ХОРИЯ ТЕОДОРУ
ПЕРСПЕКТИВА
ХОРИЯ ТЕОДОРУ
ПЕРСПЕКТИВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МЕРИДИАНЕ» БУХАРЕСТ, 1964
НАПЕЧАТАНО В РУМЫНИИ Полиграфическое предприятие «13 Дечембрио 1918 Бухарест. 1964
ВВЕДЕНИЕ
П ерспектива объясняет законы, по которым окружающие нас предметы могут приобре-» * тать самые разнообразные очертания и формы в зависимости от того, на каком расстоянии и в каком положении они находятся относительно глаз наблюдающего. В то же время она дает графические приемы, с помощью которых на двухмерной плоскости картины можно очень точно воспроизвести все три измерения любого предмета со всеми изменениями, обусловленными расстоянием, отделяющим этот предмет от рисующего, и его положение в пространстве.
Художник, знающий законы перспективы, легко поймет причины иногда столь большой разницы между хорошо знакомым ему внешним видом предмета и теми крайне разнообразными формами, которые этот предмет принимает в зависимости от его расстояния и положения относительно наблюдающего.
В рисунке с натуры художнику помогает знание практических методов перспективы; овладев этими методами, он может всегда проверить сходство между тем, что он нарисовал, и тем, что он наблюдал в природе.
В рисунках, сделанных по памяти, и в творческих композициях, не подкрепленных наблюдением над соответствующими реальными предметами, он может идти двумя путями.
Может вообразить себе размеры предмета, положение в пространстве и расстояние, на котором этот предмет находится. В этом случае знание перспективы подскажет ему, как на основании этих данных построить перспективное изображение предмета или предметов, которые он хочет нарисовать на картине (прямая перспектива).
Но есть и другой путь: художник, работая над композицией, опирается на большой опыт и память, обогащенную многочисленными и хорошо усвоенными наблюдениями. В этом случае он может сразу же набросать перспективное изображение предметов, нужных для его композиции. Здесь хорошо усвоенная перспектива подскажет художнику другие практические методы, с помощью которых он может проверить все нарисованное им
5
спонтанно, не думая о правилах перспективы. Эта проверка называется обратной перспективой. Она требует от художника больших знаний и опыта, так как полученные с ее помощью изображения должны отвечать двум условиям : быть точными и как можно больше приближаться к первоначальному наброску, в котором художник воплотил свой композиционный замысел. Добавим, что при исправлении композиционного эскиза чисто механическое применение поверхностно усвоенных правил перспективы может только повредить.
Из сказанного выше выясняются цели, которые мы преследовали нашей работой.
Все задачи на перспективные построения сначала были в ней изложены теоретически, чтобы облегчить художнику понимание перспективных уменьшений и искажений предметов в пространстве, а также различных форм этих уменьшений и искажений. Затем те же задачи были решены с помощью практических приемов, не пользуясь при этом построениями, выходящими за пределы картины. Такой метод очень полезен художникам при их работе в мастерской. Для большинства этих практических построений мы пользовались перспективой фронтального квадрата и окружности, вписанной в этот квадрат, находя, что такие изображения легче всего построить в любом углу картины.
Все задачи решались с помощью прямой и обратной перспективы, чтобы приучить художников как можно шире пользоваться обоими этими методами при окончательном оформлении их творческих композиций.
Специальный раздел посвящен графическому применению закона перспективного уменьшения. Этот закон помогает художнику установить живую связь между предметами, которые он вообразил, работая над картиной, и соответствующими реальными предметами (307—323). С помощью этого закона легко установить дедуктивным методом место, занимаемое в пространстве любым созданным воображением художника и построенным им на картине геометрическим телом или человеческой фигурой, даже в том случае, если они не помещаются целиком в ее рамках. Освоение этого закона позволит художнику при изучении интересующих его деталей расположить их в мастерской точно на расстояниях, на которых они расположены относительно рисующего на картине. Сделанными в таких условиях этюдами (увеличенными или уменьшенными до размеров картины) художник может пользоваться для своей композиции без каких-либо изменений.
Автор более подробно остановился на некоторых построениях, которые дают возможность художнику, пользуясь первоначально намеченной графической схемой, построить нужные ему предметы, размеры которых ему известны в бесконечном множестве самых разнообразных положений, из которых он может затем выбрать положение, наиболее отвечающее его художественному замыслу. Такие построения эффективно помогают художнику в его творческом рисунке.
Как рабочий метод для изучения перспективы мы предлагаем читателю просмотреть с карандашом в руке всю книгу и перерисовать несколько раз все находящиеся в ней чертежи, изменяя размеры и положения фигур. Затем мы рекомендуем, чтобы художник, пользуясь этюдами с натуры и свободными рисунками, проделал как можно больше упражнений на тему каждой выученной задачи, потому что перспективные построения забываются так же легко, как грамматические правила, если не применять их постоянно на практике.
6
В результате таких повторных правильно построенных и тщательно вычерченных упражнений глаз художника настолько привыкнет к перспективным уменьшениям и искажениям, что впоследствии, работая свободно и спонтанно над задуманной композицией, он сможет сделать правильные наброски нужных ему фигур, не задумываясь над их перспективным построением, как человек, изучивший какой-нибудь иностранный язык, бегло говорит на нем, не задумываясь над когда-то изученными и часто давно забытыми грамматическими правилами. Такого результата можно добиться только долгими и настойчивыми упражнениями и изучением возможно большего числа самых разнообразных перспективных построений.
Во многих учебниках предметы изображены в перспективе с гораздо большими деформациями, чем те, которые может воспринять нормальный человеческий глаз.
Такие рисунки (на которых между изображаемыми предметами и глазами рисующего взято расстояние меньше допускаемого для нормального человеческого зрения) иногда более наглядны благодаря сопровождающим их теоретическим пояснениям, но приучают человека, изучающего перспективу, к геометрически правильным, но несоответствующим действительности изображениям, а такая привычка вредна. Привыкнув к перспективно неправильным изображениям, он может по памяти ввести их в свою композицию, совершенно забыв, что предметы на ней смотрятся с большего расстояния и поэтому не имеют таких резких перспективных искажений. Эти соображения заставили нас отказаться от пользования нереальными перспективными изображениями. Все помещенные в книге рисунки соответствуют нормальным физиологическим возможностям человеческого глаза.
В стремлении помочь читателям легче ориентироваться в различных перспективных построениях, всякий раз когда это казалось нам нужным (и чтобы не перегружать чертеж слишком большим количеством линий), мы помещали вместо одного несколько чертежей, причем в каждом разбирали только один из последовательных этапов работы.
В других случаях, чтобы облегчить понимание перспективного построения некоторых планиметрических фигур, рядом с ее перспективой помещалась соответствующая геометрическая фигура: Благодаря этому читатель получил возможность cpaew .,ь фигуру с ее перспективным изображением и постепенно приучить глаз к перст- пивным уменьшениям и искажениям.
Эта книга охватывает общие вопросы перспективы.
Частные вопросы теней и зеркальных отражений рассматриваются во второй книге, которая содержит следующие разделы :
Перспектива в рисунке с натуры с некоторыми уточнениями, относящимися к изучению воздушной перспективы.
Перспектива в живописных композициях с применением метода вспомогательных сеток, которые облегчают художнику группировку предметов самых различных размеров и установку их в различных положениях.
Перспектива в композициях монументальной живописи на вертикальной плоскости стены и на потолках-плафонах, рассматриваемых как горизонтальные и наклонные плоскости, на цилиндрических и сферических поверхностях сводов и ниш и т. д.
Перспектива в монументальной скульптуре и рельеф.
7
Перспектива в театральной декоративной живописи — в плоских и объемных декорациях, в панорамах и диорамах.
В последнем разделе разбираются специальные вопросы, относящиеся к перспективе архитектурных композиций.
Прежде чем начать изложение интересующего нас предмета, отметим, что все параграфы текста и все рисунки имеют порядковую нумерацию. При ссылке на уже рассмотренные вопросы или на вопросы, которые будут рассмотрены в дальнейшем, мы помещали в скобках номера соответствующего параграфа или рисунка, а имеющиеся в тексте рисунки, помимо их порядкового номера, сопровождаются заключенным в скобки перечнем параграфюв, в которых упомянуты эти рисунки.
Подробное оглавление облегчает пользование книгой и помогает находить нужный параграф и соответствующий ему рисунок.
/
Рис. 1 (1, а; 8) Мейндерт Г о б б е м а. Аллея в Мидделхариисе
I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
ПРЕДМЕТ ПЕРСПЕКТИВЫ
1. — Из повседневного опыта мы заключаем, что наше зрительное восприятие формы и цвета окружающих предметов не похоже на их реальные форму и цвет: квадратные грани куба кажутся трапециями или неправильными четырехугольниками; правильная окружность блюда — эллипсом; края прямого шоссе сближаются и кажутся непараллельными и т. д. Что же касается цвета, то холмы, покрытые изумрудной травой, издали кажутся синеватыми; острые ребра скад по мере удаления постепенно растворяются и тонут в прозрачной дымке.
Наше зрительное восприятие формы окружающих предметов бесконечно варьируется в связи с условиями, в которых мы их рассматриваем.
а) Так, предметы одинаковых размеров, расположенные в одном и том же направлении, но на различных расстояниях от наблюдающего, кажутся большими или мёнь-шими в зависимости от степени их удаления. Василе Александри писал: «Стоящие в ряд тополя теряются вдали» (рис. 1 и 2). Предметы, рассматриваемые нами вблизи и поражающие своими размерами, на большом расстоянии кажутся небольшими. Так, вопреки известной басне, прыгающая перед нами лягушка нам кажется гораздо больше кро-
9
Рис. 2 (1, а; 8)
Рис. 3 (1, б)
хотиого вола, который тянет плуг на далеком склоне горы (см. рис. на стр. 8).
б) Один и тот же предмет, рассматриваемый с того же расстояния и в том же направлении, мы видим по-разному. Это обусловливается местом, занимаемым им в зрительном поле выше или ниже уровня наших глаз, т. е. рассматриваем ли мы его сверху или снизу, находится ли он посредине, в правой или в левой части нашего зрительного поля, короче говоря, видим ли мы его фасад или одну из боковых сторон (рис. 3).
У головы, расположенной выше уровня человеческого глаза (т. е. при взгляде на нее снизу), больше кажется подбородок, а у головы, расположенной ниже этого уровня (т. е. при взгляде сверху), больше кажется лоб, а очертания профиля будут меняться в зависимости от его положения в зрительном поле (см. рис. 4, где фигура на картине Ан-тонелло да Мессина и фигуры на рис. 81; 86; 87 написаны в нижнем ракурсе, а фигура на рис. 5, написанная Рафаэлем Санти, и игроки на рис. 85 — в верхнем ракурсе).
в)	Один и тот же предмет, рассматриваемый нами с какого-то постоянного расстояния, в постоянном направлении и занимающий одно и то же место в нашем поле зрения, изменяет свои очертания в зависимости от его положения в пространстве по отношению к направлению нашего взгляда.
Считая, что любой предмет, какими бы сложными ни были его форма и образующие его поверхности, всегда можно вписать в менее сложную геометрическую форму, например в прямую призму с прямоугольным или квадратным основанием, рассмотрим формы, которые он может принять в зависимости от его положения в пространстве.
10
Рис. 5 (1, б-, 20; 61; 73; 457; 577; 588). Рафаэль Санти. Обручение Марии.
Рис. 4 (1, б; 61; 73; 457). Антонелло да Мессина. Святой Себастьян.
Наше зрительное восприятие прямоугольной призмы, расположенной ближе к нашим глазам или дальше от них, выше или ниже их уровня, посредине или ближе к одному из краев нашего поля зрения, меняется в зависимости от того, стоит ли она на прямой или на наклонной плоскости (рис. 6 — каменные блоки I и III для первого случая и II, IV—XIII — для второго).
Так, прямая призма, стоящая вертикально на горизонтальной плоскости и имеющая две фронтальные, т. е. параллельные картине грани (блок I — рис. 6), выглядит иначе, чем та же призма в том же вертикальном положении, но повернутая под углом к картине (блок III — на том же рисунке).
Внешний вид той же призмы, установленной на наклонной плоскости, изменяется в зависимости от того, расположены ли ее две грани параллельно вертикальной плоскости, проходящей через глаза рисующего (наклонная фронтальная призма II), имеет ли она четыре горизонтальных ребра (блоки IV, VIII, IX) или все ее ребра наклонны (блоки V—VII и X—XIII) (рис. 6).
И
Рис. 6 (1, в; 20; 599; 604)
Если она стоит наклонно и ее горизонтальные ребра параллельны вертикальной плоскости, проходящей через глаза рисующего, то, стоя на наклонной поднимающейся плоскости (блок IV — рис. 6; блок Л — рис. 605 и 657) или на наклонной опускающейся (блок D — рис. 605 и 658), она будет-иметь другие очертания, чем в том случае, если бы она стояла на плоскости, идущей в любом направлении, но наклонной в сторону рисующего (блок VIII — рис. 6; 615; 661; 662) или в обратную сторону, вглубь (блок IX — рис. 6; 663; 664).
Наконец, когда призма наклонена и не имеет ни одного горизонтального ребра, она приобретает самые разнообразные очертания в зависимости от положения плоскости, на которой она расположена, т. е. поднимается ли эта плоскость вверх (блок VI—рис. 6; 603; 605; 666), опускается ли (блок VII — рис. 6; 604; 605; 667), наклонна ли она в сторону рисующего и влево (блок X — рис. 6; 616; 670) или вправо (блок XII — рис. 6; 617; 669), наклонна ли она в обратном направлении, т. е. в глубь пространства и вправо (блок VIII — рис. 6; 619; 671) или влево (блок XI— рис. 6; 618; 672).
Так, привезенные па грузовике из карьера призматические каменные блоки, если их сбросить как попало на строительную площадку, упадут по-разному— одни вертикально, другие горизонтально — во всех перечисленных выше положениях (рис. 6; 29; 605),
12
г)	Один и тот же предмет, вписанный в прямоугольную призму (которая находится дальше или ближе к рисующему, выше или ниже уровня его глаз, посреди, в правой или левой стороне поля его зрения, стоит параллельно картинной плоскости, под углом или с наклоном в ту или другую сторону), может принимать самые разнообразные очертания в зависимости от того, на какой из трех сторон он поставлен, т. е. вертикально или лежит на одной из боковых сторон. Спичечная коробка имеет
одни очертания, если она поставлена вертикально (на самой меньшей стороне), другие, если она положена этикеткой вверх (на самой широкой стороне), и выглядит совсем по-иному, если ее поставить на сторону, покрытую фосфором (на самой узкой стороне) (рис. 7).
д)	А если ко всем перечисленным выше случаям и положениям мы добавим, что предмет можно еще и повернуть в разные стороны (рис. 8) или можно рассматривать его отра-
жение в зеркальной поверхности	Рис 8 (1, д)
(см. зеркальное изображение на рис. 7), то нам станет совершенно очевидно, что внешний вид предметов, находящихся в поле зрения, может меняться до бесконечности.
2.	— Кроме того, в зависимости от толщины воздушного слоя между глазами
Рис. 7 (1, г и д; 61; 64)
рисующего и предметами, находящимися в его поле зрения, меняется окраска и четкость их очертаний, а в связи с расстоянием, силой освещения и его направлением, в связи с количеством пыли в воздухе и со степенью его загрязненности меняется резкость теней и яркость рефлексов на предметах, их красочная насыщенность и интенсивность освещения. Вообще же, как правило, краска предметов по мере их удаления
13
Рис. 9 (3; 61). П и т е р Брейгель Старший. Пейзаж с сорокой на виселице
от наблюдателя приобретает синеватый оттенок, а холмы и горы кажутся на большом расстоянии такими синими, что почти сливаются с синевой воздуха. Это явление можно наблюдать во многих пейзажах Николае Григореску (рис. 10).
Леонардо да Винчи писал: «... чем меньше воздуха между глазами и предметом, тем меньше окраски заимствует этот предмет у воздуха. Следовательно, чем больше воздуха будет между глазами и предметом, тем большее количество цвета будет забирать этот предмет у воздуха» (т. е. тем воздушнее будет цвет).
3.	— Упомянем еще об одном возможном изменении внешнего вида предмета по мере его удаления в глубину нашего поля зрения: у предмета, находящегося вблизи, контраст между освещенной и теневой сторонами очень резок, но эта резкость по-
14
Рис. 10 (2). Николае Г р и г о р е с к у. Телеги
с волами в Орэции
СТепенно уменьшается по мере его отдаления от рисующего, а на большом расстояний освещенные поверхности почти сливаются с теневыми.
То же происходит и с очертаниями: очертания близких предметов отчетливы и определенны, а очертания далеких предметов стушевываются и почти исчезают вдали (рис. 9).
В связи с этим Леонардо да Винчи советует: «Если ты будешь исполнять отдельные предметы слишком точно и слишком законченно, то они, вместо того чтобы производить впечатление отдаленности, будут казаться близкими. Воспроизводя внешний вид предмета, старайся передать также его расстояние, причем если предмет, который ты воспроизводишь, неотчетлив, с неопределенными очертаниями, передавай его таким, какой он есть, не слишком выписывая».
4.	— Передача окружающих нас предметов со всем богатством и разнообразием их очертаний представляет собой задачу, интересующую не только художников (живописцев, графиков, декораторов и т. д.), но и всех специалистов (архитекторов, инженеров и т. д.), которые прибегают в своей работе к рисунку. Они должны уметь передавать на двухмерной поверхности не только ширину и высоту предметов, но и их третье измерение, т. е. глубину.
Эта основная задача решена в черчении и в архитектуре методами начертательной геометрии (ортогональными и аксонометрическими проекциями), а в художественном рисунке — методами перспективы (конической проекцией).
Вообще перспективой называется наука, изучающая законы, по которым происходит изменение в пространстве внешнего вида предметов, их окраски и силовых отношений света и тени; в то же время эта наука исследует методы передачи на двухмерной поверхности картины (обладающей шириной и высотой) трех измерений (ширину, высоту и глубину) всех окружающих нас в пространстве и помещающихся в поле нашего зрения предметов в любом положении, на любом расстоянии от наших глаз и при любом освещении такими, какими мы их видим или запомнили.
ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА И ВОЗДУШНАЯ ПЕРСПЕКТИВА
5.	— Линейная перспектива рассматривает изменения внешних очертаний предметов в зависимости от увеличения расстояния между ними и рисующим, от места, которое эти предметы занимают в его поле зрения, и методы, пользуясь которыми можно изобразить на плоской картине эти предметы со всеми изменениями их внешних очертаний и форм. Название линейной она получила потому, что с помощью линий в пей можно передать все прямые и кривые плоскости, контуры предметов, форму теней и зеркального отражения этих предметов.
Вопросы изменения цвета предметов и смягчения их очертаний в связи с состоянием атмосферы и характером освещения рассматриваются в разделе воздушной перспективы; кроме того, эта перспектива изучает изменения интенсивности света и тени
16
и их силовые отношения, а также смягчение их очертаний и приемы, которые помогают передать все эти изменения на картине.
Методы линейной перспективы точны и являются частью начертательной геометрии. В воздушной перспективе, где действуют очень тонкие и трудно поддающиеся анализу факторы, можно установить только общие методы, углубление которых возможно лишь личной настойчивостью художника, копированием рисунков и картин других мастеров и этюдами с натуры.
СУЩНОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРСПЕКТИВЫ
6.	— Для выяснения сущности линейной перспективы, т. е. того, какой вид приобретут на картине перспективные изображения предметов, уместившихся в нашем поле зрения, вообразим, что вместо нее между нашими глазами и предметом, который мы собираемся рисовать, находится прозрачное оконное стекло.
Рисующий должен находиться на достаточном расстоянии от выбранного им живописного мотива, чтобы охватить его одним взглядом, не меняя положения головы, а стекло — в зависимости от его размеров — нужно устанавливать ближе или дальше
для наилучшего размещения в его пределах предметов, входящих в выбранный им мотив.
Итак, по одну сторону картины (стекла) на соответствующем расстоянии (рис. 11) в точке О находится неподвижный оптический центр глаза рисующего (второй его глаз зажмурен), направленного в центр выбранного мотива.
По другую сторону прозрачной картины (стекла) находится предмет ABCDEFGHI (или предметы) выбранного сюжета, расположенный на соответствующем расстоянии, как указывалось выше.
Рис. 11 (6; 24; 50; 52)
17
Лучи зрения О А, О В, ОС, 0D и т. д., соединяющие оптический центр глаза О со всеми точками видимых граней (например, грани CD на рис. 11) или видимого контура предмета (например, линия видимого контура EFGHI на рис. 11 или линия EF, идущая вдоль образующей видимого контура цилиндрической стороны предмета на рис. 12) и идущие в пространстве по прямым, проходят через картинную плоскость (стекло) в точках а, в, с, d, е и т. д. Обмакнем кисть в краску и соединим линиями эти точки, следя за тем, чтобы очерченные на стекле фигуры точно совпадали с контуром видимых нами предметов. Мы получим изображение, являющееся суммой всех точек пересечения картинной плоскости лучами зрения, идущими от глаза рисующего к ребрам предметов.
Таким образом, мы имеем на двухмерной плоскости картины (стекла) трехмерное изображение предмета, т. е. изображение, обладающее всеми тремя измерениями — шириной, высотой и глубиной.
Лучи зрения, образуя в пространстве расходящийся пучок лучей и пересекаясь с плоскостью картины, определяют на ней перспективное изображение предмета, находящегося перед нашими глазами. Этот расходящийся пучок лучей с вершиной в оптическом центре глаза рисующего, направляясь к ребрам или к видимому контуру предметов, имеет форму конуса (QEFGHI на рис. 11 и OGH на рис. 12) в тех случаях, когда эти ребра (или контур) ограничены замкнутой кривой.
Поэтому начертательная геометрия, одним из разделов которой является линейная перспектива, рассматривает картинную плоскость (картину) как плоскость проекции, лучи зрения, соединяющие глаза с различными точками пространства, как проектирующие, а перспективное изображение как коническую проекцию.
7.	— Когда размеры стекла, через которое мы смотрим, невелики, а мы хотим уместить на нем весь предмет (или ряд предметов), то его надо установить ближе к глазу рисующего. Нарисованное на нем перспективное изображение будет небольшим (Кг, рис. 12). Если стекло большое, то его нужно отодвинуть от рисующего на большее расстояние, чем в первом случае, и, конечно, нарисованное на нем перспективное изображение тоже будет больше (К2 — К^ рис. 12).
Сравнив затем эти два изображения, мы увидим, что они подобны и что рисунок больших размеров можно получить, увеличив меньший рисунок с помощью сетки из квадратов или каким-либо другим способом.
Отсюда следует, что два перспективных изображения какого-либо предмета, исполненные рисующим с одной и той же точки зрения на большой и малой картинах, установленных одна дальше, а другая ближе, подобны, причем величина изображения зависит от расстояния между картиной и рисующим и увеличивается пропорционально с увеличением этого расстояния.
8.	— Рассматривая нарисованные этим способом на оконном стекле (как на прозрачной картине) перспективные изображения предметов, которые мы ежедневно видим, глядя через него на улицу, сравним размеры и форму этих изображений с реальными размерами и формой предметов, служивших для них моделью.
18
Рис. 12 (6; 7; 9; 24; 52; 59; 74)
Что же касается их величины, то мы заметим, что такие крупные предметы, как находящийся на большом расстоянии многоэтажный дом, дают на стекле очень небольшое перспективное изображение, а перспективные изображения небольших, но близко расположенных к картине предметов, например одноэтажного дома, так велики, что не умещаются целиком в поле нашего зрения, ограниченного оконной рамой (рис. 13). Кроме того, мы заметим, что и другие перспективные изображения, как это отмечалось выше (1, а) не равны между собой, хотя они передают предметы одинаковых размеров. Так, на рисунке 13 два столба (или два дерева на рис. 1 и 2) одинаковой высоты, но расположенные один ближе,,а другой дальше, будет иметь различные перспективные изображения: в первом случае оно будет больше, чем во втором.
Что касается формы предметов, то прежде всего мы увидим, что на их перспективе одни из нарисованных на стекле линий, — как правило, вертикальные и некоторые горизонтальные — сохраняют то же направление, что и ребра соответствующих предметов в пространстве (горизонтальные линии фасадов, расположенных параллельно картинной плоскости, как, например, ступени, карнизы и т. д. строения ABCD-, рис. 14 и 15), а другие линии идут наклонно, хотя соответствующие им ребра предметов горизонтальны (горизонтальные линии фасадов домов ACEF, расположенных вдоль улицы, которые идут наклонно, в глубь пространства;- причем линии, расположенные выше уровня наших глаз, наклонены вниз—нисходящие, а линии, расположенные ниже этого уровня, идут вверх—восходящие; рис. 15).
Далее мы увидим, что одни из граней предметов похожи на их перспективное изображение: например у прямоугольника ABCD, являющегося на картине (т. е. на стек
19
ле) перспективой фасада дома, то же соотношение между основанием и высотой, что и у прямоугольного фасада дома (рис. 14). Такое же сходство мы заметим между прямоугольными и круглыми окнами, расположенными на том же фасаде, и их перспективным изображением на стекле (рис. 14 и 15). Другие фасады, в действительности прямоугольные, на перспективном изображении имеют форму трапеции (рис. 16), причем эти трапеции не походят одна на другую даже тогда, когда они представляют собой фасады зданий одинаковых размеров, но расположенных на различных расстояниях от рисующего (рис. 16). То же самое происходит и с прямоугольными и круглыми окнами на этих фасадах: их перспективные изображения будут иметь форму трапеций и эллипсов, уменьшающихся по мере удаления от рисующего.
Для каждого изучающего перспективу очень полезно внимательно проанализировать приведенные выше случаи и на основании этого анализа постараться сделать общие выводы; тогда он заметит, что все ребра и грани предметов (или тел) могут быть по отношению к плоскости картины только в двух положениях — параллельном или непараллельном. В связи с каждым из этих положений он увидит, что в первом случае произойдет явление так называемого перспективного уменьшения перспективы ребер и граней предметов, если эти ребра и грани параллельны картинной плоскости, а во втором случае — так называемого перспективного искажения перспективы ребер и граней предметов, если эти ребра и грани непараллельны картине.
К рассмотрению этих явлений мы приступим с следующей главе.
ПЕРСПЕКТИВНЫЕ УМЕНЬШЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАРТИНЕ (ФРОНТАЛЬНЫХ) РЕБЕР И ГРАНЕЙ
9.	— Рассматривая полученную на стекле перспективу ребер расположенного в пространстве предмета, параллельных катине, мы видим, что на рисунке они сохраняют то же направление, что и в натуре, и что, следовательно, они параллельны. Следствием параллелизма ребер расположенных в пространстве предметов с соответствующими линиями на рисунке является подобие очертания грани предмета и ее перспективного изображения при условии, чтобы эта грань была параллельна картинной плоскости.
И действительно, взглянув на прозрачную картинную плоскость (в данном случае стекло), мы заметим, что перспективные изображения всех вертикальных прямых вертикальны, будучи параллельны вертикалям в пространстве. То Же самое произойдет и с параллельными в пространстве к картинной плоскости горизонталями, например цоколь и карниз стены, параллельные картине, будут и на перспективном изображении горизонтальны (рис. 14). Наклонные ребра грани, параллельной картине, сохраняют на рисунке тот же наклон, что и в пространстве (см. наклонный карниз фронтона на рис. 14). Следовательно, любая плоская фигура (квадрат, прямоугольник, круг и т. д.), параллельная в пространстве картине, и ее перспективное изображение — подобны.
20
Рис. 14 (8; 9; 98)
Рис. 13 (8)
Что касается взаимосвязи между уменьшением ребер предметов и уменьшением соответствующих им линий на рисунке, то заметим, что размеры перспективного изображения предмета уменьшаются по мере удаления этого предмета от рисующего (рис. 17), хотя это уменьшение зависит не только от расстояния между рисующим и предме-
21
Рис. 17 (9; 92; 98)
том, который он рисует, а также и от расстояния между ним и картиной (стеклом). Чем ближе стоит к стеклу рисующий, тем меньше будет нарисованное им на стекле перспективное изображение, и, наоборот, величина перспективного изображения увеличивается по мере удаления рисующего от стекла (рис. 12).
Такое изменение размеров перспективного Изображения плоских фигур, размещенных в пространстве параллельно картине, не сопровождающееся изменением их формы в связи с увеличением или уменьшением расстояния между фигурой и рисующим или уменьшением или увеличением расстояния между рисующим и картиной, называется перспективным уменьшением. Это явление протекает по легко устанавли
ваемому закону перспективного уменьшения. Применение этого закона в графических построениях при решении некоторых перспективных задач полезно, и поэтому он будет рассмотрен подробнее в дальнейшем (307—323).
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИСКАЖЕНИЕ (ДЕФОРМАЦИЯ) РЕБЕР И ГРАНЕЙ, НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАРТИНЕ
10.	— Рассматривая рисунок, исполненный с натуры на оконном стекле, мы замечаем, что перспективные изображения ребер предметов, непараллельных картине, наклонны и геометрически непараллельны этим ребрам, а перспективные изображения вертикальных ребер предмета наклонены в глубь пространства и сужаются кверху или книзу, если стекло, на котором мы рисуем, наклонено вперед или назад относительно рисующего и непараллельно этим ребрам (рис. 18; 19). Такое же явление мы наблюдаем и на фотоснимках, сделанных аппаратом с объективом, наклоненным вниз или приподнятым вверх: на таких снимках вертикальные ребра фотографируемых зданий кажутся наклонными.
При вертикальном положении картины горизонтальные ребра предмета, непараллельные картине, на рисунке пойдут наклонно в глубь пространства — вверх, как ребро RS (рис. 16), или вниз, как ребро MN на том же рисунке (ребра, которые случайно находятся на высоте глаз рисующего, остаются горизонтальными, как, например, линия GH цоколя на рис. 15 или линия АВ на рис. 16). В плоскостях, расположенных в пространстве, непараллельно картине, наклонные ребра получают на рисунке иной наклон, чем тот, который они имеют в действительности (например, линия CD фронто-
22
нов домов на рис. 16), или в некоторых случаях могут идти горизонтально (например, линия DE фронтона на том же рисунке).
Если мы взглянем на перспективное изображение дома, имеющего фасад, непараллельный картинной плоскости, то увидим, что перспективное изображение вертикального ребра, находящегося к нам ближе, согласно закону перспективного уменьшения,
23
будет больше перспективного изображения ребра, находящегося дальше (например, на рисунке 15 ребро IJ больше ребра KL). В результате перспективного уменьшения два горизонтальных в пространстве ребра прямоугольника примут на рисунке наклонное положение между двумя вышеупомянутыми вертикальными ребрами неодинаковой длины и образуют трапецию (IJKL, рис. 15), непохожую на прямоугольный фасад дома, а наклонные линии диагонали прямоугольника, непараллельного картинной плоскости, получат на рисунке другой наклон, чем в действительности (рис. 20). Заметим еще, что возрастание угла между плоскостью фасада и картиной вызывает сужение к горизонту трапецеидального перспективного изображения фасада (рис. 20). Отметим, между прочим, что величина перспективного изображения прямоугольного фасада уменьшается, а его горизонтальные линии сужаются к горизонту по мере удаления от рисующего, даже тогда, когда его положение относительно картины остается тем же (рис. 16), а сделанные на стекле с натуры перспективные изображения окон по фасаду дома, равных в действительности, уменьшаются по мере увеличения расстояния, согласно закону перспективного уменьшения, но не в одинаковой пропорции в длину и в ширину, что видно по их диагоналям, которые геометрически непараллельны (рис. 21).
Вывод: плоские фигуры, непараллельные картине, и их перспективные изображения нетождественны. Форма их перспективного изображения зависит от расстояния между изображаемым предметом и рисующим, от места, занимаемого предметом в поле зрения рисующего, и от положения предмета относительно картинной плоскости.
Такое несходство между ребрами и гранями предметов, непараллельных картине, и их перспективным изображением называется перспективным искажением. Закон этого явления гораздо труднее сформулировать. К тому же он не имеет графического применения. Поэтому в практике явления перспективного искажения решаются с помощью соответствующего закона перспективного уменьшения.
Какие бы разнообразные формы ни приобретал внешний вид предметов и каковы бы ни были изменения величины и формы их перспективного изображения (1) в связи с расстоянием до глаза рисующего, местом, занимаемым им в его поле зрения, и положением относительно картинной плоскости, все они вызваны только следующими двумя явлениями: явлением перспективного уменьшения и перспективного искажения (деформации) и подчиняются только этим законам.
Знание и освоение этих двух законов' позволило линейной перспективе научно решить все вопросы, затрагивающие изображение на картине любого предмета в любом положении и его перспективные уменьшения и искажения.
ХАРАКТЕРИСТИКА КОНИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
11.	— Мы считаем полезным уже сейчас уточнить важную характерную особенность линейных перспективных изображений, получаемых на картине с помощью конической проекции. Выходя из оптического центра глаза, лучи зрения проходят через
24
точки контура, нарисованного на прозрачной картинной плоскости (стекле), и расходятся в бесконечности, охватывая не только какой-либо определенный предмет, но вместе с ним и неограниченное число подобных предметов, пропорциональные размеры которых постепенно увеличиваются по мере удаления от рисующего.
Так, на рисунке 22 круг, нарисованный на прозрачной кар
тинной плоскости (стекле), может быть обыкновенным путевым указателем, но с таким
же успехом — и стоящим гораздо дальше сигнальным железнодорожным диском или большим воздушным шаром, находящимся на очень большом расстоянии от ри
сующего.
На рисунке 23 две смежные трапеции могут быть перспективным изображением и близко стоящего небольшого ящика abcdef, и расположенного на более далеком расстоянии, но имеющего большие размеры памятника ABCDEF, и расположенного на очень далеком расстоянии, но очень большого многоэтажного дома А^В^С^Е^.
Если не учитывать эффектов воздушной перспективы (5), с помощью которой можно с большим или меньшим приближением дать почувствовать расстояние между рисующим и предметом, который он хочет изобразить на картине, или если отсутствуют элементы сравнения (например, более или менее высокая опора диска на рисунке 22, человек возле памятника или число этажей в доме на рисунках 26 и 27), с помощью которых мы можем получить представление о величине нарисованного предмета, мы не могли бы установить размеры линий на картине и расстояния в пространстве между рисующим и предметом, ограниченным линиями ABCDEF на рисунках 24—27.
Но если мы знаем или предполагаем расстояние, на котором находится глаз рисующего от картины, или если мы знаем или зададимся размерами нарисованного предмета (например: 20 см — высота радиоприемника на рисунке 25; 2,30 м — высота памятника на рисунке 26; 21 м — высота дома на рисунке 27), то, применив к рисунку графический закон перспективного уменьшения, который будет рассмотрен дальше (318), мы легко установим, не прибегая к сложным графическим построениям, точное расстояние и место предмета в пространстве (радиоприемник стоит на расстоянии 0,74 м от рисующего, памятник на расстоянии 8,80 м, а дом, находящийся на расстоянии 78 м от рисующего, расположен в долине, на 14,50 м ниже уровня его глаз).
То, что одно и то же перспективное изображение на картине соответствует бесконечному числу предметов с одинаковым очертанием, но самых разнообразных раз
25
меров в зависимости от расстояния, на котором, по предположению художника, они находятся, открывает перед ним огромные возможности для композиции. Он должен запомнить эту особенность перспективных изображений и пользоваться ею каждый раз, когда в этом появится необходимость. Как будет указано во второй части нашей книги, художник может, идя этим путем, т. е. приближая, удаляя, поднимая или опуская любой нужный ему предмет заданных размеров, добиться, чтобы перспективное изображение этого предмета по-разному отвечало его композиционному замыслу.
МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРСПЕКТИВЫ
12.	— Хотя перспективные изображения предметов можно строить, пользуясь одними лишь методами начертательной геометрии, было бы ошибкой идти только одним этим путем. Перспективную композицию надо рассматривать не как эпюру, решенную методами начертательной геометрии, примененными к конической проекции. Это привело бы к путаным, сложным и трудным графическим построениям, требующим большого количества бумаг и времени, и которые с точки зрения пластической концепции художника будут абстрактными: глаз наблюдающего с трудом мог бы проследить путь в пространстве лучей зрения, порождающих данное перспективное изображение, не создающее живого образа.
У перспективы есть свои методы, которые должны отвечать следующим требованиям.
а)	Она не должна пользоваться абстрактными геометрическими построениями. Линии, с помощью которых художник строит на картине изображение, должны точно соответствовать линиям, ограничивающим изображаемый им предмет в пространстве.
б)	Она должна позволять создавать перспективные построения, умещающиеся в пределах картины или возможно меньше выходящие за эти пределы. Для этого недостаточно знать теоретические графические построения, очень наглядно иллюстрирующие законы перспективного уменьшения и искажения, но далеко выходящие за пределы картины. Наряду с ними надо хорошо знать и те практические графические построения, с помощью которых можно исполнять все перспективные построения, не выходя за пределы картины.
Среди разнообразных практических методов художник, конечно, предпочитает методы, которые будут полезнее в его творческом рисунке, т. е. те, которые позволят в пределах набросанной им графической схемы придать изображаемому предмету любой поворот, чтобы затем выбрать тот, который лучше других отвечает его композиции, в отличие от иных, порой более точных построений, но которые нужно проделывать сначала всякий раз, когда ему понадобится придать предмету более подходящее положение (229—232; 391—397; 402—405; 445; 466; 472; 475—476; 477—487).
в)	Давать художнику возможность сразу построить перспективное изображение нужной величины и формы без необходимости затем его увеличивать или уменьшать.
26
Рис. 23 (11; 89; 391)
Рис. 24 (11; 89; 391)
Рис. 25 (И; 89; 318; 391)
Рис. 26 (11; 89; 318; 391)
Рис. 27 (И; 89; 318; 391)
27
г)	Применять простейшие построения, не перегружающие бесполезно рисунок, пользуясь для всякой новой задачи уже уточненными на картине элементами (288, в и 382, примечание) и избегая неотчетливых пересечений под слишком острым углом.
Существует два рода перспективных методов — общие, оперирующие ансамблем, и частные, оперирующие деталями (простые способы).
Общие методы применяются для перспективного построения больших композиционных линий и для проверки пропорций нарисованных предметов. Для дополнения и окончательного оформления деталей, опирающихся на предварительно намеченные композиционные линии, следует применять частные методы. Благодаря этому детали, непосредственно зависящие от больших линий или расположенные возле этих линий, будут теснее связаны с ними, а неизбежные при рисовании ошибки будут менее заметны.
Для исправления перспективных ошибок и для окончательного оформления первых композиционных набросков художник должен в одинаковой мере пользоваться общими и частными методами, применяя их с полным знанием дела, пониманием и творческой изобретательностью. Не следует забывать, что перспективная композиция должна быть не только правильной и соответствующей действительности, она также должна возможно ярче отображать богатство идейного содержания первоначального эскиза. Исправленная и соответствующая реальности композиция должна в то же время как можно больше приближаться к творческому замыслу художника. Этого результата можно добиться только тогда, когда художник в результате длительных упражнений будет так же хорошо знать перспективу, как грамотный человек грамматику. Нет ничего более вредного, чем неполное, поверхностное знание правил перспективы: оно может привести к гораздо более грубым ошибкам, чем полное незнание этих правил.
Средства для достижения возможно более полного сходства между исправленным перспективным изображением и первоначальным эскизом указаны на рисунках 300, 304 (278).
13.	— Значение точности графических построений в линейной перспективе.
С первых же шагов обратим внимание читателей на огромное практическое значение точных графических построений в линейной перспективе.
Небрежно исполненные чертежи с нечеткими точками пересечения могут привести к неправильным результатам. Например, перспектива окружности, для построения которой был найден с помощью соответствующих касательных ряд точек, но небрежно исполненная, часто менее правильна, чем перспектива той же окружности, сделанная от руки, без перспективных построений.
Неряшливый и невнимательный рисунок слишком мягким карандашом в толстых линиях, проведенных не в нужные места, а без толку, наугад по всей картине, приводит к такой перегрузке всего чертежа линиями построения, что рисующий, запутавшись в их беспорядочной паутине, будет вынужден в конце концов отказаться от построения. Художники, не научившиеся одновременно с изучением практических методов построения перспективных схем рисовать эти схемы, ищут в хаотическом
28
беспорядке неумело исполненного рисунка необоснованный предлог для отказа применять на практике эти приемы.
Этому вопросу мы отвели важное место и в тексте, и в рисунках нашей книги. В каждом соответствующем случае нами указывалось, как надо исполнять перспективные построения для получения наиболее отчетливых пересечений прямых и как можно избежать в них неточностей (179, рис. 230). Для большей ясности линии построения вычерчены на рисунках во всю их длину. Благодаря этому читатель легко найдет и точки, которые они соединяют, и точки их пересечения. Практически рисующий, хорошо знакомый с процессом работы, должен все время следить за тем, чтобы линии построения проводились только там, где они нужны, как указано на рисунках 284 и 634, где для решения уже известной читателю задачи — построение перспективы окружности — линии были проведены только в месте нужных пересечений.
Этот принцип должен применяться во всех перспективных построениях.
Излишне упоминать, что пользование чертежной доской для укрепления бумаги, рейсшиной для горизонтали, угольником для вертикалей и других построений, циркулем для окружностей, масштабной линейкой для измерений, лекалом для кривых, делительным масштабом для деления прямых на равные части с помощью бумажной полоски (367—371), булавками для точек схода и т. д. только облегчит работу рисующего и поможет ему добиться точных графических построений и художественности исполнения.
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПЕРСПЕКТИВЫ И ПЕРСПЕКТИВНАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ
Рисующий, в зависимости от преследуемой им цели, может прибегать к различным приемам:
может, например, рисовать с натуры, пользуясь для измерений и для проверки наклона и пропорций изображаемого предмета вязальной спицей или карандашом, которые он держит вертикально вытянутой рукой;
может также рисовать по памяти или прибегая к воображению вещи, которые он не видит, но которые существуют, существовали или будут существовать;
может захотеть по перспективному изображению еще не существующего предмета вычертить его план (т. е. его ортогональную проекцию).
Во всех этих случаях вопросы перспективы будут решаться по-разному.
14.	— А. Когда, например, нам известны размеры, форма предмета, расстояние и положение этого предмета относительно рисующего и положение установленной на определенном расстоянии между рисующим и изображаемым предметом картины, перспективное изображение этого предмета можно построить прямо на картине. Если в нашем распоряжении имеется описание предмета, если мы запомнили наизусть перечисленные выше данные или у нас есть чертежи (ортогональные проекции) этого предмета, такая задача решается прямой перспективой, потому что перспективное изображение строится прямо на картине на основании данных, взятых в окружающем пространстве.
29
Рис. 28 (15). Теодор Аман. Истребление болгар турками, эскиз
Нередко художник, зная или задавшись главными размерами, установив общую топографию местности, на которой он собирается группировать фигуры на своей композиции, и установив точку, с которой он на них смотрит, может построить перспективу входящих в композицию элементов, пользуясь для этого правилами прямой перспективы.
Но так ставится перспективная задача преимущественно в тех случаях, когда нужно построить перспективное изображение памятников или зданий, планы которых у нас имеются. В данном случае мы имеем- в виду архитектурные проекты, по которым архитектор, вычертив планы, захочет составить себе представление о внешнем виде спроектированных им сооружений, например какого-либо общественного здания, которое после его постройки можно будет рассматривать с различных мест, под различными углами зрения и с различных расстояний на площади, улице или в парке, где оно будет расположено. К такой же проверке прибегают скульпторы и декораторы при проектировании памятников и декораций. Однако и в живописных композициях возникают задачи прямой перспективы, если в них встречаются целые или частичные перспективные изображения уже существующих и всем известных сооружений, которые благодаря этому должны быть похожи. В таких случаях их перспективу строят по эпюру (или по чертежам), конечно, в том случае, когда он имеется. Примерами прямой перспективы могут служить рисунки 489—490; 494—495; 623—624; 633—634; 637—640; 642—649 и т. д.
15.	— Б. Мы нарисовали по памяти, с натуры (рис. 28) или вообразили приблизительное перспективное изображение какого-либо предмета. После этого мы захотели
30
Рис. 28 a (15). Теодор Аман. Истребление болгар турками
проверить соответствие нашего рисунка законам перспективы. Прежде чем приступить к проверке незаконченного рисунка, нужно, пользуясь обратным методом, уточнить расстояние, на котором находится картина от рисующего и от объекта, и установить размеры этого объекта. Только после этого, пользуясь методами прямой перспективы, мы можем начать исправление ошибок и закончить рисунок (рис. 28 а).
Такие задачи относятся к обратной перспективе, потому что отправной точкой в них в отличие от прямой перспективы служит не самый предмет, а его перспективное изображение на картине.
Знание обратной перспективы обязательно для художника. С ее помощью он может заканчивать сделанные с натуры или по памяти беглые наброски и доводить до конца любые живописные композиции. Методы обратной перспективы надо применять с полным знанием дела, постоянно следя за тем, чтобы во время проверки перспективных построений сохранить в первоначальном виде все элементы, представляющие в эскизе живописный или композиционный интерес. Этим путем мы получим исправленное перспективное изображение, очень близкое по рисунку и эмоциональной настроенности к первоначальному наброску, а чтобы сохранить его свежесть, мы советуем делать исправления не на эскизе, а на прикрепленном поверх эскиза листе бумаги или кальки. Когда после ряда пробных рисунков мы получим правильное и в то же время близкое к первоначальному замыслу перспективное изображение, можно заканчивать картину. На рисунках 298—304 даны примеры обратной перспективы.
31
16.	— В. Если на картине имеется правильное или исправленное перспективное изображение какого-нибудь предмета и мы можем уточнить размеры хотя бы одной из его деталей, то после определения методами обратной перспективы положения картины относительно рисующего и относительно интересующего нас объекта мы можем приступить к составлению его плана и фасадов (ортогональное проектирование). Эта операция называется перспективной реконструкцией, а полученные этим путем планы— реконструированными (311, рис. 340; 319, рис. 346; 321, рис. 349; 520, рис. 578).
Знание этих методов необходимо не только архитекторам, которые могут по фотографиям и перспективным рисункам восстановить исчезнувшие или частично разрушенные памятники, но и художникам, декораторам и особенно скульпторам. После первоначального эскиза, уточненного затем в форме правильного перспективного построения, скульптор может составить точные рабочие планы памятника и установить размеры и пропорции всех его членений: статуй, барельефов, цоколя и т. д., а художник-декоратор на основании перспективного эскиза может разработать точные чертежи какого-нибудь декоративного ансамбля или другой декоративно-художественной работы: мебели, колодца и т. д.
Считаясь с тем, что в работах художника может встретиться любое из положений, о которых мы говорили выше, мы решаем большинство перспективных задач в этой книге прямой и обратной перспективой, прибегая в каждом нужном случае к методам перспективной реконструкции.
Рис. 29 (1, в; 20: 516). Никола Пуссен. Пейзаж со святым Матфеем и ангелом
П. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТЬ ПРЕДМЕТОВ, ИМЕЮЩИХ ТРИ ИЗМЕРЕНИЯ
17.	— Как уже говорилось выше,, перспективные изображения окружающих нас предметов, полученные на картине конической или перспективной проекцией, не передают их точную форму: на них предметы представлены такими, какими мы их видим, а не такими, каковы они на самом деле. Эти перспективные изображения, регистрирующие на картине явления перспективного уменьшения и искажения размеров предметов в том виде, какими мы их видим с различных точек зрения, отвечают главным образом требованиям изобразительных искусств. Технические работники, которые только с помощью длинных и сложных операций, называемых перспективной реконструкцией (16), и то с большим трудом могут определить размеры ребер и реальную форму перспективного изображения граней предметов, не могут пользоваться конической проекцией как рабочим чертежом в их работах, потому что в жизни дом не строят по его перспективному изображению, хотя теоретически это казалось бы возможным.
Необходимость иметь возможность легко и быстро устанавливать на плоскости бумаги размеры предметов, для чего ограничивающие их поверхности должны быть
33
представлены в их реальной форме, привела к изобретению и введению в обиход ортогональных цилиндрических проекций. Эти проекции не создают пластически выразительных образов, и поэтому художники охотнее пользуются косоугольными цилиндрическими проекциями, на которых можно иметь все три измерения предмета, хотя его стороны и не передаются в их подлинном виде, а с некоторым искажением, которое сближает полученные изображения с коническими проекциями. Эти косоугольные проекции называются иначе аксонометрическими.
Ортогональные и аксонометрические (т. е. прямоугольные и косоугольные) цилиндрические проекции являются предметом изучения начертательной геометрии.
18.	— Несмотря на это, художникам очень полезно иметь возможно более полное представление о начертательной геометрии. Это даст им возможность представить предметы сложной формы в ортогональной проекции, которую затем можно гораздо легче превратить в перспективную (особенно в тех случаях, когда у нас нет перед глазами нужных предметов и мы не можем нарисовать их с натуры), и вообще помогает решению многих перспективных задач.
Применяя принципы начертательной геометрии при создании эскизов для декоративной живописи и монументальной скульптуры, художники получают выразительные чертежи, которые очень мало отличаются от перспективных изображений, но которые можно легко и точно измерить.
Поэтому, прежде чем продолжить анализ перспективных конических проекций, мы считаем нужным сказать несколько слов об основных принципах цилиндрических ортогональных и аксонометрических проекций.
Если, взяв за исходную точку нашего анализа коническую проекцию, мы предположим, что глаз рисующего находится на бесконечно далеком расстоянии от картины, то лучи его зрения, направленные на предмет, пойдут параллельно, проекция из конической превратится в цилиндрическую, лучи получат название проектирующих, а картина будет называться плоскостью проекции.
Цилиндрические проекции называются прямоугольными, или ортогональными, когда проектирующие перпендикулярны к плоскости проекции, и косоугольными, или аксонометрическими, когда проектирующие к ней наклонны. В зависимости от положения предмета относительно плоскости проекции и в зависимости от угла наклона проектирующих можно получить различные виды аксонометрических проекций: изометрические, диметрические, фронтальные и военные (точнее военная перспектива).
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРЯМОУГОЛНЫЕ, ИЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ, ПРОЕКЦИИ
19.	— При прямоугольной цилиндрической проекции изображаемый предмет, в данном случае прямая призма с прямоугольным основанием (рис. 30), устанавливается одной из граней, например ABCD, параллельно плоскости проекции V. Проектирующие параллельны между собой, но перпендикулярны к плоскости проекции, и, следовательно, спроектированная фигура а'в'с'd' равна передней грани A BCD и задней грани EFGH призмы.
34
Рис. 30 (19; 26: 38)
Остальные грани призмы (боковые — ABEF и CDGH, верхняя—ACEG и нижняя — BDFH) на фигуре, спроектированной на плоскость V, представлены каждая только одной линией. Следовательно, эта проекция показывает истинную форму и размеры только двух граней призмы; этого недостаточно, чтобы знать форму и размеры всех ее граней.
Чтобы получить представление о форме и размерах остальных граней, надо взять вторую плоскость проекции Н, параллельную этим граням и, следовательно, горизонтальную, и на ней построить вертикальными проектирующими фигуру aceg, дающую действительные форму и размеры этих граней.
Дальше, чтобы иметь форму и размеры боковых граней призмы CDGH и BFEA, надо взять третью плоскость проекции W, параллельную этим двум граням и, следовательно, перпендикулярную к первым двум плоскостям. На этой плоскости мы получим с помощью перпендикулярных к ней проектирующих проекцию c"d"g"h”, дающую действительные форму и размеры боковых граней призмы ABFE и CDGH.
Ортогональные проекции на этих трех плоскостях дают нам все необходимые размеры для выполнения из любого материала призмы, имеющей форму и размеры спроектированной призмы,
35
Две плоскости проекции V и W вертикальны, третья Н горизонтальна и называется горизонтальной плоскостью проекции, а фигура на ней горизонтальной проекцией, или планом.
Плоскость V называется вертикальной плоскостью проекции, а проектированная на ней фигура — вертикальной проекцией, фасадом или элевацией.
Плоскость W носит название профильной, или боковой, плоскости проекции, а проектированная на ней фигура — бокового фасада, профиля или боковой элевации.
Линии пересечения плоскости проекции называются осями и обычно обозначаются буквами ОХ, ОУ, OZ.
Для получения трех проекций предмета на том же листе бумаги горизонтальная и боковая плоскости поворачиваются вокруг осей проекции ОХ и OZ до совпадения их с вертикальной плоскостью проекции. Этим путем мы получаем так называемый эпюр спроектированного предмета (см. правый чертеж на рис. 30).
Ввиду того, что в эпюре проектирующие горизонтальны или вертикальны, а в пространстве они перпендикулярны осям проекции (см. рис. 30), проекции любой точки пространства находятся на той же горизонтали или вертикали, перпендикулярных к осям проекции. Например, проекция точки А пространства находится в точках а и а' перпендикуляра аа' на ось ОХ и в а' и а" перпендикуляра а'а" на ось OZ. Линии аа и а'а” называются порядковыми линиями. Когда ими пользуются в рисунке, то по окончании работы их в большинстве случаев стирают.
Если в изображаемом предмете размеры и форма стороны, обращенной к рисующему, равны размерам и форме его боковой стороны, третья проекция на боковой плоскости не нужна, потому что она равна проекции на вертикальную плоскость.
Рассматривая на эпюре план, фасад и боковой фасад, художник не видит живого изображения призмы, а только три прямоугольника. Для того чтобы воссоздать образ, нужно напрячь воображение и прежде всего представить себе плоскости проекции перпендикулярными друг другу, т. е. перегнутыми вдоль осей ОХ и OZ, а затем вообразить обратное движение проектирующих, которые, исходя из углов этих прямоугольников и взаимно пересекаясь, образуют призму. Такой умственный процесс называется чтением эпюра. Специалист, рассматривая эпюр, представляет себе так же легко фигурирующий на нем предмет пространства, как музыкант, глядя на партитуру, — мелодию. Но повсюду, где это можно, лучше заменять ортогональные проекции аксонометрическими, которые дают гораздо более наглядные изображения и, как ортогональные проекции, все нужные размеры для выполнения в желаемом материале спроектированного предмета. Однако прежде чем перейти к аксонометрическим (косоугольным) проекциям, внесем некоторые дополнения, которые помогут художнику пользоваться ортогональными (прямоугольными) проекциями в качестве вспомогательного метода во время создания перспективных композиций.
20.	— Чтобы облегчить построение перспективы сложных тел, которые мы не можем нарисовать с натуры, не имея их перед глазами, как, например, памятник (рис. 31 — справа, вверху и рис 623—624); монументальная арка (рис. 18; 19;32;43; 108—111);храмна картине Рафаэля Обручение Марии (рис. 5; 633—634); различные строения (рис. 34); деревенский дом
36
Рис. 31 (20; 109)
37

Рис. 34 (20; 516). Кароль Попп де С а 1 м а р и. Улица в Кымпулунге
под черепичной крышей с широкими стрехами (рис. 31; 637—640); наклонно стоящие предметы: каменные блоки ‘(рис. 6), мраморные глыбы какой-то руины (рис. 29), стул и ящики на картине И. М. Прянишникова Шутники (рис. 31 —- справа, внизу; рис. 35); красочный ящик с открытой крышкой на первом плане на картине Ивана Фирсова Юный художник (рис. 33; 36; 650—655) и т. д., прежде всего мы должны уметь строить их прямоугольные проекции.
Для более удобного пользования этими чертежами рекомендуется исполнять их в одном из общепринятых масштабов, например, 1 : 100 (1 см — = 1лг); 1 : 50 (2 см = 1.и); 1 : 20 (5 см — 1 м); 1 : 10(10 см — 1 .и). По указанному на чертеже масштабу мы можем легко устано-
38
Рис. 35 (20; 516). И. М. Прянишников. Шутники
вить размеры ребер и построить перспективу призмы, в которую мы собираемся вписать предмет сложной формы.
Так, начертив в масштабе 1 : 200 (0,5 см= 1 м) план и фасад памятника, мы увидим, что его можно вписать в призму с квадратным основанием размерами 6,00 X 6,00 X 12,50 м (рис. 31). Монументальную арку, вычерченную в плане, в главном и боковом фасадах в масштабе 1 :400 (2,5 лш=1 м), можно вписать в прямоугольную призму размерами 9,00 X 7,00 X 10,50 м (рис. 32). Деревенский дом, план и фасад которого начерчены в масштабе 1 : 100 (1 см = 1 .и), вписывается в призму размерами 8,40 X 9,30 X 7,90 м (рис. 31). Призма, в которую вписываются наклонные ящики, вычерченная в масштабе 1 : 20 (5 см = = 1 м), имеет размеры 0,64 X 0,52 X 0,54 м (рис. 31), а размеры призмы для красочного ящика с открытой крышкой в том же масштабе будут 0,52 X 0,43 X 0,35 м (рис. 33).
Кроме приведенных выше примеров, мы пользовались ортогональными проекциями для построения перспективы монументального интерьера (рис. 489 и 494), пьедестала (рис. 627), постамента (рис. 631), декоративной вазы (рис. 635), ступеней лестниц
39
Рис. 36 (20; 516). И в а и Фирсов. Юный художник
с одной и несколькими площадками (рис. 641; 642; 646), различных наклонных предметов (рис. 656; 665; 673—675; 677) и т. д.
Но и в других случаях, например при развертывании поверхностей свода, который нужно покрыть монументальной живописью, при изучении перспективных искажений в монументальной и обыкновенной скульптуре для расчета объемных театральных декораций и т. д., художнику очень помогает знание начертательной геометрии.
АКСОНОМЕТРИЧЕСКАЯ,
ИЛИ КОСОУГОЛЬНАЯ, ПРОЕКЦИЯ
21.	— Аксонометрические (косоугольные) проекции более выразительны, чем ортогональные. Они передают на одной плоскости проекции и одной проекцией все три измерения изображаемого предмета, что очень облегчает понимание его действительной формы. Аксонометрические проекции основаны на системе трех осей, на которых измеряются длина, ширина и высота предмета. Ввиду того что проектирующие лучи в этих проекциях параллельны друг другу и встречаются под косым углом с плоскостью проекции, ребра проектируемых предметов, параллельные этой плоскости, перспективно не уменьшаются, а все грани или только некоторые из них деформируются в большей или меньшей степени в зависимости от положения предмета относительно плоскости проекции и от наклона проектирующих. Получаемые этим методом проекции походят в большей или меньшей степени на перспективные изображения в зависимости от вида проекции — изометрической, диметрической, фронтальной или военной. Как указывается дальше, в изометрических проекциях все ребра проектируемого предмета наклонны относительно плоскости проекции, а проектирующие встречаются с ней под прямым углом (ортогонально).
40
Изометрические проекции
22.	— Установим перед вертикальной плоскостью проекции куб ABCDEFGH (рис. 37), наклоним его и будем вращать до тех пор, пока диагональ СЕ не станет перпендикулярной к плоскости проекции. Если придать проектирующим направление этой диагонали, заключенной в перпендикулярной к вертикальной плоскости проекции диагональной плоскости куба, мы получим на плоскости проекции характерное изображение куба, рассматриваемого снизу или сверху. Это изображение будет иметь следующие характеристики.
а)	Четыре ребра куба АЕ, BF, CG и DH, расположенные в пространстве в вертикальных плоскостях, проектируются вертикально.
б)	Остальные восемь ребер проектируются наклонно под углом в 30° (угол, который обычно имеют покупные угольники). Ребра ЕА, EF и ЕН (для проекции куба сверху) или ребра CG, СВ и CD (для проекции куба снизу), которые взаимообразуют три угла, каждый в 90°, проектируются по трем осям, взаимообразующим углы, равные каждый 120°.
Рис. 37 (22; 26)
41
в)	Все проекции ребер куба по трем указанным выше осям имеют одинаковую длину, равную 0,806 их действительной длины. Отсюда их название изометрические проекции.
В практике это уменьшение проекции не принимается во внимание: ребра измеряются по трем осям в их действительном размере в одном из обычных масштабов — 1 :200; 1 : 100; 1 : 50; 1 :20; 1 : 10 и т. д.
Пользуясь угольником, имеющим один из углов 30°, нетрудно начертить изометрические проекции предметов прикладного искусства, предназначаемых для исполнения в различных материалах. Однако нужно помнить, что в этих проекциях в масштабе, которым мы задались, можно измерять только линии, параллельные на чертеже указанным трем осям. Например, нельзя получить действительную длину диагоналей граней куба, измеряя их на проекции, потому что они непараллельны данным осям. Их длину можно измерить по планиметрическому чертежу квадрата со сторонами, равными ребрам грани куба на изометрической проекции.
Диметрические проекции
23.	— По сравнению с изометрическими диметрические проекции дают изображения, гораздо более приближающиеся к перспективным (рис. 38). Проектируемый предмет устанавливается вертикальными гранями перед перпендикулярной плоскостью проекции под таким углом, а проектирующие идут с таким наклоном, чтобы оси, на которые проектируются три ребра куба, получили следующие направления: ось вертикального ребра пошла бы по вертикали, а две оси горизонтальных ребер соответственно образовали бы с горизонталью ОО' углы в 7° и в 40°. По вертикальной оси вертикальное ребро проектируется в натуральную величину, по оси с наклоном в 7° соответствующее ребро проектируется с незначительным сокращением, которое в практике не принимается в расчет, а вычерчивается его нормальная длина; по оси, наклонной под углом в 40°, ребро проектируется укороченным вдвое по сравнению с его нормальной длиной. Как мы видим, в этой проекции для проектирования ребер применяют- два разных масштаба, и поэтому она называется диметрией.
В практике оси строятся без транспортира следующим способом (рис. 38):
а)	для оси, наклонной под углом в 7°, откладывают по горизонтали ОО' 8 равных частей и затем из конца восьмого деления по вертикали — одну такую же часть;
б)	для оси под углом в 40° откладывают по горизонтали ОО', как в предыдущем случае, тоже 8 делений, а из конца восьмого по вертикали — 7 таких же делений.
Время, затраченное на вычерчивание параллелей к этим осям, для которых не существует угольников, возмещается более пластическим видом диметрических проекций.
42
Рис. 38 (23: 26)
Фронтальные проекции
24.	— Как мы видели выше, в изометрических и диметрических проекциях все грани предмета проектируются с искажением. Во .фронтальной проекции одни из его граней (и, следовательно, два измерения таких граней) проектируются без искажения (рис. 39).
Куб устанавливается таким образом, чтобы две его вертикальные грани были параллельными вертикальной плоскости проекции, а проектирующим придается наклон, благодаря которому ребра, перпендикулярные плоскости проекции, проектируются параллельно одной из осей, наклонной вправо или влево под углом в 45° относительно остальных ребер, а длина их уменьшается вдвое (рис. 39). Строить чертеж по этим трем осям (горизонтальной, вертикальной и наклонной под углом в 45°) очень легко. Не надо только
43
забывать, что размеры по наклонной оси уменьшают вдвое по сравнению с двумя другими осями.
Также очень важно помнить, что на гранях, параллельных плоскости проекции (передняя и задняя грани), круг и другие фигуры проектируются без искажения. Поэтому этими проекциями пользуются очень часто. В нашей работе помещено много рисунков во фронтальной проекции (рис. 11; 12; 60; 65, А,Б,В,Г; 104—106; 127; 128; 130; 132—134; 136—140; 142—144; 146—150; 155 и т. д.).
Военная перспектива
25.	— Военная перспектива (проекция) очень напоминает фронтальную проекцию, но в ней остаются недеформированными не передняя и задняя грани проектированного объекта, как во фронтальных, а верхняя и нижняя, т. е. горизонтальные грани (рис. 40).
Призматический предмет, установленный вертикально над горизонтальной плоскостью проекции, вращают до тех пор, пока его горизонтальные ребра не образуют угол в 45° с вертикальной плоскостью.
Рис. 39 (24; 26)
44
Рис.'40 (25; 26)
Проектирующим придается наклон, при котором длина ребер призмы, перпендикулярных к горизонтальной плоскости проекции, спроектированных на эту плоскость, была бы вдвое короче, чем их действительная длина.
Как и во фронтальной проекции, в военной перспективе очень легко строить чертежи по трем ее осям (по одной вертикальной и двум наклонным под углом в 45°), но при этом не надо забывать, что в военной перспективе вдвое меньшие размеры откладываются по вертикальной оси (а не по наклонным). В ней недеформированными остаются не передняя и задняя грани, а грани, параллельные плоскости проекции, т. е. горизонтальные грани.
В военной перспективе предметы производят впечатление предметов, рассматриваемых с птичьего полета. Ею часто пользуются военные для планов укрепленных мест,
45
видимых как бы с возвышенности, и поэтому она называется военной. Эта перспектива удобна и в прикладном искусстве, так как по чертежам, сделанным согласно ее принципу можно сразу же представить себе общий ансамбль помещения — пол и две стены, меблировку, паркет, ковры, ткани и т. д. с объемными и цветовыми отношениями всех составных частей этого ансамбля. При проектировании снизу того же помещения видно отношение цвета и формы между декоративным оформлением стен и потолка или сводов, перекрывающих это помещение (рис. 41 и 42). На рисунке 41 не деформируется декоративное и орнаментальное оформление интерьера комнаты, т. е. горизонтальной плоскости пола (мозаики, ковра), стола (инкрустаций и т. д.), дивана (тканей). На рисунке 42 не деформирован потолочный орнамент.
Практические применения
26.	— Во всех видах перечисленных выше аксонометрических проекций предмет может быть представлен рассматриваемым снизу или сверху, т. е. в положении, которое мы хотим иметь на чертеже. В обоих случаях положение трех осей неизменно. На рисунке
Рис. 42 (25,26)
Рис. 41 (25,26)
46
Рис. 43 (20, 26).
43 представлена в масштабе 1 :400 схема триумфальной арки, проектированной ортогонально, а на рисунке 32 она проектирована в том же масштабе сверху и снизу изометрически, диметрически, фронтально и методом военной перспективы.
В военной перспективе необязательно давать недеформируемой грани предмета поворот в 45°, а любой поворот, отвечающий цели рисующего. Например, изображая внутренние стены какого-нибудь помещения, мы можем дать меньший поворот стене,
47
которую нам хотелось бы иметь на чертеже менее деформированной (рис. 41 и 42). Равным образом по вертикальной оси можно отсчитывать размеры в том же масштабе, что и по остальным двум осям (см. те же рисунки).
И в изометрических проекциях можно придать осям любой наклон, при котором изображаемые тела будут иметь вид, наиболее соответствующий нашей композиции. В этой книге есть рисунки, на которых оси не образуют между собой равных углов в 120° (рис. 45—47; 49—50; 584 и т. д.).
А на рисунках, помещенных в этой главе, ортогональные и аксонометрические проекции применялись следующим образом.
На рисунке 30, слева, принцип ортогональных проекций иллюстрируется фронтальной проекцией.
На рисунке 37 принцип изометрических проекций иллюстрирован ортогональными проекциями (слева внизу предмет спроектирован сверху; справа внизу—’Снизу) и фронтальными проекциями (слева вверху предмет спроектирован сверху; справа вверху — снизу).
На рисунках 38 и 39 принцип диметрической проекции и фронтальной проекции иллюстрирован ортогональной проекцией (справа вверху и посредине).
На рисунке 40 принцип военной перспективы иллюстрирован ортогональной проекцией (слева) и военной (справа внизу). В последней проектируемый предмет был повернут таким образом, чтобы ребра АЕ, BF, CG и DH представлялись читающему вертикальными.
Из нескольких приведенных в этой главе и иллюстрированных рисунками примеров, из того, что для демонстрации ряда вопросов по перспективе мы прибегали к ортогональной проекции, становится ясным, насколько важно углубленное освоение принципов этих проекций не только для технических работников, а также и для художников, скульпторов, граверов и т. д.
Рис. 44 (6). Альбрехт Дюрер. Построение перспективы лютни
III. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРОСТРАНСТВА
В первой главе при изложении принципов линейной перспективы говорилось:
о пространстве, со всех сторон окружающем рисующего;
об оптическом центре глаза или, иными словами, о точке зрения;
о поле зрения, т. е. о части пространства, которую можно охватить одним взглядом;
о лучах зрения и о направлении взгляда рисующего, т. е. о главном луче зрения;
о плоскостях, образуемых лучами зрения (лучевых плоскостях), т. е. о плоскостях зрения,
о картине и о положении, которое она занимает между рисующим и изображаемым предметом.
В дальнейшем мы попытаемся уточнить эти основные понятия перспективы пространства.
ПРОСТРАНСТВО
27.	— Обозначим буквой О оптический центр глаза рисующего, который смотрит прямо (рис. 45). Обозначим буквой К картинную плоскость (прозрачное стекло), находящуюся между рисующим и предметом или несколькими предметами, на которые он смотрит, и один из этих предметов обозначим буквой V.
49
28.	— Картинная плоскость (сокращенно картина). Безграничная плоскость (в нашем примере вертикальная), которая включает ограниченную плоскость картины, называется картинной плоскостью.
Картинная плоскость может находиться перед рисующим на любом расстоянии. Это расстояние устанавливается для каждой данной перспективы, остается для нее неизменным и должно быть известно рисующему. В общем за исключением специальных случаев, например театральных декораций, принято считать, что картинная плоскость перпендикулярна направлению взгляда, т. е. главному лучу зрения.
29.	— Нейтральная плоскость. Неограниченная вертикальная плоскость, параллельная картинной плоскости и проходящая через оптический центр взгляда рисующего,
Рис. 45 (26; 27—35; 54; 55)
Рис. 46 (26; у; 59)
называется нейтральной плоскостью. Хотя по своему положению в пространстве нейтральная плоскость не видна рисующему, все же, как это будет видно в дальнейшем (35), она играет существенную роль в вопросах перспективы.
Картинная и нейтральная плоскости делят пространство вокруг рисующего на три четко разграниченные области: на предметное, промежуточное и мнимое пространство.
30.	— Предметное пространство — это уходящее в бесконечность пространство по ту сторону картины. В нем находятся предметы, перспективу которых
рисующий хочет построить на картине.
Рис. 47 (26; 32)
50
Боковые пределы вообще ничем не ограниченного предметного пространства определяются для рисующего физиологическими свойствами его глаза, угол зрения которого ограничен (43).
31.	— Промежуточное пространство — это пространство между картинной и нейтральной плоскостями. Надо иметь в виду, что на картине можно строить и перспективные изображения предметов, помещающихся в промежуточном пространстве (рис. 46). Когда полученное на картине перспективное изображение больше натуральной величины, оно является перспективой предмета, находящегося не в предметном пространстве, т. е. позади картины, а в промежуточном. Коническая проекция предмета на
картину, стоявшую позади него,	Рис. 48 (33). Диего Веласкес. Меняны
увеличивает его перспективное
изображение. Вообще же такие перспективные изображения (больше натуральной- величины) можно получить увеличением (например, с помощью сетки из квадратов) нормального перспективного изображения, т. е. изображения меньших размеров, чем размеры изображенного на нем предмета, который находится позади картины.
32.	— В промежуточном пространстве может помещаться и источник света (или светящаяся точка), лучи которого образуют тени на самих предметах и тени, отбрасы
ваемые предметами в предметном пространстве независимо от того, находится ли этот источник на картине или вне ее. На рисунке 47 источник света L, находящийся в промежуточном пространстве, проектируется конически в точку I на картинной плоскости за пределами картины, и поэтому не изображен на ней.
33.	— Мнимое пространство — это пространство позади рисующего, вернее, позади нейтральной плоскости. Рисующий непосредственно не видит предметы, находящиеся в мнимом пространстве, потому что они находятся позади него. Несмотря на это, такие предметы можно изобразить на картине, если художник видит их отражение в зеркале, помещенном в предметном пространстве. Так, на известной картине Веласкеса Менины в зеркале — в глубине комнаты — видны две фигуры, которые, позируя художнику, тоже фигурирующему на картине, находятся позади него (рис. 48).
51
Рис. 49 (26; 33; 35).
На рисунке 49 дана фронтально расположенная зеркальная поверхность О, а в точке V находится в мнимом пространстве предмет, который рисующий не видит, потому что он находится позади, а видит его изображение, отраженное в Vr. В Vo находится зеркальное изображение предмета, а в Vt перспективное изображение этого отражения на картине.
34.	— Так же как в промежуточном, в мнимом пространстве тоже может помещаться источник света, лучи которого образуют тени не находящихся в предметном пространстве
Рис. 50 (26; 34; 55)
предметов и тени, отбрасываемые этими предметами. Хотя рисующий не видит находящегося позади него источника света, все же он может представить на картинной плоскости, если не реальное перспективное изображение этого источника, то его мнимое изображение. На рисунке 50 солнце 5 находится позади рисующего. Но если мы продолжим луч света, который на своем пути от солнца проходит через глаз рисующего, то получим на картинной плоскости в точке S' его мнимое перспективное изображение.
35.	— Предметы и фигуры, расположенные на линии нейтральной плоскости,
можно увидеть отраженными в зеркале,
52
Рис. 51 (36; 49; 60, в). Леонардо да Винчи. Потолок зала Дворца Сфорцы в Милане
и это отражение нарисовать на картине. На рисунке 49 художник находится в точке D на линии нейтральной плоскости. В точке Dr, позади зеркала, находится его отраженное изображение, ъ De — его изображение, отраженное в зеркале, а в Dk — перспективное изображение отражения художника.
На линии той же нейтральной плоскости, выше или ниже, правее или левее рисующего, может находиться и источник света, освещающий предметы, расположенные в предметной плоскости. На картине нельзя нарисовать реальное или мнимое изображение этого источника, что не помешает нам легко построить, как мы увидим во второй части этой работы, перспективные изображения теней предметов, освещенных этим источником.
36.	— Примечание. Во всех приведенных выше объяснениях рисующий смотрит прямо перед собой, и, следовательно, луч его зрения горизонтален, а картинная и нейтральная плоскости вертикальны. Но рисующий может смотреть на предметы, находящиеся выше — на вершинах гор или ниже — в долине. Он может смотреть на находящийся у него над головой свод виноградной беседки, сплетающиеся ветви верхушек деревьев (рис. 51) или, глядя вниз с самолета, видеть группу построек. Как будет указано дальше (60), в связи с изменением направления взгляда рисующего изменяется положение картин-
53
ной плоскости и нейтральной плоскости, которые всегда будут перпендикулярны направлению взгляда (главному лучу зрения).
Каково бы ни было положение этих двух 'параллельных плоскостей — вертикальное, наклонное или горизонтальное, они в представлении рисующего будут всегда разделять окружающее его пространство на предметное, промежуточное и мнимое пространство. Так, на рисунке 52 рисующий смотрит вверх по вертикали. Перпендикулярный взгляду рисующего потолок комнаты горизонтален и образует горизонтальную картинную плоскость. Нейтральная плоскость, находящаяся в пространстве на уровне взгляда рисующего, тоже горизонтальна. Предметным пространством в данном случае будет пространство над потолком. В нем размещены воображаемые фигуры и архитектурные детали, перспективное изображение которых художник строит на потолке, который является как бы продолжением стен комнаты (рис. 53). Между плоскостью потолка, т. е. между картинной и нейтральной плоскостью, находится промежуточное пространство, а ниже нейтральной плоскости мнимое пространство.
ТОЧКА ЗРЕНИЯ
37.	— При помощи линейной перспективы окружающие художника предметы воспроизводятся на картине такими, какими он их видит, глядя обоими глазами (бинокулярное зрение), а выше указывалось (6), что в линейной перспективе применяется единая точка зрения, т. е. предполагается, что художник смотрит одним глазом, прищурив второй. Разберемся в этом кажущемся противоречии.
Бинокулярное, или стереоскопическое, зрение и монокулярное зрение
38.	— Расположенные в поле нашего зрения предметы, на которых задержался наш взгляд, образуют на сетчатках обоих глаз два неодинаковых изображения. Это различие объясняется тем, что мы смотрим на предметы с двух точек зрения, причем расстояние между этими точками равно примерно 63 мм, т. е. среднему нормальному расстоянию между центрами зрачков человеческих глаз.
54
Эти два отличающихся одно от другого изображения, переданные в мозг, синтезируются там в результате слияния бинокулярного изображения в одно удержанное памятью рельефное зрительное изображение, обладающее глубиной, что помогает рисующему отчетливо воспринимать как относительное расстояние между ним и предметами, на которые он смотрит, так и расстояние между этими предметами относительно друг друга.
Для того чтобы передать на картине впечатления рельефа и глубины, надо
Рис. 53 (36; 49; 60, в) А н д р е а М а н т е н ь я. Потолок зала замка в Мантуе
было бы строить два различных изображения — по одному для каждого глаза и видимых только одним глазом, а не обоими. Такое явление происходит на поверхности зеркала: каждый глаз видит в нем только одно для него отраженное изображение, но у наблюдающего рождается впечатление, что предметы, которые он видит в зеркале, отражены не поверхностью стекла, а где-то за ним, в глубине, и это впечатление настолько реально, что хочется протянуть руку и взять какой-либо из этих предметов.
Полное впечатление рельефа и глубины создают стереоскопические фотографии (стереопара, изображающая храм Мединет-Абу в Египте1; рис. 54).
Для просмотра таких фотографий не обязателен специальный аппарат. Поставим между ними на узкое ребро картон 10 х 20 см и начнем их рассматривать, приблизив вплотную носовой хрящ к повернутому к нам ребру картона. После аккомодации глаз к непривычным условиям снятые на двух разных фотографиях предметы сольются воедино и создадут иллюзию глубины и рельефа. (Таким же способом можно добиться стереоскопичности призм, помещенных в левой - половине рисунка 56.)
В перспективе стереоскопическими чертежами можно пользоваться (рис. 54 а) в качестве наглядных пособий. Для того чтобы они воспринимались стереоскопично, они не должны превышать размеры, обуславливаемые физиологическими возможностями человеческого глаза.
Исполнять такие чертежи, как будет показано во второй части этой книги, очень легко. Также легко их размножать цинкографским путем, и поэтому было бы жела-
1 Клише инж. Раду Теодору
55
Рис. 54 (38). Храм в Мсдинет-Абу. Стереопара. Египет.
тельно возможно более широкое применение таких чертежей в^учебниках для демонстрации законов стереометрии и начертательной геометрии (рис. 54а) вместо обычных маловыразительных чертежей (рис 30).
Для получения стереоскопичности типографским и кинематографическим способом делались попытки зрительного слияния двух изображений печатанием их одного поверх другого или проецированием на экран в двух дополнительных цветах, например красном и зеленом. Отпечатанное или проецированное на экран таким способом изображение смотрят через двухцветные очки, в нашем примере с красными и зелеными стеклами. Зеленое стекло поглощает отпечатанное или проецированное зеленое изображение, и глаз видит только красное изображение, а через красное стекло, которое поглощает красное изображение, второй глаз видит только зеленое. Слияние этих двух изображений дает иллюзию рельефа.
Такой двухцветный способ мог бы применяться и в линейной перспективе, конечно, не для художественных работ, а для научных пособий, но распространение таких пособий было бы затруднено необходимостью располагать для их просмотра двухцветными очками и, кроме того, их труднее печатать. На рисунке 76 воспроизведен такой чертеж — анаглиф (анаглиф — по-гречески это чеканное, резное или вообще лю-
56
Рис. 54 а
57
бое рельефное изображение). На нем представлено помещение с последовательным рядом сводчатых арок. Для его просмотра нужно, чтобы зеленое стекло очков было слева. Полученное изображение дает полную иллюзию глубины. Оно как бы находится между плоскостью бумаги и глазом, на скрещении зрительных лучей, идущих от правого глаза, видящего зеленое изображение (наклоненное влево), со зрительными лучами, соединяющими левый глаз, видящий красное изображение (наклоненное вправо). Краски, которыми исполняют чертеж (рисунок) на бумаге, должны быть очень бледны, чтобы цветные стекла очков могли их полностью поглощать.
Оставляя в стороне эти опыты с ограниченной областью применения, можно считать установленным, что вообще в линейной перспективе двум зрительным изображениям, сливающимся в нашем мозгу в единое, соответствует на картине единое перспективное изображение. Принципиальная разница между этими двумя типами изображений — зрительным и перспективным — заключается в том, что первое получается в результате слияния двух изображений, воспринятых каждым из наших глаз в отдельности, а второе не имеет в своей основе двойного зрительного восприятия. Такой рисунок сводится к изображению, зафиксированному оптическим центром одного глаза, т. е. нарисованному или начерченному с одной точки зрения, которую на чертеже отмечают буквой О (oculus — глаз).
Разница между реальным изображением и теоретическим
39.	—Выше мы указывали, что перспективные построения (с одной точки зрения) не дают такого впечатления глубины и рельефа, которое мы получаем, глядя на окружающие предметы обоими глазами, с последующим слиянием этих двух воспринятых сетчатками наших глаз изображений в единое, бинокулярное. Рассмотрим, чем отличаются изображения на рисунке с натуры от изображений перспективных и в какой мере последние могут удовлетворить художника в его стремлении передать на картине зрительное впечатление от окружающих предметов.
В некоторых случаях, правда довольно редких, эта разница, зависящая от величины предметов и от расстояния до рисующего, может быть очень велика, в других — относительно мала, вообще же, как мы увидим дальше, она незначительна.
а)	Возьмем предмет призматической формы меньших размеров, чем расстояние между зрачками, например спичеч
58
ную коробку, и установим ее одной из узких сторон параллельно нейтральной плоскости на небольшом расстоянии прямо против носа. Если мы посмотрим теперь обоими глазами, то увидим одновременно четыре из ее шести сторон: кроме передней и верхней или нижней (в зависимости от того, держим ли мы ее выше или ниже уровня глаз), обе боковые стороны — правую и левую (рис. 55, слева).
В линейной перспективе построить такое изображение невозможно, потому что, если одна из сторон предмета параллельна нейтральной плоскости и мы смотрим на него с единой неподвижной точки зрения, нам будут видны только две его стороны — передняя и верхняя или передняя и нижняя (рис. 55, справа), а если он помещается на уровне глаза, нам будет видна только одна передняя.
Совершенно очевидно, что в этом случае разница между изображением, которое мы видим в действительности, и теоретическим изображением очень велика. Если бы мы попытались начертить на бумаге изображение, похожее на то, которое мы видели, глядя на коробку указанным выше способом, то получили бы так называемое «обратное» перспективное изображение, которое опровергает закон перспективного уменьшения, так как на нем более удаленное ребро CD верхней (или нижней) плоскости коробки больше, чем ближе лежащее к рисующему ребро АВ (рис. 55, слева).
Если мы начнем постепенно удалять от нас коробку, то заметим, что с увеличением расстояния обе ее боковые поверхности будут уменьшаться, а наше зрительное восприятие коробки будет все больше приближаться к ее изображению, построенному по законам линейной перспективы.
б)	Установим теперь коробку в угловом положении. Глядя на нее с небольшого расстояния то одним, то другим глазом и закрывая при этом противоположный, мы заметим, что ширина ее сторон меняется в зависимости от того, каким глазом мы на нее смотрим. Если смотреть на коробку левым глазом, ее левая (узкая) сторона кажется шире, чем когда мы на нее смотрим правым глазом (рис. 56, слева).
Эти изображения, воспринятые поочередно каждым глазом, будут заметно отличаться одно от другого. Но при взгляде на предмет одновременно двумя глазами они сольются в одно бинокулярное изображение, очень рельефное и выступающее вперед по сравнению с более отдаленными предметами, если они имеются.
В линейной перспективе, где строится только одно изображение, ширина вертикальных сторон будет средней арифметической двух изображений, зарегистрированных отдельно каждым глазом, само же изображение не выступает вперед, а остается в плоскости бумаги, на которой оно начерчено (рис. 56, справа).
Вообще же теоретическое изображение (рис. 56, справа) почти не отличается от изображения бинокулярного (т. е. воспринятого обоими глазами), если мы, рассматривая эти изображения, будем воспринимать их порознь каждым глазом, но одновременно (рис. 56, слева и посредине) как стереофотографию (38).
Начнем теперь постепенно отдаляться от предмета, не меняя положения. Мы заметим, что разница в изображениях, воспринятых самостоятельно каждым глазом, будет постепенно сглаживаться. На большом расстоянии она становится такой незначительной, что, глядя на предмет по очереди каждым глазом (и закрывая другой), мы
59
Рис. 56 (38; 39, 0
почти перестанем ее ощущать, а наше зрительное восприятие начнет походить на теоретическое изображение, построенное по законам линейной перспективы.
в)	Если вместо небольших предметов мы будем смотреть поочередно каждым глазом на большие предметы, но с далекого расстояния, то, хотя воспринятые отдельно каждым глазом изображения и будут отличаться одно от другого, мы не ощутим разницы. В этом случае изображения наблюдательной перспективы (так называются перспективные изображения с натуры, полученные в результате наблюдения, а не по-. троения) можно заменить без большого ущерба перспективным изображением линейной перспективы.
г)	Если между нашими глазами и объектом наших наблюдений (но близко к глазам) поставить небольшой предмет, например железную решетку или вертикально удерживаемый карандаш, мы заметим, что прутья или карандаш не закрывают объекта, потому что ту часть его, которую прут решетки или карандаш скроет от одного глаза, мы увидим другим.
Такое явление невозможно в линейной перспективе.
Но достаточно отойти на некоторое расстояние от решетки, как ее прутья закроют почти те же части предмета, которых мы не видим на перспективном изображении.
Из всего сказанного мы приходим к заключению, что, применяя теорию линейной перспективы, можно получить изображения, достаточно близкие к зрительному восприятию тех же предметов, а если при этом умело усилить эффекты воздушной перспективы, подчеркнуть контрасты силовых и красочных отношений предметов переднего плана, смягчая их валеры вдали, упрощая детали, стушевывая и сливая контуры и краски далеких планов, то нам удастся в значительной мере восполнить отсутствие стереоскопичности линейной перспективы и получить изображения, очень близкие к нашему зрительному восприятию реальных предметов.
60
Подвижность взгляда и неподвижность теоретической точки зрения
40.	— Коснемся теперь еще одного различия между зрительным восприятием и теоретическим перспективным изображением. В линейной перспективе единая точка зрения для каждого данного случая неподвижна, а главный зрительный луч сохраняет свое направление; в то время как глаза рисующего двигаются в орбитах, переходя от одной точки к другой на предметах, умещающихся в их поле ясного зрения, как у читающего, который, держа неподвижно голову, быстро пробегает глазами строка за строкой весь текст страницы.
Из этого различия следует, что, кроме предметов, помещающихся в центре поля зрения и рассматриваемых одинаково и в линейной, и в наблюдательной перспективах, предметы, расположенные по краям поля зрения в линейной перспективе, которая не может их «наблюдать», перемещая взгляд, дадут изображения, слегка отличающиеся от изображений, воспринятых глазами рисующего, взгляд которого все время переходит от предмета к предмету, от детали к детали.
Этим объясняется, почему в изображениях линейной перспективы порой встречаются искажения, к которым наши глаза не привыкли и которые поэтому нам кажутся ошибочными.
В этом отношении наиболее характерным примером будет перспектива окружности. В линейной перспективе окружность, размещенная на краях поля зрения, например основание вазы в правой стороне рисунка 574, приобретает асимметричную форму относительно вертикальной оси. Это искажение нам кажется неестественным, потому что оно противоречит форме, воспринятой нашими глазами, которые, поворачиваясь в орбитах в направлении окружности, воспринимают ее симметричной относительно вертикальной оси, даже тогда, когда эта окружность не находится в центре поля зрения (рис. 57).
Как мы увидим в дальнейшем, эти перспективные искажения легко исправить и значительно приблизить к искажениям, кажущимся нам нормальными, если мы будем следовать указаниям мастеров Возрождения.
Принимая во внимание способность человеческих глаз вращаться в своих орбитах, было бы естественнее рисовать перспективные изображения не на плоской картине, а на сферической поверхности, где все точки отстоят на равном расстоянии от оптического центра глаза, расположенного в центре этой сферической картины.
На рисунке 57 ясно видно, что диаметр перспективного изображения цилиндра, расположенного в левой стороне, кажется на плоской картине больше, чем у среднего цилиндра. Оба цилиндра находятся в одной и той же фронтальной плоскости, и поэтому крайний, будучи дальше от рисующего, должен был бы казаться более тонким.
Теоретически	Поворачивая глаза
Рис. 57 (40; 255)
61
На художественном рисунке мы вносим поправку в теоретические искажения, которые слишком контрастируют с искажениями, которые воспринимаются нами как естественные. Их можно в значительной мере избежать, помещая на картине только предметы, которые входят в поле ясного зрения (43).
Приспособляемость (аккомодация) глаза при рассматривании деталей и точка зрепия при рассматривании предмета в целом
41.	— При рисовании с натуры художник должен учитывать не только способность глаза перемещаться с одной детали на другую, но и быстроту, с которой он автоматически приспосабливается к расстоянию, отделяющему его от данной детали. Это свойство глаза, обусловленное его способностью к самопроизвольному сокращению и ослаблению аккомодационных мышц, позволяет художнику рассматривать в одинаковых условиях видимости и детали, из которых состоит изображаемый предмет, и все предметы в ансамбле.
Воспроизведение на картине без предварительного согласования этих последовательных и одинаковых по остроте восприятия «зрительных записей» почти совершенно уничтожило бы впечатление пространственной глубины. Картина должна отражать при взгляде на нее все существующие в природе силовые и красочные отношения и все валеры расположенных на различных расстояниях от рисующего предметов. Интенсивность валеров, если мы не будем рассматривать их каждый в отдельности, а сравним их все сразу, охватив одим взглядом, будет постепенно уменьшаться с увеличением расстояния.
Когда художник для передачи на полотне далекого холма пользуется интенсивными отношениями, утверждая, что он так видит, он будет прав в том случае, если сохранит на своей картине только эту часть композиции, как самоцель, отбросив все остальное, но ни в коем случае не должен ею пользоваться как частью композиции. Сравнив силовые и красочные отношения первого плана с отношениями написанного им холма (который он писал, не задумываясь о связи с остальными деталями пейзажа), он увидит, что отношения на холме не соответствуют отношениям всего ансамбля с их постепенным ослаблением относительно первого плана.
Только в этом смысле и можно понять парадоксальный совет одного художника своим ученикам, когда он говорил им, что для критической оценки ансамбля нужно сильно прищуривать глаза (чтобы, охватив одним взглядом весь сюжет, сравнить силовые и красочные отношения), а для деталей их нужно закрыть совсем (чтобы избежать рассматривания в отдельности составных частей композиции).
Композиции с многими точками зрения
42.	— Как будет пояснено ниже, художник (а следовательно, и его точка зрения) должен находиться на достаточном расстоянии от выбранного им объекта, чтобы охватить его одним взглядом, не поворачивая головы. Само собой разумеется, что худож
62
ник, выбрав нужную ему точку зрения, не должен ее менять до окончания картины, потому что зрители будут рассматривать его картину всю сразу, одним взглядом, с какого-нибудь одного места, и поэтому в ней не должно быть предметов, написанных с двух или нескольких точек зрения.
В живописных композициях, а иногда и в работах с натуры художник, рисуя предметы по памяти или имея их перед глазами, но разбросанными в различных направлениях, прибегает к их группировке, передвигая с одного места на другое, приближая или отдаляя, сообразно требованиям композиции. Но при самых разнообразных группировках на картине они должны быть написаны все с единой и неподвижной точки зрения и должны быть все одинаково освещены.
Исключения составляют большие живописные и скульптурные монументальные композиции, которые нельзя охватить одним взглядом ни художнику в своей мастерской, ни зрителям, которые будут их рассматривать в виде ряда последовательных фрагментов на расстоянии, ограниченном шириной галереи, где будет выставлена такая композиция. В этих композициях допускается несколько точек зрения.
ПОЛЕ ЗРЕНИЯ
43.	— Поле зрения — это часть пространства, которую мы можем охватить одним взглядом, сохраняя полную неподвижность головы. В нем должны уместиться реальные или воображемые предметы, которые мы хотим написать на картине независимо от того, работаем ли мы с натуры, по памяти или черпаем сюжет в воображении.
Поле зрения бесконечно в глубину, но ограничено в ширину и высоту (рис. 59).
Сообразно положению и строению наших глаз, поле зрения охватывает в ширину больше пространства, чем в высоту, причем часть его над горизонтом меньше части ниже горизонта. Можно считать, что в среднем угол зрения по вертикали вверх равен 45°, вниз — 65°, а каждый из боковых углов зрения примерно—70°. Общий угол бокового охвата равен 140° (рис. 58).
Итак, нормальное поле зрения представляет собой конус из бесконечного количества лучей с вершиной в оптическом центре глаза (т. е. в точке зрения). Образующие этот конус лучи зрения имеют направляющей неправильную кривую, условно соединяющую четыре точки, полученные на двух взаимно перпендикулярных осях (горизонтальной и вертикальной) с помощью вышеназванных углов.
63
В пределах охватываемого нашим взором пространства нужно различать следующие зоны.
а)	Посредине — центральную зону наиболее ясного и отчетливого зрения. Предметы, расположенные в этой зоне, человек видит в мельчайших подробностях и в наилучших условиях.
б)	Промежуточную зону менее отчетливого, но еще достаточно ясного зрения; наше зрительное восприятие предметов, находящихся в этой зоне, удовлетворительно.
в)	По краям расположена зона неясного зрения (рис. 58), где предметы видны настолько неясно, что для того, чтобы их лучше рассмотреть, перенеся в пределы первых двух зон, мы вынуждены повернуть голову и изменить направление нашего взгляда. Для упрощения условимся принимать в дальнейшем за поле конуса ясного зрения первые две из названных зон с основанием в форме правильной окружности, а не в форме неправильного эллипса, о которой мы говорили выше и которую фактически имеет поле неясного зрения. Прибегая к такому приему, мы не слишком отклонимся от действительности.
В среднем при нормальном зрении углом при вершине конуса наиболее ясного и отчетливого зрения принято считать угол в пределах 28° — 37°, а полю ясного зрения соответствует максимальный угол в 53°. Углы больше этого предела определяют поле неясного зрения. На рисунке 58 мы видим, как относительно малы поля наиболее ясного и ясного зрения по сравнению с полем неясного зрения.
64
44.	— Ввиду того, что на картине можно писать только предметы и фигуры, помещающиеся в поле зрения человека, обладающего нормальным зрением, нам нужно иметь возможно более точное представление о том, каким мыслится в пространстве конус наиболее ясного зрения, ограниченного лучами зрения с углом в пределах 37°—28°, каков он при угле, равном 53°, и каков конус поля неясного зрения, который, превышая эти углы, больше не отвечает зрительным возможностям нормальных человеческих глаз. Зная эти определения, мы можем в любой момент проверить, достаточно ли велико расстояние, на котором мы находимся от выбранного нами объекта, для того чтобы все входящие в него элементы поместились в поле нашего ясного зрения.
Предположим, что прозрачная картина, т. е. оконное стекло, о котором говорилось в первой главе (6), имеет форму окружности и установлена вертикально так, чтобы ее центр находился на уровне глаза рисующего и рисующий мог бы по желанию приближаться или отходить от нее (рис. 60). Мы констатируем следующее:
а)	Если рисующий отойдет от стекла на расстояние, в четыре раза большее длины радиуса этого стекла, то зрительные лучи, ограничивающие конус, который определяет поле зрения рисующего, образуют при вершине конуса угол в 28°, и предметы, находящиеся по ту сторону стекла, будут рассматриваться в пределах этого угла.
б)	Если рисующий приблизится к стеклу на расстояние, равное трем радиусам, то конус его поля зрения будет иметь при вершине угол в 37°.
Таким образом, поместив свой глаз в любой точке между этими двумя расстояниями, т. е. в пределах между трехкратной и четырехкратной длиной радиуса и дальше, рисующий может быть уверен, что все предметы, которые он видит сквозь стекло, находятся в поле его очень ясного зрения.
в)	Если рисующий подойдет к стеклу еще ближе — на расстояние двух радиусов, то угол при вершине конуса его поля зрения будет равен 53°, и, следовательно, предметы, которые рисующий видит сквозь периферийную часть круглого стекла с расстояния двух-трех радиусов, не войдут в конус наиболее ясного зрения как предметы, на которые он смотрит сквозь  центральную часть стекла, а только в зону, опреде-
ленную нами выше как зону ясного зрения.
Рис. 60 (24; 44; 51)
65
г)	И, наконец, если рисующий приблизится еще больше к стеклу и остановится на расстоянии, скажем, одного радиуса, то угол при вершине конуса его зрения будет очень большим — 90° и предметы, которые он увидит сквозь периферийную часть круглого стекла, попадут в зону неотчетливого зрения; для того чтобы рисующий мог их лучше рассмотреть, т. е. для того чтобы они вошли в поле его отчетливого зрения, он будет вынужден повернуть к ним голову. Но в этом случае он не имеет права изображать их на картине, потому что такое изображение будет в противоречии с нормальными возможностями глаз человека, который не может одновременно смотреть на эти предметы и на предметы, находящиеся в центре выбранного сюжета.
Следовательно, для того чтобы получить картину, отвечающую нормальным условиям человеческого зрения, рисующий может изображать только те предметы, которые расположены в конусе его ясного зрения, угол которого при вершине не должен быть больше 53°.
Размещение заданного сюжета в поле нормального зрения
45.	— Теперь посмотрим, как можно практически устанавливать наименьшее расстояние, на котором должен находиться рисующий от выбранного или воображаемого сюжета, чтобы быть уверенным, что этот сюжет помещается в поле его отчетливого зрения.
Мы особо останавливаемся на этом вопросе, так как, работая в небольшой мастерской, художник очень часто садится слишком близко к модели, и этюды, исполненные в этих условиях, не дают желанных результатов, потому что, слишком прибли-зясь к модели, мы не можем охватить ее одним взглядом. Поднимаем голову, чтобы увидеть ее верхнюю часть, опускаем—чтобы увидеть нижнюю, и держим прямо—чтобы видеть середину, иными словами, пишем на полотне три картины с трех разных точек зрения, потому что каждому движению головы соответствует новая картинная плоскость, перпендикулярная направлению взгляда в зависимости от того, смотрим ли мы прямо, вверх или вниз (49, 60; рис. 69).
46.	— Расчетный метод. Задавшись максимальными шириной и высотой выбранного сюжета (модели), построим в каком-либо из распространенных масштабов, например 1:100 (т. е. метр в одном сантиметре), прямоугольник, отвечающий заданным размерам. Отметим на вертикали, делящей этот, прямоугольник на две равные части, точку, соответствующую приблизительной высоте нашего глаза, в зависимости от того, рисуем мы сидя или стоя.
Соединим эту точку прямой с одним из наиболее отдаленных углов прямоугольника. Линия, которую мы получили, определяет длину радиуса окружности, которая описывает прямоугольник. Измерив и удвоив ее длину, мы установим наименьшее расстояние, на котором нужно находиться от модели, чтобы она помещалась в поле ясного зрения. Иными словами, это расстояние должно быть не меньше длины удвоенной диагонали прямоугольника с основанием, равным половине заданной ширины, а в
66
Рис. 61 (46, а)	Рис. 62 (46, б)
высоту — максимальной высоте модели относительно уровня глаза рисующего, считая вверх или вниз от этого уровня (рис. 61—64).
Очень полезно для некоторых наиболее распространенных случаев знать расстояния, на которых нужно быть от модели.
а)	Если портрет (рис. 61), который мы пишем, может быть заключен в окружность с радиусом 0,50 м, то минимальное расстояние, на котором должен находиться рисующий, для того чтобы весь портрет расположился в поле ясного зрения, должно равняться 1 м и может быть увеличено до 1,50 — 2,00 м. В этих условиях портрет разместится в поле наиболее ясного зрения.
6)	При рисовании поясного портрета (рис. 62), который полностью вписывается в окружность с радиусом 0,75 м, минимальное расстояние между рисующим и моделью устанавливается в 1,50 м, а для того чтобы он уместился в поле наиболее ясного зрения, его доводят до 2,25—3,00 м.
в)	Когда художник рисует стоя, уровень его глаз находится на высоте, равной примерно 1,60 м. В этом положении он может рисовать одну или несколько фигур в полный рост или сидя общей шириной до 2 м (рис. 63,е), но для этого должен отойти от них по меньшей мере на 3,80 м (т. е. на расстояние удвоенной диагонали, равной примерно 1,90 м, прямоугольника с основанием в половину ширины выбранного сюжета, т. е. в 1 м, и высотой в 1,60 м, равной высоте уровня глаза рисующего).
г)	Чтобы рисовать в мастерской этюд с натурщика, стоящего на подставке в 0,40 м (рис. 63,г) художник, который хочет работать стоя, должен отойти от модели по меньшей мере на 2,50 м (т. е. на расстояние удвоенной диагонали, равной примерно 1,25 м, прямоугольника, имеющего основанием половинную ширину заданного раз
67
Рис. 63 (46, в, г, д’, 77, а)
мера картины, т. е. 0,30 м, и высоту, равную 1,20 м, т. е. высоту уровня глаза рисующего 1,60 м минус 0,40 м — высоту подставки, на которой стоит модель).
д)	Если рисующий сидит, имея уровень глаз на высоте примерно 1,10 м (рис. 63,д), он должен находиться от модели на расстоянии примерно в 2,30 м (удвоенная диагональ—1,15 м прямоугольника с основанием, равным половине картины, т. е. 0,30 м, и высотой в 1,10 м, т. е. общая высота натурщика с подставкой 2,20 м минус 1,10 м— уровень глаза сидящего художника).
е)	Для того чтобы работать над композицией высотой в 5 м и шириной в 8 м (рис. 64, е), художник, если он работает стоя, должен отойти от нее на расстояние примерно в 10,50 м (т. е. на расстояние удвоенной диагонали, равной 5,25 м, прямоугольника с основанием, равным половинной ширине картины, т. е. 4 м, и высотой в 3,40 м, представляющей разность между общей высотой картины 5,00 м и высотой уровня глаза художника в 1,60 м).
ж)	Для художника, работающего сидя, имея глаза на уровне 1,10 м, высота прямоугольника, о котором говорилось в предыдущем параграфе, равняется 3,90 м (5,00— — 1,10 =3,90). Удваивая диагональ, равную 5,65 л/, мы получим расстояние в 11,30 м, на котором должен находиться художник от заданного сюжета (рис. 64, ж).
з)	Для рисунков с птичьего полета с предполагаемым уровнем глаза рисующего 12 м над плоскостью, на которой лежит основание объекта, находящегося в долине и имеющего ширину, допустим, 8 м (рис. 64, з), чтобы этот объект мог уместиться в поле ясного зрения рисующего, последний должен быть от него по меньшей мере на расстонии 25,40 м (удвоенная диагональ прямоугольника со сторонами 4 X 12 м).
Указанные выше расстояния — это минимальные расстояния, обеспечивающие размещение всего сюжета в поле ясного зрения. Чтобы тот же сюжет вошел в зону наиболее ясного зрения, указанные выше расстояния нужно увеличить в полтора, а еще лучше — в два раза. Этим вовсе не запрещается рисующему подойти вплотную к предмету для более подробного изучения де-
Рис. 64 (46, е, ж,77, а)
68
Рис. 65 (24; 47)
талей. Однако для того чтобы заданный объект хорошо вписывался в рамки картины, для уточнения составных его частей и особенно для правильной передачи перспективных уменьшений, искажений и эффектов воздушной перспективы, художник должен обязательно изучать его с одного из указанных выше расстояний.
47.	— Перспективный видоискатель (практический метод). Пока у нас выработается привычка определять на глаз без предварительных вычислений расстояние, на котором мы должны находиться от выбранного объекта или модели, чтобы они могли поместиться в поле нашего ясного зрения, можно в повседневной практике пользоваться видоискателем, устройство которого показано на рисунке 65 и который каждый художник может сделать из плотной бумаги (картона).
Вычертим не слишком большую окружность, например трехсантиметрового диаметра, вписанную с трех сторон в прямоугольную раму. С четвертой стороны эта рама заканчивается удлиненным выступом, линия основания которого будет касательной к вычереченной нами окружности. Этот выступ в первом случае (рис. 65, А и А') должен равняться длине диаметра начерченного нами круга, во втором (рис. 65, Б) — полуторной длине его диаметра и в третьем — двойной длине (рис. 65, В).
Но при желании можно ограничиться только одним выступом (рис. 65, Г и Г’) длиной в два диаметра. Сгибая его на предварительно сделанных отметках — на первой, сделанной на расстоянии полутора диаметров от линии его основания, и на второй — на расстоянии одного диаметра, мы будем иметь все три длины.
Вырежем вычерченный нами круг по внутреннему контуру и обрежем видоискатель по внешнему контуру. Согнем его по касательной таким образом, чтобы выступ образо-
69
Рис (99- 48)
Рис. 67 (48). Антонио Каналетто. Площадь св. Джованни и Паоло в Венеции
вал прямой угол 'с рамой круга. Возьмем видоискатель и установим его, коснувшись выступом в одной из щек, ниже глаза, так, чтобы центр окружности приходился на уровне зрачка, выступ принял бы горизонтальное положение, а рамка с вырезанным отверстием — вертикальное. Зажмурив второй глаз и глядя сквозь отверстие видоискателя, но не наклоняя последний и не отводя его от щеки, начнем приближаться или отдаляться от модели или объекта, пока не уместим его в поле наилучшего зрения — в том случае, когда длина выступа равна трем-четырем радиусам, или в зоне ясного зрения, если она равна только двум радиусам. Проходя через круглое отверстие видоискателя, зрительные лучи ограничивают в пространстве при длине выступа, равной четырем радиусам, конус поля зрения с углом при вершине 28°. При длине выступа, равной трем радиусам, угол при вершине будет иметь 37°, а при длине, равной двум радиусам, — 53°.
Пользуясь таким видоискателем, мы можем быть уверены, что найденное с его помощью расстояние будет именно тем расстоянием, с которого все входящие и составляющие выбранного нами объекта предметы уместятся в поле нашего нормального зрения, и, следовательно, картина в целом будет соответствовать нормальным условиям человеческого зрения.
48.	— Практическое применение', определение высоты скульптурного памятника. Чтобы определить высоту памятника, который будет поставлен в заранее выбранном для него месте, и чтобы эта высота соответствовала наилучшим условиям видимости, отправной точкой рекомендуется угол в 37°, ограничивающий поле наиболее ясного зрения. Задавшись этим углом, мы увидим, что, для того чтобы памятник выгодно выделялся на фоне окружающей архитектуры, высота его должна равняться одной трети расстояния, с которого его будут нормально рассматривать (или точнее одной трети плюс высота среднего человеческого роста), как это видно из рисунка 66, где конная статуя Коллеони
Рис. 68 (48). Р. Н. Боннингтон. Венеция. Коллеони
71
Рис. 69 (45; 49; 51; 57; 60, а, б, в; 90)
высотой в 11,65 м смотрится на расстоянии 30,45 м (11,65—1,50 =10,15; 10,15 X 3 =30,45). С более далекого расстояния, чем тройная высота, статуя перестанет доминировать над окружающими ее монументальными зданиями и сольется с ними. Это особенно заметно на рисунке 67, где расстояние между тем же памятником и художником было вдвое больше — примерно 60 метров. Если подойти к памятнику на расстояние, равное двойной его высоте, то самый памятник будет виден в выгодом для него ракурсе, но без
72
архитектурного обрамления (см. рис. 68, на котором памятник изображен с почти вдвое меньшего расстояния, чем на рис. 66, т. е. с 16—18 м). В этом случае торс всадника и голова лошади уже не умещаются в поле ясного зрения смотрящего, а с еще более близкого расстояния, например с расстояния, равного его высоте, можно его рассматривать только по частям, переводя взгляд с детали на деталь.
Из всего сказанного следует, что, для того чтобы памятник был хорошо виден, надо его приподнять над уровнем человеческих глаз на одну треть среднего расстояния, с которого его будут рассматривать на площади, в парке и т. д., словом, там, где он будет поставлен.
Различные виды направленности зрительного поля
49.	— Во всем, что до сих пор говорилось о поле зрения, для большей ясности мы предполагали, что рисующий держит голову вертикально и смотрит прямо перед собой — горизонтально. Коническая форма зрительного поля и углы, установленные выше для зон наиболее ясного и ясного зрения, не изменяются и в том случае, если рисующий поднимет голову, чтобы взглянуть на гребни гор или на другие предметы, расположенные выше уровня его глаз, или опустит голову для того, чтобы заглянуть с возвышения в глубокую долину или вообще посмотреть на предметы, лежащие ниже уровня его глаз. Зрительный конус сохранит у вершины тот же угол и только наклонится в большей или меньшей мере вверх или вниз относительно рисующего (рис. 69, Б и В).
Рисующий может смотреть вверх, например на потолок или на свод зала, на котором над его головой написаны фигуры (рис. 51; 53 и 69, Г), или вниз, когда, например с самолета, он увидит прямо под собой городские постройки. В этих обоих случаях ось конуса зрения будет совершенно вертикальной (рис. 69, Д).
В пояснение прибавим, что случаи с наклонной и вертикальной осями конуса зрения будут рассмотрены только после рассмотрения в последующих главах случаев линейной перспективы с конусом ясного зрения, имеющим горизонтальную ось.
ЛУЧИ И ПЛОСКОСТИ ЗРЕНИЯ (ЛУЧЕВЫЕ ПЛОСКОСТИ)
50.	— Лучи зрения — это световые лучи, которые, отправляясь из разных точек рассматриваемых нами предметов и идя в пространстве по прямой линии, проникают сквозь стоящую между предметом и рисующим картину и попадают в оптический центр его глаза. Как указывалось в параграфе 6 (рис. 11), точка пересечения луча с картиной является перспективным изображением соответствующей ей точки простран® ства. В этом параграфе мы говорили, что любая точка пространства, находящаяся в поле зрения рисующего, будет иметь перспективным изображением точку.
51.	— Главный луч зрения. Луч зрения, выходящий из оптического центра глаза и направленный в центр предмета, который художник собирается изобразить, имеет особо важное значение, потому что он определяет общее направление взгляда и образует ось,
73
или высоту, конуса, ограничивающего поле зрения художника. Этот луч называется главным лучом зрения. Он пересекает картинную плоскость (которую мы предположили прозрачной и круглой) в ее центре (ОР, рис. 60).
Как уже говорилось выше (49), ось конуса зрения, т. е. главный луч зрения, может иметь различные направления — горизонтальное, если рисующий держит голову вертикально и смотрит в строго горизонтальном направлении, наклонное — восходящее или нисходящее, — если художник приподнял или опустил голову, и вертикальное, если взгляд художника направлен по вертикали вверх или вниз (рис. 69).
52.	— Плоскости зрения. Расходящиеся веером из оптического центра глаза О лучи зрения соединяют этот центр со всеми точками заданного ребра, линии (АВ, рис. 11) или видимого контура (EF, рис. 12) расположенного перед нами в пространстве предмета или тела, образуя в своей совокупности лучевую поверхность, лучи которой пересекают картинную плоскость в виде непрерывного ряда точек (рис. 70). Слиянием этих точек образуется на картине перспективное изображение заданных линий или видимого контура предмета. Если заданная линия описывает в пространстве кривую (EFGHI, рис. 11), лучевая поверхность имеет коническую форму, а ее пересечение с картинной плоскостью образует тоже кривую (efghi, рис. 11). Если рассматриваемая нами линия прямая, веер лучей образует плоскость. Эта плоскость называется в перспективе плоскостью зрения, или лучевой плоскостью, а пересечение ее с картинной плоскостью образует прямую, являющуюся перспективным изображением заданной прямой (рис. 70).
Если линия, на которую мы смотрим, вертикальна, проходящая через нее плоскость зрения тоже вертикальна. Отсюда следует, что перспективное изображение вертикальной линии на вертикальной картине, полученное от пересечения двух вертикальных плоскостей, может быть только вертикальным. На рисунке 11 мы видим, что плоскость зрения, в которой проходит вертикаль А,Г, 2', 3’, 4’,В, пересекаясь с картиной в точках а,1,2, 3, 4,Ь,
Рис. 70 (52; 61; 84)
Рис. 71 (53; 61; 69)
74
образует перспективное изображение этой вертикали, которое тоже вертикально. Только в тех случаях, когда картина наклонна вперед или назад относительно рисующего (образуя нисходящую или восходящую плоскости), перспективное изображение вертикальной линии в пространстве не будет на ней, как указывалось в параграфе 10 (рис. 18 и 19), вертикальным.
53.	— Главные плоскости зрения. Плоскости, проходящие через главный луч зрения, называются главными плоскостями зрения. Среди этих плоскостей, перпендикулярных картине, две особенно важны — это главная вертикальная плоскость зрения (плоскость главного перпендикуляра) и главная горизонтальная плоскость зрения (рис. 71).
Эти две главные плоскости зрения взаимно перпендикулярны и делят простирающееся перед нами пространство на четыре равные части (рис. 71).
Если главный луч зрения горизонтален, то и главная плоскость зрения тоже горизонтальна и называется плоскостью горизонта. Как мы увидим дальше, эта плоскость играет важную роль в линейной перспективе (61).
ПРЕДМЕТНАЯ ПЛОСКОСТЬ, ИЛИ ЗЕМЛЯ
54.	— Предполагаемая безграничной горизонтальная плоскость, на которой стоит или сидит рисующий и от которой измеряется высота его точки зрения (его глаз), называется землей (рис. 45). Эта плоскость может быть реальной или мнимой. Реальной она бывает в тех случаях, когда на ней помещаются и предметы, являющиеся объектом рисунка, и сам рисующий (например, внутри какого-либо зала, на улице с горизонтальным асфальтовым покрытием, на ровном поле), и поэтому она также называется и предметной плоскостью. Но если почва перед рисующим образует углубление или возвышенность, плоскость земли (предметная плоскость) не совпадает больше с плоскостью, на которой находятся изображаемые предметы.
В этом случае вместо земли мы должны задаться воображаемой горизонтальной плоскостью, от которой, если надо, и будем откладывать вверх или вниз высоту входящих в нашу картину предметов (рис. 497; 499).
55.	— Линия земли. Линия пересечения вертикальной картинной плоскости с землей или, другими словами, с горизонтальной предметной плоскостью называется линией земли (линией основания картинной плоскости). Она нам не нужна для определения расстояния между рисующим и картиной, потому что, вместо того чтобы измерить расстояние от ног рисующего (от точки его опоры) до линии земли, принято измерять длину главного зрительного луча от глаза рисующего до главной или центральной точки картины, о чем мы будем говорить ниже (69—70).
Линия земли лежит ниже линии горизонта на расстоянии, равном среднему уровню глаз стоящего во весь рост человека, примерно 1,60 м (рис. 45; 50). Она редко совпадает с нижней кромкой картины и в дальнейшем будет применяться только в качестве теоретической линии в теоретических построениях, но отнюдь не на практике.
75
ФРОНТАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
56.	— Любая плоскость пространства, параллельная картинной и нейтральной плоскостям, является фронтальной плоскостью. Фронтальная плоскость может находиться на различных расстояниях от глаза рисующего. Эти расстояния откладываются на перпендикуляре, проведенном из оптического центра глаза (точки зрения), т. е. на главном луче зрения.
Бесконечно следуя одна за другой в пространстве до самого горизонта, фронтальные плоскости в их совокупности образуют то, что нами было определено выше как поле зрения (рис. 59). Часть фронтальной плоскости, входящая в поле ясного зрения, увеличивается с увеличением расстояния от нее до художника, и в такой же пропорции уменьшается перспективное изображение находящихся на этом расстояний предметов. Расстояние, на котором находится эта плоскость, ее ширину (рис. 581), высоту (рис. 582) и ее масштаб в поле нашего ясного зрения или в более ограниченных рамках картины установить нетрудно (517—523).	♦
КАРТИННАЯ ПЛОСКОСТЬ (КАРТИНА)
57.	— Поверхность листа бумаги, куска картона, холста, дерева, стекла, стенной штукатурки и т. д., на которой художник воплощает свой художественный замысел в рисунке или пользуясь для этого пастелью, акварелью, масляными красками, мозаикой, техникой гравюры или любой другой техникой, образует с точки зрения перспективы картинную плоскость, или упрощенно картину.
В повседневной практике картина, над которой мы работаем, установив ее вертикально, горизонтально или наклонно на мольберте, положив на колени, на стол и т.д., может занимать любое положение относительно рисующего и выбранного сюжета. Но, как указывалось выше, в теории картина, особенно когда мы хотим более легко увидеть и решить возникшие перед нами задачи перспективы, должна рассматриваться как прозрачная плоскость (оконное стекло), установленная между глазами рисующего и предметами (реальными или воображаемыми), которые мы рисуем с натуры, по памяти или представляем себе мысленно.
Кроме специальных случаев (например, некоторые театральные декорации), картина принимается за плоскость, перпендикулярную к главному лучу зрения, который обусловливает направление взгляда и образует ось лучевого конуса, ограничивающего поле нашего ясного зрения (69).
Для того чтобы на картине находились только те предметы, которые независимо от ее формы мы можем охватить в нормальных условиях одним взглядом, они должны умещаться в лучевом конусе, ограничивающем поле нашего ясного зрения, и не выходить за его пределы.
58.	— Форма картины. Часто в связи с содержанием и пропорциями композиции общая поверхность картины меньше площади круга, ограниченного лучевым конусом ясного зрения, сама же картина может быть любой формы — прямоугольной с любым отношением сторон (рис. 78; 86), круглой (рис. 84), овальной и т. д.
76
Особенно часто такое разнообразие форм наблюдается в стенной, живописи, где композиция картины должна соответствовать архитектуре стены, на которой она будет написана (рис. 72; 73; 77). Если у картины неправильный контур или у нее нет определенного контура, что чаще всего бывает в книжных иллюстрациях (см. рис. на стр. 8) и в стенной живописи, можно предположить, что картина для определения ее перспективных элементов сперва была вписана в прямоугольник, симметричный относительно главной вертикальной плоскости зрения, а затем этот прямоугольник был уничтожен.
Кроме особых, полностью оправдываемых композиционными требованиями случаев (рис. 88; 89; 90), мы считаем нормальным и логичным, чтобы боковые размеры ограничивались симметрично относительно
Рис. 72 (58; 60). Ц. Куцеску-Шторк. Сцены из истории румынской торговли
главной вертикальной плоскости поля зрения. Только в
этих условиях глаз зрителя, инстинктивно остановившегося при рассматривании законченной картины против ее центра, будет в том же положении, которое занимал глаз художника во время работы над картиной. Если картина скомпонована несимметрично относительно этой плоскости, то, чтобы получить правильное зрительное впечатление от композиции, нужно, чтобы и зритель, вопреки логике, выбрал место не против центра картины, а левее или правее, и только с этого места его точка зрения совпадет с точкой зрения художника. Приведенные примеры подтверждают правильность поло
жения, согласно которому плоскость главного перпендикуляра, делящая пополам поле
зрения, делит пополам и картину.
Иначе обстоит дело с главной горизонтальной плоскостью зрения: она всегда делит пополам поле зрения, но не всегда картину. Если мы хотим, чтобы большая часть картины
77
Рис. 73 (58). Рафаэль Санти. Парнас
была занята небом или землей, или пишем предметы, расположенные в нижней, средней или верхней части нашего поля зрения, то для размещения в рамках картины элементов выбранного нами сюжета совсем не нужно, чтобы верхняя и нижняя ее части ограничивались симметрично по вертикали относительно горизонтальной плоскости главного луча зрения. Отсюда следует, что эта плоскость необязательно должна делить картину на две равные части (61—68).
На рисунках 78—87 приведено несколько положений, которые может занимать картина в нашем поле отчетливого зрения. Во всех них главная вертикальная плоскость зрения делит картину на две равные части, в то время как линия горизонта, хотя и проходит через середину поля зрения, может делить картину на две неравные части, а иногда и совсем выходить за ее пределы (вверх или вниз) (рис. 85—87).
59.	— Размеры картины. Во время работы над одним и тем же сюжетом в одном и том же неизмененном для каждого данного случая положении художник может установить свою картину, ограниченную охватом поля его отчетливого зрения и расположенную перпендикулярно главному лучу его зрения, дальше от себя или ближе к себе в зависимости от того, хочет ли он нарисовать небольшую книжную иллюстрацию или написать картину бблыпих или меньших размеров (рис. 12). Он может поместить ее даже за сюже-
78
Рис. 74 (60).
Микеланджело Буонарроти. Свод капеллы в Ватикане (фрагмент). Рим.
Сикстинской

79
Рис. 75 (60). Купол крещсльни кафедрального собора в Равенне
том, если ему надо получить (например, в монументальной живописи или в больших пропагандистских плакатах) изображение больше натуральной величины (рис. 46).
В этом случае все перспективные изображения на параллельных между собой картинах будут тождественны, отличаясь только размерами. Как говорилось в параграфе 31, изображение, большее натуральной величины, на картине, расположенной в поле зрения дальше модели, поставленной между рисующим и картиной (т. е. в промежуточном пространстве), можно рассматривать как пропорциональное увеличение меньшего изображения с картины, стоящей между рисующим и моделью.
60.	— Положение картины в пространстве. Картина может быть написана на плоской, цилиндрической или сферической поверхности.
Плоская картина бывает: а) вертикальной, когда художник рисует предметы в их обычном положении, т. е. на уровне своих глаз. Так, на рисунке 69, А взгляд художника направлен горизонтально, и, следовательно, картина, перпендикулярная к главному лучу его зрения, вертикальна;
б)	наклонной по отношению к художнику назад (представляя собой восходящую плоскость) или вперед (плоскость становится нисходящей), если в первом случае худЪж-ник смотрит с небольшого расстояния, подняв голову на предметы, находящиеся выше уровня его глаз, а во втором — на таком же расстоянии, опустив голову на предметы, находящиеся ниже уровня его глаз. На рисунке 69, Б взгляд рисующего направлен вверх, и картина, перпендикулярная главному лучу его зрения, наклонна вперед. На рисунке 69, В взгляд художника направлен вниз — картина наклонна назад;
в)	горизонтальной, если художник рисует предметы, на которые смотрит по вертикали вверх, например композицию на потолке-плафоне (рис. 51; 53), или по вертикали вниз. На рисунке 69, Г взгляд художника направлен вертикально вверх — картина, перпендикулярная главному лучу его зрения, горизонтальна. На рисунке 69, Д взгляд его направлен вертикально вниз, и картина, перпендикулярная, как в первом случае, главному лучу его зрения, тоже горизонтальна.
Цилиндрическая картина, т. е. картина, представляющая собой цилиндрическую поверхность, имеет:
а)	вертикальные образующие на вертикальной стене ротонды, полукруглой или полуэллиптической апсиды и т. д. (рис. 72);
б)	горизонтальные образующие имеют картины, написанные на цилиндрических, крестовых, зеркальных и других сводах (рис. 74).
Сферические картины пишут тоже на сводах; на сегментных и сферических куполах, на сводах в четверть сферы в верхней части полукруглых апсид и т. д. (рис. 75).
Примечание. При кривых больших радиусов цилиндрические и сферические картины можно принимать в первом случае за плоские с вертикальной образующей (ниша и т. д.), а во втором—за горизонтальные или наклонные.
Изучение наклонных, горизонтальных, цилиндрических и сферических картин отнесено во вторую часть нашей книги в раздел монументальной живописи.
81
Рис 76 (38)
Рис. 77 (58; 457). Рафаэль Санти. Афинская школа
IV. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КАРТИНЫ
На картине имеются следующие перспективные элементы:
линия горизонта;
главная точка;
точка отдаления;
перспективный масштаб картины;
ориентировочная точка для расстояний в глубину.
В этой главе мы рассмотрим первые три элемента картины. Анализ остальных двух будет произведен дальше: перспективного масштаба картины — в главе IX (145 — 155), а ориентировочной точки для расстояний в глубину — в главе XVIII (428).
ЛИНИЯ ГОРИЗОНТА НА ПЛОСКОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ КАРТИНЕ
61.	— Линия горизонта (hh' на рис. 71)—это линия пересечения вертикальной картинной плоскости с горизонтальной плоскостью, проходящая через оптический центр (плоскость) глаза рисующего и делящая на две равные части его поле зрения. Как уже говорилось в параграфе 58, линия горизонта может пересекать картину на любом уровне,
83
Рис. 78 (58; 61; 77). Теодор Аман. Хора
Рис. 79 (58, 61). Ф. И. Алексеев. Вид Дворцовой набережной от Петропавловской крепости
в зависимости от места, которое оно занимает по вертикали в поле зрения. Она может делить картину на две равные части, как в Хоре Теодора Амана, где типичная для Румынии равнина, занимая всю нижнюю часть до середины картины, придает композиции особую выразительность (рис. 78), или, как в некоторых интерьерах, на две почти равные части (рис. 89).
84
Рис. 82 (58—61). Донателло. Чудо осла
Рис. 83 (58; 61). Камил Рессу. Отдыхающие косцы
Рис. 85 (1, о; 58; 61; 62; 134). Жан В а л а н т е н. Шулер
Рис. 84 (58—61). М икеланджело Буонарроти. Мадонна
Рассмотрим положение, при котором линия горизонта проходит в нижней части картины (рис. 81). В этом случае изображенные человеческие фигуры (рис. 4) и пейзаж (рис. 79) приобретают более монументальный вид по мере приближения этой линии к нижнему краю картины (рис. 80). Но линия горизонта может проходить и по нижнему краю картины, и тогда зритель видит фигуры и всю композицию так, как если бы он сидел в театре, в
85
Рис. 86(1,6; 58; 61). Андреа Мантенья, Рис. 87 (1, б; 58; 61). Н. А. Ярошенко.
Св. Иосиф на пути к месту казни	На качелях
Рис. 88 (58; 69; 132). Якопо Робу сти Тинторетто. Брак в Кане Галилейской
Рис. 89 (58; 61; 69; 132). Ф. П. Толстой. Художник со своей семьей
партере, имея глаза на уровне планшета сцены, или, поднимаясь по монументальной лестнице в зал, остановился на ступени, с которой уровень его глаз совпадал бы с уровнем пола зала, т.е. с уровнем предметной плоскости.
Такую линию горизонта применил в своем барельефе Донателло (рис. 82).
86
Очень часто линия горизонта проходит на произвольной высоте в верхней половине картины, т. е. выше или ниже, в зависимости от того, доходят ли головы фигур первого плана до этой линии (рис. 83; 84), или благодаря тому, что художник смотрит на композицию сверху, фигуры растягиваются на большом протяжении в глубь пространства (рис. 5; 9; 335).
Иногда линию горизонта помещают выше картины, когда композиция, на которую художник смотрит сверху, занимает лишь часть нижней половины поля зрения (рис. 7 и 85). Ниже картины ее опускают тогда, когда художник смотрит на фигуры, находящиеся в пространстве
Рис. 90 (58; 69; 132). И. Е. Репп н. Арест пропагандиста
выше уровня его глаз и которые кажутся
ему расположенными на высокой террасе (рис. 86) или повисшими в воздухе (рис. 87), а композиция занимает лишь часть верхней половины его поля зрения.
Уточним: в этом случае предметы, расположенные выше или ниже главной горизонтальной плоскости зрения художника, должны быть на достаточно далеком расстоянии, чтобы поместиться в поле отчетливого зрения художника, который смотрит на них, не
поднимая и не опуская головы.
Линия горизонта находится на уровне глаз художника. Выбор ее уровня зависит только от него, а не от предмета, который он рисует, или от картинной плоскости.
На предметы, расположенные ниже главной горизонтальной плоскости зрения, художник смотрит сверху, а на расположенные выше ее — снизу.
Если линия горизонта находится в-.верхней части картины, как, например, на рисунках 5 и 9, не нужно обязательно предполагать, что художник находится на возвышении (на рис. 99 его глаз находится на высоте 1,60 м относительно предметной плоскости), и, наоборот, если она проходит в нижней ее части, не исключается возможность, что рисующий стоит на возвышении (на рис. 344 уровень глаз рисующего находится на 6,60 м выше уровня моста в долине).
На каком бы уровне ни находился художник, главная горизонтальная плоскость его зрения будет всегда касательной к сферической поверхности земли. Уровень этой плоскости поднимается по мере повышения уровня его глаз относительно предметов, расположенных на первом плане. Он их видит с большей высоты и охватывает в глубину все больше пространства.
Но никогда горизонтальная плоскость его зрения не может быть выше линии горизонта.
87
Поэтому художник должен помнить, что какой бы он ни выбрал на картине уровень линии горизонта, небо всегда должно начинаться от этой линии. До нее же должны доходить вода или равнина, а холмы и горы всегда выше ее.
Высоту линии горизонта художник намечает или устанавливает на картине различными методами в связи с характером своей работы, т. е. в зависимости от того, рисует ли он с натуры, по памяти, работает ли над творческой композицией или по чертежам.
Линия горизонта в рисунке с натуры
62.	— Часто в рисунке с натуры бывает трудно сразу определить линию горизонта. В этих случаях поступают так:
Берут лист бумаги и складывают его вчетверо так, чтобы получить четырехугольник с углами, имеющими каждый точно 90° (по желанию можно взять прямоугольный кусок картона). Если мы будем держать этот прямоугольник в вытянутой руке под ясно выраженным углом вертикальной плоскости глаз (нейтральной плоскости), но гак, чтобы два его ребра были строго вертикальны, то, поднимая и опуская его, мы заметим, что в тех случаях, когда ее верхнее ребро поднято выше уровня наших глаз, верхний, более близкий к нам прямой угол, нам кажется острым, а при опускании этого ребра ниже уровня наших глаз, тот же угол нам кажется тупым.
Продолжая поднимать и опускать лист, найдем положение, при котором верхнее ребро придет в горизонтальное положение, а оба верхних угла нам будут казаться прямыми. Это и будет положение, при котором верхнее ребро находится точно на уровне наших глаз. Запомним на находящихся перед нами предметах точки, совпадающие с верхним краем бумажного прямоугольника, так как через них проходит в пространстве горизонтальная плоскость наших глаз и, следовательно, линия горизонта (рис. 91).
Вместо бумажного прямоугольника можно взять любой предмет, имеющий форму четырехгранной призмы, например коробку. Держа ее вертикально в вытянутой руке и предпочтительно под некоторым углом к плоскости глаз, начнем постепенно поднимать
88
руку. Уловим момент, когда мы перестаем видеть верхнюю плоскость коробки, которая превращается в линию. Заметим на находящихся перед нами предметах уровень линии горизонта (рис. 92).
Иногда, рисуя с натуры, мы можем сразу же установить линию горизонта, например в морских пейзажах.
В них линия горизонта ясно очерчена верхним краем уходящего вдаль водного пространства. В теории благодаря сферической форме земли линия морского горизонта проходит немного ниже главной горизонтальной плоскости зрения, особенно, когда мы смотрим на море с высокого берега, откуда заметно, что контур моря не горизонтален, а имеет форму очень слабо изогнутой дуги с высшей точкой изгиба в середине картины. Эти подробности маринист должен учитывать, работая над большим морским пейзажем.
В пейзаже с озером линия горизонта проходит немного выше его наиболее отдаленной береговой линии.
В равнинном и степном пейзаже линия горизонта совпадает с верхним краем земной поверхности. При определении этой линии не берутся в расчет небольшие неровности почвы.
Чтобы определить линию горизонта в городском пейзаже, нужно натянуть обеими руками на уровне глаз бечевку, удерживая ее в строго горизонтальном положении. Совпадение бечевки с линией какого-либо архитектурного профиля на плоскости стены одного из городских зданий, непараллельной нейтральной плоскости (29), укажет положение в пространстве горизонтальной плоскости наших глаз (линия АВ нижнего края окон на фасаде здания, рис. 16) и, следовательно, линию горизонта.
В интерьере линия горизонта проходит на высоте наших глаз. Чтобы ее установить, нужно подойти к одному из предметов интерьера и отметить на его вертикали соответствующую точку.
На быстро сделанных с натуры этюдах и рисунках линию горизонта можно установить и позже, во время проверки их перспективного построения. Эту линию определяют по перспективным линиям какого-нибудь крупного предмета, который нам кажется достаточно правильно нарисованным, для того чтобы послужить в качестве исходной точки для определения этой линии. Метод ее определения дается ниже (131—134) и на рисунке 85.
Линия горизонта в рисунке, сделанном по памяти или созданном фантазией художника
63.	— Те же правила применимы и к рисункам, сделанным художником по памяти или почерпнутым в воображении. В них линия горизонта тоже определяется по перспективным линиям одного из крупных предметов композиции, который, по мнению художника, достаточно правильно нарисован, чтобы служить отправной базой для этой операции (131—134).
Однако очень часто в таких рисунках линию горизонта можно установить из соотношения между предполагаемым уровнем глаз рисующего и уже известной, предполага-
89
90
ёмой или установленной на глаз высотой вертикальных ребер фигурирующих на рисунке предметов.
Для этого достаточно, задавшись в качестве исходного элемента уже известной высотой одного из наиболее характерных для данной композиции предметов, определить на нем (пример 1), над ним (примеры 2 и 3) или ниже него (пример 4) уровень, на котором, по нашему мнению, находится глаз рисующего. Эта операция производится при помощи простейшего геометрического построения — деления прямой на пропорциональные части, пользуясь для этого другой, так называемой вспомогательной прямой. Иногда такое деление легче произвести с помощью делительной линейки (370).
Пример 1. Зададимся перспективными изображениями комнат высотой: первая 3 м (рис. 93 и 94), вторая 4,50 м (рис. 95 и 96) и третья 7 м (рис. 97 и 98). Отложим на вспомогательной прямой (не слишком наклонной, чтобы пересечения были четкими), проходящей через вершину угла, образованного полом и двумя взаимно перпендикулярными стенами комнаты, три равных деления (для рис. 93 и 94), четыре с половиной равных деления (для рис. 95 и 96) и семь равных делений (для рис. 97 и 98). Отметим на этой же вспомогательной прямой (рис. 93; 95; 97) в точке а предполагаемую высоту рисующего, который работает стоя (примерно 1,60 м, т. е. немного выше середины второго деления), а в точке b (рис. 94; 96; 98) предполагаемую высоту, когда он работает сидя на стуле (примерно 1,10 м, т.е. немного выше первого деления). Соединив последнее деление на вспомогательной прямой с верхним углом (при потолке) комнаты, получим направление, в котором проведем геометрическую (а не перспективную) параллель через первое деление (расстояние по вертикали от нижнего угла комнаты у пола до точки пересечения этой параллели с вертикалью угла комнаты представляет собой длину одного метра:
Рис. 99 (61, 64, 457)	Рис. 100 (64, 87, 459)
91
это расстояние служит единицей измерения для построения перспективного масштаба на рис. 149). Проведем вторую параллель через точку а (рис. 93; 95; 97), чтобы определить уровень линии горизонта для художника, рисующего стоя, и третью параллель через точку b (рис. 94; 96; 98), которой мы определим линию горизонта для художника, рисующего сидя на стуле.
Анализ рисунков 93—98 подтверждает, что определение высоты линии горизонта как линии, проходящей на уровне глаза рисующего, правильное. Оно позволяет установить разницу высоты комнат, которая определена на рисунках графически постепенным увеличением наклона перспективных линий потолка и постепенным уменьшением наклона перспективных линий пола.
Примечание. Для более правильной разметки расстояний на вспомогательной линии в вышеприведенном и в следующих дальше примерах можно пользоваться масштабной линейкой, откладывая расстояния в масштабе, соответствующем размерам рисунка. Так, на рисунке 93—96 был применен масштаб 1 : 100, а в рисунке 97—98 — 1 : 200.
64.	— Пример 2. Зададимся перспективным изображением сидящего человека высотой примерно в 1,20 м (рис. 99) или стола — в 0,80 м (рис. 100). Чтобы определить уровень линии горизонта, проходящей выше этих фигур, на высоте примерно в 1,60 м, т.е. на высоте глаз рисующего стоя, отложим сперва 12 одинаковых делений на вспомогатель
гис. 101 (65)
ной прямой рисунка 99 и 8 одинаковых делений на вспомогательной прямой рисунка 100, а затем еще 4 деления (на рис. 99) и 8 (на рис. 100). Соединив на этот раз 12-е деление вспомогательной прямой (на рис. 99) или 8-е (на рис. 100), — а не последнее, как мы поступали в примере 1, —- с макушкой головы сидящей фигуры или с самой высокой точкой стола, мы получим линию АВ, параллельно которой (геометрически, а не перспективно) проведем на обоих рисунках линии через последнее деление па вспомогательной прямой. Пересечение в точке С этой линии с перпендикуляром, восстановленным из точки основания вспомогательной прямой, и будет уровнем горизонта /г/г', соответствующего высоте рисующего стоя.
Примечание. Из этого примера видно, что иногда уровень линии горизонта можно определять и без вспомогательной линии. Разделим на глаз
92
на рисунке 99 высоту фигуры сидящего человека на три равные части, каждая по 40 см (0,4 X 3 = 1,20). Прибавив еще одну треть, т. е. 40 см, к высоте фигуры, а на рисунке 100—0, 80 .и, т. е. еще одну высоту, к высоте стола (0,80 л»), мы найдем линию горизонта (0,80 -|-+ 0,80 = 1,60).
На рисунке 7 легко определить линию горизонта рисующего, который работает сидя на стуле. Уровень его глаз расположен на 34 см выше стола, на котором лежат коробки спичек, при условии, чтобы и стул рисующего, и стол со спичечными коробками стояли на одной и той же горизонтальной плоскости. Мы знаем, что ab (т. е. высота спичечной коробки) равна 17 мм, и, следовательно,
Рис. 103 (66; 370)
34 см — это высота 20 коробок, поставленных одна на другую. Прибавив к высоте, стоящей на первом плане коробки (т.е. к 17 мм) еще 17 мм X 19, мы найдем уровень линии горизонта, который пройдет гораздо выше верхнего края картины.
На приведенных примерах рисующий стоял или сидел на той же предметной плоскости, на которой был расположен и интересовавший его объект.
65.	— Пример 3. Зададимся пейзажем, на который рисующий смотрит с возвышенности, лежащей на уровне 10 м над равниной, на которой расположен выбранный им объект — деревенский дом с трехметровыми стенами (рис. 101) или вместо дома лекционный зал, на который он смотрит с балкона, имея уровень глаз на 3 м выше уровня эстрады, на которой стоит стол для лектора высотой в 0,80 м (102).
Для определения высоты линии горизонта можно поступить, как было указано в предыдущем примечании, т. е. определить его на глаз или с помощью вспомогательной линии, на которой мы отложим 3 и еще 7 равных делений, т. е. 10 (рис. 101) или 8 и еще 22, т. е. 30 (рис. 102). Поступая, как в предыдущих примерах, мы установим с помощью геометрических параллелей уровень линии горизонта для художника, рисующего стоя (или сидя) на возвышенности (рис. 101) или на балконе (рис. 102).
66.	— Пример 4. Зададимся нефтяной вышкой высотой примерно в 12 м, установленной на возвышении. Основание вышки находится на 10 м выше уровня глаз рисующего, который находится в долине (рис. 103). Чтобы определить линию горизонта, отложим на вспомогательной прямой от основания вышки вверх 12 равных делений и вниз 10 таких же делений. Проведем от 12-го деления прямую к верхушке вышки, чтобы установить направление, и параллельно к ней (опять же геометрически) от нижней точки 10-го деления на противоположном конце вспомогательной прямой проведем вторую линию. Пересечение ее в точке Н с продолженной вертикалью вышки и будет уровнем линии горизонта для рисующего, стоящего в долине.
93
Линия горизонта в перспективном рисунке, построенном по ортогональным проекциям
67.	— Вообще в перспективных построениях по чертежам уже исполненных или только спроектированных памятников линию горизонта определяют способом, указанным в предыдущих примерах. Разница заключается лишь в том, что уровень глаз рисующего нельзя брать произвольно, а точно на высоте относительно памятника, на котором будет находиться зритель при рассматривании его с различных точек площади, парка и т. д. —словом, того места, где находится или будет находиться памятник согласно проекту. Только с этого уровня можно получить неискаженное изображение спроектированного памятника, по которому художник (скульптор, архитектор) составит себе правильное представление о его общем виде и пропорциях, измененных соответствующими перспективными искажениями.
Так, на рисунке 562 при построении перспективного изображения бассейна, в центре которого собираются поставить скульптурную группу, мы считались с тем, что зрители будут смотреть на этот бассейн с террасы высотой 1,40 .и. Предположив, что уровень глаз зрителя равен 1,60 .и, мы определим, что бассейн находится на 3 .и ниже уровня линии горизонта.
Очень часто памятник ставят на более или менее ясно выраженном возвышении. В этом случае линия горизонта пересечет его ниже, чем если бы он стоял на той же горизонтальной плоскости, что и зритель.
Общие соображения по поводу выбора на картине уровня линии горизонта
68.	— Теоретически на рисунках по памяти или в творческих рисунках, где все основано на воображении, выбор уровня линии горизонта всецело принадлежит художнику. И все же для того чтобы создать реалистическую картину, для линии горизонта надо выбрать уровень, отвечающий следующим двум условиям: он должен позволять возможно более полное развитие в глубину композиционного замысла художника и вместе с Тем соответствовать уровню, на котором находились бы глаза человека, присутствовавшего случайно при этой сцене.
Для сцен под открытым небом, и особенно на больших стройках с неровной почвой, на которой имеются большие котлованы и насыпи, легче найти решение. Рисующий в зависимости от сюжета может выбрать положение на возвышенности или в ложбине. Чтобы в композиции было больше свободы и разнообразия, он может использовать имеющиеся неровности почвы. Сцену боя он может рисовать как бы наблюдая ее снизу, из окопа, или сверху, из башни тяжелого танка, а чтобы придать городскому пейзажу больше глубины, может мысленно подняться на один из верхних этажей высокого здания и вообще представить себе, что он находится на мосту, на погрузочной платформе, на лесах строящегося здания, на грузовике и т. д.
Для сцен интерьера в помещении, где нет ни лестниц, ни мостовых кранов, как в цехе, ни трибун, ни балконов, ни уступов амфитеатра и в которых самый характер деятель
94
ности исключает для художника необходимость влезать на стул или на стол, словом, когда и фигуры на картине, и художник находятся на одном и том же уровне, задача осложняется. В этом случае художник (предполагается, что он работает стоя или сидя) (рис. 93—98) видит только фигуры первого плана, которые закрывают ему стоящих позади, если действие развертывается в глубину, а не фронтально, как в Тайной вечере Леонардо да Винчи (рис. 145). В этих условиях фигуры, размещенные на более глубоких планах, видны только в промежутках между фигурами первого плана, а это в свою очередь требует соответствующей композиционной группировки последних. Если рисующий работает стоя, то все стоящие фигуры его композиции независимо от их удаления будут иметь головы приблизительно на одном и том же уровне, соответствующем уровню горизонта; в этом случае небольшая разница уровня голов этих людей обуславливается единственно разницей их роста и поз (рис. 93; 95; 97). Если рисующий работает сидя, то горизонт проходит ниже голов фигур первого плана, и тогда уровень голов стоящих фигур, уменьшаясь по мере удаления вглубь, сближается с линией горизонта, а головы сидящих остаются на уровне глаз рисующего (рис. 94; 96; 98).
Художник всегда и при всех обстоятельствах должен стараться найти оптимальную форму композиции, не прибегая на ней к линии горизонта, не отвечающей действительности.
ГЛАВНАЯ, ИЛИ ЦЕНТРАЛЬНАЯ, ТОЧКА ВЕРТИКАЛЬНОЙ КАРТИНЫ
69—Точка пересечения главного луча зрения с картинной плоскостью называется главной точкой. Если картина вертикальна, главный луч зрения к ней перпендикулярен т. е. горизонтален, и, следовательно, заключен в главной горизонтальной плоскости зрения. Таким образом, в вертикальной картине главная точка всегда находится на линии горизонта.
В то же время главный луч зрения образует ось конуса ясного зрения и как таковой пересекает поле зрения в центре окружности, ограничивающей это поле. Отсюда второе название главной точки — центральная точка (рис. 71).
Если в нашем поле зрения рамки картины были, как указывалось в параграфе 58, ограничены симметрично с обеих сторон относительно главной вертикальной плоскости зрения, то главная точка, которая всегда обозначется буквой Р, будет находиться на вертикали, делящей картину на две равные части.
Следовательно, в плоской вертикальной картине главная точка, т. е. точка пересечения перпендикуляра, опущенного из оптического центра глаза рисующего на картинную плоскость, находится па пересечении линии горизонта с вертикалью, делящей картину на две равные части, т. е. посредине линии горизонта. Исключение доставляют те редкие случаи, когда эта точка, оставаясь на линии горизонта, произвольно передвинута вправо или влево от центра в связи с требованиями композиции (рис. 88—90), а в некоторых театральных декорациях и вовсе вынесена за пределы картины.
О важной роли главной точки картины в живописной композиции будет сказано во второй части книги, в разделе, посвященном этому вопросу.
95
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНОГО РАССТОЯНИЯ В ПЛОСКОЙ КАРТИНЕ. ТОЧКИ ОТДАЛЕНИЯ
70. — Расстояние от точки зрения О до картины К, т. е. длина отрезка ОР главного зрительного луча между оптическим центром глаза рисующего и картинной плоскостью, называется главным расстоянием (рис. 104).
Это расстояние является вместе с тем и расстоянием, с которого нужно смотреть на картину, чтобы получить полную иллюзию реальности изображенных на ней предметов, потому что только при таком положении глаза контуры перспективного изображения совпадут с контурами предметов, служивших ему моделью (при условии, чтобы зритель находился на том же месте, с которого художник исполнил рисунок, и чтобы этот рисунок был выполнен на прозрачном стекле). Главное расстояние определяется линией пересечения главной вертикальной плоскости зрения с главной горизонтальной плоскостью зрения. Эти плоскости и линию их пересечения, т. е. главный луч зрения, идущий от глаза рисующего, рисующий видит в полном ракурсе. В этом положении главный луч превращается в точку (Р), а обе плоскости зрения — в две прямые (VV" и hh') (рис. 104). Многие задачи по перспективе решаются в этих плоскостях, и чтобы понять их построение, мы должны научиться повертывать эти плоскости, чтобы они становились фронтальными.
Отрезок вертикальной плоскости между картиной и глазом рисующего повертывают (вправо или влево) вокруг вертикальной оси ИИ' (рис. 105). Главный луч зрения ОР, перпендикулярный к этой оси вращения, повертывают (вправо или влево) до его совмещения с линией, горизонта и одновременно перемещают в плоскости горизонта по окружности с радиусом ОР оптический центр глаза, помещая его в точках D или .О'на расстоянии PD или PD', равном главному расстоянию ОР. Точки D и D', отстоящие от главной точки Р на расстоянии, в обоих случаях равном главному расстоянию ОР, называются дистанционными точками, или точками отдаления (рис. 105).
Таким же образом, пользуясь как осью вращения линий горизонта hh', мы можем повернуть горизонтальную зрительную плоскость вверх или вниз, в зависимости от
Рис. 104 (24; 70)	Рис. 105 (24; 70)	Рис. 106 (24; 70; 265)
96
свободного места на бумаге, на которой мы исполняем чертеж. В этом случае главный луч зрения ОР (т. е. главное расстояние), перпендикулярный к линии горизонта, повернется в вертикальной плоскости зрения до совмещения с линией VV', а главный оптический центр глаза переместится в этой же плоскости по окружности DOD' в точки D или D' на расстояние PD или PD', равное главному расстоянию ОР. Эти точки обозначают также и буквами О, О', потому что они представляют собой точку, в которой находится после поворота глаз рисующего (рис. 106).
Длина главного расстояния
71. — Предположим, что между рисующим и объектом, который он намерен нарисовать, расположена картина, в данном случае прозрачное стекло в круглой оконной раме. Зададимся положением, при котором глаз рисующего может находиться ближе или дальше от центра картины круглого стекла на восстановленном из этого центра перпендикуляре. В этом случае лучи зрения, идущие из оптического центра глаза, проходя через все точки окружности, ограничивающие стекло, образуют в пространстве лучевой конус, являющийся пределом поля зрения рисующего. Высотой этого конуса по горизонтали будет главный луч зрения, а расстояние ОР между глазом и картиной уже определено нами выше как главное расстояние (рис. 107).
Это расстояние изменяется в зависимости от перемещения рисующего по линии главного зрительного луча относительно картины. Рассмотрим случаи изменения этого расстояния.
а)	Если глаз рисующего находится в точке О, отдаленной от картины на длину радиуса окружности, ограничивающей картину (ОР = Рг), луч зрения Or образует с главным зрительным лучом ОР угол в 45°, т. е. больший, чем нормальный угол, определяющий охват поля ясного зрения (53:2 = 26°30'). В этом положении рисующий видит на первом плане объект А, расположенный в поле неясного зрения, на расстоянии, равном высоте уровня его глаза над предметной плоскостью (аА = Од) (рис. 107,1).
б)	При перемещении глаза рисующего в точку О' на расстояние, равное длине диаметра окружности, ограничивающей картину (ОР = 2 X Рг), луч зрения О'г образует с главным лучом зрения О’Р угол в 26°30', т. е. максимальный угол ясного зрения. В этом положении рисующий видит на первом плане в поле ясного зрения объект В, находящийся на предметной плоскости (земле) на расстоянии, равном двойной высоте уровня его глаз (ЬВ = O'b X 2) (рис. 107, II).
в)	Если рисующий отойдет от картины до точки О” на расстояние, равное двум диаметрам или 4 радиусам картины (О"Р — 4хРг), зрительный луч О" г образует с главным лучом зрения О"Р угол в 14°, или угол, равный углу наиболее ясного зрения. В этом положении рисующий увидит на первом плане наиболее ясного поля зрения объект С на расстоянии, вчетверо превышающем расстояние от предметной плоскости земли, на которой находится основание изображаемого объекта, до уровня глаза рисующего (сС = 4 X О"с) (рис. 107, III).
97
г)	Угол зрения соответственно уменьшается по мере удаления от картины, например в точку О'", т. е. на расстояние, равное 6 радиусам окружности картины (О'" Р =6 х Рг), а расстояние до предметов на первом плане картины увеличивается. Поэтому первый предмет Е первого плана будет находиться в поле зрения на расстоянии шестикратной высоты уровня глаз рисующего над предметной плоскостью (еЕ = 6 X О'"е) (рис. 107, IV).
Взаимосвязь между главным расстоянием и усилением или ослаблением явлений перспективного уменьшения и искажения
72.	— Из сказанного выше следует :
а)	При слишком большом приближении рисующего к картине он будет видеть предметы первого плана, например куб А на рисунке 107, I, под значительно большим углом, чем угол, соответствующий полю ясного зрения человеческого глаза. В этом положении перспективные изображения предметов приобретают такие ненормально искаженные размеры и форму, что производят странное и тем более неприятное впечатление, так как они сочетаются на картине с менее искаженными перспективными изображениями предметов, расположенных на более далеком расстоянии, как, например куб В, расположенный в охвате поля ясного зрения, и кубы С и Е, расположенные в поле очень ясного и очень отчетливого зрения (рис. 107, I). Такие ненормальные уменьшения и искажения линейной перспективы с слишком близкой точки зрения называются анаморфозами, и их надо полностью избегать.
б)	Для того чтобы рисующий видел находящиеся на первом плане предметы в поле ясного зрения, он должен находиться на расстоянии, равном диаметру окружности, в которую вписывается его картина. С такого расстояния предметы, находящиеся на первом плане (куб В), будут видны с ясно выраженными, но нормальными перспективными изменениями. Предметы, находящиеся дальше (кубы С и Е) и благодаря этому расположенные в более ограниченном поле ясного зрения, будут иметь по мере их удаления менее и менее заметные перспективные уменьшения и искажения (рис. 107, II).
в)	Для того чтобы все предметы первого плана уместились в поле очень ясного и очень отчетливого зрения, рисующий должен находиться на расстоянии, равном двум диаметрам или четырем радиусам окружности, в которую можно вписать его картину. С этого расстояния перспективные изображения предметов первого плана будут иметь еще менее заметные перспективные уменьшения и искажения (рис. 107, III).
г)	И, наконец, если рисующий будет находиться на расстоянии большем, чем два диаметра или четыре радиуса окружности, в которую вписывается его картина, то в первый план его поля зрения войдут предметы, находящиеся на еще большем расстоянии и имеющие очень смягченные и поэтому мало заметные перспективные изменения, а их перспективные изображения будут еще больше походить на ортогональные (Е на рис. 107, IV).
Из всего сказанного следует, что в рисунках, сделанных по памяти, и творческих композициях:
9S
Рис. 107 (71; 72; 73; 391)
1.	Более или менее заметные перспективные уменьшения и искажения, ббльшая жизненность или ббльшая монументальность перспективного изображения предметов, расположенных на первом плане, зависит от изменения расстояния между глазом и картиной, иначе говоря — главного расстояния, потому что, подойдя ближе к картине, мы можем разместить на ее первом плане более близкие к ней предметы, а по мере удаления — предметы, лежащие дальше. Минимальный предел главного расстояния — длина диаметра окружности, в которую вписывается картина. Только это расстояние соответствует наибольшему охвату человеческого глаза или наибольшему углу поля нормального зрения; зато вдаль главное расстояние беспредельно.
Если длина главного расстояния не выходит за пределы 1—2 диаметров окружности, в которую вписывается картина, перспективные изображения предметов первого
99
плана умещаются в поле ясного зрения. Когда это расстояние равно двум диаметрам, перспективные изображения предметов первого плана входят в охват поля очень ясного зрения, а при главном расстоянии, большем чем два диаметра, перспективные уменьшения и искажения менее заметны, а если увеличить и это расстояние, то они почти не будут заметны.
2.	Длина главного расстояния • обусловливается длиной диаметра окружности, в которую можно вписать картину. Если картина невелика (например, книжная иллюстрация), окружность, в которую она вписывается, будет небольшой, и главное расстояние, которое вообще колеблется между одним и двумя диаметрами, конечно, будет соответственно небольшим.
Главное расстояние, характеристики которого мы дали выше, пропорционально увеличивается с увеличением размеров картины. Оно достигает очень больших размеров в монументальной живописи, но соотношение между его длиной и размерами картины остается неизменным.
3.	Полная иллюзия пространственной глубины и рельефа изображенных на картине предметов создается у зрителя только в том случае, если его глаза будут находиться на линии горизонта картины против главной точки и на расстоянии, равном главному расстоянию, на котором находился художник во время работы над своей картиной.
Обыкновенно, для того чтобы лучше рассмотреть картину, зритель инстинктивно останавливается перед ней на расстоянии, соответствующем ее размерам и возможности сразу охватить ее всю одним взглядом, иными словами, приблизительно на том же расстоянии, что и художник, когда тот писал картину. Но если художник ошибся и выбрал слишком короткое главное расстояние, а непредупрежденный зритель остановится для осмотра картины на нормальном расстоянии (т. е. большем, чем расстояние, выбранное художником), то все ненормальные изменения искажений перспективных изображений предметов первого плана, несоответствующие перспективным искажениям изображений предметов, расположенных на более далеком расстоянии, создадут впечатление, как будет указано дальше (325), большей глубины и рельефа, чем это наблюдается в действительности, и художник не достигнет того эффекта, к которому он стремился, уменьшив главное расстояние, вопреки нормальным физиологическим свойствам человеческого глаза.
Примечание. На чертежах I—IV (рис. 107) высота всех перспективных изображений передних вертикальных ребер кубов первого плана одинакова, потому что и глаз рисующего, и кубы одинаково удалены от неподвижной картины.
73.	— Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, нам хотелось с помощью рисунков 108—111 особо рельефно выявить влияние изменения главного расстояния на перспективные уменьшения и искажения изображений предметов на картине.
Не надо забывать, что когда мы рассматриваем картину на близком расстоянии, на первом плане в конусе нашего зрения помещаются предметы, находящиеся на более близком расстоянии к картинной плоскости, чем те, которые мы видим, отойдя от
100
нее. Вообще, если в рисунке по памяти или с натуры мы задались точкой зрения слишком близкой к изображаемому предмету, а картина установлена на нормальном главном расстоянии, на ней не уместится целиком перспективное изображение этого предмета, а только часть его, вошедшая в поле ясного зрения, т. е. та, которая при рисовании с натуры уместится в смотровом отверстии описанного выше перспективного видоискателя (47). Но если к тому же находящемуся на слишком близком расстоянии предмету мы придвинем картину настолько, чтобы ее главное расстояние стало меньше допускаемого физиологическими свойствами глаза, предмет полностью поместится па картине, но не в поле ясного зрения рисующего и будет иметь ненормальные перспективные искажения и уменьшения.
На рисунке 107 эти изменения демонстрируются при помощи кубиков. Для того чтобы рисующий мог их видеть все сразу, они были взяты очень небольших размеров, чем и объясняется недостаточная наглядность рисунка. Поэтому на рисунках 108—111 мы пользовались более монументальным предметом (триумфальной аркой с ее окружением) в тех же условиях видимости, в каких мы пользовались кубиками.
Рисунок 108 соответствует чертежу I рисунка 107. Главное расстояние равно радиусу PD или РА на чертеже, т. е. 43 лш; угол при вершине конуса имеет 90°, т. е. гораздо больше нормального. Нижний луч конуса зрения рисующего пересекается с плоскостью земли в точке А на расстоянии 1,50 м от его ног, т. е. на расстоянии, равном высоте его глаза над этой плоскостью. Нормально край картины должен был бы находиться в точке В, т. е. вдвое дальше — на расстоянии 3 м от ног рисующего. Пунктирная окружность, проходящая через точку В, определяет границу поля ясного зрения: пространство, ограниченное окружностью, описывающей картину, входит в зону неясного зрения.
Для того чтобы линии перспективного изображения на картине (предполагается, что рисунок сделан на прозрачном стекле) совпали с линиями предмета в пространстве, нужно, чтобы глаз рисующего находился от картины на расстоянии, равном главному расстоянию, т. е. на расстоянии 43 мм от главной точки Р по перпендикуляру, восстановленному из этой точки. Согнем для этого полоску картона в виде буквы U так, чтобы каждая ножка буквы была длиной в 43 мм, а ее средняя часть (расстояние от ножки до ножки) имела 86 мм, и сделаем в ней точно посредине небольшое круглое отверстие (см. схему на рис. 108). Установим эту полоску отверстием против точки Р. Если мы будем смотреть на рисунок через это отверстие, т. е. с того же главного расстояния, которое было выбрано рисующим при его исполнении, нас поразит его рельефность.
Но при взгляде на этот же рисунок с нормального, т. е. по меньшей мере удвоенного расстояния (86 мм), с которого он весь уместится в поле нашего ясного зрения, мы увидим все допущенные в нем преувеличения и искажения: каменные плиты на первом плане не производят впечатление квадратных, а ребра переднего угла карниза и аттика триумфальной арки не образуют прямого угла. Перспективные уменьшения преувеличены до неестественности. Человеческая фигура второго плана вдвое меньше фигуры первого, фигура третьего плана вчетверо меньше фигуры первого плана и вдвое меньше фигуры второго плана. Наш глаз привык к уменьшениям гораздо боль-
101
Рис. 108 (20; 73; 325; 391)
шим, чем эти (например, на рис. 4 и 5), но оправдываемым соответствующим расстоянием между фигурами. Здесь же эти уменьшения ничем не оправданы, так как расстояние между первой и второй фигурой равно всего лишь 2,50 м, а между второй и третьей — меньше 5 м. Такое резкое перспективное уменьшение на таком небольшом расстоянии невозможно. Также трудно поверить и в то, что арка (высотой в 10,50 .и) находится от нас всего лишь в 9,60 м и что расстояние между ней и окружающими постройками не превышает 16 м. Из всего сказанного становится ясно, что, если рисующий выбрал такую близкую точку зрения, желая подчеркнуть небольшие размеры площади, на которой находится арка, он не только не достиг цели, но создал рисунок, дающий ложное представление о расстояниях, которые кажутся гораздо больше действительных.
Рисунок 109 соответствует чертежу II рисунка 107. На нем главное расстояние — это наименьшее расстояние, на котором картина помещается в нормальных условиях в поле нашего ясного зрения. Это расстояние равно 86 мм, т. е. диаметру окружности, в которую вписывается картина, иными словами, расстоянию, с которого нужно на нее смотреть. В этом случае угол при вершине конуса зрения равен 53°, а ближайшая точка картины А удалена от рисующего на 3 м, т. е. на двойную
102
высоту (1,50 .и) уровня его глаз над предметной плоскостью. На таком расстоянии перспективные уменьшения и искажения, хотя и довольно велики, воспринимаются нами как естественные. Триумфальная арка отстоит от рисующего на 19 м, и нас не удивляет, что от первого человека до человека на втором плане — 5 м и 10 м — до человека на третьем плане.
Рисунок ПО соответствует чертежу III рисунка 107. Главное расстояние картинной плоскости равно двум диаметрам или четырем радиусам, т.е. 172 мм, а угол при вершине конуса зрения — 28°.
С этого расстояния все предметы на картине помещаются в поле наиболее ясного и отчетливого
зрения. Самая близкая точка Л кар
тины отдалена от рисующего на 6 м, т. е. на учетверенную высоту уровня (1,50 .и) его глаз над предметной плоскостью, а триумфальная арка отстоит от него на 38 .и. Для того чтобы человек, находящийся на первом плане, был на картине вдвое больше человека на втором плане, они должны находиться друг от друга на расстоянии примерно в 10 м, и для такого же уменьшения между человеком на втором плане и человеком на третьем плане должно быть 20 м. При таком главном расстоянии триумфальная арка больше не отрывается от окружающих строений.
Рисунок 111 соответствует чертежу IV рисунка 107. Главное расстояние равно шести радиусам, т. е.
Рис. 110 (20- 73; 391)
Рис. 111 (20; 73; 391)
258 .мм. Вся картина умещается в
103
центральной части ноля очень ясного и очень отчетливого зрения. На этом расстоянии перспективные искажения настолько смягчены, что рисунок больше похож на ортогональную, чем на коническую проекцию. Точка А отдалена от рисующего на 9 м, т. е. на шестикратную высоту уровня глаза в 1,50 м над предметной плоскостью. Расстояние между триумфальной аркой и рисующим больше 57 м, расстояние между фигурами людей первого и второго плана больше 14 м, а между фигурами второго и третьего плана примерно 30 м. Арка сливается с окружающими зданиями.
Учитывая все эти указания, художник свободен в выборе главного расстояния, отвечающего требованиям его композиции. Единственное условие, которое он должен соблюдать, это, чтобы главное расстояние не было меньше диаметра окружности, в которую вписывается картина. При этом он может столкнуться со следующими тремя положениями, описанными в параграфах 74—76.
Главное расстояние в рисунке с натуры, в рисунке но памяти и в рисунке, где рисующий знает расстояние до объекта
74.	— а) Художник исполнил рисунок с натуры. Чтобы проверить правильность перспективы, нужно знать главное расстояние до картинной плоскости, на которой был выполнен рисунок.
Определение главного расстояния на рисунке (или этюде) с натуры не представляло бы трудностей, если бы рисунок был исполнен на прозрачном стекле. В этом случае, удерживая стекло вертикально перед глазами, то приближая его, то удаляя, уловим момент, когда перспективное изображение на стекле совпадет с очертаниями изображаемых нами предметов. Измерим метром или бечевкой расстояние между картиной и точкой, в которой в этот момент находится наш глаз. Это и есть главное расстояние. Но так как с непрозрачной картиной такой операции нельзя проделать, главное расстояние определяется путем сопоставления какой-нибудь из линий, взятой на рисунке с соответствующей линией на объекте. Для этого отметим на карандаше или на вязальной спице длину наиболее характерной вертикальной линии на рисунке. Не сходя с места, на котором мы рисовали (или писали), и удерживая карандаш вертикально в руке, начнем приближать или удалять его, пока отмеченная на нем длина не совпадает с соответствующей вертикалью на объекте, выбранном для рисунка. Измерим указанным выше способом расстояние между карандашом и глазом (или, вернее, между вертикальной фронтальной плоскостью карандаша и вертикальной плоскостью глаза рисующего), это расстояние и будет главным расстоянием нашего рисунка.
Если наша рука недостаточно длинна для того, чтобы линия, выбранная на рисунке, совпала с соответствующей линией на модели, отметим на карандаше половину или четверть длины выбранной вертикали. Тогда расстояние между плоскостью карандаша и плоскостью глаз будет соответствовать половине или четверти искомого главного расстояния.
104
Далее, в параграфах 135—136, мы покажем графическое построение, с помощью которого можно не только на месте, но и позже, дома, определить главное расстояние сделанного с натуры рисунка.
Если в результате таких измерений мы найдем для нашего рисунка с натуры главное расстояние меньшее, чем диаметер круга, в который вписывается рисунок, это значит, что в рисунок вошли предметы, которые в действительности не находятся в поле ясного зрения, и мы не увидели бы их, глядя в смотровое отверстие перспективного видоискателя. И поэтому, если мы не можем отойти от модели, надо уменьшить размеры картины до размеров поля конуса ясного зрения. Таким образом мы устраняем на картине перспективные изображения предметов, которые, находясь за пределами поля ясного зрения, были изображены с ненормальными перспективными уменьшениями и искажениями (этот вопрос будет рассмотрен в параграфах 135—136).
Предположим, что художник, не сходя с места, сделал с выбранного объекта несколько рисунков различной величины. Все перспективные изображения предметов на них будут тождественны, так как он рисовал их, находясь от объекта на одном и том же расстоянии. В этих условиях разница размера главного расстояния для каждого из этих рисунков будет в постоянном соотношении с разницей размеров самих рисунков (рис. 12).
75.	— б) Художник набросал первый эскиз задуманной композиции с заданными размерами картины, линией горизонта и главной точкой. Чтобы приступить к перспективной проверке этого эскиза, надо определить главное расстояние. В зависимости от характера композиции и от расстояния, с которого можно видеть данный объект, художник устанавливает главное расстояние в соотношении с жанром и характером композиции и диаметром окружности, в которую она вписывается (минимальное главное расстояние не должно быть меньше расстояния, соответствующего углу ясного зрения). Как мы увидим дальше, он может принять за базу для определения главного расстояния перспективное изображение прямого угла на своем эскизе при условии, чтобы наклон сторон этого угла соответствовал его композиционному замыслу (135).
76.	— в) Художнику известно расстояние, с которого будут рассматривать его композицию. Приведем пример: скульптор хочет знать, как будет выглядеть спроектированный им памятник после его исполнения и постановки на площади, размеры которой и расстояние, с которого будут смотреть на памятник, он знает. Ниже будет указано, как в этих условиях путем применения закона перспективных уменьшений можно легко найти главное расстояние (322).
Дробные точки отдаления и определение их на практике
77.	— Какова бы ни была длина выбранного художником главного расстояния, она всегда будет слишком большой для размеров бумаги, полотна и т. д., ограниченных в большинстве случаев рамой. В повседневной практике мы не можем отложить на картине главное расстояние целиком, а лишь уменьшенным в два, три, четыре раза
105
Рис. 116 (77, а)	Рис. 117 (77, а)	Рис. 118 (77, л)
Рис. 119 (77, б)	Рис. 120 (77, в)	Рис. 121 (77, в)
и больше. Исходя из соображения, иго любой размер легче делить с помощью масштабной линейки или полоски бумаги (перегнув полоску вдвое для половины длины, еще раз вдвое — для четверти и еще раз вдвое —• для одной восьмой), мы предпочитаем пользоваться половиной, четвертью либо восьмой частью главного расстояния-Точки, полученные в результате уменьшения главного расстояния, называются дробными точками отдаления и отмечаются той же буквой D, но с прибавлением делителя, например D/2 при уменьшении главного расстояния вдвое, D/4 — вчетверо и т. д.
Для более легкого запоминания места, которое займет на картине после поворота дробная точка отдаления справа или слева относительно главной точки Р, нужно иметь в виду, что место дробной точки на линии горизонта и на заданном расстоянии от главной точки можно определить только после определения художником
106
на картине линии горизонта и места, занимаемого главной точкой. Установив эти основные элементы, мы видим:
а)	Когда художник хочет быть возможно ближе к объекту, он должен работать (сидя или стоя) над картиной на самом близком из допускаемых расстояний, т. е. на расстоянии, равном двум радиусам описывающей картину окружности: PD=PR X 2. Если в этом положении (рис. 112—115) он проведет из главной точки Р картины прямую PR до наиболее отдаленного угла рамы, который может находиться в ее верхней (рис. 113—115) или нижней (рис. 112) части картины в зависимости от положения на ней линии горизонта, эта прямая и будет радиусом описывающей картину окружности ясного зрения, равным половине главного расстояния.
Отложив циркулем из точки Р на линии горизонта отрезок PR, равный радиусу описывающей картину окружности, мы получим точку D/2, т. е. точку вдвое уменьшенного расстояния. Если и эта точка выходит за пределы картины, на которой мы строим рисунок (рис. 114, 115), разделим найденный нами радиус PR на две равные части (Pr = rR) и опишем этим новым радиусом дугу. Мы получим на линии горизонта в рамках картины дробную точку отдаления D/4, равную одной четверти главного расстояния (рис. 116). Если и эта точка выходит за край рисунка, определим тем же
107
путем дробную точку отдаления D/8, равную одной восьмой главного расстояния (рис. 117), или точку D/16, равную одной шестнадцатой главного расстояния (рис. 118).
Вообще принято говорить, что для охвата картины в поле ясного зрения ее главное расстояние должно равняться диагонали картины. Это определение действительно только для случаев, когда линия горизонта делит картину на две равные части (рис. 78). Из рисунков 112—118 ясно видно, что вообще главное расстояние больше диагонали картины. К тому же заключению мы приходим, глядя на рисунки 63 — 64, для расстояния, на котором должен находиться художник от объекта картины, если он хочет, чтобы этот объект поместился в поле его ясного зрения. Вообще, уточняя это определение, мы приходим к выводу, что главное расстояние любой картины и расстояние от рисующего до объекта не должно быть меньше диаметра окружности, в которую можно вписать картину или объект с центром этой окружности в главной точке картины (рис. 112—118) или в точке пересечения главного луча зрения художника с объектом картины (рис. 63—64).
б)	Если художник хочет работать над картиной на расстоянии, на котором конус его зрения будет иметь при вершине 28°, т. е. на расстоянии, равном четырем радиусам, радиус PR окружности, в которую вписывается картина, должен быть равен четверти длины главного расстояния. Поступая, как и в предыдущем случае, отложим радиусом PR точку уменьшенного расстояния D/4 (равную четверти главного расстояния), которая выходит за пределы рамок картины, и точку уменьшенного расстояния D/8 (равную одной восьмой главного расстояния) на картине (рис. 119).
в)	Допустим, что художник хочет иметь в поле очень ясного и отчетливого зрения предметы, которые должны фигурировать на первом плане картины, и для этого выбрал главное расстояние, равное трем радиусам описывающей картину окружности.
(	3	)
В этих условиях три четверти радиуса окружности Рг = — PR представляют собой I	4	)
(3 PR	\
-----X 4 = 3 PR , т. е. искомые три радиуса. 4----)
Поступая, как было указано выше, отложим от точки Р на линии горизонта длину, равную 3/4 радиуса окружности, описывающей картину. Пересечение дуги окружности с линией горизонта и будет дробной точкой отдаления Л/4 (рис. 120). В случае необходимости, разделив найденную выше длину 3/4 PR пополам, получим дробную точку отдаления Е>/3, умещающуюся в пределах картины (рис. 121).
78.	— Резюмируя все сказанное выше, мы заключаем, что практически дробная точка отдаления определяется на картине следующим образом.
Соединяя точку Р с одним из самых отдаленных углов картины, мы определяем радиус описывающей ее окружности. Описав этим радиусом дугу окружности, мы найдем в точке ее пересечения с линией горизонта точку С (рис. 122). Разделим расстояние PC пополам {РА — АС), разделим АС тоже пополам {АВ == ВС). Мы получим на линии горизонта три точки А, В, С. Расстояние РА равно половине длины радиуса окружности,
108
описывающей картину, расстояние РВ — трем четвертям, а. PC — длине этого радиуса. Этими тремя точками художник должен пользоваться в следующих случаях:
а)	Когда он хочет быть возможно ближе к картине и к первому плану выбранного им объекта, то, чтобы добиться впечатления максимального перспективного уменьшения (большей или меньшей разницы в величине перспективного изображения двух человеческих фигур, удаленных одна от другой в глубину на 4 м; рис. 122—125) и перспективного искажения (более или менее резкого искажения на этих рисунках нарисованного на полу перспективного изображения окружности), он должен найти в точке С дробную точку отдаления D/2 и в точке А дробную точку отдаления D/4, так как PC и РА в этом случае соответственно равны радиусу и половине радиуса или половине и четверти минимального главного расстояния, равного двум радиусам (рис. 122).
б)	Если художник хочет поместить предметы первого плана в поле ясного зрения, он должен нанести на линии горизонта дробную точку отдаления, равного четверти радиуса, в любом месте между точками А и В (ближе к А или ближе к В) в зависимости от того, хочет ли он быть ближе к выбранному объекту или дальше (рис. 123).
в)	Если художник хочет, чтобы предметы первого плана его картины вошли в поле очень ясного и отчетливого зрения, он должен отложить на линии горизонта в любом месте между точками В и С (ближе к В или ближе к С) дробную точку отдаления D/4 в зависимости от того, хочет ли он иметь на картине более или менее смягченные перспективные эффекты (рис. 124).
г)	Если художник хочет добиться еще более смягченных перспективных эффектов, он должен отложить дробную точку отдаления £>/# дальше от точки С (рис. 125).
Примечание. Если из-за формата бумаги или полотна мы не можем пользоваться точкой D[4 уменьшенного вчетверо главного расстояния, разделим это расстояние вдвое и отметим на картине точку, равную одной восьмой главного расстояния (£>/<?) (рис. 678; 680; 681).
д)	Если скульптор, нарисовав на картине перспективное изображение предмета, высоту которого он знает, захочет посмотреть на него с определенного расстояния, например с расстояния, с которого впоследствии люди будут смотреть на спроектированный им памятник, и захочет увидеть и проверить возможные перспективные искажения, ему не представит труда установить на картине точку уменьшенного расстояния, применив графически закон перспективного уменьшения (322).
е)	И, наконец, если художник во время рисования с натуры не измерил главное расстояние методом, указанным выше (74), то точку уменьшенного расстояния можно определить и позже путем уменьшения, или так называемым методом малой картины (271).
Рис. 126 (87). Луи Лене и. Воз сена
V. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
КАРТИНЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ КАРТИНЕ
Как бы ни сложна была форма предмета и каково бы ни было его положение в пространстве, его всегда можно вписать в более простую геометрическую форму, что значительно облегчит построение его перспектив (рис. 31).
Перспективное изображение любого геометрического тела легко построить, если мы умеем строить в заданных условиях перспективу ограничивающих его в пространстве точек и линий.
Такие построения демонстрируются в последующих главах.
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОЧКИ
79.	— Перспективным изображением любой расположенной в пространстве точки может быть только точка. Последняя находится на пересечении с картинной плоскостью луча зрения, идущего от заданной точки пространства к глазу рисующего О (при условии, что он находится против главной точки). Расстояние же между ними определяется с помо-
111
Рис. 127 (24; 79)
щью уменьшенного (например, вчетверо) расстояния от главной точки до помеченной на картине дробной точки отдаления, например D/4 (рис. 127).
Расстояние между рисующим и точками, расположенными в предметной плоскости, перспективы которых находятся на картине от нижнего ее края тп и до линии горизонта hh', соответствует положению их перспектив на картине: чем ближе перспектива точки к нижнему краю картины, тем ближе точка пространства к рисующему, и, наоборот, чем ближе перспектива точки к линии горизонта, тем дальше точка пространства от рисующего. Так, на рисунке 127 точка а является перспективой точки А, расположенной в пространстве ближе к рисующему, чем точки В и С, благодаря чему и йх перспективы Ъ и с расположены на картине дальше от ее нижнего края и ближе к линии горизонта.
80.	— Построив в какой-либо части картины перспективу точки а, мы не можем определить ее положение в пространстве (рис. 128), потому что соответствующая перспективе а точка пространства А может в нем находиться в любом месте — в А1г А2, А3 и т. д. на луче Оа, идущем из глаза рисующего О через точку а на картине к точке А в пространстве. Для того чтобы определить ее положение, мы должны также показать на рисунке и перспективу проекции заданной точки (Аг, А2, А3 и т. д.) на предметную плоскость (землю), т. е. точку основания опущенного из заданной точки на предметную плоскость перпендикуляра.
В зависимости от того, находится ли основание перпендикуляра ближе к нижнему краю картины, например в точке а2, или ближе к линии горизонта hh' — в точке аЗ или а4, мы заключаем, что расположенная в пространстве точка находится в какой-то более близкой к нам или более отдаленной от нас фронтальной плоскости. Проведя через одну из этих точек след проходящей через нее фронтальной плоскости (например т2п2, тЗпЗ, т4п4 и т. д.), мы определяем положение в пространстве заданной точки, Она находится:
112
М4
Мз
Мг
V
Р as
Линия'
Рис. 128 (24; 80; 81; 82; 83; 106)
а) По отношению к земле — на расстоянии,
ав пв
а
ЖМ/1И
h__04
у
<?<1 5Q_____О4
OJL Bi.
в.
определяемом высотой одного из перпендикуляров
т4
ТЕ*
ни т

аа2, ааЗ, аа4 и т. д. (эти расстояния, которые прогрессивно увеличиваются в пространстве — А1 — A'l > А4— А'4, на картине нам кажутся меньше и меньше из-за перспективного уменьшения). Это расстояние называется аппликатой, или высотой точки.
б) По отношению к главной вертикальной плоскости зрения VV" (вправо или влево от нее) — на расстоянии, равном длине следа, одной из фронтальных плоскостей между точками основания перпендикуляров а2, аЗ, а4 и т. д. и вертикалью W (на картине
расстояния а2 — v2, аЗ — v3, а4 — v4 кажутся из-за перспективного уменьшения равными, а в пространстве расстояния V2 — А’2, V3 — А'З, V4 — А'4 и т. д. постепенно увеличиваются). Это расстояние латерального отдаления точки носит название абсциссы точки.
в) По отношению к нижнему краю картины — на расстоянии, которое измеряется на прямой VV' (106) между следом одной из фронтальных плоскостей v2, v3, v4 и т. д. и точкой v. Она называется ординатой, или глубиной точки.
ИЗ
г) По отношению к рисующему—на расстоянии, равном расстоянию между фронтальной плоскостью, включающей эту точку, и нейтральной плоскостью (318).
На рисунке 129 аппликатами у точек являются вертикали аа', ala'l, а2а'2, аЗа'З, а4а'4 и SS', абсциссами—прямые а'1 — vl, а’2 — v2, а'З — v3, а'4 — v4 и S'P. На том же рисунке ординаты определяются точками на вертикали VP.
81.	— Точка, расположенная на бесконечном расстоянии. Если перпендикуляр, опущенный из точки, взятой на картине, встречается с предметной плоскостью (землей) на линии горизонта hh', в точке а5 (рис. 128), т. е. в бесконечности, это означает, что и соответствующая ему точка пространства расположена в бесконечности. Она может быть только перспективным изображением какого-либо небесного тела (S's' на рис. 129) или точкой схода (104).
82.	— Точка, расположенная в картинной плоскости, или точка нулевого отдаления. Для того чтобы перспективное изображение точки и сама точка слились в картинной плоскости, нужно, чтобы опущенная из нее на предметную плоскость вертикаль, проходя в картинной плоскости, достигла линии ее основания (55) в A't (рис. 128). Поэтому нельзя считать, что точка находится в картинной плоскости, если опущенный из нее на предметную плоскость перпендикуляр доходит только до нижнего края картины, а не до линии основания картинной плоскости. Это понятно из рисунка 128; хотя основание al перпендикуляра находится на линии, ограничивающей картину снизу, соответствующая ей точка А1 помещается в пространстве позади картины, на вертикали AlA'l, а не в плоскости картины.
83.	— Точка, расположенная в промежуточном пространстве. Если точка А6 расположена в пространстве между глазом рисующего и картинной плоскостью, т. е. в промежуточном пространстве (31), точка основания перпендикуляра А'6 находится на предметной плоскости между следом нейтральной и основанием картинной плоскостей (линией земли), перспективное же изображение точки основания этого перпендикуляра находится в точке аб, ниже линии основания картинной плоскости (линии земли) ху (рис. 128),
114
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
84.	— Перспективным изображением любой расположенной в пространстве прямой может быть либо прямая, либо точка.
Точкой она бывает только в том случае, если при ее продлении она достигнет глаза рисующего и представляется ему в так называемом полном ракурсе, при котором все точки, расположенные на этой идущей по направлению луча'зрения прямой, совпадают с этим лучом (рис. 146—148). Так, если мы будем смотреть на прямую, идущую вдоль оси коромысла колодца или поднятого шлагбаума с торцового конца, то эта прямая нам представится в виде точки а (рис. 130; 131).
Во всех остальных случаях перспективное изображение прямой может быть только прямой, потому что пересечение любых двух плоскостей происходит по прямой. Плоскости, пересечением которых определяется перспективное изображение прямой,— это картинная плоскость и плоскость, образуемая лучами зрения, соединяющими все точки расположенной в пространстве прямой с глазом рисующего, находящегося по другую сторону картины против главной точки на расстоянии, которое выводится из длины отрезка на линии горизонта между главной точкой и дробной точкой отдаления (рис. 70).
Все расположенные в пространстве прямые делятся с точки зрения их перспективных изображений на две ясно выраженные группы:
а)	прямые, параллельные к картинной плоскости (т. е. лежащие в фронтальных плоскостях). Такие прямые называются прямыми, параллельными картине, фронтальными прямыми;
115
б)	прямые, непараллельные картинной плоскости, называемые прямыми, имеющими тлчку схода, т. е. прямыми, постепенно отдаляющимися от картинной плоскости.
И прямые, параллельные картинной плоскости (фронтальные), и прямые, непараллельные ей, т. е. имеющие точку схода, имеют много разновидностей, в чем мы убедимся дальше.
Важно лишь запомнить, что признаком, резко разграничивающим линии, параллельные картинной плоскости, от линий, ей непараллельных, является то, что первые подчиняются закону перспективного уменьшения (9), а вторые — закону перспективного искажения (10).
ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРЯМЫХ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАРТИННОЙ ПЛОСКОСТИ (ФРОНТАЛЬНЫХ)
85.	— Фронтальные прямые, т. е. прямые, параллельные картинной плоскости, в связи с их положением в фронтальной плоскости, могут быть:
а)	вертикальными,
б)	горизонтальными,
в)	наклонными.
Перспективное изображение прямой, расположенной в пространстве параллельно картинной плоскости (рис. 132), будь это прямая вертикальная (АВ), горизонтальная (ВС) или наклонная (СА), ни при каких обстоятельствах не может быть точкой: будучи параллельным картине, оно не может идти по направлению луча зрения. Его перспективным изображением может быть только прямая (ab, Ьс или са), параллельная прямой пространства, потому что прямые, образуемые пересечением лучевой плоскости, включающей расположенную в пространстве прямую АВ и ее перспективное изображение ab, с двумя параллельными друг другу плоскостями (картинной К и фронтальной F, включающей прямую пространства АВ), могут быть только параллельными (АВ || ab).
Отсюда следует, что:
а)	перспективные изображения на вертикальной картине всех расположенных в пространстве вертикальных прямых — вертикали (АВ и ab);
б)	перспективные изображения всех расположенных в пространстве горизонтальных прямых, параллельных картинной плоскости (т. е. фронтальных), — горизонтали (ВС и Ьс);
в)	перспективные изображения наклонных прямых имеют тот же наклон, что и соответствующие им наклонные прямые пространства (АС и ас). Перспек-
Рис. 132 (24; 85; 94; 95; 96)	тивные изображения этих прямых обра
116
зуют на картине с вертикалями и горизонталями, с которыми они пересекаются, те же углы, что и соответствующие им наклонные прямые прос-
транства (ВАС = Ьас и АСВ = acb; рис. 132).
86.	— Для того чтобы определить (как мы определяли в параграфе 80 положение точки) место, занимаемое в пространстве, параллельной картинной плоскости прямой (вертикальной, горизонтальной или наклонной), перспективное изображение которой дано на картине, его нужно дополнить (как это указано ниже) перспективным изображением проекции этой же прямой на предметную плоскость (землю).
Перспективные изображения вертикальных прямых
87.	— Далеко не всякая вертикаль на картине является перспективным изображением вертикальной прямой в пространстве. Она может быть в некоторых случаях перспективным изображением прямой пространства, перпендикулярной к картине (106; рис. 15, где вертикальная линия MN и прямая de на рис. 135 являются линиями, перпендикулярными картине, лежащими в главной вертикальной плоскости зрения), непараллельной картине горизонтальной прямой (111; рис. 135 и 162, где вертикаль ih представляет собой горизонталь, непараллельную картине) или любой наклонной прямой, лежащей в непараллельной картине плоскости (138; рис. 20, где вертикаль АВ представляет собой наклонную прямую фронтона). Так, вертикаль ab на картине (рис. 133 и 135) может быть перспективным изображением расположенной в пространстве вертикали, например вертикали АВ, но в то же время и перпендикулярной к картине прямой, лежащей в главной вертикальной плоскости зрения, например прямой АС (105), или любой наклонной прямой, лежащей в непараллельной картине плоскостй (137), например прямой AD,
Рис. 133 (24; 87; 138)
Рис. 134 (24; 87; 138)
Рис. 135 (87; 101; 106; 111; 138)

117
расположенной в главной вертикальной плоскости зрения. Таким же образом на рисунках 134 и 135, справа, вертикаль fg может быть перспективным изображением вертикальной прямой, расположенной в пространстве, например вертикали FG, но в то же время и перспективным изображением какой-либо непараллельной картине горизонтали, например FH (Ш), либо наклонной прямой, лежащей в непараллельной картине плоскости, например FI, лежащей в вертикальной плоскости, которая, будучи продолженной, проходит через оптический центр глаза рисующего (138).
Рассматривая вертикальные линии на картине, представляющие собой вертикали, расположенные в пространстве, мы приходим к заключению, что их основание может быть в предметной плоскости или выше, как, например, у фигур, стоящих на телеге (рис. 126), на каменной глыбе (рис. 157), на лестнице (рис. 211) или у стоящей на столе свечи (рис. 100) и т. д.
88.	— Если мы имеем дело с вертикалями, основание которых лежит в предметной плоскости, перспектива которой простирается от нижнего края картины до линии горизонта, их перспективные изображения представляют собой вертикали, расположенные в пространстве на различных расстояниях от рисующего (ближе, дальше), в зависимости от положения основания перспективного изображения в предметной плоскости относительно нижнего края рисунка или относительно линии горизонта. Так, на рисунке 136 вертикаль ab представляет собой перспективу вертикали АВ, расположенной в простран-
Рис. 136 (24; 88)
118
Рис. 137 (24; 89)
стве ближе к рисующему, чем вертикали CD и EF, перспективные изображения которых cd и ef имеют точки основания с и е в предметной пло-.
4" л
скости дальше от нижнего края картины тп и ближе к линии горизонта hh'.
89.	— Что касается перспективных изображений вертикалей, основание которых не лежит в предметной плоскости, нами уже указывалось (11), что они могут быть изображением бесконечного числа прямых пространства, как это видно на рисунках 23—27, где вертикали AD, ВС и EF могут иметь самые разнообразные размеры в зависи
мости от предполагаемого расстояния.
То же самое мы видим и на рисунке 137, где вертикаль ab может быть перспективным изображением бесконечного числа вертикалей в пространстве, расположенных между
119
лучами зрения ОАп и ОВп, причем их точное положение в пространстве относительно рисующего определяется только проекцией (основанием) этих прямых на предметную плоскость.
Таким образом, вертикаль ab на картине (рис. 137) может быть:
а)	Перспективным изображением расположенной в пространстве очень короткой вертикали АВ, которая находится в промежуточном пространстве на очень небольшом расстоянии от рисующего. В этом случае ее про-
екция на предметную плоскость В" проектируется конически в точке Ь" ниже линии основания картинной плоскости ху.
б)	Перспективным изображением расположенной в пространстве вертикали ab, лежащей в картинной плоскости. В этом случае вертикаль в пространстве и ее перспективное изображение сливаются. Таким же образом в точке Ь' на основании картинной плоскости (на линии земли) сливается проекция этой же вертикали на предметную плоскость с перспективным изображением этой проекции.
в)	Перспективным изображением вертикали А1В1, расположенной в пространстве, в параллельной картине фронтальной плоскости N1, перспективное изображение которой совпадает с нижним краем картины mini. В этом случае перспективное изображение проекции этой вертикали в точке В' 1 на предметную плоскость (землю) находится в точке Ы на нижнем краю картины.
г)	Перспективным изображением расположенных в пространстве и постепенно удлиняющихся вертикалей А2В2, АЗВЗ и т. д., лежащих во фронтальных плоскостях N2, N3 и т. д. на прогрессивно увеличивающемся расстоянии от рисующего. Перспективные изображения В'2, В'З и т. д. проекций Ь2, ЪЗ этих вертикалей па предметную плоскость постепенно сближаются с линией горизонта и находятся на линиях т2п2, тЗпЗ и т. д.. которые являются перспективным изображением следа на предметной плоскости соответствующих фронтальных плоскостей.
д)	Перспективой вертикали астрономических размеров, определяющей расстояние между двумя небесными телами в том случае, если перспективное изображение проекции этой вертикали на землю расположено в бесконечности на линии горизонта в точке Ьп. Так, например, па рисунке 129 вертикаль SS' обозначает расстояние между солнцем и главной горизонтальной плоскостью зрения. Из всего сказанного следует, что только перспективное изображение точки основания на предметной плоскости расположенной в пространстве вертикали определяет на картине место в пространстве этой вертикали.
120
Рис. 139 (24; 92)
90.	— Практические выводы. Необходимо запомнить, что при соблюдении нормальных размеров поля человеческого зрения перспективным изображением на плоской вертикальной картине любой расположенной в пространстве вертикали может быть только вертикаль.
Во время работы с натуры художнику в некоторых случаях может показаться, что часть находящихся перед ним вертикалей нужно передать слегка наклонными прямыми, а не вертикальными. Это происходит потому, что эти вертикали находятся вне пределов его поля наилучшего зрения, и для того чтобы их видеть, он должен поднять или опустить голову (эту ошибку легко проверить с помощью перспективного видоискателя). Мы знаем, что вместе с изменением направления взгляда изменяется и положение картинной плоскости, которая всегда перпендикулярна к главному лучу зрения (45, рис. 69).
У художника, расположившегося слишком близко к этим вертикалям и поднимающего или опускающего голову, чтобы их видеть, картинная плоскость перестает быть по отношению к ним вертикальной, а становится в первом случае восходящей, а во втором — нисходящей. В таких условиях перспективные изображения расположенных в пространстве Вертикалей становятся наклонными, потому что пересечение вертикальной лучевой плоскости зрения между глазами рисующего и точками на вертикалях пространства с наклонной плоскостью картины дает не вертикальную, а наклонную линию. Так, на рисунках 18, 19 и 69, Б и В перспектива расположенных в пространстве вертикальных ребер наклоняется в первом случае вверх (рис. 18 и 69, Б~), а во втором вниз
121
Рис. 140 (24; 93)
(рис. 19 и 69, В), так как находившийся слишком близко к ним художник, чтобы видеть верх стен или весь памятник (рис. 18), поднимал голову и картину, наклоняя ее на себя (рис. 69, Б),а для того чтобы видеть с террасы низ стен (рис. 69, В) или весь памятник (рис. 19), опускал голову и соответственно картину, наклоняя ее в обратном направлении.
Перспективные изображения горизонтальных прямых, параллельных картинной плоскости
91.	— Перспективное изображение параллельной картине горизонтальной прямой пространства может быть только горизонтальной прямой (85).
Однако далеко не всякая горизонталь на картине является перспективой параллельной ей горизонтали в пространстве. В некоторых случаях она может быть пер
122
спективой прямой, перпендикулярной к картине (рис. 15, где линия GH представляет собой перспективу перпендикулярной к картине прямой), перспективой непараллельной картине горизонтали (рис. 16, где линия А В — непараллельная картине горизонталь) или перспективой наклонной, лежащей в непараллельной картине плоскости (рис. 16, где горизонталь DE является перспективной наклонной прямой фрон-
тона). А горизонталь ed на	Рис. 141 (93)
картине (рис. 138), располо-
женная на уровне глаз рисующего и поэтому сливающаяся с линией горизонта hh',
может быть перспективой расположенной в пространстве перпендикулярно к картине
прямой, например горизонтали АВ, но в то же время и непараллельной картине
горизонтали CD, имеющей точку схода справа, или такой же горизонтали СВ (111), имеющей точку схода слева. На том же рисунке горизонталь еа (тоже на линии горизонта) может быть также перспективным изображением прямой, перпендикулярной к картине, например прямой ЕА (106). А на рисунках 193 и 194 горизонталь ab на картине может быть перспективным изображением горизонтали, расположенной в пространстве параллельно картине, например прямой АВ, и в то же время горизонтали Ьс и de могут быть перспективными изображениями любых наклонных прямых, например ВС и DE (138).
92.	— Если мы займемся рассмотрением одних лишь расположенных в пространстве параллельно картине горизонталей,, то увидим, что они могут лежать в предметной плоскости или вне ее (например, верхний край проема ab на рис. 17).
Перспективные изображения проходящих в предметной плоскости параллельно картине горизонталей, расположенные на картине от нижнего ее края пт до линии горизонта hh', представляют собой горизонтали пространства, параллельные картине, но лежащие на различных расстояниях от рисующего'. Эти расстояния определяются положением перспективы этих горизонталей относительно нижнего края картины или относительно линии горизонта. Так, на рисунке 139 горизонталь ab является перспективным изображением параллельной картине горизонтали АВ, расположенной в пространстве ближе к рисующему, чем две другие, тоже параллельные картине горизонтали CD и EF, перспективные изображения которых cd и ef находятся на картине дальше от нижнего ее края и ближе к горизонту.
93.	— Что касается горизонталей, параллельных картине, но не лежащих в картин
ной плоскости, мы видим на рисунке 140, что горизонталь ah на картине может быть
123
перспективным изображением бесконечного числа горизонталей, заключенных между лучами зрения ОАп и ОВп в предметном или промежуточном пространствах. Точное положение этих горизонталей в пространстве, т. е. расстояние между рисующим и параллельными картине (фронтальными) плоскостями, включающими эти горизонтали, можно определить только при помощи перспективы проекции этих горизонталей на предметную плоскость.
Так, например, линия ab на картине может быть:
а)	Параллельной картине горизонталью, например прямой АВ, короткой и находящейся в промежуточном пространстве на очень близком расстоянии от рисующего,
Рис. 142 (24; 95)
124
если перспективное изображение ее проекции на предметную плоскость А'В' проектируется конически в а"Ь", ниже линии ху основания предметной плоскости.
б)	Параллельной картине горизонталью ab, лежащей в картинной плоскости, в том случае, если ее проекция а'Ь' на предметную плоскость совпадает с линией ху основания картинной плоскости (линией земли), на которой находится и перспективное изображение а'Ь' этой горизонтали.
в)	Лежащими в пространстве параллельно картине, постепенно удлиняющимися горизонталями А1В1, А2В2, АЗВЗ ит. д., лежащими в параллельных картине плоскостях Nl, N2, N3 и т. д. и расположенными от рисующего на том же расстоянии, на котором перспективные изображения а1Ы, а2Ь2, аЗЬЗит. д. их проекций А'1 В'1, А'2 В'2, А'З В'З на предметную плоскость расположены по отношению к линии горизонта. На рисунке 140 перспективное изображение albl совпадает с нижним краем картины, а перспективные изображения а2Ь2, аЗЬЗ и т. д. сливаются с линиями т2п2, тЗпЗ и т. д., представляющими собой перспективные изображения следа параллельных картине плоскостей N2, N3 и т.д., в которых лежат эти прямые.
г)	Расположенной в пространстве горизонтальной астрономической длины, параллельной картине, которая определяет расстояние между двумя небесными телами, если перспективное изображение проекции этой горизонтали на предметную плоскость находится на бесконечно далеком расстоянии от рисующего, т. е. в anbn на линии горизонта.
То же самое мы видим на рисунке 141. На горизонтали AD может находиться перспективное изображение расположенной в пространстве очень близко к рисующему и параллельно картине горизонтальной прямой (верхнее ребро АВ ящика). Несмотря на то, что проекция этого ребра на предметную плоскость не умещается в пределах картины, расстояние его до рисующего в 1,20 м можно определить, применив закон перспективного уменьшения (318). На той же горизонтали могут находиться и перспективы параллельных картине горизонталей CD, ЕС, BF, FG, GH, расположенных на постепенно увеличивающихся расстояниях от рисующего (это видно по их проекциям cd, е, f, g, h на предметную плоскость), или перспектива параллельной картине горизонтальной прямой IJ, очень удаленной от рисующего и представляющей собой верхнюю линию контура самолета.
Перспективное изображение наклонных прямых, параллельных картине
94.	— Перспективные изображения наклонных прямых, параллельных картинной плоскости, имеют на картине тот же наклон, что и в пространстве (рис. 132). Но далеко не всякая наклонная линия на картине представляет собой перспективное изображение параллельной картине наклонной прямой пространства. Часто на картине наклонными линиями изображаются прямые, перпендикулярные к ней в пространстве, например прямые АЕ, CF, IK на рис. 15 (106); горизонтальные прямые общего положения, например линия MN на рис. 16 (111); наклонные прямые общего положения, например линия CD на рис. 16 (139).
125
Рис. 143 (24; 97; 307)
95.	— Наклонная линия на картине является перспективным изображением наклонной прямой, параллельной картине, только в том случае, если проекция этой линии на предметную плоскость образует горизонталь (рис. 132, где горизонталь bid является перспективным изображением горизонтальной проекции В1С1 параллельной картине наклонной прямой АС). Эта проекция сливается со следом MN (на предметной плоскости) параллельной картине плоскости, в которой лежит эта наклонная, а место этой проекции обозначает расстояние от последней до рисующего.
Так, например, наклонная прямая ah на картине (рис. 142) может представлять собой перспективное изображение бесконечного числа расположенных в пространстве параллельных картине наклонных прямых, имеющих одинаковый наклон, но различную длину в зависимости от их отдаления от рисующего. Это расстояние уточняется положением перспективного изображения проекции на предметную плоскость этой прямой. Таким образом, прямая ab может быть:
а)	Параллельной картине наклонной прямой, например прямой АВ, короткой и-расположенной очень близко к рисующему в промежуточном пространстве. Перспективное изображение ее проекции на предметную плоскость А'В' проектируется конически в виде а"Ь" ниже линии ху — основания картинной плоскости.
б)	Параллельной картине наклонной прямой, лежащей в картинной плоскости: ее проекция а'Ь' на предметную плоскость сливается с линией основания картинной плоскости — ху.
в)	Расположенными в предметном пространстве параллельными картине наклонными прямыми А1В1, А2В2, АЗВЗ и т. д. Длина этих линий и расстояния между ними и рисующим увеличиваются прямо пропорционально приближению к линии горизонта перспективных изображений mini, т2п2, тЗпЗ и т. д. следов фронтальных плоскостей Nl, N2, N3 и т. д., с которыми сливаются проекции на предметную плоскость А'1 В'1, А'2 В'2, А'З В'З и т. д. заданных наклонных прямых,
126
г)	Параллельной картине наклонной прямой астрономической длины, обозначающей расстояние между двумя небесными телами, в том случае, если перспективное изображение проекции этой линии находится на бесконечно далеком расстоянии, т. е. в anbn на линии горизонта.
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФРОНТАЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
96.	— Следствием параллелизма между прямыми, расположенными в пространстве параллельно картине, и их перспективным изображением является подобие и параллельность любой расположенной в пространстве фронтальной геометрической плоской фигуры с ее перспективным изображением на рисунке.
Зададимся какой-либо геометрической фигурой, например треугольником АВС (рис. 132), лежащим в фронтальной плоскости F. Перспективное изображение на картине этого треугольника образуется пересечением картинной плоскостью К, параллельной плоскости F пирамиды О А ВС, ограниченной в пространстве исходящими из точки О лучами
зрения. Если пересечь эту пирамиду рядом фигуры сечения будут подобны основанию пирамиды. Следовательно, сечение abc, являющееся перспективным изображением расположенного в пространстве треугольника АВС, будет тоже треугольником, подобным треугольнику АВС, со сторонами, параллельными сторонам, и углами, равными углам последнего.
97.	— Перспективным изображением на картине любой фронтально расположенной в пространстве плоской фигуры будет подобная ей фигура (ббльшая—abc или меньшая — def на рис. 144), размеры которой изменяются в зависимости от расстояния между ней и рисующим (АВС— ближе к рисующему, DEF— дальше от него) и от расстояния между картиной и рисующим (К — ближе к нему, Кх — дальше от него). Изменение размеров перспективного изображения происходит по закону перспективного уменьшения (о котором говорилось в параграфе 9 и который мы подробнее рассмотрим в параграфах 307—310),
плоскостей, параллельных ее основанию, то
Рис. 144 (24; 98)
127
98.	— Из всего сказанного выше следует:
а)	Если две или несколько прямых, параллельных картине и лежащих в одной и гой же плоскости, равны между собой (АВ = CD — EF), то и их перспективные изображения равны (ab = cd — ef) (рис. 144).
б)	Если в одной и той же расположенной в пространстве параллельно картине плоскости лежит несколько неодинаковых по длине прямых, то их перспективные изображения сохранят те же размерные соотношения. Таким образом, перспективное изображение какой-нибудь прямой, вдвое либо втрое длиннее другой прямой, будет вдвое или втрое длиннее перспективного изображения этой прямой (АЕ = АВ X 2 и ае = ab X 2) (рис. 144).
в)	Для построения перспективных фронтальных изображений геометрических плоских фигур можно пользоваться без изменений любыми известными в планиметрии графическими построениями, потому что, кроме изменения размеров, которое протекает по закону перспективного уменьшения, в них не происходит других перспективных изменений или искажений. Так, например, на плоской картине можно, как в планиметрии, построить с помощью циркуля перспективное изображение вписанного в квадрат восьмиугольника, лежащего в пространстве в любой фронтальной плоскости (рис. 144).
Равным образом чередующиеся на рисунке 14 одинаковые по размеру проемы и простенки на прямоугольной, параллельной картине стене здания можно начертить на картине, пользуясь, как в планиметрии, вспомогательной прямой.
А на рисунке 17 в фронтально расположенных кругах над следующими один за другим в глубину проемами место двенадцати цифр циферблата можно установить с помощью любого геометрического построения.
И все же в некоторых случаях задачи по параллельным картине прямым лучше решать с помощью перспективных построений (177, в; рис. 226).
Рис. 145 (68; 109). Леонардо да Винчи. Тайная вечеря
VI. ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМЫХ, ИДУЩИХ В ТОЧКУ СХОДА
99.	— По своему положению в пространстве прямые, непараллельные картине, т. е. имеющие точку схода, могут быть:
а)	Перпендикулярными к картине (главными). Ввиду того, что мы принимаем картину вертикальной, такие прямые в пространстве горизонтальны.
б)	Горизонтальными, но непараллельными и неперпендикулярными к картине горизонталями общего положения. Эти горизонтали могут лежать в пространстве под любым углом к картинной или к нейтральной плоскости.
в)	Наклонными прямыми общего положения, т. е. не лежащими в плоскости, параллельной картине, в отличие от наклонных, параллельных картине. Через любую наклонную прямую общего положения может проходить вертикальная плоскость. В этой плоскости наклонная прямая может иметь больший или меньший наклон, а включающая ее плоскость может быть расположена под любым углом по отношению к картинной и нейтральной плоскостям.
100.	— Как указывалось выше (84), перспективное изображение прямых общего положения — это прямая, а иногда и точка.
129
Перспективные изображения таких прямых могут быть точками в следующих случаях:
а)	Если перпендикулярная к картине прямая расположена вдоль главного луча зрения. В этом случае ее перспективным изображением является главная точка Р (рис. 146).
б)	Если горизонталь общего положения лежит в пространстве на уровне глаз рисующего (т. е. в главной горизонтальной плоскости зрения) и если ее продолжить, то она пройдет через оптический центр глаза рисующего (рис. 147).
в)	Если наклонная прямая общего положения при ее продолжении проходит через оптический центр глаза и лежит либо в главной вертикальной плоскости зрения или в какой-нибудь другой вертикальной плоскости, проходящей через оптический центр глаза рисующего (рис. 130; 131; 148).
101.	— Во всех остальных случаях перспективное изображение прямой — прямая.
Прямые, идущие в точку схода, не лежат в параллельных картине плоскостях, и поэтому их перспективы не могут быть параллельны этим прямым.
Если это горизонтали общего положения {ЕС, MN, RS па рис. 16 и ih на рис. 135, справа) или перпендикулярные к картине прямые {АЕ, CF, IK, JL, MN на рис. 15 и de на рис. 135), то их перспективные изображения должны идти наклонно вверх или вниз к линии горизонта (они могут принимать даже вертикальное положение; 106, 111) в зависимости от занимаемого ими в пространстве положения относительно картинной плоскости. Но перспектива прямых, лежащих на уровне глаз рисующего, будет всегда горизонталью (АВ на рис. 16 и GH на рис. 15). Когда мы имеем дело с наклонными прямыми общего положения, то их перспективные изображения получают на картине иной наклон (больший— CD на рис. 16 или меньший— DC на том же рисунке), чем тот, который
130
имеют в пространстве, и поэтому на картине они могут быть и горизонтальными перспективными изображениями (DE на рис. 16), и вертикальными (АВ на рис. 20).
102.	— В то время как все точки параллельной картине прямой лежат на одинаковом расстоянии от картины, любая имеющая точку схода прямая, независимо от ее рода и направления, обязательно пересечет в какой-то точке картинную плоскость, которую мы предположили бесконечной. Эта точка пересечения, являющаяся своим собственным перспективным изображением, представляет собой точку нулевого отдаления данной пря
Рис. 149 (24; 103)
мой (например, точку А перпендику-
лярной картине прямой AG на рис. 150 или точку А перпендикулярной к картине прямой АВ на рис. 155, посредине и справа, или точку В непараллельной картине горизонтали на рис. 164, 165).
103.	— В отличие от прямых, параллельных картине, прямые, непараллельные ей, подвержены не перспективным уменьшениям, а перспективным искажениям: их отрезки, равные между собой в пространстве, не равны на перспективном изображении, т. е. их перспективы, расположенные ближе к нижнему краю картины, больше и постепенно уменьшаются по мере приближения к линии горизонта. Так, на рисунке 149 отрезки прямой пространства равны между собой (АВ — ВС — CD), а их перспективные изображения постепенно уменьшаются (ab > be > cd).
ТОЧКИ СХОДА ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
104.	— Для определения на картине перспективного изображения прямой, идущей в заданном направлении в точку схода, достаточно двух точек.
Одна из них — это точка, в которой заданная прямая при ее продолжении пересечет картинную плоскость, — точка нулевого отдаления (например точка А на рис. 150). Если эта точка не помещается, что бывает часто в рамках картины или на листе бумаги, то вместо нее можно взять любую точку на заданной прямой, установленную на рисунке либо непосредственно с натуры, либо с помощью прямой (315—317) или обратной перспективы (311 — 314) сообразно композиционным требованиям картины (например, точку b на рис. 151).
Вторая точка, особое значение которой выясняется из дальнейшего, в отличие от точки нулевого отдаления находится на другом конце прямой на бесконечно далеком расстоянии и представляет собой бесконечно удаленную точку прямой или точку беско-
131
нечяого отдаления. В большинстве случаев и эта точка не помещается в пределах картины или бумаги, и рисующий должен знать и уметь безошибочно применять возможно большее число методов для решения без ее помощи всех задач по перспективе (327—347).
Необходимо помнить, что эту точку, которая лежит в бесконечности на непараллельной картине линии и которую нельзя изобразить в планиметрии, можно не только изобразить в перспективе, но она является основным элементом даже тогда, когда, как было сказано выше, не помещается в пределах картины.
Для того чтобы наши пояснения были более понятными, рассмотрим сначала перспективное изображение и точку бесконечного отдаления прямых, перпендикулярных картине, и только после этого распространим сделанные нами выводы на остальные имеющие точку схода прямые: на горизонтальные и наклонные прямые общего положения.
А. ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К КАРТИНЕ.
ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРЯМЫХ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ К КАРТИНЕ, И ИХ ТОЧКИ СХОДА
105.	— Если, стоя посреди прямой и горизонтальной степной дороги, мы начнем всматриваться в ее очертания, то заметим, что ее края и края придорожных канав, телеграфные проволоки на столбах, воображаемая линия, которую соединяют основания этих столбов, и т. д., то есть все линии, в действительности горизонтальные и параллельные друг другу, нам кажутся наклонными к горизонту — одни восходящими, другие — нисходящими, и что все они сходятся в одной точке на линии, отделяющей степь от неба, т. е. на линии горизонта (рис. 151).
Для объяснения этого явления установим нашу предполагаемую прозрачной картину перпендикулярно к дороге и посмотрим сначала на один из краев дороги, например правый, вдоль которого на равном расстояшш вбиты деревянные колышки в точках А, В, С, D и т. д. (рис. 150). Лучи зрения, последовательно соединяющие глаз художника О с основанием каждого колышка, образуют в пространстве лучевую плоскость. Пересечение этой плоскости - с плоскостью картины, как мы уже говорили в параграфе 84, образует прямую, которая является перспективным изображением правого, в пространстве горизонтального и перпендикулярного к картинной плоскости края дороги.
Чтобы определить направление на картине перспективного изображения этой прямой, расположенной в пространстве горизонтально и, следовательно, перпендикулярно к картине, рассмотрим, какое направление имеют лучи, которые, пересекаясь с картиной, образуют это изображение.
Луч зрения, соединяющий глаз рисующего О с ближайшим в его поле зрения колышком А, наклонен вниз и вправо по направлению к этому колышку. Лучи зрения, идущие к следующим колышкам В, С, D и т. д., постепенно теряют свой наклон вниз и вправо. Лучи, идущие к колышкам Е, бит. д., вбитым еще дальше, стремятся принять направление, более и более сближающееся с направлением дороги, и превратиться в горизонтали, перпендикулярные к картине. Направление последнего луча, идущего
132
Рис. 150 (24; 102; 104; 105). Рис. 151 (104; 105)
к последнему, т. е. расположенному на бесконечно далеком расстоянии колышку шоссе, совпадает с направлением края дороги, а сам луч становится горизонтальным и перпендикулярным к картине. Он совпадет с главным лучом зрения и пересечет картинную плоскость в главной точке Р, где и будет находиться перспективное изображение наиболее отдаленной точки заданной  прямой, перпендикулярной к картине. Отсюда следует, что перспективное изображение правого края дороги представляет собой линию, идущую к главной точке.
Если, поступая, как в предыдущем случае, мы проследим за всеми перспективными изменениями левого края дороги и просмотрим одну за другой все остальные прямые — горизонтальные и перпендикулярные к картине, но параллельные между собой линии канав, воображаемые линии, соединяющие основания и верхушки телеграфных столбов, линии телеграфных проволок и т. д., то убедимся, что перспективное изображение наиболее отдаленной точки каждой из этих прямых тоже находится
133
Рис. 152 (106)
Рис. 153 (107)
Рис. 154 (106; 107; 108)
в главной точке, т. е. в месте пересечения картины с главным лучом, который со своей стороны параллелен всем этим прямым.
Отсюда следует, что:
а)	Перспективные изображения перпендикулярных к картине и параллельных в пространстве друг к другу прямых на картине непараллельны и сходятся в одной общей всем им точке, к которой направляются все прямые, имеющие то же направление. Эта точка называется точкой^ схода.
б)	Точка схода прямых, перпендикулярных к картине, находится в главной точке Р (и поэтому в некоторых учебниках эти прямые носят название главных, а главная точка — главной точкой схода.
106.	— Перспективные изображения прямых, перпендикулярных к картинной плоскости, сходясь в главной точке Р, в большинстве случаев наклонны. Горизонтальными они могут быть только в том случае, если перпендикулярные к картине прямые расположены в пространстве на уровне глаз рисующего, т. е. проходят в главной горизонтальной плоскости зрения (например, GH на рис. 15 либо ef на рис. 154). Они могут быть и вертикальными, но при условии, чтобы перпендикулярные картине прямые проходили в главной вертикальной плоскости зрения, например: MN на рис. 15 и 154, vP на рис. 128 и 129 и cd на рис. 135. Но не каждая идущая к главной точке наклонная линия является перспективным изображением перпендикулярной к картине прямой. Мы должны убедиться, что перспектива проекции на предметную плоскость этой линии тоже идет в главную точку (ab на рис. 152 является перспек
134
тивной прямой, перпендикулярной к картине, потому что и перспектива а'Ь' ее проекции на предметную плоскость тоже идет в главную точку Р). В другом случае наклонная прямая является перспективой наклонной, лежащей в непараллельной картине плоскости, хотя и направляется в главную точку (например, cd на рис. 152 — это перспектива наклонной, лежащей в непараллельной картине плоскости, потому что перспектива c'd' ее проекции на предметную плоскость не направляется в главную точку Р).
107.	— Говоря о наклонных прямых, являющихся перспективой прямых, перпендикулярных к картине, мы видим, что они могут проходить в предметной плоскости (ab, MN на рис. 154) или быть вне ее (cd, c'd', ef, gh и g'h' на рис. 154).
Перспективные изображения всех перпендикулярных к картине прямых, лежащих в предметной плоскости (на рис. 153 такими прямыми ограничен видимый контур ab, cd и т. д. уложенных на земле цилиндров, но лежат они не в предметной плоскости, а немного выше), наклонены в глубь картины и вверх (вправо или влево). Их наклон уменьшается (ab) или увеличивается (cd) в соответствии с увеличением или уменьшением расстояния между перпендикулярными к картине прямыми пространства и главной вертикальной плоскостью зрения, а расстояние между этими наклонными прямыми и рисующим может быть меньшим (ef) или большим (gh, кт) в зависимости от места на картине их перспективных изображений относительно главной точки Р.
108.	— Перспективные изображения прямых, не лежащих в предметной плоскости, наклонны в глубь картины, вправо или влево, в направлении главной точки схода: вверх, когда они представляют собой изображения прямых, лежащих в пространстве ниже уровня глаз рисующего (cd и c'd' на рис. 154), и вниз, если представляемые ими линии пространства расположены выше уровня глаз рисующего, т. е. выше главной горизонтальной плоскости зрения (gh и g'h' на том же рисунке). Перспективные изображения бывают горизонтальными, если они расположены на уровне глаз рисующего, т. е. в главной горизонтальной плоскости зрения (ef на том же рисунке).
Наклонная линия А b (рис. 155), идущая на картине в главную точку Р, может представлять собой перспективное изображение бесконечного множества перпендикулярных к картине прямых АВ, А1В1, А2В2 и т. д. в предметном пространстве или А'В' в промежуточном пространстве, расположенных между лучами зрения О Ап и ОВп. Положение в пространстве представляемых ими прямых, т. е. расстояние их до нейтральной плоскости, высоту их над предметной плоскостью и длину определяют перспективные изображения их проекций на предметную плоскость.
а)	Так, на рисунке 155 линия АЬ может быть перспективой перпендикулярной к картине короткой прямой А'В', находящейся в промежуточном пространстве па очень близком расстоянии от рисующего и на небольшой высоте над предметной плоскостью. Перспектива а"Ь" ее проекции А”В" на предметную плоскость находится в картинной плоскости ниже ее линии основания ху.
б)	Она может быть перспективой перпендикулярной к картине прямой АВ, более близкий конец А которой лежит в картинной плоскости. Проекция на предметную
135
Рис. 155 (24; 102; 108)
плоскость (землю) этой точки нулевой глубины а' находится на линии основания картинной плоскости ху.
в)	Эта же линия может быть перспективой перпендикулярных к картине постепенно удлиняющихся и удаляющихся от главных — горизонтальной и вертикальной — плоскостей зрения линий А1В1, А2В2 и т. д. Наклон перспектив albl, а2Ь2 проекций этих линий на предметную плоскость постепенно уменьшается, и сами изображения приближаются к линии горизонта. Это заметно на небольшом рисунке вверху, в левой части схемы 155. На нем перпендикулярные к картине прямые АР и СР могут быть перспективным изображением бесконечного числа расположенных в пространстве пер
136
пендикулярных картине прямых АВ, CD, EF, GH и т. д. различной длины и на различных расстояниях от предметной плоскости и от главной вертикальной плоскости зрения (что видно из их проекций на предметную плоскость cd, ef, gh, ij, кГ).
г)	Та же прямая АЬ, находясь на предельном расстоянии и имея на линии горизонта между точками anbn перспективное изображение ее проекции на предметную плоскость, является перспективным изображением перпендикулярной картине прямой астрономической длины, например расстоянием — по перпендикуляру к картине — между двумя небесными телами.
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ К КАРТИНЕ ПРЯМЫХ И ИХ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
109. — Все параллельные (горизонтальные, вертикальные и наклонные) картине и все перпендикулярные к ней прямые образуют между собой в пространстве прямые углы. Перспективные изображения этих прямых углов на картине можно получить, начертив в конце заданных отрезков параллельных картине линий (горизонтальных, вертикальных или наклонных) отрезки перпендикулярных к картине линий, идущих в главную точку Р.
Например, если, нарисовав на картине (рис. 156) перспективные изображения ab расположенных в пространстве горизонтальных, параллельных картине ребер (на-
Рис. 156 (109 ; 458; 516)
137
пример, расположенного на каком-то расстоянии от рисующего ребра стула, стола, потолка, ступеньки лестницы, плитки пола и т. д. или более далекого края лестничной площадки на рис. 157), мы захотим нарисовать перспективные изображения перпендикулярных к картине и к этим ребрам линии, то эти изображения должны сойтись в их точке схода, т. е. в главной точке Р (например, перспектива ребер ас и bd перечисленных выше предметов). Если бы мы направили эти линии в другую точку схода на линии горизонта, то они были бы изображением горизонталей пространства, неперпендикулярных картине и, следовательно, не образующих прямого угла с заданной горизонталью. Например, на рисунке 156 линии тп и rs абажура, а на рисунке 157 тг и ns одной из каменных глыб, направляясь не к главной точке схода, а к другим точкам на линии горизонта, не будут перпендикулярны к параллельным картине горизонталям пг и тп. Поэтому фигура mnrs может быть только перспективным изображением части шестигранника, а не горизонтально расположеного прямоугольного четырехугольника.
Равным образом, если, начертив на картине линии ас и bd, которые идут к главной точке схода Р и являются перспективным изображением каких-нибудь перпендикулярных к картине ребер, мы затем захотим провести несколько горизонтальных линий, перпендикулярных к этим ребрам, то их перспективы ab и cd будут горизонтальными, т. е. перспективами горизонталей, параллельных картине.
В какой бы части картины и поля зрения рисующего ни находилось перспективное изображение прямоугольного четырехугольника (прямоугольника или квадрата),
Рис. 157 (87, 109)
138
лежащего в горизонтальной плоскости и расположенного фронтально относительно рисующего, оио обязательно будет иметь две стороны параллельными нейтральной плоскости, а две другие стороны перпендикулярными к этой плоскости и представленными на перспективном изображении двумя линиями, сходящимися в главной точке схода Р (рис. 145; 156; 157).
Иногда неопытный рисовальщик, изображая фронтально расположенный квадрат или прямоугольник, не соблюдает этого правила. Нарисовав параллельную картине сторону, он не проводит в центральную точку схода две другие стороны, перпендикулярные к первой стороне. Как будет показано дальше (130, рис. 177), такие стороны не образуют прямых углов. На помещенной в середине рисунка схеме видно, что, поступая таким образом, мы получим перспективное изображение параллелограмма.
Не нужно также забывать, что если одна из сторон прямого угла, лежащего в горизонтальной плоскости, перпендикулярно расположенной к картине, параллельна последней, то вторая сторона угла должна быть перпендикулярна к ней, и наоборот.
На тех же рисунках даны прямые углы, образуемые параллельными картине вертикальными прямыми ef (края ступеньки, ребра каменной глыбы) и перпендикулярными к картине прямыми fo и eg, и углы, образуемые наклонными прямыми ij (висящих на стене картин, классной доски, каменной глыбы, радиуса круга, крыши дома) с перпендикулярными картине прямыми /к и jl. У нарисованной же мелом на наклонной доске трапеции mrns углы не прямые, потому что прямые тг и ns не идут в точку схода Р, в которой сходятся горизонтальные ребра el и nj доски, на поверхности которой они нарисованы.
Рис. 158 (111). Джованни Баттиста Пиранези. Руины акведука Нерона в Риме
VII. ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМЫХ, ИМЕЮЩИХ ТОЧКУ СХОДА
Б. ГОРИЗОНТАЛИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Если мы стоим на пересечении двух прямых горизонтально расположенных полевых дорог, скрещивающихся под каким-то углом, и если, не поворачивая головы к конечной точке, к которой сходятся эти дороги, посмотрим только на те участки этих дорог, которые умещаются в поле нашего ясного зрения, мы заметим, что края и канавы каждой из них, теоретически параллельные друг другу в пространстве, постепенно сближаются и получают больший или меньший наклон вправо или влево.
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ И ИХ ТОЧКИ СХОДА
ПО. — Установим предполагаемую прозрачной картину перпендикулярно к главному лучу зрения (рис. 159). Картинная плоскость находится под каким-то углом к линии направления этих дорог, так как наш взгляд не совпадает с их направ-
141
Рис. 159 (ПО)
лением. Посмотрим на одну из этих дорог, например на ту, которая идет вправо. Предположим, что по ее краям на одинаковом расстоянии вбиты в землю деревянные колышки : лучи зрения, последовательно соединяющие глаз рисующего с основанием колышков, образуют плоскость зрения, пересечение которой с картинной плоскостью представляет собой, как мы уже знаем (84), прямую, являющуюся перспективным изображением края дороги (159).
Чтобы определить на картине направление этого перспективного изображения, проследим направление лучей зрения, которые образуют его, пересекаясь с картинной плоскостью (рис. 160).
Луч зрения, идущий от глаза рисующего к первому колышку В, наклонен вниз и пересекает картину в точке Ъ, расположенной в нижней части картины, неподалеку
от ее середины.
Луч зрения, идущий ко второму колышку С, менее наклонен и проходит правее первого, пересекаясь с картиной в точке с. Наклон лучей, идущих к следующим колышкам (Z), Е, G), постепенно уменьшается, а сами лучи перемещаются правее и правее, приближаясь к горизонтальному направлению идущей вправо дороги и образуя угол AIJ, равный углу ВАу (первый с нейтральной плоскостью, а второй — с картинной). Если мы вообразим, наконец, последний луч зрения, идущий к последнему дорожному колышку, лежащему в бесконечности, то увидим, что этот луч параллелен направлению дороги; он горизонтален и образует с нейтральной плоскостью тот же угол FOL —ВАу=А IJ, что и заданная дорога. Точка, в которой этот луч пересекает картину, может быть только на уровне глаза рисующего, т. е. на линии горизонта, вправо, ближе или дальше от главной точки в зависимости от величины угла, образуемого дорогой с нейтральной плоскостью.Это и будет направлением перспективного изображения края заданной дороги.
Рассматривая остальные линии этой дороги, ее канав и т. д., в действительности параллельных друг к другу, мы увидим, что перспективные изображения наиболее отдаленных точек всех этих прямых сходятся в одной общей для всех их точке, т. е. в месте пересечения с картиной луча зрения, параллельного этим прямым в пространстве. Эта точка и есть точка схода перспективных изображений всех параллельных в пространстве прямых, лежащих под одним и тем же углом к нейтральной плоскости, а определяющий этот угол зрительный луч называется лучом схода.
Поступая таким же образом с линиями, ограничивающими вторую дорогу, мы увидим, что перспективные изображения этих линий, параллельных в пространстве,
142
направляются в одну общую для них точку схода данного направления. Эта точка находится на линии горизонта в месте пересечения с картиной луча зрения, параллельного в пространстве заданным прямым.
Каждое направление в пространстве имеет свою точку схода, расположенную в пределах картины или вне ее.
Не нужно упускать из вида, что углы с вершиной в оптическом центре глаза рисующего, образуемые лучами схода различных направлений в пространстве, равны действительным углам, образуемым данными дорогами, так как лучи зрения им соответственно параллельны.
Из сказанного выше следует, что:
а)	Перспективные изображения горизонтальных прямых общего положения имеют точку схода, расположенную на линии горизонта, независимо от величины угла, образуемого ими с нейтральной или картинной плоскостью.
б)	Перспективные изображения любой группы параллельных горизонтальных прямых общего положения будут иметь для каждой из этих групп самостоятельную точку схода; на линии горизонта будет столько точек схода, сколько различных направлений в пространстве имеют эти группы прямых.
в)	Точки схода перспективных изображений всех расположенных в пространстве прямых общего положения находятся на линии горизонта справа или слева от главной точки, в зависимости от направления этих прямых относительно рисующего. Расстояние этих точек от главной точки определяется величиной угла, образуемого линией заданного направления с нейтральной или картинной плоскостью.
г)	Точка схода любых горизонтальных прямых общего положения, в каком бы направлении они ни шли, находятся на линии горизонта, в месте пересечения картины лучом схода, идущим в пространстве от глаза рисующего параллельно направлению этих прямых.
143
Рис. 1&1 (111; 112; 113)
Рис. 162 (87; 111)
Рис. 163 (112)
111.	— Перспективные изображения любых расположенных в пространстве горизонтальных прямых общего положения, направляясь в точку схода на линии горизонта, имеют в большинстве случаев на картине наклон в глубину пространства и вверх или вниз (рис. 158).
Такие изображения могут быть горизонтальными лишь в том случае, если образующие их прямые находятся в пространстве на уровне глаз рисующего (например, линии АВ на рис. 16 и ef на рис. 161). Они могут быть и вертикальными, если заданные прямые лежат в проходящей через оптический центр глаза рисующего вертикальной плоскости, как, например, линия ih на рисунках 135 и 162.
Но далеко не всякая наклонная на картине линия является перспективным изображением какой-либо горизонтали пространства. Перспективной горизонтальной прямой она будет только тогда, когда перспективное изображение ее проекции на предметную плоскость направляется в ту же точку схода на линии горизонта, -что и наклонная прямая на картине.
Так, на рисунке 161 линия gi является перспективой горизонтальной прямой общего положения, так как и перспективное изображение ab проекции этой прямой на предметную плоскость направляется в ту же точку схода F на линии горизонта. На рисунке 161 линия ji не является перспективным изображением горизонтальной прямой общего положения, потому что она не идет в ту же точку схода F, в которую направляется перспектива ab проекции па предметную плоскость этой прямой (140).
112.	— Что касается наклонных линий, представляющих собой горизон-
144
тальные прямые общего положения, то они могут лежать в предметной плоскости (ah, рис. 161), но могут и не лежать в ней (cd, c'd', ef, gi, g'i', рис. 161).
Перспективные изображения прямых, лежащих в предметной плоскости, направ-ляются каждая к своей, точке схода. Расстояние между каждой из этих точек и центральной точкой схода Р возрастает обратно пропорционально величине угла, образуемого этими прямыми с картинной или нейтральной плоскостями. Расстояние между рисующим и идущими в заданном направлении горизонтальными прямыми общего положения, перспектива которых дана на картине, увеличивается по мере уменьшения наклона и приближения к линии горизонта перспективы этих прямых (рис, 163). Расстояние между рисующим и отрезками прямых, лежащих на наклонных на картине линиях, идущих в общую для них точку схода, находится в прямой взаимосвязи с расстоянием между их перспективным изображением и нижним краем картины: чем ближе перспектива (ah) к нижнему краю картины, тем ближе прямая пространства к рисующему, и, наоборот, чем дальше перспектива (cd) от нижнего края картины, тем дальше прямая пространства от рисующего.
145
113.	— Перспективные изображения любых горизонталей общего положения, не лежащих в предметной плоскости, направляются каждая в свою точку схода на линии горизонта с наклоном вправо, влево или вверх — для прямых, которые в пространстве расположены ниже уровня глаз рисующего (cd, c'd' на рис. 161), или вниз — для прямых, горизонтали которых в пространстве лежат выше уровня глаз рисующего (gi, g’i' на том же рисунке). Горизонтальны только перспективные изображения горизонталей в пространстве, лежащих на уровне глаз рисующего (ef на том же рисунке).
Наклонная линия аВ (рис. 164), идущая в точку схода F на линии горизонта, может быть перспективным изображением бесконечного числа любых горизонталей общего положения, но параллельных между собой и постепенно увеличивающихся и удаляющихся от рисующего. Положение в пространстве этих прямых можно определить только с помощью перспективного изображения их проекции на картинную плоскость.
Так, например, линия а В на рисунках 164 и 165 может быть:
а)	Перспективой любой горизонтали общего положения, например, перспективой короткой прямой АВ', находящейся в промежуточном пространстве очень близко от рисующего; перспективное изображение А1В1 ее проекции на предметную плоскость проектируется конически к а" Ь" ниже линии основания картины ху и идет тоже в точку F.
б)	Перспективным изображением любой горизонтали общего положения (ВАГ), исходящей из картинной плоскости. В этом случае ближайшей точкой к рисующему перспективного изображения biA'l проекции этой горизонтали на предметную плоскость будет точка bt, расположенная на линии основания картинной плоскости ху.
в)	Перспективным изображением любых горизонталей общего положения, расположенных в предметном пространстве, например прямых А2В2, АЗВЗ и т. д., постепенно увеличивающихся и удаляющихся от рисующего в той же пропорции, в какой перспективные изображения а2Ь2, аЗЪЗ и т. д. их проекций на предметную плоскость А'2В'2, А'ЗВ'З и т. д. приближаются к линии горизонта. Это видно и на рисунке схемы 165, где прямая AI может быть перспективным изображением бесконечного числа горизонталей общего положения АВ, ВС, DE, FG и т. д. различной длины и расположенных на различных расстояниях от, предметной и картинной плоскостей, в чем мы убеждаемся при взгляде на их проекции be, de, fg, hi на предметную плоскость.
г)	Перспективным изображением любой расположенной в пространстве горизонтали общего положения астрономической длины, определяющей расстояние по косой линии между двумя небесными телами, в том случае, если перспективное изображение проекции этой линии на предметную плоскость' находится на бесконечно далеком расстоянии, т. е. на линии горизонта в anbn (рис. 165).
Несколько слов о плоскостях
114.	— Параграфы 516—564 посвящены подробному изложению теории построения перспективых изображений плоскостей. Но прежде чем перейти к дальнейшему изложению, мы считаем нужным для более легкого понимания всего, что будет предшествовать изложению этой теории, дать следующие пояснения,
146
Линия горизонта — это линия схода горизонтальных плоскостей. Как мы видели в параграфе ПО, точка схода всех горизонтальных, непараллельных картине прямых, расположенных в картинной плоскости, находится на линии горизонта, являющейся линией схода предметной плоскости.
Равным образом мы видели в параграфе 113, что все непараллельные картине горизонтали, расположенные в любой горизонтальной плоскости (кроме предметной), имеют точки схода тоже на линии горизонта. Следовательно, мы можем считать линию горизонта линией схода всех расположенных в пространстве горизонтальных плоскостей.
Рис. 166 (116; 117)
115.	— Плоскости, перпендикулярные к картине. Предметная плоскость и все другие горизонтальные плоскости перпендикулярны к картинной плоскости.
Но не только горизонтальные плоскости перпендикулярны к картине. Перпендикулярными к картине могут быть также плоскости вертикальные и наклонные. Эти, а вместе с ними и все другие виды плоскостей, мы будем изучать в специальном разделе (516—564), а пока мы должны знать:
а)	Линия схода горизонтальных перпендикулярных к картине плоскостей — это линия горизонта (hh' на рис. 584, 585). .
б)	Линия схода вертикальных, перпендикулярных к картине плоскостей—это вертикаль VV', которая делит картину на две равные части (на тех же рисунках).
<?) Линия схода наклонных, перпендикулярных к картине плоскостей — это наклонная, наклон которой равен наклону соответствующей плоскости (см. II' на тех же рисунках).
г) Все линии схода горизонтальных, вертикальных и наклонных плоскостей, перпендикулярных картине, проходят через главную точку. Это понятно: перпендикулярные к картине прямые во всех расположенных в пространстве перпендикулярных к картине плоскостях (безразлично, к какому бы виду они ни принадлежали) перпендикулярны картине, и поэтому сходятся в главной точке. Следовательно, через эту точку должны проходить все линии схода этих плоскостей,
147
Теоретическое определение точки схода перспективных изображений любых непараллельных картине горизонталей
116	— а) В прямой перспективе. Задавшись углом, который образует в пространстве непараллельная картине горизонталь с нейтральной плоскостью, и зная линию горизонта АЛ", главную точку Р и главное расстояние PD, можно легко с помощью соответствующего графического построения установить место точки схода данного направления (рис. 166).
Проведем из оптического центра глаза — из точки О (или О'), повернутой по вертикали ИИ', луч, образующий с нейтральной плоскостью тот же угол (например, 33°), под которым расположена в пространстве относительно этой плоскости заданная прямая. Этот луч определяет на линии горизонта точку схода F перспективных изображений АВ, CD, EG, HI и т. д., образующих в пространстве с нейтральной и картинной плоскостями угол, равный 33°.
117.	— б) В обратной перспективе. Зная или имея возможность установить линию горизонта, главную точку и главное расстояние картины (рис. 166), можно определить угол, который образует в пространстве с нейтральной плоскостью непараллельная картине горизонталь, перспективное изображение которой нарисовано на картине.
Продолжим для этого заданную линию, например линию АВ, до ее пересечения с линией горизонта: этим мы определим положение точки схода F этой линии. Соединив одну из точек О или О' (оптический центр глаза, повернутный по линии ИИ") с точкой схода F, мы получим угол FON (или F O'N'), образуемый в пространстве с
нейтральной плоскоетью прямой, перспективное изображение которой фигурирует на картине (в нашем примере угол FON, равный 33°).
Эти графические построения являются чисто теоретическими построениями. Они неприменимы в практике, потому что (как уже указывалось в параграфе 78) главное расстояние между точакми Р и О не может быть меньше удвоенного расстояния между точкой Р и самым отдаленным углом картины т или п, а такое расстояние требовало бы бумагу слишком больших размеров. Ими можно пользоваться, только прибегая к при
148
ему уменьшения, или методу малой картины, о чем будет сказано дальше (262). И все же, стоя перед картиной и делая первый набросок, мы можем себе представить, каково будет в пространстве построение из линий, для которых у нас нет места на рисунке. Таким образом, мы решим задачу с приблизительностью, которая позволит нам избегнуть слишком грубых ошибок, например, дать прямой неправильное направление к слишком близкой или слишком далекой точке схода. Вообще же такие задачи легко решаются в практике другими способами (285—287).
Перспективные изображения горизонтальных прямых, наклонных к нейтральной плоскости под углом в 45°
118.	— В прямой перспективе. Если бы мы захотели определить указанным выше графическим путем точку схода перспективных изображений прямых, образующих с нейтральной плоскостью угол в 45е, то увидели бы, что эта точка совпадает с точкой отдаления D или D' (рис. 167). Отсюда мы заключаем, что точки отдаления являются вместе с тем и точками схода перспективных изображений горизонталей, расположенных в пространстве под углом в 45°, так же как главная точка является точкой схода перспективных изображений прямых, расположенных к нейтральной плоскости под углом в 90°.
119.	— В обратной перспективе. Если, продлив на картине любую из линий ab, cd, ef и т. д., мы увидим, что ее точка схода совпадает с точкой отдаления D или D', мы можем быть уверены, что заданная прямая образует в пространстве с нейтральной плоскостью угол в 45° (рис. 167).
Использование точек отдаления для построения перспективного изображения квадратов, расположенных фронтально по отношению к картине
120.	— Как указывалось в параграфе 118, точки отдаления D и D' являются точками, к которым направляются перспективные изображения прямых, образующих в пространстве угол в 45° с нейтральной плоскостью, с картинной плоскостью и, следовательно, со всеми горизонтальными прямыми, параллельными картине. Этот угол определяет также направление диагонали всех квадратов, расположенных фронтально относительно горизонтальной плоскости поля зрения рисующего. Отсюда следует, что, поступая указываемым ниже способом, мы можем пользоваться точками отдаления для построения в любой части картины горизонтального квадрата на заданной горизонтали, параллельной картине, или на прямой, перпендикулярной к картине.
121.	— На горизонтальной прямой, параллельной картинг. На рисунке 168 показан ход построения в тех случаях, когда заданная параллельная картине прямая аЬ является по отношению к рисующему более близкой стороной квадрата и построенный на ней квадрат уходит на рисунке в глубь пространства. На рисунке 169 заданная прямая ab — это более далекая сторона квадрата, на которой квадрат строится в направлении рисующего. Дальнейшие пояснения относятся к обоим рисункам.
149
а и а') Зададимся перспективным изображением ab лежащей в пространстве параллельно картине горизонтальной прямой АВ, на которой мы хотим построить перспективное изображение горизонтального, фронтально ориентированного квадрата.
б и б') В концах прямой ab, являющейся фронтальной стороной квадрата, мы можем построить две его перпендикулярные к картине стороны, проведя линии Ра и РЬ, продолженные на рисунке 169 в направлении рисующего.
в и в') Для того чтобы найти на этих линиях точки, определяющие длину перпендикулярных сторон квадрата, равную длине заданной стороны ab, достаточно провести через ее концы а и b две линии, образующие с
картиной углы в 45°, и соединить на рисунке 168 точку а с точкой D' и точку b с точкой D, а на рисунке 169 — точку а с точкой D и точку b с точкой D', продолжив на этом рисунке диагонали aD и bD' в направлении рисующего. Мы получим треугольники abd и abc, в которых углы cab и dba прямые, образованные параллельными и перпендикулярными к картине сторонами, и в то же время эти треугольники равнобедренные: ab — bd, ba = ас, ас — bd.
г и г') Наконец, проведя горизонталь cd, параллельную картине, мы получим четырехугольник, представляющий собой перспективное изображение квадрата для рисующего, глаз которого находится на перпендикуляре, проведенном на картине из главной точки Р на расстоянии, равном PD, потому что перпендикулярные картине стороны квадрата имеют ту же длину, что и параллельные картине стороны в том случае, если взятая точка зрения соответствует этому главному расстоянию.
Чтобы легче разобраться, на рисунках 168 и 169 в перспективных построениях рядом с каждым из таких построений дано соответствующее планиметрическое построение (без перспективных уменьшений и искажений).
Само собой разумеется, что перспективное изображение фронтально расположенного, горизонтального квадрата можно получить, построив только одну из двух диагоналей — ad или Ьс.
150
112. — На прямой, перпендикулярной картине. На рисунке 170 показан последовательный ход построения квадрата слева направо, исходя из перпендикулярной картине прямой ab — его левой стороны, а на рисунке 171 построение квадрата производится справа налево на перпендикулярной картине прямой ab, которая является его правой стороной. Следующие объяснения относятся к обоим рисункам.
а и а') Зададимся перспективным изображением ab расположенной в пространстве, перпендикулярной картине прямой АВ, на котором мы хотим построить перспективное изображение горизонтального, фронтально расположенного квадрата.
б и б'~) Перспективным изображением сторон, перпендикулярных стороне ab, служат горизонтальные прямые, проведенные вправо или влево через точки а и Ь.
в и е')Диагонали квадрата идут в точки отдаления D и D'(Db и D'a на рис. 170 и Da и D'b на рис. 171), а точки с и d— их пересечения с горизонтальными прямыми — ограничивают на этих прямых отрезки, равные заданной стороне ab. Таким образом, мы имеем: ab = bd, ba =ас и ас = bd.
г и г') Перпендикулярная картине прямая cd замыкает квадрат. (Если рисунок вычерчен точно, то точки с, d и Р должны лежать все на одной и той же прямой. Вообще же перспективное изображение квадрата можно получить, построив только одну из его диагоналей.)
Читатель найдет на рисунках 170 и 171 рядом с перспективными построениями планиметрические построения, не имеющие перспективных уменьшений и искажений.
Углы, образуемые между собой в пространстве горизонтальными прямыми общего положения различных направлений
123.— В прямой перспективе (рис. 172). Если нам даны углы, образуемые между собой двумя или больше горизонтальными прямыми общего положения, то, зная линию горизонта hh', главную точку Р и главное расстояние PD или PD', мы можем
151
Рис. 170(122)
установить графическим путем точки схода этих прямых. Проведя из точки зрения О, повернутой вдоль вертикали VV' (рисующему известно, что РО — — PD PD'), лучи, образующие между собой заданные углы, мы найдем на линии горизонта точки схода перспективных изображений этих прямых.
На рисунке 172 найдены точки схода F, Ft и F2 для перспективных изображений трех шоссе, образующих три различных угла: первое — угол в 38° с нейтральной плоскостью, второе — угол в 35° с первым шоссе и третье угол в 47° со вторым шоссе.
124.	— В обратной перспективе (рис. 172). Зная линию горизонта hh', главную точку Р и главное расстояние PD или PD', мы можем определить углы, об
разуемые между собой в пространстве двумя (или больше) горизонтальными прямыми, перспективное изображение которых имеется на нашей картине.
Продолжив заданные линии ab, ас, de, мы определим на линии горизонта их точки схода F, Ft, F2. Соединив эти точки с точкой зрения, повернутой вдоль вертикали VV", мы получим лучи OF, OFt и OF2, образующие между собой те же прочитанные по транспортиру углы, что и соответствующие прямые пространства.
Горизонтальные прямые общего положения, образующие между собой углы- 90° и 45°
125.	— В прямой перспективе (рис. 173). Вообразим два луча OF и OF 90°, образующие в пространстве прямой угол. Линии ab и ас параллельны этим перпендикулярным друг к другу лучам. Они направляются на картине в точки схода F и F 90°, засеченные на линии горизонта этими лучами, и представляют собой перспективные изображения прямых пространства, образующих между собой прямой угол.
Если между этими лучами мы проведем третий луч — биссектрису угла FOFW, образующий с каждым из первых двух лучей угол в 45°, то получим на линии гори
152
зонта точку схода Г45°, к которой на картине сходятся прямые (например, линия ad), образующие угол в 45° с прямыми (например, ab и ас), которые сходятся в точках F и /'90".
Таким образом, каково бы ни было на линии горизонта положение точки схода F перспективного изображения первой заданной прямой (например, прямой ab), точка схода F90° перспективных изображений прямых, образующих с ней углы в 45°, определяется лучами OF90" и OF450, которые соответственно образуют: первый — угол в 90°, а второй — угол в 45° с лучом схода заданной прямой OF.
Если точка схода F лежит по одну сторону (например, слева) главной точки Р, то точка схода ,F90° обязательно должна быть по другую сторону (справа) от главной точки. Точка схода F 45° может лежать и слева, и справа от главной точки Р в направлении точки F или точки F90“, расположенной дальше от точки Р. В том случае, когда точки схода F и F90° совпадают с точками отдаления, точка схода F45° совпадает с главной точкой.
126.	— В обратной перспективе (рис. 173). Если мы хотим убедиться, что на картине, на которой нам известны все перспективные элементы, две горизонтальные прямые общего положения, перспективные изображения которых ab и ас имеются на картине, образуют в про-
Рис. 171 (122)
Рис. 172 (123; 124)
153
странстве прямой угол, мы должны продолжить эти перспективные изображения (ab и ас) до линии горизонта, чтобы найти на ней точки схода F и Г90°. Если лучи OF и (7F90° образуют между собой прямой угол (что можно прочесть по транспортиру), то и соответствующие им в пространстве прямые лежат друг к другу под прямым углом.
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ РАСПОЛОЖЕННОГО ПОД УГЛОМ К КАРТИНЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО КВАДРАТА
127.	— Пользуясь точками схода Г90° и F45°, о которых говорилось выше, мы можем на заданной непараллельной картине горизонтальной прямой построить в любом месте картины квадрат в перпендикулярной к картине плоскости, поступая согласно рисунку 174, на котором квадрат строится в глубину, и рисунку 175, где квадрат строится в обратном порядке, т. е. в направлении рисующего.
а и а') Зададимся перспективным изображением ab какой-нибудь горизонтальной прямой общего положения АВ, на котором мы собираемся построить горизонтальный квадрат, зная линию горизонта hh’, главную точку Р и главное расстояние РО.
Продолжив линию ab, мы получим ее точку схода F, а соединив точку О с точкой F, — ее луч схода OF. (Угол т— это и есть угол, образуемый соответствующей прямой пространства с нейтральной плоскостью.)
Проведя из точки О лучи OF45° и OF90°, образующие с лучом схода OF: первый — угол в 45°, второй — угол в 90°, мы получим точки схода F45° и F9O0, в которые направляются линии, образующие те же углы с заданной линией ab.
б и б') В концах заданной линии мы можем, проведя линии aF90° и bF9Q°, построить две перпендикулярные ей стороны. Таким образом, мы получим три стороны квадрата. Проведя диагональ aF45°, мы засечем на линии bF 90° в точке с отрезок Ьс, равный по длине ab, так как треугольник abc прямоугольный (угол abc = 90°) и равнобедренный.
в и в') Проведя через точку с линию cF, параллельную заданной линии ab, и продолжив ее до пересечения в точке d с линией aF 90°, мы получим четвертую сторону квадрата.
Чтобы облегчить понимание перспективных построений на рисунках 174 и 175, на них рядом с перспективными вычерчены соответствующие планиметрические построения (без уменьшений и искажений). Стороны недеформированного квадрата ABCD
154
Рис. 174 (127)
параллельны лучам схода ОР и OF900 и образуют с нейтральной плоскостью те же углы т и п. Эти квадраты имеют в пространстве такое же положение, как и их перспективное изображение abed на картине. Рисующему очень полезно сравнить геометрическую фигуру с той же фигурой в перспективе. Его глаз должен привыкнуть к перспективным искажениям и особенно к тому, в какой мере уменьшаются в перспективе углы т и п, когда на них смотрят с нормальной точки зрения, т. е. на расстоянии, соответствующем нормальному строению человеческого глаза.
ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ
Из заданной точки мы можем провести перпендикуляр к любой параллельной или перпен
дикулярной к картине горизонтальной прямой, лежащей, как и заданная точка, в предметной или какой-либо другой перпендикулярной к картине плоскости.
128.	— Перпендикуляры, проведенные к горизонтальным прямым, параллельным картине. На рисунке 176, слева, вверху, перпендикулярные картине линии ае и bf являются перспективным изображением прямых, перпендикулярных горизонтальной прямой ас, параллельной картине.
129.	— Перпендикуляры, проведенные к горизонтальным прямым, перпендикулярным к картине. На рисунке 176, справа, вверху, горизонтальные линии аа, be и ch являются перспективным изображением прямых, образующих угол в 90° с перпендикулярной к картине прямой, перспективным изображением которой служит прямая gh.
130.	— Перпендикуляры, проведенные к любой горизонтальной прямой общего положения. Чтобы провести перпендикуляр к какой-либо горизонтальной прямой общего положения, необходимо также знать и главное расстояние РО (рис. 176, внизу). Для этого надо:
а)	продолжить заданную прямую cd до пересечения ее с линией горизонта hh', определив таким образом точку схода F этой прямой;
155
Рис. 175 (127)
б)	из точки зрения О, повернутой по вертикали ИР", провести лучи OF и OF 90°, образующие с лучом схода OF, угол 90°;
в) Определить линиями aF 90е и />£90° положение перспективных изображений прямых ае и bf, перпендикулярных к заданной прямой, перспективным изображением которой является линия cd.
Так мы должны поступать во всех случаях, когда по композиционным соображениям надо, чтобы стороны ас и bd (рис. 177) какой-нибудь прямоугольной поверхности направлялись в другую точку схода (£), а не в главную точку. Двум другим сторонам ab и cd (тот же рисунок, посредине) нельзя придать горизонтальное положение, потому что изображаемая нами плоская фигура перестанет быть прямоугольной и станет параллелограммом.
В этом случае правильным перспективным изображением заданной фигуры будет правое изображение на том же рисунке. Его получают указанным выше способом; поверхность aecd прямоугольная и расположена по отношению к рисующему под углом.
Показанные выше (116—130) графические построения, относящиеся к перспективе горизонтальных прямых, непараллельных картине, это построения теоретические. Они помогают нам разобраться в направлении, которое получают на картине перспективные изображения горизонтальных прямых общего положения, идущих в пространстве в различных направлениях, но в практике не применимы, потому что в них употребляются точки, далеко выходящие за пределы картины.
Для построения перспективных изображений фронтально расположенных горизонтальных квадратов (177-—186), угловых горизонтальных квадратов (294—-296), линий, образующих определенные углы между собой или с нейтральной плоскостью (420), взаимно перпендикулярных линий (406—409) и т. д. необходимо знать практические построения, которые даются в дальнейшем.
156
ОПРЕДЕЛЕНИЕ В ОБРАТНОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ ЛИНИИ ГОРИЗОНТА НА КАРТИНЕ, НА КОТОРОЙ ПОСТРОЕНО ДВА ИЛИ НЕСКОЛЬКО ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ДРУГ ДРУГУ, НО НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАРТИННОЙ ПЛОСКОСТИ ПРЯМЫХ
То, что мы узнали до сих пор, позволяет нам решать задачи по обратной перспективе, касающиеся линии горизонта (131 —134) и главного расстояния (135—136).
131.	— Часто художник, довольный первым наброском, решает закончить картину и для этого проводит линию горизонта на высоте, соответствующей точке схода линий на рисунке, а проверку правильности и допустимости взятого им уровня горизонта по отношению к предметной плоскости (68) откладывает в последнюю очередь.
Все линии одной и той же группы, представляющие собой на картине перспективные изображения перпендикулярных к картине прямых или параллельных друг к ДРУГУ горизонталей общего положения, должны направляться в одну и ту же точку схода, причем точки схода всех групп таких линий на картине должны находиться на одной и той же горизонтали, являющейся линией горизонта данной картины.
На первом творческом эскизе или на рисунке по памяти эти условия обычно не соблюдаются. Группы линий не сходятся точно в самой точке, а точки схода различных групп линий лежат на различных уровнях. Поэтому художник перед определением уровня горизонта должен выбрать из всех фигурирующих на рисунке групп перпендикулярных картине линий и горизонтальных линий общего положения те, наклон которых ему кажется наиболее соответствующим пластическому строю его композиции.
Сделав этот выбор, он должен поступать следующим образом.
132.	— А. С перпендикулярными прямыми. Задавшись группой перпендикулярных к картине прямых (рис. 178) АВ, CD, EG и HI, выбранных на картине для определения высоты линии горизонта, рисующий должен их продолжить до пересечения в точке Р. Он знает, что точка схода всех перпендикулярных картине прямых должна быть на линии горизонта (105), и отсюда заключает, что на его картине линией горизонта является горизонталь hh', проходящая через точку Р. Затем он должен проверить, проходит ли опре-
157
Рис. 177 (109; 130)
деленная таким образом линия горизонта на нормальной высоте относительно вертикали ВК или СЕ, как это поясняется дальше (151).
Но полученный результат не соответствует закону, по которому все перпендикулярные к картине прямые должны сходиться в точке Р', т. е. посредине линии горизонта hh', а не левее или правее этой точки.
Для устранения этого несоответствия художник может:
А) изменить размеры или пропорции картины;
Б) принять прямые, направляющиеся к точке схода, и прямые, им перпендикулярные, за горизонтали, непараллельные картине, придя таким образом к угловому построению картины вместо фронтального.
А) Как мы уже знаем, оба боковых края картины должны находиться на равном расстоянии от главной точки Р. Чтобы прийти к этому результату, можно прибегнуть к следующим приемам (рис. 179):
Отложить на линии горизонта, например в правой его стороне, отрезок Ph'l, равный Ph: картина rnnlrsl станет меньше, так как часть nln2sls2 отпадает.
Но такое сужение картины может нас не удовлетворить. Отложим тогда в левой стороне линии горизонта отразок Phi, равный Ph'. Ограниченная таким образом кар. тина mlnrls станет длиннее, и художник должен будет продолжить свою композицию па участке mmlrrl.
Если такое удлинение нам не подходит, можно сохранить первоначальную ширину картины, передвинув в боковые стороны симметрично по отношению к главной точке в m2n2r2s2.
158
Рис. 178 (132)
Вообще мы можем придать картине любые удобные нам размеры при условии, чтобы боковые края картины находились на равном расстоянии от главной точки.
Б) Сохраним на старом месте точку схода F для выбранных нами прямых (рис. 180) и главную точку Р—посредине картины; примем эти прямые не за перпендикулярные к картине прямые, а за горизонтали общего положения. После этого нам нужно будет найти (как указывалось в параграфах 125 и 130) точку схода F 90° для перпендикулярных заданному направлению, чтобы построить линии плоскости задней стены комнаты, которая перестала быть фронтальной, а приняла угловое положение.
Наконец, если ни одно из указанных решений не соответствует композиционному замыслу художника, он может, не считаясь с правилами линейной перспективы (69, рис. 88—90), сохранить без изменений первую композицию (рис. 178). Но для этого у него должны быть серьезные причины, и он должен помнить, что зрители при рассматривании картины будут для получения иллюзии глубины инстинктивно останавливаться против точки Р', а не против Р.
Кроме того, так как точка схода перпендикулярных картине прямых всегда умещается на картине, нам не нужно для определения уровня линии горизонта другого практического метода, кроме изложенного выше.
133.	— Б. При горизонтальных прямых общего положения. Теоретическое решение. Зададимся группой горизонталей общего положения АВ, CD, EG, HI, выбранных художником на эскизе для определения уровня линии горизонта (рис. 181).
Продолжив заданные линии, мы увидим, что они все сходятся более или менее точно в точке F, которая служит для них точкой схода и поэтому как таковая может находиться только на линии горизонта, иначе говоря, на горизонтали, проведенной через точку F. Она и будет линией горизонта для данной картины.
Дальше художник должен проверить, находится ли эта найденная таким способом линия горизонта на нормальном или допустимом уровне над предметной плоскостью (151), и убедиться, что все остальные линии на его рисунке правильны по отношению к перспективным элементам картины (к линии горизонта, главному расстоянию и перспективному масштабу, по которому он будет последовательно определять их размеры и положение 145—155), чтобы исправить их в случае необходимости. Так, например, на заданном рисунке он должен убедиться, сходятся ли на линии горизонта продолженные линии CJ, НК, LM, NR и образуют ли прямой угол в пространстве лучи схода,
159
соединяющие точку зрения с точками схода данных горизонталей, если перспективные изображения соответствующих им граней предмета взаимно перпендикулярны (126).
134.	— Практическое решение. Когда художник, выбрав и продолжив линии, убедится, что они встречаются в недоступной точке схода, то, поступая, как указано ниже, он может прибегнуть к простому построению, придающему линиям больший, но пропорциональный наклон. Это позволит им встретиться в пределах картины.
Ограничим двумя верти* калями заданные наклонные прямые АВ и CD (рис. 182). Проведем через точки В и D, ближе? всего лежащие друг к другу на этих наклонных, две горизонтали ВЬ и Dd. Проведем между этими горизонталями на небольшом расстоянии от наиболее удаленных одна от другой точек А и С на заданных прямых вертикальную линию B1D1.
Продолжив линии АВ1 и CD1, мы получим в точке
их пересечения в пределах картины точку Н, через которую проходит линия горизонта hh'. Где бы ни проводилась вертикаль между горизонтальными прямыми ВЬ и Dd, результат будет тот же, но отнеся ее в точку L, мы получим более четкие пересечения, чем в том случае, если проведем ее через точку N. Если мы перенесем ее слишком далеко, например в точку R, точка пересечения Н2 будет лежать вне картины, а если принять за вертикаль линию BD, то в этом случае точка пересечения линий АВ и CD совпадает с недоступной точкой схода F этих линий. Все точки пересече-
160
Рис. 181 (133)
Рис. 183 (134)	Рис. 184 (134)
161
ния Н, Hl, Н2 и F лежат на общей им всем горизонтали, т. е. на линии горизонта hh'.
Если точка В1 была установлена делением ВЬ на какое-то число равных частей (например, на четыре), точка Н будет находиться относительно точки hl на расстоя-
нии, вчетверо меньшем, чем точка схода F Hhl =------- .
\	4 J
Такое построение применимо и в том случае, когда обе выбранные для определения уровня горизонта линии наклонны в глубь пространства в одном и том же направлении (на рис. 183 они восходящие, а на рис. 184 нисходящие). Для того чтобы легче разобраться в рисунке, линии на нем помечены теми же буквами, что и на рисунке 182. Горизонтали ВВ1 и DD1 тоже проводятся через наиболее сближенные точки данных прямых на вертикали BD, а чтобы получить в точке Н одну из точек, через которые проходит линия горизонта, точки В1 и D1 на вертикали, проведенной между этими горизонталями, тоже соединяются с наиболее удаленными одна от другой точками А и С на вертикали АС.
Как мы уже знаем (61), линию горизонта можно вынести за верхний и за нижний края картины, как видно из рисунка 85, где, пользуясь методом обратной перспективы, мы определили линию горизонта, продолжив две горизонтальные прямые, непараллельные картине.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ ПЕРСПЕКТИВЫ ГЛАВНОГО РАССТОЯНИЯ НА КАРТИНЕ, НА КОТОРОЙ ХУДОЖНИК НАРИСОВАЛ ПО ПАМЯТИ ИЛИ ВООБРАЗИЛ ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОГО УГЛА (ТЕОРЕТИЧЕСКИ)
135.	— Как указывалось выше (131—134), исходя из первоначального творческого или сделанного по памяти наброска, художник может установить на картине высоту линии горизонта. Таким же образом позже, исходя из перспективного изображения прямого угла, он может определить главное расстояние картины, если угол, образуемый его сторонами, играет существенную роль в пластическом решении данной композиции.
Главная точка должна находиться посредине линии горизонта, найденной указанным выше способом. Главное расстояние, т. е. расстояние, на котором нужно рассматривать картину, должно быть таким, чтобы зритель, глядя на картину, получал иллюзию прямого угла.
Для этого выполняются следующие построения (рис. 185):
а)	Продолжим перспективные изображения заданных сторон АВ и AD прямого угла, чтобы найти на линии горизонта точки схода F и F90° этих двух направлений, образующих в пространстве прямой угол.
б)	Найдем на линии горизонта с помощью циркуля, масштабной линейки или согнутой вдвое бумажной полоски точку С на равном расстоянии от точек F и F900. Если случайно точка С совпадет с главной точкой Р, это означает, что заданные прямые АВ и AD образуют с нейтральной плоскостью два одинаковых угла, каждый в
162
Рис. 185 (135; 136)
45\ а точки схода этих прямых F и F90°, находясь на одинаковом расстоянии от главной точки схода, совпадает с точками отдаления D и D' (119).
б) Установив циркуль в точке С и описав им полуокружность радиусом CF = CF90'J, мы получим в точке О на вертикали КГ', проведенной через главную точку Р, точку, исходя из которой лучи OF и OF90° образуют прямой угол, так как угол FOF9W, вписанный в полуокружность, измеряется половиной дуги окружности и, следовательно, имеет 90°-
РО представляет собой главное расстояние картины, т. е. расстояние с которого на нее надо смотреть для того, чтобы перспективное изображение угла BAD создавало у зрителя иллюзию прямого угла.
136. — Описав из главной точки радиусом РО%, равным половине главного расстояния (РОг = <?2О), окружность, мы определим размеры поля отчетливого зрения для зрителя, который будет смотреть картину на расстоянии ОР.
Если найденные этим путем размеры поля зрения меньше размеров картины, как, например, на рисунке 185, то, чтобы согласовать перспективное изображение прямого угла с размерами картины, художник располагает следующими возможностями:
а)	Уменьшить картину, удалив части SS'MM' и TT'NN', которые выходят за крайние пределы нормального поля отчетливого зрения и имеют неприятные для глаза перспективные искажения, как, например, аркада на участке TT'NN', которая производит впечатление более широкой и не имеет удлиненных пропорций, характерных для остальных арок, лежащих в поле отчетливого зрения (рис. 185).
б)	Взять главное расстояние, соответствующее размерам картины, т. е. равное диаметру описывающей картину окружности (РО' — РМ х 2), и изменить положение одной из сторон прямого угла (рис. 186 и 187) или обеих (рис. 188) таким образом, чтобы на этом увеличенном расстоянии угол продолжал казаться зрителю прямым.
На рисунке 186 без изменений осталось перспективное изображение более длинной стороны вместе с ее точкой схода F. Построив в точке О' луч схода, образующий вместе с лучом O'F угол в 90°, мы получим точку схода F'90°, к которой должна направиться вторая сторона AD' прямого угла.
На рисунке 187 осталось без изменения положение точки схода F90° и была найдена новая точка схода F', в которую направляется вторая сторона АВ’ прямого угла.
В обоих этих примерах предполагается изменение положения в пространстве объекта относительно нейтральной плоскости. На рисунке 185 угол FON меньше, чем угол FO'N'
163
Рис. 186 (136)
164
на рисунке 186, так как при более отдаленной точке зрения и при сохранении без изменения перспективы одной из сторон прямого угла изменяется положение изображаемого предмета по сравнению с тем, которое он имел в первом эскизе. В новом варианте эта сторона образует с нейтральной плоскостью больший угол, а на рисунке 187 та же сторона образует с нейтральной плоскостью меньший угол.
На рисунке 188 положение объекта не было изменено, но вместе с изменением места точки зрения были изменены и места обеих точек схода прямого угла, т. е. были проведены из точки О' лучи схода параллельно лучам, шедшим из более близко расположенной точки зрения О. На этом варианте правильно перспективное изображение прямого угла D'AB', а не угла DAB на первом эскизе. Из предложенных вариантов (к которым можно добавить ряд других, промежуточных) художник должен выбирать правильный, но вместе с тем наиболее отвечающий композиционному замыслу картины.
Примечание. Приведенное выше построение для определения главного расстояния, соответствующего перспективе заданного на картине прямого угла, это построение теоретическое, так как оно оперирует недоступными точками схода. Практическое построение будет показано дальше, при рассмотрении метода уменьшения, или малой картины (271, рис. 294—297).
Рис. 189 (141; 516). Питер Брейте ль Младший. Избиение младенцев
VIII. ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМЫХ, ИМЕЮЩИХ ТОЧКУ СХОДА
В) НАКЛОННЫЕ ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Как указывалось в параграфе НО,-чтобы найти точку схода заданного направления в пространстве, надо определить точку пересечения с картинной плоскостью луча, идущего из глаза рисующего, находящегося на нормальном расстоянии от картины, параллельно заданному направлению.
ТОЧКИ СХОДА НАКЛОННЫХ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ КАРТИНЕ
137. — Совершенно очевидно, что если мы оперируем наклонными прямыми общего положения, то параллельный им луч будет тоже наклонен в глубь пространства и вверх (восходящий луч) или в глубь пространства и вниз (нисходящий луч) в соответствии с наклоном в пространстве заданной прямой и, следовательно, пересечет картину выше или ниже линии горизонта.
167
Рис. 190 (137)	,	Рис. 191 (137)
Точки схода линий, восходящих в глубь пространства, находясь на картине над линией горизонта, т. е. проектируясь на небе, называются воздушными точками схода, а точки схода направлений, нисходящих в глубь пространства, проектируясь на предметную плоскость (землю), называются земными точками схода.
Воздушные и земные точки схода (Fa, Ft и Fal, Ftl на рис. 190 и 191) отстоят от линии горизонта на расстоянии, которое изменяется прямо пропорционально величине наклона в пространстве прямых, т. е. прямо пропорционально величине угла (ВАС и B1CD на рис. 190 и 191), образуемого наклонной прямой с предметной плоскостью.
Точки схода находятся вправо (рис. 195) или влево (рис. 190 и 191), ближе (рис. 190) или дальше (рис. 191) от линии VV', проходящей через главную точку; расстояние их до этой линии зависит от величины угла (В2А1Е— больший угол на рис. 190 или мень-
168
Рис. 192 (137; 138)
г
ший на рис. 191), образуемого вертикальной плоскостью BAD, в которой проходят эти прямые, с нейтральной плоскостью (В2А1Е = FOG).
Наконец (рис. 192), точки схода наклонных прямых, лежащих в вертикальных плоскостях, перпендикулярных к картине (вплоть до главной вертикальной плоскости зрения), могут помещаться только на линии W, над или под линией горизонта, ближе или дальше от нее, в зависимости от их наклона и величины угла, образуемого ими с предметной плоскостью.
138. — Как указывалось в параграфе 84, перспективное изображение наклонной прямой общего положения может быть точкой, если после ее продолжения эта прямая пройдет через оптический центр глаза рисующего и сольется с лучом заданного направления (рис. 130; 131; 148). Она может быть вертикалью, если проходит в вертикальной плоскости, которая при продолжении пройдет, подобно главной вертикальной плоскости, через глаз рисующего (рис. 133—135; 192).
169
Наконец, ее перспектива может быть горизонталью, если эта прямая заключена в восходящую или нисходящую плоскости, которая при продолжении пройдет через глаз рисующего DE на рис. 16 и 195 или be, de, KL и MN на рис. 193 и 194.
139.—Не всякая наклонная прямая на картине является перспективным изображением наклонной прямой общего положения. В большинстве случаев это перспектива перпендикулярной к картине прямой, если перспектива ее проекции на предметную плоскость тоже идет в главную точку Р (106); горизонтальной прямой общего положения, если ее перспектива и ее проекция на предметную плоскость направляются в одну и ту же точку схода на линии горизонта (111); параллельной картине наклонной прямой, если ее проекция на предметную плоскость представляет собой горизонталь (95).
140.—Рассматривая на картине наклонные линии, представляющие собой перспективу любых наклонных прямых общего положения, мы видим, что, для того чтобы определить положение любой из этих прямых в пространстве, необходимо знать перспективное изображение ее проекции на предметную плоскость, т. е. след вертикальной плоскости, в которой лежит эта наклонная прямая.
Следует учесть, что перспективные изображения наклонных прямых (с воздушными И земными точками схода Fa и Ft на рис. 196 и 197) не могут иметь общей точки схода с перспективными изображениями их проекций на предметную плоскость, которые
170
Рис. 195 (137; 138; 140; 141)
идут в точку схода F на линии горизонта, но все эти точки схода должны лежать на одной и той же вертикали.
Наклонные прямые общего положения АЬ и Ьс (рис. 195) могут быть на картине перспективами бесконечно большого числа наклонных прямых пространства, постепенно
171
удлиняющихся и отдаляющихся от рисующего сообразно положению их проекции на предметную плоскость (землю).
а)	Если перспективные изображения а", Ь", с" проекций на предметную плоскость (землю) находятся ниже линии основания картинной плоскости ху, то линии АЪ и Ьс представляют собой две расположенные в промежуточном пространстве наклонные прямые общего положения А"В" и В"С".
б)	Чем меньше расстояние от проекций перспективных изображений таких прямых до линии горизонта, тем длиннее эти прямые и тем дальше расположены они от рисующего в предметном пространстве. То же самое мы наблюдали и в перспективных изображениях горизонталей общего положения.
ГИС. 1У6 (.140; 141)
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК СХОДА ПЕРСПЕКТИВ НАКЛОННЫХ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
141.	— В прямой перспективе. Задавшись линией горизонта, главной точкой и главным расстоянием, мы можем определить графическим путем точку схода любой наклонной прямой общего положения, если нам даны:
а)	угол т, образуемый нейтральной плоскостью с непараллельной картине плоскостью, в которой лежит заданная наклонная прямая общего положения;
б)	угол п, образуемый заданной наклонной прямой общего положения с главной горизонтальной плоскостью зрения или с предметной плоскостью (рис. 195).
Чтобы найти эту точку схода, нужно, чтобы луч схода удовлетворял двум требованиям:
а)	необходимо, чтобы он проходил через точку зрения рисующего в вертикальной плоскости зрения, образующей с нейтральной плоскостью заданный угол т;
б)	чтобы в этой плоскости он образовал с горизонтальной плоскостью зрения заданный угол п.
Для этого (рис. 196):
а)	Измерим в главной горизонтальной плоскости зрения действительную величину угла NOF, образуемого вертикальной и ней
Рис 197 (140; 141 )
172
Рис 198 (141; 142)
тральной плоскостями. Главная горизонтальная плоскость лежит по отношению к рисующему в полном ракурсе, сливаясь с линией горизонта (рис. 196, слева). Чтобы измерить этот угол, примем за ось вращения линию горизонта. Начнем вращать вокруг этой оси главную горизонтальную плоскость до совмещения ее с картинной плоскостью (т.е. на 90°). Вращаясь вместе с главной горизонтальной плоскостью по вертикали ГК', точка зрения перемещается в точку О' на расстояние от точки Р, равное главному расстоянию. Проведем из точки О' луч схода O'F. который и образует с нейтральной плоскостью угол N'O'F, равный заданному углу (рис. 196, справа).
Этим лучом мы определяем на линии горизонта hh' положение точки схода F для горизонтальных прямых, лежащих в заданной вертикальной плоскости. Найдем на проведенной на кар
тине через точку F вертикали воздушные (над линией горизонта) и земные (ниже линии горизонта) точки схода всех наклонных прямых, лежащих в заданной вертикальной плоскости.
б)	Измерим действительную величину угла FOFa в расположенной под углом к рисующему вертикальной плоскости (рис. 196, слева). Повернем вокруг оси, роль которой исполняет проведенная через точку F вертикаль, эту плоскость до совмещения ее с картинной плоскостью. В результате вращения точка зрения О переместится в точку 01 на линии горизонта на расстояние от точки F, равное FO'. Проведем из точки 01 луч схода 01 Fa, образующий с линией горизонта заданный угол FOlFa (рис. 196, справа).
Также следует поступать и в тех случаях, когда угол заданной вертикальной плоскости зрения находится по другую сторону главной вертикальной плоскости зрения и когда мы имеем дело с нисходящим углом наклона (рис. 197).
К точкам схода Fa (воздушным) и Ft (земным) направляются перспективы всех наклонных прямых общего положения, параллельных в пространстве друг другу (рис 189; малая картина на рис. 195; рис 198).
14	2. — В обратной перспективе. Зная перспективные элементы картины, мы можем найти в главной горизонтальной плоскости зрения угол наклона расположенной в прос-
173
Рис. 199 (143, 144)
транстве наклонной прямой общего положения, если нам даны на картине ее перспективное изображение (ab — восходящее или Ьс—нисходящее) (см. рис. 198), и ее проекция (а'Ь' или Ь'с') на предметную плоскость. Для этого:
а)	Продолжив перспективное изображение (а'Ь' либо Ь'с') проекции на предметную плоскость (землю) наклонной прямой, мы найдем на линии горизонта hh1 точку схода F горизонтальных прямых вертикальной плоскости, в которой лежит заданная прямая. Эта вертикальная плоскость образует в пространстве с нейтральной плоскостью угол FON.
б)	Продолжим данную на картине наклонную прямую. Мы найдем на вертикали, проведенной через точку F, точку схода Fa (воздушную) либо Ft (земную) в зависимости от направления заданной наклонной.
в)	Измерим расстояние между точкой зрения О (повернутой по вертикали W) и точкой схода F и перенесем ее из точки схода F в точку 01 на линии горизонта.
г)	Проведя луч схода OlFa или OlFt, мы получим соответственно углы FOlFa или FOlFt, которые и представляют собой углы наклона и иг данных прямых ab и Ьс.
НАКЛОННЫЕ ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ, ОБРАЗУЮЩИЕ ДРУГ С ДРУГОМ В
ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ УГОЛ В 90°
143.	— В прямой перспективе (рж. 199). Если два луча схода, вышедшие из точки зрения О' (FO = FO'), образуют прямой угол (угол FaO’FtOO" = 90°), то линии,
направляющиеся на картине к точкам схода, засеченные этими лучами на вертикали, проведенной через точку F (воздушная точка схода Fa, земная точка схода Ft 90°), являются перспективными изображениями прямых, которые в пространстве образуют прямой угол.
Следовательно, где бы на вертикали, проведенной через точку F, пи находились точки Fa и Ft первой заданной наклонной прямой общего положения, место точки схо
174
да перспективного изображения таких прямых, которые в той же вертикальной плоскости ей перпендикулярны, определяется лучом схода (<9'Гл90° или O'Ft90°), проведенным из точки О' и образующим угол в 90° с лучом схода первой заданной наклонной прямой.
144.	— В обратной перспективе (рис. 199). Если мы хотим убедиться, что две нарисованные на картине наклонные прямые общего положения, лежащие в одной и той же вертикальной плоскости, непараллельной картине (например, ab и be), образуют между собой прямой угол, то надо продолжить перспективные изображения их проекций на предметную плоскость до вертикали, проведенной через точку схода F. Этим мы определим положение их воздушной и земной точек схода (Fa и Ft). Если лучи схода (О'Fa и О’Ft) образуют друг с другом прямой угол, то и соответствующие им прямые лежат друг к другу под прямым углом. В противном случае надо исправить их положение, пользуясь точками схода Fa и F/9O0.
Примечание. Данные нами выше построения (141—144) перспективных изображений наклонных прямых общего положения — это построения теоретические. Они помогают разобраться в направлениях, которые принимают на картине эти перспективные изображения при различных положениях наклонных прямых в пространстве. Однако на практике они неприменимы, потому что при их исполнении пользовались недоступными точками схода.
Такими построениями можно пользоваться на практике, прибегнув к методу уменьшения (262—278). Но, как будет указано дальше, наиболее простой метод построения перспективы наклонных тел либо предметов с наклонными сторонами — это принимать их за сложные по форме тела, вписанные в более простые геометрические тела (565; 596—606). •
Рис. 200 (183; 457). Жан Огюст Доминик Энгр. Стратоника
IX. ИЗМЕРЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРЯМЫХ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАРТИНЕ, И ПРЯМЫХ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КАРТИНЕ
ПЕРСПЕКТИВНЫЙ МАСШТАБ КАРТИНЫ
145.	— Под словом масштаб подразумевается отношение между величиной перспективного изображения линий на картине, рисунке или чертеже и соответствующей величиной линии изображаемого объекта.
Перспективные изображения прямых, расположенных в поле нашего зрения параллельно картине, передаются на ней из-за их перспективного уменьшения в различных масштабах (больших или меньших) в зависимости от расстояния между фронтальными плоскостями, в которых расположены эти прямые, и рисующим.
Благодаря этому в различных масштабах передаются перспективные изображения не только расположенных в пространстве предметов в их целом, но и деталей этих предметов: их более близкие к рисующему ребра передаются в большем масштабе, а ребра, лежащие от него дальше, в меньшем масштабе. Отсюда мы видим, что масштаб картины нельзя рассматривать, как, например, масштаб архитектурйого плана или географической карты, на которых все элементы изображены в одном и том же масштабе.
177
В перспективе не может быть даже речи о масштабе перспективного изображения какого-нибудь одного из нарисованных на картине предметов, а лишь о масштабе параллельной картине плоскости, в которой лежит определенное ребро данного предмета.
Когда мы говорим, что какой-нибудь предмет или какая-нибудь человеческая фигура нарисованы в натуральную величину или в каком-нибудь масштабе, это определение относится только к самой близкой к рисующему части данного предмета, а более отдаленные части этого предмета или человеческой фигуры изображаются в меньшем масштабе.
Вообще масштабные отношения выражаются числами (числешпяй масштаб) или графически (линейный масштаб).
146.	— В перспективе редко пользуются тем сравнительно небольшим количеством численных масштабов, на которых основано черчение; и не потому, что они требуют сложных расчетов, а потому, что они применимы только к некоторым из фронтальных плоскостей. Во всех остальных промежуточных фронтальных плоскостях отношения между размерами предметов в пространстве и размерами их перспективных изображений не поддаются упрощению, и поэтому эти расчеты трудно производить и одинаково трудно ими пользоваться. Вообще же определение численного масштаба всех фронтальных плоскостей — лишнее, так как для каждой картины можно установить линейный масштаб, который носит название перспективного масштаба картины и с помощью которого очень легко измерять все три измерения данных предметов: высоту, ширину и глубину, каковы бы ни были фронтальные плоскости, в которых они размещены в пространстве.
Для построения такого линейного масштаба надо прежде всего уточнить в какой-нибудь из фронтальных плоскостей картины перспективное изображение единицы измерения и в соответствии с ней построить перспективный масштаб данной картины, чтобы затем с ее помощью измерять и остальные фигурирующие на картине предметы.
Единица измерения картины. Определение ее графическим методом
Единицу измерения картины можно определить:
А)	до определения линии горизонта;
Б) одновременно с определением линии горизонта;
В)	после определения линии горизонта.
147.	— А) До определения линии горизонта. Художник может установить на эскизном наброске или на еще не начатой картине размер перспективного изображения одного из основных предметов композиции и на основании этого размера определить единицу измерения картины.
Как бы художник ни работал — с натуры, по памяти, импровизируя или по чертежам, — он прежде всего должен набросать на картине в главных линиях предметы, которые будут фигурировать на картине: человеческие фигуры, здания, деревья, предметы и т. д. После этого он может построить в какой-нибудь из фронтальных плоскостей картины перспективное изображение единицы измерения, исходя из перспективного изобра-
178
жения любого элемента картины, который он считает основным в своей композиции и размеры которого он знает, они ему даны или он их предполагает.
Для определения размера художник может выбрать на картине прямую, параллельную картине (горизонтальную, вертикальную или наклонную), или прямую, имеющую точку схода (перпендикулярную к картине прямую, горизонтальную прямую общего положения, наклонную прямую общего положения). Ввиду того, что (как указывается ниже, в параграфе 289) мы можем привести любую прямую общего положения в прямую, параллельную картине, то в дальнейших объяснениях будем считать, что величина, положенная в основу определения единицы измерения картины, — это величина фронтальная.
Пусть прямая АС (рис. 201) будет прямой, выбранной художником и представляющей собой перспективное изображение ребра какого-нибудь предмета, которое имеет, по нашему предположению, истинную длину 3,28 .и. Чтобы установить размер единицы измерения, т. е. одного метра во фронтальной плоскости, в которой находится прямая АС, разделим АС на 3,28 делений.
Такое деление производится с помощью вспомогательной прямой тем же способом, который мы применяли в параграфе 63 для определения линии горизонта, а именно:
а)	проведем через одну из конечных точек заданной линии, например через точку Л, вспомогательную прямую AD с наклоном, обеспечивающим наиболее четкие пересечения, г. е. не слишком под острым углом;
б)	отложим на ней из точки А три равных деления, обозначив их 1, 2, 3, и после третьего — еще 28 сотых одного деления (т. е. немного больше четверти деления), и мы найдем точку В;
в)	соединив найденную этим способом на вспомогательной прямой точку В с точкой С на заданной вертикали, мы найдем направление ВС;
г)	проведем с помощью двух угольников из точки 1 первого деления на вспомогательной прямой линию, геометрически параллельную линии ВС. Эта линия определяет на прямой АС положение точки Е, делящей эту прямую на части, пропорциональные тем, на которые делит точка 1 вспомогательную прямую АВ.
АЕ— это величина, представляющая собой единицу измерения, т. е. один метр в фронтальной плоскости mnrs заданной вертикали АС.
148.	— Если нам надо получить очень точный рисунок, мы можем отложить заданную длину с помощью делительной линейки в масштабе, соответствующем размерам
179
Рис. 203 (150, б; 152, б)
рисунка. Так, в вышеприведенном примере для определения длины 3,28 м мы должны отложить на вспомогательной прямой:
а)	отрезок, равный 3,28 см, в масштабе 1 : 100, в котором единица измерения — метр— равна одному сантиметру (рис. 201);
б)	отрезок — 6,56 см в масштабе 1 : 50, в котором метр равен 2 см;
в)	отрезок—16,4 см в масштабе 1 :20, в котором метр равен 5 см;
г)	отрезок—32,8 см в масштабе 1 : 10, в котором метр равен 10 см.
149.—Б) Одновременно с определением линии горизонта. Как указывалось в параграфе 63, единицу измерения картины можно определить одновременно с уровнем линии горизонта. На рисунках 93—98 и 102 видно, как нужно определять в различных условиях в соответствии с известной нам длиной перспективного изображения уровень линии го
Рис. 204 (150, «). Рис. 205 (152, о)
ризонта и одновременно с ним единицу измерения картины, применяя для этих операций ту же вспомогательную прямую.
В) После определения линии горизонта. Единицу измерения можно определить и после того, как художником была установлена на картине линия горизонта.
150.	— В прямой перспективе, когда мы знаем или предполагаем уровень глаз рисующего по отношению к предметной плоскости и находящихся на ней предметов, которые нам предстоит изобразить на картине. Этот уровень может находиться примерно на высоте 1,60 м, если рисующий работает стоя в положении, при котором основание его ног совпадает с плоскостью изображаемых им предметов, и 1,10 м, если он работает сидя. Если основание ног рисующего расположено в плоскости, лежащей выше предметной плоскости, то есть на каком-либо
возвышении, на террасе, на лест-
180
Рис. 206 (151)
пине, на площадке какого-либо этажа соседнего здания и т. д., расстояние между его глазами и предметной плоскостью увеличивается и подлежит вычислению для каждого данного случая. Какова бы ни была в пространстве длина отрезка прямой, определяющего уровень глаз рисующего над предметной плоскостью (рис. 202), перспективное изображение этого отрезка дается на вертикали h'm между линией горизонта и нижним краем картины во фронтальной плоскости, след тп которой на предметной плоскости совпадает с этим краем. На этой вертикали надо найти в соответствии с этой высотой отрезок, равный одному метру, прибегнув, как и в примере, разобранном выше, к вспомогательной прямой.
а)	Если глаза художника, стоящего на предметной плоскости (рис. 202), находятся на высоте примерно 1,60 м, он должен отложить на вспомогательной прямой 16 равных делений и соединить конечную точку А шестнадцатого деления с точкой Л'. Проведя через конечную точку десятого деления прямую, геометрически параллельную прямой Ah’, он найдет на вертикали h'm отрезок тВ, представляющий собой единицу измерения данной картины, равную одному метру в пространстве.
б)	Если художник, находясь на предметной плоскости, рисует сидя (рис. 203), уровень его глаз находится на высоте примерно 1,10 м. В этом случае надо отложить на вспомогательной прямой 11 равных делений. Поступая, как в предыдущем случае, он получит на вертикали h'm отрезок тВ, равный 1 м в пространстве.
в)	Если художник не находится- на предметной плоскости и уровень его глаз в связи с местом, на котором он находится, приподнят на высоту примерно 6 м, то надо отложить на вспомогательной прямой шесть равных делений и соединить конечную точку А последнего деления с точкой h (рис. 204). Проведя через конечную точку В первого деления линию, геометрически параллельную прямой Ah, он получит отрезок тВ, равный одному метру в пространстве.
151.	— В обратной перспективе. Иногда линия горизонта определяется на картине на глаз, по общему виду композиции, не стараясь уточнить уровень, на котором эта линия пересекает различные, представляющие существенное значение в данной композиции предметы, действительная величина которых — заданная, известная или предполагаемая — послужит отправной точкой для определения единицы измерения картины.
В этом случае, пользуясь все той же вспомогательной линией, с помощью которой мы определяли выше единицу измерения картины (147), мы найдем попутно и высоту
181
линии горизонта но отношению к уровню плоскости, на которой находится изображаемый нами предмет (рис. 206).
Зададимся линией горизонта hh', взятой художником на глаз, и перспективным изображением АВ дерева, высота которого в пространстве, по нашему предположению, равна 6 м. Отложив на вспомогательной прямой шесть равных делений и соединив конечную точку С шестого деления с верхушкой В дерева, мы найдем линию СВ. Проведем из точки N, находящейся на пересечении взятой на глаз линии горизонта с вертикалью АВ (высотой дерева), геометрическую параллель линии СВ. Мы получим в точке b на вспомогательной прямой уровень линии горизонта, равный 3,20 м, недостающие же 20 см прибавим на глаз или установим измерением, если деления на вспомогательной линии были отложены в каком-нибудь определенном масштабе (как указывалось в параграфах 63 и 148). Таким образом художник узнает действительную высоту, на которой находятся его глаза над предметной плоскостью, высоту которой он определял на глаз.
152.	— Примечание, а) В тех случаях, когда линия горизонта уже существует на картине, для определения единицы измерения можно пользоваться вместо вспомогательной линии прямыми, соединяющими концы взятого художником горизонтального (или вертикального) отрезка с произвольной точкой схода на линии горизонта, если эти прямые уже сущест вуют или если они должны быть вычерчены для завершения требуемого изображения.
Установим масштабную линейку в вертикальном (рис. 205) или горизонтальном (рис. 207) положении. Двигая ее взад и вперед между двумя вышеупомянутыми прямыми, идущими в точку схода, найдем положение, при котором отмеченная нами в произвольном масштабе на масшабной линейке величина, например, как в предыдущем случае, 6 м, точно уложится между этими двумя линиями. Отметим точкой на чертеже деление, соответствующее па масштабной линейке одному метру. Проведем из найденной точки прямую, идущую в ту же точку схода. Продолжим ее в обратном направлении до пересечения с заданной прямой, параллельной картине. Полученный отрезок соответствует во фронтальной плоскости, в которой лежит заданная, параллельная картине прямая, размеру одного метра.
На рисунке 205 в выбранном нами масштабе 5 мм — 1 м (1 : 200) мы уточнили вертикально установленной масшабной линейкой в месте ее пересечения с линией горизонта уровень глаза рисующего относительно предметной плоскости. В данном случае этот уровень равен 3,70 м.
б) На рисунках 202 (слева) и 203 (справа) показан более простой метод определения единицы измерения в прямой перспективе. На вертикали hn. идущей по краю картины (или вообще на любой вертикали между линией горизонта и нижним краем картины) отложим в любом масштабе отрезок, равный по размеру уровню глаза рисующего относительно предметной плоскости (1,60 м, 1,10 м, 6 м и т. д.). На горизонтали, проведенной через конечную точку этого отрезка, отложим в этом же масштабе отрезок, равный одному метру.
182
Продолженная до точки а на нижнем краю карч ины линия ha', как указывается дальше, образует перспективный масштаб картины. На рисунке 202 было предположено, что глаз рисующего находится на высоте 1,60 м над предметной плоскостью. Поэтому на линии hn' отложено 16 равных делений и на линии п’а'— 10 делений, равных предыдущим. На рисунке 203 мы предположили, что рисующий работает сидя, и поэтому уровень его глаз находится на высоте 1,10 м над предметной плоскостью. Поэтому на прямой h'n' отложено только 11 равных делений и на па' — 10 делений, равных первым.
На рисунке 167 перспективные масштабы были найдены тем же методом (159, Ill). Таким образом мы поступали и на следующих рисунках: на рисунке 560 (497), где глаза рисующего находятся над предметной плоскостью на высоте 5 м; на рисунке 647 (593), где его глаза находятся на высоте 4,65 м, а на рисунке 651 (597) — на высоте всего лишь 0.70 м над плоскостью стола, на котором расставлены изображаемые предметы.
Построение перспективного масштаба картины
153.	— Зная величину перспективного изображения одного метра в какой-либо определенной фронтальной плоскости, мы можем построить перспективный масшаб картины. Соединим конечные точки полученного перспективного изображения метра с любой точкой на линии горизонта двумя прямыми, являющимися перспективным изображением двух параллельных прямых в пространстве (рис. 208).
Зададимся перспективным изображением линии АВ, представляющей собой единицу измерения (т. е. один метр) во фронтальной плоскости mnrs. Описав радиусом А В четверть окружности, мы получим в точке ее пересечения С с горизонталью тп отрезок АС, являющийся перспективны изображением параллельной картине горизонтали длиной в один метр.
Соединив одну из точек на линии горизонта, например главную точку, с точками А, В и С и продолжив линии РА, РВ и PC до нижнего края картины, мы получим два перспективных масштаба — горизонтальный и вертикальный, дающих перспективное изображение вертикально и горизонтально расположенного в предметной плоскости метра, на любом расстоянии от рисующего: большее, когда он ближе, и постепенно уменьшающееся, по мере отдаления вглубь.
В любой точке на прямой РА вертикаль, расположенная между линиями АР и ВР, или горизонталь, расположенная между линиями АР и СР, указы-	>
вают размер единицы измерения во фронтальной плоскости соответствующей точки. Например, отрезки DG и DH дают
183
нам размер единицы измерения в точке D, т. е. во фронтальной плоскости mini is.
154—Построение перспективного масштаба картины на ее краю или вне картины (рис. 209). Масштаб, построенный таким способом, не всегда удобен, потому что его могут перекрывать другие перспективные линии картины. Но так как перспективное изображение метра остается всегда одним и тем же для одной и той же фронтальной плоскости, то, исходя из этого соображения, мы можем с помощью циркуля или полоски бумаги отложить на горизонтали тп отрезок А'С', равный отрезку АС, или на продолжении тп отрезок А'С" такой же длины (оба эти отрезка лежат в той же фронтальной плоскости mnrs). Проведя затем из точки Л (точка пересечения линии гори-
Рис. 210(155)	зонта с вертикальным краем карти-
ны) линии hC и hC", мы получим два других перспективных масштаба — одину края кар! ины, внутри (если там есть свободное место), и второй—вне картины, конечно, в том случае, если площадь бумаги, на которой рисуют, больше площади рисунка. Во втором случае вся площадь рисунка остается свободной для перспективных построений.
В этой книге для большей наглядности большинство рисунков имеют перспективный масштаб вне картины, а не внутри ее у края, как должен был бы построить его художник, работая на полотне, натянутом на подрамнике, где нельзя выйти за пределы картины.
155. — Деление метра на перспективном масштабе. Чтобы получить деления метра, т. е. дециметры, достаточно отметить на масштабной линейке десять любых делений и, передвигая в горизонтальном положении линейку по направлению к линии горизонта, найти положение, при котором отмеченные выше десять делений уместятся между линиями hC' и ЛЛ'(рис. 210). Отметив на рисунке точками эти деления и соединив их с точкой й, мы получим перспективный масштаб, указывающий уменьшение (при отдалении в глубину пространства не только перспективного изображения метра, но и его дециметров). На рисунке 210 в том месте, где масштабная линейка точно поместилась между линиями hC и hA’, каждое деление равно двум миллиметрам.
184
ИЗМЕРЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВ ВЕРТИКАЛЬНЫХ, ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ И НАКЛОННЫХ ПРЯМЫХ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАРТИНЕ
156. — В прямой перспективе. На картине с известными нам линией горизонта hh' и перспективным масштабом надо найти длину горизонтальной, вертикальной или наклонной прямой, параллельной картине.
Пусть прямая ас будет перспективным изображением вертикали, основание а которой лежит в предметной плоскости, прямая df—перспективой гаризонтали, параллельной картинг, расположенной в предметной плоскости, а прямой gi— перспективой наклонной
прямой, параллельной картине, нижний конец g которой лежит в предметной плоскости.
На этих трех перспективах мы должны найти заданную длину, например 2,30 ,w, в масштабе картины. Для этого:
а)	Проведем из лежащих в предметной плоскости точек а н g (первая— основание
вертикали ас, вторая — конец параллельной картине наклонной прямой gi) горизон
тальные прямые ат и gt до пересечения с перспективным масштабом и продолжим
лежащую в той же предметной По перспективному масштабу мы отрезок пт, равный по длине одному метру с его делениями в наиболее отдаленной фронтальной плоскости, включающей вертикаль ас;
отрезок tu, равный одному метру с его делениями в более близкой фронтальной плоскости, включающей наклонную gi;
отрезок rs, представляющий собой размер одного метра с его делениями в наиболее близкой к рисующему фронтальной плоскости, включающей горизонталь df.
Линии fs, gu и ап — это перспективные изображения следов на предметной плоскости постепенно отдаляющихся фронтальных плоскостей, в которых лежат перспективные изображения заданных параллельных картине прямых.
б)	Чтобы определить на вертикали ас заданную высоту ah,
плоскости горизонтальную прямую fd до точки г (dr). определим:
Рис. 211 (87; 156; 157)
Рис. 212 (157)
185
равную 2,30 ,и, отложим на ней полоской бумаги или циркулем два отрезка пт (два метра) плюс три деления масштаба (тридцать сантиметров): это и будет искомая величина 2,30 м.
Поступая так же для определения этой длины на параллельной картине горизон тали df, отложим на полоске бумаги двойную величину rs (два метра) и еще три масштабных деления (тридцать сантиметров) и перенесем эту длину на горизонталь df. линия de и будет искомой величиной — 2,30 .и.
Для определения той же длины на параллельной картине наклонной gz измерение производится по соответствующему масштабу, где tu — длина одного метра. Приложив полоску бумаги, на которой мы отложили длину 2,30 м в этом новом масштабе, к наклоняй прямой gi, мы получим нужную нам длину в точке / (отрезок gi).
Примечание. Этот способ измерения применим для любой заданной величины. На полоске бумаги, с помощью которой мы измеряем нужную величину, мы можем отложить, пользуясь перспективным масштабом, любые равные между собой или пропорциональные деления. Таким образом на рисунке 211 были измерены промежутки между ступеньками стремянок, равные 40 см.
В вышеприведенном примере заданная параллельная картине горизонтальная прямая лежит в предметной плоскости, а вертикаль и параллельная картине наклонная имеют в этой плоскости каждая по одному из своих концов.
157.	— Если нам нужно определить на параллельных картине прямых, лежащих выше или ниже предметной плоскости, заданную длину, измерение производится в месте пересечения следа на предметной плоскости фронтальной плоскостью, в которой лежит заданная прямая.
Так, на рисунке 212:
высота и ширина арочного окна равны—1,80 м и 0,90 л/;
высота и ширина косо повешенного на гвозде плаката—1,00 м и 0,70 .и;
высота и ширина потолочных балок — 0,15 л/ и 0,15 м,
а промежутки между балками — 0,60 м и т. д.
Все эти размеры относятся к параллельным картине вертикальным, горизонтальным и наклонным прямым, лежащим в фронтальной плоскости стены в глубине комнаты. Продолжив след ab этой плоскости на предметной плоскости, мы получим размер тп перспективного изображения одного метра с его подразделениями. Следовательно, тп является единицией измерения для всех размеров вышеуказанных предметов, каково бы ни было их положение в этой плоскости.
Если на этом же рисунке мы захотим построить на вертикали df перспективу картины высотой в 1,20 м, то прежде всего надо найти на предметной плоскости точку g — основание соответствующей, вертикали. Проведя прямую gr — след на предметной плоскости, содержащий заданную вертикаль фронтальной плоскости, мы найдем длину rs— перспективное изображение единицы измерения для этой плоскости. Отложим на бумажной полоске длину rs (один метр) и еще два деления (двадцать сантиметров) — в общей сложности 1,20 м. Приложив эту полоску к вертикали df, мы найдем на ней нужный нам размер 1,20 л/.
186
Рис. 213 (158; 159, I)	Рис. 214 (159, I)
На рисунке 211 высота человека ростом в 1,75 .и, влезшего на прислоненную к стене стремянку, измерялась по перспективному масштабу, соответствующему плоскости, в которой лежит перспектива человека, т. е. единицей измерения vz.
158.	— При наличии на картине параллельных ей вертикальных, горизонтальных и наклонных прямых, лежащих ниже предметной плоскости, применяется тот же метод: определяется след заключающей эти прямые фронтальной плоскости на предметной плоскости и против этого следа откладывается в данном перспективном масштабе нужный размер.
Например, на рисунке 213 нарисована человеческая фигура высотой 1,70 м, стоящая в точке а на площадке, опускающейся на четыре ступеньки ниже предметной плоскости. Было бы ошибкой измерять эту фигуру единицей измерения tu соответствующего перспективного масштаба, так как основание ее ног находится не в предметной плоскости, а ниже.
Пользуясь вертикальным краем площадки или прибегнув к другим графическим построениям в зависимости от характера рисунка, мы можем проследить шаг за шагом след фронтальной плоскости, в которой лежит вертикаль точки а. Этим следом является: на нижней площадке линия ас, .
на вертикальной плоскости стенки площадки линия cd;
на предметной плоскости линия dnm.
Следовательно, мы должны отложить на полоске бумаги или циркулем длину 1,70 м, пользуясь не единицей, измерения tu, а единицей измерения тп, и перенести ее затем на вертикаль ab.
Так же мы должны поступать и тогда, когда на той же площадке на параллельной картине горизонтальной прямой ei нам нужно отложить ширину 1,50 м ковра: мы не можем продолжить горизонталь ei до перспективного масштаба, так как знаем, что площадка не лежит в горизонтальной плоскости этого масштаба. Проведем вертикаль ij — след фронтальной плоскости на боковой стене площадки. Мы получим прямую jsr — след этой плоскости на предметной плоскости, включающей отрезок rs — перспективное изображение метра в нужном нам масштабе. Этой единицей измерения мы отло-
187
Рис. 215 (159: 159. II). А. И. Лактионов. Письмо с фропта
жим на полоске бумаги нужную нам длину— 1,50 м и перенесем ее затем на прямую fg (рис. 213).
159.	— Иногда предметы и фигуры расположены в композиции на различных уровнях. Например, на картине А. И. Лактионова Письмо с фронта человеческие фигуры и предметы первого плана расположены на более высоком уровне, чем дома и люди второго плана (рис. 215). В других случаях фигуры на неровной местности могут находиться в пространстве на множестве различных уровней. Например, на картине К. А. Виалова Учения матросы первого плана находятся на плоскостях, соответствующих трем-четырем различным уровням, матросы на пляже — на еще более низком уровне, а лодки и военные судна на самом низком уровне, соответствующем поверхности моря (рис. 351).
Отсюда мы видим, что измерения при большом количестве различных уровней производятся без труда, если мы применим при построении перспективы картины закон перспективного уменьшения (315—316). И все же, если на небольшом числе разных уровней (например, на двух) расположено много предметов, можно построить отдельный перспективный масштаб для каждой предметной плоскости каждого уровня, поступая следующим образом.
Пример I. Применяя к рисунку 214 тот же метод, что и к рисунку 213, построим перспективный масштаб для площадки, лежащей на более низком уровне, взяв исходной точкой уже построенный слева картины перспективный масштаб для уровня пола
188
комнаты. Для этого отложим в правой части картины на продолжении параллельной картине горизонтали тг отрезок rs, равный длине одного метра тп в перспективном масштабе плоскости пола.
Отложив с помощью полоски бумаги или циркуля на опущенной из точки s вертикали расстояние, представляющее собой разность между двумя заданными уровнями — в нашем случае 0,60 ,и (высота четырех подступенок, каждая по 0,15 м), — мы получим точку t, через которую проходит прямая ut. На этой прямой мы и построим перспективный масштаб для более низкого уровня площадки.
Пользуясь единицей измерения cd (1 л/), мы определим на вертикали ab высоту заданной фигуры—1,70 м, а единицей измерения gi определим ширину ковра на площадке — 1,50 м. При точном черчении размеры на рисунке 213 должны совпадать с размерами на рисунке 214.
Пример II. На перспективной схеме картины Лактионова (рис. 215) разница уровней между точками s и t равна 1,50 м. На горизонтали tt' построен перспективный масштаб, соответствующий более низкому уровню площади. В этом масштабе единицей измерения, соответствующей точке и, отложена высота ab человеческой фигуры, равная 1,70 м, и единицей измерения точки v — высота 7 м, то есть высота cd дома позади этой фигуры.
Пример III. На рисунке 167 художник сидит, и поэтому уровень его глаз находится на высоте 1,20 м относительно предметной плоскости (правый перспективный масштаб). Для измерения предметов первого плана построен перспективный масштаб слева из расчета 0,40 м разницы между уровнем глаз рисующего и уровнем стола (1,20 — 0,80 =0,40). На рисунке показан простой способ построения этих масштабов (152,6).
Примеры построения перспективных масштабов для двух уровней даны и дальше — на рисунках 286 (259); 616; 617(563).
При изучении в XIX главе перспективных изображений плоскостей будет показано построение перспективных масштабов на наклонных плоскостях (546, рис. 597; 599; 602; 603; 604; 605 и т. д.).
160.	— В обратной перспективе. На картине, на которой мы знаем линию горизонта hh' и перспективный масштаб, нужно определить размеры параллельных картине (вертикальных, горизонтальных и наклонных) ребер изображенных на картине предметов.
Чтобы определить длину параллельной картине прямой, лежащей во фронтальной плоскости, нам придется, как и в прямой перспективе, пользоваться следом последней на предметной плоскости. Продлив этот след до перспективного масштаба, мы найдем в нем размер перспективного изображения метра и’ его делений для данной плоскости. Ими мы измерим длину заданной прямой.
Так, на рисунке 216 след ат пересечения фронтальной плоскости (в которой заключен далеко стоящий вертикальный столб ab, видимый через открытую дверь) с предметной плоскостью, продолженной до перспективного масштаба, дает нам в точке т размер перспективного изображения метра, которым мы и определим высоту столба ab, равную 4,50 м.
След cd фронтальной стены, расположенной в глубине комнаты, при продлении дает в точке п перспективное изображение метра, с помощью которого мы определим
189
Рис. 216 (160; 161)	Рис. 217 (162)
длину всех параллельных картине прямых, лежащих в данной фронтальной плоскости: высоту двери — 2,50 м, ее ширину—1,20 м, высоту и ширину рамы соответственно — 1,05 м и 1,50 м и высоту наклонно стоящего картона ef, равную 2,00 м.
След gr на предметной плоскости от пересечения ее фронтальной плоскостью (в которой находится вертикаль gif) при его продолжении дает в точке г размер перспективного изображения единицы измерения (метра) для прямых, лежащих в данной фронтальной плоскости. Таким образом мы узнаем, что вертикальные стороны ij измеряемой нами рамы имеют 0,70 м.
След фронтальной плоскости, в которую заключена стоящая посреди комнаты человеческая фигура, дает в точке s единицу измерения, с помощью которой мы определяем высоту этой фигуры—1,70 м.
161.	— Для параллельных картине прямых, лежащих на более низком уровне, чем предметная плоскость, мы можем построить, как указывалось выше, второй перспективный масштаб в правой части картины, чтобы определить единицей измерения, соответствующей точке L, высоту вертикали АВ (1,75 м) и единицей измерения, соответствующей точке N, длину параллельной картине горизонтали CD (1,50 м).
В основу построения масштаба- положена величина t = ('. Вертикаль от (высота четырех ступеней на рисунке), измеренная перспективным изображением метра, соответствующим точке t', дает разницу в 0,60 м между этими двумя уровнями.
Однако мы можем добиться тех же результатов и без построения второго перспективного масштаба.
Для этого перенесем с помощью сходящихся в главной точке Р линий вертикаль АВ и параллельную картине горизонталь CD во фронтальную плоскость, след которой на предметной плоскости обозначен буквами it'. Затем, вместо того чтобы измерять линии АВ и АС, измерим соответствующие им по длине в пространстве линии EF и GH (или G'H'), пользуясь для этого единицей измерения, соответствующей точке /.
Если чертеж исполнен точно, результат будет тот же, что и в предыдущем случае.
162.	— На практике, особено в набросках, где не требуется абсолютной точности, можно определить и в прямой, и в обратной перспективе длину параллельных картине
190
вертикальных, горизонтальных и наклонных прямых без построения перспективного масштаба картины, пользуясь единицей измерения, которую мы найдем для любой из плоскостей картины методом, указанным в параграфах 147—152.
Зная высоту, на которой находится уровень глаз рисующего относительно предметной плоскости (эту высоту можно определить в любой параллельной картине плоскости), мы заключаем, что все вертикали (ab, cd, ef, gj и т.д.), находящиеся между линией горизонта и предметной плоскостью, имеют одинаковую высоту (рис. 217). Сравнением с этой постоянной величиной художник может определить на глаз размер перспективного изображения единицы измерения в любой точке предметной плоскости и измерить, пользуясь для этого полоской бумаги или циркулем, длину любой параллельной картине прямой в любой фронтальной плоскости картины.
Предположим, что глаза рисующего на рисунке 217 находятся на высоте 1,50 .и над предметной плоскостью. Отсюда следует, что перспективное изображение метра равно двум третям любой вертикали (ab, cd, ef и т. д.), расположенной между линией горизонта и предметной плоскостью. Взяв на глаз две трети какой-нибудь из этих вертикалей, мы будем пользоваться ею для определения или нахождения длины следующих параллельных картине прямых: параллельных картине горизонталей gg' аа', и'. Первая из них имеет 3 м, вторая — более 5 .и, а третья— 12 л/. Параллельная картине наклонная прямая ef имеет больше 3 м, а вертикаль cd' — 8 .и.
Если входящие в композицию предметы расположены на пересеченной местности, практически мы будем пользоваться графическими построениями, основанными па законе перспективного уменьшения (307—325).
ИЗМЕРЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ К КАРТИНЕ ПРЯМЫХ (ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ)
163.	— Как было указано в параграфе 103, перпендикулярные к картине прямые подвержены перспективным искажениям. Поэтому их нельзя измерять с помощью перспективного масштаба картины, который служит только для определения перспективных уменьшений и которым можно измерять, только параллельные картине прямые.
Чтобы измерить с помощью перспективного масштаба перпендикулярную картине прямую, мы должны уметь построить перспективу параллельной картине горизонтальной прямой, которая имела бы ту же длину, что и перспектива перпендикулярной картине прямой. И тогда, вместо того чтобы измерять длину прямой, перпендикулярной к картине, мы измерим перспективным масштабом длину прямой, параллельной картине, так как обе эти величины одинаковы.
Эта операция производится с помощью точек отдаления, с помощью которых мы можем строить равнобедренные прямоугольные треугольники с равными катетами. В таких треугольниках один из катетов представляет собой заданную перпендикулярную картине прямую, а второй — параллельную картине горизонтальную прямую, которую мы и измерим перспективным масштабом картины вместо заданной прямой.
При таких построениях мы должны помнить, что точки отдаления являются одновременно с этим и точками схода горизонтальных прямых, которые в пространстве обра-
191
зуют с картинной и нейтральной плоскостями раскрывающиеся вправо или влево углы в 45° (118).
164.	— В обратной перспективе. Зададимся перпендикулярной к картине прямой АВ (рис. 218, а). На этой картине нам известна точка отдаления (мы знаем, что, для того чтобы изображаемые на картине предметы находились в поле наилучшего зрения, расстояние PD должно быть не меньше PH X 2).
Проведем через точку Л параллельную картине горизонталь неопределенной длины, идущую под прямым углом к перенди-кулярной картине прямой АВ.
Проведем через точку В той же прямой прямую, идущую в точку отдаления D. Продолжим эту прямую в обратном напра-
Рис. 218 (164; 165; 166)	лепии до пересечения ее в точке
С с параллельной картине горизонталью, проведенной через точку А. Найденная прямая DBC является перспективным изображением прямой, образующей в пространстве с картинной плоскостью угол в 45° и, следовательно, образует углы в 45°: в точке С—с проведенной через точку А фронтальной прямой и в точке В—с заданной перпендикулярной прямой.
Полученный этим путем треугольник АВС— прямоугольный (угол BA С прямой) и равнобедренный, потому что его углы ЛВС и АСВ равны между собой, каждый по 45°.
Отсюда следует, что и катеты АВ и АС равны между собой, и поэтому, вместо того чтобы измерять в перспективном масштабе картины перспективу перпендикулярной к картине прямой АВ, мы получим ее длину, измерив горизонтальный и параллельный картине катет АС. Продолжив его, мы найдем единицу измерения тп. На рисунке 218, а перпендикулярная к картине прямая АВ имеет 3,20 м.
165.	— Примечание. Тот же результат получается при построении параллельного картине катета в противоположном конце заданной перпендикулярной картине прямой АВ в точке В (рис. 218, б). Прямой угол полученного таким образом треугольника АВС — это угол В, а углы Л и С имеют каждый по 45°. Если чертеж исполнен точно, горизонтальный параллельный картине катет АВ, измеренный единицей измерения тп, должен иметь 3,20 м.
166.	— Примечание. Такой же результат мы получим, пользуясь второй точкой отдаления D', в какой бы конечной точке перпендикулярной к картине прямой АВ мы ни
192
построили параллельный картине катет: в более близкой — А или более отдаленной— В (рис. 218, в и г).
Операция производится с точкой отдаления, дающей наиболее четкие пересечения при любом положении на картине перпендикулярной к ней прямой. В нашем примере наиболее четкие пересечения (под менее острым углом) получены с точкой отдаления D' (рис. 218, в и г).
167.	— В прямой перспективе. Если нам надо на перспективном изображении какой-нибудь перпендикулярной к картине прямой АР неопределенной длины (рис. 219, а, б) отложить от точки А заданный отрезок, такая задача решается тоже с помощью точки отдаления. Для этого сперва мы откладываем в перспективном масштабе картины на проведенной через точку А параллельной картине горизонтали заданное расстояние и лишь после этого, построив с помощью точки отдаления прямоугольный равнобедренный треугольник, отложим на перпендикулярной картине прямой нужный отрезок.
Так, на рисунке 219 (а и б) прямая АР— это перпендикулярная к картине прямая, на которой мы хотим отложить от точки А вглубь какой-то отрезок длиной примерно 2,30 м.
Проведем через точку А параллельную картине горизонталь, на которой мы найдем отрезок тп — размер перспективного изображения единицы измерения с ее делениями. Отложим полоской бумаги или циркулем вправо или влево от точки А (в зависимости оттого, в каком направлении мы получим более четкие пересечения) на параллельной картине горизонтали отрезок,равный 2,ЗО.и.Откладывая отрезок АС влево (рис.219,о),мы будем пользоваться точкой отдаления D’, через которую можно провести прямые, образующие с картиной угол в 45°, обращенный вершиной влево. Если мы отложим то же расстояние АС (рис. 219, б) вправо, мы должны пользоваться точкой отдаления D, с помощью которой можно провести прямую, образующую с картиной угол в 45°, обращенный вершиной вправо. Благодаря положению, которое занимает на картине заданная прямая АВ, пересечения на рисунке 219, а, на котором мы пользуемся правой точкой отдаления (/)'), более отчетливы, чем пересечения на рисунке 219, б.
Соединим точку С с точкой отдаления D. Линия CD является перспективным изображением прямой, образующей в пространстве углы в 45е с картиной, с параллельной карг ине горизонталью (перспективным изображением которой является прямая АС) и с перпендикулярной к картине прямой, перспективным изображением которой является АВ. Треугольник АВС представляет собой перспективное изображение прямоугольного равнобедренного треугольника, в котором АС ~АВ. Линия CD отсекает на заданной перпендикулярной прямой АР отрезок АВ длиной в 2,30 м.
168.	— Таким же образом поступают и в том случае, когда иа перпендикулярной картине прямой надо отложить отрезок начиная от какой-либо точки на этой прямой в направлении рисующего (рис. 219, в и г).
Зададимся на картине, на которой нам известны линия горизонта hh’, главная точка Р, точки отдаления D и D' и перспективный масштаб, перспективным изображением РЕ перпендикулярной к картине прямой, на которой мы хотим отложить в направлении рисующего отрезок длиною в 3,50 м, считая от точки А.
13—1003
193
Проведем через точку А параллельную картине горизонталь неопределенной длины до перспективного масштаба картины. Отложим на этой горизонтали, вправо или влево от точки А, в этом масштабе отрезок АС, равный 3,50 м. Направление АС выбирается с расчетом получить наиболее четкие пересечения: левое (рис. 219, в), если мы считаем более выгодной точку D (тоже левую), или правое, если нам кажется, что лучших пересечений мы добьемся, пользуясь, как в нашем примере, правой точкой отдаления D'.
Продолженная прямая DC (рис. 219, г) определяет на заданной перпендикулярной картине прямой отрезок АВ, имеющий требуемую длину 3,50 м. Тот же результат, но с менее четкими пересечениями, мы получим, пользуясь линией £>'С(рис. 219, г).
169.	— Если на перпендикулярной прямой надо найти два отрезка — один, идущий от заданной на ней точки А в глубь пространства, а другой — в направлении рисующего, эта операция делается в один прием:
отложим на проходящей через точку А параллельной картине горизонтали начиная от точки А в сторону точки отдаления отрезок, идущий в направлении рисующего, и в противоположном направлении от перпендикулярной к картине прямой (т. е. от точки А) — отрезок, идущий вглубь.
Так, на рисунке 219, г, на котором мы пользовались лежащей влево от перпендикуляра точкой отдаления D, был отложен на параллельной картине горизонтали, влево от точки А, отрезок АЕ длиною в 3 м, измеренный единицей тп, чтобы найти на прямой РВ в направлении рисующего длину отрезка АВ, равного 3 м, и в противоположном направлении (т. е. вправо от точки А) на той же горизонтали — отрезок AF длиной в 4 .и, чтобы с помощью его найти длину отрезка АС в 4 л/ в направлении линии горизонта.
194
ИЗМЕРЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ К КАРТИНЕ ПРЯМЫХ С ПОМОЩЬЮ ДРОБНЫХ ТОЧЕК ОТДАЛЕНИЯ (ПРАКТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ)
Показанные выше построения — теоретические, потому что мы пользовались в них точками отдаления D и D', практически неприменимыми. Поэтому для разрешения таких задач нам надо уметь пользоваться доступными дробными точками отдаления D/2, D)4, D/8 и т. д. (77; 78).
170.	— В обратной перспективе. С дробной точкой отдаления D’/2 (рис. 220, а).
Зададимся перпендикулярной к картине прямой Л В на картине с известной нам дробной точкой отдаления D'I2. Если во время построения нам понадобится точка нормального отдаления D', отложим на линии горизонта от точки D'/2 отрезок D'/2D', равный PD'/2. Мы получим расстояние PD’, определяющее положение точки D'.
Выше было указано (164), что линия D'B при ее продолжении отсекает на проведенной через точку А параллельной картине горизонтали отрезок АС, равный АВ, г. на рисунке треугольники D'PB и АВС подобны.
Если в этих двух подобных треугольниках мы проведем через точку D’/2 (которая делит на две равные части сторону D'P треугольника D'PB) медиану D'/ 2 ВС,она разделит на две равные части и сторону АС треугольника АВС. Мы получили Л С' — С'С.
Итак, пользуясь дробной точкой отдаления D’/2, мы найдем на проведенной через точку Л параллельной картине горизонтали отрезок АС, равный половине длины заданной перпендикулярной к картине прямой АВ.
Если, измерив в перспективном масштабе картины единицей измерения тп длину параллельной картине горизонтали АС', мы увидим, что ее длина равна 1,60 м, то, чтобы найти действительную длину перпендикулярной к картине прямой А В, умножим эту длину 1,60 м на 2 (1,60x2 =3,20).
171.	— С дробной точкой отдаления D/4 (рис. 220, б).
Зададимся перпендикулярной к картине прямой Л В на картине, на которой нам известна дробная точка отдаления D')4. Нормальное отдаление точки D' мы получим, отложив на линии горизонта от точки Р четыре длины PD'/4.
В подобных треугольниках D’PB .и АВС прямая D’I4BC', определяющая на стороне PD' треугольника D'PB четвертую часть этой стороны, делит на те же пропорциональные части и сторону АС треугольника АВС.
Измерив в соответствующем перспективном масштабе единицей измерения тп длину отразка АС и определив, что длина его равна примерно 0,80 м, умножим эту длину на четыре (0,80 х 4 = 3,20). Это и будет действительная длина 3,20 м перпендикулярной к картине прямой АВ.
Y12. — С дробной точкой отдаления D'I8.
На рисунке 220, в видно, что если мы пользуемся дробной точкой отдаления Z>78> то отрезок АС, измеренный в перспективном масштабе единицей тп, будет равен одной восьмой длины заданной перпендикулярной к картине прямой АВ. Чтобы узнать истинную длину прямой АВ, надо умножить на восемь длину 0,40 м отрезка ЛС'(0,40х8 =3,20); мы получим 3,20 м — длину заданной прямой АВ.
195
Рис. 220 (170; 171; 172)
что, продолжив линию D'I4C или линию D’<4F,
173.	— Как при нормальных точках отдаления, так и при дробных точках отдаления, мы выбираем ту из них (правую или левую), которая, по нашему мнению, даст наиболее четкие пересечения. Результаты будут теми же, проведем ли мы параллельную картине горизонталь через более близкий конец перпендикулярной к картине прямой, которую мы хотим измерить, или через более удаленный.
Проведя параллельную картине горизонталь через более удаленный от рисующего конец заданной перпендикулярной к картине прямой, мы получаем возможность измерять на ней большие расстояния, чем при пользовании горизонталью, проведенной через более близкий к нему конец этой же прямой. Так. на рисунке 221 видно, что с помощью параллельной картине горизонтали, проведенной через более близкий конец А перпендикулярной к картине прямой АР, мы можем измерить на ней длину, равную всего лишь 12 л (3X4 =12). Продолжая пользоваться той же горизонталью, мы не можем измерить на той же прямой такие расстояния, как, например, АС или AF, потому ы увидим, что ни одна из них
не пересекает эту горизонталь в пределах картины. Зато с помощью горизонталей, проведенных через точки С или F, и линии D'/4A, мы найдем, что в первом случае отрезок СЕ (измеренный в перспективном масштабе картины единицей гз) равен 6 м и, следовательно, длина прямой АС равна 24 м (6X4 = 24), а во втором случае отрезок FG (измеренный в том же перспективном масштабе единицей tu) равен 14 .и и, следовательно, прямая AF равна 56 м (14 X 4 =56).
196
174.	— Желательно, чтобы, выработав в себе привычку чувствовать постоянную и живую связь между перспективным изображением предметов на картине и реальной их формой в пространстве, художник мог с первого же взгляда определить направление в пространстве любой горизонтали случайного положения, перспективу которой он нарисовал по памяти на своей картине. На этом пути наиболее надежными вехами являются дробные точки отдаления (рис. 222).
а)	В какой бы точке на картине ни начиналась перспектива какой-нибудь горизонтали общего положения, направляющейся к дробной точке отдаления Dj2 или D'/2, она идет в простра
Рис. 222 (174)
нстве по диагонали фронтально расположенного прямоугольника с соотношением сторон 1 : 2, диагональ которого образует с картинной и нейтральной плоскостями угол примерно в 63°.
б)	Перспективы любых параллельных картине горизонталей, идущих к дробным точкам отдаления D/4 или D'/4, представляют собой прямые, которые идут в пространстве по диагонали фронтального прямоугольника с отношением сторон 1 : 4 и образуют с картинной или нейтральной плоскостями угол примерно в 76°.
в)	Перспектива любой горизонтали общего положения, направляющаяся к 'дробной точке отдаления Dj8 или D'j8, является перспективой горизонтальной прямой, которая в пространстве идет по диагонали фронтального прямоугольника с отношением сторон 1 : 8 и образует с картинной плоскостью угол примерно в 83°.
Позже мы возвратимся к этому вопросу и дадим указания, как легче определить направление любой расположенной в пространстве горизонтали общего положения, перспектива которой построена на картине по памяти в направлении, не совпадающем с направлением этой прямой в пространстве (287).
175.	— В прямой перспективе. Для того чтобы на картине, на которой нам известны линия горизонта, главная точка, дробные точки отдаления и перспективный масштаб картины, измерить отрезок заданной длины на перспективе любой прямой, перпендикулярной к картине, надо поступать так же, как и при пользовании точками нормального отдаления (167-—169), но откладывать на вспомогательной прямой не
197
Рис. 2232(175)
целые* расстояния, а расстояния, уменьшенные в два, четыре восемь и т. д. раз, в зависимости от того, какой точкой мы пользуемся (D/2, D[4, D/8 и т. д.).
а)	Если на перспективе перпендикулярной к картине прямой надо отложить заданный отрезок, идущий в глубину пространства, то, чтобы получить четкие пересечения, его откладывают на параллельной картине горизонтали вправо, когда заданная перпендикулярная к картине прямая наклонена вправо (рис. 223, а), и влево, когда она наклонена влево (рис. 223, б).
В первом случае измерение производится из дробной точки отдаления, лежащей влево от главной точки Р (рис. 223, а), а во втором случае — вправо от нее (рис. 223, б).
б)	Если заданное расстояние надо отложить на прямой, перпендикулярной к картине, в направлении рисующего, то, чтобы получить более четкие пересечения, измерение
на параллельной картине горизонтали производится влево, если перпендикулярная к картине прямая наклонена вправо (рис. 223, в), и вправо, если эта прямая наклонена
влево (рис. 223, г).
В первом случае измерения производятся от дробной точки отдаления, лежащей влево от главной точки Р (рис. 223, в), а во втором — вправо от нее (223, г).
В приведенных примерах (рис. 223, а, б, в, г), для того чтобы пользоваться дробной точкой отдаления D/4, длина 2,50 м, откладываемая на параллельной картине горизонтали, равна четверти заданных 10 .и.
На рисунке 223, д на перпендикулярной картине прямой отложен от точки А
отрезок в 6 м в направлении рисующего и отрезок в 12 ,и в направлении линии горизонта. Ввиду того, что перпендикулярная прямая наклонена на рисунке влево, на горизонтали, проведенной через точку А, расстояние в 1,50 .и (четверть 6 .и) было отложено вправо, а расстояние в 3 м (четверть 12 л*) — влево, и была использована дробная точка D'l4, лежащая вправо от главной точки.
На рисунке 223, е те же расстояния отложены на перпендикулярной картине пря
мой, наклонной вправо.
198
176.	— Примечание. В тех случаях, когда расстояние, откладываемое на перпендикулярной к картине прямой так велико, что при измерении его на параллельной картине вспомогательной горизонтали оно выходит за пределы картины, для решения таких задач существует несколько способов.
а)	Можно пользоваться дробной точкой отдаления с еще большим деятелем. Так, из рисунка 224 видино, что, пользуясь дробной точкой D'/4, мы можем на заданной перпендикулярной картине прямой АР отложить от точки А до точки В расстояние, соответствующее всего лишь 16 м (4 X 4 = 16). Взяв па половине расстояния между главной точкой Р и дробной точкой Z>'/4 новую дробную точку D'/8, мы получаем возможность отложить на той же перпендикулярной картине прямой от точки А до точки С расстояние, равное 32 м (4x8= 32). Пользуясь дробной точкой D'/16, можно откладывать еще большие расстояния — до 64 м и т. д.
б)	В первом этапе работы мы довольствуемся измерением половины, четверти и т. д. нужного расстояния. В дальнейшем (382—385) будет показано, как с помощью упрощенных перспективных приемов можно увеличить вдвое, вчетверо и т. д. эти полученные в первом этапе расстояния.
Рис. 225 (457). Рафаэль Санти. Благовещение
X. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ФРОНТАЛЬНОГО КВАДРАТА И ФРОНТАЛЬНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА, РАСПОЛОЖЕННЫХ В ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ ПЛОСКОСТИ (ПРАКТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ)
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФРОНТАЛЬНОГО КВАДРАТА В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В ПРЯМОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ
Перспективу квадрата, расположенного в перпендикулярной к картине горизонтальной, вертикальной или наклонной плоскости, легко строить, если его две стороны параллельны к картине, т. е. расположены фронтально. С помощью дробных точек отдаления можно построить простыми построениями, не выходя за пределы картины перспективу горизонтального или наклонного квадрата с двумя фронтальными сторонами перпендикулярного к картине. Так как такие перспективы легко строить, их применяют для множества других перспективных построений; поэтому нам надо научиться легко исполнять их на любом участке картины, на любом уровне и на любом расстоянии.
201
177. — Когда дана перспектива стороны, лежащей ближе к рисующему (рис. 226). о) Зададимся горизонтальным параллельным картине перспективным изображением ab более близкой к рисующему прямой, на которой мы хотим построить перспективное изображение горизонтального квадрата на картине, на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, дробная точка отдаления D/4 и перспективный масштаб, в котором измерена единицей тп сторона ab, равная 2,50 м.
б) Соединив концы а и Ь заданной прямой с главной точкой Р, мы получим перспективу перпендикулярных к картине сторон квадрата, длина которых еще не найдена.
с) Разделим масштабной линейкой линию ab на четыре равные части, придав линейке горизонтальное положение, и, передвигая ее вверх и вниз между линиями аР и ЬР, найдем положение, при котором прочтем на ней число делений, кратное 4, например 2см; отметим на чертеже точки, в которых отрезок делится на четыре равные части, т. е. точки, соответствующие 5 мм. Проведем из точки Р через эти точки прямые и продолжим их до пересечения с заданной прямой ab; мы определим на ней эти деления.
Прямую ab можно также делить и с помощью пропорционального масштаба (370) или полоски бумаги, отметив на полоске длину ab и сложив полоску сначала вдвое, а затем вчетверо.
Конечно, линию ab можно разделить и с помощью масштабной линейки, отметив на ней сначала середину, а затем середину каждой из полученных половин (не прибегая к арифметическом уделению на чсртыре)ит.д.
г и г') Чтобы отложить с помощью дробной точки отдаления D/4 (или ТУ/4) на перпендикулярной к картине прямой аР (или ЬР) отрезок, соответствующий длине параллельной
Рис. 226 (98; 177)
202
картине горизонтали ab, отложим на ней четверть длины этого отрезка справа, если мы пользуемся точкой отдаления D'/4, или слева, если это точка D/4.
Соединив точку 3 с D'/4, мы получим на линии ЬР отрезок Ьс, равный прямой ab. Производить оба построения не надо. Четвертая сторона квадрата — это параллельная картине горизонталь, и поэтому ее можно провести сразу же, найдя одну из ее конечных точек—с или е.
178. — Примечание. Не бесполезно указать возможные ошибки построения, если по невниманию мы соединим с дробными точками отдаления D[4 или D'/4 вместо деления, соответствующего одной из этих точек, какое-нибудь другое деление прямой ab (рис. 227).
а)	Если, вместо того чтобы соединить с дробной точкой D/4 деление, соответствующее четверти длины линии ab, т. е. точку 3, мы соединим точку 2, соответствующую половине длины этой линии, мы получим отрезок Ьс, равный длине двух квадратов
[у X 4 = 2аб).
Полученная фигура abed — это перспектива не квадрата, а прямоугольника, глубина которого вдвое больше его ширины.
б)	Если вместо точки 3 соединена с точкой D’[4 точка 1, соответствующая трем четвертям прямой ab, мы получаем отрезок Ьс, равный по длине трем квадратам X 4— ЗаЬ ]. Фигура abed—это
Рис. 227 (178)
Рис. 228 (178)
не перспектива квадрата, а прямоугольника, глубина которого втрое больше его ширины.
в)	Наконец, если, позабыв, что мы пользуемся дробной точкой D’[4, мы не разделим линию ab на четыре равные части, а возьмем целую ее длину и соединим точку а с D’/4, мы получим отрезок, равный по длине четырем квадратам. В этом случае фигура abed будет перспективой не квадрата, а прямоугольника с отношением сторон 1 : 4.
203
Рис. 229 (179)
Все эти замечания нужно помнить при рисовании горизонтальных, фронтально расположенных прямоугольников с несложными пропорциями, в которых параллельная картине сторона равна половине, трети или четверти их стороны, перпендикулярной к картине.
Если для построения перспективы горизонтального, фронтально расположенного квадрата нам дана на картине какая-нибудь другая дробная точка отдаления, например точка D/2 (рис. 228, о), то, как было указано в параграфе 175, линию ab надо делить на две равные части.
И если, наконец, мы пользуемся дробной точкой отдаления D<8 (рис. 228, б), линию ab надо делить на восемь частей и т. д.
179.—Когда дана перспектива более удаленной от рисующего стороны квадрата(рис.229).
а) Зададимся перспективой (т. е. фронтально расположенной горизонталью) прямой ab, на которой мы хотим построить перспективу горизонтального квадрата в \ направлении рисующего, а не в направлении линии горизонта. На картине нам даны линия горизонта ЛЛ', главная точка Р, дробные точки отдаления Df4 и D'!4, перспективный масштаб картины, единицей измерения тп которого была измерена сторона ab, равная хотя бы 2,50 .и.
б) Продолженные в направлении рисующего прямые Ра и РЬ образуют перспективы перпендикулярных к картине сторон квадрата еще не уточненной длины.
Пользуясь одним из указанных выше приемов (177, в), разделим линию на четыре равные части.
в яг) Какую бы из дробных точек отдаления D)4 или D'/4 мы ни соединили линиями (например, DI4 — с точкой 7, или D'/4 — с точкой 3), продолжив эти линии до точек с и е, мы получим правильный результат, но углы
204
при точках пересечения будут слишком острые. На рисунке 230 видно, что если мы продолжим линию ab, отметив на ней от точки а новую точку Г на расстоянии, равном четверти ab (аГ — al), и если мы соединим затем эту точку с соответствующей дробной точкой отдаления, мы найдем точку С с более четким пересечением. Тот же результат дает соединение точки D'/4 с точкой 3': отрезок be будет вчетверо длиннее отрезка ЬЗ', т. е. будет равен заданной линии ab. Четвертая сторона квадрата получается при проведении гори
зонтали через точку с или точку а (рис. 229 и 230).
180. — Примечание. Ошибки, допускаемые в результате неправильного соединения по невниманию дробных точек отдаления с соответствующими делениями линии ab — это те же ошибки, о которых говорилось выше (178). Они возможны и в данном случае. Их, однако, легко избегнуть, если мы не будем производить построения механически, полагаясь на память, а постараемся представить себе весь ход построения в пространстве. Для этого рядом с каждым перспективным изображением квадрата нам дана его ортогональная проекция. Художник получает возможность непрерывно и последовательно сравнивать
неискаженную фигуру с ее измененным в результате
перспективных уменьшений и искажений изображением на картине.
И в данном примере, как и в предыдущих, линию ab надо делить на две равные части, если мы пользуемся дробной точкой отдаления £>/2 (рис. 231, а), и на восемь равных частей, если мы пользуемся точкой D18 (рис. 231, б).
205
181. — Когда дана перспектива одной из перпендикулярных к картине сторон квадрапга(рис.232).
а)	Пусть прямая ab будет перспективой одной из перпендикулярных к картине сторон квадрата, на которой мы хотим построить перспективу горизонтального, фронтально расположенного квадрата. На картине нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, дробные точки отдаления (D/4 и D'/4~) и перспективный масштаб картины. Проведем через концы а и b заданной прямой две параллельные картине горизонтали — перспективные изображения сторон квадрата, длина которых еще не найдена.
б)	Соединяя дробную точку отдаления D/4 или D’/4 (та или другая точка выбирается в зависимости от положения на картине заданной перпендикулярной к кар
тине прямой и от возможности получить наиболее четкие пересечения) с точкой b и продолжив полученную линию до пересечения ее в точке / с горизонталью, проходящей через точку а, мы получим вправо или влево от этой точки отрезок al, равный четверти длины заданной стороны квадрата.
в)	Отложив на этой горизонтали вправо или влево от точки а (по нашему выбору) четыре отрезка al, мы найдем длину параллельной картине, более близкой к рисующему, стороны строящегося квадрата.
182.	— Когда дана перспектива точки пересечения диагоналей квадрата (рис. 233).
Если художшшу нужно по заданному центру построить перспективу круга (256, в, рис. 284; 481, рис. 537; 513, рис. 573; 579, рис. 636), то предварительно он должен построить квадрат, в который будет вписан этот круг.
Пусть точка с будет перспективой точки пересечения диагоналей квадрата со сторонами, равными каждая 2,80 м. Этот квадрат мы хотим построить на картине, где нам известна линия горизонта hh', главная точка Р, дробные точки отдаления D/4 и D'/4 и перспективный масштаб картины.
а)	Проведем через заданную точку с две вспомогательные прямые: одну к точке Р— перпендикулярно к картине, и вторую — горизонтальную, на которой отложим в заданном перспективном масштабе единицей измерения тп по одну и по другую сторону точки с
206
отрезки ас и cb длиной каждый 1,40 м (половина заданной длины 2,80 м стороны квадрата).
б)	Для того чтобы отложить с помощью точки вчетверо уменьшенного отдаления ту же длину на перпендикулярной к картине прямой от точки с в направлении рисующего и от этой же точки в направлении линии горизонта, разделим линии ас и cb на четыре равные части. Соединив точки 1 и Г с одной из дробных точек отдаления (с той, которая дает наиболее четкие пересечения, в нашем примере — £>/4),мы получим два отрезка — се и с/, которые в четыре раза больше, чем отрезки cl и сГ, т. е. равны ас и cb, откуда выводим: ef = ab =2,80 .«.
в)	Две проведенные через
точки е nf горизонтали и две перпендикулярные к картине прямые, проведенные через точки а и Ь, пересекаясь, образуют перспективное изображение glij нужного квадрата. Если чертеж исполнен точно, перспективы диагоналей И и gj квадрата glij должны пересечься в точке с.
183.	— Перспектива нескольких квадратов различной величины, расположенных на одних и тех же диагоналях, строится следующим способом (200, 234).
а)	Построив перспективу квадрата abce со стороной, равной, предположим, 2,50 м, измеренной в перспективном масштабе картины единицей измерения тп, проведем его диагонали ае и cb. Проведем через точку f пересечения диагоналей перпендикулярную к картине прямую, которая в точке g разделит сторону ab квадрата на две равные части.
б)	Отложим в перспективном масштабе картины вправо и влево от точки g изме
ренную единицей измерения тп половину длины остальных (постепенно уменьшающихся) квадратов, например 0,80 м для перспективы квадрата со стороной, равной 1,60 м, и 0,40 .и для перспективы квадрата со стороной, равной 0,80 .и.
в)	Пересечения диагоналей перспективного изображения квадрата abce с перпендикулярными
Рис. 234 (183)
207
к картине прямыми, проведенными через точки, отложенные на линии ah, дают точки, через которые проводятся параллельные картине горизонтали oi и j'k, завершающие перспективу квадрата оук со сторонами, равными 1,60 м, и точки, через которые проведены параллельные картине горизонтали 1г и st, завершающие перспективу самого маленького квадрата Irst со сторонами, равными 0,80 м.
184.	— Практические применения. Демонстрированные выше построения (177—183) исполняются одинаково при любом уровне ниже или выше линии горизонта перпендикулярной к картине горизонтальной плоскости, заключающей квадрат, перспективу которого нам надо построить.
На рисунке 235 ниже линии горизонта изображены следующие предметы:
а)	на уровне предметной плоскости (на земле) — перспектива квадратного ковра, построенная с помощью точки D'/4 на стороне (измеренной единицей измерения п), лежащей ближе к рисующему;
б)	на том же уровне дана перспектива другого квадратного ковра, построенная с помощью точки D'/4 на удаленной от рисующего стороне (измеренной единицей измерения • у);
в)	на 15 см выше уровня предметной плоскости дана перспектива квадратной ступени, построенная с помощью точки D’I4 на перпендикулярной к картине стороне с правой стороны рисунка (измеренной единицей измерения г);
г)	на 45 см выше предметной плоскости дана перспектива квадратного стула, построенная с помощью точки D/4 на ближе лежащей к рисующему стороне (измеренной единицей измерения т);
д)	на 80 см выше предметной плоскости дана перспектива квадратного стола, построенная с помощью точки D/4 тоже на лежащей ближе к рисующему стороне (измеренной единицей измерения и).
Выше линии горизонта (т. е. выше главной горизонтальной плоскости зрения): ,е) на 1,80 м дана перспектива квадратной полки, построенная с помощью точки Df4 на левой перпендикулярной к картине стороне (измеренной единицей измерения s);
ж)	на том же уровне — перспектива квадратной полки в углу, построенная с помощью точки D'/4 на более удаленной от рисующего стороне (измеренной единицей измерения v );
з)	на 2,80 м над предметной плоскостью (уровнем земли) — перспектива квадратного пот олка прихожей, построенная с помощью точки D'/4 на более близкой к рисующему стороне (измеренной единицей измерения у);
и)	на 3,50 .и—перспектива квадратного потолочного софита, построенная с помощью точки D'/4 на удаленной от рисующего стороне (измеренной единицей измереания у);
kJ на 2,90 м — перспектива подвешенного к потолку квадратного абажура, построенная с помощью точки D/4 по его центральной точке (перспектива абажура измерялась единицей измерения t).
Рисующий смотрит на квадраты a, b, с, d, е, расположенные в пространстве ниже линии горизонта, сверху, а на квадраты /, g, Л, /, j, расположенные в пространстве выше линии горизонта (выше главной горизонтальной плоскости зрения), снизу.
208
ПЕРСПЕКТИВА ФРОНТАЛЬНОГО КВАДРАТА, РАСПОЛОЖЕННОГО В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ (В ОБРАТНОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ)
185.	— В теории перспектива любого четырехугольника, у которой две стороны горизонтальные и две сходятся в точке Р, может быть перспективным изображением расположенного в пространстве квадрата, если глаз рисующего, рассматривающего это изображение, находится против главной точки Р (т. е. на проведенном из этой точки перпендикуляре), на расстоянии, равном расстоянию между главной точкой Р и точками схода D или D' диагоналей этого квадрата. Так, на рисунке 236 четырехугольник abed будет казаться нам перспективным изображением квадрата, если мы можем приблизить глаз к точке Р на расстояние 2 см, т. е. на расстояние между точками Р и точками D или D'. Это расстояние слишком коротко для нормального человеческого зрения, потому что для размещения картины в поле отчетливого зрения надо смотреть на. нее с расстояния, равного по меньшей мере диаметру (двум радиусам) окружности, в которую
Рис. 235 (184)
209
Рис. 238 (186)	Рис. 239 (186)	Рис. 240 (186)
можно вписать картину. В нашем примере на картину нужно смотреть на не расстоянии 2 см, а по меньшей мере на расстоянии 6 см (т. е. на удовоенном расстоянии Рт).
Но на этом расстоянии четырехугольник abed перестает быть перспективой квадрата, а становится перспективой прямоугольника, повернутого к рисующему более короткой стороной. Если мы отложим это расстояние от точки Р на линии горизонта, то получим точку отдаления D (рис. 237). Перспективу квадрата построим, проведя одну’из'диаго-налей опять же в точку D, являющуюся в то же время и точкой схода для перспективы прямых, образующих в пространстве с картиной угол в 45°. Следовательно, для размеров данной картины перспективой квадрата, соответствующей нормальному человеческому зрению, будет abe'd', а не abed.
Поэтому в обратной перспективе рисующий, набросав по памяти или вообразив перспективу горизонтального, параллельного картине квадрата, должен будет проверить указанным ниже способом, соответствует ли это изображение главному расстоянию данной картины.
186.	— Пусть на рисунках 238—240 фигура abed будет построенной по памяти перспективой горизонтального, параллельного картине квадрата на картине, на которой нам дана линия горизонта hh', главная точка Р и дробные точки отдаления D/4 и D'/4.
Разделив сторону ab на четыре равные части и соединив конечную точку третьего деления с дробной точкой отдаления D']4 (рис. 238), мы сразу же увидим, что, если бы четырехугольник abed был перспективой квадрата, его перпендикулярной картине стороной была бы bd', а не bd. Перспектива abed — это перспектива прямоугольника с более короткой стороной ab.
Если нам неудобно уменьшать картину (136, а), то, для того чтобы придать прямоугольнику форму квадрата, существует два способа:
а)	Через точку d' (рис. 239) проводится горизонталь d'e', которая превращает имеющуюся па рисунке перспективу прямоугольника в перспективу квадрата. Длина стороны ab, которую художник вообразил или нарисовал по памяти, остается неизменной.
210
б)	На рисунке 240 из точки D'/4 проведена через точку d прямая, образующая при се продолжении отрезок, длина которого от точки b до конечной точки I первого деления в четыре раза меньше длины стороны bd. Отложив на горизонтали, проведенной из точки Ь, четыре таких отрезка, мы определим длину фронтальной стороны квадрата (а'й), равной перпендикулярной к картине стороне bd. Вместо перспективы прямоугольника abed мы получим перспективу квадрата a'bc'd, в которой соблюдена длина стороны bd, которую художник вообразил или нарисовал по памяти.
Художник выберет одно из этих решений в соответствии со своим композиционным замыслом. В то же время он проверит по перспективному масштабу картины, насколько размер стороны ab (рис. 239) или стороны а'Ь (рис. 240) приближается к реальному или допустимому размеру изображаемого предмета. Вообще же, если после проверки окажется, что полученная перспектива пеудовлетворительна, художник может с помощью перспективного масштаба и точки уменьшенного отдаления построить другую, более подходящую для своей композиции перспективу квадрата ( 504, а, б; рис. 564).
ПЕРСПЕКТИВА ФРОНТАЛЬНОГО КВАДРАТА, РАСПОЛОЖЕННОГО
В ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
187.	— Пусть abed в левой стороне рисунка 241 будет перспективой перпендикулярной к картине плоскости, на которой мы хотим построить на более близкой к рисующему вертикальной стороне ef перспективу вертикального, фронтально расположенного квадрата. На картине нам даны линия горизонта hh', т. е. линия пересечения картины главной горизонтальной плоскостью зрения, вертикаль W — линия пересечения картины главной вертикальной плоскостью зрения и дробные точки отдаления (Z>/4 или D'/4).
Проведя перпендикулярные к картине прямые еР и fP, мы получим перспективу перпендикулярных еще не уточненной длины сторон строящегося квадрата.
Но прежде чем продолжать построение, стала горизонталью, а линия горизонта на линии VV, которая стала горизонтом, точки D/4 и D’/4.
В этом положении задача перестает быть для нас новой: мы знаем, как строится перспектива горизонтального, фронтально расположенного квадрата, когда нам дана более близкая сторона (177).
Разделив эту сторону на четыре равные части и соединив точку 1 первого отрезка с точкой D’I4, мы найдем сторону eg в четыре раза длиннее взятого нами отрезка, т. е. равную ef, а проведя через точку g прямую, параллельную стороне ef, получим перспективу efgo требуемого квадрата.
повернем картину так, чтобы вертикаль VV hh' — вертикалью, и отложим циркулем
Рис. 241 (187; 190)
211
Рис. 242 (188)
Таким образом, все вышеуказанные объяснения и построения для определения перспективы горизонтального, фронтально расположенного квадрата относятся в равной мере и к построению перспективы вертикального, фронтально расположенного квадрата при условии, чтобы вертикаль W была принята за линию горизонта, а вертикальная плоскость, в которой мы хотим построить квадрат — за перпендикулярную к картине горизонтальную плоскость. Дробные точки отдаления откладываются на линии W циркулем или полоской бумаги на равных расстояниях по одну и другую стороны точки Р.
188.	— В прямой перспективе. Фронтальные квадраты в перпендикулярных к картине вертикальных плоскостях, приведенные па рисунке 242, иллюстрируют следующие случаи:
а) квадраты панели левой стены, б) квадратная стена с проемом в глубине комнаты и в) квадратный проем посредине правой стены построены на ближе лежащих к рисующему вертикалях с помощью точки D'[4', г) квадратная картина, д) стенной ковер с несколькими квадратами на первой стене, е) квадраты панели правой стены и ж) квадратная стена лестницы построены на сторонах, удаленных от рисующего, первые два — с
212
Рис. 243 (190; 191)
помощью точки D/4, а остальные — с помощью точки D’I4 (179); з) боковая квадратная сторона шкафа построена на перпендикулярной к картине стороне, лежащей в предметной плоскости с помощью точки D'/4 (181); и) квадрат на левой стене построен по его центральной точке (182).
189.	— Иногда бывает удобнее построить перспективу вертикального, фронтально расположенного квадрата, пользуясь дробными точками отдаления на линии горизонта без их перемещения на прямую W (как предлагалось в параграфе 187).
Такие задачи нам знакомы: перенесем с помощью дробных точек отдаления на перпендикулярные к картине прямые размеры квадрата на вертикалях.
190.	— На стороне, более близкой к рисующему, а) Зададимся лежащей справа на рисунках 241 и 243 перспективой ближайшей к рисующему стороны ab, на которой мы хотим построить вертикальный, фронтально расположенный квадрат. На картине нам известны линия горизонта hh’, главная точка Р, дробные точки отдаления D[4 и D'I4 и перспективный масштаб картины, в котором мы измерили единицей измерения тп длину, например 2,50 м, стороны ab. Разделим сторону ab на четыре равные части и проведем через ее концы а и b линии аР и ЬР — перспективные изображения перпендикулярных к картине сторон квадрата еще не уточненной длины.
б)	Проведем через более удаленную от линии горизонта конечную точку заданной прямой — в данном примере через точку b — горизонталь и отложим на ней отрезок ЬЗ', равный четверти вертикали ab.
в)	Соединив точку 3' с точкой D'/4, мы получим отрезок Ьс, который в четыре раза длиннее отрезка ЬЗ', отложенного на проведенной из точки Ь горизонтали, и, следовательно, равен заданной стороне квадрата. Построение перспективы abed искомого квадрата заканчивается проведением из точки с вертикали cd.
213
Рис. 244 (192)	Рис. 245 (192)
Рис. 246 (192)
191.	— На стороне, более удаленной от рисующего. На левой стене (на том же рисунке 243) способом, примененным в предыдущем примере, построен квадрат на более удаленной от рисующего стороне ef, длина которой 2,50 м была измерена в перспективном масштабе картины единицей измерения rs.
На проведенной из точки е горизонтали отложен отрезок еЗ', равный четверти длины заданной прямой ef. Для построения пользовались дробной точкой отдаления D/4, чтобы получить на про
долженной прямой еР ближе лежащий к рисующему [конец g перпендикулярной к картине стороны eg. Опустив из точки g вертикаль go, мы завершаем перспективу efgo искомого квадрата.
В глубине комнаты, пользуясь теми же дробными точками D]4 и D’/4, построены другие перпендикулярные к картине, фронтально расположенные квадраты, равные по величине квадратам первого плана.
192.	— В обратной перспективе. На рисунках 244—246 показано, как, пользуясь методом обратной перспективы, можно исправить двумя разными способами не соответствующий точке отдаления данной картины (185—186) квадрат, который художник вообразил или построил по памяти.
а)	На рисунке 245 проведена через точку с' вертикаль c'd'', благодаря этому мы получили перспективу квадрата, в котором соблюдена высота стороны ab, которую художник вообразил или нарисовал по памяти.
б)	На рисунке 246 из точки D/4 проведена через точку с прямая, которая отсекает на проведенной из точки а вертикали отрезок al, который в четыре раза короче стороны ас. Отложив на этой вертикали от точки а отрезок, равный четырем отрезкам al, мы получим
214
вертикальную, параллельную картине сторону ab' квадрата, равную перпендикулярной к картине стороне ас. Вместо перспективы прямоугольника abed мы получили квадрат ab'ed', в котором соблюдена произвольно взятая длина стороны ab.
Из этих двух решений нужно выбрать то, при котором длина сторон квадрата, измеренных в перспективном масштабе картины единицей измерения тп (1,25 м на рис. 245 и 2 м на рис. 246), больше приближается к действительным или возможным размерам изображаемого на картине предмета (картины, стенного ковра, зеркала и т. д.).
ПЕРСПЕКТИВА ФРОНТАЛЬНОГО КВАДРАТА, РАСПОЛОЖЕННОГО В ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
193.	— Как для построения перспективы перпендикулярного к картине вертикаль
ного квадрата, так и для построения перспективы перпендикулярного к картине наклонного квадрата можно пользоваться либо дробными точками отдаления на линии гори
зонта, либо перенести их на линию схода и' перпендикулярной к картине наклонной плоскости, в которой должна лежать перспектива строящегося квадрата (рис. 247). Первый способ подходит лучше для построения перспективы квадратов с различными наклонами (рис. 249), так как этим устраняется каждый раз необходимость брать новую линию схода для каждой наклонной плоскости, заключающей каждую новую фигуру.
194.	— В прямой перспективе на стороне, расположенной ближе к рисующему (247). Зададимся более близкой к рисующему стороной ab наклонного квадрата, перспективу которого мы хотим построить на картине, на которой даны линия горизонта hh', главная точка Р, дробные точки отдаления D/4 и D'/4 и перспективный масштаб картины, в котором мы измерили единицей измерения тп длину (1,20 м)
Рис. 247 (193; 194; 195)
Рис. 248 (193; 196)
стороны ab.
215
Проведя перпендикулярные к картинной плоскости прямые аР и ЬР, мы найдем перспективы еще не уточненной длины перпендикулярных сторон строящегося квадрата.
Проведем через точку Р прямую И', параллельную заданной стороне ab. Мы получим линию схода перпендикулярной к картине наклонной плоскости, в которой лежит заданная прямая. Перенесем циркулем или полоской бумаги на линию И', которая будет исполнять в дальнейшем функцию нового горизонта, дробные точки отдаления D/4 и D'/4.
При дальнейшем построении заданного квадрата нужно поступать так же, как мы поступали при построении квадрата, лежащего в горизонтальной плоскости.
Разделим сторону ab на четыре равные части. Соединив конец первой четверти, т. е. точку 1 с точкой D/4 на линии Н', мы получим отрезок ас—перпендикулярную к картине сторону квадрата. Проведем из точки с геометрически параллельную стороне ab прямую cd, которая завершит строящуюся перспективу квадрата.
195.	— На стороне, расположенной дальше от рисующего. На том же рисунке на более далекой от рисующего стороне ef, измеренной в перспективном масштабе картины единицей измерения гз, построен тем же методом, который мы применяли для построения параллельного картине горизонтального квадрата (179), квадрат efgo, при помощи дробной точки отдаления D’[4 на линии схода И'.
196.	— С помощью дробных точек отдаления на линии горизонта. Поступая так же, как при построении вертикального, перпендикулярного к картине фронтального квадрата, мы построили на рисунке 248 перспективы нескольких перпендикулярных к картине наклонных, фронтально расположенных квадратов, пользуясь дробными точками отдаления на линии горизонта.
Трамплин А. Длина расположенной ближе к рисующему стороны аЪ измерена в
216
перспективном масштабе картины единицей измерения t. На горизонтали, проведенной из точки а, отложен отрезок аГ, равный четверти длины стороны ab. Прямая, соединяющая конец Г этого отрезка с точкой D/4 на линии горизонта, отсекает на этой линии отрезок ас, в четыре раза больший, чем отрезок al, равный четверти параллельной картине прямой ab, т. е. сторону строящегося квадрата abed.
Трамплин Б. Длина расположенной дальше от рисующего стороны ef измерена в перспективном масштабе картины единицей измерения х. На проведенной из точки е горизонтали отложен отрезок еТ, равный четверти стороны ef. С помощью этого отрезка и точки отдаления D[4 на линии горизонта найдена сторона ео = ef.
Классная доска В построена на лежащей ближе к рисующему стороне if, измеренной единицей измерения s. Для построения мы пользовались точкой D'/4 и вспомогательной прямой iP, проведенной из точки I.
Классная доска Г построена на стороне рг, лежащей дальше от рисующего, с помощью точки D'I4 на линии горизонта.
197.	— В обратной перспективе. В параграфе 192 было указано, как, пользуясь методом обратной перспективы, проверить построение перспективы перпендикулярного к картине вертикального квадрата. На рисунках 249—251 указано, как с помощью тех же методов исправить нарисованное по памяти или придуманное художником перспективное изображение фронтального квадрата abed, лежащего в перпендикулярной к картине наклонной плоскости, так чтобы это изображение соответствовало расстоянию, на котором надо рассматривать картину. Для этих рисунков пользовались не точками отдаления на линии горизонта, а точками отдаления, перенесенными с помощью полуокружности на линию схода и' наклонной плоскости, в которой расположен квадрат.
На рисунке 249 показано, как мы установили, что нарисованная по памяти (или придуманная) фигура является перспективой прямоугольника. Соединив четвертую часть стороны ab с точкой мы заметили, что эта фигура может быть перспективой квадрата только в том случае, если мы укоротим перпендикулярную к картине сторону до точки d', а не до точки d.
На рисунке 250 показано, как была исправлена эта перспектива без нарушения размера на первоначальном наброске стороны ab и как была найдена ее удаленная сторона c'd'.
На рисунке 251, соблюдая размер перпендикулярной к картине стороны ad, мы нашли с помощью дробной точки отдаления D/4 на стороне ab отрезок al, равный четверти искомой стороны. Отложив на линии ab четыре отрезка al, мы увидели, что для получения параллельной картине стороны квадрата, равной его перпендикулярной стороне, надо продолжить сторону ab до точки Ь’. Правильная перспектива квадрата — это ab'e’d, а не ошибочно набросанная художником перспектива abed.
Измеренная в перспективном масштабе картины на рисунках 249 и 250 сторона квадрата равна 1,50 м, а на рисунке 251 она равна 1,90 м. Сравнив эти размеры с реальными или возможными размерами нарисованного квадрата и проанализировав общее решение своей композиции, художник может либо выбрать один из этих квадратов, либо с помощью перспективного масштаба картины и ее точки отдаления построить правильную перспективу квадрата, более отвечающую его композиционному замыслу.
217
ПЕРСПЕКТИВА ФРОНТАЛЬНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА, РАСПОЛОЖЕННОГО В ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ (В ПРЯМОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ)
198.	— Перспектива фронтального прямоугольника, расположенного в перпендикулярной к картине горизонтальной, вертикальной или наклонной плоскости, строится так же, как перспектива фронтального квадрата. Разница между этими построениями в следующем: вместо того чтобы строить перпендикулярные и параллельные к картине стороны одинаковой длины, мы придаем им нужные размеры, удлиняя или укорачивая их вглубь. Для этого мы пользуемся перспективным масштабом картины и теми же дробными точками отдаления, которыми мы пользовались для первоначального наброска.
Длину параллельных картине сторон, как указывалось выше (156—158), измеряют сразу в заданном масштабе соответствующей единицей измерения, в то время как длина перпендикулярных к картине сторон определяется с помощью вдвое, вчетверо и т. д. уменьшенных отрезков на вспомогательных горизонталях соответственно делителю дробной точки отдаления (р{2 и D'/2; D4 и D’/4; D/8 и D'/8 и т. д.). С помощью этих дробных точек отдаления размеры, отложенные на вспомогательной прямой, переносятся на прямые, перпендикулярные к картине (175—176).
На рисунке 252 дано несколько перспективных изображений параллельных картине горизонтальных прямоугольников, одни из которых построены на более близких к рисующему сторонах, другие — на более далеких.
199.	— В прямой перспективе на стороне, более близкой к рисующему. Допустим, что aL (рис. 252) — перспектива расположенной в пространстве параллельно картине горизонтали, продолженная до соответствующего ей перспективного масштаба, в котором мы хотим построить прямоугольник со сторонами 1,40 м X 4,00 м. Для этого нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, дробные точки отдаления D/4 и D']4 и перспективный масштаб картины.
Длина 1,40 м, измеренная в перспективном масштабе картины единицей измерения L, соответствующей 1 м, откладывается полоской бумаги или циркулем на линии ab из точки а: сперва мы откладываем отрезок, равный одному метру, и затем еще 40 см до точки b (ab = 1,40 м).
Проведем из точек а и b две перпендикулярные картине прямые аР и ЬР, являющиеся перспективами перпендикулярных сторон еще не уточненной длины искомого прямоугольника. Чтобы найти их длину, которая, по заданию, равна 4 м, отложим на прямой ab, безразлично от точки а или точки Ь (на рис. 252 от точки Z>), единицей измерения L длину четверти 4 м, т. е. отрезок ai, равный 1 м. Соединив точку i с точкой D[4, мы получим на прямой ЬР отрезок Ъс в четыре раза длиннее, т. е. равный 4 я и являющийся перпендикулярной стороной прямоугольника. Если бы мы отложили длину 1 м от точки а в направлении Ь, то конец полученного отрезка мы соединили бы с D'[4 и получили бы на прямой аР перпендикулярную сторону ad прямоугольника, равную 4 м, но это построение на рисунке 252 не показано.
218
Рис. 252 (198; 199; 200; 201; 205)
200.	— Таким же способом были построены па рисунке 252 прямоугольные поверхности столов и стенной полки справа.
Чтобы измерить в глубину длину в 1,80 м правого стола, на параллельной картине горизонтальной прямой ef была отложена единицей измерения, взятой в точке N, четверть этого расстояния — 0,45 м. Чтобы определить единицу измерения, была найдена на предметной плоскости проекция go прямой ef — след фронтальной плоскости ogN, в которой проходит прямая ef (157). Для этого построения мы пользовались точкой D'/4.
Длина в глубину правой полки была измерена тоже в точке N, так как передняя грань этой полки находится в той же фронтальной плоскости, что и стол, расположенный под ней. Чтобы определить ее длину 2,80 м, был взят отрезок, равный четверти этого размера, т. е. 0,70 м. Для построения пользовались точкой D'/4.
Тем же способом была определена длина (в глубину) 0,80 м левого стола: мы отложили на ближе лежащей к рисующему стороне вчетверо меньшую длину, т. е. 0,20 м,
219
измеренную единицей измерения А на следе от пересечения предметной плоскостью фронтальной плоскости, в которой лежит передний край стола.
Чтобы определить на картине длину в 12 м коридора в глубине помещения, мы пользовались для получения более четких пересечений дробной точкой отдаления D'/S, найденной на линии горизонта делением расстояния PD'/4 на две равные части. На линии, ограничивающей передний край коридора, была отложена единицей измерения V длина в восемь раз меньшая, т. е. соответствующая 1,50 м.
201.	— На стороне, более удаленной от рисующего. На том же рисунке 252 перспективы прямоугольного ковра 4,00 м X 2,40 м в глубине комнаты и прямоугольных софитов размером 3,50м X 2м были построены на сторонах, более удаленных от рисующего.
Ширину 2,40 м ковра мы нашли, отложив в перспективном масштабе картины единицей измерения U на прямой jr отрезок гК, равный одной восьмой этой ширины, т. е. 0,60 м. Соединив точку D'/4 с точкой К, мы получили на продолженной в направлении рисующего прямой Рг вчетверо больший отрезок rl, т. е. изображение перпендикулярной к картине стороны искомого прямоугольника, равной 2,40 м.
Чтобы определить двухметровую ширину прямоугольного софита, был взят отрезок тп, равный четверти этой длины, т. е. 0,50 .и, измеренный единицей измерения Т (в параллельной картине плоскости, в которой проходит более далекая от рисующего сторона софита). Соединив дробную точку отдаления D/4 с точкой п, мы получили отрезок mi в четыре раза длиннее, т. е. искомую длину 2 м.
Чтобы построить второй софит, отложим сначала на продолженном отрезке тп измеренный Той же единицей измерения Т отрезок, равный 0,10 м, с помощью которого мы найдем ширину (0,40 .и) балки между софитами, и затем еще 0,50 м, чтобы найти размер стороны st второго софита, идущей в направлении рисующего.
ПЕРСПЕКТИВА ФРОНТАЛЬНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА, РАСПОЛОЖЕННОГО В ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ (В ПРЯМОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ)
202.	— На рисунке 253 дан ряд примеров перспектив перпендикулярных к картине фронтальных вертикальных прямоугольников, построенных: одни — на более близкой к рисующему стороне, другие — на стороне более удаленной, на картине, на которой у нас имеется линия горизонта Mi, главная точка Р, дробные точки отдаления Р/4 и D’)4 и перспективный масштаб картины.
Так же как при построении перспективы вертикального фронтального квадрата (187), расположенного в перпендикулярной к картине вертикальной плоскости, условно примем за линию горизонта линию пересечения главной вертикальной плоскости зрения картинной плоскостью РТ"и перенесем на эту линию (полоской бумаги или циркулем) дробные точки отдаления D/4 и D'/4.
203.	—На стороне, лежащей ближе к рисующему. Зададимся лежащей ближе к рисующему стороной ab (рис. 253) прямоугольного шкафа размером 2,10 м х 1,20 м, измеренной в перспективном масштабе единицей измерения, соответствующей точке S.
220
Рис. 253 (202; 203; 204)
Проведем через точки а и b перпендикулярные картине линии аР и ЬР—перспективы ребер еще не уточненной длины перпендикулярной к картине стороны шкафа.
Чтобы найти на этих линиях длину 1,20 .и, отложим на линии ah в заданном перспективном масштабе той] же единицей измерения 5 отрезок аа', равный четверти этой длины, т. е. 0,30 м. Соединив точку а' с лежащей на линии VV" точкой D']4, мы получим на перпендикулярной картине линии аР отрезок ас, являющийся перспективой ширины вертикальной стороны шкафа, равной 1,20 м, т. е. в четыре раза длиннее отрезка аа'.
Проведенная из точки с до пересечения с ЬР вертикаль дополняет перспективу этой стороны.
Чтобы построить на левой стене фриз длиною в 6,40 м, возьмем дробную точку отдаления D/8, которую мы найдем на линии W, разделив на две равные части отрезок PD/4. Измерим в заданном перспективном масштабе единицей измерения N восьмую часть 6,40 .и, т.е. 0,80 м, на следе параллельной картине плоскости, в которой про
221
ходит более близкая к рисующему сторона фриза. Отложив на этой стороне длиной в 1 м найденную длину, мы найдем отрезок dd’, равный 0,80 м. Соединим толку d' с точкой D/5. Мы получим на перпендикулярной к картине прямой dP отрезок ае в восьмь раз длиннее, т.е. требуемую длину — 6,40 м. Две другие стороны фриза получаются сами собой.
Зададимся ближайшей к рисующему стороной панно (равной 2,25 jw) на правой стене помещения. Отложим на этой стороне в заданном перспективном масштабе единицей измерения R на следе параллельной картине плоскости, в которой проходит взятая нами сторона, отрезок ff', равный 0,25 м. Найдем с помощью точки 0/4 на перпендикулярной к картине прямой fP отрезок fg длиной в 1 м, т. е. равный ширине панно.
Единицей измерения L в перспективном масштабе картины отложен отрезок оо', равный 0,10 м, чтобы с помощью дробной точки отдаления О'/4 на вертикали W найти ширину oi, равную 0,40 м панно левой стенной панели. На рисунке показано, как найти с помощью перпендикулярной к картине прямой о'Р на вертикальной стороне первого панно точку о”, помогающую определить ширину И' второго панно.
Повторяя ту же операцию для каждого из идущих в глубину панно, мы найдем последовательно их ширину.
Отложим единицей измерения X в данном перспективном масштабе отрезок jj', равньй 2,50 м, чтобы с помощью точки D/4 найти на перпендикулярной к картине прямой Р отрезок jK, определяющий длину потолка коридора в глубине помещения, равную 10 м.
204.	— На стороне, более удаленной от рисующего. На том же рисунке 253 были построены на более удаленных от рисующего вертикальных сторонах прямоугольники дверных проемов, правые стенные панели и вертикальные стенки лестничной площадки.
На более удаленной от рисующего вертикальной прямой дверного проема в данном перспективном масштабе единицей измерения V была отложена высота двери, равная 2,50 м, а на продолжении этой прямой — отрезок el, равный 0,35 .и, т. е. четверти предполагаемой ширины 1,40 м дверного проема. Определим с помощью этого отрезка (el = = 0,35 м) и точки D/4 на продолженной в направлении рисующего перпендикулярной к картине прямой Ре в четыре раза большую ширину дверного проема, т.е. 1,40 м. Перспективу дверного проема мы закончим, опустив из точки т вертикаль тп.
Чтобы построить перспективу вертикальных членений правой стенной панели, начиная от двери в направлении рисующего, отложим на продолжении вертикали тп в данном перспективном масштабе измеренный единицей измерения U' отрезок ли', равный 0,10 м. Соединив точку п' с точкой D'/4, мы получим на перпендикулярной к картине прямой Рп вчетверо большую ширину — 0,40 .и самого далекого от рисующего членения.
Для того чтобы начертить остальные членения, начав от более далекого и идя в направлении рисующего, продлим перпендикулярную к картине прямую Рп', что позволит, начертив одно членение, найти с его помощью следующее. Процесс построения
222
тот же, что и для левой стенной панели, но исполняемый в обратном направлении: левые членения строились начиная от переднего, более близкого к рисующему, и идя постепенно вглубь.
Взяв отрезок ss' длиной 0,50 м (измеренный в перспективном масштабе единицей измерения Т) и соединив точку s' с точкой В'/4, мы получим на продолженной в направлении рисующего перпендикулярной картине прямой sP отрезок st длиной в 2,00 м — размер боковой стороны stu лестничной площадки.
205.	— При применении точек уменьшенного отдаления на линии горизонта. Как при построении перспективы вертикального, перпендикулярного к картине фронтального квадрата (189—191), так и при построении перспективы вертикального, перпендикулярного к картине фронтального прямоугольника его можно вычертить, пользуясь дробными точками отдаления на линии горизонта, вместо того чтобы переносить эти точки на вертикаль VW.
Таким образом, на рисунке 252 был измерен в данном перспективном масштабе единицей измерения S от более близкого к рисующему края АВ дверного проема отрезок АА' длиной в 0,35 м и отложен на проведенной из точки А параллельной картине вспомогательной прямой (и, следовательно, параллельной линии горизонта). Соединив точку А' с точкой D’/4 на линии горизонта, мы нашли на перпендикулярной к картине линии АР в четыре раза более длинный отрезок АС, равный 1,40 м, т. е. ширине дверного проема.
На том же рисунке 252 от более удаленной от рисующего стороны EF фриза левой стены была измерена в перспективном масштабе картины единицей измерения U его высота (1,05 м) и был найден на проведенной из точки Е вспомогательной горизонтали (параллельной линии горизонта) отрезок ЕЕ' длиной 1,25 м. Соединив точку Е' с точкой Л/4 на линии горизонта, мы получим на продолженной в направлении рисующего перпендикулярной к картине линии РЕ вчетверо больший отрезок EG, равный 5 м, т. е. длине фриза.
ПЕРСПЕКТИВА ФРОНТАЛЬНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА, РАСПОЛОЖЕННОГО В ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
(В ПРЯМОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ)
206.	— Как для построения перспективы фронтально расположенного квадрата, лежащего в наклонной перпендикулярной к картине плоскости, так и для построения перспективы фронтального прямоугольника, лежащего в перпендикулярной к картине наклонной плоскости, можно пользоваться и дробными точками отдаления на линии горизонта, и дробными точками отдаления на линии схода перпендикулярной к картине наклонной плоскости, в которой расположен заданный прямоугольник.
207.	— А) С помощью точек отдаления на линии схода перпендикулярной к картине наклонной плоскости. На стороне, лежащей ближе к рисующему (рис. 254). Зададимся ближе лежащей к рисующему параллельной картине наклонной стороны ab прямо-
223
Рис. 254 (207; 208; 209; 210; 211; 516)
угольного грохота для просеивания песка на картине, на которой нам известны линия горизонта hh', главная точка Р, дробные точки отдаления D/4 и D'[4 и перспективный масштаб картины.
Нам надо нарисовать три стоящих в ряд на расстоянии 2,40 м друг от друга грохота размером 2,05 м X 1,60 м.
а)	Проведя через главную точку Р прямую’ И', параллельную заданной прямой ab, мы найдем линию схода перпендикулярной к картине наклонной плоскости, в которой лежат поверхности грохота. Перенесем на эту линию полоской бумаги или циркулем дробные точки отдаления D/4 и D'/4.
б)	Проведем через точку а горизонталь aN— след на предметной п юскости фронтальной плоскости, в которой проходит наклонная прямая ab, и измерим ее заданную длину 2,05 м в перспективном масштабе картины единицей измерения N. Проведем через концы наклонной прямой ab перпендикулярные к картине прямые аР и ЬР, на
224
которых отложим в последовательном порядке при помощи дробных точек на линии схода И' отрезки 1,60 .и и 2,40 м, определяющие ширину грохотов и расстояние между ними.
в)	Для этого на наклонной прямой ab отложим в перспективном масштабе картины измеренные единицей измерения N отрезки: ас' — 0,40 м; c'd' = 0,60 .и; d'e' — 0,40 .и; e'f = 0,60 м и f'g' = 0,40 м.
г)	Соединив точки с', d', e'f', g' с точкой Dj4 на линии схода И', мы получим на перпендикулярной к картине прямой аР вчетверо большие отрезки: ширину первого грохота ас, равную 1,60 м; расстояние между первым и вторым cd, равное 2,40 ,и; ширину второго грохота de, равную 1,60 м; расстояние между вторым и третьим грохотом ef, равное 2,40 м, и ширину/g третьего грохота, равную 1,60 м.
д)	Проведя через точки с, d, е, f, g линии, параллельные прямой ab до пересечения их с перпендикулярной к картине прямой ЬР, мы получим перспективные изображения грохотов.
208.	— Б) Р1а стороне, лежащей дальше от рисующего (рис. 254). На той же картине те же грохоты для просеивания песка можно построить, задавшись их более далекой стороной go.
На этой прямой отрезки длиной в 0,40 м (gi, jk, 1т) п чередующиеся с ними отрезки длиной в 0,60 м (у, к1) откладываются в перспективном масштабе, измеренные единицей измерения S, соответствующей параллельной картине плоскости, в которой проходит заданная прямая go.
Соединив эти точки с точкой Dj4, мы получим на продолженной в направлении рисующего перпендикулярной к картине Pg точки f, е, d, с, а. Проведя через них линии, параллельные прямой go, мы получим тот же рисунок, что и в предыдущем случае.
Примечание. На приведенном выше примере можно было получить более четкие пересечения (под менее острым углом), откладывая чередующиеся размеры 0,40 м и 0,60 м, которые откладывались не на прямой gm от точки g в направлении точки т, а на продолжении этой линии от точки g в направлении точки т' с помощью точки D/4.
209.	— С точками отдаления на линии горизонта. Если мы захотим на том же рисунке 254 построить другие перпендикулярные и параллельные к картине наклонные прямоугольники ABCD, EFGI1, nrst и т. д., мы должны провести через главную точку Р ряд новых линий схода, параллельных наклону соответствующих прямоугольников, перспективы которых мы хотим строить. Но поступая таким образом, мы перегрузим рисунок линиями, и поэтому в этих случаях, как уже указывалось выше (189), лучше пользоваться точками отдаления на линии горизонта.
210.	— А) На расположенной ближе к рисующему стороне. Зададимся на том же рисунке 254 расположенной ближе к рисующему параллельной картине наклонной стороной EF крыши размером 4 .и X 22 м.
Отложим на лежащей ближе к рисующему стороне в перспективном масштабе, соответствующем фронтальной плоскости EE'FF', единицей измерения Т отрезок равный 4 м, и на вспомогательной горизонтали FH— отрезок, равный 5,50 м, т. е. в четыре раза меньший, чем заданная длина крыши.
225
Соединив точку Н' с дробной точкой отдаления D'/4 на линии горизонта, мы найдем на перпендикулярной к картине прямой FP вчетверо больший отрезок FH, равный 22 м, т. е. заданной длине крыши.
Проведя через точку Н линию измерения, параллельную линии FE, и через точку Е линию EG, перпендикулярную к картине, мы получим перспективу EFGH искомого прямоугольника.
Предположим, что ветер дует в направлении, параллельном картине, и, следовательно, запущенный мальчиком змей поднимается в плоскости, перпендикулярной к картине и параллельной плоскости играющего ребенка. Чтобы найти с помощью точки 79/4 ширину змея, равную 0,40 м, отложим в перспективном масштабе единицей измерения R его высоту — 0,60 м и ширину—0,10 м.
211.	— Б) На стороне, удаленной от рисующего. Зададимся на том же рисунке перспективой более удаленного от рисующего ребра АВ наклонной стороны прямоугольной, перпендикулярной к картине, фронтально расположенной каменной глыбы. Размеры наклонной стороны глыбы — 0,90 м X 0,80 м. Спроектировав на предметную плоскость точку А, мы получим ее проекцию А', определяющую след параллельной картине плоскости прямой A'L и соответствующую ей единицу измерения L, с помощью которой мы определим длину ребра АВ, равную 0,90 м, и отрезка АС' размером 0,20 м, равного четверти ширины наклонной стороны глыбы, отложенного на проведенной из точки А горизонтали.
Соединим прямой точку С с точкой 7)/4 на линии горизонта и продолжим эту прямую до пересечения ее с продолженной в направлении рисующего перпендикулярной к картине прямой РА. Мы найдем вчетверо больший отрезок АС, равный 0,80 м, т. е. равный ширине глыбы. Проведя через точку В перпендикулярную картине прямую BD и через точку С прямую, параллельную стороне А В, мы завершим перспективу A BCD прямоугольника наклонной стороны глыбы.
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФРОНТАЛЬНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА, РАСПОЛОЖЕННОГО В ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ (ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ, ВЕРТИКАЛЬНОЙ ИЛИ НАКЛОННОЙ) ПЛОСКОСТИ (В ОБРАТНОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ)
Построив (рис. 255) перспективы прямоугольников, которые мы когда-то видели или вообразили,—перспективу фронтально расположенного, горизонтального, перпендикулярного к картине прямоугольника abed-, фронтально расположенного в перпендикулярной к картине вертикальной плоскости прямоугольника efgo-, фронтально расположенного в перпендикулярной к картине наклонной плоскости прямоугольника jklm, и, пользуясь методами обратной перспективы, мы можем определить размеры этих прямоугольников в пространстве, если на картине нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, дробные точки отдаления Л/4 и D'/4 и перспективный масштаб картины.
212.	А) Когда дана перспектива фронтально расположенного, перпендикулярного к картине горизонтального прямоугольника abed. Продолжив параллельную картине сторону ab до перспективного масштаба, мы найдем единицу измерения L, равную 1 м
226
для фронтальной плоскости, в которой проходит сторона ab. Измеренная этой единицей сторона ab равна 1,60 м.
Чтобы найти размер перпендикулярной к картине стороны ас, соединим точку с с точкой D/4, мы получим прямую cD/4. Продолжив эту прямую до пересечения с прямой ab, мы найдем отрезок ас' в четыре раза более короткий, чем прямая ас. Измерив единицей измерения L этот отрезок ас', мы видим, что он равен 0,85 м, а сторона ас равна 0,85 м X 4, т. е. 3,40 .и.
Рис. 255 1212; 213; 214; 516)
213.	— Б) Перспектива фронтального прямоугольника efgo, расположенного в перпендикулярной к картине вертикальной плоскости, определяется следующим образом: проведя из точки с до перспективного масштаба картины горизонталь, мы узнаем единицу измерения R, равную 1 м для параллельной картине плоскости, в которой проходит параллельная ей сторона ef заданного прямоугольника. Измеренное единицей измерения R ребро ef равно 0,80 м.
Чтобы найти длину перпендикулярной к картине стороны eg, соединим точку g с дробной точкой отдаления Р/S. Мы получим на горизонтали, проведенной из точки е, отрезок eg' в восемь раз меньший, чем перпендикулярная к картине сторона eg. Измеренный единицей измерения R отрезок eg' равен 1,65 м и, следовательно, сторона eg равна 1,65 м X 8, т. е. 13,20 м.
214.	— В) Чтобы определить размеры фронтального прямоугольника jklm, расположенного в перпендикулярной к картине наклонной плоскости, проведем из точки j горизонталь до перспективного масштаба. Мы найдем единицу измерения N, равную 1 м для фронтальной плоскости, в которой заключена наклонная сторона jK. Измеренная единицей измерения N, эта сторона равна 3,00 м.
Чтобы найти длину перпендикулярной к картине стороны кт, мы можем применять с одинаковым успехом точки отдаления на линии горизонта и точки отдаления, перенесенные на линию схода И' наклонной плоскости, включающей заданный прямоугольник.
Проведем через точку Р прямую И', параллельную линии jK, и отложим на ней половину отрезка PD/4, равного расстоянию между точкой Р и точкой D/4 на линии горизонта. Этим мы определим положение дробной точки D/8.
Соединим точку D{8 с точкой т; мы найдем отрезок кт', равный одной восьмой линии кт. Измерив его единицей измерения N, мы определим его длину—1,60 м и длину стороны кт заданного прямоугольника, равную 1,60 м X 8, т. е. 12,80 м.
227
Рис. 256 (215). Ж. Б. С. Шарден. Белая скатерть
XI. ПЕРСПЕКТИВА ОКРУЖНОСТИ
215.	— Простейшая фигура, в которую можно вписать окружность, — это квадрат, и поэтому, ввиду того что мы умеем строить перспективу фронтального квадрата, расположенного в перпендикулярной к картине (горизонтальной, вертикальной, наклонной— 177— 197) плоскости, всякий раз, когда это возможно, мы должны строить перспективу окружности (рис. 256), вписывая ее в перспективу перпендикулярного к картине фронтального квадрата.
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ОКРУЖНОСТИ ПО ЧЕТЫРЕМ ТОЧКАМ
216.	— Чтобы начертить перспективу перпендикулярного к картине горизонтального, вертикального или наклонного круга, сперва начертим перспективу abed (рис. 257) перпендикулярного к картине горизонтального, вертикального или наклонного квадрата со сторонами, размер которых, измеренный в перспективном масштабе, равен диаметру заданного круга (на рисунке — 2,65 .и).
а)	Чтобы найти точку т — центр круга, проведем диагонали ad и Ьс квадрата.
229
Рис. 257 (216; 220)
б)	Проведем через этот центр фронтальную прямую gmo (горизонтальную, если квадрат горизонтальный, вертикальную, если квадрат вертикальный, или наклонную, если квадрат наклонный) и перпендикулярную к картине прямую emf. Эти параллельные и перпендикулярные к картине линии представляют собой перспективы параллельного и перпендикулярного к картине диаметров окружности, перспективу которой мы строим. Прямые, проходящие через точки e,f, g, о, иными словами, стороны квадрата, в который вписана окружность, — это перспективы касательных окружности. Мы знаем, что, если при черчении кривой, кроме точки, через которую должна пройти эта кривая, нам дана и ее касательная в этой точке, это равно тому, что нам даны три точки, через которые должна пройти эта кривая.
в)	Зная точки e,f, g, о, мы можем начертить с достаточной приблизительностью по этим точкам от руки или с помощью лекала перспективу заданного круга, опирающуюся на соответствующие касательные.
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ОКРУЖНОСТИ ПО ВОСЬМИ ТОЧКАМ
217.	— Когда художнику надо набросать перспективу небольшого круга, то, чтобы добиться достаточно точного, построения, ему при некотором опыте достаточно четырех точек. Более удаленную часть круга строить нетрудно. Гораздо труднее строить перспективу передней части, обращенной к рисующему, если мы не располагаем еще несколькими хорошо размещенными точками. Вообще для не слишком больших кругов достаточно восьми точек, особенно если мы вычертим и касательные к этим точкам. Кроме концов перпендикулярного и параллельного к картине диаметров, другие помогающие построению точки — это четыре конца двух других диаметров, образующих с вышеупомянутыми диаметрами углы в 45°, иными словами, диаметры, соответствующие направлению диагоналей параллельного картине квадрата, в который мы хотим вписать перспективу круга (рис. 258).
Зададимся перспективой aa'bb' какого-нибудь (горизонтального, вертикального либо наклонного) квадрата, фронтальные стороны которого одинаковой длины были построены с помощью дробных точек отдаления (177; 187; 194).
230
Рис. 258 (217; 220)
а)	Проведем диагонали ab' и а'Ь квадрата. Мы получим в точке с перспективу центра. Проведем через этот центр параллельный картине диаметр есе' и перпендикулярный dcd'.
6)	Для того чтобы найти длину диаметров, соответствующих направлению диагоналей квадрата, превратим планиметрическое построение, вычерченное на рисунке, на параллельной картине стене в глубине помещения в перспективное, так как нам уже известно (96—98), что плоские, фронтально построенные фигуры в перспективе уменьшаются, но не искажаются.
231
Опишем на одной из параллельных картине сторон квадрата, например на стороне аа', дугу окружности, поставив ножку циркуля в точке d, которая делит эту сторону на две равные части, а ножку с карандашом — в точке а. Проведя угольником из точки d под углом в 45° к стороне аа' прямую до пересечения ее с описанной дугой, мы найдем точку /, а опустив из нее перпендикуляр на сторону аа', мы получим точку
в)	Одна восьмая daf окружности, описанной из точки d, равна одной восьмой сео окружности, описанной из точки е (рис. 259, слева). Точки ff, оо' и g на неискаженной фронтальной стене в глубине помещения расположены на одой вертикали. В фигурах, лежащих в перпендикулярных к картине плоскостях, daf — это неискаженная перспектива одной восьмой круга, который мы хотим построить в перспективе. Если мы соединим точку /' с главной точкой, то перпендикулярная к картине линия f'g пересечет диагонали са и сЪ в точках о и о', через которые проходит перспектива круга.
г)	Отложим циркулем или полоской бумаги на линии аа! отрезок af", равный отрезку ab'. Точки пересечения i и /' перпендикулярной к картине прямой f"P с диагоналями са' и cb' — это точки, по которым проходит перспектива круга.
д)	Чтобы получить касательные к кругу в точках о, o', i, Г, заметим, что на неискаженной перспективе круга (на стене в глубине комнаты) касательные (перпендикулярные диагоналям) определяют на сторонах квадрата отрезки: fj — af';j'f” = —f"a'; gK = bg; k'g' =g'b’.
Отложим на перспективе те же равные между собой отрезки; мы найдем точки j, j', кик'; соединив их с точками о, o', i и Г, мы получим касательные jo, j'i, ко' и к'Г (481, г; рис. 537).
На рисунке. 259 (справа) показан еще один способ проведения касательных через точки о, o’, i и Г на диагоналях. Отложим на продолженном параллельном картине диаметре отрезки к1 и кГ, равные отрезкам ск и ск'. Соединив найденные точки / и Г с точками о, o', i и Г, мы найдем еще один квадрат Im Гт', описывающий заданный круг, стороны которого образуют углы в 45° со сторонами квадрата aba'b' и являются касательными к кругу в точках о, o' i и Г. Этот способ применялся на рисунках 588 и 648.
е)	Для того чтобы нарисовать от руки или с помощью лекала перспективу круга, мы располагаем теперь восьмью точками е, о, d, i, е', Г, d', о' и к каждой из этих точек соответствующей касательной. Если чертеж исполнен тщательно и круг не слишком велик, мы добьемся вполне удовлетворительного результата.
Примечание. Описывающий окружность квадрат, стороны которого лежат под углом в 45° к сторонам параллельного картине квадрата, легко нарисовать, зная, что отрезки dj, dK и 1е почти равны (разница настолько мала, что вообще ею пренебрегают) 5/12 длины соответствующих отрезков ad, ес и bd' (рис. 259 а).
Передвигая в горизонтальном положении масштабную линейку между перпендикулярными к картине прямыми Ра и Pd, найдем положение, в котором мы прочтем на линейке число, кратное 12, например на нашем рисунке 36 мм (12 X 3 =36), 30 мм (12 X 2,5 =30) или 18 мм (12 X 1,5 = 18), и отметим точкой t 5/12 одного из этих
232
233
nv
Рис. 259, б (217)
Рис. 259, в (217)
расстояний. Перпендикулярная к картине прямая tP определяет положение точек J, п и к. Отложим измерительным циркулем или полоской бумаги на продолжении диаметра ее' отрезок el, равный отрезку си.
Соединив точки j и к с точкой /, мы найдем касательные к кругу и одновременно с ними точки о и i на диагоналях фронтального квадрата. Точки j', I' и к' располагаются симметрично по отношению к диаметру dd'.
Если на тщательно исполненном чертеже продолжить прямые 1J, 1к, i'j' и Гк', они должны пересечься в точках иг и иг' на продолжении перпендикулярного к картине диаметра dd' и дать квадрат Iml'm', стороны которого образуют углы в 45° со сторонами заданного квадрата aa'bb'.
Ввиду того что при помощи делительного масштаба (370) отношение 5 : 12 находится очень легко, указанный выше метод дает на практике скорые и точные результаты даже в тех случаях, когда, как увидим в дальнейшем, мы оперируем квадратом углового построения (490, примечание).
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ОКРУЖНОСТИ ПО 16 ТОЧКАМ
218.	— Если на картине нужно построить перспективное изображение окружности большого размера, то для получения точного построения можно взять большее число точек, например 16. В этом случае поступают так (рис. 260).
Зададимся перспективой ABDE фронтального квадрата в перпендикулярной к картине горизонтальной, вертикальной или наклонной плоскости, в который мы хотим вписать круг, построенный по 16 точкам. Заданный квадрат построен с помощью перспективного масштаба и точек отдаления с расчетом, чтобы его стороны были равны диаметру круга, которой мы собираемся в него вписать.
а)	Проведя диагонали квадрата АЕ и BD, мы получим в точке их пересечения С перспективу центра круга. Проведем через С параллельный картине диаметр HCI и перпендикулярный — PGCF. Точки пересечения F, G, Н, I этих диаметров со сторанами квадрата дают первые четыре точки, по которым пройдет круг. В них же стороны квадрата касаются круга.
6)	Чтобы найти остальные 12 точек, переведем в перспективу планиметрическое построение на параллельной картине стене в глубине помещения (см. рис. 260), на которой плоская геометрическая фигура уменьшается, но не претерпевает перспективных искажений.
Опишем на одной из фронтальных сторон квадрата, например на стороне АВ, четверть окружности, установив ножку циркуля в точке F, делящей эту сторону на две равные части, а ножку с карандашом — в точке А. Перпендикуляр, опущенный из точки F, отсекает в точке j четверть окружности AFj. Разделим способом, применяемым в планиметрии, дугу (Д/ 1/4 окружности) на четыре равные части (середину Ъ мы иолучаем, проведя с помощью треугольника иод углом 45° биссектрису прямого угла AFj, а четверти окружности с и а —разделив пополам други АЬ и bj). Проведен-
235
Рис. 260 (218; 220; 256; 302)
ними из точек с, Ь, а на четверти круга AFJ перпендикулярами мы спроектируем эти точки на прямую АВ в точках /, е, d.
При фронтальном квадрате (259, б и 259, в) размер отрезка dj, равный половине стороны jj' описывающего окружность восьмиугольника jjfg'K’Kgf, можно уточнить и без делительного масштаба.
Для этого на одной из фронтальных сторон квадрата строят угольником с углами в 45° прямоугольный равнобедренный треугольник аа'С (рис. 259, б) или ЬЬ'С (рис. 259, в) и определяют дугой окружности с радиусами аС и а'С (рис. 259, б) и ЬС и Ь'С (рис. 259, в)
236
Рис. 260, а (218)
Рис. 260. б (218)
положение точек jj' или К'К. Остальную часть построения исполняют указанным выше способом (рис. 259, б) или еще более простым (рис. 259, в). Точки ff и gg' описывающего восьмиугольника можно найти, проведя две фронтальных горизонтали через точки пересечения п—и'и /—Г диагоналей ab' и а'Ъ заданного квадрата перпендикулярными к картине прямыми jk и j'k'. Таким же способом была построена перспектива концентрических окружностей на рисунках 542 и 543.
Четверть круга FAj описана тем же радиусом, что и круг, который мы хотим построить в перспективе, а его точки а, Ь, с соответствуют точкам 3, i, 1 и 2, j, 4 круга (см. неискаженную перспективу на фронтальной стене). Чтобы построить перспективу круга, исходя из точек d, e,f, на фронтальной стороне квадрата, и пользуясь его диагоналями, надо провести ряд параллельных и перпендикулярных к картине прямых, точки пересечения которых и будут точками, по которым пройдет перспектива окружности.
в)	Проведем перпендикулярные к картине линии dP, еР, fP. Точки пересечения i и j перпендикуляра еР с диагоналями СА и CD квадрата — это две из точек, через которые должна пройти перспектива круга.
г)	Чтобы найти остальные точки, проведем горизонтальные линии через точки пересечения к и I перпендикулярной прямой fP диагоналями квадрата и через точки пересечения к и о второй перпендикулярной прямой dP теми же диагоналями.
Точки пересечения 1 и 2 перпендикулярной к картине прямой fP горизонталями, проведенными через g и о, и точки пересечения 3 и 4 перпендикулярной прямой dP горизонталями, проведенными через точки к и Г, — это четыре новые точки, через которые пройдет перспектива круга.
д)	Положение точек 3', i', Г, 2', j’, 4’ на соответствующих горизонталях и на перпендикулярах d'P, е'Р и f'P, через которые должна пройти перспектива круга, определяют с помощью полоски бумаги или циркуля также и на второй половине квадрата.
Если мы располагаем большим числом точек, распределенных на равном расстоянии одна от другой, перспективу окружности можно довольно точно нарисовать от руки или с помощью лекала, не проводя касательных к окружности через эти точки.
При небольшом навыке перспективу вписанного в квадрат круга можно нарисовать и не глядя на неискаженное изображение на фронтальной стене.
На рисунке 260 вспомогательная четверть окружности на перпендикулярной к картине вертикальной стене была описана из точки F на лежащей ближе к рисующему стороне АВ, но чтобы не выйти за пределы картины — в направлении главной точки Р (так же, как на рисунке 636). На перпендикулярной к картине наклонной плоскости четверть круга была описана тоже в направлении точки Р, но на фронтальной стороне, удаленной от рисующего.
На рисунке 260, а первые восемь точек F, i, H,j , G,j I, i' вместе с соответствующими им касательными были найдены при вписывании окружности в восьмиугольник dstnn'is'd' (как было показано выше, на рис. 259, в). Чтобы найти остальные восемь точек на диагоналях восьмиугольника dn', d'n st', s't, мы рекомендуем вычерчивать только концы этих диагоналей. Таким образом мы избегнем перегруженности рисунка ненуж-
238
ними линиями, построим ортогональную проекцию стороны db восьмиугольника, диагональ Ьс, дугу окружности Ge и ординату ef. Затем отложим отрезок Ef', равный Df.
Продолженные перпендикулярные к картине прямые Pf и Pf определяют положение точек 1, 2, Г, 2' на диагоналях st' и is’ восьмиугольника и точек I, Г к и к' на диагоналях описывающего круг квадрата ABDE, а параллельные картине прямые 1Г и кк.' определяют положение точек 3, 4, 3', 4' на диагоналях dn' и nd’ восьмиугольника.
Таким образом, для построения перспективы окружности по 16 точкам мы пользуемся восьмью касательными вместо четырех, которыми мы пользовались на предыдущем рисунке.
На рисунке 260, б показано, как можно получить касательные ко всем данным точкам. Соединив точки 2 между собою, мы получим касательную к точке Ь, а для получения касательных к точкам а и с надо соединить точки 1 с точками 3.
Примечание. Если число точек, по которым мы собираемся строить перспективу, является каким-либо другим числом, кратным 4(12, 20, 24 и т. д.), поступают так же, как и при 16 точках, т. е. пользуясь четвертью окружности, построенной на какой-либо из сторон квадрата, описывающего круг, и его диагоналями. На рисунке 549 (491) круг был построен в перпендикулярной к картине вертикальной плоскости по 12 точкам.
Если мы имеем дело с многоугольниками с числом сторон, кратным 4 (8, 12, 16, 20 и т. д.), мы можем построить их перспективу методами, указанными выше, вписывая их в круг. Так же поступают и в тех случаях, когда четыре из сторон многоугольника параллельны сторонам квадрата, описывающего круг (см. рис. 633—634, где у многоугольника 16 сторон).
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ЧЕТВЕРТИ ОКРУЖНОСТИ
219.	— В некоторых задачах по перспективе пользуются перспективой четверти окружности (229), которую строят тем же методом, что и перспективу круга, т. е. с помощью перпендикулярного картине фронтального квадрата, но со сторонами, равными не диаметру круга, а его радиусу (рис. 261).
Дуга четверти круга может быть, в зависимости от обстоятельств, обращена вправо (II и IV) или влево (I и III). Дуга может быть обращена к рисующему (I и П), и тогда описывающий ее квадрат строится на стороне, удаленной от рисующего (179). Когда же дуга обращена к линии горизонта (III и IV), описывающий ее квадрат строят на стороне, лежащей ближе к рисующему.
Дугу четверти круга можно нарисовать от руки или лекалом, пользуясь лишь ее начальной и конечной точками (А и D) и касательными к этим точкам, являющимися сторонами АВ и DB описывающего квадрата.
220.	— Но еще лучше пользоваться точками на диагонали СВ описывающего квадрата, проходящей через центр окружности С. Для этого, так же как и для построения перспективы круга, описывают из точки С радиусом СА или из точки D радиусом DB (в обоих .случаях результат одинаков) одну восьмую окружности, в первом случае, исходя
239
Рис. 261 (219; 220; 229)
из точки А, а во втором — из точки В, до пересечения с линией CF либо DF, образующих угол в 45° с фронтальной стороной квадрата.
Перпендикуляр, опущенный из точки F на фронтальную сторону квадрата, определяет положение точки G, а пересечение перпендикулярной к картине ^прямой GP с диагональю квадрата указывает место точки Е — третьей точки, по которой пройдет перспектива дуги окружности.
Отложим на DB отрезок GT, равный GB. Линия, соединяющая точку Т с точкой Е — это касательная к кругу в точке Е (217, Э).
Располагая тремя точками А, Е, D и тремя касательными, можно достаточно точно вычертить четверть окружности.
Из всех рисунков, помещенных в этой главе, только на последнем (рис. 261) показано, как с помощью дробных точек отдаления строятся описывающие квадраты на стороне, более удаленной или более близкой к рисующему.
240
На других рисунках (257—260) такие построения (с которыми читатель уже знаком из параграфов 177—197) не показаны. Мы лишь подчеркиваем, что было бы ошибочным начинать вписывать круг, не проверив приемами прямой или обратной перспективы (177—197), является ли заданное перспективное изображение правильной перспективой квадрата.
Что же касается круга, то в дальнейшем мы будем рассматривать и другие связанные с ним проблемы, как, например, построение перспективы круга, когда его радиус или диаметр не параллельны к картине, а перпендикулярны (472, рис. 527) или горизонтальны, но не параллельны к ней (474, рис. 530 и 476, рис. 532); построение перспективы • круга при вписывании его в квадрат углового построения (488—495, рис. 546; 546,а; 549; 551; 553; 559); построение перспективы круга, когда он составлен из нескольких равных дуг (496—498, рис. 561); построение перспективы концентрических окружностей (499—-509, рис. 562; 564; 566) и т. д.
Рис. 262 (221). Якопо Р о бу с т и Тинторетто. Вечеря у св. Стефана
ХП. ИЗМЕРЕНИЕ НА ПЕРСПЕКТИВНОМ ИЗОБРАЖЕНИИ ГОРИЗОНТАЛЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
221.	— В предыдущих разделах (156—162) было показано, как измерять в перспективном масштабе картины горизонтальные, вертикальные и наклонные прямые, параллельные картине. В параграфах 163—176 указывалось измерение с помощью нормальных точек отдаления (в теории) и с помощью дробных точек отдаления (на практике) прямых, перпендикулярных к картине. Рассмотрим теперь измерение горизонталей общего положения (рис. 262) при помощи точек измерения и четверти окружности.
В перспективном масштабе картины нельзя непосредственно измерить ни горизонталей, перпендикулярных к картине, ни горизонталей общего положения. В нем измеряют лишь прямые, параллельные картине, а для того, чтобы измерить заданную горизонталь общего положения, сперва строят равную ей по длине параллельную картине горизонталь, которую и измеряют вместо заданной прямой в соответствующем перспективном масштабе. Такие задачи решаются методом равнобедренного треугольника.
В обратной перспективе эти задачи можно решать и методом четверти окружности, но он менее точен. И все же благодаря пластическим преимуществам таких построений их можно причислить к методам, эффективно помогающим художнику в его творчестве.
243
ИЗМЕРЕНИЕ В ОБРАТНОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ ГОРИЗОНТАЛЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
222.	— Зададимся на картине (рис. 263), на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, главное расстояние РО, отложенное на вертикали W, и перспективный масштаб картины, перспективой линии АВ, представляющей собой в пространстве горизонталь общего положения, длину которой мы хотим узнать.
а)	Продолжив заданную прямую до пересечения с линией горизонта, мы найдем ее точку схода F. Построим с помощью циркуля, установив его ножку в точке F, равнобедренный треугольник FOM, в котором FO -= FM.
б)	Соединив конец А заданной прямой с точкой М на линии горизонта и проведя через второй ее конец В горизонталь, мы получим треугольник АВС.
в)	Треугольник OFM, образуемый прямыми OF и ОМ и линией горизонта, подобен треугольнику АВС, так как их стороны соответственно параллельны: АВ || ОТ7 (имеют общую точку схода F), АС || ОМ (имеют общую точку схода М) и ВС I' FM (обе параллельные картине горизонтали). Отсюда следует, что треугольник АВС равнобедренный {АВ = СВ).
г) Чтобы найти длину заданной прямой, измерим в данном перспективном масштабе единицей измерения N длину равной ей прямой ВС (АВ—ВС—2,55 м).
223.	— На рисунке 263 для большей наглядности вспомогательная горизонталь проведена через более далекий конец заданной прямой, т. е. через точку В: Но тот же результат мы получили бы, проведя вспомогательную горизонталь и через точку А, более близкую к рисующему. Вместо того, чтобы соединять с точкой М точку А и найти отрезок ВС, равный АВ, соединим с ней точку В. Мы получим отрезок АС'—АВ, так как ВС=АС (два отрезка двух параллельных между двумя параллельными). Измерив отрезок А С' единицей измерения L, мы придем к тому
Рис. 264 (224 ; 226; 236)
244
же результату, что и в первом случае при измерении единицей измерения N отрезка СВ, т. е. найдем ту же длину — 2,55 м.
224.	— Точки измерения. Измерение любой другой прямой (см. рис. 264), например DE, HI и т. д., параллельной в пространстве прямой АВ, а на картине направляющейся в ту же точку схода F, производится тем же способом с помощью той же точки М.
Равным образом, пользуясь единицей измерения L перспективного масштаба, найдем, что отрезок EG горизонтали, проведенной через точку Е до пересечения ее в точке G с ограничивающей этот отрезок, идущей в точку М прямой DM, имеет длину 3,15 м, равную длине отрезка DE.
На том же рисунке показано, как с помощью единицы измерения 5 найти длину стола, равную 1,75 ,и, а с помощью единиц измерения W или I— длину картины на стене, равную 4,15 м.
225.	— Из сказанного следует, что все линии, сходящиеся в точке М, обладают свойствами «отмерять» на вспомогательных горизонталях отрезки, равные соответствующим им горизонталям общего положения, имеющих общую точку схода F.
Вот почему для данного направления точке М присвоено наименование точки измерения.
Точку измерения М прямых, идущих в .подом направлении, находят, отложив на линии горизонта от точки схода этого направления отрезок, равный лучу схода данного направления между точкой зрения О и точкой схода F данного направления.
Точки измерения лежат на линии горизонта по другую сторону главной точки Р на расстоянии, находящемся в обратной зависимости от расстояния между главной точкой и точкой схода данного направления (чем больше второе расстояние, тем меньше первое, и наоборот).
Число точек измерения, которые нам надо найти на линии горизонта, находится в прямой зависимости от числа направлений горизонталей общего положения, которые мы хотим измерить.
226.	— Дробные точки измерения. Если точка схода заданного направления достаточно удалена от главной точки Р, соответствующая ей точка измерения, лежащая по другую сторону главной точки, умещается в пределах картины (рис. 263, 264).
Когда же расстояние между точкой схода и главной точкой невелико и особенно если она лежит в пределах картины и ею легко пользоваться, точка измерения удаляется от главной точки и может стать недоступной (рис. 265). В этих случаях пользуются дробными точками измерения, которые получают, откладывая на линии горизонта от точки схода F заданного направления отрезок, равный половине, четверти и т. д. длины луча схода.
Этим способом мы получаем дробные точки измерения Л//2, Л//4 и т. д.,
На рисунке 265 видно, что дробные точки измерения (как, например, М)4) не обязательно лежат по ту сторону главной точки (считая от точки схода соответствующего направления). В таких случаях во избежание ошибки рекомендуется поставить рядом с обозначением дробной точки измерения стрелку, которая указывает направление точки схода измеряемых прямых общего положения.
245
Рис. 265 (226; 291)
На том же рисунке 265 видно, что при измерении с помощью дробной точки измерения М/2 прямой АВ, мы получим на вспомогательной прямой АС/2, измеренной в заданном перспективном масштабе единицей измерения L, отрезок (например, длиной 2,40 м) вдвое короче того, кото-рьпГмы получили бы на вспомогательной горизонтали АС, пользуясь нормальной точкой измерения М (4,80 л/), а пользуясь дробной точкой измерения Af/4 —отрезок АС/4, длиной 1,20 м, т. е. вчетверо короче действительной длины (4,80 м) прямой пространства.
Иногда (291, рис. 319) в связи с положением в пространстве заданной горизонтали общего положения в пределах картины умещается только дробная точка М3]4. Из рисунка 265 видно, что, пользуясь ей, мы получим отрезок АС 3/4, равный по длине (например, 3,60 jw) трем четвертям действительного размера прямой пространства (3 Х4 80	1
----------— = 3,60 . Чтобы найти требуемую величину, отложенный на вспомогательной 4----/
прямой размер надо сперва разделить на 3 (3,60: 3 = 1,20) и затем умножить на 4 (1,20 X 4 = 4,80).
Отсюда следует, что при применении дробных точек измерения, мы должны полученный на вспомогательной горизонтали результат измерения умножить на делитель соответствующей дробной точки измерения.
ИЗМЕРЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ГОРИЗОНТАЛЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПРЯМОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ
227.	— Для того чтобы найти на перспективном изображении горизонтали общего положения (например, АВ на рис. 266) отрезок заданного размера (например, 3,00 м) на картине, на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, главное расстояние РО, отложенное на вертикали VV, и перспективный масштаб картины, надо:
а)	Продолжить заданную прямую до пересечения ее с линией горизонта, чтобы найти ее точку схода F. Отложить на линии горизонта отрезок, равный лучу OF. Этим мы определим иа линии горизонта положение точки измерения М для данного направления.
246
6)	Проведем через точку А вспомогательную горизонталь, продолжим ее до перспективного масштаба, отложим на ней единицей измерения L отрезок АС заданного размера (например, 3,00 м).
в)	Идущая в точку измерения М горизонталь общего положения СМ отсекает на прямой АВ отрезок AD требуемого размера (3,00 .и).
Если на том же рисунке мы захотим найти на перспективном изображении прямой общего положения (например, EG, которая
в пространстве непараллельна прямой АВ) отрезок заданной длины (например, 5,60 м), то прежде всего мы должны найти точку измерения для этого нового направления.
Чтобы эта точка поместилась в пределах картины, отложим на прямой F'O из точки F' (точка схода прямой EG) отрезок F'O/2, равный половине F’O, и опишем этим радиусом из точки F' дугу, определяющую на линии горизонта положение дробной точки измерения М']2.
Отложим на проведенной через точку Е вспомогательной горизонтали EN единицей измерения N данного перспективного масштаба отрезок EI, равный половине (т. е. 2,80 м) заданной длины. Мы получим в месте пересечения линии 1М'/2 с линией EG’ точку Я, и, следовательно, отрезок ЕН вдвое длиннее отрезка EI, т. е. равен 5,60 м.
228.	— Хотя продемонстрированные выше построения можно применять на практике, пользуясь методом уменьшения или малой картины (266), их применение связано с известными трудностями, потому что все время приходится иметь дело с недоступными точками, к которым принадлежат точка зрения О и большинство точек схода на линии горизонта.
Измерение непараллельных картине горизонталей без помощи точек измерения можно производить и другими практическими методами, особенно с помощью геоме-тральных построений, о чем будет сказано выше (288). Кроме того, с помощью тех же геометральных построений (290) можно найти точку измерения какого-либо заданного направления, не выходя из пределов картины.
Равным образом в перспективе существуют практические методы построения перспективных изображений горизонтальных квадратов и прямоугольников углового положения, не прибегая к применяемым в теоретических построениях непомещающимся на картине точкам. Об этом мы поговорим ниже (410—413 и 416—418).
Благодаря накопленным до сих пор знаниям мы можем в прямой перспективе измерять заданные размеры горизонталей общего положения с помощью четверти круга.
247
Получаемый в этом случае результат приблизителен, но достаточно точен, чтобы им пользоваться, хотя бы в первых композиционных набросках. Взамен этого, как мы увидим в дальнейшем, этот прием обладает большим преимуществом: он позволяет художнику улучшать свой набросок, не отклоняясь от первоначального замысла и не производя новых построений.
ИЗМЕРЕНИЕ В ПРЯМОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ С ПОМОЩЬЮ ЧЕТВЕРТИ ОКРУЖНОСТИ ПЕРСПЕКТИВЫ ГОРИЗОНТАЛЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ (ПРИБЛИЗИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД)
229.	— В направлении линии горизонта. На картине (рис. 267), на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, дробные точки отдаления D/4 и D’[4 и перспективный масштаб картины, зададимся перспективным изображением СН расположенной в пространстве горизонтали общего положения, на которой мы хотим отложить от точки С по направлению к горизонту отрезок, равный, например, 3,80 м.
Проведем через перспективу заданной точки горизонталь и продолжим ее до перспективного масштаба. Отложим на этой горизонтали от точки А единицей измерения
L отрезок СА, равный 3,80 м.
Построим на этом отрезке (СИ) с помощью точки D/4 (177) перспективу горизонтального фронтально расположенного квадрата CABD (отложив для этого на горизонтали АС отрезок СС, равный четверти АС, и соединив точку С' с точкой D/4, мы найдем перпендикулярную к картине сторону квадрата CD).
Построим методом, указанным в параграфах 219—220, внутри этого квадрата четверть окружности, касательной в точке А к прямой АВ и в точке D к прямой BD. Для того чтобы описать с большей точностью четверть окружности AED, найдем уже известным нам методом точку касания Е к прямой ТЕ на диагонали СВ квадрата (чтобы помочь читателю вспомнить это построение, на рисунке 267 проставлены те же буквы, что и на рисунке 261).
Дуга описанной нами четверти окружности AED пересекает заданную прямую СН
в точке I. CI— один из радиусов четверти окружности и, следовательно, равен отрезку СА размером 3,80 м, который мы отложили на параллельной картине горизонтали.
Этим способом измерена прямая CI на рисунке 271 и на рисунке 625 найдена длина (1,14 м) горизонтали общего положения АВ.
230.	— В направлении рисующего. На рисунке 268 показано, как применяют метод четверти окружности в тех случаях, когда нам нужно отложить требуемый отрезок на горизонтали общего
248
положения СН из более отдаленной точки С в направлении рису-щего.
Отложим на параллельной картине горизонтали СМ отрезок СА требуемой длины (например, 3,80 .и), измеренный в перспективном масштабе единицей измерения L. Горизонтальный квадрат CABD построен на стороне СА в
направлении рисующего с помо-	Рис. 268 (230; 232)
щью дробной точки отдаления
Dj4 и отложенного на продолжении линии СА отрезка АА', равного четверти СА (179).
Точка касания Е (вместе с касательной ТЕ) на диагонали СВ квадрата найдена известным нам способом с помощью дуги окружности A F (220).
Таким образом, на прямой СН получен отрезок CI требуемой длины (3,80 л/).
231.	— Примечание. Если нужный отрезок слишком велик, то, чтобы не выйти за пределы картины, отложим на заданной прямой половину, четверть и т. д. его длины. В дальнейшем (382—385) будет показан способ, которым можно легко удваивать и учетверять полученную таким образом длину, чтобы получить нужную.
232.	— Пластические преимущества этого построения. Предположим, что (рис. 267, 268) художник, придав по памяти или вообразив для заданной прямой СН какое-то произвольное направление, не предугадал такого сильного искажения нужного ему отрезка (равного, например, 3,80 м). Ему может, например, показаться, что отрезок CI слишком короток для той роли, которую он должен играть в его композиции. И тогда тут же, на рисунке, не прибегая к новому построению (как этого требуют другие практические приемы, о которых мы будем говорить дальше), он может внести необходимую поправку и добиться нужного эффекта, воспользовавшись для этого любой точкой (/', I" и т. д.) на четверти окружности АГ IT'D, а из линий AI, АГ, АГ' и т. д. (все они равны заданному размеру — 3,80 м) он может выбрать ту, которая более всего подойдет в смысле длины и наклона к его композиционному замыслу.
На этих же пластических преимуществах метода четверти круга основана возможность построить при помощи двух фронтальных квадратов (рис. 449—452) на той же перспективной схеме перспективу любого углового квадрата или прямоугольника в любом положении со сторонами заданного размера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЧЕТВЕРТИ ОКРУЖНОСТИ НОРМАЛЬНЫХ И ДРОБНЫХ ТОЧЕК ИЗМЕРЕНИЯ (ПРИБЛИЗИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД)
233.	— Каждый раз, когда на параллельных в пространстве друг другу и имеющих общую точку схода горизонталях общего положения нам надо отложить отрезки заданных размеров, мы прежде всего должны найти нормальную или дробную точку измере
249
ния, соответствующую направлению этих горизонталей. Положение этой точки можно определить, не прибегая к построениям, выходящим за пределы картины, если мы найдем методом четверти окружности или каким-либо другим более точным методом (266, 267 и 290, 291) хотя бы один заданный отрезок на одной из горизонталей.
На рисунках 269 и 270 показано, как находить нормальную точку измерения М и дробную точку измерения М/2, когда на перспективе горизонтали общего положения отложен методом четверти окружности от точки С в направлении горизонта (рис. 269) или в направлении рисующего (рис. 270) отрезок CI, равный отрезку, измеренному в перспективном масштабе единицей измерения, соответствующей параллельной картине вспомогательной горизонтали СА.
а)	Соединив конец А горизонтали СА с концом I перспективы общего положения CI и продолжив прямую AI до пересечения с линией горизонта, мы получим точку М нормального измерения для направления прямой CI. Точка М является точкой измерения заданной прямой, потому что сходящиеся в ней прямые отсекают одинаковые отрезки и на вспомогательной горизонтали, и на заданной прямой.
б)	Соединим середину J вспомогательной горизонтали С А с конечной точкой I перспективы CI горизонтали общего положения и продолжим прямую Л до ее пересечения с линией горизонта. Мы найдем дробную точку измерения Л//2 для направления CI.
в)	Разделив вспомогательную горизонталь С А на четыре равные части и соединив точку К (конец первой четверти, примыкающий к точке С на заданной прямой CI) с конечной точкой I этой прямой, мы получим прямую KI. Продолжив эту линию до пересечения ею линии горизонта, мы получим точку дробного измерения М{4 для направления CI.
Из этих нормальных и дробных точек измерения мы выберем ту, которая не выходит за пределы картины.
234.	— На рисунке 271 показано, как надо пользоваться дробной точкой измерения Л//2 (так как нормальная точка измерения М выходит за пределы картины) для измерения различных отрезков на перспективах горизонталей общего положения, параллельных друг другу в пространстве и сходящихся в общей точке схода F, лежащей или не лежащей в пределах картины.
250
Рис. 271 (229; 234)
Длина края CI ковра, равная 2,90 м (измеренная в перспективном масштабе единицей измерения L), была найдена с помощью четверти окружности, вписанной в фронтально расположенный горизонтальный квадрат CADB.
Дробная точка М/2 получена соединением точки J, делящей на две равные части сторону СА квадрата с концом отрезка CI, а дробная точка М/4 — соединением конца V отрезка CV, равного 1/4 СА с точкой I (как указывалось выше).
С помощью точки М/2 измерена длина стола, панно на стене и двери, а с помощью М/4 — длина стены в глубине комнаты. В перспективном масштабе измерялись:
единицей измерения N — отрезок = 0,75 м для получения длины стола, равной 1,50 м;
единицей измерения S—отрезок =1,50 м для получения длины панно на стене, равного 3,00 м;
единицей измерения Т — отрезок = 0,70 м, чтобы получить размер дверей, равный 1,40 м;
единицей измерения U — отрезок =2,50 м, чтобы получить с помощью точки М/4 длину стены, равную Юм.
Рис. 272 (246). Опоре Домье. Ужин
ХШ. УГЛОВОЕ ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ КВАДРАТА И ПРЯМОУГОЛЬНИКА, ЛЕЖАЩИХ В ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ ПЛОСКОСТИ (ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ)
235.	— Допустим теоретически, что картинная плоскость сведена до минимальных размеров, и поэтому на листе бумаги, на котором мы рисуем, уместятся и отложенная на вертикали точка зрения, и точки схода'на линии горизонта. На картине, на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, главное расстояние, отложенное на вертикали W, и перспективный масштаб картины, мы можем построить с помощью точек измерения перспективу квадрата или прямоугольника, стороны которого образуют заданные углы с картинной плоскостью и имеют заданную, длину.
ПЕРСПЕКТИВА КВАДРАТА В УГЛОВОМ ПОСТРОЕНИИ, ЛЕЖАЩЕГО В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
236.	—- По углу, расположенному ближе к рисующему (рис. 273). Зададимся точкой, А — перспективой ближе лежащего к рисующему угла какого-либо квадрата (например, ковра), стороны которого в пространстве образуют заданные углы с картинной плоскостью (например, 32° и 58°) и имеют заданную длину (например, 2 м).
253
Рис. 273 (236; 237; 243)
а)	Проведя из точки зрения О два луча, идущих один по отношению к другому под углом в 90° и образующих с нейтральной плоскостью NN' заданные углы — 32° и 58°, мы найдем точки схода F и Г90° сторон квадрата. Измерим циркулем или полоской бумаги длину лучей схода OF и OF90° и отложим ее на линии горизонта от F до М и от F90° до Af90°. Мы получим точки измерения для обоих направлений сторон заданного квадрата углового построения.
б)	Проведем через точку А горизонталь до перспективного масштаба и отложим в нем в обе стороны от точки А отрезки АС и АВ' длиной (например, 2 м), которую мы хотим дать сторонам квадрата.
в)	Соединив точку С с точкой измерения М (соответствующей точке схода F), мы найдем на линии A F отрезок АС, равный по длине отрезку АС (2 м), а соединив точку В' с точкой измерения М90° (соответствующей точки схода F90°), мы найдем на линии AF90° отрезок АВ, равный по длине отрезку АВ’ (тоже 2 м).
АВ и АС — это две стороны требуемого квадрата, так как они образуют заданные углы с картинной плоскостью и имеют требуемую длину.
г)	Завершим перспективное изображение квадрата ABCD, проводя через точку С линию к точке схода F90° и через точку В линию к точке схода F.
Как указывалось выше (224, рис. 264), с помощью точек измерения М и М90° можно измерить нужные отрезки на любых горизонталях общего положения, параллельных в пространстве к заданным прямым АС и АВ. Этим способом на том же рисунке 273
254
построены перспективные изображения двух квадратных ковров со сторонами в 2 ,и. На их ближе расположенных к рисующему вертикальных сторонах GE отложены в перспективном масштабе картины единицами измерения п и п', соответствующими фронтальным плоскостям, в которых проходят эти стороны, отрезки, равные каждый 2 jw. Такие же отрезки отложены и на вспомогательных горизонталях GH. Линии НМ и НМ 90° отсекают на прямых GI, параллельных в пространстве прямым АС и АВ, отрезки длиной 2 м каждый.
237.	— Примечание. Пересечание биссектрисы угла FOF9(F с линией горизонта определяет положение точки схода F45° одной из двух диагоналей квадрата. Этой точкой можно пользоваться для проверки построения квадрата (линия, соединяющая точку А с точкой F 45°, должна проходить через точку D) или для построения квадрата с помощью только одной точки измерения, определив сначала длину (например, 2 м) одной из сторон квадрата (например, АВ). Остальные стороны находят так:
пересечение линии AF450 с линией BF дает точку D;
пересечение линии AF с продолженной линией DF90° определяет положение точки С.
238.	— По углу, расположенному дальше от рисующего. Когда точка А является перспективным изображением расположенной дальше от рисующего вершины квадрата (рис. 274), точку схода и точку измерения находят тем же способом, что и в предыдущем случае.
Отложим на вспомогательной горизонтали, проведенной через точку А, вправо и влево от этой точки по отрезку АС и АВ', равному, например, 2,50 м каждый; отрезки измеряются в перспективном масштабе единицей измерения L.
Соединив точку С с точкой измерения М 90° (соответствующей точке схода F90°), мы найдем на линии схода F90°А, продолженной в направлении рисующего, отрезок АС, равный отрезку АС, а соединив точку В' с точкой измерения М (соответствующей точке схода F), мы получим на линии схода FA (тоже продолженной в направлении рисующего) отрезок АВ, равный отрезку АВ'.
Перспективное изображение квадрата завершается само собой пересечением продолженных в направлении рисующего прямых FC и F90°B в точке D.
И на этом рисунке мы пользовались точками измерения М и М 90°, для того чтобы отложить на других, идущих в направлении рисующего и параллельных в пространстве линиям АС и АВ, прямых (GI) заданные отрезки (равные, например, 2 м каждый). Для этого вспомогательные горизонтали GH были проведены из точек G, находящихся дальше от рисующего. Единицей измерения п был измерен только левый стенной ковер. Размер 2 м найден на правой стене с помощью прямых, идущих в точку схода F.
239.	— Примечание. И в этом случае для построения перспективы квадрата можно пользоваться точкой схода F 45° и только одной из точек измерения.
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА УГЛОВОГО ПОСТРОЕНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
240.	— Перспективное изображение горизонтального прямоугольника, расположенного в пространстве под каким-то углом к картинной плоскости, строят тем же способом, что и перспективное изображение горизонтального квадрата углового построения, с той
255
лишь разницей, что иа вспомогательной горизонтали С АВ' (рис. 275) вместо двух отложенных в обе стороны от точки А отрезков, равных между собой и равных сторонам квадрата, откладываются два отрезка различной длины, равных каждый соответствующей стороне прямоугольника.
241.	— Построение по углу, лежащему ближе к рисующему. На картине, на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, главное расстояние ОР, отложенное на вертикали W, и перспективный масштаб картины, надо построить в заданной точке (например, в точке А, рис. 275) перспективное изображение горизонтального прямоугольника, расположенного под углом к картине. Нам даны: длина его сторон (например, 6,55 м и 2,80 .и) и углы, которые образуют его стороны с картинной и нейтральной плоскостями (более длинные стороны образуют углы в 36°).
Положение точек схода F 90’ и F определяется лучами OF, образующим заданный угол (36°) с нейтральной плоскостью NN', и 0FW, идущим под прямым углом к лучу OF.
256
Точки измерения М и ЛГ90° рисующий найдет, отложив на линии горизонта из точки F отрезок FM — FO и из точки Г90° отрезок F90°Af90° — F90°(9.
Отложим на вспомогательной горизонтали, вправо от заданной точки А, отрезок АС', равный меньшей стороне (2,80 м), а вправо от той же точки отрезок АВ', равный большей его стороне (6,55 л«). Оба отрезка измерены в перспективном масштабе картины единицей измерения L. С помощью отрезка АВ' и точки измерения М отложим на прямой, идущей из точки А в точку схода F под заданным углом к нейтральной плоскости, отрезок АВ, равный в перспективе отрезку АВ’ (6,55 м).
Проведенная из точки С' в точку измерения М90° прямая С'М90° отсекает на линии /4F90° отрезок АС, равный более короткой стороне (2,80 м) прямоугольника.
Перспективное изображение прямоугольника завершается линией, идущей из точки С в точку схода F, и линией, идущей из точки В в точку схода F90°, которые, пересекаясь в точке D, образуют две другие стороны прямоугольника CD и BD.
На том же рисунке на одной из вертикальных, расположенных под случайным углом к картине степ комнаты изображена перспектива стенного ковра таких же размеров, как и ковер, лежащий на земле (на полу). Для измерения его более длинного края, параллельного в пространстве краям АВ и CD ковра, лежащего на земле, пользовались той же точкой измерения М.
242.	— Примечание. В точке О на лучах OF и OF9Qa можно построить в любом масштабе (например, 1 : 200) ортогональную проекцию прямоугольника abed. Продолженная до линии горизонта hh' диагональ ad определяет положение точки схода Fd всех
257
диагоналей горизонтальных прямоугольников углового построения, параллельных ему и имеющих в пространстве то же соотношение сторон, что и прямоугольник abed.
Этой точкой схода можно пользоваться для проверки правильности построения прямоугольника (линия AD должна направляться в точку Fd либо линия AFd должна пройти через точку D) и для построения перспективы прямоугольника, пользуясь только одной точкой измерения М или М 90°, способом, показанным для перспективы квадрата углового построения (237; 239).
243.	— Ортогональные проекции abed на рисунках 273—276 показывают реальные пропорции и действительное положение квадрата и прямоугольника в пространстве. Сравнивая эти изображения с перспективными изображениями ABCD на тех же рисунках, художник увидит, как искажаются в перспективе заданные углы и линии. В этой возможности непосредственного наблюдения и заключается огромная польза таких теоретических построений. Художник приучается представлять себе различные формы перспективных искажений углов и ребер окружающих его предметов в зависимости от расстояния и от положения их в пространстве.
Нам надо выработать в себе умение рисовать по памяти или созданные в воображении предметы не в том преувеличенно искаженном виде, в котором они представляются нам на очень близком расстоянии, если мы рассматриваем их каждый в отдельности без взаимосвязи с остальными (книгу на столе, на котором мы работаем, стул, на который мы собираемся сесть), а с теми смягченными искажениями, которые они приобретают, если на них смотреть с более далекого расстояния и когда они сгруппированы так, что могут уместиться в охвате нашего поля наилучшего зрения.
Приобретая этот навык, мы будем в состоянии рисовать по памяти или импровизировать на рисунке вещи, которые не будут слишком отличаться от действительных их изображений. Художник, набросав по памяти, без достаточного умения и подготовки (которые приобретаются только в результате долгих упражнений), главные линии своей композиции, не способен представить себе смягченные расстоянием перспективные искажения предметов. Поэтому он нарисует вещи настолько непохожие на виденные им в действительности, что даже очень осторожное и умелое исправление совершенно изменит композиционный замысел его первоначального наброска.
244.	— Построение по углу, расположенному дальше от рисующего. На рисунке 276 показано построение перспективы того же горизонтального прямоугольника, расположенного под углом к картине, по углу, расположенному дальше от рисующего. Точки схода и точки измерения на нем найдены тем же методом, что и в предыдущем примере. Заданные отрезки, измеренные в перспективном масштабе единицей измерения L, отложены на вспомогательной горизонтали по обе стороны заданной точки А. Первый отрезок АС длиной в 6,55 м отложен вправо, чтобы пользоваться точкой деления М, с помощью которой мы измерим линию AF, продолженную в направлении рисующего. Второй отрезок АВ' длиной в 2,80 м отложен влево от точки А.
Соединением точки М с точкой С мы определяем положение более длинной стороны АС, равной 6,55 м, прямоугольника, а соединением точки М90° с точкой В’ мы отсечем на
258
Рис. 276 (243; 244; 245)
линии AF90°, продолженной в направлении рисующего, отрезок ВА, равный 2,80 м, т. е. более короткую сторону прямоугольника.
Отрезки CD и BD на идущих в точки схода линиях CF90° и FB, продолженных в направлении рисующего, завершают перспективное изображение прямоугольника.
На этом рисунке длина стенного ковра на одной из вертикальных, расположенных под случайным углом к картине стен комнаты, равная длине ковра, на предметной плоскости была отложена на вспомогательной горизонтали, проведенной из более далекой от рисующего точки. Само собой разумеется, что его длина была измерена в перспективном масштабе картины в более далекой фронтальной плоскости. Для этого измерения была применена точка измерения М, соответствующая направлению стены, перспективные линии которой сходятся в точке F.
245.	— Примечание. И в этом случае проверку построения прямоугольника можно производить, пользуясь точкой схода Fd, а построить его перспективу можно с помощью только одной точки измерения М или М 90°.
259
ОБРАТНОЕ ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО КВАДРАТА И ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА В УГЛОВОМ ПОСТРОЕНИИ
246.	— Часто художник на первоначальном эскизе (рис. 272) набрасывает по памяти или импровизирует перспективные изображения квадрата или прямоугольника, и при окончании работы ему понадобится проверить правильность их построения, то есть: а) направляются ли на картине перспективы всех параллельных в пространстве горизонталей общего положения в общую всем им точку схода на линии горизонта;
б)	образуют ли лучи схода, параллельные прямым, перпендикулярным в пространстве друг к другу, прямой угол;
в)	имеют ли стороны нарисованного на картине прямоугольника такое же соотношение размеров сторон, что и размеры соответствующего ему предмета в пространстве.
Обратное перспективное изображение горизонтального квадрата углового построения
247.	— На картине, на которой нам известны линия горизонта hh', главная точка Р, главное расстояние РО, отложенное на вертикали VV", и ее перспективный масштаб, мы хотим исправить нарисованное от руки, по памяти, перспективное изображение квадрата Abde (рис. 277).
а)	Продолжим стороны нарисованного квадрата — ЛЬ и Ad, чтобы найти на линии горизонта их точки схода F' и F'90°. Описав из точки С (на половине расстояния между
Рис, 277 (247)
260
точками F' и F>9(F') радиусом CF' или CF' 90° полуокружность, найдем точку зрения О\ откуда угол bAd кажется прямым. Лучи OF' и О'F'90° показывают положение в пространстве изображенного на картине квадрата.
Найденная точка зрения О' может лежать ближе или дальше к точке Р, чем точка О, или может с ней совпасть. В случае совпадения обеих точек зрения перспектива прямого угла bAd правильна. Во всех других случаях ее нужно исправить, например на рисунке 277, где точка О' ближе к главной точке, чем точка зрения картины О.
б)	Из различных методов согласования перспективы прямого угла с главным расстоянием картины, подробно изложенных в параграфе 136, для данного рисунка выбран метод, не требующий изменения положения прямоугольника в пространстве.
Проведя из точки зрения О на картине лучи, параллельные лучам O'F' и O’F'90°, мы найдем правильные точки схода F и F90° прямого угла и, следовательно, строящегося квадрата.
Чтобы измерить в перспективном масштабе единицей измерения L еще не определенную длину сторон квадрата, нам понадобятся точки измерения М и М90°, которые мы найдем, описав из точек F и F90° дуги окружности радиусами FO и F90°O.
В обратной перспективе точка пересечения d' продолженной прямой M9Q°d горизонталью, проведенной через точку А, дает на этой горизонтали отрезок Ad', равный в перспективном масштабе 2,90 м и определяющий размер стороны AD, тоже равной 2,90 м. Когда этот размер неправилен, надо его исправить, найдя с помощью прямой перспективы нужную длину стороны квадрата.
261
Если длина стороны правильна, отложим па проведенной через точку А горизонтали отрезок АЪ', равный Ad'. Мы найдем с помощью соответствующей точки измерения М длину стороны АВ квадрата.
Прямые DE и BF9& завершают правильное изображение квадрата ABDE, у которого, как мы знаем, каждая сторона равна 2,90 м и которые образуют в пространстве с нейтральной плоскостью углы, соответствующие углам OF и OF90° с прямой ОТ.
При проверке и заканчивании рисунка художник должен стремиться получить абсолютно правильное перспективное изображение, не отходящее от первоначального наброска.
ОБРАТНОЕ ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА УГЛОВОГО ПОСТРОЕНИЯ
248.	— Поступают, как при построении перспективного изображения квадрата, с единственной лишь разницей, а именно: для проверки размера сторон прямоугольника на вспомогательной горизонтали откладывается два измеренных в перспективном масштабе картины отрезка, из которых один соответствует более длинной стороне прямоугольника, второй — более короткой. Это видно на рисунке 278, где после проверки углов было установлено, что стороны начерчсшюго по памяти прямоугольника имеют длину: более длинная — 6,52 м, более короткая—1,80 м. Для большей наглядности измерение производилось с помощью точек нормального измерения М и Л/90° и дробных точек измерения М/2 и М90°)2. Конечно, в обоих случаях результат одинаков.
Когда точка нормального измерения (на рис. 278 точка М90°) умещается в пределах картины, но вспомогательная горизонталь, на которой производится измерение в перспективном масштабе, выходит за ее пределы, нужно провести другую вспомогательную горизонталь через более удаленную точку на заданной прямой (в данном случае через точку D на том же рисунке) и отложить на ней с помощью единицы измерения L' требуемую длину. Мы получим искомый результат.
Рис. 279 (255; 488). Джованни Баттиста Пиранези. Надгрооие Цецилии Метелла
XIV. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРОСТЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ОСНОВАНИЕМ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПРИЗМЫ С КВАДРАТНЫМ ИЛИ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ
249.	— В фронтальном построении (рис. 280, а). На картине, на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, дробные точки отдаления D/4 и D'/4 и перспективный масштаб, нетрудно построить перспективное изображение прямой призмы с квадратным или прямоугольным горизонтальным основанием, расположенной, фронтально по отношению к картине.
Мы построили известным нам способом (177—184 и 198—201) горизонтальный, фронтально расположенный по отношению к картине квадрат или прямоугольник со сторонами нужных размеров — основание abed строящейся призмы. Проведем из его углов четыре вертикали. Высота ае призмы откладывается в перспективном масштабе единицей измерения, соответствующей фронтальной плоскости наиболее близкой к рисующему грани.
Для построения верхней грани призмы проведем горизонтальное, параллельное картине ребро ef; перпендикулярное к картине, идущее в главную точку Р ребро fo;
263
Рис. 280 (249; 250; 251; 252)
параллельное картине ребро og и тоже идущее в точку Р перпендикулярное к картине ребро ge.
Глядя на призму, мы видим не все ее 12 ребер, но иногда, чтобы закончить какую-нибудь деталь, нам могут понадобиться и невидимые ребра. В таких случаях их принято наносить пунктирной линией.
250.	— Угловое построение (теоретическое) (рис. 280, б). Построив известным нам способом (235—245) горизонтальный, расположенный под углом к картине квадрат (или прямоугольник) abed с заданным размером сторон, служащий основанием призмы, проведем из его уголов четыре вертикали. Высота призмы ае откладывается в перспективном масштабе единицей измерения, предпочтительно соответствующей фронтальной плоскости, в которой проходит самое близкое к рисующему ребро призмы.
Верхнюю грань призмы строят с помощью тех же точек схода F (у левого края рисунка) и Г90°, которыми мы пользовались для построения перспективы основания призмы. Ребра ef и go и соответствующие им рабра ab и cd основания сходятся в точке схода F 90°. Ребра eg и fo и соответствующие им ребра ас и bd основания идут в точку схода F.
251.	— Художник, не привыкнувший с первого взгляда различать видимые ребра от невидимых, должен придерживаться следующего правила: внешний контур пред
264
мета рисовать сплошной линией. Затем нарисовать сплошной линией ребра, касающиеся обоими концами внешнего контура (на рис. 280, а вертикальное ребро bf левой призмы, горизонтальное ребро ef средней призмы и вертикальное ребро ае правой призмы). У остальных ребер, которые касаются внешнего контура только одним концом или вовсе его не касаются, принимается во внимание их конечная точка (внутри контура), куда направляются (при условии, чтобы эта точка проектировалась на контур в предметной плоскости, как, например, точка е на средней призме, рис. 280, б) видимые нами ребра, которые поэтому надо вычертить сплошной линией, например ребра eg, ef и еа той же призмы. Ребра, пересекаемые видимым нами ребром (например, ребро od той же призмы), и другие ребра, идущие в ту же конечную точку d (ребра de и ab), не видны, и их надо вычерчивать пунктирной линией.
252.	— Практическое решение (рис. 280, в). В дальнейшем мы увидим (410—413; 416 — 417), что для углового построения перспективного изображения abed квадрата или прямоугольника с заданной длиной сторон можно не выходить из рамок картины, т. е. строить перспективное изображение, не пользуясь точками схода F и Г90° данного четырехугольника.
Если на картине имеется перспективное изображение abed квадрата или прямоугольника, но нет точек схода его сторон, и мы хотим построить на этой фигуре, приняв ее за основание, призму, нужно поступать так:
Проведем из углов основания abed четыре вертикали. Отложим в перспективном масштабе картины единицей измерения, соответствующей этой плоскости, но предпочтительно на наиболее близком к рисующему ребре желаемую высоту ае призмы.
Проведем из концов а и е отложенного отрезка ае две прямые в расположенную на линии горизонта вспомогательную точку схода Fa, которая обеспечивает более четкие пересечения. По этим двум параллельным в пространстве линиям aFa и eFa видно, как уменьшается на картине, по мере перемещения в глубь пространства, высота измеренного ребра ае.
Они же образуют масштаб высоты ребра ае. Этим масштабом мы можем пользоваться, как будет показано дальше, для измерения и остальных ребер призмы. Линия aFa носит название линии основания масштаба, потому что от нее измеряется высота всех остальных ребер. Проведем из остальных углов основания призмы горизонтали bb', се', dd' до линии основания масштаба aFa. Теперь, если мы проведем из точек b', с', d' вертикали до пересечения их в точках /, g, о с линией eFa, мы найдем отрезки b'f', c'g' и d 'o', определяющие высоту призмы в параллельных картине плоскостях соответствующих ребер.
Проведя из найденных таким образом на линии eFa точек f, g, о горизонтали ff, S'g и °'°> мы определим высоту ребер призмы bf, eg, dh. Соединим прямыми точ-ки: е с /, / со, о с g и g с е; мы получим перспективу верхнего основания призмы.
Часто масштаб высоты, вычерченный в непосредственной близости к строящейся перспективе предмета, между его ребром и произвольно взятой точкой схода, перегружает чертеж слишком большим количеством линий, в которых трудно разобрать
265
ся. В таких случаях, как будет указано ниже, масштаб выносят на край картины или, если это возможно, вне картины.
Всякий раз, когда мы видим, что можно получить более четкие пересечения, надо пользоваться вспомогательной точкой схода. Ее положение мы определим, продожив диагональ основания призмы (в данном случае диагональ ad на рис. 280, в) до пересечения ее с линией горизонта. В этом случае вторая прямая eFa масштаба, идущая в точку схода {Fa), определяет также и высоту наиболее удаленного ребра призмы {do). Таким образом, нам остается найти высоту еще только двух ребер {eg и bf, рис. 538).
Примечание. Высоту ребер призмы можно найти, по перспективному масштабу картины в соответствующей параллельной картине плоскости, не пользуясь для этого масштабом высоты. Однако, как будет указано дальше (255), при применении масштаба высоты изображение будет более точным.
МАСШТАБ ВЫСОТЫ
253.	— Каждый раз, когда в этом представляется необходимость, особенно в тех случаях, когда требуется определить высоту нескольких отрезков сразу в нескольких параллельных картине плоскостях, мы должны наряду с перспективным масштабом строить у края или за пределами картины масштаб высоты. Этим мы избегнем перегруженности рисунка слишком большим количеством линий.
У края перспективного масштаба в точке L или, чтобы получить более четкие пересечения (рис. 281), в более удаленной точке Л'на продолженной горизонтали 7VL про-
Рис. 281 (253)
266
ведем вертикаль, на которой отложим ряд отрезков, равных каждый одному метру. Отметив на этой вертикали на произвольной высоте (например, Зм) точку S' и соединив ее с точкой h на линии горизонта, мы получим между линиями hL и hS трехметровый масштаб высоты.
Чтобы определить с помощью этого масштаба, насколько уменьшается взятая нами высота во фронтальных плоскостях, соответствующих каждому из ребер призмы, которую мы строим, проведем через угловые точки а, b, с, d основания призмы горизонтали аа', ЬЬ', сс' и dd' до их пересечения с линией основания масштаба высоты hL. Эти горизонтали являются следами пересечения предметной плоскости с параллельными картине плоскостями, в которых проходят ребра призмы. Отрезки вертикалей а'е', bf, c'g', d'o' между линиями hL и hS определяют высоту соответствующих ребер призмы. Проведя горизонтали e'e, ff, g'g, о'о, мы найдем на перспективном изображении призмы высоту каждого ее ребра.
Для большей наглядности на рисунке 281 построены три масштаба одинаковой высоты: один — в пределах картины и два — вне ее пределов. В первом из расположенных вне пределов картины масштабов в качестве линии основания использована крайняя линия hL перспективного масштаба, а во втором для получения более отчетливых пересечений—более пологая линия hL', но в общем рисующему предоставляется полная свобода в выборе для масштаба наиболее подходящего места в зависимости от композиции его рисунка (585, а, рис. 639; 591, рис. 644; 594, рис. 648).
254.	— Применение полоски бумаги для определения масштаба высоты (рис. 282). Из-за очень большого количества горизонтальных и вертикальных линий между мас-
Рис. 282 (254; 256)
267
штабом и перспективным изображением призмы (или какого-нибудь другого предмета) можно допустить ряд ошибок даже при очень внимательном вычерчивании. При откладывании нужных размеров в масштабе высоты с помощью полоски бумаги отпадает необходимость в вспомогательной линии и меньше возможностей ошибиться. При пользовании бумажной полоской рекомендуется поступать, как указано ниже:
продолжить линию горизонта в сторону масштаба высоты, так как эта линия служит основой для всех последующих операций;
пересечь вертикальный масштаб рядом вертикалей, это поможет рисующему сохранить вертикальное положение полосок бумаги во время работы.
По окончании этих приготовлений мы начинаем черчение, последовательно повторяя одну и ту же операцию для каждого ребра: приложим полоску бумаги к линии ребра и отметим на ней две точки — нижнюю, конечную, точку ребра и уровень горизонта (первое положение).
Приложим полоску бумаги в вертикальном положении к масштабу высоты таким образом, чтобы нанесенные на ней точки совпали: нижняя с линией основания масштаба hL, а верхняя с линией горизонта. Продолжая держать полоску бумаги в этом положении, отметим на ней третью точку — в месте пересечения ее края с линией AS масштаба. В результате этой операции мы отметили на полоске бумаги требуемую высоту ребра (второе положение).
Приложим снова полоску бумаги к тому же ребру (мы не можем перепутать ребер призмы, потому что две в самом начале отмеченные точки соответствуют: одна — линии горизонта, а другая — нижнему концу ребра и могут совпасть только с размером данного ребра). Отметим на перспективе ребра, на уровне черты на бумажной полоске (третье положение), его высоту.
Чтобы не перепутать отметки на бумажной полоске, рекомендуется по окончании третьей операции повернуть ее па чистую сторону, а для дальнейших отметок — перегнуть ее наново. Повторяя все перечисленные выше операции с каждым ребром, мы найдем его высоту, не проводя на рисунке ни одной линии построения.
Читатель увидит дальше, на рисунках 284 и 285, примеры, показывающие, как пользуются масштабом высоты вместе с полосками бумаги. Ввиду того, что в перспективных построениях очень часто прибегают к этому способу, мы должны очень тщательно перегибать бумагу, чтобы иметь очень отчетливую линию перегиба, и отметить с величайшим вниманием остро отточенным карандашом все точки пересечения этой линии с лучами масштаба, на который она наложена. Это одно из основных условий для получения точного построения.
Кроме уже приведенных примеров применения масштаба высоты с использованием для этого полоски бумаги, мы найдем ряд новых примеров на рисунках 368; 623; 624; 627; 639.
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОГО ЦИЛИНДРА
255.	— Перспектива окружности основания цилиндра строится, в зависимости от условий, по четырем (216), восьми (217), шестнадцати (218) или по любому другому числу точек (488—498, рис. 279).
268
Диаметр основания цилиндра и его высоту, т. е. высоту его оси или одной из образующих, можно измерить в перспективном изображении картины. Две образующие видимого контура цилиндра представляют собой вертикальные к окружности основания.
Наконец, чтобы найти точки, через которые должна пройти окружность верхнего основания цилиндра, нет необходимости повторять операцию, с помощью которой было построено его основание. Мы найдем, пользуясь масштабом высоты, для каждой точки нижнего основания соответствующую точку верхнего основания. Это очень простая операция, причем чертеж будет казаться правильным даже в том случае, если при черчении нижнего основания будут допущены небольшие ошибки, потому что они повторятся и на верхнем основании. Но если мы построим окружности двух оснований независимо одна от другой, ошибки, допущенные в каждой из них, могут не совпасть и чертеж будет казаться неправильным.
Прежде чем привести пример, считаем нужным напомнить читателю, что ширина цилиндра в перспективе всегда кажется больше фронтального диаметра окружности
Рис. 284 (13; 182; 254; 256; 257; 303)
269
его основания (515), в каком бы месте картины он ни находился. Это очень хорошо видно на рисунках 57 и 283, где фронтальный диаметр АВ окружности основания меньше ширины DE цилиндра.
256.	— Пример (рис. 284; 285). На картине, на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, дробная точка отдаления jD/4 и перспективный масштаб, надо построить перспективу цилиндрического резервуара высотой в 10,50 м, диаметром в 11 м сваренного из шести рядов стальных листов с центром основания в точке С.
а)	Проведем через точку С горизонталь, на которой отложим в перспективном масштабе с помощью единицы измерения L отрезок, равный 11 м, т. е. длине фронтального диаметра HCI окружности основания заданного цилиндра. Проведем из той же точки С вертикаль, на которой отложим измеренную в том же масштабе, той же единицей измерения L высоту оси СС цилиндра, равную 10,50 м. Затем определим тем же методом фронтальный диаметр Н'С'Г окружности верхнего основания цилиндра.
б)	Построим квадрат, в который впишем окружность основания цилиндра. Фронтальный диаметр HI слишком близок к линии горизонта, чтобы получить четкие пересечения. Поэтому построение окружности по 16 точкам лучше произвести на фронтальном диамере Н'Е верхнего основания цилиндра, расположенного дальше от линии горизонта (303).
Мы умеем строить перспективное изображение фронтального квадрата (182). Проведем перпендикулярный к картине диаметр РС'(еще не установленного размера) и перпендикулярные к картине стороны PH' и РГ (тоже не установленного размера) фронтального квадрата. Разделим лучи Н'С и С Г на четыре равные части каждый. Прямые, проведенные из точки Z>/4 через концы четверти диаметра, примыкающие к С, дают концы F и G перпендикулярного к картине диаметра. Проведем через них перпендикулярные к картине стороны АВ и DE фронтально расположенного квадрата. Если квадрат вычерчен точно, то диагонали АЕ и DB должны пересечься в точке С.
в)	Мы также умеем строить окружность по 16 точкам (218). Чтобы не перегружать рисунок линиями, измерим циркулем отрезок FA и опишем этим радиусом на другом листе бумаги четверть окружности FAi. Разделив ее на четыре равные части и опустив из полученных в результате этой операции точек а, Ъ, с перпендикуляры на радиус FA, мы получим точки d, е, f. Перенесем эти точки с помощью бумажной полоски на сторону А В фронтально расположенного квадрата, влево от точки F, и затем, перевернув полоску бумаги, отметим на той же -стороне квадрата, вправо от F, точки d', е',/'.Не будем повторять (читатель найдет нужные указания в параграфе 218), как с помощью этих точек и диагоналей квадрата найти 16 точек, по которым пройдет окружность верхнего основания цилиндра (рис. 260), которую мы строим.
г)	Для того чтобы начертить цилиндр с рядами стальных листов, надо построить на свободном месте масштаб высоты.
Проведем через концы С, С', оси цилиндра две горизонтали и между ними вертикаль сс'. Возьмем на линии горизонта точку р, из которой проведем прямые рс и рс', образующие масштаб высоты. В данном случае линия основания масштаба высоты
270
не находится внизу, как в предыдущем примере (рис. 282); на этот раз мы пользуемся верхней линией рс', потому что при пользовании ею мы прибегаем к отправным точкам на верхнем основании цилиндра. Проведем на этом масштабе несколько ориентировочных вертикальных линий для облегчения операций с бумажной полоской.
Передвигая в вертикальное положение масштабную линейку по масштабу высоты, найдем положение, при котором конечные точки шести произвольно выбранных нами деталей на масштабной линейке совпадут с линиями рс и рс'. Удерживая линейку в этом положении, отложим в промежутке между этими линиями шесть равных делений, соответствующих шести рядам остальных листов резервуара, и проведем через них линии pl, р2, рЗ, р4 и р5.
д)	Опустим из точек Г, i, 3, F, 3', i', 1 (рис. 284) вертикали неустановленного размера — образующие цилиндра. Кроме того, опустим еще две вертикали из точек m и н, не совпадающие с концами диаметра Н'Г, потому что, как указывалось выше, образующие видимого контура цилиндра, являясь вертикальными касательными к окружности в этих точках, находятся ближе к рисующему, чем образующие, проведенные из точек Н' и Г, и поэтому расстояние между ними больше диаметра Н'Г (см, рис. 283).
Прежде чем приступить к измерению образующих, обратим внимание на то, что образующие 3 и 3', / и i', 1 и Г проходят парами в соответствующих им фронтальных плоскостях, и поэтому одна и та же полоска бумаги соответствует двум образующим цилиндра, а образующие т и п проходят в одной и той же фронтальной плоскости только в том случае, если ось цилиндра совпадает с вертикалью W картины. Поэтому каждая из них будет измеряться самостоятельно.
В параграфе 254 нами был показан метод работы с помощью бумажных полосок. На бумажной полоске, придвинутой вплотную к образующей, отмечается
Рис. 285 (254; 256; 258; 488)
271
точка касания образующей к верхней окружности и уровень линии горизонта (первая операция). Приложим отметку точки касания образующей с верхней окружностью к линии рс', являющейся в данном случае линией основания масштаба высоты (второе положение). Отметки, сделанные на полоске бумаги против линий pc, pl, р2 и перенесенные с ее помощью на образующую цилиндра (в нашем случае на две образующие), указывают не только точки, через которые должна пройти окружность основания, но и точки, через которые пройдут линии, разграничивающие ряды стальных листов резервуара (третье положение).
Соединим непрерывными линиями от руки или с помощью лекала точки, полученные таким способом на всех образующих. Мы получим законченное изображение цилиндра со всеми его окружностями. На рисунке видно, как была построена и перспектива окружности нижнего основания, не прибегая к построению по 16 точкам, как для окружности верхнего основания.
257.	— Примечание. Видимый контур цилиндра касателен к соответствующим кривым во всех точках на опущенных из точек т и п образующих. Это не нужно терять из вида даже в самых быстрых набросках. Ни одна кривая не образует угла с ограничивающим ее видимым контуром (рис. 284, а); он должен быть к ней касательным (рис. 284, б).
Для того чтобы получить возможно более правильную линию таких кривых в точках их касания, рекомендуется найти, как на рисунке 284, соответствующие точки касания и на непосредственно следующих за ними по окружности невидимых рисующему образующих 2 и 2'. Если эти точки не найдены, рисующий, вычерчивая конец каждой кривой, должен себе представить ее направление и в невидимой ему части, помня, что кривая невидимой части окружности менее выпукла, чем видимой.
258.	— Соединим точки на образующих наискось непрерывными линиями (рис. 285). Мы получим так называемые геликоидальные (винтовые) линии с размерами шага, равными расстоянию между точками на образующих. Так строятся перспективы витых канелюр на фусах архитектурных колонн (492—494, рис. 550).
Точки пересечения проведенных в обоих направлениях геликоидальных линий дают возможность провести на цилиндре вдвое большее число образующих на равном расстоянии друг от друга. Так были начерчены чередующиеся отрезки прямых, ограничивающие вертикальные края стальных листов резервуара на рисунке 285. Этим путем мы достигаем того же результата, что и при построении перспективы окружности верхнего основания цилиндра по 32 точкам вместо 16.
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПИРАМИДЫ
259.	— Для тогЪ чтобы построить перспективу пирамиды, сперва строят перспективу ее основания, затем перспективу ее вершины, которую соединяют наклонными прямыми с углами основания. Если это правильная пирамида, то ее вершина находится на перпендикуляре, восстав,ленном из точки пересечения диагоналей основания.
272
Рис. 286 (159; 259; 260)
Если перспектива вершины пирамиды не выходит за пределы перспективы ее основания, то рисующему видны все ее грани (рис. 286, А).
Чтобы построить перспективу шатровой крыши с двускатными сторонами, строят перспективу нижней усеченной пирамиды с более пологим скатом, проводя линию разжелобка, перспективно параллельную линии основания пирамиды. На этой усеченной пирамиде строится верхний шатер с более крутым скатом сторон (рис. 286, Б).
На рисунке 286 показаны в двух перспективных масштабах (на уровне первой плоскости — в левой части картины и на уровне второй плоскости, лежащей на 12 м ниже, — в правой части картины) следы фронтальных плоскостей, в которых измерялись нарисованные на картине пирамиды в тех случаях, когда их высота дана (в прямой перспективе) или когда (в обратной перспективе) рисующий хочет знать, соответствует ли нарисованная по памяти или воображаемая их высота действительной высоте предметов и не преувеличена ли она.
273
Перспективный масштаб для первой плоскости построен, исходя из расчета, что уровень глаз рисующего находится на высоте 1,50 м над уровнем пола открытой галереи, на которой рисующий находится. В этом масштабе высота перевернутой призмы, образующей капитель начерченного слева на рисунке столба, равна 1 м.
При построении перспективного масштаба для второй плоскости было принято, что ее уровень находится на 12 м ниже уровня глаза рисующего, т. е. эта плоскость лежит на 10,50 м ниже пола галереи. После измерения каждого здания в масштабе картины единицей измерения, соответствующей его фронтальной плоскости, мы нашли, что высота шатрового покрытия башни равна 16 .и, а крыши небольших надворных построек — 5 м.
Вообще же перспективу здания с четырехскатной крышей и выступающими стрехами легко построить, если мы будем рассматривать его как перспективу предмета сложной формы. В дальнейшем (581—588) будет указано, каким образом можно решать такие задачи.
ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОНУСА
260.	— При построении перспективы конуса поступают так же, как при построении перспективы пирамиды: сначала строят перспективу основания и вершину. Затем из вершины проводят две касательные к окружности основания. Эти касательные, которые представляют собой образующие конуса, ограничивают видимый нами контур конуса.
Если перспектива вершины конуса находится в пределах перспективы основания, фигура не имеет видимого контура и может быть передана только с помощью ее тени (рис. 286, В).
Надо добавить, что образующие видимого контура конуса охватывают в своем раскрытии меньшую часть окружности основания, чем вертикальные образующие цилиндра. Таким образом, когда мы имеем дело, как на рисунке 286, Г, с конусом, поставленным на цилиндр, видимый контур цилиндра не связывается с видимым контуром конуса: между ними лежат небольшие части тт окружности их общего основания. Эти части окружности, восполняющие контур построения, увеличиваются и становятся более заметными при уменьшении высоты конуса и наклона образующих.
То же самое происходит и в двускатных конических крышах (рис. 286, Д'): видимый контур нижего конуса не сливается с видимым контуром верхнего конуса, образующие которого касаются окружности в точках касания («) и скрыты от рисующего видимым контуром (sm') усеченного конуса, на который они опираются.
Рис 286 а. Пинтурикьо. Геометрия
XV. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРСПЕКТИВЫ
261.	— Для ряда задач по перспективе вместе с их^теоретическими решениями были даны и решения практические, т. е. такие, при применении которых построения производятся на картине, не выходя за-, се пределы (177—214).
Для других, как, например, для углового построения перспективы горизонтальных квадрата и прямоугольника, стороны которых сходятся в точках, лежащих за пределами картины, были даны только теоретические решения. Для решения этих задач в пределах картины применяются два метода: метод уменьшения, или малой картины, и метод построения ортогональной проекции. При изложении этих методов мы рассмотрим выгодные и невыгодшяе стороны каждого и укажем, как пользоваться ими, когда другие более простые приемы не дают удовлетворительных результатов.
Наконец, в тех случаях, когда в перспективных построениях, слишком близких к линии горизонта, мы имеем дело с недостаточно четкими пересечениями под слишком острым углом, мы будем прибегать к третьему методу, а именно к методу опущенного или поднятого плана, при котором добьемся более четких пересечений. В данной главе мы рассмотрим эти три метода линейной перспективы.
275
МЕТОД УМЕНЬШЕНИЯ, ИЛИ МАЛОЙ КАРТИНЫ
262.	— При применении метода уменьшения все задачи, которые нельзя решить в пределах картины, вычерчиваются еще раз в очень уменьшенном виде. Этот рисунок или чертеж, исполненный прямо на картине, представляет собой так называемую малую картину. Фигуры на малой и на основной картине подобны.
Задача решается на малой картине. Требуемые построения выйдут при этом конечно за ее пределы, ио не за пределы основной картины.
При получении нужного решения на малой картине мы строим вторичный чертеж увеличенных размеров на основной картине приемом, обратным тому, который мы применяли при ее уменьшении.
Для уменьшения рисунка выбирают на основной картине точку, называемую полюсом уменьшения и являющуюся точкой схода для лучей, вдоль которых приближают во столько раз все точки заданной фигуры, во сколько раз хотят уменьшить картину.
Вообще за полюс уменьшения можно принять главную точку картины, но бывают случаи, когда, как мы увидим дальше, уменьшение производится легче и с более точным результатом, если выбирать полюс уменьшения сообразно характеру картины.
При известном навыке можно сразу определить коэффициент уменьшения рисунка, при котором все нужные для перспективного построения точки уместятся в пределах картины. Это необходимо потому, что если мы уменьшим рисунок больше, чем нужно, то, конечно, будем уверены, что все точки будут доступными, но в то же время полученный результат будет менее точным, что является одним из неудобств данного метода.
Однако возьмем несколько знакомых нам теоретических примеров.
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ПРЯМОГО УГЛА НА ГОРИЮНТАЛИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ УМЕНЬШЕНИЯ В ПРЯМОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ
263.	— Предположим, что на картине, на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р и дробные точки отдаления D/4 и t)'/4, линия ас — это перспектива горизонтальной прямой общего положения. Требуется построить перпендикуляр в точке а па прямой ас.
При полюсе уменьшения, расположенном в главной точке Р (рис. 287). Для решения этой задачи нам нужны точка зрения, повернутая по вертикали VV", и точка заданной прямой общего положешгя. Все размеры должны быть уменьшены настолько, чтобы эти точки поместились в пределах картины. Предположим, что эти точки уместятся в пределы картины, если, приняв за полюс уменьшения точку Р, мы уменьшим картину в четыре раза.
а)	Отложив из полюса уменьшения Р на вертикали W отрезок, равный PD/4, мы найдем дробную точку зрения 0)4 на уменьшенном в четыре раза расстоянии от главной точки Р.
б)	Соединим точку а заданной перспективы прямой ас с полюсом уменьшения Р. Уменьшим в четыре раза полученный луч уменьшения аР; мы получим перспективу точки в четыре раза уменьшенного расстояния а14. Проведем через точку а/4 геометри-276
ческую параллель к заданной прямой ас. Мы получим точку схода F/4 прямой а/4с/4, расположенную вчетверо ближе к точке Р. Если мы отложим на линии горизонта расстояние 4xPF[4, то получим точку схода F (на нашем рисунке недоступную), к которой идет неумень-шенная прямая ас.
Фигура Ра14с/4 на малой картине подобна фигуре Рас на основной картине, но в четыре раза меньше. В данном случае нет оснований для заключения
малой картины в рамку.
в)	Приступим теперь к решению задачи на малой картине.
Луч Oj4F/4 и прямая 01414 образуют угол F]4O'4N, равный углу под которым заданная прямая ас расположена в пространстве по отношению к нейтральной плоскости.
Построим луч, образующий с лучом O[4Fj4 угол 90’. Мы получим точку схода F9O°I4 прямой, образующей в пространстве угол 90° с заданной прямой ас. Линия a/4F 9Q'/4 на малой картине — это перспективное изображение прямой, которая в пространстве образует заданный прямой угол с линией а{4Р]4.
Задача на малой картине решена; остается перенести полученный результат на основную картину.
Достаточно провести с помощью двух угольников через точку а геометрическую параллель к линии al4F90a/4, чтобы получить прямую db — перспективное изображение прямой, образующей в пространстве прямой угол с заданной прямой ас на картине.
Отложив на линии горизонта расстояние, которое в четыре раза больше расстояния PF9Q’j4, мы найдем точку схода F9(P (на нашем рисунке вне пределов картины), в которую идет прямая ab.
Угол Ьас и угол F9(yi4al4F/4, а следовательно, и фигуры на малой и на основной картинах имеют параллельные стороны.
264.	— Примечание. Если заданная прямая ас наклонена еще меньше, т. е. расположена еще под меньшим углом к нейтральной плоскости, уменьшенное в четыре раза расстояние между се точкой схода и главной точкой возрастет и точка схода выйдет за пределы картины. В этом случае работу нужно начать снова и малую картину уменьшить больше, чем в четыре раза.
265.	— С другим полюсом уменьшения. Возьмем для решения этой же задачи в качестве полюса уменьшения точку а на конце заданной прямой (рис. 288 и 289). Уменьшение можно производить, не зная коэффициента уменьшения, так как размер дробного
277
главного расстояния 'малой картины можно легко определить и без этого.
а) Проведем луч уменьшения аР, но вместо того чтобы приблизить точку а к главной точке, приблизим последнюю к принятой нами за полюс уменьшения точке а. Не деля этот луч на какое-то определенное число равных частей, отметим на нем в подходящем с нашей точки зрения месте главную точку р малой картины. Если точка р будет лежать слишком близко к точке а, все построения будут слишком малы и не дадут точного результата. При слишком большом расстоянии между этими точками построения выйдут за пределы картины. (Только в результате долгих упражнений мы привыкнем находить место главной точки, которое отвечало бы общей композиции картины.)
б)	Дробная главная точка является исходной точкой для определения остальных перспективных элементов малой картины.
Линия горизонта малой картины — это горизонталь, которая проходит через точку р. Она пересекает заданную прямую ас в точке /, играющей в малой картине роль точки схода этой прямой. Дробная точка отдаления d/4 малой картины находится на пересечении линии горизонта hh' малой картины с радиусом уменьшения aD{4.
Отложим на опущенном из точки р на линию горизонта hh' перпендикуляре расстояние, которое в четыре раза больше отрезка pd/4. Мы найдем точку зрения картины О.
278
в)	Задача решается на малой картине тем же путем, который был указан для теоретического построения перспективы прямого угла.
Луч Of определяет направление в пространстве заданной прямой, а с помощью транспортира мы можем определить величину угла fOn, образуемого этим лучом с нейтральной плоскостью.
Луч 0/90°, проведенный под углом 90° к лучу Of, определяет на малой картине положение точки схода/90° искомого перпендикуляра; прямая af9(P является перспективой перпендикуляра, проведенного из точки а на заданной прямой ас. Так как прямая afW° находится на основной картине на надлежащем месте, то не надо производить дополнительных операций для перенесения результатов, полученных на малой картине, на основную, как это делалось в предыдущехм случае. Задача решена.
На рисунке 288 точка зрения О малой картины, лежащая на вертикали, опущенной из точки р, выходит за пределы основной картины. На рисунке 289 и 311 указано, как избегнуть этого, переместив точку зрения выше, а не ниже линии горизонта hh' малой картины (70, рис. 106).
Сравнивая рисунки 287, 288 и 289, на которых эта задача была решена с двумя различными полюсами уменьшения, мы видим, что уменьшения, проведенные вокруг главной точки а, дают более быстрый и точный результат, но если чертежи исполнены тщательно, результат должен быть одинаков в обоих случаях.
Рисующему очень полезно просмотреть и другие, идущие вслед за этими, способы наиболее простого и быстрого решения задачи по построению перспективы прямого угла, образуемого горизонтальными прямыми общего положения, и усвоить те, которые ему покажутся наиблее целесообразными (281—284; 391—397).
Определение методом уменьшения точек измерения и точек схода горизонтальных прямых, идущих под углом 45°
266.	— На рисунках 290 и 291 видно, как легко вместе с построением перспективы прямого угла определить точки измерения, с помощью которых мы можем отложить заданные размеры на сторонах прямого угла и на прямых, которые в пространстве им параллельны.
Когда полюс уменьшения находится в главной точке Р (рис. 290). Взяв за центр точку схода f и описав радиусом FO/4 дугу окружности, мы найдем на линии горизонта уточку измерения т этого направления, лежащую на уменьшенном в четыре раза расстоянии от полюса уменьшения Р. Отложим на линии горизонта из точки Р, но в одном и том же направлении четыре отрезка Рт. Мы найдем точку измерения М основной картины.
Измерим в перспективном масштабе единицей измерения L длину (например, 1,80 м), которую должна иметь сторона АС прямого угла, направляющаяся в точку схода F, и используем затем эту точку в качестве точки измерения.
279
Поступим так же с прямой, образующей вторую сторону прямого угла. Опишем радиусом /90'0/4 из центра/90° дугу окружности. Точка ее пересечения с линией горизонта определит положение точки измерения ш90°, находящейся в четыре раза ближе к полюсу уменьшения Р. Чтобы получить точку измерения на основной картине, нужно отложить на линии горизонта из главной точки, с той же стороны (на рисунке 290—вправо), четыре длины Рт90°. Но эта точка выходит за пределы картины, и, следова
тельно, нам нужно найти точку измерения, находящуюся, например, вдвое ближе.
Разделим для этого на малой картине на две равные части луч 0/4/90°. Мы получим точку п. Описав из точки /90° дугу окружности, мы найдем на линии горизонта дробную точку измерения т90°/2, расположенную в четыре раза ближе к полюсу уменьшения Р (269). Отложим на линии горизонта в направлении точки т90°/2 (на рисунке 290—влево) четыре длины Рт90°/2, мы получим на основной картине дробную точку измерения М90°/2 прямых данного направления. Не надо удивляться, что эта точка измерения находится с той же стороны от главной точки, что и точка схода прямых данного направления, так как этот случай был разобран нами в параграфе 226.
Измерим в перспективном масштабе той же единицей измерения L длину (например,. 1,60 м), которую мы хотим дать стороне АВ, идущей в точку схода F90°. Ввиду того, что для построения перспективы мы пользуемся дробной точкой измерения 4/90/2, отложим на вспомогательной горизонтали AL отрезок длиной 0,80 м, т. е. половину нужной величины.
Чтобы найти точку схода биссектрисы заданного прямого угла ВАС, проведем на малой картине биссектрису угла /0/4/90°; мы найдем ее точку схода /45°. Обложим на линии горизонта от главной точки в направлении найденной точки схода (в данном случае вправо) четыре отрезка Р/4У. Мы найдем нужную точку схода F450. Прямая ЛГ45° — перспектива биссектрисы угла ВАС.
267.	— С полюсом уменьшения, не лежащим в главной точке (рис. 291). Нормальные и дробные точки измерения легче получить, если уменьшение не производилось вокруг главной точки.
На малой картине точки измерения находят с помощью теоретических построений (224—226): точки т и т/2 для направления / а точки /и90° и т90°/2 для направления /90°.
280
Чтобы перенести их на основную картину, пользуются лучами, идущими из полюса уменьшения А. Продолженный луч Ат дает точку измерения М, пользуясь которой мы можем измерить длину стороны Af, идущей в точку схода F; луч А m2 дал бы нам дробную точку измерения М[2, но она недоступна. Равным образом и продолженный луч Ат90° дает недоступную точку, в то время как луч Ат90°]2 дает на основной картине на линии горизонта hh' точку измерения Л/90°/2 второй сто
Рис. 291 (266; 267)
роны заданного прямого угла.
Построим на малой картине биссектрису угла /О /90°. Мы найдем точку схода /45" биссектрисы заданного угла. Продолжив на основной картине луч 4/45°, мы получим на линии горизонта hh' точку схода F45° и прямую ЛГ45°, представляющую собой перспективу биссектрисы заданного угла.
268.	— Решим способом уменьшения, не выходя из пределов картины, задачу перспективы прямого угла углового построения в горизонтальной плоскости. Теоретическое решение этой задачи с использованием недоступных точек излагалось в параграфе 241.
На картине, на которой нам известны линия горизонта hh', главная точка Р, дробная точка отдаления £>/4 и перспективный масштаб, предлагается построить в заданной точке А перспективу прямоугольника углового построения в горизонтальной плоскости, стороны которого в пространстве равны 6 м и 1,50 м, причем длинные стороны образуют с нейтральной плоскостью угол 54°.
По рисунку 292 мы видим, что теоретическими методами эту задачу решить нельзя так как и перенесенная на вертикаль W точка зрения О, и точки схода сторон перспективы прямоугольника выходят за пределы картины.	„
Примем главную точку Р за полюс уменьшения, и уменьшим чертеж в четыре раза.
Отложим на вертикали W от точки Р отрезок, равный расстоянию PDj4. Мы получим на малой картине дробную точку зрения 0/4. Считаем необходимым пояснить, что на малой картине все точки обозначены прописными буквами в отличие от соответствующих им заглавных на основной картине. Проведем на ней из точки 0/4 луч под углом 54° к линии О/4Т; мы получим на линии горизонта малой картины дробную точку схода <90° перспективных изображений длинных сторон прямоугольника, расположенную в четыре раза ближе к точке Р.
281
Рис. 292 (268; 270)
Проведем второ луч под углом 90° к первому лучу. Мы определим на линии горизонта место точки схода f перспективных изображений более коротких сторон искомого прямоугольника.
Отрезок fO/4, отложенный на линии горизонта из точки f, дает дробную точку измерения т, расположенную в четыре раза ближе к точке Р, а отрезок /90"О/4, отложенный на той же линии горизонта из точки/90°, дает вторую дробную точку измерения т90°, расположенную, как и первая точка, тоже вчетверо
ближе к точке Р.
Чтобы найти на малой картине точку а вершины более близкого к рисующему
угла искомого прямоугольника, разделим на четыре равные части прямую АР. Проведем через точку а горизонталь до точки L и отложим в перспективном масштабе картины единицей измерения, соответствующей точке L, отрезки ас' = 1,5 м и ab = 6 м.
Перспективу прямоугольника abed на малой картине получают с помощью этих
элементов способом, изложенным при теоретическом разборе этой задачи (241, рис. 275).
Нам остается использовать эту уменьшенную перспективу для построения перспективы прямоугольника па заданной картине, так как обе эти фигуры подобны (они имеют параллельные стороны и равные углы). Проведем из полюса уменьшения Р лучи через точки а, Ь, с, d. Построим на этих лучах углы большого прямоугольника. Проведем
для этого с помощью двух угольников из точки А линию АС, параллельную линии ас; из точки С линию CD, параллельную cd; из точки D линию DB, параллельную db, и из точки В линию ВА, параллельную Ьа.
При точном черчении последняя, проведенная из точки В, параллель должна пересечь точку Л. Тот же результат мы получим, откладывая на каждом луче в четыре раза большее расстояние от точки Р до уменьшенной перспективы прямоугольника: отлоаутв, например, на продолженном луче Рс четырехкратное расстояние Рс, мы найдем точку С и так далее.
Применяя усвоенные нами теоретические знания, мы можем решить на малой картине любую данную нам задачу и затем увеличить на картине полученный результат до заданных размеров. На рисунке 620 дан пример на применение метода уменьшения при решении задач с недоступными точками схода.
269.	— Определение точек нормального измерения и точек уменьшенного измерения на малой картине (рис. 293).
Чтобы отложить на картине отрезки различной длины на горизонтальных прямых, параллельных в пространстве линиям прямоугольника, рисующему могут понадобиться
282
нормальные точки измерения. Их можно найти, отложив на линии горизонта из главной точки отрезок в четыре раза больший, чем расстояние между главной точкой и дробной точкой измерения на малой картине. Например, точка М найдена отложением на линии горизонта вправо от главной точки четырех отрезков, каждый из которых равен расстоянию Рт.
Если в результате этой операции мы получим недоступную точку измерения, например точку измерения М90°, то не надо думать, что точку вдвое умень-
Рис. 293 (269)
шейного измерения можно найти, только отложив два отрезка Рт 90° до точки Н.
Для того чтобы найти на большой картине место дробной точки измерения М90°/2, нужно сперва найти эту точку на малой картине способом, которым мы пользовались выше (266, рис. 290).
Разделив луч 0/4/90° на две равные части, получим точку п. Отложим полученный отрезок /90°п на линии горизонта из точки /90° в направлении главной точки. Полученная точка/и90°/2—это уменьшенная в четыре раза точка вдвое уменьшенного измерения в соответствующем направлении. Отложив на линии горизонта по направлению к стороне, в которой она находится (в данном случае вправо) четыре отрезка Рт 90°12, мы найдем дробную точку измерения М90°/2, которой можно пользоваться для соответствующего направления на основной картине.
Так, например, если на идущей из точки А горизонтали мы отложим измеренный в перспективном масштабе единицей измерения, соответствующей точке L, отрезок АС', равный 0,70 м, то, соединив точку С с дробной точкой измерения М 90°/2, получим вдвое большую ширину— 1,40 м дверного проема АС. Если мы отложим на горизонтали BE' отрезки BD' и D'E' (первый длиной в 1 м, а второй — в 1,80 .и), измеренные в перспективном масштабе единицей измерения, соответствующей точке п, то, соединив точки D' и Е' с точкой измерения Ми продолжив линии MD' ME' до пересечения их с линией верхнего края стены, мы найдем на этой линии отезок BD, равный 1 м, т. е. ширине части стены от угла комнаты до картины, и отрезок DE — длину картины, равную 1,80 м.
В каких случаях следует пользоваться методом уменьшения
270.	— Хотя, как мы увидим в следующих главах, метод уменьшения применим в самых разнообразных задачах, из всего изложенного выше, и особенно из второго примера, можно заключить, что этот метод сложен и труден. Поэтому им надо пользоваться
283
№ Й Рис. 294 (136; 271)
для уточнения больших композиционных линий, но ни в коем случае — для деталей. Вообще же метод уменьшения применяется для построения перспективы только тех больших композиционных линий, которые невозможно построить упрощенными методами, о чем мы будем говорить в дальнейшем (327—389).
На основании второго примера мы утверждаем, что, как только рисующий ознакомится с любым практическим методом завершения перспективы горизонтального прямоугольника с двумя данными сторонами в угловом построении (336 и 401), он больше не будет, как на рисунке 292, пользоваться для таких задач методом уменьшения, методом малой картины, а будет строить только перспективу сторон АВ и АС неопределенной длины и находить нормальные точки измерения или дробные точки измерения прямых данного направления.
Измерение этих сторон он будет производить непосредственно на основной картине (327), а две другие стороны найдет с помощью практического приема, разбираемого дальше (336; 401). Даже в тех случаях, когда этот прямоугольник служит основанием призмы, рисующий не будет пытаться строить его перспективу на малой картине: эту задачу гораздо легче решить сразу на основной картине с помощью масштаба высоты (253—254).
Дальше мы увидим, как применяется метод малой картины для построения перспективных сеток при помощи точек измерения (419—426) и для углового построения перспективных сеток (447—-452 и 457—463), когда полюс уменьшения установлен в уменьшенной точке зрения, а также его применение для определения перспективных элементов фронтальных наклонных плоскостей, когда полюс уменьшения установлен в точке уменьшенного отдаления, и т. д.
284
Построение прямого угла методом уменьшения в обратной перспективе
Метод уменьшения, или малой картины, если им пользоваться так, как указывалось выше, дает в обратной перспективе интересные результаты при окончательной обработке сделанного по памяти или творчески созданного эскиза.
271.	— На первоначльном наброске, на котором художник наметил линию горизонта hh' и главную точку Р, им нарисованы стороны АВ и АС (рис. 294—297) воссозданного по памяти или в воображении прямого угла, наклон которых соответствует на картине его художественному замыслу.
Прежде чем начать проверку перспективы композиции, он должен установить главное расстояние (т.е. точку зрения), с которого надо смотреть на картину, чтобы перспектива прямого угла соответствовала прямому углу в пространстве.
Метод уменьшения позволяет применять на малой картине данное в параграфе
135 для такой задачи теоретическое построение.
а)	Приняв за полюс уменьшения точку А, возьмем на луче АР дробную главную точку р и проведем через нее линию горизонта hh' малой картины. На пересечении заданных прямых А В и АС с этой линией находятся точки схода f и /90° малой картины. Применив на малой картине рассмотренное нами выше теоретическое построение, разделим на две равные части линию горизонта между точками схода f и /90° и из найденной центральной точки с опишем радиусом cf (или с/90') полуокружность. Восставим из главной точки р перпендикуляр. В месте пересечения его с полуокружностью находится точка зрения О малой картины, потому что лучи of и о/'90°, как и прямые АВ и ЛСпро-странства, лежат под прямым углом друг к другу. Главное расстояние картины — Ор; четверть этого расстояния, отложенного из очки р на линии горизонта hh'
Рис. 296 (136; 271)
Рис. 297 <136; 271)
285
(вправо или влево), определяет место дробной точки отдаления d/4 малой картины. Продолжение луча Ad/4 дает на линии горизонта hh' дробную точку отдаления D/4 большой картины.
Для того чтобы перспектива ВАС совпала с прямым углом предмета в пространстве, на картину нужно смотреть на расстоянии, равном четырехкратному расстоянию PD[4, т. е. на главном расстоянии.
б)	Найдя главное расстояние, художник должен проверить, уместится ли его картина в том виде, в каком она была задумана или нарисована по памяти, в поле наилучшего зрения нормальных человеческих глаз.
Для этого из главной точки Р описывают радиусом PD]2, т. с. радиусом вдвое большим четверти расстояния между главной точкой и дробной точкой отдаления D/4, окружность (72, б).
Если картина выходит за пределы окружности, художник может произвести на ней, пользуясь методом малой картины, построения, с которыми он ознакомился по двум другим теоретическим решениям этой задачи (136).
I.	Он может устранить с картины те части, выходящие за пределы круга, ограничивающего поле наилучшего зрения, в которых существуют ненормальные искажения и уменьшения, заменив се первоначальный размер abeg размером a'b’eg'.
2.	Сохранить размеры картины и, оставив без изменения главное расстояние, изменить наклон какой-либо одной стороны перспективы прямого угла (рис. 295, где сторона АВ заменена стороной А'В') или другой ее стороны (рис. 296, где сторона АС заменена стороной А'С') или изменить наклон обеих сторон (рис. 297, где стороны АВ и АС заменены сторонами А'В’ и А'С'), чтобы се размеры соответствовали главному расстоянию. Для этих изменений надо, чтобы главное расстояние ро малой картины было в четыре раза большое расстояния pd']4. Это расстояние определяется лучом AD'/4, соединяющим полюс уменьшения А с дробной точкой отдаления 1У;4 данной картины (рис. 295).
Если по композиционным соображениям художник не может уменьшить размеры картины, то он выберет из двух вышеуказанных решений то, которое наиболее соответствует его замыслу.	*
Проверка перспективы предмета методом малой картины
272.	— В заданных размерах картины художник нарисовал по памяти или вообразил какой-либо предмет в положении и с наклоном ребер, соответствующими его пластической концепции (рис. 298). Чтобы закончить композицию и уточнить положение всех составных элементов и деталей картины он должен:
а)	установить перспективные элементы картины : линию горизонта, главную точку посредине этой линии, дробную точку отдаления (например, D/4) и перспективный масштаб. Эти перспективные элементы должны быть установлены на картине в теснейшей связи с характером перспективного наброска предмета;
286
б)	проверить наклон и длину ребер нарисованного предмета, чтобы согласовать их с перспективными элементами картины и проконтролировать их соответствие с действительными или возможными размерами предмета в пространстве.
273.	— А. Определение перспективных элементов картины.
а) Линия горизонта и главная точка. Оперируя сходящимися в левой части картины ребрами АС и BD, мы найдем с помощью уже извествного нам построения (131—134) уровень линии горизонта в точке Л'. Ребра АЕ и BG, имеющие точку схода в правой части картины, дают более высокий уровень линии горизонта в точке h" (рис. 298).
Такая большая разница уровней недопустима — обе точки схода должны находиться на той же горизонтали. Таким образом, художник сам убедится, что только большой опыт и постоянное упражнение по проверке

правильности перспективного построения, исполненного с натуры или по памяти с эскизов, позволят ему сразу набрасывать перспективу предметов, очень близкую к правильной. Он должен привыкнуть строить под прямым углом ребра изображаемого предмета с той же легкостью, с какой он строит в разговоре (не думая о грамматике) фразы и согласовывает подлежащее со сказуемым.
Вспомнив все, что он знает о горизонте (68), проанализировав общий вид композиции и стараясь представить себе действительный уровень глаза по отношению к наиболее близкой вертикали АВ нарисованного им предмета (63—66), художник решит, каков будет наиболее подходящий уровень горизонта. Главную точку он поместит посредине этой линии, за исключением случаев, когда по очень веским и обоснованным композиционным соображениям не придется перенести в правую или левую половину картины, ближе или дальше к ее краю (69).
274.	— б) Дробную точку отдаления (например, Z>/4 или D'/4) помещают на линии горизонта, поступая следующим образом (рис. 299).
287
3
Рис. 300 (15; 276)
Зададимся радиусом PS (с центром в главной точке) окружности, в которую вписывается картина, т. е. прямой, соединяющей главную точку с одним из наиболее удаленных углов картины, в данном случае у ее верхнего края (или нижнего края, если линия горизонта проходит в верхней половине картины).
Отложим на линии горизонта (полоской бумаги или циркулем) из главной точки поло
вину длины этого радиуса (PN = NS), мы получим дробную точку отдаления D/4 (или D'/4) для тех случаев, когда художник, для того чтобы добиться подчеркнутых перспективных эффектов, хочет нарисовать предметы, расположенные на первом плане картины, с возможно более близкого расстояния, соответствующего углу зрения 53° (72,6). При целом радиусе РС дробная точка отдаления D/4 (или D'j4) выходит из рамок картины. Ее применяют
в тех случаях, когда по характеру композиции нужны смягченные перспективные эффекты. Предметы первого плана наблюдаются издалека, на расстоянии; соответствующем углу зрения 28°(72, в). Худо
жник, в зависимости от перспективных эффектов, которых он хочет добиться на своей картине, выберет место для дробной точки отдаления D14 (или D'/4) в пределах между этими двумя крайними точками (78).
275.	— в) Перспективный масштаб картины строят (рис. 301), исходя из реальной или предполагаемой высоты (например, 4,60 .и) ближайшего вертикального ребра АВ перспективного изображения заданного предмета (147) либо исходя из других признаков, указанных в соответствующей главе (145—152).
276.	— Б. Проверка наклона и длины ребер предмета методом уменьшения (малой картины).
а) Проверка наклона ребер предмета, т. е. прямых углов с вершинами в точках
А и В, производится, как указывалось выше (271), методом малой картины.
288
Примем точку А за полюс уменьшения (рис. 300). Проведем линию горизонта hh' малой картины и лучи уменьшения АР и AD)4. Мы найдем на ней место главной точки р и дробной точки отдаления Щ4.
Отложим на вертикали, проведенной из главной точки р, четыре отрезка рсЦ4. Мы найдем точку О малой картины и точки f и /'90° схода заданных прямых на той же картине.
Точка с расположена на половине расстояния между f и /'90°. Точка пересечения описанной из точки с радиусом cf (или с/'90°) полуокружности вертикалью рО — это более близкая точка зрения О', откуда нарисованный по памяти или воображаемый угол нам будет казаться прямым углом. И на этот раз мы убедимся, что из-за отсутствия опыта художник не умел нарисовать смягченную перспективу прямого угла такой, какой она дол
жна была ему казаться на расстоянии, на котором он находится от картины (243).
Проведем из нормальной точки зрения О малой картины лучи Of и 0/90° параллельно лучам Of' и O’f'9(P. В пересечениях их с линией горизонта мы найдем нормальные точки схода f и /90° перспективы прямого угла fAf№.
Измерив транспортиром угол, образуемый более длинной стороной с нейтральной плоскостью, мы видим, что он равен 50°. •
Проделаем точно такую же операцию для проверки прямого угла с вершиной в точке В. После его исправления мы найдем, что более длинная сторона предмета образует с нейтральной плоскостью угол 35°.
Из этих двух правильно построенных прямых углов художник выберет тот, который больше подходит к его композиции. Предположим, что ему подходит положение прямого угла с вершиной в точке А под углом 50°.
Дробные точки измерения сторон этого угла на малой картине (рис. 301) — это точки mj2 и w90°/2. Лучами, проведенными из полюса уменьшения А, мы определяем
289
Рис. 304 (12; 15; 278; 545; 563)
место таких же точек М/2 и М90°/2 на основной картине.
После проверки перспективы прямого угла САЕ и после определения места точек измерения его сторон нам нет смысла пользоваться методом малой картины для остальных задач, которые можно решать непосредственно на основной картине (рис. 302).
Так, например, наклон стороны угла В устанавливают с помощью масштаба высоты (253—254). Пользуясь какой-ни
будь из уже нарисованных перспективных линий или произвольной точкой схода Fa, строят, проведя из этой точки прямые FaA и FaB, масштаб высоты. По этому масштабу видно, что высота лежащего во фронтальной плоскости CcdD' вертикального ребра CD равна высоте вертикали cd, а высота вертикального ребра EG, лежащего во фронтальной плоскости EegG', равна высоте вертикали eg. Таким образом мы установили наклон сторон BD' и BG' угла В.
277.	— б) Проверку длины ребер предмета делают, пользуясь перспективным масштабом картины (рис. 301). Высота вертикали АВ, измеренной в ее фронтальной плоскости единицей измерения, соответствующей точке L, равна 4,60 .и. Длина ребер АЕ=10,60 м (5,30 X 2) и АС — 4 м (2,00 X 2) была измерена в той же точке L с помощью точек измерения т 90°/2 и т/2 на вспомогательной горизонтали LC'AE'.
Художник увидит, соответствуют ли эти размеры действительным или допустимым для предмета, который он хочет нарисовать, и может ли он их сохранить или должен изменить в прямой перспективе.
278.	— Примечание. Сравнение первоначального наброска с исправленным перспективным изображением. Сравнивая первоначальный набросок (рис. 298) с исправленным (рис. 303), мы увидим, что художник, чтобы получить правильный угол САЕ, должен изменить наклон сторон С А и АЕ' угла САЕ', нарисованного у него более острым, чем нужно. Если это ему не подходит, он может оставить прежний наклон (рис. 304) поверхности земли, на которой стоит дом, представив ее в виде наклонной, восходящей в глубь постранства фронтальной плоскости, угол наклона которой можно определить тем же методом малой картины.
О гложим на перпендикулярной к картине прямой АР отрезок ее, равный отрезку ЕЕ', пскхзывающему разницу уровней прямой АЕ в предметной плоскости и прямой АЕ' в наклонной плоскости земельного участка. Проведем через точку е' прямую Ае' и продолжим ее до пересечения в точке R с вертикалью, проведенной из точки Р. Мы нашли точку R, через которую проходит линия схода оо' наклонной плоскости почвы земельного участка.
290
Соединив точку отдаления D'[4 с четвертью вертикали PR, т. е. с точкой Rj4, мы найдем угол PD'/4R/4 (равный 4° по транспортиру) наклона поверхности земельного участка (545—548).
После этой проверки ансамбля перспектива остальных деталей строится упрощенными (326—389) и практическими (390—515) способами.
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ
279.	— Метод построения ортогональной проекции основывается на двух положениях.
а)	Лежащие во фронтальной плоскости геометрические фигуры не искажаются, и потому, пользуясь перспективным масштабом картины, рисующий может очень легко построить на картине в любой фронтальной плоскости любую плоскую, т. е. неискаженную фигуру заданных размеров.
б)	Пользуясь дробными точками отдаления он также легко может отложить на перпендикулярных к картине прямых любые заданные отрезки.
Основанный на этих двух положениях метод ортогональной проекции (рис. 305) предполагает, что перпендикулярная к картине горизонтальная плоскость ABCD, на которой мы хотим построить геометрическую фигуру (например, прямоугольник заданных размеров, стороны которого образуют заданные углы с нейтральной плоскостью), представляет собой род крыши на шарнирных петлях, которую можно открыть и, повернув вокруг фронтальной стороны АВ, принятой за ось вращения, установить в параллельное к картине вертикальное положение (ABCD').
Прямоугольник на такой вертикальной превратившейся во фронтальную плоскость крышке остается неискаженным. Размеры всех его сторон измеряются в перспективном масштабе единицей измерения L, соответствующей фронтальной плоскости, в которой лежит этот прямоугольник, а углы, образуемые его сторонами и осью вращения АВ, перспективно не изменяются. Вычерченная на «поднятой крышке», в плане, фигура не искажается и, следовательно, не представляет трудностей при се построении. Такой метод называется методом ортогональной проекции.
Вычертив во фронтальной плоскости заданную фигуру, мы легко построим ее перспективу в перпендикулярной к картине горизонтальной плоскости, если определим положение каждой ее точки. Но для этого мы должны проделать следующие операции:
а)	Опустить из какой-нибудь из ее угловых точек, например из точки а', перпендикуляр а'А на ось вращения.
б)	В перпендикулярной к картине горизонтальной плоскости эта линия, перпендикулярная к прямой АВ, направится в главную точку Р, и потом соединим точку А с точкой Р.
в)	Для того чтобы найти на прямой АР положение точки а, достаточно с помощью дробных точек отдаления отложить из точки А отрезок Аа, равный отрезу Аа'(задача, которую мы решали в параграфе 175). Отложим на АВ отрезок Ап, равный четверти
291
Рис. 306 (280)
Аа'. Точка а находится на пересечении прямой nD/4 с перпендикулярной к картине прямой АР.
Поступим таким же образом для определения положения остальных угловых точек. Соединив эти точки прямыми линиями, мы получим перспективу abed заданного прямоугольника.
280. — Примечание. Ось вращения для построения ортогональной проекции может проходить и через самый близкий (рис. 305), и через самый удаленный (рис. 306) угол фигуры, перспективу которой мы строим.
а)	В первом случае орто-
тональная проекция a'b'c'd' частично наложена поверх ее перспективы abed. Чертеж неясен.
б)	Во втором случае (при оси вращения, проходящей через наиболее удаленный угол) ортогональная проекция a’b'c'd' меньше, занимает меньше места на картине и не строится поверх своей перспективы abed, но читать чертеж труднее: отрезки, которые определяют на перпендикулярных к картине прямых положение различных точек строящейся перспективы, откладываются от линии горизонта в на-
правлении рисующего.
в)	Наконец, обладая некоторым навыком, мы можем, приняв за ось вращения ближайший угол перспективы прямоугольника, повернуть плоскость на 270°, чтобы
привести ее в вертикальное положение, в котором она будет расположена вниз от оси вращения (рис. 307). В этом случае ортогональная проекция a'b'c'd' не строится поверх перспективы abed, а ее угловые точки откладываются на перпендикулярных
к картине прямых в направлении линии горизонта.
Методом ортогональной проекции можно решать очень точно, не выходя из рамок картины, задачи по перспективе с недоступными точками схода прямых. Ниже мы приводим ряд примеров.
292
Задача на построение перспективы прямого угла на горизонтали общего положения методом построения ортогональной проекции
281. — В прямой перспективе. На картине, на которой нам известны линия горизонта, главная точка и точки уменьшенного отдаления, надо построить перспективу прямого угла (с вершиной в заданной точке Л), стороны которого образуют углы (например, 30° и 60°) с нейтральной плоскостью (рис. 308).
а)	Проведем через точку А горизонталь, которой мы будем пользоваться как осью вращения, и построим ортогональную проекцию заданного прямого угла ВАС, стороны которого образуют углы 30° и 60° с осью вращения (рис. 308).
Нам остается привести этот чертеж в горизонтальное положение и построить его перспективу.
б)	Опустим из произвольных точек d на стороне АВ и е на стороне АС перпендикуляры ddl и eel на ось вращения. Эти перпендикуляры показывают на сторонах заданного угла расстояние от оси точек d и е.
Перспективы перпендикулярных прямых ddl и eel напра
Рис. 308 (281; 282)
вляются в главную точку Р. Проведем перпендикулярные к картине прямые dlPn elP еще не определенной длины. Отложим на них с помощью точек уменьшенного в четыре раза отдаления отрезки, равные вертикалям ddl и eel.
в)	Разделим для этого на четыре равные части вертикали ddl и eel и отложим отрезки dill — dli и elgl — elg из точек el и gl на горизонталях, проведенных через
293
Рис. 309 (282)
Рис. 310 (283)
точку А. Соединив точки И и gl с соответствующими точками отдаления D/4 и D'j4, мы получим в месте пересечения перпендикулярных к картине прямых dlP и е1Р точки D и Е. Отрезок dlD (в четыре раза больший, чем отрезок dlil) равен вертикали did, а отрезок е1Е (тоже в четыре раза больший, чем отрезок elgl) равен вертикали ele.
г) Проведем прямые AD и АЕ и продолжим их до точек В1 и С1. Мы получим перспективу В1АС1 требуемого прямого угла. Его стороны образуют друг с другом угол 90°. Левая сторона АВ1 лежит по отношению к предметной плоскости под углом 303, а правая — АС1 под углом 60°.
282. — На предыдущем рисунке предполагалось, что стороны АВ1 и АС1 прямого угла раскрыты в направлении горизонта. Продолжим их до точек В2 и С2 в направлении рисующего, мы получим перспективу прямого угла С2АВ2, в котором левая его сторона АС2 образует с нейтральной плоскостью угол в 60°, а его прямая сторона АВ2 — угол в 30°.
Перспективу прямого угла можно строить и в том случае, когда его стороны раскрыты в направлении рисующего (рис. 309).
Ортогональную проекцию прямого угла можно строить с одинаковым результатом на пло
скости, лежащей выше оси вращения и ниже ее. Построение производится тем же путем, что и в предыдущем случае, с той лишь разницей, что отрезки dlil
294
и elgl откладываются на оси вращения таким образом, чтобы в тех случаях, когда мы пользуемся соответствующими дробными точками отдаления, получить отрезки dlD и е1Е на перпендикулярных к картине прямых, проведенных через точки dl и el в направлении рисующего, а не в направлении горизонта.
Мы знаем, что отрезок dill можно отложить и влево от точки di, но чтобы получить желаемый результат, мы должны пользоваться вместо точки отдаления D'[4 точкой отдаления Dj4. Но в этом случае угол пересечения будет более острым и самое пересечение менее точным.
283. — В обратной перспективе. Построим в заданной точке А на перспективе горизонтальной прямой общего положения АВ перспективу прямого угла на картине, на которой нам известны все перспективные элементы (рис. 310).
а)	Проведем через точку А горизонтальную прямую, которой мы будем пользоваться в дальнейшем как осью вращения. Возьмем на заданной прямой АВ произвольную точку d, через которую проведем перпендикулярную к картине прямую dP. В результате этой операции мы получим перспективу прямоугольного треугольника, в котором один из катетов — параллельная картине прямая Adi, другой — перпендикулярная к картине прямая did, а гипотенуза — отрезок Ad на заданной прямой АВ.
Построим в обратной перспективе ортогональную проекцию этого треугольника. Восставим для этого из точки dl на пересечении оси вращения с продолженной прямой dP перпендикуляр. Проведем из точки D‘[4 прямую через точку d и продолжим ее до пересечения с осью вращения в точке е. Отложив на перпендикуляре, восстановленном из точки dl, четыре отрезка die (равных четверти катета ddl), мы найдем точку D, и соединим ее с точкой А. Полученный прямоугольный треугольник ADdl равен прямоугольному треугольнику Addl, потому что у них общий катет Adi, а катет dlD равен катету ddl. Он является ортогональной проекцией треугольника, лежащего в предметной плоскости.
Теперь рисующий определил направление взятой произвольно или нарисованной по памяти горизонтали общего положения АВ. Она образует с нейтральной плоскостью угол и.
б)	Построим ортогональную проекцию DAF требуемого прямого угла.
Чтобы найти перспективу его стороны AF, опустим из произвольно взятой на ней точки (например, F) перпендикуляр Ff на ось вращения. В перспективе этот перпендикуляр приобретает направление fP. Чтобы найти на этой прямой, продолженной в направлении рисующего (см. построение в верхней части рисунка 310), отрезок, равный вертикали fF, найдем четверть ее длины и отложим ее на оси вращения от точки f; мы получим отрезок fg'. Прямая £>/^'(или прямая D'l4g', продолженная на построении в верхней части рисунка) определяет положение точки F1 на перпендикулярной к картине прямой PF.
Треугольник AFlf— это перспектива треугольника AFf, а угол BAF1 — перспектива прямого угла DAF.
295
Рис. 311 (265; 284)
Стороны перспективы прямого угла BAF1 при их продолжении образуют перспективу этого угла с вершиной, обращенной в глубь пространства (построение в нижней части картины), либо с вершиной, повернутой к рисующему (построение в верхней части картины).
284. — Построение в обратной перспективе перспективного изображения прямого угла проведением оси вращения через произвольную точку D на заданной прямой (рис. 311).
а) Проведем через заданную точку А перпендикулярную к картине прямую. Восставим из точки пересечения а этой прямой с осью вращения перпен
дикуляр еще не определенной длины. Прямая AD'/4 отсекает на оси вращения отрезок ab, равный четверти катета Аа. Отложив четыре отрезка ab на проведенной из точки а вертикали, мы получим катет аА1, равный катету Аа. Прямая DA1 — это ортогональная проекция заданной гипотенузы AD.
б) Построим в точке А1 на прямой DA1 прямой угол. Построенная сторона A1F пересекает ось вращения в точке F. Угол DAF представляет собой перспективу искомого прямого угла.
На этом рисунке ортогональная проекция прямого угла была построена в тех же условиях, что и на рисунке 289, на котором мы дали наглядное решение этой задачи методом уменьшения, или малой картины (265).
Угол, образуемый горизонтальной прямой общего положения с нейтральной плоскостью
285.	— В прямой перспективе. На картине, на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р и дробные точки отдаления D[4 и D’j4, построим перспективу проходящей через заданную точку А горизонтальной прямой, образующей с нейтральной плоскостью угол в 48° (рис. 312).
а)	Проведем через заданную точку А горизон таль Аг— ось вращения и прямую АВ', образующую с горизонталью Аг угол в 48°. Из произвольной точки Ь' на продолженной прямой АВ' опустим перпендикуляр h'o на ось вращения Аг.
296
Мы получили ортогональную проекцию прямоугольного треугольника без перспективных искажений во фронтальной плоскости, которая представляет собой предметную плоскость, приведенную вращением вокруг оси Аг в вертикальное положение.
Чтобы построить перспективу этого прямоугольника в горизонтальной предметной плоскости, надо:
б)	провести через точку о перспективу перпендикулярной к картине (т. е. перпендикулярной к А о) прямой, которая, как мы
Рис. 312 (285; 287)
знаем, имеет точкой схода главную точку Р. Прямая оР — это перспектива еще не определенной длины прямой оЪ' ортогональной проекции. Чтобы найти на этой прямой перспективу точки Ь' ортогональной проекции, нужно отложить на ней отрезок ob, равный об'-,
в)	так как для определения размеров этого отрезка мы будем пользоваться точкой уменьшенного в четыре раза отдаления, мы должны разделить прямую ob' на четыре равные части и отложить на прямой Аг, играющей в данном случае роль вспомогательной прямой, отрезок on, равный четверти ob’.
г)	точка пересечения b прямой D'/4n с перпендикулярной к картине прямой оР определяет на последней отрезок ob, в четыре раза больший on и, следовательно, равный ob'. Точка b — это перспективное изображение точки Ь' ортогональной проекции прямоугольного треугольника, а прямая АЬВ, завершающая перспективу треугольника, является перспективой искомой прямой, образующей с нейтральной плоскостью угол 48°.
286.	— Примечание. Деление на четыре равные части прямой Ь'о — это достаточно сложная операция, если не применять делительного масштаба (370). Чтобы найти без затруднения на прямой Ао отрезок on, в четыре раза меньший отрезка Ь'о, надо поступить, как показано на рисунке 313, то есть отложить из точки Ь' четыре равных отрезка b'l, 1—2, 2—3, Зо'. Продолжим прямую Ь'п' до пересечения ее с прямой Аг. Точка пересечения п и есть искомая нами точка.
287.	— В обратной перспективе. На картине (рис. 312), на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, дробные точки отдаления D[4 и D'/4, прямая АВ —
297
точки о вертикаль еще не определенной длины,
это перспектива горизонтальной прямой общего положения. Мы хотим узнать ее направление, т. е. угол, который она образует с нейтральной и картинной плоскостями.
а)	Проведем через какую-нибудь точку на прямой АВ, например через точку А, горизонтальную прямую Аг — будущую ось для построения ортогональной проекции заданной прямой. Проведем через какую-либо другую точку на заданной прямой, например через точку Ь, перпендикулярную к картине прямую РЬ и продолжим ее до пересечения в точке о с осью вращения.
Мы построили перспективу прямоугольного треугольника Abo. Его катет Ао параллелен картине и поэтому образует прямой угол со вторым перпендикулярным к картине катетом ob. Гипотенуза А b — это заданная прямая, но величину угла, образуемого углом ЬАо с нейтральной плоскостью, мы еще не можем определить, так как он искажен.
Чтобы получить ортогональную проекцию неискаженного прямоугольника, проведем из на которой отложим отрезок,
равный перпендикулярному к картине в горизонтальной плоскости перспективно искаженному катету ob.
б)	Длина этого катета определяется с помощью дробной точки отдаления. Прямая D'/4b, продолженная до ее пересечения в точке п с горизонталью Аг, которая в данном случае играет роль вспомогательной прямой, отсекает отрезок on, который в 4 раза короче катета ob.
в)	Отложим на вертикали, проведенной из точки о, четыре отрезка on. Полученный отрезок ob' представляет собой неискаженное изображение перспективы катета ob,
298
расположенного в горизонтальной плоскости, а треугольник АоЬ’ — это неискаженная ортогональная проекция перспективы треугольника АоЬ в той же горизонтальной плоскости. Угол Ь'Ао представлен в его настоящей величине, и, измерив его транспортиром, мы узнаем величину угла, образуемого в пространстве заданной прямой с нейтральной плоскостью (321, рис. 349; 583, рис. 638; 590, рис. 643).
Измерение перспективы горизонталей общего положения методом построения ортогональной проекции
288.	— В прямой перспективе. Выше (229—231) мы ознакомились с определением длины горизонталей общего положения с помощью метода четверти окружности. Далее, в параграфе 232, были отмечены пластические преимущества этого метода, но наряду с этим добавим, что он не дает таких точных результатов, какие можно получить, пользуясь методом ортогональ
ной проекции.
На картине (рис. 314), на которой нам даны линия горизонта hh', главная точка Р, дробные точки отдаления D/4 и D'/4 и перспективный масштаб картины, надо отложить на перспективе горизонтальной прямой общего положения отрезок, равный, например, 2,70 м.
а) Построим на заданной прямой прямоугольный треугольник, проведя через точку А ось вращения LAr и через произвольную точку Ь на заданной прямой перпендикулярную к картине прямую РЬо. Построим указанным выше способом ортогональную проекцию этого треугольника Abo.
299
Продолженная прямая Z>/4Z> отсекает на оси вращения отрезок он, который в 4 раза короче катета ob.
Отложив на проведенной из точки о вертикали четыре таких отрезка, мы найдем конец Ь' катета ob' построенного во фронтальной плоскости оси вращения/, A or. Прямоугольный треугольник АоЬ' — это ортогональная проекция лежащего в горизонтальной плоскости перспективно искаженного треугольника АоЬ.
б) Отложим на продолженной прямой АЬ' в перспективном масштабе картины единицей измерения, соответствующей точке L, отрезок АС требуемой длины — 2,70 м.
в) Чтобы отложить отрезок такой же длины в горизонтальной плоскости, опустим из точки С перпендикуляр С г на ось вращения. Чтобы провести в горизонтальной плоскости из точки г перпендикуляр к оси вращения, соединим точку г с главной точкой Р. Точка пересечения С прямой гР с перспективой заданной прямой АВ является перспективой точки С' ортогональной проекции.
Линия АС равна линии АС и представляет собой прямую требуемой длины —2,70 м. Таким же образом была отложена на рисунке 626 требуемая длина прямой общего положения АВ, найденная графически на прямой АВ], а на рисунке 651 — длина 0,68 м прямой АВ.
На рисунках 313 и 315 мы видим, что если мы возьмем точку Ь на проведенной из главной точки вертикали Ро, то сэкономим одну прямую, так как на ортогональной проекции точка Ь' находится на той же прямой. Во всем остальном надо поступать, как в предыдущем случае.
289.	— В обратной перспективе. На картине (рис. 316), на которой нам дана линия горизонта hh', главная точка Р, дробные точки отдаления £>/4 и D'[4 и перспективный масштаб картины, зададимся перспективой АВ расположенной в пространстве горизонтальной прямой общего положения, длину которой мы хотим найти.
300
а)	Построим, как в предыдущем примере, на заданной прямой перспективу прямоугольного треугольника АВо. Построим с помощью дробной точки отдаления на оси Ао ортогональную проекцию этого треугольника, отложив на проведенной из точки о вертикали отрезок, в четыре раза больший отрезка on. Мы найдем размер катета оВ'.
б)	В ортогональной проекции перспективно искаженного треугольника АВ'о гипотенуза АВ' равна гипотенузе перспективы лежащего в горизонтальной плоскости треугольника АВо. Поэтому, вместо того чтобы измерять прямую АВ, измерим прямую АВ'.
Измеренная в перспективном масштабе единицей измерения L, соответствующей фронтальной плоскости треугольника АВ'о, длина гипотенузы АВ' равна 3,12 м. Такую же длину имеет и прямая АВ.
На рисунках 522; 523; 525; 527; 529; 530; 532; 557 и т. д. действительную длину горизонтальной прямой общего положения мы определили указанным выше методом построения ортогональной проекции.
Определение положения нормальных и дробных точек измерения данного направления методом построения ортогональной проекции.
290.	— На картине, на которой нам даны линия горизонта h h', главная точка Р и дробные точки отдаления Z>/4 и D’[4, зададимся перспективой АС — одной из прямых, идущих в недоступную (или доступную) точку схода. Найдем нормальную точку и дробную точку измерения методом построения ортогональной проекции (рис. 317).
а)	Отложим на заданной прямой отрезок АВ неопределенной длины. Проведем через точку А горизонтальную ось вращения, а через точку В перпендикулярную к картине прямую. Мы получили прямоугольный треугольник АВо.
б)	Построим ортогональную проекцию этого треугольника: продолженная до пересечения в точке п с горизонтальной осью вращения прямая D'/4B отсекает на оси А отрезок
on; отложив четыре отрезка on на вертикали Ро, мы получим отрезок ob. Этим мы закончим построение ортогональной проекции треугольника АоЬ, в котором гипотенуза АЬ равна отрезку АВ на заданной прямой.
в)	Отложим из точки А на оси вращения циркулем или полоской бумаги отрезок АВ', равный отрезку АЬ, который в свою очередь равен в перспективе отрезку АВ. Мы видим, что прямая АВ' равна прямой АВ. Отсюда следует, что продолженная прямая В’В, соединяющая концы
Рис. 319 (226; 291)
301
двух равных отрезков, определяет на линии горизонта положение точки измерения М прямой АВ и всех параллельных ей линий.
291.	— Если эта точка выходит за пределы картины (рис. 318), разделим прямую АВ на две равные части. Соединим точку С с точкой В на линии АВ прямой и продолжим ее до пересечения с линией горизонта. Мы найдем дробную точку измерения М/2 всех идущих в этом направлении параллельно друг другу линий.
На рисунке 319, который предлагается сравнить с рисунками 265; 269; 270; 478 и 609, показан случай, когда в рамках картины умещается лишь дробная точка измерения МЗ/4. При пользовании этой точкой, для того чтобы узнать размер прямой, идущей в точку схода, надо разделить на 3 и умножить на 4 отрезок, отложенный в перспективном масштабе на вспомогательной прямой.
Измерение горизонталей общего положения, когда ортогональная проекция не умещается в рамках картины
292.	— На картине (рис. 320), на которой нам даны все перспективные элементы hh', Р, D/4 и перспективный масштаб, мы задались перспективой АЕ горизонтали общего положения такой длины, что ее ортогональная проекция не умещается в рамках картины даже при построении ее на оси, которая проходит через самую удаленную точку Е прямой.
Для измерения таких прямых методом ортогональной проекции мы даем два реше
ния.
А) Разделим заданную прямую АЕ одним из простых способов построения перспективных изображений (348—356) на несколько равных частей, скажем на восемь, и построим ортогональную проекцию только одной восьмой ее части, т. е. отрезка АВ. Измерение ее в перспективном масштабе единицей измерения, соответствующей точке L,
дает длину 1,30 м, вся же прямая в восемь раз длиннее: 1,30.иХ8 = = 10,40 м.
293.	— Б) Поступая, как было указано выше (291), найдем на линии горизонта дробную точку измерения Л//2 направления заданной прямой (321). Измерим с помощью этой точки длину заданной прямой во фронтальной плоскости EL, проходящей через ее более далекую точку Е, единицей измерения L; не забудем умножить полученный результат на два: 5,20 м X 2 = 10,40 м.
302
Построение перспективы горизонтального углового квадрата методом построения ортогональной проекции
На картине (рис. 322, 323), на которой нам даны перспективные элементы hh', Р, D/4 и перспективный масштаб, надо построить перспективу квадрата, стороны которого известной нам длины, например 2,10 м, образуют с нейтральной плоскостью углы 36° и 60°.
294.	— На более близкой к рисующему вершине угла, а) Проведем через точку А горизонтальную ось вращения и построим в зависимости от свободного места над или под осью ортогональную проекцию квадрата AB'C'D', стороны которого длиной в 2,10 м, измеренные в перспективном масштабе единицей измерения, соответствующей точке L, образуют с построенной осью углы 30° и 60°. Переведем вращательным движением вокруг построенной оси в горизонтальную плоскость фигуру ортогональной проекции.
б) Для этого опустим из углов В', С, D' перпендикуляры B'b, С с и D'd на ось вращения. В
Рис. 321 (293)
горизонтальной плоскости прямые, перпендикулярные к оси вращения в точках Ь, с, d, становятся перпендикулярными к картине прямыми bP,cP,dP, имеющими в качестве
точки схода главную точку Р.
в) Для того чтобы найти на этих перпендикулярных прямых отрезки, равные вертикалям В'Ь, С'с и D’d, в тех случаях, когда мы не пользуемся делительным масштабом (370), надо:
— отложить на самой длинной вертикали С'с четыре одинаковых отрезка С—1, 1—2, 2—3, 3—4 и на проведенной через точку 4 горизонтали отложить еще один отрезок
303
4—o' той же длины, что и предыдущие четыре отрезка;
—	продолжить прямую Со' до ее пересечения с осью вращения, получим на ней отрезок со, равный четверти вертикали С'с (286);
—	провести с помощью двух угольников через точки В' и D' прямые В'п и D's, параллельные прямой Со. Мы найдем на оси bL отрезок Ьп, равный четверти вертикали В’Ь, и отрезок ds, равный четверти вертикали Dd.
г) Воспользуемся дробными Точками измерения D/4 и D'/4.
Прямая nD)4 пересекает перпендикулярную к картине прямую ЬР в точке В. Длина перпендикулярного к картине отрезка ЬВ в четыре раза больше длины отрезка Ьп и, следовательно, равна длине отрезка В'Ь. Точка В—это перспектива в горизонтальной плоскости точки В' ортогональной проекции.
Прямая oD)4 отсекает в месте ее пересечения с перпендикулярной к картине прямой cP отрезок сС, равный вертикали с'С. Точка С — это перспек тива в горизонтальной плоскости точки С ортогональной проекции.
Чтобы получить более чет
кое пересечение, отложим на оси вращения из точки d отрезок ds', равный отрезку ds. Прямая S'D'I4 отсекает на перпендикулярной к картине прямой dP отрезок dD, равный вертикали D’d, а точка D является перспективой в горизонтальной плоскости точки D' ортогональной проекции. Соединив прямыми линиями точки А и В, В и С, С и D, D и
А, мы получим заданную перспективу квадрата ABCD, имеющего такое же положение в пространстве и равного квадрату А В'CD' ортогональной проекции.
Таким же способом были получены перспективы квадратов углового построения на рисунках 624, 628, 632. На рисунках 624, 632 показано, как надо поступать в случаях применения дробной точки отдаления D/8, когда дробная точка отдаления Dj4 недоступна.
304
295.	— Примечание. Упрощения построения можно добиться, когда одна или несколько сторон фигуры на ортогональной проекции, если их продолжить, пересекут ось вращения в пределах картины (рис. 323).
Так, например, на рисунке 327 продолженные стороны C'D' и С'В' пересекают ось вращения в точках Гил. После определения указанным выше способом положения в горизонтальной плоскости точки С, являющейся перспективой точки С, перспективы точек D и В определяются пере
сечением перпендикулярных к картине прямых Pd и РЬ прямыми Ct и Си, и, следовательно, для нахождения этих точек становятся ненужными точки измерения.
На рисунках 325, 326 и 328 для построения перспективы прямоугольников применялся тот же упрощенный метод. Другие возможности упрощений мы укажем дальше, в главе практических приемов (401).
296.	— На более удаленной от рисующего вершине угла (рис. 323). Построение производится тем же методом, что и в преды
Рис. 326 (295; 298)
дущем примере. Чтобы облегчить чтение чертежей, мы употребляли в них те же буквы, с той лишь разницей, что в горизонтальной плоскости отрезки ЬВ, сС и dD откладывались
на соответствующих перпендикулярных к картине прямых в направлении рисующего, а не в глубь картины.
На этом рисунке тоже указан упрощенный метод построения в тех случаях, когда одна или несколько сторон фигуры на ортогональной проекции пересекают в случае их продолжения ось вращения в пределах картины (например, в точке Г).
20—1003
305
Точка D на прямой Ct находится на пересечении последней с продолженной перпендикулярной к картине прямой Pd. В данном случае не пользуются отрезком ds и точкой уменьшенного отдаления D'[4.
Построение перспективы горизонтального углового прямоугольника методом построения ортогональной проекции
297.	— Перспективное изображение горизонтального углового прямоугольника строится так же, как и перспектива углового горизонтального квадрата. Для того чтобы облегчить сравнение этих двух построений, мы поставили на рисунках 324, 325 те же буквы, что и на рисунках 322, 323, с той лишь разницей, что измеренные единицей измерения L стороны прямоугольников неодинаковы.
298.	— Примечание. Если, продолжив одну из сторон перспективы прямоугольника, мы видим, что она направляется в доступную точку схода, то для получения более точного изображения мы должны использовать эту
точку. Так, например, на рисунке 326 стороны AD и ВС имеют доступную точку схода F. Чтобы убедиться в точности чертежа, проверим, лежат ли точки F, С, В, t на одной прямой.
299.	— Примечание. Если ортогональная проекция данной фигуры (прямоугольника, квадрата и т. д.) не помещается в рамках картины из-за больших размеров сторон фигуры, то, для того чтобы можно было все же пользоваться методом построения ортогональной проекции, следует прибегнуть, в зависимости от условий построения, к одному из следующих решений.
306
Рис. 330 (300)
A) Ограничимся построением с помощью метода ортогональной проекции перспективного изображения двух более близких к рисующему сторон прямоугольника (если их проекция помещается в рамках картины). Дальнейшее построение производится с помощью практических приемов перспективы (401).
Так (см. рис. 329), на картине с данными перспективными элементами hh', Р, D/4 и перспективным масштабом требуется построить в точке А перспективу прямого угла со сторонами, равными 4,20 м и 2,30 м и образующими с нейтральной плоскостью углы 34 и 56°.
В точке А мы построим ортогональную проекцию сторон АС' и АВ', измеренных в перспективном масштабе единицей измерения, соответствующей точке L, и образующих заданные углы с осью LAc.
В параграфе 297 было указано, как на основании такой ортогональной проекции строится в горизонтальной плоскости перспектива сторон АВ и АС. Это достаточно, так как завершение перспективы прямоугольника осуществляется приемами практической перспективы, показанными на рисунке, объяснение которых мы найдем в параграфе 401.
Таким же образом мы поступали на рисунках 638 и 647.
300.	— Б) Ограничимся тем, что мы нашли с помощью метода ортогональной проекции перспективу половины, четверти и т. д. двух ближе лежащих к рисующему сторон прямоугольника (если их ортогональная проекция не умещается в рамках картины).
Так (см. рис. 330), на картине, где нам даны перспективные элементы hh', Р, D}4 и перспективный масштаб, требуется построить в точке А перспективу прямоугольника со сторонами 7,20 м и 2,80 м, образующими с нейтральной плоскостью углы 66 и 30°.
Построим в точке А ортогональную проекцию четверти сторон АС' и АВ', размеры которых были найдены в перспективном масштабе единицей измерения, соответствующей точке L, и которые образуют нужные нам углы с осью LA. На стороне АС' отложено четыре отрезка по 1,80 м — в общей сложности 7,20 м, а на стороне АВ' четыре отрезка по 0,70 м — в общей сложности 2,80 м.
307
Рис. 331 (301)
Переведя указанным выше способом (297) ортогональную проекцию в предметную плоскость, мы получим перспективу сторон АС и АВ. Отложим упрощенным способом построения перспективы на продолженных прямых АС и АВ их нормальную, т. е. в четыре раза большую, длину (382—385) и с помощью других построений практической перспективы завершим перспективу всего прямоугольника (401). Та
ким же способом на рисунке 643 сперва была построена перспектива отрезков, равных половине длины соответствующих сторон заданного прямоугольника.
301.	— В) Ограничимся построением с помощью метода ортогональной проекции перспективы отрезка длиной в один метр (два, три и т. д.) более близких к рисующему сторон прямоугольника (если ортогональная проекция этих сторон не умещается в рамках картины).
Так, на рисунке 331 видно, что в ортогональной проекции на сторонах АС' и АВ1, образующих между собой угол 90° и с осью вращения заданные углы 35° и 55°, отложен в перспективном масштабе единицей измерения L отрезок длиной в 1 м. Построенные в предметной плоскости перспективные изображения сторон АС и АВ имеют длину, равную 1 л/. Заданные размеры на продолженных сторонах АС и АВ находят с помощью упрощенных перспективных методов (374) и после этого строят перспективные изображения остальных двух сторон прямоугольника (401).
Как пользуются методом построения ортогональной проекции
302.	— При построении перспективы квадрата и прямоугольника мы пользовались методом построения ортогональной проекции. Тем же методом мы можем строить перспективные изображения и других самых сложных геометрических фигур.
Добавим, что еще до методического изложения этого способа построения мы не раз прибегали к нему в предыдущих главах:
—	для построения перспективы окружности (рис. 260), потому что четверть круга, описанная циркулем, — это не что иное, как ортогональная проекция окружности;
—	в задаче на построение перспективы прямого угла методом малой картины (288), потому что неискаженный прямой угол, построенный в точке зрения картины, — это ортогональная проекция прямого угла.
При этом надо учесть, что в перспективе существуют практические методы для построения сложных геометрических фигур при условии, чтобы у нас имелась перспектива прямоугольника или квадрата, описывающих эти сложные фигуры. Вообще же мы советуем пользоваться методом ортогональной проекции только для построения больших перспективных композиционных линий, которыми как бы «обернуты» сложные фигуры, а для их уточнения применять более легкие практические приемы (415, рис. 464).
308
МЕТОД ОПУЩЕННОГО ИЛИ ПОДНЯТОГО ПЕРСПЕКТИВНОГО ПЛАНА
303.	— К этому методу мы прибегали в одном из предыдущих разделов (рис. 284). В этом разделе требовалось построить перспективу цилиндра. Но там, вместо того чтобы в предметной плоскости построить перспективу окружности нижнего основания цилиндра, мы для большей точности построили перспективу окружности его верхнего основания. Потому что окружность, лежащую в предметной плоскости очень близко к линии горизонта, пришлось бы строить линиями, пересекающимися под слишком острыми и поэтому очень неточными углами, в то время как окружность верхнего основания строилась в гораздо лучших графических условиях.
а)	Всякий раз, когда нам приходится производить перспективные построения фигур, расположенных слишком близко к линии горизонта, для того чтобы эти построения производились в лучших условия^, надо опустить либо поднять уровень горизонтального плана. Полученный результат переносится в первоначальную горизонтальную плоскость с помощью масштаба высоты (253, 254) так же, как это было сделано в упомянутом выше примере с построением цилиндра.
б)	Ни опускание, ни поднимание горизонтального плана ничуть не изменяют расстояния между рисующим и перспективой, которую он строит: она не увеличивается и не уменьшается. Можно было бы предположить, что вместе с опусканием или подниманием перспективного плана надо опустить или поднять и перспективный масштаб, как указывалось, когда шла речь о картинах, на которых предметы имеют различные уровни оснований (159). Но, как мы увидим дальше (304), это необходимо; мы должны производить все измерения опущенной или поднятой фигуры в перспективном масштабе единицами измерения, соответствующими фронтальной плоскости основной фигуры.
в)	В прямой перспективе поднятие и опускание перспективного плана делается в пределах, допускаемых размерами картины или листа бумаги, на которых мы работаем. В обратной перспективе эту операцию производить легче, если исполнять се в условиях, которые мы укажем ниже, во втором примере (305, а).
г)	Необходимый для этого масштаб высоты и перспективный масштаб можно построить в рамках картины. Но каждый раз, когда нам позволяют размеры поверхности, на которой мы чертим, оба эти масштаба лучше вынести за пределы картины, чтобы освободить ее поверхность от этих графических построений.
304.	— Пример I. На картине (рис. 332), на которой даны перспективные элементы hh', Р, D/4 и перспективный масштаб, надо построить перспективу прямой линии длиной в 5,50 м, лежащей под углом 28° к нейтральной плоскости.
а)	Заданная точка А расположена слишком близко к линии горизонта. Для того чтобы получить более четкие пересечения, мы ее опустим. Возьмем на проведенной из этой точки вертикали, в той же фронтальной плоскости, точку А', опущенную насколько это позволяет рабочая поверхность картины.
б)	Решение задачи методом построения ортогональной проекции производится, как мы уже знаем (285), в точке А' на оси А'а". Но отрезок длиной 5,50 м ортогональной проекции А'В1 откладывается в перспективном масштабе не единицей измерения L' на продолженной оси вращения, что было бы грубой ошибкой,
309
Рис. 332 (304)
Рис. 333 (305)
а единицей измерения L, т. е. во фронтальной плоскости заданной точки, которая находится далеко, в глубине пространства, а не на первом плане картины. Не будем вновь повторять операцию, описанную в параграфе 288.
Лежащая в опушенной горизонтальной плоскости линия А'В' — это перспектива заданной прямой (она лежит по отношению к нейтральной плоскости под заданным углом в 28°, и длина ее равна требуемой, т. е. 5,50 м).
в)	Чтобы перенести полученный результат в исходную горизонтальную плоскость, построим в пределах картины или, если возможно, вне ее масштаб высоты:
проведем через точки Л и Л' две горизонтали и между ними вертикаль аа’;
из произвольно взятой на линии горизонта точки h проведем в исходной горизонтальной плоскости линию схода h'a и линию схода h'a'— в опущенной горизонтальной плоскости.
г)	Пользуясь этим масштабом, проведем из точки В' вертикаль еще не определенного размера и горизонталь (В'Ь‘) до точки Ь' на основании масштаба высоты. Проведенная из точки b вертикаль Ъ'Ь определяет высоту точки Ь. Точка В находится на горизонтали ЬВ и определяет положение прямой АВ, что и является конечным результатом данной задачи.
На рисунке 332 для наглядности построены два масштаба высоты. В практике, конечно, надо строить только один — внутри картины, если ее размеры не позволяют построить масштаб на ее полях.
305.	— Пример II. На картине (рис. 333), где нам даны перспективные элементы hh', Р, D/4 и перспективный масштаб, мы задались прямой АВ — перспективного изображения горизонтали общего положения. Требуется найти угол, образуемый этой прямой с нейтральной плоскостью, и отложить на ней способом построения ортогональной проекции отрезок, равный, например, 8 м.
310
Рис. 334 (306)
Перспектива заданной прямой расположена слишком близко к линии горизонта, чтобы рассчитывать на получение четких пересечений. Прибегнем к методу опущенного плана.
а)	Если мы проведем из точки Л вниз вертикальную прямую и, для того чтобы опустить план, возьмем на ней произвольную точку А', то для проведения из точки А' прямой А'В', перспективно параллельной прямой АВ, пришлось бы прибегнуть к дополнительному построению. Чтобы избежать этого и облегчить построение в точке А' прямой А'В', достаточно удалить точку Л'от точки Л на расстояние, равное расстоянию между этой точкой и линией горизонта, или на расстояние, кратное этому расстоянию. Проделав такую же операцию на вертикали, проведенной из точки В, мы найдем перспективу А’В'.
На рисунке 333 на вертикали, опущенной из точки Л, был трижды отложен отрезок Аа и найдена точка Л', а на вертикали, опущенной из точки В, то же число отложенных отрезков ЬВ определило положение точки В'. Прямые АВ и А'В' параллельны в пространстве и, если их продолжить, встретятся в той же точке схода на линии горизонта.
б)	Построим на горизонтальной оси вращения, идущей через точку Л', ортогональную проекцию отрезка А'С прямой А'В', потому что целая проекция этой прямой не поместится на картине.
311
Поступая согласно указаниям, данным в параграфе 288, мы найдем угол и, который образует заданная прямая с нейтральной плоскостью.
в)	Отложим на ортогональной проекции прямой АВ из точки А до точки D1 требуемую длину 8 м, причем, как было указано выше, для этой операции надо брать единицу измерения L, соответствующую фронтальной плоскости прямой А В, а не одну из единиц перспективного масштаба, построенного на продолженной оси вращения. Отложить ее можно циркулем, масштабной линейкой или полоской бумаги с помощью единицы измерения, соответствующей точке L, не опуская перспективный масштаб до уровня опущенного перспективного плана, которому соответствует точка измерения L' (303, б).
г)	Перпендикулярная к картине прямая dP, идущая из точки d опущенного на ось перпендикуляра Did, отсекает на прямой А'В' в опущенном плане отрезок A'D' длиной в 8 м. А восставленной из точки D’ вертикалью мы откладываем полученную длину в виде отрезка AD на заданной горизонтали общего положения А В. В этом примере так же, как в предыдущем, отпадает необходимость в построении масштаба высоты.
306.	— Пример III. На рисунке 334 показано построение с помощью метода опущенного из точки А в точку а перспективного плана и метода ортогональной проекции перспективы ящика заданных размеров, в данном положении и построение перспективного изображения дома заданных размеров в данном положении с помощью метода поднятого из точки А в точку А' плана и метода ортогональной проекции.
Размеры предмета в опущенном плане откладывались единицей измерения L в перспективном масштабе, построенном на картине слева, чтобы не путать его с масштабом высоты. Размеры предмета в поднятом плане откладывались единицей измерения N.
Для построения масштаба высоты h'A2al ближе лежащего предмета (в правой части рисунка 334) и масштаба hala2 более удаленного предмета (в левой части рисунка 334) отрезок А2А1 высотой в 1м был отложен в перспективном масштабе единицей измерения L, а отрезок а!а2 высотой в 7,90 м — единицей измерения N.
Чтобы избежать перегрузки чертежа линиями построения, масштабами высоты можно пользоваться (как было указано в параграфе 254), откладывая размеры полоской бумаги.
Например, для измерения ящика, надо приложить полоску бумаги к вертикали d и отметить на ней две точки: точку d и соответствующую ей точку на линии горизонта.
Установив полоску бумаги в вертикальном положении, начнем передвигать ее вправо и влево, пока не найдем положения, в котором верхняя точка будет лежать на линии горизонта, а нижняя — d совпадет с линией основания масштаба alh’.
В этом положении отметим на полоске положение точек D1 и D2. Передвинув затем полоску в прежнее положение вдоль вертикали d и установив ее по этой точке, отметим на картине положение точек D и D' против отметок уровня точек D1 и D2 на полоске бумаги.
Эту операцию повторяют со всеми вертикальными ребрами перспективного изображения предмета, не проводя линий построения, которые фигурируют на рисунке 334.
Другие примеры с поднятым перспективным планом мы найдем на рисунках 624; 634; 638—640; 643—645, а примеры с опущенным планом— на рисунках 537; 538; 628.
312
Рис. 335 (61; 323). Питер Брейгель Старший. Охотники на снегу.
XVI. ЗАКОН ПЕРСПЕКТИВНОГО УМЕНЬШЕНИЯ И ЕГО ГРАФИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
ЗАКОН ПЕРСПЕКТИВНОГО УМЕНЬШЕНИЯ
307.	— В свое время мы указывали (9 и 97, рис. 143), что размер перспективного изображения вертикальной, горизонтальной или наклонной прямой, расположенной в пространстве параллельно картине, и размеры плоской геометрической фигуры фронтального построения зависят от двух факторов:
а)	от расстояния между рисующим и фронтальной плоскостью, в которой расположены прямая линия или плоская фигура фронтального построения: с увеличением расстояния между рисующим и объектом перспективное изображение последнего на картине уменьшается и увеличивается по мере приближения его фронтального плана к рисующему;
б)	от главного расстояния, т. е. от расстояния между глазом рисующего и картиной. Перспективное изображение на картине увеличивается с увеличением главного расстояния и уменьшается с его уменьшением.
На схеме 336 видно, что на картине К перспектива ab вертикали пространства АВ, расположенная между зрительными лучами ОаА и ОЬВ, больше перспектив cd и ef верти
313
калей CD и EF пространства того же размера, что и вертикаль АВ, но расположенных дальше от рисующего.
На схеме 337 мы видим, что перспектива той же вертикали пространства АВ больше на картине К, если она расположена дальше от рисующего и уменьшается на картинах К1 и К2, по мере приближения этих картин к рисующему, который не покидал своего места.
На схеме 338 видно, что перед нами два подобных треугольника:
а)	Треугольник ОАВ. Основание АВ этого треугольника — вертикальная прямая пространства. Обозначим ее буквой I. Высота OR треугольника—главный луч зрения — определяет расстояние между рисующим и фронтальной плоскостью пространства, в которой расположена вертикаль. Обозначим это расстояние греческой буквой Д.
б)	Меньший треугольник ОаЬ. Его основание ab — перспективное изображение на картине вертикали пространства. Обозначим эту перспективу буквой /. Высота треугольника ОР, т. е. главный луч зрения, определяет расстояние от рисующего до картины, или главное расстояние. Обозначим его буквой D.
Эти два треугольника подобны. Соответствующие их стороны пропорциональны, следовательно, мы можем составить следующую пропорцию:
высота перспективы i	главное расстояние D
высота вертикали пространств I отдаление фронтальной плоскости Д
i D
или — = — >
/ Д
D
откуда i = I X — >
Д
то есть величина i перспективы параллельной картине прямой пространства равна действительной величине этой прямой I, умноженной на отношение главного расстояния D к отдалению А фронтальной плоскости, в которой расположена прямая пространства. Это закон, по которому происходит уменьшение перспективы геометрических фигур фронтального построения.
Вышеприведенная формула подтверждает вывод, который мы сделали по схемам 336, 337, т. е. что размеры перспективы параллельной картине прямой пространства увеличиваются с увеличением главного расстояния (числителя отношения) и уменьшаются с увеличением расстояния между рисующим и фронтальной плоскостью пространства (знаменателя отношения).
308.	— В теории с помощью выведенной формулы можно вычислить на картине расстояние до каждой точки в пространстве.
Для этого достаточно знать:
а)	высоту точки в пространстве над или под главной горизонтальной плоскостью зрения. Высота этой точки определяется параллельной картине вертикалью, а перспектива этой прямой уменьшается согласно приведенному выше закону;
314
б)	расстояние между точкой пространства и главной вертикальной плоскостью зрения, по одну или по другую сторону этой плоскости. Это расстояние определяется параллельной картине горизонталью, и перспектива ее уменьшается согласно тому же закону;
в)	расстояние до фронтальной плоскости, в которой расположена точка пространства;
г)	главное расстояние картины.
Введя эти величины в формулу, мы найдем размер перспективы прямой, определяющей высоту точки над или под линией горизонта, и размер перспективы горизонтали, которая указывает расстояние в одну или в другую сторону от вертикали W точки, положение которой на картине можно определить с помощью этих данных, не прибегая к другим графическим построениям.
Рис. 336 (307)
Но художник не счетовод. Поэтому мы не даем ни одного примера на применение вычислений и формул перспективного уменьшения для построения на картине перспективного изображения точки, прямой или любой плоской фигуры пространства в тех случаях, когда нам даны в прямой перспективе ее координаты по отношению к главным плоскостям зрения и к нейтральной плоскости.
Мы заговорили о законе перспективного уменьшения, потому что он применим и в графических построениях. Графическое применение этого закона, требующее простых построений, очень облегчает художникам решение одной из основных задач перспективы: установления непосредственной и живой связи между перспективой и предметом в пространстве, положение которого можно сразу же определить. Художник может построить графическим путем на картине перспективу любой фигуры, если он знает ее положение в пространстве по отношению к нему, причем при построении перспективы хотя бы одной прямой он перестает в ней видеть нечто отвлеченное и может легко и точно определить положение в пространстве прямой в соответствии с построенной на картине перспективой. Картина перестает быть для него непрозрачной поверхностью: он представляет себе позади набросанных на ней линий каждый предмет, расположенный в пространстве ближе
315
или дальше от картины в той или иной фронтальной плоскости, и если он знает разницу уровня и глубину в пространстве этих предметов, то ему будет нетрудно передать все неровности земной поверхности, на которой расположены эти предметы, и усилить с помощью эффектов воздушной перспективы трехмерность композиции.
309.	— Такая непосредственная и живая связь между предметами в пространстве и их перспективой устанавливается легко, если мы твердо и раз навсегда запомним, что треугольники О АВ и ОаЬ, с помощью которых был доказан закон перспективного уменьшения, подобны.
В этих треугольниках (рис. 339) особую важность представляют для нас:
а)	действительный размер в пространстве параллельной картине вертикали АВ, длину которой мы приняли условно за 1 м, т. е. за единицу измерения для включающей эту прямую фронтальной плоскости;
б)	размер перспективного изображения ab, расположенной в пространстве параллельно картине вертикали АВ, являющейся на картине единицей измерения для соответствующей фронтальной плоскости;
в)	действительное расстояние ВО1 между нейтральной плоскостью и содержащей заданную вертикаль фронтальной плоскостью;
г)	действительный размер главного расстояния ОР между нейтральной и картинной плоскостями.
Из подобия этих двух треугольников и из пропорциональности их сторон и их высоты следует, что отношение в пространстве единицы измерения АВ к расстоянию ВО1 между фронтальной и нейтральной плоскостями равно отношению перспективы ab единицы измерения на картине к главному расстоянию ОР. Иными словами, отношение единицы измерения АВ к отрезку ВО/ равно отношению ее перспективного изображения ab на картине к главному расстоянию ОР, т. е. если (рис. 339) мы отложим на прямой ВО1 определяющий ее высоту отрезок / размером в 1 м, который помещается в ней шесть с половиной раз, то и размер перспективного изображения i единицы измерения фронтальной плоскости поместится шесть с половиной раз в данном главном расстоянии РО.
Перспективные задачи, решаемые графическим путем с помощью закона перспективного уменьшения
310.	— Из установленного равенства отношений следует, что в тех случаях, когда нам известны три элемента формулы перспективного уменьшения, мы можем графическим путем вывести четвертый.
1.	Действительный размер в пространстве параллельной картине прямой (вертикальной, горизонтальной либо наклонной) можно определить графическим путем, если на картине дана ее перспектива и главное расстояние (целое или частичное) и если нам дано, мы знаем или мы предполагаем расстояние между рисующим (т. е. нейтральной плоскостью) и фронтальной плоскостью, в которой лежит эта прямая.
316
2.	Размер перспективного изображения параллельной картине вертикальной, горизонтальной или наклонной прямой можно установить графическим путем, если мы знаем ее размер в пространстве, расстояние между рисующим и фронтальной плоскостью, в которой проходит эта прямая, и целое или частичное главное расстояние картины.
3.	Действительное расстояние между рисующим и фронтальной плоскостью, в которой проходит параллельная картине вертикальная, горизонтальная или наклонная прямая, можно установить графическим путем, если нам известен действительный размер этой прямой, ее перспектива и главное расстояние картины.
4.	Главное расстояние картины можно установить графическим путем, если мы знаем действительный размер параллельной картине прямой пространства, расстояние между рисующим и фронтальной плоскостью, в которой проходят эта прямая и ее перспективное изображение.
Эти случаи встречаются не одинаково часто в практике художника и не представляют одинакового интереса. И все же мы проанализируем их все, но остановимся более подробно на тех, которые, по нашему мнению, полезнее.
1. Определение действительных размеров в пространстве изображенных на картине предметов
311. — Действительный размер в пространстве параллельной картине вертикальной, горизонтальной или наклонной прямой можно установить, зная ее перспективное изображение, главное расстояние картины и действительное или предполагаемое расстояние, на котором находится эта прямая от рисующего.
На картине (рис. 340), на которой даны: линия горизонта hh', главная точка Р и дробные точки отдаления D/4 и D'/4, зададимся перспективой ab параллельной картине вертикальной прямой АВ, которая в пространстве находится на известном нам расстоянии, например в 30 м, от рисующего.
Зная:
перспективу параллельной картине прямой i = ab;
расстояние до фронтальной плоскости, в которой проходит эта прямая, Д = 30 м;
дробное главное расстояние D/4 = PD/4;
317
и поступая, как указано ниже, мы можем узнать действительную высоту I вертикали АВ в пространстве.
а)	Во фронтальной плоскости, в которой проходит заданная прямая, перспектива единицы измерения равна одной тридцатой главного расстояния или 7,5 дробного главного расстояния PD/4 (30 :4 = 7,5). Чтобы найти ее, проведем из главной точки вспомогательную прямую и отложим на ней семь равных делений и еще половину деления. Соединим конец с последнего деления с точкой D'/4 и проведем через конец 1 первого деления геометрическую параллель 1 — п к прямой cD'14, чтобы найти на линии горизонта отрезок Рп, являющийся перспективой одного метра в расположенной в тридцати метрах от рисующего фронтальной плоскости.
б)	Измерим с помощью циркуля или полоски бумаги найденной единицей измерения вертикаль ab. Мы получим высоту вертикали I, равную 8,50 м.
В результате этого измерения мы узнали, что основание этой параллельной картине вертикали находится на два метра ниже уровня линии горизонта. Если глаз работающего стоя художника находится на высоте примерно 1,60 м над уровнем предметной плоскости, то уровень земной поверхности между художником и находящейся от него на расстоянии 30 м фронтальной плоскостью снижается на 0,40 м.
Если этой же единицей измерения мы измерим горизонтальную прямую ас (dacd'— след от пересечения предметной плоскости фронтальной плоскостью, расположенной в 30 м от рисующего), мы найдем, что вертикальная прямая АВ расположена в пространстве слева от главной вертикальной плоскости зрения на расстоянии 6,50 м.
Для художника, который произвел такую проверку, прямая ab перестает быть абстрактной и неизвестной величиной. Позади этой линии он угадывает на расстоянии 30 м действительную вертикаль высотой в 8,50 м, расположенную на расстоянии 6,50 м слева от главной вертикальной плоскости зрения.
Для него положение в пространстве этой параллельной картине прямой станет настолько очевидным, что ему очень легко будет составить ее ортогональную проекцию (план) (рис. 340, 6).
На этом плане точка О является точкой зрения. В масштабе 1:1000 художник должен отложить на главном луче зрения Оо отрезок, равный 30 мм (30 л«), и на перпендикуляре dd' влево — отрезок сА, равный 6,5 мм (6,50 м). Точка А — это основание нарисованной на картине вертикали. Ниже точки А нужно проставить — 0,40, чтобы не забыть, что в этом месте уровень почвы на 0,40 м ниже места, где он стоит. Эта схема является реконструированным планом перспективного изображения (16).
312. — Эти измерения могли быть произведены благодаря тому, что мы знали, как найти размер перспективного изображения единицы измерения (метра) данной фронтальной плоскости. Поэтому запомним, что для того, чтобы найти размер перспективного изображения единицы измерения фронтальной плоскости, надо (пользуясь вспомогательной прямой) разделить дробное главное расстояние PD/4 на число делений, в четыре раза меньшее числа метров, определяющего расстояние между рисующим и данной фронтальной плоскостью.
313. — Приведем пример, из которого нам станут очевидны пластические преимущества таких измерений (рис. 341).
318
Пример. На рисунке, иллюстрирующем рассказ, в котором упоминается ширина фигурирующей в нем реки, художник изобразил на ее противоположном берегу дерево и фронтально расположенный дом. Для того, чтобы закончить рисунок, художнику надо установить, чему соответствует размер прямой ab на данном расстоянии: кусту, небольшому деревцу, среднему или
большому дереву. Кроме того, ему надо знать, сколько этажей должен иметь на рисунке дом, находящийся дальше от дерева, и как расположить его окна.
1. Ширина реки, по предположению художника или по данным повести, равна 30 м. Сам он находится примерно в 6 м от берега, а дерево — по ту сторону реки — примерно в 10 м от противоположного берега. Следовательно, расстояние от художника до дерева равно 46 м. В фронтальной плоскости, соответствующей центру дерева, единица измерения равна одной сорока шестой части главного расстояния PD или 11,5 части дробного главного расстояния PD/4 (46 : 4 — 11,50). Чтобы найти эту единицу, поступим, как было указано выше:
а)	Проведем из точки Р вспомогательную прямую Pd, на которой отложим одиннадцать с половиной равных делений. Соединим конец d вспомогательной прямой с точкой D'/4; проведем через первое деление геометрическую параллель к dD’/4. Мы получим на линии горизонта перспективу одного метра, т. е. единицу измерения для фронтальной плоскости, расположенной в 46 м от художника.
б)	Отметив на полоске бумаги размер одного метра и измерив им вертикальную прямую ab, художник определит, что дерево должно быть высотой в 10 м. Поэтому при его рисовании он должен будет найти пластическую форму выражения, которая поможет зрителю почувствовать эту высоту; только в этом случае зритель сознает действительную ширину реки.
2.	Дом расположен еще дальше, примерно в шестидесяти метрах от художника (между деревом и домом проходит дорога). Поступая так же, как в предыдущем случае, отложим на вспомогательной прямой Рп 15 равных делений (60:4=15) и с помощью найденной единицы измерения определим, что длина дома равна 9,5 м (три комнаты и, следовательно, три или шесть оконных и дверных проемов), а высота — Злг (один этаж).
314.	— Примечание. Когда единица измерения слишком мала, чтобы получить точные измерения, можно найти на линии горизонта, как это показано на рисунке 341, перспективу отрезка, равного 5м, 10 м и т. д.
319
На рисунках 343 и 344 показано, как найти сразу и точно необходимый нам размер, проведя геометрическую параллель через соответствующее деление на вспомогательной прямой.
Чтобы не загружать рисунок перспективными построениями, необходимыми при нахождении единиц измерения других фронтальных плоскостей данной композиции, эти построения можно исполнить на другом листе бумаги, взяв прямую, равную расстоянию PD/4.
Таким образом мы поступили на рисунке 344 для ряда измерений, требуемых по ходу задачи.
2. Как найти размер перспективного изображения
315.	— Размер перспективного изображения параллельной картине вертикальной, горизонтальной или наклонной прямой можно определить на картине, зная ее размеры в пространстве, расстояние между рисующим и фронтальной плоскостью, в которой она проходит, и главное расстояние картины.
Художник хочет построить на картине (рис. 342), на которой ему известны линия горизонта hh', главная точка Р и дробная точка отдаления D/4, перспективу параллельной картине прямой, например, вертикали высотой в 6 м, лежащей во фронтальной плоскости, расположенной на расстоянии 20 м от рисующего. Он знает положение этой прямой в фронтальной плоскости: основание плоскости лежит ниже уровня глаз рисующего на 1,50 л«, а сама прямая расположена справа от главной вертикальной зрительной плоскости на расстоянии 4 м. Это данные задачи, решаемой прямой перспективой.
Такую задачу решить легко, потому что мы знаем, как находить единицу изме-
рения, соответствующую фронтальной плоскости, расположенной на заданном расстоянии от рисующего.
а)	Отложим на вспомогательной прямой Рп пять равных делений (20:4=5). Мы найдем, как указывалось выше, отрезок Pd, являющийся перспективой одного метра для расположении от рисующего фронтальной плоскости.
б)	Отложим этой единицей
измерения на линии горизонта
Рис. 342 (315)	вправо от точки Р расстояние,
320
с
Рис. 343 (314; 316)
равное 4 м, до точки с и проведем через эту точку вертикальную линию еще не установленной длины. Отложим на ней вниз от линии горизонта до точки а 1,50 м и вверх от этой линии до точки b — 4,50 м. Мы найдем прямую ab, являющуюся перспективой вертикальной прямой А В. На геометрическом чертеже (рис. 342) показано положение рисующего в точке о по отношению к вертикали А в пространстве.
316.—Пример 1.1. Художник по детальному описанию, по пре
доставленным в его распоряжение планам, по памяти или по созданному в воображении образу хочет нарисовать параллельную картине вертикальную прямую длиной, например, в 12 м (фабричную трубу), расположенную во фронтальной плоскости на расстоянии 50 м от него ив 10 .и влево от главной вертикальной плоскости зрения. Кроме этого, предположим, что местность, на которой построена фабрика, поднимается в гору, и поэтому основание вертикали, т. е. фабричной трубы, находится на полтора метра выше уровня глаз рисующего (линии горизонта). Мы также знаем дробное главное расстояние картины PD/4, полученной указанным в параграфе 78 методом.
Для решения задачи достаточно найти размер одного метра, соответствующего фронтально расположенной в пространстве плоскости, находящейся в 50 м от рисующего. Это пятидесятая часть главного расстояния или разделенная на двенадцать с половиной частей четверть главного расстояния (50 : 4 = 12,5).
Для этого отложим на вспомогательной прямой Ра двенадцать с половиной равных делений. Соединим конец’а последнего деления с точкой D'/4. Проведем из конца первого деления геометрическую параллель к прямой aD'/4. Мы найдем на линии горизонта размер перспективы одного метра в расположенной на расстоянии 50 м от рисующего фронтальной плоскости.
Эту операцию можно облегчить и выполнить с большей точностью, если мы найдем нужные нам размеры: 1,50 м—уровень земли, 10 м — расстояние вправо от главной вертикальной плоскости зрения, 12 м — высоту фабричной трубы, проведя, как указано на рисунке 343, геометрические параллели к прямой aD'/4 через соответствующие деления на вспомогательной прямой.
Отметив на полоске бумаги расстояния, найденные на линии горизонта, отложим влево от главной точки отрезок Pd— 10 м, затем отрезок di = 1,50 м — возвышение местности над линией горизонта и, наконец, отрезок ic = 12 м — высоту фабричной трубы.
321
2. Допустим, что на той же картине художник хочет изобразить на вершине расположенного от него на расстоянии 2 км холма высотой в 300 м над уровнем его глаз руины средневекового замка.
Проведем из точки Р вторую вспомогательную прямую РЬ. Отложим на ней пять равных делений (четвертую часть расстояния в 2000 м; 2000:4 = 500 м), каждое в 100 м. Соединим конец последнего деления с точкой D'[4. Проведем через конец третьего деления прямую, параллельную bD'/4. Мы найдем на линии горизонта отрезок Ра, равный 300 м во фронтальной плоскости, на расстоянии 2 км от рисующего. Отложив полоской бумаги это расстояние по вертикали над линией горизонта, мы получим высоту вершины холма — 300 м.
317. — Пример II. Применяя графически, как было указано выше, закон перспективного уменьшения, художник может найти в перспективе по данным карты этой местности (рис. 344) важные точки участка, где должно происходить действие, которое он хочет изобразить па картине (поле сражения, участок, на котором начнется стройка).
Высота глаз художника, расположившегося в точке О на пригорке высотой в 5 м, равна 6,60 м (5 -f-1,60 = 6,60) над уровнем пересекающего шоссе моста. Перед ним тянется долина, сжатая с двух сторон холмами высотой — один в 30 м, другой в 25 м над уровнем того же моста. Таким образом их вершины находятся над уровнем глаз рисующего — первая на высоте 23,50 м (30 — 6,50 = 23,50), вторая — на высоте 18,50 м (25— 6,50 = 18,50 ).
В точке О построен угол в 53°, соответствующий максимальному охвату поля наилучшего зрения художника, и биссектриса этого угла, представляющая собой главный луч его зрения. На этом луче в масштабе 1 : 4000 картины находится на расстоянии 30 м от художника фронтальная плоскость расположенного на первом плане моста длиной в 18 м я дальше — фронтальные плоскости вершин холмов: одна — на расстоянии 104 м, другая — на расстоянии 140 м от точки зрения О.
Затем художник проводит на картине линию горизонта и отмечает на ней главную точку Р и дробные точки отдаления D/4 и D'j4.
Перспектива моста. Величину единицы измерения фронтальной плоскости моста, расположенной в 30 м от рисующего, он найдет, разделив четверть главного расстояния на 7,5 равных частей (30 :4 = 7,50). Таким образом, он должен отложить на вспомогательной прямой от Р до а 7,5 равных частей и соединить конец а последнего деления с точкой D']4. Обозначив па вспомогательной прямой первое деление цифрой 1, цифрой 2 точку, лежащую от нее на полтора деления, и цифрой 3 точку шестого с половиной деления п проведя через точки 1, 2, 3 прямые, геометрически параллельные прямой aD'14, он найдет на линии горизонта:
отрезок Р1', представляющий собой единицу измерения расположенной в 30 м от художника фронтальной плоскости. Этой единицей измеряется длина моста, равная 18 м;
отрезок Р2' длиной в 1,50 м. Этим отрезком с помощью точки Z>'/4 откладывается на перпендикулярной к картине прямой ширина идущего через мост шоссе (1,50 X 4 =6); им же измерен и рост людей на мосту и на шоссе;
322
Рис. 344 (61; 314; 317)
отрезок РЗ' длиной в 6,50 м; им измеряется вертикаль РЬ, показывающая уровень моста, лежащего на 6,50 м ниже линии горизонта.
Перспектива вершины правого холма. Продолжая идти тем же путем, отложим на вспомогательной прямой фронтальной плоскости, расположенной в 104 м от рисующего, 26 равных делений (104 :4 — 26). Соединим конец с последнего деления с точкой D'/4.
Отметим на этой вспомогательной прямой цифрой 4 конец тридцать второго деления и цифрой 5 — конец двадцать третьего с половиной деления. Проведя из точек 4 и 5 прямые, параллельные прямой cD’14, мы получим на линии горизонта:
а)	отрезок Р4' длиной в 32 м — расстояние, вправо, между главной вертикальной плоскостью зрения и вершиной холма. Проведем из точки 4' вертикальную прямую еще не установленной длины. По ней мы найдем высоту холма;
6)	отрезок Р5', равный 23,50 м. Он определяет уровень этого холма над линией горизонта. Измерим полоской бумаги или циркулем длину отрезка Р5' и отложим ее на вертикали, проведенной из точки 4'. Мы найдем точку d', указывающую уровень вершины первого холма.
Перспектива вершины левого холма. Проделаем те же операции на вспомогательной прямой Ре. Отложим 35 равных делений для фронтальной плоскости, расположенной в 140 м от рисующего (140 : 4 = 35). Пометим конец тридцать пятого деления буквой е. Отложим 18,5 делений до точки 6 для определения высоты холма и 41 деление до точки 7 для определения отдаления вершины этого холма от главной вертикальной плоскости. Проведем из точки 7' вертикальную прямую. Отложим на ней отрезок Р6', равный 18,50 м.
Если на плане в точке А помечена нефтяная вышка высотой в 12 м, расположенная на 10 м выше уровня моста и, следовательно, на 3,50 м выше линии горизонта, на
323
расстоянии 18 м от главной вертикальной плоскости — во фронтальной плоскости, находящейся на расстоянии 116 м от рисующего, то мы найдем ее перспективу тем же способом.
На проведенной вне картины прямой, равной дробному главному расстоянию PD/4, отложим с помощью вспомогательной прямой 29 равных делений (116 : 4 =29).
Затем: три деления с половиной для определения уровня основания вышки; двенадцать делений для определения ее высоты;
восемнадцать делений для определения расстояния между вышкой и главной вертикальной зрительной плоскостью.
С помощью этих координат построена на картине перспектива вышки.
Этим способом художник может создать правдивую композицию на местности, которой он никогда не видел.
3. Определение действительного расстояния
318.	— Действительное расстояние между рисующим и фронтальной плоскостью, в которой проходит параллельная картине прямая (вертикальная, горизонтальная либо наклонная), можно найти, если мы знаем размер этой прямой в пространстве и если у нас имеется перспектива этой прямой и главное расстояние картины.
На картине (рис. 345), на которой нам даны линия горизонта, главная точка и дробное главное расстояние, прямая ab— это перспектива параллельной картине вертикали заданной длины 3 м. Если нам известны:
перспектива параллельной картине вертикали i = ab,
размер параллельной картине вертикали пространства I — 3 м.
дробное главное расстояние D/4 = PD/4,
мы можем определить расстояние А между рисующим и фронтальной плоскостью, в которой проходит прямая пространства.
а)	Разделив с помощью вспомогательной прямой ас перспективу заданной параллельной картине вертикали на число содержащихся в ней метров, мы найдем единицу измерения фронтальной плоскости. В данном случае на вспомогательной прямой отложено три отрезка равной длины. Таким образом, отрезок а-1 — это перспективное изображение метра с его делениями.
б)	Измерим этой единицей дробное главное, расстояние PD/4. Мы увидим, что оно равно 2,20 м. Отсюда следует, что длина главного расстояния равна 2,20 X 4 = 8,80 м, т. е. расстоянию до фронтальной плоскости, включающей заданную прямую, потому что, как говорилось в параграфе 309, отношение между перспективой единицы измерения и главным расстоянием картины равно отношению метра к расстоянию между фронтальной плоскостью и рисующим в пространстве.
Так мы поступали, чтобы найти расстояние до рисующего предметов на рисунках 25, 26 и 27, где нам было известно дробное главное расстояние PD/4 и размеры в пространстве — 0,20 м (на рис. 25), 2,30 м (на рис. 26) и 21 м (на рис. 27)—ребер AD.
324
Мы нашли (с помощью вспомогательной прямой, не показанной на рисунках) единицу измерения этих ребер. Измеренное этой единицей дробное главное расстояние FD/4 равно 0,185 м на рисунке 25; 2,20 м — на рисунке 26; 19,50 м — на рисунке 27. Следовательно, радиоприемник находится от рисующего на расстоянии 0,74 м (0,185x4), памятник — на расстоянии 8,80 м (2,20x4), а здание — на расстоянии 78 м (19,50x4).
Таким же образом можно найти расстояние между рисующим и фронтальной плоскостью, след которой на предметной плоскости сливается с нижним краем картины. Это помогает художнику создать себе очень яркое представление о пространстве, заключенном в рамках его картины (521—523).
Как мы увидим из дальнейших примеров, художнику крайне полезно уметь находить таким способом расстояние, отдаляющее его от фронтальной плоскости, включающей изображенные на картине параллельные к ней линии.
Установка модели для детального изучения композиции
319.	— На первом наброске (рис. 346) художник изобразил три человеческие фигуры, рост которых он знает. Он представил их схематически вертикалями АВ, CD, EF. АВ равна 1,75 м, CD—1,80 м, EF—1,65 м.
Ему надо найти расстояние между рисующим и фронтальными плоскостями, в которых лежат эти фигуры, так как это позволит установить их относительное взаи-моположение и профиль земной поверхности, на которой они расположены.
Каждый художник должен уметь проделывать такие операции: это поможет ему сразу же определить расстояние, на котором он должен установить натурщика или натурщицу для изучения деталей композиции, так как для изучения каждого из них в отдельности и исполнения соответствующих рисунков он должен установить их у себя в мастерской на том же расстоянии и уровне по отношению к нему, иа котором они намечены на картине. Поступая таким образом, художник получит на своем этюде правдивое перспективное изображение каждой фигуры — точную линию плеч, правильное расстояние между фронтальными плоскостями, соответствующими поло
325
жению ног фигур, естественное направление взгляда и т. д. Затем, чтобы иметь на картине фигуры нужного размера, он должен увеличить или уменьшить каким-либо простейшим способом (например, с помощью сетки из квадратов) полученные таким образом этюды, не внося в них никаких изменений. Исправленные таким образом перспективные изображения человеческих фигур сольются с остальными элементами картины, будут нужной высоты и будут находиться на нужном расстоянии.
Возможность рисовать в реальных условиях этюды с натуры необходимых для композиции человеческих фигур — это и есть та существенная помощь, которую дает художнику изучение линейной перспективы. Пытаясь нарисовать фигуры без модели, установленной точно в том же положении, в котором они должны фигурировать на картине, а с помощью сложных перспективных построений и ограниченного числа исходных точек только для некоторых главных линий этих фигур, художник с большими усилиями и ненужной потерей времени получит коллекцию никуда негодных схематических перспективных изображений, не представляющих никакой художественной ценности (607, рис. 679—681).
Для определения положения в пространстве каждой изображенной на картине фигуры художник должен поступать следующим образом:
а)	Отложить на вспомогательных прямых Аа, Сс, Ее, в соответствии с ростом изображаемых человеческих фигур, семнадцать с половиной делений, восемнадцать делений и шестнадцать с половиной делений. Соединить концы последних делений на вспомогательных линиях с концами В, D, F вертикалей А В, CD, EF. Проведя через десятое деление геометрические параллели к полученным таким образом прямым ЬВ, dD, fF, он получит отрезки: Ао — единицу измерения фронтальной плоскости, в которой расположена фигура АВ, Со — единицу измерения для фронтальной плоскости фигуры CD и Ео — единицу измерения для фронтальной плоскости фигуры EF.
6)	Из точек и, в которых заданные фигуры пересечены линией горизонта, провести другие геометрически параллельные прямые к линиям ЬВ, dD и fF. Этим он определит с помощью вспомогательной прямой, что изображенные на картине чело-
Рис. 347 (319)
веческие фигуры АВ, CD, EF соответственно стоят на 1,55 м, на 0,70 м и на 1,20 м ниже линии горизонта, т. е. ниже уровня его глаз, иными словами, та часть местности, на которой стоит фигура EF, приподнята на 0,35 м (1,55— 1,20 =0,35) над частью, где стоит фигура АВ, а часть, на которой находится фигура CD, — на 0,85 м выше части, на которой стоит фигура АВ.
326
в)	Чтобы найти в перспективном масштабе фронтальных плоскостей фигур АВ, CD, EF деления метра, художник должен провести горизонтальные прямые до единиц измерения L, N, R; этим он определит деления метра, соответствующие каждой из этих плоскостей.
г)	Чтобы найти расстояние, на котором расположены в пространстве относительно главной вертикальной плоскости зрения нарисованные на картине человеческие фигуры, он должен измерить в перспективном масштабе единицей измерения L расстояние Аа, равное 1,70 м, на котором находится фигура АВ; единицей измерения N—расстояние Ее' в 2,30 м до фигуры EF и единицей измерения R—расстояние в 0,80 м до фигуры CD.
д)	Наконец, чтобы определить в пространстве расстояние между фронтальными плоскостями изображенных на картине человеческих фигур и художником, он должен последовательно измерить отдельно для каждой фигуры единицей измерения, соответствующей ее плоскости, дробное главное расстояние PD/4:
Единицей измерения Аг (равной единице измерения L в перспективном масштабе картины) он установит, что фронтальная плоскость фигуры АВ находится на расстоянии 1,60 X 4, т. е. на расстоянии 6,40 м; больше чем расстояние до фигуры АВ.
Единицей измерения Ег (соответствующей в перспективном масштабе единице N) он определит, что расстояние до фронтальной плоскости фигуры EF равно 1,95 м X 4 =7,80 м, т. е. на 1,40 м.
Единицей измерения Сг (соответствующей единице R) он уточнит, что расстояние до фронтальной плоскости фигуры CD равно 2,60 X 4 м= 10,40 м, т. е. на 2,60 м больше, чем расстояние до фронтальной плоскости фигуры EF.
Таким образом художник найдет взаиморасположение нарисованных на его картине человеческих фигур и будет в состоянии решить, действительно ли они занимают одна по отношению к другой место, соответствующее действию, в котором они участвуют на картине. Вместе с тем, зная их положение относительно нейтральной плоскости, он сможет установить позирующего ему натурщика или натурщицу в позе, наиболее подходящей для изучения нужных ему деталей (см. схематический план на рис. 346).
Ему останется начертить на полу своей мастерской мелом прямую — проекцию своего главного луча зрения—и отметить на этой прямой проекцию своей точки зрения О, т. е. место, которое он должен будет занять для этюда.
На этой прямой он должен:
отложить 6,40 м — расстояние до фронтальной плоскости фигуры АВ;
прибавить к нему 1,40 м— разницу расстояния до фронтальной плоскости фигуры EFw
еще 2,60 м — расстояние до фронтальной плоскости самой отдаленной фигуры.
Отложив на проведенном к проекции луча зрения перпендикуляре влево отрезок 1,70 м, художник найдет точку А — место фигуры А В, а с помощью отложенных вправо отрезков 2,50 и 0,80 м он найдет точки F и С для фигур EF и CD.
Для того, чтобы фигуры занимали во фронтальных плоскостях относительно художника то же положение, что и на картине, он должен будет поставить фигуру EF на стул высотой в 0,35 м, а фигуру CD — на стол высотой в 0,85 м.
327
Во время работы над картиной художник должен все время иметь в виду эту разницу уровней: он должен передать постепенный подъем местности, равный между точками АиЕ — 0,35 л/ и между F и С — 0,50 м (0,85 — 0,35 = 0,50, рис. 347).
Только таким образом художник, набросав на своем эскизе по памяти или вообразив три линии, может добиться в своем произведении наиболее правдивого впечатления как в ансамбле, так и в самых мелких деталях.
Фигуры, которые не умещаются полностью в рамках картины
320.	— Мы имели возможность убедиться, что, применяя закон перспективного уменьшения для определения уровня и расстояния между собой и нарисованными на картине человеческими фигурами, художник пользуется не предметной плоскостью, а одной лишь линией горизонта, на которой отмечена дробная точка главного расстояния. При помощи этого метода он будет легко решать композиционные задачи, в которых фигуры или предметы первого плана не помещаются полностью в рамках картины и их положение в пространстве не уточнено указанием их места в предметной плоскости.
Примем за исходную точку средний размер головы человека от подбородка до темени — 23 см. Увеличим его до 25 см и возьмем две пятых этого размера, т. е. 10 см. Мы получили единицу измерения фронтальной плоскости данной человеческой фигуры. (Если рисунок слишком мал, примем за единицу измерения четверть метра, т. е. слегка увеличенный размер головы.)
Измерив единицей измерения плоскости, соответствующей каждой человеческой фигуре данной композиции, расстояние по линии горизонта от главной точки до дробной точки отдаления и умножив его на делитель этой точки, художник найдет расстояние до фронтальной плоскости фигуры. Затем путем сравнения этих расстояний он выведет относительные расстояния между человеческими фигурами.
Найдя в прямой перспективе указанным выше способом’(312) размер (10 или 25 см) единицы измерения фронтальной плоскости, расположенной от него на известном ему расстоянии, и пользуясь этой единицей, художник может нарисовать на картине, в нужном месте и на нужном ему отдалении, одну или несколько человеческих фигур, даже в том случае, если они не помещаются целиком в рамках картины.
Предположим, например (рис. 348), что рисующий, работая стоя и имея уровень глаз на высоте 1,60 м, нарисовал голову сидящего на стуле человека с уровнем глаз, равным 1,20 м,
Рис. 348 (320)
328
т. е. на 40 см ниже еще не проведенной на картине линии горизонта. Эту линию (hh') он найдет, отложив над уровнем глаз позирующего четыре единицы измерения по 10 см (две пятых размера головы). Затем он отметит посредине этой линии главную точку Р и дробные точки отдаления D/4 и D'/4, которые, как известно, должны отстоять от главной точки по меньшей мере на расстоянии половины радиуса описывающей картину окружности (PD/4 > Ро/2), и наряду с этим может построить и перспективный масштаб картины, так как ему известен уровень линии горизонта, равный 1,60 м.
Затем художник нарисует две другие стоячие фигуры, глаза которых, в зависимости от их роста, находятся немного выше или немного ниже линии горизонта. Из этих фигур (рис. 348) только одна умещается целиком в рамках картины.
После этого ему предстоит найти методом обратной перспективы относительное положение нарисованных фигур.
Дробное главное расстояние PD/4, измеренное единицей 10 см, найденное по размеру головы сидящего человека, равно 40 см, и, следовательно, фронтальная плоскость этой фигуры находится в 1,60 м (0,40 X 4 = 1,60) от рисующего. С помощью такой же операции художник найдет, что фронтальная плоскость второй фигуры находится на расстоянии 1,84 м, а чтобы найти положение третьей фигуры, ему придется измерить главное расстояние в перспективном масштабе картины единицей измерения L. В результате этой операции он определит, что главное расстояние равно 1,17 м, а расстояние до третьей фигуры составляет 4,68 м (1,17 X 4 =4,68). Теперь ему будет легко уточнить, что расстояние между фронтальными плоскостями первых двух фигур равно 0,24 м, а между фронтальными плоскостями второй и третьей фигур равно 2,84 м.
В прямой перспективе мы можем дополнить композицию фигурами и предметами, размеры которых определяются сообразно расстоянию, на котором мы хотим их поместить по отношению к нам и к уже нарисованной детали, если расстояние до нее найдено с помощью обратной перспективы. Нарисуем, например, на расстоянии 1,32 м от третьей фигуры, т. е. на расстоянии 6 м от нас, стену. Для этого достаточно найти с помощью вспомогательной прямой Ра отрезок Рп, размер которого соответствует на этом расстоянии 1 м и его делениям (6:4 = 1,50). Отложим этой единицей от линии горизонта вниз 1,60 л/, т. е. высоту стены, и нарисуем на ней (пользуясь для этого, если понадобится, и найденной в перспективном масштабе картины единицей измерения N) требуемых размеров дверь, картину и т. д.
Если мы захотим поместить в глубине следующей комнаты против открытой двери на расстоянии 2,40 м от нарисованной стены (т. е. в 8,40 м от рисующего) еще одну человеческую фигуру, то это расстояние можно отложить или на перпендикулярной к картине прямой cd, или, найдя размер одного метра во фронтальной плоскости, его откладывают на проведенной вне картины прямой gb, равной PD/4. Для этого надо отложить на вспомогательной прямой два и одну десятую деления единицы измерения, т. е. четверть отрезка в 8,40 м. Отмерим на прямой gb при помощи полоски бумаги (или циркулем) отрезок в 1,60 м и перенесем его вертикально одним концом в точку I на линии горизонта. Мы получим отрезок iK, равный 1,60 м, во фронтальной плоскости, расположенной в 8,40 м от рисующего.
329
Рис. 349 (16; 287; 321)
Установка предметов для этюда деталей
321.	— Для таких этюдов мы должны установить в указанных выше условиях не только натурщиков, но и, по возможности, все фигурирующие в нашей композиции предметы.
Чтобы получить в таком рисунке перспективу, полностью отвечающую композиционному
замыслу художника, надо, чтобы эти предметы «позировали» ему на том же расстоянии, уровне и в том же повороте, которые они должны иметь на картине. Пр и несоблюдении этих условий этюд с натуры теряет свою ценность и не может быть использован для картины, потому что наклон ребер и перспективные искажения нарисованных на нем предметов не будут соответствовать наклону и перспективным искажениям и уменьшениям на картине.
Расстояние и уровень предмета по отношению к рисующему находят, как указывалось выше, с помощью графического применения закона перспективного уменьшения. Поворот предмета можно найти построением горизонтальной проекции (287). Приведем пример (рис. 349).
На картине, на которой имеются все нужные перспективные элементы, художник сделал приблизительный набросок вертикального ребра АВ стола высотой в 0,80 м, проверенной с помощью перспективного масштаба. Кроме того, он набросал горизонтальное ребро АС общего положения, которому придал наугад наклон, наиболее отвечающий его композиции.
Чтобы получить окончательную перспективу стола и всех стоящих на нем предметов, художник, вместо того чтобы пользоваться перспективными построениями, может захотеть проштудировать эти предметы с натуры, но для этого ему понадобится установить их расстояние и их положение на картине. Только располагая этими данными, он получит возможность расставить предметы в мастерской в нужном ему положении. Для этого ему надо отложить на полоске бумаги расстояние PD/4 и измерить его в перспективном масштабе картины единицей измерения L, соответствующей фронтальной плоскости ребра АВ. Он найдет, что это расстояние равно 1,55 м, а целое расстояние равно 6,20 м (1,55 X 4 = 6,20). Следовательно, фронтальная плоскость ребра АВ отстоит от рисующего на расстоянии 6,20 м. Далее он увидит, что в том же перспективном масштабе отрезок аА (расстояние между ребром АВ и главной вертикальной плоскостью зрения) равен 0,45 м. Этим художник установит положение в пространстве ребра АВ. Уровень же этого ребра определять не надо, так как он совпадает с предметной плоскостью, лежащей в перспективном масштабе картины на 1,50 м ниже линии горизонта.
Чтобы найти направление ребра АС методом ортогональной проекции (287), проводят из произвольной точки е на этой прямой перпендикулярную к картине прямую еР
330
и прямую eD'14. Мы получим на идущей через точку А горизонтальной оси отрезок elf. Опустим из точки el на эту ось перпендикуляр и отложим на нем четыре отрезка elf. Мы найдем точку Е. Прямая АЕ — это горизонтальная проекция ребра АС. Она образует с нейтральной плоскостью угол и, который можно измерить транспортиром.
В результате этих операций художник располагает всеми данными, чтобы расставить в мастерской предметы в положении, которое он им дал на картине. Он отмерит на намеченной на полу прямой расстояние в 6,20 м. Затем, проведя из конца этой прямой влево перпендикуляр, отложит на нем 0,45 м. Начертив с помощью транспортира на полу угол и, как указано на схеме рис. 349, являющейся реконструированным планом данной перспективы (16), он может установить предмет в нужном ему положении.
Исполненным в таких условиях этюдом художник может пользоваться для картины, уменьшив или увеличив его с помощью сетки из квадратов до нужных размеров, но не внося в него никаких изменений.
4. Определите главного расстояния
322.	— Главное расстояние картины можно найти, если мы знаем размер какой-нибудь из параллельно расположенных к ней в пространстве (вертикальной, горизонтальной или наклонной) прямых, расстояние до фронтальной плоскости, в которой проходит эта прямая, и ее перспективное изображение.
На картине (рис. 350), на которой нам даны линия горизонта и главная точка, прямая ab является перспективным изображением вертикали, размер которой в пространстве нам известен (например, 16 м), а ее фронтальная плоскость отстоит от рисующего на расстоянии 75 м. Чтобы закончить картину, надо уточнить ее главное расстояние.
Мы знаем размер перспективы i и ее размер в пространстве I. Найдем с помощью вспомогательной прямой перспективу единицы измерения ап фронтальной плоскости, расположенной в данном случае на расстоянии 75 м.
Мы также знаем, что отношение между действительным размером метра и удалением в пространстве данной фронтальной плоскости равно отношению между перспективой метра в этой плоскости и главным расстоянием картины (309, рис. 339).
Отложив вправо или влево от главной точки на линии горизонта найденной единицей измерения ап отрезок, равный 9,375 м (75 : 8), мы определим положение дробной точки отдаления D/8 (PD/8 =ас).
Пользуясь этим методом, скульптор или архитектор может определить главное расстояние картины в тех случаях, когда ему понадобится нарисовать в перспективе проектируемый им памятник, чтобы дать себе отчет, как будет выглядеть этот памятник с различных расстояний, обусловленных местом (на площади или в парке), на котором он будет поставлен.
Предположим, например, что памятник (рис. 623) можно рассматривать на расстоянии 24 м от края первой ступени его пьедестала. После определения с помощью вспомогательной прямой размера метра Аа на вертикали AI, являющейся на рисунке 624 ближай-
331
шим ребром призмы высотой 12,50 м, в которую «обертывается» перспектива памятника, этой же единицей отложено на линии горизонта, вправо и влево от главной точки Р, по отрезку в 3 м. Этим определяется положение точки D/8 (3 X 8 = 24).
В некоторых исключительных случаях точка отдаления находится на гораздо большем расстоянии, чем это принято на нормальных картинах, и, следовательно, памятник будут рас
сматривать под углом меньше 28° и с очень небольшими перспективными искажениями. В других случаях, когда речь идет о высоком памятнике, расположенном на небольшом свободном пространстве, благодаря чему зрители будут вынуждены рассматривать его на близком расстоянии, то, для того чтобы его верхняя часть уместилась в поле наилучшего зрения, его перспективу придется строить на наклонной картине. Этот вопрос будет изучаться во второй части нашей книги.
СЛУЧАИ ГРАФИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНА ПЕРСПЕКТИВНОГО УМЕНЬШЕНИЯ
323.	— В перспективе существуют и другие способы для определения положения в пространстве нарисованных на картине предметов, например перспективная сетка из квадратов, которая помогает определять не только их положение, но, при известных условиях, и расстояние между ними и рисующим. Как мы увидим дальше, эти способы дают очень хорошие результаты, и поэтому их нужно применять как можно чаще, особенно в тех случаях, когда нарисованные на картине предметы находятся на сравнительно небольшом расстоянии от рисующего и расположены на плоской, а не на пересеченной местности. Однако в тех случаях, когда предметы находятся в пространстве на различных уровнях (рис. 335), на большом расстоянии один от другого и особенно если их немного, нет смысла строить перспективную сетку.. Применив графический закон перспективного уменьшения, художник гораздо быстрее получит нужный ему результат. Кроме того, этот закон облегчает передачу глубины пространства на картине. Вообще же художник на одной и той же картине может пользоваться для первого плана перспективной сеткой из квадратов, а для более далеких планов и для очень близко расположенных человеческих фигур и предметов, не умещающихся в рамках картины, он может графически использовать закон перспективного уменьшения (443, рис. 498; 444, рис. 499).
Применение этого закона при графических построениях очень поможет художнику правильно передать неровности местности и облегчит точную дозировку силовых и красоч
332
ных отношений (так называемые валеры) в воздушной перспективе. Приведем пример, показывающий, как уверенно заканчивает художник свою картину, если он предварительно постарался возможно подробнее изучить топографию изображаемой на ней местности (рис. 351).
На картине Учение К. А. Виалова местность очень пересеченная, и картина охватывает очень большое пространство. Точное знание относительного положения человеческих фигур и расстояния в глубину между различ
Рис. 351 (159; 323). К. А. Ви а лов. Учение
ными плоскостями может только облегчить художнику окончание картины.
На этой картине ее горизонт совпадает с линией морского горизонта, а дробное главное расстояние PD/4 равно половине радиуса Ра окружности, ограничивающей поле наилучшего зрения и описывающей картину.
Размер метра по отношению к росту людей первого и второго плана и людей внизу на пляже найден с помощью вспомогательных прямых.
В результате измерения этими единицами вертикали до линии горизонта и главного расстояния
было установлено, что:
фигуры матросов на первом плане отстоят от художника на 9,60 м (2,40 X 4), а местность, по которой они идут, расположена ниже уровня его глаз на 3,65 м;
человеческие фигуры второго плана находятся на расстоянии 18,40 м (4,60 X 4), а почва под их ногами лежит на 5,50 м ниже линии горизонта;
расстояние до фронтальной плоскости матроса на пляже равно 56,80 м (14,20 X 4), а уровень пляжа ниже линии горизонта на 19,80 м.
Зная уровень пляжа, а следовательно, и моря, можно проверить размеры кораблей и расстояние, на котором они находятся.
333
Высота среднего корабля равна 10 м, т. е. половине высоты вертикали от ватерлинии до линии горизонта. А так как десятиметровый отрезок этой плоскости укладывается 13 раз в расстоянии PD/4, то расстояние между кораблем и художником равно 520 м (130 X 4).
Располагая такими конкретными данными, связывающими перспективные изображения на картине с реальными предметами, художник, работая в мастерской, получает возможность закончить мельчайшие детали композиции с той же уверенностью, с какой он писал бы их с натуры, причем, если ему понадобятся живые модели, то, чтобы писать их с высоты 3,65 м, 5,50 м и 19,80 м, он может устроиться у окна многоэтажного дома, меняя этажи и предварительно измерив расстояния, на которых должны находиться позирующие по отношению к проекции на предметную плоскость его точки зрения.
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, мы считаем необходимым пояснить читателю, насколько закон перспективного уменьшения помогает понять помощь, оказываемую воздушной перспективой перспективе линейной, и какую ошибку допускает художник, когда, не считаясь с физиологическими условиями зрительного восприятия и угла наилучшего зрения, он располагается слишком близко к модели.
ПЕРСПЕКТИВНОЕ УМЕНЬШЕНИЕ ВЫСОТЫ ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ ФИГУРЫ ИЛИ ПРЕДМЕТА
324.	— Закон перспективного уменьшения помогает наблюдать за степенью уменьшения перспективного изображения высоты человеческой фигуры (или предмета) по мере увеличения расстояния между этой фигурой (или предметом) и рисующим (рис. 352).
Предположим, что на картине, на которой нам дана линия горизонта, человеческая фигура А (схематически представленная в виде вертикали) находится от рисующего на расстоянии 4 м, а фигура В — на вдвое большем расстоянии, т. е. на расстоянии 8 м. Согласно закону перспективного уменьшения перспектива второй фигуры должна быть вдвое меньше перспективы первой фигуры.
В свою очередь перспектива фигуры D, расположенной на удвоенном расстоянии от фигуры В, т. е. на расстоянии 16 м от рисующего, будет вдвое меньше перспективы фигуры Вив четыре раза меньше перспективы фигуры А, а перспектива фигуры Н, расположенной в 32 м от рисующего, будет вдвое меньше перспективы фигуры Вит. д.
Если проследить на правой части рисунка уменьшение перспективных изображений фигур А, В, С, D, Е, F, G, Н, расположенных на. расстоянии 4 м одна от другой, мы заметим, что оно очень велико между первыми двумя перспективами (выше мы отметили, что фигура В вдвое меньше фигуры А), что оно гораздо меньше между следующими за ними перспективами (С и В) и становится все менее и менее заметным между остальными.
Построим схему уменьшения в перспективе этих фигур (354). Если соединить на этой схеме непрерывной кривой верхушки вертикалей (т. е. схемы человеческих фигур), мы получим параболу, наглядно иллюстрирующую постепенное уменьшение разницы в высоте этих фигур по мере их удаления.
334
Какое заключение может вывести художник из этой схемы? Он увидит, что в первом и ближайших к нему 2 и 3 планах его композиции впечатление перспективного уменьшения очень рельефно передается одной лишь разницей величины предметов. В более далеких фронтальных плоскостях, где это уменьшение настолько незначительно, что зрителю трудно составить себе правильное представление о расстоянии между фигурами, его можно добиться только с помощью воздушной перспективы. Резкое снижение валеров, постепенное ослабление контрастов между светом и тенью и прогрессивное смягчение контуров более далеких фигур создают у зрителя впечатление пространственной глубины этих фигур; одним лишь линейным уменьшением нельзя передать достаточно ярко это явление. Как осознает зритель, что расстояние между фигурами F и Н равно 8 м, если наряду с почти неощутимой разницей высоты не выступит на сцену тонкая, но выразительная игра валеров (рис. 353)?
САДИТЬСЯ СЛИШКОМ БЛИЗКО К МОДЕЛИ — ОШИБКА
325.	— Знание закона перспективного уменьшения помогает понять, почему художник, который, стараясь передать как можно правдивее мелкие детали небольшого предмета, сел к нему ближе, чем это допускает нормальный угол наилучшего зрения, неожи-
335
Рис. 355 (325)	Рис. 356 (325)
данно для себя получит на картине впечатление преувеличенной глубины и несоответствующие действительности перспективные изображения.
Возьмем пример.
Мы хотим нарисовать небольшую комнату глубиной в 4 .и и шириной в 3 м.
Исходя из нормального угла наилучшего зрения, мы предположили, что смотрим на нее снаружи на расстоянии 2 м через открытую дверь, для того чтобы задняя степа комнаты находилась от нас на расстоянии, превышающем 6 м. На этом расстоянии паша композиция лучше уместится в конусе наилучшего зрения.
Поэтому предположим, что расположенная на первом плане фигура А (рис. 355) находится в 4 м от рисующего — во фронтальной плоскости, делящей комнату на две равные части. Дробную точку отдаления D/4 мы нашли, отложив на линии горизонта расстояние PD/4, равное одному метру, измеренному во фронтальной плоскости фигуры Л, т. е. взяв отрезок, равный двум третям высоты фигуры до линии горизонта или четверти расстояния от нее до рисующего. (Размер метра равен двум третям высоты линии горизонта, считая, что глаз рисующего находится на высоте 1,50 м над предметной плоскостью.) Картина не выходит из поля (окружности) наилучшего зрения рисующего. При построении перспективного масштаба была принята за основание та же высота (1,50 л«) глаза рисующего.
С помощью этих перспективных элементов, отрезка ab', равного 0,50 м, и дробной точки отдаления D/4 была измерена двухметровая глубина между фигурами А и В. Фигура В находится на расстоянии 6 м от рисующего и, следовательно, придвинута вплотную к задней степе комнаты шириной в 3 .и.
Таков интерьер этой небольшой комнаты при соблюдении нормальных физиологических условий человеческого зрения.
Вообразим теперь, что художник, желая подчеркнуть размеры этой комнаты, расположился в ее дверях, на расстоянии 2 м от фигуры А первого плана (рис. 356). Отложив
336
на линии горизонта из точки Р расстояние, равное одному метру (т. е. двум третям высоты этой фигуры до линии горизонта), он найдет положение дробной точки отдаления D/2. Перспективный масштаб строится тем же способом, что и в предыдущем примере.
Располагая этими перспективными элементами, художник отложил с помощью точки D/2 и отрезка ab', равного 1 м, расстояние в 2 м между фигурами А и В. В этом случае фигура В расположена от художника на расстоянии 4 м у задней стены комнаты шириной в 3 л/.
Таков интерьер той же комнаты, но построенный в ненормальных условиях, т.е. исходя из предпосылки, что угол наилучшего зрения человека равен 90°, а не 53°. Описав радиусом PD/2 окружность, мы получим охват поля наилучшего зрения человека.
Сравним эти рисунки и посмотрим, который из них и почему правильнее передает размеры и пропорции композиции.
Допустим, что зритель не имеет никакого представления о законе перспективного уменьшения и для оценки впечатления от картины основывается на опыте ежедневных зрительных восприятий. Видя на первом рисунке, что разница в высоте перспектив изображенных на картине ^игур невелика, он поймет, что и расстояние между ними небольшое. Посмотрев на второй рисунок, он заметит, что вторая, более далекая фигура вдвое меньше первой — более близкой. У него создается впечатление, что расстояние между ними гораздо больше, чем на первом рисунке: комната ему покажется более глубокой, задняя стена — дальше и общее впечатление от рисунка будет противоположным тому, которого добивался художник. А произошло это потому, что при рисовании художник не соблюдал условий нормального человеческого зрения.
Для человека, знающего законы перспективы, этот опыт ясен. Он знает, что наилучшее расстояние для картины — это расстояние, равное двум радиусам описывающей картину окружности. Таким образом, для зрителя с нормальным зрением на месте дробной точки Z>/2 (рис. 356) должна находиться дробная точка D/4, и если измерить расстояние между фигурами А и В с помощью этой точки, оно окажется вдвое больше, т.е. равно 4, а не 2 м. Рассматриваемая в нормальных условиях картина будет производить совершенно иное впечатление, чем то, которого добивался ее автор.
Прочитав эти объяснения, читатель не должен считать, что с теоретической точки зрения первый рисунок правильнее второго и что, пользуясь одними и теми же построениями, в одних случаях он получит правильный результат, а в других неправильный. Оба рисунка правильны и одинаково точно передают размеры комнаты. Если смотреть на второй рисунок через отверстие в непрозрачном экране (см. объяснения к рисунку 108) на расстоянии, вдвое большем расстояния PD/2, то нарисованная на нем комната (причем ясно будет видна только часть, ограниченная окружностью) нам покажется правильной, т. е. будет иметь глубину, равную 4 ,и. Единственная ошибка этой картины — неправильно выбранная точка зрения, благодаря чему картина охватывает по краям участки, не умещающиеся в поле наилучшего зрения.
Рис. 357 (327). Григорий Сорока. Гумно
XVII. ПРИЕМЫ, ПОЗВОЛЯЮЩИЕ УПРОЩАТЬ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
326.	— После установки, проверки и обмера с помощью метода уменьшения или метода ортогональной проекции точек отдаления и точек измерения главных линий изображаемых на картине предметов детали этих предметов строятся более простым способом. Способы, с помощью которых заканчиваются детали уже проверенных перспективных изображений, не требуют ни точек отдаления, ни точек измерения. Построения опираются на большие, уже установленные линии и на произвольные точки схода, место которых на линии горизонта обусловливается единственным требованием — четкими пересечениями. Многими из упрощенных способов можно пользоваться и в рисунках с натуры для заканчивания деталей предметов, главные линии которых были построены в перспективе на основании внимательного изучения их положения в пространстве.
Было бы ошибкой применять упрощенные построения при заканчивании перспективных изображений, главные линии которых не были предварительно проверены перспективными методами или тщательным изучением предмета во время рисования его с натуры,.так как ошибки, допущенные в этих линиях, отразятся на деталях.
В рисунках с натуры упрощенные способы применяют либо для проверки уже исполненного с натуры рисунка, либо для окончания рисунка, в котором из-за недостатка вре
339
мени художник наметил только основные линии композиции и те части деталей, которые позволяют закончить позже их перспективные изображения.
Упрощенными способами можно строить перспективы прямых с недоступными точками схода (327—347): делить эти - перспективы на равные или пропорциональные части (348—371), откладывать данные отрезки на этих прямых и т. д. (372—381).
ПЕРСПЕКТИВА ГОРИЗОНТАЛЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ С НЕДОСТУПНЫМИ ТОЧКАМИ СХОДА
327.	— Очень часто перед рисующим встает задача построить перспективу ряда параллельных между собой прямых с недоступными точками схода (потолочные балки на рис. 357). Решение ее способом малой картины очень сложно, и поэтому для таких построений можно пользоваться несколькими более простыми способами, например перспективной сеткой, способом произвольно взятой точки схода, масштабом высоты, полоской бумаги, диагоналями, подобными треугольниками и т. д.
Из этого множества способов художник всякий раз, когда он будет в этом нуждаться, должен выбирать тот способ, который в данных условиях даст наилучший результат.
Перспективная сетка (приблизительный способ)
328.	— На картине, на которой нам дана линия горизонта hh', прямая АВ представляет собой перспективу горизонтали общего положения.в пространстве с недоступной точкой схода, расположенной ниже линии горизонта (рис. 358) или над ней (рис. 359).
Чтобы закончить рисунок, надо провести на нем из нескольких точек, например из точек Е, F, G, Н, перспективы других горизонталей, параллельных в пространстве горизонтали АВ.
Ввиду того, что нам предстоит провести большое число параллельных прямых, которые проходят через ряд точек в пределах картины, построим перспективную сетку, для чего:
а)	Проведем через точки А и В две вертикали тп и rs во всю высоту картины. Если горизонтальная прямая А В слишком коротка, ее можно продолжить до вертикальных краев картины, особенно в тех случаях, когда вертикали, проведенные через точки Л и В, не нужны в данной композиции. В этом случае мы построим перспективную сетку на вертикалях, ограничивающих справа и слева картину, и благодаря этому сэкономим две вертикали, которые излишне загромождали бы рисунок (рис. 360).
б)	Разделим полоской бумаги, циркулем, масштабной линейкой, делительным масштабом (370) и т. д. отрезки Аа и ВЬ на вертикалях тп и rs (между заданной прямой и линией горизонта) на любое число равных частей, например на четыре (известно, что при помощи полоски бумаги — рядом последовательных перегибов или при помощи масштабной линейки — последовательным делением пополам отложенного отрезка можно легко найти два, четыре, восемь, шестнадцать и т. д. разных делений). Полученные
340
Рис. 358 (328; 329)
Рис. 360 (328; 329)
таким образом на отрезке Ла деления откладываются на протяжении всей вертикали тАап, а деление на отрезке ВЬ — на протяжении всей вертикали rBbs.
в)	Соединим между собой очень легко прочерченными прямыми (которые по окончанию работы стирают) каждую пару соответствующих точек на вертикалях тп и rs. Мы получим перспективную сетку, которая поможет с достаточной точностью построить перспективы прямых, идущих через заданные точки, даже тогда, когда, как это часто бывает, они не совпадают с линиями сетки. В таких случаях нужно только внимательно следить за тем, чтобы вычерчиваемая нами прямая на всем своем протяжении делила пространство между линиями сетки на пропорциональные части.
Рекомендуется провести сначала прямую от руки и только после этого уточнить ее с помощью линейки (рейсшины, угольника), потому что, закрывая линейкой нижнюю направляющую линию, мы не можем установить линейку в нужном положении.
Более точные результаты получаются при работе с двумя угольниками (рис. 360 а). В этом случае поступают так.
341
Рис. 362 (330)
Чтобы провести прямые через точки Е, F, G, приложим угольник к линии АВ на сетке, и, передвигая его вдоль второго угольника, подведем к соседней линии сетки — CD у линии А'В'. Если нам надо начертить прямую, проходящую через точку А, лежащую на равном расстоянии от соседних линий сетки, найдем на глаз место прохождения биссектрисы De угла CDA' и приложим к ней угольник, дав ему то же направление. В зависимости от положения точек F и G, через которые нам надо провести другие прямые, относительно соответствующих линий сетки,
придадим угольнику положение fDumigD, более или менее близкое к линиям CD wiuA'D. Передвигая второй угольник вдоль первого, начертим проходящие через заданные точки Е, F, G прямые, параллельные линиям De, Df либо Dg, положение которых мы установили на глаз, не рисуя.
329.	— Примечание. Для того чтобы дополнить перспективную сетку в верхней и нижней частях картины, если нельзя выйти за ее пределы (см. рис. 358—360), мы можем провести в каком-нибудь наиболее удобном для нас месте новую вертикаль, например т’а’п' (рис. 358). Приложим к этой вертикали полоску бумаги и отметим на ней деления 7', 2', 3', 4'. Передвинув полоску вниз, ниже линии АВ, нанесем эти деления на отрезок т'а'. Передвинем затем полоску с делениями выше линии CD и нанесем те же деления на верхнем отрезке вертикали т’а’п'. Мы получили точки, через которые проходят верхние и нижние линии перспективной сетки. Такие же дополнительные вертикали построены и на рисунках 359, 360.
342
330.	— Когда одним из изученных выше способов на картине с известной нам линией горизонта (рис. 361; 362; 363) построена точная перспектива прямого угла ВАС со сторонами ВА и АС, идущими в недоступные точки схода, то надо построить две перспективные сетки, отдельно для каждой стороны угла. Для этого отложим на вертикали тп отрезок ВЬ (или его деления) и повторим его на всем протяжении вертикали (на рис. 361 последовательно повторяются два деления). Отложим на вертикалях rs и tu отрезки Аа и Сс или их деления и повторим ту же операцию, что и на отрезке ВЬ.
Перспективная сетка, построенная на стороне АВ, соответствует всем параллельным этой стороне прямым, помеченным на рисунке буквами EF. Для прямых, помеченных буквами GE, параллельных стороне АС данного прямого угла и перпендикулярных к стороне АВ, пользуются второй перспективной сеткой, построенной на стороне А С, следя за тем, чтобы при их продолжении они делили на пропорциональные части пространство между соседними с ними линиями сетки (рис. 361; 362).
Вообще же при вычерчивании обеих перспективных сеток очень тонкими линиями мы можем продолжить эти линии на всей картине (рис. 363; 365), хотя в этом, как мы видели выше, нет абсолютной необходимости.
Этот способ особенно удобен для работы над композицией с большим количеством параллелей, проходящих через точки, разбросанные по всей плоскости картины.
Несмотря на то, что этот способ дает приблизительные результаты, художники могут им пользоваться очень широко. Для получения более точного результата надо построить перспективную сетку из более частых линий, но это перегружает рисунок большим количеством вспомогательных линий.
Совершенно точных результатов можно добиться, дополнив перспективную сетку делительными масштабами. В этом случае, как будет показано ниже, сетку можно строить из более редких линий.
Дополнение перспективной сетки делительными масштабами (точный способ)
331.	— Построив указанным выше способом перспективную сетку, произведем показанные на рисунке 364 дополнения. Построим в пределах картины на краю, где линии сетки отстоят дальше друг от друга, на ограничивающей картину вертикали (если бумага достаточно велика, лучше вне картины), ряд треугольников, вершины которых лежат на общей для них вертикали, а основания— на вышеназванной вертикали. Вершины треугольников образованы пересечением их двух других сторон, проведенных с любым наклоном, например в 30°, относительно их оснований.
Отметим на полоске бумаги расстояние между линиями перспективной сетки у противоположного края картины, где они более сближены (первое положение I, а). Наложив полоску вертикально на один из треугольников и передвигая ее то вправо, то влево, найдем положение, при котором точки, определяющие на ней расстояние между линиями сетки, совпадут со сторонами треугольника (положение I, б). Проведем в этом месте вертикальную линию и повторим ее с помощью угольника в остальных треугольниках. Мы получили ряд трапеций, основания которых равны расстоянию между линиями пер-
343
спективной сетки у краев картины. Этим мы покончили с подготовительными операциями: построенные треугольники представляют собой дополнительные делительные масштабы перспективной сетки. Поясним теперь, как нужно пользоваться, этими масштабами, для того чтобы провести через отдельные, не связанные между собой или расположенные одна под другой точки перспективу параллельных прямых.
а)	Через точку А. Прило-
Рис. 364 (331; 380)	жим в вертикальном положении
к точке А полоску бумаги и отметим на ней три точки: точки ее пересечения с линиями перспективной сетки, между которыми лежит заданная точка и место этой точки (см. на чертеже положение II, а). Перенесем полоску бумаги на соответствующий делительный масштаб и установим вертикально так, чтобы отмеченные на ней точки пересечения с линиями перспективной сетки совпали со сторонами треугольника (положение II, б). Отметим на масштабе данную точку и проведем через нее из вершины треугольника луч до пересечения его в точке а с основанием треугольника. Пересечение того же луча с вертикалью внутри треугольника определяет положение точки al. Приложим вторую полоску бумаги к этой вертикали и отметим на ней точку al и точки ее пересечения со сторонами треугольника (см. на чертеже положение III, а). Перенесем эту полоску к другому краю картины и отметим точку al между соответствующими линиями сетки (положение III, б). Искомая прямая проходит через точки а и al на краях картины и при точном вычерчивании непременно должна пройти через заданную точку А.
Конечно, можно было бы ограничиться одной лишь точкой а. Но если допустить, что точка А расположена очень близко к точке а, то построение будет гораздо точнее, если мы найдем и точку al. Само собой разумеется, что, установив линейку по этим двум точкам, мы вычертим только ту часть прямой, которая нужна для картины.
б)	Через точки В и С. Точки не лежат на той же вертикали, но между теми же линиями сетки. Отметим, как указывалось выше, с помощью полоски бумаги на делительном масштабе точку b и с помощью второй полоски бумаги точку с. Проведем из вершины треугольника два луча через точки b и с. Отметим на третьей, общей для обеих этих точек, полоске положение точек Ы и cl и перенесем их так же, как и в предыдущем случае, на противоположный край картины.
в)	Когда заданные точки (например, точки D, Е, F) расположены на той же вертикали, вся операция проделывается на одной и той же полоске бумаги.
344
Этот способ совершенно точен. При известном навыке он успешно заменяет при вычерчивании архитектурных памятников, на которых обычно приходится строить очень много параллельных прямых, перспективную рейсшину с тремя линейками. Во всяком случае способ перспективной сетки, дополненный делительными масштабами, является точным способом. Поэтому в дальнейших разделах нашей книги мы будем исходить из положения, что, по-
Рис. 365 (330; 332)
льзуясь им, художник может без дополнительных пояснений построить в любом углу своей картины параллельные прямые с недоступными точками схода.
332.	— Делительными масштабами можно дополнять перспективные сетки и на картинах, где эти сетки были построены для обеих сторон прямого угла (330). Масштабы можно строить вне рамок картины, например: в левой части картины — для прямых, имеющих точку схода справа, и в правой — для прямых, имеющих точку схода слева (рис. 365). На левых трапециях большие и малые основания соответствуют наибольшему и наименьшему расстояниям между перспективными линиями с точкой схода справа картины, а большие и малые основания правых трапеций соответствуют таким же расстояниям между перспективными линиями с точкой схода слева картины. Соответственно с этим мы будем пользоваться трапециями, соответствующими направлению прямой, которую мы хотим построить, руководствуясь даваемыми ниже примерами.
а)	Допустим, что нам нужно провести через точку D горизонталь с точкой схода слева картины. Отметим на полоске бумаги положение точки D и положение точек пересечения кромки полоски с идущими в том же направлении, смежными с точкой D линиями перспективной сетки. Наложим полоску на трапецию соответствующего делительного масштаба и найдем положение, при котором крайние точки на полоске совпадут с наклонными сторонами трапеции. Лучом, проведенным из вершины треугольника, мы определим на более длинном основании трапеции положение точки d. Возьмем новую полоску бумаги и,отметив на ней точку d' (точку пересечения луча с более коротким основанием трапеции), перенесем эту точку на противоположный край картины. Прямая dDd' — это и есть искомая перспектива.
б)	Если нам понадобится провести через точку Е горизонталь с точкой схода справа картины, то мы проделаем те же операции, что и в предыдущем примере, пользуясь делительным масштабом, построенным у левого края картины.
345
в)	Если нам понадобится с помощью двух бумажных полосок провести через точку F горизонтали, идущие в различных направлениях, то для горизонталей, направляющихся в левую точку схода, мы должны использовать правый масштаб, на котором отметим точку f расположенную между точками а и b линий сетки, идущих в левом направле-. нии. Для правого направления мы отметим на полоске бумаги точку fl между точками с и о на делительном масштабе линий сетки, идущих в правую точку схода.
Когда на полях бумаги нет свободного места, делительные масштабы можно построить на другом листе бумаги, и, чтобы не ошибиться, их нужно пронумеровать и применять во всех случаях, когда мы хотим получить точный результат.
На рисунке 595 дан пример пользования таким делительным масштабом.
Точные результаты можно также получить, пользуясь вместо делительного масштаба методом подобных треугольников (343—345).
Способ произвольной точки схода или масштаба высоты (точный способ)
333.	— На картине (рис. 366 и 367), на которой нам дана линия горизонта и перспектива АВ горизонтальной прямой общего положения с недоступной точкой схода, мы хотим провести через точку С перспективу прямой, параллельной в пространстве прямой А В.
Вместо недоступной точки заданной прямой возьмем в наиболее подходящем, по нашему мнению, месте на линии горизонта произвольную точку схода, например Fa (рис. 366 и 367). Опустим из точки С вертикальную прямую до пересечения ее в точке с с перспективой заданной прямой АВ. Если перспектива АВ слишком коротка, то продолжим ее до встречи с опущенной вертикалью.
Соединим прямыми линиями точки С и с с точкой Fa. Мы получим масштаб высоты, показывающий, как уменьшается в перспективе вертикаль Сс.
346
Рис. 368 (254; 334)
Рассмотрим теперь фронтальную плоскость, которая проходит через второй конец В заданной прямой А В. След от ее пересечения с предметной плоскостью — это горизонтальная прямая ВЬ, а опущенная в этой плоскости вертикаль db показывает степень перспективного уменьшения (рис. 367) или увеличения (рис. 366) вертикали Сс.
Проведенная из точки d гори
зонталь dD отсекает на восстановленной из точки В вертикали отрезок BD, равный bd. Соединив точку С с точкой D, мы найдем н ужное нам перспективное изображение CD.
Для подобных построений мы можем пользоваться произвольной точкой схода Fa в любом месте на линии горизонта. Если бумага, на которой мы работаем, достаточно велика, мы можем построить масштаб высоты вне картины (рис. 367). Размеры в масштабе, как уже указывалось в параграфе 254, можно откладывать полоской бумаги.
334.	— Особенно рекомендуется построение масштаба высоты вне рамок картины в тех случаях (рис. 368), когда к заданной прямой АВ надо провести ряд параллелей через расположенные на общей вертикальной прямой Сс точки С, Е, F, G, Н.
Проведем вне картины вертикаль. Отметим на ней с помощью полоски бумаги, на которой был предварительно отмечен уровень горизонта h, положение всех точек, отмеченных на вертикали Сс. Соединим точки С, Е', F', G', Н', с' с какой-либо произвольно взятой точкой схода на линии горизонта, например с точкой Л на краю картины. Мы получим масштаб высоты, по которому можно определить перспективное уменьшение отрезков на вертикали Сс'. Во фронтальной плоскости точки В, следом которой на предметной плоскости является горизонталь ВЬ, размер этих отрезков определяют отрезки между точками d, i, j, к, I, b на вертикали db.
Перенесем с помощью полоски бумаги, на которой нет необходимости отмечать уровень линии горизонта, полученный результат на вертикаль, проведенную из точки В, и соединим точки D, I, J, К, L с точками С, Е, F, G, Н. Мы получим нужные нам перспективные изображения параллелей.
335.	— Примечание. Точка С (рис. 369), через которую мы хотим провести перспективу прямой А В, может находиться в пространстве в вертикальной плоскости заданной прямой (если мы собираемся нарисовать, например, забор) либо в горизонтальной плоскости этой прямой (если, например, мы вычерчиваем край шоссе). На рисунке, хотя верхняя линия забора и более удаленный край шоссе лежат в различных плоскостях, они сливаются в одну общую прямую.
На рисунке 369 главная точка Р использована как произвольная точка схода, а вертикальная прямая Сс не является прямой, проходящей в вертикальной или горизонтальной плоскости заданной прямой, а линией, позволяющей разделить на пропорцио-
347
нальные части расстояние между заданной прямой и линией горизонта (отрезки сс' и bd') для получения параллелей к прямой с недоступной точкой схода.
336.	— Завершение перспективы квадрата или прямоугольника в тех случаях, когда нам дана перспектива двух смежных сторон фигуры.
На картине (рис 370) с уже проведенной линией горизонта прямые АВ и АС представляют собой перспективные изображения двух сторон прямоугольника(или квадрата). Их наклон и длина были проверены способом малой картипы (263—265) или способом построения ортогональной проекции (299, А).
Для завершения перспективного изображения проведем через точку В прямую, параллельную стороне АС, и через точку С прямую, параллельную стороне АВ, пользуясь для этого точным способом произвольной точки схода. На рисунке 370 произвольно взятая точка схода совпадает с главной точкой Р.
А. — Проведем через точку В прямую, параллельную стороне АС:
а)	опустим из точки В вертикальную прямую ВЬ до пересечения ее с продолженной прямой АС;
б)	соединим точки В и Ь с точкой схода Р. Мы получим масштаб высоты прямой ВЬ;
в)	проведем через наиболее удаленную точку С прямой АС горизонтальную прямую Се и затем на масштабе высоты вертикальную прямую еЕ';
г)	горизонталь Е'Е определяет на восставленной из точки С вертикали точку Е, через которую проходит перспектива прямой BE, параллельной прямой АС.
Б. — Проведем через точку С прямую, параллельную стороне ВА. Для этого'
348
а)	опустим из TOHiyi С вертикаль до ее пересечения в точке с с продолженной прямой ВА;
б)	чтобы получить масштаб высоты, соединим точки С и с с точкой Р;
в)	проведем через наиболее удаленную точку В прямой АВ горизонталь Bf, а затем на масштабе высоты — вертикаль fF';
г)	горизонталью F'F определяется на вертикали, восставленной из точки В, точка F, через которую проходит перспектива прямой CF, параллельной АВ.
Найденные перспективы BE и CF пересекаются в точке D — вершине четвертого угла искомого прямоугольника ABCD. Иногда такие построения выходят из рамок картины (рис. 371). Поэтому мы укажем ниже еще один способ решения таких задач, с помощью которого можно уместить данное построение в пределах картины (401).
337.	— На картине (рис. 372) нам даны линия горизонта и про-
Рис. 372 (337)
всренная перспектива прямого угла САВ. Одна из сторон этого угла (например. АВ) имеет доступную точку схода F. Для того чтобы провести из точек D, Е, F, G и т. д. параллели к стороне АС с недоступной точкой схода, мы можем воспользоваться как масштабом высоты параллелями, проведенными из этих точек в доступную точку схода F.
Восставим на горизонтали Сс (являющейся следом на предметной плоскости фронтальной плоскости точки С) перпендикуляр eg и найдем на нем точки с, d, е, f, g и т. д. Перенесем с помощью полоски бумаги эти точки на вертикаль СК' в точки С, D', Е', F', G' и т. д. и соединим их прямыми с точками D, Е, F, G и т. д. Мы получим перспективные изображения параллелей DD', ЕЕ', FF', GG' и т. д.
338.	— Таким же образом можно завершить перспективу квадрата или прямоугольника, когда на картине даны перспективы двух смежных сторон, из которых одна
с доступной точкой схода,
349
На картине (рис. 373), на которой намечена линия горизонта, даны перспективные изображения (ЛВ и АС) двух сторон прямоугольника (или квадрата), причем одна из сторон (например, сторона АВ) имеет доступную точку схода F.
Сторона CD' прямоугольника неопределенной длины параллельна стороне АВ и направляется в ту же точку схода.
Чтобы построить четвертую сторону, проведем через точку В параллель к прямой АС. Для этого:
а)	опустим вертикаль ВЬ до пересечения с продолженной прямой АС;
б)	линии схода bFii BF образуют масштаб высот ВЬ;
в)	проведем через более удаленную точку С прямой АС горизонталь Се и внутри масштаба высоты вертикаль еЕ';
г)	проведенная из точки Е' горизонталь определяет на восстановленной в точке С вертикали положение точки Е, через которую проходит перспективное изображение прямой BE. Точка пересечения D прямых CD’ и BE является вершиной наиболее удаленного угла перспективы прямоугольника ABCD.
Способ с применением полоски бумаги (точный способ)
339.	— На картине (рис. 374), на которой нам даны линия горизонта и проверенная перспектива прямого угла, стороны которого АВ и АС идут в недоступные точки схода, надо Провести через точки D, Е, F, G, N на вертикали, проходящей через точку А, перспективы прямых, параллельных в пространстве сторонам АВ и АС прямого угла.
Приложим к вертикали AN (положение I) полоску бумаги; отметим на ней заданные точки и точку h, определяющую уровень горизонта.
Уложим полоску бумаги таким образом, чтобы отмеченная на ней точка А совпала с точкой В на картине, а точка h — с линией горизонта (положение II). Отметим на картине точки D, Е, F, G, N и проведем с помощью рейсшины параллельные к линии горизонта прямые DD', ЕЕ', FF', GG’, NN'. Мы получим на вертикали, проведенной из точки В,
Рис. 374 (339; 340)
отрезки, пропорциональные заданным.
Проделаем те же операции с точкой С (положение III). Мы получим на вертикали, проведенной из точки С, отрезки DI, El, F1, Gl, N1. Соединим точки, отмеченные на вертикалях В и С, с точками, отмеченными на вертикали А, мы получим перспективы искомых параллелей.
340.	— Примечание. Надо внимательно следить за тем,
350
чтобы соединить точку N на вертикали AN не с точкой N, отмеченной на картине с помощью полоски бумаги во втором положении, а с точкой N' на вертикали BN'.
341.	— Если точки С, D, Е, F, G, через которые мы хотим провести параллели, находятся на вертикали, проходящей через точку В, лежащей дальше от рисующего (рис. 375), полоску бумаги не прикладывают к точке А, как в предыдущем случае. Ее устанавливают так, чтобы точка h совпала с линией горизонта, и придают ей наклон, обеспечивающий наиболее четкие пересечения, Отметим на картине положение точек В, С, D, Е, F, G. Соединим точку В с точкой А и проведем из остальных точек геометрические параллели к прямой ВА. Мы получим на вертикали AG’ отрезки, пропорциональные заданным.
Способ построения перспек
тивы с помощью полоски бумаги
применяют подобно способу с масштабом высоты в тех случаях, когда надо провести ряд параллелей через точки, находящиеся на одной и той же вертикали.
Способ диагоналей (часто дающий неточные пересечения)
342.	— На картине (рис. 376) дана перспектива ВАС прямого угла, образуемого видимыми ребрами прямоугольного параллелепипеда, и высота его вертикального ребра AD. Для завершения перспективы параллелепипеда надо найти перспективы его верхних ребер, проходящих через точку D и соответственно параллельных ребрам АВ и АС.
Мы знаем из геометрии, что диагонали сторон прямоугольного параллелепипеда (или куба) пересекаются в точке на прямой тп, делящей эту сторону на две равные части. На рисунке 376 мы видим, что на геометрической фигуре ADEC точка т. находится на пересечении диагоналей Ас и Са нижней части стороны, ограниченной ребром АС и линией горизонта,
351
Построим эту фигуру в перспективе. Для этого:
1)	проведем диагонали Ас и Са в прямоугольнике АаСс, ограниченном линией горизонта. Мы найдем в месте их пересечения точку т, через которую проходит вертикаль, делящая грань параллелепипеда на две равные части. Проведем эту вертикаль;
2)	проведем на стороне ACDF параллелепипеда диагональ DC. Середина этой диагонали — это точка п на пересечении с проведенной через точку т вертикали;
3)	проведем из точки А через точку п вторую диагональ этой же стороны и продолжим ее до пересечения в точке F с вертикальным ребром CF параллелепипеда. Точка F—это вершина четвертого угла грани ACDF, а прямая DF—'перспектива верхнего ребра этой грани, параллельная ребру АС.
Прямую DE можно также получить и с помощью построения диагоналей, но, проведя след Сс' фронтальной плоскости стороны CF, гораздо легче найти точку через которую проходит прямая Df’, и, продолжив эту прямую, определить положение точки Е — верхний конец ребра BE.
Способ подобных треугольников
343.	— На картине (рис. 377, I), на которой дана линия горизонта и перспектива АВ горизонтальной прямой общего положения с недоступной точкой схода, надо провести через заданную точку С перспективу параллели к прямой АВ.
Построим треугольник, имеющий одну вершину в заданной точке, вторую — на линии горизонта и третью — на данной прямой. Если мы построим в другом месте треугольник, подобный первому, с одной из вершин на линии горизонта и со второй на заданной прямой, то вершина третьего угла будет точкой, через которую должна пройти нужная нам параллельная прямая, потому что стороны треугольника пропорциональны.
Подобные треугольники легче строить, если одна из их сторон вертикальна, а другая образует один из углов, которые обычно имеют угольники, т. е. 45°, 30° или 60°. При этих условиях варьирует только наклон третьей стороны, которую в малом треугольнике проводят с помощью двух угольников параллельно соответствующей стороне большого треугольника.
Для этого:
1)	из заданной точки С проводят до прямой АВ вертикаль CD, а из точки D прямую Dh до линии горизонта под углом, соответствующим наклону стороны угольника, например в 45°. Треугольник завершает прямая hC, которая может иметь любой наклон;
2)	из точки d на заданной прямой или из точки К на линии горизонта проведем линию dh’ с наклоном в 45° (параллельную стороне Dh) и вертикаль еще не определенной длины (параллельную стороне DC). Проведем из точки h' с помощью двух угольников геометрическую параллель к третьей стороне hC треугольника hCD. Мы найдем точку с, через которую проходит искомая параллель Сс.
344.	— Если надо провести несколько параллелей через разбросанные в разных местах на картине (рис. 377, И) точки, например через точки С, Е, F, G, то поступают,
352
Рис. 377 (343; 344; 345)
как было указано выше, причем точки с, e,f, g можно получить сразу же, проведя параллели h'c, h'e, h'f, h'g к линиям hC, hlE, h2F, h3G.
345.	— Когда мы строим одну из главных линий композиции, то для точного деления на пропорциональные части пространства между двумя смежными линиями сетки этот прием можно применять так же, как мы применяли делительный масштаб, в виде дополнения к методу перспективной сетки.
На картине (рис. 377, III), на которой построена не очень частая перспективная сетка, надо провести точную параллель через заданную точку А.
Построим два подобных треугольника с вершинами двух углов этих треугольников на двух смежных линиях сетки и с вершиной третьего угла на параллельной им линии, идущей через точку А, которая является вершиной угла большого треугольника.
1.	Проведем через точку А две прямые АВ и АС под углом, например в 45°, который легко построить с помощью обыкновенного угольника. Третья сторона СВ треугольника может иметь любой наклон.
2.	Проведем с помощью двух угольников в какую-нибудь другую точку, например в точку b или с, на линии сетки геометрическую параллель Ьс к стороне ВС и через точки b и с — прямые Ьа и са с наклоном в 45° (параллельные сторонам ВА и СА).
Мы найдем точку а, через которую проходит искомая параллель Аа.
Метод подобных треугольников
346.	— Этот метод надо запомнить, потому что он будет применяться в задачах на построение падающих теней.
Если в планиметрии надо провести через точку а прямую, параллельную к прямой АВ, то обычно поступают так (рис. 378, справа): .
1.	проводят через точки А па горизонтали и откладывают на каждой по четыре отрезка одинаковой длины (отрезки на горизонтали точки А необязательно равны отрезкам на горизонтали точки а);
2.	проведя через точку В две прямые BE и ВС в концы третьего и четвертого отрезка, художник получит два треугольника АВС и ВСЕ-,
3.	затем он проводит через концы (е и с) третьего и четвертого отрезков на горизонтали а две параллельные прямые (eb и сЬ)к прямым ЕВ и СВи, соединив полученную таким образом точку b с заданной точкой а, получает два треугольника abc и Ьсе.
353
Рис. 378 (346; 347)
Треугольники АВС и abc подобны, так же как подобны и треугольники ВСЕ и Ьсе, соответственно построенные на четвертой части сторон АС и ас, и, следовательно, прямая ab параллельна прямой АВ.
Как мы уже убедились, строить также подобные треугольники в перспективе очень легко.
На картине (рис. 378, слева), на которой мы имеем линию горизонта и перспективу АВ горизонтальной прямой общего положения, идущей в недоступную точку схода, проведем через точки С, D, Е, F и т. д. перспективы прямых, параллельных в пространстве заданной прямой АВ.
1. Проведем через точку А горизонталь, на которой отложим четыре равных отрезка: 1, 2, 3, 4. Соединим концы отрезков 3 и 4 с точкой а на заданной прямой. Эта точка выбирается с таким расчетом, чтобы прямые За и 4а, продолженные до линии горизонта, дали бы удобные точки схода F3 и F4.
2,	- Проведем через точки С, D, Е, F и т. д. горизонтали, на которых отложим по четыре равных отрезка. Отрезки не должны быть одинаковы на всех линиях: длина их выбирается отдельно для каждой линии в расчете получить возможно более четкие пересечения. Соединим концы отрезков 3 и 4 на горизонталях с точками схода F3 и F4. Мы получим треугольники Зс4, 3d4, Зе4, 3f4, подобные треугольнику За4. Их стороны параллельны потому, что идут в одну и ту же точку схода. Отсюда следует, что и прямые Сс, Dd, Ее, Ff параллельны заданной прямой АВ.
347.	— Примечание. Результат не изменится от направления, в котором мы проводим горизонтальные линии относительно заданной точки — вправо или влево, как это видно (рис. 378) на примере прямых fFf и dDd'. Для большей наглядности на этих горизонталях отложены в обоих направлениях от заданных точек F и D по четыре одинаковых отрезка. При соединении точек надо внимательно следить за тем, чтобы не ошибиться: точка 3 соединяется с F3, а точка 4 — с F4.
ДЕЛЕНИЕ НА РАВНЫЕ ИЛИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЧАСТИ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ПРЯМЫХ, ИДУЩИХ В ТОЧКУ СХОДА
348.	— Задача деления на равные или пропорциональные части параллельных картине прямых относится к области геометрии, а не перспективы, потому что эти прямые не подвержены перспективным искажениям. Их деление производится, как указывалось выше, с помощью вспомогательных прямых (63) или с помощью делительного масштаба (370). Однако вспомним, что в тех случаях, когда параллельные картине прямые распо
354
ложены между двумя линиями, идущими в точку схода, то для их деления (как указывалось в параграфе 177, в) надо пользоваться этими идущими в точку схода линиями.
Для деления перспективных прямых, идущих в точку схода, тоже пользуются вспомогательными линиями, но эти линии должны непременно идти параллельно линиям схода плоскости, в которой проходят идущие в точку схода прямые. Таким образом, если мы хотим делить прямые, перпендикулярные к картине, или горизонтальные прямые общего положения, вспомогательные линии должны быть горизонтальными.
Деление на равные или на пропорциональные части перпендикулярных к картине прямых и горизонтальных прямых общею положения с помощью вспомогательных прямых
349.	— Деление на равные части. На картине (рис. 379; 380), на которой дана линия горизонта, прямая АВ представляет собой перспективу перпендикулярной к картине прямой или горизонтальной прямой общего положения с доступной или недоступной точкой схода. Мы хотим разделить эту прямую на несколько равных частей, например на семь.
Произведем в перспективе построение, известное нам из геометрии (см. схему между рис. 379 и 380).
Проведем из более близкого к нам (рис. 379) или более удаленного от нас (рис. 380) конца заданной прямой вспомогательную прямую, параллельную линии горизонта, и отложим на ней от точки А число равных отрезков, равное числу частей, на которое мы хотим разделить заданную прямую.
Соединим противоположный конец В той же прямой с концом Ь последнего отрезка на вспомогательной прямой. Чтобы разделить заданную прямую на равные части, мы должны провести, так же как в геометрии, из всех точек деления на вспомогательной прямой прямые, параллельные прямой ВЬ. Чтобы провести в перспективе параллели к прямой ВЬ, мы должны сперва найти ее точку, схода на линии горизонта. Для этого продолжим линию ВЬ до ее пересечения с линией горизонта в точке Fa, которая и является се точкой схода. Прямые, проводимые из концов делений, отложенных на вспомо-
Рис. 379, 380 (349; 350; 355)
355
Рис. 381 (351; 352)
гательной прямой, и идущие в точку Fa, делят заданную прямую АВ на равные части.
350.	— Примечание. Для решения этой довольно часто встречающейся в художественной практике задачи описанный выше прием достаточно удобен. Для предупреждения ошибок, которые порой допускают начинающие, мы даем следующие уточнения: а) вспомогательную линию не делят на равные части (что являлось бы новой геометрической задачей), а откладывают на ней нужное число равных отрезков начиная от точки на заданной прямой, из которой была проведена данная вспомогательная линия;
б)	отрезки могут быть любой длины. Их длину выбирают в расчете получить наиболее точные пересечения;
в)	произвольную точку схода нельзя брать в любом месте на линии горизонта. Место точки схода находят в точке пересечения горизонта продолженной прямой, соединяющей свободный конец заданной прямой с концом последнего отрезка на вспомогательной линии. Эта точка схода может только случайно совпасть с главной точкой либо с дробной точкой отдаления данной картины.
351.	— Деление на пропорциональные части. Деление прямой на пропорциональные части производится тем же способом, что и деление прямой на равные части, с той лишь разницей, что на вспомогательной линии откладываются не равные отрезки, а отрезки согласно требуемой пропорции.
Возьмем пример: на картине (рис. 381), на которой имеются линия горизонта и перспектива АВА'В' стены, размеры которой предварительно измерены и прокорректированы, нам необходимо для определения места и размера дверных и оконных проемов разделить ее длину на семь частей, с отношением 3, 2, 1, 4, 1, 2, 3.
Для того чтобы получить более четкие пересечения, лучше делить не нижнее ребро А'В', а верхнее ребро АВ, так как оно находится дальше от линии горизонта и поэтому имеет большой наклон..
Отложенные на вспомогательной прямой отрезки Ac', c'd', d'e', e'f', f'g', g'n', n'b' находятся в том же взаимоотношении, что и числа 3, 2, 1, 4, 1, 2, 3.
Точка схода Fa найдена продолжением до линии горизонта прямой Ь'В, соединяющей свободный конец прямой АВ с концом b последнего отрезка на вспомогательной прямой.
Параллели, проведенные из концов отрезков на вспомогательной прямой в точку схода Fa, делят прямую АВ на отрезки Ac, cd, de, ef,fg, gn, nB с теми же отношениями, что и отрезки на вспомогательной прямой.
356
Примечание к параграфу 350 применимо и здесь.
352.	— Примечание. Не нужно забывать, что этот способ позволяет точное деление на равные либо пропорциональные части перспективы горизонтали, направляющейся в точку схода, но не дает возможности определить длину этих частей. Их измеряют с помощью точек отдаления, если прямая перпендикулярна к картине, или при помощи точек измерения, если это горизонтальная прямая общего положения, а их длину можно определить только после того, что мы предварительно определим с помощью этих точек длину всей прямой.
Так, в предыдущем примере только благодаря тому, что с помощью перспективного масштаба и точки измерения (не указанных на рисунке) была найдена высота стены, равная 4 м, и ее длина, равная 8 м, можно было приступить с помощью указанного выше упрощенного способа перспективного построения к определению положения и относительного размера трех дверных проемов. Если бы стена была длиннее, число проемов должно было быть больше.
ДЕЛЕНИЕ НА РАВНЫЕ ИЛИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЧАСТИ НАКЛОННЫХ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
353.	— Деление на равные или на пропорциональные части перспективных изображений наклонных прямых общего положения производится двумя способами в зависимости от положения линии схода вертикальных плоскостей, в которых проходят эти прямые, т. е. в зависимости от того, находится ли линия схода в рамках картины или вне ее (141).
В первом случае проводят вертикальную вспомогательную прямую, т. е. прямую, параллельную линии схода вертикальной плоскости. Во втором случае сначала делят проекцию на предметную плоскость наклонной прямой, затем переносят результат на заданную прямую.
Деление на равные части
Рис. 382 (354)
354.	— Когда линия схода вертикальной плоскости, в которой проходит наклонная прямая, находится в пределах картины. На картине (рис. 382), в которой нам дана линия горизонта, прямая АВ является перспективой наклонной прямой пространства общего положения, а прямая ab — перспективой проекции этой прямой на предметную плоскость. Продолжив прямую ab до линии горизонта, мы найдем точку схода F. Если она лежит в пределах картины, это означает, что линия схода oFo' вертикальной плоско-
357
сти прямой АВ тоже находится в пределах картины. На этой линии схода точка схода прямой АВ может быть в пределах картины и вне ее. В обоих случаях изложенная выше задача решается одинаково.
Проведем через один из концов заданной прямой вспомогательную прямую, параллельную линии схода данной плоскости. В тех случаях, когда эта плоскость вертикальна, вспомогательная линия тоже вертикальна. Отложим на ней, начиная от общей с заданной прямой точки, столько равных отрезков, сколько равных частей мы хотим получить на прямой АВ.
Соединим конец Ь' последнего отрезка на вспомогательной вертикали со свободной точкой А заданной прямой. Мы найдем направление, в котором, для того чтобы получить равные отрезки на заданной прямой, надо провести параллели из концов всех отрезков на вспомогательной вертикали.
Для того чтобы в перспективе провести параллельные прямые в заданном направлении, надо располагать точкой схода этого направления. Продолжим прямую АЬ'. Точка ее пересечения Fa с линией схода oFo' вертикальной плоскости и будет точкой схода прямых этого направления.
Линии, идущие в точку схода Fa делят заданную наклонную прямую общего положения на нужное число равных частей.
Примечание параграфа 352 применимо и в данном случае.
355.	— Когда линия схода вертикальной плоскости, в которой проходит наклонная прямая общего положения, находится вне пределов картины. На картине (рис. 383), на которой дана линия горизонта, прямая АВ является перспективой наклонной прямой общего положения, а прямая ab — перспективой проекции на предметную плоскость прямой АВ с недоступной точкой схода.
В этом случае сперва делят на нужное число частей проекцию ab, а затем с помощью вертикалей переносят эти деления на заданную прямую. Вспомогательная прямая аа' должна быть горизонталью. Операции производятся указанным выше способом (рис. 379 — 380).
Все построение можно упростить, применив делительный масштаб (371).
358
Рис. 385 (357)	Рис. 386 (357)
Деление наклонной прямой общего положения на пропорциональные части
356.	— Деление наклонной прямой общего положения на пропорциональные части производится так же, как и деление на равные части. Разница заключается в том, что на вспомогательной прямой откладываются неравные отрезки с нужным отношением длины.
На рисунке 384 линия схода оГ45° вертикальной плоскости, в которой проходит наклонная прямая общего положения АВ (линия откоса), доступна. В этом случае берется вертикальная вспомогательная прямая ab, а случайная точка схода лежит на линии схода oF45°o'. Отложенные отрезки находятся между собой в том же взаимоотношении, что и числа 1, 2, 3, 4.
Деление на равные части с помощью перспективной сетки перпендикулярных к картине прямых и горизонтален общего положения
357.	— Деление на равные части перпендикулярных к картине прямых и горизонталей общего положения, ограничивающих стороны заданных предметов или заключенных в плоскостях сторон, па которых мы построили или хотим построить перспективную сетку, можно произвести с помощью этой сетки.
На картине (рис. 385; 386), на которой дана линия горизонта, прямая АВ является перспективой горизонтали общего положения, которую надо разделить на равные части. Предположим, что заданная прямая — это. нижний край стены, на которой необходимо разметить профили, проемы и т. д., и что для этой операции мы будем пользоваться перспективной сеткой. Построив такую сетку, мы найдем ряд параллельных прямых на стороне ABCD стены.
Возьмем на сетке число отрезков, равное числу частей, на которые нам нужно разделить заданную прямую (например, 5 частей на рис. 385 и 4 — на рис. 386).
Проведем на этой части стены одну из двух диагоналей — 5В или 5А на рисунке 385 и диагональ 8В на рисунке 386. На втором рисунке мы получили более отчетливые и более точные пересечения благодаря тому, что отложили удвоенное число отрезков
359
Рис. 387 (358; 359). Рис. 388 (359)
(восемь вместо четырех). Точки пересечения диагонали с линиями перспективной сетки, перенесенные с помощью вертикалей на прямую АВ, дают на этой прямой нужное число равных делений.
358.	— Этим способом художник может пользоваться во время работы с натуры, когда после внимательного изучения интересующего его предмета он нарисовал периметр нужной ему стороны (рис. 387). Перспективная сетка строится с помощью полоски бумаги либо масштабной линейки. Вертикали АС и BD делят сначала на два, затем на четыре, на восемь и т. д. равных отрезков.
В дальнейшем все операции протекают, как в предыдущем примере.
359.	— Пример. На рисунке (рис. 387) дано исполненное с натуры перспективное изображение ABCD известной картины. (Отношения между высотой и шириной этого изображения были тщательно проверены.) Если у рисующего имеется под рукой репродукция этой картины (рис. 388), он может ее использовать для более точного построения с помощью перспективной сетки перспективы всех деталей композиции.
Разделим репродукцию по ее высоте и ширине на нужное число частей — на две, четыре, восемь, шестнадцать и т. д. (эту операцию можно проделывать с помощью полоски бумаги). Проведем через точки деления вертикальные и горизонтальные линии. Мы получим сетку из прямоугольников или, по желанию, из квадратов.
Произведем такую же операцию на начатом нами перспективном рисунке. Чтобы построить идущие в недоступную точку схода горизонтали сетки, разделим обе вертикальные стороны картины и соединим их прямыми.
360
Рис. 389 (360)	Рис. 390 (360)
Рис. 391 (360)	Рис. 392 (360)
Для вертикалей подсчитаем число вертикалей на сетке, построенной на репродукции картины. Проведем на перспективе картины диагональ. Ее пересечения с горизонталями укажут точки, через которые надо провести вертикали перспективной сетки.
На рисунке 387 получены более отчетливые пересечения благодаря тому, что было отложено удвоенное число точек — восемь вместо четырех.
360.	— Примечание. Если число частей, на которые мы хотим разделить перпендикулярную к картине прямую или горизонтальную прямую общего положения, больше числа промежутков между линиями сетки, разделим заданную прямую на вдвое, вчетверо и т. д. меньшее число частей (рис. 389; 390; 391; 392), а затем с помощью других диагоналей удвоим либо учетверим, как будет указано дальше, число делений (361).
На рисунке 389 для деления заданной прямой на 12 частей взято шесть промежутков сетки.
На рисунке 390 при нечетном числе промежутков (например 13) для построения диагонали было взято шесть с половиной делений (13:2=6,5).
На рисунке 391 для деления заданной прямой на 28 частей мы взяли 7 промежутков сетки (28:7=4). Затем каждое деление было разделено на четыре равные части.
361
На рисунке 392 для деления заданной прямой на нечетное число равных частей например на 29, мы взяли семь с четвертью промежутков (29:4 = 7,25) и затем каждое из полученных делений делили на четыре части.
Деление с помощью диагоналей перпендикулярных к картине прямых и горизонтален общего положения на две, четыре, восемь и т. д. равных частей
361.	— На картине, на которой дана линия горизонта, прямая АВ—перспектива перпендикулярной к картине прямой или горизонтали общего положения, которую надо разделить на две, на четыре или на восемь равных частей. Предположим, что эта прямая лежит между двумя вертикалями Аа и ВЬ (рис. 393; 394; 395).
Фигура АаВЪ — это перспектива прямоугольника или квадрата. Проведя в ней диагонали, мы получаем точку их пересечения п, которая лежит на вертикали пС, делящей заданный четырехугольник и его горизонтальные стороны на две равные части.
Проделав те же операции на прямоугольниках АаСс и СсВЬ (рис. 394), мы получим на заданной прямой четыре равных деления.
Повторив эту операцию на прямоугольниках AaDd, DdCc, СсЕе и ЕеВЬ (рис. 395), мы получим на заданной прямой восемь равных делений.
Таким же путем можно получить 16, 32 и т. д. делений.
Считаем лишним напоминать читателю, что диагонали можно проводить не по всей их длине, а только на участке, на котором мы ищем точку п.
362.	—Примечание. Операция значительно упрощается, если сначала соединить линией NN' точку N посредине прямой Аа с точкой N' посредине прямой ВЬ, как указано на рисунке 396. Пользуясь этой прямой, делящей по высоте прямоугольник АаВЬ на две равные части, достаточно провести в построенных в нем прямоугольниках по одной диагонали, чтобы разделить заданный отрезок на равные части.
363.	— Этот прием можно применять и в рисунках с натуры. Диагонали рекомендуется проводить очень легко, чтобы облегчить их стирание по оконча-
Рис. 395 (361)	Рис. 396 (362)	нии построения.
362
Деление на равные части с помощью делительного масштаба прямых, идущих в точку схода
364.	— Все указанные выше способы имеют общий недостаток: они загружают картину множеством вспомогательных линий (даже тогда, когда мы не проводим их целиком, а только в виде отрезков в местах пересечений).
В известных условиях пучок прямых, соединяющих концы делений на вспомогательной линии со случайной точкой схода, можно начертить на другом листе бумаги, построив так называемый делительный масштаб (рис. 399; 402, 405). Прямую делят полоской бумаги и ею же переносят результат деления на картину. Этим рисунок освобождается от лишних линий.
Для построения делительного масштаба отложим на прямой ab( рис. 399; 402; 405) ряд отрезков, число которых равно числу, на которое мы хотим разделить заданную прямую. Восставим в точке N на середине прямой ab перпендикуляр. Возьмем на нем на расстоянии, которое, по нашему расчету, даст наиболее отчетливые пересечения, точку D. Проведем из этой точки пучок расходящихся лучей, идущих в концы делений на прямой ab. Луч DN делит на две равные части делительный масштаб, поэтому, чтоб не смешивать с другими лучами масштаба, его вычерчивают более жирной линией.
365.	— Для того чтобы уяснить себе, как с помощью делительного масштаба можно разделить на нужное число равных частей перспективу любой прямой, идущей в точку схода, независимо от ее положения в пространстве и от наклона ее перспективы на картине, обратим внимание на то, что большая или меньшая степень наклона перспективного изображения прямой, идущей в точку схода, обуславливается взаимоотношением ее двух половин (рис. 397; 400; 403). В пространстве обе эти половины равны, а на картине, согласно закону перспективного уменьшения, ближе лежащая к зрителю половина кажется больше половины, лежащей дальше. Разница в величине перспектив этих половин прямо пропорциональна величине угла, образуемого прямой пространства с нейтральной плоскостью: чем больше разница в величине их перспектив, тем больше угол, образуемый данной прямой с нейтральной плоскостью (рис. 403), и, наоборот, чем меньше разница в величине их перспектив, тем меньше угол, образуемый этой же прямой с нейтральной плоскостью (рис. 397).
Если перспективы обеих половин равны, то прямая параллельна картине. Отсюда следует, что определенному наклону прямой в пространстве соответствует определенное соотношение между величиной перспектив ее половин, и для того чтобы пользоваться делительным масштабом, надо знать это отношение. Таким образом, перспективным масштабом можно пользоваться только тогда, когда нам известна середина перспективного изображения прямой, которую мы хотим делить па равные части.
366.	— Построим делительный масштаб. Разделим заданную прямую АВ на две равные части способом, при котором можно было бы использовать в связи с характером рисунка большинство из уже имеющихся на картине линий. Приложим
363
затем бумажную полоску к заданной прямой и отметим на полоске концы прямой и непременно ее середину п (первое положение).
Наложим бумажную полоску на делительный масштаб; приблизим ее более короткую половину к вершине D масштаба и установим ее в положении, при котором отметки, соответствующие концам прямой, совпадут с боковыми лучами, а точка п — со средним лучом DN масштаба (второе положение).
Придерживая полоску в этом положении, отметим на ее кромке все точки, в которых она пересекает расходящиеся лучи масштаба.
Приложим вновь к заданной прямой АВ полоску бумаги и перенесем с нее на картину отмеченные на ней деления (третье положение).
364
Мы получим нужный результат, проведя на рисунке только линии, необходимые для нахождения середины заданной прямой. Таким образом нам не понадобится пользоваться построениями, указанными на рисунках 398; 401; 404, которые дают такой же результат.
367.	— Строить перспективный масштаб для каждого случая в отдельности нет необходимости: однажды построенным масштабом можно пользоваться во многих случаях.
Возьмем прямую ah, длина которой должна быть больше диагонали картины, и отложим на ней в обоих направлениях от точки N возможно большее число равных делений (например, 12+ 12). Обозначим эти деления цифрами начиная от 1 до 12 (мы взяли 12 делений потому, что это число делится на 2, 3, 4 и 6). Вершину D угла масштаба берут на расстоянии, приблизительно равном длине прямой ab, и из этой вершины проводят 25 лучей в концы отложенных на этой прямой 24 делений (рис. 406; 407).
Таким масштабом можно разделить любую прямую на нужное число четных и нечетных частей.
Деление на четное число частей (рис. 406).
368.	— Пример I. Чтобь/ разделить заданную прямую на четыре равные части, нужно наложить на масштаб полоску бумаги так, чтобы точка п совпала с лучом DN, а концы прямой совпали бы
а)	с лучами 12, и отметить на полоске точки пересечения ее кромки с лучами 6 (полоска I);
б)	с лучами 8, и отметить точки пересечения кромки с лучами 4 (полоска II);
в)	с лучами 6, и отметить точки пересечения кромки с лучами 3 (полоска III) и т. д.
Рис 406. (367; 368; 415)	Рис. 407 (367; 369; 371; 415)
365
Пример Л. Для деления прямой на десять равных частей полоску бумаги накладывают:
а)	точкой п на средний луч DN и точками, соответствующими концам прямой,— на лучи 10 и отмечают на полоске точки пересечения ее кромки с каждым вторым лучом: 8, 6, 4, 2 (полоска IV);
б)	точками, соответствующими концам прямой, — на лучи 5 и отмечают на ней точки пересечения ее кромки с последовательно идущими лучами: 4, 3, 2, 1 (полоска V).
Пример III. Чтобы разделить прямую на 18 равных частей, полоску бумаги накладывают точкой п на луч DN, а точками, соответствующими концам прямой, на лучи 9 и отмечают на ней последовательно идущие точки пересечения: 8,7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (полоска VI).
На рисунке 640 парапет балкона разделен на 14 равных частей.
Деление на нечетное число частей (рис. 407)
369.	— Пример I. Для деления прямой на пять равных частей полоску бумаги накладывают точкой п на луч DN и точками, соответствующими концам прямой:
а)	па лучи 5, отмечая каждое второе пересечение (полоска I), или
б)	на лучи 10, отмечая каждое четвертое пересечение (полоска II).
Пример II. Для деления на одиннадцать частей полоску бумаги накладывают точкой п на луч DN, а точками, соответствующими концам прямой, на лучи 11 и отмечают в таком положении каждое второе пересечение (полоска III).
На рисунке 640 перила веранды разделены на 15 равных частей.
Примечание. Безразлично, как накладывать на делительный масштаб (рис. 407) полоску бумаги: кромкой к его вершине (полоска III) или кромкой к прямой ab (полоска III). В обоих случаях результат будет тот же.
Деление параллельных картине прямых (вертикальных, горизонтальных, наклонных)
370.	— Как мы знаем, деление на равные или пропорциональные части параллельных картине прямых производится при помощи вспомогательной прямой (63—66, рис. 93— 103). Однако, пользуясь для деления таких прямых делительным масштабом, мы избежим необходимости проводить па картине вспомогательную прямую. Делить параллельные картине прямые легче, чем прямые общего положения. На полоске бумаги отмечают только концы прямой, не отмечая ее середины, а на делительный масштаб ее накладывают горизонтально. Для этого на делительном масштабе, как в свое время указывалось для масштаба высоты (254), проводят ряд достаточно близко расположенных друг к другу горизонталей, чтобы, ориентируясь на них, рисующий мог установить и удерживать полоску в горизонтальном положении (рис. 407 а). Кроме того, чтобы облегчить пользование масштабом в самых разнообразных случаях, хорошо пронумеруем его деления от 1 до 24. Чаще всего рисующий пользуется дробной точкой отдаления D/4. Чтобы облегчить эту операцию, рекомендуется проводить более жирной линией не только средний луч DN, но и лучи, которые делят масштаб на четыре части (лучи б).
366
Рис. 407 а (370)
На рисунке 407 а дан ряд примеров деления на равные и пропорциональные части прямых, параллельных картине.
Пример I. Чтобы найти на вертикальном ребре комнаты высотой в 4,50 м (рис. 95) размер одного метра, полоску бумаги укладывают концами на лучи 1 и 18 (4,5 X 4 = 18). Нужный размер отмечают в точке пересечения ее с лучом 4 (4:4= 1).
Пример II. Чтобы найти уровень линии горизонта относительно вертикальной прямой высотой в 12 л/, с основанием на 10 м выше уровня глаз рисующего (66, рис. 103), в том случае, когда основание ab делительного масштаба (как рекомендовалось выше) длиннее диагонали картины, полоска бумаги, на которой отмечены концы двенадцатимет
ровой вертикали, укладывается этими точками на лучи 12 и 24, а нужный уровень мы найдем на пересечении вертикали с лучом 2 (12— 10 = 2). С помощью помещенного в книге небольшого масштаба задача решается отложением на полоске бумаги отрезка, равного половине заданной высоты. Искомый результат мы получаем, увеличив длину отрезка между лучами 2 и 12 в два раза.
Пример III. Для того чтобы при построении перспективы окружности (217, применение') получить отношение 5 : 12 (рис. 259 а), полоску бумаги накладывают концами, определяющими длину диаметра ее’, на крайние лучи масштаба и отмечают на ней точки п и п на пересечении с лучами 5.
Пример IV. При применении метода ортогональной проекции (286), чтобы получить отрезок cis, равный одной четверти прямой D'd (рис. 324), полоску бумаги накладывают точками D' и d на крайние лучи масштаба и отмечают длину нужного отрезка на пересечении полоски с лучом 6 (4 X 6 = 24).
Пример V. Чтобы найти величину метра в заданной фронтальной плоскости (311), надо определить седьмую с половиной часть дробного главного расстояния PD'/4 (рис. 340). Для этого полоску бумаги накладывают точками, ограничивающими на ней расстояния PD'/4, на лучи 1 и 15. Величина одного метра находится между лучами 0и2(15:2=7,5),
Деление наклонных прямых общего положения
371.	— Наклонные прямые общего положения, на которых предварительно была найдена середина, делятся с помощью делительного масштаба способами, применявшимися нами для деления остальных прямых общего положения, идущих в точку схода.
367
Пример. На картине (рисунок 408), на которой нам дана линия горизонта, прямая АВ — это перспектива наклонной прямой общего положения, а АЬ'— перспектива ее проекции на предметную плоскость. Чтобы найти середину п прямой АВ, проведем сначала вспомогательную горизонталь Anlbl, с помощью которой, пользуясь произвольной
точкой схода Ь, разделим сперва на две равные части прямую АЬ', а затем вертикалью п'п на то же число равных частей заданную прямую АВ.
Чтобы разделить наклонную прямую общего положения АВ на какое-то число равных частей, например на 9, наложим полоску бумаги с отмеченными на ней точками А, В и серединой п (рис. 407, полоски IV и V для обеих сторон ступеней) на лучи 9, 9 делительного масштаба и отметим на ней каждые вторые точки пересечения.
ПОВТОРНОЕ ОТКЛАДЫВАНИЕ В НАПРАВЛЕНИИ РИСУЮЩЕГО ИЛИ В НАПРАВЛЕНИИ ЛИНИИ ГОРИЗОНТА ЗАДАННОГО ОТРЕЗКА ПЕРСПЕКТИВЫ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ ПРЯМОЙ ИЛИ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
372.	— На картине (рис. 409), на которой нам дана линия горизонта, прямая АВ — это заданный отрезок перспективного изображения перпендикулярной к картине прямой или горизонтальной прямой общего положения. Требуется отложить по такому же отрезку в направлении рисующего и в направлении линии горизонта.
а)	Из самой удаленной на перспективе перпендикулярной к картине прямой АР точки С (таким же образом поступают, если дана горизонталь общего положения с доступной точкой схода) или из самой удаленной точки С перспективы горизонтальной прямой общего положения АС проведем вспомогательную прямую, параллельную линии горизонта.
б)	Возьмем на линии горизонта точку схода Fa, которая, по нашему мнению, даст наиболее четкие пересечения. Идущие в эту точку схода прямые A Fa и В Fa отсекут на вспомогательной прямой отрезок ab. Отложим полоской бу.маги, измерительным циркулем или масштабной линейкой на вспомогательной прямой в обе стороны от отрезка ab еще по одному такому же отрезку.
в)	Линии, проведенные из точек схода Fa через концы делений на вспомогательной прямой, отсекают на заданной прямой в обе стороны от отрезка АВ еще по одному такому же отрезку.
Исходя из сказанного в примечании параграфа 350, уточним, что в данной задаче место точки схода не определяется, а берется произвольно рисующим в расчете по
368
лучить наилучшие пересечения. Отрезки же на вспомогательной прямой не берутся, а определяются.
373.	— Такую же операцию проделывают и в том случае, когда вспомогательная прямая совпадает с нижним краем картины (рис. 410) или проходит во фронтальной плоскости заданного отрезка (рис. 411).
В этом случае, для того чтобы отложить отрезок в направлении линии горизонта, проводится вторая вспомогательная горизонталь CD из конца последнего деления, полученного с помощью первой вспомогательной горизонтали. Положение новой точки схода F'a выбирается в расчете получить наиболее четкие пересечения. Откладываемый на новой вспомогательной линии отрезок — повторение заданного отрезка (3'— 3 на рисунке 410 и 3'— 4 на рисунке 411)— получают соединением с новой точкой схода конца предпоследнего деления на заданной прямой (2" на рисунке 410 и 3 — на рисунке 411).
На рисунке 410 заданная прямая перпендикулярна к картине, а на рисунке 411 она является перспективой горизонтали общего положения с доступной точкой схода.
374.	— Практическое применение. На перспективном изображении перпендикулярной к картине прямой или горизонтальной прямой общего положения
Рис. 409 (372)
24—1003
369
определена перспектива одного метра. Требуется отложить на этой прямой заданный отрезок.
На картине (рис. 412), где дана линия горизонта, была отложена непосредственно с натуры или с помощью точки измерения (301) длина перспективы отрезка АВ в один метр на перспективе прямой AD. Отложим на этой прямой отрезок заданной длины (например, 12 м).
Проведем через самую удаленную на заданной прямой точку D вспомогательную горизонталь. Возьмем произвольную точку схода Fa. Проведем на ней две прямые FaA и FaB. Мы найдем на вспомогательной горизонтальной прямой отрезок 0—1, который повторим на этой же прямой столько раз, сколько метров (например, 12) мы хотим отложить на заданной прямой. Проведем из точки схода Fa через конец последнего отрезка на вспомогательной линии прямую до пересечения ее в точке С с прямой AD. Мы найдем нужный нам отрезок (длиной 12 м).
375.	— На рисунке с натуры. Повторение нужного числа равных отрезков на рисунке с натуры решается другим построением, которое легко исполнить от руки.
На картине (рис. 413) дана линия горизонта hh'. Прямая GL— перспективное изображение горизонтали общего положения. На этой прямой художник отложил отрезок АВ (например, расстояние между двумя деревьями, ширину какого-либо панно, панели и т. д.). Чтобы отложить по такому же отрезку в направлении художника и в направлении линии горизонта поступим так:
а)	разделим полоской бумаги или измерительным циркулем прямые Gg и Ы на две равные части. Мы найдем линию NN', которая делит на две равные части вертикали Аа и ВЬ',
370
б)	проведя прямую ап' или Ьп, мы найдем, как в планиметрии (см. схему на том же рисунке), отразки В1 и АГ, равные отрезку АВ;
в)	повторим ту же операцию в обе стороны на всем протяжении картины.
376.	— Примечание. Если прямая GL проходит очень близко к линии горизонта, то указанное построение не даст точных результатов из-за пересечений под слишком острым углом. В этом случае делают то же построение, но между двумя более удаленными параллельными друг к другу прямыми GL и gl.
ПОВТОРНОЕ ОТКЛАДЫВАНИЕ ДВУХ И БОЛЕЕ ОТРЕЗКОВ РАЗЛИЧНОЙ ДЛИНЫ НА ПЕРСПЕКТИВНОМ ИЗОБРАЖЕНИИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ К КАРТИНЕ ПРЯМЫХ И ГОРИЗОНТАЛЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
377.	— На картине (рис. 415) дана линия горизонта и два отрезка неодинаковой длины АВ и ВС на перспективе перпендикулярной к картине прямой или горизонтальной прямой общего положения с доступной (или недоступной) точкой схода. Требуется отложить на той же прямой в направлении рисующего и в направлении линии горизонта такие же неодинаковые отрезки.
Это повторное откладывание производится таким же способом, как откладывание равных отрезков (372; 373), с той лишь разницей, что на вспомогательной прямой, вместо того чтобы повторить один и тот же отрезок, откладывают один за другим два неодинаковых отрезка. Положение этих неодинаковых по длине отрезков отмечают точками на полоске бумаги.
378.	— Если на картине (рис. 416) на перпендикулярной к ней прямой или на горизонтальной прямой общего положения отложено несколько отрезков (например, АВ, ВС, CD, DE) различной длины, причем, как указывается ниже, отрезок DE должен быть одинаковой длины с отрезком ВС, поступают так же, как при равных отрезках, но на вспомогательной горизонтали вместо равных откладывают неодинаковые отрезки.
Возьмем на линии горизонта произвольную точку схода Fa и проведем в нее из заданных точек А, В, С, D прямые. Мы получим на вспомогательной горизонтали
Рис. 415 (377)	Рис. 416 (378)
371
Рис. 417 (378)
Рис. 418 (379)
точки а, Ь, с, d, с помощью которых отложим на этой горизонтали сначала отрезок de, равный отрезку Ьс, а затем, вооружившись полоской бумаги, в обоих направлениях сразу все остальные отрезки а, Ь, с и d.
Проведя из точки схода Fa прямые к этим делениям, мы получим на заданной прямой искомые отрезки.
На рисунке 417 показано, как надо производить построение, шое зков.
когда имеется очень боль-число неодинаковых отре-
379.	— На рисунке с натуры. Повторение от руки на рисунке с натуры двух отрезков различной длины гораздо легче производить с помощью другого построения.
На картине* (рис. 418) даны на перспективе горизонтали общего положения GH отрезки неодинаковой длины АВ и ВС. Один из этих отрезков требуется отложить в направлении рисующего, а другой в направлении линии горизонта.
а)	Так же как при построении отрезков равной длины (375—376), примем за основание линию горизонта или перспективу какой-либо другой прямой, например 77, параллельной заданной прямой, лежащей дальше от линии горизонта и, возможно, уже проведенной на картине. Если на картине нет такой прямой, то ее надо построить, взяв, например, отрезок h'I, который вдвое длиннее отрезка h'G, и отрезок А7, который вдвое длиннее отрезка hL . После этого находят точку N на середине вертикали GI и точку N’ на середине вертикали LJ. Прямая NN' разделит вертикальную стену IGLJ на две равные части.
б)	Рассмотрим сперва повторяющийся прямоугольник АаСс с делящей его на неравные части вертикалью ВЬ. Задача упрощается, если мы отложим с помощью уже известного нам построения (375) сначала отрезок АС. Продолженная диагональ ап' дает, как в планиметрии (см. схему на том же рисунке), точку 7, а продолженная диаго
372
наль сп — точку Г. Отрезки ГА, АС, С1 равны между собой.
Повторим эту операцию в обоих направлениях на всем протяжении картины. Мы получим ряд прямоугольников, равных прямоугольнику АаСс.
в)	Чтобы получить желаемую часть прямоугольника, возьмем точку о пересечения диагонали ап'1 с вертикалью ВЬ.
Проведем с помощью полоски бумаги (339—341) через точку о перспективу прямой RS, параллельной прямым GL и IJ (операция, непоказанная на рис. 418).
Чтобы получить нужные деления, достаточно провести вертикали через точки о’ в местах, где прямая RS пересекает уже проведенные на картине диагонали.
380.	— На заданной горизонтали можно повторить неограниченное число отрезков самой разнообразной длины, отложив как можно точнее с натуры отрезки, которые надо повторить, и проверив правильность их построения, художник
Рис. 419 (380)
Рис. 420 (381)
должен продолжать построение
согласно вышеуказанным данным: повторить нужное число раз прямоугольник со всеми заданными в нем делениями и затем провести внутри каждого прямоуголь
ника остальные отрезки.
Пример I. На картине (рис. 419) построена с натуры на стене ABCD арка EeFf, пилястр FfGg и прямоугольный проем GgLl. Надо дополнить это построение еще одним пилястром Lili и затем повторить полученное перспективное изображение на всей стене.
а)	Проведем, как было показано выше, прямую NN’, которая делит стену на две равные части.
6)	Чтобы начать повторение перспективного изображения, надо дополнить его пилястром ЫН. Проведя для этого диагональ gL, мы найдем в точке ее пересечения с
373
прямой NN' точку п' Проведенная через эту точку диагональ fn I отсекает отрезок LI—искомую ширину пилястра LIH (равную ширине заданного пилястра FfGg). Мы получили перспективное изображение прямоугольника Eeli, которое требуется повторить на всем протяжении стены.
в)	Повторим эту перспективу. Продолженная прямая enl дает точку К. Построив прямоугольник КПк, равный прямоугольнику Eeli, и продолжив прямую in, мы получим ширину следующего по порядку прямоугольника KSsk и так далее на всем протяжении картины.
г)	Чтобы пополнить рисунок остальными делениями, проведем через точки t,u,v прямые tt',uu', vv', параллельные краям АС и BD стены. Эту операцию можно выполнить с помощью перспективной сетки, дополненной делительным масштабом, как было показано на рисунке 364 (331, б).
На рисунке 419 эта операция проделана с помощью двух равных вспомогательных горизонталей а'Ь' и кр, с помощью которых были найдены точки Т, U, V. Затем эти точки были соединены с соответствующими им точками t, u, v.
<)) Проведя через точки пересечения этих прямых с диагоналями прямоугольников вертикали, мы получим пилястры, прямоугольные проемы и сводчатые проемы.
381.	— Пример II. Вся операция проделывается таким же образом, причем число неодинаковых отрезков, которые требуется повторить, может быть еще больше.
На рисунке 420 предполагается, что чередующиеся простенки между пилястрами неодинаковой ширины: одни больше, другие меньше.
С натуры нарисован большой простенок EeFf и пилястр GgLl. Затем была найдена середина п' пилястра и был построен с помощью диагонали fl прямоугольник LIH, равный прямоугольнику FfGg.
После этого с натуры была найдена ширина меньшего простенка HJj. Последовательным проведением из точек I, g, f через точку п1 в середине этого простенка диагоналей были найдены точки К, Е, R, а следовательно, и прямоугольник EeRr со всеми необходимыми для повторения отрезками.
Остальные операции производятся, как в предыдущем примере.
УДВОЕНИЕ ОТРЕЗКА, ОТЛОЖЕННОГО НА ПЕРСПЕКТИВЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ К КАРТИНЕ ПРЯМЫХ И ГОРИЗОНТАЛЯХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
382.	— Случай I. Предположим (рис. 421), что на картине через концы заданного отрезка АВ уже проведены вертикали Аа и ВЬ.
Найдем с помощью полоски бумаги или измерительного циркуля середину m прямой ВЬ. Продолженная диагональ ат определяет на продолженной прямой АВ отрезок ВС, равный в перспективе отрезку АВ.
Случай II. Предположим (рис. 422), что на картине проведена вертикаль Аа только через один из концов (Л) заданного отрезка АВ.
Проведем через точку В вспомогательную горизонталь и отложим на ней отрезок Вс, равный отрезку а'В.
374
Проведенная из точки а на линии горизонта прямая ас отсекает на продолжении прямой АВ отрезок ВС, равный в перспективе заданной прямой АВ.
Случай III. Предположим (рис. 423), что сюжет картины не требует вертикалей, проводимых в предыдущих случаях через концы заданного отрезка АВ.
Возьмем на линии горизонта примерно над точкой В произвольную точку схода Fa и проведем из нее прямую A Fa.
Отложим на проведенной через точку В вспомогательной горизонтали отрезок Вс, равный отрезку Ва.
Идущая из точки схода прямая Fac отсекает на продолжении прямой АВ отрезок ВС, равный заданной прямой АВ.
Примечание. Мы привели эти три примера, с помощью которых хотим показать, как должен пользоваться художник в других задачах уже имеющимися на картине линиями и построениями, чтобы не перегружать картину новыми вспомогательными линиями, которые надо проводить только там, где они необходимы.
В первом случае мы пользовались уже проведенными прямыми Аа и Bd. Задача была решена с помощью только одной дополнительной линии.
Во втором случае, пользуясь уже проведенной линией Аа, мы приняли за точку схода точку а. Вся задача была решена с помощью вспомогательной горизонтали и проведенной в эту точку схода прямой.
Только в третьем случае, когда для решения задачи не было возможности воспользоваться ни одной из существующих на картине прямых, пришлось провести вспомогательную горизонталь и две идущие в точку схода прямые.
Художник, не выработавший в себе умения пользоваться для решения каждой новой задачи уже проведенными на картине линиями, перегрузит ее ненужной сетью линий и в конце концов в них запутается.
Читатель найдет (590) на рисунке 643 еще один пример, показывающий, как можно с помощью имеющихся на картине линий увеличивать в два раза горизонтали общего положения.
383.	— Практическое применение. На перспективных изображениях перпендикулярных к картине прямых и горизонталей общего положения, которые, образуя с картинной плоскостью большой угол, проходят на большом протяжении на картине, может возникнуть необходимость отложить ряд больших отрезков (231; 374).
375
Рис. 424 (383)
Предположим, например, что прямая АВ на рисунке 424 — это перспектива горизонтальной прямой общего положения, на которой надо отложить отрезок длиной в 14 м. Для выполнения этой операции пользуются единицей измерения L перспективного масштаба картины и дробной точкой измерения М/2, предварительно найденной, например, способом малой картины (266; 267).
На проведенной через точку А вспомогательной горизонтали нельзя отложить отрезок длиной в 7 м (половину 14 м, потому что дробная точка измерения М/2 предназначена для измерения на картине половинных расстояний). Мы должны сперва взять половину этого размера и умножить затем длину полученного отрезка на 2.
Отложим же на вспомогательной прямой AL отрезок Ас, равный 3,50 м. Проведенная из точки измерения М/2 линия сМ/2 отсекает на заданной прямой вдвое больший отрезок, равный 7 м.
На рисунке 424 этот отрезок увеличен в два раза тем же способом, что и на рисунке 421.
УВЕЛИЧЕНИЕ В ЧЕТЫРЕ РАЗА ЗАДАННОГО ОТРЕЗКА НА ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЯХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ К КАРТИНЕ ПРЯМЫХ И ГОРИЗОНТАЛЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
384.	— На картине (рис. 425) нам даны линия горизонта и отрезок АВ на горизонтальной прямой общего положения. Этот отрезок мы хотим увеличить в четыре раза.
Проведем через более удаленную от нас точку В заданного отрезка вспомогательную горизонталь. Отложим на ней четыре равных отрезка: один — над заданным отрезком, т. е. влево от точки В, а остальные три — вправо от этой точки.
Соединим точку А с концом а отрезка Ва и, продолжив прямую Аа до пересечения с линией горизонта, найдем точку схода Fa. Линия Fac, проведенная из точки схода в конец с четвертого отрезка, определяет на заданной прямой положение точки С. Найденный отрезок АС в четыре раза длиннее заданного отрезка АВ.
Уточним, что в данном случае точка схода Fa не была взята, а была найдена, отрезки же на вспомогательной прямой не были найдены, а были взяты с расчетом уместить их в рамках картины. Поступая таким образом, мы исходили из соображения, что, взяв произвольную точку схода, мы рискуем, что общая длина отложенных отрезков не уместится в пределах картины.
376
385.	— Практическое применение. Предположим, что на той же картине (рис. 425) была найдена для заданной прямой АЕ дробная точка измерения Л//2 и что на этой прямой нам надо отложить отрезок длиной в 26 м.
Какой бы вспомогательной горизонталью мы ни пользовались для этой операции — проведенной через точку А или через точку В, — мы не можем отложить на ней отрезок в 13 м, т. е. половину данного отрезка, ни с помощью измерения L перспективного масштаба картины, ни с помощью единицы измерения N того же масштаба.
Для решения этой задачи надо отложить на вспомогательной прямой AL отрезок АЬ (в восемь раз короче требуемого) длиной в 3,25 м (26:8 = 3,25). Пересечение проведенной из точки М/2 прямой ЬМ)2 с заданной прямой дает отрезок АВ вдвое длиннее, т. е. равный 6,50 м. Затем длину этого отрезка увеличивают в четыре раза описанным в параграфе 384 способом и получают прямую АС требуемого размера, т. е. 26 м.
КАК ОТЛОЖИТЬ В КОНЦЕ ПЕРСПЕКТИВНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ ПРЯМОЙ ИЛИ ГОРИЗОНТАЛИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ОТРЕЗОК, РАВНЫЙ ОТРЕЗКУ, ОТЛОЖЕННОМУ НА ДРУГОМ КОНЦЕ ЭТОЙ ПРЯМОЙ
386.	— На картине (рис. 426 и 427) даны линия горизонта и прямая АВ—перспективное изображение горизонтали общего положения. На более близком (рис. 426) или более далеком (рис. 427) конце заданной прямой, вернее, на ее продолжении, отложим отрезок АС. Требуется отложить на противоположном, более удаленном (рис. 426) или более близком (рис. 427) к рисующему конце этой прямой такой же отрезок.
Проведем через точку А вспомогательную горизонталь. Возьмем на линии горизонта в месте, обеспечивающем наиболее отчетливые пересечения произвольную точку схода Fa.
Проведем из этой точки (Fa) прямые FaC и FaB. Мы найдем на вспомогательной прямой отрезок сА, соответствующий отрезку СА, и отрезок АЬ, соответствующий заданной прямой. Отложим из точки b отрезок bd, равный отрезку сА.
Проведя из точки схода Fa прямую dFa, мы найдем на заданной прямой отрезок BD, равный отрезку СА.
387.	— На рисунках 428 и 429 отрезок АС отложен не на продолжении заданной прямой, а на самой прямой. Чтобы найти на ее противоположном, более удаленном от рисующего (рис. 428) или более близком к рисующему (рис. 429) конце такой же
377
отрезок, вспомогательная горизонталь на рисунке 428 была проведена через точку В, а на рисунке 429 по нижнему краю картины.
Идущими из точки схода Fa прямыми FaA и FaC найдены на вспомогательной прямой отрезки ас и сВ. Отложим из точки d отрезок dB, равный отрезку ас. Проведя из Fa прямую dFa, мы найдем на заданной прямой отрезок DB, равный отрезку АС.
388.	— Примечание. Вспомогательная горизонталь может проходить через любую точку на заданной прямой; результат будет тот же. Поэтому, чтобы не проводить бесполезных линий, можно воспользоваться любой имеющейся на картине горизонталью (например, нижним краем картины на рис. 429).
389.	— На рисунке с натуры эта задача решается, как в планиметрии, диагоналями.
После тщательного изучения модели на картине (рис. 430, 431) построена перспектива прямоугольника АаВЬ (дверь, ковер и т. д.). На одной из сторон прямоугольника, более близкой к рисующему (ас) или более от него удаленной (bd), отложен тоже с натуры вне прямоугольника (рис. 430) или внутри него (рис. 431) какой-то отрезок (дверная рама, кайма ковра и т. д.). На противоположной стороне прямоугольника можно найти легко и с гораздо большей точностью, чем рисуя с натуры, такой же отрезок, пользуясь диагоналями прямоугольника (рис. 430). Прямая cnD (или прямая dnC на рис. 431), соединяющая конец с (или d) отрезка с точкой пересечения п диагоналей
378
прямоугольника АаВЬ, определяет на прямой АВ в точке D или в точке С отрезок, равный отрезку cd.
Пример. С натуры построены (рис. 432):
перспектива горизонталей общего положения АВ и ab\
дверной проем CcDd-,
простенок DdEe между этим проемом и следующим проемом.
Чтобы повторить два раза дверной проем и закончить стену простенком, равным главному простенку, расположенному ближе к рисующему, не требуется наблюдений с натуры. Диагональ dE дает середину п простенка DdEe.
С помощью диагонали enF строится второй проем. Его середина п определяется диагональю eF.
Диагональю dn'G мы определяем второй простенок FfGg, а его середина п1 дается диагональю fG.
Третий проем мы находим, проведя диагональ enlL.
Для последнего простенка мы воспользуемся диагональю an' I, проходящей через центральную точку п' второго проема, которая одновременно с этим является центральной точкой всей стены.
Рис. 433 (427). Леонардо да Винчи. Поклонение Волхов
XVIII. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ПЕРСПЕКТИВЕ С ПОСТРОЕНИЯМИ В РАМКАХ КАРТИНЫ
390.	— Не все задачи по перспективе решаются одинаково легко. Самые простые — это задачи, в которых мы оперируем с перспективными изображениями параллельных и перпендикулярных к картине прямых, так как параллельные картине прямые измеряются непосредственно в перспективном' масштабе, а размеры в глубину перпендикулярных к картине прямых определяются с помощью дробных точек отдаления, которые легко найти и так же легко ими пользоваться. Такие задачи решать нетрудно.
С переходом к другим прямым, имеющим точку схода (горизонтальные или наклонные прямые общего положения), начинаются трудности: нам надо находить недоступные точки схода и точки измерения отдельно для каждого направления и т. д.
Одни из таких задач, например построение перспективных сеток и точек измерения для любого положения объекта в пространстве, можно решать методом малой картины (419—426).
Но чтобы помочь художнику в его творчестве, нужно найти практические решения, постараться обойти трудности, прибегая к построениям, в которых пользуются только перспективой легко вычерчиваемых и так же легко измеряемых параллельных и перпендикулярных к картине прямых.
381
Одни из этих практических приемов основаны на перспективном изображении горизонтального, фронтально расположенного квадрата, перспективу которого легко построить. С ее помощью решается ряд задач, как, например, задачи по построению перспективы прямого угла, перспективы квадрата и прямоугольника углового построения, задачи по построению перпендикулярных к картине прямых и т. д. (391—418).
Кроме этого, большой помощью для художника при заканчивании композиции является практический прием построения перспективной сетки из горизонтальных квадратов, расположенных параллельно или под заданным углом, которую он должен уметь строить, не выходя за пределы картины (427—463).
Другая довольно многочисленная группа задач решается с помощью окружности, которую легко построить, вписав ее во фронтально расположенный квадрат: задачи на построение угловых квадратов и прямоугольников в любом положении и на любом расстоянии (построенных с помощью двух окружностей), задачи на построение тел вращения и т. д. (464—515).
В следующей главе будут изложены эти практические приемы.
ПОСТРОЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ НА ПЕРСПЕКТИВЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО, ФРОНТАЛЬНО РАСПОЛОЖЕННОГО КВАДРАТА
Построения перспективы прямого угла с помощью горизонтальных, фронтально расположенных квадратов
Рис. 434 (391)
391.	— Очень часто перед нами встают задачи по построению перспективных изображений горизонталей общего положения, образующих между собой прямой угол.
На картине, на которой дана дробная точка отдаления, построим по памяти или вообразим перспективу одного из горизонтальных ребер объекта, дав ему наклон, который будет наиболее соответствовать нашему художественному замыслу. Теперь, если нам понадобится построить второе ребро, перпендикулярное к первому, ему нельзя придать любой, а только определенный наклон, потому что перспектива прямого угла на предлагаемой прозрачной картине, на которую мы смотрим с заданного главного расстояния, должна совпасть с прямым углом изображаемого объекта при любом его удалении в пространстве (см. рис. 23—27, на которых видно, что, несмотря на увеличение расстояния между рисующим и объектом, перспектива
382
прямого угла остается той же, а также рис. 107—111, где показано, что его перспектива изменяется в связи с увеличением или уменьшением главного расстояния; то же самое наблюдается и на рисунке 442 параграфа 397).
Перспективное изображение прямого угла на картине может принимать самые разнообразные очертания, начиная от предельно тупого угла и кончая предельно острым (рис. 434), в зависимости от положения и места этого угла в пространстве. Тупым опо бывает, когда мы смотрим на обе стороны угла изнутри или снаружи (углы о), и острым, если мы видим одну его внешнюю и одну внутреннюю сторону (углы а). Наконец, оно может быть даже прямым углом, но только в тех случаях, если одна из его сторон совпадает с вертикалью, проходящей через главную точку (углы d).
Перспективу прямого угла можно построить методом ортогональной проекции (281—284) или методом малой картины (263—265). Однако очень часто прямой угол гораздо проще строить с помощью фронтальных квадратов и их диагоналей, воспроизводя в перспективе планиметрическое построение. Этот способ точен и, как мы увидим дальше, обладает известными пластическими преимуществами.
392.	— В планиметрии (рис. 435—438). Если мы хотим провести с помощью двух смежных квадратов перпендикуляр АС к заданной прямой АВ, то должны взять отрезок Са', равный отрезку Ва. Это равенство легко найти, если пользоваться точкой d на диагонали Аа (см. схемы рис. 435; 437) или той же точкой на диагонали Аа' (см. схемы рис. 436; 438).
Если заданная прямая АВ образует с основанием квадратов угол больше 45°, надо пользоваться диагональю Аа квадрата, в который включена заданная прямая (рис. 435; 437). А когда она образует с основанием квадратов угол меньше 45°, пользуются диагональю Аа', проведенной в квадрате, смежном с тем, в котором проведена заданная прямая (рис. 436; 438).
393.	— В перспективе (рис. 435—438). На картине (рис. 435), на которой нам даны ее перспективные элементы, прямая АА' — это перспективное изображение задуманной художником горизонтальной прямой общего положения. Мы хотим построить в точке А прямой угол.
а)	Проведем через точку А горизонталь и отложим на ней в обе стороны от этой точки два равных отрезка Ат и Ап, представляющих собой стороны двух фронтально расположенных вспомогательных квадратов. Для их построения с помощью дробной точки отдаления D/4 (или D'/4) лучше всего сразу же отложить на вспомогательной прямой, проведенной через точку А, отрезок А—1 нужной длины и повторить его четыре раза: мы получим сторону Ап квадрата. Имея эти четыре отрезка, нам будет легко найти длину перпендикулярных к картине сторон квадратов.
б)	Проведем прямые тР и пР: это перпендикулярные стороны квадратов еще не установленной длины.
в)	Соединим четвертую часть стороны Ап, т. е. точку 3 с дробной точкой D'/4. Проведенная линия 3D'14 пересечет прямую пР в точке а. Мы знаем, что прямая па в четыре раза длиннее отрезка Зп и, следовательно, равна стороне Ап квадрата.
Горизонталь аа' завершает перспективу вспомогательных квадратов.
383
г)	Мы видим, что заданная сторона АА' образует с нейтральной плоскостью угол больше 45°, так как она пересекает более далекую фронтальную сторону квадрата в точке В, и поэтому нам нужна диагональ квадрата, в котором заключена заданная прямая. Этой диагональю является диагональ Аа.
д)	Произведем в перспективе то же построение, что и в планиметрии: прямая РВ, идущая в точку схода Р, определяет положение точки d на диагонали Аа. Проведенная через точку d горизонталь определяет на стороне та’ положение точки С. Прямая АС — это перспектива прямой пространства, образующей с заданной прямой АВ угол в 90°.
Для решения этой задачи смежная сторона двух вспомогательных квадратов не нужна: в известных условиях можно также не проводить и линию АЬР.
394.	— Что касается направления заданной прямой, то эта прямая, как уже указывалось, может быть расположена'- по отношению к нейтральной плоскости под углом больше 45°, если она пересекает более удаленную фронтальную сторону квадрата (рис. 435; 437), или под углом меньше 45°, если она пересекает перпендикулярную к картине сторону квадрата (рис. 436; 438).
В первом случае вспомогательная диагональ проводится в том же квадрате, в котором заключена заданная прямая.
Во втором случае берется диагональ смежного квадрата. В обоих случаях диагональ проводится от точки, через которую проходит заданная прямая.
Точка на заданной прямой, в которой мы хотим построить прямой угол, может находиться на более близком к рисующему конце этой прямой (рис. 435; 436) либо на более удаленном (рис. 437; 438).
Во втором случае вспомогательные квадраты строят в направлении рисующего (179). В остальном поступают, как было указано выше (рис. 437; 438).
384
Рис. 437 (392, 393, 394)	Рис. 438 (392, 393, 394)
395.	— Примечание. Фронтально расположенные вспомогательные квадраты можно расположить один за другим в глубь пространства, если мы хотим построить на первом плане картины угол тротуара, стола и т. д. (рис. 439; 440).
Пусть линия АВ будет перспективой заданной прямой, а точка А — точкой, в которой мы хотим построить перспективу прямого угла.
На рисунке 439 проведена через точку А горизонтальная прямая АЬ — общая сторона двух смежных квадратов (на этой горизонтали вправо от точки А отложено четыре отрезка А1 и такой же отрезок АГ влево от этой точки).
Длина перпендикулярных к картине сторон Ат и Ап смежных квадратов была определена с помощью точки пересечения прямой АР с линиями схода D/4,1 и 0/4,1', а перспектива двух смежных квадратов тАЬа и Апа'Ь получена с помощью прямой РЬ и проведенных через точки т и п горизонталей.
Мы видим, что на рисунке 439 заданная прямая АВ образует с общим основанием построенных нами смежных квадратов угол больше 45°, а на рисунке 440 та же прямая образует угол меньше 45°.
Согласно установленному выше правилу (394) и указаниям в небольших геометрических схемах, помещенных в левом верхнем углу соответствующих рисунков, в первом случае мы должны пользоваться диагональю Аа квадрата, в котором проходит прямая, образующая с основанием квадратов угол больше 45°, а во втором случае — диагональю Аа' второго квадрата.
На рисунках видно, как с помощью точки d на этих диагоналях мы определяем положение точки С, через которую проходит вторая сторона АС под прямым углом к заданной прямой АВ.
В первом случае мы проводим горизонталь Bd и перпендикулярную к картине прямую dC, а во втором случае перпендикулярную к картине прямую Bd и горизонталь dC.
385
Рис. 439 (395)	Рис. 440 (395)
396.	— Пластические преимущества метода построения перспективы прямого угла с помощью двух фронтально расположенных квадратов. Предположим, что, исходя из перспективы прямой АВ (рис. 441), был построен, согласно данным выше указаниям, прямой угол ВАС. Величина наклона найденной стороны АС не соответствует эстетическим требованиям композиции. Способ, которым мы пользовались, позволяет изменить этот наклон (например, АСГ) и найти для заданной прямой наклон АВ1. Пользуясь этими фронтальными квадратами и их диагоналями, мы можем испробовать самые разнообраз-
386
ные наклоны для обеих прямых, пока не найдем положения, отвечающего художественным требованиям композиции. Другие же приемы, требующие для малейшего изменения в рисунке новых построений, очень затрудняют эти искания.
397.	— Если в начале работы, когда еще нетрудно изменить перспективные элементы, художник хочет найти для прямой АС меньший наклон, не изменяя наклона заданной прямой АВ, он должен поместить свою композицию в поле зрения, соответствующем меньшему углу, и для этого увеличить расстояние до дробной точки отдаления D/4 (или D'/4) (78, в, г).
На рисунке 442, для того чтобы уместить картину в поле зрения, соответствующему углу 28°, взята дробная точка отдаления D'/8, уменьшенного не в четыре раза, а в восемь раз. Условия, в которых перемещается точка отдаления в связи с изменением величины угла, под которым мы рассматриваем заданный объект, известны в параграфе 77.
Вследствие этого фронтальные квадраты, на которые художник смотрит под этим углом зрения, кажутся длиннее, а то же построение, которым мы пользовались выше, придает перпендикулярной к заданной прямой АВ прямой АС значительно меньший наклон, гармонирующий со спокойным, монументальным характером композиции.
Определение точек измерения с помощью фронтально расположенных квадратов (приблизительный метод)
Построив с помощью двух фронтальных квадратов перспективу прямого угла, мы можем воспользоваться этим построением, чтобы определить приблизительное или точное положение точек измерения (нормальной и дробной) для обоих направлений сторон прямого угла.
398.	— Приблизительный метод. Встроим (очень тщательно) в два вспомогательные квадрата перспективу полуокружности с центром в точке А (рис. 443). Для того чтобы вычертить с удовлетворительной точностью такую кривую, достаточно трех точек: о,
а, п с соответствующими касательными. Построенная кривая пересечет стороны прямого угла в точках с и Ь. Прямые Ао, Ac, Ab, Ап равны между собой, будучи радиусами одной окружности. Следовательно, продолженная прямая ос определит на линии горизонта положение точки измерения М (недоступной на рисунке 443), а продолженная прямая nb определит на той же линии положение точки измерения М 90°.
Если эти точки выходят за пределы картины, найдем дробные точки измерения М/2 и Л/90°/2. Первую мы найдем, сое-
387
Рис. 444 (398)
Рис. 444 а (398)
динив середину S параллельного картине радиуса Ао с точкой с, а вторую — соединив середину г параллельного картине радиуса Ап с точкой Ь. Точка М 90°/2 на данном рисунке в рамках картины не умещается. Если и эти точки недоступны, то надо поступить, как было указано выше (291).
На рисунке 444 видно, как находят точки измерения в тех случаях, когда одна из сторон.прямого угла идет в направлении рисующего, а на рисунке 444 а показано построение прямого угла с помощью двух смежных квадратов в направлении линии горизонта, причем, так как нормальные точки измерения оказались недоступными, были найдены дробные точки измерения.
399.	— Точный метод. Стороны АВ и АС прямого угла, вписанного в два фронтальных квадрата (на рисунке 445 стороны прямого угла повернуты в глубину пространства, а на рисунке 445 а они направлены в сторону рисующего), равны между собой. Их действительную длину определить легко. Построим ортогональную проекцию АоА'О
Рис. 445 (399)	Рис. 445 а (399)
388
квадрата Аоао' на оси Ао и найдем с помощью перпендикулярной к картине прямой Сс' и вертикали с'С1 ортогональную проекцию АС1 стороны АС, имеющую действительную длину сторон АВ и АС заданного угла.
Опишем из центра А дугу окружности, которая отсечет на сторонах АВ и АС прямого угла отрезки АЬ и Ас, равные АС1. Дальше надо поступать, как было указано выше. Продолжив прямую Сс, определяют положение точки измерения М (недоступной), а продолженная прямая ВЬ указывает положение точки измерения 71/90°. Если эти точки недоступны (290), находят точки 5 — середину отрезка АС иг — середину отрезка АЬ. Продолженная прямая sC определяет на линии горизонта положение дробной точки измерения Л//2, а поступая таким же образом с прямой Вг, мы найдем дробную точку измерения М90°/2 (недоступную). Если и эти точки недоступны, поступают, как было указано выше (291).
400.	— Пользуясь перспективным масштабом и найденными указанным выше способом точками измерения, мы можем измерить длину сторон построенного прямого угла или отложить на его сторонах нужные отрезки для построения квадрата или прямоугольника заданных размеров. В дальнейшем будет показано, как производится построение перспективы углового квадрата или прямоугольника по заданному прямому углу.
Построение перспективы квадрата или прямоугольника, если на картине имеется перспектива его двух смежных сторон
401.	— Предположим, что на картине построена указанным выше или каким-либо другим способом (299) перспектива сторон АВ и АС прямоугольника (или квадрата) и что нужно завершить перспективу этой фигуры (рис. 446—448).
Взяв в основу построения заданные стороны АВ и АС, мы можем получить перспективные сетки (328—330) для приблизительного или точного, при условии пользо
вания делительным масштабом (331, 332), проведения через точку В прямой, параллельной АС, а через точку С — прямой, параллельной АВ. С помощью перспективной сетки и соответствующих точек измерения можно строить и измерять перспективу всех предметов композиции, параллельных в пространстве заданным прямым (422—426).
Для завершения перспективы прямоугольника или квадрата можно прибегнуть к точному способу произвольной точки схода (336—338).
Если, применив этот способ, мы получим построения, не умещающиеся в рамках картины (рис. 371), то можно, как будет показано ниже, прибегнуть
Рис. 446 (401)
389
к построению перспективы фигур, получаемых в планиметрии в результате вписывания углового прямоугольника (или квадрата) во фронтальный прямоугольник (или квадрат). В планиметрии. Рассматривая прямоугольник (или квадрат) ABCD углового построения, вписанный в прямоугольник (или квадрат) NRSTфронтального построения (рис. 446),
Рис. 448 (401)
мы видим три возможности построения его перспективы.
а)	Каково бы ни было положение прямоугольника (или квадрата) ABCD углового построения, в котором нам известны только две из его сторон — АВ и АС, неизвестная нам вершина угла D может лежать только на перпендикулярной к картине прямой A'D. Исходную точку А' этой прямой мы получим, отложив на стороне NR фронтального прямоугольника (или квадрата) NRST, описывающего угловой квадрат ABCD, отрезок A'N, равный отрезку A R.
б)	Проведем через точку о, расположенную на середине сто-роныТУТ? прямоугольника (или квадрата) NRST, перпендикулярную к картине прямую. Проведем диагональ ВС углового прямоугольника (или квадрата). Точка пересечения О этих прямых лежит посредине диагонали ВС.
390
Продолжив прямую АО, мы найдем в точке ее пересечения с проведенной из точки А' перпендикулярной к картине прямой искомую точку D.
в)	Расстояние ab между двумя параллельными картине горизонталями, проведенными через вершины ближе лежащих к рисующему углов А и В, равно расстоянию cd между горизонталями, идущими через вершины более далеких углов С и D.
В перспективе. Мы будем пользоваться одним из указанных выше свойств в зависимости от положения на картине двух заданных смежных сторон прямоугольника (или квадрата).
А)	Случай I (рис. 447). Если одна из двух заданных сторон прямоугольника (или квадрата) углового построения, например АС, идет в доступную точку схода, мы можем воспользоваться этой точкой для построения третьей стороны BF, еще не установленной длины. Чтобы найти вершину D четвертого угла, построим перспективу описывающего четырехугольника, проведя параллельную картине горизонталь через вершину угла А и перпендикулярные к картине прямые PN и PR. Отложив на прямой NR отрезок A'N, равный отрезку AR, мы можем провести перпендикулярную к картине прямую А'Р, определяющую в точке D длину четвертой стороны BD углового прямоугольника (или квадрата) (см. выше абзац а).
Примечание. Если параллельная картине горизонталь фронтального прямоугольника (или квадрата) не умещается в пределах картины, приведенное выше построение можно производить на параллельной картине горизонтали, которая проходит через самый удаленный конец С одной из двух заданных сторон (рис. 446, справа). Отрезок сА' равен отрезку Са, как указано на схеме этого рисунка.
Б) Случай II (рис. 447 а). Если ни у одной из двух заданных сторон нет доступной точки схода, то две другие стороны прямоугольника (или квадрата) можно построить с помощью диагоналей (см. выше абзац б).
Как указывалось выше, построение описанного прямоугольника (или квадрата) начинается со сторон PN, NR и RP, как это видно на рисунке 447 а. Горизонталь Вс проходит через точку В — наиболее удаленный конец заданных сторон. После этого откладывают отрезок А'с, равный отрезку аВ, и проводят перпендикулярную к картине прямую А'Р. Затем надо провести диагональ СВ и найти середину о параллельной картине горизонтальной стороны Ас. Перпендикулярная к картине прямая оР определяет в точке О середину диагонали CD. Продолженная диагональ АО, пересекаясь с перпендикулярной к картине прямой А'Р, определяет положение искомой точки D.
Тот же метод был применен и в рисунках 638 и 647.
В)	Случай III (рис. 448). Когда точки А и А' слишком сближены, указанное выше построение дает неточные пересечения под слишком острым углом. В этом случае (см. приведенный выше абзац в) искомый угол D находят, отложив на перпендикулярной к картине прямой АР отрезок cd, равный отрезку ab.
Воспользуемся в качестве вспомогательной прямой параллельной картине горизонталью, проведенной через точку С. Возьмем произвольную точку схода Fa. Найдем с ее помощью точки а и Ь. Отложим отрезок cd, равный отрезку ab. Проведенная из точки d в точку схода Fa прямая Fad отсекает на перпендикулярной картине прямой АР отрезок cD', равный отрезку АЬ'.
391
Пересечение проведенной через точку D' параллельной картине горизонтали с перпендикулярной к картине прямой А'Р определяет положение искомого угла D прямоугольника (или квадрата) углового построения. (Точку Л' находят, откладывая отрезок СА', равный отрезку В'с.)
Таким же образом мы поступали и на рисунке 643.
Построение перспективы углового квадрата с помощью горизонтальных, фронтально расположенных квадратов
з	b
402.	— Пусть на картине (рис. 449), на которой нам даны перспективные элементы точка А будет перспективой точки пространства. В этой точке мы хотим поместить расположенный ближе к рисующему угол перспективного изображения углового квадрата (например, стола) со сторонами данных размеров (например, 1,50л/). 
Если при этом также даны и углы, образуемые в пространстве сторонами этого квадрата с нейтральной плоскостью, то его перспективу можно построить методом ортогональной проекции (294—296). Однако, когда в поисках наилучшего решения мы захотим менять положения перспективы этого квадрата до тех пор,
Рис. 450 (232; 402; 403)
пока не найдем положения, наиболее соответствующего остальным композиционным элементам картины, мы можем воспользоваться методом фронтальных квадратов. Этот метод позволяет менять положение перспективы на первоначальной схеме без того, чтобы при каждом изменении начинать построение сначала.
Отложим на проведенной через заданную точку А горизонтали два измеренных в перспективном масштабе единицей
392
измерения N отрезка Ат и Ап длиной, выбранной нами для сторон квадрата углового построения (например, 1,50 м).
Построим с помощью точки уменьшенного в четыре раза отдаления два фронтальных квадрата Amrt и Anst, в которые впишем полуокружность. С помощью этих квадратов и их диагоналей Аг и As мы можем построить перспективу прямого угла в любом положении (396, рис. 441), причем полуокружность отсекает на сторонах выбранной нами перспективы прямого угла отрезки искомой длины (1,50 м). Из большого числа положений, которые можно придать предмету на этой схеме, на рисунке 449 даны только два. То же самое показано и на небольших перспективах рисунков 449 и 450: под литерой а сторонами квадрата при прямом угле ЬАс! являются отрезки АВ и АС', под литерой Ь такими сторонами при прямом угле ЫАс1 являются отрезки АВ1 и АС1.
Остальные две стороны квадрата строятся указанным выше способом (330—332; 336—338; 401).
403.	— Задача решается тем же способом и тогда, когда точка А является перспективой более удаленного угла искомого квадрата углового построения. На рисунке 450 стороны квадрата равны 1,75 м. Они были измерены в перспективном масштабе единицей N.
Построение перспективы углового прямоугольника с помощью горизонтальных квадратов фронтального построения
404.	— Если при построении угловой перспективы прямоугольника нам понадобится найти положение, наиболее соответствующее нашему композиционному замыслу, то, как и при построении угловой перспективы квадрата, мы можем воспользоваться методом фронтальных квадратов.
На проведенной через вершину более близкого или более удаленного от рисующего (рис. 451; 452) угла Л горизонтальной прямой отложим по одну и по другую сторону от точки А измеренные в перспективном масштабе единицей измерения N отрезки Ат и Ап, равные более короткой стороне прямоугольника (например, 0,80 .и), и отрезки Л г и As, равные более длинной стороне прямоугольника (например, 1,50 .и).
Построим с помощью точки отдаления D/4 на более длинных сторонах прямоугольника два горизонтальных фронтальных квадрата Artv и Asuv. Пользуясь их диагоналями At и Au, мы можем без труда построить на более коротких сторонах прямоугольника фронтальные квадраты Amih и Angh.
Впишем в малые и большие квадраты по полуокружности.
С помощью больших квадратов и их диагоналей At и Л и можно построить перспективу прямого угла в любом положении (391—394), а с помощью вписанных полуокружностей — определить на сторонах перспективы прямого угла длину сторон искомого прямоугольника.
На рисунке 451 дано только два из многих положений, которые художник может придать предмету в поисках положения, наиболее соответствующего остальным элементам композиции.
393
Рис. 451 (232; 404)
Рис. 452 (232; 404; 405)
Каждому из этих положений соответствует при построении прямоугольника два других возможных положения в зависимости от того, в каком направлении, т. е. вправо или влево от точки А, отложена более длинная сторона.
Как показано на небольших дополнительных построениях рисунков 451 и 452, на прямоугольном треугольнике ЬАссторонами прямоугольника заданных размеров являются:
а)	длинная сторона АЕ, идущая вправо, и короткая — AD, идущая влево;
б)	короткая сторона АВ, идущая вправо, и длинная — АС, идущая влево.
Сторонами прямого угла ЫАс1 являются:
в)	длинная сторона АЕ1, идущая вправо, и короткая — — AD1, идущая влево;
г)	короткая сторона АВ1, идущая вправо, и длинная — АС1, идущая влево.
Другие две стороны прямоугольника можно построить любым из известных способов (330—332; 336—338; 401).
405.	— Так же поступают и при построении угловой перспективы прямоугольника по более удаленному от рисующего углу. На рисунке 452 стороны прямоугольника имеют ту же длину: 0,80 jM и 1,50 л«, а для облегчения чтения чертежа и помещенных выше объяснений мы ставили те же буквы, что и на предыдущем рисунке.
394
Рис. 453 (406; 407)
Построение с помощью фронтального квадрата перспективы перпендикулярных прямых в перпендикулярной к картине плоскости
406.	— Требуется провести из заданной точки в горизонтальной плоскости перпендикуляр к расположенной в этой же плоскости горизонтали общего положения. Эта задача относится, между прочим, и к построению зеркальных отражений и может быть решена методом построения ортогональной проекции или методом малой картины-Но в ряде случаев гораздо проще пользоваться планиметрическим построением вспо • могательного фронтального квадрата.
В планиметрии (схемы на рис. 453; 454). Пусть точка А будет точкой, из которой мы хотим провести перпендикуляр к прямой ВС. Проведем из точки А произвольную прямую АЬ (в перспективе эта прямая будет всегда горизонталью) до ее пересечения с заданной прямой ВС. Построим на прямой АЬ квадрат и посмотрим, какой угол образует заданная прямая ВС с прямой АЬ — больше или меньше 45°. В первом случае для построения перпендикуляра пользуются диагональю ЬЬ', проведенной из того же угла, что и заданная прямая. Во втором случае пользуются диагональю Аа', идущей из угла, соответствующего заданной точке.
Проведем из конца с включенного в квадрат отрезка Ьс прямые cd и dD, параллельные сторонам квадрата. Мы найдем точку D, через которую проходит перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой ВС.
407.	— Переведем вышеприведенное геометрическое построение в перспективу. Пусть точка А на картине (рис. 453 и 454), на которой нам даны перспективные элементы, будет перспективой точки, из которой мы хотим провести перпендикуляр к горизон-
Рис. 454 (406; 407)
395
тальмой прямой общего положения ВС, лежащей в общей для обеих прямых горизонтальной плоскости.
Проведем через точку А горизонталь Ah до пересечения ее с заданной прямой и построим на этой горизонтали перспективу фронтального квадрата (отрезок А—3 равен четверти АЬ). Определим теперь наклон заданной прямой ВС по отношению к горизонтали АЬ, т. е. больше ли он 45° (если прямая пересекает параллельную к картине сторону квадрата) или меньше 45° (если она пересекает перпендикулярную к картине сторону квадрата).
При большем угле (рис. 453) надо пользоваться диагональю bb', идущей из той же точки, что и заданная прямая. При меньшем (рис. 454)—диагональю Аа', идущей из заданной точки А.
В первом случае перпендикулярная к картине прямая cd и проведенная из точки d горизонталь dD определяют положение точки D, через которую проходит перспектива перпендикуляра AnD.
Во втором случае горизонталь cd и проведенная из точки
d перпендикулярная к картине прямая dD определяют положение точки D, через которую проходит перспектива перпендикуляра AnD.
408.	— Если положение заданной прямой ВС (рис. 455) относительно точки А таково, что проведенная через нее параллельная к картине горизонталь не пересекает заданную прямую в пределах картины, поступим следующим образом.
Построим в заданной точке А фронтальный квадрат АЬ'еЫ. Отложим на его стороне Ah' четыре равных отрезка, соответствующих по длине размерам рисунка. Его перпендикулярные к картине стороны b'Р и АР при их продолжении определяют на заданной пря
396
мой положение точек Ь и с. Проведем через точку Ь горизонталь Ьа, на которой с помощью произвольной точки схода (в нашем примере D'/4) найдем на продолженной линии D'/4c точку s.
Построим линиями Pss' и s'D’14 треугольник АЬ'с', подобный треугольнику abc, в котором сторона Ь'с' параллельна заданной прямой ВС.
Решим задачу, проведя в квадрате АЬ'еЫ (способом, показанным в параграфах 406,407) из точки А перпендикуляр к прямой Ь'с' (на рисунке эта прямая образует с нейтральной плоскостью угол больше 45°, и поэтому надо пользоваться диагональю Ь'Ы). Найденная прямая AD, будучи перпендикулярной к прямой Ь'с', также перпендикулярна в точке тик заданной прямой ВС, параллельной прямой Ь'с'. Вообще же точка т может быть недоступной.
409.	— Иногда соответственно с положением прямой относительно точки А (рис. 456) фронтальный квадрат с параллельной картине стороной АЬ надо строить, как в предыдущих случаях, в направлении рисующего, а не в направлении линии горизонта. На рисунке 456 прямая СВ пересекает параллельную картине сторону Ь'е фронтального квадрата и, следовательно, образует с основанием АЬ квадрата угол больше 45°. Поэтому для проведения перпендикуляра мы пользовались диагональю ЬЬ'.
Построение перспективы углового квадрата с помощью горизонтального,
фронтально расположенного квадрата
410.	— Нарисовав на картине с натуры, по памяти или вообразив перспективное изображение АВ одной из сторон квадрата углового построения ABCD (рис. 457), мы можем закончить построение перспективы этого квадрата с помощью описывающего его фронтального квадрата EFGH.
Рассматривая планиметрические построения на рисунке 457, мы видим, что заданная сторона АВ квадрата может лежать по отношению к стороне описывающего ква-
Рис. 457 (410)
397
Рис. 458 (411; 413). Рис. 459 (411; 413)
Драта под углом меньше 45° (рис. 457, а), равным 45° (рис. 457, Ь) и больше 45° (рис. 457, с).
Если этот угол равен 45°, то каждая из сторон описывающего квадрата делится соответствующими вершинами углов вписанного квадрата на две равные части. В остальных случаях отрезки неравны, но мы видим, что эти неравные по величине отрезки описывающего квадрата соответственно равны между собой (BE = AF= CG = DH, a AE= FC = GD= HB).
Кроме того, мы замечаем, что если провести через углы А, В, С, D вписанного углового квадрата прямые, параллельные сторонам описывающего квадрата, то эти прямые пересекутся парами в точках b и с с диагональю EG описывающего квадрата.
Пользуясь этим свойством, мы можем решить в перспективе данную задачу и, чтобы облегчить наблюдение за ходом операций, мы изложим это решение параллельно в планиметрии (рис. 459) и в перспективе (рис. 458).
411.	— Перспективное и геометрическое построение (рис. 458; 459).
А) Зададимся прямой АВ, на которой мы хотим построить угловой квадрат. Проведем через точку А параллельную картине горизонталь, являющуюся одной из сторон (неопределенной длины) описывающего квадрата, а через точку В — перпендикулярную к картине прямую, вторую сторону описывающего квадрата. Эти прямые пересекутся в точке Е одной из вершин угла описывающего квадрата.
Чтобы найти длину параллельной картине стороны описывающего квадрата, надо отложить на этой стороне отрезок AF, равный отрезку BE. Продолженная прямая D'/4B дает отрезок Ее, в четыре раза меньший отрезка BE. Отложив из точки А на продолженной прямой ЕА четыре отрезка Ее, мы найдем точку F, определяющую конец параллельной картине стороны EF описывающего квадрата. Проведем перпендикулярную к картине прямую PF— третью сторону (еще не установленной длины) этого квадрата.
Б) Отложим на фронтальной стороне EF описывающего квадрата отрезок FA', равный отрезку ЕА. Проведем через точки А и А' две прямые, перпендикулярные картине. На прямой, идущей из точки А', расположена вершина D наиболее удаленного угла искомого квадрата (401, а).
Проведем из наиболее удаленного' конца В заданной прямой АВ параллельную картине горизонталь. Пересечение ее с перпендикулярной к картине прямой, проведенной из точки А', определяет положение точки Ь, через которую проходит одна из диагоналей описывающего квадрата, т. е. диагональ, идущая из вершины прямого угла Е треугольника АВЕ, гипотенузу которого образует заданная прямая АВ.
Проведем эту диагональ. Она пересечет в точке с проведенную из точки А перпендикулярную к картине прямую и в точке G перпендикулярную к картине сторону FG описывающего квадрата, определив ее длину. Проведем через точку с параллельную картине горизонталь, которая определит на той же стороне FG положение вершины С третьего угла искомого квадрата, а параллельная картине горизонталь, проведенная через точку G, определяет на перпендикулярной к картине прямой, идущей из точки А', положение вершины D четвертого угла искомого квадрата.
399
Рис. 46Э (411; 412; 413; 416)	Рис. 461 (411; 412; 413)
Рис. 462 (411: 413)
В) Соединив точку А с С, точку С с D и точку D с В, мы получим перспективу углового квадрата ABCD.
Примечание. На рисунках 458 и 459 длина стороны FG описывающего квадрата была найдена при помощи диагонали EbG. Но, определив длину основания EF этого квадрата, мы можем (177) найти длину стороны, идущей в глубину, и с помощью дробной точки отдаления D'j4 (как на рисунках 460—462; 466), отложив на основании отрезок Ег, равный четверти длины этого основания. Но если чертеж исполнен точно, диагональ дает такой
же точный результат, избавляя от необходимости перегружать риэунок этим построением, необходимым лишь для проверки.
Этим способом была построена перспектива угловых квадратов на рисунках 587; 630; 651.
412.	— Когда нам известно положение точки А на стороне EF фронтального описывающего квадрата (рис. 460). Когда в прямой перспективе нам известны длина сторон квадрата, перспективу которого мы хотим построить, и углы, образуемые его сторонами с нейтральной плоскостью, нетрудно начертить в произвольном масштабе геометрическую схему квадрата, описывающего квадрат углового построения (рис. 460). Для превращения геометрического чертежа в перспективу достаточно измерить в соответствующем масштабе отрезки FA и АЕ и с помощью перспективной сетки построить их на картине. В дальнейшем перспектива углового квадрата строится согласно указаниям, данным на рисунках 460, 461.
400
Проведя из точек F и Е перпендикулярные к картине прямые еще не установленной длины, построим на стороне FAE, измеренной по геометрической схеме в перспективном масштабе единицей измерения N, фронтальный квадрат EFGL. Чтобы найти длину этих прямых, установим между линиями FP и ЕР в горизонтальном положении масштабную линейку и, передвигая ее вверх и вниз, найдем отрезок, кратный четырем. Отметим в точке г' четверть этого расстояния и перенесем его с помощью перпендикулярной картине прямой в точку г на прямой EF. Отрезок Ег равен четверти основания EF квадрата (эту четверть можно найти с помощью делительного масштаба или любым другим способом).
Точка L на пересечении линий rD'/4 и ЕР определяет глубину фронтального квадрата EFGL. Произведя с помощью его диагонали EG указанные выше построения, мы получим перспективу углового квадрата ABCD.
413.	— Вышеуказанный способ применяется без изменений при любом наклоне прямой АВ. На рисунке 461 прямая наклонена влево. Чтобы облегчить понимание построения, на нем проставлены те же буквы, что и на предыдущем рисунке.
Таким же образом поступают и при построении перспективы углового квадрата, когда прямая АВ (рис. 462) является его наиболее удаленной стороной. Фронтальный квадрат строится согласно указаниям параграфов 179, 180. Чтобы легче разобраться в построении такой перспективы, на рисунке 462 проставлены те же буквы, что и на рисунках 458, 459, благодаря чему текст этих рисунков соответствует и рисунку 462. Чтобы получить более отчетливые пересечения, мы взяли, как пояснялось в параграфе 179, в и г, точки гиг' на продолженной стороне FE фронтального квадрата.
На рисунках 460—462 глубину описывающего фронтального квадрата можно определить, как на рисунке 459, с помощью его диагонали. Для этого пользуются точкой пересечения b перпендикулярной к картине прямой А'Р с горизонталью, проведенной из точки В. Продолженная прямая ЬЕ представляет собой диагональ описывающего квадрата и определяет в точке пересечения G с продолженной прямой FP его глубину FG.
Примеры на построение углового квадрата, когда нам известна вершина одного из его углов па стороне описывающего фронтального квадрата, мы найдем па рисунках 603—605.
Определение середины сторон углового квадрата (для пользования делительным масштабом)
414.	— Как уже говорилось выше, пользоваться делительным масштабом можно только в тех случаях, когда мы знаем середину прямых, которые хотим делить на равные или пропорциональные части (365).
Середину сторон углового квадрата, вписанного во фронтальный квадрат, можно легко найти следующим образом (рис. 463).
Разделим на две равные части с помощью делительного масштаба, полоски бумаги или масштабной линейки отрезки FA, АЕ, GD и DH. Проведем через точки o', п', г', s', г. е. через середину этих отрезков, перпендикулярные к картине линии. Мы найдем точ.
401
Рис. 463 (414; 415)
ку о — середину стороны АС, точку п — середину стороны АВ, точку г — середину стороны CD и точку л — середину стороны DB (596, рис. 651).
415.	— Примечание. Если мы уверены в точности нашего чертежа, то операцию можно упростить. Найдем указанным выше способом середины о и п сторон АС и АВ (рис. 463).
Проведем диагонали AD и СВ углового квадрата ABCD. Мы найдем точку и — середину этого квадрата.
Продолженная прямая пи дает в точке г середину стороны CD, а продолжив прямую ои, мы найдем в точке s се
редину стороны BD.
Пример пользования делительным масштабом на сторонах углового квадрата. На рисунке 464 построено с помощью перспективной сетки перспективное изображение известной мозаики cave сапет* на полу одного из раскопанных домов в Помпее.
С помощью делительного масштаба (рис. 406; 407) стороны квадрата были разделены на 14 равных частей. Середина этих сторон была известна. Благодаря этому можно было построить перспективную сетку с нужным числом квадратов, обусловленным орнаментом на
выбранной модели. Рисунок фигуры собаки на модели был воспроизведен на картине
по квадратам со всеми перспективными искажениями.
Построение перспективы углового квадрата с помощью фронтально расположенного квадрата
416.	— Хорошо усвоив показанный выше прием и привыкнув им пользоваться, мы можем применять его и для построения перспективы прямоугольника.
Если нам известны размеры и положение в пространстве сторон прямоугольника, который мы хотим построить в перспективе, мы строим в обычном масштабе (например,
— * Берегись собаки (лзт).
402
Рис. 465 (416). Рис. 466 (411; 416)
1:100) его ортогональную проекцию (рис. 465). Взяв за основание короткую сторону прямоугольника, построим на картине (рис. 466) указанным выше (412, рис. 460) способом квадрат ABC1D1. Отложим в перспективном масштабе единицей измерения N отрезки Ас' и Ed, придав им длину соответственно построенной схеме (в данном случае 2,50 м). Перпендикулярные к картине прямые с'Р и dP определяют в точках С и D размер более длинных сторон прямоугольника ABCD.
417.	— В других случаях квадрат можно построить на более длинной стороне прямоугольника и затем, как указывается дальше (рис. 650—655; 656; 661—664;665; 669—672), делить в нем более короткие стороны искомого прямоугольника. Этот путь применяется для получения перспективы прямоугольника данных размеров в тех случаях, когда мы не прибегаем к методу малой картины или к построению ортогональной проекции.
418.	— Пользуясь этим практическим методом построения квадрата и прямоугольника, мы можем получить перспективу одновременно всех четырех сторон искомой фигуры. Но, с другой стороны, если, нас не удовлетворяет полученное изображение четырехугольника и мы захотим изменить наклон его сторон, то всю операцию придется проделать сначала, а если мы меняем наклон заданной прямой (длину которой придется отложить вновь), то будем вынуждены построить другой фронтальный квадрат и вписать в него в новом положении квадрат углового построения без уверенности, что это новое положение нас удовлетворит. Метод фронтальных квадратов (402—405) избавляет нас от этих утомительных исканий.
ПЕРСПЕКТИВНЫЕ СЕТКИ, КОМБИНИРОВАННЫЕ С ТОЧКАМИ ИЗМЕРЕНИЯ
Если в прямой перспективе мы знали или нам задали угол, образуемый с нейтральной плоскостью предметами, которые требуется нарисовать на картине, то нам будет очень легко получить вспомогательную перспективную сетку с помощью приведенных ниже построений.
403
Этими же построениями можно пользоваться и в обратной перспективе в тех случаях, когда на первоначальном наброске художник установил на перспективном изображении главного предмета своей композиции наиболее подходящий наклон для одной из его горизонталей общего положения.
Практические построения, выполняемые при помощи дробной точки зрения методом малой картины
419.	— Если на построенной нами ортогональной проекции имеется прямой угол в любом положении с вершиной в дробной точке зрения 0/4, то, пользуясь методом малой картины (270), мы найдем без труда:
о) перспективу прямых, которые, проходя через точку 0/4, образуют с нейтральной плоскостью тот же угол, что и стороны прямого угла в ортогональной проекции (рис. 470). Этими перспективными изображениями можно воспользоваться для построения перспективной сетки картины (рис. 471 — 473);
б) нормальные или дробные точки измерения для обоих направлений сторон заданного угла, даже в тех случаях, когда их уменьшенные в четыре раза точки схода не лежат в пределах картины;
в) точку схода прямых, идущих под углом в 45° по отношению к заданному направлению, или, если она недоступна, — другую, которая может ее заменить.
Примечание. Если дробная точка зрения 0/4 выходит за пределы нижней части картины, расположенной ниже линии горизонта, то ее можно перенести в верхнюю часть картины на вертикаль VV’. В этом новом положении все построения производятся обычным способом.
Когда эту точку нельзя поместить на картине ни выше, ни ниже линии горизонта, то возьмем дробную точку зрения <9/5(рис. 468). В описываемых ниже построениях необходимо постоянно учитывать соответствующее уменьшение точек зрения.
420. — Перспектива горизонталей общего положения, образующих стороны прямого угла в заданном положении. На картине mnrs (рис. 467), на которой нам дана линия горизонта и дробная точка зрения 0/4, надо построить ортогональную проекцию прямого угла в любом положении, но с вершиной в точке 0/4. Будучи продолженными, стороны этого прямого угла могут пересекать или не пересекать линию горизонта в зависимости от углов, под которыми они лежат по отношению к нейтральной плоскости. Этот прямой угол является уменьшением прямого угла FOF9QP с недоступными точками схода. На рисунке 467 единственная доступная точка схода прямого угла на малой картине — это дробная точка F90°/4.
Для ускорения построения перспективы прямых, которые проходят через точку 0/4 параллельно сторонам заданного угла FOF9(F (и, следовательно, сторонам угла F/4 0/4 F90°/4), достаточно разделить на четыре равные части вертикали F90°/4d и Fl4a, опущенные из точек Е90°/4 и F/4 на проведенную через точку 0/4 горизонталь, или какую-нибудь другую вертикаль, например cb, между любой точкой на одной из сторон прямого угла и горизонталью, проведенной через точку 0/4.
404
Прямые 0/4к и 0/41, соединяющие точку 0/4 концами 1 или Г первых отрезков на этих вертикалях, являются перспективными изображениями прямых, параллельных сторонам заданного прямого угла. Если их продолжить, они направятся в недоступные точки схода F и F9O0, расположенные на линии горизонта на расстоянии, в четыре раза большем от главной точки Р (и, следовательно, от точки 0/4), чем дробные точки схода F/4 и F 90°/4(и, следовательно, в четыре раза дальше от точек 1 на прямых 0/41 и О/4к).
421.— Примечание. Если мы пользуемся дробной точкой зрения 0/8, то для получения перспективы горизонталей, идущих в недоступные точки схода F и Е90°, надо разделить на восемь равных частей отрезки вертикалей между одной из сторон прямого угла и горизонталью, проведенной через точку 0/5(рис. 468).
Построение перспективных сеток. Если нам надо сделать быстрый набросок, то,
пользуясь перспективой двух прямых, образующих в пространстве прямой угол, легко построить перспективную сетку. Такая сетка облегчит проведение на картине прямых, идущих в недоступные точки схода. Строить ее можно в прямой и в обратной пер
спективах.
422. — В обратной перспективе. На картине (рис. 469), на которой нам дана линия горизонта и дробная точка зрения 0/4, зададимся прямой А В—перспективой расположенной в пространстве горизонтали общего положения, которой мы придали на картине наклон, соответствующий общему характеру композиции. Для того чтобы облегчить построение из прямых, идущих в недоступные точки схода сетки, с помощью которой мы получили возможность проверить на своей композиции наклон прямых, параллельных прямым сетки, проведем через точку 0/4 прямую, перспективно параллельную заданной прямой.
а)	Применим метод произвольной точки схода (333; 334).
405
Проведем через точки 0/4 и а две линии в произвольную точку схода Fa (на рисунке 469 для получения четких пересечений точка схода Fa взята в точке D/4).
Прямые Fa/а и FaO/4 образуют масштаб высоты.
Проведем из точки с' горизонталь с'с до этого масштаба. Отрезок cd показывает перспективное уменьшение вертикали аО/4 в соответствующей фронтальной плоскости.
Проведенная из точки d горизонталь определяет на вертикали точки ^(совпадающей с рамкой картины) положение точки D, через которую проходит прямая DO/4, параллельная в пространстве данной прямой АВ.
б)	Отложив на вертикали точки D четыре отрезка eD (расстояние между точкой D и проведенной через точку 0/4 горизонталью) и соединив найденную точку D1 с точкой 0/4, мы получим прямую ортогональную проекцию OI4D1. Наклон прямой O/4D1 показывает положение в пространстве заданной прямой АВ и прямой O/4D. Это построение обратно противоположно построениям на рисунках 467 и 468, на которых, исходя из сторон ортогональной проекции прямого угла, мы построили перспективы сторон заданного угла.
Прямая АВ, которую художник вообразил, построил по памяти или нарисовал с натуры, это перспектива прямой, образующей в пространстве с нейтральной плоскостью угол и.
Восставив из точки 0/4 перпендикуляр к прямой O/4D1, мы получим ортогональную проекцию прямого угла, стороны которого D1O/4 и EIOj4 идут в том же направлении, что и параллельные заданной прямой АВ ребра предметов в пространстве.
Начиная от этого места задачи в обратной перспективе решаются, как мы убедимся на дальнейших примерах, так же, как в прямой перспективе.
423. — В прямой перспективе. На картине (рис. 470), на которой дана линия горизонта и дробная точка зрения 0/4, пусть D1OI4E1 будет ортогональной проекцией прямого угла. Стороны этого угла образуют с нейтральной плоскостью углы и и v, т. е. те же углы, которые образуют в пространстве предметы углового построения, которые мы хотим изобразить на картине,
4Q6
Возьмем на каждой из этих сторон по точке (например, точки D1 и Е1), из которых опустим перпендикуляры Did и Е1е на горизонталь, проведенную через точку 0)4.
Разделим каждый из этих перпендикуляров одним из указанных выше способов на четыре равные части. Прямые O/4D и OI4E, проходящие через концы первого деления на этих вертикалях, представляют собой перспективные изображения горизонталей общего положения, образующих в пространстве с нейтральной плоскостью углы и и у.
Перспективную сетку картины строят показанным выше способом (328 — 330), исходя из перспективы этих прямых (рис. 471).
Разделим вертикали Dh, О/4Р и Eh' делительным масштабом (370), полоской бумаги или каким-либо другим способом на 2; 4; 6; 8; 16 и больше равных частей. Полученные таким образом отрезки отложим на этих же вертикалях вверх и вниз на всем протяжении картины.
Соединив между собой соответствующие концы отрезков на вертикалях, мы получим нужные сетки. Выше было показано, как с помощью таких сеток строятся на каждой из половин картины прямые, параллельные линиям сетки на другой половине (328 — 330). Таким образом с помощью одних и тех же сеток можно строить и интерьеры, и наружный вид помещений. А пока до приобретения этого навыка, взяв за сходную точку перспективу этих двух прямых и изменяя порядок соединения точек на вышеупомянутых трех вертикалях, мы можем получить сетки, более подходящие для построения наружных очертаний предметов (рис. 471) или для изображения их внутреннего вида (рис. 472). Во втором случае для сетки на правой половине картины пользуются делениями на ее левом краю, а для левой половины картины делениями на ее правом краю.
Вообще же гораздо лучше строить сетки для обоих направлений, проводя линии от одного до другого края картины при условии — вычерчивать их внимательно и очень тонкими линиями (рис. 473).
424. — Определение нормальных и дробных точек измерения. Мы уже знаем, как находить точки измерения, если на картине дана дробная точка зрения (например, О/4~) и дробная точка схода горизонталей общего положения (например, F/4)(266 и 267).
а)	Отложим из точки F/4 на линии горизонта (рис. 474) дугой окружности или полоской бумаги отрезок, равный четверти длины крайнего луча O/4F/4. Мы найдем дробную точку измерения т. Для получения нормальной точки измерения отложим
407
на линии горизонта из главной точки (полюса уменьшения) четыре отрезка Рт. Мы получим нормальную точку измерения М, с помощью которой и будем измерять все прямые, которые в пространстве параллельны друг к другу и образуют с нейтральной плоскостью тот же угол и, что и заданная прямая O/4F/4.
б)	В тех случаях, когда нормальная точка измерения М (рис. 475) не умещается в рамках картины, найдем дробную точку измерения М/2. Разделим луч схода O/4F/4 на две равные части и отложим на линии го
ризонта отрезок F/4n, равный найденной половине луча. Мы получим разделенную на два и уменьшенную в четыре раза дробную точку измерения. Отложив на линии горизонта четыре отрезка Рт/2, мы найдем дробную точку измерения М/2.
Заметим, что в зависимости от величины расстояния между главной точкой и точкой схода F/4 дробная точка измерения М/2 может находиться по отношению к главной точке на той же стороне, что и точка схода (рис. 476), или на противоположной стороне (рис. 475).
в)	Теперь мы покажем, как можно найти точку измерения в тех случаях, когда дробная точка схода F/4 не умещается в рамках картины (рис. 477).
Проведем вторую линию горизонта h'h' через конец f/4 луча O/4f/4. (Уменьшение производится с помощью полюса О14~). Отложим на второй линии горизонта h'h' отрезок fl4m', равный лучу O/4f/4. Продолженная прямая О14т' определяет на первоначальной линии горизонта hh положение уменьшенной в четыре раза точки измерения т. Отложив на линии горизонта длину четырех отрезков Рт, мы найдем искомую точку измерения М (541, рис. 594).
Рис. 478 (291; 424, б)	Рис. 479 (425)	Рис. 480 (426)
4Q8
Рис. 480 а (426)
г,) На рисунке 478 показано, как найти точку измерения МЗ/4, когда на картине не умещаются ни точка М, ни точка Ml2, ни точка М 14(291).
425.	— Определение точки схода прямых, расположенных под углом в 45°. Выше мы убедились, как полезна эта точка схода при построении перспективы квадрата (237). Мы можем ее найти с помощью угольника (с углами в 45°) или с помощью дуги окружности, построив биссектрису ортогональной проекции
прямого угла, образуемого лучами, идущими из точки О[4 (рис. 479). Поступая таким образом, мы найдем уменьшенную в четыре раза точку схода /45°, а отложив на линии горизонта четыре отрезка Р/45°, мы найдем нормальную точку схода F45°.
426.	— Чем можно заменить эту важную точку, если она выходит за пределы картины?
Предлагаем следующий способ.
Построим с помощью циркуля и пересекающихся дуг окружности квадрат Ol4F/4ab (рис. 480). Диагональ О[4Ь этого квадрата является лучом схода, который образует со сторонами квадрата угол в 45° и определяет на линии горизонта положение уменьшенной в четыре раза точки схода /45°. Нормальная точка схода не умещается на картине, так как отрезок Р/45° больше четверти отрезка Ph на линии горизонта картины.
Разделим сторону Ff4b квадрата на две равные части. Прямая О/4п перестает быть диагональю квадрата. Она становится диагональю прямоугольника Ol4F/4nc с отношением сторон 1 :2. Поэтому точку схода этой диагонали, т. е. точку ее пересечения с линией горизонта, мы назовем точкой схода fI/2. Эта точка уменьшена в четыре раза. Нормальную точку схода мы получим в точке F1/2, отложив на линии горизонта четыре отрезка Pfl}2.
Вместо недоступной точки схода F45° мы будем пользоваться точкой FZ/2, с помощью которой нельзя строить квадраты, а только прямоугольники с отношением сторон 1:2. В дальнейшем эти прямоугольники легко разделить диагоналями на искомые квадраты, как показано на ортогональном чертеже (рис. 480).
Этот метод применим при построении угловой сетки из квадратов на картине с недоступной точкой схода для прямых с наклоном в 45°(451 и 452, рис. 508 и 509).
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, покажем на рисунке 480 а, как должен поступать художник при изучении угловой композиции. Пользуясь перспективной сеткой, он может легко построить на картине все параллельные друг другу предметы.
409
Ориентируясь по линиям этой сетки, он может также вычертить достаточно точно перспективу горизонтальных ребер общего положения, несмотря на то, что они идут в недоступные точки схода. Нормальные и дробные точки измерения и перспективный масштаб помогут проверить эти ребра, а с помощью точки схода F45° можно в любом месте картины построить угловые квадраты. Пользуясь этими сетками и точками измерения, мы можем строить сложные композиции с фигурами и предметами, расположенными на различных расстояниях, в различных положениях и на различных уровнях. Все эти вопросы будут разбираться во второй части нашей книги.
ПЕРСПЕКТИВНЫЕ СЕТКИ ИЗ КВАДРАТОВ
427.	— Художнику, работающему над картиной, очень помогает построение на ней перспективных сеток из фронтальных (рис. 433) и угловых горизонтально расположенных квадратов заданных размеров. С их помощью он может легко определить относительное расположение фигур и их расстояние на картине и в пространстве. Кроме того, на сетке из фронтальных квадратов в любой из ее точек видно соответствующее перспективное уменьшение каждого квадрата. Благодаря этому с ее помощью можно так же легко, как и при помощи перспективной сетки, измерить высоту предметов и фигур, не прибегая к построению перспективной сетки. Затем, хотя предполагается, что перспективная сетка построена в предметной плоскости, являясь как бы половым покрытием в виде квадратных каменных плит, в дальнейшем мы увидим, что с ее помощью па картине можно строить фигуры и предметы, расположенные на различных заранее известных нам уровнях, выше или ниже этой плоскости. Наконец, несмотря на то, что можно строить перспективные сетки и из угловых квадратов, пользуясь перспективными сетками из фронтальных квадратов, мы можем рисовать предметы, расположенные под углом к картине. Однако преимущества таких перспективных сеток легче всего понять из приведенных ниже примеров; на них показано, как пользоваться такими сетками на местности, на которой видно перспективное уменьшение метра в пространстве, для более быстрого и лучше уравновешенного, чем при пользовании любым из других известных нам способов, построения задуманной композиции. После первоначального наброска, на котором, наметив главные линии и установив линию горизонта и дробную точку отдаления, художник хочет перейти к уточнению элементов композиции, ему очень поможет построение перспективной сетки из квадратов. Это избавит его от ненужных исканий и связанных с ними неизбежных ошибок. Время, затраченное на эту не слишком сложную операцию, сполна окупается благодаря упрощению методики завершения композиции.
Стороны квадратов сетки принимаются обычно длиной в один метр. Этой единицей измерения легко определить высоту фигур, мебели, зданий с их архитектурными элементами и т. д., но иногда в композициях из одних человеческих фигур сторону квадрата берут равной среднему росту человека, т. е. 1,50 м. Во всех приведенных ниже примерах стороны квадратов равны одному метру.
Для построения перспективной сетки из квадратов надо иметь на картине линию горизонта, главную точку, точку уменьшенного отдаления и перспективный масштаб
410
или знать расстояние по вертикали между глазами художника и предметной плоскостью (действительной или предполагаемой).
Перспективная сетка строится в зависимости от характера композиции фронтально или под углом, с доступной точкой схода или без нее. Мы покажем, как строить перспективные сетки из фронтальных и угловых квадратов с доступной точкой схода и перспективные сетки из угловых квадратов с недоступной точкой схода.
Перспективная сетка из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов
Построение квадратов шириной в один метр можно начинать от нижнего края картины. По ним легко следить за развитием композиции в глубину и знать относительное расположение изображенных на ней фигур и предметов, но нельзя определить их расстояния до художника и, следовательно, располагать всеми данными, относящимися к сюжету картины. И все же ввиду того, что мы считаем возможным и, следовательно, полезным во время построения квадратов одновременно учитывать и расстояние между фронтальными сторонами квадратов и рисующим, ознакомим читателя со способом, облегчающим эту операцию.
428.	— Исходная точка для построения перспективной сетки из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов. На картине (рис. 481), на которой нам даны ее перспективные элементы, отложим на вертикали W от главной точки отрезок, равный четвертой части главного расстояния. Мы найдем точку (9/4. Эта точка совпадает в пространстве с расположенной в предметной плоскости точкой N, которая находится от рисующего на расстоянии в четыре раза большем высоты ОВ уровня его глаз над предметной плоскостью, так как наклон в пространстве луча зрения ON, как это видно на рисунке 481, равен 7/4.
Таким же образом точки зрения О}8, 0/16, 0/32 и т. д. совпадают в пространстве с точками, расположенными на предметной плоскости на расстоянии в 8, 16, 32 и т. д. раз большем расстояния по вертикали между этой плоскостью и глазами рисующего.
Если предположить, что глаза рисующего расположены над предметной плоскостью на высоте 1,50 м (с которой совпадает в пространстве дробная точка зрения 0/4), то точка N находится от основания его ног, то есть от точки стояния, на расстоянии 6 ж (1,50 X 4 = 6).
По аналогии дробные точки зрения 0/8, 0/16, 0/32 и т. д. совпадают в пространстве с точками, расположенными на рас-
Рис. 481 (428; 521)
411
стоянии 12 м (1,50 X 8 = 12), 24 м (1,50 X 16 = 24), 48 м (1,50 X 32 = 48).
Таким образом, дробные точки зрения являются ориентировочными точками для расстояний в глубину и помогают рисующему очень ярко представить себе пространство, заключенное в рамках его картины.
Но расстояние до точки N не всегда равно целому числу метров. Например (рис. 482), если
предположить, что глаза рисующего находятся относительно предметной плоскости на высоте 1,70 м, то точка в пространстве, с которой совпадает точка 0/4 на картине, находится от рисующего на расстоянии 1,70 X 4, т. е. на расстоянии 6,80 м. Чтобы начать построение сетки из квадратов с целого числа метров, например с 6, надо отложить на вертикали VV" (принимаемой за перпендикулярную к картине прямую) от точки О/4 в направлении рисующего отрезок, равный 0,80 м.
Отмерим для этого на горизонтали, проходящей через точку 0)4, в перспективном масштабе картины (построенном исходя из предположения, что глаза рисующего находятся на высоте 1,70 м) единицей измерения, соответствующей точке L, отрезок, равный 0,20 м (0,80 : 4 = 0,20).
Найдем с помощью этого отрезка на горизонтали, проходящей через точку О/4, точку п. Проведя через нее из точки DI4 прямую и продолжив ее до пересечения с вертикалью КК', мы найдем точку N, расположенную в пространстве на расстоянии 6 м от рисующего.
Построение производится тем же способом при любом расстоянии по вертикали между глазами рисующего и предметной, плоскостью. При построении сетки из квадратов на одной из боковых сторон картины можно отметить на этой стороне расстояние в метрах до рисующего, а на другой стороне — число метров от нижне/о края картины (рис. 483—488). Вооружившись такой сеткой, художник может легко разместить фигуры на картине на любом расстоянии от ее нижнего края до линии горизонта.
429.	— Построение перспективной сетки из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов. На картине (рис. 483), на которой имеются перспективные элементы, пусть точка N будет перспективой точки пространства. Расстояние от нее до рисующего (например, 6 л/) было установлено способом, указанным выше (428).
а)	Отложим на проведенной через точку N горизонтали в перспективном масштабе картины отрезки длиной в один метр (безразлично, начнем откладывать в обе стороны от вертикали W или совместим с этой вертикалью середину отрезка в один метр). Про-
412
Рис. 483 (428; 429)
ведя^из точек А, В, D, Е перпендикулярные к картине прямые, мы разделим плоскость картины на длинные полосы шириной в один метр каждая.
б)	Хорошо, хотя бы приблизительно, ограничить в глубину размер построенной нами сетки в связи с большим или меньшим развитием в этом направлении задуманной композиции. Это желательно и потому, что, на каком бы расстоянии от картины мы ни находились, перспективное искажение квадратов настолько велико по мере приближения к линии горизонта, что их почти нельзя различить, ни тем более ими пользоваться. Ниже даются ориентировочные точки для приблизительного определения глубины сетки (рис. 482).
Разделим прямую NP на две равные части. В проходящей через точку R фронтальной плоскости длина в перспективном масштабе метра вдвое меньше его длины во фронтальной плоскости точки N. Согласно закону перспективного уменьшения это означает, что фронтальная плоскость точки R вдвое дальше от рисующего, чем фронтальная плоскость точки N. В данном случае точка R находится от рисующего на расстоянии 12 м (6X2= 12).
По тем же соображениям точка S, расположенная на середине расстояния между точками R и Р, находится от рисующего в 24 м (12 X 2 = 24) и т. д.
На рисунке 483 мы предположили, что самый далекий край композиции не превысит расстояния 24 .и от рисующего и расстояния 19 м от нижнего края картины.
в)	Проведем горизонтальную прямую через точку с, лежащую на выбранном нами расстоянии, обусловленном развитием в глубину композиции. Отложим на всем протяжении этой горизонтали отрезки в один метр (ab, be, cd, de), найденные с помощью проведенных через точки A, B,N, D, Е перпендикулярных к картине прямых, и заполним такими же прямыми еще не заполненные пространства до рамок картины.
413
г)	Чтобы определить глубину квадратов, воспользуемся дробной точкой отдаления Ь'\4. Прямая AD'I4 отсекает в точках ее пересечения (b', с', d', е') с перпендикулярными к картине прямыми BP, NP, DP и ЕР отрезки, равные 4 м. Проведем через эти точки горизонтали. Мы получили прямоугольники с отношением сторон 1 : 4. Чтобы получить квадрат AA'EEl со сторонами в 4 м, мы должны взять четыре прямоугольника. Продолженная диагональ АЕ1 квадрата AA'EEl определяет на всех пересекаемых ею перпендикулярных к картине прямых расстояния в глубину, равные 1 м. Проведя через эти точки горизонтали, мы получим сетку из квадратов со сторонами в 1 м. Чтобы ее закончить, возьмем, как это показано на рисунке 483, другие диагонали квадратов со сторонами в 4м.
Таким же образом поступают и при построении сетки из фронтальных квадратов для любого расстояния по вертикали между глазами рисующего и предметной плоскостью. На рисунке 484 эта высота равна 4 м. Точка 0/4, совпадающая с точкой N, находится на расстоянии 16 м от рисующего (4X4= 16). Сетка из квадратов построена до 32 .и в глубину картины, а от этого расстояния до 48 м она состоит из прямоугольников с длинными сторонами в 4 м.
Как пользоваться перспективной сеткой из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов •
Как уже говорилось выше, перспективная сетка из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов является одним из наиболее практических и скорых средств для методического продолжения первоначального наброска какой-нибудь композиции.
414
Ею можно пользоваться в обратной и прямой перспективах для подробного и точного анализа фронтальных и угловых композиций и для композиций, на которых все фигуры и предметы расположены на одной горизонтальной плоскости или на различных уровнях и плоскостях.
430.	— Пользование перспективной сеткой из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов при быстрых приблизительных набросках. Перспективная сетка помогает с первого взгляда определить положение в пространстве любой точки в предметной плоскости. По квадрату, в котором находится эта точка, мы определяем ее расстояние от нас и от нижнего края картины, а также расстояние влево и вправо от главной вертикальной плоскости зрения. Внутри этого квадрата мы можем приблизительно установить число дециметров в глубину и в ширину. Так, на рисунке 485 точка А находится в трех метрах и приблизительно шести дециметрах от нижнего края картины, в семи метрах и приблизительно шести дециметрах от рисующего и на расстоянии одного метра и около двух дециметров от главной вертикальной плоскости зрения.
Кроме того, вертикальная сетка помогает нам сразу же определить высоту любой вертикали, восставленной в предметной плоскости. Горизонтальная прямая, проведенная через основание соответствующей вертикали, дает размер метра в фронтальной плоскости, в которой проходит данная вертикаль. Это позволит измерить высоту в метрах вертикали и приблизительный размер отрезка в дециметрах. Так, на рисунке 485 едини
цей измерения вертикали ВС служат отрезки в один метр на проведенной через точку В горизонтали между пересекающими эту горизонталь перпендикулярными к картине прямыми. Вертикаль измеряют полоской бумаги, отметив на ней буквами Ь и с концы вертикали ВС. Затем эту полоску прикладывают к проведенной через точку А горизонтали так, чтобы точка с совпала с какой-либо из точек пересечения этой горизонталью одной из перпендикулярных к картине линий сетки. Вторая отметка на полоске бумаги совпадает с какой-нибудь точкой на этой горизонтали за третьей перпендикулярной к картине линией сетки. Установив приблизительную длину отрезка,
Рис. 485 (428; 430)
415
превышающего размер вертикали в целых метрах, мы увидим, что она равна трем метрам и приблизительно девяти дециметрам.
Строить перспективную сетку из фронтальных квадратов рекомендуется не на эскизе, который мы проверяем, а на отдельном листе прозрачной бумаги (например, на кальке). Наложив лист на эскиз, отмечают на нем рамку, ограничивающую эскиз и линию горизонта. Остальные перспективные элементы картины — главная точка, дробные точки отдаления и перспективный масштаб — определяются одновременно с построением сетки. Закончив построение сетки, рисующий накладывает ее на эскиз. Благодаря прозрачности бумаги он может исправить, дополнить и изменить все элементы композиции.
Эта операция производится особенно легко в тех случаях, когда все фигуры и предметы размещены в предметной плоскости. При таком размещении квадраты, соответствующие положению ног фигур, указывают, находятся ли эти фигуры на расстоянии, обусловливаемом действием, в котором они участвуют; в случае несоответствия, художник может их легко переставить. Таким же образом поступают и с остальными изображенными на картине предметами: со стульями, столами и т. д. Высоту фигур соответственно их росту и остальных предметов проверяют и исправляют указанным выше способом.
Если эскиз надо дополнить новыми элементами, перспективная сетка помогает их разместить на желаемом расстоянии от уже имеющихся и определить их размеры. Так, на рисунке 485 на расстоянии примерно пяти дециметров от фронтальной плоскости фигуры EF в направлении рисующего (высота фигуры около 1,60 м) помещен табурет с квадратным основанием, со сторонами, равными примерно четырем дециметрам, а на расстоянии двух метров и пяти дециметров в глубь от этой же плоскости стоит стол с основанием 1,90 X 0,70 м и высотой, равной восьми дециметрам.
Как будет пояснено и ниже (433), гораздо лучше делать все дополнения и исправления на отдельных листах прозрачной бумаги, наложив их на перспективную сетку из квадратов. При такой системе одной и той же сеткой можно пользоваться для любого количества пробных рисунков до тех пор, пока не будет найдено наилучшее положение предметов для данной композиции.
431.	— Пользование перспективной сеткой из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов для точных построений в обратной перспективе. Чтобы найти положение заданных точек внутри соответствующих квадратов перспективной сетки, построим внутри или снаружи картины, на ее вертикальном краю, перспективный масштаб картины. С его помощью, следуя имеющимся ниже указаниям, можно определить размеры делений метра не только во фронтальном направлении, но и в глубину.
Пусть на рисунке 486 заданной точкой будет точка С или D. Проведем в одном из квадратов (GHIJ или IKLM), в котором находится эта точка, диагональ (GJ или IE). Проведем через заданную точку горизонталь и продолжим ее до перспективного масштаба. Измерим расстояние rD или гС от заданной точки до обращенной к вертикали VV' стороны соответствующего квадрата. Мы найдем в перспективном масштабе с помощью соответствующих единиц измерения т или п число дециметров (1 или 2,5), которое следует прибавить к расстоянию в метрах от главной вертикальной плоскости VV' до заданной точки. Мы увидим, что точка С находится на расстоянии 0,10 м, а точка D
416
на расстоянии 1,25 м от главной вертикальной плоскости зрения рисующего. Измерив на той же горизонтали расстояние es или dr от стороны квадрата до диагонали, мы найдем на перспективном масштабе число дециметров (6,0 и 6,5), которое надо прибавить к расстоянию в глубину заданной точки. Независимо от того, в каком направлении провести диагональ — вправо или влево, искомое расстояние измеряется в треугольнике с вершиной, повернутой к рисующему, и фронтальным основанием — в сторону линии горизонта, как это видно на геометрическом чертеже в нижней части картины. Таким об-
Рис. 486 (428; 431). Рис. 487 (428; 432)
разом мы установим, что точка С находится от рисующего на расстоянии 5,60 м (и в 0,60 м от нижнего края картины), а точка D — на расстоянии 6,65 .и от рисующего и на 1,65 м от нижнего края картины.
В том же перспективном масштабе измеряют на картине и отрезки вертикалей, превышающие в высоту число целых метров.
432.	— В прямой перспективе. Зададимся на рисунке 487 перспективой ABCD квадрата со сторонами, равными 1 м, внутри которого нам надо найти точку, лежащую на расстоянии 0,40 м от его стороны АС и на расстоянии 0,80 м от стороны АВ.
Отметим на полоске бумаги в перспективном масштабе единицей измерения R расстояния 0,40 .и и 0,80 м и отложим их на прямой АВ: мы получим два отрезка — Ai и Aj. Проведем через точки i и j перпендикулярные к картине прямые. Искомая точка должна находиться на прямой iP.
Чтобы найти расстояние в глубину, на котором находится эта точка (равное 0,80 м), проведем через точку пересечения К прямой jP с диагональю AD горизонталь. Искомая точка а находится на пересечении этой горизонтали с прямой iP.
Как видно на геометрической схеме в нижней части рисунка, в прямой перспективе не безразлично, которая из диагоналей служит для данного построения. Диагональ надо проводить из того же угла А квадрата ABCD, от которого откладывался отрезок, определяющий положение в глубину искомой точки. Так мы поступали для построения перспективы точки b внутри квадрата CDEF, в котором диагональ DE проведена из вершины угла D, от которой откладывалось на горизонтали DC расстояние 0,80 м.
417
Рис. 488 (428; 434)
433.	— Использование в обратной перспективе перспективной сетки из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов для фронтальных композиций. Выше (427) был показан ход операций. На основании первого эскиза композиции определяют перспективные элементы картины:
высоту линии горизонта (63—68; 131—133);
главную точку (69);
дробные точки отдаления (77, 78, 135);
перспективный масштаб картины (147—155).
Затем с помощью этих элементов строят на отдельном листе бумаги уже известным нам способом (428 и 429) перспективную сетку из фронтальных квадратов, соответствующую по размерам первоначальному эскизу.
Сетку строят на плотной бумаге четкими линиями. Для того чтобы такой сеткой можно было пользоваться при поисках наилучшей композиции для возможно большего числа пробных рисунков, лучше эти рисунки делать на обыкновенной писчей бумаге, достаточно прозрачной, чтобы, положив ее поверх сетки, видеть линии сетки (вместо писчей бумаги можно пользоваться калькой).
На первом пробном рисунке надо точно скопировать все линии первого эскиза. Затем этот рисунок накладывают на перспективную сетку и проверяют, отвечают ли и в какой мере композиционному замыслу расстояния между нарисованными фигурами и предметами. Одновременно с этим проверяют, соответствует ли высота фигур и предметов на эскизе перспективному масштабу фронтальной плоскости этих фигур и предметов.
418
Все замеченные ошибки размеров в горизонтальных и вертикальных плоскостях исправляют с помощью той же перспективной сетки на втором пробном рисунке. Идя этим путем, художник делает новые и новые пробные рисунки, пока благодаря изменениям и исправлениям не найдет наилучшей композиции.
434.	— Если в композиции имеется фронтальная комната, то, определив ее ширину и глубину в предметной плоскости, строят на ее стенах дополнительную перспективную сетку из квадратов (рис. 488).
Для этого на фронтальной и на боковых, перпендикулярных к картине стенах комнаты проводят вертикали из точек пересечения линий основания стен с перспективными линиями сетки. Измерив полоской бумаги на линии основания фронтальной стены отрезки АВ, ВС и CD и отложив их на одном из вертикальных ребер, проводят из найденных таким образом точек В, С, D параллельные нижнему основанию стены горизонтали, образующие на вертикальной плоскости стены дополнительную перспективную сетку из неискаженных квадратов.
Тот же результат мы получим, проведя угольником наклонную прямую под углом в 45° из одной из точек на линии основания фронтальной стены, например из точки D. Горизонтальные линии сетки пройдут через точки пересечения Ь, с, d этой наклонной прямой с проведенными вертикалями.
На боковых стенах линии, перпендикулярные к кар
Рис. 489 (14; 20; 435)
тине и параллельные нижнему основанию стен, проводят из точки Р в точки пересечения горизонталей сетки на фронталь-
ной стене с вертикальными ребрами боковых стен. На том же рисунке 488 показано, как
строят дополнительную сетку на потолке комнаты, пользуясь верхними конечными точками вертикалей на фронтальной стене и на боковых стенах.
Эти сетки можно строить и в тех случаях, когда линии основания боковых стен не совпадают с линиями перспективной сетки предметной плоскости. Такое построение на перпендикулярных к картине стенах дано на рисунке 488. Следует иметь в виду, что из-за этого несовпадения сетка на фронтальной стене возле вертикальных ребер боковых стен будет состоять не из квадратов, а из прямоугольников высотой в 1 м.
Вертикальные сетки полезны и удобны. С их помощью можно вычерчивать на
стенах на одинаковом или на пропорциональном расстоянии друг от друга дверные и
оконные проемы заданных размеров, картины, гравюры, зеркала и круглые рамы и размещать на потолке в заданных точках висячие лампы под абажуром любой формы и любого размера.
419
435.	— В прямой перспективе. Предположим, что нам даны или нами построены чертежи, на которых мы уточнили в плане и фасаде или в разрезе расположение фигур и предметов, которые нам хотелось бы изобразить на картине. Пользуясь перспективной сеткой из фронтальных квадратов, мы можем построить перспективу задуманного сюжета. Приведем пример, показывающий ход этих операций (рис. 489; 490).
Мы имеем план и разрез EF помещения, в котором развивается действие задуманной композиции. Проведем на разрезе линию горизонта на высоте 1,20—1,30 м для художника, работающего сидя, или на высоте 1,50—1,75 м, если он работает стоя (или на любой другой высоте в зависимости от условий композиции). Объектом наблюдения является прямоугольник ABCD, a hh' — это линия горизонта (или уровень глаз художника) на высоте 1,70 м. Припомним метод определения расстояния, на котором должен находиться художник от объекта, чтобы уместить его в поле наилучшего зрения (46). Проведем диагональ PD прямоугольника с основанием РВ', равным половине основания заданного прямоугольника, и высотой, равной его наибольшей высоте, B'D над линией горизонта. На нашем чертеже эта диагональ равна 6,50 м, и, следовательно, художник должен находиться на расстоянии не менее 13 м от объекта (6,50 X 2 = 13).
Построим в плане, начиная от горизонтали АВ, в направлении рисующего и в направлении линии горизонта сетку из квадратов со сторонами в 1 м. На этой сетке поместим в точке О на расстоянии 13 м от А В точку зрения рисующего и точку R, совпадающую в пространстве с точкой О/4 на картине, на расстоянии 6,80 л» (1,70 X 4= 6,80) от рисующего (428). Эта точка будет служить исходной точкой для построения перспективной сетки из фронтальных квадратов.
Проведем через точку R во фронтальной плоскости точки О/4 перпендикулярную прямую к главному лучу зрения ОО' и обозначим буквами а и b точки пересечения этой прямой с лучами О А и ОВ. Мы видим, что в этой фронтальной плоскости ширина картины (измеренная масштабной линейкой в масштабе 2,5 м = 1 м или 1 :400) равна 4,60 м (Rb = 2,30 м), а дробная точка отдаления DI4 находится на расстоянии 1,70 м от главной точки (четверть расстояния 6,80 м между точками О и R). В этой фронтальной плоскости радиус поля наилучшего зрения рисующего, в котором умещается картина, равен 3,40 м, т. е. удвоенному расстоянию 1,70 м между главной точкой и точкой Z)/4.
Применим на картине (рис. 490) найденные выше данные.
Пусть точка R определяет положение нижнего края картины, а на высоте Rh, выбранной художником с расчетом получить фигуры первого плана своей композиции желаемой величины, проходит линия горизонта hh' еще не установленной длины.
Остальные перспективные элементы картины определяются следующим образом.
Перспективный масштаб. Отложим от точки h до точки а на вертикальном краю картины hR семнадцать равных делений и десять таких же делений на горизонтали ab. Мы получим (как указывалось выше, в параграфе 152, б) перспективный масштаб картины с его делениями для художника, уровень глаз которого находится на заданной высоте 1,70 м над предметной плоскостью.
Ширина картины. Измерим в перспективном масштабе единицей измерения R, соответствующей фронтальной плоскости картины, отрезок длиной в 4,60 м и отложим его на линии горизонта hh'. Мы получим ширину картины.
420
Рис. 490 (14; 435; 439)
Главная точка. Эта точка помещается на линии горизонта на расстоянии 2,30 м от края картины.
Дробная точка отдаления D/4 находится на расстоянии 1,70 .и, измеренном той же единицей измерения R, от главной точки.
Максимальная высота картины, которую она должна иметь, чтобы поместиться в поле наилучшего зрения, определяется точками пересечения е и f вертикалей, проведенных из точек h и Л', с дугами окружности, описанной из точки Р радиусом, равным, как мы знаем, удвоенному расстоянию PD/4. Нижний край картины можно провести на расстоянии, равном расстоянию между линией горизонта и ее верхним краем ef. Но это расстояние можно и уменьшить в зависимости от характера развивающегося на картине действия.
421
Перспективную сетку из фронтальных квадратов строят указанным выше методом (428 и 429).
Исходную точку для построения перспективной сетки (рис. 490) получают, отложив в направлении линии горизонта на перпендикулярной к картине прямой О/4Р отрезок в 0,20 м. Это расстояние, прибавленное к расстоянию 6,80 м, дает отдаление в 7 м. Измерим в перспективном масштабе единицей измерения R отрезок, равный 0,05 м (четверть 0,20 л/). Отложив его на горизонтали O/4R, мы найдем точку п. Линия nD'/4, проведенная из точки п в точку D'[4, определяет положение точки А в 7 м от рисующего. Отсюда мы и начнем построение перспективной сетки.
Эту сетку из квадратов надо вычертить, как указывалось выше, на 30 м в глубину, т. е. на расстояние, равное глубине изображаемого на картине помещения. С помощью такой сетки можно построить перспективу всех начерченных в плане элементов. Их высоту измеряют в соответствующих фронтальных плоскостях.
В некоторых сюжетах, как, например, сюжеты рисунков 489, 490, на плане могут быть отмечены места, которые должны занимать на картине человеческие фигуры.
Для определения их высоты вспомним, что проведенная в любом месте предметной плоскости вертикаль сохраняет заданную высоту (в данном случае 1,70 м), конечно, уменьшающуюся по закону перспективного уменьшения, на всем протяжении картины, вплоть до линии горизонта. По сравнению с этой постоянной величиной мы можем установить приблизительную или точную (с помощью вспомогательной линии) высоту фигур, которые мы хотим поместить на картине.’
436.	— В обратной перспективе. Пользование перспективной сеткой из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов для построения перспективных изображений угловых предметов. Проверка и исправление композиции углового построения с помощью перспективной сетки из фронтальных квадратов проделывается в три этапа.
Первый этап. На основании первого наброска, на котором предметы изображены в угловом построении, находят уже известным методом перспективные элементы картины и затем на основании этих элементов строят, как выше, перспективную сетку из фронтальных, горизонтально расположенных квадратов (т. е. так же, как для фронтальной композиции), и с помощью этой сетки проверяют взаимное расположение и высоту человеческих фигур и предметов.
Покажем только, как с помощью этой фронтальной сетки можно проверить положение ребер, идущих в точку схода, их длину и углы, образуемые между собой ребрами этих расположенных под различными углами к картине предметов.
Второй этап. Такую проверку произвести легко, построив в произвольном масштабе, например 1 : 100, на отдельном листе бумаги геометрическую сетку из неискаженных квадратов со сторонами в 1 м. Пронумеруем квадраты на перспективной и на геометрических сетках. Перенесем последовательно все линии эскиза, квадрат за квадратом, с перспективной сетки на геометрическую сетку. По этой сетке мы определим в масштабе 1 : 100 длину линий эскиза и проверим построение углов.
Третий этап. После проверки и исправления на геометрической сетке размеров сторон и углов всех нарисованных на картине предметов построим снова на перспектив
422
ной сетке их правильную перспективу, причем, для того чтобы иметь возможность сравнить каждый новый пробный рисунвк с первоначальным эскизом, лучше все их испол
нять на отдельных листах бумаги.
Для более точного построения на перспективной сетке из фронтальных квадратов линий, имеющих точки схода, их надо продолжить как можно больше и взять для построения точки,расположенные как можно дальше друг от друга, (например, линия АВ на рисунках 492, 493).
Если условия рисунка допускают, горизонтали общего положения лучше проводить и на геометрической и на перспектив
ной сетках только до их пересе
чения с двумя параллельными картине линиями сетки. Расстояние до найденных таким образом на этих линиях точек измеряется в перспективном масштабе. Так, например, на рисунках 492 и 493 прямая АС продолжена до ее пересечения в точках а' и с' с линиями О и 3 на геометрической сетке. Измеренные в перспективном масштабе отрезки аа и sc' должны быть равны в перспективе отрезкам, измеренным масштабной линейкой на геометрическом чертеже.
Вообще же, чтобы получить точные результаты, рекомендуется поступать с каждой точкой композиции так, как это было показано выше, в параграфе 432.
437.	— Пример. Первый этап. На рисунке 491 дан первоначальный эскиз угловой перспективы комнаты с тремя стульями и письменным столом. В соответ-
Рис. 491 (437)
423
Рис. 493 (436; 437)
ствии с предполагаемым уровнем глаз изображаемого на картине человека линия горизонта проведена на высоте 1,70 м над предметной плоскостью и в соответствии с этой высотой взята единица измерения для построения перспективного масштаба и перспективной сетки из фронтальных квадратов. Дробная точка отдаления D/4 взята на середине радиуса окружности, в которую вписывается картина. Исходной точкой сетки служит точка и
на расстоянии 6 м от рисующего, в направлении которого был отложен из точки 0/4 отрезок длиной в 0,80 м (1,70 X 4 = 6,80; 6,80 — 0,80 = 6,00).
На перспективной сетке мы сразу же заметим ошибки, допущенные нами в первом
эскизе.
Слишком велико расстояние между письменным столом и углом комнаты: оно равно примерно пяти метрам.
Такое же преувеличенное большое расстояние между столом и стоящим возле него стулом. Второй стул отодвинут в глубь комнаты тоже больше чем нужно: расстояние FH слишком велико — ошибка превышает один метр.
Письменный стол слишком высок и т. д.
Второй этап. В задачах по обратной перспективе геометрическую сетку из квадратов строить очень легко (рис. 492).
На проекции ОО' главного луча зрения откладывают в обычном масштабе (на рисунке 492—1 : 100) отрезок Ои, равный расстоянию в 6 м, между рисующим и фронтальной плоскостью, след которой совпадает с нижним краем картины. На перпендикуляре, проведенном в точку и на проекции ОО', отложим два отрезка Vu и uV', равные каждый 2,45 м. Мы найдем ширину W', равную 4,90 м, нижнего края картины, измеренного в перспективном масштабе единицей измерения R. Продолженные лучи OV и OW ограничивают площадь картины, на которой мы построим сетку из квадратов со сторонами, равными 1 м, продолжив ее в глубину на расстояние, обусловленное композицией, в данном случае — на 9 м.
Перенеся линии эскиза на геометрическую сетку из квадратов, мы еще яснее увидим все перечисленные выше ошибки.
Исправим с помощью двух угольников углы предметов, проверим масштабной линейкой длину их ребер, уменьшим глубину комнаты и т. д. Мы получим точный план композиции (рис. 492).
Чтобы исправления расстояний на плане как можно меньше меняли внешний вид первого эскиза, их надо производить по прямым, совпадающим с лучами зрения рисую
424
щего, а не по прямым, идущим параллельно с перпендикулярными к картине линиями сетки. Так, ненормально удаленные угол т комнаты и ребро d стула, слишком далеко отодвинутого от письменного стола, надо перенести в точки М и D вдоль лучей зрения тО и dO, а не в направлении точек М' и D'. Перспектива более близкого ребра совпадает при этом с остающейся неизменной вертикалью соответствующего ребра, слишком далекого на первом эскизе, и нам придется переставить только концы этих ребер (поставив их ближе или дальше относительно линии горизонта). Улучшение композиции не изменит характера первого наброска.
Третий этап. Начертив на другом листе бумаги (рис. 493) такую же перспективную сетку, как и на первоначальном эскизе, построим с ее помощью точную перспективу предметов в угловом положении. Построив с помощью продолженных линий (например, линии АС письменного стола на рисунке 492, 493) их перспективу, измерим по сетке на каждом предмете высоту какого-нибудь одного из его вертикальных ребер.
Построим внутри каждого предмета соответствующий масштаб высоты и нарисуем с его помощью верхние плоскости этих предметов (252).
Мы получим правильный, но еще не законченный рисунок — всего лишь новый пробный рисунок, на котором видны несоответствия с композиционным замыслом.
Руководствуясь первоначальным эскизом и учитывая действительные или возможные размеры предметов и изменения, сделанные с помощью обеих сеток в пробных рисунках, художник может найти окончательную перспективу предметов — правильную и полностью соответствующую композиционным нуждам картины.
Чтобы написать совершенно законченную картину, художник часто работает над ней несколько месяцев, и поэтому время, затраченное им на такие пробные рисунки, нельзя считать потерянным. Они помогут художнику воплотить в реальную форму задуманную картину, избавят от бессистемной работы наощупь и от волнений, связанных с бесконечными повторениями непроверенных и неопирающихся на реальные данные пробных рисунков.
438.	— В прямой перспективе. Читатель, внимательно просмотревший данные выше объяснения относительно построения и пользования перспективными сетками, без труда будет ими пользоваться при построении угловой композиции в прямой перспективе. Все связанные с этим операции производятся так, как если бы это была фронтальная композиция. Разница будет лишь в том, что квадраты сетки, которую мы построим на плане, будут перпендикулярны к главному зрительному лучу и под большим или мёньшим углом по отношению к плоскости предметов углового построения.
439.	— Пример. На плане комнаты (рис. 494), которую мы хотим нарисовать, проведен главный луч зрения ОО' и перпендикулярная к нему прямая. Отрезок ab на этой прямой определяет ширину картины. На схеме разреза, на которой прямая АВ равна отрезку ab, линия горизонта проведена на высоте 1,70 м от предметной плоскости. Диагональ PD равна примерно 6,10 м. Отсюда следует, что для того, чтобы вся композиция поместилась в поле наилучшего зрения художника, точка зрения О на главном луче зрения должна быть расположена в 12,20 м от плоскости прямой ab.
425
Рис. 494 (14; 20; 439; 440)
Построим {на плане сетку из квадратов и поместим точку О на расстоянии 12,20 м от прямой ab, а на расстоянии 6,80 м (1,70 X 4 = 6,80) от точки О — точку N, которая совпадет на картине с точкой О/4. Отрезок а'Ь' показывает, что во фронтальной плоскости точки У ширина картины равна 4,30 м (Nb' = 2,15), а расстояние PD/4 равно 1,70 м (6,80:4= 1,70).
С помощью этих данных тем же способом, что и при построении фронтальной композиции (435, рис. 490), были найдены на картине (рис. 495) перспективные элементы и построена перспективная сетка. Думаем, что для дальнейших операций других объяснений не требуется.
440.	— Примечание. Иногда, как в вышеприведенном примере (рис. 495), одна из точек схода ребер угловых предметов доступна. Ею надо непременно пользоваться для упрощения построения. Чтобы найти эту точку, проведем из точки О луч OR, параллельный построенным на плане линиям боковых стен помещения (рис. 494), идущим в глубину пространства. Мы найдем точку F, которая расположена на расстоянии 1,35 м от точки Р во фронтальной плоскости точки N.
441. — Применение перспективной сетки из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов при изображении предметов, находящихся в пространстве на различных уровнях. Если человеческие фигуры и предметы, которые мы хотим изобразить на картине, расположены в пространстве на пересеченной местности, на различных уровнях по отношению к глазам рисующего, перспективная сетка из фронтальных квадратов строится либо на уровне основания какого-нибудь из изображаемых предметов, либо на любом другом обусловленном сюжетом композиции уровне (на котором она будет хорошо видна).
Уровень человеческих фигур и предметов на картине можно определить и без перспективной сетки. Зная действительную или предполагаемую высоту человеческой фигуры или предмета, найдем (с помощью вспомогательной прямой) приблизительный или точный размер одного метра во фронтальной плоскости данной фигуры или предмета. Затем определим с помощью этой единицы измерения, на каком расстоянии находится основание фигуры или предмета от линии горизонта.
Но с помощью перспективной сетки можно найти и расстояние между человеческими фигурами и предметами и расстояние, отделяющее их от рисующего. Зная раз-
426
Рис. 495 (14; 439; 440)
ницу уровней и расстояния между фигурами и предметами, художник может себе ясно представить неровности местности и передать их, дополнив характерными для нее подробностями. Кроме того, если положение человеческих фигур на первоначальном эскизе требует другого профиля местности, чем тот, который набросал художник, то, подымая или опуская фигуры, он найдет рельеф, соответствующий сюжету картины.
442.	— В обратной перспективе. На первоначальном эскизе художник набрасывает несколько человеческих фигур неодинакового роста, размещенных на пересеченной местности. После этого он устанавливает (приблизительно или точно, см. 63, примеча-
427
Рис. 496 (442)
ние), в зависимости от их роста, размер метра на картине для каждой фигуры: соответствующие этим фигурам вертикали А, В, С, D, Е, F, G равны, каждая в своей фронтальной плоскости, одному метру (рис. 497).
С помощью уже известных читателю методов была найдена линия горизонта, дробные точки отдаления D/4 и D'/4 и точка 0/4.
Перспективная сетка построена на три метра ниже уровня главной горизонтальной плоскости зрения. Следовательно, для того чтобы найти размер одного метра тт' на нижнем краьо картины пт, надо разделить на три части расстояние mh между этим краем и линией горизонта.
Чтобы не прибегать к сложным построениям, на которых нет смысла останавливаться, за-
метим лишь, что величина этого метра должна быть больше перспективы метра, соответствующего наиболее близкому к художнику предмету на картине. Например, если бы треть отрезка mh оказалась меньше вертикали А, то перспективную сетку надо было бы поместить только на два с половиной или на два метра ниже линии горизонта.	
Для построения квадратов в глубину исходной точкой взята точка 0/4, совпадающая с точкой пространства, расположенной в 12 м от рисующего (3X4= 12).
Сеткой пользуются так:
Отмечают на полоске бумаги размер метра, соответствующего человеческой фигуре или предмету, расстояние которых до рисующего надо узнать. Установив полоску в горизонтальном положении, ее передвигают по сетке вверх (например, до горизонтали b для вертикали В или до горизонтали е для вертикали Е) и вниз (до горизонтали d для вертикали D), пока отложенный на полоске размер не совпадет с размером одного метра на сетке. Соответствующая этому положению горизонталь представляет собой след на предметной плоскости (или на плоскости сетки) фронтальной плоскости, в которой проходит соответствующая вертикаль (человеческая фигура или ребро предмета).
Измерением с помощью метра данной вертикали расстояния между ее основанием и следом ее фронтальной плоскости на плоскости сетки нетрудно установить
428
разницу уровня основания изображенных на картине человеческих фигур и предметов относительно горизонтальной плоскости сетки. Так, основание вертикали В (или ног соответствующей человеческой фигуры) находится на 1,50 м, а вертикали Е—на 3 м ниже горизонтальной плоскости сетки или на 4,50 м и на 6,00 м ниже уровня глаз рисующего, а основание вертикали D расположено на 2,40 м выше уровня сетки и на 0,60 м ниже уровня глаз рисующего, а разница уровней почвы у оснований вертикалей В и D (или соответствующих, им фигур) равна 3,90 м.
Если нам надо установить точный наклон почвы между изображенными на картине человеческими фигурами (или предметами), проделаем следующие операции.
Расставим в соответствующих квадратах построенной в определенном масштабе геометрической сетки (рис. 496) точки, найденные на перспективной сетке. Мы найдем расстояние в плане между изображенными на картине человеческими фигурами (или предметами).
С помощью масштабной линейки мы определим, что расстояние между точками В и D равно примерно 4,50 м. Построив в масштабе геометрической сетки или в любом другом масштабе (например, 1:100) прямоугольный треугольник с основанием, равным 4,50 м, и вертикальным катетом, равным 3,90 м, мы определим наклон почвы, соответствующий наклону гипотенузы DB этого треугольника. Художник должен, пользуясь техническими средствами, применяемыми им для моделировки местности,
429
передать на картине характер этого откоса, более крутого по сравнению с остальными, например с откосом между основаниями вертикалей D и Е.
Предположим, что между точками А, В, С, D и т. д. наклон почвы одинаков и что, пользуясь получаемыми с помощью координат точками пересечения прямых ab, be, cd и т. д. с перпендикулярными к картине линиями перспективной сетки на рисунке 496, мы построили на соответствующих прямых рисунка 498 профиль почвы в последовательных фронтальных плоскостях перспективной сетки. Проведенные на этом рисунке кривые следуют — метр за метром в каждой из фронтальных плоскостей — малейшим изменениям земной поверхности, на которой стоят нарисованные на эскизе художником человеческие фигуры.
443.	— Те же данные, необходимые для заканчивания начатой им работы, художник может получить, применив на картине закон перспективного уменьшения (323). При большом количестве близко расположенных к художнику человеческих фигур лучшие результаты дает перспективная сетка, а для далеких фигур и предметов, ввиду того что соответствующие этим фигурам квадраты уменьшаются настолько, что становятся почти неразличимыми, практичнее применять закон перспективного уменьшения.
Вообще же во время работы над картиной художник может пользоваться обоими приемами.
Рис. 498 (323; 442; 443; 444)
430
Так, на рисунке 498 для определения положения в пространстве далеких строений, предполагаемая высота которых равна 4 м, применялся закон перспективного уменьшения, а для ближе расположенных человеческих фигур — перспективная сетка из квадратов.
Предположенная высота в 4 м строения укладывается четыре раза в вертикали, проведенной от основания строения до линии горизонта, и шестнадцать раз в равном главному расстоянию картине отрезке PD/4. Следовательно, строения расположены на расстоянии 64 ,и от рисующего (4 X 16 = 64) и на 16 м ниже уровня главной горизонтальной плоскости зрения, т. е. на 13 м ниже плоскости перспективной сетки. От самой далекой человеческой фигуры F, находящейся в 34 м от рисующего, и до фронтальной плоскости ближайшего ребра здания надо считать еще 30 м (64 — 34= 30), а местность понижается на этом расстоянии на 11 м (13 — 2= 11), так как 2 м — это расстояние между основанием вертикали fF и уровнем перспективной сетки в точке f (рис. 497).
444.	— В прямой перспективе. Для успешного пользования перспективной сеткой из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов в прямой перспективе (рис. 499; 500) для изображения на картине расположенных в пространстве на различных уровнях человеческих фигур и предметов надо располагать следующими данными:
а)	Ситуационным планом действия в произвольном масштабе. На нем горизонталями или отметками высоты должны быть обозначены уровни расположения человеческих фигур или предметов, которые мы хотим нарисовать на картине. Это может быть план, составленный специалистом, созданный воображением художника или нарисованный им по памяти.
б)	Действительным или предполагаемым положением и высотой точки зрения художника по отношению к ансамблю фигур и предметов, входящих в сюжет картины (смотрит ли он на них с террасы, из одного из этажей здания, из самолета и т. д.) в) Направлением главного луча зрения художника в центральную точку выбранного им сюжета картины.
Эти данные должны быть совершенно точными, если с их помощью надо проверить с определенной точки зрения общий вид запроектированного архитектурного ансамбля или городского пейзажа, как будет показано в дальнейшем в главе, посвященной архитектурным построениям. Но если нам надо уточнить взаиморасположения составных элементов какого-либо ансамбля, то точку зрения можно брать в месте и на уровне, с которых мы получим наиболее пластическое изображение этого ансамбля. При исполнении таких перспектив экономится много времени, если после определения главных элементов картины ее фронт будет соответствовать полю ясного зрения художника. Сетка из фронтальных квадратов строится в описывающей картину окружности на глубину, требуемую сюжетом композиции, и, как об этом уже упоминалось выше, оставляя в стороне слишком далеко расположенные элементы (443). '
Величину метра во фронтальной плоскости точки, совпадающей в пространстве с точкой 0/4, находят, разделив отрезок POI4 на число, соответствующее выраженному в метрах расстоянию между горизонтальной плоскостью зрения глаз художника и
431
Рис. 499 (54; 323; 444)
плоскостью, в которой строится перспективная сетка. Построение упрощается, если сетку построить иа уровне самой низкой точки сюжета; на такой сетке лучше видны квадраты, основания же всех предметов будут находиться выше, а не ниже ее плоскости.
Место для исходной точки параллельных картине линий сетки выбирается, как указывалось в параграфе 428, в расчете иметь целое число метров до рисующего.
Для больших пространств квадраты сетки можно строить со сторонами, превышающими размер 1 м. Для измерения деталей и разницы в уровнях фигур и предметов достаточно провести рядом с вертикалью W прямую на расстоянии 1 м для
432
более близких предметов или прямую на расстоянии 5 м и т. д. для более далеких предметов. И все же для первых планов можно строить квадраты со сторонами размером в 1 м.
Бесполезно строить квадраты на всем протяжении ситуационного плана. Временно, пока мы не установим размеры картины в соответствии с полем ясного зрения, проведем из точки зрения О два луча Ос и Od (схема на рисунке 500), образующие угол в 53°. Отложим для этого на главном зрительном луче два отрезка одинаковой длины Оа и ab. Проведем через точку b перпендикуляр к главному зрительному лучу и отложим на нем по обеим сторонам главного зрительного луча два других отрезка cb и bd, равных первым. Через их концы с и d проходят лучи зрения Ос и Od, образующие наибольший угол ясного зрения. Сетка из квадратов строится только на участке между этими лучами: из квадратов в 1 м в части, лежащей ближе к рисующему, если сетка строилась таким же образом на картине, и из прямоугольников — для более далеких участков.
Ограничив размер картины окружностью, определяющей поле ясного зрения, художник должен (см. рис. 500) уменьшить взятый в плане угол зрения и установить ширину в метрах картины, находящейся от него на определенном расстоянии.
Затем с помощью квадратов он построит перспективу ситуационного плана. Полученный таким образом рисунок не передает неровности местности — их определяют следующим образом.
Горизонтали или отметки высот дают разницу в уровне между горизонтальной плоскостью перспективной сетки и основанием изображенных в плане предметов. С другой стороны, при помощи сетки можно определить размер метра или его делений для фронтальной плоскости горизонтальной прямой, проведенной через любые точки на перспективном плане.
Следовательно, для того чтобы достроить рельеф местности и разместить на соответствующих уровнях человеческие фигуры и предметы, фигурирующие на перспективном плане, надо провести изо всех основных точек вертикали и отложить на этих вертикалях отрезки, измеренные на параллельных картине линиях перспективной сетки.
На приведенном примере (рис. 499 и 500) плоскость перспективной сетки взята на восемь метров ниже уровня глаз рисующего, т. е. на уровне воды в озере. Точка, совпадающая в пространстве с точкой О/4 на картине, находится
Рис. 500 (444)
433
от рисующего на расстоянии 32 м. Стороны квадратов на всем протяжении плана и картины равны 8 м. Высота элементов картины была определена по полосе в 1 м, образова1 нэй перпендикулярной к картине прямой, проведенной рядом с вертикалью VV" и являющейся в данном случае перспективным масштабом картины.
Так же как на рисунке 498, все далеко расположенные предметы (многоквартирный дом размером 45 х 12 X 18 л» на расстоянии 348 м от рисующего и крепость с двадцатиметровыми стенами на горе высотой в 210 м на расстоянии 2500 м от рисующего) построены в перспективе при помощи графического применения закона перспективного уменьшения, как это видно на схемах внизу рисунка.
На этой картине сетка из горизонтальных квадратов фронтального построения применена также и для построения перспективы концентрических окружностей (507, рис. 566 и 567) и концентрических ступеней (512, рис. 571).
445.	— Мы подробно остановились на случаях применения перспективных сеток из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов, считая, что этот прием принадлежит к средствам, эффективно помогающим художникам в их творческой деятельности. Метод построения таких сеток позволяет им исполнять на одной и той же перспективной схеме нужное число пробных рисунков, избавляя от необходимости для проверки перспективы каждого варианта проделывать новое построение. Если во время работы над композицией художник увидит, что перспективные линии, обуславливаемые сеткой из квадратов, имеют слишком большой наклон, а перспективные уменьшения слишком подчеркнуты и не передают спокойного характера его композиции, ему не понадобится строить новой сетки с увеличенным расстоянием до точки отдаления. Пользуясь той же сеткой, он может уменьшить размер картины и, приняв за центр композиции главную точку, уместить всю картину в поле ясного зрения. Перспективные искажения предметов, расположенных в пределах этого уменьшенного поля зрения, будут смягчены расстоянием.
И только после ряда пробных рисунков, по которым художник убедится, что ему не удалось воплотить своего творческого замысла и что условно взятое расстояние между предметной плоскостью и линией горизонта ошибочно, ему придется построить новую сетку с измененной (поднятой или опущенной) линией горизонта, на которой он сможет продолжать пробные построения и так же легко и быстро проверить их перспективу.
Перспективные сетки из угловых квадратов
446.	— Рассмотрим следующие чаще встречающиеся в практике случаи:
а)	Когда для построения перспективной сетки из угловых квадратов в прямой перспективе нам даны углы, образуемые ее квадратами с нейтральной плоскостью или с плоскостью картины (449; 451; 456);	,
б)	Когда в обратной перспективе художник на своем эскизе, который он вообразил или набросал по памяти, уточнил нужный ему наклон перспективы горизонтали общего
434
положения, с которой должны быть параллельны стороны квадратов сетки. Этот случай отождествляется с предыдущим случаем, если методом ортогональной проекции (285) или другим способом найдем угол, образуемый нейтральной плоскостью с прямой, перспектива которой была выбрана художником (447; 448; 450; 455);
в)	когда художник хочет, чтобы исходной точкой для построения перспективной сетки была дробная точка зрения 0/4 (420 — 426). В этом случае он должен пользоваться практическими приемами, о которых мы будем говорить ниже (447 — 452);
г)	когда художник хочет, чтобы исходная точка сетки была в каком-нибудь определенном месте его композиции, например в самом далеком углу расположенной под углом комнаты (рис. 501) или в самом близком углу какого-либо здания углового построения (455; 456);
0) когда на картине имеется одна из точек схода сторон квадратов сетки. В этом случае очень удобная для построения квадратов точка схода диагоналей квадратов может быть недоступной, и тогда вместо нее берут какую-нибудь другую доступную точку схода (447—449);
435
е)	когда на картине нет ни одной точки схода сторон квадратов, но точка схода диагоналей квадратов доступна (450; 451);
ж)	когда недоступны ни точки схода сторон квадратов, ни точки схода их диагоналей. В этом случае берут какую-либо другую точку схода, которая может заменить точку схода диагоналей (449; 452).
Построеш1е сеток из угловых квадратов, когда на картине имеется одна из точек схода перспективы их сторон
447.	— В обратной перспективе. Пусть на картине (рис. 502 и 503), на которой даны линия горизонта и точка зрения 0/4, прямая АВ будет перспективой горизонтали общего положения, наклон которой был выбран художником как основание для построения перспективной сетки из угловых квадратов.
Первый случай. При продолжении этой прямой до пересечения с линией горизонта может оказаться, что мы случайно найдем доступную точку схода F (рис. 502). В таком случае перспективу прямой O/4F можно провести через точку О/4 параллельно заданной прямой.
Разделив на четыре равные части отрезок PF на линии горизонта, мы найдем дробную точку схода F)4.
Луч схода 0)4F/4 указывает направление в пространстве заданной прямой, образующей угол и с нейтральной плоскостью. Проведем перпендикуляр OI4C к лучу схода O/4F/4. Мы получим ортогональную проекцию прямого угла, с помощью которой построим перспективную сетку из угловых квадратов. Все дальнейшие построения производятся, как в прямой перспективе. Ниже (449) показан ход операции.
448.	— Второй случай. Продолжив заданную прямую, мы можем не найти доступной точки схода (рис. 503). В этом случае, как указывалось выше (422), при изложении метода случайной точки схода (333; 334), проведем через точку О[4 перспективу прямой О/4С, параллельную заданной прямой. Возьмем на перспективе этой прямой какую-нибудь точку, например точку С, и проведем через нее вертикаль. Отложим на
436
Рис. 504 (449)
этой вертикали четыре отрезка Сс между точкой С и горизонталью О/4с, проведенной через точку 0/4. Прямая О/4С1 — это ортогональная проекция перспективы О/4С, а угол и — это угол, образуемый заданной прямой с нейтральной плоскостью.
Опустив перпендикуляр на прямую О/4С1, ны найдем точку схода F/4 направления, перпендикулярного в пространстве к направлению заданной прямой. Если, отложив из точки Р на линии горизонта четыре отрезка PF/4, мы увидим, что нормальная точка схода F лежит в пределах картины, это означает, что и в данном случае сетка из квадратов углового построения будет иметь доступную точку схода перспективы одной из ее сторон (см. рис. 503).
В обоих случаях (т. е. в тех случаях, когда одна из точек схода доступна) после построения на картине ортогональной проекции прямого угла в точе 0/4 перспективную сетку из угловых квадратов строят тем же способом, что и в прямой перспективе (449).
449.	— В прямой перспективе. На картине (рис. 504) с проведенной линией горизонта, перспективным масштабом и точкой 0,4 зададимся углом АО/4В, представляющим собой ортогональную проекцию прямого угла с вершиной в точке О{4 и со сторонами, лежащими по отношению к нейтральной плоскости под углами и и у, т. е. под углами, образуемыми в пространстве ребрами изображаемых нами предметов углового построения. Одна из сторон пересекает линию горизонта в точке F/4, а расстояние между главной точкой Р и этой точкой меньше четверти отрезка на линии горизонта между главной точкой и вертикальным краем картины. Следовательно, нормальная
437
точка схода доступна. Отложим на линии горизонта от главной точки четыре отрезка PF/4 и обозначим найденную точку буквой F.
Построение .перспективной сетки из угловых квадратов упрощается, если, кроме этой точки, располагать точкой схода F45° или — так как эта точка бывает часто недоступной, то, когда одна из точек схода сторон квадрата доступна, — точкой схода, названной нами F1/2.
Ход построения был показан нами в параграфе 426.
Построим ортогональную проекцию квадрата O/4abc со сторонами в 1 м, измеренными в перспективном масштабе единицей измерения V фронтальной плоскости точки 0/4.
Проведем диагональ О/4Ь. Мы найдем на пересечении ее с линией горизонта дробную точку схода F45°/4 прямых, наклонных к картине под углом в 45°. Отложив от точки Р на линии горизонта четыре отрезка PF45°I4, мы найдем нормальную точку схода Г45°. На рисунке 505 эта точка доступна, потому что картина имеет более продолговатую форму и точка схода F лежит дальше от главной точки. На рисунке 504 она недоступна.
В тех случаях, когда эта точка недоступна, разделим сторону Ьс квадрата на две равные части. Проведем через найденную таким образом точку т прямую О/4т. Продолжив ее до пересечения с линией горизонта в точке т', мы найдем отрезок Рт'. Отложив четыре таких отрезка, мы определим положение точки схода FI/2 для целых расстояний, которой и будем пользоваться вместо точки схода F45° (426).
Для построения с помощью этих элементов перспективной сетки из угловых квадратов продолжим сторону ab ортогональной проекции квадрата до ее пересечения в точке al с проведенной через точку 0/4 горизонталью. Повторим на этой горизонтали отрезок О/4а1 столько раз, сколько раз он уложится на ней до края картины, и проведем из полученных таким образом точек линии сетки alF, a2F,O/4F, a3F, a4F, идущие в точку схода F.
Определим нужную нам глубину сетки и ограничим ее горизонталью оо' (429,6). Отложим на этой линии до края картины отрезки Ы, Ь2, ЬЗ и т. д. и затем проведем линии перспективной сетки, сходящиеся в точке F: Fb5, Fba, Fb-j и. т. д.
Чтобы дополнить сетку линиями, не имеющими доступной точки схода и перпендикулярными к линиям, идущим в точку схода F, достаточно знать наклон одной из этих линий, т. е. линии, проходящей через точку 0/4. Разделим для этого на четыре равные части отрезок на идущей по краю картины вертикали AG между горизонталью O/4G и продолженной стороной О/4А ортогональной проекции квадрата. Линия, проходящая через первое деление R и точку 0/4 и будет искомой линией.
Для построения квадратов возьмем точку схода Г45°, а если она недоступна — точку схода F1/2 и наиболее удаленные точки пересечения К и L линии RO/4S с линиями a2F и a4F. Соединим эти точки с точкой схода F//2. Соединив точки к1, к2, кЗ и т. д. с точками LI, L2, L3 и т. д. (обе группы точек получены от пересечения линий KF1/2 и LF1/2 с линиями, идущими в точку схода F), мы получим прямоугольники шириной в 1 м и глубиной в 2 м. Проведя в прямоугольниках, прилегающих к линиям KF1I2 и LF1/2, диагонали, мы найдем в точках t, ll, t2 и т. д. и точках
438
Рис. 505 (449)
и, ul, и2 и т. д. середины этих прямоугольников. Соединив между собой эти точки, мы получим нужную нам сетку из квадратов со сторонами размером в 1 м.
На рисунке 505 точка схода F45° доступна, и поэтому мы могли получить квадраты сразу. Уточним: точка 0/8 — это точка зрения уменьшенного в восемь раз главного расстояния, поэтому на линии горизонта было отложено по восемь отрезков PF[8 и PF45^8; и для того чтобы провести линию R O/8S, вертикаль AG была разделена на восемь равных частей. Все остальные построения производились тем же способом, что и на рисунке 504.
Построение перспективной сетки из угловых квадратов, когда точки схода их сторон недоступны
450.	— В обратной перспективе. Выше мы говорили о том, как надо поступать для превращения задачи по обратной перспективе в задачу по прямой перспективе (447). Исходя из выбранной художником горизонтали общего положения, проводят через дробную точку зрения перспективу прямой, параллельной этой горизонтали, и с ее помощью строят ортогональную проекцию угла, образуемого этой прямой в пространстве с нейтральной плоскостью (рис. 503). Дальше задача построения перспективной сетки с угловыми квадратами и недоступной точкой схода решается приемами прямой перспективы.
451.	— В прямой перспективе. На картине с линией горизонта и точкой зрения, уменьшенной, например, в четыре раза, 0)4 (рис. 506) зададимся ортогональной проекцией А О/4В прямого угла, стороны которого образуют с нейтральной плоскостью те же углы и и у, что и ребра предметов пространства, которые мы хотим изобразить на картине.
Когда обе точки схода сторон прямого угла недоступны, то точка схода горизонтальных прямых, наклонных к картине под углом в 45°, может быть доступной
439
Рис. 506 (451)
(рис. 506; 507) или недоступной (рис. 508; 509) в зависимости от величины углов и и v и от формата картины. Если точка схода F450 недоступна, найдем указанным выше способом точку схода, названную нами FJ/2 (рис. 508; 509).
При построении перспективной сетки из угловых квадратов, когда на картине имеется только точка схода Е45° или заменяющая ее точка FJ/2, поступают следующим образом.
440
а)	Находят перспективу прямого угла. Для этого делят на равные части (рис. 506) отрезки вертикалей между любой точкой на сторонах ортогональной проекции прямого угла и проведенной через точку 0/4 горизонталью: например, вертикаль AG1 для стороны О/4А и вертикаль F/4E для стороны О/4В. Поступая таким образом, находят перспективу сторон GO/4Z и 10{4J прямого угла.
6)	Находят длину одного метра сторон квадратов. Для этого, измерив во фронтальной плоскости точки зрения О[4 единицей измерения V длину одного метра, откладывают ее от точки 0)4 на менее наклонной стороне ортогональной проекции прямого угла. Полученный отрезок О/4а равен одному метру (рис. 506).
Проведя из точки а геометрическую параллель ко второй стороне О/4В ортогональной проекции прямого угла, находят точку al, в которой сторона в 1 м перспективы углового квадрата пересекает проведенную через точку 0/4 горизонталь.
Проведя через точку al прямую в главную точку Р, мы получим между вертикалью РО/4 и прямой Pal перспективный масштаб, показывающий перспективное уменьшение в направлении линии горизонта отрезка О/4а1.
в)	Проведем наиболее наклонные линии сетки (параллельные прямой 7J). Отложим для этого полоской бумаги или циркулем вправо и влево от точки 0/4 по всей длине проведенной через эту точку горизонтали отрезки, равные О/4а1. Мы получим точки а2, аЗ, а4 и т. д.
Проведем через наиболее подходящие точки, произвольно взятые на прямой IJ, ближе к рисующему или дальше от него, горизонтали id и i'e (рис. 506), на которых, начиная от точек i и i', отложим на линии IJ равные отрезки, измеренные в перспективном масштабе между перпендикулярными к картине прямыми а1Р и О/4Р во фронтальных плоскостях этих точек.
Так, на рисунке 506 отрезки на горизонтали id были отложены с помощью единицы измерения R, а отрезки на горизонтали i'e с помощью единицы измерения S'.
Соединив между собой концы отложенных на этих горизонталях отрезков, мы определим с достаточной точностью положение наиболее наклонных линий сетки.
г)	Построим теперь остальные, менее наклонные линии сетки, параллельные прямой GZ.
Возьмем наиболее подходящие, по нашему мнению, точки Z и К (см. рис. 507), наиболее удаленные от точек пересечения линии GZ с уже проведенными параллелями прямой IJ.
Соединим эти точки с точкой схода F45° и обозначим буквами К и L точки пересечения этих диагоналей с уже проведенными линиями, параллельными прямой IJ. Соединив между собой прямыми эти точки, мы получим перспективу квадратов.
Первые параллельные прямой GZ линии позволяют провести из точек Т, U, X и т. д. в точку схода /45° новые диагонали, чтобы дополнить в направлении рисующего и в направлении линии горизонта перспективную сетку на той части картины, которая нужна для нашей композиции.
141
Рис. 508 (426; 451; 452)
Рис. 509 (426; 451; 452)
442
452.	— В тех случаях, когда вместо недоступной точки схода F45° мы пользуемся точкой схода FI/2, построив сетку из прямоугольников с пропорцией сторон 1 : 2, найдем с помощью диагоналей точки, определяющие их середину. Соединив прямыми эти точки, мы получим сетку из квадратов со сторонами, равными одному метру (рис. 508 и 509).
Построение перспективной сетки из угловых квадратов на вертикальных плоскостях общего положения
453.	— Установив на перспективной сетке из угловых квадратов границы пола комнаты и начертив ее стены, построим перспективную сетку из квадратов на вертикальных плоскостях общего положения этих стен (рис. 510; 511).
Из точек пересечения al, а2, аЗ и т. д. и Ы, Ь2, ЬЗ и т. д. нижних ребер стен с линиями расположенной в предметной плоскости перспективной сетки проведем вертикальные прямые во всю высоту стен.
Чтобы определить высоту квадратов, измерим в перспективном масштабе единицей измерения R, соответствующей фронтальной плоскости, проходящей через точку А, отрезок, равный одному метру, и повторим его от точки А на вертикальном ребре стен. Мы найдем точки 1, 2, 3, 4 и т. д.
Проделаем ту же операцию на второй вертикали стены, образующей с нейтральной плоскостью больший угол, например на вертикали, совпадающей с вертикальным краем ВВ' картины, измерив длину метра в перспективном масштабе единицей измерения N.
Соединив прямыми соответствующие точки на вертикалях А и В, мы получим перспективу квадратов на стене, расположенной под большим углом к нейтральной плоскости.
Эта стена образует масштаб высоты для второй стены. Точки 1, 2, 3 и т. д. переносятся с помощью горизонталей или полоски бумаги на вертикаль GG' со специальной проведенной для этого на первой стене вертикали gg'.
В тех случаях, когда угол А комнаты не совпадает с углом какого-нибудь из квадратов расположенной в предметной плоскости перспективной сетки (рис. 511), поступают так же, как в предыдущем параграфе. Ввиду того, что на вертикальных плоскостях стен у ребра А мы получим вместо квадратов со сторонами в один метр более или менее узкие прямоугольники, художник, желающий найти нужные ему расстояния на этих стенах, должен учитывать положение сетки.
Так, если ему надо провести из точки N вертикаль на расстоянии трех метров от ребра А, он должен найти на глаз или с помощью показанного на рисунке 511 построения расстояние Na4, равное расстоянию Аа1.
454.	— Как пользуются перспективной сеткой из угловых квадратов. Во время рисования по перспективной сетке из угловых квадратов (рис. 510) фигурирующих на картине предметов их длина и ширина (отрезки се и cf) измеряются с помощью квадратов сетки, построенной в предметной плоскости, но для определения высоты предметов эти квадраты непригодны.
443
Рис. 510 (453; 454)
Рис. 511 (453; 454)
444
Их высоту измеряют по сеткам, построенным в вертикальных плоскостях стен с помощью перспективных линий, проведенных с приближением между линиями сетки (рис. 510; 511). Высоту вертикали cd, равную 2,25 м на рисунке 511 и 0,80 м на рисунке 510, можно измерить отрезком c'd' или отрезком cldl на вертикальных сетках из квадратов, построенных на стенах комнаты.
Этот способ годен для быстрых композиционных эскизов. На точных чертежах высоту предметов измеряют в перспективном масштабе картины.
Построение перспективной сетки из угловых квадратов, исходя из любой точки на предметной плоскости
Выше говорилось о том, что на перспективной сетке из угловых квадратов, построенных с помощью дробных точек зрения 0/2, О/4, О/8 и т. д., можно рисовать помещения, углы которых не совпадают с углами квадратов сетки, расположенной в предметной плоскости (рис. 511). И все же всякий раз, когда это необходимо, перспективную сетку можно построить и в прямой, и в обратной перспективах, исходя из любой точки на предметной плоскости.
455.	— В обратной перспективе. Пусть на картине (рис. 512), на которой нам известны линия горизонта, перспективный масштаб и дробная точка отдаления, точка А будет исходной точкой, выбранной художником для построения перспективной сетки, а прямая АВ определяет наклон, который он хочет дать соответствующим сторонам квадратов сетки.
Построив ортогональную проекцию АВ1 прямой АВ, мы найдем угол и, образуемый этой прямой с нейтральной плоскостью.
Построение производится по горизонтальной оси Аа. Для построения прямоугольного треугольника АаЬ взята точка b на заданной прямой в месте ее пересечения с вертикалью, опущенной из точки Р.
Соединим точку Ь с дробной точкой отдаления D'[4. Мы получили на продолженной оси Аа отрезок ab' в четыре раза меньший, чем катет ab.
Отложив на вертикали аР из точки а четыре отрезка ab', мы получаем неискаженную ортогональную проекцию АаВ1 треугольника АаЬ и угол и, образуемый этим треугольником с нейтральной плоскостью. Дальше, как указано в следующем параграфе, задачу на построение перспективной сетки из угловых квадратов
445
решают тем же способом, что и в прямой перспективе (456).
456.	— В прямой перспективе. Пусть на картине (рис. 513; 514) с данными на ней линией горизонта, перспективным масштабом и точкой уменьшенного отдаления точка А будет точкой,
Рис. 513 (456)	выбранной рисующим для по-
строения сетки, а угол САВ—ортогональной проекцией прямого угла, стороны которого образуют с нейтральной плоскостью углы и и г. Те же углы образуют с нейтральной плоскостью в пространстве и соответствующие ребра изображаемых на картине предметов.
Для построения перспективной сетки произведем следующие операции.
а)	Построим на .сторонах ортогональной проекции прямого угла квадрат со сторонами, в зависимости от размеров рисунка, размером в один, два, четыре и т. д. метра. На рисунках 513 и 514 стороны квадрата ABCD, измеренные в перспективном масштабе единицей измерения V, равны каждая двум метрам.
Продолжим стороны CD и DB этого квадрата до их пересечения в точках с и b с горизонталью, проведенной через заданную точку А.
б)	Повернем вокруг оси сАЬ в направлении рисующего угол cDb до совмещения его с предметной плоскостью. Для дальнейших операций припомним метод ортогональных проекций (283). Опустим из вершины D угла cDb вертикаль DD1 на эту ось и проведем из точки D1 перпендикулярную к картине прямую PD1, продолжив ее в направлении рисующего. Отложим на оси отрезок Die, равный четверти вертикали DD1. Продолженная прямая D/4e определяет длину отрезка Did, в четыре раза большую, чем у
Рис. 514 (456)
446
отрезка Die, т. е. равную DD1. Точка d—это перспектива вершины прямого угла; de и db — перспективы его сторон. Продолжим их через всю картину. Если хоть одна из сторон прямого угла (рис. 515) после их продолжения пересечет линию горизонта, заметим эту точку и в дальнейшем будем ею пользоваться как точкой схода при построении перспективной сетки.
в)	Продолжив перспективу диагонали dA (рис. 513; 514) до линии горизонта, мы найдем точку схода /'45° диагоналей квадратов сетки.
Если эта точка схода недоступна (рис. 515), заменим ее точкой, которую мы назвали точкой схода F//2 (426). Проведем для этого через точку п' на середине стороны АВ ортогональной проекции прямую Dn'. Продолжив ее, мы найдем точку п на горизонтальной оси ЬА. Продолженная прямая dn определяет на линии горизонта положение искомой точки схода F1/2.
г)	Отрезок АЬ на оси сАЬ (рис. 514) соответствует двухметровой длине сторон угловых квадратов сетки. Разделив его пополам, мы найдем точку п. Продолжив до нижнего края картины перпендикулярные к картине прямые РЬ и Рп, мы получим перспективный масштаб отрезка Ьп для квадратов сетки со сторонами, равными 1 м. На рисунке 513 при построении этого масштаба мы пользовались точкой D/4.
Если на картине имеется такой масштаб, точки схода диагоналей (F450 на рисунке 514 и F1I2 на рисунке 515) и перспектива прямых cdZ и IdbJ квадрата, то перспективная сетка строится способом, указанным в параграфе 449.
На целесообразно выбранных горизонталях откладываются равные отрезки, измеренные в перспективном масштабе пРЬ. Через их концы проводят наиболее наклонные линии сетки. Затем с помощью диагоналей, идущих из точек /45° или F1/2, строятся, как показано на рисунках 513; 514; 515, остальные линии сетки.
447
Перспективные изображения полов
457.	— Перспективные сетки из фронтальных и угловых квадратов помогают художнику во время дальнейшей разработки и заканчивания первых композиционных эскизов. Кроме того, ими можно пользоваться для построения перспективных изображений полов. Правильное построение их составных элементов — больших и малых каменных и мраморных плит, уложенных плашмя или на грань, кирпичей, многогранных плиток паркетов и т. д. — помогает созданию впечатления глубины развивающегося на картине действия. Изучая классические произведения, мы видим, как великие мастера прошлого пользовались на своей композиции перспективным уменьшением этих элементов для усиления иллюзии глубины и расстояния до размещенных в различных плоскостях человеческих фигур и предметов (рис. 4; 5; 77; 200; 225; 501).
Если плиты настила квадратные, перспективная сетка строится, как было показано выше, из квадратов, соответствующих размерам плит настила. Их размер определяется в перспективном масштабе единицей измерения, соответствующей фронтальной плоскости исходной точки сетки.
Если плитки небольшие, то сперва строится сетка из квадратов со сторонами, вдвое или вчетверо большими сторон плиток. Затем эти квадраты делят диагоналями на четыре или шестнадцать квадратов, соответственно размеру плиток.
С помощью такой же перспективной сетки из квадратов строят перспективу полов из кирпича, уложенного плашмя, и перспективу паркетного пола.
Для кирпичного пола сперва строят квадраты abed (рис. 99) со сторонами, равными длине кирпича. Затем с помощью диагоналей квадраты делят на нужные прямоугольники.
Рис. 516 (460)
448
Рис. 517 (461)
458.	— Пользуясь теми же диагоналями, можно строить прямоугольные плиты самых разнообразных размеров с отношением сторон 1 : 2. На рисунке 156 плиты, расположенные посреди пола, квадратные со сторонами в 1 м, а по краям — прямоугольные со сторонами, равными 0,50 и 0,25 м.
459.	— При построении перспективы паркета соответствующие стороны квадратов, равные, например, 0,25м,делят на глаз или делительным масштабом на четыре равные части (рис. 100). Соединив эти точки зигзагообразными линиями, мы получаем клепки паркета.
460.	— Если плитки восьмигранные (рис. 516), то одновременно с построением квадратов, в которые вписываются восьмиугольники, проводят вспомогательные линии 2 и 3, ограничивающие стороны восьмиугольников. На рисунке 516 для завершения рисунка применялась точка схода Г45°. Если бы она была недоступной, сетку из квадратов пришлось бы строить с помощью точки схода Fl[2. Если точка схода F45° отсутствует, стороны восьмиугольников строят, соединяя точки пересечения вспомогательных линий 2 и 3 со сторонами сетки, например точку с с точкой d. На этом рисунке перспективный масштаб для построения сетки из квадратов помещен у левого края картины (451, б).
461.	— Шестиугольные плитки не вписываются в квадрат; при их построении повторяющейся фигурой является прямоугольник 0)4 BCD или его половина О[4 Вп1, как это видно из схем, помещенных справа на рисунках 517 и 518.
На рисунке 517 для построения перспективной сетки из прямоугольников вместо точки схода F45c была взята точка схода диагоналей прямоугольников; с помощью прямой О/4С на линии горизонта была найдена уменьшенная точка схода fd. Отложением
449
Рис. 518 (461)
на той же линии горизонта четырех отрезков Pfd была найдена нормальная точка схода Fd, с помощью которой были проведены диагонали прямоугольников сетки.
Для завершения рисунка мы провели через точку 0/4 линию, параллельную прямой Еп. С ее помощью на линии горизонта найдена дробная точка fl и нормальная точка
450
Fl. Эти точки определяют на сторонах сетки положение исходных точек сторон многоугольников.
На рисунке 518 видно, как была найдена точка схода Fd диагоналей прямоугольников. Благодаря положению в пространстве заданного многоугольника с двумя сторонами, перпендикулярными к картине, точкой схода этих сторон служит главная точка Р.
462.	— При построении перспективы пола из фигурных плиток (рис. 519) повторяющимся элементом являлся прямоугольник 0/4 BCD или его половина. Квадраты 0/4 ELD были построены с помощью точки схода F 45° в сетке из прямоугольников, вычерченной при помощи точки схода Fd диагоналей. Затем в прямоугольники с отношением сторон 1 : 2 были вписаны от руки полуокружности.
463.	— Если рисунок на полу не повторяется, а представляет собой свободный орнаментальный или фигурный мотив, пользуются обычной перспективной сеткой из квадратов и одновременно — ее ортогональной проекцией на плоскость с квадратами той же величины (см. рис. 464). Мотив рисунка исполняется сперва на сетке ортогональной проекции, а затем — клетка в клетку — на перспективной сетке.
ПОСТРОЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ НА ПЕРСПЕКТИВЕ ОКРУЖНОСТИ
Многие задачи по перспективе решаются с помощью окружности, вписанной в горизонтальный, фронтально расположенный квадрат. Эту геометрическую фигуру легко построить в перспективе. При известном навыке окружность достаточно точно вычерчивается по четырем точкам (216). Но если необходим более точный рисунок, его строят по восьми точкам (217).
Выше было показано, как пользоваться четвертями окружности для измерения отрезков на перспективе горизонталей общего положения (229—231) и какие пластические преимущества можно извлечь из этого приема. Далее говорилось об открывающихся при пользовании одной и той же перспективой круга возможностях выбрать из нескольких вариантов при помощи только одного круга именно тот, который больше всего соответствует художественному замыслу (232). В решаемых ниже с помощью окружности задачах показаны пластические преимущества этого метода.
Перспектива открытых окон и дверей
464.	— Для правильного построения перспективы открытых окон и дверей (521) надо учитывать толщину стены, глубину, на которой установлены в толще стены дверные косяки и оконные рамы, и направление, в котором открываются окна и двери (рис. 520).
Дверь, установленная в плоскости стены со стороны рисующего, может открываться (описывая полуокружность А) по направлению к рисующему или в обратном направлении (описывая лишь четверть окружности AI).
Двери, установленные в наружной по отношению к рисующему плоскости стены, описывают, открываясь в направлении к нему, четверть окружности (5) и полуокруж-
451
ностъ, открываясь в противоположном направлении (Е7), причем, если их широко распахнуть, они не видны художнику (см. положение а). В таком положении находится дверь на известной картине Федотова Проситель. Наконец, существуют двери, открывающиеся в обоих направлениях, описывая три четверти окружности (С) или даже целую окружность (С7).
Окна обычно бывают двойными. Наружные окна открываются наружу, а внутренние внутрь помещения, описывая в большинстве случаев четверть окружности (£>) и только иногда полуокружность D1 или D2 (первая — внутрь, вторая — наружу).
В современных зданиях мы часто видим двойные окна, открывающиеся только внутрь (Е), или спаренные окна, тоже открывающиеся только внутрь (Е7).
Незнание этих подробностей и неправильная их передача приводят к схематическому, неприятно режущему глаз изображению на законченной картине.
465.	— На фронтальной стене в прямой перспективе. На картине (рис. 522), на которой нам даны перспективные элементы, прямоугольник ABCD представляет собой дверь, расположенную во внутренней плоскости стены (в левой части картины), открывающуюся в направлении рисующего, а справа — дверь в наружной плоскости, открывающуюся наружу. АЬ — это положение, в котором мы должны установить открытую дверь. Нам надо найти на прямой АЬ (горизонталь общего положения, образующая с картиной произвольный угол) отрезок, равный отрезку АВ (на параллельной картине горизонтали), определяющий ширину двери.
Рис. 520 (464)
452
Рис. 521 (464). Теодор Аман. Маленькая мастерская
Теоретически задачу можно решить при помощи трудно находимой (нормальной или уменьшенной) точки измерения направления прямой АЬ (266; 267).
Практически она решается построением ортогональной проекции на оси АВ (288). Возьмем на горизонтали общего положения АЬ точку п и соединим ее с главной точкой Р и с дробной точкой отдаления Т>/4 или D'[4. Мы найдем перспективу прямоугольного треугольника Ann' и отрезок n'nl, в четыре раза меньший, чем катет пп'. Отложим на вертикали, проведенной через точку п', четыре таких отрезка. Мы получим треугольник ANn' — ортогональную проекцию перспективного изображения треугольника Ann’. Заданная прямая АЬ образует в пространстве с фронтальной плоскостью стены угол и.
Найдя с помощью дуги окружности на гипотенузе AN отрезок, равный отрезку АВ, определяющему ширину двери, мы получим ортогональную проекцию АВ1 открытой двери и с помощью этой проекции построим перспективу двери.
Опустим на ось АВ вертикаль В1Ы. Проведем перпендикулярную к картине прямую РЫ и продолжим ее до точки В'. Соединив эту точку с точкой А, мы получим перспективу АВ’ нижнего края открытой двери.
453
Рис. 522 (289 ; 465; 467; 566)
Рис. 523 (289; 466)
Чтобы построить перспективу верхнего края De' двери, используем в качестве масштаба высоты продолженные прямые РЫ и РЬ'.
466.	— Этот точный метод имеет с пластической точки зрения одно неудобство: выбрав для открытой двери направление отрезка АЬ, художник не может предугадать ее ширину АВ' в таком положении.
Если после измерения, произведенного способом построения ортогональной проекции, окажется, что пропорция, в которой вертикаль В'С' делит проем двери, не соответствует идее художника, ему придется сделать наугад несколько пробных рисунков, каждый раз меняя, как уже говорилось выше, построение ортогональной проекции, пока он не найдет нужного решения. Это неудобство устраняется, если пользоваться, правда менее точным, методом окружности.
Приняв ширину дверного проема АВ за радиус, проведем через его концы перпендикулярные к картине прямые (рис. 523). Разделим радиус на четыре равные части. Продолжим прямую АВ и отложим на ее продолжении из точки В отрезок Во', равный четверти радиуса. Соединив концы отрезков Во' и Вп' с точкой Z>/4, мы получим точки о и п. Отрезки Во и Вп равны радиусу АВ. Параллельные картине горизонтали ns и го завершают фрон-
454
Рис. 524 (466; 467)
тальные квадраты, в которые вписываются четверти окружности sB и Вг, описываемые дверью, когда ее открывают наружу или внутрь. Если понадобится, построим и третью четверть окружности, вписанной в квадрат AB'rt, который строится с помощью отрезка АВ', равного АВ, или rt, равного or, и проведенной в главную точку прямой tB'.
Кривая получается правильнее, если ее строить по восьми точкам (217) и предпочтительно на более удаленном от линии горизонта верхнем или нижнем краю проема, например (рис. 524) на верхнем краю CD оконного проема, более удаленного от линии горизонта, чем нижний край АВ.
На такой кривой художник сразу же определяет ширину любых открытых окон и дверей и может придать им желаемое положение. Кроме того, применяя этот метод, он видит, в каком направлении надо строить толщину открытой двери, определяемой касательной к окружности в соответствующей точке, которую художник ставит на глаз, если он хочет найти ее точное положение с помощью построения, указанного на рисунке 525.
455
Рис. 525 (289; 466; 467; 468)
467.	— Построим ортогональную проекцию окружности с центром в точке А на оси АВ (рис. 525). Соединим точку В' с главной точкой. Проведем из точки Ь' вертикаль, которая определяет в точке Ы положение проекции точки В’. Прямая АЫ — это проекция раскрытой двери. Проведем из точки Ы с помощью двух угольников касательную к окружности. С ее помощью мы определим на продолженном параллельном картине диаметре окружности общую проекции и перспективе точку t, так как эта точка лежит на оси проекции. Проведя из точки t вертикаль до ее пересечения в точке t' с продолженным верхним краем CD дверного проема, мы найдем с помощью прямых tB' и tD' направ
ление линий, по которым определяют толщину открытой двери. Тем же методом была найдена толщина дверей на рисунках 522; 524; 527; 529; 530.
468.	— В обратной перспективе. Пусть на картине (рис. 525) с известными перспективными элементами фигура ACD'B' будет перспективой открытой двери. Нам задано построить на фронтальной стене, в глубине комнаты, проем ABCD для этой двери.
Искомая ширина АВ проема должна быть равна отрезку АВ'. Построим на параллельной к картине оси At ортогональную проекцию горизонтальной прямой общего положения АВ'. Соединим точку В' с главной точкой Рис дробной точкой отдаления D/4. Отрезок Ь’с равен четвертой части катета В’Ь'. Отложим на проведенной из точки Ь' (вверх или вниз) вертикали четыре отрезка, равных Ь'с. Проекция прямой АВ' — это АЫ. Описав дугу окружности радиусом, равным проекции АЫ, определим ширину АВ дверного проема открытой двери, перспектива которой была нам дана.
469.	— На стене, перпендикулярной к картине. Зададимся на картине (рис. 526) с известными элементами фигурой ABCD, представляющей собой дверной проем, и горизонталью общего положения АЬ, указывающей направление, в котором открывается дверь. Нам надо найти на этой горизонтали АЬ отрезок, равный перпендикулярному к картине отрезку А В, определяющему ширину дверного проема.
470.	— Теоретически такие задачи решаются с помощью точек взаимного измерения. Это точки схода, в которые направляются прямые, отсекающие равные отрезки на прямых, идущих в две другие точки схода, и которыми мы уже пользовались в ряде задач, не обоз-
456
Рис. 526 (469; 470; 473)
начая их этим термином. Мы пользовались ими для построения перспективной сетки из угловых квадратов, взяв в качестве точек взаимного измерения точки схода наклонных к картине под углом в 45“ горизонталей, чтобы отложить с их помощью на прямой, идущей в какую-то определенную точку схода, отрезки длиной в один метр, равные отрезкам, отложенным на прямых, которые идут в какую-то другую точку схода (127).
В данном случае мы найдем методом малой картины точку взаимного измерения прямых, перпендикулярных к картине (ВА), и прямых направления открытой двери (АЬ), идущих в недоступную точку схода. Уменьшим в четыре раза картину вокруг главной точки Р. Возьмем расстояние РО/4, равное расстоянию PD/4, и разделим перпендикулярную к картине прямую АР на четыре равные части. Проведем через точку А/4 геометрическую параллель к прямой АЬ, определяющей направление открытой двери. Мы получим дробную точку схода F/4. Луч схода 0/4F/4 показывает положение открытой двери в пространстве: она образует с нейтральной плоскостью угол и, а с перпендикулярной к картине етеной, к которой прикреплена дверь, угол у.
Отложим с помощью дуги окружности или полоски бумаги на продолженной прямой РО/4 и на O/4F/4 два равных отрезка О/4В1 и О[4Ы. Соединив точки В1 и Ы, мы получим искомое направление. Прямая В1Ы отсекает одинаковые отрезки на перпендикулярной к картине прямой В1Р (параллельной прямой ВР) и на горизонтали общего положения O/4F/4 (параллельной открытой двери АЬ).
Проведя из точки 0/4 луч схода О14Мг/4, параллельный В1Ы, мы найдем дробную точку взаимного деления Mr/4 для прямой, определяющей направление перпендикулярной
457
Рис. 527 (220; 289; 467; 471; 472; 473)
к картине стены и направление открытой двери. Вообще же прямая О/4Мг/4 представляет собой биссектрису угла PO/4F/4. Отложив на линии горизонта четыре отрезка РМг14, мы найдем нормальную точку взаимного деления Mr.
Прямая ВМг отсекает в точке В' на пересечении с прямой АЬ отрезок АВ’, равный отрезку АВ, определяющему ширину дверного проема в стене; искомая перспективы открытой двери — это трапеция АВ'CD.
Справа на том же рисунке 526 дверь двустворчатая, и предполагается, что открытая створка AB'CD параллельна открытой двери левой перпендикулярной к картине стены (АЬЦО14Р/4).
Ввиду того, что точки взаимного измерения бывают очень часто недоступными, мы относим задачу открытой двери в перпендикулярной к картине стене или в любой иной вертикальной стене случайного положения к области теоретических задач.
471.	— На практике построение перспективы открытой двери в перпендикулярной к картине стене производится с помощью ортогональной проекции этой двери (рис. 527, слева).
Проведем через точку А горизонталь.
Найдем ширину АВ дверного проема в стене. Прямая BD/4 пересекает проведенную через точку А горизонталь в точке г. Отрезок Аг в четыре раза меньше отрезка А В. Отложив на горизонтали rt четыре отрезка Аг, мы найдем отрезок Ао, равный ширине открытой двери.
458
Найдем ортогональную проекцию открытой двери. Построим на заданном отрезке АЬ, определяющем направление открытой двери, прямоугольный треугольник Abo. Отрезок on, полученный с помощью вертикали D/4b, в четыре раза меньше катета Ьо. Его действительную длину оВ1 получают, отложив на этой вертикали из точки о четыре отрезка on. Треугольник АоВ1 представляет собой ортогональную проекцию треугольника АоЬ.
Отложим измерительным циркулем (или полоской бумаги) на гипотенузе этой проекции отрезок As', равный отрезку Ао, т. е. ширине двери.
Чтобы найти перспективу этого отрезка, опустим на ось Ао перпендикуляр s's. Соединяя точку Р с точкой s, мы получим прямую Ps. Продолжая эту прямую до пересечения с прямой АЬ, мы получим перспективное изображение АЬ' открытой двери.
На рисунке также показано, как строить толщину открытой двери (467).
Приведенный выше метод точен, но связан со следующим неудобством: если построенная перспектива с художественной точки зрения неудовлетворительна и нуждается в поправках, то все построения приходится проделать сначала.
472.	— Метод дуги окружности менее точен, но не представляет этих неудобств (рис. 527, справа).
Проведем через точку Е параллельную картине горизонталь. Отрезок Ег, полученный с помощью дробной точки отдаления D'[4, меньше дверного проема EL. Отложим четыре длины Ег на проведенной через точку Е горизонтали, мы найдем отрезок EI — действительную ширину дверного проема. Возьмем отрезок гг', равный Ег. Продолжив прямую r'D’/4, найдем отрезок LL', равный EL. Построим с помощью точек E,l,L,Ll, I' и L' два смежных фронтальных квадрата EILL1 и LILL'l', в которые впишем полуокружность, описываемую дверью, когда се открывают. Изо всех возможных положений, принимаемых дверью при ее открытии, художник выберет наиболее подходящее.
473.	— На вертикальной стене общего положения, как на стене, перпендикулярной к картине, теоретически задача открытой двери решается с помощью точки взаимного деления (см. рис. 528, на котором, чтобы не повторять объяснений, проставлены те же буквы, что и на рис. 526). а на практике — методом ортогональной проекции (рис. 529). Построением ортогональной проекции была найдена с помощью отрезка AD (т. е. гипотенузы треугольника ADc) ширина дверного проема АВ (т. е. гипотенуза треугольника АВс) в заданном направлении. И в данном случае задача была решена с помощью построения ортогональной проекции способом, примененным на рисунке 527. Чтобы не повторять объяснений, данных в параграфе 471, поставлены те же буквы.
474.	— Как в предыдущих случаях, так и в данном случае метод дуги окружности обладает большими пластическими преимуществами (рис. 530).
Прежде всего построением ортогональной проекции определяется действительная ширина дверного проема АВ. Для этого проведем через точку А горизонталь, на которой с помощью дробнойточки отдаления D/4 найдем отрезок Jr, который в четыре раза меньше катета JB прямоугольного треугольника AJB. Отложив на проведенной из точки J вертикали четыре отрезка Jr, мы получим ортогональную проекцию AJK этого треугольника, в котором гипотенуза АК равна ширине АВ дверного проема.
459
Рис. 528 (473)
Рис. 529 (289; 467; 473)
Рис. 530 (220; 289; 467; 474)	•	Рис. 531 (475)
Определим циркулем или полоской бумаги размер диаметра 1AL окружности, которую описывает дверь при ее повороте вокруг вертикальной оси AD. Построим с помощью квадрата EFGN эту окружность. Длина прямых. LN и LF, определяющих глубину этого квадрата, найдена соединением концов отрезков Ls и Lu (равных чет верти радиуса AL) с точкой D'/4.
Точка В' на пересечении окружности со стеной определяет максимальное раскрытие в направлении рисующего двери, которая может принять любое положение на полуокружности: В, Bl, В2, ВЗ... L, В'.
Если дверь открывается наружу, мы найдем ее крайнее положение с помощью фронтальных квадратов AMNL и A VIG, проведя из точки А перпендикуляр к прямой Л В' (задача рассматривалась в параграфах 391—394).
460
475.	— Общий метод. Вообще же, когда нам приходится строить дверь заданных размеров на вертикальной стене, перпендикулярной к картине или образующей с ней какой-либо случайный угол, задача упрощается, если мы сначала построим дверь во фронтальном положении ABCD (рис. 531), измерив ее в перспективном масштабе. Приняв за отправную величину отрезок АВ, который мы будем считать радиусом, построим с помощью квадрата EFGN окружность, пересекающую заданную стену в точках В' и В1. Ширину дверного проема определяет отрезок В'А (илиЛ£7),адверь открывается из точки В' в направлении точки В1 или наоборот. В обоих случаях открытой двери можно придать любое положение на окружности, вписанной в квадрат EFGN.
4,16	. — Двустворчатая дверь в вертикальной стене общего положения. Если дверь двустворчатая, надо построить для каждой створки по самостоятельной окружности. Задача решается следующим образом.
На картине (рис. 532), на которой имеются ее перспективные элементы, прямоугольник ABCD представляет собой перспективу двустворчатой двери в вертикальной стене общего положения. Точка пересечения V диагоналей AD и СВ помогает найти отрезки АЕ и ЕВ, определяющие ширину перспективных изображений створок.
Найдем с помощью ортогональной проекции одной из сторон ее действительную ширину.
Проведем для этого через точку А горизонталь, а из точки Е перпендикулярную к картине прямую ЕР и вторую прямую ED/4. Отрезок пп в четыре раза короче катета Еп прямоугольного треугольника АЕп. Отложим четыре таких отрезка на вертикали, проведенной из точки п. Соединим найденную точку N с точкой А. Треугольник AnN является ортогональной проекцией треугольника АЕп. Действительная длина гипотенузы ЛЕравна AN, т. е. радиусу окружности, описываемой створкой при ее открытии.
Найдем с помощью полуокружности (или полоски бумаги) диаметр GAE1 этой
окружности.
Для того чтобы найти диаметр окружности второй створки, не надо строить в точке В второй ортогональной проекции : створки одинаковы, и поэтому, чтобы найти длину диаметра окружности второй створки, достаточно определить степень перспективного уменьшения диаметра первой створки.
Для этого из точки А' на проведенной через точку А горизонтали отложим на перпендикулярной к картине прямой
Рис. 532 (220; 289; 476)
461
Рис. 533 (476)
РВ отрезок А'Е', равный ради-усу АЕ1. Проведя перпендикулярную к картине прямую Е'Р, мы найдем радиус Bg окружности, описываемой второй створкой. Отложив отрезок Be, равный радиусу Bg, мы найдем искомый диаметр eBg окружности, описываемой второй створкой.
На рисунке 533 показано построение на диаметрах GAE1 и eBg вписанных в квадраты FIJK и fijk окружностей. Квадраты были построены с помощью дро
бных точек отдаления D[4 и Dj4. Для определения глубины квадратов мы пользовались: для квадрата FIJK четвертями радиусов Gr и Gs, а для квадрата fijk четвертями радиусов gt и gu.
Квадраты находят углами/и К один на другой, а окружности, если их начертить очень точно, соприкасаются в точке Е на прямой АВ.
Эти окружности пересекают линию основания стены в точках L и V. Если створки двери закрываются в направлении рисующего (т. е. внутрь), они могут занять любое положение на соответствующих полуокружностях LzElE и EgV, а если открываются наружу, то могут занять любое положение на дугах EN и EeR. Чтобы найти точку R, достаточно, используя фронтальные квадраты BgKv и vBej, провести из точки В перпендикуляр к прямой ВИ, пользуясь, как было показано выше (391; 394), диагональю Bj.
Перспектива углового квадрата, построенная с помощью двух концентрических окружностей на перпендикулярной к картине плоскости
477.	— Иногда на картине надо нарисовать несколько одинаковых предметов в различных положениях и на различных расстояниях от рисующего, например выгруженные в беспорядке ящики в порту, танки на поле битвы, автомобили и грузовики на площади, столы и стулья внутри большого помещания и т. д.
Задачу можно упростить, построив сначала на картине на требуемом расстоянии и в требуемом положении прямые, соответствующие обобщенной форме предметов призмы с прямоугольным или квадратным основанием, в которые затем вписываются указанными в параграфах 566 — 588 способами эти сложные по форме предметы.
Построение перспективы оснований прямоугольных и квадратных призм очень облегчается применением метода концентрических окружностей — первой, описывающей квадрат (или прямоугольник), перспективу которого мы строим, и второй, в него вписанной. Размеры окружностей обусловливаются расстоянием предметов до рисую
462
Рис. 534 (478)
щего. С помощью таких окружностей можно придавать сторонам квадрата или прямоугольника любое положение.
Займемся сперва предметами с квадратным основанием.
478.	— Планиметрическое построение (рис. 534). Опишем радиусами, равными: один — OL— половине стороны квадрата, который мы собираемся строить, а второй— ON — половине диагонали этого же квадрата, две концентрические окружности. С помощью этих окружностей мы можем нарисовать от руки или по линейке требуемый квадрат, вписанный в большую окружность и описывающий меньшую, придав его сторонам любое направление.
а)	Построим первую сторону квадрата АВ в любом требуемом наклоне
таким образом, чтобы ее концы А и В совпали с большой окружностью, а ее середина коснулась бы малой окружности в точке г.
6)	Проведем из точек А и В диаметры AOD и ВОС большой окружности. Найденные на большой окружности точки D и С являются двумя другими вершинами углов искомого квадрата.
в)	Соединив точки А с С, С с D u D с В, мы получим остальные три стороны квадрата, которые при точном вычерчивании должны касаться своими серединами малой окружности в точках s, и, t.
Каково бы ни было направление первой стороны, применяя этот способ, мы всегда будем иметь правильный чертеж квадрата.
479.	— Перспективное построение. Построим перспективу этого геометрического чертежа. Для этого произведем в последовательном порядке следующие построения: а) найдем величину радиусов обоих кругов;
б)	построим горизонтально расположенный, фронтальный квадрат, в который вписывается большая окружность;
в)	построим с помощью диагоналей этого квадрата меньший квадрат, в который вписывается малая окружность;
г)	и д') начертим перспективу обеих окружностей;
е) построим перспективу искомого квадрата, придав его сторонам требуемое направление.
480.	— а) Величина радиусов двух концентрических окружностей. Найдем на предметной плоскости картины (рис. 535) точку пересечения диагоналей строящегося квадрата и обозначим ее буквой О. Измерим в перспективном масштабе половину OL стороны этого квадрата (например, 1,50:2= 0,75).
Мы нашли радиус меньшей окружности, т. е. окружности, вписанной в квадрат, который мы строим, а половина его диагонали представляет собой радиус большей окружности.
463
Чтобы найти эту диагональ, построим на найденной выше половине OL квадрат OLN'G. Диагональ ON'—это радиус большей окружности. Отложим циркулем или полоской бумаги из точки О на продолженной горизонтали OL длину этой диагонали: мы получим радиус большей окружности ON.
Для того чтобы пользоваться этими двумя радиусами в любой точке предметной плоскости, проведем перпендикулярные к картине прямые OP, LP и NP. Мы получили перспективный масштаб этих радиусов.
Если мы хотим поместить в каком-нибудь другом месте (на предметной плоскости, например, в точке О') точку пересечения диагоналей какого-либо другого квадрата со сторонами такой же длины, измерим в перспективном масштабе единицами измерения ol и on, соответствующими плоскости точки о', радиусы о'1 и о'п — первый для вписанной и второй для описывающей окружностей.
Радиусы этих двух окружностей можно найти и прямо на перспективном масштабе картины (рис. 536). Для квадратов с длиной сторон, равной 1,50 м, отложим соответствующей единицей измерения отрезок АВ в 0,75 м, равный длине радиуса вписанной в квадрат окружности. С)тложив на вертикали Ah отрезок АС', равный АВ, соединим точку С с точкой В. Мы нашли отрезок ВС', представляющий собой диагональ квадрата со сторонами, равными половине длины сторон искомого квадрата, и имеющий длину радиуса описывающей окружности. Отложим его на продолженной прямой АВ перспективного масштаба, обозначив буквами АС. Прямые hB и hC образуют перспективный масштаб радиусов искомых окружностей. В нем мы измеряем длину этих радиусов в различных точках (О, О', О" и т. д.) предметной плоскости.
После того как мы нашли указанным выше способом ра
464
Рис. 537 (182; 217 д; 306; 480; 481; 482; 483; 484)
диусы этих окружностей, нам остается произвести уже известные нам построения (рис. 537).
481.	— б) Построение горизонтального, фронтально расположенного квадрата для большой окружности. Проведем через концы Е и Е' большого радиуса и через центр О окружностей перпендикулярные к картине прямые и продолжим их в направлении рисующего.
Разделим на четыре равные части радиус ОЕ (рис. 537). Возьмем отрезок Or', равный четверти Or. Прямые rZ>/4 и r'D/4 определяют на продолженной перпен
дикулярной к картине прямой ОР точки G и /.Отрезки OG и 01 в четыре раза длиннее отрезков Or и Or' и, следовательно, равны радиусу ОЕ. Теперь мы можем построить все четыре стороны: AGB, CID, ЛЕС и BE'D фронтального квадрата ABCD, в который вписывается большая окружность.
в)	Построение горизонтального, фронтально расположенного квадрата для малой окружности. Проведем диагонали AD и СВ большого квадрата. Точки пересечения а, Ь, с, d этих диагоналей с перпендикулярными к картине прямыми, проведенными через концы е и е' малых радиусов Ое и Ое', определяют перспективу малого фронтального квадрата abed, в который вписывается меньшая окружность.
г)	Большая окружность проходит не только через точки Е, G, Е', I (точки касания сторон большого квадрата), но и через точки a, b, с, d. По этим восьми точкам можно построить достаточно правильную окружность. Для большей точности найдем касательные к точкам a, b, с, d (рис. 539). Возьмем отрезок /к, равный отрезку jA; отрезок K'j', равный, отрезку J'B; отрезок nl, равный отрезку 1С, и отрезок п'Г, равный отрезку I'D. Соединив точку к с точкой а, точку к' с точкой Ь, точку п с точкой с и точку п' с точкой d, мы получим касательные к большой окружности в точках а, Ь, с, d (217, д').
д') Малая окружность. Для построения малой окружности мы располагаем только четырьмя точками е, g, е', i с соответствующими касательными, что достаточно для приблизительного чертежа.
Если нам нужен более точный чертеж, мы можем легко найти на диагоналях фронтального квадрата еще четыре точки с соответствующими касательными (рис. 539).
465
Рис. 538(252; 306; 482; 484)
Вычертив угловой квадрат EGE' I, мы получим на пересечении его сторон с диагоналями AD и ВС фронтального квадрата точки a', b', с', d' с соответствующими касательными, через которые проходит малая окружность. По этим точкам эту окружность можно построить с такой же точностью, с какой мы построили большую окружность, но, конечно, с помощью делительного масштаба построение упрощается (217, примечание).
482.	— е) Угловые квадраты. В построенной таким образом
окружности художник может поместить перспективу квадрата с заданным размером сторон под любым углом по отношению к картине.
Если полученное перспективное изображение не соответствует его замыслу, он может придавать квадрату на одной и той же окружности самые разнообразные положения, пока не найдет его удовлетворяющего положения.
Начертим одну из сторон квадрата, например сторону АВ (рис. 538), с нужным нам наклоном. Концы А и В этой стороны должны лежать на большой окружности, сама же сторона должна касаться своей серединой меньшей окружности в точке и.
Проведем через точки А и В диаметры AOD и ВОС большей окружности. Полученные на ней точки D и С являются вершинами двух других углов искомого квадрата.
Соединив точки С с A, D с В и D с С, мы получим остальные три стороны искомого квадрата, которые при точном вычерчивании должны касаться своими серединами меньшей окружности в точках г, s, t.
Те же самые построения применяют для угловых квадратов одинаковой величины, в любом повороте и в любом месте на предметной плоскости.
Если взятая нами сторона или стороны, найденные в результате показанных выше операций, имеют доступные точки схода (например, точка схода F2 сторон квадрата, построенного вокруг точки О’ на рисунке 538), то ими надо непременно воспользоваться для более точного построения перспективы соответствующего углового квадрата.
483.	— Чтобы упростить построение угловых квадратов в более отдаленных плоскостях, мы рекомендуем пользоваться всеми точками, найденными для построения на картине первого углового квадрата. Поэтому на перспективном масштабе диаме-
466
трое окружностей надо отмечать и исходные точки п и п' касательных, нужных при точном построении больших окружностей (рис. 537).
484.	— Если центр О" окружностей (рис. 537; 538) расположен слишком близко к линии горизонта, то, чтобы получить более точную перспективу, лучше пользоваться уже известным нам методом опущенного плана (303—306).
Опустим из точки О" вертикаль. Возьмем на ней другой центр о и построим вокруг него две концентрических окружности. Длина радиусов этих окружностей измеряется в перспективном масштабе во фронтальной плоскости вертикали О"о, т. е. на горизонтали, проведенной из точки О" в точку 02 (рис. 537; 538).
Построим перспективу углового квадрата в опущенном плане. Затем с помощью построенного нами масштаба высоты вычертим оба основания изображаемого на картине предмета (рис. 538).
Точка О, взятая на вертикали точки О”, определяет выбранную нами высоту изображаемого предмета, отложенную в перспективном масштабе на горизонтали точки О".
Проведем из произвольной точки схода F1 на линии горизонта прямую Flo (в точку о на уровне опущенного плана), прямую F1O"(b точку О” на уровне предметной плоскости) и прямую F1O (в точку О на уровне верхнего основания изображаемого предмета). Эти три прямые образуют масштаб высоты. Линией его основания служит линия Flo. При применении этого масштаба, чтобы не перегружать рисунок ненужными линиями, мы рекомендуем для откладывания измеренных величин пользоваться полоской бумаги (254; 306).
Для упрощения построений точка схода F1 на рисунке 538 взята на продолженной диагонали Ej углового квадрата. Благодаря этому мы сразу же находим вертикали ее' и jj' искомого предмета. Чтобы найти две другие вертикали, приложим полоску бумаги к вертикали Gh и отметим на ней точки Gm.Ii на линии горизонта. Начнем передвигать полоску в том же вертикальном положении, следуя линии горизонта, до совпадения точки G на полоске с точкой G1 на линии основания Flo масштаба высоты. Удерживая полоску бумаги в этом положении, отметим точки пересечения ее кромки с линиями F1O" и F1O, т. е. точки gl и g'l. Передвинем опять полоску бумаги к вертикали Gh и перенесем на нее точки g и g' соответственно точкам gl и g'l на полоске.
Найдя таким же способом вертикаль В, мы завершим перспективы egij и e'g'i'j' обоих оснований предмета, расположенного под углом к картине,
467,
Построение с помощью концентрических окружностей перспективных изображений угловых прямоугольников, расположенных в перпендикулярных к картине плоскостях
С помощью того же метода двух концентрических окружностей — большой, описывающей, и малой, вписанной, — которым мы пользовались для построения перспективы угловых квадратов, строятся и перспективы угловых прямоугольников, расположенных на любом расстоянии и в любом положении на предметной плоскости.
Операции построения протекают в том же порядке, что и для квадратов: сперва находят радиусы окружностей, затем, для того чтобы описать нужные окружности, строят два фронтальных квадрата и, наконец, строят угловой прямоугольник.
485.	— а) Определение радиусов окружности. В планиметрии радиус LO малой окружности, вписываемой между лежащими ближе одна к другой сторонами NI и JK прямоугольника, равен половине длины более короткой стороны IJ (или NK) прямоугольника (рис. 540).
Радиус NO большой окружности, которая описывает прямоугольник, равен диагонали прямоугольника со сторонами ОЕ и OL, равными половине длины сторон 1V7 и NK строящегося прямоугольника.
На картине (рис. 541), на которой нам даны перспективные элементы (точка зрения расположена на 3 м выше предметной плоскости), требуется построить перспективу углового прямоугольника со сторонами заданной длины (например, 2 .и и 5,80 м) и диагоналями, пересекающимися в какой-либо заданной точке (например, О).
Проведем через точку О горизонталь. Отложив на ней измеренный в перспектив ном масштабе единицей измерения V отрезок длиной в 1,00 м (половину заданной длины 2,00 м более короткой стороны прямоугольника), мы определим радиусы OF и OF' малой окружности.
Построим на радиусе OF прямоугольник OFGE1 со сторонами, равными половине длины стороны прямоугольника, который мы хотим построить, т. е. с короткой стороной OF, равной 1 м (2 : 2), и длинной стороной OG (измеренной в перспективном масштабе той же единицей измерения К), равной половине заданной длины 5,80 м, т. е. 2,90.и. Диагональ ОЕ1 этого прямоугольника является в то же время и радиусом большой окружности. Отложим найденный радиус циркулем или полоской бумаги на горизонтали, проведенной через точку О, в виде двух отрезков ОЕ и ОЕ'.
Рис. 540 (485)
468
Проведя из точек Ё, F, О, F', Е' перпендикулярные к картине прямые, мы получим перспективный масштаб радиусов большой и малой окружностей. Пользуясь этим масштабом, отложим на полоске бумаги перспективно уменьшенную величину этих радиусов во фронтальной плоскости любой другой точки — О1, 02 и т. д. на предметной плоскости, в которой мы хотим построить прямоугольник со сторонами заданной величины.
Как и при построении углового квадрата, радиусы двух окружностей, необходимых для построения углового прямоугольника, можно получить прямо на перспективном масштабе картины, как было показано на рисунке 536.
б) и в) Построение перспективных изображений фронтальных квадратов производится так же, как и построение перспективных изображений угловых квадратов.
г) Большая окружность (рис. 542; 543) проходит только через точки Е, G, E',U, где находятся и соответствующие им касательные, но не проходит через угловые точки а, Ь, с, d малого квадрата.
Ее построение облегчается вписыванием ее в восьмиугольник (217, примечание и рис. 259, в). Проведем для этого с помощью угольника с углами 45° прямые АО' и ВО'. Мы получим равнобедренный прямоугольный треугольник АО'В. Найдем с помощью двух дуг окружности с радиусами АО' и ВО' сторону JJ' восьмиугольника. Пересечение перпендикулярных к картине прямых JP и J'P с диагоналями AD и ВС дает точки R' V, S', а пересечение их со стороной CD квадрата —точки Т, Т'.
469
Рис. 542 (485; 487)
Рис. 543 (485)
Проведенные через полученные таким образом точки Г, R', V, S' параллельные картине горизонтали определяют на сторонах АС и BD квадрата точки I, R, V, S. Соединив J с I, R с Т, Т’ с 5 и J' с V, мы найдем, и соответствующие касательные, и точки К, Z, N, L на диагоналях, через которые проходит большая окружность, для построения которой у нас имеется восемь точек с соответствующими касательными.
Э) Малая окружность. Найдем с помощью прямых JO и J'O сторону jj' восьмиугольника, в который вписывается малая окружность. Проведя, как и в первом случае, перпендикуляр-
470
ные к картине прямые ji'r't'P и j'v's't'P и параллельные картине горизонтали rr'ss и ii'v'v, построим эту окружность с той же степенью точности, что и большую окружность.
486.	— е) Угловой прямоугольник. Проведем первую сторону АВ прямоугольника (рис. 544, на котором точка зрения рисующего стоя находится на 0,80 м выше уровня верхних плоскостей столов, находящихся на высоте 0,80 м над предметной плоскостью) в желаемом направлении, но при условии, чтобы оба ее конца А и В совпадали с большой окружностью, а ее середина касалась бы в точке г малой окружности.
Проведем из точек А и В диаметры AOD и ВОС большей окружности. Мы получим на ней точки D и С, которые являются вершинами двух других углов искомого прямоугольника.
Соединим точки С с A, D с В и D с С. Мы получим остальные три стороны прямоугольника. Если чертеж исполнен точно, сторона CD должна касаться серединой в точке п малой окружности. Две другие стороны АС и BD не могут быть касательными. Каждые две параллельные друг к другу стороны прямоугольника при их продолжении должны сойтись на линии горизонта в часто недоступной точке схода.
Если одна из точек схода сторон прямоугольника углового построения доступна, надо непременно ею воспользоваться: построенная таким образом перспектива будет гораздо точнее (рис. 544, точки схода F и F1).
487.	— Перспектива угловых прямоугольников одинаковой величины строится одним и тем же способом, в каком бы месте на предметной плоскости мы ни захо
471
тели ее построить: сперва строят перспективу первого прямоугольника, отмечая на перспективном масштабе, как было показано при построении углового квадрата, все найденные во время этой операции точки (рис. 542). Затем на той же полоске бумаги, на которой мы отмечаем в заданном масштабе размеры радиусов, отметим на расстоянии, на котором мы хотим строить другие прямоугольники, все остальные нужные нам точки: 1, Г, которые определяют размеры радиусов большой окружности; 3, 3', определяющие радиусы малой окружности; 2, 2' и 4, 4', которые дают нам возможность построить точки пересечения (2 и 2') большей окружности и точки пересечения (4 и 4') меньшей окружности на диагоналях квадратов, в которые вписываются эти окружности. Привыкнув не ошибаться при чтении этих точек, мы будем строить перспективу круга без касательных в точках пересечения диагоналей, но при этом должны помнить, что точность перспективы прямоугольника зависит от степени точности построения окружности.
Если центр окружности слишком близок к линии горизонта, то для получения более четких пересечений рекомендуется воспользоваться, как указывалось выше, при построении перспективы углового квадрата (303—306), известным нам методом опущенной предметной плоскости.
Этим же методом построения перспективы угловых прямоугольников и квадратов с помощью двух концентрических окружностей можно пользоваться и для построения перспективы отражений в вертикальных зеркалах, расположенных под произвольным углом к картине, но этого вопроса мы коснемся во второй части книги.
Построение перспективы окружности с помощью делительного масштаба
488.	— Выше мы рассматривали построение перспективы окружности по четырем (216), восьми (217) и 16 (218) точкам, исходя из положения, что число точек, необходимое для правильного построения перспективы окружности, прямо пропорционально ее размерам и величине площади, которую она займет на картине.
Однако часто число точек построения зависит не от величины окружности, а от характера предмета, частью которого он является.
Так, перспектива циферблата часов строится по 12 точкам, чтобы одновременно с ней определить и положение цифр на циферблате; перспектива ствола колонны строится по 16, 20 и 24 точкам для получения цилиндрической формы ствола и вместе с тем места канелюр на стволе; перспективу края круглого бассейна строят по числу точек, соответствующих числу образующих его каменных блоков; перспективу резервуара для мазута (рис. 285) — по числу стальных листов; а круглого памятника — по числу тесаных камней, из которых он сложен (рис. 279 и 676), и т. д.
Для решения таких задач пользуются делительным масштабом, с помощью которого можно делить на равные части перспективу прямых, имеющих точку схода.
Сначала строится перспектива фронтального или углового квадрата соответственно размерам вписываемой окружности.
472
Рис. 546 (220; 490) .
Рис. 545 (489; 490)
Затем внутри этого квадрата строят окружность по нужному числу точек, положение которых определяют с помощью делительного масштаба.
Метод построения перспективы окружности по заданному числу точек применяется следующим образом.
489.	— Построение делительного масштаба для перспективы окружности. Возьмем ортогональную проекцию полуокружности и разделим ее на любое число частей (но, конечно, вдвое меньшее, чем число частей, на которое делилась бы целая окружность). Спроектируем эти точки деления полуокружности на диаметр (рис. 545).
Опустим из середины о диаметра перпендикуляр, примерно равный длине диаметра. Этот перпендикуляр в дальнейшем будет играть роль оси делительного масштаба, а его конец V— вершины масштаба.Проведя из этой вершины ряд линий еще не определенной длины через точки, проектированные на диаметр, мы получаем делительный масштаб. Прямые VV1 и VV2 образуют его края, симметрично расположенные относительно оси Vo. Обращаем внимание читателя, что во время построения делительного масштаба надо очень внимательно следить за тем, чтобы по ошибке не соединить точку V с помеченными на окружности точками 2, 3 и т. д., а только с точками 2', 3' и т. д. на диаметре.
490.	— Применение делительного масштаба, когда описывающий квадрат расположен под углом к картине. Пусть на картине (рис. 546) с известными перспективными элементами фигура ABCD будет перспективой углового квадрата со сторонами, равными диаметру окружности, которую мы хотим построить по заранее установленному числу точек на делительном масштабе (на нашем примере— 12 точек).
Делительным масштабом мы можем пользоваться на квадрате только в том случае, если знаем середину его сторон, т. е. точки о, п, г, s (414).
473
Рис. 546 а (490, примечание)
Зная их, мы прикладываем полоску бумаги последовательно к каждой из четырех сторон перспективы квадрата и отмечаем на ней концы и непременно середину его сторон (первое положение).
Наложим полоску бумаги на делительный масштаб таким образом, чтобы средняя точка первой стороны квадрата лежала на оси масштаба Vo, а ее концы на линиях, ограничивающих масштаб. Для этого (рис. 545) полоска бумаги устанавливается наклонно более короткой частью к вершине масштаба (второе положение).
Удерживая полоску в этом положении, отметим на ее кромке точки ее пересечения с линиями делительного масштаба.
Приложив вновь полоску к соответствующей стороне перспективы квадрата, перенесем на нее точки пересечения, взятые на делительном масштабе (третье положение).
Произведем эту операцию последовательно на всех сторонах перспективы квадрата. Мы получим сетку из параллельных линий, определяющих положение 12 точек: е, f, о, g, и, s, i, j, г, к, I, п, через которые проходит перспектива окружности.
Пока мы не привыкнем к этому методу, мы можем пользоваться ортогональной проекцией сетки (рис. 546, вверху) для более легкой ориентировки в точках пересечения, через которые проходит искомая окружность.
Кроме того, рекомендуется не проводить на перспективном рисунке линии во всю их длину. В перспективу квадрата встраивается от руки едва заметной линией перспектива окружности. Линии сетки проводят только у краев квадрата до пересечения их с кривой окружности. Середина остается свободной. На таком чертеже лучше видно расположение точек на сетке, через которые должна пройти окружность.
Само собой разумеется, что в тех случаях, когда стороны углового квадрата имеют доступную точку схода, ею надо пользоваться: это упрощает и уточняет построение его сторон. Так, на рисунке 549, внизу, найденные на стороне АВ деления перенесены
474
Рис. 547 (491)	Рис. 548 (491)
с помощью доступной точки схода F и на сторону CD, не прибегая к полоске бумаги.
При очень внимательном и точном вычерчивании можно пользоваться полоской бумаги только один раз — для разметки стороны АВ, если мы располагаем хоть одной доступной точкой схода (рис. 549, внизу), или два раза — для разметки сторон АВ и CD, когда у сторон квадрата нет ни одной доступной точки схода (рис. 546). Для построения сетки можно использовать точки пересечения ее линий с диагоналями квадрата между этими двумя сторонами.
Соединив точки пересечения, мы найдем остальные линии сетки. На рисунке 549, на котором имеется доступная точка схода, видно, как соединением точек 4 с точками 5 на диагоналях
Рис. 549 (218; 220; 490; 491)
475
Рис. 551 (492)
Рис. 550 (220; 258; 492; 493; 494)
можно получить все 12 точек, через которые проходит кривая искомой окружности, пользуясь только один раз полоской бумаги на стороне АВ.
Примечание. Если в угловой квадрат встраивается окружность по восьми точкам, то можно обойтись и без построения описанного выше специального делительного масштаба (рис. 407 а). В этом случае поступают так же, как при вписывании окружности во фронтальный квадрат (217, примечание и рис. 259, а).
Как мы уже знаем, точки е, f g, i (рис. 546 а) на диагоналях описывающего квадрата получают одновременно с соответствующими касательными сединением точек К, делящих на 5/12 половины сторон заданного квадрата.
Эти точки находят с помощью делительного масштаба, отметив на полоске бумаги концы и середину каждой стороны углового квадрата (первое положение). Затем полоску накладывают на делительный масштаб концами сторон (ab, bd, de, са) на его крайней линии, а серединой (точки п, г, s, о) на его ось ND. Установив полоску в этом втором положении, отмечают на кромке точки (К) ее пересечения с лучами 5 делительного масштаба. И наконец (третье положение) отмечают на сторонах квадрата точки К.
Соединив их попарно, мы получим на диагоналях заданного квадрата соответствующие касательные и одновременно точки е, f, g, i, через которые проходит кривая перспективы окружности.
При точном вычерчивании продолженные касательные К'К должны пересечься в точках (Z, l',j,j’) на продолженных диаметрах os и пг.
491.	— Когда квадрат, описывающий окружность, фронтален (рис. 547; 548), для построения перспективы его фронтальных сторон полоску бумаги накладывают на делительный масштаб не наклонно, а параллельно диаметру и перпендикулярно к оси масштаба. В этом случае полоской бумаги пользуются только один раз на одной из фронтальных сторон. Все остальные точки находят, как было показано выше (490), с помощью
476
Рис. 552 (492; 502)	Рис. 553 (220; 492)
Рис. 554 (492)	Рис. 555 (492)
главной точки и диагоналей. Если описанный квадрат фронтален, допустимо построение делительного масштаба непосредственно на картине.
Приняв сторону АВ за диаметр (рис. 549, вверху), построим ортогональную проекцию половины окружности, необходимой для построения делительного масштаба. Спроектируем деления полуокружности на ее диаметр и построим делительный масштаб с вершиной в точке схода F. Все остальные точки получаются с помощью диагоналей, как показано выше (490).
492.	— Когда деления окружности не находятся на главных диаметрах. Очень часто на окружностях, перспективу которых мы строим, деления не лежат на главных диаметрах: например, центры канелюр классических ордеров (рис. 551), орнамент на рисунках 552, 553 и т. д.
Изображаемый нами предмет может быть расположен под углом к главному диаметру, например крылья ветряной мельницы, которые при остановке могут занять любое положение (рис. 554; 555). Ниже (495) мы рассмотрим случаи, в которых деления окружности допускают только одну ось симметрии.
Во всех этих случаях построение производится указанным выше способом, после того как мы отложим на ортогональной проекции окружности деления в соответствии
477
с характером заданного объекта, как это видно на рисунках 551; 552; 554. Ось Vo масштабу и его края служат, как и в предыдущих случаях, ориентирами для установки бумажной полоски (но без предварительно нанесенных на ней точек концов деления, соответствующих отрезкам на заданных окружностях).
493.	— Если мы располагаем точным чертежом на предметной плоскости канелюр колонны, то нетрудно построить перспективу ее ствола с линиями соединения блоков, из которых она сложена: для этого достаточно построить масштаб высоты (рис. 550).
Примем прямую hA за линию основания масштаба высоты. Проведем из точки А вертикаль, на которой отметим точками В, С, D и т. д. высоту каменных блоков, из которых сложена колонна (например, 1 л<). Соединив эти точки с точкой h на линии горизонта, мы получим масштаб высоты, по которому и будем откладывать на полоске бумаги все высотные размеры. Приложим ее последовательно ко всем ребрам канелюр, отмечая каждый раз линию горизонта и точку пересечения ребра канелюры с предметной плоскостью (первое положение). Отметим на полоске бумаги по масштабу высоты высоту каменных блоков, следя за тем, чтобы отметки на установленной вертикально полоске соответственно совпадали с линией горизонта.и с линией основания масштаба (второе положение). Приложим снова полоску бумаги к соответствующему ребру канелюры и перенесем на него все точки, найденные с помощью перспективного масштаба (третье положение). Соединив последовательно кривыми все точки на ребрах, мы получим точный чертеж линий соединения каменных блоков.
494.	— Таким же образом поступают и при витых канелюрах (рис. 550). Деления А, В, С, D и т. д. на масштабе высоты могут быть ближе или дальше одно от другого в зависимости от величины шага витка (в начертательной геометрии кривая ребер витых канелюр на теле колонны носит название гелиссы).
478
Сначала строят на предметной плоскости с помощью делительного масштаба канелюры заданной колонны. Затем проводят через все ребра канелюр вспомогательные вертикали.
После этого художник рисует от руки начиная от ближайшей точки А' на соответствующей вертикали отрезок А'В' гелиссы до соседней вертикали (вправо или влево в зависимости от направления винтовой линии канелюр колонны) с большим или меньшим наклоном, обусловливаемым выбранной им величиной шага гелиссы.
Взяв за основание масштаба высоты прямую hA, художник проводит через точку В' горизонталь ВВ' и откладывает на проведенной из точки А вертикали отрезки АВ, ВС, CD, DE и т. д. Соединив концы этих отрезков с точкой h на линии горизонта, он получит масштаб высоты, по которому и будет откладывать на полоске бумаги размеры, так же как при прямых канелюрах.
Обозначив деления на всех вертикалях колонны, он проведет винтовую линию канелюр (в правом или левом направлении), соединяя кривой отмеченную точку на каждой данной вертикали со следующей по высоте точкой на соседней вертикали. Для получения видимого контура рекомендуется найти соответствующие деления и на первых вертикалях, скрытых краем ствола колонны.
495.	— Когда деления окружности допускают лишь одну ось симметрии, например аркада моста (ось симметрии у нее вертикальная) (рис. 557) или орнамент на рисунке 559, строят два делительных масштаба: один на диаметре, образующем ось симметрии, другой — на диаметре, перпендикулярном к первому диаметру.
На рисунках 556 и 558 показано построение этих двух масштабов способом, исключающим их совпадение. Во всем остальном поступают, как в разобранных выше случаях.
496.	— Когда нам неизвестно число делений окружности. Все приведенные выше примеры относились к прямой перспективе: давалось число делений окружности, а ее величина определялась в картине с помощью ее перспективных элементов.
В обратной перспективе мы можем не знать числа делений. Художник вообразил на картине аркаду моста, круглый бассейн и т. д. Не зная длины диаметров этих элементов,
Рис. 558 (495)	Рис. 559 (220; 495)
479
он не может знать число каменных блоков нормального размера, которое ему понадобится для делительных масштабов, которыми он будет пользоваться для окончания рисунка.
Он должен будет с помощью перспективных элементов картины проверить точность построения квадрата, в который он собирается вписать соответствующую окружность и измерить в перспективном масштабе ее диаметр.
Затем, чтобы получить ортогональную проекцию круга, он должен отложить в обычном масштабе, например 1 : 100 (метр в сантиметре), диаметр установленной длины. На построенной таким образом окружности он откладывает циркулем или полоской бумаги отрезки равной длины, измеренные в том же масштабе, соответствующие действительным размерам материалов, использованных для постройки арки. Таким образом, глядя на законченный рисунок, зритель получит возможность составить себе представление по количеству составных элементов о действительных размерах изображенного художником объекта.
497.	— На рисунке 561, на котором высота глаз находящегося на террасе зрителя равна 5 м над уровнем горизонта, было определено в перспективном масштабе единицей измерения L, что диаметр нарисованного бассейна равен 9л/. Для построения соответствующего делительного масштаба (рис. 560) рисующим был взят диаметр длиною в 4,5 см (масштаб 1 :200) и отложен в том же масштабе циркулем отрезок примерно в 1 м — размер камней, образующих края бассейна. По измерении этим отрезком длины заданной окружности было установлено, что он помещается в ней 28 раз. По этому числу делений был построен делительный масштаб. Благодаря большому числу образующих его край камней на законченном рисунке угадываются действительные размеры бассейна.
498.	— На рисунке 557 с помощью ортогональной проекции было найдено, что диаметр ВС1 арки мостового пролета равен 5 м. Для построения делительного масштаба
Рис. 560 (497)	Рис. 561 (152, б; 220; 497)
480
взят диаметр, равный 2,5 см (масштаб 1 : 100); тесаные камни равны 0,60 м. Установлено, что для построения арки необходимо 13 камней. Делительные масштабы были построены по этому числу делений (рис. 556).
Отсюда следует, что при неизвестном числе делений, но известных размерах диаметра и составных элементов предмета для определения числа делений достаточно построить делительный масштаб по обычной шкале.
Перспектива концентрических окружностей
499.	— Предположим, что на картине дана перспектива окружности, нарисованная с натуры или построенная с помощью одного из точных перспективных методов, и мы хотим нарисовать по каким-либо взятым внутри или вне ее точкам другие концентрические к ней окружности. И в рисунке с натуры, и на рисунке, созданном в воображении, такие концентрические окружности можно нарисовать все сразу, не глядя все время на модель (при рисовании с натуры) и не повторяя для каждой окружности те же построения, которые мы проделали для получения перспективы первой окружности (при исполнении рисунка, созданного в воображении).
Перспективу таких концентрических окружностей можно построить с помощью делительного масштаба.
500.	— В прямой перспективе. На картине (рис. 562), на которой нам даны перспективные элементы, прямая АВ—это параллельный картине диаметр точно вычерченной перспективы окружности. Требуется построить на заданных расстояниях внутри и вне этой окружности несколько концентрических окружностей соответственно точкам D, Е, F.
Рис. 562 (67; 220; 500; 501 ; 502)
481
Нужные нам расстояния между этими точками измерены в перспективном масштабе единицей измерения L.
501.	— Построение делительного масштаба. Отметим на полоске бумаги все точки, которые мы нанесли на продолженном фронтальном диаметре, выделив особым знаком центр окружности С, через который проходит ось делительного масштаба и концы А и В диаметра, определяющие положение двух крайних линий, по которым ориентируют полоску бумаги во время работы с масштабом.
Перенесем эти точки на прямую, нанесенную на лист бумаги, на котором мы собираемся строить делительный масштаб. Проведем через точку С перпендикуляр к этой прямой и отметим на нем на расстоянии, приблизительно равном длине прямой FF', точку У—вершину масштаба. Соединим точку V со всеми точками, отмеченными на прямой FF', выделив более жирными линиями ориентиры масштаба — ось УС и прямые УА и УВ, проходящие через концы заданного диаметра.
Примечание. На рисунке 562 делительный масштаб был дополнен горизонталью, проведенной через точку с' на половине отрезка оси УС. На этой горизонтали были отложены отрезки fG и GI (аллея и ее бордюр), равные половине расстояний, измеренных в перспективном масштабе единицей измерения L.
502.	— Как пользоваться делительным масштабом. Приложим к одному из диаметров окружности, например к диаметру А1В1, полоску бумаги и отметим на ее кромке концы А1 и В1 этого диаметра и обязательно центр С окружности (первое положение).
Начнем перемещать полоску по делительному масштабу до тех пор, пока три отмеченных па ней точки не совпадут с ориентирами масштаба: точка С — с осью УС, точка А1 — с прямой АУ и точка В1 — с прямой У В (второе положение). Отметим на кромке удерживаемой в этом положении бумажной полоски все ее пересечения с остальными линиями масштаба в точках Fl, El, DI, D'J, E'l, F'l, G'l, Г1.
Установим снова полоску вдоль диаметра А1В1 и перенесем с нее на картину все отмеченные нами точки (третье положение). Через эти точки пройдут концентрические окружности, которые мы строим.
Повторим эту операцию на таком числе диаметров заданной окружности, какое мы считаем необходимым для очень точного построения перспективы концентрических окружностей. Окружности рисуют от руки или с помощью лекала, последовательно соединяя непрерывной кривой все отмеченные на диаметрах точки.
На рисунке 552 делительный масштаб для меньшей концентрической окружности (пунктирные лучи Уу, Vv") был построен па делительном масштабе, с помощью которой была вычерчена большая окружность.
503.	— В обратной перспективе. Вообразим на картине (рис. 563) перспективу окружности, построенную с натуры или придуманную, внутри и вне которой требуется начертить несколько концентрических кругов, проходящих через определенные точки, отмеченные с натуры или которые мы вообразили, например через точки е, f, g, i, но не на фронтальном диаметре, а на произвольном — А1В1.
Для построения делительного масштаба нам надо найти центр нарисованной на картине окружности.
482
Рис. 563 (503; 504; 505) Рис. 564 (186; 220; 504; 506)
504.	— Как находят центр окружности. Проведем четыре касательные к окружности: две параллельные к картине — LN и RS и две перпендикулярные к ней—RL и SN. Мы получим перспективу фронтального описывающего заданную окружность квадрата LNRS, диагонали которого LS и NR в точке их пересечения С определяют положение искомого, центра. Можем построить и фронтальный диаметр АС В данной окружности.
Прежде чем использовать эту точку для построения делительного масштаба, надо проверить создает ли перспектива четырехугольника LNRS на расстоянии, на котором будут рассматривать картину TT1UU1, впечатление квадрата (185; 186).
Чтобы охватить одним взглядом картину, зритель должен находиться от нее на расстоянии, равном удвоенному радиусу РТ или РТ1 окружности, в которую вписывается картина. Отрезок PD/4 (или PD'/4) равен четверти этого расстояния.
Для того чтобы четырехугольник LNRS создавал впечатление квадрата, картину надо смотреть на расстоянии, вчетверо большем расстояния Pd/4 (или Pd',14); точка <d'/4 найдена соединением конца четвертой части стороны LN, т. е. точки п, с концом 5 перпендикулярной к картине стороны NS.
Мы убедились, что расстояние, с которого предполагали смотреть на перспективу квадрата, слишком коротко, чтобы охватить одним взглядом всю картину. Для устранения этого несоответствия существуют две возможности:
а)	уменьшить рамки картины настолько, чтобы ее можно было вписать в окружность, радиус которой Pt не больше удвоенного расстояния Pdf 4 (рис. 563);
б)	построить (564) с помощью дробной точки отдаления D'/4 картины фронтальный квадрат L'N'R'S', который диаметром АВ заданной окружности делится на две равные части (отрезки Сг и Сг' равны четверти радиуса СВ, с их помощью найдена длина перпендикулярного к картине диаметра EF, равного диаметру заданной окружности). Кривая, вписанная в этот квадрат, будет точной перспективой окружности, если мы будем смотреть на картину на расстоянии, равном учетверенному расстоянию PD/4.
483
505.	— Построение делительного масштаба. Проведем на листе бумаги, на котором мы хотим построить делительный масштаб (рис. 565), прямую неопределенной длины, на которую перенесем полоской бумаги с рисунка 563 длину фронтального диаметра Л В заданной окружности и се центр С. Найдем на проведенном из точки С перпендикуляре на расстоянии, превышающем длину диаметра АВ, точку V — вершину делительного масштаба. Соединив эту точку с точками А и В, мы получим три ориентировочных линии масштаба: ось VC и прямые VA и VB, отсекающие отрезок, равный диаметру заданной окружности.
Уложим полоску бумаги на картине вдоль диаметра А1В1 (рис. 563), на котором отмечены точки прохождения концентрических окружностей, и перенесем на ее кромку эти точки, выделив специальными знаками концы диаметра А1 и В1 и центр окружности С (первое положение).
Перенесем полоску бумаги па делительный масштаб и уложим его наискось так, чтобы точка С совпала с осью масштаба VC, а точки AI и В1 — с прямыми К4 и VB (второе положение). Удерживая полоску в этом положении (рис. 565), отметим на масштабе точки е, f, g, i. Проведя из вершины К расходящиеся лучи Ve, Vf, Vg, Vi, мы получим в местах их пересечения с прямой NN' точки е', f, g', i’. Отложим симметрично от точки С на прямой AW" точки е7, jl, gl, И и дополним масштаб линиями Vel, Vfl, Vgl, Vii.
506.	— Применение делительного масштаба. При построении концентрических окружностей (рис. 564) делительным масштабом пользуются вместе с полоской бумаги, как было показано выше, в прямой перспективе.
507.	— Примечание. Для того чтобы мы .могли пользоваться делительным масштабом для построения перспективы нескольких концентрических кругов, нам надо иметь на картине перспективу одной из окружностей, хотя бы самой малой. Если это условие невыполнимо, мы можем построить концентрические окружности с помощью перспективной сетки из фронтальных квадратов. Этот способ построения показан ниже.
Пусть на картине (рис. 566) с имеющимися на ней перспективными элементами кривая АВ будет перспективой дуги окружности, нарисованной с натуры, по памяти или с помощью одного из точных перспективных методов.
Построим на картине перспективную сетку из фронтальных квадратов, со сторонами, равными одному метру (428; 429), а на отдельном ли-
484
сте бумаги — ее ортогональную проекцию в обычном масштабе (I : 200) из квадратов со сторонами тоже в один метр (рис. 567).
Вычертим на спроектированной сетке по квадратам дугу окружности, соответствующую перспективе дуги на картине. Стянем эту дугу двумя хордами АЕ и ЕВ. Разделим соответственно в точках L и N каждую из этих хорд на две равные части и проведем из этих точек перпендикуляры. Мы нашли в точке их пересечения С центр окружности заданной дуги. Описав из него циркулем на ортогональной сетке правильную дугу, мы можем по точкам ее пересечения с квадратами сетки проверить и исправить кривую на картине, если она была нарисована с приближением от руки или по памяти.
508.	— В прямой перспективе. Если мы знаем длину радиусов концентрических окружностей, которые хотим построить, отложим от точки С на ортогональной сетке длину этих радиусов и опишем циркулем соответствующие окружности.
509.	— В обратной перспективе. Имея на картине точки F, G, /, J и т. д., через которые должны пройти концентрические окружности, перенесем их на ортогональную сетку в точки Fl, Gl, II, Л и т. д. и опишем через них циркулем соответствующие окружности.
После этого нарисуем на картине от руки, а затем по лекалу по соответствующим квадратам кривые, построенные на ортогональной проекции.
Примечание. Перспективой окружности может быть окружность, эллипс, парабола или гипербола. Это теоретические определения, не имеющие применения в практике.
Восходящие и нисходящие цилиндрические ступени
510.	— Восходящие ступени. На картине с перспективными элементами (рис. 568) прямая АВ—это параллельный картине диаметр окружности, нарисованной с натуры, по памяти или построенной по одному из точных перспективных методов. На этой окружности надо построить несколько цилиндрических ступеней одинаковой высоты и ширины.
485
Рис. 568 (510; 511)
Рис. 569 (511)
Построим эти ступени в фронтальной плоскости диаметра АВ, измерив их в перспективном масштабе. Мы получили профили Abcdefgoij и j'i'o'g'f'e'd с'Ь'В ступеней нужных размеров (на рис. 568 ступени, измеренные в перспективном масштабе единицей измерения L, имеют высоту 0,15 м и ширину 0,30 м).
Проведем из точки С вертикаль, а через точки c,e,g,i ступеней прямую, которая пересечет вертикаль в точке V. На вертикали CV, ставшей осью конуса, отложим в точках cl, el, gl, il, jl высоту ступеней.
Для построения цилиндрических ступеней надо располагать масштабом высоты. Возьмем для этого один из диаметров окружности, имеющий доступную точку схода и дающий более четкие пересечения, например диаметр А1СВ1. Проведем из его точки схода F прямые в точки с/, el, gl, il,jl- Продолжив эти прямые и в направлении рисующего, мы получим масштаб высоты ступеней. Такой масштаб можно строить по краю или за рамками картины и, чтобы не перегружать рисунок ненужными линиями, откладывать требуемые размеры на полоске бумаги.
Произведя в вертикальной плоскости любого из диаметров данной окружности операцию, показанную на рисунке 568 (на этом рисунке использована плоскость диаметра А2СВ2), мы сразу же найдем точки, через которые пройдут кривые всех ступеней.
Приложим к вертикали, проведенной из ближайшего к нам конца А2 диаметра А2СВ2, полоску бумаги. Отметим на ее кромке положение этой точки и непременно положение точки а на линии горизонта (первое положение). Придвинем полоску бумаги к
486
масштабу высоты и установим ее так, чтобы ее точка а совпала с точкой а' на линии горизонта, а точка А2—с точкой г на линии основания масштаба FA1 (второе положение), и отметим на ее кромке высоту каждой из пяти ступеней. Вновь перенесем полоску к вертикали точки А2 и отметим на ней точками Ь2, d2,f2, о2, j2 уровень этих ступеней. При желании мы можем проделать эту операцию и на вертикали В2Ь, проведенной из более далекого от нас конца того же диаметра. Если чертеж сделан точно, мы получим те же результаты, соединив прямыми точки, отмеченные на вертикали А2а, с точками cl, el, gl, 11, jl на оси CV конуса и продолжив эти прямые в направлении линии горизонта.
Восставив из точек пересечения с2, е2, g2, 12 этих прямых с прямыми A2V и VB2 и из точек сЗ, еЗ, g3,13 короткие вертикали подступеней, мы найдем точки, через которые должны пройти искомые кривые.
Повторим эту операцию на таком числе диаметров, которое нам кажется необходимым для получения наиболее точного результата.
Рис. 570 (510)
487
Рис. 571 (444; 512)
Если окружность дана в перспективе, пользуются делительным масштабом с числом точек, равным числу камней, из которых сложены ступени (рис. 570), и чтобы найти швы камней, диаметры проводят через эти точки. Соединяя последовательно непрерывной кривой сначала от руки, а затем с помощью лекала точки, найденные в вертикальных плоскостях этих диаметров, мы получим перспективу цилиндрических восходящих ступеней.
Само собой разумеется, что линии построения не следует проводить во всю их длину: сначала проводят прямые A2Vи VB2, а ступени отмечают только в нужных местах, т. е. по соседству с этими прямыми.
Также бесполезно строить профили ступеней там, где их не видно, но рекомендуется отмечать их положение с обоих краев на первых скрытых диаметрах. Это поможет правильному простроению кривых по соседству с видимым контуром ступеней.
511.	— Нисходящие ступени. Для читателя, внимательно следившего за построением перспективы восходящих цилиндрических ступеней, нетрудно построить перспективу нисходящих цилиндрических ступеней. Порядок построения тот же, меняется лишь положение вершины конуса: точка V, вместо того чтобы находиться над точкой С, лежит ниже ее.
На рисунке 569 поставлены те же буквы, что и на рисунке 568; достаточно перечитать объяснение, как надо строить восходящие ступени, и проследить по рисунку 569 за тем, как их применяют при построении нисходящих ступеней, причем частью ступеней, скрытой от рисующего, в данном случае будет не часть, обращенная вглубь, а часть, обращенная к нему (рис. 569).
512.	— Когда на картине (рис. 571) нет целой перспективы окружности, а только часть ее, то, как мы указывали в параграфе 507, ступени строят с помощью перспективной сетки из фронтальных квадратов.
488
Перспективное изображение тел вращения
513.	— В перспективе такие предметы, как декоративные вазы, капители, базы колонн и т. д., считаются сложными по форме предметами, и поэтому построение их перспективы будет рассмотрено в соответствующей главе (578—580).
Однако во многих случаях вполне удовлетворительное перспективное изображение тел вращения можно получить с помощью перспектив окружностей поперечного сечения, проходящих через характерные точки профиля заданного тела.
На картине (рис. 573) с заданными перспективными элементами прямая АК является вертикальной осью тела вращения. Чтобы построить перспективу этого типа тел, достаточно знать правую или левую половину их профиля. Художник может нарисовать такой профиль (например, профиль Abcdefgoijk) с натуры, по памяти или представить себе его в перспективе. Он должен провести через характерные точки этого профиля горизонтали, продолжив их по ту сторону вертикальной оси А К на расстояние, равное расстоянию этих точек от оси. Таким образом он получит ряд диаметров bb', се’ и т. д. окружностей, определяющих в пространстве перспективные искажения заданного тела вращения. Остается построить эти окружности (182; 216).
Вспомним эти построения. Например, для построения окружности, на диаметре bb' проведем через концы и середину диаметра перпендикулярные к картине прямые. Разделим радиус ЬВ на четыре равные части и отложим на диаметре bb' влево и вправо от точки В отрезки Вг и Вг', равные четверти радиуса. Соединив точки г и г' с точкой отдаления D/4 прямыми и продолжив их до пересечения с продолженной прямой ВР, мы найдем перпендикулярный к картине диаметр RBR' этой окружности. Касательные в точках R и R' горизонтальны. Располагая четырьмя точками b, R, b', R' и соответствующими касательными, можно построить перспективу окружности, если она не слишком велика. В противном случае для получения более точного результата надо построить фронтальный квадрат, описывающий окружность, и найти еще четыре точки или больше (217).
489
Повторив эту операцию на каждом из диаметров заданного профиля, мы получим перспективные изображения характерных окружностей тела вращения. Его видимый контур получают обвертыванием этих окружностей, называемых параллелями тела вращения, непрерывной касательной.
514.	— В тех случаях, когда нам дан в произвольном масштабе профиль или ортогональная проекция какого-нибудь тела вращения, мы должны уметь найти нужные размеры этого профиля, чтобы построить его перспективу в условиях, проистекающих из его положения на картине.
Найдем с помощью перспективного масштаба на глубине и на месте, обусловливаемом композицией картины, размер вертикальной оси ЛК заданного тела вращения.
Фигура, обозначенная буквой Р на рисунке 572, — это заданный профиль в произвольном масштабе. Впишем эту фигуру в прямоугольник аа'кк' и построим одну из его диагоналей, например диагональ ак. Обозначим на вертикальной стороне а'к' прямоугольника буквами Ь, с, d, е, f, g, о, i, j уровни всех характерных параллелей заданного профиля, а на его горизонтальной стороне кк' — точки /, т, п, г, s, t, и, определяющие расстояния характерных точек этого профиля до оси ак. Отложим на продолженной стороне ак отрезок аК, равный отрезку АК, т. е. длине построенной на картине оси. Продолженная диагональ ак и проведенная из точки К горизонталь пересекутся в точке К’. Проведя из этой точки вертикаль, мы получим прямоугольник аКАК', подобный описывающему заданный профиль прямоугольнику аа'кк'.
Проведя из точки а, принятой за вершину делительного масштаба, расходящиеся лучи в точки Ь, с, t, и, мы получим в точках В, С, Т, U уровень параллелей и расстояния до оси характерных точек заданного профиля в размерах перспективного изображения на картине.
Отметим на полоске бумаги точки, имеющиеся па вертикали АК' и на горизонтали КК', и перенесем их на картину. С их помощью мы найдем в точках пересечения 1, 2, 3, 4, 5,6, 7 горизонталей, проведенных из точек на горизонтали КК', характерные точки профиля заданного тела вращения. Эти точки являются концами радиусов, с помощью которых мы построим показанным выше способом окружности, образующие перспективу заданного тела вращения.
515.	— Видимый контур (рис. 574) теряется в определенных точках (например, в точках т и п) в массе тела вращения. Этого не случается на поверхностях, ограниченных простой кривой, как, например, на сферических телах и на эллипсоидах, а только на сложных поверхностях двоякой кривизны (рис. 573, справа), вогнутых в первом направлении (са) и выпуклых во втором, перпендикулярном первому направлению (су). Такие поверхности встречаются главным образом на круглых цоколях бюстов. Установить с точностью положение этих точек очень трудно. Построив ряд параллельных окружностей профиля, можно найти с приближением положение точки С, где эти кривые больше не обертываются непрерывной касательной линией. Путем частого наблюдения в натуре с различных точек зрения такого исчезновения видимого контура художник может научиться рисовать по памяти имеющиеся на картине сложные поверхности вращения двоякой кривизны.
490
Рис. 574 (40; 515)
Надо заметить, что каково бы ни. было положение фронтальной оси тела вращения по отношению к главной точке и какова бы ни была величина диаметров его параллелей, видимый контур не совпадает с построенным во фронтальной плоскости его оси профилем тела (255, рис. 283). Видимый контур, касательный параллелям, переходит с обеих сторон линию фронтального профиля. В перспективе тело вращения кажется больше его ортогональной проекции — явление, с которым должен считаться каждый проектировщик.
Когда на поверхности тела вращения имеется орнамент или какие-либо другие декоративные мотивы, то для построения их перспективы необходима не только перспектива параллелей этих поверхностей, но и перспектива контура их продольных сечений, чтобы выявить перспективное искажение этих мотивов. Эта задача будет разобрана в главах, относящихся к перспективе тел вращения, рассматриваемых как тела, сложные по форме (578—580).
491
Рис. 575 (549). Донателло. Танец Саломеи
XIX. ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
516.	— Так же как прямые пространства, плоскости пространства делятся на две строго различные категории. Это деление зависит от положения этих плоскостей относительно рисующего, т. е. от их положения относительно нейтральной плоскости, проходящей через глаза рисующего, и относительно картины, которую мы предположили вертикально установленной между рисующим и предметами, лежащими в его поле ясного зрения. Рассмотрим эти категории:
а)	плоскости, параллельные нейтральной и картинной плоскостям, называемые фронтальными (517—523);
б)	плоскости, непараллельные картине (имеющие линию схода), т. е. плоскости, удаляющиеся от картинной плоскости.
Фронтальные плоскости бывают только одного рода.
Плоскости, имеющие точку схода, бывают двух родов:
а)	перпендикулярные к картине (526—533), которые в свою очередь могут быть: перпендикулярными к картине, горизонтальными',
перпендикулярными к картине, вертикальными;
перпендикулярными к картине, наклонными;
493
б)	наклонные по отношению к картине плоскости могут быть трех родов, в зависимости от положения в пространстве заключенных в них параллельных картине прямых.
Если эти прямые горизонтальны, плоскости называются фронтальными восходящими или фронтальными нисходящими (534—556).
Если они вертикальны, плоскости называются вертикальными общего помжения или, в отличие от вертикальных, перпендикулярных к картине, вертикальными наклонными (557—560).
Если они наклонны, плоскости называются наклонными общего положения, в отличие от плоскостей наклонных, перпендикулярных к картине (561—564).
Художник, рисующий с натуры или по памяти предметы с наклонными поверхностями— крыши (рис. 34; 189), дамбы, подпорные стены с откосом (255), классную доску (рис. 156), наклонный грохот для просеивания песка (рис. 254), мольберт (рис. 36), шоссе, идущее в гору или под гору, и т. д. или какой-нибудь другой предмет, например стул, придвинутый к столу, чемодан, прислоненный к стене (рис. 35), каменный блок, сброшенный на наклонную поверхность кучи песка (рис. 29), и т. д., — легче заметит наклон перспективы ребер этих предметов, если у него имеется общее представление о перспективе различных видов плоскостей пространства.
ПЕРСПЕКТИВА ФРОНТАЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
517.	— Мы ознакомились с фронтальными плоскостями, т. е. плоскостями, параллельными в пространстве картине. Нам также известно, что плоские фигуры, лежащие во фронтальных плоскостях, не искажаются в перспективе, а лишь перспективно уменьшаются. Перспектива плоской фигуры пространства в любой фронтальной плоскости является на картине фигурой, ей подобной. Ее величина варьирует в зависимости от расстояния от рисующего до фронтальной плоскости пространства, в которой лежит заданная фигура (96—98).
И в прямой, и обратной перспективах можно всегда установить путем графического применения закона перспективного уменьшения (318; 319), на каком расстоянии от рисующего находится изображенная на картине любая фронтальная плоскость.
Расстояние между двумя или несколькими изображенными на картине фронтальными плоскостями можно найти, измерив на предметной плоскости с помощью дробной точки отдаления любую из перпендикулярных к картине прямых на отрезке между следами заданных фронтальных плоскостей. В свое время мы ознакомились с этой операцией и в прямой, и в обратной перспективах (170 — 176).
Измерение расстояния между фронтальными плоскостями
На картине, на которой мы имеем линию горизонта hh', главную точку Р, дробные точки отдаления D/4 и D'/4 и перспективный масштаб, расстояния между фронтальными плоскостями измеряются следующим образом.
494
518.	— В прямой перспективе. Проведем на предметной плоскости след фронтальной плоскости, расположенной на заданном расстоянии в направлении линии горизонта (например, на расстоянии 8,40 м) от данной фронтальной плоскости ab, соответствующей фигуре А (рис. 576).
а)	Отложим на продолженном следе фронтальной плоскости ab отрезок Ьс, в четыре раза меньший нормального расстояния (8,40: 4 = 2,10), измеренный в перспективном масштабе единицей L.
б)	Прямая cD'/4 отсекает на перпендикулярной к картине прямой ЬР в четыре раза больший отрезок bd (2,10 X 4= 8,40). Прямая ef, идущая через найденную точку d, является перспективой следа на предметной плоскости фронтальной плоскости, расположенной на заданном расстоянии (8,40 л«) от фигуры А.
Фигуры в этой фронтальной плоскости — дверь размером 1,40 м X 2,50 м и круглая картина диаметром 2 м — измеряются в перспективном масштабе единицей измерения N.
519.	— В обратной перспективе. Найдем расстояние между двумя изображенными на картине фронтальными плоскостями, например между йлоскостями фигур А и В (рис. 577).
495
а)	Воспользуемся для измерения расстояния между перспективами следов Аа и ВЬ двух заданных плоскостей перпендикулярной к картине прямой, сливающейся с вертикалью PV'. Отрезок ab на этой прямой определяет расстояние между заданными плоскостями.
б)	Продолжив прямую D/4b, мы получим измеряемый в перспективном 1масштабе единицей L отрезок ас (равный 1,20 м). Он в четыре раза короче отрезка ab, и, следовательно, искомое расстояние между заданными плоскостями равно 4,80 м (1,20 X 4).
520.	— Примечание. По перспективе двух заданных на рисунке 577 фигур художник может с точностью определить их относительное взаимоположение. Отложив измеренные в перспективном масштабе единицами измерения L и N отрезки Аа (1,00 м) и ВЬ (3,20 м), он может набросать в любом масштабе (например, в масштабе 1 : 200) эскиз, поместив на нем в точке А самую близкую фигуру. Отрезок Аа равен 0,5 см (1,00 .и: 200), отрезок ab = 2,40 см (4,80 м: 200) и ЬВ — 1,6 см (3,20 .и: 200). Таким образом мы определили точное положение фигуры В (рис. 578).
Этот эскиз является работой по реконструкции перспективы, в которой, исходя из перспективного изображения, мы построили в определенном масштабе план изображенных предметов (16).
Пользуясь этим методом, художник может проверить, насколько взаиморасположение нарисованных им двух фигур соответствует его композиционному замыслу и развертываемому на картине действию. Измеряя такой чертеж масштабной линейкой, он увидит, что расстояние между точками. А и В по прямой равно примерно 6,40 м (3,20 см X 200) (рис. 578).
521.	— Измерение расстояния между рисующим и фронтальной плоскостью. Если перспектива следа ab фронтальной плоскости на предметной плоскости совпадает с нижним краем картины, это расстояние можно измерить несколькими способами.
а)	Применяя закон перспективного уменьшения (318). Единица измерений фронтальной плоскости abed, перспектива следа ab которой на предметной плоскости совпадает с нижним краем картины, находится на перспективном масштабе в точке L.
496
Рис. 581 (56; 523)
Рис. 582 (56; 523)
б)	Методом малой картины. При пользовании этим методом за центр уменьшения принимается главная точка Р и берется отрезок Pi, равный четверти расстояния еР между нижним краем картины и линией горизонта (рис. 579). Катет D'/4l треугольника D'/4il равен четверти высоты уровня глаз рисующего над предметной плоскостью, а катет И (размером 5,20 м) — уменьшенному в такое же число раз расстоянию между рисующим и картиной, измеряемому в перспективном масштабе единицей измерения N.
Для большей точности это расстояние можно измерить в перспективном масштабе единицей N на любой прямой, например на горизонтали между продолженными вертикалью D'/4l и лучом зрения D'/4i.
в)	Пользуясь в качестве ориентира дробной точкой зрения 0/4, которая, как мы знаем, совпадает с точкой пространства, расположенной от рисующего на расстоянии, равном учетверенной высоте ОВ уровня глаз рисующего над предметной плоскостью (428, рис. 481). Таким образом на рисунке 579 а, на котором высота глаза рисующего равна 1,60 м,точка (7/4 совпадает с точкой, расположенной в предметной плоскости на расстоянии 6,40 м (1,60 X 4 = 6,40) от рисующего.
Измерим с помощью прямой D/4O/4e' в перспективном масштабе единицей измерения L отрезок еО/4 перпендикулярной к картине прямой Ре. Отрезок ее’ равен 0,30.и и, следовательно, отрезок еО/4 равен 1,20 м (0,30 X 4). Вычтя 1,20 м из 6,40 м, мы видим, что точка е находится на расстоянии 5,20 м от рисующего.
г)	Взяв на картине фронтальную плоскость, расположенную в глубь по отношению к нижнему краю картины на расстоянии, равном расстоянию между этим краем и рисующим. След этой плоскости проходит через точку / на геометрической середине перпендикулярной к картине прямой пространства Ре. Как видно из схемы рисунка 579 а, точка I на луче зрения О1Г совпадает с точкой, лежащей на луче зрения Оее' на расстоянии Ге', равном расстоянию 1'Ь между рисующим и фронтальной плоскостью, след которой е совпадает с нижним краем картины.
Это расстояние, равное на рисунке 579 а 5,20 м, измеряется с помощью дробной точки отдаления Z>'/4 единицей измерения L или N в зависимости то того, пользовались мы отрезком е! или отрезоком И одинаковой длины, каждый из которых равен 1,30 м (1,30 X 4 = 5,20).
Расстояние между данной фронтальной плоскостью, перспективное изображение ab следа которой совпадает с нижним краем картины, измеряется на любой перпендикулярной картине прямой (например, ЬР\ рис 580), расположенной между нижним краем картины ab и изображением следа ef данной плоскости на предметной плоскости. На рисунке 580 (в котором использованы те же буквы, что и на рисунке 576) видно, как на перспективном масштабе в точке L было определено расстояние между данными плоскостями, равное 7,00 .и (1,75 X 4 = 7).
522.	— В обратной перспективе такие задачи решаются легко, но при этом надо иметь в виду, что композицию строить гораздо легче, если художник будет знать расстояние на предметной плоскости от нижнего края картины до ограничивающей композицию фронтальной плоскости: это поможет ему определить, насколько это расстояние соответствует количеству фигур и характеру предметов, которые надо сгруппировать на картине, и значению развертывающегося на ней действия.
498
Размеры в ширину и высоту фронтальных плоскостей, расположенных в пределах картины
523.	— Ширина и высота фронтальной плоскости в пределах данной картины измеряются в перспективном масштабе на продолженной в предметной плоскости перспективе следа этой фронтальной плоскости.
Так, на рисунке 580 а фронтальная плоскость abed, измеренная в перспективном масштабе единицей измерения N, имеет длину 8 м и высоту над линией горизонта 2,30 лг+ 1,60 м — уровень глаз художника над предметной плоскостью, т. е. 3,90 м.
На том же рисунке фронтальная плоскость efed, перспектива следа которой на предметной плоскости совпадает с нижним краем картины, измеренная единицей измерения L, имеет ширину 4,40 м и высоту 1,60 м до линии горизонта плюс 1,20 м над этой линией, т. е. 2,80 м. Она является, если можно так выразиться, окном, через которое мы смотрим, или портальным отверстием сцены, на которой будет развертываться действие композиции. Перед окончательным оформлением эскиза художник должен определить размеры этой плоскости, чтобы видеть, соответствуют ли они его творческому замыслу.
Зная ширину и высоту фронтальной плоскости, след которой на предметной плоскости совпадает с нижним краем картины, художник может себе составить живое представление о пространстве, на котором должна быть распределена его композиция. Для этого (рис. 581; 582) надо разделить на две равные части прямую ah между нижним краем картины и линией горизонта. Мы найдем след фронтальной плоскости точки Ь. Повторив ту же операцию на отрезке bh и на остальных отрезках, мы найдем в последовательном порядке следы плоскостей точек с, d,e,f и т. д.
На перспективном масштабе видно, как в результате этого последовательного деления размер метра уменьшается вдвое в каждой последующей плоскости, т. е. единица измерения b вдвое меньше единицы а, единица с — вдвое меньше единицы b и т. д.
Отсюда следует, что в пределах картины высота и ширина каждой последующей фронтальной плоскости, лежащей над линией горизонта (ниже линии горизонта высота их постоянна), вдвое больше высоты и ширины каждой предыдущей фронтальной плоскости (рис. 582).
499
То же самое мы видим и на рисунке 583, где ширина r"N вдвое больше ширины r'D, а высота h"N вдвое больше высоты h'D, так как фронтальная плоскость EFGN вдвое дальше от рисующего, чем фронтальная плоскость ABCD (ST — Ти или ОР1 = Р1Р2).
Таким образом, для действия, которое развертывается в глубину на равнине, художник находит точные исходные точки для эшелонирования в последовательном порядке в глубину крупных планов композиции: большие культивированные пространства, далекую окраину города и т. д.
Применяя в рисунке закон перспективного уменьшения, рисующий может определять расстояния, на которых расположены по отношению к нему заданные фронтальные плоскости (318; 319).
ПЕРСПЕКТИВА ПЛОСКОСТЕЙ, ИМЕЮЩИХ ЛИНИЮ СХОДА
До сих пор мы оперировали горизонтальными плоскостями, расположенными под прямым углом к картине: предметной плоскостью и горизонтальной зрительной плоскостью (пересечение которой с картиной дает линию горизонта). Поэтому, чтобы облегчить понимание приводимых ниже объяснений, относящихся к плоскостям, имеющим линию схода, эти объяснения сопровождаются примерами на перпендикулярные к картине горизонтальные плоскости.
524.	— Линии схода. Перспектива любой непараллельной к картине прямой пространства имеет в картинной плоскости свою точку схода. То же самое можно сказать и о перспективе любой непараллельной картине плоскости пространства: она имеет на картине свою линию схода.
Подобно точке схода перспективы непараллельной к картине прямой, положение которой определяется пересечением картинной плоскости лучом, идущим из глаза рисующего параллельно этой прямой, линия схода непараллельной к картине плоскости определяется пересечением картинной плоскости лучевой плоскостью, идущей от глаз рисующего параллельно заданной плоскости.
Следовательно, оперируя перпендикулярными к картине горизонтальными плоскостями, мы найдем их линию схода на линии пересечения hh' с картиной, параллельной этим плоскостям, перпендикулярной к ней горизонтальной зрительной плоскости. В этой линии сходятся перспективы всех перпендикулярных к картине горизонтальных плоскостей пространства, расположенных в поле ясного зрения рисующего, т. е. перспектива предметной плоскости, перспективы горизонтальных поверхностей любого объекта в пространстве, например потолка и пола комнаты и т. д.
Очевидно, что на линии схода любой плоскости расположены точки схода всех прямых, параллельных этой плоскости, т. е. лежащих в любой параллельной ей плоскости, так же как все горизонтальные прямые общего положения, каков бы ни был угол наклона к нейтральной плоскости, будут иметь точки схода на линии горизонта, являющейся линией схода для всех горизонтальных плоскостей, в которых проходят такие прямые.
500
525.	— Каково бы ни было положение в пространстве какой-нибудь плоскости, параллельная ей, образующая произвольный угол с картиной зрительная плоскость схода, с помощью которой находят линию схода заданной плоскости, всегда видится рисующим в полном ракурсе. Но для того чтобы легче следить за положением проходящих в этой плоскости лучей зрения, каждую непараллельную картине зрительную плоскость схода, так же как главную горизонтальную плоскость, можно повернуть вокруг ее линии схода до совмещения с картиной.
В любой зрительной плоскости схода особый интерес представляет собой луч, перпендикулярный к линии схода этой плоскости, а также лучи, образующие с этой линией угол в 45°. Эти лучи играют в данном случае ту же, уже известную нам роль, что и в главной горизонтальной зрительной плоскости. С помощью луча, перпендикулярного к линии схода, определяют на линии схода этой плоскости точку схода, соответствующую главной точке, к которой направляются все прямые, параллельные заданной плоскости и перпендикулярные в пространстве к линии схода. С помощью лучей, образующих с линией схода угол в 45°, находят на линии схода точки, соответствующие нормальным и дробным точкам отдаления, которыми пользуются для измерения идущих в глубину пространства прямых, перпендикулярных к линии схода.
Вспомнив все, что мы знаем об этих лучах, об этих точках и о способе их определения и пользования ими в перпендикулярных к картине горизонтальных плоскостях, мы можем легко проследить способ их определения и пользования ими и во всех непараллельных картине плоскостях.
Перспектива перпендикулярных к картине плоскостей
526.	— Мы уже ознакомились с этой категорией плоскостей. Перпендикулярные к картине горизонтальные плоскости — это плоскости, в которых все заключенные в них прямые горизонтальны в пространстве. Перпендикулярные к картине вертикальные и наклонные плоскости — это вертикальные и наклонные плоскости, в которых все заключенные в них горизонтальные прямые перпендикулярны к картине и сходятся в главной точке Р.
С геометрической точки зрения между этими тремя видами плоскостей нет никакой разницы. Любое перспективное построение в перпендикулярной к картине горизонтальной плоскости, которое мы освоили или хотим освоить, можно производить (без каких-либо изменений в методе исполнения) также и в перпендикулярных к картине вертикальных и наклонных плоскостях.
527.	— Линия схода перпендикулярных к картине плоскостей (584; 585). Мы знаем, что линия схода перпендикулярных к картине горизонтальных плоскостей — это линия горизонта, потому что главная горизонтальная зрительная плоскость параллельна горизонтальным плоскостям в пространстве, и линия ее пересечения с картиной образует линию схода этих плоскостей.
501
Равным образом главная вертикальная зрительная плоскость — это плоскость, которая, пересекаясь с картиной, образует на вертикали VV" линию схода перпендикулярных к картине вертикальных плоскостей, которым она параллельна.
Продолжая идти этим путем, мы увидим, что линию схода перпендикулярных к картине плоскостей мы находим на пересечении с картиной перпендикулярной к ней зрительной плоскости (т. е. плоскости, проходящей через главную точку Р), но образующую с главной горизонтальной зрительной плоскостью угол, равный углу, образуемому в пространстве перпендикулярными к картине наклоннььми плоскостями с горизонтальными плоскостями. Таким образом, линия схода перпендикулярных к картине наклонных плоскостей — это линия II', которая проходит через главную точку Р и имеет тот же наклон, что и соответствующие ей плоскости в пространстве.
528.	— Перспективные изображения параллельных картине прямых в пространстве, заключенных в перпендикулярных к картине плоскостях, геометрически параллельны линиям схода этих плоскостей; они являются горизонтальными прямыми в перпендикулярных к картине горизонтальных плоскостях, вертикальными—в перпендикулярных к картине вертикальных плоскостях и наклонными прямыми — в перпендикулярных к картине наклонных плоскостях.
529.	— Дробными точками отдаления D/4 пользуются на картине как при перпендикулярных к картине горизонтальных плоскостях, так и при перпендикулярных вертикальных и наклонных плоскостях. Эти точки располагают на линии схода соответствующей плоскости на том же расстоянии от главной точки, на каком они находятся от этой точки на линии горизонта (рис. 584).
530.	— Дробные точки зрения 0/4, как видно на рисунке 585, располагаются так же, как и при перпендикулярных к картине горизонтальных плоскостях, вдоль прямой, повернутой перпендикулярно к линии схода соответствующей плоскости на расстоянии от главной точки, равном расстоянию между этой точкой и точкой отдаления.
502
531.	— Перспективным масштабом картины пользуются во фронтальной плоскости параллельной картине прямой, которую мы хотим измерить, независимо от того, в какой бы перпендикулярной к картине плоскости она ни находилась — в горизонтальной, вертикальной или наклонной.
Так, например, на рисунке 586 отрезок длиной в 1,30 .и фронтальной стороны АВ квадрата был измерен, как для перпендикулярных к картине вертикальной и наклонной плоскостей, в перспективном масштабе единицей измерения L фронтальной плоскости (горизонтальной, вертикальной или наклонной), в которой заключена эта сторона. На рисунке также видно, как с помощью дробных точек отдаления соответствующих плоскостей были построены квадраты с двумя фронтальными сторонами — один в перпендикулярной к картине горизонтальной плоскости (с помощью точки D'/4 на линии горизонта ЛА'), второй в перпендикулярной к картине вертикальной плоскости (с помощью точки D[4 на вертикали W) и третий в перпендикулярной к картине наклонной плоскости (с помощью точки D'[4 на наклонной линии II').
Перспективы прямых, перпендикулярных в пространстве к какой-нибудь перпендикулярной к картине (горизонтальной, вертикальной или наклонной) плоскости, образуют с перспективами заключенных в этих плоскостях параллельных картине прямых или с линиями схода этих плоскостей прямой неискаженный угол. Перспективу ребра боковых сторон прямоугольных предметов с основанием на перпендикулярной к картине плоскости (горизонтальной, вертикальной или наклонной) строить легко: они вертикальны в прямоугольных предметах, расположенных на перпендикулярной к картине горизонтальной плоскости, горизонтальны на вертикальной плоскости и перпендикулярны к линии схода II' наклонной плоскости в прямоугольных предметах, расположенных на этой наклонной плоскости (рис. 587).
532.	— В качестве примера, как без каких-либо измерений можно произвести в перпендикулярных к картине наклонных плоскостях все построения, которые мы умеем
503
прозводить в перпендикулярных к картине горизонтальных и вертикальных плоскостях, на рисунке 588 показана перспектива ряда глухих арок на перпендикулярной к картине вертикальной и на перпендикулярной к картине наклонной подпорной стенах, а на рисунке 589 построение перспективной сетки из фронтальных квадратов в перпендикулярной к картине горизонтальной, вертикальной и наклонной плоскостях.
На картине (рис. 588) с заданными перспективными элементами пусть линия 1Г будет линией схода перпендикулярной к картине наклонной плоскости. Эта линия образует с линией горизонта тот же угол и, который образует в пространстве заданная плоскость с предметной плоскостью.
На параллельной картине прямой af, заключенной в заданной наклонной плоскости (и, следовательно, геометрически параллельной линии схода //'), отложим отрезок bf, равный 3,00 м, т. е. высоте арки, измеренной в перспективном масштабе картины во фронтальной плоскости точки L, и на нем отрезок ef, равный 0,80 м— радиус аркатуры. Прямая fP — это горизонтальная касательная к полуокружностям арок, а прямая еР — это горизонталь, которая проходит через исходные точки полуокружностей. Зададимся построением на этой горизонтали в глубь картины ряда глухих арок шириной каждая в 1,60 м (два радиуса) и их пилястров шириной каждый в 0,80 м.
Ввиду того, что мы пользуемся дробной точкой отдаления, отложим отрезки ес и cd—первый, равный 0,40 м (1,60:4), второй, равный 0,20 м (0,80:4), и проведем линии cP и dP.
Рис. 588 (217; 532)
504
Рис. 589 (532; 533)
Проведя прямую eD'/4, мы найдем на ее пересечении с прямой еР точку el. Отрезок eel, будучи в четыре раза длиннее отрезка ес, равного 0,40 м, равен искомому диаметру, т. е. 1,60 и. Проведем через точку el наклонную, параллельную картине прямую hg. Этим мы впишем первую арку аркатуры в прямоугольник eelfl.
Проведем вторую прямую dD'/4. Мы получим на ее пересечении с прямой еР точку е2. Отрезок е!е2 равен 0,80 м (0,20 X 4 = 0,80), т. е. ширине пилястра между первой и второй аркой. Проведем параллельную к картине наклонную прямую st и через точку ее пересечения cl с горизонталью cP прямую clD'j4. Мы получим в точке еЗ ширину второй арки.
Повторяя эту операцию, мы определим на подпорной стене положение нужного числа арок.
505
Для построения завершающей арку кривой достаточно трех точек е, el, г и соответствующих касательных. На рисунке 588 показано, как можно получить точки о и п (и соответствующие касательные tn и to) на диагоналях gf и gl квадратов, в которые вписывается эта кривая.
Толщина bb' пилястров, измеренная в перспективном масштабе единицей измерения плоскости L, равна 0,20 м.
В левой части рисунка 588 построены того же размера глухие арочные проемы на перпендикулярной к картине вертикальной плоскости. Чтобы легче следить за процессом построения, их чертеж помечен теми же буквами, что и чертеж ложных арочных проемов на наклонной плоскости.
533.	— На рисунке 589 однометровая ширина сторон фронтальных квадратов перспективной сетки измерена в перспективном масштабе в плоскости точки L для сетки на перпендикулярных к картине горизонтальной и вертикальной плоскостях и в плоскости точки N для сетки на перпендикулярной к картине наклонной плоскости. На рисунке показано, как с помощью дробных точек отдаления D/4 и D'/4 на соответствующих линиях схода строить сперва прямоугольники глубиной в 4 м, а затем квадраты в 1 м, проводя последовательно диагонали в квадратах со сторонами в 4 .м (например, диагональ AD квадрата ABCD).
В перпендикулярных к картине — горизонтальной и вертикальной — плоскостях прямоугольники глубиной в 4 м строились в направлении линии горизонта, а в перпендикулярной к картине наклонной плоскости эти прямоугольники строились в направлении рисующего.
Эти примеры подтверждают высказанное выше положение, что любое перспективное построение в перпендикулярных к картине вертикальных и наклонных плоскостях можно производить тем же способом, что и в горизонтальных плоскостях.
ПЕРСПЕКТИВА ВОСХОДЯЩИХ И НИСХОДЯЩИХ ФРОНТАЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
534.	— Предположим, что рисующий стоит посередине лестничной площадки, установив картину К параллельно ступеням лестницы (рис. 590). В этом случае наклонная плоскость А, на которой расположены идущие вверх ступени, образует по отношению к горизонтальной площадке восходящую фронтальную плоскость, а наклонная плоскость D поверх идущих вниз ступеней — нисходящую фронтальную плоскость.
Характерным для этих плоскостей является то, что заключенные в них параллельные картине прямые (ребра ab ступеней) горизонтальны. Их перспективы на картине могут быть только горизонталями.
Фронтальные восходящие и нисходящие плоскости могут иметь самый разнообразный наклон, измеряемый углом и или и', который они образуют с предметной плоскостью.
Если на картине с заданными перспективными элементами нам дан или мы знаем угол, образуемый в пространстве с предметной плоскостью, какой-либо фронтальной восходящей или нисходящей плоскостью, мы можем легко найти, как будет показано
506
ниже, их линию схода. А чтобы построить перспективу плоских фигур, заключенных в этих плоскостях, или перспективу расположенных на них своим основанием предметов, мы можем найти проекцию точки зрения на линию схода наклонной плоскости, расстояние между глазом рисующего и этой проекций и точку схода перпендикулярных к этим плоскостям прямых, т. е. ребер боковых сторон прямоугольных предметов с основанием на этих плоскостях.
Ввиду того что в большинстве случаев в зависимости от большего или меньшего наклона этих плоскостей их линия схода и другие перспективные элементы недоступны, то для решения таких задач понадобится знание практических методов построения соответствующих перспективных сеток (540—544).
Перспективные элементы восходящих и нисходящих фронтальных плоскостей
В пространстве
535.	— На рисунке 590 проходящая через глаз О рисующего плоскость зрения Av параллельна фронтальной' восходящей плоскости А в пространстве. Эта плоскость образует с главной горизонтальной плоскостью зрения Н тот же угол и, что и плоскость А с предметной плоскостью. Пересечение оо' этой наклонной плоскости зрения с картинной плоскостью образует линию схода перспективы восходящей плоскости А и всех фронтальных восходящих плоскостей, параллельных в пространстве этой плоскости и образующих тот же угол с предметной плоскостью. Такая линия схода горизонтальна и находится выше линии горизонта hh’ на расстоянии, зависящем от величины наклона восходящей плоскости А.
507
Равным образом пересечение оlo'l наклонной плоскости зрения Dv, образующей с главной горизонтальной плоскостью зрения угол и, равный углу, образуемому нисходящей фронтальной плоскостью D с предметной плоскостью, является линией схода перспективы всех нисходящих фронтальных плоскостей, параллельных в пространстве заданной плоскости и образующих с предметной плоскостью тот же угол.
На этих линиях схода расположены точки схода всех прямых, заключенных в соответствующих восходящих и нисходящих фронтальных плоскостях.
На том же рисунке видно, что луч зрения, перпендикулярный к линиям схода оо' и olo' 1, пересекает их в точках R и R1, которые находятся на той же вертикали, что и главная точка Р.
Точка R (или R1) является точкой схода перспективных изображений всех заключенных в этой плоскости прямых, параллельных лучу зрения OR (или OR1) и перпендикулярных в пространстве к параллельным картине прямым соответствующих плоскостей. Эти перпендикулярные прямые представляют собой прямые наибольшего ската, определяющие величину угла наклона данной плоскости.
На том же рисунке видно, что расстояние между глазом О рисующего и точками R и R1 больше главного расстояния. Это расстояние определяется гипотенузой OR или ORI прямоугольного треугольника OPR (или OPR1), в котором катет ОР является главным расстоянием, а второй катет PR (или PR1) — расстоянием между линией горизонта и линией схода этой плоскости. Это расстояние (рис. 591), нормальное или уменьшенное в четыре раза, можно отложить на линии схода оо'.или olo' 1 в виде отрезков RM или R1M/4. Точка М— это точка схода перспективы прямых восходящих и нисходящих плоскостей, образующих угол в 45° с прямыми наибольшего ската, и, следовательно, служит точкой измерения при измерении этих прямых.
536.	— Точка схода прямых, перпендикулярных к восходящим и нисходящим фронтальным плоскостям. Рассмотрим на рисунках 592 (внизу) и 593 (вверху) ребра боковых сторон (например, ребро ab) прямоугольных предметов с основанием на фронтальных восходящих и нисходящих плоскостях. Эти ребра, перпендикулярные к фронтальным восходящим и нисходящим плоскостям, заключены в перпендикулярные к картине вертикальные плоскости, но наклонны по отношению к картине. Их перспективы имеют точку схода на линии схода перпендикулярных к картине вертикальных плоскостей, т. е. на вертикали ИИ', на расстоянии от главной точки, величина которого зависит от величины угла наклона прямых пространства.
По этим рисункам видно, что если луч зрения О Fa (рис. 593, вверху) проходит в нисходящей фронтальной плоскости (или луч OFt проходит в восходящей фронтальной плоскости, рис. 592, внизу), то, будучи параллельным ребру ab, он образует с лучом зрения OR1 (или OR) прямой угол. Эти лучи определяют положение воздушной точки схода Fa и земной точки схода Ft, к которым направляются перспективы ребер боковых граней прямоугольных предметов с основанием в восходящих фронтальных плоскостях (Ft) или нисходящих (Fa), т. е. перспективы перпендикулярных к этим плоскостям прямых.
508
537.—Точки измерения прямых, перпендикулярных к восходящим и нисходящим фронтальным плоскостям. Для измерения длины прямых, перпендикулярных к восходящим и нисходящим фронтальным плоскостям, положение их точек измерения определяют с помощью дуги окружности или полоски бумаги (225), отложив на продолженной прямой FaP отрезок FaMa, равный FaO (рис. 593), или на FtP отрезок FtMt, равный FtO (рис. 592).
Перенесем на картину все эти рассмотренные нами пространственные элементы и попытаемся, не выходя, поскольку возможно, за пределы картины, применить их в тех случаях, когда наклон фронтальной восходящей или нисходящей плоскости не слишком велик. При слишком сильном наклоне такие задачи решают методом малой картины или построением перспективной сетки (540; 543).
Теоретически в картинной плоскости
538.	— В картинной плоскости. Теоретическое определение перспективных элементов
Рис. 592 (536; 537; 538; 539; 540; 541; 553; 561)
восходящих и нисходящих фронтальных плоскостей. На картине (рис. 592 и 593) с известными перспективными элементами надо найти элементы, необходимые для построения прямоугольных предметов, основания которых расположены во фронтальной наклонной (восходящей или нисходящей) плоскости, образующей заданный угол и с предметной плоскостью.
Проведем из точки отдаления D два луча схода: первый под заданным углом и к линии горизонта, второй под углом 90° к первому. Первый луч определяет на
509
Рис. 593 (536; 537; 538; 539; 540; 541; 553; 561)
Отложенный из точки Fa (или Ft) циркулем или
вертикали W положение точки R, через которую проходит линия схода оо' наклонной фронтальной плоскости и которая в то же время является точкой схода перспектив заключенных в этой плоскости (535) линий наибольшего ската. Второй луч определяет на противоположном конце линии горизонта положение точек Fa или Ft, которые являются точками схода прямых, перпендикулярных к заданной наклонной плоскости, т. е. ребер боковых граней прямоугольных предметов с основанием, расположенным в этой плоскости (536).
Отложим дугой окружности или полоской бумаги из точки R на линии схода оо' наклонной плоскости отрезок RM, равный гипотенузе RD (т. е. расстояние между точкой R и глазом рисующего). Мы нашли точку схода М перспектив прямых, которые, образуя в пространстве угол 45° с прямыми, параллельными картине, и линиями наибольшего ската, заключенными в данной плоскости, будут служить для измерения расстояний в глубину (118; 163).
полоской бумаги на вертикали
VV" отрезок FaD (или FtD) определяет положение точки измерения Ма (или Mt), с по
мощью которой измеряются прямые, идущие в точку схода Fa (или Ft) (225).
Точки D, М, Fa и Ft недоступны. Мы можем ими пользоваться только теорети
чески. В практике мы будем пользоваться дробными точками, поступая согласно данным ниже указаниям.
510
Построения во фронтальных восходящих и нисходящих плоскостях одинаковы. Последующие объяснения относятся в равной мере и к одним, и к другим видам плоскостей, обобщенных нами под названием наклонных. За объяснениями можно следить по обоим положенным рядом рисункам: по первому — с восходящей плоскостью и и по второму — с нисходящей.
На практике. П ерспективные сетки
539.	— Проведем из дробной точки отдаления D')4 (рис. 592; 593) два луча схода с тем же наклоном, что и лучи, проведенные из нормальной точки отдаления: первый под заданным углом и к линии горизонта, а второй под углом в 90° к первому. Мы получим с помощью этих лучей точку R/4 и точку Fa/4 (или Ft/4).
Точка R/4 в четыре раза ближе к главной точке Р, чем искомая точка. Отложив на вертикали W отрезок, равный четырем отрезкам PR/4, мы найдем с помощью точки уменьшенного отдаления точку R, через которую проходит линия схода оо’ заданной плоскости.
Отложим из точки R на линии схода оо' заданной наклонной плоскости отрезок £>/# R/4 (равный четверти расстояния DR между глазом рисующего и линией схода этой
Рис. 594 (424, с; 540; 541; 542; 543)	Рис. 595 (332; 540; 542; 543)
511
плоскости). Мы найдем дробную точку деления М/4. С помощью этой точки мы будем измерять расстояния в глубину на заданной плоскости.
Точка Fa/4 (или Ft/4) расположена в четыре раза ближе к главной точке, чем точка схода Fa (или Ft) перспективы ребер боковых граней прямоугольных предметов, имеющих основание в заданной наклонной плоскости, т. е. перпендикулярных к такой плоскости.
Отложим из точки Fa/4 (или Ft/4) с помощью дуги окружности или полоски бумаги на вертикали ИИ' длину отрезка Fa/4 D'/4 (или Ft/4 D'/4). Мы получим дробную точку измерения Ма/4(илн Mt/4). Отложим теперь на той же вертикали ИИ' длину четырех отрезков РМа/4 (или PMt/4). Мы найдем нормальную точку измерения Ма (или Mt), с помощью которой будем измерять перспективы прямых, идущих в недоступную точку схода Fa (или Ft).
540.	— Перспективная сетка для перспективы прямых, перпендикулярных к восходящим и нисходящим фронтальным плоскостям. Для построения перспективы этих прямых пользуются перспективной сеткой (рис. 592—594). Проведем через точку D'/4 вертикаль D'/4d и через точку Fa/4 (или Ft/4) горизонталь Fa/4d (или Ft/4d). Разделим прямую Fa/4d (или Fr/4d) на четыре равные части. Прямая D'/4s, проведенная через конец последней четверти, будет перспективой прямой, идущей в недоступную точку схода Fa (или Ft).	’
Построим с помощью прямой D'/4s', продолженной до точки Ь, на верхнем краю картины перспективную сетку (рис. 595). Разделим на равное число частей, например на четыре, горизонтальные отрезки bV и s'V". Возьмем на верхнем краю картины отрезок bb’, а на нижнем его краю — отрезок s' s'l. Соединим точки деления на верхнем краю картины с точками деления на нижнем краю. Мы получим искомую перспективную сетку. Построенные по краю этой сетки или на другом листе бумаги (332) делительные масштабы помогают точному построению перспективы любой прямой (например, прямой, которая проходит через точку А), направляющейся в недоступную точку схода Ft.
541.	— Точка измерения прямых, перпендикулярных к восходящим и нисходящим фронтальным плоскостям. На рисунках 592—594 дробная точка схода Fa/4 (или Ft/4) не умещается в пределах картины. И все же мы можем найти положение точки деления в пределах картины (424, в). Проведем через самую отдаленную точку Fa (ynnFt) на прямой D'l4Fa/4(yuui D'/4Ft/4) вертикаль, на которой отложим отрезок Еата/4(илн Ftmt/4), равный РаВ'/4(пли FtD'l4). Продолженная прямая D'/4ma/4(yinn D'/4mt/4) определяет на вертикали ИИ' положение дробной точки деления Л/а/4(или Mt/4). Отложив на этой вертикали четыре отрезка РМа/4(ули PMt/4), мы получим нормальную точку деления Л/а(или Mt). Также мы поступали и для определения положения точек измерения на рисунках 603; 604; 611; 615; 616; 617; 618; 619; 620 а.
542.	— Мы можем строить перспективную сетку для перспективы прямых, идущих в недоступную точку Гд(или Ft) и в тех случаях, когда дробные точки схода Fa/4 или Ft/4 недоступны (рис. 594; 595). Проведем через точку D'/4 вертикаль D'/4d' до края картины. Разделим отрезок /<7г/'(или Ftd') на четыре равные части. Прямая D'/4s', проходящая через конец последней четверти, представляет собой перспективу
512
прямой, идущей в недоступную точку схода Fa (или Ft). Как указывалось выше, перспективная сетка строится на прямой s'D'14, продолженной до точки b на противоположном краю картины.
543.	— Перспективная сетка и точки измерения линий наибольшего ската в восходящих и нисходящих фронтальных плоскостях. В тех случаях, когда угол наклона плоскости слишком велик и точка R недоступна, мы не можем определить на линии схода этой плоскости точки М/4. В этом случае строится перспективная сетка для линий наибольшего ската плоскости и находят точку измерения этих линий. С помощью этих элементов мы можем, если понадобится, построить на наклонной плоскости перспективную сетку из фронтальных квадратов (рис. 596).
Проведем через точку D'I4 вертикаль D’l4dl, а через точку R/4 горизонталь Rl4dl (рис. 594; 596). Разделим эту горизонталь на четыре равные части. Прямая D’/4n, проходящая через конец третьего отрезка, является перспективой наклонной прямой, идущей в недоступную точку схода R. Продолженная от а до точки Ь, она служит для построения перспективной сетки тем же методом, который применялся при построе-. нии перспективной сетки для прямых, идущих в точку схода Fa (или Ft) (рис. 595).
Рис. 596 (543; 544)
513
Точку измерения (нормальную или дробную) перспективных изображений этих прямых находят, отложив на вертикали VV" из точки R/4 отрезок, равный отрезку Rl4D'/4 для дробной точки т/4, или отрезок, равный R/4o (т. е. половине R/4D'I4) для дробной точки измерения тг/2 половинных расстояний до главной точки Р. Взяв 4 раза отрезок Ртг/4, мы могли бы определить нормальную точку измерения, которая в наш.м рисунке недэступна. Отложив четыре длины отрезка Ртг/2, мы получим точку измерения Мг/2 для половинных расстояний. С помощью этой точки мы будем измерять перспективу линий наибольшего ската в заданной наклонной плоскости.
Измерим, например (рис. 594), прямую АВ, конец которой Л проектируется на предметную плоскость в точке а’. Проведем через точку А вертикаль. Продолжив прямую Мг/2В, мы получим на этой вертикали отрезок АС, равный половине длины прямой АВ, т. е. 2,50 .и, измеренный в перспективном масштабе единицей L, откуда выводим, что прямая АВ равна 5 м.
К этому же выводу мы приходим, пользуясь точкой М/4, находящейся вне пределов картины. Прямая Л//4 при ее продолжении отсекает на горизонтали, проведенной через точку А, отрезок АЕ (в четыре раза короче заданной прямой), равный в перспективном масштабе при измерении его единицей L 1,25 м, т. е. в четыре раза короче (5 : 4) этой прямой.
544.	— Перспективная сетка из фронтальных квадратов в восходящих плоскостях. Для построения перспективной сетки из фронтальных квадратов в заданной наклонной плоскости поступают так (рис. 596).
Пусть линия ab будет линией наибольшего ската в данной наклонной плоскости, а точка Мг/2 — дробной точкой измерения. Оба эти элемента найдены, согласно данным выше указаниям, на картине с заданными перспективными элементами. Линия KJ—это след данной наклонной плоскости на предметной плоскости. На этом следе длина одного метра откладывается в перспективном масштабе единицей измерения L. Возьмем этот отрезок и отложим его вправо и влево от точки Г па всем протяжении следа KJ.
Чтобы найти длину метра на более удаленной параллельной картине прямой наклонной плоскости, сливающейся с верхним краем картины, проведем перпендикулярную к картине прямую cP и спроектируем вертикалью ае точку а на предметную плоскость. Искомый размер метра мы найдем на перспективном масштабе в плоскости точки N. Возьмем этот отрезок длиной в 1 м и отложим его вправо и влево от точки V' на проходящей через эту точку параллельной картине прямой. Соединив концы отрезков на этой прямой с соответствующими им точками на следе KJ, мы получим наклонные полосы шириной в 1 .и. В случаях пользования дробной точкой измерения Мг/2 отложим на вертикали точки Т, измеренные в плоскости точки L, отрезки, равные половине метра, и соединим их концы с точкой Мг/2..Мы получим на перспективе прямой наибольшего ската ТС идущие в глубь пространства отрезки в один метр. Проведем через их концы параллельные картине прямые. Мы получим на заданной наклонной плоскости перспективную сетку из фронтальных квадратов.
514
С помощью этих перспективных сеток можно решать, как это видно из рисунков 603—605 (553), задачи на фронтальные восходящие и нисходящие плоскости. Однако на практике предметы на этих плоскостях можно строить, как будет показано ниже, пользуясь делительными масштабами (600, 601 — рис. 657, 658; 604—рис. 666, 667).
Примеры восходящих и
нисходящих плоскостей
Шоссе с подъемами и спусками
545.	— В обратной перспективе. Художник нарисовал с натуры, по памяти или вообразил шоссе, края которого ограничены вертикальными, перпендикулярными к картине плоскостями. Это шоссе из-за неровностей местности то поднимается, то опускается. Ему надо проверить, соответствуют ли нарисованные на картине отлогости нормальным отлогостям.
Определим известными нам методами положение на картине линии горизонта А/г'(рис. 597), дробных точек D/4 и D'/4 и линии W, на которой должны быть размещены точки схода Р, R, Rl, R2 и т. д. перспективы сторон шоссе.
Для нахождения углов, образуемых шоссе с предметной плоскостью на участках, на которых оно образует восходящие и нисходящие плоскости относительно рисующего, произведем следующие построения.
Рис. 597 (159; 545; 546; 547)
515
Часть АВ линии, ограничивающей шоссе, нисходящая: она идет в точку схода R1. Разделим отрезок R1P на четыре равные части и проведем через конец rl наиболее близкой к точке Р четверти прямую в точку D'[4. Угол V, образуемый прямой D'/4rJ с линией горизонта, — это искомый угол. Прочитав величину этого угла на транспортире, мы увидим, не превышает ли он нормальный скат этого участка шоссе.
Участок шоссе DE—восходящий: определяющая его прямая DE имеет точку схода R3. Линия D/4r3 (точка гЗ — это конец отрезка РгЗ, равного четверти PR3) образует с линией горизонта угол и'.
Таким же образом был определен скат местности на рисунках 303 и 304.
Участок CD горизонтален: заключенные в нем перпендикулярные к картине прямые идут в точку схода Р.
Если мы нашли, что отлогости преувеличены, построим в точке D[4 нужный угол и, производя обратные операции, найдем нормальную точку схода, отложив на вертикали VV" из главной точки четыре отрезка, отсекаемого на этой вертикали стороной построенного нами угла.
Для проверки высоты человеческих фигур и повозок на шоссе пользуются перспективным масштабом картины или строят масштаб высоты.
546.	— Перспективный масштаб. Предположим, что ширина шоссе равна 6 лг; мы найдем единицу измерения, разделив след фронтальной плоскости, совпадающий с нижним краем картины (рис. 597), на шесть равных частей. Отложим полученный отрезок горизонтально на продолженном следе от точки его пересечения с вертикальным краем картины и, соединив найденную точку О с точкой h' на линии горизонта, мы получим перспективный масштаб картины для измерения прямых, заключенных в предметной плоскости.
Исходя из этого масштаба, мы легко найдем перспективные масштабы фронтальных— восходящих и нисходящих — плоскостей:
проведя из точки А (на горизонтали точки А) прямую в точку R1 (на линии схода соответствующей фронтальной нисходящей плоскости), мы получим перспективный масштаб нисходящего участка АВ шоссе;
проведя из точки В (на горизонтали точки В) прямую в точку R (на линии схода соответствующей фронтальной нисходящей плоскости), мы получим перспективный масштаб для нисходящего участка ВС шоссе и т. д. на всех участках до конца шоссе.
Таким же образом был построен перспективный масштаб на рисунках 303 и 304 для измерения единицами измерения п, t, s высоты человеческих фигур на местности, идущей под уклон.
547.	— Масштаб высоты. Отложим отрезок размером в 1 м на вертикали из точки А до точки а (рис. 597). Дальше будем поступать, как при построении на краю шоссе балюстрады высотой в 1 м. Проведем из точки А, В, С и т. д. вертикали неустановленной длины.
Соединим точку а прямой с главной точкой и продолжим эту прямую в обратном направлении до ее пересечения в точке п с вертикальным краем картины. Мы
516
получим масштаб высоты па в 1 ,и для предметной плоскости или для участка шоссе, расположенного ближе к рисующему.
Соединим точку а с точкой R1 (на линии схода данной нисходяшей плоскости); мы получили масштаб высоты ab в 1 м для нисходящего участка АВ шоссе.
Проведем из точки b в точку R (на линии схода соответствующей нисходящей плоскости) прямую. Отрезок Ьс является единицей измерения в 1 м масштаба высоты для нисходящего участка Ьс шоссе. Такие же операции продолжаются на всех участках до конца шоссе.
Высоту человеческих фигур и повозок проверяют в их фронтальной плоскости по перспективному масштабу или по масштабу высоты. Например, человеческая фигура на фронтальной нисходящей плоскости шоссе была измерена единицей измерения iJ одного из этих масштабов на горизонтали Jj, которая проходит через основание ее ног.
Если для измерения линий наибольшего ската наклонных плоскостей понадобятся дробные точки измерения, то их положение определяется отдельно для каждой плоскости на ее линии схода.
Отложим из точки R до точек М/4 и М'/4 на линии схода соответствующей нисходящей плоскости длину стороны D[4 г угла w; из точки R1 до точек M1J4 и М'114 — длину D/4rl стороны угла V на линии схода соответствующей восходящей плоскости; из точки R2 до точек М2/4 и М'2/4 длину D'/4r2 на линии схода соответствующей плоскости и так далее.
Если мы хотим найти длину отрезка АВ края шоссе, идущего под уклон до точки R1, продолжим прямую М1[4В до прямой АА1. Получим в четыре раза меньший отрезок, который измеряется на перспективном масштабе единицей измерения N. Горизонталь АА1 равна 1,30 л/, и, следовательно, край шоссе АВ равен 5,20 м (1,30x4).
Длина отрезка ВС шоссе, опускающегося в направлении точки R, измеряется прямой Mj4C, продолженной до точки В1. Мы получили отрезок ВВ1 длиной в 1,00 л/ (измеренный точкой измерения U). Прямая ВС в четыре раза длиннее и, следовательно, равна 4 м (1x4).
548.	— В прямой перспективе, если нам даны угол наклона и длина шоссе, задача легко решается, если мы найдем на картине указанным выше способом линию схода фронтальной наклонной плоскости, соответствующие дробные точки измерения и перспективный масштаб этой наклонной плоскости.
Перспектива параллельных картине ступеней
549.	— Горизонтальные ребра параллельных картине ступеней лестницы, идущей вверх и вглубь, образуют восходящую фронтальную плоскость, а лестницы, идущей вниз и вглубь, — нисходящую фронтальную плоскость (рис. 575).
Чтобы построить перспективу ступеней фронтальной лестницы, идущей вверх или вниз, надо знать глубину спупеней и высоту подступеней. Только располагая этими данными, можно вывести или построить угол наклона восходящей или нисходящей фронтальной плоскости, проходящей через горизонтальные ребра ступеней.
Обычно средняя глубина ступеней равна 0,30 м, а высота подступеней 0,15 м. Если подступени другой высоты (их высота обычно варьирует между 0,10 м — для
517
ступеней монументальных парковых лестниц и 0,18 м—для обыкновенных лестниц), то глубину ступеней выводят с помощью простой формулы, вычитая из удвоенной глубины 0,60 м или 0,64 м ступени удовоенную высоту подступени. Так, подступени, равной 0,10 м, соответствует ступень глубиной в 0,40 .и (0,60—0,20), а подступени высотой в 0,18 м— ступень глубиной в 0,24 м (0,60—0,36).
Построив в произвольном масштабе (например, I : 100) при дробной точке отдаления D/4 (рис. 598) одну ступень (например, ступень D/4a, равную 0,30 м) и одну подступень (дЬ, равную 0,15 м), мы получим угол наклонения фронтальной восходящей или нисходящей плоскости (например, угол aD/4b). Продолжим его сторону Dj4b. Мы найдем на вертикали W точку г. Отложив на этой вертикали четыре отрезка Рг, мы
определим положение точки Ra (или Rf), являющейся точкой схода линий наибольшего ската в данной фронтальной восходящей или нисходящей плоскости. Если эта точка недоступна, то, разделив на четыре равные части прямую Ьс, проведя через конец е' последней четверти прямую Dl4e'e, идущую в недоступную точку схода Ra (или Rf), построим с ее помощью, если это нужно, перспективную сетку (543).
Ступени лестницы строят с помощью точки Ra (или Rf) способом, указанным на рисунке 598.
На картине с заданными перспективными элементами отрезки АВ и CD, длина которых, найденная с помощью единицы измерения L, равна для каждого 1,50 .и, образуют ширину идущих вглубь восходящей и нисходящей лестниц.
Отложим на проведенных через В и D вертикалях отрезки 1, 2, 3... 11, равные каждый 0,15 м, т. е. высоте подступенсй, измеренных еди
518
ницей измерения L. На рисунке предположено, что художник находится в доме, где имеется лестница в два марша по 11 ступеней (всего 22 подступени) и одна площадка — в общей сложности 3,30 м между половыми настилами двух этажей.
Построим первую подступень АГВ1 восходящей лестницы и первую подступень D1C1' (скрытую) нисходящей лестницы. Соединим точки В, 1, А, Г с точкой Ra и точки D, 1, С, Г с точкой Rt. Мы получим перспективы восходящей и нисходящей плоскостей, проходящих через верхние и нижние ребра подступеней, которые мы найдем одновременно с соответствующими ступенями, соединив точки 1, 2, 3 ... 11 с главной точкой Р, как это видно на рисунке 598.
550.	— Ступени и подступени нисходящей лестницы не видны рисующему. Но, несмотря на это, для того чтобы построить перспективу человеческих фигур, поднимающихся и опускающихся по этим лестницам и только частично скрытых от рисующего, подступени надо построить так же, как и площадку, до которой они доходят.
Для определения высоты фигур на лестнице можно пользоваться перспективным масштабом предметной плоскости или построить перспективный масштаб наклон! ых плоскостей.
При пользовании масштабом предметной плоскости (рис. 598) надо найти на последней след фронтальной плоскости каждой заданной фигуры. Этот след, если его продолжить до перспективного масштаба предметной плоскости, определит на нем единицу измерения соответствующей фигуры. При этом для нисходящей лестницы пользуются перпендикулярной к картине прямой DP, а для восходящей — прямой ВР.
Для определения высоты фигуры N на пятой ступени восходящей лестницы проведем горизонталь df и вертикаль fg до пересечения их с перпендикулярной к картине прямой ВР. Проведенная через точку g горизонталь — это след фронтальной плоскости фигуры N, высоту которой определяют единицей измерения п на масштабе предметной плоскости.
При определении высоты фигуры Т, стоящей на третьей ступени нисходящей лестницы, надо провести горизонталь ук и вертикаль ко до пересечения ее в точке о с перпендикулярной к картине прямой DP. Проведя из точки о горизонталь, мы найдем на перспективном масштабе искомую единицу измерения /.
Для фигуры S на нижней площадке лестницы проводят горизонталь пи, вертикаль uz и из точки z — на пересечении этой вертикали с перпендикулярной к картине прямой DP — горизонталь zs, определяющую на перспективном масштабе единицу измерения s для этой фигуры.
При построении перспективного масштаба наклонной плоскости (рис. 599) надо соединить точку а перспективного масштаба предметной плоскости на горизонтали, идущей по ребру первой ступени лестницы, прямыми с точками el на горизонталях, проведенных из точек схода Ra и Rt линий наибольшего ската данных наклонных плоскостей. Отрезок ab образует перспективный масштаб восходящей фронтальной плоскости (проходящей через нижние ребра подступеней).
Отрезок ас образует перспективный масштаб нисходящей фронтальной плоскости (проходящей через верхние ребра подступеней).
519

Рис. 599 (159: 550; 552)
Для того чтобы построить перспективный масштаб горизонтальных площадок, проведем прямые в точку h из точек b (на горизонтали, проведенной по ни. жнему ребру В подступени верхней площадки) и с (на горизонтали, идущей через верхнее ребро С подступени нижней площадки). Отрезок be образует перспективный масштаб верхней площадки, а отрезок cd— нижней площадки.
На этих перспективных масштабах единицы измерения находятся на горизонталях, проведенных через нижнее основание фигуры, расположенной на уровне нижнего ребра подступени нисходящей лестницы.
Вообще же для определения высоты фигур можно пользоваться шириной лестницы, если она равна
одному метру, полутора метрам или какому-нибудь числу, кратному метру. Так, на рисунке 598 полутораметровая ширина лестницы позволяет определить высоту стоящей на ней фигуры N.
551.	— При ширине ступеней в 0,30 м и высоте подступеней в 0,15 м наклон нисходящей плоскости, проходящей через ребра ступеней, равен 1 : 2, и, как это видно из рисунка 600, точка схода Rt линий наибольшего ската этой плоскости сливается с точкой О/2 на нижнем краю поля ясного зрения рисующего. Само собой разумеется, что в этом случае, где бы ни находилось на картине ребро АВ первой ступени фронтальной нисходящей лестницы, ее ступени будут скрыты от рисующего. То же самое происходит и в том случае, когда высота подступени больше 0,15 м.
552.	— Только иногда, если подступени фронтальной нисходящей лестницы невысоки, рисующему бывают видны ее ступени. Например, если ступени имеют глубину 0,40 м, а подступени высоту 0,10 м, нисходящая плоскость, проходящая через ребра
520
этих ступеней, будет иметь наклон, равный 1 : 4. В этом случае (как это видно на рисунке 601) точка схода Rt линий наибольшего ската этой плоскости совпадает с точкой (7/4. Если ребро АВ или А1В1 первой ступени такой лестницы расположено на картине ниже точки (7/4, то рисующий увидит ее ступени.
На рисунке 602 показана такая лестница, а у края картины построен перспективный масштаб наклонных плоскостей, с помощью которого была определена высота человеческих фигур на картине.
На рисунке 602 линия схода фронтальной восходящей плоскости недоступна, а на рисунках 598 и 599 недоступна также линия схода фронтальной нисходящей плоскости.
Поэтому ниже будет указано, как можно решать в пределах картины задачи с фронтальными ступенями (589) и с горизонтальными ступенями общего положения (590—595), рассматриваемыми как сложные по форме предметы.
Перспектива предметов с основанием на восходящих и нисходящих фронтальных плоскостях
553.	— На картине, на которой нам даны ее перспективные элементы, точка R — это точка схода линий наибольшего ската в данной восходящей (рис. 603) или нисходящей (604) плоскости, а горизонталь оо — линия схода этой плоскости. Для построения перспективы предмета, основание которого расположено на такой плоскости, нам нужны следующие перспективные элементы:
точка измерения линий наибольшего ската в соответствующей плоскости (539);
точка схода или, если она недоступна, перспективная сетка перпендикулярных к картине прямых, т. е. ребер боковых граней предмета (540);
точка измерения этого направления (541);
перспективный масштаб наклонной плоскости (592; 593).
Разделим на четыре равные части отрезок PR. Прямая Z>'/4 R/4, соединяющая дробную точку отдаления D'/4 с концом наиболее близкой к точке Р четверти отрезка PR, дает
521
Рис. 602 (159; 552)
угол и, образуемый фронтальной восходящей или нисходящей плоскостью с предметной плоскостью (операция из области обратной перспективы). Прямая D'/4R/4 равна четверти расстояния между точкой зрения рисующего и точкой R. Отложим из точки R циркулем или полоской бумаги это расстояние на линии схода фронтальной наклонной плоскости. Мы получим точку М/4. С помощью этой дробной точки измерения измеряют расстояния на наклонной плоскости в направлении линии горизонта.
Проведем из точки D'/4 перпендикуляр D'/4f к прямой D'l4R/4 и вертикаль D'/4g. Разделим отрезок fg на четыре равные части и проведем из конца i четверти, прилегающей к точке g, прямую iD’/4i', определяющую, если ее продолжить, положение недоступной точки схода перпендикуляра к наклонной плоскости, т. е. перспективы ребер боковых граней предмета, установленного на наклонной плоскости. Разделив на четыре равных отрезка /'К' и iV, мы получим перспективную сетку прямых, идущих в недоступную
522
Рис. 603 (1, в; 159; 412; 413; 541; 544; 553; 559; 604)
точку схода. Положение точки измерения Ма или Mt этих прямых определяют способом, указанным в параграфе 541.
Продолжим горизонталь АВ (ребро, образуемое пересечением наклонной плоскости с предметной) до точки b на перспективной сетке. Соединим точку о с точкой b и продолжим прямую ob до точки с. Отрезок Ьс образует перспективный масштаб наклонной плоскости.
Если мы располагаем этими перспективными элементами, то построение перспективы предметов, расположенных на наклонной плоскости, производится так же легко, как и построение перспективы предметов на предметной плоскости.
На рисунках 603; 604; 605 показано построение квадратного основания предмета в угловом положении приемом вписывания его во фронтальный квадрат (412; 413) и измерение заданной высоты (0,60 .и или 0,40 м) ребер боковых граней предмета на перспективном масштабе фронтальной наклонной плоскости единицей измерения L и точкой измерения Mt (или Ма). Направление этих ребер было определено с помощью перспективной сетки, а размеры этих ребер с помощью масштаба высоты, образуемого прямыми CR и DR.
Перспектива крыш фронтальных зданий
554.	— Величина угла ската крыши зависит от материала покрытия: для листового железа нужен небольшой скат (8—18°), полукруглая черепица нуждается в более крутом
523
Рис. 604 (1, в; 159; 412; 413; 544; 553; 559; 604)
скате (16—23°), плоская черепица и дранка — в еще более крутом скате (первая — 29—45°, вторая — 35—45°).
Построив у дробной точки отдаления D/4 (или D'/4) (рис. 605 и 607) угол и, обусловленный кровельным материалом, мы определим на вертикали W положение точки R/4, а отложив на той же вертикали четыре отрезка PR/4, найдем точку схода R линий наибольшего ската в соответствующих плоскостях. Отложим отрезок PR на вертикали W и ниже линии горизонта, если точка R умещается в рамках картины (рис. 606).
555.	— Если точка R недоступна (рис. 608; 609), проведем из точки R/4 горизонталь R/4d и из точки D'/4 вертикаль D'[4d. Разделим горизонталь R/4d на четыре равные части и проведем через конец прилегающего к точке d отрезка прямую D'/4f, которая, если ее продолжить, достигнет недоступной точки схода R. Разделив на такое же число равных частей отрезки fV' nD'l4P, мы сможем построить перспективную сетку этой недоступной точки схода. Построим эту сетку симметрично под линией горизонта, отмечая на нижнем краю картины деления, равные делениям на горизонтали, проведенной через точку Ь', отстоящую от точки h' на расстоянии, равном отрезку h'b (рис. 608).
556.	— а) На рисунке 606 показано, как строится односкатная крыша (а — в направлении рисующего и Ь — в противоположном от него направлении) и двускатная (с), когда
524
Рис. 605 (1, в; 159; 412; 413; 544; 553; 604)
обе точки R доступны. Когда доступна только точка R над линией горизонта (рис. 607), конек двускатной крыши определяет положение точки А на пересечении прямой BR с делящей на две равные части сторону BCDE строения вертикалью, которую проводят через точку N на пересечении диагоналей стороны BCDE. Благодаря этому мы можем начертить прямую АЕ ската крыши без ее точки схода. Ширина (0,60 л<) стрехи ВЬ была измерена на перспективном масштабе единицей измерения L.
Отложив четвертую часть этого отрезка от точки В до точки Ь' и проведя прямую М'/4Ь', мы найдем перспективное изображение ширины стрехи (на рисунке показано, как были определены точки М/4 и М'/4). Ширина (0,60 м) стрехи Вс была измерена на перспективном масштабе той же единицей измерения L.
б) На рисунке 608 показано построение двускатных крыш при недоступных точках R с помощью перспективных сеток, полученных способом, указанным в параграфе 555. Чтобы найти ширину (0,80 .и) стрехи ас, поступали, как и в предыдущем случае. Для
525
определения ширины (1,00 м) стрехи bd ската, идущего в направлении рисующего, ввиду отсутствия точки df4, пользовались дробной точкой измерения Мг/2 (на рисунке видно, как определялось положение этой точки). Был отложен отрезок bd', равный 0,50.и(половине заданной ширины стрехи), измеренный единицей измерения N на перспективном масштабе, а с помощью уменьшенной в два раза точки измерения была найдена ширина в 1 м стрехи.
в) Пользуясь способом, указанным на рисунке 607, двускат
ную крышу можно построить с помощью одной лишь перспективной сетки, предпочтительно сетки нисходящей плоскости, как это видно на рисунке 609.
Четырехскатная крыша (рис. 610) строится усечением фронтонов крыши: в результате такой операции мы получаем два недостающих ската. Построив с помощью доступной точки схода или перспективной сетки двускатную крышу, мы должны провести через точку N (на середине перпендикулярной к картине пря-
Рис. 607 (554; 556)	мой, которая проходит через ко-
нец нижнего края крыши) прямую Nc того же наклона, что и скат крыши (угол, образуемый скатом крыши с горизонталью, идущей через точку N, должен быть равен углу и, построенному при точке D/4). Точка пересечения этой прямой с линией конька определяет положение начальной точки С и искомого ската, не всегда видного рисующему. Чтобы получить окончательную перспективу крыши, нам остается соединить точку С с точками А и В.
ПЕРСПЕКТИВА ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
557. — И вертикальные плоскости, расположенные перпендикулярно к картине, и вертикальные плоскости общего положения имеют линию схода, которая идет по вертикали с одной или другой стороны вертикальной прямой PV (рис. 611; 612), Само собой
526
разумеется, что эта линия схода может быть доступной и недоступной (рис. 613). Точка схода R горизонталей, заключенных в этой плоскости, лежит на пересечении линии горизонта с линией схода этой плоскости.
Перспективные элементы вертикальных плоскостей общего положения найти легко.
Пусть на рисунках 611 и 612 вертикаль vv' будет линией схода расположенной под случайным углом к картине вертикальной плоскости, а точка R1—точкой заключенных в этой плоскости горизонталей aR и bR.
Разделив па четыре равные части отрезок PR и соединив с точкой 0)4 конец R/4 части отрезка, прилегающей к точке Р, мы получим угол и (слева линии W на рис. 611 и справа — на рис. 612), образуемый вертикальной плоскостью общего положения с главной вертикальной зрительной плоскостью.
Отложив длину отрезка О!4 R/4 (т. е. четверть расстояния между точкой R и глазом рисующего) на линии схода W вертикальной плоскости от точки R до точек М/4 и M'j4, мы найдем дробные точки деления М)4 и М'[4 для измерения заключенных в этой плоскости горизонталей.
Проведем из точки 0/4 горизонталь О/4g и перпендикуляр 0/4/ к идущему под углом к картине лучу 0/4 Л/4. Разделим отрезок fg на четыре равные части. Соединив точку 0/4 с кон-
527
цом с четгерти отрезка fg, прилегающей к точке g, получим прямую O/4i, которая, будучи продолженной, определяет на линии горизонта недоступную точку схода перпендикулярных прямых к заданной вертикальной плоскости общего положения.
Продолженная до точки i' прямая Ю/4 служит для построения перспективной сетки этих перпендикулярных прямых с недоступной точкой схода, деля на такое же число равных частей отрезки: один между точками i и h на линии горизонта и другой между точками Г и /г' на противоположном конце линии горизонта.
На этом рисунке видно, как была найдена точка измерения Mg для измерения этих перпендикулярных прямых (541).
558. — На рисунке 613 показано, как надо поступать в тех случаях, когда линия схода вертикальной плоскости общего положения недоступна.
Угол z — это угол, образуемый заданной вертикальной плоскостью с картиной. Линия схода этой плоскости недоступна: она находится на расстоянии, в четыре раза превышающем длину отрезка PR/4. Проведем из точки 0/4 горизонталь О/4а и из точки R/4 вертикаль R!4a. Разделим прямую R/4a на четыре равные части и проведем прямую R/4a через конец b четверти, прилегающей к точке а. Если ее продолжить, эта прямая достигнет недоступной точки схода R горизонталей заданной вертикальной плоскости; в нашем случае с ее помощью построена перспективная сетка для проведения этих горизонталей с недоступной точкой схода.
На рисунке видно, как найти их точку измерения. Опишем из точки 0/4 радиусом O/4R/4 дугу окружности. Мы найдем на линии горизонта точку Мг/4. Повторенный четыре раза отрезок РМг дает искомую точку деления Mr.
528
Перпендикулярные к этой плоскости прямые находят способом, показанным в предыдущем случае.
559.	— Повернув на 90° рисунки 611, 612, 613 так, чтобы левый их край стал нижним краем картины, мы найдем полное сходство между вертикальными плоскостями общего положения и фронтальными — восходящими и нисходящими — плоскостями (сравнить для первого случая рис. 612 с рис. 603, а для второго — рис. 611 с рис. 604). Это
Рис. 613 (557; 558; 559; 650)
позволяет нам не останавливаться на этих плоскостях, а лишь показать, как на рисунках 611, 612, 613 строилась перспектива предмета с основанием, расположенным на вертикальной плоскости общего положения.
560.	— На этих рисунках прямые, перпендикулярные к вертикальным плоскостям, измерялись отрезком кГ (рис. 613) и ab' (рис. 611 и 612) на перспективном масштабе единицей измерения L. Для определения длины прямой ab пользовались точкой измерения Mg (на рис. 613 — Mg/2), а наклон этой прямой был найден с помощью перспективной сетки.
На рисунках 611 и 612 длина горизонтали се определялась точками измерения М'/4, а на рисунке 613 — точкой измерения Mr.
На рисунке 613 с помощью перспективной сетки строились не только прямые, перпендикулярные к вертикальной плоскости общего положения, но и параллельные этой плоскости горизонтали.
ПЕРСПЕКТИВА НАКЛОННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
561.	— Возьмем плоскость общего положения, например трамплин ABCD (рис. 614 вверху), расположенный непараллельно и по отношению к картине К, и к нейтральной плоскости с точкой зрения рисующего О. Трамплин имеет прямоугольное основание, а его стороны АВ и АС образуют с параллельной картине горизонталью аа’ углы миг.
Заключенные в наклонной плоскости трамплина горизонтали параллельны ребрам АВ и CD. Линии наибольшего ската этой плоскости параллельны ребрам АС и BD. Лежащие в этой плоскости параллельные картине прямые, параллельные линии ffl, наклонны, так же как и прямые, перпендикулярные к этим линиям и параллельные линии ggl (рис. 614). Перпендикулярные к этой плоскости прямые, наклонные и параллельные прямой iil, также перпендикулярны и ко всем перечисленным выше заключенным в этой плоскости прямым. Располагая этими данными, попытаемся найти в пространстве
529
(рис. 614) и на картине (рис. 614 и 615) перспективные элементы наклонной плоскости общего положения.
Мы рекомендуем читателю одновременно следить за даваемыми ниже объяснениями и относительно положения изучаемого объекта в пространстве (рис. 614), и относительно его положения на картине (рис. 614; 615). Для облегчения этой задачи точки зрения в пространстве и на картине (рис. 614) обозначены той же буквой О.
Чтобы найти линию схода наклонной плоскости (при заданном положении ее горизонталей и прямых наибольшего наклона), предположим, что на этой линии находятся
Рис. 614 (561)
Рис. 615 (1, в; 541; 561; 562; 564; 604)
точки схода всех прямых этой плоскости. Найдя две из этих точек и соединив их, мы определим положение линии схода данной плоскости.
Точкой схода горизонталей наклонной плоскости может быть только точка F на линии горизонта, т. е. в месте пересечения картины лучом OF, параллельным ребру АВ. Этот луч образует с нейтральной плоскостью тот же угол и, под которым лежит в пространстве ребро АВ к параллельной картине горизонтали аа'.
На этой же линии горизонта находится и точка схода F1 второй стороны АС основания трамплина. Определяющий ее положение луч OF1 образует прямой угол с лучом OF, а с нейтральной плоскостью тот же угол v, который образует в пространстве ребро АС с параллельной к картине горизонталью аа'.
Теперь нам легко найти и положение точки схода F2 линий наибольшего ската данной наклонной плоскости. Эта точка находится на пересечении вертикали, проведенной через точку F1 лучом OF2, образующим с лучом OF1 угол, определяющий наклон плоскости, т. е. тот же угол х, под которым лежит в пространстве ребро АС по отношению к ребру АС.
Чтобы произвести это построение на картине, отложим на линии горизонта из точки F1 отрезок F1M1, равный лучу OF1, и, найдя таким образом точку Ml, построим при ней угол х. Сторона этого угла, являясь линией небольшого ската данной плоскости, определяет в точке своего пересечения с вертикалью, проведенной из точки F1, положение искомой точки схода F2, в которой сходятся все линии наибольшего ската данной наклонной плоскости, например перспективы ас и clb краев трамплина.
531
Прямая FF2, соединяющая эти две точки схода, является линией схода заданной наклонной плоскости. Перспективы параллельных картине наклонных прямых, заключенных в заданной плоскости {ffl), параллельны этой линии.
Проведя из главной точки Р перпендикуляр к линии схода наклонной плоскости, мы найдем точку схода R прямых, перпендикулярных к параллельным картине прямым плоскости. Луч OR, идущий из точки зрения рисующего перпендикулярно к линии схода наклонной плоскости, определяет расстояние между рисующим и этой линией. На картине это расстояние откладывается на продолженной прямой RP. Чтобы его найти, примем отрезок OR за гипотенузу прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является прямая RP, а второй катет равен главному расстоянию ОР. Проведем через точку Р прямую, параллельную линии схода наклонной плоскости, и возьмем на ней отрезок РО1, равный главному расстоянию ОР. Гипотенуза O1R — это искомое расстояние. Отложив его циркулем на продолженной прямой RP, мы найдем точку 02 (рис. 615).
Вообще же повертывание точки зрения по отношению к линии схода наклонной плоскости можно произвести и другим способом. Предположим, что лучи OF и OF2, так же как и ребра АВ и АС, которым они параллельны, образуют в пространстве прямой угол. Опишем из точки с (на середине линии FF2) радиусом CF полуокружность. Ее кривая должна пересечь продолженную прямую RP в точке 02, так как лучи O2F и O2F2 образуют прямой угол (рис. 615).
Описав радиусом FO2 и F2O2 дуги окружностей, мы найдем на прямой FF2 положение точки измерения М направления 02F для измерения горизонталей наклонной
532
плоскости и точку измерения М2 направления O2F2 для измерения линий наибольшего ската данной наклонной плоскости.
Но горизонтали наклонной плоскости можно измерять и с помощью точки измерения М' на линии горизонта, положение которой определяется дугой окружности, описанной радиусом FO.
Нам остается найти точку схода прямых U1, перпендикулярных к заданной наклонной плоскости. Она может быть расположена только на продолженной прямой RP, перпендикулярной к параллельным картине прямым заданной плоскости. Определяющий их положение луч OF3 образует прямой угол с лучом OR. На картине этот луч повернут по прямой RO1. Прямая O1F3, образующая прямой угол с лучом O1R, определяет положение искомой точки схода F3 (доступной на рисунке 614 и недоступной на рисунке 615).
Положение точки измерения М3, которой пользуются для измерения этих перпендикуляров, определяют, описав из точки F3 радиусом F3O1 дугу окружности (рис. 614). На рисунке 615 показано, как с помощью известного нам построения (541, рис. 592; 593) определить положение этой точки в тех случаях, когда точка схода F3 перпендикулярных прямых недоступна.
562.	— С помощью этих перспективных элементов на рисунке 615 было построено перспективное изображение предмета заданных размеров, положение и наклон основания которого соответствуют положению и наклону рассмотренной выше плоскости, а на рисунке 616 этот предмет повернут так, чтобы ни одно из его ребер не было горизонтальным.
На рисунке 615 все три измерения предмета, измеренные в перспективном масштабе единицей L, откладывались: для ребра АВ на отрезке АЬ, параллельном линии схода
533
заданной плоскости, точкой измерения М, расположенной на этой линии; для ребра АС — наибольшего ската — на отрезке Ас с помощью точки измерения М2 и для перпендикулярного к наклонной плоскости ребра AD — на отрезке Ad, параллельном линии RPF3, с помощью точки измерения М3. Ребро АВ можно построить (как указывалось выше), отложив заданную длину на отрезке АЬ', на горизонтали, с помощью расположенной на линии горизонта точки измерения М'.
Высота ступени, на которую опирается наклонно поставленное призматическое тело, определяется отрезком К'К между линиями AF2 и AFL
563.	— На рисунке 616 точки схода F4 и F5 сторон АВ и АС основания найдены с помощью лучей O2F4 и O2F5, образующих друг с другом прямой угол, а с горизонталями плоскости искомый угол g. Положение соответствующих точек измерения М4 и М5 было определено дугами окружностей. Итак, все три измерения предмета, определенные на перспективном масштабе единицей измерения L, откладывались: для построения ребер АВ и АС, сходящихся в точках F4 и F5, отрезками АЬ и Ас на прямой, параллельной линии схода заданной плоскости, пользуясь точками измерения М4 и М5, а для ребра AD — отрезком Ad на параллели RP, пользуясь точкой измерения М3.
Горизонтальные ребра ступени, на которую опирается наклонно поставленное призматическое тело, сходятся в точках F и F1, а ее высота К1К определяется наклонной прямой AF5 и горизонталью A F6, точка схода которой F6 была специально для этого найдена на пересечении линии горизонта с вертикалью, проведенной из точки F5.
Перспективный масштаб для определения единицей измерения N высоты человеческой фигуры на предметной плоскости и единицей измерения N1 — фигуры, стоящей на ступени, построен способом, показанным в параграфе 159.
На рисунке 620 а показано, как строить перспективный масштаб для наклонной плоскости и как им пользоваться, а на рисунке 620 видно построение на уменьшенной в четыре раза картине перспективной сетки для правильного вычерчивания прямых, перпендикулярных к наклонной плоскости, делением на равные части прямых О1р и f'3i, параллельных линии схода ff 2 наклонной плоскости.
Мы считаем лишним напоминать о том, что человеческие фигуры на наклонной плоскости стоят прямо, а не наклонно (рис. 303; 304; 617; 620 а; 640).
Возможные положения в пространстве наклонных плоскостей общего положения
564.	— Наклонные плоскости общего положения могут занимать в пространстве одно из следующих положений:
а)	нисходящее в направлении рисующего и влево (рис. 615; 616; 620 а)
б)	нисходящее в направлении рисующего и вправо (рис. 617; 620)
в)	нисходящее вглубь и влево (рис. 618);
г)	нисходящее вглубь и вправо (рис. 619).
Каждое из этих положений обусловлено местом на линии горизонта относительно главной точки картины (вправо или влево от нее) точки схода лежащих в этой плоскости
534
Рис. 618 (1, в; 541; 564; 604)
Рис. 619 (1, в; 541; 564; 604)
Рис. 620 (268; 541; 563; 564; 604)
Рис. 620 а (441; 563; 564)
горизонтальных прямых и положением относительно линии горизонта (выше или ниже ее) точки схода линий наибольшего ската плоскости.
Каково бы ни было положение относительно рисующего наклонной плоскости общего положения, ее перспективные элементы определяются указанным выше способом. Чтобы облегчить наблюдение за этими операциями, рисунки 617—619 отмечены теми же буквами, что и рисунок 616.
На рисунках 615 и 620 призмы, лежащие на наклонных плоскостях общего положения, имеют по четыре горизонтальных ребра каждая, а на рисунках 616—619 призмы не имеют ни одного горизонтального ребра. На рисунке 620 у одной из призм четыре ребра горизонтальны.
Все данные выше объяснения относятся к области теории, потому что мы пользовались недоступными точками схода. На практике для решения задач с наклонными плоскостями общего положения можно прибегнуть к методу малой картины. На рисунке 620 четырехкратное уменьшение произведено вокруг точки А.
Но еще лучше рассматривать эти наклонные призмы как тела, сложные по форме, которые можно вписать в прямые призмы, перспективу которых строить легко. Внутри таких призм перспективу наклонного тела строят с помощью делительного масштаба.
С построениями такого рода мы познакомимся в следующей главе (598—605).
Рис. 621 (577). Перуджино. Иисус вручает ключи св. Петру
XX. ПЕРСПЕКТИВА СЛОЖНЫХ ТЕЛ
565.	— Как бы ни была сложна форма тела, его всегда можно вписать в более простое геометрическое тело, перспективу которого легко построить. Эта возможность подсказывает способ получения перспективы любых сложных предметов.
а)	Начертим предпочтительно в обычном масштабе, но соблюдая возможно точнее его пропорции, ортогональные проекции плана и фасада (или фасадов) какого-нибудь сложного по форме предмета, т. е. его горизонтальную и вертикальную проекции.
б)	Впишем этот предмет в наиболее простое геометрическое тело — лучше всего в прямую призму — с квадратным или прямоугольным основанием.
в)	Измерим в масштабе его ортогональных проекций все три измерения этой призмы. Если они не были начерчены в определенном масштабе, то определим приближенно размер наибольшего из измерений простого тела и в соответствии с ним измерим показанным ниже способом остальные два измерения.
г)	Построим на картине известным нам методом при строгом соблюдении размеров, на расстоянии и в положении, обусловленном композицией, и пользуясь для этого перспективным масштабом картины, перспективу описывающего простого геометрического тела (призмы).
539
Рис. 622 (565 ; 573)
д) Построим внутри этого простого тела, пользуясь при этом делительным масштабом и масштабом высоты, перспективу сложного по форме предмета. Метод применения этих масштабов зависит от характеристик предмета. Если этот предмет имеет квадратное основание, две оси симметрии, то делительными масштабами пользуются на диагональных плоскостях призмы, в которую вписан этот предмет (575, рис. 622). Если предмет асимметричен, пользуются делительным масштабом для построения перспективы его плана, а для построения перспективы всего предмета — масштабом высоты (581; 588).
На быстром наброске перспективу сложного по форме предмета можно вписывать в простое геометрическое тело не точно, а с приближением, без делительного масштаба, определяя на глаз его пропорции. При пользовании масштабами можно построить совершенно точно мельчайшие детали перспективного изображения даже в тех случаях, когда ни одно из направлений ребер предмета не имеет доступной точки схода.
ПЕРСПЕКТИВА СЛОЖНЫХ ПРЕДМЕТОВ С КВАДРАТНЫМ ОСНОВАНИЕМ И ДВУМЯ ОСЯМИ СИММЕТРИИ
566.	— а) Предположим, что нам надо построить на картине на определенном расстоянии и в определенном положении перспективу памятника (рис. 623; 624), перспективу пьедестала коринфской колонны (рис. 625; 628), деревянной подставки (рис. 629; 632) или какого-нибудь другого сложного по форме предмета с квадратным основанием и двумя осями симметрии. В этих условиях для построения перспективы мы нуждаемся только в одной вертикальной проекции (горизонтальная, т. е. план, — не нужна).
Вертикальные проекции или фасады этих предметов можно строить по памяти, вообразить, рисовать с натуры или по заданным отметкам высоты, в обычном масштабе или без масштаба, но соблюдая пропорции.
б)	Впишем эти проекции в прямой угол (рис. 623; 627; 631). Прямая АВ определяет размер стороны квадратного основания прямой призмы, в которую вписывается задан
540
ный сложный предмет, а прямая AI — высоту призмы. Мы должны найти эти размеры.
Если фасад был построен в обычном масштабе, измерим высоту соответствующей шкалой. Например, пьедестал (рис. 625) был вычерчен в масштабе 1 : 100. Измерив в нем сторону ab, мы найдем, что она равна 1, 14 м, а сторона ai — 2,00 м.
При фасаде, построенном в пропорциях, но без масштаба, достаточно установить измерение, наиболее характерное для заданного предмета. Например, для того чтобы бюст, для которого предназначается подставка, находился на нужном уровне, она (рис. 629; 631) должна иметь высоту 1,70 м. Что касается высоты памятника (рис. 623), нарисуем на картине рядом с ним человеческую фигуру (или несколько фигур) нормального роста пропорционально, наиболее соответствующую, по нашему мнению, предполагаемой высоте памятника. Две трети высоты такой фигуры — от линии ее, ног до линии горизонта — равны одному метру. Измерив этой единицей
Рис. 623 (14; 20; 254; 322; 566; 570; 574; 575)
с помощью циркуля или по-
лоски бумаги прямую AI (высоту призмы, описывающей памятник), мы найдем, что она равна 12,50 м. Тем же путем мы установим, что сторона АВ равна 6,00 м.
Вообще, зная размер одной из сторон призмы (сторону А В основания или высоту АГ), другую можно определить графически (567, рис. 625 и 629) с помощью параллели к диагонали IB.
541
Рис. 624 (14; 20; 254; 294; 306; 322; 566; 567; 568; 575)
в)	Зная размеры простого геометрического тела, описывающего сложный предмет, мы можем с помощью общих перспективных методов построить на картине его изображение в прямой и обратной перспективах.
542
567.	— В прямой перспективе. Предположим, что нам даны углы, равные 30° и 60°. Эти углы образуют с нейтральной плоскостью стороны основания предмета. На картине с заданными перспективными элементами (рис. 625; 629) построим с помощью единицы измерения 5 перспективного масштаба картины в точке А вертикаль АI — высоту описывающей призмы (2 м на рис. 625 и 1,70 м на рис. 629).
Чтобы определить размер стороны АВ основания (если она не была измерена на ортогональной проекции), надо провести диагональ IB, параллельную диагонали на заданном фасаде (рис. 625; 629). Для этого отложим на вертикали AI отрезок Л/", равный отрезку at на заданном фасаде, а на продолженной горизонтали, идущей через точку А, — отрезок ab', равный отрезку ab на том же фасаде. Мы построили треугольник Ab'i', равный треугольнику аЫ. Проведем через точку I прямую, параллельную гипотенузе i'b'. Мы получим отрезок АВ — длину стороны основания описывающей призмы. (Таким же образом мы поступали на рисунках 679 и 681, на которых проставлены те же буквы.)
Располагая высотой описывающей призмы и размерами стороны ее основания, остается построить ее перспективу начиная с одного из ее оснований — нижнего (рис. 632) или верхнего (рис. 624) — в зависимости от расстояния до линии горизонта; этим мы обеспечим наиболее отчетливые пересечения перспективных линий. Когда оба основания слишком близки к линии горизонта, то можно (если в этом есть необходимость) опустить или поднять плоскость соответствующего основания призмы (303—306), как это видно на рисунке 628.
568.	— На рисунках 624; 628; 632 перспектива основания получена методом построения ортогональной проекции. Рисунки помечены теми же буквами, что и рисунок 322. Благодаря этому читатель может следить за имеющимися на них построениями, параллельно перечитывая параграфы с объяснением этого метода (294—296).
569.	— На рисунке 630 перспектива углового квадрата построена с помощью фронтального квадрата, исходя из проекции одной из его сторон —АВ1; ей было придано
Рис. 625 (229; 566; 567; 571)
Рис. 626 (288; 566; 572)
543
Рис. 627 (20; 254; 566; 570; 574; 575). Рис. 628 (294; 306; 566; 567; 568; 575)
требуемое положение (под углом в 60° к нейтральной плоскости) и заданная длина, найденная указанным выше способом (рис. 630). Опустим перпендикуляр В1Е. Проведем перпендикулярную к картине прямую ЕР. Отложим отрезок Ее, равный четверти вертикали В1Е. Прямая eD'/4 определяет положение конца перспективы АВ ортогональной проекции А В1.
Хотя в свое время мы имели дело с такого рода задачами (411), вспомним вкратце, как найти остальные три стороны углового квадрата. Отложим от точки А длину четырех отрезков Ее. Мы найдем сторону EF описывающего фронтального квадрата. Отложим отрезок FA’, равный отрезку АЕ, и проведем из точек А, А' и Fперпендикулярные к картине
544
Рис. 629 (566; 567; 569)	Рис. 630 (411; 569; 570; 575)
прямые. Проведенная через точку В горизонталь определяет в месте своего пересечения с перпендикулярной к картине прямой А'Р положение точки Ь, через которую проходит диагональ EbG фронтального квадрата. Эта диагональ определяет в свою очередь на пересечении с перпендикулярной к картине прямой АР в точке с глубину точки С, а на ее пересечении с перпендикулярной к картине прямой PF в точке G — глубину точки D. Соединив точки АсС, CcDhDcB, мы получим перспективу углового квадрата ACDB.
570.	— Закончим с помощью масштаба высоты, построенного на краю картины или внутри изображенного на ней простого геометрического тела (рис. 630, где прямые FP и ТР образуют масштаб высоты), перспективу призмы ABCDIJKL, в которую вписывается сложный по форме предмет.
Дальше (575) будет показано, как, пользуясь масштабом высоты, построенным на вертикальной проекции сложного по форме предмета (рис. 623; 627; 631), можно построить его перспективу без построения второго основания описывающей призмы. Так, на рисунке 632 видно, что ненужное верхнее основание IJKL не было вычерчено.
571.	— В обратной перспективе (рис. 625). Предположим, что художник нарисовал на картине с натуры, по памяти или вообразил прямую АВ' с наклоном, отвечающим его композиционному замыслу. Эта прямая — перспектива еще не установленного размера одной из сторон основания предмета сложной формы, который он собирается нарисовать.
Для того чтобы найти на этой прямой длину отрезка АВ (искомую сторону основания)— безразлично, измерим ли мы ее в перспективном масштабе единицей измерения S, если дана ее длина в метрах (рис. 625), или найдем эту длину, проведя диагональ IB, параллельную диагонали ib на заданном фасаде, — надо применить метод четверти окружности или метод ортогональной проекции (оба нам известны) при условии —‘ обязательно проверить по перспективному масштабу высоту прямой AI описывающей призмы.
35—1003
545
Рис. 631 (20; 566; 570; 574; 575). Рис. 632 (294; 566; 567; 568; 570; 575)
На рисунке 625 мы оперировали четвертью окружности (229). Длина стороны квадратного основания (отрезок АВГ) была определена единицей измерения S перспективного масштаба. Построим на этом отрезке фронтальный квадрат AB1CD. Описанная внутри него четверть окружности определяет в точке ее пересечения В с прямой АВ' длину искомой стороны АВ.
572.	— На рисунке 626 для той же задачи взята ортогональная проекция (288). Проведем через произвольную точку С на перспективе заданной прямой АВ' перпендикулярную к картине прямую РСС1 и прямую D'l4Cr. Проведем из точки С1 вертикаль, на которой отложим четыре отрезка С1г. Мы получим прямоугольную проекцию АС заданной прямой. Отложим на ней отрезок AD, равный заданной стороне основания АВ1. Длину этого отрезка находят в перспективе с помощью вертикали Dd и перпендикулярной к картине прямой dP, а точка пересечения В этой прямой с прямой АВ' определяет длину перспективы АВ искомой стороны.
546
После определения четвертью окружности или прямоугольной проекцией длины перспективы стороны АВ все остальные операции проделываются, как было показано выше, методами прямой перспективы.
Все эти операции нам известны. Пользуясь ими, мы строили на картине на нужном расстоянии и в нужном положении перспективу прямой призмы заданных размеров. Руководствуясь данными ниже указаниями, мы сможем вписать сложные по форме предметы в прямые призмы с помощью одних только делительных масштабов.
Построение делительных масштабов и их применение
573.	— Если нам даны предметы сложной формы с квадратным основанием и двумя осями симметрии, делительные масштабы применяются особым способом — на двух диагональных плоскостях прямой призмы, в которую вписывают этот предмет. Этот метод дает возможность получить сразу перспективу всех видимых нами сторон сложного предмета, потому что на диагональных плоскостях D (рис. 622) все элементы, из которых образуется профиль сложного по форме предмета, расширяются (или, если можно так выразиться, раздаются в ширину) в одинаковой пропорции по отношению к профилю плоскости прямого сечения. Например, отрезок ab прямого сечения удлиняется в косом профиле диагональной плоскости а'Ь' в той же пропорции, что и отрезок c'd' по отношению к отрезку cd. Это позволяет нам пользоваться делительным масштабом профиля прямого сечения фасада и для косого сечения диагональных плоскостей.
574.	— Построение делительных масштабов. Для описанных выше операций необходимы два делительных масштаба: один для ширины, другой для высоты (рис. 623; 627; 631). Проведем через все характерные точки a,b,c,d... профиля сложного предмета вертикальные и горизонтальные порядковые линии: вертикальные — для построения делительного масштаба ширины до горизонтальной прямой АВ, горизонтальные — для делительного масштаба высоты до вертикальной прямой BI.
Хотя теоретически вершину V делительных масштабов можно поместить в любой точке относительно прямых АВ и BI, все же для получения более отчетливых пересечений их лучше помещать на перпендикулярах, проведенных из середины этих прямых, на расстояниях, соответственно равных их длине.
Проведем из этих вершин расходящиеся лучи через точки al, bl, cl и т. д., отмеченные на прямых АВ и BI (рис. 623). Было бы грубой ошибкой по невниманию провести лучи вместо этих точек через точки а, Ь, с и т. д. на профиле.
Длина лучей масштаба обусловливается размерами перспективы, которую мы будем строить. Расстояние между крайними лучами должно быть достаточным, чтобы вместить перспективу ребер простого геометрического тела, в которое мы вписываем предмет сложной формы. Во избежание ошибок мы рекомендуем крайние лучи масштабов и луч Ух проводить более жирной линией. На делительном масштабе высоты неплохо построить сетку из прямых, параллельных прямой BI. Это поможет нам во время работы с полоской бумаги держать ее вертикально.
547
575.	— Применение делительных масштабов. Чтобы получить сразу все членения сложного предмета, достаточно построить на диагональных плоскостях обертывающей (описывающей) призмы перспективу его профилей (рис. 624; 628; 632).
Проведем диагонали АС и BD и диагонали IK и JL нижнего и верхнего оснований. Этим мы определим положение диагональных плоскостей BDJL и ACIK призмы. Линией пересечения таких плоскостей будет прямая AW', а середину диагоналей АС, BD, IK и JL соответственно определяют точки их пересечения N и N'.
При работе с делительными масштабами пользуются полосками бумаги.
Для определения ширины полоску бумаги прикладывают к более удаленной от линии горизонта диагонали основания BD (рис. 632), отмечают на кромке полоски концы В и D диагонали и непременно ее середину N (первое положение). Затем полоску бумаги переносят на делительный масштаб ширины и устанавливают наискось таким образом, чтобы точки В и D совпали с крайними лучами масштаба, а точка N— с его осью Их. Отметим на кромке полоски точки ее пересечения со всеми лучами масштаба (второе положение). Установим вновь полоску бумаги вдоль диагонали BND и обозначим на ней все точки, взятые на масштабе (третье положение).
Произведем такие же операции на второй диагонали ANC.
Для дальнейшей работы с масштабом высоты надо знать, построены ли на картине оба основания призмы или только одно.
В первом случае (рис. 630) все полоски бумаги, на которых были отмечены концы каждого вертикального ребра AI, СК и т. д., накладывают одну за другой в вертикальном положении на делительный масштаб высоты так, чтобы отмеченные на них концы ребер совпали с крайними лучами масштаба. Удерживая полоску в этом положении, отмечают на ее кромке все точки пересечения с лучами масштаба. Затем с помощью тех же полосок эти точки переносят на соответствующее ребро призмы на картине.
Во втором случае (рис. 624; 628; 632) до начала работы с делительным масштабом высоты этот масштаб согласуют с уровнем линии горизонта на картине.
Для этого полоску бумаги укладывают вдоль вертикального ребра АI (длина его на картине нам дана) и отмечают на ее кромке концы этого ребра и уровень линии горизонта (безразлично, пересекает ли линия горизонта заданное ребро или проходит на любом расстоянии выше или ниже этого ребра). На рисунке 628 на полоске бумаги был также отмечен точкой А' и уровень опущенного плана.
Затем полоску бумаги накладывают в вертикальном положении на масштаб высоты таким образом, чтобы отмеченные на ее кромке концы ребра совпали с крайними лучами масштаба, и переносят на масштаб уровень линии горизонта, обозначив его буквой Н'. Эту точку соединяют с вершиной масштаба более жирной линией, так как луч VH', которым определяется линия пересечения горизонтом вертикальных ребер обертывающей (описывающей) призмы, и один из лучей {VI—на рис. 623, VA — на рис. 631 или VA' — на рис. 627), соответствующих уровню построенного на картине верхнего или нижнего основания, являются теми двумя лучами, которыми мы будем руководствоваться во время работы с делительным масштабом высоты.
548
Рис. 633 (14; 20; 218; 577)
Рис. 634 (13; 14; 20; 218; 306; 577)
Отметим на полосках бумаги, укладывая их одну за другой на картине"вдоль вертикальных ребер призмы, высоту линии горизонта и уровень построенного на картине основания призмы (первое положение). На масштабе высоты каждую полоску бумаги устанавливают в вертикальном положении так, чтобы отметка уровня горизонта совпада с лучом VH', а точка, соответствующая основанию призмы, — с лучом К/ па рисунке 623, с лучом VA на рисунке 631 или с лучом VA’ на рисунке 627 (второе положение). Продолжая держать полоску вертикально, отметим на ее кромке точки ее пересечения с лучами делительного масштаба. Перенесем затем одну за другой полоски на картину и отметим на каждом соответствующем ребре призмы все точки, взятые на масштабе (третье положение).
Эта операция повторяется на всех вертикальных ребрах призмы. Но если одна из ее диагональных плоскостей имеет доступную линию схода, то для упрощения построения надо пользоваться этой линией. Так, благодаря тому, что на рисунке 628 мы пользовались точкой схода F, полоска бумаги применялась только на ребре АI. На том же рисунке было произведено еще одно упрощение: во второй диагональной плоскости полоска бумаги применялась только на вертикали BJ. Горизонтали этой плоскости проводились через точки пересечения прямой NN’ горизонталей, идущих в точку схода F. Следовательно, полоска бумаги применялась только два раза для определения высоты.
Если через точки, найденные па диагоналях, провести вертикали, а через точки, отмеченные на вертикалях, провести в диагональных плоскостях горизонтали, то на этих плоскостях образуются сетки, которые дадут возможность построить на них профиль сложного по форме предмета. Все точки профиля находятся на пересечении каждой вертикали соответствующей ей горизонталью и все они могут быть обозначены для упрощения операции теми же цифрами или теми же буквами.
Построение надо производить методически и тщательно. Сетку рекомендуется сначала вычертить на одной из плоскостей, проводя линии только там, где они нужны. После построения искомого профиля их стирают.
Последовательно соединяя все точки профиля на диагональных плоскостях, мы получим перспективу сложного предмета.
Как видно на рисунках 624 и 628, даже скрытый от рисующего профиль помогает строить ребра ступеней и выступов идущего в его направлении карниза. Пользуясь скрытым профилем, можно строить линии видимого профиля касательных к криволинейным профилям, как, например, линию ин' на деталях рисунка 628.
При заканчивании рисунка надо иметь в виду, что в диагональных плоскостях линии профиля стираются на горизонтальных поверхностях, на которые рисующий смотрит сверху (например, линии ab, Ъс и т. д. на горизонтальных поверхностях ступеней) или снизу (линия сЬ детали стереобата — рис. 623, внизу и карниза — рис. 627, вверху).
576.	— Если благодаря положению в пространстве предмета сложной формы мы видим одну из диагональных плоскостей описывающей призмы в большом ракурсе, при котором трудно получить отчетливую перспективу этого предмета, достаточно
551
построить профиль на второй диагональной плоскости,Та перспективу~этого предмета закончить, нарисовав с помощью перспективной сетки его горизонтальные ребра, идущие в направлении непостроенного профиля. Идя этим путем, можно будет закончить с приближенностью и профиль, идущий в направлении рисующего.
577.	— Таким же образом можно построить на правильной полигональной плоскости главные линии сложных тел с числом осей симметрии, равным числу сторон их многоугольного основания (рис. 621). Заданный предмет вписывают в многогранную призму; делительным масштабом ширины пользуются на больших диагоналях основания, а делительным масштабом высоты — на вертикальных ребрах призмы. На рисунках 633 и 634 показано, как были построены этим способом все главные линии перспективы храма, подобного храму на известной картине Рафаэля Обручение Марии.
ПЕРСПЕКТИВА ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
578.	— Как уже говорилось выше, перспективу тел вращения можно получить, построив перспективу их характерных параллелей (513—515).
Но если на перспективе поверхности вращения надо построить фигурный или узорный орнамент, то, как мы уже указывали, надо иметь не только перспективу параллелей, но и перспективу меридианов таких поверхностей. Только в этих условиях можно проследить на выпуклой поверхности тела перспективные искажения рисунка заданного орнамента.
Такие задачи решают, рассматривая тело вращения как тело сложной формы.
Нарисуем с натуры, по памяти или вообразим целый или половинный профиль тела вращения, перспективу которого мы хотим построить. Рисунок может быть сделан в заданных размерах или без них в одном из обычных масштабов или только с соблюдением пропорций. Изучив рисунок орнамента на поверхности вращения, установим число меридианов, необходимых для точного построения перспективы этого орнамента. Например, на рисунке 635 видно, что выбранная моделью ваза имеет в верхней части 32 орнаментальных мотива; Если рисунок достаточно велик, построим перспективу 32 меридианов. При меньшем рисунке ограничимся половиной этого числа.
Впишем профиль тела вращения (если дана половина профиля, скалькируем ее) в прямоугольник ABCD. Отношение основания АВ к высоте АС определяется наклоном диагонали AD или ВС. Установим возможно точнее размеры сторон этого прямоугольника по предполагаемой величине вазы или, если рисунок сделан в обычном масштабе, измерим стороны прямоугольника масштабной линейкой.
Проведем из всех характерных точек профиля вертикали до основания АВ прямоугольника и горизонтали до вертикальной оси Их тела вращения. Построим при точке V на оси Vx делительный масштаб ширины, а при точке VI, взятой в наиболее целесообразном, по нашему мнению, месте, — делительный масштаб высоты.
Наконец, построим делительный масштаб и для перспективы вертикальных плоскостей, секущих тело вращения по меридианам (в данном примере их 16). Из точки
552
Рис. 635 (20; 578; 580)
Рис. 636 (13; 182; 218; 579; 580)
пересечения прямой CD вертикалью Vx опишем полуокружности радиусом, равным половине прямой CD. Разделим полуокружность на восемь равных отрезков, расположенных симметрично по отношению к ее главным диаметрам. Проведем из концов делений вертикали на горизонтальный диаметр, а при точке V2 на вертикальном диаметре начертим делительный масштаб для построения окружности по 16 точкам.
579.	— На картине с заданными перспективными элементами построим на желаемом месте, высоте и расстоянии от рисующего с соблюдением точных размеров, предварительно установленных по перспективному масштабу, фронтальный прямоугольник ABCD, подобный прямоугольнику на ортогональной проекции. Вертикаль Vx, которая делит на две равные части этот прямоугольник, служит осью искомого тела вращения.
Построим известным нам методом на более удаленной от линии горизонта стороне, пользуясь дробной точкой отдаления D[4 и точками и, п', квадратное основание EFGI описывающей заданное тело призмы. С помощью соответствующего делительного масштаба встроим по 16 точкам в этот квадрат перспективу окружности. (На рисунке 636 окружность построена по 16 точкам методом, показанным в параграфе 218.) Проведем в этой окружности нужные 8 диаметров и из концов их проведем вертикали еще не установленной длины, чтобы ограничить ими вертикальные плоскости меридианов.
Отметим на фронтальном диаметре и на всех остальных диаметрах, пользуясь полосками бумаги (на которых предварительно были отмечены концы каждого диаметра и обязательно центр окружности) все отрезки, отмеченные на кромках полосок по делительному масштабу ширины.
580.	— Для пользования масштабом высоты его надо согласовать, как уже указывалось в параграфе 575, с уровнем линии горизонта.
В нашем примере (рис. 635; 636) линия горизонта проходит через середину оси Vx тела вращения и совпадает с осью V1H делительного масштаба.
Первая вертикаль, на которой делаются отметки по высоте, — это вертикаль, проходящая через центр тела вращения. Пользуясь делениями на оси, можно построить горизонтальные уровни на плоскости фронтального сечения крайнего меридиана и на плоскостях углового сечения остальных меридианов, даже в тех случаях, когда их линии схода недоступны. На этой полоске бумаги, и только на этой, не надо отмечать уровня линии горизонта, потому что на ней есть точки, определяющие высоту предмета, котороые можно совместить с крайними линиями масштаба высоты и тогда, когда у нас нет других ориентировочных точек.
После этого отметим с помощью того же масштаба высоты горизонтальные уровни на вертикалях плоскостей сечения, проходящих через меридианы и не имеющих линии схода.
Построим в последовательном порядке на каждой из меридианных плоскостей профили тела вращения, внимательно соединяя точки пересечения вертикалей, проведенных через концы делений на диаметре с соответствующими горизонталями, идущими через деления на вертикалях, определяющих высоту призмы. Вычертив профиль
555
тела вращения на одной плоскости, надо сейчас же стереть резинкой линии его построения, чтобы они не мешали построению профиля на следующей плоскости.
На каждой из этих плоскостей вертикальные и горизонтальные линии проводятся не во всю их длину, а лишь там, где они нужны. Построение начинают с крайних профилей и постепенно переходят к профилям, расположенным ближе к рисующему. А из невидимых профилей на обратной стороне тела вращения строят по одному у каждого края.
Построив все профили и соединив непрерывной эллиптической кривой соответствующие точки на всех меридианах, мы получим параллели тела вращения. С помощью такой меридианной сетки можно построить перспективу любой, имеющейся на заданном теле вращения детали орнамента. (На рисунке 636 видно, как легко, проведя на глаз промежуточные меридианы, определить положение каждой из 32 деталей орнамента на всей верхней части вазы.)
Объяснения метода построения видимого контура тел вращения были даны в параграфе 515 при показе способа получения перспективы этих тел построением параллелей.
ПЕРСПЕКТИВА СЛОЖНЫХ ПО ФОРМЕ ПРЕДМЕТОВ БЕЗ ОСЕЙ СИММЕТРИИ
581.	— При построении перспективы сложных по форме предметов, не имеющих осей симметрии, мы не можем пользоваться диагональными плоскостями описывающей призмы. Зная ортогональные проекции (план и фасад или фасады) предмета сложной формы, мы можем определить все три измерения его описывающей (обертывающей) прямой призмы. Построим на выбранном нами месте в заданном квадрате наиболее удаленное от линии горизонта прямоугольное (например, квадратное) основание описывающей призмы. Встроим в это основание с помощью делительного масштаба перспективу плана сложного по форме предмета. Пользуясь этим перспективным планом и масштабом высоты со всеми уровнями предмета сложной формы, построим последовательно перспективу всех его членений.
582.	— Возьмем в качестве примера сложного по форме предмета, не имеющего осей симметрии, дом в Куртя-де-Арджеш. Его план и фасад (рис. 637) могли быть построены по памяти, с натуры, с известной приближенностью или в обычном масштабе (например 1 : 100) по точным измерениям.
Встроим план в прямоугольник ABCD, а . фасад—в прямоугольник ABEF. Прямоугольник ABCD является основанием описывающей призмы сложного предмета, а прямая AF или BE—высотой этой призмы.
Измерим три измерения построенного нами простого геометрического тела по масштабу, в котором оно было построено, или взяв в качестве единицы измерения примерно две трети человеческой фигуры нормального роста, нарисованной в соответствующей пропорции рядом со сложным предметом (566, б).
583.	— На картине (рис. 638), на которой даны перспективные элементы, точка А — это точка, выбранная художником для построения при ней вершины наиболее близ
556
кого угла призмы, описывающей тело сложной формы, а АВ — перспектива одной из сторон ее основания, еще не установленной длины, идущей в направлении, обусловленном композицией картины.
Построим ортогональную проекцию этой стороны, чтобы найти угол, который она образует с картинной плоскостью (287). Проведем через произвольную точку b на прямой АВ перпендикулярную к картине прямую РЬс и прямую D/4bd. Отложим на проведенной из точки с вертикали четыре отрезка cd. Мы найдем точку В1. Прямая А В1 — это ортогональная проекция стороны АВ, а угол и — угол, образуемый прямой АВ с картинной плоскостью.
Точка А расположена слишком близко к линии горизонта, чтобы при ней строить перспективу нижнего основания призмы с отчетливыми пересечениями, и потому построим ее верхнее основание. Для ’этого на вертикали, проведенной из точки А, отложим с помощью единицы измерения L отрезок A F (7,90 м) — высоту призмы. Проведем через точку F горизонталь. Зная величину угла и, мы можем построить прямую FE1 — ортогональную проекцию одной из сторон верхнего основания (построив при точке F угол и, равный углу при точке А, и отложив на прямой FE1 в том же масштабе с помощью той же единицы изме
Рис. 637 (14; 20; 582; 584; 585)
557.
рения точки L отрезок, равный 8,40 м) и ортогональную проекцию FG1 второй стороны прямоугольника (построив прямой угол E1FG1 и сторону FG1 длиной в 9,30 м, измеренную той же единицей измерения L).
Мы умеем строить перспективу FE и FG этих двух сторон (297—299) и знаем, как, дополнив эти стороны сторонами EI и GI, можно получить перспективу верхнего прямоугольного основания призмы (401). Мы умеем также находить точки о, п, г, s, определяющие середину сторон этого прямоугольника (414; 415). Все необходимые для этого построения показаны на рисунке 638. Для определения положения более удаленного угла I прямоугольника был взят отрезок eF', равный Fg, и точка t'— на середине прямой eg, а для определения середины сторон прямоугольника взяты точки о' — на середине прямой Fe-, п'— на середине прямой eF'-, г—на середине прямой F'g и s — на середине прямой Fg.
Строить всю перспективу призмы бесполезно. Достаточно с помощью делительного масштаба встроить в основание EBGI перспективу плана заданного предмета.
Построение делительных масштабов и пользование ими
Из-за несимметричности сложных тел нам надо иметь три делительных масштаба: ширины, глубины и высоты. В тех случаях, когда около плана нет достаточно места для построения делительных масштабов с лучами, соответствующими по длине размерам перспективы на картине, эти масштабы можно построить на отдельных листах бумаги.
584.	— Построение масштабов (рис. 637). Для масштаба ширины проведем через характерные точки плана линии, перпендикулярные к стороне АВ прямоугольника или к параллельной ей прямой А'В'.
Для построения масштаба глубины через те же характерные точки плана проводят порядковые линии, перпендикулярные к стороне AD прямоугольника или к другой, параллельной ей прямой A1DI.
Хотя теоретически вершину масштабов можно помещать в любом месте, лучше располагать ее в точке Киа пересечении диагоналей прямоугольника ABCD. Проведем из этой точки лучи через все точки на прямой АВ и на прямой AD. Лучи, идущие через точку х — на середине прямой АВ и через точку у — на середине прямой AD, надо проводить более жирной линией: они образуют оси этих масштабов.
585.	— При построении масштаба высоты у края картины (внутри или снаружи) или на отдельном листе полезно сразу же установить пропорцию, в которой линия горизонта делит высоту AF заданной призмы (575).
а)	На краю картины (рис. 639). Проведем через концы вертикали AF (заданная высота прямоугольника) две параллели до края картины. Построим между ними на краю картины, внутри или, если можно, снаружи — на полях—вертикаль A'F', равную вертикали AF (рис. 644). Возьмем на линии горизонта на расстоянии, которое обеспечит отчетливые пересечения, точку V (например, на расстоянии Vh', приблизительно
558
Рис. 638 (14; 20; 287; 299; 306; 401, К; 414; 583)
равном A'F'). Проведем из этой точки крайние линии VA'n VF' масштаба. Проведем из самой удаленной точки I основания призмы (в данном случае верхнего) горизонталь И и из точки i — вертикаль и'. Масштаб нам нужен только между вертикалями A'F' и И', и поэтому расходящиеся лучи надо проводить только между этими вертикалями. Чтобы определить их положение, отметим на полоске бумаги высоту всех уровней, установленных с помощью ординат на вертикали A F (первое положение). Держа полоску вертикально и передвигая ее в этом положении между лучами VA'a VF', мы найдем положение, в котором нанесенные на ней точки А и F совпадут с этими лучами (второе положение). Удерживая полоску в найденном положении, отметим на картине точками все засеченные на полоске уровни. Проведем из точки V через все эти точки, но только между вертикалями A'F' и П' расходящиеся лучи. Чтобы при работе с этим масштабом обеспечить вертикальное положение полосок бумаги, рекомендуется построить на масштабе высоты, между вертикалями F'A' и И', сетку из вертикалей. Во избежание ошибок проведем более жирной линией линию горизонта и верхнюю или нижнюю крайнюю линии перспективного масштаба высоты, в зависимости от того, построен ли этот
559
Рис. 639 (14; 20; 253; 254; 306; 584; 586; 587)
план па картине выше или ниже линии горизонта, на верхнем (рис. 639) или на нижнем основании предмета.
б)	На отдельном листе бумаги (без соответствующего рисунка). Возьмем вертикаль A'F', равную вертикали AF на картине, и отметим на ней точкой h уровень линии горизонта. Проведем из точки h перпендикулярную прямую к линии A’F'. Отложим на ней отрезок ЛК, приблизительно равный A'F'. Проведем из точки V крайние лучи VA’ и VF' масштаба высоты и затем указанным выше способом — все промежуточные лучи.
586.	— Применение делительных масштабов. Для того чтобы встроить в прямоугольник EFGI на картине перспективу плана, пользуются делительными масштабами ширины и глубины.
При измерении ширины (рис. 639) полоску бумаги кладут вдоль стороны EF, отмечают на ее кромке точки Е и F и обязательно середину о этой стороны (первое поло-жение). Передвигая полоску по масштабу высоты, находят положение, при котором точка о совпадет с осью Ух масштаба, а точки Е и F— с крайними лучами масштаба
560
(положение второе). Удерживая в этом положении полоску, отмечают на кромке точки ее пересечения со всеми лучами масштаба. Полоску снова устанавливают на картине вдоль стороны EF и переносят на нее все точки, отмеченные на полоске (третье положение).
Такую же операцию проделывают на стороне GI, параллельной стороне EF. После этого соединяют все точки на стороне EF с соответствующими точками на стороне Gin получают перспективную сетку всех прямых по ширине плана.
Само собой разумеется, что в тех случаях, когда точка схода сторон EI и FG доступна, полоску бумаги устанавливают только вдоль одной из сторон, а перспективную сетку строят с помощью этой точки схода.
Для определения размеров в глубину полоску бумаги устанавливают вдоль стороны FG и отмечают на ее кромке, кроме точек F и G, обязательно точку s на середине стороны FG (первое положение). Отметив эти точки, полоску перемещают на делительный масштаб глубины, устанавливают в указанном выше положении, отмечают на ее кромке точки пересечения кромки со всеми лучами масштаба (второе положение), после чего все эти точки переносят на сторону FG (третье положение).
В тех случаях, когда точка схода сторон EF и GI недоступна, повторяют такую же операцию и на четвертой стороне EI прямоугольника. Поступая, как показано выше, рисующий получит перспективную сетку глубины плоскости.
Следя очень внимательно за положением в плаве предмета сложной формы, по перспективным сеткам ширины и глубины построим на картине более жирными линиями перспективу плана этого предмета. Во избежание ошибок мы рекомендуем обозначать линии обеих сеток теми же буквами и цифрами, которыми обозначены вертикальные и горизонтальные порядковые линии заданного плана.
587 — Чтобы закончить построение перспективы, возьмем масштаб высоты и построим с его помощью, начав с более крупных членений и строго соблюдая разницу их уровней, все детали этого предмета (рис. 639).
Ниже мы даем ряд примеров.
Построим перспективное изображение крыши.
Конек ab главной крыши расположен в плоскости верхнего основания, и, следовательно, прямая ab является перспективой конька.
Конек cd крыши балкона находится на уровне второго луча (начиная сверху) масштаба высоты. Проведем из точек с и d вертикали еще не определенной длины. Уложим полоску бумаги вдоль вертикали сс' и отметим на ее кромке точку с и обязательно точку с' на линии горизонта (первое положение). Переместим полоску на масштабе высоты и, держа ее вертикально (причем точка с' должна все время находиться на линии горизонта), будем передвигать до тех нор, пока точка с не совпадет с линией основания VF' масштаба; отметим в этом положении на кромке полоски точку ее пересечения со вторым лучом масштаба, которым определяется уровень искомого конька (второе положение). Перенесем полоску на картину. Уложим ее снова
J6—юоз
561
Рис. 640 (14; 20; 306; 368; 369; 563; 588)
вдоль вертикали сс' и обозначим на этой вертикали точку С, которая соответствует на полоске концу перспективы конька покрытия балкона (третье положение).
Повторим эти операции на вертикали dd'. Мы найдем точку D перспективы конька CD. Вычертим эту перспективу жирной линией и после этого сотрем резинкой вертикали Сс' и Dd', которые нам больше не нужны.
Контур крыши ломается на уровне третьего луча масштаба высоты. В перспективе плана точки излома крыши обозначены буквой е. Часть этих точек скрыта от рисующего, но некоторые из них могут быть полезны при окончании перспективы, как, например, точка el, которая поможет построению видимой части стороны eel. Другие точки, как, например, точка е2, скрыты и бесполезны. Такими точками мы заниматься не будем.
Проведем вертикали из всех точек на линиях излома крыши. Поступая, как было показано выше, отметим на каждой вертикали уровень ее пересечения с третьим лучом масштаба высоты, которым определяется уровень этого излома. Соединим попарно эти точки, проведем более жирной чертой линии излома ЕЕ и ЕЕ1 всей крыши и затем сотрем ненужные вертикали.
562
Нижний край крыши проходит на уровне шестого луча масштаба высоты. Точки его излома обозначены на перспективе плана буквой f Проведем вертикали из этих точек (в данном случае все они полезны) и на каждой из этих вертикалей произведем последовательно все нужные операции.
Уложим полоску бумаги на картине вдоль соответствующей вертикали. Отметим на ее кромке точку f и вторую точку f на линии горизонта (первое положение). Перенесем полоску на масштаб высоты, и, держа ее вертикально, установим так, чтобы точка f совпала с линией основания F'V масштаба, а точка f — с линией горизонта (второе положение). Отметим в этом положении на кромке полоски точку ее пересечения с шестым лучом масштаба. Уложим снова полоску вдоль вертикали, с которой мы начали операцию, и отметим на ней точку, через которую проходит нижний край крыши.
Найдя таким же способом искомые точки на всех вертикалях, соединим их одна с другой непрерывной линией. Мы получим перспективу нижнего края крыши.
Точку F1 не следует искать па масштабе высоты. Положение ее определяется пересечением вертикали flFl с краем FF крыши.
588. — Таким образом поступают со всеми членениями сложного по форме предмета (рис. 640).
На всех вертикалях столбов веранды и балкона отмечают нужные уровни: уровень балки, несущей крышу балкона, орнамента на столбах, перил. Отметок на промежуточных столбах балкона делать на следует — уровень разных украшений на этих столбах определяется отметками на крайних столбах. Отлогость почвы определена с помощью отметок на углах стен дома, соответствующих уровням, взятым на масштабе высоты.
Некоторые детали строятся упрощенными методами, например, для того чтобы построить вертикальные планки перил, мы применили способ деления с помощью делительного масштаба прямой на заданное число равных отрезков и т. д. (364—371).
Усилия, приложенные рисующим при применении этого метода, полностью окупаются реальностью полученного перспективного изображения. Вряд ли найдется художник, которому не захотелось бы уметь создавать на своей, исполняемой не с натуры композиции такие законченные, яркие и спонтанные изображения, как приведенный нами выше храм на картине Рафаэля (рис. 5).
Формы сложных предметов бесконечно разнообразны. Часто задачу можно упростить, построив показанным выше способом основные линии предмета, а затем— в соответствии с этими линиями и с помощью упрощенных перспективных методов — все его членения. Такие построения показаны в дальнейших примерах.
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВЫ СЛОЖНЫХ ПРЕДМЕТОВ
Перспектива фронтальных восходящих и нисходящих ступеней
589. — Перспективу фронтальных ступеней можно построить и без линии схода восходящих и нисходящих в глубину пространства плоскостей, которая, как мы видели, недоступна (549—552). Зная число и ширину ступеней и высоту подступеней,
563
можно установить, произведя расчет или графическим путем, три измерения обертывающей (описывающей) эти ступени прямой призмы, которые мы рассматриваем как предмет сложной формы (при расчете надо помнить, что число подступеней одним больше числа ступеней, как это видно на схеме рисунка 641, где подступеней И, а ступеней 10, потому что одиннадцатая ступень сливается с верхней площадкой).
С помощью перспективных элементов картины (рис. 641) легко построить фронтальную призму ABEFGHIJ 11-ти восходящих подступеней с ребрами: АВ = 1,30 м, BF = 1,65 м (0,15 X 11 = 1,65), ВН= 3,00 м (0,30 X 10 = 3,00) и фронтальную призму DCKLMNRS 11-ти нисходящих подступеней того же размера, измеренных и в первом, и во втором случаях единицей о перспективного масштаба. Для того чтобы найти на картине длину 3 м ребер ВН и KR, взяты в четыре раза более короткие отрезки Bh и Кп (измеренные той же единицей измерения о), т. е. равные каждый 0,75 м. Точки Лип соединены с соответствующими в четыре раза уменьшенными точками отдаления. Чтобы построить ступени внутри этих призм, надо произвести следующие операции:
а) Взять масштабную линейку и передвигать ее в вертикальном положении между перпендикулярными к картине прямыми РВ и PF до тех пор, пока на ее делениях не будет найдено число, кратное 11; когда это положение будет найдено, отметить на картине точками на вертикали 11 равных отрезков. Такую же операцию проделывают и на участке между перпендикулярными к картине прямыми PC и РК.
б)	Провести через концы первого и последнего делений перпендикулярные к картине прямые и построить первые подступени АаВЬ и CcDd и последние подступени HJj и RrSs восходящей и нисходящей лестниц.
564
в)	Соединить точку b с точкой J, точку В с точкой J, точку а с точкой I и точку А с точкой i для восходящих ступеней, а точки С с г, с с R, D с s и d с S для нисходящих ступеней.
г)	Из концов полученных выше 11 делений, но только между прямыми Jb и JB (на восходящей лестнице) и между прямыми Сг и cR (на нисходящей) проводят перпендикулярные к картине прямые и получают ступени этих лестниц. Вертикали, соединяющие концы ступеней, образуют соответствующие подступени.
д)	Проведя горизонтальные ребра ступеней, мы найдем с помощью прямых 1а и iA концы ступеней между этими прямыми (для восходящей лестницы) и между прямыми Ds и dS (для нисходящей лестницы).
Перспектива ступеней, непараллельных картине
Рис. 642 (14; 20; 590; 591)
590.	— Когда ступени лестницы непараллельны картине, их горизонтальные ребра образуют наклонную плоскость, расположенную под произвольным углом к картине и имеющую недоступные линию и точки схода. Задача решается легко вписыванием лестницы, принятой за тело сложной формы, в призму, расположенную под углом к рисующему, а не параллельно картине, как в предыдущем примере с фронтальной лестницей.
Рассматривая вычерченные в масштабе 1 :200 (5 мм равны 1 .и) план и сечение лестницы (рис. 642),	перспективу которой хотим построить, мы
видим, что призма, в которую вписывается этот сложный по форме предмет, имеет ширину 4,40 м (к ширине ступеней в 3,20 м добавляется ширина перил и полуокружных боковых выступов, которыми заканчивается первая ступень), глубину 9,30 м (27 ступеней по 0,30 jw) плюс площадка 1,20 м [(27 X 0,30) + 1,20 — 9,30] и высоту в 5,25 м (29 подступеней по 0,15 м плюс высота балюстрады 0,90 м [(29 X X 0,15) + 0,90= 5,25].
На картине (рис. 643) с заданными перспективными элементами пусть точка А будет точкой, выбранной художником для начала лестницы, а прямая АВ — перспективой первой подступени еще не определенной длины. Мы знаем, что с помощью дробных точек отдаления D/4
565
Рис. 643 (14; 287; 299; 300; 306; 382; 401, В; 590)
и D' /4 можно построить ортогональную проекцию А В1 этой перспективы, чтобы найти угол и, образуемый в пространстве этой проекцией с картиной (287).
Проведем из точки А вертикаль АЕ высотой в 5,25 м (измеренную в перспективном масштабе единицей V) и построим известным нам методом (297—299), пользуясь ортогональной проекцией, верхнее основание EFGI описывающей призмы. Проведем из точки Е прямую EG1 под углом и к горизонтали ЕЕ' и прямую EF1, перпендикулярную к прямой EG1. Из-за недостатка места измеренные в перспективном масштабе единицей V прямые EG1 и EF1 имеют длину: первая — 2,20 м, т. е. половину 4,40 м (382), а вторая — 4,65 м, т. е. половину 9,30 м. Проведем вертикали Gig и Flf, а из точек g и f — перпендикулярные к картине прямые gP и fP. Отложим на горизонтали ЕЕ' отрезки: gg', равный четверти прямой gGl, и ff, равный четверти прямой FF1. Прямые g'D/4 и f'D'[4 определяют на перпендикулярных к картине прямых gP и fP положение точек G' nF'. Прямые EG' и EF' являются перспективами проекции EG1 и EF1. Длина каждой из них равна половине длины соответствующих сторон прямоугольного основания призмы.
Чтобы найти нормальную длину сторон, отложим на горизонтали ЕЕ' отрезок g'g2, равный отрезку Eg', и отрезок ff'2 (случайно на чертеже точки f nf2 совпадают), равный отрезку Ef. Прямыми g2D/4 и F2D'/4 определяется нормальная длина сторон EG и EF верхнего прямоугольного основания призмы (382).
566
Построим две другие стороны этого основания (401, В).
Проведем перпендикулярную к картине прямую ЕР, горизонталь Gi и горизонталь FJ еще не известной длины. Соединим точки Е и icD/4. Мы получим на проведенной через точку F горизонтали отрезок ei'. Отложим на этой же горизонтали отрезок Je', равный отрезку ei', и проведем из точки е’ прямую e'D/4, которая пересечет перпендикулярную к картине прямую ЕР в точке к, проведем через эту точку горизонталь KkL. Отложим на этой горизонтали отрезок LI, равный отрезку К1. Мы определили в точке I положение четвертого угла перспективы верхнего основания EFGI призмы.
На рисунке 643 видно, как найдены точки г и s на серединах сторон GI и IF основания, для того чтобы пользоваться на них делительным масштабом (стороны EF и EG уже были разделены на две равные части в точках F' и G').
591.	— На рисунке 642 показано построение делительных масштабов ширины и глубины, а на рисунке 644 — как надо ими пользоваться. На сторонах EG и FI применялся масштаб ширины, а на сторонах EF и GI — масштаб глубины. С их помощью была построена перспектива всей лестницы.
Для определения высоты на рисунке 644 были проведены через точки А, Е, I горизонтали. Затем на бумаге, на которой производилось построение, провели на свободном от рисунка пространстве с наклоном, обеспечивающим отчетливые пересечения, прямую I1E1. При продолжении этой прямой была найдена в точке V вершина масштаба. Из
Рис. 644 (14; 253; 306; 491; 585)
567
Рис. 645 (14; 306; 592)
точки El проведена вертикаль Е1А1. Прямая VA1 — это нижний луч построенного вне картины масштаба; будем пользоваться только его частью между прямыми А1Е1 и IIC1.
Отметим на полоске бумаги характерные уровни сечения и перенесем их на вертикаль ST масштаба высоты, на котором построена с помощью масштабной линейки между лучами VA1 и VE1 вертикаль ае. Найдя положение, в котором мы прочитали на линейке число делений, кратное 29, отложим на этой вертикали 29 равных отрезков, определяющих уровни 29 ступеней лестницы (на нашем рисунке — 58 мм).
Построим сначала заключенные в прямоугольник efgi ступени, а затем перила.
Проведем из точек е, f, g, i и из точек о, j, к, I вертикали, которые ограничивают площадку на середине лестницы. Отметим с помощью делительного масштаба и полоски бумаги на вертикалях, проведенных из точек е, .f, g, i, высоту подступеней. Уложим полоску бумаги вдоль вертикали gg' и отметим на ее кромке точку g и непременно расположенную на линии горизонта точку g' (первое положение). Перенесем полоску на масштаб высоты и установим ее так, чтобы точка g совпала с базой масштаба высоты — VE1, а точка g' — с линией горизонта (второе положение). Удерживая полоску в этом положении, обозначим на масштабе точками места всех подступеней и более заметным знаком уровень р площадки. Перенесем эти точки на вертикаль gg' (третье положение). Произведем такую же операцию на остальных трех вертикалях.
568
Проведя на уровне площадки горизонтали рр, мы получим на пересечении этих горизонталей с проведенными из точек o,j, к, I вертикалями перспективу mnrs площадки. Воспользуемся делениями на вертикалях ее', ff, gg', И' и построим подступени: aa'bb' — в начале первого марша лестницы; тт'пп' — последний перед площадкой; rr' ss' — в начале второго марша и dd'cc' в конце марша. Соединяем концы подступеней наклонными прямыми ат' и а'т; гс' и r'c; Ьп' и b'rr, sd' и s'd. Между этими прямыми можно построить все ступени и все соответствующие им подступени. Перспективу ступеней заканчивают, проведя ребра, параллельные ребру ab.
592.	— Высоту человеческих фигур на лестнице (рис. 645) измеряют в перспективном масштабе соответствующих им фронтальных плоскостей. Чтобы определить высоту человека, стоящего в точке J на седьмой ступени снизу, проведены: прямая JK вдоль ступени; вертикаль KL — до пересечения ее с прямой b'd' на предметной плоскости; горизонталь LN — до перспективного масштаба, в котором был измерен отрезок KR длиной в 1,75 м. Чтобы найти точку S, мы пользовались в качестве вспомогательного перспективного масштаба ребрами ступеней лестницы, с помощью которого была проведена прямая R S.
На рисунке 645 показано, как дополнена перспектива лестницы перспективой боковых перил. Для ее построения из перспективы плана проведена соответствующая вертикаль и измерена на перспективном масштабе полоской бумаги.
г
Перспектива лестницы в пять маршей
593.	— Предположим, что рисующий вообразил или начертил по памяти или пользуясь произведенными на месте точными измерениями планы лестницы с пятью маршами. Рассмотрев эти планы (рис. 646), мы установили, что размеры ребер призмы, в которую вписывается этот сложный по форме объект, должны равняться 6,00 X 8,70 X 3,15 м (разница уровней между первым и вторым этажом равна 3,15 м, высота каждого марша из семи ступеней равна 1,05 м). На основании тех же планов (рис. 647) мы определили расстояние (15 м) и положение (угол и) по отношению к рисующему, который предполагается в точке О, с глазами на высоте 4,65 м (6,15 — 1,50 = 4,65) над предметной плоскостью. Кроме того, мы установили, что наиболее близкое к рисующему ребро призмы расположено на расстоянии 2,35 м влево от главной плоскости зрения или от главного луча зрения ОО' рисующего.
Проведем на картине (рис. 647) линию горизонта, отметим на ней главную точку Р и, отложив на левом краю картины четыре отрезка по 1 м и еще 0,65 л/, а на горизонтали tv — один точно такой отрезок, построим перспективный масштаб для высоты 4,65 м, т. е. для уровня, на котором находятся глаза рисующего относительно предметной плоскости.
Художник выбирает соответствующее его замыслу место на картине для следа LA1 фронтальной плоскости, в которой проходит наиболее близкое к нему ребро призмы.
569
Рис. 646 (14; 20; 593)
На этом следе откладывается влево от главной плоскости зрения W отрезок LA, равный 2,35 м, который определяет в точке А положение наиболее близкого к художнику угла основания призмы. Пользуясь той же точкой измерения, откладывают из главной точки Р до точки D/4 (или до точки D'I4) на линии горизонта отрезок, равный 3,75 м, т. е. четверти расстояния (15 м) от точки А до художника.
Теперь мы располагаем всеми перспективными элементами для построения прямоугольного основания призмы.
570
Рис. 647 (14; 152, б; 299; 401, Б; 593; 594)
594.	— На рисунке 647 видно, как из точки А, положение которой определено указанным выше способом, была построена ортогональная проекция АС' стороны прямоугольника, равной 6 м, которая образует с нейтральной плоскостью угол и, и ортогональная проекция АВ’ его второй стороны, равной 8,70 м (обе стороны измерены единицей L). С их помощью найдены перспективы сторон АВ и АС, а с помощью диагоналей Cd В и AdD закончена перспектива прямоугольного основания ABCD призмы. На том же рисунке мы видим, как найдены точки о, п, г, з на серединах сторон этого прямоугольника.
Затем с помощью делительных масштабов ширины и глубины была построена внутри прямоугольника перспектива плана этого объекта сложной формы.
Для построения масштаба высоты проведены через точки А и D горизонтали еще не установленной длины. При этом было замечено, что, приняв за основание масштаба линию PDIA1, можно построить масштаб высоты между вертикалями, проведенными через точки А1 и D1. Возьмем на фасаде соответствующие отрезки и отложим на масштабе уровни площадок, а между ними три группы маршей из семи подступеней.
Чтобы построить ступени, из точек, обозначенных на плане цифрами 1, 2, 3, 4, 5, проведены вертикали (рис. 648).
На вертикалях, проведенных из точек под номером 1, отмечены с помощью полоски бумаги уровни всех подступеней, предварительно измеренных масштабом высоты.
571
Рис. 648 (14; 217; 253; 594; 595)
На вертикалях, проведенных из точек под номером 2, отмечены уровни семи подступеней второго марша и семи подступеней третьего марша. На вертикалях под номером 3 — подступени первого и второго марша. На вертикалях под номером 4 — подступени только первого марша. На вертикалях под номером 5 — одна лишь седьмая подступень третьего марша.
С помощью этих отметок очень точно построены первые и последние подступени всех маршей, что позволяет провести наклонные линии, между которыми лежат остальные ступени и подступени всех маршей лестницы.
Соединив попарно профили между этими линиями прямыми, мы дополним перспективу ступеней их длинными ребрами. Ступени, невидимые художнику, все же можно построить в тех случаях, когда надо изобразить поднимающиеся или спускающиеся по ним фигуры.
Чтобы не перегружать рисунок линиями построения, которые, как уже отмечалось выше, надо проводить только там, где они нужны, показано построение первых и последних ступеней.
595.	— Высота человеческих фигур на лестнице и на площадках измеряется в перспективном масштабе или масштабом высоты во фронтальных плоскостях этих фигур (рис. 648). Опустим с помощью порядковых линий на предметную плоскость края ступени,
572
Рис. 649 (14; 595)
на которой мы хотим поместить человека. Это позволит найти на предметной плоскости точное положение основания р перпендикуляра, опущенного из точки, в которой находится человеческая фигура. С помощью продолженной горизонтали рр' мы найдем на масштабе высоты в точке V искомую высоту фигуры на четвертой ступени третьего марша.
Балюстраду можно строить одновременно со ступенями, откладывая (см. рис. 649) на вертикалях, проведенных над ступенями, отрезки, равные шести подступеням (6 X 0,15 = 0,90).
Перспектива открытой крышки
596.	— Проверим на боковом фасаде коробки или ящика с открытой крышкой (рис. 650) полуокружностью или полоской бумаги, равна ли ширина крышки а’е ширине ящика еа. Затем с помощью порядковых линий вычертим горизонтальную проекцию этого сложного предмета и определим три измерения описывающей его призмы.
Горизонтальная проекция АВ’CD' основания призмы имеет форму прямоугольника, но мы будем считать ее вписанной в квадрат ABCD со сторонами, равными 0,68 м, так как перспективу квадрата строить легче.
573
Рис. 650 (20; 417; 596; 597)
Как мы увидим дальше, вписывание в квадрат прямоугольного основания заданного предмета позволяет построить его перспективу на той же графической схеме в четырех различных положениях, а при прямоугольном основании возможны только два положения. Высота призмы, измеренная на боковом фасаде, равна 0,47 м. Построим на оси Vx делительный масштаб ширины с вершиной в точке V, на оси Vy — делительный масштаб глубины с вершиной в той же точке V и масштаб высоты с вершиной в точке VI.
597.	— Проведя на картине (рис. 651) линию горизонта, художник, работающий стоя, условно принял стол, на котором установлен ящик, за предметную плоскость. Разница уровней между глазами рисующего (1,50 м) и плоскостью стола (0,80 м) равна 0,70 м. Отложив на краю, картины семь равных делений и на идущей из конца последнего деления горизонтали N пять таких же равных делений, построим перспективный масштаб картины для 0,50 м (152, б).
На рисунке 651 видно, как из точки А, выбранной художником в нужном ему месте, построена ортогональная проекция стороны АВ1 длиной 0,68 м, измеренной
в перспективном масштабе единицей N1, и как получена ее перспектива АВ. На том же рисунке показано построение перспективы квадрата ABCD вписыванием его во фронтальный квадрат EFGR (411) и способ нахождения точек о, п, г, s на середине сторон основания призмы (411). Высота призмы BJ измерена в перспективном масштабе единицей N2. Пользуясь прямыми РВ и PJ как масштабом высоты, мы построили
перспективу верхнего основания IJKL описывающей призмы.
В эту призму с квадратным основанием сложный предмет можно встроить, пользуясь одними и теми же делительными масштабами в четырех различных положениях: а) с открытой крышкой, повернутым к рисующему и вправо (рис. 652);
б)	с открытой крышкой, повернутым к рисующему и влево (рис. 663);
в)	с открытой крышкой, повернутым вглубь и вправо (рис. 664);
г)	с открытой крышкой, повернутым вглубь и влево (рис. 665).
574
Чтобы найти то или другое направление открытой крышки, полоску бумаги укладывают на делительный масштаб глубины (рис. 650) кромкой к его вершине (положение N) или в противоположном направлении (положение 7?).
Нарисунках 652;653; 654; 655 показана перспектива коробки с открытой крышкой в четырех различных положениях.
Масштаб ширины исполь-
зуется только для отграничения	рис. 651 (20; 152, б; 288; 411; 414; 417; 597)
в квадрате ABCD прямоугольного основания AB'CD' сложного по форме предмета. Проведем вертикали D'L' и B'J' и горизонтали D'B' и L'J'. Обозначив буквой s' середину прямой B'D' (на линии ns), сотрем линии DL, LJ, JB, BD, в которых мы больше не нуждаемся. Впишем сложный предмет в призму AB'CD'IJ'KL' с прямоугольным основанием.
При пользовании масштабом глубины полоску бумаги накладывают на стороны АС и B’D' (рис. 650) кромкой к вершине
масштаба (СА — для рисунка 654, С А' для рисунка 655 или кромкой от вершины так, чтобы половина, в которой мы хотим поместить открытую крышку, находилась против лучей масштаба. С помощью масштаба высоты отметим на вертикалях Al, B'J', СК, D'L' уровни предмета. На боковых сторонах AICK и B'D'J'L' построим перспективную
Рис. 652 (20; 417; 597)
сетку и вычертим на них более жирными линиями перспективу боковых сторон ящика А, 1, 2, 3, 4, 5, би В', 1', 2',3', 4', 5', 6'. Дополним перспективу ящика с открытой крышкой, соединив между собой попарно соответствующие точки 1 с Г, 2 с 2' и т. д.
ПЕРСПЕКТИВА ПРЕДМЕТОВ С ОСНОВАНИЕМ НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
598. — Как мы видели выше (534—564), стороны прямых геометрических тел с основанием на наклонной плоскости образуют в зависимости от их положения в пространстве по отношению к рисующему восходящие, нисходящие и наклонные общего
575
Рис. 653 (20, 417, 597)
Рис. 654 (20; 417; 597)
положения плоскости с недоступными линиями и точками схода. С помощью делительных масштабов можно строить перспективу тел с наклонным основанием без помощи точек схода.
Расположенное на наклонной плоскости основание прямой призмы, в которую вписывается сложный по форме предмет (605, рис. 673; 675; 676; 677), каков бы ни был его наклон по отношению к рисующему, может иметь следующие два положения: а) две его стороны могут быть горизонтальными, а две другие — параллельными линии наибольшего ската в данной наклонной плоскости, на которой расположено основание;
б) стороны основания могут лежать под большими или меньшими углами к горизонталям данной плоскости.
В первом случае у призмы четыре ребра горизонтальны. Во втором — нет ни одного горизонтального ребра.
Перспектива прямой призмы с прямоугольным основанием и четырьмя горизонтальными ребрами, расположенной на наклонной плоскости
599. — Если нам даны угол и наклона плоскости, на которой поставлена призма и три измерения этой призмы, построим в обычном масштабе ее боковой фасад (рис. 656) и с помощью порядковых линий —ее горизонтальную проекцию. Приняв призму за сложное тело, впишем ее в прямую призму с прямоугольным основанием ABCD или с квадратным основанием ABCD' (стороны которой АС' и BD' равны более длинным сторонам АВ и AD прямоугольника). Обозначим размеры в метрах (1,85 X 1,85 X 1,35 м или 1,85 X 1,50 X 1,35 м) трех измерений призмы.
Построим при точке V на оси Vx делительный масштаб ширины и при точке V на оси V'y делительный масштаб глубины. Масштаб высоты мы построим на картине.
576
Наклонная плоскость, на которой стоит призма, может быть:
а)	восходящей в глубь пространства (рис. 657);
б)	нисходящей в глубь пространства (рис. 658);
в)	перпендикулярной к картине и наклонной вправо (659);
г)	перпендикулярной к картине и наклонной влево (660);
д)	наклонной в сторону рисующего и повернутой вправо (661);
е)	наклонной в сторону рисующего и повернутой влево (662);
ж)	наклонной в глубь пространства и повернутой влево (663);
з)	наклонной в глубь пространства и повернутой вправо (664).
Пользуясь одними и теми же делительными масштабами, мы можем построить наклонную призму в любом из этих восьми положений. Во время работы надо внимательно следить за положением, в котором мы накладываем полоску бумаги: кромкой к вершине масштаба или кромкой в обратном направлении в зависимости от того, какого результата мы добиваемся. Таким образом были построены тела II, IV, VIII, IX на рисунке 6.
600.	— На плоскости, нисходящей в глубь пространства (рис. 657). На картине с заданными перспективными элементами художник строит в нужном
Рис. 655 (20; 417; 597)
37—1003
577
ему месте горизонтальноный, фронтально расположенный прямоугольник ABCD со стороной BD, равной 1,50 .и, идущей в направлении рисующего (эта сторона измерена в перспективном масштабе единицей N) и со второй стороной, перпендикулярной к картине, длиной 1,85 м (отрезок ВЬ имеет длину 0,46 м, т. е. примерно четверть 1,85 м, а прямая bD/4 определяет положение точки А и, следовательно, длину стороны ВА, равной 1,85 м).
Чтобы пользоваться на сторонах этого прямоугольника делительным масштабом, нет необходимости знать середину стороны BD: она параллельна картине и, следовательно, не искажена. Полоску бумаги с отмеченными на ней точками В и D накладывают на делительный масштаб ширины параллельно линии BD кромкой к вершине V масштаба и передвигают, пока точкиBuD не совпадут с лучами VB и VD масштаба. В этом поло-
Рис.”657 (1, в; 544; 599; 600)	Рис. 658 (1, в; 544; 599; 600; 601)
Рис. 659 (599; 602)	Рис. 660 (599; 602)
578
Рис. 661 (1, в; 417; 599; 603)	Рис. 662 (1, в; 417; 599; 603)
жснии на кромке полоски отмечают точки ее пересечения со всеми лучами масштаба (за исключением луча Vx, не нужного для построения).
Середина о стороны АВ была найдена с помощью точки о' в месте пересечения диагоналей DA и ВС прямоугольника. На делительный масштаб глубины полоска бумаги была наложена таким образом, чтобы концы отрезка Ао совпали с лучами V'A и V'y.
Таким образом была получена перспектива основания сложного наклонного тела. Для построения перспективы его ребер пользуются масштабом высоты.
Восставим из произвольной точки S на фронтальной стороне описывающего прямоугольника перпендикуляр SS’ высотой 1,35 м (измеренный той же единицей измерения N на перспективном масштабе). Чтобы построить масштаб высоты, проведем из какой-нибудь точки на линии горизонта, например из точки Р, лучи PS и PS'. Отметим на полоске бумаги уровни, найденные на боковом фасаде рисунка 656. Установим полоску вертикально между лучами PS и PS' и определим положение точек s, s', через которые проходят лучи масштаба высоты (эта операция показана только на рисунке 658).
Просматривая перспективу плана, мы видим, что точки, обозначенные цифрой 1, лежат в предметной плоскости; цифрой 2 — в пространстве, на втором уровне масштаба высоты; цифрой 3 — соответствуют его третьему уровню и т. д. Проведем из этих точек вертикали. Определим их высоту полоской бумаги по масштабу высоты.
Уложим, например, полоску вдоль вертикали, проведенной из точки 5. Отметим на ее кромке 5 и непременно точку ее пересечения с линией горизонта (первое положение). Держа полоску вертикально на масштабе высоты, наложим ее точкой 5 на луч основания PS масштаба, а точкой /г — на линию горизонта (второе положение). Отметим в этом положении на полоске точку пересечения ее кромки с лучом Р5. Переложим снова полоску на соответствующую вертикаль на картине и отметим на ней точку 5 (третье положение).
Определив таким образом высоту всех вертикалей, мы можем построить все ребра наклонного тела, идущие в недоступную точку схода.
579
601.	— На плоскости, нисходящей в глубь пространства (рис. 658). Перспектива объекта, установленного на плоскости, нисходящей в глубь пространства, строится также как на восходящей пл оскости, с единственной разницей, что в описывающем прямоугольнике более близкая к рисующему сторона соответствует стороне АС горизонтальной проекции на рисунке 656. Для определения размеров в глубину полоску бумаги надо установить так, чтобы отрезок оА уместился между лучами V'A и У'у.
602.	— На перпендикулярной к картине наклонной плоскости. Если наклонная плоскость, на которой покоится основание призмы, перпендикулярна к картине, заключенные в ней линии наибольшего наклона параллельны картине и поэтому не искажаются. Также не искажается и угол, образуемый этой плоскостью с параллельными картине горизонталями предметной плоскости, а ее горизонтали, сходясь в главной точке, измеряются с помощью точек уменьшенного отдаления. Следовательно, перспективу наклонной призмы построить легко (рис. 659).
Перспектива описывающего прямоугольника ABCD (размером 1,85 м X 1,50 ,и) построена после измерения стороны АВ в перспективном масштабе единицей измерения N, а длина перпендикулярной к картине стороны АС — с помощью отрезка Аа, равного 0,375 .« (1,50 : 4 = 0,375) и точки D/4 или D'/4. Чтобы построить перспективу плоскости, вписанной в этот прямоугольник, полоска бумаги накладывалась на масштаб глубины параллельно прямой АВ, а для размеров в глубину пользовались отрезком Яд на параллельной картине прямой АВ найденным указанным ниже способом.
Полоска бумаги с отмеченными на ней концами Ан а была наложена на делительный масштаб рисунка 656 параллельно прямой BD, точкой А на луч VB и точкой а на луч VD. Затем на кромке были отмечены точки ее пересечения с остальными лучами масштаба, после чего эти точки были перенесены на отрезок Аа, а отсюда с помощью дробной точки отдаления D/4 (или D'I4) — на сторону АС.
Масштаб высоты был построен способом, показанным в предыдущих примерах, и тем же способом применялся для построения призмы.
580
Так поступают и в тех случаях, когда плоскость наклонена вправо (рис. 659) или влево (рис. 660).
603.	— На наклонной плоскости общего положения. Предположим, что наклонная плоскость образует с нейтральной плоскостью тот же угол, что и в предыдущих случаях, и что проходящие в ней горизонтали образуют с картиной заданный угол, например 30° (рис. 661).
Перспективное изображение расположенных в этом направлении предметов строится на картине с помощью проведенной рисующим из произвольно взятой точки В прямой BD1. Эта прямая образует с горизонталью Bd заданный угол в 30°. На рисунках 661 и 662 видно, как, исходя из проекции этого угла, получают перспективу идущей в заданном направлении прямой BD'.
Длина прямой BDI равна 1,85 м; на ее перспективе BD' можно построить перспективу углового квадрата ABCD, вписав его уже известным нам раньше и снова примененным на рисунке 661 способом в квадрат фронтального построения. Затем находят точки о, п, r,s на середине сторон квадрата, что позволяет пользоваться на этих сторонах делительными масштабами.
На перспективе этого квадрата можно построить, поступая, как было показано в параграфе 597 (рис. 650—655), перспективу наклонной призмы в четырех различных положениях, в зависимости от способа пользования делительным масштабом для вписывания перспективы ее плана.
На рисунке 661 наиболее близкая к рисующему сторона соответствует стороне BD' горизонтальной проекции. Основание призмы расположено на наклонной в направлении рисующего плоскости, а ориентированные вправо горизонтали этой плоскости образуют с картиной угол в 30°.
На рисунке 664 наиболее близкая к рисующему сторона соответствует стороне С А горизонтальной проекции. Горизонтали наклонной к рисующему плоскости ориентированы влево и образуют с картиной угол в 30°.
На рисунке 662 наиболее близкая к рисующему сторона соответствует стороне D'В горизонтальной проекции. Плоскость, на которой расположено основание призмы, наклонна в глубь пространства и повернута влево. Ее горизонтали образуют с картиной угол в 30°.
На рисунке 663 наиболее близкая к рисующему сторона соответствует стороне АС горизонтальной проекции. Основание призмы расположено на плоскости, наклонной в глубь пространства, а горизонтали этой плоскости, ориентированные вправо, образуют с картиной угол в 30°.
Из точек 2, 3, 4, 5 проводят вертикали. Их. высота измеряется полоской бумаги на масштабе высоты на соответствующих уровнях. Масштаб высоты построен на всех рисунках способом, показанным в параграфе 600.
ПЕРСПЕКТИВА ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ, НЕ ИМЕЮЩЕЙ НИ ОДНОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО РЕБРА
604.	— Если нам дан угол и (рис. 665), образуемый наклонной плоскостью с предметной плоскостью, и углы к и /, образуемые сторонами основания призмы с горизонталями наклонной плоскости, она которой на расположена, то можно построить перспек
581
тиву призмы заданных размеров, каким бы ни было ее положение относительно рисующего — восходящим (рис. 666), нисходящим (667), перпендикулярным к картине и наклонным вправо или влево (рис. 668), наклонным в направлении рисующего и повернутым вправо (669) или влево (рис. 670), наклонным в глубь пространства с ориентацией вправо (рис. 671) или влево (рис. 672).
Вычертим горизонтальную и вертикальную проекции расположенной на наклонной плоскости призмы заданных размеров.
Построим основание abed призм в положении, при котором ее стороны образовали бы с прямой ig те же углы к и /, которые они образуют в пространстве с горизонталями наклонной плоскости. Заданные размеры сторон основания откладываются в обычном масштабе (рис. 665, I).
Рис. 665 (20; 417; 604)
582
С помощью порядковых линий мы можем построить боковой фасад призмы a'b'c'd'e'f'g'h', придав ее вертикальным ребрам нужные размеры в том же масштабе (рис. 665,11).
Повернем вертикальную проекцию основания призмы вокруг оси ig настолько, чтобы она образовала с горизонтальной плоскостью проекции угол и, образуемый в пространстве наклонной плоскостью (рис. 665, III). С помощью порядковых линий мы можем построить и горизонтальную проекцию установленной в этом положении призмы (рис. 665, IV).
Впишем горизонтальную проекцию наклонной призмы в прямоугольник ABCD или в квадрат ABCD' и измерим их стороны (1,92 X 1,63 м или 1,92 X 1,92 м). Построим на оси Ух делительный масштаб ширины с вершиной в точке К и на оси V'v — делительный масштаб глубины с вершиной в точке У'. Спроектируем вертикально на прямую тп уровни призмы и, пользуясь этими уровнями, построим на картине масштаб высоты.
Рис. 668 (604)
Рис. 666 (1, в; 544; 604)
Рис. 667 (1, в; 544 ; 604)
I
583
На картине перспектива призмы, не имеющей ни одного горизонтального ребра, строится тем же методом, что и перспектива призмы с четырьмя горизонтальными ребрами, в любом из перечисленных выше восьми положений. Разница лишь в том, что в первом случае у призмы нет ни одного горизонтального ребра, и поэтому каждый из ее восьми углов имеет свой уровень, в то время как во втором случае одинаковые уровни имеют каждые два соответствующие угла призмы. Все фигуры на рисунках^ иллюстрирующих эти случаи, обозначены одними и теми же буквами, что позволяет по данном выше объяснениям легко разобраться во всех построениях.
Для лучшего освоения таких задач мы советуем читателю сравнивать перспективы призм с основанием на наклонной плоскости, построенные с помощью делительных масштабов, с фигурами, построенными теоретически с помощью недоступных точек схода (рис. 603; 604; 605; 615; 616; 617; 618; 619; 620). В-результате таких сравнений он привыкнет представлять себе'на картине места, в которых должны находиться недо-
584
ступные точки схода ребер перспективных изображений предметов, построенных с помощью делительных масштабов, и только этим путем он приучит свой глаз замечать на таких рисунках ошибки, допущенные им в результате неумелого пользования делительными масштабами или неправильного соединения точек.
Этим способом были построены перспективы наклонных тел V—VII и X—XIII на рисунке 6.
605.	— Перспективу сложного предмета можно вписать с помощью делительных масштабов в перспективу прямой призмы с горизонтальными ребрами или прямой призмы, не имеющей горизонтальных ребер и с основанием, расположенным на наклонной плоскости.
Прежде всего находят с помощью диагоналей граней середину ребер. После этого приступают к работе с делительными масштабами, которыми пользуются так же, как на любой вертикальной призме. Прямые, идущие в недоступные точки схода, строятся с помощью перспективных сеток. Так были построены сложные предметы: деталь памятника, лежащая наклонно на куче песка на рисунках 673; 675; 676, и другая деталь, лежащая горизонтально на предметной плоскости на рисунках 674; 676.
ПЕРСПЕКТИВА ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
•
606.	— Вписав наклонно стоящее тело вращения в прямую призму и пользуясь делительными масштабами, можно легко построить его перспективу, какого бы ни было направление горизонталей наклонной плоскости его основания.
Возьмем в качестве примера ведро, из которого доярка льет молоко. Спроектируем в обычном масштабе вертикальную проекцию профиля этого тела вращения в нужном наклоне (рис. 677, I). Построим с помощью порядковых линий его горизонтальную проекцию (рис. 677, II). Обозначим сечениями т, п, о, г на горизонтальной проекции горизонтальный уровень жидкости.
Впишем эту проекцию в прямую призму с прямоугольным основанием и определим три ее измерения (0,28 х 0,34 х 0,33 .и). Проведем лучи через проекции всех характерных точек тела вращения и находящейся в нем жидкости и построим на оси Vx делительный масштаб ширины с вершиной в точке К; на оси Vly в точке VI — делительный масштаб глубины и в точке V2 — масштаб высоты.
Построим на картине (рис. 678) с помощью ее перспективных элементов перспективное изображение призмы на уровне (на 0,60 м ниже главной горизонтальной плоскости зрения) и в положении (определяемом углами и и v), которое соответствует композиционным требованиям. Построение произведем с помощью дробной точки отдаления Dj8. Отметим точками середину сторон основания. Затем с помощью полоски бумаги и делительных масштабов ширины и глубины построим перспективу горизонтальной проекции, отмечая цифрами 1—6 характерные точки предмета в соответствии с высотой их уровней в пространстве.
585
Рис. 675 (20; 598; 605)
Рис. 676 (488; 598; 605)
Проведем из этих точек вертикали и измерим высоту каждой из них в соответствующем масштабе. Вместе с полоской бумаги мы пользовались масштабом высоты, построенным на вертикальных проекциях (рис. 677, I).
Прежде чем начать строить большую и малую окружности тела вращения, построим перспективу наклонных квадратов 3—3—6—6 и 1—1—4—4, в которые можно более точно вписать эти окружности, пользуясь соответствующими касательными. Видимый контур тела вращения заканчивается проведением двух общих касательных к этим окружностям.
В приведенных выше примерах наглядно показан ход операций при построении перспективы сложного предмета.
ПЕРСПЕКТИВА ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ ФИГУРЫ
607.	— Построение перспективы человеческих фигур и животных является одной из труднейших задач по построению перспективы сложных тел. Припомним, что, применяя графически закон перспективного уменьшения, художник может легко определить место, занимаемое в пространстве любой из фигур на его картине, а также рас-
587
Рис. 677 (20; 606)
стояние и уровень, на котором надо установить модель для изучения ее деталей во время заканчивания композиции (319; 320). Эта возможность освобождает его от необходимости прибегать к сложным построениям для того, чтобы, установив с помощью перспективного масштаба высоту фигуры, расчленить ее на детали и определить их пропорции, положение и перспективные искажения. И все же, если это потребуется, мы можем построить с помощью линейной перспективы на расстоянии, уровне и в требуемом композицией положении перспективу нескольких наиболее характерных ориентировочных точек фигуры. Это поможет нам, вспомнив все, что мы усвоили в области анатомии, дополнить по памяти на перспективной схеме остальные характерные детали человеческой фигуры.
Перспективу человеческих фигур и животных можно построить с помощью тех же методов, к которым мы прибегали выше для построения перспективы любых сложных тел. Однако при этом мы столкнемся с рядом затруднений: очень трудно, например, определить плоскости этих фигур и обозначить на них горизонтальные проекции всех характерных точек таких нерегулярных проверхностей, какими являются поверхности человеческого тела в движении. Конечно, можно получить, хотя и с большим трудом, нужные нам горизонтальные проекции путем измерений, прозводимых непосред-
588
Рис. 678 (78; 606)
Рис. 679 (319; 567; 607)
ственно на модели, но это очень сложная задача. Поэтому для решения таких задач мы предлагаем строить план прямо в перспективе с помощью двух вертикальных проекций фигуры — одной анфас и одной боковой. Эти проекции легко построить, имея под рукой рисунок, исполненный с натуры или по памяти.
590
Модель устанавливают в нужной для картины позе и исполняют с нее два рисунка одинаковой величины — один спереди, другой сбоку — со стороны, которой она должна быть повернута к зрителю на картине. Как мы уже сказали, эти рисунки можно сделать по памяти. При рисовании с натуры лучше всего их исполнять с далекого расстояния, чтобы они походили как можно больше на ортогональные проекции и, прежде чем пустить в работу, нарисовать их еще раз рядом, со всеми нужными изменениями, для того чтобы соответствующие элементы обоих рисунков находились на одних и тех же горизонталях и как можно больше приближались к ортогональным проекциям (рис. 679).
Отметим на этих рисунках наиболее характерные для данной фигуры точки, следя за тем, чтобы эти ориентировочные точки находились на обоих рисунках на одинаковых горизонталях.
Впишем каждый рисунок в соответствующий прямоугольник. Проведем из всех характерных точек вертикали до основания описывающих их прямоугольников и горизонтали до одной из вертикальных сторон этих прямоугольников или до проведенной с этой целью вертикали ВС. Эти прямоугольники являются вертикальными сторонами призм с прямоугольным основанием, обертывающих фигуры, перспективу которых мы строим.
Построим три делительных масштаба — ширины с вершиной в точке VI (рис. 679) на основании прямоугольника, описывающего фигуру, нарисованную спереди; глубины с вершиной в точке V на основании прямоугольника, описывающего рисунок фигуры, нарисованной сбоку, и высоты на вертикали DC или картине (рис. 681), перенеся с помощью бумажной полоски на прямую В1С1 точки, найденные на прямой DC рисунка 679.
Чтобы не ошибиться, пронумеруем все лучи этих делительных масштабов, обозначив каждую характерную точку фигуры соответствующей цифрой или буквой, которые повторяют на всех трех масштабах. С помощью таких координат, т. е. ширины, глубины и высоты, можно определить на картине перспективу всех характерных точек пространства.
На картине с обозначенными перспективными элементами (рис. 680, 681) построим на месте, выбранном художником, на уровне и в положении, отвечающем его композиционному замыслу, перспективу прямоугольника со сторонами, которые соответствуют по размеру сторонам прямоугольников, описывающих фасад и профиль заданной фигуры.
Отметим с помощью делительных масштабов ширины и высоты на четырех сторонах перспективы прямоугольника проекции всех характерных точек фигуры. Соединив между собой соответствующие точки на противоположных сторонах призмы, мы получим перспективную сетку, на которой пронумеруем теми же порядковыми цифрами или буквами все найденные точки пересечения. Мы получили перспективу плана соответствующей фигуры, на которой уточнены проекции всех характерных точек.
Проведем из этих точек вертикали еще не установленной длины.
Пользуясь масштабом высоты на исполненном нами рисунке с натуры (рис. 679), построим на картине в наиболее подходящем месте масштаб высоты и обозначим
591
Рис. 680 (78; 319; 607)
Рис. 681 (78; 319; 567; 607)
593
все его лучи теми же цифрами и буквами, которыми они обозначены на проекции.
Измерим по масштабу полоской бумаги высоту всех уровней и перенесем их на вертикаль соответственно обозначенному на них номеру или букве.
Найденные таким путем точки являются надежными ориентирами для построения схемы данной фигуры. После этого, чтобы легче разобраться в направлении и характере перспективных искажений деталей нужной ему фигуры, художник должен учесть расстояние (высоту), на котором она расположена относительно линии горизонта, и угол, который она образует с картиной, и, используя свое знание анатомии человеческого тела и память, придать с помощью найденных указанными выше построениями ориентиров нужный рельеф деталям изображаемой фигуры. Успех этой операции зависит в значительной степени от умения, опыта и знаний, так как при применении этого способа художник ограничен небольшим числом точек, и, следовательно, качество рисунка с натуры со всеми его деталями всецело зависит от таланта художника.
Если оба основания призмы расположены слишком близко к линии горизонта, то для получения более отчетливых пересечений можно прибегнуть к методу поднятого или опущенного перспективного плана (303—306).
При исполнении беглых этюдов несложных поз и движений фигуры можно врисо-вывать по памяти, или, вообразив их позу в описывающую призму, перспектива которой построена на месте, уровне и в положении, выбранном художником. В этом случае он не обязан прибегать к показанным выше детальным измерениям, а лишь обозначить на вертикальном ребре призмы главные уровни, т. е. линию плеч и тех членений, которые имеют особо важное значение при изображении человеческой фигуры в движении.
БИБЛИОГРАФИЯ
Cassagne Armand, Traite pratique de perspective. Paris, 1889.
Deneux H., La metrophotographie. Paris, 1930.
Guadet Paul, Cours de perspective. Paris, 1929.
Kleiber Max, Angewandte perspective. Leipzig, 1922.
Olmer Pierre, Perspective anistique. Тт. I—II. Paris, 1943, 1949.
Pillet Jules, Traitd de perspective lincaire. Paris, 1888.
Vuibert H., Les anaglyphes geometriques. Paris, 1912.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение ................................................................ 5
Глава I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ................................................. 9
Предмет перспективы 1—4............................................ 9
Линейная перспектива и воздушная перспектива 5 .................. 16
Сущность линейной перспективы 6—8 ................................ 17
Перспективные уменьшения параллельных картине (фронтальных) ребер и граней 9................................................. 20
Перспективное искажение (деформация) ребер и граней, непараллельных картине 10................................................. 22
Характеристика конических	проекций	11 ............................ 24
Методы линейной перспективы	12—13 ................................ 26
Прямая и обратная перспективы и перспективная реконструкция 14—16	29
Глава II. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТЬ ПРЕДМЕТОВ, ИМЕЮЩИХ ТРИ ИЗМЕРЕНИЯ................................ 33
Цилиндрические прямоугольные, или ортогональные, проекции 17—20	34
Аксонометрическая, или косоугольная, проекция 21 ................. 40
Изометрические проекции 22 .................................. 41
Диметрические проекции 23.................................... 42
Фронтальные проекции 24................:..................... 43
Военная перспектива 25 ...................................... 44
Практические применения 26................................... 46
Глава III. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРОСТРАНСТВА.......................... 49
Пространство 27—36 ............................................... 49
Точка зрения 37................................................... 54
Бинокулярное ,или стереоскопическое, зрение и монокулярное зрение 38	54
Разница между реальным изображением	и теоретическим 39 ...... 58
Подвижность взгляда и неподвижность теоретической точки зрения 40 ................................................... 61
Приспособляемость (аккомодация) глаза при рассматривании деталей и точка зрения при рассматривании предмета в целом 41	62
597
Стр.
Композиции с многими точками зрения 42 ..................... 62
Поле зрения 43—44 .......................................... 63
Размещение заданного сюжета в поле нормального зрения 45—48	66
Различные виды направленности зрительного поля 49 .......... 73
Лучи и плоскости зрения 50—53 .............................. 73
Предметная плоскость, или земля 54—55  ..................... 75
Фронтальные плоскости 56 ................................... 76
Картинная плоскость 57—60 .................................. 76
Глава IV. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КАРТИНЫ..............................  83
Линия горизонта на плоской вертикальной картине 61 .............. 83
Линия горизонта в рисунке с натуры 62 ...................	88
Линия горизонта в рисунке, сделанном по памяти или созданном фантазией художника 63—66 .................................. 89
Линия горизонта в перспективном рисунке, построенном по ортогональным проекциям 67 ................................. 94
Общие соображения по поводу выбора на картине уровня линии горизонта 68 ............................................... 94
Главная, или центральная, точка вертикальной картины 69 ......... 95
Определение главного расстояния в плоской картине. Точки отдаления 70	96
Длина главного расстояния 71 ............................... 97
Взаимосвязь между главным расстоянием и усилением или ослаблением явлений перспективного уменьшения и искажения 72—73	98
Главное расстояние в рисунке с натуры, в рисунке по памяти и в рисунке, где рисующий знает расстояние до объекта 74 — 76..	104
Дробные точки отдаления и определение их на практике 77—78..	105
Глава V. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАРТИНЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР НА
ВЕРТИКАЛЬНОЙ КАРТИНЕ............................................ 111
Перспективное изображение точки 79—83 .......................... 111
Перспективное изображение прямых 84 ............................ 115
Перспективные изображения прямых, параллельных картинной плоскости (фронтальных) 85—86 ................................. 116
Перспективные изображения вертикальных прямых 87—90 ....... 117
Перспективные изображения горизонтальных прямых, параллельных картинной плоскости 91—93 ........................ 122
Перспективное изображение наклонных прямых, параллельных картине 94—95........................................... 125
Перспективное изображение фронтально расположенных плоских геометрических фигур 96—98.................................. 127
Глава VI. ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМЫХ, ИДУЩИХ В ТОЧКУ СХОДА................................................... 129
Точки схода прямых общего положения 104 ........................ 131
А.	Прямые, перпендикулярные к картине. Перспективные изображения прямых, перпендикулярных к картине, и их точки схода 105—108	132
Относительное положение параллельных и перпендикулярных к картине прямых и их перспективных изображений 109 ............... 137
598
Стр.
Глава VII. ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМЫХ, ИМЕЮЩИХ ТОЧКУ СХОДА................................................... 141
Б. Горизонтали общего положения 110—113 ....................... 141
Перспективное изображение горизонталей общего положения и их точки схода ПО—113............................................. 141
Несколько слов о плоскостях 114—115....................... 146
Теоретическое определение точек схода перспективных изображений любых непараллельных картине горизонталей 116—117 ....	148
Перспективные изображения горизонтальных прямых, наклонных к нейтральной плоскости под углом в 45° 118—119........... 149
Использование точек отдаления для построения перспективного изображения квадратов, расположенных фронтально по отношению к картине 120—122 .................................... 149
Углы, образуемые между собой в пространстве горизонтальными прямыми общего положения различных направлений 123 —124	151
Горизонтальные прямые общего положения, образующие между собой углы 90° и 45° 125—126 ............................. 152
Перспективное изображение расположенного под углом к картине горизонтального квадрата 127............................. 154
Перспективное изображение перпендикулярных прямых 128— 130..... 155
Определение в обратной перспективе линии горизонта на картине, на которой построено два или несколько перспективных изображений, параллельных друг другу, но непараллельных картинной плоскости прямых 131—134 .......................................... 157
Определение методом обратной перспективы главного расстояния на картине, на которой художник нарисовал по памяти или вообразил перспективное изображение прямого угла (теоретически) 135—136 ....................................................... 162
Глава VIII. ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМЫХ, ИМЕЮЩИХ ТОЧКУ СХОДА .................................................. 167
В.	Наклонные прямые общего положения .......................... 167
Точки схода наклонных прямых общего положения на вертикальной картине 137—140 ......................................... 167
Теоретическое определение точек схода перспектив наклонных прямых общего положения 141—142................................. 172
Наклонные прямые общего положения, образующие друг с другом в вертикальной плоскости угол в 90° 143—144 ............... 174
Глава IX. ИЗМЕРЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРЯМЫХ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАРТИНЕ, И ПРЯМЫХ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КАРТИНЕ .................................................. 177
Перспективный масштаб картины 145— 146......................... 177
Единица измерения картины. Определение ее графическим методом 147 — 152......................................... 178
Построение перспективного масштаба картины 153— 155....... 183
Измерение перспектив вертикальных, горизонтальных и наклонных прямых, параллельных картине 156 — 162 .................. 185
599
Стр.
Измерение перспективных изображений перпендикулярных к картине прямых (теоретическое решение) 163—169 ....................... 191
Измерение перпендикулярных к картине прямых с помощью дробных точек отдаления (практическое решение) 170—176 ............... 195
Глава X. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ФРОНТАЛЬНОГО КВАДРАТА И ФРОНТАЛЬНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА, РАСПОЛО-ЖЕННЬ X В ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ ПЛОСКОСТИ (ПРАКТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ) ............................................ 201
ПерспектиЕНое изображение фронтального квадрата в горизонтальной плоскости в прямой перспективе 177—184 .................. 201
Перспектива фронтального квадрата, расположенного в горизонтальной плоскости (в обратной перспективе) 185—186.................... 209
Перспектива фронтального квадрата, расположенного в перпендикулярной к картине вертикальной плоскости 187—192 ........... 211
Перспектива фронтального квадрата, расположенного в перпендикуля-•	риой к картине наклонной плоскости 193—197 .............. 215
Перспектива фронтального прямоугольника, расположенного в перпендикулярной к картине горизонтальной плоскости (в прямой перспективе) 198 — 201................................... 218
Перспектива фронтального прямоугольника, расположенного в перпендикулярной к картине вертикальной плоскости (в прямой перспективе) 202—205 .......................................... 220
Перспектива фронтального прямоугольника, расположенного в перпендикулярной к картине наклонной плоскости (в прямой перспективе) 206—211 ........................................   223
Перспективное изображение фронтального прямоугольника, располо-жс1П1ого в перпендикулярной к картине (горизонтальной, вертикальной или наклонной) плоскости (в обратной перспективе) 212 — 214 ...................................................  226
Глава XI. ПЕРСПЕКТИВА ОКРУЖНОСТИ ................................... 229
Построение перспективы	окружности по четырем точкам	216 ...... 229
Построение перспективы	окружности по восьми точками	217 ...... 230
Построение перспективы	окружности по 16 точкам 218 ........... 235
Построение перспективы	четверти окружности 219 —220........... 239
Глава XII. ИЗМЕРЕНИЯ НА ПЕРСПЕКТИВНОМ ИЗОБРАЖЕНИИ ГОРИЗОНТАЛЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ..................................... 243
Измерение в обратной перспективе горизонталей общего положения 222 — 226 ............................................... 244
Измерение перспективных изображений горизонталей общего положения в прямой перспективе 227 — 228 .....................  246
Измерение в прямой перспективе с помощью четверти окружности перспективы горизонталей общего положения (приблизительный метод) 229—232 .......................................... 248
Определение при помощи четверти окружности нормальных и дробных точек измерения (приблизительный метод) 233 — 234........ 249
600
Стр.
Глава XIII. УГЛОВОЕ ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ КВАДРАТА И ПРЯМОУГОЛЬНИКА, ЛЕЖАЩИХ В ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К КАРТИНЕ ПЛОСКОСТИ (ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ)............................................................ 253
Перспектива квадрата в угловом построении, лежащего в горизонтальной плоскости 236—239..................................... 253
Перспективное изображение прямоугольника углового построения в горизонтальной плоскости 240	— 245 ................. 255
Обратное перспективное изображение горизонтального квадрата и горизонтального прямоугольника в угловом построении 246—248	260
Глава XIV. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРОСТЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ОСНОВАНИЕМ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ .......................................................   263
Перспективное изображение прямоугольной призмы с квадратным или прямоугольным основанием 249 — 252 ....................... 263
Масштаб высоты 253 — 254.........................   ............ 266
Перспективное изображение прямого цилиндра 255 — 258............ 268
Перспективное изображение пирамиды 259 ......................... 272
Перспективное изображение конуса 260 ........................... 274
Глава XV. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРСПЕКТИВЫ................................ 275
Метод уменьшения, или малой картины 262 ........................ 276
Построение перспективы прямого угла на горизонтали общего положения по методу уменьшения в прямой перспективе 263—265	276
Определение методом уменьшения точек измерения и точек схода горизонтальных прямых, идущих под углом 45° 266—269 ....... 279
В каких случаях следует пользоваться методом уменьшения 270..	283
Построение прямого угла методом уменьшения в обратной перспективе 271 ........................................... 285
Проверка перспективы предмета методом малой картины 272—278	286
Метод построения ортогональной проекции 279 — 280............... 291
Задача на построение перспективы прямого угла на горизонтали общего положения методом построения ортогональной проекции 281 —284 .................................................. 293
Угол, образуемый горизонтальной прямой общего положения с нейтральной плоскостью 285 — 287 .......................... 296
Измерение перспективы горизонталей общего положения методом построения ортогональной проекции 288—289.................. 299
Определение положения нормальных и дробных точек измерения данного направления методом построения ортогональной проекции 290—291 ........................................   301
Измерение горизонталей общего положения, когда ортогональная проекция не умещается в рамках картины 292 — 293........... 302
Построение перспективы горизонтального углового квадрата методом построения ортогональной проекции 294—296 ......... 303
Построение перспективы горизонтального углового прямоугольника методом построения ортогональной проекции 297 — 301..	306
Как пользуются методом построения ортогональной проекции 302	308
Метод опущенного или поднятого перспективного плана 303 — 306....	309
601
Стр.
Глава XVI. ЗАКОН ПЕРСПЕКТИВНОГО УМЕНЬШЕНИЯ И ЕГО ГРАФИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ............................................... 313
Закон перспективного уменьшения 307 — 309....................... 313
Перспективные задачи, решаемые графическим путем с помощью закона перспективного уменьшения 310 ...................... 316
Определение действительных размеров в пространстве изображенных на картине предметов 311 — 314 ........................ 317
Как найти размер перспективного изображения 315 — 317..... 320
Определение действительного расстояния 318. Установка модели для детального изучения композиции 319. Фигуры, которые не умещаются полностью в рамках картины 320. Усгановка предметов для этюда деталей 321 ............................... 324
Определение главного расстояния 322 ...................... 331
Случаи графического применения закона перспективного уменьшения 323	332
Перспективное уменьшение высоты человеческой фигуры или предмета 324 .................................................. 334
Садиться слишком близко к модели — ошибка 325 .................. 335
Глава XVII. ПРИЕМЫ, ПОЗВОЛЯЮЩИЕ УПРОЩАТЬ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ....................................... 339
Перспектива горизонталей общего положения с недоступными точками схода 327 ................................................. 340
Перспективная сетка (приблизительный способ) 328 — 330..... 340
Дополнение перспективной сетки делительными масштабами (точный способ) 331—332 ................................... 343
Способ произвольной точки схода или масштаба высоты (точный способ) 333—338 ........................................... 346
Способ с применением полоски бумаги (точный способ) 339 — 341	350
Способ диагоналей (часто дающий неточные пересечения) 342....	351
Способ подобных треугольников 343 — 345.................... 352
Метод подобных треугольников 346 — 347..................... 353
Деление на равные или на пропорциональные части перспективных прямых, идущих в точку схода 348........................... 354
Деление на равные или на пропорциональные части перпендикулярных к картине прямых и горизонтальных прямых общего положения с помощью вспомогательных прямых 349 — 352......... 355
Деление на равные или пропорциональные части наклонных прямых общего положения 353 — 356 ................................ 357
Деление на равные части с помощью перспективной сетки перпендикулярных к картине прямых и горизонталей общего положения 357 — 360 ................................................. 359
Деление с помощью диагоналей перпендикулярных к картине прямых и горизонталей общего положения на две, четыре, восемь и т. д. равных частей 361—363.............................. 362
Деление на равные части с помощью делительного масштаба прямых, идущих в точку схода 364—371 ...................... 363
Повторное откладывание в направлении рисующего или в направлении линии горизонта заданного отрезка перспективы перпендикулярной к картине прямой или горизонтальной прямой общего положения 372 — 376 ................................................ 368
602
Стр.
Повторное откладывание двух и более отрезков различной длины на перспективном изображении перпендикулярных к картине прямых и горизонталей общего положения 377—381 ................... 371
Удвоение отрезка, отложешюго на перспективе перпендикулярных к картине прямых и горизонталей общего положения 382—383..	374
Увеличение в четыре раза заданного отрезка на перспективных изображениях перпендикулярных к картине прямых и горизонталей общего положения 384 — 385 .................................. 376
Как отложить в конце перспективного изображения перпендикулярной к картине прямой или горизонтали общего положения отрезок, равный отрезку, отложенному на другом конце этой прямой 386 — 389 ...................................................... 377
Глава XVIII. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ПЕРСПЕКТИВЕ С ПОСТРОЕНИЯМИ В РАМКАХ КАРТИНЫ.........................	381
Построения, основанные на перспективе горизонтального, фронтально расположенного квадрата ................................... 382
Построения перспективы прямого угла с помощью горизонтальных, фронтально расположенных квадратов 391 — 397........ 382
Определение точек измерения с помощью фронтально расположенных квадратов (приблизительный метод) 398—400 ........ 387
Построение перспективы квадрата или прямоугольника, если на картине имеется перспектива его двух смежных сторон 401....	389
Построение перспективы углового квадрата с помощью горизонтальных, фронтально расположенных квадратов 402 — 403....	392
Построение перспективы углового прямоугольника с помощью горизонтальных квадратов фронтального построения 404—405..	393
Построение с помощью фронтального квадрата перспективы перпендикулярных прямых в перпендикулярной к картине плоскости 406—409 ............................................. 395
Построение перспективы углового квадрата с помощью горизонтального, фронтально расположенного квадрата 410 — 413 ....	397
Определение середины сторон углового квадрата для пользования делительным масштабом 414—415 ............................  401
Построение перспективы углового квадрата с помощью фронтально расположенного квадрата 416—418 ........................... 402
Перспективные сетки, комбинированные с точками измерения ....... 403
Практические, построения, выполняемые при помощи дробной точки зрения методом малой картины 419 — 426 .................... 404
Перспективные сетки из квадратов 427 ........................... 410
Перспективная сетка из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов 428—429 ......................................... 411
Как пользоваться перспективной сеткой из горизонтальных, фронтально расположенных квадратов 430—445 .................... 414
Перспективные сетки из угловых квадратов 446 .............. 434
Построение сеток из угловых квадратов, когда на картине имеется одна из точек схода перспективы их сторон 447—449 ......... 436
Построение перспективной сетки из угловых квадратов, когда точки схода их сторон недоступны 450—452 .................. 439
603
Стр.
Построение перспективной сетки из угловых квадратов на вер-тикальных плоскостях общего положения 453—454 ............ 443
Построение перспективной сетки из угловых квадратов, исходя из любой точки на предметной плоскости 455—456 .............. 445
Перспективные изображения полов 457 — 463 ................ 448
Построения, основанные на перспективе окружности ............... 451
Перспектива открытых окон и дверей 464—476................ 451
Перспектива углового квадрата, построенная с помощью двух концентрических окружностей на перпендикулярной к картине плоскости 477—484......................................... 462
Построение с помощью концентрических окружностей перспективных изображений угловых прямоугольников, расположенных в перпендикулярных к картине плоскостях 485 — 487......... 468
Построение перспективы окружности с помощью делительного масштаба 488—498 ......................................... 472
Перспектива концентрических окружностей 499— 509.......... 481
Восходящие и нисходящие цилиндрические ступени 510 — 512....	485
' Перспективное изображение тел вращения 513 — 515........... 489
Глава XIX. ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ......................	493
Перспектива фронтальных плоскостей 517 ......................... 494
Измерение расстояния между фронтальными плоскостями 518—522 494 Размеры в ширину и высоту фронтальных плоскостей, расположенных в пределах картины 523 ............................... 499
Перспектива плоскостей, имеющих линию схода 524 — 525........... 500
Перспектива перпендикулярных к картине плоскостей 526 — 533	501
Перспектива восходящих и нисходящих фронтальных плоскостей 534..	506
Перспективные элементы восходящих и нисходящих фронтальных плоскостей 535 — 544...................................... 507
Примеры восходящих и нисходящих плоскостей: Шоссе с подъемами и спусками 545—548; Перспектива параллельных картине ступеней 549—552; Перспектива предметов с основанием на восходящих и нисходящих фронтальных плоскостях 553; Перспектива крыш фронтальных зданий 554 — 556......................... 515
Перспектива вертикальных плоскостей общего положения 557 — 560....	526
Перспектива наклонных плоскостей общего положения 561 — 563	529
Возможные положения в пространстве наклонных плоскостей общего положения 564 ..................................... 534
Глава XX. ПЕРСПЕКТИВА СЛОЖНЫХ ТЕЛ .................................... 539
Перспектива сложных предметов с квадратным основанием и двумя осями симметрии 566 — 572................................. 540
Построение делительных масштабов и их применение 573 — 577..	547
Перспектива тел вращения 578 — 580.............................. 552
Перспектива сложных по форме предметов без осей симметрии 581 — 583	556
Построение делительных масштабов и пользование ими 584 — 588	558
Примеры построения перспективы сложных предметов ............... 563
Перспектива фронтальных восходящих и нисходящих ступеней 589	563
Перспектива ступеней, непараллельных картине 590— 592..... 565
604
Стр.
Перспектива лестницы в пять маршей 593 — 595................. 569
Перспектива открытой крышки 596 — 597........................ 573
Перспектива предметов с основанием на наклонной плоскости 598 ....	575
Перспектива прямой призмы с прямоугольным основанием и четырьмя горизонтальными ребрами, расположенной па наклонной z плоскости 599—603.............................................. 576
Перспектива прямой призмы с прямоугольным основанием на наклонной плоскости, нс имеющей пи одного горизонтального ребра 604 — 605 ..................................................  581
Перспектива тел вращения с основанием на наклонной плоскости 606..	585
Перспектива человеческой	фигуры 607 ............................. 587
Библиография ........................................................... 595