/
Автор: Богомолов С.А.
Теги: математика геометрия пособие для учителей элементарная геометрия
Год: 1949
Текст
Проф. С. А. БОГОМОЛОВ
ГЕОМЕТРИЯ
(СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ КУРС)
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Утверждено
Министерством просвещения РСФСР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКВА 1949 ЛЕНИНГРАД
Книга проф. С. А. Богомолова «Геометрия» (системати¬
ческий курс) значительно отличается от других книг того же
названия. Наиболее важные особенности этого курса сле¬
дующие:
1) Автор излагает полностью весь курс на основе аксио¬
матического метода.
2) В изложении материала выдержан принцип фузио-
низма, позволивший автору объединить доказательства многих
теорем планиметрии и стереометрии.
3) Автор широко пользуется аксиомой непрерывности,
в частности заменяя ею обычную в некоторых отделах гео*
метрии теорию пределов.
4) Автор в своем изложении элементарной геометрии не
опирается на идею движения, положенную в основу других
подобных курсов, но в особом приложении намечает обосно¬
вание геометрического равенства на идее движения.
Книга предназначается для повышения квалификации
учителей ' математики, но может служить пособием и для
студентов физико-математических факультетов педвузов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый вниманию читателя курс геометрии является
плодом многолетней работы; окончательную обработку он по¬
лучил в связи с моими лекциями по основаниям геометрии,
читанными в Ленинградском государственном педагогическом
институте им. Герцена.
Настоящий курс может служить пособием для учителей
средней школы, а также и для студентов физико-математи¬
ческого факультета педвуза.
При его составлении я старался использовать все указания,
имеющиеся как в русской, так и в иностранной научно-учеб¬
ной литературе; в работе я ставил задачу подойти к курсу
элементарной геометрии с точки зрения современных научных
теорий. В частности, в книге проводятся идеи фузионизма.
Как известно, наш великий геометр Н. И. Лобачевский в своем
своеобразном построении геометрии начинал с изучения прост¬
ранственных фигур. В таком же направлении построена система
аксиом у Гильберта. С методической точки зрения пользу
фузионизма можно видеть в том, что такое изложение больше
способствует развитию пространственного воображения.
В наших школьных учебниках продолжается разделение
курса геометрии на планиметрию и стереометрию; но это не
мешает тому, чтобы учитель математики и студент физмата
познакомились с другим построением курса. Во всяком случае
такое изложение способствует более глубокому проникновению
в строение нашей науки.
Решению поставленной задачи служит выделение вопросов
положения в особую часть курса; обычно этим весьма важным
вопросам уделяется мало внимания, и они теряются в геомет¬
рии меры.
Книга снабжена приложениями, которые имеют цель
разобрать некоторые дополнительные, вопросы. В частно¬
сти, в своем курсе я старался обосновать геометрию, не
прибегая к помощи движения; но понятие это играет видную
роль в других изложениях основ геометрии. Поэтому я решил
добавить особое приложение, посвященное обоснованию уче¬
ния о геометрическом равенстве на понятии движения и вы¬
яснению связи между обоими методами.
Ряд теорем, доказательство которых не представляет осо¬
бого •интереса с точки зрения обоснования геометрии, напе¬
чатаны мелким шрифтом; автор считал неправильным совсем
выбросить их, лишая тем самым курс необходимой полноты.
В заключение считаю своим долгом принести глубокую бла¬
годарность редактору издательства Б. И. Крелыптейну, оказав¬
шему мне большую помощь при редактировании книги.
27 марта 1948 г. С. Богомолов
ВВЕДЕНИЕ
Геометрия — слово греческое и обозначает „землемерие*;
это название указывает на те жизненные потребности, которые
заставили людей заниматься геометрией. Начатки геометриче¬
ских знаний существовали уже несколько тысячелетий тому
назад в древнем Египте; но египтяне не пошли дальше удовле¬
творения самых острых жизненных требований: геометрия
у них заключалась в собрании практических предписаний, ни¬
чем не. обоснованных и не всегда даже правильных; говорить
о науке здесь не приходится. Примерно за шесть столетий до
начала нашей эры эти начатки геометрии проникли из Египта
в Грецию; здесь мы находим уже иной подход к изучению
геометрии. Выражаясь современным языком, можно сказать,
что древнегреческие ученые покинули путь „ползучего эмпи¬
ризма", которым шли египтяне, а стали первые разрабатывать
геометрию, как систему научных истин; в их руках геометрия
превратилась в науку о свойствах пространства, сделавшись
важнейшим отделом математики того времени. Такой подход
к геометрии оказался чрезвычайно плодотворным: в несколько
столетий геометрия была доведена до высокой степени совер¬
шенства и при дальнейшем развитии оказалась в состоянии
разрешить ряд практических задач; так, например, в ней на¬
шли твердую опору геодезия и астрономия.
Перед глазами древних геометров было собрание геомет¬
рических истин, установленных их предшественниками; раз¬
бираясь в этом материале, они очень скоро пришли к заклю¬
чению, что достаточно принять несколько наиболее простых
предложений в качестве основных, а остальные уже можно
вывести из них по правилам логики. Таким образом, уже
в глубокой древности геометрия превратилась в науку, доказы¬
вающую свои утверждения единственно при помощи рассуж¬
дений. Но всякое рассуждение должно на чем-нибудь основы¬
ваться; так, при доказательстве последующих предложений
можно ссылаться на ранее доказанные. А на что мы можем
опереться при доказательстве самых первых теорем нашей
науки? Очевидно, только на те простейшие предложения, о ко¬
торых упоминалось выше и которые принимаются без доказа¬
тельств и в последующем служат основой всех доказательств.
Итак, общий план построения геометрии будет таков: вна¬
чале высказывают несколько основных утверждений, принимая
их без доказательства; эти утверждения называются аксиомами
или постулатами. Все же остальные предложения геометрии
4
доказываются на основании аксиом и называются теоремами.
Такой план мы уже находим у „отца геометрии" Евклида в его
знаменитых „Началах", написанных более 2000 лет тому назад.
Из сказанного вытекает, что вся геометрия покоится на
аксиомах, как на своем фундаменте. Возникает вопрос о том,
откуда мы берем аксиомы и как убеждаемся в их истинности;
эти вопросы, конечно, выводят нас за пределы геометрии.
Для ответа на эти вопросы руководящими могут служить
следующие слова Энгельса: „Чистая математика имеет своим
объектом пространственные формы и количественные отноше¬
ния действительного мира, стало быть — весьма реальный ма¬
териал... Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы
и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить
их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как
нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишен¬
ные измерений, линии, лишенные толщины и ширины..."1
В течение многих поколений человек накапливал опытным
путем геометрические знания; постепенно он уточнял их и за¬
мечал, что одни из них необходимым образом вытекают из
других. Таким образом, постепенно выяснялись основные поло¬
жения, которые только и надо заимствовать из опыта или из
пространственного представления. Следовательно, можно ска¬
зать, что аксиомы явились в результате логической переработки
исторически накопленных знаний.
Точно так же постепенно выяснялось, что все самые слож¬
ные геометрические фигуры можно построить из небольшого
числа простейших, которые принимаются за основные элементы
при построении геометрии (об этом подробно будет сказано
ниже).
В связи со сказанным об аксиомах возникает вопрос: яв¬
ляются ли аксиомы заключением геометрического исследова¬
ния или его началом? Правильный ответ будет гласить диа¬
лектически: и то и другое. В самом деле, понадобился долгий,
более чем 2000-летний путь для того, чтобы в конце XIX сто¬
летия выяснить полный список аксиом геометрии. С другой
стороны, всякий, кто пожелает построить систематический курс
геометрии, должен в начале указать ту систему аксиом, кото¬
рую он кладет в основу. Указанные два момента находятся
в тесном взаимодействии: развитие геометрии способствует
уяснению ее основных предпосылок (в этом вопросе огромное
значение имело построение неевклидовых систем), а более
совершенная система аксиом способствует дальнейшему раз¬
витию геометрии.
Читатель не должен смущаться, если заметит в настоящем
курсе, что иногда доказываются предложения, казалось бы,
вполне очевидные; он должен помнить, что такие теоремы до-
1 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. Госполитиздат, 1945. '37.
5
называются для того, чтобы установить их связь с аксиомами
и показать, как вся геометрия вытекает из небольшого числа
предпосылок. Если мы примем без доказательства какую-ни¬
будь очевидную для нас теорему, то это будет значить только,
что мы поместили ее в число аксиом; а без настоятельной не¬
обходимости не следует увеличивать число предложений, при¬
нимаемых без доказательства.
Наряду с аксиомами и теоремами, в геометрии встре¬
чаются еще другие предложения вспомогательного характера,
а именно — определения. Определение имеет цель закрепить
оказавшееся почему-либо важным новое сочетание уже извест¬
ных понятий и для этого обозначает указанное сочетание осо¬
бым именем (или „термином"); поэтому определения очень по¬
лезны для удобства и сокращения речи. Поясним сказанное
примером: исследуя вопрос о пересечении прямых, приходим
к заключению, что прямые могут лежать в одной плоскости
и в-то же время не иметь общих точек; этот случай оказы¬
вается весьма важным по многим причинам, так что в даль¬
нейшем придется часто о нем говорить; и вот вводится опре¬
деление: „две прямые, лежащие в одной плоскости и не
имеющие общих точек, называются параллельными". Теперь
уже можно говорить просто о „параллельных прямых", не
повторяя каждый раз этой длинной фразы, что представляет
несомненное удобство.
Указанное сочетание уже известных понятий, которое за¬
крепляется некоторым термином и дает нам новое понятие,
не есть простое механическое сочетание; к нему приводит нас
творческий акт мысли, имеющий корни в практике в широком
смысле этого слова. Возьмем еще для примера понятие о по¬
добных треугольниках. Можно как угодно расчленять и сопо¬
ставлять исходные предпосылки, там мы не найдем этого
понятия; но повседневный опыт людей показывал им предметы
и существа, которые при одной и той же форме имели раз¬
личные размеры. Это и натолкнуло нашу мысль на создание
нового понятия, прежде всего — о подобии треугольников;
а создали мы это понятие путем сочетания и объединения уже
известных понятий о равенстве углов и пропорциональности
отрезков.
Таким образом, благодаря определениям, более сложные
понятия сводятся к более простым, уже нам известным. Здесь
дело обстоит подобно тому, что мы видели при доказательстве
теорем: с помощью доказательств одни теоремы сводятся
к другим, ранее доказанным; эти последние основаны на тео¬
ремах, доказанных еще раньше, и т. д., пока не дойдем до
аксиом, которые уже не доказываются и которые в качестве
исходных положений служат основой для всех доказательств.
Точно так же одни понятия при помощи определений сводятся
к другим, которые были введены раньше; эти последние, в свою
6
очередь, сводятся к таким, которые были введены еще раньше,
и т. д., пока не дойдем до таких понятий, которые сами уже
не определяются и в качестве простейших служат основой
для всех последующих определений. Таковы, например, поня¬
тие „точки" и другие понятия, с которыми мы познакомимся
в своем месте. Указанные простейшие понятия называются
основными; остальные же, определяемые сих помощью, — про¬
изводными.
Таким образом, основным понятиям не дается формальных
определений, а все, что нам нужно знать о них, вкладывается
в аксиомы.
Поэтому под основными понятиями можно понимать любые
объекты, при непременном соблюдении условия, чтобы при
таком понимании выполнялись утверждения всех аксиом.
Отсюда вытекает важное следствие о возможности различных
конкретных истолкований отвлеченной геометрической системы.
Одним из таких истолкований и притом самым естествен¬
ным является соединение с понятиями точка’, прямая, плос¬
кость и т. д. обычных наглядных представлений.
Собирая все, что было сказано о доказательствах и опре¬
делениях, получаем следующее правило, которому должно
удовлетворять всякое научное построение геометрии.
Каждое предложение геометрии должно быть или открыто
помещено в число аксиом, или строго доказано на основании
аксиом; каждое геометрическое понятие должно быть или
открыто помещено в число основных, или отчетливо опреде¬
лено с помощью основных.
После общей характеристики построения геометрии мы
войдем в некоторые подробности относительно состава геомет¬
рических теорем и относительно наиболее употребительных
приемов их доказательства.
Из сказанного выше явствует, что аксиомы являются об¬
щей предпосылкой для всех теорем геометрии; кроме того,
в каждой теореме имеется своя особая предпосылка. Так, на¬
пример, изучая свойства равнобедренного треугольника, мы
опираемся не только на аксиомы и ранее доказанные теоремы,
но и на допущение, что данный треугольник—равнобедренный.
Что же касается до того нового утверждения, которое делается
в теореме, то оно называется ее заключением.
Так, в теореме: „если треугольник равнобедренный, то углы
при основании равны",—это последнее утверждение и будет
заключением.
Следовательно, если предпосылку обозначить буквой/?, а за¬
ключение— буквой qy то теорема приводится к такому виду:
если имеет место /?, то имеет место и q,
или, короче:
если /?, то <?,
7
или наконец, так:
р влечет за собой q.
К такому виду можно привести и теоремы, которые, на
первый взгляд, как будто под него не подходят. Так, предло¬
жение: „сумма углов треугольника равна двум прямым углам"
можно высказать так: „если данная фигура есть треугольник,
то сумма углов этой фигуры равна двум прямым".
Общие приемы всяких доказательств изучаются в логике;
приведем в виде примера один из них.
Пусть буквы р, 7, г обозначают некоторые предложения,
и пусть нам дано, что
р влечет за собой q,
q влечет за собой г.
Тогда мы с необходимостью заключаем:
р влечет за собой г.
Такими умозаключениями мы часто пользуемся и в гео¬
метрии и в других областях знания; иногда они нанизываются
одно на другое, и получается довольно длинная цепь предло¬
жений, которая приводит к выводу, что из первого необхо¬
димо вытекает последнее.
Довольно часто в геометрии применяется так называемое
„доказательство от противного" или „приведение к нелепости".
Пусть нам надо доказать теорему:* „если р, то Попро¬
буем допустить, что это утверждение неверно, т. е. что при нали¬
чии р не имеет места q. Затем это новое допущение сочетаем
с другими предложениями, истинность которых уже была уста¬
новлена, и если таким путем получится противоречие, то цель
достигнута. В самом деле, единственный сомнительный пункт
в наших рассуждениях—это новое допущение, что q может не
иметь места при наличии р; и если оно привело к нелепости,
то его следует отвергнуть, а потому р всегда влечет за со¬
бой <7, что и требовалось доказать.
В последующем курсе читатель найдет достаточное коли¬
чество подобных рассуждений; здесь же докажем для примера
одно общее правило, которое заключается в следующем утверж¬
дении:
если р влечет за собою </, то отрицание q влечет за со¬
бою отрицание р.
Попробуем допустить, что отрицание q может оказаться
совместным с утверждением р. Но нам дано, что р влечет за
собой q. Отсюда вытекает, что отрицание q совместно с утвер¬
ждением 7, что невозможно.
Так, например, мы знаем, что в равнобедренном треуголь¬
нике имеется пара равных углов. Следовательно, если в тре-
8
угольнике нет равных углов, то он не может быть равнобед¬
ренным.
Весьма важно для геометрии понятие об обратных теоре¬
мах. Если схема прямой теоремы будет: „р влечет за собой qu,
то в простейшем случае переход к обратной теореме состоит
в перестановке предпосылки и заключения, так что ее схема
будет: nq влечет за собой ри. Таково соотношение между тео¬
ремами 132 и 133; теорема 158 сама заключает в себе два.
взаимно обратных предложения.
Но не всегда дело обстоит так просто. Всякий признает,
что теоремы 161 и 162, 168 и 169 являются взаимно обратными,
между тем, часть предпосылки является для них общей. Поэ¬
тому надо сказать, что при переходе к обратной теореме вообще
часть предпосылки меняется местами с заключением. Отсюда
далее вытекает, что иногда бывает необходимо разложить
предпосылку теоремы на составные части, чтобы придти к пра¬
вильной формулировке обратной теоремы.
Возьмем для примера теорему 148: „сумма двух смежных
углов равна 2d“. Простая перестановка предпосылки („два дан¬
ных угла—смежные") с заключением („сумма данных углов
равна 2d“) приводит к очевидно неверному утверждению.
Тогда, опираясь на определение 13, можно нашу предпосылку
разложить на два утверждения: 1) „данные углы имеют об¬
щую сторону" (это уже влечет за собою и общую вершину) и
2) „две другие стороны суть противоположные лучи"; за¬
ключение остается прежним. Попробуем теперь переставить
заключение [обозначая его через (*)] с той или другой частью
предпосылки; (1) и (*) не влекут за собою (2), ибо такие углы
могут налегать друг на друга, а (2) и (*) не влекут за собой (1),
ибо углы могут лежать по разные стороны от данной прямой.
Следовательно, и здесь мы обратной теоремы не получим;
а потому нужно продолжать разложение предпосылки на
части, именно мы подвергнем дальнейшему анализу вторую
из них, после чего строение рассматриваемой теоремы будет
(1) „данные углы имеют общую сторону";
(2) „они лежат в различных полуплоскостях,
ребром которых служит общая сторона";
(3) „две другие стороны лежат на одной
прямой";
(*) заключение (как и раньше).
Теперь заключение можно переставить с утверждением (3)
и получается верная теорема (см. теорему 149, которая отли¬
чается лишь по форме от высказанного здесь обратного пред¬
ложения). Вообще говоря, здесь были бы возможны еще две
другие обратные теоремы: но (1), (3) и (*) не влекут за со¬
таково:
Предпо¬
сылка
9*
бой (2), как показывает пример двух совпадающих прямых
углов, а (2), (3) и (*) не имеет смысла, так как (2) предпола¬
гает уже (1). Подобный же анализ приведет нас от теоремы
135 к теореме 151.
Изложенные соображения позволяют для многих теорем
подыскать правильные обратные теоремы; но не всегда это
представляется интересным.
Так, предложение: „все прямые углы равны между собой"
после представления в таком виде:
Предпо- ( (1) „один данный угол — прямой41,
сылка I (2) „другой данный угол — прямой",
Заклю¬
чение (*) „данные углы равны",
приводит к правильной обратной теореме по схеме: (1) и (*)
влекут за собой (2). Однако едва ли необходимо помещать
в курсах геометрии такое предложение.
Иногда теоремы высказываются в таком виде, что на первый
взгляд не видно, что там заключаются два взаимно обратных
предложения. Таковы, например, теоремы 178 и 179, где идет
речь о геометрических местах. Однако если мы црочтем за¬
мечание, сделанное после определения 55, то дело становится
•совершенно ясным.
Таким же характером обладают и те теоремы, в которых
идет речь об условии необходимом и достаточном (например,
теорема 175).
В самом деле, утверждение „для р необходимо и достаточно
приводит к двум взаимно обратным теоремам: прежде всего,
надо будет доказать, что пр влечет за собою <?“, и тогда будет
установлена необходимость q, а затем — „q влечет за собоюр",
что убеждает нас в достаточности q. Наоборот, две взаимно
обратных теоремы можно соединить в одну при помощи указан¬
ных терминов. Так, теоремы 132 и 133 можно объединить
в такое предложение: „для того чтобы треугольник был рав¬
нобедренным, необходимо и достаточно наличие у него двух
равных углов".
Переходим к рассмотрению некоторых общих приемов,
с помощью которых доказываются обратные теоремы. Один из
них применяется к теоремам, которым можно придать форму:
„если фигура Т обладает свойством А, то она обладает и
свойством В*— при условии, что каждое из свойств А и В
в отдельности вполне определяет данную фигуру. Тогда мы
можем непосредственно утверждать справедливость обратной
теоремы: „если фигура Т обладает свойством В, то она обла¬
дает и свойством Л".
В самом деле, прямая теорема говорит, что фигура, опре¬
деляемая свойством Л, тождественна с фигурой, определяе¬
10
мой свойством В\ а если X тождественно с К, то и У тожде¬
ственно с X.
Это правило условимся называть „обращением по тожде¬
ству".
Пусть, например, речь идет о прямой (фигура Г) и свойство
А заключается в том, что на этой прямой лежит высота рав¬
нобедренного треугольника, а свойство В — в том, что прямая
содержит медиану основания этого треугольника; каждое из
этих свойств в отдельности вполне определяет прямую. Если
далее будет доказано, что „прямая, содержащая высоту рав¬
нобедренного треугольника, содержит и медиану его основа¬
ния", то можно сейчас же утверждать и обратную теорему:
„прямая, содержащая медиану основания в равнобедренном
треугольнике, содержит и его высоту". Короче, эти предложе¬
ния можно высказать так: „высота равнобедренного треуголь¬
ника есть медиана его основания" и „медиана основания рав¬
нобедренного треугольника есть его высота". Теорема 170
дает несколько примеров для обратимости по тождеству; дру¬
гим примером могут служить теоремы о средней линии тра¬
пеции (342 и 343).
Одним из примеров на другое правило может служить
пара теорем 171 и 172. В подобных случаях мы имеем соб¬
ственно ряд теорем:
рг влечет за собою q19
р2 влечет за собою q29
рл влечет за собою qn\
причем предпосылки р19 р2У..., рп единственно возможны
в рассматриваемом вопросе, а заключения q19 q2,..., qn не¬
совместны друг с другом.
При наличии этих условий можно сейчас же утверждать
обратные теоремы:
qx влечет за собою р19
q2 влечет за собою р2,
qn влечет за собою рп.
Действительно, пусть нам дано некоторое qk (где k — одно
из чисел ряда 1, 2, 3,. .. ,п). Попробуем допустить, что оно
не влечет за собою pk\ но тогда должно иметь место какое-
нибудь другое pz, так как допущения pï9 Рп един¬
ственно возможны в данном случае. В силу прямой теоремы
это /г влечет за собой qiy так что qk и qt оказываются сосу¬
ществующими, что противоречит их несовместности.
Следовательно, qk влечет за собой /?А, что и требовалось
доказать.
11
Изложенное здесь правило условимся называть „обращением
по разделению4*; другими примерами его применения могут
служить теоремы 265 и 266, 415 и 416 и др.
Покончив с вопросом об обратных теоремах, упомянем еще
об одном общем приеме доказательства — о так называемой
„математической индукции" (примерами могут служить дока¬
зательства теорем 65 и 176). В подобных случаях определение
рассматриваемой фигуры зависит от целого положительного
числа п (например, дело идет об n-угольнике). Чтобы доказать
какое-нибудь свойство фигуры, сначала доказываем его для наи¬
меньшего возможного п (например, для п = 3 в случае много¬
угольника), а потом устанавливаем, что если оно верно для
(п—1), то будет верным и для п. Таким образом, теорема
будет доказана для всякого конечного п.
Такой вид рассуждений в арифметике и алгебре встречается
чаще, чем в геометрии.
Доказательства геометрических теорем обычно снабжаются
чертежами (если чертежа нет, то читатель приглашается вы¬
полнить его самостоятельно), и эти чертежи являются пре¬
красным вспомогательным средством. Однако нельзя основы¬
ваться исключительно на чертеже и считать доказанным то, что
удалось усмотреть на чертеже; нельзя этого делать потому,
что чертеж может быть неверным или же соответствовать
какому-нибудь частному случаю теоремы, так что из него
нельзя извлекать общих заключений. Поэтому, если на чер¬
теже мы подмечаем интересное соотношение, то, прежде чем
воспользоваться им при доказательстве, необходимо убедиться,
что оно вытекает из существа дела, а не является случайным
или даже неверным. Только при соблюдении этого правила
пользование чертежом становится вполне законным.
Приступая к построению геометрии, мы не поместим в на¬
чале полного списка аксиом и основных понятий; аксиомы
будут вводиться по мере надобности и притом небольшими
группами, выражающими однородные свойства геометрических
образов.
Разбираясь в этих свойствах, можно всю геометрию разбить
на две главные части: одна из них занимается исключительно
вопросами положения, а в другой преобладают вопросу меры.
Мы начнем с геометрии положения, а потом перейдем
к геометрии меры.
ГЕОМЕТРИЯ ПОЛОЖЕНИЯ
§ 1. Сочетание основных образов
Мы принимаем в качестве основных три следующих поня¬
тия: точка, прямая, плоскость.
Согласно сказанному выше, под этими понятиями можно
понимать любые объекты при соблюдении указанных ниже
аксиом.
В частности, в настоящем параграфе вводятся так назы¬
ваемые аксиомы сочетания, которые устанавливают основные
соотношения между названными понятиями.
Так как до сих пор об этих понятиях еще ничего не было
сказано, то в аксиомах надо указать и те логические катего¬
рии {элемент, класс, отношение), к которым эти понятия от¬
носятся.
Определение 1. Любая совокупность точек назы¬
вается фигурой или геометрическим образом. Совокупность
всевозможных точек, для которой выполняются указанные
ниже аксиомы, называется пространством. Наука о свойствах
пространства называется геометрией. Геометрия может подхо¬
дить к решению своей задачи с различных точек зрения и с
помощью различных методов; та отрасль геометрии, которая
излагается в настоящей книге, носит название „элементарной
геометрии*4.
Аксиома I. Прямая и плоскость суть геометрические
образы.
Таким образом, термин точка служит названием для тех
простейших элементов, из которых геометрия строит свои фи¬
гуры, а прямая и плоскость являются классами, или множе¬
ствами точек.
Если такая-то точка принадлежит совокупности точек, об¬
разующих такую-то прямую, то говорят, что эта точка лежит
на данной прямой или данная прямая проходит через эту
точку; если одна и та же точка принадлежит двум раз¬
личным прямым, то говорят, что эти прямые пересекаются
в данной точке. Подобные выражения употребляются и для
плоскостей.
Точки обыкновенно обозначаются большими буквами ла¬
тинского алфавита: А, В, С,...; прямые — малыми буквами
13
того же алфавита: а, Ь, с,... ; плоскости обозначаются грече¬
скими буквами: а, р, 7,...
Аксиома II. Существует одна и только одна прямая,
проходящая через две различные точки.
Иначе говоря, две различные точки определяют прямую.
Прямая, определяемая точками А и В, обозначается символом
АВ или ВА (порядок точек здесь безразличен).
Аксиома III. На прямой всегда имеются, по крайней
мере, две различные точки-, имеется точка, не лежащая на
данной прямой.
Существование дальнейших точек вытекает из последующих
аксиом.
Аксиома IV. Существует одна и только одна пло¬
скость, проходящая через три данные точки, не лежащие
на одной прямой.
Иначе говоря: такие три точки определяют плоскость.
Плоскость, определяемая точками А, В, С, обозначается сим¬
волами: АВС, ВСА и т. д., независимо от порядка букв.
Аксиома V. В плоскости всегда имеются, по крайней
мере, три точки, не лежащие на одной прямой.
Аксиома VI. Если две точки прямой лежат в некото¬
рой плоскости, то эта прямая всеми своими точками при¬
надлежит указанной плоскости.
Аксиома VII. Если две плоскости имеют общую точку,
то у них имеется, по крайней мере, еще одна общая точ¬
ка, отличная от данной.
Аксиома VIII. В пространстве имеются, по крайней
мере, четыре различные точки, не лежащие в одной пло¬
скости.
Исходя из перечисленных аксиом, можно уже доказать
другие предложения того же рода, которые можно назвать
теоремами сочетания. При доказательстве теорем мы будем
в скобках указывать номер того предложения, которое является
основанием делаемого утверждения.
Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь
более одной общей точки.
Действительно, если бы эти прямые имели хотя бы две
общие точки, то они совпали бы друг с другом (аксиома II),
а это противоречит заданию.
Теорема 2. Если прямая не лежит целиком в данной
плоскости, то она не может пересекать этой плоскости
более чем в одной точке.
В противном случае, прямая всеми своими точками ле¬
жала бы в плоскости (аксиома VI), что противоречит заданию.
Теорема 3. Две различные плоскости или совсем не
имеют общих точек, или пересекаются по некоторой пря¬
мой и только по этой прямой.
В самом деле, пусть нам даны две различные плоскости а
14
и Р; если у них нет общих точек, то теорема доказана. До¬
пустим теперь, что у них имеется общая точка А; тогда су¬
ществует еще другая общая точка В, отличная от А (аксиома
VII), и мы можем говорить о прямой АВ (аксиома ,11), которая,
лежит в обеих данных плоскостях (аксиома VI). Другими сло¬
вами, плоскости аир пересекаются по этой прямой. Попро¬
буем допустить, что у них имеется еще общая точка С, не
лежащая на прямой АВ; тогда плоскости аир должны сов¬
пасть (аксиома IV), что противоречит заданию.
Читатель должен обратить внимание на то, что дока¬
зательства трех изложенных теорем не были снабжены черте¬
жами; да в них и не было никакой нужды: искомое получалось
из аксиом с помощью весьма простых рассуждений, не требо¬
вавших каких-либо наглядных пояснений. Подобное же будет
иметь место и в других столь же простых случаях; но в более
сложных нам было бы трудно обойтись без чертежа. Отметим
еще, что в этих трех теоремах был применен метод доказа¬
тельства от противного.
Теорема 4. Существует одна и только одна плоскость,,
проходящая через данную прямую и точку вне ее.
Пусть дана прямая а и точка А, не лежащая на ней; от¬
метим на данной прямой две какие-нибудь различные точки
В и С (аксиома III). Тогда три точки А, В, С определяют
плоскость (аксиома IV), которая пройдет и через точку А, что
очевидно, и через прямую а (аксиома VI). Если же допустить,
что существует еще другая плоскость, удовлетворяющая ус¬
ловиям теоремы и отличная от первой, то получится противо¬
речие с теоремой 3.
Построенная таким образом плоскость обозначается через
аА или Аа.
Теорема 5. Существует одна и только одна плоскость,
проходящая через две различные пересекающиеся прямые.
Доказательство, основанное на аксиоме III, теореме I,
аксиоме IV и VI, теореме 3, предоставляется читателю.
Предыдущую теорему можно высказать и так:
Если две прямые пересекаются, то они лежат в одной
плоскости.
Вспоминая одно общее правило, указанное во введении,,
отсюда выводим:
Если две прямые не лежат в одной плоскости, то они
не пересекаются.
Теорема 6. В пространстве существует, по крайней
мере, шесть различных прямых и, по крайней мере, четыре
различных плоскости.
Возьмем 4 точки, упоминаемые в аксиоме VIII; все эти
точки не могут лежать на одной прямой, так как в этом случае
они лежали бы и в одной плоскости (аксиомы III, IV и VI);
подобным же образом докажем, что никакие 3 из них не МО-
15»
тут лежать на одной прямой. Тогда из аксиомы II и только
что доказанного вытекает существование 6 различных прямых.
Сочетая взятые точки по 3, получим 4 плоскости (аксиома IV);
эти плоскости будут различными, так как совпадение двух
из них привело бы к противоречию с заданием.
Определение 2. Две прямые, не лежащие в одной
плоскости, называются скрещивающимися.
Существование таких прямых вытекает из аксиомы VIII:
если упоминаемые там точки обозначить через A,B,C,D, то
прямые АВ и CD, находясь в различных плоскостях, будут
«скрещивающимися.
Теорема 7. Для всякой прямой существует скрещиваю¬
щаяся с ней прямая.
Действительно, отметим на данной прямой две различные
точки А и В (аксиома III); тогда данная прямая будет пря¬
мой АВ (аксиома II). Возьмем точку С вне прямой АВ
(аксиома III) и точку D вне плоскости АВС ( аксиома VIII);
прямые АВ и CD будут скрещивающимися, так как иначе
точки А, В, С, D лежали бы в одной плоскости.
Введем определение некоторых часто встречающихся об¬
разов.
Определение 3. Связкой называется совокупность все¬
возможных прямых и плоскостей, проходящих через дан¬
ную точку; последняя называется центром связки. Если имеют
в виду только прямые или только плоскости, то говорят
■о связке прямых или о связке плоскостей.
Определение 4. Пучком прямых называется совокуп¬
ность всевозможных прямых, лежащих в одной и той же
плоскости и проходящих через одну и ту же точку; эта пос¬
ледняя называется центром пучка.
Определение 5. Пучком плоскостей называется сово¬
купность всевозможных плоскостей, проходящих через дан¬
ную прямую; эта последняя называется его осью.
Теорема 8. Если дана плоскость а и точка О вне ее,
то каждой фигуре на плоскости а соответствует вполне
определенная фигура в связке О, причем: точкам плоскости
соответствуют прямые связки, прямым плоскости — пло¬
скости связки, точкам на одной прямой — прямые одного
пучка, прямым пучка — плоскости пучка.
Для доказательства, каждому основному образу в плоско¬
сти приведем в соответствие ту фигуру в связке, которая оп-)
ределяется данным основным образом и точкой О. Тогда ста-!;
новится ясным, что точкам плоскости А, В, С,... соответствуют-
в связке прямые ОА, ОВ, ОС,...; а прямым плоскости а,
Ь, с,... соответствуют плоскости Оа, ОЬ, Ос,... (аксиома II,
теорема 4). Далее, если точки А, В, С,... лежат на одной
и той же прямой А, то прямые О А, ОВ, ОС... принадлежат од¬
ной и той же плоскости Oh, так что образуют пучок (аксио¬
16
ма VI, теорема 4, определение 4). Точно так же, если прямые
а, Ь, с,... проходят через одну и ту же точку Н, то плоскости
Оа, ОЬ, Ос,.., все проходят через прямую ОН, так что об¬
разуют пучок плоскостей (аксиома VI), что и требовалось до¬
казать.
Последнее соотношение изображено на черт. 1. Пусть чи¬
татель ответит на вопрос, почему нельзя утверждать обрат¬
ного соответствия, т. е., что каждому основному образу
в связке всегда соответствует определенный образ в плоскости.
Если каждому элементу
одной фигуры соответствует
определенный элемент дру¬
гой фигуры, то говорят
также, что первая фигура
определенным образом пре¬
образуется во вторую.
Таким образом, мы при¬
ходим к понятию о геоме¬
трических преобразованиях,
которые в геометрии не
менее важны, чем преобра¬
зования формул в алгебре.
Преобразование, посред¬
ством которого плоская фи¬
гура переходит в опреде¬
ленный образ связки (см.
теорему 8), называется про
ектированием плоской фи¬
гуры из точки; обратный
же переход носит название
сечения связки плоскостью.
Эти преобразования имеют основное значение для проективной
геометрии.
Теорема 9. Если пучок плоскостей пересечь плоско¬
стью, ему не принадлежащей, но проходящей через какую-
нибудь точлеу его оси, то в сечении получается пучок пря¬
мых, причем каждой его прямой соответствует одна и только
одна плоскость пучка плоскостей, а каждой плоскости
этого пучка — одна и только одна прямая пучка прямых.
Действительно, пусть дан пучок плоскостей с осью ОН
черт. 1). Проведем плоскость через точку Н, произвольно
взятую на оси, и через какую-нибудь прямую, скрещиваю¬
щуюся с ОН (теоремы 7 и 4). Эта плоскость а не может при¬
надлежать данному пучку (см. определение 2). Так как пло¬
скость а с каждой из плоскостей данного пучка имеет общую
точку Н, то она пересекает ее по прямой (теорема 3); все
эти прямые лежат в плоскости а и проходят через точку Н,
так что образуют пучок прямых.
17
Дальнейшие рассуждения предоставляются читателю.
Если между элементами двух фигур установлено такое
соответствие, что каждому элементу одной фигуры соответст¬
вует один и только один элемент другой, то такое соответ¬
ствие называется одно-однозначным. Говорят также об одно¬
однозначном преобразовании одной фигуры в другую.
X. Если А предшествует В, то В не пред-
XI. Если А предшествует В и В пред шее т-
предшествует С.
XII. Если А и В — различные точки, то либо
§ 2. Расположение точек на прямой
В этом параграфе нам придется иметь дело большей частью
с предложениями, которые представляются непосредственно
очевидными; между тем, мы будем их доказывать, исходя из
нескольких простейших, принятых за аксиомы. Этим путем
мы желаем установить логическую связь между различными
свойствами расположения и показать, как все это учение вы¬
текает из небольшого числа предпосылок.
Здесь вводится новое основное тюнятие: предшествовать
в данном направлении. Все, что нам нужно знать об этом
понятии для построения геометрии, вложено в следующие
аксиомы расположения.
Аксиома IX. „Предшествовать в данном направлении*
есть отношение между точками одной и той же прямой.
Аксиома ”
шествует А.
Аксиом а
вует С, то А
Аксиома
А предшествует В, либо В предшествует А.
Для дальнейшего введем понятие об обратном отноше¬
нии. Если какой-нибудь предмет А стоит в известном отно¬
шении к предмету В, то говорят, что В стоит кА в обратном
отношении. Так, если А больше В, то В меньше А, так что
отношение „меньше" будет обратным для отношения „больше".
Легко’ видеть, что отношение, обратное для обратного отно¬
шения, тождественно с данным; поэтому говорят о взаимно
обратных отношениях.
Определение 6. „Следовать* есть отношение, обрат¬
ное для „предшествовать*.
Другими словами, предложения „В следует А" и „А пред¬
шествует В* будут равносильными.
Аксиома XIII. Если А предшествует В, то существует
точка, следующая за А и предшествующая В.
Аксиома XIV. Нет точки, которая предшествовала бы
всем остальным, и нет точки, которая следовала бы за
всеми остальными.
Теорема 10. Если А предшествует В, то А и В—раз¬
личные точки.
18
В самом деле, если допустить, что В совпадает с А, то
аксиома X дает:
если А предшествует А, то А не предшествует А,
что невозможно.
Теорема 11. Отношение „следовать* обладает свой¬
ствами отношения „предшествовать*, выраженными в аксио¬
мах X — XII и теореме 10.
Докажем для примера то свойство, о котором говорится
в аксиоме XI.
Пусть нам дано, что
А следует В и В следует С.
На основании определения 6 отсюда имеем:
В предшествует А и С предшествует В,
или
С предшествует В и В предшествует Д,
ибо от перестановки двух одновременно данных предложений
истинность их не нарушается.
Теперь аксиома XI дает:
С предшествует Д,
что равносильно утверждению:
А следует С,
и цель наша достигнута.
Приступая к расположению точек на прямой, отметим на
прямой а точку О и еще какую-нибудь точку М (аксиома 111).
На основании аксиомы XII можно утверждать, что
либо М предшествует О, либо О предшествует М.
Но в силу определения 6 это утверждение перепишется так*.
■ либо М предшествует О, либо М следует О.
Приняв это во внимание, вводим следующее определение.
Определение 7. Совокупность всех точек прямой,
предшествующих точке О, в соединении с этой точкой на¬
зывается лучом или полупрямой с вершиной в точке О.
Точно так же точки нашей прямой, следующие за точкой О,
образуют другой луч с той же вершиной. Оба названных луча
(или полупрямые) друг по отношению к другу называются
противоположными. Таким образом, прямая а любой своей
точкой О разбивается на два взаимно противоположных луча.
Теорема 12. Луч вполне определяется заданием вер¬
шины и одной из его точек.
2*
19
Действительно, прежде всего эти две точки определяют
соответствующую прямую (аксиома II). Пусть вершиной будет
точка О, и, кроме того, на луче дана точка М.
Подобно предыдущему имеем:
либо М предшествует О, либо М следует О.
Так как обе точки даны, то имеет место один вполне оп¬
ределенный случай (аксиома X). Но все точки луча стоят
в одном и том же отношении к его вершине, и раз это отно¬
шение известно, то и луч вполне определен (определение 7).
Иногда лучи обозначаются (как и прямые) малыми буквами
латинского алфавита.
Теорема 13. Луч, и прямая содержат бесконечное мно¬
жество различных точек.
В самом деле, возьмем полупрямую ОМ, и пусть для оп¬
ределенности
М предшествует О.
В силу аксиомы XIV существует такая точка Mlf что
Мх предшествует М.
Тогда на основании аксиомы XI имеем:
Мі предшествует О,
откуда видно, что Мг принадлежит нашему лучу (определе¬
ние 7) и отлична от О и М (теорема 10).
Точно так же на основании аксиомы XIV существует такая
точка М2, что
М2 предшествует Мѵ
Тогда имеем:
ТИ2 предшествует М, и Л12 предшествует О (аксиома XI).
Следовательно, ТИ2 принадлежит данному лучу и отлична
от всех предыдущих точек (теорема 10).
Совершенно ясно, что, продолжая эти рассуждения, полу¬
чаем бесконечный ряд различных точек: М, Mlf М2, 7И3,...,
принадлежащих данному лучу.
Для прямой теорема очевидна, ибо луч составляет ее
часть.
Теперь уже нетрудно доказать подобные же теоремы для
плоскости и пространства.
Определение 8. Если точки А, В, С лежат на одной
прямой, причем точки А и В принадлежат ее различным
лучам с общей вершиной в С, то говорят, что точка С
лежит между точками А и В, или-. точки А и В лежат
по разные стороны от С. Если же точки А и В принад¬
лежат одному и тому же лучу с вершиной в С, то гово¬
20
рят, что эти точки лежат по одну сторону от С (тогда
С не лежит между А и В).
Теорема 14. Существует точка, лежащая между двумя
данными различными точками.
Утверждение вытекает из аксиом XII, XIII, определений 7
и 8.
Теорема 15. 1) Если А и В, А и Е лежат по разные
стороны от С, то В и Е лежат по одну сторону от С.
2) Если А и В лежат по разные стороны, а А и D —
по одну сторону от С, то В и D лежат по разные сто¬
роны от С.
3) Если А и D, А и F лежат по одну сторону от С, то
D и F лежат по одну сторону от С.
Доказательство непосредственно вытекает из того обстоя¬
тельства, что на данной прямой имеется всего два луча с об¬
щей вершиной в точке С.
Теорема 16. Если С лежит между А и В, то А не
лежит между В и С и В не лежит между А и С.
Из наших данных и определения 8 вытекает, что точки
А и В имеют различные отношения к С. Пусть, для опреде¬
ленности дано:
А предшествует С и В следует С.
Первое утверждение равносильно тому, что С следует А.
Тогда аксиома XI и теорема 11 убеждают нас в том, что
В следует А.
Если же имеют место формулы:
В следует А и С следует А,
то В и С принадлежат одному и тому же лучу с вершиной
в А, что я требовалось доказать. Так же рассматривается и вто¬
рая половина теоремы.
Теорема 17. Из трех различных точек прямой одна
и только одна лежит между двумя другими.
Действительно, пусть на прямой даны точки А, В, С. Если
А лежит между В и С, то наша ближайшая цель достигнута.
Пусть А не лежит между В и С. Если В лежит между
А и С, то ближайшая цель также достигнута.
Следовательно, остается рассмотреть тот случай, когда
точки В и С принадлежат одному и тому же лучу с вершиной
в Л, а точки А и С — одному и тому же лучу с вершиной
в В. Точки А и В стоят в определенном отношении друг
к другу (аксиома XII). Допустим для определенности, суще¬
ствование отношения:
А предшествует В;
21
тогда и
А предшествует С,
так как точки В и С принадлежат одному и тому же лучу
с вершиной в А.
Далее должно быть:
С предшествует В,
так как А и С принадлежат одному и тому же лучу с вер¬
шиной в В.
Отсюда выводим:
А предшествует С и В следует С,
т. е. С лежит между А и В (определение 8). Наконец из трех
указанных случаев возможен только один в силу теоремы 16.
Теорема 18. Если С лежит между А и Bt а D — между
А и С, то С лежит между D и В, a D—между А и В.
Действительно, нам дано, что А и В лежат по разные
стороны от С (определение 8), а точки А и D— по одну сто¬
рону от С (теорема 16, определение 8).
Отсюда следует, что В и D лежат по разные стороны от С
(теорема 15, п. 2), т. е.
С лежит между В и D.
Далее, из последнего утверждения вытекает, что В и С
лежат по одну сторону от D (теорема 16, определение 8).
А так как, по данному, точки А и С лежат по разные сто¬
роны от £>, то А и В лежат по разные стороны от D (тео¬
рема 15, п. 2), т. е.
D лежит между А и В.
Теорема 19. Если две различные точки С и D обе
лежат между А и В, то либо D лежит между А и С,
либо D лежит между С и В.
Действительно, точки В и С, В и D лежат по одну сто¬
рону от А (теорема 16, определение 8), откуда С и D лежат
также по одну сторону от А (теорема 15, п. 3).
Поэтому, применяя теорему 17 к точкам А, С, D, получаем
только два случая:
либо D лежит между А и С, либо С лежит между А и О.
В первом случае теорема доказана, а во втором (на основании
теоремы 18) имеем:
D лежит между С и В.
22
Предыдущие теоремы уже достаточно выяснили метод до¬
казательства при помощи аксиом расположения; поэтому мы
приведем дальше несколько теорем без доказательств, пре¬
доставляя их читателю.
Теорема 20. Если А предшествует В, то утвержде¬
ние: „С лежит между А и В* равносильно такому: „С сле-
дует А и С предшествует В".
Теорема 21. Если С лежит между А и В, а В —
между А и D, то В лежит между С и D.
Теорема 22. Для точек А и В всегда найдется такая
точка И, что В лежит между А и И, и такая точка F,
что А лежит между F и В.,
Теорема 23. В плоскости существует бесконечное мно¬
жество различных прямых-, в пространстве существует
бесконечное множество различных плоскостей.
Определение 9. Если А и В—различные точки, то
совокупность точек, лежащих между А и В, в соединении
с этими последними называется отрезком АВ и обозна¬
чается (АВ).
Точки А и В называются его концами, а остальные точки —
внутренними.
Легко видеть, что свойства отрезка вытекают из доказан¬
ных выше свойств отношения между. Так, отрезки (АВ)
и (ВА), как совокупности точек, тождественны. В силу
сделанного замечания мы не будем долго останавливаться на
доказательстве соответствующих теорем.
Теорема 24. Если С есть внутренняя точка отрезка
(АВ), то этот последний разбивается на два отрезка (АС)
и (СВ), не имеющих других общих точек, за исключением
общего конца С.
Действительно, теорема 19 и определение 9 сразу дают
нам деление отрезка на две части. Попробуем допустить, что
внутренняя точка D данного отрезка (отличная от С) принад¬
лежит обеим частям. Тогда А и С, С и В лежат по разные
стороны от D (определения 9 и 8), так что А и В лежат по
одну сторону от D (теорема 15, п. 1), что противоречит за¬
данию этой точки внутри (АД).
Теорема 25. Если точки С и D обе лежат внутри
(АВ), то отрезок (CD) целиком лежит внутри отрезка (АВ).
Доказывается с помощью теорем 19 и 24.
Теорема 26. Отрезок содержит бесконечное множество
различных точек.
Теорема 27. Если точка М лежит между О и N, то:
1) полупрямая ОМ тождественна с полупрямой ON-,
2) полупрямая ОМ состоит из отрезка (ОМ) и полупря¬
мой MN.
Доказательство двух последних теорем предоставляется
читателю.
23
§ 3. Деление плоскости прямой
В предыдущем параграфе мы рассмотрели расположение
точек на прямой; для того чтобы коснуться вопросов распо¬
ложения элементов на плоскости, необходимо ввести следую¬
щую аксиому, носящую имя „по-
стулата Паша“ (Паш — известный
ученый, впервые указавший эту
аксиому в 1882 г.).
/ Аксиома XV. Пусть А, В,
/ \ С суть три точки, не лежащие
& с на о^ной прямой, и а — прямая
Черт. 2 плоскости АВС, не проходящая
ни через одну из данных точек*,
если прямая а пересекает один из отрезков (АВ), (ВС), (СА),
то она пересечет также один и только один из двух
остальных.
Пояснением служит черт. 2.
Примечание. Слова „и только один" не являются необходимыми,
так как соответствующее утверждение может быть доказано; они введены
для упрощения.
Для дальнейшего интересно отметить, что утверждение
постулата Паша остается в силе и тогда, когда А, В, С ле¬
жат на одной прямой.
Теорема 28. Если различные точки А, В, С лежат на
одной прямой и если некоторая прямая а, не проходящая
ни через одну из данных точек, пересекает один из трех
отрезков (АВ), (ВС), (СА), то она пересечет также один
и только один из двух остальных.
В самом деле, одна из точек А, В, С должна лежать
между двумя другими (теорема 17). Пусть для определен¬
ности С лежит между А и В, Тогда согласно теореме 24
отрезок (АВ) разбивается на отрезки (АС) и (СВ), так что
каждая точка отрезка (АВ) является также точкой одного
и только одного из этих двух отрезков, откуда и следует
теорема.
Определение 10. Проведем в плоскости а прямую а
и рассмотрим те точки плоскости а, которые не лежат на пря¬
мой а. Мы будем говорить, что точки А и В лежат по одну
сторону от прямой а, если отрезок (АВ) не пересекается
с этой прямой, и данные точки лежат по разные стороны
от прямой а, если отрезок (АВ) пересекается с прямой а.
Теорема 29. 1) Если А и В, А и С лежат по одну
сторону от прямой а, то В и С также лежат по одну
сторону от нее.
2) Если А и В лежат по одну сторону, а А и D — по
разные стороны от прямой а, то В и D лежат по разные
стороны от этой прямой.
24
сторону от ее прямой а, в соединении
называется полуплоскостью с ребром
а.
Черт. 3
3) Если А и D, А и Е лежат по разные стороны от пря¬
мой а, то D и Е лежат по одну сторону от этой прямой?
(черт. 3).
Для каждого утверждения доказательство без труда выте¬
кает либо из аксиомы XV и определения 10, либо из теоремы
28 и того же определения 10.
Определение И. Совокупность точек плоскости, лежа¬
щих по одну и ту же
с точками этой прямой
Когда говорят о
точках полуплоско¬
сти, то обыкновенно
имеют в виду точки,
не лежащие на ее
ребре.
Теорема 30 о
При данной пло¬
скости и при дан¬
ном ребре полу¬
плоскость вполне
определяется зада¬
нием одной из своих
точек.
Действительно, пусть дана плоскость айв ней прямая а.
Отметим в плоскости точку А, не лежащую на прямой а (тео¬
рема 23 и аксиома III), и в дальнейшем остановимся на полу¬
плоскости, содержащей эту точку. В силу определения 11
эта полуплоскость будет совокупностью точек, лежащих
с точкой А по одну сторону от прямой а, т. е. совокупностью
таких точек М, которых отрезок (ДТП) не пересекает пря¬
мой а. Взяв две таких точки М1 и М2 (черт. 4), убедимся,,
что и между собой они лежат по одну сторону от а. Эта пря¬
мая, не пересекая отрезков (AAfJ и (АМ2), не может пересечь
и отрезка (MY М2) (аксиома XV или теорема 28).
Таким образом, наша полупло-
скость вполне определена. В основу
s' \ ее определения можно положить.
вместо точки А любую другую ее
точку В. В самом деле, так как от-
а —— а резок (АВ) не пересекается с пря¬
мой а, то отрезки (AM) и (ВМ)
Черт. 4 будут одновременно пересекаться
или не пересекаться с прямой а
(аксиома XV или теорема 28), так что оба определения
дадут одни и те же точки М.
На основании изложенного полуплоскость с ребром KL
и содержащая точку А обозначается KL.A.
Теорема 31. Всякая прямая а плоскости а делит ее
25
па две полуплоскости, не имеющие общих точек, за исклю¬
чением точек общего ребра а.
Действительно, отметим точку А на плоскости а, но вне
прямой а, и на этой прямой отметим две какие-нибудь точки
О и N (черт. 5). Далее, отметим на прямой АО такую
точку В, чтобы О лежала между А н В (теорема 22). Легко
видеть, что точка В принадлежит данной плоскости (аксиома VI).
Теперь нетрудно доказать, что эта
плоскость разбивается на две части:
полуплоскость ON. А
плоскость ON.B.
Черт. 5
и полу-
в плоско¬
лежащую
В самом деле, возьмем
сти а любую точку М, не
на прямой а. Аксиома XV (или тео¬
рема 28) в применении к точкам А,
В, М дает, что прямая а пересечет
один и только один из отрезков (AM)
и (ВМ). Другими словами, точка М
попадет в одну и только в одну из вышеуказанных полупло¬
скостей.
После изложенного не представит большого труда доказать
следующие предложения
Теорема 32. Если оба конца данного отрезка лежат
внутри одной и той же полуплоскости (один из них может
находиться и на ее ребре), то все его внутренние точки
принадлежат этой же полуплоскости.
Теорема 33. Если вершина луча лежит на прямой а,
но он не лежит на ней целиком,
точки лежат внутри
<с ребром а.
Теорема 34. Если
b пересекает прямую а
О, то этой точкой она
на два луча, принадлежащие двум
различным полуплоскостям с реб¬
ром а.
Для следующего параграфа по¬
надобится одно предложение, ко¬
торое мы сейчас докажем.
Теорема 35. Даны три точки
то все его остальные
той же полуплоскости
одной U
прямая
в точке
делится
С
Черт. 6
А,
В, С, не лежащие на
одной прямой. Если вершина некоторого луча находится на
прямой АВ, но вне отрезка (АВ), и если этот луч пересе¬
кает один из отрезков (АС) и (ВС) во внутренней точке,
то он пересечет и другой отрезок также во внутренней
точке.
Пусть вершиной луча служит точка О (черт. 6), и пусть
36
данный луч пересекает отрезок (ДС) во внутренней точке К.
На основании аксиомы XV прямая ОК пересечет отрезок (ВС)
в некоторой внутренней точке L. Далее, все внутренние точки
отрезков (ДС) и (ВС) принадлежат полуплоскости ДВ.С
(теорема 32), и все точки полупрямой ОК должны принад¬
лежать этой же полуплоскости (теорема 33), а точки проти¬
воположного луча — другой полуплоскости с ребром АВ (тео¬
рема 34).
Отсюда следует, что точка L лежит на первом луче, т. е. на
том, который был дан сначала.
прямой, то вспо-
Подобно тому, как прямая делит плоскость на две части,
точно так же плоскость делит пространство. Основанием для
рассуждения здесь служит следующее предложение.
Теорема 36. Пусть даны
три различные точки Д, В, С и
еще дана плоскость, не прохо¬
дящая ни через одну из этих
точек; если данная плоскость
пересекает один из отрезков
(АВ), (ВС), (СА), то она пере¬
сечет также один и только
один из двух остальных.
Пусть сначала данные точки
не лежат на «одной прямой, и
пусть плоскость а пересекает , Че т 7
отрезок (АВ) в точке К (черт. 7). ’ ерт*
Применяя к плоскостям а и АВС теорему 3,
к прямой их пересечения — аксиому XV,
точку пересечения L.
Если же точки А, В, С лежат на одной
минаем доказательство теоремы 28.
Исходя из теоремы 36, можно развить
пространства. Ввиду полного сходства с предыдущим, ограни¬
чимся высказыванием следующей теоремы.
Теорема 37. Определения 10, 11 и теоремы 29—33 пе¬
реносятся в пространство при следующей замене терминов:
а затем
находим другую
учение о делении
прямая (ребро) — плоскость,
плоскость — пространство,
полуплоскость — полупространство.
При доказательстве теорема 36 заменит собой аксиому
XV и теорему 28. Что касается теоремы 34, то там понадо¬
бятся несколько иные изменения, которые предоставляем чи¬
тателю.
27
§ 4. Угол
Пусть даны два луча а и b с общей вершиной в точке О„
но принадлежащие различным прямым (черт. 8). Отметим
внутри этих лучей соответственно точки А и В и соединим
их отрезком (ДВ).
Определение 12. Углом АОВ или (ab) называется
совокупность лучей, исходящих из точки О и пересекающих
отрезок (АВ). Данные лучи — стороны угла, точка О —его
вершина (остальную часть пучка лучей с центром в О иногда
называют входящим углом АОВ).
Построенный по указанному способу отрезок (АВ) назы¬
вается секущим отрезком данного угла.
Теорема 38. Угол как совокупность лучей не зависит
от выбора секуіцего отрезка.
Действительно, построим
для нашего угла другой се¬
кущий отрезок (Ді (черт. 8).
Достаточно будет доказать,
что всякий луч с вершиной в
точке О, пересекающий один
из отрезков (АВ) и (Д1В1)>
пересечет и другой. Заме¬
тим, что точка О не может
в
Черт. 8
в,
в
лежать ни внутри отрезка (ДДД ни внутри (BBJ, так как
точки А и Alf В и Вг взяты на одних и тех же лучах
с вершиной в точке О. Возьмем для определенности какой-
нибудь луч, пересекающий (АВ) в точке AS Проведя вспомога¬
тельный отрезок (ДіВ) и применяя теорему 35 к точкам
Д, Дь В и лучу ОК, найдем, что этот луч пересечет отрезок
(АгВ) в некоторой внутренней точке Р. Снова применяем ту
же теорему к точкам Д1} В, Вг и находим, что луч ОК пере¬
сечет отрезок (ДіВі) во внутренней точке L. Отсюда выте¬
кает, что отрезки (АВ) и (ДрВ^ определяют одну и ту же
совокупность лучей.
Теорема 39. Между лучами угла и точками секущего-
отрезка существует одно-одпозначное соответствие.
Достаточно будет считать соответственными два элемента,
которые совмещены друг с другом.
Теорема 40. Свойства отрезка, выраженные в теоре¬
мах 24, 25 и 26, переносятся на углы при следующей замене
терминов:
отрезок — угол,
точка — луч.
Доказательство вытекает из теоремы 39.
Определение 13. Если обе стороны угла заменить
на противоположные лучи, то получим угол вертикальный
для данного; если же этой замене подвергнуть только одну
сторону, то получим угол смежный с данным. (Такие углы
имеются на черт. 9.)
Теорема 41. Если т есть внутренний луч угла (ab), то
противоположный луч т' будет внутренним для верти¬
кального угла (а' Ь').
В самом деле, пусть луч т пересекает отрезок (АВ)
во внутренней точке К. Построим также секущие отрезки (АВ'),
(А'В'), (А'В) для вертикального и смежных углов и отме¬
тим, что точка О лежит внутри отрезков (АА') и (ВВ')9 так
как точки А и Д', В и В' принадлежат противоположным
лучам с общей вершиной О. Тогда прямая ОК не может
пересечь отрезка (АВ') (аксиома XV в применении к точкам
Д, В, В'), а потому пересекает (А'В') в некоторой внутрен¬
ней точке L (аксиома XV в при¬
менении к точкам Д, Д', В'). С дру¬
гой стороны, точки К и L принад¬
лежат различным полуплоскостям
с ребром ВВ'9 а именно: точка К
принадлежит полуплоскости ВВ'.А,
а точка L — полуплоскости ВВ'.А'
(теоремы 34, 32). Точно так же
лучи т и т', на которые делится прямая ОК точкой пересе¬
чения ее с прямой ВВ'9 принадлежат различным полуплоско¬
стям с этим ребром (теорема 34).
Следовательно, если точка К лежит на луче т, то точка L
должна лежать на луче т'9 откуда следует, что луч т'9 пере¬
секая отрезок (Д' В'), лежит внутри угла (а' Ь').
До сих пор мы рассматривали угол как совокупность
лучей; но угол можно рассматривать и как совокупность то¬
чек, ибо каждый луч есть совокупность точек.
Теорема 42. Каждая точка плоскости АОВ, не лежа¬
щая на прямых ОА и ОВ, лежит внутри одного и только
одного из четырех углов £АОВ, /_АОВ', /_А'ОВ', £А'ОВ
(имеем в виду построения теоремы 41, закрепленные на черт. 9).
Действительно, пусть дана нам точка 7И. Возьмем точки
Д, В, В' и прямую ОМ, и применим к ним аксиому XV. Тогда
прямая ОМ должна пересечь один и только один из отрез¬
ков (АВ) и (АВ') во внутренней точке. Допустим, для опре¬
деленности первое. Прямая ОМ точкой О делится на два луча,
и если точка М принадлежит лучу ОК, то она лежит внутри
/ДОВ; если же она находится на противоположном луче,
то попадает внутрь вертикального /_А'ОВ' (теорема 41). Подоб¬
ным же образом исследуется и вторая возможность, когда
прямая ОМ пересекает отрезок (АВ').
Теорема 43. Совокупность точек, образующую / АОВ,
можно определить как совокупность точек, общих полу¬
плоскостям О А.В и ОВ.А.
29
В самом деле, пусть точка М лежит внутри /_АОВ (черт. 9).
По определению она принадлежит некоторому лучу ОК, пере¬
секающему отрезок (АВ) во внутренней точке К. Так как
отрезок (АВ) принадлежит обеим названным полуплоскостям
(теорема 32), то точка К и весь луч ОК лежат в обеих этих
полуплоскостях (теорема 33).
Таким образом, каждая внутренняя точка £АОВ лежит
внутри полуплоскости ОА . В и полуплоскости ОВ.А.
Подобное же имеет место для вертикального и смежных
углов. '
Пусть теперь обратно, точка М лежит внутри полуплоскости
ОА .В и полуплоскости ОВ .Л. Во всяком случае, она должна
лежать внутри одного из указанных четырех углов (теорема
42); если это не / АОВ, то сейчас же получается противоречие.
Пусть, например, точка М лежит внутри £АОВ'. Тогда по
только что доказанному она принадлежит полуплоскости
ОА.В' и полуплоскости ОВ' .А. Но принадлежать одновре¬
менно полуплоскости ОА . В и полуплоскости ОА . В' она не
может (теорема 31).
Следовательно, наша теорема доказана полностью.
Доказательство следующих двух теорем предоставляется
читателю.
Теорема 44. Если точки А и В обе лежат внутри
угла, то отрезок (АВ) не пересекает его сторон, и обратно:
если точка А — внутренняя для некоторого угла и отрезок
(АВ) не пересекает его сторон, то и точка В — внутренняя
для данного угла.
Теорема 45. Если точка А — внутренняя, а В — внешняя
для некоторого угла, то отрезок (АВ) пересекает одну
и только одну из сторон данного угла или проходит через
его вершину-, и обратно: если отрезок (АВ) пересекает только
одну из сторон угла во внутренней точке или проходит
через его вершину и если одна из точек А и В будет внут¬
ренней, то другая будет внешней для данного угла.
В определении 12 мы исходили из двух различных лучей,
принадлежащих, кроме того, различным прямым. Распростра¬
ним теперь понятие угла на случай двух противоположных
лучей. Так как такие лучи образуют полную прямую, которая
делит плоскость на две полуплоскости, то полагаем:
Определение 14. Выпрямленным или развернутым
углом называется полуплоскость. Полным углом называется
весь пучок лучей с данным центром.
Доказательство следующих двух теорем предоставляется
читателю.
Теорема 46. Если дан выпрямленный угол со сторо¬
нами ОА и ОА' и ОВ есть луч, лежащий внутри данного
выпрямленного угла, то этот угол слагается из двух
обыкновенных углов: Z_AOB и /_А'ОВ.
зо
Теорема 47. Если в точке О пересекаются две прямые*
АОА' и ВОВ', то полный угол О слагается из четырех
обыкновенных углов'. Z.AOB, 2_А'ОВ, /_А'ОВ', £_АОВ' (черт. 9к
Теорема 48. Если различные лучи ОВ и ОС принад¬
лежат одной и той же полуплоскости с ребром О А, то либо
луч ОВ лежит внутри /СОД, либо луч ОС лежит внутри:
Z.BOA, причем эти случаи несовместны.
Действительно, будем иметь в виду черт. 10, где точка А'
отмечена на луче, противоположном для О А. Если полупря¬
мая ОВ лежит внутри /.СОД, то первое утверждение теоремы
доказано; в противном случае, этот луч должен лежать,
внутри /Д'ОС, смежного с /СОД
(теорема 46). /д
Следовательно, отрезок (Д7С), се- /
кущий для указанного угла, пересечет /
полупрямую ОВ в некоторой точке Е.
Поэтому
полуплоскость ОВ. А' и полуплос- Д ü Д
кость ОВ. С различны. Черт, ю
(Определения 10, И; теорема 31.)
То же самое можно, очевидно, сказать о полуплоскости^
ОВ . А' и полуплоскости ОВ . А. Отсюда вытекает, что
полуплоскость ОВ . А и полуплоскость ОВ . С тождественны.
Так как точка С принадлежит последней из них, то эта
точка С должна лежать и в полуплоскости ОВ.А; с другой
стороны, точка С лежит в полуплоскости О А . В, ибо послед¬
няя в силу наших данных тождественна с полуплоскостью-
ОА • С (теорема 30).
Следовательно, точка С лежит внутри ХВОД (теорема 43),.
а потому и полупрямая ОС лежит внутри этого угла.
Если, наконец, допустить, что оба случая имеют место од¬
новременно, то луч ОС окажется внутри /СОД (теорема 24
f t и 40), что невозможно.
? / Т е о р е м а 49. Если даны три
луча, исходящие из одной и той
же точки и лежащие в одной и
\ о/ той же плоскости, то либо один
с- — с из лучей лежит внутри угла,
/ \ образованного двумя остальными,
/ \ либо это имеет место для про-
л тивоположного луча.
черТ и Будем иметь в виду черт. 11
и остановимся на углах, обра¬
зованных прямыми АОА' и ВОВ'\ третий луч ОС попадает
в один из получающихся здесь четырех углов (теорема 47).
Если он попадет в /ДОВ, теорема доказана; если он попадет
31-
в вертикальный /_А'ОВ', то теорема 41 покажет, что наше
утверждение и в этом случае оправдано.
Допустим, что полупрямая ОС лежит внутри /_А'ОВ. Так
•как полупрямая ОВ и полупрямая ОС принадлежат одной и
той же полуплоскости с ребром АО А' (теорема 43), то можно
применить теорему 48, которая покажет, что луч ОВ лежит
внутри Х.АОС. Так же рассматривается и случай, когда луч
ОС лежит внутри /_АОВ'.
В такой форме теорема будет достаточна для одного при¬
менения в дальнейшем. Более подробный анализ взаимного
положения трех лучей предоставляется читателю.
Подобно тому, как угол в определении 12 представился нам
в виде совокупности полупрямых, точно так же двугранный угол
определяется как совокупность полуплоскостей.
Пусть даны две полуплоскости а и р с общим ребром ООЪ
но принадлежащие различным плоскостям (см. черт. 12). Отме-
полуплоскостей точки А и В соответственно
и соединим их отрезком (АВ).
Определение 15. Двугранным углом
К . ООХ . L [или (ар), или просто двугран¬
ным ÜOJ называется совокупность полу¬
плоскостей, исходящих из прямой ООГ и
пересекающих отрезок (АВ). Данные полу¬
плоскости— грани двугранного угла, прямая
ООХ—его ребро. Построенный по указанному
способу отрезок (АВ) называется секущим
отрезком двугранного угла.
Теорема 5(1 Двугранный угол как
совокупность полуплоскостей не зависит
от выбора секущего отрезка.
Действительно, построим для нашего
двугранного угла другой секущий отрезок
(АХВХ) (см. черт. 12). Достаточно будет до¬
казать, что всякая полуплоскость ООЪ пере¬
секающая один из отрезков (АВ) и (AXB^9
пересечет и другой. Заметим, что ни одна внутренняя по¬
луплоскость ООХ не может иметь с плоскостями аир других
общих точек, кроме прямой ООХ (теорема 3).
Возьмем, для определенности, какую-нибудь полуплоскость,
пересекающую (АВ) (на чертеже она не обозначена); про¬
ведя вспомогательный отрезок (АХВ) и применяя теорему 36
к точкам A, Alf В и к той плоскости, часть которой состав¬
ляет взятая полуплоскость ОО}, найдем, что эта плоскость
пересечет отрезок (АТВ) в некоторой внутренней точке.
Вторичное применение той же теоремы к точкам Alf В, Вх
приведет к выводу, что указанная плоскость пересечет и
<32
отрезок (Д^) в некоторой внутренней точке. Более того,
можно утверждать, что эта точка пересечения принадлежит
именно взятой нами полуплоскости, ибо последняя располо¬
жена в тех же самых полупространствах по . отношению
к плоскостям а и р, что и найденная выше точка пересечения
(о полупространствах см. теорему 37).
Таким образом, отрезки (АВ) и (AJ^) определяют одну
и ту же совокупность полуплоскостей. —
В отличие от двугранных, те углы, с ко-
торыми мы имели дело в начале настоящего
параграфа, называются линейными,
Теорема 51. Если двугранный угол L
пересечь плоскостью, не проходящей через /
его ребро, но имеющей с ним общую /
точку, то в сечении получается линей- н /
ный угол, причем между полуплоскостями /
двугранного и полупрямыми линейного угла
существует одно-однозначное соответ- б
ствие,
Действительно, пересечем наш двугранный
угол плоскостью, проходящей через точку
Н на его ребре (черт. 13); эта плоскость Черт, із
пересечет его грани, а равно и внутренние по¬
луплоскости по лучам, исходящим из точки Н (теоремы 3, 34).
Пусть данная плоскость пересекает грани двугранного угла
по лучам НЕ и HG, Всякая внутренняя полуплоскость данного
двугранного угла пересекает отрезок (FG) во внутренней точке
(теорема 50, определение 15), и эта точка должна лежать
на луче, который является пересечением плоскости FHG с ука¬
занной полуплоскостью. Следовательно, в сечении действи¬
тельно получается линейный угол FHG,
Так как и для двугранного угла К • ООг • L и для линейного
угла FHG в качестве секущего' отрезка можно взять отрезок
(FG), то установить упомянутое одно-однозначное соответ¬
ствие не -представит никаких затруднений.
Определение 16. Линейный угол, который находится
к двугранному углу в отношении, указанном в теореме 51,
называется его сечением.
Теорема 52. Теоремы 39—49 и определения 13, 14 пере¬
носятся на двугранные углы при следующей замене тер¬
минов:
угол — двугранный угол,
сторона — грань,
вершина — ребро,
луч — полуплоскость,
прямая — плоскость,
полуплоскость -- полупространство,
плоскость — пространство.
Богомолов — Геометрия
33
Доказательство основано на одно-однозначном соответствии,
о котором шла речь в теореме 51.
§ 5. Треугольник
Теорема 53. Даны три точки А, В, С, не лежащие
на одной прямой; всевозможные отрезки, соединяющие А
с точками отрезка (ВС) или В с точками отрезка (СА),
или С с точками отрезка (АВ), дают одну и ту же совокуп¬
ность точек.
Для доказательства возьмем произвольную точку М внутри
отрезка (AN), где TV—любая точка отрезка (ВС) (см. черт. 14),
и докажем, что ту же точку М можно получить подобным же
построением, исходя из точки В и отрезка (СА), Если N сов-
с падет с В или С, то вопрос трудно-
/\ стеи не представит, так как точки от-
/ \ резков (АВ) и (АС) мы можем полу-
р/ \ чить на отрезках, исходящих из В.
/ Пусть N есть внутренняя точка от-
/ \ резка (ВС). Возьмем точки A, N, С,
/\\ прямую ВМ, применим сюда акси-
ому XV и убедимся, что эта прямая
0 пересекает отрезок (АС) во внутрен-
ЧеРт- 14 ней точке Р. Если же применить ту же
аксиому к точкам В, Р, С ç прямой
AN, то увидим, что точка М лежит внутри отрезка (ВР).
Таким образом, точку М можно получить, исходя из точки
В и отрезка (АС).
Определение 17. Даны три точки А, В, С, не лежащие
на одной прямой; совокупность точек, лежащих на всевоз¬
можных отрезках, соединяющих одну из данных точек
с точками отрезка, образованного двумя остальными, назы¬
вается треугольником. АВС (обозначение: А АВС, причем
порядок букв безразличен). Вершины, стороны, углы, обвод
треугольника определяются, как обычно; точки треугольника,
не лежащие на его обводе, называются внутренними, а точки
плоскости АВС, отличные от точек треугольника, называются
по отношению к нему внешними. Угол А и сторона (ВС) назы¬
ваются противолежащими, а угол А и одна из двух других
сторон —прилежащими, и т. д.
Замечание. Теперь можно упростить формулировку аксиомы XV
и теоремы 35, 36, говоря о д АВС и его сторонах.
Определение 18. Отрезок, которого концами служат
одна из вершин треугольника и внутренняя точка про¬
тиволежащей стороны, называется трансверсалью тре¬
угольника.
31
д
Теорема 54. Трансверсаль делит треугольник на два
частичные треугольника, не имеющие других общих точек,
за исключением точек этой трансверсали.
Действительно, проведем в Д АВС трансверсаль (AN)
(черт. 15) и наряду с данным треугольником рассмотрим ДД
ABN и ACN; точка N делит сторону (ВС) на две части: (BN)
и (CN), не имеющие общих точек, за исключением точки
N (теорема 24), и эти отрезки соответственно принадлежат
двум названным выше треугольникам. Из этого обстоятельства,
в связи с определением треугольника при
помощи вершины А и противолежащей
стороны, вытекает наше утверждение.
Определение 19. Такое разложе¬
ние треугольника на два частичных тре¬
угольника называется трансверсальным.
Вообще так называется всякое разложе¬
ние треугольника на частичные тре¬
угольники, если его можно получить с
помощью последовательного проведения
конечного числа трансверсалей как в
данном треугольнике, так и во вновь
получаемых.
Теорема 55. Совокупность точек
определить как совокупность точек, общих для всех
Черт. 15
треугольника можно
углов его.
Действительно, всякая внутренняя точка М лежит внутри
отрезка (AN) (черт. 14); а потому полупрямая AM тождествен¬
на с полупрямой AN, принадлежащей / САВ (теорема 27).
Подобным образом доказывается, что точка М лежит внутри
других углов треугольника. Обратно, пусть нам дано, что
точка М лежит внутри всех углов треугольника. Приняв во
внимание углы А и В, мы скажем, что эта точка лежит на
пересечении лучей AN и ВР, соответственно принадлежащих
указанным углам. Применим теорему 35 к точкам A, N, С
и полупрямой ВР; тогда окажется, что точка М лежит внутри
отрезка (AN), т. е. внутри данного . треугольника (определе¬
ние 17).
Замечание. Из доказательства этой теоремы, меледу прочим, выте¬
кает, что точки, общие двум углам треугольника, принадлежат и его третьему
углу.
Теорема 56. Совокупность точек А АВС можно опре¬
делить как совокупность точек, общих трем полуплос¬
костям-.
АВ .С, ВС . А, СА . В.
Доказательство основано на теоремах 55 и 43.
3*
35
Теорема 57. Если две точки треугольника соединитъ
отрезком, то его внутренние точки будут внутренними
и для данного треугольника.
Остановимся на общем случае, когда обе данные точки М
и N лежат внутри треугольника (черт. 16). При помощи транс¬
версального разложения (определение 19, теорема 54) перей¬
дем к Л APN, который будет частью данного; а для Л АРП
наше утверждение вытекает из опреде-
ления 17.
Далее можно доказать следующие
/ \ предложения.
Z \\ Т е о р е м а 58. Если точка О лежит
внутри Л АВС, то этот последний
мг / \\ слагается из трех частичных тре-
/ / \\ угольников-. А АОВ, А ВОС, А СОА.
]/ \\с Теорема 59. Прямая, лежащая
ѵ р q в плоскости треугольника и проходя-
Че т 16 щая через его внутреннюю точку, пере-
ерт* секает его обвод в двух и только в
двух точках.
Теорема 60. Отрезок, соединяющий внутреннюю точку
треугольника со внешней, пересекает его обвод в одной
и только в одной точке.
§ 6. Многоугольники
Определение 20. Пусть в некоторой плоскости даны п
точек: Alt А2, Az,..., An_ltA„ в определенном порядке, причем
никакие три последовательные точки не лежат на одной пря¬
мой (точки Д„-і, Ап, Ді и Ап, А19 А2 также считаются последо¬
вательными). Соединим каждые две рядом стоящие точки
отрезками: (ДіА>), (A2AZ\..., (Ам-іД/т).
Совокупность этих отрезков называется ломаной линией,
данные точки — ее вершинами, указанные отрезки — сторонами
или отрезками ло¬
маной. Если точки
Ап и Аг — различны,
то такая ломаная на¬
зывается незамкну¬
той', если же Ап и
совпадают или
если при различии
этих точек мы при¬
соединим к выше¬
указанным отрезкам
еще (А^Аі), то получим замкнутую ломаную (оба случая
имеем на черт. 17). В дальнейшем мы остановимся на замкну¬
той ломаной, которую будем обозначать А^.-А^А*.
36
Заметим, что в замкнутой ломаной точка А. считается не¬
посредственно следующей за Ап.
Можно рассматривать и неплоские ломаные, но сейчас в это
входить не будем.
Определение 21. Ломаная называется простой, если
любые два отрезка ее не имеют общих точек,-за исклю-
Черт. 18
чением общей вершины у двух смежных сторон; в противном
случае ломаная называется звездчатой.
На черт. 18 имеем различные случаи звездчатой ломаной;
на черт. 17 (справа), равно как и на черт. 19, мы видим про¬
стые ломаные.
Определение 22. Простая ломаная называется вы¬
пуклой, если всякая прямая, на которой лежит какой-
нибудь отрезок ее, оставляет по одну сторону от себя все
остальные точки ломаной;
в противном случае простая
ломаная называется вогнутой.
На черт. 17 (справа) изо¬
бражена вогнутая ломаная, а
на черт. 19 —выпуклая. 4
В дальнейшем мы остано¬
вимся на случае выпуклой
ломаной.
Определение 23. В слу¬
чае выпуклой ломаной введем
еще следующие определения
(см. черт. 19): / АХД2Д’3,
/ЛЛ3Л41..., ХДп-іД„Аі.
/АпА\А2 называются углами
ломаной; отрезки, соединяющие две какие-нибудь не сосед¬
ние вершины, называются диагоналями; отрезок, соединяющим
вершину с внутренней точкой какой-нибудь несмежной сто¬
роны [(например: отрезок (АіЛ/)], называется трансверсалью
ломаной.
Замечание. Очень часто в дальнейших рассуждениях точка бу¬
дет занимать как-будто бы особое положение; на самом деле это не так,
ибо буквой Ах можно обозначить любую вершину ломаной.
37
Теорема 61. Прямая, не содержащая ни одной из
сторон выпуклой ломаной, не может пересекать ее более
чем в двух точках; прямая, содержащая какую-нибудь сто¬
рону ломаной, не может иметь с ней других общих точек.
В противность утверждению допустим, что некоторая пря¬
мая пересекает ломаную в трех точках Л,В,С, во всяком слу¬
чае не принадлежащих одной и той же стороне, и пусть точка В
лежит между А и С (теорема 17). Тогда точки А и С лежат
по разные стороны от той прямой, которая содержит отрезок
ломаной, проходящий через точку В (опре¬
деление 10), а это противоречит свойству
выпуклости (определение 22).
/ \ // ч Теорема 62. Точки выпуклой ломаной
/ \ / /принадлежат каждому из ее углов.
\ Действительно, остановимся на £А2АхАп
(черт. 20, где п=10). На основании опреде-
ления 22 и теоремы 30 все точки данной ло-
Д А» маной принадлежат полуплоскости АіАп.А2 и
полуплоскости А}А2Лп, откуда следует, что
Черт. 20 эти точки принадлежат /шА2А1Ап (теорема
43). Так же и для других углов.
Теорема 63. Прямая, соединяющая две точки выпуклой
ломаной (не лежащие на одном и том же ее отрезке), делит
ее на две части, расположенные по разные стороны от
данной прямой.
Обратимся к черт. 20 и проведем прямую ДіЛв. Тогда дан¬
ная ломаная делится на такие две части:
одна — состоит из отрезков (Л^о), (Л2Л3), (Л3Л4), (Л4Л-),
GMe);
другая — состоит из отрезков (ЛбЛ7), (Л7Л8), (Л8Л9), (Л9Л10),
(^іоЛі). •
Если же провести прямую AXN, где N лежит внутри
(Л5Лб), то:
одна часть состоит из (Л^), (Л2Л3),..., (Л4Л5), (у452Ѵ);
другая часть состоит из: (№4б), (Л6Д7),...,(Л10Л1).
Возможен еще случай, когда прямая соединяет две внут¬
ренние точки сторон ломаной, но он ничего существенно
нового не представляет.
В только что изложенном (на примере черт. 20) дано пра¬
вило, как надо делить ломаную на две части. Переходим
к дальнейшим утверждениям теоремы.
Вершины каждой части все лежат по одну сторону от
прямой ЛіЛб или AiN, так как иначе одна из сторон ломаной
пересекала бы данную прямую в точке, отличной от ее концов,
что невозможно (теорема 61); но в таком случае и все осталь¬
ные точки указанных частей лежат по одну сторону от прямой
АгА6 или AyN (теорема 32). Далее, точки различных частей
лежат по разные стороны от данной прямой: в первом случае
38
точки А2 и Д10 лежат по разные стороны от Д]Д6, ибо полу¬
прямая ДИб пересекает секущий отрезок (Д2Д10) угла при
точке А1 (теорема 62); feo втором случае точки Д5 и Д6, оче¬
видно, лежат по разные стороны от прямой Afl. Теперь
остается только сослаться на теорему 29, п. 2.
Теорема 64. Внутренние точки трансверсалей и диа¬
гоналей выпуклой ломаной, исходящих из двух различных
вершин ее, дают одну и ту же совокупность точек.
Имея в виду черт. 20, докажем теорему для вершин Д^и Д4.
Пусть для определенности, точка М лежит на трансверсали,
исходящей из вершины Др и пусть она лежит внутри отрезка
(A}N), где 7V — внутренняя точка отрезка Д5Дб. Проведем пря¬
мую А4М и применим аксиому XV к Л Д^Д6, где Д6—та вершина
отрезка, содержащего N, которая лежит с Д4 по разные сто¬
роны от прямой ÀTN (теорема 63). Тогда получим, что пря¬
мая А4М либо пересекает диагональ (ДіД6) (случай чертежа),
либо пересекает отрезок (AeN). В последнем случае мы уже
получили бы другую точку пересечения прямой А4М с дан¬
ной .ломаной; а в первом — переходим к Л А^А^, и т. д.
Продолжая эти рассуждения, мы или еще раньше найдем
вторую точку пересечения прямой Д4ТИ с данной ломаной или
дойдем до последнего ДДіД9Дю, и прямая А4М должна будет
пересечь одну из его сторон (Л9Д10) или (А10Лі).
Итак, прямая А4М пересекает данную ломаную еще в точке Р,
которая, как это видно из построения, лежит с точкой А4 по
разные стороны от прямой A^N. Следовательно, эта прямая
пересекает отрезок (AJP). Но раньше мы видели, ^то прямые
А4Р и А^ пересекаются в точке М, а потому (теорема 1)
точка М должна лежать внутри отрезка (А4Р).
Таким образом, всякая точка М, лежащая на трансверсали
или диагонали, исходящей из вершины А,, оказывается внутри
трансверсали или диагонали, исходящей из вершины А4.
Определение 24. Совокупность внутренних точек
всевозможных диагоналей и трансверсалей выпуклой ло¬
маной Д1Д2...ДЯ_1ДМ, исходящих из какой-нибудь ее вершины,
в соединении с точками самой ломаной, называется выпуклым
многоугольником (или n-угольником) А1А2...Ап^1Ап.
Данная ломаная называется обводом многоугольника; осталь¬
ные точки будут внутренними для него; точки плоскости много¬
угольника, отличные от его точек, называются по отношению
к нему внешними. Вершины, стороны, углы, диагонали, транс¬
версали многоугольника суть соответственные элементы ло¬
маной, служащей его обводом.
При п=3 получаем снова треугольник.
Теорема 65. Для всякого целого положительного числа
п существует выпуклый /г-у го льни к.
Положим, что существование (п—1)-угольника уже дока¬
зано, и пусть таковым будет многоугольник АЛА2А^А4... на
39
черт. 19. Отметим внутри его сторон (ДіЛ2) и И>Л3) по
точке В и С, а затем рассмотрим фигуру АХВСА2А±.... Чита¬
телю не представит труда доказать, что здесь мы имеем дело
с выпуклой ломаной (в частности, для прямой ВС придется
воспользоваться теоремой 63), а следовательно, и с выпуклым
многоугольником, у которого число сторон на единицу больше
данного.
Итак, если существует (п—1)-угольник, то существует и
n-угольник; но треугольник существует, а потому существуют
четыреугольник, пятиугольник и т. д.
Такой способ доказательства, как указано выше, носит на¬
звание математической индукции.
Дальше можно доказать следующие предложения.
Теорема 66. Прямая, проходящая через внутреннюю
точку выпуклого многоугольника и лежащая в его плоскости,
пересекает его обвод в двух и только в двух точках.
(Доказательство подобно приведенному в теореме 64.)
Теорема 67. Прямая, проходящая через внутреннюю
точку стороны выпуклого многоугольника (но не содержащая
этой стороны) и лежащая в его плоскости, пересекает его
обвод еще в одной и только в одной точке.
Теорема 68. Отрезок, соединяющий две точки обвода
выпуклого многоугольника (не принадлежащие одной и той
же стороне}, разлагает данный многоугольник на два
частичных многоугольника.
Теорема 69. Всякий выпуклый п-угольник с помощью
диагоналей, исходящих из одной и той же вершины, разла¬
гается на (п — 2)-треуголъника.
Теорема 70. Точки многоугольника суть точки, общие
всем углам его.
Теорема 71. Отрезок, соединяющий две точки выпук¬
лого многоугольника, принадлежит ему всеми своими
точками.
Теорема 72. Отрезок, соединяющий внутреннюю и внеш¬
нюю точки многоугольника, пересекает его обвод в одной
и только в одной точке.
Теорема 73. Если в выпуклом п-угольнике АХА~А2,.. .Ап
прямые ДіД2 u Л8Д4 пересекаются в точке В, лежащей
по другую сторону от А2Аа по сравнению с остальными
вершинами, то получается выпуклый (п— Г)-уголъник
Ді ВА4... Ап.
Читатель приглашается сделать чертеж для последней тео¬
ремы; она понадобится впоследствии для многогранных углов.
Замечание. До сих пор мы рассматривали выпуклые многоуголь¬
ники; учение о вогнутых многоугольниках мы излагать не будем. Последние
связаны с вогнутыми ломаными, которые тоже делят плоскость на две
части: внутреннюю и внешнюю (см. черт. 17, справа); первая приводит нас
к понятию о вогнутом многоугольнике (например, многоугольник
на черт. 17).
40
Продолжая некоторые стороны вогнутого многоугольника, можно раз¬
ложить его на известное число выпуклых. Так, на черт. 17, продолжалъ
стороны (Д4Л5) и (Л2Л3), мы разлагаем вогнутый многоугольник на 3 вы¬
пуклых: четыреугольник, треугольник и пятиугольник.
§ 7. Телесные углы
Учение о телесных углах представляет большое сходства
с учением о многоугольниках; поэтому мы воспользуемся
рассуждениями § 5 и 6, чтобы перенести их с помощью*
указанного ниже „словаря" на те¬
лесные углы. Этот прием, который
применялся нами и раньше (см. тео¬
ремы 40, 52), значительно сокращает
рассуждение и является обычным
в геометрических исследованиях.
В указанных параграфах мы имели
дело с точками и прямыми некоторой
плоскости; здесь же будут рассматри¬
ваться лучи и плоскости некоторой
связки, т. е. совокупность всевозмож¬
ных лучей, исходящих из данной
точки, и совокупность всевозможных
плоскостей, проходящих через дан¬
ную точку. Вообще, все рассматри¬
ваемые здесь фигуры будут так или иначе связаны со связкой.
Предварительно докажем следующее предложение, которое
в настоящем параграфе заменит нам аксиому XV.
Теорема 74. Пусть а, Ъ, с суть три луча связки, не
лежащие в одной плоскости, а а — плоскость связки, не про¬
ходящая ни через один из данных лучей. Если плоскость а
пересекает один из углов (ab), (Ьс), (са) по внутреннему
лучу, то она пересечет один и только один из двух осталь¬
ных также по внутреннему лучу.
Пусть плоскость а имеет с углом (а/?) общий луч ОМ
(черт. 21). Отметив на данных лучах соответственно точки
А, В, С, получим /\АВС, и луч ОМ пересечет отрезок (АВ)
в некоторой внутренней точке М, ибо (АВ) есть секущий
отрезок угла (ab). Данная плоскость а и плоскость АВС пере¬
секутся по прямой, проходящей через точку М. На основании
аксиомы XV эта прямая пересекает обвод ДДВС еще в одной
и только в одной точке N. Луч ON будет искомым.
Теорема 75. Определения 17, 18, 20—24, теоремы 53—73
остаются в силе (и дают учение о телесных углах) при сле¬
дующей замене терминов:
плоскость—связка,
точка—луч (связки),
прямая—плоскость (связки),
4Ѣ
луч—полу плоско сть,
полуплоскость—полупространство,
отрезок (сторона)—угол (линейный),
угол—двугранный угол,
треугольник—трехгранный угол,
вершина—ребро,
трансверсаль—трансверсальный угол (см. опред. 18),
обвод (ломаная)—поверхность трехгранного или мно¬
гогранного угла,
диагональ—диагональный угол (см. опред. 23),
многоугольник—многогранный (телесный) угол
'(многогранный угол, образованный лучами OAlf ОА2,... ,ОАЛ
обозначается символом ОА1А2...Ап, и точка О называется
ого вершиной).
Доказательство заключается в том, что с указанным „сло¬
варем" под рукой надо просмотреть § 5 и 6, убеждаясь шаг
за шагом, что при таком переводе
р все утверждения их остаются вер-
ZK ными. (Читателю рекомендуется
/ ; ѵ\ тщательно проделать эту работу.)
/ і \\\ Относительно некоторых теорем
/ і \\\ надо сделать кое-какие замечания.
/ І \\ \ Прежде всего аксиому XV во всех
/ - \ \ \ рассуждениях заменит теперь тео-
/ \\ \ рема 74; затем, при доказательстве
/ \ \ \ теоремы 55, вместо ссылки на тео-
/ ,- : \\ \ РемУ можно удовольствоваться
y-V понятием 0 секущем отрезке дву-
\ \ / гранного угла, а вместо теоремы
35 — сослаться на теорему 74 и на
свойства полупространства и полу-
с плоскостей; при доказательстве тео-
Черт. 22 ремы 61 ссылку на теорему 17 за¬
менить ссылкой на теорему 49.
Имеющимися в § 5 и 6 чертежами можно пользоваться
следующим образом: вообразим над чертежом некоторую точку
О и проведем из этой точки лучи ко всем точкам чертежа
♦(проектирование с помощью лучей); тогда получим фигуру, со¬
ответствующую учению о телесных углах. Такие углы мы
определили как совокупности лучей; легко видеть, что их
можно определить и как совокупности точек.
В заключение докажем для трехгранных углов следующее
предложение.
Теорема 76. Луч, исходящий из вершины трехгранного
угла, принадлежит ему тогда и только тогда, когда он
пересекает треугольник, вершинами которого служат
точки, взятые на ребрах трехгранного угла.
42
Примем во внимание трехгранный угол А на черт. 22
и построим £\BCD. Пусть полупрямая AM есть внутренний
луч данного трехгранного угла. На основании определения 17
и теорем 75, 38 можно утверждать, что полупрямая AM лежит
внутри £ВАР, где Р— точка на отрезке (CD). В таком случае
полупрямая AM пересекает секущий отрезок (ВР) этого угла
в некоторой точке N, и эта точка принадлежит £±BCD (опре¬
деление 17). *
Обратное утверждение доказывается подобными же рас¬
суждениями.
§ 8. Тетраэдр
Теорема 77. Даны четыре точки, не лежащие в одной
плоскости. Совокупность всевозможных отрезков, соединя¬
ющих одну из данных точек с точками треугольника, обра¬
зованного тремя остальными, дает одно и то же мно¬
жество, независимо от выбора исходной точки.
Пусть данные точки будут А, В, С, D (черт. 22). Заметим,
что в силу задания, никакие три из них не могут лежать на
одной прямой. Пусть точка М принадлежит отрезку, соединя¬
ющему точку А с какой-нибудь точкой /\BCD-, обозначим
эту последнюю точку буквой N.
Надо доказать, что та же точка М принадлежит извест¬
ному отрезку, соединяющему В с некоторой точкой ДАСТ).
В частных случаях, когда М совпадает с N или когда N
совпадает с В или когда N принадлежит отрезку (CD),— тео¬
рема становится очевидной. При другом расположении точек в
&BCD проводим из точки В трансверсаль, на которой лежит
точка N и которая пересекает сторону (CD) в некоторой
точке Р (эта точка может совпадать с С или с D)\ проведем
также отрезок (АР), который будет трансверсалью ДАС/Х
Точка М будет внутренней для /\АВР (определение 17); поэ¬
тому она будет лежать внутри некоторого отрезка (BQ), где Q
есть точка отрезка (АР) (теорема 53), откуда и следует теорема.
Определение 25. Даны четыре точки А, В, С, D, не
лежащие в одной плоскости. Совокупность точек, лежащих
на всевозможных отрезках, соединяющих одну из данных
точек с точками треугольника, образованного тремя
остальными, называется тетраэдром ABCD (порядок букв
здесь безразличен).
Вершины, ребра, грани, поверхность, внутренние и внешние
точки, трехгранные, двугранные и плоские углы тетраэдра —
определяются по обычному способу. Легко убедиться, что
двугранный угол тетраэдра при ребре, соединяющем две дан¬
ные вершины, является общим для трехгранных углов при этих
вершинах, ибо в обоих случаях он опирается на один и тот
же секущий отрезок. Далее, три пары противоположных ребер
43
тетраэдра, а именно, пары (АВ) и (CD), (АС) и (BD), (AD)
и (ВС) принадлежат скрещивающимся прямым.
Определение 26. Треугольник, определяемый ребром
тетраэдра и внутренней точкой противоположного ребра,
называется трансверсальным сечением (например, £±АВР
на черт. 22).
Легко видеть, что внутренние точки трансверсального сече¬
ния будут внутренними и для тетраэдра.
Теорема 78. Трансверсальное се¬
чение делит тетраэдр на два других,
не имеющих общих точек, за исклю¬
чением точек данного трансверсаль¬
ного сечения.
Доказательство предоставляется чи¬
тателю.
Понятие о „трансверсальном разло¬
жении" можно обобщить по аналогии с
определением 19.
Теорема 79. Точки, принадлежа¬
щие двум трехгранным углам тетра¬
эдра, принадлежат самому тетраэдру.
Остановимся на общем случае, когда
точка М лежит внутри трехгранных углов
А и В тетраэдра ABCD (черт. 22). Тогда
полупрямая А A4 пересекает £\BCD в
некоторой внутренней точке N, а полу¬
прямая ВМ пересекает ДАС£) в точке Q
как точки N и Q лежат в плоскости АВМ,
(теорема 76); а так
то прямые BN и AQ пересекаются в точке Р, которая служит
пересечением указанной плоскости с отрезком (CD). Надо
помнить, что точка М лежит внутри двугранного угла при (АВ)
(теоремы 55 и 75), для которого (CD) является секущим отрез¬
ком. Теперь легко видеть, что точка М будет внутренней для
£±АВР (теорема 55 и замечание к ней); но тогда, находясь
на отрезке (AN), она будет принадлежать данному тетраэдру
(определение 25).
Теорема 80. Точки тетраэдра суть точки, общие всем
трехгранным углам его.
Доказательство вытекает из теорем 76, 79 и определения 25.
Теорема 81. Прямая, проходящая через внутреннюю
точку тетраэдра, пересекает его поверхность в двух и только
в двух точках.
Действительно, пусть внутренняя точка М тетраэдра ABCD
лежит внутри отрезка (AN), где N— внутренняя точка грани BCD
(черт. 23), и пусть через точку М проведена прямая а. Если
эта прямая а проходит через вершину А, то теорема стано¬
вится непосредственно ясной, так как две точки пересечения
уже налицо, и других быть не может, так как иначе точка М
44
не была бы внутренней. Если же прямая а не проходит череэ
точку Д, то проводим плоскость аА, которая пересекает
плоскость BCD по прямой, проходящей через точку N\ эта
прямая пересекает обвод £\BCD в двух и только в двух точ¬
ках Р и Q (теорема 59). Полученный таким образом £\APQ
(собственно его обвод) и будет пересечением плоскости аА
с поверхностью тетраэдра, и никаких других общих точек
у них не может быть, так как иначе получилось бы противо¬
речие с теоремой 59.
Следовательно, данная прямая а может пересекать поверх¬
ность тетраэдра только по точкам обвода Далее, точка
М будет внутренней для этого треугольника, так как точка N,
находясь на прямой PQ и внутри /^BCD (теорема 55), должна
лежать внутри его секущего отрезка (PQ).
Отсюда вытекает, что прямая а имеет две и только две точки
пересечения с обводом £\APQ (теорема 59), а следовательно,
и с поверхностью тетраэдра.
Далее можно доказать следующие предложения.
Теорема 82. Если внутри тетраэдра ABCD дана
тонка О, то этот тетраэдр разлагается на четыре тетра¬
эдра: ОАВС, OACD, OADB, OBCD,
Теорема 83. Точки тетраэдра ABCD суть точки, общие
для полупространств: BCD-А; ACDB; ADB>C; ABC-D.
Теорема 84. Прямая, проходящая через внутреннюю
точку грани тетраэдра, но не лежащая в этой грани,
пересекает его поверхность еще в одной и только в одной
точке.
Теорема 85. Отрезок, соединяющий две точки тетрсь-
эдра, целиком принадлежит ему.
Теорема 86. Отрезок, соединяющий внутреннюю точку
тетраэдра с внешней, пересекает его поверхность в одной
и только в одной точке.
§ 9. Многогранники
Определение 27. Пусть дано п выпуклых многоуголь-
ников, расположенных таким образом, что каждая сторона
каждого многоугольника является стороной еще одного
и только одного другого многоугольника, и два много¬
угольника, имеющих общую сторону, лежат в разных плос¬
костях.
Тогда данная совокупность многоугольников называется
многогранной (точнее*, п-граннои) поверхностью*, другие тер¬
мины, как-то: вершины, ребра и т. д. многогранной поверхности
понятны сами собой. Многогранная поверхность называется
выпуклой если плоскость каждой ее грани оставляет все прочие
ее грани по одну и ту же сторону от себя.
45
Мы ограничимся здесь рассмотрением выпуклых многогран¬
ных поверхностей. Примером могут служить: поверхность
тетраэдра и поверхность, изображенная на черт. 24; последняя
составлена из двух пятиугольников и из пяти четыре-
угольников.
Теорема 87. Прямая, не лежащая целиком в плоскости
одной из граней, не может пересекать выпуклую много-
. гранную поверхность более чем в двух точ-
D, ках.
Попробуем допустить, что имеются три точки
пересечения Л,В,С и пусть точка В лежит
между А и С. Тогда точки А и С должны
лежать по разные стороны от плоскости той
грани, которая содержит точку В. а это проти-
С воречит свойству выпуклости.
Теорема 88. При каждой вершине выпу-
л в клой многогранной поверхности имеется те¬
лесный угол, образованный лучами, содержа-
Черт. 24 щими те ребра поверхности, которые схо¬
дятся в данной вершине.
Возьмем для определенности многогранную поверхность,
изображенную на черт. 25 (оставляя пока без внимания диа¬
гонали многоугольника ABCDEF). и остановимся на вершине В.
Из этой вершины исходят лучи ВЛ, SB и т. д., содержащие
одноименные ребра. Для того, чтобы грани телесного угла
совпали с гранями поверхности, между указанными лучами
устанавливается определенная последовательность следующим
образом.
Берем луч ВЛ и одну из граней (например А ЛВВ), про¬
ходящих через ребро (ВЛ); на второе место ставим тот
луч из точки В, который содержит другое ребро грани ASB.
проходящее через точку В, а именно—луч ВВ; на третье место
ставим луч, который содержит исходящее из точ¬
ки В ребро грани ВВС, смежной с предыдущей
по ребру (ВВ), а именно — луч ВС, и т. д. Так /л\\
поступаем до тех пор, пока не переберем всех ре- / /;АѴ
бер, сходящихся в точке В. Так как данная мно-
гогранная поверхность выпукла, то плоскость /- А // V Ч
двух соседних лучей оставляет все остальные С
лучи по одну сторону от себя. Теперь на осно-
вании определений 20, 22, 24 и теоремы 75
можно утверждать, что таким образом поду- ЧеРт- 25
чается многогранный SABCDEF.
Теорема 89. Точки выпуклой многогранной поверхности
принадлежат всем телесным углам при ее вершинах.
Для определенности остановимся на телесном угле при
точке Ах на черт. 24. Точки граней AxB^D^E. АА^В
46
и АА^Е^Е, сходящихся в этой вершине, очевидно, принадлежат
поверхности телесного угла А^АВ^Е^ остальные же точки?,
многогранной поверхности ABCDE, A1BïCïDlE1 будут внутрен¬
ними для этого угла. Действительно, остановимся на какой-
нибудь такой ее точке М (на чертеже не обозначенной); так
как данная поверхность выпукла, то точка М принадлежит
полупространству АА^В^Е^, точно также точка М лежит внутри
полупространства В. Но в таком
лежит внутри двугранного угла А At (теоре¬
мы 43 и 52), и совершенно так же докажем,
что эта точка лежит внутри и других дву¬
гранных углов телесного угла Следо¬
вательно, точка М принадлежит этому теле¬
сному углу (теорема 75).
Определение 28. Отрезок, соединяю¬
щий вершину выпуклой многогранной по¬
верхности с какой-нибудь точкой ее, не
лежащей на гранях, сходящихся в этой
вершине, называется трансверсалью данной
поверхности.
Теорема 90. Всякая плоскость, про¬
ходящая через трансверсаль выпуклой мно¬
гогранной поверхности, пересекает ее по
выпуклой ломаной.
случае точка М
Черт. 26
Проведем рассуждение на черт. 26, где дана трансверсаль^,
соединяющая вершину А с точкой М, не лежащей на гранях^
имеющих точку А общей вершиной. В таком случае точка
М лежит внутри телесного угла при точке А (теорема 89),
и луч AM будет внутренним лучом этого угла. Через прямую-
AM проведем какую-нибудь плоскость, которую обозначим
через а. В силу теорем 66 и 75 плоскость а пересекает по¬
верхность телесного угла А по двум лучам, а именно: АР
AQ. Остановимся на одном из них, и пусть он принадлежит
к плоскости грани ABGNF. Эта полупрямая АР либо пойдет
по одному из ребер {АВ) и {AF) указанной грани, либо будет
внутренней для ее угла BAF-, во всяком случае луч АР, а сле-
довательно, и содержащая его плоскость а, будут иметь с плос¬
костью грани ABGNF общий отрезок {АР) (теорема 27, п. 2),
который может быть или ребром, или диагональю, или транс¬
версалью, В точке Р мы достигнем другой грани (на чертеже
грани GNJK), и плоскость а пересекает плоскость этой грани
по прямой, проходящей через точку Р. Если точка Р лежит
внутри ребра, то ссылаемся на теорему 67 и получаем следую¬
щий отрезок {PJ), служащий пересечением плоскостей а и GNJK-
Если же Р совпадает с вершиной (на чертеже этот случай
имеет место в точке J), то либо одна из точек А и Л4_будет
внутренней для телесного угла при этой вершине, ’ либо
(в случае если обе точки лежат на поверхности угла) отрезок
47
<AAf) в качестве секущего отрезка одного из двугранных углов
даст внутренние точки. В этом случае можно повторить
рассуждения, приведенные по поводу вершины А и той же
плоскости а, и т. д.
Продолжая эти построения, мы шаг за шагом получаем
отрезки, служащие пересечением плоскости а с гранями дан¬
ной поверхности, причем начало каждого нового отрезка
лежит в конце предыдущего. Так как число граней конечное
и мы не выходим из плоскости а, то рано или поздно мы
вернемся к одной из уже пройденных точек; но таковой может
-быть лишь точка А, ибо при каждой из остальных построены
уже оба отрезка, лежащие в плоскости а, а третьего не может
быть (для точки на ребре двугранного угла это очевидно,
•а для вершины ссылаемся на теоремы 61 и 75); к точке же А
можно подойти еще с помощью отрезка (AQ), который пока
был оставлен в стороне.
Итак, в сечении получается замкнутая ломаная; если бы
она не была выпуклой, то ее точки лежали бы по разные
стороны от прямой, содержащей один из ее отрезков; но тогда
эти же точки, принадлежащие также многогранной поверхности,
лежали бы по разные стороны от плоскости грани, которая
проходит через указанный отрезок ломаной, а это противо¬
речит выпуклости многогранной поверхности.
Теорема 91. Внутренние точки трансверсалей, исходя¬
щих из любой вершины выпуклой многогранной поверхности,
дают всегда одну и ту же совокупность точек.
Докажем, что вершины А и J поверхности, изображенной
на черт. 26, приводят к одной и той же совокупности точек.
Пусть некоторая точка Н лежит внутри трансверсали (A/M).
Надо доказать, что эта же точка Н будет находиться также
внутри некоторой трансверсали, исходящей из вершины J.
Если Н лежит внутри (AJ) (т. е. М совпадает с J), то наше утвер¬
ждение очевидно; в противном случае проведем плоскость
AMJ, которая пересечет данную многогранную поверхность по
выпуклой ломаной APJQ (теорема 90). Точка Н будет внутрен¬
ней для ее трансверсали (АЛ1); а потому она будет внутренней
и для некоторой трансверсали, исходящей из вершины J (тео¬
рема 64). Но легко видеть, что эта последняя трансверсаль будет
трансверсалью и для данной многогранной поверхности.
Определение 29. Совокупность внутренних точек
всевозможных трансверсалей, исходящих из какой-либо
вершины выпуклой многогранной поверхности, в соединении
с точками самой поверхности, называется многогранником,
определяемым данной поверхностью- если у многЬгранника
имеется т граней, то его называют /п-гранником. Другие тер¬
мины, как, например, вершины, ребра и т. д. многогранника,
понятны сами собой. Многогранник обозначают, называя его
вершины.
48
Примеров многогранника может служить тетраэдр. Сейчас’
укажем еще один простой случай.
Определение 30. Дан какой-либо выпуклый п-угольник
А^... &п и вне его точка *£• Соединяя точку S отрезками .
с вершинами этого многоугольника, получим выпуклую много¬
гранную поверхность (легко убедиться, что все требуемые
условия выполнены); определяемый ею многогранник называется
п-уголъной пирамидой (при п=3 снова получается тетраэдр).
Точка S называется ее ~
основанием, A А SAiA2,
гранями.
С,
С
в
Черт. 27
вершиной-, данный п-угольник —
SA2A3... — боковыми
На черт. 25 изображена шестиугольная пира¬
мида SABCDEF, ня черт. 24 изображен мно¬
гогранник, который получен из пятиугольной пи¬
рамиды при помощи одной секущей плоскости
такие многогранники называются усе¬
ченными пирамидами (впоследствии этот термин
будет уточнен).
Теорема 92. Всякий многогранник можно
разложить на частичные тетраэдры с общей
вершиной, но не имеющие других общих точек,
за исключением общей грани у двух смежных
тетраэдров.
Начнем с пирамиды (черт. 25). Разложив ее
основание на треугольники с помощью диаго¬
налей, исходящих из одной вершины, и вспом¬
нив определения 29 и 30, сейчас же убеж¬
даемся в справедливости теоремы для этого случая. Так,
шестиугольная пирамида на черт. 25 разлагается на такие
тетраэдры: SABC, SACD, SADE и SAEF. Возьмем теперь
какой-нибудь выпуклый многогранник и выберем его вер¬
шину К; оставляя в стороне грани, сходящиеся в этой вершине,
будем остальные проектировать из точки Y с помощью отрез¬
ков. Легко видеть, что данный многогранник разобьется на
пирамиды по числу указанных граней (определение 29); а пира¬
миды в свою очередь разлагаются на тетраэдры (см. выше),
что и требовалось доказать. У этих тетраэдров не может быть
общей внутренней точки, так как, проектируя ее из точки У,
получили бы противоречие с теоремой 87.
Для’простого примера возьмем многогранник, изображен¬
ный на черт. 27: прежде всего он разбивается на тетраэдр
А±АВС и четыреугольную пирамиду A^BB-fi^C, которая в свою
очередь разбивается на два тетраэдра АХВВХС и АХСВУСѴ
Теорема 93. Теоремы 80 (с заменой „трехгранный" на
„многогранный"), 81, 84, 85, 86, доказанные для тетраэдра, пере¬
носятся на всякий многогранник.
Как на общий прием доказательства можно указать на сле¬
дующее: берем сечение многогранника соответствующей
49 ’
4 Богомолов — Геометрия
ПЛОСКОСТЬЮ, И дело СВОДИТСЯ К известным CBoftcTBàM бЫпуклЫЯ
многоугольников.
Теорема 94. Если перебирать грани (выпуклого) много¬
гранника, переходя каждый раз к новой грани, имеющей об¬
щее ребро с одной из уже отмеченных, то таким образом будут
перебраны все грани данного многогранника.
Попробуем допустить противное, т. е. предположим, что,
перебирая по указанному способу грани, мы не сможем
добраться до некоторых из них. Это будет значить, что уже
известная часть граней данного многогранника образует сама
по себе выпуклую многогранную поверхность (определение 27);
если тогда соединить внутреннюю точку определяемого ею
многогранника (определение 29) с какой-нибудь точкой одной
из оставшихся в стороне граней, то получим, по крайней мере,
три точки пересечения этой прямой с данной многогранной
поверхностью (две из них на основании теорем 81 и 93), что
невозможно (теорема 87).
В заключение параграфа мы укажем одно замечательное
соотношение между числами, характеризующими многогранник.
Обозначим через
т — число граней,
V — „ вершин,
г— „ ребер.
Для многогранников, изображенных на предыдущих черте¬
жах, имеем:
черт. 24:
т = 7,
ѵ — 10,
г= 15;
. 25:
т = 7,
ѵ= 7,
г= 12;
» 26:
т = 7,
V = 10,
г= 15;
„ 27:
т = 5,
V = 6,
г= 9.
Для всех случаев
оправдывается соотношение:
т Д- V — г + 2,
которое выражает знаменитую теорему Эйлера:
Теорема 95. Во всяком выпуклом многограннике имеем:
т = г 2.
Возьмем какой-нибудь выпуклый многогранник и остановимся
на его грани ABCDE.по ребру АВ она будет смежной
с гранью, лежащей в плоскости а, по ребру ВС—с гранью,
лежащей в плоскости Р, и т. д. В силу выпуклости все точки
взятого многогранника лежат в одном и том же полупростран¬
стве, определяемом каждой из этих плоскостей. Возьмем далее
внутри многогранника какую-нибудь точку N, а внутри
грани ABCDE.'> точку Я и проведем прямую 2ѴЛЛ Эта прямая
W
пересечет плоскости а, £,... во всяком случае в конечном
числе точек. Поэтому на прямой NH, по другую сторону от
плоскости ABCDE..., можно найти такую точку S, что отре¬
зок (HS), а следовательно, и отрезок (Л/S) не будет содержать
ни одной из этих точек пересечения.
В самом деле, если какая-нибудь
точка пересечения J попадет в от¬
резок (Л/S), то вместо прежней
точки S возьмем новую внутри от¬
резка (7/J), и т. д. Выбранная та¬
ким образом точка S будет лежать
в тех же полупространствах, что
и точки многогранника (теоремы
32 и 37), но по разные стороны с
ними по отношению к плоскости
ABCDE... (определение 10, тео¬
рема 37).
Проведем теперь из точки 5
луч в какую-нибудь точку U мно¬
гогранника; отрезок (SU) должен
пересечь плоскость ABCDE...; но
все внутренние точки этого отрезка
лежат в указанных выше полупро¬
странствах, так что то же самое
надо сказать и о его пересечении
с плоскостью ABCDE...
Отсюда вытекает, что эта точка
должна лежать внутри грани
ABCDE... взятого многогранника.
Из сказанного следует, что все
точки многогранника проектиру¬
ются на грань ABCDE..и по¬
лучается так называемая сетка
многогранника [(черт. 28, а); на
пунктирные линии пока не будем
обращать внимания]; на этом чер¬
теже мы имеем проекции всех
граней многогранника на грань
ABCDE..., но самую эту грань мы
не считаем принадлежащей к полу¬
ченной сетке. Произведенное выше
проектирование сохраняет отноше¬
ния совмещенности между точками и прямыми; поэтому каж¬
дая грань проектируется одноименным с ней многоугольником
и вершина n-гранного телесного угла проектируется точкой,
из которой исходят п отрезков. Легко видеть, что на черт. 28, а
имеется (т— 1)-многоугольников (ABCDE,.. в счет не идет),
ѵ вершин и г отрезков.
61
Для рассматриваемых здесь фигур будем составлять
число е по правилу:
е= (число многоугольников)-|-(число вершин) — (число ребер).
Для черт. 28, а имеем:
е = т-^-ѵ — г— 1. (1)
Разобьем многоугольники черт. 28, а диагоналями на треу¬
гольники (пунктирные линии) и докажем, что при этом раз¬
биении число е не меняется.
В самом деле, при проведении каждой диагонали число
вершин не меняется, а числа многоугольников и ребер каждое
увеличивается на единицу, откуда и следует справедливость
сказанного.
Теперь мы имеем фигуру, составленную исключительно из
треугольников, но с тем же значением числа е. Для его вы¬
числения возьмем один из треугольников и будем постепенно
воссоздавать нашу фигуру, присоединяя к нему постепенно
остальные треугольники. Для исходного треугольника имеем:
£ = 14-3-3=1- (2)
При присоединении нового треугольника к фигуре, уже
состоящей из одних треугольников, могут быть два случая:
или он присоединяется к стороне одного из имеющихся треу¬
гольников (черт. 28, б), или заполняет входящий угол между
двумя треугольниками (черт. 28, в) (другими словами, присоеди¬
няемый треугольник имеет с уже существующей фигурой или
одну общую сторону, или две). В первом случае число треуголь¬
ников увеличивается на единицу, число вершин — на единицу,
а число отрезков на две единицы, так что число е не меняется;
во втором случае число треугольников и отрезков каждое уве¬
личивается на единицу, а число вершин не меняется, так что
и здесь число е сохраняет свое значение.
Сопоставляя все изложенное, приходим к заключению, что
для фигуры 28, а число е имеет то же значение, как и для
исходного треугольника; тогда равенства (1) и (2) дают:
т-\-ѵ = r4~2.
Теорема 96. Для многогранника с одноименными
гранями и с одноименными телесными углами имеем:
т • п = 2г и V • k = 2г,
где п — наименование граней, a k — телесных углов.
Действительно, грани в общем дают т • п ребер; но при
таком счете каждое ребро считается дважды, так как оно
принадлежит двум различным граням, и получается первая
формула, а вторая доказывается подобным же образом.
Теорема 97. Имеется только пять различных случаев
многогранников с одноименными гранями и с одноименными
телесными углами.
Действительно, числа, характеризующие такие многогран¬
ники, связаны соотношениями:
т-\-ѵ = г-\-2, (1)
т - п = 2г, (2)
<и • k = 2г. (3)
Получается неопределенная система трех уравнений с пятью
неизвестными, но так как эти неизвестные должны быть чис¬
лами целыми и положительными, и, кроме того, очевидно:
п > 3 и k > 3, (4)
то число решений ограничено. Находя из уравнений (2) и (3)
числа т и *ѵ и подставляя их в (1), имеем:
или
г . і 1 « 1
+ + (5)
Из последнего равенства выводим неравенство:
п ' >k 2 ’
откуда
1 . 1 1
п > "2“ k 9
Но так как из (4) находим
1 1
k з ’
то
1 J 1
п > 2 Т’
откуда
п < 6.
Точно так же найдем, что и k < 6.
Следовательно, значения неизвестных п и k надо искать
среди чисел: 3, 4, 5,
53
Кроме того, легко видеть, что, по крайней мере, одно из
этих неизвестных должно равняться 3, так как, в противном
случае, имеем:
п > 4 и А > 4,
откуда
n'k 2 ’
что противоречит неравенству (6).
Таким образом, приходим только к следующим пяти слу¬
чаям:
1) п=3, А = 3; тогда равенство (5) дает:
А—_1 -u-L
3 — г “Г 2 ’
откуда
г=6.
Из уравнений (2) и (3) имеем:
/п = 4 и ^ = 4.
2) n=3, & = 4; равенство (5) дает:
1+1=1±1
3*4 г ' 2 '
откуда
г=12.
Из уравнений (2) и (3) имеем:
т = 8 и ®=6.
3) /г=4,. &=3; легко видеть, что г получает то же самое
значение, как и в предыдущем случае, а т и ѵ меняются
местами:
г =12, т=6, ѵ=8.
4) п=3, &=5; формула (5) дает:
3-5 г “ 2 »
откуда ,
г=30.
Наконец, из уравнений (2) и (3) имеем:
/п = 20, ц = 12.
54
5) n=5, Æ=3; здесь число ребер то же самое, что и в
предыдущем случае, а т и ѵ меняются местами:
г=30, т=12, ^ = 20.
Примером первого случая служит тетраэдр; второй можно
получить, построив на одном и том же четыреугольном осно¬
вании две пирамиды, по разные стороны от этого основания;
примером третьего служит куб. Два последних случая как
более сложные пока оставим в стороне. Вообще, к затрону¬
тому сейчас вопросу мы вернемся впоследствии, в главе
о правильных многогранниках.
ГЕОМЕТРИЯ МЕРЫ
§ 10. Исчисление отрезков
Приступая к учению о геометрическом равенстве, мы
вводим в качестве основных понятий два простейших слу¬
чая этого равенства, относящихся к отрезкам и углам. Таким
образом здесь появляются два новых (и последних) основных
понятия: равенство отрезков и равенство углов.
Все, что нам нужно знать об этих основных понятиях,
вкладывается в следующие аксиомы равенства (здесь можно
повторить в основном замечание, которое было сделано в начале
первого параграфа).
Аксиома XVI. „Равенство отрезков* и „равенствоуглов*
суть отношения между указанными геометрическими обра¬
зами.
Эти отношения обозначаются с помощью обычного знака
равенства.
Аксиома XVII. Каждый отрезок (угол) равен самому
себе.
Обозначая какой-нибудь отрезок АВ через а, можно
пользоваться знаком равенства и писать:
а = АВ.
Действительно, символы а и АВ относятся к одному и тому
же образу, а этот образ равен самому себе. Впоследствии
этот прием распространяется и на другие фигуры.
Аксиома XVIII. Если один отрезок (угол) равен дру¬
гому, то этот последний равен первому.
Поэтому, в случае равенства двух отрезков или двух
углов, говорят, что они „равны между собой".
Аксиома XIX. Если один отрезок (угол) равен второму,
а второй равен третьему, то и первый равен третьему.
Указанные здесь три свойства равенства существенны для
него, т. е. они имеют место во всех тех случаях, когда только
можно говорить о равенстве; по порядку они называются:
возвратность, взаимность, переносимость1.
1 Некоторые авторы на ;ывают эти свойства соответственно рефлексив¬
ность, симметричность, транзитивность
56
Небольшим видоизменением последней аксиомы является
предложение:
Теорема 98. Два отрезка (угла), равные третьему,
равны между собой.
Обозначая отрезки малыми буквами латинского алфавита,
допустим, что нам дано:
а=Ь и с-Ь.
На основании аксиомы XVIII из второго равенства выводим:
Ь = с.
Далее, одновременное существование равенств
а=-Ь и Ь^с
в силу аксиомы XIX влечет за собой
а=с.
Указанные до сих пор три аксиомы равенства относились
одинаково и к отрезкам, и к углам; в двух следующих идет
речь только о равенстве отрезков
Аксиома XX. На каждом луче существует одна
и только одна такая точка, которая вместе с вершиной
луча определяет отрезок, равный данному.
Утверждение этой аксиомы иногда выражают короче: на
каждом луче от его вершины можно одним единственным
способом отложить отрезок, равный данному.
Аксиома XXL Если точка С лежит между А и В, a
между А' и В', и если’ притом (АС)--=(А'С'), (СВ) = (С7В7),
то и (АВ) = (А7В7).
Равенство двух отрезков мы приняли за основное понятие
(без определения); но мы уже должны определить, какой из
двух неравных отрезков считается больше другого и какой
меньше. Предварительно докажем следующие предложения:
Теорема 99. Если на каком-нибудь луче с вершиной
в точке О отложим отрезки (ОА) и (ОВ), соответственно
равные данным отрезкам а и Ь, то точки А и В совпадают
в том и только в том случае, когда а = Ь.
Действительно, пусть точки А и В совпадают. Тогда
(О А) - (ОВ) (аксиома XVII).
Далее, имеем:
а=(ОА) (аксиома XVIII).
а = (ОА) и (ОА) = (ОВ) влекут за собой а-=(ОВ) (аксиома XIX),
а = (ОВ) и (ОВ) = Ь влекут за собой а=Ь (аксиома XIX).
57
Обратно, пусть нам дано последнее равенство. Тогда
(О В) —b и Ь±=а дают (ОВ) = а (аксиомы XVIII, XIX).
Теперь мы имеем равенства:
(ОД) = а и (ОВ) = а,
и в силу аксиомы XX точки А и В должны совпасть.
Теорема 100. Если на двух каких-либо лучах с верши¬
нами в О и Оі отложим отрезки (ОА) и (ОВ), (OpdJ
и (ОіВі), соответственно равные данным отрезкам au Ь, то
расположение точек OJf Alf В1 будет таким же, как и рас-
положение точек О, А, В.
В самом деле, если точки А и В совпадают, то
а=Ь (теорема 99).
Но тогдй точки АТ и В} "также должны совпасть (тео¬
рема 99). Если же точки А и В различны, то точки А! и Вг
также будут различными (доказывается от
противного). Дальше мы остановимся на
1 этом допущении.
Совершенно ясно, что точка О не мо-
t жет лежать между А и В (определение
0^ Е~ 8); следовательно, либо А лежит между
О и В, либо В лежит между О и А (тео-
Черт. 29 рема 17); подобное же можно утверждать
и относительно точек Oif Alf ВР
Допустим, для определенности, что А лежит между О и В,
и докажем, что тогда Ді лежит между О1 и Вг. В противность
сказанному попробуем допустить, что Вх лежит между OY nAt
(черт. 29). В таком случае At не лежит между Оі и Bt (тео¬
рема 17), так что эти точки принадлежат одному и тому же
лучу с вершиной в ЛР Тогда на противоположном луче от¬
метим точку В2 так, чтобы (АіВ2) = (АВ) (аксиома XX).
Теперь у нас имеются такие соотношения: А лежит между
О и В и Аг лежит между Ох и В2 (определение 8). Далее:
(ОД) = (О1Д1) (теорема 98) и (АВ) = (А1В2) (по построению).
На основании аксиомы XXI отсюда выводим, что
откуда
(ОВ) = (О1В2),
(OJl^^b (аксиомы XVIII, XIX).
Кроме того, по данному:
(ОіВі) = Ь,
так что точки Вх и В2 должны совпасть (аксиома XX), а сов¬
пасть они не могут, ибо принадлежат противоположным лучам
с вершиной в
58
Следовательно, наша теорема доказана от противного,
точка Àj лежит между Ог и ВР
Определение 31. Пусть даны два неравные отрезка а
и Ь, Берем произвольный луч с вершиной в О и откладываем
на нем отрезки (ОА) = а и (ОВ) = Ь. Если точка А окажется
между О и В, то мы говорим, что отрезок а меньше отрез¬
ка Ь, или что отрезок b больше отрезка а, и пишем:
а < b или b > а.
Если же В окажется между О и А, то подобным же образом
утверждаем, что
b < а или а > Ь.
Теорема 100 показывает, что выбор вспомогательного луча
не повлияет на сравнение отрезков.
Исходя из определения 31, можно доказать для отрезков
все свойства отношений равно, больше или меньше, которые
нам известны из алгебры и которые имеют место по отноше¬
нию к любой величине. Остановимся, для примера, на несколь¬
ких предложениях этого рода.
Теорема 101. Для любых двух от- п
резкое а и b имеет место одно и только # £
одно из отношений:
Черт. 30
а = Ь, а<Ь, а>Ь.
Доказательство вытекает из определения 31 и теорем 99, 17.
Теорема 102. Отношения „больше* и „меньше* обла¬
дают свойством переносимости.
Положим, нам дано: а < b и b <с. Надо доказать, что
а < с.
Возьмем какой-нибудь луч с вершиной в О и построим
отрезки (ОД), (СВ), (ОС), соответственно равные данным а,
Ь, с (черт. 30). Так как b < с, то точка В лежит между О и С
(определение 31), а так как а < Ь, то А лежит между О и В.
Но в таком случае А лежит между О и С (теорема 18), т. е.
а < с (определение 31).
Так же доказывается и переносимость отношения „больше".
Теорема 103. Если a<Zb и Ь=с, то а<с.
Теорема 104. Если а>Ь и Ь = с, то а > с.
Доказательство предоставляется читателю.
Определение 32. Пусть даны два отрезка: а и Ь. Берем
произвольную прямую и на ней отмечаем произвольную
точку О; на противоположных лучах этой прямой, исходящих
из точки О, откладываем отрезки (ОА)=а и (ОВ) = Ь. Отре¬
зок (АВ) называется суммой двух данных, а эти последние
называются слагаемыми; сумма отрезков а и b обозначается
59
с помощью символа а Ь, и мы можем написать (акси¬
ома XVII):
(ДВ) = а + &.
Если дано несколько отрезков (больше двух), то их сумма
строится так, что сначала находим сумму двух первых, полу¬
ченный отрезок складываем с третьим, и т. д.
Так как построение суммы связано с выбором вспомога¬
тельной прямой, то надо доказать, что всегда получается один
и тот же результат.
Теорема 105. Если сумму двух отрезков построим
двумя различными способами, то получим равные отрезки.
Действительно, сделаем указанное в определении 32
построение на двух . различных прямых
д овс (или даже на одной и той же прямой).
Че т 31 В силу определения 8 точка О ле-
ерт‘ жит между А и В, и точно так же точка
Оі лежит между Дх и Вь Далее:
(ОД) = (0^1) и (ОВ)=(О1В1) (теорема 98).
Но в таком случае аксиома XXI непосредственно дает:
(дв^Д^).
Теорема 106. Если С лежит между А и В, то
(ЛВ) = (ДС) + (С5).
Утверждение вытекает из определений 8 и 32.
Теорема 107. a-\-b = b-[-a {переместительный закон
сложения).
В самом деле, построим сумму отрезков а и b по указа¬
нию определения 32 (черт. 31). Получим:
(АВ) = а+Ь.
Построим теперь сумму Ь-^а, причем можем воспользоваться
тем же чертежом (теорема 105) и найдем:
{ВА) = Ь-\-а.
Но отрезки (ДВ) и (ВД) тождественны по определению
отрезка (см. определение 9 и замечание к нему); а потому
при помощи аксиомы XVII и теоремы 98 из предыдущих
равенств выведем:
а —b = b а. *
Теорема 108. {а —|— Ь) -j- с=а -|— {Ь —с) {сочетательный
закон сложения).
Действительно, строим сумму а и & в виде отрезка АВ
(черт. 31) и на луче, исходящем из В, но противоположном
60
тому, который содержит точки А и О, отмечаем такую точку С,
чтобы (ВС) = с (аксиома XX). Тогда имеем:
(а+й)+г = (ЛС). (*)
Так" как по построению точки Ой С принадлежат различ¬
ным лучам с вершиной В, то
b + с = (ОС) (определение 32).
Далее имеем: В лежит между А и С и О лежит между А
и В (все это по построению). На основании теоремы 18
отсюда следует, что О лежит между А и С,
Следовательно, по определению 32 имеем:
а + (&4-с) = (ЛС). (**)
Наконец, из равенств (*) и (**) с помощью теоремы 98
получаем:
(# + Ь)-]-с(^ +до¬
основываясь на двух последних теоремах, можно доказать,
что сумма любого числа отрезков не зависит от их пррядка,
что слагаемые можно соединять в различные группы, и т. п.
Это доказывается совершенно так же, как соответствующие
теоремы в алгебре.
Докажем теперь некоторые из предложений, где понятие
суммы сочетается с понятиями, касающимися сравнения отрез¬
ков; здесь опять-таки получается полная аналогия с алгебраи¬
ческими действиями.
Теорема 109. Если а>Ь и с есть какой-нибудь третий
отрезок, то
а-\- Ь-\-с, и обратно.
Действительно, построим на некотором луче отрезок ОС=с,
и на луче той же прямой, исходящем из С, но не содержащем
точки О, отложим отрезки (СА) и (СВ), соответственно равные
данным а и Ь.
Так как а>Ь, то В лежит между С и А.
В силу сделанных построений имеем:
(ОВ)=с + Ь и (ОД) = б,4'а
или
(ОВ) = Ь-\~с и (ОА) = а -J- с (теорема 107, аксиома XIX).
Далее, точка С лежит между О и Д, а В лежит между С
и Д, откуда следует, что В лежит между О и А (теорема 18);
а потому
(ОД) > (ОВ).
61
Наконец, с помощью теоремы 104 переходим к неравенству:
а Ц- с > b + с.
Обратное утверждение доказывается от противного..
Теорема НО. Если а>Ь и c^d, то а-\- с> b-±d.
Доказывается на основании двукратного применения тео¬
рем І09 и 102.
Теорема 111. Если а b = с d и а = с, то b = d.
Доказывается от противного на основании предыдущих
теорем.
Теорема 112. Если а > &, то а = Ь-\-с, где с — некото¬
рый вполне определенный отрезок, и обратно.
В самом деле, если а > Ь, то, отложив известным образом от¬
резки (ОА) и (05), соответственно равные а и Ь, найдем, что
В лежит между О и А (определение 31).
Тогда:
(ОА) = (ОВ) + (ВА)
или, обозначая отрезок
а = Ь-\-с
(теорема 106),
(ВА) через с,
(теоремы 98, 105).
Обратно, если дано последнее равенство, то строим отрезки
(ОВ) = Ь и (ВА) = г на противоположных лучах из точки В.
Тогда их сумма а получается в виде отрезка (ОА).
Так как точка В лежит между О и А, то
а>Ь (определение 31).
Теорема 113. Если отрезки (АВ) = (А1В1) и если внутри
первого отрезка задана какая-нибудь точка С, тогда внутри
второго существует одна и только одна такая точка Clf что:
(А1С1) = (АС) и (СА) = (СВ).
Действительно, из наших данных следует, что (АС)<(АВ),
а потому и (АС) < (AxBj) (теорема 103).
Следовательно, если на полупрямой А1В1 отложим отрезок
(А1С1)=(АС), то точка Сі будет лежать между Aj и Вг (черт. 32).
Далее имеем:
(АВ)—(АС)(СВ); (А1В1)=(А1С1) + (С1В1) (теорема 106),
в так как
(АС)=(А1С1), то (СВ) = (С1В1) (теорема 111)
62
Таким образом, существование искомой точки установ¬
лено. Если же допустить еще другую такую же точку С', то
получим противоречие с аксиомой XX.
Замечание. Таким же точно способом можно построить единствен¬
ную точку Db для которой:
(BjDj) = (АС) и (DH1) = (СВ).
Определение 33. Если а>Ь, то а = Ь~]~с (теорема 112);
этот вполне определенный отрезок с называется разностью
отрезков а и & и обозначается через а — Ь.
Теорема 114. b-[-(а — Ь) = а. Утверждение непосред¬
ственно вытекает из определения 33. В последующих теоремах
предполагается, что вычитание возможно; последнее же всегда
возможно, если из большего отрезка вычитаем меньший.
Теорема 115. Если a — b и с = d, то а — с = b — d.
Обозначим наши разности:
а — с = 1 и b — d = т\
тогда
а = с-\-1 и b = d-\-m (теорема 114).
Отсюда на основании теоремы 111 заключаем:
1=т.
Теорема 116. Если, а > b, c = d и b > с, то а — с^> b — а.
Подобно предыдущей теореме, имеем:
а = с^-1 и b = d-\-m.
Попробуем допустить, что т>1. Тогда по теореме НО
или аксиоме XXI получаем:
т. е.
т —d I “I- с,
b > а,
что противоречит заданию.
Следовательно, должно быть:
т < L
Доказательство следующих двух теорем предоставляется
читателю.
Теорема 117. Если a>b, c = d и с>а, то с — a<d — b.
Теорема 118. Если и c<^dt то а — c^>b — d
(вычитания предполагаются возможными).
СЭ
Определение 34. Сумма т отрезков (т — целое поло¬
жительное число), равных а, называется т-кратным а
и обозначается через та (или ат).
Теорема 119. Если а > &, то та > mb, и обратно.
Остановимся на случае а^>Ь\ из двух неравенств:
а> Ь,
на основании теоремы 110 выводим:
a-\-a>b-\-b или: 2а>2Ь (опред. 34).
Присоединяя сюда снова неравенство а>Ь, найдем:
3а>3&, и т. д.
Если же а = Ь, то вместо теоремы ПО ссылаемся на
аксиому XXI.
Обратное утверждение доказывается от противного.
Теорема 120. т(а 4~ Ь) = та 4~ mb.
Действительно:
т(а 4- Ъ) = (а 4~ Ь) + (а 4* &) 4~ • • • 4" (й4~^)
(всего т слагаемых).
На основании свойств суммы (см. замеч. после теоремы 108):
/?г(а Ц- Ь) = (а 4" а + • • * 4~ а) + 4" • • • 4~
т(а-{- Ь) = та 4- mb (определение 34).
Замечание. Теорема обобщается без труда на случай какого угодно
числа слагаемых.
Теорема 121. т (а — Ь) = та — mb.
Обозначив разность а — b через с, имеем:
а — Ь-\-с (определение 33).
Далее
та = т (Ь-\-с)
т (Ь 4- с) = mb -J- тс
та — mb 4~ тс
(теорема 119);
«
(теорема 120);
(аксиома XIX).
64
Отсюда, по определению разности:
та — mb = mc,
или, подставляя значение с:
ma — mb = m(a— Ь). (теорема 119, аксиома XIX).
Подобным же образом доказывают следующие предложения.
Теорема 122. (т ± п) а = та ± па (разность при zn>n).
Теорема 123. Если та > па, то т> п, и обратно.
Теорема 124. т (па) = mn>at
Определение 35. Если а = mg, то g называется /п-ой
а 1
частью а и обозначается через — или — а.
Зам ечание. Иначе это g называется аликвотной частью отрезка а.
Мы не можем еще сейчас доказать, что для каждого отрезка существует
m-ая часть: в следующих теоремах это существование допускается как
общая предпосылка.
Теорема 125. т (—а\ = а и — (та) = а.
\т ] т
Утверждение непосредственно вытекает из определений
35 и 34.
Теорема 126. <Za при т>\.
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 127. Если а > &, то — а > —и обратно.
* s тп т *
Обозначим — -а через g и — -Ь через Л и допустим, что Л > g.
Тогда по теореме 119 имеем:
что противоречит заданию. Следовательно, должно быть:
1 1 и
— а^-Ь,
т т ’
и легко убедиться, что знак отношения будет таким же, как
для а и Ь.
Обратное утверждение доказывается от противного.
Далее можно доказать следующие предложения.
<Т» 1 ПО а “I" Ь 4~ С “I- • • • # I Ь I £ |
Теорема 128. т-— = — + ~ + • • • •
r т т 1 т т *
Теорема 129. — f— = — -а.
г т I п I тп
5
Богомолов — Геометрия
65
Замечание. В настоящем параграфе мы установили некоторые
основные правила исчисления отрезков; можно указать еще ряд следствий
из них, которые доказываются подобным же образом и сами по себе чита¬
телю известны.
§11. Равенство углов и треугольников
Для исчисления углов и изучения свойств треугольников
введем следующие аксиомы.
Аксиома XXII. Даны и произвольная полупло¬
скость а,, причем на ее ребре заоана определенная точка О
и исходящий из нее луч kx (черт. 33).
Тогда в данной полуплоскости с вер¬
шиной в заданной точке существует
один и только один такой луч hlf что
Черт. 33
можно отложить данный
Замечание. Это утверждение иногда
выражают словами, что при указанных условиях
угол и притом одним единственным способом.
Аксиома XXIII. Если для ДД АВС и AACj имеем ра¬
венства:
(АВ) = (А1В1), (АС) = (А1С1), ZBAC=Z^iClt
то всегда выполняются и такие равенства:
ДАВС=ДА1В1С1, ДАСВ = ДА1С1В1.
В этой аксиоме сочетаются оба основных понятия о равенстве
отрезков и углов, которые доселе рассматривались отдельно
Определение 36. Два
треугольника называются рав¬
ными, если между их верши¬
нами можно установить такое
одно-однозначное соответствие,
что углы при соответствен¬
ных вершинах равны, а также
равны и стороны, соединяющие
соответственные вершины.
Черт. 34
Теорема 130. Два треугольника равны, если они имеют
по равному углу, заключенному между соответственно
равными сторонами.
Пусть в ДД АВС и AiBjCj (черт. 34) имеем:
(АВ)=(А151), (АС) = (А1С1), Z^C=£B1A1C1.
66
На основании аксиомы XXIII сейчас же получаем:
ХшАВС = ХшА1В1С1 и £АСВ = £А1С1В19
и нам остается доказать равенство третьих сторон.
Попробуем допустить, что эти отрезки неравны, и пусть для
определенности
(BQXB'CJ.
Тогда (определение 31) внутри (ВС) существует такая точка С2,
что
(ВС2) = (В1С1).
Рассмотрим ДА АВС2 и AjBjCj. Для них имеем:
(ВА) = (В1А1), (ХВХС&), Х_СгВА = Х_СгВХ
(последнее—потому, что / С2ВА тождествен с ДСЯА).
Применяя сюда аксиому XXIII, найдем:
Х.СІАВ = Х.С1А1В1;
а так как, кроме того, по данному
^_САВ = /_С1 А&
и оба луча АС2 и АС лежат в одной и той же полуплоскости
АВ.С (определения 32, 33), то получается противоречие
с аксиомой XXII.
Итак, должно быть:
(BQXBXi
Замечание Легко видеть, что в течение доказательства между вер¬
шинами данных треугольников было установлено требуемое определением
36 одно-однозначное соответствие путем обозначения соответственных вер¬
шин одними и теми же буквами.
Теорема 131. Два треугольника равны, если они имеют
по равной стороне, заключенной между соответственно
равными углами.
Пусть в ДД АВС и А^В^г имеем:
(ЛВ) = (Л1В1), САВ = ^С^В^, ^CBA = Z_C1B1A1.
Равенство сторон (ВС) и (B^CJ докажем по методу предыду¬
щей теоремы, и тогда дело сведется к предыдущему случаю
равенства.
Определение 37. Если в треугольнике две стороны
равны между собой, то он называется равнобедренным^ его
5*
67
третья сторона называется основанием, противолежащая ей
вершина — вершиной треугольника.
Существование таких треугольников доказывается без
труда. Проведем из точки А два каких-нибудь не противопо¬
ложных луча и отложим на них отрезки (АВ) и (АС), равные
любому данному отрезку; полученный Л АВС будет равно¬
бедренным.
Теорема 132. В равнобедренном треугольнике углы
при основании равны.
Прежде чем приступить к доказательству, заметим, что
каждый треугольник будет равен самому себе, ибо каждый
его элемент равен самому себе (аксиома XVII); равнобедрен¬
ный же треугольник будет равен самому себе еще и при
другом соответствии между его элементами. Указанным об-
5 L стоятельством мы и
Л\ воспользуемся для до-
\ \ казательства. Будем
\ s' / \ рассматривать равно-
# $ Ч # р > бедренный Д АВС, в
котором (АВ) = (АС), с
ЧеРт- 35 двух различных точек
зрения (как бы два
различных треугольника), а именно: как А ВАС и какДСДВ.
В этих треугольниках имеем:
(ВА) = (СА) и (СА) — (ВА) (по данному);
Х_ВАС= ^САВ (аксиома XVII);
Отсюда на основании аксиомы XXIII
^АВС= АСВ.
Теорема 133. Если в треугольнике два угла равны
между собой, то треугольник — равнобедренный.
Доказывается подобно предыдущей теореме, но вместо
аксиомы XXIII придется сослаться на теорему 131.
Замечание. Последние две теоремы можно высказать и так: в тре¬
угольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных уг¬
лов — равные стороны.
Теорема 134. Если два угла равны, то и смежные
с ними равны между собой.
Действительно, пусть /_ADB— £_KPL (черт. 35); смеж¬
ными для них соответственно будут:
^_A'DB и LK'PL.
Отложим на сторонах наших углов отрезки:
(DA) = (PK), (DB) = (PL), (DA') = (PKf).
68
Тогда, по теореме 130
Д ADB — д KPL,
откуда
(ЛВ) = (/а) и ДВЛ£> = £,LKP.
Переходим к ДД АВА' и KLK', у
равенства (АВ) = (KL), имеем:
которых,
кроме
(АА') = (КК')
£_ВАА’= £_LKK',
ибо эти углы тождественны
с углами BAD и LKP.
Следовательно, по тео¬
реме 130
(аксиома XXI)
Черт. 36
Д АВА' = Д KLK',
откуда
(А,В) = (/СЛ) и /_ВА'А - £LKK-
Наконец, в силу той же теоремы 130:
Д BA'D = Д LK'P,
откуда
/_BDA' = /_ЬРК.
Теорема 135. Вертикальные углы равны.
Пусть прямые ADA' и BDB', пересекаясь в точке Д обра¬
зуют вертикальные углы ADB и A'DB'. Для /_A'DB смежным
будет / ADB, и для того же /_A'DB смежным будет также
/_A'DB'.
Но так как
^A'DB= ^A'DB (аксиома XVII),
то
^ADB = j^A'DB' (теорема 134).
Теорема 136. Если два угла (hk) и (AjAJ равны
и внутри первого из них указан некоторый луч, I, тогда
внутри другого существует один и только один такой
луч 119 что:
Ш = и £(/*) = £(/А).
Действительно, взяв на лучах h и /г соответственно по
точке Н и /С, получим отрезок (НК), секущий первый угол
(черт. 36); луч Z пересекает его в некоторой точке L (опреде¬
ление 12, теорема 38). Отложим на лучах hr и kr соответст¬
венно равные отрезки:
(O.HJ^OH) и (OJQ^OK).
Из равенства ДА НОК и НХОХКХ (теорема 130) вытекает, что
(НК) = (Н&), L. НКО = £ Н'КО» £ КНО = £ кхнхох.
Основываясь на теореме ИЗ, отметим внутри отрезка (НХКХ)
такую точку Lx чтобы
(KXLX) = (KL) и (LJK) = (LH).
Тогда луч OXLX будет искомым.
В самом деле, на основании вышеуказанных равенств имеем:
A OKL = д OxKLi (теорема 130),
так что
Z LOK— z. LXOXKX или £ (^) = L (W-
Далее
A OHL = A OXHXLX (теорема 130),
откуда
Z (AZ)- L(hxL).
Попробуем допустить, что внутри имеется еще
другой луч 12, обладающий теми же свойствами. Но тогда
имеем:
z.(/A)=zm
причем оба луча Ц и /2 принадлежат полуплоскости ОхК\-Ні
(теорема 43), а потому получается противоречие с аксио¬
мой XXII.
Следовательно, луч 1^ — единственный.
Замечание. Во избежание недоразумений заметим, что рассматривае¬
мые в этом параграфе углы и треугольники могут лежать в разных плоско¬
стях.
Теорема 137. Если I есть внутренний луч в Z(^),
а Zi — внутренний луч в / (Мі), и если из трех углов (hk\
(hl), (Ik) какие-нибудь два равны соответственно двум углам
из числа (htkj), (hilL), (1^), то и третьи углы равны между
собой.
При доказательстве придется разобрать различные случаи
в зависимости от того, какие именно углы оказываются рав¬
ными.
1. Пусть нам дано:
Z (hk) = Z (Mi) и Z dk) = Z Мі) (черт. 36).
На основании теоремы 136 внутри Z(Mi) существует такой
луч /2, что
Z (М2) = Z (Л/) И £ (Z^) = £(Z£).
70
Кроме того, имеем:
Z(W = m
а это возможно лишь в том случае, когда Z2 совпадает с lt
(аксиома XXII), ибо лучи Zj и Zs принадлежат одной и той же
полуплоскости с ребром kx (теорема 43).
Но тогда имеем:
2. Пусть теперь дано:
= £(Мі) и Uhl} = Uh^Y
Подобно предыдущему (переставляя h и k) докажем равенство
третьих углов:
3. Пусть, наконец, дано:
L(hl)= Ш) и Д(й)=ДШ
Рассмотрим Ulk'} смежный с {Ik} и выясним, что луч h ле¬
жит внутри этого угла (на черт. 36 надо мысленно провести
лучи k' и kv противоположные для k и kr}.
В самом деле, оба луча I и h лежат в одной и той же по¬
луплоскости с ребром k (теорема 43"), и луч Z делит ее на два
угла {Ik) и {Ik'} (теорема 46). Первому из них луч h принад¬
лежать не может (теоремы 24 и 40), а потому он лежит вну¬
три Д (/&'). Точно также луч лежит внутри Uhfy.
Далее, имеем:
/ {Ik'} = / {lxk\} (теорема 134),
Z(A/) = £(Лі^і) (по данному).
По случаю первому отсюда выводим:
и теорема 134 дает искомое:.
Д(ЛА) = £(Мі).
Теорема 138. Два треугольника равны, если все три
стороны одного соответственно равны сторонам другого.
Пусть для ДД АВС и АДЗД^ дано:
(АВ) = (А,В1), (ВС) = (В.СД, (СА) = (СМ
Построим /_С2АВ = / CjAjBi так, чтобы его вершина
была в точке А, одной из сторон служила полупрямая АВ,
а другая сторона расположилась в плоскости АВС, но в полу¬
71
плоскости, отличной от той, которая содержит точку С (ак¬
сиома XXII; см. черт. 37, на котором не изображен ДАДС^.
На этой последней стороне отметим точку С2 так, чтобы
(ДС2) = (ДА).
На основании теоремы 130 имеем:
Д АВС2== Д
(ВС2) = (ВХС}) =(ВС),
^АС2В^= С^СхВх.
Черт. 37
Так как точки С и С2 принадлежат различным полуплоско¬
стям с ребром АВ, то отрезок (СС2) должен пересекать пря¬
мую АВ. Легко видеть, что возможны три случая, указанные
на черт. 37. Остановимся на первом, когда точка пересечения
лежит внутри отрезка (АВ). Тогда полупрямая СС2 лежит
внутри угла АСВ, а полупрямая С2С—внутри угла АС2В.
Так как в А АСС2 стороны (АС2) = (АС), то
/ АСС2 = /_АС2С (теорема 132);
точно так же и А ВСС2 будет равнобедренным, откуда
^ВСС2= £ВС2С.
Применяя теорему 137, находим:
£ АСВ = LAC2B= ^А&В^
и дело сводится к теореме 130.
Рассмотрение случаев второго и третьего предоставляется
читателю; в случае третьем либо В лежит между А и D,
либо А лежит между В и D, и достаточно рассмотреть только
одно предположение.
Теорема 139. В двух равных треугольниках против
равных сторон лежат равные углы и против равных уг¬
лов — равные стороны.
72
Предложение вытекает из того обстоятельства, что равные
углы в двух равных треугольниках лежат между соответ¬
ственно равными сторонами (определение 36), а потому про¬
тиволежат третьей паре равных сторон.
Определение 38. Угол называется прямым (и обозна¬
чается буквой d), если он равен смежному с ним углу.
Теорема 140. Существуют прямые углы.
Действительно, возьмем какой-нибудь / ВАС и построим
/ ВАС2, равный первому, но расположенный в другой по¬
луплоскости (черт. 37); на сторонах этих углов отложим рав¬
ные отрезки (АС) = (АС2) и соединим отрезком точки С и С2.
Этот отрезок пересечет пря- /
мую АВ в точке D. с? с £ с’
На основании теоремы
130 имеем:
A ACD = A AC2Dlt -, в % %
и на основании теоремы 139 Черт. 38
/_ADC = £ADC2 = d.
Теорема 141. Все прямые углы равны между собой.
В самом деле, пусть нам даны два каких-нибудь прямых
угла ВАС и BjAjCp Это значит, что (черт. 38)
/_ВАС= £В’АС и Z-B^Ci = L^A.C^
Построим угол, равный ^ВХА1С1 так, чтобы его вершиной
служила точка А, одной из сторон — полупрямая АВ, а дру¬
гая сторона АС2 лежала в полуплоскости АВ. С (аксиома XXII).
Если полупрямая АС2 совпадет с полупрямой АС, то легко
убедиться, что
ДВіА^і = /.ВАС (аксиомы XVII, XIX).
Попробуем допустить, что полупрямая АС2 будет отлична
от полупрямой АС.
У нас имеются равенства:
/ШВ1А1С1 = £,ВАС2 (по построению),
/_BfAC2= £яВ\А1С1 (теорема 134).
А так как
/ ВіА^ =■= / В\А1С1 (определение 38),
то
/,В’АС2 = / ВАС2 (аксиомы XVIII и XIX).
Полупрямая АС2 должна лежать внутри одного из углов ВАС
и В'А С (теорема 46).
73
Положим, что имеет место первый случай. Тогда внутри
угла В'АС найдется такая полупрямая АС3, что
£.B'ACZ = £ВАС2 (теорема 136);
а так как, кроме того, имеем:
ДВ'АС2 = £ВАС2,
то получается противоречие с аксиомой XXII.
Итак, полупрямая АС2 и полупрямая АС совпадут, и
ДВ^С^ ДВАС.
§ 12. Исчисление углов
Теорема 142. Если в данной полуплоскости с ребром
О А отложим углы АОВ и АОС, соответственно равные
двум данным углам, то лучи ОВ и ОС совпадут в том
и только в том случае, когда данные углы равны.
Доказательство подобно доказательству теоремы 99. В па¬
левую часть черт. 39.
Теорема 143. Если
в двух полуплоскостях
с ребрами ОА и C^Aj
отложим углы:
ДАОВ и ДА^Вр
ДАОС и ДА^Ср
честве чертежа можно использовать
Л
•соответственно равные данным углам:
Д(&/) и Д(/пп),
то расположение лучей OjAp OxBXî ОХСХ будет одинаковым
с расположением лучей ОА, ОВ, ОС.
Действительно, из теоремы 142 следует, что лучи ОХВХ
и OXCÎ могут совпасть лишь тогда, когда это имеет место для
лучей ОВ и ОС. Если же указанные лучи различны, то
теорема 48 дает нам две возможности.
Для определенности допустим, что полупрямая ОВ лежит
внутри ДАОС, и докажем, что полупрямая ОУВ} лежит вну¬
три ДД^^р Попробуем допустить, что это неверно, т. е.
пусть полупрямая О1С1 пойдет внутри /_А}ОХВХ (черт. 39).
На основании теоремы 98 имеем: •
ДАЖ = ДАОС.
Тогда внутри первого угла имеется такой луч 0}В2, что
/_АХОХВХ= /_АОВ (теорема 136);
74
кроме того:
£.АХОХВХ = ДАОВ (теорема 98),
и получается противоречие с аксиомой XXII, так как лучи
ОХВ2 и ОХВХ лежат в одной и той же полуплоскости ОХАХ . Вх
(теорема 43) и различны (теоремы 24 и 40).
Определение 39. Даны два угла: / (kl) и Д(/шг), не¬
равные между собой.
В произвольной полуплоскости с ребром О А отложим:
£АОВ= £(kl) и £АОС= £(тп).
Если луч ОВ лежит внутри /_АОС, то мы говорим:
Д(&/)< £(тп) или Д(/пп)> Д(&/);
если же луч ОС лежит внутри ^АОВ, то
Д (kl) > / (тп), или / (тп) < / (kl).
Предыдущая теорема показывает, что результат сравнения
двух углов не зависит от выбора вспомогательных образов.
Теорема 144. Теоремы 101, 102, 103, 104 имеют место
и для углов.
Действительно, доказательства, по существу, остаются
прежними; только теперь будем опираться на теоремы 40, 48,
142.
Определение 40. Всякий угол, меньший прямого угла,
называется острым, больший прямого — тупым.
(Пусть читатель ответит на вопрос, почему было бы непра¬
вильно поместить определение 40 перед теоремой 144).
Теорема 145. Из двух неравных смежных углов один
будет острым, а другой — тупым.
Пусть даны два неравных смежных угла: /_ВОА и /_ВОА'.
Возьмем какой-нибудь прямой угол (теорема 140) и отложим
/ СОА, равный ему, в той же полуплоскости, в которой ле¬
жит полупрямая ОВ. На основании теоремы 48 или полупря¬
мая ОВ будет внутри /_СОА, или полупрямая ОС —внутри
ДВОА.
Допустим первое. Но тогда ДВОА< ДСОА, так что
£_ВОА — острый. Далее, при таком допущении теорема 46 гово¬
рит, что полупрямая ОС попадет внутрь ДВОА', откуда выте¬
кает неравенство:
/_ВОА' > / СОА', т. е. £_ВОА' тупой.
Допущение, что полупрямая ОС лежит внутри ДВОА —
предоставляется разобрать читателю.
Определение 41. Пусть даны два угла. В произвольной
плоскости при ребре О А построим углы: / АОВ и ДАОС,
равные данным, но расположенные в различных полуплоско¬
стях с ребром О А.
75
О положении полупрямой О А по отношению к £_ВОС можно
сделать два допущения: или она лежит внутри С ВОС, или —
вне его (т. е. внутри входящего угла, определяемого теми же
лучами ОВ и ОС); (оба случая указаны на черт. 40). В первом
случае мы говорим, что данные углы имеют сумму и таковой
является / ВОС (обозначение обычное). Подобное же опреде¬
ление имеет место и в случае нескольких слагаемых.
Замечание. Здесь мы видим существенное различие между отрез¬
ками и углами: отрезки всегда имеют сумму, а углы—не всегда, если
только мы не произведем соответственного расширения этого понятия
(см. ниже), Пока же надо постоянно иметь в виду указанное ограничение.
Теорема 146. Два острых угла всегда имеют сумму.
Пусть мы ищем сумму двух острых углов.
£АОВ< САСС
Левая часть
черт. 40 дает соответст¬
вующее построение. Со¬
гласно определению 41
Л (луч ОС противоположен
лучу ОС).
Так как ДДОС — ос¬
трый, то / АОС' — тупой
(теорема 145). Тогда
(теоремы 102 и 144).
Кроме того, так как лучи ОВ и ОС, ОС и ОС лежат
по разные стороны от ОД, то полупрямые ОВ и ОС лежат
по одну сторону от ОД (теоремы 29, 33). Все это убеждает
нас в том, что полупрямая ОВ пойдет внутри /.ДОС' (опре¬
деление 39); в таком случае полупрямая О А не может лежать
внутри С ВОС (теоремы 24 и 40), и она попадет внутрь
СБОС (теорема 46), а в этом случае данные углы имеют
сумму (определение 41).
Теорема 147. Определения 33—35 (с ограничением: „если
имеют сумму") и теоремы. 105— 112, 114—129 (с тем же огра¬
ничением) переносятся на углы.
(Теорема ИЗ была уже перенесена под № 136.)
Справедливость этого утверждения вытекает из того, что
рассуждения § 10 переносятся в исчисление углов с очевид¬
ными изменениями.
Так, мы откладывали отрезки от данной точки на одном
и том же луче или на противоположных лучах, а здесь при¬
дется откладывать углы при данном луче в одной и той же
полуплоскости или в различных полуплоскостях, образующих
данную плоскость. Утверждению: „точка лежит между двумя
другими" здесь соответствует такое: „луч лежит внутри угла,
образованного двумя другими лучами" и т. д. Ссылки на ак¬
сиомы XX и XXI здесь заменяются ссылками на аксиому XXII
и теорему 137; теорему 18 можно заменить повторным приме¬
76
нением теоремы 24, которая имеет место и для углов (тео¬
рема 40).
Советуем читателю в виде примера доказать некоторые
предложения, упомянутые в теореме 147.
Из определения 41 вытекает, что два угла не всегда имеют
сумму, если оставаться при первоначальном понятии угла.
Но если расширить понятие об угле (определения 12 и 14),
то два угла всегда имеют сумму. Так, в случае, который изо¬
бражен в правой части черт. 40, суммой будет входящий угол
образованный лучами ОВ и ОС. Но Q
уже в случае трех углов этих средств \
окажется недостаточно. D
Например, если пожелаем подоб- t
ным же способом сложить углы АОВ, jo *
ВОС и COD (черт. 41), то не только /
завершим полный угол, но начнем J
описывать его во второй раз: в этом
случае все лучи / AOD будет целе- Черт. 41
сообразно считать дважды.
Переход к новому расширенному понятию угла можно по¬
яснить прежде всего следующим наглядным способом.
Пусть луч OD (черт. 41), исходя из начального положения
ОА, вращается вокруг точки О против движения часовой стрелки.
Придя в положение ОВ, он опишет £АОВ. Но вместо того,
чтобы остановиться в положении ОВ, вращающийся луч OD
может сколько угодно раз описать полный / О и уже потом
занять положение ОВ.
Таким образом, мы приходим к представлению о совокуп¬
ности лучей, в которой каждый луч пучка О считается п раз
и, кроме того, еще по разу считаются все лучи угла АОВ. Вра¬
щая луч OD в противоположном направлении, мы могли бы
придти к понятию об отрицательном угле. Теперь мы прида¬
дим этим соображениям определенную форму.
Определение 42. Углом в расширенном смысле этого
слова называется совокупность лучей, состоящая из п раз со¬
считанного полного угла (п — целое положительное число
или 0), к которому может присоединиться угол в предыдущем
смысле (т. е. обыкновенный, выпрямленный или входящий); лучи,
пограничные между двумя частями, считаются лишь при одной
из них.
Теперь надо условиться о равенстве таких углов и, прежде
всего, b равенстве выпрямленных и входящих углов, так как
об этом еще не было речи.
Определение 43. Все выпрямленные углы считаются
равными между собой. Два входящих угла равны, если равны
обыкновенные углы, определяемые теми же лучами; два угла
в расширенном смысле этого слова называются равными, если
они состоят из одинакового числа полных углов в соединении
77
с равными углами (обыкновенными, выпрямленными или вхо¬
дящими).
Исходя из двух последних определений, можно распростра¬
нить исчисление углов на произвольные углы, причем отпадает
ограничительное условие о существовании суммы. Входить
в дальнейшие подробности мы не будем, так как расширенное
понятие об угле получает все свое значение лишь в система¬
тическом курсе тригонометрии. В дальнейшем же, если не сде¬
лано никакой оговорки, всегда под углом понимается угол
в его первоначальном узком смысле.
В заключение параграфа мы воспользуемся вышеизложенным для дока¬
зательства некоторых теорем.
Теорема 148. Сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.
$ Пусть даны два смежных угла: / АОВ и
/ £А'ОВ. На основании теоремы 140 и аксиомы
/ ХХЦ отложим прямой /_АОС так, чтобы по-
/ лупрямая ОС лежала в полуплоскости ОА.В.
/ Имея в виду теорему 48, допустим, что полу-
4прямая О В лежит внутри / АОС; тогда по¬
лупрямая ОС должна лежать внутри 2. А'ОВ
Черт. 42 (теорема 46). Далее, имеем:
Z АОВ + Z А'ОВ = Z АОВ + £ ВОС + / СОА' (теоремы 106 и 147).
Z АОВ 4- Z А'ОВ = {£АОВ + / ВОС) + / СОА' (теоремы 108 и 147),
Z АОВ + Z А'ОВ =£ АОС+£ СОА',
/_АОВ + £А'ОВ = 2d (определение 34 и теорема 147).
Определение 44. Вообще два угла, сумма которых равна 2d, назы¬
ваются пополнительными; а если сумма равна d, то — дополнительными.
Теорема 149. Если два угла, имея общую сторону, расположены
по отношению к ней в различных полуплоскостях и если их сумма
равна 2 d, то две другие их стороны являются противоположными лу¬
чами.
Пусть £ АОВ п^ВОС расположены, как указано в теореме (черт. 42).
Допустим, что полупрямая ОС отлична от полупрямой ОА', противополож¬
ной для О А.
В силу теоремы 148 и условия настоящей теоремы имеем:
Z АОВ + Z А'ОВ = АОВ + Z СОВ.
На основании теорем 111 и 147 отсюда вытекает, что
Z А'ОВ = Z СОВ,
а это противоречит аксиоме XXII.
Теорема 150. Полный угол равен Ad. »
Действительно, его можно рассматривать, как сумму двух выпрямлен¬
ных углов, из которых каждый можно рассматривать как сумму двух
смежных углов.
Теорема 151. Если две стороны двух равных углов суть противо¬
положные лучи, причем две другие стороны расположены в различных
полуплоскостях по отношению к этой прямой, то данные углы верти¬
кальные.
78
Пусть углы АОВ и А'ОС расположены, как требуется теоремой.
На основании теоремы 148, имеем:
так что
/ЛОВ + Z A'OB = 2d,
АОВ = ^А'ОС,
£A'OB + £A'OC = 2d.
Отсюда на основании теоремы 149 следует, что полупрямая ОС должна
быть противоположной для полупрямой ОВ.
§ 13. Некоторые свойства треугольников
Определение 45. Полупрямая, исходящая из вершины
угла и делящая его на две равные части, называется его равно-
делящей или биссектрисой.
-Теорема 152. Для любого данного угла имеется одна
и только одна равноделящая.
Действительно, пусть дан угол (аб) (черт. 43). Отложим
на его сторонах равные отрезки:
(ОД) = (ОВ) и (ОА1) = (ОВ1)>(ОА\
так что А будет лежать, между О и а В — между О и Вх
(определение 31); затем проведем отрезки (АВ^) и (AJÏ).
На основании аксиомы XV нетрудно убедиться, что эти от¬
резки пересекаются в не¬
которой точке С; луч ОС ь
или с будет лежать вну-
три данного угла, так ~~~с
как он пересекает его т
секущие отрезки.
Докажем, что это и G д д—— ъ
будет искомая равноделя- 1
щая. Черт. 43
По теореме 130 имеем:
так как
(ОД) = (ОВ); ^яАОВ1= £аВОА1 (аксиома XVIII); (ОВ1) = (ОДІ).
Из равенства треугольников вытекает:
£08^= £ОА}В и ^ОАВ^ £ОВА19
а последнее равенство дает:
^шА1АС= £ВХВС (теорема 134).
Далее, при помощи теорем 106 и 111 докажем, что
(AAJ^BBJ,
79
а потому
/\СААГ = ^\СВВі (теорема 131),
откуда
(СВ) = (СА).
Наконец, в силу теоремы 138
аовс=аоас,
откуда
£ВОС= £АОС,
т. е. полупрямая ОС есть равноделящая данного угла.
Попробуем теперь допустить, что имеется еще другая бис¬
сектриса т (или полупрямая ОМ), и пусть она лежит внутри
£СОА (на основании теорем 24 и 40 луч с делит данный угол
на две части).
D / / Исчисление углов приводит тогда к
/ / следующим заключениям:
/ £_МОА < £_СОА (определение 39),
л/ X/о L.COA = /_сов,
Черт. 44 £_МОА < £СОВ (теорема 103 и 144).
Но луч т в свою очередь делит данный угол на две части,
а луч с должен лежать внутри £_МОВ, так как он не может
быть внутренним для /_МОА, составляющего часть /.СОА.
Следовательно
£СОВ < £МОВ,
£МОВ = ^МОА (по допущению)
£СОВ < ^МОА,
а выше было получено неравенство противоположного смысла
между этими же углами, т. е. получается противоречие с тео¬
ремами 101 и 144.
Итак, биссектриса — единственна.
Теорема 153. На данном отрезке, как на основании,
можно построить равнобедренный треугольник. 9
Пусть дан отрезок (АВ) (черт. 44). Возьмем вне прямой АВ
какую-нибудь точку С и соединим ее отрезками с точками
А и В. Если окажется, что /_САВ = £JCBA, то теорема дока¬
зана (теорема 133). В противном случае пусть будет:
/.СВ А > /.САВ.
80
На оснований аксиомы XXII отложим в полуплоскости АВ.С
£DBA = £CAB.
Так как
Z_DBA < £СВА (теорема 103 и 144),
то полупрямая BD пойдет внутри £СВА (определение 39)
и пересечет его секущий отрезок (АС) в некоторой внутрен¬
ней точке Е.
/\ЕАВ будет искомым, как в этом легко убедиться.
Определение 46. Серединой отрезка называется точка,
делящая его на две равные части.
Теорема 154. Для данного отрезка существует, одна
и только одна середина.
Действительно, построим на дан- с
ном отрезке (АВ) равнобедренный /\
ЛАВС (теорема 153) и проведем / /
равноделящую /_АСВ (теорема 152); / /
эта последняя, находясь внутри угла, \ /
пересечет его секущий отрезок (АВ)
в некоторой точке D. Д'
Из равенства АД ACD и BCD \ ,
имеем:
(AD) = (BD)\ Черт. 45
т. е. точка D есть середина; ее единственность доказывается
с помощью рассуждения, подобного приведенному в теореме 152.
Определение 47. Дан £\АВС (черт. 45). На прямой АВ
отметим такую точку А', чтобы В лежала между А и А' (тео¬
рема 22); тогда / СВ А' называется внешним углом тре¬
угольника. Легко видеть, что в общем у треугольника имеется
шесть внешних углов. Говорят также, что внешний угол
образуется какой-нибудь стороной треугольника и продол¬
жением другой стороны за общую вершину.
Теорема 155. Внешний угол треугольника больше
внутреннего, с ним не смежного.
Имея в виду черт. 45, докажем сначала, что: ,/_СВА' > £АСВ.
Для этого отметим середину Е отрезка (АС) (теорема 154),
проведем прямую АЕ и отложим (ED) = (EA) на луче этой
прямой, противоположном лучу ЕА\ точку D соединим с В.
Точки А и Д', А и D лежат по разные стороны от прямой
ВС (определение 10), так что Д' и D лежат в одной и той
же полуплоскости с ребром ВС (теорема 29 п. 3; определе¬
ние 11); следовательно, точка D принадлежит полуплоскости
ВС.А'. Далее, точка Е лежит в полуплоскости BA'.С (тео¬
рема 32), так что и вся полупрямая АЕ принадлежит этой
полуплоскости (теорема 33); но точка D лежит на этом луче,
ибо точка А не может лежать между £ и D (определение 8).
81
Итак, точка D одновременно принадлежит полуплоскости
ВС.А' и полуплоскости ВА'С; а в таком случае она при¬
надлежит углу СВА' (теорема 43), но не может лежать на его
сторонах. Поэтому полупрямая BD лежит внутри указанного
угла, откуда:
/СВА'> /CBD (определение 39).
В силу нашего построения и теоремы 135 £\AEC=£\DEBm
/_АСЕ= £DBE, или £АСВ= £DBC.
Соединяя это с полученным выше неравенством, имеем:
/^СВА' > /^АСВ (теоремы 104 и 144).
Точно так же, разделив (АВ) пополам, докажем:
/АВС' > /САВ,
по
/АВС'- /СВА' (теорема 135),
так что
/СВА'> /САВ.
Теорема 156. Сумма двух углов треугольника всегда меньше 2d,
Действительно (см. черт. 45), имеем:
/ СВА' > Z САВ (теорема 155),
Z СВА'+ Z СВА > Z САВ 4- Z СВА (теоремы 109 и 147),
Z СВА' 4- Z СВА = 2d (теорема 148).
Так что
Z САВ-\- Z СВА (теоремы 104 и 144).
Теорема 157. Если в треугольнике один из углов прямой или
тупой, то остальные два острые.
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 158^ В треугольнике против большей стороны лежит
больший угол, и обратно.
Пусть в Л АВС дано, что
(ДВ)>(АС);
тогда внутри (АВ) существует такая точка D, что (AD) равно (ДС).
Соединив точки Си/), получим равнобедренный дД/)С, так что
£ACD = £ADC.
Полупрямая CD, пересекая (АВ) во внутренней точке D, лежит внутри
угла АСВ, а потому 9
Z ЛСВ > Z ACD,
или
£ACB>£ADC (теоремы 104 и 144).
Но этот последний угол будет внешним для Л DBCt так что
, £ADC>£ABC ' (теорема 155),
и окончательно находим:
Z АСВ> £ АВС
(теоремы 102 и 144).
Обратная теорема доказывается от противного.
Теорема 159. Сторона треугольника ' меньше суммы двух других
его сторон.
Возьмем Л АВС и на луче, противоположном полупрямой СА, отложим
(CD) = (СВ) и соединим D с В, Так как точка С лежит между А и D, то
полупрямая ВС лежит внутри угла ABD и £ABD> £CBD. Но Л BCD рав¬
нобедренный, так что / CBD — / CD В и, следовательно,
Z ABD > Z ADB
[углы ADB и CDB — тождест¬
венны, ибо А и С лежат по
одну сторону от D (теорема 16)].
Теперь теорема 158 дает:
(AD)>(AB)-
но
Черт. 46
(ЛО) = (ЛС) + (СД)
(AD) = (ЛС) + (СВ)
И окончательно получаём:
(АВ) < (АС) + (СВ)
Теорема 160. Если в Л ЛВС имеем (АВ)^>(АС),
(ВС)>(АВ)-(АС).
(теорема 106),
(теорема 105).
(теорема 103)
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 161. Если в двух треугольниках две стороны одного со¬
ответственно равны двум сторонам другого, а заключенные между ними
углы неравны, то против большего угла лежит и большая сторона.
Действительно, пусть в А АВС и AJ^Cy (черт. 46) дано:
(АВ) = (А^д, (АС) = (A^J, £САВ>£ С^В,,
Проведем внутри первого угла такой луч АС2, чтобы
Z С2АВ = Z С^Ву
и отложим отрезок (АС2) = ИіСі);
Легко видеть, что
А АВС2 — А /4|2?|С?1, откуда (ВС2) ~ (В^Сд*
Если точка С2 лежит на стороне (ВС) треугольника, то очевидно (ВС2Х (ВС)
и теорема доказана.
Допустим, что (согласно чертежу^ точка С2 лежит вне треугольника (по¬
следующее доказательство одинаково пригодно и для случая, когда точка С2
лежиг внутри треугольника). Построим равноделящую угла САС2 (теорема
152), которая пересечет сторону (ВС) в некоторой точке D.
Легко видеть, что
A ACD = A АC2D (теорема 130),
откуда
(CD) (C2D).
6* №
Применяя к Л ѢС2Ь теорему 150, получаем!
(BC2)<(BD) + (C3D),
(ВС2Х (BD) 4- (CD) (аксиома XXI и теорема 103)
и окончательно:
(В.С.Х(ВС).
Теорема 162. Если в двух треугольниках две стороны одного со¬
ответственно равны двум сторонам другого, а третьи стороны неравны,
то против большей стороны лежит больший угол.
Доказывается от противного.
Теорема 163. Если две стороны одного треугольника соответ-
ственно равны двум сторонам другого и если, кроме того, равны углы,
противолежащие большим сторонам (из числа равных), то такие тре¬
угольники равны. 9
Пусть вдд АВС и А.В.С. (черт. 34) нам дано:
(АВ) = (А.В.), (АС) = (А.С.), £ СВА / С.В.А., (АС)> (АВ).
Если, кроме того, (ВС) — (B.CJ, то теорема доказана.
Допустим, что эти стороны неравны, и пусть
(ВС)>(В.С.)-,
тогда внутри (ВС) найдется такая точка С2, что
(ВСО = (В.С.) и Д АВС2 = А А.В.С.,
откуда
(АС2) =(А .С.) = (АС).
На основании теоремы 158
Z АС.2В < Z С2ВА,
и потому / АС2В будет острым, так как иначе получится противоречие
с теоремой 157. Следовательно, / СС2А тупой (теорема 145). Но этот угол
будет равен / С2СА (теорема 132), и получается противоречие с теоре¬
мой 157.
Следовательно, приходится допустить равенство сторон (ВС) и (В.С.),
а тогда наши треугольники равны.
Теорема 164. Если два угла одного треугольника соответственно
равны двум углам другого и если, кроме того, равны стороны, противо¬
лежащие одной паре равных углов, то такие треугольники равны.
Пусть в д дЛВС и А.ВіС. (черт. 34) нам дано:
Z СВА = £ С.В.А., Z АСВ = Z, А.С.В., (АВ) = (Л .В,).
Допустим, что стороны (ВС) и (В.С.) неравны; по предыдущему построим
точку С2. Тогда имеем:
Л АВС2 — Л А.В.С., так что / ЛС2В = / А.С}В} = / АСВ,
а это противоречит теореме 155.
Определение 48. Треугольник называется остроугольным, если все
его углы острые; прямоугольным — если один угол равен прямому; тупо¬
угольны ч — если о дин угол тупой (гипотенуза и катеты прямоугольного
треугольника определяются обычным способом),
М
Доказательство существования всех трех видов треугольника предо¬
ставляется читателю.
В двух прямоугольных треугольниках всегда имеется по равному углу
(теорема 141), так что условия их равенства упрощаются.
Теорема 165. Два прямоугольных треугольника равны:
1) по двум катетам (теорема 130);
2) по катету и прилежащему острому углу (теорема 131);
3) по катету и гипотенузе (теорема 163);
4) по катету и противолежащему углу (теорема 164);
5) по гипотенузе и прилежащему углу (теорема 164).
§ 14. Перпендикуляры и наклонные
На основании теоремы 47 две прямые при своем пересечении делят
полный угол на четыре части. Если один из этих углов прямой, то и все
остальные будут прямыми, так как это следует из определения 38.
Определение 49. Если две прямые, пересекаясь, образуют прямой
угол, то они называются взаимно перпендикулярными (при этом употреб-
ляется знак ±). Если же прямая, пересекая данную, не образует с ней
прямого угла, то она называется наклонной. Точка пересечения перпенди¬
куляра или наклонной с данной прямой называется их основанием.
Теорема 166. В данной точке на прямой можно восставить к ней
в данной плоскости один и только один перпендикуляр.
Пусть дана прямая а и на ней точка D. На различных лучах данной
прямой, исходящих из точки £>, отложим отрезки:
(DA) = (DB);
затем, в данной плоскости, проходящей через прямую а, на отрезке (АВ)
построим равнобедренный /\АВС (теорема 153). Тогда прямая CD будет
искомой.
Действительно, по теореме 138 имеем равенство д д ADC и BDC, от¬
куда
/ ADC= / BDC = d (определение 38),
CD 1 а (определение 49).
Если допустить, что через точку D проходит еще другая прямая DE ± а,
причем DE есть тот ее луч, который лежит в полуплоскости АВ.С (тео¬
рема 34), то полупрямая DE расположится внутри одного из смежных
углов ADC и BDC (теорема 46), и пусть имеет место последнее.
В силу определения 49 имеем:
£BDE = d,
а потому' у
Z BDE = BDC,
(теорема 141),
и получается противоречие с аксиомой XX Л.
Теорема 167. Из точки вне прямой можно опуститъ на нее один
и только один перпендикуляр (в слове „опустить" подразумевается, что
перпендикуляр должен пересечь данную прямую).
Пусть дана прямая а и вне ее точка М. Отметим на данной прямой
какую-нибудь точку В и соединим ее с М. Если МВ ± а, то МВ и будет
искомой; в противном случае пусть Z MBD будет острым (теорема 145).
85
Построим при луче BD в той же плоскости, но в полуплоскости, от¬
личной от полуплоскости BD.M, угол, равный £MBD (аксиома XXII) и на
новой стороне его отложим отрезок:
(BN) = (ВМ).
Так как точки М и N лежат по разные стороны от прямой BD, то
отрезок (MN) пересечет прямую BD в некоторой точке С, и полупрямая ВС
будет внутренней для С другой стороны, наши равные острые
углы имеют сумму (теорема 146), а потому полупрямая BD, о которой шла
речь выше, должна лежать внутри £MBN (определение 41).
Отсюда вытекает, что полупрямая ВС и полупрямая BD тождественны.
Таким образом, углы МВС и MBD, NBC и NBD будут также тождествен¬
ными, и нетрудно придти к выводу, что
Л МВС = /\NBC,
откуда
£ всм = z bcn = а,
и прямая MN есть искомый перпендикуляр.
Если допустить существование еще другого перпендикуляра ME,
Е— точка прямой а, то в ДЛ4СЕ было бы два прямых угла, что противо¬
речит теореме 157.
Определение 50. Если из точки М проведены к данной прямой а
перпендикуляр МС и наклонная MD, причем точки С и D служат их осно¬
ваниями, то отрезки (ÆfC) и (MD) соответственно называются отрезком пер¬
пендикуляра и отрезком наклонной; если нет оснований бояться недоразу¬
мений, то говорят сокращенно о .перпендикуляре" и „наклонной". Отре¬
зок (CD) называется проекцией наклонной на данную прямую.
Теорема 168. Если из одной и той же точки вне прямой прове¬
дены к ней перпендикуляр и наклонные, то:
1) перпендикуляр меньше всякой наклонной',
2) равным проекциям соответствуют равные наклонные',
3) большей проекции соответствует бдльшая наклонная.
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 169. Если из точки вне прямой проведены к ней перпенди¬
куляр и наклонные, то:
1) наименьший отрезок принадлежит перпендикуляру;
2) равные наклонные имеют равные проекции;
3) бблъшая наклонная имеет ббльшую проекцию.
Доказывается от противного, причем для пп. 2 и 3 можно применить
правило „обращения по разделению".
Определение 51. Если из вершины треугольника опустить перпенди¬
куляр на прямую, содержащую противоположную сторону, то отрезок этого
перпендикуляра (определение 50) называется высотой треугольника. Отре¬
зок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной
стороны, называется медианой.
Теорема 170. В равнобедренном треугольнике на одной и трй же
прямой лежат', высота, медиана основания, равноделящая угла при вер¬
шине, перпендикуляр в середине основания.
Совершенно ясно, что каждый из четырех признаков, упомянутых в тео¬
реме, вполне определяет прямую; поэтому, если мы докажем, что один из
них влечет за собой все остальные, то это же самое можно будет утвер¬
ждать о каждом из четырех признаков („обращение по тождеству').
Само же доказательство труда не представляет.
Теорема 171. Если основание высоты треугольника лежит внутри
его стороны, то оба прилежащих к ней угла острые; если оно совпа¬
дает с одним из ее концов, то один угол прямой, а другой острый', еслц
86
оно лежит вне этой стороны, то один из прилежащих к неЯ углов
тупой, а другой острый.
Доказательство предоставляется читателю (при помощи теорем 157 и 145).
Теорема 172. Если углы, прилежащие к стороне треугольника,
оба острые, то основание высоты, опущенной на эту сторону, лежит
внутри ее; если один—острый, а другой—прямой, то основание высоты
совпадает с одной из вершин; если же один угол острый, а другой тупой, то
основание высоты упадет вне рассматриваемой стороны.
Доказывается с помощью „обращения по разделению" предыдущей
теоремы. •
Свойства взаимно перпендикулярных прямых приводят к учению о сим¬
метрии относительно оси; мы наметим это учение, ограничиваясь здесь
точками одной и той же плоскости.
Определение 52. Если точки А и лежат на перпендикуляре
к прямой а по разные стороны от нее и притом так, что
(AN) = (A.N),
где N — основание упомянутого перпендикуляра, то эти точки называются
симметричными относительно оси а. Точки оси считаются симметричными
сами себе. Две фигуры называются симметричными относительно
оси а, если между их точками можно установить одно-однозначное со¬
ответствие таким образом, что соответственные точки симметричны отно¬
сительно а.
Исходя из этого определения, можно доказать следующие предложения.
Теорема 173. Если точки А, В ,С,... соответственно симметричны
с точками Alt Bh Сь ... относительно некоторой прямой, то;
(АВ) = (ЛА), (ВС) = (ВА), и т. д.
/ АВС — Z АД^С^ и т. д.
Теорема 174. Фигура, симметричная треугольнику, есть треуголь¬
ник, которого вершины симметричны с вершинами данного.
Замечание. В силу теоремы 173 в двух симметричных треуголъ
никах все элементы соответственно равны, но они расположены различным,
образом.
Учение о симметрии дает способы для доказательств и решения задач.
Так, теорема 138 доказывалась посредством помещения второго треуголь¬
ника в положение симметричное с первым. Далее, равнобедренный тре¬
угольник симметричен относительно своей высоты, откуда вытекают его
основные свойства. Наконец, имеется особый „метод симметрии* для реше¬
ния задач на построение.
§ 15. Некоторые свойства многоугольников
В этом параграфе речь будет идти о выпуклых многоугольниках;
говоря о разложении такого многоугольника на треугольники, будёйі под¬
разумевать разложение его с помощью диагоналей, исходящих из одной
и той же вершины (см. теорему 69).
Определение 53. Два многоугольника называются равными, если
между их вершинами можно установить такое одно-однозначное соот¬
ветствие, что углы при соответственных вершинах равны, а также
равны и стороны, соединяющие соответственные вершины.
Теорема 175. Для равенства двух многоугольников необходимо
и достаточно, чтобы их можно было разложить на одинаковое число
попарно равных и одинаково расположенных треугольников.
Нод „одинаковым расположением треугольников" мы понимаем следую¬
щее; если в одном многоугольнике два каких-нибудь треугольника имеют
87
общую сторону, то в другом многоугольнике соответственные треугольники
также имеют общую сторону, которая будет соответственной с указанной
выше; если в одном многоугольнике какой-нибудь треугольник имеет с его
обводом две общие стороны, то это же самое будет справедливо и для
соответственного треугольника в другом многоугольнике, и т. д.
Переходим к доказательству: пусть нам дано, что многоугольники
ABCDEFG = A1B1C1D1E1F1G1 (черт. 47),
причем одинаковые буквы обозначают соответственные вершины. Отсюда
вытекают равенства:
(ЛВ) = (ВС) = (ВіСД Z АВС = / AyB^Ci (определение 53),
дает:
так что
ДЛВС = ДЛ^Сь
откуда
^BCA=^BlC1Aï.
Последнее равенство, в связи с
тем, что / BCD = / B{CyD{ и
полупрямые СА и лежат
внутри этих углов (теорема, 62),
/ ACD Z ЛіСрОх (теорема 137);
Теперь мы убеждаемся, что
ДЛСР = ДЛ1С1Р1,
откуда
(Л£>) (Л^), Z CD А ~ Z CjZMj, и т. д.
Указанным путем приходим к выводу, что данные многоугольники с по¬
мощью диагоналей из вершин Л и Аг разбиваются на одинаковое число
попарно равных треугольников, причем эти треугольники одинаково рас¬
положены (в объясненном выше смысле).
Переходя к обратной теореме, допустим, что два данных многоуголь¬
ника диагоналями из определенных вершин разлагаются на одинаковое
число попарно равных и одинаково расположенных треугольников (отсюда
уже следует, что у данных многоугольников имеется одинаковое число
вершин).
Возьмем в первом многоугольнике Д АВС; во втором -имеется треуголь¬
ник, ему равный и одинаково с ним расположенный, т. е. две его стороны
и один угол являются также элементами второго многоугольника; пусть это
будет ДЛіВіСі.
Из равенства этих треугольников выводим:
(АВ) = (ЛА), (ВС) = (B.CJ, /_АВС = Z AiBYClt
и, кроме того,
Z ВСА = Z ВіСіЛр
Берем далее Д ACD; ему должен соответствовать .такой треугольник,
у которого одной стороной служит диагональ (Л^), а третья вершина лежит
с вершиной В по разные стороны от прямой А^ (все это вытекает из
83
„одинакового расположения треугольников*). Ясно, что таким треугольником
будет AACÂ. Так как, гто данному, ДАСТ) = AACjDp то
(CD) = (C^Di) и Z ACD =< / AiQDi
Последнее равенство, в связи с полученным выше, дает:
/ BCD = / B^C^Dy (теорема 137), и т. д.
Продолжая эти рассуждения, мы докажем равенство данных многоуголь¬
ников; попутно устанавливается то соответствие между вершинами,
о котором говорится в определении 53. Таким образом, установлена необ¬
ходимость и достаточность рассматриваемого
условия. 2>
Теорема 176. Сторона многоугольника 7
меньше суммы остальных сторон его. \,
Для треугольника теорема уже была дока- /1 \
зана (теорема 159); допустим, что она верна и
для (п — 1)-угольника; докажем ее для п-уголь- / Ту
ника. / / \
Пусть нам дан n-угольник ABCDEFG (черт. / / /h
47, левая часть); диагональю (АС) он разби- \/ / /
вается на два многоугольника (теорема 68), како- £ / /
выми будут &АВС и (л—1)-угольник ACDEFG. \ -А /
К Q
Для них имеем:
Черт. 48
(АВ) < (ВС) + (СА) (теорема 159),
(АС) < (CD) + (DE) + (EF) + (FG) + (GA)
(по допущению). Отсюда, по правилам исчисления отрезков (теорема 109
и 102), получаем:
(АВ) <(BC) + (CD) + ...(GA).
Итак, если теорема верна для (п— 1)-угольника, то она будет верной и
для л-угольника. Но мы знаем, что она верна для треугольника; следова¬
тельно, она верна для четыреугольника. А если верна для четыреугольника,
то верна и для пятиугольника, и т. д.
Таким образом мы убеждаемся, что теорема будет верной для много¬
угольника с любым числом сторон (способ „математической индукции").
Определение 54. Периметром многоугольника называется сумма
всех сторон его.
Теорема 177. Если вершины одного многоугольника лежат внутри
другого или на его обводе, то периметр первого меньше периметра второго.
При доказательстве могут представиться различные случаи; рассмотрим
некоторые из них.
1. Все вершины одного многоугольника лежат на обводе другого
(черт. 48). На основании теоремы 68 отрезок (KL) делит многоуголь¬
ник ABCDEFG на два многоугольника: £\KAL и многоугольник KLBCDEFG\
последний отрезком (LM) разлагается на многоугольники LBCM и KLMDEFG,
и т. д.
В силу теоремы 176 имеем:
(^) +
(LM)<(LB) + (BC) + (CM), и т. д.
Складывая, находим по правилам исчисления отрезков:
периметр KLMN < периметра ABCDEFG.
89
2. Одна из вершин (точка У на черт. 49) лежит внутри, а остальные — на
обводе другого многоугольника. В силу теоремы 66 прямая PN пересекает
обвод многоугольника ABCDEFG еще в некоторой точке а на основании
теоремы 68 отрезок (PQ) делит данный много¬
угольник на два других: PFGABCQ и PQDE.
Пользуясь доказанным в п. 1, пишем:
периметр KLMNP < периметра PFGABCQ',
KLMNP < периметра PFGABCQ',
PFGABCQ < периметра ABCDEFG,
периметр
откуда.
KLMNP <; периметра ABCDEFG.
периметр
Остальные случаи рассматриваются по
только что указанному способу.
§ 16. Геометрические места
В самом начале курса мы ввели понятие о фигуре или о геометрическом
образе как об известной совокупности точек; если из всего пространства
мы выбираем часть точек, образующих данную фигуру, то мы, очевидно,
руководимся каким-нибудь признаком, позволяющим одни точки удержать,
а другие отбросить. Обращая внимание на эту сторону дела, приходим
к важному понятию.
Определение 55. Геометрическим местом точек называется сово¬
купность точек, обладающих определенным свойством.
Отсюда вытекает следующее правило: если мы желаем доказать, что
такая-то фигура есть геометрическое место точек, обладающих таким-то
свойством, то мы должны установить два обстоятельства: 1) всякая точка
нашей фигуры обладает требуемым свойством и 2) всякая точка, обладаю¬
щая указанным свойством, принадлежит данной фигуре.
В предыдущей части курса мы уже не раз встречались с различными
геометрическими местами; для того чтобы обнаружить это, надо только
иначе высказать некоторые определения. Так, луч (определение 7) есть
геометрическое место точек данной прямой, предшествующих определенной ее
точке (или следующих за ней). Отрезок (определение 9) есть геометрическое
место точек, лежащих между двумя данными (в соединении с этими послед¬
ними). .Полуплоскость АВ.С (определение 11) есть геометрическое место таких
точек М плоскости АВС, что отрезок (СМ) не пересекает прямой АВ.
Точно так же определения угла (определение 12), треугольника (определе¬
ние 17), многоугольника (определение 24), тетраэдра (определение 25),
многогранника (определение 29) и другие можно высказать с помощью
понятия о геометрическом месте точек.
Иногда говорят также о геометрическом месте прямых и плоскостей.
Так, связка прямых есть геометрическое место прямых, проходящих через
данную точку,, и т. д.
Укажем теперь некоторые другие геометрические места.
Определение 56. Г оворят, что точка М равно отстоит от точек Ли В,
если отрезки (AM) = (ВМ). Если точка N есть основание перпендикуляра,
опущенного из точки М на прямую а, то отрезок (MN) называется рас¬
стоянием точки М от прямой а.
Теорема 178. Геометрическое место точек, лежащих в данной плоско¬
сти и равноотстоящих от точек А и В этой плоскости, есть перпендику¬
ляр, восставленный в этой плоскости к прямой АВ в середине отрезка (АВ).
Действительно, отметим точку N, середину отрезка (АВ) (теорема 154);
эта точка N принадлежит искомому геометрическому месту. Пусть М какая-
нибудь другая точка нашего геометрического места. Так как
(АМ)=(ВМ)
90
то ДЛВЛ4 будет равнобедренным и точка М лежит на перпендикуляре,
восставленном из середины оснований (теорема 170). Обратно, для всякой
точки М этого перпендикуляра из равенства д д ANM и BNM (теорема
165, п. I) получаем:
(AM) = (ВМ),
т. е. точка М принадлежит рассматриваемому геометрическому месту точек.
Далее читателю предоставляется доказать следующие теоремы.
Теорема 179. Геометрическое место внутренних точек угла, равно¬
отстоящих от его сторон, есть его равноделящая.
Теорема 180. Равноделящие углов треугольника пересекаются
в одной точке внутри треугольника.
В заключение заметим, что знание геометрических мест необходимо
при решении многих задач на построение.
§ 17. Перпендикулярные прямые и плоскости
Определение 57. Точка пересечения прямой с плоскостью назы¬
вается основанием прямой В этой плоскости. Если прямая перпендикулярна
ко всякой прямой, проходящей в данной плоскости через ее основание, то
прямая и плоскость называются взаимно перпен¬
дикулярными. Если же прямая пересекает пло¬
скость, но не перпендикулярна к ней, то она
называется наклонной к этой плоскости.
Теорема 181. Если, прямая перпендику¬
лярна к двум прямым некоторой плоскости,
проходящим через ее основание в этой плос¬
кости, то она перпендикулярна к данной плос¬
кости
Пусть прямая SO перпендикулярна к прямым4
ОА и ОВ, лежащим в данной плоскости (черт.50).
Достаточно будет доказать, что SO ДОС, где-
ОС произвольная прямая той же плоскости, про¬
ходящая через точку О (определение 57). Если
мы остановимся на определенной полупрямой
ОС, то последняя должна лежать внутри одного
из четырех углов, образуемых прямыми ОА и
ОВ (теорема 47). Пусть именно она лежит внутри / АОВ и пересекает его
секущий отрезок (АВ) в точке С. Откладываем (050 = (OS) на другом
луче прямой SO, исходящем из точки О, а точки S и соединяем с точ¬
ками А, В, С.
Далее, имеем:
Д SOA = Д SfiA и Д SOB = Д SrOB
(теорема 165, п. I),
(SA) = (SM) и (SB)’ = (SiB),
Л SAB = Л SÀAB (теорема 138),
Z SAB = Д SMB,
Д SAC = Д SMC
(SC) = (^С),
ДВОС = ASiOC
(теорема 130),
(теорема 138),
ZSOC=ZSiOC = ^
так что SO J ОС, и теорема доказана.
91
Теорема 182. Если в какой-нибудь точке прямой, во всех проходя¬
щих через эту прямую плоскостях, восставить к ней перпендикуляры, то
все они будут лежать в плоскости, перпендикулярной к данной прямой
в данной точке.
Пусть дана прямая и на ней точка О (черт. 50). Проведем через
эту прямую две какие-нибудь плоскости и в них восставим перпендику¬
ляры ОА и ОВ к данной прямой (теорема 166). Прямые ОА и ОВ опре¬
делят некоторую плоскость а. На основании теоремы 181:
SSi I а.
Проведем теперь через SSi произвольную плоскость и в ней восста¬
вим ОС I SSi. Если бы прямая ОС не лежала в плоскости а, то пло¬
скости SOC и а пересекались бы по прямой, отличной от ОС\ эта прямая
пересечения была бы перпендикулярной к прямой SSj (теорема 181, опре¬
деление 57) и тогда в плоскости SOC мы
имели бы в точке О два различных перпен¬
дикуляра к прямой что невозможно
(теорема 166).
Следовательно, прямая ОС лежит в
плоскости а.
Теорема 183. Через данную точку
проходит одна и только одна плоскость,
перпендикулярная к данной прямой.
Доказательство разбивается на две
части:
1. Дана прямая а и точка А на этой
прямой; построение искомой плоскости и
ее единственность получаются без труда на
основании предыдущей теоремы.
2. Дана прямая а и точка 5 вне ее.
Опустим из точки S перпендикуляр 5Д
А есть основание перпендикуляра] и в
точке Л в другой плоскости восставим перпендикуляр AM к прямой а.
Плоскость SAM и будет искомой (теорема 181). Если допустить существова¬
ние еще другой плоскости, проходящей через S и перпендикулярной к а,
то в сечении двух этих плоскостей плоскостью Sa получили бы два перпен¬
дикуляра, опущенных из точки S на прямую а, что невозможно (теорема 167).
Добавим, что допущенная нами вторая плоскость не может пройти через
точку А, так как в эт’ой точке, по случаю первому, имеется только одна
плоскость, перпендикулярная к прямой а.
Теорема 184. („Теорема о трех перпендикулярах*.) Если прямые 5Л
и SB суть соответственно перпендикуляр и наклонная к плоскости а
(точки А и В—их основания), то всякая прямая плоскости а, проходящая
через точку В и перпендикулярная к одной из двух прямых SB и АВ,
будет перпендикулярной и к другой (черт. 51).
Действительно, возьмем в плоскости а какую-нибудь прямую KL, прохо¬
дящую через точку В, и, отложив равные отрезки (ВК) = (BL), соединим
точки К и L с точками А и S. Пусть теперь дано, что
на прямую а [(теорема 167),
KL J_ SB-,
тогда
(SK) = (SL)
A S AK = A S AL
(AK) = (AL),
KL\AB
(теорема 178),
(теорема 165, п. 3),
(теорема 178).
92
Обратное утверждение доказывается с помощью того же рассуждения,
проведенного в обратном порядке.
Теорема 185. Через данную точку проходит одна и только одна
прямая, перпендикулярная к данной плоскости.
Доказательство разбивается на две части:
1. Дана плоскость айв ней точка А (черт. 52). Проведем через А
в плоскости а какую-нибудь прямую KL и в точке А к этой прямой по¬
строим перпендикулярную плоскость £ (теорема 183). Пусть плоскости а и £
пересекаются по прямой АВ. В плоскости р к
прямой АВ восставим перпендикуляр AN (теорема N
166), который и будет искомым.
Действительно, имеем:
откуда
ÆVJ_ÀT£, так как KL _1_ р,
AN _L АВ (по построению),
AN J. а (теорема
Если мы допустим, что еще имеется другая пря¬
мая АР _1_ а, то, пересекая плоскость а плоско- Черт. 52
стью PAN, получим противоречие с теоремой 166.
2. Дана плоскость а и точка S вне ее (черт. 51). Проведем в плоскости а
какую-нибудь прямую KL и через точку S проведем плоскость р, перпенди¬
кулярную к этой прямой (теорема 183); пусть плоскости аир пересекаются
по прямой АВ- опустим из точки S на прямую АВ перпендикуляр S/1
(теорема 167), который и будет искомым.
Действительно, имеем:
BL jl Р (по построению),
LA — наклонная к плоскости р,
SA ± АВ (по построению),
а потому
SA ± AL
откуда на основании теоремы 181 заключаем:
(теорема 184),
5Л ± а.
Если допустить, что через точку S проходит еще другая прямая SD ± а,
то пересекая эту плоскость плоскостью SAD, получим противоречие с тео¬
ремой 167.
Т е орема 186. Два перпендикуляра к одной
и той же плоскости лежат в одной плоскости
и не пересекаются.
Пусть NA ± а и MB j_ а (черт. 53). В плос¬
кости а через точку В проведем прямую ВС1.АВ.
На основании теоремы 184 имеем:
Черт. 53
ВС ± NB-,
кроме того,
ВС 1 ВМ, так как ВМ 1 а.
Итак, все три прямые АВ, NB, МВ, как перпендикуляры к ВС в точке В,
лежат в одной плоскости (теорема 182); в этой же плоскости лежит и пря¬
мая NA (аксиома VI). Если допустить, что прямые NA и МВ пересекаются,
то получается противоречие с теоремой 185»
ѴЗ
Теорема 187. Если из всех точек прямой, не перпендикулярной
к данной плоскости, опустить перпендикуляры на эту плоскость, то все
они будут лежать в одной плоскости.
Пусть сначала дана какая-нибудь прямая АВ, не лежащая в данной пло-
на ЭТу плоскость
точек М2, М3, М4... опущены
скости а, и из ее
перпендикуляры
M2N2, M3N3, M4N4.. .
Попарно эти перпендикуляры
плоскости (теорема 186).
Рассмотрим две плоскости,
ляются следующими парами:
лежат в одной
которые опреде-
MiNi и M2N2t M2N2 и Л48?/3;
у этих плоскостей прямые M2N2 и АВ будут
общими, а потому эти плоскости совпадают
(теорема 5). Точно так же докажем, что построен¬
ная сейчас плоскость тождественна с плоско¬
стью, определяемой парою Af3N3 и M4N4 и т. д.
В случае прямой, лежащей в плоскости а, рас¬
суждение остается, по существу, тем же самым.
Проекцией точки на плоскость называется основа-
Определение 58.
ние перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Проекцией
какой-нибудь фигуры на плоскость называется геометрическое место
проекций всех ее точек.
Теорема 188. Проекция прямой на плоскость, ей не перпендикуляр¬
ную, есть прямая (доказывается на основании теоремы 187, определение 58).
Теорема 189. Острый угол наклонной с ее проекцией на плоскость
будет меньше всякого угла, образуемого данной наклонной с любой пря¬
мой, проходящей в данной плоскости через ее основание.
Пусть прямая АВ будет наклонной к плоскости а, и АС — ее проекция
(черт. 54). Остановимся на остром / ВАС и проведем ВС ± а (основание
перпендикуляра С должно лежать на проекции данной прямой). Пусть дана
еще какая-нибудь прямая AD. Отложив (AD) = (АС), получаем A ABD.
Из /\BDC имеем:
(BD)>(BC)
(теорема 158)
и, применяя теорему 162 к ДД АВС и ABD,
получаем:
£BAD> £ ВАС.
Определение 59. Под углом между
прямой и плоскостью понимается острый угол
между прямой и ее проекцией на эту плоскость
(если прямая перпендикулярна к плоскости, то
ее угол с плоскостью равен d).
Теорема 190. Если прямая b лежит в
плоскости, перпендикулярной к прямой а, то а
лежит в плоскости, перпендикулярной к Ь.
Пусть прямая b лежит в плоскости а, перпендикулярной к прямой а
(черт. 55); пусть А будет основанием для прямой а. Из точки А опустим
перпендикуляр АВ на прямую Ь; эту точку В соединим с какой-нибудь
точкой С, взятой на прямой а.
На основании теоремы 184 имеем:
b ± ВС,
b ± плоскости АВС (теорема 181),
т. е. прямая а лежит в плоскости, перпендикулярной к прямой Ь,
91
Опр еделение 60. Две скрещивающиеся прямые называются взаимно¬
перпендикулярными, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной
к другой.
Замечание. Таким образом, в пространстве через данную точку
можно провести бесчисленное множество прямых, перпендикулярных к дан¬
ной; из них пересекает данную прямую только одна, именно та, о которой
шла речь в теореме 167.
Легко видеть, что определение 50 и теоремы 168, 169 переносятся на
перпендикуляры и наклонные к плоскости.
Предоставляя подробности читателю,
мы докажем в заключение одно предло¬
жение, которое понадобится впоследствии.
Теорема 191. Если одна из сторон
угла перпендикулярна к плоскости, то
угол будет меньше d, равен d или больше
d, смотря по тому, будет ли его другая
сторона лежать по ту же сторону от
данной плоскости, или будет лежать в
самой плоскости, или будет лежать по
другую сторону от этой плоскости.
Пусть сторона ОА угла АОВ перпен¬
дикулярна к плоскости а, и пусть плос¬
кость АОВ пересекает а по прямой UOL
(черт. 56).
Полупрямые OL и OL' принадлежат различным полуплоскостям пло¬
скости АОВ с ребром ОА; пусть полупрямая ОВ принадлежит той же
полуплоскости, что и полупрямая OL. Поскольку речь идет о точках пло¬
скости АОВ, то принадлежность их одному и тому же полупространству,
ограниченному плоскостью а, равносильна принадлежности одной и той же
полуплоскости с ребром L'L, ибо отрезок, соединяющий две точки пло¬
скости АОВ, может пересечь плоскость а лишь в точках прямой UL. После
этого допустим, что полупрямая ОВ лежит стой же стороны от плоскости а,
как и полупрямая ОА; другими словами, полупрямые ОА и ОВ лежат
в одной и той же полуплоскости с ребром L'L.
Применяя теорему 46 к полупрямой ОА, приходим к выводу, что полу¬
прямая ОВ в рассматриваемом случае принадлежит прямому углу AOL.
Тогда по определению 39
£ АОВ < / AOL, или Z АОВ < d.
Если же полупрямая ОВ совпадает с полупрямой OL, то, очевидно:
£АОВ = d.
Пусть, наконец, полупрямые ОВ и ОА лежат по разные стороны от пло¬
скости а (на чертеже такое положение второй стороны угла дается полу¬
прямой ОВ}).
На основании теоремы 48 или полупрямая ОА принадлежит /_АОВЪ или
полупрямая ОВ\ принадлежит /_AOL; но в последнем случае полупрямая
ОВі принадлежит полуплоскости OL.A (теорема 43), что противоречит за¬
данию.
Следовательно, имеет место первый случай, и тогда
Z_AOL</^AOBV или £АОВ >d.
Обратные утверждения доказываются с помощью „обращения по раз¬
делению %
Q5
§ 18. Исчисление двугранных углов
Определение 61. Если плоскость сечения (см. опреде¬
ление 16) перпендикулярна к ребру двугранного угла, то оно
называется нормальным сечением.
Теорема 192. Все нормальные сечения данного двугран¬
ного угла равны между собой.
Пусть дан двугранный Z(«P) (черт. 57) и в двух различных
точках его ребра построены нормальные сечения:
Черт. 57
£А1О1ВІ и /Д2О2В2.
Отложим равные отрезки:
(О2Д2) = (О1Л1) = (О1Ді') и
(О2В2)=(О1В1) = (С»Л),
причем отрезки (OHj) и (C^Bj) отложены на
лучах, противоположных сторонам угла
Д^Вр В силу этого построения точки Д'
и Д2 принадлежат различным полуплоскостям
с ребром KL, а потому отрезок (Д'Д2) пере¬
секает прямую KL в некоторой точке 5. Точно
так же отрезок (Bfi^ пересекает ту же пря¬
мую в некоторой точке S' (совпадение В и
S' будет доказано ниже). Легко видеть, что
А ВО2Д2 = А ВС^Д' (теорема 165, п. 4),
откуда
Точно так же
(ОД = (ВД.
докажем, что
(О2В') = (О1ВЭ,
а так как середина отрезка — единственна, то S' совпадает с В.
Из указанного равенства треугольников вытекает еще сле¬
дующее:
G42S) = (4;S) и (Вд = (в;5).
Но тогда
Д Д25В2 = Д A\SB\ (теорема 130),
(л2в2)=(д;в;),
Д Д2О2В2 = ДД,О1В' (теорема 138),
Z Д2'О2В2 = ^Д'О1В',
/_А\ОХВ\ = /_ A-fl-fti (как вертикальные),
/.А^О^В^— AfPiBi.
es.
Определение 62. Два двугранных угла называются рав¬
ными, если равны их нормальные сечения.
Теорема 19 3. Аксиомы XVII—XIX и теорема 98 перено¬
сятся на двугранные углы.
Теорема 19 4. Дан двугранный угол (сф) и определенное
полупространство, причем в определяющей его плоскости за¬
дана прямая k и исходящая из нее полуплоскость а*. Тогда
в данном полупространстве с ребром в заданной прямой суще¬
ствует одна и только одна такая полупло¬
скость Рі, что
двугранный / (ар) = двугранному / (a^J
(см. черт. 58).
В самом деле, проведем нормальное
сечение / АОВ в данном двугранном угле
и проведем далее плоскость, перпендику¬
лярную к прямой k в некоторой ее точке
Ог (теорема 183); эта плоскость пересечет
данную плоскость по прямой OjAp В по¬
строенной плоскости остановимся на той
полуплоскости с ребром О±А19 которая
лежит в данном полупространстве (тео¬
рема 34 и замечание к теореме 37). На
основании аксиомы XXII построим в ней
такой луч О1В1 чтобы:
Z-B^A^^BOA.
Наконец, полуплоскость kBT обозначим
через рр Тогда получим:
двугранный / (o^pj = двугранному / (ар)
(опред. 62).
Таким образом построен один двугранный угол, удовлетво¬
ряющий всем поставленным требованиям. Если допустить су¬
ществование еще другого такого же двугранного угла, то,
взяв его нормальное сечение плоскостью ВіОрАр придем к про¬
тиворечию с аксиомой XXII.
Теорема 19 5. Определения 38—45, теоремы 134—137,
140—152, 179 переносятся на двугранные углы при замене
терминов:
точка — прямая
вершина — ребро
луч — полуплоскость
прямая — плоскость
сторона угла — грань двугранного угла,
7
богомолов — Геометрия
97
угол — двугранный угол,
полуплоскость — полупространство,
ребро полуплоскости — плоскость, определяющая полу¬
пространство.
Поверка этого утверждения предоставляется читателю.
Теорема 19 6. Если в какой-нибудь точке ребра вос¬
ставить к граням двугранного угла перпендикуляры, напра¬
вив каждый из них в сторону другой грани, то угол, обра¬
зованный этими перпендикулярами, в сумме с нормальным
сечением двугранного угла даст 2d.
Действительно, пусть дан двугранный / ON (черт. 59), где
случай а) соответствует острому двугранному углу, а случай
ft) — тупому. В точке О его ребра восставим к его граням
перпендикуляры ОК и OL, направленные согласно условиям
теоремы.
Так как
ОК±_ ON hOL± ON (определение 57),
I то
плоскость KOL ± ON (теорема 181),
я а потому в сечении этой плоскости
с гранями двугранного угла полу¬
чится его нормальное сечение АОВ.
В силу построения имеем также:
Z КОА = Z LOB= d.
Если данный двугранный угол прямой, то ОК совпадает
с ОВ и OL—с О А, а потому теорема становится очевидной.
Если же данный двугранный угол острый, то полупрямые ОВ
и ОА будут лежать соответственно внутри прямых углов КОА
и LOB, так что
ZKOA = ZKOB-\-ZBOA*, ZLOB= ZBOA + Z.AOL
(теор. 106 и 147),
Z КОА + Z LOB= Z AOB + (Z KOB+Z BOA + Z^OL)
(теор. 107, 108 и 147),
2d — Z АОВ 4- Z KOL (повторное применение теор. 106 и *147).
Если, наконец, данный двугранный угол тупой, то полу¬
прямые ОК и OL обе лежат внутри АОВ*, полупрямая OL де¬
лит этот угол на две части: Z^OL и ZLOB = d, причем
первый из них должен быть меньше d, так как весь Z&OB
меньше выпрямленного. А потому полупрямая ОК пойдет внутри
Z LOB (мы здесь опираемся на теоремы исчисления углов).
98
Точно так же докажем, что полупрямая OL лежит внутри
^КОА.
Далее имеем:
/ LOB = Z ВОК+ Z KOL; Z КО А = Z KOL + Z LOA;
Z LOB+ Z КОА = Z KOL 4- (Z ВОК+ £ KOL + Z
2d = Z KOL + Z ВОА.
Определение 6 3. Два сече¬
ния одного и того же двугранного
угла или двух различных двугран¬
ных углов называются равнонак-
лоненными, если их стороны обра¬
зуют соответственно равные углы
с определенными лучами ребра.
Теорема 19 7. Если в дву¬
гранных углах (оф) и (аф^ сече¬
ния Z АВС и Z^i^iCi, Л ВВС и
Z_D1B1C1 будут равнонаклоненными,
и если Z АВС — / А^С^ то и
^DBC=^DlB1C1.
Будем иметь в виду черт. 60
(на котором изображен лишь один
из двух данных двугранных углов);
здесь полупрямые ВА и BD при¬
надлежат плоскости а, полупрямая
ВС—плоскости 3, и точно так же
Черт. 60
полупрямые BxAi и B1D1 — плоскости ар полупрямая В^ —
плоскости рі; кроме того, в силу равнонаклоненности сечений
имеем:
Z АВЕ^А&Е» ^СВЕ=^С1В1Е1І £ DBE= £
На основании теоремы 48 либо полупрямая ВА лежит внутри
/^DBE, либо BD — внутри /_АВЕ. Допустим для определен¬
ности первое. Вышеупомянутые точки D, Е, С, Dlf Elt Сг
выбираем так, что
' (BD) = (ВД), (BE) = (В&), (ВС) = (В&).
На основании нашего допущения полупрямая ВА пересекает
отрезок {DE) в некоторой точке, и пусть этой точкой будет
точка А. Так как /_АВЕ составляет часть ^DBE, а углы
А1В1Е1 и D1B1E1 соответственно равны этим и расположены
в одной и той же полуплоскости, то полупрямая В1А1 должна
лежать внутри ^D-^B^E^ а потому она пересечет (7)1Е'1) в не¬
которой точке А^ Наконец, чтобы закончить построение, со¬
единим точку С с точками £>, А, Е и точку Сг — с Dlf Alf Е^
Для доказательства равенства Z DBC= D1B1C1 придется
рассмотреть несколько пар равных треугольников.
7*
99
Легко видеть, что
1) дПВЕ=дР1В1А
(DE) = (D&) и Z BED = Z
2) A АВЕ = A A1B1E1
(BA) = (B1A1) и (АЕ) = (А1Е1);
3) Д СВЕ= Д С1В1Е1
(св)=(с1в1);
4) Д АВС=^А1ВІС1
(АС)=(А1С1);
5) А АЕС= A A^E-fi-L
^АЕС=/_А1Е1С1;
6) A DEC = A D1E1Cl
(ОС) = (ад);
7) &DBC = Д D1B1C1
Z DBC = Z DiBiPi, что и
казать.
(теорема 130),
(теорема 131),
(теорема 130),
(теорема 130),
(теорема 138),
(теорема 130),
(теорема 138),
требовалось до-
Теорема 19 8. В равных двугранных
углах равнонаклоненные сечения равны, и
обратно: если в двух данных двугранных
углах два какие-нибудь равнонаклоненные
сечения равны, то эти двугранные углы
равны между собой.
Пусть нам даны два двугранных угла (сф) и (otjPi), в кото¬
рых построены их нормальные сечения Z АОВ и /_АРХВХ (на
черт. 61 изображен только один из этих углов); кроме того,
даны еще два равнонаклоненных сечения: /_КОЬ и
Если теперь нам дано, что
(<х£) = (а^), то Z АОВ — Z А^В/ (определение 62);
тогда на основании теоремы 197 заключаем:
Z LOA = Z РОіА,,
ибо нормальные сечения будут всегда и равнонаклоненными;
а так как эти последние углы являются также равнонаклоне^-
ными сечениями, то теорема 197 снова дает:
ZLOK^Z^AÆj.
Обратно, пусть нам дано это последнее равенство; применяя
два раза теорему 197, получаем сначала:
Z вок= z вр.Ки
100
а потом:
Z BOA = Z ВіОИь
но тогда (определение 62):
(аР)=(а1?1).
§ 19. «Перпендикулярные плоскости
через
перпендикуляр к дру-
Черт. 62
Определение 64. Если один из четырех двугранных углов, образуе¬
мых двумя пересекающимися плоскостями (теоремы 47 и 52), будет прямыМ9
то, как легко видеть, и все остальные будут прямыми. Такие две плоскости
называются взаимно перпендикулярными.
Теорема 199. Плоскость, проходящая
гой плоскости, сама к ней перпендикулярна.
Пусть прямая ОВу плоскости а, а пло¬
скость р проходит через прямую ОВ (черт.
62); пусть далее плоскости а и р пересекаются
по прямой ОС. В плоскости а проведем
ОАуОС. Тогда
ОВуОА (определение 57),
/ BOA = d.
Но этот угол будет нормальным сечением для
двугранного угла (ар), ибоОВ±ОСи ОАуОС.
Поэтому плоскости взаимно перпендикулярны.
Теорема 200. Если две плоскости
взаимно перпендикулярны и в одной из них
проведем прямую, перпендикулярную к линии
их пересечения, то эта прямая будет пер¬
пендикулярной к другой плоскости.
Пусть плоскость р±а (черт. 62) и ОС
есть линия их пересечения. В плоскости р
проведем прямую ОВуОС. Построим далее
нормальное сечение £ВОА—двугранного угла
между данными плоскостями.
По данному
/ ВО А = d, так что ОВуОА,
на основании теоремы 181 теперь заключаем:
ОВ У а.
Теорема 20L Если две плоскости взаимно перпендикулярны и пер-
пендикуляр <к одной из них имеет общую точку с другой плоскостью, то
он целиком лежит в этой последней.
Пусть плоскость а±р и ОВу а, где О—основание перпендикуляра в пло¬
скости а; общую точку прямой ОВ с плоскостью р обозначим через Е. Если
прямая ОВ не лежит в плоскости р, то проведем в этой плоскости через
точку Е прямую, перпендикулярную к линии пересечения плоскостей а и р
(теорема 166 или 167); на основании теоремы 200 эта прямая будет перпен¬
дикулярна плоскости а.
Следовательно, мы получим два перпендикуляра к плоскости а, прохо¬
дящие через точку Е, что невозможно (теорема 185); а потому прямая ОВ
лежит в плоскости р.
Теорема 202. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны'
к третьей, то прямая их пересечения будет перпендикуляром к этой пло¬
скости.
101
Действительно, возьмем на прямой пересечения какую-нибудь точку
и опустим из нее перпендикуляр на эту третью плоскость; на основании
теоремы 204 этот перпендикуляр должен совпасть с прямой пересечения
данных плоскостей.
Теорема 203. Если прямая а не перпендикулярна плоскости а, то
через прямую а проходит одна и только одна плоскость, перпендикуляр¬
ная к плоскости а.
Теоремы 187 и 199 дают искомую плоскость; если бы таких плоскостей
было две, то прямая а была бы перпендикулярна а (теорема 202), что про¬
тиворечит заданию.
§ 20. Некоторые свойства трехгранных углов
Теорема 204. В трехгранном угле каждый плоский угол меньше
суммы двух других плоских углов.
Достаточно будет доказать теорему для наибольшего плоского угла,
и пусть в трехгранном угле ОАВС таковым будет / АОВ (черт. 63). Так как
по данному Z_AOC<Z£ АОВ, то внутри последнего угла существует такой
луч OD, что
Черт. 63
Проведем секущий отрезок (АВ) угла АОВ, и
пусть луч OD пересекает его в точке D; отложим
(ОС) = (OD) и соединим отрезками точки А и С
Си В. На основании теоремы 130 имеем:
ДЛО2)= ЛАОС,
откуда
(ЛЛ) = (АС).
Применяя теорему 159 к ДЛВС, находим:
(АВ) < (АС) + (СВ),
(AD) + (DB)<(AC) + (CB);
но равенство отрезков (Л£>) и (АС), в связи с тео¬
ремой 116, приводит к заключению
(DB)<(CB).
Если теперь возьмем д д BOD и ВОС и применим к ним теорему 162,
то получим
Далее, принимая во внимание равенство / AOD = / АОС, а также тео¬
ремы 110 и 147, имеем
Z AOD + / BOD < £ АОС+£ ВОС,
£ АОВ < / АОС + Z вос-
Замечание. Подобно тому, как с помощью теоремы 159 были дока¬
заны теоремы 160 и 176, можно и здесь доказать соответственные предло¬
жения для телесных углов.
Теорема 205. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 4d.
Пусть дан трехгранный / ОАВС. Рассмотрим трехгранный / ОА'ВС,
где ОА'—луч, противоположный для ОА (черт. 63). Применяя к последнему
теорему 204, имеем:
102
или
Z ВОС <(2d-£ АОВ) + (2d — Z АОС) (теорема 148),
откуда по правилам исчисления углов
Z АОВ + Z АОС + Z ВОС < 4d.
Теорема 206. Сумма плоских углов многогранного угла всегда
меньше 4d.
Для доказательства применим метод математической индукции: для трех¬
гранного угла теорема уже доказана, а теперь докажем, что если она верна
для (п—1)-гранного угла, то будет верна и для п-грэнного.
Пусть дан и-гранный угол ОДИ2ЛЗЛ4.. .Ап (черт. 64, где положено п = 5).
Так как плоскости А^А2 и Л3ОЛ4 имеют общую
точку, то они пересекаются по прямой. Пусть полу- /к——-
прямая ОВ будет тем лучом этой прямой, который
по отношению к плоскости Л2СМ3 лежит с другой / і\
стороны, чем остальные ребра данного телесного / / ; \ х.
угла (в силу определений 22, 24 и теоремы 75 все / / ‘ \ X
они лежат по одну сторону от плоскости AtOA*). / I \
Теперь на основании теорем 73 и 75 получаем / \g
(п— 1)-гранный угол ОА^ВА^А^..., для которого, рг
согласно допущению, имеем:
Z А.ОВ + Z BOAi+ Z ДОД + ... < 4d.
Черт. 64
С другой стороны, теорема 204 для трехгранного Z ОА2ВА3 дает:
Z ДОД < Z А2ОВ + Z ВОА%.
Отсюда по правилам исчисления углов находим:
Z А\ОВ 4~ Z ВОА± 4- Z ДОД / ДОД 4~ • * • 4“ / А2ОВ 4~ Z ВОА3.
(L А.ОВ А2ОВ)+(£ВОА± — Z ВОА3) + Z Л2ОЛ3 + Z Л4ОД5 +.. .< 4d.
В силу свойства выпуклости лучи OAt и ОА2 лежат по одну сторону от
плоскости 43ОД4, или, что то же самое, от плоскости ВОА3. Следовательно,
в плоскости AtOB лучи ОА1 и ОА2 лежат по одну сторону от прямой ОВ;
но в таком случае получим (теорема 48): либо ОА2 лежит внутри /
либо ОАі — внутри / А2ОВ. В последнем случае лучи ОД и ОВ находились
бы по одну сторону « - --
0
от прямой ОА2, что противоречит выбору луча ОВ.
Итак, полупрямая ОА2 является внутренней
для / А]ОВ, а поэтому:
Z ArOB - z а2ов = z Д оа2і
и совершенно также докажем, что
Z ВОА4 — Z ВОА3 = £ А3ОА4.
Черт. 65 Подставляя в указанное выше неравенство, на¬
ходим:
Х_А1ОА2 -|- /_А2ОА3 4“ Х_А3ОА4 4~ Z Д^Д • • • <С Ad.
Определение 65. Пусть дан трехгранный / О АВС (черт. 65).
Восставим к плоскости ВОС в точке О перпендикуляр и через ОАХ назовем
тот его луч, который лежит с той же стороны от плоскости ВОС, что и
ребро ОА; точно так же восставим к плоскостям СОА и АОВ перпендику¬
ляры ОВ± и ОСЪ направив их в сторону третьего ребра. Полученный таким
103
образом трехгранный угол ОА1 Вх Сх называется дополнительным для дан¬
ного £ОАВС.
Замечание. Читателю предоставляется доказать, что если бы три
перпендикуляра ОАЪ ОВЪ ОСг лежали в одной плоскости, то плоскости
ВОС, СОА, АОВ проходили бы через одну прямую, а это невозможно.
Теорема 207. Если трехгранный угол ОАХ Вг С± является
дополнительным для / ОАВС, то этот последний будет
дополнительным для / ОАг Вг СР
Действительно, вспоминая построение дополнительного
угла, можем написать
ОА1±ВОС и ОВг I СОА (см. черт. 65),
откуда
ОА^ОС и ОВ^ОС (определение 57),
ОС A-AftB^ (теорема 181).
Далее, рассмотрим /СОСР Так как ОСГ ±.АОВ, а ОС и ОСг
лежат по одну сторону от этой плоскости, то
(теорема 191);
но сторона ОС этого угла перпендикулярна к плоскости АхОВ^
а потому:
полупрямые ОС и ОСг лежат по одну сторону от плоско¬
сти АуОВу (теорема 191).
Точно так же докажем, что и ребра ОА и ОВ выполняют
все условия для того, чтобы трехгранный / ОАВС был до¬
полнительным для OAiBjCj.
Замечание. На основании теоремы 207 трехгранные углы ОАВС и
ОАгВхСу называются взаимно дополнительными.
Теорема 208. В двух взаимно дополнительных трех¬
гранных углах плоские углы одного пополняют нормальные
сечения соответственных двугранных углов другого до 2d.
Возьмем два взаимно дополнительных трехгранных угла
ОАВС и ОА1В1С1 (черт. 65); условимся, что двугранному углу
при О А первого трехгранного угла соответствует /Т^ОС^ вто¬
рого, плоскому углу ВОС первого — двугранный угол при ОА±
во втором и т. д. Остановимся на двугранном /ОА и плоском
/ВіОСр Определение 65 говорит, что
полупрямая ОВі I грани АОС и направлена в сторону другой
грани АОВ;
„ ОС1 _l „ АОВ „ „ в сторону другой
грани АОС.
При таких условиях теорема 196 решает вопрос.
Замечание. Понятие о взаимно дополнительных углах можно рас¬
пространить и на телесные углы вообще.
104
Т е о р е м а 209. Сумма двугранных углов трехгранного
угла больше двух прямых.
В самом деле, обозначим через а, р, 7 нормальные сечения
двугранных углов данного трехгранного угла и перейдем к
дополнительному углу; его плоские углы по теореме 208
будут: 2d — а, 2d—р, 2 d— 7.
Применяя к ним теорему 205, имеем:
6 d — (а + р 4“ і) < 4 d,
откуда "
а4-Р + і>2б/.
Но если сумма нормальных сечений больше двух прямых
углов, то, как легко видеть, тому же условию будет удов¬
летворять и сумма самих двугранных углов.
Определение 66. Два трехгран¬
ных угла называются равными, если их
плоские и двугранные углы соответст¬
венно равны. Соответствие здесь пони¬
мается в том же смысле, как и в опреде¬
лении 36.
Теорема 210. Если два трехгран- Черт. 66
ных угла равны, то и дополнительные с
ними — равны между собой (определение 66, теорема 208).
Теорема 211. Если у двух трехгранных углов соот¬
ветственно равны два плоских угла и заключенные между
ними двугранные углы, то такие трехгранные углы равны
между собой.
Пусть у трехгранных углов ОАВС и О1А1В1С1 (черт. 66)
дано:
/ВОА = /В1О1Ді, /СОД=/С1О1Ді,
двугранный /ОД=двугранному /ОрАр
Легко видеть, что плоские / / ВОС и В1О1С1 будут
равнонаклоненными сечениями двугранных углов при ОД и
ОіДі (определение 63). А так как эти двугранные углы равны
то
^/ВОС = /^В1О1С1 (теорема 198).
Далее, плоские Z / СОА и С^О^ будут равнонаклоненными
сечениями двугранных углов при ОВ и О^З^ а так как эти пло¬
ские углы равны между собою, то
двугранный / ОВ = двугранному / О1В1 (теорема 198)»
Точно так же докажем, что и
двугранный / ОС=двугранному / О^.
105
Теорема 212. Если у двух трехгранных углов соответ¬
ственно равны два двугранных угла и заключенные между
ними плоские углы, то такие трехгранные углы равны между
собой.
Для доказательства переходим к дополнительным углам
и основываемся на теоремах 208, 211, 210.
Теорема 213. Если у двух трехгранных углов все три
плоских угла соответственно равны, то такие трехгранные
углы равны между собой.
Действительно, / / ВОС и (черт. 66) являются
равнонаклоненными и притом равными сечениями двугранных
углов при ОА и ОрАр На основании теоремы 198 названные
двугранные углы будут равны. Совершенно также докажем
и равенство двух остальных пар двугранных углов.
Теорема 214. Если у двух трехгранных углов все три
двугранных угла соответственно равны, то такие трехгран¬
ные углы равны между собой.
Доказывается переходом к дополнительным углам и ссыл¬
кой на теоремы 208, 213, 210.
Замечание. Бросается в глаза сходство между теоремами 211—213
и соответственными случаями равенства треугольников; но теорема 214 не
имеет подобной среди теорем о равенстве треугольников. Существует еще
два случая равенства трехгранных углов, соответствующие теоремам 163
и 164, но на этом останавливаться не будем.
Точно так же, аналогично с определением 53 и теоремой 175, можно было
бы ввести понятие о равенстве многогранных углов.
/
§ 21. Круг и шар
Определение 67. Геометрйческое место точек, равноотстоящих от
данной точки, называется шаровой поверхностью', если ограничиться точками
определенной плоскости, то получается окружность. Данная точка называется
центром; отрезок, соединяющий центр с любой точкой геометрического
места, называется радиусом. Окружность с центром в точке О и с радиусом,
равным г, обозначается с помощью символа О (г). Существование указан¬
ных геометрических мест непосредственно вытекает из аксиомы XX. Практи¬
чески окружность строится с помощью циркуля. Внутренними точками ок¬
ружности О(г) называются такие точки М ее плоскости, для которых
(ОЛ4) < г; а внешними — такие точки М ее плоскости, для которых (ОМ) > г.
Подобные же определения имеют место и для шаровой поверхности.
Круг есть совокупность внутренних точек окружности в соединении с точ¬
ками самой окружности; подобным же образом из шаровой поверхности
получается шар.
Теорема 215. Между точками окружности и лучами пучка, имею¬
щего центр в центре окружности и лежащего в ее плоскости, существует
одно-однозначное соответствие; такое же соответствие имеет место
между точками шаровой поверхности и лучами связки с центром в центре
этой поверхности.
Доказательство предоставляется читателю; соответственными считаются
совмещенные элементы.
106 *
Теорема 216. Прямая не может пересекать окружность или ша¬
ровую поверхность более чем в двух точках.
В противность теореме допустим, что прямая а пересекает одно из наз¬
ванных геометрических мест в точках Д, В, С, причем В лежит между А
и С (теорема 17), и пусть точка О есть центр (черт. 67). Тогда:
(ОА) = (ОВ) = (ОС) (определение 67),
так что ДД ОАВ и ОВС равнобедренные, но в таком случае
углы ОВА и ОВС оба острые (теоремы 156 и 132), что невозможно, так
как эти углы смежные (теорема 145).
Теорема 217. Прямая, проходящая ук
через центр шаровой поверхности, Пересе- / уК
кает ее в двух и только в двух точках. То / \
же самое имеет место для окружности— / \ х.
при условии, что прямая лежит в ее плос- а □ — х
кости. Д ВС
Данная прямая центром делится на две
полупрямых; дальнейшее вытекает из опре- Черт. 67
деления 67, аксиомы XX и теоремы 216.
Теорема 218. Плоскость, проходящая через центр шаровой поверх¬
ности, пересекает ее по окружности, у которой центр находится в центре
шаровой поверхности, а радиус равен ее радиусу.
Действительно, точками пересечения будут служить те точки шаровой
поверхности, которые лежат в данной плоскости; дальнейшее вытекает из
определения 67.
Определение 68. Окружность с центром в центре шаровой по¬
верхности и с радиусом, равным ее радиусу, называется окружностью
большого круга.
Теорема 219. Через две точки шаровой поверхности, не лежащие
на одной прямой с центром, проходит одна и только одна окружность
большого круга.
Действительно, данные две точки вместе с центром вполне определяют
плоскость, которая в сечении с шаровой поверхностью дает искомую ок¬
ружность (теорема 218). Легко видеть, что через две точки, лежащие на
q одной прямой с центром, можно провести
а бесконечное множество окружностей боль-
/\ ших кругов.
/ \ Теорема 220. Если плоскость не про-
... • / у. ходит через центр шаровой поверхности,
/ /Д_ \ \Ç7 но имеет с ней общие точки, то она пересе-
' / q V 7 кает эту поверхность по окружности, у
/ —2/N / которой центром служит основание перпен-
7 / дикуляра, опущенного из центра поверхно-
/ / сти. на данную плоскость, а радиус —
меньше радиуса поверхности.
и -ц Действительно, пусть точка Сесть основа-
черт. os ние уКазанного перпендикуляра (черт. 68),
а точка Af—одна из точек, общих для шаро¬
вой поверхности и данной плоскости а. Легко видеть, что точка М не мо¬
жет совпасть с точкой С, так как в этом случае на основании теоремы 168
и определения 67 все остальные точки плоскости а были бы внешними для
шаровой поверхности, а в условии теоремы говорится об „общих точках".
Возьмем в плоскости а окружность С(г), где г = (СМ); пусть N есть ка¬
кая-нибудь ее точка. Из.равенства д д ОСМ и OCN (теорема 165, п. I) вы¬
текает, что
( ON) = (ОМ),
так что точка N лежит на данной шаровой поверхности.
107
Обратно, пусть Р есть какая-нибудь точка этой поверхности, лежащая
в плоскости а. Тогда из равенства ДД ОСР и ОСМ (теорема 165, п. 3) по¬
лучаем:
(СР) « (СМ),
так что точка Р лежит на окружности С(г). Наконец, из прямоугольного
Л ОСМ имеем:
г = (СМ) < (ОМ).
Определение 6 9. Если окружность лежит на шаровой поверхности,
но ее плоскость не проходит через центр, то она называется окружностью
малого круга.
Замечание. Благодаря теоремам 218 и 220, изучение некоторых
свойств шаровой поверхности сводится к изучению соответствующих свойств
окружности; поэтому в дальнейшем мы преимущественно будем иметь дело
с последней.
Определение 70. Отрезок, определяемый двумя точками окруж¬
ности или шаровой поверхности, называется хордой', если же эти точки ле¬
жат на одной прямой с центром, то хорда на-
@зывается диаметром, а ее концы — диаметрально¬
противоположными точками.
Доказательство следующих трех теорем предо¬
ставляется читателю.
Теорема 221. Диаметр есть наибольшая из
хорд и равен удвоенному радиусу.
Теорема 222. Перпендикуляр, опущенный из
центра на хорду, делит ее пополам.
Теорема 223. 1. Перпендикуляр, восставлен-
Черт. 69 ныйк хорде в ее середине и лежащий в плоскости
и * окружности, проходит через центр окружности.
2. Прямая, соединяющая центр с серединой хорды, к ней перпендику¬
лярна. (Последняя теорема получается из предыдущей в силу обращения
по тождеству.)
Теорема 224. Две различные окружности не могут иметь более
двух общих точек.
В самом деле, если бы рассматриваемые окружности имели три общие
точки Л, В, С, то центр каждой из них определялся бы пересечением перпен¬
дикуляров, восставленных в серединах отрезков (АВу и (ВС) и лежащих
в плоскости АВС (теорема 223; данные точки не м.огут лежать на одной
прямой в силу теоремы 216). Таким образом, их центры совпали бы, а так
как имеются общие точки, то и окружности совпали бы, что противоречит
заданию.
Замечание. Подобным же образом можно доказать, что две различ¬
ные шаровые поверхности не могут иметь других общих точек, за исклю¬
чением точек некоторой окружности.
Теорема 225. Внутренние точки хорды являются внутренними
для окружности (и для шаровой поверхности).
Действительно, если хорда служит диаметром, то, как легко убедиться,
расстояние центра от любой внутренней точки ее будет меньше радиуса,
откуда и следует теорема. В противном случае, пусть дана хорда (АВ),
и точка С есть основание перпендикуляра, опущенного на нее из центра
(черт. 69). Тогда имеем:
(ОС) < (ОА) (теорема 168, п. I), или (ОС)<г,
108
так что С есть внутренняя точка окружности. Возьмем теперь какую-нибудь
точку N, отличную от С и лежащую внутри хорды, и пусть N лежит внутри
ее части (АС), тогда:
(CNX(CA), так что (ON)c(OA) (теорема 168, п. 3),
равные
равны,
т. е. точка N лежиг внутри окружности.
Теорема 226. В одной и той же окружности, или в двух окруж*
ностях с равными радиусами имеем:
1) равные хорды равно удалены от центра;
2) большая хорда ближе к центру
3) и обратно.
Остановимся для определенности на хордах одной и той же окружности,
Если две хорды равны, то, соединив их концы с центром, получим
равнобедренные треугольники и без труда докажем, что их высоты
откуда и следует ri. 1 теоремы. Пусть теперь
даны две хорды (АВ) и (CD), причем (АВ) >
(CD) (черт. 70).
На основании теоремы 162, примененной
к д д АОВ и COD, получаем:
21 АОВ > Z COD,
так что можно отложить / АОЕ = / COD,
составляющий часть угла АОВ\ полупрямая
ОЕ пересекает окружность в некоторой точ¬
ке Е (на основании определения окружности
и аксиомы XX). Легко видеть, что хорда
(АЕ) = (CD), а потому расстояние (OG) пер¬
вой хорды от центра равно расстоянию вто¬
рой (по п. 1). Полупрямая ОЕ, будучи вну¬
тренней для / АОВ, пересекает его секущий
отрезок (АВ) в некоторой точке L*, эта точка L будет лежать внутри ради¬
уса (ОЕ), так как по теореме 225 имеем, что (OL)<^r. Применяя постулат
Паша к A OEG и прямой АВ, заключаем, что эта прямая пересекает (OG)
во внутренней точке EL Таким образом, (ОН) есть часть (OG). Опустив из
центра перпендикуляр OF на хорду (АВ), из A OHF находим:
Далее:
(OF)<(OH).
(ОН) < (OG).
(OF)<(OG).
Последний п. 3 вытекает из предыдущих в силу обращения по разде¬
лению.
Определение 71. Угол, вершина которого находится в центре ок¬
ружности, называется центральным. В силу теоремы 215 лучам этого угла
соответствует вполне определенная совокупность точек окружности, которую
мы называем дугой; о хорде, соединяющей концы дуги, говорят, что она
стягивает дугу; выпрямленному углу соответствует полуокружность. Если
из окружности выделена какая-нибудь дуга, то остальная часть ее называется
дополнительной дугой. Если обратимся к кругу, то угол вообще выделяет
из него сектор, а выпрямленный угол делит его на два полукруга. Точно
так же плоскость, проходящая через центр шара, делит его на два полушара.
Теорема 227. Свойства взаимной принадлежности центральных
углов переносятся на дуги окружности.
Утверждение непосредственно вытекает из только что установленного
одно-однозначного соответствия между лучами угла и точками дуги (здесь
имеются в виду свойства угла, указанные в теореме 40).
109
Теорема 228. 1) Если точки С и D обе принадлежат АВ, или
обе—дополнительной АВ, то хорды {АВ) и ((JD) не пересекаются',
2) если С принадлежит АВ, a D — дополнительной <jAB, то
хорды (АВ) и (CD) пересекаются
3) и обратно.
Основанием для доказательства служит постулат Паша, примененный
к £\OCD и прямой АВ.
Теорема 229. Если А и В не являются диаметрально-противопо¬
ложными точками, то точки А' и В', им диаметрально-противополож¬
ные, принадлежат дополнительной АВ.
Основанием для доказательства служит тот факт, что полупрямая ОА'
не лежит в / АОВ.
Определение 72. Для одной и той же окружности или для двух
окружностей с равными радиусами понятия „равно", „больше*, „меньше*,
„сумма* переносятся с центральных углов на соответствующие им
дуги.
Теорема 230. 1) Равные хорды стягивают равные дуги;
2) большая хорда стягивает бблъшую дугуі
3) и обратно.
Доказательство предоставляется читателю.
§ 22. Аксиома непрерывности и ее ближайшие
следствия
Мы все имеем представление о прямой и об окружности
как о линиях непрерывных и на основании этой непрерыв¬
ности усматриваем некоторые их свойства. Совершенно ясно,
что в системе аксиом геометрии должна быть такая аксиома,
которая выражает геометрическую сущность этого понятия,
хотя бы для простейшего случая прямолинейного отрезка. Ниже
и приводится эта аксиома непрерывности.
Аксиома XXIV. Пусть тонки данного отрезка (АВ)
разделены на два класса, так что:
1 ) каждая точка отрезка попадает в один из этих клас¬
сов, причем А принадлежит I классу, а В — II классу;
2) если М —любая точка I класса, а N — любая точка
II класса, то М принадлежит отрезку {AN) и отлична от N.
Тогда на данном отрезке существует такая точка С, что
всякая точка его, принадлежащая отрезку (АС), кроме,
быть может, самой точки С, попадает в I класс, а всякая
точка, принадлежащая отрезку (СВ), кроме, быть может,
самой точки С, попадает во II класс.
Замечание. Об этой точке С говорят, что она «производит данное
деление** точек отрезка (АВ) на два класса; сама точка С может принад¬
лежать тому или другому классу.
Т е очр е м а 231. Каждая точка отрезка {АВ) может
принадлежать лишь одному из двух указанных классов.
Действительно, если бы точка М принадлежала обоим
классам, то прежде всего она была бы отлична от А, которая
входит в состав лишь I класса, а затем по условию аксиомы
по
XXIV мы имели бы, что точка М была бы внутренней точкой
отрезка (Д7И), а это — невозможно.
Теорема 232. Если, отрезок {АВ) делится на два класса
тонкой С, то все тонки I класса принадлежат отрезку
(АС), а все тонки II класса — отрезку (СВ).
Пусть точка М принадлежит I классу; кроме того, она
должна принадлежать либо отрезку (АС), либо (СВ). Но если
бы здесь имел место второй случай, то точка М вошла бы
в состав и II класса (аксиома XXIV), что невозможно (тео¬
рема 231).
Теорема 233. Тонка отрезка, существование которой
устанавливается в аксиоме XXIV,— единственна.
Пусть, в противность теореме, две различные точки С и Сг
отрезка (АВ) производят одно и то же деление его на два
класса, и пусть для определенности точка принадлежит
отрезку (АС); тогда точка С принадлежит отрезку (СгВ) (те¬
орема 18), и отрезок (СіС) входит в состав как отрезка (АС),
так и отрезка (С^В) (теорема 24). Возьмем точку М внутри
отрезка (ССг); эта точка будет принадлежать как отрезку (АС),
так и отрезку (С^). Следовательно, точка М сразу входит
в оба наши класса (аксиома XXIV), что невозможно (тео¬
рема 231).
Предложение, подобное аксиоме XXIV и имеющее место
для лучей угла, можно уже доказать.
Теорема 234. Аксиома XXIV, теоремы 231—233 ос¬
таются в силе при следующей замене терминов'.
тонка — лун,
отрезок — угол.
Действительно, введя секущий отрезок данного угла и
вспомнив теоремы 39, 40, можно получить из деления лучей
на два класса соотвётствующее деление точек отрезка, удов¬
летворяющее всем требованиям аксиомы XXIV, так что суще¬
ствует точка, производящая деление. Очевидно, что совме¬
щенный с ней луч будет искомым, и т. д.
Теорема 235. Аксиома XXIV, теоремы 231—233 (с соот¬
ветствующими изменениями) ’ имеют место для полуплоско¬
стей двугранного угла и для тонек дуги окружности.
В самом деле, первое утверждение легко обосновать с по¬
мощью.теоремы 51, а второе —с помощью определения 71.
Теперь мы применим аксиому непрерывности к доказа¬
тельству некоторых весьма важных предложений (другие ее при¬
ложения будут даны ниже). Начнем с деления отрезка и угла на
п равных частей. Выше (теоремы 152 и 154) было доказано,
что каждую из этих фигур можно разделить на две равные
части. Применяя повторно это построение, можно разделить
отрезок или угол на 2* равных частей, где k — целое положи-
ш
тельное число. Теперь надо доказать это предложение для
любого целого положительного числа п. Мы докажем его
лишь для углов, ибо для отрезков оно доказывается совер¬
шенно подобным же образом, тем более что ниже (с помощью
теории параллелей) будет дано более простое построение для
деления отрезка.
Теорема 236. Угол (или отрезок) можно разделить на
п равных частей.
Пусть нам даны / АОВ и целое положительное число п.
Разделим все лучи данного угла на два класса следующим
образом: в I класс отнесем луч О А и все
в. такие лучи ОМ, для которых
/ /с п- Z.AOM<£AOB-,
I / а во И класс—такие лучи CW, для кото-
// Рых
n Z AON > / АОВ.
Ясно, что каждый луч данного угла по-
ерт’ 4 падает в один из классов, причем ОА вхо¬
дит в I класс, а ОВ— во II класс. Затем,
взяв из I класса какой-нибудь луч ОМ, а из II класса луч ON,
из приведенных выше неравенств получим:
п- /_АОМ<п. Z_AON,
откуда
/ АОМ< / AON (теоремы 119 и 147),
а так как оба луча являются внутренними для /_АОВ, то из
последнего неравенства и теоремы 48 нетрудно заключить,
что полупрямая ОМ будет принадлежать / AON и отлична
от ON. Следовательно, условия аксиомы XXIV, которая имеет
место и для углов (теорема 234), здесь выполняются, а потому
внутри / АОВ существует луч ОТ, производящий рассматри¬
ваемое деление.
Остается доказать, что этот луч и будет искомым, т. е.
имеет место равенство:
п. £АОТ=£АОВ.
Положим, что это неверно, и пусть:
п- £АОТ= £АОС< £АОВ (черт. 71).
Отметим во II классе такую полупрямую ОТг чтобы
п . Z ТОТ1 < z СОВ.
112
В возможности этого убеждаемся следующим образом. Под¬
берем целое положительное число к, так, чтобы 2*>п, а потом
разделим /_ВОС на 2* равных частей (теорема 152) и проведем
внутри / ТОВ такой луч ОТ19 чтобы / ТО7\ был меньше этой
части, что всегда возможно. Тогда и получим:
п . Z ТОТ, < Z ВОС.
Сопоставим с этим неравенством следующее равенство:
п. £АОТ = /_АОС\
отсюда по теореме 110 и 147 выводим:
д ♦ £АОТ\< Z АОВ,
так что луч OTj должен принадлежать I классу, что проти¬
воречит заданию.
Подобным же образом доказывается невозможность допу¬
щения п • / АО7 > / АОВ.
Остается, следовательно, принять, что:
п. £АОТ=£АОВ.
Теорема 237. Двугранный угол и дугу можно разде¬
лишь на п равных частей.
На основании определения 62 достаточно разделить на
п равных частей нормальное сечение данного двугранного
угла; а для дуги дело сводится к делению центрального угла
(определение 72).
Теорема 238. (Начало Архимеда.) Если даны два от¬
резка (или угла), то всегда найдется такое кратное
одного, которое будет больше другого.
Докажем эту теорему для отрезков; доказательство остается,
по существу, тем же самым и для углов.
Пусть даны два отрезка: а и Ь, причем а > Ь.
Достаточно доказать, что существует такое целое положи¬
тельное число п, что
п-Ь> а.
Попробуем допустить, что это неверно, т. е., что при всяком п
имеем пЬ<а [если бы при некотором п оказалось, что nb=a,
то теорема была бы доказана для (я 4-!)•#].
8
Богомолов — Геометрия
113
Возьмем произвольный луч и на нем отложим отрезки:
(ОА) = а и (ОВ) = Ь (черт. 72).
Теперь разделим все точки отрезка (ОА) на два класса сле¬
дующим образом: в I класс отнесем точку О и такие точки Р,
для которых при всяком п имеем:
п-(ОР)<(ОА)
(примером такой точки является точка В, согласно сделан¬
ному допущению); а во II класс отнесем такие точки Q, для
которых при некотором п имеем:
n-(OQ)>(OA)
[примером такой точки может служить середина отрезка, так
как имеем: 3 • ^?р>(ОА)]. Очевидно, что первое условие
аксиомы XXIV здесь выполняется. Далее, если точка Р, отлич¬
ная от О, принадлежит I классу, a Q — II классу, то при не¬
котором значении п будет иметь место неравенство:
п • (OP) < п • (OQ),
ЧеРт-72 (OP)<(OQ) (теорема 119),
а потому точка Р лежит внутри (OQ).
На основании аксиомы XXIV на отрезке (ОА) существует
точка /И, производящая указанное деление.
Возьмем во II классе [т. е. внутри отрезка (ТИА)] такую
точку S, чтобы
(MS) < (ОМ).
Тогда
(OS) = (ОМ) + (MS) < 2 (ОМ),
^■<(рму,
так что середина Т отрезка (OS) лежит внутри (ОМ), а потому
попадает в I класс. С другой стороны, для точки S II класса
существует такое число п, при котором:
а • (OS) > (ОА),
или
2п • (ОТ) > (ОА),
т. е. точка 7 принадлежит и II классу' что невозможно
(теорема 231).
114
Таким образом начало Архимеда доказано от противного.
Теорема 239. Если дан отрезок (или угол) а и другой
произвольно малый отрезок (или угол) е, то всегда най¬
дется такое целое положительное число п, что
а
— <Г S ,
п
Действительно, на основании теоремы 238 найдем п, при
котором
п • е > а\
а теорема 236 показывает, что существует n-ая часть отрезка а\
« а
для этой части— по определению имеем:
а
следовательно, D
„ О к I А
откуда
(теорема 119).
Теорема 240. Теоремы 238 и 239 имеют место для
двугранных углов и дуг.
Предложение вытекает из теорем 194, 195 и определе¬
ния 72.
Теорема 241. (Начало Кантора.) Даны две группы от¬
резков, причем:
1 ) любой отрезок первой группы меньше любого отрезка
второй;
2) какой бы малый отрезок е нам ни задали, всегда
найдется по такому отрезку во второй и первой группе,
что их разность будет меньше е; тогда существует один
и только один отрезок, который не меньше всех отрезков
первой группы и не больше всех отрезков второй.
Для доказательства возьмем какой-нибудь луч с вершиной
в точке О (черт. 73) и будем на нем откладывать данные
отрезки. Пусть (ОД) будет некоторый отрезок второй группы;
ограничимся рассмотрением только таких отрезков второй
группы, которые меньше (ОД). Такое ограничение действи¬
тельно можно ввести, так как отрезок, найденный в этом
случае, очевидно, будет не больше всех остальных отрезков
второй группы; если же в последней совсем нет отрезков
меньших (ОД), то отрезок (ОД) и будет искомым.
8*
115
Внутри отрезка (ОД) мы получаем две группы точек,
а именно: концы отрезков той и другой данной группы
отрезков. Легко видеть, что всякая точка первой группы
предшествует всякой точке второй, если допустить, что О
предшествует А (теорема 20). Возьмем теперь все точки
отрезка (ОД) и разделим их на два класса: в I класс отнесем
все точки первой группы, а также всякую такую точку от¬
резка (ОД), которая предшествует хотя бы одной из точек
первой группы; а во II класс поместим все остальные точки
отрезка (ОД) (сюда, значит, попадают точки, следующие за
всеми точками первой группы). Легко видеть, что условия
аксиомы XXIV здесь выполняются, а потому существует
точка С, производящая рассматриваемое деление. Тогда отре¬
зок (ОС) и будет искомым.
Действительно, возьмем отрезок (O/Q в первой группе;
в таком случае точка К принадлежит I классу и входит в сос¬
тав отрезка (ОС) (теорема 232), так что
(ОЮ<(ОС).
Если же (OZ) есть какой-нибудь отрезок второй группы, то L
принадлежит II классу, а потому входит в состав отрезка (СД),
так что
(ОС)<(О£).
Допустим, наконец, что, кроме (ОС), есть еще отрезок (OD),
удовлетворяющий всем требованиям теоремы, и пусть для
определенности
(ОО)<(ОС).
Тогда, если а есть какой-нибудь отрезок первой группы, то
а < (OD).
Если же b — отрезок второй группы, то
b > (ОС).
Отсюда выводим (по теореме 118):
b — а > (ОС)—(OD),
b — a> (CD).
Таким образом, разность между отрезками второй и первой
группы не могла бы быть меньше (CD), что противоречит
второму условию теоремы.
Итак, отрезок (ОС) — единствен.
Теорема 242. Начало Кантора имеет место для углов,
двугранных углов и дуг.
Действительно, теорема 241 была обоснована на таких
предложениях, которые справедливы и для этих образов.
116
§ 23. Относительное положение прямой и
окружности, плоскости и шаровой поверхности
Заметим с самого начала, что сопоставлять с окружностью
будем только те прямые, которые лежат в ее плоскости.
Теорема 243. Если одна точка прямой лежит внутри
окружности (или шаровой поверхности), а другая —вне ее,
то эта прямая пересекает данную окружность (или ша¬
ровую поверхность) в двух и
только в двух точках. м, q в
Возьмем сначала окруж- /\\ /
ность и допустим, что у пря- /
мой АВ точка А будет вну- /
тренней, а точка В— внешней I о 1
для О(г) (черт. 74), т. е.: \ /
(ОА)<г, а (ОВ)>г.
Если данная прямая про- Черт. 74
ходит через центр О, то наше
утверждение вытекает из теоремы 217. В противном случае
опустим из точки О перпендикуляр на данную прямую, и пусть
его основанием будет точка С. Если С совпадает с А, то эта
точка, очевидно, будет внутренней для О(г), иначе по теореме
168 имеем:
(ОС)<(ОА)<г,
так что точка С во всяком случае будет внутренней для О(г).
В дальнейшем мы остановимся на отрезке (СВ) и разделим
все его точки на два класса следующим образом: в I класс
попадают такие точки Р, для которых
(OP) <r,
а во II класс — такие точки Q, для которых:
(OQ) >r.
Легко видеть, что первое условие аксиомы непрерывности
будет здесь выполнено. Из предыдущих неравенств имеем:
(OP)<(OQ),
откуда
(CP)<(CQ) (теорема 169).
А так как (СР) и (CQ) являются частями одного и того же
отрезка (СВ), то Р должно лежать между С и Q (теорема 19
и определение 31). Таким образом, Р всегда принадлежит
отрезку (CQ) и отлично от Q. Мы убеждаемся, что условия
117
аксиомы XXIV выполнены, а потому на нашем отрезке суще¬
ствует точка производящая указанное деление. Остается
доказать, что это и будет одна из точек пересечения прямой
с окружностью, т. е. надо доказать, что
(ОМ) = г.
Попробуем, в противность теореме, допустить неравенство:
(ОМ)<г.
Тогда г — (ОМ) есть определенный отрезок.
Отметим во II классе, т. е. внутри отрезка (МВ), такую
точку М19 чтобы
(ММг) <.г — (ОМ), что всегда возможно.
Из Л ОММХ находим:
(ОМ1)<(ОМ) + (ММх)<(ОМ)^г — {ОМ), т. е.
(ОМх)<г,
так что точка Л1І принадлежит I классу, и получается проти¬
воречие.
Допустим теперь, что
(ОМ) > г ;
тогда разность (ОМ) — г есть определенный отрезок.
Отметим в I классе, т. е. внутри (СМ), такую точку ТИ2, чтобы
(ММ,)<(ОМ) — г.
Из Л ОММ^ находим:
(ОМ2)>(ОМ) — (ММ2)>(ОМ) — [(ОМ)-г], т. е.
(ОМ2)>г,
так что точка /И, принадлежит II классу, что невозможно.
Остается принять, что (ОМ) = г и М есть точка пересечения.
Другую точку пересечения получим, отложив (CN) = (СМ)
на другом луче, исходящем из точки С.
Действительно, из равенства ДА ОСМ и OCN имеем:
(ON)=(OM) = r-
бълъе же двух точек пересечения быть не может (тео¬
рема 216).
118
Если, наконец, мы имеем дело с шаровой поверхностью,
то проведем плоскость через данную прямую и центр поверх¬
ности. Эта плоскость пересекает шаровую поверхность по
окружности большего круга (теорема 218), и дальнейшее
сводится к предыдущему случаю.
Теорема 244. Если прямая проходит через внутреннюю
точку окружности (или шаровой поверхности) и лежит
в плоскости окружности, то она пересекает окружность
(или шаровую поверхность) в двух и только в двух точках.
Пусть данная прямая содержит вну- l
треннюю точку А; ограничиваюсь случаем, À Jx
когда прямая не проходит через центр, /
опускаем из него перпендикуляр на пря- I g )
мую, и пусть основанием последнего слу- \ J
жит точка К (черт. 75); наконец, отложим У
(KL) = r. Тогда из прямоугольного & OKL
имеем: Черт. 75
(OL) >(/<£), или (OL)>r;
т. е. точка L будет внешней, и дело сводится к-теореме 243.
Определение 73. Прямая, имеющая с окружностью (или с шаро¬
вой поверхностью) только одну общую точку и лежащая в плоскости
окружности, называется касательной. Существование таких прямых яв¬
ствует из следующей теоремы.
Теорема 245. Для того чтобы прямая, имеющая общую точку
с окружностью (или с шаровой поверхностью) и лежащая в плоскости
окружности, была к ней касательной, необходимо и достаточно, чтобы
эта прямая была перпендикулярна к радиусу, проведенному в указанную
точку.
Начнем с окружности (черт. 76), и пусть:
AM ± ОА,
где А — точка окружности. Тогда для любой другой точки М панной прямой
имеем:
(ОМ) ХОД) (теорема 168, п. I),
д м так что точка М будет внешней для окружно-
—— сти и данная прямая — касательной. Обратно,
X ^^Х' пусть нам дано что прямая AM касается О (г)
/ Х\ в точке 4; ни одна из точек данной прямой не
/ Х' \ может лежать внутри окружности, так как иначе
I g I она не была бы касательной (теорема 244); сле-
\ 1 довательно, все остальные ее точки будут
\ / внешними для О (г). Поэтому для любой ее
Х^ точки М, отличной от А, имеем:
Черт. 76 (ОМ) > (ОД);
другими словами, отрезок (ОА) является кратчайшим расстоянием от точки
О до нашей прямой, а потому:
ОА ± AM
(теорема 169).
119
Если же дело идет о шаровой поверхности, то берем сечение ее пло¬
скостью, проходящей через центр и данную прямую, и вопрос сводится
к предыдущему.
Теорема 246. Все точки окружности (за исключением точки каса¬
ния) лежат по ту же сторону от касательной, что и центр окружности.
Допустим, что какая-нибудь точка М окружности лежит с ее центром
по разные стороны от касательной. Тогда отрезок (ОМ) пересекает каса¬
тельную в некоторой точке N, так что
(OM)>(ON).
Но, как мы только что видели, для любой точки 2V на касательной, отличной
от точки касания, имеем: 4
(ON)^>r, так что
и получается противоречие.
Теорема 247. 1) Если расстояние от центра окружности (или
шаровой поверхности) до данной прямой меньше радиуса, то эта прямая
пересекает данную фигуру в двух и только в двух точках;
2) если это расстояние равно радиусу, то прямая есть касательная;
3) если это расстояние больше радиуса, то все точки прямой лежат
вне данной фигуры
4) и обратно.
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 248. Если плоскость проходит через внутреннюю точку
шаровой поверхности, то она пересекает ее по точкам некоторой окруж¬
ности и только по этим точкам.
Пусть плоскость а содержит точку Л, которая лежит внутри шаровой
поверхности с центром в точке S. Если эта плоскость проходит и через
точку S, то остается сослаться на теорему 218; в противном случае прове¬
дем какую-нибудь плоскость через прямую эта плоскость пересечет
данную шаровую поверхность по окружности большого круга (для которой
точка А будет внутренней), а плоскость а — по некоторой прямой а, прохо¬
дящей через точку А. На основании теоремы 244 прямая а пересечет
в двух точках указанную окружность большого круга, а следовательно,
и данную шаровую поверхность.
Таким образом, плоскость а содержит точки шаровой поверхности,
и дальнейшее сводится к применению теоремы 220.
Определение 74. Плоскость, имеющая с шаровой поверхностью
лишь одну общую точку, называется касательной плоскостью.
Т е о р е м а 249. Теоремы 245, 246 и 247 остаются в силе при следую¬
щей замене терминов:
прямая — плоскость,
окружность — шаровая поверхность,
пересечение в двух точках — пересечение по окружности.
Доказательство предоставляется читателю.
Замечание. Легко видеть, что касательная плоскость есть геометри¬
ческое место касательных прямых (определение 73, теоремы 245, 182).
В интересах дальнейшего докажем еще две теоремы.
Теорема 250. При данной точке окружности, с данной стороны
от проходящего через нее диаметра можно построить хорду, меньшую
данного отрезка е.
120
Пусть на окружности дана точка А (черт. 77). Проведем через нее ка¬
сательную и остановимся на том ее луче AN, который лежит с указанной
стороны от диаметра АВ. На этом луче отложим отрезок:
(AN) -
и соединим точку N с центром. На основании теорем 245 и 168 имеем:
(ON)> (04) = г,
а потому внутри отрезка (ON) имеется такая точка
М, что
(ОМ) г,
т. е. точка М будет точкой окружности. Наконец
соединим М с А. На основании теорем 32 и 33 от¬
резок (AM) будет расположен требуемым образом.
Далее, в равнобедренном Л ОМА / ОМА будет
острым (теорема 156), а потому / AMN — тупой
(теорема 145).
Отсюда вытекает, что
е
(MN)<(AN) = — (теоремы 157, 158).
Наконец, из ДАЛД/Ѵ выводим:
(AM) < (AN) + (MN) < е .
Теорема 251. Если точка А не лежит на окружности О (г) (или
шаровой поверхности) и если прямая О А пересекает окружность (или
шаровую поверхность) в точках К и L, причем точки А и К лежат по
одну сторону от О, то отрезки (АК) и (АД) дают соответственно наи¬
меньшее и наибольшее расстояние от точки А до всевозможных точек
окружности (или шаровой поверхности).
Начнем с окружности (черт. 78); в обоих случаях — будет ли точка А
внутренней (AJ или внешней (А2) для 0(f) — точки А и L всегда лежат по
разные стороны от О, ибо они принадлежат различным лучам из точки О,
так что
f <ЛЛ) = •
I / Далее, в случае внутренней точки Alt.
Г 0 д Тк имеем:
\ J (ОАд<(ОК) и (А1Ю = (ОК)-(ОА1);
а в случае внешней точки А2
Черт. 78
(О42)>(0Ю и (А2К) = (0А2) - (ОК).
Возьмем теперь на окружности какую-нибудь точку М, отличную от
точек К и Д, и рассмотрим д ОМА. В обоих случаях имеем:
(AM) < (ОМ) + (ОА) = (0L) 4- (ОА) = (АД),
т. е. отрезок (AL) является наибольшим.
121
Далее, в случае внутренней точки
(АгМ) > (ОМ) - (ОАХ) = (ОК) - (ОЛг) = (АКА ;
а в случае внешней
(Д2/И) > (ОА2) - (ОМ) = (0А2) - (ОК) = (А2К).
Таким образом, всегда будет:
(AM) > (АК),
т. е. отрезок (АК) является наименьшим.
Если же нам дана шаровая поверхность, то, пересекая ее плоскостью
ОАМ, сведем дело к предыдущему случаю.
§ 24. Относительное положение двух
окружностей и двух шаровых поверхностей
Замечание. В настоящем параграфе речь будет идти об окружно¬
стях, лежащих в одной и той же плоскости.
Определение 75. Окружности и шаровые поверхности с общим
центром называются концентрическими.
Теорема 252. Две различные концентрические окружности (шаро¬
вые поверхности) не имеют общих точек.
В самом деле, в противном случае их радиусы были бы равны и они
совпали бы.
Определение 76. Пусть даны две неконцентрические окружности
(шаровые поверхности) О (г) и Ох (rj, причем
г > гх.
Прямая ООХ называется линией центров, отрезок (ООг)—расстоянием
между центрами и обозначается буквой q. Для дальнейшего условимся
в том, что прямая ООХ пересекает Ох (г\) в точках Кг и Llt причем Кг ле¬
жит по ту же сторону от Olt что и точка О (а точка L, —с противопо¬
ложной стороны).
Теорема 253. При указанных условиях имеем следующие равенства:
(OLJ — q +
(OKJ^q—r, при
(ОКд^Гі — q . ?<Гі,
(ОК,) = 0 . q = Г]
(последнее равенство выражает, что точки О и Æ, совпадают).
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 254. Если две различные окружности имеют общую точку,
не лежащую на линии центров, то у них имеется еще одна и только
одна общая точка, симметричная с первой относительно линии центров.
Пусть у окружностей О(Г) и (гА имеется общая точка М, не лежа¬
щая на прямой ОО} (черт. 79). Соединим эту точку с центрами и опустим
из нее перпендикуляр МР на линию центров; продолжим этот перпендикуляр
на отрезок (PN) « (РМ).
Из равенства д &ОРМ и ОРК, ОУРМ и OyPN (теорема 165, п. 1) выводим:
(ON) = (ОМ) =г и (OXN) = (ОгМ) =
122
т. e. точка N есть вторая общая точка, и нам остается вспомнить тео¬
рему 224.
Теорема 255. Если две различные шаровые поверхности имеют
общую точку, не лежащую на линии центров, то они пересекаются по
окружности, плоскость которой перпендикулярна к линии центров,
и других общих точек не имеют.
Пѵсть дана общая точка М, не лежащая на прямой ОО{.
Проведем плоскость OOjM, которая в сечении с шаровыми поверхностями
даст окружности, изображенные на
черт. 79. Проведя перпендикуляр
Л4Р, рассмотрим окружность Р(РМ)
в плоскости, перпендикулярной к
прямой ООѴ На основании теоремы
168, п. 2 расстояния любой точки
этой окружности от О и будут
соответственно равны г и rlt т. е.
все ее точки будут общими для
обеих шаровых поверхностей. О не¬
возможности других общих точек см.
замечание после теоремы 224.
Теорема 256. Если две различ¬
ные окружности (шаровые поверхно¬
сти) имеют общую точку, лежащую на линии центров, то других общих
точек у них нет, и обратно: если два указанных образа имеют лишь одну
общую точку, то последняя лежит на линии центров.
В самом деле, если бы у них оказалась еще какая-нибудь общая точка,
то теорема ‘254 (или теорема 255) привела бы нас к противоречию с теоре¬
мой 224 (или с замечанием к ней). Обратная теорема доказывается от про¬
тивного при помощи теоремы 254 (или теоремы 255).
Определение 77. Если две окружности (шаровые поверхности)
имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются друг
друга в этой точке.
Теорема 257. В точке касания две окружности (ша¬
ровые поверхности) имеют общую касательную (касатель¬
ную плоскость).
(Доказывается на основании теоремы 245 (249), определения
77 и теоремы 256.)
и Теорема 258. Если одна
х\ точка окружности О (г) ле-
\ жит внутри окружности
I А (гі)> а другая — вне, то
н /яа . данные окружности пересе-
\ \ / / каются в точке, не л ежа-
\ \/ у щей на линии центров.
Пусть упомянутыми в тео¬
реме точками будут точки Р
Черт. 80 и Q (черт. 80), и пусть пря¬
мая ОО} пересекает О (г) в
точках К и А, причем К лежит по ту же сторону от О, что и
точка Ор
Так как на основании теоремы 251
жхт < Гх И (O.L) > (OXQ) > Гр
123
то К будет внутренней, а L внешней точкой для Ох (^).
Однако, нам может быть дано с самого начала, что Р совпа¬
дает с К, а Q — с L. В таком случае убедимся, что К не мо¬
жет быть единственной точкой окружности О (г), лежащей
внутри Ох (гД
Действительно, взяв на О (г) такого точку Р, чтобы хорда
(КР) была меньше т\ — (ОіЛЭ (теорема 250), из /\ОХКР по¬
лучим:
(сХХтхС^Х'ъ
так что Р есть внутренняя точка для (гД, отличная от К.
Подобным же образом найдем внешнюю точку Q, отличную
от L:
при (£Q) <(0^) — ^, получим (OiQ) > (C^L)— (£Q)>r1.
Следовательно, если с самого начала даны точки К и £, то
на О (г) существуют точки, внутренние и внешние для OY (гД
и отличные от данных.*
Остановимся в дальнейшем на точках К и Q, причем будем
считать точку Q отличной от L.
Разделим все точки KQ на два класса следующим об¬
разом:
в I класс отнесем все такие точки Р, для которых
(О.Р) < ги
а во II класс — такие точки R, для которых
(О1Р)>г1.
Легко видеть, что первое условие аксиомы непрерывности
(точнее, теоремы 235) здесь выполняется. Далее, применяя к
ААООіР и OOiR теорему 162, убеждаемся в неравенстве:
/р1ор< £Oxor,
а так как обе полупрямые ОР и OR принадлежат /_ OrOQ
(определение 71), то правило сравнения углов говорит, что
полупрямая ОР принадлежит / KOR,
откуда
точка Р принадлежит <^KR,
и, конечно, отлична от R.
Таким образом, все условия аксиомы XXIV, распространен¬
ной на дуги в теореме 235, здесь выполняются. А потому
внутри KQ существует точка 7И, которая производит рас¬
сматриваемое деление.
Остается доказать, что М и есть искомая точка пересече¬
ния, т. е. что (С\7И) =
124
В противность этому допустим, что (OjAf) <Л, так что
г, — (О.М) есть определенный отрезок.
Укажем во II классе, т. е. на MQ, такую точку Mlt чтобы
(TH/Hj) < fj — (С>і7И) (теорема 250)
и чтобы М. не лежала на прямой О.М (в противном случае
возьмем вместо нее какую-нибудь точку внутри о Aî/WJ.
Из л OpM/Hj находим:
(0^0 < (С\А1) 4- (ММ.) < г.,
и точка М. принадлежит I классу, что невозможно (теоремы
231 и 235).
Если допустить, что (О.М)^> г., то в I классе найдется такая
точка М2, что
(ММ2)<(О.М) — г.
и М2 не лежит на О.М. Из Л О.ММ
имеем:
(О.М2) > (ОрИ) - (ММ2) > г.,
и опять получается противоречие. Черт. 81
Итак, остается только одна возможность, а именно:
(0^) = ^.
Необходимо добавить, что точка М не может лежать на
линии центров, ибо последняя пересекает О (г) лишь в точках
К и À, из которых первая лежит внутри, а вторая — вне окруж¬
ности Оу (rj.
Теорема 25 9. Если q<Zr — ги то окружность (шаровая
поверхность) Оу (rj лежит целиком внутри О (г) (случай
г = Гу здесь, конечно, исключается).
Действительно, на основании теоремы 251 отрезок (О£г)
дает наибольшее расстояние от точки О до точек окружности
^і(Гі) (черт. 81). Но
(QLy) = q+ Гу (теорема 253),
так что в рассматриваемом случае:
(ОЬу)<(г^Гу)-\-Гу = г,
т. е. даже точка Lx будет внутренней для О (г). Следовательно,
все точки второй окружности (шаровой поверхности) лежат
внутри первой.
125
Теорема 26 0. Если q = r — rlf то окружности (шаровые
поверхности) касаются в точке а остальные точки OjCrJ
лежат внутри О (г) (и здесь исключается случай г = rj.
Действительно, теперь имеем (черт. 82):
(ОАі) = q-\-rx — г,
т. e. точка Lx есть точка пересечения, лежащая на линии
центров, и нам остается сослаться на теорему 256 и опреде¬
ление 77.
Для всякой другой точки N, лежащей на ОДгД находим:
0(ON)<(OL1) = г (теорема 251),
и точка N лежит внутри О (г).
Определение 78. Такое положе-
L, ние двух окружностей (шаровых поверх¬
ностей) называется внутренним каса¬
нием.
Теорема 261. Если г — rx < q < г-|~
4~^і, то данные окружности пересека-
Черт. 82 ются в двух и только в двух точках.
В самом деле, из неравенства г — rx<Zq выводим:
q + г1 > г,
так что
(ОАі>г (теорема 253) и точка — внешняя для О (г)
(черт. 79).
В дальнейшем различаем 3 случая:
О q<rr> тогда (ОКг) = г1 — q (теорема 253),
так что
(ОК^)<гх и подавно (O/fJcr,
т. е. точка Кх будет внутренней для О (г);
2) q = в этом случае точка совпадает с О,
а потому и лежит внутри О (г);
3) q>*\ (этот случай изображен на черт. 79).
Теперь:
(QK1) = q — r1 (теорема 253),
126
и вторая половина исходного неравенства дает:
q<r-\-rx или q — r1<Zr,
так что
(ОЛг1)<г и точка — внутренняя для О (г).
Следовательно, во всех случаях точка Кг окружности
О1 (rj лежит внутри О(г), а точка 7^ —вне ее. Дальнейшее
сводится к теоремам 258 и 254.
Теорема 262. Если г — r1<q<r-\-r19 то данные шаровые
поверхности пересекаются по точкам окружности, плоскость
которой перпендикулярна к линии центров, и других общих
точек не имеют.
Действительно, пересекая Xх* ^Х
данные шаровые поверхности / у X.
какой-нибудь плоскостью, про- / у \
ходящей через линию центров, т г
получаем в этой плоскости пре- у УѴ ' )
дыдущий случай; найдя общую \
точку поверхностей, не лежащую \ '
на линии центров, ссылаемся на Черт. 83
теорему 255.
Теорема 263. Если ѵ = г+гь то окружности (шаровые
поверхности) О (г) и Ох (rj касаются в точке Кі, причем
остальные точки одной будут внешними для другой.
В самом деле, из данных вытекает, что
а потому (OK1) = q — r1 = r (теорема 253).
Следовательно, точка Кг есть точка пересечения, лежащая на
линии центров (черт. 83), и теорема 256 дает первую поло¬
вину предложения. Далее, на основании теоремы 251 отрезок
(QKÙ представляет наименьшее расстояние от О до точек
ОДгі); поэтому все точки последней (за исключением точки К^
лежат вне О (г). Наконец, так как условия теоремы симмет¬
ричны относительно г и г1? все точки О (г) (за исключением
точки Кг) лежат вне О1(г1).
Определение 79. Такое положение двух окружностей
(шаровых поверхностей) называется внешним касанием.
Теорема 264. Если то одна окружность (ша¬
ровая поверхность) лежит вне другой.
Действительно, в настоящем случае
(ОХі) = q — гг > г,
так что точка Кг будет внешней для О (г) (черт. 84). Теорема 251
показывает, что все остальные точки ОДгі) и подавно будут
внешними для О (г). Затем остается только сослаться на сим¬
метрию условия теоремы относительно г и
J27
Полученные выводы об относительном положении двух
окружностей или двух шаровых поверхностей можно собрать
в особой таблице.
Теорема 265. Даны две окружности или две шаровые
поверхности О(г) и причем г>гр, расстояние между
центрами обозначим через q.
Тогда:
если q<r— гъ то (rj лежит внутри О (г);
q — r—ги то имеем внутреннее касание-,
г—r1<q<r-\-r1, „ для двух окружностей... пере-
сечение в двух точках, для двух шаровых поверхностей... пе¬
ресечение по окружности;
если q =r-\-ru ..то имеем внешнее касание;
„ q>r-\- ru ..то одна фигура лежит вне другой.
Теорема 266. Для
Ѳ теорем, собранных под
№ 265, имеют место об-
( у ратные теоремы.
L А- (Доказывается с помо¬
гуot щью обращения по раз-
делению.)
Теорема 26 7. Если
отрезки а, Ь, с рас-
Че т 84 положены в порядке
р ’ убывающей величины,
то для существования
треугольника со сторонами, равными данным отрезкам,
необходимо и достаточно соблюдение условия:
а<Ь-[- с.
Действительно, если такой треугольник существует, то
теорема 159 сейчас же дает требуемое неравенство. Пусть
теперь нам дано:
а<Ь-\-с, причем
Из последнего условия, очевидно, вытекает:
а> b —с,
так что в общем имеем неравенства:
b — с<^а <b-\-c.
Возьмем далее отрезок (00^ = а и построим окружности
О(&) и Ох(с). Согласно теореме 261, эти окружности пересе¬
каются в некоторой точке М, и А 00±М будет искомым.
128
Теорема 26 8. Существует равносторонний треуголь¬
ник, у которого стороны равны данному отрезку.
Действительно, если а данный отрезок, то очевидно:
а < а + а,
и вступает в силу теорема 267.
Теорема 269. В равностороннем треугольнике все углы
равны между собой, и обратно.
Доказывается с помощью повторного применения теорем
132 и 133.
Рассмотрев вопросы об относительном положении прямой
и окружности и двух окружностей между собой, можно под¬
вести твердое основание под известные „построения с помощью
циркуля и линейки". Названные простейшие приборы указы¬
вают на то, как эти построения осуществляются на практике;
в логическом же курсе геометрии дело идет о доказательстве
существования искомых образов. Обычно они строятся при
помощи пересечения прямых и окружностей, и здесь преиму¬
щественно приходится ссылаться на теоремы 244, 247, 261,
которые в то же время дают указание на то, как надо выби¬
рать радиусы вспомогательных окружностей.
Так, например, желая разделить данный угол пополам, мы
из его вершины О описываем произвольным радиусом окруж¬
ность; последняя, как это вытекает из определения окружности,
пересекает его стороны в точках А и В. Далее, из этих точек
радиусом, большим половины отрезка (АВ\ описываем окруж¬
ности, которые в силу теоремы 261 пересекутся в двух точках
(по крайней мере одна из них будет отлична от О); соеди¬
нив эту точку с О, получим искомую биссектрису.
Советуем читателю пересмотреть с указанной точки зрения
известные построения для других простейших задач, а именно:
1) разделить данный отрезок пополам;
2) в середине отрезка восставить перпендикуляр;
3) восставить перпендикуляр к данной прямой в данной на
ней точке;
4) из данной точки вне прямой опустить перпендикуляр на
прямую;
5) построить угол, равный данному.
§ 25. Измерение геометрических величин
Замечание. При изложении указанного вопроса предполагается
знакомство читателя с учением об иррациональном числе.
Понятие .величины" в своем полном объеме выходит за пределы гео¬
метрии; так, в физике мы тоже имеем дело с различными величинами.
Ограничиваясь здесь величинами геометрическими, надо, однако, указать,
что общие свойства величин везде одни и те же, а потому наши выводы
будут'справедливы и за пределами геометрии.
9
Богомолов — Геометрия
12»
Определение 80. Геометрической величиной назы¬
вается такая совокупность геометрических образов, кото¬
рой присущи следующие три свойства (эти геометрические
образы в отдельности образуют различные значения данной
величины).
1. Сравнимость, т. е., если даны два значения какой-нибудь
величины, то между ними имеет место одно из соотношений:
„равно", „больше" и „меньше", которые обладают свойствами,
указанными (для отрезков) в аксиомах XVII—XIX и теоремах
101 —104. Как именно узнать, какое из соотношений имеет
место, для каждой величины указывается отдельно (так, для
отрезков это было сделано в определении 31).
2. Слагаемость, т. е. если даны два значения какой-либо
величины, то можно найти вполне определенное третье ее зна¬
чение, которое называется их суммой и обладает свойствами,
указанными (для отрезков) в теоремах 106—112. Как именно
находится сумма,—для каждого рода величин решается отдельно
(для отрезков этот вопрос был решен в определении 32). После
этого все последующие определения и теоремы § 10 также
могут быть перенесены на величину любого рода. В частно¬
сти, сюда переносится и понятие о разности, но здесь будет
уместно несколько расширить это понятие, а именно: разность
двух равных значений величины будем считать равной нулю:
а — а = 0. (*)
Можно также эту разность называть нулевым значением дан¬
ной величины.
Применяя к (*) общее определение разности, получаем
основное свойство нуля:
а —0 = а.
Это равенство не противоречит установленным раньше. Дейст¬
вительно, разности, равные нулю, могли бы встретиться только
в теоремах 114 и 115. Первая при Ь=а дает:
а —(<т — а) == а -р 0 — а,
а вторая при а = с приводит к заключению, что все четыре
значения а, Ь, с, d равны между собой.
Условимся также считать, что нуль меньше всякого дру¬
гого значения той же величины. Легко видеть, что правила
сравнения не будут нарушены этим условием.
3. Непрерывность, которая выражается аксиомой XXIV (для
отрезков) с ее главнейшими следствиями (см. § 22).
Теперь можно утверждать, что отрезки, углы, двугранные
углы и дуги (одной и той же окружности или окружностей
с равными радиусами) образуют четыре различных класса
геометрических величин.
130
Действительно, первые два свойства определения 80 выте¬
кают: для отрезков из § 10, для углов —из § 12, для дву¬
гранных углов —из § 18, для дуг — из определения 72; что
же касается непрерывности, то для всех этих образов она бы¬
ла установлена в § 22.
В основание последующего изложения будут положены
свойства, указанные в определении 80. Для иллюстрации рас-
суждений можно пользоваться отрезками, но эти рассуждения
будут справедливы для любой геометрической величины.
Определение 81. Общей мерой двух значений какой-
либо величины называется такое ее третье значение, ко¬
торое служит аликвотной частью (определение 35) обеих
данных. Так, если с есть общая мера для а и Ъ, то:
а~тс \
}, где т и /г —целые положительные числа.
Ь — пс )
Если два значения величины имеют общую меру с, то у них
будет бесконечное множество общих мер, так как всякая
аликвотная часть с будет общей мерой (теорема 124).
Теорема 270. Среди общих мер двух значений какой-
либо величины имеется наибольшая.
Пусть а и b имеют общие меры. Возьмем какую-нибудь
их общую меру Л. Если нет общих мер, больших чем А, то
наше утверждение оправдано. В противном случае пусть k
будет другой общей мерой, причем
А > h.
На основании определения 81 имеем:
а = mh и а = nA, где т и п - натуральные числа.
Далее, получаем неравенства:
nA > nh (теорема 119)
или
а > nA, так что mh > uh\
отсюда следует, что
т > п (теорема 123).
Таким образом п имеет конечное число значений; а так как
А = -- (определение 35),
то имеется конечное число общих мер, ббльших чем h. Пере¬
бирая их, найдем наибольшую.
При обозначении общей наибольшей меры значений а и b
будем пользоваться символом (а, А).
Теорема 271. Если общая наибольшая мера (а, Ь) = с
и а —тс, Ь=-пс, то т и п суть взаимно простые числа.
9*
131
Пусть, в противность утверждению, числа тип имеют
общий наибольший делитель р >1, так что
т = тхр и п = пѵр.
Тогда
а^пцр • с-^т^рс) и Ь=п]р • с = п1(рс) (теорема 124),
откуда видно, что рс, которое больше с (теорема 123), служит
общей мерой для а и Ь9 а это противоречит заданию.
Теорема 272. Всякая аликвотная часть общей наи¬
большей меры двух значений какой-либо величины будет
их общей мерой, и обратно: всякая их общая мера будет
аликвотной частью их общей наибольшей меры.
Пусть с есть общая наибольшая мера для а и Ь, так что
а = тс и Ь = пс9
где т и п — взаимно простые числа, и пусть h есть какая-ни¬
будь аликвотная часть с9 так что
c=ph, где р — целое положительное число.
Тогда имеем:
а = т (ph)=(mp)h и b = n(ph) = (np)h (теорема 124)
и h будет общей мерой для значений а и b (определение 81).
Обратно, пусть h есть какая-нибудь общая мера а и Ь9 так
что
a = k-h9 b = l-h9
где k и / -— целые положительные числа.
Обозначим общий наибольший делитель этих чисел через q
и пусть
k — k^q и l=lYq,
где kx и Zj — взаимно простые. Наконец, кратное qh обозначим
через Ар Имеем:
a=(k1q)h^=kïhï и b = (1^)1і = (теорема 124).
Сопоставляя с данными равенствами, получаем:
rnc^kji^ и nc=lïh1.
Возьмем Zi—кратное обеих частей первого равенства:
Zi (тс) = (AiAJ (теорема 119),
Z1(é1A1) = (Z1A1)/z1 = (k^hi =■■ kA (l^hj^k^nc) (теорема 124),
(Zj/zz) t:=(A1n)^
132
откуда
lxm = k}n (теорема 123),
n ~ Ц ’
a так как обе дроби несократимы, то
и п=11л
Подставляя в равенство mc = kjil9 находим:
kAc = kxhu откуда с ~ h^=qh (теорема 119),
т. е. h есть аликвотная часть с.
Таким образом, нахождение всевозможных общих мер двух
значений какой-либо величины сводится к нахождению их об¬
щей наибольшей меры.
Теорема 273. Если а>Ь, то существует одно и только
одно такое целое положительное число т9 что
mb < а<(т + \)Ь.
В силу начала Архимеда, найдется такое целое положитель¬
ное число п, что
п • Ь> а.
На основании теоремы 123 всегда (п—\)b<nb. Если ока¬
жется
(п — 1 )Ь < а9 то іп — п — 1.
Если же
(п — 1 )Ь > а9
то переходим к (л — 2)Ь. Если
(п — 2)Ь < а, то = п —2;
в противном случае переходим к (и--3) • Ь, и т. д.
Таким путем мы найдем число т, ибо иначе все кратные Ъ
и само b оказались бы больше а, что противоречит заданию.
Попробуем допустить, что 'имеется еще другое число т^
удовлетворяющее тем же условиям:
тхЬ < а < (т} -j- 1) Ь,
и пусть для определенности т < тѵ Тогда имеем:
тхЬ <а и а < (/и -f 1 ) b,
так что
niyb < (т 4“ 1) b (теорема 102 или 103),
133
откуда
тх < т 4- 1
(теорема 123),
а это противоречит тому, что т1 > т.
Теорема 274. Если а~> Ь, то существует одно и только
одно целое положительное число т, при котором
а — mb-\- г,
г —так называемый остаток — есть вполне определенное
значение нашей величины, меньшее b (последнее условие
г <Ь понимаем так, что слагаемое г может и совсем отсут¬
ствовать; в таком случае, согласно сказанному выше, можно
писать: г = 0).
На основании теоремы 273 имеем:
mb < а < (т Ц- 1) Ь,
причем такое т — единственно. Из этих неравенств получаем:
а = mb, и здесь г = 0,
или
а > mb, и тогда a = mb\-r (теорема 112).
Теперь вторая половина неравенства дает:
mb 4- г < mb b (теорема 122),
откуда
г <Ь (теорема 109).
Обратно, из равенства
а = mb г
вытекало бы приведенное выше неравенство.
Определение 82. Нахождение числа т и остатка г,
о которых говорится в теореме 274, называется откладыва¬
нием значения b на значении а.
Теорема 275. Если а = mb, то b и есть общая наиболь¬
шая мера (а, Ь). ;
Действительно, значение b содержится целое число раз
и в а и в Ь, так что b есть общая мера; но так как b не мо¬
жет быть кратным отрезка, большего b (из 123 вытекает, что
nb>b при n> 1), то эта общая мера будет наибольшей.
Теорема 276. Если а =• mb 4- г (где г < Ь, но не равно 0),
то общая наибольшая мера (а, Ь) равна общей наибольшей
мере (Ь, г) при условии, что эта общая наибольшая мера вообще
существует.
Пусть с есть какая-нибудь общая мера для а и Ь, так что:
а = kc и b = Іс,
134
где k и / целые положительные числа. Из основного равенства
имеем:
г = а — mb (определение 33),
r=kc — т (Іс) == kc — (ml) с = (k — ml) с (теоремы 124, 122);
т. е. с есть аликвотная часть г, а потому — общая мера для
b и г.
Обратно, пусть с есть общая мера для b и г, так что:
b — Іс и г = пс.
Тогда
а = (ml) с-\-пс = (ml-\- п) с (теорема 122),
т. е. с есть аликвотная часть а, а потому — общая мера для
а и Ь.
Следовательно, общие меры значений а и b совпадают
с общими мерами значений b и г; но в таком случае совпа¬
дают и общие наибольшие меры их.
Пусть даны два значения а и b какой-либо величины, при¬
чем а > 6. Будем b откладывать на а (определение 82) и по¬
лучим два возможных случая: или b уложится целое число
раз, или получится некоторый остаток і\<Ь. В последнем
случае откладываем гх на b и снова стоим перед двумя воз¬
можностями, и т. д. Надо заметить, что приемы „откладыва¬
ния" будут меняться в зависимости от рода рассматриваемой
величины.
Принимая во внимание теорему 274, получаем ряд равенств:
а = т^-}- г},
b = т2г}
>'і = тгг2 4- г8,
где гх < Ь,
где г2 < гІ9
где г3<г2,
^-з = гп_2 + Г„_1, где г„_, < гп_,,
Гп-2 = тп rn-S + Гп > где Гп < Гп-Ѵ
Если какой-нибудь из остатков окажется .равным 0, то
дальнейшее откладывание прекращается и соответствующее
равенство будет последним.
Определение 83. Способ, с помощью которого полу¬
чаются равенства (*), называется способом последовательного
откладывания.
Теорема 277. Если в способе последовательного откла¬
дывания приходим к равенству гп = 0, то предыдущий остаток
равен общей наибольшей мере (а,Ь).
135
Действительно, если гп =0, то теоремы 275 и 276 дают:
гя__1 = общей наибольшей мере (гл_2, ^я_і) = общей наиболь¬
шей мере (гя_3, гя_2) = общей наибольшей мере
(гі, га) = общей наибольшей мере (Ьг^ — общей наибольшей
мере (а, Ь).
Теорема 278. Если способ последовательного откладыва¬
ния можно продолжать произвольно далеко (т. е., ни один
из остатков не равен 0), то найдется такое число п, что
г
е,
где £ есть произвольно малое значение рассматриваемой вели¬
чины.
В самом деле, в равенстве а = т1Ь-}-г1 имеем:
/п1 > 1 и b > rlf
откуда
mxb >
(теорема
119),
inxr. > r.
(
123),
тлЬ > rY
(
102).
mi^ ri > 2r2
(
109),
так что
a > 2гг или rx < у
(теоремы 127,
125).
Переходя к третьему равенству (*), где
т3 > 1 и г2 > г3,
точно гак же получаем:
Подставляя г1 из предыдущего неравенства, найдем:
г3<у7 (теоремы 127, 129, 102).
Продолжая эти рассуждения, приходим к общей формуле:
а
Г2к—1 •
136
А теорема 239 говорит, что при достаточно большом числе
2* получим:
а
Тогда, полагая п = 2k — 1, найдем:
Теорема 279. Если а и b имеют общую меру, то в спо¬
собе последовательного откладывания дойдем до некоторого
остатка гп = 0.
Действительно, пусть а и b имеют общую наибольшую меру
с (теорема 270), а в способе последовательного откладывания
ни один из остатков не равен 0. На основании теоремы 276
это с будет аликвотной частью всех остатков; между тем, най¬
дутся остатки, которые будут меньше с (теорема 278), и та¬
ким образом получается противоречие (теорема 126).
Теорема 280. Способ последовательного откладывания
всегда решает вопрос о существовании общей меры у двух
значений какой-либо величины.
Действительно, если один из остатков равен 0, то мы сей¬
час же находим общую наибольшую меру (а,Ь) (теорема 277);
если же ни один из остатков не равен 0, то а и b общей меры
иметь не могут (теорема 279).
Определение 84. Два значения какой-либо величины
называются соизмеримыми, если у них имеется общая мера;
в противном случае они называются несоизмеримыми.
Замечание. Наиболее простые и интересные примеры несоизмери¬
мых величин можно указать с помощью теории параллелей.
Переходим к измерению геометрических величин. Выбрав
определенное значение е данной величины, мы относим ему
число 1 („принимаем е за единицу измерения"). Теперь надо
показать, что каждому значению той же величины соответ¬
ствует вполне определенное число, и обратно.
Начнем со значений, соизмеримых с е.
Теорема 281. Если а и е соизмеримы и b и с суть их
различные общие меры, причем:
a = mb I а—рс I т р
e==-nb ) e = qc ) п я
Действительно, на основании теорем 236 или 237 делим fr
на q равных частей, а с — на п равных частей, так что
b^q-bQ и с--псп.
137
тогда для е получаем выражения:
e=nq • Ьч и e=qncn (теорема 124),
откуда
nq • bq-=qn.cn,
и, следовательно,
(теорема 119).
Теперь для а имеем:
a = mq • b* и а—рп - сп,
mq ■ Ья=рп - сп>
откуда
mq^pn (теорема 123),
или
т р
п ~ q 9
Определение 85. Если а и е соизмеримы, причем:
а = mb I
е = nb J
где b — какая-нибудь их общая мера, то рациональное число
называется числом, измеряющим а, когда е принято за еди¬
ницу, и мы пишем:
т
а = — е.
п
Теорема 281 показывает, что выбор общей меры b — безразли¬
чен.
Замечание. В силу указанных выше соотношений между а, е и b
и в силу определений 34, 35 можно сказать, что обозначение
т /1 \
. е тождественно с т I — . е L
и \ л / 4
Теорема 282. Если дано значение е, принятое за еди¬
ницу, то каждому (положительному) рациональному числу
соответствует определенное значение рассматриваемой ве¬
личины, которое измеряется этим числом.
Пусть дано е и число ~, где тип — целые положитель¬
ные числа. Делим е на п равных частей (теорема 236 или 237),
так что
1
еп = — • е,
п п >
133
и берем т — кратное от значения еп, обозначив его через а:
а-=/пеп;
так как, кроме того,
e-nent
то значение а удовлетворяет всем поставленным требованиям.
В следующих пяти теоремах 283—287 рассматриваются
только такие значения, которые соизмеримы с е, принятым
за единицу.
Теорема 283. Равные значения величины измеряются
равными числами, и обратно.
г-г /и
Пусть = и измеряется по отношению к е числом —
Тогда
^і = гпе\
е=^пеп] (определение 85).
На основании свойства переносимости равенства имеем:
и теперь уже ясно, что а2 измеряется числом —.
Пусть, обратно, значения ах и а2 измеряются по отношению
к е одним и тем же числом . Следовательно, имеем равен¬
ства :
= a^tnef\
? и 4.
I е=пе\
п f nJ
На основании теоремы 119 должно быть
еп^еп^
но тогда
ах = а2.
Теорема 284. Большее значение измеряется большим
числом, и обратно.
Пусть значения аг и а2 по отношению к е измеряются чис¬
ти р
лами — и — , так что
п п ’
а}-теп
е — пеп
а,,-реп
e^qeq
(определение 85).
139
Разделим еп на q равных частей, a е на п равных частей
(теорема 236 или 237):
en = q-h и еч - ng.
Тогда имеем:
е = nq*h ~ qn-g
(теорема
124),
откуда
h = g
(теорема
119),
а, = mq-h и а2 = pn-h.
Пусть теперь дано, что
> а2> т. е.. . tnq-h > рп - Л.
Отсюда
mq рп
(теорема 123).
т р
~П > q
Пусть, обратно дано это последнее неравенство. Тогда
mq > рп,
mq • h> рп, • h (теорема 123).
éZj а<>.
Теорема 285. Число, измеряющее сумму, равно сумме
чисел, измеряющих слагаемые.
Достаточно будет ограничиться случаем двух слагаемых:
пусть, значения ах и а2 соответственно измеряются числами
и Придерживаясь обозначений предыдущей теоремы,
пишем
аі “F = (^ +РП) • А (теорема 122),
причем
е = nq h.
Определение 85 сейчас же показывает, что значение (аЛ -р а..)
измеряется числом:
тд 4- рп т , р
nq ~~ п ' q
Теорема 286. Если а по отношению к е измеряется
числом , то е по отношению к а измеряется обратным чис
140
Утверждение непосредственно вытекает из определения 85.
Теорема 28 7. Если а по отношению к b измеряется
числом ~ , a b по отношению к с — числом ~, то а по отно-
п q
шению к с измеряется числом
т р
~п ’ 7'
В силу наших данных имеем:
а = mbn\ b —рсд\
и
b = пЬп с = qcq]
Далее вводим в рассуждение значения h и g, определяемые
из условий:
6Л -■== р h и cq = ng (теорема 236 или 237);
тогда
b = пр h рп . g,
откуда
h —g (теорема 119).
Подставляя, находим следующие равенства:
а = тр • h,
с = qn • А,
которые показывают (определение 85), что а по отношению
к с измеряется числом:
тр __ т Р
qn п q ’
Замечание. Понимая под k и е рациональные числа, последние две
теоремы можно выразить следующим образом (имея в виду обозначение,
указанное в определении 85): если
а ~ ke ’ , то е ~ А а ;
k
если
а — k b и b — е - с, то а ke е.
Пусть теперь значение
п равных частей, так что
а несоизмеримо с е. Разделим е на
Если еп<а, то по теореме 273 существует одно и только одно
такое целое и положительное число т, что
Піеп< а < + 1 )ея
141
(равенства теп=^а здесь быть не может, так как а и е несоиз¬
меримы). Если же £л>а, то указанное число т считаем рав¬
ным 0, равно как и произведение т • еп.
Таким образом, для каждого целого и положительного
числа п находим два значения нашей величины:
те и
п ѵ I ' Пу
причем первое меньше а, второе больше ау и оба соизмеримы
с е. В силу определения 85 они измеряются числами:
т т 4-1
— и ——.
п п
Определение 86. Вообразим себе, что для каждого
целого и положительного числа п найдено по вышеуказанному
способу число /п. Тогда все положительные рациональные*
числа можно распределить на два класса следующим обра¬
зом:
« т
в класс Æ относим всякое число — и все положитель-
1 п
ные дроби с тем же знаменателем, но с меньшими числите¬
лями;
л т + 1 zr
в класс Д2 относим всякое число —— и все дроби с тем
же знаменателем, но с большими числителями.
Эти два класса условимся называть определяющими, при¬
чем — нижним, А2 — верхним; различные числа класса Л!
будем обозначать буквами: ар ар аг. ., a различные числа
класса А2 — буквами: а2> а2, а2. ..
Теорема 288. Если дано а, несоизмеримое с е, то:
1) всякое положительное рациональное число попадает
в один из определяющих классов;
2) всякое число нижнего класса меньше всякого числа
верхнего класса;
3) в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем —
наименьшего.
Утверждение п. 1 непосредственно вытекает из определе¬
ния 86. Переходя к п. 2, возьмем по числу из классов Aj и Д2:
р и
1 q - V
Определим для числа q число р^ так, как было определено гп
по п в определении 86, т. е.
Р£ч < а < (А 4-1 ) е9, где . е.
142
Из распределения чисел на определяющие классы вытекает,»
что должно быть:
Р<Рь-
Точно так же найдем для ѵ число «0:
ийеѵ < а < (и0 4-1) еѵ , где еѵ = . е.
и должно быть:
п>п0 4~ 1.
Эти неравенства дают:
а следовательно, числа, измеряющие эти соизмеримые с еди¬
ницей значения, связаны неравенством того же типа (тео¬
рема 284), так что
Ро Ц0 ~І~ 1
Я *
Далее имеем:
р Ро „ п04-1 U
q q v v ’
а потому
<*1 < <х2.
Наконец, имея в виду п. 3, возьмем в нижнем классе ка¬
кое-нибудь число:
1 я
и пусть pQ есть число, определяемое для q по предыдущему
правилу. Если р < р0, то, очевидно, в классе Д) имеется число
(а именно: — ) , которое будет больше данного. Поэтому допу¬
стим, что р—ръ, другими словами, число р удовлетворяет
неравенствам:
peq <а<(ў + 1) • eq.
Отсюда можно вывести равенство:
а = peq 4~ г (теорема 112).
Разделим eq на s равных частей так, чтобы
^ == 5 . и eq, < г (теорема 239).
Легко видеть, что теперь
14*
Далее, имеем:
ре„ 4- eq, < р • е„ + г,
Ps ■ eqt-\-eqs<.a (теорема 109),
(ps —|- 1) . eq> < а (теорема 122).
Следовательно, число должно во всяком случае попасть
в класс Аі (определение 86). Но
л? + 1 _ р. I J_ > Д
qs q * qs q ’
т. е. в классе А! имеется число, большее данного.
Возьмем теперь в классе А2 какое-нибудь число:
а2 =
и -[-1
V
и можно ограничиться допущением, что и удовлетворяет ус¬
ловиям:
иео<а <(и+1)еѵ.
Отсюда находим:
(и-{-1) еѵ = a-j-r'
Найдем число t так, чтобы
еѵ = t . evt и evt < г'
Тогда
(и 4-1 ) evt > а 4- evt
(теорема 112).
(теорема 239).
(теорема 109),
(«+1)е„ - evt>a
[теорема 116, определе¬
ние 33 (расширенное)],
[(^+0^—1] • еѵГ> а (теорема 124, 122).
х-ч (и —|— 1) t 1 g.
Следовательно, число 1 будет принадлежать классу
Ал, но
(и4-1) 1 = u + 1 I и + 1
Vt V vt V 9
т. е. в классе А2 имеется число, меньшее данного.
Теорема 289. Если а несоизмеримо с е, то определяю¬
щие классы (Л1Л Д2) вполне определяют некоторое иррацио¬
нальное число, которое больше всех чисел нижнего класса
и меньше всех чисел верхнего класса.
Действительно, в общей арифметике доказывается, что де¬
ление рациональных чисел на два класса, обладающие двумя
первыми свойствами теоремы 288, приводит к определению
144
некоторого вещественного числа, которое не меньше чисел
класса Aj и не больше чисел класса А2. Если бы указанное
вещественное число было рациональным, то оно попало бы
в один из наших классов и было бы либо наибольшим в Аь
либо наименьшим в А2, что противоречит п. 3 теоремы 288.
Итак, искомое число иррационально, и так как оно не может
равняться никакому рациональному числу, то оно должно быть
больше всех чисел класса Aj и меньше всех чисел класса А2.
Определение 87. Если а несоизмеримо с е, то иррацио¬
нальное число, существование которого установлено в тео¬
реме 289, называется числом, измеряющим а, если е принято
за единицу; это число будем обозначать буквой ш (с тем или
другим значком) и будем писать:
а = е.
Замечание. Легко видеть, что рациональные числа — и —,
п п
о которых шла речь в определении 86, будут приближенными значениями
числа Шд с точностью до -1_, первое— с недостатком, авторов — с из¬
бытком.
Теорема 290. Если а соизмеримо с е, то определяющие
классы сохраняют два первых свойства теоремы 288; но теперь
в нижнем классе будет наибольшее число, а именно — число,
измеряющее а.
Доказательство предоставляется читателю (придется только
несколько видоизменить определение класса Ап так как те¬
перь возможно равенство т . еп = а).
Замечание. Из предыдущей теоремы следует, что число, измеряю¬
щее данное значение величины, всегда можно находить с помощью опреде¬
ляющих классов.
Теорема 291. Если дано значение величины, принятое
за единицу, то каждому ее значению соответствует опре¬
деленное положительное число (определение 85 и 87).
Теорема 292. Если дано значение величины, принятое
за единицу, то каждому положительному числу соответ¬
ствует ее значение, которое' измеряется этим числом,
В случае, когда данное число рационально, ссылаемся на
теорему 282. Пусть теперь дано иррациональное число ш,
и пусть Ат и А2 будут теми двумя классами рациональных
чисел, которые определяют иррациональное число ш. На ос¬
новании теоремы 282 найдем те значения рассматриваемой
величины, которые измеряются всевозможными рациональными
числами; они разделятся на два класса соответственно де¬
лению чисел на классы А1 и А2. Как известно из учения об
иррациональном числе, классы Аі и А2 обладают следующими
свойствами:
Ю
Богомолов — Геометрия
145
1) каждое число класса Аг меньше каждого числа класса А2;
2) всегда найдется по такому числу в классах А2 и Аи что
их разность будет меньше произвольно заданного положитель¬
ного числа. В частности, возьмем два рациональных числа
т-\-\
и —, которые служат приближенными значениями œ с точ-
1 1
ностью до —; их разность равна — , и ее можно сделать,
при достаточно большом п меньше любого числа;
3) в классе Aj нет наибольшего числа, а в классе А2 нет
наименьшего.
На основании теоремы 284 каждое значение величины,
принадлежащее I классу, будет меньше каждого значения
величины, принадлежащей II классу.
Возьмем два значения, соответствующие только что указан¬
ным приближенным числам:
их разность равна
и может быть сделана меньше всякого наперед заданного зна¬
чения е (теорема 239).
Таким образом, все условия начала Кантора (теорема 241
или 242) здесь выполняются, и наши классы вполне опреде¬
ляют некоторое значение а, которое не может равняться ни
одному из упомянутых выше соизмеримых значений (в силу
п. 3). Если мы пожелаем найти число, измеряющее это а, то
определяющими классами будут как раз классы Ах и Д2, так
что мы придем к тому же числу <о.
Замечание. Теперь легко можно доказать существование несоизме¬
римых значений. Действительно, построим значение а, которое по отноше¬
нию к е измеряется иррациональным числом ш (теорема 292); тогда а и е
будут несоизмеримы, ибо в противном случае значение а измерялось бы
рациональным числом (определение 85, теорема 290).
Ближайшая наша задача заключается в обобщении теорем 283—287 на
значения, несоизмеримые с единицей; если одно из них окажется соизме¬
римым, то рассуждение не претерпевает существенных изменений, как это
следует из теоремы 290.
Теорема 293. Равные значения измеряются равными
числами, и обратно.
Действительно, если а=Ь, то неравенства, на которых осно¬
вано введение определяющих классов, в обоих случаях дадут
одно и то же значение для т (при выбранном п), так что
эти классы для а и b окажутся тождественными, а следова¬
тельно, и приведут нас к равным числам.
143
Обратно, если два числа равны, то определяющие классы
в обоих случаях тождественны, а потому будут тождествен¬
ными и те пары классов, с помощью которых мы находим
соответствующие значения величины. Тогда начало Кантора
говорит, что в обоих случаях получатся равные значения.
Теорема 294. Большее значение измеряется большим
числом, и обратно.
Пусть
Ь>а и Ь— а^=е.
Подберем число п так, чтобы
еп=-^~ < е (теорема 239),
а число т определим из неравенств:
теп< а < (m-j-l)en
(знак равенства — в случае соизмеримости а и е\ Тогда раци-
т + 1
опальное число —-— принадлежит верхнему классу для а.
JXwite имеем:
теп<а> так что (m-j- 1)еп < а-\-еп (теоремы 109, 122),
а-\-еп<іа-\-г (теорема ПО),
(т-Н)^ < Ь.
Следовательно, рациональное число т^~1 принадлежит ниж-
нему классу для Ь.
Из учения об иррациональном числе вытекает, что в таком
случае
(О.
о а
Обратно, пусть нам дано это неравенство; оно показывает,
что имеется рациональное число которое принадлежит
нижнему классу для и верхнему — для Переходя к со¬
ответствующим значениям рассматриваемой величины, находим:
~ е < Ь и а < -~-е (определение 86),
откуда
b > а.
147
Теорема 295. Число, измеряющее сумму, равно сумме
чисел, измеряющих слагаемые.
Достаточно остановиться на случае двух слагаемых.
Пусть нам дано:
значение а с классами (Ап А2), определяющими число <оа,
п Ь » п b'
Числа классов Аь А2, В19 В% будем обозначать соответ¬
ственно через alf а2, 02. Составим теперь новое распределе¬
ние всех положительных рациональных чисел на два класса,
которые обозначим через:
А1+В1 и А2 +
и определим следующим образом: в класс (Aj-j-Bi) отнесем
всевозможные суммы 4- Рі) и все числа, меньшие этих;
в класс (Ао + В2) — всевозможные суммы (а2 + р2) и все
числа, большие этих. Легко убедиться, что эти новые классы
обладают тремя свойствами, указанными в теореме 288.
Из учения об иррациональном числе известно, что указанное
деление рациональных чисел определяет вещественное число
(%+<%)•
Далее, возьмем значение c=a-j-b и составим для него
определяющие классы (СПС2) с числами и f2; пусть они при¬
водят к числу <%. В силу определения 86 имеем:
ахе < а < а2е | (оба знака равенства
< b < p2e J одновременно места не имеют).
Отсюда
аі£ + < а + b < а2е +р2^ (теорема 110).
На основании теоремы 285 (для рациональных чисел) число,
измеряющее сумму (а^ + Рі^), равно («і + Рі), так что можно
написать:
аі^ + Рі^=(аі + Рі)е (определение 85)
и другие подобные равенства. Тогда последнее неравенство
перепишется так:
(аі Рі)е с <С (а2 + Р2)е-
Отсюда вытекает, что каждое число класса (AAA) вхо¬
дит в состав класса (ибо соответствующее значение бу¬
дет меньше с) и каждое число класса (А4“А)~В состав
класса С2.
Обратно, пусть есть какое-нибудь число класса С/, оно
должно попасть в один из классов (А + А) и (Л2 + В2),
и если бы оно попало во второй, то, по только что доказан¬
148
ному, должно было бы принадлежать и классу С2, что приво¬
дит к противоречию (теорема 288, п. 2). Следовательно, всякое
число класса Сг содержится в классе (Дх 4-Вх), и точно так же
всякое число класса С2 —в классе
Отсюда следует,что деления рациональных чисел на классы
(Ді+Ві, Д2 + В2) и (Сь С2) оказываются тождественными,
а потому
%=ü>o+a>ô-
Теорема 296. Если а = ш. Ь, то b = — а.
Нам дано, что а по отношению к b измеряется числом со,
и пусть его определяющие классы будут (Дп Д2) с числами
и а2. Пусть теперь b по отношению к а измеряется числом со',
причем определяющие классы будут (Вь В2) с числами
и ?2.
Из определения 86 вытекают неравенства:
ах b < а < а2 Ь,
₽і а < 6 < ₽2 а.
Пусть рациональное число 04=-^—, где т и п — целые по¬
ложительные числа. Теперь можем написать:
~пь> 4" (теорема 127),
/и • Л- b > т • -- (Рі а) (теорема 119),
аі b > «1 (Pi а) (замечание к опред. 85),
яі (?і а)=аА • а (теорема 287 и замечание),
так что
а > at b > ajp! • а.
Точно так же найдем:
b < р2 а,
0-г b < а2р2 • а,
а<а2Ь < а2р2 . а.
Собирая, получаем неравенства:
а1Р1 • а < а < а2р2 • а\
149
отсюда на основании теоремы 284 выводим:
«101 < 1 < «202*
Составим, наконец, распределение рациональных чисел на
два класса, которые обозначим через АгВ{ и А2В2 и определим
следующим образом: в класс А1В1 отнесем всевозможные про¬
изведения üjPj и числа, меньшие этих, а в класс А2В2— все¬
возможные произведения а2р2 и числа, большие этих. Как
известно из учения об иррациональном числе, указанные классы
определят число œ.œ'.^C другой стороны, предыдущие нера¬
венства говорят, что эти классы определяют число 1, а так
как такое число — единственно, то z
ш - о/ = 1, откуда ш' = — .
Теорема 297. Если и Ь = ы2с, то а=(о)1ц>2)с.
Нам дано, что а по отношению к b измеряется числом
пусть определяющими классами будут (AlfA2) с числами 04
и а2; далее дано, что b по отношению к с измеряется числом ш2
и пусть определяющими классами будут (5Ь В2) с числами
Рі и р2. Подобно предыдущему рассуждению, составим деление
рациональных чисел на классы (А1В1 и Л2В2), которые опре¬
делят число, равное «4 . <о2. Далее, будем измерять а с по¬
мощью с; пусть определяющими классами будут (Сь С2)
с числами 72 и пусть эти классы определяют число
так что
a=œ . с.
На основании определения 86 имеем:
алЬ < а < а2Ь
<ь <^с
(одновременное существование
обоих знаков равенства не¬
возможно);
отсюда на том же основании, как и при доказательстве пре¬
дыдущей теоремы:
а<а2& < а2р2с,
а а±Ь > «iPif,
или
аірі • б1 < а <; а2р2 с*
Эти неравенства говорят, что всякое число класса АгВу со¬
держится в классе Q и всякое число класса А2В2 содержится
в классе С2.
Обратно, пусть есть какое-нибудь число класса Сх; оно
должно попасть в один из классов А^, А2В2, и если бы оно
150
попало во второй, то по предыдущему оно вошло бы и в класс
С2, что невозможно.
Следовательно, всякое число класса Сг принадлежит классу
AxBlt и всякое число класса С2 — классу Д2В2.
Таким образом, оба деления рациональных чисел на классы
(А^В^ А2В2) и (Ср С2) оказываются тождественными, а потому
определяют одно и то же число, т. е.
œ = (D1 •
Теорема 298. Если от единицы измерения е перейдем
к единице е' = е^е, то все числа, измеряющие различные зна¬
чения величины, приобретают один и тот же множитель,
о ' 1
равный — .
Действительно, пусть
Из того, что е'=*-е, следует:
^=-і- . е' (теорема 286 или 296);
1 ,
если же и е=— -е , то
е ’
a = (œ . . ег (теорема 287 или 297),
1
т. е. значение а измеряется теперь числом ш . — .
Замечание. В дальнейшем буквами а, Ь, с... иногда обозначаются
различные значения величины, иногда — измеряющие их числа (в особен¬
ности это относится к отрезкам). Во избежание недоразумений, всегда надо
по существу вопроса выяснить, о чем собственно идет речь: о геометри¬
ческих величинах или об измеряющих их числах.
§ 26. Отношения и пропорции
Определение 88. Если а и b суть значения одной
и той же величины, то отношением а к b называется число,
измеряющее а, когда b принято за единицу, если это число
равно ш, то условимся писать
a ï.
-7-=œ или а\Ь = <£>.
о
15В
Отсюда вытекает, что вопрос о равенстве двух отношений
совпадает с вопросом о равенстве двух вещественных чисел.
В случае рациональных отношений задача эта решается не¬
посредственно, а для равенства двух иррациональных чисел
необходимо и достаточно тождество определяющих их классов.
Для последнего случая мы дадим сейчас более простой признак;
для этого вспомним вычисление приближенных значений для
чисел, измеряющих значения, несоизмеримые с принятой
единицей.
Пусть а и b будут несоизмеримыми. Разделим b на п рав¬
ных частей, так что
Ь=п • Ьп,
и найдем целое положительное число т из условий:
mbn <«<(/»4-1) Ьп.
Тогда рациональные дроби и будут приближенными
а 1
значениями отношения -у- с точностью до —, первая — с
недостатком, а вторая — с избытком (см. замечание к определе¬
нию 87 и определение 88).
Теорема 299. Если приближенные значения двух
иррациональных отношений, вычисленные с произвольной,
но одинаковой точностью и оба взятые с недостатком, ока¬
зываются равными, то такие отношения будут равны
между) собой.
В самом деле, определение 86 показывает, что определяю¬
щие классы в обоих случаях будут одними и теми же; а потому
определяемые ими иррациональные числа будут равны между
собой.
Теорема 300. Отношение двух значений какой-либо
величины равно отношению чисел, измеряющих эти значе¬
ния в одной и той же единице.
Действительно, пусть а и b измеряются в зависимости от е
числами (ла и <і)^, так что
a = œ . е и &=<о. • р
Если мы пожелаем теперь измерить а, приняв за единицу Ь,
то теорема 298 говорит, что а будет измеряться числом JÜ2 ,
<*>ь
откуда и следует теорема (определение 88).
152
Определение 89. Если а и b суть два значения одной и той же
величины» с nd— также два значения одной и той же величины (одинако-
а
вой с первой или отличной от нее), и если отношение равно отноше-
с
нию то говорят, что четыре данные значения образуют пропорцию*
Пишут:
а с г
-у- = -у- или а : b = с : d.
Теорема 301. Пропорции между значениями величин соответствует
такая же пропорция между измеряющими их числами, и обратно.
Действительно, пусть нам дана пропорция между величинами:
а : b = с : d.
На основании теоремы 300 имеем:
а : b = ша : и с : d = <&c : <od •
а так как левые части равны, то
ш ію. = со,, : си .
а о с а •
Пусть, обратно, дана пропорция между числами:
о>1 : о>2 = œ3 : (О4.
Выберем среди значений данной величины такие два а и Ь\ которые в зави¬
симости от выбранной единицы измерялись бы числами и ю2 (теорема 292).
Тогда по теореме 300
а : b = (Oj : œ2.
Точно так же найдем два такие значения с и d (той же самой или другой
величины — в зависимости от условий вопроса), чтобы
с : d = ш3 :
а так как правые части равны, то:
а : b = с : d.
Теорема 302. Пропорция между величинами обладает всеми теми
свойствами пропорции между числами, в которых речь идет лишь о свой-
ствах сравнимости и слагаемости.
Необходимость последней оговорки вытекает из того, что действия
умножения, деления, возвышения в степень не были определены для вели¬
чины. Доказательство основано на предыдущей теореме, и мы выясним его<
принцип на примерах.
1. Если a:b = c:d и если а^>Ь, то и c>d.
Действительно, перейдем к пропорции между числами:
: = ■ <*d
(теорема 301),
причем
> <1>ь (теорема 284 или 294).
153-
Но из алгебры известно, что в таком случае
с а ,
и те же теоремы 284 или 294 приводят к неравенству:
с >> d.
2. Если а : b = с : d, то (а + Ь) : а = (с-|-<У) : с.
Действительно, переходим к пропорции между числами:
ша ' <°ь = : ,
и отсюда по правилам алгебры выводим новую пропорцию:
(“а + °>Ь ): “а = (“V + ш</ ) : .
На основании теоремы 285 или 295 числам (% 4~ ) и (шс +<о^) соответ¬
ствуют измеряемые ими значения и (с + <0» и теорема 301 тогда
дает:
(а + Ь) : а = (с + d) : с.
3. Свойство пропорции, по которому можно переставлять средние члены,
переносится на пропорции между величинами только в том случае, когда
все четыре значения однородны, так как отношение определено нами лишь
для значений одной и той же величины.
Определение 90. Если между значениями двух раз¬
личных величин можно установить такое одно-однозначное
соответствие, что всегда имеет место пропорция a1:a2 = b1:b2,
где и Ь19 а2 и Ь2 суть две произвольные пары соответствен¬
ных значений, то такие величины называются (прямо) пропор¬
циональными друг другу.
(Если же при вышеуказанных условиях имеет место про¬
порция: а1: a2=b2:b19 то такие величины называются обратно
пропорциональными.)
Теорема 303. Если между значениями двух различных
величин можно установить такое одно-однозначное соответ¬
ствие что:
1) равным значениям одной соответствуют равные значе¬
ния другой^
2) сумме значений одной соответствует сумма соответ¬
ствующих значений другой,
то такие величины пропорциональны друг другу.
Возьмем две произвольные пары соответствующих значений:
аг и Ь19 -а2 и Ь2. Прежде всего, установим, что значению вели¬
чины, отличному от нуля, не может соответствовать нулевое
значение другой величины. В противность этому допустим,
что аІ9 а2, Ьг — отличны от нуля, а Ь2 равно нулю.
Тогда сумме
аі + а2 соответствует Ь1-{-о=Ь1,
І54
и таким образом значению Ьг соответствуют два различных
значения и ах-\-а2і что противоречит одно-однозначности
соответствия.
Дальнейшее доказательство разделим на две части.
1. Значения и а2— соизмеримы.
Пусть именно аг = те и а2=пе, где е их общая мера.
Тогда
а1:а2 = /п:п (теорема 300, опред. 85).
Пусть h будет значением другой величины, соответствую¬
щим значению е первой; значение Ьх в силу условий теоремы
должно быть суммой tn значений, равных й:
b1 = mh и точно так же b2=nht
откуда
й1:й2 = /п :п.
Сопоставляя оба равенства, находим:
#1 * ^2 == ^1 • ^2«
2. Значения и а2 — несоизмеримы.
Вычислим отношение с точностью до — (с недостатком),
для чего разделим а2 на п равных частей:
а2=пе,
и найдем целое положительное число т из условий:
... те < < (/^ + 1)е; (*)
тогда искомое приближение будет равно .
Переходим к другой величине, и пусть ее значение h
соответствует е. Тогда в силу условий теоремы имеем:
b2=nh\
далее, из неравенств (*) выводим:
ах = те -\-г, а потому bï=mh-\- s9
где s соответствует г. Отсюда вытекает неравенство:
mh < йР
Из того же неравенства (*) получаем:
(//Z —|— 1 ) е=а{ —|- Л7,
а потому:
(jn 1) h = b1 4- s't
155
где s' соответствует г'. Отсюда новое неравенство:
&і< (/п 4" 1)^-
Итак, мы получили неравенства:
mh <Z Ьг<і(пі-\-\)1і,
которые говорят, что приближенное значение отношения -у-
с точностью до—у (с недостатком) равно На основании тео¬
ремы 299 отсюда заключаем:
— Ь• ^2»
Теорема 304. Нам известны, два примера пропорциональных вели¬
чин:
1) центральные углы и дуги окружности (одной и той же или раз¬
личных окружностей с равными радиусами);
2) двугранные углы и их нормальные сечения.
Последнее утверждение вытекает из определения 62 и теоремы 195
в связи с теоремой 303, а первое — из определений 71 и 72.
Теорема 305. Если за единицы измерения двух пропорциональных
величин принять два соответствующих значения, то числа, измеряющие
соответствующие значения данных величин, будут равны между собой.
Действительно, пусть а и b будут какой-нибудь парой соответствующих
значений двух пропорциональных величин; за единицы измерения примем
тоже два соответствующих значения е и h.
Тогда имеем пропорцию:
а : е = b : h (определение 90);
но отношения
а
е
Ь_
7г
и суть числа, измеряющие а и Ь.
Замечание. Сущность теоремы 305 обыкновенно выражают словами.*
из двух пропорциональных величин одну можно измерять с помощью
другой.
Таким образом, говорят об измерении двугранных углов с помощью их
нормальных сечений или об измерении центральных углов с помощью дуг
(и обратно). Как известно, за единицу измерения для углов принимают угол,
равный i/go прямого угла, и называют этот угол градусом. Совершенно
так же можно говорить о дуговом градусе, понимая под этим дугу, соот¬
ветствующую центральному углу в один градус.
§ 27. Параллельные прямые
Мы исчерпали главнейшие следствия введенных до сих пор
аксиом; для того чтобы идти дальше, необходимо сделать
определенное допущение о пересечении прямых, лежащих
в одной плоскости; это допущение позволит завершить систему
геометрии, разобрав наиболее важные отделы ее.
156
Что касается прямых одной и той же плоскости, то они,
конечно, могут пересекаться друг с другом; но возможен слу¬
чай, когда две прямые лежат в одной плоскости и не имеют
общих точек; например: два перпендикуляра к одной прямой
не могут пересекаться в силу теоремы 167. Последнее обстоя¬
тельство дает основание для следующего определения.
Определение 91. Две прямые, лежащие в одной пло¬
скости и не пересекающиеся, называются параллельными.
Параллельность двух прямых а и b обозначается символом
a H Ь. Если два луча или два отрезка принадлежат парал¬
лельным прямым, то иногда говорят прямо о параллельных
лучах или отрезках.
Замечание. Легко видеть, что параллельность есть свойство взаим¬
ное, так что, если а || Ь, то и b || а.
Теорема 306. Все точки одной а
3 /2
а
из двух параллелей лежат с одной
и той же стороны от другой.
Действительно, любой определяе¬
мый этими точками отрезок не может
пересекать другую параллель (опре¬
деление 91), и остается вспомнить
определение 10.
Ь
Определение 92. Пусть даны ь
—
две прямые а и Ь, лежащие в одной
■ б/В?
плоскости, и пусть третья прямая с
с
пересекает их в точках А и В (черт.
85). Пересекаясь, эти прямые образуют
Черт. 85
8 углов (теорема 47), которые на чертеже обозначены цифрами
от 1 до 8. Эти углы имеют особые названия. Те углы при
точке А, одной стороной которых служит полупрямая АВ,
и те углы при точке В, одной стороной которых служит
полупрямая ВА, называются внутренними (таковы углы /, 4,
5, 3); остальные называются внешними. Те углы, которые
лежат по одну сторону от секущей с, называются односторон¬
ними (таковы, например, углы 2, 7, 8, 7); в противном случае —
разносторонними.
Внутренними накрест лежащими называются такие вну¬
тренние углы, которые лежат по разные стороны от секущей,
но не являются смежными (таковы 1 и 5, 4 и S). Соответ¬
ственными называются такие два односторонних угла, из кото¬
рых один внутренний, а другой внешний, но сами углы — не
смежные (например, 1 и 7, 5 и 3). Название внутренние одно¬
сторонние понятно из предыдущего (таковы 1 и 8, 4 и 5).
Теорема 307. Если при условиях определения 92 имеет место одно
из утверждений:
1) внутренние накрест лежащие углы равны,
2) соответственные углы равны,
157
3) внутренние односторонние углы пополнительны,
то имеют место и все остальные.
Доказательство предоставляется читателю (с помощью черт. 87, не
обращая внимания на прямую NN').
Теорема 308. Если имеет место одно из трех утверждений теоремы 307,
то данные прямые параллельны.
Пусть нам дано, что два внутренних накрест лежащих угла равны
так что
/ABL — /_ВАК' (черт. 87, прямая МѴ' пока не нужна).
Попробуем допустить, что прямые L'L и К'К пересекаются, и пусть
точка пересечения лежит по ту же сторону от прямой АВ, как и точки К, L.
Тогда получается треугольник, для которого £ABL будет внутренним,
а ^/ВАК' — внешним, и мы приходим к противоречию с теоремой 155.
Если же принять, что данные прямые пересекаются по другую сторону
от АВ, то в приведенном выше рассуждении только углы поменяются
ролями, а сущность остается той же самой.
Следовательно, прямые L'L Ц К'К.
Если, наконец, имеет место какое-нибудь другое из утверждений тео¬
ремы 307, то в силу этой же самой теоремы дело сведется к предыдущему
случаю.
Д
N
P Q а
Черт. 86
Теорема 309. Через точку, данную
вне прямой, можно провести прямую, ей
параллельную.
Пусть дана прямая а и точка А вне ее
(черт. 86). На прямой а отметим произ¬
вольную точку Р и от этой точки на
данной прямой отложим отрезок (PQ) =
(АР). Далее, из точек А и Q (в плоскости
аА) описываем окружности радиусами,
равными (АР). Так как эти окружности уже имеют общую
точку Р, не лежащую на линии центров AQ, то у них имеется
еще другая общая точка W по другую сторону от AQ (теорема
254). Прямая AN и будет искомой (доказательство основано
на теореме 308 и предоставляется читателю).
Построение, указанное в предыдущей теореме, исходит из
произвольно выбранной точки Р; возможны и другие построе¬
ния (например, с помощью проведения перпендикуляров).
Поэтому возникает вопрос, всегда ли мы придем к той же
самой AN; другими словами, сколько параллелей можно про¬
вести к данной прямой через данную точку? Введенные до сих
пор аксиомы не дают возможности дать вполне определенный
ответ; поэтому здесь нужно ввести еще одну и последнюю
аксиому.
Аксиома XXV. Через точку вне прямой можно про¬
вести только одну прямую, параллельную данной.
Теорема 310. Если прямая пересекает одну из двух параллелей
и лежит в их плоскости, то она пересечет и другую.
В противном случае получилось бы противоречие с аксиомой XXV.
Теорема 311. Если две параллельные прямые пересечены третьей
прямой, то:
158
1) внутренние накрест лежащие углы равны;
2) соответственные углы равны;
3) внутренние односторонние углы пополнительны.
• Пусть даны две прямые К'К И L'L (черт. 87) и пусть /~ABL £ВАК'.
Тогда существует такой луч AN', лежащий с той же стороны от АВ, что
и полупрямая АК', и образующий £BAN' = / ABL (аксиома XXII).
В силу теоремы 308 имеем:
N'N И L'L,
и получается противоречие с аксиомой XXV.
Следовательно,
Z ABL = /. ВАК',
а остальные утверждения вытекают из теоремы 307.
Теорема 312. Если две прямые лежат в
одной плоскости и в пересечении с третьей пря¬
мой образуют внутренние односторонние углы,
причем сумма их меньше 2d, то эти прямые
пересекаются и притом с той стороны от секу¬
щей, с которой лежат внутренние односторонние
углы, дающие сумму меньше 2d.
По существу, это есть то предложение, которое знаменитый греческий
геометр Евклид положил в основу учения о параллельных прямых вместо
нашей аксиомы XXV.
Пусть указанным свойством обладают прямые L'L и N'N в пересечении
с прямой АВ (черт. 87). Если бы эти прямые были параллельны, то углы ABL
и BAN были бы пополнительными (теорема 311), что противоречит заданию;
следовательно, прямые L'L и N'N должны пересекаться.
Проведем через А прямую К'К II L'L (теорема 309), Тогда
/ ABL + / ВАК = 2d (теорема 311).
С другой стороны:
(Z ABL + Z BAN) + (Z ABL' + / BAN') =4d (теорема 148);
а так как ни одна из частичных сумм не равна 2d, то одна из них должна
быть меньше 2d, а другая больше 2d. Пусть для определенности:
Z ABL + £BNA<2d.
Из этого неравенства, в связи с тем обстоятельством, что точки АГ и К
по построению лежат по одну сторону от АВ, вытекает положение луча AN
внутри / ВАК (определение 39). Следовательно, полупрямая AN располо¬
жена в полуплоскости АК'В (теоремы 43, 33), в которой лежит также
целиком прямая L'L (теорема 306); полупрямая AN' лежит в другой полу¬
плоскости (теорема 34). Поэтому точка пересечения прямых N'N и L'L
должна лежать на полупрямой AN, которая лежит по отношению к АВ
с требуемой стороны.
Замечание. Отсюда, между прочим, вытекает, что всегда можно
построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам, если только
их сумма меньше 2d.
Теорема 313. Перпендикуляр и наклонная к одной и той же .пря¬
мой, лежащие в одной и той же плоскости, всегда пересекаются и притом
с той стороны от данной прямой, с которой наклонная образует острый
угол (теорема 312/
159
T e о p e M a 314. Два перпендикуляра к одной и той же прямой, лежа¬
щие в одной и той же плоскости, всегда параллельны (теорема 167).
Теорема 315. Прямая, лежащая в плоскости двух параллелей
л перпендикулярная к одной из них, будет перпендикулярной и к другой.
Прежде всего, на основании теоремы 310 данный перпендикуляр пересе¬
кает и другую прямую, а на основании теоремы 311 (п. 3) он образует с ней
прямой угол.
Теорема 316. Если к двум пересекающимся прямым восставим в их
.плоскости перпендикуляры, то эти перпендикуляры тоже пересекаются.
Допустим, что перпендикуляры, восставленные к прямым а и Ь, пересе¬
кающимся в точке О, оказались параллельными; тогда прямая а будет
перпендикуляром к обеим этим параллелям (теорема 315).
Таким образом, на перпендикуляр, восставленный к прямой Ь, из точки
О будут опущены два различных перпендикуляра fa именно: а и Ь), что
невозможно (теорема 167).
Теорема 317. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно
провести одну и только одну окружность.
Действительно, пусть даны точки А, В, С, причем прямые АВ и ВС
будут различными. В середине отрезков (АВ) и (ВС) восставим перпендику¬
ляры к соответствующим прямым; эти перпендикуляры пересекутся в не¬
которой точке О (теорема 316). На основании теоремы 178 точка О будет
равноотстоять от трех данных точек; а потому окружность О (ОА) будет
искомой; ее единственность вытекает из теоремы 224.
Теорема 318. Плоскость, пересекающая одну из параллелей, пересечет
и другую,
В самом деле, пусть плоскость а пересекает в точке А прямую а, кото¬
рая параллельна Ь; тогда плоскость ab пересекается с плоскостью а по не¬
которой прямой, проходящей через точку А, На основании теоремы 310
эта последняя прямая пересечет прямую Ь, и точка пересечения будет
искомой.
Теорема 319. Плоскость, перпендикулярная к одной из параллелей,
будет перпендикулярной и к другой.
Пусть плоскость а перпендикулярна к прямой а в точке А. На основании
теоремы 318 плоскость а пересечет прямую Ь, параллельную а, в некото¬
рой точке В. Прямая а перпендикулярна прямой АВ (определение 57), а по¬
тому и прямая Ь перпендикулярна АВ (теорема 315); с другой стороны, пло¬
скость ab перпендикулярна плоскости а (теорема 199), и теорема 200 теперь
показывает, что плоскость а перпендикулярна прямой Ь.
Замечание. Вспоминая определение 60, можно теперь сказать (в обоб¬
щение теоремы 315), что прямая, перпендикулярная к одной из парал¬
лелей, будет перпендикулярной и к другой.
Теорема 320. Два перпендикуляра к одной и той же плоскости
всегда параллельны друг другу (теорема 186. определение 91).
Теорема 321. Две прямые, параллельные третьей, параллельны
.между собой.
Пусть нам дано:
a U b и а И с.
В некоторой точке прямой а проведем к ней перпендикулярную плоскость а
(теорема 183). На основании теоремы 319
Ь±а и
откуда
b И с (теорема 320).
160
Определение 93. Совокупность всевозможных прямых, параллель¬
ных между собой, называется связкой параллельных прямых; если же
ограничиться прямыми одной плоскости, то получается пучок параллельных
прямых.
Определение 94. Два параллельных луча (или отрезка) называются
одинаково или разно направленными, смотря по тому, лежат ли они по
одну сторону или по разные стороны от прямой, соединяющей их вершины
(или точки, принятые за начала отрезков).
Теорема 322. Если у двух углов стороны соответ¬
ственно параллельны и если в обеих парах параллельные
стороны одинаково направлены или в обеих—разно направ¬
лены, то такие углы равны между собой; если же в одной
паре параллельные стороны одинаково на- $
правлены, а в другой — разно направлены,
то такие углы—пополнительны. Ъ
Действительно, пусть углы АОВнА1О1В1
(черт. 88) образованы одинаково направлен¬
ными лучами: ОА и ОИі, ОВ и О1В1 (опре¬
деление 94).
Начнем со случая, когда данные углы
лежат в разных плоскостях; тогда можно р
говорить о двугранном угле с ребром OOlt
В силу наших данных каждая пара лучей О А »
и Oj Alf ОВ и О1В1 лежит в одной и той же
полуплоскости с ребром ОО1У т. е. в одной и
той же грани указанного двугранного угла. ’
Так как соответственные углы равны, то Черт. 88
данные углы будут равно-наклоненными се¬
чениями двугранного (определение 63); а так как дву¬
гранный угол равен самому себе, то
(теорема 198).
Пусть теперь эти углы лежат в одной плоскости. Возьмем
вне ее точку S и проведем полупрямые SA2 и SB2) одинаково
направленные: первая —с ОА, вторая —с ОВ. На основании
предыдущего
Так как лучи ОА и ОгАг лежат по одну сторону от плоскости
SOOV, то полупрямая SA2 будет одинаково направленной с
и точно так'же полупрямая SB2— с О^; а потому
Сопоставляя оба равенства, получаем:
£АОВ= ^О^.
и
Богомолов — Геометрия
161
Если теперь даны углы, у которых соответственные стороны
разно направлены, например: ^А'ОВ' и то, заменяя
один из них углом вертикальным, переходим к предыдущему
случаю.
Пусть, наконец, даны два угла, у которых одна пара парал¬
лельных сторон состоит из одинаково направленных лучей, а
другая—из разнонаправленных, например £АОВ' и /А^В^
N На основании предыдущего имеем:
! \/А ^АОВ
:
’ / /AOB'-\-/^AOB=2d (теорема 148),
о\
; \ V откуда
: \ /АОВ' + /A1O1B1=2d.
ft Теорема 323. Если у двух углов, лежащих в
одной плоскости, стороны соответственно перпен-
Черт. 89 дикулярны, то такие углы либо равны, либо по¬
полнительны.
Пусть в некоторой плоскости даны углы АОВ и PNQ, причем
NPA. О А и NQA-OB (черт. 89).
Восставим в точке О перпендикулярные лучи:
ОР1А.ОА и OQ^A-OB,
направив каждый из них в ту сторону, с которой лежит другая сторона /АОВ.
Рассуждение, подобное тому, которое было приведено при доказательстве
теоремы 196, дает:
/АОВ + /P&Q’i = 2d;
отсюда, заменяя второй угол смежным ему, находим:
/АОВ =
Но стороны углов PiOQi и PNQ соответственно параллельны (теорема 311),
а потому (теорема 322) имеем:
или /PNQ = /PrOQb или / PNQ + /Р/Х^ = 2d.
Подставляя /АОВ вместо /P±OQb находим искомое (на черт. 89 изображен
случай, соответствующий равенству наших углов).
§ 28. Сумма углов треугольника
Теорема 324. Внешний угол треугольника равен сумме
внутренних, с ним не смежных.
Возьмем какой-нибудь £\АВС (черт. 90) и проведем два
луча: полупрямую ВА', противоположную для ВА, и полу¬
прямую BE, параллельную полупрямой АС и одинаково с ней
направленную. На основании теоремы 46 полупрямая BE должна
162
попасть внутрь одного из углов АВС и А'ВС\ но первое—не¬
возможно, так как тогда полупрямая BE пересекала бы (АС);
поэтому полупрямая BE находится внутри /А'ВС, так что
/А'ВС=/А'ВЕ + /СВЕ.
Углы ВАС и А'ВЕ будут, очевидно, соответственными, а по¬
тому
/А'ВЕ=/ВАС.
Выясним далее, что точки А и Е лежат по разные стороны
от ВС, Действительно, точка А принадлежит полуплоскости
ВС • А, а точка Е, будучи внутренней для /А'ВС, принад¬
лежит полуплоскости ВС • А' (тео¬
рема 43). Теперь можно утверж- л ,
дать, что углы ВСА и СВЕ будут / \ /
внутренними накрест лежащими, так / \ /
что / \ /
Z.CBE=/BCA. 2 \у ,
Подставляя, получаем: 8
^А'ВС= /ВАС-\- /ВСА. Черт. 90
Теорема 325. Сумма углов треугольника равна двум
прямым углам.
Действительно, имея в виду черт. 90 и теорему 324, пишем
/ВАС//ВСА + /СВА = /А'ВС-\- /СВА,
откуда:
/ВАС//АСВ/ /CBA=2d (теорема 148).
Как следствие этой теоремы, читатель без труда докажет, что
острые углы прямоугольного треугольника дополнительны
и что углы равностороннего треугольника равны 60°.
Замечание. Теорема о сумме углов треугольника позволяет упростить
доказательства некоторых предыдущих теорем. Так, теорема 155 является
непосредственным следствием теоремы 324; теорема 164 с помощью тео¬
ремы 325 сейчас же сводится к теореме 131; то же самое надо сказать
о некоторых пунктах теоремы 165. Если же для всех этих теорем были
даны особые доказательства, то эТо потому, что мы желали изложить
сначала те вопросы, которые для своего обоснования не нуждаются
в аксиоме XXV.
Т е о р е м а 326. В треугольниках с соответственно параллельными
сторонами углы с- ответственно равны.
Пусть в А\£\АВС и дано:
АВ И А.В^ ВС II В,Си С А II Лх;
на основании теоремы 322 относительно каждой пары углов А и Ль В и
С и Сі можно сделать два и только два предположения или они равны,
или пополнительны. Если допустить, что хотя бы в двух случаях имеет
место последнее предположение, например:
А + Ах = 2d и В 4~ = 2d,
11*
163
то сумма углов обоих треугольников будет непременно больше 4d, что не¬
возможно (теорема 325). Поэтому придется принять, что, по Крайней мере,
в двух'парах углы равны:
А = А1 и В — By,
но тогда и
С = Q (теорема 325).
Замечание. Такую же теорему и тем же самым методом (ссылаясь
на теорему 323) можно доказать для двух треугольников с соответственно
перпендикулярными сторонами, но с условием, что они лежат в одной
плоскости.
Теорема 327. Сумма углов выпуклого пугольника равна 2d (п-2)-
Утверждение вытекает из теорем 69 и 325.
Теорема 328. Сумма всех внешних углов всякого выпуклого много¬
угольника равна 4d.
Под внешним углом многоугольника мй пони-
X маем угол, смежный с его внутренним углом (черт.
Û91; для каждого внутреннего угла имеется два
смежных, но они равны между собой). Каждый
внешний угол в сумме со смежным ему внутрен-
> ним углом дает 2d; для n-угольника в общем по¬
лучим 2nd; на долю внутренних углов здесь при¬
дется 2d (п—2), а на долю внешних
2nd — 2d(n — 2) — 4d.
' • Как следствие, отсюда можно утверждать, что в
выпуклом многоугольнике не может быть более
.Черт. 91 трех острых углов, так как иначе сумма внешних
углов была бы больше 4d,
§ 29. Параллелограммы и трапеция
Определение 95. Четыреугольник, у которого противоположные
стороны параллельны, называется параллелограммом. Из теорем 306 и 32
вытекает, что параллелограмм—четыреугольник выпуклый.
Существование такого четыреугольника можно доказать, пересекая
одну пару параллельных прямых другой парой параллельных прямых.
Теорема 329. Во всяком параллелограмме:
1) соседние углы пополнительны;
2) противоположные углы равны;
3) диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника;
4) противоположные стороны равны;
5) в топке пересечения диагонали делятся пополам.
Доказательство предоставляется читателю.
Пункт 4 этой теоремы можно выразить словами: „отрезки параллель¬
ных между параллельными равны".
Теорема 330. Если две соседних стороны и заключенный между
ними угол одного параллелограмма соответственно равны двум сторо¬
нам и заключенному между ними углу другого параллелограмма,
то такие параллелограммы равны.
Действительно, предыдущая теорема показывает, что при данных усло¬
виях у рассматриваемых параллелограммов все стороны и углы соответ¬
ственно равны; тогда дело сводится к определению 53.
Теорема 331. Выпуклый четыреугольник будет параллелограммом
при соблюдении одного из следующих условий:
1) противоположные стороны его равны;
2) противоположные углы равны;
164
3) две противоположные стороны равны и параллельны}
4) в точке пересечения диагонали делятся пополам (существование
точки пересечения вытекает из теорем § 6).
Будем иметь в виду черт. 92 и пусть дано:
1) (ДЯ) = (CD) и (ДЯ) = (ВС).
Из равенства ДД АВС и CDA (по трем сторонам) имеем:
£ВАС = £DCA и Z_BCA = £DAC,
так что
АВ и CD и ВС II AD (теорема 308);
2)/Д = /С и
Так как в четыреугольнике вообще
имеем (теорема 327)
то в нашем случае
2 (£А + Z^) = или
Z4 4- ДЯ = 2d.
Но тогда
АВ (і CD
Точно так же можем получить:
£А + Z5 = 2d,
откуда
AD И ВС.
3) (AD) = (ВС) и AD II ВС.
В таком случае
&ADB — &CBD
откуда
£ABD = /.CD В,
а потому
АВ И CD.
4) (ОА) = (ОС) и (OB) = (OD).
Из равенства ДД AOD и СОВ находим:
/ADO — /СВО, так что, AD || ВС.
Точно так же из равенства ДД АОВ и COD выведем:
АВ II CD.
(теорема 308).
(теорема 130),
Теорема 332. Если какую-нибудь точку М стороны
параллелограмма соединим прямой с точкой О пересечения
его диагоналей, то прямая ОМ пересечет еще противопо¬
ложную сторону—и только ее—в точке N, причем (ОМ) =
— (ON).
165
Для вершин параллелограмма теорема вытекает из тео¬
ремы 329 (п. 5). Возьмем поэтому точку М внутри одной
из сторон, например, внутри (АВ) (черт. 92). Полупрямая ОМ
принадлежит /АОВ, а потому противоположный ей луч пойдет
внутри /^COD (теорема 41) и пересечет его секущий отре¬
зок (CD) в некоторой точке 2Ѵ; на основании теоремы 67
прямая ОМ не может иметь других общих точек с обводом
параллелограмма.
Рассматривая ДД NOD и МОВ,имеем:
(OD)=(OB)
(теорема 329, n. 5),
ZODN=£OBM
(теорема 311),
Z_NOD= /MOB
(теорема 135),
так что
&NOD=/\MOB,
откуда
(ОіѴ) = (ОЛГ).
Определение 96. Пусть дана плоская фигура и в ее
плоскости точка, обладающая следующим свойством: для каж¬
дой точки данной фигуры существует на ней такая другая
точка, что середина определяемого ими отрезка находится
в данной точке; тогда эта последняя называется центром сим¬
метрии данной фигуры.
Теорема 333. Точка пересечения диагоналей есть центр
симметрии параллелограмма.
Теорема 332 говорит, что точки его обвода попарно сим¬
метричны относительно точки О (черт. 92); если же возьмем
какую-нибудь внутреннюю точку Р, то для нее существует
также симметричная точка Q, в построении которой читатель
без труда разберется с помощью черт. 92.
Из теоремы 329 (п. 1) непосредственно вытекает, что если один из углов
параллелограмма равен dt то и все остальные равны d\ существование
таких параллелограммов устанавливается без труда.
Определение 97. Параллелограмм, у которого все углы прямые, на¬
зывается прямоугольником.
Теорема 334. Всякий выпуклый четыреуголъник с равными углами
есть прямоугольник.
Действительно, так как сумма всех его углов равна 4d, то каждый
угол равен d\ дальнейшее сводится к теореме 331 (п. 2) и определению 97.
Теорема 335. Во всяком прямоугольнике диагонали равны.
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 336. Параллелограмм с равными диагоналями есть прямо¬
угольник.
Пусть в параллелограмме ABCD (черт. 93) дано:
(АС) = (BD).
166
Легко видеть, что тогда
A ADB ~ А ВСА (по трем сторонам),
так что
Но вообще имеем:
Z BAD = Z АВС.
а потому
£BAD-\- £ АВС =2 d
(теорема 329, п. I),
/ BAD = / АВС = d.
Дальнейшее сводится к применению теоремы
329 (п. 2) и определения 97.
Легко видеть, что если в параллелограмме
две соседних стороны равны, то все его сто¬
роны равны между собой (теорема 329, п. 4);
возможность такого параллелограмма оче¬
видна.
Определение 98. Параллелограмм с
равными сторонами называется ромбом.
Теорема 337. Выпуклый четыреуголь-
ник с равными, сторонами есть ромб (тео¬
рема 331, п. I и определение 98).
Теорема 338. Во всяком ромбе:
1) диагонали делят углы пополам;
2) диагонали взаимно перпендикулярны.
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 339. Параллелограмм будет ромбом при соблюдении
одного из следующих условий:
1) если его диагонали взаимно перпендикулярны;
2) если диагональ делит пополам его угол.
Действительно, возьмем параллелограмм ABCD (черт.94), и пусть нам
дано:
1) ЛС ± BD. Тогда:
откуда
A ADO = A CDO (по двум катетам),
(AD) = (CD\
и дело сводится к теореме 329 (п. 4) и опре¬
делению 98.
2) DB делит пополам / D. Так как,
кроме того:
/ CDO = / АВО (теорема 311),
то и
Z ADO ~ £АВО.
Следовательно, [\ADB равнобедренный, а потому
(AD) = (ЛВ).
Легко видеть, что диагонали ромба суть его оси симметрии.
Определение 99. Параллелограмм, у которого все углы прямые
и все стороны равны между собой, называется квадратом. Существова¬
ние таких фигур устанавливается без труда.
Так как квадрат соединяет в себе свойства прямоугольника н ромба
то без дальнейших доказательств утверждаем: »
167
Теорема 340. 1) Прямоугольник, у которого две соседние стороны
равны, или ромб, у которого один из углов равен прямому углу, есть
квадрат',
2) во всяком квадрате диагонали равны, взаимно перпендикулярны
и делят его углы пополам;
3) параллелограмм будет квадратом, если его диагонали равны и
взаимно перпендикулярны, или если диагонали равны и одна из них
делит пополам его угол.
Прежде чем идти дальше, докажем следующую теорему о треуголь¬
нике, которая нам неоднократно пригодится.
Теорема 341. Отрезок, соединяющий середины двух сторон тре¬
угольника, параллелен его третьей стороне и равен ее половине.
Действительно, возьмем /\АВС (черт.
95) и соединим отрезком (FG) середины
его сторон (АС) и (ВС); из точки В про¬
ведем полупрямую В К, параллельную по¬
лупрямой АС и одинаково с ней направ¬
ленную.
Рассуждение, подобное приведенному
в теореме 324, показывает, что полупря¬
мая ВС принадлежит / АВК, поэтому точ¬
ки А и К лежат по разные стороны от
ВС и полупрямые ВК и СА будут разно¬
направленными. Отложим на полупрямой
ВК отрезок (ВН) = (AF) и соединим точки
G и Н (будут ли три точки F, G, Н лежать на одной прямой, мы пока не
знаем). В ДД FGC и HGB имеем:
(FC) = (НВ) [(так как оба равны (Л/7)],
(GC) — (GB) (по построению),
£ FCG = £ HBG (теорема 311, п. 1),
так что
Д FCG = Д НОВ,
откуда
(FG) = (GH) и Z FGC = £HGB.
Последнее равенство, в связи с теоремой 151, показывает, что точки F,
G, Н лежат на одной прямой, а первое, — что точка G есть середина от¬
резка (FH). Если мы рассмотрим четыреугольник ABHF (легко убедиться
в его выпуклости), то по теореме 331 (п. 3) он будет параллелограммом.
Следовательно:-
FH II АВ и (FH) = (АВ),
но (FG) есть половина отрезка (FH),
Определение 100. Выпуклый четыреугольник, у которого две
противоположные стороны параллельны, называется трапецией; параллель¬
ные стороны называются основаниями, а две другие — боками; если две
последние равны между собой, то трапеция называется равнобочной. Отре¬
зок, соединяющий середины боков, называется средней линией трапеции.
Существование таких четыреугольников доказано в предыдущем построе¬
нии, а именно там была построена трапеция ABGF (черт. 95).
Теорема 342. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям
и равна их полусумме.
168
Возьмем трапецию ABCD (черт. 96) и проведем ее среднюю линию
(FGy, соединим точки С и F\ эта прямая пересечет АВ в некоторой точке К.
Надо установить, что точки С и К лежат по разные стороны от точки F.
Действительно, если бы, например, точка К лежала между F и С, то,
применяя постулат Паша к £±FDC и прямой АВ, нашли бы, что АВ пере¬
секает (FD) во внутренней точке, а это невозможно. На основании того же
постулата и выпуклости трапеции точка А должна лежать внутри (КВ).
В д д AFK и DFC имеем:
(AF) = (DF),
Z KAF = Z CDF (теорема 311),
/ AFK = / DFC (как вертикальные),
так что
ДЛ/^Л^Д DFC,
откуда
(KF) = (CF) и (АК) = (DC).
Возьмем теперь Д СКВ и, применив к нему теорему 341, получим:
FG II АВ и (FG) =1^1 = (ЛЮ+-(ЛВ) _ (СР)^(АВ)
Теорема 343. Прямая, проходящая через середину одного из боков
трапеции и параллельная ее основаниям, пройдет и через середину дру¬
гого бока.
Теорема вытекает из теоремы 342 с помощью обращения по тождеству
(см. введение).
Настоящий параграф заканчиваем теоремой, доказательство которой
предоставляется читателю.
Теорема 344. Геометрическое место точек, равноотстоящих от
данной прямой и лежащих по одну и ту же сторону от нее, есть пря¬
мая, параллельная данной.
§ 30. Параллельные прямые и плоскости
Определение 101. Если прямая и плоскость или две плоскости,
не имеют общих точек, то они называются параллельными. Существова¬
ние таких образов вытекает из последующих теорем.
Теорема 345. Если прямая проходит через точку, не лежащую
в данной плоскости, и параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости,
то данная прямая параллельна данной плоскости.
Пусть прямая а проходит через точку А, не лежащую в плоскости а,
и а К Ь, где b есть прямая плоскости а. Плоскость ab отлична от плоскости а,
так как иначе точка А лежала бы в этой последней. Следовательно, пло¬
скости а и ab пересекаются по прямой, а именно — по прямой Ь. Если до¬
пустить, что прямая а пересекает плоскость а, то эта прямая должна
пересечь и прямую Ь, что невозможно. Поэтому а не может пересекать а,
т. е. (определение 101):
а II а.
ІбО'
Теорема 346. Если прямая а || плоскости а, то всякая плоскость
проходящая через а и пересекающая а, пересекает ее по прямой, па¬
раллельной а.
Действительно, пусть какая-нибудь из этих плоскостей пересекает
плоскость а по прямой Ь. Тогда прямые а и b лежат в одной плоскости
и не могут пересекаться, так как иначе а не была бы параллельна а.
Следовательно:
а І! Ь,
Теорема 347. Если плоскости а и р пересекаются и обе парал¬
лельны прямой а, то и прямая их пересечения параллельна а.
Действительно, проведем плоскость через прямую а и какую-нибудь
точку N, общую для двух данных плоскостей. Тогда плоскость aN пересе¬
кает как плоскость а, так и плоскость р по прямым, параллельным а
(теорема 346); а так как обе эти параллели проходят через точку N, то
они должны слиться в одну прямую (аксиома XXV). Но эта последняя
прямая, находясь в обеих данных плоскостях, должна быть не чем иным,
как линией их пересечения.
Теорема 348. Прямая и плоскость, перпендикулярные к одной и той
же прямой в различных ее точках, параллельны между собой.
Пусть прямая а и плоскость а обе перпендикулярны некоторой прямой
соответственно в точках А и Р. Плоскость аР пересекает а по прямой Ь,
которая будет перпендикулярна к прямой АР (определение 57). А потому
ч a U b ' (теорема 314),
а и а (теорема 345).
Теорема 349. Две плоскости, перпендикулярные к одной и той же
прямой, параллельны друг другу.
Иначе, из их общей точки были бы проведены две плоскости, перпен¬
дикулярные к данной прямой, что невозможно (теорема 183).
Теорема 350. Если в плоскости а имеются две пересекающиеся пря¬
мые, параллельные плоскости р, то а || р.
В самом деле, если бы эти плоскости не были параллельными, то они
пересекались бы по прямой, которая была бы параллельной обеим данным
прямым (теорема 346), что невозможно (аксиома XXV).
Теорема 351. Через точку, данную вне плоскости, можно провести
одну и только одну плоскость, параллельную данной.
Действительно, опустим из данной точки перпендикуляр на данную
плоскость (теорема 185) и в данной точке восставим плоскость, перпенди¬
кулярную к только что построенной прямой (теорема 183); эта плоскость
параллельна данной (теорема 349). Попробуем допустить, что через данную
точку проходят две различные плоскости аир, обе параллельные данной;
пусть они пересекаются по прямой т. Возьмем в данной плоскости две пе¬
ресекающиеся прямые а и Ь. Так как обе плоскости аир параллельны а
(будучи параллельными данной плоскости, они не могут пересекаться с а),
то т И а (теорема 347), и точно так же докажем, что т || Ь, а это невозможно
(аксиома XXV).
Следовательно, параллельная плоскость единственна.
Замечание. Если речь идет о проведении плоскости через данную
прямую параллельно данной плоскости, то задача невозможна, если данная
прямая пересекает плоскость. Если же они параллельны, то вопрос ре¬
шается, например, с помощью следующей теоремы.
Теорема 352. Геометрическое место прямых, проходящих через
данную точку и параллельных данной плоскости, есть плоскость, про¬
ходящая через данную точку и параллельная данной плоскости.
:7о
Пусть дана плоскость а и точка А вне ее. Проведем через точку А
плоскость р И а (теорема 351). Совершенно ясно, что всякая прямая пло¬
скости проходящая через точку А, будет параллельна плоскости а
(определение 101).
Пусть обратно, дана какая-нибудь прямая а, проходящая через точку
А и параллельная плоскости а.. Проведем через точку А другую прямую
b й плоскости а (возможность этого вытекает из теоремы 345). Тогда пло¬
скость ab II а (теорема 350), плоскость ab должна слиться с плоскостью ₽
(теорема 351), и прямая а лежит в плоскости (3.
Теорема 353. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны
между собой.
Действительно, если бы они пересекались, то получилось бы противо¬
речие с теоремой 351.
Теорема 354. Плоскость, пересекающая одну из параллельных
плоскостей, пересекает и другую, причем в пересечении получаются па¬
раллельные прямые.
Пересечение с другой плоскостью происходит в силу теоремы 351.
Далее, прямые сечения лежат в одной плоскости и не могут пересекаться,
так как принадлежат параллельным плоскостям; следовательно, они парал¬
лельны.
Как следствие отсюда вытекает, что прямая, пересекающая одну из
параллельных плоскостей, пересекает и другую.
Теорема 355. Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных
плоскостей, перпендикулярна и к другой.
В самом деле, по предыдущему данная прямая пересекает и другую
плоскость. Если бы она не была перпендикулярна к ней, то, проведя в точке
пересечения перпендикулярную плоскость (теорема 183), мы пришли бы
к противоречию (теорема 349, 351).
Теорема 356. Плоскость, перпендикулярная к одной из параллель¬
ных плоскостей, перпендикулярна и к другой.
Эта плоскость пересекает обе параллельные плоскости по параллельным
прямым (теорема 354). Поэтому, если для получения нормального сечения
двугранного угла, образованного ею с первой плоскостью, проведем плос¬
кость, перпендикулярную к его ребру, то эта же плоскость даст нам нор¬
мальное сечение и второго двугранного угла (теорема 319). Теперь легко
видеть (теорема 311), что упомянутые нормальные сечения одновременно
будут равны прямому углу, а потому и второй двугранный угол будет
прямым.
Замечание. Подобным же методом можно рассмотреть и другие
соотношения между двугранными углами, получаемыми в сечении двух
плоскостей третьей (если только последняя пересекает их по параллельным
прямым).
Доказательство следующих двух теорем предоставляется читателю.
Теорема 357. Отрезки параллельных прямых между параллель¬
ными плоскостями равны между собой.
Теорема 358. Все точки прямой или плоскости, параллельной
данной плоскости, находятся на одном и том же расстоянии от по¬
следней.
Ниже приведем некоторые свойства скрещивающихся пря¬
мых.
Теорема 359. Если даны две скрещивающиеся прямые,
то через каждую из них проходит одна и только одна
плоскость, параллельная другой прямой.
Действительно, пусть даны две такие прямые а и Ь. Вы¬
берем на одной из них, например, на а, какую-нибудь точку А
171
и проведем через нее прямую Ьг || b (теорема 309). Тогда пло¬
скость аЬх будет одной из искомых (теорема 345). Если допус¬
тить существование еще другой плоскости, проходящей через а
и параллельной Ь, то прямая их пересечения, т. е. прямая а,
должна быть параллельна b (теорема 347), что противоречит
заданию.
Теорема 360. Если даны , две скрещивающиеся прямые,
то существует одна и только одна пара параллельных
плоскостей, соответственно проходящих через данные
прямые.
Пусть ддны прямые а и Ь. Проведем через а плоскость а || b
и через b плоскость 0 || а (теорема 359). Попробуем до¬
пустить, что плоскости аир пересекаются по прямой т; эта
прямая не может оказаться параллельной и к а и к Ь, так как
тогда было бы а || b (теорема 321) и данные прямые не были
бы скрещивающимися. Поэтому прямая т пересекает, например,
прямую а. Но в этом случае прямая а пересекала бы пло¬
скость 0, что противоречит построению. Следовательно, пло¬
скости аир параллельны. Предположим теперь, что нам даны
плоскости аир, соответственно проходящие через прямые а
и b и параллельные друг другу. Отсюда сейчас же вытекает,
что а и Ь и р II а (определение 101), и мы приходим к тем же
самым двум плоскостям, что и выше, а такие плоскости един¬
ственны (теорема 359).
Теорема 361. Если даны две скрещивающиеся прямые
и еще дана точка, не лежащая ни в одной из плоскостей,
указанных в теореме 359, то через эту точку проходит
одна и только одна прямая, пересекающая обе данные прямые.
Пусть даны две прямые а и b и точка О, расположенные
указанным образом. Проведем через точку О прямую А, кото¬
рая с каждой из данных прямых лежит в одной плоскости.
Такая прямая определяется как пересечение плоскостей аО
п ЬО и будет единственной. Если допустить, что h II а и
h II b, то и a II Ь, что невозможно. Попробуем допустить,
что h II а и пересекает b (в некоторой точке В). В таком слу¬
чае h лежит в плоскости Ыг, которая будет параллельна а
(теорема 345). Но тогда и точка О лежит в этой плоскости,
что противоречит заданию.
Точно так же невозможно, чтобы h пересекала а и была
параллельна Ь.
Следовательно, остается допустить, что h пересекает обе
данные прямые.
Теорема 362. Если даны две скрещивающиеся прямые,
то существует одна и только одна прямая, перпендикуляр¬
ная к обеим данным и обе их пересекающая.
Действительно, пусть даны прямые а и b (черт. 97). Прово¬
дим через а плоскость а || b и через Ь — плоскость 0 || а (тео¬
рема 359). Из доказательства теоремы 360 мы знаем, что а || 0.
172
Далее, через прямую а проводим плоскость, перпендикуляр¬
ную к а (теорема 203); эта плоскость будет перпендикулярной
и к плоскости р (теорема 356), и пересечет ее по прямой || а
(теорема 354). Точно так же через прямую b проведем пло¬
скость, перпендикулярную к р, которая будет перпендикуляр¬
ной и к а и пересечет последнюю по прямой || Ь. В пло¬
скости а мы имеем теперь две прямые а и которые не могут
ни слиться в одну, ни оказаться параллельными, так как тогда
было бы a II Ь.
Следовательно, прямые а и br
пересекаются в одной и только 5
в одной точке Д. /: •
Точно так же докажем, // д,
что прямые ах и b пересека-
ются в некоторой точке В.
Прямая АВ и будет искомой.
Действительно, она, очевидно,
пересекает обе данные пря-
мне. Далее:
Черт. 97
АВ ± р (теорема 202),
откуда
АВ .^Ь (определение 57),
и точно так же
АВ ± а.
Чтобы установить единственность общего перпендикуляра,
возьмем данные прямые а и b и допустим, что нам задан их
общий перпендикуляр в виде прямой АВ. Построим по преды¬
дущему плоскости аир, которые вполне определяются зада¬
нием прямых ап b (теорема 359). Далее, проведем плоскости ЬА
и аВ. Последняя пересекает р по прямой аг || а (теорема 346) и:
ДВ _1_ аг (теорема 315),
АВ ± р (теорема 181),
ЬА ± р (теорема 199).
Точно так же докажем, что
аВ j_ а.
Таким образом, общий перпендикуляр АВ определяется как
пересечение плоскости, проходящей через а и перпендикуляр¬
ной к а, с плоскостью, проходящей через b и перпендикуляр¬
ной к р, а такие плоскости единственны (теорема 203).
Замечание. Для построения общего перпендикуляра достаточно по¬
строить следующие три плоскости: 1) плоскость через одну из данных пря¬
мых параллельно другой, 2) плоскость через а перпендикулярно первой
плоскости, 3) плоскость через b перпендикулярно первой плоскости.
173
Теорема 363. Отрезок общего перпендикуляра двух
скрещивающихся прямых, определяемый его основаниями на
данных прямых, есть кратчайшее расстояние между точ¬
ками этих прямых.
Пусть прямая АВ есть общий перпендикуляр двух скрещи¬
вающихся прямых а и b (черт. 97). Возьмем на данных пря¬
мых по точке К и L, из которых по,крайней мере одна отлична
от А или В. Так как плоскость аВ _і_ р (теорема 356), то пер¬
пендикуляр из точки К на плоскость р лежит в плоскости аВ
(теорема 201), а потому его основание N упадет напрямую аг.
Из прямоугольного Д KNL имеем: (А7Ѵ) < (KL).
С другой стороны: (KN) = (АВ) (теоремы 314 и 329, п. 4).
Следовательно;
(AB)<(KL).
§ 31. Пропорциональные отрезки между
параллелями
Теорема 364. Если три прямые параллельные друг
другу, пересекают две другие прямые соответственно в точ¬
ках А и Аъ В и В19 С и С19 и если В лежит между А и С,
то В: лежит между Аг и
Х^ /£і Теорема поясняется черт. 98. В
/ силу наших данных, точки А и С ле-
жат по разные стороны от параллели,
y./XQ проходящей через точку В. На основа-
/ нии теоремы 306 такое же расположе-
/ ^х ние будет иметь место для всех то-
у Vх чек параллелей, проходящих через
' точки А и С.
Черт. 98 Следовательно, и точки Сг лежат
по разные стороны от
Теорема 365. Дан пучок параллельных прямых и еще
две прямые, лежащие в той же плоскости, но не принад¬
лежащие данному пучку. Тогда между точками этих пря¬
мых с помощью данного пучка параллелей можно установить
такое одно-однозначное соответствие, что:
1) равным отрезкам на одной прямой соответствуют
равные же отрезки на другой;
2) отрезку, который является суммой отрезков одной
прямой, соответствует на другой прямой отрезок, кото¬
рый является суммой соответствующих отрезков.
Условимся считать соответствующими такие точки двух дан¬
ных прямых, которые лежат на одной и той же параллели.
Ясно, что соответствие будет одно-однозначным. Далее, соответ¬
174
ствующими будем считать те отрезки, которые определяются:
парами соответствующих точек, как, например, отрезки
(черт. 99) (ЛВ) и (Л^), (BD) и (В^), и т. д.
Пусть теперь нам дано, что (ЛВ) = (£)£), и надо доказать
равенство (MBJ = (DM)-
Из точки А проведем прямую, парёллельную А]В{ до пе¬
ресечения с ВВі в точке М (теорема 310). Легко видеть, что
получается параллелограмм ЛЛі ВхМ, а потому
(ЛУИ) = (AM
Точно так же из точки Dx проводим
прямую, параллельную АВ до пере¬
сечения с ЕЕ1 в точке и полу¬
чаем:
(AM) = (DE).
В А А АВМ и DiN1E1 все углы
соответственно равны (теорема 326),
а так как, кроме того,
(АВ) = (DM
то
А АВМ = Д АММ,
откуда
или
(AM) = (DM
(AM = (DM.
Рассуждение остается в силе и тогда, когда (АВ) и (DE)
лежат по разные стороны от О.
(Читателю предоставляется разобрать те случаи, когда две
данные прямые параллельны или когда одна пара соответ¬
ствующих точек совпадает с О.) 7
Пусть теперь отрезок (АС) = (АВ)(ВС), так что точка В
лежит между Л и С; но тогда точка Вх лежит между Лх и Ct
(теорема 364), а потому
(л1с1) = (АМ) + (в1с1).
Рассуждение без труда обобщается на случай нескольких
слагаемых.
Замечание. На этой теореме основано решение задачи о делении
данного отрезка (АВ) на п равных частей, а именно: проводим из точки А
произвольный луч, отличный от луча АВ и от противоположного луча; от
точки А на проведенном луче откладываем последовательно п любых рав¬
ных между собою отрезков; конец последнего К соединяем с В и через
концы остальных отрезков проводим прямые, параллельные КВ. Эти прямые
резделяют (АВ) на п равных частей (теорема 365, п. 1).
175-
Теорема 366. При условиях теоремы 365 соответст¬
вующие отрезки на двух данных прямых прямо пропорцио¬
нальны.
Утверждение непосредственно вытекает из теоремы 365
и 303. Обращаясь к черт. 99, имеем, например, следующие
пропорции:
(ОЛ) = (ОЛ0 (Д£) = (АА) и
(BD) (B,D,) ’ (CF) (QA) ’ ” ’
Теорема 367. Если две пересекающиеся в точке О прямые пересе¬
ваются двумя параллельными в точке А и Alf В и Вь то имеют место сле¬
дующие пропорции:
(ОД) _ (ОД3) (ОА) __ (О А,) (ОВ) _ (ОВ,)
(АВ) (АгВ,У (ОВ) (ОВ,) * (АВ) (А,ВгУ
ИА) __ (ОА)
(ВВ,) (ОВ) •
Действительно, стоит только через точку О провести прямую, парал¬
лельную данным параллелям, и первая'группа пропорций непосредственно
вытекает из предыдущей теоремы. Для дальнейшего проведем из точки А
^прямую, параллельную OAlt до пересечения с ВВ, в точке М (черт. 99). Если
точка А лежит между О и В, то М лежит между В и В, (проведем через
В прямую, параллельную ОДЬ и сошлемся на теорему 364). Кроме того,
легко видеть, что
(В,М) = (А,А),
Применяя теорему 366 к прямым ОВ и ВВ,, пересекаемым параллелями
AM и ОВ,, находим:
(В,М) __ (ОА)
(В,В) (ОВ) '
или
(ДИ) _ (ОА)
(В,В) (ОВ) *
[Если А и В лежат по разные стороны от О, то в предыдущем рассуж¬
дении придется только изменить утверждение о расположении точек В, Вь
Л4, а именно: теперь В, лежит между В и М (теорема 364)].
Замечание. На изложенной теореме основано решение задачи: по
трем данным отрезкам at Ь, с построить четвертый пропорциональный отре¬
зок.
Берем какой-нибудь угол с вершиной в точке О и на одной из его
сторон откладываем отрезки: (ОА) — а и (АВ) — b (А лежит между О и В),
а на другой стороне отрезок (ОС) = с;_ соединяем Я с С и из точки В про¬
водим прямую, параллельную АС до пересечения с полупрямой ОС в точке
D. Так как на основании теоремы 367
(ОА) _ (ОС)
(АВ) (CD) ’
то отрезок (CD) и будет искомым.
Л76
Подобным же образом решается задача о делении отрезка в данном
отношении.
Теорема 368. Если на одной стороне угла (с вершиной в точке О)
даны точки А и В, а на другой — точки Дх и Вк, и если имеет место про-
порция (5В) - (0В1) ■ то
ЛД, И ВВѴ
Черт. 100
Для доказательства проведем из точки В прямую, параллельную ААі
до пересечения с ОАі в точке В} (черт. 99).
На основании теоремы 367 имеем:
(OA) _ (OAJ
(OB) (рв'і) •
Сравнивая эту пропорцию с данной в усло¬
вии пропорцией, находим (теорема 302):
(ОВХ) = (ОВ\) ,
а потому точка В1 совпадает с В) ^аксиома
Замечание. Читателю предлагается доказать, что к тому же заклю¬
чению приводят и пропорции:
(ОД) _ (ОДО (ОВ) _ (ОВ.)
(АВ) ~(А&) ' (АВ) ~ (Д^)
при условии, что точки Дь В. расположены так же, кЪк и точки Д, В. Сле¬
дует, кроме того, указать пример, когда при нарушении условия об одина¬
ковом расположении, утверждение становится неверным.
Теорема 369. Если точки О, А, В лежат на одной пря¬
мой, а точки Вх лежат по одну сторону от АВ или по
разные стороны от нее, смотря по тому, лежат ли точки
А и В по одну сторону от О или по разные-, если ААѴ || ВВХ
и имеет место пропорция:
(ДДО (ОА)
(ВВ.)^ (ОВ) ’
то точки О, Вх тоже лежат на одной прямой.
Допустим, что прямая ОАУ пересекает ВВА в некоторой
точке Q. В случае, когда А и В лежат по одну сторону от О,
а УІ! и Вх — по одну сторону от АВ (черт. 99), то прямые ААГ
и ВВ1 лежат по одну сторону от прямой, проходящей через О
и параллельной АА1 (теорема 306). Следовательно, точка Q
принадлежит полупрямой ОАа. В случае же, когда А и В ле¬
жат по разные стороны от О, а ./Ц и Вх — по разные стороны
от АВ (черт. 100), то прямые ААХ и ВВ1 лежат по разные сто¬
роны от указанной прямой. Тогда точка Q принадлежит про-
177
12
Богомслов — Геометрия
тивотюложной полупрямой ОАр Отсюда вытекает, что в обоих
случаях точки Q и В. лежат по одну сторону от АВ. Другими
словами, точка Q принадлежит полупрямой ВВ.. На основании
теоремы 367 можно написать:
(ЛЛ,) _ (ОЛ)
(BQ) (ОВ) *
Сравнивая эту пропорцию с данной, находим:
(ВВ.) = (BQ) (теорема 302).
В связи с положением точки Q, отсюда вытекает, что Q совпа¬
дает с Bj (аксиома XX), так что точки О, А. и В. лежат на
одной прямой.
Замечание. Читателю предлагается придумать примеры, когда при
нарушении условия о расположении точек три точки О, Л1Э Д не лежат на
одной прямой.
Теорема 370. Две параллельные прямые рассекаются пучком пря¬
мых (той же плоскости) на пропорциональные части.
Пусть даны прямые АВ || A.Blt которые прямыми пучка О пересе¬
каются соответственно в точках А и А., В и В. и т. д. (черт. 101, на кото¬
ром изображены два различных положения прямой Лх Вх). Если этот пучок
образован параллельными прямыми, то предложение непосредственно вытекает
из теоремы 366; в противном случае, применяем теорему 367 к прямым ОА
и ОВ:
(ОА) (АВ) (ОВ)
(OAJ-^BJ^ (ОВ.) ’
Точно так же прямые ОВ и ОС дают:
(ОВ) (ВС) (ОС)
= = ", и т. д.
(ОВ.) (В.С.) (ОС.)
Сравнивая эти пропорции, получаем:
(АВ) _ (ВС) _ (СР) _
(А.В.)~ (В.С.)~ (С,D.) ‘
Переставляя в каждой из заключающихся здесь пропорций средние члены,
можем эти равенства переписать так:
(ЛВ) : (ВС) : (CD) :.= (ЛА) : (BjCJ : (С?А) :..,.
178
§ 32. Подобие и гомотетия
Определение 102. Два треугольника называются подобными, если
их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны
(сходственными называют стороны, противолежащие равным углам); подобие
обозначается символом œ. В обозначении подобных треугольников мы будем
придерживаться правила, подобного тому, которое было указано для равных
треугольников в замечании к теореме 130. Общая величина отношений
сходственных сторон называется отношением подобия данных треугольников
(если отношение подобия равно 1, то данные треугольники равны).
Существование подобных треугольников вытекает из следующей тео¬
ремы.
Теорема 371. Прямая, проходящая через внутреннюю точку стороны
треугольника и параллельная его основанию, отсекает треугольник, подоб¬
ный данному.
Возьмем ДЛВС и через внут¬
реннюю точку В2 стороны (АВ) про
ведем прямую, параллельную ВС
(Д АВС на черт. 102); эта прямая
пересечет сторону (АС) также во
внутренней точке С2 (теорема 364).
В ДА АВС и АВ2С2 угол А — об¬
щий, а £В = В2 и /_С =/_С2> как
соответственные. Далее, теорема 367
дает:
(АВ) _ (АС)__ (ВС)_
(АВ2) (АС2) ~ (В2С2) ’
так что:
Л АВ2С2 А АВС.
Теорема 372.1. Два треугольника, подобные третьему, подобны друг
другу.
2. Если один треугольник подобен второму, а второй равен третьему,
то первый подобен третьему.
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 373. Если два угла одного треугольника соответственно
равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Пусть для д д АВС и ЛДСі дано:
Z В = Д Ві и / С = Q (черт. 102).
Прежде всего отсюда следует, что
/ А = /Лі (теорема 325).
Если стороны (ЛВ)—(Л^), то наши треугольники равны [равенство можно
рассматривать, как частный случай подобия (см. определение 102)]; если же
они не равны, то пусть (АВ)> (АД^). Тогда внутри стороны (АВ) найдется
такая точка В2, что
(ЛВ2) = (Л,Ва).
Через эту точку проводим прямую, параллельную ВС.
Далее имеем :
Д АВС со Д ЛВ2С2
Д АВ2С2 ~ А1В1С1
(теорема 371),
(теорема 131),
А АВС со Д AiBj^Ci
(теорема 372, п. 2).
12*
172
Теорема 374. Если две стороны одного треугольника соответственно
пропорциональны двум сторонам другого, а заключенные между ними
углы равны, то такие треугольники подобны.
Пусть даны д д АВС и АД^Су (черт. 102), в которых
(АВ) (АС)
■ = и / А = ЛАі.
(A.BJ (А&)
Если (АВ) = (ABj, то и (АС) = (Л^) (теорема 302), и наши треугольники
равны.
Допустим, что (АВ)'у>(АіВ1) и отложим (ДВ2) = (АД^). Через точку В2
проведем прямую В2С2 II ВС. На основании теоремы 371 имеем:
д ABC œ д АВ2С2,
откуда
(АВ) (ЛС)_
(АВ2) “ (АС2)
(определение 102).
Сопоставляя эту пропорцию с данной в условии пропорцией и помня о равен¬
стве отрезков (ЛВ2) и (ДВД находим:
(ДіД) — (АС2) (теорема 302).
Тогда
д АВ2С2 = AABiQ (теорема 130),
д АВС сѵ> д А^В^Сі (теорема 372, п. 2)
Теорема 375. Если стороны одного треугольника соответственно
пропорциональны сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Доказывается тем же методом, что и предыдущая теорема; равенство
АД АВ2С2 и ZiBjCi теперь нужно обосновать с помощью теоремы 138.
Теорема 376. Два треугольника с соответственно параллельными
сторонами подобны (теоремы 326 и 373).
Замечание. То же можно утверждать и в случае взаимно перпен¬
дикулярных сторон, если треугольники лежат в одной плоскости.
Теорема 377. Прямоугольные треугольники подобны:
1 ) если у них имеется по равному острому углу:
2) если катеты одного пропорциональны катетам другого;
3) если катет и гипотенуза одного соответственно пропорциональны
катету и гипотенузе другого.
Первые два пункта непосредственно вытекают из теорем 373 и 374;
что касается третьего, то он доказывается тем же методом, что и тео¬
рема 374 (можно даже воспользоваться черт. 102, считая / А =/_ А ’= d)\
только равенство ДД АВ2С2 и А^ВгСг теперь вытекает из теоремы 165
(и. 3).
Теорема 378. В подобных треугольниках отношение соответствен¬
ных высот равно отношению подобия данных треугольников.
Пусть в двух подобных ДДДВС’ и AJ^C^ проведены соответствующие
высоты (АН) и (АгНг) (черт. 102), так как Д В =/_ В}, то острые углы
при вершинах В и Вх в прямоугольных ДД АВН и А{ВхНг будут между
собою равны: или эти углы тождественны с углами В и (случай чертежа),
или они тождественны с углами смежными [если / В и / Вг тупые, так
что И и лежат вне основания (теорема 172)].
180
Но тогда
Л АВНсо д (теорема 377, п. Г), откуда
(АН) _ (АВ)
ИД) (А^) '
Замечание. Такое же предложение можно доказать для соответ¬
ствующих медиан и биссектрис. В известном смысле обобщением является
следующее предложение.
Теорема 379. Если Л АВСси Л А^С^ с отношением
подобия, равным k, и если внутри сторон (АВ), (А^), (АС)
и (ÂjCj) отмечены соответственно такие точки D, Dït Е и Е,,
что:
(ЛО) (W и .№) И. g? то
(BD) ’ (В^) (СЕ) (С^)’
(D^)
Действительно,
(теорема 302):
берем пропорции, производные от данных
(АР)±(ВР) _ (ДА)+(ДА) и (ЛЕ)+(С£) _ (ДА) + (C'A)
(АР) ' (А,Р,) (АЕ) (А^)
или
(АВ) (ДАД и (АС) __(А,С,)
(AP)~~(AlPï) (АЕ) (А.Е,)'
(АР) CAB) и (АЕ) (AC) = k
(А.Р,) (№) (А^) (АѵСА
откуда
(АР) (АЕ)_
(АД) ' (А^,)’
Следовательно:
Л ADEсѵ (теорема 374),
откуда
(РЕ) = (ДО) = k
(Р^) (ДА)
181
Замечание. Читателю предоставляется убедиться в том, что теорема
остается в силе,, если одна из точек D и Е совпадает с вершиной треуголь¬
ника или если обе точки лежат на одной и той же стороне треугольника.
Подобно тому, как в § 15 был сделан переход от равенства треугольни¬
ков к равенству многоугольников, так и здесь можно от подобия треуголь¬
ников перейти к подобию многоугольников.
Теорема 380. Определение 53 и теорема 175 остаются в силе при сле¬
дующей замене терминов: „равенство сторон" заменяется на „пропорциональ¬
ность сторон", „равенство треугольников и многоугольников" — на .подобие"
этих фигур, „равенство углов" — остается.
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 381. Отношение периметров двух подобных многоуголь¬
ников равно отношению подобия.
В самом деле, если ABCD ... оэ Д1В1С1£)1 ..., то
= = = = k
(ДіВО (B.CÎ) (QA) ’
По свойству равных отношений отсюда выводим (теорема 302):
(ЛВ)-НВС)+ (££>) + -..
(Д1В1) + (В1С1) + (С1Р1)+...
К учению о подобии любых геометрических образов можно
подойти со следующей точки зрения.
Определение 103. Два геометрических образа назы¬
ваются подобными, если между их точками установлено такое
одно-однозначное соответствие, что если М и Mlf N н
суть две пары соответственных точек, то всегда
^_k
(AM/) ’
где k есть постоянное положительное число, которое назы¬
вается отношением подобия. Важно отметить, что если £ = 1,
то получаем общее учение о равенстве, которое является здесь
частным случаем подобия.
Прежде всего необходимо установить, что новое опреде¬
ление не противоречит прежнему.
Теорема 382. Два треугольника (или многоугольника),
подобные в смысле определения 102, будут подобными
и в смысле определения 103, и обратно.
Как легко усмотреть, доказательство существенно основано
на теореме 379.
Не входя в подробное изложение вопроса (ниже будет под¬
робно рассмотрена гомотетия), отметим некоторые теоремы
о подобии многогранников (при k=A, получаем теоремы
о равенстве).
Теорема 383. Два тетраэдра подобны:
1) если их ребра соответственно пропорциональны;
182
2) если у них имеется по две подобных и одинаково рас¬
положенных грани и если образуемые ими двугранные углы
равны между собой.
Для доказательства п. 1 замечаем, что при данных условиях
грани наших тетраэдров будут соответственно подобны, и дело
сводится к повторному применению теоремы 379. Во втором
случае, пользуясь равенством трехгранных углов, получаем по¬
добие двух остальных граней, и дело сводится к предыду¬
щему.
От тетраэдров естественно перейти к многогранникам вообще.
Две следующие теоремы доказываются с помощью разложения
многогранника на тетраэдры (см. теорему 92).
Теорема 384. Два подобных многогранника можно
разложить на одинаковое число подобных и одинаково рас¬
положенных тетраэдров, и обратно.
Теорема 385. Если между вершинами двух выпуклых
многогранников можно установить такое одно-однозначное
соответствие, что соответственные грани будут подобны,
а соответственные многогранные углы равны, то данные
многогранники подобны.
Было уже упомянуто, что при k = 1 предыдущие теоремы
являются теоремами о равенстве. С этой точки зрения уместно
будет доказать здесь еще следующее предложение.
Теорема 386. Если тетраэдр МАВС = тетраэдру М'АВС,
то или М' совпадает с 714, или М' симметрично с 714 относи¬
тельно плоскости АВС.
Различаем два случая:
1) М' и М лежат по одну сторону от плоскости АВС.
Так как двугранные углы при АВ будут равны, то полу¬
плоскость АВ.М совпадает с полуплоскостью АВ • М' (тео¬
рема 194), и точно так же полуплоскость АС • 714 совпадает
с полуплоскостью АС . М' ; поэтому и их пересечения окажутся
тождественными, т. е. полупрямая АТИ совпадает с полупрямой
АМВ Так как, наконец, ребра (ДТП) = (АТИ'), то М' совпадет
с М.
2) NE и 7И лежат по разные стороны от плоскости АВС.
Построим точку N, симметричную с М относительно пло¬
скости АВС. Легко видеть, что тетраэдр NABC = тетраэдру
МАВС = тетраэдру М'АВС. А так как теперь N и ЛЕ лежат
по одну сторону от плоскости АВС, то, по предыдущему,
точка ЛЕ совпадет с N.
Ограничиваясь этими краткими замечаниями по поводу общего
учения о подобии, мы более подробно остановимся на одном
преобразовании, тесно с ним связанном.
Определение 104. Пусть дана постоянная точка О
(„центр гомотетии, или центр подобия") и постоянное положи¬
тельное число k, не равное 1 („отношение подобия").
Î83
Гомотетией называется преобразование, в силу которого
любой точке 714, отличной от О, соответствует такая точка 714
лежащая на прямой ОМ, что
(ОМ)
точка О соответствует самой себе.
Гомотетия называется прямой, если М) лежит на полупря¬
мой ОМ, и она называется обратной, если 7И1 лежит на
противоположной полупрямой. Если одна фигура получается
из другой при помощи гомотетии, то они называются гомо¬
тетичными. Гомотетия может распространяться на все про¬
странство или же ограничиваться точками определенной пло¬
скости.
Теорема 387. Гомотетия есть одно-однозначное преоб¬
разование. ч
Действительно, пусть дана точка М, отличная от О (точка
О соответствует самой себе). Тогда вполне определяется пря¬
мая ОМ, а также и отрезок (ОМ^ из условия:
Л<О М ММ, Nf (ОТИі) = k . (ОМ).
P P
' Наконец задание, с какой
Черт. 103 именно гомотетией мы имеем
дело, показывает, на каком
луче прямой ОМ надо отложить отрезок (OTHJ.
Таким образом, точка М преобразуется во вполне опре¬
деленную точку М19 и обратно: Мх переходит в М при го¬
мотетии с центром в точке О и с отношением подобия, рав-
1
ным -г-.
R
Теорема 388. Обратная гомотетия сводится к прямой
гомотетии в соединении с преобразованием по симметрии
относительно центра подобия.
В самом деле, пусть точка М прямо гомотетична с точкой М1
и обратно гомотетична с точкой М при одном и том же от¬
ношении подобия (черт. 103).
По определению 104 имеем:
«W = k и ( 0>И|) = k,
(ОМ) (ОМ)
откуда
.(ому) _
(ОМ) (дм)
(ОТИі) = (OAf') (теорема 302).
Теперь остается вспомнить определение 96.
184
Последняя теорема приводит к мысли доказать здесь одна
предложение о симметрии, а затем уже ограничиться случаем
прямой гомотетии, предоставляя читателю устанавливать соот¬
ветствующие свойства для обратной гомотетии.
Теорема 389. При преобразовании по симметрии от¬
носительно центра фигуры переходят в равные им, причем
соответствующие отрезки параллельны и разно направлены.
Действительно, возьмем две какие-нибудь точки Aj и Вх
данной фигуры (черт. 104) и преобразуем их в точки А1
и В 9 симметричные с ними относительно О. Тогда по опреде¬
лению 96 имеем равенства:
и (ОВ1) = (ОВ>
Отсюда нетрудно заключить,
что:
= Д»<ОВ',
а потому
(д;в') = (ЛА).
Таким образом, равенство данной и преобразованной фигур
уже доказано. (определение 103 при £ = 1). Далее имеем:
Z ОА1В1 = Z ОА[В[,
причем точки В± и лежат по разные стороны от прямой
д.оа;.
Следовательно:
АІВ1 II А^В^ (теорема 308, п. 1)
и определение 94 дает разно-направленность отрезков (АХВХ)
и
Теорема 390. Гомотетичные фигуры подобны.
Действительно, возьмем две какие-нибудь точки А и В
данной фигуры (черт. 104) и преобразуем их с помощью пря¬
мой гомотетии в точки Aj и Ви По определению 104 имеем:
А?-1’ - 4 и ,
(ОЛ) (ОВ)
откуда
(0.4,) (ОВ0
"(ОД) (ОВ) •
185»
Теперь теорема 368 показывает, что
А1В1 И АВ,
а по теореме 367
МіВі) = ж = k
{АВ) {ОА)
Если вспомнить определение 103, то последнее равенство
и доказывает теорему.
Теорема 391. При гомотетии прямая, проходящая
через центр подобия, преобразуется в самое себя; всякий
се отрезок преобразуется в ее же отрезок, причем его
длина умножается на k.
Из определения 104 непосредственно вытекает, что точки
прямой ОМ преобразуются в точки той же прямой. Пусть
далее точки М, Р и N преобразуются в точки Mlt Р1 и N±
(черт. 103), так что
(ОМ) = * • (ОМ), (ОРО = k . (OP), (ОМ) = * • (O7V)-
Допустим теперь, что (OM)<(ON) и что точка Р лежит
внутри отрезка (MN). Тогда, очевидно, имеем неравенства:
(OM)<(OP)<(ON).
Так как при гомотетии все такие отрезки умножаются на
одно и то же положительное число k, то
(ОМ1)<(ОР1)<(ОМ),
и точка Pj лежит внутри отрезка (ММ)- Следовательно, от¬
резок (MN) преобразуется в отрезок (ММ)-
Наконец, из приведенных выше равенств получаем:
(ОМ) - (ОМ) = k • [(ON) - (ОМ)],
или
(ММ) => k . (MN\
Теорема 392. При гомотетии прямая, не проходя¬
щая через центр подобия, преобразуется в параллельную
прямую; ее отрезок преобразуется в параллельный отрезок,
причем длина его изменяется в k раз.
На основании теорем 388 и 389 ограничимся случаем пря¬
мой гомотетии. Пусть дана прямая АВ (черт. 104). Отметим
на ней две точки А, В, и пусть они преобразуются в точки
Въ так что
(2Éll=b откѵла (ОА^ = (ов^
(OA) ’ (OB) ’ У (OA) (OB) '
Проведем прямую А.ВѴ На основании теоремы 368 Л1Р1 || A3.
186
Пусть М есть какая-нибудь точка прямой АВ и пусть пря¬
мая ОМ пересекает А1В1 в точке (теорема 310). На осно¬
вании теоремы 367 имеем:
(OAf.) . (040 _ k
(ОЛ4) ' (ОД) ” ’
причем Мг должна принадлежать полупрямой ОМ, так как
по построению и по теореме 306 все точки прямой ле¬
жат по ту же сторону от параллели через О, что и точки
прямой АВ. Отсюда видно, что гомотетична с М и прямая
АВ преобразуется в прямую ДхВр
Возьмем теперь отрезок (АВ) на данной прямой. Какая-
нибудь его точка М преобразуется в точку и на основа¬
нии определения угла (определение 12, теорема 38) можно
утверждать, что М1 принадлежит отрезку (А^В^.
Наконец, теорема 367 дает:
= (ОДО = k
(АВ) (ОА)
Замечани е. Если вспомнить определение 94, то нетрудно придти
к выводу, что при прямой гомотетии отрезки (АВ) и (А^В^ — одинаково,
а при обратной — разно направлены (для последнего утверждения нужны
теоремы 388 и 389).
Теорема 393. При гомотетии три точки, не лежа¬
щие на одной прямой, преобразуются в три точки, также
не лежащие на одной прямой.
Иначе получилось бы противоречие с теоремой 391 или
392, так как точка М получается из точки Мі также с по¬
мощью гомотетии при том же центре подобия (но при отно-
шении подобия равном ^-).
Теорема 394. При гомотетии:.
1) плоскость, проходящая через центр подобия, преобра¬
зуется в самое себя;
2) плоскость, не проходящая через центр подобия, пре¬
образуется в параллельную плоскость;
3) четыре точки, не лежащие в одной плоскости, пре¬
образуются в точки, обладающие тем же свойством.
Рассматривая плоскость как пучок прямых, выводим п. 1
из теоремы 391, а п. 2 — из теорем 392 и 352; что же касается
п. 3, то он доказывается от противного.
187
Теорема 395. При гомотетии многоугольник преоб¬
разуется в подобный многоугольник с соответственно па¬
раллельными сторонами.
Действительно, будем строить фигуру, гомотетичную с
данным многоугольником. На основании теорем 394 (пп. 1
и 2), 391 и 392, 393 это будет также многоугольник со сто¬
ронами, параллельными сторонам данного. Пропорциональность
сторон вытекает из теорем 391 и 392, а равенство углов — из
теоремы 322. Наконец, ссылка на определение 53 и теорему
380 завершает доказательство.
Теорема 396. При гомотетии многогранник преоб¬
разуется в подобный многогранник с соответственно па¬
раллельными ребрами и гранями.
Сначала берем случай тетраэдра и доказываем предложе¬
ние с помощью теорем 394, 393, 391, 392 и 383 (п. 1). К об¬
щему случаю переходим, присоединяя сюда теорему 384.
Теорема 397. При гомотетии окружность (шаровая
поверхность) С (г) преобразуется в окружность {шаровую
поверхность) С± (rj, где Сг и С — гомотетичные точки,
а гг = k • г.
Действительно, пусть дана окружность или шаровая по¬
верхность С (г) (черт. 105); даны также центр гомотетии О
(который может также лежать и на окружности и внутри ее)
и отношение подобия k. Если О совпадает с С, то теорема
391 сейчас же показывает, что гомотетичной фигурой будет
окружность (шаровая поверхность), концентрическая с данной
и имеющая радиус, равнь:й k . г.
В противном случае построим точки С\ и Mlf гомотетич¬
ные с С и Л4, где М есть любая точка данного геометриче¬
ского места; по теореме 391 или 392 имеем:
(С^) = k . {CM).
Таким образом, для преобразованной фигуры отрезок (Cp/WJ
будет иметь постоянную длину, откуда и следует теорема.
Теорема 398. Два треугольника с соответственно
параллельными сторонами всегда гомотетичны.
188
Пусть даны А А АВС и А1В1С1 с параллельными сторо¬
нами (черт. 106). Эти треугольники подобны (теорема 376).
Проведем прямые ААі и ВВг. Возможны два случая:
1. Прямые ДА] и ВВг пересекаются в точке О.
На основании теоремы 367 пишем:
(<W = ИА) __ h
(ОА) (АВ) ~
где
бия
так
k — отношение подобия данных треугольников. Из подо-
Если точка О не лежит между А и Аь то она не будет
лежать между В и Вх (теорема 364). Следовательно, точки
В и Вх лежат по одну сторону от прямой ААЪ а отрезки (AS)
и (AiSJ будут одинаково направленными (определение 94).
Тогда из равенства /J3AC = /2В1А1С1 и теоремы 322 следует,
что отрезки (АС) и (АА) будут также одинаково направлен¬
ными, т. е. точки С и Cj лежат по одну сторону от ААХ
(ссылка на теорему 322 ничего не дает в случае /^ВАС= d\ но
тогда мы поменяли бы местами точки А и В). Если же точка
О лежит между А и Аь то подобным же образом докажем,
что точки С и лежат по разные стороны от ААР Словом,
все условия теоремы 369 здесь выполняются, а потому прямая
ССі тоже пройдет через точку О. Теперь вершины наших
треугольников гомотетичны относительно точки О с отноше¬
нием, равным /г; гомотетия же самих треугольников вытекает
из теоремы 395 в связи с уже доказанным.
2. Прямая ААХ || ВВР
В таком случае и ССХ || ВВ^ так как если бы эти прямые пе¬
ресекались, то по предыдущему и прямая ААХ прошла бы
через их общую точку. Кроме того, по теореме 329 (п. 4):
(АА) = (АВ), (ВА) = (ВС), (С1А1) = (СА),
AAAG = А АВС.
О гомотетии, в прежнем смысле слова, здесь говорить
нельзя; однако, легко видеть, что с помощью пучка прямых,
параллельных ААП между точками данных треугольников
можно установить одно-однозначное соответствие, при кото¬
ром соответствующие отрезки будут равны.
189
Для того, чтобы избежать этого исключения, мы расши¬
ряем первоначальное понятие следующим добавочным опре¬
делением.
Определение 105. Аффинной гомотетией называется
преобразование, при котором соответствующие точки ле¬
жат на параллелях некоторой связки, а соответствующие
отрезки равны между собою (о центре подобия условно го¬
ворят, что он находится на бесконечности).
Подобным же образом доказываются следующие два пред¬
ложения.
Теорема 399. Если в двух подобных плоских фигурах
две пары соответственных отрезков с общей вершиной со¬
ответственно параллельны и в обеих парах одинаково
(разно) направлены, то такие фигуры прямо (обратно) го¬
мотетичны.
Теорема 400. Если в двух подобных фигурах три
пары соответственных отрезков с общей вершиной и не
лежащих в одной плоскости соответственно параллельны
и в каждой паре одинаково (разно) направлены, то такие
фигуры прямо (обратно) гомотетичны.
Теорема 401. Если даны две подобные фигуры, то су¬
ществует третья, гомотетичная с одной и равная другой.
Пусть даны две подобные фигуры Е и Ег с отношением
подобия, равным k. Выбрав произвольную точку О за центр го¬
мотетии, а число k — за ее отношение, построим фигуру F
гомотетичную с F (в случае k = 1 придется иметь дело с аф¬
финной гомотетией). Пусть паре точек 714, N в фигуре F
соответствуют в Fx точки М19 Л\, а в F2 — точки ТИ2, Л;2.
Тогда имеем:
(ВД _ < w т _ .
(МП) к и (MN) ~
откуда
(ТИ2^) = (ВД,
т. е. фигуры F2=F1.
3 амечание. Эту теорему иногда выражают словами: „две подобных
фигуры можно привести в гомотетичное положение".
Теорема 402. Две окружности, лежащие в одной
плоскости (или две шаровые поверхности) всегда обратно
и прямо (или аффинно) гомотетичны.
Пусть нам даны две окружности С (г) и СДг2) (черт. 107).
Между их точками можно установить одно-однозначное со¬
ответствие двояким образом.
Возьмем на С (г) какую-нибудь точку 714 и соединим
ее с центром; затем через Сг проведем прямую, парал¬
лельную СМ, которая пересечет в двух диамет¬
190
рально противоположных точках и М'ѵ Теперь можно
за точку, соответствующую точке М, принять точку М1Г
лежащую на конце радиуса (CjÆfj), одинаково направленного
с (С7И); но точно так же можно за соответствующую точку
принять М'ь лежащую на конце радиуса (CjTWj), разно на¬
правленного с радиусом (СМ). Остановимся сначала на соот¬
ветствии по второму способу и соединим отрезком точки М
и М'и Определение 94 показывает, что этот отрезок пересе¬
кается с прямой СС\ в некоторой точке О'; а по теореме 364
(стоит только через О' провести прямую, параллельную СМ)
эта точка будет лежать внутри отрезка (ССД В силу тео ¬
ремы 367 имеем:
(СО') = (СМ) _ г
(Cfi') “ (GÀff) - Г1 •
Взяв еще какую-нибудь пару точек N и 7V', соответству¬
ющих друг другу по второму способу, при помощи теоремы
.369 убедимся, что точки О', N, N[ лежат на одной прямой,
причем О' лежит внутри (NN^) и, кроме того:
(О'*) Г1 * (О'М') г. ,
(Ô7Â^='F’ раВН0 КаК = г (те°Рема 367)-
Все это доказывает, что точка О' является для данных
окружностей центром обратной гомотетии с отношением по¬
добия равным
Возьмем теперь соответствие по первому способу. Легко
видеть, что прямые ММ1 и ССі могут оказаться параллель¬
ными тогда и только тогда, когда г=і\ (теорема 329, п. 4
и теорема 331, п. 3). Пусть в этом случае ММі пере-
191
секает СС1 в точке О, лежащей вне отрезка (TWAfj), а также
и вне отрезка (CQ) (теорема 364).
На основании теоремы 369 придем к заключению, что
точка О служит для данных окружностей центром прямой
гомотетии с отношением подобия равным -у-. Если же г = г1У
то 7ИЛІ! II СС± и данные окружности находятся в аффинной
гомотетии.
Надо добавить, что в случае концентрических окруж¬
ностей оба центра подобия сливаются с общим центром,
хак в этом нетрудно убедиться. Наконец, если вместо окруж¬
ностей даны шаровые поверхности, то в предыдущем рассуж¬
дении надо только отбросить ограничение одной плоскостью.
Черт. 108
Замечание. Читателю рекомендуется рассмотреть расположение
точек О и О' в различных случаях взаимного положения двух окружностей
(см. § 24).
Определение 106. Построенные только что точки О и
О' называются центрами подобия данных окружностей.
Теорема 403. Если из центра подобия можно про¬
вести касательную к одной из двух данных окружностей,
то эта прямая будет касательной и к другой, и обратно:
общая касательная двух окружностей проходит через их
центр подобия (или параллельна линии центров).
Пусть из центра подобия О проведена прямая, касательная
к С (г) в точке N (черт. 108), причем CN±_ON\ точка N19
соответствующая точке на Сх (rj, должна лежать на пря¬
мой ON и на конце радиуса, параллельного (CN) (теорема 402).
Следовательно:
(CiNi)±CW в точке N±
и ON будет касательной к Q (rj. Обратная теорема вытекает
из того, что если прямая есть общая касательная, то
CN И а потому точки N и N± будут соответственными
192
(см. доказательство теоремы 402), и прямая пройдет через
центр подобия.
Замечание. К построению касательной мы вернемся ниже.
Теорема 404. Если в параллелограмме ОБ АС (черт. 109)
стороны постоянны и на прямых ОБ и ОС даны неизменные
точки М и N, так что В лежит между О и М, а С — между
О и N, и если три точки N, А, М лежат на одной прямой
при некотором определенном значении /_О, N
то при всяком значении /^Оуказанные три д
точки находятся на одной прямой, причем А / \
лежит между N и М, и отношения / \
(NA) (AN) /
(NM) и ~(АМ) 0L L_\M
в
суть величины постоянные. ЧеРт- 109
Действительно, по теореме 364 точка А лежит между
и М, а потому точки А и М лежат по одну сторону от пря¬
мой ON, далее, при указанном значении /О имеем:
(ОМ) (ON)
(СА) ~ (NC)
(теорема 367),
а так как все входящие сюда отрезки неизменны, то эта про¬
порция имеет место при всяком /_О. Тогда на основании
теоремы 369 точки N, А, М всегда лежат на одной прямой.
Что же касается упомянутых в теореме отношений, то
(NA) (NC) (AN) _ (NC)
(NM) ~ (NO) И (AM) ~ (ОС)
(теорема 3C7),
откуда вытекает их постоянство.
Замечание 1. На этой теореме основано устройство пантографа,
т е. прибора, служащего для вычерчивания фигур, подобных данным.
Возьмем четыре стержня: (ОМ), (ON), (ВА), (СА) и соединим их шар¬
нирами в точках О, В, А, С так, чтобы (ОВ) = (СА) и (ОС) = (ВА). Если
закрепить точку N, а точку А перемещать по данной фигуре, то точка
М опишет фигуру, прямо гомотетичную с данной при отношении подобия
(ON)
равном • Если же закрепить точку А, а точку N перемещать по дан¬
ной фигуре, то получим фигѵрѵ, обратно гомотетичную с данной при отно-
ліении подобия, равном
Замечание?. Учение о гомотетии приводит к так называемому
методу подобия для решения задач на построение. Сущность метода заклю¬
чается в том, что, отбрасывая часть данных, строим фигуру, подобную
искомой; затем среди гомотетичных с ней отыскиваем такую, которая
удовлетворяет уже всем требованиям. Следующий пример пояснит это общее
замечание.
13
Богомолов — Геометрия
193
Пусть требуется построить треугольник по двум углам а и р и по
периметру 2р. Оставляя пока в стороне последнее условие, построим на
произвольном отрезке (ЛВ) треугольник, подобный искомому так, чтобы
Z САВ = а и Z СВА = р (черт. 106).
Приняв точку О за центр гомотетии (еще проще было бы взять одну
из вершин треугольника), мы легко можем с помощью проведения парал¬
лелей строить треугольники, гомотетичные с Л АВС. Для того, чтобы полу¬
чить искомый треугольник, проводим
СИ1ІІ СА и С.В. II СВ
(ОС.)
из такой точки Ch что отношение равно отношению данного от¬
резка 2р к периметру /\АВС.
§ 33. Углы, связанные с окружностью
Определение 107. Возьмем окружность и будем рассматривать ее
хорды, касательные и секущие. Под углом, образованным двумя из этих
пиний, понимаем всякий угол, вершина которого лежит в точке их пере-
F
сечения, а сторонами служат полупрямые, содер¬
жащие точки окружности (примеры увидим
ниже). Если хорды пересекаются на окружности,
то образованный ими угол называется вписан¬
ным (например / CAD на черт. ПО); два дру¬
гие конца этих хорд делят окружность на две
дуги; та, которая содержит вершину угла (на¬
пример, ^CAD), называется вмещающей данный
угол; о другой же дуге говорят, что рассматри¬
ваемый угол на нее опирается (например ^CBD
и /CAD на черт. НО). Угол между двумя каса¬
тельными называется описанным около окруж¬
ности.
Теорема 405. Вписанный угол равен по¬
ловине центрального угла, опирающегося на ту
же самую дугу.
При доказательстве различаем три случая:
1. Центр окружности лежит на одной из хори; этот случай представлен
/ ВАС на черт. 110. Проведем радиус (ОС). Так как О лежит между
А и В, то полупрямые ОА и ОВ противоположны и / ВОС будет внешним
для £±АОС.
На основании теоремы 324 имеем:
/ВОС = /ОАС 4-/АСО = 2 /ВАС (теорема 132).
2. Центр лежит внутри вписанного угла (/ CAD на черт. ПО). Полу¬
прямая АО пересекает секущий отрезок (CD) данного угла, а потому
лежит внутри центрального / COD, опирающегося на ту же дугу. Следо¬
вательно, прямая АОВ делит оба угла на две части, к которым приме¬
няется п. 1:
Z ВАС = 4" Z ВОС и Z. BAD = z BOD.
Складывая, получаем:
Z CAD = -T. Z COD.
194
3. Центр лежит вне вписанного угла САЕ на черт. ПО). Полупрямая
АО теперь не пересекает (СЕ), а потому полупрямые АЕ и АС лежат по
одну сторону от прямой АОВ. Тогда в силу теоремы 48 одна из них, на¬
пример, АС, лежит внутри угла, образованного другой (внутри / ВАЕ).
Следовательно:
/ САЕ = Z ВАЕ — Z ВАС.
Применяя п. 1, получаем:
Z САЕ = СОЕ.
Замечание. Вспоминая теоремы 304 и 305, можно сказать, что вписан¬
ный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. В дальней¬
шем, для сокращения речи, будем пользоваться последней формулировкой.
Как следствие предыдущей теоремы, можно утверждать, что углы, опи¬
рающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Теорема 405 была доказана подробно; что же
то там будет указана только основа доказательства,
тие предоставляется читателю.
Теорема 406. Вписанный угол, опи¬
рающийся на диаметр, равен прямому, и
обратно: вписанный прямой угол опирается на
диаметр.
Предложение вытекает из теоремы 405.
Теорема 407. Угол между хордой и
касательной измеряется половиной дуги,
заключенной между его сторонами.
Таковым является / DAF на черт. ПО.
Доказательство основано на том, что этот угол
можно рассматривать как разность углов BAF
и BAD’, первый, будучи прямым, измеряется
половиной полуокружности BDA, а второй по
теореме 405 — половиной ^BD.
Теорема 408. Угол между хордами
измеряется полусуммой двух дуг, заключен¬
ных: одна — между его сторонами, а дру¬
гая—между противоположными лучами.
Возьмем /ВАС на черт. 111. Доказательство основано на том, что по
теореме 324 имеем:
/ВАС = / ВВ'С+ / В'СС,
касается последующих,
а подробное его разви-
и дело сводится к двукратному применению теоремы 405.
Теорема 409. Угол между секущими, или между секущей и каса¬
тельной, или между двумя касательными измеряется полуразностью дуг,
заключающихся между сторонами угла.
Рассмотрим / KLM между секущими (черт. 111). Доказательство осно¬
вано на том, что, проведя отрезки (К'М) и (КМ), найдем:
Z KLM = Z КК'М - /LMK'.
Дело сводится к применению теоремы 405 к этим углам. Другие случаи
рассматриваются подобным же образом.
Замечание 1. На теореме 407 основано построение дуги, вмещаю¬
щей данный угол. Пусть на отрезке (АВ) (черт. 112) надо построить дугу,
вмещающую / ВАС. В точке А к прямой АС восставим перпендику¬
ляр АЕ и еще восставим перпендикуляр к (Д£) в его середине (прямая DF).
Эти перпендикуляры пересекутся в точке О (теорема 316), которая и будет
центром искомой окружности. В силу теорем 405 и 407 любой /АМВ
13*
195
будет равен /_ВАС. Если данный угол прямой, то искомая дуга будет полу¬
окружностью с диаметром (АВ).
Замечание 2. Теорема 406 дает простой способ проведения касатель¬
ной. Пусть требуется из внешней точки А провести касательные к окружности
с центром О (черт. 113). Построим окружность на (ОА), как на диаметре.
Наши окружности пересекутся в точках М и N (теоремы 258, 254), и прямые AM
и AN будут искомыми касательными (теоремы 406, 245). Касательных будет
только две, так как каждая точка касания является точкой пересечения
наших окружностей. Умея проводить касательную к одной окружности,
можно решить задачу о проведении общей касательной к двум окружностям;
для этого надо только вспомнить теорему 403.
должен находиться от
Черт. 114
§ 34. Замечательные точки в треугольнике
Определение 108. Многоугольник (или многогранник) называется
описанным около круга (шара), если его стороны (грани) суть касатель¬
ные к кругу (шару) во внутренних своих точках; круг (шар) в таком
случае называется вписанным в данный многоугольник (многогранник).
Теорема 410. В данный треугольник можно вписать один и только
один круг.
Действительно, если в треугольник можно вписать круг, то его центр
всех трех сторон на расстоянии, равном радиусу
(теорема 247,п. 2); следовательно, искомый центр
должен лежать на равноделящих углов треуголь¬
ника (теорема 179), которые все три пересека¬
ются в одной точке (теорема 180). Отсюда ясно
построение искомого круга и его единственность
(черт. 114); остается только доказать, что точки
касания будут лежать внутри сторон треуголь¬
ника.
В самом деле, точка О лежит внутри тре¬
угольника, который теперь распадается на ДД
О АВ, ОВС, ОСА (теорема 58); отрезок (ОС\)
есть высота А ОАВ, а так как углы ОАВ и ОВА,
будучи половинами углов А и В данного треу¬
гольника, необходимо оба —острые (теорема 156),
то основание С] указанной высоты упадет внутрь стороны (АВ) (теорема
172), а точка и есть точка касания. Точно так же рассматриваются и
две другие точки касания.
Одну замечательную точку треугольника мы уже получили: это — центр
вписанного круга (она же — точка пересечения его биссектрис).
196
Теорема 411. Биссектрисы двух внешних углов треугольника и бис¬
сектриса его третьего угла пересекаются в одной точке.
Действительно, проведем биссектрисы внешних углов ДЛВС при точ¬
ках В и С (черт. 115). На основании теоремы 312 эти прямые пересекутся
в некоторой точке Оь которая находится на одинаковом расстоянии от всех
трех сторон указанных углов (теорема 179); в частности, точка находится
на одном и том же расстоянии от полупрямых СК и В£, которые являются
частями полупрямых АС и АВ (теорема 27, п. 2), образующих внутренний /_А\
поэтому точка должна лежать на биссектрисе этого угла.
Подобным же образом рассматриваются и
два других случая, приводящие к новым двум
точкам Оч и О3.
Теорема 412. Существуют три и только і
три круга, касающиеся одной из сторон треу- - j
гольчика и продолжений двух других сторон. у
Легко видеть, что центр такого круга дол-
жен находиться в одной из точек, рассмотрен¬
ных в теореме 411; определение радиуса труда „
не представляет. В частности, круг, описанный черт,
из центра Оь радиусом, равным расстоянию этой
точки от прямой ВС (черт. 115), коснется продолжений сторон (ЛВ) и
(АС), а также стороны (ВС) во внутренней точке; последнее вытекает из
того, что наш круг должен коснуться и полупрямых ВС и СВ, у которых
общей частью будет отрезок (ВС) (теорема 27, п. 2).
Определение 109. Три круга, рассмотренные в теореме 412, назы¬
ваются вне-вписанными для данного треугольника. Таким образом, получены
дальнейшие три замечательные точки в треугольнике— центры вне-вписан-
ных кругов.
Теорема 413. Перпендикуляры, восставленные в. серединах сторон
треугольника (в его плоскости), пересекаются в одной точке.
Возьмем Д ЛВС и в серединах М и К сторон (ЛВ) и (ВС) построим
указанные перпендикуляры (черт. 116); они пересекутся в некоторой
точке О (теорема 316), которая находится на одинаковом расстоянии от
точек Л и В, В и С (теорема 178); но, одинаково отстоя от точек Л и С,
эта точка О должна лежать и на перпендикуляре, восставленном в середине L
стороны (АС) (теорема 178).
Определение! 10. Многоугольник (многогранник) называется впи¬
санным в круг (шар), если его вершины лежат на этом последнем,
о круге же (или шаре) говорят, что он описан около многоугольника (много¬
гранника).
q Теорема414. Около треугольника можно опи-
®сатъ один и только один круг, центром которого
служит точка теоремы 413.
Доказательство вытекает из теорем 317, 178 и 413.
Эта теорема дает нам новую замечательную точку
для треугольника —центр описанного круга.
Теорема 415. Если центр описанного круга
лежит внутри треугольника, то этот треуголь¬
ник остроугольный; если он лежит на стороне
треугольника, то — прямоугольный; если же он ле-
Черт. 116 жит вне треугольника, то — тупоугольный.
1. Пусть центр О лежит внутри треугольника
(черт. 116).
На основании теоремы 56 точки В и О лежат по одну сторону от ЛС;
поэтому и точка А', диаметрально противоположная для А и лежащая на
полупрямой АО, будет лежать с В по одну сторону от АС (теорема 33). От¬
сюда вытекает, что точка Л' принадлежит дуге, вмещающей / АВС (опре¬
деление 107/ а потому дуга, на которую опирается этот угол, будет меньше
полуокружности (теорема 229, 227). На основании теоремы 405 этот угол
197
будет острым. То же самое можно утверждать и для двух остальных углов
треугольника.
2. Пусть точка О лежит на стороне ДАЛС^ (черт. 117); теорема 406
показывает, что ДАЛД— прямоугольный.
3. Пусть, наконец, центр О лежит вне ДАВС (черт. 117).
Среди углов треугольника найдутся два таких, что точка О не будет
лежать внутри их (см. замечание к теореме 55); пусть это будут углы АВС
и АСВ. Оба эти угла будут острыми. В самом деле, прямым ни один из них
не может быть, так как иначе центр лежал бы на стороне треугольника
(теорема 406); а если бы один из них, например, /_АВС, оказался тупым,
то прямой угол составлял бы его часть, и центр кру-
Д» га лежал бы на внутреннем луче угла АВС, что
©противоречит заданию/Далее, ВС, которая вмещает
/ ВАС, точкой А делится на две части: АВ и
С, АС (теорема 227); точка В', диаметрально проти¬
воположная точке В, не может лежать ни на АВ,
так как тогда / АСВ был бы тупым, ни на АС,
' так как тогда точка О лежала бы внутри /_АВС, Сле¬
довательно, точка В' принадлежит той о ВС, на кото¬
рую опирается / ВАС, откуда явствует, что / ВАС
тупой.
Черт. 117 Теорема 416. Если треугольник остроуголь¬
ный, то центр описанного круга лежит внутри его,
если треугольник прямоугольный, то — на его стороне; если треугольник
тупоугольный, то — вне его.
Доказывается с помощью обращения по разделению.
Теорема 417. Медианы треугольника пересекаются в одной точке
и делятся в ней в отношении 2 :1 (считая от вершины).
Проведем в ДАВС две медианы (АД,) и (ВВ{) (черт. 118); они пере¬
секаются во внутренней точке М, как это легко вывести из постулата Паша.
Разделим отрезки (АЛ4) и (ВМ) пополам в точках А<> и В2 и проведем
отрезки: (АЛ), (ВИ2), (АЛ), (В2Ад-
На основании теоремы 341 имеем:
А&
Л2Вг
II АВ и А2В2II АВ, так что AJ3X || А2В2,
U СМ и АХВ2 II СМ, так
Теперь легко
угольник АІВ1А2В2
Но тогда
видеть, что четыре-
есть параллелограмм.
(А2М) = (А.М) и (В2М) = (В}М)
(теорема 329, п. 5).
Таким образом, медиана (AAj) точками
А2 и М разделена на три равные части,
откуда:
(А И) (ВМ)
= 2 и точно так же — = 2.
(А}М) (В.М)
Если теперь рассмотрим медианы (AAJ
и (CQ), то точно так же найдем, что они пересекаются в точке М'9
причем:
(AlM') = (AlM)
(теорема 127),
но в таком случае М' совпадает с М (аксиома XX),
198
Определение 111. Точка пересечения медиан треугольника назы¬
вается его центром тяжести (имеется в виду известная теорема физики).
Теорема 418. Если через вершины треугольника провести прямые,
параллельные его сторонам, то получим треугольник, обратно гомоте¬
тичный с данным относительно общего центра тяжести с отношением
подобия равным 2.
Сделаем указанное построение с ДЛ£С (черт. 119). В силу теоремы 310
эти прямые попарно пересекаются и образуют ДЛ^Д который будет
гомотетичен данному (теорема 398). Далее имеем:
(АВ) = (В^С) и (АВ) = (ЛіС) (теорема 329, п. 4),
откуда следует, что
(^0 = ^0
и точка С есть середина отрезка
(/,Z?j). Таким же свойством обла¬
дают точки А и В. •
Следовательно, отрезки (ЛЛ]),
(ВВХ), (СС1) суть медианы ДЛ]В]С|
и, как таковые, пересекаются в его
центре тяжести М, который и бу¬
дет центром гомотетии. Эта точка
лежит внутри упомянутых отрезков,
так что гомотетия будет обратной,
а отношения подобия
(МА,) = (МВ.)
~(МА) ~(МВ)
(МС}) _ 2 (теорема 417).
W) ~
Наконец, теорема 370 показывает, что точки К, L, N будут серединами
сторон /\АВС, а потому точка М будет и для него центром тяжести.
Теор ем а 419. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Действительно, высоты Д АВС будут для f\A,BYC, (черт. 120) перпен¬
дикулярами, восставленными в серединах его сторон, а эти перпендикуляры
пересекаются в одной точке (теорема 413).
Определение 112. Точка пересечения высот треугольника назы¬
вается ортоцентром или точкой высот.
Теорема 420. Центр
круга и ортоцентр лежат
тяжести треугольника, центр описанного
на одной прямой („прямая Эйлера“)•
Действительно, возьмем два треугольника:
ДЛВС и ДЛ1ДС1 (черт. 119), о которых
шла речь в теореме 418. Опишем около
дЛ5С окружность, и пусть ее центром слу¬
жит точка Ô (на чертеже не обозначенная);
построим далее окружность, обратно гомо¬
тетичную с этой относительно точки М с
отношением подобия равным 2; центры обеих
окружностей будут гомотетичными точками
(теорема 397), так что они лежат на одной
прямой с М. Но если первая окружность про¬
ходит через точки Л, В, С, то вторая окру¬
жность содержит точки Ль В,, С,, им гомо¬
тетичные (теорема 418), так что вторая ок-
около Но при доказательстве теоремы
ружность будет
4Ï9 мы видели,
описана
что центром И этой окружности будет ортоцентр данного
треугольника (см. черт. 120). Таким образом, точки О, М, /7 лежат на од¬
ной прямой.
199
Чтобы дать пример вписанного и описанного многогранника, укажем
две следующих теоремы, предоставив их доказательство читателю.
Теорема 421. В тетраэдр можно вписать один и только один шар.
(Надо исходить из теоремы 1/9, которая с помощью теоремы 195 пере¬
носится на двугранные углы.)
Теорема 422. Около тетраэдра можно описать один и только один
шар. (Надо сначала обобщить теорему 178 на пространство: получается пло¬
скость, перпендикулярная отрезку в его середине.)
Построение этого шара решит такую задачу: провести шаровую поверх¬
ность через четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Замечание. Об одной замечательной точке в тетраэдре см. прило¬
жение III, задачи № 35—37.
§ 35. Пропорциональные отрезки в треугольнике
и в круге
Теорема 423. Биссектриса внутреннего (внешнего)
угла треугольника делит противоположную сторону вну¬
тренним (внешним) образом на части, пропорциональные двум
другим его сторонам. (Исключение представляет биссектриса
внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника).
, Действительно, возьмем Л АВС и
д/ L проведем равноделящие внутреннего
/ВАС и внешнего / CAL (черт.
//\ / 121); первая, будучи внутренним лу-
/ / I/ чом /ВАС, пересекает его секущий
• F/ /с 0 отРезок (ВС) в некоторой точке В.
// Что же касается второй, то она мо-
X жет оказаться параллельной ВС, но
н это будет тогда и только тогда»
когда /\/АВС равнобедренный [(ДВ)
ерт‘ = (ДС)]. В самом деле, в этом слу¬
чае биссектрисы AF и АК взаимно
перпендикулярны, так как угол между ними составлен из по¬
ловин двух смежных углов, и дело сводится к теоремам 170
и 314. В дальнейшем предполагается, что точка А не есть
вершина равнобедренного треугольника, так что биссектриса
внешнего угла пересекает ВС в некоторой точке О. Проведем
через точку С прямую, параллельную АВ\ эта прямая пере¬
сечет обе наши биссектрисы (теорема 310). Будучи располо¬
жена по отношению к прямой АВ с той же стороны, что и
точки С и F (теорема 306), эта параллель должна пересечь
именно полупрямую AF в некоторой точке Н, которая не мо¬
жет лежать между А и F, так как тогда, по постулату Паша,
прямая СН пересекала бы прямую АВ, что невозможно. Сле¬
довательно, точка F лежит между А н Н. Точно так же ука¬
занная параллель должна проходить внутри /ACG, так как
иначе она пошла бы внутри /АСВ (теорема 46) и опять пе¬
ресекала бы АВ\ а потому она пересекает (ДО) в некоторой
точке К.
200
Далее, имеем:
£AFB = £HFC (теорема 135),.
/_BAF = ^CHF (теорема 311, п. 1),
/_АКС= £KAL — на продолжении (ДА) (теорема 311, п. 1),
Первые два равенства дают:
^ABF^aHCF,
откуда
(BF) (АВ)_
(С'Л) (НС) •
с
Кроме того, из теоремы 367 непосредственно выводим:
(ВО) (Д_В)^
(СО) \СК) ’
В силу условий теоремы:
/ВАЛ- /САЛ, так что £CHF - /САЛ,
Z_CAK= /LAK, так что £САК = /СЛА.
Таким образом, оба Л АСН и АСК равнобедренны,
откуд а
(ЯС) - (АС) - (СК).
Подставляя в предыдущие пропорции, получаем:
(BF) (АВ)_ . (ВО)_ _ (ДВ/
(CF) = "(ДС) ’ (СО) - (ДС) *
Замечание. Отметим, что построение, сделанное на черт. 121, дает
ключ к решению такой задачи: разделить отрезок в данном отношении,
внутренним и внешним образом.
Теорема 424. Если прямая, исходящая из вершинъ?
треугольника, делит его основание внутренним (внешним)
образом на ч асти, пропорциональные двум другим сторонам,
то эта прямая есть биссектриса внутреннего (внешнего)
угла треугольника.
В самом деле, пусть в Л АВС точки F и G обладают ука¬
занными свойствами (черт. 121). Проводим через точку С прямую,
параллельную АВ, и делаем те же заключения о точках пе¬
ресечения Я и К, что и выше. Из подобия треугольников^
и из теоремы 367 попрежнему имеем:
(BF) __ (ДВ) (BG) _ (АВ)
(CF) ~ (НС) И (СО) " (КС) *
201:
■Сопоставляя эти пропорции с данными, выводим:
(НС) = (АС) = (КС),
так что ДА АСН и АСК равнобедренные. Отсюда заключаем:
/ CAF = / CHF = / BAF, так что AF — биссектриса / ВАС\
/_САК = / СКА = / LAK, так что АК—биссектриса / LAC.
Определение ИЗ. Если три значения
пропорцией а : b = b : с, го b называется средней
величины а, Ь, с связаны
пропорциональной между
а и с.
Теорема 425. Если в прямоугольном
треугольнике опустить высоту из вершины
прямого угла, то эта высота есть средняя
пропорциональная между отрезками гипоте¬
нузы, а каждый катет — средняя пропорцио¬
нальная между гипотенузой и своей проекцией
на гипотенузу.
Основание названной высоты лежит внутри
гипотенузы (теорема 172). На основании тео¬
ремы 323
/_АВО = Х_САО (так как оба острые, черт. Г22).
Следовательно,
А АВО ~ Л CAO (теорема 377, п. I),
откуда
(ВО) : (АО) = (АО): (ОС).
Две другие пропорции получим из рассмотрения подобных треуголь¬
ников:
Д ЛВС и ДСВЛ, Д ЛВС и доле.
. Теорема 426. Если из какой-либо точки окружности опустим пер¬
пендикуляр на диаметр, то этот перпендикуляр есть средняя пропорци¬
ональная между отрезками диаметра, а хорда, соединяющая данную
точку с концом диаметра, есть средняя пропорциональная между диа¬
метром и своей проекцией на диаметр.
Доказывается на основании теорем 406 и 425.
Замечание. На основании теоремы 426 решается задача о построе¬
нии средней пропорциональной для двух данных отрезков; сумма данных
отрезков принимается за
диаметр окружности и
в точке их соединения
восставляется перпенди¬
куляр до пересечения
с окружностью.
Теорема 427. Если
через точку Н, не ле¬
жащую на данной ок¬
ружности, проведем две
прямые, пересекающие
эту окружность соответ¬
ственно в точках А и At
В и Вь то отрезки (НА),
Черт. 123
{НАі), (НВ), (НВі) обра¬
зуют пропорцию, причем крайними членами ее служат отрезки одной прямой,
а средними — отрезки другой (различные случаи см. на черт. 123).
202
Наметим кратко сущность доказательства: проведем вспомогательные
отрезки (ЛВГ) и (ДХВ) и на основании теоремы 405 (следствие) и 373 убе¬
димся, что
А НАВ. оэ А НВА^
откуда
(HA) (НВ.)
(HB) ~ (НА.)*
Замечание. В случае, когда одна из данных прямых есть касатель¬
ная, теорему выражают словами: отрезок касательной есть средняя про¬
порциональная между всей секущей и ее внешней частью.
Теорема 428. Если на двух прямых, пересекающихся в точке /7,
отложены отрезки (НА) и (НА.), (НВ) и (НВ.), причем или обе пары точек
А и А., В и В. лежат по одну сторону от Н, или обе пары — по разные
стороны от Н, и если имеет место пропорция
(НА): (НВ) = (НВ.) : (НАу,
то четыре точки А, А., В, В. лежат на одной окружности.
Для доказательства проводим окружность через точки А, В и уста¬
навливаем (на основании теоремы 427 и свойств пропорции), что четвертая
точка пересечения совпадет с точкой
§ 36. Приложение алгебры к геометрии
Учение об измерении геометрических величин (в частности — отрезков)
дает возможность применять алгебру к геометрическим вопросам. Именно,
выбрав определенную единицу длины и выразив длину каждого отрезка
числом, можно различные геометрические соотношения между отрезками
переводить на язык алгебры; в частности, теорема 301 позволяет перехо¬
дить от пропорций геометрических (между отрезками) к пропорциям алгеб¬
раическим (между числами, выражающими их длины), которые можно дальше
преобразовывать по правилам алгебры. В этом заключается одна сторона
приложения алгебры к геометрии.
Для сокращения речи в настоящем параграфе мы условимся вместо
выражений:
число, измеряющее сторону треугольника, квадрат числа, измеряю¬
щего такой-то отрезок, произведение чисел, измеряющих такие-то отрезки
и т. п., — говорить короче: сторона треугольника, квадрат отрезка, произ¬
ведение отрезков и т. п.
Числа, измеряющие отрезки, будем обозначать теми же символами, что
и самые отрезки: (АВ), (ВС),:.. Это замечание — существенно, так как,
например, „произведение двух отрезков" иначе не будет иметь никакого
смысла.
После этих общих замечаний, переведем на язык алгебры теоремы § 35
и выведем из них некоторые следствия.
Теорема 429. Если в /\АВС, прямоугольном при А, провести вы¬
соту (Д7)), то
(ДО)2 = (BD)-(DC),
(АВУ = (ВС) • (BD); (АСУ = (ВС) • (CD).
Доказывается на основании теорем 425, 301 и свойств алгебраических про¬
порций.
Теорема 430. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Для доказательства складываем два последних равенства теоремы 429.
(АВУ + (А Су = (ВС) • [(BD) + (CD)]-,
203
ио точка D лежит между В и С (теорема 172), так что для отрезков имеем:
(BD) + (CD) = (ВС) (теорема 106),
и такое же равенство имеет место и для измеряющих их чисел (тео¬
рема 295). Подставляя, получаем*
(ДВ)2 + (ДС)2 = (BQ2.
Теорема 431. Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей
против острого (тупого) угла, равен сумме квадратов двух других сторон
минус (плюс) удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию
другой стороны на прямую первой.
Остановимся сначала на стороне (АС)»
лежащей против острого £АВС (черт. 124).
Если и £ВАС острый, то основание высоты
(CD) упадет внутрь стороны (ЛВ), и полу¬
чится равенство:
(AD) = (AB) - (BD).
Если же £BAC тупой, то точка D лежит
вне (АВ) (теорема 172) и притом так, что А
лежит между В и D. Действительно, если
бы В лежала между А и D, то /_АВС, будучи внешним для £±CBD, ока¬
зался бы тупым, что противоречит заданию. В этом втором случае имеем
соотношение:
(AD) = (BD) - (AB).
Значит, вообще можно написать:
(Л/)) = ± {{АВ) - (BD)].
где (BD) есть как раз проекция (ВС) на прямую АВ.
Далее, пишем:
(ДС)2 = (ADy + (CZ))2 (теорема 430),
(АС)* = (АВУ — 2 (АВ) • (BD) + (BDy Ц- (CD)2,
(BDy -\- (CDy = (BCy,
(АСУ = (ДВ)2 + (ВСУ - 2(АВ) • (BD).
Надо прибавить, что эта зависимость остается в силе и при ВЛС = <4
так как тогда (АВ) = (BD), а потому
(АСУ = (АВУ + (ВСУ - 2 (ЛВ)2 = (ВС)2 — (АВУ,
как это и должно быть в силу теоремы 430.
Перейдем теперь к стороне (ВС), лежащей против тупого £ВАС\ поло¬
жение точки D было уже выяснено выше, и мы находим:
(ВСУ = (BDy + (CDy,
(CDy = (АСУ — (ADy,
(BD) = (AB) + {AD),
где (AD) есть проекция (АС) нз прямую АВ. Подставляя, получаем:
(ВС)2 = (АВ)"- + (Л С)2 4- 2 (АВ) ■ (AD).
201
Если, наконец, возьмем сторону, лежащую против прямого угла, то обе фор¬
мулы приводят к теореме 430, так как в этом случае
или (BD) = 0 или (AD) = 0.
Теорема 432. В /\АВС угол А d, смотря по тому, будет ли
(ЛВ)’ + ИО2§(ВС)2.
В самом деле, если /Д задан, то утверждение вытекает из теорем 430
я 431; обратное получаем при помощи обращения по разделению.
3 а м е ч а н и е . Например, треугольник со сторонами 3, 4, 5 будет
прямоугольным, так как 52 = 324~42; этот треугольник известен с глубокой
древности, и им пользовались для практических целей.
Теорема 433. Если из точки Н, не лежащей на окружности, прове¬
дена произвольная прямая, пересекающая эту окружность в точках А и Ль
то произведение: (HAj^HA^ есть число постоянное (при данной точке И).
Действительно, берем пропорцию теоремы 427, переходим к пропорции
между числами и приравниваем произведения крайних и средних.
Замечание. Точки А и At могут совпасть, если Н лежит вне
окружности: тогда получается, как частный случай, предложение: произве¬
дение секущей на ее внешнюю часть есть число постоянное, равное квад¬
рату касательной (проведенной из той же точки).
Другая сторона приложения алгебры к геометрии заключается в реше¬
нии геометрических задаче помощью алгебоаических уравнений. Обозначив,
например, длину искомого отрезка через х, на основании данных задачи
составляем уравнение, которому должен удовлетворять этот х. Найдя х,
мц вполне определим искомый отрезок, как это следует из теоремы 292;
конечно, необходимо исследовать, удовлетворяет ли полученное число гео¬
метрическим условиям задачи. Но та же самая зависимость, которая по¬
казывает связь между числами, измеряющими искомый и данные отрезки,
дает возможность геометрически построить искомый отрезок, исходя из дан¬
ных отрезков. Приведем для примера несколько основных построений.
Так, если
а • b
то X строится как четвертая пропорциональная к трем данным отрезкам.
Если
X = ab ,
то X строится как средняя пропорциональная. Если
X = d- + b
то X строится, как гипотенуза или катет прямоугольного треугольника, и т. д.
Не входя в дальнейшие подробности, поясним изложенное решением
одной известной задачи:
Разделить данный отрезок в крайнем и среднем отношении (дру¬
гими словами, найти такую часть отрезка, которая была бы средней про¬
порциональной между всем отрезком и другой частью).
205
Пусть дан отрезок а (буквой а обозначаем также его длину). Обозна¬
чив искомую часть через х, имеем:
или
откуда
(*)-
Легко видеть, что нижний знак дает отрицательное значение для х, ко¬
торое здесь не годится, а верхний — положительное и притом меньшее а.
Желая построить х, зная а, из фор¬
мулы (*) усматриваем, что сначала
надо построить прямоугольный тре¬
Черт. 125
угольник с катетами а и и затем
отнять-^- от его гипотенузы. Это
построение сделано на черт. 125,
где
(АВ) = а, ОВ _]_Л£, (ОВ) =
(Д£') = (ДС) = х.
Деление отрезка в крайнем и среднем отношении называется также
.золотым делением"; оно часто встречается в природе и в произведениях
изобразительного искусства (конечно, в приближенном виде). Наконец, его
называют еще .непрерывным делением" на основании следующего пред¬
ложения.
Теорема 434. Если отрезок (АВ) разделен золотым делением на от¬
резки (АС) и (СВ), то при золотом делении отрезка (ЛС) большая часть
будет равна отрезку (ВС).
Действительно, из пропорции
0В) _ (АС)
(АС) - (СВ)
выводим:
(ДД) - (АС) _ (АС) - (СВ)
(АС) - (СВ)
(СВ) (АС) — (СВ)
(АС)~ (СВ) ’
или
(АСУ (СВ)
(СВ)~ (АС) — (СВ)'
206
Черт. 126
§ 37. Вписанные и описанные многоугольники
Теорема 435. Все точки вписанного многоугольника (за
исключением его вершин) лежат внутри описанного круга.
Пусть дан .многоугольник ABCD, вписанный в круг
(черт. 126). На основании определений 110, 70 и теоремы 22S
внутренние точки его сторон и диагоналей будут внутренними
и для круга. Далее, имея в виду определение 24, возьмем,
какую-нибудь точку М, лежащую внутри трансверсали (AN)ÿ.
где N — точка стороны (CD); в силу
теоремы 244 прямая AN пересекает
окружность еще в одной точке Аѵ
Названная выше точка N должна
лежать внутри хорды (ААг), так как
иначе ^OAXN, как внешний угол
равнобедренного Л ОААХ, был бы
тупым, а потому (ON) было бы
больше (ОДі), что противоречит по¬
ложению точки N внутри окружности
[в случае если точки О, N, ле¬
жат на одной прямой, утверждение
следует из того, что (О^<(ОД1)].
Если же N лежит внутри (ДДі), то
и М является его внутренней точкой
225 решает вопрос.
(теорема 18), и теорема
Замечание. Выше было доказано (теорема 317), что через каждые-
три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность; но для
того; чтобы существовала окружность, проходящая через четыре данные
точки, эти последние должны быть расположены особым образом, как это
видно из следующей теоремы.
Теорема 436. Для того, чтобы выпуклый четыреугольник ABCD
был вписан в окружность, необходимо и достаточно соблюдение следую¬
щих условии:
н- £C = £B + Z_D = 2d.
Действительно, пусть дан вписанный четыреугольник ABCD (черт. 126>^
Проведя диагональ (ИС) и вспоминая теорему 63 и определение 107, убеж¬
даемся, что углы В и D опираются на взаимно дополнительные дуги;,
а в таком случае теорема 405 приводит к равенству:
/ В 4- Z D = 2d.
Обратно, пусть дан четыреугольник ABCD с вышеуказанным соотноше¬
нием между углами. Проведем через три точки А, В, С окружность и до¬
пустим, что она не пройдет через точку D, так что последняя будет либо
внутри этой окружности, либо вне ее; точки же В и D будут попрежнему
лежать по разные стороны от диагонали (АС) (теорема 63). Но в таком
случае / D будет измеряться или числом большим, чем половинам АВС,
или же—меньшим (теорема 408 или 409). Между тем, наши данные пока¬
зывают, что он должен измеряться как раз числом, равным этой половине.
Следовательно, точка D будет лежать на окружности АВС.
207
Теорема 437. Из числа параллелограммов в окружность вписы¬
вается лишь прямоугольник (квадрат).
Действительно, в параллелограмме противоположные углы равны
(теорема 329, п. 2) и сумма их должна равняться 2d (теорема 436).
Теорема 438 (теорема Птолемея). Во вписанном четыреуголънике
произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных
сторон.
Пусть дан вписанный четыреугольник AECD (черт. 127), и пусть его
диагонали (АС) и (BD) пересекаются в точке N (теорема 63). При луче
DC построим, как часть угла ADC, £EDC = /_ADN} другая его сторона
пойдет внутри / ADC и пересечет (ЛС) в некоторой точке Е. Пусть для
определенности точка Е лежит между А и N. Тогда N лежит между Е и С
(теорема 18), и легко видеть, что
/ BDC и / ADE не имеют общих лучей;
/ EDC и / ADB имеют общую часть /_EDB
(эти утверждения вытекают из рассмотрения
секущих отрезков).
Далее имеем:
/_BDC=/_ADE (теоремы 115 и 147)
Z_ CBD = EAD (теорема 405),
следовательно:
откуда
Д BDC^ д ADE,
(W’или’(Л£) ■ {BD} ~{AD} '(ВС>'
Подобным же образом убеждаемся, что
откуда
A ADB<^ /\EDCt
(АВ) _ (BD)
(CE) (CD) ’
или (BD) (CE) = (AB) (CD).
Наконец, складывая два полученных равенства, находим:
(АС) • (BD) = (АВ)- (CD) + (ВС) - (AD).
Теорема 439. Все точки круга (за исключением точек
касания) лежат внутри описанного многоугольника.
Пусть многоугольник ABCD описан около окружности
О(г) и точки F, G, J, Н суть точки касания (черт. 128). Все
точки окружности (за исключением точки F) лежат по одну
сторону от прямой АВ (теорема 246); по эту же сторону
лежит точка касания Н, а также и точка D, ибо все точки
выпуклого многоугольника лежат по одну сторону от прямых
его сторон. Итак, все точки окружности (за исключением
208
точки F) принадлежат полуплоскости АВ. D. Точно так же до¬
кажем, что все точки окружности (за исключением точки Н)
принадлежат полуплоскости AD.B. Но в таком случае все
точки окружности (за исключением точек F и Н) лежат внутри
/ BAD (теорема 43). Остается проделать это рассуждение
для всех вершин и сослаться на теорему 70.
д
Теорема 440. Периметр вписанного
многоугольника всегда меньше периметра
описанного. (Теоремы 439 и 177).
Теорема 441. Для того, что¬
бы. выпуклый четыреугольник
ABCD был описан около окруж¬
ности, необходимо и достаточно
соблюдение условия:
(ДВ) + (С2?)=(Д^) + (5С).
Пусть четыреугольник ABCD
описан около окружности (черт.
128) и точки F, G, H, J суть точки
Черт. 128
касания соответствующих
сторон. Из равенства прямоугольных Л Л OFA и ОНА, OFB
и OGB и т. д. (теорема 165, п. 3) вытекают равенства отрез¬
ков:
(АЛ) = (АЯ), (BF) = (BG), (CJ) = (CG), (DJ) = (DH).
Складывая почленно, получаем искомую зависимость.
Пусть, обратно, стороны данного четыреугольника выпол¬
няют эту зависимость. Проведем равноделящие углов BAD
и АВС, и пусть они пересекаются в точке О (теорема 312);
эта точка будет центром окружности, касающейся полупрямых
АВ, AD, ВА, ВС (теорема 179). Точка касания с полупрямыми
АВ и ВА должна принадлежать их общей части, т. е. отрезку
(АВ) (теорема 27, п. 2); положение же точек касания на двух
других лучах пока еще не определено.
Попробуем допустить, что обе точки
касания Н и G лежат вне сторон четы¬
реугольника (черт. 129а), так что
(АН) > (AD) и (BG) > (ВС).
Далее, из равенства прямоугольных
треугольников (теперь ссылаемся на
теорему 165, п. 5) имеем:
(АН) = (AF) и (BG) - (BF).
Следовательно:
(ЛВ) = (АР) 4- (BF) = (АН) 4- (ВО) > (AD) 4- (ВС),
а это противоречит заданию.
14 Ьсгвманог — Геометріи
203
Допустим далее, что одна точка касания G лежит внутри,
а другая точка //—вне соответствующей стороны (черт. 12%)-
В этом случае пишем:
(BF) = (BG), (AF) = (АН) > (AD), (АВ) > (AD) + (ВО);
Черт. 129Ь
кроме того, дано:
(AZ))+(BC) = (AB) + (CD),
так что
(AD) + (ВС) > (AD) + (ВО) + (CD),
откуда
(СО) > (CD).
Применяя постулат Паша к прямой CD и треугольникам
АВН и BGH, убедимся, что CD проходит через внутреннюю
точку хорды (HG), а потому пересекает окружность в двух
точках (теорема 244). Далее, эти точки пересечения принад¬
лежат именно отрезку (CD), ибо этот отрезок (а не остальная
часть прямой CD) лежит в тех же углах А и В, внутри
которых расположена наша окружность (теоремы 70 и 439).
В таком случае (CD) содержит оба отрезка секущей из точки
С, a (CG) есть отрезок касательной из той же точки С. Тогда
неравенство (CD) < (CG) противоречит теореме 433 (см. заме¬
чание к этой теореме).
Итак, точки касания Н .и G должны лежать внутри сторон
(AD) и (ВС). Но допустим, что (CD) не касается окружности.
Опустим из центра перпендикуляр на CD и в точках пересе¬
чения его с окружностью проведем касательные, параллель¬
ные CD. Из этих касательных выберем ту, которая лежит по
ту же сторону от центра, что и основание L
пендикуляра; пусть это будет CpDp Сто¬
рона (CD) данного четыреугольника мо¬
жет иметь положение, указанное на черт.
129с или другое, при котором D лежит
между Н и Dx, а С—между G и Cf,
возможность этих и только этих двух
случаев вытекает из теоремы 306. Легко
убедиться, что точка касания К должна
лежать внутри отрезка (Cj/JJ; это выте- л
кает из положения (CXD±) и О(г) внутри
углов А и В; а потому по п. I настоя¬
щей теоремы для четыреугольника ABC^L
(AB) + (CA) = (W + (BC1
Черт. 129с
имеем:
);
210
I
с другой стороны, нам дано: ѵ
(Д^) + (СР) = (Д£>) + (ВС).
Сопоставляя оба равенства, получаем:
(СР)-(ОД) = (ад + (С1С)
(CD) = (D1D) + (C1D1) + (C1C),
а это противоречит теореме 176.
Итак, прямая C.D. совпадет с CD и теорема доказана.
Теорема 442. Из параллелограммов описать около окружности
можно только ромб (квадрат).
Предложение вытекает из теоремы 329, п. 4 и 441.
§ 38. Правильные многоугольники
Определение 114. Многоугольник (выпуклый) называется
равносторонником, если все его стороны равны между собой
(например, ромб); многоугольник называется равноугольником,
если все его углы равны между собой (например, прямоуголь¬
ник); многоугольник, который является
и равносторонником и равноугольни¬
ком, называется правильным (напри¬
мер, квадрат).
Теорема 443. Вписанный равно¬
сторонний и описанный равноугольник
будут правильными многоугольниками.
Пусть многоугольник ABCDEF (черт.
130) будет вписанным равносторонни¬
ком. На основании теоремы 230 (п. 1) и
405 (следствие) легко доказать, что все
его углы равны между собой, а по¬
тому он будет ‘ правильным (определе¬
ние 114). Пусть, далее, A.B.C.D.Ep.
будет описанным равноугольником; рассматривая равные пря¬
моугольные треугольники ОМР. и OLD., OLC. и ОКС и т. д.,
получаем:
D (MD.) = (LD.), (LC.) = (КС.) и т. д.;
2) OD. — равноделящая / D., ОС. — равноделящая / С.
и т. д. А так как углы данного многоугольника равны между
собой, то
A OEÏM=Д ODiM (теорема 165, п. 4),
(MDJ = (МЕУ
и точно так же докажем, что
(LD.)^(LC.) и т. дм
14*
2И
ï. ê. точки касания Af, L, К... суть середины сторон данного
многоугольника. Сопоставляя полученные равенства, находим:
(E.DJ = = ...,
так что у данного многоугольника и стороны равны, а потому
он будет правильным.
Теорема 444. Если многоугольник вписан в одну из
двух концентрических окружностей и описан около другой,
то он будет правильным.
Легко видеть, что стороны данного многоугольника служат
хордами первой окружности, равноотстоящими от центра
(именно, их расстояние от центра равно радиусу второй окруж¬
ности). Следовательно, они равны между собой (теорема 226,
п. 3) и дело сводится к теореме 443.
Теорема 445. Существует правильный п-угольник (п>3),
вписанный в данную окружность, и другой правильный
п-угольник, описанный около нее.
Проводим в данной окружности два взаимно перпендику¬
лярные диаметра и делим каждый из полученных прямых
углов на п равных частей (теорема 236); образуя суммы четы¬
рех смежных частей, разделим полный угол при центре на п
равных частей. Так, на черт. 130 (где п=6) полный угол при
точке О разделен на следующие шесть равных углов:
/АОВ, / ВОС, Z_COD, £DOE, /_ЕОЕ, £FOA.
Далее строим хорды, на которые опираются равные углы
при центре. Эти хорды будут равны между собой (теорема 130)
и образуют вписанный равносторонний (легко видеть, что
получается выпуклый многоугольник), который и будет пра¬
вильным n-угольником (теорема 443). Переходя к построению
описанного многоугольника, обозначим через г радиус данной
окружности, а через h — расстояние от центра до сторон пра¬
вильного вписанного n-угольника (на основании теоремы 226,
п. I, эти стороны равноотстоят от точки О). Построим далее
многоугольник, гомотетичный с правильным вписанным n-уголь¬
ником, взяв центр, гомотетии в точке О, а отношение подобия
равным-^-. Получим многоугольник, подобный данному (тео¬
рема 395). Из свойств подобия нетрудно будет вывести, что
вновь построенный многоугольник есть правильный п-угольник.
Основываясь на теореме 391 и 390, можно утверждать, что
расстояния его сторон от центра равны:
А.^- = г;
т. е. его стороны будут касаться данной окружности (тео¬
рема 247, п. 2) и именно — в своих серединах, так как перпен¬
212
дикуляр из центра делит пополам сторону вписанного много¬
угольника, подобного рассматриваемому.
Следовательно, этот последний будет правильным описанным
п-угольником.
Теорема 446. Существует окружность, вписанная в данный пра-
вильный многоугольник, и другая окружность, описанная около него.
Дан правильный многоугольник ABCD... (черт. 131). Проведем биссек¬
трисы его углов Л и В; они пересекутся в точке О (теорема 312).
Так как /. Л = В, то А ОАВ. равнобедренный, а потому:
(ОА) = (ОВ).
Соединив точки О nF, получим равные треуголь¬
ники OF А и ОВА [(AF) = (АВ), (ОА) — общая,
/ OAF = / ОАВ], откуда
(OF)=(OA) и Z OFA = Z ОВА,
и прямая OF есть биссектриса угла F и т. д.
Таким образом, мы постепенно убедимся,
что прямые, соединяющие точку О с верши¬
нами данного многоугольника, будут равноделя-
щими его углов, а соответственные отрезки—
равны между собой. Отсюда уже следует, что
окружность, описанная из точки О рациусом, равным (ОА), будет
описан¬
ной около данного правильного многоугольника. Далее, стороны этого послед¬
него, как равные хорды указанной окружности, равноотстоят от центра;
а потому окружность с центром в точке О и с радиусом, равным (ОН),
где (ОН)— высота ДОЛВ, будет вписанной в данный многоугольник.
Определение 115. Общий центр окружностей, вписанной и описан¬
ной около данного правильного многоугольника, называется его центром',
радиус описанной окружности называется радиусом многоугольника, а ра¬
диус вписанной — его апофемой. Угол при центре, опирающийся на сторону,
называется центральным углом правильного многоугольника.
п 360°
Легко видеть, что для правильного и-угольиика этот угол равен: ,
п
тогда как угол самого правильного л-угольника равен 180°- [1— — 1 (тео¬
рема 327, определение 114). \ п J
Теорема 447. Правильные одноименные многоугольники подобны,
причем отношение подобия равно отношению их радиусов или апофем.
(Теоремы 380 и 378).
Нашей ближайшей целью будет решение задачи (с помощью линейки
и циркуля) о вписывании в окружность правильного многоугольника с дан¬
ным числОхМ сторон. Задачу эту можно решить в следующих случаях.
Весьма просто обстоит дело с квадратом: проводим в окружности два
взаимно перпендикулярных диаметра AD и ВС. Четыреуго льник ABDC бу¬
дет квадратом (доказательство предоставляется читателю).
Для дальнейшего нужна следующая теорема.
Теорема 448. Сторона правильного вписанного шестиугольника
равна радиусу.
Действительно, пусть (АВ) есть сторона правильного шестиугольника,
вписанного в данную окружность (черт. 130). Тогда
/ 2\ 1
Z АОВ = 60° ; Z ОАВ = / ОВА = 180° 11 — — 1. — = 60°,
так что А АОВ равносторонний (теорема 269), и (АВ) = г.
213
Обратно, если (АВ)—г, то Л АОВ равносторонний и / ЛОВ = 60°, т. е.
(ЛВ) уложится в качестве хорды ровно шесть раз» и таким образом полу¬
чится правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность (тео¬
рема 443).
Итак, задача о вписывании правильного шестиугольника решается
весьма просто.
Соединяя его вершины через одну, получаем правильный треугольник,
вписанный в данную окружность.
Теорема 449. Сторона правильного вписанного десятиугольники
равна большей части радиуса, разделенного в крайнем и среднем отноше¬
нии.
Пусть (АВ) есть сторона правильного десятиугольника, вписанного
в данную окружность (черт. 132). Тогда / АОВ = 36° и в равнобедренном
ДДОВ углы при основании будут:
QZ А = Z В = 72° .
Проведем (AL) — биссектрису / А, так
что
£OAL= £BAL = 3&.
Тогда ДД OLA и BAL будут равнобедрен¬
ными [последний на том основании, что
z ALB = Z LAO+ Z AOL = 72° = / ABL].
так что
(АВ) = (AL) — (OL),
Черт. 132 На основании теоремы 423 имеем пропорцию:
=
(ЛВ) (LB) 9
или
(OB) (OL)
(OL) (LB) ’
т. е. (OL) ~ (АВ) есть указанная часть радиуса (см. конец § 36).
Обратно, пусть хорда (АВ) есть большая часть радиуса, разделенного
в крайнем и среднем отношении. Строим /\АОВ и на (ОВ) откладываем
(OL) =» (АВ)', точку L соединяем с А.
Теперь нам дана пропорция:
(OB) ~ (OL)
(OL) (LB) 9
или
(OA) _ (OL)
(АВ) (LB) 9
откуда следует, что (AL) есть биссектриса /Л (теорема 424). Переписы¬
вая последнюю пропорцию еще таким образом
(ОА) _ (АВ)
(АВ) (LB)
214
и вспоминая, что / Л = / В, получаем:
Л О АВ w Л ABL (теорема 374);
а так как в Л О АВ имеем (О А) = (ОВ), то
(ЛВ) = (Л£).
В таком случае
(Ль) = (О£) и Z OAL = £AOL.
Следовательно, в равнобедренном Л АОВ угол при основании вдвое больше
угла при вершине; теорема 325 сейчас же дает, что
£ АОВ = 36°,
и дальнейшее очевидно.
Предыдущая теорема дает нам правило для вписывания в окружность
(с помощью линейки и циркуля) правильного десятиугольника. Соединяя
его вершины через одну, вписываем правильный пятиугольник. Наконец,
очевидное равенство
1 J _ 1
б “ 10 " 15
показывает, что стороной правильного вписанного пятнадцатиугольника будет
хорда (ВМ) (черт. 132), если (AM) равна радиусу, а (АВ) есть сторона
правильного вписанного десятиугольника.
Доказательства следующих трех теорем предоставляются читателю.
Теорема 450. Если через ап обозначим сторону правильного n-уголь¬
ника, вписанного в окружность радиуса г, то:
Д3 = ,
аі = г-уг2 ,
п , /5^Т
аі0 = г- __г .
2
Теорема 451. Если через Ьп обозначить сторону правильного л-уголь-
ника, описанного около окружности радиуса г, то
^п'Г
Теорема 452. Если в окружность вписан правильный и-угольник, то
можно построить (с помощью линейки и циркуля) правильный 2п-угольник,
вписанный в ту же окружность, причем:
Замечание. Легко видеть, что для удвоения числа сторон правиль¬
ного описанного n-угольника можно поступить следующим образом: раз¬
делим пополам дуги, заключенные между двумя последовательными точками
касания (на черт. 130 изображен правильный описанный шестиугольник
215
A^CiD^F^ указанными точками деления послужат точки Л, В, С, D, Е,
В); в этих точках проведем к окружности касательные и ограничимся
теми их отрезками, которые вырезаются двумя смежными сторонами дан¬
ного п-угольника.
Задача о вписывании в окружность правильного л-угольника равно¬
сильна делению ее на п равных частей. Сопоставляя предыдущие построения,
приходим к такому предложению.
Теорема 453. Мы можем с помощью линейки и циркуля разделить
окружность на /я-2^ равных частей, где т = 3, 4, 5, 15, k — любое целое
положительное число или нуль.
Замечание. Есть еще и другие случаи решения задачи с помощью
линейки и циркуля; но для любого числа равных частей построения
с помощью линейки и циркуля дать нельзя, как это доказывается в высшей
математике.
Приступая к изучению симметрии правильных многоуголь¬
ников, условимся выписывать наименования двух равных
многоугольников так, чтобы на соответствующих местах стояли
названия соответствующих вершин (см. определение 53). Из
понятия о равенстве многоугольников следует, что каждый
многоугольник равен самому себе, если каждой его вершине
отнесем эту же самую вершину:
ABCDE... = ABCDE...
Но при ином установлении соответствия между вершинами
многоугольник вообще уже не будет равен самому себе. Так
ABCDE... вообще не равен многоугольнику BCDE... А, ибо
стороны (АВ) и (ВС) вообще не равны друг другу. Иначе
обстоит дело с правильными многоугольниками, и в этом
именно заключаются их свойства симметрии.
Теорема 454. Если в символе правильного п-угольника
произвести всевозможные круговые подстановки, то получим
многоугольники, равные данному. Другими словами, правиль¬
ный многоугольник ДіДѵАз... Ап_{Ап равен многоугольникам:
АхА2А3 .. .ДЛ_/Л) д2дз. ..An_tAnAlr А3.. ,.. •,
Ал_]ЛпЛіД2 .. .Дл_2> AnAj^z.. .Ап_2Аа_г
Действительно, так как все стороны и все углы правиль¬
ного многоугольника равны между собой, то дело сводится
к определению 53.
Теорема 455. При всех указанных случаях равенства
правильного многоугольника самому себе его центр соответ¬
ствует самому себе.
Дело в том, что соответствие можно распространить на все
точки двух равных фигур (см. определение 103 при k=V),
и для центра вопрос ясен, так как на основании теоремы 446
216
центр описанного круга определяется однозначно, а вершины
во всех случаях одни и те же.
Замечание. Прибегая к представлению о движении, можно получен¬
ные выше выводы выразить более наглядно; именно, можно сказать, что
если правильный п-угольник повернуть (в его плоскости) около центра на
360°
угол в—— или на любое кратное этого угла, то он совпадет со своим
первоначальным положением. Так, это произойдет с правильным шести¬
угольником при повороте на 60°, и т. д.
Определение 116. Точка О, обладающая свойствами
центра правильного многоугольника, указанными в теореме 455,
называется центром n-кратной симметрии. Так, правильный
треугольник обладает тройной, а правильный шестиугольник
шестерной симметрией относительно своего центра. Вообще
(если для простоты прибегнуть к „языку движения") указанным
именем называется такая точка любой плоской фигуры, что эта
фигура, будучи повернута (в своей плоскости) вокруг нее на
угол, равный совпадает со своим первоначальным поло¬
жением.
Так, тот центр симметрии, о котором шла речь в определе¬
нии 96 и теореме 333, является центром двойной симметрии:
точка совпадает с соответствующей точкой при повороте на
180°, так что п=2.
Теорема 456. Прямые, соединяющие центр правильного
п-угольника с его вершинами или с серёдинами его сторон,
суть оси симметрии (см. определение 52) правильного много¬
угольника*, при п нечетном обе системы осей совпадают, а
при п четном они различны.
Действительно, соединим вершину А правильного много¬
угольника ABCD.. .К с его центром О прямой АО (черт. 133
и 134). Легко видеть, что /\АВК, где К— последняя по по¬
рядку вершина, будет равнобедренным, а прямая АО, будучи
равноделящей А, окажется перпендикуляром к отрезку (ВК)
217
в его середине. Следовательно, точки В и К будут симметрич¬
ными относительно оси АО (определение 52). Точно так же, из
рассмотрения равнобедренного Л ACJ, где С — третья вершина,
а J—вторая от конца, найдем, что точки С и J симметричны
относительно АО, и т. д. Перебрав все вершины, останется
разложить многоугольник на треугольники, исходя из вершины
А, и применить теорему 174. Для прямых, соединяющих точку
О с серединами сторон, рассуждение ведется подобным же
образом.
Предыдущие соображения показывают, что, если вершину А
оставить в стороне, последующие вершины оказываются попарно
симметричными относительно оси АО. Поэтому, если « — не¬
четное, то (за вычетом А) все вершины разобьются на пары.
Если возьмем последнюю пару (считая от А), то здесь кон¬
чается перебирание вершин, идущее от А в двух различных
направлениях, и эта пара определяет уже одну из сторон мно¬
гоугольника [например, сторона (С7) на черт. 134]. Указанная
сторона, следовательно, окажется перпендикулярной АО и раз¬
деленной ею пополам, ибо ее концы симметричны относительно
АО.
Таким образом, при п нечетном, прямая АО пройдет
через середину противоположной стороны. Если же п четное,
то, кроме А, еще одна вершина (именно — диаметрально про¬
тивоположная А) останется без пары и будет лежать на пря¬
мой АО, ибо при п = 2/п имеем:
и указанные вершины будут лежать на различных лучах этой
прямой, исходящих из точки О (точки А и D на черт. 133).
Следовательно, прямая АО пройдет еще через одну вершину
и не будет содержать середины какой-либо стороны (по свой¬
ству выпуклости). Подобные же рассуждения можно провести
и для прямых, соединяющих точку О с серединами сторон.
Замечание. Вспоминая сделанное выше условие, можно симметрию
многоугольника относительно прямой АО выразить следующими равенст¬
вами;
Для случая черт. 133:
ABCDJK—AKJDCB',
для случая черт. 134:
ABCJK=AKJCB.
Симметрия последнего многоугольника относительно прямой OJ выра¬
жается равенством;
ABCJK — BAKJC и т. д.
В заключение параграфа докажем несколько теорем, кото¬
рые пригодятся для измерения окружности,
218
Теорема 457. Периметр правильного описанного
2п-уголъника меньше периметра правильного п-угольника,
описанного около той же окружности, (Замечание к теореме
452, теорема 177.)
Условимся в следующих обозначениях:
ап— сторона правильного n-угольника, вписанного в окруж¬
ность радиуса г;
hn— его апофема;
рп— его периметр;
р'п—периметр правильного n-угольника, описанного около
той же окружности.
Теорема 458. Существует такое целое
число п, что
ап<^
где е — произвольно заданный отрезок.
Можно ограничиться случаем, когда е < г,
так как иначе п = 6 решает вопрос. Бе¬
рем на данной окружности произвольную
точку А (черт. 135) и около нее, как центра,
описываем окружность радиусом, равным е.
На основании теоремы 261 эти окружности
пересекутся в некоторой точке В. Таким об¬
разом, АВ стягивается хордой, равной е. Теперь впишем
в данную окружность правильный /n-угольник (теорема 445),
и пусть (KL) = am; если о KL <о АВ, то a,w<e и п=/п (оп¬
ределение 72, теорема 230). Если же <jKL>\jAB, то удваиваем
число сторон правильного вписанного пг-угольника (теорема 452)
и пусть (КМ) = а2т; если о КМ АВ, то а2т<^ и п = 2/п.
Если же о АТИ > АВ, то переходим к* (KN) = а4т и т. д.
Из способа удвоения числа сторон явствует, что
На основании теорем 239 и 240 найдется такое число k, что
Тогда
пл< е, где п = 2* • т,
и это п будет искомым.
Теорема 459. Существует такое целое положитель¬
ное число п, что
r~hn<3,
где е — произвольно заданный отрезок.
219
Возьмем &ОАН (черт. 131), где (А77) = -^, (ОА) = г и
(PH}=hn. По известному свойству треугольника, имеем:
г — h <—
г Ln^ 2 *
а потому и подавно
г — h<Z а„,
но ап можно сделать меньше е (теорема 458).
Теорема 460. Существует такое целое положитель¬
ное число п, что
Рп~Рп<*>
где е — произвольно заданный отрезок.
Берем два правильных /тг-угольника, один—вписанный, дру¬
гой — описанный около данной окружности (теорема 445).
На основании теорем 381 и 447 пишем:
Хи = _£_
Рщ 9
откуда
-Рт ~ = LT hjn. (теорема 302).
Рт г
Возьмем далее три отрезка: рт, е, г и найдем для них чет¬
вертый пропорциональный отрезок (замечание к теореме 367),
который обозначим через km, так что
Рт _ г
е km
Сочетая две последних пропорции, получаем новую:
Pm-Рт r — hm (переход к числам и обратно с по-
= —— мощью теоремы 301).
е
Если теперь окажется, что
г — hm < km, то /Л — рт<е и п = т.
т т9 * т * т
В противном случае удваиваем число сторон многоуголь¬
ников и, подобно предыдущему, имеем:
Р<2т ~ Pïm __ r~h‘2m
е ~ k2m 9
220
где k.2m определяется из пропорции:
Р‘2т г /**)
е ~ k2m '
Сравнивая левые части пропорций (*) и (**), замечаем, что
левая часть первой больше левой части второй (теорема 457),
а потому
А > т- , откуда k.2m > km ! (теорема 302),
кт К(2т
т. е. вспомогательный отрезок увеличивается при удвоении
числа сторон наших многоугольников. Если теперь окажется
что
г — то и подавно: г —
Но тогда
/Зот-Лт<е и п = 2т.
В противном случае снова удваиваем число сторон и т. д. На¬
конец на основании теоремы 459 найдем такое п (где п =
=2* • т), что
r — h< k;
п т ’
тогда и подавно
г — h< k.
п п
Кроме того, по предыдущему будет иметь место пропорция:
Рп~Рп, r~hn
е kn '
и мы приходим к неравенству:
Рп-рп<г-
§ 39. Измерение окружности
Главная цель, которая ставится в этом параграфе, —найти
длину окружности-, воспользоваться здесь „способом после¬
довательного откладывания" единицы длины нельзя, ввиду тео¬
ремы 216. Точно так же нельзя принять за единицу измерения
какую-нибудь определенную дугу окружности, ибо окружно¬
сти различных радиусов опять-таки не могут иметь более двух
общих точек (теорема 224). Поэтому измерение окружности
221
производится на иных началах. Именно, для этого пользуются
или теорией пределов, или (как это будет сделано здесь) ак¬
сиомой непрерывности с ее следствиями.
Теорема 461. Для данной окружности существует
один и только один отрезок, > который больше периметра
всякого вписанного в нее выпуклого многоугольника и мень¬
ше периметра всякого описанного.
Будем вписывать в данную окружность и описывать около
нее всевозможные (выпуклые) многоугольники и образуем два
класса отрезков следующим образом: в
I класс помещаем периметры р вписан¬
ных многоугольников, а во II класс—
периметры р' описанных. Указанное де¬
ление на основании теорем 440 и 460
удовлетворяет обоим условиям тео¬
ремы 241. Следовательно, существует
один и только один отрезок /, удов¬
летворяющий неравенствам:
Р^Кр'.
Надо теперь доказать, что равенства здесь не может быть.
В самом деле, если допустить, что 1=р (т. е. Z равняется пе¬
риметру некоторого вписанного многоугольника), то этот от¬
резок р будет в I классе наибольшим. Значит, тогда сущест¬
вует вписанный многоугольник с наибольшим периметром. Пусть
это будет ABCD... (черт. 136). Взяв точку N внутри АВ
и соединив ее с точками А и В, получим новый вписанный
многоугольник ANBCD..., периметр которого будет больше
периметра первого многоугольника (теорема 177), что проти¬
воречит сделанному допущению. Точно так же невозможно
равенство 1=р', ибо нет описанного многоугольника с наимень¬
шим периметром.
Итак, найденный выше отрезок / удовлетворяет неравен¬
ствам
р <1<р’.
Определение 117. Под длиной окружности понимают
длину отрезка, который больше периметра всякого вписан¬
ного в нее многоугольника и меньше периметра всякого опи-'
санного.
Существование и единственность такого отрезка установ¬
лены в теореме 461.
Теорема 462. Длины двух окружностей относятся,
как их радиусы.
Пусть даны две окружности с радиусами г и î\ и с цент¬
рами в точках Ог и О2. Их длины обозначим через I и
222
Если r=rlt то нетрудно придти к равенству 1=1[} так как оба
класса будут составлены тогда из одних и тех же отрезков;
поэтому в дальнейшем допустим, что г > rt.
Взяв произвольную точку О и проведя из нее полупрямую,
отложим на последней отрезки:
(ОА) = г и
Из точек А и Аг проведем полупрямые АВ и А1В1, лежащие
по одну сторону от ОА и перпендикулярные ОА (черт. 137;
для удобства чертежа, в горизонтальном направлении принят
иной масштаб, чем в вертикальном). На полупрямой АВ бу¬
дем откладывать отрезки, рав¬
ные периметрам многоуголь¬
ников, вписанных и описанных
около окружности радиуса г;
на полупрямой А1В1 будем
делать то же самое для ок¬
ружности радиуса гх.
Пусть (АТИ) равен периме¬
тру какого-нибудь многоуголь¬
ника, вписанного в Ог (г). Впи¬
шем в О2 (rj многоугольник,
подобный первому. Возможность этого вытекает из того, что две
любые окружности всегда гомотетичны [теорема 402; если
наши окружности лежат в различных плоскостях, то одну из
них заменим равной окружностью]. Поэтому, построив много¬
угольник, соответствующий данному в указанной гомотетии,
получим подобный ему (теорема 395) и вписанный в О2 (rj,
ибо его вершины, как соответствующие точкам Ot (г)—должны
лежать на О2 (rj.
Пусть отрезок (Aj/HJ будет равен периметру этого много¬
угольника, вписанного в О2(г)- Теорема 381 в связи с тем об¬
стоятельством, что отношение подобия в указанной выше го¬
мотетии равно отношению радиусов, дает пропорцию
(AM) (ОА)
(А.М^^А,) ;
а теорема 369 говорит тогда, что прямая пройдет через
точку О.
Точно так же отложим отрезок (AN), равный периметру ка¬
кого-нибудь многоугольника, описанного около О1 (г). Опишем
около О2 (rj многоугольник, ему подобный, и пусть (АіМ)
равен его периметру; по предыдущему убедимся, что прямая
NNX пройдет через точку О. В изложенных рассуждениях мы
переходили отС^ (г) к О2 (rj, но точно также можно проде¬
лать и обратный переход.
223
Отложим теперь на полупрямой АВ отрезок (Д/,) = /. На
основании определения 117 имеем неравенства:
(AM) < / < (AN).
Соединим точки О и А, и пусть прямая OL пересекает
в точке Теорема 370 дает пропорции:
(ЛА) _(Л1А1) „ (ЛА) _(Л1А])
(AM) (AM) И (AN) (Л^)’
которые, в связи с вышеуказанными неравенствами и теоремой
302, дают новые неравенства:
(Д1М1)<(Д1А1)<(ЛЛ1).
Но тогда определение 117 показывает, что
(АД)=4.
Наконец, из подобия ДД OAL и ОДіД находим:
I _ г
Теорема 463. Отношение длины окружности к ее диа¬
метру^ есть число постоянное.
Действительно, из предыдущей пропорции без труда нахо¬
дим:
2г 2гі ’
что и доказывает теорему.
Определение 118. Это постоянное число обозначается
буквой к (греческая буква „пи“).
Теорема 464. Длина окружности радиуса г равна 2кг.
(Теорема 463, определение 118.)
Возникает вопрос о вычислении к. В высшем анализе дока¬
зывается, что это число — иррациональное; его приближенные
значения можно найти следующим образом.
Возьмем окружность с радиусом, равным единице длины;
впишем в нее и опишем вокруг нее правильные п-угольники.
На основании предыдущего имеем неравенства:
ра<2*<ря
или
~Рп<П < -ў-Рп’
Из этих неравенств нетрудно получить еще два таких:
и -Т&П-РЛ
821
Другими словами, если за приближенные значения тс примем
-^-рп (с недостатком) или (с избытком), то ошибка бу-
дет<-у. (рп — рп), а эту разность при достаточно большом п
можно сделать сколь угодно малой (теорема 460).
Для вычисления можно взять п=4 или п = б (тогда а4 = ]/г2
и а6 = 1) и удваивать число сторон, вычисляя а2п по теореме 452.
Так, дойдя до п=96, найдем:
тс=3,14 с недостатком и с точностью до 0,005;
дойдя до п=1536, получим:
тс=3,1416 (с избытком и с точностью до 0,00005).
Следует еще отметить приближенное значение Архимеда
22
— (с точностью до двух десятичных знаков) и Адриана Меция
355
(с точностью до шести десятичных знаков). В настоящее
время известно несколько сотен десятичных знаков числа тс.
Определение длины дуги, как части окружности, может быть сделано
в общем тем же путем, что и определение длины окружности. Но так как
основная мысль этого способа подробно была разъяснена для окружности,
то в вопросе о спрямлении дуги мы пойдем более кратким, но зато и более
формальным путем, разрешив вопрос с помощью следующего определения.
Определение 119. Под длиной дуги понимаем чЪсло, которое
так относится к длине всей окружности, как соответствующий дуге
центральный угол относится к полному углу.
Теорема 465. Если данной дуге соответствует центральный угол а
(в градусах) и она принадлежит окружности радиуса г, то ее длина равна:
а
~r'w
Действительно, обозначив искомую длину через х, из определения 119
выводим пропорцию:
X s 2 к г = а: 360°.
Замечание. Пользуясь указанной формулой, без труда докажем
следующие предложения: 1) длины двух дуг с равными центральными углами
относятся, как радиусы, и обратно;-2) длина суммы дуг (в одной окруж¬
ности) равна сумме длин этих дуг и т. д.
До сих пор мы измеряли углы в градусах; теперь можно ввести другую
единицу, которой предпочитают пользоваться в теоретических исследова¬
ниях (тогда как измерение в градусах удобно для практических целей).
Определение 120. Радианом называется угол, которому соответ¬
ствует дуга, равная по длине радиусу.
„ 180°
Легко видеть, что радиан в градусах равен: —у •
Действительно, в формуле для длины дуги полагаем ее длину равной г.
r==lzr‘ -îâœ-’
Богомолов — Геометрия
225
откуда получается а, т. е. число, измеряющее радиан в градусах. Мы убеж¬
даемся, что радиан не зависит от величины радиуса. Приближенно (с точ¬
ностью до 1") величина радиана в градусах (минутах и секундах) равна:
57° 17'45".
Теорема 466. Если принять радиан за единицу измерения, то угол,
измерявшийся в градусах числом а, будет измеряться в радианах числом
тс*а
І8(Р *
В самом деле, переход от одной единицы измерения к другой был ра¬
зобран в теореме 298. Все дело сводится к определению числа, измеряю¬
щего новую единицу в старой.
о 180°
В рассматриваемом случае это число равно ,
к
так что прежние числа придется умножить на обратную величину:
к
Î8ÔF-
Теорема 467. Длина дуги равна произведению длины радиуса на
число, измеряющее соответствующий центральный угол в радианах.
(Теоремы 465 и 466.)
§ 40. Равносоставленность многоугольников
Определение 121. Мы говорим, что многоугольник Р
разложен н£ частичные многоугольники Ри Р2,..., Рп, если
соблюдены следующие условия:
1) каждая точка многоугольника Р принадлежит, по край¬
ней мере, одному из многоугольников Plf Р2,..., Рп ;
2) каждая точка каждого из многоугольников Рх Pb..,fPn
принадлежит многоугольнику Р\
3) многоугольники Р2і.., Рп не имеют общих точек,
за исключением возможных общих точек обвода.
(Некоторые частные случаи разложения были рассмотрены
в теоремах 68 и 69.)
При соблюдении вышеуказанных условий говорят также,
что Р является суммой Р1} Р2,... , Рп, и записывают это обыч¬
ным способом:
р=р,+р2+...+рп.
Последнее утверждение распространяется и на тот случай, ко¬
гда Pf не представляет частей многоугольника Р, но этот
последний разлагается на части, соответственно равные Plf
р2,..., рп.
Определение 122. Два многоугольника называются
равносоставленными, если они разлагаются на конечное число
попарно равных частичных многоугольников. Теорема 175 по-
226
называет, что дело всегда можно свести к попарно равным
треугольникам. Для обозначения равносоставленности будем
употреблять знак X, так что равносоставленность многоуголь¬
ников и Р2 записывается такой формулой:
ЛХР,
Легко видеть, что равные многоугольники всегда равносо¬
ставлены (теорема 175, определение 122).
Теорема 468. Суммы равносоставленных многоугольни¬
ков сами равносоставлены (определения 121 и 122).
Теорема 469. Два многоугольника, равносоставленные
с одним и тем же третьим многоугольником, равносостав¬
лены между собой.
Черт. 138
Сначала разберем эту весьма важную для настоящего па¬
раграфа теорему на частном примере. На черт. 138 имеем
.равнобедренный А АВС [(ДВ) =6, высота (С£>) = 8], паралле-
лограммРА/WN [(Р£) = 3, (АТѴ)-(ДС), £NKL = /_САВ] и пря¬
моугольник RSTU [(PS) =4, (Р£7) = 6].
Если в треугольнике проведем прерывистую линию (DE),
соединяющую середины двух его сторон, а в параллело¬
грамме— линию (NO), где О —середина (LM), оставляя пока
без внимания пунктирные линии, то получим следующие разло¬
жения на части (теорема 68):
А ДВС=трапец. ADEC-}- A DBE\
параллелограмм /СА7И7Ѵ=трапец. KLON-\- A MON.
А так как читатель без труда убедится в равенствах :
трапец. Д£>ВС=трапец. KLON и £\DBE=£\MON,
то
Д ABC^KLMN.
15*
227
Возьмем снова А ЛВС и прямоугольник RSTU\ не будем
на этот раз обращать внимание на прерывистые линии, а про¬
ведем следующие пунктирные линии: в А АВС... FE || АВ,
CG ± FE, а в прямоугольнике: (RW) и (UV), где (SW) —
= (ТѴ)= 1у. Тогда получим разложения:
Л АВС = трапец. ABEF-\- Л CFG -f- A CEG\
прямоуг. RSTU=трапец. RUVW-\- A SWR + A TVU.
Нетрудно убедиться, что эти части попарно равны, а потому:
А ABC X RSTU.
Итак, А ЛВС разлагается на части двояким образом:
1) с помощью отрезка (DE) он разлагается на трапецию и
треугольник (так же, как KLMN), 2) с помощью отрезков
(FE) и (CG) он разлагается на трапецию и два треугольника
(так же, как RSTU).
Проведем теперь в АЛВС обе системы отрезков сразу.
Тогда наш треугольник подразделится на более мелкие части,
как это и указано на чертеже. При этом получится одно и
то же разложение, независимо от того, какую систему отрез¬
ков проведем сначала, а какую — потом. Рассмотрим этот про¬
цесс подробнее.
Проведем сначала отрезок (DE). Тогда А АВС разлагается
на трапецию ADEC и A DBE. Если теперь провести и вто¬
рую систему отрезков, то A DBE, обозначенной № 2, оста¬
нется незатронутым, а трапеция разложится на параллелограмм
№ 1 и два треугольника № 3 и 4. Конечно, на такие же са¬
мые части можно разложить равную ей трапецию KLON, вхо¬
дящую в состав KLMN, так что треугольник и параллелограмм
окажутся подразделенными на четыре попарно равные части.
Вернемся снова к А АВС и проведем в нем сначала вторую
систему отрезков, которая разлагает А АВС на трапецию
ABEF и два треугольника; если теперь еще провести отре¬
зок (DE), то оба треугольника останутся незатронутыми, а
трапеция разобьется на параллелограмм № 1 и треугольник № 2.
Конечно, на такие же самые части можно разложить равную
ей трапецию RUVW, так что треугольник и прямоугольник
окажутся подразделенными на те же самые четыре части.
Итак, в конце концов, мы разложили параллелограмм и пря¬
моугольник на соответственно равные части, откуда
KLMN X RSTU.
Переходим к общему доказательству. Пусть дано, что мно¬
гоугольник Pi X Р, причем Ру и Р разлагаются на попарно
равные частичные многоугольники с помощью системы от¬
резков № 1 (имеются в виду отрезки, проводимые в Р). Пусть,
кроме того, Р2 X Р, причем Р2 и Р разлагаются на попарно
228
равные частичные многоугольники qk с помощью системы от¬
резков № 2 (имеются в виду отрезки, проводимые в Р). Про¬
ведем в многоугольнике Р обе системы отрезков сразу. Тогда
Р разложится на новые, более мелкие части гт и притом —
независимо от того, какую систему отрезков проведем сначала,
а какую — потом. Воспользуемся сначала первой системой
отрезков; тогда Р (равно как и разбивается на части р{.
Присоединим сюда вторую систему отрезков; тогда Р, а значит
и совокупность многоугольников р., разбивается на многоуголь
ники гт. Опираясь на повторное применение теоремы 175,
можно те многоугольники, на которые сначала было разло¬
жено Рг и которые соответственно равны рр разложить на
те же самые части гт. Таким образом, Р± окажется разложен¬
ным на многоугольники гт. Берем теперь сначала вторую си¬
стему отрезков; тогда Р(равно как и Р2) разбивается на части qk.
Присоединяем сюда первую систему отрезков, вследствие
чего Р, а значит и совокупность многоугольников qk, разла¬
гается на те же самые многоугольники гт. Далее, те много¬
угольники, на которые было разложено Р2 и которые соответ¬
ственно равны qk, можно также разложить на указанные выше
многоугольники гт.
Итак, в конце концов, и Р± и Р2 оказались разложенными
на те же самые частичные многоугольники гт, откуда
ЛХ Р2.
Замечание Изложенное доказательство в достаточной мере наглядно,
но считать его совершенно строгим нельзя. В самом деле, когда мы прово¬
дим обе системы отрезков сразу, то надо еще доказать, что получается но¬
вое разложение многоугольника Р, удовлетворяющее всем условиям опреде¬
ления 121; точно так же надо доказать, что это разложение не зависит от
порядка, в котором проводим системы отрезков, и т. п. Вполне строгое
изложение можно найти у проф. В. Ф. Кагана („Опыт обоснования евкли¬
довой геометрии*, стр. 490—496); но предварительные исследования о раз¬
ложении многоугольников и о смежных вопросах занимают там около
65 страниц. Таким образом, вполне строгое изложение заняло бы здесь
слишком много места и отвлекло бы внимание читателя от весьма важных
вопросов настоящего параграфа. Поэтому мы довольствуемся обычным рас¬
суждением, а за более строгим отсылаем к книге проф. Кагана.
Теорема 470. Параллелограммы с равными основаниями
и равными высотами равносоставлены.
Пусть одним из данных параллелограммов будет ABCD
(черт. 139); другой данный, на чертеже не обозначенный,
имеет основание, равное (АВ), и его высота равна расстоянию
между параллельными прямыми АВ и CD. На основании ( АВ)
с той же стороны от него, с какой лежит CD, построим па¬
раллелограмм ABLK, равный второму из данных (теорема 330).
В силу теоремы 344 прямые KL и CD совпадают. Достаточно
будет доказать равносоставленность параллелограммов ABCD
и ABLK (теорема 469). В зависимости от положения точки К
рассуждение разбивается на три части.
229
1. Точка К лежит внутри отрезка (CZ)) (черт. 139а). В этом
случае точка L не может принадлежать отрезку (CD), так
как (KL) = (CD). Следовательно, либо С лежит между D и L,
либо D лежит между С и А. Остановимся, для определенности,
на первом случае. Но если С лежит между D и L, а К-—
между С и D, то С лежит между К и L (теорема 18); так что
отрезки (АК) и (ВС) будут соответственно трансверсалями
четырехугольников ABCD и ABLK.
Теперь, на основании теоремы 68 и определения 121 полу¬
чаем разложения:
ASCZ)=трапец. АВСК + A AKD,
АВЬК=т$ъ№Х- АВСК-}- Л BLC.
Но трапеция одна и та
же, а треугольники
равны (теоремы 329,
п. 4; 322), а потому
ABCDT. ABLK.
2. Точка К совпа¬
дает с одним из кон¬
цов отрезка (CD) (на
черт. 139, b она совпа¬
дает с точкой С).
Рассуждение остает¬
ся по существу тем же
самым, только вместо трапеции АВСК теперь имеем ДАВС.
3. Точка К лежит вне отрезка (CD), и пусть для опреде¬
ленности точка С лежит между D и К (черт. 139, с).
Отложим от точки С на том луче прямой CD, который со¬
держит точку К, отрезок (CE) = (CD). Если точка К принадле¬
жит этому отрезку, то здесь мы останавливаемся, если же нет,
то от точки Е на том луче, который содержит точку К, от¬
кладываем отрезок (EF) = (CD). Если К принадлежит отрезку
(EF) (случай чертежа), то здесь останавливаемся; в противном
случае продолжаем откладывание отрезков, равных (CD).
Начало Архимеда показывает, что после конечного числа по¬
строений дойдем до отрезка, содержащего точку К. Соеди¬
ним теперь точку А с точками С, Е и со всеми последующими
точками, кроме последней, а точку В — с точками Е, F и со
всеми остальными.
На основании уже рассмотренных случаев получаем:
ABCDXABEC (п. 2),
ABECXABFE , „ ,
ABFE^ABLK (п. 1).
230
Наконец, повторное применение теоремы 469 приводит к за¬
ключению:
ABCDX.ABLK.
Теорема 471. Существует прямоугольник, равносостав¬
ленный с данным параллелограммом. (Теорема 470; построе¬
ние очевидно из черт. 140, где ABCD3ZABMN.)
Теорема 472. Треугольник равносоставлен с паралле¬
лограммом, имеющим ту же высоту и вдвое меньшее осно¬
вание, или — то же основание и вдвое меньшую высоту.
Действительно, пусть дан Л АВС (черт. 141). Проведя из
середины D основания (АВ) прямую, параллельную АС, и из
вершины С — прямую, параллельную АВ, получим параллело¬
грамм ADEC, который удовлетворяет требованиям теоремы.
Прямая DE на основании постулата Паша пересекает отре¬
зок (ВС) во внутренней точке F, которая к тому же будет его
серединой (теорема 367). Так что получается такое разложение
данного треугольника:
А АВС=трапец. ADFC-\- A DBF.
С помощью теоремы 364 (проводя через F прямую, параллель¬
ную АВ) можно убедиться, что F лежит между D и Е, так
что
ADEC—трапещ ADFC A ECF.
В оба разложения входит одна и та же трапеция, а что ка¬
сается треугольников, то у них
(BB) = (CF), (BD) = (AD)=(CE), £ FBD= / FCE.
Следовательно:
^DBF=&ECF,
а потому
ABC X ADEC.
Вторая < часть теоремы доказывается подобным же образом.
231
Теорема 473. Треугольники с равными основаниями
и равными высотами равносоставлены. (Теоремы 472, 469.)
Теорема 474. Существует треугольник, равносостав¬
ленный с данным многоугольником.
Пусть дан выпуклый n-угольник ABCDE... (на черт. 142
взято тг^=5). Проведем диагональ (ЕС) и через точку D —
рема 68):
прямую, параллельную ЕС,
затем продолжаем ВС до
пересечения с этой прямой
в точке F, после чего по¬
лучается (п — 1)-угольник
ABFE... (читателю пре¬
доставляется убедиться, что
здесь действительно полу¬
чается выпуклый многоу¬
гольник).
Данный многоугольник:
диагональю (ЕС) разлагает¬
ся следующим образом (тео-
ABCDE.. . = Д ECD + АВСЕ....
Новый же многоугольник разбивается трансверсалью (ЕС) на
такие части:
ABFE.. . = Д ECF + АВСЕ....
Но
Д ECDX &ECF (теоремы 344, 473),.
откуда
ABCDE... X ABFE... (определение 122).
Таким образом мы по¬
строили (п — 1 ) -угольник,
равносоставленный с дан¬
ным /г-угольником. Далее
переходим к (п — 2)-уголь-
нику и т. д., пока не дой¬
дем до треугольника, и
теорема будет доказана.
Черт. 142 остается до¬
полнить следующим пос¬
троением: проводим диаго- ЧеРт- 143
наль (ЕВ), прямую FG || ЕВ
и отмечаем точку G пересечения FG с АВ; тогда A AGE
будет искомым.
Определение 123. Возьмем параллелограмм ABCD
(черт. 143) и на его диагонали (АС) отметим какую-нибудь
точку О; через точку О проведем прямые KL и MN, соответ¬
232
ственно параллельные сторонам параллелограмма. Применяя
дважды теорему 68, получим деление данного четыреуголь¬
ника на четыре параллелограмма; при точке О имеем четыре
угла, и диагональ (АС) проходит в двух вертикальных углах
(теоремы 47, 41). Следовательно, при точке О имеются два
таких параллелограмма, которые лежат в углах, не содержа¬
щих (АС). Вот эти-то параллелограммы OLDM и OKBN назы¬
ваются дополнительными (ниже это понятие применяется
к прямоугольникам).
Теорема 475. Дополнительные параллелограммы рае но¬
составлены.
Имея в виду тот же черт. 143, проведем через точки М
и К (которые служат противоположными вершинами одного
из недополнительных параллелограммов) прямые, параллель¬
ные АС до пересечения в точках Q и Р со сторонами (AD)
и (АВ) (постулат Паша). Теперь имеем:
OLDMX OMQA, OKBNXOAPK (теорема 470)-
в новых же параллелограммах за основание можно принять
общую сторону (ОА), причем высотами их послужат соответ¬
ственно высоты ДД МОС и КОС, а эти треугольники равны
по трем сторонам, откуда нетрудно вывести и равенство их
высот. Следовательно:
OMQAXOAPK (теорема 470);
и теорема 469 приводит к заключению:
OLDMXOKBN.
Теорема 476. Если стороны двух прямоугольников об¬
разуют пропорцию, причем стороны одного служат сред¬
ними ее членами, а стороны другого — крайними, то эта
прямоугольники равносоставлены.
Пусть стороны одного прямоугольника будут а и Ь, а дру¬
гого — и Ьх, причем:
а __
ûj ь
Проведем через произвольную точку О две взаимно перпенди¬
кулярные прямые (черт. 144) и на четырех полупрямых, исхо¬
дящих из этой точки, отложим отрезки:
(ОА)=а, (OA1) = ai, (ОВ) = Ь, (ОВ.) = Ь^
затем построим прямоугольники ОАКВ и OAxMBlf равные дан¬
ным (теорема 330). Наконец, завершая построение, находим
точку пересечения L прямых ВК, АгМ и точку пересечения №
прямых АК, В^М. Опираясь на теорему 306, без труда дока-
233.
:жем, что KLMN есть прямоугольник. Так как точка О лежит,
по построению, между А и Ап В и В19 то, по теореме 346,
точки А, В, Ai, Вх будут лежать внутри соответственных сто¬
рон прямоугольника KLMN. Теперь от данной пропорции пе¬
реходим к производной:
а Ьх
которую при обозначениях чертежа
можно переписать так:
(NB.) _ (ОВг)
(NM) (LM)
"Отсюда следует (теорема 369), что три точки Л7, О, L лежат
на одной прямой, причем О лежит между L и N (теорема 364),
т. е. точка О лежит внутри диагонали (LN), которая прохо¬
дит вне указанных выше прямоугольников ОАКВ и ОА1МВ1
(ибо точки N и L не принадлежат к числу их вершин). Но
в таком случае эти прямоугольники дополнительны, а потому:
ОАКВТ.ОА.МВ. (теорема 475).
Теорема 477. Прямоугольник,
построенный на гипотенузе и про¬
екции одного из катетов на гипо¬
тенузу, равносоставлен с квадра¬
том, построенным на этом катете.
На черт. 145 отрезок (BD) есть
проекция катета (АВ) на гипотенузу
(ВС); поэтому прямоугольник BDHG
(где (ВО) = (ВС)] и квадрат ABEF
суть многоугольники, упоминаемые
в теореме. На основании теоремы 425
имеем:
(ВС)_(АВ)
{АВ) (BD) ’
и теорема 476 дает
BDHG Г ABEF
Приведем еще другое доказательство этой важной теоремы,
не основанное на понятии о дополнительных параллелограм¬
мах. На черт. 145 продолжим стороны (GB) и (HD) до пере¬
сечения с прямой EF в точках К и L (теорема 310). Имеем:
-234
(BE) = (5A), / EBK= Z ABC (теорема 323, оба угла острые),
Л ЕВК= Л АВС (теорема 165, п. 2),
(ВК) = (ВС).
Теперь предыдущие теоремы дают:
BGHDX.BKLA (теорема 344, 470),
BKLAHBEFA (на том же основании),
BGHD X BEFA (теорема 469).
Теорема 478 (теорема Дифагора). Квадрат, построенный
на гипотенузе, равносоставлен с суммой квадратов, по¬
строенных на катетах.
Доказывается двукратным применением теоремы 477.
Замечание. В теореме 430 мы уже имели теорему Пифагора с точки
зрения численных соотношений; теорема 478 дает ее в чисто геометриче¬
ском виде. Заметим, что все теоремы § 36 можно истолковать в таком же
смысле, как это делали древнегреческие геометры.
§ 41. Площади многоугольников
(при помощи аксиомы де-Цольта)
Для того, чтобы завершить учение о равносоставленности
многоугольников и перейти к учению о площадях, мы нуж¬
даемся в теореме, обратной для теоремы 470 [это — теорема 479
(см. ниже)], ее значение для разбираемого вопроса выяснится
на последующих страницах. Указанное предложение доказы¬
вается без труда, если принять аксиому де-Цольта, в силу
которой многоугольник не может быть равносоставлен со своей
частью. Однако исследования проф. Шатуновского, Гильберта
и других ученых показали, что можно не вводить новой ак¬
сиомы, а удовольствоваться теми, которые были перечислены
в предыдущих параграфах.
В настоящем параграфе (и только в этом параграфе) мы
будем опираться на аксиому де-Цольта; в следующем же на¬
метим, как может быть изложено учение о площадях по ме¬
тоду Шатуновского-Гильберта; в частности, там будет дока¬
зано названное предложение с помощью системы аксиом, по¬
ложенных в основу нашего курса.
Аксиома де-Цольта. Многоугольник не может быть
равносоставлен со своей частью.
Теорема 479. Равносоставленные параллелограммы с рав¬
ными основаниями имеют и равные высоты.
235
Попробуем допустить, что у таких параллелограммов вы¬
соты не равны, и на основании (АВ) параллелограмма ABCD
с большей высотой построим с той же стороны от АВ паралле¬
лограмм ABKL, равный другому из данных (черт. 146). Так
как расстояние прямой KL от АВ меньше расстояния CD от
АВ, то легко убедиться (с помощью теоремы 364), что прямая
KL пересечет боковые стороны параллелограмма ABCD соот¬
ветственно во внутренних точках и £Р Тогда имеем:
ABK.L^ABKL (теорема 470),
Л /L Л ~7н ABK^^ABCD (теорема 469).
/ / / у/ Но ABK^L^ составляет часть ABCD
/ / (теорема 68), так что получается
I/q противоречие с указанной аксио-
Черт. 143 мой. Следовательно, высоты данных
параллелограммов равны.
Теорема 480. Если два прямоугольника равносостав¬
лены, то стороны их образуют пропорцию, причем сто¬
роны одного служат ее средними членами, а стороны дру¬
гого — крайними.
Построим прямоугольники, равные данным, расположив их
так, как это было сделано при доказательстве теоремы 476
(черт. 144). Соединим прямой точки N и О и докажем, что
прямая NO пройдет через точку L (построение точки N и L
очевидно). Допустим, что этого не будет; тогда другая точка
пересечения прямой NO с обводом прямоугольника KLMN
принадлежит либо (£Ді), либо (LB), так как прямая NO вхо¬
дит в параллелограмм OA^LB. Пусть указанной точкой пере¬
сечения будет точка Р; проведя прямую PQ || KL, получим
дополнительные прямоугольники OAQR и ОА^Ві, так что
OAQR X ОА1МВ1 (теорема 475),
Но в силу условий теоремы
ОАКВ X OAJVIB^
следовательно:
OAQRT<OAKB (теорема 469),
а это противоречит теореме 479. Точно так же отвергается до¬
пущение, что точка пересечения принадлежит отрезку (LB)\
поэтому прямая NO пройдет через точку L, Ссылаясь на тео¬
рему 367, пишем:
(NM) (LM)
(Ж) РЖР
235
откуда
(AW) - (NB.) = (LM) - (PB.)
(™1) (PB.)
ИЛИ
(PA.) (PB)
(Ô4) ’ a это и есть искомая пропорция.
Теорема 481. Существует один и только один прямо¬
угольник с заданным основанием, который равносоставлен
с данным многоугольником.
Начинаем со следующих построений: данный многоуголь¬
ник превращаем в равносоставленный с ним треугольник (тео¬
рема 474), а этот последний — в равносоставленный паралле¬
лограмм (теорема 472). Далее, от параллелограмма переходим
к равносоставленному с ним прямоугольнику (теорема 471);
наконец, теорема 476 позволяет добиться того, чтобы у этого
прямоугольника было наперед заданное основание е.
Действительно, пусть а и b суть стороны полученного вы¬
ше прямоугольника. Построим четвертый пропорциональный
отрезок k так, чтобы:
е \a b\k.
Тогда прямоугольник со сторонами а и b будет равносостав¬
лен с прямоугольником, имеющим сторонами отрезки е и k.
Применяя повторно теорему 469, убеждаемся, что для данного
многоугольника существует равносоставленный с ним прямо¬
угольник с наперед заданным основанием е. Остается доказать
его единственность, другими словами — полную определенность
отрезка k (это тем более необходимо, что предыдущие пост¬
роения содержат некоторые произвольные элементы, так, при
пользовании теоремой 474 можно начинать с любой диагонали
и т. д.). Пусть, производя построение различными путями,
один раз получили прямоугольник с высотою k, а другой
раз — с высотою k'. Прежде всего эти прямоугольники будут
равносоставленными между собой (теорема 469). Теорема 479
непосредственно дает, что
k = kr.
Определение 124. В качестве раз навсегда заданного
основания вышеуказанных прямоугольников выберем единицу
длины е. Тогда прямоугольник с основанием е и равносостав¬
ленный с данным многоугольником, называется соотнесенным
данному многоугольнику; а высота его k называется отрезком,
соотнесенным данному многоугольнику.
Теорема 482. Для равносоставленности двух много¬
угольников необходимо и достаточно равенство соотнесен¬
ных им отрезков^
237
В самом деле, если РІ'ХР2, то на основании теоремы 469
соотнесенные прямоугольники будут также равносоставлен-
ными друг с другом, но тогда kY = k2 (теорема 479).
Обратно, если кт = к2, то соотнесенные прямоугольники
равны (теорема 330), а следовательно, и равносоставлены.
Тогда и
PiZ^Pï (теорема 469).
Теорема 483. Если многоугольник разложен напасти,
то его соотнесенный отрезок тоже можно разложить на
соотнесенные частям многоуголь¬
ника.
Пусть многоугольник Р, кото¬
рому соотнесен отрезок А, разло¬
жен на части:
^Л+^ + ...+ P,.
Найдем отрезки (теорема 481, опре¬
деление 124), соотнесенные этим
частям, и пусть это будут:
éi, k2,. .. ,kn.
Обозначим их сумму через k'. Тогда прямоугольник со сто¬
ронами е и k' будет равносоставлен с суммой Рг -f-P2 + • • •
...+ Рп (теорема 468), а следовательно, и с многоугольником
Р. Но в таком случае
k'=k (теорема 482).
Теорема 484. Если отрезок, соотнесенный треуголь¬
нику, разложен на две части, то данный треугольник можно
трансверсально разложить на два треугольника, которым
соответственно соотносятся указанные части отрезка.
Пусть треуг-ку АВС соотнесен отрезок (A7V) и прямо¬
угольник KLMN [черт. 147, где (KL) = e\-, отрезок (AW) точ¬
кой Nx разделен на две части: ^А\) и ПРИ этом отре¬
зок (Afp/Hj) делит на две части и прямоугольник KLMN. Если
принять во внимание теоремы 472, 469, 480, то нетрудно
придти к существованию пропорции:
-^:(KZ,) = (/<W):(CD) (*),
где (CD) — высота данного треугольника. Разделим сторону
(ВС) (в точке на части, пропорциональные отрезкам (KNi)
и (NjN), так что
(* *) (замечание к теореме 423).
(CjC) (jv j/V )
238
Отсюда получается производная пропорция:
(ВС,) _ (KN,)
(ВС'О+Сад (KN,) + (N,N) •
или
(ВС,) _ (KN,)
(ВС) (KN) ■
Проведем теперь в дАВС трансверсаль G4C\) и высоту
(CjDJ. В силу теоремы 367 имеем:
(ВС,) _(C,D,)
(ВС) (CD) '
Сопоставляя эту пропорцию с предыдущей, находим:
(KN,) _(C,D,)
(KN) (CD) ’
или, переставляя средние члены,
(KN,) _ (KN)
(C,D,) (CD) '
Теперь пропорцию (*) можно переписать так:
откуда следует (теорема 476), что прямоугольник со сторонами.
и (QDi) равносоставлен с прямоугольником со сторонами
(ÆL) и (/СѴД
Остается снова вспомнить теоремы 472, 469, чтобы придти
к выводу :
£\АВСХ ХКІЛЩ,
так что этому треугольнику соотнесен отрезок (AjVJ.
Возвращаясь к пропорции (* *), выведем из нее другую
производную пропорцию:
(ВС) _ (KN)
(CG) (Ш.)
и, повторяя предыдущие рассуждения [с той только разницей,
что за основаниё А АВС надо теперь принять (АС) и высоту
опускать из точки В], придем к заключению:
А АСС1
так что этому треугольнику соотнесен отрезок (NNi).
239
Теорема 485. Если отрезок, соотнесенный многоуголь¬
нику, разделен на две части, то данный многоугольник
с помощью трансверсали разлагается на два частичных
многоугольника, которым соответственно соотносятся
указанные части отрезка.
Пусть многоугольнику ABCDE соотнесен отрезок (KN)
(черт. 148), который точкой О разделен на две части.
С помощью диагоналей из вершины А разлагаем данный
многоугольник на треугольники (теорема 69) и на основании
теоремы 483 разобьем отрезок (Л7Ѵ) на
части (КР), (PR), (RN), соответствен¬
но соотнесенные ДА ABC, ACD,
ADE. Если точка G совпадет с одной
из точек деления P, R, то решение
вопроса ясно и разложение полу¬
чается с помощью диагонали.
Пусть теперь точка G лежит вну¬
три одного из частичных отрезков
(PR), который соотнесен Л ACD. На
основании теоремы 484 этот треуголь¬
ник трансверсалью (AF) разлагается
на два треугольника, которым соотнесены отрезки (PG) и (GR).
Эта же трансверсаль делит данный многоугольник на два ча¬
стичных многоугольника ABCF и AFDE (теорема 68), причем
первой из них будет соотнесен отрезок (KG), а второй — от¬
резок (GN) [теорема 468 в применении к этим частям и пря¬
моугольникам с основанием е и высотой (KG) или (G/V)]?
Теорема 486. Если даны два многоугольника, то либо
они равносоставлены, либо один равносоставлен с частью
другого.
Пусть даны многоугольники Р± и Р2 с соотнесенными от¬
резками ki и k2.
Если ki=k2, то PxZLPi
(теорема 482).
Если kY ф k2 и > k2, то kY = k2 k3 (теорема 112).
На основании теоремы 485 многоугольник Рг разлагается
на две части, причем одной из них будет соотнесен отрезок k2;
назовем эту часть через Р^. Тогда
р2^р
(теорема 482),
т. е. один из многоугольников равносоставлен с частью дру¬
гого.
3 а м е ч а н и е. Легко видеть, что три возможные здесь случая будут
единственно возможными и несовместными.
240
Определение 125. Понятие о площади многоугольника
вводится следующими условиями.
1. Если Рх I то говорят, что эти многоугольники имеют
одну и ту же площадь-, говорят также, что Рх и Р2 равно¬
велики.
2. Если Р2 равносоставлен с частью Pïf то говорят, что
площадь Рх больше площади Р2 (или площадь Р2 меньше
площади PJ.
3. Если Рх равносоставлен с частью Р2, то говорят, что
площадь Р2 больше площади Рѵ (или площадь PY меньше
площади Р2).
Площадь многоугольника Р обозначается символом J(P).
Теорема 487. Три случая определения 125 — единствен¬
но возможны и несовместны (замечание к теореме 486).
Замечание. Таким образом, „одна и та же площадь" есть общее
свойство равносоставленных между собой многоугольников; это свойство
имеет характер величины (см. ниже). Два многоугольника имеют общую
площадь тогда и только тогда, когда они равносоставлены.
Теорема 488. Между площадями многоугольников и со¬
отнесенными им отрезками существует одно-однозначное
соответствие.
Действительно, если дана площадь, то, значит, дана сово¬
купность всевозможных равносоставленных между собой мно¬
гоугольников; но всем этим многоугольникам соотносится
оДин и тот же отрезок (теорема 482).
Обратно, если дан отрезок, то всякий многоугольник, ко¬
торому соотносится этот отрезок (например, прямоугольник
с основанием, равным е, и с высотой, равной данному отрезку,
а также любой равносоставленный с ним многоугольник),
имеет одну и ту же площадь (определение 125, теорема 482).
Теорема 489. Большей площади соответствует и боль¬
ший отрезок, и обратно.
В самом деле, если J(P])>J(P2), то Р2 равносоставлен
с частью Р± (определение 125), и пусть этой частью будет
Р. Тогда отрезок соотнесенный Рь можно разложить на
две части, из которых одна, равная , будет соотнесена Рі
(теорема 483), причем, конечно: f
Так как P2ZZPÿ то k., -ki (теорема 482), и окончательно
имеем:
k2»
Обратная теорема доказывается от противного.
1б
Богомолов — Геометрия
241
Теорема 490. Площади многоугольников образуют
особый класс величин, пропорциональных соотнесенным от¬
резкам.
Свойства, характеризующие величину вообще, были пере¬
числены в определении 80. Далее, теорема 488 устанавливает
одно-однозначное соответствие между площадями и отрезками.
Благодаря этому обстоятельству и предыдущим теоремам,
свойства сравнимости, слагаемости и непрерывности с их след¬
ствиями (доказанные для отрезков в параграфах 10 и 22), пе¬
реносятся на площади. Если сюда присоединить еще теорему
303, то наше предложение будет доказано полностью.
Теперь мы получаем право говорить об измерении площа¬
дей.
Теорема 491. Если за единицу площадей принять
площадь квадрата со стороной, равной е, то площадь мно¬
гоугольника измеряется тем же числом, что и соотнесен¬
ный ему отрезок.
В самом деле, квадрату со стороной, равной е, соотносится
отрезок е (единица длины), и дело сводится к теореме 305.
Замечание. Вместо слов: .число, измеряющее площадь*, очень часто
говорят просто: „площадь*4; точно так же (как было уже отмечено в § 36),
вместо слов: .число, измеряющее сторону прямоугольника", говорят короче:
„сторона прямоугольника" и т. п. Этими сокращенными выражениями мы
будем пользоваться в последующих теоремах.
Теорема 492. Площадь прямоугольника равна произ¬
ведению его сторон.
Пусть дан прямоугольник со сторонами а и b (числа, из¬
меряющие эти отрезки с помощью единицы длины е, обозна¬
чим через и Ь^). Этому прямоугольнику соотнесен отре¬
зок k, измеряемый числом kQ. Тогда и есть число, изме¬
ряющее данный прямоугольник (теорема 491).
Так как данный прямоугольник равносоставлен с прямо¬
угольником, имеющим сторонами е и /г, то
k : a - b : е (теорема 480),
Ь.е^Ь^ (определение 88);
так что
k : а -Ьо.
Другими словами, bG есть число, измеряющее k, если а при¬
нято за единицу. Но нам дано, что а по отношению к е изме¬
ряется числом (20. Тогда теорема 297 говорит, что k по отно¬
шению к е измеряется числом а0 Ь$.
Таким образом, получается равенство:
Л() — aQ bQ.
242
Теорема 493. 1) Площадь параллелограмма равна произведению
его основания на высоту;
2) площадь квадрата равна квадрату его стороны;
3) площадь треугольника равна половине произведения его основания
на высоту;
4) площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
Доказательство предоставляется читателю; в каждом случае надо найіи
равносоставленный прямоугольник и применить теорему 492.
Теорема 494. Площадь любого многоугольника находится, как
сумма площадей треугольников, на которые он разлагается по какому-
либо способу.
Утверждение вытекает из теорем 491 и 483; независимость результата
от способа разложения — из теоремы 488.
Теорема 495. 1) Площадь правильного л-угольника равна:
1
9 Рп'йп;
2) площадь описанного многоугольника равна половине произведения
его периметра на радиѵс.
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 496. Если а, Ь, с —стороны треугольника,
а р — его полу периметр, то:
•/(а.)- Vр Гр -а)(р - ь)(р--- с) Г
Действительно, пусть в А АВС (черт. 122)
(АВ) = с, (ВС)=а, (СА) = Ь, а + Ь + с--~2р.
Будем считать, что /C<Zd, и опустим высоту (AD), Тогда
7(A)-=-у а ■ (AD).
Далее, имеем:
с2 = а2 -|- Ь2 — 2а • (CD) (теорема 431),
откуда
(CD) = .
В силу теоремы 430 пишем:
(AD)' = b2 - (CD)2 = [b - (CD)] . 4- (CD)] ;
(AD)2 — c2 h ~ c~
У 2û 2a
(AD)2 = T — д) (д -г с — (д + ^ — c) (f? -E + c)
15*
243
Из того, что а -J- b с~2р, выводим:
а 4- b — с 2р—2с-- 2 (р—с),
а с — Ь^--2 (р—Ь),
Ь-\-с -- а - -2(р—а),
так что
(AD)2 --- 4р(/? ~ g) {р ~Ь^Р~ с\
Подставляя в выражение площади треугольника найденное
значение ДО, находим искомую формулу.
Теорема 497. Площади подобных многоугольников относятся,
как квадраты сходственных сторон.
Начнем с двух подобных треугольников:
У ( Zs і) aAhx hy ах
— , но ==
7(д2) a2h2 Л2 л3
(теорема 378),
так что
£Са_і) =
У(д2) 4 •
Возьмем теперь два подобных многоугольника и Р2. На основании
теоремы 380 получаем разложения:
PI — Д 1 4- Л і4~ Д 14” • • • > ^2 = А з 4" А 2"І" А о ‘ !~ • • • •
причем:
Д 1 со Д2, Д|С\эД2» Л J Л <>. • •
На основании предыдущего пишем:
/(до_ 4 д4 _7( д4 _
( Д г) "4 А 2 ) *4 д 2 )
где t — отношение подобия.
Далее, по свойству равных отношений:
4д0+4 д;)+■/(ді)+- • • ~/3
( А 2) 4“ ( А2)"Ь^(Л2)4“ - • •
или в силу теоремы 494
J(PÔ
= P,
Замечание. Из предыдущего явствует, что понятия: .равносостав-
ленный" и „равновеликий" для многоугольников оказываются эквивалент¬
ными: если о двух многоугольниках можно утверждать одно, то можно
утверждать и другое. Таким образом, два многоугольника имеют одну и ту
244
же площадь тогда и только тогда, когда оба они составлены из одних и
тех же треугольников, но только расположенных различным образом. Для
криволинейных фигур это уже не имеет места: равновеликость не влечет
за собой непременно равносоставленности.
Заметим еще, что теперь в теоремах предыдущего параграфа и в на¬
чальных теоремах настоящего можно термин ^равнососгавленный* заменить
на .равновеликий"; например, это можно сделать в теореме Пифагора.
§ 42. Площади многоугольников
(теория Шатуновского- Гильберта)
Достаточно будет развить названное учение до такой сте¬
пени, чтобы оказалось возможным доказать с помощью аксиом
1—XXV добавочную аксиому, поло¬
женную в основу рассуждений пре¬
дыдущего параграфа.
Подобно тому, как в § 41 мы
сочетали с каждым многоуголь¬
ником определенный отрезок, здесь
многоугольнику соотносится опре¬
деленное число. В поисках правила,
по которому соотносилось бы опре¬
деленное число данному треуголь¬
нику, докажем следующее предло¬
жение.
Теорема 498. Произведение
стороны треугольника на соот- Черт. 149
ветствующую высоту есть число,
постоянное для данного треугольника (о способе выраже¬
ния см. замечание к теореме 491).
Пусть дан ДДВС, в котором проведены высоты (CCJ
и (ВВ() (черт. 149). Рассмотрим прямоугольные треугольники
АСС\ и АВВХ. Так как /Л у них общий, то
/\АССХ се £\АВВх (теорема 377, п. I),
откуда
(4 С) (CÇ)
(АВ) (ВВ, ) ’
(ЛС) • (ВВ^-ДДВ) • (CCJ,
или, в обычных обозначениях:
ь -К с. hc.
Точно так же докажем, что и
a*ha^b- hb.
Вот это число и можно положить в основу исследования; только
вводится еще коэффициент, равныйдля того, чтобы это
245
число, дающее (как увидим впоследствии) меру площади тре¬
угольника, привело нас к обычным формулам.
Определение 126. Числом треугольника [обозначе¬
ние: 2Ѵ(Д)] называется число, определяемое по следующему
правилу:
N^^a-h,
Легко видеть, что равным
равные числа. Более сложное
треугольникам соотносятся и
рассуждение потребуется для
доказательства, что число треу¬
гольника равно сумме чисел всех
частичных треугольников, на кото¬
рые он разлагается по какому-либо
способу. К решению этого вопроса
мы подойдем постепенно.
Теорема 499. Если треу¬
гольник разложен трансверсально
на конечное число частичных тре¬
угольников, то его число равно
сумме чисел всех частей. (Здесь
необходимо вспомнить определе¬
ние 18, 19 и теорему 54).
Начнем со случая, когда ЛАВС трансверсалью (АР) раз¬
ложен на два треугольника: ЛАВР и ЛАСР (черт. 16). У всех
трех треугольников высота (если за вершину принять точку А)
общая; обозначим ее через h. Тогда имеем:
N (ДДВС)=-1- л • (5С) = -Т h ■ [ (SP) 4- (СР) ] h . (ВР) +
4-Т- h . (CPy-^N(&АВР) -I N (Л.АСР).
Итак, теорема доказана для этого частного случая. Для
того, чтобы перейти к общему, достаточно будет вспомнить
определение 19.
Теорема 500. Если треугольник разлагается на ко¬
нечное число частичных треугольников таким образом, что
внутри его и внутри одной из его сторон нет вершин ча¬
стичных треугольников, то число данного треугольника
равно сумме чисел всех его частей.
Примером такого разложения может служить Л.Асд на
черт. 150; внутри треугольника и внутри стороны (cd) нет
вершин частичных треугольников (таких треугольников имеется
четыре).
Берем сторону данного треугольника, свободную от вершин
частичных треугольников; в то же самое время она должна
быть стороной одного из таких треугольников, а третья вер¬
246
шина его должна лежать на одной из двух остальных сторон
данного треугольника. Так, на нашем чертеже сторона (cd)
служит также стороной c^cdh, и вершина А лежит внутри
(Ad). Полученный частичный треугольник можно, таким обра¬
зом, отделить от данного с помощью проведения соответствую¬
щей трансверсали. Так, трансверсаль (ch) разлагает /\Acd на
треугольники cdh и Ach (теорема 54).
Отделив один из частичных треугольников, в другой части
данного треугольника мы получим разложение, обладающее
всеми свойствами первоначального, так как ни внутри этой
части, ни внутри трансверсали не может быть вершин частич¬
ных треугольников; только в новом треугольнике число частей
будет на единицу меньше.
Так, после выделения £\cdh нам придется иметь дело
с дЛсЛ, разложение которого на части обладает теми же
свойствами, что и разложение £\Acd\ но только частей этих
уже три, а не четыре. Повторив это рассуждение, мы выделим
с помощью трансверсали в новом треугольнике еще одну
из его частей, и т. д.; так как число частей конечное, то нам
понадобится провести конечное число трансверсалей.
Итак, мы убеждаемся, что разложение данного треуголь¬
ника оказывается трансверсальным (определение 19), и дело
сводится к теореме 499.
Теорема 501. Если данный треугольник произвольным
образом разложить на конечное число частичных треуголь¬
ников ДЛ, то'. М(Д) = 22Ѵ(Д*).
Для пояснения рассуждения будем пользоваться чертежом
150, где треугольники ДА изображены сплошными линиями.
Отметим те вершины частичных треугольников, которые
лежат внутри данного треугольника и на одной из его сторон,
например, на (АВ) (на чертеже это будут точки А, r, d, е);
из противоположной вершины С проведем трансверсали, про¬
ходящие через все отмеченные точки (на чертеже имеем три
трансверсали, изображенные прерывистыми линиями). Эти
трансверсали одни, сами по себе, разбивают ДЛВС на частич¬
ные треугольники Д, (на чертеже имеем ДДЛСІ), ECDt
ЕСе, еСВ).
На основании теоремы 499 имеем:
(*)
В данном ДДВС имеются теперь две системы отрезков:
1) система трансверсалей из С, которая разлагает /\АВС
на Л/,
2) система данных отрезков, разлагающих ДДВС на ДЛ.
Пусть теперь в данном треугольнике проведены обе сис¬
темы отрезков сразу. Достигнуть этого можно двояким путем:
247
сначала провести первую систему отрезков, потом вторую,
и наоборот: сначала вторую, потом первую.
Берем ДДВС и проводим в нем первую систему отрезков;
тогда он трансверсально разлагается на Дь Присоединяем
сюда еще вторую систему отрезков; так как внутри Д* и на
сторонах, противоположных вершине С, в силу построения
не может быть вершин треугольников ДА, то отрезки второй
системы будут пересекать обводы Д,- каждый раз в двух точ¬
ках, и если одна из них лежит на (ДВ), то она непременно
совпадает с вершиной треугольника Дг- . Но всякий треуголь¬
ник прямолинейным отрезком, пересекающим его обвод, раз¬
лагается либо на два треугольника, если этот отрезок транс¬
версаль, либо на треугольник и четыреугольник в общем
случае (теорема 68; см. на чертеже примеры этого). Получив¬
шиеся четыреугольники диагоналями разобьем на треугольники
(на чертеже эти диагонали изображены пунктирными линиями
в ДА DCE и ЕСе).
Таким образом, треугольники Д?:, а вместе с ними и ДДВС
разлагаются на новые частичные треугольники Дт. Легко ви¬
деть, что разложение каждого Д. на Д^ удовлетворяет усло¬
виям теоремы 500, а потому для каждого Ді имеет место
указанная теорема.
Складывая, находим:
ЕЛЦД^-ЕМД,,).
Наконец, сопоставляя это равенство с (*), имеем:
7Ѵ(Д)^2Аг(Дт). (1)
Возьмем снова ДДВС и проведем в нем сначала вторую
систему отрезков, разлагающую его на треугольники Дл, а по¬
том присоединим сюда еще первую систему отрезков. Тогда
внутри А АВС получится та же самая фигура, что и выше,
но теперь уже треугольники Ал подразделяются на более
мелкие части с помощью трансверсалей первой системы. Про¬
ведя те же самые дополнительные отрезки, мы разложим Дѵ
на те же самые Дт (но только в других сочетаниях); так
что совокупность треугольников ДА разлагается на треуголь¬
ники Дт, которые выполняют и данный ДДВС.1 Каков же
характер этого разложения? Вследствие наших построений,
через каждую вершину каждого Д* проходит трансверсаль из
точки С [либо одна из сторон (СД) и (СВ)]. Начнем с того
1 По поводу некоторых рассуждений настоящего параграфа надо сде¬
лать замечание, подобное тому, которое было сделано по поводу доказа¬
тельства теоремы 469.
1248
частного случая, когда одна из сторон ДЛ целиком лежит на*
соответствующей трансверсали (например, /\Ade). Легко ви¬
деть, что вершины треугольников Дт находятся в точках пе¬
ресечения отрезков первой и второй систем, так что ни вну¬
три рассматриваемого Дл, ни внутри его стороны, лежащей
на трансверсали, не может быть вершин частичных для него
Дт. Поэтому, в разбираемом частном случае, разложение Дд.
на Д^ удовлетворяет условиям теоремы 500.
Возьмем теперь общий случай: из трех трансверсалей, про¬
ходящих через вершины выбранного Дд, одна будет лежать
внутри угла, образованного двумя остальными, так как другой
случай теоремы 49 здесь невозможен, вследствие того, что
все лучи находятся внутри z^ACB и луч, противоположный
какой-либо трансверсали, не может попасть внутрь его (тео¬
рема 41). Таким образом, одна из трансверсалей, проходя
через вершину рассматриваемого ДА, пересекает его противо¬
положную сторону, а потому трансверсально разлагает его
на два частичных треугольника [например, трансверсаль СЕ
данного треугольника проходит через вершину с треуголь¬
ника Acd и пересекает его сторону (Ad) в точке h.
Поэтому указанный треугольник трансверсалью (ch) разла¬
гается на ДА Ach и chd]. Для каждого из этих последних
треугольников имеет место предыдущий частный случай.
Теперь на основании теорем 499 и 500 можно утверждать,,
что число каждого треугольника Дд равно сумме чисел треу¬
гольников Д,п, входящих в его состав.
Складывая, получаем равенство:
EAr(AA)-EV(Am). (2>
Наконец, сопоставляя (1) и (2), приходим к равенству:
•ѴС • ) ѵд'(л,),
которое и доказывает эту весьма важную для рассматриваемой:
теории теорему.
Теорема 502. Если многоугольник Р двумя различными
способами разложен на треугольники Дх. и ДА, то
В нашем распоряжении имеются две системы отрезков:
одна разлагает Р на Др другая — на /\k. Проведем в Р обе
системы сразу, и если появятся многоугольные части, то ди¬
24*>
агоналями разобьем их на треугольники. Таким образом, полу¬
чается третье разложение Р на треугольники Дш, причем
в одной комбинации эти последние дают Др а в другой — Дл>
На основании теоремы 501, пишем:
2 7У(А*) = ^(Ат),
откуда
Определение 127. Числом многоугольника Р [обозна¬
чение 1Ѵ(Р)] называется сумма чисел всех треугольников,
на которые он разлагается по какому-либо способу.
Теорема 503. Равносоставленным многоугольникам со¬
относятся равные числа [т. е., если Рх ХР2, то ЛГ(/)1) = М^>2)]-
Доказательство непосредственно вытекает из сделанных выше
определений.
Теорема 504. Если многоугольник произвольным обра¬
зом разложен на конечное число частичных многоугольни¬
ков, то его число равно сумме чисел всех его частей.
Указанные в теореме части могут быть и треугольниками
и многоугольниками; последние с помощью диагоналей тоже
разбиваем на треугольники. Таким образом, получается раз¬
ложение данного многоугольника на треугольники, которые
в известных комбинациях образуют также и первоначальные
части, и дело сводится к определению 127.
Теорема 505. Если N(PX)=N(Р2), то
Строим треугольник, равносоставленный с Рх (теорема 474);
затем — прямоугольник, равносоставленный с этим треуголь¬
ником (теоремы 472, 471). Наконец, строим прямоугольник Qu
равносоставленный с полученным выше и имеющий наперед
заданное основание е (теорема 476).
На основании теоремы 469 многоугольник Рх равносостав-
лен с прямоугольником Qj со сторонами е и kx. Точно так же
Р2 равносоставлен с прямоугольником Q2 со сторонами е и
На основании теоремы 503 имеем:
и 2V(R) = W(Q2).
Вычисляем Разлагая прямоугольник диагональю на два
треугольника, находим:
, еК (теорема 504).
250
Точно так же
Аз¬
согласно условию теоремы:
ekY = ek2,
откуда
kY^k2 .*
(буквы е, k2 обозначают здесь числа). Но если длины от¬
резков равны, то и сами отрезки равны, а следовательно, и наши
прямоугольники равны. А так как равные фигуры равносо¬
ставлены, то повторное применение теоремы 469 дает:
Теорема 506. Многоугольник не может быть равносо-
ставлен со своею частью.
Если мы допустим, что многоугольник Р равносоставлен
со своею частью то по теореме 503
а по теореме 504
N(P)>N(P1)f
т. е. получается противоречие.
Доказав таким образом „аксиому де Цольта", мы достигли
главной цели, поставленной в настоящем параграфе.
Наметим в нескольких словах дальнейшее развитие рас¬
сматриваемого учения о площадях. Так как PXZZP2 тогда и
только тогда, когда N (P^^N(Р2), то, введя и здесь определе¬
ние 125, можно установить одно-однозначное соответствие
между площадями многоугольников и соотнесенными им
числами. Благодаря этому на площади переносятся свойства
величин и доказывается, что площадь многоугольника изме¬
ряется как раз его числом. Таким путем получаются обычные
формулы для площадей, причем при этом способе основной
фигурой является треугольник, а при способе предыдущего
параграфа — прямоугольник. Но на треугольники разлагается
любой многоугольник, тогда как разложение на прямоуголь¬
ники вообще невозможно; с -этой точки зрения, второй способ
имеет преимущество, но он менее нагляден, чем первый.
§ 43. Площадь круга
Измерение площади круга нельзя обосновать на тех
же началах, которые были положены в основу измерения пло¬
щадей многоугольников. Поэтому определение площади круга
придется обосновать на соображениях непрерывности, как это
было сделано для измерения окружности. Предварительно до¬
кажем несколько вспомогательных теорем.
25 Г
Теорема 507. Площадь вписанного многоугольника меньше
площади описанного (около той же окружности).
Действительно, из теоремы 435 и 439 вытекает, что вписан¬
ный многоугольник будет частью описанного, и дело сводится
к определению 125 и теореме 490.
К обозначениям, введенным в § 38, присоединим еще сле¬
дующие:
Jn— площадь правильного вписанного п-угольника.
Jn— г, „ описанного „
Теорема 508. ^п^~Гг ’ Рп-
Для доказательства вернемся к черт. 135, где (KL) есть
сторона правильного вписанного n-угольника, а (КМ) и (LM) —
стороны правильного вписанного 2п-угольника (так что
ОМ _1_ KL). Легко видеть, что
J2t~--2n • J(&OKM),
J( л ОКМ) - (ОЛ4) • (/СР) - гап.
*Ѵ=4Г ’ Пап --Тг' Рп-
Теорема 509. Существует такое целое положительное
число п, что
/ -J.2n < е ,
где е — произвольно заданное положительное число.
Действительно, на основании теорем 495 (п. 2) и 508
имеем:
Jn=-<ГгР'п- 4 гРп =~Т г ■ (р'п-Рп} •
Но в силу теоремы 460 существует такое кг что
Рп-Рп^-Т'
и тогда
J1п ~ •
Теорема 510. Для данного круга существует одна
и только одна площадь, которая больше площади всякого
вписанного многоугольника и меньше площади всякого опи¬
санного.
252
Будем в данный круг вписывать и около него описывать все¬
возможные (выпуклые) многоугольники. Разделим их площади
на два класса:
в I класс отнесем площади вписанных многоугольников,
во II класс — описанных многоугольников.
Теоремы 507 и 509 показывают, что оба условия начала
Кантора выполняются (надо помнить, что в теореме 490 было
в числе других предложений доказано и начало Кантора для
площадей), а потому существует одна и только одна площадь
J, которая не меньше любой площади I класса и не больше
любой площади II класса. Но равенство J какой-нибудь пло¬
щади I или II класса является невозможным. Это доказывается
совершенно так же, как соответственное утверждение в тео¬
реме 461.
Итак, существует единственная площадь Jy удовлетво¬
ряющая условию: площадь вписанного многоугольника
< J < площади описанного многоугольника.
Определение 128. Площадью круга называется пло¬
щадь Jy о которой шла речь в теореме 510.
Теорема 511. Площадь круга равна к г2.
Докажем, что число кг2 удовлетворяет тем же неравенствам,
что и площадь J. Возьмем какой-нибудь вписанный много¬
угольник Ру обозначим его стороны через аІУ а расстояния
их от центра — через /^. Предположим сначала, что центр
круга лежит внутри многоугольника; разбивая последний
на треугольники посредством отрезков, соединяющих . центр
с вершинами, найдем:
но так как
то J (Р) < - г • s !> Гр.
По определению длины окружности имеем:
р < 2т: Г ,
так что
ДР)ОЛ
Если центр круга лежит вне многоугольника Р или на его
обводе, то нетрудно построить другой вписанный многоуголь¬
ник Q так, чтобы первый был его частью и чтобы центр круга
лежал внутри Q. Тогда имеем неравенства :
J(P)<J(Q) И J(Q)<ï:r2,
253
так что
ДР) <*г2.
Возьмем теперь какой-нибудь описанный многоугольник Р'.
Его площадь
J (Р'У~-=-~гр' (теорема 495, п. 2).
Но по определению длины окружности
Р' > 2 77 г,
так что
J(P')>*r\
Мы приходим к неравенствам :
площадь вписанного многоугольника < пг* < площади опи¬
санного многоугольника.
Но J удовлетворяет тем же самым неравенствам, и такое
число единственно, а потому
Ѵ = 7ѴГ2.
Переходя к площади сектора, мы этот вопрос изложим так
же кратко (и по тем же самым соображениям), как это было
сделано для дуги окружности.
Определение 129. Площадью сектора называется
площадь, которая так относится к площади круга, как
соответствующий центральный угол - к полному углу.
Теорема 512. Площадь сектора равна половине произ¬
ведения радиуса на длину соответствующей дуги.
Действительно, если сектор вырезывается центральным
углом ср (измеренным в радианах), то в силу определения
129 имеем:
х ?
тс г- 2 Г. ’
откуда площадь сектора, обозначенная через х:
Если же вспомнить теорему 467, то эту формулу можно пере¬
писать так:
1
Х — -^- rs,
где s — длина соответствующей дуги.
Замечание I. Здесь мы рассмотрели простейшие фигуры с криво¬
линейным обводом и определили их площади. В высшем анализе доказы¬
вается, что такие фигуры вообще образуют класс величин, и потому можно
вычислять их площади, основываясь на общих свойствах величин.
Замечание 2. В заключение параграфа упомянем об одной знаме¬
нитой древней задаче о квадратуре круга. Под зтим понималось требование
построить квадрат, равновеликий кругу.
254
Вычислением с любой степенью точности задача решается без затруд¬
нений. Если сторону искомого квадрата обозначить через г, то
откуда
£ = /*•■/" ТС.
Но если поставить требование, чтобы сторона искомого квадрата была
построена с помощью линейки и циркуля, то задача оказывается невозмож¬
ной, как это строго доказано средствами высшего анализа.
§ 44. Пирамида, призма, параллелепипед
Выше (в § 8 и 9) были уже изучены некоторые свойства многогран¬
ников, относящиеся к геометрии положения. Теперь мы подойдем к ним
с точки зрения геометрии меры.
Определение 130. Определение пирамиды было дано выше (опре¬
деление 30), так что здесь дадим только некоторые дополнения. Высотой
пирамиды называется расстояние ее вершины от плоскости основания. Если
основанием пирамиды служит правильный многоугольник и основание
высоты попадает в его центр, то пирамида называется прямой пирамидой
с правильным основанием, или, короче: правильной пирамидой.
Замечание. Последнее название является общеупотребительным, но
оно не совсем удачно, так как такая пирамида вовсе не будет правильным
многогранником (см. ниже).
Доказательство следующих двух теорем предоставляется читателю.
Теорема 513. В правильной пирамиде’.
1) все боковые ребра и боковые грани равны между собой;
2) все трехгранные углы при основании равны между собой,
3) в многогранном угле при вершине все плоские углы и все двугран¬
ные углы равны между собой.
К определению 130 можно теперь сделать следующее дополнение: высота-
боковых граней правильной пирамиды называется апофемой.
Теорема 514. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной
основанию, то:
1) боковые ребра и высота делятся на пропорциональные части;
2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их рас¬
стояний от вершины, *
4) секущая плоскость отсекает от данной пирамиды другую, по¬
добную ей.
Определение 131. Предыдущее построение дает повод ввести
новое определение: та часть данной -пирамиды, которая остается после от¬
сечения подобной ей пирамиды (см. и. 4), называется усеченной пирамидой;
определение обоих оснований, высоты и т. д. непосредственно ясно. Если
через середину высоты усеченной пирамиды провести плоскость, парал¬
лельную ее основаниям, то получается среднее сечение. Если усеченная пи¬
рамида получилась из правильной пирамиды, то она сама называется,
правильной. Как легко видеть, ее грани суть равные равнобочные трапеции;
их высота называется апофемой.
Теперь перейдем к определению другого многогранника, занимающего
видное место в элементарной геометрии. Возьмем многоугольник ABCDE...
(черт. 151, левая часть) и произвольную точку At вне его плоскости; далее
проведем прямую АА} и все прямые ВВХ, СС}. .., ей параллельные. Нако¬
нец, через точку Aj проведем плоскость, параллельную плоскости данного
многоугольника. Пусть эта плоскость пересекает указанные параллели
255<
<в точках Bb Ci.... Нетрудно убедиться, что эти точки дадут нам выпуклый
многоугольник Ai Ві Ci Dx Ex... Так как далее At Bi Ц AB, Bj Cj || BC,...
(теорема 354), то четыреугольники ABB^, ВСС^В^... суть параллело¬
граммы.
Определение 132. Совокупность многоугольников ABCDE..
AiBiCiD^..АВВіАі, ВСС^... образует выпуклую многогранную по¬
верхность (определение 27). Соответствующий многогранник (определе¬
ние 29) называется призмой. Определение ее оснований, высоты и т. п.
дается по обычному способу. Если боковые ребра перпендикулярны к пло¬
скости основания, то призма называется прямой, в противном случае —
наклонной. Если у прямой призмы основанием служит правильный 'много¬
угольник, то такая призма называется правильной.
Теорема 515. Во всякой призме:
1) боковые ребра равны между собой;
2) основания суть равные многоугольники с соответственно парал¬
лельными сторонами.
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 516. Если у двух призм (пирамид) имеется по основанию
и боковой грани, соответственно подобных, одинаково наклоненных
и одинаково расположенных, то эти многогранники подобны. („Одинаковое
расположение* надо понимать так же, как в теореме 383.)
Действительно, пусть даны две призмы ABCDEA^B^C^D^Ei и abcdea^biCid^i
(черт. 151), у которых:
ABCDE со abcde, ABBxAi œ abb^i, двугранный / АВ = двугранному / ab
и, кроме того, имеем одинаковое расположение этих граней. Так как
в каждой призме данные грани имеют по общему ребру {АВ) и (ab), то
в обоих случаях подобия многоугольников имеем одно и то же отношение
подобия:
(ИВ) _
(ab.
256
Принимая во внимание указанное подобие и одинаковое расположение
элементов, пишем:
/ ABBt — /. abblt ABC = /. abc, двугранный £ AB = двугранному ab,
а потому
трехгранный / В = трехгранному £bt (теорема 211),
откуда, в свою очередь, выводим:
/ СВВ1 = /. и двугранный / ВС = двугранному /_ Ьс.
Кроме того, имеем:
(ВС) = (АВ) и (ВВ,) = (АВ)
(be) (ab) (bbL) (ab)
так что
(ВС) = (BBJ =
(М (bbj
Теперь с помощью теоремы 380 нетрудно установить подобие граней
ВСС^Ві и Ьсс^ [именно, разложив их на треугольники диагоналями (BtC)
и (^с)] с тем же отношением подобия q. Таким образом, у нас оказалась
еще пара подобных боковых граней, одинаково наклоненных к основанию.
Повторяя предыдущие рассуждения, получим:
трехгранный / С = трехгранному / с и CDD^Cy ею cdd^ct
и будем продолжать эти рассуждения, пока не переберем всех трехгранных
углов, прилежащих к основанию, и всех боковых граней призмы.
Далее, подобие верхних оснований вытекает из теоремы 515 (п. 2), а ра¬
венство прилежащих к ним трехгранных углов — из теоремы 213. Наконец,
теорема 385 дает искомое подобие. Для пирамид доказательство остается
по существу тем же самым.
Теорема 517. Если у двух призм (пирамид) имеется по основанию
и боковой грани, соответственно равных, одинаково наклоненных и одина¬
ково рйсположенных, то эти многогранники равны.
Это утверждение получается из предыдущего при q=\.
Определение 133. Площадью поверхности многогранника (или
короче: поверхностью многогранника) называется сумма площадей всех его
граней; в частности, по отношению к призме, пирамиде и усеченной пира¬
миде в таком случае говорят о полной поверхности. Боковой поверхностью
названных многогранников называют сумму площадей одних боковых гра¬
ней.
Доказательство следующих двух теорем предоставляется читателю.
Теорема 518. 1. Боковая поверхность призмы равна произведению
периметра нормального сечения на боковое ребро (нормальное сечение есть
многоугольник, получаемый в сечении призмы плоскостью, перпендикулярной
к ребру).
2. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра
основания на боковое ребро.
Теорема 519. 1. Боковая поверхность правильной пирамиды равна
полупроизведению периметра основания на апофему.
2. Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произ¬
ведению периметра среднего сечения на апофему.
Определение 134. Параллелепипед есть призма, у которой основа¬
нием служит параллелограмм (черт. 152). Две его грани называются про-
17
Богомолов — Геометрия
257
тивоположными, если они не имеют общих точек; далее, два ребра назы¬
ваются противоположными, если по одному из них пересекаются грани,
соответственно противоположные тем, которые пересекаются по другому
[например, (АВ) и (QD0, (ВС) и (AiDJ, и т. д.]; наконец, две вершины
называются противоположными, если они служат точками пересечения со¬
ответственно противоположных граней [нзпример, А и Съ В и D,, и т. д.].
С ребер и вершин название .противоположные" переносится на двугранные
и трехгранные углы; отрезки, соединяющие две противоположные вершины,
называются диагоналями. Отметим частный случай параллелепипеда, а именно
прямой параллелепипед,
у которого грань, принятая за основание, перпен¬
дикулярна боковым ребрам. Если у прямого па¬
раллелепипеда основанием служит прямоуголь¬
ник, то он называется прямоугольным, а три
ребра, сходящиеся в одной вершине, называются
его измерениями. Если эти последние равны
между собою, то получаем куб.
Теорема 520. Во всяком параллелепипеде:
1) противоположные грани равны и парал¬
лельны,
2) противоположные двугранные и трех¬
гранные углы равны;
3) диагонали пересекаются в одной точке и
делятся в ней пополам.
Остановимся на противоположных гранях
ВСС,В^ и ADD,AX (черт. 152).
Так как
В С II AD и ВВ, Il AAït
ТО г
Далее:
плоскость В,ВС II плоскости A,AD (теоремы 345 и 350).
(ВС) = (AD), (ВВ1) = 'ААі) и /_ В,ВС = A,AD (для последнего: теоремы
306 и 322), и теорема 330 дает:
ВСС1В1 = ADD^,.
Рассмотрим теперь два Противоположных трехгранных угла Z) и Вѵ Для
них имеем:
/ ADD, = / ВСС, = / ВВ,С, (теоремы 322, 329, п. 2).
Точно так же докажем равенства:
Z ADC = Z С,В,АХ и Z CDD, = / А,В,В.
Но тогда
трехгранный /_D — трехгранному' / Вх (тесрема 213),
а отсюда вытекает и равенство противоположных двугранных углов:
двугранный / AD = двугранному / B,Clf и т. д.
Наконец, возьмем две диагонали (АіС) и (BDi). Соединив еще точки А]
и В, С и D), убедимся, что четыреугольник AlBCD1 будет параллелограммом
(теорема 331, п. 3). Но в таком случае его диагонали (AjC) и (BDX) пересе¬
каются и в точке О пересечения делятся пополам (теорема 329, п. 5).
Возьмем еще какую-нибудь диагональ [например, (А СО]; По предыдущему
258
она пересекает (ДС) в ее середине, т. е. пройдет через точку О, в ко¬
торой и сама разделится пополам.
Теорема 521. Во всяком прямоугольном параллелепипеде:
1) диагонали равны;
2) квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Проведем диагональ (BDX) (черт. 153) в парал¬
лелепипеде ABCDA^B^C^Dx и диагональ (BD)
его основания.
Теорема Пифагора дает:
(BDJ2 = (ÆZ>)2 + (£>Д)2,
(£D)2==(4£)2 4_(AD}2
Подставляя и заменяя (DDd на (ДД), находим
(BDtf = (АВў + (AD)2+ (ÂAJ2.
Что касается равенства диагоналей, то оно
доказывается с помощью предыдущей формулы
или непосредственно из равенства прямоуголь¬
ных треугольников, причем придется вспомнить Черт. 153
теорему 335.
§ 45. Правильные многогранные углы
Определение 135. Многогранный угол называется пра¬
вильным, если все его плоские углы равны между собой и все
двугранные углы также равны между собой.
Замечание. Из теоремы 513 (п. 3) вытекает, что в пра¬
вильной пирамиде телесный угол при вершине будет правиль¬
ным.
Теорема 522. Если на ребрах правильного Æ-гранного
угла отложить от его вершины S равные отрезки (5Д) —
= (SC)=- • * , то получим правильный ^-угольник АВС..,
Для доказательства возьмем А-гранный /5 на черт. 154, а
и произведем указанное построение. Легко видеть, что
AÂSB-ABSC=ACSO-. ..,
откуда
(ДВ)^(ВС)-=(СО)-...,
^SAB= £SBA = ZSBC = £SCB = ^SCD^ £SDC=---...
Если сюда еще присоединить равенство:
двугранный /^SB = двугранному ,/SC (определение 135),
то получаем:
трехгранный ^BASC=*= трехгранному /J2DSB (теорема 211),
откуда
двугранный ^S.BC.A =двугранному ^S.CB.D.
17* 259
Но обе полуплоскости ВС • А и BC.D лежат по одну сторону
от плоскости BSC (по свойству выпуклого многогранного угла),
так что эти полуплоскости должны совпасть. Другими словами,
точки А, В, С, D лежат в одной плоскости. Продолжая эти
рассуждения, придем к выводу, что все точки А, В, С, D, Е,..
лежат в одной плоскости.
Далее, прямая АВ оставляет все точки С, D, Е,... по одну
сторону от себя, как это опять-таки вытекает из определения
многогранного угла. Поэтому получается выпуклый ^-угольник
ABCDE... Выше было доказано, что его стороны равны между
собой. Из равенства трехгранных углов при В и С следует, что
/АВС= ^BCD, и т. д.
Таким образом, многоугольник ABCDE... оказывается пра¬
вильным.
Т е о р е м а 523. Если а < , где k—целое положитель¬
ное число > 3, то существует один и только один правиль¬
ный k-гранный угол, у которого все плоские углы равны а.
Действительно, теорема 206 показывает, что должен
необходимо выполнять указанное неравенство; сейчас будет
установлена его достаточность. С этой целью возьмем в некото¬
рой плоскости правильный Æ-угольник ABCD... (черт. 154, а).
Существование такого многоугольника вытекает хотя бы из тео¬
ремы 445, но пусть читатель подумает, всегда ли можно его
построить с помощью линейки и циркуля.
Сделаем отдельно (черт. 154, Ь) некоторые вспомогательные
построения. Прежде всего построим прямоугольный при Т тре¬
угольник PQT по катету (С?Т) = ЦР и /_QPT=~ (так как
у < —, то этот угол острый). Наш треугольник строится
260
с помощью пунктирных линий, указанных на чертеже, где
при данном имеем:
PR ± PT, (PR)--=(QT) и RQ H РТ.
Докажем, что его гипотенуза (PQ) будет больше радиуса
(ОВ) нашего правильного многоугольника.
Действительно, этот радиус является гипотенузой &OBG
(черт. 154, а), в котором катет (BG)=-&, а ZBOG=~-,
как половина центрального угла правильного Æ-угольника.
Построим теперь
расположив его по ту же сторону от QT, что и &PQ7
(черт. 154,6). Так как имеем неравенство
или ZQPT< ZQWT,
ТО
£PQT > Z WQT
и точка W попадет между Р и Î. А потому (теорема 168, п. 3)
(PQ)XITQ).
Следовательно, можно построить прямоугольный APQVz
с гипотенузой (PQ) и с катетом (QI/) = (OB) [его построение
можно выполнить, описав на (PQ) полуокружность]; другой
его катет (РѴ) необходим для дальнейших построений.
В центре О правильного ^-угольника ABCDE... восставим
к его плоскости перпендикуляр (теорема 185) и отложим на нем
отрезок (OS)=(PV). Соединяя точку S с вершинами правиль-
ногомногоугольника, получим искомый телесный угол SABCD...
Прежде всего у нас получится правильная Æ-угольная пира¬
мида SABCD... (определение 130), и угол при ее вершине
будет правильным (замечание к определению 135). Проведя
ее апофему (SG), пишем в силу построения:
/\SOB^&PVQ, откуда (SB) = (PQ);
ASGB-APTQ,
так что
/^BSG = ZQPT= 2 .
Следовательно, плоские углы построенного правильного
é-гранного угла равны а. Остается установить его единствен¬
ность.
Положим, построен еще другой правильный Æ-гранный
угол с плоскими углами, равными а (на чертеже не обо¬
261
значенный). Отложим на ребрах равные отрезки (В1Д1) = (В1В1)=
= (5^!) = .... Получим правильный Æ-угольник ДАСД.. (тео¬
рема 522).
Легко видеть, что
трехгранный ДВДВС=трехгранному ДВ^В^ (теорема 213),
откуда
двугранный ^SB-= двугранному /BjBp
Таким образом, в телесных углах 5 и Sj все элементы
оказываются соответственно равными, так что получается тот же
угол.
Следствие. Число ребер и величина плоского угла
вполне определяют правильный многогранный угол.
Задача. Построить двугранный угол правильного А-гран-
ного угла с плоскими углами, равными а.
Конечно, задача будет решена, если мы построим нормаль¬
ное сечение искомого двугранного угла.
Пусть дан охарактеризованный выше многогранный /В.
Отложив (ВД)=ДВВ)-=(ВС)=... получим правильный ^-уголь¬
ник ДВС... (теорема 522; черт. 154, а). Остановившись на
двугранном /ВД, через BF (где В и В—смежные с А вер¬
шины многоугольника) проведем плоскость, перпендикулярную
к ВД.
Замечание к определению 60 показывает, что это воз¬
можно, так как плоскости ДВВи ВДО взаимно перпендикулярны
(теорема 199). Пусть эта плоскость пересекает грани нашего
двугранного угла по прямым ВН и FH, так что /^BHF будет
искомым нормальным сечением. Заметим, что точка //вообще
лежит внутри (SA) и может лежать на его продолжении лишь
при k = 3 и а>90° (теорема 172).
Итак, /_BHF вполне определяется как угол при вершине
равнобедренного треугольника, у которого основание равно
(BF), а стороны равны высоте ДВДВ, опущенной из точки В.
Теорема 192 показывает, что величина отрезка (SA) не повлияет
на результат.
Строим (черт. 154, с) £±KLM по равному углу пра¬
вильного А-угольника (построенного выше) и по (KL) = (KM)=-
= (АВ), так что (LM) = (BF); далее строим прямоугольный
/\LNU по гипотенузе (LN) = (SB) = (PQ) и по /_NLU=a, так что
^LNU=£\SBH,
(NU) = (BH)
[если а = 90° и fe = 3, то искомый двугранный угол равен 90°;
если а > 90°, то берем /?//,£/= 180°—а]; наконец, строим
ДАМ/ по (LM) и (LJ) = (MJ)=(NU).
262
^LJM будет искомым нормальным сечением (фигура JLKM
Лна черт. 154, с не будет параллелограммом, ибо
Замечание. Эту задачу можно решить вычислением при помощи
основвых тригонометрических зависимостей. Предлагаем читателю убедиться,
что для искомого угла z получается формула:
180°
, cos "Г
§ 46. Правильные многогранники
Определение 136. Многогранник называется правиль¬
ным, если все его грани и телесные углы правильны.
Теорема 524. В правильном многограннике все ребра,
плоские углы, грани, двугранные и многогранные углы соот¬
ветственно равны между собой. (Следить за доказательством
можно, например, по черт. 158.)
Возьмем две каких-нибудь грани с общим ребром. В каж¬
дой из них все ребра равны между собой, ибо грани суть
правильные многоугольники; но одно ребро общее, так что
все ребра этих граней равны между собой. Возьмем третью
грань, прилежащую к одной из двух первых, и т. д. Перебрав
таким образом все грани данного многогранника (теорема 94),
убедимся, что все его ребра равны между собой.
Рассмотрим теперь многогранный угол при одной из вер¬
шин. Пусть одна из граней, сходящихся при этой вершине, будет
правильным /n-угольником, а другая—правильным п-угольни-
ком.
Так как наш телесный угол правильный, то
2d(m — 2) 2rf(n —2) z
т—— = ——— (замечание к определению 115),
откуда
т = п,
т. е. все многоугольники, сходящиеся при выбранной вер¬
шине, будут одноименными. Затем переходим к какой-либо
другой вершине одного из этих многоугольников и точно
так же докажем одноименность сходящихся в ней граней, и т. д.
Следовательно, все грани одноименны, а потому подобны
(теорема 447); но отношение подобия равно 1, ибо все ребра
равны, так что все грани равны между собой. Отсюда также
следует, что и все плоские углы равны между собой.
Возьмем, наконец, два многогранных угла при двух верши¬
нах, являющихся концами одного и того же ребра. Так как оба
угла правильны и один двугранный угол у них общий, то все
их двугранные углы равны между собой.
263
Переходим далее к третьей вершине, соединенной ребром
многогранника с одной из двух первых, и т. д. Продолжая
эти рассуждения (теорема 94), убедимся, что все двугранные
углы правильного многогранника равны между собой. Вспоми¬
ная предыдущее, получим равенство всех многогранных углов,
откуда следует также, что все они будут одноименными
(см. замечание в конце § 20).
Введем для правильного многогранника следующие обозна¬
чения: т— число граней, п— наименование каждой грани,
ѵ — число вершин, k наименование
телесных углов, г — число ребер.
А Эти пять чисел будем называть
// \ числами, характеризующими правиль-
/ / \ ный многогранник.
/ I \ Теорема 525. Числа, харак-
/ I \ теризующие правильный многогран-
/ I \ ник, могут иметь только пять раз-
/ I \ личных систем значений, указанных
”’Т в теореме 97.
\ Действительно, в правильном мно-
гограннике и грани и телесные углы
q одноименны, а потому имеет место
теорема 97.
Черт- 155 Теорема 526. Существует пра¬
вильный многогранник, характери¬
зуемый числами:
т=4, п =3, «и=4, k-=3, г=6.
Возьмем правильный трехгранный угол, у которого плоские
углы равны 60° (теорема 523), и на ребрах его отложим от-
іеЗКИ’ (5Д) =(SÔ) = (5C) (черт. 155);
затем проведем отрезки (АВ), (ВС), (СА). Не представляет
труда убедиться, что SABC есть выпуклая многогранная по¬
верхность, характеризуемая данными числами. ДДВС будет
правильным на основании теоремы 522, и остальные треуголь¬
ники будут тоже правильными, так как все они равнобедрен¬
ные с углом при вершине, равным 60°. Все плоские углы
равны между собой и равны 60°, а потому и все трехгранные
углы при вершинах А, В, С равны трехгранному углу SABC
(теорема 213); отсюда вытекает, что все они правильны.
Итак, мы получили требуемый правильный многогранник.
Этот последний называется правильным тетраэдром или
правильным четырехгранником.
Теорема 527. Существует правильный многогранник,
характеризуемый числами:
т-=8, п = 3, ^ = 6, k = 4, г = 12.
264
Для построения возьмем три взаимно перпендикулярные
прямые, пересекающиеся в точке О (черт. 156), и от это&
точки отложим на них равные отрезки:
(ОД )=(ОЛ 0=(ОВ) = (OBJ = (ОС) = (ОСд).
Каждую из этих шести точек сое¬
диним с четырьмя остальными
(кроме той, которая лежит на од¬
ной прямой с ней и с точкой О).
Читатель без труда убедится, что
таким образом получается много¬
гранник, характеризуемый данными
числами; остается доказать, что он
правильный.
В силу построения имеем ряд
равных равнобедренных прямоу¬
гольных треугольников:
А ОАВ=£±ОАС=/\ОВС=
Черт. 156
откуда
(ДВ) = (ЛС)=(ВС) = (ДВ1) = (Д1В1) = .
так что все грани правильные треугольники и все плоские
углы равны 60°. Далее:
^В.АВ^ /^АВАу (так как четыреугольник АВА1В1 есть квадрат).
В связи с только что доказанным имеем:
трехгранный ^/АВ^СВ трехгранному £ВАСАХ (теорема 213).,
откуда
двугранный / СА = двугранному /_СВ.
Черт. 157
Продолжая эти рассуждения, мы до¬
кажем, что при вершине С (равно как
и при всякой другой) все двугранные
углы равны между собой. Значит, все
многогранные углы правильны.
Полученный таким образом много¬
гранник называется правильным октаэд¬
ром или правильным восьмигранником.
Теорема 528. Существует пра¬
вильный многогранник, характеризуе¬
мый числами:
т = 6, п = 4, г»=--8, k-=3, г=12.
Легко видеть, что это знакомый нам куб [(черт. 157)>
пунктирные линии пока оставим в стороне]; его грани—квад¬
раты, и все плоские и двугранные углы—прямые.
26S.
Куб называется также правильным гексаэдром или правиль¬
ным шестигранником.
Теорема 529. Существует правильный многогранник,
характеризуемый числами:
т = 12, п — 5, V = 20, k --= 3, г 30.
Начнем с ьпостроения правильного трехгранного / ABEF
158), у которого все плоские углы равны 108° (тео¬
рема 523), и отложим на его
ребрах равные отрезки: (АВ) =
(черт.
= (АЕ) = (AF).
Ломаные BAE, EAF, FAB,
у которых отрезки равны, а
углы равны углу правильного
пятиугольника, дополним до
равных правильных пятиуголь¬
ников ABCDE, AEHGF, ABPQF
(возможность такого дополнения
ломаных можно обосновать с
помощью теоремы 445 и гомо¬
тетичного преобразования).
Таким образом, при точке А
получается правильный трехгран¬
ный угол, образованный тремя
правильными пятиугольниками ;
его плоские углы равны 108°, а двугранные обозначим через z
(эта величина нам известна на основании следствия теоремы
523; см. также конец §45).
При точках Е, F, В также получаются трехгранные углы
EADH, FAQG, ВАРС\ у каждого из них имеется по два плос¬
ких угла, равных 108°, а заключенные между последними дву¬
гранные углы общи с трехгранным углом при Л.
Следовательно:
трехгранный / EADH = / FAQG = / ВАРС = / ABEF
(теорема 211).
Поэтому / HED =-- 108°, а раньше мы видели, что (ED) =
~(ЕН) = (АВ), так что ломаную DEH можно дополнить до
правильного пятиугольника DEHJK, равного первым трем.
По предыдущему докажем, что
трехгранный / DECK •--= HEJG = / ABEF,
Отсюда снова / CDK= 108°.
Строим правильный пятиугольник CDKLM. При точках К
и С получаются два новых трехгранных угла, равных преды¬
дущим.
.266
Теперь у нас получилась ломаная РВСМ, где
Z РВС = ВСМ = 108° и (PB) = (ВС) = (СМ).
Но возникает вопрос, будет ли эта ломаная плоской.
Из равенства трехгранных углов при точках В и С следует,
что двугранный угол при ребре ВС в одном из них равен дву¬
гранному углу при СВ в другом (оба они равны z). Далее
полуплоскость ВС.Р и полуплоскость СВ.М, согласно изложен¬
ному построению, лежат по одну и ту же сторону от плоскости
ABCDE. Следовательно, они должны совпасть, и ломаную
РВСМ можно дополнить до правильного пятиугольника PBCMN,
который замыкает цепь пра¬
вильных пятиугольников,
прилежащих к пятиуголь¬
нику ABCDE и равных ему.
Будем продолжать по¬
добные же построения при
свободных пока ребрах фи¬
гуры. Строим правиль¬
ные пятиугольники BylKLA^
AXLMNEX, E^NPQDi,
P
Черт. 159
D}QFGCït CxQHJBïy наконец,
подобно предыдущему, докажем, что плоская фигура AJ^C^D^
есть тоже правильный пятиугольник, равный остальным. Не¬
трудно теперь убедиться, что мы построили многогранник,
характеризуемый данными числами; правильность его граней
и трехгранных углов непосредственно вытекает из самого
построения.
Такой многогранник называется правильным додекаэдром
или правильным двенадцатигранником.
Нам остается рассмотреть последний случай теоремы 97;
но для того, чтобы подойти к нему возможно проще, остано¬
вимся на одном замечательном соотношении между правиль¬
ными многогранниками; предварительно докажем одну вспомо¬
гательную теорему.
Теорема 530. Расстояние между центрами двух смеж¬
ных граней есть величина постоянная для данного правиль¬
ного многогранника.
Возьмем две смежных грани какого-нибудь правильного
многогранника и соединим их центры Oj и О2 отрезком (О^2)
(черт. 159); далее соединим точки и О2 с серединой Н об¬
щего ребра. Легко видеть, что (ОХН) и (О2Н) будут апофе¬
мами равных правильных многоугольников, а / ОХНО2 служит
нормальным сечением двугранного угла данного правильного
многогранника.
Следовательно, все треугольники, построенные по тому же
способу, что и А ОГНО2) будут равны между собой, откуда и
вытекает теорема.
267
Желая подойти к построению последнего правильного много¬
гранника, рассмотрим сначала применение того же способа
на более простых примерах. Возьмем куб, отметим центры
всех шести его граней и центр каждой грани соединим от¬
резками с центрами четырех граней, прилежащих к первой
(черт. 157). Это построение приведет к правильному октаэдру,
вписанному в данный куб (подробности доказательства предо¬
ставляются читателю).
Точно так же, если исходить из правильного октаэдра, то
указанное построение приведет к вписанному кубу, а из правиль¬
ного тетраэдра получается опять-таки
правильный тетраэдр, вписанный в дан¬
ный. Такое соотношение между пра¬
вильными многогранниками называет¬
ся взаимностью. Следовательно, пра¬
вильный октаэдр и куб взаимны друг
с другом, а правильный тетраэдр — с
многогранником того же имени. По¬
строив многогранник, взаимный с
правильным додекаэдром, мы полу¬
чим последний случай теоремы 525.
Теорема 531. Существует пра¬
вильный многогранник, характери¬
зуемый числами:
т =20, п = 3, V = 12, k = 5, г = 30.
Для построения искомого многогранника возьмем правиль¬
ный додекаэдр (черт. 158), отметим центры его двенадцати
граней и центр каждой грани соединим отрезками с центрами
пяти граней, прилежащих к первой. Легко видеть, что при каж¬
дой из двенадцати точек получается пятигранный угол. Трем
граням додекаэдра, сходящимся в одной вершине, в новой
фигуре будет соответствовать треугольник, так как центры этих
граней придется соединить друг с другом, и таких треуголь¬
ников будет столько, сколько имеется вершин у правильного
додекаэдра, т. е. 20.
Таким образом, мы построили многогранник того же типа,
что изображенный на черт. 160 и характеризуемый данными
числами (подробности доказательства предоставляются чита¬
телю); остается доказать его правильность.
В силу теоремы 530 все его грани будут равносторонними
треугольниками; отсюда, между прочим, вытекает, что все
плоские углы равны 60°.
Возьмем какой-нибудь телесный угол, например, при вер¬
шине С (черт. 160). Точки А, В, М, N, Р лежат в одной
плоскости, ибо они находятся с одной стороны и на одинаковом
расстоянии от плоскости той грани додекаэдра, для которой
268
точка С служит центром. Равенство расстояний следует из
того, что эти расстояния служат катетами равных прямоуголь¬
ных треугольников, в каждом из которых гипотенуза есть
апофема грани, а противолежащий угол равен 180°—z (здесь
может помочь черт. 159). Кроме того:
(СД) = (СВ) - (С7И) = (CN) (СР),
а потому перпендикуляр из точки С на плоскость ABMNP
будет иметь основанием точку, равно удаленную от точек Л,
В, М, N, Р (замечание после определения 60).
Следовательно, равносторонний ABMNP можно вписать
в окружность, и он будет правильным многоугольником (тео¬
рема 443). Отсюда явствует, что пирамида CABMNP будет
правильной; но тогда правильным будет и пятигранный угол
при точке С (замечание к определению 135).
Построенный только что многогранник называется правиль¬
ным икосаэдром или правильным двадцатигранником.
Таким образом, доказано существование правильных много¬
гранников для каждого случая теоремы 97; но нельзя еще
утверждать единственность этого решения тем более, что по¬
строения правильных многогранников были основаны на раз¬
личных приемах. Указанный вопрос будет освещен последую¬
щими теоремами.
Теорема 532. Два правильных многогранника, харак¬
теризуемые одними и теми же числами, всегда подобны.
Действительно, грани их суть одноименные правильные
многоугольники. Следовательно, они подобны и отношение
подобия будет одно и то же для всех граней. Далее, их телес¬
ные углы имеют одно и то же наименование, а все плоские
углы равны между собой. В таком случае телесные углы равны
между собой (следствие теоремы 523), и остается сослаться
на теорему 385.
Определение 137. Совокупность многогранников, по¬
добных между собой, называется индивидуальностью много¬
гранников (этот термин введен проф. Е. С. Федоровым).
Теорема 533. Существуют лить пять индивидуально¬
стей правильных многогранников (теорема 525, 532, опре¬
деление 137).
Теорема 534. Внутри правильного многогранника суще¬
ствует точка, равноотстоящая от всех его граней, от
всех вершин и ст всех ребер.
Возьмем две смежных грани ABPQF и BCMNP правиль¬
ного многогранника (черт. 159), соединим их центры отрез¬
ком (О{О2) и проведем апофемы (ОгН) и (О2Н). Так как
плоскость ОХНО2 LBP, то плоскость АВР и плоскость СВР
обе перпендикулярны плоскости OJ~IO2 (теорема 199). Сле¬
довательно, если в точках Ох и О2 восставим перпендику¬
269
ляры к плоскостям соответствующих граней, то оба эти
перпендикуляра будут лежать в плоскости ОХНО2 (теорема 201).
Остановимся на тех лучах этих перпендикуляров, которые
направлены от плоскостей граней в сторону точек многогран¬
ника. Легко видеть, что на основании теоремы 191 указанные
лучи образуют с прямой ОХО2 острые углы, а потому они
пересекаются в некоторой точке К (теорема 312), лежащей
внутри двугранного /_ ВР (теорема 43 и 52).
Далее имеем:
OxKO2--=2d — z (теорема 327),
где z — двугранный угол многогранника.
//COjCZ, = /_КО2ОХ (как разности равных углов);
£КОХО2^£КО2О^ J
Таким образом, отрезок (ОУ<) вполне определяется как
сторона равнобедренного треугольника, в котором основание
равно (OjOo) (теорема 530), а угол при основании равен .
Возьмем теперь какую-нибудь другую грань, смежную
с одной из взятых первоначально (например, с ABPQF).
Также докажем, что перпендикуляры в их центрах пересекаются
в точке К', лежащей по ту же сторону от ABPQF, что и
точка К, причем (О1К') = (ОХ), так как {ОХК') определяется
тем же способом, что и {ОХК). Следовательно, точка К' совпа¬
дает с К.
Продолжая эти рассуждения, мы докажем (теорема 94),
что все перпендикуляры, восставленные в центрах граней к их
плоскостям, пересекаются в одной и той же точке К. Из пре¬
дыдущего также видно, что точка К принадлежит всем дву¬
гранным углам многогранника, а потому она принадлежит всем
телесным углам его (теоремы 70 и 75), а следовательно, лежит
внутри многогранника (теорема 80 и 93).
Из предыдущих рассуждений уже явствует, что точка К
равноотстоит от всех граней. Если соединить точку К с вер¬
шинами многогранника, то легко доказать равенство всех этих
отрезков (замечание после определения 60). Наконец, если
соединим К с серединой Н ребра {ВР), то увидим, что НК_\_ВР,
ибо КН лежит в плоскости ОХНО2А_ВР\ кроме того, отрезок
{КН) имеет одну и ту же длину для всех ребер, так как он
является гипотенузой треугольника, которого катетами служат
отрезок {ОХК) и апофема {ОХН).
Следовательно, точка К равноотстоит и от всех ребер.
Определение 138. Построенная в предыдущей теореме
точка К называется центром правильного многогранника.
270
Теорема 535. Для данного правильного многогранника
существуют: вписанный шар, описанный шар и шар,
касающийся всех его ребер в их серединах.
В самом деле, общим центром всех этих шаров служит
точка К, а радиусами — соответственно отрезки: (КОА, (КАУ
и (КН) (см. черт. 159).
самому себе, если
Понятие о симметрии правильных тел
В теоремах 454—456 и определении 116 было дано понятие
о симметрии правильных многоугольников. Теперь мы намерены
сделать то же самое для пространственных образов. Вопрос
о симметрии имеет не только теоретический
интерес, но и практические применения
(например, в кристаллографии) и выли¬
вается в особый отдел геометрии. Излагать
его в таком виде не входит в нашу задачу.
Здесь мы ограничимся несколькими ука¬
заниями на сущность дела, не облекая их
в систематическое изложение.
Прежде всего условимся выписывать
наименования двух равных многогранников
так, чтобы буквы, обозначающие соответ¬
ственные вершины, стояли на местах с
одним и тем же порядковым номером (надо
вспомнить теорему 385, при /г = 1).
Очевидно, каждый многогранник равен
каждой вершине соотнести ее самое; но если хотя бы неко¬
торым вершинам соотнести иные вершины, то равенства,,
вообще говоря, не будет.
Так, если возьмем четыреугольную пирамиду SABCD, то
конечно:
SABCD^-SABCD,
не равна SBCDA, ибо (S/4) вообще не
обстоит дело с некоторыми фигурами
но SABCD вообще
равна (SB). Иначе
особого вида.
Остановимся сначала на случае правильной четыреугольной
пирамиды SABCD (черт. 161; эта пирамида еще не будет пра¬
вильным многогранником). Вспоминая теоремы 454 и 513,
легко придти к выводу:
SABCD = SBC DA - SCD А В - SD А ВС.
Таким образом, правильная четыреугольная пирамида равна
самой себе при четырех различных способах установления
соответствия между ее вершинами; центр основания О при
этом всегда соответствует самому себе (теорема 455), то же
271
самое имеет место и для точки S, так что отрезок (SO) со¬
ответствует самому себе.
Далее нетрудно убедиться, что двугранные углы, образо¬
ванные полуплоскостями SO.A, SO.Bf SO.С, SO.D, все суть
прямые. Все эти данные очень удобно описать посредством
представления о движении. Именно говорят, что правильная
четыреугольная пирамида SABCD совмещается со своим перво¬
начальным положением при повороте около прямой SO на
угол, равный 90°, или на кратное этого угла. Такую прямую SO
называют четверной осью симметрии. Здесь мы приходим
к обобщению того понятия об оси симметрии, которое было
дано в определении 52 и затем встретилось в теореме 456; там
шла речь о двойной оси симметрии, соответствующей пово¬
роту на наименьший угол в 180°.
Чтобы покончить с нашей пирамидой, укажем еще, что она
имеет 4 плоскости симметрии (понятие о плоскости симметрии
подобно понятию об оси симметрии, которое было дано в опре¬
делении 52); этими плоскостями симметрии будут SAC, SBD
и еще 2 другие, проходящие через точку S и через середины
той или другой пары противоположных сторон основания.
Следовательно, плоскостями симметрии здесь служат плоскости,
соединяющие ось симметрии пирамиды с осями симметрии ее
основания (см. теорему 456).
Не представляет труда обобщить эти выводы и заключить,
что n-угольная правильная пирамида имеет n-кратную ось сим¬
метрии (значит, при повороте около этой оси на угол, рав-
360°
ный —— или на кратное этого угла, пирамида совмещается
сама с собой).
Кроме того, существуют еще п плоскостей симметрии.
Оси и плоскости симметрии суть элементы симметрии; то или
другое сочетание их образует вид симметрии.
Мы получим более высокий вид симметрии, если перейдем
к правильной n-угольной дипирамиде (черт. 162), которую
можно себе представить как две равные правильные пирамиды,
сложенные своими основаниями.
Совершенно так же, как и выше, убедимся, что прямая SS1
служит n-кратной осью симметрии; кроме того, дипирамида
имеет п двойных осей, которыми служат оси симметрии осно¬
вания (эти оси изображены на черт. 162 пунктиром). Так, если
повернуть данную дипирамиду около прямой FC на 180°, то
точки F и С останутся в покое; А и Е, В и D, S и St поме¬
няются местами, а вся дипирамида совместится со своим перво¬
начальным положением. Все это можно выразить и чисто
геометрически, именно — с помощью равенства:
SABCDEFS. = S.EDCBAFS.
272
Наконец, имеется плоскость симметрии: плоскость
ABCDEF и плоскости, проходящие через n-кратную ось
и через каждую из двойных осей. Вообще, соединение
плоскостью двух каких-нибудь осей симметрии служит удобным
приемом для нахождения плоскостей симметрии; только необ¬
ходимо каждый раз проверять, действительно ли получилась
плоскость симметрии.
Если теперь мы перейдем к правильной n-угольной призме
(черт. 163), то получим тот же самый вид симметрии, как
в этом нетрудно убедиться. Заметим, что от правильной ди¬
пирамиды можно перейти к правильной призме (и обратно)
с помощью построения, подобного тому отношению взаимности,
которое было установлено между правильными многогран¬
никами. Так, соединяя центры обоих оснований призмы с цент¬
рами боковых прямоугольников, получим дипирамиду.
Наиболее полные виды симметрии дают нам правильные
многогранники.
Начнем с правильного октаэдра (черт. 156), который можно
прежде всего рассматривать как правильную четырехуголь¬
ную дипирамиду и притом с трех различных точек зрения:
принимая за вершины С и С\, В и В}і А и Таким образом,
получаем 3 четвертных оси: АА}, ВВ}, ССХ и 6 двойных осей,
соединяющих середины двух противоположных ребер октаэдра.
Но в правильном октаэдре имеем еще 4 тройных оси, а имен¬
но— 4 прямых, соединяющих центры двух противоположных
Богомолов — Геометрия
273
граней (например, одна из них соединяет центры граней АВС
и Д1В1С1); поворот на угол в 120е около каждой из указанных
прямых снова совмещает вершины правильных треугольников
с первоначальными вершинами октаэдра. Наконец, имеются
плоскости симметрии, которые получим, рассматривая тремя
различными способами октаэдр как правильную дипирамиду.
Что касается куба, то здесь имеется тот же самый вид сим¬
метрии, как это вообще следует из соотношения между пра¬
вильной дипирамидой и соответствующей правильной призмой.
Особенно это ясно из черт. 157, который показывает, что,
совмещая октаэдр с самим собой, совместим с самим собой
и куб; только четверные оси теперь проходят через центры
граней, а тройные — через вершины куба.
Правильный тетраэдр (черт. 155) можно рассматривать
как правильную треугольную пирамиду, и притом — с четырех
различных точек зрения. Таким образом, получаются 4 тройных
оси, соединяющие вершины с центрами противоположных
граней, а также — 6 плоскостей симметрии, соединяющих оси
симметрии какой-либо грани с противоположной вершиной
(точнее говоря, таких плоскостей имеется 12, но они попарно
совпадают). Но в правильном тетраэдре имеется еще 3 двой¬
ных оси, соединяющих середины противоположных ребер.
Прежде чем идти дальше, сделаем одно общее замечание
о разыскании элементов симметрии. Так как при совмещении
правильного многогранника с самим собой его центр также
приходит в первоначальное положение, то каждая ось сим¬
метрии должна проходить через этот центр; но в таком случае
она пересекает поверхность многогранника в двух точках.
Небольшое размышление покажет, что такой точкой может
быть или вершина, или середина ребра (в таком случае ось
непременно двойная), или центр грани; только каждый раз
следует проверить, действительно ли будет осью симметрии
полученная таким образом прямая. Плоскости ; симметрии
отыскиваем, соединяя попарно оси симметрии и помня о необ¬
ходимости проверки.
Переходим теперь к правильному додекаэдру (черт. 158).
При некотором напряжении пространственного воображения
читатель убедится в следующем:
1) 10 прямых, соединяющих попарно противоположные вер¬
шины (например, прямая ДДі), будут тройными осями симметрии;
2) 6 прямых, соединяющих попарно центры противополож¬
ных граней, будут пятерными осями симметрии;
3) 15 прямых, соединяющих попарно середины противо¬
положных ребер [например, ребер (АВ) и . (Ді^і)], будут
двойными осями симметрии.
Плоскости симметрии найдем, взяв для каждой тройной
оси ближайшие к ней пятерную и двойную оси и соединив их
попарно плоскостями.
274
Что касается правильного икосаэдра (черт. 160), то для
него получится тот же самый вид симметрии, что и для пра¬
вильного додекаэдра, как это следует из самого способа по¬
строения икосаэдра; только теперь пятерные оси пройдут
через вершины, а тройные — через центры граней.
Этими замечаниями и придется здесь ограничиться.
§ 47. Объемы многогранников
Учение о площадях многоугольников было изложено двумя
различными способами. Первый, основанный всецело на понятии
о равносоставленности, может быть применен лишь для опре¬
деления объемов призм, но не применим для многогранников
вообще (об этом будет еще сказано
ниже). Поэтому здесь мы начнем прямо
с метода Шатуновского-Гильберта, а так
как его принципиальная основа была
достаточно подробно изложена для
многоугольников, то здесь мы будем,
по возможности, кратки.
Само по себе понятие равносостав¬
ленности можно распространить и на
многогранники. Так, определения 121
и 122, теоремы 468 и 469 переносятся
на многогранники со следующей заме¬
ной терминов:
многоугольник — многогранник,
обвод — поверхность,
треугольник — тетраэдр.
Учение об объемах многогранников придется начать с одной
вспомогательной теоремы и с определения, подобных теореме
498 и определению 126.
Теорема 536. Произведение площади какой-либо грани
тетраэдра на высоту, опущенную из противоположной
вершины, есть для данного тетраэдра число постоянное.
Опустим из вершины А на плоскость BCD высоту (АН)
(черт. 164), из ее основания Н опустим перпендикуляр (НК)
на BD и соединим отрезком точки А и К.
В силу теоремы 184
AK ± BD,
и потому /_ АКН будет нормальным сечением двугранного
угла при (BD).
Проделаем теперь то же самое построение, исходя из вер¬
шины С. Получим ^СКіН^ в котором /С/С/Л будет нормаль¬
48*
275
ным -сечением того же двугранного угла при BD. На осно¬
вании теоремы 192 имеем:
/АЛТМ/СК.Я.,
а потому,
Л ДЛТ/соД СК.Н, (теорема 377, п. I).
О
Из подобия треугольников выводим:
(ЛЯ) (ЛАГ)
(СЯ.) (СК,) ’
(АН) • (СК.) = (СЯ.) • (АК),
или, умножая на -у (BD):
[4 (BD). (ОД)] • (АН)— [4- (BD) • (АК)] • (ОД.),
J( A BCD) ■ (AH)=J(aABD) ■ (CH,).
При другом расположении элементов тетраэдра доказа¬
тельство соответственно видоизменяется.
Определение 139. Числом тетраэдра называется одна
треть произведения площади какой-либо его грани на со¬
ответствующую высоту; число тетраэдра ABCD обозначается
символом: N (ABCD).
Замечание. Для целей излагаемой теории, т. е. для превращения
многогранников в особый класс величин, можно было бы не вводить
в определение 139 численный коэффициент или же ввести какой угодно
другой. Вводится же именно J/3 для того, чтобы впоследствии для объемов
получились обычные формулы, практическое значение которых каждому
известно.
Легко видеть, что равным тетраэдрам соотносятся равные числа. Больших
усилий потребует доказательство свойства слагаемости.
Теорема 537. Если тетраэдр произвольным образом
разложен на конечное число частичных тетраэдров, то
соотнесенное ему число равно сумме чисел, соотнесенных
всем частям его.
Сначала предложение доказывается для так называемого
трансверсального разложения (здесь нужно вспомнить опреде¬
ление 26, теорему 78 и замечание к ней). Если тетраэдр ABCD
посредством трансверсального сечения АВР разложен на два
частичных тетраэдра (черт. 22), то не представляет труда
убедиться, что
N (ABCD) = N (АВСР) + (ABDP) ;
отсюда сейчас же делается переход к общему случаю транс¬
версального разложения.
276
Доказательство для случая произвольного разложения
в общем проводится в том же духе, что и доказательство тео¬
ремы 501: с помощью проведения конечного числа вспомо¬
гательных плоскостей из данного разложения получается
дальнейшее подразделение тетраэдра, которое уже оказывается
трансверсальным. Подробности доказательства читатель найдет
в сборнике Энриквеса „Вопросы элементарной геометрии"
(стр. 202-203).
Переходя к многограннику вообще, надо начать с такого
предложения.
Теорема 538. Если многогранник двумя различными спо¬
собами разложен на конечное число тетраэдров Тк и Ti9 mo
елЧ7;) = ем(7;).
к *
Доказывается подобно теореме 502.
Определение 140. Числом многогранника называется
сумма чисел тетраэдров, на которые он разлагается по
какому-либо способу.
Теорема 539. Если многогранник разложен на конечное
число частичных многогранников, то его число равно сумме
чисел всех частей.
Доказывается путем разложения всех частичных' много¬
гранников на тетраэдры (см. теорему 92).
Предыдущие теоремы показывают, что каждому много¬
граннику соотносится определенное число при соблюдении
свойства слагаемости. Обратно, если дано какое-нибудь поло¬
жительное число, то можно построить многогранник, которому
соотносится именно это число (особенно просто сделать
это для тетраэдра, подбирая Соответствующим образом высоту
и площадь основания). Но совершенно ясно, что здесь можно
получить бесчисленное множество различных многогранников.
Однако можно установить одно-однозначное соответствие
между числами и известными группами многогранников; тогда
можно свойства величин перенести с чисел на многогранники.
Мы этого достигаем следующим образом.
Определение 141. Если числа двух многогранников
равны между собой, то такие ‘многогранники называются равно¬
великими; о них говорят также, что они имеют один и тот
же объем. В таком случае число многогранника называется
мерой его объема, а иногда и просто объемом.
Отсюда непосредственно вытекает, что равносоставленные
многогранники равновелики; но обратного утверждать нельзя:
равновеликие многогранники вообще не равносоставлены. Так,
равновеликие куб и правильный тетраэдр не могут быть равно¬
составленными. Доказательство этого предложения читатель
найдет в брошюре проф. Кагана „О преобразовании много¬
гранников". В этом пункте имеется существенное различие
277
между многоугольниками и многогранниками; оно объясняет,
почему понятие равносоставленности, имеющее такое важное
значение для учения о площадях, здесь, в главе об объемах,
отступает на второй план.
Теперь уже ясно, что можно установить сдно-однозначное
соответствие между совокупностями равновеликих между собой
многогранников и положительными числами; а потому все
свойства величин с последних переносятся на первые.
Значение величины, присущее данной
совокупности равновеликих между собой
многогранников, и есть общий всем им
объем.
Превратив многогранники в особый класс
величин, мы подвели твердое основание
под учение об объемах; остается вывести
обычные формулы для объемов.
Теорема 540. Объем пирамиды ра¬
вен Ѵз произведения площади основания
на высоту.
Для треугольной пирамиды подобное
утверждение уже имеется (определения
139 и 141); в случае многоугольной—про¬
ведем диагональные плоскости через одно
и то же ребро, вследствие чего данная
пирамида разобьется на ряд тетраэдров с
общей вершиной и с общей высотой; сло¬
жив объемы всех этих тетраэдров и взяв
ты, получим требуемое (определения 140
и 141).
Теорема 541. Объем призмы равен произведению площади
основания на высоту.
Начнем с треугольной призмы ABCEFG (черт. 165). Разо¬
бьем призму на тетраэдры, проведя плоскость ABG и плос¬
кость BEG\ тогда получим:
N (ABCEFG) = N(GABC) + /V (BEFG) + N (GAEB),
Далее имеем, обозначая высоту призмы через h'.
N(GABC) = */3h J(ABC),
N (BEFG) = ^h-J(EFG)-,
что же касается до тетраэдра GAEB, то он равновелик с тет¬
раэдром САЕВ, так как у них общее основание и равные
высоты (теорема 358); но в этом последнем тетраэдре можно
за основание принять Д АВС, а за вершину — точку Е. Тогда
находим:
N (GAEB) =N (EABC) = '^h • J(ABC).
278
Складывая все эти объемы, окончательно получаем:
ЩАВСТВО) = h J (ABC).
В случае многоугольной призмы, проводим через какое-
нибудь боковое ребро диагональные плоскости, разлагающие
ее на треугольные призмы: складывая объемы последних, по¬
лучаем искомое (теорема 539).
Отсюда как следствие выводим:
1. Объем параллелепипеда равен произведению площади
основания на высоту.
2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произ¬
ведению трех его измерении.
3. Объем куба равен третьей степени его ребра.
Теорема 542. Если обозначить через Q пло¬
щадь нижнего и через q —верхнего основания усе¬
ченной пирамиды, а через h — ее высоту, то ее
объем равен:
Дополним усеченную пирамиду до полной
(черт. 166) и на основании теоремы 539 напишем:
N (BCDB2C2D2) = N (ABCD) — N (AB2C2D2).
Обозначим высоты этНх двух пирамид соответ¬
ственно через hi и h2t так что
h = hi — h2.
Вычисляя объем пирамид, получаем:
N(BCDB2C2D2} = - ?/г2|.
Далее делаем следующие преобразования:
N {BCDB2C2D2) - 4“- [^1 - + Qh* - qh,} =
= -3- • [0 - Л2) + йг (Q-Д] -
= -3- • [Çft + h2 (Q - ?)J.
В силу теоремы 514 (п, 3) имеем:
X й2
2.= *1
'ч &
279
Переходя от предыдущей пропорции к производной, находим:
Q — ч __ лі~ h2 = л _•
4 h% hl '
так что
N(BCDB.2C2D, = + qh- h' j = -~ л' [<? + <? H 4
но:
- = 1Æ-
Л2 V q'
подставляя, окончательно получаем:
N(Bcdb2c2d2) = ~4 л' ІО + <? 4-
Теорема 543. Объемы подобных многогранников относятся, как
кубы сходственных ребер.
Докажем сначала эту теорему для тетраэдров.
Пусть даны два подобных тетраэдра ABCD и A{BxCxDx (черт. 166, где
изображен лишь один из них). Предполагая, что (АВ) > (Л^), отложим на
ребре (АВ) отрезок (ДВ2) = (ДВД и через точку В2 проведем плос¬
кость, параллельную основанию BCD. Эта плоскость отсечет тетраэдр AB2C2D2,
подобный тетраэдру ABCD (теорема 514, п. 4). Легко видеть что AB2C2D2
и AxBxCxDx будут также подобны друг другу; но так как эти тетраэдры
имеют по равному ребру, то
AB2C2D2 = AxBxCxDx.
Далее имеем:
N (ABCD) _ N(ABCD) __ J (BCD) h
N(AxBxCxDx)~ N(AB2C2D2) ~~ J (B2C2D2\ hj
где h и hi—соответственные высоты;
J (BCD) _h^
j(b2c2d:^ h\
N (ABCD) _ h^_ (АВУ
N(AlB1C1D0~ ^(AtB^
(теорема 514, n. 3),
(теорема 514, п. I).
Если же даны два каких-нибудь подобных многогранника, то мы разла¬
гаем их на подобные и одинаково расположенные тетраэдры (теорема 384),
применяем к каждой паре подобных тетраэдров уже доказанный случай
теоремы и наконец пользуемся известным свойством равных отношений.
280
§ 48. Тела вращения, их поверхности и объемы
Определение 142. Пусть в плоскости дана какая-нибудь линия
и вне этой плоскости дана прямая, ей не параллельная. Геометрическое
место прямых, пересекающих данную линию и параллельных данной прямой,,
называется цилиндрической поверхностью, указанные прямые — ее образую¬
щими, а данная линия — направляющей. Если образующие перпендикулярны
к плоскости направляющей, то цилиндрическая поверхность называется
прямой; если направляющей служит окружность, то — круговой. В дальней¬
шем прямая круговая цилиндрическая поверхность называется просто
цилиндрической; ее осью называется прямая, проходящая через центр
направляющей параллельно образующим. (В настоящем параграфе чита¬
тель приглашается самостоятельно сделать часть поясняющих чертежей.)
Доказательство двух следующих теорем предоставляется читателю.
Теорема 544. Цилиндрическая поверхность с осью а и с радиусом
направляющей, равным г, есть геометрическое место точек, отстоящих
от а на расстоянии, равном г.
Теорема 545. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью,,
перпендикулярной к оси, есть окружность, центр которой лежит на оси,
а радиус равен радиусу направляющей.
Теорема 546. Плоскость, параллельная оси, пересекает цилиндриче¬
скую поверхность или по двум образующим, или по одной, или совсем не
имеет с ней общих точек, в зависимости от того, будет ли ее расстояние
от оси меньше, равно или больше радиуса направляющей.
Доказательство без труда сводится к трем случаям, рассмотренным
в теореме 247.
Определение 143. Проведем две плоскости, перпендикулярные
к оси цилиндрической поверхности. Совокупность отрезков, выделяемых
ими на образующих и на всех прямых им параллельных и пересекающих
направляющую во внутренних точках, называется цилиндром. Термины:
основания цилиндра, его. высота и т. п. понятны сами собой.
Далее делаем следующее построение. Впишем в нижнее основание
цилиндра какой-нибудь многоугольник ABCDE..., и через его вершины про¬
ведем образующие. Эти последние пересекут верхнее основание в точках Alt..
BJf С], Dlf .. Нетрудно видеть, что получается многоугольник • »
вписанный в верхнее основание, равный первоначально взятому и имеющий
с ним соответственно параллельные стороны.
Определение 144. Построенная таким образом прямая призма
ABCDE ... A^B^Ç^D^E^ .. называется вписанной в цилиндр. Если теперь
мы опишем около нижнего основания какой-нибудь многоугольник и, ис¬
ходя из него, построим призму подобным же образом, то получим опи¬
санную призму.
Теорема 547. Сечения цилиндра полуплоскостями, исходящими и&
оси, суть, равные прямоугольники.
Доказательство предоставляется читателю.
Определение 145. То обстоятельство, что сечения цилиндра пло¬
скостями, перпендикулярными оси, суть окружности, а сечения полуплоско¬
стями, исходящими из оси, суть равные прямоугольники, выражают следую¬
щими словами, основываясь на представлении о движении: цилиндр есть
тело, получаемое при вращении прямоугольника вокруг одной из его
сторон; сторона, противоположная указанной, описывает тогда боко¬
вую поверхность цилиндра, так что последняя является поверхностью
вращения.
Определение 146. Пусть в плоскости дана какая-нибудь линия
и вне этой плоскости — некоторая точка. Геометрическое место прямых,
соединяющих данную точку со всевозможными точками данной линии, назы¬
вается конической поверхностью, указанные прямые — ее образующими,
данная точка — вершиной (или центром), данная линия — направляющей.
В центре каждая образующая делится на две полупрямых, соответственно
281
чему коническая поверхность состоит из двух пол. В дальнейшем мы имеем
я виду ту из них, которая состоит из полупрямых, идущих из вершины
к точкам направляющей. Если направляющей служит окружность, то кони¬
ческая поверхность называется круговой; если прямая, соединяющая вер¬
шину с центром направляющей („ось*), будет перпендикулярна к ее пло¬
скости, то такая поверхность называется прямой круговой', в дальнейшем
такая поверхность называется просто конической.
Доказательство трех следующих теорем предоставляется читателю.
Теорема 548. Коническая поверхность есть геометрическое место
■полупрямых, исходящих из вершины и составляющих с осью равные ост¬
рые углы.
Теорема 549. Сечение конической поверхности плоскостью, перпенди¬
кулярной к оси, есть окружность с центром на оси.
Теорема 550. Плоскость, проходящая через вершину, пересекает
коническую поверхность или по двум образующим, или по одной или
совсем не имеет с ней общих точек (за исключением вершины), в зависи¬
мости от того, будет ли ее угол с осью меньше, равен или больше угла
образующих с осью.
Определение 147. Пересечем коническую поверхность плоскостью,
►перпендикулярной к оси. Совокупность отрезков, соединяющих вершину
с точками полученного в сечении круга, называется конусом. Термины:
образующие, высота, боковая поверхность конуса и т. п. ясны сами собой.
Определение 148. Пирамида, вершина которой помещается в вер¬
шине конуса, а основанием служит многоугольник, вписанный в основание
конуса или описанный около него, называется соответственно вписанной
или описанной по отношению к конусу.
Теорема 551. Сечения конуса полуплоскостями, исходящими из
оси, суть равные прямоугольные треугольники.
Доказательство предоставляется читателю.
Определение 149. Свойства конуса, указанные в теоремах 549
-и 551, выражают словами: конус есть тело, получаемое при вращении
прямоугольного треугольника около одного из катетов; гипотенуза при этом
описывает боковую поверхность конуса.
Определение 150. Пересекая конус какой-нибудь плоскостью,
перпендикулярной к оси, называют ту часть его, которая заключается между
этой плоскостью и плоскостью основания, усеченным конусом. Термины:
основания, высота и т. п. ясны сами собой; точно так же ясно, что пони¬
мается под усеченными пирамидами, вписанными в усеченный конус или
описанными около него
Теорема 552. Сечения усеченного конуса полуплоскостями, исхо¬
дящими из оси, суть равные прямоугольные трапеции („прямоугольный-
указывает на то, что одна из боковых сторон перпендикулярна к основа¬
ниям ).
Доказательство предоставляется читателю.
Определение 151. Последняя теорема дает повод сказать, что
усеченный конус есть тело, получаемое вращением прямоугольной трапеции
около боковой стороны, перпендикулярной к основаниям; при этом другая
боковая сторона описывает боковую поверхность усеченного конуса.
После изложенного можно перейти к общему определению
поверхностей и тел вращения. Пусть в некоторой плоскости
дана прямая а и некоторая ломаная ABCDEFG (замкнутая
или незамкнутая), лежащая по одну сторону от прямой а, за
исключением разве некоторых своих вершин, которые могут
лежать на самой прямой а (черт. 167). Опустим из вершин
ломаной перпендикуляры на ось а. Если взять какую-нибудь
сторону ломаной, то в соединении с перпендикулярами из ее
^282
концов и с отрезком, оси между их основаниями она образует,
как легко видеть, одну из следующих фигур: отрезок, парал¬
лельный оси, например, (CZ5), дает прямоугольник; отрезок,
наклонный к оси и не имеющий с ней общих точек, напри¬
мер, (ВС) или (EF), образует прямоугольную трапецию; отре¬
зок, наклонный к оси и имеющий один из концов на оси,
например, (АВ), образует прямоугольный треугольник. Если,
прибегая к представлениям о движении, допустим, что данная
ломаная вращается вокруг оси а, то отрезки первого рода
дадут боковые поверхности цилиндров, отрезки второго рода --
боковые поверхности усеченных конусов, и отрезки третьего
рода — боковые поверхности
конусов (см. предыдущие
определения).Остались пока
в стороне отрезки, перпен¬
дикулярные к оси; если та¬
кой отрезок имеет один
конец на оси, то он опи¬
шет круг, например, (FG),
если же нет, то он опишет
так называемое „круговое к
ключенную между двумя концентрическими окружностями.
Теперь можно дать следующее определение.
Определение 152. Поверхностью, образованной вра¬
щением данной ломаной около данной оси, называется сочета¬
ние боковых поверхностей цилиндров, конусов и усеченных
конусов, кругов и круговых колец — по числу ее сторон и по
их положению относительно оси (подробности см. выше).
Пусть теперь в плоскостй дан какой-нибудь многоугольник
и ось, не содержащая его внутренних точек (например, &PQR
на черт. 168). Опустим из вершин многоугольника перпенди¬
куляры на ось и допустим, что данный многоугольник можно
рассматривать как известное сочетание (получаемое сложе¬
нием и вычитанием) прямоугольников, прямоугольных трапе¬
ций и треугольников, причем одной из сторон этих фигур
служит отрезок оси между основаниями двух перпендикуляров
(например A PQR можно получить, если из трапеции P}QXQP
отнять суммы трапеций PxRyRP и R\QXQR). При указанных
условиях даем следующее определение.
Определение 153. Телом, образованным вращением
данного многоугольника около данной оси, называется часть
пространства, получаемая совершенно таким же сочетанием
цилиндров, конусов и усеченных конусов, каким данный много¬
угольник получается из прямоугольников, прямоугольных тре¬
угольников и трапеций.
Например: если прямоугольный А АВС (черт. 168) разделен
перпендикуляром (DE) на A AED и трапецию BCDE, то тело,
образованное вращением последней около оси а (т. е. усечен¬
на
ный конус), есть та часть пространства, которая получится,,
если от конуса АВС отнять конус AED. Тело, получаемое вра¬
щением &KLM (черт. 168) около оси а, есть та часть прост¬
ранства, которая останется, если от цилиндра LMMXLV отнять
конусы KLLX и КММХ. Наконец, тело от вращения &PQR
около оси а (черт. 168) получим, если отнимем от усеченного
конуса PXQXQP два других PXRXRP и R^QC.
Переходим к определению площадей для различных по¬
верхностей вращения (вместо „площадь поверхности* говорят
иногда просто „поверх-
ность“); и здесь придется
/.г- -?м /\ основываться на аксиоме
D/ с î\ /\ ; ^7 ; непрерывности и ее след-
/\ ;\ / : ! ; : ствиях.
/ ; \ / ! ! ! : Теорема 553. Для
данного цилиндра сущеспг-
Е 8 ’ ' ' вует одна и только одна
ЧеРт- 168 площадь, которая больше
боковой поверхности вся¬
кой вписанной призмы и меньше боковой поверхности всякой
описанной.
Пусть дан цилиндр с радиусом основания, равным г, и с вы¬
сотой, равной h. Впишем в него какую-нибудь призму. Ее
высота тоже будет А, а основанием служит многоугольник,
вписанный в окружность основания. Обозначив его периметр
через /?, найдем, что боковая поверхность нашей призмы
равна p ‘h (теорема 518, п. 2). Точно так же боковая поверх¬
ность описанной призмы равна pf где рг есть периметр
некоторого многоугольника, описанного около той же окруж¬
ности. Так как здесь h — величина постоянная, то сравнение
боковых поверхностей вписанных и описанных призм сводится
к сравнению периметров их оснований. А мы знаем, что суще¬
ствует один и только один отрезок с (длина окружности),
который удовлетворяет неравенствам:
Р < с <Zpf (теорема 461).
Умножая на А, имеем:
р • h<c - h <Zpr -h,
и средний член с • h определяет искомую площадь.
Замечание. Эту площадь можно рассматривать как площадь прямо¬
угольника со сторонами с и h\ это — так называемая .развертка цилиндра*.
Определение 154. Площадью боковой поверхности
цилиндра называется площадь, о которой шла речь в тео¬
реме 553.
Теорема 554. Боковая поверхность цилиндра равна
Ъъгй (теорема 553, определение 153, теорема 464).
284
Переходим к конусу и введем следующие обозначения:
г — радиус основания конуса;
h — его высота;
I — образующая;
Л; — сторона многоугольника, вписанного в основание
конуса;
Ьі — сторона описанного многоугольника;
/. — высота боковой грани вписанной пирамиды, осно¬
ванием которой служит сторона ар,
Іп — апофема правильной п-угольной
вписанной пирамиды.
Добавим, что в силу теоремы 184 вы¬
сота боковой грани описанной пирамиды
всегда равна образующей.
Теорема 555. 1 ) Всегда Zz < /;
2) /. возрастает с убыванием az;
3) существует такое п, что разность
(I— і'п^ будет меньше с, где е — произ¬
вольно заданный отрезок.
Для п. 1 берем прямоугольный Л SCF
(черт. 169), где один из катетов равен lit
а гипотенуза равна /.
Далее мы видим, что основание F
высоты (SF) боковой грани вписанной пи¬
рамиды всегда будет серединой стороны
(CD), ибо Л SCD — равнобедренный. Тогда
рема 223, п. 2) и (OF) возрастает с убыванием
рема 226, п. 2). Но возрастание (OF) влечет за собой и воз¬
растание (5F) = /Z (см. замечание после определения 60). Здесь,
конечно, подразумевается, что основание и вершина конуса
остаются неизменными.
Наконец, предполагая, что (CD) есть сторона правильного
вписанного тг-угольника, из Л SCF имеем:
l-ïn<(CF)<(CD),
и теорема 458 решает вопрос.
Теорема 556. Для данного конуса существует одна
и только одна площадь, которая больше боковой поверх¬
ности всякой вписанной пирамиды и меньше боковой поверх¬
ности всякой описанной.
Для доказательства образуем 2 класса площадей:
в I класс помещаем площади боковых поверхностей впи¬
санных пирамид;
во II класс — площади боковых, поверхностей описанных
пирамид.
Черт. 169
OF 1 CD (тео-
(CD) = а. (тео-
285
Теперь докажем, что всякая площадь 1 класса меньше
всякой площади II класса.
Действительно, любая площадь I класса может быть пред¬
ставлена в виде:
4 Ц-1.,
т. е. как сумма площадей боковых граней некоторой вписан¬
ной пирамиды. Точно так же площадь II класса можно выразить
так:
4^-/.
Далее имеем:
# 4 2 а,:■ I, < 4 Е аі1 = 41Е аі == 41Р ’
Но так как всегда р <р' (теорема 440), то наше первое ут¬
верждение доказано.
Во-вторых, установим, что если дано произвольное поло¬
жительное число е, то найдется по такой площади во II и в I
классах, что их разность будет меньше е.
В самом деле, будем искать эти площади среди боковых по¬
верхностей правильных пирамид. На основании теоремы 519
(п. I), пишем:
боковая поверхность правильной n-угольной описанной пира-
миды равна урп • I ;
боковая поверхность правильной n-угольной вписанной пира¬
миды равна у рп • Іп ,
так что их разность (обозначим ее через х) равна:
*=4 -(рп-і-рп - ц-
Делаем следующие преобразования:
Х = 4 • (Рп • 1 -Рп ■ 1+Рп • 1~Рп1'п) ,
^-i^Pn-Pr^+^Pn^-Q-
Так как рп всегда меньше г, где с — длина окружности, то
л<4 •
286
Взяв п достаточно большим,
получим
одновременно нера-
венства:
Рп-Рп
< Ï 1
(теорема 460>
Î-
с ’
(теорема 555)„
так что
V - 1 г '
Л 2 с Г
1
2 -г = е.
Таким образом, оба условия теоремы 241 выполнены, а по¬
тому существует одна и только одна площадь Q, удовлетво¬
ряющая неравенствам:
площади I класса < Q < площадей II класса.
Докажем, что равенства быть не может. Попробуем до¬
пустить, что Q равно некоторой площади I класса, например,,
боковой поверхности пирамиды SABCD (черт. 169). Тогда эта
пирамида должна обладать наибольшей боковой поверхностью^
среди вписанных пирамид. Но возьмем на той дуге AD, кото¬
рая не содержит точек В и С, какую-нибудь точку Е и рас¬
смотрим пирамиду SABCDE. Сравним боковые поверхности
обеих пирамид. Легко видеть, что дело сводится к сравнению
площадей:
^SAD и £\SAE+ /\SDE.
Обозначим высоты этих треугольников по порядку через ZzV
ft, If. Так как (АЕ) < (Л£>) и {DE) < (AD) (теорема 230, п. 2),.
то
Zz° > I- и if > Zz. (теорема 555, п. 2)..
Далее имеем:
Д + Д SDE ■- ’ [(Л£>/“+(£>£) Z?°]>4 [(Д£) -J- (D£)],.
Д SAE + Д SDE > у l,(AD).
Отсюда вытекает, что
боковая поверхность пирамиды SABCDE^ боковой поверх¬
ности пирамиды SABCD,
и мы приходим к противоречию.
Точно так же невозможно допустить, чтобы Q равнялось
какой-нибудь площади II класса.
282
Следовательно, Q удовлетворяет неравенствам:
площадь 1 класса < Q < площади II класса.
Определение 155. Площадью боковой поверхности
:конуса называется площадь, о которой шла речь в теореме 556.
Теорема 557. Боковая поверхность конуса равна тс гі.
Действительно, при доказательстве предыдущей теоремы
мы видели, что боковая поверхность вписанной пирамиды
меньше ур/, но /?<2тсг, так что
боковая поверхность вписанной пирамиды < к гі.
Точно так же было установлено, что боковая поверхность опи¬
санной пирамиды равна р'І, но р' > 2 тс г, так что
боковая поверхность описанной пирамиды > тс г/.
Итак, получаем неравенства:
площадь I класса < тс гі < площади II класса,
т. е. величина тсг/ удовлетворяет тем же самым неравенствам,
что и Q. А так как по теореме 241 такая величина един¬
ственна, то
Q = тс гі.
Подобный же ход мысли приводит к определению боковой
поверхности усеченного конуса. Поэтому ограничимся выска¬
зыванием окончательного вывода.
Обозначая через гг и г2 радиусы оснований, а через
1 — образующую, имеем теорему:
Теорема 558. Боковая поверхность усеченного конуса
равна:
’'('"l + 'J •1-
Для дальнейшего полезно будет придать последним резуль¬
татам иную форму, к чему сейчас и перейдем.
Теорема 559. Боковая поверхность цилиндра, конуса
и усеченного конуса равна произведению высоты тела на
длину окружности, радиусом которой служит отрезок пер¬
пендикуляра, восставленного в середине образующей до
пересечения с осью. (Этот перпендикуляр восставляется в пло¬
скости так называемого „осевого сечения".)
На случае цилиндра, ввиду его очевидности, останавливаться
не будем.
Переходя к конусу, возьмем ДЛВО (черт. 170-а), который
получается в сечении полуплоскостью, исходящей из оси
288
(теорема 551); {ED) есть перпендикуляр, о котором говорится
в теореме. Так как
Л АОВ ос Л AED,
то
(ОД) = (ОА)
(ED) (АЕ) ’
г _ h
(ED)
г • I = 2h • (ED).
Подставляя выражение г • I
в формулу теоремы 557, полу¬
чаем:
боковая поверхность конуса =
=h -2 к (ED).
Черт. 170 b
Наконец, возьмем прямоугольную трапецию АВОО} (черт.
170 Ь), которая служит осевым сечением для усеченного ко¬
нуса. Здесь (ЕС)— средняя линия трапеции, (AF) — ее высота,
(ED) — указанный перпендикуляр. Формулу теоремы 558 можно
переписать так:
боковая поверхность усеченного конуса = 2к(£ГС) • /* (тео¬
рема 342).
Из подобия Л АВЕ и EDC имеем:
(AF) (АВ)
(ЕС) (ED) 9
откуда
h - (ED) = /. (ЕС).
Подставляя в* вместо (ЕС) • I выражение h-(ED), находим:
боковая поверхность усеченного конуса = h • 2 я (ED).
Рассмотрев основные случаи, теперь можно дать общее
определение для площади поверхности вращения.
Определение 156. Под площадью поверхности враще¬
ния понимаем сумму площадей всех тех поверхностей, соче¬
танием которых она образуется (см. определение 152).
19
Богомолов — Геометоия
289
Переходим к объемам тел вращения.
Теорема 560. Для данного цилиндра существует один
и только один объем, который больше объема всякой впи¬
санной призмы и меньше объема всякой описанной.
Сохраняя прежние обозначения, имеем:
объем вписанной призмы = h • (площадь вписанного много¬
угольника);
объем описанной призмы = h • (площадь описанного много¬
угольника).
Но из параграфа 43 известно, что
площадь вписанного многоугольника </< площади опи¬
санного многоугольника,
где J площадь круга. Умножая на А, находим:
объем вписанной призмы < J • h < объема описанной призмы,
и величина J • h является искомой.
Определение 157. Объемом цилиндра и называется тот
объем, о котором шла речь в предыдущей теореме.
Теорема 561. Объем цилиндра равен nr2h.
Тот же ход мысли приводит к следующим двум предло¬
жениям.
Теорема 562. Объем конуса равен у к г2А.
Теорема 563. Объем усеченного конуса равен
|«А(г + г22 + г1г2).
Переходим к общему случаю.
Определение 158. Объем тела вращения есть опре¬
деленное сочетание (получаемое с помощью сложения и вы¬
читания) объемов цилиндров, конусов и усеченных конусов —
именно то самое сочетание, которое образует данное тело
согласно определению 153.
Теорема 564. Объем тела, получаемого вращением
треугольника вокруг оси, лежащей в его плоскости, прохо¬
дящей через его вершину, но не содержащей ни одной из его
внутренних точек, равен произведению поверхности, обра¬
зованной стороной, противоположной указанной вершине,
на треть высоты, опущенной на эту сторону.
290
Придется рассмотреть различные положения треугольника
(черт. 171). Одна вершина треугольника всегда лежит на оси
(пусть это будет точка С); но может оказаться, что и другая
вершина тоже лежит на оси; отсюда получаем следующие
случаи.
1. Сторона (ВС) целиком лежит на оси (черт. 171, а).
Проводим высоты (АО) и (С/Y). Опираясь на определе¬
ние 158, пишем:
Ѵ= ѵАВВ± VACD,
где знаки выбираются в зависимости от того, лежит ли точка
D между В и С или точка С лежит между В и D. (Другие
случаи предоставляется разобрать читателю.) Далее имеем:
’/ = IК (Д£))2 • (BD) ± 1К (ДП)2 • (CD),
V = 4 К (AD)2 . [(BD) ± (С£))],
V = ўк(ДЛ)2 (ВС).
Вычисляя двояко площадь ДДВС, получаем:
(ВС) ■ (AD) = (АВ) • h, где h = (СИ).
Подставляя, находим для V выражение:
Ѵ = уАк(Д£>) • (АВ).
Но множитель я (АО) • (АВ) есть величина боковой поверх¬
ности конуса, которую образует сторона (АВ) своим вращением
вокруг оси. Обозначая ее через „поверхность (АВ)“, оконча¬
тельно получаем:
V = у h- [поверхность (АВ)] .
2. На оси лежит только вершина С, причем АВ не парал¬
лельна оси (черт. 171, &), и пусть АВ пересекает ось в точке Е.
Тогда имеем:
V = ѴАЕС— У вес = у А* (поверхн. АВ) — (поверхн. BE)
(случ. 1), или
V = • [поверхн. (АВ)].
19*
291
3. На оси лежит только вершина С, и АВ параллельна оси
(черт. 171, с).
Опускаем перпендикуляры (ЛС) и (BF). На основании
определения 158 пишем:
= ^abfg + Vbcf VAcg у
где знаки выбираются в зависимости от того, лежит ли точка С
между F и G или Л—между С и G (другие случаи предо¬
ставляется разобрать читателю).
Вычисляем указанные объемы:
V = ith‘2- [(FG) + I (FC)—| (CG)], где h = (ДО) = (BF);
V = k^.[(FG)-1.{(CG)±(FC)}];
V = к Л® • [(FG) —-g-(FG)] ;
V= ~r.li2 • (FG).
С другой стороны:
поверхн. (ДВ) = 2 к h • (FG) (теорема 554),
так что, подставляя, окончательно находим:
V = -g- А • [поверхн. (ДВ)].
§ 49. Поверхности и объемы шара и его частей
Определение 159. Из теорем 220 и 218 нетрудно вывести, что
всякое сечение шара плоскостью, перпендикулярной к данному диаметру,
есть круг с центром на этом диаметре; а сечение полуплоскостью, исходя¬
щей из данного диаметра, есть полукруг всегда того же радиуса, что и шар.
Прибегая к представлению о движении, указанные свойства шара выражают
словами: шар есть тело, получаемое вращением полукруга вокруг его
диаметра; поверхность же шара получается вращением полуокружности.
Определение 160. Пересекая шар двумя параллельными плоскос¬
тями, назовем шаровым поясом часть шаровой поверхности, заключенную
между ними; расстояние между плоскостями называется высотой, а полу¬
чаемые в сечении окружности — основаниями шарового пояса. Часть шара,
заключенная между двумя параллельными плоскостями, называется шаровым
слоем, предыдущие два термина переносятся и на слой. Если одна из
плоскостей станет касательной к шару, то получается соответственно по-
верхностъ шарового сегмента и шаровой сегмент. Пользуясь представле¬
нием о движении, можно сказать, что шаровой пояс образуется вращением
дуги (например, о М/Ѵ на черт. 172) вокруг диаметра АВ, а шаровой
292
слой — вращением части KMNL полукруга; ч> AM вращением образует по¬
верхность шарового сегмента, и т. д.
Шаровым сектором называется тело, образуемое вращением кругового
сектора (например, сектора POQ на черт. 172) вокруг диаметра АВ; ша¬
ровой пояс, образуемый дугой PQ, называется основанием сектора. Если
один из концов дуги совпадает с концом диаметра (например, круговой
сектор РОВ), то получается частный случай шарового сектора. При же¬
лании можно избежать механических представлений и определить шаровой
сектор как часть шара, заключенную между бо¬
ковыми поверхностями двух конусов с вершиной
в центре шара.
Для решения задачи настоящего параграфа
сделаем следующее построение.
Возьмем полуокружность с центром в О
и с радиусом, равным г (черт. 173), и отметим
на ней чу АЕ. Разделим эту дугу на п равных
частей (теорема 237, на чертеже п =4) и, соеди¬
няя последовательно точки деления, получим
ломаную ABCDE. Исходя из теорем 230 и 405
(следствие), нетрудно доказать, что в этой ло¬
маной все стороны и углы равны между
собой; такую ломаную называют правильной. Расстояния сторон ломаной
от центра, которые все равны между собой, обозначим через hn [на чер¬
теже hn = (ОН)]. Далее, продолжим (ОЕ1) до пересечения с окружностью
в точке Н', через точку Н' проведем касательную к окружности и возьмем
ее отрезок (А'В'), ограниченный продол.жением радиусов (ОА) и (02?); то же
самое проделаем и для всех остальных сторон ломаной.
Читатель сам убедится, что таким образом получается л-сторонняя опи¬
санная ломаная ÆZî'C'которая будет также правильной.
Чтобы закончить построение, опустим из вершин обеих ломаных пер¬
пендикуляры на диаметр и обозначим их основания с помощью соответ¬
ственных малых букв: а', а, Ь', Ь,...
В связи с сделанным построением укажем некоторые свойства получа¬
ющихся здесь отрезков.
Нетрудно видеть, что фигуры, связанные с описанной и вписанной
293
ломаными, гомотетичны друг с другом относительно точки О с отношением
подобия равного —. Отсюда находим:
, , ,
(а'е') _ г
(ае) hn (1)
Эта пропорция сейчас
же показывает, что
Так как далее имеем:
(аеХ(а'е'). (2)
(«'«') = -7 • (ае),
hli
где отрезки г и (де) не меняются при изменении л, а отрезок возрастает
вместе с п (теорема 226, п. 2), то
(а'е') убывает с возрастанием л. (3)
Пусть теперь о АЕ вращается вокруг оси KL (для краткости пользу¬
емся „языком движения")» Обе построенные выше ломаные образуют при
этом поверхности вращения, которые можно вычислить, согласно опреде¬
лению 156. Обозначим поверхность, образуемую вписанной ломаной, через
аЛ, а описанной — через sh.
Теорема 565. = 2 тс hn • (де); — 2 тс г *(а'е').
Действительно, на основании теоремы 559 имеем:
сп = 2 тс hn • («&) 4- 2 тс hn • (be) + 2 тс hn (cd) 2 тс hn • (de) = 2 тс h„ • (ae),
также — и для sn.
Теорема 566. I. on возрастает, sn убывает с возрастанием п.
2. Всякое аЛ меньше всякого sm.
3. Существует такое п, что
где е — произвольно заданное положительное число. Пункт I
вытекает из того, что (ае)— постоянно, hn возрастает, (а'е')
убывает с возрастанием п.
Пункт II очевиден для случая, когда п = т. Если же п > т,
то имеем:
о < s„, sn < sm (п. I),
так что
Если, наконец, п < zn, то
а
<3 ,
т
о
п
т
так что
%Sm'
Для доказательства п.
3 составляем отношение:
s„ _ Г ■ (а'е') г2
7Г “ Тя ' = ~і?п
[см. выше (I)]
294
и переходим к производной пропорции:
sn~an = гг-Ьп
Sn г*
откуда
В силу п. I имеем:
s„ < sP
Кроме того:
г + Лп < 2г,
так что получаем неравенство:
s — а < —-1- • (г — h ).
п п г ѵ
Что касается последней разности, то для правильной лома¬
ной, как в этом легко убедиться, имеет место теорема 459.
На этом основании существует такое п, что
и тогда
S„ — °„< е.
п п
Теорема 567. Существует одна и только одна такая
площадь, которая больше всякой ѵп и меньше всякой sn.
Образуем два класса площадей: в 1 класс относим все , а во
II — все sn. Предыдущая теорема показывает, что все условия
теоремы 241 здесь выполнены. Следовательно, существует одна
и только одна такая площадь s, что:
О < S < S.
п _ п
Но случай равенства невозможен, так как, если s = то эта
будет в I классе наибольшей. Между тем, стоит только
взять > п0, и з > а , так что получается противоречие.
Точно так же невозможно равенство s = sn, а потому
Определение 161. Площадью поверхности, описывае¬
мой АЕ, и называется площадь s, о которой шла речь в пре¬
дыдущей теореме.
295
Теорема 568. s = 2rcr • (ае).
Действительно,
ап = 2T:hn • (ae) (aé)y
= 2 rc r . (а'е') > 2 rc r • (ae),
так что
оп<2кг -(ae)<sn.
Следовательно, величина 2гс г (ае) удовлетворяет тем же
неравенствам, что и s. Но такая площадь единственна (тео¬
рема 567), а потому:
s = 2гс г-(ае).
Рассматривая различные случаи положения точек А и Е
(черт. 173), получаем следующие выводы.
Теорема 569. Поверхность шарового пояса или сегмента равна
произведению его высоты на длину окружности большого круга-, s — 2nrh,
где h — высота пояса или сегмента.
Теорема 570. Поверхность шара равна учетверенной площади
большого круга; s = 4 кг2. [В этом случае надо положить (ае) = 2г].
Переходим к объемам.
Снова обращаемся к черт. 173, но только теперь будем рассматривать
круговой сектор ДО£идва „многоугольных сектора" OABCDE иОА'В'С'ЦЕ',
один — вписанный, а другой — описанный около кругового сектора. Если
последний будет вращаться вокруг оси KL, то указанные многоугольники
образуют тела вращения, объемы которых можно вычислить по правилу,
данному в определении 158. Обозначим эти объемы соответственно через
Ѵп« Ѵ„.
Теорема 571. ѵя = ^-/гл.ол; Ѵп = -g- rsn.
Действительно, ѵп можно рассматривать, как сумму объемов тел, про¬
исшедших от вращения AA АОВ, ВОС,.,, около оси KL. Применяя
теорему 564, находим:
1 1 1
vn=~hn- поверхн. (АВ) + -g- hn. поверхн. (ВС) Vn~ ~yhn-en
Также выводится и вторая формула.
Теорема 572. 1. ѵп возрастает, а Ѵп убывает с возрас¬
танием п.
2. Всякое ѵп меньше всякого V
3. Существует такое п, что
где е — произвольно заданное положительное число.
296
Первые два пункта непосредственно вытекают из формул
теоремы 571 и свойств ап и sn. Для третьего пишем:
vn = r sn _ г3 (см. теорему 566,
vn hn ап hn доказательство п. 3),
Ѵп~ѵп _ г3-Лл
гз •
На основании п. I
Ѵ„ < Ѵъ
и, кроме того:
hn<r>
так что приходим к неравенству:
Ѵ„-Ч,< 3ткЧ'--О
По замеченному выше найдется такое п, что
1 rz
Г ЗУХ >
и тогда получим:
V — ѵп<г.
Т е о р е м а 573. Существует один и только один объем
удовлетворяющий неравенствам:
ѵ < Ѵ< V .
Действительно, образуем два класса объемов: ві класс отно¬
сим все ѵп, а во II — все Ѵя. Теорема 572 показывает, что
условия теоремы 241 здесь выполняются. Следовательно, суще¬
ствует одно и только одно V, удовлетворяющее неравенствам:.
ѵ < V < Ѵп ,
но в силу теоремы 572 (п. I) равенства быть не может.
Определение 162. Объемом тела, образуемого враще¬
нием сектора АОЕ вокруг оси KL, и называется объем V,
о котором шла речь в теореме 573.
Теорема 574. Ѵ = -i-r-s.
о
297
Действительно:
1 , 1
г1,, = -ô-h„ в < -т-r-s,
Л fl fl
r, 1 1
И = -Q- rs„ >~ô-rs,,
л 3 n 3 1
1
так что величина -^-r-s удовлетворяет тем же неравенствам,
что и V, а так как этот объем единственный, то
V = 4-r-s-
О
Отсюда нетрудно вывести следующие теоремы.
2
Теорема 575. Объем шарового сектора равен -у и г2 Л, где h — вы¬
сота основания сектора.
4
Теорема 576. Объем шара равен -у л г3.
Объемы других частей шара можно определить с помощью правила,
подобного тому, которое было указано в определении 158. Так, объем сег¬
мента можно найти как разность между объемом сектора и конуса.
Таким путем читатель докажет следующие формулы.
Теорема 577. Объсм шарового сегмента равен
ntëÇr — -у h
где h — высота сегмента.
Теорема 578. Объем шарового слоя равен
у л Л3 — к h ( г\ + г2) .
где h — высота слоя, a g и г2—радиусы его оснований.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. ИНВЕРСИЯ (ИЛИ ОБРАЩЕНИЕ)
Читателю известно, какое важное значение имеют преобра¬
зования формул в алгебре. Точно так же и в геометрии видное
место занимают преобразования одних фигур в другие. С одним
таким преобразованием, а именно — с гомотетией, мы позна¬
комились выше, другое изучим в настоящем приложении.
В связи со сказанным заметим, что в геометрии термины:
. соответствие" и .преобразование" — равнозначащи. Так, о двух
гомотетичных фигурах можно сказать, что „их точки попарно
соответствуют друг другу", или что „точки одной фигуры пре¬
образуются в точки другой". То же самое имеет место и при
инверсии.
Определение 163. Гиперболической инверсией (или
обращением) называется преобразование, в силу которого каж¬
дой точке М, отличной от определенной точки О, соответст¬
вует такая точка М', что точки М и М' лежат на одной и той
же полупрямой с вершиной в О, причем их расстояния от этой
точки связаны соотношением:
(ОМ)-(ОМ') = г\
где г2 — данное положительное- число, называемое степенью
инверсии; данная же точка О называется центром инверсии.
Если точки М и М' подчиним условию, чтобы они лежали
на противоположных полупрямых, исходящих из точки О,
а все остальное оставим бе? изменения, то получим эллипти¬
ческую инверсию.
Теорема 579. Эллиптическая инверсия сводится к сое¬
динению гиперболической инверсии с симметрией относительно
центра инверсии.
Доказательство непосредственно вытекает из определения
163.
Принимая во внимание теорему 579, в дальнейшем мы оста¬
новимся на гиперболической инверсии и будем ее называть
просто инверсией (или обращением).
Теорема 580. Обращение есть преобразование взаим¬
ное.
299
Этим мы хотим сказать, что если при некоторой инверсии
точка М преобразуется в точку ЛГ, то в силу той же самой
инверсии точка М' переходит в точку М. Справедливость
утверждения вытекает из того, что в определение 163 обе
точки входят совершенно одинаковым образом, так что их
можно переставить одну на место другой.
Теорема 581. Если оставить в стороне точку О, то
инверсия есть преобразование одно-однозначное.
Необходимость выделить точку О вытекает уже из самого
определения 163. Пусть М есть какая-нибудь точка, отличная
от О; тогда полупрямая ОМ вполне определяется (теорема 12),
равно как и отрезок (ОЛТ) из условия:
_ Г2
~ (ОМ) •
Откладывая этот отрезок на полупрямой ОМ, получим един¬
ственную точку 714'.
Итак, каждой точке М, отличной от О, соответствует вполне
определенная точка М. Обратное утверждение вытекает из тео¬
ремы 580.
Определение 164. Если два каких-нибудь геометриче¬
ских образа переходят друг в друга с помощью инверсии, то
они называются взаимно обратными.
Теорема 582. Если данные фигуры имеют общую точку,
то и обратные им фигуры имеют общую точку, которая
является обратной для первой.
Действительно, пусть фигуры Fx и F2 имеют общую точку М.
В силу определения обратных фигур F\ и F'2 обратная ей
точка Мг должна лежать и на Fx и на F'^ но такая точка М' —
единственна (теорема 581), а потому М' должна быть общей
точкой для F\ и Fr
Ознакомившись с самыми общими свойствами обращения,
остановимся подробнее на инверсии в плоскости, так что в бли¬
жайших теоремах все рассматриваемые фигуры будут лежать
в одной и той же плоскости.
Определение 165. При обозначениях определения 1433,
окружность О (г) называется окружностью инверсии.
Теорема 583. Точки окружности инверсии и только
эти точки преобразуются при инверсии каждая в самое
себя.
Пусть точка М при инверсии соответствует сама себе, так
что
(ОЛ1)2 = г2, или (ОМ) = г9
т. е. точка М лежит на О (г).
зоо
Обратно, для любой точки W этой окружности имеем:
(ON) = г, откуда (ON) • (ON) = г2,
т. е. N преобразуется сама в себя.
Построение обратных точек. Пусть точка О есть
центр инверсии, а изображенная на черт. 174 окружность есть
окружность инверсии.
Мы уже знаем, что ее точки преобразуются в самих себя.
Возьмем сначала точку М внутри окружности. Проведем полу¬
прямую ОМ и восставим к ней перпендикуляр в точке М,
продолжим его до пересечения с окружностью инверсии
в точке 7V; в этой точке проведем касательную к окружности
инверсии и продолжим ее до пересечения с полупрямой ОМ
в точке М' (так как / NOM < d, то существование точки
пересечения вытекает из постулата Евклида).
Точка М' будет искомой. Действительно, она лежит на по¬
лупрямой ОМ, и теорема 429 дает:
(ON)* = (ОМ)-(ОМ'),
или
(ОМ)-(ОМ') = г2.
Пусть теперь нам дана точка М' вне окружности инверсии.
Тогда проделываем предыдущее построение в обратном порядке:
из точки М' проводим касательную к окружности, и пусть N
есть точка касания; из точки N опускаем перпендикуляр на
прямую ОМ'. Его основание Л4 и будет точкой, обратной для М'.
Действительно, эта точка М лежит внутри (ОМ') (тео¬
рема 172), так что О не лежит между М и М', а потому М и М'
принадлежат одному и тому же лучу с вершиной в точке О.
Далее, теорема 429 снова дает:
(ОМ) (ОМ') =г2.
Цля построения обратных точек существуют особые при¬
боры. Мы рассмотрим один из них.
Инверсор Поселье. Возьмем четыре стержня равной
длины и соединим их шарнирами в точках К, L, М, М'
(черт. 175), так что полученный ромб можно „сдвигать* и „раз¬
301
двигать". В точках К и L присоединим (тоже шарнирами) еще
два равных стержня (ОК) и (ОЛ), соединенных, кроме того,
в точке О [возьмем (ОК) > (АТИ)].
В силу теоремы 178 точки О, Ж, М лежат на одной пря¬
мой, а именно — на перпендикуляре, восставленном в сере¬
дине Р отрезка (KL).
Так как (0/0 > (АТИ), то (РО) > (РМ) (теорема 169),
а потому точка О лежит вне отрезка (УИЛГ). Другими сло¬
вами, точки М и М' лежат всегда на одном и том же луче
с вершиной в О.
Далее имеем:
(ОЖ) - (ОЖ') = [(OP) - (РЖ)] - [(OP) + (РЖ)] = (OP)2 — (РЖ)2.
Из t\OKP:
(OP)2 = (ОК)2 - (АР)2.
Из ДЖАР:
(РМ)2 = (КМ)2 - (КР)\
Так что
(ОР)2 - (РЖ)2 = (ОАЭ2 “ (АТИ)2,
и окончательно:
(ОМ) • (ОЖ') = (ОК)2- (КМ)2,
а эта разность есть величина постоянная, ибо отрезки (ОАЭ
и (АТИ) — неизменны.
Из всего изложенного следует, что если закрепить точку
О, а точку Ж заставить описывать какую-нибудь фигуру, то
точка Ж' опишет фигуру, обратную данной при инверсии с цен¬
тром в О и со степенью равной (ОАЭ2—(АТИ)2.
Теорема 584. Точки, лежащие внутри окружности
инверсии, преобразуются в ее внешние точки и обратно.
Действительно, основное соотношение (ОМ) • (ОЖ') = г2
показывает, что при (0Ж)<г, имеем (ОМ')>г, и обратно.
Замечание. Формула (ОМ') = показывает, что нельзя гово¬
рить о точке, обратной для точки О (так как невозможно делить на нуль).
Однако эга же формула говорит нам, что если точка М неограниченно
сближается с точкой О, то точка М' беспредельно удаляется от точки О.
Принимая во внимание указанное обстоятельство, условно говорят, что
рточке О соответствует бесконечно удаленная точка плоскости".
Теорема 585. Прямая, проходящая через центр инвер¬
сии, преобразуется в самое себя. При этом, если Ж и Ж',
М1 и Ж1 суть две пары взаимно обратных точек этой прямой, то
1) при (ОМ) С (ОМ.) имеем: (ОМ')> (0М'.)-9
2) (Ж'ЖЭ = г2 •
302
Первое утверждение непосредственно вытекает из опреде¬
ления 163: точка, лежащая на прямой, проходящей через
точку О, перейдет в точку, лежащую на этой же прямой, так
что наша прямая как целое останется в покое. Но отдельные
точки ее перетасовываются, согласно теореме 584; в покое
останутся только точки пере¬
сечения с окружностью ин- л м м, м, м
версии (теорема 583). 0
Далее, из основного соот- тт
Черт. I/o
ношения имеем:
= (Ж и W) =
а потому:
при (О7И) < (О7Иі) будет (ОЛТ) > (ОЛ^) (черт. 176).
Наконец, вычислим длину отрезка (М'М{). В случае чер¬
тежа имеем:
(М'М'.)-(ОМ’) - (олі;> - г* ■ {То^ - (Ж) -
_ Г2 (ОЛ*1) ~ (ОЛ4) _ 2 (ММ.)
(ОМ)-(ОМ.) г * (СШИСМО •
Теорема 586. Если М и AT, N ц Nf суть две пары вза¬
имно обратных точек, причем М и N не лежат на одной пря¬
мой с точкой О, то
1) эти четыре точки лежат на одной окружности;
2) Д OMNco A ON'M',
3) / ONM = / OM'N' и / О MN = / ON'M',
4) (M'N'} = г2 •
(т /ѵ ) r {OM).(ON) ’
Действительно,так как
Черт. 177
и теорема 428 доказывает п. I (см. черт. 177, где прерывис¬
той линией изображена окружность инверсии).
Ту же самую пропорцию можно переписать так:
(ОМ) (ON)
(ON') ~ (ОМ') 9
I
303
а это, в связи с общим углом при точке О, доказывает подо¬
бие ДА OMN и ON'M', причем сходственными сторонами
служат (О7И) и (ОЛЛ), (CW) и {ОМ'). Отсюда сейчас же вы¬
текает равенство углов, упомянутых в п. 3. Наконец, из того
же подобия получаем:
(W) _ (ОМ1)
(MN)
(ON)
откуда [заменяя (О7И')]:
Теорема 587. Окружность, проходящая через центр
инверсии, преобразуется в прямую, параллельную касатель¬
ной к окружности в этой
точке, и обратно: прямая, не
проходящая через центр ин¬
версии, преобразуется в ок¬
ружность, проходящую через
эту точку.
Черт. 178
В самом деле, пусть ок¬
ружность с центром в точке
С проходит через точку О
(черт. 178) и пусть прямая ОС
вторично пересекает окруж¬
ность в точке Q.
Найдем точку Q', обратную
для Q (на чертеже это постро¬
ение не указано); затем возьмем на окружности произвольную
точку М и для нее тоже построим обратную точку ЛГ; наконец
соединим прямыми М с Q и М' с Q'.
На основании п. 3 теоремы 586 имеем:
OMQ = £ OQ'M'.
Но первый угол — прямой (теорема 406), так что
M'Q'±OQ'.
Следовательно, точки, обратные для точек данной окруж¬
ности, лежат на перпендикуляре к ОС, восставленном
в точке Q'; очевидно, что M'Q' параллельна касательной
к окружности в точке О.
Обратно, пусть дана какая-нибудь прямая, не проходящая
через точку О. Опуская из точки О на нее перпендикуляр,
назовем буквой Q' его основание. Пусть точка Q будет обрат¬
ной для Q', а точка М— обратной для какой-нибудь другой
точки М' данной прямой.
304
По предыдущему напишем:
OMQ = Z, OQ'AT, но Z. OQ'M' = d,
так что всегда
Z OMQ = d,
т. е. геометрическим местом обратных точек будет окружность,
имеющая отрезок (OQ) своим диаметром (теорема 406).
Если взаимно обратные окружность и прямая уже построены,
то нахождение соответствующих точек становится весьма про¬
стым. Так, чтобы найти точ¬
ку, соответствующую точке Р
на окружности, достаточно
продолжить ОР до пересече¬
ния с прямой в точке Р\
Теорема 588. Две окруж¬
ности, касающиеся друг
друга в центре инверсии, пре¬
образуются в две параллель¬
ные прямые, и обратно.
Предложение вытекает из теоремы 587 в связи с тем обстоя¬
тельством, что в точке О у данных окружностей имеется
общая касательная.
Теорема 589. Окружность, не проходящая через центр
инверсии, преобразуется в такую же окружность.
Пусть дана окружность с центром в С, и пусть прямая ОС
пересекает ее в точках К и L (черт. 179). Возможны два
случая:
1. Точки К и L взаимно обратны, так что (ОК) • (OL) = г2.
В этом случае каждые две точки, в которых прямая из
О пересекает данную окружность, будут взаимно обратными.
Так, если подобная прямая пересекает окружность в точках
М и N, то по теореме 433 имеем:
(ОМ) . (ON) - (ОК) • (OL) = г2,
причем точка О не может лежать между М и N, так как
иначе она была бы внутренней точкой для окружности и лежала
бы внутри диаметра (KL) и точки К и L не были бы обрат¬
ными при гиперболической инверсии. Следовательно, точки
М и N оказываются взаимно обратными.
Если из точки О проведем касательную ОР, то точка ка¬
сания Р будет отвечать самой себе, ибо:
(ОР)2 = (ОК) • (OL) = г2 (замечание к теореме 433), (ОР) = г
и точка Р лежит на окружности инверсии (теорема 583).
Таким образом, в разбираемом случае данная окружность,
как целое, преобразуется в самое себя; при этом точками ка¬
сания обеих касательных из О она делится на две дуги, и
20
Богомолов — Геометрия
305
при инверсии точки одной дуги преобразуются в точки
другой.
2. Точки К и L — не взаимно обратны.
Тогда построим точки К' и L', обратные для них; далее
берем на данной окружности какую-нибудь точку М и для
нее также строим обратную точку М' (на черт. 179 опущены
подробности построения, чтобы не усложнять его). Наконец,
соединяем отрезками М с К и L, М' с К' и L'.
На основании теоремы 586 (п. 3) имеем:
Д ОМК = L ОК'М'- Z, О ML = Z. OU Mf,
так что
£_ОиМ— ^ОК'М' - О ML - £,ОМК,
но
£ OML - £ ОМК = L KML = d (теорема 406),
LOUM' - ^ОК'М'^ LK'M'U (теорема 324),
откуда
K'M'U d,
и точка М' лежит на окружности, описанной на (K'U), как на
диаметре. Легко видеть, что эта новая окружность не проходит
через точку О. (Если точка О лежит внутри окружности С,
то вместо разностей углов придется брать суммы.)
Когда две взаимно обратные окружности построены, то
весьма легко находить точки, соответствующие данным.
Так, чтобы найти точку, соответствующую точке 7V, продол¬
жаем прямую ON до пересечения со второй окружностью; вообще
эта прямая пересекает каждую окружность в двух точках. На
основании теоремы 585 (п. I), если точка N есть более уда¬
ленная от О из двух точек пересечения прямой ON с окруж¬
ностью С, то на окружности Е ей соответствует точка N',
более близкая к О.
Замечание. Важно отметить, что центры С и Е двух взаимно обрат¬
ных окружностей не будут взаимно обратными точками.
Так, в случае чертежа имеем:
(К'Е) г* г* (KL)
(ОЕ)-(ОК')- 2 - (оК) - 2 ' (ОЮ-iOL)
^UL)~(OK) (OL) r (OK)(OL)’
(OK) • (OL) = [(OC) - (CL)] - [ (OC) + (CL)] = (OC)* - (CL)*
,n~r2 <0C) ■
(UE)-r (OCÿ-(CL)*'
306
Отсюда получаем:
(Of) • (ОС) - Г2 • (QQ2 _ (CZ.)2 > г2’
так что С и Е не могут быть взаимно обратными.
Для уяснения последних теорем советуем читателю проделать ряд при¬
меров на построение обратных фигур, выбирая прямые и окружности
в самых различных положениях по отношению к центру инверсии (следует
остановиться на случае, когда точка О лежит внутри данной окружности).
Теорема 590. Если прямая и окружность или две окруж¬
ности касаются в некоторой точке, отличной от центра инвер¬
сии, то обратные им фигуры тоже касаются в точке, обратной
для первой.
Предложение вытекает из понятия о касании (определе¬
ние 73 и 77) и из теоремы 582.
Теорема 591. Центр инверсии есть центр подобия для
двух взаимно обратных окружностей.
В случае черт. 179, когда центр инверсии лежит вне дан¬
ной (и обратной ей) окружности, доказательство можно обо¬
сновать на теореме 590: касательная ОР к окружности С
будет касательной и к окружности £, а общая касательная РР'
пересечет линию центров в центре прямого подобия О (опре¬
деление 106, теорема 403). Но в том случае, когда центр
инверсии лежит внутри данной (и обратной ей) окружности,
о касательных говорить нельзя (советуем читателю сделать
чертеж для этого случая); поэтому мы приведем доказатель¬
ство, которое годится для обоих случаев.
Действительно,
/ OLM--= (теорема 586, п. 3),
^OK'N' = £_OM'L' (теорема 405, следствие),
так что
£ OLM = £ OK'N',
/_ОСМ^ /_OEN' (как вдвое большие предыдущих),
CM II EN' (теорема 308).
Следовательно, прямая MN' пересечет линию центров в одном
из центров подобия взаимно обратных окружностей (см. дока¬
зательство теоремы 402).
Легко видеть, что в случае, когда центр инверсии лежит
вне обеих окружностей, точки М и N' лежат по одну сторо¬
ну от прямой СЕ, а когда точка О лежит внутри обеих окруж¬
ностей, то М и N' лежат по разные стороны от СЕ. Так что
в первом случае мы имеем прямое подобие, а во втором
обратное (пусть читатель остановится на случае, когда точки
О и С совпадают).
90* 307
Таким образом, точка О является для наших окружностей
и центром инверсии и центром гомотетии. Но при инверсии
точке М соответствует Мг и N... N', а при гомотетии точке
М соответствует N' и ЛА.. . М.
Определение 166. Угол между прямой и окружностью
есть угол между данной прямой и касательной к окруж¬
ности в точке их пересечения; угол между двумя окруж¬
ностями есть угол между касательными к ним в точке
пересечения.
Определение 167. Если мы говорим, что две пары
прямых пересекаются под теми же углами, то это значит, что
острый угол, образованный первой парой, равен острому
углу, образованному второй парой (а следовательно, тупой
угол равен тупому).
Пользуясь сделанными условиями, можно сказать, что две
пересекающиеся окружности в обеих общих точках пересе¬
каются под теми же углами (теоремы 173, 254).
Теорема 592. Две окружности, проходящие через центр
инверсии, пересекаются под теми же углами, что и обрат¬
ные им прямые.
Действительно, эти последние прямые параллельны касатель¬
ным к данным окружностям в центре инверсии (теорема 587),
откуда и следует теорема (определения 166 и 167, теорема 322).
Замечание. Теорема остается в силе, если одну из окружностей
заменить прямой, проходящей через О.
Теорема 593. Две окружности пересекаются под теми
же углами, что и фигуры, им обратные.
Случай, когда обе окружности проходят через центр ин¬
версии, уже рассмотрен (теорема 592); поэтому начнем с до¬
пущения, что только одна из данных окружностей Сг и С2
(именно, первая) проходит через точку О (черт. 180). В точке N
пересечения данных окружностей проведем к окружности С2
касательную окружность К, проходящую в то же время через
точку О [ее центр находится на пересечении прямой С2М
с перпендикуляром, восставленным в середине отрезка (ON).
Что будет, если эти прямые окажутся параллельными?]. Так
как окружности С2 и К имеют в точке N общую касательную,
то углы между и С2 соответственно равны углам между
Q и К, но эти последние равны углам между обратными
прямыми (теорема 592). Но прямая, обратная для окруж¬
ности К, будет касательной в точке N' к окружности, обрат¬
ной для С2 (теорема 590), а окружность Сг преобразуется
в прямую, пересекающую эту обратную окружность в точке N'
(теорема 582). Таким образом, окружности и С2 пересе¬
каются под теми же углами, что и обратные им образы.
Пусть теперь ни одна из окружностей Сі и С2 не проходит
через точку О (черт. 181); в точке N их пересечения проведем
308
касательные к ним окружности Кг и К>, проходящие в то же
время через точку О.
Легко видеть, что и С2 пересекаются под теми же угла¬
ми, что Кг и К2; но эти последние образуют те же углы, что
и обратные им прямые (теорема 592); эти же прямые будут
Черт. 180
касательными в точке N' к окружностям, обратным для Сг и
С2 (теорема 590), так что они и дают углы между обратными
фигурами. Отсюда вытекает справедливость теоремы.
Предоставляем читателю рассмотреть тот случай, когда
одна из данных окружностей заменена прямой. Метод доказа¬
тельства остается тем же самым.
Замечание. Изученная нами инверсия, таким образом, обладает
следующими двумя основными свойствами: окружности, вообще говоря,
преобразуются в окружности, и величины углов остаются неизменными.
Одно из приложений инверсии заключается в том, что она
дает нам хороший способ для решения некоторых задач на
построение, позволяя сводить более трудные задачи к более
простым. Укажем примеры такого применения инверсии.
Задача 1. Построить окружность, проходящую через дан¬
ную точку А и касающуюся двух данных окружностей Сг и С2.
Произведем инверсию с центром в А (степень ее можно
выбрать произвольно, лишь бы только обратные фигуры уме¬
стились на чертеже). Данные окружности преобразуются
в окружности Е1 и Е2. Строим общие касательные этих двух
окружностей (теорема 403) и снова производим ту же самую
инверсию. Указанные касательные преобразуются в искомые
окружности. Задача вообще имеет 4 решения.
Задача 2 (задача Аполлония). Построить окружность,
касающуюся трех данных окружностей.
Пусть даны три окружности: С2(г2), С3(г3) и пусть
наименьший из трех радиусов (черт. 182). Допустим, что
задача решена и что окружность С(г) касается внешним обра¬
309
него касания ко всем трем
зом всех данных окружностей. Опишем из точки С окруж¬
ность радиусом, равным Легко видеть, что она пройдет
через точку С\ и коснется окружностей
С2(г2—G) и С8(г8 —rj.
Обратно, имея окружность С (r-f-rj,
мы сейчас же построим искомую С(г);
но построение С(г+/*і) сводится к зада¬
че первой, которая уже решена с по¬
мощью инверсии. Мы взяли случай внеш-
данным
окружностям; но можно искать окруж¬
ность, которая касается двух данных
внешним образом, а третьей — внут¬
ренним, и т. д. Вообще говоря, задача
имеет 8 решений.
Переход в пространство трех
измерений
От свойств инверсии в плоскости не¬
трудно перейти к свойствам этого пре¬
образования в пространстве. Так, некоторые теоремы (именно
585 и 586) переносятся без всяких изменений; в остальных при¬
дется сделать следующую замену терминов:
окружность — шаровая поверхность,
прямая — плоскость.
Даже прежние чертежи пригодятся, если рассматривать
их как сечения шаров известными плоскостями. Некоторых
дополнений может потребовать только понятие об угле между
двумя пересекающимися шаровыми поверхностями.
II. ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РАВЕНСТВА
НА ПОНЯТИИ ДВИЖЕНИЯ
В предыдущем изложении мы не пользовались движением
как средством для доказательства, только иногда прибегали
к „языку движения", чтобы внести известную наглядность;
но все такие вопросы в последующем изложении неизменно
подвергались логической обработке. В частности, учение о гео¬
метрическом равенстве мы обосновали, не прибегая к поня¬
тию движения. Однако многие авторы пользуются движением
для изложения этого учения. Поэтому целесообразно дать по¬
нятие и о таком пути.
Под движением в геометрии понимается не совсем то же
самое, что в механике; для последней очень важен непрерыв¬
ный переход движущегося тела через ряд промежуточных
положений, который ведет его от начального положения
310
к окончательному, причем этот переход происходит с течением
времени. Между тем, эта сторона дела нас совершенно не
интересует, когда мы пользуемся движением для доказатель¬
ства равенства каких-либо фигур. С геометрической точки
зрения движение является не чем иным, как известным пре¬
образованием одной фигуры в другую, преобразованием, обла¬
дающим вполне определенными свойствами.
Став на такую точку зрения, мы вводим после изложения
аксиом I и II группы и их следствий новое основное понятие:
„движение". Все, что нам нужно знать о нем, выражено в ак¬
сиомах, которые будут сейчас перечислены. Заметим, что мы
вовсе не стремились здесь дать систему аксиом, обладающую
полной независимостью, а выбрали такую, которая наиболее
простым путем ведет к цели. Заметим еще, что в этом прило¬
жении вводится особая нумерация аксиом и теорем.
Итак, будем основываться на следующих аксиомах:
I. Движение есть преобразование, которое каждой точке
пространства приводит в соответствие точку того же
пространства.
II. Для каждого движения существует обратное дви¬
жение.
III. Два последовательных движения заменяются одним
движением.
Таким образом движения образуют группу.
IV. Если точки А, В, С с помощью некоторого движения
преобразуются в точки А', В', С' и если С лежит между А
и В, то С' лежит между А' и В'.
Следующая аксиома показывает, чем мы можем распола¬
гать, чтобы выбрать вполне определенное движение.
V. Существует одно и только одно движение,
преобразующее данную точку в другую данную точку, опре¬
деленный луч, исходящий из первой точки,—в определенный
луч, исходящий из второй точки, и определенную полу¬
плоскость, исходящую из прямой первого луча,— в опреде¬
ленную полуплоскость, исходящую из прямой второго луча.
VI. Существует движение, преобразующее отрезок (АВ)
в отрезок (ВА).
VII. Существует движение, преобразующее угол (kh)
в угол (hk).
VIII. Если при некотором движении вершина луча и сам
луч преобразуются в самих себя, то каждая точка этого
луча преобразуется в самое себя.
Прежде всего на основании этих аксиом докажем неко¬
торые другие свойства движения.
1. Движение есть одно-однозначное преобразование.
Положим, в противность этому, что различные точки А
и В преобразуются обе в одну и ту же точку А'. Мы знаем,
что имеется точка С, лежащая между А и В. Тогда соответ¬
311
ствующая ей точка С' (I) должна лежать между А' и А' (IV),
что невозможно.
Пусть теперь точка А преобразуется в две различные точки
А' и В'; тогда обратное движение (П) приведет к противоре¬
чию с только что доказанным.
2. Посредством движения преобразуются: а) отрезок
в отрезок, б) прямая в прямую, в) луч в луч, г) плоскость
в плоскость, д) полуплоскость в полуплоскость, причем
преобразованные образы определяются элементами, соответ¬
ствующими тем, которые определяли данные образы.
а) Пусть дан отрезок (АВ), и пусть А', В' суть те точки
пространства, в которые преобразуются А и В (I). Тогда опре¬
деление отрезка и аксиома IV доказывают пункт а.
б) Возьмем далее прямую АВ, и пусть точки А, В преоб¬
разуются в точки А', В'. Так как последние различны (I), то
они определяют прямую А'В'.
Пусть М есть какая-нибудь точка прямой АВ, отличная
от А и В, и пусть М' — точка, соответствующая ей при дан¬
ном движении (I). Мы знаем, что точки А, В, М связаны от¬
ношением „между". В силу аксиомы IV таким соотношением
связаны и точки А', В', М'. Но отношение „между" имеет
место только для точек одной и той же прямой, так что точка
М' принадлежит прямой А'В', и следовательно, прямая АВ
преобразуется в прямую А'В'.
в) Если нам дан луч АВ, то любая его точка М во всяком
случае преобразуется в точку М' прямой А'В' (пункт „б"). Если
бы эта точка принадлежала не лучу А'В', а противополож¬
ному, то А' лежала бы между В' и М'. Тогда обратное дви¬
жение привело бы к заключению, что А лежит между В и М
(IV), а это противоречит заданию.
г) Возьмем плоскость АВС; определяющие ее точки пре¬
образуются в точки А', В', С', не лежащие на одной прямой,
так как в противном случае обратное движение, в связи
с пунктом в, привело бы к противоречию с заданием. Следо¬
вательно, можно говорить о плоскости А'В'С'.
Пусть теперь М есть любая точка плоскости АВС. Если она
лежит на прямой АВ, то соответствующая ей точка М' лежит
на прямой А'В' (пункт „б"), которая всеми своими точками при¬
надлежит плоскости А'В'С'. То же самое можно утверждать о
всех, точках прямых ВС и АС.
Рассмотрим далее случай, когда М не лежит на АВ. Возьмем
внутри отрезка (АВ) какую-нибудь точку К. На основании
постулата Паша прямая КМ или пройдет через точку С или
пересечет один из отрезков (ВС) и (АС) во внутренней точке L.
Прямая KL преобразуется в прямую K'L', целиком принадле¬
жащую плоскости А'В'С', а так как М' должна лежать на K'L'
(пункт „б"), то точка М' будет лежать на плоскости А'В'С'.
д) Наконец, пусть нам дана полуплоскость АВ.С и какая-
312
нибудь ее точка 7И. На основании пункта „г" точка М' во вся¬
ком случае принадлежит плоскости А'В'С'.
Попробуем допустить, что М' лежит не в полуплоскости
А'В'.С', а в другой полуплоскости с тем же ребром А'В'.
Тогда отрезок (С'ЛГ) должен пересекать А'В' и обратное
движение, в связи с уже доказанным, привело бы к заключе¬
нию, что отрезок (С7И) пересекает АВ, что противоречит зада¬
нию. Итак, точка М' принадлежит полуплоскости А'В'.С'.
3. Существует движение, при котором каждая точка
пространства преобразуется в самое себя.
Возьмем какое-нибудь движение (его существование выте¬
кает из аксиомы V) и соединим его с обратным движением (II).
Последовательность этих двух движений заменяется одним
движением (III), которое обозначим через То. В результате двух
указанных движений каждая точка пространства возвратится
в первоначальное положение, так что То и будет искомым.
Такое движение называется тождественным. Если при не¬
котором движении точки данной фигуры преобразуются в самих
себя, то говорят, что эта фигура остается в покое.
4. Если при некотором движении три точки, не лежа¬
щие на одной прямой, остаются в покое, то каждая точка
пространства остается в покое.
Действительно, пусть точки А, В, С остаются в покое.
В таком случае при данном движении преобразуется (2):
точка А — в точку А, луч АВ — в луч АВ,
полуплоскость АВ.С — в полуплоскость АВ.С.
Этим требованиям, очевидно, удовлетворяет движение TQ, но
оно и будет единственно возможным (V).
Доказанной теоремой из наших движений устраняются „от¬
ражения", т. е. такие преобразования, при которых некото¬
рая плоскость остается в покое, а каждая точка пространства
переходит в точку, симметричную с ней относительно указан¬
ной плоскости.
Изучив основные свойства движения, мы можем перейти
к основной цели этого приложения: обосновать учение о гео¬
метрическом равенстве на понятии движения. В основнбй части
книги „равенство отрезков" и „равенство углов" были введены
в качестве основных понятий, и учение о равенстве было по¬
строено на основании аксиом XVI—XXIII. Теперь эти понятия
надо определить с помощью движения. Далее легко видеть,
что если утверждения указанных аксиом будут доказаны
с помощью новых аксиом I—VIII, то поставленная здесь цель
будет достигнута.
Начинаем с введения общего определения равенства.
Конгруэнтными (совместимо-равными) называются фигуры,
преобразующиеся друг в друга посредством некоторого дви¬
жения. ~
313
Такое определение, в связи с теоремой 4 и ее следствием,
исключает на ближайшее время из рассмотрения фигуры
отраженно-равные; но впоследствии, достаточно развив учение
о равенстве, можно будет ввести понятие о симметрии отно¬
сительно плоскости и заполнить этот пробел.
Переходим к доказательству утверждений аксиом XVI—XXIII.
Аксиома XVI вытекает из нового определения равенства.
Аксиома XVII утверждает, что отрезки:
(АВ) = (АВ) и (АВ) = (ВА);
последнее потому, что мы условились считать отрезки (АВ)
и (ВА) тождественными как совокупности точек.
Теорема 3 показывает, что существует движение, преобра¬
зующее отрезок (АВ) в (АВ), так что он конгруэнтен самому
себе. Конгруэнтность (АВ) и (ВА) следует из аксиомы VI. Что
касается формул (kh) = (kh) и (kh) = (hk), то они вытекают из
теоремы 3 и аксиомы VII.
Далее, свойства взаимности (аксиома XVIII) и переносимости
{аксиома XIX) непосредственно следуют из новых аксиом II
и III. На очереди стоит аксиома XX, утверждающая возмож¬
ность однозначно отложить отрезок на данном луче.
Пусть дан отрезок (АВ) и луч ON. На основании новой
аксиомы V существует движение 7\, которое преобразует
точку А — в точку О,
луч АВ — в луч ON и
определенную полуплоскость с ребром АВ—в определенную
полуплоскость с ребром ON.
Произвольный выбор полуплоскости показывает, что, кроме
движения 7\, существует еще бесконечное множество других,
удовлетворяющих первым двум условиям. При движении Тх
точка В переходит в некоторую точку В' данного луча (2,
п. „б“), так что
(OB') = (АВ).
Возьмем какое-нибудь другое движение Т2, удовлетворяю¬
щее тем же двум условиям, что и І\. При его посредстве В
преобразуется в некоторую точку В" луча ON, так что
(ОВ") = (АВ).
Рассмотрим теперь третье движение Т3, которое равно¬
сильно последовательному производству двух следующих дви¬
жений: обратного для 7\ и движения 7\ (II, III). Вспоминая
сказанное выше, нетрудно придти к выводу, что 73 преоб¬
разует
точку О — в точку О,
луч ON — в луч ON,
точку В' — в точку В"
<314
(преобразования полуплоскостей здесь интереса не представ¬
ляют). Но теперь новая аксиома VIII показывает, что точка В"
совпадает с точкой В', и однозначность откладывания отрезка
доказана.
Условия теоремы XXI говорят, что существует движение,
преобразующее точки А и С в точки Д', С'. Тогда и точка В
переходит в такую точку В"9 что С' лежит между А' и В"
(I, IV). Следовательно, точки В" и В' принадлежат одному
и тому же лучу с вершиной в С'; а так как, кроме того:
(CB)=(C'S') (по данному),
(СВ) = (С'В") (по определению равенства),
то уже доказанное утверждение аксиомы XX показывает, что
В" совпадет с В'.
Отсюда вытекает, что вышеуказанное движение переводит
точки А, В в точки Д', В', так что
(ДВ) = (Д'В').
Утверждение аксиомы XXII вытекает из новой аксиомы V
и нашего определения конгруэнтности; единственность дви¬
жения устанавливает единственность луча
Наконец, переходим к аксиоме XXIII. На основании новой
аксиомы V берем движение Г, которое преобразует
точку А — в точку Д',
полупрямую АВ — в полупрямую Д'В',
полуплоскость АВ. С — в полуплоскость Д'5'.С'.
Тогда уже доказанные утверждения аксиом XX и XXII
и условия аксиомы XXIII позволяют заключить, что точка В
перейдет в В', луч АС — в луч Д'С', точка С —в С'. Отсюда
вытекает, что движение Т преобразует ДДВС в ДД'В'С'
(2, а), а это доказывает даже больше, чем требуется акси¬
омой XXIII.
Итак, утверждения всех прежних аксиом равенства выве¬
дены из новых аксиом движения, и можно считать, что задача
обоснования геометрического равенства на понятии движения
в основном разрешена.
III. УПРАЖНЕНИЯ
Собственно говоря, в систематическом курсе геометрии
было бы возможно совсем обойтись без задач или уп¬
ражнений, так как для этой цели имеются вполне подходя¬
щие сборники. Но, принимая во внимание, что целью автора
было дать возможно строгое построение геометрии, является
желательным усилить усвоение этой стороны дела путем само¬
стоятельной работы читателя. Имея сказанное в виду, я счел
315
целесообразным приложить к курсу небольшое число упраж¬
нений, причем старался выбрать наиболее интересные вопросы
и притом такие, которые наилучшим образом способствовали
бы приобретению навыков в строгом доказательстве геометри¬
ческих предложений.
В течение курса неоднократно предлагалось, в виде упраж¬
нения, доказать то или другое предложение. Подобный же
характер в общем носят и следующие вопросы.
1. В каком многоугольнике число диагоналей равно числу
сторон?
2. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой
противоположной стороны, будет меньше по крайней мере одной
из двух остальных сторон. Когда он будет меньше обеих?
3. Какие значения должен иметь угол при вершине равно¬
бедренного треугольника для того, чтобы его сторона была
меньше, равна или больше основания?
4. Смотря по тому, будет ли медиана треугольника больше,
равна или меньше половины соответствующей стороны, угол
при выбранной вершине будет острым, прямым или тупым,
и обратно.
5. Построить треугольник, если указаны середины его
сторон.
6. Трансверсаль треугольника, проходящая через середину
медианы, делится этой точкой в отношении 3:1.
7. Найти геометрическое место точек, для которых сумма
расстояний от двух данных прямых есть величина постоянная.
8. Сумма расстояний какой-нибудь внутренней точки равно¬
стороннего треугольника от его сторон есть величина постоян¬
ная (см. задачу № 7).
9. Биссектриса и высота треугольника, проведенные из
одной и той же вершины, образуют угол, равный полуразности
двух остальных углов треугольника.
10. Три окружности, имеющие своими диаметрами стороны
треугольника, попарно пересекаются на сторонах этого тре¬
угольника.
И. Высоты треугольника служат биссектрисами углоз
другого треугольника, образованного их основаниями (см. за¬
дачу № 10).
12. Точка пересечения высот треугольника делит каждую
высоту на части, произведение которых есть для данного
треугольника величина постоянная (см. задачу № 10).
13. Через точку, данную внутри угла, провести такую
прямую, чтобы отрезок ее между сторонами угла делился
пополам в данной точке.
14. В прямоугольном треугольнике диаметр вписанного
круга равен разности между суммой катетов и гипотенузой.
15. Соединив середины смежных сторон любого четыре-
316
угольника (плоского или неплоского), получим параллело¬
грамм. В каком случае получится прямоугольник?
16. Параллелограммы, вписанные в прямоугольник так, что
их стороны параллельны его диагоналям, имеют один и тот
же периметр.
17. Равноделящие углов параллелограмма в пересечении
друг с другом образуют прямоугольник, диагонали которого
параллельны сторонам данного параллелограмма.
18. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов его сторон.
19. Длина медианы, проведенной из вершины А треуголь¬
ника АВС, равна
2й2 + 2с2 — а2 (см. задачу № 18).
20. Середины оснований трапеции, точка пересечения ее
диагоналей и точка пересечения продолженных ее боков лежат
на одной прямой.
21. Если две хорды, пересекаясь, обе делятся пополам
в точке пересечения, то эти хорды—диаметры.
22. Найти геометрическое место середины хорд, проходя¬
щих через точку, данную внутри окружности.
23. Найти геометрическое место точек, расстояния которых
от двух данных точек находятся всегда в данном отношении
(окружность Аполлония).
24. Проведем к окружности две касательные в конце
какого-нибудь диаметра. Тогда отрезок любой касательной,
заключенный между двумя данными, виден из центра под
прямым углом.
25. Если дано несколько прямых, пересекающихся попарно,
то или все они лежат в одной плоскости, или все проходят
через одну точку.
26. Найти геометрическое место точек плоскости, равно¬
отстоящих от двух данных точек, лежащих вне этой плоскости.
27. Нормальное сечение двугранного угла есть наименьший
из углов, образованных одной из его сторон с прямыми
другой грани.
28. Можно ли в сечении острого двугранного угла пло¬
скостью получить прямой угол? >
29. Существует одна и только одна прямая, пересекающая
две данные скрещивающиеся прямые и параллельная третьей
прямой, скрещивающейся с двумя первыми.
30. Найти геометрическое место середин отрезков, ограни¬
ченных двумя данными скрещивающимися прямыми.
31. Найти геометрическое место точек, равноотстоящих
от трех данных параллельных прямых, не лежащих в одной
плоскости.
317
32. Плоскости, делящие пополам двугранные углы трехгран¬
ного угла, пересекаются по одной и той же прямой.
33. Плоскости, проходящие через биссектрисы плоских
углов трехгранного угла и перпендикулярные к соответствую¬
щим граням, пересекаются по одной и той же прямой.
34. Перпендикуляры, восставленные к граням тетраэдра
в центрах описанных кругов, пересекаются в одной и той же
точке.
35. Отрезки, соединяющие середины противоположных
ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке, в которой они
делятся пополам.
36. Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами
тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке
и делятся ею в отношении 3:1.
37. Точки задач № 35 и 36 совпадают (см. задачу № 6).
38. Пересечь куб плоскостью так, чтобы в сечении полу¬
чился правильный шестиугольник.
39. Сумма плоских углов выпуклого многогранника равна
4rf --2), где ѵ — число его вершин (вспомнить теорему
Эйлера).
40. Середины ребер правильного тетраэдра суть вершины
правильного октаэдра.
41. Определить в треугольнике такую точку, чтобы, соеди¬
нив ее с вершинами, разбить треугольник на три равновели¬
кие части.
42. Если прямоугольник равновелик квадрату, то периметр
прямоугольника больше периметра квадрата.
43. Превратить данный треугольник в другой равновеликий
с ним, у которого одна сторона и прилежащий к ней угол
имели бы заданные значения.
44. Превратить треугольник в равновеликий с ним ромб,
сторона которого имела бы заданную длину.
45. Медианы треугольника делят его на шесть равновели¬
ких треугольников.
46. Разделить данный четыреугольник на две равновеликие
части с помощью отрезка, исходящего из вершины.
47. Приближенно принималось, что площадь равносторон¬
него треугольника со стороною равной а равна:
какую ошибку делали при этом?
48. Превратить правильный шестиугольник в равновеликий
ему правильный восьмиугольник.
49. С помощью каких равных правильных многоугольников
можно заполнить плоскость?
50. Построить треугольник по трем высотам.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр
Предисловие •<
Введение . . •
Геометрия положения
§ 1. Сочетание основных образов • 13
§ 2. Расположение точек на прямой 18
§ 3. Деление плоскост прямой 24
§ 4. Угол 28
§ 5. Треугольник • 34
§ 6. Многоугольники 3(>
§ 7. Телесные углы 41
§ 8. Тетраэдр 43
§ 9. Многогранники • • . . • 45
Геометрия меры
§ 10. Исчисление отрезков 56
§11. Равенство углов и треугольников 66
§ 12. Исчисление углов 74
§ 13. Некоторые свойства треугольников . 79
§ 14. Перпендикуляры и наклонные 85
§ 15. Некоторые свойства многоугольников 87
§ 16. Геометрические места 90
§ 17. Перпендикулярные прямые и плоскости 91
§ 18. Исчисление двугранных углов . 96
§ 19. Перпендикулярные плоскости 101
§ 20. Некоторые свойства трехгранных углов 102
§ 21. Круг и шар . . lût»
§ 22. Аксиома непрерывности и ее ближайшие следствия НО
§ 23. Относительное положение прямой и окружности, плоскости и
шаровой поверхности 117
§ 24. Относительное положение двух окружностей и двух шаровых
поверхностей 122
§ 25. Измерение геометрических величин 129
§ 26. Отношения и пропорции . . ♦ 151
§ 27. Параллельные прямые 156-
§ 28. Сумма углов треугольника .... 16-
§ 29. Параллелограммы и трапеция 164
§ 30. Параллельные прямые и плоскости 169
§ 31. Пропорциональные отрезки между параллелями 174
§ 32. Подобие и гомотетия 179
§ 33. Углы, связанные с окружностью 194
§ 34. Замечательные точки в треугольнике • 196
§ 35. Пропорциональные отрезки в треугольнике и в круге 20(>
§ 36. Приложение алгебры к геометрии 203
§ 37. Вписанные и описанные многоугольники 207
§38. Правильные многоугольники • 211
§ 39. Измерение окружности . ш 221
319’
§ 40. Равносоставленность многоугольников 226
■§ 41. Площади многоугольников (при помощи аксиомы де-Цолыа) . . 235
§ 42. Площади многоугольников (теория Шатуновского-Гильберта) . . 245
§ 43. Площадь круга . . 251
§ 44. Пирамида, призма, параллелепипед . . . 255
§ 45. Правильные многогранные углы 259
§ 46. Правильные многогранники 263
§ 47. Объемы многогранникюв 275
§ 48. Тела вращения: их поверхности и объемы 281
§ 49. Поверхности и объемы шара и его частей 292
Приложения
I. Инверсия (или обращение) • 299
II. Обоснование геометрического равенства на понятии движения . . 310
111. Упражнения 315
Редактор Б. И. Крелыитейн Технический редактор М. Е. Зендель
Корректор А. А, Морозова
Подписано к печати 16/VII 1949 г. М 17078 Печ. л. 20 Уч.-изд. л. 20,09
Тираж 25000 экз. Зак. 1314
Тип. № 2 Управления издательств и полиграфии Исполкома Ленгорсовета
ОПЕЧАТКИ
Страница
Строка
%
Напечатано
Должно быть
47
3 сверху
ABCDE, A\P>}C}D}Ei
ABCDEA^BiCyD^Bt
74
1 снизу
LA\OyBx
/_АУО\В2
76
15 сверху
построение. Согласно
построение согласно
95
3 снизу
£AOB>d
141
7 и 12 снизу
е
1
185
9 сверху
Лі
А
185
17 сверху
m;s')
190
25 сверху
фигуру F
фигуру F,
191
8 снизу
(О'М')
(O'MJ
{(УМ)
(СУМ)1
211
10 снизу
оке
окс}
215
•
12 снизу
а -г. /5=1.
яіо - г 2
л - г Ѵ'5 - Î
ûio — r * 2 *
223
13 снизу
О2(г)
ОАГі)
284
7 сверху
KiQtQC
R.QiQR
296
8 снизу
1 .
1 .
, -vn -j- hn • ’л .
300
17 сверху і
i M
М'
Богомолов—геометрия Заказ J314,