/
Текст
Посвящается 150-летию
Московского высшего технического
училища им. Н. Э. Баумана
A830—1980)
КОНУС В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
ЗАОСТРЕННОЕ ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ
В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
ТРЕНИЕ
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
АЭРОДИНАМИКА РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ
Н.Ф. КРАСНОВ
Часть II
МЕТОДЫ
АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
высших технических учебных
заведений
МОСКВА
< ВЫСШАЯ ШКОЛА> 1980
ББК 22.253.3
К 78
УДК 533.6
Рецензент
д-р техн. наук, проф. А. М. Мхитарян
(Киевский институт инженеров гражданской авиации)
Краснов Н. Ф.
К 78 Аэродинамика. Ч. И. Методы аэродинамического
расчета.: Учебник для студентов втузов.—г 3-е изд., перераб.
и доп.—М.: Высш. школа, 1980. — 416 с. с ил.
В пер. 1 р. 20 к.
В учебнике изложены основные методы определения аэродинамических
характеристик летательных аппаратов и их отдельных элементов; приведен расчет
сверхзвукового обтекания заостренных и притуплённых конических поверхностей,
тонких тел вращения, расположенных под небольшими углами атаки
(линеаризованные задачи); описаны методы расчета трения и теплопередачи; рассмотрены
задачи, связанные с нахождением аэродинамических параметров летательных
аппаратов в виде комбинаций «корпус — крыло», «корпус — крыло — оперение
(рули)» с учетом интерференции; даны сведения об аэродинамике разреженных
газов.
Третье издание учебника (второе вышло в 1976 г.) дополнено новыми
материалами по исследованию неустановившегося обтекания тел вращения (корпусов)
и летательных аппаратов в целом.
Николай Федорович Краснов
АЭРОДИНАМИКА
Ч. II
Методы аэродинамического расчета
Издание 3-е
Зав. редакцией Я. Я. Хрусталева. Редактор 3. Г. Овсянникова. Мл. редактор л
С. Ф. Шабарина, Т. Ф. Артюхина. Художник В. В. Гарбузов. Художественный
редактор С. Г. Абелин. Технический редактор Р. С. Родичева. Корректор
Г. И. Кострикова.
ИБ № 2612
Изд. № СТД-332. Сдано в набор 11.10.79. Подп. в печать 07.07.80.
Т-11792. Формат 60X90Vie. Бум. тип. № 1. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Объем 26 усл. печ. л.+0,25 усл. печ. л. форзац. 24,92 уч.-изд. л.+
+0,43 уч.-изд. л. форзац. Тираж 5000 экз. Зак. № 708. Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
150014, Ярославль, ул. Свободы, 97.
© Издательство «Высшая школа», 1976
© Издательство «Высшая школа», 1980, с изменениями
Предисловия
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
При подготовке третьего издания учебника «Аэродинамика»
большое внимание обращено на разработку методов расчета
аэродинамических характеристик летательных аппаратов. В частности, во второй
части учебника значительное место отведено освещению вопросов,
связанных с определением аэродинамических коэффициентов и их
производных (производных устойчивости) при неустановившемся
обтекании.
В § 11.6 рассмотрено неустановившееся обтекание тела вращения,
представляющего собой один из основных элементов конструкции
современного высокоскоростного летательного аппарата. Изложено
решение задачи, имеющей практическое значение и связанной с
нахождением производных устойчивости в условиях колебаний тонкого
тела с низкой частотой.
Исследованию нестационарных характеристик летательных
аппаратов, представляющих собой комбинацию тонких тел вращения
(корпусов) и крыльев, посвящен новый §12.9. В нем приведен
численный метод определения производных устойчивости при дозвуковых
скоростях, а также рассмотрены способы нахождения приближенных
значений этих производных с использованием интерференционных
поправок и соответствующих величин производных для
изолированных крыльев и тел вращения.
Значительная часть материала учебника посвящена изложению
вопросов устойчивости летательных аппаратов. В третьем издании
помещен дополнительный раздел о влиянии формы в плане и числа
Маха на аэродинамические характеристики стреловидного крыла
и его статическую устойчивость при крене. Одновременно даны
сведения о роли в создании момента крена аэродинамической
интерференции.
При подготовке третьего издания учебника исключена гл. XIV,
в которой рассмотрена тепловая защита летательных аппаратов.
Вопросы тепловой защиты, имеющие, безусловно, большое
теоретическое и практическое значение, носят специфический характер и
ознакомление с ними может быть осуществлено отдельно от учебника.
Предисловия
При переиздании учебника в него внесены необходимые
исправления и уточнения. Терминология и буквенные обозначения приняты
в соответствии с действующим стандартом (ГОСТ 20058—74), а
физические единицы отвечают требованиям Международной системы единиц
(СИ).
При подготовке рукописи к печати учтены замечания рецензента
проф. А. М. Мхитарянау проделавшего значительную работу по
ознакомлению с материалом третьего издания и давшего ряд ценных
советов, за что автор выражает ему глубокую признательность.
Замечания и предложения по дальнейшему улучшению
содержания учебника просим направлять в издательство «Высшая школа» по
адресу: Москва, К-51, Неглинная ул., 29/14.
Автор
Предисловия
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Учебник «Аэродинамика» состоит из двух частей: ч. I — «Основы
теории. Аэродинамика профиля и крыла», ч. II — «Методы
аэродинамического расчета». Использование материала второй части учебника
предполагает обязательное знакомство с теоретическими основами
аэродинамики, излагаемыми в первой части. Изучение материала,
позволяющего получить представление о прикладном характере
аэродинамики, т. е. об определении аэродинамических характеристик,
служит одновременно и цели глубокого овладения аэродинамической
теорией, что вытекает из важнейшего принципа дидактики, в
соответствии с которым научная информация усваивается глубоко и
прочно, если она в качестве активного средства используется для решения
каких-либо прикладных задач. Этот принцип опирается на
неоднократное обращение к хранящейся в памяти научной информации и
всестороннее осмысливание тех логических связей, которые
существуют между отдельными элементами.
Усвоение методов аэродинамического расчета имеет большое
значение, так как вводит в круг проблем установления
взаимозависимости между теорией и практикой решения конкретных задач и
знакомит с новыми явлениями, свойственными процессам обтекания тел.
Для наиболее полного и последовательного изложения
прикладных задач аэродинамики естественным является такое построение
учебного курса, в соответствии с которым сначала рассматривается
аэродинамика профилей и изолированных крыльев (несущих,
управляющих и „стабилизирующих поверхностей, гл. VI—VIII ч. I),
затем тел вращения (корпусов) и, наконец, летательных аппаратов
в виде различных комбинаций крыльев, оперения, органов
управления и тел вращения с учетом интерференции между ними (гл. IX—XI
ч. II).
При подготовке второго издания особое внимание уделено
разработке методов расчета аэродинамических характеристик
летательных аппаратов. В частности, большее освещение получили вопросы,
связанные с определением понятий об аэродинамической
интерференции, лежащих в основе указанных методов расчета. Включен важный
Предисловия
раздел о нахождении аэродинамического сопротивления с учетом
интерференции.
Важное место в учебнике занимает освещение прикладных
проблем современной аэродинамики больших скоростей. В частности,
сверхзвуковое обтекание конуса рассматривается с учетом влияния физико-
химических превращений в воздухе (диссоциации). К числу таких
проблем, нашедших отражение по второй части книги (гл. XII—XV),
относятся движение газа в пограничном слое, расчет трения и
теплопередачи, унос массы, а также силовое и тепловое воздействие в
условиях движения тел в разреженной среде.
Для современной аэродинамики характерен подход к решению
прикладных инженерных проблем с двух позиций. Можно составить
общие уравнения обтекания и найти их решение с помощью
электронно-вычислительных машин. Такое решение приемлемо для какой-
либо заранее выбранной модели исследуемого процесса,
обусловливающей многовариантность начальных условий и большой объем
вычислительных операций. Вместе с тем исследовать обтекание тел можно
аналитически — путем постановки теоретических проблем, их
корректных физической и математической формулировок, создания
новых методов решения задач. Для инженера имеют исключительно
большое значение такие аналитические решения, если область их
применения известна. Именно этим решениям уделено большое
внимание в учебнике.
Важнейшим правилом, которым необходимо руководствоваться
при выполнении аэродинамических расчетов, является нахождение
соответствующих решений в безразмерной форме. При соблюдении
аэродинамического подобия такие решения могут быть
распространены с модельных на натурные явления, связанные с обтеканием
летательных аппаратов и движением газа вообще. Однако
безразмерные решения важны и вне связи с аэродинамическим подобием.
Решая в безразмерной форме определенную задачу, которая может и не
иметь аналога, находят искомые параметры, определяющие процесс,
отнесенные к характерным газодинамическим величинам, известным
для такого процесса. Например, вычисляют не абсолютные давления,
плотности или температуры, а их значения, отнесенные к
соответствующим параметрам торможения. Это способствует нахождению
правильных решений и более надежной оценке величин отыскиваемых
газодинамических параметров.
Приводимая во второй части учебника научная информация,
относящаяся к прикладным проблемам аэродинамики, естественно, не
претендует на полное освещение всех методов и приемов
аэродинамического расчета. Изложенный в нем материал дает возможность
ознакомиться с принципами исследования инженерных
аэродинамических проблем и выработать умение ориентироваться при
отыскании решений возникающих новых аэродинамических задач.
Автор
глава
10
Конус
в сверхзвуковом
потоке
Глава десятая 10
§ 10.1.
Система уравнений осесимметричного
обтекания заостренного конуса
"ЦЗадача об обтекании заостренного конуса — одна из наиболее
важных в аэродинамике. Ее решение имеет большое практическое
значение, так как позволяет рассчитывать аэродинамические
характеристики летательных аппаратов или их элементов, имеющих
коническую форму, и наряду с этим результаты такого решения
используют для расчета сверхзвукового потока около заостренных тел
вращения. Например, это решение дает начальную точку на кривой
распределения параметров обтекания заостренного криволинейного
тела. Кроме того, результаты симметричного обтекания конусов
применяют для приближенного расчета распределения параметров газа
по периферийной поверхности тел вращения (метод «местных
конусов»). Эти же результаты используют как сравнительные при
исследовании аэродинамики затупленных конусов.
В теоретической аэродинамике наряду с точными разработан ряд
приближенных решений, позволяющих упрощенно рассчитывать
обтекание конуса. Некоторые из таких решений относятся к тонким
конусам, обтекаемым линеаризованным потоком или потоком с очень
большими числами М. Точное решение можно применить к конусам
произвольной толщины, причем обтекающие их потоки могут иметь
любые скорости. Основное условие, которое должно при этом
выполняться, связано с сохранением около обтекаемого тела конического
потока — потока, параметры которого остаются постоянными вдоль
прямых, проведенных из вершины обтекаемого невязким потоком
конуса. Однако получающиеся результаты применяют также при
исследовании вязкого обтекания. Невязкие параметры, такие, как давление,
скорость, плотность, рассматриваются в качестве параметров на
внешней границе пограничного слоя, образующегося на конусе, и
являются факторами, определяющими напряжение трения и тепловые
потоки, идущие от газа к стенке.
Представим себе конус с половинным углом |3К при вершине,
обтекаемый осесимметричным сверхзвуковым потоком. Задача
заключается в том, чтобы рассчитать течение газа между этим конусом и
возникающим перед ним скачком уплотнения, имеющим вид кониче-
Конус в сверхзвуковом потоке
11
Рис. 10.1.1 Составляющие скорости
на промежуточной конической
поверхности:
I — скачок уплотнения; 2 — обтекаемый
конус; 3 — промежуточная коническая
поверхность
ской поверхности. При этом необходимо определить также угол
наклона 0С прямолинейной образующей конического скачка (рис. 10.1.1).
Для этого рассмотрим систему уравнений в сферических
координатах @, г, ф) применительно к такому случаю обтекания, когда газ за
скачком под влиянием высоких температур претерпевает физико-
химические превращения. При этом будем считать, что в возмущенной
области устанавливается термодинамическое равновесие.
Отыскиваемое решение для конуса должно соответствовать осе-
симметричному коническому полю возмущенного потока, в котором
параметры газа сохраняются постоянными вдоль прямых,
проведенных из вершины и являющихся образующими промежуточных
конических поверхностей (в том числе конических поверхностей с углами
0 = 0С и 0 = рк).
На основании указанного свойства отыскиваемого решения любая
частная производная от параметров газа по сферической координате
г (рис. 10.1.1) равна нулю. В соответствии с этим уравнение
неразрывности B.4.37)*, в котором следует принять равными нулю
частные производные по г, а также по <j> (двухмерное течение), имеет вид
2рУг + VBdp/dQ + pdVjdQ + pVB ctg 0 = 0. A0.1.1)
Уравнения двухмерного движения около конуса, получаемые из
системы C.1.45), в которой принимают равными нулю члены,
характеризующие вязкость, а также частные производные по t и г,
представим в такой форме:
dVr/dQ =Vq ; A0.1.2)
pVbdVB/dQ + pVrVB + dp/dQ = 0. A0.1.3)
В соответствии с числом определяемых параметров добавим к этим
зависимостям уравнение
р (H-cpjc о Т /лл 1 л\
- v — , A0.1.4)
Рс
* Ссылки на формулы, таблицы и рисунки гл. 1 — 9 даны по книге
«Аэродинамика», ч. I, 1980.
Глава десятая 12
получаемое из уравнения состояния A.5.8) для газа в произвольной
точке потока и уравнения состояния рс = рс7"с#о%ср)о>
отнесенного к условиям непосредственно за скачком уплотнения (индекс
«с»). В рассматриваемую систему должны войти также уравнения
энергии C.4.14)
iQ + Vl/2 A0.1.5)
и общие зависимости вида D.2.8) — D.2.11) для расчета энтальпии,
энтропии, средней молярной массы и скорости звука:
i = fi(p,T); A0.1.6)
S = f»(A Г); A0.1.7)
Hcp-fsfo T)\ A0.1.8)
a = h(P,T). A0.1.9)
В таком виде систему можно использовать для исследования
обтекания конуса диссоциирующим газом. В частном случае отсутствия
диссоциации эта система упрощается. Если принять, что в
возмущенной области между скачком уплотнения и поверхностью конуса
удельные теплоемкости и средняя молярная масса газа остаются
такими же, как в невозмущенной части потока, а скорость звука и
энтальпия зависят только от температуры, то вместо уравнений A0.1.6) —
A0.1.9) следует воспользоваться зависимостями D.3.1) — D.3.4),
которые представим в следующем виде:
СрР _ k ^ jp__
#р ~~ k— 1 р
'-^-^-¦rV-f; оолло)
S = Cl) In —— + Ci = cv\n-?r + C2; A0.1.11)
f i рл
(icp = const; A0.1.12)
a* = kRT = kp/p. A0.1.13)
Уравнения A0.1.1) — A0.1.3) остаются без изменения.
§ 10.2.
Обтекание конуса при постоянных
теплоемкостях
Для случая обтекания конуса при постоянных теплоемкостях
получены результаты, имеющие важное практическое значение. Для
приближенной оценки некоторых параметров обтекания (например,
давления) они могут использоваться и тогда, когда обтекание
сопровождается значительным разогревом, вызывающим физико-химиче-
Конус в сверхзвуковом потоке 13
ские превращения и, как следствие, изменение удельных теплоем-
костей.
Для решения задачи воспользуемся уравнениями A0.1.1) —
A0.1.3) и A0.1.10) — A0.1.13). При этом уравнение A0.1.3) удобнее
применять, если произвести в нем некоторые преобразования. Для
этого воспользуемся выражением для скорости звука а2 = dp/dp,
представленным в виде
A0.2.1)
После подстановки значения dp/dQ из A0.2.1) в A0.1.3) получаем
pVBdVB/dQ + pVrVB + a2dp/dQ = 0.
Внося сюда значение производной dp/dQ, вычисленное по A0.1.1),
находим преобразованное уравнение
dVb/dQ= [— VBdgQ + Vr (Vila2— 2IA— vVa2)'1. A0.2.2)
Квадрат скорости звука в этом уравнении в соответствии с C.6.21)
а2 = А±!а*2_±1± (у2 + у2} ^ (Ю.2.3)
Рассматривая систему уравнений A0.1.2) и A0.2.3), видим, что
задача об обтекании конуса сведена к кинематической задаче,
связанной с определением поля скоростей в возмущенном потоке около
конуса, т. е. с отысканием функций Vr(9), Vq(Q) для составляющих
скорости или функции V(Q) = ]^V2r -f V\ для полной скорости.
По вычисленной полной скорости при помощи формул A0.1.4), A0.1.5),
A0.1.10) и A0.1.11) можно определить давление, плотность,
температуру, энтальпию и энтропию газа. Вместо указанных формул для
определения давления, плотности и температуры можно использовать
соответственно соотношения C.6.26), C.6.31) и C.6.33).
Граничные условия, при которых ведется численное
интегрирование дифференциальных уравнений A0.1.2) и A0.2.2), определяются
условиями течения газа на конусе, а также условиями,
характеризующими параметры газа непосредственно за скачком уплотнения.
Граничное условие обтекания конуса заключается в том, что на
его поверхности нормальная составляющая скорости равна нулю, т. е.
VB = 0 при 9 = Рк. A0.2.4)
Для скачка уплотнения имеем два условия. Первое из этих
условий получается из равенства касательных составляющих скорости
до скачка и после него, т. е. Vroo = Vcr (рис. 10.2.1). В соответствии
с этим
A0.2.5)
Глава десятая
14
Рис. 10.2.1 Схема треугольников
скоростей перед скачком уплотнения и
непосредственно за ним в случае
сверхзвукового обтекания конуса
Используя это выражение, можно получить второе условие. Для
этого составим выражение для горизонтальной составляющей скорости
ис газа на скачке уплотнения (рис. 10.2.1):
= VCr cos 0C —
sin
Умножив обе части этого выражения на Vcr и учитывая A0.2.5),
получим
, A0.2.6)
где Vcr и Vc в — соответственно касательная и нормальная
составляющие скорости на скачке уплотнения.
Теперь воспользуемся уравнением D.4.4) ударной поляры и
представим его в виде
~ "сJ 21^ + (Л + 1) (а** - V^uc) '
где wc — вертикальная составляющая скорости на скачке
уплотнения.
Используя D.4.3), имеем
Учитывая, что tg29c = cos0c —1, а значение Ухис
определяется из A0.2.6), находим
1
k+\ a*2 — Vlcr + VcBVcr tg e
Имея в виду A0.2.5), получим окончательно граничное условие
на скачке уплотнения:
1 (k-\ Т72
VcrVrf U+1
—a*
A0.2.7)
Конус в сверхзвуковом потоке
15
Рис. 10.2.2 Схема расчета обтекания
конуса
Систему уравнений A0.1.2), A0.2.2) и A0.2.3) интегрируют
каким-либо численным методом. При этом обычно заданными считают
величину угла скачка 9С и скорость набегающего потока К». В
процессе решения уравнений определяют поле скоростей и находят
соответствующий угол (Зк конуса и скорость на нем Vr = VK.
Рассмотрим метод решения задачи. По заданным значениям 0С
и Foo находим из A0.2.5) радиальную составляющую скорости:
Vfoo==Vcr = VooCOSQc, (Ю.2.8)
Эту скорость, одинаковую как для условий перед скачком, так и
непосредственно за ним, обозначим Vn = VooCos0b где 0i = 0C.
По этому значению Vcr = Vn из A0.2.7) вычисляем нормальную
составляющую скорости VcQ = VQ1 за скачком:
A0.2.9)
Рассмотрим вблизи скачка промежуточную коническую
поверхность с наклоном образующей 0Х —Д 0Ь гдеД 02 — малое приращение
угла 0 (рис. 10.2.2).
Радиальную составляющую скорости Vr2 на этой поверхности
можно вычислить по уравнению A0.1.2), представленному в конечных
разностях:
A0.2.10)
Полагая здесь 7Г =КГ2 иДб = д0Х = 0Х — 02, получаем
^2 = ^i + ^iA0!. A0.2.100
Нормальную составляющую VQ2 определим из уравнения A0.2.2),
также представленного в конечных разностях:
VB —Vbi = (dVb /dQ)i Д0 . A0.2.11)
Полагая VQ = VQ2 и Д 0 = Д 0Ь находим
VQ2 = Vei + {dVb I d% A0lt A0.2.110
Глава десятая
где производная (dV^ld^x вычисляется из A0.2.2) по параметрам
на скачке:
Г /т/2 \~1 / у2 \~1
--41 ,00.2.12)
причем согласно A0.2.3)
«1 = %=^т1 а*2~ нг(у2н+v?i) • A0-2-13)
Принимая за исходные полученные значения КГ2, ^в2, а также зна-
чение of» определенное по A0.2.3) в виде
можно аналогичным способом найти параметры W3, Vq3, #з на
следующей промежуточной поверхности с углом наклона образующей
Для произвольной конической поверхности с углом наклона
образующей
' Дв, A0.2.14)
составляющие скорости вычисляют по формулам
Vrm = Угт_1 + Kem-iAe^i; A0.2.15)
Vbm = Vsm-i + {dVb I dQ)m_AQm_u A0.2.16)
где производную (dlVd0)m_i находят из A0.2.2) по параметрам
Vsm-ъ Угт-ъ CLm-i и 9т_х = 9т_2 — Д 6т_2. Вычисления заканчивают,
когда для некоторого значения угла промежуточного конуса
(рис. 10.2.2)
вп = вп-1-Мп-1 = в1-1~]? ДЭ, A0.2.17)
нормальная составляющая скорости становится равной нулю, т. е.
Vbn = Vbn-i + (dVs I dQ)n_№n-i = 0. A0.2.18)
Здесь производную (dlVdG)n-i находят из A0.2.2) по значениям
Ven-ъ Угп-ъ Яп-г на соседней промежуточной конической
поверхности с углом наклона образующей
i=n—2
А9«- (Ю.2.19)
Конус в сверхзвуковом потоке 17
В процессе вычислений, как правило, не удается в первом же
приближении выбрать такой малый угол д Qn_lf чтобы удовлетворялось
равенство VQn = 0. Обычно выбранному значению д 0^
соответствует вычисленная величина VQn> изменяющая свой знак на
противоположный по сравнению со знаком VQn на соседней поверхности с
углом наклона образующей б^. Это указывает на то, что значению
VQn = 0 соответствует приращение угла Д0П_1, меньшее выбранного.
Для определения этого приращения надо провести интерполирование,
воспользовавшись равенством
i • (Ю.2.18')
По значению Д Эп_х вычисляют скорость на конусе:
VrK = VK = Угп_, + VW-i ^п-1 A0.2.20)
и угол
1 A0.2.21)
Аналогичные расчеты можно производить в обратном порядке,
задавшись условиями на конусе, причем надо знать угол 0К и
скорость на конусе VK. Когда будут удовлетворены граничные условия
A0.2.5) и A0.2.7), численное интегрирование заканчивают. В
результате находят параметры газа в возмущенной области, а также
угол наклона скачка, возникающего перед заданным конусом, и
скорость (число Маха) набегающего потока.
Каждая операция численного интегрирования при заданных
величинах Эс, Voo (или |3К, VK) дает возможность определить поле
скоростей, т. е. найти вид функции V = F@), где V = V V\ -г V2Qy
и установить соответствие между данным углом конуса Рк и скоростью
на нем VK, с одной стороны, и углом скачка 0с и скоростью Voo —
с другой.
Повторяя расчеты при различных заданных углах 6С и
фиксированной величине скорости У*,, можно найти зависимости вида |3К =
= Рк@с)» VK — Ук(&к)илнУк = VK(Qc). Полученные результаты можно
представить графически в плоскости годографа w, и в виде так
называемой яблоковидной кривой (рис. 10.2.3, а). Эта кривая —
геометрическое место концов векторов скорости Кк возмущенного потока
непосредственно на обтекаемом конусе. Точка Л, расположенная
на яблоковидной кривой и принадлежащая концу вектора скорости,
соответствует конусу с заданным углом полураствора |3К; точка 5,
находящаяся на ударной поляре, совпадает с концом вектора
скорости Vcr несоответствующем скачке уплотнения с углом 0С.
Кривая А В — годограф скорости, т. е. геометрическое место
концов векторов скорости в возмущенной области течения между
конусом и скачком уплотнения. При построении годографа надо
выполнить следующее. Из рис. 10.1.1 по треугольнику скоростей опреде-
Глава десятая
18
Рис. 10.2.3а Яблоковидная
кривая A) и ударная поляра B)
лим для промежуточной конической поверхности составляющие
скорости:
Vr = l/cos@— e);
= — Vsm(Q — е).
A0.2.22)
В процессе численного интегрирования по найденным значениям
Vr и VQ для заданных углов 0 определяем отношение
VrlVb = — ctg@ — г), A0.2.23)
по которому подсчитываем угол е наклона вектора скорости V к оси
конуса. Полярные координаты V и е определяют положение точек
годографа скорости (см. точку С на рис. 10.2.3, а).
Изложенный графический метод решения задачи о сверхзвуковом
обтекании круглого конуса принадлежит проф. А. Буземану.
При помощи яблоковидной кривой и семейства годографов
скорости можно наглядно объяснить физический характер обтекания
конуса сверхзвуковым газовым потоком. В области между скачком
и конусом вдоль линий тока происходит постепенное изэнтропическое
сжатие газа. На рис. 10.2.3, а этому соответствует перемещение из
точки В на ударной поляре вдоль годографа скорости в точку А на
яблоковидной кривой. Линии тока, как видно из рис. 10.2.2,
постепенно искривляются и приближаются к поверхности конуса,
принимая направление образующей.
Проведем из точки О, как из центра, дугу радиусом а* (рис.
10.2.3, б). Если годограф скорости АВ для заданного угла |3К1
конуса расположен справа от дуги, то изэнтропическое сжатие за
ударной волной происходит при сверхзвуковых скоростях. Для некоторого
угла конуса CК2 > Pki часть годографа GK может оказаться левее
дуги, а часть KD — правее. Таким образом, возмущенное течение —
смешанное. В области, примыкающей к скачку уплотнения, течение
сверхзвуковое, а вблизи поверхности конуса — дозвуковое. Для еще
большего угла конуса (Зкз > ВК2 годограф скорости EF располагается
левее дуги а* и, следовательно, возмущенный поток — полностью
дозвуковой.
Конус в сверхзвуковом потоке
19
Рис. 10.2.36 Яблоковидная
кривая A) и ударная поляра B)
k) A(Vk)
Анализ яблоковидной кривой показывает, что каждому углу
конуса (Зк соответствуют теоретически два решения (см. на рис. 10.2.3,а
точки Л и Л' пересечения прямой АО с яблоковидной кривой). Одно
решение дает меньшую скорость и больший угол наклона скачка, а
другое — большую скорость и меньший угол наклона скачка. Как
показывают экспериментальные исследования,;* реально второе
решение, соответствующее устойчивому потоку за скачком уплотнения.
Можно указать точку ТА, в которой луч, проведенный из начала
координат, касается яблоковидной кривой. Эта точка соответствует
теоретически единственному решению и определяет критический
угол конуса рк-кр- Если действительный угол конуса больше
критического, то при помощи этой кривой формально нельзя исследовать
обтекание конуса. В реальных условиях это обтекание
характеризуется тем, что скачок отходит от острия и искривляется (рис. 10.2.4).
Такое обтекание называют сверхкритическим. Нетрудно заметить, что
критический угол является функцией только скорости набегающего
потока (соответственно числа Moo = VJuoo или относительной
скорости Яоо = VJa*).
Согласно экспериментальным данным, скачок уплотнения отходит
от вершины при углах (Зк, несколько больших тех, которые
определяются точной теорией обтекания конуса. Так, для числа Моо =
= 2,45 экспериментально найдено, что отход скачка уплотнения
происходит при угле |3К = 46°, в то время как вычисленное по теории
значение (Зк =45°46\
Экспериментальные исследования показывают, что коническое
течение, соответствующее постоянной скорости на конусе,
сохраняется до тех пор, пока на его поверхности не достигается скорость
звука. Соответствующий угол конуса 0"к может определяться по
точке А" пересечения дуги радиусом а* и яблоковидной кривой (см.
рис. 10.2.3, б). Таким образом, в практических случаях пользоваться
яблоковидной кривой при расчете обтекания всей конической
поверхности можно для углов рк<Р/. Скорость на конической
вершине, наиденная конической теорией (при помощи яблоковидной
кривой), хорошо согласуется с экспериментальными данными для всех
Глава десятая
20
к.кр
Рис. 10.2.4 Сверхкритическое
обтекание конуса
значений углов Рк<Рк.кР, т.е. для тех условий обтекания, при
которых скачок остается еще присоединенным.
Яблоковидная кривая показывает зависимость скорости VK на
конусе и угла скачка 0С от угла конуса (Зк при данной скорости
набегающего потока У» (при заданных числах Моо или А,*,). Чтобы
получить подобную зависимость для другой скорости Коо (Моо или Яоо),
надо произвести численные расчеты обтекания конуса и построить
соответствующую яблоковидную кривую для новых условий
обтекания. Семейство таких кривых представляет собой зависимость для
скорости на конусе и угла скачка от угла конуса |3К и скорости К»
(Моо или Хоо). На рис. 10.2.5 показано семейство яблоковидных
кривых, построенных для различных значений относительной скорости
Яоо = Vja*. На этом же рисунке построены соответствующие
ударные поляры, что позволяет сравнить обтекание клина с таким же
углом полураствора |3К> как и у конуса.
Из_рис. К).2.5 видно, что скорость на конусе больше, чем на
клине (ОЛК>ОЛКЛ). Для клина на косом скачке происходит поворот
потока на угол клина рс = ркл. В то же время для конуса поворот
на скачке происходит под меньшим углом EС< |3К. Следовательно,
угол 0С.КЛ наклона головной ударной волны перед клином больше,
чем угол 6С.К перед конусом.
Этот же результат можно получить из рис. 10.2.3, а. Соединим
точки Лкл и В с точкой О2 и проведем из этой точки перпендикуляры
к полученным прямым. Тогда углы между перпендикулярами и
горизонтальной осью и определят наклон образующих скачков перед
клином Эс.кл и конусом 9С.К. Из рисунка видно, что 6с.кл > 9с.к.
В соответствии с этим результатом угол наклона скачка перед
конусом (такой же, как перед клином), за которым происходит поворот
потока на критический угол, достигается при большем, чем у клина,
угле полураствора. Таким образом, критический угол конуса больше,
чем клина с тем же углом полураствора (см. также рис. 10.2.5). Это
объясняется тем, что в отличие от плоского движения газа около
клина течение в окрестности конуса имеет пространственный харак-
Конус в сверхзвуковом потоке
21
Рис. 10.2.5 Семейство яблоковидных
кривых и ударных поляр:
/ — скачок уплотнения; 2 — семейство
яблоковидных кривых; 3 — семейство
ударных поляр
1 1,21,41,61,8 2,02,2 A«,
тер, обеспечивающий газу более плавное изменение направления
движения.
При расчете обтекания конуса важным является определение
давления, плотности и температуры по найденным значениям Кк и 0С.
Принимая во внимание изэнтропический характер за скачком
уплотнения, воспользуемся соответствующими зависимостями C.6.26) —
C.6.33). Учитывая, что в формуле C.6.33) температура То не
изменяется за скачком уплотнения и определяется из C.6.35), найдем
следующую формулу для температуры на конусе:
A0.2.24)
где VK = FK/V'max.
В формуле C.6.26) давление торможения необходимо вычислить
с учетом потерь в скачке уплотнения. Обозначая величину этого
давления р\ и вводя параметр v0 = p'o/pOi вычисляемый по давлению
торможения р0 перед скачком по C.6.29), получаем для давления на
конусе
Л%^'(*-1}. A0.2.25)
Параметр v0 =р'0/р0 определяется в зависимости от числа М«>
и угла 0С скачка перед конусом при помощи D.3.21) и D.3.22)
следующим образом:
8-1
2S
-S) 1 +
1—i
1+8
2S
A0.2.26)
По уравнению состояния вычисляем отношение плотностей:
Рк/Роо = (pJPoo) Too/TK. A0.2.27)
Глава десятая 22
По абсолютной величине рк определяем коэффициент давления
на конусе:
Рк = (Рк — Poo)/qoo = 2 (рк — Poo)l(kJAlo poo). A0.2.28)
Силу сопротивления, обусловленную действием давления
(волновое сопротивление), определяем при помощи зависимости A.3.2).
Приняв в ней J =гГю cfx =0, 5П = SMIW = nRl, dS = 2nRdl,
л
cos(nA:) ==sin|3K (см. рис. 10.1.1), получим
Учитывая, что d/sinCK = dR, находим следующее выражение для
коэффициента сопротивления:
**. - ^/(^мид) = 2 J ржйЛ, A0.2.29)
где ~R=R/Ru-
Так как на конусе коэффициент давления рк при сверхзвуковом
обтекании — величина постоянная, для коэффициента волнового
сопротивления найдем __
с*в = Рк- A0.2.30)
Таким образом, коэффициент волнового сопротивления конуса при
осесимметричном сверхзвуковом обтекании равен коэффициенту
давления на его поверхности. В результате обработки данных точной
теории можно рекомендовать следующую приближенную формулу
для расчета коэффициента волнового сопротивления (или
коэффициента давления) при таком обтекании (см. [9]):
С
= рк = 2 • Ю-з (qj8 + M=«) pji.7 A0.2.31)
где р„ — угол конуса, град.
Расчет по этой формуле можно вести до значений рк < 50° и М*, =
= 7 -т- 8. Нижний предел числа М<х> соответствует критическому
значению угла конуса Рк.кр, при котором скачок остается еще
присоединенным. Для расчета угла наклона скачка перед острым кону-<
сом можно использовать приближенную зависимость (см. [8])
(U 1 9 \1/9
1 + -=-^1 Moo sin2 рк) . A0.2.32)
Удовлетворительные результаты по этой зависимости получаем при
таких значениях рк и М<х>, которые допустимы в случае расчета по
формуле A0.2.31). Погрешность возрастает при больших значениях
Рк и Моо, когда значительным становится влияние диссоциации (М«> >
> Ю, рк > 30 ~ 40°).
Конус в сверхзвуковом потоке 23
§ 10.3.
Влияние равновесной диссоциации
и ионизации газа на обтекание конуса
Для решенияЪадачи об обтекании конуса с учетом влияния
равновесной диссоциации и ионизации используем систему, включающую
дифференциальные уравнения A0.1.2), A0.2.2), уравнения состояния
A0.1.4) и энергии A0.1.5), а также общие зависимости A0.1.6) —
A0.1.9) для определения энтальпии, энтропии, средней молярной
массы и скорости звука в диссоциирующем и ионизирующем газе.
При этом общая схема численного интегрирования
дифференциальных уравнений такая же, как и в случае постоянных теплоемкостей.
Расчет начинаем с определения за косым скачком уплотнения
параметров газа по заданному углу 6С. Радиальную составляющую
скорости Vcr определяют по A0.2.8), нормальную составляющую
скорости Vcq — по теории скачка уплотнения, учитывающей влияние
диссоциации и ионизации (см. § 4.2). В первом приближении примем
значение [см. D.2.12)]
ДИ° = (Vni-Vn2)/Vnl =«(l/6oo-l/ce )IVboo A0.3.1)
равным единице, т. е. рассмотрим условие полного торможения за
скачком, при котором Vcq «0. Соответствующее этим условиям
давление находим из формулы D.2.15). Полагая в ней Д Vn = 1 и
учитывая, что Мщ = MooSin0c, получаем
р[1) = A 4- ^mL sin2 Эс) Роо. A0.3.2)
По выражению D.2.16), в котором полагаем A Vn =1 и Vni =
FG вычисляем энтальпию:
iil) = iao + Vl>sm*Bc/2. A0.3.3)
По значениям pil) и iil) можно найти плотность рс!), используя
графики термодинамических функций воздуха [7, 20], а затем во
втором приближении определить по D.2.21) изменение относительной
скорости:
A7i2> = l-poo/pJl>. A0.3.4)
По этому приращению скорости уточняем давление:
+ k№lsin2 9cAi7<2)) A0.3.5)
и энтальпию:
¦ • -^-B — Д^2)) I. A0.3.6)
Глава десятая 24
Используя графики термодинамических функций, находим
плотность рс2) и уточняем величину AV^:
= 1—Роо/р<2). A0.3.7)
Если величина Д K«3) мало отличается от значения A VJ%\ то
приближения заканчивают и определяют нормальную составляющую
скорости после скачка:
Fc0 = v*x = Keoo A — At7i3)) = FcoSinec A — AV™). A0.3.8)
Для расчета можно использовать также таблицы, приведенные
в [21]. Из этих таблиц по значениям р[1) и &1) (в таблицах энтальпия
обозначена h, м2/с2) можно определить температуру Til) и среднюю
молярную массу воздуха OiCp)c!) и затем из D.2.17) вычислить
соответствующую плотность:
Jr (м^^ t AО.з.9)
где для недиссоциированного воздуха можно принять (fxcp)oo =
= 29 г/(г-моль).
Затем по формулам A0.3.4) — A0.3.6) вычисляем р?\ i{c2\ из
таблиц находим Т{?\ (ц-Ср)с2\ а по выражению A0.3.9) определяем
величину
По значению р?2) в формуле A0.3.7) находим A l/«3), а из
выражения A0.3.8) определяем VcQ = VQ1.
Для заданного шага интегрирования Д 9Х вычисляем на соседней
конической поверхности VT2 по A0.2.10'), a VQ2 — по A0.2.1 Г). Причем
в формуле A0.2.1 Г) производную (dFe/^9)i определяем по
выражению A0.2.12), в котором скорость звука аг находим из таблиц или
графиков термодинамических функций по известным значениям /??2)
и /<2) (или по /7<2) и 7f >).
На выбранной конической поверхности по уравнению A0.1.5)
определяем энтальпию:
;2=43) + [tfi + v?,-(v* + vf2)]/2. (ю.3.10)
Для дальнейших расчетов следует воспользоваться значением
энтропии газа, полагая, что возмущенный поток за скачком
уплотнения во всей области изэнтропический и, следовательно, энтропия
всюду такая, как и в потоке газа за скачком. Эту энтропию S = Sc =
= const определяем из таблиц. термодинамических функций по
значениям р<2), й2) (или р?\ 7f >).
Конус в сверхзвуковом потоке 25
По энтальпии ?2 и энтропии S из таблиц или графиков можно
найти скорость звука а2> а по формулам A0.2.10') и A0.2.1 Г) вычислить
соответственно составляющие скорости Vrz и VQ3 на конической по-
2
верхности с углом 9 = 0с — 2^6*- Аналогично рассчитываем
napalm 1
метры потока для соседних промежуточных конических поверхностей.
Вычисления заканчиваем, когда на одной из таких поверхностей
нормальная составляющая скорости К071 окажется равной нулю.
Соответствующий угол A0.2.21) является углом обтекаемого
конуса, а скорость — скоростью VK A0.2.20) на этом конусе.
Соответствующая энтальпия
где
По энтальпии tK и энтропии S = 5С из таблиц, графиков или по
соответствующим формулам можно определить на конусе
температуру Гк, давление рк и плотность рк.
Все параметры на конусе, обтекаемом потоком с заданным числом
Моо, зависят не только от температуры Г*,, что характерно для случая
переменных теплоемкостей, но и от давления /?«> набегающего потока,
от которого зависят степени диссоциации и ионизации. Вместо /?«> в
качестве функции, определяющей изменение параметров газа на
конической поверхности, можно выбрать при заданных параметрах рк,
Моо и Too высоту полета Н. При значениях Too и Моо параметры
обтекания на конусе — функции угла |3К и высоты полета Н.
Обработка результатов расчета параметров обтекания конуса
указанным методом, а также экспериментальных данных позволяет
получить приближенные соотношения для коэффициента давления
рю относительной плотности р = роо /рк и угла наклона скачка 0С
(см. [10]):
~рк = 2 sin2 Рк [A - 0,25р) cos2 (вс - PJ]; A0.3.11)
Р = 2{l—Btg|3K/tg9c) [l + V 1 — 2р tg» рж/A — О.б?J]}; A0.3.12)
lO2MooSin0c = 44- \gPoo + 0,5 B01 4- lgpJM^sin flK , A0.3.13)
где рсо — атмосферное давление, Па.
Приведенные соотношения дают удовлетворительные результаты
для значений р ^0,1 и меньше. Расчеты при помощи этих
соотношений не требуют применения таблиц термодинамических функций.
По известным значениям Моо, |3К» роо (этими значениями задаются),
используя A0.3.13), определяем сначала 0С, затем при помощи
A0.3.12) подсчитываем величину р, а по A0.3.11) — коэффициент
давления.
Глава десятая
26
Рк/Р.
700
600
500
№
"Л
100
О
/
У
Н=80км-У"\
//
'н=50км
jf Без учета
диссоциации
10 20 J0 40 50 60 /3 град
Рис. 10.3.1 Давление на конусе с
учетом диссоциации обтекающего
газа
G-со = 220 К, М0О = 23,5)
3000
2500
1000
1500
WOO
5QQ
О
Вез учета
диссоциации
ц-q
У
/
А
/
V
//у
*Н=80
s*>0
^¦60
^7/7-
км ,
10 ' 2п 30
50
Рис. 10.3.2 Температура на конусе с
учетом диссоциации обтекающего
газа
Mo
10)
Для определения температуры Тк необходимо воспользоваться
уравнением состояния A.5.8). Относя одно из них к течению газа
на конусе, а другое — к условиям в набегающем потоке, находим
= ° (l*cp)
ср/к*
A0.3.14)
По A0.3.14) и найденным значениям /?к, р вычисляем Тк= а([хср)к,
а при помощи графика функции (jlicp)k = /з(рк> ^к) (см. рис. 1.5.7)
путем подбора находим соответствующую величину Тк.
Некоторые результаты расчета параметров на конусе приведены
на рис. 10.3.1 — 10.3.3. Характер изменения давления /?к,
температуры Гк и плотности рк на конусе при наличии диссоциации и
ионизации тот же, что и непосредственно за скачком уплотнения. При этом
давление, как и за скачком, мало зависит от диссоциации и ионизации.
Его величина зависит в основном от условий набегающего потока,
причем максимальное избыточное давление на конусе не может
превысить некоторой предельной величины этого давления р2 — р1у
получаемой из D.2.14) при условии Vn2 =0, Vnl = V± = Кос (прямой
скачок уплотнения) и равной р2 —рх = pooF2oo. В то же время
температура и плотность изменяются существенно, при этом изменение тем
больше, чем толще конус.
Если углы конуса невелики, то даже при значительных скоростях
обтекания эти параметры на конусе испытывают небольшое влияние
физико-химических превращений. Расчеты показывают, что при М<х> =
= 24 плотность почти не изменяется с высотой вплоть до углов (Зк =
= 15°, а при Моо= Ю (рис. 10.3.3) —до углов (Зк= 35°. Таким об-
Конус в сверхзвуковом потоке
27
J
/
— и=
м
н
30км—|
Z/60
&>50
к **
=30 км
8С, град
46
45
44-
10 10 30 40 5й j8K, град
Рис. 10.3.3 Плотность на конусе,
обтекаемом диссоциирующим
потоком
G^ = 220 К, Моо=10)
V
\
\
И-60км
^к-1,4
^^
Н=30км
\
\>
\
—~.
- 9С
V~ i
Ч
15 20 Moo
Рис. 10.3.4 Изменение угла наклона
скачка уплотнения перед конусом,
расположенным в сверхзвуковом
потоке
( реальный газ,
совершенный газ)
разом, интервал углов (Зк, которому соответствуют сравнительно
невысокие температуры и пренебрежимо малая степень диссоциации,
расширяется с уменьшением скорости. Такое же явление наблюдается
с уменьшением высоты полета.
Утолщение конуса вызывает более интенсивный нагрев и, как
следствие, диссоциацию и ионизацию, которые могут существенно
влиять на параметры обтекания. На рис. 10.3.4 показано это влияние
на изменение угла наклона 6С скачка перед конусом с углом (Зк = 40°.
Угол 0С уменьшается по сравнению с тем, что наблюдается при
постоянных теплоемкостях (к = 1,4). Это вызывает снижение
интенсивности скачка уплотнения и увеличение скорости за ним, что
влечет за собой рост скорости на обтекаемом конусе.
Рост скорости потока и уменьшение скорости звука
приводят к увеличению числа Мк на конической поверхности,
расположенной в диссоциированном газе.
Увеличение местного числа Маха вызывает снижение давления.
Вместе с тем оно становится больше в результате увеличения числа
частиц газа при диссоциации и, следовательно, большего количества
их соударений. Суммарный эффект проявляется в возрастании
давления, хотя и незначительном (см. рис. 10.3.1).
Рассмотрены два случая невязкого обтекания конуса. Один из
них связан с течением газа при постоянных теплоемкостях,
являющимся полностью неравновесным, другой — с равновесной
диссоциацией. Оба случая можно считать предельными и расположенными на
границах интервала, внутри которого размещаются неравновесные
течения в возмущенной области. Параметры в такой области
изменяются от их полностью неравновесных значений на скачке до
равновесных величин в конце длины пути релаксации (вблизи или на самой
поверхности).
Глава десятая
28
Рис. 10.4.1 Конус с затуплением в
виде касательного сферического
носка
§ 10.4.
Затупленный конус
ФОРМА ЗАТУПЛЕННЫХ НОСКОВ
Во многих конструкциях летательных аппаратов головные части
имеют затупленные формы. Затупленные формы применяют прежде
всего при очень больших скоростях полета, когда основным
требованием, предъявляемым к головным частям, является способность
противостоять действию высоких температур обтекающего газа. Однако
часто затупленную форму имеют летательные аппараты (или их
отдельные элементы), у которых небольшие скорости, что может быть
обусловлено конструктивными особенностями, назначением аппарата
и др. Практически всегда приходится рассматривать затупленное тело,
так как технологически невозможно создать абсолютно острую
головку.
Рассмотрим конические тела с различными кромками затупленных
носков, как наиболее распространенные. На рис. 10.4.1 показано
коническое тело с затупленным носком сферической формы.
Уравнение прямолинейного участка образующей такого тела, касательной
к сфере, имеет вид
г — rT = (x — *T)tg|
A0.4.1)
где гт, хт — координаты точки сопряжения сферы и образующей,
определяемые через радиус сферы RT и угол конуса рк:
rT = RT cos PK ; хт = RT ctg ftK cos |3K . A0.4.2)
Уравнение ^образующей сферического носка в системе координат,
начало которой совпадает с его вершиной, имеет в безразмерной форме
вид
где г =
х = x/RT.
A0.4.3)
Конус в сверхзвуковом потоке
29
Рис. 10.4.2 Конус с затуплением в
виде секущей сферы:
/ — секущий сферический носок; 2 —
касательный сферический носок; 3 — затупление
в виде плоского торца
Тангенс угла наклона касательной в данной точке образующей
к оси
tg р =
= A — x)lr.
A0.4.4)
Носок конуса можно выполнить таким образом, что образующая
будет не касательной, а секущей по отношению к сферической
поверхности (рис. 10.4.2). Радиус такой поверхности, построенной для
точки с координатами гТ9 хт, будет /?т.с>#т, где 7?т — радиус
касательного носка, связанный с гт и хт зависимостями A0.4.2).
На рис. 10.4.2 показан конус с затуплением в виде плоской
поверхности (плоского торца), которую можно рассматривать как сферу
с бесконечно большим радиусом. В свою очередь, сферический носок
и плоский торец можно рассматривать как «предельные» формы
эллиптической поверхности. На рис. 10.4.3 изображен конус с
затупленным носком в виде такой поверхности.
Сферический касательный носок и плоский торец — наиболее
характерные формы затуплений, которые можно рассматривать как
границы своеобразного интервала, содержащего другие возможные
формы. Обе эти характерные формы представляют интерес при
исследовании аэродинамики затупленных тел с какой-либо
промежуточной формой носка, так как дают возможность оценить крайние
значения тех или иных аэродинамических параметров, которыми они
обладают.
Аэродинамические характеристики затупленных тел существенно
зависят при заданном типе носка от степени затупления, под
которой понимают отношение радиуса^ основания носка гт к радиусу
миделевого сечения тела гмид (гт = гт/гмид). Изменение степени за
тупления конуса со сферическим касательным носком или торцом
соответствует интервалу 0<гт<1. При 7Т=0 имеем острый конус, при
гТ= 1 — цилиндр. Характеристикой затуплений в виде касательных и
секущих носков служит отношение rT/RTCi изменяющееся от rT/RTC = 0
(торец) до величины (гт//?тс)сф для касательной сферы радиусом RTC=RT.
Глава десятая
30
Гмид-
Рис. 10.4.3 Конус
затуплением
с эллиптическим
ОСОБЕННОСТИ СВЕРХЗВУКОВОГО
ОБТЕКАНИЯ
Важное для практики аэродинамическое свойство затупленных
тел заключается з в том, что при движении в атмосфере с очень
большими скоростями они нагреваются и разрушаются
меньше, чем заостренные тела.
Рассмотрим, какими газодинамическими явлениями обусловлено
это свойство затупленных тел. На рис. 10.4.4 изображена схема
потока около затупленного конического тела. Перед телом образуется
отошедшая ударная волна с переменной интенсивностью в
различных точках ее поверхности. Вдали от носка ударная волна
превращается в обычную волну возмущения с бесконечно малой
интенсивностью и углом наклона 0С = jiioo = arcsin(l/M<x>). Максимальная
интенсивность будет в вершине волны (точка В на рис. 10.4.4), где
0С =я/2. Так как в окрестности носка угол 0С мало отличается от
я/2, то, следовательно, соответствующий участок волны имеет
достаточно большую интенсивность, близкую к интенсивности прямого
скачка.
Переход частиц газа через такой сильный скачок уплотнения
сопровождается значительными потерями полного напора и
повышением энтропии. В результате у поверхности тела образуется слой
некоторой толщины, в котором газ обладает высокой энтропией.
Принято, что такой высокоэнтропийный слой ограничен частью ударной
волны и поверхностью, полученной от вращения «звуковой» линии
тока, т. е. линии тока, проходящей через «звуковую» точку на волне
(точка S с координатой rST на рис. 10.4.4).
В высокоэнтропийном слое вследствие неодинаковой степени
торможения в различных точках ударной волны течение характеризуется
(рис. 10.4.4) некоторым градиентом скорости в направлении нормали
п и, следовательно, переменным значением местного числа М по
толщине Д. Если при этом пограничный слой имеет значительно
меньшую толщину, чем высокоэнтропийный, то градиентом скорости в нем
по сравнению с градиентом скорости в высокоэнтропийном слое можно
Конус в сверхзвуковом потоке
31
Рис. 10.4.4 Схема обтекания
затупленного конуса сверхзвуковым
потоком:
1 — «звуковые» точки; 2 — ударная волна;
3 — «звуковая» линия тока; 4 —
высокоэнтропийный слой
пренебречь, что упрощает исследование. Принимается, что в
высокоэнтропийном слое скорость в различных точках сечения одинакова.
Приближенно ее можно считать равной средней скорости между
значениями на звуковой, а также нулевой линии тока, проходящей через
вершину волны. Эта скорость, очевидно, меньше, чем скорость на
заостренном конусе. Вблизи поверхности область течения, занятая
высокоэнтропийным слоем и характеризующаяся малыми
скоростями (и, следовательно, малыми числами Маха
и Рейнольде а), оказывает решающее влияние на формирование
процессов в пограничном слое.
Существенная особенность обтекания заключается в том, что под
влиянием затупления изменяется режим течения в пограничном слое.
Вследствие уменьшения местных чисел Рейнольдса, подсчитываемых
по скорости в высокоэнтропийном слое, ламинарный пограничный
слой переходит в турбулентный гораздо ниже по течению и, таким
образом, протяженность ламинарного
пограничного слоя возрастает. Это способствует снижению
трения и уменьшению тепловых потоков к стенке.
Снижение тепловых потоков, обусловленное повышением
энтропии газа при переходе через скачок уплотнения, называется
энтропийным эффектом. При этом следует иметь в виду, что энтропийный
эффект сводится не только к уменьшению скорости на внешней
границе пограничного слоя, но и к уменьшению плотности газа, т. е.
к снижению чисел Рейнольдса. Вместе с тем увеличение энтропии
приводит и к увеличению (по сравнению с заостренным телом)
температуры на внешней границе пограничного слоя. В этом проявляется
противоположный эффект высокоэнтропийного слоя, приводящий к
некоторому повышению теплового потока от пограничного слоя к
стенке. Однако суммарный энтропийный эффект при соответствующем
подборе стенки и формы затупления, как показывают расчеты и
экспериментальные исследования, связан с уменьшением тепловых
потоков.
Волновое сопротивление затупленного тела по сравнению с за-
Глава десятая
32
Рис. 10.4.5 Коэффициент давления
на поверхности конуса с плоским
затуплением при Моо = 6,85:
рао
для заостренного
эксперимент;
чет по конической теории
тела
остренным, как правило, возрастает, хотя для тонких конических
тел с малым затуплением характерно снижение сопротивления,
которое объясняется тем, что, несмотря на повышение давления у носка,
на значительной части обтекаемой поверхности возникает пониженное
давление по сравнению с заостренным конусом. Это явление
понижения давления за носком показано на рис. 10.4.5, где приведены
экспериментальные результаты, полученные в аэродинамической трубе
для тонкого конуса с затуплением в виде торца, обтекаемого
сверхзвуковым потоком при Моо = 6,85. Минимальное давление
достигается на расстоянии около 10 диаметров затупления. На удалении от
носка, примерно в 10 раз большем, происходит восстановление
давления до значения на заостренном конусе. Если такой конус имеет
небольшую длину и, следовательно, малую поверхность с
пониженным давлением, то уменьшение сопротивления для этого участка
недостаточно, чтобы компенсировать его рост за счет повышения
сопротивления торца. Для достаточно длинного конуса уменьшение
сопротивления периферийного участка может быть более
существенным и приведет к снижению полного сопротивления затупленной
конической поверхности по сравнению с заостренной.
Главный эффект от применения затупления заключается не в
изменении сопротивления, которое при малой степени затупления
оказывается сравнительно небольшим, авсущественном
уменьшении теплопередачи. Как показывают исследования,
такое преимущество затупления проявляется в основном в области
гиперзвуковых скоростей.
Можно указать и другие случаи применения затупленных
поверхностей, связанные не столько с необходимостью уменьшения
теплопередачи, сколько с увеличением лобового
сопротивления. Такую форму поверхностей имеют спускаемые
космические аппараты, для которых характерны большие величины сха,
обеспечивающие более интенсивное их торможение в атмосфере.
Для таких аппаратов должны быть приняты меры по
предохранению их от разрушения вследствие аэродинамического нагрева.
Конус в сверхзвуковом потоке 33
ОБТЕКАНИЕ КОНУСА,
ЗАТУПЛЕННОГО ПО СФЕРЕ
Уравнения обтекания и их решение. Изучение аэродинамики всего
затупленного тела связано с исследованием обтекания его передней части,
выполненной в виде затупленного носка какой-либо формы. Результаты этих
исследований — основа для расчета параметров потока на остальном участке тела.
Кроме того, эти результаты имеют самостоятельное значение, так как
позволяют определить аэродинамические характеристики затупленного носка.
Суммарные аэродинамические характеристики тела можно определить путем
сложения составляющих для носка и остального участка. При этом необходимо
указать, что если обтекание периферийной части тела зависит от затупления, то
условия течения около самого носка определяются лишь формой части носка
до звуковой точки на его поверхности. Если такая звуковая точка находится
на периферийной поверхности (вниз по потоку за линией сопряжения носка и
тела), то возмущения, возникающие на участке периферийной поверхности тела,
распространяются вверх по потоку в направлении носка и обтекание его нельзя
рассматривать вне связи с обтеканием этого участка.
Рассмотрим задачу об обтекании сферического носка, принадлежащего
затупленной конической поверхности, предполагая, что на обтекание носка не
влияет периферийная поверхность тела. Исследуем невязкое обтекание, имея
в виду, что, несмотря на такое ограничение, отыскиваемое при этом решение
имеет большое практическое значение: оно позволяет определить основные
условия течения вне пограничного слоя, необходимые для изучения процессов
трения и теплопередачи, формируемых в пограничном слое.
Сначала рассмотрим течение в окрестности точки полного торможения,
являющейся одной из наиболее характерных точек сферической поверхности.
Изучение этого течения представляет интерес прежде всего потому, что оно
связано с такой практической задачей, как определение тепловых потоков, которые
могут достигать здесь наибольшей величины. Наряду с этим решение задачи о
течении вблизи точки полного торможения позволяет определить расстояние
от ударной волны до носка, а также распределение газодинамических
параметров в этой небольшой области, причем решение можно получить в общем случае
с учетом физико - химических превращений газа.
Для решения сформулированной задачи воспользуемся уравнением
движения, которое согласно C.1.21) для «невязкого» (v == 0) и «невесомого» газа
(G = 0) имеет в векторной форме вид
dV/dt = -(l/p)gradp. (Ю.4.5)
Представим уравнение A0.4.5) в системе криволинейных ортогональных
координат. Начало координат этой системы совместим с точкой О полного
торможения на сферической поверхности, координату х отсчитываем вдоль
поверхности, а у — по нормали к ней (рис. 10.4^6). Используя C.1.22) и учитывая,
что исследуется установившийся поток (dV/dt = 0), уравнение A0.4.5)
преобразуем к виду
grad A/2/2) + rot? X? = -(l/p) grad p. A0.4.6)
Рассматривая проекции векторов на направления координатных линий
?i и q2 криволинейной системы [см. B.4.11)], получаем уравнения движения:
[grad (У2/2)]х + (rot V X V)i = - A/Р) (gradp)i; j
Значения [gradd/2/^]! и [grad(V2/2)]2 можно определить, используя
зависимость C.1.24). Заменив в ней р на V2/2 получим
2—708
Глава десятая
34
Рис. 10.4.6 Схема
сверхзвукового обтекания сферической
поверхности
где qit q2 и уг определяются значениями B.4.40).
Так как рассматривается случай осесимметричного обтекания, то
Используя значения B.4.42) для параметров Ламе hi и Д2> представим
формулу A0.4.8) в виде
grad— Wx+ grad— /, = [1 + -Z-
4/1 \ 4/2 \ Kt
\
откуда
d(V*/2) d(V42) .
IZ li "Г" Z ?a.
A0-4-9>
Рассмотрим векторное произведение:
rotFx V= [(rotFji*! + (rot V)zi2 + (rotpKf8 ] (V1i1 + V2C2 + V3i8).
Отсюда находим проекции:
(rot К X V)t = (rot KJ V3 - (rot VK V2;
(rot V X 1^J = — (rot V)i V3 + (rot 7K V\.
Так как рассматривается осесимметричное течение, то в этих выражениях
надо принять V3 = 0. Проекция вектора (rotT% B соответствии с C 1.28)
(rotT7K = -V
или с учетом B.4.40) и B.4.42)
J.-JLY i^L
"*" Rt 1 \дх
Поэтому
A0.4.10)
Конус
в сверхзвуковом потоке
35
(rot"
-i
(rot? X 7J =
ду
A0.4.11)
Из C.1.24) следует, что
или с учетом B.4.40) и B.4.42)
, (gradpJ=» • A0.4.12)
Внося A0.4.9), A0.4Л1)и A0.4.12) в A0.4.7), после преобразований получаем
следующие уравнения движения:
V, dVr dVr VrVv 1
+ Vy~~T
1
дх
+ '
У
—— | A0.4.13)
ox
1 +
y + Rj
dp
ду
A0.4.14)
К уравнениям движения необходимо присоединить уравнение
неразрывности, которое согласно B.4.46) для установившегося обтекания (dp/dt = 0)
представим в форме
д (?rVx)/dx + a [pr (I + y/RT) Vy]/dy = 0. A0.4.15)
Если принять, что исследуется область в окрестности критической точки
и набегающий поток имеет очень большую сверхзвуковую скорость, то исходные
уравнения A0.4.13) — A0.4.15) можно упростить. В действительности при этих
условиях поток за ударной волной по своим свойствам практически несжимаем,
так как число М2 мало отличается от его значения [(k — 1)/2&]1/2,
соответствующего случаю предельного течения (при М<х>->оо и k = const) за прямым
скачком. Следовательно, в рассматриваемой окрестности плотность можно принять
постоянной и равной рс0 — плотности за ударной волной в точке полного
торможения. Таким образом, в уравнениях движения и неразрывности переменную
плотность р можно заменить постоянной величиной рсо.
Так как рассматриваются большие скорости, то в этом случае ударная
волна близко подходит к поверхности тела. При этом область возмущенного течения
располагается в тонком слое некоторой толщины s, весьма малой по сравнению
с радиусом кривизны RT поверхности.
Таким образом, если принять, что s/RT < 1, то, очейидно, и y/RT < 1,
так как 0 <: у <: s. Следовательно, в уравнениях движения A0.4.13) и
(Ш.4.14) и неразрывности A0.4.15) величиной y/RT можно пренебречь.
Учитывая приведенные упрощения и то, что для условий вблизи точки торможения
величину г в A0.4.15) можно принять г« х, уравнения A0.4.13) — A0.4.15)
2*
Глава десятая
представим в следующем виде:
dVr dVx vxVy 7 dp
,L__-3-.*.t «,0.,,7,
* ду #т р^ ду
0. A0.4.18)
дх ду
В уравнения A0.4.16) и A0.4.17) введена безразмерная плотность р" =
= роо/р« роо/рсо = const. Покажем, что уравнения A0.4.16) и A0.4.17) можно
еще упростить. Для этого рассмотрим порядок величин членов, входящих в эти
уравнения. По физическому смыслу порядок величины Vy будет Vy ~~ Vc0,
где Усо — скорость за прямой частью ударной волны. Порядок координат х и у
для малой окрестности определяется соответственно значениями х ~ so, y~so
(so — расстояние от прямой части волны до поверхности носка).
Из уравнения A0.4.18) следует, что порядок величины
s0
откуда находим Vx ~ Vco. Таким образом, порядок величины составляющей
Vx такой же, какЛи Vy. Нетрудно видеть, что порядок третьих членов в правой
части уравнений V2co/RT, а остальных V\o/so. Вследствие того что so <€ #т»
третьи члены имеют меньший порядок и ими можно пренебречь.
Таким образом, вместо A0.4.16) и A0.4.17) имеем:
т/ JWjl , ,/ Mjl „P_ lE_. A0.4.16')
дх у ду р^ дх
дУУ . „ ^=_ JL.^
ду Роо ду
+Vy—i-e_-I-.^-. A0.4.170
у ду Р ду
Решение системы уравнений A0.4.16'), A0.4.17') и A0.4.18) должно
удовлетворять граничным условиям на поверхности тела в произвольной точке, где
при у = 0 нормальная составляющая скорости Vy = 0, а затем в точке полного
торможения, в которой при у == х = 0 составляющие скорости Vx = Vy = 0.
Кроме того, решение должно удовлетворять граничным условиям течения за
ударной волной. Эти условия, приведенные для составляющих скорости в точке
Л, расположенной на расстоянии s от поверхности носка, имеют вид (см.
рис. 10.4.6)
A0.4.19)
y A0.4.20)
где Р — угол наклона касательной к поверхности в точке В, находящейся вместе
с точкой А на одной нормали.
Полная скорость Vc за скачком уплотнения определяется при помощи
формулы D.3.18). Приняв в ней V2 — Vc» ^x = Voo и Pi/p2« poo/pc0 =?". найдем
/2 . A0.4.21)
Конус в сверхзвуковом потоке 37
Решение задачи об обтекании окрестности точки полного торможения
можно свести к отысканию поля скоростей. Таким образом, рассматриваемая задача
является чисто кинематической. Для этого необходимо исключить из
уравнений движения плотность и давление и продифференцировать A0.4.16') по у,
а A0.4.17') по х:
^^^V^—^—' A0.4.22)
Роо дхду > '
дх ду у дудх р^ дудх
A0.4.23)
Введем функцию, определяющую удвоенный компонент вихря
[составляющую ротора скорости (rot"F)z = 2coz; см. B.2.3)]:
— 2(oz = 2z =dVx/dy — dVy/дх. A0.4.24)
Используя функцию A0.4.24), а также уравнение неразрывности A0.4.18),
можно преобразовать уравнения A0.4.22) и A0.4.23). Так как правые части этих
уравнений одинаковы, то
ду
dVx
дх
дУх
дх
dVy
дх
дУу
~f~ V* л„я.. + л,. * д,. "I" *У'
_W_x_ ^Ух_ , „ dWx _^y
дхду ду ду
dWy dVy
дх2 дх ду у дудх
или
dVx
ду дх ) \ дх "*" ду ] ^ х [дхду дх2
0. A0.4.25)
ду2 дудх
Из A0.4.24) следует, что
дхду дх2 дх ' ду2 дудх ду
Из уравнения неразрывности A0.4.18) находим
dVx/dx + dVy/dy = Vx/x.
Поэтому уравнение A0.4.25), в котором дVJdy — дVJdx = Q2, можно
представить в виде у
QzVx/x = VxdQjdx + VydQjdy. A0.4.25')
(\о /?й\ИМ ?^af о^\задача заключается в отыскании решений уравнений
I*"-*, us; и (Ш.4.25 ), удовлетворяющих указанным граничным условиям.
UQT паиДем решение для Vx в окрестности точки полного торможения,
координаты которой х = 0, у = 0, в виде ряда
Vjc = <*о (У) + ах (у) х + а2 (у) х2 + а3 (у) х* + ... , A0.4.26)
ординатыМаЛЫЙ параметР» а ап — коэффициенты, являющиеся функциями ко-
Глава десятая 38
Структуру ряда A0.4.26) можно упростить. Действительно, ввиду
симметрии течения функция Vx(x) является нечетной, т. е. одинаковым по величине,
но различным по знаку значениям х соответствуют равные по абсолютному
значению, но противоположные по знаку составляющие скорости Vx. Поэтому в
разложении A0.4.26) сохраняются члены только с нечетными степенями, т. е.
Vx = % (У) х + а3 (у) *»+... A0.4.27)
Учитывая, что рассматривается малая окрестность вблизи точки полного
торможения, членами, содержащими х в третьей и более высокой степени,
можно прен-ебречь. Таким образом,
Vx = аг{у)х. A0.4.28)
Введем функцию
$<h(y)dy, A0.4.29)
о
удовлетворяющую условию ^@) = 0. Тогда
Vx = xdF/dy = xF' {у). A0.4.30)
Подставим выражение Vx из A0.4.30) в A0.4.18):
dVy
xF'(y)+xF"(y) + x-— =0.
оу
Отсюда находим выражение для другой составляющей скорости:
Уу = — 2 J F' (y)dy + f(x)=-2F(y) + f(x), A0.4.31)
где f(x) — произвольная функция х.
По условию безотрывности обтекания Vy(x, 0) = 0. Следовательно, f(x) =
= —2F@). Но функция ^@) = 0, поэтому f(x) = 0 и
Vy = —2F(y), A0.4.32)
Для определения вида функции F(y) внесем A0.4.30) и A0.4.32) в A0.4.25'):
[xF»(y)/x]Vx =. VxF'(y) - 2F(y)F'"(y).
Согласно A0.4.32), функция F{y) ф 0, поэтому
h F"'(y) = 0. A0.4,33)
Общее решение этого уравнения имеет вид
F(y) = -Vy/2 = со + сгу -f- с$\ A0.4.34)
Так как Уу = 0 при у = 0, то со = 0. Два других коэффициента можно
определить, если воспользоваться условиями на ударной волне вблизи
критической точки при х -> 0. В частности, из условия A0.4.21) следует, что
непосредственно за прямой частью ударной волны F с = я/2) скорость в точке С (см.
рис. 10.4.6) Vy = Vc =: —фУоо. Так как координата точки у ==. so, то Vy =
= Vt = —2(^0 + c2so2). Поэтому составим первое уравнение для определения
коэффициентов сг и с2:
^оо = 2(clSo + c2so2). A0.4.35)
Для нахождения второго уравнения продифференцируем A0.4.34) по у:
F'(y) = d
Конус в сверхзвуковом потоке 39
В соответствии с этим результатом и согласно A0.4.31) составляющая
скорости
Vx = x(c1+ 2с&). A0.4.36
Рассмотрим точку Л на ударной волне, удаленную от поверхности носка
на расстояние у = s. "Приравнивая скорость Vx, найденную из A0.4.36),
ее значению A0.4.19) на ударной волне
VxA = Kccos(P - рс),
П0ЛуЧЗеМ ,(* + 2с*) = Fccos(P - р0).
Переходя к пределу при а;-»0и полагая s = so, Vc = рК<х>, находим
зависимость, относящуюся к точке С, расположенной на прямой части ударной волны:
cos C - Эс) Ci + 2g2s0
lim ==—_ . A0.4.37)
*-*° Х Р^оо
Предел в левой части можно вычислить следующим образом. Из рис. 10.4.6
видно, что в точке Л на ударной волне угол Р — Рс = я/2 —- (ф + рс).
Следовательно, cos(P — Рс) = sin(cp + рс). Вблизи точки полного торможения углы
ср и рс малы и можно принять cos(P — Рс)^ Ф + Рс- В соответствии с этим
X х->0 X х->0 X
Очевидно, что Пт(ср/л;) == 1//?Т, а второй предел можно представить в виде
х->0
lim —=lim ——.— )= -^ .—— , A0.4.38)
х-*0 х х->0 \ w X ) \ со /х=0 Rco
где lim
о
Не /?с\ «> 1
im = ; lim — = —— ; Rc0 — радиус кривизны ударной
волны в ее вершине (если Rc — текущее значение радиуса кривизны волны, то
Rco = lim Rc). Угол oj (см. рис. 10.4.6) связан с углом наклона волны 0С
формулой
ш = л/2 — 8С. A0.4.39)
Для определения фс/ы)х=о воспользуемся формулой D.2.19), которую
получим при помощи D.2.21) и A0.4.39) в виде
Роо/рс = [tg@c - Pc)]/tg0c = tgco/tg((o + pc).
Для малых со и ре отношение роо/рс =со/(со + Рс). Следовательно,
Таким образом,
\7
Глава десятая 40
Внесем это выражение в A0.4.37):
1 / 1 Л I сх + 2c2so
+ ~z ~~ l =
или
zr _+ —
р / ^с0 р Foo Ат р р Коо
При больших скоростях обтекания можно принять RCO/RT^ 1, поэтому
сг + 2c2s0 = Voo/Rc0. A0.4.40)
В уравнениях A0.4.35) и A0.4.40) помимо clf c2 имеется третье
неизвестное — расстояние so от ударной волны до носка. Поэтому к системам A0.4.35)
и A0.4.40) необходимо добавить еще одно независимое уравнение, которое
вытекает из выражения для вихря:
A0.4.41)
Зависимость A0.4.41) пригодна для определения вихря как на
поверхности носка, так и непосредственно за ударной волной на участке потока вблизи
точки полного торможения. Вихрь в потоке за ударной волной можно также
найти из уравнения A0.4.6), которое в соответствии с зависимостью i + V2/2 =
= const преобразуется к виду
rot V X F= gracU — A/р) grad p. A0.4.42)
Воспользуемся известной из термодинамики зависимостью для энтропии
TdS = di — dp/9y A0.4.43)
согласно которой можно получить векторное соотношение
Т grad S = grad ** — A/р) grad p. A0.4.44)
Отсюда A0.4.42) представим в виде
rotFx F = rgradS. A0.4.45)
Это уравнение можно отнести к условиям на ударной волне. Рассмотрим
на ней произвольную точку А (см. рис. 10.4.6). Проецируя векторы, входящие
в A0.4.5), на направление касательной т, получаем соотношение
(rot? х 7)т = T2dSJdx, A0.4.46)
где Г2 — температура в точке А за скачком уплотнения.
Компонента (rotV X V)x векторного произведения определяется
следующим образом, В точке А вектор rot К, модуль которого Qz ориентирован по
нормали к вертикальной плоскости симметрии (рис. 10.4.7, а).__Величина V
представляет собой вектор скорости за ударной волной V = Vct расположенный
в указанной плоскости симметрии. Ввиду перпендикулярности векторов rotV
и V их векторное произведение по модулю
| rotTx? | = | rot 17 | | V | sinGi:/2) = Q2Vc.
Вектор, равный векторному произведению rot V~X V, перпендикулярен
плоскости векторов rotvT F~h, очевидно, расположен, как и вектор "V =~VC> в шю-
скости симметрии (рис. 10.4.7, а). Проекция векторного произведения rotV X
Конус в сверхзвуковом потоке 41
Ударная Волна
J.JI/Z
rot У А. ^-"- - RQ
Рис. 10.4.7 К определению интенсивности вихря за ударной волной
X V на направление касательной, как видно из рис. 10,4.7, равна
(rot V X V\ = Q2VQ sin @C - ?c). A0.4.47)
Для определения правой части A0.4.46) воспользуемся уравнением A0.4.43),
отнеся его к условиям в той же точке А за ударной волной:
T2dS2 = di2 — dp2l92. A0.4.43')
Уравнения для энтальпии i2 и давления р2 возьмем соответственно в форме
D.2.6) и D.2.4). Так как рассматриваются большие скорости, при которых
h < h и Pi ^ ^2» то эти Уравнения представим в виде
/2 = V2nl/2 — V2n2/2; A0.4.48)
Рг = Pi^l — P2^2> A0.4.49)
или с учетом D.2.3)
/2 = [ V^ A — 72)]/2; A0.4.48')
р2 = p1V^00(l—р"), A0.4.49')
где Vni = Vnoo , "р = Pi/P2 = Poo /P-
Дифференцируя, получаем:
di2 = A - р) упоо dynoo _ V2nJd -. dPa = 2 A - Г) Pi^oo^noo -
Подставляя эти выражения в A0.4.43'), находим
T2dS2 = A — 7J vnoo dVnoo * A0.4.50)
Из рис. 10.4.7, б следует, что приращение нормальной составляющей
dVnOO = Vz ^со.При этом, так как скорость V{1)b точке Л(О, находящейся на
малом удалении от заданной точки Л, отличается от скорости Vx в точке А на
оесконечно малую величину, дифференциал
Wnao =Vxd<» = Vx dz/Rc f A0.4.51)
где Rc = dx/dco — радиус кривизны волны в точке А (рис. 10.4.7, б).
Глава десятая 42
В соответствии с A0.4.51) уравнение A0.4.50) представим в виде
T2dS2 = A -7J Уп оо VXWB9 • A0.4.52)
Внося A0.4.47) и A0.4.52) в A0.4.46), находим
Используя формулу A0.4.21) для Vc, а также выражения
V == V sin 6 • I/ = V cos 0 /in a kq\
которые получаются из треугольника скоростей на рис. 10.4.7, б, находим для
вихря
2* = У*, 0 - 7J sin 6c cos 6с/[G2 sin2 6с + cos^Ьсу2 Rc]. A0.4.54)
Заменяя здесь 8С на я/2 —о, имеем
22 = Voo (l — р J cos о) sin co/[( рз cos2 о)-(-sin2 о)I'2 /?с] . A0.4.54')
В окрестности точки полного торможения, где величины со малы и RG ->
Приравнивая правые части A0.4.41) и A0.4.54") и учитывая, что со/а: =
= \/Rcq, находим коэффициент
'2 = Ml-7J/B^o)- A0.4.55)
Подставляя это значение^ в уравнения A0.4.35) и A0.4.40) и решая их
совместно, находим зависимость для коэффициента сх:
-V>. A0.4.56)
Скорость на поверхности носка определяем из A0.4.36) при условии, что
У =0:
Vx = xcL = ± [xvj Я J V 2j- p . A0.4.57)
Из свойства нечетности функции Vx следует, что при х > 0 или х < 0
соответственно Кд. > 0 или Vx < 0. Это значит, что в формуле A0.4.57), а
следовательно, и в равенстве A0.4.56) для сх взят знак плюс.
Отход и форма головной ударной волны. Наряду с коэффициентом
сг решение системы A0.4.35) и A0.4.40) дает зависимость для отхода
s0 ударной волны от носка:
Вносим сюда значения с2 из A0.4.55) и сх из A0.4.56) со знаком
плюс:
So = -^-[l-B?-?I/2]. (Ю.4.58)
О — Р )
Конус в сверхзвуковом потоке
¦
а)
43
0,6
0,5
0,4
0,3
ох
0,1
о
0,1 QA
0,6
5)
0,13
0,11
0,09
0,07
0,05
\^2
-—
OzyS
*-—v
^Воздух
/7
21
25
Рис. 10.4.8 Относительный отход ударной волны перед сферическим
носком, обтекаемым сверхзвуковым потоком:
а — для воздуха (по аргументу 7*)» б — для кислорода, азота и воздуха (по
аргументу М^; Роо = 103 Па; Т^ = 290 К) ,
В правую часть этой формулы входит радиус кривизны волны на
оси Rc0, который следует рассматривать при заданных условиях
набегающего потока как функцию радиуса сферы RT. Если исходить
из предположения, что на оси волна концентрична сфере,^то Rc0 ==
= RT + s0. Вводя новые обозначения Rc0=Rcq/Rt9 so=so/Rc0,
получаем
р _ 1 / f 1 - 7"! П0 4 F>Q1
^СО — / \ »— О/ • ^iv/.^. ozff
В действительности концентричность не наблюдается.
Соответствующее отклонение от зависимости A0.4.59) тем больше, чем меньше
числа Моо- Для учета отклонения от концентричной формы ударной
волны можно воспользоваться зависимостью, полученной по опытным
данным,
~Ч°\ A0.4.60)
В результате отход, отнесенный к радиусу сферического носка,
s0
s0
7 V
— S0J
—2,5
где s0 берем в соответствии с A0.4.58) в виде
.. х_г -р2I/2]- A0.4.62)
A-7J J -
Величина 70, рассчитанная по A0.4.61) и A0.4.62), представлена
в функции р = pjpc на рис. 10.4.8, а. На участке до значения "р< 0,4
кривая, показанная на рис. 10.4.8, а и характеризующая изменение
отхода для ударной волны около сферического носка,
аппроксимируется простой зависимостью (см. [2])
= O,52[p/(l-p)f8S.
A0.4.63)
Глава десятая 44
В полученных зависимостях безразмерная плотность рГ = роо/рс
является параметром подобия для относительного отхода s0 =so/RT
и определяется из условий равновесной диссоциации
непосредственно за прямой частью ударной волны.
Формула A0.4.63) отражает реальное явление, заключающееся в
том, что в условиях диссоциации происходит снижение температуры,
вызывающее увеличение плотности. Таким образом, возникает
дополнительное поджатие газа и, как следствие, приближение ударной
волны к обтекаемой поверхности.
Представляют интерес результаты расчета относительного отхода
ударной волны, полученные в работе [2]. Эти результаты
графически изображены на рис. 10.4.8, б и показывают изменение величины
50 = 50//?т в зависимости от Моо для случаев обтекания сферы потоками
воздуха, кислорода и азота. Видно, что при значениях чисел Моо =
= 9 4- 13, когда изменение теплоемкости воздуха обусловлено в
основном диссоциацией кислорода, кривая s0(Mco) для воздуха
расположена ближе к соответствующей кривой для кислорода. С
увеличением Моо все большее значение начинает иметь диссоциация азота и
и кривая, характеризующая изменение относительного отхода
ударной волны для воздуха, становится ближе к аналогичной кривой для
азота, поскольку этот компонент в воздухе преобладающий.
Характер влияния диссоциации и ионизации на отход ударной
волны можно выявить достаточно четко на примере чистых газов, таких,
как кислород и азот. При Моо = 18 кислород заметно диссоциируется,
плотность достигает, как показывают расчеты, максимальной
величины, а расстояние s0 (рис. 10.4.8, б) является минимальным.
С увеличением Моо кислород становится полностью диссоциированным,
сжатие уменьшается и соответственно возрастает величина отхода
ударной волны. Далее с ростом Моо происходит первичная ионизация
газа, увеличиваются его теплоемкость, а следовательно, и сжатие
газа, что приводит к уменьшению величины s0. Для азота влияние
переменности теплоемкости наблюдается при значительно больших
числах Моо, чем для кислорода. Кроме того, так как процессы
диссоциации и ионизации в азоте протекают не последовательно, как в
кислороде, а практически одновременно, то немонотонность
изменения величин То для него менее ярко выражена, чем для кислорода.
Для вбздуха, представляющего собой объемную смесь (примерно
26% кислорода и 74% азота), характер кривой s0 более монотонный,
чем для чистого кислорода, что видно из рис. 10.4.8, б.
Форму образующей головной ударной волны можно определить
расчетом, основанным на решении системы соответствующих
газодинамических уравнений сверхзвукового обтекания затупленных тел,
а также опытным путем. Интересные результаты по определению
параметров такого обтекания и, в частности, формы ударной волны
приведены в работе [2].
Конус в сверхзвуковом потоке
45
Рис. 10.4.9 Ударная волна перед
затупленным по сфере конусом,
расположенным в сверхзвуковом потоке
Как показывают расчеты и экспериментальные исследования
сверхзвукового обтекания конусов со сферическим затуплением,
образующую ударной волны можно с достаточным приближением представить
в виде гиперболы
(х + а)*/а* — r2/b2 = 1, A0.4.64)
построенной на рис. 10.4.9. В уравнении A0.4.64) а и b — полуоси
гиперболы, которые можно определить следующим образом. Из
аналитической геометрии известно, что радиус кривизны в какой-либо
точке кривой, заданной уравнением г = г(х),
= —(\+rr*fl2lr\
A0.4.65)
где rr = drldxy г" = d2r/dx*.
В соответствии с A0.4.64)
г' = A + r2/b2I/2b2/(ra); r" = — b*l(r*a2).
Внесем значения этих производных в A0.4.65):
A0.4.66)
Полагая г = 0, находим на оси радиус кривизны /?с0:
#с0 = &2/а# A0.4.67)
В соответствии с этим A0.4.66) можно представить в виде
2 . A0.4.660
Ударная волна вдали от обтекаемого тела, вниз по потоку,
переходит в слабую волну возмущения, наклон которой к направлению
скорости набегающего потока определяется углом
0с = ^ = arcsin(l/Moo) = arctg (l / У ML— 1 ).
Глава десятая
Из уравнения гиперболы A0.4.64) следует, что тангенс угла
наклона образующей ударной волны в произвольной точке
Переходя к пределу при г-*- <*>, получаем
L-l . A0.4.68)
Решая совместно A0.4.67) и A0.4.68) и определяя
l—l, a=Rc0(mi—l), A0.4.69)
получаем, таким образом, возможность рассчитывать радиус
кривизны ударной волны по A0.4.66').
Начальный градиент и распределение скэрости. В соответствии
с A0.4.57) градиент скорости в точке полного торможения (начальный
градиент)
¦)х=0 = I= —— V 2р— [р2. A0.4.70)
дх /,^_п RcQ
Экспериментальная проверка показывает, что если в A0.4.70)
принять
( I/2, A0.4.71)
т. е. исходить из выражения, соответствующего предположению о
меньшем отклонении от концентричной формы ударной волны вблизи
сферической поверхности носка, чем это следует из A0.4.60), то
получаемые результаты для начального градиента скорости пригодны как
для очень высоких, так и для небольших сверхзвуковых скоростей.
Расчетная зависимость имеет вид
: _ () p-p)(l -D . A0.4.72)
Величину 50 можно выразить через относительный отход То, если
воспользоваться выражением
= — =
согласно которому
s =
A0.4.73)
В этой формуле относительный отход s0 можно определять из
Конус в сверхзвуковом потоке
47
Рис. 10.4.10 Схема для определения
давления по методу Ньютона в
случае сверхзвукового обтекания
затупленной поверхности
A0.4.63). Зависимость A0.4.72) пригодна при условии применения
выражения A0.4.73) для значений р< 0,4.
Распределение скорости на сферической поверхности носка в
окрестности точки полного торможения можно выразить в соответствии
с A0.4.70) через начальный градиент скорости Я:
Vx = X*.
A0.4.74)
Здесь х — длина дуги окружности, вычисляемая по известному
центральному углу <р, как х =tpRT.
С учетом этого
A0.4.747)
Экспериментальные исследования показывают, что зависимость
A0.4.74'), соответствующую условиям обтекания малого участка
сферы вблизи точки полного торможения при очень большой скорости
набегающего потока, можно применять для расчета скорости на
значительно большем участке криволинейной поверхности, а также при
сравнительно небольших числах Моо, Испытания в аэродинамических
трубах при числах Моо = 1,2 н- 4,9 подтверждают линейную
зависимость A0.4.740 скорости от угла ср = 0 до значений <р = 50° и
позволяют установить, что имеется небольшое отклонение от этой
зависимости в интервале 50° < ф < 90°. В практических расчетах с
хорошим приближением можно пользоваться формулой A0*4.740 для
всех значений ф от 0 до 90°.
Применение метода Ньютона для расчета обтекания затупленного
конического тела. Этот метод основан на корпускулярной теории
Ньютона (называемой также теорией «ньютонова торможения»),
согласно которой частицы газа испытывают возмущения только при
Ударе о твердую стенку и полностью теряют нормальную к стенке
составляющую количества движения. Если Vn<x> — нормальная
составляющая вектора скорости набегающего потока, dS —
элементарная площадка обтекаемой поверхности (рис. 10.4.10), то для рассмат-
Глава десятая
риваемой точки потеря количества движения за единицу времени
Величина импульса силы от избыточного давления (р — pco)dS
за то же время в соответствии с теоремой об импульсе силы
определяется потерей количества движения. Следовательно, в данной точке
избыточное давление р — роо = РооК*». Из рис. 10.4.10 видно, что
Vnoo = KooCoscp, поэтому
У
Разделив левую и правую части этого уравнения на скоростной
напор PooV2oo/2, получим для коэффициента давления формулу
Ньютона
Х. A0.4.75)
Эта формула соответствует изложенной выше модели обтекания —
модели Ньютона, при которой реализуется схема эластичного
отражения частиц газа при их взаимодействии с поверхностью.
Такая модель имеет недостаток: она не дает принципиально правильного
ответа на вопрос о том, как ведут себя частицы газа после соударения.
В действительности их скорость после соударения не равна
составляющей вектора скорости набегающего потока касательной к
поверхности, а скорости этих частиц за местом соударения по этой модели
вообще не определяются. Таким образом, практически модель
Ньютона не рассматривает собственно процесса обтекания тела.
От этого недостатка свободна модель Эйлера,
предусматривающая изучение течения жидкости около поверхности, т. е. определение
в каждой ее точке скорости и других параметров, и, как результат,
расчет взаимодействия жидкости с обтекаемым телом.
Однако, учитывая простоту и удобство расчетов по теории
Ньютона, возникает необходимость усовершенствовать ее, с тем чтобы
улучшить получаемые результаты расчета аэродинамических
параметров. Рассмотрим одно из таких усовершенствований. Как видно
из формулы A0.4.75), в точке полного торможения, для которой
центральный угол ф = 0, коэффициент давления р0 = 2. Таким образом,
A0.4.75) представим в виде
p. A0.4,750
Экспериментальные исследования показывают, что если в A0.4.75')
вместо значения р0 = 2, которого нет для реальных потоков, взять
величину р^, полученную либо опытным путем, либо точными
теоретическими расчетами, то по формуле A0.4.75') получим результаты,
весьма близкие к действительным на значительном участке
сферической поверхности. Формулу A0.4.75') в отличие от A0.4.75) называют
Конус в сверхзвуковом потоке 49
модифицированной или усовершенствованной формулой Ньютона*
согласно которой избыточное давление
Р — Роо = (Ро — Роо)с™2(?>
откуда отношение давления р в некоторой точке к давлению р'о в
точке полного торможения
р/р'о = cos2 ср + ( pjp'o) sin2 ср. A0.4.76)
Вблизи точки полного торможения течение можно рассматривать
с известным приближением как несжимаемое и для его расчета
применять уравнение Бернулли
A0.4.77)
где р — плотность, полагаемая постоянной в небольшой окрестности
точки полного торможения и равной плотности р0 в этой точке.
После подстановки A0.4.77) в A0.4.76) при условии, что р = ро,
получаем
2 Ро Ро Ро
Вычислим производную по х:
v х = 2 cos ср sin ср —2-
х dx 4 * dx p0
Переходя к пределу при ф->0, х->- 0 и учитывая, что
(cos ср)*->о = 1, (sin ср)д;->о = ср = x/RT, (Vx/x)x^o = (dVx/dx)x^0 = ^
(d(p/dx)x->0 = l/RTi находим зависимость для начального градиента
скорости:
2 ^°7Ро°^ A0.4.78).
По A0.4.78) для определения начального градиента скорости
необходимо знать давление р'о и плотность ро в точке полнога
торможения. В соответствии с линейным законом, выражаемым
зависимостью A0.4.74'), распределение скорости можно представить
соотношением
Vx = 9 V 2(p'0-pJ/p'o. A0.4.780
Наряду с этой формулой для расчета скорости можно применить
соотношение, получаемое из уравнения C.6.26) для давления в изэн-
тропическом течении. Положим _в этом уравнении р0 =р0', V = Vx
и величину k равной значению k, рассчитанному для точки полнога
Глава десятая
50
Рис. 10.4.11 Распределение скорости
на затупленном конусе,
расположенном в сверхзвуковом потоке:
/ — эксперименталыпя кривая; 2 —
скорость на заостренном конусе (теория)
торможения с учетом влияния температуры То' и давления р'о в этой
точке. Решая уравнение относительно скорости VX9 находим
Из C.6.22) для максимальной скорости имеем
V\n.x=
где параметры с индексом «со» соответствуют невозмущенному течению
до ударной волны. Разделив обе части равенства на V2^ и учитывая,
что Моо2 = К2оо/а2оо, находим отношение
V2
vl
+1.
В соответствии с этим отношением расчетная зависимость для
скорости имеет вид
Ух
1
у/2 Г / п \(ТЕ-1)ЛП1/2
+ 1/ I w) ' A0'4'79)
где р/р0' определяется при помощи формулы Ньютона A0.4.76).
Еще в большей степени можно упростить расчеты скорости и
других параметров газа при помощи таблиц газодинамических функций.
Зная закон изменения функции я (Я) = р/р0' [см. A0.4.76)], для
соответствующего значения k по таблицам [6] можно определить значе-
у
ния газодинамических функций: \ = Vja*
е =
= Т/Т'о.
Полагая при этом известными критическую скорость звука яг, a
также параметры торможения р0', ро'у ТУ, вычисляем в
рассматриваемой точке затупленной поверхности следующие величины:
Конус в сверхзвуковом потоке
51
Рис. 10.4.12 Схема для расчета аэродинамического сопротивления затупленного
конуса
Параметры газа на периферийной конической поверхности,
сопрягающейся со сферическим носком, можно с известным
приближением принять такими, как на линии сопряжения, т. е. в конце носка.
В частности, скорость на конусе можно найти по A0.4.78'), принимая
12 З
A0.4.80)
Другое соотношение для скорости на конусе получается из
выражения A0.4.79), если принять в нем в соответствии с A0.4.76)
4
Ро
A0.4.81)
где рк =я/2 —фк — угол конуса [фк — центральный угол для
полусферы (см. рис. 10.4.10)].
Получаемая таким образом скорость рассматривается на всей
поверхности конуса как постоянная величина. Экспериментальные
исследования показывают, что реальная скорость отличается от этой
величины и распределение скорости носит характер, показанный на
рис. 10.4.11. Она возрастает по мере удаления от точки полного
торможения и на некотором удалении от места сопряжения носка и
конуса достигает максимального значения. Далее вниз по течению
скорость снижается, приближаясь на удаленных периферийных
участках к значению, соответствующему скорости на заостренном конусе.
Сопротивление от давления (волновое сопротивление)
затупленного конуса можно найти по распределению давления, вычисляя это
сопротивление как сумму сопротивлений сферического носка
(индекс «сф») и конической части поверхности (индекс «к»):
xe =
'•сф-
Глава десятая 52
Полагая в A.3.2) коэффициент сопротивления cfx=0 и принимая
в качестве характерной площади S площадь донного (миделевого)
сечения конуса S = SMIW = тсг^, получаем для носка
- ( ^\ dS
р cos yn х) —— ,
откуда коэффициент волнового сопротивления
Из рис. 10.4.12 видно, что cos(nx) = coscp и dS =2nrdl =
= 2nrdr/cos(f>. Но так как г = /?Tsirkp и dr = RTcosydy, то
5сф
dS= 27c/<Tsi
С учетом приведенных выражений и формулы A0.4.75') имеем
S2 cp COScp
(^в)сф = 1 Ро COS2 ср COS <р ; rfcp =
A0.4.82)
МИД
Если в этой формуле принять гмид = гСф, то получим коэффициент
волнового сопротивления затупленного носка, рассчитанный по
площади основания S =я/Сф- Учитывая, что гсф =i?Tsinq)K, находим
(^в)сФ = РоA—sin2cpK/2). A0.4.83)
Сопротивление конического участка с боковой поверхностью
J P cos (nx) dS/SMm.
Збок
Из рис. 10.4.12 видно, что
cos ynxj = cos (тс/2 — |3К) = sin ftK; rfS = 2nrdl =
Учитывая также, что
/? = p0 cos2 cpK = p0 cos2(tc/2 — PK) = A,sin2 PK; SMHfl == тсгмид,
получаем для коэффициента сопротивления конического участка
>*сф
Конус в сверхзвуковом потоке 53
. ( Г2мид _ 4) = Jo sin3 pK -|s_ Bгмид - хк sin pK). A0.4.84)
МИД
Складывая A0.4.82) и A0.4.84), находим полный коэффициент
сопротивления, отнесенный к площади SMHA =яг2мид:
с Ха (с ) +(с ) -~р Г Rl cos'В
q°° мид L Амид
+ -?в- sin3 pK Bгмид —д:к sin pK)"|. A0.4.85)
В частном случае /?т = 0 получаем коэффициент сопротивления
заостренного конуса. Величину этого коэффициента находим из
условия, что р0 = 2, ^:KsinpK = гмид:
сХа = (схв)к = 2 sin2 Рж. A0.4.86)
Если хк = 0, то обтекаемая поверхность превращается в
сферический сегмент высотой /?тA—sin|3K) (рис. 10.4.12). Полагая в
A0.4.85) хк =0, получим формулу A0.4.83) для коэффициента
волнового сопротивления такой сферической поверхности. В этой
формуле фк =я/2 — рк.
ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОГО ТОРЦА
Результаты теоретического и экспериментального исследования
распределения давления по плоскому торцу графически изображены
на рис. 10.4.13. Анализ этих результатов позволяет установить общую
закономерность для изменения коэффициента давления в виде р =
= Pof(r)y где р0 — коэффициент давления в центре торца,
совпадающем с точкой полного торможения, г =r/RT— безразмерная
величина (рис. 10.4.13), f(r) — некоторая «универсальная» функция,
зависящая от г7
В соответствии с этим коэффициент волнового сопротивления торца
о
Полагая, что универсальная функция f(r) пригодна для любых
сверхзвуковых скоростей, можно вычислить интеграл в приведенной
формуле и получить
A0.4.87)
Эта величина примерно вдвое превышает коэффициент сопротив-
Глава десятая
54
0,9
0,8
0,7
0,6
&
п
л
о
-мв
-4,/
-2,9
-иг
5
6
3
г ^
"~ /И
0 \
\
\
0,2
G,5 0х8
Рис. 10.4.13 Распределение давления
по плоскому торцу
ления полусферы, значение которого в соответствии с A0.4.83)
определяется соотношением (схв)Сф = 0,5/?0 (при фк =д/2).
Величина отхода ударной волны от плоского торца больше, чем
от сферы. Ориентировочная оценка приводит к заключению, что если
для сферического носка величина s0 = so/RT имеет порядок отношения
плотностей р ^роо/ро', то в случае плоского затупления s0 ^]/ р.
В соответствии с экспериментальными данными относительный отход
= Sn
= 1,03
A0.4.88)
Радиус кривизны волны на оси, определяющий ее форму вблизи
торца, как и отход, пропорционален радиусу плоского затупления.
Согласно экспериментальным исследованиям,
со
== Я*,//?, = 0,52C-p)[p(l—i
A0.4.89)
В соответствии с A0.4.89) при р-> 0 величина ^со"^ «>, так как
волна в пределе соприкасается с плоской поверхностью торца.
Рассмотрим градиент скорости в центре торца, сорпадающем с
точкой полного торможения. Как показывают исследования, его
величина в этой точке не равна нулю. Можно предположить, что плоский
торец влияет на течение в окрестности точки полного торможения
аналогично сферической поверхности некоторого радиуса R*.
Следовательно, можно подобрать такой эквивалентный радиус сферы R?,
при котором кривизна волны на оси будет приблизительно одинаковой
с ее значением перед торцом. Тогда (^"со)п#т = С?~со)сф R*, где
RT — радиус торца. В соответствии с A0.4.78) градиент скорости в
центре торца
Х =
RI
Ро
A0.4.90)
Конус в сверхзвуковом потоке
55
Рис. 10.4.14 Коэффициент
сопротивления тонкого
затупленного конуса
3,0
2,0
1,5
7 j . -f—
1
i
-Tl -
I
1—«^
1.0
где /?? =/?т(^?со)п/(/?со)сФ» пРичем (^со)п = (#сс/#т)п находится
по A0.4.89), а (Ясо)сф = (#с</#т)сф — по A0.4.71).
Экспериментальные исследования показывают, что при больших скоростях по формуле
A0.4.90) получаем достаточно удовлетворительные результаты.
СОПРОТИВЛЕНИЕ ТОНКОГО КОНУСА
С МАЛЫМ ЗАТУПЛЕНИЕМ
Соотношение A0.4.85) соответствует предположению о таком
обтекании затупленного тела, при котором скорость и давление на
конической поверхности такие же, как и в конце сферического носка.
В реальных условиях это явление не наблюдается, однако с
известным приближением такое предположение можно оправдать для
достаточно толстого конуса. Рассматриваемое явление соответствует
наблюдаемому в эксперименте быстрому восстановлению коэффициента
давления до значения на заостренной конической поверхности рк (при
большой скорости рк = 2sin2|3K). Например, для затупленного по
сфере 40° конуса при Моо == 6 такое восстановление происходит на
расстоянии от носка, несколько большем его диаметра. Это явление
особенно ярко выражено при умеренных числах Моо. Влияние на
полное сопротивление участка поверхности вблизи носка из-за малой
величины этого участка невелико, и поэтому давление на нем можно
принять таким, как на остальной конической поверхности.
Однако, как показывают исследования, у слабо затупленных
тонких тел величина давления на конической части существенно меньше
его величины на остром конусе, причем по мере удаления от носка
оно сравнительно медленно восстанавливается до величины давления
на остром конусе (см. рис. 10.4.5). При этом по мере увеличения
сверхзвуковых скоростей влияние затупления на распределение давления
возрастает. Затупленный носок влияет на течение в возмущенной
области длиной в десятки и сотни диаметров затупления, причем чем
тоньше тело, тем протяженней эта область и, следовательно, эффек-
Глава десятая 56
тивней воздействие затупления. Кроме того, эффект затупления
зависит от вида носка, например он значительно больше для плоского
торца, чем для сферы. Аэродинамические исследования тонких
затупленных конических тел проведены проф. Г . Г. Ч е р н ы м [24].
На рис. 10.4.14 приведен график, построенный по данным этих
исследований, позволяющий рассчитать коэффициент сопротивления
конуса с затуплением произвольной формы [с*а = 4Х? /(?oond2T)]-
Из этого графика видно, что при некоторой длине конуса его
сопротивление становится минимальным. Минимум коэффициента
сопротивления достигается в соответствии с графиком, изображенным на
рис. 10.4.14, при относительной длине конуса xld? = (О,68/0к)с*1
(где схз — коэффициент сопротивления затупления, отнесенный к
площади jtd?/4). По сравнению с соответствующим значением для
острого конуса минимальная величина коэффициента сопротивления
меньше примерно на 10%.
глава
и
Заостренное
тело
вращения
в сверхзвуковом
потоке
Глава одиннадцатая 58
§ 11.1.
Применение метода характеристик
Летательный аппарат (например, ракета, снаряд) или некоторые
его конструктивные элементы могут иметь форму заостренного тела
вращения. Рассмотрим расчет сверхзвукового обтекания
заостренного тела вращения, расположенного в потоке газа под нулевым углом
атаки. Форма тела вращения (рис. 11.1.1) задана уравнением
образующей г = f(x). Известны также параметры набегающего потока
(Moo, /?oo, Poo, Too). Если толщина тела вращения такова, что тело
вносит в обтекающий поток большие возмущения, то этот поток
можно рассчитать по методу характеристик.
Расчет обычно начинают с определения конического потока около
острия, которое в малой окрестности носка можно заменить конусом
(на рис. 11.1.1 его границей является точка К). В результате расчета
на образующих OD, О А и других промежуточных конических
поверхностей (включая образующие конуса ОК и скачка OS) находят
скорости, а также углы со, jli и р. При этом углы 0 наклона образующих
промежуточных конусов выбирают произвольно, но так, чтобы
интервалы Д 0 были достаточно малы и обеспечивали заданную точность
рассчитываемых параметров.
Расчеты целесообразно сопровождать графическим построением сетки
характеристик, как показано на рис. 11.1.1. Сначала строим элемент KD
характеристики первого семейства, проведя через точку К прямую под углом
Мтс ~^~ Рк (г^е $К = Р°) к оси К0НУса Д° пересечения в точке D с соседней
образующей промежуточной конической поверхности, имеющей угол 0D. В
результате графически определяем координаты xD, rD точки D.
Большую точность получаем при аналитическом определении этих
координат. Для этого представим уравнение для элемента характеристики первого
семейства
и уравнение образующей
• A1.1.2)
Решая эти уравнения, находим неизвестные xD и rD,- Аналогично
вычисляем координаты остальных точек характеристики KS первого семейства, имеющей
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке
59
Рис. 11.1.1 Схема расчета
сверхзвукового обтекания
тела вращения по методу
характеристик:.
/ — образующая тела вращения;
2 — характеристика первого
семейства; 3 — характеристика
второго семейства; 4 —
прямолинейный скачок; 5 — искривленный
участок скачка
arctg(dr/dx)
вид ломаной линии, которая является границей конического потока. Причем
координаты х$ rs точки S, лежащей на пересечении элемента характеристики
первого семейства ES с образующей OS конического скачка уплотнения,
находим в результате совместного решения уравнений:
ГЕ — rS
A1.1.3)
's = *s *g 9s.
A1.1.4)
Получаемые указанным способом координаты точек характеристики KS
соответствуют углам (х и р, принимаемым постоянными вдоль каждого из
рассматриваемых элементов характеристики и равными значениям этих углов в начале
элемента.
Для получения более точных данных можно вести расчет координат по
средним значениям углов (х и Р между крайними точками элемента
характеристики. Тогда, в частности, вместо A1.1.1) запишем
а вместо A1.1.3) —
В этих уравнениях xD rD и xs rs — уточненные координаты точек D
и S. '
После того как определим вид кривой характеристики KS, скорости, числа
М, углы jli и р в точках этой характеристики, дальнейшее решение задачи сведем
к нахождению поля скоростей (чисел М) в области между этой характеристикой
и образующей обтекаемого тела. Для этого применим соответствующие
соотношения для характеристик в физической плоскости (плоскости потока) и в
плоскости годографа.
При выборе соотношений для характеристик в плоскости годографа
необходимо учитывать-,, что в области потока, ограниченной прямолинейной
образующей скачка уплотнения OS, характеристикой второго семейства SU
(строящейся постепенно в ходе решения задачи) и образующей тела 0U, течение
0 е з в их ре вое (изэнтропическое). В соседней области,
ограниченной той же характеристикой SU, участками криволинейного скачка SH
и образующей тела UR, течение вихревое (неизэнтропическое).
^Для отыскания поля скоростей на изэнтропическом участке течения
проведем через каждую точку характеристики KS элементы характеристики второго
емеиства. Одна из них, проходящая через точку D, пересечет стенку в точке В,
Глава одиннадцатая 60
в которой и необходимо найти скорость. Координаты этой точки определяем из
совместного решения уравнения для элемента характеристики второго семейства
и уравнения образующей тела
rB=f(xB). A1.1.6)
Решая уравнения A1.1.5) и A1.1.6), находим координаты точки В (хв, гд).
Угол Рд наклона касательной к образующей в точке В, совпадающий вследствие
безотрывного обтекания с углом наклона вектора скорости в этой точке,
определяем из уравнения
(drldx)B = ig$B = [df(X)ldX]x=x . A1.1.7)
J3
Чтобы найти скорость в точке Б, воспользуемся уравнением E.4.9). Это
уравнение, приведенное в конечных разностях при у = г, г = 1 (осесимметрич-
ное течение), примет вид
A<»D + Afo - *В Х° mD =0. A1.1.8)
rD
В этом уравнении приращение APD = рБ — pD представляет собой
разность углов наклона векторов скоростей в точках Вий. При этом в
соответствии с A1.1.7)
. A1.1.Г)
Из A1.1.8) находим, учитывая, что Ao>D = <*>в —a>D, угол
D
где в соответствии с E.4.6)
mD =sin?D sinfxD /cos ( ?D — fxD)# A1.1.10)
Угол <nD входящий в A1.1.9), находим из табл. 5.3.1 по значению числа
MD в точке D. Вычислив о>в по A1.1.9), определяем при помощи той же
табл. 5.3.1 соответствующие величине <*>в значения числа Мв и угла \iB =
= arcsin(l/M5) в точке В. Затем по найденным числам М можно вычислить
давления.
Определим сначала давление р^ к точке /С, которой соотбетствует число
М
(li.i.ii)
где давление торможения за коническим скачком
Ро = РоЪ A1.1.12)
определяем по давлению торможения р0 C.6.29) до скачка и значению функции
vo, вычисляемому из A0.2.26) по углу скачка вс и числу М«>.
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 61
Давление в точке В
Рв=РоA + —5- Мв) = #(мв). (И.1.13)
Функции я(Мк) и я(Мв) в (И. 1.11) и A1.1.13) определяем соответственно
по значениям чисел М^ и Мв из таблиц, помещенных в [6].
Коэффициенты давления:
Скорость, температуру и плотность определяем соответственно из
соотношений:
<p'o](k-D/ky/2 . (ц.1.15)
(в)Г1; (п.1.16)
"^vo, A1.1.17)
где ро и То находим по параметрам набегающего потока соответственно по
формулам C.6.34) и C.6.35), а максимальную скорость — в соответствии с C.6.22):
/о 2 о \1/2
Уп,ах= VI+-—7а1) . A1.1.18)
Рассчитав параметры в точке В, проводим через нееэлемент характеристики
первого семейства до пересечения в точке С с прямолинейным участком
характеристики второго семейства, выходящей из точки А (см. рис. ILL 11).
Координаты точки С определяем из решения уравнений элементов АС и ВС
характеристик. Уравнение элемента АС характеристики имеет вид
'л-гс = (хл-*с)**(?л-Гл), A1.1.19)
а уравнение элемента ВС
Решая совместно эти уравнения, находим координаты точки C(xCt rc).
Чтобы найти в этой точке углы рс и а>с, надо воспользоваться уравнениями
Для характеристик E.4.8) и E.4.9). Представляя эти уравнения в конечных
разностях и полагая 8=1, получаем:
A1.1.21)
—тА =0, A1.1.22)
А
где в соответствии с E.4.5) и E.4.6)
B/C08(PB+li1|); | i
Вместо четырех неизвестных Да>в АсоА, ДР5 и Д0д в уравнениях A1.1.21),
A1.1.22) можно рассматривать в соответствии с E.4.20) лишь две неизвестные
величины: Д<ов и Дрв (или ДсоА и ДрА).
Глава одиннадцатая . ¦ 62
С учетом соотношений E.4.20) уравнение A1.1.20) преобразуется к виду
хс~хА
Асо +со -<ол + ДЗ +3 -?л - — тА =0. A1.1.24)
ГА
Решая это уравнение совместно с A1.1.21) относительно переменной Дрв,
получаем
"I
-Св-д)-(?,-5д)
J
A11
A1.1.25)
По найденному значению ДРВ находим из A1.1.21) угловое приращение:
Аа>^ДЯ+ *C~*B / A1.1.21')
Абсолютные значения углов в точке С следующие:
?С=ДЗВ+?В, »с=Д»в + <ов. A1.1.26)
По величине о>с из табл. 5.3.1 находим число Мс и угол возмущения \ic =
= arcsin(l/Mc). По числу Мс при необходимости можно найти другие
параметры, а именно: давление, плотность, температуру и скорость.
Вычисляемые таким образом параметры представляют собой первое
приближение, так как вдоль элементов характеристик коэффициенты / и т, а также
радиальные координаты принимаются постоянными и равными их
соответствующим значениям в точках А и В. Эти параметры можно уточнить, если в
уравнения (И. 1.21) и A1.1.22) поставить вместо /Б, тА,гв и гА величины, вычисленные
как средние между заданными в точках А и В и полученными в точке С в первом
приближении. Для этих средних величин имеем соотношения:
lB = sin ?/B sin p^/cos ( рд + р'в), mA = sin ?A sin h^/cos ( гл'А — ^) ;
A1.1.23')
г'в = (гв + гсУ2> г'а = (гА + ГсI*> (П.1.27)
где .
Рл=(Р^ + Рс)/2; ^ = (^ + рс)/2-(
Продолжая аналогичные расчеты, можно определить параметры во всех
точках второго ряда, включая точку N, лежащую на пересечении элементов
PN характеристики первого семейства и SN характеристики второго семейства,
проведенной из конца прямолинейного конического скачка уплотнения.
Дальнейший расчет заключается в том, чтобы найти параметры в точке
пересечения элемента характеристики первого семейства, проведенной через
точку N, с продолжением скачка за точкой 5. Практически в целях получения
лучшего приближения характеристику проводим не через точку N, а через
точку F, расположенную между точками N u S (см. рис. 11.1.1). Координаты xF ,
rF точки F выбираем таким образом, чтобы элемент FH характеристики,
примыкающий к скачку, был достаточно малым и мог рассматриваться в виде
прямолинейного участка. Параметры в точке .F(co , М, |Л, Р) вычисляем по известным
их значениям в точках <$ и TV линейной интерполяцией. Например,
~xs). A1.1.29)
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 63
Уравнение элемента FH характеристики первого семейства имеет вид
rF ~rH =(xF-xH){Z(h + 1V). A1.1.30)
Решая это уравнение совместно с уравнением прямолинейной образующей
скачка rH = %tg0c определяем координаты xH r'fi и находим тем самым
в первом приближении положение точки Н на скачке уплотнения. Эти
координаты должны быть уточнены, так как реальный скачок за точкой S
искривляется. Действительно, характеристики первого семейства (ES, FH и др.)
являются по своей природе волнами разрежения. Встречая скачок уплотнения, эти
волны уменьшают его интенсивность и, следовательно, наклон, в результате чего
скачок искривляется.
Течение за таким скачком уплотнения вихревое (неизэнтропическое),
поэтому для определения скорости в точке Н необходимо использовать уравнение
E.4.41) для элемента FH характеристики первого семейства, учитывающее
изменение энтропии за криволинейным скачком. Полагая в этом уравнении
yF = rF 8 = 1 (осесимметричное течение) и решая его относительно &$F
совместно с E.4.38), получаем зависимость E.4.46), в которой принятое = 1 и
Ур =rF:
xh~xf AS \
An ^'
A1.1.31)
где производная (d(d/d$)s находится по E.4.39), а коэффициенты lF cF
вычисляются по соответствующим формулам E.4.42).
В формулу (И. 1.31) входит величина AS, определяющая изменение
энтропии при переходе от точки Н к точке F. При расчете в первом приближении
предполагаем, что точка Н расположена на продолжении прямолинейной
образующей скачка. Поэтому можно было бы принять изменение энтропии
равным нулю, т. е. AS= 0. Но это предположение снижает точность расчетов, так
как в действительности точка Н располагается на искривленном участке
скачка (#'). Лучшие результаты получаются, если принять, что энтропия (или
давление торможения) в точке Н не равна ее значению в точке F.
Расчет в первом приближении давления торможения p'QH в точке Н
ведется следующим образом. Примем, что угол $'н отклонения потока за скачком
уплотнения в точке Н равен углу наклона вектора скорости в точке F. По
значению угла р'у^ = $F можно определить соответствующий угол скачка в'ся*
Для этого воспользуемся формулой D.3.25), которую представим в виде
(„,.32,
При заданных значениях Р'я, М<^ и б = (k — \)l{k + 1) это
трансцендентное уравнение решается относительно ЬсН путем последовательных
приближений. По значению 0^я можно определить, используя формулу A1.1.12),
Давление торможения p'QF в точке Я. Принимая, что в точке F давление
торможения р^Р равно давлению торможения /?0'5 в точке S,
рассчитанному по углу скачка 9CS при помощи формулы D.3.22), можно найти отношение
( Рои — PoF )fiPoF = ( Рон — PosV PtS •
Внося это отношение в E.4.45), определяем градиент энтропии AS/Ал,
Глава одиннадцатая 64
входящий в формулу A1.1.31). Определив по этой формуле значение Apj?,
находим, используя E.4.41) при yF = rF ие = 1, приращение угла:
хн ~~XF хн~ xf AS
^ Ah+lс,. (П.1.33)
^F Ah+lp
По Лр^. и Дсоу? определяем для точки Н углы:
Р н=$нг = Ah +h, шя = **нг = A(Of + wf . A1.1.34)
Из табл. 5.3.1 по углу а>я, находим Мн, и \кн,. По найденному значению
pjj, можно уточнить по формуле A1.1.32) угол наклона скачка в точке Н и
найти во втором приближении координаты х^у гн, новой точки #'. Для этого
составим уравнение для участка скачка за точкой S:
rs-rH,=(xs-xH,)tgbcH, A1.1.35)
и уравнение элемента характеристики первого семейства:
rF -О/' = (^—М^(^ + ^)' (П.1.36)
где
Решая совместно A1.1.35) и A1.1.36), находим уточненные координаты
хн.у гн,. При необходимости можно осуществить расчет параметров в точке
Н'((йи,, Мн, и Рн,) в третьем приближении.
Полученные данные о параметрах в точках //' и N позволяют рассчитать
параметры в точке J (см. рис. 11.1.1). Этот расчет аналогичен решению первой
задачи (см. § 5.4), связанной с определением скорости в точке пересечения
характеристик разных семейств, выходящих из двух близко расположенных
точек.
Координаты Xj rj точки J определяем в результате решения уравнений
E.4.10) и E.4.12), приведенных соответственно для элементов NJ и Hf J
характеристик первого и второго семейств:
^-o=(^-^)tg(^ + M; (п.1.37)
rH>-rJ = {xH>-xj)^{tH>-PH'). (П.1.38)
Для вычисления параметров в точке /, расположенной в вихревой области
потока, необходимо применить соотношения для характеристик в плоскости
годографа скорости, учитывающие изменения энтропии. Эти уравнения,
выраженные в конечных разностях, имеют вид E.4.11) и E.4.13). Уравнение E.4. И),
приведенное для е = 1 и у = г с учетом обозначений, принятых для элемента
NJ характеристики первого семейства, имеет следующий вид:
XJ — XN XJ — XN AS
A^-A?»--^^ iN + -^L—JL.— CN=Om A1л.39)
Для элемента Н'J характеристики второго семейства используем уравнение
хг—
kR
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 65
где
A1.1.41)
Для определения коэффициентов lN, cN, mN,, tH, следует
воспользоваться формулами E.4.15), в которых параметры с индексами В и А заменяем
соответственно параметрами с индексами N и #'. Градиент энтропии AS/А/г
вычисляем с использованием соотношений E.4.16) или E.4.18), в которых следует
заменить индексы В и А соответственно на N и Н'. При этом давления
торможения р'оНг для точки Н' и pfoN для точки N определяем по формуле D.3.22)
соответственно по значениям углов скачка 6С//, и 0CS FC//f < ®cs)#
Система уравнений A1.1.39), A1.1.40) включает четыре неизвестные
величины : Ao)jy, Ар^, Дсод,, Лрд,. Число неизвестных можно сократить до двух,
если учесть соотношения E.4.20), по аналогии с которыми
До>я, = Ао)^ + a>N — о>я, ; ДЗЯ, =Д8^ + р^ — ря,, A1.1.42)
Произведем соответствующую замену в A1.1.40):
Xj— Хн
A<*N + ^ - шн' + AV + $n - 13Я' - : тН' -
гнг
-— — .-^— /я,=0. A1.1.40')
Решая это уравнение совместно с A1.1.39) относительно ДР^, находим
Н' : lN
rN
lN - ( "N - *Н') -
По найденному значению Ар^ вычисляем из A1.1.39) угловое приращение:
XI Ххт X т "—" Хх
AS
_^ (п.,.44)
По Дсо^ и Ар^ определяем абсолютные значения углов в точке /:
Из табл. 5.3.1 находим по оу число My и угол возмущения \ij Давление
торможения p'oJ (энтропия Sj) в точке J находим интерполяцией по значениям
Р'оН' и Р'ш в точках Н' и N.
Найденные параметры можно уточнить, если в уравнения A1.1.39), A1.1.40)
вместо lNtmHry cN> tH, подставить величины, вычисленные по средним
значениям углов Р и '\х в соответствии с формулами E.4.25).
3-708
Глава одиннадцатая 66
Так последовательно, шаг за шагом, определяют координаты точек И',
/,..., L характеристики второго семейства, а также газодинамические параметры
в этих точках. Используя найденные параметры в точке L, можно определить
скорость и другие параметры в точке R, расположенной на поверхности
обтекаемого тела. Координаты точки R определяем в результате решения
уравнения для элемента LR характеристики второго семейства
rL -rR = (xL-xR) tg(PL-fiL) A1.1.45)
и уравнения образующей тела rR = f(xR). Из решения этих уравнений
получаем значения д:^ rR
Точка R расположена в вихревой области потока на пересечении элемента
LR характеристики второго семейства и образующей тела, поэтому для расчета
скорости надо воспользоваться уравнением E.4.27). Приняв в неме = 1 и
заменив у на г, а индекс D на L, представим уравнение
Aw, = — A3, + — — Шг — — — • tr A1.1.46)
где
Коэффициенты mL и /L находим по формулам E.4.28), в которых индекс
D заменяем на L. Градиент энтропии AS/An определяем по одной из формул
E.4.29) при условии замены индексов D на L и В на R. При этом давление
торможения p'oR в точке R известно, и оно будет такое, как в точках /С, В,..., и,
G, лежащих на одной линии тока, примыкающей к поверхности тела. Величину
p'oR вычисляем по формуле D.3.22) и значению угла скачка 8С5 Давление
торможения р'оь в точке L определяем интерполяцией по значениям р\т и
p'oG = p'ofl соответственно в точках Т и G.
Угол наклона касательной к поверхности тела в точке R известен из
уравнения образующей г = f(x) и равен Р^ = avctg[(dr/dx)R]. Поэтому
известна разность Aj3L = Р^ —PL и по уравнению A1.1.46) можно
непосредственно вычислить угловое приращение Aa>L По этому приращению подсчитываем
угол (о^ = AcoL + (oL> определяем число М^, давление и другие параметры
в точке R с учетом влияния вихревого характера течения.
Как показывают расчеты и экспериментальные исследования,
существенное влияние вихревого характера движения за
криволинейным скачком уплотнения наблюдается лишь при больших
скоростях обтекания. Например, для параболической головки с
удлинением Ямид = *МИд/B/*мид) = 5 (длина головки в пять раз больше
диаметра миделевого сечения 2/-мид) при значении параметра
Кх = МосАМИд = 1, которому соответствует число М«> = 5, волновое
сопротивление согласно расчетам возрастает за счет вихревого
влияния на 5% по сравнению с его величиной в потенциальном
потоке. В то же время при Ki = 4 (Moo = 20) оно увеличивается более
чем на 25%. Эффект возрастания сопротивления с физической точки
зрения объясняется тем, что на образование вихрей необратимо
затрачивается дополнительная часть кинетической энергии потока.
На рис. 11.1.2 показано распределение давления, найденное по
методу характеристик для двух тел с параболической головной
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке
67
-2
Рис. 11.1.2 Распределение давления
около тел вращения с
параболической головной частью:
/ — с учетом вихревого движения за
скачком; 2 — для потенциального движения за
скачком
X
г—'
Хмид
X
Рис. 11.1.3 Тело вращения с
параболической образующей
частью, уравнение образующей которых
7=*B—*),
A1.1.48)
где г =г/гмид, х =х/л:МИд (дгмид — расстояние от носка до места
миделевого сечения тела вращения радиусом гмид).
Для тела вращения с такой образующей (рис. 11.1.3) тангенс
угла наклона касательной в произвольной точке
w ^'мид
(l-*)=_L_(l_*)f A1.1.49)
а в точке заострения, для которой х = О,
te6n = 1/Х П11 50}
о 10 ~~~^ I МИЛ ' \ * **-'^м'/
где ЯмИд =^мид/BгМИд) — удлинение головной части.
На графике (рис. 11.1.2) показано распределение давления для
значения параметра Ki = Mootgfl0 =МосЛмид = 2. В случае
вихревого течения видно повышение давления по сравнению с
потенциальным обтеканием. Это повышение следует учитывать в практических
случаях, начиная примерно со значений параметра Ki =1,2-г- 1,5.
При меньших его значениях вихревым влиянием можно пренебречь.
1 рафик подтверждает действие закона подобия по параметру Ki при
больших скоростях не только для конусов, но и для аффинно-подоб-
ных тел вращения с криволинейной образующей, какими являются
тела параболической формы (об аффинном подобии подробнее см.
в & **-3). Это подобие распространяется и на цилиндрические участки
тел. Видно, что обтекание двух различных по своим размерам тел
характеризуется одной кривой для функции давления/?//7оо — 1, по-
ольку в каждом случае параметр Ki один и тот же.
3*
Глава одиннадцатая
68
Рис. 11.1.4 Область возможного при-
менения закона подобия по
параметру Кг
кк
= i/tg
Закон подобия по параметру Ki имеет большое практическое
значение. Действительно, вместо экспериментирования с различными
моделями можно провести продувку с одним телом, получив при этом
данные о распределении давления для ряда значений параметра Ki.
Затем в соответствии с законом подобия эти данные можно
распространить на всю бесконечную совокупность аффинно-преобразован-
ных тел с конкретными геометрическими размерами. Например, если
результаты на рис. 11.1.2 получены при Л!» =6 для тела с
удлинением головной части А,мид =3 так, что Ki = 2, то, очевидно,
найденная кривая действительна (как это видно из графиков) также для
другого тела с удлинением Ямид = 6, но уже при М«> =12, т. е. при
условии сохранения того же значения Ki = 2. Используя закон
подобия, можно отнести полученные результаты, например, к телу с
^мид = 5 и Моо = 10 и т. д. Таким образом, в данном случае
действие закона подобия ограничено одним и тем же значением параметра
Ki = 2. Чтобы расширить эти границы, эксперименты или расчеты
ведут для различных величин Ki.
Отметим еще одно важное следствие закона подобия. Оно
заключается в том, что при отсутствии возможности осуществить
продувки на больших скоростях необходимые результаты можно получить
на меньших числах Моо. Для этого надо вести эксперимент с менее
удлиненной аффинно-подобной моделью при сохранении заданного
параметра Ki. При этом область применимости закона подобия для
заостренного тела вращения может устанавливаться из анализа
возможности использования этого закона для конического острия. Такой
анализ проводится на основе сравнения результатов приближенного
аэродинамического расчета с точной теорией или экспериментом и
выявления отклонения от допустимой погрешности. Этим методом
построена для конуса заштрихованная область на рис. 11.1.4 (зона
сомнительного подобия), за пределами которой применение закона
подобия дает ошибку менее 5—6%.
При использовании графика (рис. 11.1.4) с целью определения
области применимости закона подобия для параболической головки
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 69
с удлинением Хмид необходимо этот график перестроить таким
образом, чтобы вдоль горизонтальной оси были отложены удлинения
головки, вычисленные из условия Ямид = l/tg|30-
При исследовании эффекта вихревого течения показано, что
возрастание скорости полета влечет за собой необходимость при расчете
невязкого обтекания учитывать влияние факторов, которыми при
небольших скоростях можно пренебречь.
Опыт и теория показывают, что при больших числах М«> известное
влияние на обтекание оказывают такие факторы, как пограничный
слой и различные эффекты, наблюдаемые в нем (диссоциация,
ионизация, теплопередача между стенкой и газом). Определенное влияние
оказывают также колебательные возбуждения, диссоциация и
ионизация воздуха, которые могут возникнуть при очень высоких
скоростях обтекания из-за значительного повышения температуры в
невязкой области потока между ударной волной и поверхностью тела.
Необходимо отметить, что влияние высоких температур газа на
изменение распределения давления значительно меньше, чем на
распределение скорости, температуры и плотности.
Параметры невязкого обтекания при условии, что газ
претерпевает физико-химические превращения вследствие воздействия
высоких температур, можно рассчитать рядом методов, в том числе
методом характеристик (см. [26, 27, 42]). _
Зная распределение коэффициента давления р = (р—poo)/q<x>>
где <7<х> = Ш2оо/?оо/2, можно вычислить силу и коэффициент волнового
сопротивления тела вращения, обтекаемого сверхзвуковым потоком
при нулевом угле атаки. Для вычисления коэффициента волнового
сопротивления используем формулу A.3.2), подобно тому, как это
сделано при выводе формулы A0.2.29). При этом учтем, что
sn = 5миД = гсгмид ; dS = 2nrdl\ dl = dx/cos 0;
cos (nx) =¦ sin |3; sin C/cos fl = dr/dx.
В результате
с*в = ———= —— {'p*r(—)dx A1.1.51)
о
или
к__
с*в = 4ХМид f prtgftdx, A1.1.510
о
где л:к — длина тела вращения;
г = '¦/''мид; tg р = dr/dx; Хмид = лгМИд/Bгми„).
Глава одиннадцатая
70
Рис. 11.1.5 Коэффициенты
волнового сопротивления
параболической головной
части
Представление о характере изменения коэффициента волнового
сопротивления можно получить из рис. 11.1.5, на котором приведены
результаты расчета этого коэффициента по методу характеристик
для параболического тела вращения. Как видно, с ростом числа М<х>
и удлинения Kinn коэффициент сопротивления уменьшается.
Увеличение удлинения соответствует большему заострению тела, которое,
естественно, вызывает снижение сопротивления. Что касается
влияния числа MU, то указанный характер изменения коэффициента схъ
свидетельствует не об уменьшении сопротивления [с ростом Моо
оно также увеличивается в соответствии с зависимостью
*в =?*в(&/?ооМу2Mмид], а о некотором отклонении характера этого
изменения от квадратичного закона (по Моо). При этом для больших
чисел Маха (Моо > 5 -~ 6) практически реализуется именно такой
закон изменения сопротивления, так как коэффициенты схв изменяются
незначительно.
Для приближенной оценки коэффициента волнового
сопротивления параболических головных частей или тел вращения, близких к
ним по форме, можно пользоваться соотношением (см. [9])
схв = 0,08 A5,5 + Моо) C +
A1.1.52)
где ^к _ коэффициент давления на коническом носке обтекаемого тела
вращения.
По формуле A1.1.52) получаем удовлетворительные результаты
для удлинений Хмид > 2,5 и интервала 1,5<М«><6.
§ 11.2.
Линеаризация уравнений обтекания
тонких тел вращения
Отдельные образцы летательных аппаратов выполняют в виде
тонких заостренных тел вращения (некоторые типы ракет,
артиллерийских снарядов и др.) или они имеют в качестве одного из конст-
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке
71
руктивных элементов корпус, представляющий собой по форме такое
тело. Этим вызывается целесообразность исследования
аэродинамических характеристик тонких заостренных тел вращения.
Рассмотрим задачу об установившемся обтекании тонких тел,
расположенных под малыми углами атаки. Возмущенное течение
около таких тел мало отличается от невозмущенного. Такое течение,
названное выше линеаризованным, можно исследовать при помощи
соответствующих линеаризованных уравнений аэродинамики.
Рассмотрим эти линеаризованные уравнения. Они получаются из общих
уравнений движения C.1.35) и C.1.35') в цилиндрических координатах,
удобных для исследования обтекания тел вращения и имеющих
следующий вид для установившегося невязкого обтекания (dV/dt = О,
v =0):
vx
дУх
дх
дУг
дх
дх
дУ
¦vr-
дг
дУг
дг
дг
д-t
х_
dp
дх
1
P
dp
дг
r
dp
A1.2.1)
а также уравнения неразрывности B.4.31) в этих же координатах.
Продифференцировав это уравнение, получим
дх
Учитывая, что частная производная —¦?- = —?-
дх dp
и заменяя др/дх в соответствии с первым уравнением A1.2.1),
находим
dp_
дх
A
_ 1
~ 02
1.2.2)
dp
' дх '
dp __ j>_
17 И*
дг
A1.2.3)
Аналогично из второго и третьего уравнений A1.2.1) получаем:
dp ^ р_
дг а2
К*
дх
-+vT
дг
— "TT ^'A1.2.4)
г дч г
lw/J± + Vr^ + ^.^ + -!-l). A1.2.5)
V| a2 \ дх дг r df г )
Внесем значения частных производных из A1.2.3) — A1.2.5)
в Уравнение неразрывности A1.2.2):
Глава одиннадцатая 72
Имея в виду соотношения B.4.25') и учитывая, что
получаем из A1.2.6) уравнение для потенциальной функции:
+
A1.2.7)
Обычно вместо системы уравнений движения A1.2.1) и уравнения
неразрывности A1.2.2) пользуются одним уравнением A1.2.7) для
потенциала скоростей. В соответствии со свойствами
линеаризованного возмущенного течения
vx = v«i+v;, vr = vr, vt = f;, (i 1.2.8)
где добавочные возмущенные составляющие скорости
Поэтому для скорости звука применено соотношение G.1.2'), в
котором и = Vx'. Внеся в уравнение A1.2.7) это соотношение, а
также значения A1.2.8) и величины
получаем
дхдг
— [al-(k-l)VxV'x + V'?] = 0. A1.2.9)
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 73
Учитывая, что вторые производные от ф' являются величинами
первого порядка малости, в уравнении A1.2.9) можно пренебречь
членами, содержащими произведения этих производных и
возмущенных составляющих скорости Vx', V/ или V'v В результате
находим линеаризованное дифференциальное уравнение для
добавочной величины потенциальной функции ф':
(Vl-ai)d^-al **L_ A. JS1_ А. -Й1 =0.A1.2.10)
v ' дх2 дг* г* df г дг '
Разделим все члены этого уравнения на —dL'
UA) + S+? + o. (...2..0,
Уравнение A1.2.10') используется для исследования потока около
тонких тел вращения под малым углом атаки, т. е. неосесиммет-
ричного маловозмущенного течения.
При осесимметричном обтекании (угол атаки равен нулю)
уравнение упрощается, так как составляющая скорости V\ = (\1г)дц>'1ду =
= 0, и, следовательно,
iai JVjiiOe AЬ2Л1)
(iMi) + +Oe
V ' дх* дг* г дг
Уравнения A1.2.10') и A1.2.11) составляют теоретическую
основу аэродинамики стационарных линеаризованных течений около
тонких тел вращения. В результате решения этих уравнений
определяем потенциал возмущения q/. Уравнение для потенциала q/
решаем при следующих граничных условиях. На границе
возмущенной области потенциал ф' =0. В данном случае такой границей
является поверхность слабой ударной волны, возникающей перед
тонким заостренным телом и представляющей собой фактически линию
слабого возмущения (простую волну сжатия) или линию Маха с углом
наклона образующей к направлению вектора скорости У«>, равным
Цоо = arcsin(l/Moo). На поверхности обтекаемого тела потенциал ф'
должен удовлетворять условию безотрывного обтекания C.3.19),
в котором функцию, описывающую обтекаемую поверхность
вращения, можно представить в виде F = f(x) — г. Тогда
<?rl4x = drldxy A1.2.12)
где
_ аср __*(?„ + ?') _*?„ д,>
дг дг дг дг «'
дх дх дх дх т~*^т*-
Глава одиннадцатая
74
ос VL Since
Рис. 11.2.1 Составляющие
скорости набегающего
потока в цилиндрических
координатах
Составляющие скорости набегающего потока в цилиндрических
координатах можно определить по схеме, изображенной на
рис. 11.2.1:
V*oo = Я?*, /дх = Tjwo = Уоо cos a;
Vroo = dyjdr = сргоо = Voo sin а cos у .
По этой же схеме можно найти третью составляющую:
A1.2.14)
KTOO=-L.^ = -LcpToo = -l/oosinasin7. A1.2.15)
В соответствии с соотношениями A1,2.14) и A1.2.15)
потенциал скоростей невозмущенного потока
ср
cos a + rVoo sin a cos 7.
A1.2.16)
Для маловозмущенного потока примем cosa « 1 — a2/2 и sina «
«a, поэтому
A1.2.160
Следовательно, суммарный потенциал
Т = ?оо + Ч'^ г> У) = *УооС1 — a2
acos
A1.2.17)
Вычисляя производные фГ Ифх, внося их в A1.2.12) и пренебрегая
величиной 0,5а2, получаем
(Vjlcos у + <г'г)!(У„ + <?'х) = dr/dx. A1.2.18)
Если обтекание осесимметричное, то условие безотрывного
обтекания A1.2.18) упрощается:
A1.2.19)
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке
75
а) <Р=Ъо+<р;+%
6) <р'(х,г,Г)
ОС Voo
(К V—
Рис. 11.2.2 Тонкое тело вращения в линеаризованном потоке под малым
углом атаки:
а — неосесимметричное обтекание; б — осесимметричное обтекание; в — добавочное
поперечное обтекание
Потенциал скоростей линеаризованного потока ф, обтекающего
тело вращения под малым *углом атаки (рис. 11.2.2), можно
представить в виде суммы трех составляющих: потенциала
невозмущенного потока фоо, добавочного потенциала продольного возмущенного
(осесимметричного) течения фХ' (х, г) и второго добавочного
потенциала ф2' (х, г, y)> возникающего от поперечного обтекания:
Т = т\х> + ?!(*, г) + ъ(х, г, у). A1.2.20)
В теории линеаризованных течений ф/ и ф2' рассматриваются как
функции, которые, являясь решениями уравнений движения,
определяют независимые друг от друга потоки. Поэтому на каждую такую
функцию можно отдельно наложить граничные условия. В частности,
решение для ф/, получаемое из уравнения A1.2.11)
(i-ML)cpto+cp;rr+cp;r/r = o, (п.2.110
(где ф!'хзс =d2<pi/dx2> ф/гг =zd2(pi/dr2, ф!г =д'фХ/дг), должно
удовлетворять условию A1.2.19) осесимметричного обтекания
A1.2.190
Граничное условие для функции ф2',удовлетворяющей A1.2.10')
получим из выражения A1.2.18), представив его в виде
лт -t 'I ' dr / т j • г , г \ /11 о о 1 \
OLv COS V "Т" Ф ~Т~ ® == " I г оо ~Г~ Ф "Т" Фо I • \х 1 »Z. /,1)
В этих выражениях ф/я =д^г'/дх9 ф2'х =<?ф2'/5л: и т.д.
Имея в виду равенство A1.2.19') и отбрасывая в A1.2.21) член
с меньшим порядком (dr/dx)<p'2x> из A1.2.21) получаем граничное
Условие поперечного обтекания
%r = — ONCOST. A1.2.22)
Глава одиннадцатая 76
В соответствии с условием A1.2.22) добавочный потенциал от
поперечного обтекания должен быть таким, чтобы на поверхности тела
исчезла радиальная составляющая скорости набегающего потока
VToo = aVooCosv- Эта составляющая скорости может быть как
сверхзвуковой, так и дозвуковой. То обстоятельство, что Vroo< a«> (т. е.
радиальная составляющая дозвуковая), не имеет значения для
решения задачи, так как рассматриваемое дополнительное поперечное
течение представляет собой составную часть суммарного потока и
является лишь следствием математического представления модели
такого потока.
Определив с учетом граничных условий суммарный потенциал
скоростей A1.2.20), можно вычислить скорость, а затем давление,
используя уравнение Бернулли
к в _р_ , -11== k . Po° -f- У2°°
к — 1 * р 2~~?-1*Роо 2*
Внося сюда значение р = Poo(p/poo)llk, поскольку течение можно
считать изэнтропическим, находим
Ь I п \'*~*)'* р Т/2 b P°o V^L
•v / у \ г ОО | V «v _______ | ОО
/г—1 \TZ) "ТГ" Т" ~~ k— 1 " Poo ~2~ "
Учитывая, что kpjpoo= dL и ML = V2Jooo, получаем
Так как квадрат полной скорости V2 = (VaoCosa + Vx'J +
+ V? + V\\ то
Р
Г о / v' Vz v'*
= 1 _(*__) и*, _?-coea + -J- + -l- +
L VVoo 2Vt 2Vi
+ J*-_iL-!ll . (Ц.2.23)
2Vi 2 JJ
Здесь второй член в квадратных скобках меньше единицы, и,
следовательно, все выражение можно разложить в ряд по биному.
Сохраняя в разложении только первые два члена, учитывая малость
величины V?l{2Vlo) по сравнению с первым членом в круглой скобке
и полагая при малых углах атаки cosa « 1, sin2a « а2, получаем
Poo \ ^оо
откуда коэффициент давления
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 77
?
?_ 2?=i=L_-2 BL+-?. + -!?.-iV A1.2.25)
В соответствии с условием A1.2.12), в котором можно принять
срх ^фхоо= Voo, составляющую V'r заменим величиной
1/;= 4r=VJirldx% A1.2.19")
а Кх; и Гт — их выражениями через добавочные потенциалы:
V = а/ • 1/' = ср' /г 4- ср' /г
где согласно A1.2.15) величина
V/r = a^oosin^
В результате
A1.2.26)
Эту величину коэффициента давления можно представить в виде
суммы двух составляющих, т. е. р = рг + Рг- Одна из составляющих
рг определяется условиями осесимметричного обтекания:
)']• <"-2-27)
а другая р2 — поперечным обтеканием, зависящим от угла атаки:
- — 2 [\, . , 1
' ПГ,
-^]. (И.2.28)
§ 11.3.
Расчет осесимметричного
обтекания
Задача о линеаризованном осесимметричном обтекании тонкого
тела вращения будет решена, если найти добавочный потенциал
скоростей ф/, удовлетворяющий линеаризованному уравнению A1.2.11).
Путем подстановки можно убедиться в том, что потенциал
ср' = f /(е)Л/К (х — гJ — а/2г2 , A1.3.1)
Глава одиннадцатая 78
где а' = У ML — 1, действительно удовлетворяет уравнению
A1.2.11).
Смысл решения A1.3.1) можно установить, если ввести
переменную, определяемую равенством drV~\ =p. Тогда уравнение
A1.2.11) формально приведем к виду, совпадающему с уравнением
для потенциала скоростей несжимаемого потока, а именно
*ш + ЬРР + 9'JP = О, (И.3.2)
где индексы х и р означают соответствующие частные производные
ф/ ПО X И р.
Представим, что в некоторой точке х = 8 на оси тела находится
источник жидкости с расходом (интенсивностью) q. Потенциал
скоростей, индуцируемых этим источником в точке с координатами х> р,
расположенной на шаровой поверхности радиусом р = У(х — еJ+/?2>
определяется в соответствии с формулой B.9.14) в виде ф/ =
ssz —q/[4n V(x — еJ + р2]. Если представить, что вдоль оси тела на
участке от е = 0 до г = х — а г расположена система источников с
переменной интенсивностью q = —4я/(e), отнесенной к единице
длины, то суммарный потенциал в рассматриваемой точке х> г от
действия всех источников выразится формулой
Путем подстановки можно убедиться в том, что интеграл A1.3.3)
удовлетворяет дифференциальному уравнению A1.3.2).
Следовательно, решение A1.3.3) представляет собой потенциальную функцию
от источников, непрерывно распределенных вдоль оси тела.
Сравнивая A1.3.3) и A1.3.1), видим, что при р = а г]/—1 оба эти
выражения тождественны. Таким образом, с помощью формальной
аналогии показано, что, как и для несжимаемой жидкости, смысл
решения A1.3.1) заключается в том, что функция ф\ является
потенциалом источников, непрерывно распределенных вдоль оси тела.
Найденное решение A1.3.1) отражает содержание метода источников,
согласно которому обтекаемое тело заменяется системой непрерывно
распределенных вдоль его оси как источников, так и стоков.
Закон распределения источников (стоков), т. е. вид функции /(е),
должен быть таким, чтобы в результате наложения невозмущенного
потока на течение от этих источников одна из линий тока суммарного
потока совпадала с образующей тела вращения. Иначе,
потенциальная функция ф'х должна удовлетворять условию A1.2.19')
безотрывного обтекания.
Формальную аналогию между несжимаемым (или сжимаемым
дозвуковым) и сжимаемым сверхзвуковым потоками от источников или
стоков необходимо дополнить особенностями, характерными для сверх-
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке
79
Рис. 11.3.1 Распределение
источников вдоль оси тела
вращения и характер их влияния
при сверхзвуковых скоростях
обтекания:
/ — образующая тела вращения;
2 — кривая f(x), характеризующая
распределение источников; 3 —
линии тока от источников; 4 — конус
возмущений (конус Маха)
звукового течения. Если источник в дозвуковом потоке оказывает
влияние на все точки пространства, расположенные
вверх и вниз по потоку, то при сверхзвуковом течении возмущения
от источников распространяются только внутри конусов
М а х а с вершинами у источников. Таким образом, если представить
себе систему непрерывно распределенных по оси тела источников
(рис. 11.3.1), то скорость и давление в любой точке А (х> г) будут
определяться теми возмущениями, которые исходят из источников,
расположенных вверх по течению, начиная от точки е = х — а г и кончая
точкой е = х = 0, совпадающей с острием тела. В точке е = х = О
интенсивность источника равна нулю, так как полагаем, что при е < О
возмущения отсутствуют. Этим определяются пределы интеграла в
формуле A1.3.1).
Вид кривой /(е) [или /(*)], представляющей собой закон
распределения источников (стоков) для тонкого тела с произвольной
образующей, показан на рис. 11.3.1. Эта кривая определяет
непрерывный характер малых возмущений, индуцируемых источниками
(стоками) и соответствующих линеаризованному обтеканию. В том
случае, когда возникают большие возмущения, например при
обтекании тел с притуплённой головной частью или заостренных тел с
большими углами наклона образующих к направлению скорости
набегающего потока, линейная теория неприменима.
Чтобы найти общие зависимости для скорости и давления,
преобразуем A0.3.1), вводя новую переменную интегрирования:
z = arch [(х — е)/(а'г)]. A1.3.4)
Учитывая, что согласно A1.3.4) ch z = (x — e)/(aV),
Учитывая, что согласно A1.3.4) ch z = (x — e)/(aV), e =
= * — a'rchz, dz =—a'rshzdz, выражение A1.3.1) можно
преобразовать к виду
arch (x/a'r)
cpj = f f(x — a'r ch z)dz.
b
A1.3.5)
Глава одиннадцатая 80
В формуле A1.3.5) верхний предел z = arch(*/aV) интеграла
соответствует нижнему пределу 8=0 интеграла A1.3.1), а нижний
предел 2=0 — верхнему пределу е = х — а г в A1.3.1).
Дифференцируя cp'i по х, найдем осевую добавочную
составляющую скорости:
arch (лг/а'г)
f;, = <Pu = lT J f(x-a'rchz)dz =
о
arch (x/a'r)
== Г / (х— а/г ch z) dz + f (x — a'r ch z)|z=arch (*/а'Г) -r— (arch —),
J ' dx \ a'r J
A1.3.6)
где / — полная производная функции / по аргументу х — а г chr.
Так как интенсивность источника у острия тела /(е) = /@) = 0, то
arch (x/a'r)
j f(x — a'rchz)dz. A1.3.7)
Аналогично A1.3.6) находим для радиальной составляющей
скорости
arch (x/a'r)
у'п = ч\г = —о! f f(x — afrchz)chzdz. A1.3.8)
6
Приведем выражение A1.3.8) к переменной е, определяемой в
соответствии с A1.3.4) по уравнению е = х — a'rchz. Так как
* — дя 1 — dt u х — е
V( )GP V V '^
то подынтегральное выражение
/ (x — aV ch z) ch zdz = /(e) (x — e) de/(aV V (x — eJ — a/2r2).
Нижний предел z = 0 соответствует значению 1 = (# — e)/(aV),
откуда новый предел 8 = # — aV; верхнему пределу z = arch(x/a'r)
соответствует предел е, полученный из условия ch[arch(A:/aV)] =
= (х — e)/(aV), в соответствии с которым 8=0. Таким образом,
X—i
ИЛИ
О
'n = — f ftolx-*)d*_t A1.3.9)
Г J, V(x — еJ — a'V2
2^ A1-3-90
д:—а'г
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 81
Так как aV< (х — е), то выражение [1 — (агJ/(х — еJ]^
можно разложить в ряд
При г-> 0 член в квадратных скобках стремится к единице, а
нижний предел — к значению 8 = х. В соответствии с этим предельное
значение для радиальной составляющей скорости при г-»- О
что после интегрирования позволяет получить
V'n= lf(O)-f(x))/r.
Но у острия тела /@) = 0, поэтому
V',i = —f(x)/r. A1.3.10)
Воспользовавшись условием A1.2.19) безотрывного обтекания,
в котором для весьма тонкого тела можно пренебречь вторым членом
ф/х в знаменателе, получим уравнение для определения функции f(x):
f(x) = — r (dr/dx) Voo. A1.3.11)
Это уравнение можно представить в виде
v*<# <ПЗЛ2>
где S(x) = я г2 —текущее значение площади поперечного сечения
тонкого тела.
Выражение A1.3.12) для функции /(#), определяющей закон
распределения источников вдоль оси в предельном случае при г-*- 0,
можно использовать для расчета составляющей скорости A1.3.7),
необходимой при вычислении давления по формуле A1.2.27) на
поверхности тонких реальных тел вращения. Для этого в A1.3.12)
заменим л: на е =х — a'rchz и подставим в A1.3.7) производную:
В результате
-. arch (x/a'r)
Г S"(x — a.'rchz)dz. A1.3.14)
о
Глава одиннадцатая 82
Таким образом, для расчета скорости по формуле A1.3.14)
необходимо знать форму тела вращения и распределение площади вдоль
оси, т. е. вид функции S(x).
Допустим, что имеется тело вращения с параболической
образующей (см. рис. 11.1.3), уравнение которой задано в виде A1.1.48).
В соответствии с этим уравнением площадь поперечного сечения
A1.3.15)
Отсюда определим вторую производную:
^Ц A1.3.16)
dx* X2 *мид x2
лмид \ МИА лмид
Произведя замену х на е = л: — a'rchz, находим
S"(* — a'rchz) = -^-[2 — (х — a'rchz) +
*мид I
2! .
(х — a'rchzJ! . A1.3.160
После подстановки A1.3.16') в A1.3.14) получаем
.. arch и _
где 7 = лг/лгм„д;
и = х/(а'г). A1.3.18)
Введем обозначения:
+ I2t A1.3.19)
где величины 1п определяем в виде интегралов:
arch и
In= j (ch2)^2(Ai = Q, 1,2). A1.3.20)
о
В соответствии с обозначениями A1.3.19)
(u-3-2i)
В случае более общего задания функции S"(x) в виде многочлена
k
nxn A1.3.22)
я=0
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 83
выражение, аналогичное A1.3.21), можно представить в виде
Vxi = -^bni\ A1.3.23)
Коэффициенты ап зависят от вида образующей тела вращения,
а Ьп — также и от скорости !/«,. Значения функции ix для п =0,1, 2,
представленные в виде A1.3.19), соответствуют заданию образующей
тела по уравнению параболы второй степени.
Для тела вращения с уравнением образующей более высокой
степени необходимо вычислять значения inx для п = 3, 4 и т. д. В
частности, если уравнение образующей таково, что производная S"(x)
из A1.3.22) определяется по уравнению
з
S"(x) = ^апхпу A1.3.22');
то в соответствии с A1.3.23) составляющая скорости
/1=0
где ix вычисляется для значений п = 0, 1, 2 по формулам A1.3.19)^
а для п =3 — из выражения
i\ = иЧ0 — ЪиЧ, + Зи12 — /3. A1.3.24)
Функции inx% вычисленные для значений параметра и от 1 до 8,8,.
приведены в табл. 11.3.1.
Как частный случай, из соотношения A1.3.21) можно получить
выражение для составляющей скорости на тонком конусе. Для этого-
надо заменить 1А,МИД на 0О = |3К (угол заострения параболического'
тела вращения у острия) и принять х = 0:
14к = -М;2)кР2к. (п.3.25)
Имея в виду, что в соответствии с A1.3.19) и A1.3.20) для конуса
1хк = 'ок ~ 2ГСП ^к »
где ик = (х/а'г)к = 1/(а'0к)> получим для составляющей скорости
Пи = - Voo РкarchuK = — Vao РкIn (uK + Vul-l ) . A1.3.25'}
По найденным значениям VX1K можно определить по A1.2.27)
коэффициент давления на поверхности тела вращения в
соответствующей точке. На конической поверхности, где добавочная составляющая
скорости определяется из A1.3.25'), коэффициент давления
Глава одиннадцатая
84
и
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,6
1,8
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
0
0,4435
0,6223
0,7567
0,8673
1,047
1,177
1,317
1,522
1,690
1,831
1,954
2,064
2,162
2,251
2,333 '
2,408
2,478
2,544
2,605
2,663
2,717
2,769
2,818
2,865
4
0
0,0298
0,0838
0,1527
0,2342
0,4265
0,6690
0,9024
1,472
2,116
2,820
3,578
4,382
5,227
6,111
7,028
7,976
8,953
9,958
10,99
12,04
13,12
14,22
15,33
16,47
4
0
0,0019
0,0149
0,0392
0,0753
0,2068
0,4875
0,7314
1,675
3,107
5,076
7,634
10,81
14,65
19,19
24,44
30,44
37,21
44,77
53,17
62,37
72,43
83,37
95,18
107,9
4
0
0,0001
0,0071
0,0095
0,0254
0,2412
0,4631
0,6332
2,030
4,854
9,701
17,28
28,28
43,46
63,76
89,85
122,7
163,2
212,3
271,1
340,2
421,0
514,5
621,4
743,3
0
0,4582
0,6633
0,8312
0,9804
1,249
1,450
1,732
2,182
2,615
3,040
3,458
3,873
4,286
4,694
5,103
5,510
5,916
6,322
6,726
7,130
7,534
7,937
8,341
8,743
4
0
0,0303
0,0856
0,1256
0,2526
0,4756
0,7166
1,073
1,857
2,816
3,948
5,247
6,714
8,348
10,14
12,10
14,22
16,51
18,96
21,56
24,34
27,27
30,36
33,62
37,04
Табл и
0
0,0026
0,0109
0,0383
0,0794
0,2230
0,4137
0,8296
1,990
3,846
6,543
10,21
14,98
21,00
28,37
37,26
47,78
60,07
74,25
90,44
108,8
129,4
152,5
178,1
206,3
ца 11.3.1
0
0,0004
0,0015
0,0096
0,0281
0,1124
0,2949
0,6950
2,326
5,946
11,90
21,84
36,84
58,34
87,74
127,0
177,9
242,4
322,8
421,4
540,7
683,4
852,2
1050,4
1280,6
A1.3.26)
В соответствии с A0.2.30) зависимость A1.3.26) определяет
коэффициент волнового сопротивления тонкого конуса, т. е.
A1.3.260
Для тонкого тела вращения произвольной формы коэффициент
волнового сопротивления следует рассчитывать по формуле A1.1.51),
в которой коэффициент давления в соответствии с A1.3.14) и A1.2.27)
arch в
Pi
= JL Г
— a'rchz)dz
\dx)
A1.3.27)
На рис. 11.3.2 показано распределение коэффициента давления,
найденное по линеаризованной теории при М» =1,5 для всех трех
участков тонкого тела вращения — головного, цилиндрического и
хвостового. Как видно, вниз по потоку давление вдоль цилиндра,
начиная с конца головки, возрастает, постепенно восстанавливаясь до
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке
85
X
I
*MUAS3WHUA
i
7dMUA
1,58dMUA
Рис. 11.3.2 Распределение
коэффициента давления по поверхности
корпуса, имеющего параболическую
головную и хвостовую части
0,3
0,1
0,1
О
-0,1
-0,1
-ЛЗ
\
=p
5 X/rf«
соответствующей величины в набегающем потоке (pi->- 0). Обтекание
сужающейся части (кормы) сопровождается увеличением
разрежения.
Полагая drldx = tgp « p, находим формулу для коэффициента
волнового сопротивления:
arch и
= 2 Г JL J S"(x — a'rchz)dz—
где х =х/гмлд.
Для параболической образующей с уравнением г
X хB — х/хМИД) производная
dr
dx
, A1.3.28)
(/мид'-^мид)
A1.3.29)
где х =х/хЫИД.
Коэффициент A1.3.28) можно рассматривать как сумму двух
составляющих: схъ = сгхв + Cxi, где с$п и Cxi — коэффициенты
волнового сопротивления соответственно головной части и кормы.
Учитывая, что практически давление на цилиндре восстанавливается
до атмосферного и, следовательно, поток перед хвостовым участком
считается невозмущенным, распределение давления по этому участку
и соответствующую величину cJS можно рассматривать независимо
от головной части.
Изменение величины с?в характеризуется графиками,
изображенными на рис. 11.3.3, из которых видно, что она зависит от
удлинения кормы А,кр =л;Кр/я?МИд (где лгкр —длина хвостового участка),
числа Me» и донного сужения Sfl0H = SH0H/SMHA. С увеличением Snon
снижается величина проекции хвостовой поверхности на плоскость,
перпендикулярную продольной оси тела, что обусловливает
уменьшение сопротивления кормы. Значение eJB для головной части можно
Глава одиннадцатая
86
4,0
3,0
1,0
0,8
0,3
0,2
0,1
0,08
0,06
0,05
ъ/О В62
^>
0,8
01
,502
I
—¦»
dni
M
— 1
¦—¦«
s=
•a»
- -.
0,1 0,1 0,3 0,4 Г
Рис. 11.3.3 Коэффициент
сопротивления хвостовой сужающейся части
корпуса с параболической образую-
щей
вычислять по A1.1.52) или при помощи зависимости, полученной в
соответствии с линеаризованной теорией (см. [9]),
<^-^(Tlnt-i?)' AL3-28/)
в которой Ki = Moo Po-
Интеграл в A1.3.27) можно выразить в соответствии с A1.3.16')
в виде
arch и __
5" (х — a'r ch г) dz = PO2JV, (и, х ). A1.3.30)
Здесь Ni — некоторая функция безразмерной координаты х и
параметра и, определяемого из условия
= -^, A1.3.31)
2 —х/л:мид 2 —а:
где и0 = 1/(а'C0).
Используя A1.3.29) — A1.3.31), зависимость A1.3.27) можно
представить в общем виде:
Л = РоЛГ(«1о, I), A1.3.32)
где N — некоторая функция параметра и0 и безразмерной
координаты х.
С учетом A1.3.32) коэффициент волнового сопротивления A1.3.28)
представим в общем виде:
A1.3.33)
где D — некоторая функция параметра щ.
Общие формулы A1.3.32) и A1.3.33) позволяют сделать следующий
вывод об аэродинамическом подобии потоков около параболических
лет вращения.
Если сверхзвуковые потоки характеризуются одним и тем же
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 87
значением параметра и0, то в точках с_одинаковыми безразмерными
координатами х одинаковы отношения /Vflo2- ^ аэродинамически
подобных потоках тела вращения испытывают такие осевые усилия,
что отношения схв/&02 для них одинаковы. Таким образом, критерием
подобия в данном случае является параметр
и0 = 1/(а'р0) = 1 /(Ро/mL-I) = Хмид /J/ML-1. A1.3.34)
Для чисел Моо> 1 параметр и0 можно представить в виде
Ho=l/Ki, A1.3.340
где Ki = РоМоо= Моо/^мид-
Умножая обе части A1.3.32) на Моо и учитывая зависимость
A1.3.34'), находим
-l=N2(Kiil), A1.3.35)
где N2 — некоторая функция аргументов Ki и х.
В соответствии с выражением A1.3.35) в данной точке х функция
давления pi/poo—1 зависит только от параметра Ki. Закон подобия
по этому параметру подтверждается также результатами расчета по
методу характеристик.
Исследования показывают, что при использовании
линеаризованных методов расчета обтекания удовлетворительное совпадение
результатов для функции давления получается для значений
параметров подобия Kit меньших единицы. Закон подобия по этому параметру
оказывается неприменимым при некоторых сочетаниях чисел Моо и
удлинений Ямид, что непосредственно следует из анализа пределов
применимости линеаризованной теории. Эти пределы можно
установить, например, из формулы A1.3.26), определяющей коэффициент
давления на конусе. Очевидно, при uk = ио<. 1 эта формула
недействительна, так как величина Л/и\—1 является мнимой. Когда же
«о, оставаясь больше единицы, приближается к ней, по формуле
A1.3.26), получаем нереальную (отрицательную) величину
коэффициента давления на тонком конусе. Следовательно, расчет по
линеаризованной теории дает удовлетворительные результаты лишь для
условий, при которых и0 > 1. Из этого вытекает, что, очевидно,
закон подобия теряет силу в том случае, если щ мало отличается от
единицы.
Физически таким значениям и0 соответствует отклонение
действительного течения от линеаризованного. Практически, если
удлинение уменьшается, т. е. тело становится более толстым (менее
заостренным) или при том же удлинении возрастает число М», то в обоих
случаях поток все более отличается от линеаризованного. Чтобы
сохранить линеаризованный характер течения, необходимо при
больших числах Моо увеличивать удлинение, т. е. больше заострять тело.
При этом должно быть соблюдено неравенство Лмид > Моо. В соот-
Глава одиннадцатая 88
ветствии с этим параметр подобия Ki = М«АмИд должен быть меньше
единицы.
Из выражения и0 = (a'flo) следует, что если тело вращения
тонкое, т. е. удлинение велико, то для сохранения неравенства щ > 1
необходимо выполнить условие Моо > 1. Если же число Моо->- 1,то,
как следует из формулы A1.3.25'), возмущенная скорость по
абсолютной величине достигает бесконечно большого значения, что
физически невозможно. Таким образом, теория линеаризованных
течений и законы их подобия пригодны при одновременном соблюдении
двух неравенств:
Хмид> (М2оо - 1I/2 и Мое > 1. A1.3.36)
Сравнение с экспериментальными данными показывает, что
расчеты по линеаризованной теории и применение критериев подобия
возможны для удлинения Ямид > 2 и чисел Моо не менее 1,4—1,5
(Ki = Моо/Ямид< 0,7 ч- 0,75).
Подобие по параметру Ki = MooP0 Для давления определяет
подобие и для функции волнового сопротивления, причем применение
этого закона подобия должно быть связано с требованием сохранения
линеаризованного течения. Возможные пределы этого применения
можно определить по графику (см. рис. 11.1.4).
Умножив обе части формулы A1.3.33) на М2оо, получим общее
выражение для функции сопротивления:
М2оо^в = РоЯ(К1), AU3.37)
где #(Ki) — некоторая функция, зависящая от параметра Ki.
Это выражение свидетельствует о том, что если обтекание двух или
нескольких тел вращения с различным удлинением характеризуется
одним и тем же значением параметра Ki, то у каждого из этих
тел одна и та же величина функции IALcXB.
Рассмотренные критерии подобия получены на примере тел
вращения с параболической образующей. Эти тела вращения обладают
свойством, вытекающим из уравнения A1.1.48) и состоящим в том, что
вся их бесконечная совокупность характеризуется одинаковым по
длине распределением относительных толщин:
* = */*мид ° ОТ ОТ 0,6 5,8J 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
"=/-/>*мид 0 0,36 0,64 0,84 0,96 1,0 0,96 0,84 0,64 0,36 0
Среди этой совокупности могут быть геометрически подобные
тела, отличающиеся линейными размерами в одно и то же число раз.
Такие тела, очевидно, имеют одинаковое удлинение, и их можно
совместить друг с другом путем равномерной, т. е. одинаковой для всех
направлений, деформации. Для выполнения аэродинамического
подобия необходимо обеспечить для рассматриваемой геометрически
подобной модели то же число Моо, что и для натурного тела вращения.
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 89
Однако совокупность параболических тел включает и такие формы,
которые можно совместить лишь путем неравномерной деформации.
Представим себе два тела с различными удлинениями. Если ввести
линейный масштаб, одинаковый для радиальной и осевой координат,
то деформация тела в продольном и осевом направлениях не дает
полного совмещения. Такого совмещения, называемого аффинным,
можно достичь, если масштабы для радиальной и осевой координат
различны. В соответствии с этим тела с параболической образующей
называют аффинно-подобными. К этому же классу аффинно-подобных
тел относят конические тела, образующие которых задаются
уравнением в безразмерной форме г = х. Конические тела
характеризуются, следовательно, одинаковым распределением относительных
толщин, которое не зависит от удлинения этих тел.
В отличие от параболических и конических тел у оживальных
головок (с образующей в виде дуги окружности) с изменением А,мид
изменяется распределение по длине относительных толщин г.
Вследствие этого нельзя аффинно преобразовать одну оживальную головку
в другую. Однако в тех случаях, когда исследуется линеаризованное
обтекание тонких тел, можно использовать рассмотренные критерии
подобия, так как при больших удлинениях (Ямид > 3) оживальная
головка мало отличается от параболической.
§ 11.4.
Неосесимметричное обтекание
Задача о неосесимметричном обтекании сводится к определению
добавочного потенциала фг', обусловленного поперечным потоком
газа около тонкого тела вращения и удовлетворяющего уравнению
A1.2.10'). Покажем, что решение дляф2' можно получить при помощи
решения ф/ для осесимметричного обтекания, т. е. покажем, что между
Фг' Иф/ существует взаимная связь. Для этого продифференцируем
по г уравнение A1.2.1 Г) осесимметричного возмущенного течения:
(iMi)()+f) + = o.
' дх*\ дг ) дг* \ дт } г* дг г дг*
A1.4.1)
Ьсли принять, что
ср2 == — (<3<pi/dr) cos 7, A1.4.2)
то после подстановки его в исходное уравнение A1.2.10") получим
(Н.4.1). Следовательно, равенство A1.4.2) действительно и полный
потенциал возмущения при неосесимметричном обтекании может
рассматриваться в виде
?' = ?i ¦+ ?2 = <pl — (dy[/dr)cosy. A1.4.3)
Глава одиннадцатая 90
Чтобы выяснить физический смысл интеграла <р 2\ воспользуемся
методом аналогии, который применен при рассмотрении осесиммет-
ричного обтекания и заключается в том, что обтекаемое тело как в
сжимаемом, так и в несжимаемом потоках заменяется системой
источников и стоков.
В рассматриваемом случае неосесимметричного обтекания тела
метод аналогии состоит в следующем. Если cpj считать потенциальной
функцией источников (стоков) несжимаемой жидкости, непрерывно
распределенных по оси тела, то в соответствии с выражением B.9.2Г)
производную дуг'/дг следует рассматривать как функцию,
определяющую поток от диполей, расположенных вдоль той же оси. В
соответствии с этим при исследовании обтекания тела неосесимметржным
несжимаемым потоком может быть заменено системой непрерывно
распределенных вдоль его оси диполей. Распространяя указанную выше
аналогию (осесимметричное течение) на случай обтекания тела с
нарушением осевой симметрии, считаем, что в сверхзвуковом
линеаризованном потоке обтекаемое тело можно заменить системой
распределенных вдоль оси сверхзвуковых диполей, а ср2 — потенциал от этих
диполей.
В соответствии с A1.3.5)
arch (x/a'r)
ф ' = — cos 7 ( fix — о/г ch z) ch zdz =
dr J
0
arch (x/a'r)
= a'cosv Г / (x — a'r ch z) ch zdz. A1.4.4)
0
Заменив здесь функцию /(е) на m(e) и обозначив х/(а'г) = и,
получим
arch и
cp2=a/cosv Г т(х — o/r ch г) ch zdz. A1.4.4')
о
Функция т(г) в выражении A1.4.4') описывает закон
распределения диполей, т. е. характер изменения их моментов вдоль оси тела
вращения. Заменяя тело распределенными по его оси диполями,
следует учитывать особенность распространения возмущения в
сверхзвуковом потоке, заключающуюся в том, что возмущения от диполей,
как и возмущения от источников, распространяются только вниз
по потоку в пределах конуса возмущения.
Итак, пользуясь изложенным методом аналогии, при
исследовании неосесимметричного, или «косого», обтекания тела вращения
заменяем его системой диполей. Смысл такой замены состоит в том, что
добавочное возмущение, вносимое телом в поток при косом обтекании,
эквивалентно возмущению от диполей, размещенных на его оси опре-
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 91
деленным образом в зависимости от формы и условий набегающего
потока.
Решение задачи о косом обтекании, которое сводится к расчету
параметров потока, поперечного относительно оси тела, найдем, если
функцию /п(е) подобрать таким образом, что потенциал ср2'
удовлетворяет дополнительному граничному условию на поверхности тела
при неосесимметричном обтекании. Это условие на основании A1.2.22)
и A1.4.4') можно представить в виде
arch и
a' cos у ( mix — о! г ch z) ch zdz = — aVoo cos y.
dr J
о
Продифференцировав это выражение, получим
archu
а'а Г т(х — <х'гchz)ch2zdz = aVoo, A1.4.5)
о
где т — производная функция т по аргументу х — aVchz.
Решая интегральное уравнение A1.4.5), для заданной формы тела
и скорости набегающего потока можно определить функцию
распределения диполей т. Решение этого уравнения можно упростить, если
рассмотреть весьма тонкое тело вращения. Для этого преобразуем
A1.4.5) с помощью переменной &=х— aVchz:
Ж— л'г
L Г
Г2 J
(X - ?J — а'2
Для весьма тонкого тела с малым г интеграл в A1.4.6) можно
принять в первом приближении равным его значению при /•->• 0.
Тогда
х
= |т(е)(л; —
о
или
Интегрируя по частям и полагая и = х — е, do = dm, получаем
X X
аУооГ2 = (х — е)т(е) |0 + f т (е) de.
Так как у острия m(e) = m@) = 0, а значение г жх вследствие
§: х, то
Глава одиннадцатая 92
о
После дифференцирования по х имеем
т (х) = 2aVoordr/dx. A1.4.7)
Выражение A1.4.7) для функции т{х)> определяющей закон
распределения диполей в предельном случае при г-> 0, можно
использовать для расчета неосесимметричного обтекания тела,
отличающегося от весьма тонкого, по аналогии с тем, как это сделано в § 11.3
в связи с применением функции / [см A1.3.11)] распределения
источников для исследования осесимметричного обтекания. Для этого
в A1.4.7) необходимо перейти от переменной х к переменной е = х —
— a'rchz:
m(x — a'rchz) = aVoo — = — S' (х — a'r ch г), A1.4.8)
откуда производная
т (х— а'г ch z) = —2- S" (x — a'r ch г). A1.4.9)
Вычисляя производную ф2Х' от добавочного потенциала A1.4.4'),
получаем зависимость для осевой составляющей скорости:
arch и
V'X2 = ср2* = a' cos у f m(x — a'r ch z) ch zdz. A1.4.10)
о
Внося сюда значение т из A1.4.9), находим
. _, arch и
г a aV COS у г*
Vx2 = L S" (x — a'r ch z) ch zdz. A1.4.11)
71 J
о
Для частного случая параболической образующей с уравнением
A1.1.48) вторая производная от функции S(x) определяется
формулой A1.3.16), следовательно,
arch и ,
#чмид
+ -^- (и — ch z)A chzdz, A1.4.12)
где F=*/a:mpw u=x/(a'r).
Введем обозначения:
«0 т «1 г г «2 or О / I / /11/11 Q\
где величины /п (/г = 1, 2, 3) определяются в виде интегралов A1.3.20).
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 93
В соответствии с этими обозначениями
Лмид
В случае более общего задания функции S"(x) A1.3.22)
выражение, аналогичное A1.4.12), можно представить в виде
*С- AЬ4Л5)
я=0
Коэффициенты gn зависят от вида образующей тела вращения и
условий набегающего потока (угла атаки а, скорости Foo). Значения
функции irn вычисляем для п = 0, 1, 2 по A1.4.13), а для п =3 —
из выражения
? = u*It — За2 /2 + 3 ul3 — Ik. A1.4.16)
Функции irn9 вычисленные для значений параметра и от 1 до 8,8,
приведены в табл. 11.3.1.
Для тонкого конуса, обтекаемого под малым углом атаки, из
A1.4.14), полагая лГ = О, Х2МИД = 1/02к, получаем
V'x2K = 2a'al/oo& PS cosy. A1.4.17)
В соответствии с A1.3.20)
arch uK
?к = Г chzdz = ]/til— I . A1.4.18)
о
Имея в виду также, что ик = 1/(а'|Зк)> определяем
Vx2k = 2а|ЗкУоо cos у V 1 — (а/0кJ. A1.4,19)
Используя формулу A1.2.28), можно вычислить коэффициент
давления в рассматриваемой точке поверхности тела вращения.
Входящая в эту формулу производная фгт в соответствии с A1.4.4') и
(И.4.8)
- ' arch и
<Р' = —- = a' sin у Г т(х — о/г ch z) ch zdz =
т ^т J
о
агсЬм
COS t
f S7(a: — o/rchz)chzdz. A1.4.20)
о
Вместо A1.4.20) можно воспользоваться упрощенным
соотношением для ф2Т, которое получается из потенциала фг', представлен-
Глава одиннадцатая 94
ного на основе A1.3.10) и A1.4.2) в виде
ср^= — (dy'Jdr) cos у = [f(x)/r] cosy. A1.4.21)
Дифференцируя по у, находим
дуУду = Т2Т = — lf(x)/r] sin у. A1.4.22)
Вычисляя производную по г, определяем добавочную радиальную
составляющую скорости для условий г-> 0:
14 = ср2Г = асрг/аг = — [/ (*)/r2] cos т- (И.4.23)
В соответствии с условием A1.2.22) безотрывного обтекания эта
составляющая скорости
y'2r = — [f (x)/r2] cos у = — аКоо cos y9
откуда
/(A:) = aVoor2. A1.4.24)
Следовательно,
ср2Т = — оУооГ sin у. A1.4.25)
Внеся это выражение в A1.2.28), получаем
1
A1.4.26)
ф' вычисляется при помощи A1.4.14) или A1.4.15), а для
частного случая обтекания конуса — по формуле A1.4.19).
С учетом A1.2.27) полный коэффициент давления
-¦>]•
aW 1
+ —2iDsin2Y—1) • A1.4.27)
§ 11.5.
Расчет аэродинамических
коэффициентов
По найденному распределению давления около тела вращения при
обтекании его под углом атаки, т. е. с нарушением осевой симметрии,
можно определить аэродинамические силы, моменты и их аэродина-
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке
95
Рис. 11.5.1 Схема
определения
аэродинамических коэффициентов по
известному
распределению давления на
поверхности тела
вращения
мические коэффициенты. Схемы действия сил и момента приведены
на рис. 7.5.4 и 7.5.5.
Получим общие выражения для расчета сил, моментов и
коэффициентов при условии, что геометрическая форма обтекаемого тела
известна и для заданных угла атаки а, давления /?«> и числа М»
набегающего потока найдено распределение давления по боковой поверхности
тела.
КОЭФФИЦИЕНТ ОСЕВОЙ СИЛЫ
Для вычисления осевой силы X и коэффициента этой силы сх =
= X/(qooSM1/ljl) рассмотрим схему тела вращения (рис. 11.5.1) с
произвольной образующей, определяемой уравнением г = f(x). Выделим
элемент поверхности шириной dx, расположенный на расстоянии х
от носка. На участке этого элемента площадью dS = rdydl действует
сила избыточного давления, равная (р — poo)dS.
С учетом этих данных и в соответствии с формулой A.3.1), в
которой принимаем т = 0, элементарная величина продольной силы,
действующей на выделенный участок площади,
A1.5.1)
и
учиПереходя здесь к коэффициенту давления р = (р —
тывая, что dl = dx/cosfi, находим
cos
(пх) dS =
tg №vdx.
Внося это выражение в формулу A.3.2), в которой полагаем Ха =
— Хр, Cfx =0, и учитывая симметричный характер распределения
Давления по обе стороны от вертикальной плоскости симметрии,
совпадающей с плоскостью угла атаки, в которой лежит вектор скорости
К» (эта плоскость называется также нулевой меридиональной
плоскостью), получаем для осевой силы (Хр = X, индекс р опускаем)
Глава одиннадцатая 96
A1.5.2)
где хк — расстояние до донного среза.
Эту силу можно выразить через коэффициент сх по формуле
С учетом A1.5.2) коэффициент осевой силы
(П.5.3)
где г =г/гмид, х =х/хмиду хк =xJxMVLR\ р = (/? — poo)lqoo—
коэффициент давления, распределение которого считается известной
функцией г(*).Т-
КОЭФФИЦИЕНТЫ НОРМАЛЬНОЙ СИЛЫ
И МОМЕНТА ТАНГАЖА
Из рис. 11.5.1 видно, что элементарная величина нормальной
силы
dY = —(p — /7^) rdydl cos 7 cos |3. A1.5.4)
Вводя коэффициент давления р и учитывая, что d/cos|3 =d#, для
полной нормальной силы получаем
Y--=—2qoo{ rdx ^pcosydy. A1.5.5)
6 6
По этой величине можно вычислить коэффициент нормальной
силы:
су = -—= ~4Лмид Г rdx^pcosydy. A1.5.6)
При осесимметричном обтекании су = 0, так как давление в этом
случае распределяется в соответствии со свойством круговой
симметрии и, следовательно, не зависит от угла у.
Элементарная величина момента силы от давления (момента
тангажа), вычисленная относительно носка тела, равна, как следует
из рис. 11.5.1,
dMz = —xdY + r cos ydX.
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 97
Элементарный момент по знаку положителен, поэтому первый
член имеет знак минус с учетом отрицательного знака dY в A1.5.4).
Используя эту формулу, а также выражение A1.5.1), получаем
dMz = х(р — /7то) rdydl cos у cos fl + г cos у (/? — pj) rdydlsin p. A1.5.7)
Учитывая симметричность распределения давления, находим для
полного момента
хк * хк *
Mz = 2 xrdx \ (р — /?оо) cos ydy + 2 f г2 tg fldx f (p — р„) cos Y^Y,
oo о oJ
A1.5.8)
откуда коэффициент момента
___ 4ХМИД Г
К 7С^К О
+ —4- f r2tg|5djc f pcosydy. A1.5.9)
тсЛ:к о О
В соответствии со схемой действия момента (см. рис. 7.5.5),
уменьшающего угол атаки, коэффициент этого момента,
получающийся к'з A1.5.9), является по знаку отрицательным. Если тело вращения
тонкое (г < л:к), то вторым членом в этом выражении можно
пренебречь.
При осесимметричном обтекании распределение давления не
зависит от угла y» поэтому
1С 1С
f ~p cos ydy =~p I cos ydy = О
о о
и, следовательно, /nz = 0.
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
В ЛИНЕАРИЗОВАННОМ ПОТОКЕ
Найдем значения аэродинамических коэффициентов для тонких
тел вращения, обтекаемых линеаризованным потоком под углом
атаки. Для этого воспользуемся соотношением A1.4.27) для
коэффициента давления, в котором представим <р2х в соответствии с A1.4.2)
в виде
срзд: = — ( д2у1/дгдх) cos у = — <f[rx cos Y. A1.5.10)
Выделим из A1.4.27) члены, не зависящие от y» и члены, которые
определяют несимметричный характер распределения давления и яв-
4—708
Глава одиннадцатая 98
ляются функцией угла у:
~р = Р0(х,г) + Р1(х,г,у), A1.5.11)
где
. A1.5.13)
Для определения коэффициента осевой силы по A1.5.3) необходимо
вычислить интеграл:
Т. г-
о(х, г) + Рт'(*, г, y)]dy=^f\\ Foo?u +
Учитывая, что члены в квадратных скобках, а также величина
ф1Гх' не зависят от у, в результате интегрирования получаем
Внося это выражение в A1.5.3) и учитывая, что для тонких тел
ft, а ф1л' определяется из A1.3.14), имеем
arch и
= _4Хмид. Г r§dx Г s» ^ _ o/r ch г) dz _
* j/ с!
— 4ХМИД r$3dx — 4Хыида2 гр^лг. A1.5.14)
Сравнивая значение сх из A1.5.14) со значением коэффициента
осевой силы при нулевом угле атаки (коэффициента волнового
сопротивления), определяемым из A1.3.28), замечаем, что влияние
нарушения симметрии обтекания на коэффициент сх учитывается
третьим членом в A1.5.14), зависящим от квадрата угла атаки.
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 99
Соответствующее выражение для конуса получаем, если в A1.5.14)
подставим:
= Рк» «J —
1 = 7, JK=1, Хмид = l/BpK) = аЧ/2,
после чего проинтегрируем:
сж = р^ [2 In [ик + У^и1—1 )— l] —а2. A1.5.16)
Для очень малых углов атаки членом а2 в A1.5.14) и A1.5.16)
можно пренебречь, тогда полученные выражения для коэффициентов
осевой силы совпадут с соответствующими зависимостями A1.3.28)
и A1.3.26') для случая осесимметричного обтекания.
Чтобы определить коэффициент нормальной силы, необходимо
в соответствии с A1.5.6) вычислить интеграл:
% тс
j р cos ydy = J [Ро (х, г) + Рт (*, г, Y)] cos ydy =
о о
(— Vooy'irx cos у + 2а2У2оо sin27) cos ydy.
Первый член в правой части этого выражения равен нулю, так как
величины в квадратных скобках не зависят от угла у, а интеграл
\cosydy = 0. Учитывая также, что входящий во второй член интеграл
о
Isin^cosYdv = 0, а интеграл [cos2ydy ~п/2, получаем
о oJ
r^cosY^Y = —-?irx- A1.5.17)
о Vw
Внося это выражение в A1.5.6), имеем
су= -4Хмид Г y\rx~rdx. AL5.18)
В соответствии с A1.5.10) и A1.4.11)
Глава одиннадцатая 100
' , arch и
<f'lrx = i^T = ~~fL f s"(x — *'rchz)chzdz.(U.5.19)
о
Следовательно,
xк arch и
cy = 4Х™дЯ'а Г 7dx f S" (x — *'r ch z) ch zde. A1.5.20)
0
Для тонкого конуса в соответствии с A1.5.15) и с учетом значения
arch ы„
мл.
интеграла Г ch zdz = ]/ u2K— 1 находим
су = 2а'а|Зк ]/ и2к—1 . A1.5.21)
Для коэффициента момента A1.5.9), используя A1.5.17) и A1.5.19)
и равенство tgfl ж 0, получаем
arch и
arch ы
^г- \ r^dx S"(x — a'rchz)chzdz. A1.5.22)
tzx J J
ко о
Для тонкого конуса
I— 1 . A1.5.23)
Для очень тонких конических тел величиной |3к можно
пренебречь по сравнению с единицей. Очевидно, для всех очень тонких тел
вращения с произвольной образующей вторые слагаемые в A1.5.9)
и соответственно в A1.5.22) можно не учитывать.
Координата центра давления (см. рис. 7.5.5), отсчитываемая от
носка,
*Д = _М2/У, A1.5.24)
а коэффициент центра давления
~сд = хЛ/хк = —тх/су. A1.5.25)
Внося в A1.5.25) значения mz и су соответственно из A1.5.22)
и A1.5.21), можно вычислить коэффициент центра давления для тон"
кого тела вращения с произвольной образующей, обтекаемого линеа"
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 101
ризованным потоком. Величину этого коэффициента для конуса
можно получить, не ограничивая обтекание линеаризованными
условиями. Течение около конусов, наклоненных в потоке, обладает
свойством коничности, в соответствии с которым коэффициент давления
/Гне зависит от координат х, г, а является функцией меридионального
угла. Поэтому A1.5.24) с учетом A1.5.6) и A1.5.9) можно представить
в виде
rdx I. A1.5.26)
Учитывая, что для конуса х = г, хк = 1, А^д == l/Btg|3K), после
интегрирования получаем
сд = 2A +tg2CK)/3. A1.5.27)
Для тонких конусов в A1.5.27) можно принять tg2flK «|32К.
Тогда получим соотношение сД =2A + |3?)/3, которое, как видно,
можно определить из формул для коэффициентов момента A1.5.23)
и нормальной силы A1.5.21). Согласно A1.5.27), с утолщением
конуса (увеличением угла (Зк) центр давления сдвигается к хвостовому
участку, так как возрастают силы от давления, действующие на этом
участке, и значительней становится стабилизирующий момент от этих
сил, способствующий такому сдвигу центра давления.
Коэффициенты нормальной су и осевой сх сил, отнесенные к
связанным осям координат, могут быть использованы для получения
коэффициентов аэродинамических сил в поточной системе координат.
Соответствующие расчеты осуществляются при помощи формул
G.5.25'), согласно которым коэффициенты волнового сопротивления
и подъемной силы:
u2K-l - )
A1.5.28)
сУа = 2a'aflK ]/ 4-1 • A1.5.29)
Закон подобия. Для вывода закона подобия при
обтекании тела вращения линеаризованным потоком воспользуемся
выражением A1.4.26) для коэффициента давления /^, которое представим
в виде
y;2-a2Dsin2 7- 1). A1.5.30)
Для параболической формы тела дополнительная составляющая
скорости Vx'2b заданной точке поверхности определяется из A1.4.14)
как функция параметра и, вычисляемого, в свою очередь, в
зависимости от величины и0 = 1/(а'0о) по A1.3.31). С учетом также равен-
Глава одиннадцатая 102
ства Ямид = 1/Ро соотношение A1.5.30) можно представить в общем
виде:
р2 = — 2ap0G(tf0, jc)cosy — a2 D sin2 Y— 1), A1.5.31)
где G — некоторая функция, зависящая для данной точки
поверхности от величины и0.
Рассмотрим случаи, когда число М<х> потока, обтекающего тело
вращения, велико и можно принять а «Моо. Тогда, умножив обе
части равенства A1.5.31) на М2оо, найдем
PilPi - 1 = - * (a/Po) KiG, (K4, x) - (k/2) (a/fl0J X
XK? D sin2 7-1), A1.5.32)
где Gx — некоторая функция, определяемая в данной точке
параметром Kl =Моо0<> = М<хЛмид-
Введем параметр подобия
К2 = а/|30 = аХмид A1.5.33)
и представим A1.5.32) в более общем виде:
Pz/Pi — 1=5 (Ki, К2, *, т), A1.5.34)
где В — некоторая функция.
Из этой зависимости, являющейся выражением закона подобия
при обтекании тонких аффинно-подобных тел, следует^ что функция
давления в данной точке поверхности с координатами х, у одинакова,
если у обтекаемых тел одинаковы величины Ki и Кг- Величины Ki
и Кг называют параметрами подобия потоков, обтекающих тонкие
тела вращения под углом атаки. В соответствии с A1.5.20) и A1.5.22)
от этих параметров зависят функции, определяющие зависимости
для коэффициентов нормальной силы и момента:
Ntcy=iEiKi9 K2); №Lmz = F(Ki, K2), A1.5.35)
где Е и F — некоторые функции параметров подобия Ki и Кг-
Здесь закон подобия выражается в том, что при обтекании двух
аффинно-подобных тел вращения разного удлинения потоками с
различными числами Моо и углами атаки а для этих тел одинаковы
величины MitoCy (или M2ootn2), если одинаковы параметры подобия Ki
и Кг-
РЕЗУЛЬТАТЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ТОНКОГО ТЕЛА
Согласно этой теории, коэффициенты нормальной силы и
продольного момента определяются для малых поперечных размеров тел
вращения при условии, что г-> 0. Экспериментальные исследования
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 103
показывают, что полученные теоретические результаты для су1 т2
и ?д = —rnjcy с известным приближением пригодны для оценки
аэродинамических свойств реальных тел вращения (с достаточно
малыми конечными значениями г) при небольших углах атаки.
Рассмотрим соотношение A1.5.20) и заменим в нем величину S"
согласно A1.4.9):
arch и
4Wa' I jd~ С m(x — oi'rchz)chzdz.
j
Преобразуем это выражение с помощью переменной е = х —
— a'/xhz:
X—OL'r
i J г V(x — о2 — *'2г2
V
00 о ft
Переходя к пределу при г->- 0 и учитывая, что х =х/хМИД9
находим
2 >
СУ= 2
2
ГМИД
Подставляя сюда значение т (х) из A1.4.7), получаем
гдон
Гмид
Здесь величину rdr/r2Mim можно представить в виде 0,5rfS, где 5 —
относительная площадь поперечного сечения, расположенного на
расстоянии х от носка. Следовательно,
Cy = 2aSR0H, A1.5.36)
гДе 5дон = 5Д0Н/5мид — донное сужение.
В соответствии с полученным выражением коэффициент
нормальной силы для длинного тонкого тела вращения не зависит от размеров
или формы головной части. Формула A1.5.36) отражает
наблюдаемое в эксперименте снижение су, обусловленное донным сужением
^два< 1)э или, наоборот, юзрастание этого коэффициента, если
донная часть расширяется EД0Н>1).
Для получения коэффициента момента воспользуемся
зависимостью A1.5.22), в которой исключим второй член в правой части (ввиду
малости толщины тела вращения). Перейдя к переменной
Глава одиннадцатая 104
г = х — aVchz, как это сделано при нахождении коэффициента су>
получаем
m(x)xdx.
После замены здесь т(х) в соответствии с A1.4.7) получаем
гдон
J
»*.
*к
Интегрируя по частям, находим коэффициент момента:
H-U7T/tt74), A1.5.37)
к
где WT =я \r2dx — объем тела вращения; Wn =лг2мидхк =
Jo
= 5мидл:к — объем цилиндра, основание которого равно площади
наибольшего поперечного сечения, а высота — длине тела.
Согласно A1.5.36) и A1.5.37), коэффициент центра давления
c^xjjx^-mjc, =]l-Wj(SmWn). A1.5.38)
Приведенная оценка аэродинамических коэффициентов не
учитывает влияние отрыва потока, наблюдаемого у длинных тел при их
поперечном обтекании со скоростью V^a- При этом, как показывают
экспериментальные исследования, начало отрыва почти совпадает
с местом сопряжения головной части с цилиндром. Возникновение
зоны отрыва с относительной длиной Яц + Ккр (где Яц =а:ц/^Мид»
^кр = *кр/^миД; хц и #Кр — соответственно длины цилиндра и кормы)
обусловливает появление дополнительной нормальной силы и
продольного момента, так что суммарные значения соответствующих
аэродинамических коэффициентов (см. [9]):
Я + Асу; A1.5.39)
mz = — 2a Eдоа — Wr/Wn) + Amz, A1.5.40)
где
дс = i?i (Хц + Хкр); Amz = =^- (Хц + Хкр) A1.5.41)
7С ТС
Коэффициент с в выражениях для Асу и Amz зависит от того,
будет пограничный слой ламинарным или турбулентным. Для
ламинарного течения с «1,2, для турбулентного с «0,3 4-0,4.
В соответствии с новыми значениями су и mz [см. A1.5.39) и
A1.5.40)] коэффициент центра давления
Асу) . A1.5.42)
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке
105
Рис. 11.5.2 Коэффициенты
нормальной силы (а) и
центра давления (б)
заостренного тела вращения
Полное удлинение тела равно 21,
удлинение головки Хмид = 4,75:
¦ аэродинамическая теория
тонкого тела; с учетом
отрыва потока; О О О
эксперимент при Mqq = 2
/
f°
с
°/
/
У
/
of
/
о
о
2.0
77t
0,2
ОЛ
0,6
0,8
8 16 а, град '0 8 16 а, град
Этот коэффициент больше той величины, которая определяется
без учета влияния отрыва.
На рис. 11.5.2 приведены экспериментальные данные, которые
сравниваются с результатами расчета по теории тонкого тела
[см. A1.5.36), A1.5.38)], а также по A1.5.39) и A1.5.42).
Нормальная сила, определяемая по теории тонкого тела,
действует лишь на расширяющейся части корпуса перед областью отрыва.
Величина этой силы пропорциональна а, а нормальная сила в зоне
отрыва изменяется в зависимости от а2. Как видно из рис. 11.5.2,
формулы A1.5.39) и A1.5.42) дают удовлетворительные результаты.
ПОДСАСЫВАЮЩАЯ СИЛА
Рассмотрим зависимость G.5.25) для коэффициента
сопротивления. Эту зависимость в случае малых углов атаки, при которых суа «
« су, представим в виде сха = сх + суаа. Коэффициент осевой силы
сх в этой формуле зависит от угла атаки и его можно определить как
сумму: сх = сх0 + схт, в которой сх0 — коэффициент осевой силы при
осесимметричном обтекании, схт — коэффициент дополнительной
осевой силы, зависящий от а. Таким образом, при неосесимметричном
обтекании наряду с основной частью индуктивного сопротивления
корпуса суаа появляется дополнительная продольная сила сХТУ
вызванная углом атаки. В частности, из формул A1.5.16) для конуса
видно, что согласно линеаризованной теории коэффициент продольной
силы схт = —а2. Возникновение этой силы связано со
специфическими условиями обтекания. При дозвуковых скоростях характерным
Для такого обтекания является не столько поджатие газа на нижней
(наветренной) стороне, сколько разрежение на верхней
(подветренной) части корпуса. В случае сверхзвуковых скоростей
возникновение аэродинамической силы обусловлено в основном повышением
Давления на нижней стороне, а разрежение на верхней стороне имеет
меньшее значение. В соответствии с этим при дозвуковых скоростях
Глава одиннадцатая 106
возникает подталкивающая (подсасывающая) сила, а при
сверхзвуковых — сила сопротивления.
Следует иметь в виду, что в формулу для сх A1.5.16) входит член
—а2, определяющий подсасывающую силу корпуса, обтекаемого
сверхзвуковым потоком с числом Моо> 1AЛ» > aj). Возникновение
такой силы связано с тем, что неосесимметричное обтекание корпуса
определяется дополнительным поперечным течением со скоростью
Кх>а, которое рассматривается в линеаризованной теории как
дозвуковое.
Согласно экспериментальным данным, как при дозвуковых
скоростях, так и в случае сверхзвукового обтекания коэффициент
дополнительной продольной силы можно рассчитывать при помощи
зависимости
с„ = &, A1.5.43)
в которой S — некоторый коэффициент, определяемый для заданной
формы носовой части корпуса (см. [13]).
В частности, для носка конической формы с удлинением Ямид
?«0,08 f^l У\м1-1\ -l), A1.5.44)
где знак плюс выбираем для сверхзвуковой скорости (Моо>1), а
минус — для дозвуковой (Моо< 1). Формула A1.5.43) пригодна для
значений числа Маха в интервале 0,8 < Моо < 2,8- Из этой формулы
следует, что подсасывающая сила или сопротивление отсутствуют
для Моо > 1, если ? = 0, т. е. при условии у =V ML —
05 Лб (I 0)
р у у
== 0,5. Лобовое сопротивление (I > 0) всегда имеется при Мо
и 7>0,5.
Подсасывающая сила (?< 0) возникает при дозвуковых скоростях
или в случае сверхзвукового обтекания (Моо> 1), если у< 0,5. При
этом появление подсасывающей силы в случае Моо> 1 обусловлено
тем, что перед конической носовой частью возникает отошедшая
криволинейная головная волна и обтекание поверхности носит дозвуковой
характер.
§ 11.6.
Неустановившееся обтекание тела
вращения
ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
При перемещении по траектории летательные аппараты, имеющие
форму тел вращения, совершают различные по своему характеру
колебательные движения, что в обращенном движении эквивалентно
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке
107
Рис. 11.6.1 Схема
неустановившегося обтекания тела
вращения при дополнительной
обдувке его потоком со скоростью
w(x, /), перпендикулярной оси
тела
V—
>
Моо>/
Т=0 Одразующая произболь- лг
ной формы г-г(х)
неустановившемуся обтеканию этих тел воздушным потоком.
Исследование такого обтекания позволяет определить аэродинамические
производные, используемые при оценке устойчивости полета тел
вращения.
Решение задачи об определении производных устойчивости
основывается, как и в случае установившегося обтекания, на применении
методов источников с той только разницей, что обтекаемое тонкое
тело заменяется системой неустановившихся источников (стоков) и
диполей.
Предположим, что в линеаризованном сверхзвуковом потоке с
числом Моо тонкое тело подвергается дополнительной поперечной
обдувке со скоростью w (х, t), зависящей от времени / и координаты
х произвольного сечения тела вращения (рис. 11.6.1). Таким образом,
этот дополнительный поток является неустановившимся. Следуя
методу источников, можно рассматривать потенциал скоростей такого
потока, как потенциал от неустановившихся источников и диполей,
у которых соответственно мощность и момент изменяются от
времени. .
При этом потенциал скоростей от неустановившихся источников
(или стоков) и диполей, размещенных на оси тонкого тела, определяется
из линеаризованного уравнения в цилиндрических координатах:
1
2JVL
= 0. A1.6.1)
Это уравнение можно получить путем преобразования уравнения
C.8.29) с использованием соответствующих зависимостей между
цилиндрическими и декартовыми координатами B.4.9).
При решении уравнения A1.6.1)ф отыскивается в виде суммы двух
потенциалов: фХ — потенциала осесимметричного обтекания, который
не дает возмущений, приводящих к возникновению нормальной силы,
и Фг — добавочного потенциала от нарушения симметрии,
обусловливающего появление нормальной силы. Как и в случае
установившегося обтекания, решение для добавочного потенциала фг можно
Глава одиннадцатая 108
представить в виде A1.4.2), т.е.
^ A1.6.2)
где фх — потенциал скоростей осесимметричного неустановившегося
обтекания, определяемый в результате решения уравнения
*'2<?ХХ-<?гг- — ?г+— *« + J^- = 0. (П.6.3)
Г аоо Доо
Найдем решение уравнения A1.6.3), т. е. потенциал
неустановившегося источника (стока), в виде гармонической функции
?i = T|(^ rJexp^^-Moo^Aflooa'1)]}, (П.6.4)
где р — угловая частота колебания тела; у\ (ху г) — некоторая
переменная, зависящая от х и г. Тогда уравнение A1.6.3) для переменной
ц приобретет вид
Ч <*'Ч рУ(?«'4) = 0, A1.6.5)
где индексы х, г, хх> тг обозначают соответствующие первые и вторые
частные производные функции г\.
Дифференциальное уравнение A1.6.5) можно решить
операционным методом, основанным на функциональном преобразовании
Лапласа. Этот метод в применении к данному случаю состоит в том, что
изучается не сама функция г\ (х, г), называемая оригиналом, а ее
видоизменение, или изображение.
Такое преобразование функции ц (ху г) по отношению к переменной
х осуществляют следующим образом. Эту функцию умножают на
экспоненциальную зависимость ехр(—sx), а затем вычисляют интеграл:
оо
4(s, г) = f exp (- sx) у] (xt r) dx9 A1.6.6)
где т] (s, г) — функция преобразования (по Лапласу) или изображение
функции г] (л:, г); s—комплексная величина, являющаяся
оператором преобразования.
Более детально преобразование Лапласа описывается в
специальной литературе. Приведем некоторые результаты, связанные с
преобразованием уравнения A1.6.5) и его решением, основанным на
применении преобразования Лапласа. Применим преобразование
A1.6.6) к уравнению A1.6.5), обозначив_в общем случае операцию
преобразования L. Например, функция t](s, r) в уравнении A1.6.6)
обозначится в виде Ь[ц (х, г)], что означает операцию преобразования,
примененную к функции ц (х, г) по отношению к переменной х.
Операцию преобразования L, примененную к уравнению A1.6.5) при
условии, что а'2 и /?2/(aLa'4) — постоянные для данных условий об-
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 109
текания тела вращения, представим в следующем виде:
^ [ д )
г дг ) [дх*
Отсюда видно, что для осуществления преобразования необходимо
вычислить изображение производных как по координате х> по
отношению к которой применено преобразование A1.6.6), так и по
координате г.
При вычислении изображений производных по х надо пользоваться
следующей основной теоремой преобразования производной:
изображение от первой производной равно произведению оператора 5 на
изображение функции минус значение функции при х = 0.
Следовательно, применяя функциональное преобразование Лапласа,
операцию дифференцирования оригинала функции заменяем алгебраическим
действием над изображением. Когда применяется преобразование
ко второй производной, то указанная теорема реализуется, если
вторую производную представить как производную от первой.
Таким образом, преобразование L, примененное к производной
д2ц/дх2, принимает вид
L \± (J±X\ = Л Г АЛ _
[дх \ дх )\ [ дх J
дх
Так как для рассматриваемой формы тела вращения (с
заостренной носовой частью) ц @, г) = дг\ @, гIдх = 0, что свидетельствует
об отсутствии возмущений у острия, то для изображения второй
производной при условии, что L[t](x> r)] =t]~(s, г), получаем
L
Рассматривая применение преобразования Лапласа к производным
по г, надо иметь в виду следующее. Так как преобразование L
вводится по отношению к переменной х> то преобразование L к
производной по координате г равно производным от изображения. Это
следует из того, что в данном случае координату г при
преобразовании можно принять постоянным параметром, и согласно свойству
линейности преобразования получим:
dr*
L[r)(,,r)],
L г дг J г dr г dr
гДе, как и прежде, принято обозначение для изображения
=т[E, г).
Глава одиннадцатая 110
Рассматривая преобразование от последнего члена уравнения
A1.6.5), а_именно ?[т]], видим, что эта функция и есть изображение
функции г]. Подобное преобразование основано на упомянутом
свойстве линейности преобразования Лапласа, согласно которому
преобразование L-функции есть ее изображение.
С учетом приведенных операций преобразования получаем
следующее уравнение для изображения функции:
_?_U=O. A1.6.7)
dr* r dr
Из уравнения A1.6.7) видно, что после осуществленного
преобразования Лапласа уменьшается число переменных на единицу и можно
перейти от уравнения в частных производных A1.6.5) к
обыкновенному дифференциальному уравнению A1.6.7). Это уравнение — одно
из разновидностей уравнений Бесселя, имеющее решение:
A1.6.8)
где /Со — функция Макдональда.
Отыскав изображение г\, следует найти оригинал т]. Для этого
необходимо воспользоваться обратным преобразованием Лапласа.
Используя специальную литературу, в которой излагаются методы
нахождения оригинала функции по ее изображению, получим
окончательное выражение для искомой функции г\:
у)(х, г) = (х* — a'2r*r1/2cos 17—?—) (x* — a'W/2 I. A1.6.9)
lAvy . J
На основании выражений A1.6.4) и A1.6.9) получаем зависимость
для потенциала неустановившегося точечного источника:
Если источники с переменной интенсивностью /(е) расположены
вдоль оси х в точках е, то уравнение A1.6.10) принимает вид
х-*'г
<р4 = exp (ipt) f x
о
~^{х ~~?)]cos {~i^1{х ~вJ ~ я'2г2]1/2
[(Х- е)« —о'2]
A1.6.11)
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 111
где знак минус, стоящий в уравнении A1.6.10), включен в значение
функции /(е).
Характерным параметром в уравнении A1.6.11),
свидетельствующим о неустановившемся течении, является угловая частота р. Если
р == 0, то имеем течение от установившегося источника. В этом
случае потенциальная функция A1.6.11) совпадает с ее значением,
определяемым выражением A1.3.1). Применяя соотношение A1.6.3), путем
дифференцирования по г уравнения A1.6.11) можно найти
добавочный потенциал неустановившегося диполя.
Прежде чем осуществить дифференцирование, преобразуем
уравнение A1.6.11) к переменной z = агсЬ[(д: — e)/(aV)J.
Продифференцировав затем по г и вновь переходя к переменной е = х — a'rchz,
найдем следующее выражение для потенциала непрерывно
распределенных неустановившихся диполей:
- \ / (е) ехр тг" (* — е)
Гв^'8 J L а°°а J
X
X sin L-B— [(х - е)* - a'2] 1 rfs + ? x
I aa )
6
I -"^7 (А: ~
L flooa 2
cos
X
— eJ — a'2r2]1/2
л-
; —e)l cos
X
[(А;_еJ_а'2г2]1/2
A1.6.12)
Если в этом выражении положить р = 0 и обозначить /(е) = т(е),
то получим соотношение A1.4.4') для потенциала установившегося
диполя (перейдя в этом соотношении от переменной z к переменной
= х — aVchz).
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Граничные условия, необходимые для определения функции /(е),
входящей в A1.6.12), представляют собой в каждом конкретном
случае неустановившегося движения условия безотрывного обтекания,
в соответствии с которыми нормальные к поверхности составляющие
Глава одиннадцатая
112
Рис. 11.6.2 Частные случаи движения тела:
а — гармонические колебания относительно поперечной оси, проходящей через центр масс тела;
б — установившееся вращение относительно поперечной оси, проходящей через центр масс
скорости должны равняться нулю. Это означает, что возмущенный
потенциал от неустановившегося диполя должен быть таким, чтобы
на поверхности тела (или при очень малой толщине тела — на оси х)
исчезала нормальная составляющая скорости невозмущенного потока,
т. е. выполнялось условие, аналогичное условию A1.2.22):
dcp2/dr = — w(x, t) cos у.
A1.6.13)
Это условие принимает различные формы для каждого случая
движения, определяющего соответствующее решение уравнения A1.6.13).
Рассмотрим два возможных случая движения:
1. Гармонические колебания тела
относительно поперечной оси, проходящей через
его центр масс (рис. 11.6.2, а). В этом случае движение
определяется уравнением
а = аоехр (ipt)9
A1.6.14)
где do — начальный угол атаки, соответствующий моменту времени
t = 0 (амплитуда колебания).
Из уравнения A1.6.14) определим нормальную составляющую
скорости невозмущенного течения:
w(x, t) =
at
ip(x-
— xM)]aoexp(ipt). A1.6.15)
В соответствии с этим граничное условие A1.6.13) принимает вид
— = — [F<x> + ip (х — *м)] <х0 exp (ipt) cos у . A1.6.16)
2. Установившееся вращение тела относи-
тельно поперечной оси, проходящей через
его центр масс (рис. 11.6.2, б). Составляющая скорости в не-
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 113
которой точке поверхности тела, имеющего в рассматриваемом
случае постоянный угол атаки а0,
w (х) = oc0Voo + Й2 (х — хм), A1.6.17)
где Qz — угловая скорость.
Тогда граничное условие A1.6.13) представим в виде
A1.6.18)
Приведенные граничные условия служат для определения
функции /(е) в каждом случае движения тела вращения. Если
рассматривать очень тонкое тело, то вид этой функции найдем следующим
образом. Сначала преобразуем выражение A1.6.12) к переменной
интегрирования z = arch[(x—e)/(aV)] и вычислим частную производную
ф2г. Затем, вновь преобразовав полученное выражение для
производной фгг к переменной е = х — a'rchz, перейдем к пределу при г-> 0.
К найденной предельной зависимости присоединим приведенные
граничные условия A1.6.16) и A1.6.18). Тогда предельное значение
частной производной ф2г при г-> 0, которое рассматривается в
аэродинамике тонкого тела для случая неустановившегося обтекания,,
приобретет вид
1Г = ~Tw"exp(W cos Y> A1-6Л9)
где S(x) =яг2 — площадь поперечного сечения, отстоящего от
острия на расстоянии х.
Вычисление функции /(е) при помощи приведенных выше
граничных условий позволяет определить по A1.6.12) величину потенциала
скоростей ф2, а затем, используя (9.6.20), найти добавочный
коэффициент давления
Рг = -2(cp23C/Voo + <?2t/Vl) . A1.6.20)
Для коэффициента нормальной силы, учитывая формулу A1.4.21),.
в соответствии которой коэффициент давления рг = —B/Уоо)ф2*
пропорционален cosy, получаем выражение
к -
су = — Г -^—rdx. A1.6.21)
5МИд J cos 7
о
Рассмотрим зависимость, определяющую коэффициент момента
относительно оси, проходящей через центр масс тела вращения. Для
этого представим формулу A1.5.9) следующим образом:
— f {p2(xM — x)cosydydr,
о о
Глава одиннадцатая 114
откуда, учитывая, что коэффициент /?2 пропорционален cosy,
mz = су -^- + Г -&— rxdx. A1.6.22)
*к SMUAxK J cos 7
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
В УСЛОВИЯХ КОЛЕБАНИЙ НИЗКОЙ ЧАСТОТЫ
Решение задачи об определении нестационарных аэродинамических
характеристик упрощается, если тело вращения совершает
колебательные движения с низкой частотой, которые свойственны реальным
условиям полета. Если представить формулу A1.6.10) в виде разложения
в ряд по степеням параметра, равного числу Струхаля р* ==
= Moo/?r/(a/VOo), то можно убедиться в том, что для частот порядка
р = аооп/хк потенциал неустановившегося обтекания с достаточной
точностью выражается в виде линейной зависимости от р*. Переходя
в полученном разложении к переменной z = arch[(Ar — e)/(aV)]f для
этой зависимости имеем
Parch и
ср2 = cos у exp (ipt) [ f(x — aV ch z) ch zdz —
arch и ~|
f(x — a'rchz)dz . A1.6.23)
Если в этом выражении положить р* = 0 и обозначить
f(x — a'rchz) через т(х — aVchz), то получим формулу A1.4.4') для
потенциала скоростей неустановившегося обтекания.
Вычислим теперь производные по х и t, необходимые для
определения коэффициента давления.
Полагая, как и прежде, / = т, получаем:
Г arch и
cp23C = of cos у exp (ipt) Г т (х — aV ch z) ch zdz —
arch w
rch и ~Л
Г т(х — a'rchz)dz ; A1.6.24)
о J
Гarch и
(ipt) f m(x — a'r
arch и
* f m (x — a'r ch z) dz . A1.6.25)
. о J
<p2i = o/ip cos у exp (ipt) f m(x — of г ch z) ch zdz —
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 115
Вид функций т и т определяем при помощи граничных условий,
а также из формулы A1.6.20). Рассмотрим эти функции, а также
соответствующие им значения аэродинамических характеристик для
частных случаев движения.
1. Гармоническое колебательное движение
тела вокруг поперечной оси, проходящей
через его центр масс.В этом случае вид функции /(е)
определяем из A1.6.16) и A1.6.19) следующим образом:
/(«)= S(?)a° [V~ + ip(*-xJ\. A1.6.26)
71
Вычисляя первую и вторую производные, соответственно находим:
т (е) = S<(E)aa [Vx + ip (e - *м)] + ??I ipao; A1.6.27)
ТЕ ТЕ
[Vao + ip (e - *M)] + **M. ipaot A1.6.28)
где S'(e) —dSldE, S"(e) =d2S/de2 — первая и вторая производные
площади поперечного сечения 5 по координате е.
Внесем выражения A1.6.27) и A1.6.28) в уравнения A1.6.24)
и A1.6.25), предварительно перейдя в этих уравнениях к переменной
z = arch[(# — e)/(aV)]. Вычисляя полученные интегралы и
используя формулу A1.6.20), находим
A1.6.29)
где
а = da/dt,
arch и
Q1==— J S'(x — a'rchz)chzdz; A1.6.30)
к о
arch и
Q2 = f S"(x — a'rchz)dz; A1.6.31)
arch и
Q2= f S"(x— a'rchz)chzdz; A1.6.32)
arch и
Q4 = — Г [S"(x— a'rchz)](x — a'rchz)chzdz. A1.6.33)
Глава одиннадцатая
116
Чтобы получить зависимость для коэффициента нормальной силы,
внесем в выражение A1.6.21) соотношение A1.6.29):
2а'
"К
ахк
V*'
rdx.
A1.6.34)
__ Аналогично из выражения A1.6.22), заменив в нем коэффициент
/?2 по соотношению A1.6.29), найдем коэффициент момента тангажа:
ъ (
2 \а°~
A1.6.35)
Коэффициенты ?у и mz весьма тонких тел можно получить из
приведенных выражений, если функции Qn заменить
соответствующими значениями из аэродинамики тонкого тела. Чтобы получить эти
значения, необходимо в выражениях для Qn A1.6.30) — A1.6.33)
перейти к переменной е = х — aVchz и после этого осуществить
предельный переход при г-> 0. Подставив найденные таким
образом значения функций Qn в выражения A1.6.34) и A1.6.35), получим:
[xM/xK
xjxK
- xJxK)\
1.6.36)
11.6.37)
где 5дОН == 5Дон/5мид; ^~= (daJdt)xK/Vool WT— объем тела вращения.
Введем следующие обозначения для производных устойчивости:
cv =
•7-±
dcv
m =
dmz
хк да 'г dx ¦ z xK
Тогда из формул A1.6.36) и A1.6.37) получим:
Си =
мид о
_2
•^мид
?l3rdx;
A1.6.38)
A1.6.39)
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 117
; A1.6.40)
К
т\ = 47М — -22l_ Г Qtrxdx; A1.6.41)
•^мид*к J
Т" "Т— ' ^ — М2 г 1
ГПг =СуХм— а \ —О3^м + ^4 + 3^, Г-^2 \rxdX.
A1.6.42)
В этих зависимостях хм = хм/хк — безразмерная координата
центра масс.
Соответствующие выражения, полученные в аэродинамической
теории тонкого тела, имеют следующий вид:
4=2§дон; A1.6.43)
суа = 2Sfl0H [1-хж + ^т/(^Аон)] ; A1.6.44)
ml = 25ДОН [хм + 1Рт/(*Дон) - 1 ]; A1.6.45)
т;=-25Д0НA-ГмJ. A1.6.46)
2. Установившееся вращение тела вокруг
поперечной оси, проходящей через его центр
масс. В этом частном случае движения закон распределения
функции /(е), определяемый из выражений A1.6.18) и A1.6.19), имеет вид
Дважды продифференцировав эту функцию, найдем
/(е) = т (г) = ?М [aoFoo + Oz (s - ^м)] + ?51W О,. A1.6.47)
Теперь определим коэффициент р2 из формулы A1.6.20). Для этого
сначала из выражения A1.6.17) получим, перейдя к переменной
z = arch[(# — e)/(aV)], соотношение, определяющее производную
т(х — a'rchz). Затем подставим эту производную в формулу A1.6.24),
которая в случае установившегося вращения приобретает вид
arch и
ср2а. = a' cos у f т (х — aV ch z) ch zdz.
Глава одиннадцатая 118
Для определения коэффициента р2 внесем эту величину в формулу
A1.6.20), в которой в случае Qz = const следует принять функцию
ф2/ равной нулю. В результате несложных преобразований имеем
следующее выражение для коэффициента давления:
©zi24 — u)z#Mi23 + 2co2i21;, A1.6.48)
71
где co2 = QzxK/Voo. _
После подстановки полученного выражения для рг в A1.6.21) и
A1.6.22) находим:
2а'
-мид 0
Г (оо03 + а>гО4 — «MiA. + 2@,0.) rrf*; A1.6.49)
О
= с^7м — -^— Г (а0аз 4 co2ft4 —
^мид-^к J
— со, a:mQ3 4- 20)^!) rxdx. A1.6.50)
Статические производные устойчивости сау и ml, очевидно, те же,
что' и в A1.6.39) и A1.6.41). Производные по угловой скорости
определяем в виде
- 2 * - J^J!b (Ц.6.51)
Дифференцируя A1.6.49) и A1.6.50) по cdz, находим:
су = 2а (О4 —xMQ3 -f гО^гйл:; A1.6.52)
5миД J
и
т032 ='с°гхи ^— Г (i24 —хмО3 + 2Ц)га:йа:. A1.6.53)
мид к о
Формулы из аэродинамической теории тонкого тела,
соответствующие выражениям A1.6.52) и A1.6.53), имеют следующий вид:
*z ~ — 2Sfl0H
j S (х) xdx
л .
у2 с I
A1.6.54)
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 119
Корпус при перемещении по траектории совершает сложное
движение, которое слагается из поступательного движения с постоянным
углом атаки, продольных гармонических колебаний и вращения с
постоянной угловой скоростью Qz. Для такого движения
аэродинамические коэффициенты определяются сложными зависимостями, в
которые включаются статические и динамические производные
устойчивости. Для рассматриваемых случаев движения тела вращения
его коэффициенты нормальной силы и продольного момента
представляются в виде суммы:
= сауа0 + Су а + с/со2;
A1.6.56)
Как видно из приведенных соотношений, они дают возможность
оценить только производные с точкой в виде значений с* и т\ .
В результате теоретических исследований найдены приближенные
методы определения других аналогичных производных. В частности,
в аэродинамике тонких тел установлено, что производная c^z,
вычисленная относительно центра масс, равна нулю, а производная
m"g = —2j/(xlSno*)> A1.6.550
z
где / — момент инерции объема тела относительно поперечной оси
Ог.
АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ
Аэродинамические свойства тел вращения при неустановившемся
обтекании можно рассмотреть на примере расчета производных
устойчивости тонких тел с параболической образующей. Для этого
определим сначала функции Qn по формулам A1.6.30) — A1.6.33),
используя уравнение параболы
и выражение для площади поперечного сечения
V (И.6.58)
^ид
Вычислив затем первые и вторые производные S(e) по е, внесем их
в формулы A1.6.30) — A1.6.33), заменив в них 8 выражением
х — a'rchz. В результате интегрирования и некоторого преобразо-
Глава одиннадцатая
120
1,0
ml
-ь
cg
-L
«^*
r^---—1
1 По п
rmoHti
— J
__
wopuu
их тел
eg
m -
к
7,4
2,2 АС
Рис. 11.6.3 Изменение статических
производных устойчивости тела
вращения в зависимости от числа Моо
вания полученных выражений находим:
I2 7.. I и «¦ и» ' и» 'Г
^4=-^-
2t-*Lt +2L
X U х U2
О.о 6л: .' . За:2 л »
г и г и2 г Г
2х д 6а:2 .2 Злгз .з\
I — I -j— * I .
и2 г
A1.6.59)
В формулах A1.6.59) Ямид =ХмИД/ Bгмид) — удлинение
головной части параболического тела, х = х/хШИД — безразмерная
координата сечения; лГк =л:к^мид — относительная длина тела.
Функции С и ix даются формулами A1.4.13) и A1.3.19) в зависимости
от параметра и =х/(а'г)(их значения приведены также в табл. 11.3.1)
Формулы A1.6.59) и табл. 11.3.1 позволяют сравнительно просто
подсчитывать распределение коэффициента /?2> используя
зависимости A1.6.29) или A1.6.48). По найденным таким образом значениям
/?2 из соотношений A1.6.34), A1.6.35), A1.6.49) и A1.6.50) можно
вычислить коэффициенты нормальной силы, момента тангажа и их
соответствующие производные.
Для определения этих коэффициентов и производных устойчивости
по аэродинамической теории тонкого тела необходимо найти объем
тела с параболической образующей:
f?Y| A1.6.60)
W =
МИД
5*м
В качестве иллюстрации приведем производные устойчивости для
тонкого тела с полным удлинением Як = л:к/BгМид) = 8, донным
Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке
121
Су
1,75
1,70
165
1,60
1,55
flo теории
тонких тел
ml
-0,30
-0,15
-0,10
-0,15
0,5
?У
/•
\ Пот
т.\ тонки
еории 1
х тел J _
яр
\
-0,9
1,6 1,8
2,0
2,1 МУ
1,6
1,8
2,0
2,2
Рис. 11.6.4 Динамические
производные устойчивости тела вращения в
функции числа Моо при
гармонических колебаниях
Рис. 11.6.5 Влияние числа Моо на
динамические производные
устойчивости тела вращения при вращении
вокруг поперечной оси
сужением ?дон = S^JS^hp, = 0,41, причем его длина хк = 8м, а
координата центра масс, отсчитываемая от носка, хм = 5 м.
Полученные результаты представлены в виде графиков на
рис. 11.6.3 — 11.6.5, где показан характер изменения производных
устойчивости в зависимости от числа Моо. С увеличением Моо
абсолютное значение производной т\ возрастает, а производной m^z —
снижается.
Таким образом, характер демпфирования с увеличением скорости
неодинаков. При гармонических колебаниях оно возрастает, а при
вращении с угловой скоростью Qz — снижается. Производная та2у
характеризующая продольную статическую устойчивость, по мере
увеличения Моо возрастает. При этом коэффициент с*у существенно
повышается. Отсюда следует, что статическая устойчивость становится
больше, так как координата центра давления (определяемая
коэффициентом центра давления сд = trfjay) оказывается ближе к
центру масс.
Возникновение демпфирующего момента при гармонических
колебаниях или вращении вызывает дополнительное смещение центра
давления к центру масс. При этом колебания обусловливают большее
смещение, чем вращение. С точки зрения статической устойчивости
тела это благоприятно. Однако вследствие уменьшения демпфирования
и увеличения продольного момента параметры динамической
устойчивости при колебаниях хуже, чем в случае вращения, что приводит
к большей «раскачке» тела и более медленному затуханию колебаний.
Демпфирование тела в реальном случае оказывается
значительнее, чем по аэродинамической теории тонкого тела; больше и
нормальные силы. Это указывает на то, что производные устойчивости,
найденные по аэродинамической теории тонкого тела, могут служить
лишь для приближенной оценки порядка их величины.
Глава одиннадцатая
122
Рис. 11.6.6 Форма тел вращения с
сужающейся хвостовой частью (а)
и расширяющейся кормой (б)
Анализируя результаты определения аэродинамических
характеристик для тел вращения различной формы, можно сделать вывод,
что сужение 5ДОН оказывает существенное влияние на производные
устойчивости. Чтобы убедиться в этом, сравним значения
соответствующих производных устойчивости для двух тел, форма и размеры
которых представлены на рис. 11.6.6. Тело а на всей длине имеет
параболическую образующую, заданную уравнением г = 0,2л:A—0,1л;)
(где х = .Шмид» т = г/^мид); тело б имеет параболическую
головную часть с тем же уравнением образующей, короткий
цилиндрический участок с относительной длиной Яц = хц/с1мид = 1 и
расширяющуюся хвостовую часть длиной А,кр =#Кр/^мид = 2. У обоих тел
удлинение головной части Х?ИД = хмия/с1М11П =5 и полное удлинение
А,к =л:к/^мИд =8. У тела_а донное сужение 5Д0Н = 5Д0Н/5мид =
= 0,41, а у тела б равно 5Дон = 1,82. Значения их производных
устойчивости, рассчитанные по формулам из аэродинамической теории
тонких тел, приведены в табл. 11.6.1.
Таблица 11.6.1
Тело
а
б
Аэродинамические параметры
0,82
3,63
<
0,93
0,15
<1
1,58
3,08
<
—0,13
-0,59
V
0,33
1,47
-0,13
-0,48
Из данных табл. 11.6.1 видно, что тело б с кормовой
расширяющейся частью имеет лучшую статическую устойчивость, так как
центр давления ближе к центру масс. Оба тела обладают
демпфированием при гармонических колебаниях и вращении, причем
тело б обладает большим демпфированием, чем тело а.
Приведенные данные указывают на возможность изменения
аэродинамических характеристик путем соответствующего подбора
формы хвостовой части тела.
глава
12
Аэродинамическая
интерференция
Глава двенадцатая 124
§ 12.1.
Природа аэродинамической
интерференции
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ МЕЖДУ КОРПУСОМ
И УСТАНОВЛЕННЫМ НА НЕМ КРЫЛОМ
Тело вращения, обычно используемое в качестве элемента
конструкции летательного аппарата, может иметь крылья, оперение и рулевые
устройства. Самолет, например, представляет собой комбинацию
таких конструктивных элементов, как фюзеляж, имеющий вид тела
вращения или форму, близкую к нему, а также крылья, хвостовое
оперение и рули. Неуправляемая ракета состоит из корпуса (тела
вращения) и хвостового оперения (стабилизаторов). Управляемая
в полете ракета по своей схеме близка к самолету, так как имеет
несущие поверхности, хвостовое оперение и рулевые устройства.
При рассмотрении аэродинамики летательных аппаратов в виде
комбинаций тел вращения, крыльев, оперения и рулевых устройств
возникает сложная и пока недостаточно разработанная проблема
учета аэродинамической интерференции между отдельными
элементами этих комбинаций. В результате такой интерференции
сумма-аэродинамических сил и моментов взятых отдельно (изолированных)
крыла и корпуса, оперения и корпуса, корпуса, крыла и оперения или
корпуса, крыла, оперения и рулей не равна полной силе или моменту
комбинации, состоящей из соответствующих элементов и
представляющей собой единое целое (рис. 12.1.1). Таким образом, отдельно
взятые элементы — корпус, крылья, оперение, рули, — будучи
соединенными в единую конструкцию летательного аппарата, как бы
теряют свои индивидуальные аэродинамические характеристики и
приобретают вследствие интерференции новые.
Как показывают результаты расчетов и экспериментальные
исследования, при одном и том же угле атаки нормальная и, следовательно,
подъемная сила крыла в присутствии корпуса увеличиваются по
сравнению с изолированным крылом. Такое же явление наблюдается
и в отношении подъемной силы корпуса, соединенного с крылом и
изолированного.
Рассмотрим физическую сущность взаимного влияния тела
вращения и крыла, обусловливающего увеличение их подъемной
(нормальной) силы, полагая, что крыло расположено на удаленном от
носка цилиндрическом участке корпуса по схеме среднеплана. Пред-
Аэродинамическая интерференция
125
т +
А
5)
С
5-
Рис. 12.1.1 Схема, иллюстрирующая понятие об интерференции между телом
вращения и установленными на нем крылом, оперением и рулями:
а — изолированные элементы; б — элементы, соединенные в единой конструкции (комбинации)
летательного аппарата: / — крылья; 2 — оперение; 3 — рули; 4 — тело вращения; 5 —
летательный аппарат
положим также, что корпус и крыло тонкие и обтекание происходит
под малым углом атаки (рис. 12.1.2).
Как показано в § 11.2, возмущенный поток около тонкого тела
вращения можно получить в результате наложения на поле скоростей,
возникающее при продольном осесимметричном обтекании тела
невозмущенным потоком со скоростью 14о, = VooCOsa ж Уоо, поля
скоростей дополнительного возмущенного потока, получающегося при
поперечном обтекании этого тела со скоростью Vyoo = Foosina « F^a.
При малых углах атаки поперечный поток является обычно
дозвуковым и для приближенного расчета поля скоростей можно
воспользоваться теорией потенциального обтекания круглого цилиндра
несжимаемым потоком. Комплексный потенциал такого обтекания
определяется выражением F.2.4). Приняв в нем V = aF*», заменив
? на or и вычислив производную dWldo, выражение для комплексной
скорости представим в виде
dW/da = Vz — Vyi = —
R2/o2),
где a = z + iy.
На линии z — z(y = 0)
откуда следует, что К» = 0 и
A2.1.1)
A2.1.2)
A2.1.3)
В соответствии с этой формулой в плоскости у = 0 скорость Vy
поперечного потока изменяется от Vy = 2aFoo на поверхности
цилиндра (z = R) до Vy = Vyoo = аУоо вдали от него при г-*- со
(рис. 12.1.2). Если на цилиндрическом корпусе установлено крыло,
то при заданной величине угла атаки а оно омывается составным
потоком, который можно получить путем наложения на невозмущен-
Глава двенадцатая
126
Рис. 12.1.2 Изменение нормальной составляющей скорости по размаху крыла в
результате влияния тела вращения
ное течение дополнительного потока, индуцируемого корпусом.
Вследствие этого влияния корпуса поперечная составляющая скорости на
поверхности крыла равна
т. е. возникает дополнительная поперечная составляющая
V'y = Vy — aVoo == aVooR2lz2. A2.1.4)
На возникновение этой добавочной составляющей скорости влияет
скос потока, вызываемый корпусом. Угол этого скоса
е.т = Vy/Voo = a/?2/z2. A2.1.5)
Скос потока приводит к увеличению местных углов атаки в
сечениях консолей крыла. Эти местные (эффективные) углы атаки
аэ = а + ^т = аA + R2/z2). A2.1.6)
Из A2.1.6) видно, что эффективный угол атаки достигает
наибольшего значения в бортовом сечении консолей при z = Ry где
аэ = 2а, и постепенно уменьшается при удалении от корпуса. В
концевом сечении крыла, где z = /, эффективный угол атаки
аэ.кц = аA +R2/l2)- A2.1.6')
В результате увеличения местных углов атаки подъемная сила
консолей крыла при наличии корпуса больше, чем для
изолированного крыла. Крыло в свою очередь влияет на обтекание корпуса, так
как возникающие повышенное давление на нижней поверхности
крыла и разрежение на верхней поверхности распространяются на
корпус. Поэтому происходит перераспределение давления и возникает
дополнительная подъемная сила корпуса, обусловленная влиянием
крыла.
Аэродинамическая интерференция
127
Рис. 12.1.3 Зона влияния крыла на Рис. 12.1.4 Скос потока за прямо-
оперение в сверхзвуковом
линеаризованном потоке (заштрихованный
участок):
/ — конус Маха; 2 — волновая поверхность,
построенная для крыла (огибающая конусов
Маха); 3 — крыло; 4 — оперение
угольным крылом:
/ — крыло; 2 — конус возмущений (конус
Маха); 3 — скос потока, направленный
вверх; 4 — скос потока, направленный вниз
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ МЕЖДУ КРЫЛОМ
И ОПЕРЕНИЕМ
Для летательных аппаратов, представляющих собой комбинацию
тела вращения, крыла и оперения, следует учитывать интерференцию
не только между корпусом и крылом, но и между корпусом и оперением,
которая по своей физической природе аналогична рассмотренной
интерференции между корпусом и крылом. Кроме того, необходимо
учитывать влияние скоса потока за крылом на оперение (при
переднем расположении на корпусе крыла) или влияние потока за
оперением на крыло (при переднем расположении оперения по так
называемой схеме «утка»).
Влияние крыла на хвостовое оперение в сверхзвуковом потоке
наблюдается в том случае, если оперение располагается внутри конуса
Маха (волновой поверхности), построенного для крыла, т. е. если оно
попадает в зону скошенного крылом потока (рис. 12.1.3). Этот скос
зависит от формы крыла в плане и положения точки, в которой
определяются параметры потока, в том числе угол скоса.
Рассмотрим крыло прямоугольной формы (рис. 12.1.4). Область
возмущенного течения, в которой проявляется влияние боковой
кромки на обтекание крыла, ограничена конусом Маха с вершиной в
передней точке боковой кромки. Внутри конуса Маха воздух
перетекает из области повышенного давления под крылом в область
пониженного давления на верхней его стороне. В результате поток
закручивается в вихрь, который и вызывает за крылом скос. Этот скос
направлен вниз во внутренней области ксщуса Маха,
захватывающей крыло, и в обратную сторону — в волновой зоне, расположенной
вне крыла. В соответствии с этим на боковой кромке скос потока
равен нулю (рис. 12.1.4).
Если крыло соединено с телом вращения, то скос потока за крылом
иной, чем у изолированного крыла. В этом случае разность давлений
под крылом и над ним увеличивается, перетекание воздуха из области
Глава двенадцатая
128
Рис. 12.1.5 Интерференция
между крылом и оперением:
/ — крыло; 2 — оперение; 3 —
скошенный поток; 4 —
набегающий поток
повышенного давления в область пониженного давления становится
более интенсивным, а значит, увеличивается скос потока как в
наружной области, где он направлен вверх, так и во внутренней области,
где он направлен вниз.
Если размах оперения меньше, чем размах расположенного перед
ним крыла, то оперение находится в области, где скос потока
направлен вниз, и эффективный угол атаки оперения уменьшается. Если
для данного сечения консоли оперения угол скоса е/кр, а
установочный угол оперения (угол между хордой оперения и осью корпуса)
аош то эффективный угол атаки консоли (рис. 12.1.5).
аэ.оп — а + аоп —
! кр •
A2.1.7)
Уменьшение эффективного угла атаки приводит к снижению
подъемной силы и, как следствие, к уменьшению
стабилизирующего момента оперения.
В области оперения происходит торможение потока под действием
крыла и, как результат, уменьшение скоростного напора по
сравнению с невозмущенным течением. Это также необходимо учитывать
при определении аэродинамических характеристик обтекания. Если
оперение имеет размах больший, чем крыло, то часть поверхности
консоли попадает в область скоса потока, направленного вверх, и
этим может быть компенсирован отрицательный эффект от скоса
потока вниз, выражающийся в уменьшении подъемной силы.
§ 12.2.
Нормальная сила комбинации
«корпус — плоское крыло»
ПОНЯТИЕ О КОЭФФИЦИЕНТАХ
ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
Суммарную нормальную силу летательного аппарата, обтекаемого
под малым углом атаки при нулевом угле крена и представляющего
собой комбинацию тонкого тела вращения и крыла, состоящего из
Аэродинамическая интерференция
129
J3^=s*
-s /?
+S
Рис. 12.2.1 Комбинация «корпус — плоское крыло» (плоская комбинация) под
малым углом атаки при нулевом угле крена:
1 — корпус (тело вращения); 2 — консоли плоского крыла; 3 — консоли четырехконсольной
комбинации
двух консолей в виде пластинок малой толщины (так называемую
плоскую комбинацию, рис. 12.2.1), можно определить как сумму
нормальных сил для изолированных корпуса и крыла, а также
дополнительных сил, называемых интерференционными поправками.
Одна из этих поправок обусловлена влиянием корпуса на обтекание
крыла, другая — воздействием крыла на поток около корпуса. В
соответствии с этим суммарная нормальная сила
* т, кр — * т » * кр "Г ^A* т (кр) ~Г °^кр (т) i \l?.L. 1)
где Ут — нормальная сила изолированного тела вращения; Укр —
нормальная сила изолированного крыла; ДУТ(Кр) — дополнительная
нормальная сила корпуса, обусловленная влиянием крыла; бУкр(Т) —
дополнительная нормальная сила крыла, обусловленная влиянием
корпуса. Выражение A2.2.1) можно также представить в виде
т, кр— * т "Г ^Ai т (кр) ~г ^^ кр (т) > \IL.L.6)
где
кр (т)
= У
Кр
A2.2.3)
— нормальная сила крыла при наличии корпуса.
Зависимость A2.2.2) для суммарной нормальной силы можно
отнести наряду с плоской (двухконсольной) комбинацией также и к
летательному аппарату с плюсобразным крылом (четырехконсольной
комбинации, рис. 12.2.1). Обтекание этого аппарата без скольжения
такое, как и при плоской комбинации, так как верхние консоли,
имеющие вид очень тонких пластин, не изменяют характера этого
обтекания.
Две последние составляющие в A2.2.2) можно представить в более
Удобной для расчетов форме:
АУт(кр)=/СтУкР; A2.2.4)
ДУкр(т)=#крУкр, A2.2.5)
где /Ст, /Скр — коэффициенты интерференции.
5-708
Глава двенадцатая 130
В соответствии с A2.2.4), A2.2.5) дополнительная нормальная
сила корпуса, вызванная присутствием крыла, и нормальная сила
крыла с учетом интерференции с корпусом представляются в виде
произведения соответствующих коэффициентов интерференции и
нормальной силы крыла.
Под изолированным крылом следует понимать крыло, состоящее
из двух консолей, соединенных вместе. В соответствии с A2.2.4) и
A2.2.5) нормальная сила плоской комбинации «корпус — крыло»
Ут. кр = YT + (Кт + KEV) YKV. A2.2.6)
Если представить нормальную силу корпуса в виде
Ут = *т.иУжр. A2.2.7)
где /Ст.и — некоторый коэффициент, связывающий нормальные силы
изолированных корпуса и крыла, то
YT, кр = (/Ст.н + КТ + KKP)YK]>. A2.2.8)
Соответствующий суммарный коэффициент нормальной силы
комбинации
С1*. кР = Уг. кр / (tfoAp) = (/С,.. + Кт + Ккр) су кр, A2.2.9)
где <7оо= Роо^/2 — скоростной напор набегающего потока; SKp —
площадь изолированных консолей крыла.
При линеаризованном обтекании имеется линейная зависимость
нормальной силы от угла атаки, т. е. су = асау (где сау = дсу1до).
Следовательно,
4т. кР = (/Ст.и + КТ + KKV) с«кр . A2.2.10)
Коэффициенты /Ст.и> Кт» ККр» входящие в A2.2.9) и A2.2.10),
можно рассматривать в виде отношений соответствующих
коэффициентов нормальной силы:
Лт.и = су т/^у кр > Ат == &Суъ (кр)/Су кр >
р A2.2.11)
или отношений производных от соответствующих коэффициентов
нормальной силы по углу атаки:
1 кр; Ат Ac T (Kt)) / с* кр
A2.2.12)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ
Рассмотрим аэродинамическую интерференцию применительно к
летательным аппаратам, представляющим собой различные комбинации из тонких тел
(корпус, крыло, оперение), вносящие малые возмущения в обтекающий поток.
Аэродинамическая интерференция 131
В современной аэродинамике такие задачи наиболее полно решены и их
приложение к указанным летательным аппаратам дает достаточно
удовлетворительные для практики результаты.
Потенциал ф' скоростей возмущения при обтекании линеаризованным
потоком тонких тел удовлетворяет уравнению типа G.1.4') для пространственного
потока. Введем безразмерные координаты:
Ц = у/1, 7= г//, A2.2.13)
где L и / — характерные длины в направлении осей х и у (например, L — длина
всей комбинации, / — размах консоли крыла). Уравнение G.1.4'),
преобразованное к переменным A2.2.13), имеет вид
дх2
A2.2.14)
Рассмотрим комбинацию тонкого корпуса и консолей крыла с малым
размахом. Для таких комбинаций, вытянутых в направлении оси х, отношение
12JL2 < 1, поэтому первым членом в уравнении A2.2.14) можно пренебречь.
В результате получаем дифференциальное уравнение для определения
потенциала скоростей возмущения при интерференции между корпусом и плоским
крылом
или после подстановки значений уГя г"из A2.2.13)
ду/ду* + dyjdz* = 0. A2.2.15)
Это уравнение, как известно, соответствует возмущенному течению
несжимаемой жидкости в плоскости yOz, Таким образом, для нахождения поля
скоростей потока, вызванного интерференцией, необходимо решить
дифференциальное уравнение A2.2.15) относительно функции ср', представляющей собой
потенциал скоростей возмущения при поперечном обтекании комбинации
плоским несжимаемым потоком со скоростью aVoo (рис. 12.2.1). Поле скоростей
несжимаемого потока около корпуса и соединенного с ним крыла в плоскости
yOz можно определить при помощи метода, основанного на теории конформного
преобразования.
Плоскость, в которой определяется течение, является физической плоскостью
комплексного переменного й = z + iyt а плоскость, для которой течение
известно как течение около преобразованного круга, является преобразованной
плоскостью комплексного переменного С = ? -г iЦ (рис. 12.2.2).
Представим уравнение, связывающее между собой переменные сг и С:
а + г2/<У = С + ^/С, A2.2.16)
где
ro=O,5(s + '2/s); A2.2.16')
5 — текущее значение полуразмаха крыла (размах консоли).
Уравнение A2.2.16) является тем соотношением, при помощи которого
осуществляется конформное преобразование круга радиусом го на плоскости С =
= ? + i'T] в контур, получающийся в результате пересечения плоскостью yOz
корпуса и соединенного с ним тонкого крыла. Очевидно, этот контур на
плоскости tf = z + iу имеет вид круга радиусом г и пары отрезков прямых линий
Длиной s — го каждый, располагающихся на оси z (рис. 12.2.2). Чтобы убедиться
в правильности выбора формулы A2.2.16), обеспечивающей указанное
конформное отображение, при помощи этой формулы следует осуществить преобразо-
5*
Глава двенадцатая
132
о)
Рис. 12.2.2 Схема
конформного преобразования для
комбинации «корпус —
плоское крыло»:
а — физическая плоскость j (/ —
крыло; 2 — корпус); б —
преобразованная плоскость С
вания, аналогичные тем, которые приведены в § 6.2 для случая конформного
отображения круга в пластинку [см. F.2.1)].
Решая относительно С квадратное уравнение A1.2.16), получаем
Знак плюс перед квадратной скобкой указывает на зависимость между
комплексными переменными С и сг для верхней полуплоскости. При
осуществлении преобразования для нижней полуплоскости следует взять знак минус.
Комплексный потенциал при обтекании круглого цилиндра радиусом го
в плоскости С (рис. 12.2.2, б) можно определить по формуле F.2.4), заменив
в ней R на го:
A2.2.18)
Этот комплексный потенциал можно преобразовать в потенциал
поперечного потока около плоской комбинации «корпус — крыло» в плоскости ;,с'=
= z + iy путем замены в A2.2.18) комплексной переменной С =? + if]
значением из уравнения преобразования A2.2.17):
\F==_fal/oo[(a + r2/aJ—4/^]1/2. A2.2.19)
Чтобы найти полную величину комплексного потенциала Wa, надо
добавить к A2.2.19) потенциальную функцию потока, параллельного оси у, равную
ia V^q. В результате
Wa = - faV {Г (a + л2/аJ __ 4г2] 11/2 - a},
или, учитывая значение /*о из A2.2.16'),
Wa = — йхУ^Ша+г2/^J— (s + r2/sJ]1/2 —a}. A2.2.20)
Комплексный потенциал Wa можно выразить через потенциал скоростей
фа и функцию тока фа в виде Wa = фа Ч~ tya# Учитывая это и имея в виду, что
Q = zJriyi A2.2.20) представим в форме
Г2 У* 2 11/2 ш \
+ iy) J Г
A2.2.20')
Аэродинамическая интерференция 133
СКОРОСТЬ И ДАВЛЕНИЕ НА КОРПУСЕ
ПРИ НАЛИЧИИ КРЫЛА
Вычислим частные производные по х от левой и правой частей A2.2.20'):
г2 \ dr г
Z+iy) dx Z+iy
r2 \2
z+iy
/ dr ds
/ Or с r2
r2 \ ds dA:d*
,2X211/2
Рассматривая поверхность корпуса, для которой <у — z-Jr iy = reft. и
учитывая, что e~~iB = cos0 — tsin9, eiB + e~iB = 2cos0, получаем
dr / г2 \Г r dr ds l л2 Л1
4 cos 0 (cos 6 — / sin 0) r —- — s + — 2 • — + —¦ 1— —
= __laV dx \ s )\_ s dx dx\ sa/J
Г / Г2 Х2-11/2
4Г2 COS2 0 — S +
L \ s /J
Выделяя из правой части вещественную часть, получаем выражение для
добавочной осевой составляющей возмущенной скорости:
dr n / г2 \Г r dr ds / r2 VI
4r cos20 — s +— 2—-T + T—
dx \ . s )l s dx dx \ s2 /J
Kr2 \2 -11
s + — 4r2 cos2 0
s ) J
11/2
A2.2.22)
Чтобы получить вертикальную va и боковую wa составляющие
возмущенной скорости (рис. 12.2.2, а), вычислим производную по tf от комплексного
потенциала A2.2.20):
1/2
Для поверхности корпуса при условии,' что or = ге1^,
.__ . |2r cos 0 A + i sin 20 — cos 20)
°° 1 [4r2cos20 —(
и. A2.2.23)
Разделяя правую часть этого уравнения на вещественную и мнимую
величины, находим:
Глава двенадцатая 134
4arl/ cos 6 sin2 G
; A2.2.24)
[(s + r2/sJ —4r2 cos2 6]1/2
2r cos 9 sin 26
[(s + r2/sJ — 4r2 cos2 6]1/2
Из физических соображений следует, что формулы A2.2.22), A2.2.24) и
A2.2.25) дают значения составляющих скорости на нижней поверхности
корпуса, т. е.
«ан^Исо а>ан = ^а> »а„ = оа. A2.2.26)
Из свойства симметрии вытекают следующие соотношения для
составляющих скорости на верхней поверхности корпуса:
Иав=-иан, в>ав = -о>ан, ^b = W A2.2.27)
Рассмотрим, как можно определить коэффициент давления. В§ 6.1
получена формула F.1.5) для этого коэффициента в случае плоского
маловозмущенного течения. Как показывают исследования, эта формула требует уточнения,
если рассматривается пространственное линеаризованное течение. Для такого
течения квадрат полной скорости в некоторой точке пространства
В соответствии с этим формулу G.1.40) для отношения давления р/р^
представим таким образом:
р [ k—\ Poo Г 1 l)k/(k-\)
Poo '
Вследствие малости добавочных составляющих скорости по сравнению с
V^отношение р/р^ мало отличается от единицы и, следовательно, выражение
для р/Рю можно разложить по биному. Сохраняя квадратичный член, получаем
-^--1-— \uV — и* v* оЛ
Poo " Poo I °° 2 V J
—1\2 k ( k Л PL Г _ 1 . 12
Соответствующая зависимость для коэффициента давления имеет вид
(Р Роо) 2и + а +w ,
г оо v оо °° к оо
Сохраняв члены второго порядка малости по сравнению с u/V^ и учитывая,
что kpjp^= a2^ и V^/a^ = M^f находим
Аэродинамическая интерференция 135
Пренебрегая членом и2 (М^ — 1), окончательно получаем
р = - 2u/Voo - (v2 + W^/Vl. A2.2.28)
Здесь, хотя течение и слабовозмущенное, сохранены квадратичные члены,
что имеет значение при обтекании тонких тел вращения.
Составляющие скорости uf vt w в поточных координатах, входящие в
формулу A2.2.28), выразим через составляющие иа> va^ wa в связанной системе
координат. Так как тело не имеет крена и связанные оси координат повернуты
относительно поперечной оси Oz поточной системы на угол атаки а, то, очевидно,
составляющая w = wa Из рис. 12.2.1 видно, что для других составляющих
действительны соотношения и = ма -+• ааа> v = va — сша> Внося
полученные выражения для и, v, w A2.2.28) и отбрасывая члены ava ua /V^, а2иа IV%,t
являющиеся членами более высокого порядка малости, получаем
IV%. A2.2.28')
На нижней поверхности корпуса
Я (кР) н = -2 [(««н + «f«hJ/V.. + w\J{2Vl) + v2JBVl)]. A2.2.29)
С учетом свойства симметрии A2.2.27) коэффициент давления на верхней
поверхности
FT(Kp) в =~2 [(-««и + ^ан)/^ +</B^) + ^/BV2M)]. A2.2.30)
Практически при определении аэродинамических коэффициентов
приходится применять коэффициенты перепада давления, которые вычисляем по
соответствующим коэффициентам давления на нижней и верхней поверхностях в
виде Ар = ри — рв. Для корпуса такой коэффициент
ДрГ =~р —р* = __ 4uajv . A2.2.31)
Как видно, коэффициент перепада давлений зависит только от продольной
составляющей скорости. С учетом A2.2.22)
— 4а 14г —— cos2 0 — (s + r2Is) |2 — • — -f — A — t
— { dx ] s dx dx
АРц (кр) = J75 •
[(s + r2/sJ — 4r2 cos2 6] '
A2.2.32)
Так как для точек корпуса координата z = rcosB (рис. 12.2.2), то
4а ГA — r4/S4) -^- + 2 — . -у- A + г2Is2 — 2z2/r2)l
Д^т(кр)
СКОРОСТЬ И ДАВЛЕНИЕ НА КРЫЛЕ
ПРИ НАЛИЧИИ КОРПУСА
Полагая в формуле A2.2.21) у = 0 и учитывая, что правая часть этой
формулы является величиной вещественной, найдем следующее выражение
для осевой составляющей скорости:
Глава двенадцатая 136
0* [E+г2/5J-B+г2/гJ]^
A2.2.34)
Приняв в A2.2.23) (Т = z и разделив правую часть на вещественную и
мнимую величины, получим зависимости для боковой wa и вертикальной va
составляющих скорости:
„( )^ )
w, = щ ; A2.2.35)
»а=-«^оо. A2.2.36)
По формулам A2.2.34) — A2.2.36) получаем значения составляющих
скоростей на нижней поверхности консолей, причем форма записи этих значений
такая же, как A2.2.26). Из соображений симметрии следует, что на верхней
поверхности крыла составляющие скорости определяются выражениями,
аналогичными A2.2.27).
Скорость, а следовательно, и давление на корпусе не изменяются при
осевом обтекании (угол атаки равен нулю) в присутствии несущих консолей
«нулевой» толщины. Однако консоли при таком обтекании испытывают влияние
поля скоростей и давлений, образующегося около корпуса. Результирующее
течение у консолей слагается из поля скоростей, индуцируемого корпусом при
осевом обтекании, и поля скоростей, возникающего при поперечном обтекании
и обусловленного наличием угла атаки.
Рассмотрим поле скоростей около корпуса, обтекаемого под нулевыми углом
атаки, используя для этого выводы аэродинамической теории тонкого тела (см.
§ 11.3). Согласно этой теории, добавочная радиальная составляющая скорости
при осевом обтекании (обозначим ее v'^t = Vrly см. рис. 12.2.2) в
соответствии с формулой A1.3.10), в которой г заменяем на текущую радиальную
координату точки R:
V'Rt = -f(x)/R. A2.2.37)
Из условия безотрывного обтекания A1.2.19), которое ввиду малости ф'^.
по сравнению с V^ можно представить в виде
A2.2.38)
получим выражение для функции
/(*) = — V^rdr/dx. A2.2.39)
Следовательно, A2.2.37) можно выразить в форме
'"-^r-ir- A2-2-40)
Из рис. 12.2.2 видно, что поперечная Wf и вертикальная vt составляющие
скорости возмущенного течения, вызванного осевым обтекания корпуса,
У г dr
wt = v'pi cos0=—^- • -— cos0; A2.2.41)
кг R dx
"' ' ~ dr sinO. A2.2.42)
R dx
Аэродинамическая интерференция 137
Для условий на поверхности консоли 0 = О, R = z и, следовательно,
Кж/ dr
wt= -J--^-; A2.2.43)
vt = 0. A2.2.44)
Если выражение A2.2.43) для wt определяет значение скорости для нижней
поверхности (wtH = Wf), то из свойства симметрии следует, что на верхней
поверхности
wtB=*Wfa. A2.2.45)
Для осевой добавочной составляющей скорости ut, которую здесь не
приводим в явном виде, действительно равенство uiQ = u^Hi вытекающее из того
же свойства симметрии.
Значения составляющих возмущенной скорости на консоли получаем в
результате сложения соответствующих составляющих скорости при осевом и
поперечном обтекании, т. е.
и = иа + щ, w = wa + wt, v = va + vt = v(X). A2.2.46)
Внося эти значения в формулу для коэффициента давления,
представленную по аналогии с A2.2.28) в виде
р = - 2 [(и + av)IV^ + v*/BVl) + w2K2Vl>)], A2.2.47)
получаем
Ркр (т) = - 2 [(»« + Щ + ™)lv<» + vV{wl) + (юв + m)*H№)\. A2.2.48)
Для нижней поверхности консоли
Р~кр (т) н = - 2 [ («ан + «Л + «Оан)/^ + ^„/B^) +
Ha верхней поверхности с учетом свойства симметрии [см. A2.2.27) и
A2.2.45); utB = utll]
р) в= - 2 [(- «сен + «Л,
Коэффициент перепада давления
A2.2.49)
Формула A2.2.49) для коэффициента перепада давления на консоли имеет
в отличие от соответствующей формулы A2.2.31) для корпуса квадратичную
форму. Внося в A2.2.49) вместо ман, w<xh, ш/н соответственно их значения из A2.2.34),
A2.2.35) и A2.2.43), находим коэффициент перепада давления на консолях
крыла при наличии корпуса:
|-1/2
X
X
Глава двенадцатая 138
Если корпус является круговым цилиндром, то dr/dx = 0 и зависимости
A2.2.33), A2.2.50) принимают соответственно такой вид:
ds ( г4 \ Г/ г2 \2 z2
= 4я *" I1 -7") [I1 + ¦?-) -4 7г
1-1/2
| :
ds ( г<\ Г/ г4 \ z2 / г* М-1/2
Выражения A2.2.51) и A2.2.52) пригодны для приближенного расчета
распределения давления по обтекаемой поверхности и в том случае, когда корпус
в месте сопряжения с крылом расширяется и dr/dx ф 0. Это подтверждается
расчетами, которые показывают, что влияние расширения корпуса на характер
распределения давления невелико. Достаточно удовлетворительные
результаты по A2.2.51) и A2.2.52) получаются при условии, в соответствии с которым
крыло на корпусе располагается в зоне невозмущенного потока. Как показывают
исследования, это условие практически можно выполнить, если расстояние от
начала цилиндрической части тонкого заостренного корпуса до бортовой
хорды крыла превышает два-три диаметра корпуса.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
Рассмотрим зависимости для нормальной силы крыла и корпуса
с учетом их взаимного влияния и определим соответствующие
коэффициенты интерференции. Примем, что консоли крыла, расположенные
на цилиндрическом корпусе (dr/dx = 0), имеют треугольную форму,
для которой ds/dx = tge (рис. 12.2.3). При этом следует иметь в виду,
что полученные результаты для коэффициентов интерференции
можно отнести к любой другой форме. Иными словами, найденные
теоретические значения этих коэффициентов, приводимые ниже, не зависят
от вида консолей в плане.
Известно, что тонкий изолированный цилиндрический корпус
при отклонении не создает нормальной силы. Поэтому величину
ДУт(кр) A2.2.4) можно рассматривать как нормальную силу УгТ(кР)
на корпусе при наличии крыла. Элементарную величину этой силы
можно вычислить при помощи формулы A1.5.4). Полагая в ней
cosg « 1 и cosy = sin0f получаем следующее выражение для
нормальной силы, действующей на площадку dS = rdQdx (рис. 12.2.3):
d (ДУТ (кр)) =* dYT (кр) = — (р — роо)т (кР) г sin QdQdx.
Нормальная сила участка корпуса, расположенного под крылом,
[ ^ (Р — Роо)т (кР) г sin QdQdx ¦
r/'tg е 6
Аэродинамическая интерференция
139
Рис. 12.2.3 Комбинация
«цилиндрический корпус —
крыло» с треугольными
консолями
4
dx
r/tgs
Соответствующий коэффициент нормальной силы, отнесенный к
площади поперечного сечения корпуса 5 =пг2,
A<Vr (кР) =
IE/*
1 т (* tf * с
г/tg e 0
т(кр)
Учитывая симметричный характер распределения давления по
обе стороны нулевой меридиональной плоскости, а также условия,
при которых в точках поверхности, определяемых угловыми
координатами 6 (верхняя поверхность) и —9 (нижняя поверхность),
коэффициенты давления соответственно р и —/?, получаем зависимость
T-T
АР,1к^ыпШ.
т (кр)
Подставляя сюда вместо Д/?Т(кР) выражение из A2.2.51) и
учитывая равенство z = rcos0, находим (по абсолютной величине)
Sm/tge
1
В результате однократного интегрирования при условии, что х —
= s/tge и dx — ds/tg&f получаем
A m
4a r*
^ 1
arcsin
где s = sir, sm = sjr.
Вводя переменные u = arcsin -=
2s
интегрируя по частям,
=
-^—ds, A2.2.53)
), находим,
и v = T(s2+—)
^ \ s2/
Глава двенадцатая 140
I2 —
¦— 2arctgsm . П2.2.53')
Соответствующий коэффициент нормальной силы корпуса Дс2/Т(кр),
рассчитанный по площади изолированных консолей:
5KP = (sw-/-J/tgs, A2.2.54)
равен
^ g ^^4A2.2.55)
С учетом выражения (8.8.47) для коэффициента сукр нормальной
силы изолированного крыла, в котором следует принять ctgx=tge,
коэффициент интерференции
Кт = Ьсут т/Су к р = Ьс'ут (кр)/[2 Gте - IJ а]. A2.2.56)
После подстановки A2.2.53') и несложных преобразований имеем
о si, — 1 jr I — о i \
А т = Г" 5т Н —
тс G — IJ 7 2 \ "i2 /
\ т / \_ т ч /п/
- ,2 ;arctglm . A2.2.57)
sm J
Найдем зависимость для коэффициента интерференции /Скр
крыла с корпусом. Элементарная величина нормальной силы,
действующей на элементарную площадку крыла dSKp =dxdz>
d (AFKp (t) )=Л/?кр (^dxdzqoo.
Сила двух консолей с учетом выражения A2.2.52)
j
г/tge
+ -?)Г<<'- A2-2-62')
Соответствующий коэффициент нормальной силы
\sm Ч J \ s I
Г/tg е
Аэродинамическая интерференция 141
Интегрируя это выражение один раз, находим (для х = s/tge
и dx = ds/tgz)
tg ?
1
При частичном интегрировании
-2 rfs1'
i
Вводя переменные
и = arcsin[(s2—l)/(s2+l)J» y==0,5(s2+ 1/s2) A2.2.58)
и производя интегрирование по частям, находим
t , Г (—2 i\2 "T2 1
4а \й ? I тс V ^т — / /п — *¦
и кп ^т^ "~~" /— ч л I * —л —
+1J
arcsin _^^ e A2.2.69)
Коэффициент интерференции с учетом (8.8.47) для
& 2 Г тс C^m-1J
^m1 ,
КР ^укр TCGm-iJL4 ' ^2т
24
arcsin *m l 1. A2.2.60)
4 + 1 J
Формулу A2.2.57) для коэффициента интерференции /Ст
преобразуем с учетом значения
arctg Fm = 4" I arcsin -^ + -^- |
2 V ?l 2
к выражению
4
2 V
Т = /- _tx2 1 Ч '
uVsm U I sm Sm
Глава двенадцатая
142
us
0,3
0,4
/
/
/
/
0,2 ОЛ 0,6 0,8 Гт
Рис. 12.2.4 Коэффициенты
интерференции для плоской комбинации
«корпус — крыло» при отсутствии
крена
si-
г]
•arcsin^ . A2.2.57')
Сложив A2.2.60) и A2.2.57), получим
или KK» + KT=(\+rm)\ A2.2.61)
где rm =r/sm.
Из выражений A2.2.60) и A2.2.57') следует, что коэффициенты
интерференции являются функциями только
отношения r/sm. Таким образом, этот параметр (или обратная величина
smlr) представляет собой основной критерий при оценке взаимного
влияния корпуса и крыла на нормальную силу. Величины /Скр и
/Ст в зависимости от значения 1/s™ =
и в табл. 12.2.1.
™ = гт приведены на рис. 12.2.4
Таблица 12.2.1
гт
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,000
1,077
1,162
1,253
1,349
1,450
1,555
1,663
1,774
1,887
2,000
1,000
0,133
0,278
0,437
0,611
0,800
1,005
1,227
1,467
1,725
2,000
(<Гд)акр(т)
0,667
0,657
0,650
0,647
0,646
0,647
0,650
0,654
0,658
0,662
0,667
(Сд)ат(кр)
0,500
0,521
0,542
0,563
0,581
0,598
0,613
0,628
0,641
0,654
0,667
Bд)акр(т)
0,424
0,421
0,419
0,418
0,417
0,417
0,416
0,418
0,420
0,422
0,424
Если отношение rm = rlsm = 0 (корпус отсутствует), то,
очевидно, /Скр = 1, a KT = 0. Предположим, что радиус кор-
Аэродинамическая интерференция
143
Рис. 12.2.5 Схема для
определения положения центра
давления корпуса и крыла
с учетом влияния
интерференции
пуса возрастает и несущие консоли становятся малыми, т. е.
параметр гт, отличающийся от нуля, возрастает. Из A2.1.6') следует, что
эффективный угол атаки консолей возрастает. При /?//-> 1 (rm->- 1)
корпус индуцирует вдоль боковой поверхности местный угол атаки
аэ.кц-^ 2а. Поэтому консоли при наличии корпуса развивают
нормальную силу, в два раза большую, чем изолированное крыло, и,
следовательно, /СКр =2.
Чем меньше размеры консоли, тем все большая часть нормальной
силы крыла переносится на корпус. Когда значение параметра rm-> 1,
на корпусе индуцируется наибольшая величина нормальной силы
и /Ст = 2.
ЦЕНТР ДАВЛЕНИЯ
Координата центра давления нормальной силы, индуцированной
корпусом на крыле,
(*д)акр(т) = — ДМ2кр (т)/АГкр(Т) , A2.2.62)
где ДМ2КР(Т) —момент тангажа относительно носка бортового
сечения консоли от сил, обусловленных влиянием корпуса на крыло:
2 кР (т) =
bpKpwq^xdxdz. A2.2.63)
Координаты х и (хд)а Кр(т) отсчитываем от носка бортового сечения
консоли (рис. 12.2.5). С учетом значения Д FKP(T) координата
<*д)
д).
J J
O
q^xdxdz
xdz.
Глава двенадцатая 144
Координата центра давления нормальной силы, индуцируемой
крылом на корпусе,
<*). х (кр, = - ДМг т (кр)/ АКТ (кр), A2.2.64)
где ДМ2Т(Кр) — момент тангажа относительно носка бортового
сечения консоли, обусловленный влиянием крыла (рис. 12.2.5):
ДМ2т(кр) =- J jA/>T(Kp)yw*d*<fe; A2.2.65)
о о
т(р — нормальная сила участка корпуса, расположенного под
консолями, обусловленная влиянием крыла.
С учетом значения ДУТ(кр) координата
(кР) = \ \ А/7т (кр) Ч^хйг / j j Арт (кр) qjlxdz.
00
A2.2.640
Из A2.2.62') и A2.2.64') можно определить соответствующие
коэффициенты центров давления:
(<%Up (т) = (*д)«кр (т)/60 ; (^д)ат (Кр) = (*д)аТ (крА • A2.2.66)
где Ьо — длина бортовой хорды консоли (рис. 12.2.5).
В соответствии с этими значениями можно определить коэффициент
момента тангажа комбинации «тело вращения — крыло»
относительно носовой части:
mZT, кр = М2Т, кР/ (<7eoSEp*«) = — сут, кр^д = — [^т + Vp (Кт +
+ /Скр)] сд = - [(сл)т сут + ( с'д)ат (кр) Ас^ (кр) +
где
( S)aT (кр)
Здесь сд = хд/л;к — коэффициент центра давления всей
комбинации, (Сд)т = (#д)т/*к и с^т — соответственно коэффициенты центра
давления и нормальной силы изолированного корпуса. Все
геометрические размеры показаны на рис. 12.2.5, где площадь, на
которую переносится нормальная сила от консолей, заштрихована.
Боковая координата центра давления нормальной силы А^Кр(т>
для консолей крыла, обусловленной влиянием корпуса (рис. 12.2.5),
Р (т) /AYKp (T), A2.2.69)
Аэродинамическая интерференция 145
где дМзсКР(Т) — момент крена, вызванный действием нормальной
силыДКкр(т) и определяемый относительно продольной оси х:
(m)/
АМхкр (т) = - j j Аркр (т) qjtdxdz. A2.2.70)
0 г
С учетом значения А Укр(Т) координата центра давления
A2.2.71)
Из A2.2.71) можно найти координату центра давления,
отсчитанную вдоль размаха консоли от бортовой хорды на корпусе и
отнесенную к ширине консоли sm — г, т. е. величину
(^д)акр (Т) = [Bд)акр (Т) — r]/(Sm — Г) .
Эта величина, а также значения коэффициентов центра давления
A2.2.66), вычисленные для треугольных консолей [в A2.2.51) и
A2.2.52) соответственно для Д/?Т(КР) и Д/?кр(Т) производная dsldx
принимается равной tge], приведены в табл. 12.2.1 в зависимости от
параметра rlsm = 1/s™, из которой следует, что коэффициент центра
давления (?д)акр(т) мало отличается от величины 2/3,
соответствующей изолированному треугольному крылу. Отношение Bд)аКр(т)
близко к значению 4/(Зя) при эллиптическом распределении
нормальной силы по размаху изолированного крыла.
Оба эти результата показывают, что интерференция крыла с
корпусом не оказывает существенного влияния на положение центра
давления несущих консолей как по размаху, так и по хорде. Поэтому
в практических случаях, когда аэродинамические расчеты основаны
на применении аэродинамической теории тонкого тела, влиянием
интерференции на положение центра давления крыльев можно
пренебречь. При этом следует иметь в виду принципиальную особенность,
заключающуюся в том, что согласно аэродинамической теории
тонкого тела значение Bд)акР(Т) не зависит от формы крыла в плане,
в то время как положение центра давления консолей в продольном
направлении зависит от этой формы. В частности, расчеты по
аэродинамической теории тонкого тела показывают, что центр давления
прямоугольных крыльев размещается на их передней кромке.
Влияние интерференции на положение центра давления корпуса,
как видно из табл. 12.2.1, существенно. При условии rm = rlsm =
= 0, означающем, что корпус отсутствует (точнее, корпус
преобразуется в бесконечно тонкий цилиндр, совпадающий с корневой
хордой консоли), получаем очевидный результат (сд)ат(кр) = 1/2. При
Глава двенадцатая
146
€
n
if/"
X
Рис. 12.2.6 Схема влияния
пограничного слоя на
интерференцию между
корпусом и консолями крыла
(оперения)
очень малых размерах консолей по сравнению с радиусом корпуса,
т. е. при значениях rm-> 1, на корпус переносится практически вся
нормальная сила крыла (коэффициент интерференции /Ст-*- 2) и в
соответствии с этим коэффициент центра давления близок к значению
для изолированного крыла, т. е. (?д)ат(кр)-*" 2/3.
ИЗМЕНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ИНТЕРФЕРЕНЦИИ ПОД ВЛИЯНИЕМ НЕКОТОРЫХ
ФАКТОРОВ
Экспериментальными исследованиями установлено (см. [13]), что
теоретические формулы A2.2.60) и A2.2.57') дают возможность получить хорошие
результаты для коэффициентов интерференции Ккр, /Ст в случае крыла с
консолями прямоугольной формы в плане, для которых сужение т]Кр = bo/bK = 1
Fо, Ьк — соответственно корневая и концевая хорды крыла). При этом из
физических соображений ясно, что переход к консолям с увеличенным сужением
(Икр > 1) обусловливает повышение коэффициентов интерференции.
Действительно, у таких консолей большая часть площади примыкает к корпусу, поэтому
они испытывают повышенное интерференционное воздействие и в свою очередь
значительнее влияют на обтекание корпуса. Указанное увеличение
коэффициентов интерференции можно учесть путем введения поправочных множителей
,. z= К l(K \ • v К ПК ) Г12 2 72^
где индекс «теор» обозначает теоретические параметры A2.2.57')» A2.2.60).
Как показывают эксперименты, эти множители практически одинаковы и могут
<5ыть приняты равными:
~~Гт)" -" 1 A2.2.73)
T7J
rvi='
\ ^Кр /
В случае прямоугольных консолей, для которых т]кр = 1, значение v =
= 1 и коэффициенты интерференции совпадают с их соответствующими
теоретическими величинами.
Из опытных данных следует, что на коэффициенты интерференции
оказывает влияние пограничный слой корпуса. Такое влияние находит выражение в
изменении эффективного радиуса корпуса в месте расположения консолей на
величину толщины вытеснения пограничного слоя б* (см. гл. 13). В соответст-
Аэродинамическая интерференция 147
вии с этим значением радиуса г' = г + 6* по параметру rmf = r'Jsm определяем
уточненный коэффициент интерференции (рис. 12.2.6). По его величине можно»
вычислить поправочные множители:
vx.n.c= Кт/(/Ст)теор ; ^'кр.п.с = *кр/(*кр>тбор. A2.2.74)
Так как коэффициенты интерференции в числителе находятся по
увеличенному параметру гт' > гт, то, следовательно, поправочные множители
больше единицы. Соответствующий физический эффект проявляется в возникновении
дополнительной нормальной силы, вызванной усилением интерференции с
корпусом вследствие возрастания его толщины. Вместе с тем пограничный слой
оказывает и отрицательное воздействие, вызывая снижение нормальной силы,
за счет уменьшения площади консолей, находящихся во внешнем потоке E'кр,
рис. 12.2.6).
Полагая значения A2.2.74) одинаковыми, т. е VT.n.c = v'Kp.n.c = Vn.c,.
соответствующее суммарное изменение нормальной силы можно учесть при
помощи коэффициента
Льс = VXP/SKP. A2-2.75)
Исследования показывают, что
Vc^ 1 - 'm A + 4) Vm + %Р A + 3rm) - ljTVOfop + 1), A2.2.76)
где 6* = 6*/r.
Как видно, значение A2.2.76) всегда меньше единицы, что указывает
на более значительный эффект снижения нормальной силы от уменьшения
площади крыла, чем ее увеличения за счет ^возрастания толщины корпуса.
Относительную толщину вытеснения б* = 6*/г в A2.2.76) можно
определить при помощи зависимостей A3.4.65) и A3.4.58) для пограничного слоя,
начинающегося от носовой части корпуса. При этом в качестве расчетной
принимаем толщину 6* в точке с координатой 1г = #кр + О,5Ьо, т. е. в средней части
бортовой хорды крыла. В соответствии с этим в A3.4.58) необходимо принять
x=ll9 Яех = Voolxhoo.
Для коэффициентов интерференции A2.2.570 и A2.2.60) теоретические
зависимости получены в предположении, что крыло, расположенное на тонком
цилиндрическом корпусе, достаточно удалено от головной части и поэтому
(вместе с цилиндрическим участком) она практически не влияет на обтекание
крыла. Иными словами, крыло находится на участке обтекающего потока,
скорость которого соответствует невозмущенному течению. При малом удалении
крыла влияние части корпуса, расположенной перед ним, может оказаться
существенным. Исследования показывают, что коэффициенты интерференции
при этом снижаются в соответствии с зависимостью
A2.2.77)
где 7^ = /i/r (рис. 12.2.6).
Для крыла, расположенного на большом удалении от носовой части
комбинации [1Х > A5 -г- 20)], коэффициент v^« 1, т. е. практически коэффициенты
интерференции не изменяются. Однако для летательного аппарата,
выполненного по схеме «утка», такое изменение может оказаться существенным, так как
расстояния 1г относительно небольшие.
В соответствии с полученными результатами коэффициенты интерференции
целесообразно вычислять при помощи следующих зависимостей:
Vc v'- A2-2.78)
Глава двенадцатая 148
НОРМАЛЬНАЯ СИЛА КОМБИНАЦИИ
«КОРПУС — КРЫЛО»
Для определения полной нормальной силы Ут,кр используем
формулу A2.2.6). Нормальную силу Ут изолированного тонкого корпуса,
входящую в эту формулу, определим следующим образом.
Рассмотрим тонкий корпус в виде конуса с весьма малым углом при вершине
Рк. Для тонкого конуса при малых углах атаки, как следует из
A1.5.29), коэффициент нормальной силы можно принять су = 2а.
Распространяя эту формулу на тонкое тело вращения произвольной
формы, получаем
Y *f A2.2.79)
где г — радиус миделевого сечения корпуса.
Согласно этой формуле, нормальная сила тонкого тела вращения
определяется при заданном угле атаки лишь диаметром наибольшего
поперечного сечения.
Нормальная сила изолированного крыла
где в соответствии с формулой (8.8.47), в которой принято ctgx = tge,
коэффициент cyKV> =2antge. Так как SKP находится из A2.2.54), то
m — rJqto. A2.2.80)
Учитывая, что сумма теоретических коэффициентов
интерференции /Ст + ККр определяется формулой A2.2.61), а также учитывая
полученные значения YT и Укр, находим для полной нормальной
силы
YT, кр = 2СМС& A - г2т + г4т) Яоо. A2.2.81)
Соответствующий коэффициент нормальной силы cyTyKV =
= ^т,кр/(?°о5кр) равен согласно значению A2.2.54) для 5кр
следующей величине:
Полная нормальная сила не зависит от формы консолей и той
части корпуса, которая расположена перед сечением с максимальным
полуразмахом sm. Из формулы A2.2.81) также вытекает, что если даже
за этим сечением имеется некоторая площадь крыла, то она не влияет
на несущие свойства комбинации «корпус — крыло».
Коэффициент нормальной силы A2.2.82) можно уточнить,
вычислив коэффициенты интерференции с учетом влияния сужения крыла,
пограничного слоя и места расположения консолей. Согласно
A2.2.78), сумма коэффициентов
= (КТ
vn.cv/
Аэродинамическая интерференция 149
или с учетом A2.2.61)
Кт + Ккр = A +>VnJV°-cv'- A2.2.83)
Согласно A2.2.83), нормальная сила
Ут,кР = Ут + (Кт + #кР)УКР = 2а^ [ r2m + A — r2mf vTJvn>cv/] Яоо,
A2.2.84)
а коэффициент этой силы
При значениях сомножителей в правой части, меньших единицы,
т. е. при учете влияния на коэффициенты интерференции сужения,
пограничного слоя и места расположения крыла, суммарная
нормальная сила снижается.
§ 12.3.
Влияние угла крена на интерференцию
между корпусом и плоским крылом
ОБЩЕЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА
ДАВЛЕНИЯ
Комбинация «корпус — плоское крыло», повернутая на угол крена ф,
показана на рис. 12.3.1. Наряду с углом ф обтекание этой комбинации и,
следовательно, интерференция между корпусом и консолями крыла зависят также
от угла ас, образуемого продольной осью и направлением скорости
набегающего потока. Этот угол (рис. 12.3.1) определяется в плоскости х'Оу',
образуемой связанными осями Ох' и Оу', построенными для ненакрененной
комбинации. Рассматриваемое течение эквивалентно потоку, возникающему при
наличии угла атаки а и угла скольжения р. Угол атаки а отсчитывается в
вертикальной плоскости уОх в связанных осях координат Оу и Ох, построенных для
накрененного тела, и определяется как угол между проекцией v'^ вектора Voo
на эту плоскость и осью Ох,
В соответствии с рис. 12.3.1 малый угол а равен отношению вертикальной
Vyoo и горизонтальной V*oo составляющих скорости невозмущенного потока,
* = Уу со/Ухоо. A2'ЗЛ)
Угол скольжения р находится в поперечной плоскости zOx той же
связанной системы координат как угол между проекцией W^ вектора Voo на эту
плоскость и продольной осью Ох. Из рис. 12.3.1 видно, что
P = W^~, . A2-3.2)
где Vzoo — поперечная составляющая невозмущенной скорости.
Из рис. 12.3.1 видно, что
Ух оо = ^оо C0S «с ; УУоо = Уоо Sin «с C0S * • VZ oo = ^оо Sin «с sillCP-
A2.3.3)
Глава двенадцатая
150
Рис. 12.3.1 Комбинация «корпус — плоское крыло» под углом крена
Для малых ас
A2.3.3')
ГХ оо — г оо , г у оо — ^с г
В соответствии с этим
a=*ccoscp; A2.3. Г)
P=acsincp. A2.3.2')
Учитывая линеаризованный характер обтекания, полную потенциальную
функцию можно определить в виде суммы:
?' = ?/ + ?а + ?р» A2.3.4)
где ф/ — потенциал осесимметричного обтекания со скоростью V^-oo = Voo;
Фа и ф^ — соответственно добавочные потенциалы обтекания в направлении
a CO СКОрОСТЬЮ Vyoo = aVoo = ac Voo СОЗф И В Направлении Р СО СКОрОСТЬЮ Vzoo =
A2.3.5)
Коо <XcKooSirKp.
В соответствии с A2.3.4) составляющие скорости
Общее выражение для коэффициента давления на корпусе, определяемое
с учетом интерференции, получаем при помощи формулы A2.2.28'), в которой
заменяем составляющие возмущенной скорости в поточных координатах ха,
уа, za на соответствующие значения и, v> w в связанных координатах х, у, z.
Осуществляя указанную замену, исходим из того, что в соответствии с
рис. 12.3.1 связанные оси получаются путем поворота поточных осей сначала
на угол ас относительно оси Oz, затем на угол ф в направлении часовой стрелки
относительно нового положения продольной оси Ох. Направляющие косинусы
углов между осями ха, уа, га и х, г/, z приведены в табл. 12.3.1.
Таблица 12.3.1
Координаты
ч
Ух
ха
COSac
Sin ac COS <p
— sinac sincp
— sin ac
COS ac COS cp
— COS ac sin cp
0
sincp
coscp
Аэродинамическая интерференция 151
В соответствии сданными табл. 12.3.1 и с учетом малости угла ас для
составляющих возмущенной скорости в поточных координатах представим выражения:
иа = и + vctG cos <p — wac sin ф;
va= — тс +acos<p — w sincp;}- A2.3.6)
дол = v sin cp + w cos <p.
Подставив найденные выражения для составляющих скорости в A2.3.28')
и отбросив малые величины и2а2с, wmcsin(p, fwaccos(p, найдем
7 = - B / V^) {и + va - w)) - (о« + к;2)/^. A2.3.7)
ДАВЛЕНИЕ НА КОРПУСЕ
На нижней части корпуса коэффициент давления с учетом A2.3.5)
^т (кр) н = "" ( 2/ Коо) t"'H + "ан + "?н + а (v*h + van + ^рн) -
- Р («'Л + ^ан + ^:нI - A / ^) [(^н + ^ан + ^нJ +
+ (и>/н + ^ан + ^нJ] . A2.3.8)
Аналогичный вид имеет выражение для верхней поверхности. Это
выражение можно представить в несколько иной форме, если воспользоваться
свойством симметрии, которым обладают составляющие скорости на корпусе. Из
свойства симметрии обтекания корпуса в направлении а выводят соотношения
A2.2.27). Аналогично можно представить выражения, соответствующие
свойству симметрии обтекания в направлении |3:
мCв = «Cн, ^в = -уCн, ^в=^н. A2.3.9)
С учетом свойства симметрии, выраженного соотношениями A2.2.27) и
A2.3.9), а также зависимостями
Щв = Щв> 0*н = — 0/1и ^н = ^в, A2.3.9')
коэффициент давления на верхней поверхности корпуса
^т (кр) в =
+ (ю«н-ю«н + юРцJ]- A2.3.10)
Коэффициент перепада давления получается как разница значений A2.3.8)
и A2.3.10), т. е.
(кр) = Рт (кр) н —7т (кр) в = - ( 4/^оо) «ан -
^ан " D / Vl) (viHvaH + vmv^) -
- D IVD (V« + ю«нЮрн) • A2.3.11)
Глава двенадцатая 152
Рассмотрим произвольную точку на нижней поверхности корпуса. Для этой
точки вектор скорости возмущения в поперечной плоскости, обусловленного
продольным обтеканием корпуса конечной толщины, Vtn = wtH i + vtuj. Для
этой же точки вектор скорости возмущения, вызванного наличием угла атаки,
Van = «W + (f он + «^оо) / •
Вектор VtH в соответствии с A2.2.42) совпадает с радиальным
направлением и расположен в меридиональной плоскости. Второй вектор Т7ан в
соответствии с условием безотрывного обтекания совпадает с направлением каса.
тельной к контуру в рассматриваемой точке. Следовательно, векторы ~Р^Н и
"Тан перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю, т. е.
(wtJ +°<н / ) [«W + (Сан + «V») /] = ю<нюан + vm (vaH + ccV^) = 0. A2.3.12)
С учетом этого значения выражение A2.3.11) принимает вид
АРт (кр) = - D / V») иан - ( 4/ Уто) ( vpp - юан?) -
+ »ан»рн). A2.3.13)
По сравнению с A2.2.31) в выражении A2.3.13) имеются слагаемые v^Hat
шанР> ^ан^рн» wanw$n> характеризующие влияние угла крена, — так
называемые члены взаимодействия. Составляющие скорости ман, wan и vau даны
соответственно выражениями A2.2.22) и A2.2.24) и A2.2.25). Компоненты w^H и
г>рн можно получить при помощи формулы для комплексного потенциала
поперечного обтекания корпуса в направлении отрицательной оси Oz со скоростью
набегающего потока р1Л». По аналогии с A2.2.18) этот потенциал
W = — р^ (<т + rVcr). A2.3.14)
Поле скоростей возмущений получим, если на поток с потенциалом A2.3.14)
наложить параллельное течение в направлении положительной оси Oz со
скоростью РКооИ соответствующим потенциалом |31Лх>а. В результате комплексный
потенциал скоростей возмущений
^=-^oc/2/°- A2.3.15)
Отсюда комплексная скорость возмущений
dWp /de^w^-Vpi^ pi^rV"*. A2.3.16)
Для поверхности корпуса при условии, что а = re , получим
^ — V = Э^оо е"Ш = -S1/cx> (cos20 — isin 28) • A2-3.17)
Относя это выражение к нижней поверхности, получаем для составляющих
скорости:
^h = ^oocos26; 0^ = ^ sin 20. A2.3.18)
Внося A2.2.22), A2.2.24), A2.2.25) и A2.3.18) в A2.3.13), найдем
зависимость для коэффициента перепада давления на корпусе:
Г/ г* \ ds r dr I г2 z2 \1
4а 1——- —+ 2 • -— 1+—" — 2
[\ s* } dx s dx \ s2 г2 /]
г2 \2 z2 11/2
Аэродинамическая интерференция 153
32а? (гIs) cos в sins в лгл
1 + 1г)-^
1/2
При отсутствии крена второе слагаемое с сомножителем а|3,
характеризующее взаимодействие крыла и корпуса, обусловленное наличием угла
скольжения, равно нулю, т. е. имеем зависимость A2.2.33) для комбинации «корпус —
плоское крыло», обтекаемой без скольжения.
Первое слагаемое в A2.3.19) содержит производные ds/dx и dr/dxt что
указывает на зависимость интерференции (в случае отсутствия крена) от
изменения размаха консоли и диаметра корпуса. В то же время такие производные
отсутствуют во втором слагаемом и, следовательно, не влияют на
взаимодействие корпуса и крыла при скольжении.
ДАВЛЕНИЕ НА КРЫЛЕ
Используя A2.3.8) и A2.3.5), выведем зависимость для коэффициента
давления на нижней поверхности консоли крыла с учетом интерференции:
Лф (т) н = - B /У») [ utH + "ан + И{?н + « ( vm + 1>аН + %) - Р (а>№ + ЯУан +
[( vtu + vaii + OfHJ + (wtK + waH + ЮрнJ] . A2.3.20)
Для верхней поверхности коэффициент давления можно представить
формулой A2.3.20) с заменой в ней индекса «н» на «в». Полученное соотношение
можно преобразовать при помощи зависимостей, связывающих между собой
составляющие скорости на верхней и нижней поверхностях и обусловленных
симметрией.
Для условий на нижней и верхней поверхностях правой консоли эти
зависимости имеют следующий вид:
= щв, wiu = wtB, vtH = — vtB ;
н = — «ав, а>ан = — ^ав» ^ан =
A2.3.21)
Выражая A2.3.20) применительно к условиям на верхней поверхности
и производя замену членов с индексом «в» соответствующими значениями,
представленными A2.3.21), находим
- F К, - ^сш + «fc)] - A / VI) [(- VtR + VaH - %J + (wm - Шан + шрн)Я] .
A2.3.22)
Коэффициент перепада давления
Л^кр (т) = Ркр (т) н - ^р (т) в = - ( 4/ ^оо) «оси - ( 4/1^) [( 0<я + V?H) a~Wa^] -
- D
Учитывая зависимость A2.2.44) v( = 0, а также условие безотрывного
обтекания крыла в поперечном направлении v^ = 0, получаем
(т) = - ( 4/ М «ан + ( 4/ ^) шан3 - ( 4/ У2ТО) (w
?H)
A2.3.23)
Глава двенадцатая 154
Составляющие скорости ман, wali> wtH определены выражениями A2.2.34),
A2.2.35) и A2.2.43). Составляющую w^ найдем из уравнения A2.3.16), положив
в нем а = г:
A2.3.24)
После соответствующих подстановок в A2.3.23)
\2 / Г2 \1 ds
i/2
+ — A2.3.25)
Г/ Т2 \2 ?2 / Г2 \2~11/2
В выражении A2.3.25) слагаемое с сомножителем ар характеризует
взаимодействие крыла и корпуса, обусловленное скольжением. Это слагаемое
асимметрично для левой и правой консолей, так как угол р для левой консоли
отрицательный, а для правой — положительный.
НОРМАЛЬНАЯ СИЛА И ЦЕНТР ДАВЛЕНИЯ
Взаимодействие между крылом и корпусом при наличии угла
скольжения приводит к тому, что нормальная сила правой консоли
возрастает с увеличением угла крена ф, а левой консоли убывает на ту
же величину. Поэтому суммарная нормальная сила комбинации не
изменяется и сохраняется по величине такой, как при отсутствии
скольжения.
Нормальная сила в направлении оси у (см. рис. 12.3.1) в
соответствии с A2.2.81)
yT,Kp = 2accoscp^w(l-r2m+ г^оо- A2.3.26)
Поперечная сила в направлении оси z создается только
корпусом в результате его обтекания поперечным потоком со скоростью
—pVoo и не зависит от наличия крыла нулевой толщины, которое
не оказывает влияния на это обтекание. Согласно A2.2.79),
ZT, кр = ZT - — 207^ - — 2астсг2 sin cp 9oo. A2.3.27)
Нормальная сила в направлении оси Оу' (см. рис. 12.3.1)
Y' - KTf кр cos <? - ZT sin cp = 2acic? [A - r^f cos2 cp + r\\ Чоо. A2.3.28)
Поперечная сила в направлении оси Ozr
Z' = YTt KPsin cp + ZT cos cp = 2acr.s2m sin cp cos cp A — r2m) q^ . A2.3.29)
Аэродинамическая интерференция 155
Рассмотрим нормальную силу и центр давления несущей консоли,
обусловленные креном. Для правой треугольной консоли величина
этой силы,_определяемая вторым слагаемым в A2.3.25), которое
обозначим [ДрКр(т)Ь> равна
(т) = <7оо fj [ЛрКр(т)]Ар. A2.3.30)
Из рис. 12.2.3 видно, что элементарная площадь консоли
dSKV = dzdx = dzds/tge.
В соответствии с этим значением и с учетом A2.3.25) для второго
слагаемого имеем
Производя вычисление второго интеграла, получаем
ДУкр (т) = 22_ \ г [ 1 Н 11 arch
A2.3.300
Дальнейшее интегрирование осуществляется численным методом.
Введем коэффициент интерференции, вычисляемый в виде
К? = ДУкр (т) tge /(Укрр), A2.3.31)
где Ккр — нормальная сила одной треугольной изолированной
консоли.
В соответствии с A2.2.80)
С учетом приведенных выражений коэффициент
К9= 2 f г A + JL) A -И? arch ^ ~(" *.
A2.3.32)
Как показывают расчеты, коэффициент К<? можно принять
одинаковым для консолей различной формы и рассматривать функцией
Глава двенадцатая
156
0;Б
0,4
\
\
0,1
0,5
0,8 Гт
Рис. 12.3.2 Коэффициенты
интерференции при крене для плоской и
крестообразной комбинаций
только отношения rm = rlsm. Эти значения, полученные численным
интегрированием, представлены в табл. 12.3.2 и на рис. 12.3.2 в
функции отношения гт. Сила, характеризуемая коэффициентом К<? >
зависит, как видно из A2.3.23), от суммарного воздействия поля
скоростей wa и w$, вызванных наличием углов атаки и скольжения.
Согласно A2.3.31), величина этой силы
ду . . К V R'ftfp no ^ ^Q\
LSI кр (т) — *\ :р * Kpl/ *-© * > \IZ.O»OOJ
а соответствующий коэффициент
Ас^р (т) - АУкр (т) /(^Skp) = К9 c^pCzP/tge . (^.З.ЗЗ7)
Г Продольная координата центра давления консоли, отсчитываемая
от носка бортовой хорды, определяется из условия
(*д)<р кР (т) = — АМ2Кр (т) /АУкр (т), A2.3.34)
где дополнительный момент тангажа, обусловленный креном,
sm sm
AM2kp(t) =тт^ Г dz Г [Aj9Kp(T)]esds. A2.3.35)
r z
Расстояние от оси симметрии корпуса до центра давления в
поперечном направлении вычисляем из выражения
Bд)<ркр (т) = — АМ*кр (т) /АУКр (т), A2.3.36)
где дополнительная величина момента крена при скольжении
Шх
(т)
«Т^1 f zdz \ tA/?KP(T)]?ds. A2.3.37)
tg? J J
По значениям обеих координат центра давления, найденным в
результате численного интегрирования, подсчитываем коэффициенты
Аэродинамическая интерференция
157
центра давления:
(гд)<рКр(т) =
= [(*д)сркР (т) ]/Ь0;
д)9кр (т) — r]/(sm — г).
(IZ.o.oo)
Эти коэффициенты приведены в табл. 12.3.2. Их можно
использовать для определения момента крена и изгибающего момента в
корневом сечении консоли в зависимости от угла крена. Здесь не
рассматриваются нагрузки, действующие на корпус при крене. Эти
нагрузки, имеющие, как и для крыла, асимметричный характер,
практически не оказывают влияния на нормальную силу, момент и,
следовательно, на положение центра давления комбинации.
Таблица 12.3.2
г
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Плоская комбинация
к9
0,637
0,687
0,681
0,649
0,597
0,529
0,447
0,352
0,249
0,128
0
(Гд)сркр(т)
0,667
0,667
0,677
0,688
0,699
0,709
0,719
0,729
0,736
0,744
0,750
Bд)<ркр(т)
0,524
0,518
0,531
0,546
0,560
0,575
0,588
0,601
0,614
0,616
0,637
Крестообразная комбинация
к9
0,382
0,447
0,490
0,508
0,502
0,471
0,417
0,342
0,244
0,127
0
(Гд)сркр(т)
0,667
0,654
0,660
0,673
0,687
0,700
0,714
0,725
0,734
0,743
0,750
(гд)©кр(т)
0,556
0,532
0,530
0,540
0,554
0,569
0,585
0,598
0,612
0,625
0,637
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ СИЛ И МОМЕНТОВ
ПЛОСКОЙ КОМБИНАЦИИ ПРИ КРЕНЕ
Коэффициент продольного момента (иначе, коэффициент
шарнирного момента), определяемый относительно поперечной оси,
проходящей через вершину консоли (точка D на рис. 12.2.5),
(Т)
tg*
¦]•
(*д)то(т) ,A2.3.39)
где
а = ас cos <р, Ьо = Ь0/хк.
Так как при крене дополнительная нормальная сила от обеих
консолей не возникает, то, очевидно, суммарный коэффициент этой силы
(в направлении оси Оу, рис. 12.3.3)
= У
г. кР
/(
= V +
+ * кр) а. A2.3.40)
Глава двенадцатая
158
/772*
Рис. 12.3.3 Коэффициенты сил и
моментов, действующих на плоскую
комбинацию при крене
С учетом этого значения коэффициент момента тангажа,
рассчитанного относительно носка корпуса,
?кра, A2.3.41)
где mzT — коэффициент момента тангажа корпуса, рассчитанный в
плоскости угла атаки а по площади консолей SKp и длине #K; b =
= bJxK\ #кр = xKV/xK (см. рис. 12.2.5).
В соответствии с A2.3.40) и A2.3.41) вычислим коэффициент центра
давления, являющегося точкой приложения суммарной нормальной
силы Yr
т.кр*
/г
_ ., ~v у т, кр '
A2.3.42)
Коэффициент поперечной силы (в направлении оси z) находится
при условии, что эта сила создается только корпусом в результате
его обтекания со скоростью —Коо|3 и не зависит от наличия крыла
нулевой толщины, которое не оказывает влияния на это обтекание.
В соответствии с этим
с2ТгКр=схт. A2.3.43)
Так же как и боковая сила, момент рыскания в плоскости угла
скольжения создается только корпусом. Коэффициент этого момента
tnh
A2.3.44)
где производная myt = —/п2Т.
Очевидно, для рассматриваемой комбинации коэффициент центра
давления поперечной силы такой же, как и для изолированного
корпуса, т. е.
_ (у \ /у m Ir (\ 9 3 А^\\
Аэродинамическая интерференция 159
Увеличение нормальной силы и ее снижение на ту же величину
соответственно на правой и левой консолях при скольжении
вызывают момент крена, коэффициент которого
тхт кр = г^-<кра|3 | (г~)<ркР(т) + zr-^—1 i2L—L- A2.3.46)
Зная аэродинамические характеристики относительно осей у и zr
можно определить соответствующие их значения относительно осей
у' и г'. Согласно рис. 12.3.3, коэффициент нормальной силы,
действующей в направлении оси у\
VT,KP = ^T,KpC0SCP-^Tsincp. A2.3.47)
В этом выражении в соответствии с A2.3.40) можно принять
WP = VoCos<p + c?Kp(*T+/C,p)acosT. A2.3.48)
Полагая также, что
с*т = - c*J = - с*рв sin cp, A2.3.49)
из A2.3.47) получаем
V т. кр = с>с + ^кр(/Ст + *жр) ac cos2 ср. A2.3.47')
Коэффициент поперечной силы в направлении оси г'
*«'TfKP=C,,T,KpSin? + *2TC0S<p. A2.3.50)
Внося в A2.3.50) значения сут{к?) и czT из A2.3.48) и A2.3.49),
находим
<v т, кР = с1кР (*г + ^кр) схс sin ? cos ср. A2.3.50^
Имея коэффициенты нормальной и поперечной сил A2.3.47') и
A2.3.50'), а также зная расположение соответствующих центров
давления для консолей и корпусов, можно найти коэффициенты
продольного момента и момента рыскания относительно поперечных осей
у' иг', проходящих через носовую часть.
Коэффициенты сил сут и czT, а также момента т2Т, создаваемых
носовой частью корпуса, вычисляют по линеаризованной теории для
изолированного корпуса.
§ 12.4.
Крестообразная комбинация
ДАВЛЕНИЕ И НОРМАЛЬНАЯ СИЛА
Рассмотрим аэродинамические коэффициенты крестообразной
комбинации в виде кругового цилиндра и плоских консолей нулевой
толщины, обтекаемой слабовозмущенным (линеаризованным) сверх-
Глава двенадцатая
160
Рис. 12.4.1
нация
Крестообразная
комбизвуковым потоком (рис. 12.4Л). Примем, что вертикальные консоли
имеют такую же форму в плане и полуразмах, как и горизонтальные.
Одновременно исходим из предположения, что наличие вертикальных
консолей не влияет на характер обтекания комбинации в
продольной плоскости хОу под углом атаки а = accos<p > так же как наличие
горизонтальных консолей не влияет на аэродинамический спектр
обтекания, получаемый при изменении угла |3 =acsincp.
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к решению
двух самостоятельных задач, одна из которых связана с отысканием
поля скоростей для плоской комбинации «корпус — вертикальное
крыло», установленной под углом а, другая — с определением поля
скоростей плоской комбинации «корпус — горизонтальное крыло»,
имеющей угол |3. В результате сложения полей получается
суммарный поток около крестообразной комбинации, повернутой на угол
тангажа ас и угол крена ф.
В соответствии с этим суммарные значения скоростей возмущения
определяются формулами A2.3.5), а коэффициент давления —
соотношением A2.3.7). Коэффициент перепада давления на корпусе
находим из выражения A2.3.13), в котором составляющие &aH, aw, яан
определяем соответственно по формулам A2.2.22), A2.2.24) и A2.2.25),
полученным для плоской комбинации при условии, что в этих
формулах a = accos(p.
Для определения составляющих w^ и v^ воспользуемся выражением для
комплексного потенциала плоской комбинации, обтекаемой в поперечном
направлении со скоростью CVoo. Это выражение находим следующим образом. По
аналогии с A2.2.18) получаем формулу для комплексного потенциала при
обтекании круглого цилиндра радиусом го в плоскости С = S + 1Ц:
A2.4.1)
Затем по аналогии с A2.2.16) получаем уравнение
A2.4.2)
в котором го = 0,5(s + r2/s).
Можно убедиться в том, что при помощи этого уравнения осуществляется
Аэродинамическая интерференция 161
конформное преобразование круга радиусом го в контур, состоящий из круга
радиусом г и пары вертикальных консолей с размахом ±s и получающийся в
результате пересечения комбинации «корпус — крыло» с плоскостью yOz.
Решая относительно С квадратное уравнение A2.4.2), имеем
=0,5 [а - г2/а + У (а - г2/аJ + 4rg ]. A2.4.3)
С
В результате подстановки этой величины в A2.4.1) находим комплексный
потенциал:
IF = -РУво [("-'а/*>1+ 4го]7а. {\2ЛЛ)
Чтобы найти полную величину комплексного потенциала, к A2.4.4) надо
прибавить потенциальную функцию потока, параллельного оси z, равную
pVootf. В результате полный комплексный потенциал
Vp = -PV» {[(«-г»/»)»+*$*'¦-а}. 02.4.5)
Продифференцируем это выражение по о*:
,12.4.6,
Для поверхности корпуса при условии, что с = re* ,
) — i Sin 28)
[2r sin 8 A -f- cos 28 — i
( 4^ — 4r2 sjn2 0^
A2.4.7)
Отсюда
t O#- cin ft oin Oft \
A2.4.8)
[(S + /-2/sJ — 4r2 Sin2 ejVa —
Г7-- 02-4-9)
Подставим A2.4.8), A2.4.9), A2.2.22), A2.2.24) и A2.2.25) в формулу
A2.3.13). Имея в виду при этом, что rcos0 = г, находим
ГЛ r2 Y *V'\I гМ2г2Т/ ' A2'4Л0)
Первое слагаемое этого уравнения содержит члены, пропорциональные
производным dr/dx и ds/dx, которые характеризуют соответственно влияние
изменения радиуса корпуса и полуразмаха консолей. Однако обе эти
производные не оказывают влияния на второе слагаемое, обусловленное скольжением
6—708
Глава двенадцатая 162
и движением тангажа. Этот член взаимодействия, пропорциональный
произведению ар, определяет возрастание коэффициента перепада давления на правой
половине корпуса. Величина этого коэффициента уменьшается на такую же
величину на левой половине корпуса. Это следует из формулы A2.3.13), в
которой составляющую v^H и надо взять для левой половины корпуса с обратным
знаком, что приведет к появлению отрицательного знака перед вторым
слагаемым в A2.4.10).
Для определения коэффициента перепада давления на правой
горизонтальной консоли воспользуемся формулой A2.3.23), в которой составляющие
скорости «ан, Wan, и wtH находят соответственно из выражений A2.2.34), A2.2.35)
и A2.2.43). Составляющую w^H находим из соотношения A2.4.6), приняв в нем
cr = z:
\[B-r4z)*+(s + r4sY]U j
ш,—»,.\ г"Г;"> „ -.]¦ (I..4.IQ
В результате соответствующих подстановок
(т) = 4а
В соответствии с этой формулой избыточное давление на правой консоли
при ее движении вниз возрастает, а на левой консоли убывает на ту же
величину.
Коэффициент перепада давления на верхней и нижней консолях можно
определить из соображений симметрии, используя зависимость A2.4.12), в которой
z следует заменить на у и осуществить перестановку углов а и р. В соответствии
с этим для нижней консоли
_
[¦¦*-*(¦¦ ЯГ
»2 / Г4 \2
4аЗ-^- 1 —
' S2 \ t/4 /
+ Т. .. ,. ... , ' ,„„ • A2-4Л2)
Углы аир принимаем положительными. Давление на верхней консоли
определяется по той же формуле A2.4.13) при условии, что угол р принимаем
положительным, а а — отрицательным. Второй член cap (член взаимодействия)
асимметричен для нижней и верхней консолей. Наличие асимметричного члена
(в 12.4.12) и A2.4.13) приводит к тому, что хотя нормальная сила на консолях
и возникает, однако вследствие асимметричности нагрузки дополнительная
нормальная сила не создается.
Аэродинамическая интерференция 163
Имея в виду, что суммарные нормальные силы на консолях не зависят от
членов взаимодействия, полную нормальную силу, действующую на
комбинацию «корпус — крестообразное крыло» при наличии скольжения, можно
найти путем суммирования сил, действующих на две плоские комбинации
«корпус — крыло», установленные в потоке под соответствующими углами
И p=
По аналогии с A2.3.26) нормальная сила в направлении оси Оу,
действующая на комбинацию «корпус — горизонтальные консоли»,
YT, кр = 2aKS2m(l — г2т + г4т) (/со. A2.4.14)
Нормальная (поперечная) сила, действующая на комбинацию
«корпус — вертикальное оперение», в направлении, обратном
положительному направлению оси Oz,
ZT.Kp = -2P<(l-^ + r4m)9oo . A2.4.15)
Нормальная (поперечная) сила в направлении оси Оу'
(см. рис. 12.3.1)
У = Ут. Kpcos <р — ZT, Kpsin cp = 2acTzs2m <7oo A — r2m + r4m) cos2 <p +
+ 2<*с< Я„ A - ri + r*m) sin* cp = 2ac< A - r>m + г*я) Яоо. A2.4.16)
Нормальная (поперечная) сила в направлении оси Ог' равна
нулю. Действительно,
Z' = YT, кр sin <р + ZT> кр cos ср = [2ас< Чдо A - ^ + г*т) -
-2ao*u^(l-r2m + r*m)]sin?coscp = 0. A2.4.17)
Полученные результаты указывают на одно важное свойство
крестообразной комбинации: при повороте летательного аппарата,
т. е. при наличии скольжения, нормальная сила в вертикальной
плоскости, параллельной набегающему потоку и проходящей через
продольную ось аппарата, не изменяется.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
И ЦЕНТРА ДАВЛЕНИЯ
Вычислим нормальную силу и центр давления консоли,
обусловленные креном. В соответствии с выражением A2.3.30), в котором
[Д/?Кр(Т)]ср определяется вторым слагаемым в A2.4.12), получим
j dz j №р wi, ds=
Sm
X
Г Z2(i_ll\2dz С
6*
Глава двенадцатая
164
Введем обозначения _ _
s =52/г2, 7=z2/r2,
в соответствии с которыми
A2.4.18)
где zm=sm=s2jr*. Интегрируя по s A2.4.19), получаем
A2.4.19)
sm
7
где F? и F2 — эллиптические интегралы второго рода:
A2.4.20)
вычисляемые при условии, что
-/¦
A2.4.21)
В соответствий с полученным результатом
дУкр(т) =
sin cp cos cp
/2 tg
J
K/2
A2.4.22)
Для определения нормальной силы по A2.4.22) необходимо
применить численное интегрирование. По найденному значению
нормальной силы можно вычислить коэффициент интерференции, используя
зависимость A2.3.31): _
AKKp(T)tge I p 3/
д
sOT —
A2.4.23)
Аэродинамическая интерференция 165
Результаты расчета величины К<? приведены в табл. 12.3.2 и на
графике (см. рис. 12.3.2). По таблице или графику можно найти
разность между значениями /Сер для плоской и крестообразной
комбинаций, которая характеризует взаимную интерференцию несущих
консолей. Наличие вертикальных консолей в крестообразной
комбинации снижает эффект интерференции по сравнению
с плоской комбинацией и уменьшает коэффициент К<?,
Используя формулы A2.3.34) — A2.3.38), можно определить
положение центра давления на консолях крестообразной комбинации.
Соответствующие результаты приведены в табл. 12.3.2. Из
сравнения данных для плоской и крестообразной комбинаций видно, что
практически центры давлений в обоих случаях совпадают.
Сравнение данных с результатами, полученными при отсутствии
крена (см. табл. 12.2.1), показывает, что для сил, вызванных креном,
наблюдается большее смещение центра давления, чем для
интерференционных сил, возникающих при а ф 0, р = 0 (ф = 0).
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ СИЛ
И МОМЕНТОВ
Полученные зависимости для коэффициентов интерференции и
центров давления позволяют рассчитать коэффициенты сил и
моментов, действующих на крестообразную комбинацию (см. рис. 12.4.1).
При исследовании влияния крена на интерференцию между
корпусом и крылом установлено, что угол крена создает
дополнительные асимметричные нагрузки на правую и левую половины корпуса,
а также на противоположные консоли и не вызывает, следовательно,
дополнительной нормальной ( поперечной) силы. Поэтому обтекание
корпуса можно рассматривать как результат сложения потоков,
получаемых при углах а = accoscp и 0 = acsincp. Возникающие при
этом силы также суммируются.
В соответствии с этим коэффициент нормальной силы с^кр
(в плоскости угла а) определяется формулой A2.3.40), а коэффициент
поперечной силы (в плоскости угла fl) — аналогичным выражением
Wp = W(?oAp) = c2T + c?Kp(tfT + /CKP)|3, A2-4.24)
где с„ = -<-,& ^р = -
Коэффициент момента тангажа в плоскости угла а находят по
формуле A2.3.41), а коэффициент момента рыскания (в плоскости
угла р) — по аналогичной зависимости
тУт, кР = ту т — |/Ст [(сдI3т (кр)&о + *кр] +
+ *кр [(*д)р кр (T)Fo + *кР1} cl кр р, A2.4.25)
Глава двенадцатая 166
в которой ту т = — т\тр ; (сд)рт (кр) = (сд)ат (кр) ; (сд)ркр (т)=(сд)акр (т);
В а
^2 КР СУ Кр •
Определив моменты и нормальные силы, можно вычислить
соответствующие коэффициенты центра давления для условий обтекания
в плоскостях а и р. В рассматриваемом случае аэродинамически
симметричной крестообразной комбинации эти коэффициенты одинаковы
и будут такими, как для плоской комбинации.
Из сравнения данных для плоской и крестообразной комбинаций
видно, что практически центры давления дополнительных сил,
вызванных креном, в обоих случаях совпадают. Сопоставление с
результатами, полученными при отсутствии крена, показывают, что при
скольжении происходит большее смещение центра давления.
Рассмотрим коэффициент нормальной силы в плоскости угла ас-
На основании формул A2.3.47) — A2.3.49), A2.4.24) и значения
су т. кР = 4кР (КТ + *,р) о0. A2.4.26)
В соответствии с A2.4.17) коэффициент поперечной силы
с2'Т>кр =0. Суммарный момент крена крестообразной комбинации
также равен нулю, так как вертикальные консоли создают такой же
по величине момент крена, как и горизонтальные, но обратный по
направлению.
Напомним, что рассматриваемые в данной главе задачи решаются
в рамках линеаризованной теории для тонких тел, аэродинамические
характеристики которых не зависят от числа М<х> и, кроме того, не
учитывается эффект от вязкого обтекания. Если же исследуются
«нетонкие» тела даже в рамках указанной теории или учитываются
вязкие свойства, приводящие к отрыву потока, то возникают поперечная
(нормальная) сила и момент крена, обусловленные
перераспределением давления.
Крылья или оперение могут располагаться на корпусе таким
образом, что за ними сохраняется хвостовой участок корпуса некоторой
длины. В связи с этим необходимо отметить, что для тонких
комбинаций длина корпуса за крылом не оказывает влияния на
нормальную силу и положение центра давления корпуса. Это объясняется
тем, что согласно аэродинамической теории тонкого тела нагрузка,
индуцируемая крылом, распространяется на корпус в направлении
диаметра DD (см. рис. 12.2.5) и, следовательно, площадь, на которую
переносится нормальная сила, расположена непосредственно под
консолями (на рис. 12.2.5 — заштрихованный участок).
ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ НА АЭРОДИНАМИЧЕСКУЮ
ИНТЕРФЕРЕНЦИЮ
Результаты расчета коэффициентов интерференции для
комбинаций, включающих тонкие корпуса и консоли, можно положить в
основу метода определения нормальной силы летательных аппаратов,
Аэродинамическая интерференция 167
состоящих из нетонких элементов. Этот метод состоит в том, что
аэродинамический коэффициент для таких конфигураций вычисляют по
коэффициенту интерференции, найденному из теории тонкого тела
(см. табл. 12.2.1 и 12.3.2), и аэродинамическому коэффициенту
изолированного крыла, взятому по линеаризованной теории. В
соответствии с этим методом добавочные коэффициенты нормальной силы,
обусловленные интерференцией,
*tSkp- A2.4.27)
Здесь cyKV определяется с учетом влияния числа Моо по
линеаризованной теории обтекания крыла.
Коэффициенты интерференции можно вычислять до значений Moo ^
^1 -г- 1,5 по приведенным выше соотношениям без учета
сжимаемости, принимая во внимание их изменение лишь в зависимости от
сужения консолей крыла, толщины пограничного слоя и места
расположения по длине корпуса.
По мере возрастания скоростей обтекания все в большей мере
проявляется зависимость интеференции от сжимаемости. Зту зависимость
можно выразить, в частности, через изменение относительной
толщины вытеснения пограничного слоя б* = 8*/г в A2.2.76) от числа
Моо в соответствии с A3.6.23').
На коэффициент интерференции также оказывает непосредственное
влияние сжимаемость, которую можно учесть при помощи
поправочного множителя
vM = /Сир/(/СКр)Теор = * т/(* т)теор = е°*°5 О-"-), A2.4.28)
пригодного для Моо<5. При помощи A2.4.28) уточняются значения
коэффициентов интерференции A2.2.78):
#кр = (^кр)теор 7п.с?н! #т = (^т)теор Vn.cVM- A2.4.29)
Отмечено, что для тонких комбинаций длина корпуса за крылом
не оказывает влияния на нормальную силу и положение центра
давления. Однако для нетонких комбинаций такое влияние может
оказаться существенным.
В отличие от тонкой конфигурации, для которой нагрузка,
индуцируемая крылом, распространяется на участок корпуса,
расположенный непосредственно под крылом, в случае нетонкого тела еслны
возмущения, идущие от крыла, распространяются на некоторую сб-
ласть корпуса за этим крылом. Для каждой консоли эта область
расположена между винтовыми линиями /—/ и 2—2, выходящими из
начала и конца бортовой хорды и пересекающими образующие
корпуса под углом Маха ^ = arcctg VwL — 1 (рис. 12.4.2).
Упрощенно такую область можно рассматривать как участок плоской
поверхности, ограниченной на корпусе прямыми линиями Маха,
выходящими из точек передней и задней кромок крыла (на рис. 12.4.2, а
Глава двенадцатая
168
1
/ А Ч.
~*^ШШ^ь&> ...
А \<
2
*хв
?'
Рис. 12.4.2 Область влияния
крыла на корпус в случае
нетонкой конфигурации,
обтекаемой сверхзвуковым
линеаризованным потоком:
а, б — плоские модели конфигураций
с хвостовой частью соответственно с
кривыми (спиральными) и прямыми
линиями Маха; в — модель без
хвостовой части с прямыми линиями Маха
линии 1—Г, 2—2'). Если длина корпуса ххВ за крылом достаточно
велика {ххв> xt =2r у Ml — 1, то эффект интерференции
наибольший и, следовательно, индуцируемая крылом нормальная сила
переносится на корпус полностью. В случае короткого хвостового
участка (ххв<С xt) часть этой силы не реализуется, так как размеры
области переноса нормальной силы на корпусе сокращаются. В
результате коэффициент интерференции Кт уменьшается. Его значение
можно вычислить при помощи формулы
vu.cv/vMF, A2.4.30)
где
а $i(Zi) и ^te) — функции Лапласа — Гаусса,
соответствующих таблиц по аргументам:
A2.4.31)
определяемые из
-1 =
= z<
*хв
Параметр d в A2.4.31)
d = 0,866[(V**JD + 1/Лкр) 0 +
A2.4.32)
A2.4.320
В приведенных зависимостях величина xt может выбираться
равной xt = 2ry ML — 1 или (для несколько большей точности
расчетов) xt =nry м1о — 1 (в предположении спиральной линии Маха).
Коэффициент интерференции /Ст> координату центра давления на
корпусе с учетом влияния сжимаемости, длину хвостового участка
корпуса и сужение консоли можно определить непосредственно, если
рассмотреть область переноса нормальной силы в виде участка
плоской поверхности (рис. 12.4.2).
Здесь течение рассчитывают, как поток около изолированного
треугольного крыла полубесконечного размаха. В соответствии с
Аэродинамическая интерференция
169
Рис. 12.4.3 Плоская модель
для расчета нормальной силы
с учетом интерференции
между крылом и корпусом
(8.3.31) коэффициент перепада давления, индуцированного крылом
со сверхзвуковой передней кромкой на участке между линиями Маха,
исходящими из начала и конца корневой хорды (рис. 12.4.3,
заштрихованная область), равен
те ya'2tg2e— 1
«' (tg ? + VS)
, A2-4.33)
где aKp — угол атаки крыла; ц, I — обозначения координат,
показанных на рис. 12.4.2 и 12.4.3.
Перепад коэффициента давления, индуцированного крылом с
дозвуковой передней кромкой, имеет вид (см. [48])
\3/2
*a'(a'tge+l)
f 1-ауГ
A2.4.34)
Формулы A2.4.33) и A2.4.34) применимы для условий, при
которых линия Маха, выходящая из точки. Л боковой кромки, проходит
за точкой С задней кромки, расположенной на корпусе, т. е. боковая
кромка не оказывает влияния на область переноса нормальной силы.
Эти условия выполняются (рис. 12.4.3), если
— г)
1 +
1.
A2.4.35)
Для комбинации с хвостовым участком элементарная нормальная
сила, действующая на участок корпуса под крылом,
dY = Apq^d^dl, A2.4.36)
где drjdg — элементарная площадь участка корпуса (рис. 12.4.3).
Коэффициент нормальной силы, отнесенный к площади двух
изолированных консолей, равен:
Глава двенадцатая
170
2<x'r/b0
<5) А
7
6
5
Ч
3
2
i
О
/ч
0,6
0,1
¦^
—*—
дс=
— —
¦^^
¦**«^.
"--^
—-*.
^=
¦ »
— —
•ав.
— —
— —
——.
¦Нам
=
— -
— —
¦ ¦
¦ и,
¦вааШ
— —
——
-«в
-аа_
¦¦¦¦1
20i'r/b0
Рис. 12.4.4 Кривые, характеризующие коэффициент интерференции Кт,
рассчитанный для плоской конфигурации «корпус — крыло»:
а — корпус без хвостовой части; б — корпус с хвостовой частью
для сверхзвуковой стреловидной кромки
Ас
У т (кр)
(S)
- Г)
8*кр^е
* У а'2 tg2 б — 1 ( sm - 1) A + bKlb0) rb0
X
г Ь0+а'ц
с с
X \ dr\ \ arccos
О а'ъ
«'(tge +
A2.4.37)
для дозвуковой стреловидной кромки
16 (a' tg zf'2 а
кр
^т(кр)
( Sm - 1) A + V&0) («' tg « + О w'rft.
X
J /^
A2.4.38)
Для конфигурации без хвостовой части корпуса за крылом
нормальную силу следует рассчитывать при помощи тех же формул
A2.4.37) и A2.4.38), но с условием, что в качестве верхнего предела
второго интеграла следует брать вместо Ьо + at) значение Ьо.
Коэффициент интерференции /Ст для рассматриваемой плоской
модели вычисляют по формуле A2.2.11), в которой cyKV> определяют
по линеаризованной теории для изолированного крыла (см. § 8.1).
По аналогии с определением нормальной силы можно вычислить
продольный момент сил, индуцированных крылом на корпусе,
относительно оси, проходящей через вершину консоли, а затем найти
соответствующую координату центра давления:
Аэродинамическая интерференция
171
Рис. 12.4.5 Координаты центра
давления, рассчитанные для
плоской конфигурации «корпус —
крыло»:
а _ корпус без хвостовой части; б —
корпус с хвостовой частью
б) ' О 0,4- 0,в 1,2 1,6 2,0 2(х'г/Ь0
у
у*
_J
С
-
--о
г
1
1
0,5
а^. .
0 \и 0,8 1,2 1,6 2,0 2ocr/tQ
/х ч *тг т (кр) __
^^т (кр)
т] I \&pd?l\d4\ \ &pd%> A2.4.39)
а'т] / 0 a't)
По этой координате определяем коэффициент центра давления:
VWa т (кр) = \XJUa т (кр)'^О •
Соответствующие вычисления произведены для летательных
аппаратов с участком корпуса за крылом и без него (см. рис. 12.4.2).
Результаты этих вычислений, приведенные на графиках,
изображенных на рис. 12.4.4, указывают на увеличение коэффициентов
интерференции /Ст у летательного аппарата с участком корпуса за крылом.
Наличие этого участка (рис. 12.4.5) приводит также к смещению
центра давления в более заднее положение, которое слабо зависит от
угла стреловидности консоли.
Данные, приведенные на рис. 12.4.4, а и 12.4.5, а, относятся к
комбинации «корпус — крыло» без хвостовой части (ххв =0), а
на рис. 12.4.4,6 и 12.4.5,6—с участком корпуса, длина которого
не меньше хг (т. е. ххв > xt =2rV Nllo— 1). Для более короткого
участка (л;хв<; xt) коэффициенты интерференции и центра давления
можно определить при помощи линейной интерполяции:
+
15 A2.4.40)
(кр) о] *хв/*1 . A2.4.41)
(Сд)ат (кр) = (Сд)ат (кр) 0 + К^ат (кр) i ~
где с индексами 0 и i параметры, соответствующие длинам хвостового
участка корпуса jcxb=Oh ххв = хг = 2rVV&> — 1. Коэффициенты
интерференции определяем из общего выражения
Х + ^^(^-ОГ1, A2.4.42)
Глава двенадцатая - 172
где А находим из графиков (рис. 12.4.4, 12.4.5). Согласно этим
графикам, с увеличением a'tge возрастает коэффициент интерференции.
Противоположный эффект наблюдают при возрастании величины
2aV/*0-
Влияние хвостовой части усиливается по мере роста числа М™,
так как вследствие увеличения угла конусов Маха все большая
площадь переноса оказывается расположенной внутри этих конусов,
вершины которых совпадают с точками пересечения задней кромки
оперения и образующей корпуса.
ВЛИЯНИЕ ТОРМОЖЕНИЯ ПОТОКА
Аэродинамические расчеты комбинации «корпус — оперение»,
рассмотренные выше, осуществлены в предположении, что крыло находится з условиях
обтекания потоком, практически не отличающимся от невозмущенного.
Соответствующий скоростной напор вычислен по параметрам этого потока, т. е.
q = <7оо= ^рооМ^/2. Такому значению скоростного напора соответствуют все
аэродинамические коэффициенты.
Действительное обтекание характеризуется торможением потока перед
крылом, которое необходимо учитывать при определении аэродинамических
параметров. Степень такого торможения можно охарактеризовать средним
коэффициентом торможения kx = qiqoo, для которого скоростной напор q = kpM?{/2
находят по некоторой осредненной величине числа Мх возмущенного потока
перед крылом. Полагая давления в возмущенном и невозмущенном потоках
одинаковыми (р = роо), средний коэффициент торможения можно выразить
зависимостью kx = Mj/M^. Изменение этого коэффициента пренебрежимо
мало при дозвуковых скоростях и оказывается существенным в случае
обтекания с большими числами Моо. При этом величина kx зависит от характера и
интенсивности скачков уплотнения, возникающих перед головной частью.
Если крыло находится на расстоянии хКр > A,5 -f- 2)#мид от носка
головной части, имеющей вид конуса с полууглом при вершине Рк <. рк.кр (где
Рк.кр — критическая величина полуугла), то kt можно определить из условия,
что давление перед крылом р = /?<». Этому давлению соответствует величина
квадрата числа Маха
где р'о — давление торможения за косым скачком. Отношение Р01роо можно
принять равным (р0/ро)ро1роо, выразив его, как видно, через давление изэнтро-
пического торможения. Обозначив vo = р$/ро, получим
А_ / Lzl. 2V/(ft"')
В соответствии с этим
Г / и , Л 1
A2.4.44)
Аэродинамическая интерференция 173
Отношение давлений торможения находят при помощи формулы A0.2.26)
или приближенного соотношения (см. [13])
1 \(k+\)/(k-\) l ?2 \k/(k-\) / k— 1 \-k/(k-\)
-) [ i + [(k-1)/2]* J Г2" ~T~J
A2.4.45)
в котором
^ ^i^y'2 A2.4.46)
Если головная часть отличается от конической, то коэффициент
торможения можно рассчитывать следующим образом. Сначала находим для заданной
головной части по соответствующим аэродинамическим зависимостям
коэффициент волнового сопротивления схв, затем при помощи аппроксимирующей
формулы A0.2.31) вычисляем соответствующий угол полураствора рк условной
конической поверхности, которой заменяем заданную головную часть. Затем
подсчитываем величину MoosinpK, по которой находим параметры х, \>о и
коэффициент kv Этот коэффициент позволяет уточнить аэродинамические
характеристики, вычисляемые с учетом интерференции. Например, коэффициент нормальной
силы комбинации «корпус — крыло» определяется в виде
сут, кр = «„т + (^т + Ккр) cyKpku A2ЛА7)
где Сукр целесообразно вычислять по линеаризованной теории. При этом такое
вычисление можно производить не по числу Моо, а по уточненному
значению Mi <C Моо.
§ 12.5.
Влияние формы крыла и числа Мое
на параметры обтекания при крене
НОРМАЛЬНАЯ СИЛА
В формуле A2.3.33') производную ^кр можно вычислять по
линеаризованной теории, что позволяет учесть в определенной степени
влияние на нормальную силу при крене числа Моо, а также формы
оперения. Однако, как уже указывалось, коэффициент интерференции К?
не зависит от этих факторов и, следовательно, формула A2.3.33')
не отражает полностью всех особенностей обтекания оперения при
крене. В частности, по этой формуле знак дополнительной нормальной
силы не изменяется, хотя, как показывают более точные расчеты,
такое изменение происходит. Например, при некоторых углах
стреловидности нормальная сила действует в противоположном
направлении. Этот недостаток линейной теории может компенсироваться путем
применения зависимости (рис. 12.5.1)
А^кр(т,=^х = ^кр*кр*1, A2.5.1)
Глава двенадцатая
174
Рис. 12.5.1 Силы, действующие при
крене
в которой коэффициент нормальной силы изолированной консоли
-В{ + 0,5S2
- 1)] • A2.5.2)
Здесь Вг и В2 — коэффициенты, являющиеся функциями
параметров А,кр у NUo — 1 и A,Kptg)o/2 (рис. 12.5.2). Из A2.5.2) видно,
что при малых углах стреловидности (tgxi/2 << 1)и достаточно
больших числах Моо (при которых Вх = 1, В2< 0) знак нормальной силы
может измениться на обратный.
Площадь SKP(K) в A2.5.2) вычисляется для изолированных
консолей с учетом их подкорпусной части; величина tgxi/2
представляет собой тангенс угла стреловидности по линии половины хорд
(см. рис. 12.5.1).
Полученные соотношения для нормальных сил, создаваемых при
крене горизонтальными консолями оперения, можно отнести как к
плюсобразной форме стабилизаторов, так и к комбинации «корпус —
крыло». При этом в случае плюсобразного оперения симметричные
вертикальные консоли создают поперечные силы, аналогичные
нормальным силам горизонтальных несущих поверхностей. Так как для
вертикальных консолей углом скольжения является а, а углом
атаки — (—р), то при любом сочетании этих углов сгг = —сУГ В
соответствии с этим нормальная и поперечная силы, действующие на
нижнюю и верхнюю консоли, направлены навстречу друг другу (см.
рис. 12.5.1).
МОМЕНТ
Зависимость A2.3.46), полученная на основе аэродинамической
теории тонкого тела, применима для треугольных консолей,
обтекаемых при небольших числах Маха (Моо ^ 1). Существенный недоста-
Аэродинамическая интерференция
175
ЬкРЬдх1/г=О
s
/
N
j
2
б/
ол
/
/
/
/
/
у
/
г s
•
5
.—
7iHptgXi/z=0
"X
./
-2
•3
•4
7
\ л// - М2 2 / 0 / 2 J 4 а ,/м2-/
Як
00*"
ptgx1/z=4
¦4-
•J-
ak/;V/-mL
J>
2^.
2
*—*
/
о,ъ
0
1
3
2
/
>
2
\
\
ч
\
ч
ч
S
4
Якрл/Ml
5
=
¦9В
F
Рис. 12.5.2 Графики для определения коэффициентов Вх и ?2
ток этой зависимости состоит в том, что она не отражает возможности
изменения знака момента крена при изменении числа Моо и формы
консоли. Используя значение коэффициента нормальной силы A2.5.1),
можно получить формулу, которая позволит установить
соответствующее изменение знака этого момента:
mxl=Mxx/(qooSKp{K)lKV)==
= ~0,5A^Kp/(Kp[rw + (l — гт)(г"д)?кр(т)], A2.5.3)
где /кр = 25т — размах крыла, Асук1> — коэффициент нормальной
силы, определяемый по A2.5.2).
Из A2.5.2) и A2.5.3) видно, что при малых углах стреловидности
(tgXi/2 <S 1) и достаточно больших числах Моо (Вх « 1, В2< 0) знак
момента может стать положительным, что указывает на возникновение
дестабилизирующего момента при накренении.
При наличии прямолинейной боковой кромки возникает
дополнительный момент крена, что способствует повышению поперечной
статической устойчивости. Это обусловлено тем, что такая кромка
при скольжении летательного аппарата является как бы участком
передней кромки. Экспериментально установлено, что с известным
приближением коэффициент дополнительного момента
""V.--^2-- A2-5-4)
КЦ
Глава двенадцатая 176
Рис. 12.5.3 Схема интерфе-
ренции между крылом и
оперением
Эта формула применима при дозвуковых и небольших
сверхзвуковых скоростях. Суммарный коэффициент момента крена
тх — Mxi + tnx кц,
а соответствующая смешанная производная по аР
A2.5.5)
Консоли со скругленными боковыми кромками не создают
дополнительного момента крена при скольжении, т. е. суммарная
производная mf = mfx.
В случае плюсобразной комбинации вертикальные консоли
создают поперечные силы czx =—суху момент которых равен по
величине, но противоположен по знаку моменту горизонтальных
консолей. Поэтому суммарный момент крена такой комбинации равен
нулю.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ МЕЖДУ КРЫЛОМ
И КОРПУСОМ
Такая интерференция может вызвать при определенных условиях
дополнительный момент крена несущей поверхности. Это происходит,
например, при верхнем или нижнем расположении крыла или
оперения (рис. 12.5.3). В первом случае момент обусловлен
дополнительным подпором воздуха на нижней стороне правой консоли (Др =
= р — роо > 0) и понижением давления в зоне сопряжения корпуса
с левой консолью (Д/?< 0). Этот момент накреняет летательный
аппарат влево. Во втором случае направление момента изменяется на
обратное, так как повышенное давление возникает над правой
консолью, а пониженное — над левой. Очевидно, при среднем
расположении несущей поверхности (г/кр = 0) дополнительный момент
крена не возникает.
Аэродинамическая интерференция
177
Рис. 12.5.4 Влияние на
момент крена поперечной V-об-
разности
Исследования показывают, что возникающий момент крена,
обусловленный нецентральным расположением крыла (оперения), можно
вычислить по следующей приближенной зависимости:
, C sin
A2.5.6)
где укр = укр/г.
Из A2.5.6) следует, что при верхнем расположении консолей (#Кр>
> 0) возникает стабилизирующий, а при нижнем (#кр< 0) —
дестабилизирующий моменты крена.
ВЛИЯНИЕ У-ОБРАЗНОСТИ
При установке несущей V-образной поверхности под некоторым
углом ф (угол между плоскостью консоли и осью Oz) в случае дви-
жения со скольжением @ Ф 0, а = 0) правая консоль находится под
местным углом атаки А ап = РФ» а левая — под таким же по величине
углом, но имеющим обратный знак, т. е. Дал =—РФ (рис. 12.5.4).
Дополнительная нормальная сила, обусловленная этим углом атаки,
A2.5.7)
а соответствующий коэффициент силы
си* = П / ( <7оо SKP (к)/2 ) - ±
где знак «+» относится к правой, а «—» — к левой консоли; /Сф —
коэффициент интерференции, характеризующий взаимное влияние
консолей.
Значения коэффициента Кь в функции относительного радиуса
rm = r/sm и параметра Якр]/м^—1 (или Якр|/М^^1— 1) для
прямоугольной и треугольной консолей (г] кр = 1 и сх>) приведены
на рис. 12.5.5.
Глава двенадцатая
178
Рис. 12.5.5 Графики для
определения коэффициента
Коэффициент момента крена, отнесенный к размаху крыла
(оперения) /кр = 2Sm, находим из выражения
i [г
- гт) (
\ кр
A2.5.8)
В соответствии с этой формулой V-образная несущая поверхность
с положительным углом ф всегда обладает поперечной статической
устойчивостью (знак момента отрицательный). Уменьшение этого угла
снижает устойчивость, а отрицательная V-образность может привести
и к статической неустойчивости. Восстановление устойчивости
достигается применением несущих поверхностей с достаточно большой
стреловидностью.
НЕСИММЕТРИЧНОЕ ВЕРТИКАЛЬНОЕ КРЫЛО
(ОПЕРЕНИЕ)
Отдельные виды летательных аппаратов могут иметь вертикальное
крыло (оперение) несимметричной формы (рис. 12.5.6). В этом
случае оно создает дополнительный момент крена так, что в отличие от
симметричной плюсобразной комбинации его суммарная величина
не равна нулю. Дополнительный момент крена, обратный по знаку
моменту от горизонтального крыла (оперения),
М* в.н = Шх в + Шх н = 2вуд.в + ZHr/fl.H,
где поперечные силы, рассчитанные по соответствующей площади
верхней и нижней консолей с учетом подфюзеляжной части [5кр(к>В),
5Кр(к,н)]» находятся из соотношений
~в — ^z кр (вГ х кр (в) ^^кр (к, в) » "н — "^ кр (н) лхкр (н) ^^кр (к, н) *
Здесь коэффициенты поперечных сил принимаем такими же, как
Аэродинамическая интерференция
179»
Рис. 12.5.6 Схема возникновения
момента крена при несимметричном
вертикальном крыле (оперении)
коэффициенты АсуК1?> вычисляемые по A2.5.2) в соответствии со»
значениями площадей верхней и нижней консолей (SKP = SKP(B),
5кР(н)); координаты центров давления г/д.в и */д.н определяем так же,
как расстояния (гд)9 кр(т) до центра давления горизонтального
оперения; коэффициенты интерференции /СКр(в> и /СКр(н) находим па
значениям r/smB, r/smH аналогично случаю горизонтального оперения.
Коэффициент дополнительного момента крена, рассчитанный по
некоторой характерной площади S и длине хю
в.п = Мх в.н/( qJxK) =
кр (нЛР
(к. н)
A2.5.9)
ВЛИЯНИЕ ВИХРЕЙ НА КОРПУСЕ
Отрыв пограничного слоя, возникающий на верхней
(подветренной) стороне корпуса, принадлежащего крестообразной
конфигурации летательного аппарата, движущегося под малыми углами атаки
и скольжения, оказывается незначительным, поэтому он практически
не влияет на момент крена, величина которого может быть принята»
равной нулю. Такое же пренебрежимо малое влияние оказывает отрыв
на момент крена плоской комбинации «корпус — крыло (оперение)».
Однако при сильном отклонении аппарата отрыв слоя
становится существенным фактором, определяющим силовое воздействие
со стороны обтекающего потока. Оторвавшийся пограничный слой
создает в зоне крыла (оперения) неравномерный скос потока. В
результате изменяется несущая способность консолей крыла (оперения).
У плоской комбинации это приводит к изменению момента крена по
сравнению с тем, который имелся бы при отсутствии отрыва, а у
крестообразной вызывает дополнительный момент, отличный от нуля.
Коэффициент этого момента можно представить в виде
аппроксимирующей зависимости
A2.5.10)
Глава двенадцатая 180
где А — некоторая функция геометрических параметров оперения
и числа Мх = M«j/\.
Функцию А можно определить экспериментально для плоской
или крестообразной комбинации при некоторых фиксированных
значениях а и 0 и изменении геометрических параметров и числа Mi.
При этом углы атаки и скольжения должны быть достаточно
большими (а, Р > 15°), так как при малых их значениях исчезает эффект
влияния вихрей на корпусе.
СУММАРНЫЙ МОМЕНТ КРЕНА
В соответствии с полученными зависимостями для составляющих
момента крена его суммарное значение для плоской комбинации
летательного аппарата можно представить в виде
тх = тх и + mx<i, + тх в.н + тХ1 + тх кц + тх вх. A2.5.11)
Вычисляя производные по 0 от соответствующих коэффициентов
момента и учитывая значение тх а = т], определяющее степень
статической поперечной устойчивости (см. § 1.4), получаем
ml = (mL + т% -\ ml в.н) а + {mlx + т*хщ)а^Г% (Зр2 — а2) ^а2.
A2.5.12)
При анализе поперечной устойчивости по этой формуле
необходимо учитывать, что все частные производные в ней, а также величина
Akx являются функциями геометрических параметров крыльев
(оперения) и числа Моо. Степень этой устойчивости неодинакова при
различных углах атаки: при малых значениях углов она невелика, а при
больших становится весьма значительной. Это особенно заметно у
несущих поверхностей с большой стреловидностью. Для снижения
чрезмерной поперечной устойчивости таким поверхностям придается
нулевая или даже отрицательная V-образность. В случае
нестреловидных крыльев (оперения) наблюдается, наоборот, уменьшение
устойчивости. Для ее повышения применяют несущие V-образные
поверхности с положительным углом ф наклона консолей.
Влияние отрыва пограничного слоя на поперечную устойчивость
может быть различным. Рассматривая второй член в A2.5.10), можно
видеть, что при положительных значениях а и Л и углах скольжения
Р< а возникает дополнительный восстанавливающий момент крена;
в случае больших значений угла скольжения @ > а) знак момента
изменяется на обратный. Все эти особенности вихревого воздействия
на движение крена можно детально исследовать экспериментально.
Аэродинамическая интерференция 181
Рис. 12.6.1 Схема образования скоса
потока за крылом
-
с*
§ 12.6.
Интерференция между крылом
и оперением
ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Если перед оперением, расположенным на корпусе, отсутствуют
другие несущие или управляющие поверхности, то интерференцию
для оперения и корпуса рассчитывают так же, как и для комбинации
«корпус — крыло». Если на корпусе перед оперением имеется крыло,
при определении аэродинамических характеристик оперения и
корпуса следует учитывать дополнительное влиние крыла. Это относится
и к схеме «утка», при которой впереди крыла находится оперение.
Рассмотрим физическую природу интерференции между оперением
и впереди расположенным крылом. Вихревая пелена, сбегающая с
крыла и проходящая вблизи оперения, вызывает скос потока, в
результате чего уменьшается угол атаки и, как следствие, снижается
подъемная сила консолей оперения.
Скос потока в любой точке пространства за крылом определяется
углом е = —w/Voo, вычисляемым по вертикальной составляющей
скорости w, индуцируемой вихревой пеленой, сходящей с крыла
(рис. 12.6.1). Как уже известно, для изолированного крыла угол е
в рассматриваемой точке пространства зависит от его геометрических
и аэродинамических характеристик. Для комбинации «крыло —
корпус» при определении этого угла необходимо учитывать также
влияние интерференции. Благодаря ее воздействию крыло,
присоединенное к корпусу, сильнее скашивает поток. Такое крыло вследствие
интерференции с корпусом обладает большей, чем изолированное
крыло, нормальной силой. При возросшем ее значении интенсивнее будет
сбегающая с крыла вихревая пелена, индуцирующая за ним большие
скорости и сильнее скашивающая поток.
Предположим, что участок корпуса за крылом имеет постоянный
диаметр, поэтому вихревая пелена располагается в плоскости крыла.
Глава двенадцатая
182
Рис. 12.6.2 Интерференция
между оперением и крылом
для тонкой комбинации:
/ — крыло; 2 — вихревая пелена;
3 — оперение
Как показывают экспериментальные исследования, это
предположение можно с известным приближением отнести к весьма тонкой
комбинации корпуса и крыла. При этих условиях поток за крылом
параллелен хорде оперения, если крыло и оперение расположены на
корпусе вдоль одной образующей и под одинаковыми установочными
углами (рис. 12.6.2).
Таким образом, участки оперения с размахом, равным размаху
крыла, не имеют нормальной силы. Оставшуюся часть консоли
оперения с размахом (sm)ou — (sm)Kp[(sm)Kp — размах консоли крыла]
следует рассматривать вместе с консолью крыла как единую несущую
поверхность с размахом (sm)on (на рис. 12.6.2 поверхности ABF и
CDE).
В соответствии с этим и согласно A2.4.14) нормальную силу
комбинации «корпус — крыло — оперение», включая нормальную силу
носовой части корпуса, можно выразить в виде
У,, кр, оп - 2а. (
[ 1 - (
( riHB], A2.6.1)
где (fm)on = r/(sm)ou> (sm)Ou > (^т)кр — полуразмах оперения.
Для оценки влияния интерференции на нормальную силу
оперения введем коэффициент эффективности оперения т}оп,
определяемый как отношение приращения нормальной силы при установке
хвостового оперения на комбинацию «крыло — корпус» к приращению
нормальной силы при установке хвостового оперения на
изолированный корпус:
Лоп = <Ут. кр, оп — YTt кр)/(Кт. оп — YT) , A2.6.2)
где в соответствии с A2.4.14)
Ут, кр = 2ах(sI)kM1 -(r2m)Kp+ (г4т)кР] • A2-6-3>
Учитывая, что нормальная сила комбинации «корпус — оперение»
Ут,оп в A2.6.2) определяется, как и Кт,кр,от по формуле A2.6.1), а
величина YT =2яг2а?оо, коэффициент эффективности оперения
Аэродинамическая интерференция 183
Т|оп —
Согласно принятой гипотезе, в случае, когда размах оперения
меньше или равен размаху крыла, нормальная сила оперения в
результате интерференции исчезает, а коэффициент эффективности
равен нулю.
Найденный коэффициент эффективности можно рассматривать как
предельное значение, соответствующее наиболее неблагоприятному
случаю обтекания, когда вихревая пелена, сбегающая с задней
кромки крыла, является плоской и совпадающей с плоскостью консолей
и их нормальная сила поэтому является наименьшей. Однако в
практических случаях такой неблагоприятный эффект интерференции
меньше, так как, во-первых, вихревая пелена не плоская, а
сворачивается в вихревые жгуты при подходе к оперению, во-вторых,
направление вихрей ближе к направлению скорости набегающего потока, чем
к направлению плоскости хорд оперения, поэтому вихри, как правило,
не лежат в этой плоскости, а располагаются в зависимости от знака
угла атаки выше или ниже оперения.
ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ
При расчетах интерференции между крылом и оперением угол
скоса потока принимают с известным приближением постоянным по
размаху и равным его среднему значению, определяемому по F.4.23).
Скос потока за крылом, имеющим такой же установочный угол,
как и оперение, обусловливает уменьшение эффективного угла атаки
оперения, который вычисляем по выражению
аэ.г.0 = а — е. A2.6.5)
В соответствии с этим коэффициент нормальной силы оперения
суг.о = с«уГшО(а — г), A2.6.6)
ГДе СуГ.о = (дсу/да)г.о — производная по углу атаки а от
коэффициента суг,о изолированного горизонтального оперения.
При установке крыльев и оперения на корпусе необходимо учесть
изменение их нормальной силы вследствие интерференции.
Коэффициент нормальной силы крыла су в F.4.23) следует определять с
учетом изменения под влиянием интерференции с корпусом
эффективного угла атаки сечений согласно A2.1.6). Для упрощения расчетов
можно воспользоваться понятием о среднем по размаху крыла
значении эффективного угла атаки, который определяется в
соответствии с правилом осреднения по формуле
Глава двенадцатая
184
Ь-Б
Рис. 12.6.3 Вихревая модель комбинации [«корпус — крыло»:
/ — сбегающие (свободные) вихри для консоли; 2 — сбегающие (сопряженные) вихри для
корпуса; 3 — присоединенные вихри для консоли; 4 — присоединенные (сопряженные) вихри для
корпуса; 5 — крыло; 6 — оперение
/кр/2
«-/5?=7 J
Соответственно для оперения
A2.6.7)
). A2.6.7')
Таким образом, коэффициент нормальной силы оперения на
основании A2.6.7')
c,p.o = cjr.o(a».on—•); A2.6.6')
здесь е = еср определяется из выражения F.4.23), в котором су =
= су кр — 4крОэ. к р. гДе с1кр = (дсу/да)кр — производная от
коэффициента нормальной силы изолированного крыла по углу атаки.
СВЕРХЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ
При исследовании интерференции оперения с крылом можно
исходить из упрощенной вихревой модели комбинации «корпус —
крыло» (рис. 12.6.3). Согласно этой модели, каждая из консолей заменена
присоединенным вихрем интенсивностью Го и свободным вихрем той
же интенсивности, сбегающим с задней кромки консоли. Так как
корпус обладает несущей способностью, то он также должен быть
заменен участком присоединенного вихря и вихрем, сбегающим вниз по
потоку. Эти вихри интенсивностью Го называют сопряженными.
Расположение сопряженных свободных вихрей соответствует правилу
сопряженных радиусов (см. [31]), согласно которому
= rVr0.
A2.6.8)
Правый сопряженный вихрь имеет равную с правым свободным
(внешним) вихрем величину интенсивности Го, но обратное направ-
Аэродинамическая интерференция 185
ление вращения; то же относится и к левым вихрям. Таким образом,
рассматриваемая вихревая модель комбинации «корпус — крыло»
включает в себя две пары П-образных вихрей интенсивностью Го.
Согласно формуле Жуковского F.3.22), нормальная сила консолей
при наличии корпуса
ДУкр (т) = 2PooVJ0 (zv - г), t A2.6.9)
а нормальная сила корпуса при наличии крыла
Ут + ДУТ (кр) = 2PaoVJ0 (r - ziv), A2.6.10)
где zv — поперечная координата свободного (свернувшегося) вихря,
совпадающая с центром тяжести вихревой пелены; ziv — координата
сопряженного вихря; в соответствии с A2.6.8)
ziv = f*lzv\ A2.6.11)
z0—г —• длина присоединенного вихря (несущей вихревой линии)
на консоли; г — ziv — длина участка сопряженного
присоединенного вихря внутри корпуса.
Нормальная сила комбинации «корпус — крыло» (без нормальной
силы носовой части корпуса)
Ут, кр - YT = ДУТ (кр) + ДУкр (т) = гр^Го (г, - г*/г9). A2.6.12)
Эта нормальная сила определяется также по A2.6.3) без учета
нормальной силы корпуса 2яа/2<7оо. Следовательно,
2Р.Л.Г, <*. - rVzv) = 2ш ( ^т)кр Чт [ 1 - ( г*т)кр + ( г^)кр] -
= 2«а ( s^)Kp [ 1 - ( ri)Kpf qx. A2.6.13)
Рассмотрим выражение A2.6.2). Входящие в него значения
нормальной силы можно представить в виде
YT, кр, оп = YT + ДУТ (кр) + ДУкр (т) + AFT (оп) + АУоп (т) + АГТ (оп) в +
+ AV^on (т) в
(две последние составляющие с индексом «в» обусловлены влиянием
вихрей). Это выражение можно представить в другом виде, учитывая
Y т>Кр = YT + АУТ (Кр) + АУкр (Т); Ут§ Оп = YT + АУТ @П) + АУ0П (т) •
Поэтому
Лоп = 1 + (Д^т (оп) в + АУоп (т) в)/(АУт (оп) + АУ0П (т)); A2.6.14)
отсюда
&YT (оп) в -\- АУОП (т) в = АУ(Т, оп) в = [АУТ (оп) + АУ0П (т) ] (Лоп — 1)»
или
АУТ (оп) в = Уоп (KKV + КТ) (Лоп - 1) • A2.6.15)
Глава двенадцатая 186
Разность т/оп—1 получим из выражения A2.6.4) в следующем
виде:
1 __ ( Sm/Kp Г ~~( гт)кр\ /10 с 1 а\
Лоп~ ~~срГ и-(г2) v' ( }
V &m/on L1 Vr/n/onJ
С учетом A2.6.13)
<п 1 — 2T0(zv/r — r/zv) П9 fi 17\
"™ OWCiW <ши7>
OWCW
После^ подстановки A2.6.17) и A2.6.15) и замены /Скр + Кт
величиной [Em)on +l]2/Em)on [см. A2.2.61)] получаем
АК(т,оп) в = -2T°<fv-r2/zJYO" . A2.6.18)
™У<х> [(Sm)on — Г]2
В числителе и знаменателе этой формулы радиусы г следует
принять равными их значениям соответственно в окрестности крыла и
оперения, т. е. г = гкр и г = гоп. Отметим, что эта формула получена
исходя из предположения, что вихревая пелена, сбегающая с
крыльев, и соответствующие свободные вихри расположены в плоскости
оперения и участок этого оперения, покрытый сбегающей вихревой
пеленой, полностью теряет свои несущие свойства, т. е. нормальная
сила на этом участке равна нулю. В действительности это
предположение, как уже указывалось, не является полностью оправданным, и,
следовательно, формулу A2.6.18), надо рассматривать как
зависимость, определяющую лишь порядок величины АУ(Т,ОП)В . Чтобы
уточнить зависимость A2.6.18), введем в нее поправочный коэффициент
ф(Уи)> учитывающий влияние на нормальную силу АУ(Т>ОП)В
вертикальной координаты yv свободного вихря (рис. 12.6.3). С учетом
этого коэффициента
ду 4? (yv) (zv - r*/zv) Го Уоп
1л I (т оп) в — " • •
E) —г 2*Уоо [(%)оп — Л а
Здесь второй сомножитель определяет в безразмерной форме
интенсивность вихря, а третий — нормальную силу изолированного
оперения, приходящуюся на градус угла атаки. Первый сомножитедь,
включающий коэффициент q>(yv), зависит от положения вихря и не
зависит от его интенсивности. Этот сомножитель называют
коэффициентом интерференции и его обозначают ion.
Вводя этот коэффициент и переходя от г к радиусу корпуса
оперения гоп, имеем
АУ(Т, оп) в = ion Г; — • •*=¦. A2.6.19)
В соответствии с A2.6.9) циркуляция
Го = ДУкр (т) /[2рJ/^ (*D - гкр)]. A2.6.20)
Аэродинамическая интерференция
187
Рис. 12.6.4 Схема для опреде-
лени я расположения сбегаю-
щего свободного вихря
Заменяя здесь Д ККр(т) в соответствии с A2.2.5), получаем
Так как
YKr>=(dcy/da)Kl>a(pooV2j2)S
Kl>,
то
го =^кр(^/^)кРа5кр^ос/[4(ги —гкр)]. A2.6.21)
Примем в A2.6.19)
ДУ(т. оп) в = (Дсу)(т. оп) в qJS, Уоп = (дсу/да)оп aqJSon, A2.6.22)
где S — некоторая характерная площадь, Son — площадь в плане
изолированного оперения, которая связана с удлинением Яоп
формулой
\ш = 4 l(sm)ou - ron]2/Son. A2.6.23)
С учетом A2.6.21) — A2.6.23) зависимость A2.6.19)
преобразуется к выражению, определяющему коэффициент нормальной силы
хвостового участка:
/ \ ч _ • ^кра (дСу/да)кр (дсу/да)оп [(Sm)on — ^onl SKp/S /19ft ОА\
2тгХ0П (zv Гщ)
Чтобы применить формулу A2.6.24), следует знать
горизонтальную координату zD свободного вихря и коэффициент интерференции
*ош который зависит от zv и, кроме того, от вертикальной
координаты yD вихря (рис. 12.6.4).
Для определения координаты zv свернувшегося (свободного)
вихря воспользуемся вихревой моделью Комбинации «корпус — крыло».
Рассмотрим вихревую пелену, сбегающую с консолей крыла, и
вычислим циркуляцию по элементарному контуру в виде
прямоугольника A BCD с измерениями 8у и 8zf выбранному у задней кромки кры-
Глава двенадцатая
188
Рис. 12.6.5 Схема образования
вихревой пелены, сбегающей
с консоли крыла
ла. Из рис. 12.6.5 видно, что
> = ЬТав + 8Гяс + 8Г(
+ wjz =
+ ЬГОА = vby — wBbz - vby +
wB + wH) bz.
Циркуляция принята положительной для вихря, имеющего
вращение против часовой стрелки. Пусть потенциал на верхней стороне
будет фв, а на нижней фн. Тогда
Так как потенциалы ф н и ф в у задней кромки определяются для
условий у = 0 и, следовательно, зависят только от г, то можно
перейти к полным производным и получить
dV/dz =d(cpH— <Рв)/^> A2.6.25)
откуда распределение циркуляции
Г = срн-срв. A2.6.26)
Здесь индекс ABCD опущен. Таким образом, зная потенциал
скоростей вдоль задней кромки консолей, можно рассчитать
интенсивность вихревой пелены на единицу размаха, т. е. производную dTldz,
а также распределение циркуляции. Этот потенциал можно определить
из выражения A2.2.20'), приняв в нем у = 0:
- (г
A2.6.27)
?« = <Рв,н = ± Vooa [(sm + r2
где знак «+» соответствует потенциалу ф в на верхней поверхности, а
знак «—» — потенциалу ф н на нижней поверхности.
В соответствии с A2.6.26)
Г =
[(sm + r2/smJ - (z
A2.6.28)
Циркуляцию в корневом (центральном) сечении получим при
z = г:
0 = 2aVoo[(sm+r2/smJ-4r2]1/2.
A2.6.29)
Аэродинамическая интерференция 189
Отношение циркуляции
Г/Го = [( № ~ г') ( 4 - г2)]1/2/[г ( s2m - г«)]. A2.6.30)
Если принять, что вихревая пелена заменена вихрем с
интенсивностью, равной циркуляции Го в корневом сечении, то
= T0(zv-r), A2.6.31)
где интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой
циркуляции для консолей, а Го (zv— г) — величина, равная этой площади.
Внося в A2.6.31) значение Г из A2.6.30), получаем
] - г4) (s2m - z>)]1'2 dz/[z ( s2m - *)] = г,-г. A2.6.32)
m
r
Введем безразмерный параметр:
(г, - r)/(sm - г) = j [(? - rl) A - F2)]1/2 7-^7/[(l - rsf A + rs)],
_ A2.6.33)
ГДе Z = Z/Sm, Гт = r/sm-
Интеграл определяется численными методами. Результаты
численного интегрирования следующие:
rm=rlsm. . . 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
(zv — r)/(sm — г) 0,786 0,769 0,760 0,757 0,757 0,759 0,763 0,768 0,774 0,780 0,786
По этим данным, параметр (zv — r)l{sm — г) находится в функции
rm =r/sm. При этом размах консоли и радиус корпуса принимают
равными соответственно sm = (sm)Kp и г = гкр.
Полученные координаты zv определяют боковое положение вихря
на крыле. Исследования показывают, что аналогичная координата
вихря у оперения отличается от найденного значения zv на крыле.
Однако это различие невелико, так как вихри весьма незначительно
смещаются в боковом направлении. Поэтому с достаточной степенью
точности в расчетах интерференции значение zv у оперения берется
таким, как на крыле. Это позволяет более точно учесть влияние
на координату zv числа Моо, сужения г] Кр = bo/bK, удлинения
^кР = 2(sm — r)Kp/&Cp и угла стреловидности (обычно принимается
угол стреловидности щ/2 для прямой кромки, соединяющей
середины хорд). Как показывают расчеты, полученные результаты
более всего соответствуют данным аэродинамической теории тонкого
тела для консоли, у которой т}кр = 2, XKptgxi/2 =0 и 2/3.
При определении поперечной координаты yv сбегающих вихрей
У оперения допустим, что эти вихри совпадают с направлением потока.
Глава двенадцатая 190
Если также принять, что координата расположена над центром
тяжести площади оперения, рассчитанной с учетом части площади,
занятой корпусом, то в соответствии с рис. 12.6.4
</* = а(*ц.т)оп, A2.6.34)
где (#ц.т)оп — расстояние от задней кромки крыла до центра тяжести
площади оперения.
КОЭФФИЦИЕНТ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
Рассмотрим вопрос об определении коэффициента интерференции.
Из A2.6.19) следует, что
. __ А^(т, оп) в 27ta^oo f(sm)on — ''оп! /1 о л QC\
*оп — • ~ (iZ.O.CtoJ
* оп *о
В соответствии с этим выражением коэффициент интерференции
можно рассматривать как отношение двух безразмерных величин,
одна из которых представляет собой отношение нормальных сил
Y(т.оп)JYOU, а другая — безразмерную циркуляцию,
характеризующую интенсивность сбегающего вихря. Тот факт, что коэффициент
/оп зависит от отношения нормальных сил, позволяет применить
простейшие методы для определения /оп, даже если эти методы не дают
точных величин абсолютных значений дК(ТHП)в или Уоп, а позволяют
найти правильное их отношение. Здесь имеем известную аналогию
между коэффициентами интерференции /СКр> Кт> с одной стороны, и
коэффициентом iou — с другой. Как уже указывалось, коэффициенты
^Скр и /Ст, представляющие собой отношения соответствующих
нормальных сил, с достаточной точностью определяются по
аэродинамической теории тонкого тела, что дает возможность вычислять
абсолютные величины нормальной силы с учетом интерференции
некоторых комбинаций.
Имея это в виду, воспользуемся выводами аэродинамической
теории обтекания тонких тел для определения отношения Д Y(TtOn)B/Yon
и соответствующего коэффициента *оп, с тем чтобы использовать
полученные данные для вычисления интерференции хвостовой части
нетонкой комбинации.
Для определения нормальной силы АК(Т@П)В применим метод
обратимости потока, который рассмотрен на примере исследования
обтекания тонкого крыла прямым и обратным потоками. В данном
случае при помощи основного соотношения этого метода,
найденного в § 8.13, устанавливается зависимость между
аэродинамическими характеристиками комбинации «корпус — крыло —
оперение» при ее обтекании в противоположных направлениях.
Пусть оперение установлено по отношению к оси корпуса под
нулевым углом атаки, а комбинация обтекается под углом атаки ат-
Аэродинамическая интерференция 191
— ост-О -4— > ~i oci-0 —J —5^~
/i = в + с i л
Рис. 12.6.6 Схема для расчета эффективности оперения по методу обратимости
для комбинации «корпус — оперение»:
; — комбинация в прямом потоке; // — комбинация в обращенном потохе
Вихри, сбегающие с крыла, вызывают скос потока у оперения на угол
—8 = а в» поэтому эффективный угол атаки консолей оперения будет
(Хт + ссв- При этом поток около комбинации Л, состоящей из корпуса
и оперения (рис. 12.6.6), можно представить как сложное течение,
образующееся в результате наложения потоков около аналогичных
комбинаций В и С в соответствии с формулой А = В + С. В
комбинации В корпус и оперение имеют одинаковый угол атаки ат; в
комбинации С корпус не отклонен (ат = 0), а оперение обтекается под
углом атаки ав, который вызван вихрями.
Нормальную силу комбинации С определим по методу обратимости
потока. Примем для прямого потока (рис. 12.6.6) в соответствии с
обозначениями формулы (8.13.8') условия:
ctj = <хт = 0 — на площади ST, занятой частью )
корпуса под оперением; I A2.6.36)
а4 = ав — на площади Son консолей. j
Для обращенного потока (рис. 12.6.6) примем, что корпус и
оперение находятся под единичным углом атаки, т. е.
а2 = 1 — на площади 5Т; а2 = 1 — на площади Son. A2.6.37)
Применяя формулу (8.13.8'), получаем
JJ
+
JJ J
(ST+Son) S
on
Интеграл в левой части определяет суммарную нормальную силу
комбинации «корпус — оперение», обусловленную вихрем,
ДУ(Т> оп) в = ут (оп) в + ДУ0П (т) в = 9оо {?
(S+5
Глава двенадцатая ' 192
поэтому
АУ(т. оп) в = яж ^ A#>MS. A2.6.38)
(Son)
Примем что угол атаки ав зависит только от поперечной
координаты точки z и сохраняется постоянным вдоль хорды оперения.
Учитывая, что dS = dxdz, после интегрирования по х получаем
(sm)on
АУ(т.оП)в=2^ов Г aB(bc'y)dz. A2.6.39)
Величина
Ьсу
хх=хт&ъ
'у= Г Ap2djc A2.6.40)
представляет собой нагрузку в сечении по размаху крыла,
определяемую при единичном угле отклонения корпуса и консоли. В
выражении A2.6.40) лгп, х3 — координаты точек соответственно передней
и задней кромок; Ь — хорда сечения; су — коэффициент подъемной
силы сечения.
Чтобы вычислить нагрузку A2.6.40), рассмотрим формулу A2.2.52')
для ДККр(т). Вводя обозначения .а = ат> А^кР(т) =А^оп(т). sm =
= (sm)on и осуществляя интегрирование по х> получаем
)OJ1}2-(z + rVzf}mdz. A2.6.41)
Сопоставляя A2.6.41) и A2.6.39), можно заключить, что нагрузка
по размаху оперения при единичном отклонении консоли и корпуса
(ат = а в =1) определяется величиной
(Ч)оп (т) = 4 (Юои + rV(sm)on]2- (г + г2/2J}1/2 . A2.6.42)
Хотя интегрирование выполнено для треугольной консоли,
обтекаемой прямым потоком, для тонких конфигураций распределение
нагрузки по размаху, как видно из A2.6.42), не зависит от формы
консолей в плане. Ее величина в заданной точке с координатой z
поверхности консоли, установленной на корпусе радиусом г, определяется
только полуразмахом (sm)oU. Поэтому формула A2.6.42) применима
для определения нагрузки треугольного крыла, обтекаемого
обращенным потоком. В соответствии с этим нагрузка, входящая в A2.6.39),
равна нагрузке A2.6.42), т. е. Ьсу = (Ьс'у)Оп(т)- Тогда
(sm)on
Г aB {[(sm)on + r2/(sm)on]2 - (z + rVzff'dz.
A2.6.43)
sm)o
Г
Аэродинамическая интерференция
193
Рис. 12.6.7 Зоны вихревого влияния
в сверхзвуковом потоке:
/ — крыло; 2 — конус Маха; 3 —
присоединенный вихрь
В этом выражении требуется определить угол атаки ав = —?,
равный по абсолютной величине вертикальному углу скоса потока
у оперения.
В сверхзвуковом потоке углы скоса определяются с учетом
ограниченности зон влияния вихрей. Зона влияния для левого
присоединенного вихря ограничена конусом Маха, выходящим из точки Л,
а для правого вихря — конусом Маха с вершиной в точке В
(рис. 12.6.7). В области /, находящейся вне этих конусов, вихревое
влияние отсутствует и скос потока равен нулю. В области //,
ограниченной конусом Маха с вершиной в начале присоединенного вихря,
скос потока определяется влиянием заключенного в этом конусе
вихря. В зоне ///, совпадающей с областью пересечения двух конусов
Маха, скос потока определяется влиянием обоих присоединенных
вихрей.
Рассмотрим оперение, расположенное в области ///, где
индуцированные скорости от правого и левого вихрей складываются. На
некотором расстоянии от задней кромки крыла вертикальные скосы
линеаризованного сверхзвукового потока, вызываемые
присоединенным вихрем, оказываются такими же, как и скосы, создаваемые
бесконечными вихревыми линиями в несжимаемой жидкости. В
частности, для крыла, у которого а'Якр = 2,5, это расстояние равно двум
хордам, а для а'А,кр =1 — примерно 3/4 длины хорды. Полагая, что
оперение расположено на достаточно большом удалении от крыла,
определяем скос потока при помощи выражения е = —wN/Voo> в
котором индуцированная скорость вычисляется по формуле B.7.12).
Полагая в этой формуле w = wNj Г = Го, и h = г, для точки N
(У =0), расположенной на оперении (рис. 12.6.8), имеем
wN = Г0/Bтгг).
Вертикальная составляющая скорости, индуцированной правым
вихрем,
(zv — z)
A2.6.44)
7-708
Глава двенадцатая
194
Левый
вихрь
го Правый
у вихрь
Рис. 12.6.8 Определение скоса потока у оперения, расположенного за крылом
а индуцированной левым вихрем
р /~ i ~\
A2.6.45)
Г„ (zv + г)
2*[j?+ (** + *)"]
Суммарная скорость вертикального скоса
2т:
Соответствующий угол скоса
в = — = °
-]¦
A2.6.46)
. A2.6.47)
Внося значение ав =—? в A2.6.43), получаем
(sm)on
(т, on) в = 77 \ -— 1
m)on
f Г 2р —2
X
A2.6.48)
Подставив A2.6.48) в формулу A2.6.35), в которой в соответствии
с (8.8.47) принимаем
= 2av:qao [(sm)on — ron]2,
найдем, что
(sm)on
i)«r-r]a J
г L
X
X {[(sm)on + r2n/(sJon]« - (г + гУг J11/2 Л. A2.6.49)
Аэродинамическая интерференция
195
Рис. 12.6.9
Коэффициенты интерференции для -Q WII/
треугольного оперения
Численным интегрированием можно рассчитать значения гоп,
которые согласно A2.6.49) являются функциями безразмерных
параметров yv/(sm)on> zJMon и roJMou и не зависят от формы оперения
в плане.
Вычисления по другому методу, основанному на «теории полос»
(см. [49]), показывают, что iou зависит также и от формы,
определяемой обратным сужением оперения bK/b0. На рис. 12.6.9 приведена
типичная диаграмма, построенная по результатам этих вычислений
для треугольного крыла AА]0П = bK/b0 = 0). Фактически ion
представляет собой слабо изменяющуюся функцию от bjbo и roj(sm)on
для малых значений ron/(sm)on.
Используя диаграммы, обычно коэффициенты iou находят путем
интерполяции по параметрам (гт)оп = rou/(sm)on ит)оп (или 1/г]оп)
при zj(sm)ou. Если вихрь проходит вблизи оси корпуса, то такую
интерполяцию целесообразно вести при условии постоянства другого
параметра, например \zvlsm — rmHJ(l — rm)on.
Рассмотрим приближенный метод определения ion с
использованием A2.6.49), основанный на предположении, что скос потока вдоль
размаха постоянный и равен его значению в фокусе (центре давления)
оперения. Полагая, что точка Af (см. рис. 12.6.8) совпадает с фокусом,
расположенным в начале координат (у = z = 0), из A2.6.47) находим
угол скоса:
е =
Гр
A2.6.50)
Отсюда A2.6.48) принимает вид
(т, on) в —
^^х
Глава двенадцатая 196
(sm)on
X j {[Eт)сп+Г2оп/Eт)оп]2-B + Г2оп/гJI/2^. A2.6.51)
Г
Производя интегрирование и используя (8.8.47'), получаем
отношение
X zr^ г A2.6.52)
^[(sm)on-l]2 "
В A2.6.52) в качестве сомножителя в правой части входит
коэффициент интерференции /Скр A2.2.60) для комбинации «корпус —
оперение». Учитывая это, после подстановки A2.6.52) в A2.6.35)
находим
( У1 + 4) ( sm )о
A2.6.53)
ГДе Tv =Zv/(sm)oa, Jv =yv/{Sm)on, (Sm)on = (sm)oJr<m- B р
ных расчетах вместо а = 4(/СКрHП можно принимать а « 2,7 -т- 2,8.
Определим по величине ion коэффициент эффективности оперения.
Приняв площадь изолированного крыла SKp за характерную,
уравнение A2.6.14) представим в виде
Т10П = 1 +(Дсу)(т,оп)в/[Суоп(^жр + ^т)оп]- A2.6.54)
Внося сюда значение (Асу)(Т,оп)в/суои =AYiTfOn)liYon, найденное
из A2.6.35), получаем
Лоп = 1 + 'опГо/12 (^кр + Кт)оп ^аКоо [(sw)on - гоп]}. A2.6.55)
Подставляя сюда значение Го из A2.6.21), находим
Поп = 1 + ^оп^кр (dcy/da)KVSKV/{8 (/Сжр + ^т)оп « [(sw)on —
-Гоп] (^-гжр)}. A2.6.56)
Используя г]оп, при помощи A2.6.54) можно найти уменьшение
коэффициента нормальной силы, вызванное вихрем:
(Дсу)(т, оп) в = Son (#кр + ^т)оп(Лоп— 1). A2.6.57)
Это уменьшение обусловлено возникновением скоса потока перед
оперением, определяемого величиной среднего угла еср = (de/da)ona-
Поэтому
(Дсу)(т, оп) в = су оп (УСкр + ^т)оп (- de/da)on a. A2.6.58)
Аэродинамическая интерференция 197
Сравнивая приведенные зависимости, находим
(de/da)ou= 1—Лоп- A2.6.59)
Соотношение A2.6.59) соответствует аэродинамической теории
тонкого тела, согласно которой влияние вихря распространяется на
всю площадь оперения, что практически происходит при дозвуковых
и небольших сверхзвуковых скоростях. По мере увеличения числа
Моо(Моо> 1)зона влияния вихря, ограниченная конусом Маха (с
вершиной в точке схода вихря, см. ниже рис. 12.6.12), сужается, что
приводит к снижению угла скоса. Это снижение можно учесть
коэффициентом А? = S'on/Son, где Son — часть площади консоли,
расположенной внутри конуса Маха. В соответствии с этим можно
уточнить производную A2.6.59):
(dz/da)ou = (l-y)on)A&. A2.6.60)
С учетом зависимости A2.6.60) уравнение A2.6.57) представим
в следующем виде:
(AS)(T, оп) в = су оп (Ккр + #т)оп (Поп - 1) А. • A2.6.61)
Практически величину Де удобно находить графически путем
соответствующих геометрических построений (см. ниже рис. 12.6.12).
При увеличенных числах Моо конус Маха сужается настолько, что
консоли оперения выходят из зоны влияния вихрей. В этом случае
Son^O, коэффициент Де =0 и, следовательно, скоса потока не
происходит. Координата центра давления оперения, как и нормальная
сила, изменяется под влиянием вихрей крыла. При этом с достаточным
приближением можно считать, что точка приложения нормальной
силы, обусловленной вихрями крыла, совпадает с центром давления
оперения для комбинации «корпус — оперение (крыло)», т. е.
(*д)аоп(в) = (#)
ВЛИЯНИЕ УГЛА АТАКИ И СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОПЕРЕНИЯ
Увеличение угла атаки может привести к снижению неблагоприятного
воздействия интерференции. Это объясняется тем, что вихрь продолжает
двигаться по направлению потока, а оперение с ростом а опускается вниз, что п ри-
водит к увеличению координату, yv и, как следствие, к уменьшению \ion\. Если
бы положение вихря по отношению к оперению не изменялось, то
неблагоприятное влияние интерференции носило бы линейный характер, так как
интенсивность вихря пропорциональна углу атаки. В реальном случае с возрастанием
Углов атаки моментная характеристика оперения оказывается нелинейной и
статическая устойчивость при этом может увеличиться.
При небольших углах атаки неблагоприятное влияние интерференции на
Устойчивость можно уменьшить, используя так называемое нетандемное
оперение, расположенное выше крыла (рис. 12.6.10). В этом случае
характеристики оперения улучшаются благодаря тому, что вихри, сбегающие скрыла, прой-
Глава двенадцатая
198
Рис. 12.6.10 Влияние
горизонтального оперения на моментные
характеристики комбинации «корпус —
крыло — оперение»:
/ — без интерференции; 2-е учетом
интерференции для обычного оперения; 3 — с
учетом интерференции нетандемного
крестообразного оперения; 4 — крыло; 5 — вихрь; 6 —
горизонтальное оперение; 7 — вертикальное
оперение
Рис. 12.6.11 Интерференция
оперения и крыла при возникновении
скачков уплотнения:
/ — крыло; 2 — веер расширения; 3 —
хвостовой скачок уплотнения; 4 — коэффициент
эффективности ijon = 0; 5 — реальная
кривая; 6 — коэффициент эффективности tjQn = 1
дут на значительном удалении снизу от оперения. Однако по мере увеличения
углов атаки его верхние консоли оказываются все ближе к вихрям и
неблагоприятное влияние интерференции усиливается. После того как при дальнейшем
увеличении угла атаки оперение пройдет через вихри и удалится от них,
неблагоприятное влияние снижается.
При больших сверхзвуковых скоростях также имеется дополнительный
интерференционный эффект, вызванный взаимодействием с возникающими
скачками уплотнения (рис. 12.6.11). Как видно из рисунка, при некотором угле
атаки <*! горизонтальное оперение расположено в зоне между хвостовым
скачком и веером расширения. Вследствие этого такое оперение для потока,
прошедшего через веер расширения, оказывается под нулевым углом атаки и не
создает нормальной силы. Практически эффективность оперения близка к нулю
(т)Оп~ 0). При большем угле атаки (<х2 > ах) угол скачка возрастает и плоскость
скачка может оказаться впереди оперения. Так как линия тока за скачком почти
совпадает с направлением набегающего потока, то оперение в значительной
мере восстанавливает свою эффективность. Некоторое снижение нормальной
силы обусловлено уменьшением числа М и скоростного напора за скачком.
Кривая 5, показывающая характер изменения момента оперения вследствие
влияния скачка уплотнения, а также расширения потока, изображена на
рис. 12.6.11. Она проходит между линиями, соответствующими, с одной
стороны, полной потере эффективности (т)оп = 0), с другой — его полному
восстановлению (г)оп = 1).
ВЛИЯНИЕ ТОРМОЖЕНИЯ ПОТОКА
Эффективность оперения зависит от торможения потока, обусловленного
воздействием не только головной части, но также и крыльев, расположенных
перед оперением. При этом степень торможения можно охарактеризовать
коэффициентом д2 = qlqoo> являющимся функцией числа Моо, относительных разме-
Аэродинамическая интерференция
199
/с'
0,9
0,8
Рис. 12.6.12 Графики для определе- 0,7
ния коэффициента k' в уравнении
A2.6.57)
ров головной части, отношения площадей оперения и крыльев (Son = 5on/SKp),
а также относительного расстояния между ними [л:ц— хп/(Ьа )кр].
Для летател-ьного аппарата с конической головной частью (см. [13])
Я
= «1
V + So
—
1 + ^О
A2.6.62)
где кх — коэффициент торможения для крыла, определяемый по A2.4.44); к' —
параметр, зависящий от числа Моо и расстояния между крылом и оперением (его
можно найти из экспериментального графика, изображенного на рис. 12.6.12).
Для летательного аппарата с оперением, расположенным за крылом (так
называемая нормальная схема), обычно 50n/SKp << 1; следовательно, можно
принять k<L& kxk''. При переднем расположении оперения (схема «утка»)
величина Son/§Kp >> 1, поэтому коэффициент торможения перед крылом,
расположенным в хвостовой части, /г2~ кг. Соответствующее число Маха, по
которому определяется коэффициент нормальной силы хвостового оперения,
М1 = Моо1/"^7. A2.6.63)
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Результаты расчета интерференции крыла и оперения можно
применить для нахождения аэродинамических характеристик комбинаций
«корпус — оперение» или «корпус — крыло — оперение». При этом
для крылатого летательного аппарата, оснащенного оперением,
следует учесть его интерференцию с крылом.
Рассмотрим комбинацию с одинаковой ориентировкой консолей
крыла и оперения (схема «++», рис. 12.6.13). По аналогии с A2.4.47)
коэффициент нормальной силы комбинации
you
4- г* (К
' укр \Акр
— (dz/daH
^кр •
A2.6.64)
В соответствии с этим значением су найдем зависимость для козф-
Глава двенадцатая
200
(Ьо)кр
Рис. 12.6.13 Общий вид летательного аппарата, выполненного по схеме
++
фициента момента тангажа, вычисленного относительно носка
корпуса:
(т)
— {^Ст.оп Ксд)ат (оп) (^о)ол
ол
(т) X
X
хоп]}
A2.6.65)
В этих зависимостях коэффициенты интерференции с индексами
«кр» и «оп» находим из табл. 12.2.1 соответственно для значений
>*кр/Eт)кр и roJ(sm)on- При помощи этой же таблицы определяем
значения (СА)Я = (Хд)а /F0)кр [наПрИМер, (^д)ат(кр) = (*д)ат<КР)/(&о)кр].
Все геометрические параметры в A2.6.65) являются безразмерными
и отнесены к длине летательного аппарата *к[т. е. хкр = xKV/xK\
(*о)кр = (&о)кр/*кр И т- Д-1-
Дифференцируя по а = accosq) [см. A2.6.64) и A2.6.65)], можно
определить производные от коэффициентов нормальной силы и момента
тангажа Су и ml. По этим значениям находим производные по углу
скольжения от коэффициентов поперечной силы и момента рыскания:
а также коэффициент центра давления комбинации:
A2.6.66)
A2.6.67)
Все аэродинамические коэффициенты для изолированных
элементов комбинации (корпуса, крыла, оперения) в приведенных
соотношениях определяют по линеаризованной теории обтекания с учетом
влияния сжимаемости.
Аэродинамическая интерференция 201
Коэффициенты интерференции для крыла Кт. КР> Ккр и оперения
/Ст.оп» ^Соп находят, кроме того, в зависимости от сужения консолей,
толщины вытеснения пограничного слоя, а также длины хвостового
участка корпуса за крылом и оперением.
МОМЕНТ КРЕНА ОПЕРЕНИЯ,
РАСПОЛОЖЕННОГО ЗА КРЫЛОМ
Изменение такого момента происходит под влиянием вихрей,
сбегающих с крыльев летательного аппарата, движущегося под углами
атаки и скольжения.
У комбинации с плоскими крыльями возникает пара вихревых
жгутов, образующих с вертикальной и горизонтальной плоскостями
симметрии углы, близкие соответственно к значениям C и а. У
крестообразных крыльев таких вихрей четыре. Обычно знак этого момента
для плоского оперения противоположен знаку его собственного
момента. Имея в виду это и то,что размеры оперения невелики по
сравнению с крыльями и поэтому малы по величине создаваемые им моменты
крена, обычно при расчете его суммарного значения для летательного
аппарата дополнительную интерференционную составляющую момента
крена не учитывают.
В случае крестообразной комбинации крыльев и оперения
интерференционные момецты крена от вертикальных и горизонтальных
консолей, как правило, обратны по знаку и близки по величине.
Таким образом, практически суммарный момент крена комбинации
можно принимать также равным нулю, как и для летательного аппарата
вида «корпус — крестообразное оперение», у которого вихри перед
оперением генерируются корпусом, что обусловлено возникновением
у него относительно'небольшой нормальной силы.
§ 12.7.
Органы управления
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ
Траекторию неуправляемого летательного аппарата,
испытывающего лишь действие силы сопротивления и силы тяжести, обычно
называют естественной или баллистической. Для такого летательного
аппарата характерно отсутствие какой-либо искусственно созданной
Управляющей аэродинамической или другой силы, нормальной к
траектории.
Траектория управляемого летательного аппарата, выполняющего
определенный маневр, отличается от естественной траектории
благодаря дополнительному управляющему усилию, совпадающему по
направлению с нормалью к вектору скорости полета. Устройства, со-
Глава двенадцатая 202
здающие необходимую управляющую силу, называют органами
управления.
Органы управления входят в систему управления движением
летательного аппарата, под которым понимают комплекс аппаратуры
и устройств, обеспечивающих измерение отклонений фактического
движения летательного аппарата от заданных условий полета,
формирование соответствующего сигнала и создание управляющей силы.
В зависимости от физического характера управляющей силы
органы управления можно разделить на три основных типа:
аэродинамические, газодинамические и комбинированные.
Аэродинамические органы управления
создают управляющую силу путем изменения условий внешнего обтекания;
следовательно, управляющая сила по своему происхождению —
аэродинамическая. Подобные органы управления являются средством
изменения величины и направления главного вектора
аэродинамических сил. Применение их весьма эффективно для летательных
аппаратов, движущихся с достаточно большой скоростью в плотных слоях
атмосферы.
Газодинамические органы управления
основаны на использовании эффекта, вызванного изменением
направления газовой струи, истекающей из сопла реактивного двигателя.
Управляющая сила возникает в результате отклонения вектора силы
тяги от направления касательной к траектории полета. В некоторых
конструкциях газодинамических органов управления используют
специальные управляющие реактивные двигатели. Такие органы
управления применяют в тех условиях, когда аэродинамические
органы управления делаются малоэффективными, например в
разреженных слоях атмосферы или при малых скоростях движения
летательного аппарата (в частности, при старте ракеты с Земли).
Комбинированные органы управления при
создании • управляющей силы используют одновременно эффекты
аэродинамических и газодинамических органов управления.
Примером такого органа управления служит реактивный
закрылок. Основным его элементом является поворотное сопло, обычно
устанавливаемое на задней кромке крыла или оперения и
выполняемое в виде узкой щели. Управляющее усилие возникает в результате
истечения воздуха из сопла, наклоненного под определенным углом
к хорде. Это усилие складывается из двух компонент: нормальной
составляющей силы тяги, создаваемой поворотной щелью, и
составляющей аэродинамической силы, возникающей вследствие
перераспределения давления на несущей поверхности, обусловленного
взаимодействием набегающего потока и струи воздуха, истекающей через щель.
Каждый тип органов управления включает в себя большое
количество конкретных видов рулевых устройств. Выбор типа органа
управления и конкретного вида рулевого устройства тесно связан с
аэродинамической схемой, определяемой, в свою очередь, назначением
летательного аппарата и тактико-техническими требованиями, ко-
Аэродинамическая интерференция
203
Рис. 12.7.1 Основные типы
рулевых поверхностей:
а — полностью подвижные; б —
концевые; в — расположенные
вдоль задней кромки
торые к нему предъявляют. Таким образом, данному летательному
аппарату соответствуют определенная аэродинамическая схема, тип
органа управления и его конкретная конструкция, обеспечивающие
выполнение заданных тактико-технических требований.
Более подробно об органах управления и методах их расчета
изложено в [8]. Рассмотрим некоторые виды аэродинамических органов
управления и методы их расчета, в частности группу рулевых
поверхностей, получивших широкое применение на практике.
Рулевые поверхности, или рули, размещаемые в различных местах
летательного аппарата, можно классифицировать следующим образом
(рис. 12.7.1): полностью подвижные органы управления типа
поворотного крыла или оперения; концевые органы управления; органы
управления, расположенные вдоль задней кромки несущей или
стабилизирующей поверхности.
Полностью подвижные рули в виде поворотного крыла или оперения,
обеспечивающие хорошую управляемость благодаря достаточно
большой площади органа управления, используют для высокоманевренных
летательных аппаратов, и они оказываются весьма эффективными
на значительных высотах и в широком диапазоне чисел Моо. Чаще
всего оси вращения рулей и корпуса взаимно перпендикулярны,
однако в конструктивном отношении иногда бывает удобным выбрать
угол между этими осями, отличный от прямого (положение оси
вращения руля определяется углом стреловидности хр, рис. 12.7.1).
Некоторое распространение получили концевые органы управления,
составляющие часть несущей или стабилизирующей поверхности
и располагающиеся у боковых кромок. Такие органы управления
оказываются эффективными в достаточно большом диапазоне
скоростей. Ось вращения этого руля, как и поворотного оперения, может
составлять прямой угол с осью корпуса или иметь некоторый угол
стреловидности.
Особенность концевых рулей состоит в том, что их эффективность
практически не зависит от наличия корпуса. Их недостаток
заключается в трудности монтажа рулевого привода и механизма поворота
на крыле или оперении с боковыми концевыми кромками. Концевые
Глава двенадцатая
204
а) и
4
Рис. 12.7.2 Типы концевых рулей:
а — обычный концевой руль; б — с
компенсацией
органы управления могут быть подразделены на обычные концевые
рули и органы управления с рулевой компенсацией (рис. 12.7.2).
При дозвуковых и небольших сверхзвуковых скоростях наиболее
широко применяют рули, расположенные вдоль задней кромки
неподвижного крыла или оперения. При небольших числах Моо с
отклонением рулей связано появление нормальной силы (управляющего
усилия) не только на них самих, но и на несущей неподвижной поверхности,
на которую распространяются возмущения от рулей. Поэтому такие
рули могут быть очень эффективны даже при относительно небольшой
площади.
При сверхзвуковых скоростях отсутствует обратное воздействие
рулей на неподвижные поверхности, поэтому управляющее усилие
создается только рулем. Несмотря на увеличение управляющего
усилия, обусловленное высоким скоростным напором, бывает необходимо
для повышения эффективности рулей выбирать их с большей
площадью. Органы управления, расположенные вдоль задней кромки,
могут быть внутренними и внешними рулями, занимающими часть
кромки или размещенными по всему размаху (рис. 12.7.3).
Рулевые поверхности летательных аппаратов служат в качестве
рулей поворота и высоты, элеронов и элевонов.
Рули поворота в нейтральном положении располагаются вдоль
продольной оси аппарата в вертикальной плоскости симметрии.
Отклонение их от этого положения вызывает '* поворот летательного
аппарата вправо или влево. Этот поворот обусловлен действием
управляющего момента рыскания, создаваемого рулем.
Рули высоты расположены перпендикулярно плоскости рулей
поворота. Их отклонение обеспечивает изменение направления полета
в вертикальной плоскости и, следовательно, изменение высоты. При
этом поворот летательного аппарата вокруг поперечной оси
обусловлен действием управляющего момента тангажа, создаваемого рулем
высоты.
Комбинация рулей поворота и высоты дает возможность управлять
летательным аппаратом одновременно в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях, т. е. осуществлять практически любой маневр
Аэродинамическая интерференция 205
nJIJ ' \П 2 \JJ
4 t
Рис. 12.7.3 Типы рулей,
расположенных вдоль
задней кромки: в //[
а — с постоянной хордой; б — с ^ ^-*-
обратным сужением; / —
внутренний руль; 2 — внешний руль; ,- г-,— ^ ,— ^- г-р-
3_руль, расположенный по все- >v \ . N. *-! п N. \
му размаху \_J ' Х\ I z \ М
в пространстве. При помощи этих же рулей можно обеспечить вращение
летательного аппарата вокруг продольной оси Ох.
В самолетных схемах для управления обычно предусматриваются
элероны в комбинации с рулями высоты. Элероны — это две рулевые
поверхности, расположенные на концевых или задних кромках
консолей крыла и отклоняющиеся в разные стороны, что приводит к на-
кренению летательного аппарата. При этом появляется
горизонтальная составляющая нормальной силы, отклоняющая аппарат в нужном
направлении и обеспечивающая его поворот под действием момента
рыскания." Если одновременно с этим поворачивается руль высоты,
то осуществляется требуемый маневр в пространстве. При
использовании элеронов следует учитывать, что вследствие их отклонения
возникающие приращения нормальной силы на правом и левом
крыльях противоположного знака вызывают появление соответствующей
разности сил индуктивного сопротивления. Это, в свою очередь,
приводит к образованию дополнительного момента рыскания,
вызывающего вращение аппарата в сторону опущенного элерона, а также
скольжение и, как следствие, момент крена, обратный по знаку
моменту от элеронов. Это снижает эффективность элеронов,
препятствуя осуществлению нормального маневра. При этом наибольшей
величины момент крена достигает в случае значительных углов атаки,
вследствие чего эффективность элеронов на этих углах очень мала.
Для компенсации этого эффекта применяется конструкция
дифференциальных элеронов, в которой один элерон
отклоняется вверх больше, чем другой, парный ему, вниз. Сопротивление
элерона, отклоненного вверх, значительно больше, чем отклоненного
вниз, поэтому момент рыскания уменьшается.
Элевоны в отличие от элеронов отклоняются в любую сторону
независимо друг от друга, поэтому их используют одновременно и как
рули крена, и как рули высоты. Такие устройства, выполняющие
одновременно функции органов поперечного и продольного
управления, устанавливают на летательных аппаратах типа «бесхвостка».
Аэродинамические свойства органов управления определяются их
эффективностью, под которой понимают степень приращения управ-
Глава двенадцатая 206
ляющих сил и моментов летательного аппарата (или отдельно
несущей поверхности) при отклонении руля. Эту эффективность
оценивают частными производными от соответствующих коэффициентов
силы или момента по углу поворота руля. Например, для рулей
высоты продольную эффективность определяют производными дсу/д8в =
= с** или дтг/д8в = ть*.
ПОНЯТИЕ ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ
Аэродинамические свойства летательного аппарата
характеризуются его управляемостью — способностью аппарата реагировать на
отклонение рулей соответствующими изменениями параметров
движения (углов атаки, тангажа, рыскания, наклона траектории и др.).
Управляемость можно оценить степенью восприимчивости аппарата
к такому отклонению органов управления, характеризующейся
интенсивностью указанных изменений параметров движения. При оценке
управляемости наибольший практический интерес представляют те
параметры, которые определяют интенсивность изменения траектории
центра масс. Это связано с тем, что именно в обеспечении заданной
траектории состоит основная задача управления полетом.
От управляемости в значительной мере зависит маневренность —
способность летательного аппарата изменять достаточно быстро
параметры полета, характеризующие высоту, величину и направление
скорости. При разработке конструкций летательных аппаратов и
систем управления ими следует учитывать противоречивый характер
требований устойчивости движения и обеспечения управляемости.
Придание устойчивости обеспечивает устранение возможных нарушений
заданного режима движения, в то время как управляемость
связана с обратным — возможностью изменения этого режима.
Управляемость летательного аппарата теснейшим образом
связана со статической устойчивостью. Аппарат, обладающий
повышенной устойчивостью (большими восстанавливающими моментами),
слабее управляем, чем аппарат с меньшей устойчивостью, т. е. аппарат
требует больших отклонений рулей для изменения режима полета.
Если реакция аппарата на небольшие отклонения рулей велика, то
это указывает на малую устойчивость. Такой небольшой
устойчивостью обладают летательные аппараты, предназначенные для
быстрых маневров. Требование большей управляемости вызывает
необходимость использовать летательные аппараты, нейтральные в
отношении статической устойчивости или даже в отдельных случаях
статически неустойчивые.
Исследование управляемости, основанное на знании
аэродинамических характеристик, является основным в теории возмущенного
движения летательных аппаратов.
Аэродинамическая интерференция
207
рис. 12.7.4 Схема для
расчета аэродинамических
характеристик внешнего руля
по методу обратимости
потока:
а — прямой поток; б —
обратный поток; 1 — площадь руля
S ; 2 — площадь крыла SRp;
3 — площадь 5Т, занятая
корпусом под крылом
а) 2
5)
х \L
^ 10
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ РУЛЕЙ
Определение аэродинамических характеристик органов управления
представляет собой важную и трудную задачу. Методы расчета этих
характеристик в большинстве случаев основаны на
экспериментальных исследованиях аэродинамических рулей летательных аппаратов
различных типов. В последние годы на базе достижений математики
и механики начали широко проводиться теоретические исследования
аэродинамических рулей, которые привели, в частности, к появлению
методов расчета тонких рулевых поверхностей, расположенных на
корпусе малой толщины. Данные этой аэродинамической теории
тонких тел в ряде случаев хорошо согласуются с опытом и вместе с тем
позволяют понять отдельные явления, связанные с механизмом
возникновения управляющих усилий.
Рассмотрим методы расчета по этой теории аэродинамических
рулей, представляющих собой полностью поворотные консоли крыла
или оперения. Для этого применим метод обратимости потока,
позволяющий учесть влияние на возникающую нормальную
(управляющую) силу крыла и корпуса. При этом будем исходить из соотношений
аэродинамической теории тонкого тела, согласно которой форма
рулевой поверхности в плане не влияет на величину создаваемой ею
силы.
Предположим, что орган управления занимает на крыле участок
вдоль задней кромки длиной sw — st (рис. 12.7.4). Нормальную
силу, развиваемую рулем, вычислим при условии, что корпус и крыло
расположены в прямом потоке под нулевым углом атаки (ai = 0), а
руль отклонен на угол б (ai = S). Примем, что в обращенном потоке
комбинация «корпус — крыло — руль» располагается под общим
углом атаки аг = б. В соответствии с формулой метода обратимости
(8.13.8') для рассматриваемого случая
Г Г &pfidS= Г f
Глава двенадцатая 208
или, сокращая на 6,
П ty±dS= Г ^Ap2dS. A2.7.1)
<SP+Skp+St> <5р>
Здесь левая часть определяет отыскиваемую нормальную силу
комбинации «корпус — крыло — руль» от отклонения органа
управления, отнесенную к скоростному напору q^ = PooV^/2, т. е.
A2.7.2)
Полагая, что элементарная площадь руля dS = dxdzf имеем
A2.7.3)
Si ХП
Величина
A2.7.4)
т. е. равна нагрузке в сечении крыла, определяемой при отклонении
корпуса и консоли на угол б. Эта нагрузка при обтекании обращенным
потоком комбинации согласно аэродинамической теории не зависит
от формы крыла в плане и определяется как нормальная сила сечения,
сосредоточенная на передней кромке.
Коэффициент перепада давления
л л 2 / *Рн
коо \ дх
дх
Поэтому нагрузка в сечении крыла с учетом A2.6.27)
-3-{'+W- A2-7-5>
Внося это выражение в A2.6.39), находим
^р = 8QJ J К*™ + rVsmf -(z + rVz)*]V4z. A2.7.6)
Si
Выражение A2.7.6) аналогично полученному выше соотношению
A2.6.41). Производя интегрирование и относя A2.7.6) к нормальной
Аэродинамическая интерференция
209
Рис. 12.7.5 Аэродинамическая
эффективность органов управления:
I _ рули; 2 — крыло; 3 — корпус
2,0
1,5
1,0
—^
N
щ
V4-
0,8
>.2 Гт
силе изолированного крыла
A2.7.7)
образованного двумя соединенными концевыми органами управления,
получаем
кр
+ — A +
rAm
) arcsin
+ rm arcsin
1^1O^]'
A2.7.8)
ГДе Гт = r/5m, 5f = Sf/Sm.
Отношение ^Р/Ккр зависит только от геометрических параметров
на задней кромке. Зависимость Ур/Укр от r/sm при различных
значениях Si/sm показана на рис. 12.7.5. Нормальная сила комбинации
вследствие интерференции между корпусом и крылом с отклоненным
концевым рулем может значительно превышать нормальную силу
^кР изолированного крыла. При фиксированном значении rm = rlsm
и увеличении отношения sjr нормальная сила комбинации за счет
влияния руля возрастает. Это объясняется тем, что поле давлений,
образующееся при обтекании органа управления, «захватывается»
значительной площадью крыла.
Формула A2.7.8) определяет управляющую_силу концевого руля.
В частном случае, принимая в этой формуле Jt = rm(si = г),
получаем зависимость для Ур полностью подвижных органов управления:
кр
arcsin
A2.7.9)
I лава двенадцатая 210
Выражение A2.7.9) совпадает с формулой A2.2.60), определяющей
коэффициент интерференции /Скр для крыла, неподвижно
установленного на корпусе. Характер изменения отношения Ур/УКр в
зависимости от величины гт показан на рис. 12.7.5.
Таким образом, получен интересный результат, согласно
которому эффект интерференции в целом для комбинации «корпус —
поворотное крыло» такой же, как и для неподвижного крыла,
взаимодействующего с корпусом при обтекании комбинации под некоторым углом
атаки.
В соответствии с этим
V^kp = /W A2.7.10)
Нормальную силу можно выразить через сумму:
Ур = ДУкр(тM + ДУт(крM. A2.7.11)
Здесь первое слагаемое — нормальная сила крыла, отклоненного
на угол б и испытывающего влияние корпуса, а второе — нормальная
сила участка корпуса, обусловленная его интерференцией с крылом:
ДУкр(тK = ?крУир; A2.7.12)
ЛУТ(кр)о = 6тУкр, A2.7.13)
где &кр и kT, по аналогии с введенными выше /СКр и /Ст, —
коэффициенты интерференции, обусловленные отклонением полностью
подвижных рулей на угол б при а = 0.
Согласно A2.7.11),
Ур = (*жр + *,)У«р. A2.7.14)
а с учетом A2.7.10)
?кр + ?т = #кр- A2.7.15)
Для определения коэффициентов &кр и kT необходимо иметь еще
одно уравнение, которое устанавливало бы зависимость между этими
коэффициентами. Для получения такого уравнения исходим из
предположения, что крыло «передает» корпусу часть своей нормальной
силы независимо от того, создается ли эта сила под влиянием угла
атаки а комбинации или угла установки крыла б. Эта часть
нормальной силы, обусловленная влиянием угла атаки а, определяется
отношением
ДУТ (КР) а/ДУкр (т) а = KJKKV , A2.7. 16)
а отношение
ДУТ (КР) г/ДУкр (т) в = kJkKV A2.7.17)
определяет часть нормальной силы, передаваемую на корпус при
угле б. В соответствии с принятой гипотезой обе эти части равны,
следовательно,
К1кКг> = Кч1К^. A2.7.18)
Аэродинамическая интерференция 211
Это уравнение можно представить в виде
(*т + *жр)/*кр = (* т + ^кр)/^кр- A2.7.180
Используя значения A2.7.15) и A2.2.61) соответственно для kT +
4- />кр и Кт + Ккр» получаем следующее выражение для
коэффициента интерференции:
*Kp = *V(l+''mJ. A2.7.19)
В соответствии с A2.7.15)
?т = Ккр-?кр. A2.7.20)
Эти значения коэффициентов используют при исследовании
интерференции подвижного оперения нетонких комбинаций, для
которых аэродинамические характеристики изолированных консолей
выбирают в соответствии с данными линеаризованной теории обтекания.
Результаты исследований можно уточнить, если учесть изменение
коэффициентов &кр и kT под воздействием таких факторов, как сужение
консоли, число Моо, длина головной части корпуса и пограничный
слой. При этом исходят из соотношений, аналогичных A2.4.29):
^кр == (^кр)теор v.qVn.cvZVM» ^т = (^т)теор V7)Vn.cvZVM » A2.7.21)
где (&Кр)теор и (^т)теор — коэффициенты интерференции,
рассчитанные по аэродинамической теории тонкого тела в соответствии с
A2.7.19) и A2.7.20):
(^кр)теор — (.Лкр/теор'\1 + Гт) \ (&т)теор~(А кр)теор (^кр)теор- A2.7.22)
Влияние хвостового участка корпуса отражается на величине
коэффициента kT (так же как и на значении /Ст); при этом коэффициент
&кр не изменяется (так же как и /СКр)- В соответствии с этим при
наличии части корпуса за подвижной консолью коэффициент
К = (^т)теор Yn.cViv/, A2.7.23)
где F — определяется по A2.4.31).
Рассмотрим расчет аэродинамических характеристик
комбинации «корпус — поворотное оперение» с
использованием полученных коэффициентов интерференции. В соответствии
с A2.7.14) коэффициент нормальной силы, обусловленной
отклонением консолей поворотного крыла,
суь = М^оАр) = cay«Ak«* + *t)8b*i • A2.7.24)
Здесь 6в — угол атаки консоли, равный углу поворота,
отсчитываемому в вертикальной плоскости симметрии, проходящей через
ось корпуса. Его значение такое же, как и угол поворота 6'в, когда
ось вращения составляет с осью корпуса прямой угол, т. е. когда угол
стреловидности этой оси хр = 0. Если же хр Ф 0, то угол атаки кон-
Глава двенадцатая
соли б в не равен углу поворота бв, измеряемому в плоскости,
перпендикулярной оси вращения. Величина этого угла
8B = SBcosxp. A2.7.25)
Добавив к выражению A2.7.25) величину коэффициента суA =
= cyTt кр» определяемого по значению нормальной силы Ya =
= YT\Kp комбинации при а ф 0, бв = О, получим суммарный
коэффициент нормальной силы, отнесенный к площади консолей крыла:
су = су* + с»ь =су* "Т^ + [WT + /СЖР)«+ (*т + к„)Ьв]су кр^.
A2.7.26)
Безразмерную координату центра давления (координату фокуса
по углу бв) консолей поворотного крыла при а =0 можно найти из
выражения
(Сд)б кр (т) = (Хд/Хк)ь кр (т) = #Кр + (сд)§ кр (т)&о- A2.7.27)
Значения (?дMкр(Т), рассчитанные по аэродинамической теории
тонкого тела, практически такие же, как и величины коэффициентов
(?д)а кР (т)> найденные для случая неподвижных консолей при а ф 0.
Полученные данные свидетельствуют об относительно слабом
влиянии интерференции на смещение центра давления поворотного крыла.
Это дает основание считать, что с достаточным приближением центр
давления такого крыла при а =0, бв ^= 0 можно принимать таким,
как для изолированного крыла.
Если корпус движется под углом атаки а, а крыло дополнительно
отклонено на угол бв, то относительная координата центра давления
(Сд)кр (т) = (*д/*к)кр (т) = хкр + ( Сд)кр (Т) Ъо, A2.7.28)
где коэффициент
(Сд)кр (т) = (*д/&о)кр (т) = [^Скра (Сд)а кр (т) +
+ kKVbB (ск)ь кр (т) ]/(/Скра + ^кр8в). A2.7.29)
При повороте органа управления наряду с изменением положения
его центра давления вследствие интерференции с корпусом изменяется
координата точки приложения дополнительной нормальной силы
корпуса, обусловленной влиянием оперения. Если такой поворот
сопровождается изменением угла атаки корпуса, то относительная
координата центра давления
(сд)т (кр) = (*д/*к)т (кр) = ^кр + ( Сд)т (кр) Ьо , A2.7.30)
где
( сд)т (кР) = (*д/&о)т (кр) = 1КТ* (сд)ат {кр) +
+ *А (С;дь т (kp)]/Wt« + Mb) . 12.7.31).
Аэродинамическая интерференция 213
При расчете положения центра давления на корпусе с учетом
влияния оперения принимается, что центр давления нечувствителен к тому,
развивается ли нормальная сила от угла атаки или угла поворота
крыла. В соответствии с этим (*д)ат(кр) = (*д)вТ(кр).
Коэффициент центра давления для комбинации «корпус —
поворотное крыло»
сд = *д/*к = — тг/су = [(сд)ТсуТ -^р- +
+ Ыкр (Т, Чкр (т) + (*д)т (кр) Чт (кр)]/^ • A2'7-32)
где су — суммарный коэффициент нормальной силы, вычисляемый
по A2.7.26), а его составляющие — из выражений
) + Ч а Кр (т) = Wep« + ^кр8в) с«ук?К ; A2.7.33)
аТ(кР)+Чат(кр) = (^ + ^А)^кр^. A2-7.34)
Рассмотрим продольную эффективность органов управления в виде
поворотного крыла. Ее величина определяется производной
ть2в для симметричного отклонения горизонтальных консолей при
условии, что момент тангажа вычисляется относительно центра масс.
Коэффициент этого момента тг нетрудно вычислить по известным
значениям ДСукр(т) из A2.7.33) и ДСуТ(кр) из A2.7.34), а также по
заданным относительным координатам центров давления ()
() Вычисляя производную от тг по бв, найдем
"?¦= — К {kKp [(Сд)8 кр (т)
+ К [(^д)бт (кР) + (хм)кР]} с;кр К. A2.7.35)
гДе (^м)кр = (#м/&о)кр[(*м)кр—расстояние от центра масс
комбинации до вершины крыла на корпусе].
Производная A2.7.35) обычно отрицательная для хвостового
оперения и положительная для органа управления, выполненного по
схеме «утка».
При определении аэродинамических характеристик
комбинации «корпус — поворотное крыло — поворотное
оперение» необходимо учитывать интерференцию оперения и
крыла. При этом аэродинамический расчет части комбинации «корпус —
поворотное оперение» осуществляется так же, как и для комбинации
«корпус — поворотное крыло», для которой коэффициенты
нормальной силы крыла при наличии корпуса (а также корпуса с учетом воз-
Действия крыла) находят соответственно по формулам A2.7.33) и
A2.7.34); в них следует принять бв =бв.Кр, а коэффициенты
интерференции /Ст =/Ст.кр» kT =kT.Kp, /СКр» ^кр вычислять по парамет-
РУ для крыла гкр/Eт)кр.
Глава двенадцатая 214
По аналогии с A2.7.33) коэффициент нормальной силы оперения
при наличии корпуса
С*оп (т) = (^опа + *оА.оп) С*огМ>п/5кр , A2.7.36)
где /Соп» &оп — коэффициенты интерференции оперения, сходные с
соответствующими коэффициентами /Скр и &кр крыла; бв.оп — угол
поворота консолей оперения.
Коэффициент нормальной силы корпуса при наличии оперения
ст (оп) = (^т.оп^ + 6т.оЛ.оп) <Туоп *Ап/5кр, A2.7.37)
где /Ст.от &т.оп — коэффициенты интерференции, которые для
оперения вычисляют так же, как и значения /Сг.кр» ^т.кр Для крыла.
Более точное нахождение коэффициента нормальной силы
хвостового участка комбинации «корпус — крыло — оперение» связано с
определением поправки к этому коэффициенту, обусловленной
интерференцией с крылом. Величина этой поправки
^ (т, on) в = 'on 2l • A^.7.38)
Коэффициент интерференции /оп в этом выражении определяется
по графикам, изображенным на рис. 12.6.9, как функция (гт)оп =
= roJ(sm)on> Лоп? zJMou* yj(sm)<m- ПРИ ЭТ0М вертикальная
координата вихря yv (см. рис. 12.6.8) в случае поворота консоли крыла
на некоторый угол 6в.кр
fc = WonO-WB.ip. A2.7.39)
где 6вр — расстояние между осью вращения консоли и точкой схода
вихря.
Суммируя найденные значения составляющих коэффициента
нормальной силы и добавляя коэффициент нормальной силы
изолированного корпуса, получаем суммарный коэффициент для всей
комбинации:
су = cyTSMUA/SK р + Асу кр (т) + Ас^ (кр) + Асу оп (т) +
+ А^(ОП)+А^(Т,ОП)В. A2.7.40)
С учетом приведенных значений коэффициентов нормальной силы
участков комбинации и соответствующих величин коэффициентов
центра давления найдем по аналогии с A2.7.32) следующую
зависимость для коэффициента центра давления всей комбинации
(относительно носка корпуса):
<;д = хя/хк = — mjcy = Г(сд)т с ^- + (^д)кр (Т) Асу кр (т, +
+ (Сд)т (кр) ^Суг (кр) + Won (т) &Су оп (т) ~Ь (Сд)т (оп) ^Суг (оп) +
Аэродинамическая интерференция 215
В этом выражении коэффициент центра давления для участка
«корпус — оперение» (см. рис. 12.6.13)
Ыш (т) = (*д)оп (т) / х* = *оп + ( *д)оп (т) (боH„ ; A2.7.42)
(сд)т (оп) = (*д)т (оп) /Хк = Хоп + ( Сд)т (оп) (Ь0)оп , A2.7.43)
где *011 = *оп/*к» (b0)ou = (b0)oJxK[xK — расстояние от носка корпуса
до оперения; (Ь0)оа — бортовая хорда оперения];
— ^0п7' ^а оп (т) "*" *оп*в.оп fa) 8 on (т) /19 7 44\
~ ^т.опа fa)cx т (on) + feT.on 5в.оп fa)&T (on)
oo) ^т.опа + ^.оп5в.оп
A2.7.45)
Для участка комбинации «корпус — крыло» коэффициенты
центра давления (?д)Кр(т)> (^д)т(кр) определяем по формулам A2.7.28),
A2.7.30) с использованием A2.7.29) и A2.7.31), а значение (?д)(Т,оп)в
принимаем равным (сд)Оп(т).
Для определения продольной эффективности рулей вычислим
производные от коэффициента нормальной силы по углам отклонения
органов управления 6в=6в.кр и бв = бв.оП. В соответствии с
О2.7.40)
г в.кр __ д/,°в.кр _. д в.кр I \г в.кр /in 7 4^
Су — аСу кр (Т) -TisCу т (кр) Т" &Су (Т, оп) в , V1Z* ' Л0)
где производные в правой части определяем путем дифференцирования
по бв.кр A2.7.33), A2.7.34) и A2.7.38):
д 8в.кр_1, « и . д^ в.кр t, ^а и . /19 7 Д7\
АСу Кр (Т) ККРСУКР К1 ^Т(Кр) КСК ^1*1)
д^в.кр С
асу (т,оп)в = ton
clonfeKP (sm —
-—т
Выражение A2.7.48) учитывает изменение производной от
коэффициента нормальной силы по углу поворота крыла, вызванное скосом
потока перед оперением. Производная из этого коэффициента по углу
отклонения консолей оперения согласно A2.7.40)
/ у /Тп). A2.7.49)
Производные в правой части находим по A2.7.36) и A2.7.37):
ЛсуВоп°(т, = КиОу oASoh/Skp J AS^Sn) = *т.оп4 on 50п/5кр. A2.7.5Q)
*т.оп4 on 50п/5кр.
Для определения продольной эффективности по углу отклонения
Глава двенадцатая
216
Jbo)Kp^
Рис. 12.7.6 Схема для
определения продольной
эффективности рулей
крыла следует воспользоваться соотношением (рис. 12.7.6)
mz*KV =
^'р— (Сд)8т (кр) (^)кр] —
[хоп + (сд)(т> о„, в (бо)оп 1,
A2.7.51)
ГДе
/Х
Продольная эффективность по углу поворота консоли оперения
т (on)
+
(оп)
(бо)оп].
A2.7.52)
В формулах A2.7.51) и A2.7.52) коэффициенты центров давления
вычислены как отношения соответствующих расстояний к бортовой
хорде крыла или оперения, например (сдMкр(т) = (лгдMкР <Т)/(&о)кр'»
(Сд)(т, оп) в = (*д)(т, оп) в /F0)оп И Т' А-
Приведенные значения продольной эффективности можно отнести
к крестообразной конфигурации летательного аппарата,
движущегося без скольжения (а ф 0, C = 0). Если такой аппарат накренен
(а ф 0, 0 Ф 0), то возникает необходимость в определении наряду с
продольной ть2* также путевой тьун эффективности. При этом
продольную эффективность можно найти при помощи формул A2.7.51)
и A2.7.52) в плоскости угла a =accos(p, не учитывая
взаимодействия между вертикальными и горизонтальными консолями.
Аналогично определяем путевую эффективность, вычисляемую при
симметричном отклонении вертикальных рулей (бн = 6н.кр; бн = 6я.оП)
в плоскости угла скольжения 0 = acsin(p. При этом
т2 = — ту
A2.7.53)
Аэродинамическая интерференция 217
В случае движения под углом крена продольная эффективность
в плоскости угла атаки ас возрастает, что объясняется увеличением
несущей способности крестообразного оперения при повороте на
угол ф.
Одна из причин снижения эффективности рулей и нарушения
линейной зависимости их аэродинамических характеристик от угла
отклонения связана с образованием щелей между органами управления
и корпусом. Такое явление возникает при достаточно больших щелях,
размеры которых возрастают по мере отклонения рулей. Снижение
их несущей способности и нарушение линейности обусловлено
резким падением перепада давления у корневой хорды, вызванным
щелью.
Повышения эффективности органов управления и восстановления
линейности можно достичь путем уменьшения в конструкции
летательного аппарата размеров щелей и одновременно снижения
допустимых углов отклонения рулей. При этом в реальных условиях вязкого
обтекания пограничный слой как бы перекрывает малые щели, что
приводит к уменьшению их отрицательного воздействия на рули.
Влияние щелей, образующихся в производственных и
эксплуатационных условиях, на изменение эффективности рулей можно учесть,
если ввести поправочный множитель km в полученные выше значения
аэродинамических характеристик органов управления. При
дозвуковых скоростях (Моо< Моокр) ориентировочно можно принять km =
= 0,8 -т- 0,85, а при повышенных числах Маха (М«> > 1,4)
коэффициент кщ = 0,9 -т- 0,95.
§ 12.8.
Аэродинамическое сопротивление
Зависимости для определения аэродинамического сопротивления
летательного аппарата в виде комбинации корпуса, крыльев и
оперения должны учитывать влияние на сопротивление интерференции
между отдельными элементами аппарата. Полное сопротивление Ха
при наличии подъемной силы (сУа -ф 0) можно представить суммой
сопротивления Хо при нулевой подъемной силе, основной части
индуктивного сопротивления Хг, создаваемой корпусом, крыльями и
оперением, а также индуктивной составляющей АХа> включающей
некоторые неучтенные аэродинамические силы, появляющиеся вместе
с подъемной силой, т. е. Ха = Хо + Хг +ДХа . Соответствующий
коэффициент полного сопротивления, отнесенный к некоторой
характерной площади 5,
*/E) = **о + cxi + AcX0L. A2.8.1)
Глава двенадцатая а 218
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ ОТСУТСТВИИ
ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ \суа =0)
Величина коэффициента этого сопротивления
сх0 = АсХТ + Асх кр + Асхои . A2.8.2)
где
Ас*т = сХТ + Асх т (Кр) + Асх т (оп); 1
A I A A I fcA f AZ.O.Z )
&сх кр = ^ кр + Ас* кр (т) ; Асх оп = сл оп +,Асх оп (т> - J
Здесь ^дст; сХКр и схои — соответственно коэффициенты
сопротивления изолированных корпуса, крыльев и оперения; остальные
компоненты в сумме дают поправку на интерференцию. Индекс в скобке
у каждой составляющей указывает элемент конструкции, в результате
интерференции с которым появляется дополнительное сопротивление
корпуса, крыла и оперения.
Основной частью сопротивления всей комбинации является
сопротивление ее изолированных элементов
Ьс*о = сХТ + сХК9 + сХОп. A2.8.3)
Выделив из каждой составляющей сопротивление, вызванное
разрежением за донным срезом (донное сопротивление), получим
&Сх0 = СХ1 + схкр + схоп + сх т. дон + сх кр.дон + ^яоп.дош A2.8.37)
где первые три величины — коэффициенты сопротивления от давления
и трения на корпусе, крыле и оперении, а вторые три компонента —
соответствующие составляющие коэффициента донного
сопротивления.
Сопротивление корпуса. Полное сопротивление корпуса
определяется с учетом его формы, которая в общем случае может
отличаться от тела вращения. Если это отличие невелико, то корпус
рассматривается как тело вращения с распределением радиусов вдоль
продольной оси х, происходящим по закону r(x) = VS(x)/n, где S(x)—
площадь поперечного сечения корпуса заданной формы. У такого тела
вращения подъемная сила и моментные характеристики, как
показывают исследования, сохраняются такими же, как у корпуса заданной
формы. Различие в сопротивлении оказывается более
существенным, поэтому его целесообразно учитывать. Отклонение
формы корпуса от тела вращения может происходить из-за различных
«надстроек», например обтекателей, антенных устройств и др.
Аэродинамическое сопротивление корпуса зависит от
расположения надстроек. Исследования показывают, что наименьшим является
сопротивление при среднем расположении этих надстроек. При
выносе вперед надстроек сопротивление возрастает из-за повышенного
давления на носовую часть, а при заднем расположении оно
увеличивается вследствие срыва потока и повышения донного разрежения.
Аэродинамическая интерференция
219
м<?
им>
W) \l"' I Й2(М2)
•Em;o7
Рис. 12.8.1 Схема летательного аппарата для расчета аэродинамического
conn оти в лен и я
Сопротивление, обусловленное таким разрежением за донным срезом
площадью Sfl0H, определяется величиной коэффициента донного
давления */?дон = (/7Д0Н — /?оо)/?оо, поэтому коэффициент сЛ т.дон в
A2.8.3'), отнесенный к характерной площади S (рис. 12.8.1),
т.дон
^т.дон
В практических случаях при вычислении сопротивления можно
принять, что его составляющая, обусловленная трением, не зависит
от интерференции. Тогда следует учитывать изменение только
сопротивления от давления корпуса вследствие интерференции с
несущими поверхностями. При этом если крылья и оперение
расположены на цилиндрической части корпуса, то его сопротивление не
изменяется. Если же крылья или оперение находятся на сужающихся
или расширяющихся участках корпуса, то влияние интерференции
может оказаться существенным. Приближенно величины Асхт (КР)
или AcXT(on) можно определить исходя из предположения, что корпус
находится в поле давления изолированной консоли несущей или
стабилизирующей поверхности, которое можно вычислить по
сверхзвуковой теории крыла (см. § 8.3).
Сопротивление крыльев и оперения. При расчете сопротивления
изолированных крыльев и оперения их форму целесообразно
рассматривать в виде консолей, выступающих над корпусом, и фиктивных
участков несущей поверхности, расположенных внутри корпуса. У
такого крыла (или оперения) сохраняются прежний размах, но
увеличивается площадь S'Kp. Значение ^кр(Хкр) [или схоп(Хоп)],
учитываемое формулой A2.8.2), определяется сопротивлением этого крыла
без той его части, которая приходится на фиктивный участок крыла
ллощадью ASKP, расположенного под корпусом,
сх кр = (сх кр)и3 ( 1 ^кр/^кр) »
Г^е (схкр)и3 — коэффициент сопротивления пары консолей,
рассчитанный для значения 5'кр с учетом площади под корпусом.
Глава двенадцатая 220
Влияние интерференции на сопротивление можно учесть, введя
поправку к выражению для схкр в виде
с*кР = (с*кр)и3A— ^и.крд5кр/5кр), A2.8.5)
где &и.кр — коэффициент интерференции, изменяющийся в широких
пределах в зависимости от расположения крыла на корпусе и
характера их сопряжения, а также формы и удлинения крыла. При
небольшой стреловидности и удлинении (А,кр > 2) крыльев, плавно
сопряженных с корпусом, величина &и.Кр мало отличается от единицы.
При положительной интерференции, уменьшающей сопротивление,
величина &и.Кр > 1.
Сопротивление консолей (оперения) вычисляем так же, как и для
крыла. Согласно полученным результатам, сумму членов Acxilv +
~\~Асхот входящую в A2.8.2), можно представить в виде
(AS
1— йя.кр-Т ]?
+ (сХОп)язA -Von -^L) Щ211 К A2.8.6)
где 2S'Kp, 2S'on— суммарные площади консолей с учетом
участков, занятых корпусом; klf k2 — коэффициенты торможения потока;
(^зскр)из» (^жоп)из — коэффициенты сопротивления изолированных
крыльев и оперения, вычисленные соответственно для чисел Mi и Мг
потоков соответственно перед крыльями и оперением.
Полное сопротивление при суа = 0. Сумма составляющих
коэффициента Асхт A2.8.2'), относящаяся к корпусу,
Д**т = [с'„ + Ас;т(кр) + Дс;т@П)]5мИд/5, A2.8.7)
где коэффициенты со штрихом находим по миделевому сечению
корпуса, а величина Дс^т отнесена к характерной площади S
рассматриваемой комбинации. Учитывая A2.8.6), найдем общее соотношение
для полного коэффициента сопротивления:
с — г с' _l \с' А- \с 1 ^мид 4-
Сха~ I х т ^ aLx т (кр) ^ аСх т (on) J ^ ^
4" (сх кр)и3 I 1 ^и. )
\ 5КР /
(^] Ц^ К A2.8.8)
Согласно экспериментальным исследованиям, у большей части
конструкций влияние интерференции на сопротивление оказывается
небольшим и его можно учесть путем введения к коэффициенту со-
Аэродинамическая интерференция
22t
рис. 12.8.2 Применение
правила площадей для
расчета аэродинамического
сопротивления:
у — заданная конфигурация
летательного аппарата; 2 —
эквивалентное тело вращения с
наплывом (в сечениях /—/ и II—II
площади сечений одинаковы);
3 — тело вращения минимального
сопротивления; 4 — форма
эквивалентного тела (с поджатием
корпуса), имеющего
уменьшенное сопротивление (площади в
сечениях III-III и IV— IV оли-
накот ы)
противления Асх0 A2.8.3) некоторого суммарного коэффициента
интерференции kc. В соответствии с этим полный коэффициент
сопротивления сХа =AcxOkc. Коэффициент kc зависит от ряда факторов,
в частности, скорости и высоты полета, схемы летательного
аппарата, конструкции его отдельных элементов. Величина этого
коэффициента обычно мало отличается от единицы и в приближенных
расчетах может быть принята равной kc ж 1,05 ч- 1,06.
Правило площадей. Практический интерес представляет оценка
сопротивления комбинации «корпус — крыло», основанная на
использовании правила площадей. Согласно этому правилу,
сопротивление указанной комбинации равно его соответствующему значению
для изолированного корпуса, имеющего то же распределение
площадей поперечного сечения, что и комбинация «корпус — крыло».
Такой изолированный корпус называют эквивалентным телом.
При построении эквивалентного тела комбинация «корпус —
крыло» рассекается поперечными плоскостями, перпендикулярными
продольной оси, и измеряется ее площадь в выбранном сечении. Эта
площадь считается принадлежащей эквивалентному телу, которое
отличается по внешнему виду от заданного корпуса тем, что начиная
с сечения, где расположены передние кромки, такое тело приобретает
выпуклую форму (рис. 12.8.2). Если форма эквивалентного тела
определена, то коэффициент его волнового сопротивления можно найти,
например, при помощи интегрального соотношения A1.3.28).
Входящую в него вторую производную S"(|) вычисляем для
эквивалентного тела.
В сверхзвуковом диапазоне скоростей изложенный метод применим
только для очень тонких конфигураций со стреловидными крыльями
малого удлинения. Этот метод можно применять и для нестреловидных
крыльев при условии, что Моо < 1 •
Экспериментальные исследования показывают, что правило пло-
Щадей можно использовать для получения такой компоновки
летательного аппарата, которая бы обеспечила в области трансзвуковых
скоростей наименьшее сопротивление. В соответствии с этим правилом
Глава двенадцатая
222
0,15
0,08
_
-V г
1
i
\
/——
3
1
0,92
1,00
1,08 Мо
Рис. 12.8.3 Зависимость
коэффициента сопротивления
летательного аппарата,
спроектированного по
правилу площадей, от числа
/ — корпус минимального
сопротивления; 2 — комбинация
«корпус — крыло», спроектированная
по правилу площадей; 3 —
комбинация «корпус — крыло»,
спроектированная без учета правила
площадей
летательный аппарат следует конструировать таким образом, чтобы
площади его поперечных сечений изменялись вдоль продольной оси
аппарата по тому же закону, что у тела вращения с минимальным
сопротивлением (рис. 12.8.2).
На рис. 12.8.3 показана экспериментальная зависимость
коэффициента сопротивления сха при суа =0 от чисел Моо, из которой видно,
что комбинация «корпус — крыло», спроектированная по правилу
площадей, имеет меньшее сопротивление по сравнению с комбинацией,
спроектированной без учета этого правила.
Применение правила площадей дает удовлетворительные
результаты для околозвукового диапазона чисел Маха, изменяющихся в
пределах 0,8< М<х>< 1,4.
ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
В случае суа Ф 0 дополнительное (индуктивное) сопротивление
определяется суммой соответствующих аэродинамических
коэффициентов cxi + AcX(l [см. A2.8.1)]. В свою очередь коэффициент
индуктивного сопротивления cxi для дозвуковых скоростей можно
рассматривать как сумму коэффициентов индуктивных сопротивлений
горизонтальных консолей крыла (cxi)KJ? и оперения (cxi)ou (при
отсутствии скольжения):
cxi = teci)Kp + (cxi)on = (cxi)*P (SLJS)kx + (^)on(S'oJs)К A2.8.9)
где _ _
(**|)кр= (<)кр/И*эф)кр1; (^)оп = Dв)оп/[^(^эф)оп]- A2.8.10)
В этих выражениях коэффициенты подъемной силы находят для
изолированных консолей с учетом площади под корпусом, т. е. по их
действительному размаху. Для учета интерференции введены
эмпирические коэффициенты, представляющие собой эффективные
удлинения:
(Аэф)кр = *кр A + ASKP/S;p); (Хэф)оп= Хоп( 1 + Д5ОП/5;П), A2.8.11)
Аэродинамическая интерференция 223
где К? =4(s2m)KP/5/Kp; Яоп = 4(s2m)oll/S'on — соответственно
удлинения изолированных крыльев и оперения.
При сверхзвуковых скоростях коэффициент индуктивного
сопротивления cxi =Xil{qooS) =cyaa. Согласно A2.6.64), A2.7.26),
A2.7.36) и A2.7.37),
Cxi =
A2.8.12)
Рассмотрим составляющую полного коэффициента сопротивления
схг ^AXa/foecS), зависящую от угла атаки [см. A2.8.1)]. Величина
этого коэффициента в значительной мере определяется
подсасывающей («реактивной» или «подталкивающей») силой крыльев и оперения,
при вычислении которой необходимо учесть изменение их подъемной
силы за счет интерференции с корпусом. Согласно (8.11.5), а также
учитывая A2.6.64), A2.7.36) и A2.7.37) (с учетом отрицательного
знака), имеем
= \сх т)кр "V \сх т)оп ==
(FTAT)on jl(KKp + KT)on + (kKP + kT)
on
2
-(de/doi)ou]c* 1 -?*-]<* A2.8.13)
у on J S J
В частном случае когда рули не отклонены Fв.кр = бв.оп = 0)„
(ГтДт)о [р ^}
A2.8.13')
При определении подсасывающей силы крыльев и оперения при
дозвуковых скоростях (Моо< 1) можно использовать формулы (8.11.5)
и (8.11.6), предусматривая для тонких конфигураций коэффициенты
интерференции с корпусом такими, как в A2.8.13). Коэффициент
подсасывающей силы корпуса, вычисленный по характерной площади S,
определяем в соответствии с A1.5.43) в виде
(Дс„)т = схт = la*SMUn/S. A2.8.14)
Глава двенадцатая 224
Таким образом, дополнительный коэффициент сопротивления
Асхл = (Дс„)т + (А^а)кр + (Асхо)оп. A2.8.15)
У многих летательных аппаратов, предназначенных для полетов
с большими скоростями, крылья и оперение выполняют с заостренными
передними кромками, поэтому сумма (Д^)кр + (Д?*а)оп = 0.
Если учесть, что подсасывающая сила корпуса составляет
незначительную часть полного сопротивления, то можно считать (Асх*)т «
« 0. В соответствии с этим коэффициент сопротивления,
обусловленный углом атаки, определяется формулой cxi = сУаа, т. е.
зависимостью A2.8.12). В этой зависимости можно принять бв#кр = бв.оп « 0
для тех летательных аппаратов, у которых подъемная сила при
отклонении рулей изменяется незначительно и, следовательно,
пренебрежимо мало индуктивное сопротивление, вызванное этим отклонением.
§ 12.9.
Нестационарные характеристики
летательного аппарата
численный метод определения
производных устойчивости
при дозвуковых скоростях
Основные элементы современных летательных аппаратов,
особенно высокоскоростных, являются сравнительно тонкими и
слабоизогнутыми. Поэтому для большей части поверхности косинусы угла
между нормалью к поверхности в данной точке и продольной осью
Ох малы, т. е. cos(n, #)« 1. Используя это неравенство и
рассматривая аэродинамические задачи в линейной постановке, можно
показать (см. [51, 52]), что при расчете нагрузок, обусловливающих
возникновение нормальной силы, реальный летательный аппарат
можно заменить схематизированной базовой плоскостью, параллельной
оси Ох. На эту плоскость сносятся соответствующие граничные
условия. Таким образом, в принятой схеме предполагается, что
аэродинамические нагрузки не зависят от толщины аппарата. В соответствии
с этим решается задача об определении производных устойчивости
крыла (см. § 9.8). Согласно принятой схеме, летательный аппарат
заданной формы, для которого рассчитываем производные
устойчивости, представляем в виде одной базовой плоскости. Эту плоскость
в свою очередь заменяем системой дискретных нестационарных
вихрей. На рис. 12.9.1 показана система таких вихрей, относящаяся
к случаю циркуляционного обтекания заданного летательного
аппарата.
Все дальнейшие численные расчеты проводятся так же, как и для
крыла. При этом в качестве характерного линейного размера
Аэродинамическая интерференция
225
Рис. 12.9.1 Вихревая модель
плоской конфигурации
летательного аппарата
при вычислении коэффициента момента тангажа mz и безразмерного
кинематического параметра выбираем длину аппарата #к:
mz = MJ( qJSKVxK), coz = йгхк/Уш.
Характерным размером при расчете момента крена тх является
размах крыльев с учетом подфюзеляжной части, а при расчете
кинематического параметра со^ — полуразмах:
тх = MJ( 9вв, 5КР, /), со, = йх1/BУ„).
Пересчет полученных аэродинамических коэффициентов на числа
Моо< 1 (сжимаемая среда) производим при помощи формул (9.8.95)—
(9.8.98).
ПРОДОЛЬНОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ
, Рассмотрим расчет коэффициента продольного демпфирования
в предположении, что движение летательного аппарата совершается
в продольной плоскости без крена. Полученные в результате такого
расчета частные характеристики демпфирования оказываются
полезными для оценки динамических свойств летательного аппарата.
Пусть аппарат движется по криволинейной траектории под нулевым
углом атаки (рис. 12.9.2) в продольной плоскости. Исследование
демпфирования можно осуществить в предположении, что это
движение с точки зрения аэродинамического воздействия эквивалентно
вращению аппарата около центра масс с некоторой угловой скоростью.
Вследствие такого вращения оперение и часть корпуса под ним
находятся под некоторым местным углом атаки Да = &2(хц.Т)оа/У>
где (лгц.т)оп — расстояние от центра масс аппарата до центра тяжести
площади оперенного участка; 22(*ц.т)Оп — скорость дополни-
8-708
Глава двенадцатая
226
S2Z
(x
Xk
Хд.оп
у VUM
Рис. 12.9.2 Движение
комбинации «корпус —
оперение» по криволинейной
траектории
тельного вертикального потока; V — скорость возмущенного потока,
набегающего на оперение.
Возникновение угла атаки приводит к появлению нормальной
силы хвостового участка. В соответствии с направлением вращения,
показанным на рис. 12.9.2, эта сила действует вверх, а при
изменении направления этого вращения — вниз. Таким образом, в обоих
случаях направления вращения и дополнительного демпфирующего
момента противоположны.
Величина нормальной силы определяется с учетом интерференции
с корпусом. Кроме того, можно ввести поправку в общее значение
нормальной силы хвостового участка за счет дополнительной силы
корпуса, возникающей в результате его интерференции с оперением.
С учетом этого
Су оп = (*оп + Кт) 4оп VX&z (*ц.т)оп/^оо , A2.9.1)
где (^ц.т)оп — координата, определяемая как расстояние от носка
летательного аппарата до середины средней аэродинамической хорды
консоли оперения (рис. 12.9.2); (хц.т)оп = хои + хА + 6А/2.
Величина коэффициента суоп относительно мала и в расчетах
суммарного коэффициента нормальной силы обычно не учитывается;
при этом дополнительный продольный момент может оказать
существенное влияние на динамические свойства летательного аппарата.
Коэффициент этого момента вычисляем по величине суои и
расстоянию (хд)оп от центра масс до центра давления:
mz
= - (Kon + Кт)с
ау on VKUZ (*ц.т)оп(*д)оп/(л:кУоо) . A2.9.2)
Соответствующие вращательные производные по параметру coz =
Q2^K/Koo имеют следующий вид:
Су оп
+
су on
•^ц.т/о
Су оп У ki (#ц. г
A2.9.3)
A2.9.4)
где
= {хц,т)оп/хк , \Хд )оп = (Хр
Аэродинамическая интерференция 227
в случае приближенных расчетов можно принимать (#д)оп = (^ц.т)Оп-
Знак производной A2.9.4) всегда отрицателен, так как
направления демпфирующего момента и вращения противоположны. Формула
A2.9.4) применима для тех случаев, когда оперение достаточно
удалено от центра масс.
Для определения суммарных производных устойчивости
комбинации «корпус — оперение» воспользуемся общими соотношениями
для нормальной силы и продольного демпфирующего момента:
Q Q, Q
Су *7оо«ЪмИд^2 === Су т ^оо^мид »«z "т" Су оп 9oo«3OIIi«&z J
Qz Qz Q2
Переходя в этих соотношениях к производным по безразмерному
параметру со2 = QzxjVoo, получаем:
(az mz mz oiz <j&z (?z
с у = cy т+ Су огДщ/^мид; mz = mz т+ тг onSou/SMnjlf A2.9.5)
где с?т и /Пгт — производные, определяемые по зависимостям для
изолированного корпуса, а СуоП и пг^п — соответственно по
соотношениям A2.9.3) и A2.9.4).
Если при определении коэффициентов нормальной силы и
продольного момента оперенного участка в качестве характерного
размера выбрать среднюю аэродинамическую хорду (л:к = йд.оп), то
производные рассчитывают по формулам
CD2 (?>z (О^Д
Су = Сут + Су огДщ^А. оп/Eмид#к);
где (огА = Q26a on/V'oo; производные по огА можно определить с
учетом A2.9.3) и A2.9.4):
МОМЕНТ РЫСКАНИЯ
Изложенный метод расчета продольного демпфирования можно
использовать для вычисления производных устойчивости оперенного
Участка корпуса при движении рыскания и при условии, что все
другие виды движения отсутствуют. В соответствии с этим методом
производные устойчивости в случае движения рыскания определяются
Для плюсобразного оперения соотношениями
где
8*
У * У *
cz ои+ = —су on+\ my оп+ = — mz оп+
Глава двенадцатая 228
Вращательное движение летательного аппарата вокруг
продольной оси может вызвать дополнительный момент рыскания,
называемый спиральным. Это объясняется возникновением подсасывающих
продольных сил на передних кромках горизонтального оперения.
Причем если вращение происходит в сторону правой консоли
оперения, то такая сила на этой консоли вследствие возрастания местного
угла атаки больше, чем на левой. В результате возникает
положительный момент рыскания &МУ, пропорциональный при относительно
медленном вращении угловой скорости Qx. Такой момент возникает
только при дозвуковых скоростях (или при числах Моо > 1 для
консолей оперения с дозвуковыми передними кромками). Для
консолей оперения со сверхзвуковыми кромками спиральный момент
равен нулю, так как подсасывающая сила не возникает.
Исследования показывают, что в случаях, когда спиральный
момент возникает (при наличии горизонтального оперения или
крыльев), его величина оказывается настолько незначительной, что в
практических расчетах суммарного момента рыскания им обычно
пренебрегают.
При наличии оперения с вертикальными консолями, симметрично
расположенными относительно корпуса, у летательного аппарата,
совершающего вращение, спиральный момент рыскания не образуется.
Это объясняется тем, что появляющиеся вследствие такого вращения
поперечные силы на этих консолях противоположны по знаку.
Если имеется одна консоль (верхняя или нижняя), то
спиральный момент не равен нулю. Этот момент вычисляем следующим
образом. В результате вращения со скоростью Qx появляется
дополнительный угол скольжения, средняя величина которого E = QxynJV
(где уц,т — расстояние от оси до центра тяжести площади оперения,
равное примерно расстоянию до средней хорды 6А5 рис- 12.9.2).
Соответствующая этому углу поперечная сила
AZ = — (К0П + /Ст) сауоп $qSou,
Момент этой силы относительно центра масс
АМу = - (К0П + Кт) с1О1рхуц.т (*д)оп qS0U/V.
Вычисляя коэффициент спирального момента и соответствующую
производную по о)х = Qjc/qii/^Koo), отнесенные к скоростному напору
<7«> и длине корпуса хк, находим
т°х = - 2 (/Со„ + КТ) су 0Пуц,Т (хд)оп УТ[, A2.9.9)
гДе 0ц.т = 0ц.т/Аш. (^д)оп = (*д)Оп/*к (Am — размах оперения с
учетом толщины корпуса).
Аэродинамическая интерференция
229
рис. 12.9.3 Схема для
определения метода
приведенного угла атаки
ДЕМПФИРОВАНИЕ КРЕНА
Метод приведенного угла атаки. При вращении летательного
аппарата с некоторой угловой скоростью Qx каждое сечение
горизонтальной консоли получает некоторую дополнительную скорость &Vy =
= —Qxzy переменную по ее размаху (рис. 12.9.3). Среднюю
величину ЭТОЙ СКОРОСТИ МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ В ВИДе Vycv = —ФкBц.т)оп
[где Bц.т)оП — координата центра тяжести площади консоли]. Такое
дополнительное поперечное обтекание соответствует увеличению угла
атаки правой консоли на величину Да =—VyCV/V = Ох(гЦ9Т)оп/Уео
и уменьшению его значения для левой консоли на ту же величину
(эти значения углов атаки называют приведенными). Поэтому на
обеих консолях появляются нормальные силыД^, равные по
величине, но противоположные по знаку:
Cl on
(Son (к) /2) Оя
где 5оП(К) — площадь консолей оперения с учетом подфюзеляжной
части.
Соответствующий коэффициент нормальной силы
= AY/(qooSon{K)/2)= ±
A2.9.10)
где coz = uxl0U/BVoo), (гц.т)оп = Bц.т)оп//Оп ; 4оп — коэффициент,
определяемый для изолированных консолей оперения.
Согласно A2.9.10), вращательная производная коэффициента
момента крена (производная демпфирования крена) определяется
соотношением
, A2.9.11)
гДе rm = 2г//оп, (z~)9 on (т) = [(гя\ оп м — г]/@,5/оп — г).
Глава двенадцатая 230
Уменьшив вдвое величину производной демпфирования,
найденной при помощи A2.9.11), с известным приближением можно
определить соответствующее значение производной коэффициента
демпфирующего момента, создаваемого вертикальной консолью
несимметричного оперения летательного аппарата самолетной схемы. При
этом, очевидно, все вычисления должны вестись с учетом формы
и геометрических размеров консоли.
В случае плюс- или иксобразной («+» или «х») схемы
летательного аппарата значение A2.9.11) следует удвоить и, кроме того, ввести
в него поправочный коэффициент, учитывающий интерференцию
между консолями.
Рассмотрим физическую природу интерференции. Предположим,
что на верхней и нижней сторонах горизонтальной консоли возник
перепад давления, обусловивший появление нормальной силы. При
этом повышенное давление на верхней стороне горизонтальной
консоли частично распространяется на внутреннюю сторону верхней
консоли, а разрежение на нижней стороне — на внутреннюю сторону
нижней консоли. В результате возникает дополнительный момент
крена от вертикальных консолей, противоположный по знаку
моменту от горизонтальных рулевых поверхностей. Таким образом,
суммарный момент крена уменьшается. Исследования показывают,
что это уменьшение можно учесть путем введения некоторого
поправочного коэффициента х к величине момента крена от отклонения
плюсобразных органов управления, подсчитанной без учета
интерференции. Коэффициент х можно найти в функции rm = r/sm =
= г/@,5/оП) по приближенной формуле
х= 1—Г4'5Г/\ A2.9.12)
применимой для значений 0,4<гт<1. В случае гт<0,4 можно
принять х = 0,75. Согласно этому, для плюс- или иксобразной
конфигурации оперения вращательная производная
. A2.9.13)
Вращательные производные т®у и m^z. Моменты крена,
возникающие за счет вращения летательного аппарата вокруг центра
масс с угловыми скоростями Qy и Qz, называют спиральными.
Рассмотрим расчет вращательных производных от коэффициентов этих
моментов, определяемых значениями тх и тх (где соу = QyxK/Voo9
coz = uzxK/Voo).
При повороте летательного аппарата вокруг центра масс с
угловой скоростью Qy (рис. 12.9.4) консоль крыла получает
дополнительную линейную скорость д1/=йу/ц.т (где /ц.т — расстояние
от центра масс аппарата до центра тяжести площади консоли). В
случае положительного значения Qy эта скорость направлена вперед У
Аэродинамическая интерференция
231
Рис. 12.9.4 Схема для
определения вращательных
производных момента крена
ии,.т
правой консоли и назад у левой. Такими же по направлению являются
продольные составляющие дополнительной скорости Д Vx. В
соответствии с этим скорость обтекания правой консоли возрастает, а левой
уменьшается. Одновременно изменяются углы атаки. Это изменение
для консоли можно оценить средним приращением угла атаки Да для
сечения, проходящего через центр тяжести площади сечения. В
соответствии с рис. 12.9.4 величина
(этот угол положительный для правой консоли и отрицательный для
левой).
Изменение углов атаки вызывает появление дополнительных нор*
мальных сил противоположного знака на правой и левой консолях:
AFa = ±clonKonq(Son(K) /2)?ly(zn.T)ona/V.
Коэффициенты этих сил
A2.9.14)
u, A2.9.15)
Д (ц.т)оп Bц.т)оп/'оп. Топ 1оп/Хк.
По величине A2.9.14) можно определить коэффициент момента
крена:
тхл = AYa (гд)ср оп (Т>/[ <7те E0П (к) /2)оп /ои] =
= — СаутаКОи У~^<*у (гц.т)огЛп Bд>9 оп (т)//Оп • A2.9.16)
Соответствующая смешанная производная
^otJou [гт + A — гт)(
х*У= — 0,54оп Ко
4оп Кои
<)
A2.9.17)
Эта производная при положительной угловой скорости Qy всегда
отрицательна.
Глава двенадцатая 232
Наряду с продольным обтеканием вращение летательного
аппарата с угловой скоростью Qy вызывает также дополнительное
поперечное обтекание со скоростью AVZ = ?\ (*ц.т)оп под углом скольжения
АР = АУ2/Уоо = &у (*Ц.Т)ОП/Уоо (рис. 12.9.4). При скольжении
возникает момент крена АМХ$У коэффициент которого
Son (к)/Оп) = т{РУ (^ц.т)оп/^оо = mhby AЦ.Т)ОП, A2.9.18)
где (#ц.т)оп = (^ц.т)оп^к — безразмерная координата центра
тяжести оперения.
Соответствующая вращательная производная
/nJ=m|(^.T)on- A2.9.19)
Производную ml можно найти при помощи выражения A2.5.11),
определяющего коэффициент момента крена тх в зависимости от угла
стреловидности и поперечной V-образности, интерференции корпуса
и крыла, а также формы консолей.
Таким образом, суммарная вращательная производная при
боковом вращении
со
Шу Шу Шу Шу п , v
тх — тха + tnx$ = mxa + тх (#ц.т)Оп- A2.9.20)
Если горизонтальные консоли, создающие спиральный момент,
принадлежат плюсобразному оперению, то при вычислении
вращательной производной т™у следует учитывать влияние всех четырех
консолей, введя в A2.9.20) поправочный множитель х A2.9.12):
со«, со«.
тх1 = *тху. A2.9.21)
Вертикальные консоли оперения создают спиральный момент при
вращении вокруг поперечной оси Oz с угловой скоростью Qz. Для
летательного аппарата с плюсобразным оперением вращательная
производная коэффициента этого момента определяется в
соответствии с правилом аэродинамической симметрии выражением
т2=т2. A2.9.22)
Вертикальное оперение может создать спиральный момент также
и при вращении вокруг вертикальной оси Оу со скоростью Qy> если
оно является несимметричным. Этот момент вызывается
дополнительной поперечной силой AZPt возникающей на нижней или
верхней консолях при скольжении под углом АР = &у(хцл)оп/У:
AZP = ^оЛ>п<7 (Son (к) /2) Qv (*Ц.Т)ОП/К. A2.9.23)
Умножив эту величину на координату центра давления (уд)<роп(т) =^
=Bд)?оп(т)> получим спиральный момент крена АМХ$.
Аэродинамическая интерференция 233
Соответствующий коэффициент этого момента
тх? = АМхр /[ дж (Son (K) /2) sm] =
= —*у оЛ>п Q&y (*ц.т)оп Bд)9 оп (т)/(^тУ). A2.9.24)
Имея в виду, что безразмерный кинематический параметр <оу =
Й/К получаем производную
= — сауопКои У~^(хц.Т )оп[гт + A — гт)Aд\оп (тI. A2.9.25)
ПРИМЕНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА
ПРОИЗВОДНЫХ КРЫЛА И КОРПУСА
Производную устойчивости летательного аппарата,
представляющего собой комбинацию корпуса в виде тела вращения и крыла
(оперения), можно вычислить как сумму соответствующих производных,
найденных для изолированных тел вращения и крыльев путем
использования коэффициентов интерференции.
В расчетах будем исходить из предположения, что коэффициенты
интерференции /Скр и /Ст> полученные для условий установившегося
обтекания, такие же, как и при нестационарном движении. В
соответствии с этим любую аэродинамическую характеристику (су, тх,
mz) в случае такого движения комбинации «корпус — крыло
(оперение)» можно представить в виде ряда:
1=1
JL / Qi : • \
A2.9.26)
(i = 1, 2, 3; qi == a, q2 = cox1 q3 = coz; qi = ^ q2= (ox, q3 = co2).
Индекс «т, кр» обозначает аэродинамический коэффициент всей
комбинации, а индексы «т» и «кр» определяют соответствующие
коэффициенты изолированных корпуса или крыла. В соответствии с
A2.9.26) часть корпуса под крылом (оперением), дающая
дополнительную нормальную силу от интерференции с несущей
поверхностью, рассматривается как подфюзеляжный участок крыла
(оперения). Такое крыло с подфюзеляжным участком, имеющее размах / =
^ 2sm, обладает нормальной силой, коэффициент которой в
соответствии с A2.9.26)
+ Ас,,, (кр) = 2 ( су1^ 4t + су*р Яг ) . A2.9.27)
Глава двенадцатая
234
гДе с^кр' су*р — производные устойчивости для изолированного
крыла, размах которого / = 2sm.
При использовании зависимости A2.9.26) примем, что
скольжение летательного аппарата отсутствует, а коэффициент момента крена
и его производные для тела вращения (корпуса) равны нулю. В
соответствии с этим из A2.9.26) получаем следующие соотношения для
производных устойчивости аппарата, состоящего из корпуса и крыла
(оперения):
л
т, кр = Сут ~Г \АКр i Л т)
Су кр|
Су т,кр — Су т -\- (Д кр ~г Ат/ СУ кр i
ут, кр = Сут "Т (Акр • Лт)^кр
т, кр =
nx кр
ft
Т, кр = ГПгт + (ККр +
р= tnz т + (/С
кр
(К
A2.9.28)
A2.9.29)
A2.9.30)
A2.9.31)
A2.9.32)
Расчет производных устойчивости при неустановившемся
движении изолированных крыльев (оперения) рассмотрен в гл. 9, а тонких
корпусов —в гл. 11. В этих расчетах указано, к какой точке
приведения отнесены производные. Для крыльев в качестве точки
приведения, как уже известно, могут выбираться его вершина или
начало средней аэродинамической хорды, а для корпуса — центр масс
или передняя точка носовой части.
Поэтому при использовании выражений A2.9.28), A2.9.29),
A2.9.31) и A2.9.32) производные устойчивости изолированных
крыльев (оперения) и корпуса пересчитывают в соответствии с новой точкой
приведения всего летательного аппарата. Такой пересчет для
производных устойчивости по <дх и сол (в случае движения крена), очевидно,
не требуется, так как продольные оси, относительно которых вы-
Аэродинамическая интерференция
235
Рис. 12.9.5 Схема для пересчета
производных устойчивости корпуса и
крыла (оперения) на центр
приведения О летательного аппарата
числяется момент крена Мх изолированного крыла и в целом
летательного аппарата, совпадают.
При пересчете производных на новую точку (центр) приведения
следует воспользоваться формулами (9.3.7) и (9.3.8). На рис. 12.9.5
показаны точки О, Ог и О2, являющиеся соответственно точками
приведения аппарата в целом, а также изолированных корпуса и крыла.
Точки О и Oj обычно являются центрами масс летательного аппарата
и корпуса. Безразмерные расстояния от центров Ог и О2 до точки
приведения О обозначим хг = хг/хю х^ = x2fxK. В соответствии
с рис. 12.9.5 и формулами (9.3.7) и (9.3.8), в которых перед х = хг
необходимо изменить знак на обратный, для корпуса имеем
следующие зависимости:
Су\ ~
<*г _ z
Су\т — Сут
тг 1Т =
= mz
z z
t Су 1Т = СуТ Су
A2.9.33)
, тг 1т
тг
.1-
mzr — сут I xi —
A2.9.34)
Соответствующие формулы для крыла имеют следующий вид:
Су\кр — Су кр , Су 1кр — С
у кр \
Су 1кр === Су кр ~г
Су 1кр == Су кр "т~ Су кр
A2.9.35)
Глава двенадцатая
236
1кр
2 кр
Су кр
tTlz 1кр — ttlz кр —
j a A)z I —
' \fftz кр Су кр / ЛГ2
— с к 1?;
2
| а
Г \^z кр
*/ кр
A2.9.36)
При вычислении суммарных производных летательного аппарата
по соответствующим их значениям для изолированных корпуса и
крыльев следует учитывать, что все эти производные должны быть
отнесены к одним и тем же характерным геометрическим размерам.
За характерный размер для коэффициента продольного момента mz
аппарата обычно берется его длина хк и площадь крыльев в плане;
при вычислении кинематических параметров а, сог и а>г в качестве
такого размера принимается та же длина хю т. е.
тг т, кр = Mz т. кр /(q<x>SKVxK), a = (da/dt)
coz = azxx/Voo, <oz = (dQjdf) / / Vl.
A2.9.37)
Предположим, что характерными размерами для корпуса
являются длина хк и площадь миделевого сечения 5МИД, а для крыла —
средняя аэродинамическая хорда Ь& и площадь SKp. Согласно этому,
<*т = (da/dt) xj
со2
= azxx/Voo, (oZT = (dCljdf) x[
^kP = (da/dt)
A2.9.370
A2.9.38)
Приняв, что аэродинамические коэффициенты и соответствующие
производные устойчивости корпуса и крыла отнесены к одному
центру приведения сил, для суммы моментов Л1гТ|Кр = MZT + MzKp
получим уравнение
r, кР
= m
z 1т
mz
откуда полный коэффициент момента тангажа
кр
k • A2.9.39)
Соответствующая зависимость для производной по углу а имеет
вид
К т. кр = т\ 1Т5миД/5кр + m^ lKp bA/xK.
A2.9.390
дэродинамическая интерференция 237
Рассмотрим выражение для составляющей момента тангажа,
обусловленной продольным вращением с угловой скоростью Qz:
Q
Mz Tt кр = t7lz т> Кр Ч'оо^кр-^к^г»
Mz 1т - mJT^мид*A, Mz 1кр = mQz]Kp qooSKp bA?lz.
Суммируя, имеем
Шгт, KPqooSKVxK(Q,zxK/Voo) = т22Гт^сх5мидЛ:к(Й2л:к/Коо) -f
Отсюда следует, что производная летательного аппарата
/rcZT, кР= mz it SMHfl/SKp + mz ikPh 6a/ ^k • A2.9.40)
Аналогично представим выражения для остальных
аэродинамических коэффициентов и их производных. При этом в формулах
A2.9.39') и A2.9.40) производные для корпуса и крыла m?lT, /я?,
mz it и т21 кр получаем путем пересчета на соответствующий центр
приведения при помощи соотношений A2.9.33) — A2.9.36).
Вращательные производные летательного аппарата
Вращательные производные летательных аппаратов типа «корпус — крыло —
оперение» (рис. 12.6.3) при движении тангажа определяют по полученным
параметрам продольного демпфирования оперения. По аналогии с A2.9.3), A2.9.4)
с учетом торможения потока находят вращательные производные крыла и части
корпуса под ним (с^р, /w^p» ПРИ замене индекса «оп» на «кр»). Причем
в расчетах величины \х т)к и (*д)кр можно принимать одинаковыми.
При определении производных устойчивости для оперенного участка
необходимо учесть скос потока за крылом, угол которого
С учетом угла скоса коэффициент подъемной силы этого участка
с _(К +/п с. р
С- оп - (%р + N)on C^ on L к» Г ^ da )o
где V и У" — скорости соответственно перед крылом и оперением; q = ^ V 2/2.
Принимая во внимание значения ^i=(V7^«,J, ^2 = (У'/^ооJ и вычисляя
производную по а>2 = ^2^к/ V^, получаем
Соп = (^„р + ^т)оп 4 оп
Глава двенадцатая 238
Соответствующая производная коэффициента демпфирующего момента,
рассчитанного по площади крыла S и длине корпуса хк,
т**2 = — (/С + Кт)оп Су оп | (^)оп Vh — (^д)кр fe iV^i) (dfL/da)on I х
z on * ^ /UUJ
X Sonfo)on/SKp- A2.9.42)
Суммарные вращательные производные комбинации «корпус — крыло —
оперение» :
A2.9.43)
Входящие в эти формулы вращательные производные изолированного корпуса
находят по линеаризованной теории (см. § 11.6).
При расчетах по изложенной методике учитывают, что выражения для
производных коэффициента су пригодны в случае произвольных расстояний между
центром масс и консолями. При этом, если центр давления одной из них
совпадает с центром масс, то соответствующая подъемная сила исчезает. Что касается
демпфирующего момента, то его воздействие проявляется и в этом случае.
Между тем формула A2.9.42) дает нулевое значение производной, что не
соответствует действительности. Для получения более точных величин коэффициента
демпфирования крыла (оперения) следует воспользоваться данными работы [13].
главд
3
'оо
Трение
Глава тринадцатая
240
§ 13.1.
Уравнение пограничного слоя
Рассмотрим установившееся плоское движение вязкой сжимаемой
жидкости на криволинейной поверхности. Дифференциальные
уравнения Навье — Стокса, применяемые для исследования этого
движения, имеют вид первых двух уравнений в системе C,3.10). Заменяя
в них divK = dVjdx + dVy/dy, гг = 0,5(dVx/dy + dVyldx) и
полагая частные производные dVjdt и dVyldt равными нулю, получаем
дх у ду р дх о дх ) \ дх
а*
dVy
дх
-4- V
' У V
dVv
ду
ду
дх
A3.1.1)
Рассмотрим течение жидкости с малой вязкостью, т. е. с малыми
значениями коэффициента v =\i/p. Из A3.1.1) видно, что если
вязкость является существенной особенностью течения, то сомножители
при v должны быть достаточно большими, чтобы компенсировать
малые значения v. В свободном потоке влияние торможения,
вызванного силами трения, невелико, поэтому малыми являются изменения
скорости в различных направлениях, которые определяются
производными dVjdXy dVjdy и т. д. Вследствие этого малы сомножители
при v и в уравнениях можно пренебречь членами, учитывающими
влияние сил трения. В результате делаем вывод, что исследование
течения в свободном потоке можно вести на основе уравнения Эйлера
для идеальной (невязкой) жидкости. По мере приближения к
обтекаемой поверхности все больше проявляется воздействие вязкости на
изменение скорости. Поэтому членами, содержащими в качестве
сомножителя v, который характеризует влияние вязкости, пренебрегать
Трение
241
Рис. 13.1.1 Схема пограничного
слоя:
j _ пограничный слой; 2 — граница
пограничного слоя; 3 — обтекаемая
поверхность
нельзя и для исследования такого вязкого течения необходимо
применять уравнения Навье—Стокса A3.1.1). В этом заключается
первое положение теории пограничного слоя.
Второе положение этой теории заключено в возможности
упрощения уравнений Навье — Стокса при изучении движения
жидкости в пограничном слое, характеризующемся малой толщиной б.
Рассмотрим вывод этих упрощенных уравнений пограничного слоя,,
основанный на определении порядка членов в A3.1.1) и последующем
их сравнении.
В соответствии с предпосылкой о малости толщины пограничного
слоя примем, что 6« L, где L — характерный линейный размер*
например, длина обтекаемого тела (рис. 13.1.1). Так как для
координаты у точки пограничного слоя имеем неравенство 0<#< б, то,
следовательно, порядок величины координаты у ~ б. Вторая
координата х, определяющая расстояние вдоль пограничного слоя, имеет
порядок L(x ~ L). Если ввести обозначение Vt для скорости на
внешней границе пограничного слоя, то порядок скорости Vx в
произвольной точке пограничного слоя с координатой у будет Vx ~ V&.
Для определения порядка величины второй составляющей скорости
воспользуемся уравнением неразрывности B.4.50'), из которого
следует, что
р
-м^**
Примем порядок плотности р равным величине плотности рб на
границе пограничного слоя. Чтобы оценить порядок производной
d(pVx)/dx, воспользуемся следующим условием: при перемещении
вдоль поверхности на расстояние порядка характерной длины L
величина pVx может измениться на величину порядка рбКб (например,
°т 0 до рбКб), т. е. в данном случае AfaF*) ~ peVV Так как принято,,
что Дл: ~ L, то
d{pVx)/dx~PbVbL.
A3.1.2)
Глава тринадцатая 242
Поэтому
Порядок производных, входящих в A3.1.1), определим по
аналогии с A3.1.2). Например,
dVjdx~VblL, dVy/дх ~(FS 8L)A/L) =V,b/L2 и т. д. A3.1.4)
С учетом этих результатов рассмотрим первое уравнение A3.1.1).
Порядок слагаемых в левой части этого уравнения следующий:
VxdVJdx~Vb{VblL) =
VydVJdy ~ (УьЪ/L) (Vb/Ъ) =
Как видно из A3.1.5), оба слагаемых имеют одинаковый порядок.
Для членов, учитывающих влияние сил трения, расположенных
в правой части уравнения, находим:
- л" ' ^ дх ) ~ p L2 p " дх у ду / p jb-
A3.1.6)
1 д ( dVx\ p V, i д ( dVy i ^
P ду \ ду I p B2 p ду I dx I p
3 4
Из A3.1.6) видно, что так как б« L, то первый, второй и
четвертый члены имеют более высокий порядок малости и ими по
сравнению с третьим членом можно пренебречь.
Порядок слагаемого A/р)др/дх определяется из уравнения Бернул-
ли C.4.11). Исключая из него потенциальную функцию U (полагая тем
самым, что сила тяжести, т. е. вес газа, не оказывает влияния на
движение) и производя дифференцирование, найдем уравнение VdV =
= —dp/p. Это уравнение, относящееся, очевидно, к внешней границе
пограничного слоя, где трение пренебрежимо мало, можно представить
также в виде (\1р)др1дх = —VdVldx. Отсюда следует, что величина
(\1р)др1дх имеет порядок V\lL.
Если рассматривать течение, существенной особенностью которого
является влияние вязкости, то следует принять порядок оставшегося
и единственного члена, учитывающего вязкость, (\lp)d{\idVxldy)ldy
таким, как и всех остальных членов, т. е.
P oy X ду ) L
Таким образом, вместо первого уравнения A3.1.1) имеем
дх ду р дх р ду \ ду
-L.-2-ЫЦ*.). A3.1.8)
Трение 243
Рассмотрим второе уравнение A3.1.1). Порядок входящих в него
членов определяем аналогично первому уравнению:
Vx^- + V -^= L.lL + ±.±
дх у ду р ду Зр ду
Vlb/L*
1 а / aV \ 1 Л / dV.. \
A3.1.9)
2 д /.. dV \ , 1 д f..dVx\ , 1
Зр ду \ дх ) р дх \ ду I p d* \ дл;
(|x/p) Vj(Lb)
Последним членом в правой части A3.1.9) можно пренебречь, так
как он имеет более высокий порядок малости, чем другие члены,
учитывающие влияние вязкости. Для уточнения порядка других членов,
учитывающих влияние вязкости, определим порядок величины fx/p =v.
Для этого применим найденное соотношение A3.1.7). Порядок
величины в левой части этого соотношения определен третьим выражением
A3.1.6), поэтому (\i/p)Vb /б2 ~ V\L, откуда находим порядок
кинематической вязкости:
|х/р = v ~ V582/L. A3.1.10)
В результате этого получаем порядок оставшихся членов в правой
части A3.1.9), учитывающих влияние вязкости:
(Ц/Р)ML8) - (Vbb2/L)Vj(Lb) = y?8/ZA A3.1.11)
Очевидно, такой же порядок имеет величина (\1р)др1ду. В соответст*
вии с этим порядок отношения градиентов др/ду и др/дх определяется
значением 6/L, т. е. градиент др1ду«. др/дх. Поэтому с достаточной
степенью точности второе уравнение системы A3.1.1) можно заменить
уравнением
др/ду = 0. A3.1.12)
Согласно этому выражению, давление в пограничном слое в
направлении нормали к стенке не изменяется и равно давлению рь на внешней
границе пограничного слоя. Из этого следует, что тонкий пограничный
слой не оказывает влияния на распределение давления. Полученный
результат составляет содержание одной из важных гипотез теории
пограничного слоя, а именно гипотезы об отсутствии обратного влияния
пограничного слоя на свободный поток. В соответствии с этой гипотезой
расчет распределения давления по поверхности обтекаемого тела при
наличии пограничного слоя можно вести на основе уравнений Эйлера
Для идеальной (невязкой) среды, а касательных напряжений — исходя
из упрощенного уравнения A3.1.8). Это уравнение — основное в
теории пограничного слоя — называют уравнением Прандтля.
Глава тринадцатая 244
Такой расчет при помощи уравнений Эйлера и Прандтля можно
вести до тех пор, пока толщина пограничного слоя мала по сравнению с
размерами обтекаемого тела и, следовательно, действительна гипотеза
об отсутствии обратного влияния пограничного слоя на свободный
поток. На удаленных участках поверхности, где толщина
пограничного слоя велика, эта гипотеза неприменима и расчет вязкого
обтекания следует вести на основе общих уравнений Навье — Стокса.
Рассматривая уравнение Прандтля A3.1.8), замечаем, что в него
входит динамическая вязкость (х, являющаяся в общем случае
функцией давления и температуры. Для данного сечения пограничного
слоя, характеризующегося постоянным давлением рь, величина ц
изменяется по толщине слоя как функция температуры Т. Это же
относится и к плотности р. Таким образом, для нахождения решений для
fi и р надо знать вид функции Т(у). Чтобы определить эту функцию,
необходимо воспользоваться уравнением энергии, имеющим вид
последнего уравнения системы C.3.10).
Как и уравнение Навье — Стокса, уравнение энергии для
пограничного слоя упрощается. Соответствующие преобразования для
вывода упрощенного уравнения энергии приведены в гл. 14.
Воспользуемся полученным уравнением в форме A4.2.5'), соответствующей
отсутствию в пограничном слое какого-либо другого вида переноса тепла,
кроме теплопроводности. Если принять в этом уравнении число
Прандтля равным единице (Рг =1), то оно примет вид A4.2.6). Очевидно,
одним из возможных интегралов уравнения A4.2.6) будет равенство
/0 = const, отражающее условие постоянства полной энтальпии
частицы газа, т. е. условие A4.2.2)
i0 = i +V2x/2 = const. A3.1.13)
Можно показать, что это равенство соответствует условию
отсутствия теплопередачи у стенки, т. е. случаю теплоизолированной
поверхности. Действительно, полагая i = срТ и дифференцируя A3.1.13)
по у, находим
срдТ1ду + VxdVJdy = 0.
Так как при у -»• 0 скорость Vx -> 0, то, очевидно, и производная
дТ/ду -> 0 (нет перепада температуры), что доказывает отсутствие
теплопередачи у стенки. Таким образом, вместо сложного уравнения
энергии в виде A4.2.5') будем применять уравнение в простой форме A3.1.13).
Естественно, такая форма уравнения энергии не
соответствует полностью реальному характеру движения вязкого газа в
пограничном слое и дает приближенные значения для параметров,
определяющих это движение, в частности для напряжения трения. Однако
полученные результаты оказываются приемлемыми для практических
расчетов трения.
Уравнение Прандтля, а также уравнения неразрывности, состояния
и энергии составляют систему уравнений сжимаемого пограничного
Трение 245
слоя:
A3.1.14)
Здесь в уравнениях движения и состояния давление р заменено
в соответствии с A3.1.12) величиной р6. В уравнении энергии текущее
значение энтальпии i = срТ, а энтальпия торможения i0 = срТ0.
Полученная система уравнений пригодна для исследования
ламинарного пограничного слоя. При ее решении следует удовлетворить
граничным условиям на поверхности обтекаемого тела и условиям
непрерывного перехода параметров в пограничном слое к соответствующим
их значениям на внешней границе, причем такое решение вызывает
необходимость асимптотического выполнения условий на
внешней границе. Поэтому граничные условия для скорости имеют
вид
Vx = Vy = 0 при у = 0; Vx = Vb(x) при у-+оо. A3.1.15)
Входящие в A3.1.14) плотность и температуру можно выразить
через скорость в пограничном слое.
Из A3.1.13) следует, что
cPT + V2x/2 = cpT0, A3.1.16)
следовательно,
r = ro(l-F'/V2max). A3.1.17)
Используя уравнение состояния р = pRT> в котором для
пограничного слоя давление р принимается равным его значению рь на
границе слоя, получаем зависимости для плотности:
р = pJ{RT) = (pb/RT0)(l-V2x/V2max)-{ . A3.1.18)
Так как температура торможения
T0 = Tb(l-VVv2maxy\ A3.1.19)
^ плотность на внешней границе пограничного слоя
= Ро A — Vi/V2ma.ynk'l), A3.1.20)
то
р = Рб A - vVv2max) A -
= Po(l - VyV2m*x)k/ik-l) A -V2JV2m^r • A3.1.21)
Глава тринадцатая 246
Полученные уравнения позволяют рассчитать параметры
пограничного слоя без учета влияния физико-химических превращений,
происходящих при очень больших скоростях обтекания, при которых
газ в пограничном слое разогревается до очень высоких температур.
Поэтому эти уравнения действительны при сравнительно небольших
скоростях, когда температура в пограничном слое не достигает
высоких значений. По мере снижения скоростей обтекания уменьшается
влияние сжимаемости и разогрева газа в пограничном слое.
Для несжимаемого двухмерного плоского пограничного слоя
система уравнений имеет вид
dX °У Р dx °y \ A3.1.22)
dVJdx + dVyldy = 0; Vl/2 + /?g/ps = const.
Эти уравнения интегрируют для граничных условий, заданных
A3.1.15).
§ 13.2.
Обобщенное уравнение
пограничного слоя
ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Выведем уравнение установившегося пограничного слоя в
обобщенном виде, пригодное для исследования как ламинарного, так и
турбулентного пространственного осесимметричного течения с учетом
влияния физико-химических превращений, происходящих под влиянием
высоких температур.
Рассмотрим в пограничном слое элементарную частицу
тороидальной формы с внутренним радиусом г, шириной dx и толщиной dy
(рис. 13.2.1). Действие окружающего потока заменим силами от
давления и касательного напряжения. Так как рассматривается тонкий
пограничный слой, то можно принять, что в каждой точке сечения,
проходящего через заданную точку Л, давление одинаково и равно
его значению рь на свободной границе слоя. Поэтому сила от давления
на левую грань кольца в направлении оси х
р = р dS = 2%rpbdy. A3.2.1)
Обозначим Рх силу, действующую на правую грань с той же
площадью dS = 2nrdy. Так как давление /?§ есть функция координаты х,
т. е. рь= рь(х), то сила Р = Р(х). В соответствии с этим на правую
грань действует сила Рх = Р(х + dx) или, так как для
рассматриваемого сечения выбрана координата х = 0, Рх = P(dx). Разлагая эту
Трение
247
рис. 13.2.1 Схема для вывода
обобщенного уравнения
пограничного слоя
функцию в ряд Тейлора и пренебрегая малыми второго порядка и
выше, получаем
Рх = Р @) + (дР/дх) dx=
+ [д Bnrpbdy)/dx] dx = 2кг [рь + (dpjdx) dx] dy. A3.2.2)
Избыточная сила, действующая в направлении оси х,
Р — Рх = — 2кг (dpjdx)dxdy. A3.2.3)
Силы трения, приложенные к частице, рассчитывают в соответствии
с правилом взаимности касательных напряжений (рис. 13.2.1). При
этом силы трения, действующие на переднюю и заднюю площадки,
не дают составляющую на ось х. Такая составляющая обусловлена
действием касательных напряжений на внутреннюю и внешнюю
поверхности кольца и равна Fx — F, где
= F (у) + (dF/ду) dy =
+ [д Bizrxdx)/dy] dy; F = F(y) = xdS =
здесь г — напряжение трения на внутренней поверхности кольца.
Таким образом, избыточная сила трения, действующая в
направлении оси ху
Fx — F = 2iz[d (ri)/dy]dxdy. A3.2.4)
Для рассматриваемой частицы произведение ее массы [плотность х
X объем] на ускорение
— 2nrp(dVJdt)dxdy.
A3.2.5)
Сумма этой величины и действующих на частицу в направлении х
сил равна нулю, т. е.
jdt) dxdy — 2кг (dpjdx) dxdy 4 2к [д (rz)/dy] dxdy = 0.
Глава тринадцатая 248
Отсюда, полагая, что полное ускорение dVjdt = VxdVxldx +
+ VydVjdy, находим
рг (VxdVx/dx + VydVJdy) = - rdpjdx + д (г%)/ду. A3.2.6)
Уравнение A3.2.6) называют обобщенным уравнением пограничного
слоя в дифференциальной форме.
При исследовании турбулентного пограничного слоя значения VXy
Vy, p и р6 надо принимать осредненными, а напряжение трения
определять из выражения
т = (|л + \iT) dVjdy, A3.2.7)
в котором [iT — турбулентная вязкость.
Величину |лт можно рассматривать в качестве аналога
динамической вязкости \х для случая ламинарного течения вязкого газа.
Очевидно, для такого течения |ыт = 0, напряжение трения т = \xdVx/dy и
уравнение A3.2.6) получает вид
dV~ " dV~ *=_r-^ + — f/>^]. A3.2.8)
х дх у ду ) dx ду \% ду
В общем случае, когда газ под действием высоких температур
испытывает физико-химические превращения, величина коэффициента
|ы изменяется по толщине пограничного слоя. Когда эти превращения
отсутствуют, величина \i принимается постоянной. При исследовании
пограничного слоя около плоского контура из уравнения A3.2.8)
необходимо исключить г.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Преобразуем обобщенное уравнение A3.2.6) к другому по форме
соотношению, широко используемому в практических расчетах
пограничного слоя. Для этого левую часть A3.2.6) представим в виде
pr(vd_LL + v dV*\ pr\dV* i d(y*v>) VxdV* у 1^1
У х дх у ду J ^ dx dy dx x dy J
Вычисляем производные в уравнении неразрывности B.4.48)
ух + ^ + Уу + рг
х дх У дх у ду г ду
Отсюда
дх х ду х дх х у ду
Трение 249
В соответствии с этим
дУ ' дУ
^ + V
дх ду / дх ду
^)- A3.2.9)
+ V + VxVy +
* дх х у ду дх ду
Вносим это выражение в A3.2.6):
д(9гУ2х) [ д(9гУхУу) ^ r dp, | а(гс) ^
дх ду dx ду
Комбинируя это выражение с уравнением неразрывности в виде
у
V у
V* дх +V* ду
находим
у д(9гУх) д(9гУу) д{9гУ\) д(?гУхУу)
s дх ь ду дх ду
r
дх ду
ИЛИ
Интегрируя по у от 0 до б (в пределах толщины пограничного слоя),
получаем
ITlprVx {V& ~ V*)] dy~\ prVx ~ltdy +
з I
Преобразуем члены, входящие в A3.2.10):
5
J
5
irlprV*{Vi ~ v*)] dy=-t
Глава тринадцатая 250
5
Vb-Vx)]^-^ = -j- ^9rVx{Vb-Vx)dy. A3.2.11)
Выражение над фигурной скобкой равно нулю, так как при у = б
величина Vx = V6.
F \ 6
С \ d С
Ъ) Х ) Ь dx J
о / о
A3.2.12)
3' I "^"lprYy {Yb ~ Vx)] dy = lprYy {Yb ~ Ух)]у^°= 0> A3'2*
так как при у = б значение Vx = F6, а при у = 0 скорость Fy = 0.
5 5
PsrfA Jrf A3.2.14)
5.
dx
о
8
f 2?Ldy = [гс]Д = - готст. A3.2.15)
0
Учитывая эти результаты, уравнение A3.2.10) представляем в виде
~ \prVx{Vb-Vx)dy-± (vb\ prVxdy\ +
о \ о /
5 5
^ A готст. A3.2.16)
dx
о о
Произведем здесь сокращение и примем, что при малой толщине
пограничного слоя координату г можно приближенно заменить
координатой г0, соответствующей точке на обтекаемой поверхности (см.
рис. 13.2.1):
5 5
— ProVxdy + V* -— pr0Vxdy —
dx i dx i
— r0b^- = rQxOT. A3.2.16')
Трение 251
Это обобщенное уравнение, полученное Карманом, называют
интегральным соотношением пограничного слоя. Оно позволяет
непосредственно определить напряжение трения тст на стенке, что связано с
решением практической задачи об определении сопротивления трения.
Применение для этого интегрального соотношения предполагает
известным характер распределения скорости по толщине пограничного
слоя, т. е. вид функции Vx = Vx(y).
Решение уравнения A3.2.16') должно удовлетворять условию на
внешней границе пограничного слоя, где при у = б скорость Vx =
= V6. Эту скорость, как и давление /?6, являющиеся известными
параметрами, рассчитывают в результате решения уравнений Эйлера
для идеального (невязкого) обтекающего потока. Неизвестными
величинами являются Vx> б итст. Таким образом, соотношение A3.2.16')
должно быть дополнено еще двумя неизвестными уравнениями,
связывающими между собой указанные неизвестные параметры.
Интегральный характер уравнения A3.2.16') позволяет применить эти
уравнения в приближенном виде. В частности, достаточно задаться весьма
приближенной зависимостью для скорости VX9 чтобы получить
практически приемлемый результат, так как скорость Vx входит
под знак интеграла и при его вычислении величина погрешности
уменьшается.
УСЛОВНЫЕ ТОЛЩИНЫ ПОГРАНИЧНОГО
слоя
Представим интегральное соотношение A3.2.16) в иной форме. Для
этого заменим два последних члена в левой части с учетом соотношения
13.2.12), a dpjdx представим согласно C.6.3) в виде
dpJdx = -pbVbdVb/dx. A3.2.17)
В результате
Jj
С dvb
= — J PfVb —^ dy + готст,
или
5 „. 5
dx
~~ fprVx(Vb-Vx)dy + —L[r(pbVb-pVx)dy = rorCT. A3.2.18)
dx J dx J
о о
Представим это уравнение в виде
5 AM Ь
-^ \ 2«rpVx (Vb — Vx)dy+-— 2кг (PiVb — pVx) dy = 2иг0тот.
A3.2.18')
Глава тринадцатая 252
Первый интеграл в A3.2.18') определяет уменьшение количества
движения (импульса), переносимого через площадку 2л;гб,
обусловленное торможением потока в пограничном слое. Введем понятие
толщины потери импульса б** — условной толщины некоторого слоя,
ограничивающего поверхность 2яг0б**, сквозь которую в единицу времени
с постоянной скоростью F6 переносится количество движения 2яг0б** х
хРб^б2- Эта величина равна указанному уменьшению количества
движения, т. е.
I 8
= f 2izrpVx (Vb - Vx) dy.
о
Полагая под интегралом г « г0, находим
§**
-J ¦?¦
Второй интеграл в A3.2.18') определяет разность между секундным
§
расходом через площадку 2ягб для потока невязкого газа f 2nrp6Vbdy
о
и для потока вязкой среды §2nrpVxdy.
о
Это уменьшение расхода обусловлено торможением потока в
пограничном слое. Введем понятие толщины вытеснения б*, представляющей
собой в невязком потоке условную толщину слоя, ограничивающего
поверхность 2яго6*, сквозь которую в единицу времени и при
постоянной во всех точках поверхности скорости V6 протекает количество
жидкости, равное указанному выше уменьшению расхода, т. е.
= J 2*r (p5V5 - pVx) dy.
О
Полагая г = г0, находим
5* = Г /1 — JL . Jjl\ dy. A3.2.20)
$[ У )
Как видно, в выражения A3.2.19) для б** и A3.2.20) для б* не
входит величина г; следовательно, условные толщины для сжимаемого
пространственного пограничного слоя с известным приближением
определяются так же, как и для плоского. В случае несжимаемого
потока в указанных выражениях необходимо принять р = р6 = const.
Введение таких параметров, как толщина вытеснения б* и толщина
потери импульса б**, отображающих определенные физические
свойства пограничного слоя, позволяет получить в ряде случаев более эф-
Трение 253
фективные методы решения задачи о движении вязкой жидкости. При
помощи этих параметров возможно, в частности, получение
дифференциального уравнения в форме, более удобной для расчета
пограничного слоя около криволинейных поверхностей (см. [14, 15]).
Рассмотрим одно из приложений понятия толщины вытеснения б*
к аэродинамическим исследованиям. Из физических представлений
ясно, что пограничный слой как бы вытесняет внешний невязкий
поток, смещая его линии тока в сторону от поверхности. При этом
толщину б* можно рассматривать как величину, определяющую среднее
смещение этих линий тока. Таким образом, внешний поток обтекает
поверхность, полученную из действительной поверхности тела
наращиванием на нее во всех точках отрезков, расположенных вдоль
нормали и равных б*. Распределение скоростей и давлений во внешнем
потоке следует рассчитывать так, как будто бы он обтекает новую по-
вехность, принадлежащую некоторому фиктивному утолщенному
телу. В соответствии с этим использование понятия толщины вытеснения
позволяет учесть обратное влияние пограничного
слоя на параметры внешнего обтекания.
§ 13.3.
Ламинарный пограничный слой
на плоской пластинке
Рассмотрим расчет пограничного слоя на плоской пластинке,
обтекаемой сжимаемым потоком. Решение этой задачи имеет большое
значение в теории движения вязкой жидкости. Получаемые в результате
такого расчета параметры пограничного слоя используют в
практических случаях для приближенной оценки параметров вязкого потока
около поверхностей, не только близких по форме к пластинке, но и
существенно отличающихся от нее, например около тел вращения. Вместе
с тем, как показано ниже, найденные формулы для расчета параметров
несжимаемого пограничного слоя на плоской пластинке сохраняют
внешний вид для случая определения соответствующих параметров
пограничного слоя в сжимаемой среде.
Используем интегральное сотношение для плоской пластинки. Оно
получается из уравнения A3.2.18) при условии, что из него
исключался г, а производная dVjdx принимается равной нулю, так как
скорость свободного потока вдоль пластинки не изменяется. Тогда
xer. A3.3.1)
Преобразуем A3.3.1) к новым переменным ^ иг], введенным акад.
А. Дородницыным [3]:
Глава тринадцатая 254
g = \f{x)dx\ т| = fg(x, у)dy, A3.3.2)
о о
где f(x) и g(x, у) — функции, выбираемые из условия, при котором
преобразованное интегральное соотношение сжимаемого пограничного
слоя должно быть близко по форме к соответствующему соотношению
для несжимаемой среды. Интегрирование такого соотношения
представляет собой более простую задачу.
В соответствии с A3.3.2) представим уравнение A3.3.1) в виде
15
+ дх di, J Р Л Ъ х) g "'
о
где т]б — величина т], соответствующая внешней границе
пограничного слоя.
В этом уравнении
= 0,
а_ ж ж g. g *
так как на стенке при т) = 0 составляющая Vx = 0, а на границе
слоя прит) = т]6 ее величина Vx = V6. Поэтому A3.3.1) можно
представить в виде
А '6 А
f-jr Г PVx(Vb-Vx)^- = ^T. A3.3.3)
о
Чтобы интеграл A3.3.3) совпал с соответствующим ему выражением
для несжимаемой среды, необходимо принять p/g = const. Так как
функция g в соответствии с A3.3.2) является безразмерной, эту
постоянную можно принять равной плотности торможения, т. е. p/g =
= р0. Следовательно,
у
f-?-<fy. A3.3.4)
Ро
Таким образом, для A3.3.3)
о
ьс
Трение 255
В этом уравнении правая часть
Т 0 Т О 1
ст ф 6ст __ ст т *ст # *
Рст /ст Рст Ро /ст
Из A3.1.21) следует, что плотность на стенке
Рст = Р8 A - Vl/V2max) = рьТь/Т0 = Р8р0/Л>, A3.3.5)
откуда
ПЗ.3.5')
Поэтому
С учетом
этого
' г"
* .1
Рст/Ро = Рь
Т 0 Т
СТ # бСТ СТ
Рст {ст Рст
выражения
хУ 5 J Л
/Ре
Рь
Ро
тст
Рст
1
' /ст '
Рь
Ро
1
'ст
Примем здесь р6/р0 = /Ст, т. е.
6= Г — d*= — х. A3.3.6)
J Ро Ро
о
В соответствии с этим
= ^?1- A3.3.7)
Уравнение A3.3.7) совпадает по форме с соответствующим
соотношением пограничного слоя для несжимаемой среды в системе
координат g, т]. Следовательно, для решения интегрального соотношения в
такой форме можно применить метод, используемый в теории
пограничного слоя несжимаемой жидкости. Этот метод предусматривает
задание распределения скорости Vx по сечению пограничного слоя, что
необходимо знать при использовании интегрального соотношения.
Рассмотрим ламинарный пограничный слой, для которого
интегральное соотношение имеет вид
dS -> гст
= JW?!M /ja\ _ A3.з.8)
Глава тринадцатая 256
В теории ламинарного пограничного слоя для несжимаемой
жидкости на произвольной поверхности Польгаузеном предложена
функция Vx(y], l) в виде полинома третьей степени
Vx = a(t) + b®r] + c (g) rf + d (I) if. A3.3.9)
Коэффициенты этого полинома a(Q, b(Q, c(%) и d(Q определяют из
граничных условий, которым должна удовлетворять скорость.
Согласно граничным условиям на стенке, т. е. при т\ = 0, скорость Vx = 0.
Следовательно, коэффициент а = 0. Из первого уравнения системы
A3.1.14), преобразованного к переменным ?, т] и отнесенного к
условиям на плоской пластинке (dp/dx = 0), следует, что на стенке, где
Vx = Vy =0, производная
(d*VJdr) Vo = 0. A3.3.10)
В соответствии с A3.3.9)
A3.3.11)
откуда при выполнении условия A3.3.10) коэффициент с = 0. Таким
образом,
Vx = br\ + dfi*. A3.3.12)
Для определения коэффициентов Ь и d воспользуемся граничными
условиями на свободной границе пограничного слоя. При г) = ^б
составляющая скорости Vx = V6> поэтому
Vb = bti* + dril. A3.3.13)
На свободной границе напряжение трения (tCtO]=yis = 0-
В соответствии с формулой Ньютона т = \idVx/dy производная
/дг1)ц=ць = 0. С учетом этого из A3.3.12)
(дУх/дц\=Г1ь = Ь + 3dyfb = 0. A3.3.14)
Решаем совместно A3.3.13) и A3.3.14) относительно коэффициентов
Ь и d:
2__ ' о „О
Таким образом, для распределения скорости
Vx = \— --J L(—УК- A3.3.15)
Подставляем это выражение в A3.3.8):
3 у i\ \___v jf\ fv 3_у _2L_L_Li/ Z
Трение 257
2 "Чь Ро
Вычисляя интеграл и производя дифференцирование, получаем
уравнение
dril = _280_ и \т Рст
d? 13 " Уь Ро
Интегрируя в предположении, что вдоль пластинки vCT = const
и Рст — const, находим
Г]2 -=_??! ¦ VctPct? , С
6 " 13 П Ро
Полагая в начальной точке пластинки при g = 0 толщину г) * = О,
находим С = 0. Поэтому
т)б = 4,64 ]/ "стРст g, A3.3.16)
V V8 РО
Учитывая формулу A3.3.5) для рСт/рб и выражение A3.3.6) для |,
получаем
г|6 = 4,64 1/ -^ L . J^L = 4,64 -^1 / -^ . A3.3.160
Толщину слоя определяем из выражения
С р Ро
о о
Представим ро/р с^учетом A3.1.21) и Vx = Vbrjy\b в виде
^6 \ ктах / иь \ ктах 1б /
Здесь для замены Vx используется не формула A3.3.15), а более
простая зависимость, определяющая линейный характер изменения
скорости в функции г). При определении толщины пограничного слоя
это не дает сколько-нибудь существенных погрешностей, но
способствует упрощению расчетов. В соответствии с этим
9-708
Глава тринадцатая 258
Внося сюда значение щ из A3.3.16'), найдем
8 = 4,64 [2/3 + 7У(ЗГо)] KT
Коэффициент vCT представим в виде
/ ^\" PS
_
О
Ро Н Рст \ 'г ) Ро Рст
-'• (-%V — ~ = \ (^У ¦?- 03.3.17)
Так как рассматривается случай теплоизолированной стенки, на
которой для принятого значения Рг = 1 температура газа
7гр гр I 1 ^1 Т* / 1 I АЛ \ /1Q О 1О\
СТ = ГО = Г81 1 — -^— I =Г5 Н — М8 | , A3.3.18)
то, следовательно,
В соответствии с этим
— 1 .2 W AJ— 1 - 2 \(л-1)/2
— М8 j^l + —— М5 J X
A3.3.19)
Приняв здесь Мб = 0, получим зависимость для толщины
пограничного слоя в несжимаемой среде:
= 4,64 y^x/V, , A3.3.190
или в безразмерной форме
\сж = KoJL = 4,64 (^/ReL I/2, A3.3.190
где х = x/L, ReL = VbLhb.
Трение 259
Отношение толщин
нсж
•=].,(
Кь 1 2\(n+l)/2
1 + A_LM*J . A3.3.20)
Как видно, сжимаемость способствует увеличению толщины
пограничного слоя. Это объясняется тем, что сжимаемый газ при
торможении разогревается, в результате чего повышается вязкость и ее
влияние распространяется на большую толщину газа.
Касательное напряжение на стенке определяем по формуле
Ньютона с учетом A3.3.15) и A3.3.4):
у=о \ дЧ /,)=о V дУ /*-о
гст о — vct о
Внесем сюда значение г\ь из A3.3.16') и заменим рСт/ро на Р</Ро:
ст 2 4,64 V х
Применяя в A3.3.21) значение vCT из A3.3.17') и учитывая, что
Ро Рб Ро Ps yo
получаем
A3.3.21)
я, что
A3.3.2Г)
A3-3-22)
или с учетом уравнения A3.3.18) и обозначения для местного числа
Рейнольдса Re* = VbxNb
/ i— / h \ \(n—\)/2
*« = (xCT)c« = 0,323p8V821/ _i_ 1 + AzlLm^ . A3.3.22')
I/ l\6 у /if
Для несжимаемой среды (М6 = 0)
(Тст)нсж = 0.323p.Vs КЩёТ. A3.3.23)
Отношение напряжений трения
/т \ I т (п—1)/2 / ъ 1 \(п—1)/2
_Г!ст;сж. _ / _То г ;/ _ / 1 _j_ я — 1 М2 V . A3.3.24)
Из зависимости A3.3.24) следует, что с увеличением числа М6 или с
повышением температуры в пограничном слое напряжение трения,
несмотря на повышение вязкости, уменьшается {п <1). Это
обусловлено доминирующим влиянием на трение плотности рСт, которая, как
9*
Глава тринадцатая 260
видно из A3.3.2Г), с увеличением температуры ТСт = То
уменьшается и, как следствие, понижается способность газа сопротивляться
сдвигу.
Определим местный коэффициент трения:
_ 0,646 ./III Л + ^и-р». „3.3.25)
Для несжимаемой среды (М6 = 0)
= 2 (тст)нсж/( Pel7!) = 0,646 KTTR^T. A3.3.26)
Отношение местных коэффициентов трения такое, как отношение
напряжений трения A3.3.24):
, Л + *ni м» У)/2. A3.3.27)
( тст)ясж
Вычислим сопротивление трения пластинки. Элементарная
величина этой силы, действующей на площадку dx-l,
Суммарная сила сопротивления трения одной стороны пластинки
площадью L-l (L — длина пластинки)
Х/с« = |(Тот)с«<**- A2.3.28)
Коэффициент этой силы
X L L
(с ) = L^. =1П тст)сж dx==_L [(cfx)cmdx. A3.3.280
7 (Vf/2)Ll L] Vl/2 L)W*;o»
Внося сюда значение (cfx)cm из A3.3.25), получаем
(сх/)„ = 0,646A + l^J- М,) "Г"! К -Т^Г Л•
Интегрируя это выражение, имеем
Мс—Ь^- Л + ±fi-M2 У"-2, A3.3.29)
где число Рейнольдса, определенное по длине пластинки L,
Для несжимаемой среды
= 1,292/КЙе7. A3.3.30)
Трение 261
Рассмотрим, как определяют условные толщины пограничного слоя.
Их значения для несжимаемого потока находим из выражения
Подставим сюда отношение Vx/V6, исходя из закона распределения
скорости A3.3.15):
1il=±JL-±(JL)\ A3.3.32)
В результате интегрирования
Сж = 0,148нсш ; Сж = 0,3768ясж , A3.3.33)
где 6НСЖ определяется из A3.3.19').
Чтобы учесть влияние сжимаемости на б**, рассмотрим уравнение
A3.3.1), из которого для случая р = const находим
= 0,5cfx, A3.3.34)
откуда Сеж = 0,5 j cfxdx, или Сж = 0,5сх/х (сх/ — средний
коэффициент треняя на участке пластинки от 0 до х). В соответствии с
этим результатом отношение беж /бнеж такое, как A3.3.27):
С
5нсж
= A + ~нгм*Г1)/2- <13-3-35>
Отношение условных толщин вытеснения определяем по аналогии
с A3.3.20):
*сж = \т л j ^1м2\л | k-\ т2\{п)/2 пззЗб)
§ 13.4.
Турбулентный пограничный слой
на плоской пластинке
ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ЗАКОНА
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ
Для решения задачи об определении параметров турбулентного
пограничного слоя на плоской пластинке в сжимаемой среде
используем интегральное соотношение A3.3.7) в переменных ?, т], в которых оно
по форме такое, как для несжимаемой среды.
Глава тринадцатая 262
При определении закона распределения скорости Vx в пограничном
слое, который необходимо знать для вычисления интеграла в
соотношении A3.3.7), исходим из формулы A.1.10). Полагая осредненное
значение составляющей скорости ух = Vx, эту формулу представим в
виде
A3.4Л)
откуда dVJdy = ()>^р
По Прандтлю длина пути перемешивания
l = ky, A3.4.2)
где к — постоянный коэффициент пропорциональности; у —
расстояние от стенки.
В соответствии с этим dVJdy = (l/ky)]/'x7p1 откуда
ky
где Сг — постоянная, определяемая из граничных условий движения
газа в пограничном слое.
Преобразуем A3.4.3), используя переменные ц A3.3.4) и ? A3.3.6).
Для удобства преобразований введем функцию
(/Ро)A-Й)"*/(*). A3.4.4)
где Кб = VjVmVL.
Заменим плотность р в A3.4.3) его значением из A3.1.21):
¦ Р^РоО-^Г^Ч!-^)-1, A3.4.5)
где Vx = VjVmn.
Дифференциал dy в A3.4.3) представим при помощи A3.3.4) и
13.4.5) в виде
dy = (Po/P)dr| = (l — Vl)-k/{k-l) (l-Vl)dri. A3.4.6)
Рассмотрим теперь преобразование для длины пути перемешивания
A3.4.2). Акад. А. А. Дородницын принимает k =0,3914,
т. е. равным значению этого коэффициента вблизи стенки для
пограничного слоя в несжимаемой среде. Но вблизи стенки можно принять
Vx « 0 и в соответствии с A3.4.6)
уъA-У1)-к/(к-1)Ч. A3.4.7)
Внося зависимости A3.4.4) — A3.4.7) в A3.4.3), находим
Г 1 -./
х J ^A-?|)-*^-'> у
х J (?|)*^'> у (|)^')
Трение 263
1 '' Wdr\+C%, A3.4.8)
где С2 — постоянная, определяемая в соответствии с граничными
условиями для переменной tj. _
Величина kx\l(\ — 142K/г, которую обозначим 1> соответствует
длине пути перемешивания / в A3.4.1). Так как принято, что эта длина
определяется по коэффициенту k для условий вблизи стенки, гдеУ* «
« 1, то
7ъкц, A3.4.9)
что точно совпадает с принятым законом для длины пути
перемешивания в несжимаемом потоке. Таким образом,
-J
В основу вывода рассматриваемого закона распределения скорости
положена гипотеза о том, что напряжение трения постоянно по
сечению пограничного слоя, в соответствии с которой т =тст = const
и, следовательно, Ь = &ст = const. Поэтому
v
х
ИЛИ
Vx = (VK^/k)lnr\ + C2. A3.4.10)
Отнеся это уравнение к условиям на внешней границе
пограничного слоя, где при ri =v\6Vx=V6, получаем
Vb=(VK^/k)\nr]^C2. A3.4.11)
Комбинируя A3.4.11) с A3,4.10), находим
Vx-Vb = (Vh:lk)ln(yi/yib). A3.4.12)
В приведенной форме уравнения для Vx представляют собой
выражение логарифмического закона распределения скорости по сечению
пограничного слоя. Уравнения A3.4.10) и A3.4.12) по смыслу их вывода
справедливы только вблизи обтекаемой поверхности — в окрестности
ламинарного подслоя. Такой слой образуется непосредственно у
стенки, которая препятствует перемешиванию (турбулизации). Это
явление уменьшения турбулизации вблизи стенки описывается формулой
A3.4.2), согласно которой на стенке (при у = 0) перемешивание
прекращается. В работе [3] введено допущение, согласно которому внутри
Глава тринадцатая 264
турбулентного ядра пограничного слоя распределение скоростей
можно представить на основе логарифмического закона A3.4.10) при
помощи уравнения
In л + С2 + / (Ч/П»)]. A3.4.100
где величина /(ri/r)) — поправка Дородницына к логарифмическому
закону.
Поправка /(т| /т] 6) является универсальной функцией, не зависящей
от числа Маха или скорости V6. Иными словами, как и для случая
ламинарного пограничного слоя, допускается, что в координатах г),
6 распределение скорости не зависит от сжимаемости.
Полагая в A3.4.10') переменную г) = т]б, находим на внешней
границе пограничного слоя скорость:
Уь =
В соответствии с A3.4.10') и A3.4.1 Г)
Vx-Vb = (Vh7/k)F(ri/4b\ A3.4.120
где
. A3.4.12")
Расчет параметров турбулентного пограничного слоя, основанный
на применении уравнения A3.4.12'), содержащего поправку
Дородницына, также приведен в работе [3]. Не изменяя принципиальной
схемы решения задачи об определении этих параметров, для упрощения
этого решения можно рассмотреть возможность применения обычного
логарифмического закона, не вводя указанной выше поправки, т. е.
полагая функцию F(y\/j]6) = 1п(т]/т]а). Расчеты показывают, что
числовые коэффициенты, входящие в полученные выражения для
параметров пограничного слоя, несколько отличаются от данных работы [3].
Однако это отличие вполне допустимо, если принять во внимание
общий характер приближенных вычислений.
Уравнение для скорости, соответствующее принятому
логарифмическому закону в его обычном виде A3.4.12), можно преобразовать,
выразив толщину ць через $ст. Для этого рассмотрим уравнение
A3.4.12) применительно к условиям на границе ламинарного подслоя,
где при т) = г) л скорость на этой границе Vx = Ул:
V*-Vb = (КО*Iп(Чл/Ча):' A3.4.13)
Чтобы определить толщину ламинарного подслоя т)л и скорость
УЛ на его границе, воспользуемся уравнением Кармана, которое для
переменной у представим в виде
A3.4.14)
Трение 265
где коэффициент а принимаем таким, как и для несжимаемой среды,
и равным 11,5 (по экспериментальным данным).
Преобразуем к новой переменной т] уравнение A3.4.14). Величина
6л = \dy, или с учетом A3.3.4) и A3.1.21)
о
1 - Vl)dr\. A3.4.15)
Вблизи стенки V*« 1» поэтому
^О-^Г^-'Ч- A3.4.16)
Выражение длятСт в A3.4.14) получаем из A3.4.4):
Хст^стРоО-^Г*-1'- A3.4.17)
Плотность на стенке находим из A3.4.5), положив Vx = 0:
PCT = Po(l-Vr^-1). A3.4.50
Внесем A3.4.16), A3.4.17) и A3.4.5') в A3.4.14):
). A3.4.18)
В этом выражении величину frCT можно определить при помощи
формулы Ньютона тСт = 11стФУх/ду)у=0. Учитывая малую толщину
ламинарного подслоя, для него можно принять линейный закон
распределения скорости Vx = Улу/8ЛУ в соответствии с которым тСт =
= ЦстУл/8л, откуда Ул = (tctVct)^» или с учетом значений A3.4.16)
для бл и A3.4.17) для тСт
/^ст)Лл. A3.4.19)
Внесем сюда значение т)л из A3.4.18):
Ул = аУК7. A3.4.190
Подставляем значенияг)л из A3.4.18) и Ул из A3.4.19') в A3.4.13):
откуда
аи. 8' V ст — k*
%=—^-е е . A3.4.20)
Введем параметр
JV*Z A3.4.21)
Глава тринадцатая
266
и обозначим постоянную величину ае ** = А. Тогда
Воспользуемся интегральным соотношением A3.3.7), куда внесем
значение
'ст »
которое получается из A3.4.17) и A3.4.5'). Одновременно в
соответствии с A3.4.12) произведем замену:
В результате
A3.4.22)
;а внесем
A3.4.23)
:оответст-
A3.4.24)
<Щ
ИЛИ
\
\ л (ъ ъ \
)
Здесь интегралы вычисляем в явном виде:
A3.4.25)
'5 1
(* У) (*
О 5 О
in» J-d/J-)=
A3.4.26)
В соответствии с этим
Внесем сюда значения т]5 у &ст из A3.4.22) и &ст из A3.4.21):
V \ 1 k2V2
Т7 I Су 1| ^
8 ~)]~~'
Разделим обе части равенства на
A3.4.27)
Трение 267
Произведем дифференцирование:
2\ & 2 dz _ *W
Z J * +' 2^ dg "^c/2
Разделив обе части равенства на
ez A — 2/z) + е*2/г2 = ez A — 9/г + 2/г2),
получим
ИЛИ
A3.4.28)
Исследования показывают, что при больших числах Рейнольдса
величина A + 2/z)/(l — 2/z + 2/z2) » const = 1,38, следовательно,
da
d (z4z)
d&
Л(Хст 2:
Л^от
]
-2/2
1 +
l—2/г
+ 2/2*)
2/г
+ 2/г*
Полагая ^ = 0,3914 и а = 11,5, находим постоянную величину
1,38#УЛ = lf38#te*Va - 0,656. A3.4.30)
Таким образом,
d (г*е*) = @,656р0К5 / ^ст) ^- A3.4.31)
Принимая, что z = 0 при ? = 0 , после интегрирования находим
z2ez = @,656p0K5/VCT)?. A3.4.32)
Согласно A3.3.6),
I - (/УА>) х = A ^ Й)"-1^. A3.4.33)
Учитывая также A3.4.5'), имеем
zV = 0,656pCTV^/|iCT. A3.4.34)
Заменим в A3.4.34) отношение рст/|хст согласно A3.3.17):
г , - . „ , A3.4.35)
Введем также обозначение для числа Rex =
zV = 0,656A — Vfy+'Re*. A3.4.36)
По значению z, найденному из A3.4.36), можно определить
напряжение трения. Чтобы найти зависимость тст от z, воспользуемся соот-
Глава тринадцатая 268
ношениями A3.4.5') и A3.4.21):
Местный коэффициент трения
Г
A3.4.37)
отсюда
(l — V\)lcfx. A3.4.39)
Прологарифмируем выражение A3.4.36):
2 In 2 + г = (л + 1) In A — Щ + In Rex + In 0,656.
После подстановки сюда значения г из A3.4.39) находим
= (п + 1) In A — VI) + In Re* + In 0,656
или
kV2{\ — Vl)lcfx = In (Re^) + n In A — vl) 4 C3t
где C3 = In 0,656 — 2ln(*/2)-
Принимая k = 0,3914 и переходя к десятичным логарифмам,
получаем
0,242 V \-Vll У^Г= Ы(Я^/Х) +
V?) + 0,33. A3.4.40)
Учитывая выражение 1 — Vl = A -\—g—Ms ) и обозначая
= (cfx)om, найдем
_nlg(l+ i=ljvij J + 0.33J.
A3.4.41)
Формула A3.4.41) соответствует выражению, полученному в работе
[3] на основании логарифмического закона с учетом поправки
Дородницына, причем в правой части этого выражения числовой
коэффициент равен не 0,33, а 0,15. Такое отличие, однако, существенно не влияет
на величину (с/х)Сж.
Трение 269
Из A3.4.41) следует, что местный коэффициент трения пластинкис
увеличением числа М§ уменьшается. Заметим, что этот результат,
пригодный для пластинки, может не получиться при рассмотрении
пограничного слоя около криволинейной поверхности вследствие влияния
на течение в этом случае продольного градиента давления.
Коэффициент трения по формуле A3.4.41) вычисляют путем
последовательных приближений. В первом приближении коэффициент
cfx = (с/ж)сж можно найти для заданного отношения Ть/Т0 по A3.4.38),
приняв 2 равным 10—12. Внося это значение (^)Сж в правую часть
A3.4.41), находим значение Cfx = (с/х)сж во втором приближении.
Этот результат можно уточнить, внеся значение Cfx = (с/х)сж в
правую часть A3.4.41) и вновь вычислив значение Cfx = (?/зс)сж-
Полный коэффициент сопротивления трения пластинки с учетом
сжимаемости определяют по формуле A3.3.28') путем численного
интегрирования с использованием выражения A3.4.41) для (cfx)Cm.
Для несжимаемой среды местный коэффициент трения найдем из
A3.4.41), положив Мб = 0:
0,242/1^7^= lg[Re«(c/x)eoJ + 0,33. A3.4.42)
Для определения толщины пограничного слоя следует
воспользоваться уравнением A3.4.6), в соответствии с которым
\
A3.4.43)
СТЕПЕННОЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СКОРОСТИ
Чтобы установить закон распределения скорости по сечению
турбулентного пограничного слоя и определить зависимость для
напряжения трения на поверхности плоской пластинки, воспользуемся
аналогией с движением вязкой несжимаемой жидкости в круглой
цилиндрической трубе (рис. 13.4.1). Рассмотрим это движение. Выделим
жидкость, заключенную между сечениями 1 и 2, расположенными на
расстоянии / друг от друга. Примем, что эти сечения достаточно удалены
от входа в трубу и поэтому движение в них одинаково, т. е. одинаковы,
в частности, касательные напряжения и распределение скоростей.
Одинаковое значение скоростей в сечениях означает, что частицы
жидкости движутся, не испытывая ускорения. Поэтому силы, действующие
на выделенный объем жидкости между сечениями 1 и 2, находятся в
равновесии, т. е.
F = (Pi — Pt)*d*/i =TCTicWf A3.4.44)
где d = 2r0 — диаметр трубы; тСт — напряжение трения на стенке.
Глава тринадцатая
270
Рис. 13.4.1 Схема движения вязкой
жидкости в круглой
цилиндрической трубе
Отсюда
Pi — /?2=4TCT//d.
A3.4.45)
Кроме того, силу F в A3.4.44) можно выразить при помощи формулы
A.3.5) для гидродинамического сопротивления. Вводя в эту
формулу обозначения для силы сопротивления X = F и для коэффициента
гидродинамического сопротивления сх = Я, определяя далее
скоростной напор q = рУ2ср/2 по средней скорости Vcp в трубе (рис. 13.4.1)
и принимая в качестве характерной площади боковую поверхность
S = nldy получим (/?! — /?2)rtd2/4 = X(pV2Cp/2)nld. Отсюда находим
формулу для определения потерь на трение:
Pi — P* = &(pV2j2)l/d,
A3.4.46)
где средняя скорость определяется по заданному расходу Q в трубе:
2). A3.4.47)
Коэффициент сопротивления X можно определить
экспериментальными исследованиями. Такие исследования проведены Г. Блазиусом,
который установил, что для гладких труб коэффициент
сопротивления при турбулентном режиме и числах Рейнольдса, достигавших
значений
2,3 • 103
105,
равен
= 0,3164/Rei/4.
A3.4.48)
A3.4.49)
Внесем это выражение в A3.4.46) и заменим р± — р2 значением из
A3.4.45). В результате
^ст = 0,3164р1/У(81*еУ4) = 0,
р3/У/4<Г1/4.
A3.4.50)
Для определения средней скорости Vcp воспользуемся
результатами исследований движения жидкости по круглой трубе, которыми ус-
Трение 271
тановлено, что скорость по ее сечению изменяется по степенному
закону корня седьмой степени
V,==Vmax(y/r0I/7. A3.4.51)
Этот закон отображает гипотезу, в соответствии с которой при
движении жидкости сохраняется кинематическое подобие, т. е.
независимо от абсолютных размеров трубы в точках с одинаковым значением
у/г0 отношение местной скорости Vx к скорости на оси трубы Vmax
также одинаково.
Средняя скорость по сечению трубы в соответствии с A3.4.47)
^ср = -4" = Ушах f 2кг (rJL=L\l/7 dr/(Kr2o) =]0,8161/max. A3.4.52)
Подставим A3.4.52) в A3.4.50):
тст = 0,03955 @,816КтахO/4рз/4ц1/4 BГо)-1/4 =
= 0,0233pVLx(v/yma/0 I/4. A3.4.53)
Рассматривая движение вязкой турбулентной жидкости по круглой
трубе и в пограничном слое, можно заметить сходство профилей
скорости по их сечениям. При этом максимальной скорости Vmax на
ocV трубы соответствует скорость V* на внешней границе пограничного
слоя, радиусу трубы г0 — толщина слоя 6. Исследования показывают,
что этой аналогией можно воспользоваться для получения
зависимостей, определяющих течение в турбулентном пограничном слое. Заменив
г0 на б и Fmax на V* в A3.4.51), для пограничного слоя найдем
степенной закон (закон корня седьмой степени) распределения скорости по
его сечению:
Vx = Vb(y/b)l/7. A3.4.54)
Аналогичная замена в A3.4.53) позволяет получить формулу для
напряжения трения на стенке
тст = 0,0233pVf [v/(l/6 5)]1/4. A3.4.55)
Для вычисления напряжения трения по A3.4.55) необходимо
предварительно определить толщину пограничного слоя б. Для этого
воспользуемся интегральным соотношением A3.3.1). Подставив в него
вместо Vx зависимость A3.4.54), а вместо тСт — значение A3.4.55),
найдем
Ш
" A3-4-56)
Глава тринадцатая 272
Вычисляем интеграл:
db/dx = 0,2395 [v/<ybb)]W .
Разделив переменные в этом дифференциальном уравнении, найдем
S1/4d8 = 0,2395 (v/ysI/4d*.
В результате решения этого уравнения
D/5) S5/4 = 0,2395 (v/Vb)l/4x + С. A3.4.57)
Постоянная интегрирования С определяется в точке перехода
ламинарного пограничного слоя в турбулентный из условия, в
соответствии с которым в этой точке, удаленной от передней кромки на
расстояние х = л;кр, толщина слоя б = бкр. При этом расстояние #кр
определяется по заданному критическому числу Рейнольдса ReKp = V?> x
X*Kp/v, а толщина бкр находится для этого числа ReKp по
соответствующей формуле для ламинарного пограничного слоя. При больших
числах Рейнольдса длина ламинарного участка невелика и в практических
расчетах его влияние на толщину турбулентного пограничного слоя
может оказаться пренебрежимо малым. В этих случаях можно считать,
что турбулентный пограничный слой начинается у передней кромки,
где при х = 0 толщина слоя б = 0. В соответствии с этим в A3.4.57)
постоянная С = 0 и, следовательно, толщина слоя
* = 8ясж = @,37/Rei/5)*, A3.4.58)
где Rex = V6A:/v5; va = v .
Вводя относительные величины бнсж = 6HCJK/L, x = xlL и число
= K6L/v8 , уравнение A3.4.58) представим в виде
*"= *«,» = bacm/L = 0,37 (^4/5/ReL/5). A3.4.580
Сравнивая зависимости A3.3.19") и A3.4.58'), можно сделать
вывод, что толщина турбулентного пограничного слоя нарастает более
интенсивно, чем ламинарного. Это объясняется перемешиванием
макроскопических частиц, свойственным турбулентному характеру
течения жидкости и способствующим его интенсивному росту.
Для вычисления напряжения тСт воспользуемся формулой A3.4.55).
Приняв р = р6, v = v6 и внеся в нее значение из A3.4.58), получим
= 0,0299PsVi/Rei/5. A3.4.59)
Вводя величины ReL = VbLNb и х = x/L, представим A3.4.59)
виде
/ (R
eL* I/5. A3.4.59')
Как видно из сопоставления A3.3.23) и A3.4.59), напряжение
трения при турбулентном течении значительно больше, чем при ламинар-
Трение 273
ном, при одних и тех же значениях числа Re*. Таким образом, турбу-
лизация пограничного слоя сопровождается резким возрастанием
касательных напряжений. Вместе с тем при турбулентном течении
напряжение трения и другие параметры пограничного слоя зависят от
числа Рейнольдса слабее, чем при ламинарном течении. Как известно,
влияние этого числа обусловлено действием молекулярных сил
вязкости, которые наиболее существенно проявляются в ламинарном
пограничном подслое. При этом чем больше скорость и, следовательно,
число Рейнольдса, тем тоньше этот подслой, слабее действие вязкости
и в соответствии с этим меньше влияние числа Рейнольдса на
параметры трения.
По величине касательного напряжения можно определить местный
коэффициент трения:
Мнсж = 2 (тст)нсж/( PsVt) = 0,0598/Rei/5, A3.4.60)
или _
Ынсж = 0,0598/ (ReL*I/5. A3.4.600
Силу сопротивления трения для одной стороны пластинки
определим с помощью формулы A3.3.28):
L
A3.4.61)
В соответствии с этой формулой и с учетом A3.4.60') коэффициент
сопротивления трения
L J ?ьу2 ReJ/5 J ^/5
откуда
(^/)нсж=0,075^е^/5. A3.4.62)
По этой формуле получаем надежные результаты, если число ReL
106 Д б й
фру у ру
не превышает величины 106. Для больших значений ReL лучшие
результаты дают другие зависимости. Например, при 2-106 < ReL <
< 1010 коэффициент трения
(с*/)нсж = 0,032Re~0'145. A3.4.63)
В этом случае для расчета коэффициента (^/)нсж можно
воспользоваться также универсальной формулой Прандтля — Шлихтинга
(**/)нсж = 0,455 (lgReL)-2'58. A3.4.64)
Для определения условных толщин пограничного слоя
воспользуемся формулами A3.3.31). Внося в них отношение скоростей VxIVb
Глава тринадцатая 274
согласно степенному закону A3.4.54), интегрируя и применяя
соотношения A3.4.58), A3.4.60), получаем:
Сж = 0,0978нсж; Сж = 0,125&нсж, A3.4.65)
где бнсж определяется из A3.4.58).
§ 13.5.
Температура и энтальпия
в пограничном слое при наличии
теплопередачи
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
И ЭНТАЛЬПИИ
При малой скорости обтекания нагрев газа, обусловленный
торможением в пограничном слое, почти отсутствует и температуру в нем
можно считать практически равной ее значению в свободном потоке.
Действительно, из A3.3.18) следует, что при отсутствии теплопередачи
для Мб = 0,5 температура газа на стенке, равная температуре
торможения, 7Ст = То = Т6 A + 0,2-0,25) = 1,05 Г6, т. е. отличается
от температуры свободного потока всегс на 5%.
При больших скоростях вследствие торможения газа происходит
значительное повышение температуры и энтальпии в пограничном слое,
которое соответствует характеру изменения скорости по сечению
пограничного слоя.
Если все другие виды переноса тепла, кроме теплопроводности,
отсутствуют, число Рг = 1 и теплопередача у стенки равна нулю,
то в соответствии с A3.1.16) температура в пограничном слое
T = T0-V2J[2(cp)av)9 A3.5.1)
где (Ср)Ср — средняя удельная теплоемкость для интервала темпера-
ТУР ?'о — Т. Температура То, являющаяся мерой полной энергии,
не изменяется по толщине слоя и определяется параметрами Т =
= Тй, Vx = V6 на внешней границе пограничного слоя в
соответствии с выражением
v A3.5.2)
Проведем здесь замены:
lll ^ ^ A3.5.3)
где k = (cp)cp/(^)Cp — средняя величина отношения удельных теп-
лоемкостей для интервала температур То — Ть. Тогда
Трение 275
k\
Nk\). A3.5.4)
При постоянных теплоемкостях следует принять (ср )ср = ср ==
= const и ~k = & = const. В тех случаях, когда теплоемкость сильно
изменяется с температурой вследствие диссоциации и ионизации и ее
нельзя заменить средним значением, целесообразно вместо Т и То
использовать соответственно энтальпии i и /0. Согласно C.4.14) и по
аналогии с A3.5.1) энтальпия в некоторой точке сечения пограничного
слоя
i = io — V2x/2. A3.5.5)
Подставляя сюда значения i = i6 и Vx = V6, для энтальпии
торможения находим
io=h + V2j2. A3.5.6)
При постоянных теплоемкостях
ib = СрТь = kRTj{k - 1) = of/(* - 1), A3.5.7)
поэтому, учитывая, что V26 = М26а26, энтальпия торможения
A3.5.8)
Принятое предположение об отсутствии теплопередачи у стенки и
равенстве числа Рг = 1 не соответствует действительности, поэтому в
реальных условиях температура и энтальпия на стенке отличаются от
полученных выше значений То и /0.
Рассмотрим уже известный случай адиабатической
(теплоизолированной) стенки, характеризующийся тем, что подводимая к такой
стенке от пограничного слоя теплота не расходуется на ее нагревание и в
свою очередь стенка не отдает теплоту пограничному слою. При этом
перенос энергии в пограничном слое происходит следующим образом.
Вследствие торможения потока, обусловленного действием сил
вязкости, температура возрастает от значения на границе слоя до некоторой
величины на стенке и таким образом возникает градиент температуры
дТ/ду Ф 0. В таком случае в соответствии с законом Фурье C.2.7)
возникает передача теплоты путем теплопроводности во внешние слои
газа с меньшей температурой. Нагрев возрастает, пока не установится
равновесие между этой теплопередачей и противоположным потоком
теплоты от внешних слоев к внутренним, обусловленным работой сил
вязкости. Вследствие отвода теплоты от участков пограничного слоя,
расположенных у стенки, температура на обтекаемой поверхности
ГСт = Тг меньше температуры торможения То. Температуру Тг и
соответствующую ей энтальпию ir называют соответственно
температурой и энтальпией восстановления. Снижение температуры у стенки
можно охарактеризовать параметром
г = (Тг — Т*)/(Т0 — Т*)9 A3.5.9),
Глава тринадцатая 276
называемым коэффициентом восстановления температуры,
указывающим на то, как близка температура восстановления к температуре
торможения. Этот коэффициент характеризует долю кинетической
энергии внешнего потока, которая переходит в теплосодержание
(энтальпию) при полном его торможении.
Из A3.5.9) можно получить следующее выражение для температуры
восстановления:
Тг = Ть + г (То— Ть) = Ть [1 + г (То/Т* — 1)]. A3.5.10)
Внося сюда значения разности То — Т6 из A3.5.2) и отношения
Т0/Т6 из A3.5.4), получаем:
Тг = Т~0+г-^-; A3.5.11)
A3.5.12)
При исследовании движения вязких диссоциирующих газов
целесообразно перейти к другим соотношениям. Для таких газов
характерно значительное увеличение удельной теплоемкости, так как к
тепловой энергии газа прибавляются затраты части энергии на диссоциацию.
В подобных случаях уже нецелесообразно пользоваться температурой
как мерой энергии. Для этих целей лучше применять энтальпию.
В рассматриваемом случае для оценки влияния теплопроводности
на пограничный слой в диссоциирующем газе следует использовать
понятие энтальпии восстановления iT и соответствующего
коэффициента восстановления энтальпии
г = (ir — iby(i0— tj. A3.5.13)
Подобно тому, как при исследовании теплопередачи в условиях
больших скоростей обтекания и при отсутствии диссоциации для
Рг Ф 1 введено понятие коэффициента г восстановления
температуры, так и при наличии химических реакций, очевидно, оправдано
введение аналогичного коэффициента восстановления энтальпии, который
учитывает степень преобразования химической энергии в тепловую.
Из A3.5.10) следует, что
r(io-h) = М1 + '(У h ~ 1I • A3.5.14)
/в и A3.5.8) для ijib,
полу/2; A3.5.15)
Используя формулы A3.5.6) для /0 — /в и A3.5.8) для ijib,
получаем:
Трение 277
При помощи коэффициента восстановления г можно
охарактеризовать изменение температуры Т и энтальпии i по сечению
пограничного слоя. По аналогии с A3.5.11) и A3.5.15),
Тг = Т + rV2J[2 (ср)ср]; ir = i + rV2j2,
откуда
Г = Гг-гУ*/[2(ср)ср]; A3.5.17)
t = tr — rl/^/2, A3.5.18)
где (Cp)Cp — средняя удельная теплоемкость для интервала
температур Т, - Т.
В § 3.5 отмечено, что соотношение между тепловым потоком,
обусловленным трением, и количеством теплоты, уносимым молекулами
при их перемешивании, определяется числом Прандтля [см. C.5.11)].
Поэтому естественно предположить, что коэффициент восстановления
г зависит от числа Прандтля, которое для условий на стенке, по
аналогии с C.5.11),
РГ = f*cx (Ср)стДет . A3.5.19)
Теоретическими и экспериментальными исследованиями
установлено, что коэффициенты восстановления для ламинарного и
турбулентного пограничных слоев соответственно можно принять:
гл= /РГ; A3.5.20)
A3.5.21)
Для воздуха число Прандтля изменяется в пределах от 0,75 при
низких температурах до 0,65 при высоких. В практических расчетах
можно использовать среднее значение числа Рг = 0,7, которому
соответствуют
гл » 0,84 и гт & 0,89. A3.5.22)
Для Рг = 1 коэффициент восстановления г = 1. В этом случае
температура и энтальпия восстановления совпадают соответственно с
температурой и энтальпией торможения.
Характер изменения температуры и энтальпии по сечению
пограничного слоя для различных условий обтекания показан на рис.
13.5.1. При этом кривые, изображенные на рис. 13.5.1,а,
характеризуют изменение температуры и энтальпии для теплоизолированной
стенки в двух случаях, когда Рг = 1 и Рг Ф 1. Естественно,
распределение температуры и энтальпии изменяется в случае нетеплоизолирован-
ной стенки, т.е. при наличии отвода или подвода теплоты A3.5.1,б,в).
При отводе теплоты (охлаждаемая стенка) нетеплоизолированный
пограничный слой, отдавая теплоту стенке, охлаждается, поэтому
температура газа ТСт у такой стенки меньше температуры восстановления
Тги соответственно энтальпия газа /Ст меньше энтальпии восстановле-
Глава тринадцатая
27&
Пограничный
слой
Рис. 13.5.1 Изменение температуры и энтальпии по сечению пограничного слояг
а — стенка адиабатическая (теплоизолированная); б — охлаждаемая; в — нагреваемая
ния ir При этом температуру газа ГСт можно рассматривать как
температуру поверхности, которую условно назовем температурой
стенки. Если от какого-либо внешнего источника теплота подводится и
температура стенки превышает максимальную температуру пограничного
слоя (нагреваемая стенка), то пограничный слой также нагревается;
следовательно, для газа у поверхности 7Ст > Тг и /Ст > ir
При очень больших скоростях летательных аппаратов стенка
обычно охлаждается (/Ст < ir; ТСт< Тг), что объясняется
излучением теплоты с поверхности, которое не может компенсироваться
сравнительно малым притоком теплоты путем теплопроводности по материалу
стенки от источников теплоты, расположенных внутри
летательного аппарата. Температуру такой стенки обозначим ТСт, т. е. как и
температуру газа у стенки. Однако следует отметить, что в наиболее
общем случае температура газа не совпадает с температурой стенки и,
кроме того, отличается от величины ТГ. Указанную выше величину
*Ст надо рассматривать как энтальпию условного газа, температура
которого равняется температуре стенки 7Ст.
Движущийся аппарат может стать нагреваемым (iCT > ir\ TCT >
> Тг), если полет происходит с замедлением и сопровождается
уменьшением температуры восстановления, в то время как перегретая
стенка не успевает охладиться.
В аэродинамических трубах, в которых отсутствует специальный
подогрев воздуха, а температура торможения близка к температуре
окружающей среды, стенка экспериментальной модели может
оказаться нагреваемой. Это объясняется тем, что к поверхности модели может
идти поток теплоты через державку, в то время как радиационный
поток от холодной стенки модели пренебрежимо мал.
ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ ТЕМПЕРАТУРА
Наличие числа Маха в приведенных зависимостях для определения
параметров движения вязкой среды отражает тот факт, что вследствие
торможения потока в пограничном слое и связанного с этим повышения
Трение 279
температуры изменяется плотность. В этом проявляется свойство
сжимаемости, оказывающее влияние на течение газа в пограничном слое.
С ростом скоростей увеличивается температура, что влечет за собой
наряду с изменением плотности также изменение термодинамических
параметров и кинетических коэффициентов газа в пограничном слое.
При высоких температурах в нем могут происходить химические
реакции.
Эти явления имеют важное значение при формировании процессов
трения и теплообмена в пограничном слое. Однако учет этих явлений
при расчете параметров пограничного слоя и, в частности,
распределения температуры по его толщине, имеющего весьма сложный характер,
вызывает большие трудности. Поэтому рассмотрим сравнительно
простые приближенные методы расчета параметров пограничного слоя при
очень высоких скоростях обтекания. Один из таких методов основан
на использовании зависимостей, сходных по внешнему виду с теми
соотношениями, которые получены в результате исследований
пограничного слоя в несжимаемой среде. Такая возможность вытекает из того
факта, что вблизи поверхности, в пристеночной области пограничного
слоя, поток сильно заторможен и, следовательно, газ близок по
свойствам к несжимаемой среде. Если считать, что течение в этой области
оказывает основное влияние на процессы трения и теплопередачи, то,
следовательно, для расчета параметров пограничного слоя можно
использовать зависимости, структура которых такая же, как и для
несжимаемой среды. Разница заключается в том, что в эти зависимости
входят параметры, определяемые как функции температуры.
Установим, по какой температуре пограничного слоя следует
рассчитывать эти параметры. Как показывают теоретические и
экспериментальные исследования, удовлетворительные результаты
получаются в том случае, если расчет вести по определяющей температуре
Г*, которая представляет собой некоторое среднее значение по
сечению пограничного слоя. Параметры газа, рассчитанные по
температуре Т*, называют определяющими (энтальпия t*, плотность р*,
динамическая вязкость [х* и др.).
При больших скоростях обтекания, когда в пограничном слое
существенное значение имеют физико-химические превращения, в
основу расчета его параметров следует положить определяющую
энтальпию *"*, по которой вычисляют другие определяющие параметры,
включая температуру Т*.
В результате решения уравнения теплопередачи для ламинарного
пограничного слоя Э. Эккертом получена следующая формула для
определяющей энтальпии:
Р = 0,5 (*„ + *,) + 0,22 {ir - ib). A3.5.23)
Определяющая энтальпия зависит от структуры пограничного
слоя и числа М*,. Имеется ряд соотношений, позволяющих
рассчитывать величину /* отдельно для ламинарного и турбулентного
пограничных слоев, а также для различных интервалов чисел М». Формула
Глава тринадцатая 280
A3.5,23) выгодно отличается от этих отношений универсальностью и ее
можно применять с известным приближением как для ламинарного,
так и для турбулентного течений в довольно широком диапазоне чисел
Мое
Как видно из A3.5.23), для вычислений i* необходимо знать
энтальпию газа /Ст при температуре стенки. В частном случае, когда
температура поверхности поддерживается при помощи каких-либо
специальных средств охлаждения на требуемом уровне, эта энтальпия
известна. Если же разогрев протекает самопроизвольно, то
определение /ст связано с решением задачи о теплопередаче между стенкой и
газом. В частном случае теплоизолированной стенки (*ст = ir)
определяющая энтальпия
/* = 0,72ir+0,2&5. A3.5.24)
Без учета теплопередачи в пограничном слое при Рг = 1
энтальпия ir равна энтальпии торможения i0, которую вычисляют по A3.5.6).
В соответствии с этим
i* = 0,72 ( h + Vl/2) + 0,28/8 = *8 + 0,36V* . A3.5.240
Энтальпию i6 на верхней границе пограничного слоя можно найти,
решив задачу о невязком обтекании заданной поверхности. Энтальпию
восстановления in входящую в A3.5.23) и A3.5.24), определяют из
выражения
ir = ib + r*Vl/29 A3.5.25)
в котором коэффициент восстановления рассчитывают как
определяющий параметр в соответствии с A3.5.20) и A3.5.21):
A3.5.26)
ту A3.5.27)
Здесь число Прандтля
Рг*=4г*Д* A3.5.28)
находится по определяющим значениям удельной теплоемкости,
динамической вязкости и теплопроводности.
Соотношение A3.5.23) используется для диссоциирующего газа,
а также в случае, когда газ в пограничном слое разогревается до
температуры, при которой диссоциация не наступает, но теплоемкости
изменяются. В первом случае определяющую температуру Г* находят
как функцию р и t*. Для вычислений можно использовать таблицы или
диаграммы состояния воздуха при очень высоких температурах. Во
втором случае для нахождения определяющей температуры можно
применить соотношение A3.5.23), в котором энтальпия заменяется
температурой в соответствии с выражениями
Трение 281
A3.5.29)
-h = (cp)% (Tcr-Ть);
где (?P)*cp, (^p)cp» (cp)cp — средние значения теплоемкостей,
вычисляемые соответственно для интервалов температур Г* —Т6, Тст —
— Ть и Тг — Т6.
Подставляя в A3.5.23) значения энтальпий из A3.5.29), получаем
зависимость для определяющей температуры 71*, причем температуру
восстановления найдем при помощи формул A3.5.11) и A3.5.12),
представленных в виде
A3.5.30)
A3.5.31)
Когда удельные теплоемкости практически не зависят от
температуры (при Т « 700 -г- 800 К и ниже), определяющая температура
Г* = 0,5(Гст + Т6) + 0,22(Гг - Т6). A3.5.32)
Для теплоизолированной стенки принимаем Тст = Trt поэтому
Г* = 0,72Гг + 0,28Гб. A3.5.33)
Термодинамические функции и кинетические параметры
вычисляют в зависимости от определяющей температуры по формулам A.5.1),
A.5.2) и A.5.4), представленным в следующем виде:
с*р1 сроо = (Т*/Гоо)9; ,г*/^ = (Г*/Гоо)л ; Я*/^оо=(Г*/Гоо)х. A3.5.34)
§ 13.6.
Применение определяющих
параметров для расчета
пограничного слоя
на плоской пластинке при высоких
скоростях обтекания
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
Используя определяющие параметры, найдем связь между основными
характеристиками ламинарного пограничного слоя для несжимаемой жидкости
и сжимаемого газа, т. е. при высоких скоростях обтекания. Для этого введем
в полученные выше соотношения (см. § 13.3 и 13.4) для пограничного слоя в
несжимаемой среде соответствующие параметры.
Глава тринадцатая 282
Рассмотрим толщину пограничного слоя. Ее величина для несжимаемой
среды определяется по формуле A3.3.19'):
где индекс 6 обозначает параметры пограничного слоя в несжимаемой среде.
Для сжимаемого газа получаем аналогичную формулу, если значения до
и ро заменить соответствующими определяющими параметрами \л* и р*:
8сж = 4»64 V Px/(Vtt')- A3.6.1)
Отношение толщин
A3.6.2)
Аналогичное выражение можно получить для напряжения трения.
Для несжимаемой жидкости согласно A3.3.23)
а для сжимаемого газа
P*V| у ц*/(П 9*х) . A3.6.3)
Отношение напряжений трения
VWhWlH. A3.6.4)
Для местных коэффициентов трения, отнесенных к скоростному напору
<7g = p6 Vb 2/2 свободного потока,
= 2 ( *ст)нсж/( Р«^) = °'646
Ысж =2(^от)сж/( PSVf)=0,646 УРЦУ#*х) • р*/р6 . A3.6.5)
Отношение этих коэффициентов
= ( ^ст)ож/( тст)нсж = V (Р7 Рб ) V-*/ Н . A3.6.6)
Коэффициент сопротивления трения (или средний подлине пластинки
коэффициент трения) в несжимаемой среде согласно A3.3.30)
Для сжимаемого газа в соответствии с A3.3.28') и A3.6.5)
dx
L L г
1 Г 0,646 Р , / ц* Р*
Меж =
При постоянной температуре стенки параметры \л* и р* не зависят от
координаты х, поэтому
Следовательно, отношение коэффициентов трения
Трение 283
= ( тст)сж/( тст)нсж =
8. A3.6.9)
Рассмотрим случай, когда в пограничном слое вследствие высокой
температуры возникает диссоциация, в то время как свободное течение происходит
при постоянных теплоемкостях. При этом, полагая, что давление по толщине
слоя не изменяется, для отношения плотностей на основе уравнения состояния
получим формулу
1К1ъ1т*> A3.6.10)
где [Хер — определяющая средняя молярная масса газа.
Применяя для динамической вязкости степенной закон A.5.2), находим
Р*/Ъ=(Т*/Ть)п. A3.6.11)
Внесем A3.6.10) и A3.6.11) в A3.6.2) и A3.6.9):
*сж/ 6нсж - (Г/Г. )(Я+')/2 ( «Vp Лс'рУ/2. <13-6- И>
М/М = (с/*->Ас/А = ( хст)ож/( тст)нсж =
Формула A3.6.12) показывает, что толщина ламинарного пограничного
слоя сильно зависит от величины Т*/Ть, а следовательно, от числа Мб (скорости
Vb ) и отношения Тст/Т& и возрастает по мере увеличения этих параметров.
Зависимость коэффициента трения от определяющей температуры и,
следовательно, от Ms и Тст/То слабее и носит противоположный характер: с ростом
температуры коэффициент трения снижается.
Применение формул A3.6.12) и A3.6.13) связано с вычислением Т* и ц,*р
для диссоциирующего газа в пограничном слое. При этом сначала находят
определяющую энтальпию i* по которой затем для заданного давления рь при
помощи таблиц или графиков термодинамических функций подсчитывают Т*
и р,*р. Если диссоциация не учитывается, то Т* определяется непосредственно
по A3.5.32), а отношение р-ср/н-ерз в A3.6.12) и A3.6.13) принимается равным
единице, т. е.
A3.6.14)
Мсж/^Асж = Меж /Мнсж = ( тст)сж/( ^)нсж =(Г*/Гб)^-1)/2.
A3.6.15)
Сравнивая величины, получаемые соответственно по формулам A3.6.12)
и A3.6.14), а также A3.6.13) и A3.6.15), можно сделать вывод о влиянии
диссоциации на толщину пограничного слоя и силу трения. Непосредственно из
сравнения зависимостей A3.6.12) и A3.6.14), в которых отношения Т*/Ть
приняты одинаковыми, следует, что диссоциация обусловливает снижение толщины
слоя (так как jicps/ficp < 1). В действительности же отношения Т*1Ть
неодинаковы и уменьшение толщины еще больше, так как в диссоциирующем
пограничном слое температура Г* A3.6.12) меньше, чем в недиссоциирующем A3.6.14).
Напряжение трения больше в диссоциирующем газе вследствие снижения
температуры, оказывающего более сильное воздействие, чем некоторый рост
средней молярной массы [см. A3.6.13)]. Физически такое изменение
напряжения трения обусловлено тем, "то с ростом диссоциации и связанным с этим
Глава тринадцатая 284
снижением температуры увеличивается плотность и уменьшается вязкость.
Влияние на силу трения противоположно: с увеличением плотности эта сила растет,
а при снижении уменьшается. Однако увеличение плотности более интенсивно,
чем уменьшение вязкости, и, следовательно, сила трения возрастает. При этом
следует отметить, что указанный рост сил трения несколько больше вследствие
образования при диссоциации дополнительного числа молекул газа (увеличения
средней молярной массы) и повышения вязкости.
Простой метод расчета пограничного слоя по определяющим параметрам
весьма эффективен, так как позволяет учесть влияние на толщину пограничного
слоя и силу трения таких факторов, как сжимаемость, переменность теплоем-
костей, диссоциация и теплопередача. Влияние последнего фактора находит
выражение в зависимости определяющей температуры Т* от температуры
восстановления Тг и температуры Тст ф Тг (при наличии подвода или отвода
тепла от стенки).
ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
Аналогично тому, как это сделано для ламинарного пограничного слоя,
при помощи определяющих параметров получим зависимости для толщины
пограничного слоя, напряжения и коэффициента трения в случае турбулентного
движения. При этом будем исходить из соотношений для параметров
турбулентного пограничного слоя в несжимаемой среде, найденных с использованием
степенного закона распределения скорости по сечению пограничного слоя
(закона корня седьмой степени).
Толщина пограничного слоя в несжимаемой среде определяется по формуле
A3.4.58), которую представим в виде .
Заменяя здесь \1ь и ра на их определяющие значения \i* и р*, получаем
зависимость для толщины пограничного слоя в сжимаемом^газе
6сж =0,37(^*/Кар*I/5^Б. A3.6.16)
Отношение толщин
6сж/ 8ксж - О**/ Н I/5 ( Ps / Р*I/5 • A3.6.17)
Рассмотрим, как можно найти напряжение трения в турбулентном
сжимаемом пограничном слое. Для этого, используя A3.4.59), выражение для тст в
турбулентном несжимаемом пограничном слое представим в следующем виде:
Вводя сюда определяющие параметры, находим соответствующую
зависимость для сжимаемого газа:
(^т^ж^^^/^*I75^175. A3.6.18)
Отношение напряжений трения
( О**/ Ъ )""И Р*L/5- 03-6.19)
Такими же являются отношения местных Cfx и средних cxf
коэффициентов трения:
( тст)сж/( тст)нсж =
О4/в, A3.6.20)
Трение 285
где (с/х)нсж и (сх/)^ж определяются соответственно по формулам A3.4.60) и
A3.4.62).
Рассматривая общий случай диссоциирующего газа, вычисляем отношения
p*/ps и \i*/\ib соответственно по A3.6.10) и A3.6.11). Тогда
5/5 = (Т*/ТхУп+1Мъ(и. Ja* V/« • (\3 6 21)
еж/ неж V '8/ \Гср8'гСр/ , \io.u.6ij
Мсж/Мнсж = Мсж/Мнсж = ( тст)сж/( тст)нсж =
p/fxcp6)V«. A3.6.22)
Из этих формул видно, что качественный характер изменения толщины
пограничного слоя и силы трения при турбулентном движении такой же, как и
при ламинарном,а именно: с ростом определяющей температуры толщина слоя
увеличивается, а сила трения снижается. Однако количественная оценка такого
изменения показывает, что в соответствии с A3.6.21) для турбулентного
пограничного слоя его толщина с повышением определяющей температуры растет
значительно медленнее, чем для ламинарного слоя, а коэффициент трения
падает более интенсивно [см. A3.6.22)].
Как и при ламинарном пограничном слое, диссоциация проявляется в
некотором уменьшении толщины пограничного слоя и росте напряжения трения.
Толщина пограничного слоя и коэффициенты трения при наличии диссоциации
определяются соответственно по A3.6.21) и A3.6.22) путем последовательных
приближений. Сначала по заданной температуре стенки ТСТ и параметрам
невозмущенного потока М§ JE?§ p8 tg и другим находим определяющую энтальпию
i* по формуле A3.5.23), приняв в первом приближении Гл = 0,84 или г* =
= 0,89. Затем при помощи графиков или таблиц термодинамических и
кинетических функций воздуха по i* и давлению р6 отыскиваем Г*. По этой
температуре и давлению рь из тех же таблиц или графиков можно найти (ср)*>
\i*t Я* и уточнить по формуле A3.5.28) число Рг*, а по формуле A3.5.26) или
A3.5.27) — коэффициент восстановления г*. По этой величине г* вычисляем
во втором приближении энтальпию i*t определяем температуру 71* и
соответствующую молярную массу [i*p , значение которых подставляют в A3.6.21) и
A3.6.22).
При отсутствии диссоциации отношение молярных масс |л*р/(Хср5 = 1,
следовательно,
^ A3.6.23)
= Мсж/Мясж = ( тст)сж/( тст)нсж =
= (Г7 ть ) (л~~4) /5. A3.6.24)
Соотношение A3.6.24) можно представить для случая постоянных тепло-
емкостей в приближенном виде:
0 +О,12М2)-°.<К. A3.6.24')
Эту формулу нетрудно получить из A3.5.31), A3.5.33) и A3.6.24), полагая
л = 0,75; k* = 1,4; г* = 0,85. При этих же значениях находят
аппроксимирующую зависимость, определяющую отношение толщин пограничного слоя( 13.6.23),
а также условных толщин:
6сж/ Внсж = Ьсж/ Сж = A + 0.12М|)°-35 . A3.6.23')
Величины Знсж и &*сж находят соответственно из A3.4.58) и A3.4.63).
Формулу A3.6J23') нетрудно получить из A3.5.31), A3.5.33) и A3.6.23),
полагая п = 0,75; F* = 1,4 и г* = 0,85.
Глава тринадцатая
286
Конус
Рис. 13.6.1 Схема пограничного слоя
на конусе
Отношение условных толщин $*ж^нсж определяется по аналогии с
ламинарным пограничным слоем, так же как отношение соответствующих
коэффициентов трения с использованием A3.6.24).
ТРЕНИЕ НА КОНУСЕ ПРИ СВЕРХЗВУКОВЫХ
СКОРОСТЯХ ОБТЕКАНИЯ
Ламинарный пограничный слой. Сверхзвуковой поток около
заостренного конуса обладает тем свойством, что вдоль образующей
конической поверхности скорость Vt = VK постоянна и,
следовательно, продольный градиент давления равен нулю. Таким же свойством
обладает «невязкое» течение около плоской пластинки, вдоль которой
параметры на внешней границе пограничного слоя постоянны. Это
сходство обтекания позволяет использовать результаты расчета
пограничного слоя для плоской пластинки при определении
соответствующих параметров вязкого потока около конической поверхности.
Для этого используем интегральное соотношение A3.2.16).
Учитывая, что параметры газа на внешней границе пограничного слоя всюду
на конусе одинаковы (Vd = VK = const; рь = рк = const и т. д.) и,
следовательно, продольный градиент давления равен нулю (dptldx =
= 0), это соотношение представим в виде
d
dx
A3.6.25)
где г0 — расстояние от оси до точки на поверхности конуса с
координатой х (рис. 13.6.1), атСт — напряжение трения в этой точке.
Применим соотношение A3.6.25) для расчета ламинарного
пограничного слоя. В произвольной точке какого-либо его сечения,
расположенного от острия на расстоянии х, напряжение трения находим
по формуле т = iidVjdy. В соответствии с этой формулой в уравнении
A3.6.25) можно заменить dy = ([i/x)dVx. Разделив обе части этого
Трение 287
уравнения на Рк^к^к» где рк и (ык — соответственно плотность (рк =
= рб) и динамическая вязкость (\iK = \is) на внешней границе
пограничного слоя корпуса, получим интегральное соотношение
A3.6.26)
dx J ?KVK fxK т [ VK
Для рассматриваемого случая «безградиентного» пограничного слоя
отношение скоростей VX/VK = /i(#/6) является функцией только
относительной координаты у/б и не зависит от х. Следовательно, в
соответствии с формулами т = \idVjdy, тСт = V>K(dVx/dy)K и отношение
касательных напряжений в слое зависит от той же относительной
координаты, т. е. т/тст = /г(у/б). Внесем функции /lf /2 в A3.6.26) и введем
обозначение
J = Г -?-?. • -?- • 1—kdfi. A3.6.27)
J Рк^к f^K /2
О
Учитывая при этом, что в случае постоянной температуры на всей
поверхности конуса отношение jx/[iK не зависит от координаты х и что
от этой координаты не зависит также отношение плотностей р/рк,
являющееся функцией VX/VK, найдем зависимость
2
у_?» ±- (-!*-)= —^—. A3.6.28)
Заменяя в правой части формулы г0 на JcsinpK и разделяя
переменные, получаем
± d (J±.\2 = Jl?ik x*dx. A3.6.29)
После интегрирования находим
Принимая в начальной точке (при х = 0) отношение го/тСт = 0 и,
следовательно, постоянную в правой части A3.6.30) равной нулю, а
также производя обратную замену *sinflK = г0 и обозначая
напряжение трения на конусе тСт =тСт.к» имеем
. \1/Л
A3.6.31)
Аналогичное выражение можно получить для напряжения трения
тст =тСт.пл на плоской пластинке. При этом будем исходить из
Глава тринадцатая 288
предположения, что пластинка обтекается гипотетическим
сверхзвуковым потоком с параметрами, которые будут такими, как на конусе.
Тогда в результате интегрирования уравнения A3.6.28), в котором не
будем учитывать г0, получим зависимость
I • {iO.O.OZ)
X ]
Из формул A3.6.31) и A3.6.32) вытекает важное соотношение
*ст.к = КзЧт.пл, A3.6.33)
в соответствии с которым напряжение трения на конусе в УЗ раз боль-
шву чем напряжение трения на пластинке, подсчитанное по
параметрам на конусе. По формуле, аналогичной A3.6.33), определяем
местные и средние значения коэффициентов трения:
A3.6.34)
cxfK=V'3cxfT1Jl. A3.6.35)
Эти значения отнесены к скоростному напору возмущенного
потока qK = pKVK2/2. Чтобы рассчитать коэффициенты трения по
скоростному напору невозмущенного течения, надо воспользоваться
зависимостями
(pKV2JPooVl); A3.6.36)
(pX/pooVL). A3.6.37)
Силу сопротивления трения рассчитываем по среднему
коэффициенту трения cxfооК и боковой поверхности SK конуса:
ерхности SK конуса:
1/3'с/:спл(Рк^/2Mк. A3.6.38)
= (тСт)с и коэффициенты трения
Напряжение трения тст. пл = (тСт)сж и коэффициенты трения
пл = Усж» cfx™ = Ысж найдем из соотношения A3.6.13) по
определяющим параметрам в общем случае для диссоциирующего
воздуха.
Можно установить приближенную зависимость также и между
толщинами пограничного слоя на конусе и пластинке. Для этого
воспользуемся методом Польгаузена для расчета распределения скорости
по сечению пограничного слоя в несжимаемой среде. По этому методу
скорость вычисляем по уравнению A3.3.15). Заменяем в нему] на у,
ч\ь на б и V& на VK:
V-V(±.JL L.JL). A3.6.39)
х к \ 2 в 2 ьз ) v
По формуле Ньютона, напряжение тЯения на поверхности конуса
Трение 289
?(т -f-т ¦ ?)L- "¦"• -? • A3-6-40)
где бк — толщина пограничного слоя на конусе.
Аналогичное выражение составим для пластинки:
), A3.6.41)
где бпл — толщина пограничного слоя на пластинке.
Из соотношений A3.6.40) и A3.6.41) следует, что
&пл/8к=*ст.к/*ст.Ш1, A3.6.42)
откуда согласно A3.6.33)
h = Ы. „лЛат. к) 8пл = KJV3. A3.6.43)
Таким образом, в соответствии с формулой A3.6.43) толщина
ламинарного пограничного слоя на конусе в j/З раз меньше, чем на
пластинке. Толщину бпл = 6Сш для пластинки можно рассчитать в
общем случае диссоциирующего газа по определяющим параметрам на
конической поверхности с применением формулы A3.6.12).
Турбулентный пограничный слой. Воспользовавшись тем же
интегральным соотношением A3.2.16), в приближенной форме получим
аналогичные зависимости для турбулентного пограничного слоя.
Перейдем в A3.6.25) к определяющим параметрам и подставим вместо
тСт выражение A3.4.55), в котором обозначим V& = VK и б = бк:
E*) '
Учитывая, что температура поверхности всюду одинакова и,
следовательно, определяющие параметры постоянны (плотность р* в левой
и правой частях сокращается), после простых преобразований
получаем уравнение
А 1/ / т/ \ / \1 , у/4 г§/4
А- гЛ Р i,4Wf =0,0233 (^
L 0 К / \ / J \ил/
A3.6.44)
Если исходить из закона корня седьмой степени, то безразмерная
скорость VJV* = (y/SKI/?» поэтому
J K { vK
В соответствии с этим A3.6.44) представим в форме
A (roK)md (robK) = 0,0233 (fVFkP*)'/4 A'*dx. A3.6.45)
Ю—708
Глава тринадцатая 290
Заменяем в правой части r0 =xsinflK и интегрируем при условии,
что для х = 0 величина го8к = 0:
D/4/5) (ro8KM/4 = 0,0233 Oi*/KKp*I/4 sin5/4CK D*9/7 9) .
Произведя здесь обратную замену (#sin|3KM/4 = г о и
соответствующее сокращение на эту величину в правой и левой частях, получим
откуда
8k = D/9L/5(/2jcL/5, A3.6.46)
где
J2 = @,0292/^) (fx*/KKp*I/4. A3.6.47)
Заменяя в A3.6.45) 6К на бпл и исключая г0, получаем аналогичное
выражение для толщины пограничного слоя на плоской пластинке.
После интегрирования
откуда
8дл = (^L/5.. A3.6.48)
Из выражений A3.6.46) и A3.6.48) найдем связь между толщинами
пограничного слоя на конусе и пластинке:
К = D/9/^ = 0,5238ял. A3.6.49)
Зависимость для напряжения трения установим из соотношения
A3.4.55), введя определяющие параметры и представив это
соотношение отдельно для конуса и пластинки:
Тст.пл = 0,0233p*l/'(v*/yKI/4(l/^4).
Принимая определяющие параметры одинаковыми на конусе и
пластинке, из двух последних формул найдем отношение
^ст.к/^ст.пл = (8длЯI/4- A3.6.50)
Внесем сюда значение бк из A2.6.49):
^ст.к = (9/4I/5тст.пл = 1,17тст.пл. A3.6.51)
Сопоставляя формулы A3.6.33) и A3.6.51), можно сделать вывод,
что для турбулентного пограничного слоя характерно меньшее отличие
напряжения трения на конусе от соответствующего значения на
пластинке, чем для ламинарного пограничного слоя. Это объясняется
более сильным влиянием перемешивания потока на силу трения в
Трение 291
турбулентном пограничном слое по сравнению с воздействием формы
поверхности. Значения толщин слоя [см. A3.6.43) и A3.6.49)] на
конусе для турбулентного и ламинарного пограничного слоев
отличаются примерно на 10%. Такое небольшое различие свидетельствует
о более сильном влиянии на толщину пограничного слоя формы
обтекаемых поверхностей, чем перемешивания.
По известному напряжению трения можно определить местный и
средний коэффициент трения:
с/хЖ=1,ЩХПп; A3.6.52)
A3.6.53)
Эти коэффициенты рассчитаны по скоростному напору qK = p*Vzd2-
Чтобы пересчитать их на скоростной напор невозмущенного потока,
необходимо применить формулы, аналогичные A3.6.36) и A3.6.37).
Силу сопротивления трения при турбулентном пограничном слое
определяем по выражению, сходному с A3.6.38):
Xf=l,17cxfua(pKV*j2)SK. A3.6.54)
Напряжение трения тСт.пл = (тСт)сж и коэффициенты трения
СхЫп = Dс/)сж> cfxun = ЫсжДЛя плоской пластинки можно найти
из соотношения A3.6.22), а толщину пограничного слоя бпл = бсж —
из A3.6.17) по определяющим параметрам с учетом диссоциации.
§ 13.7.
Влияние продольного градиента
давления на трение
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
Для пограничного слоя на плоской пластинке и конической
поверхности, обтекаемых сверхзвуковым потоком, характерно то, что
давление в .нем во всех сечениях одинаковое (рь = const) и, следовательно,
продольный градиент давления dpjdx = 0. Однако при обтекании
криволинейной поверхности (например, профиля крыла или тела
вращения с криволинейной образующей) этот градиент отличен от нуля, так
как давление на внешней границе пограничного слоя является
переменной величиной, зависящей от координаты х. Это влечет за собой,
как видно из интегрального соотношения A3.2.16), где dp&/dx Ф 0,
изменение напряжения трения и, следовательно, распределения
скорости и толщины пограничного слоя по сравнению со случаем
обтекания плоской пластинки или конуса.
Если рассмотреть профиль крыла с криволинейным контуром,
обтекаемый дозвуковым потоком (рис. 13.7.1,а), то на переднем участ-
10*
Глава тринадцатая
292
Рис. 13.7.1 Изменение продольного градиента давления на профиле:
а — дозвуковое обтекание; б — сверхзвуковое обтекание
ке (от точки О полного торможения до некоторой точки В) градиент
давления будет величиной отрицательной (dp&/dx<. 0), а на участке
от точки В до точки С на задней кромке — положительной (dpjdx >
> 0). Такой характер изменения градиента давления обусловлен
особенностями обтекания профиля, при котором на переднем участке
скорость в направлении от точки О к точке В возрастает и, следовательно,
давление на основании уравнения Бернулли снижается: на участке,
примыкающем к задней кромке, скорость, наоборот, уменьшается,
а давление увеличивается.
В случае сверхзвукового обтекания (рис. 13.7.1,6) скорость Vt>
в направлении к задней кромке профиля непрерывно возрастает,
следовательно, давление рь и производная dpjdx уменьшаются, т. е. на
всей поверхности течение в пограничном слое испытывает влияние
отрицательного градиента давления.
Для качественной оценки изменения касательных напряжений при
указанном распределении продольного градиента давления
воспользуемся интегральным соотношением A3.2.16). Если производная dpjdx<i
< 0, то первый член в левой части положительный, а в случае dpbldx>
> 0 — отрицательный. Это означает, что при прочих равных
условиях касательные напряжения в зоне отрицательного градиента
давления, где поток ускоряется, больше, чем при равномерном движении.
Наоборот, на том участке поверхности, где давление повышается и
течение замедляется, напряжение трения уменьшается. На этом
участке можно указать точку поверхности, в которой напряжение трения
оказывается равным нулю, а за этой точкой его величина становится
отрицательной.
Такой характер изменения напряжения трения тесно связан с
распределением скорости Vx по сечению пограничного слоя. Если
рассматривать ламинарный пограничный слой, для которого тСт =
= 1*>ст(дУх/ду)СТ,то в зоне с отрицательным градиентом давления, где
тст > 0, производная (dVx/dy)CT > 0. Соответствующее
распределение скоростей показано на рис. 13.7.2,а, где скорость Vx вблизи
стенки совпадает по направлению со скоростью свободного
потока W
Трение
293
Рис. 13.7.2 Схема изменения
профиля скорости по
сечению пограничного слоя и
образования вихря в зоне
его отрыва:
/ — линия тока; 2 — вихрь;
3 — зона отрыва
arctg
В точке профиля, гдетСт = 0 и, следовательно (dVx/dy)CT = О,
касательная к кривой распределения скоростей в пограничном слое
(рис. 13.7.2,6) совпадает с нормалью к стенке. За этой точкой
напряжение Тст отрицательное и производная (dVx/dy)c^<C 0.
Соответствующий характер течения в пограничном слое, как показано на
рис. 13.7.2,в, обусловлен тем, что скорости частиц, находящихся вблизи
стенки, направлены в сторону, противоположную направлению
свободного потока.
Определять напряжение трения в этой зоне не следует, так
как его влияние на движение жидкости мало по сравнению с
нормальным напряжением (давлением). Практически это напряжение можно
принять равным нулю. Исследовать напряжения трения на участках
криволинейной поверхности с безотрывным обтеканием можно с
использованием интегрального соотношения пограничного слоя вместе с
зависимостями, устанавливающими распределение скоростей по
сечению слоя и закон изменения касательных напряжений.
РАСЧЕТ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Рассмотрим метод расчета ламинарного пограничного слоя на
криволинейной поверхности профиля, обтекаемого сжимаемым газом (см. [3]).
По этому методу местный коэффициент трения
= 17-1/ — 0-^)
Po
а толщина пограничного слоя
где функция
Ф (X) = 367/630 + G1/7560) X + A/9072) X2;
приведенная толщина слоя
., = 1/ Xv0I/'/(l — V?) ,
где производная Vb = dVd/<%.
— , A3.7.1)
A3.7.2)
A3.7.3)
A3.7.4)
Глава тринадцатая 294
Существенным элементом расчета является определение параметра
учитывающего влияние на вязкое обтекание криволинейности поверхности,
которое наблюдается в случае продольного градиента скорости (V^ ф 0). Этот
параметр находится в результате решения дифференциального уравнения
=M1 (л) Nx (I) + М2 (к) N2 A), A3.7.6)
в котором
_. , X B13 — 1,92Х —0,2Ха) 7258 — 1336Х + 37,92X2 + р,$\з
213 —Б.76Х —X» ; Мг(А)= 213-5,76Х_Л2 ;
A3.7.7)
В этих выражениях введены обозначения для относительной координаты
? = J/L, а также для первой и второй производных скорости в виде V% =
= й7ьЩ, Vb=d*Vb!dT\
Пограничный слой на криволинейной стенке рассчитывают следующим
образом. Сначала находят теоретическое или экспериментальное* распределение
скоростей на внешней границе пограничного слоя Уь (х), затем вычисляют
производные V'b, V\ и соответствующие функции Nlf JV2 [см. A3.7.8)]. Далее в
результате численного интегрирования уравнения A3.7.6) определяют
величину л. Эта величина должна удовлетворять граничному условию, согласно
которому в точке разветвления потока, совпадающей с точкой полного
торможения, т. е. при? = 0 (х = 0), функция X равна некоторому конечному значению
Яо. По данным А. А. Дородницына, Яо = 7,052.
Рассмотренный порядок расчета применим в одинаковой мере как к
дозвуковому, так и сверхзвуковому обтеканию профилей с затупленной передней
кромкой. В последнем случае в формулах A3.3.4) и A3.3.6) небходимо вместо
давления и плотности торможения /?о, ро принять их соответствующие значения
Pq, pQ, рассчитанные для условий течения за прямым участком отсоединенной
от профиля криволинейной ударной волны.
При сверхзвуковом обтекании заостренного профиля значения р0 и р0
рассчитывают для числа М<х>> 1 и угла 6С наклона скачка уплотнения у
передней кромки. Начальное значение к = %о (при? = 0) определяют из условия,
что на заостренной кромке профиля, как и на пластинке, толщина
пограничного слоя равна нулю. Согласно этому значению, %о также равно нулю.
Соответствующие значения для параметров пограничного слоя в
несжимаемой^ жидкости можно найти, если в полученных зависимостях положить 1 —
— T/f =1 — Vl/V2max = 1 [это следует из формулы 1—7? = {1 +
4~ [{k — l)/2]Mf J, в которой для несжимаемой среды следует принять число
Маха Ms = 0].
Коэффициент трения согласно A3.7.1)
Трение 295
Толщина пограничного слоя согласно формуле A3.7.2), в которой Ts = О,
равна значению б = щ. Это значение определим из A3.7.5) в виде
В формулах A3.7.9) и A3.7.10) величину X определяют в результате
решения дифференциального уравнения A3.7.6), в котором вместо A3.7.8) следует
принять
M~0 = W. N2(l)=VyVb. A3.7.11)
Для профилей с малой кривизной контура применим метод определяющих
параметров, при помощи которого характеристики несжимаемого пограничного
слоя пересчитывают на их соответствующие значения с учетом сжимаемости
и высоких температур.
Из приведенных соотношений для пограничного слоя на криволинейной
поверхности как частный случай можно получить соответствующие зависимости
для плоской пластинки, обтекаемой как сжимаемым, так и несжимаемым
потоком, если принять в этих соотношениях продольный градиент скорости равным
нулю.
ВЛИЯНИЕ ОТРЫВА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
НА АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Отрыв пограничного слоя— одно из характерных явлений,
сопровождающих движение жидкости или газа. При отрыве происходит
перераспределение давления на поверхности летательного аппарата,
вследствие чего изменяются аэродинамическое сопротивление и
подъемная сила. В диапазоне трансзвуковых скоростей отрыв усложняет
управляемость, так как увеличиваются нестационарные
аэродинамические нагрузки. При высоких сверхзвуковых скоростях он приводит
к большим тепловым потокам на отдельных участках обтекаемой
поверхности.
Вместе с тем отрыв потока может оказаться полезным при
использовании отдельных видов летательных аппаратов или их элементов.
Например, тонкий профиль, пригодный для полета с большой
скоростью, можно приспособить для малых скоростей, вызвав
искусственным путем отрыв в каком-то месте на его верхней стороне и
обеспечив последующее присоединение. В результате достигается эффект
утолщенного профиля, который более приемлем для полета с малой
скоростью.
Благодаря отрыву потока могут быть улучшены различные
аэродинамические характеристики спускаемых на Землю космических
аппаратов. Отдельные части таких аппаратов работают в условиях
высоких температур. Используя отрыв, в отдельных случаях можно
уменьшить нагрев, обеспечив допустимый режим теплопередачи.
Отрыв потока — область интенсивных аэродинамических
исследований. Классическая концепция такого отрыва связана со свойством
вязкости, поэтому ее рассматривают часто как проблему отрыва
пограничного слоя.
Глава тринадцатая
296
Рис. 13.7.3 Распределение давления
по поверхности профиля в
несжимаемом потоке (Моо^= 0):
/ — при безотрывном обтекании; 2 — при
обтекании с отрывом потока
Необходимое условие отрыва потока — положительный градиент
давления. Если такой градиент отсутствует, то отрыва не происходит.
Например, поток не отрывается от плоской пластинки, для которой
характерны постоянство давления во всех сечениях пограничного слоя и,
следовательно, равенство нулю продольного градиента давления.
Однако при обтекании гладкой криволинейной
поверхности (например, профиля крыла или тела вращения с
криволинейной образующей) этот градиент отличен от нуля. Это
влечет за собой изменение местного напряжения трения, толщины
пограничного слоя и распределения скорости по его сечению в сравнении со
случаем обтекания плоской пластинки.
При этом, как уже отмечалось (рис. 13.7.2), в хвостовой части тела
скорости частиц, находящихся вблизи стенки, направлены в
сторону, противоположную направлению свободного потока. Такое явление
объясняется воздействием вязкости, приводящим к уменьшению
кинетической энергии частиц жидкости. В хвостовой части профиля запас
этой энергии может оказаться недостаточным для преодоления
положительного градиента давления. Поэтому жидкость вблизи поверхности
сначала претерпевает полное торможение, а затем изменяет
направление движения. В результате образования этого противотока
происходит оттеснение линий тока и, как следствие, отрыв пограничного
слоя от поверхности. Точке отрыва соответствует значение тСт = 0.
Отрыв пограничного слоя от поверхности обусловливает
существенное изменение характера обтекания и оказывает заметное влияние на
аэродинамические характеристики летательных аппаратов.
Пограничный слой за точкой отрыва характеризуется наличием
двух противоположных потоков: внешнего, имеющего направление
свободного течения, и внутреннего, движущегося в обратную сторону.
Пограничный слой как бы скручивается, образуя вихрь (рис. 13.7.2).
Возникновение и унос вихрей сопровождаются накоплением
заторможенной жидкости и образованием застойной зоны.
Благодаря влиянию вихрей скорость частиц больше в кормовой
части обтекаемого тела, находящейся в этой зоне, чем при
безотрывном обтекании, а давление меньше (рис. 13.7.3). Поэтому появляется
Трение 297
дополнительное сопротивление от перераспределения давления,
называемое сопротивлением подсасывания или вихревым сопротивлением.
Увеличение сопротивления можно объяснить тем, что на образование
вихрей и отрыв потока затрачивается дополнительная часть
кинетической энергии потока, обтекающего тело.
Положение точки отрыва, а следовательно, и размер области,
определяющей величину дополнительного сопротивления, зависят от
величины градиента давления. Для обтекаемых поверхностей в виде
профилей или удлиненных тел вращения с малой кривизной и при
небольших углах атаки положительный градиент давления невелик,
отрыв практически не происходит и вихревое сопротивление
пренебрежимо мало. С увеличением угла атаки и кривизны поверхности
возрастает градиент давления dpjdx и появляется отрыв. При этом чем
больше производная dpjdx, тем ближе точка отрыва к вершине обтекаемой
поверхности.
Все эти явления наблюдаются как при ламинарном, так и при
турбулентном пограничных слоях. Однако в случае турбулентного
течения можно отметить некоторые отличительные особенности отрывного
обтекания. Участок такого турбулентного течения возникает, как
известно, в случае, когда число Рейнольдса становится больше
критического значения. По сечению турбулентного пограничного слоя
скорости распределены более равномерно, поэтому частицы вблизи
поверхности имеют большую скорость и, следовательно, повышенную
кинетическую энергию. Поэтому они сильнее противостоят
тормозящему действию нарастающего вдоль потока давления, способствуя тем
самым менее интенсивному снижению касательного напряжения, и
продвигаются вдоль поверхности до точки отрыва, гдетСт = О»
дальше, чем в ламинарном слое.
Таким образом, переход через критическое число Рейнольдса
сопровождается сдвигом вниз по потоку точки отрыва. В результате
ширина и интенсивность вихревой области за телом уменьшаются и
сопротивление от давления (вихревое сопротивление) резко снижается.
При этом, несмотря на некоторое увеличение сопротивления,
обусловленное турбулентным трением, полное сопротивление меньше, чем в
случае ламинарного пограничного слоя. Это явление уменьшения
лобового сопротивления неудобообтекаемых тел (тел,
обтекание которых сопровождается интенсивным отрывом, а их
сопротивление обусловлено в основном силами от давления и в меньшей
степени трением) при возникновении турбулентного пограничного слоя
называют кризисом сопротивления. При дальнейшем (закризисном)
увеличении чисел Рейнольдса сопротивление несколько возрастает,
так как место отрыва перемещается вверх по потоку.
Необходимо заметить, что указанный эффект «кризиса
сопротивления» наблюдается лишь в случае неудобообтекаемых тел, таких, в
частности, как цилиндр, сфера. Для удобообтекаемых тел,
например профилей крыльев, фюзеляжей самолетов, сужение зоны
отрыва в кормовой части тела и некоторое уменьшение сопротивления
Глава тринадцатая 298
давления перекрываются увеличением сопротивления трения
вследствие образования турбулентного пограничного слоя в этой части тела.
Рассмотрим, как влияет сжимаемость на положение точки отрыва и
сопротивление. Установлено, что для плоской пластинки с
возрастанием числа Маха толщина пограничного слоя увеличивается и
напряжение трения уменьшается. Это действительно и для криволинейных
поверхностей [см. A3.7.1) и A3.7.2)]. Отсюда следует, что с ростом
числа Моо точка отрыва смещается против потока, т. е. к носку
обтекаемого тела. В результате зона отрыва расширяется, а сопротивление
давления и полное сопротивление возрастают.
Из этого следует, что расчет обтекания и определение
аэродинамического сопротивления связаны с нахождением точки отрыва
пограничного слоя с обтекаемой поверхности. Приближенное значение
координаты точки отрыва ламинарного пограничного слоя в
дозвуковом потоке можно определить по методу Дородницына, описанному
выше. Для этого следует воспользоваться уравнением A3.7.1). Приняв
в нем Cfx = О, найдем значение параметра X = —12, по которому из
решения уравнения A3.7.5) находят для заданной формы тела
положение точки отрыва.
Метод Дородницына, как и другие методы, изложенные выше,
основываются на решении дифференциальных уравнений пограничного
слоя, на нижней границе которого параметры жидкости определяют
из уравнений невязкого безотрывного обтекания заданной
поверхности, т. е. эти методы не учитывают влияния оторвавшегося
пограничного слоя на свободный поток. Полученные по этим методам данные
об отрыве удовлетворительны для достаточно удобообтекаемых тел,
у которых оторвавшийся вместе с пограничным слоем свободный поток
незначительно отходит от поверхности и поэтому мало отличается от
безотрывного невязкого течения. Однако при достаточно интенсивном
отрыве у неудобообтекаемых тел, когда внешний поток значительно
отходит от стенки, это отличие весьма существенно и такой поток
оказывает большое влияние на пограничный слой и место его отрыва.
Отрыв пограничного слоя, вызванный положительным градиентом
давления, который возникает в кормовой части криволинейной
поверхности и не связан с наличием каких-либо выступов или
шероховатостей, может наблюдаться как в сжимаемом, так и в несжимаемом
потоках. При этом в сжимаемом потоке могут протекать специфические
процессы, обусловливающие тот же эффект отрыва, который
рассмотрен. Как уже известно, в сжимаемой среде при числах Моо, больших
критических, в возмущенном потоке возникают местные скачки
уплотнения. Повышенное давление за такими скачками распространяется
не только вниз, но и вверх по течению через дозвуковую часть
пограничного слоя, примыкающую к стенке. Кроме того, утолщение
пограничного слоя перед скачком уплотнения вызывает оттеснение линий
тока от поверхности тела в сверхзвуковой части пограничного слоя и во
внешнем потоке. Это приводит к тому, что сверхзвуковой поток при
обтекании этого участка испытывает дополнительный поворот, что вле-
Трение
299
Рис. 13.7.4 Модели отрывных течений:
а — отрыв, вызванный уступом: / — пластинка; 2 — пограничный слой; 3 — основной
скачок уплотнения; 4 — зона отрыва и возвратного течения; 5 — скачок уплотнения; 6 —
уступ; б — отрыв, вызванный клином: / — пластинка; 2 — пограничный слой; 3 — волны
сжатия; 4 — зона отрыва и возвратногоо течения; 5 — скачок уплотнения; 6 — наклонная
плоскость (клин)
чет за собой возникновение косого скачка уплотнения (Я-образный
скачок).
В результате действия скачка уплотнения на
пограничный слой происходит нарастание давления,
которое приводит к отрыву пограничного слоя. Возрастание сопротивления
при сверхкритических числах Маха обусловлено не только потерями в
местных скачках уплотнения, но и отрывом пограничного слоя,
вызванного скачками. Эффект отрыва усиливается при сверхзвуковых
скоростях обтекания, если пограничный слой испытывает действие
падающего скачка уплотнения. Такой скачок вызывает значительное
повышение давления в пограничном слое, в результате чего он утол:
щается, а затем отрывается.
Отрыв потока с образованием скачка уплотнения может произойти
в том случае, если пластинка имеет изломы. На рис. 13.7.4 показаны
схемы такого отрыва, вызванного уступом и наклонной плоскостью.
Скачок уплотнения обусловлен отклонением потока вблизи места
отрыва на некоторый угол вследствие возникновения застойной зоны
перед уступом или наклонной плоскостью. Появляющийся на стенке
дополнительный градиент давления способствует смещению вперед
точки отрыва.
Как показывают исследования, все эти явления наиболее
интенсивно протекают в случае ламинарного обтекания. Турбулизация
ослабляет взаимодействие между скачками уплотнения и пограничным
слоем, так как утолщение пограничного слоя, как и значение
градиента давления в его формировании, гораздо менее заметны при
турбулентном течении, чем при ламинарном. Благодаря меньшему
оттеснению линий тока в турбулентном потоке перед прямым скачком, как
показывают эксперименты, не возникает дополнительный косой
скачок уплотнения. Отрыв трехмерного потока происходит и без
возвратного течения, а также при трении. Он возникает в точке, где
встречаются касательные к стенке пространственные линии тока.
Глава тринадцатая 300
УПРАВЛЕНИЕ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ (УПС)
К числу распространенных методов управления обтеканием относят
отсос и сдув пограничного слоя. В результате этого предотвращается
срыв потока, который может возникнуть при возрастании угла атаки
несущей или стабилизирующей поверхности до значений, больших
критического. Как следствие, увеличивается подъемная сила. При этом
становятся больше критические углы атаки и максимальные значения
коэффициентов подъемной силы.
Физический эффект от отсоса и сдува одинаков и состоит в
увеличении кинетической энергии частиц в пограничном слое, благодаря чему
уменьшается их торможение. При отсосе этот эффект достигается в
основном за счет повышения скорости, а при сдуве — за счет
увеличения массы воздуха, протекаемой через пограничный слой.
Отсос производится вакуум-насосами, а сдув — нагнетательными
насосами через профилированную щель, систему отверстий или
проницаемые поверхности (соответственно дискретный и распределенный
отсос или сдув).
Расположение отверстий или щелей при применении отсоса
совпадает с местом предполагаемого отрыва, а при сдуве щели или
отверстия находятся выше по потоку.
Отсос и сдув пограничного слоя можно использовать для
уменьшения аэродинамического сопротивления. Для этого щели или
отверстия должны быть расположены в хвостовой части обтекаемого тела,
где достигается предотвращение отрыва, способствующее снижению
.подсасывающего эффекта за кормой и, как следствие, уменьшению
сопротивления от давления.
Экспериментальные исследования показывают, что для улучшения
аэродинамических характеристик крыла (повышения суатах) наиболее
целесообразен сдув пограничного слоя. Сдув производится обычно у
передней кромки крыла, а также вблизи расположенных на нем
различных органов управления и средств механизации (элеронов,
элевонов, щитков и т. д.).
Отсос — важное средство стабилизации ламинарного
пограничного слоя (ламинаризации), обеспечивающей снижение
сопротивления трения, а также теплопередачи.
Физически эффект cfaбилизaции объясняется тем, что при помощи отсоса
устраняются очаги пульсационного движения, характерного для
турбулентного пограничного слоя, и тем самым обеспечивается большая
устойчивость ламинарного пограничного слоя.
Следует иметь в виду, что сдув нельзя использовать для
стабилизации ламинарного пограничного слоя. Более того, он приводит к
обратному эффекту — снижению его устойчивости, так как
способствует развитию возникающих пульсаций скоростей в пограничном
слое.
Щели или отверстия, через которые осуществляется отсос, должны
быть расположены в точке потери устойчивости, расстояние до которой
Трение
301
Рис. 13.7.5 Скачок уплотнения
перед затупленным телом:
а — криволинейный отсоединенный
скачок уплотнения: / — клин или
цилиндр; 2 — головной скачок
уплотнения; 3 — скачок уплотнения;
б — присоединенный скачок
уплотнения перед иглой: / — клин или
цилиндр; 2— игла; 3 — основной,
присоединенный скачок уплотнения;
4 — зона отрыва; 5 — скачок
уплотнения
5)
\
от передней кромки можно рассчитать по значению критического
числа Рейнольдса. Следует учитывать, что осуществление ламинаризации
предполагает устранение возмущающих факторов (шероховатость,
местные отрывы пограничного слоя, вибрации стенки),
способствующих сохранению турбулентного течения.
Измерения показывают, что на охлаждаемой поверхности
сопротивление трения меньше, чем на горячей стенке. Это свидетельствует
о том, что при охлаждении переход ламинарного пограничного слоя в
турбулентный происходит на большем удалении от передней кромки
обтекаемой стенки.
Таким образом, охлаждение способствует повышению устойчивости
пограничного слоя.
Физически эффект стабилизации пограничного
слоя охлаждением объясняется действием пониженных
температур на вязкость и плотность обтекающего газа. При
охлаждении газа снижается его динамическая вязкость и возрастает плотность.
Это способствует устранению причин неустойчивости ламинарного
пограничного слоя в газе, который успешней противостоит действию
возмущений, вызывающих турбулентные пульсации.
Отвод тепла, благодаря которому температура на границе слоя
становится меньше, чем на стенке, осуществляется различными
техническими средствами, которые выбирают в зависимости от конструкции
летательного аппарата и его назначения.
Повышению аэродинамического качества летательного аппарата и
улучшению характеристик его устойчивости и управляемости
способствует применение вспомогательных поверхностей на
отдельных элементах конструкции. К числу их относят
аэродинамические гребни, представляющие собой небольшие выступы на верхней
поверхности крыла, параллельные продольной оси летательного
аппарата. Их назначение — препятствовать перетеканию пограничного
слоя вдоль размаха крыла и уменьшать срыв потока с его боковых
кромок. Для этого предназначены концевые шайбы, установленные у этих
кромок. Как и гребни, они способствуют улучшению обтекания, что
проявляется в меньшем действии на крыло концевых вихрей. В резуль-
Глава тринадцатая
302
Рис. 13.7.6 Обтекание затупленного
тела со вдувом газа:
/ — корпус; 2 — отверстие для вдува;
3 — положение скачка уплотнения без
вдува; 4 — скачок уплотнения при вдуве
тате снижается индуктивное сопротивление, возрастает
аэродинамическое качество.
Снижению сопротивления и теплопередачи при больших
сверхзвуковых скоростях способствует тонкая игла перед затупленным
телом.
Рассмотрим это явление. Отсоединенный почти прямой скачок
уплотнения перед затупленным телом (рис. 13.7.5,а) может изменить
форму, если перед этим телом установить тонкую иглу (рис. 13.7.5,6).
Поток может оторваться на игле и образовать область течения
клинообразного или конусообразного типа в зависимости от того, является
ли тело плоским или цилиндрическим. Под влиянием такого отрывного
течения изменяется форма головного скачка уплотнения от почти
прямого до косого, что обусловливает снижение лобового сопротивления и
теплопередачи в точке полного торможения затупленной поверхности.
Однако в области между скачком и наконечником могут возникать
высокие местные тепловые потоки, что несколько снижает эффективность
использования иглы.
Экспериментальные исследования показывают, что эффект,
аналогичный использованию иглы, может быть достигнут струей газа,
выдуваемой через небольшое отверстие на стенке головной части
навстречу набегающему потоку, или применением системы малых отверстий
(пористой стенки), через которые осуществляется инжекция газа в
обтекающий поток. В обоих случаях благодаря вводу дополнительной
массы газа происходит отрыв потока от затупленного тела, который
образует как бы новую обтекаемую поверхность (псевдотело) с меньшей
степенью затупления и большей длиной. В результате головной
скачок уплотнения, сохраняя криволинейную форму, отодвигается от
носка и снижает свою интенсивность. Это обусловливает более
благоприятное перераспределение давлений и скоростей на затупленном
носке и, как следствие, снижение сопротивления и теплопередачи.
Такая модель течения приведена на рис. 13.7.6, на которОхМ показана
затупленная стенка с одним отверстием.
Трение
303
Рис. 13.8.1 Смешанный пограничный
слой на пластинке:
/ —ламинарный пограничный слой; 2 —-
область перехода; 3 — турбулентный
пограничный слой
§ 13.8.
Смешанный пограничный слой.
Критическое число Рейнольдса
Для расчета пограничного слоя необходимо проанализировать
характер этого слоя на обтекаемой поверхности. Наблюдения
показывают, что характер пограничного слоя существенно зависит от режима
обтекания, определяемого числом Рейнольдса. Если рассмотреть
поверхность в виде пластинки (рис. 13.8.1), то на переднем ее участке
при сравнительно небольших числах Re = Уьхр?>1\кь образуется
ламинарный пограничный слой, затем следует область перехода
ламинарного слоя в турбулентный, завершающаяся на хвостовых участках
полностью турбулентным течением, которому соответствуют достаточно
большие числа Re. Такой пограничный слой на обтекаемой
поверхности называют смешанным.
Следует отметить, что как ламинарный, так и турбулентный
пограничные слои возможны при любых числах Рейнольдса. Фактически на
обтекаемой поверхности в пограничном слое устанавливается режим
течения, который при данных условиях является устойчивым. При
небольших числах Re устойчив ламинарный режим. При больших их
значениях ламинарный пограничный слой оказывается неустойчивым.
Некоторыми искусственными приемами, например обеспечивая
плавный подвод жидкости к пластинке с гладкой поверхностью, можно
создать ламинарный пограничный слой и при достаточно больших числах
Рейнольдса.
Однако такой режим течения неустойчив, и при всяком, даже
малом, возмущении он переходит в устойчивый турбулентный режим.
Это относится и к неустойчивости турбулентного пограничного слоя,
который может возникнуть на передней части пластинки (где числа
Рейнольдса малы), если имеются какие-то начальные возмущения.
Но как бы велики ни были эти возмущения, при течении у передней
кромки они затухают, если местное число Re = Уьхрь/\1б не
превышает некоторого предельного значения числа Рейнольдса. Число Re,
Глава тринадцатая
304
Рис. 13.8.2 Изменение местного
коэффициента трения на пластинке и
значения критических чисел
Рейнольд са:
/ — ламинарный пограничный слой; 2
—область перехода; 3— турбулентный
пограничный слой
Рис. 13.8.3 Схема перехода
ламинарного пограничного слоя в
турбулентный:
/ — ламинарный пограничный слой; 2 —
фиктивный участок турбулентного
пограничного слоя; 3 — турбулентный
пограничный слой за точкой перехода; 4 —
турбулентный пограничный слой, начинающийся
в точке О
отделяющее область устойчивого ламинарного течения от остальных
участков поверхности, на которых имеются области перехода и
устойчивого турбулентного течения, называют критическим числом Рейнольд-
са Reicp = VeXKpPe/M-e- Иногда это число, определяемое по
расстоянию лгкр' до начала области перехода, называют первым или
минимальным критическим числом в отличие от второго критического числа Рей-
нольдса Renp = ^б#кррб/цб, отделяющего область перехода от
зоны развитой турбулентности и вычисляемого по координате х^р
конца этой области. В области перехода течение носит перемежающийся
характер: происходит смена ламинарных и турбулентных состояний
через неравномерные промежутки времени. Физические свойства такого
течения характеризуются коэффициентом перемежаемости,
указывающим, какую долю промежутка времени в определенном сечении
потока существует турбулентность.
В результате исследований обычно находят диапазон чисел Рей-
нольдса, ограниченный первым и вторым критическими их значениями
и определяющий размеры области перехода. Приближенные значения
этих чисел можно найти из графика (рис. 13.8.2), полученного по
экспериментальным данным на пластинке, обтекаемой несжимаемым
потоком с малой начальной турбулентностью.
Первое критическое число Рейнольдса определяется по
минимальному значению коэффициента трения, соответствующему концу
участка ламинарного пограничного слоя, и равно Re^p « 3-Ю6. За
точкой минимума Cfx следует резкое, почти скачкообразное возрастание
местного коэффициента трения, который достигает максимального
значения, соответствующего границе области перехода и второму крити-
Трение
305
)
v
ч
——
— ¦
6,%
п
\\
\
\
45 3"
Рис. 13.8.4 Влияние степени турбулентности в
несжимаемой жидкости на критическое число
Рейнольдса в случае обтекания пластинки
Рис. 13.8.5 Влияние
шероховатости поверхности
пластинки на
критическое число Рейнольдса
ческому числу Рейнольдса Яе'кР «4-Ю6. Правее этой границытур*
булентный пограничный слой устойчив.
В приближенных практических расчетах можно исходить из того,
что ламинарный пограничный слой отделен от турбулентного областью
перехода с бесконечно малыми размерами, т. е. точкой. Координата
лгкр этой точки перехода П (рис. 13.8.3) определяется по критическому
числу Рейнольдса, которое вычисляют как среднее между первым и
вторым критическими значениями этого числа.
При оценке величины числа ReKp необходимо использовать
экспериментальные данные. Такое экспериментальное критическое число
Рейнольдса позволяет делать количественные оценки, а также
анализировать качественно явление стабилизации ламинарного
пограничного слоя, процесс перехода его в турбулентный пограничный слой и
закономерности формирования потока в этом слое. В частности,
установлено, что наличие ламинарного участка и области перехода не
влияет на закон развития турбулентного пограничного слоя после точки
перехода. Следовательно, для расчета пограничного слоя за точкой
перехода можно использовать обычные зависимости, полученные в
предположении, что течение в этом слое полностью турбулентное.
Положение точки (или области) перехода на обтекаемой
поверхности зависит от ряда факторов, основными из которых являются степень
турбулентности внешнего потока, состояние поверхности, температура
стенки, число Мб на внешней границе пограничного слоя, форма
обтекаемой поверхности и продольный градиент давления.
Влияние степени турбулентности внешнего потока несжимаемой
жидкости на число ReKp показано на рис. 13.8.4. Увеличение
степени турбулентности приводит к дополнительным возмущениям в
пограничном слое, способствующим наступлению ранней турбулиза-
Ции и, как результат, уменьшению критического числа Рейнольдса.
Наибольшее значение этого числа, найденное для шара в
свободном полете, при котором начальная турбулентность принимается
равной нулю, определяется величиной ReKP = 4-Ю5. При этом по экс-
Глава тринадцатая 306
периментам, проведенным в аэродинамической трубе с начальной тур-
булентностью потока 6%, соответствующее число Рейнольдса в
четыре раза меньше (ReKp ^ 105). Аналогичные измерения для
пластинки дают уменьшение этого числа от шести до восьми раз [от 2,8-Ю6 до
C,5 -т- 5).1О5].
Качественно такой же эффект снижения устойчивости ламинарного
пограничного слоя дает имеющаяся на поверхности шероховатость,
которую также следует рассматривать как источник возмущений.
Если состояние поверхности охарактеризовать относительной
шероховатостью Д = А/б* (гдеД — высота бугорков шероховатости; б* —
толщина вытеснения), то влияние этого состояния на критическое
число Рейнольдса для несжимаемой жидкости графически можно
изобразить в виде кривой, показанной на рис. 13.8.5. Из этого рисунка
видно, что небольшая шероховатость практически не влияет на переход
ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Согласно опытным
данным, при малых скоростях в случае единичной
цилиндрической или двухмерной шероховатости
(например, в виде круглой тонкой проволочки, закрепленной поперек потока)
высоту элемента этой шероховатости, при которой еще нет ее влияния
на переход, можно определить из соотношения F*Ax/v6 = 7, гдеДх —
высота элемента шероховатости; F* = j/тст/ра — динамическая
скорость, определяемая по касательному напряжению на стенке в месте
расположения этого элемента.
Высота элемента шероховатости, при которой переход ламинарного
пограничного слоя в турбулентный происходит непосредственно
около этого элемента, определяется из соотношения K*A2/v6 = 15 -г
-т- 20. Значения высот Дх иД2, называемых критическими,
соответствуют шероховатостям практически с любыми плоскими
куполообразными элементами, а также в виде углублений, причем эти значения
для остроконечных элементов оказываются меньше. Дальнейшее
увеличение толщины Д 2 вызывает перемещение точки перехода вперед до
тех пор, пока расстояние от этой точки до передней кромки не достигнет
минимальной величины (этому расстоянию соответствует
минимальное критическое число Рейнольдса ReKP = УбХк$Ы). Такая толщина
является эффективной. Ее величина определяется при сверхзвуковых
скоростях из условия
в котором Re^ = Ув#дА*в, где х& — расстояние до элемента
шероховатости; а = 32,8 и 43,2 — коэффициенты соответственно для конуса
и пластинки.
Эффективной высоте шероховатости соответствует минимальное
критическое число Рейнольдса ReKp, определяемое при помощи
экспериментальной зависимости
ReKP-Re,A=5,5- ltWVI*. A3.8.D
Трение 307
По этой зависимости, задавшись величиной ReKp, можно вычислить
величину ReXb, определяющую расстояние от передней кромки до эле*
мента шероховатости (турбулизатора), а по формуле A3.8.1) —
соответствующее значение высоты этого элемента. Оценка влияния
сжимаемости на характер действия шероховатости показывает, что с
увеличением Мб интенсивность этого действия снижается.
Таким образом, пограничный слой в сжимаемой среде менее
чувствителен к шероховатости, чем в несжимаемом потоке. В соответствии с
экспериментальными данными турбулентный пограничный слой
нечувствителен к шероховатости, если высота элемента шероховатости
меньше толщины ламинарного подслоя. Приближенно толщину для
плоской поверхности можно определить из соотношения Д= lOOve/Fa.
Рассмотрим влияние температуры стенки на устойчивость
ламинарного пограничного слоя. Установлено, что охлаждение обтекаемой
поверхности способствует стабилизации пограничного слоя и
повышению критических чисел Рейнольдса. Это объясняется тем, что от
охлаждения снижается температура и увеличивается плотность газа у
стенки, вследствие чего возрастает кинетическая энергия потока. Частицы
с большей энергией менее подвержены влиянию возмущающих
пульсаций. При этом замечено, что при очень больших скоростях обтекания
число Рейнольдса как критерий устойчивости имеет существенное
значение по сравнению с такими параметрами, как относительная
температура стенки Гст/7б(Т'ст/Т|оо или ТСТ/ТГ) и число Мб. Результаты
экспериментальных исследований зависимости критического числа
Рейнольдса от температуры поверхности пластинки показаны на рис.
13.8.6. При помощи этих результатов можно найти зависимость
величины ReKp/(ReKp)f. j [(ReKpOT=i — критическое число
Рейнольдса при Тст = Тст/Тг = 1] от параметра (Гст — 1)/Мб2,
содержащего относительную температуру Гст и число Мб.
Таким образом, приведенные данные позволяют установить влияние
на устойчивость ламинарного пограничного слоя также числа Мб
на внешней границе слоя. Нетрудно установить, что с увеличением
Мб критическое число Рейнольдса уменьшается, так как с возрастанием
числа Мб повышается температура восстановления, в связи с чем
уменьшаются плотность и кинетическая энергия газа у стенки.
На частицы газа с меньшей кинетической энергией, естественно,
значительно влияют возмущения, что вызывает более раннюю турбули-
зацию пограничного слоя.
Установим влияние на устойчивость ламинарного пограничного
слоя степени турбулентности внешнего потока и шероховатости
стенки при различных числах Мб- Наблюдения показывают, что это
влияние уменьшается с ростом Мб и при Мб > 4 -=- 5 критическое
число Рейнольдса практически не зависит от степени турбулентности и
Шероховатости.
Физическая природа этого явления состоит в следующем. Как
известно, с ростом числа Мб, увеличивается толщина пограничного слоя
Глава тринадцатая
308
2,5
2,0
1,5
U
\
\
\
4
-0,04- ~O,QZ
Рис. 13.8.6 Экспериментальная
кривая, характеризующая зависимость
числа ReKp от относительной
температуры и числа Мб
и, следовательно, большая масса газа вовлекается в вязкое течение.
Именно поэтому такой утолщенный ламинарный пограничный
слой испытывает меньшее возмущающее действие турбулентности
внешнего потока и шероховатости. Из этого не следует делать вывод о
стабилизирующем влиянии числа Me. В данном случае наблюдается
снижение роли в изменении критического числа Рейнольдса таких
факторов, как турбулентность и шероховатость. Но одновременно
влияние этого числа снижается с ростом Me.
Критическое число Рейнольдса, определенное по местным
параметрам на границе слоя, зависит от формы обтекаемой поверхности.
Рассмотрим это на примере обтекания конуса. При одном и том же
значении числа Мб и температуры стенки толщина пограничного слоя на
конусе меньше, чем толщина на пластинке в соответствующей точке.
В таком более тонком слое вязкой жидкости тенденция к поперечным
перемещениям частиц ослабляется, и критическое значение числа
Рейнольдса увеличивается. Экспериментальные данные об изменении
этого числа в зависимости от числа Мб и относительной температуры
Гст = Тст/Тг приведены на рис. 13.8.7. Анализ этих данных
показывает, что качественный характер влияния числа Мб и температуры
поверхности на устойчивость пограничного слоя для конуса такой же,
как и для пластинки. Вместе с тем можно отметить особенность
обтекания, согласно которой при Мб > 4 Ч- 5 критические числа
Рейнольдса для конической поверхности практически остаются
постоянными, соответствующими данному значению относительной
температуры Тст. При этом, как показывают расчеты, значения
критического числа Рейнольдса приблизительно обратно пропорциональны
относительным температурам стенки Тст = Тст/ТГу определяемым при
помощи выражения A3.5.12) для Тг.
При исследовании устойчивости ламинарного пограничного слоя
на криволинейной поверхности необходимо учитывать наряду с
указанными факторами также влияние продольного градиента давления-
Если он положительный, то частицы газа движутся с замедлением,
Трение
309
•w*
\
\
л
\
\
ТсГ-0,7
^0,9
1,0
0,8
2,2
3,0
0,6
/
/
-6
-ц-
-г
Рис. 13.8.7 Изменение критического
числа Рейнольдса для конуса
Рис. 13.8.8 Влияние продольного
градиента давления на критическое
число Рейнольдса потока,
обтекающего плоскую криволинейную
поверхность
поэтому их кинетическая энергия уменьшается. Это обусловливает
меньшую сопротивляемость возмущающим воздействиям, что приводит
к более интенсивному поперечному перемешиванию и, как следствие,
к снижению критического числа Рейнольдса.
Ускорение частиц, вызванное отрицательным градиентом давления,
способствует «затягиванию» ламинарного движения,
характеризующегося большим числом Рейнольдса. На рис. 13.8.8 изображена
кривая, построенная в результате экспериментального исследования
дозвукового обтекания профиля и позволяющая оценить влияние
продольного градиента давления на критическое число Рейнольдса. Этой
кривой соответствует эмпирическая формула
(Re.p)x/(Re,p)o=(l-OfO48Xr
A3.8.2)
где X = —ISxdptldx — параметр, рассчитанный по величине
градиента давления dpbldx\ рь = 2/?б/(рб^б2) — безразмерная величина
давления в пограничном слое; (Re^)*, и (ReKpH — критические числа
Рейнольдса, соответствующие К =? 0 (градиент давления отличен от
нуля) и X = 0 (градиент давления равен нулю).
Согласно экспериментальным исследованиям, для профилей
крыльев точка перехода приблизительно совпадает с координатой точки
минимума давления. В свою очередь, эта координата весьма близка к
месту наибольшей толщины профиля. Поэтому ламинаризированные
профили (с большой протяженностью ламинарного пограничного слоя)
имеют смещенные к задней кромке участки наибольшей толщины.
По экспериментальным данным, точка минимума давления может быть
Удалена от передней кромки на расстояние 60—65% хорды профиля.
Сопротивление такого профиля, обусловленное действием ламинарного
трения, можно снизить по сравнению с обычным профилем в полтора-
Два раза.
Глава тринадцатая 310
После определения с учетом указанных факторов критического
числа Рейнольдса можно рассчитывать параметры смешанного
пограничного слоя, вычисляя их для участков ламинарного и
турбулентного течений. Рассмотрим для примера метод расчета такого
пограничного слоя на плоской пластинке (см. рис. 13.8.3). На участке
пластинки от передней кромки до точки П (длина участка *кр = хп)
параметры вязкого обтекания (толщину слоя, коэффициент трения)
рассчитывают по обычным соотношениям ламинарного пограничного слоя.
Однако для расчета турбулентного течения, начинающегося за точкой
Я, нельзя непосредственно применить приведенные выше зависимости
для турбулентного пограничного слоя, так как этот слой начинается
не с нулевой толщины, а с какого-то конечного значения. Опытным
путем подтверждено, что эти зависимости можно с достаточным
приближением использовать, если входящую в них координату х отсчитывать
от условного начала турбулентного пограничного слоя, определяемого
на рис. 13.8.3 точкой О'.
Для определения этой точки можно применить одну из следующих
схем. В соответствии спервой схемой принимается, что
расстояние О'П = Д#, равное длине условной пластинки с турбулентным
пограничным слоем, должно быть таким, чтобы обеспечить толщину
турбулентного пограничного слоя бт в точке перехода, равную
толщине ламинарного пограничного слоя бл на длине л:кр = хл- Если
рассматривать несжимаемую жидкость, то это приводит к условию
^ J A3.8.3)
где согласно A3.3.19') и A3.4.58) Аг = 4,64; А2 = 0,37;
A3.8.4)
причем критическое число (Re^)^ рассматривается как известная
величина, равная A -f- 5)-106. Зная эту величину, из A3.8.3) можно
найти Дл:.
Чтобы учесть влияние сжимаемости и высоких температур,
воспользуемся определяющими параметрами. С этой целью выражения
для чисел Рейнольдса представим в следующем виде:
(ReKp)% = Vtfnh\ Re*, = F6A*/v*. A3.8.5)
В рассматриваемом случае критическое число (ReKP)x следует
находить с учетом температуры стенки и числа Me- Внося значения
A3.8.5) в A3.8.3), можно вычислить длину Ах, которая определится
уже с учетом влияния больших скоростей обтекания.
Согласно второй схеме, предполагается, что в точке
перехода одинаковы не толщины слоя, а толщины потери импульса б** я
Трение
311
Рис. 13.8.9 Форма
эквивалентного конуса:
/ — заданное тело вращения; 2 —
эквивалентный конус; 3 —
ламинарный пограничный слой; ч —
турбулентный пограничный слой
— —Н
\ J
ламинарного и турбулентного пограничных слоев, т. е.
( ол )Xfi = ( Ьп )А
)Ах
A3.8.6)
Для несжимаемой жидкости толщину потери импульса находим
по уравнению A3.2.19), в котором принимаем р = рб.'
Вводя обозначение для интеграла
1
Б =
получаем
б** = 65.
A3.8.8)
Внося это значение в A3.8.6) и учитывая выражение для толщин
A3.8.3), находим
\-1/5
A8.8.9)
где Бг вычисляется из A3.8.7) с заменой VjVt по уравнению A3.3.15),
в котором принимается г) 1ц ь = у/8, а Б2 находится из того же
уравнения A3.8.7) с заменой VjVb согласно A3.4.54). Величина Ах,
найденная из A3.8.9), больше, чем эта величина, полученная по A3.8.3).
Можно предположить, что среднее значение Ах, полученное по этим
формулам, будет ближе к действительному.
Результаты расчета координаты точки О' можно использовать для
расчета толщин, распределения местных коэффициентов трения, а
также средних величин этих коэффициентов в случае смешанного
пограничного слоя.
. Средний коэффициент трения для пластинки длиной L
Глава тринадцатая 312
(*х/)нож = fee/ л)нсж "Y" + ( ^т)нсж - ( *'*)« -f- > A3.8.10)
где (сх/л)нсж — средний коэффициент ламинарного трения на участке
О'П (см. рис. 13.8.3), рассчитанный по критическому числу Рейнольд-
са; (е^т)нсж и (^т)нсж — средние коэффициенты турбулентного трения
соответственно на участках длиной х' = L — хп + Ах и Ах. При
этом коэффициент (cXfT')HCm найден для числа Рейнольдса,
вычисленного по длине х', а коэффициент (cxfT")HCm — для числа Re,
подсчитанного по расстоянию Ах.
Коэффициент трения приближенно можно рассчитать исходя из
предположения, что турбулентный слой берет свое начало
непосредственно в точке передней кромки (см. рис. 13.8.3). В этом случае величи-
нуДл: следует принять равной длине ламинарного участка, т. е. Дл; =
= хп- При этом условии формулу A3.8.10) можно представить в виде
cxf = cxfnxn/L + сф-сфхпЦ. A3.8.11)
Здесь длина участка перехода Хп считается величиной заданной,
определяемой по известному критическому числу Рейнольдса.
Формулу "A3.8.11) можно использовать при расчете коэффициента
трения для корпусов (тел вращения). В этом случае вместо хп следует
принять участок боковой поверхности 5Л, а вместо L — боковую
поверхность 5бок. Если при этом отнести коэффициент cxf к
характерной площади 5МИД, то
cxf = Сзс/л^л/^мид + ^Т5бок/^мид — ^/т^л/^мид- A3.8.12)
При дозвуковых скоростях обтекания критическое число
Рейнольдса ReKp, по которому вычисляют длину хп, можно находить для
корпуса так же, как и для пластинки. При этом следует иметь в виду,
что у корпуса действительные значения этого числа больше.
При сверхзвуковых скоростях число ReKP, как и составляющие
коэффициенты трения в A3.8.12), можно найти исходя из
представления заданного тела вращения с криволинейной образующей в виде
эквивалентного конуса, полуугол раствора которого $« вычисляют из
условия яг'мидл:к = 5бок, которое дает C« = гтл /хк = S6oK/
/(я4) (рис. 13.8.9). Поэтому
A3'8ЛЗ)
Коэффициенты трения в правой части определяют для плоской
пластинки по значениям соответствующих параметров газа на
эквивалентном конусе.
глава
14
roo
Теплопередача
Глава четырнадцатая 314
§ 14.1.
Аэродинамический нагрев
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА
При полете в атмосфере теплота от окружающей среды переходит к
летательному аппарату, когда на близком расстоянии от его
поверхности температура газа становится выше температуры тела. Области
высоких температур возникают вследствие торможения потока в
ударных волнах и в пограничном слое, вызывающего увеличение
статической энтальпии воздуха.
Расчет теплопередачи заключается в определении удельного
теплового потока (поверхностной плотности теплового потока), равного
количеству теплоты, подводимой к единице поверхности в единицу
времени, а также полного теплового потока к обтекаемой поверхности за
некоторый промежуток времени. Такой расчет позволяет правильно
выбрать систему охлаждения или другие средства, обеспечивающие
предохранение поверхности от перегрева, а также дает возможность
определить участки, где достигаются чрезмерные тепловые напряжения
и возможно разрушение поверхности.
Рассмотрим уравнение теплового баланса, которое в общем виде
определяет суммарный удельный тепловой поток, идущий на нагревание
стенки. Величина удельного теплового потока <7ст равна разности
подводимого <7пд и отводимого от нее qol! тепловых потоков, т. е.
<7ст = <7пд — <7от- A4.1.1)
Подводимый к стенке тепловой поток возникает за счет
теплопроводности и диффузии в газе (аэродинамический тепловой поток) qK =
= <7т + <7д> излучения газа qvajl, солнечной qc и земной q3 радиации
и передачи теплоты от оборудования ^Об. п:
<7пд = Як + <7рад+ qc + <73 + <7об.п • A4.1.2)
Отводимый поток складывается из теплоты qm, излучаемой
нагретой поверхностью, теплоты qa6, поглощаемой материалом стенки и
рассеиваемой в окружающую среду при уносе массы, теплоты qox,
отводимой различными охлаждающими устройствами, и теплоты qO6. 0 на
разогрев оборудования. Следовательно
<7от = <7ii8 + <?аб + Яох + <7об.о • A4.1.3)
Теплопередача 315
В тепловом балансе его составляющие qo6. п, <7об.ои qox могут иметь
большой удельный вес. Проблемы, связанные с допустимыми
значениями <7об. m Яоб. о и потребными величинами ^ох» носят прежде всего
конструктивно-технологический характер и решаются в каждом
конкретном случае с учетом специфических особенностей летательного
аппарата. Рассмотрим здесь лишь процессы естественного подвода и
отвода теплоты, связанные с разогревом газа, излучением стенки, а
также тепловой радиацией от Солнца и Земли.
ПОДВОД ТЕПЛОТЫ ОТ РАЗОГРЕТОГО ГАЗА
Молекулярная теплопроводность. При изучении явлений,
связанных с обтеканием тел высокоскоростным потоком, имеет значение
неравномерный нагрев газа, приводящий к пространственному
распределению как температур, так и состава газа. Возникающие
градиенты температур вызывают поток теплоты, обусловленный
молекулярной теплопроводностью. Этот тепловой поток определяется
законом Фурье
, A4.1.4)
где Яст (дТ/ду)ст — соответственно коэффициент теплопроводности
и температурный градиент для разогретого газа у стенки. Знак «—»
в правой части взят с учетом того, что величина qT является
положительной, а температурный градиент (дТ/ду)ст — отрицательным, так
как температура в направлении распространения теплоты снижается.
Диффузионный тепловой поток. Одной из особенностей процесса
теплопередачи в пограничном слое при очень больших скоростях
обтекания является то, что атомы и ионы, появившиеся в результате
диссоциации и ионизации, участвуют в переносе теплоты,
диффундируя в области с меньшей атомарной и ионной концентрацией.
Диффузия, сопровождающаяся рекомбинацией атомов и ионов, приводит
к выделению дополнительной теплоты
где Qm — диффузионный поток вещества [см. C.2.1)], it —
энтальпия /-го компонента смеси, определяемая но формуле
в которой ((cpdT)i — теплосодержание i-ro компонента газа, (/хим)* —
о
химическая энергия его образования.
Для модели воздуха, представляющего собой реагирующую атом-
но-молекулярную смесь (у атомарной компоненты индекс «А», умолеку-
Глава четырнадцатая 316
лярной — «М»), <7д = <2Ад 1а + Змд 'м • A4Л -5')
'а = ' cpKdT + '*-, 'м = J Ср^Т- A4.1.60
6 о
Кроме того, можно считать, что перенос вещества в заданном
направлении у
= — <2мд = — рАш dcjdy ; Dam = Аиа = А A4.1.7)
где Z)AM = Ома = D — коэффициент диффузии атомарного
(молекулярного) компонента в молекулярный (атомарный); с& — массовая
концентрация атомов.
Очевидно, с известным приближением можно исходить из указанной
бинарной структуры диссоциированного воздуха, так как
коэффициенты переноса, характеризующие вязкость, теплопроводность и
диффузию, а также относительные атомные массы кислорода и азота близки
друг к другу. К тому же принимаем, что концентрация окиси азота
низка и ее влиянием на перенос энергии можно пренебречь.
Можно также не учитывать ионизацию, влияние которой начинается лишь
при Мое > 20 -г- 25.
Внося A4.1.7) в A4.1.5') и рассматривая условия на стенке,
получаем
<7Д = -PcT^A/ay)CT(tA-fM). A4.1.8)
Энтальпии атомарной iA и молекулярной /м компонентов
определяют энтальпию смеси i:
Согласно A4.1.6), разность
В реальных случаях второй член в правой части уравнения A4.1.10)
значительно больше первого и, следовательно, можно принять iA —
— 1м « *хим-
Кроме переноса вещества, обусловленного переменной
концентрацией, образуются диффузионные потоки, вызванные наличием
градиентов температур (термодиффузия) и давления (бародиффузия). Эти
две составляющие диффузионного потока не имеют существенного
значения и поэтому при изучении теплопроводности в потоке газа,
обтекающем тело, их не учитывают. Компоненты газа, диффундирующие
вследствие наличия градиента концентрации, перенося энтальпию,
являются источниками потока энергии, который при определенных
условиях может превысить поток теплоты за счет теплопроводности.
Теплопередача 317
Полный удельный тепловой поток. Величина полного удельного
теплового потока определяется теплопередачей за счет обычной
молекулярной теплопроводности и выделением теплоты в результате
рекомбинации атомов, участвовавших в диффузии. Отсюда полный
удельный тепловой поток к стенке в соответствии с A4.1.4) и A4.1.8)
Як = <7т + ?д = — ^ст(дТ/ду)ст-pCTD( iA-/м) (дсА/ду)а. A4.1.11)
Производную (дТ/ду)ст в этом выражении можно определить
следующим образом. Продифференцируем по у A4.1.9):
ду ду V А м> ду А ду V A^ V ;
Воспользуемся формулой A4.1.6), преобразовав ее к
дифференциальной форме dit = c-pfdT и учтя при этом, что с1Aшм)г = 0, так как
для каждого компонента энтальпия его образования (iXUM)i = const.
В соответствии с полученным выражением для dit найдем, что сИа =
= cpAdT,diM= cPM.dT. Следовательно, A4.1.9') можно преобразовать
к виду
где срАсА + срмA — ^а ) = (^р)ср — средняя удельная
теплоемкость смеси.
Из выражения для dildy находим производную
дТ\ 1 ( di\ 1_(^\ и _/ ч
ду jcx" Мет \ ду L (сР)ст [ ду ;с/а м;ст>
где [(ср)ср]ст обозначено через (ср)ст.
Внесем полученные выражения для дТ/ду)ст в A4.1.11):
или
1 +
)
'ст
ст('а-'м)ст1
f/a^HT J
Теплопроводность A)
(дс* /ди\
Le-^
Диффузия B)
Глава четырнадцатая 318
В уравнение A4.1.12') введен безразмерный параметр
Le = pCT(cp)CTD/xcT, A4.1.13)
называемый числом Льюиса—Семенова, являющийся одним из важных
критериев диффузионной теплопередачи. Физический смысл этого
критерия состоит в том, что он определяет отношение интенсивности
теплопередачи при массообмене в результате диффузии к интенсивности
теплообмена путем теплопроводности. В общем случае Le > 1, а
следовательно теплопроводность менее интенсивна, чем передача теплоты
диффузией. Представим число Le A4.1.13) в форме
Первый сомножитель в правой части этого выражения
представляет собой число Прандтля Рг = [хСт(?р)сДст> а второй —
безразмерную величину, которую можно рассматривать в качестве
характеристики диффузионного переноса теплоты. В теории теплопередачи
вводят параметр, обратный по значению этой величине, называемый
диффузионным числом Прандтля или числом Шмидта:
Sc«|iCT/(p0TD). A4.1.14)
Физический смысл параметра Sc заключается в том, что он
определяет соотношение между кинетической энергией, обусловленной
молекулярным переносом, и энергией, передаваемой путем диффузии. Как
и критерии Прандтля, число Шмидта для газов Sc< 1, причем Sc<
< Рг. Зависимость между числами Шмидта и Льюиса — Семенова
следующая:
Le = Pr/Sc. A4.1.130
Важное значение для практики имеют исследования числовых
величин приведенных параметров. Теоретически установлено, что
для двухкомпонентной атомно-молекулярной смеси число Шмидта
изменяется весьма мало в широком интервале температур. Например,
если при Т = 252 К значение Sc = 0,495, то при Т = 3360 К число
Sc = 0,482. Это характерно и для изменения числа Прандтля,
значение которого Рг « 0,71. Если принять число Шмидта равным
некоторому среднему значению Sc = 0,49, то параметр Льюиса—Семенова
Le = Pr/Sc = pDcpfk = 0,71/0,49 = 1,45.
По имеющимся данным, этот параметр слабо зависит от
температуры вплоть до значений Т ж 9000 К.
Анализ возможных случаев теплопередачи. Рассмотрим уравнение
D.1.12') и проанализируем различные случаи теплопередачи в
пограничном слое. Из A4.1.12') следует, что если температура у стенки ниже
Теплопередача 319
предела диссоциации, то концентрация атомов равна нулю,
следовательно, {дс^ду)^ = 0 и тепловой поток
Як = <7т = - [^ст/Ыст! (di/dy)CT. A4.1.15)
В рассматриваемом случае предельного термодинамического
равновесия теплообмен характеризуется молекулярной теплопроводностью,
заключающейся в передаче кинетической энергии поступательного
движения молекул, а также их колебательной и вращательной
энергией.
Реальное течение в диссоциированном пограничном слое
характеризуется наличием градиента концентрации атомов и молекул и
неравновесностью химических реакций. В этом случае механизм
теплопередачи в пограничном слое может существенно отличаться от процесса
чисто молекулярной теплопроводности. Наряду с молекулярной
теплопередачей перенос теплоты происходит за счет химической энергии,
выделившейся при рекомбинации. Для этого процесса характерны
следующие предельные случаи.
В первом предельном случае, когда Le = 1,
тепловой поток, как видно из A4.1.12'), точно равен A4.1.15). Здесь
особенность процесса теплопередачи состоит в том, что количество
теплоты, поглощаемой при диссоциации [первый член в A4.1.12')], точно
равно потоку теплоты за счет диффузии [второй член в A4.1.12')].
Очевидно, рассматриваемый случай характеризуется бесконечно
большой скоростью рекомбинации, поэтому в каждой точке пограничного
слоя устанавливается термодинамическое равновесие. В соответствии с
этим диффузионная теплопередача в слое обусловлена наличием
профиля равновесных концентраций.
В практических случаях условия течения, близкие к такому
гипотетическому «равновесному» пограничному слою, создаются тогда,
когда скорость диффузии пренебрежимо мала по сравнению со
скоростью диссоциации и рекомбинации (а в случае ионизации —также
и электронных реакций).
Во втором предельном случае, который возникает
при очень больших скоростях полета, когда газ в пограничном слое
сильно диссоциирован, параметр (dcA/dy)CT(iA—*м)Ст/(д//д(/)Ст ^
^ 1. Это можно доказать, если воспользоваться A4.1.9'). По
предположению, при очень больших скоростях с& ->¦ 1, следовательно,
ду
Здесь производная
Глава четырнадцатая 320
Учитывая, что в реальных случаях теплота образования /хим
» \cphdT и является постоянной величиной, можно принять diA /
о
« 0. Следовательно, для условий на стенке (di/dy)CT -> (дсА /ду)
ХAа — *м )Ст- В соответствии с этим
ст
Таким образом, в рассматриваемом предельном случае вся теплота
передается за счет диффузии. Этот процесс теплопередачи
характеризуется весьма малыми скоростями рекомбинаций. Вследствие этого
хотя диффузия атомов и возникает, однако энергия в пограничном слое
не выделяется. Практически это может происходить в потоке, если
время химической реакции велико по сравнению с характерным временем
движения частиц. Такие потоки называют замороженными. В
замороженном течении атомы, образующиеся при диссоциации,
диффундируют по направлению к холодной стенке, где затем рекомбинируют.
Освобождающаяся при этом энергия зависит от каталитических свойств
стенки, проявляющихся в различных значениях скорости
каталитической реакции рекомбинации.
Можно предполагать, что все действительные процессы
теплопередачи лежат между указанными двумя предельными случаями.
Формула Ньютона. Общий тепловой поток от разогретого газа к
стенке qK = Чт + <7д, определяемый по уравнению A4.1.11), можно
представить как конвективную теплоотдачу, под которой понимают
процесс теплообмена, осуществляемый между какой-либо твердой
стенкой и омывающим газом. Величину такой теплоотдачи в практических
расчетах обычно выражают при помощи формулы Ньютона
qK = «cAT-TCT), A4.1.16)
где Т — характерная температура потока, обтекающего поверхность;
Тст — температура стенки; аСт[Вт/(м2-град)] — коэффициент теп-
лоотдачи, численно равный количеству теплоты, воспринимаемой (или
отдаваемой) участком поверхности единичного размера в единицу
времени при разности температур между стенкой и газом в один градус.
При выборе температуры Г в A4.1.16) исходят из следующего.
Известно, что если стенка теплоизолирована, то температура газа
достигает максимальной величины у поверхности и равна температуре
восстановления Тг. Эту температуру физически оправдано рассматривать как
наиболее существенный фактор, определяющий теплопередачу от
разогретого газа к поверхности в зависимости от того, какая температура
этой поверхности. При этом важно отметить, что для заданных условий
величина Тг является слабой функцией параметров обтекания. Именно
за эту характерную температуру принимают температуру Т в A4.1.16),
что дает возможность избежать неопределенности в понятии
температуры омывающего потока. В соответствии с этим формулу Ньютона
Теплопередача 321
представим в виде
Чж=*сЛТг-Тсг). A4.1.16')
Такое представление об удельном тепловом потоке имеет важную
особенность, заключающуюся в том, что коэффициент теплоотдачи
Ост оказывается слабой функцией разности температур и в
практических расчетах влиянием этой разности можно пренебречь. При этом,
однако, учитывают, что коэффициент теплоотдачи является параметром,
зависящим от ряда факторов, таких, как скорость движения газа,
форма, размеры, положение (угол атаки) обтекаемого тела, структура
пограничного слоя (ламинарный или турбулентный), физические
параметры среды (теплопроводность, вязкость, теплоемкость и др.).
Уравнение теплопередачи A4.1.16') применимо при скоростях
обтекания, когда химические реакции в пограничном слое отсутствуют.
В условиях очень больших скоростей химические процессы имеют
большое значение, поэтому при расчете теплопередачи следует учитывать
изменение энтальпии в соответствии с формулой
<7к = KT/(cp)CT](*r-tCT), A4.1.17)
где (Ср)ст — средняя удельная теплоемкость для условий газа на
стенке; ir, /ст — соответственно энтальпия восстановления и энтальпия
газа на поверхности стенки.
Результаты вычислений показывают, что отношение acJ(cP)cT в
A4.1.17) в случае диссоциации изменяется мало (до 10 — 15%) и в
первом приближении его выбирают из решений для пограничного слоя
без химических реакций. При этом энтальпии ir, iCT вычисляют с
учетом диссоциации. Из данных расчетов по формуле A4.1.17) следует,
что, несмотря на небольшое изменение аСт/(?р)ст> тепловые потоки
могут существенно отличаться от значений, вычисленных по A4.1.16')
без учета диссоциации.
Для характеристики теплопередачи вместо размерного
коэффициента теплопередачи удобно применять безразмерные критерии. Среди
этих критериев число Спгантона
St = дк/[ р5К6 (ir - *ст)] = аст/[ 9bVb (*p)CT] A4.1.18)
и число Нусселыпа
Nu=aCT/ACT, A4.1.19)
где / — произвольный линейный размер; Яст — коэффициент
теплопроводности газа у стенки.
Связь между этими двумя числами устанавливается очевидным
соотношением
Nu = StRePr, A4.1.20)
где Re = Vep8//iv, Рг = (ср)ст И5Мст.
11—708
Глава четырнадцатая 322
Определение коэффициента теплоотдачи аст или безразмерных
критериев теплопередачи является основной задачей теории
аэродинамического теплообмена. При этом отметим,
что поскольку в формулах A4.1.18) и A4.1.19) выделены
дополнительные члены, влияющие на тепловой поток, то числа St и Nu зависят от
условий течения слабее, чем аст = p6Vf>(cp)CT-St и аст = (^CT/0Nu-
В общем случае значения St и Nu в свою очередь являются функциями
безразмерных критериев Re; Pr; Sc = ^/(рб^), Мб = VV#6,
определяющих условия течения, и зависят от характера пограничного слоя и
температуры стенки.
Радиационный тепловой поток. В результате сильного повышения
температуры за ударной волной или в пограничном слое увеличивается степень
диссоциации и, следовательно, в воздухе возрастает количество атомарного
кислорода и азота. Это способствует более интенсивному протеканию реакций с
образованием окиси азота и увеличению ее концентрации.
Повышение давления приводит к ускорению рекомбинации согласно
реакции А + А ч± А2 и увеличению концентрации окиси азота NO,
образующейся в соответствии с уравнением О2 + N2 ** 2NO. Окись азота в отличие от
азота и кислорода оптически непрозрачна, т. е. ей свойственна способность
поглощать и излучать лучистую энергию. Таким свойством непрозрачности
обладает воздух, содержащий даже небольшую долю окиси азота. Поэтому
воздух, разогретый до очень высоких температур, становится источником
радиационного теплового потока.
Оптические свойства воздуха характеризуются некоторым параметром 8,
представляющим собой излучательную способность единицы длины
излучающего слоя и имеющим размерность 1//. Для излучающего слоя толщиной s0
безразмерной характеристикой излучательной способности является величина
8so, называемая эффективной излучательной способностью газа.
По закону Стефана—Больцмана, излучаемая абсолютно черным телом
теплота <7рад = tfT, где с — постоянная Стефана — Больцмана, или
коэффициент излучения абсолютно черного тела [tf = 5,6-10"» Вт/(м2-град)]; Т —
температура излучающего газа. Для учета прозрачности в эту формулу вводят
некоторую функцию /(eso), зависящую от эффективной излучательной
способности и характеризующую степень черноты газа. Таким образом,
зависимость для определения радиационного теплового потока к стенке имеет вид
/(•«.) «Г*. A4.1.21)
Формула A4.1.21) относится к случаю, когда стенка не излучает теплоту
и ее температура Т = Тст < 3000 К.
На рис. 14.1.1 приведена кривая, характеризующая изменение функции
(8So)b зависимости от эффективной излучательной способности воздуха. Эту
кривую можно аппроксимировать уравнением
/=l-exp(-ss0), A4.1.22)
по которому ошибка составляет не более 20%.
Из рис. 14.1.2, на котором приведены результаты экспериментальных
исследований, видно, что параметр 8 (см) зависит от температуры и плотности
воздуха. В интерзале температур 8000 К < Т < 16 000 К семейство кривых
хорошо аппроксимируется формулой
е = 0,138(р/Роо3)Ь28(П104N'54, A4.1.23)
где рооз — плотность атмосферного воздуха у поверхности Земли.
Теплопередача
323
f
0,8
0,6
/
/
/
1 г з ц. zsQ
Рис. 14.1.1 Функция,
характеризующая степень черноты излучающего
газа
8. 10 11 П' 16 18 20 T'10:J,K
Рис. 14.1.2 Экспериментальные
данные об излучательной способности
газа (е, см ~г)
Наибольшие радиационные тепловые потоки возникают в точке полного
торможения и ее окрестности. Их значения можно вычислять по A4.1.21) при
условии, что отход волны 5о определяется с учетом пространственной формы
носка, а плотность и температура равны их соответствующим значениям в точке
полного торможения (р = р</, Т = То'). Наряду с этим можно пользоваться
экспериментальной зависимостью для сферы (см. [9])
рд (рвон/рвв8I'6 , A4.1.21')
где <7Рад — тепловой поток, Вт/(м2-с); RT — радиус, м; Voo — скорость, м/с;
роон, РооЗ — плотность атмосферы соответственно на высоте Я и у поверхности
Земли.
Заменяя здесь радиус RT соответствующим эквивалентным значением (см.
§ 10.4), с известным приближением можно вычислить величину <7рад в Центре
плоского торца.
На рис. 14.1.3 показано изменение радиационного теплового потока на
траектории при некоторых условиях полета. Можно заметить, что тепловой
поток <7рад принимает большие значения на малых высотах. При этом его
величина соответствует максимуму аэродинамической теплопередачи qK и
составляет примерно 1/3 этого максимального значения.
СОЛНЕЧНАЯ И ЗЕМНАЯ РАДИАЦИИ.
ЛУЧИСТЫЙ ПОТОК С ПОВЕРХНОСТИ СТЕНКИ
Радиационный поток теплоты от Солнца
A4.1.24)
где ф — угол между направлением солнечных лучей и нормалью к поверхности
тела; q — облучательная способность Солнца, зависящая в основном от высоты
полета и метеорологических условий. ^
Для средних географических условий значения q для Солнца в зените и без
учета поглощения лучей атмосферой приведены на рис. 14.1.4. Данные о
коэффициенте рс, учитывающем поглощательную способность материала, приведены
в табл. 14.1.1.
11*
Глава четырнадцатая
324
1,5
1,0
0,5
У
?
<
i
JO
/
V
7
ho
v 1
\
j
0,3
0,1
^ км
.8
24 ttc
/
f
10
30
50 Н,КМ
Рис. 14.1.3 Аэродинамический и
радиационный тепловые потоки в
точке полного торможения:
t — время полета; Н — высота
Рис. 14.1.4 Облучательная
способность Солнца в зависимости от
высоты Н атмосферы Земли
Таблица 14.1.1
Материалы
А1
Fe
Ni
Сплавы:
типа дюралюмин
легированные стали
Изоляционные материалы:
плексиглас
стекло
Крашеные поверхности:
темные
светлые
Вид радиации
от Земли [33
0,04-0,10
0,06-0,74
0,04—0,39
0,04-0,55
0,12-0,62
0,89
0,85
0,80-0,99
0,80-0,90
от Солнца ,3С
0,10—0,49
0,45
0,40
0,53
0,60
0,97
0,14-0,18
Примечание. Данные о коэффициентах р3 и Рс приведены для
интервала температур стенки 200-т-600°С.
При полете на малых высотах (#« 10 ч- 15 км) облучательная способность
q уменьшается из-за наличия облачности. Так, при средней облачности
действительная величина q составляет 0,5-=-0,7 от значений, соответствующих данным,
приведенным на рис. 14.1.3, и 0,1—0,2 в случае сплошной облачности. В
ночных условиях облучательная способность равна нулю.
Формула A4.1.24) применима к части поверхности летательного аппарата,
обращенной к Солнцу. Однако теневые участки этой поверхности также
получают теплоту за счет рассеянного солнечного излучения. Величина этого
теплового потока примерно в три-четыре раза меньше.
Удельный тепловой поток от земного излучения весьма мал; его можно
рассматривать в виде суммы q3 = ^з.с + <7з.о> где <7з.с — собственно
радиационный поток Земли, а ^з.о — энергия отраженных от земной поверхности и
облаков солнечных лучей. Исследования показывают, что для условий полета на
высоте 500 км
<7Ч г= 0,007 A+2 cos <р)р3.
A4.1.25)
Теплопередача
325
400
200
Рис. 14.1.5 Облучательная
способность Земли в зависимости от
высоты атмосферы
\
>
— —
4 12 20 Н,км
где ф — угол между нормалью к поверхности и линией «тело — Земля».
По имеющимся экспериментальным данным, максимальная величина
радиационного потока Земли
" A4.1.26)
где <73 — облучательная способность Земли.
Значения "q и C3 приведены соответственно на рис. 14.1.5 и в табл. 14.1.1.
Данные об удельном тепловом потоке ^з.о также являются
экспериментальными и получены при условии, что тело расположено на высоте 500 км на
линии «Земля — Солнце». Согласно этим данным,
t.,-
?„ -0,016A+2 cos?) ft,-
A4.1.27)
^ По закону Стефана—Больцмана, тепловой поток, излучаемый с единицы
поверхности стенки,
fe = ^T, A4.1.28)
где8 — степень черноты поверхности, зависящая от материала, способа
обработки поверхности и ее температуры.
Степень черноты показывает, во сколько раз коэффициент излучения
поверхности меньше коэффициента излучения абсолютно черного тела.
Значение 8 повышается с увеличением шероховатости поверхности. Если высота
бугорков шероховатости превышает в несколько раз длину волны излучения
максимальной интенсивности Я, то величину еш для шероховатой поверхности
можно выразить через степень черноты гладкой поверхности s следующим
образом:
?Ш = ?[1 + 2,8A—еJ], A4.1.29)
причем длина волны А, (мк) зависит от температуры и равна
I = 2898/Г.
A4.1.30)
§ 14.2.
Связь между трением
и теплопередачей
р
Задача об аэродинамическом теплообмене сводится к определению
коэффициента теплоотдачи аст> входящего в A4.1.16) и A4.1.16'),
или соответствующих безразмерных критериев St или Nu. Это опреде-
Глава четырнадцатая 326
ление связано в общем случае с решением системы дифференциальных
уравнений пограничного слоя, включающей уравнения движения,
энергии, неразрывности и диффузии. В результате этого решения
устанавливается связь между параметрами
теплопередачи и трения. При некоторых упрощающих
предпосылках такая связь имеет форму элементарных соотношений, дающих
возможность непосредственного определения аСт» St или Nu по
коэффициенту трения в соответствующей точке поверхности.
Чтобы получить эти соотношения, применим уравнение
ламинарного движения газа A4.1.8), а также уравнение энергии, преобразованное
к виду, которое используется в теории пограничного слоя. Сначала,
используя общую форму уравнения энергии C.2.14), представим его
в таком виде, чтобы оно содержало введенные выше числа Le, Sc, Pr.
Полученное уравнение энергии удобно применять для анализа
различных явлений и процессов теплопередачи. Затем это уравнение
преобразуем применительно к условиям течения вязкого газа в тонком
пристеночном слое и таким образом найдем в упрощенном виде уравнение
энергии для пограничного слоя. Имея в виду выражение i = Eij ct
i
для энтальпии смеси, можно найти дифференциал
di = ^ iidCi + ^ cidib
i i
где dii = cpjdT. Учитывая формулу (cp)cv = ^cpici для средней
теплоемкости смеси, находим
Переходя к градиенту температуры, имеем
grad Т = т-±— grad / - —i— V it grad c%.
Подставив это значение в C.2.14) и введя для местных значений
числа Прандтля Pr = fx(cp)cp/A, и Шмидта Sc = fx/(pD), получим
уравнение энергии
dt p dt |Д дх ) \ ду
A4.2.1)
где вместо отношения Sc/Pr можно ввести 1/Le, т. е. величину,
обратную числу Льюиса—Семенова.
Теплопередача 327
Уравнение энергии в виде A4.2.1), выраженное через энтальпию,
является основным при исследовании динамики
диссоциирующих газов. В наиболее общем случае число
Sc< Pr(Le > 1). Физический смысл этого состоит в том, что
процессы диффузии протекают более интенсивно, чем процессы
теплопроводности, и, следовательно, химическая энергия неполностью переходит
в теплоту. В частном случае, когда Рг = Sc, уравнение A4.2.1)
принимает вид
at p 1\) { у )
L ГA 1 ^ A4.2.Г)
Уравнение A4.2. Г) по форме представляет собой уравнение энергии
для потоков, в которых отсутствуют химические реакции. При Sc =
= Рг интенсивность передачи теплоты путем теплопроводности и
диффузии одинакова. Это соответствует тому, что часть химической
энергии на границе пограничного слоя, превышающая химическую энергию
при температуре стенки, полностью преобразуется в теплоту.
Для дальнейших исследований примем, что излучение не
учитывается, т. е. положим в уравнении A4.2. Г) величину 8=0. Для
преобразования этого уравнения применительно к условиям течения в
пограничном слое определим порядок величин его слагаемых [см.
A3.1.3), A3.1.4) и др.].
В отличие от уравнения движения в уравнение энергии входят
члены, содержащие энтальпию L Поэтому целесообразно дополнительно
рассмотреть вопрос об оценке порядка этих членов. Для этого
воспользуемся формулой для энтальпии торможения в виде
io = i+ V2j2. A4.2.2)
В частном случае, когда Рг = 1, величина i0 = const. Однако для
реальных условий течения эта энтальпия является переменной
величиной ввиду наличия термодинамически необратимых процессов,
вызванных химическими реакциями и диссоциацией газа в пограничном
слое, т. е. i0 Ф /0 (где /0 — энтальпия торможения при изэнтропи-
ческом течении). Однако порядок этих величин одинаков (i0 ~ /0 ==
= conts). Учитывая это, находим, что dildx ~ dV2Jdx, dildy ~
~ dV2Jdy, откуда порядок производных dildx ~ V\lL, dildy ~
~ V\lb. Эти данные использованы при определении порядка
слагаемого в правой части уравнения A4.2. Г), содержащего энтальпию /.
Оценивая порядок величин всех членов в правой части A4.2. Г) [за
исключением первого члена (llp)dp/dt] и принимая при этом, что
порядок числа Рг = |*(?р)ср/Я ~ U приведем результаты этой оценки
непосредственно под каждым слагаемым уравнения, представленного в
Глава четырнадцатая 328
развернутой форме:
dt ~ р * dt ? [\ дх J ^ \ ду
3 | V dx I ' " dx - •....+
" -I
.-L\±(JL..JL) + J-(JZ-. JLX\m (H.2.3)
P L^l Pr dx J dy \ Pr dy /J '
Рассматривая правую часть уравнения A4.2.3), можно сделать
вывод, что члены — (—^) и — • — (-?— . — \ имеют больший по-
Р \ dy I р ду \ Рг ду ]
рядок, чем остальные члены. Сохраняя члены с большим порядком,
получаем уравнение энергии
(dXA\±.J_l_^_.JL\ A4 2 4)
д \ Рг ду )
dt p dt ? \ ду J 9 ду \ Рг ду
Производим замену в A4.2.4) согласно A3.1.8):
dt dt x dx x \ dx y dy
получаем
P ' ду у1 dy )y
di =-^.dA- !?_.<_ + jk.. JLL?!i
dt 2 dx 2 ду р ду у ду
+ ( + (
? \ dy J ? dy \ Pr dy
Первые два члена в правой части уравнения можно представить в
\ dVl 1 д ( „ dVl \
виде . , а третий и четвертый — как — • — — • —- •
2 dt F F р dy \ 2 ay /
Теплопередача 329
Учитывая это, имеем
A4.2.5)
Принимая во внимание выражение A4.2.2) для энтальпии г0 и
раскрывая полную производную в левой части A4.2.5), получим
) A4.2.5')
Pr j fly J '
Рассмотрим течение, характеризующееся величиной Рг = 1. Для
такого течения уравнение энергии имеет вид
PVX f- + 9Vy -fa- = J- L±l) . A4.2.6)
дх у ду ду \ ду J
Если рассматриваемый поток обтекает плоскую пластинку, для
которой dptldx = 0, то уравнение движения в пограничном слое в
соответствии с A3.1.8) имеет вид
dV dV я I dV
дх ду ду у ду
Как видно, уравнения энергии A4.2.6) и движения A4.2.7)
подобны друг другу. Если перейти к переменным
в = №> - 'ст)/('ов - *от). Ух = VJVi , (Н.2.8)
где
i* = h + VV2, A4.2.9)
то уравнения A4.2.6) и A4.2.7) станут тождественными, так как Э и
У* удовлетворяют одним и тем же граничным условиям: на стенке 9 и
Vx равны нулю, так как Vx = 0 и /0 = /ст, а на внешней границе
пограничного слоя, где Vx = Vt и i0 = iO6, они равны единице.
Следовательно, согласно теореме о единственности решения, должны
совпадать функции Vx и 9, т. е.
Со - U Ш» - 'от) = VJVb. A4.2.10)
Таким образом, принятое выше условие (Рг = 1) и другие
допущения определяют подобие профилей скорости и энтальпии в
пограничном слое. Если профиль скорости известен, то напряжение трения
Глава четырнадцатая 330
(М_Л _ f*CT ^5 / dtp \ ^ ^ст ^ Мет / дТ \
СТ V дУ /ст 'о»-'„т V ay L 'М-'ст \ ду Уст'
Умножая числитель и знаменатель правой части уравнения на
А,ст и полагая, что qCT = qK = Яст(дГ/дг/)ст, найдем
Подставив сюда значение qK из A4.1.17) и заменив тСт на
получим
cfx —-— — аст ~т • т 7—'
Так как Рг = 1, то коэффициент восстановления г = 1 и
Таким образом, получаем зависимость между коэффициентами
теплоотдачи и трения в следующей форме:
Из выражения A4.2.11) следует формула для местного числа Нус-
сельта:
NuCT = Nux = Охх/Хот = (сА/2) Re^, A4.2.12)
где Re^ = peV^/(JiCT.
Из C.1.20) при Рг = 1 находим
StCT = St* = Nux/Rex = с/я/2. A4.2.13)
Связь между параметрами трения и теплопередачи является
приближенной, так как в действительности числа Рг и Sc отличаются от
единицы. Влияние этих параметров можно учесть, если выражения
для критериев Нуссельта и Стантона представить в виде
Шх = (с/х/2)КехП(Рг9 Sc); A4.2.14)
St. = (c/e/2)/,(Prf Sc), A4.2.15)
где /i и /2 — некоторые функции чисел Рг и Sc. Физически учет
влияния этих чисел, отличных по величине от единицы, означает, что
принимается во внимание преобразование части химической и
кинетической энергии в тепло. Конкретный вид зависимостей fly f2 определяется
в результате решения уравнений пограничного слоя при условии,
что Рг Ф 1, Sc Ф 1 (Le Ф 1).
Исследования показывают, что если учитывать условие Le = 1, то
ft = Рг1/», а согласно A4.1.20), и /2 = Рг2/3. В соответствии с этим
местное число Стантона
Stx = (cfx/2)Pr~2/3. A4.2.16)
Теплопередача 331
Выражение для числа Нуссельта находят из A4.1.20). От местного
критерия Нуссельта или Стантона можно перейти к соответствующим
средним величинам по длине пластинки, исключив индекс х. При этом
можно принять, что местное и среднее число Прандтля одинаковы.
Формула A4.2.16) имеет большое практическое значение и отражает
аналогию Рейнольдса, согласно которой критерий теплопередачи
зависит в основном от того же параметра, что и коэффициент трения, —
от числа Re*. В соответствии с этим величину /2 = Рг"/3 в A4.2.16)
называют фактором аналогии Рейнольдса.
Как показывают исследования, формула A4.2.15) пригодна и для
турбулентного пограничного слоя, но при условии, что коэффициент
трения Cfx и параметр /2 должны вычисляться по соответствующим
зависимостям для турбулентного пограничного слоя. В частности,
/2=[l+2,135ReJ°'1(Pr-l)r1. A4.2.17)
При вычислении средней по длине пластинки величины числа Стан-
тона параметр
/2 = [l+2,2Re(Pr-l)]-\ A4.2.18)
где Re = Убрб^/Цст- При этом расчеты показывают, что, как и для
ламинарного пограничного слоя, величину /2 при отсутствии диффузии
в турбулентном пограничном слое можно принять с известным
приближением равной Рг/3.
Влияние физико-химических превращений на теплопередачу в
пограничном слое при высоких температурах можно учесть путем
использования определяющих параметров. В частности, применяя
аналогию Рейнольдса, в соответствии с A4.2.16) получаем следующее
выражение для определяющей величины числа Стантона:
SC =(^/2)(Рг*Г2/3, A4.2.19)
где cfx = (Cfx)Cm — коэффициент трения. Для ламинарного
пограничного слоя этот коэффициент находят из формулы A3.6.15), а для
турбулентного — из зависимости A3.6.22); определяющее число
Прандтля вычисляют по определяющим параметрам: Рг* = Ср р*/Х*.
В соответствии с этим тепловой поток к стенке
ц\ = WJ cp) (ir - iCT) = St; 9bVb (ir - *CT), A4.2.20)
где определяющий коэффициент теплоотдачи
< = W('V-*ct) = st;c;Psv8. (и.2.21)
Из формулы A4.2.16) или A4.2.19) следует, что безразмерный
параметр теплопередачи изменяется вдоль пластинки так же, как местный
коэффициент трения. Как следует из A4.2.20), аналогично этому
изменяется удельный тепловой поток. Его средняя величина по длине
пластинки <7ср определяется, очевидно, как среднее интегральное местных
тепловых потоков. Осуществляя расчет по определяющим параметрам
[см. A4.2.20)], получаем
Глава четырнадцатая 332
# * 1 Lc Д .
<7Ср = — qxdx = psl/5 St^ (ir — iCT) dx , A4.2.22)
о о
где x = */L.
Полагая вдоль пластинки iCT постоянной величиной и заменяя StJ
по формуле A4.2.19), находим
q = 0,5р,1Л (Рг*)~~ (L — LT) I cfxdx.
тор " * о о ^ ' \г til/ j ул
о
Интеграл в правой части уравнения определяет средний по длине
пластинки коэффициент трения c%f = (^/)Сж, вычисляемый из
формулы A3.6.15) для ламинарного и из выражения A3.6.22) для
турбулентного пограничных слоев. Следовательно, средний тепловой поток
<7сР = ( cxfl 2) (Рг*Г2/3р5У8 (ir - iCT). A4.2.23)
Вводя понятие о среднем значении числа Стантона
St* — ( г*s/Q.} (Pr*Y~2^ П4 9 9^
получаем
п* Cf* n I/ /; / \ пл о 9^
Параметры теплопередачи для пластинки можно использовать для
расчета соответствующих параметров конуса, обтекаемого
сверхзвуковым потоком. Эти параметры рассчитывают по формулам A3.6.34),
A3.6.35), A3.6.52) и A3.6.53), связывающим между собой
коэффициенты трения (местный и средний) на пластинке и конусе. Умножив
левую и правую части этих формул на (Рг*)/3, получим:
для местного коэффициента трения
для средней величины этого коэффициента
где для ламинарного пограничного слоя коэффициент А = j/^T для
турбулентного А = 1,17.
Согласно A4.2.19) и A4.2.24), левые части этих равенств
определяют соответственно местное и среднее числа Стантона на конусе, а
правые — на пластинке. Таким образом,
A4.2.26)
Stc*p.K = AStc*p.™ . A4.2.27)
В соответствии с формулами A4.2.26) и A4.2.27) число Стантона
на конусе рассчитывают по его соответствующему значению,
найденному для пластинки по параметрам пограничного слоя на конической
Теплопередача 333
поверхности. Внося в правые части этих формул вместо чисел Стантона
их значения St*VIM = St*x, St*^.^ = Stcp*, вычисленные
соответственно по A4.2.19) и A4.2.24), получаем:
SC = (Acfx пл/2) (Рг*Г2/3; A4.2.28)
Stc*p.K = (А??:/пл/2)(Рг*Г2/3. A4.2.29)
Суммарное количество теплоты, передаваемой газом стенке в
единицу времени для конуса с боковой поверхностью S6oK = пгмтхк
(где гмид и хк — соответственно радиус основания и длина образующей
конуса), согласно A4.2.25) и A4.2.28),
Qk = <7*Р *гмядхк = (А/2) clf пл (Рг*Г2/3р/й (ir - iCI) *rmxK. A4.2.30)
Формулы для параметров теплопередачи указывают на прямую
зависимость нагрева от трения на обтекаемой поверхности.
Напряжение трения, а следовательно, и теплопередача значительно больше при
турбулентном пограничном слое. Поэтому для уменьшения
теплопередачи от разогретого газа к обтекаемой поверхности следует
обеспечивать ламинаризацию пограничного слоя, при которой достигается
снижение потерь на трение.
§ 14.3.
Теплопередача в ламинарном
пограничном слое на криволинейной
поверхности
ПРОИЗВОЛЬНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим расчет теплопередачи на криволинейной поверхности
при ламинарном пограничном слое, в котором может происходить
равновесная диссоциация. Если принять в соответствии с этим число Le =
= 1, что с известным приближением оправдано для случая
гиперзвуковых течений, то этот расчет, основанный на применении формулы
A4.1.15), сводится к решению системы уравнений для ламинарного
пограничного слоя, включающей уравнения неразрывности B.4.48'),
движения A3.1.8) и энергии A4.2.5'):
дх ду
dV dV t
dx ду
(v ^+V iO=-L/JL. ^L) + ±\JL(i-±y?Hi\
Vх dx^V> dy ) dy[Pr dy)^ dy[2V Pr1 К]'
A4.3.1)
Глава четырнадцатая 334
Здесь уравнение неразрывности отличается от B.4.48') тем, что
радиальная координата г точки пограничного слоя заменена координатой
г0 точки контура, расположенной в соответствующем сечении
пограничного слоя. В этом уравнении значение е = 0 соответствует профилю
крыла, а 8 = 1 — телу вращения. В уравнении энергии, как и
прежде, число Pr = (cp)cv>ii/%.
Уравнение энергии, входящее в систему A4.3.1) , получено из
общего уравнения C.2.14), в котором принято Sc = Pr(Le = 1).
Однако при этом можно выполнить условие, в соответствии с которым
grad ci Ф 1. Поэтому к системе A4.3.1), казалось бы, необходимо
добавить уравнение диффузии C.2.4), связывающее между собой
концентрацию с{ и скорость образования каждого компонента смеси газов.
Но при термодинамическом равновесии концентрация каждого
компонента однозначно определяется местными значениями давления и
температуры, а скорость образования компонентов №хиш достаточно
велика, чтобы компенсировать их унос за счет конвекции и диффузии.
Поэтому уравнение диффузии C.2.4) в рассматриваемом случае
равновесной теплопередачи будет лишним.
Система уравнений A4.3.1) решается при следующих граничных
условиях:
на стенке (при у = 0)
Vx = Vy = 0, *о = 'от. Р = Рст> ' = *«. Т = Тат; A4.3.2)
на границе слоя (при у -> оо)
Vx=Vi* Vy = 09 to = i08, Р = Р5> ' = '«. Т=>7\. A4.3.3)
Для коэффициентов \х и X существуют также функциональные
зависимости
Т). (Н.3.4)
Преобразуем уравнения A4.3.1), введя некоторые новые
независимые переменные и искомые функции. Согласно данным работы [301,
введем переменные, близкие по форме к переменным Дородницына
[см. A3.3.2)]:
4J
2*) J
(I4.3.5)
Используя эти выражения для переменных, находим производные:
Иду = РУ8 г5/B x)XI\ dx/dx = p5V>5 v A4.3.6)
Для перехода от координат х, у к координатам х, т> необходимо
воспользоваться операторами дифференцирования:
17~17*l7"TiTF'^r' (I4-3 )
Теплопередача 335
Для дальнейших преобразований введем функцию тока ф, которую
определяют соотношениями B.5.1). Заменим в них г на г0 и получим:
д^/ду = pVxr*oy д^/дх = - PVyr«. A4.3.9)
Если подставить значения A4.3.9) в уравнение неразрывности
системы A4.3.1), то это уравнение превращается в тождество: д2$/дхду—
— дЦ/дудх == 0. Таким образом, введенная функция тока ф
удовлетворяет уравнению неразрывности.
Рассмотрим, как преобразуются остальныедва уравнения системы A4.3.1)
при помощи функции тока. Используя A4.3.7), имеем
"i "^7 ~~ = "^7 ( I/2
откуда с учетом первого соотношения A4.3.9) производная
-г- = Bл;I/2 -ргЧ A4.3.10)
Интегрируя, находим функцию тока:
В соответствии с A4.3.5) выражение Bл:I/2 не зависит от tj. Поэтому,
исключая постоянную, получаем
2х) /(т), A4.3.11)
где
f-d-q. A4.3.12)
5
В соответствии с этим выражением
Vx/Vb=df/drl = f'. A4.3.13)
При помощи соотношений A4.3.7) и A4.3.8), зависимостей A4.3.9) и A4.3.11)
для функции тока, а также выражений A4.3.12) и A4.3.13), найдем оператор,
используемый для преобразования левой части уравнений движения и энергии
системы A4.3.1):
ф д дф д
ду1 ) дУ дх
Глава четырнадцатая
336
Здесь производные д\>/дц и д^/дх определяем в результате
дифференцирования A4.3.11):
y-i/2
) /
Bх) -?- . A4.3.14)
После подстановки этих величин в выражение для оператора, а также
замены в нем производных дц/ду и дх/дх их значениями из A4.3.6) получим
д . ., д .о ос / д/ д f д df д
A4.3.15)
В правые части уравнений движения и энергии A4.3.1) входят выражения
вида:
6 L д ' A4.3.16)
(х, у) — некоторая функция координат х, у. В новых переменных irj, x
оператор A4.3.16) приобретает вид
JL (hJL)=-L {hJL.JtL\ Jn ,
ду \ ду ) дт\ \ дт\ ду ) ду
или с учетом значения A4.3.6) для производной дц/ду
д I д \?у1го& д I д \
"Г" *-Г~ —=~'^-" Р* IT Г A4.3.17)
ду \ дУ I 2х дц \ дт\ I
Применим операторы A4.3.15) и A4.3.17) для преобразования уравнения
движения:
*)
Здесь производную dpb Idx можно определить по уравнению
dx 8 5 ' dx dx
или с учетом значения A4.3.6) для dx/dx
dp dV
17 = -^v2oe7f A4-зл8)
Учитывая это и заменяя согласно A4.3.13)
Vx=vbdf/dti, A4.3.13')
Теплопередача 337
получаем
die \ 5 drl I 2л: д7!2 б die д"Ч2
P die
Так как производная
— (v —
дИ [ б dri
получаем преобразованное уравнение движения:
п~ (^
+
где
A4.3.20)
Теперь при помощи тех же операторов A4.3.15) и A4.3.17), а также
выражения A4.3.13') представим уравнение энергии:
f di0 f dip df di0
Pr " ^ y+ 2? ач |.P(X V Pr) дц дг?\
Для дальнейших преобразований введем безразмерную переменную
*D)='o/'o8, A4.3.21)
определяющую отношение энтальпии торможения в некоторой точке сечения
пограничного слоя to = is + V%/2 к ее значению t"o5 = ts + Vg/2 на границе
слоя. Тогда, принимая во внимание, что
J^o._. _dg_ di0
имеем
.
_L) JL . JV1 Ji_ . 5» . JL. A4.3.22)
Pr/ a^i a^J «05 a~ a^
Глава четырнадцатая 338
Функции /(rj) и g(r\), являющиеся решениями системы уравнений A4.3.19)
и A4.3.22), должны удовлетворять следующим граничным условиям:
на стенке при т) = 0 (у = 0)
на внешней границе слоя при ц ->со (у -*оо)
/ (оо) = Ot (df/drt)^ = 1, g (оо) = 1, (dg/дц)^ = 0. A4.3.24)
Приведенная система уравнений A4.3.19) и A4.3.22) включает, как видно,
сложные нелинейные уравнения в частных производных. Хотя в таком виде они
проще, чем исходные уравнения A4.3.1), тем не менее их решение вызывает
большие трудности. Однако в приведенной форме система уравнений весьма
удобна, так как она дает возможность отыскать большой класс задач,
представляющих значительный практический интерес, для которых при определенных
предпосылках эту систему можно свести к системе так называемых «подобных»
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Решения такой системы, называемые автомодельными, обладают тем
свойством, что искомые функции fug будут зависеть лишь от одной переменной т].
Это свойство решения позволяет упростить уравнения A4.3.19) и A4.3.22), так
как их левые части равняются нулю вследствие того, что dgldx = dfldx = 0.
В результате упрощения уравнения принимают такой вид:
Ojc dV* I рл i
lT--Z —-Н + Ы")'=0; A4.3.25)
где штрихи означают дифференцирование по переменному т]. Эта система имеет
автомодельные решения, если выполняются следующие условия:
а) • = const, -;— • —^7 = const, —— = const;
^5 dx '05 & '*08
б) отношение ps /p, число Рг и величина pfx являются функциями rj или
постоянны;
в) функция g на стенке всюду одинакова, т. е. g@) = gCT = const, что
соответствует постоянной температуре поверхности.
За исключением частного случая (равномерный внешний поток около
пластинки, клина, конуса, обтекание которых сопровождается образованием
присоединенной ударной волны), все эти условия автомодельности никогда
одновременно не удовлетворяются, даже если сохраняется постоянной температура
поверхности. Отношение плотностей р5 /р, число Прандтля и величина pjx =
=PH'/(Ps H-s ) являются функциями не только отношения энтальпий i/ibf но также
энтальпии ts и давления рь^ поскольку они влияют на диссоциацию газа. Можно
отметить еще один частный случай обтекания, для которого решение будет
автомодельным: обтекание малого участка затупленной поверхности вблизи
точки полного торможения, где энтальпия ib и давление р8 почти не изменяются.
Можно ли получить автомодельное решение, которое распространялось бы
на большую часть криволинейной поверхности? Такое решение может быть
получено в следующих двух случаях, представляющих практический интерес:
1) при слабом изменении параметров внешнего потока; 2) при сильном
охлаждении обтекаемой поверхности, т. е. когда gCT = iCT/t'os << 1.
Теплопередача 339
В первом случае предполагаются постоянными вдоль всей поверхности
градиент скорости
? dVb 2d In Vh
P= • — = — A4.3.27)
о х dlnx
и значение VgA'os. Одновременно принимается dioo/dx = 0, что соответствует
условию сохранения полной энергии во внешнем потоке (f'os = h + V\/2 =
= const). Кроме того, считаются постоянньши pfx и число Рг, а отношение
плотностей ра /р = Т/Ть = t/i6 рассматривается только как функция т].
Второй случай характеризуется тем, что температура стенки очень низка,
т. е. Тст/Ть « 1 и, следовательно, pCT/ps » 1. При этом плотность у стенки
повышается при снижении температуры стенки не только за счет отвода
теплоты (с использованием для этого специальных средств охлаждения), но и
вследствие увеличения степени диссоциации при гиперзвуковом обтекании.
Так как продольный градиент давления зависит от плотности р§ на
внешней границе (dpi /dx = —ps Fs dVb /dx) и является постоянным для данного
сечения слоя, то при рст » р8 профиль скорости у стенки значительно менее
чувствителен к градиенту давления, чем в случае малой температурной разности
поперек пограничного слоя. Это объясняется меньшей податливостью сильно
уплотненного газа к изменению характера течения при воздействии перепада
давления. Поэтому в уравнении A4.3.25) можно пренебречь членом, в который
входит градиент давления р A4.3.27), и это уравнение.представить в виде
ff" + (р?/")' = 0. A4.3.28)
Из сопоставления уравнений A4.3.25) и A4.3.26) следует, что градиент
скорости еще в меньшей степени влияет на распределение энтальпий
торможения. Действительно, рассматривая A4.3.25), можно установить, что функция /
определяемая из этого уравнения, зависит (хотя и в слабой форме) от градиента
Р, который присутствует в уравнении в явной форме. В то же время функция g=
= J0//08 находится из уравнения A4.3.26), где величина р в явном виде
отсутствует. При этом зависимость g от градиента проявляется через слабую
зависимость функции / от р. Таким образом, система уравнений A4.3.25) и A4.3.26),
упрощенная в соответствии с условием рст/р5 » 1, более предпочтительна
для расчета параметров теплопередачи, определяемых производной g', чем для
вычисления параметров трения (функции /').
Уравнение A4.3.26) можно упростить, имея в виду, что полная энтальпия
свободного потока постоянна (diob/dx = 0). Величина УьНоь на затупленных
телах изменяется от нуля в точке торможения, где Vs = 0, до значения
У|/(*8 + V2/2)« 2 (на участках обтекания, где скорости Уь таковы, что
16 « Уь /2). Принимая это во внимание и учитывая, что Рг« 0,7 •— 1, делаем
вывод, что третий член в A4.3.26) численно мал.
Отбрасывая третий и четвертый члены в этом уравнении, получаем
:0. A4.3.29)
Функцию р(Л можно оценить при помощи уравнений состояния р = RopT/\icp
и р — рь = i?ops Ть /(Н-ср)о (где Ro — универсальная газовая постоянная):
A4.3.30)
Глава четырнадцатая 340
Заменим здесь Т и |хСр их определяющими значениями Т* и jx?p:
Расчеты показывают, что при Тст/Ть « 1 и п« 0,75 -г- 0,8 величина pjx
близка к единице.
Рассмотрим зависимость теплового потока от величины pjx. Применяя
закон Фурье, а также используя выражение A4.3.6) для производной дч\/ду,
находим
о, (*) I ач JW (~ )'/* *
где в соответствии с A4.3.5)
*
ajp#.^* - И^1^* • A4-3-33)
Как видно, в выражение A4.3.33), определяющее величину удельного
теплового потока, значение pjx = (p|i)CT входит в степени 1/2, что уменьшает
общую погрешность, вносимую приближенным выбором этого значения.
Исследования показывают, что при Тст/Ть « 1 и п = 0,75 -4- 0,8
значение "pji близко к единице. Поэтому в расчетах можно принять р]Г« 1, т. е.
считать, что
РИ«Р&1*,*Р„|*СТ. A4.3.34)
Таким образом, получаем систему уравнений пограничного слоя
//"+/'"=0; A4.3.35)
= 0. A4.3.36)
Эти уравнения отражают местное подобие, при котором в случае Рг =
= const безразмерные скорость VJ Уь и энтальпия t'o/tos одинаковы в тех точках
различных потоков, где одинаков параметр г\> являющийся параметром подобия.
Интегрируя систему обыкновенных дифференциальных уравнений A4.3.35)
и A4.3.36) при указанных выше граничных условиях, можно найти
автомодельные решения для функций /(tj) и g(vi), а также, в частности, для производной
g' (т]). Интегрируя A4.3.36) дважды, получаем
*ц. A4.3.37)
Численные расчеты показывают, что для т] -> оо величина интеграла равна
приблизительно @,5 Рг1/3). Поэтому, принимая во внимание, что g0l)= ioHo*-*
->qCT при т] ->- 0, находим
g'(O)=-i-(-f1) =— (-%-) =0MPr1/3[i_g@)]> A4.3.38)
'05 V дг1 /ст lQb \ ОЦ /ст
где g@) = gCT = iCT/iob\ число Рг = (c
Теплопередача 341
Внося полученное значение для g'@) в A4.3.32), а также учитывая,
что g@) = gCT = *сАб, получаем
= 0,5
Подставляем сюда значение А,ст/(?р)ст = (хСт/Рг и заменяем рст^ст
на рвм<б, а /Об — на энтальпию восстановления ir [имея в виду
применение этой энтальпии в уравнении A4.1.15) для теплового потока]:
(ir-iCT). A4.3.39)
Как показывают исследования, в такой форме это уравнение
позволяет определить с известным приближением теплопередачу в том
случае, когда охлаждение не обеспечивает достаточно низкой температуры
стенки.
В A4.3.39) удобно перейти, используя уравнение состояния, к
безразмерному параметру
^.Щ.. о A4.3.40)
Ро^о Ро но (^ср)о Ть
Вводя обозначения
®8 = М^срУ?1*» «o^oO'cpVT'o» A4.3.41)
этот безразмерный параметр представим в виде
= IL J-. A4.3.42)
Ро шо
Здесь параметры /?'о, р'о» И-'о» (м-ср)о tCM- A4.3.40)] относятся к
внешней границе пограничного слоя у точки полного торможения
затупленной поверхности. Внося значение ре из A4.3.42) в A4.3.39) и
учитывая зависимость A4.3.5), находим
Г2/з
qx = 0,5РГ2/з VWoV^F (x) (ir - iCT), A4.3.43)
. A4.3.44)
где функция
1/2" Р* <»- Vb e (I Р8 V,
/70
Величина сов/со'о, при /г = 0,75 -т- 0,8 лишь на немного превышает
единицу.
Если учесть, что отношение сов/со'о входит в выражение A4.3.44),
определяющее теплопередачу, примерно в степени V2, то погрешность
Глава четырнадцатая 342
в результате замены о)г/со0 = 1 будет составлять всего несколько
процентов. В соответствии с этим функцию A4.3.44) представим в виде
Jj.JWfA.JS-,'-*)". (H.3.44')
z Ро К°° \% Ро V°° ° /
Таким образом, для определения удельного теплового потока в
какой-либо точке поверхности заданной формы необходимо знать
распределение скорости и давления на всем ее участке между точкой полного
торможения и рассматриваемой точкой. В частности, для расчета
теплопередачи на поверхности вблизи точки полного торможения можно
принять
л/л'~1 r ~ у /14 4 4^
а также считать согласно уравнению A0.4.74) при условии замены в
нем Vx на Уб
1Л =Ъс, A4.3.46)
где градиент скорости К находится при помощи одного из выражений
A0.4.72) или A0.4.78). С учетом A4.3.45) и A4.3.46) функция
2
После интегрирования
F = Fo = V (VVco) (e + 1). A4.3.47)
Внося это значение в A4.3.43) и вводя обозначение qx = q0 для
теплового потока в точке полного торможения, находим
q0 = 0,5 Рг 2/3 V Р#; Я (в + 1) (ir - tCT). A4.3.48)
Величину теплопередачи qx в произвольной точке поверхности
удобно оценить при помощи безразмерного параметра, определяемого из
A4.3.43) и A4.3.48) в виде
+ 1)] F(x). A4.3.49)
Таким образом, тепловой поток в произвольной точке
криволинейной поверхности зависит непосредственно от его величины в точке
полного торможения. Определение значения q0 — весьма важная
задача, потому что такое значение соответствует наиболее теплонапря-
женному месту обтекаемой поверхности. Характер изменения
удельного теплового потока на траектории показан на рис. 14.1.3 (<70 = ?к)*
Можно заметить, что максимальное его значение достигается на
относительно небольшой высоте (Н « 15 -г- 16 км).
Теплопередача 343
Обработка результатов численных расчетов, а также
экспериментальных данных при очень больших сверхзвуковых скоростях
позволяет получить приближенную формулу для удельного теплового
потока (Вт/м2) в точке полного торможения (см. [9]):
q0 = досф = A,3 • VIJs
A4.3.48х)
где Vc = 7,93 м/с — первая космическая скорость.
Энтальпию восстановления можно принять равной энтальпии
торможения. Как видно из приведенной зависимости, теплопередача
изменяется в обратной зависимости от радиуса сферической поверхности
(<7осФ ~ I/I^Rt, где RT выражается в метрах). В соответствии с этим
приток теплоты в точке полного торможения можно уменьшить за счет
увеличения этого радиуса. Наименьшее значение q0 достигается в
центре плоского торца. В этой точке невелик местный градиент скорости %,
величина которого определяет удельный тепловой поток. Согласно
экспериментальным данным, для плоского торца
<7от = @,55 ± 0,05) д0 сф. A4.3.48")
Значение <7от можно также найти приближенно из A4.3.48') по
величине эквивалентного радиуса /?? (см. § 10.4).
ПОЛУСФЕРА
Рассмотрим применение уравнения A4.3.49) для вычисления
теплового потока на полусферической поверхности. Принимая в формуле
A4.3.44)
е=1, dx = RTdy, ro = #Tsincp, A4.3.50)
а также учитывая, что в соответствии с A0.4.74') и A0.4.76) на большей
части сферического носка
V* = Г/?тср, A4.3.51)
А. = cos2? + ^ sin2cp, A4.3.52)
находим
/ Poo \ ~ 2
cos2 ф + —— sin2 cp XR cp sin cp
cos2 <p + —— sin2 <p I \R Vqq <p sin2 cpd'f
Pq
Глава четырнадцатая
344
2,0-
1,5
1,0
0,8
0
щ
0?^
FT"
is
h
4
=^
N
= 5"
20
40
50
50 <р,град
Рис. 14.3.1 Изменение отношения
удельных тепловых потоков для
сферы и плоского торца (ламинарный
пограничный слой)
Подставляем это выражение в формулу A4.3.49), в которой
принимаем е==1:
7o 2
Обозначив
/ Рос \
<р sin cp cos2 ср + —т- sin2 cp I
\ Ро I
Рос \ 1
cos2 <р + —г-sin2 cp <p sin2 cpdcp
? / \
D (ср) = 4 Г j cos2 <f + — sin2 cp J cp sin2 cpdcp, A4.3.53)
A p'o )
получим
4* . /
—— = cp Sin cp
Я* \
COS2 cp +
Poo
Po
sin2cp
ID (<?)]
-1/2
A4.3.54)
По формуле A4.3.54), как и по другим аналогичным зависимостям,
распределение тепловых потоков следует рассчитывать для условий
обтекания с достаточно большими сверхзвуковыми скоростями. При
этих условиях должно быть выполнено неравенство pjp\ < 0,03 -т-
-f- 0,04. Приблизительно такие же результаты получают, если
воспользоваться эмпирической зависимостью
<7Ж/^О = 0,2A +4cos2cp). A4.3.54')
Характер изменения величины qJqQ показан на рис. 14.3.1. Данные
на этом рисунке получены при условии, что в каждой точке
сферической поверхности температура стенки постоянна и достаточно низка
(Гст/Гб « 1). Эти данные соответствуют теоретическим и
экспериментальным результатам, согласно которым теплопередача достигает
максимума в точке полного торможения и монотонно уменьшается на
удаленных участках полусферы вследствие снижения давления и
плотности.
Теплопередача 345
Рис. 14.3.2 Конус с затупленным
сферическим носком
По известному распределению удельных тепловых потоков можно
найти их суммарное значение для части или полной поверхности
полусферы (рис. 14.3.1):
Q = f qxdS = 2KR2Tq0 f (qjqo) sin cpdcp.
(S) 6
Для части поверхности угол ф < я/2, а для всей полусферы
следует принять ф = я/2. Внося под интеграл значение qx/q0 из A4.3.54'),
можно получить простое соотношение для расчета суммарной
теплопередачи на сферической поверхности. Для ф Ф тс 12 его величина Q =
= Qo<7> где Qo = 2jtR2Tq0 — тепловой поток, рассчитанный для
полусферы по удельному тепловому потоку в точке полного торможения;
коэффициент q = 0,2 Г A + 4соз2фMтфйф. Этот коэффициент
изменяется в пределах 0 < q < 1.
ЗАТУПЛЕННЫЙ КОНУС
Рассмотрим расчет теплового потока на поверхности усеченного
конуса со сферическим носком (рис. 14.3.2). Примем, что на конической
поверхности невязкие параметры газа постоянны и равны
соответствующим значениям в конце носка сферической формы. В частности,
скорость
Vb = Itf т<рк = XRT (к/2 - |3К), A4.3.55)
где рк — угол наклона образующей конуса.
Отношение давлений
4- = cos2 срк + -*?¦ sin2 срк = sin2 рк + -^ cos2 |5K. A4.3.56)
Ро Ро Ро
Глава четырнадцатая 346
Для одного из геометрических параметров, а именно радиальной
координаты произвольной точки А поверхности конуса (рис. 14.3.2),
r0 = xKcoscpK =;cKsinftK, A4.3.57)
где хк — расстояние вдоль поверхности, отсчитываемое от
воображаемой вершины острого конуса до рассматриваемой точки:
A4.3.58)
или, учитывая, что фк = л/2 — ?5К,
A4.3.580
Найдем значения функции F(x). Очевидно, интеграл в A4.3.44'),
вычисляемый в пределах от 0 до х (х — криволинейная координата
точки Л), находится как сумма двух интегралов: одного с пределами от
О до х = /?тфк = Ят{п12 — рк) (или для углов от 0 до ф к) и другого
с пределами отфк/?т до х. Очевидно, один интеграл соответствует
значению теплового потока в конце сферического участка (или, что то же
самое, в начале конической поверхности). Распределение теплового
потока на этом участке такое же, как и полученное выше распределение
для полусферы. Учитывая это, находим функцию F(x) A4.3.44') в
следующей форме:
F(х) = Щ^ (cos2 cpK + J± sin2 срк) й?т?к х
2 \ ро }
-1/2 /П-К / Р \ ~ 4
КУ / ( cos2 9 -j ^-sin2cp XRT cp sin2 yd® +
°° /Lo V po J
X coscPk^vJ j (p +
-jl/2
A4.3.59)
Интеграл, вычисляемый для участка прямолинейной образующей
конуса, с учетом A4.3.58) представим в виде
х \
cos» ?v + ¦!?¦ sin' т. | jR,t,r',dx =
= (cos2 <fK + -4s- sin2 cpK ) Xi?T«K cos2 «к Г xldxK =
1 P j }
4-1 cos2 <Pk + -^- sin2 cpK ) KRt9k cos2 <pK (xl — Я? tg3 cpK).
3 V Po J
A4.3.60)
Теплопередача 347
Введем обозначение:
^)(^-tg3cpK)?Kcos2cpK, A4.3.61)
где хк = xK/RT, с учетом которого, подставляя A4.3.59) в A4.3.49)
при е=1, получаем зависимость
—
A4.3.62)
Здесь функция ?)(фк) определяется по A4.3.53) для <р = фк.
Следует отметить, что уравнение A4.3.62) пригодно лишь для
конической поверхности, т. е. для значений хк = xK/RT > tgфк.
В точке сопряжения сферического носка и конуса, т. е. при хк =
= tg9K> выражение A4.3.62) согласуется с уравнением A4.3.54).
Для участков конической поверхности, расположенных вдали от этой
точки (хк » 1),
^- . A4.3.63)
При выводе формулы A4.3.63) принято, что для весьма длинного
конуса влияние затупления мало и такой конус можно рассматривать
условно как заостренный, для которого давление на носке р0' = рь и,
следовательно, рь1р\ = со52фк + (/?oo//V)sin^K ж 1. Заменяя в
соответствии с этим условием р0' на рб = рк и \i0' на \хь = (як и полагая
8 = 1, из A4.3.48) получаем
<7о =
Поэтому на удаленных участках такой «эквивалентной»
заостренной конической поверхности тепловой поток
-2/3 , г ;з =Г
qK = 0,61 Рг V РкИ'хДфк/Як (ir — iCT), A4.3.64)
где рк, |.iK — плотность и динамическая вязкость на заостренном
конусе.
Распределение тепловых потоков, вычисленное по A4.3.54), A4.3.62)
и A4.3.63), показано на рис. 14.3.3. Из этого рисунка видно, что при
углах (Зк, равных 30 и 40°, распределение теплового потока на
затупленном и эквивалентном конусах практически одинаково, а на
поверхности тонких затупленных тел тепловые потоки меньше, чем на
поверхности соответствующих «эквивалентных» конусов.
От «эквивалентного» конуса можно перейти к обычному
заостренному, если в формуле A4.3.64), в которой хк = xK/RT, заменить
Яфк/?т = (дУь/дх)х-*ох = V& на величину скорости Кк на конической
Глава четырнадцатая
348
Чх/Ъ
0,8
0,6
ОА
0,1
о
\
L
Яо
— .
— -
— —
-
0,4 0,8 1,1 1,6 2,0 2А х=х//?г
Рис. 14.3.3 Распределение
теплового потока вдоль
поверхности затупленного конуса,
обтекаемого сверхзвуковым
потоком (при наличии
ламинарного пограничного слоя):
-..—. — . по A4.3.54); по
A4.3.62); по A4.3.63)
поверхности. В соответствии с этим для обычного заостренного конуса
qx=qK = 0,61Pr-2/3|/pKfxKl/K/xK (ir-iCT). A4.3.65)
хк
Суммарный тепловой поток на конусе QK = 2я f qKrdx. После под-
о
становки сюда qK из формулы A4.3.65), полагая в ней хк = х,
получаем
QK = 0,81 Pr~2/35K VpKVKVjxK (ir - fCT), A4.3.66)
где SK = nJC2KsinpK — боковая поверхность конуса с длиной
образующей хк и углом полураствора |3К.
ПЛОСКИЙ ТОРЕЦ
Исследования показывают, что тепловые потоки к плоской
поверхности меньше, чем к сферической. Это объясняется не только меньшей
поверхностью торца, но и более интенсивным торможением потока на
нем, что, в частности, вызывает существенное уменьшение скорости
и градиента X на внешней границе пограничного слоя.
Если распределение параметров обтекания известно, то
приближенный характер изменения отношения qjqo можно определить с
помощью формулы A4.3.49), в которой надо принять г0 = х. На рис.
14.3.1 показаны результаты расчета этого изменения для нескольких
значений величины роо/ро', которым соответствуют различные скорости
набегающего потока. При очень больших числах М<х> (отношение
плотностей для точки полного торможения Роо/р</ = 0,05) удельные
тепловые потоки возрастают при приближении к острой кромке торца.
Это объясняется влиянием давления и плотности, которые в этом месте
претерпевают небольшое снижение, оставаясь по величине достаточно
большими.
Теплопередача 349
При снижении скорости обтекания характер распределения
удельных тепловых потоков изменяется (кривые, соответствующие
значениям роо/р'о = 0,15; 0,25; 0,35). До некоторой величины 1с = x/RT<Z 1
отношение qjqo увеличивается, достигая при определенном значении лГ,
зависящем от числа Моо, максимальной величины, а затем снижается.
Это снижение объясняется тем, что вблизи острой кромки при
сравнительно небольших скоростях обтекания уменьшение давления может
оказать решающее влияние и, несмотря на рост скорости, тепловой
поток после достижения некоторой наибольшей величины начинает
снижаться.
О РАСЧЕТЕ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В ТУРБУЛЕНТНОМ
ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Выше рассмотрен ряд задач, связанных с определением
теплопередачи в ламинарном пограничном слое на криволинейной поверхности.
Решение этих задач весьма важно для практических целей, так как
в реальных условиях передняя часть поверхности всегда омывается
ламинарным пограничным слоем. К тому же в окрестности носка
теплопередача оказывается наиболее интенсивной. При этом на периферийных
участках затупленного тела пограничный слой турбулентный,
поэтому возникает необходимость оценки соответствующей величины
теплопередачи. Для этого можно применить систему уравнений,
аналогичную той, которая использована при исследовании ламинарного
пограничного слоя" и которая учитывает особенности турбулентного
движения.
Приближенно величину теплопередачи можно оценить по формуле
A4.2.16), в которой коэффициент трения в случае охлажденной
поверхности принимают таким, как и для несжимаемой жидкости. Если
стенка охлаждается слабо, то этот коэффициент находится по
определяющим параметрам.
На рис. 14.3.4 приведены экспериментальные результаты,
полученные на цилиндре со сферическим носком (см. [44], 1968, № 12). Видно,
что в интервале значений чисел RexoT 4-105 до 6-105 ламинарное
течение (область /) переходит в турбулентное (область //). При этом
теплопередача увеличивается почти в пять раз.
Современная ракетная и авиационная техника предъявляет
повышенные требования к точности расчетов трения и теплопередачи, что
можно достичь при совершенствовании методов решения уравнений
пограничного слоя. В последнее время получает развитие метод
прямого решения этих уравнений применительно к конкретной задаче.
Это особенно относится к турбулентному пограничному слою,
движение в котором имеет весьма сложный характер и поэтому менее изучено.
Метод прямого решения уравнений пограничного слоя привлекает все
большее внимание исследователей благодаря возросшим возможностям
Глава четырнадцатая
350
Nu/Pr
Рис. 14.3.4 Кривые,
характеризующие теплопередачу на цилиндре со
сферическим носком:
Nu/Pr = q
2 4 Rex
Pr = 0,72
использования быстродействующих ЭВМ. Поэтому техника сложных
расчетов параметров пограничного слоя как ламинарного, так и
особенно турбулентного получает все большее применение в инженерной
практике.
§ 14.4.
Диффузионная теплопередача
Для количественной оценки диффузионной теплопередачи
необходимо в общем случае решить систему уравнений пограничного слоя,
включающую уравнения движения и энергии A4.3.1), а также
уравнение диффузии C.2.4). При сделанных в § 14.3 предпосылках
уравнения движения и энергии в переменных r\, x A4.3.5) имеют вид A4.3.35)
и A4.3.36). Рассмотрим уравнение диффузии применительно к
условиям течения в «замороженном» пограничном слое. Такое течение, как
отмечалось, характеризуется малыми скоростями рекомбинаций,
которыми можно пренебречь по сравнению со скоростью диффузии поперек
линий тока. Концентрация атомов в таком замороженном пограничном
слое определяется диффузией вещества к стенке, где и происходит
рекомбинация. В этом случае концентрация не является равновесной,
определяемой локальными значениями температуры и давления.
Распределение концентраций и температур практически не зависит друг
от друга.
Полагая в уравнении C.2.4) {Wyill^)i = 0 и относя это уравнение
к условиям течения в пограничном слое путем замены производной
д/дг на д/ду, а также принимая в нем г = г0 и Vr — Vy9 получаем
,
дх
ду
Раскрывая производную в левой части и заменяя Qt согласно
A4.1.7), имеем
Теплопередача 351
Б соответствии с уравнением неразрывности B.4.48) двучлен в
квадратных скобках равен нулю. Принимая также во внимание, что г0
для данного сечения пограничного слоя является величиной
постоянной, найдем
(^ дГ = Л-(9ЪЩ. A4.4.1)
ду V ду ) V '
* дх ^ у ду ) ду V ду
Для атомарного компонента уравнение A3.4.1) примет вид
—+ VV— = — P0 — Г A4.4.2)
дх у ду ) ду у ду )
Для молекулярной составляющей уравнение диффузии по форме
такое же с заменой сА на ?м, что следует из условия сд — 1 — ?м-
Преобразуем уравнение A4.4.2) к переменным г], х, учитывая
значения операторов A4.3.15) и A4.3.17):
* / dL . 2^ _ _4
>Y) дх 2х
?vUf д
2х ОЧ
Полагая, что концентрация и профиль скорости являются только
функцией г) (рассматривается автомодельное решение), получаем
дек а
Введем безразмерную зависимую переменную
2 (Yi) = CА/ СА6 • A4-4-3)
Преобразуя уравнение диффузии к этой переменной в предположении, что
pji = p5 J15, а число Шмидта Sc = \i/(pD) является постоянным и равным его
значению на стенке, имеем
Sc/2'+ zn = 0, A4.4.4)
где штрих означает дифференцирование по tj.
Уравнение A4.4.4) по форме такое же, как и A4.3.36), при условии, что
число Рг заменено числом Sc. Граничные условия для функции z, при которых
решается уравнение A4.4.4), аналогичны граничным условиям для функции g
[см. A4.3.23) и A4.3.24)], т. е. при ц = 0 (у = 0) величина z@) = zCT =
= сАст/сАЬ, при г] ->оо (у ->схэ) функция z(oo) -> 1, а производная дг/дц ->0.
Двойное интегрирование A4.4.4) приводит к уравнению, аналогичному
A4.3.37):
Глава четырнадцатая 352
^ - J Sc №
z(ri)-z(O)=z' @) [ е ° dri. A4.4.5)
6
Учитывая эту аналогию, при г\ -> оо определяем интеграл:
?! — f Sc fd-n
\ е cfy = ( 0,5 Sc ) .
о
Так как при т] -» оо функция z (ц) -> 1, находим
2' @) = 0,5 Sc1/3 [1 — г @)]. A4.4.6)
Одновременно можно найти производную z'@) = (dz/dr])CT,
воспользовавшись соотношением из химической кинетики для определения количества
вещества, выделившегося на стенке в результате каталитической реакции,
QCT=fcCTcAcTpCT, A4.4.7)
где kCT — постоянная скорости каталитической реакции.
Это количество вещества равно диффузионному потоку (по абсолютной
величине):
хст
Следовательно,
СТ \ дУ /ст СТ ^ ду /с
dz \ ^ сАст k
= -=- г@),
D CAo D
или в переменных т), х согласно A4.3.5)
pCTD
Решаем систему уравнений A4.4.6) и A4.4.8) относительно z@) и z'@):
^A4-4-9)
-1-1
= + ч ;
0,5Sc/dPcr J
I-1
1/3 Г ^5'о , PcT
Г(#'^гЧ • A4'410)
Величину удельного потока теплоты, выделившейся при рекомбинации
на стенке, можно получить из A4.1.8). Определяя тепловой поток по
абсолютной величине, находим его местное значение:
или, принимая во внимание, что (дсА/дг))ст = сА§ z'@), с учетом значения
Теплопередача 353
A4.3.6) для (дц/ду)ст получаем зависимость
A4.4.11)
Из полученных выражений следует, что в предельном случае,
соответствующем бесконечно большой скорости рекомбинации (стенка
каталитическая, коэффициент каталитической реакции kCT~> оо, )
величина z@) = 0 и, следовательно, концентрация на стенке равна нулю.
В соответствии с A4.4.11) при таком бесконечно быстром катализе
тепловой поток
'V ()I/2 A4.4.12)
Таким образом, в рассматриваемом предельном случае атомы
достигают стенки даже при условии нулевой концентрации на поверхности.
При этом выделяется максимальное количество теплоты, обусловленное
рекомбинацией этих атомов в молекулы. В другом предельном случае
бесконечно медленной каталитической реакции (стенка
некаталитическая, kCT —>- 0) концентрация на стенке остается такой, как и на внешней
границе, т. е. г@) = 1. В этом случае поток атомов за счет диффузии
равен нулю и, следовательно, дополнительная теплота не
выделяется, т. е. qjxx = 0. Этот же результат следует из A4.4.11), если
принять коэффициент каталитической реакции kCT -> 0.
Произведем некоторые преобразования в уравнении A4.4.11).
Полагая рСтМ<ст = РбМ<б и вводя отношение PsfxeApoVo') согласно
формуле A4.3.42), в которой принимаем соб/(о'о = 1, имеем
c-2/3
0,5Sc'/3 Р2СТРУ6 rl 0,5Sc-2/3( Н1р0) Уь r0V^70 _
( У/2 1/2 '
или в соответствии с формулой A4.3.44) для функции ^(л:) —
выражение
-2/3.
/Ч /77
= 0,5Sc |/po|ioVoo F(x), A4.4.130
в котором число Sc = \ict/(PctD).
Учитывая A4.3.13') и принимая во внимание, что
^('а-'м^аз'хим' A4.4.14)
а также вводя энтальпию диссоциации
вместо A4.4.11) получим выражение
12—708
Глава четырнадцатая 354
qRx = 0,5 Sc~2/3 Y p^Voo F (x) iD ?, A4.4.16)
где каталитический коэффициент
сР = [1+А/(РсЛт)Г1. A4.4.17)
Этот коэффициент учитывает влияние конечной скорости
рекомбинации, так как в его выражение входит параметр kCT. Очевидно, при
kCT ->• оо значение ср -> 1 (случай бесконечно быстрого катализа), а
при kCT -+ 0 значение ф -»• 0 (стенка некаталитическая).
Для условий течения вблизи точки полного торможения из A4.4.13')
с учетом A4.3.47) получаем
A = A0=0,5Sc mV PofXoMs+1), A4.4.18)
а из A4.4.17)
. A4.4.19)
В соответствии с этим тепловой поток у точки полного торможения
<7Д0 = 0,5Sc/3 V РоЦоМе + 1) <foiD. A4.4.20)
Здесь 8 = 1 для тел вращения, 8=0 для профиля крыла.
Полный удельный тепловой поток к стенке будет найден, если
теплоту от диффузии <7д* сложить с теплотой от молекулярной
теплопроводности qTX. В общем виде величину этого теплового потока
определяют уравнением A4.1.12), которое представим в форме
«.-*-+»*~j5;,4»
1м)
4JXx
Используя A4.1.8) и A4.1.13), получаем
In \ fi (аСА/^)ст('А-'м) , ЯЛх 1 п,,9и
Я, = (^)и=1 [1 ^щ- + -щ--j , A4.4.21)
где (?к)ье=1 — удельный тепловой поток, соответствующий значению
Le = pCT D(cp)cr/\CT = 1.
С учетом A4.3.43) и A4.4.16)
Теплопередача 355
Оценим значения производных (дсА/ду)ст и (di/dy)CT, полагая, что
на холодной стенке концентрация сАст = 0:
дУ /ст 5 \ ду /ст \ ду /ст 8 В
где б — толщина пограничного слоя; *ов = 1" + ^/2.
Учитывая эту оценку производных и выражения Le = Pr/Sc,
САЬ AА — *'м) = ^D» нах°ДИМ
<7к = Ыье=1 [l + (?Le2/3- 1) ^—1 • A4.4.22)
L fr-^cTJ
Для произвольной точки на обтекаемой поверхности тепловой поток
qK находят из A4.3.43), а для точки полного торможения — из A4.3.48).
Коэффициенты ф определяют соответственно из A4.4.17) и A4.4.19).
Значение io можно вычислить по формуле
в которой энтальпию ia определяют с учетом диссоциации при
соответствующей температуре Г, а энтальпию ta=0 находят при той же
температуре 7\ но без учета диссоциации. Ее можно отыскивать при
помощи формулы 4=0 = CpJlT/Tao)* Т. Число Le определяют для условий
в точке полного торможения и принимают постоянным для всей
поверхности. Из формулы A4.4.22) вытекают зависимости,
соответствующие двум предельным случаям теплопередачи. В первом из этих
случаев, когда обтекаемая стенка некаталитическая (kCT ->• 0, ф -»¦ 0),
диффузионная теплопередача отсутствует и тепловой поток к
поверхности, возникающий только за счет теплопроводности,
Ч* <* -о,
Во втором случае, когда стенка каталитическая и рекомбинация
на стенке протекает с бесконечной скоростью (kCT-+- оо, ф ~> 1),
полный тепловой поток
[ + (Le2/3- 1) т^—1 • A4.4.25)
Отношение количества теплоты <7к A4.4.22), выделяющейся при
конечной скорости рекомбинации, к тепловому потоку 0K(*CT-*») в
случае бесконечно быстрого катализа
где iD — iD l{ir —
12*
i)?t A4426)
i+(u2/3-iOn
Глава четырнадцатая
356
0,2
кст,см/с
Рис. 14.4.1 Изменение теплопередачи
в зависимости от скорости полета
Коо и скорости рекомбинации kCT:
I — некаталитическая стенка (стекло);
// — промежуточная поверхность (окислы);
/// — катализаторы (металлы)
Результаты вычислений величины #для точки полного торможения
в зависимости от скорости набегающего потока К», и постоянной
скорости каталитической реакции kCT показаны на рис. 14.4.1. Эти
результаты указывают на необходимость учета конечной скорости
рекомбинации и на возможность уменьшения теплопередачи путем применения
обшивки из некаталитического материала. При такой обшивке малые
скорости рекомбинации, свойственные воздушной среде, изменяются
незначительно, что обусловливает большее поглощение теплоты за
счет диссоциации и, как следствие, снижение теплового потока к стенке.
Предельное значение неравновесного теплового потока
соответствует нулевому каталитическому коэффициенту.
С учетом этого и согласно A4.4.26)
A4.4.26')
Изменение теплопередачи за счет диффузии в известной мере
учитывается формулой A4.3.48'), которая дает суммарное значение
удельного теплового потока, определяемого не только теплопроводностью,
но и диффузионным переносом теплоты вследствие рекомбинации
атомов на каталитической стенке. Если же обтекаемая поверхность не
является каталитической (например, поверхность неметаллической
обшивки), то получаемый по формуле A4.3.48') тепловой поток
несколько занижен. При этом неточность формулы возрастает с увеличением
высоты, когда все большим становится отклонение состояния газа от
равновесного.
В этом параграфе рассмотрена теплопередача в двух предельных случаях
равновесного и замороженного течений в пограничном слое. Однако наиболее
общим является механизм теплопередачи, характеризующийся тем, что
концентрация каждого химического компонента в пограничном слое определяется
в соответствии с уравнением C.2.4) конечной скоростью химических реакций
WxhmI. Достаточно хорошо ознакомившись с изложенными сведениями о
теплопередаче в рассмотренных предельных случаях, можно самостоятельно
изучить ее механизм в указанном более общем случае, когда Wxwti ф 0. Для этого
следует воспользоваться системой C.2.4), C.2.14) и A3.1.8). Некоторые методы
и результаты решения этой системы изложены в работах [22, 30, 33].
Теплопередача 357
§ 14.5.
Определение температуры стенки
РАВНОВЕСНАЯ РАДИАЦИОННАЯ ТЕМПЕРАТУРА
При установившемся движении летательного аппарата тепловой
режим на обтекаемой поверхности характеризуется равенством
тепловых потоков, направленных к поверхности и от нее. В этом случае
уравнение теплового баланса A4.1.1.) имеет вид ^пД — q0T = О или
с учетом выражений A4.1.2) для подводимого ^пд и A4.1.3) для
отво<7к + <7рад + <7с + <7з + <7об.п = <7из + <7аб + <7ох + <7об.о- A4.5.1)
Температура стенки, определяемая из условия равенства тепловых
потоков A4.5.1) и соответствующая установившемуся обтеканию,
называется равновесной.
Предположим, что теплопередача характеризуется только
подводом конвективного теплового потока к стенке (qm = qK) и отводом
от нее тепловой энергии путем радиации (q0T == qm). При этом A4.5.1)
с учетом выражений A4.1.17) для qK и A4.1.28) для qm принимает вид
[<W(^)ct1 (*г — *ст) = 8а^ст . A4.5.2)
Температура стенки, определяемая уравнением A4.5.2), называется
равновесной радиационной и обозначается Тст = Те. Эта температура
отличается от температуры восстановления Тг, которая, как известно,
является температурой газа на стенке при отсутствии теплопередачи,
т. е. на теплоизолированной поверхности.
Температура Те представляет собой некоторый верхний предел для
излучающей поверхности, достигаемый в случае, когда разогретая
стенка полностью излучает полученную энергию. Эта температура при
очень больших тепловых потоках нереальна, так как она настолько
велика, что не может быть достигнута до того, как разрушится материал
обшивки (оплавление, сублимация, сгорание). Однако в некоторых
случаях равновесная радиационная температура может оказаться
реальной, например на поверхности планирующих летательных аппаратов.
При планировании кинетическая энергия переходит в тепловую
постепенно и интенсивность конвективного теплового потока может
оказаться сравнительно небольшой. Поэтому вполне реальна возможность
излучения всей поглощаемой энергии при той равновесной температуре,
которая допустима для конструкции.
В уравнении A4.5.2) можно принять коэффициент излучения а
и степень черноты е известными и постоянными величинами.
Коэффициент теплопередачи аСт» средняя теплоемкость на стенке (ср)ст, а
также энтальпии ir и iCT являются для диссоциирующего газа функци
ями искомой температуры Тст = Те, а также заданного давления рд
Таким образом, общее число отыскиваемых переменных будет пять
Глава четырнадцатая 358
следовательно, уравнение A4.5.2) должно быть дополнено четырьмя
независимыми уравнениями для определения аСт, (?р)ст» ir и *ст-
В случае ламинарного пограничного слоя согласно A4.1.17) и
A4.4.22) уравнение для аСт представим в виде
«^ Ii + (<pLe2'3_l) -JS
L ''
'г~'ст ''""'от L 'г'ст J
A4.5.3)
Уравнение для (ср)ст и iCT представим в общей форме:
{с,)„ = П(р„Т„); A4.5.4)
*о, =/.(/>,. Т„), A4.5.5)
где Д и /2 вычисляют при помощи таблиц или графиков
термодинамических функций воздуха при высоких температурах.
Энтальпия восстановления
fr = fe + rVf/2, A4.5.6)
где коэффициент восстановления г = /з(/?б> Тст) находят как
некоторую функцию /3 давления рь и Тст при помощи формул A3.5.20) и
A3.5.21).
Решение системы уравнений A4.5.2) — A4.5.6) позволяет найти
равновесную радиационную температуру обтекаемой стенки при
наличии ламинарного пограничного слоя в диссоциирующей газовой среде.
Применяя вместо A4.5.3) уравнение для турбулентной теплопередачи,
можно найти температуру Тст = Те в случае турбулентного
пограничного слоя. Такое уравнение получено выше для условий обтекания
плоской пластинки.
Решение системы уравнений A4.5.2) — A4.5.6) осуществляется
методом последовательных приближений. При этом заданными
являются скорость полета Коо (или число Моо) и высота Я, по которым
рассчитывают параметры «невязкого» обтекания поверхности (давление
/?б, плотность рб, температура Гб и др.).
Чтобы найти температуру Тст = Те в какой-либо точке этой
поверхности, для нее в качестве первого приближения определяют
энтальпию ir A4.5.6), принимая согласно A3.5.22) г = гл = 0,84
(ламинарный пограничный слой) или г = гт = 0,89 (турбулентный
пограничный слой), и находят соответствующее значение Тг как
функцию ir и рь. Затем задаются несколькими значениями температуры
Та < Тг и соответствующими величинами *ст < iT. Для каждого
из этих значений TCT(iCT) подсчитывают в первом приближении ах,
(ср)ст и определяют разность тепловых потоков:
К/(Ср)ст] (ir — 'от) - *tft = <7ст- О4-5-7)
По полученным данным составляют таблицу или строят кривую
<7ст от Тст. Полагая qGT = 0, при помощи интерполяции табличных
Теплопередача
359
данных или по графику определяют температуру Тст = Те. По этому
значению температуры стенки можно уточнить коэффициент г и
энтальпию ir, определить в следующем приближении коэффициент
теплоотдачи ах и удельную теплоемкость (ср)ст, а затем повторить
вычисления с использованием уравнения A4.5.7) до получения значения Гст =
= Те с заданной степенью приближения. При решении
рассматриваемой задачи энтальпию iD в A4.5.3) следует определять при помощи
формулы A4.4.23).
Приближенную оценку температуры Тст = Те указанным методом
можно осуществить в предположении, что числа Pr, Sc, Le выбираются
равными некоторым фиксированным значениям, в частности Рг =
= 0,64; Sc = 0,49; Le = 1,45.
Более просто вычисляют температуру 7СТ = Те для
пластинки и конуса, обтекание которых характеризуется постоянными
значениями невязких параметров газа на их поверхности. При этом
равновесную радиационную температуру можно рассчитать методом
определяющей энтальпии (температуры). Такой расчет можно вести
также с учетом смешанного пограничного слоя на обтекаемой
поверхности, используя для определения параметров трения и теплопередачи
соответствующие зависимости.
В окрестности точки полного торможения сферы равновесную
радиационную температуру вычисляют в предположении ламинарного
пограничного слоя. Это можно сделать в результате решения системы
уравнений, полученной из соответствующих зависимостей, найденных*
применительно к условиям, где местная скорость Уб = 0. Такая
система имеет вид
т4
1 ст =
-*ст)[1 +(фЬе2/3-
—'««о);
ср = A + А2/рСТ)'г;
Рст = /^ср-стЛ&ЯоТ
Иср.ст ==/i(/7o» ^ст)
*ст == /2 \Ро > -* ст) >
A4.5.8)
где коэффициенты Аг = 0,5 Pr2/«V2pQ'\jL0'\\ Аг = O
Значения pQ\ p0', \iQ\ ir = i0 и Х подсчитывают в результате
решения задачи об обтекании свободным потоком окрестности точки
полного торможения.
Глава четырнадцатая
360
800
700
BOO
500
V
N
I
i
P
< •
i
I
1
V
E
~*~Точка перехода
—1 t~—
^02 DM OS -0
•
*Ы/Ь
>¦
Рисе. 14.5.1 Характер распределения
равновесной радиационной
температуры по поверхности профиля,
обтекаемого сверхзвуковым потоком:
/ — ламинарный слой; // — турбулентный
слой; /// — переходная область
В качестве первого приближения при решении системы уравнений
A4.5.8) принимают температуру Гст < То'. По этой температуре и
давлению р\ находят начальные значения /ст и [Д.Ср.ст, затем
определяют iD, рст, ф и соответствующую температуру 7СТ. Аналогично
осуществляют последующие приближения, которые заканчивают по
достижении заданной точности расчетов температуры.
В случае умеренных скоростей обтекания, при которых можно не
учитывать диссоциацию и рассматривать термодинамические и
кинетические характеристики воздуха постоянными, расчет температуры Тст =
= Те упрощается. В этом случае соответствующая система уравнений
принимает вид
ах(Тг — Тст) = ваГсТ, olx = АGСТ), A4.5.9)
где ft — некоторая функция температуры Гст, определяющая
коэффициент теплоотдачи.
Результаты расчета равновесной радиационной температуры при
помощи системы A4.5.9) для параболического профиля при
сверхзвуковой скорости обтекания показаны на рис. 14.5.1. Этот расчет
проведен с применением зависимостей для а*, найденных для плоской
пластинки, в которых использованы местные параметры невязкого
обтекания профиля, причем влияние продольного градиента давления не
учтено и приняты фиксированные значения гл = 0,84 и гт = 0,89,
соответствующие числу Рг = 0,71.
При построении графика, подобного изображенному на рис. 14.5.1,
следует учесть переходную область, в которой тепловые потоки
изменяются плавно по некоторой кривой. Эта кривая не должна иметь
изломов, так как в реальных условиях возникают продольные потоки
теплоты, приводящие к выравниванию температуры.
Уравнения A4.5.9) с известным приближением можно использовать
для расчета равновесной радиационной температуры при больших
скоростях, когда необходимо учесть влияние сжимаемости, диссоциации
или переменности теплоемкостей, если в этих уравнениях перейти к
Теплопередача 361
определяющим параметрам:
c?GV-:TCT) = sa7iT, a; = /i*(TCT), A4.5.10)
где Тг* определяется с учетом диссоциации по определяющей
энтальпии A3.5.23), а а** — из выражения A4.2.21).
При расчете теплопередачи на пластинке и конусе число Стантона
St**, входящее в выражение для а*х> находят по соответствующим
зависимостям A4.2.19) или A4.2.27), связывающим между собой
параметры трения и теплопередачи.
Анализ уравнений для определения равновесной радиационной
температуры и результаты расчета позволяют сделать вывод, что
основным способом ее снижения является уменьшение отношения ах1г.
Для этого можно, во-первых, уменьшить коэффициент теплоотдачи
Озс, обеспечив ламинаризацию пограничного слоя. Уменьшение ах
достигается также при подъеме летательного аппарата на большую
высоту, так как при этом нагрев снижается за счет падения плотности
воздуха. Во-вторых, можно увеличить степень черноты е обтекаемой
поверхности. Для этого наносят специальное покрытие, которое
может увеличить значение е до 0,7 -f- 0,8 и тем самым усилить
охлаждение излучением. Возрастание степени черноты до величины, близкой к
единице, наблюдается и в тех случаях, когда металлическая стенка
тонкая и прогревается до высоких температур.
РАВНОВЕСНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ПРИ НАЛИЧИИ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ИСТОЧНИКОВ ПОДВОДА
И ОТВОДА ТЕПЛОТЫ
Расчет равновесной температуры при наличии кроме
конвективного и радиационного тепловых потоков других видов теплопередачи
ведут аналогично определению равновесной радиационной температуры.
Для такого расчета необходимо воспользоваться уравнением A4.5.1),
которое с учетом значений для qK = a*GV — Тст) и qU3 = eaT4CT
представим в виде
, A4.5.11)
где приведенная температура восстановления
Тг = Тг[1 + %дАахТг)]. A4.5.12)
Сумма удельных тепловых потоков
2 Яг = <7рад + <7о + <7з + <7об.п — <7аб— <7ох + <7об.о • A4.5.13)
К числу составляющих в A4.5.13) относятся радиационный поток
<7рад к стенке от перегретого газа и теплота q.d& рассеиваемая при
уносе массы обшивки, которые находят как функции температуры стенки.
Остальные компоненты можно рассматривать как заданные величины.
Глава четырнадцатая 362
Из A4.5.11) следует, что задача об определении Тст = Те
решается в принципе так же, как при наличии отвода теплоты только
излучением. Отличие состоит лишь в том, что вместо температуры
восстановления Тг определяют ее приведенное значение Т/.
Анализ зависимостей A4.5.11)—A4.5.13) показывает, что,
применяя искусственное охлаждение qox и используя абляцию материала,
при которой вместе с частью разрушающейся обшивки уносится
некоторое количество теплоты qa6, можно снизить температуру стенки
* ст == ' е*
При умеренных сверхзвуковых скоростях обтекания можно не
учитывать радиационный поток теплоты <7рад и теплоту qa6> поглощаемую
при абляции. В этом случае
<7с + 9з + <7об.п — <7ох — <7об.о A4.5.14)
и расчет температуры Тот = Те упрощается, поскольку
составляющие теплопередачи в A4.5.14) не зависят от температуры стенки и
заранее заданы.
На больших высотах A00-^500 км и выше), аэродинамический
тепловой поток незначителен по сравнению с лучистой энергией.
Пренебрегая рассеиванием теплоты вдоль поверхности, можно считать, что
уравнение баланса теплоты при стационарном процессе имеет вид
Яс + Яз + <7от = <7из, A4.5.15)
где <7оТ — солнечная энергия, отраженная от Земли.
Практически на больших высотах тепловое излучение Земли q3t
а также энергию q0T можно не учитывать и, следовательно, qc = qm.
Внося сюда значения qc из A4.1.24) и qm из A4.1.28), получаем
откуда
/8 7 \1/4
Гст= l-f -^-созгИ . A4.5.16)
Максимальная температура достигается при ф = 0. В формуле
A4.5.16) практически можно воспользоваться постоянным значением
^"с = 1,39-103 Вт/м2. Полагая также а = 5,67-10"8 Вт/(м2-град4)»
получаем следующую зависимость для температуры:
Гст = 395(рс/зI/4. A4.5.17)
Согласно этой формуле, наибольшая равновесная температура в
соответствующей точке обтекаемого тела определяется лишь
свойствами материала стенки, отражающими его поглощательную способность
Рс и степень черноты поверхности е.
глава
5
Аэродинамика
разреженной
среды
Глава пятнадцатая 364
§ 15.1.
Пределы применимости теории
движения сплошной среды
Экспериментальные данные об обтекании тел, полученные для
условий разреженной среды, значительно отличаются от значений силовых
и моментных характеристик, а также параметров трения и
теплопередачи, вычисленных по газодинамическим соотношениям для сплошной
среды. Такое различие объясняется структурой этих соотношений,
соответствующей гипотезе сплошности среды. Для разреженной
атмосферы эта гипотеза недействительна и необходимо пользоваться
кинетической теорией, исследующей динамику газа с помощью молекулярной
механики. Важнейшие выводы этой теории основываются на принятии
дискретной схемы строения, согласно которой среда состоит из
соударяющихся молекул, пробегающих достаточно большой свободный
путь. Не разбирая подробно кинетическую теорию газов, рассмотрим
лишь те сведения, которые необходимы для понимания физических
явлений, а также для осуществления аэродинамических расчетов,
связанных с полетами в разреженной среде.
ДЛИНА ПУТИ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
МОЛЕКУЛ
Рассмотрим пределы применимости тех теоретических зависимостей,
которые основаны на предпосылке о сплошности газовой среды. При
этом необходимо отметить, что пределы применимости носят условный
характер, так как, например, невозможно точно указать высоту
атмосферы, выше которой надо применять только молекулярную теорию.
Для установления этих пределов следует определить длину свободного
пробега молекул. Из физических соображений ясно, что чем она меньше,
тем ближе среда к гипотетической сплошной. Течение такой среды
характеризуется большим числом соударений между молекулами,
определяющими при наличии возмущений малое время релаксации, т. е.
время установления равновесия уровней энергии сталкивающихся
молекул.
Методы статистической физики устанавливают некоторый средний
Аэродинамика разреженной среды 365
путь, пробегаемый молекулой до соударения и называемый средней
длиной свободного пробега. Эта длина
/ = rf, A5.1.1)
где с — средняя скорость хаотического движения молекул [см. A5.2.4)];
t — время между двумя соударениями__молекулы, определяемое по
выражению t = 1/я, в котором п = NAc — число соударений в
единицу времени (где N — число молекул в единице объема, А —
площадь поперечного сечения молекулы).
Таким образом,
/ = \I(NA). A5.1.Г)
Например, для воздуха при нормальных условиях N = 2,69 х
хЮ19 см, А = 10~15 см2; следовательно, длина пути свободного
пробега / = 4-Ю см. Из A5.1.1') следует, что средняя длина пути
свободного пробега увеличивается с уменьшением плотности. Поэтому
с увеличением высоты эта длина возрастает и может оказаться
значительно больше размеров летательного аппарата.
Формула A5.1.Г) неудобна для практического применения, так как
площадь поперечного сечения молекулы нельзя определить
непосредственным измерением. Следует пользоваться зависимостью для /,
которую можно получить из формулы A.1.8) кинетической теории
газов, определяющей динамическую вязкость. Внося в A.1.8) вместо
значения с зависимость A5.2.8'), определяющую среднюю скорость через
скорость звука а, находим
/= l,255v]/T/a A5,1.2)
где k — показатель адиабаты; v — кинематическая вязкость.
РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
Режимы течения газа зависят от степени его разреженности, под
которой следует понимать отношение средней длины свободного
пробега молекул к некоторому характерному линейному размеру
рассматриваемой области потока.
Представление об указанных режимах и параметрах, используемых
для их оценки, можно получить, если рассмотреть течение между
двумя пластинками, отделенными друг от друга малым расстоянием б.
При этом пространство между пластинками заполнено газом и одна из
пластинок перемещается параллельно другой с некоторой скоростью
V. При оценке степени разреженности и соответствующего режима
течения целесообразно исходить из сравнения средней длины свободного
пробега молекул / и расстояния между пластинками б, т.е. из
отношения
Глава пятнадцатая
366
_L= 1,255 ^i- .JL =1,2551 А— . A5.1.3)
5 1/5 а У Re
1/5
где Re = Уб/v — число Рейнольдса.
Параметр lib называют числом Кнудсена и обозначают Кп = //6.
Если число Кп < 0,01, то газ рассматривают как плотную среду.
В такой среде вследствие малости средней длины свободного пробега
возмущения от соударений со стенкой практически мгновенно
передаются на все молекулы, поэтому при исследовании течений применима
гипотеза сплошности. Если средняя длина свободного пробега больше
расстояния между стенками и число Кп > 10, то газ следует считать
сильно разреженной средой и гипотеза сплошности оказывается
неприменимой. В такой среде обычное понятие о числе Re как о параметре,
отражающем отношение сил инерции к силам вязкости, не имеет
смысла, поскольку столкновения частиц редки и, следовательно, вязкость
практически не проявляется. Поэтому при определении действующих
сил и тепловых потоков необходимо рассматривать ударное
воздействие частиц на тело, а не его обтекание сплошным потоком. Оба
рассмотренных случая отражают два характерных режима течения. Первый из
них представляет собой режим сплошного течения, второй — режим
свободномолекулярного потока.
Принято считать, что в элементарном объеме
свободномолекулярного потока, несмотря на сильное разрежение и пренебрежимо малое
число столкновений, число молекул достаточно для того, чтобы
определить свойства газа как макроскопические. Например, на высоте
свыше 150 км длина свободного пробега молекул равна Зм , что
указывает на сильную разреженность воздуха. Однако число молекул в 1 см3
остается достаточно большим и составляет примерно 1,5-1012. Для
такой разреженной среды давление и массовую плотность можно
рассчитывать как средние в данном объеме. Свойства течений этой среды
определяют на основе максвелловского закона распределения скоростей
молекул. Следовательно, применяя этот закон, можно исследовать
силы взаимодействия молекул с поверхностью движущегося тела.
Между режимами сплошного и свободномолекулярного течений
находятся промежуточный режим A < Кп < 10) и режим течения
со скольжением @,01 <Кп< 1). Промежуточный режим
характеризуется тем, что в нем имеют одинаковое значение соударения молекул
со стенкой и друг с другом. Условия, соответствующие этому режиму,
возникают при полете на высотах приблизительно 100 км. В режиме
со скольжением, возникающим на высотах, меньших 100 км, более
существенное значение имеют соударения между молекулами. Несмотря
на малую по сравнению с линейным размером б среднюю длину
пробега, пренебрегать ею нельзя.
Различие в режимах течения проявляется в
неодинаковом профиле скоростей между параллельными
пластинками. В сплошном (непрерывном) потоке частицы газа после
соударения с движущейся пластинкой приобретают скорость пластинки V и
Аэродинамика разреженной среды
367
Рис. 15.1.1 Влияние
режима течения на характер
изменения скорости газа,
обтекающего стенку:
а — сплошное течение; б — сво-
бодномолекулярный поток; в —
течение со скольжением
а)
ti о
У/2
о
V-v V
соответствующее количество движения (рис. 15.1.1,а). При этом
количество движения, передаваемое соседним частицам вследствие
трения, уменьшается, в результате чего уменьшается также их
скорость, достигая на поверхности неподвижной пластинки нулевой
величины.
В свободномолекулярном потоке (рис. 15.1.1,6) частицы после
соударения со стенкой не изменяют количества движения по толщине
слоя, так как при отскакивании они не сталкиваются с другими
молекулами. В результате профиль скорости поперек пластинок остается
«нулевым». При этом в случае диффузного взаимодействия скорость
молекулы у верхней движущейся пластинки составляет некоторую
конечную величину К, а у неподвижной нижней пластинки она равна
нулю. Следовательно, средняя скорость молекул между пластинками
равна V/2.
Поэтому в свободномолекулярном потоке, обтекающем какое-либо
тело, теряет смысл понятие пограничного слоя, так как течение у
поверхности имеет ту же скорость, что и на некотором удалении от нее
(в обычном представлении — на внешней границе пограничного слоя).
Профиль скорости при течении со скольжением (рис. 15.1.1,в)
занимает промежуточное положение. Подвижная пластинка, как и в
сплошном потоке, передает частицам количество движения,
соответствующее скорости движения V. При этом отраженные от пластинки
частицы, не достигая противоположной стенки, сталкиваются с другими
частицами, изменяя их скорость. Это объясняется тем, что средний путь
пробега молекул соизмерим с расстоянием б. Эта скорость движения
изменяется непрерывно между пластинками, а профиль скорости по
виду — средний между профилями для сплошного и свободномолеку-
лярного потоков. На нижней пластинке молекулы как бы
проскальзывают относительно поверхности с некоторой скоростью v, а их скорость
на верхней пластинке равна, очевидно, разности V — v. Отсюда
объяснимо название «течение со скольжением». При внешнем обтекании
тела таким потоком газ на поверхности не «прилипает», а приобретает
некоторую, отличную от нуля, скорость, меньшую, чем на внешней
границе пограничного слоя.
Глава пятнадцатая
368
Рис. 15.1.2 Кривые,
характеризующие различные режимы течения газа
Таким образом, при наличии скольжения вблизи границы
происходит разрыв скорости между газом и стенкой. При этом вблизи стенки
градиент скорости поперек слоя отличен от нуля. Это указывает на то,
что в не очень сильно разреженном газе, движущемся со скольжением,
еще существует пограничный слой. Поэтому движение вблизи
поверхности происходит не по закону Максвелла и для его определения можно
использовать общие уравнения вязкого теплопроводного сжимаемого
газа. Однако их надо применять с учетом более общих граничных
условий, отражающих возможный разрыв скорости, температуры и давления
на поверхности. При этом тот или иной режим течения определяют в
соответствии с формулой A5.1.3) соотношением между местными
числами М и Re. Если расстояние между пластинками по величине
принять таким же, как толщина слоя в ламинарном течении, то от числа
Re = Vfyv можно перейти к параметру ReL = Re(L/6). Заменив в
нем отношение 8/L по формуле A2.3.19"), в которой принимают лГ = 1
(рассматривается задняя кромка пластинки), и внеся его в A5.1.3),
получим зависимость для параметра Кнудсена:
Кп = //5 - 0,264 Vk (M/j/ReL).
A5.1.4)
Эта зависимость для различных режимов графически представлена
на рис. 15.1.2, где кривые построены без учета влияния возможных
физико-химических превращений воздуха на среднюю длину
свободного пробега молекул. При этом нужно иметь в виду, что диссоциация
сопровождается, как известно, увеличением числа частиц,
обусловливающим уменьшение их среднего пути свободного пробега.
Кривые, изображенные на рис. 15.1.2, относятся к течениям
невозмущенного газа. Однако, как показывают исследования, их можно
использовать для оценки течения вблизи обтекаемого тела, если
исходить из местных значений чисел М и Re. При этом обнаружено, что
вдали от носка тела вращения, где влияние головной ударной волны
небольшое, вследствие перерасширения даже на малых высотах может
возникнуть течение со скольжением или свободномолекулярный поток.
В то же время вблизи носка уплотнение за ударной волной может
Аэродинамика разреженной среды 369
привести к образованию сплошной среды даже в тех случаях, когда
полет совершается на больших высотах. В этом можно убедиться, если
воспользоваться той же формулой A5.1.4) и рассчитать число Кнудсе-
на по местным параметрам газа. При определении этого числа
необходимо выбрать характерный линейный размер б. Так как ожидаемый
режим оценивается приближенно, то в качестве величины б условно
принимают толщину пограничного слоя, рассчитываемую по
формулам для сплошной среды.
§ 15.2.
Давление и трение
в свободномолекулярном потоке
СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МОЛЕКУЛ
СО СТЕНКОЙ
Исследование движения газа вблизи поверхности связано с
решением уравнений движения при определенных граничных условиях,
налагаемых на это движение. В частности, при изучении обтекания
поверхности сплошной средой граничным условием является условие
безотрывного обтекания как формы взаимодействия этой поверхности
и газовой среды. При свободномолекулярном течении взаимодействие
оказывается более сложным.
В теории свободномолекулярного течения имеется ряд
гипотетических схем взаимодействия молекул со стенкой. Рассмотрим схемы
предельного вида взаимодействия — «зеркальное» и «диффузное»
отражения. Коснемся также промежуточной схемы, принимая, что
более близким к реальному является взаимодействие, представляющее
собой комбинацию двух указанных предельных видов отражения.
Зеркальное отражение. Схема зеркального молекулярного
отражения реализуется в том случае, если поверхность очень гладкая и
наклонена под малым углом атаки. Согласно этой схеме, частицы,
подойдя к стенке, после удара отражаются от нее под углом, равным углу
атаки (рис. 15.2.1,а). Таким образом, в данной схеме молекулы ведут-
себя подобно абсолютно упругим шарам. При зеркальном отражении
абсолютные значения составляющих скорости не изменяются, причем
касательная составляющая к поверхности сохраняет свой знак, в то
время как нормальная составляющая меняет его на обратный. При
таком идеальном взаимодействии частиц со стенкой силы трения
отсутствуют. Исследования показывают, что даже тщательно отполированные
поверхности не являются достаточно гладкими, чтобы полностью
реализовать схему зеркального отражения. Практически по этой схеме
отражается лишь незначительная часть молекул — несколько
процентов.
Диффузное отражение. В случае диффузного отражения
(рис. 15.2.1,6) предполагается, что поверхность имеет шероховатости и:
Глава пятнадцатая
370
а)
Рис. 15.2.1 Схема
взаимодействия молекул со
стенкой:
а — зеркальное отражение; б —
диффузное отражение
щели. Высота бугорков шероховатостей и ширина щелей должны
быть соизмеримы с поперечными размерами молекул. Молекулы в
результате соударения, попадая в щель или оказываясь между
бугорками шероховатостей, практически полностью абсорбируются стенкой,
передавая ей свой импульс и энергию, а затем по истечении какого-то
малого промежутка времени отражаются от нее в произвольном
направлении с некоторой скоростью, причем каждое такое направление
равновероятно. Отсутствие какого-либо преобладающего направления
движения диффузно отраженных молекул приводит к тому, что они
не создают касательного напряжения. Так как реальная поверхность
всегда отличается от идеально гладкой, то большая часть молекул
взаимодействует по схеме диффузного отражения.
ПЕРЕНОС МАССЫ
Рассмотрим некоторые характеристики свободномолекулярного потока,
обтекающего тело [32]. Примем, что молекулы отражаются диффузно, причем
температура отраженных частиц равна значению Гг, отличному в общем
случае от температуры стенки Гст и первоначальной температуры газа 71/.
Рассмотрим выражение для переноса массы. Составляющие скорости
молекулы:
w=w'+?/, v = v' ~t~Vf w~w'-\-W*
Первые члены в этих выражениях — компоненты скорости Коо массового
(или упорядоченного) движения газа относительно стенки, определяемой из
выражения
Вторые члены — составляющие скорости с теплового движения
(скорости молекулы относительно массового движения газа). Квадрат этой скорости
с2 = U2 + V2 + W\
A5.2.1)
Примем, что ось у, которой соответствует составляющая v, направлена
по нормали к поверхности в данной точке.
Аэродинамика разреженной среды 371
Определим перенос молекул к поверхности тела, который зависит от числа
падающих молекул, содержащихся в единице объема. Если молекулы движутся
со скоростью, компоненты которой по величине укладываются соответственно
в интервалах и, и + du\ v> v + dv\ w, w + dw, то число этих молекул равно
произведению nifdudvdw, в котором ni — число падающих молекул в единице
объема (здесь и ниже индекс i относится к частицам невозмущенного потока,
параметры которого Гоо, роо, Роо и т. д.); / — функция распределения молекул по
скоростям, называемая функцией распределения Максвелла.
В кинетической теории функция распределения определяется
экспоненциальной зависимостью
/=(-4Г3/2^8/С". A5-2.2)
в которой величина ст связана со средней скоростью хаотического движения
с соотношением
ст = 7УЖ A5.2.3)
и называется наиболее вероятной скоростью молекулы. По данным
кинетической теории газов, средняя скорость хаотического движения молекул
c=2 V2RT/n. A5.2.4)
Функция распределения / относится только к неупорядоченной части
движения молекул. Она зависит от скорости теплового движения с и, как видно
из A5.2.3), от средне^скорости Г, определяющей вн^реннюю энергию единицы
массы газа, равную с2/2. В общем случае величины сие зависят от координат
и времени. Однако если рассмотреть имеющий большое практическое значение
случай равновесного распределения скоростей, при котором в результате
столкновений в каждом заданном элементе объема т = dxdydz не изменяется число
молекул газа, принадлежащих элементу пространства скоростей dudvdw в этом
объеме т, то функция распределения / не будет зависеть от времени t. Такое
состояние газа определяется как состояние местного максвеллов с ко го равновесия.
Рассмотрим понятие средней квадратичной скорости с5 хаотического
движения, определяемой из условия
^2/3 — Л2 = V2 = W2y A5.2.5)
где U, Vу W — средние значения составляющих скорости хаотического
движения. Согласно кинетической теории газов,
с*=3#7\ A5.2.6)
Отсюда с учетом формул A5.2.3) и A5.2.4) дляТ определим
A5.2.7)
т. е.
V& = 1,08б7=1,225ст. A5.2.8)
Отметим также зависимость, которая существует между с, ус2 и скоростью
звука а:
A5.2.8')
Глава пятнадцатая
372
8
0,16
0,08
у
1
1
I
/
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
s
-
\
\
<
\
о л
о, в
Рис. 15.2.2 Зависимость,
определяющая изменение функции
распределения
Отсюда следует, что средние молекулярные скорости имеют тот же порядок,
что и скорость звука.
Функцию распределения / можно определить при помощи графика,
изображенного на рис. 15.2.2, где представлена зависимость величины В =
=(яс^гK/2(с2/с2)/от параметра с/j/^c2' На этом графике показаны также
относительные величины cmfyc2 и с/у^.
Из числа падающих молекул, содержащихся в единице объема, та их часть
которая соударяется с единичной поверхностью за одну секунду, равна
nivfdudvdw. Таким образом, в этом случае рассматривают молекулы, которые
пересекают поверхность и располагаются в выделенном объеме с единичной
площадью основания и высотой, равной вертикальной составляющей скорости и.
Эта скорость находится в пределах оо > v > 0. Частицы с составляющей
скорости v < 0 не достигают площадки. Общее число молекул N/, соударяющихся
с единичной поверхностью в одну секунду, можно получить интегрированием
по всем возможным скоростям — оо<м<оо, 0<t>< оо, —оо < w < оо,
т. е.
Ni= [du[vdv f riifdw, A5.2.9)
j J
—oo 0 —oo
или с учетом выражений A5.2.2) для / и A5.2.1) для с2
1 г,2 оо L «2 °° L я2
е 2 2dv f e 2 3dwt A5.2.9')
3_ оо
2
где
V2
V2
HJV2 =U/cni. #2//2 =V/cmi, HJV2
vr
A5.2.10)
С учетом A5.2.10) первый интеграл в A5.2.9') (аналогичным ему будет
третий интеграл) представим в следующем виде:
du
Аэродинамика разреженной среды 373
Интеграл в правой части этого выражения — известный интеграл Эйлера—
Пуассона:
оо L//2 °° L//2
е 2 ld(H1/V2~) = 2 fe 2 l diflJYT) = )ЛГ. A5.2.11)
—оо —оо
Следовательно,
оо 12 оо 12
Г* 2" ! j Р ~~ Зл Л/ (КО '\
—ОО —00
Второй интеграл в A5.2.9') можно представить в виде
4 J A5.2.12)
—ОС
где введены обозначения
/VT A5.2.13)
Интегрируем A5.2.12):
оо 1_ 2 9 __ оо
I ve 2 dv = --р е~Х% + cmi7 \ е dy. A5.2.12')
J 2 J
о -Г
Интеграл в правой части A5.2.12') представим в виде
X ОО
ОО X
f» —У* (*
J e dy=— J
—Т ° °
Второй интеграл последнего выражения согласно A5.2.11)
оо 2
f е~~У dy = YT/2. A5.2.14)
Для определения первого интеграла того же выражения введем новую
переменную у = —z, с учетом которой
С —г8
= \ е dz.
Интеграл в правой части этого выражения можно вычислить при помощи
специальной функции
erf 7==—%z [e~z2dz, A5.2.15)
—%z [e~z2dz,
Глава пятнадцатая
374
Рис. 15.2.3 Свободномолекулярный
поток около плоской поверхности:
/ — верхняя поверхность; 2 — нижняя
поверхность
представляющей собой интеграл вероятностей, для которого составлены
математические таблицы.
С учетом A5.2.14) и A5.2.15) зависимость A5.2.12') приобретает вид
оо
!
ve 2 dv = —[e ** + x У* (l +erfx )]. A5.2.16)
Принимая во внимание A5.2.1Г) и A5.2.16), для общего числа молекул N-t
A5.2.9) получаем следующую зависимость:
A5.2.17)
2 Уп
Так как в соответствии с A5.2.7)
A5.2.18)
то
A5.2.17')
Произведение RTit которое входит в формулу A5.2.18), связано со
скоростью звука соотношением
ZP-le-t' + xVTil+aiT)).
ai = y kRTt . A5.2.19)
Как видно из A5.2.17'), число падающих молекул определяется величиной
параметра х, соответствующего рассматриваемой точке поверхности. Если в
этом параметре 1с выразить cmi через скорость звука, то х"= (v'laj)y k/2.
Наряду с этим, учитывая, что Р — угол между направлением вектора Voo и
касательной к поверхности в данной точке (рис. 15.2.3), находим:
х = sin
2
: х sin p;
A5.2.20)
Формула A5.2.17') получена для условий поверхности, которым
соответствуют пределы изменения во втором определенном интеграле A5.2.9') 0 < v <oo.
Аэродинамика разреженной среды
375
Рис. 15.2.4 Свободномолекулярный
поток около криволинейной
поверхности:
/ — передняя сторона; 2 — задняя сторона
Если рассматривают верхнюю сторону поверхности, то уравнение переноса
массы иное, так как в указанном интеграле в соответствии с рис. 15.2.3
пределы изменения —оо < v < 0. Имея это в виду, для верхней поверхности
3_ оо _2_Я2
I
X
О 1 „2 оо 12
X da \ ve dv I e dw.
J J
—оо —оо
A5.2.21)
Здесь первый и третий интегралы определяются значением A5.2.1 Г).
Второй интеграл представим по аналогии с A5.2.12) в виде
-1-я2
ve 2 dv= cmi
J G + у) е-У* dy = -0,5сгт{ e~xl + c2mi 7 j e^'dy.
Интеграл в правой части этого выражения
V^r
С -у2 С -уЪ Г -у2 v * 1 -ч
\ е dy = \ е dy + \ е dy = —-—\\ — erfA:;.
—оо 0 —оо
Таким образом,
о
1
ve
= 0,5с2 Д е-** — 7 V* (l-erf7)].
"ml
Учитывая полученные значения интегралов в A5.2.21), по аналогии с
A5.2.17') находим следующую зависимость для определения числа падающих
молекул на верхнюю площадку:
A5.2.22)
Глава пятнадцатая 376
Если рассматривают свободномолекулярный поток около криволинейной
поверхности (рис. 15.2.4), то формула A5.2.17') применима к расчету числа
падающих молекул на переднюю сторону этой поверхности,а формула A5.2.22) —
на заднюю. Формулы A5.2.17') и A5.2.22) можно упростить при больших
скоростях, воспользовавшись тем, что уже для х >-2 величина е~~х* по крайней мере
на два порядка меньше единицы, а интеграл вероятности erfx мало отличается
от единицы. Например, при"* = 2 величина е~х2= 0,018, a evfx =0,995.
Каждому х соответствует значение
В частности, для 7 = 2, sinP = 0,2 и^= 1,4 число М«>= 12. При Р = 90°
наименьшее из возможных чисел Моо для х = 2 снижается до 2,4. Таким
образом, упрощенную формулу A5.2.17') можно представить в следующем виде:
niVoosin$. A5.2.23)
Здесь индекс / указывает на то, что рассматривается передняя сторона
криволинейной поверхности. Если имеется в виду задняя сторона (индекс 6), то
как это нетрудно видеть, формула A5.2.22) при сделанных предположениях
превращается в равенство
Nib = 09 A5.2.24)
так как при большой скорости полета тела молекулы не достигают задней
стороны его поверхности.
Рассмотрим перенос отраженных молекул. Диффузное отражение
происходит по максвелловскому распределению, поэтому можно применить
соотношения A5.2.17') и A5.2.22), приняв в них х = 0, так как после соударения
частицы теряют массовую скорость. Так как отраженные частицы имеют другую
температуру ТГ1 то
Nr=nrVRTr/BK) , A5.2.25)
где пг — число отраженных молекул в единице объема.
Если принять, что общее число падающих частиц равно числу отраженных,
т. е. Nt = Nr, то, приравнивая правые части выражений A5.2.17') и A5.2.25),
можно найти связь между концентрациями пг и /г/ для передней стороны
обтекаемой поверхности:
= пг /777571 e-*~2 + x~V^(l + erf7)]. A5.2.26)
получим, приравняв правые
\-erfx)]. A5.2.27)
Аналогичное выражение для задней стороны получим, приравняв правые
части A5.2.22) и A5.2.25):
ДАВЛЕНИЕ
Давление на площадку определяют суммарной потерей количества
движения группой молекул в нормальном к поверхности направлении
в результате их соударения со стенкой, т. е. давление равно сумме
количеств движения в единицу времени этих молекул перед
соударением. Общее выражение для определения давления получают следую-
Аэродинамика разреженной среды 377
щим образом. Численно давление, создаваемое молекулой, равно ее
количеству движения то, а от группы молекул, соударяющихся в
единицу времени с единичной поверхностью, оно составляет mrtiV^fdudvdw.
Следовательно, давление, производимое молекулами, падающими на
переднюю площадку,
3 оо 1 „2 оо 1 „2 оо 1 2
Pu = Pt№mt) \ е du\v2e dv \ е dw, A5.2.28)
J J J
—оо 0 —оо
где рг = mnt — плотность.
Значения первого и третьего интегралов определены по A5.2.1 Г).
Второй интеграл по аналогии с A5.2.12) имеет вид
оо 1 2 оо оо
J уе-
Здесь первый и второй интегралы в правой части вычислены ранее.
Определим третий интеграл, взяв его по частям:
—X
Таким образом,
Учитывая эту зависимость и значения первого и третьего
интегралов в A5.2.28), каждый из которых равен сшгУ~ъ, а также выражение
2 2
)
V2 k У2
^ i2fi
— V k У
х2 = sin2|3-^ ' -75-= sin2fi—?-, после соответствующих подстановок
ai 2 cmi
в A5.2.28) находим следующую формулу для безразмерной величины
давления на передней стороне поверхности:
J
A5.2.29)
Для определения давления на заднюю сторону поверхности
необходимо использовать то же соотношение A5.2.28), заменяя в нем пре-
Глава пятнадцатая
378
делы интегрирования по v на —сю < v < 0. В соответствии с этим
J e du ) V*e dv ) е dw>
где
12
—о" Н2
С учетом A5.2.30) найдем зависимость для безразмерной величины
давления на заднюю площадку:
/ 4ll A5.2.31)
Нетрудно заметить, что зависимости, определяющие движение газа
на задней стороне поверхности, можно получить из соответствующих
выражений для передней стороны, заменив в них ;Гна —х.
Наряду с падающими и диффузно отраженные частицы создают
давление, величина которого равна сумме нормальных к поверхности
количеств движения молекул, покидающих стенку. Так как процесс
отражения частицы происходит по максвелловскому распределению
скорости, соответствующему температуре Тг и нулевой скорости
массового упорядоченного движения (отражение происходит от
относительно неподвижной поверхности), то следует воспользоваться выражением
A5.2.28), приняв в нем и' *= v' = w' = 0, и перейти к параметрам с
индексом г. В соответствии с этим для передней площадки
3 оо 1 2 оо 12 оо 12
п * — о (пс I I p dll \ V2p dV \ p dW-
J J J J
—oo 0 —oo
после вычисления интегралов имеем
prf = RPrTr/2. A5.2.32)
Так как плотность отраженных частиц рг = пгпг, а их число в
единице объема пт определяют из условия установившегося обтекания
Nr = Nt по формуле A5.2.26), то для давления, возникающего за
счет диффузного отражения, получаем
-¦ *ъ =iinii /? [e_rt + -y-(l +erf-)b
ViVoo 2*2 У ?i
Аналогичная формула для задней площадки имеет вид
Аэродинамика разреженной среды 379
. A5.2.34)
Общая величина относительного давления равна сумме
соответствующих значений р. и рг> Для передней площадки
pf = 2 (pif + prf)/(9iVl) = pif + prf; A5.2.35)
для задней площадки
Я = 2 (pib + p^/iPiVl) =~pib + prb9 A5.2.36)
где величины относительного давления pif и prf находят из выражений
A5.2.29) и A5.2.33), sTpib ъргЬ — из A5.2.31) и A5.2.34).
Вместо зависимостей A5.2.35), A5.2.36) можно использовать
обобщенное выражение для относительного давления, полученное после
соответствующего суммирования:
1 " " 2х
\ + -±г ± Ш \ГтЛ A ±erf х)] , A5.2.37)
где знак «+» относится к передней площадке, а знак «—» — к задней.
Из выражения A5.2.37) следует, что давление зависит от
ориентировки рассматриваемой площадки относительно вектора скорости
Woo (т. е. от угла |3), числа М*, и отношения температур Тт1Тг.^
При больших скоростях, которым соответствуют значения!? > 2,
формулы для относительного давления можно упростить. Из A5.2.29)
и A5.2.31) получим следующие приближенные зависимости:
pif = 2 sin213 [1 + 1/B ?)]; A5.2.38)
Л> = 0 A5.2.39)
Соответствующие формулы, относящиеся к процессу отражения,
согласно A5.2.33) и A5.2.34) представим в виде
-±~; A5.2.40)
ргЪ = 0. A5.2.41)
С учетом этих выражений получим упрощенные зависимости для
полной величины относительного давления:
Ъ, = /?„ + ~~prf = 2sin2p [ 1 Н h-^- \f—\; A5.2.42)
\ 2д:2 2х у Ti I
~pb = 0. A5.2.43)
Глава пятнадцатая 380
НАПРЯЖЕНИЕ ТРЕНИЯ
Напряжение трения является следствием полной потери
тангенциальной составляющей количества движения молекул при ударе. Эта
потеря количества движения для одной молекулы равна ти, а для того
числа, которое соударяется с единичной поверхностью в единицу
времени, равна tiitnfuvdudvdw. Следовательно, напряжение трения,
обусловленное падением на переднюю площадку всех молекул,
3 оо 1 2 оо 12 оо 1 „2
/ 2 Ч~2" С ? 1 С ~~ТЯ2 Г -~Я3
Ti = P/ [pcmi) \ ue du\ve dv \ e dw. A5.2.44)
—оо 0 —оо
Используя A5.2.10), соотношение A5.2.44) преобразуем к виду
3 оо 1 „2
- / И. \
X
A5.2.44х)
I 11 I
2 3
Интегралы в правой части уравнения имеют следующие значения:
1) u']/V;
2) 095cmi[e~Ta + x VTA— erf I)]; A5.2.45)
3) V^".
Трение на задней площадке определяется тем же выражением
A5.2.44') с переменой пределов во втором интеграле на —оо < v < 0.
В соответствии с этим для второго интеграла
~x — xV^~(l — erf x)]. A5.2.46)
Имея в виду эти значения интегралов, а также учитывая, что
и' = Уоо cos р; Г- (Voo/Cnt)sin C, A5.2.47)
из A5.2.44') получаем следующую зависимость для коэффициента
трения:
c/f==2TJ/(plvL)==siDBcosP[±e--'i/(xl/re") + (l ±erfx)], A5.2.48)
где знак «+» относится к передней площадке, а знак «—» — к задней.
Аэродинамика разреженной среды 381
Так как любые направления движения отраженных молекул
равновероятны, то их суммарное воздействие не создает напряжения трения,
т. е. тг = 0 и, следовательно,
cfr = 0. A5.2.49)
Заметим, что для неотклоненной поверхности (|3 = 0) коэффициент
трения
= 1 /(хоо VV) = A/Моо) УЩЩ . A5.2.50)
c
Также упрощаются зависимости и в случае, когда х > 2.
Соответственно для условий на передней и задней площадках они имеют такой
вид:
(c/l)/ = sin2p; A5.2.51)
A5.2.52)
ПЕРЕНОС КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Для определения величины давления необходимо знать
отношение температур Tr/Tt. Вычисление этого отношения связано с
нахождением энергии поступательного движения молекул, которая
подводится к поверхности при ударе молекул и отводится в результате их
отражения. Каждая из молекул при ударе переносит к поверхности
энергию
0,5/ш:2 = 0,5/тг((/2 + V2 + W2). A5.2.53)
Энергию, подводимую тем числом падающих молекул, которое
приходится на единицу площади в единицу времени, определяют
выражением 095mriiC2fvdudvdw. В результате интегрирования этого выражения
в пределах изменения unw от —оо до оо, а у — отОдооо для
передней площадки (или от —оо до 0 для задней площадки) получаем общее
количество переносимой энергии Ег при ударе. С учетом значения
A5.2.2) для /
3
г
Е, = 0,5/пл,(iccL) Г Г Г сЧ Cmi vdudvdw, A5.2.54)
где для передней площадки tH = 0, tB = оо, а для задней tH = —оо,
tB = 0.
Учитывая выражение A5.2.53) для 0,5 тс2, а также зависимость
A5.2.10) и производя интегрирование, находим
Е, = 0,5/nfy {V% + RTt [4 + 1/(? + 1)]) , A5.2.55)
Глава пятнадцатая 382
где Nt определяют по формулам A5.2.17') для передней площадки и
A5.2.22) — для задней, а функция
тГ A ±erfl)]~1. A5.2.56)
Отраженные частицы уносят с единицы поверхности элементарную
энергию 0,bmnrc2fUdUdVdW. Интегрируя в пределах изменения U и
W от —оо до оо, а V — от —оо до 0, получаем полную величину
уносимой энергии
— оо 0 оо
2 л л /» 2
Er = 0,5m«r (*4r) J j J A CmrVdUdVdW. A5.2.57)
—оо —оо —оо
После вычисления тройного интеграла
Er = 9r(RTrf2B/K)l/2. A5.2.58)
Заменим в этом выражении плотность рг на тпт> а лг — значением
из A5.2.25):
Er = 2mNrRTr. A5.2.59)
Внося сюда значение Nr = Nt с учетом A5.2.17') и A5.2.22) и
принимая во внимание, что m = pi/nt1 получаем
Er = 2mNtRTr = Vbfc р#ТгУЩ[ e~ *'±xVT {\ ± erf I)],
A5.2.60)
где mR = 1,38-10~23 Дж/град — постоянная Больцмана.
Суммарная кинетическая энергия молекул равна разности
подводимой и уносимой энергий:
Е = Ег-Ег.
При больших скоростях (л: > 2) как для передней, так и для
задней площадок можно принять w f « ф ъ ^0. Имея в виду формулы
A5.2.17'), A5.2.22), A5.2.55) и A5.2.56), а также осуществляя
необходимые упрощения, получаем:
Eif = 0,5 x9i УжГх (К2оо + 5RTt); A5.2.61)
Eib = 0. A5.2.62)
Для энергии отраженных частиц соответствующие зависимости
после упрощения A5.2.60) приобретают следующий вид:
Erf = 2 VTPiRTs VWi\ A5.2.63)
Erb = 0. A5.2.64)
Аэродинамика разреженной среды 383
§ 15.3.
Аккомодация
ОБМЕН КОЛИЧЕСТВОМ ДВИЖЕНИЯ
Как уже известно, в процессах переноса на основе гипотезы
диффузного отражения молекулы успевают полностью приспособиться к
условиям на стенке и возникающий между стенкой и молекулами
контакт достаточен, чтобы передать стенке количество движения всех
молекул.
Экспериментальные исследования показывают, что реальные
процессы взаимодействия молекул с поверхностью отличаются от явлений
диффузного отражения и характеризуются отражением более
общего типа.
В основе рассматриваемой концепции отражения лежит идея, что
нормальная и тангенциальная компоненты силы, создаваемой
отраженным потоком, определяются соответственно коэффициентом
аккомодации (приспособляемости) нормальной компоненты импульса
и коэффициентом аккомодации тангенциальной компоненты импульса
fx = (Tf-Tr)/v A5.3.2)
В соответствии с этой концепцией только часть падающих молекул
fn передает стенке нормальную компоненту импульса. Доля всех
молекул, передающих касательную составляющую количества движения,
определяется коэффициентом Д . Очевидно, для полностью
зеркального отражения fn = Д =0 (при pt = рТ и %г = тг), а для
полностью диффузного отражения fn = Д = 1 (при рг = /?Ст итг = 0).
Давление рст в A5.3.1) можно рассматривать как нормальную
компоненту импульса молекул, которые отражаются согласно максвеллов-
скому распределению скорости, соответствующему
термодинамическому равновесию при температуре поверхности Тст , находящейся в
состоянии покоя (Voo = 0). Согласно A5.2.32)
/?ст = 0,5ЯрстГст
или, учитывая, что рст = /тшст,
/7СТ = 0,5mRnCTTCT.
Чтобы перейти к плотности набегающего потока, воспользуемся
соотношением pi = mnb при помощи которого получим
рСТ = 0,5#pf7CTnCT/rti.
Для определения отношения nCT/nt воспользуемся соотношением
NCT/Niy определяющим равенство числа отраженных AfCT и падаю-
Глава пятнадцатая 384
щих молекул:
пст VRTct/Bk) = Nt = (Ыг1щ) пь
где Nt определяется по A5.2.17') и A5.2.22). Вычислив отношение
Яст/fti» Для давления найдем формулу
т-\*~" ± *l/:^~(l ±erf3c)]f A5.3.3)
где знак «+» соответствует передней площадке, а знак «—» — задней.
Коэффициенты fn и Д неодинаковы, так как характеризуют
различные процессы передачи импульса при отражении. Однако при
приближенных вычислениях можно исходить из максвелловской гипотезы,
в соответствии с которой процесс отражения характеризуется одним
коэффициентом аккомодации импульса / = fn = Д, указывающим
на то, что диффузно отражается доля / всех молекул, а зеркально —
часть A — /).
Поэтому давление рт при отражении согласно A5.3.1)
pr = Pi(l—f) + fpCT.
Полное давление
+fPcr • A5.3.4)
Подставляя в A5.3.4) значения рг из A5.2.29) и A5.2.31), а также
рст из A5.3.3), получаем
A5.3.5)
+ 4r
2х2
Суммарное напряжение трения от действия падающих и
отраженных молекул т =%i —Тг. Внося сюда значение тг = A — /)тг-,
полученное из A5.3.2), находим
т = т4-хГ = т,/. A5.3.6)
Соответствующий коэффициент трения согласно A5.2.48)
с,= -^- = -^- = fsinpcosp \— + A +erf*) . A5.3.6')
Для очень больших скоростей (х > 2) и сильно охлаждаемой
стенки (Гст < Гг) зависимость A5.3.5) можно упростить. Принимая знак
«+» (рассматривается передняя площадка), находим
Аэродинамика разреженной среды 385
/^ = 2B — f) sin213. A5.3.7)
Для таких же больших скоростей коэффициент трения на передней
площадке
(<?,), =/sin 2P; A5.3.8)
на задней площадке для указанных условий
Рь = 0, (cf)b = 0. A5.3.9)
Из A5.3.7) и A5.3.8) видно влияние аккомодации на давление и
трение. С увеличением / коэффициент давления /?/ снижается, а
коэффициент трения (Cf)f возрастает. Физически такой эффект
объясняется уменьшением числа молекул, которые отражаются зеркально. Это
обусловливает уменьшение дополнительного импульса («реактивной
силы»), что вызывает снижение давления. Одновременно становится
меньше число тех молекул, которые не передают касательной
составляющей количества движения, что влечет за собой увеличение
коэффициента трения.
Коэффициент / в приведенных выражениях близок к единице и
может приниматься в расчетах равным примерно 0,95 -f- 1. В
предельном случае полностью зеркального отражения, которое нереально,
коэффициент / = 0. В другом предельном случае полностью
диффузного отражения, которое более правдоподобно, коэффициент / = 1.
Экспериментальные исследования взаимодействия водорода,
гелия и кислорода с полированной поверхностью окиси серебра, а также
изучение контакта воздуха с латунью показывают, что / ^ 0,99; это
подтверждает наличие практически полного диффузного отражения.
Вместе с тем аналогичные исследования позволяют установить, что для
некоторых комбинаций газа и поверхности коэффициент / может быть
существенно меньше единицы.
ОБМЕН ЭНЕРГИЕЙ
Отсутствие полной аккомодации (приспособляемости) свойственно
не только явлению переноса количества движения, но и в большей
степени, как показывают экспериментальные исследования, процессу
обмена энергией между падающими молекулами и стенкой. Поэтому в
формуле A5.2.60) для энергии отраженных молекул предполагается,
что их температура Тг отличается от температуры стенки Гст. В этом
случае контакт падающих молекул вследствие малого времени
соприкосновения со стенкой недостаточен, чтобы передать им при отражении
среднюю энергию, соответствующую температуре Тст и равную
согласно A5.2.60)
Ест = 2mNiRTCT = УШ ptRTCT УЩ[Г "? * VT (l ±erf*)].
A5.3.10)
13-708
Глава пятнадцатая 386
Рассматриваемый случай отражения является наиболее общим и
характеризуется отсутствием полной аккомодации между твердой
границей и молекулами при обмене энергией. Таким образом, в этом
общем случае отношение
' r) = (Et-Er)/(Ei-ECT), A5.3.11)
называемое термическим коэффициентом аккомодации, отличается от
единицы. Возникающий разрыв энергии влияет на скачок температур,
т. е. на различие между 7Уи Гст.
Коэффициент аккомодации г\ имеет важное значение в расчете
теплопередачи. Поэтому необходимо уметь оценить его величину,
которую в настоящее время определяют только экспериментально.
Наблюдения показывают, что характер изменения термического
коэффициента аккомодации весьма сложен. Установлено, в частности, что с
увеличением молярной массы и температуры поверхности значение ц
возрастает. Можно предположить, что коэффициент аккомодации
зависит от скорости полета тела, угла подхода молекул к поверхности,
свойств материала, состояния поверхности. Как показывают
исследования, значения коэффициента аккомодации для воздуха,
взаимодействующего с алюминием и сталью, имеющих различную форму
обработанной поверхности, близки к единице и составляют от 0,7 до 0,97.
Для чистых поверхностей и легких молекул, в частности, таких газов,
как водород и гелий, величина ц может достигать примерно 10~2.
Сравнение термического г) и «силового» / коэффициентов
аккомодации показывает, что / > т). Из этого следует, что, хотя падающие
молекулы испытывают многократные столкновения со стенкой и
процесс отражения близок к диффузному, время соприкосновения этих
молекул со стенкой недостаточно для того, чтобы отражение
молекулы приобрели температуру стенки.
Можно рассмотреть предельный случай, при котором г\ = 1. Это
соответствует моменту, когда температура ТТ отраженных молекул
достигает температуры стенки Тст. В этом случае молекулы как бы
полностью приспособляются к условиям на стенке.
§ 15.4.
Аэродинамические силы
ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Для применения зависимостей, полученных в§ 15.2 и 15.3,
рассмотрим определение аэродинамической силы сопротивления. Найдем
общее выражение для силы, действующей на местную площадку
единичного размера без учета эффекта аккомодации, т. е. полагая
коэффициент / = 1. В результате соударения с такой площадкой,
расположенной на передней стороне тела (см. рис. 15.2.4), за счет давления и тре-
Аэродинамика разреженной среды 387
ния возникает продольная сила, равная согласно A5.2.29) и A5.2.48)
9iV2 Г р"Тг I
Eif = pifsin р + rf/cosр = —^- sin р ^-— + 1 +
^ L* }Лс V
A5.4.1)
Сила, действующая на элементарную площадку dS передней
стороны,
dXif = FtfdS, A5.4.2)
а полная продольная сила
Xif= J F./S, A5.4.3)
(Sn)
где Sn — поверхность передней стороны.
Соответствующий коэффициент сопротивления
*/ I о I 6 i/ii sin
S° A5.4.4)
где 5 = S/SMUJl; х = (Voo/cmi) sin p = *«, sin P; •"§„ = Sn/Smn.
Интегрирование ведем для переднего участка поверхности
площадью Sn. Аналогичные зависимости получаем для силы и
коэффициента, соответствующим задней стороне поверхности.
Из рис. 15.2.4 видно, что
Здесь угол 0 определяем по абсолютной величине. Приняв для pib
формулу A5.2.31) и вычислив т« по выражению A5.2.48), в котором
взят знак «—», после соответствующих подстановок получим
Коэффициент силы сопротивления
. A5.4.5)
О V (*
ОО^МИД ,±, |_ ХУ% \ 2X2
X A —erf3eIrfS. A5.4.6)
13*
Глава пятнадцатая 388
Интеграл вычисляем для заднего участка поверхности площадью
53. Этот же результат можно получить из выражения A5.4.4),
заменяя в нем х на —х.
Коэффициент сопротивления обтекаемого тела определяем как
разность коэффициентов сил, возникающих за счет молекул, падающих
на переднюю и заднюю площадки и действующих в противоположные
стороны:
cxt = cxif-cxib ==2(Xif-Xib)/(PiVlSMaJl). A5.4.7)
Отраженные частицы создают добавочную силу. При этом,
отражаясь от передней площадки, они действуют на нее с силой, величина
которой в соответствии с A5.2.33)
A5.4.8)
Коэффициент силы, действующей на переднюю площадку Sn,
_ 2Xrf _ , iin? TT
_ , /. iin3? ATT
~~l * V '.
х[е ^+х ]/V(l+ertx)\ dS. A5.4.9)
Сила, отнесенная к единице площади и обусловленная действием
отраженных молекул на заднюю площадку, определяется
соотношением A5.2.34) для ртЬ в виде
A5.4.10)
Соответствующий коэффициент силы ХгЬ, действующей на заднюю
площадку,
2ХгЬ 1 Г sin^
^25м 2 ^ Х2
— *УТA—eri~x)]dS. A5.4.11)
Полный коэффициент сопротивления за счет отраженных молекул
схт = cxrf-cxrb = 2 (X^-X^/^VlS^). A5.4.12)
Аэродинамика разреженной среды 389
Этот коэффициент сопротивления определяем как разность
соответствующих коэффициентов для передней и задней площадок, что
обусловлено характером взаимодействия отраженных молекул со стенкой,
при котором на задней площадке возникает не сопротивление, а
подталкивающая сила. По своей физической природе эта сила
представляет собой реактивную силу, возникающую при отбрасывании частиц от
поверхности.
Суммарный коэффициент сопротивления для обтекаемого тела
получаем путем сложения A5.4.7) и A5.4.12):
сХа =cxi + cxr. A5.4.13)
Если л: > 2, то приведенные формулы упрощаются. Вместо A5.4.1)
и A5.4.4) имеем соответственно зависимости
l)]; A5.4.14)
f sinpdS, A5.4.15)
5)
а вместо A5.4.5) и A5.4.6) — значения
Fib = 09 cxib = 0. A5.4.16)
Зависимости A5.4.8) и A5.4.9) также упрощаются:
A5.4.17)
cXrf = %?- J sin2 P тЛ?- dS, A5.4.18)
а вместо A5.4.10) иA5.4.11) имеем
Frft = 0, cxrb = Q. A5.4.19)
В случае одновременного диффузного и зеркального отражения
(коэффициент аккомодации импульса /< 1) силы рассчитывают по
следующим формулам:
Fif = pif sin p + fxif cos p ; A5.4.20)
Fib = Fif(-x); A5.4.21)
Frf = [Pif(l-f) + fPcTf]s\n$; A5.4.22)
^» = ^r/(-*), A5.4.23)
Глава пятнадцатая
390
Рис. 15.4.1 Схема расчета
обтекания свободномолеку-
лярным потоком
конического тела:
а — комбинация из двух
конических поверхностей; б — конус
с донным срезом
где /?ст определяют по формуле A5.3.3), в которой выбирают знак «+».
Обозначения в A5.4.21) и A5.4.23) указывают, что Fib и Frb получают
соответственно из выражений для Fif и Frf путем замены лГна —ЗсГ
КОНУС
Для применения полученных зависимостей вычислим
аэродинамическое сопротивление тела в виде комбинации двух конусов (рис. 15.4.1,
а)у обтекаемой осесимметричным потоком. Входящая в формулы для
коэффициентов сопротивления относительная величина
dS = 2тгг^//(тсгмид) = 2т*г/(тгГмиД8т |3К) =drVsinpK. A5.4.24)
Внося значения dS в A5.4.4) и A5.4.6) и учитывая, что для конуса
~хк = ^sin |3К = Моо УЩыъ |3fe = const, A5.4.25)
коэффициент сопротивления получаем в следующем виде:
+ (l + -4r-)(l+erfIK); A5.4.26)
—2
Cxib — — ^=~
A5.4.27)
Полный коэффициент сопротивления за счет падающих молекул
о
±-\ertxK. A5.4.28)
2x1
Рассмотрим воздействие отраженных молекул, полагая для условий
обтекания конуса отношение Tr/Tt = const. Для этих условий из
Аэродинамика разреженной среды 391
A5.4.9) находим
2
схт} = ~^- |/-^- [е~ *К + хк\ЯГA+ erf JK )], A5.4.29)
а применяя формулу A5.4.11), получаем
—2
-erlxK ).]. A5.4.30)
Имея в виду, что этот коэффициент характеризует подталкивающую
силу на задней площадке, в соответствии с A5.4.12) определяем
полный коэффициент сопротивления за счет отраженных молекул:
cxr = cxrf-cxrb=™bL л/kIl-. A5.4.31)
лг xrj xro — I / rr, \ /
Складывая A5.4.28) и A5.4.31), находим суммарный коэффициент
сопротивления конуса:
г г 4- г — р К-1- 2/14- \ prf T 4-
*К К« \ 2*оо /
A5.4.32)
Осесимметричное обтекание конуса с плоским дном. Для этого
случая (рис. 15.4.1,6) формулы A5.4.26) для cxif и A5.4.29) для cXTf
не изменяются. Выражения A5.4.27) для cxib и A5.4.30) для схгь иные,
так как в них следует заменить ^ =TooSinpK на хк = л?оо, ввиду
того что донная поверхность наклонена под углом |3К = я/2. С учетом
этого для коэффициента силы, действующей на переднюю поверхность,
-72 /
1ГЖ\. A5.4.33)
Коэффициент силы, действующей на донную поверхность,
TiZ). A5.4.34)
Глава пятнадцатая
392
2,8
2,0
ьг
2 /
V \
V
V..
-
16 М«
Рис. 15.4.2 Коэффициент
сопротивления сферы (/) и конуса B) для сво-
бодномолекулярного потока
(угол атаки а = 0; угол конуса [3 = 60°)
Определяемая этим коэффициентом сила действует на донный срез
в сторону, противоположную набегающему потоку, и, следовательно,
представляет собой подталкивающую силу. В соответствии с этим
суммарный коэффициент сопротивления конуса
cXa = cxf-cxb. A5.4.35)
При очень больших скоростях полета (х > 1) формулы A5.4.32)
и A5.4.35) принимают вид
сХа = 2, A5.4.36)
причем этот результат не зависит от формы тел.
При скоростях полета, которым соответствуют небольшие
величины"^, значения сх увеличиваются вследствие существенного влияния
отраженных молекул, что видно из графика, приведенного на рис.
15.4.2, где значения сх даны для конуса и сферической поверхности.
Отметим, что значение сх = 2 точно соответствует выводам
ударной теории Ньютона. Действительно, согласно этой теории, сила
сопротивления определяется полной потерей количества движения частиц
на площади наибольшего поперечного сечения тела. Основываясь на
этом, найдем, что для любого тела с площадью миделевого сечения
яг2мяд (например, для конуса), обтекаемого свободномолекулярным
потоком со скоростью Кос, сила сопротивления при нулевом угле атаки
где первый член разности — количество движения набегающего
потока до соударения, второй член — количество движения после
соударения.
Коэффициент этой силы сХа = 2XI(^ooV<tonr2mip) = 2. Эту же
формулу получаем и для произвольного угла атаки. При этом
сила должна рассчитываться как произведение коэффициента сХа = 2,
скоростного напора и проекции поверхности на плоскость, нормальную
к направлению вектора скорости Коо.
Аэродинамика разреженной среды
393
Рис. 15.4.3 Результаты расчета
аэродинамических коэффициентов при
обтекании свободномолекулярным
потоком тела вращения
(Рк= 15°; rfT/DT== 0,834;
тг
6,0
4,0
2,0
0
-4,0
-6,0
nf
A
si
j
V
1/3 \ I* *i
\M 1 •
^1 i
! , i S-^ ' i
120 160 200 ос, град
Из изложенного видно, что ударная теория отличается от
рассмотренной выше ньютоновской схемы эластичного отражения (см.
§ 9.4) . Согласно ньютоновской схеме, частицы после столкновения с
поверхностью продолжают движение вдоль стенки, т. е. отклоняются
на угол встречи молекул со стенкой. При этом нормальная компонента
скорости погашается, а касательная остается без изменения. В
соответствии с ударной теорией погашаются обе составляющие и,
следовательно, наряду с нормальным напряжением (давлением) появляется
касательное напряжение.
Из рис. 15.4.2 видно, что, несмотря на некоторое различие,
результаты точного расчета для чисел Моо > 4 практически не отличаются
от значения сХа = 2, найденного по ударной теории Ньютона. Поэтому
при сравнительно небольших числах Моо аэродинамические силы
можно рассчитывать по схеме диффузного отражения, а при больших
числах Моо — по ударной теории Ньютона.
Неосесимметричное обтекание. В основу расчета коэффициентов
осевой и нормальной сил, а также момента необходимо положить
выражения для местных коэффициентов давления и трения. Входящий в
эти выражения угол |3 следует заменить на угол 0К между
направлением скорости молекулярного потока и местной площадкой.
Зная характер распределения местных коэффициентов давления
и трения и применяя общие выражения для расчета аэродинамических
коэффициентов (см. § 1.3), для заданной формы тела можно вычислить
их конкретные значения. На рис. 15.4.3 приведены результаты такого
расчета для усеченного конуса с цилиндром, полученные при условии,
что отношение скорости полета к молекулярной скорости "#«> = 7, а
отношение температур Тг 1Т% = 0,18. Коэффициент момента (рис.
15.4.3) вычислен относительно центра масс, расположенного на
расстоянии одного диаметра цилиндра от большего основания конуса.
ЦИЛИНДР
Рассмотрим сопротивление цилиндра при поперечном обтекании
свободномолекулярным потоком по схеме диффузного отражения в
предположении, что коэффициент аккомодации / = 1 (рис. 15.4.4).
Глава пятнадцатая
394
Рис. 15.4.4 Схема
обтекания цилиндра сво-
бодномолекулярным
потоком
Для этого воспользуемся формулами A5.4.1)—A5.4.13). Учитывая,
что в A5.4.4).
dS = dS/Sm = lRvd$/(RTl) = dp, A5.4.37)
а величина x = #oosin|3, находим
_
cxif —
sinfl
Для коэффициента ^г-6 с учетом A5.4.6)
A5.4.38)
МИД
A5.4.39)
Сопротивление, вызванное отражением молекул от передней
площадки, определяется в соответствии с A5.4.9) коэффициентом
2Xrf _ ,
(l+edx)
A5.4.40)
Отражение от задней площадки создает силу, коэффициент которой
согласно A5.4.11)
/2
_
-^dp. A5.4.41)
Аэродинамика разреженной среды 395
Разность значений, определяемых по A5.4.38) и A5.4.39),
позволяет вычислить коэффициент полной силы от воздействия падающих
молекул:
cxi — Cxif Cxib —
l_-2
, О X OO
A5.4.42)
где /0(л?)/2) и /iCi2o/2) — модифицированные функции Бесселя
соответственно порядков 0 и 1:
Г2 ~2
(~2 \ те *оо / " \ тс *оо
-fo1]=J_r -2"C0S<Prf I I Xoo] 1 Г л—COS?
2 / ic J T>
A5.4.43)
Коэффициент полной силы от воздействия отраженных молекул
найдем, вычитая A5.4.41) из A5.4.40). Полагая при этом, что для всей
поверхности Тг/Т\ = const, получаем
тс/2
Cxr=lCxrf cxrb == —2 1/ тс ~^Г~ \
A5.4.44)
Суммарный коэффициент сопротивления цилиндра
1 —2
ПЛАСТИНКА
В наиболее простом случае, когда обтекание рассчитывают по
ударной теории Ньютона, силу лобового сопротивления, действующую на
пластинку площадью 5кр, определяют изменением количества
движения до соударения и после него:
Ха = (
где а — угол атаки (рис. 15.4.5).
sin a) Foo— (рсхУоо5кр sin а) • 0 = pooV2oo5K р • s in а,
Глава пятнадцатая
396
Рис. 15.4.5 Схема обтекания
пластинки в свободномолекулярном
потоке
Следовательно, коэффициент сопротивления
сх = 2Х/( PooVi
SKp) = 2 sin a.
A5.4.46)
Так как подъемная сила отсутствует, то аэродинамическое
качество равно нулю. Эти выводы близки к реальным при очень больших
скоростях свободномолекулярных потоков. При небольших скоростях
следует учитывать эффекты отражения и в расчете применять
соответствующие зависимости для коэффициентов давления и трения.
Рассмотрим случай отражения с коэффициентом аккомодации
/< 1. Сила на нижнюю поверхность пластинки, обусловленная
воздействием падающих молекул, согласно формуле A5.4.20), в которой р
заменяется на а,
, == (pif sin a + hf cos a) 5Kp,
A5.4.47)
а коэффициент этой силы
(pif sin a + fxif cos a). A5.4.470
Кр
Заменим здесь xif по выражению A5.2.48), сохранив в нем знак
«+». Одновременно вместо ptf подставим A5.2.29). Имея в виду, что в
A5.2.48) и A5.2.29) вместо |3 принимается угол а, после указанных
преобразований получим
4
2x*
+ /sin a cos2 a I ^—= + 1+erf* I, (l5AA7f/)
\x Yn /
где х = лгоо sina.
Аналогично, для верхней поверхности [см. A5.4.21)]
Аэродинамика разреженной среды 397
= sin^a Ze 1 + (I + JLUl — erfl) +
L xV* \ 2*) J
— X
— e
+ /sin a cos2 a ——=- + 1— erf л; . A5.4.48)
Рассмотрим силы, вызванные отражением молекул. Из рис. 15.4.5
видно, что на нижнюю поверхность действует сила Хг/, которую можно
представить с помощью A5.4.22) в виде
Xrf = PrfSKV sin a = FrfSKV . A5.4.49)
Коэффициент этой силы с учетом A5.4.22)
2Xrf %Frf 2 sin a
Подставляя вместо ptf и pCTf соответственно значения A5.2.29) и
A5.3.3) (со знаком «+»), получаем
1—3?
х У тс
У тс \ 2х2
J)]. A5.4.50')
Отраженные от верхней поверхности молекулы создают
подталкивающую силу [см. A5.4.23)]:
A5.4.51)
Коэффициент этой силы согласно A5.4.23)
rt (~^) = с-/(-^) • A5.4.52)
В соответствии с A5.4.50')
ьхтЬ
= (l-/)sin3a У=+ fl+ -Lr)(l—erfx)
L xVn \ 2x* / J
+ _/s^ /-^7 -r.__i/._(i_erf
2*2 |/ м L
¦ago
Глава пятнадцатая J7°
Из разности коэффициентов, вычисляемых по формулам A5.4.47")
и A5.4.48), имеем
)
cxi = cxif — c^ = 2sin3a —L—*""** + М + _J_ j erfx \ +
2/sinacos2a (zr^= e~x*+ erfx ) . A5.4.54)
\ V )
Используя A5.4.50') и A5.4.53), получим аналогичное выражение,
соответствующее процессу отражения:
= cXTt-cxrb = 2A -f)sin» ^^^
Ыр f^lf. (,5.4.55)
X
Суммарный коэффициент лобового сопротивления
сХа = cxi + cxr = 2B-f)sin3a Г—i—^7г +(\ + J-\ erf*] +
+ /sina 2cos2a f4—- + evG) + i^LiA ik L A5.4.56)
Аналогично можно определить подъемную силу Yа и коэффициент
этой силы:
r t*1 a * \l i i l r) r i/i
У — 2 о — 2 — -У* yr —
= _A.[G./ — Gif(— x) + Grf — Grf (—Г)], A5.4.57)
где
Gif = Л/ cos a — fty sin a; Grf = [/7f/ A — /) + //?CT/] cos a. A5.4.58)
Для случая полностью диффузного отражения коэффициенты
сопротивления и подъемной силы можно получить, если в соответствующих
выражениях принять / = 1, а для зеркального отражения / = 0.
§ 15.5.
Теплопередача
ТЕМПЕРАТУРА ОТРАЖЕННЫХ МОЛЕКУЛ
Как уже известно, давление на стенку, обусловленное отражением
молекул, зависит от их температуры Тт, Для определения этой
температуры необходимо воспользоваться уравнением баланса энергии меж-
Аэродинамика разреженной среды 399
ду телом и средой. Выведем это уравнение применительно к единичной
площадке в произвольном месте поверхности. К этой площадке
подводится энергия поступательного движения молекул Et.
Соответствующую энергию отраженных молекул можно определить по A5.3.11) и
A5.3.10) следующим образом:
Er = (l-r])Ei + r]ECT^(\-r])Ei + 2r]mNiRTCT. A5.5.1)
Если учесть подвод теплоты qvm путем внешней радиации
(например, солнечным излучением), то приносимая энергия будет Ег +
+ <7рад-
Примем, что расход энергии наряду с переносом отраженными
молекулами обусловлен также излучением внешней поверхности, ее
дополнительным охлаждением или нагревом изнутри (соответственно
знаки «+» и «—» перед qox). Тогда уравнение баланса энергии для
единичной поверхности при стационарной теплопередаче будет иметь
вид
= Ег + еоТ4ст ± <7ох, A5.5.2)
или с учетом выражения A5.5.1) для Ег
r\Et + </раД = г]?ст + eoTir ± <7ох- A5.5.20
Соотношение A5.5.2') и входящие в него выражения для Ег A5.2.55)
и Ест A5.3.10) соответствуют движению одноатомного газа. Если газ
состоит из многоатомных молекул (в частности, воздух можно
рассматривать как двухатомную модель), то каждая частица будет обладать
кроме энергии поступательного движения также внутренней энергией,
обусловленной их вращением и колебанием и зависящей от свойств
газа. Такие частицы, падая на единичную поверхность, передают ей
в единицу времени внутреннюю энергию, равную согласно молеку-
лярно-кинетической теории газов
EiB = ¦?—у • —— Ni. A5.5.3)
Молекулы, покидающие поверхность при температуре Гст, уносят
внутреннюю энергию
:1И^. ™ЦО!#СТ, (j554)
k — 1 2
где NCT = Nt.
В соответствии с этим для двухатомного газа уравнение баланса
энергии A5.5.2') имеет следующий вид:
± <7ох- A5.5.5)
где
% = Ег + Егв; Ест = Ест + Ест.в. A5.5.6)
Глава пятнадцатая 400
Внося в A5.5.5) значения Ег из A5.2.55) и ?ст из A5.3.10) (при
условии, что в этих выражениях знак «+» выбирается для передней
площадки, а «—» — для нижней), определяем температуру стенки Тст
при заданных значениях степени черноты е, тепловых потоков ^рад,
<70Х и температуры воздуха Тг.
Расчеты Гст по уравнению A5.5.5) для пластинки в зависимости от
угла атаки а показывают, что влияние солнечной радиации на
температуру стенки более существенно при малых углах а. Это влияние
возрастает также с увеличением высоты. Начиная с высоты 240—
250 км и выше, солнечная радиация является основным фактором,
определяющим температуру стенки. Снижение температуры Тст
можно обеспечить, применяя поверхности с малым коэффициентом ак-
комодацииу]. Для этого желательно, чтобы угол наклона стенки был по
возможности наименьшим, что достигается при полетах на малых углах
атаки. По найденной температуре 7СТ можно вычислить температуру
отраженных молекул Тг. Соответствующая расчетная зависимость
получается следующим образом.
По аналогии с A5.5.1) представим формулу для энергии
отраженных двухатомных молекул:
?г = A-т1)?г+г)?ст- A5-5.7)
Величину этой энергии можно также выразить в виде
% = Er + ErB = 2mNtRTr + —- • -^- Nt = ЪтЫ^ТА- A5.5.8)
/2 "~™ 1 Z
Значение энергии в правой части A5.5.7)
Ё„ = Есг + ?ст.в = 2tnNiRTCTku A5.5.9)
где
kl = (k+l)/[4(k—l)]. A5.5.10)
Величина второй составляющей энергии в A5.5.7)
Ei = Ei + EiB = Eik2 A5.5.11)
зависит от коэффициента
kt=l+Il?. = l + -L.L^?.J2Z!±Nt. A5.5.12)
Ei Ei k — 1 2
Внеся A5.5.8), A5.5.9) и A5.5.11) в A5.5.7), находим соотношение
для расчета температуры отраженных молекул:
2mNiRTCTk1
J . A5.5.13)
При этом расчет температуры Тт ведем отдельно для передней и
задней площадок, которым соответствуют определенные значения
Ni и Eit а следовательно, и Тст. Если коэффициент аккомодацииц =
Аэродинамика разреженной среды 401
= 1, то Тг = Тст. Этот же результат получаем и в случае так
называемой адиабатической стенки, для которой тепловой процесс
характеризуется отсутствием какого-либо иного внешнего подвода или отвода
теплоты, кроме притока энергии за счет падающих молекул. В этом
случае стенка нагревается только в результате поступательного
движения молекул. В соответствии с этим уравнение A5.5.5) преобразуется
к виду Ег = ?ст, или с учетом A5.5.11) и A5.5.9) — в
соотношение
Etk2 = 2mNiRTCTki = ECTkt. A5.5.14)
Если подставить это соотношение в A5.5.13), то можно убедиться в
том, что температура отраженных молекул равна температуре стенки.
Эта температура определяется из A5.5.14) после подстановки
значения A5.2.55) для Et в следующем виде:
Ti Tt
В этой формуле произведение RTt можно заменить при помощи
A5.2.19):
' h., A5.5.16)
Из этой формулы следует, что температура адиабатической стенки
является своеобразным аналогом температуры торможения при
сплошном течении.
Условия полета на больших высотах вызывают необходимость
обеспечения некоторой постоянной температуры стенки. В этом случае
температура стенки задается и расчеты сводятся к определению по
формуле A5.5.3) температуры отраженных частиц, которая затем
используется для вычисления давления.
РАСЧЕТ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
И ТЕМПЕРАТУРЫ СТЕНКИ
Суммарный удельный тепловой поток к стенке можно определить
как разность энергий падающих и отраженных молекул:
q=% — ~Er. A5.5.17)
Комбинируя это уравнение с A5.5.7), находим
д = л(Я|-1ст), A5.5.17')
или с учетом выражений A5.5.11) и A5.5.9) для Ёг и Ест
q = 4 {Etk2 — 2mNiRCTki). A5.5.17")
Глава пятнадцатая 402
Вносим сюда значение Et из A5.2.55):
Учитывая, что N % определяется выражениями A5.2.17') для
передней поверхности и A5.2.22) — для задней, а масса молекулы т =
= Pi/ni9 получаем
х
±erf*)]f A5.5.18)
где ф определяется соотношением A5.2.56), k2 — A5.5.12), a kx —
A5.5.10). С учетом этих зависимостей для передней площадки имеем
+ k+l 1 + — x ТЛГA +erfjc), A5.5.180
2(k— 1) J 2 J
где _
Я7\ = Pi/9i = a?/&; jc = Xoo sin p; ^ = (VJat) Vk/2 . A5.5.19)
Аналогичное выражение для q можно получить и для задней
площадки обтекаемого тела, заменив в A5.5.18')^ на —х.
Полагая в соответствующих формулах тепловой поток q = О,
можно определить равновесную температуру стенки. В частности, при
этом условии найдем из A5.5.18)
A5.5.20)
Из A5.5.12) и A5.2.55) видно, что при очень больших скоростях
(Уоо > аг) параметр k2 « 1. Поэтому, применяя формулу A5.5.10)
для &! и пренебрегая вторым членом в квадратных скобках в A5.5.20),
получаем
ИЛИ
Т =Т = *-1 у2°° A5.5.21)
ст е k + l R '
Рассмотрим выражение для числа Стантона, являющегося
безразмерным параметром теплопередачи:
St = — q- . A5.5.22)
к+\ Vc(TT)
Аэродинамика разреженной среды 403
В таком виде этот безразмерный параметр называют локальным
модифицированным числом Стантона. В случае больших скоростей
(*«> > 1, х > 1) для передней площадки тепловой поток можно
представить, как это видно из A5.5.18'), в приближенной форме:
а = — wRPiTi VRTi I — h 1 + erf x I x !?<».
2 \-xV~ )
Используя зависимость A5.5.19) для л^ после подстановки значения
q в формулу A5.5.22) получаем
2ь RTt VRTi ( е—~х2 — \ — о
St = • — \- I + erf л; х sin fl.
* + l VooCPi(Te-TCT)V2 \7}ПГ ) °°
Так как 7CT <^ Te, то вместо разности Те — Тст можно принять
Те, определяемое по A5.5.2Г). Кроме того, произведя замену cpi =
= kRIik — 1) и7оо = (VJVWJ\)Vk/T, получаем
St = -^i- l-^zz + 1 + erf * 1. A5.5.23)
2 V * /* J
Теперь рассмотрим коэффициент трения. В соответствии с A5.2.48)
и A5.3.6') для этого коэффициента, отнесенного к условиям на
передней площадке, имеем следующее выражение:
_f _ + 1 + erf x ). A5.5.24)
х Viz I
X У 7U J
Сравнивая A5.5.23) и A5.5.24), можно установить связь между
числом Стантона и местным коэффициентом трения:
)s|3). A5.5.25)
Экспериментальные исследования показывают, что в точке полного
торможения удельный тепловой поток (Вт/м2)
q = 3,08 • 10«4 (Рея/ Рооз)/(^/^оK. A5.5.26)
где Vc — первая космическая скорость; индексы «Я» и «3»
соответствуют условиям на высоте Я и у Земли (Н =0).
Соответствующая равновесная температура в этой точке
Гст = (Я + <7Рад ± <7охI/4(*аГ1/4. A5.5.27)
Если к стенке изнутри не подводят теплоту (q0K = 0) и не
учитывают внешнюю радиацию (^рад = 0), то температура стенки
Тст = 4,83 • 10*(Л/еI/4( Рося/росзI/4(^оо/КсK/4. A5.5.28)
Глава пятнадцатая 404
В случае сильно охлаждаемой поверхности энергия частиц,
отраженных от стенки, весьма мала, т. е. Ест «с Ё]. Поэтому вместо
{15.5.17') можно воспользоваться уравнением
<7 = Л?* = Л?А- A5.5.29)
Рассматривая очень большие скорости, при которых k2 « 1, а
Et определяют по A5.2.61), для удельного теплового потока на
передней площадке получаем
q = (хрМ2)/\ГШг (Vl + 5RTt).
Выражая здесь JRTt через скорость звука at согласно A5.2.19) и
полагая в соответствии с A5.2.20) х = sinflG0O/af)]/"&/2 = sin|3Moo X
X 1/&/2, находим тепловой поток [Дж/(м2-с)]:
q = 4,9лргКоо [1 + 5/(ш1)] sin |3. A5.5.30)
В точке полного торможения р = я/2, следовательно,
q = 4,9лр,У1 [1 + 5/(Ш2оо)]. A5.5.31)
В этих выражениях рг дано в кг/м3, а скорость 1^, — в м/с.
Таким образом, рассмотрены трение и теплопередача для
сплошного и свободномолекулярного потоков газа. Режим течения со
скольжением занимает промежуточное положение. Большинство
современных методов расчета трения и теплопередачи для этого режима
основано на применении уравнений пограничного слоя, решение которых
должно удовлетворять специальным граничным условиям,
допускающим разрыв скорости (скольжение). Эти методы описаны в работах
122, 28, 36].
Литература 405
ЛИТЕРАТУРА
1. Бабенко /С. Я., Воскресенский Г. П., Любимов А. Н.у Русаков В, В.
Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. — М.: Наука, 1964.
2. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа/ Под ред.
О. М. Белоцерковского —М.: Изд-во Вычислительного центра АН СССР, 1967.
3. Дородницын Л. А. Пограничный слой в сжимаемом газе. — Прикладная
математика и механика, 1942, т. VI, вып. 6.
4. Дородницын А. А. Метод интегральных соотношений для численного
решения дифференциальных уравнений в частных производных: Труды
Института точной механики и вычислительной техники АН СССР, 1958.
5. Дракин Я. Я. Аэродинамический и лучистый нагрев в полете. —М.:
Оборонгиз, 1961.
6. Газодинамические функции/ Иров Ю. Д., Кейль Э. В., Павлухин Б. Н.
и др. —М.: Машиностроение, 1965.
7. Кибардин Ю. А., Кузнецов С. Я., Любимов Л. Н., Шумяцкий Б. #.
Атлас газодинамических функций при больших скоростях и высоких
температурах воздушного потока. —М.: Госэнергоиздат, 1961.
8. Краснов Н. Ф., Кошевой В. Н., Данилов А. Н., Захарченко В. Ф.
Аэродинамика ракет. —М.: Высшая школа, 1968.
9. Краснов Н, Ф. Аэродинамика тел вращения. —М.: Машиностроение,
1964.
10. Прикладная аэродинамика/ Под ред. Я. Ф. Краснова. —М.: Высшая
школа, 1974.
11. Кузнецов С. И. Диаграммы и таблицы течения диссоциирующего
воздуха около клина, конуса и выпуклой поверхности. —М.: Оборонгиз, 1962.
12. Ландау Л. Д., Лифигиц Е. М. Механика сплошных сред. — М.: Гостех-
издат, 1958.
13. Лебедев А, А., Чернобровкин Л. С. Динамика полета. — М.:
Машиностроение, 1973.
14. Лойцянский Л. Г, Механика жидкости и газа. —М.: Наука, 1970.
15. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. —М.: Физматгиз,
1962.
16. Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. —М.: Машиностроение,
1975.
17. Мхитарян А. М. Аэродинамика. — М.: Машиностроение, 1970.
18. Остославский Я. В., Стражева Я. В. Динамика полета. Траектории
летательных аппаратов. —М.: Оборонгиз, 1963.
19. Повх Я. Л. Аэродинамический эксперимент в машиностроении. —М.:
Машиностроение, 1974.
20. Термодинамические функции воздуха для температур от 1000
до 12 000° К и давлений от 0,001 до 1000 атм (графики функций)/
Литература 406
Предводителев А. С, Ступаченко Е. В., Ионов В. Я. и др. —М.: Изд-во АН
СССР, 1960.
21. Таблицы термодинамических функций (для температур от 6000 до
12 000° К и давлений от 0,001 до 1000 атм)/Яредводителев А. С, Ступачен-
ко Е. В., Самуилов Е. В. и др. — М.: Изд-во АН СССР, 1957.
22. Газовая динамика/ Рахматулин X. Л., Сагомонян А. #., Бунимович
А. Я., Зверев И. Н. —М.: Высшая школа, 1965.
23. Франкль Ф. Я., Карпович Е. А. Газодинамика тонких тел. — М.: Гос-
техиздат, 1948.
24. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. —
М.: Физматгиз, 1959.
25. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике/
Под ред. проф. В. /С. Кошкина—М.: Машиностроение, 1975.
26. Известия АН СССР. Механика и машиностроение. Механика жидкости
и газа.
27. Известия АН СССР. Прикладная математика и механика.
28. Исследования гиперзвуковых течений. —М.: Мир, 1964.
29. Липпман Г., Рошко А. Элементы газовой динамики. —М.: ИЛ, 1960.
30. Научные проблемы искусственных спутников Земли. —М.: ИЛ, 1959.
31. Нильсен Д. Аэродинамика управляемых снарядов. —М.: Оборонгиз,
1962.
32. Паттерсон Г. Н. Молекулярное течение газов. —М.: Физматгиз
1960.
33. Проблемы движения головной части ракет дальнего действия. — М.
ИЛ, 1959.
34. Проблемы полета с большими скоростями. —М.: ИЛ, 1960.
35. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. —М.: Гостехиздат,
1953.
36. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. —М.:
ИЛ, 1962.
37. Хилтон У. Ф. Аэродинамика больших скоростей. —М.: ИЛ, 1955.
38. Schlichting G. Boundary layer theory, 1960.
39. Чжен П. Отрывные течения. —-М.: Мир, 1972.
40. Линь Цзя-Цзяо. Теория газодинамической устойчивости. — М.: ИЛ,
1958.
41. Вопросы ракетной техники. —М.: Мир.
42. Ракетная техника и космонавтика (AJAA).
43. Jet Propulsion (ARS Journal).
44. Journal of the Aeronautical Sciences (Journal of the Aerospace Sciences).
45. Journal of the Royal Aeronautical Society.
46. National Advisory Committee for Aeronautical (NACA).
47. Механика. Сборник сокращенных переводов и рефератов иностранной
периодической литературы. —М.: ИЛ.
48. Theory of Conical Wings, NACA Tech. Notes, 1685, 1948.
49. Lift and Center of Pressure of Wing — Body — Tail Combinations at
Subsonic. Transonic and Supersonic Speeds, NACA, Tech. Repts, 1307, 1957.
50. Modern Plastics, V. 36, N 8.
51. Белоцерковский С. М., Скрипач ?. /С., Табачников В. Г. Крыло в
нестационарном потоке газа. —М.: Наука, 1971.
53. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные
летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. —М.: Наука,
1975.
407
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда 112
Аппарат летательный (комбинация) 10, 28,
58, 124, 128, 159
Аэродинамика 7, 10, 28, 71
— больших скоростей 8
— затупленных тел 28
— летательных аппаратов (комбинаций) 7
— органов управления (рулей) 7
— разреженной среды 363
— тел вращения 7
— тонкого тела 102, 120
Бародиффузия 316
Волна ударная 20, 35, 43
головная 20, 42
перед сферическим носком, торцом 43,
54
Вихрь 37, 293, 296
Влияние (на интерференцию) 146
— вихрей 296
— V-образности 177
— пограничного слоя 146
~ расположения крыла 147
— сжимаемости 166
— скачков уплотнения 197
— сужения крыла 146
— торможения 172
— угла крена 149
— части корпуса 167
— щели 217
Восстановление давления 55, 85
Высота шероховатости 306
Вязкость динамическая, кинематическая
244, 255, 265, 279
— турбулентная 248
Газ (воздух) диссоциирующий 10, 23, 283
— ионизирующий 23
Гипотеза об отсутствии обратного влияния
243
— максвелловская 384
— сплошности 364
Годограф 17
Головная часть (тело вращения) 7, 10, 28,
57, 67, 70, 85, 94, 106
аффинно-подобная 67, 89
заостренная, затупленная 10, 28, 33,
47, 57
изолированная 124
параболическая 67, 70
Градиент 30, 46, 54, 66, 256, 291, 315
— давления 286, 291
— концентрации 316
— начальный 46
— скорости 30, 46, 54
— температуры 315
— энтропии 63, 66
Гребни аэродинамические 301
Давление 10, 25, 48, 60, 76, 113, 159, 369
— в свободномолекулярном потоке 376, 383
невозмущенном (набегающем) потоке
25, 58
пограничном слое 243
— минимальное 32
— на конусе, корпусе 21, 25, 66, 76, 84, 94,
133, 151, 161
затупленном теле 48, 53
крыле (консоли) 135, 153, 162
скачке 23
— торможения 21, 65
Длина волны излучения 325
— ламинарного участка 310
— пути перемешивания 262
— свободного пробега молекул 365
Закон подобия (аэродинамического) 67, 87,
101
— распределения диполей, источников
(стоков) 78, 90
скорости 261, 289
максвелловский 371
— Стефана—Больцмана 322
— Фурье 315
Затупление 28, 53, 55
Зона влияния вихрей 296
— волновая 127
— застойная 296
— отрыва 298
— развитой турбулентности 304
Игла (аэродинамическая) 302
Интеграл Эйлера—Пуассона 373
Интенсивность вихря 41, 184
— теплопередачи 318
Ионизация 26, 315
Интерференция (аэродинамическая) 124
— между корпусом и крылом 124, 176
крылом и оперением 126
— при крене 149
Колебание тел вращения 112, 119
Комбинация (летательный аппарат) 124
Предметный указатель
408
— двухконсольная (плоская) 128, 157
— «корпус—крыло» 128, 139, 143, 149
— «корпус—крыло—оперение» 190, 198, 213
— «корпус — поворотное крыло (оперение) >
210, 213
— крестообразная (плюсобразная) 159, 176
— «нетонкая» 167
Конус (заостренный, затупленный) 10, 28,
58, 79, 83, 311
— Маха 79, 126, 172
— эквивалентный 311
Координата свободного вихря 107, 187
— сечения крыла (консоли) 143
тела вращения 107
— точки перехода 305
Кормовая часть корпуса 122
Коэффициент аккомодации 383
— аэродинамический 5
в поточных осях 101
связанных осях 101
— восстановления температуры 276
энтальпии 276
— давления 22, 48, 69, 77, 134
донного 219
на затупленном теле 48, 52, 53
конусе, теле вращения (корпусе)
22, 25, 69, 77, 84, 94, 98
с учетом интерференции 134, 137, 151,
153, 161, 163
— демпфирования продольного 118, 229
— диффузии 316
— интерференции 129, 138, 147, 155, 163, 167,
176
— каталитической реакции
(каталитический) 353, 354
— момент крена 159, 176
рыскания 158
тангажа 96, 104, ИЗ, 165
шарнирного 157
— перемежаемости 304
—. перепада давления 135, 137, 152, 161, 169
— силы нормальной 96, ИЗ, 139, 155
осевой (продольной) 95, 99, 105
— — подсасывающей 106
подталкивающей 106
подъемной 101
в свободномолекулярном потоке 398
поперечной 158, 159
— сопротивления 22, 52, 56
волнового 22, 69, 85
в свободномолекулярном потоке 387
донного 219
индуктивного 222
комбинации 217
конуса заостренного 22, 53, 84, 101
• — затупленного 53, 56
корпуса (тела вращения) 69, 85, 98
трения 273, 282, 285, 311
— переноса 316
— теплоотдачи 320
— теплопроводности 316
— торможения 172
— трения (местный) 273, 281, 288, 293
ламинарного 281, 288, 293
турбулентного 273, 284, 291
— центра давления комбинации 143, 157,
165, 171
— конуса, тела вращения (корпуса)
— шарнирного момента 157
— эффективности оперения 182
Кривая «яблоковидная» 17
Кризис сопротивления 297
Кромка крыла (оперения) 127, 145, 169, 175,
203, 224, 228
Крыло (оперение, стабилизаторы, консоль)
24, 129, 138, 149, 160, 173, 204, 234
— крестообразное 163, 198, 201
— «плоское» 128
— плюсобразное 129, 174, 199, 227
— поворотное 203, 213
Ламинаризация 300
Линеаризация 71
Линия Маха прямая 73, 168
спиральная 168
— тока 18, 31, 299
Масса газа молярная, 12, 339, 359, 386
определяющая 283
Метод Буземана 18
— диполей 90
— Дородницына 298
— источников (стоков) 78, 108
— «местных конусов» 10
— Ньютона 47
— обратимости 190
— определяющих параметров 279, 281, 284.
331
— Польгаузена 288
— прямого решения уравнений 349
— характеристик 58
Модель вихревая 184
— Ньютона 48
— плоская 169
— Эйлера 48
Момент 96, ИЗ, 143, 157, 165, 176, 200, 226
— восстанавливающий (стабилизирующий)
206
— дестабилизирующий ИЗ, 177
— комбинации (суммарный) 144, 156, 165,
175, 200
— корпуса (тела вращения, конуса) 100
— неустановившегося диполя 107
— при неустановившемся обтекании 116
— спиральный 230
— стабилизирующий 101
Напор скоростной 22, 69, 95, 143, 185, 228
Напряжение касательное (трение) 259, 268»
282, 287, 325, 380
Носок корпуса (заостренный, затупленный)
28, 53, 58
Нейтральность в отношении статической
устойчивости 206
Неустойчивость статическая 178, 206
Область переходная 303
— применимости закона подобия 68
— течения (потока) вихревая 63, 66
Обмен энергией 385
Обтекание 10, 23, 30, 58, 106, 128, 224, 245,
314
— без скольжения 129
— вязкое 10, 253
— диссоциирующим газом 12, 23
— дозвуковое 183
— комбинации (летательного аппарата) 128
— конуса 10, 23, 28, 125, 287, 391
— криволинейной поверхности (вязкое) 291
— крыла 125, 135, 153
— линеаризованное 70, 77, 89, 107
— невязким потоком («невязкое») 10, 69,
358
— несжимаемым потоком 78, 90
— неосесимметричное 89, 393
— неустановившееся 5, 106
— оперения 183
— осесимметричное (осевое, под нулевым
углом атаки) 10, 23, 58, 77, 39Э
Предметный указатель
409
— пластинки (вязкое) 253, 261, 281, 395
— рулей (органов управления) 209
— сверхзвуковое (гиперзвуковое) 10, 23, 30,
58
— сверхкритическое 19
— свободномолекулярное 369, 390
— тел вращения (корпусов) 5, 125, 151
заостренных 10, 58, 70
затупленных 10, 28, 53
— — тонких 5, 55
— установившееся 10, 58
— цилиндра 393
— циркуляционное 224
Оперение (стабилизаторы) 7, 124, 174, 178,
181, 203, 225
— несимметричное (вертикальное,
горизонтальное) 174, 178
— нетандемное 197
— типа «утка» 126
— тандемное 198
Орган управления (руль) 201
аэродинамический 202, 204
газодинамический 202
— — комбинированный 202
полностью подвижный 203, 211
Отвод теплоты 314
Отклонение (поворот) рулей 204, 211, 215
Отражение молекул диффузное, зеркальное
369
Отрыв потока (пограничного слоя) 295
Отход ударной волны 42, 54
Охлаждение стенки 301
Параметры кинематические 13
— кинетические 281
— на скачке уплотнения 13
— — конусе (теле вращения) 10, 25, 66
пластинке 269, 273, 281, 331
•— невязкого обтекания («невязкие») 10, 69
— определяющие 281, 291
— подобия 67, 341
— пограничного слоя 10, 245, 252, 261, 269,
281, 284
— потока набегающего 25, 58
— теплопередачи 318, 326, 339, 359
— торможения 8
— трения 326, 359, 364
— устойчивости (динамической,
статической) 121
Пелена вихревая 181, 188
Переменные Дородницына 253, 335
Перенос количества движения 385
— массы 370
— молекул 371, 376
— энергии кинетической 381
Пересчет производных устойчивости 235
Перетекание 127
Плотность атмосферы 27, 58
— диссоциирующего газа 27
— за ударной волной 23
— молекул (отраженных, падающих) 377,
378
— на конусе (обтекаемой стенке) 10, 255
— определяющая 282
— теплового потока ^314
— торможения 49, 254
Подвод теплоты 314
Подслой ламинарный 265
Поляра ударная 18
Поправка Дородницына 264
— интерференционная 129
Постоянная Больцмана 382
— газовая универсальная 12, 339
— Стефана—Больцмана 322
Потенциал возмущений 73, 89
— диполя (источника) установившегося,
неустановившегося 79, 90, ПО
— комплексный 132, 152, 161
— обтекания линеаризованного 73
неосесимметричного, осесимметрич-
ного 77, 89
неустановившегося 111
поперечного, продольного 75, 89
— суммарный (полный) 89
Поток вещества диффузионный 316
— тепловой аэродинамический 314
диффузионный 315
конвективный 320
к конусу затупленному 345, 348
радиационный 314, 322
свободномолекулярный 401
удельный 314, 343
Правило площадей 221
— сопряженных радиусов 184
Преобразование конформное 131
— Лапласа 108
Производная устойчивости
аэродинамическая 107, 224
боковой силы 227
момента демпфирующего продольного
227
крена 229
спирального 228
рыскания 227
нормальной силы 227
— •вращательная (спиральная) 226, 230
при несимметричном оперении 232
— демпфирования 229
— комбинаций (аппаратов) 227
— комплексного потенциала 152, 161
— корпуса (тела вращения) 119, 233
— крыльев 233
— по угловой скорости 118
углу атаки 200
поворота руля 213, 215
скольжения 200
— при дозвуковых и сверхзвуковых
скоростях 224, 225, 227, 229
— статическая 119
— тонких тел 117
Равновесие термодинамическое 11, 334
Радиация 315, 323, 357
Радиус кривизны волны 43, 45, 54
— сечения корпуса эффективный 218, 312
миделевого 67, 95, 148
— сопряженный 184
— сферы, торца 35, 46, 53
Размах (консоли, крыла, оперения) 131, 153,
182, 225
Расположение крыла верхнее 176
нижнее 176
перед оперением 198
среднее 176
— оперения переднее 199
Распределение давления 67, 94
— диполей 91
— источников (стоков) 78
— концентрации 350
— параметров в пограничном слое 243
— потока теплового 348
— скорости 49, 251, 256, 261, 269
— температуры 274, 350
— циркуляции 188
— энтальпии 274
Реакция каталитическая (химическая) 320,
352, 353, 356
неравновесная 319
Режим течения (обтекание, поток)
свободномолекулярный 366, 369, 391, 393, 395
Предметный указатель
410
промежуточный 366
— — со скольжением 366
сплошной 366
Рекомбинация 319, 350, 353
Решение автомодельное 338
Сдвиг точки отрыва 297
— центра давления 101
Сечение консоли (крыла) 157, 192, 208
— тела (вращения) 81, 107, 221
— — донное 52
миделевое 22, 52, 66
Сила 22, 52, 69, 94, 113, 124, 181, 208, 246,
272, 387
— боковая (поперечная) 154, 158
— в свободномолекулярном потоке 387
— нормальная комбинации 128, 138, 154,
159, 165, 173, 181, 208, 233
~ — корпуса (конуса) 22, 52, 55, 128
— осевая (продольная) 95, 118
— — крыла (оперения, консоли) 129, 192,
196
— — руля 209
— подталкивающая 106
~ подъемная 101, 217
— подсасывающая 105
— при неустановившемся обтекании 113,
116, 121
— сопротивления (давления, волнового)
22
— трения 273
— управляющая 202
Система уравнений для определения
температуры 359
обтекания конуса И
пограничного слоя 240, 245
Скачок уплотнения (ударная волна) И, 14,
45, 60
— головной 20, 42
— конический 11
—> криволинейный (отсоединенный,
отошедший) 19, 30, 63
Скорость возмущения (возмущенного
потока) 13, 17, 79, 131
— вращения (угловая) 113
— гиперзвуковая 32
*— динамическая 306
— диссоциации 319
— диффузии 319
— дозвуковая 76, 183
— звука 23, 72
— звуковая 19
— индуцированная вихрями 79, 107, 181,
193
— комплексная 125, 152, 161
— максимальная 20, 271
— молекул 370
— на конусе 10, 17, 25, 51, 83
— — затупленном носке 49
корпусе 83, 133, 151, 161
— —крыле 135, 153, 162
скачке 13, 17, 27
— пограничного слоя 241
— потока маловозмущенного
(линеаризованного) 74
невозмущенного (набегающего) 74,
свободного (на внешней границе) 241,
2 об
— при интерференции 125, 133, 135
— рекомбинации 319
— сверхзвуковая 18. 55
— трансзвуковая 221
Скос потока 125
Слой высокоэнтропийный 30
— пограничный в диссоциирующем газе
(при высоких температурах) 276, 279,
358
несжимаемой (сжимаемой) среде
244, 246
— _ «замороженный» 320, 350
ламинарный 245, 287
на конусе 286
криволинейной поверхности 291
пластинке 253, 261, 281
смешанный 359
турбулентный 261, 284, 289
Соотношение интегральное 248
Сопротивление (аэродинамическое) 22, 31,
52, 66, 84, 101, 217, 260, 387
— вихревое 66, 297
— волновое 22, 31, 52, 101
— давление 22, 297
— донное 219
— индуктивное 105, 222
-* комбинации (при интерференции) 217,
222
— конуса 22, 84
— крыльев (оперения) 217, 219, 223
— лобовое 32
— минимальное 56, 222
— подсасывания 106, 206
— тел вращения заостренных (корпусов)
66, 69, 84, 101, 218
затупленных 31 52, 55
— трения 260, 273
Составляющая количества движения 47
— силы аэродинамической 202
тяги 202
Соударение молекул 364
Способность газа излучительная 322
Стенка адиабатическая
(теплоизолированная) 278, 281
— каталитическая 352, 355
— нагреваемая 278
— некаталитическая 353, 355
— охлаждаемая 278
Степень диссоциации 322
— затупления 29
— разреженности 365
— торможения потока 172
— турбулентности 305
— устойчивости статической 180, 235
— черноты 322
Сужение донное 121, 122
— зоны отрыва 297
— крыла 147
— обратное 195
Схема аэродинамическая 124, 199, 202
— взаимодействия молекул 369
— действия силы и момента
— отражения (диффузного, зеркального)
369
эластичного 48
Тело абсолютно черное 322
— коническое (конус) 10, 23, 28, 47
— тонкое 70. 102, 120
— неудобообтекаемое 297
— удобообтекаемое 297
— эквивалентное 221, 311
Теория Ньютона корпускулярная 47
— «ньютонова» торможения 47
— «полос» 195
Температура 8, 13, 40, 58, 244, 315, 370
— восстановления 575, 283
— излучающего газа 322
— молекул (отраженных, падающих) 370,
400
— на конусе 13, 25, 40
Предметный указатель
411
— определяющая 278
— пограничного слоя 244
— приведенная 361
— при наличии теплопередачи 274
— стенки 277, 307, 357, 361, 370, 401
— торможения 245
Теплоемкость удельная 13, 23
Теплопередача 274, 314, 320, 398
— в свободномолекулярном потоке 398
— ~ точке полного торможения 343, 404
— диффузионная 350
— ламинарная 333
—¦ — на затупленной поверхности 341
— г криволинейной поверхности 333
пластинке 331
полусфере 344
— стационарная 399
— турбулентная 349
Теплопроводность молекулярная 315
Термодиффузия 316
Течение (поток, движение) безвихревое
(потенциальное, изэнтропическое) 59
— вихревое (непотенциальное, неизэнтропи-
ческое) 59
— двухмерное (плоское, осесимметричное)
11, 89, 240
— дозвуковое 18, 79
— жидкости 240
— замороженное 320, 350
— за скачком уплотнения 35
— индуцируемое корпусом (крылом) 125,
129
— коническое 58
— линеаризованное 73, 97
— маловозмущенное (слабовозмущенное)
73, 135
— невозмущенное 71, 125
-^ невязкой жидкости 240
— несжимаемое 90, 131
— неустановившееся 111
— обращенное 207
— поперечное 91, 131
— пространственное (неосесимметричное)
73, 134
— равномерное 292
— сверхзвуковое 18
— сжимаемое 90
— с малой вязкостью 240
— смешанное 18
— ускоренное 292
— у точки (в окрестности) полного
торможения 33
Тип органов управления (рулей) 201
Толщина вытесненная 252
— подслоя ламинарного 265
— потери импульса 252
— слоя высокоэнтропийного 30
— пограничного 241, 257, 272, 283, 285
Точка «звуковая» 30, 33
— отрыва 296
— полного торможения (критическая) 33,
42, 46, 53
— приведения 235
Траектория аппарата неуправляемого 201
управляемого 201
Турбулентность начальная 34
Турбулизатор 307
Удлинение (тела вращения, крыла,
оперения) 67, 85, 96, 122, 174, 187
Угол атаки 71, 95, 103, 113, 126, 211
— клина 20
— конуса 10, 19, 125
— крена 128, 149
— наклона образующей 60
скачка уплотнения 17, 63
— отклонения (поворота) потока 20
— скольжения 149
— скоса 125
— установочный 127
Управление пограничным слоем 300
Управляемость 206
Уравнение Бернулли 242
— баланса теплового 314
энергии 326, 399
— Бесселя 110
— движения 33
— диффузии 350
— для потенциальной функции 72, 73, 107
скорости 263
— Кармана 251
— неразрывности 11
— пограничного слоя 248, 319
— Прандтля 243
— состояния 245
— теплопередачи диффузионной 351
ламинарной 341
Уравнения движения газа около конуса 11
— Навье-Стокса 240
— обтекания тонких тел вращения 71
— пограничного слоя 245, 333, 340
— Эйлера 251
Условие граничное (обтекания) 11, 14, 73,
81, 91
Устойчивость движения (полета) 107, 206
— динамическая 119
— ламинарного пограничного слоя 306
— статическая 119, 176, 206
Фактор аналогии Рейнольдса 331
Формула Блазиуса 270
— Жуковского 185
— Ньютона 256, 288, 320
— Прандтля—Шлихтинга 273
— Эккерта 279
Функция волнового сопротивления
(нормальной силы, момента) 88, 102
— давления 67, 87, 102
— Лапласа—Гаусса 168
—- Макдональда ПО
— модифицированная Бесселя 395
— Польгаузена 256
— преобразования 108
— распределения Максвелла 371
— термодинамическая 281
— тока 335
— «универсальная» 53
Хорда консоли (крыла, оперения) 127, 144,
169, 192, 234
Центр давления 100, 121, 143, 154, 163, 200,
212
— масс 113, 225, 235
— приведения 237
— тяжести площади 225
Циркуляция 186
Частота колебаний 114
Число Кнудсена 366
— Льюиса—Семенова 318, 355
— Маха 10, 30, 58, 73, 106, 167, 189, 211, 258,
348
— молекул (отраженных, падающих) 371,
376
— Ыуссельта 321, 325
— Прандтля 244, 277, 318, 327, 354
— Рейнольдса 258, 297, 303, 306, 366
— Стантона 321, 325, 402
— Струхаля 114
Предметный указатель
412
— Шмидта 318, 351
Шайба концевая 301
Элевон 205
Элерон 205
Энтальпия 12, 23, 274, 315, 353
— восстановления 276
— в пограничном слое 319
— определяющая 279
-^ торможения (полная) 244, 275
Энтропия 24, 30, 63
Эффект возрастания сопротивления (влия«
ние вихрей) 297
— кризиса сопротивления 297
— затупления 31
— интерференции 165
~ отрыва 298
— отсоса (вдува, выдува) 300, 302
— подсасывающий 300
— стабилизации 301
— утолщенного профиля 295
— энтропийный 31
Эффективность рулей (органов
управления) 213, 215, 216
Оглавление
413
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 10.
Конус
в сверхзвуковом
потоке
Глава 11.
Заостренное
тело вращения
в сверхзвуковом
потоке
Предисловие к третьему изданию 5
Из предисловия ко второму изданию 7
§ 10.1. Система уравнений осесимметричного
обтекания заостренного конуса 10
§ 10.2. Обтекание конуса при постоянных теп-
лоемкостях 12
§ 10.3. Влияние равновесной диссоциации и
ионизации газа на обтекание конуса 23
§ 10.4. Затупленный конус 28
Форма затупленных носков 28
Особенности сверхзвукового обтекания 30
Обтекание конуса, затупленного по
сфере 33
Обтекание плоского торца 53
Сопротивление тонкого конуса с малым
затуплением 55
§ 11.1. Применение метода характеристик 58
§ 11.2. Линеаризация уравнений обтекания
тонких тел вращения 70
§ 11.3. Расчет осесимметричного обтекания 77
§ 11.4. Неосесимметричное обтекание 89
§ 11.5. Расчет аэродинамических
коэффициентов 94
Коэффициент осевой силы 95
Коэффициенты нормальной силы и
момента тангажа 96
Аэродинамические коэффициенты в
линеаризованном потоке 97
Результаты аэродинамической теории
тонкого тела 102
Подсасывающая сила 105
§ 11.6. Неустановившееся обтекание тела
вращения 106
Основные зависимости 106
Граничные условия 111
Аэродинамические характеристики в
условиях колебаний низкой частоты 114
Анализ изменения
коэффициентов
аэродинамических
119
Оглавление 414
ГлдВд 12. § \2Л. Природа аэродинамической
интерференции 124
АэрОДИНаМИЧеС- Интерференция между корпусом и ус-
^ тановленным на нем крылом J24
Кая ИНТерферен- Интерференция между крылом и опере-
ЦИЯ нием 126
§ 12.2. Нормальная сила комбинации
«корпус — плоское крыло» 128
Понятие о коэффициентах
интерференции 128
Определение потенциала скоростей 130
Скорость и давление на корпусе при
наличии крыла 133
Скорость и давление на крыле при
наличии корпуса 135
Определение коэффициентов
интерференции 138
Центр давления 143
Изменение коэффициентов
интерференции под влиянием некоторых факторов 146
Нормальная сила комбинации
«корпус — крыло» 146
§ 12.3. Влияние угла крена на интерференцию
между корпусом и плоским крылом 149
Общее соотношение для коэффициента
давления 149
Давление на корпусе 151
Давление на крыле 153
Нормальная сила и центр давления 154
Общие соотношения для сил и моментов
плоской комбинации при крене 157
§ 12.4. Крестообразная комбинация 159
Давление и нормальная сила 159
Коэффициенты интерференции и центра
давления 163
Общие соотношения для сил и моментов 165
Влияние сжимаемости на
аэродинамическую интерференцию 166
Влияние торможения потока 172
§ 12.5. Влияние формы крыла и числа М<» на
параметры обтекания при крене 173
Нормальная сила 173
Момент 174
Интерференция между крылом и
корпусом 176
Влияние V-образности 177
Несимметричное вертикальное крыло
(оперение) 178
Влияние вихрей на корпусе 179
Суммарный момент крена 180
§ 12.6. Интерференция между крылом и
оперением 181
Общие определения 181
Дозвуковые скорости 183
Сверхзвуковые скорости 184
Коэффициент интерференции 190
Влияние угла атаки и скачков
уплотнения на эффективность оперения 197
Влияние торможения потока 198
Оглавление 415
Аэродинамические характеристики 199
Момент крена оперения,
расположенного за крылом 201
§ 12.7. Органы управления 201
Основные типы органов управления 201
Понятие об управляемости 206
Аэродинамический расчет рулей 207
§ 12.8. Аэродинамическое сопротивление 217
Сопротивление при отсутствии
подъемной силы (суа= 0) 218
Индуктивное сопротивление 222
§ 12.9. Нестационарные характеристики
летательного аппарата 224
Численный метод определения
производных устойчивости при дозвуковых
скоростях 224
Продольное демпфирование 225
Момент рыскания 227
Демпфирование крена 229
Применение результатов расчета
производных крыла и корпуса 233
Глава 13. § 13.1. Уравнение пограничного слоя 240
§ 13.2. Обобщенное уравнение пограничного
Трение слоя 246
Обобщенное уравнение пограничного
слоя в дифференциальной форме 246
Интегральное соотношение пограничного
слоя 248
Условные толщины пограничного слоя 251
§ 13.3. Ламинарный пограничный слой на
плоской пластинке 253
§ 13.4. Турбулентный пограничный слой на
плоской пластинке 261
Применение логарифмического закона
распределения скорости 2Ы
Степенной закон распределения
скорости ^"у
§ 13.5. Температура и энтальпия в
пограничном слое при наличии теплопередачи 274
Распределение температуры и энтальпии 274
Определяющая температура 278
§ 13.6. Применение определяющих параметров
для расчета пограничного слоя на
плоской пластинке при высоких скоростях
обтекания 281
Ламинарный пограничный слой 281
Турбулентный пограничный слой 284
Трение на конусе при сверхзвуковых
скоростях обтекания 286
§ 13.7. Влияние продольного градиента
давления на трение 291
Пограничный слой на криволинейной
поверхности 291
Расчет ламинарного пограничного слоя 293
Влияние отрыва пограничного слоя на
аэродинамические характеристики 295
Управление пограничным слоем (УПС) 300
§ 13.8. Смешанный пограничный слой.
Критическое число Рейнольдса 303
Оглавление
416
Глава 14.
Теплопередача
Глава 15.
Аэродинамика
разреженной
среды
§ 14.1. Аэродинамический нагрев 314
Уравнение теплового баланса 314
Подвод теплоты от разогретого газа 315
Солнечная и земная радиации. Лучистый
поток с поверхности стенки 323
§ 14.2. Связь между трением и теплопередачей 325
§ 14.3. Теплопередача в ламинарном
пограничном слое на криволинейной
поверхности 333
Произвольная форма поверхности 333
Полусфера 343
Затупленный конус 345
Плоский торец 348
О расчете теплопередачи в турбулентном
пограничном слое 349
§ 14.4. Диффузионная теплопередача 350
§ 14.5. Определение температуры стенки 357
Равновесная радиационная температура 357
Равновесная температура при наличии
дополнительных источников подвода
и отвода теплоты 361
§ 15.1. Пределы применимости теории
движения сплошной среды 364
Длина пути свободного пробега молекул 364
Режимы течения газа 365
§ 15.2. Давление и трение в свободномолеку-
лярном потоке 369
Схема взаимодействия молекул со
стенкой 369
Перенос массы 370
Давление 376
Напряжение трения 380
Перенос кинетической энергии 381
§ 15.3. Аккомодация 383
Обмен количеством движения 383
Обмен энергией 385
§ 15.4. Аэродинамические силы 386
Общее выражение для силы
сопротивления 386
Конус 390
Цилиндр 393
Пластинка 395
§ 15.5. Теплопередача 398
Температура отраженных молекул 398
Расчет теплопередачи и температуры
стенки 401
Литература
Предметный указатель
405
407