А. Г. ЯБЛОНСКИЙ
ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫСШИХ И СРЕДНИХ
ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
•
Московский государственный заочный
педагогический институт
ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА
НА ПЛОСКОСТИ
ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ
ХУДОЖЕСТВЕННО-ГРАФИЧЕСКИХ
ФАКУЛЬТЕТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ
ИНСТИТУТОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО „ПРОСВЕЩЕНИЕ"
Москва .1966	____________________
Одобрено кафедрой графики и рисования
Московского государственного заочного
педагогического института
1ЙЙШП-
I им.	*
| м А у______
ПРЕДИСЛОВ И Е__________________________
Настоящий сборник задач по курсу перспективы предназна-
чен для студентов-заочников художественно-графических фа-
культетов педагогических институтов.
Сборник выполнен в форме методического пособия, кото-
рое должно помочь студенту-заочнику закрепить теоретические
основы курса перспективы, сообщив ему практические примеры
решения задач по всем основным разделам курса.
Материалы сборника распределены соответственно программе
курса перспективы, читаемого на пятом и шестом семестрах ху-
дожественно-графического факультета Московского государст-
венного заочного педагогического института.
Особенностью сборника является наличие в нем подробных
решений задач и достаточного числа нерешенных задач, выпол-
няемых студентами в качестве тренировочных упражнений.
Все замечания, которые могут способствовать улучшению
этого пособия, просьба направлять по адресу: Москва, К-25,
пл. Революции, д. 1/3, МГЗПИ, художественно-графический
факультет.
17 июля 1965, г. Москва	А. Яблонский
1*
ОБОЗНАЧЕНИЯ
1.	Точки, изображенные на картине, обозначаются прописными буквами
латинского алфавита: Л, В, С и т. д.
2.	Основания этих точек обозначаются строчными буквами латинского
алфавита: а, Ь, с и т, д.
3.	Точки и их основания в предметном пространстве обозначаются
теми же буквами, что и на картине, с добавлением штриха: Л', В', С',
a', Ь', с' и т. д.
4.	Точки и их основания при совмещенном положении предметной
плоскости с картинной плоскостью обозначаются теми же буквами, что
и на картине, с добавлением двух штрихов: Л", В", С", a", Ь", с" и т. д.
5.	Последовательность точек отмечается нижним индексом: Ль Л2
и т. д.
6.	Предельная точка прямой обозначается прописной буквой F.
7.	Предельная точка основания этой прямой обозначается строчной
буквой f.
8.	Светящаяся точка и ее основание обозначаются буквой с добавле-
нием значка * по типу: S*, s*.
9.	Солнце или точка схода перспектив солнечных лучей и их осно-
ваний обозначаются буквами F и f с добавлением нижнего индекса s по
типу: Fs и fs.
10.	Тени от точек на картине обозначаются теми же буквами, что
и соответствующие им элементы в натуре, с добавлением значка * по
типу А*, В*, С* и т. д.
11.	Углы обозначаются строчными буквами греческого алфавита а, р, 7.
12.	Прямой угол обозначается дугой с точкой внутри.
13.	Совпадение двух точек или прямых обозначается значком =, на-
пример: Л нее В, АС ~ ас и т. д.
14.	Пересечение двух прямых, плоскостей и т. п. обозначается знач-
ком X: ABxCD^E, PkXQk==N, PkXQk = М, PXQ = MN.
15.	Параллельность прямых и плоскостей обозначается значком Ц :
АВ || CD, Р || Q.
16.	Соответствие двух точек или прямых обозначается се: Л се Л",
А ЛВС се А А'В'С', А'В” со АВ.
ВВЕДЕНИЕ _______.________________________________
При исполнении рисунка с натуры требуется не только внешнее
сходство, но и предельное соответствие изображения оригиналу. В дости-
жении этого перспективе принадлежит особая роль.
Требования, предъявляемые в различных областях человеческой дея-
тельности к изображению объектов, не только разнородны и противоречивы,
но часто и взаимно исключают друг друга.
Так, в искусстве к изображению предъявляется требование наибольшей
наглядности или иллюзорности, т. е. наибольшего соответствия изображе-
ния изображаемому объекту. Лучше всего это достигается применением
цвета, светотени и такого линейного размещения частей изображения,
которое создает у зрителя впечатление, наиболее близкое к реальному
предмету, послужившему объектом изображения на картине. Однако пер-
спективные соотношения обязательны и в тех изображениях, где светотень
и цвет могут полностью отсутствовать (например, в линейном рисунке).
Для целей техники важнейшим свойством изображения является не
иллюзорность, а удобоизмеряемость его. Деятели техники пользуются
сугубо условными изображениями, наглядность которых ничтожна, но
которые дают наиболее полное представление о размерах объекта и их
реальном соотношении в пространстве. Стремление к примирению в одном
изображении противоречивых свойств — иллюзорности и удобоизмеряе-
мости— вызвало к жизни аксонометрические изображения, способные произ-
водить на человека впечатления, приблизительные тем, которые возни-
кают у него при рассмотрении самого предмета.
Однако всем, пользующимся перспективой, следует знать о несовер-
шенстве и этих изображений, что в основном вызывается двумя причинами,
зависящими от свойств человеческого зрительного аппарата. Первая при-
чина обусловлена тем, что поле зрения человеческого глаза ограничено
и состоит из нескольких зон различной резкости видения. Вторая причина
объясняется системой бинокулярного (двуглазого) зрения.
В настоящее время создание изображений, вызывающих впечатления,
тождественные тем, которые возникают у зрителя при рассмотрении
реальных объектов, вполне возможно. Такие изображения называются
стереоскопическими. Они могут быть цветными и получаются как при
помощи фотоаппарата, так и при помощи чертежных инструментов. В основе
этих изображений лежат правила линейной перспективы, являющейся
частью начертательной геометрии и, следовательно, использующей проек-
цию для отображения объектов окружающего нас реального мира.
Построение изображения с натуры требует правильного освещения
вопроса о взаимоотношении рисунка и перспективы, а это требует дальней-
шего изучения и совершенствования теории линейной перспективы.
Предлагаемые упражнения должны помочь в овладении этой наукой,
которая является основой для построений наглядных изображений, приме-
няемых в технике и в искусстве.
5
___ ГЛАВА I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1.	ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА
Если принять глаз человека за центр проекций и смотреть на предмет
сквозь стекло, помещенное между глазом наблюдателя и предметом, то
световые лучи, идущие от точек данного предмета в глаз наблюдателя,
образуют коническую поверхность с вершиной в глазу. Точки пересечения
этих лучей с плоскостью стекла и дадут изображение (перспективу) пред-
мета. Такой способ изображения носит название линейной перспективы.
Начертательная геометрия изучает различные методы изображений —
параллельные проекции, аксонометрические проекции, проекции с число-
выми отметками и центральные проекции (перспектива).
Сравнивая перечисленные методы, заметим, что перспектива дает изобра-
жения предметов в том виде, в каком последние представляются нам при
непосредственном их рассматривании в натуре. Перспективе по праву
принадлежит первое место при сравнении изображений по их наглядности
среди всех методов начертательной геометрии.
§ 2.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Расположим в пространстве в последовательном порядке: точку 3,
плоскость К и точку А' (черт. 1). Примем точку 3 за глаз наблюдателя
(или центр проекций), плоскость К за картину (картинная плоскость, или
плоскость проекций), точку А! за проектируемый предмет.
Для того чтобы спроектировать точку А', т. е. получить ее изобра-
жение в картинной плоскости Д, нужно соединить прямой линией центр
проекций (точку 3) с точкой А'. Полученная прямая ЗД' называется
в таком случае проектирующим лучом. Пересечение проектирующего
луча SA' с картинной плоскостью К и дает нам точку Д, т. е. мы полу-
чили изображение, или проекцию, точки Д' на картинной плоскости К
(черт. 2).
Полученная таким образом на картине К точка А называется перспек-
тивой точки Д'.
Вышеописанный процесс проектирования точки Д' на картинную
плоскость К при помощи прямой ЗД', проходящей через центр проекций
и точку Д', называется методом центральной проекции.
Для получения перспективы какой-нибудь фигуры, например фигуры
треугольника Д'В'С' (черт. 3), достаточно провести из точки 3 проекти-
рующие лучи в вершины треугольника Д'BfС'; пересечение проектирующих
лучей с картинной плоскостью К и даст нам треугольник-изображение АВС
в картинной плоскости Д. Полученный треугольник АВС называют цент-
ральной проекцией (или перспективой) треугольника Д'В'С'.
6
§ 3.	ОСНОВНАЯ ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.	Проектирующий аппарат (черт. 4—5). Проектирующий аппарат состо-
ит из следующих элементов: 1) предметной плоскости, 2) картинной плоско-
сти, 3) главной плоскости, 4) нейтральной плоскости, 5) плоскости гори-
зонта.
2.	Предметная плоскость. Предметная плоскость расположена гори-
зонтально и служит основанием для изображаемых предметов. Ее
обозначают прописной буквой латинского алфавита Н. Предметную пло-
скость при центральном проектировании можно сопоставить с горизонталь-
ной плоскостью проекций Н при параллельном проектировании (черт. 4—5).
3.	Картинная плоскость. Картинная плоскость расположена перпен-
дикулярно к предметной плоскости Н и служит для построе-
ния изображений в ней (или построения перспективы) предметов, распо-
ложенных в предметном пространстве. Картинную плоскость обозначают
буквой К.
Картинную плоскость К при центральном проектировании можно
сопоставить с фронтальной плоскостью проекций V при параллельном
проектировании (черт. 4—5).
4.	Основание картинной плоскости. Линию пересечения картинной
плоскости К с предметной плоскостью Н называют основанием картины К-
Основание картинной плоскости К обозначают буквами kk.
Основание kk картины К при центральном проектировании можно
сопоставить с осью проекции хх при параллельном проектировании
(черт. 4—5).
5.	Точка зрения. Глаз наблюдателя (или центр проекций), откуда
проводят прямые линии (или проектирующие лучи) в точки, помещенные
в предметном пространстве, называют точкой зрения и обозначают
буквой S.
При параллельном проектировании этот центр, удаленный в беско-
нечность, так называемый несобственный центр, можно сопоставить с цент-
ром проекций S при центральном проектировании, который называют
собственным центром.
При центральном проектировании проектирующие лучи идут из одной
точки S (центра проекций), образуя пучок проектирующих лучей. В зави-
симости от проектируемого предмета пучок проектирующих лучей может
иметь следующие формы:
а)	лучевой плоскости Q'; проектируемый предмет — отрезок прямой А'В'
(черт. 6);
б)	лучевой пирамидьц проектируемый предмет — ломаная замкнутая
линия A'B'C'D' (черт. 7);
в)	конической поверхности} проектируемый предмет — кривая линия
A'B'C'D'Е' (черт. 8).
6.	Точка стояния. Если из точки зрения S опустить перпендикуляр
на предметную плоскость Н, то основание этого перпендикуляра и будет
точка стояния} обозначают ее буквой s (черт. 4—5).
7.	Высота точки зрения. Превышение точки S над предметной пло-
скостью Н будет перпендикуляр Ss, который и определит высоту
точки зрения} обозначают ее буквой h (черт. 4—5).
8.	Главный луч зрения. Проведем из точки зрения S прямую SP
перпендикулярно к плоскости картины К. Линию SP и называют главным
лучом зрения (черт. 4—5).
9.	Главная точка картины и ее основание. Пересечение главного луча
с картиной К называют главной точкой картины. Эту точку обозначают
буквой Р. Опустим перпендикуляр из точки Р на основание kk картины К}
7
основание этого перпендикуляра называют основанием главной точки кар-
тины и обозначают буквой р (черт. 4—5).
10.	Главное расстояние. Расстояние от точки зрения S до главной
точки Р картины К называют главным расстоянием и обозначают бук-
вой D (черт. 4—5).
11.	Плоскость горизонта. Плоскость, проведенная через точку зре-
ния S параллельно предметной плоскости Н, очевидно, пройдет через
главный луч SP и пересечет картинную плоскость К по линии, парал-
лельной основанию kk картины К. Такую плоскость называют плоскостью
горизонта и обозначают буквой Яо (черт. 4—5).
12.	Линия горизонта. Линию пересечения плоскости горизонта Яо
с картинной плоскостью К называют линией горизонта и обозначают
буквами hh. Линия горизонта hh всегда параллельна линии основания kk
картины X (черт. 4—5).
13.	Нейтральная плоскость. Плоскость, проведенную через точку зре-
ния S параллельно картинной плоскости X, называют нейтральной. Оче-
видно, она пройдет через точку стояния и будет перпендикулярна к пред-
метной плоскости Н и плоскости горизонта HQ. Нейтральную плоскость
(или плоскость исчезновения) обозначают буквой N.
Линию пересечения нейтральной плоскости N с предметной пло-
скостью Н называют нейтральной линией и обозначают буквами NtN2.
Нейтральная линия NiN2 параллельна линии основания kk картины К
и линии горизонта hh (черт. 4).
14.	Предметное пространство. Пространство, находящееся за картинной
плоскостью (в сторону от зрителя), называют предметным пространством.
Предназначается это пространство для изображаемых объектов (черт. 4—5).
15.	Промежуточное пространство. Пространство, заключенное между
нейтральной плоскостью N и картинной плоскостью К, называют проме-
жуточным пространством (черт. 4—5).
16.	Мнимое пространство. Пространство, смежное с промежуточным
пространством и разделяемое нейтральной плоскостью, называют мнимым
пространством. Нейтральная плоскость служит условной границей между
промежуточным и мнимым пространствами. Предметы, находящиеся в мни-
мом пространстве, т. е. за спиной, зритель непосредственно видеть не
может (черт. 4—5).
17.	Главная плоскость. Плоскость, проходящая через главный луч
зрения и перпендикулярная предметной и картинной плоскостям, называется
главной плоскостью (или плоскостью главного вертикала) и обозначается
буквой Г.
Главная плоскость делит картину на правую и левую поло-
вины. Линия пересечения главной плоскости с картиной перпендикулярна
основанию картины и проходит через главную точку Р (черт. 9).
18.	Главная линия картины. Линию пересечения главной плоскости
с картинной плоскостью называют главной линией картины (или линией
главного вертикала)} она является условной границей между правой
и левой половинами картины, если зритель поставлен лицом к картине.
Главную линию обозначают буквами Рр (черт. 9—10).
§ 4.	КООРДИНАТНАЯ СИСТЕМА ПРОЕКТИРУЮЩЕГО АППАРАТА
Примем главную линию Рр за ось Z, основание kk картины К за
ось X, линию sp пересечения главной плоскости с предметной плоскостью
за ось Y. Началом осей координат, очевидно, будет основание р главной
точки Р (черт. 9—11).
8
§ 5.	ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КАРТИНЫ
а)	Главная точка картины Р;
б)	линия горизонта hh\
в)	главное расстояние D (расстояние от точки зрения S до главной
точки Р картины Д);
г)	основание картины kk.
Эти элементы называют основными элементами картины (черт. 12—14).
Вопросы к главе I
1.	В чем состоит способ центрального проектирования?
2.	Что такое проектирующий луч?
3.	Что такое мнимое пространство?
4.	Какие линии картины принимают за оси координат?
5.	Что такое главное расстояние?
6.	Что такое основные элементы картины?
7.	Что называется нейтральной линией и нейтральной плоскостью?
8.	Как называют линию, условно разделяющую картину на правую
и левую стороны?
9.	Что такое точка зрения и какое ее другое название?
10.	Что называется плоскостью горизонта и линией горизонта?
11.	Что такое главный луч зрения?
12.	Что такое главная плоскость картины?
13.	Что такое координатная система проектирующего аппарата?
-- ГЛАВА II
ТОЧКА
§ 6.	ПЕРСПЕКТИВА ТОЧКИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ В ПРЕДМЕТНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
На проектирующем аппарате в предметном пространстве представлена
точка А' и ее ортогональная проекция а' на предметную плоскость Н
(черт. 15). Построить перспективу точки Л'.
Примечание. Точку а' называют в этом случае основанием точки Л'.
В дальнейшем ортогональные проекции точек на предметную плоскость Н
будем называть основаниями этих точек.
Построение изображения Л точки Л' на проектирующем аппарате
выполним при помощи вспомогательной проектирующей плоскости Q',
в которой проведем проектирующие лучи из центра проекций S в точку Л'
и ее основание а'. На линии пересечения плоскостей Q' и К проектирую-
щие лучи отметят искомую точку Л.
Построение изображения Л точки Л' на картинной плоскости выпол-
няется в следующем порядке (черт. 15).
Через отрезки Ss и Л'а', перпендикулярные к предметной плоскости Н,
проводим вспомогательную плоскость Q', которая также будет перпенди-
кулярна плоскости //.
Плоскость Q' пересечет плоскость Н по прямой sa'. Линию пересече-
ния плоскостей Q' и Н обозначают Q^ и называют предметным следом
плоскости Q'. Изложенное запишем в следующем виде:
Q'XH = QrH.
Точку пересечения основания картины с Q’H обозначают Qo и называют
началом (или начальной точкой) плоскости Q'. Теперь точка Qo принадле-
жит трем плоскостям. Этот вывод запишем так:
KXH\Q' = Q0.
Следовательно, через точку Qo будет проходить линия пересечения
плоскости Q' с картинной плоскостью Д’, но так как картинная плоскость Д
перпендикулярна к предметной плоскости //, а, в свою очередь, вспомо-
гательная плоскость Q' также перпендикулярна к предметной плоскости Н,
то линия их пересечения будет перпендикулярна к предметной плоскости Н
п линии основания kk картины Д. Линию пересечения плоскости Q' с кар-
тинной плоскостью К обозначают Q;< и называют картинным следом
плоскости Q'. Следовательно, картинный след QK плоскости Q' проходит
через точку Qo и перпендикулярен к основанию kk картины Д. Точка Qo
теперь является как результат пересечения следов QK и Q'h:
QK X QH = Qo-
Итак, все подготовительные построения выполнены, построены линии
пересечения вспомогательной плоскости Q' с предметной и картинной
плоскостями. Остается только провести в плоскости Q' проектирующие
лучи из центра проекций S в точку Д' и ее основание точку а'. Точки
пересечения проектирующих лучей с картинным следом Q;< плоскости Q'
и будут искомыми. Построение закончено. На чертеже 16 показано
перспективное изображение А точки А' на картине.
Посмотрим, как по перспективе А (черт. 17) определится точка Д'.
Из чертежа 17 видно, что сама точка Д' не может быть определена только
„своей перспективой, так как все точки Д', Д', Д'о, ..., Д^ проектирую-
щего луча 5Д имеют общую перспективу в точке Д.
Вывод. Для нахождения точки Д' в предметном пространстве необ-
ходимо иметь в картинной плоскости перспективу точки А и перспективу
ее основания а. По этим перспективам определяется единственная точка Д'
в предметном пространстве. Обратное также справедливо. По точке в пред-
метном пространстве и ее основанию вполне определяется перспектива
этой точки в картинной плоскости.
Заметим, что перспектива точки и перспектива основания этой же
точки всегда должны находиться на одной прямой Да, перпендикулярной
к основанию картины. Прямую, соединяющую перспективу точки с ее
основанием, называют линией связи.
На чертеже 18 показано перспективное изображение точек Д, Дх, ...
на картине. Прямые Да, Ata14 ... указывают на связь между точками и их
основаниями, а то, что на картине изображены заданные точки предмет-
ного пространства, указывают их основания а, ах ....
§ 7.	ПЕРСПЕКТИВА ТОЧКИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ В КАРТИННОЙ
ПЛОСКОСТИ
На проектирующем аппарате в картинной плоскости представлена
точка Д' (черт. 19). Построить ее перспективу.
Из чертежа 19 видно, что точка Д', принадлежащая картинной
плоскости, совпадает со своим изображением Д, основание а' точки Д'
10
совпадает с основанием а изображения А:А' = А, а' = а. Основания этих
точек лежат на основании картины а' = а. Линии связи А 'а' и Аа совпа-
дают: А'а' = Аа.
Вывод. Если основание а' точки А' лежит на основании картины,
то сама точка А' расположена в картинной плоскости и совпадает со
своим изображением Л, т. е. Л' = Л. Если же основание а' точки Л'
находится ниже основания картины, то такая точка Л' находится в про-
межуточном пространстве и не может быть изображенной на картине.
На чертеже 20 показано изображение точки на картине, расположен-
ной в картинной плоскости.
§ 8.	ПЕРСПЕКТИВА ТОЧКИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ В ПРЕДМЕТНОЙ
ПЛОСКОСТИ
На проектирующем аппарате в предметной плоскости Н представлены
три точки Л', В' и С' (черт. 21). Построить их перспективу.
Так как точки лежат в предметной плоскости, то их основания на
эту же плоскость совпадают с самими точками, т. е.
Л' = а', В' = Ь', С' = с'.
Построим перспективу заданных точек Л', В' и С' как результат
пересечения проектирующих лучей ЗЛ', SB', SC' с картинными следами
RK, Тк вспомогательных проектирующих плоскостей, проведенных
через соответствующие точки (см. черт. 15):
SA' XQK = А=а, SB' XRK = B = b, SC' = С = с.
На проектирующем аппарате (черт. 21) вспомогательные проектирую-
щие плоскости не показаны, а построены и обозначены их следы и началь-
ные точки. Результат построения представлен на картине (черт. 22).
Вывод. Перспектива точки, принадлежащей предметной плоскости,
совпадает с перспективой ее основания А = а, так как точка Л' и ее
основание а' на предметной плоскости находятся в одной и той же точке,
т. е. также совпадают: А' = а'.
Перспективы всех точек, принадлежащих предметной плоскости, рас-
положены на картине между основанием kk картины К и линией гори-
зонта hh (черт. 22).
Заметим, что точки предметной плоскости, наиболее удаленные от
картинной плоскости, изображаются на картине ближе к линии гори-
зонта hh. Это видно на чертежах 21—22.
§ 9.	КООРДИНИРОВАНИЕ ТОЧЕК В ПРЕДМЕТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В § 4 говорилось о принятом расположении осей координат на проекти-
рующем аппарате. Вернемся еще раз к этому в связи с конкретным реше-
нием задач на построение точки в предметном пространстве по заданным
ее координатам.
Обратимся к чертежу 23, из которого можно видеть, что ось абсцисс XX
совпадает с основанием kk картины /С, ось ординат YY — с отрезком пря-
мой sp и ось аппликат ZZ совпадает с отрезком прямой Рр. Начало аксо-
нометрических осей, точка О, совпадает с основанием главной точки
картины — точкой р.
Изложенное выше запишем в следующем символическом виде:
XX = kk\ YY=sp-, ZZ=Pp\ 0 = р.
И
ПРИМЕРЫ 1—2
Пример 1. По заданным координатам точки А'(Х =—44, Y =—28,
Z = 66) построить ее перспективу на проектирующем аппарате и указать,
в какой половине картины расположена перспектива А точки Д'.
Изображение А перспективы точки Л' с картинной плоскости проекти-
рующего аппарата перенести на картину.
Графическое решение представлено на чертеже 23 и выполняется
в следующем порядке:
1.	По данным координатам точки Д' строим ее аксонометричес-
кую проекцию. Построение производим без учета коэффициентов иска-
жения.
2.	Способом, описанным в § 6, черт. 15—17, по изометрической проек-
ции точки Д' строим ее перспективу.
3.	Полученную перспективу А точки Д' перенесем на картину
(черт. 24). Изображение А на картине расположено вправо от линии
главного вертикала, следовательно, изображенный объект (точка Д') нахо-
дится на правой половине картины. Полученный результат записан
в таблицу 1.
Пример 2. На проектирующем аппарате в картинной плоскости пред-
ставлена перспектива А точки Д' (черт. 25). Определить ее координаты.
Решение. На картинной плоскости изображенная точка и ее осно-
вание совпадают: А^=а, следовательно, точка Д' в натуре лежит в пред-
метной плоскости.
Определение координат точки Д' представлено в графическом виде
(черт. 26), и этот результат записан в таблицу 2.
Точка	Координаты			Половина картины
	X	Y	Z	
А'	—44	—28	66	Правая
Таблица 1	Таблица 2
Точка	Координаты		
	X	У	Z
А	—32	—39	0
ЗАДАЧИ 1—2
1. На проектирующем аппарате
лена точка Д' (черт. 27). Построить
точки, определить ее координаты и
расположена искомая точка.
2. На проектирующем аппарате
изображение А точки Д' (черт. 28).
и определить ее координаты.
в предметном пространстве представ-
перспективное изображение заданной
указать, в какой половине картины
в картинной плоскости представлено
Указать положение точки в натуре
Вопросы к главе II
1.	Что называется перспективой точки?
2.	Что называется основанием точки?
3.	Что такое линия связи и как она расположена на картине?
4.	Может ли совпадать перспектива точки с перспективой своего
основания?
5.	Какая существует связь между перспективой точки и ее осно-
ванием?
12
6.	На картине совпадают перспективы двух точек, а основания их
перспектив не совпадают. Какая из этих точек в пространстве ближе
расположена к картинной плоскости?
7.	Определяет ли перспектива точки ее положение в пространстве,
а точка пространства — перспективу?
8.	Укажите на картине границы расположения перспектив всех точек,
принадлежащих предметной плоскости.
9.	Как располагаются на картине перспективы оснований точек, раз-
лично удаленных в пространстве от картинной плоскости?
10.	Какую точку на картине принимают за начало осей координат?
11.	Если точка зрения будет удаляться от картины по линии, перпен-
дикулярной к картине, то как будет изменяться перспектива предмета?
12.	Что такое начало плоскости?
13.	Что такое предметный след плоскости?
-- ГЛАВА III
ПРЯМАЯ
§ 10.	ПЕРСПЕКТИВА ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ, РАСПОЛОЖЕННОЙ
В ПРЕДМЕТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
На проектирующем аппарате в предметном пространстве представлен
отрезок прямой А'В' (черт. 29). Построить его перспективу.
Способом, описанным в § 6, построим перспективу точек А' и В'
(концов заданного отрезка А'В). Проектирующие лучи SA' и SB', прове-
денные из центра проекций S через точки А' и В', образуют плоскость SA'B',
называемую лучевой плоскостью и обозначенную буквой Т'± (черт. 30).
Лучевая плоскость Т\ пересечет картинную плоскость К по пря-
мой Тк. Следовательно, перспектива АВ отрезка прямой А'В' представ-
ляет также отрезок прямой АВ. А то, что на картине изображен единст-
венный отрезок предметного пространства, указывает перспектива его
основания ab. Построение основания ab изображения АВ аналогично пост-
роению перспективы АВ отрезка А'В'. Результат построения представлен
на картине (черт. 31).
§ 11.	ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА ПРЯМОЙ
В предметной плоскости представлена прямая А[А'2 произвольного
направления (черт. 32). Построить ее перспективу.
Способом, описанным в § 6, построим перспективу двух точек A't и А2
заданной прямой А\А'2.
При построении перспективы бесконечно удаленной точки F^ заданной
прямой проектирующий луч SF'^ займет положение, параллельное этой
прямой. По закону проектирования две параллельные прямые считаются
пересекающимися в проективном пространстве в несобственной точке F'w.
Для построения перспективы несобственной (или бесконечно удаленной)
точки заданной прямой проведем через проектирующий луч SF'^ и отре-
13
зок Ss вспомогательную проектирующую плоскость Q'. Предметный
след Q„ (черт. 33а) плоскости Q' займет положение, параллельное задан-
ной прямой. Точка пересечения проектирующего луча SF^ с картинным
следом Q'K и будет перспективой Fx бесконечно удаленной точки F^ задан-
ной прямой. Несобственная точка F^ на картинной плоскости изобразится
точкой F (черт. 32). Точку F в отличие от несобственной точки F^ назы-
вают собственной точкой. При продолжении отрезков АгА2 и до
пересечения с основанием картины получим для этих прямых общую
точку Ло. Представим это в символической записи:
Л1Л2 X kk = Ло,
А'±А'2 Xkk== Л'о.
Следовательно, АгА2 X А^Аг = Ао = А'о; ЛО = Л'О, т. е. перспектива Ло сов-
падает с самой точкой Л^. Точку Ло в таком случае принято называть
началом прямой. При продолжении отрезка АгА2 в сторону линии гори-
зонта hh он пройдет через точку F и не может быть продолжен, так как
точка F есть перспектива бесконечно удаленной точки F'^ заданной пря-
мой. Поэтому точку F называют концом прямой (или предельной точкой).
Строя перспективу несобственных точек проективного пространства и соб-
ственных точек Л' и Л2 евклидова пространства, мы получили графичес-
кое подтверждение того, что отрезки ЛХЛ2 и А[А2 при своем пересечении
дали на основании картины общую точку Л'0 = Л0 и что прямая ЛХЛ2
прошла через перспективу F (или предельную точку) несобственной точ-
ки F'^.
Вывод. Несобственные точки проективного пространства равноправны
(в отношении центрального проектирования) с обыкновенными точками
евклидова пространства. Следовательно, на картине можно построить
бесконечную прямую, ее перспектива будет отрезком, т. е. конечной
прямой.
На чертеже 32 показана перспектива этой прямой от ее начала —
точки Ло и до конца — точки F (черт. 33а, 336).
§ 12.	ЛИНИЯ ГОРИЗОНТА
Из курса проективной геометрии известно, что на всякой прямой,
принадлежащей данной плоскости, имеется одна несобственная точка. Две
непараллельные прямые имеют разные несобственные точки, совокупность
всех несобственных точек плоскости мы назовем несобственной прямой
этой плоскости1.
Возьмем в предметной плоскости две непараллельные прямые Л'Л2
и B’JB'z и построим способом, описанным в § И, перспективы несобствен-
ных точек этих прямых (черт. 34). Из построения видно, что отрезки
Ss = Ss = F2Q0; Ss = Pp.
Следовательно, FXFO = F2Qq = Pp, а это указывает, что перспективы
бесконечно удаленных точек предметной плоскости расположены на кар-
тине на равном расстоянии от основания kk картины К и что это расстоя-
ние равно отрезку Ss, т. е. высоте точки зрения S, а отсюда следует, что
линия, проведенная через предельные точки прямых, принадлежащих
1 См.: Н. А. Глаголев, Начертательная геометрия, М., Гостехиздат, 1953, стр. 14.
14
предметной плоскости, параллельна основанию kk картины К и располо-
жена на одном уровне с точкой S; это и будет линия горизонта, т. е. это
есть перспектива несобственной прямой предметной плоскости.
Этот результат построения представлен на картине (черт. 35).
Вывод. 1. Линия горизонта это есть предельная прямая предметной
плоскости, или перспектива бесконечно удаленной прямой предметной
плоскости. Следовательно, предельные точки прямых, принадлежащих
предметной плоскости или ей параллельной, за исключением прямых,,
параллельных картинной плоскости, будут находиться на линии горизонта.-
2. Линия горизонта параллельна основанию картины и проходит на
высоте уровня глаз (центра проекций S).
3. Линия горизонта ограничивает на картине изображение предметной
плоскости предметного пространства от ее начала — основания kk кар-
тины К до ее конца — предельной линии (или линии горизонта hh).
§ 13. ТОЧКА СХОДА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
На проектирующем аппарате в предметном пространстве представлено'
семейство параллельных прямых, расположенных параллельно предметной
плоскости (черт. 36). Построить перспективу этих прямых.
Примечание. Параллельные прямые одного направления называют
семейством параллельных прямых.
Дополним каждую евклидову прямую несобственной точкой. Из центра
проекций S проведем проектирующий луч SF^ параллельно данным пря-
мым и также дополним этот луч несобственной точкой. Луч SF'^, идущий
в бесконечность, встретит картинную плоскость на линии горизонта в пре-
дельной точке F=:f (§ 11, черт. 32).
Строя для каждой прямой ее предельную точку, замечаем, что в по-
строении участвует один и тот же проектирующий луч SF^.
Приходим к выводу, что эта несобственная точка должна быть един-
ственной, т. е. общей для всего семейства параллельных прямых. Следо-
вательно, в проективном пространстве мы имеем пучок параллельных
прямых, пересекающихся в несобственной точке F'^, а отсюда следует,
что у всякого семейства прямых пространства имеется одна несобственная
точка. Два семейства прямых имеют разные несобственные точки; сово-
купность всех несобственных точек пространства называют несобственной
плоскостью этого пространства.
На картине (черт. 37) представлена перспектива заданного семейства
параллельных прямых, пересекающихся в собственной точке F = f, назы-.
ваемой точкой схода параллельных прямых.
То, что в проективном пространстве пучок параллельных прямых
пересекается в несобственной точке F^ и в евклидовом пространстве на
картине К перспектива того же пучка параллельных прямых имеет общую
точку F = f, указывает, что несобственные точки проективного простран-
ства равноправны (в отношении центрального проектирования) с обыкно-
венными точками евклидова пространства.
Вывод. В перспективе параллельные прямые одного направления
имеют только одну общую точку схода. Два семейства прямых имеют
разные точки схода. Семейства прямых, расположенных параллельно кар-
тинной плоскости, точки схода не имеют и на картине изображаются
соответственно параллельными прямыми; следовательно, такие прямые не
имеют ни начала, ни конца.
15.
ПРИМЕРЫ 3—4
Пример 3. На картине в предметной плоскости представлены
прямые АГА2 и В±В2 (черт. 38). Построить предельные точки этих
прямых.
По условию прямые расположены в предметной плоскости и не
параллельны основанию картины; следовательно, их предельные точки Fr
и F2 должны лежать на линии горизонта в пересечении с прямыми А^
и B±B2 (§11, 12). Решение представлено в графическом виде на чер-
теже 39.
Пример 4. На картине представлены точка А и прямая В^В2 (черт. 40).
Через точку А провести прямую параллельно заданной прямой В^В^
Из чертежа 40 видно, что прямая BrB2 расположена в предметной
плоскости: В1В2 = 61/?2, следовательно, ее предельная точка F находит-
ся на линии горизонта (§ 11, 12). По условию прямые должны быть вза-
имно параллельны, а такие прямые на картине имеют общую точку
схода (§ 13, черт. 37). Решение представлено в графическом виде на чер-
теже 41.
ЗАДАЧИ 3—4
3.	На картине изображена прямая А±А2 и точки В, В, С (черт. 42).
Через точки В, С, Е провести прямые параллельно заданной прямой АгА2.
4.	На картине изображена прямая А]А2, расположенная параллельно
предметной плоскости, и представлено основание а2 точки А2 (черт. 43).
Построить перспективу основания этой прямой.
§	14. СЛЕДЫ ПРЯМОЙ
Следами прямой называют точки ее пересечения с предметной и кар-
тинной плоскостями.
ПРИМЕРЫ 5—7
Пример 5. Отрезок А'В', произвольно расположенный в предметном
пространстве, представлен на проектирующем аппарате (черт. 44). Требуется
построить его следы.
Решение. Отрезок А'В' заключим в вспомогательную плоскость Q'
(черт. 45). Прямая А'В' при своем продолжении отметит на следах
плоскости Q искомые точки М и N.
Примечание. Точку пересечения прямой с предметным следом QH
плоскости Q обозначают буквой М и называют предметным следом пря-
мой, а точку пересечения с картинным следом QK обозначают буквой N
и называют картинным следом прямой.
Решение этой задачи показано на картине (черт. 46).
Пример 6. На картине (черт. 47) представлено перспективное изо-
бражение прямой АВ. Построить предметный и картинный следы этой
прямой.
Решение представлено в графическом виде на чертеже 48.
Пример 7. На картине (черт. 49) представлены следы прямой — точ-
ки М и N. Построить перспективное изображение отрезка АВ, опреде-
ляемого этой прямой.
Решение представлено в графическом виде на чертеже 50.
16
ЗАДАЧИ 5—15
5—6. Построить следы прямой АВ (черт. 51—52).
7—8. Построить перспективное изображение прямой по заданным сле-
дам N и М (черт. 53—54).
9—12. Построить следы прямой АВ и определить, в какой половине
картины расположены эти следы (черт. 55—58).
13. По заданным следам прямой NM на картине (черт. 59) построить
аксонометрическое изображение прямой NM на проектирующем аппарате
(черт. 60).
14—15. По представленному изометрическому изображению прямой N'M'
построить ее перспективное изображение на картине (черт. 61—64).
§ 15.	РАЗЛИЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО
КАРТИННОЙ И ПРЕДМЕТНОЙ ПЛОСКОСТЕЙ
1.	Главные прямые. Прямые, перпендикулярные картине, называются
главными (или глубинными) прямыми (черт. 65).
Перспектива прямых, перпендикулярных к картине.
Главная точка картины. На проектирующем аппарате представлено
семейство параллельных прямых, расположенных в предметном пространстве
и перпендикулярных к плоскости картины (черт. 65). Построить перспек-
тиву этих прямых. Способом, описанным в § 11 —13, построена перспек-
тива заданного семейства прямых (черт. 65). На картине такие прямые
изображаются сходящимися в точке Р (черт. 66). Точка Р называется глав-
ной точкой картины и является предельной точкой, т. е. перспективой
несобственной точки Р^ семейства параллельных прямых А' В' и С', пер-
пендикулярных картине.
Точка Р находится на уровне глаз наблюдателя и расположена на
линии горизонта.
2.	Горизонтальные прямые. Прямые, расположенные в предметном
пространстве и параллельные предметной плоскости Н, называются гори-
зонтальными прямыми, за исключением прямых, перпендикулярных и па-
раллельных картине (черт. 67).
Перспектива семейства параллельных прямых, иду-
щих под произвольным углом к картине и параллель-
ных предметной плоскости. Графическое построение представлено
на чертежах 67—68. Способ построения указан в § 11—13. Из проективной
геометрии известно, что всякое семейство прямых имеет одну несобственную
точку F’^. Различные семейства прямых имеют разные несобственные
точки. Следовательно, на картине каждое семейство горизонтальных пря-
мых имеет свою собственную точку схода; эти точки расположены на
линии горизонта.
3.	Восходящие прямые. Восходящими называются такие прямые, точки
которых по мере удаления от картины удаляются от предметной плоскости
(черт. 69).
Перспектива восходящих параллелльных прямых,
расположенных в предметном пространстве. Небесная
точка схода. На проектирующем аппарате (черт. 69) представлено
семейство восходящих параллельных прямых, расположенных в предмет-
ном пространстве. Построить перспективу этих прямых.
Графическое построение представлено на чертежах 69—70. Способ
построения указан в § 11 —13.
2 Заказ № 12
17
На картине восходящие прямые А и В семейства изображаются схо-
дящимися в точке F (черт. 70).
Точка схода восходящих прямых называется небесной точкой схода
и является предельной точкой, т. е. перспективой несобственной точки F^
семейства пучка восходящих прямых Л' и В'.
Небесная точка схода F расположена над линией горизонта и нахо-
дится на одном перпендикуляре с основанием своей перспективы — точ-
кой точка f находится на линии горизонта, так как перспектива осно-
вания восходящей прямой расположена в предметной плоскости.
Для построения точки F — перспективы восходящей прямой — пер-
спективу ее основания продолжают до пересечения с линией горизонта
в точке f и из этой точки восставляют перпендикуляр, а перспективу
восходящей прямой продолжают до пересечения с этим перпендикуляром
в точке F (чертежи 69, 70).
4.	Нисходящие прямые. Нисходящими называются такие прямые, точки
которых по мере удаления от картины приближаются к предметной
плоскости (чертежи 71, 72).
Перспектива семейства нисходящих прямых. Земная
точка схода. Графическое построение представлено на чертежах 71, 72.
Способ построения указан в § И —13.
На картине нисходящие прямые семейства изображаются сходящимися
в точке F (черт. 72).
Точка схода нисходящих прямых называется земной точкой схода
и является предельной точкой, т. е. перспективой несобственной точки F'^
семейства пучка нисходящих прямых.
Земная точка схода F расположена под линией горизонта и находится
на одном перпендикуляре с основанием своей перспективы — точкой /;
точка f находится на линии горизонта, так как перспектива основания
нисходящей прямой расположена в предметной плоскости. Построение
земной точки схода аналогично построению небесной точки схода.
5.	Вертикальные прямые. Прямые, перпендикулярные к предметной
плоскости Н, называются вертикальными прямыми (черт. 73).
Перспектива семейства вертикальных прямых. Графи-
ческое построение представлено на чертежах 73—74.
Для построения перспективы несобственной точки F'^ семейства пучка
вертикальных прямых по закону проектирования проектирующий луч SF^
займет положение, параллельное вертикальным прямым, т. е. окажется
в нейтральной плоскости N и будет параллелен картинной плоскости К
(черт. 73).
Следовательно, построение на картинной плоскости перспективного
изображения несобственной точки F^ пучка вертикальных прямых А'В'
и С'Е' отпадает. Поэтому на картине прямые вертикального положения
точки схода не имеют и изображаются вертикальными прямыми, т. е. па-
раллельными друг другу (черт. 74).
6.	Фронтальные прямые. Прямые, параллельные картинной плоскости,
но не перпендикулярные к предметной плоскости, называютсяфронтальными
прямыми (чертежи 75, 76).
Перспектива семейства фронтальных прямых. Графи-
ческое построение представлено на чертежах 75, 76.
Построение предельной точки семейства фронтальных прямых анало-
гично построению вертикальных прямых.
Фронтальные прямые на картине точки схода не имеют и изобра-
жаются параллельными друг другу (черт. 76).
18
7.	Проектирующие прямые. Прямые, проходящие через центр проек-
ций, называются проектирующими прямыми (или исчезающими).
Перспектива проектирующих прямых, расположен-
ных в предметном пространстве. На проектирующем аппарате
в предметном пространстве представлены проектирующие прямые
и В^В'ъ (черт. 77). Построить перспективу этих прямых.
Способом, описанным в § 11 —13, построим перспективу заданных
прямых. Из чертежа 77 видно, что проектирующие прямые на картине
изображаются соответствующей точкой, в которой представлены перспек-
тивы точек всей прямой, т. е. в этой точке совпадают картинный след и пре-
дельная точка: N = A1 = A2 = F1. Перспективные изображения оснований
проектирующих прямых находятся на перпендикулярах, опущенных из
предельных точек этих прямых на основание картины, и изображаются
соответствующим отрезком прямой в границах от основания картины и до
линии горизонта.
На картине представлено перспективное изображение проектирующих
прямых А[А2 и В,1В2 (черт. 78).
8.	Перспектива прямых, проходящих через точку стояния. На проекти-
рующем аппарате представлены прямые А\А'2 и В'Вг, проходящие через
точку стояния s (черт. 79). Построить перспективу этих прямых.
Способом, описанным в § 11—13, построим перспективу заданных
прямых Л'Лг и BiB2 (черт. 79).
Из чертежа 79 видно, что перспектива восходящей прямой, проходя-
щей через точку стояния, и перспектива ее основания на картине изобра-
жаются на одной прямой, перпендикулярной к основанию картины. Нача-
лом перспективы такой прямой служит ее картинный след N, концом —
предельная точка F. Следовательно, перспектива основания этой же прямой
будет расположена в границах от основания картины и до линии горизонта.
Прямые, проходящие через точку стояния s и расположенные в пред-
метной плоскости Н, на картине изображаются вертикальными прямыми
(черт. 79) в границах от основания картины (картинный след — начало пря-
мой) и до линии горизонта (предельная точка — конец прямой). Перспек-
тива оснований этих линий совпадает с перспективой самих линий, так
как линии, лежащие в предметной плоскости, совпадают со своими осно-
ваниями.
На картине представлено перспективное изображение заданных пря-
мых (черт. 80).
Вывод. Перспективное изображение прямых, проходящих через
точку стояния, на картине изображается параллельными прямыми, перпен-
дикулярно направленными к основанию картины, а перспективы их осно-
ваний сливаются с перспективой самих линий (прямые лежат в предметной
плоскости) или находятся на продолжении перспектив этих линий (прямые
восходящие).
§ 16.	МАСШТАБ ШИРОТ
Масштаб, построенный на прямой, параллельной основанию картины,
называется масштабом широт.
На проектирующем аппарате (черт. 81) проведем в предметной плос-
кости отрезок А'В' параллельно основанию картины. Перенесем этот отре-
зок при помощи глубинных прямых на основание картины в положение
AqB0. Построим перспективу АВ отрезка А'В' как результат пересечения
перспектив глубинных прямых А0Р и BQP с проектирующими прямыми
S7T и SB'; SA'XAqP = A, SB'X В0Р = В (§ 11—13).
2*
19
Исследуем чертеж 81. Отрезок АВ является перспективой отрезка
А'В', а отрезок AQBQ = А'В' (по построению). Следовательно, отрезок АВ
в натуре равен отрезку А'В'. Установив связь между перспективным
и натуральным размерами, мы получили соотношение между перспектив-
ными и натуральными линейными размерами, т. е. построили масштаб.
На чертеже 82 показано, как должна быть построена натуральная
величина отрезка АВ, изображенного на картине. Заметим, что точка F
схода линий переноса выбирается произвольно. Отрезки 40В0 и /4qB'o равны
натуральной величине отрезка АВ.
Вывод. Для построения натуральной величины одрезка, располо-
женного на картине параллельно ее основанию, достаточно взять на линии
горизонта любую точку схода линий переноса и из нее через концы этого
отрезка провести прямые, которые и отметят на основании картины на-
туральную величину искомого отрезка.
§ 17.	МАСШТАБ ВЫСОТ
Масштаб, построенный на прямой, перпендикулярной к предметной
плоскости, называется масштабом высот.
На проектирующем аппарате (черт. 83) проведем в предметном про-
странстве отрезок А'В' вертикального направления и через него проведем
вспомогательную плоскость Q', перпендикулярную к плоскости картины.
Перенесем при помощи глубинных прямых отрезок А'В' на картинный
след плоскости Q' и обозначим перенесенный отрезок Л0В0. Построим
перспективу АВ отрезка А'В' как результат пересечения перспектив глу-
бинных прямых AqP и BqP с проектирующими прямыми, идущими
в концы отрезка А'В' (§ 11—13). Исследуем чертеж 83. Отрезок АВ
является перспективой отрезка А'В', а отрезок AQBQ = А'В' (по построе-
нию). Следовательно, установив связь между перспективным и натураль-
ным размерами, мы получили соотношение между перспективными и на-
туральными линейными размерами, т. е. построили масштаб.
На чертеже 84 показано построение натуральной величины вертикаль-
ного отрезка АВ, изображенного на картине. Отрезки Л0В0 и Равны
натуральной величине отрезка АВ.
Вывод. Для построения натуральной величины перспективы верти-
кального отрезка (черт. 84) достаточно провести через отрезок АВ произ-
вольную вспомогательную плоскость Т и из предельной точки пред-
метного следа Тн плоскости Т провести прямые через концы перспективы
отрезка АВ до пересечения с картинным следом Тплоскости Т (чер-
тежи 83, 84).
§ 18.	МАСШТАБ ГЛУБИН. ДИСТАНЦИОННАЯ ТОЧКА
Масштаб, построенный на прямой, перпендикулярной к плоскости
картины, называется масштабом глубин.
На проектирующем аппарате (черт. 85) проведем в предметной плос-
кости отрезок А^В' перпендикулярно к плоскости картины и перенесем
этот отрезок на основание картины. Для этого через точку В' проведем
прямую под углом в 45° к основанию картины и отметим точку пересе-
чения Мо.
Построим перспективу В точки В' как результат пересечения глубин-
ной прямой А^В' с прямой N'hB', идущей к основанию картины под углом
в 45° (§ 11—13). Отрезок AQB является перспективой отрезка А’0В',
20
а отрезок A'QN'O = A'0B' (по построению), следовательно, мы установили
соотношение между размером отрезка А0В в перспективе и размером от-
резка А^В' в натуре, т. е. получили масштаб глубины. К такому же
результату придем, если будем исследовать треугольник N'QBAQ.
Прямая Л0Р является перспективой глубинной прямой А'0В'\ следо-
вательно, угол при вершине Ло треугольника N'(}BAQ есть перспектива пря-
мого угла треугольника	а прямая N'()D1 — перспектива прямой
N'qB', идущей под углом 45° к основанию картины (по построению); сле-
довательно, угол при вершине N'o есть перспектива угла в 45° и угол
при вершине В — перспектива угла в 45° при вершине В' треугольника
N'qB'A'q. Треугольник N0BA на картине является перспективой прямоуголь-
ного равнобедренного треугольника N’QB'A'Q. Отрезок А0В в перспективе
соответствует отрезку A'jB' в натуре, а отрезок A'QN'O = А'0В' по построе-
нию, как стороны равнобедренного треугольника. Мы установили соот-
ношение между размером отрезка А0В в перспективе и размером отрезка
A’qB' в натуре, т. е. нашли масштаб.
Примечание. Точку схода горизонтальных прямых, идущих слева
направо к плоскости картины под углом в 45°, обозначают Dlf а справа
налево — D2 и называют дистанционными точками (или точками измерений,
или точками расстояний).
Из чертежа 85 видно, что треугольник SPDr в плоскости горизонта HQ
равнобедренный, так как его стороны попарно параллельны сторонам
треугольника AqB'Nq, а треугольник A0B'NQ равнобедренный по построе-
нию. Обратимся к чертежу 85. Повернем плоскость горизонта Но вокруг
линии горизонта hh до совмещения ее с картинной плоскостью полу-
чим совмещенную точку зрения и обозначим ее SK. Вращение точки зре-
ния S будет происходить в главной плоскости, перпендикулярной к оси
вращения (или линии горизонта). Радиусом вращения точки S будет от-
резок SP, центром вращения — главная точка Р, осью вращения — линия
горизонта hh.
Точка Di, находясь на оси вращения (линии горизонта), останется на
месте, так как радиус вращения ее равен нулю. Получим PS = PSK (как
радиусы вращения); но отрезок PS = PD± (из равнобедренного треуголь-
ника SPDi), следовательно, PSK = PD±, т. е. треугольник	равно-
бедренный.
Вывод. 1. На картине по дистанционным точкам D± и D2 можно
построить совмещенную точку зрения и, наоборот, по совмещенной
точке зрения можно построить дистанционные точки (черт. 86). Рас-
стояние от главной точки Р картины К до совмещенной точки зрения SK
равно расстоянию от центра проекций S до картины /С.
2. Для получения натуральной величины перспективы глубинного от-
резка AqB, изображенного на картине, достаточно провести прямые из
дистанционной точки D19 через концы глубинного отрезка, до пересечения
с основанием картины (черт. 86).
§ 19. ПЕРСПЕКТИВНЫЙ МАСШТАБ
Масштаб, построенный на горизонтальной прямой произвольного на-
правления, называется перспективным масштабом.
На проектирующем аппарате (черт. 87) проведем в предметной плос-
кости отрезок А'0В' произвольного направления и перенесем его размер
на основание картины при помощи прямой NqM'oo. Получившийся треу-
21
гольник A'OB*N'O равнобедренный (по построению), следовательно, углы
при вершинах В' и N'o равны.
Построим перспективу AQBN треугольника A'0B'N0. Перспективное
изображение В вершины В' получим как результат пересечения перспек-
тив NqM и /W7 линий A'0Foo и NqMoo, т. е. N0M X AQF = В (§ 11 — 13),
а сторона Л^о=ЛоЛ^о. Получившийся треугольник SMF в плоскости
горизонта HQ подобен треугольнику A'OB'N'O, так как соответствующие
стороны треугольника попарно параллельны между собой: SM || N^B';
SF || АГОВ' и MF i| A'nN’Q; следовательно, треугольник SMF равнобедрен-
ный, сторона MF — SF.
Способом, описанным в § 18 (черт. 85), совместим равнобедренный
треугольник SMF с плоскостью картины. Из чертежа 87 видно, что
SP = SKP (как радиусы), следовательно, треугольники SKFM и SFM
равны и отрезок FSK — FM (как стороны равнобедренного треугольника
SKFM).
Исследуем перспективу треугольника A'QB'N^ треугольник A(]BN0.
Отрезок AqB есть перспектива отрезка А'0В', а отрезок A0NQ = A'JB' по
построению (как стороны равнобедренного треугольника A’OB'N'O). Мы
нашли соотношение между размером отрезка AQB в перспективе и разме-
ром отрезка A'QB' в натуре, т. е. нашли масштаб для отрезка произволь-
ного направления.
Примечание. Точку М называют в этом случае точкой деления
или точкой перспективного масштаба.
Вывод. Измерение или деление в заданном отношении отрезка пря-
мой произвольного направления можно выполнить при помощи точки
перспективного масштаба. Для всякой прямой произвольного направления
может быть построена одна точка перспективного масштаба. Две произ-
вольного направления непараллельные прямые имеют разные точки перспек-
тивного масштаба.
На картине в предметной плоскости изображен отрезок А0В произ-
вольного направления (черт. 88). Из чертежа 88 видно, как строится точка
перспективного масштаба для отрезка произвольного направления и как
при помощи точки перспективного масштаба определяется натуральная
величина AQN0 заданного отрезка AQB.
ПРИМЕРЫ 8—11
Пример 8. Построить натуральную величину отрезка АВ произволь-
ного направления, расположенного в предметной плоскости Н (черт. 89).
Решение. Графическое построение представлено на чертеже 90
и выполняется в следующем порядке:
1. Строим предельную точку F прямой АВ (§ 11, черт. 32).
2. Строим точку перспективного масштаба 7И прямой АВ(§ 19, черт. 87,
88). Из точки М проводим линии переноса через концы отрезка АВ до
пересечения с основанием картины в точках Ло и Во. Отрезок А0В0
и будет искомым.
Примечание. Точку перспективного масштаба, расположенную
-Ь
слева от главной точки Р, обозначают 7И, а точку, расположенную справа
от главной точки, —М. Предельные точки прямых произвольного на-
правления, идущих слева направо, обозначают F а справа налево — F.
22
Пример 9. Отрезок АВ расположен произвольно в пространстве
(черт. 91). Заданный отрезок в перспективе разделить на три равные части.
Решение. Графическое построение представлено на чертеже 92
и выполняется в следующем порядке:
1.	Делим основание ab отрезка АВ на три равные части. Для этого
основание ab при помощи точки М и прямой аМ перенесем на фронталь-
ную прямую амЬ (§ 11, 19. черт. 32, 87, 88).
2.	Отрезок амЬ при помощи вспомогательного луча делим на три
равные части (по свойству параллельных прямых, пересекающих стороны
угла).
3.	При помощи линий переноса и точки М делим основание ab от-
резка АВ на три равные части.
4.	Из полученных точек сие вертикальные прямые отметят на от-
резке АВ искомые точки С и Е. Отрезки АС±СЕ и ЕВ делят отрезок АВ
в натуре на три равные части: АС = СЕ = ЕВ.
Пример 10. Построить натуральную величину восходящего отрезка Л В,
угол его наклона к предметной плоскости, а также его следы и предель-
ную точку (черт. 93).
Ре	шение. Графическое построение представлено на чертеже 94
и выполняется в следующем порядке:
1.	Строим точку F (§ И, 15, черт. 32, 33, 69, 70).
2.	Строим картинный след N (§ 14, черт. 44—46), предметный след
М совпадает с концом Л, т. е. А = М = т.
3.	Строим точку перспективного масштаба М (§ 19, черт. 87, 88).
+
4.	При помощи точки М и линий переноса строим натуральную вели-
чину треугольника АВЬ, треугольник Л0В0&0 (§ 17, 19, черт. 83, 84, 87, 88).
Пример 11. Через точку К провести прямую параллельно отрезку АВ
и определить угол наклона ее к предметной плоскости (черт. 95).
Решение. Графическое построение представлено на чертеже 96
и выполняется в следующем порядке:
1.	Строим точку схода F для параллельных прямых АВ и KF (§11,
15, черт. 32, 33, 69, 70);
2.	Определяем угол наклона прямой KF к предметной плоскости. Для
этого строим вспомогательный треугольник КСс и при помощи точки М
и линий переноса перемещаем его в положение, параллельное плоскости
картины. Угол а в треугольнике КС& будет искомым (§ 17, 18, 19,
черт. 83—88).
ЗАДАЧИ 16—23
16.	Определить натуральную величину отрезков АВ и ВС (черт. 97).
17.	Определить натуральную величину отрезков А!^ и AN2 (черт. 98).
18.	На прямой АВ от конца В отложить отрезок ВС, натуральная
величина которого равна 20 мм (черт. 99).
+
19.	Через точку Е провести прямую EF параллельно отрезку АВ
(черт. 100).
20.	Определить истинную величину угла наклона прямой АВ к осно-
ванию картины (черт. 101).
21.	Определить истинную величину углов при пересечении отрезков
АВ и СЕ (черт. 102).
23
22.	Определить истинное расстояние между заданными точками А и В
(черт. 103).
23.	От конца А на заданном отрезке АВ отметить точку Е на расстоянии,
равном в натуре 20 мм (черт. 104).
§ 20.	ДЕЛЕНИЕ И УВЕЛИЧЕНИЕ ОТРЕЗКА, ЗАДАННОГО
В ПЕРСПЕКТИВЕ
ПРИМЕРЫ 12—19
Пример 12. Отрезок АВ разделить на две равные части (черт. 105).
Решение. Через точку А проведем в предметной плоскости фрон-
тальную прямую и отложим на ней от точки А два произвольных равных
отрезка: XBj = BiB2- Построим предельную точку F прямой В2В. Через
точку Вх проведем прямую FBr параллельно прямой В2В. Прямая FBr
пересечет отрезок АВ в точке В\ и разделит его (по свойству параллель-
ных прямых, пересекающих стороны угла) на две равные части. В натуре
отрезок АВ\ = В\ В.
Пример 13. Отрезок АВ разделить на две равные части (черт. 106).
Решение. Через концы отрезка АВ проведем фронтальные прямые.
Из произвольно выбранной на линии горизонта предельной точки F про-
ведем параллельные прямые FA и FB. Эти прямые пересекут фронта-
ли в точках Е и С. Получившаяся фигура АЕВС в натуре представ-
ляет параллелограмм, так как АЕ || ВС, а AC || BE; отрезок АВ — диа-
гональ параллелограмма АЕВС. Проведем вторую диагональ ЕС. Эта
диагональ отметит на отрезке АВ точку К, разделяющую его (по свойст-
ву диагоналей параллелограмма) на две равные части. В натуре отре-
зок АК = КВ.
Пример 14. Отрезок АВ разделить на две равные части (черт. 107).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 107 (§ 20, черт. 105).
Пример 15. На продолжении отрезка АВ в сторону приближения
к картине отложить равный ему отрезок ВС (черт. 108).
Решение. Через точку А проведем фронтальную прямую и отло-
жим на ней от точки А два произвольных равных отрезка: ABr = В1В2;
построим предельную точку F прямой ВВГ Через точку В2 проведем
прямую ВВ2, параллельную прямой FB. Продолжим прямые АВ и FB2 до
пересечения в точке С. Полученный отрезок АС в натуре в два раза
больше отрезка АВ (§ 20, черт. 105).
Пример 16. На продолжении отрезка АВ в сторону его приближения
к картине отложить равный ему отрезок ВС (черт. 109).
Решение. Через точку В проведем фронтальную прямую и отло-
жим на ней от точки В произвольные равные между собой отрезки:
ВВХ = ВВ2. Построим предельную точку F прямой АВ2. Через точку Вг
проведем прямую FBlt параллельную прямой FB2. Продолжим прямую АВ
до пересечения с прямой FBr в точке С. Отрезок АС равен удвоенному
отрезку АВ, так как получившиеся треугольники ВСВХ и ВАВ2 в нату-
ре равны между собой, как треугольники, имеющие соответственно рав-
ные углы и равные стороны против соответствующих вершин (по постро-
ению).
Пример 17. На продолжении отрезка АВ в сторону удаления от кар-
тины отложить равный ему отрезок АС (черт. 110).
Решение. Через точку В проведем фронтальную прямую и отло-
жим на ней от точки В два произвольных равных отрезка: BBr ~ В^;
24
построим предельную точку F прямой ABV Через точку F проведем
прямую FB2, параллельную прямой FBV Прямая FB2 пересечет продол-
жение отрезка АВ в точке С. Отрезок ВС в натуре в два раза больше
заданного отрезка АВ.
Пример 18. На продолжении отрезка АВ в сторону удаления от кар-
тины отложить равный ему отрезок АС (черт. 111).
Решение. Графическое построение представлено на чертеже 111.
Полученный отрезок АС в натуре в два раза больше отрезка АВ (§ 20,.
черт. 109).
Пример 19. Разделить отрезок АВ на три равные части (черт. 112)..
Решение. Графическое построение представлено на чертеже 112.
В натуре искомые точки и А2 делят отрезок АВ на три равные части:
АА} “ /I1/I2А2В.
ЗАДАЧИ 24—27
24.	Разделить отрезок АВ на три равные части (черт. 113).
25.	Увеличить отрезок АВ в два раза, продолжив его от точки В
в сторону удаления от картины (черт. 114).
26.	Увеличить отрезок АВ в два раза, продолжив его от точки В
в сторону приближения к картине (черт. 115).
27.	Разделить отрезок АВ в заданном отношении т:п (черт. 116).
§ 21.	ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
1J Прямые пересекаются. Если прямые пересекаются в предметном’
пространстве, то основания этих прямых на предметной плоскости также
пересекаются; точка пересечения прямых и точка пересечения их основа-
ний лежат на одном перпендикуляре к предметной плоскости.
Если на картине (черт. 117) точка пересечения перспектив двух пря-
мых и точка пересечения перспектив их оснований лежат на одном перпен-
дикуляре к основанию картины, то прямые в натуре пересекаются.
2.	Прямые параллельны. Если прямые в предметном пространстве
параллельны, то они пересекаются в несобственной точке проективного
пространства (§ 13, черт. 36); следовательно, на картине перспективы та-
ких прямых сходятся в предельной точке F (черт. 118—120).
Фронтальные и вертикальные прямые являются исключением (§ 15,.
черт. 73, 74), так как они не имеют точки схода и на картине изобра-
жаются соответственно параллельными между собой (черт. 121).
3.	Прямые скрещиваются. Если прямые в предметном пространстве не
имеют общей точки и непараллельны, то они скрещиваются.
На картине (черт. 122) точки пересечения перспектив этих прямых
и перспектив их оснований лежат на разных перпендикулярах к линии
основания картины. Прямые в натуре не пересекаются (т. е. они не имеют
общей точки).
ЗАДАЧИ 28-33
28.	Построить перспективное изображение отрезка ЕС\ прямые АВ и ЕС
пересекаются в точке К (черт. 123).
29.	Через	точку	С	провести прямую	параллельно	отрезку АВ'
(черт. 124).
30.	Через	точку	Е	провести прямую	параллельно	отрезку АВ
(черт. 125).
25>
31.	Построить перспективу fe основания прямой FE, если она пере-
секает отрезок АВ в точке К (черт. 126).
32.	Через точку В провести прямую параллельно отрезку АС
(черт. 127).
33.	Через точку В провести прямые, параллельные отрезкам ED и АС
(черт. 128).
Вопросы к главе III
1.	Что является перспективой прямой линии предметного пространства?
2.	Что такое предельная точка прямой?
3.	Что называется земной и небесной точками схода?
4.	Как расположены прямые в пространстве, у которых перспектива
и предельная точка совпадают?
5.	Что называется началом и концом прямых линий на картине?
6.	Через какие точки проходит линия горизонта и на каком уровне
она расположена?
7.	Что такое предельная прямая предметной плоскости?
8.	Какие виды изображений могут иметь на картине перспективы
прямых линий в зависимости от их расположения в пространстве?
9.	Как построить точку схода семейства параллельных прямых и до-
казать, что она является единственной точкой для данного семейства
прямых?
10.	Что называется следом прямой линии на предметной и картин-
ной плоскостях и как обозначаются эти следы на картине?
И. Перечислите прямые, которые не имеют следов на картине.
12.	Какие из прямых имеют только один след? Назовите эти прямые.
13.	При каком положении относительно предметной и картинной
плоскостей прямые имеют два следа?
14.	Какие линии называются в перспективе главными, горизонталь-
ными, фронтальными, восходящими, нисходящими, вертикальными, проек-
тирующими (или исчезающими)?
15.	Как изображается на картине перспектива прямых линий, проходя-
щих через точку стояния?
16.	Что нужно иметь на картине для определения прямой линии
в пространстве?
17.	Что такое дистанционная точка, для чего она служит и как обо-
значают ее на картине?
18.	Как измерить длину отрезка произвольного направления, изобра-
женного на картине в предметной плоскости?
19.	На чем основан способ деления отрезка прямой линии в заданном
отношении и как это исполняется на картине?
20.	Что называется масштабом широт, глубин, высот, перспективным?
21.	В каком случае деление перспективы прямой соответствует
такому же делению самой прямой в натуре?
22.	Как изображаются на картине две пересекающиеся прямые линии?
23.	Как на картине располагаются относительно друг друга точки
пересечения перспектив двух скрещивающихся прямых и их оснований?
24.	Что такое точка схода перспектив семейства параллельных линий?
25.	Что такое несобственная точка пространства?
26.	Что такое несобственная прямая пространства?
ГЛАВА IV
ПЛОСКОСТЬ
§ 22.	СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА КАРТИНЕ
Положение плоскости в пространстве определяется следующими
элементами:
1)	тремя точками, не лежащими на одной прямой (черт. 129—130),
2)	прямой и точкой вне этой прямой (черт. 131),
3)	двумя пересекающимися прямыми (черт. 132),
4)	двумя параллельными прямыми (черт. 133).
Заметим, что каждая из приведенных форм задания плоскости позволяет
преобразование в любую из них. Кроме того, плоскость может быть
задана на картине любой плоской фигурой (черт. 134).
§ 23.	СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ
Плоскость на картине можно задать пересекающимися прямыми, по
которым эта плоскость пересекает предметную и картинную плоскости (§ 6).
ПРИМЕРЫ 20-22
Пример 20. На проектирующем аппарате представлена плоскость Q'
общего положения (черт. 135). Построить ее перспективное изображение.
Решение. Из чертежа 135 видно, что картинный след Qx совпа-
дает со своей перспективой: = Для построения перспективы QH
прямой QH имеем на основании картины начальную точку Qo этой прямой,
совпадающую со своей перспективой: Q’[} = Q0', следовательно, остается
построить перспективу несобственной точки Qoo предметного следа Qh
плоскости Q'. Последовательное построение перспективы предметного
следа показано на чертежах 136—138 (§ 11, черт. 32).
Перспективное изображение плоскости Q', заданной следами, пред-
ставлено на картине (черт. 139).
Пример 21. На проектирующем аппарате представлена плоскость R',
перпендикулярная к предметной и картинной плоскостям (черт. 140).
Построить ее перспективу.
Решение. Последовательное графическое построение представлено
на чертежах 141 —143 (§ 11, черт. 32).
На картине изображена плоскость R, заданная следами (черт. 144).
Пример 22. На проектирующем аппарате представлена плоскость Qr
(черт. 145). Построить ее перспективу.
Решение. Последовательное графическое построение представлено
на чертежах 146—148 (§11, черт. 32).
На картине изображена плоскость Q, заданная следами (черт. 149).
27
§ 24. ПРЕДЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ ПЛОСКОСТИ
На проектирующем аппарате представлена плоскость R' (черт. 150),
Построить перспективу несобственной прямой этой плоскости.
Построение выполнено на чертеже 150 в следующем порядке:
1. Способом, описанным в § 11, 23, построим перспективу следов
плоскости R'.
2. Построим перспективу несобственной прямой плоскости R'. Для
этого проведем в плоскости R' в произвольном направлении прямые
ЛТ^оо и ВТ2оо и построим предельные точки F± и F2 этих прямых. Пря-
мая, соединяющая точки и F2t пройдет и через точку Roq плоскости
7?', так как эта линия является перспективой несобственной прямой плос-
кости R'. Предельная прямая плоскости R' пойдет параллельно картин-
ному следу RK, так как лучи, проведенные из центра проекций для
построения предельных точек F± и F2 прямых Л'Гьо и В2оо, принадлежа-
щих плоскости 7?', проводились параллельно последним (§ И). Образо-
вавшаяся при этом лучевая плоскость параллельна плоскости R', а взаимно
параллельные плоскости пересекаются в проективном пространстве по
несобственной прямой, перспектива которой параллельна картинным сле-
дам этих плоскостей; следовательно, перспектива несобственной прямой
плоскости R' параллельна картинному следу RK.
Пр имечание. Перспективу бесконечно удаленной прямой плос-
кости называют прямой схода или линией схода (или предельной линией)
плоскости R и обозначают Rf.
Вывод. 1. На картине прямая схода плоскости проходит через пре-
дельную точку предметного следа этой плоскости и параллельна картин-
ному следу этой же плоскости:
Rh X Rf ~ Roc, Rf II Rk , Rk X Rh — RQ.
2. Все прямые, принадлежащие данной плоскости, а также и прямые,
параллельные этой плоскости (за исключением фронталей), имеют предель-
ные точки на прямой схода этой плоскости.
На картине изображенная плоскость R представлена следами и пре-
дельной прямой (черт. 151).
ПРИМЕРЫ 23—28
Пример 23. На картине представлены предметный след QH и прямая
схода Qf. Построить картинный след Qk плоскости Q (черт. 152).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 152.
Пример 24. На картине представлены картинный след RK и прямая
схода Rf. Построить предметный след RH плоскости R (черт. 153).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 153.
Пример 25. На картине представлены картинный след RK и пред-
метный след M = tn прямой, принадлежащей плоскости R (черт. 154).
Построить предметный след RH и прямую схода Rf плоскости R.
Решение представлено в графическом виде на чертеже 154.
Пример 26. На картине представлены предельная точка F прямой,
принадлежащей плоскости R, и предметный след RH плоскости R. Пост-
роить картинный след RK и прямую схода Rf плоскости R (черт. 155).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 155.
Пример 27. На картине представлены предельная точка F прямой,
параллельной плоскости Q, и картинный след QK плоскости Q. Построить
прямую схода и предметный след этой плоскости (черт. 156).
28
Решение представлено в графическом виде на чертеже 156.
Пример 28. На картине представлены картинный и предметный следы
прямой, принадлежащей плоскости R, и начальная точка 7?0 плоскости R.
Построить следы и прямую схода этой плоскости (черт. 157).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 157.
ЗАДАЧИ 34-39
34.	Построить предметный след RH и прямую схода Rf плоскости R,
если прямая АВ принадлежит плоскости R (черт. 158).
35.	Построить предметный и картинный следы плоскости Q, если
точка N принадлежит этой плоскости (черт. 159).
36.	Построить предметный след и прямую схода плоскости R
(черт. 160), заданной прямой RK и предельной точкой 7?оо предметного
следа R„ плоскости R.
37.	Построить предметный и картинный следы плоскости Q, если
точка А принадлежит данной плоскости Q (черт. 161).
38.	Построить предметный след Тн и прямую схода плоскости Т,
если точка М принадлежит данной плоскости Т (черт. 162).
39.	Плоскость R задана тремя точками 7V, 7И и R^. Построить
следы и прямую схода заданной плоскости R (черт. 163).
§ 25.	ХАРАКТЕРНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО
ПРЕДМЕТНОЙ И КАРТИННОЙ ПЛОСКОСТЕЙ
1.	Плоскости, параллельные плоскости картины. Плоскости, парал-
лельные картинной плоскости, называются фронтальными. Их можно
отождествить с картинной плоскостью К, передвинутой параллельно самой
себе в предметном пространстве в сторону удаления от картины. На кар-
тине такие плоскости имеют лишь предметные следы, параллельные осно-
ванию картины. Прямых схода фронтальные плоскости не имеют
(черт. 164).
2.	Плоскости, параллельные предметной плоскости. Плоскости, парал-
лельные предметной плоскости, называются горизонтальными. Их можно
отождествить с предметной плоскостью Н, поднятой параллельно самой
себе вверх. На картине такие плоскости изображаются картинными сле-
дами, параллельными к основанию картины. Прямой схода таких плоско-
стей будет линия горизонта (черт. 165).
3.	Плоскости, перпендикулярные к предметной и картинной пло-
скостям. Плоскости, перпендикулярные к предметной и картинной пло-
скостям, называются профильными. Картинные следы таких плоскостей
перпендикулярны к основанию картины; предметные следы идут в глав-
ную точку Р картины R. Прямой схода таких плоскостей будет прямая
главного вертикала (черт. 166).
Профильная плоскость, проходящая через точку зрения, называется
главной плоскостью (или плоскостью главного вертикала; § 3—4,
черт. 167).
4.	Плоскости, перпендикулярные к предметной плоскости и наклонен-
ные к картине. Плоскости, перпендикулярные к предметной плоскости,
наклоненные к картинной плоскости и проходящие через точку зрения,
называются проектирующими.
На картине проектирующие плоскости вырождаются в прямую линию
(черт. 168), перпендикулярную к основанию картины. Картинный след
RK, предметный след RH и прямая схода Rf плоскости R сливаются
29
в одну линию. Картинный след RK и прямая схода могут быть неогра-
ниченно продолжены в обе стороны (вниз и вверх), тогда как пред-
метный след RH плоскости R всегда ограничен основанием картины
и линией горизонта.
Плоскости, перпендикулярные к предметной плоскости и наклонен-
ные к картине, но не проходящие через точку зрения, на картине имеют
иное расположение (черт. 169); предметный след RH у таких плоскостей
может занимать разные положения, картинный след RK и линия схода
Rf перпендикулярны к основанию картины.
5.	Лучевые плоскости. Плоскость, проходящая через проектирующие
лучи, называется лучевой. На картине следы лучевой плоскости могут
занимать любое положение (черт. 170).
6.	Плоскости, перпендикулярные к картинной плоскости и наклонен-
ные к предметной плоскости. Предметные следы таких плоскостей схо-
дятся к главной точке. Прямая схода и картинный след могут занимать
разные положения (черт. 171). У плоскостей, проходящих через точку
зрения, прямая схода, предметный и картинный следы сливаются в одну
линию, проходящую через главную точку картины (черт. 172).
7.	Восходящие плоскости. Плоскости, точки которых при любом на-
правлении от картины удаляются от предметной плоскости, называются
восходящими (черт. 173).
Линия схода, картинный и предметный следы восходящей плоскости
параллельны основанию картины. Предметный след расположен ниже
линии горизонта, картинный след располагается ниже предметного следа,
линия схода — над линией горизонта (иногда линию схода восходящей
плоскости ошибочно считают за вторую линию горизонта).
8.	Нисходящие плоскости. Плоскости, точки которых при любом
направлении от картины, приближаются к предметной плоскости, назы-
ваются нисходящими (черт. 174).
Линия схода, картинный и предметный следы параллельны основанию
картины. Картинный след плоскости может быть расположен ниже и вы-
ше предметного следа плоскости, предметный след — ниже линии гори-
зонта, линия схода плоскости всегда расположена под линией горизонта
(иногда эту линию ошибочно считают за дополнительный горизонт).
9.	Плоскости общего положения. Плоскость, не перпендикулярную
к предметной и картинной плоскостям, но имеющую начальную точку,
называют плоскостью общего положения. Картинный след RK и предель-
ная прямая Rj такой плоскости не перпендикулярны к основанию кар-
тины и могут быть неограниченно продолжены в обе стороны. Предмет-
ный же след RH плоскости R всегда ограничен основанием картины
и линией горизонта (черт. 175).
§ 26.	ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ
1.	Если прямая проходит через точку, принадлежащую плоскости,,
и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости, то такая прямая
принадлежит данной плоскости.
2.	Если прямая проходит через две точки, принадлежащие плоскости^
то прямая принадлежит данной плоскости.
3.	Точка, лежащая на прямой, принадлежащей плоскости, принад-
лежит этой же плоскости.
Согласно второму положению прямая принадлежит плоскости, если
она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости. Отсюда
сделаем вывод:
30
Если следы прямой находятся на соответствующих следах плоскости,
то прямая принадлежит плоскости, и, наоборот, если следы плоскости
проходят через соответствующие следы прямой, то и плоскость проходит
через эту прямую.
ПРИМЕРЫ 29-38
«г
Пример 29. На картине представлена плоскость Q (черт. 176). Тре-
буется построить точку в плоскости и через нее провести прямую, при-
надлежащую этой плоскости.
Решение. На следах плоскости Q берем две точки N и М (следы
прямой). Через эти точки проведем прямую; прямая NM будет принадле-
жать плоскости, так как ее следы находятся на следах плоскости. Сог-
ласно третьему положению точка, лежащая на прямой, принадлежащей
плоскости, будет лежать в данной плоскости; основываясь на этом, на
прямой NM берем произвольную точку А и проводим через нее искомую
прямую, параллельную прямой QK. Согласно первому положению (прямая,
проходящая через точку, принадлежащую плоскости, параллельная другой
прямой, находящейся в этой же плоскости, будет принадлежать данной
плоскости) прямая, проходящая через точку А и параллельная QK, при-
надлежит плоскости Q.
Пример 30. На картине представлена плоскость R (черт. 177).
Требуется построить две точки в плоскости и через них провести
прямую.
Решение. Графическое решение представлено на чертеже 177; оно
основано на третьем и втором положениях о прямой и точке в плоскости.
Пример 31. В плоскости, определяемой треугольником АВС, построить
перспективу точки К, если дано ее основание k (черт. 178).
Решение. Через основание k точки К проведем прямую до пересе-
чения с основаниями сторон треугольника в точках end. Вертикальные
прямые, проведенные через точки е, d, отметят на сторонах треугольника,
точки Е и D. Прямая ED на линии связи отметит искомую точку К
(черт. 178).
Пример 32. Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми
АВ и CD (черт. 179). Прямая принадлежит этой плоскости. Пост-
роить ее основание.
Решение. Графическое построение представлено на чертеже 179'
(§ 21, черт. 117).
Пример 33. Прямая АВ принадлежит плоскости, определяемой ее
следами R% и RH (черт. 180). Определить основание ab прямой АВ и пост-
роить линию схода R? плоскости R.
Решение. Строим предметный и картинный след М и N прямой;
АВ. Через основание этих следов проводим прямую тп. Перпендикуляры,
опущенные из концов отрезка АВ, отметят на прямой тп точки а и Ь,
т. е. основание ab отрезка АВ. Строим предельную точку F прямой АВ.
Искомая линия схода R; плоскости R пройдет параллельно прямой RK
через точку F.
Пример 34. Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС
и дана прямая ED, лежащая в этой плоскости (черт. 181). Построить
основание ed прямой ED.
Решение представлено в графическом виде на чертеже 181.
Пример 35. Плоскость задана тремя точками А, В, С и представлена
точка К (черт. 182). Лежит ли точка К в этой плоскости?
Решение представлено в графическом виде на чертеже 182. Из пост-
роения видно, что точка К не лежит в заданной плоскости.
31
Пример 36. Построить в плоскости треугольника АВС, представлен-
ного на картине, произвольную точку К (черт. 183).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 183.
Пример 37. На чертеже 184 плоскость задана следами QK и Qrt.
Построить линию схода Qf плоскости Q.
Решение. В плоскости Q берем произвольную прямую NM и
строим ее точку схода F. Через точку F проводим искомую прямую Qz
параллельно картинному следу Qz<.
Пример 38. В плоскости R, определяемой ее следами RK и RH
(черт. 185), построить перспективу точки А, принадлежащей этой пло-
скости, если дано ее основание а.
Решение. Через основание а точки А проведем вспомогательную
плоскость Т. На линии пересечения плоскостей Т и R вертикальная пря-
мая из основания а отметит искомую точку А.
ЗАДАЧИ 40-51
40.	Определяют ли прямые АВ и СЕ (черт. 186) положение пло-
скости?
41.	Плоскость задана прямыми Л В и ВС (черт. 187). Принадлежит ли
точка К заданной плоскости?
42.	В плоскости, определяемой точками Л, F, В, построить перспек-
тиву точки К, если дано ее основание k (черт. 188).
43.	В плоскости, заданной параллельными прямыми, представлена
точка К, принадлежащая этой плоскости (черт. 189). Построить основание
этой точки.
44.	Плоскость задана прямыми ЛВ и BF (черт. 190). Принадлежит ли
точка К заданной плоскости?
45.	В плоскости, определяемой точками Л, Flt F2 (черт. 191), пост-
роить перспективу точки В, принадлежащей этой плоскости, если дано
ее основание Ь.
46.	Представлена фигура четырехугольника ABCD (черт. 192). Лежат ли
эти вершины в одной плоскости?
47.	Представлена плоская фигура ABCD (черт. 193) и основание
двух ее смежных сторон ab и ad. Построить основание с вершины С.
48.	По заданной перспективе точки Л (черт. 194), принадлежащей
плоскости Q, построить перспективу ее основания.
49.	По заданной перспективе основания а точки Л (черт. 195) пост-
роить изображение точки Л, принадлежащей заданной плоскости R.
50.	По заданной перспективе основания ab (черт. 196) построить
перспективное изображение отрезка ЛВ, принадлежащего плоскости Т.
51.	Принадлежит ли точка Л (черт. 197) заданной плоскости R?
§ 27.	ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ
1.	Горизонтали плоскости. Горизонталью плоскости называют прямую,
лежащую в ней и параллельную предметной плоскости Н.
Горизонтали плоскости и основания горизонталей параллельны пред-
метному следу этой же плоскости (черт. 198).
На картине горизонтали плоскости и их основания сходятся на ли-
нии горизонта в предельной точке R^ предметного следа RH плоскости R.
Горизонтали имеют картинные следы на картинном следе R& пло-
скости R. Предметного следа горизонтали не имеют, так как они парал-
лельны предметной плоскости Н.
.32
2.	Фронтали плоскости. Фронталъю плоскости называют прямую,
лежащую в ней и параллельную картинной плоскости /С.
Фронтали плоскости (см. черт. 204—206) на картине расположены
параллельно картинному следу и линии схода плоскости. Основания фрон-
талей параллельны основанию картины. Предметные следы фронталей
плоскости располагаются на предметном следе этой же плоскости. Кар-
тинных следов и точек схода фронтали не имеют, так как они парал-
лельны картинной плоскости.
3.	Линии наибольшего ската плоскости. Линией наибольшего ската
плоскости называют прямую, лежащую в ней и перпендикулярную к пред-
метному следу этой плоскости (в том числе и к ее горизонталям).
При помощи линии наибольшего ската удобно определять угол на-
клона плоскости к предметной плоскости Н.
ПРИМЕРЫ 39-47
Пример 39. В плоскости R дана точка А (см. черт. 198). Построить
при помощи горизонтали основание а точки А.
Решение. Через точку А проведем в плоскости R горизонталь,
прямую Д7?ос. Эта горизонталь отметит на прямой RK картинный след
горизонтали — точку N. При помощи линии связи на основании картины
построим основание п точки 2V. Вертикальная прямая из точки А на осно-
вании горизонтали прямой Roon отметит искомую точку а — основание
точки А.
Пример 40. В плоскости Q дана точка А (черт. 199). Построить осно-
вание а точки А, провести горизонталь через точку А и построить ее
след.
Решение представлено на чертеже 199.
Пример 41. В плоскости Т дана точка А (черт. 200). Построить осно-
вание а точки А и через точку А провести горизонталь.
Решение представлено на чертеже 200.
Пример 42. В плоскости R дана точка А (черт. 201). Построить пре-
дельную линию Rf плоскости R и провести горизонталь через точку А.
Решение представлено на чертеже 201.
Пример 43. В плоскости Q, определяемой следами и Q* (черт. 202),
построить точку А и предельную прямую Qf.
Решение представлено на чертеже 202.
Пример 44. В плоскости R дана точка А (черт. 203). Построить осно-
вание а точки Л, предельную прямую Rf плоскости R и через точку А
провести горизонталь.
Решение представлено на чертеже 203.
Пример 45. В плоскости, определяемой треугольником АВС (черт. 204),
провести через вершину А фронталь, а через вершину В — горизонталь.
Решение представлено на чертеже 204.
Пример 46. В плоскости, определяемой треугольником АВС, провести
фронталь через вершину А (черт. 205).
Решение представлено на чертеже 205.
Пример 47. Через точку А, лежащую в плоскости R, провести фрон-
таль и горизонталь (черт. 206).
Решение представлено на чертеже 206.
ЗАДАЧИ 52-54
52.	Через точку Л, лежащую в плоскости, определяемой пересекаю-
щимися прямыми АВ и СЕ, провести фронталь (черт. 207).
3 Заказ № 12
33
53.	Плоскость задана параллельными прямыми AF и BF (черт. 208).
Через точку К, лежащую в ней, провести фронталь и горизонталь.
54.	Через точку Л, лежащую в плоскости 7?, провести фронталь и
горизонталь (черт. 209).
§ 28. ПОСТРОЕНИЕ СЛЕДОВ И ПРЕДЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ ПЛОСКОСТИ
ПРИМЕРЫ 48—49
Пример 48. Построить следы и линию схода плоскости, определяе-
мой вертикальными прямыми АВ и СЕ (черт. 210).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 210.
Пример 49. Плоскость R задана треугольником АВС (черт. 211).
Построить следы и линию схода этой плоскости.
Решение представлено в графическом виде на чертеже 211.
ЗАДАЧИ 55—58
55.	Плоскость задана отрезком АВ и точкой М (черт. 212). Пост-
роить следы и линию схода этой плоскости.
56.	Плоскость задана тремя точками Л, М и N (черт. 213). Пост-
роить следы и линию схода этой плоскости.
57.	Плоскость задана пересекающимися прямыми АК и ВК (черт. 214).
Построить следы и линию схода этой плоскости.
58.	Плоскость задана параллельными прямыми AF и BF (черт. 215).
Построить следы и линию схода этой плоскости.
§ 29.	ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ,
ЗАДАННЫХ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ И СЛЕДАМИ
ПРИМЕРЫ 50—51
Пример 50. Плоскости заданы прямыми R^t RH и (черт. 216).
Построить прямую пересечения этих плоскостей.
Решение представлено в графическом виде на чертеже 216.
Пример 51. Плоскость Г задана прямой Tj и точкой То, плоскость R—
прямой Rf и точкой Rq (черт. 217). Построить прямую пересечения этих
плоскостей.
Решение представлено в графическом виде на чертеже 217.
ЗАДАЧИ 59—62
59.	Плоскости заданы прямыми RK, RH и QK, (черт. 218). Пост-
роить прямую пересечения этих плоскостей.
60.	Плоскость Q задана прямой QK и точкой плоскость R — пря-
мой Rf и точкой Rq (черт. 219). Построить прямую пересечения этих
плоскостей.
61.	Плоскость Q задана прямой Qf и точкой Qo, плоскость R — пря-
мой Rf и точкой Rq (черт. 220). Построить прямую пересечения этих
плоскостей.
62.	Плоскости заданы прямыми RKl RH и Qf (черт. 221). Пост-
роить прямую пересечения этих плоскостей.
34
§ 30. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ,
ЗАДАННЫХ ТОЧКАМИ ИЛИ ПРЯМЫМИ
ПРИМЕРЫ 52—53
Пример 52. Плоскость R задана параллельными прямыми A±F и Л2Л
плоскость Q — пересекающимися прямыми ErE X ВгВ = Е2 (черт. 222).
Построить прямую пересечения этих плоскостей.
Решение. Строим следы и предельные прямые заданных плоскостей
R и Q. Находим точки пересечения прямых этих плоскостей: X Qk == АГ,
RK X QH = М, RfXQj = Fi- Искомая прямая должна проходить через
найденные точки TV, М и F^
Пример 53. Плоскость Q задана вертикальными прямыми АА± и ВВ1У
плоскость R— пересекающимися прямыми СгС2 и С2С3 (черт. 223). Пост-
роить прямую пересечения этих плоскостей.
Решение представлено в графическим виде на чертеже 223.
ЗАДАЧИ 63-65
63.	Плоскость R задана треугольником B-J^B^ плоскость Q — точ-
кой Л3 и прямой ЛгЛ2 (черт. 224). Построить прямую пересечения этих
плоскостей.
64.	Плоскость R задана пересекающимися прямыми BrB2 и B2Fy
плоскость Q — треугольником ЛХЛ2Л3 (черт. 225). Построить линию пере-
сечения этих плоскостей.
65.	Плоскости заданы пересекающимися прямыми СХС2 X С3С2 = С2
икЛхЛ2 X В±В2 = R (черт. 226). Построить линию пересечения этих пло-
состей.
§ 31.	ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Всякая прямая, принадлежащая данной плоскости, имеет единствен-
ную несобственную точку. Параллельные прямые имеют общую несобст-
венную точку. Совокупность несобственных точек плоскости дает несобст-
венную прямую этой плоскости. Но так как у параллельных плоскостей
имеются соответственно параллельные прямые, то их несобственные точки
будут общими, следовательно, параллельные плоскости имеют общую
несобственную прямую. Приходим к выводу, что в перспективе у парал-
лельных плоскостей прямая схода будет общей, т. е. на картине парал-
лельные плоскости пересекаются по обыкновенной (или собственной) пря-
мой.
ПРИМЕРЫ 54—55
Пример 54. Через точку А провести плоскость Q, параллельную пло-
скости R (черт. 227).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 228.
Пример 55. Через точку N провести плоскость R параллельно пло-
скости Q, определяемой параллельными прямыми AF и BF (черт. 229).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 230.
ЗАДАЧИ 66-79
В задачах 66—79 искомую плоскость представить следами и линией
схода.
66.	Через точку А провести плоскость R параллельно плоскости Q
(черт. 231).
3*
35
67. Через точку А провести плоскость 7? пареллельно плоскости Q
(черт. 232).
68.	Через точку Е провести плоскость R параллельно плоскости,
определяемой пересекающимися прямыми АВ и АС (черт. 233).
69.	Через точку N провести плоскость Q параллельно плоскости R
(черт. 234).
70.	Через точку Е провести плоскость R параллельно плоскости,
определяемой точкой А и прямой ВС (черт. 235).
71.	Через точку М провести плоскость Q параллельно плоскости R,
заданной точкой N и предельной прямой Rf (черт. 236).
72.	Через точку С провести плоскость 7? параллельно плоскости Q,
заданной точками А, В, Е (черт. 237).
73.	Через точку А провести плоскость R параллельно предметной
плоскости Н (черт. 238).
74.	Через точку А провести плоскость R параллельно плоскости
главного вертикала (черт. 239).
75.	Через точку А провести плоскость Q параллельно плоскости R
(черт. 240).
76.	Через точку А провести плоскость Q параллельно плоскости R
(черт. 241).
77.	Через точку А провести плоскость Q параллельно плоскости R
(черт. 242).
78.	Построить картинный след R% плоскости R и через точку А
провести плоскость Q параллельно плоскости R (черт. 243).
79.	Построить предметный след QH и прямую схода Qf плоскости Q,
если плоскость Q параллельна заданной плоскости R (черт. 244).
§ 32. ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Для того чтобы через данную точку провести плоскость, перпенди-
кулярную к данной плоскости, надо из какой-либо точки пространства
опустить перпендикуляр на данную плоскость и через этот перпендику-
ляр и данную точку провести искомую плоскость.
Все прямые, перпендикулярные к данной плоскости, образуют семейст-
во параллельных прямых. Следовательно, эти параллельные прямые пере-
секаются в проективном пространстве в несобственной точке Foo- А отсю-
да следует, что искомой точкой схода будет перспектива F несобственной
точки Foo пучка параллельных прямых, т. е. той точкой схода, в которую
должны сходиться перспективы прямых пространства, перпендикулярных
к заданной плоскости.
Займемся построением этой точки схода. Возьмем на проектирующем
аппарате в предметном пространстве плоскость общего положения Q' и
точку А' вне этой плоскости (черт. 245). Опустим из точки А' перпен-
дикуляр A'Foo на плоскость Q' и через этот перпендикуляр проведем
плоскость 7?'; очевидно, плоскости R' и Q' будут взаимно перпендику-
лярны. Несобственная точка Foo прямой A'Foo будет теперь находиться на
несобственной прямой Rf плоскости 7?', так как плоскость R' проходит
через перпендикуляр A'Foo.
Остается выяснить, как изобразится на картинной плоскости прямо-
угольная проекция луча SFoo, идущего параллельно прямым, перпенди-
кулярным плоскости Q' (§ 11). Из чертежа 245 видно, что прямоуголь-
ная проекция точки S на плоскость картины совпадает с точкой Р, т. е.
S = Р, а прямоугольная проекция луча SF^ на ту же плоскость будет
36
перпендикулярна (по свойству прямой, перпендикулярной плоскости) пре-
дельной прямой Qy, картинному следу и всем фронталям этой пло-
скости Q'. Следовательно, прямоугольная проекция прямой SF'qq на кар-
тинной плоскости проходит через точку Р и перпендикулярна к предель-
ной прямой Qy, картинному следу QK и к перспективам фронталей пло-
скости Q.
Вывод 1. На картине точка схода F для всех прямых, перпенди-
кулярных плоскости Q, находится на пересечении двух прямых: прямой
Rf плоскости /?, проходящей через перпендикуляр плоскости Q, и прямой,
проходящей через точку Р и перпендикулярной к прямой плоскости Q.
2. Всякая плоскость, проходящая через перпендикуляр к другой пло-
скости, перпендикулярна этой плоскости.
3. Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна к двум
прямым, определяющим эту плоскость.
На чертеже 246 показано построение основания перпендикуляра, опу-
щен ного из заданной точки А на данную плоскость Q.
Графическое построение выполнено в следующем порядке:
1. Через точку А проведем вспомогательную плоскость R перпенди-
кулярно плоскости Q. Для этого строим предельную точку R^ пло-
скости R. Через основание а точки А и точку R^ проведем прямую RH.
Прямые 7?у и 7?^ будут перпендикулярны к основанию картины, так как
плоскость R перпендикулярна плоскости Н,
2. Строим точку схода F для всех перспектив прямых, перпендику-
лярных к плоскости Q. Прямая, проведенная через точку Р перпендику-
лярно к прямой Qk, отметит искомую точку F на прямой Rf. Прямая AF
перпендикулярна плоскости Q. На линии пересечения плоскостей Q и R
получим основание перпендикуляра — точку С. Плоскость Г, изображенная
на картине, перпендикулярна плоскости Q, так как ее следы проходят
через соответствующие следы искомого перпендикуляра.
ПРИМЕРЫ 58—34
Пример 56. Через точку А и начальную точку То плоскости Т про-
вести плоскость перпендикулярно к плоскости Q (черт. 247).
Решение представлено на чертеже 247 (§ 32, черт. 246).
Пример 57. Из точек В4 и В2 опустить перпендикуляры на прямо-
угольную пластинку Д1Д2Д3Д4 (черт. 248).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 248.
Пример 58. Из точек А± и Д2 опустить перпендикуляры на прямо-
угольную пластинку В1В2В3В4 (черт. 249).
Решение представлено на чертеже 249.
Пример 59. Из точек Аг и Д2 опустить перпендикуляры на прямо-
угольную пластинку В1В2В3В4 (черт. 250).
Решение представлено на чертеже 250.
Пример 60. Из точек А и Д4 опустить перпендикуляры на плоскость,
определяемую гранью BrB2B3B^ призмы. Основание ВХВ4В5 расположено
параллельно картинной плоскости (черт. 251).
Решение представлено на чертеже 251.
Пример 61. Из точек Д4 и Д2 опустить перпендикуляры на пло-
скость, определяемую гранью B±B2B3B^ призмы (черт. 252).
Решение представлено на чертеже 252.
Пример 62. Из точек Д4 и Д2 опустить перпендикуляры на прямо-
угольную пластинку ВХВ2В3В4, плоскость которой наклонна к предметной
и картинной плоскостям (черт. 253).
37
Решение представлено на чертеже 253.
Пример 63. Построить прямоугольную проекцию отрезка АгА2 на
плоскость, определяемую треугольником В^Вз (черт. 254).
Решение представлено на чертеже 255.
Пример 64. Через точку В и начальную точку 7?0 провести пло-
скость R перпендикулярно плоскости Q, заданной треугольником А^Аз
(черт. 256). Решение представлено на чертеже 257.
ЗАДАЧИ 80-91
80.	Построить точку схода F для всех прямых, перпендикулярных
к заданной плоскости Q (черт. 258).
81.	Построить точку схода F для всех прямых, перпендикулярных
к заданной плоскости Q (черт. 259).
82.	Построить точку схода F для всех прямых, перпендикулярных
к заданной плоскости R (черт. 260).
83.	Построить точку схода F цля всех прямых, перпендикулярных
к плоскости Q (черт. 261).
84.	Построить точку схода F для всех прямых, перпендикулярных
к плоскости, заданной треугольником А^Аз (черт. 262).
85.	Построить точку схода Fr для всех прямых, перпендикулярных
к плоскости, заданной параллельными прямыми ArF и A2F (черт. 263).
В задачах 86—91 (чертежи 264—269) требуется из заданной точки А
опустить перпендикуляр на заданную прямоугольную пластинку В±В2В3В^
и определить его основание.
§	33. ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Если прямая пространства параллельна прямой, лежащей в плоскости,
то она параллельна этой плоскости. Но так как параллельные прямые
имеют общую предельную точку, то, следовательно, у всех прямых, па-
раллельных данной плоскости, предельные точки находятся на прямой
схода этой плоскости.
Вывод. Для того чтобы провести прямую через данную точку
параллельно данной плоскости, достаточно соединить прямой данную
точку с любой точкой на линии схода этой плоскости; построенная пря-
мая будет параллельна данной плоскости. Следовательно, через точку
пространства можно провести сколько угодно прямых, параллельных дан-
ной плоскости.
ПРИМЕРЫ 65-70
Пример 65. Через точку А провести прямую, параллельную пло-
скости Q (черт. 270).
Решение. Искомая прямая может проходить через любую точку
.линии схода Qy плоскости Q. Соединим прямой линией точку А с произ-
вольно выбранной точкой F на линии схода Qy. Прямая AF и является
искомой прямой.
Решение представлено в графическом виде на чертеже 270.
Пример 66. Через точку А провести прямую параллельно плоскости,
заданной параллельными прямыми B±F и B2F (черт. 271).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 271.
Пример 67. Через точку А провести прямую параллельно плоскости,
заданной треугольником ВхВ2^з (черт. 272).
38
Решение. Искомая прямая должна иметь предельную точку на
прямой схода плоскости, определяемой треугольником	Графиче-
ское построение прямой схода Rf плоскости R на картине выполнено
в следующем порядке (черт. 272).
1.	Строим предметные следы Мг и М2 прямых ВгВ2 и В2В3.
2.	Через точки Л4г и ТИ2 проводим предметный след RH плоскости R,
продолжая его до линии горизонта hh, и получим предельную точку R^
предметного следа RH.
3.	Через точку Вх проводим вспомогательную фронтальную пло-
скость Г; линия пересечения М±Е плоскостей Т и R является фроиталью
плоскости R.
4.	Из предельной точки /?оо проводим прямую схода Rf параллельно
фронтали M-JB.
5.	Точку А соединяем прямой с произвольно выбранной точкой F на
прямой схода Rf плоскости R. Прямая AF искомая.
Пример 68. Через точку А провести пересекающиеся прямые, парал-
лельные плоскости R.
Решение представлено на чертеже 273.
Пример 69. Через точки А и В провести параллельные прямые парал-
лельно плоскости Q.
Решение представлено на чертеже 274.
Пример 70. Через точку А провести прямую параллельно двум плос-
костям: заданной пересекающимися прямыми ВГВ3 и В2В^ и предметной
плоскости Н (черт. 275).
Решение. Так как искомая прямая должна быть параллельна пред-
метной и заданной плоскостям, то, очевидно, ее предельная точка должна
быть на пересечении линий схода обеих плоскостей: на линии горизонта hh
и линии схода плоскости, заданной пересекающимися прямыми.
1.	Строим предельные точки Ft и F2 заданных прямых B±B3 и В2В4.
2.	Через предельные точки Fr и F2 проведем линию схода R? пло-
скости R до пересечения с линией горизонта hh в точке R^ = F.
3.	Соединяем прямой точку А с точкой F. Прямая AF искомая.
Задачи 92—97.
92.	Через точку Л провести прямые: 1) параллельно плоскостям R и Н\
2) восходящую и нисходящую параллельно плоскости R (черт. 276).
93.	Через точки А и В провести параллельные прямые параллельно
плоскости R (черт. 277).
94.	Через точку В провести нисходящую прямую параллельно плоскости
треугольника А]А2А3 и через эту прямую провести плоскость R параллельно
плоскости треугольника (черт. 278).
95.	Через точку В провести пересекающиеся прямые параллельно
плоскости, определяемой параллельными прямыми (черт. 279).
96.	В плоскости Q построить точки А и В по заданным их основа-
ниям а и b и через построенные точки 4 и В в плоскости Q провести
восходящие параллельные прямые (черт. 280).
97.	Через точку А провести прямую, параллельную плоскостям R
и Q (черт. 281).
Вопросы к главе IV
1.	Как задается плоскость на картине?
2.	Что такое следы плоскости и как они обозначаются на картине?
3.	Что такое линия схода плоскости?
39
4.	Как на картине взаимно расположены картинный след и линия
схода любой заданной плоскости?
5.	Изобразите на картине две плоскости R и Q, занимающие в про-
странстве следующие положения:
a)	R и Q перпендикулярны плоскостям Н и К;
б)	R и Q параллельны плоскости К;
в)	R и Q параллельны плоскости Н\
г)	R и Q общего положения и взаимно перпендикулярны друг другу;
д)	R	и	Q	перпендикулярны	плоскости Н и проходят через	точку S;
е)	R	и	Q	перпендикулярны	плоскости Н и не проходят через	точку S;
ж)	R	и	Q	перпендикулярны	плоскости К и проходят через	точку S;
з)	R	и	Q	перпендикулярны	плоскости К и не проходят через	точку S;
и)	R	и	Q	восходящего	положения,	Q || R;
к)	R	и	Q	восходящего	положения,	QX R;
л)	R	и	Q	нисходящего	положения,	Q || R;
м) R	и	Q	нисходящего	положения,	Q X R;
н) R и Q общего положения, R X Q и не перпендикулярны.
6.	Как на картине доказать, что точка принадлежит заданной пло-
скости?
7.	Что такое предельная точка предметного следа плоскости и как
она обозначается?
8.	Как располагаются на картине фронтали и горизонтали заданной
плоскости?
9.	Как строится прямая пересечения перспектив плоскостей?
10.	Как провести перспективу прямой через заданную точку парал-
лельно заданной плоскости?
И. Как провести перспективу прямой параллельно двум заданным
плоскостям?
12.	Как построить плоскость на картине, перпендикулярную заданной
плоскости?.
13.	Как располагается перспектива прямых, перпендикулярных к пло-
скости общего положения?
14.	Как построить точку схода для перспектив прямых, перпендику-
лярных к плоскости восходящего или нисходящего положения, при недо-
ступной линии схода заданных плоскостей?
ГЛАВА V
СОВМЕЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОБЪЕКТА С КАРТИНОЙ
§ 34.	ОСНОВЫ СПОСОБА ВРАЩЕНИЯ
При способе вращения рассматривают следующие элементы: 1. Ось
вращения. 2. Плоскость вращения. 3. Центр вращения. 4. Радиус враще-
ния (черт. 282).
1.	Ось вращения. Неподвижную прямую, вокруг которой происходит
вращение, называют осью вращения.
2.	Плоскость вращения. Точка при своем вращении вокруг некоторой
неподвижной оси вращения перемещается в плоскости, перпендикулярной
к оси вращения; такую плоскость называют плоскостью вращения.
40
3.	Центр вращений. Перемещение точки в плоскости вращения вокруг-
оси вращения происходит по окружности, центр которой находится в точке
пересечения оси вращения с плоскостью вращения; эту точку и называют
центром вращения.
4.	Радиус вращения. Расстояние от центра вращения до вращаемой
точки называют радиусом вращения этой точки.
Каждая точка вращаемой фигуры имеет свой центр вращения на оси
вращения, свою плоскость вращения и свой радиус вращения. Две точки
разных уровней имеют разные плоскости вращения. Совокупность всех
точек, занимаемых вращаемой плоской линией, называют поверхностью
вращения (или телом вращения). Если точка при своем вращении нахо-
дится на оси вращения, то ее центр вращения, радиус вращения (вырож-
дается в точку) и вращаемая точка совпадают, следовательно, при таком,
положении точка остается неподвижной, так как ось вращения неподвижна.
§ 35.	ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА СОВМЕЩЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ
ПРИМЕРЫ 71-72
Пример 71. На картине в предметной плоскости Н представлен отре-
зок АВ, предельная точка которого находится за пределами чертежа
(черт. 283). Построить натуральную величину отрезка АВ и определить
угол его наклона к картине.
Решение. На картине (черт.283) через точку А проведем прямые РА
и D2A. Примем основание картины за ось вращения и будем вращать пред-
метную плоскость Н вокруг этой оси до совмещения ее с нижней частью
картины. В совмещенном положении предметная плоскость Н займет фрон-
тальное положение, и потому изображённые на ней углы наклона линий
и расстояния между точками изобразятся без искажений.
Следовательно, прямые PAQ и £)2Л0 в совмещенном положении должны
соответствовать их действительному размещению в предметной плоскости
т. е. прямая РЛ0 в точке Ао должна быть перпендикулярной к основанию
картины, а прямая D2 А0 в точке Л° должна составлять угол в 45° с осно-
ванием картины и соответственно направлена. Совмещенное положение А?
точки А найдется как результат пересечения этих прямых. Построение
точки В" аналогично построению точки А". При продолжении отрезков АВ
и А"В" до пересечения с основанием картины они должны сойтись в точ-
ке Лр. Отрезок А"В" и угол а" являются искомыми.
Пример 72. На картине представлено совмещенное положение точки Л"
с картинной плоскостью К (черт. 284). Построить перспективу А точки А".
Решение. Для решения этой задачи требуется произвести построе-
ние, обратное построению предыдущей задачи (§ 35, черт. 283).
Через заданную точку Л" проведем прямую Л" Ло перпендикулярно *
к основанию картины, прямую Л"Л° — под углом 45°. Перспективу А точ-
ки Л" найдем как результат пересечения перспектив этих линий.
§ 36.	ПЕРСПЕКТИВНОЕ СООТВЕТСТВИЕ ПЛОСКОСТИ ОБЪЕКТА
С КАРТИННОЙ ПЛОСКОСТЬЮ. ГОМОЛОГИЯ
В изложенных ниже примерах в элементарной форме рассмотрены не-
которые вопросы геометрической теории проекций, знание которых необ-
ходимо для лучшего понимания построения изображений.
4L
ПРИМЕРЫ 73—87
Пример 73. На проектирующем аппарате в предметной плоскости
представлен треугольник Л'В'С' (черт. 285). Построить его перспективу
и определить натуральную величину.
Решение. Способом, описанным в § 8, спроектируем точки Л', В'
и С' предметной плоскости Н на картинную плоскость К. Проведенные
проектирующие лучи из центра проекций S через точки Л',В' и С' обра-
зуют лучевые плоскости SA'C', SB'C' и SA'B'. Эти плоскости пересе-
кают картинную плоскость по прямым АВ, АС и ВС. Из чертежа 285
можно заметить, что каждой точке (вершине) Л' одного треугольника соот-
ветствует точка (вершина) Л второго и что каждому отрезку прямой ли-
нии (стороне) А'В' одного треугольника соответствует отрезок (сторона) АВ
второго. Между треугольниками Л'В'С' (оригиналом) на предметной пло-
скости Н и треугольником ЛВС (изображением) на картинной плоскости К
установилось соответствие. Такое соответствие называют перспективным:
центральная проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие
между точечными полями предметной и картинной плоскостей.
Вывод. При данном соответствии каждой точке предметной пло-
скости соответствует точка на картинной плоскости и каждой прямой пред-
метной плоскости соответствует прямая на картинной плоскости. Такое
соответствие называют перспективной коллинеацией.
Изложенное выше запишем символически так:
А' — Л, В' ~ В, С' ~ С; А'В' - АВ, А'С' - АС, В'С'^ ВС; А'В'С' АВС,
Примечание. Треугольники Л'В'С' и ЛВС при таком соответствии
называются перспективными.
Исследуя перспективные треугольники Л'В'С' и ЛВС, заметим, что
проектирующие (лучевые) плоскости SA'B', SA'C' и SB'C', в которых ле-
жат пары соответственных сторон этих треугольников, пересекают осно-
вание картины в трех точках Ло> Во и Со; следовательно, и соответствую-
щие пары соответственных сторон пересекаются в этих же точках. Запи-
шем это символически так:
А'В' ХАВ = Во, А'С' ХАС = Ло, В'С' X ВС = Со.
«Это положение известно в геометрии под названием теоремы Дезарга
(Desargues):
Если два треугольника Л'В'С' и ЛВС расположены в пространстве
так, что прямые, соединяющие соответственные вершины, пересекаются
в одной точке S, то:
1) три пары соответственных сторон треугольника пересекаются в трех
точках Ло, Во, Со и
2) эти три точки лежат на одной прямой» х.
В данном случае такой прямой является основание kk картины К.
Будем вращать предметную плоскость Н вокруг основания kk кар-
тины до совмещения ее с нижней частью картины К. В совмещенном по-
ложении предметная плоскость Н займет новое (фронтальное) положение,
и потому изображенный на ней треугольник Л"В"С" изобразится без иска-
жения, точки Ло, BQ, Со останутся на основании картины (оси вращения),
а треугольники А"В"С" и ЛВС окажутся в одной плоскости, разделяемой
основанием картины (осью вращения) на картинную и совмещенную пред-
метную плоскости.
1 Н. Ф. Четверухин, Изображение фигур в курсе геометрии, М., Учпедгиз,
1958, стр. 25.
42
По обратной теореме Дезарга на плоскости прямые А"А, В"В, С"С,
проходящие через соответственные вершины треугольников, должны про-
ходить через одну и ту же точку 8%. Следовательно, при совмещенном
положении предметной плоскости Н с картинной плоскостью К перспектив-
ное соответствие между плоскостями Н и К не нарушается.
Если теперь плоскость горизонта HQ повернем в том же направлении
и на тот же угол (как и предметную плоскость), но вокруг линии схода
(или линии горизонта) предметной плоскости Н до совмещения с картинной
плоскостью, то перспективное соответствие между плоскостями Н и К
также не нарушится.
Точка зрения S переместится в новое совмещенное положение — точ-
КУ
Соответственные пары сторон (или прямые) треугольников Д"В"С" и
АВС будут, как и прежде, пересекаться на основании картины в точках
До, Bq, Со, а соответственные вершины треугольников расположатся на
проектирующих линиях, проходящих через совмещенную точку зрения SK.
Соответствие совмещенных предметной и картинной плоскостей называется
гомологией, и в данном случае совмещенную точку зрения 8% называют
центром гомологии, основание kk картины К — осью гомологии, а соответ-
ственные треугольники А"В"С" и АВС — гомологичными. Треугольник А"В"С"
будет искомым.
Следовательно, для построения соответственных (или гомологичных)
фигур при совмещенном положении плоскости горизонта и предметной
плоскости с картинной плоскостью достаточно иметь: 1) центр гомологии,
2) ось гомологии, 3) пару соответственных точек гомологии.
В связи с этим рассмотрим основные элементы картины (§ 5). В ка-
честве этих основных элементов в картине при совмещенном положении
плоскости горизонта и предметной плоскости с картинной примем:
1)	совмещенную точку зрения — за центр гомологии;
2)	основание картины kk — за ось гомологии;
3)	линию горизонта hh — за предельную прямую гомологии совме-
щения.
Поэтому любая точка на линии горизонта, в том числе и главная
точка картины, может быть принята за соотвествующую несобственной точке
прямой поля точки А" (черт. 286) и проходящей параллельно прямой SKFt
соединяющей центр гомологии SK с выбранной точкой на предельной пря-
мой гомологии совмещения (или линии горизонта).
Вывод. Гомология вполне определена, если при совмещенном поло-
жении плоскости горизонта и предметной плоскости с картинной плоскостью
даны основные элементы картины.
Пример 74. Дано перспективное изображение А точки Д', лежащей
в плоскости Н (черт. 287). Построить гомологичную ей точку Д".
Решение. Гомология вполне определена, так как даны основные
элементы картины. Искомая точка Д" при совмещенном положении с кар-
тиной должна соответствовать заданной точке А, а известно, что соответ-
ственные точки лежат на одной прямой, проходящей через центр гомоло-
гии (точку S/<); поэтому точку SK (черт. 288—289) соединяем прямой
с точкой А, так как искомая точка Д" должна лежать на прямой 5дД-
В качестве пары соответственных точек гомологии возьмем: главную точку Р
(как точку, принадлежащую предельной прямой гомологии совмещения)
и ей соответственную несобственную точку на глубинной прямой поля
точки Д". Поэтому для отыскания точки Д" на прямой 5КД через точку А
1 См. доказательство теоремы Дезарга на плоскости в курсах проективной геометрии,
например: Н. Ф. Четверухин, Проективная геометрия, М., Учпедгиз, 1953, стр. 93.
43
проведем вспомогательную глубинную прямую РА поля точки А и, ис-
пользуя положения о взаимопринадлежности точек и прямых (если данная
точка лежит на данной прямой, то и соответствующая ей точка лежит на
соответствующей прямой) и, кроме того, то, что точка А" должна быть
соответственной точке А, строим прямую Л0Роо поля точки Л", соответ-
ствующую прямой А0Р поля перспектив точки А, Точку Л" найдем как
результат пересечения прямых Л0Роо и 5/<Л.
Заметим, что совмещенное положение точки Л" можно построить,
используя для решения другие вспомогательные прямые. Варианты таких
решений представлены в графическом виде на чертежах 290—295.
Пример 75. Дано совмещенное положение отрезка Л"В" (черт. 296).
Построить его перспективу.
Решение. Гомология вполне определена, так как даны основные
элементы картины, а в качестве пары соответственных точек возьмем
точку Р (поля точки Л) и несобственную точку Р^ (поля точки А"). Для
построения искомого отрезка АВ через точки Л" и В" проведем перпен-
дикулярные прямые к оси гомологии до пересечения в точках Ло, Во и по-
строим прямые А0Р и ВоР, соответствующие прямым Л0Р оо и В^Р ^.
Известно, что соответственные точки лежат на прямых, проходящих
через центр гомологии, поэтому концы отрезка — точки А" и В" — соеди-
няем прямыми с точкой очевидно, что в пересечении этих прямых
S^AU и SKB" с перспективами построенных глубинных прямых Л0Р, В0Р
и будут искомые точки Л и В. Соединив прямой эти точки, получим
искомый отрезок ЛВ. Отрезки ЛВ и А'В" при продолжении должны пе-
ресекаться на оси гомологии kk в общей точке. Это построение на чер-
теже 297 не исполнено.
Пример 76. Дано перспективное изображение отрезка ЛВ, располо-
женного в предметном пространстве. Установить гомологию совмещения
прямой ЛВ с картинной плоскостью К (черт. 298). Задача имеет множе-
ство решений.
1-	й способ решения. Графическое построение выполнено в сле-
дующем порядке (черт. 299):
1.	Заключаем прямую ЛВ в плоскость Q, перпендикулярную к кар-
тинной плоскости. Устанавливаем гомологию совмещения плоскостей Q
и К. Для этого через предметный след прямой ЛВ — точку М и точку Р —
проведем предметный след QH плоскости Q, а через предельные точки F
и Qoo — предельную прямую Qf плоскости Q; картинный след QK пройдет
параллельно предельной прямой Qf через точки Qo и N, т. е. QK || Qf.
В совмещенном положении плоскости Q с картинной плоскостью К. пря-
мую схода Qf можно понимать как новый горизонт (или предельную пря-
мую гомологии совмещения), а картинный след —• как новое основание
картины К (или как искомую ось гомологии).
2.	Строим на картине новый центр гомологии — точку SK. Для этого
из точки Р восставляем перпендикуляр к линии схода Qf (линия
схода Qf служит осью вращения) и на нем радиусом PSK из точки Р за-
секаем точку SK.
3.	Установив гомологию совмещения плоскостей Q и К, строим пря-
мую AqFoo, соответствующую прямой AQF.
4.	Искомый отрезок А"В" определяют прямые: SKA X AqFoq = А",
SKB X A0Foo = В". Точка перспективного масштаба М построена из точки F
радиусом, равным FSK. Отрезки А"В" и ЛоВо должны быть равны между
собой, так как представляют натуральную величину одного и того же
отрезка АВ.
44
2-й способ решения представлен на чертеже 300. В этом слу-
чае прямая АВ заключена в плоскость R общего положения. Новый центр
гомологии — точка S'K построена на прямой, идущей из точки Р перпен-
дикулярно к линии схода Rf (ось вращения), путем, засекания его из точ-
ки Roo радиусом RoqSk, равным натуральной длине луча, идущего из точки
зрения S в предельную точку F параллельно отрезку АВ, Остальное пост-
роение исполнено аналогично с построением предыдущего примера
(черт. 299).
Пример 77. Дана плоскость Q, определяемая пересекающимися отрез-
ками АС и BE (черт. 301). Установить гомологию совмещения заданной
плоскости с картинной плоскостью.
Решение. Графическое построение выполняем в следующем по-
рядке (черт. 301):
1.	Строим предельную прямую гомологии совмещения Qy. Для этого
находим предельные точки F2 и Fr прямых АС и BE, определяющих пло-
скость Q.
2.	Строим ось гомологии — прямую k^. Для этого находим предмет-
ные следы прямых АС и BE — точки М± и М2. Пересечение прямых МгМ2
и kk даст точку Qo. Через точку Qo проводим QK Ц Qf (§ 24, черт. 150).
3.	Строим центр гомологии Для этого из точки Р восставляем
перпендикуляр к прямой Qf и из точки F радиусом R = RS% (в натуре на
проектирующем аппарате радиус FS# равен отрезку SF) засекаем точку S#.
4.	В качестве пары соответственных точек гомологии можно взять
любую точку на линии схода Qf и соответственную ей несобственную
точку на прямой, принадлежащей совмещенному полю плоскости Q точ-
ки А". На картине показано построение точки радиусом из центра Ръ
так как центр Qoo радиуса R может оказаться за пределами чертежа.
В совмещенном положении плоскости Q с картиной К предельную пря-
мую гомологии Qy можно понимать как новую линию горизонта, а пря-
мую Qk — как новое основание картины.
Вывод. Если устанавливается гомология совмещения плоскости
с картиной, то ось гомологии есть линия пересечения (или картинный
след) этой плоскости с плоскостью картины, центр гомологии — новая сов-
мещенная точка зрения S%, расположенная на прямой, перпендикуляр-
ной к линии схода данной плоскости, проходящей через главную точку Р
картины К, удаленной от прямой схода на главное расстояние, соответствую-
щее данному совмещению (при установлении гомологии совмещения
предметной плоскости с картиной это расстояние равно истинной величине
расстояния художника от картины). В качестве пары соответственных
точек гомологии можно взять любую точку на предельной прямой гомо-
логии совмещения (или линии схода) данной плоскости и соответствую-
щую ей несобственную точку на прямой, принадлежащей совмещенному
полю этой плоскости с картиной; эта прямая должна быть параллельна
прямой, соединяющей центр гомологии с выбранной точкой на линии
схода данной плоскости.
Пример 78. На заданном отрезке АВ произвольного направления от-
ложить отрезок АС длиной 20 мм (черт. 302).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 302.
Пример 79. На заданном отрезке АВ построить в предметной пло-
скости перспективу прямоугольника АСЕВ, считая отрезок АВ за сторону
прямоугольника; определить углы между сторонами и диагональю этого
прямоугольника (черт. 303).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 303.
45
Пример 80. На заданном отрезке АВ построить в предметной пло-
скости перспективу квадрата АВСЕ, считая отрезок АВ за сторону этого
квадрата (черт. 304).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 304.
Пример 81. Определить натуральную величину треугольника АВС, за-
данного в перспективе (черт. 305).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 305.
Пример 82. Определить натуральную величину отрезка АВ, заданного
в перспективе (черт. 306).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 306.
Пример 83. На заданном отрезке АВ построить перспективу равно-
стороннего треугольника АВС (черт. 307).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 307.
Пример 84. Через точки А и В провести прямые под углом в 30°
к основанию картины (черт. 308).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 308.
Пример 85. Определить расстояние от точки С до прямой АВ (черт. 309).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 309.
Пример 86. Установить гомологию совмещения плоскости Q, опреде-
ляемой треугольником АВС, с картинной плоскостью /С (черт. 310).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 311. Построе-
ние центра гомологии выполнено двумя способами. Построена точка
Мг перспективного масштаба для стороны АВ треугольника АВС,
Пример 87. Установить гомологию совмещения плоскостей R и К. На
заданном отрезке АВ в плоскости R построить прямоугольник АВСЕ
и определить углы между его сторонами и диагональю (черт. 312).
Решение представлено на чертеже 313.
ЗАДАЧИ 98—107
98.	По заданной перспективе отрезка АВ построить гомологичный
ему отрезок А'В" (черт. 314).
99.	На заданном отрезке АВ в предметной плоскости как на основа-
нии построить равнобедренный треугольник АВС с высотой, равной 25 мм
(черт. 315).
100.	Через заданную точку С провести прямую под углом в 30° к за-
данному отрезку АВ (черт. 316).
101.	Определить угол а между прямыми АВ и ВС (черт. 317).
102.	Определить расстояние от точки С до прямой АВ (черт. 318).
103.	Определить угол наклона прямой АВ к основанию картины
(черт. 319).
104.	Дано совмещенное положение треугольника А"В"С" с картинной
плоскостью (черт. 320). Построить его перспективу.
105.	На картине даны изображения прямой плоскости Q и совме-
щенное положение точки А" с плоскостью картины (черт. 321). Построить
гомологию совмещения плоскостей Q и К и найти точку, соответствую-
щую заданной точке, если известно, что плоскость Q перпендикулярна
картине, а точка А принадлежит плоскости Q (§ 36, черт. 299).
106.	На картине представлены плоскость Q и отрезок АВ, лежащий
в этой плоскости (черт. 322). Вращением вокруг QK совместить плоскость Q
и заданный отрезок с картинной плоскостью (§ 36, черт. 300).
107.	На картине в предметной плоскости представлена точка А и дана
гомология совмещения плоскостей R и К (черт 323). Установить гомоло-
гию совмещения плоскостей Н и К, а через заданную точку провести
прямую, пересекающую основание картины под углом в 30° (§ 36, черт. 300).
46
§ 37.	ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ И КВАДРАТА В ПЕРСПЕКТИВЕ
Для изображений окружности в перспективе строят перспективу от-
дельных ее точек и через эти точки проводят от руки плавную кривую
с последующей обводкой этой кривой при помощи лекала.
Проектирующие лучи, идущие из центра проекций к точкам задан-
ной окружности, образуют проектирующий пучок, называемый лучевым
(или проектирующим) конусом, пересечение которого с картинной пло-
скостью и определяет ее перспективу. В зависимости от того, как распо-
лагается окружность по отношению к картинной плоскости, ее перспек-
тивное изображение может быть следующих видов:
1.	Если окружность О' лежит в плоскости горизонта (или лучевой
плоскости), то последняя пересечется с картинной плоскостью по прямой,
а перспектива окружности О изобразится в виде отрезка АВ на этой же
прямой (черт. 324—325).
2.	Если окружность О' лежит во франтальной плоскости, то лучевой
конус, пересекаясь с картинной плоскостью, определит ее изображение
в виде окружности.
3.	Если окружность О' лежит в предметной плоскости предметного
пространства, то лучевой конус, пересекаясь с картинной плоскостью, опре-
делит ее изображение в виде эллипса1 (черт. 326).
4.	Если окружность О' лежит в предметной плоскости (или ей па-
раллельной) и касается нейтральной плоскости в точке стояния s, то проек-
тирующий луч лучевого конуса, проходящий через центр проекций S
и точку окружности Л, будет лежать в нейтральной плоскости N\ следо-
вательно, он пойдет параллельно картине К. Картинная плоскость тогда
окажется параллельной одной из образующих (SL) лучевого конуса и, пе-
ресекая его, определит изображение окружности О'. на картине в виде
параболы (черт. 327).
5.	Если окружность О' пересекает нейтральную плоскость, то тогда
две образующие SLr и SL2 лучевого конуса окажутся в нейтральной пло-
скости А/; следовательно, эти образующие будут параллельны картине К
и пересекутся с ней в несобственных точках проективного пространства;
но прямые, параллельные картине, не имеют предельных точек, т. е.
изображение этих двух точек уйдет в бесконечность. В перспективе окруж-
ность О также примет вид незамкнутой кривой; но так как картинная
плоскость в данном случае оказалась параллельной двум образующим лу-
чевого конуса, то, пересекая его, даст изображение окружности О на кар-
тине в виде гиперболы (черт. 328).
ПРИМЕРЫ 88—95
Пример 88. По заданной перспективе центра О (черт. 329) и натураль-
ной величине диаметра А" В" окружности О" построить ее изображение.
Решение. Вращением вокруг основания картины совместим предмет-
ную плоскость Н с картинной плоскостью /( и при помощи точки
построим совмещенное положение О" центра О. Из точки О" как из центра
опишем окружность заданным радиусом О"А" и построим квадрат, описан-
ный около окружности О". Дальнейшее графическое построение должно
быть понятным из чертежа 329.
Соединив от руки построенные точки /, 8, 4, 7, 3, 6, 2, 5 плавной
кривой, получим искомую окружность.
1 Могут быть и другие положения окружности, при которых ее перспектива имеет
форму эллипса.
47
Пример 89. На заданном отрезке АВ как на диаметре в плоскости Q
построить перспективу полуокружности О (черт. 330).
Решение выполняется (способом высот треугольника) в следующем
порядке:
1.	Через точку А в предметной плоскости проводим фронтальную
+
прямую и на ней при помощи перспективного масштаба точки /И откла-
дываем величину заданного диаметра — отрезок (§ 19, черт. 88).
2.	На отрезке АВг находим центр дуги окружности — точку Ov
+
Прямая О±М отметит на диаметре АВ центр дуги полуокружности О
(§ 19, черт. 92).
3.	Через центр О проводим фронтальную плоскость Г, и на предмет-
ном следе Тн прямая ВХМ отметит точку Со.
4.	Из центра О в плоскости Т радиусом, равным ОС0, построим
в плоскости Q точку С, принадлежащую искомой полуокружности.
5.	В плоскости Q (способом высот треугольника) строим точки Ль
А2, Л3, принадлежащие искомой полуокружности. Соединив найденные
точки плавной кривой, получим в плоскости Q перспективу полуокруж-
ности заданного диаметра АВ.
Чтобы уяснить построение способом высот треугольника, обратимся
к чертежу 331. Рассматривая треугольники АК^В, АК2В и ЛК3В, замечаем,
что они остроугольные, построены на диаметре АВ и что одна из сторон
проходит через точку С, принадлежащую данной окружности, а концы
высот, проведенных из вершины В (конца диаметра), пересекаются под
прямым углом с соответствующим основанием, проходящим через другой
конец диаметра (вершину Л); следовательно, углы AA±B, АА2В, АСВ
и АА3В вписанные и вершины их Alt A2f С, А3 должны лежать на
окружности.
Для построения дополнительных точек окружности в перспективе
необходимо использовать пересечение высот треугольников.
Пример 90. На заданном отрезке АВ как на диаметре в предметной
плоскости построить перспективу полуокружности (черт. 332).
Построение выполнено способом высот треугольника и представлено
в графическом виде на чертежах 332, 333 (§ 37, черт. 330).
Пример 91. На заданном отрезке ОВ как на радиусе в плоскости R
построить перспективу четверти дуги окружности О (черт. 334).
Решение выполнено при помощи вспомогательной фронтальной пло-
скости Т и представлено на чертеже 334 (§ 19, черт. 88, 92).
Вывод. Способ описанного квадрата применяется при небольших
размерах чертежа, так как ограниченное число точек не обеспечивает (при
больших размерах) достаточной точности построения. Способ высот тре-
угольника позволяет строить необходимое количество точек, обеспечиваю-
щих нужную точность, и может применяться при любых размерах
окружности.
Пример 92. Построить в плоскости Q перспективу окружности по
заданному центру О и диаметру, равному 70 мм (черт. 335).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 336 (§ 19, 37,
черт. 92, 330).
Пример 93. На заданной прямой АГА2 построить в предметной пло-
скости Н перспективу квадрата ADCB со стороной, равной 30 мм (черт. 337).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 338 (§ 36,
черт. 287—289).
Пример 94. На картине задана перспектива центра О и натуральная
величина О0К0 радиуса окружности, равная 85 мм (черт. 339). Построить
48
в предметной плоскости Н перспективу квадрата ABCD, вписанного
в окружность с заданным центром О.
Решение. Графическое построение выполняем в следующем порядке
(черт. 339):
1.	Через заданный центр О проведем предметный след Тн фронтальной
плоскости Т.
2.	При помощи точки Р построим точку Оо и на основании картины
отметим отрезок О0К0, равный 85 мм; прямая KQP отметит на линии Тн
точку К-
3.	В плоскости Т опишем из точки О окружность радиусом ОК
и построим квадрат A'B'C'D', вписанный в окружность О так, чтобы
стороны его A'D' и В'С' не были перпендикулярны к основанию картины.
4.	Из вершин квадрата (точек Л', В', С', D') проведем по две пря-
мых: одну — под углом в 45°, другую — перпендикулярно к линии Тн до
пересечения в точках а, а19 bt blt с, съ d, d± — и вращением вокруг пред-
метного следа Тн совместим фронтальную плоскость Т с предметной
плоскостью Н. Искомые вершины квадрата ABCD получим как результат
пересечения перспектив соответствующих линий, проведенных через точки
a, alf b, Ь19 с, с19 d, d±.
Для проверки точности построения найдена точка схода F для парал-
лельных сторон AD и ВС полученной перспективы квадрата ABCD.
Данный способ построения рекомендуется применять для деления
окружности (на заданное число частей) в перспективе.
Пример 95. На картине заданы перспектива центра О и перспектива ЕК
диаметра окружности (черт. 340).
Построить в предметной плоскости перспективу этой окружности
(§ 37, черт. 339).
Решение представлено на чертеже 340.
ЗАДАЧИ 108-113
108.	Построить в предметной плоскости Н перспективу окружности
по заданной перспективе центра О и натуральной величине О0Л0 радиуса
окружности, равного 30 мм (черт. 341).
109.	Построить в плоскости R перспективу квадрата по заданной
перспективе вершины А и натуральной величине Л0В0 стороны квадрата,
равной 400 мм (черт. 342).
НО. Построить в предметной плоскости Н перспективу квадрата по
заданной перспективе отрезка АгА2 — натуральной величине стороны квад-
рата, равной 35 мм (черт. 343).
111.	Построить в предметной плоскости Н перспективу квадрата на
лучах, идущих из заданной перспективы вершины А. Натуральная вели-
чина стороны заданного квадрата равна 45 мм (черт. 344).
112.	Построить в плоскости R перспективу окружности по заданной
перспективе центра О и натуральной величине диаметра, равного 50 мм
(черт. 345).
113.	Построить в плоскости Q перспективу квадрата АВСЕ по задан-
ной перспективе его стороны АВ (черт. 346).
Вопросы к главе V
1.	Что такое ось и радиус вращения?
2.	Что такое плоскость и центр вращения?
3.	Как расположены плоскость и радиус вращения по отношению
к оси вращения?
4 Заказ № 12
49
4.	Как происходит перемещение вращаемых точек, расположенных
в плоскости и на оси вращения?
5.	При каком положении соответственные фигуры называются пер-
спективными?
6.	Что называется центром и осью гомологии?
7.	При каком положении соответствие предметной и картинной пло-
скостей называется гомологией?
8.	При каком положении соответственные фигуры называются гомо-
логическими?
9.	Что такое предельная прямая гомологии?
10.	Что значит установить гомологию совмещения плоскостей?
И. Какими элементами вполне определяется гомология?
12.	Где должны быть расположены (относительно точки зрения и кар-
тины) окружности, чтобы их изображения на картине имели вид окруж-
ности, гиперболы, параболы, эллипса, отрезка прямой.
13.	Как строится перспектива окружности?
14.	Как будут называться основные элементы картины при установ-
лении гомологии совмещения предметной и картинной плоскостей?
15.	Что такое перспективное соответствие?
16.	Что такое перспективная коллинеация?
ГЛАВА VI
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
И ИХ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ
§ 38.	ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВ ГРАННЫХ ТЕЛ
ПРИМЕРЫ 96-99
Пример 96. Построить перспективу куба, расположенного на предмет-
ной плоскости. Дано направление и величина ребра АВ (черт. 347).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 348.
Пример 97. Построить перспективу правильной треугольной призмы,
основание которой расположено в плоскости Н. Задан диаметр АВ окруж-
ности О, проходящей в перспективе через вершины (/, 2, 5) основания
заданной призмы. Натуральная величина диаметра равна 46 мм, а высота
призмы равна 50 мм (черт. 349). Решение представлено в графическом
виде на чертеже 350 (§ 37, черт. 339).
Пример 98. В плоскости R представлено основание АВС прямой тре-
угольной призмы, изображение которой требуется построить (черт. 351).
Натуральная высота призмы равна 34 мм.
Решение выполнено в графическом виде на чертеже 352 (§ 15,
черт. 70—72).
Пример 99. Дано совмещенное положение основания А"В"С" правиль-
ной треугольной пирамиды, перспективу которой требуется построить
(черт. 353). Высота пирамиды равна 57 мм, а ребро ее основания равно
30 мм.
Решение выполнено в графическом виде на чертеже 354 (§ 36,
черт. 285—286).
50
ЗАДАЧИ 114—121
114.	Дано совмещенное положение основания параллелепипеда A"B"C"D",
перспективу которого требуется построить (черт. 355). Высота параллеле-
пипеда равна 40 мм (§ 36, черт. 285—286).
115.	Задана перспектива ребра АВ основания АВС правильной тре-
угольной пирамиды, изображение которой требуется построить (черт. 356).
Высоту пирамиды взять произвольно, вершину С — ближе к зрителю
(§ 36, черт. 285—286).
116.	Дана перспектива смежных сторон АВ и ВС основания паралле-
лепипеда, изображение которого требуется построить (черт. 357). Высоту
параллелепипеда взять равной 25 мм (§ 38, черт. 348).
117.	Дана перспектива ребра АВ основания куба, изображение кото-
рого требуется построить, и определить натуральную величину его ребер
(черт. 358).
118.	По заданному перспективному изображению треугольной пира-
миды (черт. 359) определить ее истинные размеры и расстояние до бли-
жайшей вершины С (§ 16—19).
119.	По заданной перспективе стороны квадрата АВ, лежащей в пло-
скости R (черт. 360), построить изображение квадрата (§ 36, черт. 300).
120.	По заданной перспективе ребра АВ основания правильной
треугольной пирамиды (черт. 361) требуется построить изображение пи-
рамиды, расположенной своим основанием на представленной плоскости Q
(§ 32, 36).
121.	Дана перспектива ребра АВ основания параллелепипеда, изображе-
ние которого требуется построить (черт. 362). Высота параллелепипеда
равна ребру АВ, а угол, образованный диагональю и ребром АВ, равен 30°
(§ 19, 36).
§ 39.	ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Поверхность тела вращения образуется вращением некоторой плоской
линии вокруг неподвижной прямой. Неподвижную прямую называют осью
поверхности. Линию, которая, вращаясь вокруг оси, производит поверх-
ность, называют образующей. Образующая может быть прямой или кри-
вой. Если образующая прямая, то произведенную ею поверхность называют
линейчатой, а если образующая кривая — нелинейчатой. К линейчатым
поверхностям тел вращения относят конус и цилиндр вращения. Нелиней-
чатые поверхности, произведенные произвольной образующей, не имеют
особого названия.
При вращении образующей вокруг оси поверхности каждая точка ее,
вращаясь в плоскости вращения, описывает в этой плоскости некоторую
окружность, которую называют параллелью рассматриваемой поверхности.
Наибольшую параллель между двумя соседними с нею параллелями назы-
вают экватором, наименьшую между двумя соседними с нею паралле-
лями — горлом поверхности (черт. 363). Тело вращения может иметь
несколько экваторов и горл, а может и не иметь их.
Все плоские образующие одного и того же тела вращения называют
меридианами данной поверхности. Для линейчатой поверхности тела вра-
щения меридианом будет прямая линия, для нелинейчатой — кривая линия.
Следовательно, поверхность любого тела вращения можно рассматривать
или как образовавшуюся из всех его меридианов, или же как образовав-
шуюся из всех его параллелей (черт. 364).
Вывод. 1. В любую поверхность вращения могут быть вписаны шары.
4*	51
2. Каждая секущая плоскость, перпендикулярная к оси любого тела
вращения, независимо от вида образующей, пересекает его поверхность по
окружности. Такие окружности, как ранее уже говорилось, называют
параллелями тела вращения.
3. Любая секущая плоскость, проходящая через ось тела поверхности,
пересекает его поверхность по двум симметричным, относительно оси
поверхности, линиям — меридианам. Такие сечения называют меридиональ-
ными (или осевыми); меридиональные сечения данного тела вращения при-
нято называть его профилем (черт. 364).
Для изображения перспективы заданного тела вращения может быть
использован его профиль, по которому легко определить величины радиусов
параллеле данной поверхности вращения, обеспечивающих построение
перспективы заданного объекта.
§ 40.	ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
ПРИМЕРЫ 100—105
Пример 100. По заданному профилю тела вращения (черт. 365) пост-
роить его перспективное изображение.
Перспективу тела вращения строим по его параллелям, используя для
этого заданный профиль. Графическое построение выполняем в следующем
порядке (черт. 366):
1.	На картине из произвольно выбранной точки в предметной пло-
скости восставляем перпендикуляр (будущую ось поверхности тела враще-
ния) и от его основания при помощи масштаба высот отмечаем высоту
заданного тела вращения (§ 17).
2.	Рассекаем заданное тело вращения на разных уровнях плоскостями,
перпендикулярными к оси поверхности, и, замеря радиусы параллелей,
строим их перспективу на соответствующих уровнях (§ 34,. 39).
3.	Проводим очерковую кривую тела вращения в виде линии, касатель-
ной к перспективам параллелей.
Пример 101. Построить перспективу конуса по заданным его размерам.
Высота конуса равна 50 мм, диаметр основания — 45 мм. Ось поверхности
конуса перпендикулярна к предметной плоскости (черт. 367). Построение
исполнено на чертеже 367 (§ 17, 37).
Пример 102. Построить перспективу цилиндра по заданным его раз-
мерам. Высота цилиндра 41 мм, диаметр 46 мм. Ось поверхности цилиндра
перпендикулярна предметной плоскости (§ 17, 37). Решение представлено на
чертеже 368.
Пример 103. Построить перспективу цилиндра. Размеры произвольны;
ось поверхности цилиндра направлена перпендикулярно к плоскости кар-
тины (§ 17, 18). Решение представлено на чертеже 369.
Пример 104. Построить перспективу цилиндра. Размеры произвольны;
ось поверхности цилиндра занимает фронтальное положение.
Решение представлено на чертеже 370 (§ 16, 37).
Пример 105. Построить перспективу цилиндра по произвольным раз-
мерам. Ось поверхности цилиндра направлена произвольно (§ 19, 37, 52).
Решение представлено на чертеже 371.
ЗАДАЧИ 122-127
122.	Построить перспективу конуса по произвольным размерам. Ось
поверхности конуса параллельна предметной плоскости и направлена
к картине под углом 45° (§ 18, 37).
52
123.	По произвольно выбранному профилю тела вращения построить
его перспективу. Ось поверхности тела вращения перпендикулярна к пло-
скости Н. Построение выполнить посредством сечений, перпендикулярных
к оси поверхности вращения данного тела (§ 34, 39).
124.	По заданному профилю тела вращения (черт. 372) построить его
перспективу. Ось поверхности тела вращения параллельна предметной
плоскости и направлена к плоскости К под углом 30° (§ 19, 37, 39).
125.	По заданному профилю тела вращения (черт. 373) построить его
перспективу. Ось поверхности тела вращения перпендикулярна к предмет-
ной плоскости (§ 19, 39).
126.	По заданному профилю тела вращения (черт. 374) построить его
перспективу. Ось поверхности заданного тела перпендикулярна к плоскости
картины (§ 18, 37, 39).
127.	По заданному профилю тела вращения (черт. 375) построить его
перспективу. Ось поверхности заданного тела вращения перпендикулярна
к предметной плоскости (§ 17, 37, 39).
§ 41.	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПРЯМОЙ И
ПЛОСКОСТЬЮ В ПЕРСПЕКТИВЕ
ПРИМЕРЫ 106—110
Пример 106. Построить пересечение параллелепипеда АВСЕА^С^
с плоскостью R (черт. 376).
Решение. Строим линии пересечения граней заданного параллелепи-
педа с плоскостью R. Для этого заключаем грань АВСЕ в плоскость Q,
а грань AEEiAt — в плоскость Г; получим:
Rh X QH = RnXTH = M2, RKy TK = N2,
N2^2 X AE = A2, N2-442 X A& = A3\
A1iA2 X Qf ~ F2\ M]F2 X AB = A59 A3F2 X A^Bj^ =
Сечение Л2Л3Д4Л5 искомое.
Пример 107. Построить точки пересечения прямой А2В2 с параллелепи-
педом АВСЕА1В1С1Е1 (черт. 377).
Решение. Заключаем прямую А2В2 в плоскость Q и находим сече-
ние	будем иметь: С±М2 X А2В2 = К^ С2М± X А2В2 = /С2. Полу-
ченные точки Кг и /С2 искомые.
Пример 108. Построить точки пересечения прямой АВ с пирами-
дой SCxC2C3 (черт. 378).
Решение. Заключаем прямую АВ в плоскость Q. Через высоту
пирамиды SO и ребро SC3 проведем плоскость R и найдем линию пере-
сечения плоскостей R и Q, а именно: RH X QH = Л43; Q X R = М3Е\ получим:
М3Е X ЕС3 — Ег\ QH X СхСз = Мг\ QH X С2С3 = М2\
МгЕг ХАВ = К21 М2Ег х АВ =
Точки Кг и К2 искомые.
Пример 109. Построить пересечение пирамиды SArA2A3 с плоскостью Qy
заданной следами Q& и QH (черт. 379).
Решение. Строим линии пересечения граней заданной пирамиды
с плоскостью Q. Для этого заключаем грань SA2A3 в плоскость R\ будем
иметь: A2A3=RH\ RH kk = RQ. Для построения картинного следа R^
плоскости R через высоту пирамиды ЗДЛ2Л3 проведем фронтальную
плоскость Г, которая пересечет грань SX2A3 по фронтали SA4. Через
53
начало плоскости R — точку Ro — проведем картинный след RK параллельно
фронтали SM. Строим линию пересечения плоскостей R и Q; будем иметь:
RkXQk = N2; Rh X QH = M2, N2M2 x SA = C; A A XQ„ = Ml- Получен-
ное сечение МгСМ2 искомое.
Пример ПО. Построить пересечение параллелепипеда АВСЕА1В1С1Е1
с плоскостью R, заданной следами RK и RH (черт. 380). Решение пред-
ставлено в графическом виде на чертежах 380, 381. Сечение А2В2С2М2М1
искомое.
ЗАДАЧИ 128—133
128.	Построить пересечение параллелепипеда АВСЕА1В1С1Е1 с пло-
скостью R, заданной следами R% и RH (черт. 382).
129.	Построить пересечение прямой АВ с пирамидой SBtB2B3
(черт. 383).
130.	Построить пересечение	прямой А'В' с параллелепипедом
АВСЕА1В1С1Е1 (черт. 384).
131.	Построить пересечение пирамиды SABC с плоскостью Q, задан-
ной следами Qk и Qh (черт. 385).
132.	Построить пересечение пирамиды SABCER с плоскостью R, задан-
ной следами RK и RH (черт. 386).
133.	Построить пересечение параллелепипеда АВСЕА1В1С1Е1 с пло-
скостью Г, заданной следами Тк и Тн (черт. 387).
§ 42.	ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
В ПЕРСПЕКТИВЕ
Линия пересечения поверхностей многогранников представляет собой
плоскую или пространственную замкнутую ломаную линию. Отрезки пря-
мых этой ломаной линии есть результат пересечения граней одного много-
гранника с гранями другого. Рассматривая грани пересекающихся много-
гранников как некоторые плоскости, сведем задачу к построению линий —
отрезков прямых пересекающихся плоскостей — граней (§ 29).
Построение линии пересечения многогранников можно производить
и другим способом, определяя точки, в которых ребра одного из много-
гранников пересекутся с гранями другого и ребра второго пересекутся
с гранями первого. Через найденные точки в определенной последователь-
ности проводится замкнутая ломаная линия, точки которой будут двойными
точками, так как линия пересечения принадлежит двум пересекающимся
поверхностям.
Способ построения по точкам линии пересечения многогранников сво-
дится к задаче на пересечение прямой линии с плоскостью (§ 41).
В зависимости от условий задания применяют тот или другой способ
или же комбинируют их между собой.
ПРИМЕРЫ 111—115
Пример 111. Построить перспективу линии пересечения заданных
поверхностей призмы и параллелепипеда, поставленных на предметную
плоскость (черт. 388).
Решение. Построение линии пересечения заданных поверхностей
многогранников произведено двумя способами:
1-й способ. Строим пересечение ребра В2В3 с гранью АВСЕ. Для
этого через отрезки В2Ь2 и В2В3 проведем плоскость R, которая пересечет
54
грань АВСЕ по фронтали A4i7H2; получим: В2В3 X МГМ2 = К- Через
точки М и К проведем линию пересечения. Отрезок МК искомый (§ 41).
2-й способ. Строим линию пересечения граней В2В3С3С2 и АВСЕ,
Для этого проведем фронтальную плоскость Г, которая пересечет эти
грани по фронталям; будем иметь: 3-4 X 2-2± = Е. Прямая ЕМ пройдет
через точку К: В2В3 X ЕМ = К, т. е. получили тот же результат (§ 29).
Пример 112. Построить перспективу линии пересечения заданных по-
верхностей параллелепипеда и призмы, поставленных на предметную
плоскость (черт. 389).
Решение исполнено в графическом виде и представлено на чертеже 389.
Пример 113. Построить перспективу линии пересечения заданных по-
верхностей призмы и параллелепипеда, поставленных на предметную плос-
кость (черт. 390).
Решение исполнено в графическом виде и представлено на чертеже 390.
Пример 114. Построить перспективу линии пересечения заданных
поверхностей двух пирамид, поставленных своими основаниями на пред-
метную плоскость (черт. 391).
Решение. Линия пересечения заданных пирамид построена как
результат пересечения граней. Строим линию пересечения граней, обращен-
ных к зрителю. Для этого проведем фронтальную^ плоскость Т, которая
пересечет грань *S1y41/l2 по фронтали 5-5, грань	по фронтали 7-5
и грань S2B1B2 по фронтали 6-4; будем иметь: 5-5 X 6-4 = 9; 9-Mr X
X S2B2 = Кг; 7-3 X 6-4 = 5; М2-8 X S2B2 = К2. Линия пересечений поверх-
ностей представлена своей видимой частью отрезками MlR1 и /И2К2.
В результате построения получили:
5ИИ2 X S2BXB2 - М^; ЗИзЛ X S2BrB2 = М2К2.
Пример 115. Построить перспективу линии пересечения заданных
поверхностей двух призм, поставленных на предметную плоскость (черт. 392).
Решение. Графическое построение представлено на чертеже 392
и выполняется в следующем порядке:
1.	Заключаем наклонные грани призм в плоскости Q и R.
2.	Строим линию пересечения этих плоскостей:
RH X QH = М3; QIC X Ri; = ЛХ, N3M3 X АА, = К2.
Отрезок К2Л43 искомый.
Такой же результат построения можно получить, используя фронтали
наклонных граней, обращенных к зрителю:
МгВ X М2-3 = Kf, M3Kr X ААг = К2.
Отрезок К2М3 является составной частью ломаной линии пересечения
заданных поверхностей.
ЗАДАЧИ 134—137
134.	Построить перспективу пересечения поверхностей призмы и парал-
лелепипеда, поставленных на предметную плоскость (черт. 393).
135.	Заключить грани пирамиды SABC, произвольно поставленной на
предметную плоскость, в соответствующие плоскости и построить линии
пересечения этих плоскостей.
136.	Через плоскость треугольника АВС восходящего положения про-
вести плоскость R, построить ее следы и предельную прямую.
137.	Параллелепипед АВСЕА^^^Ех поставлен на предметную пло-
скость Н. Построить пересечение заданного многогранника с восходящей
плоскостью Т, заданной следами Тк и Тн.
55
ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ VI
1.	Какими элементами задается изображение многогранника на
картине?
2.	Как построить в перспективе линию пересечения многогранника
с плоскостью?
3.	Как построить в перспективе точки пересечения прямой линии
с многогранником?
4.	Какой вид может иметь фигура, получаемая при пересечении
многогранника с плоскостью?
5.	Как построить в перспективе следы плоскости, проходящей через
грани параллелепипеда или пирамиды?
6.	Какими способами можно построить в перспективе линию пере-
сечения заданных многогранников?
7.	Можно ли установить общность способов между этими построе-
ниями и построениями: а) точки пересечения плоскости с прямой линией,
б) линии взаимного пересечения плоскостей?
8.	Что такое ось поверхности?
9.	Что такое образующая поверхности вращения?
10.	Что такое параллели и меридианы поверхности вращения?
11.	Влияет ли вид образующей на вид сечения, произведенного пло-
скостью, перпендикулярной к оси поверхности тела вращения?
12.	Как подразделяются поверхности вращения в зависимости от вида
образующей?
13.	Как называются наибольшая и наименьшая из параллелей?
14.	Что называется главным меридианом поверхности?
15.	Что такое профиль тела вращения?
16.	Как строятся в перспективе поверхности тела вращения?
17.	В чем различие между осью вращения и осью поверхности?
ГЛАВА VII
ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ В ПЕРСПЕКТИВЕ
§ 43. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Расположим в пространстве в последовательном порядке: 1) источник
света — точку S*; 2) непрозрачный предмет А\ 3) непрозрачную плоскость Т
(черт. 394).
От любого источника света, в том числе и от источника S*, исходят
во всех направлениях световые лучи и, попадая на поверхность предмета,
освещают ее. Та часть предмета, на которую лучи света не попадают,
остается неосвещенной, и эту затемненную часть называют собственной
тенью предмета.
Линию, разделяющую затемненную часть поверхности от освещенной
части той же поверхности, называют контуром собственной тени. Итак,
лучи света, идущие от источника света, встречая на своем пути непроз-
рачный предмет Л, задерживаются им, и на плоскости Т образуется
затемненная фигура (черт. 395), называемая падающей тенью от предмета А
на плоскость Т. Контуры этой падающей тени соответствуют контуру
56
собственной тени, так как лучи света проходят касательно к линии, раз-
деляющей освещенную часть предмета от неосвещенной.
Пространство между освещенным предметом А и плоскостью Т назы-
вают тенью; это то пространство, в которое не попадают световые лучи
от данного источника света; очевидно, тела в этом пространстве будут
неосвещенными, находясь в тени. В зависимости от освещаемого объекта,
это пространство может иметь следующие формы;
а)	теневой линии; освещаемый объект — точка;
б)	теневой плоскости; освещаемый объект — прямая;
в)	теневой пирамиды; освещаемый объект — многогранник;
г)	теневого конуса, или конуса тени; освещаемый объект может иметь
самую разнообразную форму.
Следовательно, построение падающей тени от любого объекта может
быть сведено, в общем случае, к построению линии пересечения теневой
поверхности с заданной поверхностью, на которой должна быть построена
падающая тень от данного предмета.
При построении теней в перспективе рассматривают два условия
освещения: а) лучи света исходят из одной светящейся точки (источник
света. расположен на небольшом расстоянии), т. е. центральное (или
точечное) освещение; б) источник света находится на значительном удале-
нии (луна или солнце), лучи света принимаются параллельными друг
другу (черт. 396).
Рассмотрим освещение предмета двумя источниками света (черт. 397).
Из чертежа 397 видно, что на плоскости Т от предмета А образуются
две падающие тени предмета, наложенные друг на друга. Несовпадающие
части теней называют падающими полутенями, совпадающую часть
падающих теней называют полной тенью; она интенсивнее по
густоте, нежели полутени, так как в полутенях лучи первого источника
освещают падающую тень второго и наоборот. Заметим, что чем ближе
полутень к собственной тени, тем менее попадает на нее лучей, а чем
ближе к освещенному пространству плоскости Т, тем лучей падает на нее
больше, а поэтому полутень будет постепенно светлеть к своим внешним
границам и, следовательно, не будет иметь резких очертаний.
Если же два источника света находятся на разном удалении от осве-
щаемого объекта, то полутени соответственно будут разной густоты, так
как сила света зависит от количества падающих на данную поверхность
световых лучей и расстояния светящейся точки от освещенного предмета.
Рассмотрим освещение предмета от лампы, накрытой абажуром, кото-
рую и примем за светящееся тело S* (черт. 398). Графическое построение
теней от светящегося тела S* на чертеже представлено только от двух
точек S* и S*; очевидно, что такое же построение можно будет приме-
нить и к любой иной точке на поверхности светящегося тела S*, излу-
чающего свет на предмет А.
Выводы, сделанные в предыдущем примере для двух источников
света, тем более справедливы, когда источником света является не точка,
а светящаяся поверхность.
Сила света. Для уяснения силы света обратимся к чертежу 399, на
котором представлена плоскость АВСЕ, освещаемая лучами из источника S*.
Повернем плоскость АВСЕ вокруг прямой ЕС в положение	сила
освещения всей площади А1В1С1Е1 будет слабее в сравнении с силой
освещения площади АВСЕ, так как в этом положении количество световых
лучей меньше на единицу площади, ибо часть из них миновала ее, а угол
наклона световых лучей к освещаемой плоскости А1В1С1Е1 стал меньше.
Следовательно, с уменьшением угла наклона световых лучей к освещаемой
поверхности сила света также уменьшается.
57
На представленном чертеже 400 в плоскости Т проделано отвер-
стие АВСЕ, через которое проходит пучок световых лучей и освещает на
плоскости 7\ площадь АгВ^С^Е^ Освещение площади А1В1С1Е1 будет сла-
бее, так как на ее единицу площади приходится меньше световых лучей,
нежели на единицу площади АВСЕ, если бы она освещалась. Следова-
тельно, с увеличением расстояния поверхности от источника света сила
его уменьшается, так как на единицу освещаемой площади приходится
меньше световой энергии.
Вывод. Угол наклона световых лучей к освещаемой поверхности
и расстояние источника света до освещаемого объекта влияют на интен-
сивность освещения: 1) с уменьшением угла наклона световых лучей
к поверхности освещаемость ее уменьшается; 2) с увеличением расстояния
от источника света до предмета освещаемость уменьшается.
Собственная тень. В условиях действительности собственная тень сла-
бее падающей тени. Объясняется это тем, что отраженный свет, называе-
мый рефлексом от окружающих предметов, попадая на собственную тень,
ослабляет ее. Этим же объясняется и то, что тени у низа предметов
кажутся более светлыми, нежели у верха их, так как рефлекс земной
поверхности по мере удаления от нее ослабевает и, как известно из физики,
сила света уменьшается обратно пропорционально квадратам расстояний
освещаемого предмета от источника света (черт. 401). Следователь-
но, освещенность объекта по мере удаления его от зрителя ослабевает, и
различие между освещенными и неосвещенными частями предмета ис-
чезает.
Падающая тень. У основания предмета падающая тень более насыщена,
нежели тень, более удаленная от его основания. Это можно видеть на
чертеже 401. Падающая тень объекта А более темная по сравнению
с падающей тенью объекта В. Объясняется это разностью высот теневого
столба. Чем ближе предмет к поверхности, на которую падает его тень,
тем она гуще, чернее, и, наоборот, при удалении предмета от этой поверх-
ности падающая тень его становится более светлой.
Одновременный контраст. Если полоску серой бумаги положить на
лист белой бумаги, а потом переложить на лист черной бумаги, то серая
полоска бумаги на черном фоне покажется не серой, а почти белой,
и, наоборот, серая полоска бумаги на белом фоне покажется почти черной.
Следовательно, происходит обратное усиление тонов, это явление и назы-
вают одновременным контрастом (черт. 402).
Пограничный контраст. Положим кружок из белой бумаги на серый
лист. Серая бумага у границ белого кружка будет казаться более темной,
нежели у краев листа. Если же на серый лист положить кружок из
черной бумаги, то кажется, что у границ черного кружка появляется
беловатый ореол. Следовательно, происходит усиление тонов, достигаю-
щее наибольшей величины у границ между тонами (черт. 403). Такое же
явление произойдет и с собственными тенями. Например, у граней парал-
лелепипеда с разной степенью освещенности тон каждой грани по мере
приближения к общему ребру усиливается, т. е. светлая грань у смеж-
ного ребра кажется более освещенной, а менее освещенная грань у этого же
ребра — более темной, нежели у противоположного ребра. Такое явление
и называют пограничным контрастом (черт. 404).
Иррадиация. Поместим черный квадрат на белом фоне, а другой,
белый — на черном фоне. При равных площадях этих фигур белый квад-
рат кажется больше черного квадрата (черт. 405).
Тонкая черная линия, видимая на серой бумаге, становится еле замет-
ной на более светлом фоне. Следовательно, белый цвет поглощает черный.
Такое явление называют иррадиацией.
.58
§ 44.	ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ТЕНЕЙ ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ
ОСВЕЩЕНИИ
ПРИМЕРЫ 116—127
Пример 116. Построить падающую тень от некоторой точки А прост-
ранства на предметную плоскость Н (черт. 406).
Решение выполняем в следующем порядке (черт. 407): заключаем
параллельные отрезки S*s и Аа во вспомогательную плоскость R и в этой
плоскости проведем из источника света — точки S* — световой луч через
точку А до пересечения с предметным следом RH в точке Д*. Предметный
след этого луча в точке А* и будет падающей тенью от точки А на
предметную плоскость Я.
Вывод. Падающей тенью А* от точки А на предметную плоскость /7
является предметный след светового луча, исходящего из источника
света S* и проходящего через заданную точку А пространства.
Для построения падающей тени А* от точки А на предметную пло-
скость Н можно применить способ, называемый методом следа луча,
который основан на том, что точка пересечения прямой с плоскостью
есть точка пересечения прямой с ее проекцией на данную плоскость:
5*Д ~Xsa ~ А*. Следовательно, падающая тень А* от точки А строится
так же, как и точка встречи прямой с заданной поверхностью.
Пример 117. Построить падающую тень от вертикального отрезка АВ
на предметную плоскость Я (черт. 408).
Решение выполняем в следующем порядке: строим падающую
тень А* от точки А на плоскость Я: 5*Д X RH = Д*« Падающая тень В*
от точки В совпадает с самой точкой: В* = В. Следовательно, падающая
тень от отрезка АВ изобразится отрезком А*В*.
Пример 118. Построить падающую тень от наклонного отрезка АВ на
плоскость Я (черт. 409).
Решение. Проведем через точку S* и отрезок АВ лучевую пло-
скость; очевидно, теневая плоскость (или плоскость тени) будет продолже-
нием ее от отрезка прямой АВ. Предметный след теневой плоскости
AM2Mi — отрезок А*В* и является падающей тенью отрезка АВ на пред-
метную плоскость.
Пример 119. Построить падающие тени от семейства прямых ДМ2
и В1 В2, расположенных параллельно плоскости Я (черт. 410).
Решение. Строим падающие тени концов заданных отрезков, но так
как отрезки расположены параллельно предметной плоскости, то и падаю-
щая тень от таких отрезков параллельна самим отрезкам: А1А2 || А* А*;
В1 В21| В* В*, и поэтому точка схода отрезков и падающих теней будет
общей:
ДМ2 X ДЧ2 =	&В2 X В'В* ---= В; Q^R^F.
Знание этого положения дает возможность уточнять и упрощать построение.
Пример 120. Построить падающую тень от прямоугольной пластинки
А1 В1 В2А2, вертикально поставленной на предметную плоскость (черт. 411).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 411. Из
чертежа видим, что тень отрезка ДМ2 || Д*Д*, а поэтому имеет общую
точку схода F с отрезком А1 А2; А1 А2 X Д*Д2 ~ В.
Пример 121. Построить падающие тени от точки А пространства
и прямоугольной пластинки, вертикально поставленной на предметную
плоскость (черт. 412).
Решение выполняем в следующем порядке: строим падающую тень
от точки А на прямоугольную пластинку. Для этого через точки S* и Д
59
проведем плоскость /?; на линии пересечения плоскости 7? с пластинкой
световой луч отметит падающую тень точки А:
R X В1В2В3В^ = 1-2\ S*A X 1-2 = А*.
Пример 122. Построить падающие тени от точки А пространства
и призмы, поставленной на предметную плоскость Н (черт. 413).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 413 (§ 44,
черт. 412).
Пример 123. Построить падающую тень от вертикального отрезка АВ
и прямоугольной пластинки В1 В3В4В2 (черт. 414).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 414 (§ 44,
черт. 412).
Пример 124. Построить падающие тени от отрезков АВ и АС на
плоскости Н и R (черт. 415).
Решение выполняем в следующем порядке:
1.	Строим падающую тень отрезка АВ, предполагая, что плоскости R
нет; тогда тень от точки А упадет в точку
2.	Строим падающую тень от точки А на плоскость R. Для этого
находим линию пересечения плоскостей:
RH X Тн = М; RfXTf = F; RXT= MF.
Получим: MF X 5*Л = А*.
3.	Тенью отрезка АВ на плоскости R будет отрезок МА*. Точку М
называют в этом случае точкой излома тени.
4.	Тень от отрезка АС на предметную плоскость изобразится отрез-*
ком Точка К излома тени определяет границу этой тени до пло-
скости R; отрезок КА* является тенью отрезка АС на плоскость R.
Пример 125. Построить падающую тень отрезков АВ, АС и прямо-
угольной пластинки Л1Л2Л3Л4 (черт. 416). Решение представлено в графи-
ческом виде на чертеже 416 (§ 44, черт. 412).
Пример 126. Построить падающую тень от вертикального отрезка Л'С1
и усеченного параллелепипеда, поставленного на предметную плоскость
(черт. 417).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 417.
Заметим, что падающие тени от отрезков восходящего и нисходящего
положений сходятся в общую точку предметного следа самого отрез-
ка: В1 В2 X В^В* — М. Знание этого положения дает возможность строить
падающую тень от отрезка при условии, когда один из концов этого
отрезка расположен выше источника света.
Пример 127. Построить падающую тень от наклонного отрезка АВ
и наклонной пластинки Е1Е2Е3Е^ (черт. 418).
Решение. Способом, описанным в § 44 (черт. 409), строим падаю-
щую тень на предметную плоскость от заданных объектов. Для нахожде-
ния падающей тени от отрезка АВ на пластинку Е1Е2Е3Е4 необходимо
построить линию пересечения теневой плоскости ВАВ* с плоскостью,
определяемой заданной пластинкой ЕХЕ2Е3Е^. Для построения линии пере-
сечения треугольника ВАВ* и пластинки Е4Е2Е3Е^ проведем вспомога-
тельную фронтальную плоскость Т; получим:
Тн X еЧ2 = /; ТД Е3Е* = 2;ТНХ А*В* = 5; Ab X Тн = 4\
А*В* х Е:3Е4 = М; 6-2 X 5-3 = С; CM X Е1Е4 = С1.
Отрезок С4С2 искомый; он является падающей тенью от прямой АВ на
пластинку Е1Е2Е3Е^.
Но это же построение, как видно из чертежа 418, можно было
выполнить гораздо проще. Для этого проведем прямые A2S*, ATS* и полу-
60
чим искомые точки: Л2£* X ЕГЕ2 = С2, Лг3* X = С1, т. е. придем
к такому же результату.
Прямые Л2£* и Лг5* называют в таком случае обратными лучами.
а такой способ построения называют методом обратных лучей. Следова-
тельно, при способе построения методом обратных лучей используются
точки пересечения контуров падающих теней обоих предметов.
Если контуры падающих теней заданных объектов пересекаются
в точках Лх и Л2, а это означает, что в пространстве световые лучи Х*Л2
и £*Л2 пересекают поверхности заданных тел и, следовательно, предмет,
находящийся ближе к источнику света, «бросает» падающую тень на
предмет, находящийся за ним, в сторону удаления от данного источника
света. На картине контуры пересекающихся падающих теней следует рас-
сматривать как скрещивающиеся прямые на эпюре, где видимость опре-
деляется методом конкурирующих точек.
При построении падающей тени от отрезка АВ на пластинку Е^ЕРЕ^Е*
предметная плоскость Н выступала в качестве плоскости-посредника;
такую плоскость, выполняющую роль посредника, называют экраном.
В данном примере предметная плоскость явилась естественным экра-
ном; но в иных случаях такие плоскости-посредники, выполняющие роль
экрана, могут быть специально подобранными (в случае отсутствия есте-
ственного экрана).
При построении в помещениях перспективы собственных и падающих
теней от заданных предметов методом обратных лучей в качестве экрана
могут служить стены данного объекта.
Метод обратных лучей позволяет упростить и повысить точность гра-
фического построения.
ЗАДАЧИ 138—146
138.	Построить падающую тень от точки А пространства на плоскость Q
(черт. 419).
139.	Построить падающую тень от точки А пространства на треуголь-
ную пластину В1В2В3 (черт. 420).
140.	Построить падающую тень от отрезка А1 А2 на предметную
плоскость (черт. 421).
141.	Построить падающую тень от нисходящего отрезка А1 А2 на пред-
метную плоскость (черт. 422).
142.	Построить падающую тень от восходящего отрезка ЛМ2 на пред-
метную плоскость (черт. 423).
143.	Построить падающую тень от прямоугольной пластинки ЛМ2Л3Л4
на предметную плоскость (черт. 424).
144.	Построить падающую тень от прямоугольной пластинки ЛМ2Л3Л4
на грань призмы, поставленной на предметную плоскость (черт. 425).
145.	Построить падающую тень от прямоугольной пластинки Л МММ4
на предметную плоскость (черт. 426).
146.	Построить падающую тень от пересекающихся отрезков АС и АВ
на плоскость 7? (черт. 427).
§ 45.	ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ТЕНЕЙ ПРИ
СОЛНЕЧНОМ ОСВЕЩЕНИИ
При построении теней от предметов, освещенных солнцем или луной,
приняты следующие допущения: 1) источник света принимается в виде
светящейся точки; 2) эта точка удалена в бесконечность. Из этих двух
61
положений вытекает следующее: 3) световые лучи параллельны друг другу.
Следовательно, источник света (луну или солнце) в перспективе можем
рассматривать как предельную точку на основе принятых первого и вто-
рого положений, что светящаяся точка (луна или солнце) удалена в беско-
нечность.
Если эта предельная точка (перспектива луны или солнца) на линии
горизонта, то световые лучи параллельны предметной плоскости, если над
линией горизонта, то световые лучи восходящие, если под линией гори-
зонта, то световые лучи нисходящие (§ 15, черт. 66—76).
Солнце может находиться по отношению к зрителю в следующих
положениях: 1) перед зрителем в предметном пространстве: а) справа
(черт. 428—429), б) слева (черт. 430—431), в) в плоскости главного вер-
тикала (черт. 432—433); 2) сзади зрителя в мнимом пространстве: а) справа
(черт. 434—435), б) слева (черт. 436—437), в) в плоскости главного
вертикала (черт. 438—439); 3) в нейтральной плоскости: а) справа
(черт. 440—441), б) слева (черт. 442—443).
Если солнце находится в нейтральной плоскости, его предельная точка
не может быть изображенной на картине, так как световые лучи проходят
в нейтральной плоскости, следовательно, параллельны картине и не могут
поэтому иметь предельной точки на картинной плоскости. Угол наклона
и направление световых лучей, идущих от солнца к предметной пло-
скости, в таком случае должны быть заданными.
При построении перспектив теней при солнечном освещении, вообще
говоря, можно произвольно выбирать положение солнца. Следовательно,
на картине произвольно задаются следующие элементы (обеспечивающие
построение перспектив теней):
1.	Перспектива солнца (солнце находится перед зрителем в предмет-
ном пространстве).
2.	Точка схода перспектив солнечных лучей (солнце находится за
спиной зрителя в мнимом пространстве).
3.	Направление световых лучей и угол наклона их к предметной
плоскости (солнце находится в нейтральной плоскости).
Однако при построении перспектив теней от объектов, освещенных
солнцем, следует учитывать действительное положение солнца, например,
при закате тени должны быть длиннее, и, наконец, фактическое положе-
ние солнца — связано с географической широтой места.
ПРИМЕРЫ 128—133
Пример 128. Построить падающую тень от некоторой точки А прост-
ранства на предметную плоскость. Солнце находится спереди слева
(черт. 444).
Так как солнце (или точка схода перспектив солнечных лучей) нахо-
дится над линией горизонта, следовательно, световые лучи восходящие;
это означает, что солнце находится спереди (перед зрителем в предметном
пространстве; § 15, черт. 70).
Солнечные лучи направлены в глаза, зритель видит затемненную
часть объекта. Солнце по отношению к точке А (в данном примере) слева
и перед ней, значит, перспектива падающей тени будет направлена вправо
и на зрителя. Точка схода перспектив восходящих солнечных лучей
и изображение солнца на картине совпадают.
Решение представлено в графическом виде на чертеже 444, на кото-
ром видно, что графическое построение падающей тени при солнечном
освещении аналогично построению при центральном освещении, т. е.
падающая тень А* от точки А пространства, освещенной солнцем, нахо-
62
дится на пересечении перспективы солнечного луча с перспективой его
основания: FSA X fsa = Л*. Если точка совпадает со своим основанием,
то ее падающая тень совпадает с самой точкой: А = а = А* = а*,
FSAX fsa^A = Л*, а если Fs = fs, т. е. солнце находится на горизонте,
его лучи параллельны предметной плоскости, следовательно, FSA // fsat тогда
тень Л* от точки Л уходит в бесконечность; поэтому, чем выше над гори-
зонтом солнце, тем короче тень, и наоборот (§ 44, черт. 407).
Пример 129. Построить падающую тень от вертикальной пластинки,
поставленной на предметную плоскость. Солнце находится сзади (черт. 445).
Так как точка схода перспектив солнечных лучей находится под
линией горизонта, следовательно, световые лучи нисходящие; это означает,
что солнце находится сзади (за спиной зрителя, в мнимом пространстве).
Зрителю видна освещенная часть объекта. Солнце по отношению к пла-
стинке расположено (в данном примере) слева и сзади него; значит,
перспектива падающей тени будет направлена вправо и от зрителя.
Если солнце находится сзади зрителя (в мнимом пространстве), точка
схода перспектив нисходящих солнечных лучей не является изображением
солнца на картине. Задача сводится к построению предметных следов,
перспектив солнечных лучей, проходящих через вершины заданной пла-
стинки (§ 15, 44, черт. 72, 409).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 445.
Пример 130. Построить падающую тень от прямоугольной пластин-
ки АВСЕ, вертикально поставленной на предметную плоскость. Направле-
ние солнечных лучей и угол их наклона к предметной плоскости заданы
(черт. 446).
Так как солнечные лучи направлены параллельно картине, а это
означает, что солнце находится в нейтральной плоскости, и поэтому пре-
дельная точка перспектив солнечных лучей, а равно и перспектива самого
солнца на картине не могут быть изображенными.
Задача сводится к построению предметных следов перспектив солнеч-
ных лучей, проходящих через вершины заданной пластинки (§ 15, 45,.
черт. 76, 444).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 446.
Пример 131. На картине представлены точка А пространства и точка
схода перспектив солнечных лучей. Построить падающие тени заданной
точки (черт. 447).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 447.
Пример 132. На картине представлены пластинка BCDE, точка А
пространства и точка Fs схода перспектив солнечных лучей. Построить
падающие тени заданных объектов (черт. 448).
Решение представлено на чертеже 448 (§ 15, 44, черт. 72, 408).
Пример 133. На картине представлены наклонный отрезок АВ, пря-
моугольная пластинка С4С2С3С4 и точка схода перспектив солнечных лучей.
Построить падающие тени заданных объектов (черт. 449). Решение пред-
ставлено в графическом виде на чертеже 449 (§ 15, 44, черт. 72, 408).
ЗАДАЧИ 147—160
147—154. Решения задач даны в графическом виде, которые рекомен-
дуются для самостоятельного изучения (черт. 450—457).
155.	Построить падающую тень от точки пространства на предметную’
плоскость. Солнце находится в мнимом пространстве.
156.	Построить падающую тень от точки А пространства, если
точка А и солнце находятся в предметном пространстве в плоскости
главного вертикала.
63
157.	Построить собственную и падающую тени оси вертикального
отрезка АВ и призмы CDEC'D'Е', поставленной на предметную плоскость
(черт. 458).
158.	Построить собственную и падающую тени от наклонного отрез-
ка АВ и призмы CDEC'D' Е', поставленной на предметную плоскость
(черт. 459). Для решения применить метод обратных лучей.
159.	Построить падающие тени от наклонного отрезка АВ и наклон-
ной пластинки ЕХЕ2Е3Е4 (черт. 460). Для решения применить метод обрат-
ных лучей.
160.	Построить падающую тень от восходящего отрезка АВ на пред-
метную плоскость. Солнце находится в мнимом пространстве в плоскости
главного вертикала.
§ 46.	ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ТЕНЕЙ ОТ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Построение теней (собственной и падающей) от тел вращения, как
ранее уже говорилось, сводится к построению линии пересечения теневой
поверхности (или обертывающей поверхности) с заданной поверхностью,
на которой должна быть построена падающая тень от данного предмета.
Линия же касания теневой поверхности с поверхностью заданного объекта
будет границей, определяющей собственную тень.
Обертывающая поверхность в зависимости от освещаемого объекта
может быть в общем случае конической и в частных случаях плоскостью
или прямой.
ПРИМЕРЫ 134—138
Пример 134. Построить падающую и собственную тени цилиндра,
поставленного на предметную плоскость (черт. 461).
Решение. Проведем через прямую Fsfs плоскости, касательные
к боковой поверхности цилиндра, и построим прямые А*А2, A3A4t являю-
щиеся касательными к обертывающей поверхности. Обертывающей поверх-
ностью для прямых ДМ2 и А3Д4 будут плоскости ArA2Fsfs и A3A4Fsfs.
Образующие А1Л2 и А3А4 отделяют освещенную часть боковой поверхности
от затемненной. Способом, описанным в § 45 (пример 128), построим
падающую тень дуги окружности верхнего основания цилиндра. Через
полученные точки от руки проведем плавную кривую. Прямые, проведен-
ные через точки дуги окружности, с точкой Fs образуют обертывающую
поверхность, пересечение которой с предметной плоскостью было пост-
роено при помощи отдельных точек. Обертывающая теневая поверхность
для данного положения цилиндра оказалась неоднородной; она состоит из
плоскостей А1А2А^, А3А4А* и кривой обертывающей поверхности в грани-
цах от дуги верхнего основания цилиндра до ее падающей тени — кривой
линии.
Заметим, что точку Fs можно заменить дробной точкой. На черте-
жах 461—463 построение исполнено при помощи дробных точек.
Примеры 135—138 представлены в графическом виде и предназна-
чаются для самостоятельного изучения (черт. 462—465).
ЗАДАЧИ 161—163
161.	Построить собственную и падающую тени от вертикального
отрезка и цилиндра, поставленного на предметную плоскость (черт. 466).
64
162.	Построить собственные и падающие тени от конуса и цилиндра,
поставленных на предметную плоскость (черт. 467).
163.	Построить собственную и падающую тени от поверхности тела
вращения (черт. 468).
Вопросы к главе VII
1.	Что называют падающей тенью и падающими полутенями?
2.	Что называют полной тенью предмета?
3.	Чем характерна тень от рассеянного света?
4.	Чем объясняется, что рефлекс от земли сильнее внизу, нежели
вверху?
5.	Что называют тенью точки и как ее построить?
6.	Что такое контур собственной тени и какая связь между ним
и собственной тенью?
7.	Что такое иррадиация и одновременный контраст?
8.	Какое пространство называется тенью?
9.	Что такое теневая поверхность и какие формы она имеет?
10.	От чего зависит сила света?
И. В чем заключается пограничный контраст?
12.	Чем объясняется, что собственные тени слабее падающих теней?
13.	Чем объясняется, что собственные тени у основания предметов
кажутся более светлыми, нежели у верха их?
14.	Что такое конус тени?
15.	В чем сущность метода обратных лучей?
16.	Чем объясняется ослабление падающих теней при удалении осве-
щаемого предмета от поверхности?
17.	Чем объясняется, что полутени ослабевают по мере приближения
к своим внешним границам?
18.	Как называется отраженный свет?
19.	Что называют обертывающим пучком света?
20.	Как могут быть заданы источники света в перспективе при
солнечном и факельном освещениях?
21.	От чего зависит реальность построения перспектив теней при
солнечном освещении?
22.	Где на картине должно быть изображение солнца, если оно нахо-
дится перед зрителем?
23.	Возможно ли на картине изобразить положение солнца, если оно
находится сзади (или за спиной) зрителя?
24.	Какие следует задать элементы на картине для построения
перспектив теней, если солнце находится в мнимом пространстве?
25.	Какие должны быть заданы на картине элементы, обеспечивающие
построение перспектив теней при любом положении солнца?
26.	От чего зависит наилучшее выявление перспективы рельефа изоб-
ражаемого объекта и какими средствами это достигается?
27.	При каком положении солнца его изображение на картине совпа-
дает с предельной точкой перспектив световых лучей и при каком поло-
жении не совпадает?
28.	При каком положении солнца его изображение и точка схода
перспектив солнечных лучей не изображаются на картине?
29.	Как строится перспектива теней, когда заданный объект и солнце
находятся в плоскости главного вертикала?	г
5 Заказ № 12
65
— ГЛАВА VIII
ПЕРСПЕКТИВА ОТРАЖЕНИЙ В ПЛОСКИХ ЗЕРКАЛЬНЫХ
ПОВЕРХНОСТЯХ
§ 47.	ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ
Световые лучи, попадая на поверхность тела, изменяют свое направ-
ление, или, как принято говорить, отражаются от нее.
Не все тела одинаково отражают свет. Отражение света зависит не
только от природы самого тела, но также и от обработки его поверхности
и от ее окраски. Из непрозрачных тел больше отраженного света дают
те тела, поверхность которых имеет более высокую степень чистоты обра-
ботки, а также тела, имеющие белую гладкую окраску. И, наоборот, тела
с низкой степенью чистоты обработки (неполированные) большую часть
света поглощают и слабо его отражают, причем отраженный свет от таких
поверхностей будет, рассеянным, т. е. пойдет по разным направлениям.
Если же поверхность тела будет зеркальной, то отраженный луч света
пойдет по определенному направлению.
Основными физическими законами отражения света для плоских зер-
кальных (или полированных) поверхностей являются следующие:
1.	Луч падающий SK и луч отраженный /СЕ лежат в одной плоскости
с нормалью КА, проведенной к отражающей поверхности зеркала (черт. 469).
2.	Угол падения равен углу отражения: Z.a= На чертеже 469
представлено в разрезе зеркало ВВ, секущая плоскость проходит через
луч света SK, прямая КА перпендикулярна к отражающей поверхности.
Элементы чертежа принято называть так: 1) луч падения — SK,
2) точка падения — К, 3) отраженный луч — КЕ, 4) угол падения — а,
5) угол отражения — р, 6) нормаль — КА.
Построение зеркального отражения. На чертеже 470 представлены
отраженные лучи света КЕ и К^Е^ Зритель, смотрящий в зеркало,
воспримет отраженные лучи КЕ и К1Е1 и увидит в зеркале ВВ точку S
на пересечении этих отраженных лучей в точке S', которая называется
зеркальным отражением точки S. Из чертежа видно, что точки S и S'
лежат на одном перпендикуляре к отражающей плоскости и отстоят от
его основания на равных расстояниях: Ss = S's.
Вывод. Для того чтобы построить отражение S' точки S в зер-
кале ВВ, из этой точки S опускают перпендикуляр на плоскость зер-
кала ВВ и продолжают его на расстояние Ss, равное S's. Точка S' и будет
зеркальным отражением точки S.
§ 48.	ОТРАЖЕНИЕ В ЗЕРКАЛАХ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ
К ПРЕДМЕТНОЙ И КАРТИННОЙ ПЛОСКОСТЯМ
ПРИМЕРЫ 139—143
Пример 139. Построить отражение отрезка АВ в зеркале фронтального
положения, поставленного на предметную плоскость (черт. 471).
Решение представлено на чертеже 471 и выполняется в следующем
порядке:
66
1.	Через отрезок АВ проведем плоскость Q, перпендикулярную
плоскости зеркала, и построим линию Ма пересечения плоскости Q
с плоскостью зеркала.
2.	Из точки А в плоскости Q проведем прямую АР перпендикулярно
к плоскости зеркала и от ее основания — точки а — отложим на этой
прямой отрезок А'а, равный отрезку Аа. Точка А! и будет искомой.
3.	Отражение В' точки В строим аналогично построению точки А.
Соединив прямой точки А' и В', получим отрезок А'В', который и является
отражением отрезка АВ в заданном зеркале (§ 29, 32).
Пример 140. Построить отражение отрезка АВ в зеркале, вертикально
закрепленном на стене фронтального положения (черт. 472).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 472 (§ 29, 32).
Пример 141. Построить отражение отрезка АВ в зеркале, плоскость
которого перпендикулярна к картине и наклонена к предметной плоскости
под произвольным углом а (черт. 473).
Решение представлено на чертеже 473 и выполнено в следующем
порядке:
1.	Отрезок АВ заключаем в фронтальную плоскость Т, перпендику-
лярную плоскости зеркала.
2.	Строим линию пересечения плоскости зеркала с плоскостью Т.
3.	Из точек А и В опускаем перпендикуляры на плоскость зеркала
и от найденных оснований — точек а и b — на продолжении этих перпен-
дикуляров отмечаем расстояния: А'а = Аа и В'Ь = ВЬ. Соединив прямой
точки А! и В', получим искомый отрезок А'В', т. е. отражение АВ
(§ 29, 32).
Пример 142. Построить отражение отрезка АВ в зеркале, закреплен-
ном на стене под произвольным углом а. Плоскость стены параллельна
главной плоскости (черт. 474). Решение представлено в графическом виде
на чертеже 474 (§ 3, 29, 32, черт. 9, 225, 255).
Пример 143. Построить отражение отрезков АВ и в зеркале,
плоскость которого перпендикулярна к предметной плоскости и наклонена
к картине под произвольным углом (черт. 475).
Решение представлено на чертежах 476, 477 и выполнено в сле-
дующем порядке:
1.	Построим следы плоскости и предельную прямую Tf плоскости Т,
определяемой зеркалом, и обозначим эти элементы.
2.	Построим точку F2 для плоскостей вертикального положения, пер-
пендикулярно направленных к плоскости зеркала (§ 20, 32, черт. 105—
112, 245).
3.	Заключим отрезки АВ и А^ в плоскости Q и R, перпендикуляр-
ные к плоскости зеркала. На линии пересечения плоскостей Q и R
с плоскостью зеркала прямые AF2, BF, A'F2 и B'F2 отметят точки а, М,
a', Mi, на продолжении этих прямых отложим отрезки аА' = аА,
МВ' = MB, а±А\ = a-iAx и М^В^ = М^. Отрезки А'В' и А\В\ искомые
(§ 20, 32).
§ 49.	ОТРАЖЕНИЕ В ЗЕРКАЛАХ, НАКЛОНЕННЫХ К ПРЕДМЕТНОЙ
И КАРТИННОЙ ПЛОСКОСТЯМ
ПРИМЕРЫ 144—146
Пример 144. Построить отражение отрезка АВ в зеркале, плоскость
которого наклонена к предметной и картинной плоскостям (черт. 478).
Решение представлено на чертежах 478, 479, 480 и выполнено
в следующем порядке:
5*	67
1.	Заключаем плоскость зеркала в плоскость 7? и строим предельную
точку F3 для всех прямых, перпендикулярных к плоскости R (черт. 478)
(§ 32, черт. 245, 246).
2.	Строим отражение точки А (черт. 479). Для этого находим линию
пересечения плоскости Q с плоскостью зеркала и строим точку а. На
продолжении прямой АВ от точки А отметим два равных отрезка произ-
вольной величины А-1 = 1-2', получим: 1-а \Qf = F5', F5-2 X AF3 = A'.
Точка А' искомая.
3.	Строим отражение точки В (черт. 480). Для этого выполним сле-
дующее: А'В X Ма = 3, А-3 X — В'. Точка В' искомая. Соединив
точки А' и В', получим искомый отрезок А'В'.
Пример 145. Построить отражение отрезка АВ в зеркале, наклонен-
ном под произвольным углом к стене (черт. 481).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 481 (§ 20,
32, 49, черт. 105—122, 245, 480).
Пример 146. Построить отражение отрезка АВ в зеркале, плоскость
которого наклонена к предметной и картинной плоскостям (черт. 482).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 482 (§ 20,
32, 49, черт. 105—122, 246, 478—480).
§ 50.	ОТРАЖЕНИЕ В ЗЕРКАЛАХ ВОСХОДЯЩЕГО И
НИСХОДЯЩЕГО ПОЛОЖЕНИЙ
Прежде чем приступить к построению отражений в зеркалах нисхо-
дящего и восходящего положений, выясним, как будет построена точка
схода для прямых, перпендикулярных плоскостям такого положения
(§ 3, 25, черт. 3, 182, 183).
Для уяснения построения точки схода F для прямых, перпендикуляр-
ных плоскости нисходящего положения, представлен комплексный чер-
теж 483, на главном виде которого дана проекция проектирующего
аппарата, а на виде слева — картина К с изображением на ней зеркала
нисходящего положения. Изображенное на картине зеркало A^BBi перене-
сено при помощи линий переноса на проектирующий аппарат, где и по-
казано построение точек F и Fr — точка схода наклонных сторон зер-
кала, a F — точка схода прямых, перпендикулярных плоскости зеркала).
Полученные точки F и Fr перенесены при помощи линий связи на
картину К. Совмещенная точка S’k, совпадающая с дистанционной точ-
кой D2 (D2 = S^, получена в результате вращения главной плоскости
вокруг линии главного вертикала (плоскостью вращения для точки S слу-
жила плоскость горизонта) до совмещения ее с плоскостью картины.
Заметим, что луч, идущий из точки O2 = S^ для отыскания точки F,
перпендикулярен к прямой АВ2, образующей с вертикалью угол а, т. е.
угол наклона плоскости зеркала к картине. Знание этого положения дает
возможность построения точки при недоступной точке схода наклонных
сторон зеркала. На комплексном чертеже 484 показано построение точки
схода для прямых, перпендикулярных плоскости зеркала восходящего
положения. Графическое построение выполнено аналогично построению
исполненному на чертеже 483.
ПРИМЕРЫ 147—150
Пример 147. Построить точку схода F для прямых, перпендикулярных
зеркалу нисходящего положения, наклонные стороны которого направлены
в недоступную точку схода Fr (черт. 485).
68
Решение. Для построения точки схода прямых, перпендикулярных
плоскости заданного зеркала, достаточно определить наклон зеркала
к предметной плоскости, т. е. построить угол а и провести из дистан-
ционной точки = луч перпендикулярно к прямой АВ2 до пересече-
ния с линией главного вертикала в точке F. Точка F и будет искомой
(черт. 486).
Наклон зеркала к предметной плоскости построен путем вращения
треугольника АВа вокруг неподвижной прямой Аа до фронтального поло-
жения АВ2а. Для этого катет аВ, перпендикулярный к плоскости кар-
тины, при помощи точки О2 перенесен во фронтальное положение аВ2.
Треугольник АВ2а в повернутом положении параллелен плоскости картины,
и поэтому угол а будет натуральным, следовательно, луч, проведенный
из точки D2 = S'k в точку F, должен быть перпендикулярным к прямой АВ2.
Пример 148. Построить точку схода F для прямых, перпендикуляр-
ных к зеркалу восходящего положения, наклонные стороны которого
направлены в недоступную точку схода F± (черт. 487).
Решение представлено на чертеже 488 и выполняется в следующем
порядке:
1.	Прямоугольный треугольник АаВ вращаем вокруг неподвижной
прямой катета Аа до фронтального положения АВ2а. Для этого точку В
перенесем при помощи точки D2 в положение В2. Треугольник АВ2а
в повернутом положении параллелен плоскости картины, и поэтому угол а
будет натуральным.
2.	Проводим луч из точки D2 в искомую точку F перпендикулярно
к прямой АВ2 до пересечения с предельной прямой Fj главной плоскости.
Пример 149. На картине представлены смежные стороны В4В4, В4В3
зеркала нисходящего положения и смежные стороны ЛХВ4, В4В3 прямо-
угольной плиты, расположенной в предметной плоскости. Дочертить
плоскость зеркала, прямоугольной плиты и построить отражение этой
плиты в заданном зеркале (черт. 489).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 490 (§ 49, 50,	\
черт. 479, 483).
Пример 150. На картине представлены зеркало нисходящего положе-
ния, паркетный пол из квадратных плит и торшер АВ. Построить отра-
жение в зеркале заданных объектов (черт. 491).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 492 (§ 49, 50,
черт. 479, 483).
ЗАДАЧИ 164-181 (к § 48-50)
164.	Построить отражение точки А в зеркале фронтального положе-
ния (черт. 493).
165.	Построить отражение вертикального отрезка АВ в зеркале фрон-
тального положения (черт. 494).
166.	Построить отражение вертикального отрезка АВ в зеркале, пло-
скость которого перпендикулярна к предметной и картинной плоскостям
(черт. 495).
167.	Построить отражение наклоненного отрезка АВ в зеркале, кото-
рое перпендикулярно к предметной и картинной плоскостям (черт. 496).
168.	Построить отражение наклоненного отрезка АВ в зеркале, пло-
скость которого параллельна картине (черт. 497).
169.	Построить отражение прямоугольной пластинки	парал-
лельно расположенной зеркалу, плоскость которого перпендикулярна
к предметной и картинной плоскостям (черт. 498).
69
170.	Построить отражение вертикального отрезка АВ в зеркале, пло-
скость которого перпендикулярна к предметной плоскости и наклонена
к картине под углом в 45° (черт. 499).
171.	Построить отражение вертикального отрезка АВ в зеркале, пло-
скость которого перпендикулярна к картине и наклонена к предметной
плоскости (черт. 500).
172.	Построить отражение наклоненного отрезка АВ в зеркале, пло-
скость которого перпендикулярна к картине и наклонена к предметной
плоскости (черт. 501).
173.	Построить отражение вертикального отрезка АВ в зеркале, пло-
скость которого нисходящего направления (черт. 502).
174.	Построить отражение вертикального отрезка АВ в зеркале, пло-
скость которого восходящего направления (черт. 503).
175.	Построить отражение вертикального отрезка АВ в зеркале, пло-
скость которого перпендикулярна к предметной плоскости и наклонена
под произвольным углом к картине (черт. 504).
176.	Построить отражение вертикального отрезка АВ в зеркале,
плоскость которого наклонена к предметной и картинной плоскостям
(черт. 505).
177.	Построить отражение вертикального отрезка АВ в зеркале,
плоскость которого наклонена к предметной и картинной плоскостям
(черт. 506).
178.	Построить отражение наклоненного отрезка АВ в зеркале
(черт. 507).
179.	Построить отражение вертикального отрезка АВ, расположенного
в комнате, пол и стены которой зеркальны (черт. 508).
180.	Построить отражение вертикального отрезка АВ в зеркале, ви-
сящем на стене и наклоненном к ней под произвольно заданным углом
(черт. 509).
181.	Построить изображение отрезка АВ по его отражению в зеркале,
плоскость которого перпендикулярна к предметной и картинной пло-
скостям (черт. 510).
§ 51. ОТРАЖЕНИЕ В СПОКОЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВОДЫ
ПРИМЕРЫ 151—152
Пример 151. Построить отражение вертикального шеста АВ в спокой-
ной поверхности воды (черт. 511).
Решение представлено на чертеже 512. Построение отражений
в спокойной поверхности воды выполняется так же, как и отражение
в горизонтальном зеркале, на основе тех же физических законов отраже-
ния (§ 47). Построение выполнено в следующем порядке:
1.	Заключаем шест АВ в вертикальную плоскость R (положение пло-
скости берем произвольным, учитывая при этом лишь одно удобство по-
строения). Плоскость R пересечет вертикальную стену набережной по
фронтали (вертикальной прямой 1-2), а зеркало (или поверхность) воды —
по линии Rh, следовательно, основание шеста АВ на поверхности воды
будет в точке bQ.
2.	Продолжим вертикальный шест АВ от точки Ьо вниз и отложим
«от точки &0 на продолжении вертикали отрезки, равные B'bQ = BbQ, A'bQ =
«= Л&0; точки А’ и В' будут искомыми, т. е. точками, отраженными в во-
де. Построение отражения вертикальной набережной в воде должно быть
понятным из чертежа.
70
Пример 152. Построить отражение наклонного шеста АВ в спокой-
ной поверхности воды (черт. 513).
Решение представлено на чертеже 514 и выполнено в следующем
порядке:
1. Строим отражение В' точки В в воде. Для этого из точки В про-
водим вертикаль вниз и через нее проводим вертикальную плоскость R; пло-
скость R пересечет отвесную стену набережной по прямой 1-2 (фронталь),
а зеркало воды — по прямой Rh- Точка &0 будет основанием точки В на по-
верхности зеркала воды. Отложим вниз по вертикали от точки &0 отре-
зок В'Ьц = В&0; получим искомую точку В', которая является отражением
точки В в воде.
2. Отражение точек Лиа строим так же, как и отражение точки
В (Ла0 = А'а$\ аа0 = а'а^. Соединив точки А' и В' прямой, получим искомый
отрезок Л'В', который и является отражением А'В' отрезка АВ.
Вопросы к главе VIII
1.	На каких законах основано построение перспектив отражений
в плоских зеркалах?
2.	От чего зависит отражение света?
3.	При какой степени чистоты обработки отражающая поверхность
может дать отчетливое отражение?
4.	Сформулируйте закон отражения лучей света от плоской зеркаль-
ной поверхности.
5.	Какие тела хорошо отражают свет?
6.	Влияет ли цвет тела на отражение света?
7.	Изложите последовательность построения отражения точки в пло-
ском зеркале при любом заданном его положении.
------ ГЛАВА IX
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
§ 52. МЕТОД МАЛОЙ И БОЛЬШОЙ КАРТИНЫ
Построение перспективных изображений, когда точки схода и отда-
лений не помещаются в пределах чертежа, усложняется. При методе ма-
лой картины все вспомогательные точки можно получить в пределах
чертежа и построение значительно упрощается.
Перспективные изображения, построенные методом малой картины,
могут быть увеличены в нужное число раз без нарушения перспективного
изображения, так как увеличение основано на коэффициенте подобия,
определяемом отношением расстояний точки зрения от плоскостей боль-
шой и малой картины.
Обратимся к чертежу 515, на котором представлен проектирующий
аппарат с двумя картинными плоскостями Кх и К2.
Построим на картине /<х изображение К2 картины К2 (черт. 516). Из
чертежа видно, что перспективное изображение К2 прямоугольника — кар-
тины К2 — подобно прямоугольнику — картине Кх; коэффициент подобия
определяется отношением отрезков SPX : SP2.
71
Линейные размеры двух картин находятся между собой в отношении,
равном коэффициенту подобия. Так, например, если бы это отношение
было равно Уа, то линейные размеры фигур, изображенных на картине К2,
были бы вдвое меньше соответственных размеров подобных им фигур,
изображенных на картине
Таким образом мы получили (черт. 517) малую и большую картины:
у этих картин (малой и большой) в таком же отношении будут находиться
точки схода и отдалений. Точку Р в таком случае называют центром по-
добия.
При переходе от одной картины к другой руководствуются следую-
щими свойствами подобных фигур малой и большой картины:
1)	две соответственные точки подобных фигур лежат на одной прямой,
проходящей через центр подобия;
2)	два соответственных отрезка параллельны между собой.
ПРИМЕРЫ 153—155
Пример 153. На малой картине К2 изображен вертикальный отре-
зок А2А3. Требуется увеличить малую картину в три раза (черт. 518).
Решение выполняется в следующем порядке (черт. 518).
1. Строим рамку большой картины. Примем точку Р за центр подо-
бия и, основываясь на предложении первом (две соответственные точки
подобных фигур лежат на одной прямой, проходящей через центр подобия),
строим соответствующие вершины на большой картине. Для этого из точки
Р через вершины 1, 2, 3, 4 на малой картине проведем прямые Р-/, Р-2,
Р-3, Р-4. Используя коэффициент увеличения (по условию сказано — уве-
личить малую картину в 3 раза), строим на прямой Р-1 вершину на
большой картине; отрезок Р-1г = 3(Р-1).
2. Основываясь на предложении втором (два соответственных отрезка
подобных фигур параллельны между собой), из точки 1г проведем сто-
роны большой картины, соответствующие сторонам малой картины. Для
построения основания заданного отрезка на большой картине проведем на
малой картине прямые РА3 и 4-А3. Из вершины 4± на большей картине
проведем прямую, соответствующую отрезку 4-А3, и на пересечении этой
прямой с линией Р А3 получим точку Аз — основание отрезка. Вертикальная
прямая, проведенная через точку Лз, отметит на луче РА2 искомую А2-
Отрезок Л2Лз искомый.
Пример 154. На большой картине представлен параллелепипед, по-
ставленный своим основанием на предметную плоскость. Требуется умень-
шить данную картину в два раза (черт. 519).
Решение представлено на чертеже 519 и выполнено в следующем
порядке:
1. Строим малую картину. Для этого на линии горизонта берем
произвольно центр подобия—точку С. Построение контуров малой картины
выполнено аналогично предыдущему примеру (черт. 518).
2. На малой картине строим перспективное изображение (подобную
фигуру) параллелепипеда, используя для этого свойства подобных фигур.
Пример 155. На картине представлены плинтус пола AAlf точка схода
которого недоступна, линия пересечения двух стен, отрезок АВ, опреде-
ляющий высоту комнаты, и совмещенная точка зрения малой картины.
Применив способ перехода к малой картине, достроить угловой интерьер
комнаты при заданном коэффициенте подобия, равном г/3 (черт. 520).
Решение представлено на чертеже 521 и выполнено в следующем
порядке:
72
1.	Строим точки схода плинтусов пола на малой картине. Приняв
точку Р за центр подобия, соединим точку А с точкой Р и разделим от-
резок АР на три равные части (по условию коэффициент подобия равен 1/3).
На малой картине из точки Л3 проведем прямую X3Fj параллельна
плинтусу АА! (соответственные прямые). При помощи точки S# строим
вторую точку схода г2.
2.	Построим плинтус пола на большой картине. Для этого через точ-
ку А проведем прямую АА2 на большой картине параллельно прямой
F?A3 (соответственные прямые).
3.	Строим на большой картине линии пересечения стен с потолком.
Для этого на малой картине через точку В3, соответствующую точке В,
проведем прямые В3/7^ и В3В2, а на большой картине через точку В,
соответствующую точке В3, проведем прямые BB1\\B3F3i и ВВ2 || В3В3.
Прямые ВВЪ ВВ2 и АА2 искомые.
ЗАДАЧИ 182—187
182.	На картине в предметной плоскости представлены отрезки АВ
и ВС, пересекающиеся под прямым углом, предельные точки которых не-
доступны. Требуется построить совмещенную точку зрения при заданном
коэффициенте подобия 7б (черт. 522).
183.	Даны три ребра параллелепипеда с общей вершиной; точки схода
ребер недоступны. Требуется построить перспективу этого параллелепипеда
при заданном коэффициенте подобия (черт. 523).
184.	На картине представлен отрезок АВ, предельная точка которого
недоступна. Приняв заданный отрезок за сторону квадрата, построить его
перспективу в предметной плоскости при заданном коэффициенте подобия
7з (черт. 524).
185.	На картине представлен расположенный в предметной плоскости
отрезок ЛВ, предельная точка которого недоступна. Приняв заданный от-
резок за сторону правильного треугольника, построить его перспективу
в предметной плоскости при заданном коэффициенте подобия 1/3 (черт. 525).
186.	На картине представлен треугольник АВС. Требуется увеличить
заданный треугольник при заданном коэффициенте подобия 2 (черт. 526).
187.	На картине в предметной плоскости представлены взаимно пер-
пендикулярные прямые, пересекающиеся в точке Л, предельные точки
которых недоступны. Требуется построить на заданных прямых перспек-
тиву квадрата с вершиной в точке Д, произвольно выбрав сторону квад-
рата и коэффициент подобия п (черт. 527).
§ 53. МЕТОД АРХИТЕКТОРОВ
При построений перспективы архитектурных объектов обычно поль-
зуются так называемым методом архитекторов.
Содержание этого метода заключается в том, что перспективное изо-
бражение объекта строят по его плану и фасаду, используя при этом
точки схода доминирующих линий заданного объекта.
Имея план и фасад, на чертеже проводят основание картины К±
перпендикулярно к направлению главного луча, расположенного по бис-
сектриссе угла зрения на объект в плане, перспектива которого стро-
ится.
73
В зависимости от поставленной задачи в практике архитектурно-строи-
тельного дела (в проектных мастерских), как правило, строят перспектив-
ное изображение объекта, предполагая рассматривание его в натуре не из
одной точки, а из разных точек зрения, и исполняют несколько вариантов,
чтобы наилучшим образом разрешить поставленную задачу.
Итак, выбрав нужное направление основания kxkr картины и по-
ложение точки зрения S = s при заданном плане и фасаде, для построе-
ния перспективного изображения выполняют следующие подготовительные
построения (черт. 528):
1.	На выбранном основании k^ будущей картины Ki отмечают точки
пересечения предметных следов вертикальных лучевых плоскостей, идущих
в точки, определяющие контуры плана заданного объекта (§ 25).
2.	Отмечают на основании картины точки и пересечений пред-
метных следов вертикальных лучевых плоскостей, идущих параллель-
но доминирующим направлениям прямых линий фигуры заданного плана
-объекта.
3.	На основании k1k1 предметные следы плоскостей R1, 7?2, 7?3, /?4, R5
(идущие через основные контуры объекта) отмечают точки R^, R3Q,
R*, Rq, обеспечивающие построение перспективного изображения плана
заданного объекта.
4.	На основании k^ отмечают точку р пересечения предметного следа
плоскости главного вертикала (§ 3, черт. 9).
5.	Найденные таким образом на основании k^ точки, необходимые
для построения перспективы плана заданного объекта, переносят на новое
основание kk картины К.
6.	На новой картине (черт. 529) проводят линию горизонта (обычно
на высоте роста человека) и на этой линии горизонта отмечают главную
точку Р и точки схода F± и F2 доминирующего направления линий плана
заданного объекта согласно точкам р, j" и f®, построенным на основании
картины Kj.
После нанесения точек Р, F19 F2 на новом основании kk картины К
отмечают остальные точки схода Z?J, R2Q, R*, Rq, Rq вертикальных пло-
скостей Z?1, R2, R3, Z?4, Z?5 и исполняют построение перспективного изо-
бражения плана заданного объекта.
При помощи произвольно выбранной вертикальной плоскости так
называемого способа боковой стены строят высоты точек заданного объ-
екта. Для этого (черт. 529):
а)	на картинный след плоскости Q переносят высоты точек объекта
(заданных на фасаде), необходимых для построения его очертаний: QrN =
= а'-Г; QqN' = 2fb'\
б)	при помощи фронтальных прямых 1-^ находят на боковой
стене (плоскости Q) в перспективном сокращении высоты (/гЛг, 22-Вг),
после чего при помощи линий переноса отмечают высоты искомых точек
(Л и В) на соответствующих вертикалях;
в)	по построенным точкам обводят видимые контуры перспективного
изображения заданного объекта.
ПРИМЕРЫ 156—157
Пример 156. По заданному плану и фасаду архитектурного объекта
построить его перспективу. Для построения применить метод архитекторов
(черт. 530).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 530 (§ 53,
черт. 529).
74
Пример 157. По заданному плану и фасаду архитектурного объекта
построить его перспективу с изображением собственной и падающей теней
при заданной точке схода перспектив солнечных лучей (черт. 531).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 531 (§ 45, 53,
черт. 444—449, 529).
§ 54.	МЕТОД ОПУЩЕННОГО ПЛАНА
При построении перспективы оснований изображаемых объектов фи-
гура, лежащая в предметной плоскости этого основания, очень часто по-
лучается настолько узкой, что бывает трудно ее построить и получить
необходимую графическую точность, так как линии, обеспечивающие ее
построение, пересекаются под очень острыми углами. Это имеет место,
когда линия горизонта расположена близко от основания картины.
В таких случаях вычерчивают перспективу основания заданного объ-
екта не в пределах рамки картины, а ниже ее, для чего и опускают пред-
метную плоскость, перемещая ее параллельно самой себе вниз. При таком
положении перспектива основания изображаемого объекта на новую пред-
метную плоскость изображается более четко, так как линии, определяю-
щие ее построение, пересекаются под менее острыми углами, нежели при
низком горизонте.
Полученную перспективу основания данного объекта на опущенной
предметной плоскости при помощи линий связи переносят в пределы за-
данной картины.
Перемещение предметной плоскости параллельно самой себе следует
понимать как вращение плоскости вокруг ее несобственной линии,
т. е. линии горизонта.
Графическое построение этого метода представлено на чертеже 532
(§ 53).
Вопросы к § 52—-54
1.	На чем основаны способы проведения прямых в недоступные точки
схода?
2.	Опишите способы проведения прямых в недоступные точки схода
и начертите соответствующие чертежи.
3.	Что такое коэффициент подобия?
4.	На чем основано построение большой картины?
5.	В чем состоят свойства подобных фигур?
6.	Где применяется метод подобия?
7.	Когда применяется метод малой картины?
8.	На чем основан переход от малой картины к большой картине
и от большой — к малой картине?
9.	Что такое центр подобия и можно ли его произвольно выбирать?
10.	Когда применяется способ опущенного плана и в чем заключается
его сущность?
11.	Как выбирается точка зрения и положение картинной плоскости
при построении перспективы архитектурных объектов?
12.	В чем заключается сущность метода гомологических построений?
13.	В чем состоит метод архитекторов?
14.	Как следует понимать перемещение предметной плоскости парал-
лельно самой себе?
15.	Как следует понимать перемещение любой плоскости параллельно
самой себе?
75
§ 55. ПЕРСПЕКТИВНЫЙ АНАЛИЗ И РЕКОНСТРУКЦИЯ КАРТИНЫ
При создании произведения искусства видное место в работе худож-
ника занимают вопросы композиции, и от правильного их разрешения за-
висит конечный успех его труда.
Умение анализировать картину помогает художнику не только совер-
шенствовать свои знания, но также и углублять познания и в вопросах
композиции.
Провести анализ картины — значит установить ее основные элементы,
найти пространственное положение изображаемых объектов, установить
между ними связь, найти их органическую соподчиненность (увидеть глав-
ное, основное), определить форму и размеры элементов изображаемого.
Иначе говоря, при анализе картины должны выясняться две группы во-
просов, а именно:
1. Вопросы композиции — идейный замысел ходожника.
2. Вопросы метрики и положения (взаимное расположение изображае-
мых объектов и их размеры).
Установление связи между изображенными объектами и определением
их размеров путем построения комплексного чертежа по перспективному
их изображению называют реконструкцией перспективы.
Рассмотрим вопросы, относящиеся к реконструкции картины. Для по-
строения комплексного чертежа по его перспективе или фотографии, кроме
перспективного изображения, необходимо иметь (знать) дополнительные
условия. Например, для определения размеров и формы плоской фигуры,
изображенной на картине в предметной плоскости, требуется наличие пяти
дополнительных условий, а для определения размеров той же плоской фи-
гуры, но расположенной в предметном пространстве, — шесть.
Этими дополнительными условиями для определения размеров и формы
плоской фигуры являются ее параметры и масштаб изображения, причем
эти параметры (или дополнительные условия) должны быть свободными,
т. е. взаимнонезависимыми. Так, например, для построения прямоугольника
(в натуре) по его линейным размерам необходимо задать пять независимых
друг от друга параметров, а именно: четыре стороны и диагональ.
При рассмотрении картины или фотографии мы часто встречаем изобра-
женные на ней объекты, свойства которых заранее нам известны, к при-
меру, если встречаем на картине изображение квадрата, то это все равно,
что имеем в наличии (или дано) пять дополнительных условий, и знание
того, что противоположные стороны прямоугольника параллельны, а в пер-
спективе параллельные прямые имеют общую точку схода, даст еще одно
дополнительное условие.
ПРИМЕРЫ 158—162
Пример 158. По представленной перспективе плоской фигуры, распо-
ложенной в предметной плоскости, построить основные элементы картины
и определить натуральные размеры перспективы заданного объекта, если
известно, что эта фигура — прямоугольник, диагональ которого образует
со смежной стороной его угол, равный 30°, высота точки зрения равна А,
масштаб картины равен 1 : 1 (черт. 533).
Решение представлено на чертежах 533—536 и выполняется в сле-
дующем порядке:
1.	Определяем линию горизонта hh. Для этого строим точки схо-
да Fx и F2 параллельных сторон АВ и DC, AD и ВС прямоугольни-
ка ABCD и через найденные точки схода F± и F2 проведем линию го-
ризонта hh.
76
2.	Построим основание kk картины /С. Для этого от линии горизонта
вниз (по вертикали) откладываем заданную высоту точки зрения и через
отмеченную точку проводим основание картины (прямую линию) парал-
лельно линии горизонта.
3.	Строим совмещенную точку зрения Известно, что проектирую-
щие лучи, проведенные через точку зрения для отыскания точек схода Ft
и F2 прямых заданных направлений, параллельны им, и поэтому угол при
совмещенной точке зрения должен быть равен углу при вершине D за-
данного объекта, так как в натуре лучи, проведенные в несобственные
точки Fioo и Е&ю, параллельны предметной плоскости, и для данного при-
мера этот угол является прямым. Следовательно, искомая совмещенная
точка зрения SK должна лежать где-то на окружности, построенной на
отрезке F±F2 как на диаметре, так как любой вписанный угол, опирающийся
на диаметр, будет прямым (на отрезке FrF2 строим эту окружность).
Для отыскания единственного положения искомой точки удовле-
творяющей условиям задачи, построим точку схода F3 перспективы диаго-
нали заданного прямоугольника. Воспользуемся дополнительным условием,
что диагональ прямоугольника образует со смежной стороной его угол,
равный 30°, и поэтому (опираясь на свойство вписанных углов) отложим
дугу 60° от точки F2 до точки Е, проведем прямую EF3 до пересечения
с дугой построенной окружности в точке S^. Точка и будет искомой.
Совмещенный угол при вершине S действительно равен 30°, как вписанный
угол и опирающийся на дугу Е2Е в 60°. (В условии сказано, что угол
между диагональю и смежной стороной прямоугольника равен 30°.) Опустив
из точки Sx перпендикуляр на линию горизонта, получим главную точку Р
картины К.
4.	Произведя реконструкцию и используя масштаб картины, найдем
натуральные размеры прямоугольника, заданного в перспективе. На чер-
теже 536 это построение произведено (§ 36, черт. 285—286).
Пример 159. На картине в предметной плоскости представлен паралле-
лепипед, причем известно, что его основание АВСЕ является квадратом,
сторона которого в натуре равна 50 мм. Требуется установить основные
элементы картины (черт. 537).
Решение представлено на чертеже 537 и выполнено в следующем
порядке:
1.	Определяем линию горизонта. Для этого находим точки схода F±
и F2 параллельных сторон: ВС X АЕ = F19 AAr X BBr = F2 и через эти
точки схода проводим линию горизонта. Совмещенная точка зрения должна
лежать на дуге окружности Оъ построенной на отрезке ЕХЕ2, так как
угол АГАЕ прямой (§ 12, 19, черт. 34, 87—88).
2.	Строим точку перспективного масштаба для прямой АЕ. Для этого
отрезок АВ вращаем во фронтальной плоскости Т до совмещения его с пред-
метной плоскостью. Прямая ВГЕ отметит на линии горизонта точку пер-
спективного масштаба М для прямой АЕ.
3.	Определяем совмещенную точку зрения. Для этого из точки Fr
радиусом, равным отрезку ЕгЛ1, проводим дугу до пересечения с дугой
окружности Ох в искомой точке SK (§ 19, черт. 87—88).
4.	Определяем основание картины. Для этого отрезок АВ следует
перенести параллельно самому себе в плоскости, определяемой гранью
АВСЕ, до положения его натурального заданного размера. Через начало Ао
прямой AFx пройдет линия основания картины, параллельной линии гори-
зонта.
Эту задачу можно решить и другими способами:
а)	Построим гомологию совмещения плоскости, определяемой гранью
АВСЕ, с плоскостью картины; параллельную прямую FxF3 можно рас-
77
сматривать как новый горизонт (предельная гомологии совмещения), а от-
резок F3F± как диаметр окружности О2, на которой должна находиться
новая совмещенная точка зрения (центр гомологии). Точка SK должна
находиться на пересечении прямой, восстановленной из центра окруж-
ности О2, так как угол при вершине К прямой, а диагонали идут к плос-
кости картины в системе (SK, hjij) под углом 45°; следовательно, точки F3
иР4 можно рассматривать как новые дистанционные точки. Переходя из
системы (S/<, h^) в систему (SK, hh), точка SK определяет искомую точку
путем засекания дуги из центра Рг радиусом до пересечения с окруж-
ностью Ог в искомой точке (§ 36, черт. 299—300).
б)	Для решения также можно воспользоваться предельной точкой F3
диагонали АС, зная, что угол ЕАС в натуре равен 45°. Из точки F3 про-
водим прямую под углом 45° к линии горизонта, так как в прямоугольном
треугольнике Mf3F3 катет f3M равен расстоянию от центра проекций до
предельной точки f3, следовательно, точка М является точкой перспек-
тивного масштаба, как это мы уже установили в начальном решении. Про-
водим из центра f3 дугу радиусом, равным f3M, до пересечения с дугой
окружности, получим ту же искомую точку SK.
Определив основные элементы и зная масштаб картины, методом гомо-
логических построений произведем реконструкцию ее, т. е. определим раз-
меры и положение изображенного объекта.
Пример 160. По заданной картине требуется произвести ее перспек-
тивный анализ (черт. 538).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 538.
Пример 161. По заданной картине требуется произвести перспективный
анализ и определить масштаб картины (черт. 539).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 539.
Пример 162. По заданной картине требуется произвести перспективный
анализ и полную реконструкцию картины (черт. 540).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 540.
§	56. ВЫБОР ПОЛОЖЕНИЯ КАРТИННОЙ ПЛОСКОСТИ
Для того чтобы построенный объект был в полном соответствии
с художественным замыслом, необходимо иметь такое перспективное изо-
бражение, которое вызывало бы впечатление действительности и не вводило
бы в заблуждение; следовательно, перспективное изображение, построенное
на плоскости, должно иметь наличие подобия таких элементов, на основе
которых человек приобрел практический опыт видения, оценивая про-
странство путем определения объемов предметов на близком и далеком
расстоянии, а также и определения расстояний между отдельными пред-
метами при различном их размещении и удалении друг от друга в про-
странстве.
Перспективные сокращения линий при построении изображаемых пред-
метов на плоскости для выявления их объемов и перспективные сокращения
расстояний между предметами и размеров самих предметов на разной глу-
бине должны быть такими же, какими мы их видим в действительности.
Выбор точки зрения при построении перспективы должен быть в со-
ответствии с поставленной задачей и с положением картинной плоскости.
Размещение изображаемого объекта по отношению к точке зрения должно
быть целесообразным.
Правильно построенная перспектива объекта, но без учета вышеиз-
ложенного, должна вызвать у зрителя недоумение в том случае, если
78
изображенный объект был хорошо известен, и ложное, неверное представ-
ление об оригинале, если изображенный объект был неизвестен зрителю
(на чертеже 541 представлено изображение куба).
Взаимное расположение точки зрения, картинной плоскости и предмета
связано с ограниченностью зрения человека.
Для построения перспективы, обеспечивающей отчетливое восприятие
изображения, рекомендуется брать расстояние от точки зрения до предмета
примерно в два раза больше наибольшего габаритного размера объекта,,
предназначенного для построения перспективы. Такое расстояние позволит
художнику при неподвижном положении головы и глаз окинуть одним
взглядом весь предмет (черт. 542).
Лучи отраженного от двух крайних точек предмета, попадающие
в точку зрения, образуют плоский угол A'SB', называемый наибольшим
углом зрения данного предмета. Совокупность световых лучей, идущих
от освещенной поверхности, образует световой конус. Очевидно, что у че-
ловека при рассмотрении объекта должно быть два таких световых конуса
(линейная перспектива является монокулярной).
Линия пересечения светового конуса с плоскостью картины опреде-
ляет границы поля ясного зрения1. Угол A2SB2 называют углом зрения
картины. Отношения и -д-g- называют оптическими элементами кар-
тины. Известно, что угол зрения, при котором человек отчетливо видит
предмет колеблется для разных людей от 20 до 60°; приняв этот угол рав-
ным 30°, получим = 2,5; ADR = 2, а поэтому расстояние от точки
зрения до предмета, предназначенного для изображения, должно быть
в два с половиной раза больше наибольшего габаритного размера заданного
объекта. Следовательно, угол зрения, ограничивающий расстояние от пред-
мета до точки зрения, обусловливает главное расстояние картины (§ 5,
черт. 12) и является как раз тем углом зрения, при котором человек ясно
видит окружающие его предметы (конечно, в пределах определенного рас-
стояния). Поэтому перспективные построения, выполненные с таким углом
зрения, способны вызывать наибольшую иллюзию, т. е. зритель на такой
картине может увидеть подобия элементов, которые он наблюдал в дей-
ствительности, определяя объемы предметов, позволивших ему приобрести
способность оценивать пространство, т. е. видеть.
Но для того чтобы построить перспективное изображение объекта, по
которому можно было бы легко составить верное впечатление о его пози-
ционных свойствах, относительном размере, форме и пропорциях частей
задуманного объекта, необходимо не только правильно выбрать точку зрения,
но весьма важно найти то положение картинной плоскости, от которого
и будет зависеть наглядность построения.
Дадим определение наглядности. Перспективное изображение, дающее
представление об относительном размере, форме, позиционных свойствах
и пропорциях частей, соответствующих натуре, называем наглядным
изображением.
Перспективные изображения, построенные без учета хотя бы одного
из перечисленных выше условий, определяющих наглядность, не могут счи-
таться наглядными потому, что не способны вызвать необходимой иллюзии,
следовательно, и верного представления о натуре, так как зритель на
таких изображениях не увидит подобия всех элементов, которые он на-
блюдал, приобретая опыт ориентации в окружающей обстановке, путем
1 Более подробное описание о зрении человека см., например: Н. А. Р ы н и н, Пер-
спектива, Пг., 1918, стр. 37.
79
определения объема предметов, расстояний до них и между ними, рас-
сматривая в пространстве в реальной действительности, сопоставляя
и сравнивая предметы друг с другом.
Пусть дан план и фасад объекта (черт. 543), по которому требуется
построить перспективное изображение, обеспечивающее соответствие между
перспективным изображением и действительным объектом.
Решение представлено на чертеже 543 и выполнено в следующем
порядке:
1. Строим в плане основание картинной плоскости k^. этого
через вершину 5 проведем прямую
2. Выбираем положение точки зрения S = s. Для этого на расстоянии,
в два раза большем наибольшего размера заданного объекта, проведем пря-
мую А1А1 || k1k1 и на ней отметим, на основе графического построения, точ-
ку зрения S=s, обеспечивающую построение перспективного изображения,
соответствующего действительности. Перпендикуляр, опущенный из точки
S = s на основание картины, определит направление главного луча SP.
Сравнивая отношения отрезков объекта, заданного планом и фасадом,
с отношениями отрезков, полученных в перспективе, построенной по этому
же плану и фасаду, замечаем, что эти отношения находятся в соответ-
ствии (черт. 544).	»
Посмотрим результаты построения по указанному способу на другом
примере. Требуется построить перспективу зала (черт. 545).
Выполняя построение основания картины по вышеописанному способу,
приходим к так называемой фронтальной 1 перспективе; положение точки
зрения здесь будет обусловлено только лишь углом зрения. Сравнивая
отношения отрезков оригинала с соответствующими отношениями построенной
перспективы, замечаем так же, как и в предыдущем примере, что эти от-
ношения согласованы.
Предлагаемый способ построения перспективных изображений, соот-
ветствующих натуре, может быть успешно применен не только для архи-
тектурных объектов, но и для любых объектов, имеющих самую разнооб-
разную форму. Обычно рекомендуется перед построением перспективы
заключить «объем» данного предмета в обрабатывающую поверхность2
и далее построение перспективы выполнять вышеописанным способом.
Приходим к выводу, что предлагаемый метод предельно прост, позво-
ляет строить наглядные перспективные изображения любых объектов в пол-
ном соответствии их с задуманным образом.
Вопросы к § 55—56
1.	Что такое перспективный анализ картины?
2.	Определяет ли перспектива тела на плоскости форму, размер, по-
ложение тела в пространстве?
3.	Сколько надо иметь параметров, чтобы по перспективе квадрата
определить его натуральную величину?
4.	Что называется реконструкцией картины?
5.	Что необходимо иметь к заданной перспективе для определения
ее реконструкции?
6.	Что такое взаимнонезависимые параметры?
7.	Сколько надо задать (или иметь) дополнительных условий для
определения формы, размеров и положения объекта по заданной его пер-
спективе?
1 См., например: А. П. Барышников, Перспектива, М., «Искусство», 1955, стр. 16.
2 См., например: Н. А. Рынин, Перспектива, Пг., 1918, стр. 190.
80
8.	Какое перспективное изображение считается наглядным?
9.	Что такое оптические элементы картины?
10.	Что такое поле ясного зрения?
11.	Что такое угол зрения картины?
12.	Что такое наибольший угол зрения данного предмета?
§ 57.	ПРИМЕРЫ 163—167 (НА ВСЕ ОТДЕЛЫ ПЕРСПЕКТИВЫ)
Пример 163. Определить расстояние от точки С до прямой АВ ни-
сходящего положения, расположенной параллельно плоскости главного
вертикала (черт. 546).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 546.
Пример 164. Построить падающую тень от прямоугольной пластинки
Д1Д2Д3Л4 на плоскости Q и Н (черт. 547).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 547 (§ 43—45).
Пример 165. Построить падающую тень от рамки ДХД2Д3Д4, висящей
на стене (черт. 548).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 548 (§ 43—45).
Пример 166. Построить падающие тени от рамки АТА2А3А4, висящей
на стене, от вертикальных отрезков ВВ0, СС0 и от отрезка А2А0, перпен-
дикулярного к стене (черт. 549).
Решение представлено в графическом виде на чертеже 549 (§ 43—45).
Пример 167. По представленному плану жилой комнаты построить ее
перспективу (черт. 550). Решение представлено в графическом виде на
чертеже 550. Для решения этой задачи применен способ гомологических
построений и метод малой картины. Высота комнаты, шкафа и дверей взяты
произвольно (§ 36, 52, черт. 296, 518).
§ 58.	ЗАДАЧИ 188—204 (НА ВСЕ ОТДЕЛЫ ПЕРСПЕКТИВЫ)
188.	На заданном отрезке АВ в предметной плоскости построить пер-
спективу прямоугольника (смежную сторону взять произвольно) и опреде-
лить углы между его диагоналями (черт. 551).
189.	Из точек С и К восставить перпендикуляры, равные отрезку АВ.
Определить их натуральные размеры и глубину расположения на картине
(черт. 552).
190.	Через точку С провести прямую параллельно отрезку АВ. Найти
следы этой прямой и определить натуральную величину угла наклона ее
к предметной плоскости (черт. 553).
191.	Построить падающую тень непрозрачной пластинки AjA^A^ и
предельную прямую плоскости, определяемой этой пластинкой (черт 554).
192.	Через точку А провести прямую параллельно отрезку ВС и опре-
делить натуральную величину расстояния между ними (черт. 555).
193.	Определить натуральную величину диаметра окружности, прохо-
дящей через вершины заданного треугольника АВС (черт. 556).
194.	Построить падающую тень отрезка АВ при условии, что источник
света расположен ближе к плоскости Я, нежели точка А, и определить
расстояние от источника света — точки S * — до прямой АВ (черт. 557).
195.	Построить перспективу треугольной призмы АВСА^С^ высота
которой 40 мм, а ребро АС 60 мм (черт. 558).
196.	На отрезке АВ как на диаметре построить перспективу окруж-
ности в предметной плоскости и вписать в нее правильный треугольник
(черт. 559).
6 Заказ № 12
81
197.	На отрезке AB произвольного направления построить квадрат,
плоскость которого перпендикулярна к предметной плоскости. Произвести
его реконструкцию, если известно, что сторона АВ равна 35 мм (черт. 560).*
198.	На отрезке АВ произвольного направления, расположенного
в плоскости Q, построить перспективу квадрата, если известно, что рас-
стояние от вершины А этого квадрата до предметной плоскости равно
30 мм (черт. 561).
199.	На картине изображена штрихами падающая тень от двух верти-
кальных отрезков АВ и СЕ. Построить падающую тень от вертикального
отрезка AM3, поставленного на прямоугольную плиту (черт. 562).
200.	На картине представлен угловой интерьер комнаты. Требуется
определить основные элементы картины (черт. 563).
201.	На картине представлены два дома. Известно, что дома в плане
прямоугольные. Произвести перспективный анализ картины (черт. 564).
202.	На картине представлен памятник. Известно, что основание его —
прямоугольник с отношением сторон 3: 4. Произвести реконструкцию кар-
тины. Начертить комплексный чертеж памятника (черт. 565).
203.	На картине представлен памятник. Известно, что основание па-
мятника квадратное. Произвести реконструкцию картины. Начертить ком-
плексный чертеж памятника (черт. 566).
204.	На картине представлен дом. Известно, что дом в плане прямо-
угольный; ширина дома — 20 м, а длина — 45 м. Произвести реконструк-
цию картины. Начертить план и фасад дома (черт. 567).
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Барышников А. П., Перспектива, М., изд. «Искусство», 1955.
Буйнов А. Н., Смирнов Г. Б., Перспектива, Школа изобрази-
тельного искусства, вып. I, II, М., изд. АХ СССР, 1961.
Владимирский Г. А., Перспектива, М., Учпедгиз, 1958.
Глаголев Н. А., Начертательная геометрия, М., Гостехиздат, 1953.
Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М. А., Курс начерта-
тельной геометрии., М., Учпедгиз, 1955.
Добряков А. И., Курс начертательной геометрии, М.—Л., Гос-
стройиздат, 1952.
Евтеев В. И., Зметный А. Я-, Новиков И. В., Построение
перспективного рисунка, Л., Учпедгиз, 1963.
Макаров Н. И., Курс линейной перспективы на плоскости, Спб., 1902.
Рерберг Ф., Введение в перспективу, М.—Л., Огиз-Изогиз, 1933.
Рынин Н. А., Перспектива, Пг., 1918.
Тим рот Е. С., Начертательная геометрия, М., Госстройиздат, 1962.
Траутман Н. Ф., Перспектива и проекционное черчение, кон-
спект лекций. Мин. высш, образ., Моск, заочн. полиграф, институт, 1959.
Федоров М. Ф., Рисунок и перспектива, М., изд. «Искусство», 1960.
Четверухин Н. Ф., Проективная геометрия, М., Учпедгиз, 1953.
Чечелев Н. И., Линейная перспектива, М. — Л., Огиз-Изогиз, 1933.
ЧЕРТЕЖИ К ТЕКСТУ
6*
Черт. 4. Проектирующий аппарат:
1 — предметная плоскость; 2 — картинная плоскость; 3 — основание картинной
плоскости; 4 — плоскость горизонта; 5 — линия горизонта; 6 — нейтральная плос-
кость. 7 — нейтральная линия; 8 —главная плоскость; 9—линия главного вертикала
85
Черт. 8
86
Черт. 9. Координатная система проектирующего
аппарата:
1 — предметная плоскость; 2 — картинная плоскость; 3 — глав-
ная плоскость; 4 — условная граница между правой и левой
половинами картины; 5 — левая половина картины; 6 — правая
Черт. 10. Проектирующий аппарат:
1 — левая половина картины; 2 — правая по-
ловина картины; 3 — главная линия картины
Черт. И. Вид на проектирующий
аппарат сверху
87
88
89
90
91
92
93
94
Черт. 38	Черт. 39
95
Черт. 47
96
Черт. 49	Черт. 50
7 Заказ № 12
97
98
7*
99
100
101
Черт. 73
Черт. 74
102
Черт. 75
-б
Р
Черт. 76
103
Черт. 78
104
105
106
Черт. 83. Масштаб высоты
107
Черт. 85. Масштаб глубины
Зк
Черт. 86. Масштаб глубины
108
Черт. 87. Перспективный масштаб
109


112
8 Заказ № 12
113
114
8*
115
116
11?
Черт. 136. Вид сверху
118
Черт. 139
119
Черт. 142
Черт. 141
Черт. 144
120
121
Черт. 150
122
123
Черт. 157
Черт. 158
Черт. 159
Черт. 160
Черт. 161
124
Черт. 163
Черт. 164
Черт. 165
125
126
127
128
9 Заказ № 12
129
130
9*
131
132
133
134
135
136

Черт. 235
Черт. 237
.138
Черт. 239
Черт. 241
Черт. 242
Черт. 243

Черт. 244
139
140
J° Q°	Черт. 247
141
142
Черт. 252
Черт. 253
143
Дано
Ьг
Черт. 254
Решение
Черт. 255
144
Ю Заказ № 12
145
146
10*
147
148
149
150
151
152
153.
Черт. 293
Черт. 294
154
155
Черт. 299
156
157
158
159


Черт. 308
Черт. 309
160
11 Заказ №12
161

§
164
Черт. 324
165
166
Черт. 328
167
168
] 2 Заказ № 12
169
Черт. 338
170
171

Черт. 347
Черт. 348
173
Черт. 350
174
Черт. 351
175
Черт. 353
Черт. 354
176
12 Заказ № 12
177
178
Черт. 366
12*
179
Черт. 367
Черт. 368
ЕЖ)

182
183
184
185
Черт. 381
186
187
Черт. 387
188
Черт. 390
189
9
Черт. 391
Черт. 392
190
Черт. 393
Черт. 396
Черт. 397
191
192
Черт. 402. Одновременный контраст
Черт. 403. Пограничный контраст
Черт. 404. Пограничный
контраст
13 Заказ № 12
193
Черт. 405. Иррадиация
Черт. 406
194
Черт. 409
13*
195
*0
Черт. 412
Черт. 413
196
197
.198
199
Черт. 423
200
Черт. 427
201
Черт. 428
202
Черт. 431
203
204
Черт. 434
205
Черт. 437
206
Черт. 439
207
208
Черт. 442
14 Заказ № 12
209
Черт. 446
Черт. 448
210
14*
211
212
213
Черт. 457
214
215
216
217-
218
219
Черт. 471
220
Черт. 473
qd
Черт. 474
221

Черт. 476
2 22
Черт. 477
Черт. 478
223
Черт. 479
Черт. 480
224
Черт. 481
15 Заказ № 12
225
Черт. 482
226
15*
227
228
Черт. 488
] 6 Заказ №12
229
Черт. 490
230
16*
231
232
233
234
235
Черт. 517
236
' большая картина
Черт. 519
237
Черт. 520
Решение
Черт. 521
238
239
240
Черт. 528
Линия главного вертикала
Черт. 529
ю
ю
Черт. 530
Черт. 531
Линия главного вертикала
Черт. 532
Черт. 535
245
ю
СП

Черт. 536	Черт. 537
247

17 Заказ №12
Черт. 540

Черт. 541
250



Дано

J254
Черт. 547
Черт. 548
255
256
267
258
259
Черт. 564
260
261
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......................................................... 3
Обозначения ......................................................... 4
Введение ............................................................ 5
Глава I. Предварительные понятия
§ 1. Линейная перспектива............................................ 6
$ 2. Основные понятия.................................................—
§ 3.	Основная терминология и определения ........................... 7
§ 4.	Координатная система проектирующего аппарата................... 8
§ 5.	Основные элементы картины.................................... 9
Вопросы к главе I................................................—
Глава II. Точка
§	6.	Перспектива	точки, расположенной	в предметном пространстве .	.	9
§	7.	Перспектива	точки, расположенной	в картинной плоскости ...	10
8.	Перспектива	точки, расположенной	в предметной плоскости ...	11
§ 9.	Координирование	точек в предметном пространстве.................—
Примеры 1—2.....................................................12
Задачи 1—2.......................................................—
Вопросы к главе	II...............................................—
Глава III. Прямая
§ 10.	Перспектива отрезка прямой, расположенной в предметном про-
странстве ..........................................................13
§	11.	Предельная точка прямой ......................................—
§	12.	Линия горизонта..............................................14
§	13.	Точка схода параллельных прямых .............................15
Примеры 3—4.....................................................16
Задачи 3—4.......................................................—
1§|	14.	Следы прямой .	.	  —
Примеры 5—7......................................................—
Задачи 5—15................................................... .	17
§ 15.	Различные положения прямой линии относительно картинной и пред-
метной плоскостей .................................................. —
§1 16. Масштаб широт...................................,	.	.	.	19
§	17.	Масштаб высот................................................20
.§1	18.	Масштаб глубин. Дистанционная	точка...........................—
§	19.	Перспективный масштаб	..................................21
Примеры 8—И.....................................................22
Задачи 16—23....................................................23
§	20.	Деление и увеличение отрезка,	заданного в перспективе ....	24
Примеры 12—19...................................................•—
Задачи 24—27	  25
§	21.	Взаимное положение двух	прямых................................—
Задачи 28—33	  —
Вопросы к главе III ............................................26
Глава IV. Плоскость
22. Способы задания плоскости на картине ..........................27
§ 23. Следы плоскости ...........................................
Примеры 20—22 .................................................  —
§ 24. Предельная прямая плоскости....................................28
Примеры 23—28	  28
Задачи 34—39	  29
262
§ 25.
§ 26.
§ 27.
§ 28.
§ 29.
§ 30.
§ 31.
§ 32.
§ 33.
§ 34.
§ 40.
§ 36.
§ 37.
§ 38.
§ 39.
§ 40.
§ 41.
§ 42.
§ 43.
§ 44.
Характерные положения плоскости относительно предметной и кар-
тинной плоскостей................................................—
Прямая и точка в	плоскости......................................30
Примеры 29—38 ................................................. 31
Задачи 40—51..................................................  32
Главные линии плоскости..........................................—
Примеры 39—47 ................................................. 33
Задачи 52—54	 —
Построение следов	и	предельной прямой плоскости..............34
Примеры 48—49 ...................................................—
Задачи 55—58	 —
Построение линии пересечения плоскостей, заданных предельной пря-
мой и следами..........................................'	.	—
Примеры 50—51....................................................—
Задачи 59—62	   —
Построение линии пересечения плоскостей, заданных точками или
прямыми.........................................................35
Примеры 52—53 ...................................................—
Задачи 63—65	  —
Построение взаимно	параллельных	плоскостей.....................—
Примеры 54—55 ...................................................—
Задачи 66—79	  —
Построение взаимно	перпендикулярных	плоскостей..................36
Примеры 56—64 ................................................. 37
Задачи 80—91....................................................38
Построение прямой, параллельной	плоскости.......................38
Примеры 65—70 ...................................................—
Задачи 92—97	  39
Вопросы к главе IV...............................................—
Глава V. Совмещение плоскости объекта с картиной
Основы способа вращения.........................................40
Применение способа совмещения для определения длины отрезка
прямой..........................................................41
Примеры 71—72....................................................—
Перспективное соответствие плоскости объекта с картинной плоско-
стью. Гомология ................................................ —
Примеры 73—87 ...............................................   42
Задачи 98—107 ................................................. 46
Построение окружности и квадрата в перспективе..................47
Примеры 88—95	 —
Задачи 108—113	   49
Вопросы к главе V............................................<—
Глава VI. Построение перспектив геометрических тел и их пересечений
Построение перспектив гранных тел...............................50
Примеры 96—99 ...................................................—
Задачи 114—121	 51
Поверхности тел вращения ........................................—
Построение перспектив тел вращения..............................52
Примеры 100—105	 —
Задачи 122—127 ..................................................—
Пересечение многогранников прямой и плоскостью в перспективе .	53
Примеры 106—ПО...................................................—
Задачи 128—133 ................................................ 54
Взаимное пересечение многогранников в перспективе................—
Примеры 111—115..................................................—
Задачи 134—137	  55
Вопросы к главе VI..............................................56
Глава VII. Построение теней в перспективе
Общие сведения .................................................56
Построение перспективы теней при центральном освещении ...	59
Примеры 116—127..................................................—
Задачи 138—146 ................................................ 61
263
§ 45.	Построение перспективы теней при солнечном освещении ...	—
Примеры 128—133	  62
Задачи 147—160	  63
§ 46.	Построение перспективы теней от тел вращения..................64
Примеры 134—138 ...............................................—
Задачи 161—163	 —
Вопросы к главе VII...........................................65
Глава VIII. Перспектива отражений в плоских зеркальных поверхностях
§ 47.	Физические законы отражения...................................66
§ 48.	Отражение в зеркалах, перпендикулярных к предметной и картинной
плоскостям...........................................................—
Примеры 139—143	 —
§ 49.	Отражение в зеркалах, наклоненных к предметной и картинной пло-
скостям ............................................................67
Примеры 144—146	 —
§ 50.	Отражение в зеркалах восходящего и нисходящего положений .	.	68
Примеры 147—150	 —
Задачи 164—181 (к § 48—50)................................... 69
§ 51.	Отражение в спокойной поверхности воды........................70
Примеры 151—152................................................—
Вопросы к главе VIII..........................................71
Глава IX. Методы построения перспективных изображений
§ 52.	Метод малой и большой картины.................................71
Примеры 153—155	  72
Задачи 182—187	  73
§ 53.	Метод архитекторов.............................................—
Примеры 156—157	  74
§ 54.	Метод опущенного плана........................................75
Вопросы к § 52—54 .............................................—
§ 55.	Перспективный анализ и реконструкция	картины..................76
Примеры 158—162	 —
§ 56.	Выбор положения картинной плоскости...........................78
Вопросы к § 55—56 ..........................................  80
§ 57.	Примеры 163—167 (на все отделы перспективы)...................81
§ 58.	Задачи 188—204 (на все отделы перспективы).....................—
Использованная литература.....................................82
Чертежи к тексту............................................  83
Аркадий Григорьевич Яблонский
ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА НА ПЛОСКОСТИ
Редактор В. С. Капустина. Художественный редактор А. В. Сафонов. Технический
редактор И. В. Квасницкая. Корректор Н. П. Кононова. Сдано в набор 3/1 1966 г. Под-
писано к печати 15/VI 1966 г. 70 х 1081/1в П- л. 16,5(23,1). Уч.-изд. л. 22,84. Тираж 8 000
экз. Заказ № 12. Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Минист-
ров РСФСР. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Типография издательства «Звязда».
Минск, Ленинский проспект, 79. Цена без переплета 64 коп., переплет 10 коп.
74 КОП.
яме
ПРОСВЕЩЕНИЕ • 1966