&7Ж владимирский
ПЕРСПЕКТИВА
УЧПЕДГИЗ • 1 9 5 2

ГА.ВлАдимирский
ПЕРСПЕКТИВА
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
*
Утверждено
Министерством просвещения
РСФСР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МоскВА - 1952

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Введение 5
§ 1. Основные понятия 7
§ 2. Перспектива точки 9
§ 3. Перспектива прямой и прямолинейного отрезка 10
§ 4. Предельная точка прямой. Линия горизонта 12
§ 5. Перспектива пучка параллельных прямых. Точка схода ... 17
§ 6. Изображение плоскости в перспективе 21
§ 7. Позиционные задачи 24
§ 8. Изображение многогранников в перспективе 29
§ 9. Перспективный масштаб. Дистанционная точка 35
§ 10. Метрические задачи 46
§ 11. Перспектива окружности 63
§ 12. Построение теней в перспективе 74
§ 13. Построение отражений в плоском зеркале 90
§ 14. Основные условия наглядности изображения 93
§ 15. Некоторые практические приёмы построения изображений на
картине 98
§ 16. Построение перспективы предмета по плану и фасаду .... 103
§ 17. Упражнения и задачи 113
Редактор В. С. Капустина. Технический редактор С. Т. Шикин.
Переплёт н титул художника Г. С. Богачёва.
Подписано к печати 18/VII 1952 г. А05525. Тираж 25 тыс. экз. Бумага 60 X 92»/1в. Бумажных
листов 3,75. Печатных листов 7,5. Уч.-издат. листов 7,22. Цена без переплёта 1 р. 95 к.
Переплёт 50 к. Заказ № 3487
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполиграфиздата при Совете
Министров СССР. Москва, Валовая, 28.
Отпечатано с готовых матриц в типографии им. Калинина Оолполиграфнждата
в г. Ростове-на-Дону. Зак. N» 6557.

ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние годы назрела настоятельная необходимость
улучшения преподавания черчения и рисования в средней школе.
Одним из мероприятий в этом направлении является повышение
теоретической подготовки учителей черчения и рисования по
специальности.
Настоящая книга служит в определённой мере выполнению
указанной задачи. Основы учения о перспективе необходимы
учителю в преподавании как на уроках черчения, так и
рисования. В первом случае — в преподавании черчения — знание
основных положений и свойств центральных проекций (перспективы)
помогает учителю составить более глубокое и обобщённое
понятие о методах графического изображения пространственных форм
на плоскости, т. е. о тех методах, основные сведения о
которых учитель сообщает своим ученикам, обучая их черчению в
школе. Во втором случае — на уроках рисования — владение
теорией перспективы помогает учителю держаться правильного
в научном отношении методического пути при обучении
учащихся приёмам и навыкам построения реалистического учебного
рисунка.
Изложение предлагаемого в книге теоретического материала
визируется на сведениях, составляющих содержание
элементарного курса геометрии (планиметрии и стереометрии); материал
последнего параграфа предполагает наличие элементарных знаний
по начертательной геометрии в пределах школьной программы
черчения. Одновременно с систематическим изложением теории
перспективы читатель найдёт последовательно подобранные
примеры практического приложения теории к построению
перспективных изображений реальных предметов несложной формы,
причём преимущественное внимание уделяется способам построения
изображений, выполняемым непосредственно на картине по
заданным определяющим её элементам, не прибегая к вспомогательным
чертежам в ортогональных проекциях. Освоение именно этих
способов соответствует практическим потребностям учителя
рисования.
3

Предлагаемый курс перспективы составлен в соответствии
с программой, принятой на художественно-графическом
факультете Московского городского педагогического института им.
В. П. Потёмкина. В основу содержания и структуры курса взяты
положения, высказанные проф. Н. Ф. Четверухиным в его лекциях,
читанных на художественно-графическом факультете
пединститута в 1943/44 и 1944/45 учебных годах.
Считаю своим долгом выразить искреннюю признательность
А. Д. Виноградову, А. Г. Климухину и Н. А. Меделяновскому
за их критические замечания, принятые мной во внимание при
работе над рукописью.
Л Владимирский.

ВВЕДЕНИЕ
В учебной работе, в технике, в науке и в искусстве широко
применяются рисунки, чертежи, фотографические снимки,
картины. Все эти виды изображения предметов окружающего нас мира
имеют весьма разнообразное назначение: они могут быть
используемы для познавательных целей в виде различного рода
иллюстраций учебного и научного характера, для целей
промышленности и строительства в виде инженерно-технических чертежей
или, наконец, как произведения изобразительного искусства,
вызывающие в нас определённые переживания, связанные с
содержанием произведения.
Всякий рисунок, чертёж, картина представляют условное
сочетание на плоскости точек, линий и цветовых пятен,
сгруппированных по определённой системе таким образом, чтобы при
рассматривании они вызывали представление тех или иных
пространственных форм. Отчётливость возникающего представления
и его яркость зависят от того, в какой степени зрительный
образ, вызываемый изображением предмета (рисунком),
соответствует образу, возникающему при непосредственном
рассматривании самого, предмета.
Изучение методов графического построения изображений
пространственных фигур на плоскости составляет предмет
начертательной геометрии. В основе методов начертательной геометрии
лежит принцип проекций. Этот принцип соответствует принципу
получения изображения на, сетчатке глаза, т. е. принципу,
обусловливающему непосредственное зрительное восприятие
пространственных форм. Более или менее точное следование
методам начертательной геометрии при построении изображений
предметов окружающего нас мира является неотъемлемым требованием,
предъявляемым ко всякому плоскостному 'изображению реальных
форм пространства как в учебной работе, в технике, так и в
произведениях искусства.
В зависимости от способа выполнения можно различать два
основных вида графических изображений: рисунок и чертёж.
5

Рисунок есть изображение, сделанное от руки на глаз. Такой
способ выполнения изображений может лишь приближённо
соответствовать научным методам построения. Рисунок применяется
в учебной работе и в технике в тех случаях, когда требуется
дать наглядное представление о форме предмета, передать общий
вид и соотношение основных частей предмета. Равным образом
опирающийся на научные методы построения рисунок лежит
в основе картины как произведения реалистического искусства.
Чертёж есть изображение предмета, выполненное при помощи
чертёжных инструментов с точным соблюдением определённых,
научно обоснованных правил. Чертёж имеет назначение дать
точные сведения как о форме, так и о размерах предмета и
применяется главным образом в технике и в учебной работе,
связанной с изучением технических наук. Наглядность изображения
в' чертеже имеет часто второстепенное значение.
Помимо указанных двух видов изображений — рисунка и
чертежа, — получаемых графическим путём и входящих в
рассмотрение начертательной геометрии, широкое применение имеет
фотографический снимок. Геометрическая основа построения
фотографического изображения также соответствует принципу
проекций. Фотографический снимок обеспечивает хорошую наглядность
изображения и точность передачи формы и метрических
соотношений частей изображённого предмета. Однако способы
получения фотографических снимков не связаны с графикой и потому не
являются прямым предметом изучения начертательной геометрии.
Уменье изображать предметы окружающей нас жизни
необходимо работникам весьма разнообразных профессий.
Элементарные навыки в этой области требуются уже в школьной учебной
работе на уроках геометрии, физики, естествознания и др.
Поэтому обучение основным способам изображения выделено в
начальной и средней школе в особые учебные предметы —
рисование и черчение, преподавание которых ведётся
педагогом-специалистом.
Совершенно очевидно, что учитель рисования и черчения
должен с надлежащей глубиной овладеть теорией своего пред-1
мета, т. е. теорией построения изображений пространственных
фигур на плоскости. Необходимые теоретические сведения по
указанному предмету составляют содержание нескольких
разделов курса начертательной геометрии *). Настоящая книга излагает
содержание раздела центральных проекций, называемого иначе
теорией перспективы. Учение о центральных проекциях
представляет одну из составных частей теоретической основы предмета
рисования и вместе с тем является наиболее обобщённым
учением о проекциях как графическом методе построения изобра-
*) Таковыми разделами являются: 1) центральные проекции, или
перспектива, 2) параллельные проекции, в частности аксонометрия, 3) комплексные
чертежи в ортогональных проекциях и 4) проекции с числовыми отметками.
6

жений. Освоение теории центральных проекций даёт возможность
овладеть методом построения изображений не только на основе
непосредственного наблюдения предметов („рисование с натуры"),
но и по представлению, на основе словесного описания
изображаемого объекта. Последнее особенно необходимо учителю
рисования, принимая во внимание его иллюстративную работу как
неотъемлемую часть урока рисования и большую работу
оформительского характера, проводимую в школе. Вместе с тем
овладение теорией центральных проекций (перспективы) даёт учителю
возможность внести в методику преподавания рисования элементы
научного обоснования прививаемых ученикам навыков построения
рисунка в части, относящейся к его геометрической структуре.
§ 1. Основные понятия
Изображение пространственной фигуры на плоскости получается
по принципу проекций.
Проекцией какой-нибудь точки М' на плоскость К (черт. 1)
называется точка М, которая может быть получена при помощи
некоторой прямой SM как точка пересечения этой прямой с
плоскостью /О Прямая SM называется в таком случае
проектирующей прямой.
Черт. 1. Черт. 2.
Если проектирующие прямые проведены через одну точку 5
ко всем точкам какой-нибудь фигуры Т\ то на плоскости К
получится фигура Г, называемая центральной проекцией
фигуры Т (черт. 2).
Метод получения изображений пространственных фигур на
плоскости при помощи проектирующих прямых, проведённых из
одной точки, называется методом центральной проекции.
Метод центральной проекции лежит в основе получения изображения на
сетчатке человеческого глаза. Из схематического чертежа 3 видно, что лучи
от точек А\ В' и С некоторого предмета падают на внутреннюю, чувстви-
7

Черт. 3.
Черт. 4.
тельную к свету поверхность глаза (сетчатку) в точки А, В, С, проходя через
одну и ту же точку £ (оптический центр глаза). Таким образом, получаемое
на сетчатке глаза изображение {ЛВС) предмета является, согласно данному
выше определению,
центральной проекцией предмета А'В' С*.
На принципе центральной
проекции основано также
получение фотографических
изображений (черт. 4).
Способы построения
изображений
пространственных фигур по
методу центральной проекции
удобно изучать на так
называемом проектирующем
аппарате (черт. 5).
Основными элементами
проектирующего аппарата являются:
1) плоскость прог
екций, или картинная
плоскость, — плоскость
К, на которой получается
изображение фигуры;
2) предметная
плоскость — плоскость Hf
на которую ставится
изображаемая фигура; пло-
сскость Н считается
горизонтально расположенной
плоскостью; плоскость К
перпендикулярна к
плоскости Н; линия kk
пересечения плоскости К с
плоскостью Н называется о с-
нованием картины;
3) центр проекций,
или точка зрения, —
точка 5, из которой
проводят проектирующие
прямые (лучи зрения);
основание s перпендикуляра 5s на плоскости Н называется
точкой стояния; длина перпендикуляра 55 определяет высоту
точки зрения. На проектирующем аппарате точка зрения и
изображаемый предмет отделены Друг от друга картинной
плоскостью. Часть пространства, ограниченная гранями К и Н
двугранного угла, внутри которого ставится изображаемый предмет,
называется предметным пространством.
Если наблюдатель (черт. 6) будет смотреть из точки S сквозь прозрачную-
плоскость К на предмет Т\ расположенный на плоскости //, то он может по
Черт. 5.
8

лучить изображение предмета, обведя на картинной плоскости К видимый ему
контур предмета.
Изображение, являющееся центральной проекцией предмета, называется
иначе перспективным изображением, или короче пеоспективой предмета.
Черт. 6.
(Слово .перспектива" происходит от латинского слова „perspicere" — смотреть
сквозь.) Часто термин „перспектива" употребляют также для указания
метода построения, подразумевая метод центральной проекции.
§ 2. Перспектива точки
Пусть луч, проведённый через точку зрения S от
некоторой точки Л', взятой в предметном пространстве (черт. 7),
Черт. 7.
встречает картинную плоскость К в точке Л. В таком случае,
согласно данному выше определению, точка Л представит
перспективу (изображение) точки А'. Из чертежа 7 видно, что точка А
9

является вместе с тем перспективой бесчисленного ряда точек
А'ь А2, Лз, ..., лежащих на луче SA'.
Следовательно, точка Л, взятая сама по себе на картинной
плоскости, не отвечает полностью задаче изображения
единственной, определённым образом выбранной в пространстве точки
Л\ Чтобы получить на картине изображение, соответствующее
указанному требованию, точку А' связывают с проектирующим
аппаратом, задавая на предметной плоскости Н её ортогональную
проекцию а'. Точку а' называют в этом случае основанием
точки Л'.
Из чертежа 7 легко видеть, что перспективы оснований точек
Ль Л2, ... не совпадают с перспективой основания точки А'.
Отсюда следует, что для изображения какой-либо определённой
точки А пространства необходимо построить на картине две
точки: Л и а, из которых одна является перспективой точки Л\
а другая — перспективой основания точки Л'. Чтобы отметить
указанную связь между точками А и а, их соединяют прямой
линией, изображающей на картине перпендикуляр, проведённый
из точки А' на предметную плоскость.
Графическое построение на проектирующем аппарате
перспективного изображения заданной точки А (при заданном её
основании а') можно выполнить следующим образом (черт. 7):
а) Проводим лучи зрения в точки А и а'.
б) Проводим вспомогательную плоскость Q через прямые SA'
и Ss; она пересечёт плоскость И по прямой set'.
в) Отметим точку а0 пересечения вспомогательной плоскости
Q с основанием картины.
г) Через точку а0 проведём в плоскости К прямую,
перпендикулярную к основанию картины. Эта прямая представит линию
пересечения плоскости Q с плоскостью /О
д) Отметим точки пересечения проведённой прямой с лучами
SA и Sa. Полученные точки Л и а будут искомым
изображением данной точки А и её основания а'.
Если точка А лежит на плоскости /У, то её основание а'
совпадает с А; тогда изображение точки и. её основание на
картине также совпадут.
§ 3. Перспектива прямой и прямолинейного отрезка
Перспектива прямой линии, заданной произвольно в
пространстве, получается на проектирующем аппарате как совокупность
точек пересечения с картинной плоскостью лучей зрения,
проведённых к каждой точке данной прямой. Эти лучи зрения
образуют плоскость, называемую лучевой плоскостью. Поэтому
перспектива прямой как результат пересечения плоскости
картины с лучевой плоскостью представляет прямую линию. Отсюда
следует, что для построения перспективы прямой достаточно
10

построить перспективу двух её точек; тогда прямая, проведённая
ha картине через найденные точки, представит перспективу
заданной прямой.
Для построения перспективы заданного в пространстве
прямолинейного отрезка А'В! (черт. 8) должны быть построены пер-
Черт. 8.
Черт. 9.
спективы точек Л', В\ а' и V. Получив на картине указанным
выше способом (§ 2) точки Л, В9 а и b и соединив попарно точк»
А я В и точки а и Ь, мы получим изображение отрезка А'В' п
его проекции а'Ь' на предметную плоскость; соединив точки А
1%

« а и точки В и b9 будем иметь изображения перпендикуляров,
связывающих заданный отрезок А В' с предметной плоскостью.
На проектирующем аппарате (черт. 9) нетрудно убедиться',
что совокупность на картине двух отрезков АВ и ab служит
изображением единственного, определённым образом заданного в
пространстве отрезка А'В' (при заданной его проекции а'Ь'). В самом
л^ле} из чертежа 9 видно, что отрезок АВ служит перспективой
неограниченного числа отрезков: А[В'и А^В'ь ..., лежащих в
лучевой плоскости A'SB' и заключённых между лучами SA' и SB';
однако перспективы проекций этих отрезков не совпадают с пер-
спективой проекции А'В'.
§ 4. Предельная точка прямой. Линия горизонта
Проведём на предметной плоскости произвольную прямую и,
-чтобы получить перспективу этой прямой, построим перспективу
двух её точек. Для этого воспользуемся точкой Ло, в которой
Черт. 10.
прямая пересекается с основанием картины (черт. 10).
Перспектива этой точки совпадает с самой точкой Ло. Другую точку
А[ выберем на прямой произвольно и построим её перспективу
способом, описанным в § 2. На картине прямая А0А{ представит
перспективу заданной прямой.
Будем удалять точку Л1, перемещая её вдоль прямой в
положения Лг, Лз, ... . Тогда точка Ах на картине будет
перемещаться вдоль прямой A0AU занимая соответственно положения
Л2, Л8, ..., которые легко определяются при помощи лучей
зрения, проведённых в точки Лг, Лз, ... . Луч зрения,
проведённый в бесконечно удалённую точку Л» заданной прямой, примет
направление, параллельное этой прямой, и пересечёт картинную
>2

плоекость в точке Лоо. Эта точка Лоо представляет перспективу
бесконечно удалённой точки заданной прямой ЛоЛ1.
Из хода построений вытекает, что прямая Л0Лоо, как изображение
прямой ЛоЛоо, не может быть продолжена на картине дальше
точки Лоо; точка Л^ называется предельной точкой
прямой Л0Лос» изображающей данную прямую ЛоЛ^.
Предельную точку Лоо можно построить на проектирующем
аппарате способом, описанным в § 2. Для этого (черт. 11) нужное
Черт. п.
1) провести луч зрения SN'\\AoA'cqI 2) провести проектирующую
плоскость через прямые SN' и Ss и построить линию её.
пересечения с предметной плоскостью (sn'\\SN'); 3) отметить точку
п0 пересечения проектирующей плоскости с основанием картины;
4) построить линию пересечения проектирующей плоскости с
плоскостью картины, проведя в плоскости картины через точку п0
перпендикуляр к основанию картины; 5) отметить искомую точку
Лоо в пересечении проведённого перпендикуляра с лучом SN'.
Из построения можно заметить, что для любой прямой,
лежащей в предметной плоскости, предельная точка отстоит от
основания картины на расстояние, разное высоте точки зрения
(noAco = Ss).
Отсюда следует, что совокупность предельных точек всех
прямых, лежащих в предметной плоскости, представит на
картине прямую, расположенную параллельно основанию картины
и отстоящую от него на расстояние, равное высоте точки зрения.
Эта прямая является предельной прямой предметной
плоскости. Она представляет перспективу бесконечно удалённой
прямой предметной плоскости и ограничивает на картине
изображение предметной плоскости со всеми точками и прямыми, ей
принадлежа щими.
13

Предельная прямая предметной плоскости носит название
линии горизонта. На чертеже 11 линию горизонта изображает
прямая fih.
Точка Р, в которой луч зрения SP, перпендикулярный'к
плоскости картины, встречает линию горизонта, называется главной
точкой картины. Луч зрения SP называется главным лучом.
Плоскость, проходящая через точку зрения и линию горизонта,
называется г л а в н о й плоскостью, или плоскостью
горизонта.
Линия горизонта, главная точка и основание картины являются
элементами картины, служащими опорой для правильного
построения перспективных изображений.
А\
\ а
В
Ь
Черт. 12. Черт. 13.
На чертеже 12 изображена отдельно от проектирующего
аппарата плоскость картины К с нанесёнными на ней основанием
картины kk, линией горизонта hh и главной точкой Р.
Наличие на картине указанных элементов даёт возможность
лолучить основные сведения о взаимном расположении элементов
проектирующего аппарата, частью которого эта картина является.
Так, например, отрезок kh определяет высоту точки зрения над
лредметной плоскостью; точка Р представляет основание
перпендикуляра к плоскости картины, на котором находится перед
картиной точка зрения 5. Линия горизонта hh и линия основания
kk ограничивают часть картинной плоскости, на которую могут
проектироваться точки, принадлежащие предметной плоскости,
а также те точки предметного пространства, которые
расположены ниже плоскости горизонта (т. е. ниже, чем точка
зрения).
Покажем на примерах, как может изображённая на чертеже 12
картина служить для решения некоторых задач на построение
простейших перспективных изображений.
Пример 1. На картине изображён отрезок АВ (черт. 13),
лроизвольно расположенный в пространстве. Найти точки, в
которых отрезок АВ при продолжении пересечёт предметную и
картинную плоскости.
14

Примечание. Точки пересечения прямой с картинной и
предметной плоскостями мы будем называть соответственно
картинным следом и предметным следом прямой.
Проведём через прямую АВ плоскость Q перпендикулярно
к предметной плоскости и изобразим линии пересечения этой
плоскости (черт. 14) с предметной плоскостью (ab) и с картиной
(lbLK\_kk).
Черт. 14. Черт. 15.
Искомые следы Мн и LK найдём в точках
пересечения-продолженной прямой АВ с прямыми аЬ и l0LK.
На чертеже 15 показано решение той же задачи для случая,
когда картинный след прямой лежит под предметной плоскостью
Черт. 16.
на продолженной вниз части картинной плоскости. Чертёж 16
изображает решение этого случая на проектирующем аппарате.
Заметим, что по расположению относительно основания
картины проекции аЪ заданного отрезка АВ всегда можно видеть,
15

в каком направлении должна быть продолжена прямая АВ, чтобы
встретить картинную плоскость. Направление, в котором должен
находиться предметный след прямой, не всегда можно
предвидеть без дополнительных построений.
Пример 2. На картине изображены прямые ВХВЪ СХС2 и ЕХЕ2.
Прямая ВХВ2 лежит в предметной плоскости (черт. 17). Найти
предельные точки этих
прямых.
В соответствии с условием
предельная точка 5^ прямой
ВХВ2 должна лежать в
предметной плоскости и потому
может быть найдена на линии
черт. 17. горизонта в пересечении с
прямой ВгВ2 (черт. 18).
Чтобы получить предельную точку Соо прямой СХС2, найдём
сначала на предметной плоскости проекцию Соо этой*точки. Для
этого продолжим проекцию схс2 данной прямой до пересечения
с линией горизонта (черт. 18); тогда предельную точку Соо ПрЯ-
Че^т. 18. Черт. 19.
мой СХС2 получим на пересечении с продолженной прямой
перпендикуляра к линии горизонта, проведённого через точку с<х>.
Положение точки С^ над линией горизонта показывает, что луч
зрения, направленный в бесконечно удалённую точку прямой
С'\Съ а следовательно, и прямая С\С\ расположены так, что
точки их по мере удаления от плоскости картины (в
направлении от С\ к Сг) повышаются над предметной плоскостью.
Заметим, что предметный след прямой СХС2 при заданном её
расположении в пространстве не может быть изображён на
картине, так как прямая СХС2 встретит предметную плоскость при-
продолжении её в сторону Сх за пределами предметного
пространства. В справедливости сказанного легко убедиться на
проектирующем аппарате с помощью построений, описанных в примере 1.
Предельная точка Еоо прямой ЕХЕ2 строится так же, как в
предыдущем случае (черт. 18). Положение точки Еоо под линией
16
У
/'
С2 г
Г—г
Ч
N
с,
к
е,
>'
и -

горизонта указывает, что точки прямой ЕХЕ2 понижаются над
предметной плоскостью по мере их удаления от плоскости
картины. Часть заданной прямой изображена штриховой линией как
невидимая, так как она расположена под предметной плоскостью.
Пример 3. На картине проекция аха2 прямой АХА2 параллельна
основанию картины. Определить положение прямой АХА2 в
пространстве относительно плоскости картины (черт. 19). .
Из условия заключаем, что проектирующая плоскость аха2А2Ах
параллельна плоскости картины; отсюда следует, что и прямая
АХА2 параллельна картинной плоскости.
§ 5. Перспектива пучка параллельных прямых.
Точка схода
Рассмотрим на проектирующем аппарате пучок параллельных
прямых, расположенных в предметной плоскости (AqA'^ В'^В^ ...)
и вне её (Е'кЕ^) (черт. 20).
Черт. 20.
Построим перспективу каждой прямой, пользуясь её
картинным следом и предельной точкой. Из способа построения (§ 4,
черт. 11) следует, что перспективы проведённых нами прямых
имеют общую предельную точку TVoo, определяемую лучом
зрения SN\ параллельным заданным прямым. Поэтому взятый пучок
параллельных прямых изобразится на картине в виде пучка
прямых, сходящихся в одной точке. Эта общая предельная точка
iVoo называется точкой схода параллельных прямых.
Из сказанного следует, что для пучка параллельных прямых,
направленных параллельно предметной плоскости, точка схода
лежит на линии горизонта (черт. 21). Прямые, непараллельные
предметной плоскости, имеют точку схода выше или ниже линии
горизонта в зависимости от того, повышаются или понижаются
17

точки прямых над предметной плоскостью по мере их удаления
от картинной плоскости. Точка схода таких наклонных к
предметной плоскости, параллельных между собой прямых лежит на
перпендикуляре, проведённом через точку схода проекций этих
прямых на предметную плоскость (черт. 27).
Черт. 22.
Если параллельные между собой прямые параллельны
картинной плоскости, то на картине эти прямые также параллельны
между собой, а их проекции на предметную плоскость
параллельны основанию картины (черт. 22). В частности, прямые,
перпендикулярные к предметной плоскости, изображаются в виде
прямых, перпендикулярных к основанию картины.
18

Пример 1. Две прямые MXNX и MJft расположены на
предметной плоскости параллельно основанию картины. Провести две
другие прямые так, чтобы в пересечении с заданными получился
1) параллелограм, 2) прямоугольник, 3) трапеция.
Решение дано на чертеже 23. Если стороны AtDt и ВгСг
пересекаются в какой-нибудь точке на линии горизонта, то фигура
AXBXC\DX представляет
изображение параллелограма. В частном
случае, когда стороны A2D2 и ВгС2
пересекаются в главной точке
картины, фигура A2B2C2D2 изображает
прямоугольник. В фигуре АъВвСйОг
стороны AzDb и ВЪСВ образованы
прямыми, не имеющими общей
точки схода, следовательно, эта
фигура есть изображение трапеции.
Из чертежа можно видеть, что
в первой фигуре угол при верши- Черт. 23.
не Вх в натуре является острым
углом, а в третьей фигуре угол при вершине В3— тупой.
Пример 2. Изобразить на картине прямую, проходящую через
заданную точку С и параллельную заданной прямой АВ,
предельная точка которой Мао недоступна на чертеже (черт. 24).
На картине искомая
прямая должна быть
направлена В ТОЧКу Мое-
Чтобы провести эту
прямую, нужно найти в
рамках чертежа вторую
точку (Сх), ей
принадлежащую. Для этого,
отвлекаясь от
пространственного значения
заданных на чертеже
линий и точек, построим Черт. 24.
произвольный
треугольник NLC, две вершины которого произвольно взяты на линии
горизонта (TV) и на 'данной прямой (L); целесообразно, чтобы сторона
NL проходила через точку с. При произвольно взятой на линии
горизонта точке \NX построим треугольник NXLXCU подобный
треугольнику NLC, так, чтобы вершина Lx лежала на прямой
АВ; тогда по свойству подобных треугольников прямая ССХ будет
направлена в точку М^— центр подобия данных треугольников
и представит на картине изображение прямой, проходящей через
заданную точку С параллельно заданной прямой АВ. На
чертеже 24 легко определяется основание сх точки Сх.
Если предельная точка Жоо заданной прямой АВ находится
выше (или ниже) линии горизонта (черт. 25), то в описанном по-
19

строении линию горизонта заменит перпендикулярная к ней
прямая NooMoo.
Пример 3. Через точки С, 1,2, 3, ..., нанесённые на
вертикальной прямой АС, провести прямые, параллельные прямой АВ,
предельная точка которой на линии
горизонта недоступна (черт. 26).
На практике при выполнении
построений удобно пользоваться
полоской бумаги, на
прямолинейный край которой, приложенный
к вертикальной прямой Bh2, пере-
Черт. 25.
Черт. 26.
несены точки В и /г2, отмеченные на полоске буквами В' и к'г
(точки hx и h2 принадлежат линии горизонта). Переместив затем
полоску в новое, ппоизвольное положение так, чтобы при этом
точка В' совпала с
точкой Д соединим
точку hi с точкой А'2>
проведём через точки
С, 1,2, 3, ... прямые,
параллельные прямой
kxh'v и отметим точки
встречи этих прямых
с краем полоски. По
свойству
параллельных прямых,
пересекающих стороны
угла, полученные точки
разметят на полоске
отрезки,
соответственно
пропорциональные частям
отрезка АС. Переместим
полоску бумаги в
первое положение, пере-
Черт. 27.
20

несём на прямую h2B отмеченные точки и соединим их попарно
с точками, заданными на прямой АС. Мы получим на картине
пучок прямых с общей точкой схода в предельной точке
прямой АВ. На чертеже 27 изображён схематический вид здания,
параллельные контуры стен, крыши и окон которого вычерчены
описанными выше способами.
§ 6. Изображение плоскости в перспективе
Плоскость может быть задана в пространстве: 1) тремя
точками, не лежащими на одной прямой, 2) прямой и точкой, не
лежащей на зтой прямой, 3) двумя пересекающимися прямыми и
4) двумя параллельными прямыми. Однако на картине (черт. 28)
/ I 2 3 А
Черт. 23.
изображение плоскости, заданной указанными способами, не
обладает достаточной наглядностью. Чтобы сделать изображение
более наглядным и вместе с тем удобным для решения задач на
построение, плоскость задают посредством двух пересекающихся
прямых, из которых одна представляет линию пересечения
данной плоскости с пдоскостью картины — картинный след
плоскости, а другая — линию пересечения с предметной
плоскостью— предметный след плоскости.
На чертеже 29 дана плоскость Q', пересекающая картинную
и предметную плоскости проектирующего аппарата по прямым
Q'K и Q'H. Эти прямые — картинный и предметный следы данной
плоскости — встречаются в точке Q0 на основании картины.
На картине изображение картинного следа (QK) совпадает
с самим следом (Q'K). Изображение предметного следа (QH) может
быть построено по точке Q0, принадлежащей этому следу, и по
его предельной точке Qa>, которую мы получим на линии
горизонта в пересечении с лучом зрения SQa>, проведённым
параллельно предметному следу Q'H. В результате построения
получится изображение плоскости *) на картине посредством её следов
(черт. 30). Заметим, что на картине предметный след плоскости
*) Для краткости мы будем применять название „плоскость" к
изображению части плоскости.
21

всегда ограничен точками Q0 и Q&, в то время как
картинный след может быть неограниченно продолжен в обе стороны.
Построим на картине предельную линию плоскости Q,
представляющую перспективу бесконечно удалённой прямой
плоскости Q'. Для этого проведём мысленно на проектирующем
аппарате (черт. 31) через точку зрения 5 пучок лучей в бесконечно
h
S
I
1
Черт. 29.
удалённые точки плоскости Q', направив для этого каждый луч
параллельно плоскости. Точка встречи каждого луча с
плоскостью картины представит одну из точек искомой предельной
линии. Очевидно, что совокупность всех проведённых нами лучей
образует лучевую плоскость,
параллельную плоскости Q'. Линия
пересечения лучевой плоскости
с плоскостью картины
представляет предельную прямую
плоскости Q. Из построения вытекает,
во-первых, что предельная линия
плоскости Q параллельна
картинному следу плоскости QV так
как обе эти прямые получены
в результате пересечения двух
Перт. 30. параллельных плоскостей
(лучевой плоскости и плоскости Q')
с плоскостью картины, и, во-вторых, что предельная линия
проходит через предельную точку предметного следа плоскости
Q, так как эта точка есть перспектива одной из бесконечно
удалённых точек плоскости Q'. Из сказанного следует, что для
построения на картине предельной линии плоскости,
изображённой своими следами, достаточно провести через предельную
22

точку предметного следа прямую, параллельную картинному
следу (черт. 32). Плоскость может быть задана на картине
предельной линией и картинным следом, причём предметный след
Черт. 31.
в таком случае легко найти, проведя его через точку
пересечения картинного следа с основанием картины и через точку
пересечения предельной линии с линией горизонта. Очевидно, что
i Q. 1 t .
Черт. 32. Черт. 33.
всякая прямая, принадлежащая плоскости Q, имеет свою
предельную точку на предельной прямой плоскости Q.
Рассмотрим некоторые частные положения плоскости относительно
картинной и предметной плоскостей.
На чертеже 33 изображены прямоугольники Q, Т и R. Плоскость
прямоугольника Q перпендикулярна к предметной плоскости (QrJLW и к
картинной плоскости (предметный след QH направлен в главную точку Я). Плоскость
прямоугольника Т перпендикулярна к предметной плоскости (ТКХМ*) и
составляет произвольный угол с плоскостью картины (след Тн направлен в про-
23

извольную точку Too линии горизонта). Плоскость прямоугольника R параллельна
плоскости картины (Rff\\kk; углы прямоугольника изображены без искажения).
На чертеже 34 изображены прямоугольники S, 7^, Т2 и Г3. Плоскость 5
перпендикулярна к плоскости картины (след 5^ направлен в главную точку Р)
У
Мк «
м°° d
/К
nJ к
N ■ ^*
/с*
/^у?ос
\ Q«Qh
у?*
1 U
Черт. 34.
Черт. 35.
и п/> шзвольно наклонена к предметной плоскости. Плоскости Гь Г2, Г3
параллельны предметной плоскости (Т\к'\Т2к\Tb^]kk)\ предельной линией этих
трёх плоскостей служит линия горизонта.
На чертеже 35 изображены плоскости М, jV, V7, R> Q и Т. На картине
предметный и картинный следы и предельная линия каждой из плоскостей
сливаются между собой в одну прямую. Из этого следует, что каждая из
заданных плоскостей совпадает с лучевой
плоскостью, дающей её изображение на
картине.
Из соображений, аналогичных
вышеприведённым, можно заключить, что-
плоскость М перпендикулярна к
предметной плоскости, плоскость N
перпендикулярна к картинной плоскости,
плоскость W перпендикулярна к предметной
и к картинной плоскостям. Плоскости Т
и Q параллельны основанию картины,
причём точки плоскости Т по мере
удаления от картины повышаются над
предметной плоскостью, а точки • ^TiocKoi
сти Q — понижаются. Плоскость R есть
плоскость общего положения. Если
переместить точку зрения параллельно основанию картины вправо на некоторое
расстояние SS^^PP^ не изменяя при этом положения изображённых
плоскостей в пространстве, то следы и предельные прямые плоскостей М, jV, W и
R изобразятся раздельными прямыми, как показано на чертеже 36. Такого же
результата можно достигнуть для плоскостей Q и Т, если поднять точку
зрения над предметной плоскостью (или опустить), причём в этом случае
соответственно изменится положение линии горизонта над основанием картины.
Черт. 36.
§ 7. Позиционные задачи
Задачи, в которых ставится для решения вопрос о взаимном
расположении в пространстве изображённых на картине фигур
и их элементов, называются позиционными задачами.
Позиционные задачи содержат в себе следующие основные
вопросы.
24

1. Построение линии пересечения двух
плоскостей, заданных на картине своими следами-
Прямая пересечения двух плоскостей Q п R (черт. 37)
может быть определена, если будут найдены две общие точки
заданных плоскостей. Такими точками для плоскостей Q и R
являются, например, точка М пересечения картинных следов и
Черт. 37. Черт. 38.
точка N пересечения предметных следов. Прямая MN,
соединяющая эти точки, будет общей прямой плоскостей Q и /?и,
следовательно, представит линию их пересечения.
В некоторых случаях для построения линии пересечения
плоскостей бывает удобнэ воспользоваться точкой М^ пересечения
предельных линий плоскостей (черт. 38).
черт. 39. Черт. 40.
следы этих плоскостей. На картине признаком параллельности
двух плоскостей является параллельность картинных следов и
наличие на линии горизонта точки схода предметных следов.
Параллельные плоскости имеют общую предельную линию (черт. 39).
Если плоскости заданы одним из способов, указанных в
начале § 6, можно всегда, исходя из заданного условия, построить
25

картинный и предметный следы и предельную линию каждой
плоскости, после чего задача на пересечение плоскостей решается
указанным выше способом. Ниже будут рассмотрены примеры
решения задачи на пересечение плоскостей при указанных условиях.
2. Построение точки пересечения прямой с
плоскостью.
На картине (черт. 40) плоскость R изображена своими
следами RK и RH; прямая задана отрезком АВ и его проекцией ab
на предметную плоскость.
Точку пересечения прямой с плоскостью найдём следующим
образом.
\
А
\х
\
л
Ц
S
—
Черт. 41. Черт. 42.
Проведём через прямую АВ и её проекцию аЪ
вспомогательную плоскость Q и построим её следы QK и Q^. Построим
прямую MN пересечения данной плоскости R и вспомогательной
плоскости Q. Отметим искомую точку L в пересечении данной
прямой. АВ и вспомогательной прямой MN.
3. Определение признаков взаимного
положения двух прямых по их изображению на картине.
а) Пересекающиеся прямые. Если две прямые пересекаются
между собой в какой-нибудь точке М (черт. 41), то проекции
этих прямых на предметную плоскость также пересекаются,
причём точка т пересечения проекций является проекцией
действительной точки пересечения (М) данных прямых.
Отсюда вытекает признак взаимного пересечения двух прямых,
изображённых на картине: если на картине точка М пересечения
двух прямых и точка т пересечения проекций этих прямых
лежат на одном перпендикуляре, то прямые, изображённые на
картине, пересекаются между собой в действительности.
б) Параллельные прямые. В случае параллельности двух
прямых их проекции на предметную плоскость также параллельны
между собой. Следовательно, если на картине точка схода М<»
двух прямых лежит на одном перпендикуляре с точкой схода
/Tie» их проекций на предметную плоскость, то прямые,
изображённые на картине, параллельны между собой в
действительности (черт. 42).
26

в) Скрещивающиеся прямые. Если прямые скрещиваются,
•. е. не имеют общей точки и не параллельны, то точка т пе-
>есечения проекций этих прямых есть проекция двух различных
ючек Мх и М2 данных прямых. Поэтому, если на картине пер-
1ендикуляр к предметной. плоскости, восставленный из точки т
пресечения проекций двух прямых, встречает прямые в двух
шных точках Ж, и М2, то прямые, изображённые на картине,
гкрещиваются между собой в действительности (черт. 43).
На плоскости картины
изображения скрещивающихся прямых
яогут пересекаться, что имеет
лесто, например, на чертеже 43.
Точка пересечения перспектив
двух скрещивающихся прямых
является изображением двух
различных точек пространства. Эти
точки расположены на одном
луче зрения, пересекающем обе
заданные в пространстве прямые.
Легко усмотреть (черт. 43), что черт. 43.
основания этих слившихся на
картине точек различно удалены от основания картины, что
указывает на различное удаление от плоскости картины
соответствующих им точек на заданных прямых.
А
1 L
ai оС
Черт. 44. Черт. 45.
4. Примеры.
Пример 1. На картине изображены три точки: Л, В и С, не лежащие на
одной прямой. Построить следы плоскости <?, содержащей данные три точки
(черт. 44).
Решение.
а) Через точки А и В проводим прямую и находим картинный и
предметный следы этой прямой {Ак и ВИ) (черт. 45).
б) Через точки С и В и проводим предметный след плоскости Q и
отмечаем точку QQ на основании картины.
в) Через точки QQ и Ак проводим картинный след плоскости Q.
Пример 2. На картине даны прямая АВ, проведённая в предметной
плоскости, и точка С, не лежащая на данной прямой.
Изобразить следы плоскости, проходящей через данные прямую и точку
(черт. 46).
2?

Решение.
а) Прямую АВ, заданную на предметной плоскости и представляющую
предметный след искомой плоскости Q, продолжим до пересечения в точке Q0
с основанием картины (черт. 47).
б) Проведём, через точку С вспомогательную плоскость /?, параллельную
плоскости картины. Отметим точку Е пересечения предметного следаcL
плоскости R с предметным следом плоскости Q.
Черт. 46.
в) Заметив, что точки Е и С являются общими для плоскостей Q и Я,
проведём прямую ЕС пересечения этих плоскостей.
г) Принимая во внимание, что плоскость Q пересекает две параллельные
ллоскости: вспомогательную плоскость R и плоскость картины, проведём через
аочку On параллельно прямой ЕС картинный след QK плоскости О.
1 / /Ъс /\\
1 ^^ч/\
N
1 Qrl ,
Черт. 48.
Черт. 4j.
Пример 3. На картине изображены две пересекающиеся прямые АВ и
ВС (черт. 48). Построить следы плоскости, проходящей через данные прямые.
А\
а
г7
1 я
Черт. 50.
Решение.
а) Чтобы определить предметный след плоскости О, найдём предметные
следы L и М прямых АВ и АС, лежащих в плоскости Q (черт. 49). Проведём
предметный след плоскости О до пересечения с основанием картины в точке Q0.
б) Найдём картинный след N прямой ВС и проведём через точки Q0 и N
картинный след QK плоскости Q.
28

Пример 4. На картине даны две параллельные прямые: ЛМ^ и ВМ^
(черт. 50). Изобразить плоскость Q, проведённую через данные прямые.
Решение.
а) Найдём картинные следы прямых ЛМ^ н ВМ^ и через полученные-
точки А% и В% проведём картинный след Q% плоскости Q до пересечения
в точке £?0 с основанием картины (черт. 51).
б) Проведём через точку М^ параллельно Ак Вк предельную прямую»
-Моо Ооо плоскости Q.
в) Проведём через точки Q0 и Q^ предметный след плоскости Q.
§ 8. Изображение многогранников в перспективе
Многие из окружающих нас предметов: архитектурные
сооружения, части машин и приборов, инструменты, вещи
обиходного употребления — представляют по своей форме простейшие
геометрические фигуры или их сочетания.
Чтобы правильно построить изображение какого-либо
предмета, необходимо, во-первых, научиться видеть в сложной форме
составляющие её простые геометрические фигуры и, во-вторых,
уметь изображать эти основные фигуры в перспективе.
В простейших рисунках пространственных фигур
ограничиваются проведением немногих линий, которые в своём сочетании
характеризуют форму поверхности фигуры. Так, например, в
рисунке куба такими характерными линиями служат его рёбра.
После выявления при помощи характерных линий формы и
соотношения частей фигуры можно дополнить изображение
дополнительной отделкой при помощи штриховки, наложения теней,
раскраски и т. п.
Рассмотренные в предыдущих параграфах свойства
центральных проекций позволяют применить полученные сведения к
построению изображений некоторых многогранников. При
построении характерных линий (рёбер) мы можем пользоваться
такими геометрическими соотношениями между ними, как взаимное
пересечение и параллельность их между собой, а также их
параллельность и перпендикулярность к предметной и картинной
плоскостям и пересечение с ними. Вопрос о передаче на картине
метрических соотношений между элементами фигур будет
рассмотрен в дальнейшем изложении.
Приведём примеры построения изображений некоторых
многогранников, их пересечения плоскостью и взаимного пересечения
между собой.
Пример К Построить перспективное изображение прямого
параллелепипеда, произвольно поставленного на предметную
плоскость. При построении принять высоту точки зрения выше
высоты предмета.
Из свойств, определяющих форму параллелепипеда, следует,
что в перспективе горизонтальные рёбра должны сходиться (при
продолжении) в двух точках схода, лежащих на линии горизонта;
29'

четыре боковых ребра, в натуре перпендикулярные к
предметной плоскости, изобразятся в виде вертикальных
(перпендикулярных к основанию картины) отрезков (черт. 52).
Пример 2. Построить перспективу наклонного параллелепипеда,
поставленного на предметную плоскость так, что две боковые
грани его параллельны плоскости картины. Принять высоту точки
зрения ниже высоты предмета.
Черт. 52.
Черт. 53.
В соответствии с условием задачи форма передней и задней
граней параллелепипеда (черт. 53) изобразятся в виде параллело-
грамов, подобных действительной форме этих граней. Очертания
остальных граней
определяются в зависимости от
выбора точки схода
четырёх удаляющихся
горизонтальных рёбер.
Пример 3. Построить
перспективное
изображение наклонной призмы,
произвольно поставленной
на предметную плоскость.
Принять, что одна из
боковых граней (ААХВХВ)
перпендикулярна к
предметной плоскости (черт. 54).
Построение может быть
выполнено в следующем
порядке.
а) Построим на предметной плоскости основание призмы
в виде произвольного треугольника ABC, найдём предельную
точку Жоо ребра АВ и проведём через неё перпендикулярно
к линии горизонта предельную прямую плоскости грани ААХВХВ.
На этой прямой должна лежать точка схода М» боковых рёбер
призмы. Эта точка недоступна на чертеже, и положение её
может быть указано произвольно выбранным направлением одного
из боковых рёбер призмы, например ребра ВВХ.
Черт. 54.
30

б) Построим направления рёбер ААХ и ССи имеющих общую
с ребром ВВХ недоступную точку схода М« (§ 5, черт. 25).
в) На прямой ANoo возьмём произвольную точку Аи
ограничивающую длину бокового ребра ААХ. Прямые АХВХ и АхСи
проведённые в предельные точки прямых АВ и АС, определят
вершины Вх и Си после чего проведём ребро ВХСХ.
Примечание. Прямую АХСХ
эсобом, опи-
24).
i
г ~
I
\
\
Черт. 55. Черт. 56.
Пример 4. Построить перспективное изображение
произвольной пирамиды по заданным её вершинам (черт. 55).
Так как в условии задания на структуру пирамиды не
наложены какие-либо требования метрического характера, то
построение сводится к последовательному проведению рёбер
пирамиды через заданные вершины.
Во всех случаях построения изображений пространственных
фигур следует заботиться о том, чтобы изображение давало
ясное представление о форме изображённого предмета. Для этого
необходимо- надлежащим образом выбирать положение точки
зрения и плоскости картины относительно предмета. Так,
например, на чертеже 52 точка^ зрения взята выше высоты предмета
(линия горизонта проходит выше контура изображения),
вследствие чего глаз наблюдателя может видеть верхнюю грань
изображённого тела; вместе с тем предмет расположен
относительно плоскости картины так, что на картину проектируются
две боковые грани фигуры; таким образом по трём видимым
граням 4игуры создаётся должное представление о форме
изображённой фигуры. В противоположность рассмотренному
изображению, на чертеже 56 выбор высоты точки зрения (ниже
высоты предмета) и расположения предмета относительно точки
зрения и картийы (проектируется только одна грань) создают
неблагоприятные условия для наглядности изображения; форму
фигуры можно определить только при нанесении условных
линий невидимого контура фигуры.
31
нужно построить СП
санным в § 5 (черт.
I V.
I
I—I-
I
I
I /
I/

Черт. 57.
Необходимо заметить, что выбор высоты точки зрения не
всегда произволен. Так, например, при изображении какого-либо
архитектурного сооружения мы должны, считаясь с обычными
условиями рассматривания, принимать высоту точки зрения
значительно ниже высоты здания.
В таких условиях особенно важное значение для наглядности
приобретает удачный выбор взаимного расположения фигуры и
плоскости картины.
Рассмотрим примеры построения тел, усечённых 'плоскостью
и пересекающихся между
ссбой.
Пример 5. На картине
изображены прямой
параллелепипед и плоскость.
Построить линию' сечения
поверхности
параллелепипеда плоскостью (черт. 57).
Фигура сечения
представляет плоский
многоугольник. Каждая сторона
многоугольника есть
линия пересечения заданной
секущей плоскости с одной
из граней
параллелепипеда. Поэтому данная задача
приводится к построению
линий пересечения
секущей плоскости с
плоскостью каждой грани
многогранника.
а) Построим картинный
след правой передней грани
параллелепипеда (черт*. 58}
и отметим точки
пересечения предметного и картинного следов этой грани с
одноимёнными следами секущей плоскости (точки / и 6). Проведём линию
сечения правой грани, ограничивая её точками / и 2 на
горизонтальном и вертикальном рёбрах грани.
б) Построим картинный след левой передней грани и отметим
точку 7 пересечения этого следа с картинным следом плоскости.
Через полученную точку и точку 2 (также принадлежащую
левой грани) проведём линию сечения левой грани, ограничивая её
точками 2 и 3.
в) Принимая во внимание, что верхняя грань параллелепипеда
параллельна предметной плоскости, проводим через точку 3
и через предельную точку М^ предметного следа секущей
плоскости линию сечения верхней грани, ограничивая её
точками 3 и 4.
Черк Ь6.
32

г) Отметим точку 5 пересечения предметных следов правой
задней грани и секущей плоскости.
д) Проводим между точками 5 и / линию сечения нижней
грани параллелепипеда.
Полученный пятиугольник /—2—3—4—5 представляет сечение
поверхности параллелепипеда заданной плоскостью.
Черт. 59.
Черт. 60.
На чертеже 59 представлено в наглядном виде взаимное
положение заданного параллелепипеда и плоскости. На чертеже 60
изображена усечённая часть параллелепипеда.
Пример о. Построить линию пересечения поверхностей двух
призм, положенных на предметную плоскость своими
четырёхугольными гранями (черт. 61).
Линия пересечения поверхностей двух многогранников
представляет; вообще говоря, пространственную ломаную (или
несколько ломаных). Каждая сторона этой ломаной есть линия
пересечения грани одного многогранника с гранью другого
многогранника. Задача приводится к построению линий пересечения
плоскостей граней данных многогранников.
В предложенном примере (черт. 61) линия пересечения
состоит из двух отрезков /—2—3, из которых видимый на картине
отрезок /—2 представляет линию пересечения двух наклонных
граней, обращенных к зрителю. Эта линия найдена по точкам О
зз

и 1 пересечения одноимённых следов указанных граней.
Картинные следы этих граней построены способом, описанным в § 7
(черт. 47).
Р^~
Черт. 61.
Черт. 62.
Пример 7. Чертёж 62 представляет более сложный пример
применения рассмотренных нами свойств перспективы к
изображению пространственных геометрических форм. На картине дано
34

схематическое изображение группы зданий, расположенных вдоль
улицы. Каждое здание поставлено так, что боковой фасад его
параллелен плоскости картины. Вследствие этого фасады всех
зданий, выходящие на улицу, расположены в плоскостях,
перпендикулярных к картинной плоскости, и горизонтальные прямые,
очерчивающие эти фасады, имеют общую точку схода в главной
точке картины. На чертеже показаны главная точка, линия
горизонта и три точки схода наклонных прямых, обрисовывающих
крышу правого здания во дворе и верхнюю часть ворот на
левой стороне улицы.
§ 9. Перспективнцй масштаб. Дистанционная точка
Мы познакомились с применением некоторых свойств
центральных проекций к построению.изображений пространственных
фигур, причём в рассмотренных примерах мы ставили своей
задачей передать при помощи рисунка лишь форму фигуры и
взаимное расположение её частей.
Однако на практике задача построения изображений реальных
предметов окружающего нас мира не; может ограничиваться
лишь вопросами позиционного характера. Необходимо, чтобы
изображения не только создавали представление о форме каждого
предмета, но правильно передавали также и размерные
соотношения как между частями каждого предмета, так и между
отдельными предметами, изображёнными на картине.
В зависимости от постановки вопроса можно встретиться или
с задачей на построение изображения фигуры по заданным её
размерам, или с задачей на определение размеров фигуры по
заданному её изображению. Такие задачи называются
метрическими задачами. Одним из путей решения метрических
задач является применение масштаба, который позволил бы
устанавливать соотношения между натуральными и перспективными
линейными размерами изображённой фигуры.
В настоящем параграфе мы рассмотрим способы построения
перспективного линейного масштаба.
На чертеже 63 изображён некоторый прямолинейный предмет,
сначала поставленный параллельно картинной плоскости в
положение А[В[ и затем повёрнутый в лучевой плоскости на
произвольный угол вокруг точки В\ в положение В[А^ Чертёж
показывает, что на картине длина данного предмета изменяется в
зависимости от угла его наклона к плоскости картины. Из
чертежа 64 видно, что длина предмета на картине изменяется также
с изменением расстояния предмета от плоскости картины при
параллельном его перемещении. Отсюда следует, что единица
длины заданного в натуре линейного масштаба является на
картине величиной переменной. Она изменяется, во-первых, в
зависимости от угла наклона к плоскости картины отрезка, подле-
3S

жашего измерению, и, во-вторых, в зависимости от расстояния
от картины концов отрезка, длина которого определяется при
помощи заданного масштаба.
Таким образом, для определения расстояний между точками
фигуры по её изображению на картине при помощи масштаба
Черт. 63;
необходимо уметь строить перспективные масштабы в
соответствии с направлением измеряемых отрезков и расстоянием их
концов от плоскости картины.
Черт. 64.
Рассмотрим способы построения масштабов для измерения
длины отрезков, расположенных в трёх главных направлениях
предметного пространства. Главными направлениями мы будем
считать: 1) направление прямых, перпендикулярных к плоскости
картины,— направление глубины, 2) направление прямых,
параллельных основанию картины,— направление широты и 3) напраз-
ление, перпендикулярное к предметной плоскости,— направление
-56

высоты. В соответствии с этим перспективные масштабы,
построенные в указанных направлениях, будем называть
масштабом глубин, масштабом широт и масштабом
высот.
Масштаб глубин. Масштаб, построенный на прямой,
перпендикулярной к плоскости картины, называется масштабом
глубин.
Чтобы построить на картине масштаб глубин, обратимся к
проектирующему аппарату (черт. 65). Проведём в предметной
Черт. 65.
плоскости прямую Л0Л'оо, перпендикулярную к плоскости картины,
и зададим на основании картины произвольный отрезок Л0М0.
Чтобы отложить на прямой AQA'oo отрезок, равный А0М0,
проведём через точку М0 прямую М0М' под углом в 45° к
основанию картины и отметим точку Ат встречи этой прямой с Л0Л^.
Отрезки А$Ат и А0М0 равны между собой, как катеты
равнобедренного прямоугольного треугольника А0М0А'т. На картине
перспективу прямой Л0Л^ представит прямая А0Р. Перспектива
прямой М0ЛГ может быть построена при помощи её предельной
точки D\> определяемой лучом SDU параллельным М0т. Тогда
точка Ат пересечения прямых M0DX и А0Р будет служить
перспективой точки Апи а отрезок А0Ат представит изображение
отрезка А0А'ту равного по длине заданному отрезку А0М0.
Очевидно, что таким же образом можно построить на
глубинной прямой изображение АтАп любого отрезка АтАт длина
которого и расстояние концов от точки Л0 заданы на основании
картины точками М0 и N0.
Таким образом, как показывает чертёж 66, точка Dx может
служить на картине точкой схода линий переноса делений
масштаба с основания картины на любую глубинную прямую, ле-

жащую в предметной плоскости. Заметим, что если начальная
точка О перспективного масштаба заранее задана на прямой А0Р*
-Го, прежде чем наносить натуральный масштаб, необходимо
точку О перенести при помощи точки Dx на основание картины.
Легко убедиться, что значение точки схода линий переноса
масштаба сохраняется за точкой flj ив том случае,
если'глубинная прямая L0P (черт. 67) расположена вне предметной
плоскости; в этом случае натуральный масштаб наносится на
картинном следе плоскости, параллельной предметной плоскости и
содержащей прямую L0P.
Обратимся вновь к чертежу 65 и заметим, что образовавшийся
в плоскости горизонта треугольник SPDX подобен треугольнику
Л'тЛ0Ж0, вследствие чего его катеты SP и PDX равны между
Черт. 66.
Черъ 67.
собой. Отсюда следует, что точка Dx отстоит на линии
горизонта от главной точки Р на расстояние,
равное расстоянию точки зрения от плоскости
картины.
Таким образом, построение масштаба глубин связано с
выбором положения точки зрения относительно картины*. Если при
построении картины (а следовательно и масштаба глубин)
заранее задано расстояние точки зрения от картины, то положение
точки D\ определяется этим расстоянием, и обратно, если на
линии горизонта заданы точка Dx и главная точка Р, то отрезок РОг
устанавливает расстояние точки зрения от картины. Поэтому
точка Dx называется точкой расстояний, или
дистанционной точкой. Так как прямые, составляющие с
основанием картины угол в 45°; можно провести на предметной
плоскости в двух различных направлениях, то и на линии горизонта
можно отметить две дистанционные точки: Dx и D2,
расположенные по разные стороны от точки Р на равных расстояниях
от последней (черт. 65). Обе эти точки Dx и D2 могут служить
для построения масштаба.
В практике построения перспективных изображений
расстояние точки зрения от картины по своей длине значительно пре-
28

восходит линейные размеры картины, вследствие чего
дистанционная точка выходит за пределы .риста бумаги, на котором
выполняется картина*).
В этом случае для построения масштаба глубин пользуются
так называемой дробной дистанционной точкой.
Чертёж 68 поясняет принцип применения дробной дистанционной
D
D
7
До
а
D
7Г
W?
/f\^
1-а-
Р
в0—
Черт. 68.
точки. На глубинной прямой А0Р обычным способом при помощи
дистанционной точки D построен отрезок А0АБ, натуральная
величина которого равна А0В0. Вместе с тем из чертежа видно,
что тот же отрезок А0АВ может быть построен на картине, если
соединить прямой линией точку С0 — середину натурального
отрезка А0В0 с точкой -^ , делящей пополам расстояние PD
( 2—дробная дистанционная точка) . Таким же образом можно
построить отрезок А0АВ, если соединить дробную точку —-
(отрезок Р— составляет — часть отрезка PD\ с концом Е0 отрез-
1 '
ка, составляющего — часть отрезка А0В0.
Отсюда следует, что в случае, когда для построения масштаба
глубин нельзя воспользоваться полным расстоянием PD, можно
взять некоторую часть этого расстояния, помещающуюся в поле
чертежа. Отметив соответствующую дробную дистанционную
точку — , ею можно пользоваться как точкой схода линий
переноса делений натурального масштаба, единица которого состав-
*) Чтобы изображение какого-либо предмета, выполненное по методу
центральных проекций, производило зрительное впечатление, соответствующее
тому впечатлению, которое получается при непосредственном рассматривании
самого предмета, необходимо, чтобы расстояние точки зрения от картины
было в два-три раза больше диагонали картины (см. § 14).
89

ляет — часть единицы заданного масштаба. При этом на картине
получится перспективный масштаб глубины, единица которого
будет соответствовать полной единице первоначально заданного
масштаба (черт. 69). Очевидно также, что при таком построении
Черт. 69.
каждое деление полного натурального масштаба при переносе на
перспективный масштаб будет отмечать отрезок,
соответствующий п единицам натурального масштаба.
Масштаб широт. Масштаб, построенный на прямой,
параллельной основанию картины, называется масштабом широт.
Черт. 70.
Проведём в предметной плоскости прямую А'В' параллельно
основанию картины (черт. 70). Отложим на основании картины
произвольный отрезок L0M0. Мы можем перенести этот отрезок
на прямую А'В' в какое-нибудь положение А[А2 при помощи
параллельных прямых L0L\ и М0М\ направление которых можно
40

выбрать произвольно. На картине изображением прямой А'В
служит прямая АВ, параллельная основанию картины (§ 4,
пример 3). Точка схода М^ линий переноса заданного отрезка
определяется на линии горизонта в соответствии с выбором
направления этих прямых на предметной плоскости (SM^ \\ М0М').
Проведя на картине прямые L0Moo и М^М^, мы получим на
прямой АВ отрезок АхАгу который представит изображение
отрезка А[А2.
Чертёж 71 показывает, как должен быть построен
перспективный масштаб широт на
заданной прямой АВ по заданному на
основании картины натуральному
масштабу. Заметим, что точка Моо
схода линий переноса, вообще
говоря, произвольная, не может быть
таковой в том случае, если вместе
с натуральным масштабом на
основании картины задана начальная
точка перспективного масштаба на
прямой АВ. Тогда точка Моо пред- Черт. 71.
ставит предельную точку прямой,
соединяющей начальные точки натурального и перспективного
масштабов. Из построений, показанных на чертежах 70 и 71,
видно, что при параллельном перемещении- прямой А'В' в глубину
пространства деления перспективного масштаба широт, оставаясь
равными между собой, изменяются по длине в зависимости от
расстояния прямой от картины.
Масштаб высот. Масштаб, построенный на прямой,
перпендикулярной к предметной плоскости, называется масштабом высот.
Прямая высот, так же как прямая широт, параллельна
плоскости картины. Поэтому (§ 4, пример 3) построение
перспективного масштаба высот по существу аналогично построению
масштаба широт и может быть выполнено следующим образом.
Пусть на картине задана' какая-нибудь вертикальная прямая
(черт. 72). В произвольном месте на плоскости картины проведём
прямую перпендикулярно к основанию картины и построим на
ней натуральный масштаб. Проведя прямую через начальную
точку масштаба-и основание заданной вертикальной прямой, найдём
точку Noo — точку схода линий переноса, пользуясь которыми
отметим на заданной прямой деления перспективного масштаба высот.
Из сопоставления способов построения масштаба широт и масштаба
глубин видно, что перспективные единицы этих масштабов в одной и той же
фронтальной плоскости равны между собой. Отсюда следует, что для
определения высоты предмета можно пользоваться масштабом широт, построенным
на той же глубине, на которой расположен измеряемый предмет (черт. 73).
Перспективный масштаб в произвольном
направлении. Рассмотрим два случая построения масштаба.
41

Первый случай. Прямая, на которой требуется построить
масштаб, лежит в предметной плоскости. Для обоснования спо-
Черт. 72. Черт. 73.
соба построения масштаба воспользуемся проектирующим
аппаратом (черт. 74). Проведём в предметной плоскости
произвольную прямую А0А'оо. На основании картины, начиная от точки А0>
построим натуральный масштаб и перенесём его деления с осно-
Черт. 74.
вания картины на прямую Л0Л^ при помощи параллельных
прямых l^i, 20F2, .... Очевидно, что каждая из этих прямых должна
образовать равные углы с основанием картины и с прямой Л0Л^,
вследствие чего треугольники 10Л01', 20А02',,... будут
равнобедренными и подобными между собой.
42

Проведя SAsoHAH'oo и SFooWhFu найдём на линии горизонта
предельную точку А^ прямой Л0Л^ и точку схода Fo*K линий
переноса, после чего построим на картине прямую А0а]с с
нанесённым на неё перспективным масштабом.
Легко видеть, что треугольник FooSA*,, образовавшийся в:
плоскости горизонта, подобен треугольнику 10Л0Г (стороны
треугольников попарно параллельны) и потому является
равнобедренным: FooA00 = SAoo. Повернём треугольник FooSAoo вокруг
линии горизонта и совместим его с плоскостью картины. Точка
зрения 5 при совмещении упадёт в точку SK на перпендикуляре^
проведёйном из главной точки Р к линии горизонта (SKP = SP)~
Из построения видно, что совмещённую точку
зрения SK всегда можно получить на картине, если заданы главная
точка и дистанционная точка.
Поэтому, если на картине
(черт. 75) изображена
лежащая в предметной плоскости
прямая А0Аоо, то построение
перспективного масштаба на
прямой А0Аоо можно
выполнить следующим образом:
1) отметить на
перпендикуляре, проведённом из главной
точки к линии горизонта,
совмещённую точку зрения SK
так, чтобы отрезок PSK
равнялся отрезку PD; 2)
отметить на линии горизонта
точку Foo так, чтобы отрезок
AooFoo равнялся отрезку AooSK\
3) пользуясь точкой Foo (точкой схода линий переноса,
называемой масштабной точкой, или точкой измерений),
перенести заданную на прямой Л0А» начальную точку О
перспективного масштаба на основание картины и нанести натуральный
масштаб на основании картины; 4) при помощи Линий переноса,
отметить деления натурального масштаба на прямой А0Аос.
Второй случай. Прямая, на которой требуется построить масштаб,,
расположена произвольно в пространстве.
Пусть на картине (черт. 76) прямая Лн4оо изображает произвольную
прямую в пространстве. Проведём через эту прямую плоскость. Q,
перпендикулярную к плоскости картины; тогда АНР представит предметный'
след плоскости Q, встречающий основание картины (в точке Q0, и РАоо —
предельную прямую плоскости Q.
Проведём через точку Q0 параллельно предельной прямой РАоо
картинный след Q0QK и нанесём на нём натуральный масштаб. Заметим, что линии*
переноса должны лежать в плоскости Q, а следовательно, точка измерений /ч»
должна находиться на предельной прямой плоскости Q. Чтобы найти точку
измерений, построим на картине совмещённую точку зрения SK путём
вращения точки зрения S вокруг предельной прямой РАоо. По аналогии с
изложенным выше точка SK расположится на перпендикуляре, проведённом из**
Черт. 75.
4$

главной точки Р к предельной прямой, на расстоянии PSRi равном PD. Тогда
масштабная точка Foo будет найдена на предельной прямой как конец отрезка
Vloo/'oo, равного отрезку AooSk
Черт. 76.
Пример 1. На чертеже 77 показан способ построения при
помощи перспективных масштабов координатной сетки, позволяющей
правильно размещать на картине изображаемые объекты в соот-
Черт. 77.
ветствии с положением, занимаемым каждым из них в
пространстве. За оси координат приняты: 1) основание картины, на
котором нанесён в натуральную величину масштаб широт; 2) глубинная
прямая с нанесённым на ней масштабом глубин и 3)
перпендикуляр к предметной плоскости, проведённый в плоскости
картины, на котором отложен натуральный масштаб высот. С
помощью главной точки и дистанционной точки построена масштабная
сетка на двух координатных плоскостях.
44

На картине (черт. 77) изображены несколько отрезков
одинаковой длины, расставленных в разных местах на предметной
плоскости. Если действительная длина отрезков и место,
занимаемое каждым из них на предметной плоскости, заданы, то по-
-4-Г
Черт. 78.
Jt
□
1 £ 2 L
Черт. 79.
■^L
45

ложение и размеры отрезков на картине легко определяются по
начерченной координатной сетке.
Пример 2. На чертеже 78 дано схематическое изображение
внутреннего вида комнаты. Очертания комнаты и предметов
обстановки построены в соответствии с их действительными
размерами и планом их расположения (черт. 79). При построении
применён координатный метод. В соответствии с этим по трём
основным направлениям нанесены перспективные масштабы
(глубин, широт и высот), по которым построен план комнаты и
основания предметов обстановки, после чего отложены высотыч и
построены очертания предметов.
§ 10. Метрические задачи
Применение перспективного масштаба не является
единственным способом решения метрических задач.
Черт. 80.
В некоторых случаях практически более удобными являются
.другие методы, описание которых дано в настоящем параграфе.
Укажем на одно общее требование, предъявляемое ко всем
задачам метрического характера.
На чертеже 80 представлен проектирующий аппарат, в
предметном пространстве которого помещена произвольная фигура
.{пирамида). Изображение этой фигуры на картине построено с
двух различных точек зрения. Легко видеть, что очертания этой
-фигуры на картине (взаимное расположение рёбер пирамиды и
их длина) зависят от положения точки зрения относительно
предметной и картинной плоскостей и изменяются с изменением
этога положения. Поэтому решение какой-либо задачи на пер-
46

спективном чертеже может быть метрически определённым только
в том случае, если в условие задачи входят метрические дан*
ные, определяющие взаимное положение точки зрения и
основных плоскостей проектирующего аппарата, т. е. если на картине
заданы: основание картины, главная и дистанционная точки.
Рассмотрим основные вопросы задач метрического характера.
1. Деление отрезка, заданного в перспективе,
на несколько равных частей.
а) Рассмотрим случай, когда заданный отрезок АВ лежит в
предметной плоскости (черт. 81). Проведём через конец А пря-
Ссс
/1а*£
Аг0^
<У
к,
ft
L, В,
-N
Черт. 81. Черт. 82.
мую AN параллельно основанию картины и отложим на ней
несколько равных отрезков, например три равных отрезка АК\ =
= /Ci£i = £i#i- Проведём прямую ВХВ и отметим её предельную
точку £оо. Через точки К\ и Ц проведём прямые К\Е» и ЦЕ<х»
параллельные прямой 5,Яоо. Эти прямые отметят на отрезке АВ
точки К и L, разделяющие отрезок на три части: Л/С, ДХ и LB,
равные между собой в натуре (по свойству параллельных.
прямых, рассекающих стороны угла).
б) Пусть отрезок А В расположен произвольно в
пространстве (черт. 82). В этом случае сначала разделим на заданное
число равных частей проекцию отрезка {AK2 =/(2£2 = Z,2&), после
чего, перенеся при помощи вертикальных прямых К2К\\121\\ЬВ
полученные точки деления на данный отрезок АВ, получим на
нём отрезки А К, KL и LBy равные между собой в натуре.
в) Если отрезок, лежащий в предметной плоскости, требуется
разделить пополам, то можно применить способ, основанный на
свойстве диагоналей параллелограма, делящихся пополам в точке
взаимного пересечения. Для этого через концы данного отрезка АВ
(черт. 83) проведём в произвольном направлении две
параллельные прямые АЕоо и ВЕоо (точка £^ взята- произвольно на линии
горизонте) и две другие параллельные прямые АС и BF,
например, параллельно основанию картины. Тогда отрезок АВ, являясь
диагональю построенного параллелограма ACBF, разделится в
точке М пополам второй диагональю FC.
47

2. Увеличение отрезка, заданного в
перспективе, в несколько раз.
Если дан отрезок А К (черт. 81), который нужно увеличить
в несколько раз, например в три раза, то, проведя из конца А
прямую AN параллельно основанию картины и отложив на ней
произвольные, равные между собой отрезки АКи K\LX и ЦВ^
Черт. 83.
Черт. 84.
перенесём полученные точки Ки Lx и Вх на продолжение прямой
при помощи параллельных прямых, из которых первая прямая,
проведённая через точки К\ и /С, определит точку схода Е«>
этих прямых. Найденный в результате построения отрезок АВ
будет равен утроенному
отрезку АК-
Аналогичным способом
можно увеличить отрезок,
заданный в пространстве
(черт. 82).
Для удвоения отрезка
удобно пользоваться
способом, показанным на
чертеже 84. На прямой,
проведённой параллельно
основанию картины через
конец В заданного
отрезка АВ, отложим
произвольные, равные между
собой отрезки ВМ и BN.
А и М и через точку N проведём параллельные
и NEoo. Тогда прямая Affoo отметит на продолже-
равного удвоенному дан-
р
р\
1 «^
SK
S
^Jm
_Jfr^gd
85.
Через точки
прямые А Eon
нии АВ точку С — конец отрезка Л С,
ному отрезку А В.
3. Построение на прямой, изображённой на
картине, отрезка заданной длины.
1-й способ. Пусть предельная точка А& прямой А0А<х>,
заданной в предметной плоскости, и дистанционная точка D
находятся на доступном расстоянии от главной точки Р (черт. 85).
48

В этом случае мы можем воспользоваться для решения задачи
способом совмещения плоскости горизонта с картиной,
применённым нами при построении перспективного масштаба в
произвольном направлении (§ 9, черт. 74). Отметим на прямой А0Аоо точку М,
от которой нужно отложить отрезок MN, натуральная величина
которого равна а. Построим совмещённую точку зрения SK и
определим масштабную точку F^\ посредством точки F»
перенесём на основание картины заданную точку М и от полученной
точки М0 отложим натуральную длину M0N0 заданного отрезка;
проведём прямую N0Foo и отметим точку N в пересечении с
заданной прямой.
Полученный отрезок MN
представит искомое изображение
отрезка заданной длины,
отложенного от заданной
точки М на заданной
прямой Л0Лоо.
Если прямая
расположена произвольно в
пространстве, то для
построения на ней отрезка
заданной длины следует
применить способ, описанный в
§ 9 в применении к
построению масштаба в
произвольном направлении
.черт. 76).
2-й способ. Рассмотрим -Черт 86
случай, когда размеры чертежа "
не позволяют нанести на бумагу
одну из точек Лоо и Sk. В этом случае для построения перспективы
заданного отрезка мы применим способ совмещения предметной плоскости с
плоскостью картины.
Пусть на картине (черт. 86) изображена в предметной плоскости прямая
°г>% С отмеченной на ней точкой М. Проведём через точку М прямые РМР
# DMD и заметим, что в натуре первая из этих прямых перпендикулярна к
основанию картины, а вторая наклонена к нему под углом в 45°. Вращая
предметную плоскость вокруг основания картины до совмещения с нижней
частью картинной плоскости, мы приведём предметную плоскость в
фронтальное положение, вследствие чего углы наклона и расстояние между точками
прямых РМР> DMD и AqAoq в совмещённом положении изобразятся без
искажения. Поэтому, проведя прямые МрР'^ и MDD^ в соответствии с
действительным их наклоном к основанию картины, мы найдём совмещённое
положение точки М' и прямой AqA'qq на предметной плоскости. Отложив от точки
И натуральную величину M'N' заданного отрезка, мы можем найти
при помощи ортогонали ЛГАГр и её изображения NPP перспективу
N точки N\ а следовательно, и искомую перспективу MN заданного
отрезка.
Если на чертеже недоступна также и точка Д то можно воспользоваться
дробной дистанционной точкой — и получить ^ на основании картины точ-
49

ку MD. Тогда в соответствии с изложенным в §9 (черт. 68) точка М' на
прямой МрР^ должна отстоять от точки Мр на расстояние, в п раз большее
отрезка MPMD.
п
4. -Построение на картине угла, натуральная
величина которого задана.
Черт. 87.
а) Если на предметной плоскости проектирующего аппарата
задан некоторый угол, B'AQC ==а (черт. 87), то лучи зрения,
определяющие на картине предельные точки сторон этого угла,
~Л заданному. При совмещении
плоскости горизонта с карти-
образуют угол ByoSCcc, равный
нои этот угол
воспроизводится на плоскости картины в
натуральную величину,
причём его вершина совпадает с
совмещённой точкой зрения,
а стороны опираются на
линию горизонта в точках, слу-'
жаших предельными точками
сторон искомого угла на
картине.
Отсюда следует, что для
построения на картине
перспективы угла заданной
величины, лежащего в
предметной плоскости (или в
плоскости ей параллельной), нужно
построить при точке Sk заданный угол в натуральную величину
(черт. 88) и отметить точки встречи (Вое и Сое) его сторон с линией
горизонта. Тогда всякий угол на картине с произвольной вершиной
Черт. 88.
50

A0,Ai9A2\A&... и со сторонами, направленными в найденные
точки Boo и Соо, изобразит угол, лежащий в предметной
плоскости (вершина Л0, Аи А2) или в плоскости, ей параллельной
(вершина Л3), и равный по величине заданному углу В А0С (вследствие
равенства углов с соответственно параллельными сторонами).
Черт. 90.
б) Пусть плоскость угла произвольно расположена в пространстве и задана
на картине (черт. 89) своей предельной прямой Qoo и точкой А, в которое
должна лежать вершина угла. Мы можем задать также одну сторону АВо»
этого угла. Чтобы найти предельную точку бос другой стороны угла, нам
нужно получить на картине совмещённое положение угла, образованного
лучами зрения, параллельными сторонам заданного угла. Для этого необхо-
51

димо найти точку SK (черт. 90), в которую упадёт точка 5 при вращении
плоскости угла B^SC^ вокруг предельной прямой ¢)^. Вращение точки S
должно происходить в плоскости SOS#, перпендикулярной к прямой Q^ и,
следовательно, перпендикулярной к плоскости картины. Поэтому плоскость
вращения точки S должна пройти через главную точку Р, а линия её
пересечения с картиной должна быть перпендикулярна к прямой Q^ проведя на
картине эту линию (на чертеже 89 POJ.O^), мы отметим центр О вращения
точки S. Очевидно, что точку S^ мы найдём на продолженной прямой РО
на расстоянии OS% от точки О, равном радиусу вращения OS точки S
♦черт. 90). Натуральную величину радиуса вращения OS мы можем получить
в плоскости картины, повернув прямоугольный треугольник OPS вокруг
^катета ОР до совмещённого положения OPSr. Приняв во внимание, что PS^=
z=PS = PDt и пользуясь дистанционной точкой Д мы построим на картине,
треугольник OPS^ (черт. 89), гипотенуза OS^ которого послужит для
нанесения точки Sfc Построив затем на стороне S# В^ угол заданной величины,
мы найдём предельную точку С^ стороны ЛС^ Таким образом, искомый
угол В^АС^, представляющий изображение заданного угла, будет построен.
5. Построение на картине перпендикуляра к
заданной плоскости.
Черт. 91.
Пусть некоторая плоскость Q', произвольно взятая в
пространстве, изображена на картине картинным следом QK и
предельной прямой Qoo. Представим на проектирующем аппарате (черт. 91)
лучевую плоскость, проходящую через предельную прямую Q^;
по построению, эта плоскость параллельна плоскости Q' (на
чертеже 91 плоскость Q' не показана), поэтому луч зрения SMoo>
£2

перпендикулярный к нашей лучевой плоскости, определит в
пересечении с картиной точку М^ схода прямых,
перпендикулярных к данной плоскости Q'. Чтобы найти положение точки Л1«х>
на картине, проведём на проектирующем аппарате через прямые
SM*> и SP вспомогательную плоскость PSM&. По построению,
эта плоскость перпендикулярна к плоскости Q' и к плоскости
картины, а потому линия пересечения последних двух
плоскостей, т. е. прямая QK, перпендикулярна к вспомогательной
плоскости PSMoo и, следовательно,
перпендикулярна к прямой 7Жх,
лежащей в плоскости Р5Жоо (QK1_ РМос)-
Отсюда вытекает, что мы можем
провести на картине (черт. 92) через
главную точку Р перпендикулярно
к следу QK прямую 7Ж>о> на которой
должна лежать точка М». Повернём
треугольник TSM& вокруг прямой
77Иоо до совмещения с плоскостью
картины (черт. 91); так как PS ±ТМ^
то после совмещения будем иметь на
картине: PSK\TMoo\ вместе с тем,
принимая во внимание, что PSK=
= PS = PD, мы можем при помощи
дистанционной точки D засечь
точку SK. Замечая, что SMoo±.ST и
что точка Моо остаётся неподвижной Черт. 92.
при совмещении треугольника TSM^
мы можем построить совмещённое .положение луча SMoo на
картине, проведя через точку SK прямую перпендикулярно к SKT
до пересечения с прямой ТР. Таким образом на картине будет
найдена точка М^ схода прямых, перпендикулярных к данной
плоскости Q.
Если на картине через какую-нибудь точку, например через
точку М, взятую на произвольной прямой, лежащей в
плоскости Q, мы проведём прямую ЛШоо, то получим перспективу
перпендикуляра к данной плоскости Q (черг. 92).
6. Определение натуральной величины
прямолинейного отрезка по заданному его
изображению на картине.
а) Пусть на картине задан отрезок АВ, представляющий
изображение прямолинейного отрезка, произвольно лежащего в
предметной плоскости. Требуется определить натуральную величину
этого отрезка.
На чертеже 93 показано решение этой задачи способом
переноса данного отрезка на основание картины. Определив при
помощи совмещённой точки зрения (SK) масштабную точку (Fee) и
(проведя прямые FooA и FooB до пересечения их с основанием
картины в точках А0 и В0, мы получим отрезок А0В0, представ-
53

ляющий натуральную величину отрезка АВ (§9). Как было
указано, этот способ удобно применять в том случае, если
предельная точка прямой АВ доступна на чертеже.
б) Заметим, что если отрезок
\S* АВ направлен перпендикулярно
Черт. 93.
Черт. 94.
к плоскости картины и, следовательно, предельной точкой
прямой АВ является главная точка Р, то масштабной точкой будет
служить дистанционная точка D (черт. 94). В этом случае
графическое построение
сводится к проведению линий
переноса DA и DB,
определяющих на основании
картины натуральную
величину А0В0 заданного
отрезка.
в) Если отрезок MN
(черт. 94) параллелен
основанию картины, то
предельная точка прямой MN
находится в бесконечно
удалённой точке линии
горизонта. В этом случае
точкой схода линий
переноса может служить любая
точка УНоо линии горизонта.
г) Если прямая, на
которой взят отрезок, не
параллельна основанию картины и*
вместе с тем предельная точка
прямой недоступна на чертеже,
то способ переноса отрезка на основание картины не может быть применён для»
определения его натуральной величины. В этом случае удобно применить
способ совмещения предметной плоскости с картиной. Этот способ позволяет
определить не только длину отрезка, но и его положение относительно
основания картины, т. е. его направление и расстояние его концов относительно
основания картины.
Возьмём на картине отрезок АВ— изображение некоторого отрезка А'В\
лежащего в предметной плоскости (черт. 95).
Черт. 95.
54

Повернём предметную плоскость вокруг основания картины так, чтобы
натуральный отрезок А1 В' совместился с плоскостью картины над
основанием kk. Найдём совмещённое положение концов А' и В' искомого
натурального отрезка. Для этого проведём через точки А и В глубинные прямые
РА и РВ и отметим точки Ар и Вр пересечения их с основанием картины.
Пользуясь дистанционными точками Dx и D2, найдём расстояния APAD и BPBD
концов А' и В' натурального отрезка от основания картины.
При совмещении предметной плоскости с картинной глубинные прямые
АРР и ВРР примут направление APU'A и Ври'в, перпендикулярное к
основанию картины, а точки А' и В' расположатся на них на расстояниях АРА'=
=APAD и ВРВ' = BPBD от основания картины. Таким образом может быть
определена натуральная величина отрезка А'В' и его положение относительно
основания картины. Чтобы избежать наложения друг на друга двух чертежей,
совмещённый отрезок А'В' перемещают в плоскости картины параллельно
самому себе в направлении, перпендикулярном основанию картины, и
располагают ниже основания картины, как показано на чертеже 95. Для этого, не
отмечая на картине точек А' и В', проводят прямую kfa—опущенное
основание картины (&J&! || kk), строят прямые U'AAP и U'BBP перпендикулярно к
основанию kk, отмечают точки А'р и В'р на прямой k\kx и откладывают
отрезки А'рА[ — APAD и BpB[ — BpBD. Тогда отрезок А\В[ представит
натуральную длину отрезка А'В' и его положение относительно прямой kxkx
будет воспроизводить действительное положение отрезка А'В' относительно
основания картины.
а) Рассмотрим случай, когда отрезок АВ произвольно
расположен в пространстве.
Если предельная течка прямой АВ доступна на чертеже, то
натуральная величина отрезка
может быть найдена посред-
- ством переноса его на плоскость
картины (черт. 96). Этот способ
аналогичен тому, при помощи
которого строится перспективный
>3
^^<^__вД
т^\!7 /ft
М~>
УМ
1,' \ а;
v А/
/'
/в\
' D
Ъ
Черт. 96.
Черт. 97.
масштаб на произвольной прямой в пространстве (§ 9, черт. 76).
В более общем случае задача может быть решена способом
прямоугольных треугольников, как показано на чертеже 97.
Пусть дан отрезок АВ (вместе с его проекцией ab). Проведём
55

через конец А прямую АС, параллельную аЬ\ тогда величину
отрезка АВ можно определить как гипотенузу прямоугольного
треугольника АВСУ для чего предварительно нужно найти
натуральную величину катетов ВС и АС. Натуральная величина
катета ВС равна отрезку £//?, полученному путем переноса
отрезка ВС на плоскость картины при помощи параллельных прямых,
проведённых из любой точки схода (на черт. 97 взята точка D).
Натуральную величину АС можно определить посредством
прямоугольного треугольника аЬЕ, в котором гипотенуза abt
равная искомому отрезку Л С, определяется через катеты аЕ и ЬЕ.
Найдя при помощи точек Р и D натуральную величину LM и QN
катетов аЕ и ЬЕ и построив на отдельном чертеже
прямоугольный треугольник на катетах LM и QA/, получим таким образом
натуральную величину LQ отрезка ab9 или, что то же, отрезка АС.
Затем на катетах LQ и UR строим второй прямоугольный
треугольник, гипотенуза которого АХВ{ представит натуральную
величину данного отрезка АВ.
7. Определение натуральной величины угла
между двумя прямыми по заданному его
изображению на картине.
Бели на картине изображён угол, стороны которого лежат
в предметной плоскости, то его натуральная величина легко
определяется посредством совмещения плоскости горизонта с
картиной способом, показанным на чертеже 88. Аналогичным
способом по заданному изображению можно найти натуральную
величину угла,произвольно расположенного в пространстве (черт. 89).
8. Определение угла наклона к плоскости картины
прямой, изображённой на картине.
Пусть в пространстве проведена произвольная прямая, изображение
которой А0Аоо дано на картине (чепт. 98). Для простоты чертежа мы выбрали
прямую, пересекающую
картинную плоскость в точке А0 на
основании картины. Углом наклона
данной прямой к плоскости картины
является угол между этой прямой
и картинным следом
проектирующей плоскости 0, проведённой
через данную прямую
перпендикулярно к плоскости картины.
Этот картинный след A0Qk
проходит через картинный след А0
нашей прямой параллельно
предельной прямой плоскости Q, предель1
ная прямая АосР определяется
точками Асх> и Я, так как
плоскость Q проходит через прямую
Лэ/4оо и перпендикулярна
плоскости картины. Таким образом, угол AooA0Q^ представит на картине
изображение искомого угла наклона прямой AqAoo к плоскости картины.
Чтобы определить натуральную величину этого угла, обратимся к
проектирующему аппарату (черт. 99) и проведём в предельную точку Лоо луч
зрения SAoo. По построению этот луч параллелен данной прямой (не
показанной на чертеже); поэтому угол SAooP наклона луча SAoo к картинной-пло-
Черт. 98.
56

скости равен искомому углу. На картине мы получим натуральную величину
этого угла, повернув прямоугольный треугольник SPAoo вокруг катета РАа>
до совмещения с плоскостью картины в положении SKPAoo. Для построения
4ерт. 99.
на картине совмещённого треугольника SKPAoo (черт. 98) нужно провести?
через, главную точку Я прямую, перпендикулярную к предельной прямой Qa*
и отложить отрезок PSK, равный PD; тогда угол SkAoqP представит некому»
натуральную величину угла AooAQQK.
9. Определение угла наклона к плоскости картины
плоскости, изображённой на картине.
Из геометрии известно, что угол между двумя плоскостями (двугранный
угол) измеряется линейным углом, который образуется в результате
пересечения граней двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к ребру
двугранного угла. Таким образом, для определения угла наклона к плоскости
картины некоторой плоскости Q\ изображение которой QkQoQh Дан0 на каР~
тине Лчерт. 100), нужно провести вспомогательную секущую плоскость R,
перпендикулярную к картинному следу
QK, и определить полученный в сечении
линейный угол.
Пусть секущая плоскость R
проходит через точку зрения S; тогда одну
сторону NT искомого линейного угла
мы получим в пересечении плоскости R
с плоскостью картины; эта сторона, по
построению, пройдёт через главную
точку Р перпендикулярно к Q%. Так как
наша секущая плоскость R является
вместе с тем лучевой плоскостью (проходит
через точку 5), то на картине другая
сторона (NM) искомого линейного угла,
образуемого плоскостью R, совпадёт с Черт. 100.
прямой NT и искомый угол TNM
изобразится на картине в виде прямой NTM.
Представим на проектирующем аппарате (черт. 101) лучевую плоскость Г/,
при помощи которой получена на картине предельная линия 0оо плоскости Q*
<на черт. 101 плоскость U, а также плоскость R не изображены). По
построению эта плоскость U и заданная плоскость Q' параллельны между собой
и потому одинаково наклонены к плоскости картины. Следовательно, угол STP,
являющийся линейным углом двугранного угла, образуемого плоскостью U
и плоскостью картины, равен искомому углу TNM' наклона к плоскости
картины заданной .плоскости Q'. Натуральную величину угла 5ТР можно
57

получить на картине посредством вращения прямоугольного треугольника
SPT (черт. 101) вокруг катета РТ до совмещения с плоскостью картины ii
ноложении S%PT. Для построения на картине треугольника SvPT(черт. 100>
лроведём прямую PS# перпендикулярно к РТ и отложим P$K—PD. Угол
Черт. 101.
SKTN представит натуральную величину линейного угла TNM' (черт* 101),
определяющего угол, составленный плоскостью картины и плоскостью Q,
изображённой на картине.
10. Примеры.
Приведём примеры применения рассмотренных способов к
построению изображений пространственных фигур по заданным их
размерам и положению в пространстве и к определению
натуральной величины фигур по их изображению на картине.
Пример 1. На чертеже 102 дан пример построения
прямоугольного параллелепипеда, отношение рёбер которого по длине,
ширине и высоте равно 4:3:2.
На картине, в соответствии с выбранной единицей масштаба,
взяты главная точка и дистанционная точка так, чтобы высота
параллелепипеда была меньше высоты точки зрения и чтобы
расстояние точки зрения от картины в несколько раз превосходило
наибольший линейный размер фигуры*). При построении
произвольно выбрана передняя нижняя вершина параллелепипеда и
направление большего ребра, выходящего из этой вершины, с
таким, однако, расчётом, чтобы предельная точка прямой, на
которой взято указанное ребро, поместилась в пределах листа
бумаги, на котором выполняется чертёж.
Построение выполнено в следующем порядке.
а) Построена совмещённая точка зрения^. (Плоскость горизонта
совмещена с той частью плоскости картины, которая расположена
ниже линии горизонта.) •
б) По заданному направлению ребра отмечена точка схода М<х>
горизонтальных рёбер, параллельных заданному.
*) Обоснование выбора дистанционной точки изложено в § 14.
58

в) При вершине SK построен прямой угол MooSKNco и
отмечена точка TVoo, определяющая направление горизонтальных
рёбер, перпендикулярных к заданному.
г) При помощи точек SK, М<х> и М» найдены точки Fx и F2—
масштабные точки для горизонтальных рёбер параллелепипеда-
Черт. 102.
д) На прямые, выходящие из заданной вершины, перенесены
при помощи точек Fx и F2 отрезки, равные в натуре длине (4а}
и ширине (За) параллелепипеда.
е) При помощи точек Моо и TVoo построено нижнее основание:
,параллелепипеда.
ж) Из вершины нижнего основания проведены вертикальные
прямые в направлении боковых рёбер параллелепипеда.
з) При помощи точки /Voo, по заданному на картине
натуральному размеру высоты (2а), построено в перспективе одно из
боковых рёбер параллелепипеда, после чего при помощи точек:
Моо и Л^оо построено верхнее основание параллелепипеда.
Для завершения чертежа следует обвести утолщённой линией
контуры полученной фигуры, удалить с чертежа вспомогательные
линии и вычертить рамку картины.
Описанный способ масштабных точек удобно применять для
построения изображений несложных по форме объектов по их
описанию и по заданным размерам.
Пример 2. На чертеже 103 изображение здания построено*
по способу, описанному в предыдущем примере.
При построении были приняты следующие метрические
данные: отношение главного и бокового фасадов и высоты стен:
равно 11:7:6. Высота здания (до гребня крыши) составляет
4/8 высоты стен. Отношение высоты и ширины окон равно 3:2.
5»

Ширина простенков между окнами равна ширине окон (на бо-
жовом фасаде и на правой части главного фасада). Размеры
остальных частей здания произвольны.
Высота линии горизонта, расстояние точки зрения от картины,
-а также положение ближайшей к зрителю точки основания зда-
жия и направление основания главного фасада выбраны
произвольно.
Черт. 103.
При построении были использованы главная точка и
дистанционная точка (Р и D)9 точки схода основных горизонтальных
-линий главного и бокового фасадов (Моо и Л^о) и масштабные
точки для тех же направлений (Ft и F2) (на чертеже,
помещённом в книге, вместо точек D, М^ и TVqo отмечены
соответствующие дробные точки у, ~- и -^). На основании картины
построен в условных единицах натуральный линейный масштаб,
лри помощи которого нанесены очертания окон и дверей на
тлавном и боковом фасадах.
Пример 3. Чертёж 104, представляющий вид части комнаты,
построен по заданному плану комнаты и заданным высотам
предметов обстановки (черт. 105). На плане указано положение
основания картины по отношению к изображаемой части комнаты и
отмечена проекция Р0 главной точки на основание. Высота точки
.зрения и её расстояние от картины также входят в число
заданных элементов картины.
Построение выполнено следующим образом. (Линии
построения на картине не показаны.)
а) В соответствии с условием на чертёж нанесены основание
жартины, линия горизонта, главная точка и дистанционная точка,
б) В соответствии с планом (черт. 105) на картине (черт. 104)
построена перспектива РО0 глубинной прямой О'О'0 и на ней
40

Черт. 104.
О,
ВысотбГ точки зрения 1,6 м
Расстояние точки зрения 3,6 »•
высота комнаты 3,0 *»
и •• полки 2,2 ••
м ♦» подоконника 0,6
Высота оконной рамы 2>0 м
„ .. стола 0,75"
» » сиденья стула 0/*Ь **•
»» м спинки стула 0,9 »*
Черт. 105.

шри помощи дистанционной точки отмечена точка О —
перспектива точки пересечения плинтусов *) обеих стен комнаты.
в) При совмещённой точке зрения, как при вершине, построен
прямой угол, соответствующий углу между плинтусами комнаты.
Наклон сторон этого угла к линии горизонта равен наклону
плинтусов к основанию картины; на линии горизонта отмечены
предельные точки М^ и Noo прямых, изображающих плинтусы,
после чего через точку О проведены на картине линии плинтусов.
г) На линии горизонта найдены масштабные точки F\ и F2 для
линий плинтусов. При помощи точек Fx и F\ точка О снесена
на основание картины в
точки 0\ и 02. Для
дальнейшего построения
применён координатный
метод. Прямые ОМоо и О Noo
приняты за оси координат;
точки Ох и 02 служат
начальными точками отсчёта
натурального масштаба для
переноса его делений
соответственно на оси ОМоо
и ONoo при помоши точек
Fx и /V
д) Построение точек,
определяющих контуры
предметов, например
построение точки Л,
выполнено следующим образом.
Координатные отрезки
0'А'Х и 0'АУ (черт. 105)
отложены на основании
картины (черт. 104) от
точек Ох и 02> и концы их
Ахо и Ауо перенесены при
помоши точек Fx и F2 на оси координат в точки Ах и Аг Через
точки Ах и Av при помоши точек М» и Моо проведены прямые
АХА и АуА, параллельные соответственно осям N^O и МооО;
точка Л пересечения этих прямых является искомой. Высоты
точек над предметной плоскостью определены способами,
указанными в § 9 (черт. 72 и 73).
Пример 4. На чертеже 106 показано построение натуральной
величины многоугольника, изображение которого ABCBF задано
на картине. Натуральный вид AB'CE'F* многоугольника получен
Черт. 106.
*) Условимся для краткости называть плинтусом линию пересечения
плоскости пола с плоскостью стены, а к а р н и зом — линию пересечения
плоскости потолка с плоскостью стены, не изображая на картине плинтус и
карниз как архитектурные детали.
>62

на совмещённой предметной плоскости способом, показанным на
чертеже 95. Построение выполнено в следующем порядке.
На основании kk при помощи главной точки Р и дробной
дистанционной точки -^ нанесены точки Ар и Ad . Под основа-
Т
*шем картины kk, параллельно ему, проведена прямая k'k' —
опущенное основание картины, и через точку Ар проведён пер-
лендикуляр АрА'р к прямой k'k'. На прямой А'рАр отмечена
точка А', расстояние которой от точки Ар равно удвоенному
отрезку ApAq_. Полученная точка А является искомой совме-
шённой вершиной натурального многоугольника. Таким же
образом найдены остальные вершины и получен многоугольник
A'B'CE'F\ представляющий натуральную величину
многоугольника ABCEF, изображённого на картине.
§ 11. Перспектива окружности
1. Предварительные сведения.
Построение перспективы окружности на проектирующем
аппарате заключается в определении точек встречи с плоскостью
картины лучей зрения, проведённых к точкам заданной окружности.
Черт. 107.
Совокупность этих лучей зрения образует поверхность конуса,
называемого лучевым конусом; следовательно, можно
сказать, что перспектива окружности представляет линию
пересечения поверхности лучевого конуса с плоскостью картуны.
Линия, по которой поверхность конуса пересекается
плоскостью, называется коническим сечением. В зависимости от
положения секущей плоскости относительно образующих конуса
коническое сечение может иметь один из следующих видов.
а) Если секущая плоскость пересекает нее
образующие конуса, то получается замкнутая кривая —эллипс или
в частном случае окружность (черт. 107, 7).
63

б) Если секущая плоскость параллельна одной из
образующих конуса, то в сечении получается парабола
{черт. 107,2).
в) Если секущая плоскость параллельна двум
образующим конуса, в сечении получается гипербола (черт. 107,3).
Таким образом, перспектива окружности может иметь вид
эллипса, параболы или гиперболы в зависимости от взаимного
расположения дангой окружности (основания лучевого конуса),
плоскости картины (секущей плоскости) и точки зрения (вершины
лучевого конуса).
2. Построение перспективы окружности на
проектирующем аппарате.
Черт. 108.
Проведём на предметной плоскости проектирующего аппарата
через точку стояния s параллельно основанию картины прямую
NiN2, называемую нейтральной прямой.
а) Пусть окружность О' расположена на предметной плоскости
так, что она не имеет общих точек с нейтральной прямой
(черт. 108). Как видно из чертежа, при таком условии плоскость
картины пересекает (или может пересечь при продолжении) все
образующие лучевого конуса. Следовательно, если
нейтральная прямая лежит вне круга, ограничиваемого данной
окружностью, то перспектива окружности
представляет эллипс.
б) Зададим окружность так, чтобы она касалась нейтральной
прямой, например, в точке стояния s (черт. 109). Тогда прямая
Л представит одну из образующих лучевого конуса, причём
плоскость картины будет параллельна образующей Ss.
Следовательно, если нейтральная прямая касается изобра-
«

жаемой окружности, то перспектива окружности
представляет параболу.
в) Пусть окружность пересекает нейтральную прямую
(черт. ПО). Тогда лучевой конус будет иметь две образующие
SLt и SL2, параллельные плоскости картины. Следовательно,
если нейтральная прямая пересекает окружность,
то перспектива окружности представляет
гиперболу.
Черт. 109.
Нетрудно убедиться путём рассуждений, аналогичных
изложенным, что выводы о виде кривой, представляющей
перспективное изображение окружности, полученные нами для окружности,
лежащей в предметной плоскости, остаются в силе и для
окружности, произвольно расположенной в пространстве. В этом случае
вид кривой зависит от взаимного положения окружности и
плоскости, проходящей через нейтральную прямую NXN2 и точку
зрения 5. Эта плоскость называется нейтральной
плоскостью. Перспектива данной окружности имеет вид эллипса,
параболы или гиперболы, если линия пересечения нейтральной
плоскости с плоскостью окружности соответственно не имеет
общих точек с данной окружностью, касается окружности или
пересекает её.
Отметим, что в частном случае перспективой окружности
может служить окружность, если, например, изображаемая
окружность расположена в плоскости, параллельной плоскости картины
(в силу подобия параллельных сечений лучевого конуса).
. Частным случаем является также перспектива окружности
в виде прямолинейного отрезка, если все лучи зрения,
направленные к точкам изображаемой окружности, расположены в одной
лучевой плоскости.
3. Построение перспективы окружности на
картине.
65

Линию, изображающую окружность в перспективе, нельзя
вычертить на картине непосредственно, при помощи обычных
чертёжных инструментов — циркуля и линейки (кроме указанных
выше двух частных случаев); поэтому построение выполняется
путём нахождения отдельных точек, принадлежащих искомой
кривой, и проведения затем через эти точки плавной линии при
помощи лекала или от руки. Правильный вид линии
обусловливается достаточным числом близко расположенных друг к другу
Черт. НО.
точек, принадлежащих этой линии. Очевидно, что чем больше
длина вычерчиваемой линии, тем большее число точек требуется
построить для её вычерчивания, причём в местах, где кривизна
линии больше, точки должны быть ближе расположены друг
к другу.
Мы приведём два способа построения перспективы
окружности. Первый способ, удобный по простоте построения, позволяет
получить только восемь точек и потому практически применим
при небольших размерах чертежа. Второй способ позволяет
построить любое число точек, необходимых для достаточно точного
и уверенного проведения искомой линии.
Первый способ (способ описанного квадрата).
Пусть на картине задана перспектива центра О и натуральная
величина О0А0 радиуса окружности, изображение которой
требуется построить (черт. 111). Найдём при помощи точек Р и D
совмещённое положение Ох центра О (§ 10, черт. 86). Опишем
из точки Ог окружность радиусом О0А0 и построим квадрат
66

K\LXMXNU описанный около окружности Ох так, чтобы стороны
его KXNX и LXMX были перпендикулярны к основанию картины.
Проведя средние линии и диагонали квадрата, отметим на
сторонах квадрата точки 1Х, 3{9 5Х и 7Х касания окружности и на
диагоналях точки 2и 4и 6Х и #, пересечения их с окружностью.
Черт. 111.
По совмещённому положению квадрата K\LXMXNX построим
его изображение KLMN на картине и найдём на ней точки 1, 2,
3, 4у 5, 6, 7 и 5, соответствующие точкам 1и 2и Зи 4Х, 5и 619
7Х и 8г.
Соединив найденные точки плавной кривой, получим
изображение окружности заданного радиуса О0А0 с центром в заданной
точке О на предметной плоскости.
Для практического применения описанного способа нет
надобности строить окружности 0} и квадрат K\LXMXNX в
совмещённом положении, так как перспективу квадрата KLMN можно
построить непосредственно на картине по заданному положению
центра О и натуральной величине О0А0 радиуса, пользуясь
точками PhD. Точки касания 7, 3, 5 и 7 определяются на картине
при помощи средних линий квадрата; чтобы найти точки 2, 4,
6 и 8 на диагоналях квадрата, следует определить на основании
картины точки Е и F. Для этого нужно построить
прямоугольный равнобедренный треугольник А0О0Ах (черт. 111), засечь на
прямой АХА0 точку G радиусом AXG, равным АхО0, и провести
прямую GE перпендикулярно к основанию картины. Точка F
6Z

засекается радиусом O0F, равным О0Е. Из построения видно,
что точка Е делит отрезок О0А0 в таком же отношении, как
точка #! делит отрезок ОхК\ и, следовательно, может служить
для деления в том же отношении отрезков ОК и ON.
Второй способ (способ высот треугольника). Построим
на предметной плоскости окружность О', диаметр А'В' которой проведём
параллельно основанию картины, а точки О и Е' возьмём на концах диаметра,
перпендикулярного к А 'В'. Представим предметную плоскость вместе с
начерченной на ней окружностью в плане,
вследствие чего окружность будет иметь на
чертеже натуральный вид (черт. 112). Проведём
хорду А'С и возьмём на её продолжении
точку Д". Соединив 1С с В\ получим
треугольник A'JCB', сторона К'В' которого
, пересечёт дугу окружности в некоторой
точке М'. (Точку 1С нужно выбрать между
точкой С и точкой пересечения прямой А'С'
с касательной к окружности, проведённой
в точку В'.)
\q' Построим в треугольнике А'1С В'
высоты В'С\ f('N' и А'№ и отметим точку U
их пересечения. Заметим, что, независимо
от выбора точки /С (в указанных границах
на прямой А'С), конец высоты, проведённой
из вершины В\ всегда совпадёт с концом
радиуса 0'С\ а конец высоты, проведённой
из вершины Л', всегда должен лежать на
дуге данной окружности, так как углы В'СА*
и А'М'В\ как углы прямые, опирающиеся
на диаметр А'В\ должны быть углами
вписанными.
Изобразим теперь построенную фигуру в перспективе (черт. 113).
Заметим, что в результате описанного построения мы получим на картине пять
точек, принадлежащих искомой окружности,— точки Л, Д С, Е и М.
Положение первых четырёх точек определяется исходным условием задачи. По-
с
Г °г
/ /
г^
А
/'
\м
Черт. 113.
ложение точки М зависит от положения точки К на прямой АС. Выбирая нг
прямой АС последовательно точки Кь Кг, АГз» • • • > мы будем получать при
помощи описанных построений точки Мъ М2, А% • • •» принадлежащие искомому
изображению окружности. Построения удобно выполнять в следующем порядке.
68

а) Выберем положение центра О окружности, проведём через него
прямую POq, перпендикулярную к основанию картины, и отложим на основании
картины натуральную величину AqB0 заданного диаметра, принимая точку 0О
за его середину.
б) Проведём через центр О прямую, параллельную основанию картины,
и' при помощи точки Р отложим на ней перспективу АВ заданного диаметра.
в) Пользуясь дистанционной точкой Д отметим на прямой РО0 концы С
и Е диаметра, перпендикулярного к АВ.
Черт. 114.
г) Проведём прямую АС, возьмём на её продолжении точку /¾ и
соединим К\ с Д чтобы получить треугольник АК\В.
д) Проведём высоты ВС и К\^\ треугольника АК\В и отметим точку Lx
их пересечения.
е) Из точки А через точку Ьг проведём третью высоту треугольника и
отметим в пересечении её со стороной Bf(^ точку М\.
Полученная точка Мх принадлежит искомому изображению окружности.
ж) Выбирая на прямой АС другие точки: f(2i Л"3, • • •» найдём описанным
способом новые точки М2, Af3, ..., принадлежащие изображению дуги
окружности между точками В н С (черт. 114).
з) Аналогичным способом при помощи точек, взятых на продолжении
прямых ВС, АЕ и BE, найдём перспективы точек окружности на дугах АС,
АЕ и BE (черт. 114).
и) Соединив найденные точки В, Mh М2> Мь, ..., С, ..., Л, ..., В
плавной кривой, получим изображение заданной окружности.
Эллипс является наиболее часто встречающимся видом
перспективы окружности. Эта замкнутая кривая симметрична
относительно двух взаимно перпендикулярных прямых АВ и СЕ
{черт. 115), называемых осями эллипса. Точка Q пересечения
большой (АВ) и малой (СЕ) осей называется центром
эллипса. Отрезок всякой прямой (MN), заключённый между
двумя точками эллипса и проходящий через его центр, назы-
69

вается диаметром эллипса. Диаметры эллипса делятся в его
центре пополам. Рассматривая на чертежах 111 и 114 эллипсы,
изображающие окружность, легко заметить, что перспектива центра
окружности О не является центром эллипса, изображающего эту
окружность. Равным образам
отрезки А В и СЕ,
изображающие два взаимно
перпендикулярных диаметра окружности,
не являются диахметрами
эллипса, построенного на картине, и
в общем случае не
перпендикулярны между собой.
Эти явления перспективы
легко обосновываются
свойствами перспективного искажения
отрезков и углов и должны
приниматься во внимание в
практике построения эллипса, изображающего окружность.
4. Примеры.
Рассмотрим примеры построения перспективы окружности.
Так же как в примерах, рассмотренных в предыдущем параграфе
Черт. 116.
(§ 10, примеры 1, 2, 3), для построения картины необходимо
иметь заданными: 1) основные размеры изображаемых предметов,
2) план их взаимного расположения (хотя бы мысленный, но
метрически определённый), 3) основные метрические элементы
70

проектирующего аппарата (выбираемые в соответствии с
размерами изображаемых предметов) и 4) масштаб картины
(устанавливаемый в зависимости от выбранных размеров картины).
Пример 1. На чертеже 116 изображены предметы домашней
обстановки, имеющие круглые очертания. Картина построена по
следующим метрическим данным.
Диаметр крышки стола 1,20 л/, диаметр абажура 0,40 му
высота цилиндрической части абажура 0,20 м> размеры футляра
часов 0,15 ХОД0 X0,20 Af, расстояние центра крышки стола от
плоскости картины и от боковой стены 0,65 м, расстояние
нижнего основания абажура от крышки стола 0,60 м; шнур лампы
расположен по перпендикуляру, проведённому в центр крышки
стола; высота точки зрения над плоскостью стола 0,40 му
расстояние точки зрения от плоскости картины 1,5 л/; масштаб
картины ±.
На чертеже показано построение трёх окружностей: верхнего
основания цилиндрической части абажура, верхнего основания
крышки стола и циферблата часов. Построение указанных
окружностей, так же как остальных окружностей, имеющихся на
чертеже, выполнено способом описанного квадрата. Для построения
использованы главная точка Р, дробная дистанционная точка -^-,
, Рос "оо\ . .
дробные точки схода I -^- и -^-1 контурных линии футляра
часов и масштабные точки (Fx и F2) для этих же линий.
Пример 2. На чертеже 117 построение окружности применено
в связи с решением задачи на построение перспективы открытой
двери и крышки открытого сундука.
Изображение крышки открытого сундука будет метрически
правильным в том случае, если конец А бокового ребра ЮА
крышки расположится на дуге окружности, описанной в плоскости
боковой грани сундука радиусом OS, равным боковому ребру
сундука, из центра О— общей точки боковых рёбер сундука и
крышки.
Построим сначала эту окружность в фронтальном положении
(с центром в той же точке О). Чтобы определить радиус
окружности, т. е. истинную величину отрезка OS, найдём для прямой
BN<x> масштабную точку F2, при помощи которой перенесём точку В
в положение S0- на прямой, проведённой через О параллельно
основанию картины. Так как совмещённая точка зрения SK, при
помощи которой определяется точка F2, выходит за пределы чер-
тежа, мы можем воспользоваться дробными точками -^{Р-о—Р^)
отложив -^F2 = P -^ •
и ~y и найти точку -^ l-g-g- — ~<г~2"]> а затем засечь точку ръ
71

Начертив (циркулем) полуокружность радиуса ОВ0> отметим
на ней точку Е0 — конец горизонтального диаметра В0Е0 и
точку G0 — конец вертикального радиуса. Перенеся точку Е0 на
продолжение ребра ВО, получим горизонтальный диаметр BE
Черт. 117.
искомой перспективы полуокружности. Вместе с тем проведём
радиус ОА0у наклон которого к ОВ0 возьмём равным (по нашему
выбору) наклону крышки сундука; одновременно проведём
радиус ОС0, перпендикулярный к ОА0, для определения
действительного угла наклона к горизонтальной плоскости ребра ОС.
По точкам В, G0 и Е мы можем построить одним из
указанных выше способов перспективу искомой полуокружности, после
чего засекаем на ней при помощи линий переноса F2A0 и F2C0
искомую точку А и точку Сх\ точку С отмечаем на отрезке ОСх
тем же приёмом, отложив предварительно на радиусе ОС0
истинную величину ребра ОС, (На чертеже 117 длина отрезка ОС
взята произвольно.)
Чтобы построить перспективу полуокружности, определяющей
положение полуоткрытой двери, в частности её точку /(, найдём
натуральную величину радиуса этой полуокружности. Для этого
проведём через 'центр Q этой полуокружности прямую,
параллельную основанию картины, и отложим на ней (при помощи
72

точки F2) отрезок QL0, равный QL — ширине пролёта двери.
Затем при помощи точки Р проведём в плоскости пола через
точку Q прямую, перпендикулярную Z,e/0> и отложим на ней
радиус QR (пользуясь точкой -у и серединой -£ отрезка QL0).
По точкам Z0, /? и У0 и по натуральной полуокружности LJJ<Jo
построим способом описанного квадрата перспективу искомой
полуокружности L0LRJ0. Тогда произвольно выбранная точка К
этой полуокружности и предельная точка Too прямой KQ
позволят закончить изображение двери.
Пример 3. На чертеже 118 изображена ваза (тело вращения).
Для построения задан профиль вазы, вычерченный в фронтальной
плоскости осевого сечения.
Черт. 118.
Построение выполнено посредством сечений,
перпендикулярных к оси вращения данного тела.
а) Выбираем на предметной плоскости точку А0 (основание
оси вазы) и строим на ней (в соответствующем перспективном
масштабе) отрезок A°L°, равный высоте вазы.
б) В фронтальной плоскости, проходящей через ось A°L°,
строим (за рамкой картины) заданный профиль вазы AXALLX и
73

намечаем на линии профиля ряд произвольных точек В, С, £, ... .
(На чертеже 118 вычерчена часть линии профиля, ограниченная
концами оси симметрии A\LX.)
в) Отмечаем на отрезках A°L° и АХЦ точки В0, С0, £°, ... и
точки Ви Си Еи • •. пересечения этих отрезков с горизонтальными
плоскостями, проведёнными через точки В, С, Еу ... .
г) Строим в перспективе окружности сечения поверхности
вазы с указанными горизонтальными плоскостями, принимая точки
Л°, 5°, С0, ... , L0 за центры окружностей и отрезки АХАУ
ВХВУ ... за радиусы, заданные в фронтальной осевой плоскости
вазы.
д) Вычерчиваем (при помощи лекал) очертание вазы в виде
линии, касательной к эллипсам, изображающим окружности
сечения.
§ 12. Построение теней в перспективе
1. Общие сведения.
Мы можем видеть предметы в окружающем нас пространстве
только при условии достаточного их освещения каким-либо
источником света. Обычно степень освещённости различных частей
поверхности предмета не бывает одинаковой. Наиболее
освещенными являются те части поверхности, на которые лучи света
падают отвесно (под прямым углом); яркость освещения
ослабевает с уменьшением угла наклона световых лучей к освещаемой
поверхности; наиболее тёмной является та часть поверхности,
на которую лучи света не попадают совсем. Такое различие
в освещении отдельных частей предмета позволяет судить о
рельефе его поверхности, о его пространственной форме; на этом
основании указанную зависимость яркости освещения от рельефа
поверхности художники используют для выявления на рисунке
объёмности изображаемого предмета; они стремятся достигнуть
этого посредством штриховки, тушёвки или красок, накладывая
на соответствующие части поверхности изображения более или
менее тёмные пятна.
Если предмет зарисовывается с натуры, то нанесение
светотеней на изображение производится по непосредственному
наблюдению. Для правильного нанесения светотеней на изображении
предмета, построенном по представлению, при отсутствии перед
глазами оригинала, необходимо быть знакомым с некоторыми
закономерностями в распределении светотеней на поверхности
предмета и со способами их построения на изображении.
Мы рассмотрим основные случаи построения теней на
изображении.
Если на пути световых лучей, исходящих от какого-нибудь
источника света С (черт. 119) и падающих на экран £, находится
непрозрачный предмет /7, то он задерживает лучи света, и часть
74

экрана остаётся неосвещённой. Эта неосвещённая часть Т
называется падающей тенью предмета на экране.
Поверхность предмета разделяется по отношению к
освещающим лучам на две части: одна часть, на которую падают лучи,
называется освещенной частью, другая, затемнённая часть,,
называется собственной тенью предмета.
Граница между освещенной и неосвещённой частями предмета
Представляет линию, называемую контуром собственной
тени, или линией раздела света и тени.
*Х*
Черт. 119.
Линия светораздела представляет геометрическое место точек,,
в которых лучи света касаются поверхности предмета. Эти луч»
падают на экран по линии контура падающей тени, ограничивая
между предметом и экраном затемнённое пространство,
называемое конусом тени. (Если освещаемый предмет имеет форму
многогранника, то затемнённое пространство имеет форму
пирамиды, усечённой поверхностью предмета и экрана.)
При построении падающей и собственной тени предмета
различают два основных условия освещения.
Во-первых, источник света может быть расположен на
небольшом расстоянии от экрана и предмета. Такой источник света
для простоты построений считают светящейся точкой и
называют иногда факелом. При факельном (или точечном)*
освещении на экран падает пучок расходящихся лучей
(черт. 119).
Во-вторых, источник света может находиться на весьма,
далёком расстоянии от экрана и предмета, что соответствует,,
например, солнечному освещению. При солнечном
освещении лучи, падающие на экран, считают пучком
параллельных лучей (черт. 120); конус тени превращается в цилиндр
(или в призму).
75

Частным случаем первого из перечисленных условий является
освещение предмета несколькими, например двумя, точечными
источниками света (черт. 121). В этом случае на экране образу-
/
~ у
ч
Черт. 120.
ются две падающие тени предмета, которые могут оказаться
частично наложенными друг на друга. Эта общая часть двух
падающих теней является полностью затенённой от обоих
источников света и называется полной тенью предмета;
несовпадающие части теней называются падающими полутенями;
Черт. 121.
они менее интенсивны по густоте, чем полная тень, так как
лучи каждого из двух источников света освещают тень,
образуемую другим.
Аналогично образуется на экране полная тень и полутень
от предмета, освещенного некоторой светящейся поверхностью,
76

помещённой на небольшом расстоянии от предмета и экрана
(черт. 122). Контур тени, образуемой светящейся поверхностью,
не имеет резких очертаний. Примером может служить освещение
от лампы, закрытой матовым абажуром, освещение от окна при
рассеянном дневном свете и т. п.
*3s
\ Ш \
I
II i /
Черт. 122.
Густота падающей и собственной тени предмета
зависит от весьма многих факторов. В реальных условиях тень
никогда не бывает абсолютно чёрной, так как поверхность,
затенённая непосредственно от источника света, освещается
отражённым светом от других предметов окружающего пространства.
Liepi. 123.
jpi. Г24
В этом явлении, .называемом рефлексом, играет некоторую
роль также и окружающий воздух со взвешенными в нём
пылинками, рассеивающими лучи света во всех направлениях.
Интенсивность освещения поверхности предмета,
обращенной к источнику света, также зависит от ряда условий.
Кроме уже указанной зависимости освещения от угла наклона
лучей к поверхности предмета, сила света изменяется с
изменением расстояния между источником света и предметом,
уменьшаясь с увеличением расстояния. Оба эти явления вызываются
гг

тем. что количество световой энергии, падающей на единицу
ллошади, 1) уменьшается с уменьшением угла наклона лучей
к освещаемой поверхности (черт. 123) и 2) уменьшается по мере
удаления поверхности от источника света (черт. 124).
На силу освешения оказывают также ослабляющее влияние
слои воздуха, сквозь которые проходят лучи света; вследствие
поглощающего действия воздуха, при значительном удалении
предмета от наблюдателя, сглаживается разница в яркости между
Черт. 125. Черт. 126.
-освещенными и неосвещёнными частями поверхности. Наконец,
сила освещения может зависеть от физических свойств
освещаемой поверхности. Практически полный учёт всех явлений,
влияющих на интенсивность света и тени, невозможен. При
зарисовках с натуры сделанные указания должны лишь направлять
внимание рисующего на выявление наличных условий, могущих
вызвать различные оттенки в освещении; надлежащая передача
этих оттенков в рисунке может быть осуществлена лишь на
основе непосредственного восприятия. Если изображение предмета
построено по представлению, то для нанесения светотеней можно
руководствоваться лишь некоторыми нижеприводимыми^ общими
указаниями, применимыми для одноцветных изображений.
Собственные тени предметов обычно изображают
слабее падающих теней, принимая во внимание рефлексы от
земли и окружающих предметов (черт. 125).
Верхняя часть собственной тени изображается слабее,
чем её нижняя часть, из тех же соображений земных рефлексов.
Падающая тень ослабляется в той её части, которая
более удалена от предмета, равным образом тени двух
предметов, падающие на одну поверхность, имеют неодинаковую
интенсивность при различном удалении предметов от поверхности,
на которую падают их тени.
На границе двух неодинаково освещенных поверхностей тон
каждой поверхности усиливается, т. е. тёмная поверхность изоб-
7Ь

ражается темнее, а светлая — светлее. Это явление называется
пограничным контрастом (черт. 125)*).
При изображении светотеней на кривой поверхности переход
от светлой части к тёмной производится постепенно. Рефлекс
на поверхности собственной тени наносится со стороны, прямо
противоположной наиболее ярко освещенной части поверхности
(черт 126).
2. Построение тени при „факельном" освещении.
Пусть на картине (черт. 127) точка С изображает светящуюся
точку; АВ— освещенный предмет в виде прямолинейного отрезка,
перпендикулярного к предметной
плоскости. Требуется построить
тень отрезка, падающую на
предметную плоскость.
N В данном случае „конус тени44
превращается в „теневую
плоскость" тени, которая в
пересечении с предметной плоскостью даёт
прямую линию. Следовательно,
тень предмета АВ изобразится в
виде прямолинейного отрезка,
расположенного на этой прямой. По- Черт. 127.
этому для построения тени
отрезка АВ достаточно найти падающую тень концов его А и В.
Тень от точки А совпадает с самой точкой Л. Тень В% от точки В
лежит на пересечении луча СВ с предметной плоскостью и может
быть найдена как точка пересечения луча СВ с его проекцией.
Следовательно, тень отрезка АВ изобразится в виде отрезка АВ%.
Описанный способ может быть применён к построению тени
всякого предмета, имеющего прямолинейные очертания. Для
выполнения построения необходимо, чтобы на картине была задана
проекция на предметную плоскость светящейся точки и чтобы
могли быть найдены проекции на ту же плоскость тех точек
предмета, которые определяют контур падающей тени.
Указанный способ остаётся в силе и для построения падающей
тени от предмета с криволинейным контуром. В этом случае
контур тени определяется по отдельным точкам, достаточно
близко расположенным друг к другу, чтобы можно было
соединить их между собой плавной кривой линией.
Таким образом, задача построения тени является задачей
позиционного характера и сводится к вопросу нахождения или
точки пересечения светового луча, или линии пересечения „теневой
поверхности" с некоторой поверхностью, на которую падает тень.
Пример 1. На чертеже 128 показано построение тени от
прямоугольной пластинки, вертикально поставленной на предметную
плоскость.
:,:) Чертежи 125 и 126 построены в параллельной проекции.
79

В соответствии с описанным способом мы строим падающую
тень каждого ребра пластинки, определяя для этого тени концов
этих рёбер, в результате чего получаем контур падаюшей тени
пластинки. Заметим, что вследствие того, что одна из сторон
пластинки параллельна предметной плоскости, тень этой стороны
Черт. 128.
должна быть параллельна самой стороне и потому будет иметь
общую с ней точку схода. Это замечание даёт возможность
проверить и уточнить построение.
Пример 2. Чертёж 129 представляет пример построения тени
предмета, падающей частично на поверхность другого предмета.
^
ч^
||
Черт. Ш. Черт. 130.
(Предмет, бросающий тень, принят при построении за
прямолинейный отрезок.)
Построение можно выполнить в следующем порядке:
а) построить линию пересечения „теневой плоскости" с
предметной плоскостью и с поверхностью второго тела;
б) найти тень верхней точки предмета на поверхности второго
предмета.
Пример 3. На чертеже 130 изображён наклонный
прямолинейный стержень, опирающийся на край вертикально
поставленной прямоугольной пластинки.
во

Определив проекцию точки опоры стержня на пластинку,
построим проекцию стержня и найдём на ней проекцию его
свободного конца. После этого определяем тень свободного кониа
стержня и изображаем его тень на предметной плоскости. Тень
Черт. 131.
на пластинке располагается по линии пересечения пластинки
с теневой плоскостью стержня.
Пример 4. На чертеже 131 построена тень от абажура лампы,
стоящей на столе. Стол придвинут левым краем вплотную к стене.
i i i / II 1
Черт. 132.
Для построения тени необходимо иметь заданными на картине
(черт. 132): 1) главную точку Р; 2) очертания крышки стола,
придвинутой к боковой стене; 3) светящуюся точку С и её
основание с на плоскости стола; 4) очертания окружности нижнего
81

края абажура и положение центра О этой окружности на
прямой Сс. Плоскость окружности О и крышки стола заданы
горизонтальными.
Построение тени можно выполнить следующим образом.
а) Проведём (черт. 132) в окружности О (пользуясь точкой Р)
два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и EF и найдём
в плоскости стола тени Л*, В*, £* и F* концов этих диаметров.
Черт. 133.
б) По точкам А*, В%9 Е% и F* способом описанного квадрата
построим перспективу окружности и отметим точки М* и ЛЛ*.
её пересечения с левым краем стола.
Полученная линия M*F*B*E*N* (дуга эллипса) представит
контур тени абажура на крышке стола.
в) В произвольную точку Ц дуги M*A*Nx проведём луч
CLX и его проекцию cLx и, пользуясь точкой / пересечения cLx
с плоскостью стены, найдём точку L* пересечения луча CL\
с той же плоскостью. Таким же способом найдём точку А*% и
ряд других точек. Плавная кривая M*L*A** ... N* (дуга
гиперболы) представит контур тени абажура на плоскости стены.
Пример 5. На чертеже 133 показан пример распределения
теней на полу и на стенах комнаты от предметов обстановки
при освещении лампой, принятой при построении за светящуюся
точку.
Для построения тени стола найдены тени, падающие на
плоскость пола (мысленно продолженную за стены комнаты) от
четырёх точек стола. Контуры тени стола на стенах комнаты, на
шкафу и на стенке стола построены как линии пересечения этих
плоскостей с соответствующими теневыми плоскостями. Контуры
тени шкафа найдены по тени двух его точек.
82

3. Построение солнечной тени.
При построении солнечной тени лучи света принимаются па*
раллельными между собой. Поэтому на картине необходимо
задавать точку схода лучей в соответствии с выбранным
направлением их. На чертежах 134, 135 и 136 показано построение
Черт. 134.
Черт. 135.
солнечной тени для трёх основных направлений солнечных лучей
по отношению к зрителю.
1) Солнце может находиться перед зрителем; тогда точка
схода лучей находится над линией горизонта (в произвольно
выбранном месте); проекция точки схода лежит на линии горизонта.
Тень, падающая от предмета, надвигается на зрителя. Предмет
обращен к нему своей теневой
стороной (черт. 134).
2) Солнце может находиться
сзади зрителя; лучи, освещающие
предмет, удаляясь от зрителя,
направляются сверху вниз; точка
схода лучей находится под
линией горизонта — в направлении,
противоположном положению
солнца; проекция точки схода
лежит на линии горизонта. Тень,
падающая от предмета, удаляется от
зрителя. Предмет обращен к
зрителю своей освещенной стороной (черт. 135).
3) Солнце находится сбоку от зрителя (справа или слева);
лучи света параллельны плоскости картины и наклонены к
предметной плоскости под произвольным углом. В таком случае на
картине (черт. 136) лучи света параллельны между собой, а их
проекции на предметную плоскость параллельны основанию
картины (см. § 5, черт. 22).
Выбор точки схода освещающих лучей, вообще говоря, произволен и
зависит от композиционного замысла художника. При изображении
архитектурных сооружений выбор направления освещающих лучей надлежащим
образом согласуется с действительными условиями предполагаемого располо-
Черт. 136.
#»

жения здания относительно стран света, с географической широтой места
и пр. Учёт этих условий позволяет правильно выбрать угол наклона
освещающих лучей к предметной плоскости и направление на предметной
плоскости проекции освещающего луча. Наиболее простым для построения является
направление освещающих лучей параллельно плоскости картины (черт. 136).
Однако указанный выбор неприемлем в том случае, если некоторые грани
объекта параллельны плоскости картины, так как освещающие лучи, скользя
вдоль этих граней, не дадут на них чёткой обрисовки рельефа светотенью.
Угол наклона лучей к предметной плоскости для средних широт СССР обычно
берут в пределах от §0 до 45°. Удобно применять среднее значение этого
угла около 35°, соответствующее углу наклона диагонали куба к его
основанию (35° 16').
На чертеже 137 изображён проектирующий аппарат и куб, диагональ
АА% которого, соединяющая верхнюю переднюю левую вершину с нижней
Черт. 137.
задней правой вершиной, определяет направление освещающих лучей. Куб
поставлен на предметную плоскость так, что его передняя грань параллельна
плоскости картины. Точку схода освещающих лучей на картине мы получим,
проведя проектирующий луч SCoo параллельно диагонали ААЩ и найдя точку
Соо его пересечения с плоскостью картины. Нетрудно убедиться, что искомая
точка Соо является вершиной куба, расположенного так, что три вершины
его взяты в точках 5, Р и D. Поэтому на картине точка Соо легко может
быть найдена как конец перпендикуляра к линии горизонта, проведённого
вниз через точку D и равного отрезку РА
Если куб поставлен на предметную плоскость произвольно, то точка
схода освещающих лучей, направленных параллельно диагонали куба,
определяется на основании следующих соображений. Угол АА+В наклона
светового луча к предметной плоскости может быть определён из прямоугольного
треугольника ABA*, в котором отношение катетов ^-т- равно отношению
-fij-, т. е. отношению катета к гипотенузе равнобедренного прямоугольного
треугольника ВСАЩ. Пусть на проектирующем аппарате (черт. 138а) дан
вертикальный отрезок А'В\ тень которого В'А определяется световым лучом
А Ат, параллельным диагонали некоторого куба, причём направление проекции
В А светового луча и, следовательно, положение точки соо на картине за-
64

дано. Лучи зрения Scoo\\B'A' и SCoo\\A'A' образуют угбл cooSCoo, равный
углу А'А' В\ Следовательно, отрезок сообоо, определяющий положение точки
Соо на картине, может быть найден из указанного выше соотношения. Для
этого совместим плоскость горизонта с картиной, построим на отрезке
SkCoo (Skcoo = Scoo) равнобедренный прямоугольный треугольник SkCc<» и
отложим от точки сое перпендикулярно к линии горизонта отрезок СооСоо,
равный СооС (черт. 138а, 1386).
Черт. 138.
Пример 6. На чертеже 139 дан пример построения солнечной
тени от взаимно пересекающихся четырёхугольной и треугольной
призм (упрощённая форма односкатной крыши с дымовой трубой).
Точка схода солнечных лучей выбрана на картине
произвольно, ниже линии горизонта, справа от фигуры, что указывает
на положение солнца сзади слева от зрителя.
85

Линии построения показывают, что для определения контура
тени, падающей на предметную плоскость, нужно найти четыре
точки — падающие тени трёх вершин четырёхугольной призмы
и одной вершины треугольной призмы. Четыре искомые точки
лежат в пересечении лучей света, проведённых через указанные
вершины в общую точку схода С^ с проекциями этих лучей,
проведёнными через основания указанных веошин в точку с& —
Сое
4
М«
Черт. 140.
основание точки С^ на линии горизонта. Тени горизонтальных
рёбер обеих призм проводятся через найденные точки параллельно
самим рёбрам, т. е. в соответствующие точки схода. Контуры
тени, падающей на наклонную грань, найдены как линии
пересечения этой грани с теневыми плоскостями, проведёнными через
соответствующие боковые ребра четырёхугольной призмы.
Положение собственной тени на фигуре вытекает из расположения
самой фигуры по отношению к освещающим лучам и является
очевидным без особых пояснений.
Пример 7. Построение падающей тени на ступенях лестницы,
изображённой на чертеже 140, удобно начать с построения тени
переднего вертикального ребра АВ боковой грани, принимая во
внимание, что „теневая плоскость" пересечёт все горизонтальные
грани ступеней по прямым, направленным в точку с^ а
вертикальные грани ступеней — по прямым, параллельным самому ребру;
линия тени этого ребра заканчивается в точке Вт встречи с
лучом, проходящим через верхний конец В ребра в точку С^.
Тень горизонтального ребра BE имеет начало в В%\ её направле-
ф

ние на вертикальных гранях ступеней и на задней стене
определяется в каждом случае по двум точкам линии пересечения
теневой плоскости с каждой из указанных вертикальных
плоскостей (BJ7; GH; КЕ); на горизонтальных гранях ступеней тень
ребра BE параллельна самому ребру.
Пример 8. На чертеже 141 при построении теней от группы
призматических тел (упрощённых архитектурных форм)
направление освещающих лучей взято параллельно плоскости картины,
под углом в 45° к предметной плоскости.
Черт. 141.
Поясним некоторые этапы построения (черт. 141а).
а) Тень ребра АВ состоит из отрезков: ВС — на, плоскости
основания, CD — на вертикальной стене и DA% — на крыше
верхнего здания. Отрезок 1)АЯ найден на прямой ED, представляющей
линию пересечения „теневой плоскости" ребра АВ с плоскостью
крыши; эта линия построена по точкам D и Е, принадлежащим
одновременно ^теневой плоскости" ребра АВ и плоскости крыши:
точка Е есть точка пересечения продолженной плоскости крыши
t ребром АВ, а точка D получена в результате пересечения
„теневой плоскости" ребра АВ с передней стеной здания.
б) Падающая на крышу среднего здания тень A^F части
горизонтального ребра боковой стены левого здания построена
как линия пересечения „теневой плоскости" ребра AG с
плоскостью крыши. Для этого плоскость крыши продолжена вверх до
точки О, общей с ребром AG.
87

в) Тень ребра HJ состоит из отрезков JK, KL LM и NH*;
из них отрезки Ж и NHm лежат в плоскости основания, отрезок
KL—на вертикальной стене правой пристройки и отрезок LM —
на крыше пристройки. Заметим, что в точке М тень LM ребра HJ,
обрываясь на ребре крыши, переходит по ходу освещающего
луча в точку N на плоскости основания. Поэтому мы можем
Черт. 1*41 а.
предварительно найти на плоскости основания тень JH0 ребра JH
и тень Q,N ребра Q/?, отметить точку N их пересечения и
провести через точку N в направлении, обратном ходу
освещающего луча, прямую [NM\\H%H) до встречи в искомой точке М
с ребром QR. Описанное построение точки М называется
способом обратного луча.
г) Контур ПЛ Vn W^X тени балкона на передней стене левого
здания составлен отрезками: I) TU^—тень ребра TU; 2) U V —
тень ребра UV\ 3) 1/.И7, —тень ребра VW и 4) W.X-тень
ребра WX. Чтобы найти отрезок UmV„ нужно построить
предметный след (V°V° || ВС) „теневой плоскости* ребра UV, провести
линию пересечения этой плоскости со стеной здания (V°JkJ. || В А)
и отметить на прямой V°JJm при помоши освещающих лучей
{UU,\\VV,\\AAj искомые точки U. и Vr Отрезок VmWm
проводится параллельно VW до пересечения в точке W. с
освещающим лучом WW щ.
Пример 9. На чертеже 142 построена тень от вазы,
изображенной на чертеже 118.
88

Построение выполнено следующим образом,
а) Строим падающие на предметную плоскость тени
окружностей, по которым пересечена ваза горизонтальными плоско-
Черт. 142.
стями, проходящими через точки В°> С°, Е°, F°, G° и L°,
взятыми на оси вазы. Мы получим эллипсы (в натуре окружности)
с центрами в точках В„ С#, Ет, гщ, и, и Z,,.
б) Проводим кривую, огибающую построенные эллипсы,
а также линию основания вазы. Получим контур падающей тени
вазы.
в) Отметим точки касания (/„ 2„ 3», 4т9 5т, 6т и 7 J
огибающей кривой к линии основания вазы и к каждому из эллипсов*
Проведём через точки 2„, 3„ ..., 7% „обратные лучиа до
пересечения с окружностями сечения в точках 2, 3, ..., 7.
Точки /, 2, 3, ..., 7 являются точками линии контура
собственной тени на видимой поверхности вазы. Соединив эти точки
плавной кривой, получим контур собственной тени.
89

§13. Построение отражений в плоском зеркале
Отражение лучей света от плоского зеркала происходит по
следующим законам оптики:
а) Луч падающий (СК) и луч отражённый (KL) (черт. 143)
расположены в одной плоскости с перпендикуляром (KQ),
проведённым к плоскости зеркала (АВ) через точку падения (К).
б) Угол падения (а) равен углу отражения (j$).
Пусть от точки С (черт. 144) на зеркало АВ (зеркало
представлено на чертеже в разрезе) падает пучок лучей, ограничен-
L
Д К В
Черт. 143.
Черт. 144.
ный лучами СК и СМ. Отражаясь от зеркала, лучи направляются
расходящимся пучком в направлении KL и MN. Если на пути
отражённого пучка лучей находится глаз наблюдателя G, то
последний воспринимает точку С в том месте пространства Си
где пересекаются продолженные лучи ДХ и MN. Эта точка Сг
называется зеркальным отражением данной точки С.
Из построения следует, что точки С и Сх расположены на
одном перпендикуляре к плоскости зеркала на равных
расстояниях от точки пересечения этого перпендикуляра с зеркалом,
иначе говоря, данная точка и её отражение симметричны
относительно плоскости зеркала (CD = CXD\ СС1_\_АВ). Поэтому,
чтобы построить отражение предмета в зеркале, нужно из
каждой точки предмета провести перпендикуляр к плоскости зеркала
и продолжить его на равное расстояние за зеркало; тогда конец
каждого перпендикуляра
представит изображение
отражённой точки предмета.
Пользуясь законами отражения,
можно построить, границы AR и BS
(черт. 145) той зоны, в которой еле-'
дует поместить точку С, чтобы её
отражение в зеркале было видимо глазом,
помещённым в точке О, перед
ограниченной частью АВ плоскости зеркала.
Рассмотрим три основных случая построения изображений,
отражённых в плоской зеркальной поверхности.
90

1. Построение отражения в зеркале,
перпендикулярном к предметной плоскости.
На чертеже 146 изображено вертикально поставленное
зеркало, основание которого произвольно направлено относительно
Черт. 146.
основания картины. Построение отражения заданного предмета АВ
вьшолняется при помощи трёх графических операций: 1) через
основание предмета проводится перпендикуляр к основанию зер-
1 I
г /
JA*]/L~
мГ
[р р
1фг\ /
С
1,
Черт. 147.
кала; 2) отрезок перпендикуляра между основанием предмета
и основанием зеркала удваивается в сторону, направленную за
зеркало; 3) на конце полученного удвоенного отрезка строится
91

изображение предмета, равное по величине (в перспективном
масштабе) заданному. Для выполнения указанных построений
применяются способы, описанные в предыдущих параграфах.
Из чертежа видно, что для решения поставленной задачи
строится совмещённая точка зрения SK и, следовательно, требуется
задание на картине главной и дистанционной точек.
На чертеже 147 показан способ-определения на картине зоны, в которой
расположены (на предметной плоскости) точки, видимые в зеркале при
заданном положении точки зрения перед картиной.
Предметная плоскость повёрнута вокруг основания картины и совмещена
с плоскостью картины (§ 10, черт/ 86). На совмещённой плоскости при
помощи точек PhD построен след зеркала MN и основание sK точки зрения S\
затем выполнено построение, описанное в настоящем параграфе (черт. 145),
при помощи которого определены границы MXRX и NxQh определяющие на
предметной плоскости зону видимости точек предметной плоскости в
зеркале MiN\ из точки sK. Построив по совмещённому положению изображения
прямых MR и NQ, мы определим искомую зону на картине.
2. Построение отражения в зеркале, плоскость
которого перпендикулярна к картинной
плоскости и наклонена к предметной плоскости под
произвольным углом.
Пусть предмет АВ, отражение которого требуется построить,
представляет прямолинейный
вертикальный отрезок,
поставленный на предметную плоскость
(черт. 148).
Так как по условию плоскости
зеркала и картины взаимно перпен:^
дикулярны, то плоскость Q, в
которой лежат данный отрезок и его
отражение, являясь
перпендикулярной к плоскости зеркала и
потому параллельной к плоскости
Черт. 148. картины, пересечёт предметную
плоскость по прямой АЕ,
параллельной основанию картины, а- плоскость зеркала — по прямой EF,
параллельной картинному следу зеркала. В силу сказанного,
симметрия в расположении данного отрезка АВ и его отражения ЛiB,
относительно прямой EF изобразится на картине без искажения.
Следовательно, для построения отрезка АХВ\ достаточно провести:
1) АЕ параллельно основанию картины; 2) EF параллельно
картинному следу зеркала; 3) ААХ и ВВХ перпендикулярно к
прямой EF, отметив точки Ах и Si так, чтобы расстояния от
прямой EF этих точек и точек А и В были соответственно равны
между собой.
3. Построение отражения в горизонтальном
зеркале.
В природе пример горизонтально расположенного зеркала
представляет спокойная поверхность воды. Чтобы построить от-
92

ражение в воде какой-нибудь точки предмета, нужно построить
проекцию этой точки на поверхности воды, продолжая, если
нужно, плоскость уровня воды до пересечения с вертикальной
прямой, проведённой через данную точку. Отражение точ^и
получится на той же вертикальной прямой на таком же расстоянии
Черт. 149.
от плоскости уровня, на каком находится данная точка.
Очевидно, что эта задача может быть решена только в том случае,
если известен рельеф земной поверхности в том месте, над
которым расположена заданная точка. На чертеже 149 поверхность
земли принята за плоскость, параллельную уровню воды.
Отмеченная на картине точка пересечения переднего левого ребра
изображённого здания с плоскостью уровня воды может быть
найдена, если провести через это ребро произвольную
вертикальную плоскость и построить линии пересечения её с
поверхностью земли и продолженной поверхностью воды.
§ 14. Основные условия наглядности изображения
Как было указано во введении, способ центральных проекций
даёт возможность получать изображения пространственных
предметов, отличающиеся наибольшей наглядностью. Наглядность
93

обусловливает наиболее лёгкое узнавание изображённого
предмета и отчётливое представление пространственной структуры
его частей. При выполнении изображения наглядность
достигается , различными способами и приёмами. Так, например, в
живописи задача наглядности, или, как говорят, задача сходства
изображения с оригиналом, решается на основе применения
определённых закономерностей в цветовых и тональных
соотношениях между отдельными частями
изображения. Однако основным
условием наглядности является
надлежащий выбор и правильное применение
проектирующего аппарата,
используемого для построения
изображения заданного оригинала. Взаимное
расположение оригинала и элементов
проектирующего аппарата, т. е. точки
Черт. 150. зрения, плоскости картины и
предметной плоскости, не может быть
выбрано произвольно, но должно соответствовать определённым
требованиям, зависящим от свойств глаза человека.
Изображение, построенное по законам перспективы,
соответствует зрительному восприятию предмета одним глазом ирц.
неподвижном его положении перед предметом. Отчётливое
восприятие глазом (в неподвижном положении) всех точек предмета
зависит от угла зрения, под которым виден предмет, т. е^
от угла между двумя лучами, идущими от крайних точек
рассматриваемого предмета к глазу (черт. 150). Угол зрения,
под которым виден предмет, изменяется с изменением расстояния
предмета от глаза. Как показывают исследования, глаз человека
может отчётливо видеть предмет, если угол зрения не
превышает некоторой определённой величины, значение которой
колеблется для разных людей от 18° до 53°; наиболее
благоприятным является угол около 30°. Вместе с тем указанное
свойство отчётливого видения теряет свою силу при любом угле
зрения, если глаз человека, обладающего нормальным зрением,
находится перед предметом ближе 25 — 30 см.
Из чертежа 151 видно, что поле ясного зрения
определяется на плоскости картины как основание прямого кругового
конуса — конуса зрения, вершина которого расположена
в точке зрения, а осью служит главный луч зрения. Поверхность
этого конуса образована лучами зрения, составляющими в осевом
сечении конуса наилучший угол зрения (около 30°) *).
Из прямоугольного треугольника SOA (черт. 151) имеем:
АО = SO • tg J/ ASO. Если принять угол ясного зрения (j/ASB)
*) Очертание поля ясного зрения для простоты принимается за
окружность; в действительности эта граница по своей форме отклоняется от
окружности в зависимости от индивидуальных особенностей глаз каждого человека.
94

равным 28°, то tg ^/ ASO = tg 14° ^ -j , откуда найдём, что
АО =^ -£ SO, а АВ ^ у SO. Следовательно, чтобы обеспечить
наиболее благоприятные условия рассматривания картины,
необходимо при построении
изображения выбирать расстояние
точки зрения от картины
примерно вдвое больше диаметра
круга поля ясного зрения,
внутри которого должно быть
построено изображение *).
Практически это значит, что
расстояние точки зрения от
картины можно принимать
равным удвоенной диагонали
рамки картины, считая, что
последняя имеет форму прямо-
Черт. 151.
Черт. 152.
*) В отдельных случаях, в соответствии с указанными выше границам»
угла ясного зрения (от 18° до 53°), отношение расстояния точки зрения от
картины к диаметру круга поля ясного зрения может колебаться от 1 до 3.
95>

угольника, вписанного вкруг поля ясного зрения; при таком выборе
рамки картины главная точка картины будет совпадать с точкой
пересечения диагоналей картины. Однако во многих случаях
изображение объекта окаймляется рамкой так, что главная точка не
занимает указанного центрального положения внутри рамки
картины; это значит, что рамка картины не включает в себя всей
возможной части поля ясного зрения (черт. 152); в таком случае
размеру поля ясного зрения
определяются диаметром
окружности, описанной из главной
точки и охватывающей данную
рамку картины. По этому
диаметру и определяется
надлежащее расстояние точки зрения.
При соблюдении изложенных
положений о выборе расстояния
точки зрения от картины
очертания изображения,
получаемого на картине, будут
соответствовать привычным очертаниям
Черт. 153. изображения, получаемого, на
сетчатке глаза, при нормальной
рассматривании предмета в натуре. Это соответствие очертаний
является условием, облегчающим узнавание изображённого
предмета и, следовательно, обеспечивающим наглядность полученного
изображения.
На чертежах '152 и 153 для изображения одного и того же
прямоугольного параллелепипеда выбраны разные точки зрения.
При рассматривании чертежа 152, где расстояние точки зрения
составляет около двух диаметров поля зрения, мы легко узнаем
изображённое тело; поэтому чертёж 152 можно назвать
наглядным изображением параллелепипеда. В то же время чертёж 153,
выполненный с нарушением требования о нормальном расстоянии
точки зрения, производит впечатление, не соответствующее
привычному зрительному восприятию названной фигуры. Понятно,
что в этом последнем случае увеличение или уменьшение
расстояния между глазом и картиной хотя и изменит угол зрения
на картину при её рассматривании, но не улучшит наглядности
изображения, так как очертания изображения останутся
неизменными.
Необходимо, однако, отметить, что изменение расстояния между глазом
и картиной при рассматривании картины влияет на восприятие глубины
изображённого пространства. На чертеже 154 представлен проектирующий
аппарат в разрезе. На картине К дано изображение АВ некоторого предмета.
Если рассматривать картину из точки Sh то по законам перспективы глаз
отнесёт оригинал, соответствующий изображению ЛД в положение Л'^. Если
переместить глаз в. точку 52, то оригинал, соответствующий тому же
изображению, должен быть отнесён в положение А'2В'2. Таким образом, с удале-
96

нием глаза от картины происходит кажущееся увеличение глубинных
расстояний между точками изображённого пространства. Правильное восприятие
глубины пространства имеет место при положении глаза перед картиной
в точке, где предполагалась расположенной точка зрения при построении
изображения на картине.
В предыдущем изложении многие чертежи, на которых изучались
свойства перспективы, были выполнены без соблюдения требования о правильном
выборе точки зрения. Это обстоятельство не могло нарушить справедливость.
Черт. 154.
сделанных выводов, и в то же время малые расстояния точки зрения от
картины позволяли значительно сокращать рамки чертежа и тем самым
упрощать построения (см. чертежи 66, 75, 88, 93 и многие другие). Однако в тех
случаях, когда на чертежах давалось изображение реальных предметов,
требование о выборе точки зрения, обусловливающей наглядность изображения,
соблюдалось. Таковы, например, чертежи 27, 102, 133, 141 и др.
Наглядность изображения обусловливается не только выбором
точки зрения, но и надлежащим расположением предмета перед,
плоскостью картины, также
влияющим на очертание изображения.
Чертёж 155 представляет пример
изображения, не обладающего
достаточной наглядностью
вследствие неудачного расположения
оригинала — прямоугольного
параллелепипеда — относительно
плоскости картины.
Изложенные в настоящем
параграфе сведения об условиях
наглядности перспективного изобра- ^еРт- 155-
жения показывают, что одним из
существенных условий, обеспечивающих наглядность, является?
надлежащая удалённость точки зрения от картины, в силу чега
вспомогательные построения, связанные с получением наглядного
изображения» часто требуют значительного увеличения размеров
чертежа по сравнению с рамкой, ограничивающей картину. Так,
например, на практике при выполнении архитектурных чертежей
в некоторых случаях приходится выносить дистанционные точки
и предельные точки основных направлений далеко за пределы
р
v^
ч
\
97

чертёжного стола, закрепляя их при помощи вспомогательных
приспособлений.
Такого рода технические усложнения могут быть избегнуты,
если к чертежу не предъявляется требования большой точности.
В таком случае пользуются различными графическими приёмами
преобразования чертежа, выполняемыми в пределах рамки
картины. К таким приёмам относятся, например, рассмотренный
выше способ проведения параллельных прямых при недоступной
точке схода (§ 5, примеры 2 и 3), а также способ применения
дробной дистанционной точки (§ 9, черт. 68). Основными из
таких приёмов являются способ перехода к вспомогательной
малой картине и способ увеличения картины (§ 15).
§ 15. Некоторые практические приёмы построения
изображений на картине
1. Способ малой картины.
На чертеже 156 представлен проектирующий аппарат, в
котором на плоскости К\ получено изображение Qj фигуры Q'
и вместе с тем на плоскости /С2 построено изображение кар-
Черт. 156.
тины /<!. Чертёж показывает, что четырёхугольники Q2 и Q,
подобны между собой, причём коэффициент подобия
определяется отношением расстояний точки зрения от плоскостей
Кг и /Ci (SPt:SPx). i
На чертеже 156 это отношение взято равным у, вследствие
чего линейные размеры фигуры Q2 вдвое меньше размеров
фигуры Q,. Если совместить плоскости К\ и /С2, переместив их
параллельно самим себе в направлении главного луча, то
совмещённые фигуры Q, и Q2 будут иметь центром подобия точку Р
98

(чертА 157); сходственные стороны их будут параллельны,
а соответственные вершины расположатся на прямых,
выходящих из точки Ртак, что отношения отрезков РА2:РАи РВ2\РВХ
и т. д. будут равны коэффициенту подобия. Вместе с тем из
чертежей 1&6 и 157 видно, что после совмещения плоскостей
дистанционная точка Ь2 картины /С2 будет служить дробной
дистанционной точкой — картины К\ (в нашем случае D2
соответствует у j; в таком же соотношении будут находиться
предельные точки F2 и F\ пряхмых А2В2 и Афх.
\
1*
А
г
Г^
1
\2Г"">1
ЯР\
^BfZ
дУ— Ъ
—>Г*
2
Черт. 157.
Описанные свойства перспективных изображений позволяют
упрощать выполнение некоторых построений при больших
размерах изображения. Упрощение состоит в возможности при помощи.
преобразований подобия выполнить необходимые построения на
„малой картине" и затем получить надлежащие результаты
для искомого изображения.
Пример 1. Рассмотрим применение способа перехода к малой
картине при построении внутреннего вида комнаты, изображённой
на чертеже 158.
Для построения этой картины должны быть заданы главная
точка Р и расстояние точки зрения от картины, например, при
•помощи *очки -j (черт. 158). Кроме того, на картине могут
быт*> произвольно проведены линия плинтуса пола вдоль одной
из стен (например, АВ) и прямая пересечения двух стен,
отрезок ВВ\ которой определяет высоту комнаты.
ПерехЪд к малой картине и дальнейшие построения можно
выполнить следующим образом:
а) Соединим Р с В и разделим отрезок РВ на несколько
равных частей (в нашем случае на 4 части) с таким расчётом,
л р /?
чтобы прямая -tj, проведённая через деление -т- параллельно
р
АВ, пересекла линию горизонта в точке -j, не выходящей за
пределы листа бумаги.^ — предельная точка прямой ,АВ.)
99

б) Построим для малой картины (уменьшенной в четыре раза)
о ЯР
совмещённую точку зрения -Jf и соединим точки -^ и -^2.
р о о
в) Построим на стороне -тх ПРИ веРшине ^ прямой угол
и отметим точку ~ пересечения второй стороны угла с линией
горизонта. (F, — предельная точка прямой СВ.)
Черт. 158.
В F F В Fa
г) Соединим точки -j- и -~. Тогда угол -^Т 4 пРедставит
изображение прямого угла на малой картине.
д) Проведём прямую ВС параллельно -j-— . Угол ABC
представит изображение прямого угла на большой картине. Прямая
ВС является изображением плинтуса пола вдоль второй стены.
е) Определим на малой картине точку -± в пересечении пря-
D
мой РВХ с вертикальной прямой, проведённой через точку ^-.
Вг
Соединим точку ~ с точками -^ и -~ и проведём через Вх пря-
мые ВХСХ и ВхАи соответственно параллельные прямым ~~ и
XI*- Прямые ВХСХ и 5^! представят карниз вдоль стен
комнаты на большой картине.
Таким образом при помощи малой картины мы получили
возможность, не пользуясь точками, выходящими за пределы
100

чертежа, построить на большой картине параллельные прямые
и прямой угол между основными направлениями.
Заметим, что проведение на картине вспомогательных линий
в?2 Sj^Fo 8хГл FX В В Вл DSt, ~
Т 4 ' 41^44'4Т'Т4И ТТне является обязательным;
важно лишь надлежащим образом засечь соответствующие точки.
2. Увеличение картины.
Мы показали, что по заданному изображению некоторого
предмета, построенному из заданной точки зрения, можно
получить уменьшенное изображение того же предмета при той же
точке зрения путём преобразования заданной на картине фигуры
в фигуру, ей подобную. Очевидно, что аналогичный способ
можно применить и для
увеличения изображения.
Из чертежа 156 видно, что если
из двух картин: Кх и /С2,
изображающих один и тот же предмет,
одна картина получена путём
подобного преобразования другой, то
метрические элементы этих картин
находятся между собой в
определённом соответствии, которое
заключается в следующем: если
совместить эти картины так, чтобы
совпали их линии горизонта и главные точки (черт. 159), то
расстояния PDX и PD2 дистанционных точек от главной точки и
расстояния PNX и PN2 линии горизонта от основания каждой
^из картин находятся между собой в отношении, равном
коэффициенту подобия фигур, построенных на картинах; в таком же
отношении находятся между собой отрезки АХВХ и А2ВЪ
принятые за единицу масштаба на каждой из картин *).
Рассмотрим примеры построения увеличенной картины.
Пример 2. На картине К2, ограниченной рамкой I2L2M2N2,
изображён вертикальный отрезок А2ВЪ поставленный на
предметную плоскость. Задана дистанционная точка D2 картины К*
(черт. 160). Требуется увеличить данную картину, произвольно
выбрав коэффициент увеличения п.
Выполним построение в следующем порядке.
а) Проведём из точки Р прямые через вершины рамки I2L2M2N2
и отметим на прямой PL2 произвольную точку Lx как вершину
увеличенной рамки. Проведя LxMx\\L2M2i MXNX\\M2N2 и т. д.,
построим рамку IXLXMXNX.
i D<
1 д/\
D2K2 Р
Ж
&
N,
л/,
Черт. 159.
*) Отсюда вытекает, что изображение какого-либо предмета, заданное
на картине, не определяет натуральной величины оригинала, но даёт
возможность (если заданы метрические элементы картины) судить лишь об
относительных размерах частей этого предмета и о взаимном их расположении.
Натуральные размеры предмета могут быть определены лишь в том случае,
если к картине приложены какие-либо указания об её масштабе.
101

б) Проведём из точки Р прямую РА2 до пересечений в точке
Сх с основанием IXLX картины К\-
в) Пользуясь дистанционной точкой D2y найдём натуральную
величину С2Е2 расстояния точки А2 от основания картины /С2.
г) При помощи продолженной прямой РЕ2 найдём отрезок
СХЕЬ равный натуральной
величине расстояния точки Ai от
основания картины К\-
д) Чтобы отложить отрезок
СХЕХ на глубинной прямой СХР,
мы должны провести через
точку Ех прямую, направленную в
дистанционную точку Dx
картины К\- В соответствии с
вышеизложенным прямая EXDX
должна быть параллельна E2D2;
проведя EXAX\\E2D2, мы найдём
точку А\ в пересечении с
прямой СХР.
Примечание^ Точку Ах
можно получить в пересечении
продолженной прямой РС2 с пря-
,. Ел г, _...«. Е\
мой -±D2, найдя точку
Е\
как
£ "Ел тс,——J конец отрезка С, —\ равного
/7 1
-4^1— отрезку С2Е2. В этом случае мы
должны рассматривать точку D2
Черт. 160. * Dx
как дробную точку —х дистан-
ционной точки Du а отрезок Сх-~—как дробную величину
расстояния СХАХ.
е) Проведём прямую АХВХ\\А2В2 до встречи в точке Вх с
продолженной прямой РВ2. Полученный отрезок АХВХ представит
изображение отрезка А2В2 на увеличенной картине.
Заметим, что описанный способ даёт возможность выполнять
построения в том случае, когда численное значение коэффициента
увеличения неизвестно или же не является целым числом.
Пример 3. На чертеже 161 показан приём построения
увеличенной картины, дающий возможность избежать перекрывания
большой и малой картин.
Построение большой картины основано, как и в предыдущем
примере, на методе подобия, при применении которого надлежит
руководствоваться следующими двумя свойствами подобных
фигур большой и малой картины:
а) две одноимённые точки подобных фигур лежат на прямой,
проходящей через центр подобия;
б) два одноимённых отрезка параллельны между собой.
102

Имея заданной рамку малой картины I2 L2 М2 N2 и взяв
произвольно центр подобия W («точку W удобно взять на линии
горизонта), мы должны в соответствии с выбранными размерами
рамки большой картины найти положение одной из вершин,
например, Мх на прямой WM2y после чего все точки рамки и изоб-
Черт. 161.
^ажения большой картины могут быть построены в соответствии
с вышеуказанными свойствами. Таким образом, точка N\
окажется лежащей в пересечении прямой WN2 с прямой MxNu
параллельной M2N2, главная точка Р, может быть найдена в
пересечении прямой WP2 с прямой СгРи параллельной С2Р2, для
чего предварительно тем же способом должна быть построена
точка Сх и т. д.
Пример 4. На чертеже 162 показано увеличение указанным
способом картины, изображённой ранее на чертеже 27.
§ 16. Построение перспективы предмета по плану
и фасаду
Метод центральных проекций (перспектива) имеет широкое
применение в архитектурно-строительном черчении. Обычно
чертежи архитектурного объекта (здания и его деталей),
выполненные в ортогональных проекциях на две плоскости (план и фасад),
сопровождаются наглядным изображением общего вида
проектируемого сооружения, выполненным в перспективе. Построение
перспективного изображения по заданному комплексному чертежу,
выполненному в ортогональных проекциях, может быть
осуществлено различными приёмами, в основе которых лежит один общий
метод: на заданном комплексном чертеже данного объекта
изображается в ортогональных проекциях процесс построения
перспективного изображения данного объекта вместе с
проектируются

CO
T

шим аппаратом, на котором он выполняется, и на основе
полученных графических данных чертежа строится перспективное
изображение объекта на картине.
Для пояснения этого метода обратимся к чертежам 163 и 164,
На чертеже 163 для некоторой точки А получены
ортогональные проекции а'н (горизонтальная проекция) и a'v (вертикальная
проекция) на две взаимно
перпендикулярные плоскости
проекций Н и V. Вместе с
тем плоскости Н и V
приняты за основные плоскости
аппарата центрального
проектирования с центром проекций
в точке S (точка зрения).
Ортогональными проекциями
точки S на плоскости Н и V
являются точка sH (точка
стояния) и точка Р (главная
точка картины). Посредством
проектирующего аппарата на
плоскости V, как на
плоскости картины, получено
перспективное изображение
Черт. 164. (Д9 ан) заданной точки А'
(§ 2, черт. 7). Из чертежа 163
видно, что ортогональная проекция на плоскость V
проектирующего луча SA' (луча зрения) проходит через течки Pwdv
105

и вместе с тем по построению пересекается с лучом SA' в
точке Л, лежащей на плоскости V. Точно так же
ортогональная проекция луча Sa'H проходит через точки Р и а'х и
пересекается с, лучом Sa'H в точке aff9 лежащей на плоскости V.
Отсюда следует, что перспективное изображение (Л, ан) точки
А (а'ц9 dv) может быть получено на комплексном чертеже
(черт. 164), если на нём плоскости Ни V приняты за предметную
и картинную плоскости и на чертеже заданы ортогональные
проекции точки зрения S (sH, Р). Для получения перспективы точки
Л' нужно построить на плоскостях Н и V следы (s#a^ и а0А)
лучевой плоскости, проходящей через точку S и точки А' и а'н
и провести ортогональные проекции {Pa'v и Ра'х) на плоскость V
лучей SA' и Sa'H. Тогда в пересечении этих проекций с
вертикальным следом лучевой плоскости мы получим искомую
перспективу (А, ан) заданной точки А' и её основания а'н.
Пример 1. На чертеже 165 показано применение описанного
способа к построению перспективы
объекта несложной формы (способ следов
лучей зрения).
На чертеже 165 вертикальная
плоскость проекций отодвинута
параллельно самой себе от плоскости картины
так, что проектируемый объект
оказался помещённым между двумя
указанными плоскостями. Этим устранено
неудобство, связанное с построением
наложенных друг на друга плана и фасада,
как это имеет место на чертеже 164.
Перспективное изображение строится
на вертикальной плоскости проекций.
Выполнив описанное выше построение
применительно к каждой точке,
определяющей очертания заданного объекта,
мы получим на эпюре (на плоскости V)
его перспективное изображение.
Пример 2. На чертеже 166 показан
другой способ построения по заданному
плану и фасаду перспективного
изображения объекта (способ следов лучевых
плоскостей). В данном случае плоскость
картины расположена перпендикулярно
к вертикальной плоскости проекций и
перспектива проектируемого объекта соответствует виду слева.
Перспективное изображение получено на отдельном чертеже.
Пояснения к рассматриваемому примеру даны на чертежах 167
и 168.
105

!*

Из чертежа 167 видно, что перспектива А точки А' и
перспектива ан точки а'н могут быть получены в пересечении следа
а0А лучевой плоскости SA'a'H со следами avA и ах ан лучевых
плоскостей SA'a'y и Sa'Ha'x. Следа0Л направлен перпендикулярно
к основанию картины k0k и определяется точкой а0, лежащей на
Черт. 167.
пересечении основания картины (k0k) с прямой sHa'H\ следы avA
и ахан направлены параллельно основанию картины k0k и
определяются точками av и ах, лежащими на пересечении
вертикального следа картины (k0l) с прямыми Sydv и Sydx.
Имея на эпюре (черт. 168,. I) заданными проекции (а'Н9 а'^
точки Л', проводим перпендикулярно к оси х следы картинной
плоскости K(k0k, k0l), выбираем положение точки зрения S(sff, sv)y
и засекаем указанным выше способом точки а0, av и ах. Чтобы
построить перспективное изображение (Л, ан) точки А' (а'н> a'v),
проведём на отдельном чертеже (черт. 168, II) две взаимно
перпендикулярные прямые k0k и k0l и перенесём на прямую k0k
точки/?0иа0, а на прямую k0l (начиная от точки k0) точки pv, ах, av.
Проведя через отмеченные точки перпендикуляры к прямым k§k
и k0l, найдём в их пересечении точки Р, А и ан — главную
точку картины и перспективу точки А' и её основания а'н%
Описанный способ даёт возможность при помощи
вспомогательных построений получить перспективу данного объекта от-
103

дельно от заданного в ортогональных проекциях эпюра, на основе
которого строится перспективное изображение. Однако неудобство
этого способа так же, как и способа, описанного в первом
примере, состоит в невозможности выбирать для заданного эпюра
произвольное положение плоскости картины и точки зрения с
целью получения наилучшей видимости объекта и наибольшей
1
U
наглядности его изображения. Для достижения этой цели
необходимо вычерчивать план и фасад объекта в заранее выбранном
повороте к плоскости V, как это сделано на чертежах 165 и 166.
Указанный недостаток устраняется применением способа,
описанного в следующем примере.
Пример 3. На чертеже 169 для построения перспективы
объекта по данному плану и фасаду применён так называемый метод
архитекторов.
Пользуясь этим методом, мы можем выбрать на плоскости Н
положение точки стояния sH и направление основания картины
kk так, чтобы наш .выбор надлежащим образом обеспечил
условия наглядности изображения. Высота линии горизонта
определяется условиями рассматривания объекта в натуре.
Построение перспективного изображения состоит из двух
основных этапов: сначала строится перспектива плана и затем на
картину наносятся высоты точек, определяющих очертания
изображения.
Построение перспективы плана состоит из следующих
операций:
а) на основании картины отмечают: 1) точки а0, Ь0, с09 ...
пересечения с основанием kk следов вертикальных лучевых
плоскостей, проведённых в точки, определяющие контур плана;
2) точки Шоо и Пх> пересечения с основанием kk вертикальных
лучевых плоскостей, проведённых из точки стояния sH
параллельно доминирующим направлениям линий фигуры плана;
109

3) точки а0, е° пересечения с основанием kk двух прямых,
определяющих доминирующие направления линий фигуры плана;
б) основание картины kk вместе со всеми отмеченными точками
переносят (при помощи бумажной полоски) на отдельный чертёж*
служащий для построения картины;
Черт. 169.
в) на линии горизонта, проведённой на установленной высоте,
отмечают точки Моо и М»— точки схода доминирующих прямых
(ШооМоо _L kk; riooNoo _L kk)\
г) через точки а0, b0, с0, ... проводят вертикальные прямые —
картинные следы соответствующих лучевых плоскостей;
д) проводят прямую а0 Моо и отмечают на ней в пересечении
с прямой а^а точку а; таким же образом на прямой e°Noo (или,
что то же, aNoo) находят точки by d, е и на прямых ЬМ^ и еМоо —
точки с и f)
е) по точкам а, Ь, с, ... обводят очертания перспективы
основания предмета.
Для построения вссот точек объекта применяется способ так
называемой боковой стены. Для этого:
110

ж) через произвольную точку Q0 основания kk в произвольном
направлении проводят вертикальную плоскость Q, изображая ее
на картине следами Q0QK и Q0Qoo;
з) на картинный след Q0QK переносят высоты точек объекта,
необходимые для построения его очертаний (Q0aK=axav;
Q0bK=bxbv и т. д.);
й) при помощи широтных прямых аад, bbq и т. д. находят на
боковой стене в перспективном сокращении высоты {ад Ад9 bqBq,...)
точек А, В, ... , после чего находят точки Л, В, .. .;
к) по найденным точкам обводят очертания перспективного
изображения заданного объекта.
Пример 4. На чертеже 170 показан пример построения
перспективы здания, когда при низком горизонте, вследствие
невозможности получить непосредственно на картине достаточно
точные и чёткие очертания плана здания, применяют способ
вспомогательного опущенного плана. Сущность этого способа
объяснена на чертеже 171.
Черт 171.
Пример 5. На чертеже 171 дриём опущенного плана
применён к построению перспективы фигуры, заданной в примере 3
(черт. 169).
Как показано в § 6 (черт. 34), форма какой-либо фигуры,
помещённой в горизонтальных плоскостях Ти Т2 и Г3, сокращается
меньше, если плоскость фигуры дальше отстоит от главной
плоскости. В силу этого, чтобы получить при низком горизонте
достаточно точное очертание фигуры, лежащей в предметной
плоскости, целесообразно опустить фигуру в вертикальном направ-
112

лении на некоторое расстояние под предметную плоскость,
сохраняя плоскость фигуры горизонтальной.
Для этого на чертеже, служащем для построения картины,
вместе с основанием картины kk и линией горизонта hh
проведён след kxkx плоскости опущенного плана (kxkx\\kk) и на
этот след перенесены с чертежа 169 I точки а09 Ь0, с09 ... , а°9 е°9
/Яос, Пес-
Построение перспективы опущенного плана (axbxcx.. .е^)
выполнено приёмами, указанными в пп. в), г), д) и е) примера 3.
Далее, полученная фигура axbx.. .exfx поднята на предметную
плоскость, для чего на основание kk перенесена точка а0 и на
прямой a^Aloo в пересечении с прямой а0аг отмечена точка а;
таким же образом на прямой е°М» (или, что то же, на прямой е^а)
отмечены точки b, dy е и на прямых ЬМ^ и еМ^ — точки с и/.
Построение высот может быть выполнено способом, указанным
в примере 3. Однако целесообразно использовать плоскость
опущенного плана, чтебы освободить поле картины от
вспомогательных построений. Так, например, для определения в
перспективе высоты точки А по её натуральной величине Qo%
предметный след QqQoo боковой стены опущен до положения Q0Qoo и на
прямой QoQoo при помощи широтной прямой агаг отмечена точка
аХд, которая и послужила сначала для получения точки
Ад (alq Ад _[_ kk), а затем точки A (АдА || kk).
§ 17. Упражнения и задачи
1. Перспектива точки и прямой
1. На проектирующем аппарате построить перспективу точки:
а) лежащей в предметной плоскости;
б) произвольно заданной в пространстве.
2. На проектирующем аппарате построить перспективу
прямолинейного отрезка:
а) лежащего в предметной плоскости;
б) произвольно расположенного в пространстве.
3. На проектирующем аппарате построить перспективу
треугольника, заданного в пространстве так, что одна сторона его
лежит в предметной плоскости.
4. На проектирующем аппарате построить перспективу
треугольника, заданного в пространстве так, что одна вершина его
лежит в предметной плоскости.
5. На проектирующем аппарате построить предельную точку
прямой:
а) заданной отрезком в предметной плоскости;
б) заданной произвольным отрезком в пространстве.
из

6. На проектирующем аппарате построить перспективу парал-
лелограма, лежащего в предметной плоскости.
7. На проектирующем аппарате построить перспективу
прямоугольной пластинки, вертикально поставленной на предметную
плоскость в произвольном направлении.
8. Изобразить на картине:
1) точку, лежащую на предметной плоскости;
2) точку, высота которой над предметной плоскостью
меньше высоты точки зрения;
3) точку, расположенную выше точки зрения;
4) две точки, различно удалённые от картинной плоскости
и равноотстоящие от предметной плоскости;
5) две точки, равноудалённые от картинной плоскости.
9. Изобразить на картине:
\) отрезок, перпендикулярный к предметной плоскости;
2) отрезок, перпендикулярный к картинной плоскости;
3) отрезок, параллельный (в произвольном направлении)
предметной плоскости;
4) отрезок, параллельный картинной плоскости.
10. Изобразить на картине три параллельные прямые,
направленные по отношению к зрителю:
а) сверху слева—направо вниз;
6) снизу справа — налево вверх.
11. Изобразить на картине:
1) отрезок, точки которого, удаляясь от плоскости
картины, повышаются над предметной плоскостью;
2) отрезок, точки которого понижаются над предметной
плоскостью, удаляясь от плоскости картины.
Построить следы и предельные точки прямых, которым
принадлежат изображённые точки.
12. Изобразить на картине:
1) произвольный параллелограм, лежащий в предметной
плоскости;
2) два одинаковых параллелограма, лежащих в
плоскостях, параллельных предметной плоскости, один выше
и другой ниже плоскости горизонта.
13. Изобразить на картине:
1) прямоугольник, лежащий в предметной плоскости;
2) прямоугольник, лежащий в плоскости, параллельной
картинной плоскости;
3) прямоугольник, лежащий в произвольной вертикальной
плоскости.
14. Для прямой, заданной на проектирующем аппарате
произвольным отрезком, найти следы на предметной и картинной
плоскостях и построить её перспективу.
16. По изображению на картине определить, какие из
прямых 1, 2, 3 и в каком направлении встречаются попарно между
собой и какие параллельны между собой (черт. 172).
114

16. Изобразить на картине произвольный отрезок и найт»
предметный и картинный следы и предельную точку прямой,,
которой принадлежит данный отрезок.
Выполнить построение для трёх случаев:
1) при произвольном положении предметного следа,
картинный след расположен выше основания картины;
Черт. 173.
2) при произвольном положении предметного следа, предель-
ная точка находится выше линии горизонта;
3) прямая не пересекает предметную плоскость в пределах,
предметного пространства.
17. По изображению на картине определить, какую форму
имеют четырёхугольники 1 и 2 в натуре (черт. 173).
2. Перспектива плоскости
18. На проектирующем аппарате построить перспективу
плоскости, заданной в натуре своими следами на картинной и
предметной плоскостях.
Построить предельную прямую заданной плоскости.
19. Изобразить на картине посредством картинного и
предметного следов следующие плоскости:
1) плоскость Л, перпендикулярную к плоскости картины;
2) плоскость В, перпендикулярную к предметной плоскости;
3) плоскость С, перпендикулярную к основанию картины;
4) плоскость D, параллельную плоскости картины;
5) плоскость Е, параллельную предметной плоскости;
6) плоскость F, параллельную основанию картины.
Для каких.из перечисленных плоскостей можно задать на*
картине только один след?
20. В каждой из плоскостей, изображённых по условию
задачи 19 построить предельную прямую и произвольную прямую,,
отметив следы этой последней прямой на основных плоскостях-
Можно ли полностью выполнить указанные построения для
каждой из заданных плоскостей.
21. Изобразить на картине произвольно расположенную в
пространстве треугольную пластинку и найти линию пересечения
плоскости этой пластинки с предметной и картинной плоскостями.
US

22. На картине (черт. 174) изображена пирамида.
Построить картинный и предметный следы плоскостей каждой
;из видимых граней пирамиды.
Черт. 174.
Для построения применить:
1) способ следов продолженных рёбер пирамиды и 2) способ
.вспомогательной секущей плоскости.
3. Позиционные задачи
23. На каждом из чертежей 175, 176 и 177 заданы следами
.две плоскости.
Черт. 175. Черт. 176.
Построить линию пересечения каждой пары плоскостей и
чвыделить штриховкой видимые их части.
Черт. 177. Черт. 17«.
24. На картинах (черт. 178 и 179) изображены
треугольные пластинки, произвольно расположенные в пространстве.
дай
1_ —
Черт. 179.
Черт. 180.
Л16

Построить линию взаимного пересечения каждой пары
пластинок и выделить штриховкой видимые их части.
25. На картине (черт. 180) изображены треугольная пластинка
и прямая линия. Найти точку пересечения пластинки с прямой,
линией.
Черт. 181
Черт. 182.
26. На картине (черт. 181) изображены треугольная пирамида
и плоскость.
Построить линию пересечения поверхности пирамиды и
плоскости.
27. На картине (черт. 182) изображены:
1) наклонная четырёхугольная призма, боковые рёбра
которой параллельны плоскости картины; 2) плоскость,
пересекающая призму. Построить линию пересечения
поверхности призмы плоскостью.
<Ш
ЕЮ\й
Черт. 183.
28. Дана треугольная пирамида (своим основанием и высотой)
и прямая.
Построить точки пересечения прямой с поверхностью
пирамиды.
117

29. Изобразить на картине пятиугольную пирамиду и следы
плоскости, пересекающей пирамиду.
Построить линию пересечения поверхности пирамиды
плоскостью.
30. Изобразить на картине:
1) наклонный параллелепипед, боковые рёбра которого
параллельны плоскости картины; 2) следы плоскости,
пересекающей параллелепипед.
Построить линию пересечения поверхности параллелепипеда
плоскостью. Подобрать положение секущей плоскости так, чтобы
в сечении получился:
а) четырёхугольник; б) шестиугольник.
31. На чертеже 183 изображены (в параллельной проекции)
модели некоторых архитектурных форм.
Построить по данным образцам перспективные изображения
каких-либо архитектурных сооружений, располагая фасад их
(главный или боковой) фронтально и принимая высоту точки
зрения меньше высоты сооружения.
32. Изобразить на картине перспективу улицы. (Направление
улицы взять перпендикулярно к плоскости картины.)
4. Метрические задачи
33. Изобразить в перспективе:
1) шахматную доску, 2) паркет, 3) орнамент.
34. Задать на картине в предметной плоскости произвольный
отрезок и разделить его на три равные части.
35. Определить истинную величину отрезка, заданного на
картине, в произвольном положении в пространстве.
36. Построить изображение правильной треугольной
пирамиды по следующим данным: одна из сторон основания
пирамиды параллельна основанию
картины, а высота пирамиды вдвое больше
стороны основания.
37. Треугольная пластинка ABC
(черт. 184) опирается стороной АВ
на предметную плоскость. Построить
медианы треугольника ABC.
38. По заданному на картине
Черт. 184.- изображению произвольно
расположенной в пространстве треугольной
пластинки найти её натуральный вид.
39. Построить изображение куба, произвольно поставленного
на предметную плоскость. Ребро куба меньше высоты точки
зрения.
40. Построить изображение правильной шестиугольной
пирамиды с высотой h = 40 мм и со стороной а —20 мм. Высота
^Ф
118

точки зрения Ss = 30mm, расстояние тЬчки зрения SP=SO мм.
41. Построить в перспективе изображение каменной
лестницы.
42. Построить в перспективе вид здания по следующим
условиям: 1) фасад здания расположен под некоторым углом к
плоскости картины;
2) высота линии горизонта соответствует высоте роста
человека;
3) удаление точки зрения равно (примерно) двукратной
высоте здания;
4) размеры частей здания (длина, ширина, высота здания,
окон, дверей и пр.) заранее заданы на
предварительном эскизе. На чертеже 185 изображены для образца
примерные макеты зданий.
43. Построить перспективу окружности, лежащей:
а) в горизонтальной плоскости;
б) в вертикальной плоскости.
Радиус окружности равен 30 мм; расстояние центра
окружности от плоскости картины равно 40 мм.
Для построения применить способ описанного квадрата.
44. Изобразить в перспективе круглый сосуд, форма
которого составлена из цилиндрических и конических поверхностей
(черт. 186 представляет профиль сосуда).
45. Изобразить круглую вазу по заданному её профилю.
46. Изобразить сундук- с полуоткрытой крышкой.
47. Изобразить внутренний вид комнаты с круглыми пред^
метами обстановки и с полуоткрытой дверью.
б. Тени.
48. По чертежу 187 построить тени изображённых предметов
при точечном источнике света, положение которого подобрать
так, чтобы тень от одного из предметов частично падала на
другой предмет.
119

49. По образцу чертежа 188 построить тени изображённых
предметов (призма и два вертикальных шеста) при точечном
источнике света.
о
W
Черт. 187.
Черт. 188.
50. По данным на чертежах 189, 190, 191 эскизам изобразить
в перспективе заданные фигуры и построить тени от них,
считая, что солнце находится сзади зрителя с левой стороны.
^7\
Черт. 189.
Черт. 190.
Черт. 191.
51. Изобразить на картине группу из двух-трёх архитектур-*
ных объектов упрошенной формы и построить тени от них при
солнечном освещении.
6. Отражение в зеркале
52. Изобразить на картине правильную треугольную
пирамиду и её отражение в вертикально поставленном плоском
зеркале.
53. Изобразить на картине параллелепипед и его отражение
в плоском зеркале, перпендикулярном к картине и наклонённом
к предметной плоскости.

экрана остаётся неосвещённой. Эта неосвещённая часть Т
называется падающей тенью предмета на экране.
Поверхность предмета разделяется по отношению к
освещающим лучам на две части: одна часть, на которую падают лучи,
называется освещенной частью, другая, затемнённая часть,,
называется собственной тенью предмета.
Граница между освещенной и неосвещённой частями предмета
представляет линию, называемую контуром собственной
тени, или линией раздела света и тени.
Черт. 119.
Линия светораздела представляет геометрическое место точек,,
в которых лучи света касаются поверхности предмета. Эти луча
падают на экран по линии контура падающей тени, ограничивая
между предметом и экраном затемнённое пространство,
называемое конусом тени. (Если освещаемый предмет имеет форму
многогранника, то затемнённое пространство имеет форму
пирамиды, усечённой поверхностью предмета и экрана.)
При построении падающей и собственной тени предмета
различают два основных условия освещения.
Во-первых, источник света может быть расположен на
небольшом расстоянии от экрана и предмета. Такой источник света
для простоты построений считают светящейся точкой и
называют иногда факелом. При факельном (или точечном)
освещении на экран падает пучок расходящихся луче*
(черт. 119).
Во-вторых, источник света может находиться на весьма,
далёком расстоянии от экрана и предмета, что соответствует,,
например, солнечному освещению. При солнечном
освещении лучи, падающие на экран, считают пучком
параллельных лучей (черт. 120); конус тени превращается в цилиндр-
(или в призму).
75