ПОД РЕДАКЦИЕЙ Ф.Ф. ЛЫСЕНКО, С.Ю. КУЛАБУХОВА
МАТЕМАТИКА
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
ЕГЭ-2024
Л Л ТРЕНИРОВОЧНЫХ
4U ВАРИАНТОВ
ПО НОВОЙ ДЕМОВЕРСИИ 2024
 ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ 10 ВАРИАНТОВ
 СБОРНИК ЗАДАЧ
 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК
 ОТВЕТЫ КО ВСЕМ ВАРИАНТАМ И ЗАДАНИЯМ
2sinx'cosx
ЛЕГИО1
Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
МАТЕМАТИКА
ПОДГОТОВКА К ЕГЭ-2024
Профильный уровень
40 тренировочных вариантов
по демоверсии 2024 года
Учебно-методическое пособие
тм
ЛЕГИОН
Ростов-на-Дону
2023
УДК 372.851
ББК22.1я721
М34
Рецензенты:
М. В. Носков, доктор физико-математических наук, профессор,
г. Красноярск;
А. Г. Бермус, кандидат физико-математических наук, доктор
педагогических наук, профессор, г. Ростов-на-Дону
Авторский коллектив:
Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухов, С. О. Иванов, Е. Г. Коннова,
Е.	М. Фридман, Н. И. Авилов, С. В. Дерезин, В. М. Кривенко,
А. М. Домашенко, А. Г. Корянов, А. А. Прокофьев, Н. М. Резникова,
А. А. Смирнова, А. П. Уваровский, В. А. Березюк, В. О. Бурак,
Е. Э. Чурилкина
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень.
М34 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2024 года: учеб-
но-методическое пособие / под редакцией Ф. Ф. Лысенко,
С. Ю. Кулабухова. — Ростов н/Д: Легион, 2023. — 368 с. —(ЕГЭ).
ISBN 978-5-9966-1762-3
Пособие предназначено для качественной подготовки к профильному
уровню ЕГЭ по математике в 2024 году. В нём учтены все изменения в
спецификации 2024 года. Книга содержит:
•	40 новых тренировочных вариантов, составленных в соответствии
с проектами демоверсии и спецификации 2024 года профильного уровня
ЕГЭ по математике, опубликованными на сайте ФИПИ 25.08.2023;
•	примеры выполнения 10 вариантов;
•	краткий теоретический справочник;
•	задачник, содержащий основные типы задач с кратким ответом;
•	ответы ко всем заданиям и вариантам.
Книга адресована старшеклассникам и учителям, готовящим выпускников
к экзамену.
УДК 372.851
ББК22.1я721
ISBN 978-5-9966-1762-3
© ООО «Легион», 2023
Содержание
От авторов............................................  6
Прототипы заданий с кратким ответом.................... 9
Прототип задания 1 ............................... 9
Прототип задания 2..............................  14
Прототип задания 3............................... 15
Прототип задания 4............................... 18
Прототип задания 5............................... 20
Прототип задания 6............................... 23
Прототип задания 7............................... 25
Прототип задания 8............................... 27
Прототип задания 9............................... 32
Прототип задания 10.............................. 33
Прототип задания 11.............................. 35
Прототип задания 12.............................. 38
Инструкция по выполнению работы....................... 40
Тренировочные варианты ............................... 41
Вариант № 1...................................... 41
Вариант № 2...................................... 45
Вариант № 3...................................... 49
Вариант № 4...................................... 53
Вариант № 5...................................... 57
Вариант № 6...................................... 61
Вариант № 7 ..................................... 65
Вариант № 8...................................... 69
Вариант №9......................................  73
Вариант № 10..................................... 77
4
Содержание
Вариант№11....................................... 81
Вариант №12...................................... 85
Вариант №13...................................... 89
Вариант №14...................................... 93
Вариант №15...................................... 97
Вариант № 16.....................................101
Вариант № 17.....................................105
Вариант № 18.....................................109
Вариант № 19.....................................113
Вариант № 20.................................... 117
Вариант № 21.....................................121
Вариант № 22.....................................125
Вариант № 23.....................................129
Вариант № 24.....................................133
Вариант №25......................................137
Вариант № 26.....................................141
Вариант № 27.....................................145
Вариант № 28.....................................149
Вариант №29......................................153
Вариант № 30.....................................157
Вариант № 31.....................................161
Вариант № 32.....................................165
Вариант № 33.....................................169
Вариант № 34.....................................174
Вариант № 35.....................................179
Вариант № 36.....................................183
Вариант № 37.....................................187
Вариант № 38.....................................192
Вариант № 39.....................................197
Вариант № 40.....................................201
Примеры выполнения избранных вариантов................205
Вариант № 1......................................205
Вариант № 5......................................212
Вариант № 9......................................221
Вариант № 13.....................................229
Содержание
5
Вариант № 17.....................................237
Вариант № 21.....................................245
Вариант № 25.....................................257
Вариант № 29.....................................265
Вариант № 33.....................................273
Вариант № 37.....................................282
Краткий теоретический справочник......................293
§ 1.	Условные обозначения.........................293
§ 2.	Степени и корни .............................294
§ 3.	Модуль и его свойства........................295
§ 4.	Прогрессии...................................296
§ 5.	Логарифмы....................................296
§ 6.	Теория вероятностей..........................297
§ 7.	Тригонометрия................................298
§ 8.	Многочлены и их корни........................303
§ 9.	Уравнения................................... 307
§ 10.	Неравенства.................................309
§ 11.	Функции.....................................311
§ 12.	Планиметрия ................................326
§ 13.	Стереометрия............................... 340
Ответы к прототипам заданий с кратким ответом ........353
Ответы к тренировочным вариантам .....................354
От авторов
Дорогие старшекласскники!
Пособие предназначено для эффективной подготовки к единому госу-
дарственному экзамену по математике профильного уровня. Книга бу-
дет полезна выпускникам, учителям, а также тем, кто собирается сдавать
ЕГЭ после перерыва в обучении.
► Если сдача ЕГЭ по математике нужна только для получения атте-
стата, а не для поступления в профильный вуз, то сдавайте ЕГЭ базового
уровня. Рекомендуем воспользоваться пособием «Математика. Подго-
товка к ЕГЭ-2024. Базовый уровень. 40 тренировочных вариантов» под
редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. О. Иванова.
► Если вам необходим высокий балл на ЕГЭ для поступления на
техническую или социологическую специальность, то следует добиться
уверенного выполнения заданий 1—11 с кратким ответом, а также зада-
ний 12—15 с развёрнутым ответом этого пособия.
►	Если вы планируете получить математическое образование в вузе
или поступить на престижную экономическую специальность (целью
являются 90—100 баллов), то необходимо научиться решать все задания
данного пособия.
Книга содержит:
•	задачник, включающий в себя основные типы задач с кратким от-
ветом, которые соответствуют предлагаемым заданиям открытого банка
ЕГЭ;
•	40 новых тренировочных вариантов, составленных по проектам
спецификации и демоверсии ЕГЭ 2024 года, опубликованным 25.08.2023
на сайте ФИПИ (www. fipi.ru);
•	примеры выполнения 10 вариантов;
•	краткий справочник по элементарной математике, содержащий
теоретический материал, достаточный для выполнения всех заданий дан-
ного пособия;
•	ответы ко всем заданиям и вариантам.
Также в книгу включено новое задание по геометрии (задание 2), про-
веряющее умения определять координаты точки, вектора, производить
операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол
между векторами.
Тренировочные варианты носят парный характер, то есть являются
попарно подобными (так, например, подобны 1-й и 2-й варианты, 3-й и
От авторов
7
4-й и т. д.). Это позволяет учителю оптимизировать процесс подготовки:
целесообразно прорешать с учащимися в классе один из нечётных вари-
антов, а следующий (чётный) вариант дать на дом.
Уровень сложности и темы заданий с кратким ответом в тренировоч-
ных вариантах соответствуют заданиям открытого банка математических
задач ЕГЭ.
При подготовке к экзамену рекомендуем воспользоваться и другими
пособиями издательства «Легион» по математике.
Как работать с пособиями издательства «Легион»
Подготовку к ЕГЭ желательно начинать с пособий «Математика.
ЕГЭ-2024. Тематический тренинг. 10—11-е классы» и «Математика.
ЕГЭ-2024.1900 заданий с кратким ответом. Базовый и профильный уров-
ни. 10—11-е классы». Оба этих пособия могут использоваться в течение
двух лет (в 10-м и 11-м классах), способ же организации процесса обу-
чения зависит от учителя. Книгу «Математика. ЕГЭ-2024. Тематический
тренинг. 10—11-е классы» можно использовать для ознакомления с ме-
тодами решения задач базового, повышенного и высокого уровней слож-
ности, а также для организации диагностики и контроля (самоконтроля).
Работать с тренингом целесообразно не только на уроках, но и дома.
Книгу «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень.
40 тренировочных вариантов по демоверсии 2024 года» рекомендуем ис-
пользовать после освоения большей части материала из перечисленных
выше пособий. Предлагаемые в ней тренировочные варианты в формате
ЕГЭ профильного уровня могут быть разобраны в классе, при этом пар-
ный вариант можно предложить ученикам в качестве домашней работы.
Варианты пособия будут полезны также для организации диагностики и
контроля.
Пособие «Математика. 7—11-е классы. Карманный справочник»
удобно для поиска необходимого теоретического материала в период под-
готовки к ЕГЭ.
К пособию «Математика. ЕГЭ. Алгебра. Задания с развёрнутым от-
ветом. Профильный уровень» следует переходить при работе с наибо-
лее подготовленными учащимися, претендующими на получение высокого
балла на ЕГЭ. Собранные в нём задания можно давать как для самостоя-
тельного изучения, так и использовать в классах или школах с углублён-
ным изучением математики.
8
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень
Система оценивания тренировочных вариантов
Каждый вариант состоит из 19 заданий различного уровня сложности.
Первые 12 заданий предполагают краткий ответ, 7 последующих зада-
ний — развёрнутый.
Номера заданий	Максимальный первичный балл за правильное решение
1-12	1
13, 15, 16	2
14, 17	3
18, 19	4
Максимальное количество первичных баллов за вариант — 32.
Рекомендуемая таблица перевода первичных баллов
в стобалльную систему
Перв. балл	Итоговый		Перв. балл	Итоговый
0	0		17	74
1	6		18	76
2	11		19	78
3	17		20	80
4	22		21	82
5	27		22	84
6	34		23	86
7	40		24	88
8	46		25	90
9	52		26	92
10	58		27	94
И	62		28	96
12	64		29	98
13	66		30	100
14	68		31	100
15	70		32	100
16	72			
Замечания и предложения, касающиеся данной книги, можно при-
сылать на адрес электронной почты legionrus@legionrus.com
Прототипы заданий с кратким ответом
Прототип задания 1
1.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 32, sin В = 0,5. Найди-
те АС,
•7
2.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 50, cos В — Найди-
те АС.
3.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ =-20, tgB = |. Найди-
те ВС.
4.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, ВС = 14,
sin Л = 0,5. Найдите ВН.
5.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, АВ = 26,
tg В = 5. Найдите АН.
6.	В треугольнике АВС АС = ВС = 6,5, sin А = Найдите АВ.
1 о
7.	В треугольнике АВС АС = ВС = 13, tg А = 2,4. Найдите АВ.
8.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, АС = 14,
АН = 7. Найдите sin В.
9.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, ВС = 26,
ВН = 24. Найдите 13 cos А.
10.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, ВС = 26,
ВН = 24. Найдите tg А.
11.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, ВН = 5,4,
sin А = 0,6. Найдите АВ.
12.	Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 56. Боковые стороны
равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.
10 Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень
13.	Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежа-
щих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая
сторона параллелограмма равна 9 (см. рис. 1). Найдите его периметр.
Рис. 1
14.	В тупоугольном треугольнике АВС АС = ВС = 36, угол С равен 120°
(см. рис. 2). Найдите АЯ\/3, где АН — высота треугольника АВС.
Рис. 2
15.	Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 7 и 10\/3,
а угол между ними равен 60°.
16.	Площадь треугольника равна 72, две его стороны равны 9 и 24. Най-
дите большую высоту этого треугольника.
17.	Площадь ромба равна 22,5. Одна из его диагоналей в 5 раз меньше
другой. Найдите большую диагональ.	s
18.	Около окружности, радиус которой равен 8, описан многоугольник,
периметр которого равен 73. Найдите его площадь.
19.	Найдите высоту ромба, сторона которого равна 6\/2, а острый угол
равен 45°.
20.	Найдите угол между биссектрисами углов трапеции, прилежащих к од-
ной из боковых сторон. Ответ дайте в градусах.
Прототипы заданий с кратким ответом 11
21.	Основания трапеции равны 6 и 9 (см. рис. 3). Найдите отрезок, соеди-
няющий середины диагоналей трапеции.
22.	Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет |
о
окружности. Ответ дайте в градусах.
23.	Угол В четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, ра-
вен 67°. Найдите угол D этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
24.	Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол BCD равен
108°, угол ABD равен 77° (см. рис. 4). Найдите угол АСВ, Ответ дайте
в градусах.
Рис. 4	Рис. 5
25.	Хорда АВ стягивает дугу окружности в 108°. Найдите угол АВС меж-
ду этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В
(см. рис. 5). Ответ дайте в градусах.
26.	Сторона правильного треугольника равна 8л/3. Найдите радиус
окружности, описанной около этого треугольника.
27.	Сторона правильного треугольника равна 8\/3. Найдите радиус
окружности, вписанной в этот треугольник.
28.	Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр
описанной окружности.
12
Математика. ПодготовкакЕГЭ-2024^ Профильныйуровень
29.	Периметры двух подобных многоугольников относятся как 4 : 7. Пло-
щадь большего многоугольника равна 171,5. Найдите площадь меньшего
многоугольника (см. рис. 6).
30.	Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 10 и 24.
Найдите длину вектора СО - ОЁ.
31.	Периметр прямоугольника равен 28, а площадь равна 48. Найдите диа-
гональ этого прямоугольника.
32.	Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка К — середина
стороны ВС. Найдите площадь трапеции AKCD.
33.	Найдите отношение площади квадрата, вписанного в окружность,
радиус которой равен \/7, к площади квадрата, описанного около этой
34.	Длина дуги сектора круга равна 9. Найдите площадь этого сектора,
если радиус круга равен 3.
35.	Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями
2х + 5у = 4 и х + 2у = 1.
Прототипы заданий с кратким ответом
13
36.	Диагональ BD разделила прямоугольник ABCD на два треугольника.
Найдите меньший угол между биссектрисами острых углов треугольника
BCD (см. рис. 8). Ответ дайте в градусах.
37.	В треугольнике АВС угол А равен 37°, угол С равен 85°, В К — бис-
сектриса внешнего угла при вершине В, точка К лежит на прямой АС.
На продолжении стороны АВ за точкой В выбрана такая точка М, что
СВ = ВМ (см. рис. 9). Найдите угол СКМ. Ответ дайте в градусах.
А
Рис. 9
38.	Основания трапеции равны 9 и 17. Найдите меньший из отрез-
ков, на которые делит среднюю линию этой трапеции диагональ BD
(см. рис. 10).
Рис. 10
14
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень
39.	В трапецию, периметр которой равен 76, вписана окружность. Найди-
те среднюю линию трапеции.
40.	Дана окружность, радиус которой равен 23. Градусная мера вписан-
ного в эту окружность угла равна 30°. Найдите длину хорды, на которую
опирается этот угол.
41.	Диагонали четырёхугольника равны 11 и 13. Найдите периметр че-
тырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного
четырёхугольника (см. рис. 11).
В
Рис. 11
42.	Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через
конец меньшего основания, равного 7, отсекает треугольник, периметр ко-
торого равен 28 (см. рис. 12). Найдите периметр трапеции.
43.	Периметр правильного шестиугольника равен 15. Найдите радиус
окружности, описанной около этого шестиугольника.
44.	Сторона правильного треугольника равна 6\/3. Найдите радиус
окружности, описанной около этого треугольника.
Прототип задания 2
45.	На координатной плоскости изображены векторы а и b (см. рис. 13).
Найдите скалярное произведение a • b.
Прототипы заданий с кратким ответом 15
46.	Даны векторы 5(-5;3), 6(4;-4) и с(1;-6). Найдите длину вектора
a — 26 -I- с.
47.	Даны векторы 5(3; -5), 6(-4; -2) и 2(7;-1). Найдите длину вектора
суммы этих векторов.
48.	Даны векторы 5(я; 6), 6(7; -2). При каких значениях х скалярное про-
изведение этих векторов равно 2?
49.	На координатной плоскости изображены векторы 5 и b (см. рис. 14).
Найдите скалярный квадрат 5=5 — 6.
50.	В треугольнике АВС: АС = 9, АВ = 14, ЛСАВ = 60°. Найдите
скалярное произведение векторов АС • АВ.
51.	Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и CD, если
А(—2; 3), В(4; 1), <7(11; 7) и £>(7; 9).
Прототип задания 3
52.	Найдите площадь поверхности много-
гранника, изображённого на рисунке 15 (все
двугранные углы прямые).
53.	Найдите объём многогранника, изобра-
жённого на рисунке 15 (все двугранные углы
прямые).
Рис. 15
16
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень
54.	Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки
А, В, С, D, Ai, Bi прямоугольного параллелепипеда ABCDA]B\C\D\y
у которого АВ = 7, AD = 4, AAi = 6.
55.	Найдите квадрат расстояния между вершинами А и В многогранника,
изображённого на рисунке 15. Все двугранные углы многогранника пря-
мые.
56.	В правильной шестиугольной призме ABCDEFAiBxCxD\EiF\ все
рёбра равны 11. Найдите расстояние между точками А и С\.
57.	Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус ос-
нования которого равен 6. Объём параллелепипеда равен 720. Найдите
высоту цилиндра.
58.	Прямоугольный параллелепипедописан около сферы, радиус которой
равен 3. Найдите его объём.
59.	В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили
воду. Уровень воды достигает 15 см. На какой высоте будет находиться
уровень воды, если её перелить в другой такой же сосуд, у которого сто-
рона основания в 3 раза меньше, чем у первого? Ответ выразите в см.
60.	Объём конуса равен 54. Через середину высоты параллельно осно-
ванию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего
конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.
61.	Объём первого цилиндра равен 36. У второго цилиндра высота в де-
вять раз меньше, а радиус основания в пять раз больше, чем у первого.
Найдите объём второго цилиндра.
62.	Площадь поверхности куба равна 72. Найдите его диагональ.
63.	Объём куба равен 216. Найдите площадь его поверхности.
64.	Радиус основания цилиндра равен 5, высота равна 8. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра, делённую на тг.
65.	Площадь большого круга шара равна 7. Найдите площадь поверхно-
сти шара.
66.	Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его площадь поверхности
увеличится на 126. Найдите ребро куба.
67.	Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой
лежит ромб с диагоналями, равными 24 и 10, и боковым ребром, равным 4.
68.	Во сколько раз уменьшится площадь поверхности шара, если радиус
шара уменьшить в 7 раз?
69.	В цилиндрический сосуд, в котором находится 9 литров воды, опущена
деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,8 раза. Чему
равен объём детали? Ответ выразите в литрах.
Прототипы заданий с кратким ответом
17
70. Если каждое ребро куба уменьшить на 1, то его объём уменьшится
на 37. Найдите ребро куба.
71. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 34.
Точка Е — середина ребра SB. Найдите объём тела, полученного по-
сле отсечения треугольной пирамиды ЕАВС от пирамиды SABCD
(см. рис. 16).
Рис. 16
72.	Объём куба равен 72. Найдите объём четырёхугольной пирамиды,
основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба
(см. рис. 17).
Рис. 17
18
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024, Профильный уровень
73.	Объём тетраэдра равен 4. Найдите объём многогранника, вершинами
которого являются середины рёбер данного тетраэдра (см. рис. 18).
Рис. 18
74.	В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно >/39, а сто-
рона основания равна 6. Найдите объём пирамиды.
75.	Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен 12. Найдите объ-
ём шара.
76.	Конус вписан в цилиндр. Объём конуса равен 1,5. Найдите объём ци-
линдра.
77.	Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус
основания которого равен 3. Площадь боковой поверхности призмы рав-
на 60. Найдите высоту цилиндра.
78.	Длина окружности основания цилиндра равна 7. Площадь боковой по-
верхности равна 29,4. Найдите высоту цилиндра.
79.	В кубе ABCDA\BiC\Di найдите угол между прямыми АВ и BiC.
Ответ дайте в градусах.
80.	В правильной треугольной призме ABCAxBiC\, все рёбра которой
равны 17, найдите угол между прямыми ВВ\ и АС±. Ответ дайте в граду-
сах.
81.	В правильной шестиугольной призме ABC DEF A\B\C\D\EiF\ все
рёбра равны 23. Найдите тангенс угла AD\D.
Прототип задания 4
82.	В среднем из 400 приборов, поступивших в продажу, 5 с браком. Най-
дите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля прибор
окажется бракованным.
83.	Фабрика выпускает насосы. В среднем на 89 качественных насосов
приходится 11, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что
выбранный в магазине насос окажется с дефектами.
Прототипы заданий с кратким ответом
19
84.	В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до де-
сятых.
85.	В соревнованиях участвуют 6 спортсменов из Франции, 3 спортсмена
из Чехии, 7 спортсменов из Германии и 4 — из Бельгии. Порядок, в кото-
ром выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность
того, что спортсмен, выступающий шестым, окажется из Германии.
86.	Конференция длится 4 дня. Запланировано 80 докладов: первые два
дня — по 23 доклада, остальные доклады распределены поровну между
третьим и четвёртым днями. Порядок докладов определяется жеребьёв-
кой. Какова вероятность того, что доклад профессора А. окажется запла-
нированным на третий день конференции?
87.	За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке рассаживаются
15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки бу-
дут сидеть рядом.
88.	Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число
от 33 до 52 делится на четыре?
89.	Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число
от 33 до 52 не делится на четыре?
90.	Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то
момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что ча-
совая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 2.
Результат округлите до сотых.
91.	Вероятность того, что новый телевизор в течение года поступит в га-
рантийный ремонт, равна 0,037. В городе К из 100 проданных телевизоров
в течение года в гарантийную мастерскую поступили 4. На сколько отли-
чается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом
городе?
92.	На экзамене по биологии ученику достаётся один вопрос из списка
экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос из разде-
ла «Ботаника», равна 0,27; из раздела «Зоология» — 0,28. Вопросов,
которые одновременно относятся к этим двум разделам, нет. Найдите ве-
роятность того, что на экзамене ученику достанется вопрос по одному из
этих двух разделов.
93.	Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая —
0,15. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорят.
20
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень
94.	Перед началом соревнований по теннису участников случайным обра-
зом разбивают на игровые пары с помощью жребия. Всего в чемпионате
участвуют 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том
числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова бу-
дет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до
сотых.
95.	В группе 30 человек, среди них два брата. Группу случайным образом
делят на две команды по 15 человек в каждой. Найдите вероятность того,
что братья окажутся в одной команде. Результат округлите до сотых.
96.	В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают
двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М. хотел бы
остаться в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того,
что М. останется дежурить?
97.	На фабрике 8% произведённых сумок имеют дефект. При контроле ка-
чества продукции выявляется 85% сумок с дефектом. Остальные сумки
поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная
при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
98.	Мышь забегает в лабиринт в точке А. Развернуться и бежать назад
мышь не может, поэтому на каждом разветвлении мышь выбирает один
из путей, по которому она побежит. Считая, что выбор дальнейшего пути
чисто случайный, определите, с какой вероятностью мышь выбежит в точ-
ке В (см. рис. 19).
В
Рис. 19
Прототип задания 5
99.	Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая —
0,15. Найдите вероятность того, что горит хотя бы одна лампочка.
100.	Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая —
0,15. Найдите вероятность того, что обе лампочки горят.
101.	Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая —
0,15. Найдите вероятность того, что горит только первая лампочка, а вто-
рая перегорела.
Прототипы заданий с кратким ответом
21
102.	Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая —
0,15. Найдите вероятность того, что горит только вторая лампочка, а пер-
вая перегорела.
103.	Спортсмен четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попада-
ния в мишень при одном выстреле равна 0,74. Найдите вероятность того,
что спортсмен первые два раза попал в мишени, а последние два промах-
нулся. Результат округлите до сотых.
104.	Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит боль-
ше года, равна 0,923. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет,
равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет,
но больше года.
105.	В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Ве-
роятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна 0,2.
Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна 0,09.
Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих ав-
томатах.
106.	Автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уни-
чтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются
до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения
некоторой цели при первом выстреле равна 0,5, а при каждом последую-
щем — 0,8. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность
уничтожения цели была не менее 0,98?
107.	Предприниматель закупает для продажи на рынке куриные яйца в
двух хозяйствах. 50% яиц из первого хозяйства — яйца высшей катего-
рии, а из второго хозяйства — 40% яиц высшей категории. При продаже
яиц на рынке оказалось, что всего получилось 42% яиц высшей катего-
рии. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у предпринимателя,
окажется из второго хозяйства.
108.	Чтобы поступить в университет, абитуриент должен набрать на ЕГЭ
не менее 75 баллов по каждому сдаваемому предмету. На специальность
«информатика» необходимо сдавать русский язык, математику и инфор-
матику, а на специальность «робототехника» — русский язык, математику
и физику. Вероятность того, что абитуриент А получит не менее 75 баллов
по русскому языку равна 0,7, по математике — 0,5, по информатике —
0,6 и по физике — 0,4. Найдите вероятность того, что А сможет поступить
хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
22
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень
109.	Робин Гуд подошёл к столу на котором лежали 3 его старых лу-
ка и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает
в цель из своего старого лука с вероятностью 0,8, а из нового — с ве-
роятностью 0,3. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите
вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.
110.	В стране М бывает два типа погоды: дождливая и солнечная, причём
погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно,
что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Се-
годня, 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что
5 мая в стране будет дождливая погода.
111.	Два завода выпускают одинаковые подшипники. Первый завод вы-
пускает 38% всех подшипников, второй — 62%. При проверке оказалось,
что 2% продукции первого завода и 2,5% второго имеют скрытые дефекты.
Найдите вероятность того, что случайно купленный подшипник окажется
бракованным.
112.	Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови.
Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется поло-
жительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероят-
ностью 0,95. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный поло-
жительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 6% пациентов,
поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Най-
дите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего
в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.
113.	Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не
выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма
выпавших очков окажется равна 5».
114.	Симметричную монету бросают ровно 10 раз. Во сколько раз веро-
ятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события
«выпадет ровно 4 орла»?
115.	В кафе гостям предлагают выиграть бесплатный кофе: М бросает
одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6
очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит чашку кофе бесплат-
но. Какова вероятность получить бесплатный кофе? Результат округлите
до сотых.
116.	Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон де-
лает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся пе-
редать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,6. Найдите ве-
роятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух
попыток.
Прототипы заданий с кратким ответом 23
117.	В корзине находятся 5 синих шаров и 6 красных. Из корзины выло-
жили случайно взятый шар. Затем из корзины достали один шар. Какова
вероятность того, что он красный? Ответ округлите до сотых.
118.	В викторине участвуют 5 команд. Все команды разной силы, и в каж-
дой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде
встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Про-
игравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет
со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первом
раунде победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда
выиграет третий раунд?
119.	Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе:
игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший
в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий
тур, где встречается со следующим противником, который определён жре-
бием. Если число игроков нечётное, то с помощью жребия выбираются
случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в
туре. Так продолжается до тех пор, пока не останутся два игрока, играю-
щих между собой финальный тур, который выявляет победителя турнира.
Всего в турнире участвуют 20 игроков, все они играют одинаково хорошо,
поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждо-
го игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова
вероятность того, что в каком-то туре этим двоим придётся сыграть друг с
другом?
120.	В таблице показано количество билетов и возможные выигрыши бес-
проигрышной денежной лотереи. Цена билета лотереи равна 300 рублей.
Всего билетов выпущено 1000 штук. Участник покупает один случайный
билет. На сколько рублей цена билета выше, чем математическое ожида-
ние выигрыша?
Выигрыш	100	250	1000	100000
Количество билетов	675	310	14	1
Прототип задания 6
Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня,
в ответе укажите меньший из них.
121.	-|х = 2|.
7	7
|22ТГ1! = 3П-
24
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень
124.	(х + 7) =28х.
12S	х ~ 9 _	~ 9
'Зх-1 х + 33’
126.	(2х + З)3 = -64.
127.	= 2.
128.	=2.
129.	^х + 12 = х.
z х 7—2х
Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня,
в ответе укажите больший из них.
131.	325®-11 = i
132.	3®+4 = 0,375  8®+4.
133.	log i(13 + х) = -2.
134.	10^4 = 2,
135.	log9 З2®-1 = 2.
136.	log7(x + 5) = log7(5x — 3).
137.	logu(3 - x) = 21ogn 2.
138.	log2(15 + x) = log2(3x - 1) + 3.
139.	2Io8-*<®+3> = 1.
Найдите корни уравнения. В ответе напишите наибольший отрица-
тельный корень.
140.	cos + 2) =
4	Z
142. Найдите корни уравнения sin — = —0,5. В ответе напишите наи-
«5
меньший положительный корень.
Прототипы заданий с кратким ответом
25
Прототип задания 7
Найдите значение выражения.
144. \/1602 - 962.
145.
15
•"-V-
WTT . Р/ТТ
149. VI16 ‘ V11.
р/li
2	1	9
151.45 . 0,55 . 85.
( (За)2 4- 15а
’ За2 4- 5а
154.	f-Ц—-(25а2-49).
\5а + 7 5а —7/ v ’
155.	13р - a + 10, если За + 5Р 8 = 4.
а - 2р + 1
156.	Зр(х + 4) — р(3а:), если р(х) = х + 1.
157.	^(а + З)2 + ^(а-4)2 при —3 < а < 4.
158.
2У^
при а > 0.
159.	2V/Q + 7 _	- 2а + 11 при а = 5.
а
160.	25-v^ • 24v/5~8 : 23v^-1.
161.3-7log7u.
26
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень
162.	811о«з5.
163.	logo,125 8-
164.	log2 — + logo,25 32.
165.	logo^ 5 — logo,36 3-
166.	,1о&17
log36 17
l68-1°*»'w+^ir
169. logo,6 7  log7 0,36.
170.92+1°g»2.
171.	log2 log3 81.
172.	logo(a3b2), если logfc a = |.
o\logs7
174 15 sin 23° cos 23°
sin 46°
- -- 3(sin2 51° — cos2 51°)
,75-	------cosl02“------
17Л 18 sin 23°
76‘ sin337° •
<77	14 sin 86°
sin 43° sin 47°’
178.	-8'/3sin(-420°).
179.	H------------------
4sin(/3 — 5tt) + 3cos( ~ 4-/3)
180.	-------------------------.
5sm(/3 4- тг)
181.	4cos(x — Зтг) — 7sin(0,57r 4- x), если cosx = 0,3-
182. tg2 /3, если 7 sin2 /3 4-9 cos2 /3 = 8.
183 4sin^7cos^ сди ^ = 2.
5sin/3 - 8cos/3
Прототипы заданий с кратким ответом
27
184.	amg + lScos/i- S	_ _5
smp + 5cosp + 2
1Or . Л 3sinZ? — 7cos/3 — 3	1
185.	tg Д если _ . %------£—— =
2sin/3 + 6cosp — 12	4
186.	\/2 - -Увсоз2
О
187.	4/8 sin2 - y/2.
О
3
188.	Найдите tg Д если sin/? = — и
Прототип задания 8
189.	Прямая у = 12х -f- 49 является касательной к графику функции
у = 2х3 — Зх2 — 24х + 5. Найдите абсциссу точки касания.
190.	На рисунке 20 изображён график функции у = д(х), определённой
на интервале (—3; 7). Определите количество целых точек, в которых про-
изводная функции отрицательна.
Рис. 20
191.	На рисунке 21 изображён график функции у — д(х), определённой
на интервале (-7; 1). Найдите количество точек, в которых касательная к
графику функции параллельна прямой у = —34 или совпадает с ней.
Рис. 21
28 Математика. ПодготовкакЕГЭ-2024. Профильныйуровень
192.	На рисунке 22 изображён график у = р'{х) — производной функ-
ции р(х), определённой на интервале (—3; 7). В какой точке отрезка [3; 6)
функция р(х) принимает наименьшее значение?
Рис. 22
193.	На рисунке 23 изображён график у — h'(x) — производной функ-
ции Л(х), определённой на интервале (—7;3). Найдите количество точек
минимума функции h(x), принадлежащих отрезку [-4; 2].
Рис. 23
194.	На рисунке 24 изображён график у = h.'(x) — производной функ-
ции h.(x), определённой на интервале (-7;3). Найдите промежутки воз-
растания функции h(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в
эти промежутки.
Рис. 24
Прототипы^ заданий. с кратким ответом 29
195.	На рисунке 25 изображён график у = /'(х) — производной функ-
ции /(х), определённой на интервале (—3; 7). Найдите промежутки убы-
вания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
196.	Прямая у = -5х + 1 является касательной к графику функции
у = ах2 + Зх + 9. Найдите а.
197.	Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = 5t3 — 219t -I- 10, где x — расстояние от точки отсчёта в мет-
рах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её
скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 4.
198.	Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = 5t2 — 20t -I- 11, где х — расстояние от точки отсчёта в мет-
рах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите
момент времени t (в секундах), когда скорость материальной точки стала
равной 5 м/с.
199.	На рисунке 26 изображён график у = а'(х) — производной функ-
ции s(x), определённой на интервале (—7;3). Найдите количество то-
чек, в которых касательная к графику функции з(х) параллельна прямой
у — —1,5х — 1 или совпадает с ней.
Рис. 26
30
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень
200. На рисунке 27 изображены график функции у = f(x) и касательная к
201. На рисунке 28 изображён график функции у = t(x) и шесть точек
202.	На рисунке 29 изображён график у = д'(х) — производной функ-
ции д{х) и шесть точек на оси абсцисс: xi, х2,..., хе. В скольких из этих
точек функция д(х) возрастает?
Рис. 29
Прототипы заданий с кратким ответом
31
203.	На рисунке 30 изображён график функции у = h(x) и отмечены точки
-4, —1, 2, 5. В какой из этих точек значение производной наименьшее?
В ответе укажите эту точку.
204.	На рисунке 31 изображён график функции у = F(x) — одной из пер-
вообразных некоторой функции /(ж), определённой на интервале (—3; 7).
Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) — 0
на отрезке [-0,5; 3].
Рис. 31
205.	На рисунке 32 изображена ломаная линия — график некоторой
функции у = д(х). Пользуясь рисунком, вычислите G(6) — G(-2), где
G(x) — одна из первообразных функции ^(х).
Рис. 32
32
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень
206.	На рисунке 33 изображён график некоторой функции у = s(x).
Найдите площадь заштрихованной фигуры, если одна из первообразных
з
функции s(x) имеет вид S(x) =	+ х2 + Зх - 1.
<5
Прототип задания 9
207.	При температуре 0°С рельс имеет длину /0 = 5 м. При воз-
растании температуры длина рельса (в метрах) меняется по закону
Z(t°) = /о(1 + at0), где a = 1,2 • 10-5 (°C) — коэффициент теплового
расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой темпе-
ратуре рельс удлинится на 1,5 мм? Ответ запишите в градусах Цельсия.
208.	Объём спроса q (единиц в месяц) на продукцию зависит от цены
р (тыс. руб.) и задаётся формулой q = 100 — 10 р. Выручка предприятия
за месяц г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = qp. Определите
наибольшую цену р, при которой месячная выручка г(р) составит не ме-
нее 160 тыс. руб. Ответ запишите в тыс. руб.
209.	Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону
h(t) = —2 4- 17t — 5t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах,
прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на
высоте не менее 4 метров?
210.	В боковой стенке бака установлен кран. Если вода начинает вытекать
из бака, то высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по
закону H(t) = Но - (2gHQ) °'5kt 4- 0,5pfc2t2, где t — время в секундах,
прошедшее с момента открытия крана, Но = 5 м — начальная высота
столба воды, коэффициент к = а д — ускорение свободного падения
о0
(считайте д = 10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке
останется 0,04 первоначального объёма воды?
Прототипы заданий с кратким ответом	33
211.	Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя опре-
деляется формулой ту = (Ji - Т2) : Т\ • 100%, где Т\ — температура нагре-
вателя (в градусах Кельвина), Т2 — температура холодильника (в граду-
сах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя Т\ КПД
этого двигателя будет не меньше 16%, если температура холодильника
Т2 = 399 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
212.	Уравнение физического процесса записывается в видерУа = const,
где р (Па) — давление в газе, V — объём газа в кубических метрах, a —
положительная константа. При каком наименьшем значении константы a
уменьшение в 4 раза объёма приводит к увеличению давления не менее
чем в 16 раз?
213.	Агентство определяет рейтинг R новостных изданий по формуле
R =	на основе показателей: информативность In, опе-
ративность Ор и объективность Тг публикаций. Каждый показатель оце-
нивается целыми числами от -3 до 3. Каким должно быть число А, чтобы
издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг 6,75?
214.	Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в ла-
боратории используется собирающая линза с главным фокусным рассто-
янием f = 25 см. Расстояние di от линзы до лампочки может изменяться
в пределах от 27 до 33 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах
от 100 до 150 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено
соотношение 4- + 4- = 4. Укажите, на каком наименьшем расстоянии
«1	«2 f
от линзы можно поместить экран, чтобы изображение лампочки на экране
было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
Прототип задания 10
215.	Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Пер-
вый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую
половину пути со скоростью 54 км/ч, а вторую половину пути — со ско-
ростью, на 7,5 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл
в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость перво-
го автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
216.	Катер прошёл против течения реки 120 км и вернулся в пункт от-
правления, затратив на обратный путь на 1 час меньше. Найдите скорость
катера в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ
дайте в км/ч.
34
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. 1Профильныйуровень
217.	Рабочий с учеником, работая вместе, могут выполнить задание
за 3 дня. За сколько дней, работая отдельно, может это задание выпол-
нить ученик, если он за три дня выполняет такую же часть работы, какую
рабочий — за один день?
218.	В период акции продукт М подешевел на некоторое число процентов,
а по окончании — подорожал на то же самое число процентов. В резуль-
тате продукт М стал стоить на 0,25% дешевле, чем он стоил до акции.
На сколько процентов подорожал продукт М после акции?
219.	Четыре рубашки дороже куртки на 12%. На сколько процентов три
рубашки дешевле куртки?
220.	Три брата решили купить новый телевизор и положили в копил-
ку некоторые суммы денег. Если бы первый положил в копилку сумму
в 1,5 раза больше, то сумма в копилке увеличилась бы на 19%. Если бы
третий брат уменьшил свой вклад в 5 раз, то сумма в копилке сократи-
лась бы на 20%. Сколько процентов от общего вклада составляет сумма,
вложенная вторым братом?
221.	В сосуд, содержащий 8 литров 35%-ного водного раствора некото-
рого вещества, добавили 12 литров воды. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
222.	Вишня содержит 89% влаги, а высушенная вишня — 12%. Сколько
килограммов вишни требуется для получения 15 килограммов высушен-
ной?
223.	Имеется два сплава. Первый содержит 12% меди, второй — 21% ме-
ди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержа-
щий 19,2% меди. На сколько килограммов масса первого сплава меньше
массы второго?
224.	Имеется два сосуда. Первый содержит 5 кг, а второй — 15 кг раство-
ра кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то по-
лучится раствор, содержащий 21% кислоты. Если же смешать равные
массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты.
Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
225.	Бригада каменщиков выкладывает забор длиной 280 метров, еже-
дневно увеличивая норму кладки на одно и то же число метров. Известно,
что за первый и последний день в сумме бригада выложила 70 метров за-
бора. Определите, за сколько дней бригада каменщиков выложила весь
забор.
Прототипы заданий с кратким ответом	35
226.	Расстояние между городами А и В равно 175 км. Из города А в го-
род В выехал автомобиль, а через 20 минут следом за ним со скоростью
100 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе С и повернул
обратно. Когда он вернулся в город А, автомобиль прибыл в город В. Най-
дите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.
227.	Два болида стартуют одновременно в одном направлении из двух
диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой
равна 19,5 км. Через сколько минут болиды поравняются в первый раз,
если скорость одного из них на 13 км/ч больше скорости другого?
228.	Часы со стрелками показывают 19 часов 00 минут. Через сколько
минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой стрелкой?
229.	Первую треть трассы автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, вто-
рую треть — со скоростью 90 км/ч, а последнюю — со скоростью 72 км/ч.
Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ
дайте в км/ч.
230.	Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 72 км/ч, проезжает мимо
семафора за 40 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
231.	Первая труба наполняет резервуар на 15 минут дольше, чем вто-
рая. Обе трубы вместе могут наполнить этот же резервуар за 4 минуты.
За сколько минут наполняет этот резервуар одна первая труба?
Прототип задания 11
232.	На рисунке 34 изображён график функции = кх + Ь, Найдите, при
каком х значение функции равно 4.
Рис. 34
36 Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024, Профильный уровень
233.	На рисунке 35 изображён график функции /(х) = ах2 + Ьх + с. Най-
дите /(-3).
234. На рисунке 36 изображён график функции у = М
Найдите зна-
чение к.
235.	На рисунке 37 изображён график функции f(x) = 6+loga х. Найдите
значение Ь.
Рис. 37
Прототипы заданий с кратким ответом
37
236.	На рисунке 38 изображён график функции у = ах + Ь. Найдите зна-
чение х, при котором значение функции равно 5.
237.	На рисунке 39 изображён график функции /(х) = к>/х. Найдите
значение х, при котором значение функции равно -6.
238.	На рисунке 40 изображён график функции у = acosx + b. Найдите
значение произведения ab. За единицу по оси Оу принимается 2 клетки;
7г соответствует 4 клеткам.
Рис. 40
38
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2024. Профильный уровень
239.	На рисунке 41 изображены графики функций /(т) = - и у = ах + 6,
х
которые пересекаются в точках А и В. Найдите ординату точки В.
Прототип задания 12
240.	Найдите точку максимума функции у = х3 -I- Зя2 — 5.
~з
241.	Найдите наибольшее значение функции у = 3 — т 4- — на отрез-
ке [0; 3].
з
242.	Найдите точку минимума функции у = хъ - 6т — 1.
243.	Найдите точку минимума функции у = Ху/х - 6т 4- 7.
о
244.	Найдите точку минимума функции у = — 4- х — 4.
д.2 I 121
245.	Найдите точку максимума функции у =-------.
246.	Найдите точку максимума функции у = (х 4- 2)2(т - 1) 4- 6.
247.	Найдите точку максимума функции у =	4- 6т - т2.
248.	Найдите наибольшее значение функции у = log12(—4 — 8т - т2) - 5.
249.	Найдите точку минимума функции у = 8®2”4®”1.
24
250.	Найдите наименьшее значение функции у — 13 4- 6 cos х 4-т на от-
7Г
резке
Прототипы заданий с кратким ответом
39
251.	Найдите наименьшее значение функции у = 6х — 1 — 6 tg х на отрезке
252.	Найдите наименьшее значение функции у = 5х—1п(х+3)5 на отрезке
[-2,5; 0].
253.	Найдите наименьшее значение функции у = е2х - бе® + 7 на отрезке
Mb
254.	Найдите наименьшее значение функции у = (х - 4)е®~3 на отрезке
[2; 4].
255.	Найдите точку максимума функции у = 1 + (2х - 3) cosx - 2 sin х
на промежутке (б;
256.	Найдите точку максимума функции у =
х
х2 + 12Г
Инструкция по выполнению работы
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя
19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и
повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёр-
нутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится
3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1—12 записываются в бланк ответов № 1 в виде це-
лого числа или конечной десятичной дроби.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение
и ответ в бланке ответов № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допуска-
ется использование гелевой или капиллярной ручек.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи
в черновике, а также в тексте контрольных измерительных матери-
алов не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные вами за выполненные задания, суммируются. По-
старайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее
количество баллов.
После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание
в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером.
Желаем успеха!
Тренировочные варианты
Вариант № 1
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
\Единицы измерений писать не нужно.
1. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 6, cos В = 0,6
2. На координатной плоскости изображены векторы а и Ь (см. рис. 43).
Найдите скалярное произведение а • Ь.
Рис. 42
Рис. 43
42
Тренировочные варианты
3.	Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на ри-
сунке 44.
3
6
Рис. 44
4.	В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите ве-
роятность того, что сумма выпавших очков равна 5. Ответ округлите до
сотых.
5.	На хлебозаводе выпекают батоны номинальной массой 450 г. Известно,
что в среднем 98% батонов весят менее 460 г и в среднем 94% батонов
весят больше чем 445 г. Найдите вероятность того, что масса случайно
выбранного свежего батона больше чем 445 г, но меньше 460 г.
6.	Найдите корень уравнения 7х-4 = 7.
7. Найдите значение выражения (х/17 - \/7)(\/17 + v^7).
8. На рисунке 45 изображён график у = f(x)9 определённой на интервале
9.	Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предпри-
ятия-монополиста от цены р(тыс. руб.) задаётся формулой q = 160— 10р.
Выручка предприятия за месяц г (тыс. руб.) вычисляется по формуле
r(p) = pq. Определите наибольшую цену р, при которой месячная вы-
ручка т(р) составит 150 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Вариант № 1
43
10.	Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Пер-
вый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал пять
восьмых пути со скоростью 30 км/ч, а оставшуюся часть пути — со ско-
ростью, на 18 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в
пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого
автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
к
11.	На рисунке 46 изображён график функции у = - + Ь. Найдите, при
каком значении х значение функции равно 6.
12.	Найдите наименьшее значение функции у = \/ж2 — Юж 4- 34.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение 7log2(cosi) =
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Г9_. 7тг1
Г’ТГ
14.	Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA\BiC\Di.
а)	Докажите, что плоскость А^СС\ перпендикулярна плоскости
AJ3D.
б)	Найдите расстояние от точки C*i до плоскости A^BD, если
АВ = 10, АЛ1 = 8.
15.	Решите неравенство 9 log25 (ж2 — 29ж + 100)	10 4- log25	.
44
Тренировочные варианты
16.	В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сум-
му. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом
предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним пла-
тежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит
будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)
и общая сумма выплат после полного погашения на 234 090 рублей боль-
ше суммы, взятой в кредит?
17.	Диагонали KN и LM выпуклого четырёхугольника KMNL пересе-
каются в точке О. Известно, что угол MLN равен 90°, а угол KML в
2 раза больше угла KNL. Сумма угла MKN и удвоенного угла MNL
равна 180°.
а)	Докажите, что КО = 2LO.
6)	Найдите площадь четырёхугольника KMNL, если KN = 24 и точ-
ка О является серединой диагонали LM.
18.	Найдите значения параметра а, при которых уравнение
Зх 4- 2a — 6 а2 — 2а
>' 2	= —27 a $ имеет ровно один корень.
у 4a — х х у 4а — х
19.	Магазин меняет 3 старые батарейки на 1 новую. Вася купил много ба-
тареек и менял их по мере использования до тех пор, пока мог. Всего ему
удалось попользоваться п батарейками.
а)	Может лип = 11?
б)	Может ли п = 15?
в)	Известно, что п = 2024. Сколько новых батареек купил Вася в са-
мом начале?
Вариант № 2
45
Вариант № 2
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС = 5, tg А = | (см. рис. 47).
Найдите АС.
2.	На координатной плоскости изображены векторы а и Ь (см. рис. 48).
Найдите скалярное произведение а • Ь.
Рис. 48
46
Тренировочные варианты
3.	Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на ри-
сунке 49.
4.	В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите ве-
роятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Ответ округлите до
сотых.
5.	На хлебозаводе выпекают батоны номинальной массой 400 г. Известно,
что в среднем 96% батонов весят менее 435 г и в среднем 94% батонов
весят больше чем 410 г. Найдите вероятность того, что масса случайно
выбранного свежего батона больше чем 410 г, но меньше 435 г.
6.	Найдите корень уравнения Зх~9 = 3.
7.	Найдите значение выражения (х/23 - >/б) (\/23 4- \/б).
8.	На рисунке 50 изображён график у = определённой на интервале
(-3; 12). Найдите количество точек максимума функции /(ж), принадле-
жащих отрезку [-2; 10].
Рис. 50
Вариант № 2
9.	Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предпри-
ятия-монополиста от цены р (тыс. руб.) задаётся формулой q = 180 - Юр.
Выручка предприятия за месяц г (тыс. руб.) вычисляется по формуле
г(р) = pq. Определите наибольшую цену р, при которой месячная вы-
ручка г(р) составит 320 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
10.	Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Пер-
вый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал половину
пути со скоростью 30 км/ч, а оставшуюся часть пути — со скоростью, на
28 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В
одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомо-
биля. Ответ дайте в км/ч.
к
11.	На рисунке 51 изображён график функции у = —1-6. Найдите, при
х
каком значении х значение функции равно 9.
Рис. 51
12. Найдите наибольшее значение функции у = У16 - я2 + 6х.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение 3log’(tgl) = -у
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
[-И-
48
Тренировочные варианты
14.	Дана правильная четырёхугольная призма ABCDAtBiCiDi.
а)	Точка L — середина ребра СС\. Докажите, что плоскость AiCCi
перпендикулярна плоскости LBD.
6)	Найдите расстояние от точки А^ до плоскости LBD, если АВ = 6,
ААг = 12.
15.	Решите неравенство 11 log36(x2 — 41х + 180) 12 + log36	—.
х — 5
16.	В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сум-
му. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом
предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним пла-
тежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит
будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)
и общая сумма выплат после полного погашения на 386 000 рублей боль-
ше суммы, взятой в кредит?
17.	Диагонали DF и СЕ выпуклого четырёхугольника CDEF пересека-
ются в точке О. Известно, что угол DFE равен 90°, а угол CDF в 2 раза
больше угла CEF. Сумма угла DCE и удвоенного угла DEF равна 180°.
а)	Докажите, что СО = 2FO.
б)	Найдите площадь четырёхугольника CDEF, если СЕ = 28 и точ-
ка О является серединой диагонали СЕ.
18.	Найдите значения параметра а, при которых уравнение
х2 — ах 4- Зх 2а + 6
—	,, о 7 » Г о имеет ровно один корень.
ах/16:г2 - а2	- а2
19.	Магазин меняет 4 старые батарейки на 1 новую. Костя купил много
батареек и менял их по мере использования до тех пор, пока мог. Всего
ему удалось попользоваться п батарейками.
а)	Может ли п = 14?
б)	Может ли и = 20?
в)	Известно, что п = 2023. Сколько новых батареек купил Костя в
самом начале?
Вариант № 3
49
Вариант № 3
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Площадь прямоугольника равна 45 (см. рис. 52). Найдите его большую
сторону, если она на 4 см больше меньшей стороны.
Рис. 52
2.	На координатной плоскости изображены векторы а и 6 (см. рис. 53).
Найдите скалярное произведение ~а • Ь.
Рис. 53
50
Тренировочные варианты
3.	Найдите угол АСВ\ многогранника, изображённого на рисунке 54. Все
углы многогранника прямые. Ответ дайте градусах.
4.	В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что орёл выпал более одного раза.
5.	В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероят-
ность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2.
Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Ве-
роятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,05. Найдите
вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
6.	Найдите корень уравнения (х + 9)3 = 125.
7.	Найдите значение выражения 2\/2cos2 — >/2-
о
8.	Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) =	+ 5* 4- 31, где х — расстояние от точки отсчёта в метрах,
t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. Найдите
её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.
9.	Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз,
испускает ультразвуковые импульсы частотой 620 МГц. Скорость по-
гружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле
V = с- , где с == 1500 м/с — скорость звука в воде, /о — частота ис-
/ + Jo
пускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала,
регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возмож-
ную частоту отражённого сигнала /, если скорость погружения батискафа
не должна превышать 12 м/с. Ответ выразите в МГц.
Вариант № 3
51
10.	Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за
20 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый
рабочий, если он за 3 дня выполняет такую же часть работы, какую вто-
рой — за 2 дня?
11.	На рисунке 55 изображён график функции /(т) = ах2+Ьх+с. Найдите
значение /(-3).
Рис. 55
12.	Найдите точку максимума функции у — х3 — 4х2 + 5х — 11.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение log7(cosx + sin2x + 7) = 1.
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 2тг;—
14.	Куб и правильная четырёхугольная пирамида имеют общее основа-
ние, а грань куба, противоположная этому основанию, пересекает боковое
ребро пирамиды в точке М. Ребро куба относится к высоте пирамиды как
1:3.
а)	Докажите, что точка М делит боковое ребро пирамиды в отношении
2 : 1, считая от вершины.
6)	Найдите площадь боковой поверхности части пирамиды, заключён-
ной внутри куба, если ребро куба равно 4.
15.	Решите неравенство
9х + 5 • 3х — 24 . 5 9х — 5 • 32+х + 6	0 v+i , я
3х - 3	+ 3х - 9	" 2'4	+в'
52
Тренировочные варианты
16.	В августе 2024 года планируется взять кредит в банке на некоторую
сумму. Условия возврата таковы:
— в феврале каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению
с предыдущим годом;
— с марта по июль нужно выплатить часть долга одним платежом.
Сколько рублей планируется взять в кредит в банке, если известно, что
кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть
за четыре года) и общая сумма выплат равна 518400 рублей?
17.	Окружность с центром О вписана в треугольник АВС. Касательная к
этой окружности пересекает стороны треугольника АС и ВС в точках М
и N соответственно.
а)	Докажите, что сумма углов АОМ и BON равна 180°.
б)	Найдите MN, если АС = ВС, радиус окружности равен 2,
tg (±ZABC) = а разность углов АОМ и BON равна 60°.
18.	Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
lg(2x+5) • у/х2 - Ъах - Зх - За2 + 9а = 0 имеет ровно 2 корня на отрезке
[~3;3].
19.	У Маши дома лежит много монет номиналом 1, 2, 5 и 10 рублей. Она
хочет купить мороженое в магазине без сдачи, но до момента покупки Ма-
ша не знает, сколько оно стоит.
а)	Может ли Маша выбрать дома 14 монет так, чтобы гарантированно
купить мороженое стоимостью до 80 рублей включительно?
б)	Может ли Маша выбрать дома 6 монет так, чтобы гарантированно
купить мороженое стоимостью до 35 рублей включительно?
в)	Какое наименьшее количество монет нужно взять Маше, если она
знает, что мороженое стоит не более 80 рублей?
Вариант № 4
53
Вариант № 4
Часть I
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Площадь прямоугольника равна 70 (ем. рис. 56). Найдите его меньшую
сторону, если она на 3 см меньше большей стороны.
В
Рис. 56
2.	На координатной плоскости изображены векторы ~а и Ь (см. рис. 57).
Найдите скалярное произведение а • Ь.
У!
Рис. 57
54
Тренировочные варианты
3.	Найдите угол САВХ многогранника, изображённого на рисунке 58. Все
углы многогранника прямые. Ответ дайте градусах.
4.	В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что орёл выпал не более одного раза.
5.	В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероят-
ность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,32.
Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Ве-
роятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,04. Найдите
вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
6.	Найдите корень уравнения (х 4- 7)3 = 64.
7.	Найдите значение выражения \/3 - 2\/3sin2
8.	Материальная точка движется прямолинейно по закону
ж(0 =	4- 6£ 4- 27, где х — расстояние от точки отсчёта в метрах,
о
t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. Найдите
её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2 с.
9.	Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз,
испускает ультразвуковые импульсы частотой 596 МГц. Скорость по-
гружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле
V — с 4“^» гДе с = 1500 м/с — скорость звука в воде, /о — частота ис-
J 4 /о
пускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала,
регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возмож-
ную частоту отражённого сигнала /, если скорость погружения батискафа
не должна превышать 10 м/с. Ответ выразите в МГц.
Вариант № 4
55
10.	Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за
16 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый
рабочий, если он за 3 дня выполняет такую же часть работы, какую вто-
рой— за 4 дня?
11.	На рисунке 59 изображён график функции f(x) = ax2+bx+c. Найдите
значение /(-4).
Рис. 59
12.	Найдите точку минимума функции у = х3 + 4х2 + 5я — 11.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение log8(\/2sinz + sin2z + 8) — 1.
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [^; 2тг].
14.	Куб и правильная четырёхугольная пирамида имеют общее основа-
ние, а грань куба, противоположная этому основанию, пересекает боковое
ребро пирамиды в точке М. Ребро куба относится к высоте пирамиды как
2:5.
а)	Докажите, что точка М делит боковое ребро пирамиды в отношении
3 : 2, считая от вершины.
б)	Найдите площадь боковой поверхности части пирамиды, заключён-
ной внутри пирамиды, если ребро куба равно 6.
15.	Решите неравенство
25х + 6 • 5* - 40	9 • 252х - 9 • 5х+1 + 12 < 2.5x+i + 10
5х — 4	5х - 5
56
Тренировочные варианты
16.	В сентябре 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую
сумму.
Условия возврата таковы:
— в марте каждого года долг увеличивается на 25% по сравнению
с предыдущим годом;
— с марта по июль нужно выплатить часть долга одним платежом.
Сколько рублей планируется взять в кредит в банке, если известно,
что кредит будет полностью погашен пятью равными платежами (то есть
за пять лет), а общая сумма выплат равна 93 750 рублей?
17.	Окружность с центром О вписана в треугольник KLM. Касательная к
этой окружности пересекает стороны треугольника КМ и LM в точках А
и В соответственно.
tg (Uakl) =
а)	Докажите, что сумма углов АОК и BOL равна 180°.
б)	Найдите АВ, если КМ = ML, радиус окружности равен 4,
а разность углов АОК и BOL равна 60°.
18.	Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
ln(7x-5)-v^ — 7ах + ж + 10а2 — 5а = 0 имеет ровно 1 корень на отрезке
[0;5].
19.	У Лены дома лежит много монет номиналом 1, 2, 5 и 10 рублей. Она
хочет купить пирожное в магазине без сдачи, но до момента покупки Лена
не знает, сколько оно стоит.
а)	Может ли Лена выбрать дома 19 монет так, чтобы гарантированно
купить пирожное стоимостью до 130 рублей включительно?
б)	Может ли Лена выбрать дома 7 монет так, чтобы гарантированно
купить пирожное стоимостью до 45 рублей включительно?
в)	Какое наименьшее количество монет нужно взять Лене, если она
знает, что пирожное стоит не более 130 рублей?
Вариант № 5
57
Вариант № 5
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Най-
дите острый угол параллелограмма, если площадь прямоугольника в два
раза больше площади параллелограмма(см. рис. 60). Ответ дайте в граду-
сах.
2.	На координатной плоскости изображены векторы ~а и Ъ (см. рис. 61).
Найдите скалярное произведение ~а-Ь.
Рис. 61
58
Тренировочные варианты
3.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiC\Dx известны длины
рёбер: АВ = 6, AD = 4, AAi = 12. Найдите объём многогранника, вер-
шинами которого являются вершины Л, D, Ai, В, С, В1 (см. рис. 62).
Рис. 62
4.	При производстве в среднем на каждые 486 исправных роботов-мой-
щиков окон приходится 14 неисправных. Найдите вероятность того, что
случайно выбранный робот-мойщик окон окажется неисправным.
5.	Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни
разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших
очков окажется равна 6».
6.	Найдите корень уравнения (х — 9)6 = 1. В ответе напишите меньший из
них.	__________
7.	Найдите значение выражения v^lOl2 — 202.
8.	Найдите точку максимума функции у = 1п(т + 5) - 2х 4- 13.
9.	Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени работы на-
гревательного элемента некоторого прибора получена экспериментально
Т = То + Ы 4- at2, где t — время в минутах, То = 1750 К, а = -9 К/мин2,
Ь = 135 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 2236 К
прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько
минут после начала работы нужно отключить прибор?
10.	Моторная лодка прошла против течения реки 168 км и вернулась в
пункт отправления, затратив на обратный путь на 1 час меньше. Найдите
скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
Ответ дайте в км/ч.
Вариант № 5
59
. Найдите у(8).
Рис. 63
12.	Найдите наименьшее значение функции у = 12ar-7sin.c4-6 на отрезке
Ml-
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение 4cosa: •+- 4СОЙ(Х“7Г) = |.
[7тг	1
2’^1’
14.	В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD, диа-
гонали которого пересекаются в точке О. Высота пирамиды SO равна 8.
АВ = 5, AD = 13, большая диагональ АС параллелограмма равна 2\/бТ.
а) Докажите, что боковая грань SAB — прямоугольный треугольник,
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
15.	Решите неравенство х2 log49(:r — 4) log7(z2 — 8х + 16).
16.	В банке взяли кредит 420 200 рублей на пять лет под 25% годовых
и выплатили пятью равными платежами. Чему будет равна общая сумма
выплат в рублях после полного погашения кредита?
60
Тренировочные варианты
17.	Биссектриса ВМ большего угла треугольника АВС со сторона-
ми АВ = 12, ВС = 20 и АС = 28 делит его на два треугольника, в каждый
из которых вписана окружность.
а)	Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 9 : 10.
б)	Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с
биссектрисой ВМ.
18.	Найдите, при каких значениях параметра а система уравнений
f у(ху + 2х) =	-2х + 8),
[ 2у = х + 4a
имеет ровно 2 различных решения.
19.	Дано натуральное число. Из него либо вычитают утроенную сумму
цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, при этом полученное чис-
ло должно быть натуральным.
а)	Можно ли такими преобразованиями из числа 157 получить чис-
ло 28?
б)	Можно ли такими преобразованиями из числа 157 получить чис-
ло 32?
в)	Какое наименьшее число можно получить из числа 157 такими пре-
образованиями?
Вариант № 6
61
Вариант № 6
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12. является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В прямоугольнике меньшая сторона равна 6, больший угол между диа-
гоналями равен 120° (см. рис. 64). Найдите длину диагонали прямоуголь-
ника.
2.	На координатной плоскости изображены векторы ~а и Ь (см. рис. 65).
Найдите скалярное произведение а - Ь.
Рис. 65
62
Тренировочные варианты
3.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^BiCiDi известны длины
рёбер: АВ = 5, AD = 8, AAi = 9. Найдите объём многогранника, вер-
шинами которого являются вершины В, С, Bi, Ль В, А (см. рис. 66).
Рис. 66
4.	При производстве в среднем на каждые 981 исправную швейную ма-
шинку приходится 19 неисправных. Найдите вероятность того, что слу-
чайно выбранная швейная машинка окажется неисправной.
5.	Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни
разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших
очков окажется равна 8».
6.	Найдите корень уравнения (х — II)8 = 1. В ответе напишите больший
из них.	_________
7.	Найдите значение выражения \/532 - 282.
8.	Найдите точку максимума функции у = 1п(т + 9) - 4х + 19.
9.	Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени работы на-
гревательного элемента некоторого прибора получена экспериментально
Т = То -I- bt 4- at2, где t — время в минутах, То = 1800 К» a = —7 К/мин2,
Ь = 147 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 2178 К
прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько
минут после начала работы нужно отключить прибор?
10.	Моторная лодка прошла против течения реки 240 км и вернулась в
пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите
скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
Ответ дайте в км/ч.
Вариант № 6
63
11.	На рисунке 67 изображён график функции у = ---
Найдите у(7).
Рис. 67
12.	Найдите наибольшее значение функции у = 4 cos я+11х—5 на отрезке
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение 4981ПХ + 49sin(*+3*r) =
[7тг1
2тг; — I.
14.	В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD, диа-
гонали которого пересекаются в точке О. Высота пирамиды SO равна 12.
АВ = 3, AD = 5, большая диагональ АС параллелограмма равна 2\/13.
а) Докажите, что боковая грань SAB — прямоугольный треугольник,
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
15.	Решите неравенство х2 log36(ar - 5) log6(x2 - 10х 4- 25).
16.	В банке взяли в кредит 1006 500 рублей на четыре года под 20% годо-
вых и выплатили четырьмя равными платежами. Чему будет равна общая
сумма выплат в рублях после полного погашения кредита?
64
Тренировочные варианты
17.	Биссектриса CL большего угла треугольника АВС со сторона-
ми АС = 6, ВС — 10 и АВ ~ 14 делит его на два треугольника, в каждый
из которых вписана окружность.
а)	Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 9 : 10.
б)	Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с
биссектрисой CL.
18.	Найдите, при каких значениях параметра а система уравнений
Г х(ху - 5у2 + 6) = |х|(ху + 5j/2),
[ у = 2х — 2a
имеет ровно 3 различных решения.
19.	Дано натуральное число. Из него либо вычитают, либо прибавляют его
сумму цифр, умноженную на 6. При этом полученное число должно быть
натуральным.
а)	Можно ли такими преобразованиями из числа 322 получить чис-
ло 100?
б)	Можно ли такими преобразованиями из числа 322 получить чис-
ло 104?
в)	Какое наименьшее число можно получить из числа 322 такими пре-
образованиями?
Вариант № 7
65
Вариант № 7
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
L Острый угол прямоугольного треугольника равен 42° (см. рис. 68).
Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершин
прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Рис. 68
2.	Даны векторы а(2\ —3), Ь (7; 1) и ~с(-3; -2). Найдите длину вектора
~а — Ь + ~с.
3.	Шар вписан в цилиндр (см. рис. 69). Площадь поверхности шара рав-
на 32. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Рис. 69
4.	Из множества натуральных чисел от 13 до 24 наудачу выбирают одно
число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.
Тренировочные варианты
5,	Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что
готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая бата-
рейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система
забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что си-
стема по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите
вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка бу-
дет забракована системой контроля.
6.	Найдите корень уравнения log3(5 ~ х) = 4.
7.	Найдите значение выражения 6\/2 sin — cos .
о о
8.	На рисунке 70 изображён график дифференцируемой функции у = f(x)
и отмечены девять точек на оси абсцисс: хь Х2, хз, х^, х$, яв» ^7» х8, ^9-
В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Рис. 70
9.	Независимое агенство намерено ввести рейтинг R новостных изда-
ний на основе показателей информативности 7П, оперативности Ор и
объективности Тг публикаций. Каждый показатель оценивается целы-
ми числами от —1 до 1. Аналитик, составляющий формулу, считает,
что объективность публикаций ценится вчетверо, а информативность —
втрое дороже, чем оперативность. В результате формула примет вид
R =	+	^аким должно быть число А, чтобы издание, у ко-
А
торого все показатели наибольшие, получило рейтинг 64?
10.	Заказ на 140 деталей первый рабочий выполняет на 6 час быстрее, чем
второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если из-
вестно, что первый за час изготавливает на 3 детали больше?
Вариант № 7
67
11.	На рисунке 71 изображены графики функций /(х) = ах2 + Ьх + си
<?(х) = кх+l, пересекающиеся в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Рис. 71
12.	Найдите точку минимума функции у = (х — 5)2еж 3.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение 2 cos2 — х) — sin2x = 0.
6)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [бтг; ^у^ j •
14.	В кубе ABCDAiBiCDt точка L — середина ребра ВС, точка М —
середина ребра АВ.
а)	Докажите, что прямые С±М и DL перпендикулярны.
б)	Найдите расстояние между прямыми С^М и DL, если ребро куба
равно 10.
15.	Решите неравенство 13log*3 х 4- 4xlog13® 5 У13.
16.	В начале года предприниматель взял в банке кредит 5985000 рублей
на три года под 30% годовых. Условия возврата таковы:
— в конце каждого из трёх лет банк сначала увеличивает долг, име-
ющийся в начале года на 30%, затем клиент вносит необходимую сумму
(платёж);
— клиент вносит в банк каждый год одну и ту же сумму.
Сколько рублей составляет этот ежегодный платёж?
68 Тренировочные варианты
17.	Около окружности с центром О описана трапеция BCDE с основа-
ниями BE и CD, А — точка касания окружности со стороной ВС.
а)	Докажите, что ВС • \/ВА • АС = ВО • СО.
б)	Найдите отношение меньшего основания трапеции к большему, ес-
ли известно, что ВС = DE, а площадь четырёхугольника с вершинами в
точках касания окружности со сторонами трапеции составляет пло-
щади трапеции BCDE.
18.	При каких значениях параметра а уравнение 3xsina; — 2zcosz = ax
имеет ровно 2 корня на отрезке	?
19.	Олег делит верёвку на части. За одно действие он может отрезать от
любого количества верёвок равные части, имеющие целую длину метров.
а)	Может ли Олег за 5 ходов разделить верёвку длиной в 32 м на части
по 1 м?
б)	Может ли Олег за 6 ходов разделить верёвку длиной в 100 м на части
по 1 м?
в)	За какое наименьшее количество ходов Олег может разделить ве-
рёвку длиной в 250 м на части по 1 м?
Вариант № 8
69
Вариант № 8
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Острый угол прямоугольного треугольника равен 33° (см. рис. 72).
Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершин пря-
мого угла. Ответ дайте в градусах.
2.	Даны векторы <Г(-3;1), Ь (6; -4) и ‘с(8;9). Найдите длину вектора
~а 4- b — "с.
3.	Шар вписан в цилиндр (см. рис. 73). Площадь поверхности шара рав-
на 54. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Рис. 73
4.	Из множества натуральных чисел от 33 до 48 наудачу выбирают одно
число. Найдите вероятность того, что оно делится на 6.
70	Тренировочные варианты
5.	Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что
готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая бата-
рейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система
забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что си-
стема по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,08. Найдите
вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка бу-
дет забракована системой контроля.
6.	Найдите корень уравнения log5(—х — 4) = 3.
7.	Найдите значение выражения 8sin	cos
8.	На рисунке 74 изображён график дифференцируемой функции у = f(x)
и отмечены семь точек на оси абсцисс: xi, Х2, ^4, ^5, хе, х7. В скольких
из этих точек производная функции /(х) отрицательна?
Рис. 74
9.	Независимое агенство намерено ввести рейтинг R новостных изда-
ний на основе показателей информативности /п, оперативности Ор и
объективности Тг публикаций. Каждый показатель оценивается целы-
ми числами от —2 до 2. Аналитик, составляющий формулу, считает,
что объективность публикаций ценится втрое, а информативность —
вчетверо дороже, чем оперативность. В результате формула примет вид
R =	+ ОР + — • Каким должно быть число А, чтобы издание, у ко-
торого все показатели наибольшие, получило рейтинг 80?
10.	Заказ на 192 детали первый рабочий выполняет на 8 час быстрее, чем
второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если из-
вестно, что первый за час изготавливает на 2 детали больше?
Вариант № 8
71
11.	На рисунке 75 изображены графики функций f(x) = ax2 + bx + с и
д(х) = кх+l, пересекающиеся в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Рис. 75
12. Найдите точку максимума функции у = (х + 4)2е7“®.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётно и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение 3 cos2 [х -	— сов 2т = 0.
[5тг 1
5ttJ .
14.	В кубе ABCDA\B)C\D\ точка Е — середина ребра AD, точка F —
середина ребра CD.
а)	Докажите, что прямые С\Е и BF перпендикулярны.
6)	Найдите расстояние между прямыми С\Е и BF, если ребро куба
равно 14.
15.	Решите неравенство 15log*s х + 9xlogl6X > 10х/15.
16.	В начале года предприниматель взял в банке кредит 5 535 000 рублей
на четыре года под 25% годовых. Условия возврата таковы:
— в конце каждого из четырёх лет банк сначала увеличивает долг, име-
ющийся в начале года на 25%, затем клиент вносит необходимую сумму
(платёж);
— клиент вносит в банк каждый год одну и ту же сумму.
Сколько рублей составляет этот ежегодный платёж?
72 Тренировочные варианты
17.	Около окружности с центром О описана трапеция CDEF с основа-
ниями DE и CF, Н — точка касания окружности со стороной CD.
а)	Докажите, что CD • \/СН • HD = СО • DO.
б)	Найдите отношение меньшего основания трапеции к большему, если
известно, что CD = EF, а площадь четырёхугольника с вершинами в точ-
12
ках касания окружности со сторонами трапеции составляет — площади
трапеции CDEF.
18.	При каких значениях параметра а уравнение 5х2 sin я+7;г2 cos х — ах2
имеет ровно 2 корня на отрезке	?
19.	Паша делит проволоку на части. За одно действие он может отрезать
от любого количества проволок равные части, имеющие целую длину мет-
ров.
а)	Может ли Паша за 4 хода разделить проволоку длиной в 16 м на
части по I м?
б)	Может ли Паша за 7 ходов разделить проволоку длиной в 130 м на
части по 1 м?
в)	За какое наименьшее количество ходов Паша может разделить про-
волоку длиной в 260 м на части по 1 м?
Вариант № 9
73
Вариант № 9
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, про-
ведёнными из вершины прямого угла, равен 38° (см. рис. 76). Найдите
больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Рис. 76
2. Даны векторы а (-3; 2), Ц-2; 1) и с\-3; -8). Найдите длину вектора
Ча + b - ?.
3. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной, равной 5
(см. рис. 77). Боковые рёбра призмы —. Найдите объём цилиндра, опи-
санного около призмы.
Рис. 77
74
Тренировочные варианты
4.	Фабрика производит утюги. В среднем 4 утюга из 100 имеют скрытые
дефекты. Найдите вероятность того, что купленный утюг окажется без де-
фектов.
5.	Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Из-
вестно, что он попадает в цель с вероятностью 0,75 при каждом отдельном
выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку,
чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,95?
6.	Найдите корень уравнения И**6 = 121.
7.	Найдите значение выражения (\/13 - у/52)у/13.
8.	На рисунке 78 изображены график дифференцируемой функции
у = /(ж) и касательная к нему в точке с абсциссой xq. Найдите значе-
ние производной функции f(x) в точке Xq.
Рис. 78
9.	Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле
7? = гпок.------ГПОК^~-ГЗКС.--- где ток. — средняя оценка магазина
(к +11 moi.+0.1
покупателями (от 0 до 1), гэкс. — средняя оценка магазина эксперта-
ми (от 0 до 0,6) и К — число покупателей, оценивших магазин. Найдите
рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оставивших отзыв о
магазине, равно 9, их средняя оценка равна 0,36, а оценка экспертов рав-
на 0,54.
10.	Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 48 км, одно-
временно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час ав-
томобилист проезжает на 48 км больше, чем велосипедист. Определите
скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3 часа
12 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Вариант № 9
75
11.	На рисунке 79 изображён график функции /(т) = Найдите значе-
ние /(-5).
12.	Найдите наименьшее значение функции у = 7sin х--х 4- 11 на
отрезке [ - ^;о].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение 2 sin3 х 4* \/3 sin2 х — 2 sin х — \/3 = 0.
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку - тг; .
L Л J
14.	В основании прямой призмы ABCAiBiCi лежит прямоугольный тре-
угольник АВС с прямым углом С. Диагонали боковых граней АА^ВуВ и
BBiCiC равны 11 и 10 соответственно. АВ = 6\/2.
а)	Докажите, что треугольник AiC^B прямоугольный.
б)	Найдите объём пирамиды AA\CiB.
«	/ 1 \ Я2—4х+5
4gl,5x24-2x—34,5 — ( 1 )
15.	Решите неравенство---------------------------0.
1 , q2,5x- 1,5 — 1
3
76 Тренировочные варианты
16.	Банк «Будь здоров» предлагает кредит на 3 года на покупку курорт-
ного лечения стоимостью 165 500 рублей на следующих условиях:
— раз в год банк начисляет на остаток долга 10%;
— после начисления процентов клиент обязан внести некоторую сум-
му в счёт погашения долга;
— клиент выплачивает кредит необходимыми равными ежегодными
платежами.
Сколько рублей составит переплата по такому кредиту?
17.	Высоты AAi и CCi остроугольного треугольника АВС пересекаются
в точке D.
а)	Докажите, что ZAAiCi = £ABD.
б)	Найдите расстояние от центра окружности, описанной около тре-
угольника АВС, до стороны АС, если А\С\ = 6 и Z.ABC = 60°.
18.	При каких значениях параметра а уравнение
\/х2 ~ 6а2 + ax = i/5x2 -F (6а - 28)х - 12а2 + 21а имеет единственный
корень на отрезке [-2; 8]?
19.	Назовём натуральное число удачным, если предпоследняя цифра в
его десятичной записи равна 7. Например, числа 70,175,2175 — удачные,
а числа 7, 727, 2024 — нет.
а)	Можно ли представить число 3380 в виде суммы пяти удачных чи-
сел?
б)	Можно ли представить число 2024 в виде суммы пяти удачных чи-
сел?
в)	Сумма п удачных чисел равна 2024. Найдите наименьшее значе-
ние п.
Вариант № 10
77
Вариант № 10
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, про-
ведёнными из вершины прямого угла, равен 34° (см. рис. 80). Найдите
больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
2.	Даны векторы сГ(5; -6), b (2; 3) и сГ(-3; 5). Найдите длину вектора
cl 4- 2 Ъ —
3.	В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной, равной 4
15
(см. рис. 81). Боковые рёбра призмы —. Найдите объём цилиндра, опи-
7Г
санного около призмы.
Рис. 81
78	Тренировочные варианты
4.	Фабрика производит мультиварки. В среднем 3 мультиварки из 100
имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная муль-
тиварка окажется без дефектов.
5.	Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Из-
вестно, что он попадает в цель с вероятностью 0,6 при каждом отдельном
выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку,
чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,9?
6.	Найдите корень уравнения 9ж+б = 729.
7.	Найдите значение выражения (У17 - \Z153)л/17.
8.	На рисунке 82 изображены график дифференцируемой функции
у = /(х) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значе-
ние производной функции /(х) в точке х0.
Рис. 82
9.	Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле
R = ток---------ГДОК. ~ гэкс.--где Гпок — средняя оценка магазина
п 0,02К
ток. + о,1
покупателями (от 0 до 1), гЭкс. — средняя оценка магазина эксперта-
ми (от 0 до 0,9) и К — число покупателей, оценивших магазин. Найдите
рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оставивших отзыв о
магазине, равно 10, их средняя оценка равна 0,34, а оценка экспертов рав-
на 0,65.
10.	Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одно-
временно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час ав-
томобилист проезжает на 50 км больше, чем велосипедист. Определите
скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа
10 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Вариант №10
79
11.	На рисунке 83 изображён график функции f(x) = Найдите значе-
ние/(-1).
Рис. 83
2П
12.	Найдите наибольшее значение функции у = 3 cos ж - — х + 17 на
0; “о“
о .
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение 2 cos3 х + \/2 cos2 x-2cosa:-\/2 = 0.
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку	•
14.	В основании прямой призмы ABCAiB\C\ лежит прямоугольный тре-
угольник АВС с прямым углом С, Диагонали боковых граней AAiBiB и
BBiCiC равны 25 и 20 соответственно. АВ = 3\/б6.
а)	Докажите, что треугольник А^С^В прямоугольный.
6)	Найдите объём пирамиды AAiCiB.
80
Тренировочные варианты
15.	Решите неравенство------------------------> 0.
I . 252^-2,5 _ !
5
16.	Банк «Помпред» предлагает кредит на 4 года на создание предприятия
стоимостью 5703500 рублей на следующих условиях:
— раз в год банк начисляет на остаток долга 20%;
— после начисления процентов клиент обязан внести некоторую сум-
му в счёт погашения долга;
— клиент выплачивает кредит необходимыми равными ежегодными
платежами.
Сколько рублей составит переплата по такому кредиту?
17.	Высоты ВВ\ и CCi остроугольного треугольника АВС пересекаются
в точке М.
а)	Докажите, что /.AtBiB = ЛВСМ.
б)	Найдите расстояние от центра окружности, описанной около тре-
угольника АВС, до стороны АВ, если А^В^ = 7 и Z.ACB = 60°.
18.	При каких значениях параметра а уравнение____
\/х2 - 8z + 4ах - 32а = УЗя2 — (6 + а)я — За2 — 31а имеет единствен-
ный корень на отрезке [-7; 11]?
19.	Назовём натуральное число особым, если предпоследняя цифра в его
десятичной записи равна 8. Например, числа 80, 281, 2387 — особые, а
числа 8, 838,2024 — нет.
а)	Можно ли представить число 2024 в виде суммы четырёх особых
чисел?
б)	Можно ли представить число 3018 в виде суммы четырёх особых
чисел?
в)	Сумма п особых чисел равна 3018. Найдите наименьшее значение п.
Вариант №11
81
Вариант № 11
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
I.	Найдите площадь ромба, если его высота равна 6, а один из углов ра-
вен 150° (см. рис. 84).
Рис. 84
2.	Найдите значения т, при которых векторы а’Цб; т) и Ь (18; 12) колли-
неарны.
3.	В цилиндрический сосуд, в котором находится 9 дм3 воды, опустили де-
таль (см. рис. 85). При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 2 раза.
Чему равен объём детали. Ответ дайте в дм3.
Рис. 85
4.	Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 40 до-
кладов: первые два дня по 9 докладов, а остальные распределены поровну
между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жере-
бьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора В. окажется запла-
нированным на последний день конференции?
82
Тренировочные варианты
5.	Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Веро-
ятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8.
Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не по-
падёт в три последние.
6.	Найдите корень уравнения 4*8+l = 64.
7.	Найдите значение выражения .
8.	На рисунке 86 изображён график дифференцируемой функции
у = /(гг), определённой на интервале (—12; -1). Найдите точку из отрезка
[-8; -2], в которой производная /(х) равна 0.
Рис. 86
9.	Небольшой мячик бросают под острым углом а к плоской горизон-
тальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика Н (м)
V2
вычисляется по формуле Н — -^(1 - cos 2а), где Vo = 24 м/с — на-
чальная скорость мячика, ад — ускорение свободного падения, считать
д = 10 м/с 2. При каком наименьшем значении угла а мячик пролетит над
стеной высотой 6,2 м на расстоянии 1 м? Ответ дайте в градусах.
10.	Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вто-
рая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резер-
вуар объёмом 135 литров она заполняет на 18 минут дольше, чем вторая
труба?
Вариант № 11
83
11.	На рисунке 87 изображены графики функций /(х) = ~ и д(х) — ax+b,
х
пересекающиеся в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Рис. 87
12.	Найдите наибольшее значение функции у = (я + 5)2(а: + 1) + 4 на
отрезке [-6; -3].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение \/х3 — 6х2 — 16т + 64 = 6 — х.
6)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 3>/5j .
14.	Ребро куба ABCDA^BiCiDi равно 2. М — середина ребра A^Di,
N — точка пересечения диагоналей грани BCCiBi, L делит отрезок ABi
в отношении 2 : 1, считая от вершины А.
а)	Докажите, что сечение MNL проходит через точку Ль
б)	Найдите площадь сечения куба плоскостью MNL.
15.	Решите неравенство Iog3(15 + 8a7 — z2) + 71ogi(15 + 8a; — х2) + 12 > 0.
84
Тренировочные варианты
16.	Крупный предприниматель является владельцем двух фабрик, распо-
ложенных в двух различных регионах. На фабриках производят одинако-
вые товары, но на фабрике, расположенной в первом регионе, производи-
тельность труда выше, чем во втором. В результате если рабочие трудятся
суммарно а2 часов в неделю, то за это время они производят ба единиц
товара. Если же рабочие во втором регионе трудятся Ъ2 часов в неделю,
то за это время они производят 18Ь единиц товара. На обеих фабриках
за каждый час работы рабочему платят 180 рублей. Какую наименьшую
сумму надо заплатить за неделю рабочим, чтобы произвести за эту неделю
3060 единиц товара? Ответ дайте в рублях.
17.	Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром
окружности является его диагональ АС. Также известно, что в четырёх-
угольник можно вписать окружность.
а)	Докажите, что диагонали четырёхугольника ABCD взаимно пер-
пендикулярны.
б)	Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD,
если АС = 37 и BD = 12.
18.	При каких значениях параметра а уравнение
у
5а • 4® - 6а • 2® = 200 • 8® — -а имеет единственный корень?
О
19.	Отношение трёхзначного натурального числа к удвоенной сумме его
цифр является целым числом.
а)	Может ли это отношение равняться 25?
б)	Может ли это отношение равняться 44?
в)	Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если
первая цифра трёхзначного числа равна 8?
Вариант № 12
85
Вариант № 12
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Найдите площадь ромба, если его высота равна 10, а один из углов ра-
вен 30° (см. рис. 88).
2.	Найдите значения п, при которых векторы а(п\ 6) и b (10; 15) коллине-
арны.
3.	В цилиндрический сосуд, в котором находится 7 дм3 воды, опустили
деталь (см. рис. 89). При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в
1,5 раза. Чему равен объём детали. Ответ дайте в дм3.
Рис. 89
4.	Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 до-
кладов: в первый и последний дни по 15 докладов, а остальные распре-
делены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений опре-
деляется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора П.
окажется запланированным на второй день конференции?
86	Тренировочные варианты
5.	Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Веро-
ятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7.
Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в четвёртую мишень и не
попадёт в три первые.
6.	Найдите корень уравнения 7“б+ж = 343.
7.	Найдите значение выражения .
8.	На рисунке 90 изображён график дифференцируемой функции
у = /(ж), определённой на интервале (-8; 5). Найдите точку из отрезка
[-5; 1], в которой производная /(ж) равна 0.
Рис. 90
9.	Небольшой мячик бросают под острым углом а к плоской горизон-
тальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика Н (м)
у2
вычисляется по формуле Я = -^-(1 - cos 2а), где Vo = 32 м/с — на-
чальная скорость мячика, а д — ускорение свободного падения, считать
д = 10 м/с 2. При каком наименьшем значении угла а мячик пролетит над
стеной высотой 11,3 м на расстоянии 1,5 м? Ответ дайте в градусах.
10.	Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вто-
рая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резер-
вуар объёмом 140 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая
труба?
Вариант № 12
87
L,
11.	На рисунке 91 изображены графики функций /(х) = - и д(х) — ax+b,
X
пересекающиеся в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Рис. 91
12.	Найдите наименьшее значение функции у = (х - 4)2(х — 3) — 76 на
отрезке [3;6].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение >/х3 — Зх2 — 15х + 45 = 3 — х.
6)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку	.
14.	Дан куб ABCDAiBiCiDi. G — середина ребра AiDi, Q — точка пе-
ресечения диагоналей грани BCCiBi, Р делит отрезок АВ\ в отношении
2 :1, считая от вершины А.
а)	Докажите, что сечение GQP проходит через точку А\.
б)	Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ
ACi.
15.	Решите неравенство log5(12 4-7х — х2) +4 log0 2(12 + 7i — x2) + 3 < 0.
88
Тренировочные варианты
16.	Крупный предприниматель является владельцем двух фабрик, распо-
ложенных в двух различных регионах. На фабриках производят одинако-
вые товары, но на фабрике, расположенной в‘первом регионе, производи-
тельность труда выше, чем во втором. В результате если рабочие трудятся
суммарно т2 часов в неделю, то за это время они производят 4m единиц
товара. Если же рабочие во втором регионе трудятся п2 часов в неделю,
то за это время они производят 10п единиц товара. На обеих фабриках
за каждый час работы рабочему платят 150 рублей. Какую наименьшую
сумму надо заплатить за неделю рабочим, чтобы произвести за эту неделю
4350 единиц товара? Ответ дайте в рублях.
17.	Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром
окружности является его диагональ BD. Также известно, что в четырёх-
угольник можно вписать окружность.
а)	Докажите, что диагонали четырёхугольника ABCD взаимно пер-
пендикулярны.
б)	Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD,
если АС = 16 и BD = 34.
18.	При каких значениях параметра а уравнение
о
6а • 9х + qQ = 81х 4- 5а • 3х имеет единственный корень?
о
19.	Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр явля-
ется целым числом.
а)	Может ли это отношение равняться 28?
б)	Может ли это отношение равняться 81?
в)	Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если
первая цифра трёхзначного числа равна 5?
Вариант № 13
89
Вариант № 13
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Периметр параллелограмма равен 82 (см. рис. 92). Одна сторона па-
раллелограмма на 4 больше другой. Найдите меньшую сторону паралле-
лограмма.
Рис. 92
2.	Найдите расстояние между серединами отрезков, если известны ко-
ординаты концов отрезков: отрезка АВ: А(5;4) и В(1;2); отрезка CD:
С(12;7)иО(18; 9).
3.	Даны два цилиндра (см. рис. 93). Объём первого цилиндра равен 18.
У второго цилиндра высота в 2 раза больше высоты первого цилиндра, а
радиус основания в 3 раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго
цилиндра.
Рис. 93
4.	В чемпионате по стрельбе из лука участвуют 25 спортсменов: 9 из Рос-
сии, 8 из Китая, а остальные из Южной Кореи. Порядок, в котором высту-
пают спортсмены, определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того,
что спортсмен, выступающий первым, окажется из Южной Кореи.
90
Тренировочные варианты
5.	Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каж-
дой лампы в течение года равна 0,8. «Лампы перегорают независимо друг
от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа
не перегорит.
6.	Найдите корень уравнения log4(—5х +1) = 2.
7.	Найдите значение выражения \/2cos2	— v^sin2 ^5
о	о
8.	Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(f) = t3 + 9t2 + 24f 4-120, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах,
t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой
момент времени (в секундах) её скорость равна 45 м/с?
9.	Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью Vo = 64 км/ч, вы-
езжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным
ускорением 19,2 км/ч2. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вы-
числяется по формуле S = Vat 4- где t — время в часах, прошедшее
z
после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мо-
тоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от
города на 22,4 км. Ответ дайте в минутах.
10.	На изготовление 52 деталей первый рабочий затрачивает на 3 часа
меньше, чем второй рабочий на изготовление 84 таких же деталей. Из-
вестно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй.
Сколько деталей в час делает второй рабочий?
11.	На рисунке 94 изображён график функции f(x) = logaz. Найдите
значение /(49).
Рис. 94
Вариант № 13
91
12.	Найдите точку минимума функции у = —2	•
X ~г oZ4
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение (2cos2 х — V^cosx) • ^/tg# = 0.
[9тг "1
— ;6ttJ *
14.	Основанием прямой призмы ABCA^BiCi является равнобедренный
треугольник АВС. АС = ВС, АВ = 10. Точка D делит ребро ССу в
отношении 3 : 7, считая от точки С. Угол между плоскостями ABBi и
ABD равен 60°.
а)	Докажите, что расстояние между прямыми ВС и А\С\ равно боко-
вому ребру призмы.
б)	Найдите расстояние между прямыми ВС и А\С\, если BD = 13.
15.	Решите неравенство |х - 6|-1 + 5|х - 7|-1 > |^г-
16.	В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн
рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом
предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—	в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму мень-
ше долга на июль предыдущего года.
Чему равна общая сумма выплат после погашения кредита, если наи-
больший годовой платёж составит 2100000 рублей?
17.	В остроугольном треугольнике CDE проведены высота EL и медиа-
на СР, известно, что точки С, Е, Р и L лежат на одной окружности.
а)	Докажите, что углы LDP и СЕР равны.
б)	Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CDE,
если EL : СР = 5 : 4 и LP = 4.
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
х2 - 2х — 2а+а2 — 2 = |4а + 4я —16| имеет ровно два различных корня.
92
Тренировочные варианты
19.	Из трёхзначного числа вычитают сумму его цифр, а затем получившу-
юся разность делят на 3.
а)	Может ли в результате получиться число 265?
6)	Может ли в результате получиться число 273?
в)	Сколько различных чисел может получиться в результате такой опе-
рации из чисел от 450 до 799 включительно?
Вариант № 14
93
Вариант № 14
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12. является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Периметр параллелограмма равен 56 (см. рис. 95). Одна сторона па-
раллелограмма на 7 меньше другой. Найдите большую сторону паралле-
лограмма.
Рис. 95
2.	Найдите расстояние между серединами отрезков, если известны ко-
ординаты концов отрезков: отрезка АВ: Л(-2; 3) и В(4; 1); отрезка CD:
С(11;7)иР(7;9).
3.	Даны два цилиндра (см. рис. 96). Объём первого цилиндра равен 24.
У второго цилиндра высота в 3 раза меньше высоты первого цилиндра, а
радиус основания в 4 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго
цилиндра.
Рис. 96
4.	В чемпионате по стрельбе из лука участвуют 24 спортсмена: 10 из Рос-
сии, 11 из Китая, а остальные из Южной Кореи. Порядок, в котором
выступают спортсмены, определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность
того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Южной Кореи.
94
Тренировочные варианты
5.	Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каж-
дой лампы в течение года равна 0,7. Лампы перегорают независимо друг
от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа
не перегорит.
6.	Найдите корень уравнения log2(—7х + 9) == 4.
7.	Найдите значение выражения \/3cos2	- x/3sin2
8.	Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = 2t3 4- 3,5£2 4- 24i 4- ПО, где х — расстояние от точки отсчёта в
метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения.
В какой момент времени (в секундах) её скорость равна 48 м/с?
9.	Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью Vq — 57 км/ч, вы-
езжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным
ускорением 10 км/ч2. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычис-
at2
ляется по формуле S = Vot+ где t — время в часах, прошедшее после
А
выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоцик-
листа из города, если известно, что за это время он удалился от города на
36 км. Ответ дайте в минутах.
10.	На изготовление 77 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа
меньше, чем второй рабочий на изготовление 90 таких же деталей. Из-
вестно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй.
Сколько деталей в час делает второй рабочий?
11.	На рисунке 97 изображён график функции /(ж) = logaz. Найдите
значение /(216).
Рис. 97
Вариант № 14
95
12.	Найдите точку максимума функции у = —
X  + 225
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение (tg2 х — \/3tgx) • \/sinz = 0.
6)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [ —	; я].
14.	Основанием прямой призмы АВСА\В\С\ является равнобедренный
треугольник АВС. АС = ВС, АВ — 6. Точка D делит ребро СС\ в от-
ношении 4 : 5, считая отточки С. Угол между плоскостями ABBi и ABD
равен 45°.
а)	Докажите, что расстояние между прямыми ВС и ArCi равно боко-
вому ребру призмы.
б)	Найдите расстояние между прямыми ВС и AjCi, если BD = \/Т37.
15.	Решите неравенство |х - бр1 + 3|я - 3|~х > [x2 _	•
16.	В июле 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн
рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом
предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—	в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму мень-
ше долга на июль предыдущего года.
Чему равна общая сумма выплат после погашения кредита, если наи-
больший годовой платёж составит 5,6 млн рублей?
17.	В остроугольном треугольнике ABD проведены высота DH и медиа-
на ВМ, известно, что точки В, D, М и Н лежат на одной окружности.
а)	Докажите, что треугольник ABD равнобедренный.
б)	Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, если
ВМ : DH = 13 : 10 и МН = 5.
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
х2 + а2 + х — 4а — 7 = |7х 4-14| имеет ровно два различных корня.
96
Тренировочные варианты
19,	Из трёхзначного числа вычитают сумму его цифр, а затем получившу-
юся разность делят на 3.
а)	Может ли в результате получиться число 186?
б)	Может ли в результате получиться число 191 ?
в)	Сколько различных чисел может получиться в результате такой опе-
рации из чисел от 250 до 900 включительно?
Вариант № 15
97
Вариант № 15
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В треугольнике MNP угол N равен 90°, МР = 18\/7, sin М = (см
рис. 98). Найдите NP.
Рис. 98
2.	На координатной плоскости изображены векторы ~а и ~с (см. рис. 99).
Найдите скалярное произведение ~а • ~с.
Рис. 99
98
Тренировочные варианты
3.	Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус впи-
сан в цилиндр). Вычислите объём конуса, если объём цилиндра равен 33
(см. рис. 100).
Рис. 100
4.	В сборнике билетов по правилам дорожного движения 120 вопросов,
15 из них относятся к проезду перекрёстков. Найдите вероятность того,
что в случайно выбранном на экзамене вопросе экзаменующемуся доста-
нется вопрос, относящийся к проезду перекрёстков.
5.	Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы опре-
делить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Химик» играет три
матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах
команда «Химик» начнёт игру с мячом ровно один раз.
6.	Найдите корень уравнения у/Зх + 19 = 7.
7.	Найдите значение выражения (7logs 7)log75.
8.	На рисунке 101 изображён график у — f'(x) — производной функ-
ции /(ж), определённой на интервале (-8; 10). Найдите точку экстремума
функции /(х) на отрезке [-4; 4].
Рис. 101
Вариант №15
99
9.	Перед отправкой тепловоз издаёт гудок с частотой /0 = 209 Гц. Чуть
позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффек-
та Допплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит
от скорости тепловоза V (в м/с) по закону /(V) = —— (Гц), где С —
1-с
скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сиг-
налы по тону, если они отличаются не менее чем на 11 Гц. Определите, с
какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если
человек смог различить сигналы, а С = 300 м/с. Ответ дайте в м/с.
10.	От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно
360 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через
2 часа после этого следом за ним, со скоростью на 2 км/ч большей, от-
правился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В
оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
11.	На рисунке 102 изображён график функции f(x) = ax. Найдите зна-
чение /(-3).
Рис. 102
12.	Найдите наибольшее значение функции у = х3-8х2 на отрезке [-4; 4].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение 6 • 52sinx - 11 • 30sinx + 5 • 62sinx = 0.
[Зтг 1
—;3тг|.
100
Тренировочные варианты
14.	На ребре ВВг прямоугольного параллелепипеда ABCDAtBiCiDi
взята точка Р так, что ВхР : РВ = 5:1, точка S — середина ребра
A^Di. Длины рёбер ВС и АА^ равны 10 и 12 соответственно.
а)	Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью SPC\ являет-
ся равнобедренной трапецией.
б)	Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью SPCi, ес-
ли АВ =
15.	Решите неравенство 25* ~ 4 5» X 3 >
16.	Для покупки элитной автомашины Сергей скопил 2 780000 рублей,
поэтому недостающую сумму он взял в банке в кредит под 25% годовых
на три года.
Выплачивать кредит он должен аннуитетными платежами (заёмщик
каждый год выплачивает одну и ту же сумму, основная часть аннуитетного
платежа — проценты, остальные — долг). Сколько процентов от стоимо-
сти машины Сергею не хватало на её приобретение, если известно, что он
переплатил по кредиту 655000 рублей?
17.	В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны мень-
шему основанию. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BL и
СК.
а)	Докажите, что длина отрезка LK равна полуразности длин основа-
ний трапеции.
б)	Найдите площадь четырёхугольника BCKL, если площадь трапе-
ции равна 54.
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
|х2 — Зха 4- х 4- 2а2 — 2а| =	— а + 11 ^/4а2 + (15 — х)а — 5х
имеет ровно два различных корня.
19.	Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно
сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а)	Может ли сумма этих трёх чисел равняться 2025?
б)	Может ли сумма этих трёх чисел равняться 2024?
в)	Сколько существует троек чисел таких, что первое число трёхзнач-
ное, а последнее равно 3?
Вариант № 16
101
Вариант № 16
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В треугольнике MNP угол N равен 90°, MP = 12\/5, cosM =
(см. рис. 103). Найдите MN.
2.	На координатной плоскости изображены векторы Ь и d (см. рис. 104).
Найдите скалярное произведение b d.
Рис. 104
102
Тренировочные варианты
3.	Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус впи-
сан в цилиндр). Вычислите объём конуса, если объём цилиндра равен 42
(см. рис. 105).
Рис. 105
4.	В сборнике билетов по правилам дорожного движения 120 вопросов,
6 из них относятся к основам безопасности, первой медицинской помо-
щи, ответственности водителя. Найдите вероятность того, что в случай-
но выбранном на экзамене вопросе экзаменующемуся достанется вопрос,
относящийся к основам безопасности, первой медицинской помощи, от-
ветственности водителя.
5.	Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы опре-
делить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Авиатор» играет
три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих
матчах команда «Авиатор» не начнёт игру с мячом ни разу.
6.	Найдите корень уравнения \/5х + 11 = 6.
7.	Найдите значение выражения (4log9 4)log4 9.
8.	На рисунке 106 изображён график у = f'(x) — производной функ-
ции /(х), определённой на интервале (—7; 12). Найдите точку экстремума
функции f(x) на отрезке [-6; 6].
Рис. 106
Вариант № 16
103
9.	Перед отправкой тепловоз издаёт гудок с частотой /о = 216 Гц. Чуть
позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффек-
та Допплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит
от скорости тепловоза V (в м/с) по закону f(V) = —(Гц), где С —
1-С
скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сиг-
налы по тону, если они отличаются не менее чем на 9 Гц. Определите, с
какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если
человек смог различить сигналы, а С = 300 м/с. Ответ дайте в м/с.
10.	От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно
270 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через
1 час после этого следом за ним, со скоростью на 3 км/ч большей, отпра-
вился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба
теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
11.	На рисунке 107 изображён график функции f(x) = ax. Найдите зна-
чение /(4).
Рис. 107
12.	Найдите наименьшее значение функции у = ж3-27д: на отрезке [-4; 4].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение 7 • 32sinx - 17 • 21sinx + 6 • 72sinx = 0.
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку ^2тг;	.
104
Тренировочные варианты
14.	На ребре СС\ прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\CiD\
взята точка Q так, что C\Q : QC = 5:2, точка L — середина ребра
AiBi. Длины рёбер АВ и АА\ равны 10 и 14 соответственно.
а)Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью LQDX являет-
ся равнобедренной трапецией.
б)	Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью LQDi, ес-
ли AD = 12.
15 Решите неоавенство 9х “ 7 • 3* + 10 < 3х — 9 .	1
15.	Решите неравенство 9х _ 9. Зх + 14 Зх _ 7 + Зх _ 4-
16.	Для организации предпринимательской деятельности по пошиву
одежды у Оксаны есть 3 217 500 рублей. Она намерена недостающую сум-
му на приобретение швейного оборудования взять в банке в кредит на
четыре года под 20% годовых.
Выплачивать кредит она будет аннуитетными платежами (заёмщик
каждый год выплачивает одну и ту же сумму, основная часть аннуитетного
платежа — проценты, остальные — долг). Сколько процентов от стоимо-
сти швейного оборудования Оксане не хватило, если известно, что пере-
плата по кредиту составила 2 743 500 рублей?
17.	В равнобедренной трапеции BCDE боковые стороны равны мень-
шему основанию. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры СН
и DQ.
а)	Докажите, что длина отрезка HQ равна полуразности длин основа-
ний трапеции.
6)	Найдите площадь четырёхугольника CDQH, если площадь трапе-
ции равна 38.
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
|х2 - 7а + (1 - 7а)я| = |х — 7а|\/3ж2 + 2я - 1
имеет ровно два различных корня.
19.	Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно
сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а)	Может ли сумма этих трёх чисел равняться 2022?
б)	Может ли сумма этих трёх чисел равняться 2023?
в)	Сколько существует троек чисел таких, что первое число трёхзнач-
ное, а последнее равно 4?
Вариант № 17.
105
Вариант № 17
Часть I
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1,	В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 15, sin Л = 0,6
(см. рис. 108). Найдите высоту СН.
2.	На координатной плоскости изображены векторы ~а и Ь (см. рис. 109).
Найдите скалярный квадрат вектора с = а + Ь.
Рис. 109
106
Тренировочные варианты
3.	В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает отметки 27 см
(см. рис. 110). На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если
её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза
больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Рис. НО
4.	В сборнике билетов по геометрии 40 билетов, в 6 из них встречается
вопрос по теме «Параллелограмм». Найдите вероятность того, что в слу-
чайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по
теме «Параллелограмм».
5.	В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают четы-
рёх человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова
вероятность того, что турист Л., входящий в состав группы, пойдёт в ма-
газин?
6.	Найдите корень уравнения	.
8.	На рисунке 111 изображён график функции у — f'(x) — производной
функции /(ж), определённой на интервале (-4; 9). Найдите точку миниму-
ма функции /(ж) на указанном промежутке.
Рис. 111
Вариант № 17
107
9.	Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоян-
ным ускорением а (в км/ч2). Скорость V (в км/ч) вычисляется по формуле
V = \/2Za, где I — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите уско-
рение а, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1,12 км,
приобрести скорость 102 км/ч. Ответ дайте в км/ч 2.
10.	В 2020 году в городском квартале проживало 24000 человек.
В 2021 году, в результате строительства новых домов, число жителей вы-
росло на 3%, а в 2022 году — на 5% по сравнению с 2021 годом. Сколько
человек стало проживать в квартале в 2022 году?
11.	На рисунке 112 изображён график функции f(x) = logaar. Найдите
значение
Рис. 112
12. Найдите точку минимума функции у = log7(z2 - 8х + 20) - 17.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение (5х - 9)2 - 9|5Х - 9| = 3 • 5х - 47.
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [1; 2].
14.	Ребро куба ABCDA^BiCiDi равно 5. На ребре ВВ± отмечена точ-
ка G так, что GB = 3. Через точки G и Ci проведена плоскость а, парал-
лельная диагонали В Dy.
а)	Докажите, что A^L : LB± = 1 : 2, где L — точка пересечения плос-
кости с ребром AiBi.
б)	Найдите угол между плоскостями а и ВСС}.
15.	Решите неравенство ~5^ + 6 С
108
Тренировочные варианты
16.	В начале месяца Андрей взял в банке некоторую сумму денег в кредит
под 16% в месяц на 8 месяцев. В конце каждого месяца сначала банк уве-
личивает имеющийся на начало месяца долг на 16%. Затем Андрей вносит
в банк такую сумму, чтобы долг стал меньше долга, который был в начале
месяца, на одну восьмую часть от всей суммы кредита. Сколько процентов
от всей суммы кредита будет составлять переплата за кредит банку?
17.	В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания ВС.
Точки Q, Т и Р — середины сторон АВ, CD и AD трапеции соответствен-
но. Отрезки АТ, ВР и QD ограничивают треугольник KLM, где К, L и
М — точки пересечения отрезков АТ и BP, ВР и QD, АТ и QD соответ-
ственно.
а)	Докажите, что Sklm = ^Sklt-
б)	Найдите площадь трапеции ABCD, если Sklm = 3.
18.	При каких значениях параметра а система
{а2 + у2 - 2ау - Зу + За = 0,
2у= |х-ж1+ж+х
имеет ровно 2 решения?
19.	На доске написано трёхзначное число А. Паша зачёркивает одну циф-
ру и получает двузначное число В, затем Вова записывает число А, зачёр-
кивает одну цифру (возможно ту же, что и Паша) и получает двузначное
число С.
а)	Может ли случиться так, что А = В • С, если А > 160?
б)	Может ли случиться так, что А = В • С, если 540 А < 600?
в)	Найдите наибольшее число А меньшее 800, для которого выполня-
ется равенство А = В • С.
Вариант № 18
109
Вариант № 18
Часть I
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 20, sin Л = 0,8
(см. рис. 113). Найдите высоту СН.
2.	На координатной плоскости изображены векторы ~а и b (см. рис. 114).
Найдите скалярный квадрат вектора = o’ + Ь.
Рис. 114
но
Тренировочные варианты
3.	В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает отметки 45 см
(см. рис. 115). На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если
её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 1,5 раза
больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Рис. 115
4.	В сборнике билетов по геометрии 50 билетов, в 12 из них встречает-
ся вопрос по теме «Четырёхугольники». Найдите вероятность того, что в
случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос
по теме «Четырёхугольники».
5.	В группе туристов 24 человека. С помощью жребия они выбирают трёх
человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова
вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, пойдёт в ма-
газин?
6.	Найдите корень уравнения — -— =
ох + 9	3
7.	Найдите значение выражения
н 15-Й/209
8.	На рисунке 116 изображён график функции у = f'(x) — производной
функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите точку мини-
мума функции на указанном промежутке.
Рис. 116
Вариант №18
111
9.	Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоян-
ным ускорением а (в км/ч2). Скорость V(в км/ч)вычисляется по формуле
V = \/2/а, где I — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите уско-
рение а, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,96 км,
приобрести скорость 96 км/ч. Ответ дайте в км/ч 2.
10.	В 2020 году в городском квартале проживало 25000 человек.
В 2021 году, в результате строительства новых домов, число жителей вы-
росло на 4%, а в 2022 году — на 7% по сравнению с 2021 годом. Сколько
человек стало проживать в квартале в 2022 году?
11.	На рисунке 117 изображён график функции f(x) = logaz. Найдите
значение /(9).
Рис. 117
12.	Найдите точку максимума функции у = log13(7 - х2 — 5х) — 1.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение (3х — 4)2 — 13|3Ж — 4| = 15 • 3х - 175.
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [1; 5].
14.	Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. На ребре СС\ отмечена точ-
ка М так, что СМ = 5. Через точки М и Bi проведена плоскость а,
параллельная диагонали Ai<7.
а)	Докажите, что CiN : NDi = 1 : 4, где N — точка пересечения
плоскости с ребром CiZ>i.
6)	Найдите угол между плоскостями а и ВСС\.
15	Решите неоавенство ~ 9 • 5х + 18 < 5х — 7 .	1
1&.	Вешите неравенство 25* _ 8.+ 15 < 5х _ 5 +
112
Тренировочные варианты
16.	В начале месяца Илья взял кредит в банке на 10 месяцев. В конце
каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается банком
на 15%, а затем уменьшается на сумму, уплачиваемую Ильёй. Сумма,
выплачиваемая Ильёй в конце каждого месяца, подбирается так, чтобы
в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, на од-
ну и ту же величину, равную одной десятой части суммы кредита. Сколько
процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Ильёй
банку сверх кредита?
17.	В трапеции PQTR основание PR в два раза больше основания QT.
Точки А, В и С — середины сторон PR, PQ и TR трапеции соответствен-
но. Отрезки QA, RB и PC ограничивают треугольник DEF, где D, Е и
F — точки пересечения отрезков AQ и BR, AQ и PC, BR и PC соответ-
ственно.
а)	Докажите, что Sdec = 7S^ef-
б)	Найдите площадь треугольника DEF, если Spqtr = 336.
18.	При каких значениях параметра а система
{у — ах — За = 8,
у=|2 + ^| + 2-|
имеет ровно 2 решения?
19.	На доске написано трёхзначное число А. Петя зачёркивает одну цифру
и получает двузначное число В, затем Вася записывает число А, зачёр-
кивает одну цифру (возможно ту же, что и Петя) и получает двузначное
число С.
а)	Может ли случиться так, что А = В • С, если А > 180?
6)	Может ли случиться так, что А = В • С, если 330 $ А < 400?
в)	Найдите наибольшее число А меньшее 700, для которого выполня-
ется равенство А = В • С.
Вариант № 19
113
Вариант № 19
Часть I
Ответом к заданиям 1—12. является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В треугольнике MEF проведена высота FH, а угол М равен 32°,
угол Е — тупой (см. рис. 118). Найдите угол MFE, если угол EFH ра-
вен 24°. Ответ дайте в градусах.
Рис. 118
2.	Даны векторы 7(5;—1), 6(-2;1) и 7(1; 3). Найдите длину вектора
2 Ь — ~а +~с.
3.	Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания
увеличится в 5 раз, а высота останется прежней (см. рис. 119).
4.	На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заяв-
ленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова ве-
роятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы
из Германии и после группы из Австрии? Результат округлите до сотых.
114
Тренировочные варианты
5.	Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает
следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать
без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,8. Найдите вероятность
того, что для передачи сообщения потребуется не более двух попыток.
6.	Найдите корень уравнения 71о«49(2®-5) _ 7
7.	Найдите значение выражения 14х2 • (7х9)3 : (7гг7)4 при х = 65.
8.	На рисунке 120 изображён график функции у = /'(z) — производной
функции /(ж), определённой на интервале (—9; 10). Найдите промежутки
убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
9.	Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону
h(t) = 1,4 4- 16t — 5t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах,
прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на
высоте не менее 11 метров?
10.	Бригада маляров красит забор длиной 268 метров, ежедневно увели-
чивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за
первый и последний день в сумме бригада покрасила 67 метров забора.
Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
11.	На рисунке 121 изображён график функции f(x) = loga(x 4- 6). Най-
дите значение /(35).
Рис. 121
Вариант № 19
115
12.	Найдите точку максимума функции у = 1п(я -Кб) — 2,5а: + 4.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение \/х3 + 4а:* + 4т + 2 - х = 2.
[6 51
—-J.
14.	В основании прямой призмы АВС А'В'С' лежит треугольник АВС со
сторонами АВ, ВС, АС, равными соответственно 8, 7,3. Точка D — сере-
дина ребра А'В'. Точка F делит ребро АС в отношении CF : FA = 1:2.
а)	Докажите, что DF ± АС.
б)	Найдите угол между прямой DF и плоскостью АВ В', если АА' = 9.
15. Решите неравенство log|(3x — 1) — 41og2(3x - 1) + 3 > 0.
16.	Юрий Владимирович взял кредит в банке на 12 лет под 16% годовых.
Условия возврата таковы: за первый год пользования кредитом он выпла-
чивает часть тела кредита, за второй год— у? часть оставшегося тела
1Z	11
кредита, за третий год — часть нового остатка тела кредита и т. д., за
12-й год выплачивает оставшуюся часть тела кредита.
Проценты за пользование кредитом выплачиваются в конце каждого
года пользования кредитом солидарно с предприятием — работодателем
Юрия Владимировича. При этом предприятие выплачивает четверть про-
центной ставки, а остальную часть процентной ставки выплачивает заём-
щик.
Какую сумму в тысячах рублей должен будет заплатить Юрий Вла-
димирович за пятый год пользования кредитом вместе с долей процентной
ставки, если общая сумма затрат предприятия составляет 624 тысячи руб-
лей?
116
Тренировочные варианты
17.	Длины двух сторон целочисленного треугольника — последователь-
ные нечётные числа, одна из которых равна 7. Угол между этими сторона-
ми в два раза больше одного из оставшихся углов.
а)	Докажите, что радиус вписанной в треугольник окружности ра-
вен \/5.
б)	Найдите отношение радиуса описанной окружности к радиусу впи-
санной.
18.	Найдите все значения а, при которых уравнение
х2\/х — Зху/х — х2а + Зах + аРу/х — 4ау/х — Q3 -F 4а2 q
х2 - а2
имеет нечётное число корней на отрезке [—1; 4].
19.	Аня придумала два различных натуральных числа а и b таких, что
± + ± = -^-
а b 2023’
а)	Могут ли а и Ь быть одинаковой чётности?
б)	Может ли одно из этих чисел быть кратным 23?
в)	Может ли а принимать 8 различных значений, если а < 6?
Вариант№20
117
Вариант № 20
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В треугольнике KMN проведена высота NH, угол К равен 40°,
угол М — тупой (см. рис. 122). Найдите угол KNM, если угол MNH
равен 35°. Ответ дайте в градусах.
2.	Даны векторы с?(2; -5), Ь (-2; -4) и ?Г(—1; -5). Найдите длину векто-
ра 3 Ь — 'а 4- ~с.
3.	Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания
увеличится в 4 раза, а высота останется прежней (см. рис. 123).
4.	На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из за-
явленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова
вероятность того, что группа из Чехии будет выступать после группы из
Испании и после группы из Франции? Результат округлите до сотых.
5.	Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает
следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать
без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,9. Найдите вероятность
того, что для передачи сообщения потребуется не более двух попыток.
118 Тренировочные варианты
6.	Найдите корень уравнения 5log25(3a;_2> = 5.
7.	Найдите значение выражения 8х • (Эх11)2 : (6х9)2 при х = 2.
8.	На рисунке 124 изображён график функции у = /'(х) — производной
функции /(х), определённой на интервале (—7; 11). Найдите промежутки
убывания функции /(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
9.	Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону
h(t) = 3 + 12,St - 4t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах,
прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на
высоте не менее 10 метров?
10.	Бригада маляров красит забор длиной 282 метра, ежедневно увеличи-
вая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый
и последний день в сумме бригада покрасила 47 метров забора. Опреде-
лите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
11.	На рисунке 125 изображён график функции /(х) = log0(x 4- Ь). Най-
дите значение /(132).
12.	Найдите точку минимума функции у = 15 — 1п(х 4- 9) 4- 2х.
Вариант № 20
119
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение у/х$ + 4х2 + Зх +17 — х = 4.
б)	Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-Ц; |] •
14.	В основании прямой призмы АВС А'В'С лежит треугольник АВС со
сторонами АВ, ВС, АС, равными соответственно 15,13,7. Точка D делит
ребро А'В' в отношении B'D : DA' = 1 : 4, а точка F делит ребро АС
в отношении CF : FA = 1:6.
а)	Докажите, что DF ± АС.
б)	Найдите угол между прямой FD и плоскостью АВ В', если
АА' = 18.
15.	Решите неравенство log3(2x - 5) — log^ (3(4Х -10 • 2х + 25)) + 5^0.
16.	Андрей Денисович взял кредит в банке на 15 лет под 12% годовых.
Условия возврата таковы: за первый год пользования кредитом он выпла-
чивает часть тела кредита, за второй год — у- часть оставшегося тела
кредита, за третий год — часть нового остатка тела кредита и т. д., за
1о
15-й год выплачивает оставшуюся часть тела кредита.
Проценты за пользование кредитом выплачиваются в конце каж-
дого года пользования кредитом солидарно с работодателем заёмщика.
При этом работодатель выплачивает треть процентной ставки, а осталь-
ную часть процентной ставки выплачивает Андрей Денисович.
Каковы затраты работодателя в тысячах рублей за первые шесть лет
кредита, если заёмщик за шестой год заплатит 300 тыс. руб.?
17.	Длины двух сторон целочисленного треугольника — последователь-
ные нечётные числа, одна из которых равна 51. Угол между этими сторо-
нами в два раза больше одного из оставшихся углов.
а)	Докажите, что радиус вписанной в треугольник окружности ра-
вен 6\/б.
б)	Найдите отношение радиуса описанной окружности к радиусу впи-
санной.
120 Тренировочные варианты
18.	Найдите все значения а, при которых уравнение
х4 + а2х2 — бах2 — а3 4- 5а2 _ п
х2 4- 2х — а2 4- 2а
имеет нечётное число корней на отрезке [—2,5; у/7].
19.	Катя придумала два различных натуральных числа а и 6 таких, что
1 + 1 = -!-.
a b 2024
а)	Могут ли а и b быть разной чётности?
б)	Может ли одно из этих чисел быть полным квадратом?
в)	Может ли а принимать 10 различных нечётных значений?
Вариант №21
121
Вариант № 21
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
L Высота трапеции равна 11. Площадь трапеции равна 242. Найдите
среднюю линию трапеции (см. рис. 126).
Рис. 126
2.	Даны векторы -4), Ъ (2; 9) и <?(7; 3). Найдите длину вектора сум-
мы этих векторов.
3.	Площадь полной поверхности конуса равна 32. Параллельно основа-
нию конуса проведено сечение, делящее его высоту в отношении 1 : 3,
считая от вершины конуса (см. рис. 127). Найдите площадь полной по-
верхности отсечённого конуса.
Рис. 127
122
Тренировочные варианты
4.	В вольных упражнениях по спортивной гимнастике заявлены спортс-
мены из четырёх спортивных школ города: 7 из ДЮСШ-1, 9 из школы
«Взлёт», 4 из школы «Красота, ловкость и сила» и 5 из школы олимпий-
ского резерва. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий пер-
вым, окажется из школы олимпийского резерва.
5.	На рисунке 128 показано дерево некоторого случайного эксперимента.
Событию В благоприятствуют элементарные события а, Ь и с, а событию
С благоприятствуют элементарные события Ь, с и d. Найдите Р(В\С) —
условную вероятность события В при условии С.
Рис. 128
6.	Найдите корень уравнения 53+2х = 253х.
7.	Найдите значение выражения loga(a3d4), если loga Ь = -3.
8.	На рисунке 129 изображён график функции у = /(я), определённой на
интервале (-8; 8). Определите количество целых точек, в которых произ-
водная функции отрицательна.
Рис. 129
Вариант № 21
123
9.	Груз массой 0,2 кг колеблется на пружине. Его скорость v (в м/с) меня-
2тг£ .
ется по закону v = vq cos где t — время с момента начала наблюдения
в секундах, Г = 3 с — период колебаний, v0 = 1,3 м/с. Кинетическая
2
энергия Е (в Дж) груза вычисляется по формуле Е = где m — мае-
са груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию
груза через 15 секунд после начала наблюдения. Ответ дайте в джоулях.
10.	Моторная лодка в 9:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный
в 45 км от А. Пробыв в пункте В 45 минут, лодка отправилась назад и
вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную
12. Найдите точку минимума функции у = ху/х — 10,5х + 9.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение log8+2a._a.2(х 4- 2) = log12_3a.(x + 2).
6)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
[log^/з УбД yiog2 3].
124
Тренировочные варианты
14.	В правильной треугольной призме ABCA^B^Ci угол между прямыми
ABi и BCi равен arccos сторона основания имеет длину 5.
а)	Докажите, что длина бокового ребра равна 5 или \/5.
6)	Найдите расстояние между прямыми АВг и ВС\.
15.	Решите неравенство (х + 4)(я + 1) —	4- 5ят + 2 < 6.
16.	В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на восемь лет в
размере 400 тыс. руб. Условия его возврата таковы:
— каждый январь 2026, 2027, 2028, 2029 годов долг возрастает на q%
по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь 2030, 2031, 2032, 2033 годов долг возрастает на г%
по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину
меньше долга на июль предыдущего года — к июлю 2033 года долг будет
выплачен полностью.
Найдите q и г, если известно, что сумма всех выплат после полного
погашения кредита составит 650 тысяч рублей, а общая сумма выплат за
первые четыре года больше общей суммы выплат за последние четыре го-
да на 140 тыс. рублей.
17.	В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузу АВ опущена вы-
сота СИ, в треугольники АВС, ВСН и АСН вписаны окружности с цен-
трами О, 01 и О2 соответственно.
а)	Докажите, что ЛО2О1Я ~ ДАВС.
б)	Найдите ZOiO2B, если ZOO2Oi = 29°.
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
3| cosi| 4- 2| sin t| = а имеет ровно один корень на отрезке Г^;	.
L <5 О J
19.	а) Сколько простых чисел содержится в отрезке натурального ряда
524, 525, 526,..., 535, 536, 537, состоящего из четырнадцати чисел?
б)	Существует ли отрезок натурального ряда, состоящий из четырна-
дцати чисел и содержащий ровно четыре простых числа?
в)	Какое наибольшее число простых чисел может содержаться в от-
резке натурального ряда, состоящего из четырнадцати чисел?
Вариант № 22
125
Вариант № 22
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Высота трапеции равна 15. Площадь трапеции равна 132. Найдите
среднюю линию трапеции (см. рис. 131).
Рис. 131
2.	Даны векторы с?(5; 6), Ь (-7; 4) и 'с (-3; 2). Найдите длину вектора сум-
мы этих векторов.
3.	Площадь полной поверхности конуса равна 42. Параллельно основа-
нию конуса проведено сечение, делящее его высоту в отношении 1 : 4,
считая от вершины конуса (см. рис. 132). Найдите площадь полной по-
верхности отсечённого конуса.
Рис. 132
4.	В упражнениях с лентой по художественной гимнастике заявлены
спортсмены из четырёх спортивных школ города: 4 из «Грации», 10 из
ДЮСШ-1,3 из «Спортивного центра» и 8 из школы олимпийского резер-
ва. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажет-
ся из «Спортивного центра».
126
Тренировочные варианты
5.	На рисунке 133 показано дерево некоторого случайного эксперимента.
Событию В благоприятствуют элементарные события a, b и с, а событию
С благоприятствуют элементарные события Ъ, с и d. Найдите Р(С\В) —
условную вероятность события С при условии В.
Рис. 133
6. Найдите корень уравнения 74+3х = 492х.
7. Найдите значение выражения logo(a2b4), если logo b = -2.
8. На рисунке 134 изображён график функции у = /(х), определённой на
9. Груз массой 0,18 кг колеблется на пружине. Его скорость v (в м/с) меня-
ется по закону v = v0 cos где t — время с момента начала наблюдения
в секундах, Т = 6 с — период колебаний, v0 = 1,6 м/с. Кинетическая
энергия Е (в Дж) груза вычисляется по формуле Е = где m — мас-
са груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию
груза через 24 секунды после начала наблюдения. Ответ дайте в джоулях.
Вариант № 22
127
10. Моторная лодка в 7:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный
в 49 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 36 минут, лодка отправилась назад и
вернулась в пункт Л в 17:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную
скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
12.	Найдите точку максимума функции у = 1 -I- 8х -	.
и
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение log8a._12_I3(a: - 2) = log18_3a.(:c - 2).
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
[ 0ogOj2 0,3; log\/зб] •
14.	В правильной треугольной призме ABCA^BiCi угол между прямыми
/1В1 и BCi равен arccos сторона основания имеет длину 2-/2.
О
а)	Докажите, что длина бокового ребра равна 1 или \/10.
б)	Найдите расстояние между прямыми ABj и ВС\.
15.	Решите неравенство (х + 1)(х + 2) Ч- 4\/я2 + Зх — 6 < 20.
128
Тренировочные варианты
16.	В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на десять лет в
размере 700 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг возрастает
на q% по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг возрастает
на г% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину
меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг будет выплачен полностью.
Найдите q и г, если общая сумма выплат после полного погашения
кредита составляет 1400 тыс. рублей, а общая сумма выплат за первые
пять лет больше общей суммы выплат за последние пять лет на 364 тыс.
рублей.
17.	В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузу АВ опущена вы-
сота СН. В треугольнике АСН проведена биссектриса СЕ угла АСН.
а)	Докажите, что треугольник ВСЕ — равнобедренный.
б)	Найдите ЕС. где О — центр окружности, вписанной в треугольник
АВС, и известно, что АС = 8, ВС = 6.
18.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
| sin + 2| cos£| = а имеет ровно один корень на отрезке [^;	|.
L о о J
19.	а) Сколько простых чисел содержится в отрезке натурального ряда
888, 889,890,..., 903, 904,905, состоящего из восемнадцати чисел?
б) Существует ли отрезок натурального ряда, состоящий из восемна-
дцати чисел и содержащий ровно пять простых чисел?
в) Какое наибольшее число простых чисел может содержаться в от-
резке натурального ряда, состоящего из восемнадцати чисел?
Вариант № 23
129
Вариант № 23
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 77. Высота трапеции
равна 16,5 (см. рис. 136). Найдите тангенс острого угла трапеции.
Рис. 136
2.	Даны векторы ’а(Ъ\—2), Ь (1; 3) и *с(1;—5). Найдите длину вектора
3ft — 2~а +
3.	В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 15, боковое
ребро равно 17 (см. рис. 137). Найдите её объём.
Рис. 137
4.	В группе 26 девочек, среди них две подруги — Даша и Инна. Девочек
случайным образом разбивают на две равные команды. Найдите вероят-
ность того, что Даша и Инна окажутся в одной команде.
130
Тренировочные варианты
5. В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите
ЕХ — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X	—4	-1	0	2	3
Вероятности	0,1	0,4	0,2	0,2	0,1
6. Найдите корень уравнения log16 82х+3 = 3.
7. Найдите значение выражения

8. На рисунке 138 изображён график функции у = /(я), определённой на
интервале (—7; 7). Найдите количество решений уравнения fr(x) = 0 на
отрезке [-5,5; 3,5].
Рис. 138
9.	Для нагревательного элемента некоторого прибора эксперименталь-
но была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:
T(t) = То + + at2, где t — время (мин), То = 690К, a = —18 К/мин2,
b = 252 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента
свыше 1500 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.
Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно от-
ключить прибор. Ответ дайте в минутах.
10.	В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество
процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов.
В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в
понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в поне-
дельник?
Вариант № 23
131
11.	На рисунке 139 изображены графики функций /(т) = ах2 4- bx 4- с и
д(х) = кх+Ь, пересекающиеся в точках Л и В. Найдите абсциссу точки В.
12.	Найдите наименьшее значение функции у = х 4- — на отрезке [1; 8].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение sin2х = 2cos2	——j.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
-7Г .
14.	В основании четырехугольной пирамиды PABCD лежит параллело-
грамм ABCD со сторонами АВ = \/5 и ВС — 2. Длины боковых рёбер
пирамиды РА = х/7, РВ = 2\/3 и PD = VTl.
а)	Докажите, что РА — высота пирамиды.
б)	Найдите объём пирамиды PABCD, если PC = у/12.
ат _ к . 12х I 42iC+i
15.	Решите неравенство 2=-—/ , .	0.
r	log2(x2-6x4-9)
132
Тренировочные варианты
16.	В декабре 2023 года планируется взять кредит в банке на шесть лет в
размере 2 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг увеличивается на г процентов по срав-
нению с концом предыдущего года, где т — целое число;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— 1-го июля каждого года долг должен составлять некоторую сумму в
соответствии со следующей таблицей.
Дата	01.07. 2024	01.07. 2025	01.07. 2026	01.07. 2027	01.07. 2028	01.07. 2029
Долг (в млн рублей)	1,8	1,6	1,3	0,9	0,5	0
Найдите наибольшее значение г, при котором общая сумма выплат бу-
дет составлять менее 2,65 млн рублей.
17.	В трапеции ABCDточка М — середина боковой стороны АВ. На бо-
ковой стороне CD выбрана точка К такая, что отрезки МС и АК парал-
лельны.
а)	Докажите, что отрезки MD и В К параллельны.
б)	Прямая MD пересекает прямую ВС в точке Е, прямая В К пересе-
кает прямую AD в точке F. Найдите площадь четырёхугольника DEBF,
если площадь треугольника AMD равна 7.
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
(|х - 2| — а - 4)(i2 - 4х + a + 6) = О
имеет наибольшее число решений.
19.	Между каждыми двумя соседними цифрами натурального числа запи-
сывают модуль разности этих цифр (например, из числа 2673 получается
число 2 461743).
а)	Может ли из какого-нибудь числа получиться число 1234 774 321?
б)	Может ли из трёхзначного числа получиться число, делящееся
на 11?
в)	Сколько всего существует трёхзначных чисел, в десятичной записи
которых отсутствуют нули и число десятков не менее числа сотен и единиц,
дающих после выполнения указанной выше операции число, делящееся
на 11?
Вариант № 24
133
Вариант № 24
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 29. Высота трапеции
равна 14 (см. рис. 140). Найдите тангенс острого угла трапеции.
Рис. 140
2.	Даны векторы ё?(5; -6), Ь (1; -4) и сГ(-6; -6). Найдите длину вектора
-а +2Ь -~с.
3.	В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12, боковое
ребро равно 13 (см. рис. 141). Найдите её объём.
4.	В классе 21 учащийся, среди них два друга — Никита и Алексей. Уча-
щихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите веро-
ятность того, что Никита и Алексей окажутся в одной группе.
134
Тренировочные варианты
5. В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите
ЕХ — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X	-6	—4	1	2	4
Вероятности	0,2	0,1	0,5	0,1	0,1
6. Найдите корень уравнения log81 274x+1 = 3.
7. Найдите значение выражения

8. На рисунке 142 изображён график функции у — /(z), определённой на
интервале (—6; 10). Найдите количество решений уравнения f'(x) = 0 на
отрезке [-4,5; 7,5].
9.	Для нагревательного элемента некоторого прибора эксперименталь-
но была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:
T(t) = То + Ы + at2, где t — время (мин), То = 1020 К, а = —16 К/мин2,
b = 208 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента
свыше 1500 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.
Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно от-
ключить прибор. Ответ дайте в минутах.
10.	В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество
процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов.
В результате они стали стоить на 16% дешевле, чем при открытии торгов
в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в по-
недельник?
Вариант № 24
135
11.	На рисунке 143 изображены графики функций f(x) = ax2 + bx + с и
д(х) = kx+b, пересекающиеся в точках Ан В. Найдите абсциссу точки В.
Рис. 143
12.	Найдите наибольшее значение функции у = ж+ - на отрезке [-5; —1].
X
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.)9 а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение sin 2х = 2\/3cos2 (z +
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
(-^]-
14.	В основании четырёхугольной пирамиды PABCD лежит параллело-
грамм ABCD, диагональ BD которого перпендикулярна боковому ребру
РА, а АВ = \/5. Длины боковых рёбер пирамиды РА = \/7, РВ = 2л/3-
а)	Докажите, что треугольник АРС — прямоугольный.
б)	Найдите объём пирамиды PABCD, если PD = \/П, а PC = х/12.
16х — 12х — 2 • 9х
15.	Решите неравенство	0.
136
Тренировочные варианты
16.	В декабре 2023 года планируется взять кредит в банке на четыре года
в размере 3 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг увеличивается на г процентов по срав-
нению с концом предыдущего года, где г — целое число;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— 1-го июля каждого года долг должен составлять некоторую сумму в
соответствии со следующей таблицей
Дата	01.07.2024	01.07.2025	01.07.2026	01.07.2027
Долг (в млн рублей)	2,2	1,4	0,6	0
Найдите наименьшее значение г, при котором общая сумма выплат бу-
дет составлять более 3,62 млн рублей.
17.	В трапеции ABCD точка М — середина боковой стороны CD. На бо-
ковой стороне АВ выбрана точка К такая, что отрезки ВМ и KD парал-
лельны.
а)	Докажите, что отрезки КС и AM параллельны.
б)	Прямая КС пересекает прямую AD в точке Е, прямая AM пересе-
кает прямую ВС в точке F. Найдите площадь четырёхугольника AECF,
если площадь треугольника AMD равна 9.
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
(|ж - 4| 4- a — 2)(ж2 — Sx - a + 16) = О
имеет наибольшее число решений.
19.	Между каждыми двумя соседними цифрами натурального числа запи-
сывают модуль разности этих цифр (например, из числа 2673 получается
число 2461 743).
а)	Может ли из какого-нибудь числа получиться число 74 321012 347?
б)	Может ли из трёхзначного числа, в котором число десятков отлично
от нуля, но не более числа сотен и числа единиц, получиться число, деля-
щееся на 11?
в)	Сколько всего существует трёхзначных чисел, в десятичной записи
которых отсутствуют нули, а число сотен не менее числа десятков, таких,
что после выполнения указанной выше операции получается число, деля-
щееся на 11?
Вариант № 25
137
Вариант № 25
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В треугольнике АВС угол С равен 34°, ВН — высота, угол АВН ра-
вен 16° (см. рис. 144). Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.
2.	Даны векторы <?(5; —2), Ь (3; 4) и ~с (1; -3). Найдите скалярное произ-
ведение векторов (2 6 — ~с) 'а.
12
3.	Радиус основания цилиндра равен 8, а высота равна — (см. рис. 145).
7Г
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Рис. 145
4.	На олимпиаде по химии 240 участников разместили в трёх аудиториях.
В первых двух удалось разместить по 90 человек, оставшихся перевели
в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что
случайно выбранный участник отвечал на вопросы олимпиады в запасной
аудитории.
5.	Симметричную монету бросают 18 раз. Во сколько раз вероятность со-
бытия «выпадет ровно 8 орлов» больше вероятности события «выпадет
ровно И орлов»?
138
Тренировочные варианты
6.	Найдите корень уравнения *	= 5.
ZX “г и
к 5
7.	Найдите значение выражения 5- :
О о
8. На рисунке 146 изображён график функции у = /'(я) — производной
функции f(x), определённой на интервале (—9; 10). Найдите промежутки
9.	Наблюдатель находится на высоте h (км). Расстояние Z (в км) от
наблюдателя до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле
I = y/2Rh, где R = 6400 км — радиус Земли. На какой высоте нахо-
дится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 88 км?
Ответ дайте в метрах.
10.	В сосуд, содержащий 9 литров 15-процентного водного раствора неко-
торого вещества, добавили И литров воды. Сколько процентов составля-
ет концентрация получившегося раствора?
11.	На рисунке 147 изображён график функции f(x) = кх 4-5. Найдите
значение /(—7).
Рис. 147
12.	Найдите наименьшее значение функции у = х3 — 7,5я2 4- 18я — 10 на
отрезке [2; 4].
Вариант № 25
139
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. <?.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение sin^ + я) + cos^ +
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку ^2тг;	.
14.	В правильной треугольной пирамиде РАВС отмечены точки Е, L и К,
являющиеся серединами рёбер АВ, ВС и PC соответственно.
а)	Докажите, что сечение этой пирамиды плоскостью ELK является
прямоугольником.
б)	Найдите объём пирамиды PFELK, где F — точка пересечения
плоскости EKL с ребром АР, если АВ = 6 и высота пирамиды РАВС
равна 8.
15.	Решите неравенство log2 х • log3 х — 2 log2 х — 3 log3 х —6.
16.	Предприниматель Александр взял в банке кредит 500 тыс. рублей на
4 года. Условия погашения кредита таковы: по прошествии каждого го-
да банк начисляет 20% на долг, который имеет предприниматель на ко-
нец этого года. После этого предприниматель вносит ежегодный платёж,
который одинаков во все годы, кроме четвёртого, в котором платёж ра-
вен 163,2 тыс. рублей, и этим закрывается кредит. Какую сумму ежегод-
ных платежей внёс предприниматель в банк при погашении этого кредита
за 4 года?
17.	В треугольнике АВС проведена высота ВН. Из точки Н провели пер-
пендикуляры НМ и НК к сторонам АВ и ВС соответственно.
а)	Докажите, что треугольники ВМК и АВС подобны.
б)	Найдите площадь треугольника ВМК, если АВ = 5, ВС = 8
и АС = 9.
18.	Найдите все значения а, при которых система уравнений
{ху = 3(я + у),
х2 -I- у2 = 4(гг 4- у) + а
имеет ровно два различных решения.
140
Тренировочные варианты
19.	Натуральное число назовём представимым, если его можно предста-
вить в виде такой суммы a + b + ab, где а и b — натуральные числа.
Например, число 9 представимое, потому что его можно представить в ви-
де 9 = 1 + 4 -f-1 • 4.
а)	Является ли число 35 представимым?
б)	Является ли число 36 представимым?
в)	Сколько представимых чисел на отрезке [20; 50]?
Вариант № 26
141
Вариант № 26
Часть I
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В треугольнике АВС угол А равен 42°, ВН — высота, угол СВН ра-
вен 34° (см. рис. 148). Найдите угол С В А. Ответ дайте в градусах.
2.	Даны векторы сГ(-4;3), Ь (1; —5) и 'с(-3;4). Найдите скалярное про-
изведение векторов (<2 - 2 д) • 7?.
13
3.	Радиус основания цилиндра равен 7, а высота равна — (см. рис. 149).
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Рис. 149
142
Тренировочные варианты
4.	На олимпиаде по обществознанию 360 участников разместили в трёх
аудиториях. В первых двух удалось разместить по 144 человека, остав-
шихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите ве-
роятность того, что случайно выбранный участник отвечал на вопросы
олимпиады в запасной аудитории.
5.	Симметричную монету бросают 25 раз. Во сколько раз вероятность со-
бытия «выпадет ровно 9 орлов» меньше вероятности события «выпадет
ровно 15 орлов»?
6.	Найдите корень уравнения —1 -г = 4.
Зх 1
7.	Найдите значение выражения 8^5 :
Io io
8.	На рисунке 150 изображён график функции у = f'(x) — производной
функции /(ж), определённой на интервале (-6; 12). Найдите промежутки
возрастания функции /(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Рис. 150
9.	Наблюдатель находится на высоте h (км). Расстояние I (в км) от
наблюдателя до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле
I = \j2Rh, где R = 6400 км — радиус Земли. На какой высоте находится
наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 104 км? Ответ
дайте в метрах.
10.	В сосуд, содержащий 3 литра 16-процентного водного раствора неко-
торого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
Вариант № 26
143
11.	На рисунке 151 изображён график f (х) = кх 4-6. Найдите значение
Л-5).
Рис. 151
12.	Найдите наибольшее значение функции у = х3 — 1,5а:2 - 36а: 4- 2 на
отрезке [-4; 4].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.)> а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение sin
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 3ttJ .
14.	В правильной треугольной пирамиде SABC отмечены точки М, N, F
и К, являющиеся серединами рёбер SB, SC, АС и АВ соответственно.
а)	Докажите, что прямые MF и NK пересекающиеся.
б)	Найдите величину угла между прямыми MF и NK, если АВ = 6,
высота пирамиды РАВС равна 11.
15.	Решите неравенство log2 х • log5 х -I- 2 log2 х + 5 log5 х —10.
16.	Предприниматель Борис взял в банке кредит 400 тыс. рублей на 3 го-
да. Условия погашения кредита таковы: по прошествии каждого года банк
начисляет 25% на долг, который имеет предприниматель на конец этого
года. После этого предприниматель вносит ежегодный платёж, который
одинаков во все годы, кроме третьего, в котором платёж равен 218,75 тыс.
рублей, и этим закрывается кредит. Какую сумму заплатил предпринима-
тель в банк за пользование этим кредитом?
144
Тренировочные варианты
17.	На высоте АН треугольника АВС, как на диаметре, построена окруж-
ность, которая пересекает стороны АВ и АС в точках М и К соответ-
ственно.
а)	Докажите, что треугольники AM К и АВС подобны.
б)	Найдите длину отрезка МК, если АВ = 5, АС = 9 и ВС = 10.
18.	Найдите все значения а, при которых система уравнений
f (х + 2)(у + 2) = 4,
( (х - а)2 4- (у - а)2 = 2
имеет ровно два различных решения.
19.	Натуральное число назовём представимым, если его можно предста-
вить в виде такой суммы a 4- b 4- ab, где а и Ь — натуральные числа.
Например, число 7 представимое, потому что его можно представить в ви-
де 7 = 14-34-1-3.
а)	Является ли число 51 представимым?
б)	Является ли число 52 представимым?
в)	Сколько представимых чисел среди двузначных?
Вариант № 27
145
Вариант № 27
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Основания прямоугольной трапеции равны 6,5 и 9,5. Её площадь рав-
на 24 (см. рис. 152). Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в
градусах.
Рис. 152
2.	На координатной плоскости изображены векторы а и Ь (см. рис. 153).
Найдите скалярное произведение векторов ~а * b.
Рис. 153
146
Тренировочные варианты
3.	Цилиндр вписан в правильную треугольную призму, радиус основания
цилиндра равен 2\/3, высота цилиндра равна 14 (см. рис. 154). Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
Рис. 154
4.	В группе туристов 24 человека. Их катером доставляют на остров, пе-
ревозя 6 человек за рейс. Порядок, в котором катер перевозит туристов,
случаен. Найдите вероятность того, что турист Р. попадёт на остров с пер-
вым рейсом.
5.	По отзывам покупателей Руслан Рудольфович оценил надёжность двух
интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из ма-
газина А, равна 0,96. Вероятность того, что этот товар доставят из ма-
газина Б, равна 0,85. Руслан Рудольфович заказал товар сразу в обоих
магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от
друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
6.	Найдите корень уравнения log5(l — х) = log5 3.
бл/З+4
7.	Найдите значение выражения -у---при с = 2.
(с2^)
8.	На рисунке 155 изображён график у = F(x) одной из первообразных
некоторой функции /(х) и отмечены семь точек на оси абсцисс: Xi, хг, хз,
Х4, х5, хе, Х7. В скольких из этих точек функция /(х) положительна?
Рис. 155
Вариант № 27
147
9.	Автомобиль, движущийся со скоростью vo = 27 м/с, начал торможение
с постоянным ускорением a = 3 м/с2. За t секунд после начала торможе-
at2
ния он прошёл путь S = vot---— (м)- Определите время, прошедшее с
момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль
проехал 108 метров. Ответ дайте в секундах.
10.	Курага получается в процессе сушки абрикосов. Сколько килограм-
мов абрикосов нужно взять, чтобы получить 16 кг кураги, если известно,
что абрикосы содержат 83% воды, а курага содержит 15% воды?
11.	На рисунке 156 изображён график функции f(x) = ax2 + bx + c. Най-
дите значение /(7).
_ ZL. ZL1
L з’з]‘
12.	Найдите наибольшее значение функции у = 18а? - 9tga: — 4,5тг -I-1 на
отрезке
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение cos (зх -	+ cos + 5о?) = sin(?r — 4а:).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
148
Тренировочные варианты
14.	В правильной треугольной призме ABCAiВ\С\ с нижним основанием
АВС и боковыми рёбрами AAi, BBi, CCi точка Р — середина ребра
AAi, точка К лежит на ребре BBi, причём В К : KBi = 1:4.
Q
а)	Докажите, что АВ = -ВМ, если М — точка пересечения плоско-
сти РКС с прямой АВ.
6)	Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми РК и
B\Ci, если АВ = 6 и AAi = Ю.
15.	Решите керииеистио X + to - 2) * °'
16.	Местная бумажная фабрика выпускает разнообразную продукцию, в
том числе школьные тетради х тысяч штук за смену по цене R рублей за
штуку.
Затраты на производство составляют (0,5гс2 4- 10х) тысяч рублей.
При каком наименьшем значении R наибольшая прибыль составит
не менее 200 тысяч рублей?
17.	В трапеции MNKP MN и РК — основания, боковые стороны рав-
ны 20 и 30. Площадь треугольника МКР равна 144. Угол MNK равен
углу РМК.
Найдите плошадь трапеции MNKP. Рассмотрите все возможные
случаи.
18.	Найдите все значения параметра t, при каждом из которых уравнение
log3(32® 4- 9t3) ~ х имеет два решения.
19.	По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из ко-
торых не превосходит 253. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел
делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
а)	Может ли N быть равным 150?
б)	Может ли N быть равным 79?
в)	Найдите наибольшее значение N.
Вариант № 28
149
Вариант № 28
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В прямоугольной трапеции основания равны 7 и 13. Её площадь рав-
на 60 (см. рис. 157). Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в
градусах.
Рис. 157
2.	На координатной плоскости изображены векторы а и 6 (см. рис. 158).
Найдите скалярное произведение векторов а • Ъ.
Рис. 158
150
Тренировочные варианты
3.	Цилиндр вписан в правильную треугольную призму, радиус основания
цилиндра равен 5\/3, высота цилиндра равна 16 (см. рис. 159). Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
Рис. 159
4.	В группе туристов 32 человека. Их катером доставляют на остров, пере-
возя 8 человек за рейс. Порядок, в котором катер перевозит туристов, слу-
чаен. Найдите вероятность того, что турист М. попадёт на остров с первым
рейсом.
5.	По отзывам покупателей Артур Пантелеевич оценил надёжность двух
интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из ма-
газина А, равна 0,93. Вероятность того, что этот товар доставят из ма-
газина Б, равна 0,88. Артур Пантелеевич заказал товар сразу в обоих
магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от
друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
6.	Найдите корень уравнения log7(4 - х) = log7 2.
п6л/б-1
7.	Найдите значение выражения	при a = 0,5.
(•**)
8.	На рисунке 160 изображён график у = F(x) одной из первообразных
некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: ху, х2,
#з» ^4» ^5» з’б» з;?» 2?в. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?
Рис. 160
Вариант № 28
151
9.	Автомобиль, движущийся со скоростью v0 = 36 м/с, начал торможение
с постоянным ускорением a = 4 м/с2. За t секунд после начала торможе-
at2
ния он прошёл путь 5 = vot - — (м). Определите время, прошедшее с
момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль
проехал 154 метра. Ответ дайте в секундах.
10.	Сушёный инжир получается в результате сушки инжира. Сколько ки-
лограммов инжира нужно взять, чтобы получить 29 кг сушёного инжи-
ра,если известно, что инжир содержит 90% воды, а сушёный инжир со-
держит 5% воды?
11.	На рисунке 161 изображён график функции /(ж) = ах2 + Ьх + с. Най-
дите значение /(12).
12.	Найдите наименьшее значение функции у = 3 tgx — 6х 4- 1,5тг — 2 на
отрезке
[-М1-
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте четко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение cos — Ixj - cos
= sin(7r - Заг).
б)	Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [о; j.
152
Тренировочные варианты
14.	В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 с верхним основани-
ем Л1В1С1 и боковыми рёбрами AAlf BBlf ССг точка М — середина
ребра В Bi, точка F лежит на ребре	причём AiF : FA = 2:3.
а)	Докажите, что ВК = 5АВ, если К — точка пересечения плоскости
FMC с прямой АВ.
б)	Найдите расстояние между прямыми FM и BiCi, если АВ = 4,
AAi = 20.
15.	Решите неравенство	_ g) > «
16.	Фермер выращивает за сезон х тысяч килограммов груш, затрачивая
S = 0,5я2 + 25ят тыс. рублей. Продаёт он груши по R рублей за килограмм.
При каком наименьшем значении S наибольшая прибыль от продажи со-
ставит не менее 450 тыс. рублей?
17.	В трапеции NKLF FL и NK — основания, боковые стороны равны
18 и 12. Угол FNL равен углу NKL. Площадь трапеции равна 234.
Найдите площадь треугольников FNL и NKL. Рассмотрите все воз-
можные случаи.
18.	Найдите все значения параметра t, при каждом из которых уравнение
(|t+2| — + Ю|)а: = 5- (£ + l)z2 -t имеет два различных положительных
корня.
19.	По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из ко-
торых не превосходит 333. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел
делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
а)	Может ли N быть равным 150?
б)	Может ли N быть равным 101?
в)	Найдите наибольшее значение N.
Вариант № 29
153
Вариант <№ 29
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
I.	В треугольнике MNP угол М равен 72°, угол N равен 34°; МК, NE
и PF — биссектрисы, пересекающиеся в точке О (см. рис. 162). Найдите
угол MOF. Ответ дайте в градусах.
2.	Вычислите угол (в градусах) между прямыми АВ и CD, если Л(3; —2),
В(4; -1), (7(6; -3), D(7; -3).
3.	Сторона основания шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1
равна 4, боковые рёбра равны 6 (см. рис. 163). Найдите расстояние между
точками С и Fi.
Рис. 163
154	Тренировочные варианты
4.	Вероятность того, что новый беспроводной пылесос в течение го-
да поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096. В некотором городе из
1000 проданных беспроводных пылесосов в гарантийный ремонт посту-
пили 111 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный
ремонт» от его вероятности в этом городе?
5.	Всем пациентам с подозрением на ковид делают ПЦР-тест. Если ана-
лиз выявляет ковид, то результат анализа называется положительным.
У больных ковидом пациентов анализ даёт положительный результат с
вероятностью 0,88. Если пациент не болен ковидом, то анализ может
дать ложный положительный результат с вероятностью 0,07. Известно,
что 75% пациентов, поступающих с подозрением на ковид, действитель-
но больны ковидом. Найдите вероятность того, что результат анализа у
пациента, поступившего в клинику с подозрением на ковид, будет поло-
жительным.
6.	Найдите корень уравнения (х - 7)3 = 1000.
7.	Найдите значение выражения —? ^5*	•
cos 63° cos 27°
8.	На рисунке 164 изображён график некоторой функции у = /(х). Поль-
зуясь рисунком, вычислите F(-2) - F(-7), где F(x) — одна из первооб-
разных функции /(х).
9.	В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротив-
ление которой составляет R± = 63 Ом. Параллельно с ней в розетку
предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которо-
го R.2 (Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с со-
противлениями Ri и Т?2 их общее сопротивление вычисляется по форму-
ле 7? а = RiR?
ле общ- Л1 + r2
. Для нормального функционирования электросети
общее сопротивление в ней должно быть не менее 9 Ом. Определите наи-
меньшее возможное сопротивление обогревателя. Ответ дайте в омах.
Вариант №29
155
10.	Смешали 5 килограммов 17-процентного водного раствора некоторо-
го вещества с 15 килограммами 20-процентного водного раствора этого
же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившего-
ся раствора?
11.	На рисунке 165 изображён график функции /(х) = ах. Найдите зна-
чение х, если f(x) = 243.
12.	Найдите наибольшее значение функции у = 131п(х 4- 3) — 13ж 4- 9 на
отрезке [-2,5; 0].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение — cos2x — 3sin2x = —2.
б)	Найдите корни уравнения, принадлежащие интервалу
14.	В кубе ABCDA\B\C\D\ все рёбра равны 5. На его ребре AAi от-
мечена точка М так, что AM = 3. Через точки М и Вх проведена плос-
кость а, параллельная АС\.
а)	Докажите, что D±N : NAi = 1:2, если N — точка пересечения
плоскости а с ребром A\D\.
б)	Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится
плоскостью а.
15.	Решите неравенство log6(—Зх 4- 50) > log6(x 4- 9) 4- log6(rr2 — х 4- 2).
156
Тренировочные варианты
16.	В сентябре 2024 года Наталья Александровна планирует взять кредит
на некоторую сумму.
Условия возврата таковы:
— в январе каждого года долг увеличивается на 15% по сравнению с
предыдущим годом;
— с февраля по август нужно выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму будет взят кредит, если известно, что
кредит будет выплачен тремя равными платежами (за три года) и общая
сумма выплат на 2907 тысяч рублей больше суммы взятого кредита.
17.	В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания ВС.
Внутри трапеции взяли точку М так, что углы DCM и АВМ прямые.
а)	Докажите, что AM = DM.
б)	Найдите угол BAD, если угол ADC равен 60°, а расстояние от точ-
ки М до прямой AD равно стороне ВС.
18.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
у/бх - 101n(7a: + а) ~ \/6х - 101п(5х — За) имеет ровно один корень на
отрезке [0; 4].
19.	Четыре натуральных числа таковы,что ~ |	= 1-
а)	Могут ли все эти числа быть попарно различны?
б)	Может ли одно из чисел равняться 12?
в)	Найдите набор чисел, среди которых ровно 3 будут равны.
Вариант № 30
157
Вариант № 30
Часть I
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В треугольнике АВС угол В равен 50°, угол С равен 74°; АК, BE и
CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке О (см. рис. 166). Найдите
угол СОЕ. Ответ дайте в градусах.
Рис. 166
2.	Вычислите угол (в градусах) между прямыми АВ и CD, если А(5; -8),
В(6; -8), <7(7; -5), £>(7; -7).
3.	Сторона основания шестиугольной призмы ABCDEFAiB\C\DiE\F\
равна 6, боковые рёбра равны 5 (см. рис. 167). Найдите расстояние между
точками А и D\.
Рис. 167
158
Тренировочные варианты
4.	Вероятность того, что новый беспроводной пылесос в течение го-
да поступит в гарантийный ремонт, равна 0,084. В некотором городе из
1000 проданных беспроводных пылесосов в гарантийный ремонт посту-
пили 101 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный
ремонт» от его вероятности в этом городе?
5.	Всем пациентам с подозрением на ковид делают ПЦР-тест. Если ана-
лиз выявляет ковид, то результат анализа называется положительным.
У больных ковидом пациентов анализ даёт положительный результат с
вероятностью 0,84. Если пациент не болен ковидом, то анализ может
дать ложный положительный результат с вероятностью 0,09. Известно,
что 82% пациентов, поступающих с подозрением на ковид, действитель-
но больны ковидом. Найдите вероятность того, что результат анализа у
пациента, поступившего в клинику с подозрением на ковид, будет поло-
жительным.
6.	Найдите корень уравнения (х — 9)3 = 125.
7.	Найдите значение выражения —
1 cos 47° cos 43°
8.	На рисунке 168 изображён график некоторой функции у — f(x). Поль-
зуясь рисунком, вычислите F(-l) - F(-7), где F(x) — одна из первооб-
разных функции /(х).
Рис. 168
9.	В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротив-
ление которой составляет 7?i = 66 Ом. Параллельно с ней в розетку
предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которо-
го R2 (Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с со-
противлениями 7?i и R2 их общее сопротивление вычисляется по формуле
R\R2
Ri + R2
^общ. ”
. Для нормального функционирования электросети об-
щее сопротивление в ней должно быть не менее 11 Ом. Определите наи-
меньшее возможное сопротивление обогревателя. Ответ дайте в омах.
Вариант № 30 159
10.	Смешали 8 килограммов 12-процентного водного раствора некоторо-
го вещества с 12 килограммами 18-процентного водного раствора этого
же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившего-
ся раствора?
11.	На рисунке 169 изображён график функции f(x) = ax. Найдите зна-
чение х, если /(ж) = 256.
12.	Найдите наименьшее значение функции у = 7 — 141п(х + 4) + 14х на
отрезке [—3,5; —1].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение cos 2х — sin2 х = 0,25.
И. В кубе ABCDAxB\C\Di все рёбра равны 4. На его ребре ВВ\ от-
мечена точка М так, что ВМ = 3. Через точки М и Ci проведена плос-
кость а, параллельная BD^.
а)	Докажите, что AiN : NBr = 2:1, если N — точка пересечения
плоскости а с ребром AiBj.
б)	Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится
плоскостью а.
15.	Решите неравенство logi (5х 4- 9) > logi (х - 3) + log i (x2 - 2x + 2).
160 Тренировочные варианты
16.	В августе 2024 года Василий Иванович планирует взять кредит на
некоторую сумму.
Условия возврата таковы:
— в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с
предыдущим годом;
— с февраля по август нужно выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму будет взят кредит, если известно, что
кредит будет выплачен тремя равными платежами (за три года) и общая
сумма выплат на 1544 тысячи рублей больше суммы взятого кредита.
17.	В трапеции MNKL основание ML в два раза больше основания NK.
Внутри трапеции взяли точку О так, что углы LKO и MNO прямые.
а)	Докажите, что ОМ = OL.
б)	Найдите угол KLM, если угол NML равен 55°, а расстояние от
точки О до прямой ML равно стороне NK.
18.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
-у/Зж - 81п(6я + а) = у/Зх — 81п(7я - 2а) имеет ровно два корня на от-
резке [2; 5].
19.	Дано уравнение вида — + — = где тл, п, к — натуральные числа.
ТП П К
а)	Будет ли оно иметь решение при к — 25?
б)	Будет ли оно иметь решение при к = 12?
в)	При к = 14 найдите 2 пары тип разной чётности.
Вариант № 31
161
Вариант № 31
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, ес-
ли высота этого треугольника равна 12 (см. рис. 170).
Рис. 171
162
Тренировочные варианты
3.	В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с ка-
тетами 16 и 12 (см. рис. 172). Боковые рёбра равны Найдите объём
цилиндра, описанного около этой призмы.
Рис. 172
4.	В фирме такси в наличии 25 легковых автомобилей: 19 пятиместных
и 6 восьмиместных. Найдите вероятность того, что на случайный вызов
приедет восьмиместный автомобиль.
5.	Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар.
Первая фабрика выпускает 25% этих стёкол, вторая — 75%. Первая фаб-
рика выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая — 6%. Найдите веро-
ятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется брако-
ванным.
6.	Найдите корень уравнения

7.	Найдите значение выражения
8.	На рисунке 173 изображён график функции у — f(x). Функция
F(x) = ~х3 — -jx2 + 15х — 10 — одна из первообразных функции f(x).
£ £
Найдите площадь закрашенной фигуры.
Рис. 173
Вариант № 31
163
9.	Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в ла-
боратории используется собирающая линза с фокусным расстоянием
f = 20 см. Расстояние di от линзы до лампочки может изменяться в пре-
делах от 15 см до 45 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах
от 90 см до 120 см. Изображение на экране будет чётким, если выполня-
ется соотношение 4“ + 4" = 4. На каком наименьшем расстоянии от
«1	«2 f
линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было
чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
10.	Три одинаковых рубашки дешевле куртки на 13%. На сколько процен-
тов четыре таких же рубашки дороже куртки?
II.	На рисунке 174 изображены графики функций f(x) = ay/x и
t/(x) = кх, пересекающихся в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
12.	Найдите наибольшее значение функции?/ = 1п(8х)-8x4-22 на отрезке
I—;-!•
I 16’ 4Г
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётно и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение sin 2х — л/2 sinх — 1 4- cos 2т.
б)	Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2тг; Зтг].
164
Тренировочные варианты
14.	В цилиндре на одном основании отметили точки F, Р, Е\ на другом —
Л, Pi, Ei Прямые FFi, PPi, EEi — образующие цилиндра. Прямая EF
проходит через центр окружности основания цилиндра.
а)	Докажите, что прямые FP и PiEi перпендикулярны.
б)	Найдите расстояние между прямыми EFi и РРХ, если известно, что
РХЕ1 = 12; PF = 5.
15.	Решите неравенство 5х — 17 • 3х"3 > 4 • 3х + 2 • 5х'1.
16.	Индивидуальный предприниматель Алина в течение нескольких дней
ежедневно покупала в магазине одежды «Берёзка» 200 изделий на сумму
158 тыс. рублей: джинсы по 1000 руб. за штуку, рубашки — по 800 руб. за
штуку, сумки — по 400 руб. за штуку.
Найдите максимальное число сумок, которое могло быть куплено Али-
ной в один из таких дней.
17.	Высоты АН, BN, CF остроугольного треугольника АВС пересека-
ются в точке О. Угол ВАС равен 45°.
а)	Докажите, что /LAON = Z.ACB.
б)	Найдите длину стороны ВС, если АО = 30, NC = 15.
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
(х — а)2 • (а(х - a)2 — 1 - а) +1 = 0 имеет больше положительных корней,
чем отрицательных.
19.	На онлайн-курсах английского языка используется одна из схем уско-
ренного запоминания иностранных слов.
Предлагается разделить программу обучения на п уроков продол-
жительностью 1,2,3,..., п минут. Преподаватель курсов уверяет, что за
несколько дней можно посмотреть все уроки по одному разу, выделяя на
занятие ровно 15 минут в день.
Каждый урок необходимо смотреть от начала до конца в любой после-
довательности.
а)	Возможно ли это при п = 5?
б)	Возможно ли это при п = 10?
в)	Найдите все натуральные п, при которых это возможно.
Вариант № 32
165
Вариант № 32
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Найдите радиус окружности, описанной около правильного треуголь-
ника, если высота этого треугольника равна 15 (см. рис. 175).
Рис. 175
2.	На координатной плоскости изображены векторы и "с (см.
рис. 176). Найдите скалярное произведение векторов (~а + Ь) ~с.
Рис. 176
166
Тренировочные варианты
3.	В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с ка-
io
тетами 12 и 9 (см. рис. 177). Боковые рёбра равны —. Найдите объём
7Г
цилиндра, описанного около этой призмы.
Рис. 177
4.	В фирме такси в наличии 28 легковых автомобилей: 21 пятиместный
и 7 восьмиместных. Найдите вероятность того, что на случайный вызов
приедет пятиместный автомобиль.
5.	Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар.
Первая фабрика выпускает 20% этих стёкол, вторая — 80%. Первая фаб-
рика выпускает 1% бракованных стёкол, а вторая — 3%. Найдите веро-
ятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется брако-
ванным.
6.	Найдите корень уравнения Q)	= 27х.
7.	Найдите значение выражения !^.n37 cos37°
8.	На рисунке 178 изображён график функции
у = f(x). Функция F(x) = |х3 - |х2 + 13х - 7 —
одна из первообразных функций /(х). Найдите пло-
щадь закрашенной фигуры.
Рис. 178
Вариант Л? 32
167
9.	Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в ла-
боратории используется собирающая линза с фокусным расстоянием
f = 22 см. Расстояние di от линзы до лампочки может изменяться в пре-
делах от 20 см до 30 см, а расстояние с?2 от линзы до экрана — в пределах
от 70 см до 110 см. Изображение на экране будет чётким, если выполня-
ется соотношение 4-4-4- = 4. На каком наименьшем расстоянии от
«1	02 j
линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было
чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
10. Пять одинаковых рубашек дороже куртки на 7%. На сколько процен-
тов три таких же рубашки дешевле куртки?
12.	Найдите наименьшее значение функции у = 5х — 1п(5х) 4- 3 на отрезке
[±•11
L10’ 2Г
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение sin2х — \/6sinx 4-1 = cos2x.
б)	Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2ttJ .
168
Тренировочные варианты
14.	В цилиндре на одном основании отметили точки М, С, N, на другом —
Л/ь Ci, №. Прямые ММЬ CCi, AWi — образующие цилиндра. Прямая
MN проходит через центр окружности основания цилиндра.
а)	Докажите, что прямые МС и CiM перпендикулярны.
б)	Найдите расстояние между прямыми NMi и CCi, если известно,
чтоС1М =5; МС = 5.
15.	Решите неравенство 7х - 12 • 2х > 5 • 7х”1 4- 2х’2.
16.	В четвёртом цехе кондитерской фабрики «Заря» за смену могут вы-
пускать три вида изделий: торт бисквитный — 800 рублей за штуку; торт
песочный — 500 рублей за штуку; торт вафельный — 200 рублей за шту-
ку. Общее количество продукции — 10000 штук стоит 3200000 рублей.
Какое максимальное количество вафельных тортов может изготовить за
одну смену фабрика «Заря»?
17.	Высоты PL, DM, КЕ остроугольного треугольника PDK пересека-
ются в точке О. Угол DPK равен 45°.
а)	Докажите, что АРОМ = APKD.
б)	Найдите длину стороны DK треугольника PDK, если РО = 40,
МК = 20.
18.	Найдите все значения параметра т, при каждом из которых уравнение
(т(х - ул)2 - 1 - тп) • (т - х)2 = — 1 имеет одинаковое число положи-
тельных и отрицательных корней.
19.	Алексей играет в компьютерную игру, где раунды отличаются сложно-
стью и продолжительностью прохождения (1,2,3,..., п минут). Алексей
планирует пройти все раунды игры по одному разу за несколько дней, вы-
деляя на игру ровно 25 минут в день. Каждый раунд необходимо проходить
от начала до конца в любой последовательности.
а)	Возможно ли это при п = 25?
б)	Возможно ли это при п = 10?
в)	Найдите все натуральные п, при которых это возможно.
Вариант № 33
169
Вариант № 33
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В треугольнике АВС угол С равен 90°, высота СН равна 12, ВН = 9
(см. рис. 180). Найдите tg А.
2.	На координатной плоскости изображены векторы 'а и b (см. рис. 181).
Найдите скалярное произведение а - Ь.
Рис. 181
170
Тренировочные варианты
2
3.	В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает - вы-
о
соты конуса (см. рис. 182). Объём жидкости равен 4 мл. Сколько милли-
литров жидкости надо долить, чтобы наполнить сосуд?
4.	Перед началом первого тура областного турнира по шахматам участ-
ников разбивают на пары случайным образом с помощью жребия. Всего в
турнире участвует 17 шахматистов, среди которых 8 из областного центра,
в том числе Тимур Муратов. Найдите вероятность того, что в первом ту-
ре Тимур Муратов будет играть с каким-либо шахматистом из областного
центра.
5.	На диаграмме Эйлера (см. рис. 183) показаны события А и В в
некотором случайном эксперименте, в котором 12 равновозможных эле-
ментарных событий. Элементарные события показаны точками. Найдите
р(Л|В) — условную вероятность события А при условии В.
6.	Найдите корень уравнения tfx + 9 = 4.
7.	Найдите значение выражения loga(a2b3), если logba = i
о
Вариант № 33 171
8.	На рисунке 184 изображён график функции у = f(x) и касательная к
нему в точке с абсциссой xq. Найдите значение производной f(x) в точ-
ке Яо-
9.	Для определения эффективной температуры звёзд используют закон
Стефана — Больцмана, согласно которому Р — 6ST\ где Р — мощность
ВТ
излучения звезды (в Вт), 6 = 5,7 • 10~8—jvj — постоянная, S — площадь
м к
поверхности звезды (в м2), Т — температура (в К). Известно, что площадь
поверхности некоторой звезды равна • 1О20 м2, а мощность её излуче-
12о
ния равна 1,14 • 1025 Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в
кельвинах.
10.	Баржа в 8:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 18 км
от А. Пробыв в пункте В 1 час 24 минуты, баржа отправилась назад и
вернулась в пункт А в 15:00 того же дня. Определите (в км/час) ско-
рость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна
7 км/ч.
172
Тренировочные варианты
11.	На рисунке 185 изображены графики двух линейных функций, пересе-
кающиеся в точке А. Найдите абсциссу точки А.
12. Найдите наибольшее значение функции у =
2 з
~зх
+ 6а? — 8 на отрезке
[25; 36].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение Ух3 — 5х2 - 18х + 73 = 7 — х.
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку J 3%/?].
14.	В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоуголь-
ник ABCD со сторонами АВ = 6 и ВС = 5. Длины боковых рёбер
пирамиды SA = 2>/17, SB = 2\/26, SD = \/93.
а)	Докажите, что SA — высота пирамиды SABCD.
б)	Найдите угол между прямыми SC и BD.
15.	Решите неравенство — I ‘	+ ?? < от ~ о _|_	1
н 9* — 8 • 3 + 15	3 — 3	3 — 4
Вариант Ns 33
173
16.	В июле 2023 года клиент взял кредит на сумму 990000 рублей сроком
на 10 лет. Условия оплаты таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на 20% по сравнению с кон-
цом предыдущего года;
— в июле следующих 2024, 2025,2026,2027,2028 годов долги отлича-
ются на некоторую одну и ту же разность;
— в июле следующих 2029,2030,2031,2032,2033 годов долги отлича-
ются на одну и ту же разность, не равную той, что в первых пяти годах.
Найдите выплату 2033 года, если сумма выплат равна 1950 тыс. руб-
лей.
17.	Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точ-
ке L. В треугольники ABL, BCL, CDL, ADL вписаны окружности с
центрами Т, R, S, Р соответственно.
TS • R Р
а)	Докажите, что площадь четырёхугольника TRSP равна -—
б)	Пусть прямая RP пересекает стороны ВС и AD в точках М и К
соответственно. Найдите отношение АК : KD, если известно, что около
четырёхугольника ABCD можно описать окружность, а отношение пло-
щадей треугольников CLM и BML равно 4 : 3.
18.	Найдите, при каких значениях параметра а система
Г (х2 4- а2 — 4х — 6а - 12)(х2 4- а2 — 2а; — 4а - 4) 0,
[ (а 4- х — 6)(7а — 5a; — 24) = 0
имеет ровно 2 различных решения.
19.	Из пары натуральных чисел (а;Ь), где а > Ь, за один ход получают
пару (а 4- Ь ;а - 6).
а)	Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (40; 7) пару,
большее число в которой равно 160?
б)	Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (40; 7) пару
(360; 206)?
в)	Какое наименьшее а может быть в паре (а; 6), из которой за
несколько ходов можно получить пару (360; 206)?
174
Тренировочные варианты
Вариант № 34
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	В треугольнике MNP угол N равен 90°, высота NH = 15, HP = 9
(см. рис. 186). Найдите tgM.
2.	На координатной плоскости изображены векторы ~а и Ь (см. рис. 187).
Найдите скалярное произведение ~а • Ь.
Рис. 187
Вариант № 34
175
3.	В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ~ вы-
и
соты конуса (см. рис. 188). Объём жидкости равен 5 мл. Сколько милли-
литров жидкости надо долить, чтобы наполнить сосуд?
4.	Перед началом первого тура областного турнира по шахматам участни-
ков разбивают на пары случайным образом с помощью жребия. Всего в
турнире участвует 33 шахматиста, среди которых 9 из областного центра,
в том числе Константин Ерёмин. Найдите вероятность того, что в первом
туре Константин Ерёмин будет играть с каким-либо шахматистом из об-
ластного центра.
5.	На диаграмме Эйлера (см. рис. 189) показаны события А и В в
некотором случайном эксперименте, в котором 12 равновозможных эле-
ментарных событий. Элементарные события показаны точками. Найдите
р(В|А) — условную вероятность события В при условии А.
Рис. 189
6.	Найдите корень уравнения + 7 = 5.
7.	Найдите значение выражения loga(a3d2), если log6a =
о
176
Тренировочные варианты
8.	На рисунке 190 изображён график функции у = f(x) и касательная к
нему в точке с абсциссой xq. Найдите значение производной /(ж) в точ-
ке т0.
Рис. 190
9.	Для определения эффективной температуры звёзд используют закон
Стефана — Больцмана, согласно которому Р = 5ST4, где Р — мощность
излучения звезды (в Вт), 6 = 5,7 • 10
-8 ВТ
M2fc4
— постоянная, S — площадь
поверхности звезды (в м2), Т — температура (в К). Известно, что площадь
поверхности некоторой звезды равна • 1014 м2, а мощность её излуче-
ния равна 0,57 • 1015 Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в
кельвинах.
10.	Баржа в 9:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 16 км от
А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и верну-
лась в пункт А в 15:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость тече-
ния реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.
Вариант № 34
177
11.	На рисунке 191 изображены графики двух линейных функций, пересе-
кающиеся в точке А. Найдите абсциссу точки А.
Рис. 191
12.	Найдите наибольшее значение функции у =
- 4z + 7 на отрезке
[9; 16].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение у/х^ — 4х2 — 13z + 41 = 6 - х.
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [ —	2\/б] •
14.	В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоуголь-
ник ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 8. Длины боковых рёбер
пирамиды SA = 2\/Т1, SB = 2\/15, SD = 6\/3.
а)	Докажите, что SA — высота пирамиды SABCD.
б)	Найдите угол между прямыми SC и BD.
15 Решите неоавенство 25* —	‘ 5* + 21 < 5J — 3 . _ 1_
15.	Решите неравенство 25* - 9.5Ж + 18 5х - 6 + 5х - 5’
178
Тренировочные варианты
16.	В июле 2024 года клиент планирует взять кредит на сумму
1200000 рублей сроком на 10 лет. Условия оплаты таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на 12% по сравнению с кон-
цом предыдущего года;
— в июле следующих 2025, 2026, 2027,2028, 2029 годов долги отлича-
ются на одну и ту же разность;
— в июле следующих 2030, 2031, 2032, 2033, 2034 годов долги отлича-
ются на одну и ту же разность, не равную той, что в первых пяти годах.
Найдите выплату 2034 года, если сумма выплат равна 1840 тыс. руб-
лей.
17.	Диагонали выпуклого четырёхугольника ВС DO пересекаются в точ-
ке Н. В треугольники ВСН, CDH, DHO, ВНО вписаны окружности с
центрами F, G, Е, А соответственно.
АС F* Р
а)	Докажите, что площадь четырёхугольника FGEA равна 	.
ЛА
6)	Пусть прямая AG пересекает стороны CD и ВО в точках Q и R
соответственно. Найдите отношение BR : RO, если известно, что около
четырёхугольника ВС DO можно описать окружность, а отношение пло-
щадей треугольников DHQ и CHQ равно 2 : 3.
18.	Найдите, при каких значениях параметра а система
( (х2 + а2 - 40) (х2 + а2 + 12а: - 6а 4- 20)	0,
[ (а + х 4- 4)(х 4- 2) = 0
имеет единственное решение.
19.	Из пары натуральных чисел (о; 6), где а < Ь, за один ход получают
пару (6 — а; а 4- Ь).
а)	Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (12; 35) пару,
меньшее число в которой равно 48?
6)	Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (12; 35) пару
(78; 300)?
в)	Какое наименьшее а может быть в паре (а; 5), из которой за
несколько ходов можно получить пару (78; 300)?
Вариант № 35
179
Вариант № 35
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна |
о
длины окружности (см. рис. 192). Ответ дайте в градусах.
Рис. 192
2.	Даны векторы ~а{х\ 5) и Ъ (—2; 3). При каком значении х скалярное про-
изведение этих векторов равно 9?
3.	Площадь большого круга шара равна 17. Найдите площадь поверхно-
сти шара (см. рис. 193).
4.	На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди
них 6 прыгунов из России и 12 прыгунов из Китая. Порядок выступлений
определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что третьим будет
выступать прыгун из Китая.
180 Тренировочные варианты
5.	В викторине участвуют 9 команд. Все команды разного уровня, и в каж-
дой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде
встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Про-
игравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет
со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых
шести играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта ко-
манда выиграет седьмой раунд?
6.	Найдите корень уравнения Д 3 =	j-?-
9\ЛЁ 4-2	2 /х
7.	Найдите значение выражения 5я 4- 8 4-	------при х = 3.
8.	На рисунке 194 изображён график у = f'(x) — производной функ-
ции /(я), определённой на интервале (—10; 10). Найдите количество то-
чек, в которых касательная к графику функции /(ж) параллельна прямой
у = Зх + 4 или совпадает с ней.
9.	Два тела, массой 5 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью
V = 8 м/с под углом 2a друг другу. Энергия (в Дж), выделяющая-
ся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле
Q = mV2 sin2 а, где m — масса (в кг), V — скорость (в м/с). Найдите,
под каким углом 2a должны двигаться тела, чтобы в результате соударе-
ния выделилась энергия, равная 240 Дж. Ответ дайте в градусах.
10.	Имеется два сплава. Первый содержит 30% никеля, второй —15% ни-
келя. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 100 кг, со-
держащий 22,2% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава
была меньше массы второго?
Вариант № 35
181
к
11.	На рисунке 195 изображены графики функций /(х) = - и
д(х) = ах + 6, пересекающиеся в точках Ан В. Найдите абсциссу точ-
ки В.
12.	Найдите наименьшее значение функции у = е2х - 10ех 4-25 на отрезке
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение \/2cos2x — sin х • cos2rr = sin я.
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку рг; .
14.	В основании прямой призмы ABCDA\B\C\DX лежит равнобедрен-
ная трапеция ABCD с основаниями AD = 7 и ВС = 4. Точка М делит
ребро A\D\ в отношении А\М : MD\ = 3 : 4, а точка К — середина
ребра DD\.
а)	Докажите, что плоскость МКС параллельна прямой BD.
б)	Найдите тангенс угла между плоскостью МКС и плоскостью осно-
вания призмы, если АМКС = 90°, Z-ADC = 60°.
15.	Решите неравенство log0 5Lr3 - 2х2 - 4х + 8] < log0 25(x - 2)4.
182
Тренировочные варианты
16.	В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере
750 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с кон-
цом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним пла-
тежом часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на
какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031,2032,2033,2034,2035 годов долг должен быть на дру-
гую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита
будет равна 1350 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2035 го-
лу?
17.	На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки Ci и
соответственно. Оказалось, что ВС = ВХС = ВС\,
а)	Докажите, что точки В, С и середины отрезков ВВ\ и СС\ лежат на
одной окружности.
б)	Найдите косинус угла между прямыми ВВг и ССь если ВС = 20,
АВ = 21, АС = 29.
18.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
Г (х2 - 5х - у + 3) • у/х -у + 3 = 0,
( у = ax -I- а
имеет ровно два различных решения.
19.	Есть контейнеры массой 7 тонн и 2 тонны и корабли грузоподъёмно-
стью 10 тонн.
а)	Можно ли увезти за один раз 6 контейнеров массой 7 тонн и 19 кон-
тейнеров массой 2 тонны на 9 кораблях?
б)	Можно ли увезти за один раз 6 контейнеров массой 7 тонн и 17 кон-
тейнеров массой 2 тонны на 8 кораблях?
в)	На каком наименьшем количестве кораблей можно увезти за один
раз 6 контейнеров массой 7 тонн и 29 контейнеров массой 2 тонны?
Вариант № 36
183
Вариант № 36
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна
длины окружности (см. рис. 196). Ответ дайте в градусах.
Рис. 196
2.	Даны векторы а” (-2; -3) и Ь При каком значении у скалярное
произведение этих векторов равно 4?
3.	Площадь большого круга шара равна 21. Найдите площадь поверхно-
сти шара (см. рис. 197).
4.	На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди
них 15 прыгунов из Австралии и 10 прыгунов из Новой Зеландии. Порядок
выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что
девятым будет выступать прыгун из Новой Зеландии.
184
Тренировочные варианты
5.	В викторине участвуют 11 команд. Все команды разного уровня, и в
каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде
встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Про-
игравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет
со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых
восьми играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта ко-
манда выиграет девятый раунд?
6. Найдите корень уравнения
1 = 1
7x4-2 Зх — 10 ‘
7.	Найдите значение выражения 8 - 7х - Z-------? ПрИ х = _ 1.
\/X	х/X
8.	На рисунке 198 изображён график у = /'(х) — производной функ-
ции /(х), определённой на интервале (—8; 10). Найдите количество то-
чек, в которых касательная к графику функции /(х) параллельна прямой
у = Зх — 7 или совпадает с ней.
9.	Два тела, массой 4 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью
V = 9 м/с под углом 2a друг другу. Энергия (в Дж), выделяющая-
ся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле
Q = mV2sin2а, где m — масса (в кг), V — скорость (в м/с). Найдите,
под каким углом 2а должны двигаться тела, чтобы в результате соударе-
ния выделилась энергия, равная 162 Дж. Ответ дайте в градусах.
10.	Имеется два сплава. Первый содержит 20% никеля, второй — 45% ни-
келя. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 100 кг, содер-
жащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была
больше массы второго?
Вариант № 36
185
11.	На рисунке 199 изображены графики функций /(х) = и
д(х) = ах + Ь, пересекающиеся в точках А и В. Найдите абсциссу точ-
ки В.
12.	Найдите наибольшее значение функции у = 8е® -6-е21 на отрезке
[-2;3].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение sinх • cos2x — \/2sm2 х = sinx.
б)	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 2тг; —	.
14.	В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедрен-
ная трапеция ABCD с основаниями AD = 8 и ВС = 5. Точка М делит
ребро A\D\ в отношении АуМ : MD\ = 3 : 5, а точка К — середина
ребра DD\.
а)	Докажите, что плоскость МКС параллельна прямой BD.
6)	Найдите тангенс угла между плоскостью МКС и плоскостью осно-
вания призмы, если Z-MKC = 90°, Z.ADC = 60°.
15.	Решите неравенство log0 2 (х3 — Зх2 — 9х 4- 27 j log0 04(х - 3) .
186
Тренировочные варианты
16.	В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере
400 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 25% по сравнению с кон-
цом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним пла-
тежом часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на
какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031,2032,2033,2034,2035 годов долг должен быть на дру-
гую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита
будет равна 850 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2035 го-
ду?
17.	На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки С\ и В\
соответственно. Оказалось, что ВС = В\С = ВС\.
а)	Докажите, что точки В, С и середины отрезков ВВ\ и СС\ лежат на
одной окружности.
б)	Найдите косинус угла между прямыми ВВ\ и ССЬ если ВС = 7,
АВ = 24, АС = 25.
18.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
Г (ж2 - 2х — у 4- 2) • У + 2 = 0,
[ у = ах - а
имеет ровно два различных решения.
19.	Есть контейнеры массой 7 тонн и 2 тонны и корабли грузоподъёмно-
стью 10 тонн.
а)	Можно ли увезти за один раз 16 контейнеров массой 7тонн и 32 кон-
тейнера массой 2 тонны на 20 кораблях?
б)	Можно ли увезти за один раз 16 контейнеров массой 7 тонн и 27 кон-
тейнеров массой 2 тонны на 18 кораблях?
в)	На каком наименьшем количестве кораблей можно увезти за один
раз 16 контейнеров массой 7 тонн и 54 контейнера массой 2 тонны?
Вариант Ns 37
187
Вариант № 37
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Хорда МК стягивает дугу окружности в 112°. Найдите угол KMN
между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точ-
ку М (см. рис. 200). Ответ дайте в градусах.
Рис. 200
2.	На координатной плоскости изображены^векторы ~а и b (см. рис. 201).
Найдите скалярный квадрат вектора ~с = b - ~а.
Рис. 201
188
Тренировочные варианты
3.	Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму (см. рис. 202).
Радиус основания цилиндра равен 3\/3, а высота цилиндра равна 6. Най-
дите площадь боковой поверхности призмы.
Рис. 202
4.	В семинаре принимают участие 6 учёных из Италии, 7 из России и
7 из Германии. Каждый из них делает на семинаре один доклад. Поря-
док докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что
четвёртым окажется доклад учёного из России.
5.	Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в
несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они раз-
биваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то
с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок
остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ни-
чья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары,
если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же
правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые
играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая
выявляет победителя турнира.
Всего в турнире участвуют 20 игроков, все они играют одинаково хо-
рошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у
каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Антон и Денис. Ка-
кова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть
друг с другом?
6.	Найдите корень уравнения (5х 4- З)2 = (5ж -I- 7)2.
7. Найдите значение выражения
lQg74
log712
+ log12 0,25.
Вариант № 37
189
8.	На рисунке 203 изображены график функции у = /(ж) и касательная к
нему в точке с абсциссой xq. Найдите значение производной функции f(x)
в точке жо.
9.	Водолазный колокол, содержащий V = 8 моль воздуха при давле-
нии pi = 2,6 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом
происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления р2 в
атмосферах. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляет-
ся по формуле А = aVTlogo где a = 5,75 -ДУ--.. — постоянная,
J	Pi	моль•К
Т = 350 К — температура воздуха. Найдите, какое давление р2 будет
иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена ра-
бота в 16100 Дж. Ответ дайте в атмосферах.
10.	Часы со стрелками показывают 3 часа 45 минут. Через сколько минут
минутная стрелка в восьмой раз поравняется с часовой?
190
Тренировочные варианты
11.	На рисунке 204 изображён график функции /(х) = log0(a; + Ь). Най-
дите /(84).
Рис. 204
12.	Найдите наибольшее значение функции у = х5+25х3 — 80х на отрезке
[-2;0].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение \/2 sin3 х = cos2 х + \/2 sin х.
б)	Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [~2тг;	.
14.	Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит
ромб ABCD со стороной 8. Известно, что SA = SC = 8\/2, SB = 16,
АС = 8.
а)	Докажите, что ребро SD перпендикулярно плоскости основания пи-
рамиды SABCD.
б)	Найдите расстояние между прямыми АС и SB.
15.	Решите неравенство -—2 ?og35—к	—г < 0.
r	log?5(0,5z2 - 5я + 12,5) + 1
16.	В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на некоторую сум-
му сроком на 8 лет. Условия возврата таковы:
—	каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом
предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним пла-
тежом часть долга;
Вариант№37
191
—	в июле каждого из годов с 2025-го по 2028-й долг уменьшается
на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года;
—	в июле каждого из годов с 2029-го по 2032-й долг уменьшается
на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отлич-
ную от суммы, на которую долг убывал в первые четыре года.
Известно, что в конце 2028 года долг составит 650000 рублей. Най-
дите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна
1833 750 рублей.
17.	Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересе-
кает его диагональ АС в точке К, а диагональ BD — в точке L, причём
АК : КС = 2 : 3, BL : LD = 1 : 7.
а)	Докажите, что cos /.BAD = ||.
б)	Найдите площадь ромба ABCD, если KL = ч/19.
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
\ (ху + Зх + 6)Уу —аг+ 10 = 0,
I 2у = Зх + 2а
имеет ровно 2 решения.
19.	Дана правильная дробь . За один ход можно увеличить её числитель
на знаменатель, а знаменатель — на сумму числителя и знаменателя, то
есть получить дробь 
1	29-ч
а)	Можно ли из дроби	± за	несколько ходов получить	дробь
о	4 (
б)	Можно ли из некоторой	правильной несократимой	дроби	за	2 хода
получить дробь, равную
О
в)	Найдите наибольшее значение правильной несократимой дроби,
меньшей которую нельзя получить из другой правильной несократи-
18
мой дроби за 2 хода.
192
Тренировочные варианты
Вариант № 38
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1.	Хорда KF стягивает дугу окружности в 106°. Найдите угол MFK меж-
ду этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку F
(см. рис. 205). Ответ дайте в градусах.
2.	На координатной плоскости изображены векторы ~а и Ъ (см. рис. 206).
Найдите скалярный квадрат вектора ~с = — ~а — b.
Рис. 206
Вариант № 38
193
3.	Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму (см. рис. 207).
Радиус основания цилиндра равен 2а/3, а высота цилиндра равна 4. Най-
дите площадь боковой поверхности призмы.
4.	В семинаре принимают участие 5 учёных из Турции, 9 из Бразилии и
6 из Аргентины. Каждый из них делает на семинаре один доклад. Поря-
док докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что
седьмым окажется доклад учёного из Бразилии.
5.	Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в
несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они раз-
биваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то
с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок
остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ни-
чья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары,
если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же
правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые
играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая
выявляет победителя турнира.
Всего в турнире участвуют 32 игрока, все они играют одинаково хо-
рошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у
каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Пётр и Василий.
Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыг-
рать друг с другом?
6.	Найдите корень уравнения (5х 4- З)2 = (5х 4- 7)2.
7.	Найдите значение выражения 4- log4 3,2.
194
Тренировочные варианты
8.	На рисунке 208 изображены график функции у = /(ж) и касательная к
нему в точке с абсциссой гг0. Найдите значение производной функции /(ж)
в точке xq.
Рис. 208
9.	Водолазный колокол, содержащий V = 7 моль воздуха при давле-
нии pi = 2,2 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом
происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления р2 в
атмосферах. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляет-
ся по формуле А = aVTlogn Efc, где a = 5,75—„ — постоянная,
r J	2 Pi	моль-К
Т = 320 К — температура воздуха. Найдите, какое давление р2 будет
иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена ра-
бота в 12 880 Дж. Ответ дайте в атмосферах.
10.	Часы со стрелками показывают 9 часов ровно. Через сколько минут
минутная стрелка в третий раз поравняется с часовой?
Вариант № 38
195
11.	На рисунке 209 изображён график функции f(x) = log0(x 4- Ь). Най-
дите /(9).
Рис. 209
12.	Найдите наименьшее значение функции у = х5 + lOz3 — 35i на отрезке
[0;3].
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение 2 cos3 х = sin2 х + 2 cos х.
б)	Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [—5тг; - -у] •
14.	Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит
ромб ABCD со стороной 6. Известно, что SA = ,SC — 6\/2, SB = 12,
АС = 6.
а)	Докажите, что ребро SD перпендикулярно плоскости основания пи-
рамиды SABCD.
б)	Найдите расстояние между прямыми АС и SB.
15.	Решите неравенство---^°ё2----о.
log^ja:2 - 2х + з) +4
16.	В июле 2027 года планируется взять кредит в банке на некоторую сум-
му сроком на 9 лет. Условия возврата таковы:
—	каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом
предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним пла-
тежом часть долга;
196
Тренировочные варианты
—	в июле каждого из годов с 2028-го по 2032-й долг уменьшается
на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года;
—	в июле каждого из годов с 2033-го по 2036-й долг уменьшается на
одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от
суммы, на которую долг убывал в первые четыре года.
Известно, что в конце 2032 года долг составит 900000 рублей. Най-
дите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна
2 225 000 рублей.
17.	Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересе-
кает его диагональ АС в точке К, а диагональ BD — в точке L, причём
АК : КС = 2 : 3, BL : LD = 1 : 5.
•7
а)	Докажите, что cos Z.BAD =
1 О
б)	Найдите площадь ромба ABCD, если KL = \/39.
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
Г (ху - 2х — 4) (2у - х - 2) = 0,
[ у = a — 4х
имеет ровно 2 решения.
19.	Дана правильная дробь За один ход можно увеличить её числитель
на знаменатель, а знаменатель — на сумму числителя и знаменателя, то
есть получить дробь
1	37
а)	Можно ли из дроби - за несколько ходов получить дробь ?
6)	Можно ли из некоторой правильной несократимой дроби за 2 хода
Q
получить дробь, равную 2?
У
в)	Найдите наименьшее значение правильной несократимой дроби,
большей которую нельзя получить из другой правильной несократи-
18
мой дроби за 2 хода.
Вариант Л? 39
197
Вариант № 39
Часть 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1. Около трапеции описана окружность (см. рис. 210). Периметр трапеции
равен 36, средняя линия равна 8. Найдите боковую сторону трапеции.
2. В треугольнике АВС АС = 7. АВ = 8, Z.CAB = 60°. Найдите ска-
лярное произведение векторов АС • АВ.
3. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6000 см3 воды, а уровень
жидкости оказался равен 10 см, опустили деталь, при этом уровень жид-
4.	В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды.
Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 1 раз.
198	Тренировочные варианты
5.	Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шах-
матиста Б. с вероятностью 0,7. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает
у Б. с вероятностью 0,25. Шахматисты А. и Б. играют две партии, при-
чём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что
А. выиграет оба раза.
6.	Найдите корень уравнения In 	- = 1п(х 4- 4).
х — о
7.	Найдите значение выражения (25п2 - 49)	- 12 + 2п
при п = 126.
8.	Прямая у = -4х + 5 является касательной к графику функции
у = х2 4- 6х + с. Найдите с.
9.	При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущих-
ся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями U
и V (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала f (в Гц), реги-
стрируемого приёмником, вычисляется по формуле f = /о • с + Е, где
С V
/о = 180 Гц — частота исходного сигнала, с — скорость распространения
сигнала в среде (в м/с), a U = 3 м/с и V = 18 м/с — скорости приёмника
и источника относительно среды. При какой скорости с распространения
сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет равна 190 Гц? Ответ
дайте в м/с.
10.	Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из
двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина ко-
торой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в
первый раз, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости дру-
гого?
11.	На рисунке 212 изображён график функции /(х) = 64-logax. Найдите
значение х, при котором /(х) = 10.
Рис. 212
Вариант № 39
199
12.	Найдите точку максимума функции у = х3 4- 14х2 4- 49т 4-15.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение cos х • cos2x 4- \/3sm2x = cosх.
б)	Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [^; 5тт].
14.	В основании прямой призмы ABCDAiBiC^Di лежит равнобедрен-
ная трапеция с основаниями AD = 7 и ВС = 6. Точка L делит ребро
AiDi в отношении A}L : LDi = 1 : 6, а точка N — середина ребра DDi.
а)	Докажите, что плоскость CLN параллельна прямой BD.
б)	Найдите тангенс угла между плоскостью CLN и плоскостью осно-
вания призмы, если Z.LNC = 90°, £ADC = 60°.
15.	Решите неравенство log0 2(т3 - Зя2 — 9т 4- 27) log0j04(rc “ З)4.
16.	В июле 2026 года клиент планирует взять кредит в банке на 8 лет.
Условия возврата таковы:
—	в январе 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг возрастает на 15%
по сравнению с предыдущим годом;
—	в январе 2031, 2032, 2033, 2034 годов долг возрастает на 12%
по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—	в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину
меньше долга на июль предыдущего года;
—	в июле 2034 года долг полностью должен быть погашен.
Какую сумму кредита клиент планирует взять, если общая сумма вы-
плат равна 975 950 рублей?
17.	В равностороннем треугольнике АВС на стороне АС отмечена точ-
ка Р.
Серединный перпендикуляр к отрезку ВР пересекает стороны АВ
и ВС в точках D и F соответственно.
а)	Докажите, что углы ADP и CPF равны.
б)	Найдите отношение площадей треугольников ADP и CPF, если
АР : PC = 1 : 4.
200
Тренировочные варианты
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
f (х2 - 8х -К 5 - у)х/х-у + 5 = 0,
( у = ах + 2а
имеет ровно 2 решения.
19.	В классе учатся мальчики и девочки, при этом в классе больше 17, но
не более 28 человек, а процентная доля девочек в классе не более 46%.
а)	Может ли в классе учиться 10 девочек?
б)	В класс перевелась ещё одна девочка. Может ли после этого доля
девочек в классе составить 54%?
в)	Какое максимально возможное целое значение может принимать
доля девочек в классе в процентах после перевода в него ещё одной де-
вочки?
Вариант Л? 40
201
Вариант № 40
Часть 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-
ная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предпола-
гаются действительными, если отдельно не указано иное.
Единицы измерений писать не нужно.
1. Около трапеции описана окружность, основания трапеции равны 12
и 16 (см. рис. 213). Радиус окружности равен 10. Центр окружности ле-
жит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.
Рис. 213
2. В треугольнике MNP MN = 12, MP = 9, ^NMP = 120°. Найдите
скалярное произведение векторов MN • МР.
3. В цилиндрический сосуд, в котором находится 2500 см3 воды, а уровень
жидкости оказался равен 25 см, опустили деталь, при этом уровень жид-
4.	В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды.
Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза.
202	Тренировочные варианты
5.	Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шах-
матиста Б. с вероятностью 0,4. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает
у Б. с вероятностью 0,2. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём
во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А.
выиграет оба раза.
18
6.	Найдите корень уравнения 1п = 1п(х + 8).
7.	Найдите значение выражения (36 - 25n2)	“ g 4^5^) +14 + n
при n = 110.
8.	Прямая у = — Зх 4- 4 является касательной к графику функции
у = 2х2 + 7х 4- с. Найдите с.
9.	При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущих-
ся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями U
и V (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала f (в Гц), реги-
стрируемого приёмником, вычисляется по формуле / = /о • где
/о = 160 Гц — частота исходного сигнала, с — скорость распространения
сигнала в среде (в м/с), a U = 5 м/с и V = 16 м/с — скорости приёмника
и источника относительно среды. При какой скорости с распространения
сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет равна 170 Гц? Ответ
дайте в м/с.
10.	Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из
двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина ко-
торой равна 21 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в
первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости дру-
гого?
11.	На рисунке 215 изображён график функции f(x) = 6-Floga х. Найдите
значением, при котором f(x) = 11.
Рис. 215
Вариант 40
203
12.	Найдите точку минимума функции у = х3 4- 2х2 — 20я — 7.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй-
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.	а) Решите уравнение sin х • cos 2х + х/2 cos2 х = - sin х.
б)	Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку 3ttJ .
14.	В основании прямой призмы ABCDA^BiCiDy лежит равнобедрен-
ная трапеция с основаниями AD = 9 и ВС = 7. Точка L делит ребро
в отношении AiL : LDi = 2 : 7, а точка N — середина ребра DDi.
а)	Докажите, что плоскость CLN параллельна прямой BD.
б)	Найдите тангенс угла между плоскостью CLN и плоскостью осно-
вания призмы, если Z.LNC = 90°, /^ADC = 60°.
15.	Решите неравенство log0 3(х3 — 4х2 — 16х 4- 64) < log0 09(а: - 4)4.
16.	В июле 2024 года клиент планирует взять кредит в банке на 6 лет.
Условия возврата таковы:
—	в январе 2025, 2026, 2027 годов долг возрастает на 25% по сравне-
нию с предыдущим годом;
—	в январе 2028,2029,2030 годов долг возрастает на 8% по сравнению
с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—	в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину
меньше долга на июль предыдущего года;
—	в июле 2030 года долг должен быть погашен.
Какую сумму кредита клиент планирует взять, если общая сумма вы-
плат равна 1023 000 рублей?
17.	В равностороннем треугольнике АВС на стороне АС отмечена точ-
ка D.
Серединный перпендикуляр к отрезку BD пересекает стороны АВ
и ВС в точках М и N соответственно.
а)	Докажите, что углы AMD и NDC равны.
б)	Найдите отношение площадей треугольников ADM и CDN, если
АР : PC = 3 : 1.
204
Тренировочные варианты
18.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
Г (х2 + 5х + 1 -	- 2у = 0,
[ у = ах + 8а
имеет ровно 2 решения.
19.	В классе учатся мальчики и девочки, при этом в классе больше 16, но
не более 26 человек, а процентная доля мальчиков в классе не более 48%.
а)	Может ли в классе учиться 12 мальчиков?
б)	В класс перевёлся ещё один мальчик. Может ли после этого доля
мальчиков в классе составить 52%?
в)	Какое максимально возможное целое значение может принимать
доля мальчиков в классе в процентах после перевода в него ещё одного
мальчика?
Ответы к прототипам заданий с кратким
ответом
1. 16. 2. 48. 3. 12. 4. 7. 5. 25. 6. 5. 7. 10. 8. 0,5. 9. 5. 10. 2,4. 11. 15.
12.0,28. 13.54. 14.54. 15.52,5. 16.16. 17. 15. 18.292. 19.6. 20.90.21.1,5.
22. 22,5. 23. 113. 24. 31. 25. 54. 26. 8. 27. 4. 28. 36. 29. 56. 30. 13. 31. 10.
32. 18.33. 0,5.34.13,5.35.-3.36.45.37. 48.38.4,5.39. 19.40.23.41.24.
42. 42. 43. 2,5. 44. 6. 45. 26. 46. 13. 47. 10. 48. 2. 49. 36. 50. 63. 51. 10.
52. 490. 53. 600. 54. 84. 55. 259. 56. 22. 57. 5. 58. 216. 59. 135. 60. 6,75.
61. 100. 62. 6. 63. 216. 64. 80. 65. 28. 66. 2. 67. 448. 68. 49. 69. 7,2. 70. 4.
71. 25,5. 72. 12. 73. 2. 74. 27. 75. 8. 76. 4,5. 77. 2,5. 78. 4,2. 79. 90. 80. 45.
81. 2. 82. 0,0125. 83. 0,11.84. 0,1. 85. 0,35. 86. 0,2125. 87. 0,125. 88. 0,25.
89. 0,75. 90. 0,42. 91. 0,003. 92. 0,55. 93. 0,027. 94. 0,23. 95. 0,48. 96. 0,2.
97.0,987. 98. 0,125. 99.0,973. 100.0,697. 101.0,123. 102.0,153. 103. 0,04.
104. 0,053. 105. 0,69. 106. 3. 107. 0,8. 108. 0,266. 109. 0,4. 110. 0,42.
111.0,0231. 112.0,0758. 113.0,16. 114.1,2. 115.0,11. 116. 0,84. 117. 0,55.
118. 0,5. 119. 0,1. 120. 41. 121. -3,4. 122. -6. 123. -7. 124. 7. 125. 9.
126. -3,5. 127. 3. 128. 29. 129. 4. 130. 5,5. 131. 2,16. 132. -3. 133. -4.
134. 2. 135. 2,5. 136. 2. 137. -1. 138. 1. 139. -2. 140. -1. 141. -3,75.
142. 3,5. 143. -23,5. 144. 128. 145. 3. 146. 25. 147. 3,5. 148. 2. 149. 1.
150. 2. 151. 64. 152. 3. 153. 3. 154. -14. 155. 22. 156.14. 157. 7. 158. 11.
159.3. 160.0,25. 161.33. 162.625. 163.-1. 164. -6,5. 165. -0,5.166.2.
167.1,4. 168. 0. 169. 2. 170.162. 171.2. 172. 9. 173.15. 174. 7,5. 175. -3.
176. -18. 177. 28. 178. 12. 179. 28. 180. 1,4. 181. -3,3. 182. 1. 183. 7,5.
184. -4. 185. 3,4. 186. 1. 187. 1. 188. 3. 189. -2. 190. 6. 191. 3. 192. 6.
193.1. 194. -2. 195.5. 196.2 197.21. 198.2,5. 199. 7. 200. -0,5. 201.4.
202. 3. 203. -4. 204. 3. 205. 27,5. 206. 9. 207. 25. 208. 8. 209. 2,6. 210. 40.
211. 475. 212. 2. 213. 4. 214. 103,125. 215. 60. 216. 22. 217. 12. 218. 5.
219. 16. 220. 37. 221. 14. 222. 120. 223. 120. 224. 1,2. 225. 8. 226. 100.
227. 45. 228. 300. 229. 72. 230. 800. 231. 20. 232. 12. 233. 2. 234. -1.
235. -3. 236. 3. 237. 16. 238. -2,25. 239. 12. 240. -2. 241. 9. 242. 16.
243.16. 244. 3. 245. И. 246. -2. 247.3. 248. -4. 249. 2. 250. -6. 251. -1.
252. -10. 253. -2. 254. -1. 255.1,5. 256. -11.
Ответы к тренировочным вариантам
Ответы к заданиям 1 — 12 (начало)
№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	4,5	16	136	0,11	0,92	5	10	3	15	36	5	3
2	6	21	160	0,17	0,9	10	17	1	16	42	0,4	5
3	9	23	60	0,5	0,65	—4	1	7	630	50	35	1
4	7	42	60	0,5	0,4	-3	1,5	6,5	604	28	24	-1
5	30	9	144	0,028	0,16	8	99	-4,5	6	26	0,3	6
6	12	20	180	0,019	0,12	12	45	-8,75	3	22	0,5	-1
7	3	10	48	0,25	0,0956	—76	3	3	0,125	7	6	5
8	24	13	81	0,1875	0,0889	-129	2	4	0,2	6	5,25	-2
9	64	17	175	0,96	3	—4	-13	0,8	0,406	12	0,6	11
10	62	13	120	0,97	3	-2	-34	-1,25	0,402	10	32	20
11	72	10	9	0,275	0,0064	11	20	-3	30	3	6	4
12	200	4	3,5	0,2	0,0189	8	7	-2	30	5	12	-76
13	18,5	13	4	0,32	0,488	-3	1	1	20	12	-2	18
14	17,5	10	128	0,125	0,657	-1	-1,5	1,5	36	10	-3	-15
15	14	-30	11	0,125	0,375	10	7	2	15	18	0,125	0
16	10	-15	14	0,05	0,125	5	4	2	12	27	5,0625	-54
17	7,2	85	3	0,85	0,4	-0,5	2	-2	4335	25956	-1	4
18	9,6	97	20	0,76	0,125	-1,2	2	7	4800	27820	2	-2,5
19	34	10	25	0,33	0,96	27	130	8	1,6	8	5	-5,6
20	15	15	16	0,33	0,99	9	576	8	1,8	12	7	-8,5
Ответы к заданиям 1 — 12 (окончание)
№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
21	22	17	2	0,2	0,6875	0,75	-9	5	0,169	11	25	49
22	8,8	13	1,68	0,12	0,55	4	-6	5	0,2304	12	16	16
23	0,5	10	640	0,48	-0,1	0,5	2	3	5	30	-5	14
24	2	5	200	0,3	-0,5	0,75	4	4	3	40	6,75	-4
25	72	3	192	0,25	1,375	-1,4	9	10	605	6,75	-0,75	3,5
26	82	70	182	0,2	1,6	-0,25	11,4	7	845	4,8	-28	69,5
27	45	-38	504	0,25	0,006	-2	16	5	6	80	24	-8
28	45	-21	1440	0,25	0,0084	2	2	5	7	275,5	42	1
29	73	45	10	0,015	0,6775	17	14	15	10,5	19,25	-5	35
30	62	90	13	0,017	0,705	14	6	13,5	13,2	15,6	—4	-35
31	4	24	1500	0,24	0,055	1	9	38	24	16	36	21
32	10	43	675	0,75	0,026	1,25	3	56	27,5	35,8	16	4
33	0,75	-4	58,5	0,4375	0,5	55	11	1,25	4000	2	8	64
34	0,6	-26	130	0,25	0,6	118	13	1	200	1	30	-11
35	22,5	3	68	0,3	0,875	-10	32	3	120	4	6	0
36	120	2	84	0,2	0,9	-3	12	4	90	60	4	10
37	124	169	216	0,35	0,1	-1	0	-1,25	5,2	495	4	54
38	127	9	96	0,45	0,0625	-1	2	-1	4,4	180	-3	-24
39	10	28	3600	0,25	0,175	6	254	30	396	48	128	-7
40	14	-54	900	0,375	0,08	10	136	16,5	352	30	2187	2
Ответы к тренировочным вариантам
Ответы к заданиям 13-19 (начало)
№	13	14	15	16	17	18	19
1	а)	± arccos i 4- 27гп, п € Z; б)	2тг + arccos |	80 \/57	[-21; 4) U (25; 29]	359 100	108^3	[-2; |] U{1,5;2}	а) да; б) нет; в)1350
2	a) arctg | 4- 7гп, п € Z arctg 2 + irk, k € Z\ 6) arctg i; arctg 2; 7Г 4- arctg А; 7Г 4- arctg2; 2?r 4- arctg i; 27Г 4- arctg 2	6%/3	[-31; 5) U (36; 41]	910 000	147л/3	[-4;-2,4]u{-l}	а) да; б) нет; в)1518
3	a)	4- тгп, n e Z\ (_!)(^1)| +7^ E Z\ 6)	Зтг. 5?г. E '	2 ’	6’2	80>/37	(—<x>; 1) U (1;2)	335 500	448y/2	(-!• °)u U(l;5) U {0,75}	а)да; б) нет; в) 11
		9			115		
4	а)тгп, n € Z\ ±2д + 2nk, k € Z 4 б) 3£;?r; ^;2w 4	4	576y^6	(—oo; log5 4) U (bg5 4; 1)	50424	320ч/3	l]u	а) да; б) нет; в) 16
		25			63	иЙ; |] J№+oo)	
Ответы к тренировочным вариантам
Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
№	13	14	15		16	17	18	19
5	а)±^ 4- 2%п, п € Z; О 4- 2%m, m G Z\ о 11%. 13%. 14% ' 3 ’ 3 ’ 3	110 + 2-/2929	[5; 4-ос)		781250	0,5	{-х/2} U (-0,5; +оо)	а) да; б) нет; в)1
6	а)±£ +2тгМ е Z; О О ггч 13%. 17%. 19% ’ 6 ’ 6 ’ 6	6(ч/37 + /161)	[6; +оо)		1555 200	0,25	(—оо; — \/б) U («х/0,15; 4-оо)	а) да; б) нет; в) 4
7	a)%n, п 6 Z; ~ 4- %т, тп е Z\ 4 б) 5л-; ^;6%; 4	4	2/5	1	(°;А]и J[/l3; +оо)	3295 500	0,1	{-/13} U (~3^+2-, -2)и и(-2г^]	а)да; б) нет; в)8
8	а) ± arctg | 4- %n, п Е Z\ 6) 3% ± arctg i; 4% ± arctg 5% - arctg |	14/5 5	и	0; 15~T5ju ^15^5; +оо)	2 343750	1 6	1 1 сл С ^1	а) да; б) нет; в)9
Ответы к тренировочным вариантам
Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
№	13	14	15		16	17	18				19
9	а) + 2пп, п Е Z; (_1)*+1Д+7rfc<fce 7; О 2тг, 7Г. 7Г. 7Г 7	3 ’ 2* 3’2	|vTie	(-ос; -4] U (0,8; 4]		34150	2-УЗ		Н‘°)	с '"о'4 1-4 « «		а) да; б) нет; в)3
10	а) тгп, п е Z; ±3? + 2trk, k е Z; 4 б)-^;-ж;-^;0 4	4	у У1271			3109 300	7х/3 3	(-16; - и(0;1		-2)U ] и [3; 4]		а) да; б) нет; в) 5
11	а) ±2; б) 2	2л/5	(4 - V31; 2) U (6; 4 + х/31)		4681800	222г/37	(0; 147) U (150;+оо)				а) да; б) нет; в) 23
						259					
12	а)±3;б)3	2 : 1		'7- у/77. 7+ у/77\ <	2’2/	24468 750	1361/17					а) да; б) нет; в) 28
						85					
Ответы к тренировочным вариантам
Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
№	13	14	15	16	17	18	19
13	а) + 2тг&, k € Z; 7гт, тп 6 Z; б)5тг, 67Г	20	(-->	14,7 млн руб.	128 5-/39	(-1- у/20; 3)U U(-l +у^б; 5)	а) нет; б) да; в) 35
14	а)	тгп, п Е Z; 2 + 2тгА;, к € Z; О б)	— 7г, 0, я*	18	(—оо;3) U (3;4]U u[y:+“)	38 млн руб.	10 3	(2 - %/34; 2 - v/13)U U(—1;5)U U(2 + х/13; 2 + х/34)	а) да; б) нет; в) 66
15	а)тгп, п 6 Z; | + 2?rfc, к & Z; б)2тг; ^;3тт	90	(—оо; 0)U U(0;log5 3)U U(l;log57]	30,5	13,5	D 3			ч LOICO 1	> > 7 | «С	1 7 г.	а) да; б) нет; в) 94
16	а)	+ 2тгп, п Е Z; (—1)* arcsin(log| 2) + лк, к е Z; б)	Зтг — arcsin(log3 2)	15-\/313	[1; iog3 4)и	61	9,5	[-1^)41}	а) да; б) нет; в) 90
		2	U(log3 7; +оо)				
Ответы к тренировочным вариантам	359
Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
№	13	14	15	16	17	18	19
17	a)	logs 11; logs 19; б)	logs 11; log8 19	arctg	(-оо; log5 2)и U(log5 2; 1)U U(log5 7; Ч-оо)	72	756	(-5; —3)u U(—2; -1)U U[0; 2)	а)да; 6) нет; в) 710
18	а)2;3; б)2;3	arctg	(—oo;log53)U U(log53;l)U U(log5 6; 4-oo)	82,5	4 3	(-|;0)u(0; 4-oo)	а) да; б) нет; в) 625
19	О\ 77 1—к 2т* 7 7 »—* 4- + bl w)	•**<	(0; 1] U [2; 4-oo)	392	2,7	{-0,5; 3,5; 4,5} U [0;0,5)U U(0,5; 1)U(1;2)	а)да; б) да; в) нет
20	1 о *1 1 1 Ю КЗ 4- 4- 1 от)	arctg	(log2 5; 3] U [5; 4-oo)	500	343 144	{0,5; 1; 2,5; 4; 5} U (6,25; 7)	а) да; 6) да; в) нет
Ответы к тренировочным вариантам
Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
№	13	14	15	16	17	18	19
21	а)-1;1; 6)1	/5 или | «5	3 1 1< ю > 1 tC ю 1 '—z □	9 = 15%; т = 11%	32°	{2}U и(^;^)и и{У13}	а)0; 6) да; в) 6
22	а)3;5; 6)3	ИЛИ О	о	(-5;-4VB]u ц[-3 + /33;2)	q = 19%; т = 16%	2V7	{1}и ир + у/5. 1 + 2ч/31и U{x/5}	а)0; 6) да; в) 8
23	а)	тг/с, fc Е Z; | + тгп, n € Z; б)	—2тг;	4/7 3	[ - log| 4; о] и 0(2; 3) U (3; 4)	8	28	(-4; -3) U (-3; -2)	а) нет; 6) да; в) 26
24	a)?rfc, £ + о б)-Ц\-2тг;-Ц^ О	о	4\/7 3	(—ос; 1)U u[log| 2; з)	9	36	(0; 1)U(1;2)	а) да; 6) нет; в) 11
Ответы к тренировочным вариантам
Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
№	13	14	15			16	17	18	19
25	а) 4- 2тгп, п е N; о б)^ о	6л/3	(0; 8] U [9; +оо)			763,2 тыс. руб	968УТТ 675	(0;24)	а) да; б) нет; в) 24
26	а)-^ + 2irk,k е N; 4- 2тгп, п € ЛГ; 4	97 810008 169	1	Н]	и -Нею)	218,75 тыс. руб	4,48	(-5; -3)U(-1;1)	а) да; б) нет; в) 69
27	а)тгА:, k G Z\ 4- 2тгп, п G Z; о б)тг;^;^	4г/3	(-’ и(	;-l)U	|U(2;4)	30	468; 208	(^)	а) нет; б) нет; в) 126
28	a)^,*eZ; । 7Г । 2тгп	г?, ±Tb + —'n&z' 6)0; —;	— - ' ' 15’ 3 15’ 2	5>/3	(—оо; —4)U U(0; 2) U (4;+оо)			1200	а) 72; 162; б) 162; 72	(5; 7)	а) да; б) нет; в) 166
Ответы к тренировочным вариантам
Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
№	13	14	15	16	17	18			19
29	а) | + 2?rfc, k g Z; + 2тгп, п € Z; 6)^	>—1 н-1 О со	(-9; -8) U (-2; 2)	9260 тыс. руб.	75°		)и|	5. 25\ . 6’ 9 /	а) да; б) да; в) (6; 6; 6; 2)
30	a)±?+27rfc,fc€Z; О + 2%п, п € Z\ о ах 17%. 19%. 23% ' 6 ’ 6 ’ 6	631	(3;5)	3640 тыс. руб.	80°	(	8. 5' 9’ 3.		а) да; б) да; в) (15; 210) и (21; 42)
31	a) %fc, к € Z; —	+ 2%n, п € Z; -1- 2%m, m G Z; б)2тг;^;3тг	4— 13	(4; +оо)	70	30	[1; +оо)			а) да; б) нет; в) 5; 9; 14; 15
32	%k, к е Z; ~ 4- 2%n, п е Z; + 2%т, m е Z; б) %; 2%	572 2	(3; +оо)	8000	40	(-1Д)			а) да; б) нет; в) 24; 25
Ответы к тренировочным вариантам
Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
№	13	14	15	16	17	18					19
33	а) ±2; 6; б) 2; 6		(—оо; 1)U U(log3 4; log3 4,5]	87840	3:4		11И	м	179. 7 37 ’		а) да; б) нет; в) 180
		' \/61--/129									
34	а)±1;5; 6)1	arccos —Д— У155	(l;log55,2]U U(log5 6; 4-oo)	83200	3:2	{—2}U(—1; 0] U [2; 6)					а)да; б) нет; в) 39
35	а)	+ nk, k € Z\ ~ + 2тгт, m Е Z; 4 + 2 тгп, п € Z; 4 б)	Зтг. 9тг. 5тг ' 2 ’ 4 ’ 2	>/74 6	[—1; 2) U (2; 4-oo)	36000	2-/2Э 29	{-1;1}и			[М		а) да; 6) нет; в)11
36	а) тгк, к € Z\ — v + 2тгт, тп 6 Z\ 4 — ~~ 4" 2тгп, л G Z\ 4 б)-2тг; -тг;	7-/10 15	[-2; 3) U (3; 4-оо)	30000	^2 10	(-oo;-2)U{2}u[|;+oo)					а) да; б) нет; в) 24
Ответы к тренировочным вариантам
Ответы к заданиям 13—19 (окончание)
Я2	13	14	15	16	17	18	19
37	а) 2	П (-l)fc+1?+7rJb,fceZ; 4 Зтг .	37Г. 7Г }	2 ’	4’2	2х/3	[-1;0)и(0;1]	1050 000 руб.	80\/15 3	(-13; -10,5] U {-9; 3}	а) да; б) нет;
38	а)тгп, п G Z\ + 27rfc, к € Z; «5 б) —5тг;-Ц^; -4тг О	3>/3 2	[—1;0)и(0;1]	1400 000 руб.	45х/3б	{-8; -6; 10; 19}	а) да; б) нет; -I
39	а)тгп, п Е Z\ +2тгА:, Z; О б)^;4тг;	5тг 6	6	у/43 3	[-2; 3) U (3; +оо)	596 000 руб.	4 9	{-2;1}и[11;2’5)	а) да; б) нет; в) 48
40	а) 4- 7гп, n€ Z; & (~1)к+1у +пк,ке Z; 4 fix Зтг. 7тг. 5тг '2’4’2	х/1407 21	[-3; 4) U (4; +оо)	600000 руб.	49 25	{-1;-0,5} U [0,125; 1,5)	а) да; б) нет; в) 50
Ответы к тренировочным вариантам