ец не возникает).
Отметим два свойства обсуждаемого расщепления уровней:
1) полная ширинарасщеш1ешяА?)=[?(,/_л.1д—?i,/-/-V2i=
„— B/ + 1) а возрастает с реетом /;
2) среднее значение смещеяня уровней с учетом их стати-
статистических весов, равных B;+ 1), равно нулю, так как
На рис. 34 слева изображено расщепление уровня с N = 2
невозмущенного осциллятора, а справа представлена картина
нижних одночастичных уровней для рассматриваемой модели.
й,# й
Учитывая, что в рассматриваемой модели основное состоя-
состояние ядра определяется размещением нуклонов но нижним одно-
частичным уровням с учетом принципа Паули, полный момент
J и четность Р нуклонов заполненных оболочек равны У = 0+,
квантовые числа «дырочного» состояния такие же, как и у со-
соответствующего одвочастнчното уровня (то же относится к
двум и более дыркам), легко прийти к следующим предсказа-
предсказаниям в отношении полного момента и четности основных со-
состояний указанных ядер:
1) у ядер 18С, "С, 1вО, *>Са будет 1Р = 0+ (эти ядра имеют
лишь заполненные оболочки);
2) ядра 1BN, 17O, "Al, I3C имеют сверх заполненных оболо-
оболочек один нуклон (протон или нейтрон) или одну дырку, опреде-
определяющие У для этих ядер: ('/г)~, EЛ)+. EA)+i (Ve)~ соответ-
соответственно;
3) предсказания модели в отношении момента (но не четно-
четности) ядер вНе, 6Li, I0B не однозначны. Так, для ядра 6Li, имею-
имеющего сверх заполненной оболочки (IsL протон и нейтрон в
состоянии 1рз/2, согласно модели У может принимать одно из
следующих значений: 3+, 2+, 1+, 0+. Совершенно аналогично пред-
предсказание для ядра 1СВ, имеющего одну протонную и одну нейт-
нейтронную дырки в оболочке 1рз/г. Ядро 6Не имеет два нейтрона
в состоянии 1р3/г (сверх заполненной оболочки (IsL) и согласно
модели возможные значения У: 2+, 0+ (значения 3+, 1+ запре-
запрещены принципом Паули). Если, однако, иметь в виду явление
спаривания, то для ядра 6Не предсказание У становится одно-
однозначным: У = О+-.
12.22. С. ф. гамильтониана
Н = — -g^j- А — Uq + Угкг3 — «r2fe
могут быть выбраны также с. ф. коммутирующих с ним н друг
с другом операторов J2, Iя, /г. При этом однозначно определяет-
определяется спин-угловая зависимость с. ф. *Ре (г) = / (г) f/i/^ (n) (по по-
поводу в. ф. Ч?1ця см. 5.41 и 5.42), а для радиальной части в. ф.
у. Ш. дает
/ = (+1/2,
/ = /-1/2
(сравнить с формулой A) предыдущей задачи).
Уравнение A) совершенно аналогично радиальному у. Ш.
для сферического осциллятора с упругостью kn=k — уц в со-
состоянии с орбитальным моментом /. Так как уровни обычного
сферического осциллятора определяются выражением
Е„г, = Ец = НыBпг + 1-\- 3/2), со = Vft/M.
то легко сообразить, что эвергетический спектр согласно урав-
уравнению A) имеет вид
?v, = _ ив + Ас*, Bи, + / + 3/2). «*, =
(естественно, рассматриваемая модель имеет смысл, пока
hi > 0).
Читателю предлагается самостоятельно рассмотреть харак-
характер спин-орбнтальиого расщепления уровней в случае \yii\<S.k
и сравнить с результатом предыдущей задачи,
12.23. В рассматриваемых ядрах три нуклона находятся в
оболочке Is. Такую конфигурацию можно рассматривать как
одну дырку в оболочке Is, чем и определяются изотопический
спин, момент и четность ядер: Т = '/а, У = '/г+ (ПРИ этом
У3 = —1/2 и 1/2 для 3Н и 8Не соответственно).
Орбитальная (пространственная) часть в. ф. ядер симмет-
симметрична по отношению к лерестановке координат нуклонов (все
они находятся в одном и том же ls-состоянии). Соответственно
спив-изоспиновая часть в. ф. должна быть антисимметричной.
Ее явный вид определяется согласно общему правилу антнсим-
метрнзации в. ф. состояния системы тождественных фермноиов
в случае, когда указано их распределение по (занятым) одно-
частичным состояниям. Для краткости записи будем использо-
использовать обозначения типа: /)*(!)—в. ф. 1-го нукаона в протонном
зарядовом состоянии с определенным значением проекции
спииа s2 = +'/2 и т. п.
Если три нуклона занимают состояния: р\, р^, щ. то спин-
изоспинован часть в.ф. такого состояния системы (в целом) оп-
определяется детерминантом
(очевидно A) описывает ядро 8Не в состоянии с /г = 7а, так
как/^S).
Сделав в A) замену р«-> л, получим спвн-изоспнновую
часть в. ф. трехнуклонной системы — ядра ЭН.
Аналогично, замена \ •*-* \ дает в. ф. рассматриваемых со-
состояний с противоположным (Уг = —1/2) значением проекции
полного момента.
12.24. Так как момент и изоспин полностью заполненной
иукаонами (обоих зарядовых состояний) оболочки равны нулю,
то У и У ядра определяются нуклонами вне заполненных обо-
оболочек Если оба нуклона находятся в одинаковых зарядовых
состояниях (ядра "С и 14О), то изоспин ядра, очевидно, равен
Т = 1, а полный момент J = 0.
Если же один из нуклонов — протон, а другой — нейтрон, то
возможны два значения изоспина: 0 и 1. При этом тождествен-
тождественность нуклонов (с учетом изотопической степени свободы) и
связанный с нею обобщенный принцип Паули накладывают ог-
ограничения на значения момента J. Нетрудно сообразить, что
при Т = 0 возможно лишь значение / = 1, а при Т = 1 —лишь
j s=o (см. также решение следующей задачи).
12.25. Имея в виду характер симметрии изоспиновой части
в. ф. двух нуклонов: ее симметричность при Т = 1 и антисим-
антисимметричность при Т = 0 относительно перестановки изоспино-
вых переменных нуклонов, а также характер симметрии в. ф.
двух моментов одинаковой величины /*) (в данной задаче
/, = js = 3/2) по отношению к перестановке их у>леременных
в /и/м-представлении (см. 3.39): симметричность в. ф. для
/=2j,2j —2, ... (в данном случае для J = 3; 1) и антисиммет-
антисимметричность ее для / = 2j—1, Щ — 3, ... (в данном случае для
] = 2; 0)— и, наконец, учитывая одинаковую радиальную за-
зависимость в. ф. обоих нуклонов, связанную с их эквивалент-
эквивалентностью, заключаем:
1) для Т = 1 возможны лишь значения J = 2; 0;
2) для Т = 0 возможны лишь значения J = 3; I.
12.26. В модели оболочек спин и магнитный момент ядра
определяются лишь нуклонами вие заполненных оболочек.
В случае одного такого нуклона оператор магнитного момента
имеет вид
р. •= gi\ + &s. A)
•) В данной задаче s
вой части в. ф.
1 симметрия совпадает с симметрии
ган-угло-
где gt и gs —орбитальный и спиновый гиромагнитные множи-
множители, равные: gt = 1, gs = 5,59 для протона и gt = 0, gs = —3,83
для нейтрона (напомним, что ц и е измеряются в единицах
ядерного магнетона, равного eh/2Mpc).
Усредняя оператор A) с использованием результата задачи
3.54 (сравнить с 12.2), легко находим магнитный момент и гиро-
гиромагнитный множитель для нуклона в состоянии с орбитальным
моментом / и полным j = / ± 1/2:
Численные значения
в таблице:
'^V«f— ga?'** ' ' ' ' in\
20 + 1) * W
i gi для ряда состояний приведены
Протон
Нейтрон
2,79
5,58
—1,91
-3,82
РЩ
—0,26
—0,53
0,64
1.28
P3J2
3,79
2,53
-1,91
-1,27
dm
0,12
0,08
1,15
0,77
"ад
4.79
1,92
-1,91
-0,76
В случае одного нуклона (протона или нейтрона) в состоя-
состоянии л/, сверх заполненных оболочек спин ядра J = j, а его
магнитный момент определяется формулой B). Легко сообра-
сообразить, что для ядра, имеющего в незаполненных оболочках одну
дырку (протонную или нейтронную) в состоянии nlj, также
/ = / и магнитный момент определяется формулой B), в кото-
которой для протонной (нейтронной) дырки под gi и gs следует
понимать их значения для протона (нейтрона).
Имея в виду сказанное выше и руководствуясь схемой одно-
частичных уровней, полученной в 12.21, легко приходим к пред-
предсказаниям оболочечной модели Для Уин ядер, указанных в ус-
условии задачи:
¦H(P(Isib))*)
¦Не(п('в))
'B^lp^))
°ср(И>и»
.
1/2
1/2
S/2
1/2
2,79
-1,91
3,79
0,64
"N(p(lpw))
DAA5^))
1/2
5/2
1/2
-1,91
-1.91
Согласие рассчитанного в экспериментального значений и
вполне удовлетворительное, за исключением ядер пБ и S9Sl
12.27. В модели оболочек магнитный момент и спив ядра
определяются нуклонами вне заполненных оболочек. Б рас*
сматриваеион задаче
M-ftCflip + fofcDL A)
где ffp,n(I,/)— гиромагнитные множители для протона и нейт-
нейтрона в состоянии // (/ = /Р = /„)— были найдены в предыдущей
задаче.
Усредняя оператор A) с использованием результата задачи
3.54 (сравнить с решением задач 12.2 и 12.26), легко находим
магнитный момент ядра с рассматриваемой^ нуклонной конфигу-
конфигурацией (р(лО)'п(л*/I) при спнне ядра/ (i = jp + ?,):
Нетрудно сообразить, что формула B) определяет также
магнитный момент ядра, имеющего по одной протонной и нейт-
нейтронной дырке в состоянии nlf (сравнить с аналогичным утверж-
утверждением предыдущей задачи).
Используя значения &>,¦¦({, Л, рассчитанные в предыдущей
задаче, легко приходим к следующим предсказаниям модели
оболочек для магнитных моментов ядер:
""•(рОриУпОри)')
„
0,88
0,63
0,88
I
1
1
3
1
В отношении значения \х для еИ см. также следующую за-
дачу.
12.28, В условиях задачи оператор магнитного момента ядра
можно представить в виде
M-=*t? + ffA A)
где gt, s — орбитальный и спиновый гиромагнитные множители
для нуклонов (протона и нейтрона) незаполненной оболочки.
Усредняя оператор (I) с использованием результата за-
задачи 3.54 (так же как и в предыдущих двух задачах), находим
магнитный момент ядра в состоянии с полным моментом (спи-
(спином) У:
где L, S — полные орбитальный и спиновый моменты нуклонов
в ядре, которые в схеме ZS-связи, наряду с /. характеризуют
состояние ядра.
Найдем gt, s- Для этого заметим, что оператор орбитального
магнитного момента системы из протона и нейтрона равен
*Vf = ?i, А+ ?/.«?. C)
(g(p<n) —орбитальные гиромагнитные множители для протона
и нейтрона, равные gi, р = 1 и gi, п = 0) и он принимает вид
й°рб = giX лишь после усреднения по состоянию системы «про-
«протон -)- нейтрон», отвечающему определенному значению L. При
этом величина gi также определяется с помощью результата
задачи 3.54:
(при нахождении D) учтено, что /Р = (п).
Совершенно аналогично определяется значение
¦,р + Ь n
¦0,88.
E)
Согласно B), D), E) находим искомое значение
и CL, s, fl=о,ю/-^-[z.(z.+ i)-S(s+1M. F)
В применении к ядру eLI с J = 1 формула F) дает при раз-
различных значениях L, S (совместимых с I = 1)
) ( )
A, 0, 1) = 0,50 (Г=0>;
1, 1)=0,31 (Г
1, 1) = 0,69 (Г
G)
В G) указаны также значения изоспина Т для соответствую-
соответствующих состояний ядра (сравнить с решением 12.25).
Отметим, что совокупность экспериментальных данных о
свойствах ядра eLi указывает на «предпоч!нтелышй» характер
LS-связи в этом ядре, причем L = 0, S = I,
12.29. Оператор магнитного момента нуклона (независимо
от его зарядового состояния), находящегося в состоянии с кван-
квантовыми числами / и и может быть записан в виде
Ъх = gP С Л (i + *з) J + Вп (/, /> (у - *з) Г A)
где gP и ga — гиромагнитные множители для протона и нейт-
нейтрона в состоянии nli, которые были найдены в 12.26.
Соответственно оператор магнитного момента ядра имеет
вид
м=-^~^?ь+Bр-?п)?*з,Ло, B)
где сумма берется по всем нукаонам в (незаполненной) обо-
оболочке nt,. В результате усреднения оператора B) по изоспнно-
вой части в. ф. рассматриваемого ядра, имеющего, очевидно,
Т$ = 0, вторая сумма в B) обратится в нуль. Действительно,
(мы учли формальную аналогию свойств момента и изоспнна,
равенство [71Ii?ftn]= 1гшЪ,а и воспользовались результатом за-
задачи 3.52). Соответственно магнитный момент ядра определяет-
определяется первой суммой в B), и так как ?|о = 5, то он, очевидно,
Это — естественное обобщение результата задачи 12.27.
Ядро fiNa в основном состоянии имеет вуклонвую конфигу-
конфигурацию p(lrf6/aK n(ld5/s)s (сверх заполненных оболочек; см.
схему одночастичных уровней в решении задачи 12.21). Ис-
Используя значения gP, D(t, /) для состояния Иъп (см. 12.26), нахо-
находим согласно C) предсказание модели оболочек для магнит-
магнитного момента ядра ^Na, имеющего ] = 3:
практически совпадающее с экспериментальным значением
Ц«са = 1,75.
12.30, Оператор магнитного момента вуклона (независимо
от его зарядового состояния) имеет вид
A
kHftJ+^Ac^+^ + fe.-J+^Ao/2-^ О)
где gt и ge—орбитальный и спиновый гиромагнитные множи-
*ели, равные: gt, Р = I, gt,«, •= 0, ge, р Ц 5r59, ga. n = —3,$3.
Соответственно оператор магнитного момента,ядра равен
.e. B)
где сумма берется по всем вуклонам
лочке,
St.P + S
незаполненной обо-
_я..Р+ед.п
^сравнить с формулой B) предыдущей задачи, определяющей
|i в схеме //-связи).
При усреднении B) по состоянию ядра, отвечающему Т$=0,
последнее слагаемое — сумма — б этом выражении (представ^
ляющее изовекторвую часть р) обращается в вуль (сравнить
с предыдущей задачей). Соответственно магнитный момент ядер
с Г3=0 определяется изоскалярной частью оператора р:
и равен (сравнить, например, с решением задачи 12.26)
»{L,S,J)= 2У+Т) ¦
где L, S — полные орбитальный и спиновый моменты нуклонов
в ядре, которые в схеме ?5-связи, наряду с J, характеризуют
состояние ядра.
12.31. Оператор магнитного момента ядра, в котором все
нуклоны (обоих зарядовых состояний) сверх заполненных обо-
оболочек находятся в одинаковых состояниях я//, имеет вид
(см. 12.29)
~_ gp(/./) + gn(t,fl •;
— J+lgP (t, i) - go (i, fl] J] %. Л.. (i)
Магнитный момент ядра определяется как среднее значение
по состоянию ядра:
Ц = (Т, Т3, J, JZ = ]\»Z\T, Т3, J, Jx = i)
(мы указываем лишь квантовые числа изоспина и полного мо-
момента), и в соответствии с A) имеет вид
— A
= iSP~gn)(
C)
При применении B), C) к зеркальным ядрам (обозначим
их Л и Л) следует иметь в виду, что рассматриваемые со-
состояния ядер являются двумя состояниями одной и той же систе-
системы вуклонов, различающимися- лишь знаком проекции. Ts изо-
изоспина. Соответственно для таких ядер изоскалярная часть
магнитного момента цНЗОск одинакова, а изовекторная
отличается знаком, так что
грA,й + г„(',Й]А D)
Для ядер SH и 3Не нуклонная конфигурация имеет вид
(IsK, и, учитывая значения gP,n для состояния sm (см. 12.26),
согласно D) получаем предсказание оболочечной модели для
магнитных моментов этих ядер (J = 1/2):
Повод №) + ixo6on CНе) = 0,88.
которое следует сравнить с экспериментальным значением 0,78.
12.32. Квадрунольный момент определяется протоном сверх
заполненных оболочек (протоны заполненных оболочек дают
сферически симметричное распределение заряда, для которого
Qo = 0) и равен
o = J ЧГ„ц,г-, C cosa 6 - 1
* dV
A)
(сравнить с решением задачи 12.4), где *Рл/1/г—в. ф. одночас-
тичного состояния nt), при этом j. \z определяют момент (спин)
ядра {J=jtJz=-U).
Для рассматриваемых состояний / = (+1/2 и в. ф. в A),
очевидно, имеет вид
B)
то выражение A) принимает вид
где Гр = § I f(r)|2г4dr = J r'^
стояния для протона сверх заполненных оболочек.
Элементарное интегрирование в B) по углам (dQ =
= smB dQdq>) дает: _
— средний квадрат рас-
рас(^) Ф Q,(„) #
(обратить внимание на знак Qo; см. также две следующие за-
задачи).
Нетрудно сообразить, что квадрупольные моменты ядер,
имеющих соответственно один протон еверх заполненных оболо-
оболочек и одну протонную дырку (в том же состоянии), различают-
различаются знаком, в противоположность магнитным моментам таких
ядер.
12.33. Квадрунольный момент определяется формулой B)
предыдущей задачи. Используя приведенный там же вид функ-
функции j Vii|2, легко находим
(сравнить с результатом следующей задачи).
12.34. Задача решается аналогично 12.32, только теперь сле-
следует использовать в. ф. состояния с j ==(— 1/2, явный вид кото-
которых был получен в 5.42. Решить задачу таким способом чита-
читателю предлагается самостоятельно. Мы же приведем соображе-
соображение, позволяющее получить ответ без вычислений, основываясь
лишь на результате предыдущей задачи. Для этого вспомним
полезный результат задачи 5.43:
выражающий одинаковую угловую зависимость от направле-
направления радиуса-вектора п = г/г частицы со спином s = 1/2 в ее
состояниях с заданными j и /* и различными значениями h, s =
= j±l/2. Соответственно угловая часть в интеграле A) за-
задачи 12.32 зависит лишь от j (но не от ( = /±1/2), так что
выражение для Qo, полученное в предыдущей задаче, Qo =
= — 9-Xg"^ остается справедливым и в случае j = t —1/2.
В связи с этим еще раз подчеркнем, что для рассматривае-
рассматриваемых состояний ядер, содержащих лишь один протон сверх за-
заполненных оболочек, Qo<LO, а для ядер, имеющих лишь одну
протонную дырку, Qf, > 0.
12.35. В приближении, в котором был определен квадру-
польный момент Qo ядер в предыдущих задачах, когда счита-
считалось, что центр масс ядра (относительно которого и опреде-
определяется ©о) совпадает с центром масс системы нуклонов замкну-
замкнутых оболочек, квадрупольный момент ядра в условиях данной
задачи равен нулю.
Руководствуясь указанием к условию задачи, замечаем, что
центр сферического распределения заряда нуклонов заполнен-
заполненных оболочек (их заряд Z, масса (Л — 1)^). совпадающий с их
центром масс, находится в точке гое = —'"„/(Л — j)i где гп—
радиус-вектор нейтрона относительно центра масс ядра как це-
целого. При этом квадрупольный момент ядра связан с зарядом
нуклонов заполненных оболочек и, как нетрудно сообразить,
определяется выражением
=?? \ *"'"'-'C cos*" ~
dV
(сравнить с решением задач 12.4 и 12.32), где ^кщг — в. ф. од-*'
ночастичного нейтронного состояния.
Имея в виду результаты задач 12.33 и 12.34, заключаем, что
в рассматриваемом приближении квадрупольный момент ядра
с одним нейтроном сверх заполненных оболочек равен
(при этом спин ядра J = /).
12.36. Основному состоянию ядра соответствует распределе-
распределение нуклонов по нижним одночастичным уровням с учетом
принципа Паули.
Пренебрегая кулоновским взаимодействием, замечаем, что
©дночастичные уровни для протона и нейтрона одинаковы. При
ятом для ядра с А = 22 в основном состоянии будут занятыми
одни и те же одночастичные состояния как для протонов, так
« для нейтронов.
Обозначив через е0 максимальную энергию занятых состоя-
состояний (см. рис. 35; постоянная величина —Uc опущена), заме-
замечаем, что объем фазового пространства, со-
0щ
ответствующий запятым состояниям в объе-
объеме dV, равен
„r-±?<v-
Рис Э5, Разделив A) на BлйK, получим число
различных орбитальных состояний, и так
как в каждом таком состоянии находится по два протона и два
нейтрона, то общее число нуклонов в объеме dV в основном со-
состоянии ядра равно (ю= -^k/m)
dN=~p(nwR.y>{l--?i)mdV, г<Я^д/-^. B)
Соответственно плотность нуклонов в ядре
(при г > R, очевидно, и (г) = 0).
Условие нормировки выражений B), C) на полное число
нуклонов А приводит к следующему соотношению между пара-
параметрами модели <о, R:
600
и позволяет записать C) в виде
(нормировочный интеграл вычисляется элементарно с помощью
подстановки r/R = sin и).
Мы не будем проводить дальнейшее исследование рассмат-
рассматриваемой модели, так как выражение E) резко противоречит
экспериментальным данным, согласно которым плотность нук-
нуклонов в ядре почти постоянна, за исключением узкой области
вблизи его границы.
12.37. Задача решается аналогично предыдущей. Только те-
перь граничный импульс рр внутри ядра постоянен: pF = V2meo-
Соответственно формула C) предыдущей задачи принимает
п (г)
, = const, r<R.
A)
О)
ело .fl
ipa- Щ
1
Нормировка A) на полное число нуклонов А дает р№ =
= -^-Ah3, или, учитывая выражение для ^>Pf = (~s~) —•
Соответствующая такому импульсу максимальная скорость
нуклонов в ядре (рассматриваемом в условиях задачи факти-
фактически как идеальный ферми-газ) составляет
(m/me fv 1840, щ fv 0,53 • Ю~8 см — боровский радиус, оа1 =
= h/meaofvc/lS7, с —скорость света), а кинетическая энергия
е0 ~ mog/2 = \ {vofcf тс2 м 30 Мз-В <mcs » 940 МэВ.
Глава 13
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЯ
13.1. Отыскание решения у. Ш. (ft =
имеющего приведенную в условии задачи асимптотику при
г-*- оо, эквивалентно решению интегрального уравнения
Переход от дифференциальной формы у. Ш. к интегральной
осуществляется стандартным образом с помощью функции
Грина Gfi"' у. Ш. для свободных частиц, имеющей вид
(Л + fe2) G^+) (r - г') =fi (г - г')
(сравнить с одномерным случаем, рассмотренным в 2.57).
При г-»-оо имеем
» соотношение A) принимает вид
7(ет)$. B)
из которого и вытекает приведенное в условии задачи пред-
представление амплитуды рассеяния, удобное для различных при-
приближенных расчетов. Так, при Ч^Й"' *** e/bof из B) получаем
амплитуду рассеяния в первом борновском приближевии.
13.2. На первый взгляд может показаться, что условие убы-
убывания потенциала (т. е. п 1> 0) является необходимым и доста-
достаточным условием того, чтобы в. ф. не искажалась на больших
расстояниях. На самом деле ситуация более тонкая. Асимпто-
Асимптотика в. ф. при г-* оо вида
4
предполагает, что амплитуда рассеяния является ограниченной
функцией (за исключением отдельных значений энергии и уг-
углов рассеяния). Согласно предыдущей задаче
t = —SSf\'~a'UM4r?>todV, B)
и условие сходимости интеграла в этом выражении на боль-
больших расстояниях, где в. ф. имеет вид A), а поле U&t—n, бу-
будет выполнено, если сходится интеграл (q = к— ко)
У=-7Г \r-""smgrdr.
C)
Для сходимости интеграла C) требуется, чтобы было п > 1,
Что и представляет искомое ограничение на быстроту убывания
Потенциала.
13.3. В. ф. I'Sj't описывающая процесс рассеяния частиц
с импульсом Ик0, удовлетворяет уравнению (см., например, 13.1)
Учитывая разложение
замечаем, что при выполнении условий г » R в г » kit* в ин-
интеграле A), в котором существенную роль играют значения
r^-R, можно заменить |г—г'|-' на г-1, а в показателе экспо-
экспоненты ограничиться первыми двумя членами разложения B)*
При этом выражение A) принимает вид
в.ф.
т. е. определяет асимптотику в. ф. при г -*• оо.
Подчеркнем, что в случае быстрых частиц (А
имеет асимптотический вяд лишь на расстоянии г>й#2>/;
(а не просто при г»R, как может показаться на первый
взгляд).
13.4. В борновском приближении расчет амплитуды рассея-
рассеяния сводится к вычислению интеграла
A)
Так как do=\f?dQ, то полное сечение рассеяния в борновском
приближении равно
еда-
(напомним q = k —k«, 9 = 2fcsln(e/2)).
Вычисление интегралов A), B) дает:
B)
Интеграл, определяющий о(?), не выражается через элемен-
элементарные функции (его можно выразить через интегральный си-
синус).
Предельные случаи малых (й#< I) и больших (kR »1)
энергий:
(при ?-*-оо интеграл в выражении для а(Е) расходится; для
его вычисления следует заменить осциллирующий множитель
sin2 х средним значением, равным 1/2),
Условием применимости полученных выражений является
выполнение хотя бы одного нз двух неравенств: mR\a\<g.bs или
\a\<Hv.
6)f=-
Условия применимости: m/?2| fol-С/i2 или
Условия применимости: mR]a[<$:h2 или |a|
г) / = — ^sr-; условие применимости: m!o|-Cfi2.
Полное сеченне рассеяния равно бесконечности из-за мед-
медленного убывания потенциала на больших расстояниях г-»-оо.
Условия применимости: m#s| fol< ft2 или ft| L/o| <? fin.
Условия применимости: mR*\fo|< ft8 илн
Так как в рассматриваемом случае борновская амплитуда
убывает при больших д2 экспоненциально, то при достаточно
больших значениях ?2 борновское приближение неприменимо.
Соответственно в выражении для полного сечения рассеяния
учет экспоненциально малого слагаемого является превыше'
нием точности (см. [3] и 13.15).
604
13.5. Как известно, решение задачи об упругом рассеянии
в поле U {г) по теории возмущений приводит к следующему вы-
выражению для в.ф.: vV+1*»4f+ М?, где V?«=ezp(fti) и
0)
Для нахождения ЧГк'(О) в случае центрального поля удобна
в выражении A) (при г = 0) выполнить интегрирование по
углам 6', q/, используя сферические переменные с полярной
осью вдоль вектора к. Элементарное интегрирование дает
<@) —gr \v(r)fe«*- 1)dr.
B)
В случае полей V = UGRb{r — R) и
B) ыаходим:
Как и следовало ожидать, в условиях применимости бор-
новского приближения (когда выполнено хотя бы одно из двух
неравенств mR2\U01< & или т?|С/0|<№) |Vk"@)| < 1, т. е.
|<()|<|<1
13Л. Указанное свойство о(?) становится очевидным, если
учесть, что в борновском приближении амплитуда рассеяния
равна
и при вычисления сечения рассеяния о(?)= \\Ия) FrfQ перейти
от угловых переменных 6, q> к переменным q2 = 2k2(\—cosB),
ф; при этом
ЪтЕ№
13.7. В борновском приближении
Так как ?!=2*!0 -cose) = 4mE(l -cost)/»2, то при ?=0
5 B)
Учитывая неравенство
(в C) существенно, что вещественная функция ?/(г) является
знакопостоянной) и замечая, что при Е Ф О для рассеяния под
углом вфО имеем д^фО, находим, сравнивая A) —C), что
о(Е)^о@), причем знак равенства реализуется лишь при
? = 0.
13.8, Заменив в общей формуле для амплитуды рассеяния
WS (r) dV
(см., например, 13.1) точную в. ф. Ч^'(г) на в. ф. eib" свободной
частицы и учтя вид оператора *?Обн, находим
&M(Wk)s
. (А) - -
(О
где Д = к + ко. так что А2 = 2&2A + cos 6). Если выразить
амплитуду рассеяния через энергию и угол рассеяния, то, оче-
очевидно,
&M(?.e)=tf(?,*~e), B)
где fe {Е, 6) — амплитуда рассеяния в «обычном» центральном
поле U(г).
Как известно, при рассеянии быстрых частиц kR ^* t на
«обычном» потенциале рассеяние происходит в основном вперед
в область углов 6 ~ {kR)~l «С 1 (где R — радиус потенциала).
В случае обменного потенциала согласно B) рассеяние частиц
происходит в основном назад, т. е. углы рассеяния близки к я.
В случае потенциала, представляющего суперпозицию «обыч-
«обычного» и «обменного», дифференциальное сечение рассеяния
быстрых частиц будет иметь резкие максимумы в направлениях
рассеяния вперед и назад F да 0 и б « я).
13.9. В борновском приближении амплитуда рассеяния вы-
выражается через фурье-компоненту потенциала (q = k — ко):
f(ku,k) = --
A)
Фурье-компонента C(q) функции f(r), отличной от нуля
в области г ^ R, существенно отлична от нуля лишь при
дН^\, так как при qR > 1 интеграл, определяющий O(q),
мал из-за быстрых осцилляции подынтегральной функции, свя-
связанных с наличнеммной(ителяе~1чг.Таккак92 = 2&2A—cos6),
то из условий kR ~3> 1 н qR ^ 1 следует хорошо известный факт,
что рассеяние быстрых частиц происходит в основном под ма-
малыми углами 6 — (fc«) * < '•
Быясянм, какие упрощения можно произвести в выраже-*'
нии A) и формуле, определяющее полное оеченае рассеяния
o(E}=yffdQ, при ?/?»!, имея в виду, что существенную
роль играют лишь малые углы рассеяния (для которых q2 fa
fa fe2e2 ~ Л)- Разложим вектор q на две составляющие:
q = qA + ty, где вектор qn направлен вдоль вектораk&a 4i J-ко
(рис. 36). При е < 1 имеем qn= feo(l — cose4 ' * "" "*
qi яз feo0, т. е. q± ^> qt- Так как
Q « Qi, to qt *w qxp л фор- ^^- »-
мула A) принимает вид ^"^ у
B)
Далее, величину ^<Юк можно рассматривать как элемент
площади сферы радиуса k (du^ — элемент телесного угла, за-
заключающий направления импульсов рассеянных частиц). Часть
сферы вблизи полярной оси, направленной вдоль вектора ко,
можно рассматривать как плоскую поверхность, перпендику-
перпендикулярную вектору Ьо, и воэтому lirdQb =dS =dq±xdqxg =<^!9a
(ось г направлена вдоль вектора fc0)-
Таким образом, л
Подставив в формулу &) выражение B), имеем
[\ ]^. D)
После интегрирования в выражении D) ио <jx с помощью
формулы
легко выполняется интегрирование и по переменной р', и по-
получается требуемое представление сечения рассеяния быстрых
частиц:
Для поля V = Ufp-WW ^ l}(je-fiWe-*PP элементарное интегри-
интегрирование в формуле E) дает {)^У^1^
13.16. Борновское приближение является первым, линейным
членом разложения амплитуды рассеяния в ряд по «степеням
взаимодействия» (более точно, параметром, по котором; ведет-
ся разложение, является либо т|С/„]1Р/А>, либо \UD\R/hv. где
Uo. R — характерная величина потенциала и его раднус, v —
скорость частиц; малость по сравнению с единицей одного из
этих параметров является условием применимости борновского
приближения). Соответственно сечение рассеяния также раз.
лагается в ряд по указанному малому параметру. Но так как
а~1пв. то разложение сечения начинается с членов второго
порядка малости, и поэтому в оптической теореме 4л 1тД?, 6 ==
= 0)/fe == с(?) в леяой части, как и в правой, не должно быть
слагаемого, линейного по параметру разложения, откуда с не-
необходимостью следует Imf БF = 0) = 0. При этом приближен-
приближенное выполнение оптической теоремы обеспечивается мнимой
частью амплитуды рассеяния во втором порядке теории возму-
возмущений (см. следующую задачу).
13.11. Воспользуемся известными выражениями для амплиту-
амплитуды рассеяния в первом и втором порядках теории возмущений
[3] (kn, k — волновые векторы частицы до и после рассеяния):
0)
B)
(е > 0 —бесконечно малая величина).
Для рассеяния вперед @ = 0, Kq = k) имеем
(мы учли, что t/(q)=C/*(— q)). Из равенства (I) следует
Замечая, что при бесконечно малом е > 0 функция
gfe«)-„(..'+.¦) ^'W
является о-функцией (действительно, функция g(x, e) отлична
от нуля лишь при х~е-»-0, а интеграл [ g(x, e)djc = |,
как в требуется для 6-функции), и записав (Ях = -|- && dua,
и = хп, выражение B) легко преобразовать к виду
C)
Полученное соотношение lmf<a>(?, 0 = 0)= ЛаБ(Е)/4япред*
ставляет оптнчесную теорему во втором порядке теории возму-
возмущений (в первом порядке ова имеет вид тождества 0=0,
см. 13.10).
13.12. Искомое представление \г\\ следует из соотношений
(<W<ffi)fl_0 = [Re f{E, 6 = 0)]a + [lm f (?. В = 0)]a,]
Так как Re/(E,0 = O) отлична от нуля уже в первом по-
порядке теории возмущений и при этом не зависит от энергии:
))=-™\l]{r)dV,
a lm Д?, 0 = ())>• 0 отлична от нуля лить во втором порядке
теории возмущений, то в условиях применимости борновского
приближения i)(E) обладает следующими свойствами:
а) функция ч\{Е) имеет определенный знак (причем в поле
отталкивания f(r)^0 имеем i)(E)<0, а в поле притяжения
U (г) < 0, наоборот, ч (?) > 0);
б) |*](Е)|»1 при всех энергиях (если отвлечься от спе-
специального случая знакопеременного потенциала, когда интег-
интеграл ^L/(r)iJV аномально мал по сравнению с j|t/(r)|dv).
Легко также заметить, что |i)(E)|-*-oo при ?->-0 в случае
произвольного потенциала, независимо от того, можно ли его
рассматривать как возмущение или нет.
13.13. Амплитуда рассеяния на двух центрах в борновском
приближении равна
(во втором интеграле сделана замена переменной rf = r —а).
Так как q2 = 2k?{l — cos 6), то при ka < 1 также да< 1;
при этоме-'«а» 1, f^ta 2/? и сечение рассеяния на двух цент-
центрах в четыре раза больше одиоцентрового: сЕц *» 4о0.
Учитывая соотношение A), сечение рассеяния на двух цент-
центрах можно записать в виде
B)
В случае kR ^ 1 и?Ж имеем ka » 1, и поэтому величина
qa заметно изменяется уже при небольшом изменении угла рас-
рассеяния. Соответственно слагаемое в интеграле B), содержащее
cosqa, является быстро осциллирующим и при интегрировании
дает вклад, много меньший вклада первого, неосциллирующего
слагаемого. Поэтому в рассматриваемых условиях kR ^ 1,
а ~%> R сечение рассеяния на двух центрах в два раза больше
одноцентрового: о2ц fa 2о0.
Причина того, что соотношение между двухцентровым и од-
ноцентровым сечениями рассеяния зависит от условий рассея-
рассеяния, состоит в изменении характера интерференции воли, рас-
рассеянных на каждом из центров.
13.14. Амплитуда рассеяния равна (сравнить с предыдущей
задачей)
Соответственно, дифференциальное сечение рассеяняя
¦^-=^|С*«|)Р. B)
Подчеркнем, что множитель |Gw(q) [2 зависит только от рас-
расположения центров в пространстве и вектора q (но не от харак-
характера взаимодействия частицы с отдельным центром!).
в *д h й инзь
В случае линейной цепочки рассеивающих центров (рис. 37)
а„=(п—1Nпо, no = ko/ft|}, н так как ъщ 2/2k
0„ =
C)
При N»l согласно C) |Gwj2 существенно велико лишь
при выделенных значениях величины q, таких, что q2bf4k sa лр,
р = 0,1, ..., т. е. частицы рассеиваются в основном лишь под
некоторыми определенными углами
р 0,1, ..., т. е. частицы рассеив
некоторыми определенными углами.
В случае kb < 1 (при этом также
рассеяния частиц можно записать в виде
полное сечение
D)
Так как функций {smy/y}2 существенно- отлична от нуля лишь
при i/^l, то в интеграл D) основной вклад вносит область
ф ^ k/Nb. Поэтому величину | fo (9) |2 можно вынести из-под
знака интеграла в точке q = 0 и, учитывая значение интеграла
найти полное сечение рассеяния частиц в виде 0=2^^ |f?(O)f/fcft.
13.15. Учитывая, что фурье-компояента потенциала равна
амплитуду рассеяния во втором порядке теории возмущений
согласно общей формуле для p>(kOlk) можно представить
в виде
s»«4
я'-*?-ie
}
(О
Из выражения A) видно, что доминирующую роль в интег-
интеграле по и играет область, в которой |и — (bo + k)/2|J? ^ I
(в остальных точках подынтегральная функция эксноненциаль-
но мала). В этой области значений к лри qR ~%> 1 (при этом
также Jke + h|J? ^ I) знаменатель подынтегральной функции
в выражении A) изменяется очень незначительно, и его можно
вынести за знак интегрирования в точке и = (ко-!-к)/2; полу-
получающийся при этом интеграл вычисляется элементарно заменой
переменной и' = и — (ка + к)/2, и для /B>(Ьо,к) в области боль-
тих передач нмпульса qR > 1 находим следующее выражение:
Так как в бориовском приближении f =f сое" , то ври
достаточно больших значениях §5 будет lPl»tfB| tfm убьь
вает более медлен»^ чем /Б). Это означает» что нри больших
значениях д2 борновское приближение неприменимо и при рас»
чете амплитуд» рассеяния во теории везжущеЕЕЙ нельзя огра-
ограничиваться первыми членами ряда этой теории.
13.16. При энергии частиц Е = 0 борновская и
амплитуды рассеяния определяются выражениями
где То (г) — в. ф. состояния с ? = 0, удовлетворяющая урав-
уравнению
(см., например, 13.1; при ? = 0 также ko = O, при этом функ-
функции Уо+>. Чо~' совпадают, и мы пишем просто ЧЪ).
В поле отталкивания V{r)^sO в.ф. состояния с Е = 0 яв-
является в. ф. основного состояния, она не имеет нулей, т. е. зна-
знакопостоянна, и так как 4*0@0) = 1, то Ч^СО^О. При этом ин-
интеграл в выражении B) положителен; таким образом, в поле
отталкивания 0^ Ч^г)^ 1, и согласно A) имеем |/т@)|<
<|/^0)|; поэтому точное значение сечения рассеяния меньше
рассчитанного по формуле борновского приближения.
Совершенно аналогично находим, что в случае б) /т@)>
>- /^@) >0и борновское значение сечения меньше точного.
Подчеркнем, что полученные соотношения между точным и
борновским значениями сечения рассеяния при Е = 0 не пред-
предполагают малости потенциала, требуемой для применимости
борновского приближения.
13.17. Подставляя в известное выражение для амплитуды
рассеяния в центральном поле V (г) в борновском приближении
разложение
sin?r jtlnVa
представим ее в виде
A)
Сравнивая выражение A) с общим разложением точной
амплитуды рассеяния по парциальным волнам при малых зна-
значениях фазовых сдвигов |6Д&)|<С1 (именно малость фазовых
сдвигов обеспечивает приближенно вещественность амплитуды
рассеяния, рак это имеет место в борцовском приближеиии):
находим, что из равенства fsvfB следует
6i (k) « of (fe) = - -^ J t/ (r) [Jt+ч, (ftrff rdr. B)
Выражение B) представляет первый, линейный член разло-
разложения фазового сдвига по степеням взаимодействия.
13.18. Так как в борновском приближении амплитуды рас-
рассеяния для обменного и обычного потенциалов связаны соот-
соотношением /ов« F) = /о (я — 0) (см. 13.8), то разложение ампли-
амплитуды \%« по парциальным волнам можно получить непосред-
непосредственно из выражения A) предыдущей задачи заменой 6 на
(я—6). Так как при такой замене Pi (cos 6) переходит в
(—1)'Pi(cos6), то, как легко сообразить, имея в виду выраже-
выражение B) предыдущей задачи, борновские фазовые сдвиги в слу-
случае обменного потенциала равны
(kr)]srdr. A)
Появление в выражении A) дополнительного множителя
( -1)' по сравнению со случаем обычного потенциала легко
понять, если учесть следующее свойство обменного взаимодей-
взаимодействия СовыЧ/(г)= l/(fLf(—г): в состоянии с определенным зна-
нением орбитального момента / частицы это взаимодействие
дает &оВмЧ'((г)=1?(г)чМ-г) = (-1)'1?<г)Ч'1(гI т- е- имеет
обычный вид оператора умножения, причем потенциальная энер-
энергия в состояниях частицы с четными / и нечетньдаи отличается
знаком (если при четных / взаимодействие носит характер при-
притяжения, то при нечетных /, наоборот,— характер отталки-
отталкивания).
13.19. В выражении для фазового сдвига в борновском при-
приближении
при k = -y/2mE/h2-*-Q аргумент функции Бесселя j
ласти значений г, существенных в интеграле (
{х <? 1), и так как
то согласно A) при Е-*0 имеем
ЯШ
17 В, М, ГялицкяВ к др.
в об-
об), мал
Очевидно, что полученное выражение B) справедливо и в
случае потенциалов, убывающих стеленным образом: Ucn r^
при г-»-то, но лишь для значений K{v — 3)/2 (в противном
случае интеграл в формуле B) расходится).
Для потенциалов, не удовлетворяющих условию примени-
применимости борновского приближения m|f<>I/?2/fiE < 1, формула B)
несправедлива; однако, как известно, характер зависимости
й/(А) coft2'+' при А-»-0 сохраняется и в этом случае.
13.20. В выражении для фазового сдвига в борновском при*
ближенни
«--Щ
V(r)[Ji+ij2{kr)frdr
при k = -y/2mElh2 ~> °о во всей области интегрирования, ис-
исключая узкую область малых значений г, аргумент функции
Бесселя ж = Аг велик: х~> 1. Заменяя в формуле A) функцию
Бесселя ее асимптотическим выражением
+и(ж) ~ (^)
находим при ft-
6f (*)«-¦
B)
(в интеграле быстро осциллирующий множитель sin2 ( kr g-J
можно заменить его средним значением, равным 1/2). Если же
?/(/¦) при г->-0 возрастает, как г~1, или более резко, то выра-
выражение B) неприменимо (интеграл расходится). Для таких по-
потенциалов область малых значений г в интеграле выраже-
выражения A) является доминирующей, и замена в этой области
функции Бесселя ее асимптотикой приводит к ошибочному ре*
зультату.
Отметим, что если потенциал при всех значениях г ограни-
ограничен, то при достаточно большой энергии частиц его всегда
можно рассматривать как возмущение (всегда можно добиться
выполнения неравенства | fo|/? *C hv), и для таких потенциалов
асимптотическое поведение точных фазовых сдвигов при ?-*-«>
дается формулой B).
13.21. Квазиклассическое выражение для фазового сдвига
[3]
Л.НЛ С ""<'>*¦ г.
при
@
в согласии с результатом предыдущей задачи. Условием приме-
применимости выражения A) является сходимость интеграла.
13.22. Фазовые сдвиги s-волн в борновском приближении
Элементарное интегрирование дает;
w
Условием применимости выражения A) для не рчень бы-
быстрых частиц {kR^L-l) является его малость прн kR — 1:
|6o(ft# — 1)| *С 1 {R — радиус потенциала). В рассматриваемых
случаях это условие имеет вид |1Л>1 < ha/mR2, как и следовало
ожидать.
Знание фазовых сдвигов s-волн позволяет иайти сечение
рассеяния медленных частиц kR <C 1 по формуле
13.23. Так как по условию ]6o(fe) 1 <? 1 при всех энергиях, то
потенциал является слабым и его можно рассматривать как
возмущение. При этом фазовый сдвиг определяется выраже-
выражением (см., например, 13.17)
. A)
Умножим обе части равенства A) иа (—:kti3/2m), а затем
продифференцируем по k; в результате получим
B)
(потенциал U(r) определен при r>0; мы формально вводим
в рассмотрение значения г <. 0, определяя при этом функцию
U(r) соотношением U(~|r|)= t/(|r|). Аналогично, фазовый
сдвиг определен лишь при А>0, однако формула A) позво-
позволяет рассматривать 6o(fe), также формально, и при k <; 0; при
этом 6o(ft)_= —6о(—ft).— нечетная функция к).
Формула B) определяет фурье-ксмпоненту потенциала (точ-
(точнее, величины rf(|r|)) и позволяет найти сам потенциал с по-
помощью обратного преобразования Фурье:
Так как функция d[6ok]/dk является нечетной (см. выше), то
D)
Формулы C) н D) решают поставленную задачу.
а) В случае бо(й) = С =" const (при fe>0) согласно D)
имеем
= са
б) Для указанного вида бо(й) имеем -^-[Абд (fe)I = fi ^"р^зр •
Подставляя это выражение в формулу C) и вычисляя интег-
интеграл с помощью теории вычетов (при г > 0 контур интегриро-
интегрирования можно замкнуть в верхней, полуплоскости комплексное
переменной k), находим
С/ (г) = Щ№
13.24. Для вычисления фазового сдвига s-волиы необходимо
найти сферически симметричное (так как / = 0) решение у. Ш.
^МО. асимптотика которого при г-*-tx>: ^(rjoo — sin {kr +Ы
дает искомое значение бо(?).
о) У.Ш. при r~> R для функции у.{г), связанной с в. ф. Vo
соотношением x = 'Vc, " ^го решение, удовлетворяющее гра-
граничному условию y.(R)= 0, имеют вид
h^O, %{r)~=Asm[k(r-R)]. A)
Из A) следует 6
6) Расс
() ду 0{)
) Рассмотрев у. Ш. для функции xs=r^o> легко находим
его решение, удовлетворяющее граничному условию х@) = С,
в виде
Г AsitiTtr, r<P,
ПП~\В sin {kr 4- б0 (Щ, r>R, }
е) Если в.ф. То (г) представить в виде 4fo = x(r)/f
лать замену переменной х = ехр(—r/2R). то у. Ш. при
Условия непрерывности в. ф. %(rf BJ и ее производной в
точке r=R приводят к соотношению KcYgxR = kctg(kR +Ьп).
из которого следует
60 (ft) = ~kR + arcctg [^ ctg xR].
(r)/f и
нимает
C)
Уравнение C) — уравнение Бесселя, и его общее решение
имеет вид
X (*) = CtJle Q,x) + CJ-ip (Xjc).
Интересующее нас решение должно удовлетворять граничному
условию %{г = 0)= x(jc = l) = 0. Оно имеет вид
Фазовый сдвиг определяется асимптотикой в. ф. при г-*-<х>
(при этом jc—*-0):
=~г 1еа>х-2"# - е~а'хШ1<}. E)
Учитывая известное свойство функции Бесселя Д, (дг) *w
2)v. *-»-0, находим поведение функции D) при
Сравнивая выражения E) и F), получаем
л2|Л \Mvi"l * \ж I *rl •'ip \r*l ,„.
' ~ №№ip Г (I - ip) I_tp (» *
В предельном случае нулевой скорости частиц сечение рас-
рассеяния может быть рассчитано по формуле а"" "' ' "
и оказывается равным:
при ft-
Выражение (8) при Uq>0 дает сёчеиие рассеяния ча'ЙЙЦ
потенциальной ямой глубины UD и ширины /?. При Lfo < О рас-
рассматриваемое поле представляет потенциальный барьер; при
этом ко — чисто мнимая величина. Представив ко в виде ио =
= '|ко| и учтя соотношение tg/|jc| = *th|je|, находим сечение
рассеяния частиц с нулевой энергией потенциальным барьером:
При выполнении условия 1U{,\ <?. IP/mR3 формулы (8), (9)
что совпадает с результатом борновского приближения (си.
13.4, д).
в) Поведение бо(й) при fe->-0 согласно формуле G) легко
найти, если воспользоваться следующими разложениями
{ 2kR0)
(И)
С = —Г'A) = 0,577 —постоянная Эйлера,
(ty2)*'" = е*tp ъ (ВД « 1 rfc ip in (X/2) =
/±ip(^)*»/oft)±ip(d;.
Для вычисления производной dJv/dv воспользуемся известным
из теории функций Бесселя соотношением
где JVV — функция Неймана. При v-> 0 из A2) следует
-r~[/v(z)]v«.o="-^-iV(i(z), и, таким образом,
U tp ft) *» /о (Л) ± -^- JVo (Л) -» /о (А) ± /nfe/?JV0 ft). A3)
Учитывая соотношения A0), A1), A3), из формулы G) при
k -»- 0 находим
^ - 2 ]п~ - 2С]. A4)
и сечение рассеяния частиц с энергией Е= 0 оказывается рав-
равным
[-|-^г]г. (IS)
При fo < 0 рассматриваемое поле является потенциальным
барьером. В этом случае Я, — чисто мнимая величина. Записав
и воспользовавшись известными формулами
легко найти, как изменяются выражения A4), A5) при пере-
переходе от потенциальной ямы к барьеру. В частности, сечение
рассеяния принимает вид
Читателю предлагается самостоятельно убедиться в том, что
в случае |С/о| *С H2/mR2 сечение рассеяния, согласно формулам
A5), A6), совпадает с результатом борновского приближения.
Полученные выше сечения рассеяния частиц с энергией
?=0 определяют, вообще говоря, и рассеяние медленных час-
частиц й^?<1. Исключением является случай резонансного рас-
рассеяния, когда e(E=0)»ntfJ. При этом, как известно, сечение
рассеяния частиц в области малых энергий имеет резкую энер-
энергетическую зависимость.
13.25. В центральном поле ?/(г), спадающем при г->-оо бы-
быстрее чем г, решение у. Ш. при Е = 0 является сферически
симметричным, что отражает то обстоятельство, что в пределе
малой энергии частиц существенным является рассеяние лишь
в s-состоянии. При этом асимптотика в.ф. при /-->-оо имеет вид
4f *w I — а/т, где а = —f (Е = 0)— длина рассеяния, а@)=
= 4яа8.
Для рассматриваемого потенциала у. Ш. при Е = 0
заменой переменной х = \/г приводится к виду
и имеет следующее решение, ограниченное при г — 0 (при этом
х=оо):
W =Сехр[- [i ]
При г->оо имеем ^(rJftjC^l — a/^ttJ' так что а=*
13.26. Требуется решить у. Ш. (Б = 0)
ДЧ^(г) = 0 (при * ^^--т-^-> l)
с граничным условием 4f(r0)=9 при - °—- ' —— -
Асимптотика решения при г~> оо определяет длину рас-
рассеяния:
W(r)*»l-о/г (a^-f (?-0)).
Для функции ф(г)= 1 —ЧР уравнение, граничное и асимпто-
асимптотическое условия принимают вид
Дф(г) = 0, ф(г)«е/г при г->сх.,
, „ , 4+у1 , 4 С)
Ф(го)=-1 при bt 4-71— '¦
Для определения значения а замечаем, что согласно A)
функцию ф(г) можно рассматривать как электростатический
потенциал заряженного проводящего эллипсоида вращения (ось
вращения — ось г), потенциал которого равен <ро=1; при этом
е = а — заряд эллипсоида. Так как потенциал и заряд свя-
занй соотношением е = Сфо, где С — емкость эллипсоида, то
длина рассеяния частиц на «непроницаемом» эллипсоиде чис-
численно равна электростатической емкости проводника соответ-
соответствующей формы*). Решение электростатической задачи A)
при с > Ь известно и имеет вид
- — Ъ г— ф?^Ь* + M\z — Vcs — *Т + х1 + у*
(эту задачу легко можно решить методом изображений: потен-
потенциал проводящего эллипсоида вращения совпадает с потенциа-
потенциалом равномерно заряженного отрезка, концы которого находятся
в фокусах эллипсоида с координатами х—у=0, z=± ¦\'сг—Ь2)
Определяя «заряд» е в формуле B) из условия ц0 = 1 на по-
поверхности эллипсоида (при этом о = е), имеем
C)
(для определения потенциала удобно взять точку эллипсоида,
лежащую на оси г, координаты которой х = у = 0, z = с).
При с == Ь из формулы C) имеем а=с, а(Е = 0)= 4нс2 —
известный результат для рассеяния медленных частиц на не-
непроницаемой сфере радиуса R = с.
При Об формула C) дает
•) Очевидно, Соотношение а = С сохраняется и при рассеянии частиц
с ? = 0 на «непроницаемо»» теле произвольной формы; при этом С—
электростатическая емкость проводника, имеющего таную же форму. В част-
ноем, при рассеянии частиц на непроницаемом диске радиуса R сечение рас-
рассеяния оказывается равным о(? = О) = Aб;п)№ (емкость диска С = 2Щл).
13.27. Из формулы для амплитуды рассеяния (см., напри-
например. 13.1)
/ (ко, к) =« - ^ J e~n'V (r) 4#} (rydV A)
следует, что в случае полей U{r), имеющих указанный вид на
больших расстояниях, она при q =|k — ko|= 2ftsinF/2)->-0
неограниченно возрастает. Действительно, ввиду медленного
убывания подынтегральной функции в выражении A) при
г->-оо, где Wkf (r) *w elkor, в интеграле A) при малых значениях
q доминирующую роль играет область больших расстояний.
При этом
(вклад области интегрирования г-</? при д~* не представ-
представляет интереса, так как он имеет конечную величину и пренебре-
пренебрежимо мал по сравнению с расходящимся выражением B)).
Выражение B) удобно переписать в виде
C)
[1ри п<3 в этом ийтеграле нижний предел \qR <? 1) можно
заменить нулем, и, так как
Г (п -^ I) sin (ял)
. О*)
амплитуда рассеяния при малых значениях q оказывается рав-
равной
(S)"
/ = ьп/9- -, ьи — й*Г(„_1)соа(п„/2) •
При рассеянии медленных частиц (Е->-0) для всех углов
рассеяния справедливо выражение E), и сечение рассеяния-
равно
13.28. Задача решается аналогично предыдущей. Однако
в формуле C) при п = 3 теперь нельзя заменять нулем нижний
предел интегрирования ввиду расходимости интеграла на этом
пределе. Так как значение этого интеграла определяется об-
областью малых х, где sinxftjjt, то расходящуюся при q-*-0
часть амплитуды рассеяния легко вычислить:
-\n[qR).
Так как g = 2&slnF/2), то полное сечение рассеяния мед-
медленных частиц оказывается равным
13.29. Представив общую с. ф. операторов Н, I*. \ в виде
7\ имеем для функции Xai уравнение
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному усло-
условий х@) = 0:
где /у — функция Бесселя е индексом v, равным v =
= >y(' + l/i!f+^-1 имеет при r-*°o асимптотическое пове-
поведение
Из A) находим фазовые сдвиги:
«1 = - -у1 + f С + 'й = - f [ V« + 'А)' + 2ma/B! - ((+ '/Л
B)
которые позволяют рассчитать амплитуду рассеяния:
№. <>)=4к Ё'2'+ ЧУ"'- l)P,(cosB). C)
а) В случае ma/ftB < I согласно B) имеем
и, разлагая в выражении C) экспоненту в ряд, получаем
f(E, ej^-
E)
При суммировании ряда мы воспользовались производящей
функцией для полиномов Лежандра (положив в ней z = cos 6,
1)
Дифференциальное сечение рассеяния
й° ^ | t в ^ п "г"я #g\
имеет мало общего с результатом, даваемым классической ме-
механикой (см. [4]):
G)
Выражения E) и F) совпадают, как и следовало ожидать,
с результатом борновского приближения, см. 13.4, г.
б) В случае met/ft2^, 1 ряд C) с фазовыми сдвигами B)
при произвольном угле рассеяния просуммировать не удается.
Легко заметить, однако, что для достаточно малых углов рас-
рассеяния сохраняют силу выражения E) и F). Это связано с тем,
что при-6~*10 амплитуда рассеяния неограниченно возрастает
по абсолютной величине. Так как иаждый член ряда C) огра-
ограничен, то расходимость амплитуды означает, что в сумме CJ
существенны слагаемые с большими значениями / (тем боль-
большими, чем меньше угол рассеяния). Но при достаточно боль-
больших / справедливо представление D) фазовых сдвигов, из ко-
которого и вытекают формулы E), F). Таким образом, при до-
достаточно малых углах рассеяния, независимо от значения пара-
параметра ma/hs, амплитуда рассеяния определяется борновским
выражением (это — естественный результат, так как в данной
задаче при рассеянии под малыми углами существенны боль-
большие расстояния, на которых U{r) = a/r2<&. Kv/r, т.е. выполнено
условие применимости борновского приближения).
в) Так как Д B/-J-1)Pi(cos6) = 4o(I -cos6), т. е. такая
сумма равдэ нулю ирв 6=^0, и так как Pt(-~!)=(— 1)'. то вы-
ражеше C) с учетом B) при 6=я можно записать в виде
)ехр[-
(8)
При ma/hs > 1 в этой сумме основную роль играют слагае-
слагаемые с большими значениями '•^("Tjrl • причем соседние
слагаемые суммы, отличающиеся по I на единицу, мало отли-
отличаются друг от друга. Поэтому суммирование в формуле (8)
можно заменить интегрированием:
f(E,
-^- J /ехр[~(л Vй + 2majh2]dl.
Заменой переменной х = V^2 + 2majh3 этот интеграл пре-
преобразуется к виду
f(B, n) = ~ \ xexp(—inx)dx, (9)
х=-^-\ e-°*dx=l
при Rea>0,
то выражение (9) для амплитуды рассеяния назад F = п) ока-
оказывается равным
При этом дифференциальное сечение рассеяния назад, как
легко заметить, совпадает с результатом G) классической ме-
механики длв 6 =я.
13.30. Стандартное выражение для фазовых сдвигов в ква-
квазиклассическом приближении имеет внд
(О
где го — точка поворота.
В рассматриваемой задаче во всей области интегрирования
t/^О. В этом случае интеграл в A) легко вычисляется ин-
•) При больших значениях ( слагаемые суммы (8) начинают быстро ос-
-овллйроеать и соответствующая чисть суммы .оказывается калов.
тегрированием по частям и оказывается равным (/ = I + '/а)
J [Vfe2 - РА3 - ft] * = г
Соответственно
При / + '/а < Ы? имеем
6, = (г + 7s) arccos
Смысл равенства C): при I > k точные фазовые сдвиги экс-
экспоненциально малы, а квазнклассическое приближение такую
точность не обеспечивает.
Выражение D) в рассматриваемом случае следует утон-
утонишь. Оно получено из квазиклассического выражения A), при
выводе которого было учтено, что квазиклассика нарушается
вблнаи точек остановки. В данной же задаче квазнклассика
справедлива, вообще говоря, на всем интервале r^R (вплоть
до самой точки поворота го = /?). Внимательный читатель сооб-
сообразит, имея в виду общие формулы квазиклассики с учетом
условий сшивания, что в выражение D) в этом случае следует
ввести дополнительное слагаемое, равное (—л/4)*)- Ои также
заметит, что полученные выражения C) и D) неприменимы
при 1я2 /о те &/?> так как в этом случае нужно быть более як->
кур'атнкм в вопросе сшивания решений вблизи точки поворота
(это обстоятельство несущественно для дальнейших вычисле-
вычислений).
С учетом C) амплитуда рассеяния может быть записаиа
в виде
Полное сечение рассеяния согласно оптической теореме равно
^ ^^ cos26/). F)
•) Это—те же самые «—яЦ», которые привели к модификации правила
антовання Бора — Зоммсрфельда в 9.2.
-'" Фазовые тсдвити D) велики: 16A^*1—и изменяются на ве-
величину порядка единицы уже при переходе от значения / к
1 + 1. Поэтому слагаемые суммы F), содержащие cos 26/, бы-
быстро осциллируют в вся соответствующая часть суммы оказы-
оказывается малой. Пренебрегая ею, получаем для полного сечения
выражение (k « kR » 1)
т.е. значение, превышающее в два раза классическое сечение.
13.31. Исходим из выражений E) и D) решения предыду-
предыдущей задачи. При произвольном значении 6 слагаемые суммы
в выражении для амплитуды рассеяния быстро осциллируют
уже при небольшом изменении I как за счет фактора е2'6', так
и за счет осцилляции полиномов Лежандра как функций / при
фиксированном значении 6 (напомним, что в задаче существен-
существенны большие значения I) Однако в области малых углов рас-
рассеяния осцилляции полиномов Лежандра менее значительны
(при 6 = 0 они вообще отсутствуют^ так как Pt(l)= 1), и по-
поэтому в сумме наиболее сильно будут «погашаться» слагаемые,
содержащие множитель еи4 Соответственно, записав ампли-
амплитуду рассеяния в виде*)
#=/«¦+/« 0)
где
B)
можно утверждать, что для достаточно малых углов рассеяния
fs&fm. Воспользовавшись известной формулой (/о—функция
Бесселя)
e]. /»i и е<1,
*) Поясним, имея
щей задач, смысл
ционную»
8 (fcR)
в виду дальнейшее рассмотрение данной и следую-
следуюспользуемого разбиения амплитуды на «дифрак-
«дифраккую части. В области малых углов (факс
1?1 ас о
цу и су чаи. В о малых углов (фактически
8 « (fcR)~l/s<? 1) |?лиф1 > 1?кл1, при этом вклад рассеяния под такими
углами (фактически 6^(ft/?)-') в полное сечение составляет nR". В обла-
стл же не ико алых углов 6 » (feff)- (при этом может быть 6 <g 1)
сть 1яга. При этом fM описывает изотропное распреде-
распредеdldQ « |f™|* *s К*/*, так что сечение рассеяния
R' ( ической еханике)
ф (
л же не слишком малых у
пренебрежимо мала часть
ление рассеянных частиц: ol |f™| * К/, так что сечение рассеяя
иод такими углами также составляет nR' (как и в классической механике).
Наконец, в обласги углов в ~ (ft/!)- амплитуды }в^ и !™ одного порядка.
При таких умах рассеяния для $ы ве удается получить простого выражения;
вклад же в сечение этой области углов пренебрежимо нал но сравнению
Нетрудно заметить, что слагаемые суммы C) при измене-
изменении I на единицу мало изменяются, так что суммирование
можно заменить интегрированием. При этом, воспользовавшись
известной формулой
D)
Амплитуда дифракционного рассеяния — чисто мнимая. Она,
как и дифференциальное сечение рассеяния, является осцилли-
осциллирующей функцией 6, причем расстояние между соседними ну-
нулями (или максимумами) I /две I имеет порядок величины
Д6 - (W)-1. Так как
/,(х)«-| при *<1 и /i(x
то согласно D) легко находим
E)
Наибольшую величину дифференциальное сечение имеет в
области углов Ь'^(кЯ) и быстро спадает с увеличением 6
при 6 > (kR)~l. Это резкое уменьшение величины da/dQ объяс-
объясняется сильной взаимной компенсацией большого числа сла-
слагаемых в выражении A) из-за знакопеременности полиномов
Лежандра.
Полное сечение дифракционного рассеяния легко найти (вос-
(вось формулой \ /((x)x~'ldx= 1/2 1:
пользовавшись
()
?. е. оно составляет половину полного сечения рассеяния (ин-
(интегрирование в (б) следует проводить но области углов, в
которой |/дИф|»1^ю1|; однако \f№$\a существенно велико Лишь
при 6 ^ (kR)~l, так что верхний предел интегрирования по 6
можно взять равным бесконечности).
13.32. Рассмотрим часть fK!, амплитуды рассеяния, опреде-
определяемую формулой B) предыдущей задачи:
A)
где В* даются формулой D) задачи 1350.
Так как в выражении A) существенны (>1 и нас интере-
интересуют углы рассеяния 6 > /-' ~ (W?)-1 (для углов B^.(kR)-1
заведомо \fKK\ <|/диф| и fKn не представляет особого интереса),
то, воспользовавшись асимптотическим выражением для поли-
полиномов Лежандра
р, (co
A) можно записать в виде
B)
где
<Р± @ - 26, ± [([ +
= B/ + 1)arccos~±р- 2 VWP-ff+'AJ± № + Vj> 6 + л/41.
C)
Из-за быстрой осцилляции экспоненциальных сомножителей
большинство членов суммы B) взаимно уничтожается. Сумма
будет в основном определяться областями значений /, близких
к тем, при которых одна из экспонент имеет экстремум как
функция L Из условия экстремума
dtp±
—Qf = 2 arccos
D)
следует, что имеется только один экстремум —у экспоненты с
фазой ф„, причем экстремальное значение I переменной I равно
l + lh = kR cos F/2), E)
что в точности соответствует классической связи между при-
-це^ьным параметром р=М/р = Ц1±1/)/Нк (J + 7)/ft
.углом рассеяния 6: р = R cos{6/2).
Учитывая C)—E), легко получить разложение <р-г@' в ряд
вблизи точки экстремума:
При вычислении суммы B) слагаемыми с фазой <р.ь н©
имеющей экстремума, можно пренебречь, а значение оставшей-
оставшейся суммы определяется узкой областью значений f вблизи точки
экстремума. Ширина области М = I — I определяется условием,
чтобы изменение фазы экспоненты Ач>_ = ч>_@—ЧР-Р) удовлет-
удовлетворяло неравенству 1Д(р_|^: 1 (иначе опять начинаются осцил-
осцилляции). Изменение фазы Дц>- в указанной области определяется
в основном вторым слагаемым в формуле F), и поэтому, учи-
учитывая сказанное выше, выражение B) можно записать в виде )
G)
Существенный вклад в сумму G) вносят лишь слагаемые,
для которых |Д*|=]* — !|;<Vft#sin(8/2). При этом измене-
изменение |Aip-I за счет третьего слагаемого в формуле F) (которым
мы пренебрегли) равно
) ' "
(8)
и условие малости величины (8) по сравнению с единицей опре-
определяет область применимости разложения F) и тем самым —
справедливости выражения G):
л/Ш > 1. или 6 > {kRy'h •*) (9)
это условие более жесткое, чём условие 6 > Г1 ~ (ft/?); тем
lie менее око справедливо для большей части интересующей нас
области углов). ,
С помощью E) и (9) легко находим (/0 — 0 > V^shifflp),
так что суммирование в G) можно проводить до бесконечности."
•) При этом лредэкспонетшальный множитель V2' + 1 вынесен за
аввк суммы в точке 1 = 1.
**) Внимательный читатель заметит, что, наряду с ограниченней (9) на
углы рассеяния, проводимое ""исследование предполагает также выполненным
условие (п-~й) » (йй)-"я (в противном случае незаконно вынесшие з«
знак суммы предэкспоненциального множители -\$1 + 1 н т. д.). .Однако
окончательный результат A0) справедлив ц при в-*-я. Это легко -скдовер-
днть вычислением, анвлошчныы проведеннойу пр*и ргшейин задачи 13.29* а.
Заменяя также нижний предел ( = 0в сумме на I = — оо и пе-
переходя от суммирования к интегрированию, легко находим
(замена суммирования интегрированием законна, так как в су-
.Ществеярой области число слагаемых велико: ~ -ijkR sin F/2) >
^ > 1, а при изменении I на еди-
единицу слагаемые суммы почти не
нзменягются).
^ С помощью A0) находим
дифференциальное сечение
рассеяния в области углов
6 :§> (/W?)-1'* и полное сечение
рассеяния (под указанными уг-
углами):
0кл«яЯа, (И)
u/vv совпадающие с результатом
| классической механики.
°fi^-L^f a e В заключение приведем
kf/ рис. 38, иллюстрирующий каче-
Рис- 33- ственную зависимость диффе-
дифференциального сечения db/dQ
от угла 6 при рассеянии быстрых частиц kR > 1 (фактически
считается выполненным более жесткое условие (kR)lJ3'^l) на
непроницаемой сфере согласно результатам данной и предыду-
предыдущей задач.
13.33. Для нахождения длины рассеяния о требуется ре-
решить у. Ш. при ? = 0. Это решение является сферически сим-
симметричным, и его асямптотика при г—>оо: у» 1 — а/г — дает
значение а. Полагая Ч' = %(г)/г. легко находим из у. Ш. вид v
и в.ф. Т(г):
1-7".
r<R,
| Условия сшивания в. ф. в точке г = R дают:
б) a
A)
"(в случае а в точке г = R непрерывна функция х (как и 4f)
и ее производная; в случае б функция % непрерывна, а ее про-
производная имеет скачок, определяемый решением задачи 2.10).
Согласно A) при некоторых значениях параметров поля,
точнее — их безразмерной комбинации | = 2mC/oR2M8t длина
рассеяния (а с нею и полное сечение о(? = 0)=4лй2Е обра-
обращается в бесконечность. Это имеет место при значениях пара*
метра I, равных: а) 1„ =n!(n + l/a)s.n=aO, 1,2, ... ;б)|0=1,
т. е. таких значениях ?, при которых в ходе «углубления» по-
потенциальной ямы в ней появляются новые состояния д.с, с мо-
моментом 1 = 0 (сравнить в случае б) с результатом задачи4.34).
С другой стороны, в случае о)', при_знаЧениях параметра |,
удовлетворяющих условию tg Vf = Vf> наоборот, а = 0, т.е.
о(? = 0) = 0 (а сечение рассеянии медленных частиц, соответ-
соответственно, аномально мало).
13.34. Представив в.ф. s-состояния A=0) в ииде ?=*
=а t(r)/ft из у. Ш. легко находим функцию х (а с нею и ^)*
где So=eBI8l>. Из условий сшивания в.ф. в случае б-функциов»
ного потенциала (см. 2.10) получаем после простых, хотя й
несколько громоздких алгебраических преобразований ^г-~*
В случае медленных частиц kR < 1 полное сечение рассея-
рассеяния определяется в основном парциальным сечением с 1 = 0*):
Величина сечения C) и его энергетическая зависимость при
kR <? i определяются величиной
гапривка в выражению {
. связанная с рассеянием в
Если \g@)|^-1, то зависимость C) от k является «вялой»
1 н ею можно лренебречь, так что в этом случае
(хотя учет б C) члена порядка № (н,о не kf\) и является за-
законным).
Если же |g@)|<€; 1, то слагаемое k2R2 в знаменателе выра-
выражения C) существенно влияет на величину сечения, а в этом
случае *)
E)
представляет, ведичйну энергии мелкого реального (или вир-
виртуального) уровня частицы, существующего в поле в случае
Jg@I ¦*?/-!- Читателю предлагается самостоятельно из реше-
решения^ у*,Ш. для состояний д. с. (?<0) убедиться в том, что
в случае |#@)]<1, g@)<0 в рассматриваемом поле дей-
действительно имеется мелкий, уровень д. с. с энергией Е «s — e
\см., например, 4.34; при этом следует .учесть, что функции /.,2
и Ki/n просто выражаются через элементарные).
^ 13.35. Из решения у. Ш. следует вид в. ф:
:;1> |—slnw, r<R (х=л/2т{Е + и<ЫЬ2}.
?(г) = { '• ;
G ^s^'kr—е~""}< r>R,
где So = e2J4 Из "услов'йя непрерывности в. ф. и ее производ-
производной при f~=~ R находим {удобнее сшивать функцию % = 4V, а не
непчсредственно Ч?) ,
!. ~"№ш- ">
Где
i ... _ v.R cos kR + kR sin kR tg «.R ,„ч
tg*R c
R — ~sto It R
Характер энергетической зависимости сечения рассеяния
медленных частиц kR <? 1 определяется значением g@) (срав-
(сравнить с предыдущей задачей). В случае |#@)|^.1 сеченне
слабо зависит от энергии и равно сг(?)«4п/?г^-г@). При
I@) ISl энергетическая зависимость сечения имеет вид
•) Это яыраженне можно уточнить, учти в разложении g(*) член по-
порядке е, т. е. записав g{k) w g@) +C#>.
Условие |g@)|< 1, согласно B), реализуется в случае по-
потенциальной ямы, параметры Uo, R которой удовлетворяют со-
отношеьию
/1 = 0,1,2,...
E)
При этом « представляет величину энергии мелкого реального
или виртуального уровня, существующего в рассматриваемом
поле при |?@)|« 1.
13.36. У.Ш. для функции х(/-) = гЧ'о(г) (/=*О) и его реше-
решение, удовлетворяющее граничному условию %@) = О, имеют вид
x«-5Hr-R)t + kh = 0 E =
А . ,
— sin kr,
r<R,
r>R.
Из условия сшивания в. ф. %{г) при r = R (см. 2.10) находим
g0 = еПЪ> _ eSihR VR sil? feff.+ kR cos fei? + ikR sin ftff . A)
При a.R~>\ н kR ~ 1 (точнее, kR <.aR) из A) имеем, во-
вообще говоря, So.«5 е~2'**, т. е. So ^ —kR, что соответствует
рассеянию на непроницаемой сфере (см. 13.24,о). Специаль-
Специального рассмотрения требует случай таких энергий частиц, при
которых kR » пп, я = 1, 2, .... так как при этом в выраже-
выражении A) нельзя заменять дробный сомножитель единицей. Пред-
Представив kR в виде kR = nn-\-y, Ivl^'i знаменатель дроби
в формуле A) легко преобразовать к виду
aR sin kR + kR cos kR — IkR sin kR « (— 1)" (aRy + rm — /ялу) —
= (-1)" (aR - /ял) (V + здГщя) «
и[ад~«я+5+'A)г],
при этом выражение A) оказывается равным
B)
Умножив числитель и знаменатель формулы B) на
2mR* (^ ~fr" "п ~ Ж") ^ "тР"' черевишемее в более удобной
форме!
Выражение C) имеет вид, стандартный для случая резонанс-
резонансного рассеяния на квазидискретном уровне, при этом величина
6^0) = —W? представляет фазу так называемого потенциаль-
потенциального рассеяния (cl = 0), а ?л,о и Г„ определяют положение
и ширину квазидискретаых уровней. Таким образом:
1) фаза потенциального рассеяния совпадает с фазой рас-
рассеяния на непроницаемой сфере;
2) положение ?„, 0 квазнднскретных уровней фактически со-
совпадает с уровнями энергии д. с. в бесконечно глубокой сфери-
сферической яме радиуса R;
3) ширина уровня, определяющая время жизни квазиди-
квазидискретного состояния, может быть представлена в виде
где D — коэффициент проницаемости б-функционного барьера
для частиц с энергией Е == hin2n2/2mR2 (см. 2.47), а N представ-
представляет число ударов частицы о
Из физических соображений
следует ожидать, что аналогичные
> результаты имеют место и для
D ?Pto E рассеяния с I Ф 0. Поэтому
ряс, 39. при kR < aR сечение рассеяния
с(Е) на б-функционной сфере со-
совпадает с сечением рассеяния на непроницаемой сфере такого
же радиуса, за исключением узких областей Д? вблизи квази-
квазидискретных уровней. Так как
и при энергии частицы, близкой к энергии квазидискретного
s-уровия, рассеяния частиц с I = 0 на непроницаемой сфере не
происходит F(С*«пп), то разность сечевий рассеяния на
б-функционной и непроницаемой сферах в окрестности квази-
квазидискретного 5-уровия оказывается равной (рис. 39)
13.37. При выполнении условий kR > 1, t/0 < Е, 6 < 1 (Uo,
R — характерные величина и раднус потенциала) в выражении
f (ft. B)=4k Ё&l+!>fc" №)~
A)
можно воспользоваться квазиклассическим выражением для
фазовых сдвигов вида
B)
и соотношением
Pt (cos 6)» /о ((I + %) 6), / > 1,
а также заменить суммирование по / интегрированием, так как
в сумме существенно большое число слагаемых с/~ kR, кото-
которые при изменении I на единкцу мало изменяются. Действи-
Действительно,
+1—б,-
l
Й-. т. е. |Д6Н<1.
Учитывая сказанное выше и сделав замену переменной
p=M/p=~h(l + l/s)/ftk = (l + l/2)/k, из выражения A) по-
получаем более удобное для приложений представление ампли-
амплитуды рассеяния:
f(ft,e)=/ftUl-exp[—
Используя известную формулу
и положив в ней x=ftp8, хсозф^ч^р, d2p^pdpdq>, легко
получить и другое, эквивалентное C) представление амплитуды
рассеяния, приведенное в условии задачи.
13.38. При вычислении полного сечения рассеяния следует
учесть, что в условиях применимости приближения эйконала
kR^>l, ?/с < Е рассеяние частиц происходит в основном под
малыми углами 6 ^ (kR)-*. Поэтому
|/рб€Гв«2я J
A)
Верхний предел интегрирования по В можно положить равным
бесконечности, так как в приближении эйконала
-eip[-J?. J
Ееличина амплитуды рассеяния при 6 ^ 1 (в этой области уг-
углов f3flH можно рассматривать формально как функцию 6, не
имеющую физического смысла) быстро убывает с ростом 6 из-
за быстрых осцилляции сомножителя /0(ftp6), и вклад этой об-
области ш интеграл по 6 пренебрежимо мал.
Записав выражение A) в виде
' Ф dp' В <Ю
о (В) = 2я J J J С (р) С (р') /о
и выполнив интегрирование по 6 с помощью соотношения
J h № /„ (Л'б) е т=-^=р б (л - ао, а.=лР,
рф.
Это совпадает со значением 4nImfsflK(fe, 6 = 0)/ft, что и дока-
Бывает оптическую теорему.
13.39. Согласно оптической теореме
с = ^f-Imftf, 6 = 0) = -f?-f;(Я+ 0A-cos 28,). A)
1-0
При kR;» 1 в этой сумме существенную роль играет боль-
большое число слагаемых с I ~ kR (R — раднус потенциала), при
этом фазовые сдвиги определяются квазиклассическим выра-
выражением
2 ~k]dr
Vs)-ftr0. B)
При выполнении условия |1/|<.Е из выражения B) путем
разложения подынтегральной функции по степеням V полу-
—2- (
C)
При этом изменение 6i при замене I на
чиной порядка
является вели-
велит.е. оно мало, и в соответствующей части суммы A) можно
суммирование заменить интегрированием по переменной р =
= (/+1/2) Ik.
В случае \U(rv)\^,E выражения B) и C) имеют, вообще
говоря, различные значения, но они обладают'одним общим
свойством: оба они дают [6i|^>1 и изменение фазы [Д6г| =
= jfii+i — 8*1^, i; Это приводит к тому, что соответствующая
часть суммы A), содержащая cos26/, пренебрежимо маяв иэ-^а
быстрой осцилляции слагаемых независимо от того, какое вы-
выражение, B) или C), использовать. Следовательно, и в этой
области значений I (когда \V(r())\'^, E) можно заменить сум-
суммирование по I интегрированием по р, используя значение фа-
фазовых сдвигов в виде C).
Учитывая сказанное выше о замене суммировании по f ин-
интегрированием по р, легко приходим к выражению для сече-
сечения рассеяния быстрых частиц kR ^ 1, приведенному в усло-
условии задачи. ¦
Внимательный читатель сообразит? что в случае быстрых
частип, даже при условии \UD\1^E, амплитуда рассеяния все
еще имеет эйкональный вид в области достаточно малых углов
рассеяния, пока не начинают сказываться осцилляции полино-
полиномов Лежандра.
В случае рассеяния быстрых частип потенциальным барье-
барьером (или ямой), приведенным в условии задачи, сечение рас-
рассеяния равно
(интеграл вычисляется замеяой х = У#я— р2).
При | <? I из <4) следует результат борновского приближе-
приближения o = nR2—~~- <&nR\ а при|»1 имеем о(?)»2я#2 — из-
известный результат для сечения рассеяния быстрых частиц не-
непроницаемой сферой (см. 13.4, д и 13.30).
13.40. В случае степенного потенциала V«а/г" с п>2
раднус его действия R определяется из соотношения U(R) ~
'¦~ Hs/mR2, т. е. R—^та/й* при п = 4. Приведенное в условии
задачи неравенство означает, что частицы можно считать бы-
быстрыми, kR ^$> 1, и для вычисления сечения рассеяния можно
воспользоваться результатом предыдущей задачи:
A)
Учитывая значение интеграла
выражение A) заменой переменной jt = (nma/2Aft2)p-3 и интег-
интегрированием во частям легко привести к виду
Г J П-СО8Х)ЛГ*
Подставляя в этом интеграле s\nx = (eu — eriK)}2i и дефор-
деформируя контур интегрирования в плоскости комплексной пере-
переменной х так, чтобы он проходил по оси чисто мнимых значе-
иий х, легко находим
Соответственно полное сечение рассеяния частиц принимает вид
93.41. В приближении эйконала
Из этого выражения с помощью преобразования Фурье полу-
получаем
[U(Pt
(А.к)^*Ря. *2)
Подставляя в формулу A) 1^(г)= U0(r}+ U0(\r — г.\) и пе-
переходя в получающемся выражении к одноцентровым амплиту-
амплитудам рассеяния согласна B) с (/= G0, легко находим искомое
соотношение:
где aj. — составляющая вектора а, перпендикулярная направ-
направлению импульса падающих частиц п0, т. е. а = вцПо + &± (f не
зависит от величины ад, однако должно быть выполнено усло-
условие \at\<%:kRz, где ^ — радиус дейетвня силового центра М>(г),
для применимости эйконального приближения).
13.42. Амплитуда рассеянной волны выражается через точ-
точную в. ф. так же, как и в случае рассеяния бесспиновых частиц
(см. 13.1):
F(k0, Ю=-^г Je-^WdP A)
(мы написали F вместо f, чтобы подчеркнуть то обстоятель-
обстоятельство, что теперь F, как и ТЦ"', является двухкомпонентной ве-
величиной) .
Подставляя в A) невозмущенную в. ф.
Ч'&>«Ч'Г=<!'х. B)
где у — спиновая в. ф. (двухкомпонентный спинор), описываю-
описывающая спиновое состояние падающей (до рассеяния) частицы с
$= 1/2 (в A) и B), как обычно, т+ к, ко—приведенная масса
и соответствующие волновые векторы относительного движе-
движения), находим
h
где f —амплитуда рассеяния, являющаяся оператором (матри-
(матрицей) в спиновом пространстве, — имеет внд (в борновсксн при-
приближении)
Выражение C) легко преобразовать к виду fa=k— к
•где Oo.t(q)= [e~tvUa,l(rLVi если воспользоваться соотноше-
соотношениями
J ^ r**ft* ?/, (г) [гко] dV =&
13.43. В исходной системе координат имеется только элект-
электростатическое поле 6 «= Zer/fi и нейтрон имеет скорость v =
= р/М. В системе координат, связанной с нейтроном, появ-
появляется магнитное поле 31 «s — lev) (мы считаем v^c), и энер-
энергия взаимодействия оказывается равной
Квантовомеханическое обобщение формулы A) определяет
вид эрмитова оператора взаимодействий нейтрона с вулонов-
ским полем:
(мы учли, что оператор магнитного момента нейтрона есть
|*=ц« =— -j^f- о, где экспериментальное значение р « 1,91).
Использун общее выражение для амплитуды рассеяния, по-
полученное в предыдущей задаче (формула C)), и значение ик~
теграла
J^re-'«rdV = - J e-'W± dV = J -^ V*-**dV =»
легко находим амплитуду рассеяния:
О)
(мы ввели единичный вектор П = "ШЩТ нормали к плоскости
рассеяния).
Дифференциальное сечение рассеяния, просуммированное по
спиновым состояниям рассеянного нейтрона, равно скалярному
произведению F+F (в спиновом пространстве). Так как
[()Г +() и (оп)!=1, получаем
640
Мы ие будем останавливаться на вопросе'об условиях при-
применимости выражения D) к случаю .рассеяния нейтрона на
кулоновском поле ядра. Укажем лишь, что при выяснении этого
вопроса следует учитывать конечность размеров ядра, его экра-
экранировку атомными электронами, а также наличие рассеяния
нейтронов ядром за счет ядерных сил.
13.44, Как известно [3], если записать амплитуду рассея-
рассеяния в виде
A)
то дифференциальное сечение рассеяния неполяризованных час-
частиц, просуммированное по спиновым состояниям рассеянных
частиц, имеет вид
В ^орловском приближении (см. 13.42)
& ^^f C)
Согласно B) л C) полное сеченне рассенния равно (dfl =
?)
Прн больших энергиях ftJ?0,i>l (Ro. i — характерные рас-
расстояния, на которых отличны от нуля функции {/fti(r); прн?
этом Сол(д) существенно отличны от нуля лишь при дКол'^ Ot
из D) следует
(?
(мы оставили в формуле E) оба слагаемых Со/Ё и Си так как
при больших, но конечных значениях Е они могут быть одного
порядка). л
13.45. Так как U+ = [
эрмитовость гамильтониана ^ =
требует t/p, i = fo, i
Как известно [3], поляризация рассеянных частиц равна
г(если до рассеяния онн были не поляризованы, Р = 0)
A)
"ТЕЙТ
'(представление амплитуды рассеяния f через функции А, В и
выражение этих функций через фурье-компоненты Сол (я) при-
приведены в решении предыдущей задачи).
Фурье-компоненты вещественных функций fr0, i (r) также ве-
вещественны. Поэтому А —¦ вещественная функция, а В —чисто
мнимая (в борновском приближении) и согласно A) Р'=0.
13.46. Как известно [3], поляризация рассеянных частиц
равна (Р—-вектор поляризации частиц до рассеяния)
р/_ (Ир — |В|*) Р + 21 В|»п(пР) + 21т(ЛВ*) [пРЦ-2п Re (ЛВ*) ,,,
В борновском приближении функция А — действительная,
'в В —чисто мнимая (см. предыдущую задачу). Поэтому A)
принимает виц
г- 2Й*д (пР) + 2MB 1иР]
Гг _
ц, как легко убедиться, (Р'J = Р2. Поворот вектора поляриза-
поляризации происходит вокруг нормали п к плоскости рассеяния.
13.47. В случае медленных частиц существенно рассеяние
лишь в «-состоянии (/ = 0). Поэтому амплитуда рассеяния не
зависит от угла рассеяния и имеет структуру вида * -ч
f = A + B(onSp). A)
Выражение A) удобно представить в виде
f = Is
ft
где fs, f — амплитуды рассеяния в синглётном S = 0к триплет-
яом 5 = 1 состояниях (по поводу с. з. оператора onffP см. 5.18).
Согласно условию задачи рассеяние имеет резонансный ха-
характер в s-состояниях, и поэтому, как обычно,
f - * t _ ¦
'* s— «t — ife ' '* — и* — ik '
где
X| = y
L>0, Ka=-^
m = mn/2 — приведенная масса системы (напомним, что про-
процесс рассеяния рассматривается, как обычно, в с.ц.и.).
\, 13.4S. Согласно известной общей формуле
вычисляя в случае атома водорода B= 1) атомный форм-фак-1
тор в основном состоянии
!о = Й2//яе! — боровский радиус), находим
Так как dU—^elq2, то полное сечение упругого рассеяни
оказывается равным
(в формуле D) мы учли( что условие применимости испо
ванного здесь борновского приближения имеет вид fedo
13.49. Задача решается аналогично предыдущей. В при
жении задачи 11.7 плотность электронов и форм-фактор основ*
ного состояния атома гелия равны ^ _,
и соответственно дифференциальное и полное сечения упругого
рассеяния электронов атомом гелия принимают вид (kaa > 1\
(полное сечение отличается от сечени
рода на множитель 4A6/27J « 1,40).
13.50. Используя общую формулу [3]
сечения рассеяния атомом водо-
водо140)
найдем сначала дифференциальное сечение процесса. Для этого
требуется вычислить матричный элемент величины е-**1" между
в. ф. Is- (ЧЪ) и 2s- (?„) состяний:
То = ~= е~', Т„ = -~ е-т [\ — 1)
(здесь и ниже используем атомные единицы). После выполне-
выполнения интегрирования по углам (в сферической системе коорди-
" пат с полярной осью вдоль вектора q) имеем
и окончательное выражение для матричного элемента
легко получить, воспользовавшись формулой (k — целое число)
J e'°rrk dr = klfak+l (Re a > 0).
о
Таким образом,
и, интегрируя это выражение, находим полное сечение возбуж-
возбуждения 2в-состояния атома водорода:
(нижний предел интегрирования по q2, равяыл q\hl л* 9/64иг < 1,
можно заменить нулем, а верхний qJnB]i л* 4v2 Г§> 1 — бесконеч-
бесконечностью).
Отметим, что рассчитанное сечение примерно в 6 раз меньше
сечения упругого рассеяния (см. 13.48).
13.51. Легко сообразить, что общие формулы теории неупру-
гих столкновений электронов с атомами (в борновском прибли-
приближении) непосредственно переносятся на случай столкновений
электронов с ядрами: следует только заменить суммирование
по электронам атома суммированием по протонам, входящим
в состав ядра (взаимодействие электронов с протонами отли-
отличается от электрон-электронного лишь знаком). Поэтому ис-
исходная формула для дифференциального сечения процесса
имеет вид
где %, Тп — в. ф. начального и конечного состояний ядра,
р,р'~ импульсы электронов до и после столкновения.
В формуле A) гР ~ /?Яд ~ ID-18 см, поэтому для нереляти-
нерелятивистских электронов qrp ^ кЯ„„ <^1 и экспоненту можно раз-
разложить в ряд:
' Для первых двух членов разложения .B) матричный элемент
^.формуле A) обращается в нуль (напомним, что оба рассмат-
рассматриваемых состоянии ядра по условию имеют момент / = 0).
Поэтому
C)
Таки.м образом, согласно A) и C) имеем
т
Отметим, что величина Qo, входящая в сечение процесса, оп-
определяет также вероятность конверсии при соответствующем
ЯО-переходе ядра (см. 11.83).
13.52. Легко сообразить (по аналогии с рассеянием быстрых
электронов атомами), что исходная формула для расчета сече-
сечения рассеяния в рассматриваемой модельной задаче имеет вид
don = ^rJ^\\\ve-^K^dVdo,\da, A)
где m — масса заряженной частицы (считаем, для простоты,
т<Л1, М — масса ротатора); р, р* — ее импульсы до и после
столкновения; Ч^, Ч^ — в. ф. начального и конечного состояний
ротатора; дап — элемент телесного угла направления оси п ро-
ротатора; и = ~е(йг)/г* = —ed(nr)/ra — энергия взаимодействия
ротатора (электрического лилоля) с заряженной частицей, — е —
перепишем выражение A) в виде
|S. B)
По условию задачи "И, = Ym = l/V5i- Выбрав в матричном
элементе <n|qn|0> направление оси квантования (оси г) вдоль
лектора q, так что qn= q cos 6, и учитывая известное соотноше-
соотношение coseym = —-^Ую, находим
. Гвлицвн* и др.
Ввиду ортогональности с. ф. ротатора Уы это выражение от-
отлично от нуля лишь в том случае, если квантовые числа ко*
печного состояния ротатора (после столкновения) равны: 1= I,
т = 0, т. е. Ч?„=УЮ; при этом A = 1, m = 0| qn|0) = — iqHb,
а остальные матричные элементы равны нулю. Таким образом,
в первом порядке теории возмущении при столкновении проис-
происходят лишь процессы неупругого рассеяния, сопровождающиеся
переходом ротатора в первое возбужденное состояние. При
этом выражение B) принимает вид
*И0->1) = -
Так как <f = (p*+ip'J — 2ppf cosB)/h2, то согласно C) имеем
.<0-l>-Sg5r*l»?f
(значение р' определяется законом сохранения энергии pfi/2tn=
=РУ2т-№/1).
13.53. При большом расстоянии между частицей и атомом
(г > Со — боровского радиуса) энергия их взаимодействия равна
где Ze — заряд частицы, р — поляризуемость атома. Формула A)
представляет энергию взаимодействия заряда частицы с инду-
индуцированным дилольным моментом атома d = p? = —fiZer/r1,
и ее применимость определяется лишь требованием малости
относительной скорости частицы и атома по сравнению со ско-
скоростями атомных электронов (в противном случае существен-
существенными становятся динамические процессы возбуждения атома и
понятие потенциала взаимодействия теряет строгий смысл).
Считая в то же время частицы не слишком медленными (так
что в процессе столкновения существенны все еще большие зна-
значения момента 1~%>\, см. ниже), воспользуемся квазиклассиче-
квазиклассическим выражением для полного сечения рассеяния (см. 13.39)
о = 4я J |l - cos
Легко сообразить, что в формуле B) вместо истинного зна*
чения U(r) при всех значениях г можно воспользоваться выра-
выражением A). Действительно, хотя при г<^йо выражение A)
строго ие применимо, оно дает все же правильный порядок ве-
величины U ~ еа/°о {напомним, что р ~ с$). При этом в области
рЗ?йо аргумент косинуса в формуле B) велик (его величина
Имеет порядок e^jtv ~ far/f > 1, так как о*т ~ e'/fi) и соответ-
соответственно величина интеграла
пренебрежимо мала из-за быстрой осцилляции подынтеграль-
подынтегральной функции независимо от того, какое выражение для 1){г)
использовано: неизвестное правильное или неправильное A).
Вычисление интегралов в формуле B) при t/=~—^-f--
было проведено в 13.40.Используя результатэтой задачи,имеем
Т
Из C) следует, что существенные в процессе рассеяния рас-
расстояния имеют величину
Po-V^-Co^I*»^ (Z~l,p~Os), .D)
и условие применимости формулы B), требующее выполнения
неравенства /» 1, прииодит к следующему ограничению (М —
масса рассеиваемой частицы):
(отметим, что оценну D) можно получить и непосредственно из
формулы B), учтя, что аргумент косинуса при р ~- р0 имеет ве-
величину порядка единицы).
Таким образом, полученный результат C) для сечения рас-
рассеяния справедлив при скоростях частицы, удовлетворяющих
условиям
(-жK/а°«<°<^- E)
так что, например, для легких частиц (электронов) формула C)
неприменима.
13.54. При рассеянии медленных частиц (ft#< 1) домини-
доминирующую роль играет рассеяние в s-состояиии. При этом
/«/„«-^(^-l)^^»»-!)»*^.. A)
В условиях рассматриваемой задачи применимо борновское
приближение. Поэтому (напомним, что qr^2kH*&. 1)
B)
и сечение упругого рассеяния равно
¦¦ Из сравнения выражений {1} и B) находим
Эта величина определяет сечение неупругого рассеяния медлен-
медленных частиц j.
в согласии с известным «законом l/v».
13.55. В соответствии с условием задачи в выражении для
амплитуды упругого рассеяния
B)
следует считать, что фазы рассеяния обладают свойством
6'={ о, i>k,
и соответственно
i. *>/0.
Приведенное значение фазовых сдвигов соответствует следую-
следующей физической картине (движение частиц является квазнклас-
сическим, так как kR ~%> 1): при прицельных параметрах частиц
р = l/k < R они «поглощаются» сферой, а при р > R дви-
движутся свободно. При этом упругое рассеяние частиц является
проявлением их волновых свойств, по своей физической при-
природе аналогично дифракции Фраунгофера (см. [5]), и описы-
описывается амплитудой
U
Воспользовавшись оптической теоремой, находим
ntf3. D)
Сечение неупругого рассеяния (сечение поглощения) равно
oetynp=-~YiBl^-l){i^\St\2)=-^Yi{2l+i)^nR<l. E)
(-0 1-0
Сечение упругого рассеяния
F)
(см. также следующую задачу).
648
13.56. Расчет амплитуды рассеяния, определяемой форму-
формулой C) предыдущей задачи, был проведен в решении за-
задачи 13.31; там же обсуждаются основные особенности дифрак-
дифракционного рассеяния. В частности,
в согласии с результатом F) предыдущей задачи,
13.57. Скорости электрона и протона в основном состоянии
атома водорода порядка 10~ас и 10~ас соответственно (с — ско-
скорость света). При относительной скорости нейтрона и атома во-
водорода по>10^с можно пренебречь движением протона в
атоме водорода (это соответствует энергия нейтрона ел >¦
;» 10~а эВ). Время, в течение которого взаимодействуют нейт-
нейтрон и протон, порядка твэ ~ RKR/v0 ~ Ю-13 ал/vo < Ю-'8 с
(если fo>- 1(H с). Это время много меньше характерного атом-
атомного времени тВт ~ Raj/ve ~ 10~17 с, и поэтому состояние элект-
электрона за время столкновения нейтрона и протона не изменяется.
Можно пренебречь также смещением протона за время столкно-
столкновения, так как U« ~ ьотвз ~ RBa < Rar.
Исходя из указанных оценок, легко сообразить, что ампли-
амплитуда упругого рассеяния нейтрона на протоне f(E,q) связана
с амплитудой ?(Е, q) упругого рассеяния нейтрона на атоме во-
водорода соотношением
1(е.ч)=1 <?,«)<•<* <»
где a(q)—амплитуда вероитности того, что атом водорода оста-
останется в основном состоянии при внезапном изменении скорости
ядра — протона от значения v = 0 до v = hq/M (ftq — передан-
ный при столкновении импульс, М — масса протона; сравнить
с 11.77 и 11.78). Воспользовавшись результатом задачи 11.78,
имеем
откуда и следует искомое соотношение между дифференциаль-
дифференциальными сечениями:
Так как д@) =1, то, воспользовавшись оптической теоре-
теоремой и соотношением A), заключаем, что полные сечения рас-
рассеяния нейтрона на протоне и на атоме водорода одинаковы.
13.58. Вероятность аннигиляции пары в единицу времени в
основном состоянии позятрония определяется стандартным вы-
выражением
где V—оператор возмущения, вызывающего аннигиляцию пары;
4f«— в. ф. основного состояния позитрония, равная
%—рте"*. 4 = -^- B)
Уна3 е!ш
(приведенная масса системы «электрон + позитрон» равна
т/2); индекс / характеризует возможные конечные состояния
системы фотонов, образующихся при аннигиляции; dpf — диф-
дифференциальная плотность конечных состояний, причем все ко-
конечные состояния фотонов имеют энергию, равную Е л* 2тс2
(с точностью до энергии связи позитрония,много меньшей тс*).
Аналогичное выражение для вероятности аннигиляции при
столкновении свободных электрона и позитрона имеет вид
C)
где 4fj1°t — в. ф. свободного относительного движения пары
с волновым вектором к.
В пренебрежении кинетической энергией пары по сравнению
с величиной 2mcs энергия фотонов в конечном состоянии равна
Е = 2mcs. Поэтому конечные состояния фотонов, возникающих
при аннигиляции позитрония и свободной лары, одинаковые.
Как известно [3], при нормировке в. ф. Ч™ на единичную
плотность потока:
tm = Щ\\ чГРчф (г) dx \ dph
выражение C) представляет дифференциальное сечение про-
процесса, т. е. .
dvB«« = чгЧ \ 4'iVelkt dx f dp{. D)
вни nv | J ' I
Интегрирование выражений A), D) дает полную вероят-
вероятность распада позитрония и полное сечение аннигиляции пары
соответственно. Учитывая малость радиуса взаимодействия, от-
ответственного за аннигиляцию, в этих выражениях можно поло*
жить г = 0 *) и получить искомое соотношение
в согласии с «законом 1
*) Более точно, положить г = 0 в показателе экспоненты в D) можно
при условии Ливии < 1 (Явян — радиус взаимодействия, ответственного аа ан-
аннигиляцию); с другой стороны, пренебречь кулоновским взаимодействием при
столкновении можно лишь при условии v » ДО, так что область примени*
ыости E), F) ограничена условием еЩ « v « А/тД.й.
При применениях формул E), F) следует иметь в виду,
что значение сечения аннигиляции (и вероятности распада по-
позитрония) зависит от величины суммарного спина системы
«электрон + позитрон» (см., например, [7]).
13.59. Как известно [3], согласно принципу детального рав-
равновесия между сечениями двух взаимно обратных реакции
As±B существует соотношение вида*)
Здесь о—полные сечения соответствующих реакции А-*В н
В->-А, усредненные по направлениям спинов частиц в началь-
начальном и просуммированные по направлениям спянов частиц в
конечном состояниях; ?д, gB — спиновые статистические веса;
Ра, рв — импульсы относительного движения в состояниях А и
В соответственно, взятые при одной и той же полной энергии
в системе центра инерции.
В рассматриваемом случае
(А) (В)
имеем бА-*в = Оэхв (сечение захвата), дВ-*А = оф^ (сечение фо-
фоторасщепления). Так как спиновый (поляризационный) стати-
статистический вес для частицы со спином s равен gs=Bs+l)
(однако в силу специфических свойств фотона, имеющего массу
покоя mv — 0 и спин sv= 1, у него существует только два не-
независимых состояния поляризации и gv = 2), то
Импульсы относительного движения рл,в, входящие в A),
равны импульсам соответствующих частиц в с. в, и.: р&=рр=,
= Ра, Ръ s Pv = /><i. Считая, что все частицы, участвующие
в рассмагриваемых реакциях, являются нерелитивистскими (за
исключением, естественно, фотона; для последнего Еу «С Мс\
М — масса нуклона), имеем согласно закону сохранения энер-
энергии
Р%
?л = 2 ~Ш = Ев = Еу + Еа~в&Н<о~е, C)
где в —энергия связи дейтрона, ю —частота фотона. В вира*
женин C) мы пренебрегли Ей по сравнению с Еч (как легко
сообразить, для нерелятииистского дейтрона Ел <? Еч при оди-
одинаковых импульсах дейтрона и фотона; это означает, что для
системы v + d с. ц. и. практически совпадает с системой покоя
дейтрона).
*) Аналогичное
для диффереилиальв!
Учитывая, что py~ft&/c, согласна A)—<3) легко находим
Из D) следует, что в нерелятивистском случае (Дш<Л1са),
вообще говоря, o*.-p >¦ о3хВ- Исключением является узкая об-
область значений ha вблизи порога реакции v + d-*-p + n (fit» «
« е), в которой, наоборот, вф.-Р <^! оЭяв-
В заключение подчеркнем, что соотношение D) не связано
с каким-либо конкретным предположением о механизме реак-
реакции, а основано только на симметрии уравнений квантовой ме-
механики по отношению к изменению знака времени.
13.60. Задача решается аналогично предыдущей*). Усред-
Усредненные по направлениям спинов сечения взаимно обратных ре-
реакций фотоэффекта и радиационной рекомбинации
связаны соотношением
A)
При получении A) следует учесть, что с. ц. и. для рассматри-
рассматриваемых реакций совпадает с системами покоя атома Н и прото-
протона, спиновый статистичесинй вес атома водорода в основном
151/8-состоянии, как и электрона, равен 2, энергии фотона и элек-
электрона связаны законом сохранения энергии
где Ео — энергия основного состояния атома водорода
Глава 14
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
14.1. Взаимодействие заряженной бесспиновой частицы спо-
сполем излучения (квантованным электромагнитным полем) имеет
вид (в шредингеровском представлении)
Р = —^А(г)р + -2^тАЧ), A)
где А — оператор векторного потенциала,
*) Более, того, рассмотренное i
о своеб физической природе.
этих двух задача* процессы родственны
(йк0, 4J, — операторы уничтожения и рождения фотона с вол-
волновым вектором к и поляризацией о; ем,—вектор поляризации
фотона*); использована кулоновская калибровка dlvA(r)=0,
при этом кеьо = 0).
Взаимодействие A) ответственно за переходы между раз-
различными состояниями системы «частица + фотоны» с гамиль-
гамильтонианом //о = #о+ЯХ где Яо— гамильтониан частицы во
внешнем (некваитованном) поле (в данной задаче —гамильто-
—гамильтониан атома водорода), Hj — гамильтониан свободных фотонов.
Дифференциальная вероятность перехода в единицу вре-
времени определяется известным выражением теории возмущений
(dpf — плотность конечных состояний).
В рассматриваемой задаче в. ф, начального состояния имеет
где Wzp — в- ф. 2р-состояния атома водорода (в дальнейшем,
для определенности, будем считать, что в начальном состоянии
U = 0, при этом W2p зэ Ч0,_2. i=i, m-o), 10>v есть в. ф. (точнее, век-
вектор состояния) начального состояния системы фотонов в пред-
представлении чисел заполнения (это состояние — вакуум).
Как известно, с подавляющей вероятностью происходят пе-
переходы, в которых число фотонов изменяется на единицу. По-
Поэтому, ограничиваясь рассмотрением только таких, доминирую-
доминирующих переходов, имеем в. ф. возможных конечных состояний
4f, = V0W|liDl 0, ...),
где То = Ч^оо — в. ф- основного состояния атома водорода,
like, 0, ...)—в. ф. состояния системы фотонов, в котором
имеется только один фотон с импульсом fik и поляризацией о.
Для рассматриваемых переходов матричный элемент возму-
возмущения принимает вид (Ав описывает двухфотоиные переходы)
Здесь учтено, что из всех слагаемых суммы B) отличный от
нуля вклад в матричный элемент вносит только одно, так как
Ьс, 0, ... i
(lie. 0, ...
") Базисные векторы поляризаций eteвыбраны вещественными, ч
ствует фотонам с линейной яолярагашкЯ.
Для каждой из двух независимых поляризаций фотона чис-
число состояний равно («о* = с k = <о)
_ lVdBrfQfc
<2n)V '
и плотность конечных состояний рассматриваемой системы при-
принимает вид
Ve?dadQk
)
Таким образом, выражение C) принимает вид
Аи
E)
Интеграл в выражении E) после замены е~'Ьг« 1 (диполь-
иое приближение) принимает вид
dV = — ime>2l
юdV = - /тщат^. F)
Выполнив в E) суммирование по поляризациям фотона с по-
помощью формулы
? I еЬср1Е I2 =
а после этого и интегрирование по всем углам вылета фотона,
воспользовавшись значением интеграла
(к —волновой вектор фотона, ck = &2l), находим полную
роятность перехода (в единицу времени)*):
Учитывая явный вид в. ф. (а = №/те* — боровский радиус)
•) Это выражение м
осщшных Ф°Р"УЛ теории излучевия в дшолыюм
легко находим компоненты векторного матричного элемента risj
(fidx = (riA=0, (гц)г = -^ ¦¦%=-¦¦? J (cosa 6)г4е-3йгdQ=' ^- а-
Полная вероятность перехода принимает вид
Время жизни т и ширина уровня Г связаны с ш соотноше-
соотношениями
Для атома водорода согласно A0) и A1) имеем w да.
л* 0,63-109с-', т л* 1,60-lCH с, Г л 0,41-1СН эВ.
Время жизни 2р-уровня ^-мезоатома (тц « 207те) состав-
составляет даЮ~11 с. Это значение много меньше времени жизни сво-
свободного мюона и позволяет понять то обстоятельство, что ^-ме-
^-мезон, будучи захваченным на атомную орбиту, успевает до сво-
своего распада путем ряда каскадных переходов перейти на основ-
основной уровень.
14.2. Задача решается аналогично предыдущей. Так как
первый возбужденный уровень осциллятора имеет момент I = 1
(см., например, 4.23, 4.24, 4.25), его время жизни определяется
в основном однофотонным излучением, носящим дипольный ха-
характер.
Для вычисления вероятности перехода следует воспользо-
воспользоваться формулой (9) предыдущей задачи, положив в ней
<°2i = *> = "vЩт, и учесть явный вид в. ф. начального н конеч-
конечного состояний осциллятора (о = *\/hfma)
при расчете матричного элемента г12 (считаем для определен-
определенности, что в начальном состоянии U = 0).
Элементарное интегрирование дает
м = 0,
и вероятность перехода (в единицу времени) оказывается рав-
равной
!а! 2 *\{ Л \
{ш < со, так как e2/hc « 1/137 и ft© <С тс*).
Время жизни уровня т = 1/ш,
14.3. В дипольном приближении вероятность перехода
l<l|d|2>|=
о) Оператор днпольного момента d = — е ? го не зависит
от спиновых переменных и поэтому коммутирует с оператором
квадрата суммарного спина электронов S2. Если начальное со-
состояние отвечает определенному значению суммарного спина Sg
(напомним, что мультиплетность равна BS+ 1)), то векторная
функция *F = d*P2 также является с. ф. S2, отвечающей тому же
с. з. S2. В случае, когда в. ф. конечного состояния Wi отвечает
значению суммарного спина Sit^Sz, имеем (l|d|2>=0 из-за
ортогональности с. ф. эрмитова оператора S2, отвечающих раз-
различным с. з., и дипольные переходы отсутствуют.
б) Как известно, в. ф. стационарных состояний атома пред-
представляют (приблкжеино) определенные комбинации произведе-
произведений в. ф. отдельных электронов ^«,(m(r)Xsz в самосогласован-
самосогласованном поле (с различными квантовыми числами п,, i, m, s*). При
этом в. ф. любого состояния терма содержит одинаковое число
одноэлектронных в. ф, с данными квантовыми числами п,, I
(т. е. числа эквивалентных электронов для всех состояний дан-
данного терма — одинаковые). Поэтому все состояния терма имеют
одинаконую четность, равную / = (—1)" (сумма берется по
всем электронам; фактически значение четности определяется
электронами незаполненных оболочек).
Матричные элементы дипольного момента между состоя-
состояниями с одинаковой четностью тождественно равны нулю (см.,
например, 1.21), что и доказывает невозможность дипольных
переходов между различными компонентами тонкой структуры
одного и того же терма.
14.4. Рассматриваемый переход имеет дипольный характер.
Общее выражение для вероятности однофотонного дипольиого
перехода из начального /-го состояния д. с. в конечное /-е имеет
вид
&
где йн — матричный элемент дипольного момента системы,
fid = Ei — Ef — энергия излучаемого фотона.
Для получения искомой оценки w в A), очевидно, следует
взять dft ~ еа и учесть значение ha = AELS = 7- 10в эрг. В ре-
результате находим (о ~ Ю-8 см, e.ss.,5-10-10 ед. СГСЭ)
что соответствует времени жизни (по отношению к рассматри-
рассматриваемому переходу) т — 1/ш *w 3- 10е с « 100 лет A год *»¦
«3.14-10тс),
Задача решается аналогично 14.1. В выражении V =*
оператор электрического поля фотонов имеетвид
-т{Ш. а]_=
(использованы ебозначения задачи 14.1; Н$=
гамильтониан свободных фотонов, г — радиус-вектор центра
инерции ротатора; в дальнейшем будем пренебрегать отдачей
при излучении и считать ротатор локализованным в точке
г = 0 — точно так же в задачах об излучении атома обычно
ядро считают локализованным в точке R = 0).
В. ф. начального состояния системы (вакуум фотонов и ро-
ротатор на первом возбужденном уровне, момент которого I = 1)
имеет вид
/
(для определенности считаем U = 0). В. ф. конечного состояния:
(ротатор в основном состоянии и один фотон с квантовыми чис-
числами к, а; значение k = т/с определяется законом сохранения
энергии fico = ?1=1 — ?(=0 = Й2/Л см. 4.3).
Дифференциальная вероятность перехода (в единицу вре-
времени) равна (сравнить с решением задачи 14.1; d = (In, n~—
единичный вектор вдоль оси ротатора)
>у B)
(не путать элементы телесных углов diin — ориентации оси
ротатора и dQ* — вылета фотона!).
Введя обозначение а^^-\ псоз 6*/О„ и используя пред-
представление
I ekoa Р
выполним в <2) суммирование по поляризациям фотона, вос-
воспользовавшись соотношением
? fed**,). = («и—тМ-
0-1,2
При этом получаем
^(^)
н, выполнив в этом выражении интегрирование по направле-
ниям вылета фотона (с использованием формулы (8) за-
задачи 14.1), находим полную вероятность перехода:
(так как вектор da представляет матричный элемент диполь-
дипольного момента, то формула C), естественно, согласуется с об-
общим выражением для вероятности дипольного излучения).
Учитывая значения компонент вектора n = (sin 6 cos q>,
sine sin q>, cos 6), легко находим ax=ay = 0, az= l/V^i и окон-
окончательное выражение для вероятности перехода принимает вид
14.6. Ограничиваясь рассмотрением переходов^ разрешенных
в дипольном приближении, воспользуемся общей формулой для
вероятности таких переходов (в единицу времени)
Применительно к данной задаче du представляет матрич-
матричный элемент дипольного момента молекулы между в. ф. началь-
начального *Ра и конечного Ti состояний, относящихся к различным
вращательным уровням одного и того же терма. В. ф. этих со-
состояний имеют вид
(см., например, 11.60), причем квантовые числа п, А = О, v
начального и конечного состояний — одинаковые, а вращатель-
вращательные {К,Щ — различные. Выполнив в матричном элементе diS
интегрирование по координатам электронов %а (включая сум-
суммирование по их спиновым переменным) и относительному рас-
расстоянию В между ядрами, точно так же, как в 11.60, находим
(п — единичный вектор вдоль оси, проходящей через ядра, его
направление определяется углами 6, q>).
Так как энергия вращения молекулы Ец = Ве-К(К + 1)
(Ве = №/21 — ротационная постоянная), то легко заметить, что
формула A) с учетом B) идентична выражению для вероитно-
сти излучения ротатора.
Вычисление интеграла B) для первого возбужденного рота-
ротационного уровня с7(=1иЛ1=0 (при этом К' = 0) обсуж-
обсуждалось в предыдущей задаче. Окончательное выражение для
вероятности излучения:
Ю=ТТЕГ (®=АД=2Ве/А). C)
Для получения грубой численной оценки C) следует взять
d~eJ?c, /=ЛО?„~ЗМр/?-* (считаем для определенности, что
молекула содержит хотя бы один легкий атом, так что приве-
приведенная масса ядер М~ЗЛ4Р). В результате получаем (J?o *w
*w НИ см, е *w 5-10-10 ед. СГСЭ, ЗМР к 5- 1<Н4 г)
14.7. Взаимодействие частицы с электромагнитным полем
имеет вид
и ==-№*-А*й{т), A)
где смысл первого слагаемого очевиден, а второе описывает
взаимодействие спинового магнитного момента с полем излуче-
излучения. При этом оператор 91 taa имеет вид (по поводу оператора А
см. 14.1)
'"-*¦'¦"" B)
в этих выражениях г — раднус-вектор частицы. Пренебрегая
влиянием движения частицы на излучение, будем рассматри-
рассматривать только спиновую степень свободы, полагая г = 0. При
этом слагаемое Й^ — (i3i0 = —\ф$ф* в A) (ось г направлена
вдоль поля) имеет смысл невозмущенного гамильтониана си-
системы (спиновой подсистемы). Его с. ф. и с. з. очевидны:
Считая для определенности, что ц > 0, замечаем, что
?*0) >?]0) и ПОд действием возмущения (*= —мЭ1гаа@) возмо-
возможен переход из состояния ^?2 в Ть сопровождающийся излуче-
излучением фотона с энергией ha = ?§•• — Ef> = ЧуЖь.
Для дифференциальной вероятности такого перехода (в еди-
единицу времени) получаем (совершенно аналогично тому, как это
было сделано при решении задачи 14.1) следующее выражение;
D)
Представив это выражение в виде
ац=[кОР;5чУ]=>{кои],
выполним в E) сначала суммяревание по поляриз^едиям-фо-
поляриз^едиям-фотона (точно так Же, как в 14.1):
а затем интегрирование по всем направлениям вылета фотона:
(предварительно записав (кяи) (коц)" = t,t,;(Oi2),(o,j) ; и вос-
воспользовавшись формулой (8) задачи 14.1).
Учитывая явный вид функций 4*1. а и матриц Паули, легко
находим
и окончательное выражение для полной вероятности излучения:
14.8. Взаимодействие электрона с полем излучения имеет вид
(последнее слагаемое в A) представляет взаимодействие спи-
спинового магнитного момента, равного —eft/2/пс, с полем излуче-
излучения; явный вид операторов А и $rad приведен в решениях за-
задач 14.1 и 14.7).
Матричный элемент возмущения A) для однофотонного пе-
перехода из 2si/r в lSi/2-состояние имеет вид (сравнить с реше-
решениями указанных задач 14.1 и 14.7)
A B)
(Ч^ж — в. ф. атома водорода, j[i, а —спиновые функции элект-
электрона, црнчем для определенности считаем, что в начальном со-
состоянии Вг = и= +.1/2).
Учитывая-сферическую симметрию в. ф. Ti, j, легко находим
Действительно, векторный магричный элемент <*Fi (е-**г pl^aV
зависит от единственного вектора к и поэтому пропорционален
к, но кекс = 0. Таким образом, выражение B) принимает вид
(f\V\i)=—g-
. C)
Для вычисления матричного элемента экспоненты е^Ьг раз-
разложим ее в ряд (|kr|^:fta< 1):
Первые два члена разложения дают нуль (первый — из-за орто-
ортогональности в.ф., второй —из-за нечетности подынтегральной
функции), так что
\ D)
Записав ^af = k
приводим интеграл D) к виду, допускающему элементарное
интегрирование:
и учтя соотношение
Учитывая соотношения C) и E) и введя обозначение
<Xi[o|x2>=Oi2, находим дифференциальную вероятность излу-.
чения фотона в виде
E)
= Икс=?„_!—Е„.| = Зе'/Щ.
Выполнив в F) суммирование по поляризациям фотона и
интегрирование по направлениям его вылета (точно так же, как
при решении задач 14.1 и 14.7), получаем,
2"«7esfta*. ю 1 I д* V те*, в ,»
бв|
Значение выражения G) зависит от спинового состояния
электрона, описываемого спинором хь Чтобы получить полную
вероятность перехода 2s1/:r*\sl/!i, следует найти вероятности wil-S)
переходов в даа независимых конечных состояния с /z = s* =
= ±1/2, для которых
tf-(i). #-(!)•
и взять их сумму, т. е. w = шA) +
Элементарное вычисление дает
«!2 = ZiO* = Z
@,0,1) для *,=](»),
ДЛЯ xl = A
и полная вероятность оказывается равной
(8)
что соответствует времени жизни 2$[/2-уровня (по отношению
к рассматриваемому переходу) т = \/w *w 18 дней.
Сравнение результатов данной задачи и 14.4 с вероятностью
двухфотснного перехода w = 7 c-1 показывает, что в данном
случае однофотонные переходы имеют существенно меньшую
(на много порядков) вероятпость, чем двухфотоНный, т. е. они
являются сильно подавленными.
В условиях 14.4 это подавление имеет очевидную причину:
малость частоты излучаемого фотона (ш <*> <оэ1).
Подавление однофотонного перехода 2si/2-> lsi/г, носящего
магнитный дипольный характер, объясняется тем обстоятель-
обстоятельством, что в пренебрежении запаздыванием (e-'tr« 1) он яв-
является запрещенным из-за ортогональности пространственных
частей в. ф„ как это отмечалось выше. В связи с этим следует
отметить, что малость матричного элемента (имеющая порядок
величины k2a2 ~ а? и, соответственно, а* ~ 10~9 в выражении
для вероятности излучения), возникающая при разложении
экспоненты, оказывается имеющей такой же порядок величины,
как и релитивистскве поправки к в. ф. Учет последних приво-
приводит к увеличению значения вероятности (8) приблизительно
в 10 раз, так что рассмотрение, проведенное в данной задаче,
носит, фактически, лишь качественный характер.
14.9. В основном состоянии атома водорода с ядром —про-
—протоном триплетный уровень S = 1 сверхтонкой структуры выше
сииглетного S = 0 (разность энергий A?hfs = 1420 МГц *w
« 9,4- Ю-18 эрг). В. ф. этих состояний имеют вид (ограничимся,
для определенности, триплетным состоянием с Sz = 0)
Под влиянием взаимодействия с полем излучения
B)
возможен одиофотонный переход из триплетного состояния в
сннглетное (в выражении B) мы пренебрегли взаимодействием
магнитного момента протона с полем излучения, так как оно
примерно в Mv/me ~ 103 раз слабее, чем для электрона).
Решение данной задачи дублирует решение предыдущей
(к которому и отсылаем читателя за подробностями).
Матричный элемент возмущения B) для однофотонного пе-
перехода между состояниями атома A) имеет вид
(xi. я — спиновые функции системы «электрон + протон» в на-
начальном и конечном состояниях). Заменив e-ftr « 1 и элемен-
элементарно вычислив компоненты вектора о» =(.Х1\ое\х2У==@,0,1),
находим
Дифференциальная вероятность излучения (в единицу вре-
времени)
«fata Hrl
(fto = A?hfs); после суммирования выражения C) по поляри-
поляризациям фотона и интегрирования по направлениям его вылета
находим полную вероятность рассматриваемого перехода:
что соответствует времени жизни триплетного уровня т= 1/ш «
*w 107 лет.
14.16. Вероятности одиофотонных электромагнитных пере-
переходов (в единицу времени) различной мультиполыюсти для не
слишком сильно возбужденных состояний атома по порядку
величины равны:
а) »?.—& W~ W
{дипольный электрический, или ?1-переход);
(дипольный магнитный, или М1-переход);
?5 А3
C)
(кйадрупольный электрический, или ?2-переход),
где rfis~'*e, Pis ~ etifmc, ~.QIS ~ eas — характерные значена*!
матричных элементов динольного, магнитного, квадрупольного
моментов {a = ti2fme'2). Для переходов между уровнями раз-
различных термов Йсй ~ e2fa и ыа/с ~ ей/кс. При этом согласно
B) и C) вероятности Ml- и ?2-переходов по порядку вели-
величины— одинаковые (если переходы не запрещены правилами
отбора) й в от2 ~ 10* раз меньше вероятности ?1-перехода.
Специфика переходов между уровнями тонкой структуры од-
вого и того же терма определяется следующими двумя обстоя-
обстоятельствами. Во-первых, эти уровни имеют одинаковую четность
и ?1-переходы между ними запрещены (см. 14.3,6). Во-вторых,
для таких переходов величина ftto — порядка интервала тонкой
структуры, т. е. Ы ~ а?Еат ~ aV/c, и сравнение B) и C) по-
показывает, что при этом вероятность ?2-перехода в ar2 ~ 10*раз
меньше вероятности ЛЛ-перехода. Таким образом, квадруполь-
иое излучение сильно подавлено и доминирующими являются
магнитные дипольные переходы. Так как для таких переходов
правило отбора по моменту требует |Д/| = 0, 1, а энергия
уровней тонкой структуры по мере увеличения значения / изме-
изменяется монотонно, то указанные доминирующие ЛЛ-переходы
осуществляются между соседними уровнями тонкой структуры
терма. Грубая оценка вероятности излучения согласно B) с
ftw ~ aV/ti дает
14.11. Найдем вид в. ф. состояния фотона с / = 0 в импульс-
импульсном представлении (в силу специфических свойств фотона для
него в. ф. в координатном представлении в обычном смысле
(как амплитуды вероятности) не существует).
Искомая в.ф. Ф/=о должна зависеть только от векторов
импульса р = ftk и поляризации е фотона (причем, очевидно,
зависимость от вектора е — линейная) и являться скаляром,
т.е. не изменяться прп вращениях системы координат, так как
/ = 0. Наиболее общий вид такой функции*);
(f(h) — произвольная функция). Однако в. ф. фотона должна
удовлетворять условию поперечности его поляризации. Это оз-
означает, что амплитуда вероятности продольной поляризации,
отвечающей е||к, должна быть равна нулю. Положив в выраже-
выражении (I) е = к п потребовав, чтобы при этом Ф/=с = 0, легко
•) Обычно состояние фотона описывается с помощью фурве-комиопент
векторного потенциала А(Ь,/) с использованием калибровки кА (Ь, /) =0,
Ае(М) -= О. Связь такого способа описания фотона с используемым в 14.11
и 14.12 определяется ло существу соотношением Ф s eaAa. ¦
находим: a>/==0 = f(fc) # = 0, т. е. f(fc)s=O. Соответственно
Ф/=о =з 0, так что состояний фотона с / =~ 0 не существует.
Отсутствие состояний фотона с/«0 объясняет то обстоя-
обстоятельство, что *0-»-0»-переходы системы с излучением одного
фотона строго запрещены и этот запрет связан, фактически,
с поперечностью поляризации фотона.
14.12. В.ф. системы с /=1 и положительной четностью
/=+1 представляет линейную комбинацию компонент ак-
аксиального вектора а (при инверсии координат 7а = +»)- Этот
аксиальный вектор должен выражаться через следующие век-
векторы, характеризующие систему: k = kt — ка (к, + ка = О
вс. ц. и.); еь е2—векторы поляризации фотонов. Прн этом
зависимость а от ei, ед —линейная. Наиболее общий вид та-
такого аксиального вектора:
а - f I (ft) Qtfy] k) k + f2 (ft) [e,ej +
+ h (ft) <«*) [e,k] + П (ft) <e,k) [e2fc], A)
где f( 4(fe) — произвольные скалярные функции.
При перестановке переменных фотонов (при этом к|-*-*ка,
ei -*-* ъ2 и k-*-— Y) выражение A) преобразуется следующим
образом:
- h [eied + h (e,k) [e2k[ + f4 (eak) [e,k], B)
но так как фотоны являются тождественными бозонами, то
должно быть а' = а и из сравнения (I) и B) следует ft = f2 =
= 0, fз = ft. Таким образом,
а = h №) {(e2b) [e,k] + (e,k) [e2k]}. C)
Теперь учтем условие поперечности поляризаций фотонов,
которое требует, чтобы для продольных фотонов elp a°°ki,.s°Qk
в. ф. (и соответственно вектор а) была равна нулю (см. пре-
предыдущую задачу). Подставив в C) значение ei =k и потребо-
потребовав, чтобы при этом было выполнено условие а=0, находим
Mft) = 0; соответственно а = 0, что и доказывает отсутствие
состояний системы из двух фотонов с/=1и/ = +1.
Для состояний фотонов с / = 1 и четностью / = —I в. ф. яв-
является суперпозицией компонент полярного вектора v (при ин-
инверсии 7v = —v). Наиболее общий вид такого вектора следую-
(ft) {eak> e,. D)
При перестановке переменных обоих фотонов выражение D),
как легко заметить, преобразуется следующим образом:
- й {e,k) (e2k) k -
Условие симметричности в. ф., требующее v = v', дает gi ч=>
= g2 = О, ga = ^gt, я из условия поперечностн фотонов сле-
следует g3 = 0, т.е. vs=aO, что и доказывает отсутствие состояний
с /= 1, / = —1.
Следствием результата задачп является заключение о эа<
ирете распадов частиц со спином s = 1 (векторных мезонов) на
два фотона.
14.13. Найдем вероятность перехода (в единицу времени)
системы «частица + фотон» из состояния, описываемого в.ф.
^, = 11^,, 0, ...>^е'«*г/й; Pi = 0, E, = hau A)
в состояние с в. ф.
щ = 11 кл 0 ...) —f= eiVirlh, Et = —— + Лша B)
\V 2m
под действием возмущения
(явный вид оператора А и используемые обозначения обсуж-
обсуждаются в 14.1).
Рассматриваемый процесс происходит во втором порядке
теории возмущений по параметру «е» (фактически параметром
разложения является е*/Лс). Согласно общей формуле
D)
При этом в матричных элементах VfV, Vvi, входящих в сумму
по промежуточным состояниям v, следует ограничиться лишь
первым слагаемым в выражении C) (учет второго слагаемого
дал бы члены четвертого порядка по «в»), но так как pM'j s О,
то такие матричные элементы равны нулю, как и вся сумма
в формуле D), в целом. Поэтому вероятность перехода пол-
полностью определяется матричным элементом V/», равным
}
(мы используем обозначения ъ вместо еь,о, и т. д.).
Наличие в (Б) сомножителя Ор-ии.. Р1+йк3 выражает закон
сохранения импульса в процессе рассеяния п означает, что
конечное состояние системы полностью определяется кванто-
выми числами к3, о2 фотона (при этом состояние частицы, од-
однозначно задаваемое ее импульсом, определяется закопом со-
сохранения импульса). Поэтому при определении плотности ко-
конечных состояний следует рассматривать только состояния фо*
тона. Пренебрегая энергией отдачи частицы
(р2 ~ tikt 2<&
находим, как и в 14.1
и выражение D) принимает вид
Используя соотношение da = dw/j= dw/pc = V dw/c (p =
= l/V — объемная плотность числа фотонов), находим диффе-
дифференциальное сечение упругого рассеяния фотонов заряженной
частицей.
Записав (eie2J seiieifce2(e2ft n выполнив в формуле F)
усреднение по поляризациям падающих и суммирование по по-
поляризациям рассеянных фотонов с помощью соотношений ¦
легко находим дифференциальное и полное сечения рассеяния
неполяриэованных фотонов (Э — угол рассеяния):
G)
Т-Ъ (8)
Здесь Го=*е8/тс! — классический радиус заряженной частицы.
Выражения G), (8) не содержат постоянной Планка п сов«
падают с соответствующими результатами классической элект-
электродинамики.
14.14. Переход из начального состояния, описываемого в. ф,
^=11к,о„0, ...)J'00 = _i^|iki0iio, ...>, Е,=й©,,
под влиянием возмущения
р=-
(см. 14.5; мы рассматриваем только внутреннюю степень сво-
свободы ротатора, считая его, как целое, локализованным в точке
г = 0) происходит во втором порядке теории возмущений, п его
вероятность (в единицу времени) определяется общей форму-
формулой (Vfls=0)
Легко заметить, что отличный от нуля вклад в сумму в AJ
дают лишь следующие промежуточные состояния:
в которых ротатор находится на первом возбужденном уровне
с / = 1 (в остальных случаях матричный элемент возмущения
Voadn равен нулю). Учитывая, что Et = tisl(l+ l)/2/, coi =
= ша ^ ш — частоты падающего и рассеянного фотонов одина-
одинаковы, а также учитывая выражение
находим согласно A)
Сумму по т в B) легко вычислить:
?<0, 0,l«i|l. т){\, т\пк\0, 0>=Е <0, Щщ \l, m){i, m\nk\0, 0) =
= <0,0|n,nJ0, G} = -~\ntnttdQ=±6lk C)
(суммирование можно распространить на все значения i, m, так
какдля/=?ь1 имеет место равенство </ Ф 1, т|п*|0,0> г 0; в
C) учтена полнота системы шаровых функций XI *. т)(Л т |=1).
С учетом C) выражение B) принимает вид
Записав (eie2)s = епвм^ег», выполним в D) усреднение по по-
поляризациям начального И суммирование по поляризациям рас*
сеянного фотонов, используя соотношения
В результате получаем (9—угол рассеяния)
Учитывая соотношение между сечением н вероятностью
do = dw/j, где j=-pc=c/V (p = 1/V — плотность числа фо-
фотонов), находим дифференциальное и полное сечения упругого
рассеяния фотонов ротатором:
27с' 1«*-«>4>J •
E)
Согласно (Б) имеем в предельных случаях
При йв>-*-Й2/' сечение рассеяния неограниченно возрастает,
что отражает его резонансный характер. Однако при таких
частотах фотона формулы (Б) непосредственно ве применимы,
так как при расчете сечения необходимо учитывать естествен-
естественную ширину возбужденного уровня ротатора (с /= 1).
В связи с данной задачей см. также 14.17.
14.15. Найдем вероятность перехода (в единицу времени)
системы «осциллятор + фотон» из начального состояния с в. ф.
в конечное
n, 0, ...),
Affl2-f ЗЙсОо/2
VPam^, —с- Ф- гамильтониана осциллятора, отвечающие с. а.
ЕК = Пщ(И4-%), # = (п|+П2 + «з). см. 4.23) под действием
возмущения
V—^А<г)Р + -?гА°(г) A)
(явный вид оператора А приведен в 14.1).
Переход происходит во итором порядке теории возмущений
по параметру «е» (точнее, параметром разложения является
ев/Йс), и его вероятность определяется согласво общей фор*
^| Х'^[/. B)
При этом значение матричного элемента Vfi определяется
вторым слагаемым выражения AJ {"-е2). а при вычислении
элементов V[4, Vvi следует ограничиться лишь первым слагае-
слагаемым в A).
Дальнейшие вычисления проведем, пспользун дипольное
приближение, т.е. заменяя экспоненциальные множители, вхо~
дящие в выражение для А, единицей: е±1кт « 1 (для этого тре-
требуется ftfti -Сро = ¦т/Нтщ ). Легко находим (oi = «а ^ ю).
Vf,=-f^-(eie2). C)
Имеется два типа промежуточных состояний |v> в сумме
в B), дающих отличный от пуля вклад. Их в. ф. и энергия:
Используя известный вид матричных элементов оператора А,
легко приводим указанную сумму к виду (в дипольном прибли-
приближении)
<4>
^^СЧ^СЧ) матричный эле-
элемент импульса для линейного осциллятора <го|^|п> отличен от
нуля лишь при \т — п|=1, замечаем, что отличны от нуля
только такие слагаемые суммы D),для которых^=(п! + ия +
,+ «з)=1 (при этом матричный элемент компоненты px*spx
в D) не равен нулю лишь при пх = 1, пг = п3 = О, ру ^ fa-^
при Пз = 1, ni=n3 = 0, и аналогично для /Зг). При этом, как
легко сообраэить. имеет место равенство
0, 0|Р1\
10, 0, 0
где A|^|0> = — (f)\0\\) = i^fhm&a}2 — матричный элемент
импульса линейного осциллятора.
С учетом сказанного выражение B) легко привести к виду
Используя запись (е,е3)а = еие1ке21е2к, выполним в E) усред-
усреднение по поляризациям фотона в начальном состоянии и сум-
суммирование по поляризациям в конечном, пспользуя соотноше-
соотношения
В результате получим (в —угол рассеяния)
Учитывая, что dpf= (^-^, и воспользовавшись соотно*
шением, связывающим сечение и вероятность процесса (р=™
= 1/V — плотность числа фотонов): ^<т=^у-=е=4^"=~^'<
получаем окончательные выражения для дифференциального
и полного сечений упругого рассеяния фотона заряженным ос-
осциллятором:
Полученные выражения F), G) ие содержат постоянной
Планка и совпадают с соответствующими результатами клас-
классической электродинамики.
14.16. Рассматривая только спиновую степень свободы, счи-
считаем, для определенности, частицу локализованной в точке
г = 0. Найдем вероятность перехода системы из начального
состояния
?*=Х|| 1ь,о„0, ..¦•), Ei = ft«>i A)
в конечное
4ff=X2| Hie-» 0, ...), Ef = ftto2 B)
(Xi.2 — соответствующие спиновые функции) под действием воз-
возмущения (см. 14.7)
f> = -j^lrEd@) = -ftiS2
ъ.
Переход происходит во втором порядке теории возмущений,
и его вероятность рассчитывается по общей формуле
D)
В данной задаче сумма по промежуточным состояниям [v>
содержит четыре слагаемых, соответствующих состояниям, опи-
описываемым в. ф.:
где, как обычно, Xy«»"IB(J)- Xv—W=a(i): Учтено также
равенство энергий (частот) фотонов; »!==€%(=«•
«71
Легко заметить, что сумма в D) принимает вид
. (Б)
Для выполнения суммирования по s* следует записать в явном
виде правую часть выражения E) (так, первое слагаемое в фи-
фигурных скобках имеет вид
В результате выражение E) оказывается равным
где введены обозначения
ai12 = [ei.Eki.aI, т. е. (а1,Е)/
Учитывая свойство матриц Паули
выражение F) можно упростить:
аналогично расписывается второе слагаемое) и воспользоваться
соотношением
Х» F)
G)
(8)
Так какйрг=-™^^-. то согласно D), (8) и формуле,
связывающей вероятность и сечение процесса:
da = dwjj = dw/pc =• У rftw/c
(р = l/V — плотность числа фотонов), получаем дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния фотонов магнитным моментом
в виде
йа = WI влА«иЙ»Л I2 dQs- (9)
Выполним в формуле (9) усреднение по поляризациям па-
падающих и суммирование по поляризациям рассеянных фотонов.
Для этого представим квадрат модуля матричного элемента
в (9) в виде
I («(к в/ */%<*!* I2.=
572
Учитывая G), имеем
н, аналогично,
Далее выполним интегрирование по углам рассеяния фотона:
T
В результате указанных преобразований получаем сечение
рассеяния в виде
о = —д- -^г (OjJ| (о,)
или, учитывая известное соотношение 8/fcJeinj = ^„бд — 6
Выражение A0) зависит от спинового состояния частицы до и
после рассеяния. По условию задачи к! = @, 0, ft), Xi = ( 0 ). и
если Х2= Г n J (рассеяние без изменения ориентации спина), то
(о),2 = @, 0, 1) п сечение рассеяния равно
•*--?*«'-?-^- <>»
В случае переворота спина Ха = ( j) имеем @J1—A, /, 0)
и сечение рассеяния
32 *?
Сумма выражений A1) и A2) представляет полное сечение
рассеяния фотонов магнитным моментом частицы со спином
s = 1/2.
Для частицы с произвольным спином к имеем J»=—s. Чи-
Читателю предлагается самостоятельно показать, сделав необхо-
необходимые изменения б приведенном решении задачи, что полное
сечение рассеяния фотонов на неполяризованных частицах в
S73
втом случае равно
что при s» I совпадает с результатом классической электро-
дниамики для сечения рассеяния электромагнитной волны маг-
магнитным моментом, усредненного по различным ориеитациям мо-
ыента в предположении их эквивалентности:
(к—гиромагнитное отношение — определяется соотношением
р = кМ, М — механический момент частицы).
14.17. Решение может быть получено в результате простых
преобразований в решении задачп 14.14. Так как матричные
элементы (,L,M\n\Lf, Л1'> = 0 при \L—Ь'\Ф\, то во втором
порядке теории возмущений, кроме упругого рассеяния, проис-
происходит неупругое рассеяние фотонов, при котором возбуждаются
состояния ротатора только с L =• 2. В. ф. возможных конечных
состояний пмеют вид
?г = Ки1| 1*л, С), ?f = 3fis// + fiftJ = A@,.
Совершенно аналогично тому, как это было сделано в ре-
решении задачи 14.14 (следует только учесть различие частот па-
падающих toi и рассеянных а>2 фотонов), находим
Выражение A) завискт от значения Л1. Не интересуясь со-
состоянием ротатора после столкновения, выполним в A) сум-
суммирование по Л1. Для этого запишем
Ж 0| ntnm 12, М)<2, M\ntnk ]0,0)
I<2,М |я*П| 10,0)
и воспользуемся соотношением
<0, 0|п,пт|0,0><0, 0|n,nfe|0, 0> = <0, 0|n,nm
-<0, OIn^.10. 0><0, 0| ntnk |0, 0)
при выводе которого учтено, что слагаемые суммы по L, М от-
отличны от нуля лишь при L = 2 и L = 0, использованы условие
полноты системы шаровых функций /^\L, M){L, Л1|=1 и из-
известные значения интегралов
Учитывая сказанное, легко получить дифференциальное се-
сечение неупругого рассеяния фотонов, просуммированное по
всем возможным состояниям ротатора, относящимся к уровню
cL=2;
которое после усреднения и суммирования по поляризациям
фотонов (соответственно до и после рассеяния) принимает вид
и приводит к следующему выражению для полного сечения
неупругого рассеяния:
C)
°w,i = )<t<>=-g—— L(* +/«(»-'«.,)J •
В предельных случаях формула C) дает
D)
(т. е. вблизи порога), и
E)
Выражение (Б) не содержит постоянной Планка, как и сече-
сечение упругого рассеяния фотонов супр, найденное в 14.14. При
этом полное сечение рассеяния
. 16л d4
°полн — °упр "Г (Vynp — -g— 7^
совпадает с результатом классяческой электродинамики.
14.18. При доказательстве следует учесть условие полноты
системы с. ф. гамильтониана ? | т) (т \ = 1, равенства «^ =•
¦— — апт ч хтп = (х„т)\ а также соотношения
Полученные соотношения справедливы, очевидно, и для р- н
г-компонент г. Если поле [/(г) —центральное и состояние |п>
отвечает моменту / = 0, т. е. является сферически симметрия^
ным, то правые части всех соотношений для всех трех компо-
компонент одинаковы (в силу эквивалентности различных направле-
направлений) и их можно записать в более симметричной форме:
я) i<
\п); г)
14.19. В. ф. начального и конечного состояний системы
«атом + фотон» имеют вид
(Ч^ — в. ф. атома). Переход происходит под действием возму-
щення
0)
(суммирование проводится по всем электронам атома). Его ве-
вероятность (в единицу времени) отлична от нуля во втором по-
порядке теории возмущений по параметру «е» и согласно общей
формуле равна
При этом значение матричного элемента Vu определяется вто-
вторым слагаемым выражения A) (~?s), а при вычислении эле-
элементов Vfy, Vvi следует ограничиться лишь первой суммой в A).
Используя дипольное приближение, т. е. заменяя экспонен,
цкальные мвджптелн, входящие в выражение для А(г), едини-
<3)
{Z—число электронов; уч^едо.,чтр Wi^ipjss.w). ; .
В сумму в B) по йромежуточиым состояниям. 1у>отлпчйый
от вуля вкд^д дают^состоппия дву}с типов. Их в. ф. и энергии:
%~Ч.\йЛ ¦¦¦). Ev=^.
Ч', = Ч'„1 lU, lu. С, ...>, ?,=?„+2»о
(Ч1;,»*,,—в.ф. ивиерг'ии стационарных состояний атома).
ХЙфтывая вдвестиын вид матричных элементов; оператора
Air,)* ,'лег^о- приводим указанную сумму к веду (в* дапольмои'
приближении) ;
где fi>fti=(?o — ^п)/Л-
Воспользовавшись соотношением <01 ро [п> = ипщиф | го| «>
н введя оператор дипольного Момента атома й= — еТ, *"<.. вы-
выражение D) мажио запасать вввде
^ ^}.. E)
уммы, содержащиеся в выражении (Б)? им,еют следук>,
Огую-йёнзорную структуру:'' ¦ •" ¦ ¦ - -
(мы учли, что рассматриваемое состояние атома ямеет момент
/ = 0 и является сферически синметричным; суммирование по
состояниям атома, включающее суммирование по проекции
момента на орь квантования, сохраняет эту симметрию). Вы-
ролнияЬ F) свертку йо индексам i n к, находим л
. ¦:¦;
А± (<в)
G)
(С/
Выполнив "в (8) разложение по степеням я», получаем
«
Используя «правило ¦ сумм» и общую формулу для поляри-
поляризуемости атома Ро:
(«правило сумм» для случая одного электрона было факти-
фактически1 получено в предыдущей Задаче, см.' 14.18,6; обобщение
на случай Z электронов представляется очевидным), легко за-
заметаем, что выражение B) принимает вид (следует учесть
также формулу C))
2tfdpf. (Iff)
Переходя от вероятности к сечению, усредняя по поляриза-
поляризациям радеющих-фотонов и суммируя по поляризациям рассеян-
рассеянных фотбнов (точно -гак же, как это было сделано .при решении
задачи 14.13), находим дифференциальное и полное сечения
рассеяния:
Эти выражения совпадают с результатом классической электро-
электродинамики.
1 14.20. Система «водородшодобный атом -f фотон», находя-
находящаяся в состоянии, описываемом в. ф. (а = t&fZ&m)
Ф1-Ф.ИИ1» 0, ...>=-^Jl U.. С, ...>. ?, = йш—
в результате поглощения фотона электроном, происходящего
под действием возмущения
B)
может- перейти в состояние, в котором имеется только электрон
в кулоновском поле ядра. Так как энергия электрона при этом
равна ее =*?,- = Аю — / >/ = m(Ze*)8/2ftB, то можно прене-
пренебречь влиянием пряя ядра на электрон и выбрать в. ф. возмож-
возможных конечных состояний в виде ,
~|0, 0, ...>. ?,-
C)
(более^точн©, для этого требуется выполнение условия Ze2/^ =
~l3f "?"*¦• l)-Вероятность перехода (в единицу времени) оп-
определяется согласпо общей формуле '
Учитывая явний вид оператора А, приведенный в 14.1, находлм
Vfl=-?-(А^( ^ ~ j^?j?--*2- J e-tvih+ibfa-m dh. E)
Для^вычислейия пнтеграла в (Б), спачаяа, используя эрми-
товость р, перенесем его действие иа экспоненту слева от него^
возникающий при этом интеграл вычисляется в сферических
координатах с полярной осью ¦вдоль вемера *= р/Й — к:
Учитывая выражение для плотности конечных состояний
и связьвероятаости.исечен1идроцесеа
,(р=тг 1/V—плотность числа фотбнов), ваходим согласно D>—
(8) дифференциальное сечение фотоэффекта:
da== йос (# + ?(р —МП* dQ" *9*
Так как ее = pv/2 ж tike < fnc1 (v < с), то р » hk. Учиты-
Учитывая это обстоятельство и условие ра:»Л в выражении (9) п
выполнив в нем усреднение по поляризациям фотона с по-
моЩыо соотношения - -.
получаем дифференциальное сечение для неполярлзованных фо-
фотонов '¦'
п, соответствепио, полное сечение фотоэффекта
(/о=*=//2г= 13,6 эВ—потенциал иоишации атома водорода).
Численное значите s (Ы )' для ?** i; и Лш ж 5 кэВ составляет
0,6- 10-» су*.
'Выражение A \), умноженное иг 2 (два Л-электрон'а),
можно использовать и для вычислений "(приближенного) сече-
сечения фотоэффекта на атомах, отличных от водородоподобного
(вклад других электронов, находящихся в возбужденных со-
состояниях, меньше, чем /(-электронов: возбужденные электроны
менее' Сильно связаны с ядром, а в пределе свободных элект-
электронов поглощения ими фотонов не происходит).
14.21. Решение данной задачи может быть получено в ре-
результате простых преобразований в решении предыдущей*).
Перестановка начального щконечиого состояний не меняет зна-
значения |Vf*|s {в рилу эрмптовости V). Следует произвести изме-
изменения: ,
а) в выражения для плотности конечных состоянии
б) в (соотношении, связывающем вероятность и сечение:
в) заменить усреднение по поляризациям фотона суммиро-
суммированием, что дает дополнительный множитель 2.
¦ В результате указанных преобразований в соответствующих
формулах предыдущей задачи, находим дифференциальное в
полнбе сечения рекомбинации'электрона на основной уровень
водородоподобного атома: '
A)
* ., &*ФН&&ШГ- <2>
Отметим, что рекомбинация (быстрого) электрона на аоз-
'бужденнце уроани водородоподобного атома имеет значительно
меньшие сечения и их учет приводит к полному сечению ревом-,
бинации, отличающемуся от найденного B) всего па 20%.
14.22. По своей физической природе процесс фоторасщепле-
фоторасщепления дейтрона аналогичен фотоэффекту, и'расчет сечения этого
процесса полностью дублирует решение задачи 14.20. Соответ-
сгвенно^» взяв за ^образец решение этой задачи, укажем лишь
те изменения, которые следует произвести в формулах этого
решения, чтобы иайти седенне фоюрасдцевления. ,
*) Отметим, что согласно принципу детального равновесия сечения
взаимно обратных процессов фотоэффекта в раднапнонной рекомбинация
СвЯЗаНЫ Я)ЮСТШ1 СООТИОШШШЬ! (СМ. 13.60). ' : ¦)
Под в.ф. %(/")" теперь следует понимать в. ф. дейтропа
ео = "^==да~энеРгия связп дейтрона
(М —масса нуклона, ц = М/2 —приведенная масса системы из
протона и нейтрона). В выражении B) следует произвести оче-
очевидные замены: е-*-—е, т~-*-М, т~-*-тр=т/2.
Вид в. ф. ?f сохраняется, однако теперь Е/ = pi/2p = p2/M.
Изменения в формулах (Б), F) связаны, по существу,только
с изменением вида в. ф. Ч'о('-). В частности, формулу (С) сле-
следует заменить выражением
(прн этом, учитывая дипольный характер приближения, мы
сразу опустилп слагаемое ikr/2 в показателе экспоненты).
Плотность конечных состояний имеет вид
и, в отличие от 14.20, в дальнейшем мы не будем предполагать
выполнения условия Йш ^> е0.
Учитывая сказанное выше, легко приходим к следующему
выражению для дифференциального сечения процесса фоторас*
щепления дейтрона:
которое после усреднения по поляризациям фотона принимает
вид
Соответственно полное сечение фоторасщепления равно
°~ 3 ftc M''*{h®K ~ 3 Ас М (АшK
В заключение отметим, что при решении задачи мы рас-
рассматривали нуклоны как бесспиновые частицы. Однако не-
нетрудно сообразить, что учет спина ие меняет полученных ре-
результатов (естественно, в условиях, когда спиновые состояния
протона и нейтрона,,н.е фиксируются, т. е. проведено суммиро-
суммирование по поляризациям нуклонов).
19 В, М, ГалпцкнЯ ¦ яр. fc8l
14.23. Начальное состбйЙИе системы-»-свободный Электрой
и вакуум фотонов — описывается в. ф.
0, 0, ...>, ?, = -?-.
Под действием возмущения
может произойти рассеяние электрона, сопровождающееся из-
излучением одного фотона. В. ф. возможных конечных состояний
имеют вид
4?f=—=-e(|fer'*iU(j, 0, ...), ?f=~ + ft«>. C)
Вероятность рассматриваемого перехода (в единицу вре-
времени), происходящего во втором порядке теории возмущений,
рассчитывается по общей формуле
dp,.
D)
Отметим, что матричный элемент V,i отличен от нуля уже в пер-
первом порядке за счет второго слагаемого в B); однако он содер-
содержит множитель бр^рз+м!, выражающий закон сохранения им-
импульса при излучении фотона свободным электроном, а комби-
комбинирование этого закона с законом сохранения энергии призо-
дит, как хорошо известно, к невозможности излучения фотона
свободным электроном; поэтому взаимодействие электрона с
внешним полем, описываемое первым слагаемым в B) и при-
приводящее к передаче импульса ядру, является существенным
элементом рассматриваемого процесса; последнее слагаемое
в B) (~еа) во втором порядке не дает вклада в амплитуду
процесса.
Промежуточные состояния v в D), дающие отличный от
нуля вклад, описываются в. ф. двух типов:
V..=-We'»|lto0. ...>, ?„=4? + Л»,
при этом суммирование по vi,s сводится к сумме по всем воз*
можным волновым векторам и электрона в промежуточном со*
стоянии.
Учитывая явный вид в.ф". и оператора й(г) (см. I4.1J, нахо-
находим матричные элементы, входящие в выражение D) i
Наличие в матричных элементах множителей вида Sk,.«+k
позволяет легко выполнить суммирование по промежуточным
состояниям (в сумме по состояниям типа Vi отлично от нуля
лишь одно слагаемое с и = ki — k, в случае состояний типа
va — лишь си = кг + к):
G)
q=S(ki — кг — к) — импульс, передаваемый ядру).
Плотность конечных состояний равна
С помощью D), G), (8) п выражения, связывающего вероят-
вероятность и сечение процесса:
находим дифференциальное сечение тормозного излучения:
, ( е* \ B«!)я «efts ч/
X
- + 1*Г
—5- d^dOadD. (9)
Так как электрон нерелятивистский и Йш < mcs, TO
Действительно,
¦А*кЛ -- tt*k,k _ Лею,
С учетом A0), (И) выражение (9) принимает внд
A2)
Формула A2) дает наиболее полную информацию о про-
процессе тормозного излучения. Ограничиваясь же рассмотрением
лишь спектрального состава тормозного излучения, проделаем
следующие преобразования.
Не интересуясь поляризацией излучаемых фотонов, выпол-
выполним в A2) суммирование по их двум независимым поляриза-
поляризациям с помощью соотношения
При этом
A3)
Не интересуясь угловым распределением излучаемых фото-
фотонов, выполним в A3) интегрирование по направлениям их вы-
вылета (оно проводится элементарно, если выбрать полярную ось
вдоль вектора q);
4^& A>
da = -Z—
Выполнив в выражении A4) интегрирование по углам рас-
рассеянных электронов, которое проводится элементарно, если
выбрать полярную ось вдоль вектора fej (при этом q = А, 4-
+J^—2ft1ftI.cose),HaxoflHM дифференциальное сечение тормоз*
ного излучення как функцию частоты излучаемых фотонов (т. е.
спектральное распределение фотонов):
_ ^
(Ех — энергия падающих электронов). Полное сечение тормоз-
тормозного излучения бесконечно.
Так как при решении задачи действие поля ядра рассматри-
рассматривалось как возмущение, то применимость полученных выраже-
выражений требует выполнения условия Z#/hvz^ 1. В частности, по-
полученные результаты несправедливы, когда почтя вся энергия
падающего электрона передается излучаемому фотону.
Глава 15
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
15.1. Общее решение уравнения Клейна — Гордона можно
представить в виде суперпозиции *)
О-.О. ЧК±)= J dW**(kLtf*(r, 0. A)
частных решений этого уравнения, образующих полную си-
систему **):
и (*).=
* > 0.
B)
Функция Ч^ описывает частицу, имеющую импульс р = Ак
и энергию « =bv>^e me2. Функция WjT1 отвечает формально
энергии в' — —fito ^ —тс2 и импульсу —ftk. Такое решение
уравнения после выполнения операции зарядового сопряжения
представляет в. ф. античастицы, имеющей энергию б = Aw ^
^ mra и импульс Ак (см. 15.2).
Ограничиваясь в выражении A) суперпозициями Ч"+), Ч«->,
содержащими только либо функции Ч^', либо Ч*!" (еще раз
подчеркнем, что только такие решения уравнения Клейна —
Гордона описывают физически реализуемые состояния свобод-
свободной бесспиновой частицы!), подставим указанные функции Ч*^*
в выражение для Q, приведенное в условии задачи. Элементар-
Элементарное интегрирование с учетом соотношения
f e± i»_ w г #г „ {2лK й (к - к')
*) Следует подчеркнуть, что общее решение (I) уравнения Клейна —
Гордона имеет лишь формальный смысл, так как бно не описывает никакого
одночастичного состоянии. Одночастичиые состояния описываются лишь функ-
функциями чч+i (г,/) и ?•-» (г,0 в отдельности (см. 15.2).
"*) Обращаем виимавке на вспользуекое обозвачеиае в. ф. vj**. ..
Б95
т. е. Q(±> действительно имеет определенный (но разный для
Пций tp<->) знак.
одчеркнем, что, хотя Q(+) и Q<-> имеют вполне определен-
определенные знаки, соответствующие подынтегральные выражения
(№){r, t) этим свойством, вообще говоря, не обладают, тек что
р<+>, как и —р*-\ нельзя интерпретировать кан плотность ве-
вероятности.
В случае заряженные частиц величинам pw, p(-) можно
дать простую интерпретацию, связав их с объемной пЛо№остью
заряда. Для частицы, имеющей заряд е, выражение epw (г, t)]
при нормировке Q(+' = 1 можно рассмагривать как плотность
заряда в соответствующем одночастнчном состоянии. Величина
ер*->представляет плотность заряда в соответствующем состоя-
состоянии античастицы, при этом нормировка Q(~J = — 1 автомати-
автоматически обеспечивает противоположные знаки зарядов частицы и
соответствующей ей античастицы.
В случае нейтральных чйстйц наглядная интерпретация ло-
локальных величин р(±)(г, f), вообще говоря, невозможна. Однако
#го обстоятельство не следует рассматривать как порок тео-
теории, так как локальные пространственные характеристики для
одной частицы в релятивистской области лишены глубокого
физического смысле. Это связано с тем, что локализация час-
частицы в малой области пространства требует сильных внешних
полей. Но в таких полях становится возможным рождение но-
новых частиц, и задача автоматически нерестает быть одночас,-
тнчной. По втой причине в релятивистских теориях физический
смысл в. ф. частицы как амплитуды вероятности сохраняется
лишь в импульсном (но не координатиоы1) представлении.
Величину p(+'(ri0 можно, впрочем, интерпретировать как
плотность вероятности для частицы <и соответственно
—P(~J(r. ?) — Для античастицы), если усреднить ее по некото»
рому не слишком малому объему пространства.
15J2, Инвариантность уравнения Клейна — Гордона для сво-
свободной частицы
. О
(О
относительно преобразования С означает, что если 4?(r,t) яв-
является решением уравнения A), то ?с—СТ также является
решением этого уравнения, т. е. *Р и Ч?с удовлетворяют одно-
одному и тому же уравнению-
Произведя в A) комплексное сопряжение, очевидным обра*
зом убеждаемся в рассматриваемой инвариантности уравнении.
Бва
Так как С2 = 1, то в соответствии с условием задачи общее
решение уравнения Клейна — Гордова можно записать в виде
Ч*+|(г,
(*, 0 B)
(функции Ч^ определены в предыдущей задаче; отметим, что
знаки «±» указывают на характер временной завнсямости в. ф.,
Ьрответствующей положительным (-}-) и отрицательным (—)
энергиям или частотам). Оно включйёт в себя в. ф. как частицы
1^1+)^ так и античастицы Ч^+> и поэтому не описывает никакого
физического одночастичного состряния. Рассматривать же B)
в духе обычного принципа суперпозиции не имеет глубокого
смысла, тек как в этом соотношении часть решений —описы-
—описывающая античастицу—подвергается антклниейному преобра-
преобразованию.
Отметим, что физический смысл -преобразования С как за-
зарядового сопряжения для бесспиновых частиц прюявляется пр*и
рассмотрение не свободных, а заряженных частиц, находящих-
находящихся во внешнем электромагнитном поле, которое по-разному дей-
действует на частицы и античастицы (см. 15.3).
Из соотношения *Ре = С^ s W, очевидно, следует
Действительно, если Vocexp(ikr)—с.ф. оператора р, отвечаю-
щая с. з. hk, то соответствующая зарядово-сопряженвая функ-
функция Ч?с °^ехр(—&г) отвечает с.з. — ш и т. д.
15,5. а) Уравнение Клейна — Гордова для частицы с заря-
зарядом е во внешнем электромагнитном поле
H-^-evfv (!)
после выполнения в нем комплексного сопряжения можно запи-
записать в виде
, B)
также предстанляющем уравнение Клейна —Гордона, но для
частицы с зарядом —е и такой же массой т, как в исходном
уравнении A).
б) Совершив в A) одновременно с преобразованием С функ-
функции Ч' переход к некоторому новому элект])омяУинтному полю
А-*-А:, ф-*-фс приходим к уравнению
которое при Ас = —А, фе = —ф имеет такой же вид, как урав-
уравнение A).
в) Рассмотрим -постоянное электромагнитное поле {потен-
{потенциалы А, *р ве зависят от времени). В этом случае уравне-
иие A) имеет стационарные решения вида Ч'Е=е~'еН1гф(г).
Среди этих решений имеются отвечающие как положительным,
так и отрицательным значениям энергии е частицы (сравнить
со случаем свободной частицы, который получается адиабатиче-
адиабатическим выключением поля). Решения, отвечающие е>-0, как и в
случае свободной частицы, имеют обычный смысл: они описы-
описывают возможные состояния частицы (то же самое относится к
произвольной суперпозиций Ч1443 таких частных решений). Ре-
Решения для ё ¦< 0, как и произвольная суперпозиция таких ре-
решений W~\ не имеют непосредственного физического смысла,
который в этом случае можно припнсатьЧгс+) = СЧ'|~>^Ч'(~>,
как в.ф. актичастицы. Действительно, Ч^' имеет правильную
временную зависимость и удовлетворяет уравнению Клейна —
Гордона B) для частицы с зарядом —е, противоположным за-
заряду той частицы, в. ф. которой является Ч«+>. Таким образом,
общее решение уравнения Клейна—Гордона для частицы в
электромагнитном поле представляется, как и в случае свобод-
свободной частицы, в виде
Данная выше интерпретация преобразования С как зарядо-
зарядового сопряжения, осуществляющего переход от частицы к анти-
античастице, основана на результате п. а) решения. В этом смысле
установленная в п. б) инвариантность уравнения Клейна —
Гордона выражает его симметрию относительно замены час-
частицы античастицей: любому состоянию частицы, описываемому
в. ф. Tt+'(r, 0. соответствует точно такое же состояние анти-
античастицы с в.ф. Ч^+)(г, 0 — Ч^Чг, 0 (при этом при переходе
к античастице у потенциалов внешнего электромагнитного поля
следует изменить знак, что согласуется с физическим смыслом
зарядового сопряжения).
15.4- Учитывая вид оператора зарядового сопряжения С для
бесспиновых частиц Чге = СЧгэзЧг* (см. 15.2 и 15.3) и совер-
совершая в уравнении
mV + Zmc4J) 4 = - T
(о
комплексное сопряжение, получаем точно такое же уравнение
для зарядово-сопряженной функции*):
№~
B)
т. е. уравнение Клейна — Гордона для частицы в скалярном
поле инвариантно относительно зарядового сопряжения (отме-
*) V (г, 0 — вещественная функция, что является аналогом веществен-
вещественности потенциала и эрыитовосги гамильтониана в верелятинистскоы случае.
тим, что при переходе от A) к B) внешнее скалярное поле
не изменялось, э отличие от случая электромагнитного поля,
в котором для обеспечения зарядовой симметрии требовалось
изменить значения потенциалов на противоположные).
Уравнения A) и B) имеют одинаковый вид, только первое
из них описывает частицу, а второе—античастицу. Поэтому,
если в. ф. *Р(г, г) описывает некоторое физически реализуемое
состояние частицы в поле U, то точно такое же состояние, опи-
описываемое в. ф. Тс за ?, возможно и для античастицы тв том же
поле, что и доказывает одинаковый характер действия скаляр-
скалярного поля на частицу и соответствующую ей античастицу.
15.5. Внутренняя четность бесспнновой частицы опреде-
определяется характером преобразования ее в. ф. при отражении ко-
координат РЧ?(г, 0= ±44—г, 0 и равна +1 и —1 соответственно
для скалярной и псевдоскалярной функций.
В. ф. состояний частицы и соответствующей ей античастицы
связаны с различными частными решениями уравнения Клей-
Клейна — Гордона для одной и той же (скалярной или псевдоска-
псевдоскалярной) функции *?{т,1), которую можно записать в виде
(см. 1Й.2)
где Ч^'^СЧ^"'^^' г. Функции Ч**4"' и Ч^"' в отдельности
описывают состояния частицы и античастицы соответственно.
Функции ЧГ(+> и Ч™ имеют одинаковый характер по отно-
отношению к отражению координат (т. е. обе являются либо ска-
скалярными, либо псевдоскалярными); то же самое относится,
очевидно, и к функциям f1"' и Ч^"*"' (комплексное сопряжение
не меняет скалярного или псевдоскалярного характера функ-
функции). Отсюда вытекает, что функции Ч^+< и Ч^+' имеют одина-
одинаковый характер относительно отражения координат, что и до-
доказывает одинаковое значение внутренних четностей бесспино-
бесспиновой частицы и соответствующей ей античастицы.
Следует подчеркнуть, что в релятивистском случае внутрен-
внутренние четности бозонов могут быть, в принципе, определены из за-
закона сохранения четности ввиду возможности процессов рожде-
рождения и поглошения бозонов поодиночке. В нерелятивистском
же случае при взаимодействии частиц число их (каждоговида)
не изменяется, и поэтому внутренняя четность системы на всех
стадиях процесса одна и та же и не является экспериментально
наблюдаемой величиной. Соответственно, невозможно разли-
различить характер в. ф. относительно отражения координат и из со-
соображений простоты полагают, что в. ф. является -скалярной.
Отметим, что для частиц произвольного спина внутренние
четности частицы н античастицы одинаковы для бозонов и про-
противоположны для фермионов.
13.6. В нерелятивист^КоЙ кйянтовой механике ортогональ-
ортогональность и нормировка с.ф. эрмитова оператора f определяются
соотношением
?-П (или «г, для д. с),
0)
вид которого тесно связан с сохранением во времени норми-
нормировки в.ф. JJVfdK
Р случае ураанения Клейна—Гордона во времени сохра-
сохраняется величина
B)
и именно это выражение должно использоваться для норми-
нормировки в. ф.
Представим в. ф. фр, • в виде
C)
где Ч;{,+) описывает частицу с импульсом р и анергией е, а 4'JT1
отвечает формально импульсу —р и энергии —г и описывает
античастицу с импульсом р и энергией е (см. 15.2).
Подставляя в интеграл B) вместо функций *РиЧ" соответ-
соответственно в. ф. Ч^р*' и *Рр* *, легко убеждаемся в том, что он ра-
равен нуд» в случае различных функций Ч^*1 и Ч^' и пропор-
пропорционален 6(р— р'). Это свойство ортогональности — обобщение
на релятивистский случай формулы A). Выбрав в C)С(±*(р) =
*= 'у Bя^е (р) ¦ получаем условие ортонормированности си-
системы функций в виде
16.7. Если решение W{W{T,t) уравнения Клейна — Гордона,
описывающее физическое состояние частицы, представить в виде
суверпозицин функций (сравнить с решениями задач 16.1 и 15.6)
(о
то сохраняющуюся во 'времени величину Q*+> можно предста-
представить в виде
>—з?г И
По аналогии с нерелятивистским случаем функцию et+)ft»J
(точнее, а<+>(р,<)=о(+)(р)й-^*^ следует рассматривать как
в. ф. состояния частиды в импульсном представлении н исполь-
использовать значение Qt+> = 1 для ее нормировки.
Аналогично можно вбести в. ф. античастицы в импульсном
представлении, используя разложение решения ^"'{г, t) урав»
нения Клейна — Гордона по функциям Ч^^^Тр4**:
и связь в.ф. античастицыЧ^+> (г, i)c4P* }: Ч^+>=^Ч'< '^Ч* >•
(см. 15.2). Нетрудно сообразить, что в. ф. античастицы в нм-
иульсном представлении имеет вид.а?+1(р> 0 = а'~>*(Р)в~'Е'/*' Ус"
ловие ее нормировки \|oi+'(p, r)|2d3p = l эквивалентно значе-
значению Q(~* = —1.
Отметим, что связь скалярных (или псевдоскалярных) функ-
функций Ч^+>, Чг^|") с в. ф. частицы и античастицы в импульсном
представлении отличается от нерелитивистского случая допол-
дополнительным множителем -yfmc2fe (p) в разложении Ч^+>, ^+> п,о
плоским волнам. Именно это обстоятельство приводит к невоз-
невозможности интерпретации в релятивистском случае в. ф. в ко-
координатном представлении как амплитуды вероятности. Можно
было бы думать, что введение функции
C)
(и аналогично функции Ч^ 'для античастицы) каи в. ф. частицы
в координатном представлении устраняло бы ату трудность.
Но, хотя такая функция удовлетворяет уравнению Клейна —
Гордона и для нее сохраняется но времени интеграл jt^+iPdP
(точно так же, нзк и в ^нерелятивистском случае), все равно
интерпретация величины р —1$"+>р как. плотности вероятности
встречает серьезные трудности, так как нарушается локальный
закон сохранения dlvj +-^-р = 0. Более того, введение такой
функции для описания состояния вдстицы вызывает серьезные
трудности и с чисто теоретической точки зрения, так как она
не обладает никакими определенными трансформационными
свойствами по отношению к преобразованию Лоренца. Дей-
Действительно, имея в виду результат задачи 1.51 и соотношение
в (р) = Vp2c* + mV, согласно A) и C) иаходим
т. е. связь Ч^*' со скалярной функцией Ч™ осуществляется
с помощью нелокального оператора, не имеющего простых
трансформационных свойств относительно преобразования Ло-
рекца.
15.8. Произвольное состояние свободной частицы описы-
описывается решением ЧГ(+Чг. О уравнения Клейна — Гордона, пред-
представляющим суперпозицию частных решений, отвечающих по-
положительным энергиям (см. 15.1).
Функцию Ч14 можно представить в виде
о(+)(р, () = а<+1(р)е~*еШ B)
является в. ф. частицы в импульсном представлении в обычном
квантовомеханическом смысле (см. 15.7). При нормировке
J l C)
среднее значение энергии частицы представляется в виде
Согласно A)
Использун E), перепишем D) в виде
• (г, 0& " (M
X4fw(r', (iiPptPr'^r F)
(обратить внимание на порядок расположения сомножителей
в последнем интеграле). После выполнения в F) интегрирова-
интегрирования по р с учетом формулы
элементарно выполняется ннтегрироваиие а по г', так что
• (г, 0 (-
msc4) W<+1 (r, 0 rfV-
G)
Можно получить и несколько иное, эквивалентное G), вы-
выражение для ё, если воспользоваться соотношением, вытекаю-
вытекающим из B) и E):
Используя (8) в D), легко находим
5
Полученные выражения G), (9) для ё предполагают иормн-
ровку C), э
, эквивалентную условию
j
Проведенное рассмотрение непосредственно переносится на
случай античастицы, если для описания ее состояния исполь-
используется зарядово-сопряженная функция 4*i+ (г, I).
Отметим, что согласно G), (9) выражение для средней
энергии бесспиновои частицы можно записать в виде
аналогичном (с точностью до нормировочного множителя)
анергии классического скалярного (псевдоскалярного) поля,
удовлетворяющего волновому уравнению
Энергия такого поля Е== ^ Tmd?r, где Тт (иди Тц)~плот-
Тц)~плотность энергии поля, являющаяся компонентой тензора энер-
энергии — импульса и имеющая вид
E.9. Задача решается аналогично предыдущей. Среднее
значение ицпульса определяется выражением
-р" =^ J р f af+l (р, О Р &Р = \ о(+| * (Р. О ра(+) (Р. О <Р/>- (О
Используя соотношення {см. формулы E), (8) задачи 15.8)"
выражение A) легко привести к виду
B)
В B) элементарно выполняется интегрирование сначала по
р (оно дает множитель, пропорциональный б(г—г')), а затем
по г', и получается искомое выражение:
P—si-J^+Wr, 0|r-^TW(r@dV. О)
Имея в виду проведенное вычисление, легко сообразить, что
выражение C) можно записать в более симметричной форме:
Выражение D) для среднего импульса бесспиговоб частицы
имеет с точностью до нормировочного множителя такой же вид,
как импульс классического скалярного поля (сравнить с ана-
аналогичным замечанием относительно энергии в предыдущей за-
задаче). Компоненты импульса поля определяются выражением
Л= jFjodV, где Та (или Тц)~ плотность импульса поля, яв-
являющаяся компонентами тензора энергии-импульса поля, при-
чем i«oo i^ gf -f д( дку
15.10. Задача решается аналогично двум предыдущим. Ис-
Исходя из соотношения
и используя преобразования, подобные описанным в решения^
указанных задач, можно получить искомое выражение:
или в более симметричной форме:
ft
в которой оно имеет вид момента L классического скалярного
поля (сравнить с аналогичными замечаниями в отношении
энергии и импульса в предыдущих задачах). При этом выраже-
выражение для плотности момента X поля имеет наглядный физиче-
физический смысл, так как его можно представить в виде
где я(г,О^ плотность импульса поля (см. предВДуйфк} За-
Задачу).
15.11. Уровни энергии и соответствующие в. ф. стационар-
стационарных состояний определяются из решения стационарного уравне-
уравнения Клейна — Гордона для частицы в магнитном поле
'=**Ч A)
(с —заряд частицы, 3l=rotA). Это уравнение отличается
лишь заменой Е на (е2 — тЧ1) /йтс2 от верелятивистского у.Ш.
Используя известный результат решения уравнения B) для
однородного магнитного поля (см. 6.4 и 6.6, где оно было решено
при различных калибровках векторного потенциала), находим
4^ = mV+pic' + 2mc2ftco („ + Щ,
„ = 0,1 t
и + 7г).
C)
Интерпретация двух значений еРгл, отличающихся знаком,
точно такая же, как и в случае свободной частицы. Одно из
них, еРгп > тс\ представляет уровни энергии частицы (заряд
которой е), а другое, вргп<—"t?s. соответствует античастице
(заряд ее —е), причем энергия античастицы равна (—е)> тс2;
соответственно энергетические спектры частицы и античас-
античастицы—одинаковые (это обстоятельство очевидно заранее, так
как выражение C) не зависит от знака е, а то, какую из двух
частиц, с зарядом -\-е или —е, считать частицей, а какую —
античастицей, — вопрос договоренности).
Из формулы C) следует, как и в нерелитивистском случае,
что энергетический спектр поперечного движения — дискрет*
ный; однако расстояние между соседними уровнями теперь
зависит от величины продольной составляющей имнульса и
уровни не являются эквидистантными.
15.12. Уровни энергии и соответствующие им в, ф. стацио-
стационарных состояний определяются из решения уравнения
в» - mV) V, A)
имеющего вид обычного у. Ш., в котором энергия Е заменена
(г V)/2S
на (ё mV)/mc.
Для состояний с моментом I — 0 в. ф. является сферичесни
симметричной. Сделав замену функции Я (г)—г1? (г), преоб-
разуем уравнение A) к виду
^^ B)
Решение уравнения B) дла рассматриваемого поля U(r)
при (е8 — mV) < 0 имеет вил (/? @) =0)
C)
>0
(в области энергий 8s > тас* спектр непрерывный, и в соответ-
соответствующих стационарных состояниях частица не локализована
в ограниченной области пространства).
Требование непрерывности функции Я и ее производной в
точке г = а приводит к трансцендентному уравнению
8*-«*~=ч
—«у.
определяющему энергетический спектр связанных s-состояний.
Основные особенности спектра легко понять, имея в виду
непосредственную связь рассматриваемой задачи с задачей об
уровнях д. с. нерелятивистской частицы в сферической прямо-
прямоугольной потенциальной яме:
1) в достаточно мелкой яме состояний д. с. нет, они появ-
появляются лишь при выполнении условия Uqus > re2fi2/8m;
2) при дальнейшем углублении ямы (увеличении параметра
Uoaz) будут появляться новые уровни д. с, а для уже суще-
существующих уровней значение величины {п&сА — е*) при этом
будет увеличиваться (это соответствует увеличению |?„| при
углублении ямы в нерелятивистском случае), т. е. е? умень-
уменьшается при углублении ямы;
3) при некотором критическом значении параметров ямы
энергия (точнее, ej;) нижнего уровня достигает значения е* = О
положив в C), D) е?„0 = 0, получаем уравнение, определяю-
определяющее критические парамегры:
» /"S77
E)
Из E) следует, что значение t/пкр зависит от ширины ямы о,
но во всяком случае {/окр> тс*/2; в предельных случаях:
о > Я/тс,
(8)
(выражения F) определяют наименьший корень {/окр уравне-
уравнения E), другие корни уравнения отвечают обращению в нуль
в* с и>1).
Если параметры ямы превышают критические значения, то
формальное решение уравнения D) дает, очевидно, е| < 0, т. е.
энергия во становится мнимой величиной, что свидетельствует
о появлении неустойчивости в самой постановке задачи.
Для понимания причины появления такой неустойчивости
необходимо иметь в виду следующее обстоятельство. Решение
задачи позволяет найти величину е?, так что вп = ± д/е^- По-
Получающиеся два значения энергии, различающиеся знаком, сле-
следует интерпретировать так же, как н в случае свободной час-
частицы: одно из них, 8п!>0, дает уровни энергии частицы, дру-
другое, еп ¦< 0, отвечает античастице, энергия которой равна
—в„ > 0. Действительно, при уменьшении глубины ямы все
уровни е„ ;> 0 идут вверх и переходит в континуум г ^ тс2,
а уровни в„ < 0 сливаются с континуумом е < —тс2. Соответ-
Соответственно энергетический спектр частицы и античастицы во внеш-
внешнем скалярном поле одинаков, т. е. поле действует на них оди-
наково (в отличие, например, от электростатического; сравнить
с 15.4).
Для критических значений параметров ямы энергия основ-
основного состояния частицы и античастицы в яме принимает зна-
значение ес = 0. При этом оказывается возможным спонтанное
рождение пар «частица -j- античастица» (или одиночных частиц,
если они истинно нейтральные), и это обстоятельство является
причиной возникновения отмеченной выше неустойчивости ре-
решения одночастичной задачи.
Таким образом, в релятивистской области в случае доста-
достаточно сильных полей постановка одночастичной задачи теряет
физический смысл. Аналогичная ситуация возникает и в слу-
случае не слишком сильных полей, если они являются быстропе-
ременными во временя, так что существенно отличны от нуля
фурье-компоненты «потенциала» U(a), отвечающие частотам
© ^ mcs/fi. Формально неприменимость одночастичного под-
подхода в этом случае связана с невозможностью «разбиения» ре-
решений волнового уравнения на независимые положительно- и
отрицательно-частотные части (из-за переходов между ними),
являющегося существенным элементом в интерпретации реше-
решений волнового уравнения, сопоставляемых состояниям одной
частицы.
15.13. Уровни энергии и соответствующие им в.ф. стацио-
стационарных состояний определяются из решения уравнения Клей-
Клейна — Гордона
i A)
Учитывая сферическую симметрию задачи, решение уравне»
ния ищем в виде 4fXr) = fi/(r)ytol(e,<p). Из A) следует
Уравнение B) имеет форму, аналогичную у. Ш. для ра-
радиальной в. ф. R стационарного состояния (Wnrim = #«rll'im) вс"
дородоподобного атома в нерелятивистской теории*
i получается из него с помощью формальных замен (а = tf/tic)
Воспользовавшись известным выражением для энергетиче-
энергетических уровней нерелятивистского волородоподобного атома
к произведя в нем замены C), находим
(е» -
=mc2
[¦ ,, , , W ,.
(. Z3os + [nr + '/a + У (/ + 7s)* — 2*0* ] J
E)
(формально в E) следовало бы в правой части поставить два
знака: ±\ однако при выборе знака «—» получаются «лишние»
уровни, для которых физически приемлемого решения уравне-
уравнения A) не существует; причина: формула D) при замене Z на
—Z сохраняет свой вид, но она при этом не описывает спектра,
так как потенциал становится отталкивательным и состояния
д. с. отсутствуют; точно так же кулоновский потенциал в B)
при е_«< 0 является отталкивательным).
При Za < 1 из E) следует
Второе слагаемое в F) представляет релятивистскую поправку
к результату нерелятивистской теория. Как видно, учет релЯ'
тивнстских эффектов снимает «случайное» вырождение уров»
ией в нулоновском поле.
При Za > 1/2 формула E) приводит к комплексным значе-
значениям энергии (сначала для s-состояний, а затем и для ббльших
яяачений /), что указывает на появление неустойчивости в рас-
•сматриваемой задаче. Ее причину легко побить", если заметить,
что слагаемое —ZV/2mcV в уравнении B) на языке нереля-
нерелятивистской теории можно рассматривать как часть цотенциаль-
ной энергии, имеющую Характер притяжения. При Za > 1/2 это
притяжение является настолько сильным, что возникает паде-
вие на центр (см. [3]). Соответственно при учете конечности
размеров ядра этой неустойчивости, связанной с падением на
центр, не возникает*).
15.14. Представив в. ф. ?(г, *), удовлетворяющую уравнению
Клейна— Гордона, в виде Ф = ехр (~-^~) *?> запишем его
следующим образом:
A)
Выделение в в. ф. экспоненциального сомножителя соответ-
соответствует представлению энергии частицы в виде е — тс2 -f- E. Для
стационарных состояний
дУ„ А» д* Е*
ft* а» ,
2mcs dt3
Так как общее решение представляет суперпозицию в. ф. Ve,
а для нерелятивистских частиц Е < тс2, то второе слагаемое
и правой части уравнения A) мало по сравнению с первым
(во избежание недоразумений подчеркнем, что рассматривае-
рассматриваемое решение уравнения Клейна — Гордона представляет супер-
суперпозицию частных решений, отвечающих е ^ тс2). Пренебрегая
этим малым слагаемым, в «нулевом» приближении приходим к
у. Ш. для свободной частицы
Р т -^д ™» /<Д
Для определения релитивистской поправки к уравнению B)
представим в. ф. ? в A) в виде ? = ?„ + ?ь где |™ ' - "" '
и запишем уравнение A) следующим образом:
C)
Правую часть этого уравнения с требуемой точностью можно
преобразовать к виду
•) Однако даже в случае ядра конечного радиуса R дальнейшее уве-
увеличение его заряда приводит при некотором значении ZKf (зависящем от ра-
радиуса R) к появлению новой неустойчивости в рассматриваемой системе, фи-
аическая причина которой аналогична обсуждавшейся в предыдущей задаче:
В достаточно сильной "электростатическом поле (как и в скалярном поле)
становится энергетическв во'зм"ожныы спонтаввое рождение пар «частица+
античастица», -так что одночастнчная задача теряет физический смысД.
с учетом чего уравнение C) принимает вид
Уравнение D) имеет форму у. Ш. с гамильтонианом
— р*/8т3с2, представляющим естественное квантовомеханическое
обобщение формулы Н = Vp*?s 4- тЧ* — тс* w рй/2т — р*/8<и3с2
классической теории.
15.15. Стационарное уравнение Клёйиа—Гордона
в случае | яр | -trac* и | Е |« гас* (е =т<? +Е) удобно записать
в виде
ГС9-^А? 1 .. ..
(I)
где правая часть много меньше каждого из слагаемых левой
части. Пренебрегая правой частью, получаем в «нулевом» при-
приближении у. Ш. нерелятивистской теории.
Для нахождения релятивистской поправки к у. Ш. предста-
представим в. ф. в A) в виде 4r = 4ro + 4ri, где *Р0—решение у. Ш-,
а ?, описывает изменение этого решения за счет релятивистских
эффектов, так что |H^i| -^^ | Н'о| - При этом правую часть уравне-
уравнения A) с требуемой точностью можно преобразовать к виду
№¦+?,),
с учетом чего уравнение A) принимает вид
;-! a)
т. е. представляет уравнение на с. ф. и с. э. гамильтониана В,
являющегося естественным кваитовомеханическим обобщением
выражения
классичейвой теории*'
606
15.16. Ограничимся,- для наглядности рассмотрения, слу-
случаем, когда энергия частицы близка к энергии покоя, т. е.
e = mcs+?, где 1?|< тс\ Стационарное уравнение Клейна-
Гордона
при этом можно записать в виде
аналогичном у. Ш. с эффективной потенциальной энергией
Если |etp|>2mc2, то в соответствующей области простран-
пространства {/зфф < 0, т. е. взаимодействие частицы с полем иосит ха-
характер притяжения' независимо от знака ее заряда.
15.17. Точно так же, как и в нерелятивистском случае, d«x=>
= |f|Bi2Q, где/—амплитуда рассеяния, которая определяется
асимптотикой при г-»-то решения VjJ* стационарного уравне-
уравнения Клейна — Гордона
A)
Уравнение записано в виде, имеющем форму у. Ш. с эффек-
эффективной потенциальной энергией (зависящей от полной энергии в
частицы) т\
B)
Поэтому многие результаты теории рассеяния нерелятивистских
частиц непосредственно переносятся и да релятивистский слу-
случай. В частности, это относится к расчету амплитуды рассеяния
по теории возмущений; в борновском приближении она -опреде-
-определяется выражением
-^sinf). C)
Некоторую осторожность следует соблюдать при выяснении
условии применимости борновского приближения: отмеченная
выше аналогия уравнения A) и у. Ш. предполагает использова-
использование в качестве характеристики свободных частиц (при г-»»оо)
величины имнульса (а ие скорости или энергии1). Так что из-
известные условия применимости борновского цр#ближения в
нерелятйёистской теории слёЯуйЩйм образом обобщаются не
релятивистский случай:
Для первого слагаемого в выражении B) первое из условий
D)"требует выполнения неравенства
(т. е. теория возмущений неприменима при достаточно больших
значениях Z, требуется Z <& 137). Соответственно возможность
применения теории возмущений для второго слагаемого в B)
ограничивается вторым неравенством в D), требующим
итуды рассея-
и B)
Это,'— более слабое условие, чем предыдущее (б).
Легко сообразить, что при вычислении амплитуды рассея-
ния по формулам B), C) вторым слагаемым в выражении B)
можно пренебречь. Действительно, как видно из E), F), пара-
параметром теории возмущений, по которому ведется разложение,
является Zu. При этом второе слагаемое в B) вносит вклад в
амплитуду рассеяния порядка Bи)я, т. е. такой же, кац й пер-
вое слагаемое во втором порядке теории возмущений (йослед-
ний мы не вычисляем; соответственно учет второго слагаемого -
превышение точности!).
Учитывая сказанное и значение интеграла
f — 2?eei?
"* ^\ЖрГ) sin*F/2)*
15.18. Амплитуда рассеяния заряженной бесспиновой час-
частицы в электростатическом поле <р(г) в бориовском приближе-
приближении имеет вид
B)
(общие соображения по поводу формул A), B} см. в предыду*
шей задаче).
В ультрарелятивнсЙком случае е«»рс-*-оо вторым слагае-
слагаемый те B) можно пренебречь, при этом
\ lv
Соответственно
(напомним, что dQ= — 2nd cos B = —^ d(?8).
При p-*-tx> верхний предел интеграла в C) можно поло-
положить равным бесконечности (интеграл— сходящийся), и сече-
сечение рассеяния о(в) при е-»»оо является постоянной величиной
(в нерелятивистской теории о<*> Е~1~>0 при ?->-оо; см. 13.9).
Применимость борновского приближения в рассматривае-
рассматриваемой задаче определяется первым из выражений D) предыду-.
щей задачи и требует выполнения неравенства \е^\^.Нс/а
(фо, а — характерные величина и раднус действия потенциала).
Отметим, что для справедливости полученного результата
требуется, чтобы потенциал при г-*-оо убывал быстрее, чем
г-2; в противном случае сечение рассеяния равно бесконечности,
как и в нерелятивистской теории, из-за расходимости интеграла
в выражении C) на нижнем пределе,
15.19. Стационарное волновое уравнение для релятивистской
бесспиновой частицы во внешнем постоянном скалярном поле
можно записать в виде
тождественном нерелятивистскому у. Ш.
Так как интерпретация в. ф. свободной частицы в виде пло*
ской волны в релятивистской и иерелятивистской теориях одина-
одинакова, то общий подход к задаче рассеяния в нерелятивистской
теории, основанный на решении стационарного волнового урав^
нения, имеющем требуемую асимптотику иа больших расстоя*
ниях («плоская-j-расходящаяся волны»), непосредственно пе^
реносится на рассматриваемый релятивистский случай. Ампли-
Амплитуда рассеяния в борновском приближения определяется таким
же выражением, как и в нерелятивистском случае:
h ы—sir $i/и*-'.'<fr- —sSreto.
Соответственно сечение рассеяния (сравнить с 13.6)
определяется выражением
е/г)
Условие применимости борновского приближения:
<? Нро/та, где fo, «— характерные величины «потенциала» и
его радиуса.
15.20. Гамильтониан частицы Я = cap + mc2p".
При нахождении коммутаторов полезно иметь в виду резуль-
результат задачи 1.9 и то обстоятельство, что два оператора, один
из которых (р,1 и т. д.) действует на пространственные перемен-
переменные, а другой (а, 2 и т. д.)—на спиновые, коммутируют друг
с другом.
1) [Р,Я] = О;
2) lh, И] = [I,, cap] — сак [?,, рь\ = ice,klakpt Ф 0;
3) \Р, щ*={П<, fil^trfb H]+[U, B\tt-
Pi. P] = 0, to [s,,
поэтому s2 = V+S8 = ВД и, очевидно, коммутирует с Й.
Используя коммутаторы 1), 2), 4), легко находим коммута-
коммутаторы 6), 7), 8):
6) [L Щ = 0; 7) 0е. т = [Ш Я] = 0;
8) [?р, P] = [S,, H]h + blfit, Bl-tSIauPtfibPt^O.
9) Так как 7р= -р/, то [? Й] = [/, cap[ = -2cap/#0;
J0) [Я, mc?J=0. [Я, Я[ = 1р/, cap] = cp7ap-capp/ = O;
IО [\в. ^] — 2m^ ( _ i о ) • и для частицы с массой т = 0
этот коммутатор равен нулю.
В нерелятивистском случае первые девять операторов^ком-
мутируют с гамильтонианом свободной частицы Й =^ ps/2m
(десятый оператор-—обобщение оператора отражения на реля-
релятивистский случай частицы со спином s = 1/2).
Коммутативность оператбря р с Я является отражением
свойства однородности пространства, так же как коммутатив-
коммутативность \ с Й — следствие его изотропии. В отдельности опера-
операторы s и I не коммутируют с Я. Это означает, что в реляти-
релятивистском случае имеется некоторая корреляция между возмож-
возможным спиновым состоянием частицы и ее орбитальным движе-
движением. Коммутативность Р с Я—проявление неразличимости
«правого» и «левого» в пространстве.
15.21. Ввиду коммутативности гамильтониана Я = (cap -+•
+ тс2$) с р существуют состояния, в которых энергия н импульс
частицы одновременно имеют определенные значения. В. ф. та-
таких состояний:
/)]. (I)
B)
Стационарное уравнение Дирака имеет вид
(сор + mc'p) u (р, в) — ей (р, е)
или для двухкомпонентных спиноров
Второе из уравнений B) дает
а из первого с учетом C) и равенства (ор)г = р2 следует
откуда ев—msc4 = pats, в~ ± ур2са + mV (в противном слу-
случае существует только тривиальное решение % — q> s 0). При
этом спинор <р остается неопределенным и может быть выбраи
произвольным образом (причем двумя независимыми спосо-
способами для каждого из двух значений е). Соответственно при
данном импульсе р существуют четыре независимых решения
уравнения Дирака вида {1), для которых бнспиноры ы(р,е)
равны
D)
где Е = -j- Vp2ca + m2c4 (подчеркнем, что второй из биспино-*
ров D) отвечает отрицательной энергии частицы).
' Как и уравнение Клейна — Гордона, уравнение : Дирака
имеет решения, отвечающие отрицательной энергии частицы.
60S'
Интерпретация таких решений точно такая же, как я .в случае
уравнения Клейна — Гордона: функция, получающаяся в ре-
результате действия оператора зарядового сопряжения на в. ф.
частицы с отрицательной энергией, является в. ф. античастицы
(см. 15.27).
Для конкретизации вида спинора <р (а с ним и в. ф. (I)) и
получения полной системы функций воспользуемся коммутатив-
коммутативностью эрмитова оператора Л=Лр с операторами й и р. Из
уравнения ЛЧгре4=ЛЧгред., гдб
«(р. е, А) =
Y
, или (-|п)(рЛ=?-
= -jff- Л = 2Я|р1. E)
Решение уравнения E) хорошо известно из нерелятивист-
1Ж>й теории спина (см. 5.12, 5.14, 5.36). Состояния частицы с
определенным значением X (с з. X равны ±1/2) называют спи-
спиральными.
15.22. Подставляя е известные выражения
]=с?*афввДОуф. р*=Ч*Ч?^ЩЧ A)
наиболее общий вид в. ф, состояния дираковской частицы с
определенным импульсом р (и энергией е = Vp2fг 4- 1К2сА ^ тс2)
Ч'л, = и<р.В)«ф[-?(рг-в0]. B)
где биспинор и равен (см. предыдущую задачу)
(значение ЛГ выбрано таким образом:, чтобы нормировка бисшг-
нора и совпадала с нормировкой спинора ip, т. е. tCu = qj'qj; на-
Выражение E) монШо упростить, если воспользоваться
ионием ei{ep) + {ep)ot=~{ojpk + f3tf}i)pk»*2btkpk = 2p{, так 4fo
ф<р== е <p<ps==v<ip<ip==pv' *'
где v — скорость классической релятивистской частицы, имею-
имеющей импульс р.
15.23. В. ф. рассматриваемого состояния имеет вид Чг=*>
= и(р)ехрГ-^-(Р'" — ещ, где биспинор и(р) равен
(j?)
(см. 15.21; использована нормировка и'и = <р*<р = 1J.
Среднее значение вектора спина
Так как «^=1, «у^™ — <Уг *=*<*„. °lp*'::* — <JJtu = I'
гласно A) легко находим
B)
(в 'нер^лятивистской теории s =: '/еЧРоф),
Хогласио B) |5х|, («„I ^ mcs/2e, так что в ультрарелятщ
вистском случае е 2fe> тс3 имеем sx, 5ц-»-0, т. е. средний векуор
спина направлен вдоль оси г, параллельной импульсу частицы
(если, конечно, (p*<Mp Ф 0).
Полученные ограничения на значения §х, sy означают, что
возможные спиновые состояния частицы зависят от ее импульса.
Это обстоятельство является непосредственным следствием
уравнения Дирака, связанным с некоммутативностью операто*
ров спина и гамильтониана.
15.24. Для рассматриваемого унитарного преобразования
легко находим @+= О, О+С= бО+= 1)
r-ft^-H: _!)(S _?)С _!)-(? i).
Таким образом, операторы спина в новом и исходном пред-
представлениях имеют одинаковый вид, а уравнение Дирака в но-
новом представлении
{са'р+тсУ)ЧГ =
записанное через двухкомпоиентные спиноры *
ннмает вид
15.25. В системе отсчета К, в которой частица покоится
и е = mcs, ее спиновое состояние описывается бнслинором
и @) = ( 0" J, где <ро — некоторый двухкомпонентный спинор.
В системе К', движущейся относительно системы К со ско-
скоростью -—у, _ частица имеет скорость v и импульс р =
— mv/Vl —"(f/cK, а ее спиновое состояние описывается би-
спинором н(р). выражающимся через и@) по известной фор-
формуле преобразовании Лоренца для бислиноров:
и(р)**и'*=$и{0), (I)
S=eJ!p(-^atie)=ch4-sh4«H (th6=-S). B)
n =o — v/» — единичный вектор скорости системы К относи-
относительно К-
Используя соотношения (th6 = p
© /1 + ch 9
2= V——
согласно A) и B) легко находим
(-4).
C)
Выражение C) для бнспинора u(p) согласуется с общим
решением уравнения Дирака, найденным в 15.21. В этом
смысле существенным элементом задачи является установление
того факта, что спинор <р в биспиноре и (р) — ( * ) во всех ло-
ренцевых системах одниаков (с точностью до нормировки) и
равен- фо
Используя нормировку 4^9o==Ii получаем средний вектор
спина частицы в системе К', где она имеет импульс р, в виде
и'и
г + тс*
pg{g+ fr
Его связь со средним вектором спина в системе покоя час-
частицы s0=Vs41o0(Po легко установить, если направить ось z вдоль
вектора р:
**,р~-тЧ,о. **,—1ГА.О S*,p~sa.o №
(сравнить с решением задачи 15.23).
15.20. Имея в виду, что ЧРх = их{р)е1Г*рг~*\
откуда и следует ортогональность рассматриваемых спиновых
состояний частицы, отвечающих различным значениям >,.
Ответы на вопросы, поставленные в условии данной задачи,
становятся очевидными, если учесть результат предыдущей за-
задачи. Согласно последней спинор q> в биспиноре ,«(р) = ( 1.
описывающем одно и то Же физическое состояние частицы
(имеющей определенный импульс) в различных инерциальных
системах координат, с точностью до нормировочного множи-
множителя во всех системах отсчета одинаков. В системе покоя час-
частицы биспинор имеет вид «(())«>( J и соответственно их@)ео
°\ о*)' ^° в систеые пок°я частицы уравнение (оп)(рх=Яч>х
эквивалентно
<SnK@> = ^@), A)
т.е. представляет уравнение на с. ф. оператора ?п = 2sn —
удвоенной проекции спина иа ось, направленную вдоль век-
вектора п. Таким образом, наглядный смысл вект.ор п, фигурирую-
фигурирующий в определении биспинора'ых(р), имеет не непосредственно
в системе отсчета, в которой импульс частицы равен -р, а -&
системе., где она покоится, определяя направление, проекиия.яа
которое спина частицы имеет определенное значение, равное
Я/2.
609
Векто|> Vaf**"? определяет средвнй вектор спина в системе
покоя частицы. Во избежание недоразумений подчеркнем, что
в задаче рассматриваются состояния частицы с определенным
значением импульса и поэтому имеет смысл говорить о системе
покоя частицы.
Рассматриваемой задаче о классификации спиновых состоя-
состояний частицы с определенным импульсом по квантовому числу %
можно придать ковариантную форму. Для этого введем опера-
оператор X = ivB«3sivs(vv + i>4i'4). где "*>(== (v, v4)— некоторый еди-
единичный 4-вектор (т. е. Vi = v2 + v\ = l), ортогональный
4-вмпульсу частицы pi={p, гё/с): Vjp( = O. Читателю предла-
предлагается самостоятельно убедиться в том, что уравнение на с. ф.
эквивалентно уравнению (<Л1)<Ь = Яф?,, где связь трехмерного
ректора п с 4-вектором vi определяется тем условием, что в си-
системе покоя частицы vj имеет вид v;s=(n,0).
15.27. Решение уравнения Дирака, отвечающее определен-
определенным импульсу р и энергии е частицы (см. 15.21),
A)
при е ^ тс2 имеет физический смысл в. ф. состояния частицы
с импульсом р и энергией в. При е ^ —тс* решение A) (обо-
(обозначим его ftp), как и суперпозиция таких решений 4Tf—* *),
не имеет непосредственного смысла в. ф. какого-либо состоя-
состояния частицы. Такое решение описывает античастицу, причем
в. ф. античастицы Ч^+> получается в результате применения
операции зарядового сопряжения С к функции Ч?(~': Ч^+1 —
=CW( '. Как известно, это преобразование при используемом
стандартном выборе матриц Дирака записывается в явном виде
следующим образом:
№ = Ctf - V2V44I*-» = V.V4 (^-ГР), B)
или более подробно, с указанием биспинорных индексов:
(в C) учтено, что
•) Обращаем в
¦ым ранее в случае
соответствие таких обозначений использован»
частицы (см. 15.1).
Исйбльзуя соотношения
o'^tcr, — as, o3), oao'^ — oca,
находим согласно C) в. ф. состояния античастицы, соответ-
соответствующего «нефизическому» (т. е. се^ — тс1) решению урав-
уравнения Дирака вида A):
В этом состоянии античастица имеет импульс pf «¦—р и энер-
энергию е' = — е = Vp'8^ + *й2с4 ^ mcs. Обозначив ф,.. pf ^ —
перепишем D) в Биде
S4
что по форме совпадает, естественно, с в. ф. аналогичного
состояния частицы (с импульсом рг н энергией е')-
В, ф. состояния античастицы с определеииой спиральиостыо
Ч'е^р'.е'.л удовлетворяет уравнению
из которого следует
Уз (оп7) <рв. л fc = 7,фс. р,_ ^ F)
Учитывая установленную выше связь спинора фе; р- в в. ф.
античастицы Ч?в. ,л. со спинором zp B решении Ч^ уравнения
Дирака ((рс;р.= — ит2х*_й.), легко заметить, что уравнение F)
эквивалентно уравнению
~1/*(<П1')х_р..»=-Ях_р..х. или '/»(<)Хр.я = АхрА.
Это означает,что при зарядовом сопряжении 4f?H«C4ft~t кван-
квантовое число % — спиральность — сохраняет свое значение (в то
время как импульс и энергия изменяют знак).
15.20. Коммутативность эрмитова оператора Тз=3( t 0/
Для выяснения физического смысла с.з. ц оператора ys наи~
дем общие с. ф. %, е, „. коммутирующих друг с другом опера-
операторов Й, р, fg. Эти функции имеют вид (сравнить с 15.21)
**w-( j? У
причем из уравнения у5Ч/рад = |1
вар _ _„
*. — ±1*
следует
A,
%.„. -%.„ = >¦-?.*,„, B)
откуда (Is = 1, т. е. с. з. равны ц —± 1.
Функция A) при в=рс>0 (обозначим ее Ч*Й«) представ-
представляет в. ф. состояния частицы" с импульсом р и энергией е = рс.
При этом уравнения B) можно записать в виде
отсюда вытекает физический смысл с. з. ц: величина Я= — VzH
является спнральностью частицы, т. е. проекцией спина на
направление импульса.
При е = — рс<0 для функции A) (обозначим ее Ч^-Гр,,,)
имеем ((«О'Рр.^МЧ'р.ц, ^п'^'Гр,,,3!!**"^.^. так что спираль-
иость >.s=n/2. В случае е<0 непосредственный физический
смысл в. ф. HMeeT^t)_p,ll = C4ftp)rA = V?4l'lrp>|(t. Такая в. ф. опи-
описывает состояние античастицы с энергией е' = рс>0, им-
импульсом —р и спнральностью k = ц/2 (см. предыдущую задачу).
15.29. Так как Р\ = Р±, то эрмитовы операторы Р± являют-
являются проекционными (см. 1.35).
Учитывая установленную в предыдущей задаче связь с. з.
оператора fs со спиральностью, легко сообразить, что оператор
Р+ проектирует на состояния со спиральностью Xj=—1/2 для
частицы н ?,2=1/2 для античастицы. В случае оператора Р-
знаки спиральностей' изменяются на протияополоэкные. Во избе-
избежание недоразумений подчеркнем, что в данной задаче рас-
рассматривается действие операторов Р± на функцию, являющуюся
решением уравнения Дирака сш=О: сарЧг=/Л-^-Чг, т. е. вслу-
чае античастицы речь идет не непосредственно о ее в. ф. Ч^+),
а о решении Ч"-' уравнения Дирака. Следует иметь в виду, что
соотношение Р±Ч? = Ф при зарядовом сопряжении принимает
вид Рт№с = Фс, т. е. Р+ переходит в Р-, и обратно, что связано
с равенством C\s = —уъС
15.30. Уравнения Дирака для двухкомпоиентных спиноров
ирн т = 0 имеют вид \о = 2s ==* s/s)
Оии содержат два спинора ц>, х> описывающие спиновые "Ь
ства частицы с s =Л/2 по отяошеник>\к чисто пространствен-
иоыу вращению сц?гецн координат, и 1 независимым образом
преобразующиеся прл tAom преобраюрании (но не при преоб-
преобразовании Лпренца).
Естественное обобщение уравнений A) на случаи частицы
с произвольным спином s состоит /в. отождествлении в этих
уравнениях <р и х с двумя спино*ыйв'фулкцйяЫи,"отвбча1(*1Цйм^
спину $ и имеющими по 2s ^- 1 компонент каждая; при этом
под S-следует понйШть оператор спина величины s (вид кото-
которого в Ss-представлении хорошо известен).
В- случае спина s~\ удобно использовать йе ***-, '¦» eekVop-
ное представление, в котором компоненты спивдяйй' функций
являются декартовыми компонентами вектора (см. задачи § 4
гёйвы 3), а операторы конпонёнг спина определяются соотно-
соотношениями . i
Stak^ — ietktat. ' ' ¦¦ г
При это* Ъраъ^Яф&ь^-Гйел**^и1 ^А_(го1а)й,т. е., (spja =
= ftrota, и, отождествив* уравнениях A) (р, % соответственно
с векторами Б, ill. перепишем н}? в виде
Ij-6=rot3l, -1-|-Ж,=го1Б,
представляющем часть снстёмы уравнений Максвелл^..-„.,-,;,¦/
Два других уравнения: dive =0, div 3ts=0 — предст'аВ'
ляют дополнительные условия, «дтдрым -удорлетвор^ют век:
торы Б, 31. - , . . i
Подробное изложение квантовой механики фотоца' йэдев-
жится в книге [7]: '•' " | ' *' ' > ¦--
15.31. Плотность тока и плотность заряда для дираков$ко?
частицы имеют вид
Подчеркнем, что выражения A) справедливы как для свобод-
свободной частицы, так и для частицы во внешнем электромагнитном
поле (хотя в A) потенциалы ноля А, Ао в явноА^вде не вхо-
входят!).
В нерелятивистском пределе (энергия частицы, е ^а,т<?)
в в. ф- (бяспиноре) Ч! ¦=- ( ' ) спинор %, удовлетвор»(ощнву&а*-
нению ' ' •" -^' » «<-• -*m t"
приближенно равен Гтак как Й -
Соответственно
Используя B), C), согласно A) легко находим с точностью
до членов порядка A/сJ
р*=еФуа:е(р\, D)
Используя соотношение atob = t>th + й№(о,, выражение E) можно
упростить:
35Г { »'"¦•• (А - т
J=—
oi<p]},
(в)
Полученные выражения D), F) совпадают с формулами не-
релятнвистской теории для плотности заряда и тока частицы
со спином s = 1/2, имеющей заряд е и спиновый магнитный
момент (i = efi/2mc (см. [3]).
15.32. Учитывая явный вид матриц Дирака и тензора
' <** л»" '*« л / t, k«* l, 2, i
2,3,
рассматрвваеный гайвльтбЯиав легко ^преобрааовать К вмду
' (if
Уравнение 'fi^f =»H7, ваписаниое через двухкомпонент-
ные спиноры <р. X Э бисоннорной в. ф. y-a^*^. имеет, »ид
Ф — с^Х + т^ф + ^коВх,—квЗЦ>,.
Для перехода к иерелятивйстскому пределу, когда энергия
частицы е«mcs, следует, как. обычно» вмделнть из в. ф. мно-
множитель e-lmd>ilh, т. е. записать ее в виде у = е-1т«ч/* ф =
C)
выражении
ф ~ Ч?
(Я ~— характерная величина энестви нерелятивистскоб чвстивл).
При этом второе уравнение в B) прчиймает вид !
С учетом C) и неравенства |«ЭН<г: тс1 из D) следует
откуда, как и в случае свободной нерелятивистской ^астнцы,
1ХК1Ф1.
Подставляя E) в первое из уравнений B) (предварительно
выделиз из <р, х множит*дь e~tlnc''lh), легко получаем
Используя соотношение CjCft=fijft +ю(Ыо^, и Записав ор==
= а,р/, oS-^Oft^, находим
<<rp»oE)-(oS)(cp) = (рб) - (Гр) + iSS]»-i(Sp]», G)
причей "' |f"
8мтЯв«В<я«9(й^11№т«'Ч8) я «рнгебрегая еле»
гаргым, nponopUjl<>Haj^HbjMn(f/cJf, запишем F): в виде
||t ^-(-4-dlvS-{ttj«)qi. - (9)
^ (- 4 div 6 - [Spl о).'
¦ Имёя-*'-виду отмеченную выше милость спинора ^!по сравне-
сравнению с <р и пренебрегая им, можно ограничиться в нереляти-
нерелятивистском предйлй-описанием чаетийы та спином 5=1/2 лишь
одним спинором ф (как это делается в последовательно нере-
нерелятивистской, теория).Л1ри этом уравнение (9) представляет
у. Ш. с гамильтонианом
A0)
Отсутствие в Й слагаемого, вида еЛя.означает, что описываемая
им частица нейтральна (До — скалярный потенциал внешнего
электростатического^ поля),, а .наличие слагаемого —коЭ1 ука-
указывает на то, что' частица имеет магнитный момент, равный
A^ К.
Последний, третий член в A0) описывает спин-орбитальное
взаимодействие. При этом слагаемое — -^ [6р] о в этом взаи-
взаимодействии является естественным квантовоыеханическим .обоб-
.обобщением энергии;; взаимодействия, движущегося классического
магнитного диполя с электростатическим полем (см. 13.43).'
Гамильтэнкад-, AI4 (и его^нёрелятивистский предел A0)) ис-
используют для описания нейтрона б электромагнитном поле.
юке^для «тирания вэаи-
модействия с электромагнитным \полем аномального магнит-
магнитного момента j/ заряженных частиц со спином «и=1/2*).При
этом взаимодействие нормальной части магиятного момента.
раинои 'Vh/2tn6 (как И'заряда й частицы с полем), описывается
как известно, выражением еаА + еАй. *
^IS.Se/Энергетический спектр и соответствующие1 Фиспйнор-
ные в. ф. стационарных состояний ЧистйЦй!'определяются иё '
решения ^оавиения Дирака в магкитном иоле (е— заряд час-
*) Дл
? = 1/2, имеющей заряд е и магнитный но-
мент щ «рвэбиею}е» последнего на нормальную и анцмальную части-опре- ., '4
делйется соотношением ' * ' ' \*щ
Соответственно
злектромагнитн
(е — тс2) <р = со (р — ~ А ) %,
Исключая спинор % из системы A), получаем
(г2 — т2?*)ф = с2(о (р — ~ А))8ф. B)
Так как (см., например, 6.22)
(e(p-yA)J=(p-i-A)a-^o3l (M, = rotA),
то уравнение B) можно записать в виде
отличающемся лишь заменой Е на (е2 —mV)/2mc2 от уравне-
уравнения Паули для частицы со спином s = 1/2, имеющей заряд е
и магнитный момент (i = eft/2mc. Это уравнение для случая од-
однородного магнитного поля Э10 было решено в 6.21. При калиб-
калибровке векторного потенциала А = @,5#0х,0) решение уравне-
уравнения C) имеет вид
/1 = 0, 1
где постоянный спинор q^ — с. ф. оператора &*, отвечающая
с. з. oz = ± 1 (напомним, что ось г направлена вдоль Э10)
Второе из уравнений AJ определяет спинор j^p pc, а тем
самым и в. ф. ^пруР^зг стационарных состояний. * * *
Квантовое число s* = '/йаг в нерелятивистской теория опре-
определяет проекцию спина частицы на ось г. В релятивистском
случае ог утрачивает этот смысл, так как спинор % не
является с. ф.
с. ф. оператора *7г
Согласно D) заданным квантовым числам п, pz, ег отве*
чают два значения энергии, различающиеся знаком. Одно из
них, е 5= тс\ непосредственно представляет энергетический
спектр частицы; другое, е ^ —тс2, соответствует античастице,
имеющей положительную энергию (сравнить со случаем сво-
свободной частицы, рассмотренным в 15.27). Таким образом, энер-
энергетические спектры в магнитном поле частицы и античастицы
одинаковы — очевидный физический результат (сравнить со
случаем бесспиновой частицы, рассмотренным в 15.11).
15.34. Гамильтониан дираковской частицы во внешнем элект-
электростатическом поле:
Й = шр + тс2р + еИо(г) = Й0+ V, V = е,Л,=» Zeejr.
Возмущение V = Zeej/r вызывает переходы между различ-
различными состояниями свободной частицы.
При нормировке в. ф. начального состояния частицы с опре-
определенным импульсом pi яа единичную плотность потока
(см. 15.22):
(е, v — энергия и скорость частицы), а в. ф. конечного состоя-
состояния с импульсом рй —на единичную плотность вероятности:
p=^W=l B)
(спиноры <pi,f в A), B) нормированы на единицу: |(p,f|s=lt
энергия частнцы в начальном и конечном состояниях одина-
одинакова)— известная формула теории возмущений для дифферен-
дифференциальной вероятности перехода в единицу времени определяет
дифференциальное сечение рассеяния [3]:
do = dw = ^\V[f?dpf. C)
Плотность конечных состояний равна
Матричный элемент возмущения имеет вид (q = (p2 — р
Vt,*=['V}]fWtd3r =
Zeet(t
^$*?*4+^]*
Используя соотношения F —угол рассеяния)
(ср2) (op,)=P2ipikOtok ~ PuPit №н + йшо,) = PiPi + ([Р2Р1] 0 ~
= p!cos6-/p'sine<iv,
f _, d'r 4я
1" ~=
преобразуем E) к более удобному виду:
COS в - 1рЧ* sin 6 ov) Ф/. F)
Выражений (З), D), F) определяют дифференциальное се-
сечение рассеяния. Оно зависит от энергии частицы, угла рассея-
рассеяния, а также от спиновых состояний частицы до и после рассея-
рассеяния, описываемых спинорами ф,-,?. Не интересуясь поляриза-
поляризационными явлениями при рассеянии, выполним в дифферен-
дифференциальном сечеини усреднение по спиновому состоянию частицы
в падающем пучке (предполагая его неполяризованным) и сум-
суммирование по спиновым состояниям рассеянной частицы (ниже
эта операция обозначена чертой над матричным элементом).
Воспользовавшись известным из нерелятивистской теории соот-
соотношением (см. [3])
легко находим в рассматриваемом случае
| (rf ((е + т?Т + рV cos 6 - /рV sin 6 ov} <p, F *.
и окончательное выражение для дифференциального сечения
рассеяния:
dasado = -A
В нерелятивистском пределе v/c«l,p»moвыражение G)
переходит в формулу Резерфорда.
Укажем, что условие применимости проведенного рассмот-
рассмотрения имеет вяд \Zee\ | <? fit».
15.35. Выражение для дифференциального сечеивя рассея-
рассеяния можно получить непосредственно из формулы G) преды-
предыдущей задачи, если произвести в ней очевидную замену
(о
619
Воспользовавшись соотношениями A^s » 2рй A — cos 6)
= -^-d0s, находим полное сечение рассеяния:
•«-¦jjgrf
При 8-*-оо имеем р t& г/с, v sw с. Учитывая, что в интег-
интеграле B) существенна область конечных значений ?2^g J?-2, где
/? — радиус потенциала Л0(г), замечаем, что при е-*-оо сечение
рассеяния стремится к постоянному значению:
Отметим, что сходимость интеграла в C) на нижнем пре-
пределе (<72-*-0) предполагает достаточно быстрое убывание по-
потенциала Ао{г) при г-э-оо, а именно |Ло(г) |< B/t$ (так же
как и в нерелятивистском случае; иначе полное сечение рассея-
рассеяния обращается в бесконечность).
15.36. Воспользовавшись соотношением
- ftVu - 8s -f mV n (cap + тсф - e) (cap + mc^ -f e)
и известным видом функций Грина у. Ш. для свободной частицы
(- nVA - ft Vft2) 4^|f_r4 -
- (cap" + mc^ - e) (cap + т^ + е) j?*^l |-, = о (r - r'),
откуда непосредственно следует вид искомых функций Грина:
нлй, с явным указанием биспинорных индексов,
Воспользовавшись соотношением
- fiVA - 8s + msc* = («с/5 + па?) (-
совершенно аналогично предыдущему находим вид функций
Грина:
15;37. Записав уравнение Дирака в виде (е( — заряд частицы)
Ч tbV (г) = (е1«А
и воспользовавшись функцией Грина Gj+>(<", r% найденной
в предыдущей задаче, представим его в форме интегрального
уравнения:
ЧГ (г) = То (г) + J 6L+l (г, г') (йоА (г') - еИо (г')) V (г') йУ,
где То —общее решение уравнения Дирака для свободной ча-
частицы с энергией е. Выбрав в качестве То в. ф. состояния ча-
частицы с определенным импульсом pi ¦» ftki, получаем уравнение
«* ('') - й A (f)) Ti!1 (r')
A)
При г->оо второе слагаемое в правой части A) принимает
вид (сравнить с решением задачи 13.1)
1« (г')rfl".
В этом выражении оператором импульса следует действовать
только на сомножитель eikr (при этом pelkr = ftk у- e'fel"; дей-
действие р на другне сомножители: 1/г, e~lftfrr')/'1 дает асимптоти-
асимптотически несущественные слагаемые, убывающие при г—* оо, как
г~2). Соответственно уравнение A) при г->оо принимает вид
Tl!1 (г) = «1 (р,) е"^ + F ~- •
где биспинор
, и av.
B)
представляет амплитуду рассеянной волны (сравнить с 13.1).
В борновском приближении вместо точной в. ф. Ч'Ц' (г) в B)
следует взять ее невозмущенное значение «i(pi)e(br; при этом
( kk)
Оператор (матрица) Fb является матрицей рассеяния в бор*
новском приближении. Его матричные элементы «Ирг) ^б "i (pi)
при нормировке биспикоров «i,2«i,2=I определяют соответ-
соответствующее дифференциальное сечение рассеяния:
dan ¦= I «5 Ы РБЫ1 (pi) Is dCkt D)
(подчеркнем, что выражение D) зависит от спиновых состояний
рассеиваемой и рассеянной частиц, описываемых соответствую-
соответствующими биспинорами). Если спиновое состояние рассеянной ча-
частицы не фиксируется, то дифференциальное сечение рассеяния
в этом случае, в соответствии со смыслом биспинорной ампли-
амплитуды рассеяния, определяется выражением da == F*F dQz.
Выражение D), в котором Рв определяется формулой C)',
можно упростить, если учесть, что согласно уравнению Дирака
(сор2 + тс*$) и (р2) = еы (рг), и* (ря) (с«р2 + тс2® = ей* (р2).
Поэтому
tu (р2) Рв Щ (р,) = иЪ (рг) Сьщ (р,), E)
F)
Дифференциальное сечение рассеяния
dda—|«» (pa) GbUi (pi) ? йп2 G)
(подчеркнем, что G) тождественно D)) в случае чисто элек-
электростатического поля описывается выражением
Лги = | ^да \ е~ *Ао (г) dV i& (р,) н, (р,) |" йп2. (8)
Как легко заметить, (8) совпадает с результатами для диф-
дифференциального сечения рассеяния, полученными в 15.34 и 15.35,
а расчет по формуле (8) дифференциального сечения рассеяния
неполяризованнвх частиц в кулоновском поле Аь = Ze/r дубли-
дублирует соответствующую часть решения задачи 15.34, к которой
мы и отсылаем читателя.
Глава 16
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
16.1. Имеем
Pi + Рй + Рз = °. et + «г + % = Qo (ec = tnK!2 = Plfin). A)
Суммарную кинетическую энергию 2-Й и 3-й частиц пред-
представим в виде
B)
(P = P2 + Pj'=¦-'¦ Pi! M = 2m, ц.«т/2^- суммарная и :
вая массы этой пары частиц).
Согласно A) и B) имеем
C)
так что кинетическая энергия 1-й частицы тем больше, чем
меньше относительная скорость двух других частиц.
Выражение C) определяет интервал возможных значении
энергии 1-й (а тем самым и любой другой) частицы 0^ео^
=? 2[ъ0я (подчеркнем, что если одна из распадных частиц имеет
максимально возможную энергию 3/sQo, то две другие частицы
при этом движутся с одинаковыми скоростями),
16.2. Имеем
Очевидно, закону сохранения импульса можно удовлетво"
рить лишь при условии (ра — л/2/йё7 ^ О)
\Р2~
B)
так что A) и B) определяют возможные значения энергий ча»
стиц при распаде (и соответственно точки внутри треугольника,
которым можно сопоставить распад).
Введем систему координат, как
указано на рис 40 (при этом точка
О — в центре треугольника). Пусть
точка С (с координатами х, у) соот-
соответствует разрешенному по квиемати-
ке расцаду.
Нетрудно найти
Действительно, значение е.\ очевидно. Аналогично, введя систе-
систему координат я*, у' (см. рисунок), имеем е2 = -g- + if и, восполь-
зовавцшсь формулами преобразования компонент радиуса-век*
тора при вращении координат (в данном случае — вращение
на угол 2я/3), приходим к значению ва, приведенному в C).
Из B) имеем р|+ р\ — 2р2р3 ^ р\ < р% + р| + 2ргр3, или, учи-
учитывая A), — 2л/г2г3 <2в! — Q0<2-\fe2e3, откуда
D)
Подставляя в D) значения C), легко находим
= Qe/9i что представляет уравнение круга, вписанного в тре-
треугольник (его радиус равен A/3=Qo/3), и тем самым доказы-
доказывает утверждение задачи.
16.3. Пусть pa=mBva, Ea = mavlj2; рь, Гь —импульсы и
энергии частиц а и Ъ в некоторой системе отсчета К. В си-
системе К', движущейся со скоростью V относительно системы К,
имеем
Р* = ma (va — V), рь = ть (vb — V),
Простое вычисление показывает:
т. е. s действительно является галилеевски-ннвариантнон вели-
величиной.
В системе покоя распадающейся частицы А имеем ра + рь =
= 0, так что s = 2 (тв + ть) (Еа 0 + Ек 0) = 2MQ0.
16.4. Задачу можно решить аналогично предыдущей. Впро-
Впрочем, можно обойтись и без вычислений, если заметить, что
16.5. Представим кинетическую энергию частицы а до столк-
столкновения в виде
где М = тл + тпъ, ц — приведенная масса, Р = mava — суммар-
суммарный импульс системы, vCTh = va. При этом
Учитывая, что импульс замкнутой системы и соответственно
кинетическая энергия поступательного движения центра масс
Еи. н = Р3/2М сохраняются, замечаем, что на возбуждение ча-
частицы Ъ может расходоваться лишь часть энергии Е равная
/2 (вт0Р°е слагаемое в A)). При этом условие
t согласно B), определяет значения Еъ, при которых
может происходить рассматриваемый процесс:
(знак равенства соответствует пороговому значению энергии
Предельные случаи:
о) fnop « Qo при ma ^ ть; б) ?пор w (Я1а/шьH0 S> Qo при
m3 > ть.
18.6. Имея в виду диаграмму столкновений для упругого
рассеяния (см. |4]), нетрудно сообразить, что в рассматривае-
рассматриваемом случае она имеет вид, показанный на рис. 41.
Здесь:
АВ = ро = mavB — импульс частицы а в л-системе до столкно-
столкновения (он же — суммарный импульс системы),
ОВ~—~г—va — ее импульс до столкновения в ц-системе,
ОС — ее импульс в ц-системе,
АС — ее импульс в л-системе,
СВ — импульс частицы Ъ в л-системе
после столкновения.
Точка С лежит на окружности, радиус которой ОС равен
величине импульса частиц в ц-системе после столкно-
столкновения: __
Это соотношение — непосредст-
непосредственное следствие закона сохране- -
ния энергии, который в ц-системе Л
имеет вид
где Г,, f — кинетические энергии "" '"
относительного движения до и пос* Рис. 41.
ле столкновения (Tt , — p* ff2n)m
При упругом столкновении Qc = 0, так что ОС = ОБ. Таким
образом, все изменение в диаграмме столкновений для случая
неупругого рассеяния сводится к изменению радиуса ОС окруж-
окружности, на которой лежат точки С, определяющие импульсы ча-
частиц после столкновения.
Изображенная диаграмма соответствует случаю та > ть;
при тв < гпь точка А находится внутри окружности радиуса ОБ.
Если при столкновении происходит не возбуждение части-
частицы, а, наоборот, возбужденная частица переходит в более низ-
низкое энергетическое состояние, то Qo < 0. В этом случае ра-
радиус ОС больше чем ОД и, как легко заметить, возможна такая
ситуация, когда частица b (покоящаяся до столкновения) после
столкновения движется в направлении, противоположном на~
правлению движения падаюшей частицы а.
16.7. Галилеевски-инварнантный характер величин s, t, и'
устанавливается непосредственным вычислением (сравнить с
решением задачи 16.3).
В системе центра инерции рЕ = —рь. При этом ра = VPo
(ji — приведенная масса), рар^ = p|cos8, где Ео и б^кинети-
ческая энергия относительного движения частиц и угол рассея-
рассеяния' в системе центра инерции. Легко найти
s = 2 (та + тъ) Ео, f = — 4р,Е0 A — cos 6),
При этом s +1 + и = 0.
16.8. Имея в виду результат задачи 16.3, заключаем, что для
первого из указанных механизмов реакции величина s имеет
вполне определенное значение, равное sK = 2MQ0 (M =
= ma + nip — масса части-
частицы R), так что распределе-
распределение по s имеет вид
dw = CU(s-sR)ds. A)
Для второго механизма
следует ожидать, что рас-
распределение по s имеет более
или менее плавный вид
(рис. 42).
Как известно, энергия
системы, способной к распа-
распаду (нестабильной частицы),
не имеет строго определен-
определенного значения, а заключена
в интервале шириной по-
порядка Г = h/т (т — время
жизни частицы). Соответственно энергия распада Qo также за-
заключена в интервале шириной Г, и учет этого обстоятельства
приводит к некоторому «размазыванию» б-функционного рас-
пределеиня A), изображенному на рисунке пунктирной линией.
Непосредственное экспериментальное наблюдение частиц,
имеющих слишком малое время жизни (например, т ~ l©-23 с
у частиц, "Гак называемых резонансов, изучаемых в физике эле-
элементарных частиц), часто оказывается невозможным (они про-
кодят слишком малое расстояние за время между их образова*
нием и распадом). Однако наличие импульсно-энергетических
корреляций у частиц--продуктов распада типа рассмотренных
в данной задаче позволяет идентифицировать такие нестабиль-
нестабильные частицы и изучать их свойства (при этом нетрудно обоб-
обобщить рассмотрение на случай распадов с тремя и более части-
частицами в конечном состоянии я учесть релятивистский характер
кинематцкн изучаемых процессов).
16.9. Пусть х-*~ s' = х*(х) представляет некоторое преобра-
преобразование координат х_ (для краткое^ обмечаемых ojhqJ бу».
вой) системы. Оператор С такого преобразования определяется
условием
W'{x) = O4(x)^T?[x'), 0)
где Т(х)—произвольная в. ф.
Подействуем оператором С на функцию B*?(x)t где
^{х''ш)~ гамильтониан системы. Используя A), находим
он (*, ^-) v <*)=н (*
=н {х-, ?.) от М,
откуда, ввиду произвольности в. ф. ^(х), следует
6» (*, ?)-»(*-. -?г)Ъ = 0. B)
Инвариантность гамильтониана относительно рассматривае-
рассматриваемого преобразования означает, что Я («', -^г) = И [х, -^\.
Поэтому из соотношения B) непосредственно следует утвержде-
утверждение задачн.
с) В случае преобразования сдвига оператор С имеет вид
6=exp(-j--aP)(CM. 1-12,6). Его коммутативность с Я эквива-
эквивалентна условию [Р, Й] = 0, означающему сохранение импульса
системы fP=!51pnV
б) Для преобразования вращения координат имеем О =
= exp(iq>oL), где L —оператор суммарного орбитального мо*
мента системы частиц (см. 3.1). Коммутативность С с Й, экви-
эквивалентная условию [X, Л] = 0, означает сохранение орбиталь-
орбитального момента системы.
е) Для преобразования отражения координат СхР{та) =
= ЧЧ—гя), и коммутативность б с В означает сохранение чет-
четности.
Гамильтониан любой замкнутой системы бесспиновых ча-
частиц (по поводу частиц со спином см. ниже) инвариантен отно-
относительно рассмотренных выше преобразований, и это связано
со свойствами свободного пространства: его однородностью, изо-
изотропией и эквивалентностью правого и левого (правда, послед-
последняя инвариантность и соответственно закон сохранения четно-
четности нарушаются так называемыми слабыми взаимодействавми),
Внешнее поле нарушает отмеченные выше свойства свобод*
иого пространства. Соответственно гамильтониан системы ча-
частиц во внешнем поле не обладает такой высокой степенью сим-
симметрии, как у замкнутой системы. Однако отдельные эдаудай
.«7
симметрии и отвечающие им интегралы движения могут иметь
место и в этом случае (см. следующую задачу).
В отношении преобразования вращения для системы частиц
со спином необходимо сделать следующее замечание. При на-
наличии взаимодействия, зависящего от спина (спин-орбитальное
взаимодействие, тензорные силы), гамильтониан системы заве-
заведомо не инвариантен относительно преобразования вращения
одних лишь пространственных координат, описываемого опера-
оператором 0 = exp(/qpoL). Изотропия пространства в этом случае
проявляется в коммутативности оператора полного момента си-
системы J = L + S с гамильтонианом, соответствующей инвариант-
инвариантности гамильтониана системы относительно преобразования,
осуществляемого оператором /?^ = exp(iq>oi).
16.10. Согласно предыдущей задаче наличие у системы ме-
механических интегралов движения (импульса Р, момента L, чет-
четности /) связано со свойствами инвариантности гамильтониана
системы относительно преобразований сдвига, вращения и от-
отражения координат (так, неизменность гамильтониана при
сдвиге координат частиц системы вдоль некоторого направлен
ния приводит к сохранению проекпии суммарного импульса си-
системы на это направление и т. д.).
Гамильтониан системы N частиц во виешнем поле имеет вид
игЯ0 + 1/м(Гь -.., Г„,0. A)
где t/BS — потенциальная энергия взаимодействия частиц си-
системы друг с другом.
Гамильтониан системы в отсутствие внешнего поля Яо имеет
наиболее высокую симметрию: он инвариантен относительно
произвольного сдвига, вращения н отражения координат (соог-
ветственно операторы Р, L, / коммутируют с Яо н являются
интегралами движения). Внешнее поле нарушает (частично или
полностью) эту симметрию, так что именно симметрия потен-
потенциальной энергии частип во внешнем поле
определяет симметрию гамильтониана A) в целом.
В свою очередь симметрия VBU однозначно определяется ха-
характером симметрии «источников» внешнего поля, н для вы-
выявления ее следует позаботиться о выборе системы коорданат,
адекватном симметрии рассматриваемой физической системы.
При этом симметрия системы проявляется в независимости VBa
от некоторых координат (например, азимутального угла отно-
относительно оси симметрии и т, д.).
Имея в випу высказанные соображения, явный вид опера-
операторов проекции импульса и момента на некоторую ось (напри-
(например, ось г):
где ф — азимутальный угол в плоскости, перпендикулярной оси
г, а также сохранение энергии системы в случае ^-^/^ = 0,
легко приходим к следующим заключениям об интегралах дви-
движения.
1) Интегралы движения: Е, Рг, Ру, Рг, Lx, Ly, Lz, I.
Так как для замкнутой системы движения центра масс и
относительное независимы, то законы сохранения Е, L, / можно
несколько детализировать: указанные величины сохраняются не
только для движения системы в целом, но и для обоих указан-
указанных движений в отдельности.
2) Система обладает аксиальной симметрией относительно
оси цилиндра — оси г и трансляционно инвариантна в этом на-
направлении. Соответственно в цилиндрических координатах
и интегралами движения являются Е, Рг, Lz. I.
3) Система трансляционно инвариантна в любом направле-
направлении, параллельном плоскости х, у, создающей внешнее поле,
имеет азимутальную симметрию относительно любой оси г, пер-
перпендикулярной плоскости х, у, и зеркальную симметрию отно-
относительно этой плоскости; соответственно VBB = ? Vtt (| za |).
Интегралы движения: Е, Рк, Р„, Lx, I.
4) Система имеет центральвую симметрию относительно
центра шара; ?/„„ = ? Un(| г„|) (г = 0 — центр шара).
Интегралы движения: Е, Lx, Ly, Lz, La, I.
5) Система трансляционно инвариантна в направлении
оси у, ограничивающей полуплоскость х, у, создающую внешнее
поле, и обладает зеркальной симметрией относительно этой пло-
плоскости, так что 1/вн = X) Un (xn, I zn |).
Интегралы движения: Е, Ру.
6) Система имеет аксиальную симметрию относительно оси г,
проходящей через точки — источники внешнего поля; 1/ви =
= 1Х(р».гл).
Интегралы движения: Et Lx.
В частном случае, когда точки несут одинаковый заряд:
Un = 1!„{рп, |г„|), ипоэтому сохраняется также и четность /«
- 7) Если направление сил, действующих на частицы, зависит
от времени, то никаких механических интегралов движения у
системы нет. Если же от времени зависят только величины сил,
но не их направление (общее для всех частиц системы), то,
выбрав ось z вдоль этого направления, имеем t/BM = — ? Fn (f) гп
н соответственно интегралы движения Рк, Ру, Lz.
8) Симметрия системы такая же, как в случае 2)i
Интегралы движения: Рг, Ьг, I.
9) Выбрав оси х, у, z вдоль главных осей эллипсоида, имеем
Интегралы движения: Е, I. В случае эллипсоида вращения
его ось вращения г является осью аксиальной симметрии и ин-
интегралом движения является также Lz.
10) Ось винта — ось z, шаг винта — а, угол поворота вокруг
ОСИ — ф.
Функция t/BM = X Un (ря, za, 9„) инвариантна относительно
преобразования
(так что прн 6а = 2я имеем Ьгп = а) при фиксированных р„:
Это означает, что оператор Е?вн (а потому и гамильтониан Я)
коммутирует с оператором
Следовательно, интегралом движения является комбинация
Ав + 1^-*да а также (в силу ^-^Вн = о) и энергия Е.
11) Выбрав ось г вдоль оси конуса, имеем для однополост-
ного конуса VBB = ?Un(р„, zu) и интегралы движения Е и L*.
Для двухполостиого ковуса Vw = ? 1/„(р„, \гп\) и интегра*
лом движения является также четность /.
12) Ось тора —ось г, экваториальная плоскость тора —2 =
= 0, при этом l/B(t = Y, Vn (p*f I гп I).
Интегралы движения: Е, Lx, I.
16.11. Воспользовавшись правилом дифференцирования по
времени произведения операторов (см. 7.1)
н учтя, что по условию задачи -^-fi.a = O, находим-^-(fifs) = 0;
аналогично -^-(f^i) = 0. Таким образом, fifa н fafi. как и ука-
указанные в условии задачи комбинации этих операторов (послед-
(последние являются эрмитовыми операторами, есл»?ь h эрмитовы) .яв-
.являются интегралами движения.
16.12. Утверждение данной задачи является непосредствен-
непосредственным следствием результата предыдущей, так как Р„ = i \РХ, Зг\ =
= ЦРхЗг — 3%РХ), и имеет следующий наглядвый смысл. Комму-
Коммутативность Ря с гамильтонианом системы Я {Рк — интеграл дви-
движения) означает, что для такой системы пространство однород-
однородно в направлении оси х; точно так же коммутативность Jz с Я
свидетельствует об аксиальной симметрии пространства отно-
относительно оси г (соответственно механические свойства системы
не изменяются при ее сдвигах вдоль оси х и поворотах вокруг
оси г).
Непосредственным следствием указанных свойств симметрии
пространства, как легко сообразить, является его однородность
в любом направлении в плоскости х, у (а не только в направ-
направлении оси х), что и приводит к сохранению как Рх, так и Ру.
рассмотренную в дааной задаче симметрию имеет, напри-
например, система взаимодействующих друг с другом частиц, нахо-
находящихся в поле бесконечной однородной плоскости (плоско-
(плоскости х, у), см. задачу 16.10,3.
16.13. Утверждение задачи является непосредственным след-
следствием результата задачи 16.11, так как Зг = —*G«7У — 3yti),
и его свизь со свойствами симметрии сястемы проявляется в
следующем (сравнить с предыдущей задачей). Сохранение 1Х
и Зу связано с коммутативностью этих операторов с гамильто-
гамильтонианом системы и свидетельствует об аксиальной симметрии
рассматриваемой системы относительно осей х и у. Наличие же
у системы аксиальной симметрии относительно двух различных
пересекающихся осей автоматически приводит к ее аксиальной
симметрии также и относительно любой другой оси, имеющей
общую точку пересечения с ухазанными выше осями, и тем са-
самым свидетельствует о центральном характере симметрии си-
системы (неизменности ее свойств при поворотах относительно
любой оси, проходящей через центр симметрии).
16.14. В обоих случаях интегралами движения являются:
энергия Е, проекции полного момеитв частицы j = 1 + s и, со-
соответственно, квадрат момента р. Кроме того, в случае а) ин-
интегралом движения является четность /,
'- Так как е.ф, гамильтониана можно выбрать также и соб-
ственными функциями коммутирующих с ним и друг с другом
операторов, то легко сообразить, что независимые в.ф. стацио-
стационарных состояний частицы в случае а) имеют вид
где *i?iiix — известные спин-угловые в, ф. частицы со спином
s = lk (см- 5.41, 5.42), при этом четность состояния / = (—I)'1-*,
а у. Ш. сводится к одномерному уравнению для функции / (г).
В случае б) в. ф. стационарных состояний имеют вид
а у. Ш, сводится к системе днух линейных дифференциальных
уравнений для функций ft и /2.
16.15. Гамильтониан частицы Я = ~ —ц0Э1(Гв случае а)
принимает вид
и интегралами движения являются ?, рг. /г, $г, /.
В случае б)
д
I (— sin yax -f- cos cpffj,)
и интегралами движения являются Е, рг, jz = /z + se.
16.16. Учитывая вид гамильтониана Н — ~ For, легко на-
находим
~dt ~дГ ~^"W №Щ= — ^° —F №о')» р} = 0.
Среднее значение оператора G, являющегося интегралом
движения, не зависит от времени, так что
<G> = J ЧГ (г, О GT (г, 0 dV = <р @) - Fof = const ^ pOl
т. е. <G> равно среднему импульсу частицы в начальный мо-
момент времени t = 0.
Результат данной задачи является естественным квантово-
механическим обобщением результата классической механики,
согласно которому при движении в однородном поле вектор
Ро = Р @ — fff [у @ = v @) + ~ t] является интегралом движе-
движения, т. е. не зависит от времени н равен импульсу частицы при
¦•' 1€Л7. Спин пиона /я = 0, так- что полный момент J двух
пионов в с. ц, и. (она же — система покоя частицы ft0) совпа-
совпадает с моментом L их относительного движения, / = L, и он
же (в силу сохранения момента) равен спину частицы А0: /а =
Четность системы из двух пионов (в их системе центра
ииерцин)
где (—l)L — орбитальная четность пары, J^^= -f-1 (при этом
даже не существенно, что внутренняя четность пиона Рл = —1).
В силу предполагаемого сохранения четности внутренняя чет-
четность Ра частицы А0 должна быть равна Ра = 'Jя = (—1)'А.
Установленное соотношение между спином и четностью ча-
частицы А° (очевидно, Ja~L—целое число) в случае распада
А0^-я+пг представляет единственное ограничение на ее кван-
квантовые числа, вытекающее из сохранения четности.
В случае распада А°-»-2л0 имеется дополнительное ограни-
ограничение, связанное с тождественностью л?-мезонов. Действитель-
но, в. ф. двух п° должна быть симметрична по отношению к пе-
перестановке их пространственных координат. Но в с.ц.и. двух я0
перестановка координат эквивалентна отражению координат и
приводит к умножению в. ф. на (—1)L, так что требование не-
неизменности в. ф. ограничивает возможные значения L: L = О,
2,4, ... Соответственно частица А0 должна иметь четное зна-
значение спина и положительную четность.
Таким образом, возможны следующие квантовые числа /д
частицы А0:
а) 0+, 1-, 2+ 3-, ...; б) 0+, 2+, 4+, ...
Если частица А0 находвтся в состоянии с определенным зна-
значением JZ = M. то у распадных пионов LZ=M. Фиксирование
/ = L и Jz = М однозначно определяет угловую зависимость в. ф.
двух пионов в виде У/.м(п) (п = р/р, р — относительный им-
импульс пионов). Соответственно угловое распределение продук-
продуктов распада А°-»-2я имеет вид
16.16. Пусть частица V находится в состоянии %т с опреде-
определенным значением т проекции спина на некоторую ось г,
В силу сохранения момента распадные пионы имеют момент
относительного движения L = Jv = I (спин пиона равен 0) и
Lz = m, так что угловая зависимость их в. ф. однозначно опре-
делена и имеет вид Vim(n) (n = р/р)«
Соответственно для состояния частицы V, описываемого спи-
спиновой в.ф. вида х = ZСтХет Г?|стР=П, угловая зависи-
мость в. ф. распадных пионов имеет вид W = ? стУъп, так что
нх угловое распределение описывается выражением
•Ж = IZ CJ*» (") Г = Z "/Л fa) П*. «К (О
I m I m,m'
Переходя в выражении A) к поляризационной матрице плот-
плотности
к используя явный вид шаровых функций
У» = / д/-^ cos 6, У,, ±i = ч= i д/-^ sin в е**„
получаем искомое угловое распределение пионов в распаде
— 2Repj_,cos2ipsin2e
— л/2 Re p10 cos ф sin 26 -f 1/2 Im pI0 sin ф sin 26 -f
-f V2 Rep-10cos(psin
где 6, ф — полярный к азимутальный углы, определяющие на-
направление импульса одного из пионов распада; pu-f-poo-f
+ Р-1.-1 = I-
16.19. В условиях задачи квантовые числа исходной системы
n~d, очевидно, равны: / = I — полный момент, Р = Ря _ чет-
четность, совпадающая с внутренней четностью тг--мезова В силу
сохранения момента два нейтрона в конечном состоянии также
имеют полный момент /= I (в системе центра инерции), и так
как для них / = L -f S {L — орбитальный момент относитель-
относительного движения, S — суммарный спин), то возможны Лишь сле-
следующие значения квантовых чисел L, S:
= 0, S=U 2) L=\, S = 0;
i=l, S=l; 4)L = 2, S=l.
A)
Легко, однако, заметить, что условие антисимметричности
в.ф. системы из двух нейтронов запрещает им находиться в
состояниях с квантовыми числами 1), 2) и 4) в A). Действи-
Действительно, спиновые функции, отвечающие S=l и S = 0, соот-
соответственно симметричны и антисимметричны относительно пере-
перестановки спиновых переменных обоих нейтронов (см. 5.17), а
симметрия координатных функций с данным L совпадает с чет-
четностью этих функций (—1)? (поскольку перестановка коорди-
координат эквивалентна их отражению относительно центра масс}.
¦I
Соответственно антисимметричной по отношению к перестановке
спиновых и пространственных переменных двух нейтронов яв-
является в. ф. состояния с квантовыми числами L = 1, S = 1.
Четность такого состояния отрицательна, и сохранение четности
в рассматриваемом процессе позволяет сделать заключение об
отрицательной внутренней четности я~~'Мезона, т. е, пион —
нсевдоскаляриая частица.
16.20, Так как спин пиона равен нулю, то полный ыоиент
системы пионов J совпадает с их орбитальным моментом L и,
в силу сохранения момента в распаде, i = /t = 0. Согласно 10.17,
орбитальная четность состояния системы из трех частиц с L =
= 0 положительна, и, так как внутренняя четность одного
(и вообще нечетного числа) пиона отрицательна, заключаем,
что четность состояния системы из трех пионов с равным нулю
моментом отрицательна. Такую же внутреннюю четность долж-
должна иметь и частица т, если в распаде т-»-Зл четность сохра-
сохраняется. При этом частица т, очевидно, не может распадаться
с сохранением четности на два пнова (сравнить с 16.17). Со-
Соответственно существование распадов одновременно на два и
три пиона у частицы со спином / = 0 указывает на нарушение
закона сохранения четности в этих распадах (точнее, в одном
нз них). На опыте такими частицами являются /(-мезоны.
16.21. Для решения задачи прежде всего следует установить
вид спин-угловой зависимости в. ф. nN-системы с моментом / ¦=»
сй'Уг. Так как спин и четность пиона /? = 0", а у нуклона
4J = (i/s)+, замечаем, что при данном значении / полного мо-
момента зтК-системы орбитальный момент L относительного дви-
движении может принимать два значения: L = I$zxfs. При этом
четность яг^-системы равна Рпк =P«Pti(—1)ь = — (—1)ь, так
что фиксирование / н Рпы однозначно определяет L.
Учитывая сказанное, легко находим, что в случае а) (т. е.
при Рв = —I) ?-=0, так что в.ф. nN-системы не зависит от
;углов и ее спин-угловая зависимость имеет тривиальный вид:
причем спинор %п, описывающий спиновое состояние нуклона,
совпадает со спинором /в, описывающим спиновое состояние
частицы В (точнее, %н=е1ахв). Это следует из сохранении мо-
момента при распаде:
Так как в.ф. не зависит от углов, то угловое распределение
продуктов распада является изотропным.
В случае б) имеем L=*\. Вид спин-угловой зависимости
в, ф. следует из результата задачи 5.38:
П = р/р, B)
причем jr —е(ахв. Угловое распределение продуктов распада"
определяется выражением
т. е„ как и в случае а), является изотропным.
Наконец, в случае в), в силу несохранения четности, чет-
четность jiN-системы не имеет определенного значения и соответ-
соответственно спин-угловая зависимость в. ф. представляет суперпо-
зицию в.ф. A) и B):
а угловое распределение продуктов распада имеет вид
Характерным свойством этого распределения является асим-
асимметрия вылета «вперед —назад» распадных частиц относитель-
относительно вектора поляризации <о>в распадающейся частицы В. Су-
Существование указанной корреляции между направлениями
аксиального <о>в и полярного п векторов, неинвариантной от-
относительно отражения координат, как раз и является проявле-
проявлением несохранения четности в рассматриваемом процессе.
16.22. В случае распада А—*2п—невозможно, что связано со
специфическим свойством двухпионной (и вообще состоящей
из двух частиц с равными нулю спинами) системы — однознач-
однозначной связью момента / системы с ее четностью р2*=(—1)'
(сравнить с 16.17). Соответственно на основании анализа толь-
только углового распределения пионов принципиально невозможно
отличить распад частицы А со спином / и четностью Р = [—1)'
ва два пиона, идущий с сохранением четности, от распада ча-
частицы, имеющей противоположную четность (—1)/+|, происхо-
происходящего с несохранением четности.
В случае распада B^-jiN— можно. В этом случае несохра-
несохранение четности в распаде проявляется в том, что JtN-система,
вообще говоря, не имеет определенной четности. Соответствен-
Соответственно в спин-угловой зависимости в. ф. продуктов распада имеется
два слагаемых:
отвечающих различным четностям (dbl). Интерференция этих
слагаемых приводит к асимметрии углового распределения про-
продуктов распада:
-проявляющейся в различия вероятностей вылета «вперед—на-
«вперед—назад» распадных частиц относительно вектора <Jb> — среднего
вектора спина распадающейся частицы. Конкретный пример та-
такой асимметрии в случае распада частицы со спином 1~1/г
рассмотрен в предыдущей задаче.
16.23, Спиновые состояния v-квантов определяются их век-
векторами поляризации ei.s, удовлетворяющими условию попереч-
ности ei,2pi,2 = 0, Pi.s = dbp/2, где р — относительный импульс
квантов в их с.ц.и. (она же — система покоя распадающейся
частицы).
Так как в условиях задачи распадные у-кванты имеют рав-
равный нулю полный момент, то их в.ф. не должна изменяться
при вращениях координат и, в силу сохранения четности в рас-
распаде, должна быть псевдоскалярной функцией при распаде
псевдоскалярной частицы и скалярной — при распаде скаляр-
скалярной частицы.
Указанные выше ограничения однозначно определяют спин-
угловую зависимость в. ф. распадных у-кваитов в виде:
а) ?яД(Г) = С[еА1р; б) Ч^@+) = С(е,ег), A)
откуда автоматически вытекает утверждение задачи.
Отметим, что установленный вид A) в. ф. системы из двух
у-квантов, являющихся тождественными бозонами, согласуется
с- условием симметричности их в. ф. по отношению к переста-
перестановке частиц, при которой ei-»-e2, e2-»-ei, р-*-—р (р =pi — pa).
16.24. Сначала проведем общее рассмотрение, не пренебре-
пренебрегая спином нуклона. Пусть до столкновения нуклон имеет опре-
определенное значение sz= ±'/г проекции спина на ось г, направ-
направленную вдоль импульса падающего пнона. Очевидно, что в
условиях задачи проекция полного момента /г, являющаяся
интегралом движения, равна /e = sz, так как проекция орби-
орбитального момента относительного движения Lz на направление
импульса равна кулю (сравнить с 3,8). Соответственно и в ко-
конечном состоянии проекция спина частицы В равна /B>c = sc
(при этом существенно, что отбираются такие события реакции,
когда частица В вылетает по или против импульса падающего
пиона, так как иначе в конечном состоянии ЦсФО). Итак,
/в. г = «з. Очевидно, что при переходе в систему покоя части-
частицы В (скорость этой системы направлена вдоль оси г) значе-
значение /в. z проекции ее спина сохранится. Таким образом, в си-
системе покоя частица будет характеризоваться значением /в, г =
= sz проекции ее спина.
При распаде B-»-jtN спин-угловая зависимость в. ф. jiN-си-
стемы однозначно определяется следующими условиями: мо-
мент системы равен /в, проекция момента равна sz, и четность
системы равна четности Ре частицы В. Соответствующие функ-
функции Ч0вив-Вг были иайдены в 5.41 и 5.42, при этом конкретное
значение /¦= JB ± !/2 определяется сохранением четности в рас-
паде: РВ = РЛРЫ[—!)' = —'(— i)J. Угловое распределение про-
продуктов распада: dw = \ ^tBitz|a^Q- Если первоначальный нуклон
был ие поляризован, то это выражение следует усреднить по se,
так что оно принимает вид
В случае /в S> 1 представляется естественным пренебречь
спином нуклона и рассматривать распад B-*nN как распад
на две бесспиновые частицы. При этом /в следует считать це-
целочисленным (т.е. заменить /в на /в ± '/s), a /B,z = Sz= ±1/2
заменить на /в, z = 0. Соответственно угловое распределение
продуктов распада в этом приближении принимает вид
m-«|J'/B..fn)p=-^i-|p,B(cose)p. 0)
Подставляя в A) известное асимптотическое выражение для
полиномов Лежандра
и заменяя в нем быстро осциллирующий множитель
sins[(/B-f 1/2N+ jtf4] его средним значением, равным IJ2,
находим искомое распределение:
16.26. Будем нумеровать индексом i частицы в начальном
состоянии, / — в конечном, так что
Из закона сохранения заряда следует X Qi= Л Яь а вз за*
кона сохранения изотопического спина (точнее, его проекции
?з) — ?Тэ,, = ?:Гз./. Имея это в виду, из соотношения A]
легко получаем ?У, =
> что и означает сохранение гипер-
гиперзаряда.
16.26. Искомый оператор в изопространстве выражается че<
рез следующие операторы: единичный 1, операторы компонент
нуклонного изоспина ti и пвонного 1ц. Так как операторы т, t
являются векторными операторами в изопространстве, а иско-
искомый оператор должен быть скаляром, то прежде всего выпи-
выпишем все скалярные комбинации из указанных выше операторов!
; Операторы i* ='/яО + 'ЛУ—V*. *^ = 2 кратны единичному,
так что они (как и их степени) дублируют оператор 1, и их
можно отдельно не рассматривать. Далее, легко заметить, что
с. з. оператора "if равны
~' (в состоянии с г=1/2),
с. Мтч-|
где Г —значение суммарного изоспина nN-системы (сравнить
с 3.34). Так как оператор (tt) имеет лишь два различных с.з.,
то согласно 1.27 имеем
так что (it)" при п^2 линейно выражается через I и t?
Таким образом, из всех изоскалярных операторов (I), через
которые должен выражаться искомый оператор, линейно неза-
независимыми являются лишь I и х t, так что
где t^i, 2 — операторы в конфигурационном пространстве, не за-
зависящие от изоспиновых переменных.
Имея в виду B) и C), легко найти операторы 0G") пион-
нуклонного взаимодействия в состояниях с определенными зна-
значениями Т = 1/2, 3/2 суммарного изоспина:
G(t=Vi)—V,-vs, и<?*~%)=i>, + v*vb
а также выразить оператор C) через € (Г):
16.27. Задача решается по образцу предыдущей. Внешнее
различие проявляется в том, что оператор (tjta) .(fr я — опера-
операторы изоспина 1-го и 2-го пионов) теперь имеет три рязлич»
ных с. з.:
{1 (в состоянии о Г = 2),
—1 (в состоянии о Т=\),
—2 (в состоянии о Г = 0),
так что независимыми операторами являются l,?i?3, (tifa)* {п^ри
9тоы <t[faK==2 + (?it2) — 2 (titsJ). Соответственно искомый Опе-
Оператор ля-взаимодействия в нзопространстве имеет вид
Операторы взаимодействия пионов в состояниях с оиреде*
ленным значением изоспина: '
Наконец, О = '/„ I— 6 (Г = 0) + 35 (Г = 1) + V (Г — 2I -
- V, [0(Г= Ц-и(Г = 2)\(№) + ¦/. I2I7 СГ = 0)-30(Г=1) +
t )](,W
16.28. Имея в виду, что оператор заряда пиона связан с опе-
оператором его /3-компоненты изоспина соотношением $п = et$
(е>-0), легко сообразить, что искомый оператор кулоновского
взаимодействия двух пионов имеет вид
16.29. Учитывая связь операторов заряда пиона и нуклона
с операторами их /г-компонент изоспииа (е > 0):
нетрудно сообразить, что искомый оператор имеет вид
16.36. Так как для двухпионной системы перестановка ко-
координат пионов эквивалентна их отражению относительно цент-
центра масс, то симметрия координатной волновой функции состоя-
состояния с данным значением момента относительного движения L
(он же —полный момент J = L) совпадает с ее четностью
(— 1)L. В. ф. двух пионов — тождественных бозонов — должна
быть симметрична по отношению к перестановке их переменных:
координат и изотопических переменных. Поэтому в состоянии
с данным L изоспиновая часть в. ф. пионов должна быть сим-
симметричной для четных значений L и антисимметричной для
нечетных L.
Учитывая значение изоспина пиона Т = 1 и формальную
аналогию свойств момента и изоспина (в том числе и в вопро-
вопросах сложения изоспина), на основании результата задачи 3.39
заключаем, что изоспиновая часть системы из двух пионов по
отношению к их перестановке симметрична при суммарном изо-
спине Г = 0; 2 и антисимметрична при Г=1. Соответственно
в состояниях с четным L возможны лишь значения 7' = 0; 2,
при нечетных L — лишь Г= 1.
16.31. Имея в виду аналогию свойств момента и изоспина
н учитывая симметричность изоспиновой части волновой функ-
функции двухпиоиной системы из двух л°-мезонов, на основании ре-
результата задачи 3?39 заключаем, что суммарный нзоспин двух
640
л° может принимать лишь два значения: Г = 0 и Т = 2 (в.ф.*
состояния с Г=1 антисимметрична по отношению к переста-
новие изоспиновых переменных пионов), так что
T) = 6w{T = 2). A)
С другой стороны, основываясь на результате задачи 3.37,
имеем __
Из A) и B) следует: w{T = 2) = */3, 1и(Г = 0)=7з.
16.32. В рассматриваемых состояниях nN-системы ^-компо-
^-компоненты изоспииа нуклона и пиона имеют определенные значения
(напомним: fe)p = V». «&,=¦-'&. Ы,+ = 1. 08^"=°. Ыг- =
=_ (^ Поэтому, учитывая формальную аналогию свойств
момента и изоспина и результат задачи 3.37* имеем
^=/n(/n+ !) + /„(/„+ i) + 2(fe)n(/3)N=il/4 + 2(feK((feV A)
С другой стороны, для jtN-системы возможны лишь два зна-
значения суммарного изоспина: Т = 1/2 и Т =* 3/2, так что, обозна-
обозначив w ('/г) вероятность значения Т = '/г в рассматриваемых со-
состояниях (при этом w{s/s)=l — kj(Vs)). имеем
15/4 -
B)
Используя A) и B), легко находим:
а) для я+р- и л~п-систем: Т2= 15/4, »Щ = 1 (заранее оче-
очевидный результат);
б) для я+п- и этГр-систем: Т2 = 7Д, шР/«) = %. и>Ш = Чя'.
в) для эт°р- и я°п-систем: Т2=И/4, а)A/2) = 1/г. i»PW = %.
16.33. Задачу можно решить различными способами. Напри-
Например, учитывая аналогию свойств момента и изоспина, можно
воспользоваться коэффициентами Клебша—Гордана. Для слу'
чая сложевяя двух одинаковых моментов в результирующий мо-
момент, равный нулю, они были фактически найдены в 3.46. В при-
применении к рассматриваемой задаче результат задачи 3.46 дает
I|IB)}. A)
Здесь Wt=oBji)—изоспнновая в. ф. состояния двух пионов с
Т = 0, %A, 2) — изоспиновые в.ф. отдельных пионов с опреде-
определенным значением компоненты ts изоспина {ts=l, 0, ^1).
Вероятности распада 1° в различные зарядовые состояния
двухпионной системы (rt+ir и 2я°) пропорциональны вероятно-
вероятностям нахождения пионов в таких состояниях при Т =*-0 (в силу
сохранения нэоспнна в распаде). Согласно A) вероятность за,-
рядового состояния из двух л° равна wT=0Bjfi) = (l/V3J = '/з
.(напомним, что л°-незону соответствует изоспнновая в.ф. пио-
пиона с h = 0), соответственно и)т=0(кЪг-) = 2/з, так что
B)
Приведем еще два способа решения.
f) Рассмотрим распад некоторого числа N частиц f°. В ре-
результате их распада образуются Nw(f°-*-n^n~) л+-мезонол,
столько же те~ и 2Nw(i°-*-2jfi) л°-мезонов (в распаде f°-*-2n°
Образуются сразу два л°). Исходная система из f° является,
Очевидно, изотопическн симметричной (так как Т? = 0). Также
изотонически симметричным должно быть конечное состояние,
включающее распадные пионы. Отражением этой симметрии
должно быть одинаковое число пионов в различных зарядовых
состояниях л+, л°, п~, что немедленно приводит к установлен-
установленному выше соотношению B).
Приведенное решение представляется очень наглядным с фи-
вичесиой точки зрения. Оно может быть обобщено и на случаи
ролее сложных распадов и реакций (см., например, 16.35).
2) Воспользуемся результатом задачи 1.48, согласно кото-
рому |Фл(?)|9= |Фв(Д)|* (обозначения задачи 1.48). Будем
понимать под В операторы й1' ^-.компонент изоспина двух пионов,
а под Л —операторы квадрата суммарного изоспина пионов
Т8 и его 7з-компоненты. Пркведенное соотношение при этом
принимает вид
wWf)P||!. C)
Положив в C) Т = 0, 1з) = $) = 0, перепишем это соотноше-
соотношение в виде te>r..oBj[o)=aiy&i«G' = O) = I/3i где мы учли значение
вероятности суммарного изоспина Г=0 в системе из двух л°,
полученное в 1651.
В соответствий со сказанным ранее найденное значение
вуг=о Bл°) = '/в приводит к соотношению B). Таким образом,
последний способ решения основан на возможности вычисления
в ряде случаев коэффициентов Клебша —Гордана (точнее, их
квадратов) с помощью соотношения C).
16.34. Изоспиновую часть в. ф. трехпионного состояния с
у(Зл) = 0 легко найти, если учесть следующие обстоятельства;
f) формальную аналогию свойств момента и изоспина;
2) возможность описания изотопического состояния отдель*
ного пиона, имеющего tn= 1, с помощью вектора tp в изотопи-
изотопическом пространстве (при этом связь векторного представления
i обычно истюльзуемьлй ^-представлением faKafl же, как н в
фгучае момента, см. 3,67; так, пион В зарядовом состоянии ifi.
т. е, с h = 0, описывается в изопространстве вектором «р^ с tfOM*
понентами (р^ = @, 0, 1));
3) в. ф. состояния с изоспином Т = 0 является скаляром (илн
псевдоскаляром) в изотопическом пространстве;
4) из трех векторов уа, описывающих изоспишвые состояния
отдельных пнонов, можно построить лишь одну скалярную (точ-
(точнее, псевдоскалярную) изоспиновую в. ф. трехпионной системы!
Ч'г-о (Зл) = «
@
Найденная изосшновая в.ф., отвечающая значению ГCя)'=
= 0, очевидно, антисимметрична по отношению к перестановке
изоспиновых переменных любых двух пионов.
Так как иэоспиновая в.ф. системы из трех л°, очевидно,
симметрична ло отношению к их перестановке, то антисиммет-
антисимметричная в. ф. A) не содержит слагаемого, отвечающего йсем
трем пионам в зарядовом состоянии п°, что и доказывает невоз-
невозможность распада, указанного в условии задачи.
16.35. Распады Д++, Д~ происходят по одному каналу) Д++->-
—*я+р, Д-—*-n~n, а распады Д+, Д°—по двум. Так,
Для нахождения относительных вероятностей распада Д+
по этим каналам следует учесть, что, в силу сохранения изб-
спина, распадная nN-система находится в изотопическом со«
стоянии с Т = 3/2, Т$ = 7а и ее изоспнновая в. ф. может быть
представлена в виде
где iJ>(s(n(N)) — нормированные изоспнновые в.ф. пиона (нук<
лона) в состоянии с определенный значением ^-компоненты
изоспина. Зарядовым состояниям я^-, tfi-, тг--пионов соответ»
ствуют значения t$ = 1, 0, —1; для протона и нейтрона 4 *==*
= 1/2, —1/2. Величины |Ci|a и |С2|2 определяют вероятности
различных зарядовых состояний (соответственно я+п и я?р)!
пнон-нуклонной системы, а тем самым и вероятности распада Д+"
по каналам A).
Учитывая аналогию свойств момента и иэоспина, замечаем,
что Ci, 2 представляют фактически соответствующие коэффи-
коэффициенты Клебша — Гордана, и их значения легко могут бытн
найдены по известным формулам для этих коэффициентов. Мы|
однако, приведем два способа расчета |Ci,s|2, ве требующие
знания самих этих коэф' '
1-й способ основан на использовании равенства
-t»,m ,ra(Г.Гй B)
{см. A6.33)), согласно которому вероятность некоторого зарядо-
зарядового состояния, определяемого квантовыми числами fa", /(«J,
в состоянии системы с данными значениями Т и 7з = 41> + *<з}
равна вероятности суммарного значения Т изоспииа в состоя-
состоянии системы, характеризующемся квантовыми числами й", *|з)
(в этом смысле равенство B) можно назвать «соотношением
взаимности»). Для рассматриваемой nN-системы значения пра*
вой части B) для различных зарядовых состояний были най-
найдены в 16.32. Имея это в виду, легко находим|С,[г=шг-3/2(л+п)=
= wn+n(T = 8fid = % н т. д., так что
Г C)
2-й способ основан на наглядных физических соображениях.
Выпишем возможные каналы распада различных зарядовых со-
состояний частицы Д с указанием их относительной вероятности
I я°р, ws, \ я°п, w2. к '
При составлении D) учтено, что вероятности двух распадок,
один из которых является зеркальным отражением другого в
изопространстве, одинаковы (при таком отражении все частицы
в реакции, имеющие некоторые ^-компоненты нзоспина, заменя-
заменяются на их партнеров по изомультиплету с противоположным
значением *з); так, о;(Д*—»-я+п)= ш(Д°—*я~р).
Рассмотрим изотопнчески неполяризованный пучок частиц Д,
в котором все зарядовые состояния Д представлены в одинако-
одинаковом количестве No. Среди продуктов распада — пионов и нук-
лонов — различные зарядовые состояния пионов будут пред-
представлены в следующем количестве: N(n+) = N(n~) = No(l +wt),
N (я?) = 2ЛГ0ш2 = 2N0 A — wi). Из физических соображений пред-
представляется очевидным, что пучок распадных пионов в изопро-
изопространстве также будет неполяризованным, так что различные
зарядовые состояния пиона будут в нем представлены одина*
ково: N(x?) = N{ris) = N(n~). Это условие дает rat =1/3 и при-
приводит к установленному выше другим способом соотношению
C). Отметим, что при этом пучок распадных нуклонов также
является неполяризованным, т, е. Лг(р) = Лг(п).
644
16.36. Задача решается аналогично предыдущей. Приведем
ответ:
16.37. Поскольку Тл = 0, Тп = 1, то конечные состояния
обеих реакций являются различными изоспиновыми состояния-
состояниями одной н той же физической системы (пион + дейтрон) с изо-
спином Т = 1, отличающимися лишь значением Тз-компоненты
изоспина. В силу сохранения изоспина рассматриваемые реак-
реакции происходят лишь в состояниях начальной нуклон-вуклонной
системы с изоспином Т = 1. При этом в реакции pp-^dfot* оба
нуклона находятся как раз в требуемом изотопическом состоя-
состоянии с Т = 1 (и Тй= 1), в то время как в реакции pn-»-dn0 тре-
требуемое состояние двух нуклонов с Г=1 (и Тз = Ь) представ-
представлено, очевидное вероятностью 1/2 (с такой же вероятностью
1/2 представлено состояние с Т = 0, 7"з = 0).
По условию отбора сечений da обе реакции совершенно оди-
одинаковы в смысле координатных и спиновых степеней свободы,
гак что в силу изотопической инвариантности отношение их се-
сечений равно отношению вероятностей необходимого изотопиче-
изотопического состояния с Т = 1 в начальных состояниях, т. е, двум, что
и требовалось доказать.
16.38. Так как Та = 0, то в смысле изоспина дейтрон в рас-
рассматриваемых реакциях играет роль «катализатора» в процессе
«диссоциации» протона р на нуклон и пион:
р-»ЩТ = Чг) + п(Т=1).
В начальной стадии процесса 7"= 1/2, Т3=1/2, и в силу
сохранения изоспина такие же значения Т и Т* имеет пион-
нуклонная система в конечном состоянии. По условию отбора
сечений da обе реакции совершенно одинаковы в смысле коор-
координатных и спиновых степеней свободы, так что в силу изото-
изотопической инвариантности отношение их сечений равно отноше-
отношению «весов» зарядовых состояний пл+ и рл? пион-нуклонной
системы в состоянии с Т = 1/2 и Тз= 1/2. Последнее отноше-
отношение равно 2, что и доказывает утверждение задачи (сравнить с
решением задач 16.35 и 16.36).
16.39. Обозначим <2оA), do(ll)", do(HI) дифференциальные
сечения рассматриваемых реакций.
Реакции (II) и A11) представляют два канала единой (в от-
отношении изоспина) реакции ягр-ч-nN, отличающиеся различны*
ми зарядовыми состояниями пион-нуклонной системы в конеч-
конечном состоянии, изоспин которой по условию задачи равен Т =
= 3/2. Сравним (?Jo(ll) + do(IIl)> с da(l). По условию отбора
сечений da рассматриваемые реакции совершенно одинаковы в
смысле координатных и спиновых степеней свободы, и в силу
изотопической инвариантности (с учетом предполагаемой доми-
646
нирующей роли состояний с Т = 3/2 в nN-взанмодействии) от-
отношение сечений (da (II) + da (III)): da (I) равно отношению
<весов» необходимого изотопического состояния с Т = 3/2 в
начальных состояниях я~р н я+р пион-нуклонной системы. Ука-
ванные «веса» равны: 1 в случае зт^-р- и 1/3 в случае тгр-системы
.(сравнить с 16.35), так что
(da(U) + da(ltt)): d<r(I)= 1:3. A)
Найдем отношение da(H)-.da(lH). Оно равно отношению
«весов» зарядовых состояний п°п и п-р пион-нуклонной си-
системы в состоянии с T = 3J2 (и Ts = —1/2) и составляет 2
(сравнить с результатом 16.35), т. е.
d<r(II):d<r(III)=2:l. B)
Из (I) н B) следует искомое соотношение:
da(l): da(U): do(III) =9:2:1.
16.40. В силу зарядовой симметрии вероятности перехода,
дифференциальные сечения н т. д. для двух процессов, связан-
связанных друг с другом с помощью замен р-*п, п~*-р, л^--*п-,
1г-»-эт+, я?-*-я°, равны (в изопространстве такие два процесса
являются зеркальным отражением друг друга относительно
плоскости, перпендикулярной осн Т$).
Основанное на зарядовой симметрии соотношение между
дифференциальными сечениями рассматриваемых процессов
представляется очевидным. Обратим внимание лишь на сле-
следующее обстоятельство: указанные выше замены частиц их изо-
изотопическими партнерами должны, естественно, производиться
на обеих стадиях процесса — начальной и конечной. Примени-
Применительно к рассматриваемым реакциям это означает, что импульс-
вые н спиновые характеристики протона и нейтрона в началь-
начальных состояниях обеих реакций должны быть взаимно заме-
вены,
ДОПОЛНЕНИЕ
1. Линейный гармонический осциллятор
Решение у. Ш. для линейного осциллятора
дает энергетические уровни En=tlia(n +¦ 1/2), п=0, 1.2,...,
и соответствующие им нормированные в. ф. стационарных состоя!
где a = Vft/mw- //„ (г) — полиномы Эрмита.
Приведем несколько первых полиномов Эрмита:
Я,(г)=], Н, (г)=2г. Я,(г) = 4г*-2.
2. Шаровые функции
Шаровые функции Y%m (Ч, ф) являются нормированными с. ф. оператора!
квадрата орбитального момента частицы ja и его проекции tz иа ось Я
f^ii /&j^jL-1mj)Lsintrnie dl""Pf(COs6) e
где Pi н Pi |—соотвегствеин!
ции Лежандрв.
Лежандра н присоединенные функ->
*) Фазовый множитель, принитый в определенен шаровьа функций, т»-
кой же, как в книге [3]. *
Несколько первых шаровых функций имеют вид
3. Частица в кулоновском поле (водородоподобиый атом)
Нормированные в. ф. стационарных состояний д.с. в кулоновском пс
притяжения V = ~- (а/г)(а>0) могут быть представлены в виде Т„ z
= Rm (*") У/т F, ф) (я, — радиальное каантовое число, я = я, +¦ / + 1 — гге
ное квантовое число), где радиальная часть в. ф- дается выра
(а = №/та)
(t^(г) —обобщенные
ЛИТЕРАТУРА
' 1. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Высшая школя, 1976.
2. Давыдов А. С. Квантовая механика. - М.: Наука, 1973.
3 Ландау Л. Д., Лифшщ Е. М Квантован механика. — М.: Наука, 1974.
4. Ландау Л. Д., Лифишц Е. М. Механика. — М.: Наука, 1973.
Б Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Теория поля. — М: Наука, 1973.
6 Ландау Л. Д., Лифшщ Е. М. Статистическая физика. — М.: Наука, 1976.
7. Ахиезер А. И., Берестецкий В Б Квантовая электродинамика. — М.:
Наука, 1969.
8. Престон М. Физика ядра. — М.: Мир, 1964.
9. Кога» В. И., Галицкий В. М. Сборния задач по квантовой механике. —
М.: Гостехяздат. 1956.
10. Гольдман И. И., Кривченков В. Д. Сборник задач по квантовой меха-
механике.—М.: Гостехиздат, 1957.
11. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. — М.: Мир, 1974, т.т. 1, 2.
12. Лебедев И. И. Специальные функции и их приложения. — М.: Физмат-
газ, 1963.
у. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, еунм, рядов и про-
произведений.—М.: Физнатгиз, 1962.