II2 = 121 162
ф готовимся
&ЕГЭ
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко,
С.Ю. Кулабухова
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
«МАТЕМАТИКА. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ»
МАТЕМАТИКА
ЭЛЕМЕНТЫ
.7	<->
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебные пособия издательства «Легион-М» допущены к использованию в
образовательном процессе приказом Минобрнауки России № 2 от 13.01.2011
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, СЮ. Кулабухова
МАТЕМАТИКА
ПОДГОТОВКА К ЕГЭ-2012
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И СТАТИСТИКИ
Учебно-методическое пособие
тм
ЛЕГИОН-М
Ростов-на-Дону
2011
ББК22.14
A 45
Рецензенты:
О. Б. Кожевников — кандидат физико-математических наук, доцент,
Л. Л. Иванова — заслуженный учитель России.
Авторский коллектив:
Евич Л. Н., Ольховая Л. С., Ковалевская А. С.
А 45 Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории веро-
ятностей и статистики: учебно-методическое пособие/Под ре-
дакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону:
Легион-М, 2011. — 32 с. — (Готовимся к ЕГЭ)
ISBN 978-5-91724-116-6
Пособие содержит необходимый материал для самосто-
ятельной подготовки к единому государственному экзамену
по математике по разделам «Теория вероятностей», «Ком-
бинаторика», «Статистика»:
•	демонстрационный вариант с решениями заданий;
•	8 новых тематических авторских учебно-трениро-
вочных тестов по упомянутым выше разделам, состав-
ленных с учётом спецификации ЕГЭ-2012;
•	задачник, предназначенный для более детальной отра-
ботки разных видов тестовых заданий.
Книга предназначена выпускникам общеобразователь-
ных учреждений, учителям и методистам.
ББК22.14
ISBN 978-5-91724-116-6
© ООО «Легион-М», 2011
Оглавление
Элементы теории вероятностей, статистики и комбинаторики 4
§ 1. Тренировочные тесты.............................. 4
Основные сведения.................................... 4
Демонстрационный вариант............................. 7
Вариант № 1 ......................................... 9
Вариант№2........................................... 10
Вариант №3.......................................... 10
Вариант № 4......................................... 11
Вариант №5.........................................  12
Вариант №6.......................................... 12
Вариант №7.......................................... 13
Вариант №8.......................................... 14
§ 2.	Сборник задач................................... 15
Задачи по теории вероятностей....................... 15
Задачи по комбинаторике ............................ 19
Задачи по статистике................................ 23
Решения избранных задач............................. 25
Ответы.................................................. 29
Ответы к тренировочным тестам....................... 29
Ответы к сборнику задач............................. 30
Литература.............................................. 31
Элементы теории вероятностей, статистики
и комбинаторики
§ 1. Тренировочные тесты
Основные сведения
Случайные события и их вероятности
Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление комплек-
са условий или действий, при которых наблюдается соответствующее яв-
ление. Возможный результат опыта называют событием.
Случайным называется событие, которое в данном опыте может
произойти, а может и не произойти.
Событие называют достоверным в данном опыте, если оно обяза-
тельно произойдёт в этом опыте. Событие называется невозможным в
данном опыте, если оно в этом опыте произойти не может.
Два события называются совместными в данном опыте, если появ-
ление одного из них не исключает появления другого в этом опыте, и
несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том
же испытании.
Два события называются противоположными, если появление од-
ного из них равносильно непоявлению другого.
События считают равновозможными, если нет оснований полагать,
что одно событие является более возможным, чем другие.
Суммой, или объединением двух событий, называется событие, со-
стоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В
обозначается А 4- В. Аналогично определяется и обозначается сумма п
событий:
У2 А< = Ai 4- Аг 4-... 4- Ап.
»=1
Эта сумма означает событие, заключающееся в появлении хотя бы
одного из них.
Произведением, или пересечением двух событий, называется со-
бытие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух
событий А и В обозначается через АВ. Произведение п событий
§ /. Тренировочные тесты
5
Ai = Al • А2 •... • Ап.
i=i
означает событие, состоящее в появлении всех событий Ai А2 ... Ап.
Разностью событий А и В называется событие С, которое означает,
что наступает событие А и не происходит событие В. Разность событий
принято обозначать А — В.
Если при каждом осуществлении комплекса условий, при котором
происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечёт
за собой В, или А является частным случаем В, и обозначаются: А С В.
Если А С В и В С А, то говорят, что А и В равносильны: А = В.
Вероятность события
Классическое определение вероятности. Вероятность собы-
тия А определяется формулой
Р(А) = т/п,
где п — число всех равновозможных элементарных исходов опыта, т —
число элементарных исходов, благоприятствующих событию А.
Относительная частота события А (или просто частота) определя-
ется формулой
W(A) = т/п,
где т — число опытов, в которых появилось событие А, п — число всех
проведённых опытов.
Вероятность Р(С) наступления хотя бы одного из двух несовмест-
ных событий А и В равна сумме их вероятностей:
Р(С) = Р(А 4- В) = Р(А) + Р(В).
Вероятность Р(А) противоположного события А:
Р(А) = 1 - Р(А).
Элементы статистики.
Математическая статистика — дисциплина, разрабатывающая ма-
тематические методы систематизации и использования статистических
данных для научных и практических выводов.
Мода — значение признака, имеющее наибольшую частоту в стати-
стическом ряду распределения.
6	Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Среднее арифметическое (или просто среднее) набора чисел — это
сумма всех чисел в этом наборе, делённая на их количество.
Медиана — это такое значение признака, которое разделяет ранжи-
рованный (упорядоченный) ряд распределения на две равные части. Для
нахождения медианы нужно отыскать значение признака, которое нахо-
дится на середине упорядоченного ряда. Если упорядоченный ряд состо-
ит из чётного количества чисел, то нужно взять среднее арифметическое
тех двух чисел, которые наиболее близки к середине.
Элементы комбинаторики
Множество (совокупность элементов) называется занумерованным,
если каждому элементу этого множества сопоставлено своё натураль-
ное число (номер) от 1 до п. Для краткости занумерованные множества
также будут называться далее наборами.
Число перестановок. Отличающиеся друг от друга порядком набо-
ры, составленные из всех элементов данного конечного множества, на-
зываются перестановками этого множества.
Число всех перестановок множества из п элементов обозначается
Рп и определяется по формуле Рп = п!, где n! = 1 • 2 • 3 •... • п.
Число размещений. Упорядоченные наборы, состоящие из к раз-
личных элементов, выбранных из данных п элементов, называются раз-
мещениями из п элементов по к. Размещения могут отличаться друг от
друга как элементами, так и порядком.
Число всех размещений из п элементов по к обозначается А\ и
определяется по формуле
Число сочетаний. Неупорядоченные наборы (подмножества), со-
стоящие из к элементов, взятых из данных п элементов, называются
сочетаниями из п элементов по к. Сочетания отличаются друг от друга
только элементами.
Число сочетаний из п элементов по к обозначается Ск и определя-
ется по формуле
Ск = —п!
n fc!(n - fc)!
§ I. Тренировочные тесты
7
Демонстрационный вариант
1.	Для проведения лотереи отпечатали 2000 билетов, из которых 100 вы-
игрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется вы-
игрышным?
Решение. Общее число исходов равно количеству лотерейных би-
летов, то есть 2000. Благоприятных исходов — купить выигрышный би-
лет — 100. Так как все исходы равновозможны, то искомая вероятность
равва S = 20 = °’05-
Ответ: 0,05.
2.	Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сум-
ме выпадет чётное число очков, не превосходящее шести.
Решение. Все равновозможные исходы при бросании двух кубиков
образуют множество пар, в которых первая цифра — количество очков,
выпавших на первом кубике, вторая — на втором. Количество всевоз-
можных пар равно 6 • 6 = 36.
Событию выпадения на двух кубиках в сумме чётного числа очков,
не превосходящего шести, соответствуют девять пар (1; 1), (1; 3), (2; 2),
(3; 1), (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1). Следовательно, вероятность того,
что на двух игральных кубиках в сумме выпадет чётное число очков, не
о
превосходящее шести, равна =
оо
0,25.
Ответ: 0,25.
3.	В контрольной по математике 5 задач с выбором ответа. К каждой
задаче предлагается четыре ответа, один из которых верный. За четыре
верно решённые задачи ученик получает оценку 4. Какова вероятность
получить 4, если случайным образом отметить верные ответы?
Решение. Так как к каждой задаче предлагается четыре вариантов
ответов, то общее число возможных комбинаций ответов равно 45 = 1024.
Благоприятными исходами являются 4 верно проставленных ответа. Та-
ких исходов 5: четыре из пяти задач решены верно. Так как все исходы
равновозможны, то искомая вероятность равна
Ответ:
5
1024'
8
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
4.	В мешочке лежат неразличимые на ошупь карточки с буквами К, О,
С, М, О, С. Какова вероятность того, что, наудачу извлекая карточки и
выкладывая их на столе, получится слово КОСМОС?
Решение. Занумеруем карточки числами от 1 до 6: К1О2С3М4О5С6.
Общее число исходов равно количеству перестановок шести карточек, то
есть 6!. Благоприятными исходами будут следующие: К1О2С3М4О5С6,
К1О2С6М4О5С3, К1О5С3М4О2С6, К1О5С6М4О2С3. Так как все исхо-
4	4	1
ды равновозможны, то искомая вероятность равна
о!	72U	loU
Ответ:
1
180’
5.	Измеряя рост семи пришедших на урок учеников, учитель физкульту-
ры получил ряд чисел: 152,148,152,154,158,148,152. Найдите разность
между модой и медианой этого ряда.
1) 1	2) -1	3) —2	4) 0
Решение. Модой ряда является число, наиболее часто в нём встре-
чающееся. Мода данного ряда равна 152.
Для того чтобы найти медиану, упорядочим заданный ряд по возрас-
танию: 148,148,152,152,152,154,158. Поскольку в этой последователь-
ности нечётное число элементов, то медианой ряда будет число, стоящее
посередине, то есть 152. Следовательно, разность между модой и медиа-
ной равна 152 - 152 = 0.
Ответ: 0.
6.	У одного мальчика 6 значков, а у другого — 5. Сколькими способами
они могут обменять 2 значка одного на 2 значка другого?
Решение. Чтобы мальчики смогли обменять два значка од-
ного на два значка другого, каждому из них нужно выбрать из
своих значков по два для обмена. Определим, сколькими спосо-
бами это может сделать каждый из них. Для этого воспользуем-
ся формулой определения числа сочетаний из п элементов по к
С* = - г./	, Количество выборок из шести значков по два равно
С% =
6!	= 123-4-5-6
21(6-2)!	1-21-2-3-4
= 15. Количество выборок из пяти
значков по два равно Cj =
2!(5 - 2)! 1 • 2 • 1 • 2 • 3 10‘ ТепеРь “У*'
§ 1. Тренировочные тесты
9
но определить, сколько пар можно составить из множества, состоящего
из 15 элементов, с множеством из 10 элементов. Число таких пар равно
10 • 15 = 150.
Следовательно, мальчики могут обменяться 150 способами.
Ответ: 150.
7.	Дима в четверти получил по 10 предметам среднюю оценку 4,2. По ка-
кому количеству предметов он должен улучшить оценку на 1 балл, чтобы
его средняя оценка стала 5?
1) 1	2) 2	3) 3	4) 8
Решение. Согласно условию задачи, мы имеем ряд чисел
Xi, Х2,.. •, хп (оценки по каждому из предметов).
Следовательно, сумма набранных баллов по всем предметам
S = Xi 4- Х2 4- • • • 4-	4- #12 = х • п = 4,2 • 10 = 42.
Пусть 1/1, J/2,... ,Уп — РЯД чисел, соответствующий оценкам Димы
после их исправления. Количество элементов этого ряда осталось преж-
ним, п = 10 (количество предметов), и, согласно условию, среднее ариф-
метическое нового ряда у = 5 (средний балл, который Дима желает по-
лучить).
Тогда сумма баллов после исправления
51 = 2/1 4- У2 + • • • Уп 4- 2/12 = У • п = 5 • 10 = 50.
Следовательно, Дима должен улучшить свой результат на
Si — S = 50 — 42 = 8 баллов. Значит, он должен улучшить на 1 балл
оценки по 8 предметам.
Ответ: 4.
Вариант Яг 1
1.	В коробке лежат 5 красных, 7 зелёных и 2 синих кубика. Случайным
образом из коробки берут кубик. Какова вероятность того, что из короб-
ки взяли зелёный кубик?
2.	Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до
100. Найдите вероятность того, что номер первого наудачу извлечённого
жетона не содержит цифры 5.
3.	Для проведении лотереи было изготовлено 4000 билетов, из них 8 би-
летов содержат выигрыш. Какова вероятность получить выигрыш, если
приобрести только один билет?
2. Зак № 295
10
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
4.	Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырёх выстрелах
равна 0,9984. Найдите вероятность попадания в цель при одном выстре-
ле.
5.	Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых использу-
ются лишь цифры 3 и 8?
6.	Сколькими способами можно выбрать 3 конфеты из 8 различных?
7.	Найдите среднее арифметическое ряда чисел 2, 5,15, 7, 3, 6,4.
Вариант Яг 2
1.	В бассейне 10 дорожек, пронумерованных от 1 до 10. Пловец случай-
ным образом выбирает одну из нечётных дорожек. Какова вероятность
того, что он выберет дорожку под номером 5?
2.	Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найдите вероят-
ность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.
3.	В урне находятся 30 шаров, из них 15 белых, 8 чёрных и 7 красных.
Определите вероятность извлечения красного или чёрного шара.
4.	При стрельбе относительная частота попаданий оказалась равной
0,85. Найдите число попаданий, если всего было произведено 120 вы-
стрелов.
5.	Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых ис-
пользуются лишь цифры 2, 7 и 9?
6.	Сколькими способами можно выбрать 2 карандаша из 19 различных?
7.	Найдите среднее арифметическое ряда чисел 2,17,14,8,5,26,12, 7,8.
Вариант № 3
1.	В кошельке находятся 4 монеты достоинством 2 рубля, 8 монет досто-
инством 5 рублей и 8 монет достоинством 1 рубль. Случайным образом
из кошелька вытаскивают одну монету. Какова вероятность того, что бу-
дет вытащена пятирублёвая монета?
2.	В ящике из 10 деталей 7 стандартных. Найдите вероятность того, что
среди взятых наудачу 6 деталей 4 стандартных.
2*
§ 1. Тренировочные тесты
11
3.	Колоду карт (36 листов) наудачу разделяют на две равные пачки. Чему
равна вероятность того, что в каждой из пачек окажется по два туза?
Ответ округлите до десятых.
4.	Для сообщения о пожаре установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при пожаре сигнализатор срабо-
тает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,80 для второго. Найдите
вероятность того, что при пожаре сработает только один сигнализатор.
5.	В классе 10 девочек. Для участия в танцевальном конкурсе из них
нужно выбрать группу из 7 девочек. Сколько различных групп можно
составить?
6.	У Саши 14 фломастеров, а у Кати — 9. Сколькими способами Са-
ша может обменять 2 своих фломастера на 2 фломастера Кати, если все
фломастеры различны?
7.	Найдите медиану ряда чисел 15, 243, 25, 78,1,107.
Вариант № 4
1.	На стадионе 8 беговых дорожек, пронумерованных от 1 до 8. Спортс-
мен случайным образом выбирает одну из дорожек. Какова вероятность
того, что он выберет дорожку с чётным номером?
2.	В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу
взял три детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых
деталей окрашена.
3.	В первой урне 5 белых и 10 чёрных шаров, во второй — 6 белых и
9 чёрных. Из обеих урн извлекают по одному шару. Какова вероятность
того, что оба шара одного цвета?
4.	Реклама растворимого кофе передаётся по каналам KPT, МТР, ДТВ.
Вероятность того, что потребитель увидит эту рекламу на канале КРТ,
равна 0,7; на МТР — 0,5 и на канале ДТВ — 1. Найдите вероятность
того, что потребитель увидит эту рекламу по всем трём каналам.
5.	В классе 30 учеников. Найдите число способов, которыми можно вы-
брать из этих учеников трёх дежурных.
6.	У Карины 7 заколок, а у Даши — 12. Сколькими способами можно
обменять 2 заколки одной девушки на 2 заколки другой девушки? (Все
заколки различны.)
12
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
7.	Найдите медиану ряда чисел 23,18, 38,11,6,42,123,4.
Вариант № 5
1.	В кармане у Серёжи находится 7 монет достоинством 5 рублей, 10
монет достоинством 1 рубль и 8 монет достоинством 2 рубля. Мальчик
случайным образом вытаскивает одну монету из кармана. Какова веро-
ятность того, что будет вытащена не однорублёвая монета?
2.	В первой корзине лежат 2 яблока и 3 груши, а во второй — 3 яблока и
1 груша. Из каждой корзины вынимают наугад по одному фрукту. Какова
вероятность того, что это будут два яблока?
3.	В колоде 36 карт. Наугад вынимают 4 карты. Найдите вероятность
того, что среди них окажется хотя бы один валет. Ответ округлите до де-
сятых.
4.	Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Ве-
роятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем
справочнике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найдите вероятность
того, что формула содержится только в одном справочнике.
5.	Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых каждая циф-
ра является чётным числом?
6.	На волейбольную площадку пришли 8 школьников. Сколькими спо-
собами они могут разделиться на две равные по числу игроков команды?
7.	Найдите моду ряда чисел 7,8, 9,8, 7, 6, 5,6, 7.
Вариант № 6
1.	Лена засушила для гербария 6 ромашек, 10 маргариток и 4 астры.
Случайным образом из гербария взяли один цветок. Какова вероятность
того, что вытащили не ромашку?
2.	На произвольное поле шахматной доски поставили белого короля,
затем на другое поле поставили чёрную ладью. Какова вероятность того,
что ладья бьёт короля? (Ладья бьёт клетки своей вертикали и горизон-
тали.)
3.	Бросают три игральных кости. Какова вероятность того, что на них
выпадет по одинаковому числу очков?
§ 1. Тренировочные тесты
13
4.	Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятности того, что
студент ответит на 1 и 2 вопросы, равны 0,9, на 3 вопрос — 0,8. Найдите
вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо
ответить хотя бы на 2 вопроса.
5.	Сколько существует таких четырёхзначных чисел, каждая цифра ко-
торых является нечётным числом?
6.	Вася и Денис решили обменяться дисками с музыкой. Вася захватил
с собой 15 штук, а Денис — 8. Сколько существует способов совершить
обмен тремя дисками с каждой стороны, если все диски различны?
7.	В классах 9 «А» и 9 «Б» провели медицинское обследование. При
этом измерили вес учеников (с точностью до 5 кг). Результаты (в кг)
представлены в таблице:
9 «А»	60	55	65	45	70	65	60	70	50	65	75
9 «Б»	50	55	70	60	65	60	70	60	55	60	75
Найдите разность между модами измерений для классов «А» и «Б».
Вариант № 7
1.	В первой корзине лежат 2 яблока и 3 груши, а во второй — 4 яблока.
Из каждой корзины вынимают наугад по одному фрукту. Какова вероят-
ность того, что это будут два яблока?
2.	Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры и, помня
лишь то, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найдите вероят-
ность того, что набраны нужные цифры.
3.	Одновременно бросают четыре игральных кубика. Какова вероят-
ность того, что на каждом из этих кубиков выпадет нечётное число оч-
ков?
4.	Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же
цели. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8; для второ-
го — 0,9. Найдите вероятность поражения цели хотя бы один раз.
5.	Номер автобусного билета состоит из шести цифр. Найдите число ав-
тобусных билетов, все цифры в номерах которых нечётные.
14	Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
6.	В вазе лежат 16 яблок и 8 груш, причём 6 яблок красного цвета, а
остальные — зелёные. Сколькими способами можно выбрать 1 красное
яблоко, 1 зелёное и 2 груши?
7.	Найдите размах ряда чисел 21,18, 35,16,4, 39,11.
Вариант № 8
1.	Из пакета, в котором 6 пряников с начинкой и 3 — без начинки, на-
удачу достают один пряник. Найдите вероятность того, что этот пряник
без начинки.
2.	В связке 5 ключей, 1 из них подходит к двери. Выбираем ключ наугад
и делаем попытку открыть дверь. Найдите вероятность того, что дверь
будет открыта.
3.	В кошельке находится пять монет достоинством 1 рубль, три монеты
достоинством 2 рубля и семь монет достоинством 5 рублей. Случайным
образом из кошелька вытаскивают одну монету, а затем подбрасывают.
Какова вероятность того, что выпадет решка двухрублёвой монеты?
4.	Три студента сдают зачёт. Вероятность того, что первый студент сдаст
зачёт, равна 0,8, второй — 0,9, третий — 0,7. Найдите вероятность того,
что зачёт сдадут только 1-й и 2-й студенты.
5.	Автомобильные номера состоят из трёх цифр. Найдите количество ав-
томобильных номеров данной серии (буквы), все цифры в которых чёт-
ные. (При решении учесть, что номера «ООО» не существует.)
6.	На кодовом замке 10 кнопок с цифрами от 0 до 9. Сколькими спосо-
бами можно составить ключевой шифр из трёх цифр, если все они раз-
личны?
7.	Учительница попросила пятерых опоздавших учеников выписать на
доске время в минутах, которое они в среднем тратят на дорогу из дома
до школы. Получились следующие данные: 20, 25, 35, 30, 40.
Насколько среднее значение этого ряда превосходит его размах?
§ 2. Сборник задач
15
§ 2.	Сборник задач
Задачи по теории вероятностей
1.	Бросают три монеты. Найдите вероятность того, что выпадет ровно
одна решка.
2.	Бросаются два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в
сумме выпадет 8 очков.
3.	Бросается игральный кубик. Найдите вероятность того, что появив-
шееся число очков кратно 3.
4.	Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что
сумма выпавших очков не превосходит 4.
5.	Бросают три монеты. Найдите вероятность того, что выпадут ровно
два герба.
6.	В партии из 5 деталей находится 2 бракованных. Из партии наугад
выбирают 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся
бракованными?
7.	Из колоды из 36 карт вытаскивают две карты. Какова вероятность
того, что среди них хотя бы один туз?
8.	Из ста карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 100,
вытаскивают одну, затем ещё одну. Какова вероятность того, что число,
написанное на второй карточке, на 2 больше числа, написанного на пер-
вой?
9.	Найдите вероятность того, что в написании наудачу взятого двузнач-
ного числа встречается цифра 5.
10.	Одновременно бросили две игральные кости. Какова вероятность
того, что сумма очков не будет превышать трёх?
11.	В мешке находится 3 чёрных кубика и 5 белых. Случайным образом
из мешка достают два кубика. Какова вероятность того, что оба кубика
белые?
12.	В корзине лежат 3 красных, 4 зелёных и 5 синих шаров. Найдите ве-
роятность того, что наугад извлечённый шар окажется зелёным или си-
ним.
13.	В пенале лежат 10 простых карандашей, из них 8 мягких и 2 твёрдых.
Из пенала последовательно достают карандаши по одному. Чему равна
вероятность того, что первый вынутый наудачу карандаш будет твёрдым?
16
Элементы теории вероятностей комбинаторики и статистики
14.	На случайным образом выбранное поле шахматной доски 8x8 по-
ставили короля. Найдите вероятность того, что король оказался в угло-
вой клетке.
15.	Вася бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что выпа-
дет чётное число очков, большее 3-х?
16.	Одновременно бросили два игральных кубика. Найдите вероятность
того, что сумма выпавших чисел равна 4.
17.	Вероника загадала число от 1 до 5. Рита и Таня пытаются угадать его,
записывая каждая свой вариант на отдельном листе бумаги, и не знают
о числах друг друга до того, как отдадут их загадавшей. Какова вероят-
ность того, что обе девочки угадают число с первой попытки?
18.	К человек случайным образом рассаживаются за круглым столом
(К > 2). Найдите вероятность того, что два фиксированных лица А и В
окажутся рядом.
19.	Определите вероятность того, что серия наудачу выбранной облига-
ции не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым
пятизначным числом, начиная с 00001.
20.	На десяти карточках написаны буквы Т, М, М, А, А, А, К, И, Е,
Т. После перестановки вынимают наугад одну карточку за другой и рас-
кладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найдите вероят-
ность того, что на карточках будет написано слово "МАТЕМАТИКА".
21.	В лифт двенадцатиэтажного дома на первом этаже вошли пять чело-
век. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом эта-
же, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все пассажиры
выйдут: а) на одном и том же этаже; б) на восьмом этаже.
22.	На полке в случайном порядке расставлено 20 книг, среди которых
находится трёхтомник Я. Купалы. Найдите вероятность того, что эти то-
ма стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно ря-
дом).
23.	Студент пришёл на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов програм-
мы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найдите вероятность того,
что студент знает все эти вопросы.
2
24.	Вероятность попадания в первую мишень для стрелка равна Ес-
о
ли при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получа-
ет право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения
§2. Сборник задач
17
обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определите вероятность
поражения второй мишени.
25.	Для некоторой местности среднее число ясных дней в июле равно 25.
Найдите вероятность того, что первые два дня в июле будут ясными.
26.	В обществе из 2п человек одинаковое число мужчин и женщин. Ме-
ста за круглым столом занимают наудачу. Определите вероятность того,
что два лица одного пола не займут места рядом.
27.	Имеется группа из к космических объектов, каждый из которых
независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с ве-
роятностью р. За группой объектов ведут наблюдение независимо друг
от друга т радиолокационных станций. Найдите вероятность того, что
не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены.
28.	Определите вероятность того, что выбранное наудачу изделие явля-
ется первосортным, если известно, что 5% всей продукции является бра-
ком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого
сорта.
29.	Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. Усло-
вием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной брако-
ванной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной
партии быть непринятой, если она содержит 5% неисправных деталей?
30.	Производится испытание прибора. При каждом испытании прибор
выходит из строя с вероятностью р. После первого выхода из строя при-
бор ремонтируется; после второго — признаётся негодным. Найдите ве-
роятность того, что прибор окончательно выйдет из строя в точности при
к-м испытании.
31.	Вероятность того, что некоторое устройство космического корабля
испортится, равна р. Сколько запасных устройств нужно иметь на ко-
рабле, чтобы обеспечить вероятность правильной работы не меньше р?
32.	По мосту производится бомбометание двух самолётов. Вероятность
попадания первого самолёта 0,8, второго — 0,6. Мост будет разрушен,
если в него попадёт хотя бы одна бомба. Какова вероятность того, что в
результате одного бомбометания двух самолётов мост будет разрушен?
33.	В коробке лежат 5 красных, 7 зелёных и 3 синих игральных кубика.
Случайным образом из коробки берут кубик, а затем бросают. Какова
вероятность того, что выпадет 5 очков на зелёном кубике?
34.	В бассейне 10 дорожек. Сколько существует способов размещения
четырёх пловцов на разных дорожках?
18
Элементы теории вероятностей комбинаторики и статистики
35.	В кошельке находятся 4 монеты достоинством 2 рубля, 8 монет до-
стоинством 5 рублей и 8 монет достоинством 1 рубль. Случайным обра-
зом из кошелька вытаскивают одну монету, а затем подбрасывают. Ка-
кова вероятность того, что выпадет решка пятирублёвой монеты?
36.	В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколько существует способов
разместить их на разных беговых дорожках, если на стадионе всего 8 до-
рожек?
37.	В кармане у Серёжи находятся 7 монет достоинством 5 рублей, 10
монет достоинством 1 рубль и 8 монет достоинством 2 рубля. Мальчик
случайным образом вытаскивает одну монету из кармана, а затем под-
брасывает. Какова вероятность того, что выпадет орёл монеты достоин-
ством один рубль?
38.	Лена засушила для гербария 6 ромашек, 10 маргариток и 4 астры,
причём среди цветов каждого вида было поровну экземпляров с чёт-
ным и нечётным количеством лепестков. Случайным образом из герба-
рия взяли один цветок. Какова вероятность того, что вытащили ромашку
с нечётным количеством лепестков?
39.	Из пакета, в котором 6 пряников с начинкой и 3 — без начинки, на-
удачу последовательно по одному достают пряники до первого появления
пряника без начинки. Найдите вероятность того, что пряник без начинки
извлекут четвёртым.
40.	Из пакета, в котором 3 синих, 4 зелёных и 5 красных карандашей, на-
удачу последовательно по одному достают карандаши до первого появ-
ления зелёного карандаша. Найдите вероятность того, что придётся про-
изводить четвёртое извлечение.
41.	Десять рукописей разложены по 30 папкам (на одну рукопись прихо-
дится три папки). Найдите вероятность того, что в случайно отобранных
6 папках не содержится целиком ни одна рукопись.
42.	В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Какова вероятность того, что
две наудачу вынутые пуговицы будут одноцветными?
43.	В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Извест-
но, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из
этажей, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все пятеро
выйдут на шестом этаже.
44.	Какова вероятность того, что из шести отмеченных в карточке «Спорт-
лото» чисел (игра 6 из 36) к чисел будут выигрышными. Ответ указать
для к = 6.
§2. Сборник задач	19
45.	В папке «Мои документы» лежат 6 файлов, 2 из которых являют-
ся файлами вируса. Пользователь наугад удалил 4 файла из этой папки.
Какова вероятность того, что оба файла вируса были удалены?
46.	Из колоды карт (36 карт, 4 масти) наугад вынимают карту, затем
кладут её обратно, перемешивают колоду и снова наугад вынимают кар-
ту. Какова вероятность того, что оба раза выпадала не карта червонной
масти?
47.	В коробке лежат 5 красных, 4 зелёных, 2 жёлтых и 9 белых шаров.
Школьник берёт шар наудачу и кладёт его обратно. Данную процедуру
он проделывает 2 раза. Какова вероятность того, что он достанет один
красный и один зелёный шар?
48.	Николай бросает монетку три раза. Какова вероятность того, что
решка выпадет не меньше 2-х раз?
49.	Какое минимальное число раз надо бросить монету наудачу, чтобы
решка выпала хотя бы 1 раз с вероятностью, не меньшей 99% ?
50.	В кармане лежат 6 игральных кубиков белого цвета и 9 — чёрного.
Наудачу достаётся кубик и подкидывается. Какова вероятность того, что
выпадет чётное число очков на белом кубике?
51.	Андрей наугад называет натуральное число, не превышающее 200.
Какова вероятность того, что оно делится на 3, но не делится на 2?
52.	У двух школьников по четыре шариковых ручки (красная, зелёная,
синяя и чёрная). Они наугад обменялись одной ручкой. Какова вероят-
ность того, что у одного из них окажется две ручки чёрного цвета?
53.	Из колоды (36 карт, 4 масти) наугад вынимают карту, затем кладут
её обратно и снова наугад вынимают карту. Какова вероятность того, что
карта червонной масти выпадет хотя бы один раз?
Задачи по комбинаторике
54.	Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых исполь-
зуются лишь цифры 7, 2 и 1?
55.	Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра 5?
56.	Сколько существует четырёхзначных чисел, у которых вторая циф-
ра 7?
20
Элементы теории вероятностей комбинаторики и статистики
57.	Сколько всего можно составить четырёхзначных чисел, начинаю-
щихся с цифры 3 и состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, в записи которых все
цифры, кроме цифры 3, встречаются по одному разу, а цифра 3 — не бо-
лее двух раз?
58.	Сколько различных чисел можно составить, переставляя цифры
числа 121232?
59.	Сколько встречается трёхзначных чисел, в записи которых цифры 2,
3 и 4 встречаются по одному разу?
60.	Сколько встречается чётных четырёхзначных чисел, в записи кото-
рых цифры 3, 4, 5 и 6 используются по одному разу?
61.	В автомашине 6 мест. Сколькими способами шесть человек могут
сесть в эту машину, если занять место водителя могут только двое из них?
62.	В парке 10 различных аттракционов. Сколько существует способов
выбрать 4 различных аттракциона?
63.	У мамы 3 яблока и 4 груши. В течение недели она выдаёт сыну по
одному фрукту. Сколькими способами она может это сделать?
64.	У Тани есть 3 разноцветные ручки, 6 разноцветных фломастеров и
4 разноцветных карандаша. Сколькими способами можно составить на-
бор из одной ручки, одного фломастера и одного карандаша?
65.	Сколько существует вариантов раскраски всех клеток доски 1 х 9 в
белый и чёрный цвета, если в каждом варианте должно быть в точности
8 клеток одного цвета? (Если один вариант раскраски доски с первой по
девятую клетку совпадает с другим вариантом раскраски с девятой по
первую клетку, то такие варианты считать различными.)
66.	Сколько различных последовательностей из четырёх фигур мож-
но создать, имея достаточное количество одинаковых кругов, квадратов,
треугольников и трапеций?
67.	Позывные радиостанции должны начинаться с буквы R. Скольким
радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные
состоят из трёх букв (из 10 возможных), причём эти буквы могут повто-
ряться?
68.	Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. Скольким
радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные
состоят из четырёх букв (из 10 возможных), которые не повторяются?
69.	Имеется 3 разноцветных мяча, 5 разноцветных кубиков и 4 раз-
ноцветные скакалки. Сколькими способами можно составить набор из
двух мячей, двух кубиков и двух скакалок?
§2. Сборник задач	21
70.	Сколько существует различных автомобильных номеров, которые
состоят из четырёх символов, если номер состоит из одной буквы (из 26)
латинского алфавита, за которой следуют три цифры, отличные от нуля?
71.	Сколькими способами можно рассадить 12 рыцарей за круглым сто-
лом? (Два способа считать одинаковыми, если один из другого получа-
ется поворотом стола.)
72.	На детской карусели есть 10 одинаковых посадочных мест, распо-
ложенных по кругу. Покататься на карусели пришли 9 детей. Сколькими
способами их может рассадить контролёр? Два способа считать одина-
ковыми, если один из другого получается поворотом карусели.
73.	У людоеда в подвале 10 пленников. Сколькими способами он может
выбрать трёх из них соответственно себе на завтрак, обед и ужин?
74.	В классе 25 учеников. Найдите количество способов выбрать из них
2-х дежурных.
75.	Имеется 6 различных книг, 5 различных журналов и 4 различных
блокнота. Сколькими способами можно получить набор из трёх книг, од-
ного журнала и двух блокнотов?
76.	В шкафу лежат вперемешку разные носки — 3 серых и 4 синих.
Сколькими способами можно достать 2 разноцветных носка?
77.	Для участия в фотовыставке было отобрано 32 фотографии. На стен-
дах можно разместить только 30 фотографий. Сколько существует раз-
личных вариантов размещения 30 фотографий на стендах?
78.	Сколькими способами можно выбрать 3 пирожных из 17 различных?
79.	После уроков 6 школьников собрались играть в футбол. Сколькими
способами они могут разделиться на две равные по числу игроков коман-
ды?
80.	В каждый угол прямоугольного потолка комнаты нужно повесить по
шарику. Сколькими способами это можно сделать, если имеется 8 раз-
ноцветных шариков?
81.	В одну коробку помещается 5 мячей, а в другую — 3. Сколькими
способами можно разложить в эти коробки 8 из 9 различных мячей?
82.	На замке с кодом 8 кнопок с цифрами от 0 до 7. Сколькими спосо-
бами можно составить шифр из четырёх цифр, если все они различны?
83.	На полке стоят 27 CD-дисков и 15 DVD-дисков, причём 9 CD-
дисков с музыкой, а остальные — с офисными программами. Сколькими
способами можно выбрать 2 CD-диска с музыкой, 1 с офисными про-
граммами и 1 DVD-диск, если все диски различны?
22
Элементы теории вероятностей комбинаторики и статистики
84.	Сколькими способами три человека могут разместиться в маршрут-
ном такси, если в нём 12 мест?
85.	В классе 13 мальчиков. Для участия в футбольном турнире необ-
ходимо собрать команду из 11 мальчиков. Сколько различных команд
можно составить из ребят этого класса?
86.	В классе всего 17 учеников. Из них 15 мальчиков. Для участия в
соревнованиях необходимо собрать команду из 2-х мальчиков и 1-й де-
вочки. Сколько различных команд можно составить из учеников этого
класса?
87.	Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый
и чёрный квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной верти-
кали?
88.	Сколькими способами можно расположить на шахматной доске бе-
лую и чёрную ладьи, чтобы они не били одна другую? (Ладья бьёт клетки
своей вертикали и горизонтали.)
89.	Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску
так, чтобы они не били друг друга? (Ладья бьёт клетки своей вертикали
и горизонтали.)
90.	Сколько существует пятизначных чётных чисел, в которых ни одна
цифра не повторяется дважды?
91.	Сколькими способами можно выбрать 3 краски из имеющихся 5 раз-
личных красок?
92.	Сколько существует семизначных телефонных номеров, в первых
трёх цифрах которых не встречаются 0 и 9?
93.	Сколько имеется четырёхзначных чисел, у которых каждая следую-
щая цифра меньше предыдущей?
94.	Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими
способами можно составить посылку из 3 книг и 5 журналов?
95.	В классе 6 сильных математиков. Сколькими способами из них мож-
но составить команду для участия в районной олимпиаде по математике,
если от класса можно послать команду от 2 до 4 человек?
96.	Имеется три карандаша: красный, синий и зелёный. Сколькими спо-
собами можно выложить в ряд эти карандаши?
97.	Имеется 10 разноцветных шариков, 5 различных открыток и 3 раз-
ноцветные ленточки. Сколькими способами можно составить набор из
двух шариков, одной открытки и одной ленточки?
§ 2. Сборник задач	23
98.	Из 6 цветов краски, представленных в магазине, необходимо вы-
брать два различных цвета для стен в комнате и один, возможно, совпа-
дающий с одним из них, для потолка. Сколькими способами это можно
сделать?
99.	Сколькими способами можно разместить 10 из 12 различных куби-
ков по двум коробкам, если в одну из них помещается 3 штуки, а в дру-
гую — 7?
100.	В одном из залов кинотеатра в день проходит 4 сеанса. Сколько
существует способов составить расписание на 1 день так, чтобы не было
повторов, если в репертуаре кинотеатра 5 фильмов?
Задачи по статистике
101.	На каждые 11 страниц наборщик в среднем допускает 3 ошибки.
Сколько ошибок следует ожидать на 1650 страницах?
102.	Найдите медиану последовательности натуральных чисел от 1 до 7
включительно.
103.	Найдите медиану ряда 6; 4; 7; 8; 12; 4; 6; 7; 5.
104.	Найдите медиану ряда чисел 1,12, 5,17, 2, 8,11, 7,9.
105.	Найдите медиану ряда чисел 61,12, 54,104, 37,49.
106.	Найдите среднее арифметическое последовательности натураль-
ных чисел от 1 до 5 включительно.
107.	Дан ряд чисел: 16, 15, 18, 12, 13, 20, 16, 14, 11. Найдите, на
сколько мода этого ряда больше среднего.
108.	На письменном экзамене по математике можно получить от 0 до
10 баллов. Десять учеников получили такие оценки: 10, 4, 5, 7, 7, 6,
9, 4, 8, 5. Определите, насколько размах этого ряда данных меньше его
среднего.
109.	Ученики 9-го класса получили следующие четвертные оценки по
математике:
4	5	5	3	4	4	4	3	5	4	5	5	5	3	3	4	4	4	4	3
Определите процентную частоту оценки «5».
24
Элементы теории вероятностей комбинаторики и статистики
110.	На уроке статистики ученики подсчитывали среднее значение своих
четвертных оценок по математике. Для этого они составили таблицу и
подсчитали среднее значение. Получилось 4,04. После урока одно число
было стёрто. Восстановите его.
Варианты	3	4	5
Кратность	7	10	
Решения избранных задач
25
Решения избранных задач
27.	Рассмотрим один объект. Вероятность того, что он не будет найден
ни одной из т станций равна (1 - р)т, тогда вероятность того, что он
будет найден хотя бы одной станцией, равна 1 — (1 — р)т. Вероятность
того, что каждый объект будет обнаружен хотя бы одной станцией, равна
(1 - (1 - р)т)к. Значит, искомая вероятность равна 1 - (1 - (1 - p)m)fc.
Ответ: 1 - (1 - (1 -p)m)fc.
30.	Фраза «прибор окончательно выйдет из строя в точности при fc-м ис-
пытании» означает, что прибор выйдет из строя после одного из 1, 2,... ,
(к — 1)-го испытаний и при fc-м испытании.
Вероятность того, что прибор выйдет из строя при первом и fc-м ис-
пытаниях, равна р • (1 - р)... (1 - р) р = р2 • (1 - р)к~2\ при втором и
к-2 раз
fc-м — (1 - р) • р • (1 - р)... (1 - р) р = р2 • (1 - p)fc-2, и так далее.
к-з раз
Вероятность того, что прибор выйдет из строя при (fc - 1)-м и fc-м
испытаниях, равна (1 — р)... (1 — р) р • р = (1 — р)к~2 • р2.
к-2 раз
Искомая вероятность равна р2 • (1 - р)к~2 Ч-h р2 • (1 — р)к~2 =
к-1 раз
= (fc-l).p2.(l-p)fc-2.
Ответ: (к - 1) • р2 • (1 - р)к~2.
31.	Предположим, имеется п запасных устройств, тогда вероятность
правильной работы равна 1 — pn+1. Искомые значения п находятся из
неравенства 1 — pn+1 р; pn+1 1 - р; n +1 logp (1 -р);
п > logp (1 - р) - 1.
Ответ: п logp (1 - р) - 1.
44.	В данном примере эксперимент состоит в том, что случайным об-
разом отмечаются 6 чисел из 36 в карточке «Спортлото». Поэтому рав-
новозможными элементарными событиями будут наборы из шести от-
меченных чисел. Так как для определения того, произойдёт или не про-
изойдёт событие А (среди отмеченных чисел — fc чисел выигрышные),
порядок чисел не существенен, то в качестве равновозможных элемен-
тарных событий достаточно рассматривать неупорядоченные наборы 6
26
Элементы теории вероятностей комбинаторики и статистики
чисел из 36. Следовательно, число равновозможных элементарных со-
бытий равно Сзб. Событие А состоит из наборов 6 чисел, к из которых
выигрышные, а 6 — к — проигрышные. Набор из к выигрышных чисел
можно выбрать С$ способами, а набор 6 — к проигрышных чисел можно
выбрать С%цк способами. Тогда по основному принципу комбинатори-
ки набор из к выигрышных и 6 — к проигрышных чисел можно выбрать
СкС§~к
CqC%q способами,следовательно,Р(А) =	.
Сзб
1
Для * = 6 получаем Р(Л) =
Отеет: 1947792'
45.	Всего существует Cg = 15 вариантов удалить 4 файла из 6. Из них
Cj • С4 = 6 вариантов, при которых оба вирусных файла будут удалены.
Искомая вероятность равна £ = | = 0,4.
15	5
Ответ: 0,4.
46.	Вероятность того, что первый раз выпала не карта червонной масти,
27	3
равна — = аналогично для второго раза.
Значит, искомая вероятность равна	= 0,5625.
Ответ: 0,5625.
47.	Вероятность того, что первый раз он достанет красный шар, равна
5	4
—, второй раз зелёный — —. Значит, вероятность того, что она сначала
2U
5	4	1
достанет красный шар, а потом зелёный, равна	Так как
2U 2U	2U
порядок извлечения шаров не важен, то искомая вероятность 2~ =
Ответ: 0,1.
48.	Вероятность того, что решка выпадет ровно 3 раза, равна (±±
Вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза, равна С$ • | = |.
о о
13	1
Искомая вероятность равна ±	±
о о 2
Ответ: 0,5.
Решения избранных задач
27
49.	При п бросках вероятность того, что решка не выпала ни разу, равна
( J?) . Так как	при п 7, то минимальное число равно 7.
\2/	\2/	100
Ответ: 7.
R 9
50.	Вероятность вытащить белый кубик равна р = -. Вероятность
О ~г У и
получить чётное число очков на уже заданном кубике равна Искомая
а
1 2
вероятность равна - • - = 0,2.
2 5
Ответ: 0,2.
51.	Чисел, которые делятся на 3, среди не превышающих 200 — 66.
Чисел, которые делятся на 6, — 33. Значит, тех, которые делятся на 3,
но не делятся на 2, 66 — 33 = 33. Следовательно, искомая вероятность
йб=0'165-
Ответ: 0,165.
52.	Вероятность того, что 2 чёрные ручки окажутся у II школьника, рав-
13	3 1
на 4 • 4 = Т77 (-г — вероятность того, что I школьник станет обмени-
4 4	16 4
3
вать чёрную ручку, — II станет обменивать ручку другого цвета). Так
как по условию школьники не пронумерованы, то искомая вероятность
2Й = 1 = °'375:
Ответ: 0,375.
53.	Вероятность того, что оба раза выпадет не карта червонной масти ,
(q\2	97
J , значит, искомая вероятность равна 1 — — = — = 0,4375.
Ответ: 0,4375.
61.	На место водителя можно посадить только одного из двух человек
(умеющего водить машину), значит, существуют 2 способа занять первое
место. Второе место может занять любой из 5 человек, оставшихся после
того, как место водителя будет занято. Третье место — 4 человека и т. д.
Получаем произведение: 2-5-4-3-21 = 240.
Ответ: 240.
28	Элементы теории вероятностей комбинаторики и статистики
67. На первом месте всегда должна стоять одна буква, следовательно,
существует только один способ занять первое место. На оставшиеся два
места может претендовать любая из 10-ти букв, так как буквы в позыв-
ных могут повторяться. Получаем 1 • 10 • 10 = 100.
Ответ: 100.
70. На первом месте может стоять любая из 26 букв. На остальных ме-
стах — любые из девяти цифр, причём они могут повторяться. Получаем
26 • 9 • 9 • 9 = 18954.
Ответ: 18954.
73. На завтрак людоед может предпочесть любого из 10 человек, тогда
на обед — любого из 9 оставшихся, а на ужин — одного из 8 оставшихся
пленников. Всего получаем 10 • 9 • 8 = 720 способов.
Ответ: 720.
88. Сначала поставим на любую из 64 клеток доски белую ладью. Для
чёрной ладьи останется 49 полей. Всего получаем 64 • 49 = 3136 спосо-
бов.
Ответ: 3136.
Ответы к тренировочным тестам
Вар. №	Номер задания						
	1	2	3	4	5	6	7
1	0,5	0,81	0,002	0,9375	8	56	6
2	0,2	1 495	0,5	102	81	171	11
3	0,4	0,5	0,4	0,31	120	3276	51,5
4	0,5	5 6	8 15	0,35	4060	1386	20,5
5	0,6	0,3	0,4	0,188	100	35	7
6	0,7	2 9	1 36	0,954	625	25480	5
7	0,4	1 90	0,0625	0,72	15625	1680	35
8	1 3	0,2	0,1	0,216	124	720	10
Ответы к сборнику задач
I 2- £ 3- I' 4- I 5' I- 6- “Л- 7-
11. Д. 12. 0,75. 13. 0,2. 14. Д. 15. |.
14	16 о
3360 ол 1	<>i	1	1
11111
20 —
98 g 1 |л _1_
9900 ‘	5'	12'
17. 0,04. 18.
£Ъ — 1
67 я
315’ 8>
” i
 2°- Й56- 2‘- ’> пЬг б> 16Й51 22-123- В 24- °-75-
25.	26. ^П~3?.!. 27.1 - (1 - (1 - р)т)к. 28.0,7125. 29.1 - 0,955.
31	(2п — 1)!
19.
ЗГ"
30. (к - 1) • р2 • (1 - р)*-2. 31. n > logp (1 -р) - 1. 32. 0,92. 33.
34. 5040. 35. J. 36. 6720. 37. J. 38.	39. А 40.	41.	42. 0,5.
о	о 20	42 оо 20о
43. ^5- 43 44- ЮЛ7709* 45‘ °-4* 46- 0>5625- 47- O’L 48- 0>5- 49- 7* 50- °’2’
о27оо 1У4/7У2
51. 0,165. 52. 0,375. 53. 0,4375. 54. 27. 55. 9000. 56. 900. 57. 24. 58. 60.
59. 6. 60. 12. 61. 240. 62. 210. 63. 35. 64. 72. 65. 18. 66. 256. 67. 100.
68. 504. 69. 180. 70.18954. 71. 11!. 72. 362880. 73. 720. 74. 300. 75. 600.
76. 12. 77. 496. 78. 680. 79. 20. 80. 1680. 81. 504. 82. 1680. 83. 9720.
84.1320. 85. 78. 86. 210. 87. 768. 88. 3136. 89.403202. 90.13776. 91.10.
92. 5120000. 93. 210. 94. 360360. 95. 50. 96. 6. 97. 675. 98. 90. 99. 7920.
100.120.101.450.102.4.103.6.104.8.105.51,5.106.3.107.1.108.0,5.
109.30%. ПО. 8.
Литература
1.	Федеральный государственный образовательный стандарт основно-
го общего образования (Приказ Минобрнауки РФ от 17.12.2010г.
№1897).
2.	Спецификация экзаменационной работы по алгебре государственной
(итоговой) аттестации выпускников IX классов общеобразователь-
ных учреждений (в новой форме) 2012 г. [Электронный ресурс]. —
Электрон, текст, дан. — Москва: ФИПИ. — 2011. — Режим досту-
па: www.fipi.ru, свободный.
3.	Виленкин Н. Я., Виленкин А. Н., Виленкин П. А. Комбинатори-
ка — М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. - 400 с.
4.	Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика:
учебное пособие — М.: Высшее образование, 2006. — 479 с.
5.	Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятно-
стей и математической статистике: учебное пособие — М.: Высшая
школа, 1999. — 400 с.
6.	Крлмагоров А. И. Основные понятия теории вероятностей — М.:
Просвещение, 2001.
7.	Соловьев А. А. Лекции по теории вероятностей и математической
статистике — М.: Просвещение, 2003.
Готовимся к ЕГЭ
Учебное издание
Евич Людмила Николаевна
Ольховая Людмила Сергеевна
Ковалевская Александра Сергеевна
МАТЕМАТИКА
ПОДГОТОВКА К ЕГЭ-2012
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ
Учебно-методическое пособие
Обложка А.Вартанов
Компьютерная верстка Л. Ковалевская
Корректор М. Федорова
Подписано в печать с оригинал-макета 13.09.2011.
Формат 60х841/16. Бумага типографская.
Гарнитура Ньютон. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,86.
Тираж 10000 экз. Заказ № 295.
Издательство ООО «Легион-М» включено в перечень организаций,
осуществляющих издание учебных пособий, которые допускаются
к использованию в образовательном процессе в имеющих государственную
аккредитацию и реализующих образовательные программы общего
образования образовательных учреждениях. Приказ Минобрнауки России
№2 от 13.01.2011, зарегистрирован в Минюст России 08.02.2011 № 19739.
ООО «ЛЕГИОН-М»
Для писем: 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550.
Адрес редакции: 344011, г. Ростов-на-Дону, пер. Доломановский, 55.
www.legionr.ru e-mail: legionrus@legionrus.com
Отпечатано в соответствии с качеством предоставленных диапозитивов
в ЗАО «Полиграфобъединение». 347900, г. Таганрог, ул. Лесная биржа, 6 В.

Учебно-методический комплекс
«Математика.Подготовка к ЕГЭ»
под редакцией Ф.Ф. Лысенко и С.Ю. Кулабухова
включает следующие пособия для учащихся и учителей:
I • Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012
I • Решебник. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012
I • Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории вероятностей
и статистики.
I • Математика. Устные вычисления и быстрый счет. Тренировочные
упражнения за курс 7-11 классов
I • Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2012 (Bl - В6). Пособие для «чайников»
I • Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2012 (В7 — В14). Пособие для «чайников»
I • Математика. Тематические тесты. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1,СЗ).
Уравнения, неравенства, системы
I • Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ: задание С5
I • Математика. Повторение курса в формате ЕГЭ. Рабочая программа. 11 класс.
 Самостоятельные, контрольные работы. Тренировочные задания по плану ЕГЭ
•	Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Учебно-тренировочные тесты
•	Карманный справочник по математике
Издательство включено в перечень организаций, осуществляющих издание учебных
пособий, которые допускаются к использованию в образовательном процессе в имеющих
государственную аккредитацию и реализующих образовательные программы общего
образования образовательных учреждениях. Приказ Минобрнауки России № 2 от 13.01.2011,
зарегистрирован в Минюст 08.02.2011 № 19739.	-р
ИЗДАТЕЛЬСТВО Я/
ISBN 978-5-91724-116-6 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550 T1174^1 <ГЛТТ (V
|	lb Тел. (863) 303-05-50, 248-14-03	Т/Ау
Сайт, интернет-магазин: www.legionr.ru	/А
I | e-mail: legionrus@legionrus.com	*г
I Опт, мелкий опт, интернет-магазин, книга — почтой
9785917 241166