Н Ф. КРАСНОВ

АЭРОДИНАМИКА

1

ОСНОВЫ ТЕОРИИ.

АЭРОДИНАМИКА ПРОФИЛЯ
И КРЫЛА

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ д

Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов высших
технических учебных заведений

МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1976
533

К78

УДК 533.6(0.75.8)

Рецензент
проф. Л. М. Мхитарян (Киевский институт инженеров граж-
данской авиации)

Краснов Н. Ф.

Аэродинамика. Ч. I. Основы теории. Аэродина-
мика профиля и крыла. Учебник для втузов. Изд-
2-е, перераб. п доп. М., «Высш, школа», 1976.

384 с. с пл.

В учебнике {часть первая} излагаются теоретические основы со-
временной аэродинамики, при водя тс в основные сведения, относящиеся
к силовому воздействию газообразной среды на движущееся тело,
рассматриваются особенности течения газа с большими скоростями, а
также его физические и термодинамические свойства при высоких тем-
пературах и давлениях. 2 книге подробно рассматриваются кинема-
тика и динамика газа в общем случае для сложной модели химически
реагирующей вязкой сжимаемой среды, теория скачков уплотнения я
метод характеристик, наиболее широко ислользуемый в азродиЕсамнче-
ских нс следованиях, в также основные методы расчета обтекания
профилей и крыльев.

К

20303—414

001(01)—76

БЗ—23—12—76

533

© Издательство «Высшая школа», 1976.
ПРЕДИСЛОВИЕ

Аэродинамика является теоретической основой авиационной,
ракетно-космической п артиллерийской техники, фундаментом
аэродинамического расчета современных летательных аппаратов.
Важнейшие выводы аэродинамики используются при исследовании
внешнего обтекания различных тел или движения воздуха (газа)
внутри каких-либо сооружений. Поэтому без прочных знаний аэро-
динамики невозможно стать хорошим инженером в области авиа-
ции, артиллерии, ракетостроения, автомобильного транспорта,
двигателей внутреннего сгорания и др., т. с. специалистом тех от-
раслей техники, где в том или ином виде можно встретиться с яв-
лениями течения воздуха или газа.

В настоящем учебнике наряду с общими законами движения
газовой среды рассматривается применение аэродинамики глав-
ным образом в ракетной технике и современной высокоскоростной
авиации. При этом второе издание учебника включает две части,
в первой из которых излагаются преимущественно основные поня-
тия и определения аэродинамики и теория обтекания профиля и
крыла (гл. 1-=-У1И), а во второй приводятся сведения об аэроди-
намическом расчете летательных аппаратов п их отдельных эле-
ментов (глДХ-т-ХУ). Такое разделение книги соответствует после-
довательности изложения курса аэродинамики в течение учебного
года (двух семестров). Причем первая часть учебника может быть
использована самостоятельно теми, кто заинтересуется отдельны-
ми проблемами теоретической аэродинамики.

При изучении любого курса, в том числе я аэродинамики, глав-
ным является глубокое усвоение его важнейших теоретических
основ, без чего невозможны творческое решение практических за-
дач, научные поиски и открытия. Поэтому особое внимание долж-
но быть уделено ознакомлению с материалами первых пяти глав
книги, в которых излагаются: основные понятия и определения
аэродинамики; кинематика жидкой среды; основы динамики жид-
кости и газа; теория скачков уплотнения; метод характеристик,
наиболее широко используемый при исследовании сверхзвуковых
течений. К числу фундаментальных следует отнести материалы,
относящиеся к обтеканию профилей крыльев (гл. VI, VII), кото-
рые дают достаточно полное представлен нс об обшей теории дви-
жения газа в двухмерном пространстве (теория так называемых
двухмерных движений). Непосредственно с этими материалами
связана научная информация о сверхзвуковом обтекании крыла,
завершающая первую часть книги (гл. VIII). Результаты псследо-

3
ванн я такого обтекания составляют основу аэродинамического рас-
чета большинства современных летательных аппаратов.

Особое место в книге занимает освещение важнейших теорети-
ческих и прикладных вопросов аэродинамики больших скоростей.
Применительно к этим вопросам рассматриваются термодинами-
ческие и кинетические параметры диссоциирующего газа, уравне-
ния движения и энергии, а также теория скачков и уплотнения с
учетом влияния физико-химических свойств газа при высоких
температурах.

Естественно, что в учебном курсе нельзя охватить всего много-
образия проблем, которыми занимается аэродинамическая наука.
В нем представлена научная информация, усвоение которой необ-
ходимо специалисту, занимающемуся научно-инженерной деятель-
ностью в области авиационном п ракетно-космической техники. Со-
держание и объём этой информации будут достаточны при усло-
вии ее глубокого усвоения, для того чтобы самостоятельно
разобраться в других проблемах аэродинамики, с которыми могут
сталкиваться молодые специалисты в практической деятельности.
Среди этих проблем, не нашедших отражения в книге, назовем, в
частности, магнитоаэродинамические исследования, приложение
метода характеристик к трехмерным газовым течениям, аэродина-
мическую теорию крыла с изменяющейся стреловидностью, экспе-
риментальную аэродинамику.

Автор будет весьма удовлетворен, если ознакомление с матери-
ала ал и книги послужит толчком к самостоятельному, более глубо-
кому изучению современной аэродинамики. Книга написана на
основе опыта преподавания курса «Аэродинамика» в Московском
высшем техническом учнлишс нм. Н. Э. Баумана в соответствии с
учебной программой и предназначена для студентов вузов и фа-
культетов, специализирующихся в области летательных аппаратов.
Она может быть также полезна работникам соответствующих
научно-исследовательских институтов, конструкторских бюро и
производственных предприятий.

С целью облегчения перевода использованных единиц измере-
ния физических величин в новые, соответствующие принятой Меж-
дународной системе (СИ), в конце первой части книги приведена
специальная переводная таблица.

। Автор выражает глубокую признательность проф> А. М. Мхита-
ряну за полезные замечания и ценные предложения по улучшению
содержания учебника.

Автор с благодарностью примет замечания и советы читателей,
которые позволят в большей степени усовершенствовать учебник.
ВВЕДЕНИЕ

Аэродинамика — сложное слово, происходящее от греческих
«т]р (воздух) и 61А*арю (относящийся к силе, силовой). Этим тер-
мином названа наука, которая, являясь частью механики — науки
о движении тел вообще, изучает законы движения воздуха в зави-
симости от действующих сил и на их основе устанавливает част-
ные законы взаимодействия между воздухом и движущимся в
нем твердым телом.

Толчком к развитию аэродинамики как науки явились практи-
ческие задачи, возникающие перед человеком в связи с полетами
на аппаратах тяжелее воздуха. Эти задачи были связаны с опре-
делением действующих на движущиеся тела сил и моментов (так
называемых аэродинамических сил и моментов). При этом глав-
ным в исследовании силового воздействия было вычисление так
называемой поддерживающей, или подъемной, силы.

В начале своего развития аэродинамика имела дело с весьма
небольшими скоростями движения воздуха, ибо летательные аппа-
раты имели малую скорость полета. Естественно, что теоретиче-
ской основой аэродинамики явилась гидродинамика—наука о
движении капельной (несжимаемой) жидкости. Основы этой науки
были созданы в XVIII в. членами Российской Академии наук
Л. Эйлером (1707—1783) и Д. Бернулли (1700—1783) В научном
трактате «Общие принципы движения жидкостей» (1755) Л. Эй-
лер впервые вывел основные дифференциальные уравнения движе-
ния так называемых идеальных (невязких) жидкостей и газов.
Открытие фундаментального закона гидродинамики, устанавлива-
ющего связь между давлением и скоростью в потоке несжимаемой
жидкости, принадлежит Д. Бернулли, который опубликовал этот
закон в 1738 г в своем труде «Гидродинамика».

При малых скоростях полета влияние на характер движения
[воздуха такого его важного свойства, как сжимаемость, пренебре-
жимо мало. Однако развитие артиллерии — нарезной и реактив-
ной, высокоскоростных самолетов ставило задачу изучения зако-
нов движения воздуха или вообще газа при больших скоростях.
Оказалось, что если рассчитать силы, действующие на движущееся
тело с большими скоростями, на основе законов движения воздуха
с малыми скоростями, то эти силы могут сильно отличаться от
реальных. Объяснение такому явлению пришлось искать в самой
природе движения воздуха (газа) с большими скоростями, заклю-
чающейся в изменении его плотности в зависимости от давления,

5
которое при таких скоростях может быть весьма значительным,
В этом изменении и проявляется свойство сжимаемости газа.

Свойство сжимаемости обусловливает изменение внутренней
^энергии газа, что следует учитывать при расчете параметров, оп-
ределяющих движение среды. Изменение внутренней энергии, свя-
занное с параметрами состояния п производимой работой, которую
может совершать сжимаемый газ при расширении, определяется
первым законом термодинамики. Таким образом, в аэродинамике
сжимаемого газа должны были быть использованы термодинами-
ческие соотношения.

Если газовая среда движется с малой скоростью, то теплосо-
держание будет велико по сравнению с кинетической энергией. В
этом случае практически можно не учитывать изменения теплосо-
держания при изменении скорости течения, т, е. при изменении
кинетической энергии жидкости. Поэтому в аэродинамике течений
с малыми скоростями (гидродинамике) нет необходимости пользо-
ваться термодинамическими понятиями и соотношениями.

При очень больших скоростях полета, называемых иногда
гиперзвуковыми скоростями, которыми характеризует-
ся движение ракет, а также космических кораблей при входе в
плотные слои атмосферы, омывающий газ претерпевает не только
изменение плотности, но испытывает значительное повышение тем-
пературы, что вызывает в нем различные физико-химические прев-
ращения. Значительная часть кинетической энергии, связанной со
скоростью полета, преобразуется в тепло и химическую энергию.

Все эти особенности движения газовой среды обусловили появ-
ление аэродинамики больших скоростей, или газо-
динамики, — специального раздела аэродинамики, в котором
изучаются законы движения воздуха (газа) при больших дозвуко-
вых и сверхзвуковых скоростях, а также законы взаимодействия
между газовой средой и телом, движущимся в ней с такими ско-
ростями.

Одним из основоположников газодинамики является акад,
С. А. Чаплыгин (1869—1942), опубликовавший в 1902 г. выдаю-
щийся научный труд «О газовых струях». В этом труде выведены
уравнения, составляющие теоретическую основу современной газо-
динамики и вошедшие в мировую и отечественную науку как урав-
нения Чаплыгина.

Вместе с развитием теоретической аэродинамики создавалась
экспериментальная аэродинамика, предметом кото-
рой является опытное исследование взаимодействия между телом
и омывающим его газовым потоком при помощи различных техни-
ческих средств — аэродинамических труб и других установок, ими-
тирующих обтекание летательных аппаратов.

Под руководством Н. Е. Жуковского (1847^1921) были постро-
ены первые в России аэродинамические лаборатории (в Москов-
ском государственном университете, Московском высшем техниче-
ском училище и в Кучине, под Москвой). При непосредственной
помощи В. И. Ленина и по инициативе Н. Е. Жуковского в 1918 г_
6
был организован Центральный аэрогндродинамическнй институт
(ЦАГИ), ставший ныне одним из крупнейших мировых центров
аэродинамической науки, носящий имя Н. Е. Жуковского.

По мере развития авиационной, артиллерийской и ракетной
техники, совершенствования теоретических основ аэродинамики
менялся характер аэродинамических установок от первых, срав-
нительно небольших по размерам и малоскоростных аэродинами-
ческих труб, до гигантских по величине высокоскоростных труб
ЦАГИ (1940) и современных гиперзвуковых установок, а также
специальных устройств, в которых искусственно создается сверх-
звуковой поток разогретого газа (так называемые трубы с подо-
гревом воздуха, ударные трубы, плазменные установки и др.).

Характер взаимодействия между газовой средой и движущим-
ся в ней телом может быть различным. При небольших скоростях
движения взаимодействие носит в основном силовой характер. По
мере роста скоростей силовое взаимодействие сопровождается на-
гревом поверхности вследствие теплопередачи от газа к телу:
таким образом, возникает тепловое взаимодействие. При
очень больших скоростях аэродинамический нагрев оказывается
настолько сильным, что может привести к разрушению материала
стенки летательного аппарата путем его оплавления или сублима-
ции и, как результат, к уносу разрушенной части материала и из-
менению характера нагрева стенки. Аэродинамический нагрев мо-
жет также привести к химическому взаимодействию
между твердой стенкой и омывающей газообразной Средой, в ре-
зультате чего возникает тот же эффект уноса части вещества. Вы-
сокие скорости полета могут оказаться причиной уноса массы и
вследствие механического взаимодействия между га-
зовой средой и движущимся телом, заключающегося в эрозии ма-
териала стенки и повреждении его структуры.

Исследование всех видов взаимодействия между газовой средой
и летательным аппаратом позволяет осуществить аэродинамиче-
ские расчеты, связанные с вычислением количественных критериев
указанного взаимодействия, а именно с определением аэродинами-
ческих сил и моментов, теплопередачи и уноса массы (абляции).
Прн этом в современной постановке указанная задача сводится не
только к определению суммарных аэродинамических величин (сум-
марной подъемной силы или лобового сопротивления, суммарного
теплового потока от разогретого газа к поверхности и др.), но и
к вычислению распределения аэродинамических параметров —
силовых и тепловых — по поверхности обтекаемого летательного
аппарата (давление и напряжение трения, местные тепловые пото-
ки, локальный унос массы).

Решение такой задачи требует более глубокого исследования
движения газа, чем это необходимо для определения суммарного
из родин этнического воздействия. Это исследование состоит в опре-
делении параметров газа, характеризующих движение, в каж-
дой точке занимаемого им пространства и в каждый момент вре-
мени.
Современные методы исследования движения газообразно?
среды опираются на ряд принципов и гипотез, установленных г
аэродинамике. Одной из таких гипотез является гипотеза с
неразрывности, или сплошности, движущейся газовой
среды, в соответствии с которой можно пренебречь межмолекуляр-
ными промежутками и молекулярными движениями и рассматри-
вать непрерывные изменения основных параметров газа в прост-
ранстве и во времени. Эта гипогеза вытекает из условия, заклю-
чающегося в том, что длина свободного пробега молекул и
амплитуда их колебательного движения достаточно малы по срав-
нению с линейными размерами, характеризующими обтекание,
например размахом крыла, диаметром или длиной корпуса и др.

Введенная гипотеза сплошности не должна противоречить по-
нятию о сжимаемости газовой среды, хотя, казалось бы, при отсут-
ствии молекулярных промежутков среда должна быть несжимае-
мой. Реальность сжимаемой сплошной среды вытекает из того
положения, что во многих исследованиях можно нс учитывать су-
ществования молекулярных промежутков, но в то же время допус-
кать возможность различной степени концентрации (плотности)
в результате изменения величины этих промежутков.

В аэродинамических исследованиях определение взаимодейст-
вия между газовой средой и движущимся в ней телом основыва-
ется на принципе обращенного движения, в соответ-
ствии с которым взаимодействующая система неподвижная
газовая среда (воздух)—движущийся объект
заменяется системой д в и ж ущ а я с я газовая среда —не-
подвижный объект. В случае замены одной системы другой
должно быть соблюдено условие, при котором скорость набегающе-
го на неподвижное тело газового потока была бы равна скорости
движения этого тела в неподвижной среде. Указанный принцип
обращенного движения вытекает из обшего принципа относитель-
ности классической механики, согласно которому силы не зависят
от того, какое из двух взаимодействующих тел (в данном случае
газ или летательный аппарат) покоится и какое находится в пря-
молинейном равномерном движении.

Система дифференциальных уравнений, лежащая в основе ре-
шения задач обтекания, в современной аэродинамике обычно рас-
сматривается отдельно для двух основных видов движения: свобод-.
ного (невязкого) потока и течения в тонком пристеночном слое '
газа-—пограничном слое, где движение рассматривается с учетом
трения. Это разделение потока опирается на гипотезу об от-
сутствии обратного влияния пограничного слоя
на свободный поток. Согласно этой гипотезе параметры не-
вязкого обтекания, т. е. на внешней границе пограничного слоя,
будут такими же, как и на стенке при отсутствии этого слоя. ;

Нахождение аэродинамических параметров летательных аппа- 1
ратов при их неу ста повившемся движении, характеризующемся из- (
менением кинематических параметров по времени, ^представляет ;
собой обычно весьма сложную задачу. Для практических целей )
используют упрощенные методы решения этой задачи. Такое упро-
щение возможно для тех случаев, когда указанное изменение про-
исходит достаточно медленно. Это характерно для многих лета-
тельных аппаратов. При определении их аэродинамических
характеристик можно исходить из гипотезы стационарно-
сти, в соответствии с которой эти характеристики в неустаиовив-
шемся движении принимаются такими, как в установившемся, и
определяются кинематическими параметрами этого движения в
данный момент времени.

При проведении аэродинамических экспериментов и расчетов
необходимо принимать во внимание различные обстоятельства, свя-
занные с физическим подобием исследуемых явлений
обтекания. Аэродинамический расчет натурных летательных аппа-
ратов (ракет, самолетов) основан на предварительных обширных
исследованиях (теоретических и экспериментальных) обтекания
моделей. В теории аэродинамического подобия находятся условия,
которые должны соблюдаться в таких исследованиях на моделях,
и устанавливаются характерные и удобные параметры, определя-
ющие основные режимы исследуемых процессов, называемые
параметрами или критериями подобия. Современные
проблемы подобия, а также теория размерностей, широко исполь-
зуемая в аэродинамике, изложены в фундаментальном труде акад.
Л. И. Седова «Методы подобия и размерности в механике»,

Аэродинамика является, образно выражаясь, многоотраслевой
наукой. В соответствии с потребностью бурйо развивающейся
авиационной и ракетно-космичеокой техники в аэродинамике оп-
ределились более или менее четко выраженные основные научные
направления и разделы, связанные с аэродинамическими исследо-
вания мп летательных аппаратов в целом и их отдельных конструк-
тивных элементов, а также наиболее характерных видов газовых
течении и процессов, сопровождающих обтекание. Естественно, что
всякая классификация аэродинамики в известной мере будет ус-
ловной, так как все эти направления и разделы или, во всяком
случае, часть из них взаимосвязаны. Тем не менее такая «отрас-
левая» специализация аэродинамической науки представляет прак-
тический интерес.

Рассмотрим некоторые характерные направления и разделы
современной аэродинамики. Можно определить два основных на-
правления, по которым развивается современная аэродинамика.
Первое из этих направлений представляет собой так называемую
силовую аэродинамику, которая занимается решением задач, свя-
занных с силовым воздействием среды, т. с. с нахождением рас-
пределения давления и напряжения трения по поверхности лета-
тельного аппарата, а также с определением результирующих
аэродинамических сил и моментов. Получаемые данные использу-
ются для прочностных расчетов конструкции аппарата в целом и
отдельных элементов, а также для определения его летных харак-
теристик. Второе направление включает проблемы аэротермо-
Динамики и аэродинамического нагрева — науки,
объединяющей аэродинамику, термодинамику и теплопередачу и
исследующей обтекание в связи с тепловым взаимодей-
ствием. В результате этих исследовании находятся тепловые
потоки ст разогретого газа к стенке и определяется ее температу-
ра. Эти данные необходимы при расчете на прочность и проектиро-
вании охлаждающих устройств летательных аппаратов. Вместе с
тем учет изменения свойств омывающего газа под влиянием высо-
ких температур позволяет уточнить количественные критерии сило-
вого воздействия как внешнего потока, так п пограничного слоя.

Все эти проблемы имеют особо важное значение при очень
больших скоростях полета, при которых тепловые процессы про-
текают весьма интенсивно. Однако решение таких проблем еще
более усложняется, так как связано с необходимостью учитывать
химические процессы, происходящие в газе, а также влияние хи-
мического взаимодействия между газообразной средой и материа-
лом стенки.

Если иметь в виду диапазон скоростей движения летательных
аппаратов от малых дозвуковых до очень больших сверхзвуковых,
то, как уже указывалась, можно выделить следующие основные
разделы в науке об исследовании обтекания: аэродинамика несжи-
маемой жидкости, или гидродинамика (число Маха обтекающего
потока М = 0), и аэродинамика больших скоростей. Последняя в
свою очередь подразделяется на аэродинамику дозвуко-
вых (М<1) и околозвуковых (трансзвуковых, Мй;1)
скоростей, а также аэродинамику сверхзвуковых
(М>1) и гиперзвуковых (МЭ>1) течений. Необходимо под-
черкнуть, что в каждом из этих разделов исследуются процессы
обтекания, которые характеризуются некоторыми специфическими
особенностями, свойственными потокам с указанными числами
Маха. По этой причине исследования таких потоков могут бази-
роваться на различной математической основе.

Аэродинамические исследования основываются, как известно
нз предыдущего, на разделении потока около обтекаемых тел иа
два вида движения: свободное (внешнее) невязкое течение и пог-
раничный слой. Каждому виду движения посвящается самостоя-
тельный раздел аэродинамики, а именно свободному течению —
аэродинамика невязкой (идеальной) жидкости,
пограничному слою — аэродинамика пограничного
слоя.

Аэродинамика идеальной среды исследует распре-
деление невязких параметров при обтекании, которые рассматри-
ваются как параметры на внешней границе пограничного слоя и
являются, следовательно, граничными условиями для решений
дифференциальных уравнений этого слоя. К невязким параметрам
относится давление, зная распределение которого можно найти сб-
ответствующие суммарные силы и моменты. Аэродинамика идеаль-
ной среды базируется на фундаментальных уравнениях Эйлера.

Аэродинамика пограничного слоя — один из наи-
более широких и развитых разделов науки о движении жидкости
10
14 газа. Решение задач о движении в пограничном слое дает воз-
можность найти распределение касательных напряжений и, следо-
вательно, суммарных аэродинамических сил и моментов от трения,
а также позволяет рассчитать теплопередачу от разогретого омы-
вающего газа к стенке. При этом выводы теории пограничного
слоя могут быть использованы также для корректировки решения
о не вязком обтекании, в частности для нахождения поправки к
распределению давления, обусловленной влиянием пограничного
слоя.

Современная теория пограничного слоя базируется на фунда-
ментальных исследованиях Л. Навье. Д. Стокса, О. Рейнольдса,
Л. Прандтля, Т. Кармана. Существенный вклад в развитие теории
пограничного слоя внесли советские ученые. Акад. А. А. Дородни-
цыным создана стройная теория пограничного слоя в сжимаемом
газе. Проф. Л. Г. Лойцянскпм разработан эффективный метод
расчета пограничного слоя на криволинейной поверхности.

В аэродинамических исследованиях при небольших скоростях
полета необязательно учитывать тепловые процессы в погранич-
ном слое из-за их малой интенсивности. Однако при больших ско-
ростях становится уже необходимым учитывать теплопередачу и
влияние на трение высоких температур пограничного слоя. Естест-
венно, что решению подобных задач, особенно в последнее время,
уделяется большое внимание. В .Советском Союзе профессора
Л. Е. Калихман, И. А. Кибель, В. И. Иевлев и другие разрабаты-
вают газодинамическую теорию теплопередачи, исследуя вязкое
обтекание различных тел )При высоких температурах пограничного
слоя. Подобные задачи решаются также рядом зарубежных уче-
ных.

При гиперзвуковых скоростях обтекания возникают не только
проблемы аэродинамического нагрева. Тот факт, что при таких
скоростях вследствие высоких температур происходит ионизация
и газ становится электропроводным, вызывает новые проблемы,
связанные с управлением потоком плазмы при помощи магнитного
поля. Соответствующий аэродинамический расчет должен учиты-
вать в формировании процессов взаимодействия движущегося тела
с плазмой наряду с газодинамическими также электромагнит-
ные силы. Эти проблемы изучаются в магнитоаэродина-
мике.

Исследованием движения жидкостей и газов в соответствии с
изложенной выше гипотезой сплошности занимается специальный
раздел аэродинамики — аэродинамика сплошных сред.
Однако необходимо отметить, что эта гипотеза действительна лишь
для условий полета на небольших высотах, т. е. в достаточно плот-
ных слоях атмосферы, где средняя длина свободного пробега мо-
лекул воздуха мала. На больших высотах в условиях сильно раз-
реженной атмосферы эта хтина пробега молекул становится весь-
ма значительной и воздух уже нельзя рассматривать как сплош-
ную сроду. Поэтому будут недействительны выводы аэродинамики
сплошных сред.
Взаимодействие разреженной среды с движущимся в ней те-
лом изучает особый раздел аэродинамики — аэродинамика
разреженной среды. Быстрое развитие этой науки за по-
следние годы вызвано прогрессом космических исследований при
помощи искусственных спутников Земли и ракетно-космических
летательных аппаратов, а также ракетных систем различных типов
(баллистические, межконтинентальные, глобальные ракеты и др.)*
совершающих околоземные полеты на очень больших высотах.

Условия обтекания, а следовательно, я аэродинамические ха-
рактеристики летательных аппаратов будут различными в зависи-
мости от того, как изменяются в фиксированных точках омывае-
мой поверхности параметры газа. Широкий класс задач обтекания,
имеющих практическое значение, может решаться, как уже отме-
чалось. в рамках стационарной аэродинамики, предполагающей,
что в указанных точках параметры не зависят от времени. Однако
при исследовании устойчивости полета становится необходимым
учитывать нестационарный характер обтекания, обусловленный
неравномерностью скорости полета, колебанием или вращением
летательного аппарата, так как в этих условиях характерным
свойством омывающего потока будет локальное изменение его па-
раметров со временем. Исследование такого характера обтекания
относится к нестационарной аэродинамике.

Мы рассмотрели классификацию современной аэродинамики по
видам газовых течений. При этом, очевидно, в границах каждого
указанного раздела аэродинамики исследование обтекания ведут
применительно к различным формам летательных аппаратов или
их составных частей. Наряду с такой классификацией (представля-
ет интерес рассмотреть разделы современной аэродинамики, для
которых определяющей была бы форма летательного аппарата или
его отдельных конструктивных элементов.

По своей аэродинамической схеме современный летательный
аппарат в обобщенном виде представляет собой комбинацию из
корпуса (фюзеляжа), крыльев, оперения и рулей, При проведении
аэродинамических расчетов таких комбинаций должны быть учте-
ны эффекты аэродинамической интерференции —
аэродинамического взаимодействия между всеми указанными эле-
ментами летательного аппарата. В соответствии с этим, в частно-
сти, суммарные аэродинамические характеристики, такие, как
подъемная сила, лобовое сопротивление или момент, могут быть
вычислены в виде суммы аналогичных характеристик изолирован-
ных корпуса, крыльев, оперения и рулей с внесением в нее попра-
вок, обусловленных указанным взаимодействием.

Таким образом, данная схема аэродинамического расчета пред*
^полагает знание аэродинамических характеристик отдельных со-
ставных частей летательного аппарата.

Аэродинамический расчет несущих поверхностей крыльев со-
ставляет предмет специального раздела аэродинамической на-
уки — аэродинамики крыльев. Основоположниками аэро-
динамической теории крыла но правуг считаются великие русские
12
ученые-механики И. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин. Начало XX
столетия было ознаменовано замечательным открытием Н. Е. Жу-
ковским природы подъемной силы крыла; им была выведена фор-
мула для расчета этой силы, носящая его имя. Работа Н. Е. Жу-
ковского о присоединенных вихрях, представляющих собой гидро-
динамическую модель крыла, намного опередила его время*
Разработанная Н. Е. Жуковским серия профилей крыльев (профи-
лей Жуковского) широко использовалась при проектировании са-
молетов.

'Акад. С. А. Чаплыгин — автор многих выдающихся трудов по
аэродинамике крыльев. В 1910 г. в работе «О давлении плоско-
параллельного потока на преграждающие тела» С. А. Чаплыгин
заложил основы теории крыла бесконечного размаха. В 1922 г. он
опубликовал научный труд «Теория крыла моноплана», в котором
дает теорию ряда профилей крыла (профилей Чаплыгина), а так-
же разработал теорию устойчивости крыла моноплана. С. А. Чап-
лыгин является создателем теории крыла конечного размаха.

Большой вклад в аэродинамику крыла внесли советские уче-
ные акад. А. И. Некрасов (1883—1954), разработавший стройную
теорию крыла в нестационарном потоке, а также чл.-корр.
АН СССР В. В. Голубев (1884—1954), исследовавший различные
виды механизации крыла, методы управления 'пограничным слоем,
обтекание крыльев малого удлинения*

Акад. С. А. Христианович в труде «Обтекание тел газом при
больших дозвуковых скоростях» разработал оригинальный и весь-
ма эффективный метод, позволяющий учитывать влияние сжимае-
мости на обтекание профилей произвольной формы.

Проблемой учета влияния сжимаемости на обтекание крыльев
занимались зарубежные ученые профессора Л. Прандтль (Герма-
ния) и Г. Глауерт (Англия), создавшие приближенную теорию
тонкого крыла, обтекаемого дозвуковым потоком под малым углом
атаки. Полученные ими результаты можно рассматривать как
частные случаи общей теории обтекания, разработанной С. А. Хри-
стиановичем.

В трудах профессоров Е. А. Красильщиковой и С. В* Фалько-
вича разработана теория обтекания тонких крыльев различной
формы в плане сверхзвуковым потоком.

Результаты аэродинамических исследований крыльев примени-
мы к расчету аэродинамических характеристик оперения, а также
некоторых рулевых устройств, имеющих форму, подобную крыль-
ям. При этом специфические особенности обтекания отдельных ви-
дов аэродинамических рулей, наличие других типов органов уп-
равления привели к появлению особого раздела современной аэро-
динамики — а эр од и н а м и к и органов управления.

Современные летательные аппараты ракетного типа во многих
случаях имеют форму тел вращения или близкую к ним. Комби-
нированные ракетные системы типа «корпус — крыло—оперение»
имеют корпус (тело вращения) как основной компонент аэродина-
мической схемы. По этой причине в последние годы интенсивное

13
развитие получила аэродинамика корпусов (тел вра-
щения), ставшая одной из важнейших составных частей совре-
менной аэродинамической науки.

Большой вклад в развитие аэродинамики тел вращения внесли
советские ученые профессора Ф. И. Франкль и Е. И, Карпович,
опубликовавшие интересный научный труд «Газодинамика тонких
тел». Группой научных сотрудников Математического института
Академии наук СССР (К- И. Бабенко, Г. П. Воскресенский и др.)
разработан метод пространственного сверхзвукового обтекания
заостренных тел в общем случае, когда учитываются химические
реакции в омывающем потоке. Зарубежным аэродинамикам
Д. Тейлору (Англия) и 3. Копалу (США) принадлежит решение
чзажной задачи о сверхзвуковом обтекании заостренного конуса.

Интенсивное развитие современной математики и вычислитель-
ной техники и совершенствование на этой основе методов аэроди-
намических исследований позволяют все успешнее решать многие
трудные задачи аэродинамики, среди которых и задачи, связан-
ные с определением эффекта аэродинамической интерференции и
вычислением соответствующих поправок к суммарным аэродина-
мическим характеристикам летательного аппарата. Решение подоб-
ных задач составляет предмет специального раздела аэродинами-
ческой науки — интерференционной аэродинамики,
получившей большое развитие в последние годы.

При небольших сверхзвуковых скоростях полета аэродинамиче-
ский нагрев сравнительно невелик и не может повлечь за собой
разрушение конструкции летательного аппарата. Основная задача,
которая в данном случае решается, связана с подбором средств
охлаждения, поддерживающих нужную температуру стенки. Более
сложные проблемы возникают при очень больших скоростях поле-
та, когда движущееся тело обладает огромным запасом кинетиче-
ской энергии. Например, если летательный аппарат обладает кос-
мической скоростью, то достаточно превращения в тепло лишь
25ч-30 % этой энергии, чтобы полностью испарился весь материал
конструкции. Основная проблема, которая возникает, в частности,
при организации безопасного спуска летательного аппарата в плот-
ных слоях атмосферы, заключается в рассеивании этой энергии, с
тем чтобы минимальная часть ее была поглощена в виде тепла те-
лом. Оказалось, что таким свойством обладают тела с затупленной
передней частью поверхности. Это и обусловило развитие аэроди-
намических исследований затупленных тел.

Важный вклад в изучение проблем аэродинамики затуп-
ленных тел внесли советские ученые акад, А. А. Дородницын,
чл.-корр. АН СССР Г. Г. Черный, проф. О. М. Белоцерковский
и др. Аналогичные исследования проводились М. Лайтхиллом
(Англия), П. Гарабедяном (США) и другими зарубежными уче-
ными,

Затупление передней части поверхности надо в известном смыс-
ле рассматривать как средство тепловой защиты летательного ап-
парата. При этом сам затупленный носок испытывает наиболее ин-
14
тенсивное тепловое воздействие и поэтому в еще большей мере,
чем периферийная часть аппарата, нуждается в тепловой защите.
Наиболее эффективная защита связана с применением различных
покрытий, материал 'Которых при соответствующих температурах
постепенно разрушается и уносится. При этом поглощается значи-
тельная часть энергии, подводимой разогретым воздухом к лета-
тельному аппарату. Разработка теории и практических методов
расчета уноса массы (абляции) относится к современному разде-
лу аэродинамической науки — аэродинамики аблирую-
шйх поверхностей.

Широкий круг задач аэродинамики связан с определением вза-
имодействия среды с летательным аппаратом, имеющим в общем
случае произвольно заданную форму. Формы поверхностей лета-
тельных аппаратов могут также выбираться в специальных
целях, обеспечивающих тот или иной аэродинамический Эффект.
Форма затупленных тел обеспечивает минимальную теплопередачу
ко всему телу. Следовательно, затупленную поверхность можно
считать оптимальной с точки зрения теплообмена. При проектиро-
вании летательных аппаратов возникает задача выбора формы с
наименьшим силовым воздействием. Одна из таких задач связана,
в частности, с определением формы образующей головной части
летательного аппарата, обеспечивающей наименьшее лобовое со-
противление при заданной скорости полета. Подобного рода зада-
чи рассматриваются в разделе аэродинамики, носящем название
аэродинамики оптимальных форм.

' %

 *
ГЛАВА I

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЭРОДИНАМИКИ

$ IX СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ СРЕДЫ НА ДВИЖУЩЕЕСЯ ТЕЛО

Поверхностная сила

Рассмотрим силовое воздействие сплошной газообразной среды,
обладающей свойством вязкости, на движущееся тело. Такое сило-
вое воздействие сводится к непрерывно распределенным по поверх-
ности тела силам Рп от нормального напряжения, а также силам от

Рис. 1.Ы. Силы, действующие на элемент поверхности
движущегося тела

касательного напряжения (рис. 1.1.1). На рассматриваемый эле-
мент поверхности (15 действует результирующая _сил а, называемая
поверхностной силой. Вектор этой силы Р определяется по
правилу сложения двух векторов: Р=РП + РГ. При этом сила Рп
включает наряду с силой от давления, не зависящей от вязкости,
также добавочную составляющую, обусловленную трением (гипоте-
за Максвелла).

В идеальной жидкости, в которой предполагается, что силы вяз-
кости отсутствуют, силовое воздействие на площадку сводится
только к силам* от нормального напряжения (давления). Это и по-
нятно, так как в случае отклонения вектора силы от нормали к
16
площадке появилась бы проекция силы на эту площадку, т. е. су-
ществовало бы касательное напряжение, которое, однако, отсутст-
вует в идеальной жидкости.

В соответствии с принципом обращенного движения эффект си-
лового воздействия будет таким же, если «рассмотреть движение,
прн котором тело неподвижно, а на него набегает равномерный по-
ток со скоростью на бесконечном удалении от тела, равной скоро-
сти его движения. Эту скорость будем называть >в дальнейшем
скоростью на бесконечности или скоростью на-
бегающего (невозмущенного) потока и обозначать
в отличие от V (вектор скорости полета тела) вектором — У®.
Очевидно, что Г=—У«.

Набегающий поток характеризуется невозмущенными парамет-
рами— давлением плотностью р®, температурой Т&, отличаю-

Рис. 1.1.2. Обозначение параметров возмущен-
ного и невозмущенного потоков

щимися от соответствующих параметров р, р, Т возмущенного пото-
ка, образующегося при обтекании тела (рис. 1.1.2). физические
свойства газа (воздуха) характеризуются также кинетическими па-
раметрами: динамическим коэффициентом вязкости р, и коэффици-
ентом теплопроводности X (соответствующие невозмущенные пара-
метры будут и ?.<«), а также термодинамическими параметрами:
удельными теплоемкостями при постоянном давлении СР(СР ) и
постоянном объеме ст (ср ) и их отношением (показателем адиа-
баты) /с„ (^=ср /с„ ).

г	г ОО ОО

Свойство давлений в идеальной жидкости

Рассмотрим свойство давлений в идеальной жидкости. С этой
целью запишем для элементарной частицы жидкости, имеющей
форму тетраэдра МаМ^М^М^, с размерами ребер Дх, Ду, Дг (рис.
Р1-3), уравнения движения, приравняв произведение массы этого
элемента на его ускорение сумме действующих сил. Эти уравнения
запишем в проекциях на оси координат. При этом ограничимся со-
ста в лени ем уравнения движения тетраэдра в проекции на ось х,
учитывая, что другие два будут иметь аналогичный вид. Произведе-
ние массы элемента на его ускорение в направлении оси х равно
рсрД^С^Ух/с^), где рср — средняя плотность жидкости, заключен-
ной в элементарном объеме ДТГ; ^УХ/(И — проекция ускорения дви-

жения частицы на ось х.

Силы, действующие на частицу, определяются следующим обра-
зом, Как уже установили, в числе этих сил —так называемая по-
верхностная сила. В данном случае она определяется действием
давления на грани рассматриваемой частицы и ее проекция на
ось х равна рх— рпд5псоз(лх).

на выделенный жидкий объем, яв-

Другой силой, действующей

Рис. 1.1.3 Нормальные напряже-
ния, действующие на грани эле-
ментарной частицы жидкости в
виде тетраэдра

ляется объемная (или, иначе,
массовая) сила, пропорцио-
нальная массе частицы в этом
объеме. К объемным силам отно-
сятся гравитационные силы и, в
частности, сила тяжести. Приме-
ром этих сил является также мас-
совая сила электромагнитного
происхождения, так называемая
по и деромоторная сила,
возникающая в газе, если он яв-
ляется электрическим проводни-
ком (ионизирован) и находится в
электромагнитном поле. Здесь не

будем рассматривать движение
газа под действием таких сил (см.
специальный курс магнитогазоди-
намики).

В рассматриваемом случае проекцию массовой силы на ось х
представим в виде ХрерДМ7, обозначив через X проекцию объемной
силы, отнесенной к единице массы. С учетом этих значений для про-
екций поверхностной и объемной сил получим уравнение движения

РсрДй' -^=А'рс(]ди>'4-^л5г-рпд5п СО5(ЛХ),

где ЛЗд: и Д5„ — соответственно величины площадок Л4оЛ12Л4з и
М^М2М3; соз (их) —косинус угла между нормалью п к площадке
М}М2М3 и осью х; рх и рп — давления, действующие соответственно
на грани МйМ2М3 п А1}М2Мз.

Разделив полученное уравнение на А5Х и имея в виду, что ДЗХ=
=Д5„ соз (их), перейдем к пределу при Ах, Ду, Аг, стремящихся
к нулю. Тогда члены, содержащие Л1Г/Д5Х, будут также стремиться
к нулю, так как Д^7 является малой величиной третьего порядка, а
Л5Ж — величиной второго порядка малости по сравнению с линей-
ными размерами элемента. В результате р*—р» —О и, следователь-
но, рх=рп.
Рассматривая уравнения движения в проекциях на оси у и г,
найдем, что п

Так как элементарная площадка с нормалью п ориентирована
произвольно, то из полученных результатов можно сделать следу-
ющий вывод. Давление в любой точке потока идеальной жидкости
одинаково на всех площадках, проходящих через Эту точку, т. е*
оно не зависит от ориентировки этих площадок. Следовательно,
давление можно рассматривать как скалярную величину, завися-
щую только от координат точки и времени.

Влияние вязкости на движение жидкости

Ламинарное и турбулентное движение Наблюдения показыва-
ют, что для вязкой жидкости характерны два вида движения. Пер-
вый из них — ламинарное, 'или слоистое, движение, отлича-
ющееся упорядоченным расположением струек, не смешивающихся
друг с другом. В ламинарном потоке перенос количества движения,
тепла и вещества происходит за счет молекулярных процессов тре-
ния, теплопроводности и диффузии. Такое движение возникает и
сохраняется устойчивы-м обычно при небольших скоростях движе-
ния жидкости.

Если при заданных условиях обтекания поверхности величина
скорости .потока превышает критическое ее значение, то ламинар-
ное движение перестает быть устойчивым и переходит в новый вид
движения, для которого характерны поперечное перемешивание
жидкости и, как следствие, исчезновение упорядоченного, слоистого,
течения. Такое течение называется т у р б у л е« т п ы м. На моле-
кулярное хаотическое движение, которое было характерным для
ламинарного течения, «в турбулентном потоке «накладывается пере-
мешивание макроскопических частиц, обладающих компонентами
скорости, перпендикулярными направлению продольного движе-
ния. В этом состоит основное отличие турбулентного движения от
ламинарного. Другое отличие заключается в том, что если ламинар-
ное движение может быть как установившимся, так и яеустаповив-
шимся, то турбулентный поток по своей сущности имеет не} стано-
вившийся характер, при котором скорость и другие параметры в
данной точке зависят от времени. Для частиц жидкости, так же как
и для молекул по представлениям кинетической теории газов, ха-
рактерно случайное (беспорядочное, хаотическое) движение.

При исследовании турбулентного течения удобно иметь дело не
с мгновенной (фактической) скоростью, ас ее осредненным
(среднестатистическим) значением за некоторый промежуток вре-
мени (?2), Например, составляющая осредненной скорости по оси
х будет	где — составляющая фактиче-

ской скорости в данной точке, которая является функцией времени
 Аналогично записываются составляющие и V? по осям у и 2.
ользуясь понятием осредненной скорости, можно представить

19
фактическую скорость в виде суммы 1/х=V,+1/х> в кото-
рой УУ — переменная дополнительная составляющая, называемая
пульсационной скоростью (или пульсацией). Пульсаци-
онные составляющие скорости по осям у и и обозначаются соответ-
ственно У'у и У 'г

Записать или измерить пульсационную скорость можно, поме-
стив в нужную точку потока измерительный прибор с малой инер-
ционностью (таким свойством обладает, например, термоанемо-
метр). В турбулентном потоке прибор отметит отклонение скорости
от средней — пульсационную скорость.

Кинетическая энергия турбулентного потока будет определяться
суммой кинетических энергий, рассчитанных по средней и пульса-
ционной скоростям. Для рассматриваемой точки кинетическую
энергию пульсационного потока можно определить как величину,
пропорциональную средней квадратичной пульсаци-
онных скоростей* Если разложить пульсационный поток по
осям системы координат, то кинетические энергии каждой из со-
ставляющих такого потока будут пропорциональны соответствую-
щим средним квадратичным составляющих пульсационных скоро-
7з *2	7?

стей, обозначенным У#, Ух и определяемым из выражения

,2	1 р /2

*2 Л

Понятия об осредненных и пульсационных величинах могут
быть распространены на давление и другие физические параметры.
Наличие пульсационных скоростей приводит к дополнительным
нормальным и касательным напряжениям, к более интенсивному
переносу тепла и вещества. -Все это следует учитывать при прове-
дении экспериментов в аэродинамических трубах. Установлено, что
турбулентность в атмосфере относительно невелика и, следователь-
но, такой же малой она должна быть в рабочей части труб. Повы-
шенная турбулентность оказывает неблагоприятное влияние на
результаты эксперимента. Характер этого влияния зависит от сте-
пени турбулентности (или начальной турбулент-
ности), определяемой из выражения

(1.1.1)

где V — полная осредненная скорость турбулентного потока в рас-
сматриваемой точке.

В современных малотурбулентных аэродинамических трубах
практически может быть достигнута степень турбулентности, близ-
кая к той, которая наблюдается в атмосфере (в «0,01-^0,02%)-

20
К числм важных характеристик турбулентности относятся корни
квадратные из средних квадратичных пульсаций скоростей
/. ,'2	. -'2 _	„	_

Vу , г Vг. Эти величины, отнесенные к полной осредненной

скорости, называются интенсивностями турбулентно-
сти в соответствующих направлениях и обозначаются в виде

При помощи этих характеристик степень турбулентности
можно выразить следующим образом:

(1.1.2)

(1-1.1)

 1.1. Г)

Турбулентность имеет вихревой характер, т. е. перенос массы,
импульса и энергии осуществляется жидкими частицами вихревого
происхождения. Отсюда следует, что пульсации характеризуются
статистической связанностью. Количественной мерой этой связи
служит коэффициент корреляции .между пульсациями в точках ис-
следуемой области возмущенного потока. В общем виде этот коэф-
фициент между двумя случайными пульсирующими величинами <р
и ф представляется в виде [14]

Если между величинами и ф нет статистической связи: то /?=0;
если, наоборот, эти величины полностью закономерно связаны, то
коэффициент корреляции /?=1. Эта характеристика турбулентно-
сти называется двухточечным коэффициентом кор-
реляции. Его выражение можно представить (рис. 1.1.4, в) для
двух точек / и 2 жидкого объема с соответствующими пульсациями
и Уу^ в виде

Я- V7.ни:. / (1Л/ Кки ) 	.1.1.3')

При исследовании пространственного турбулентного потока обычно
имеют дело с большим числом таких коэффициентов. Для характе-
ристики этого потока вводят понятие «масштаба турбу лентности»,
определяемое в соответствии с выражением (рис. 1.1,4. в)

1=\^г.	(1.1.4)

6

«Масштаб турбулентности» представляет собой линейный размер,
характеризующий длину участка потока, на котором жидкие части-
цы движутся «связанно», т. е. обладают статистически связанными
пульсациями. Сближая рассматриваемые точки в турбулентном по-

21
токе, можно получить в пределе при г->0 одноточечный ко-
эффициент корреляции. При этом условии (1.1.37) прини-
мает вид

(1.1.5)

Этот коэффициент характеризует статистическую связь между
пульсациями в данной точке и, как увидим далее, непосредственно
определяет напряжение трения в турбулентном потоке.

Турбулентность будет однородной, если ее осредкенные
характеристики, найденные в данной точке (степень и интенсив-

Рис. 1.1.4. Схема обтекания тела потоком вязкой

жидкости.

а — общая картина обтекания: 7—участок ламинарного
пограничного слоя; 2 — низкий поделай; 3 — турбулентный
пограничный слой; 4 — обтекаемая поверхность; 5 — спут-
ная струя (след); 6 — свободный поток; 7 — вихревой след;
о — профиль скорости й пограничном слое; а — к определе-
нию понятия о двухточечном коэффициенте корреляции

кость турбулентности, одноточечный коэффициент корреляции) оди-
наковы для всего потока (инвариантность характеристик турбу-
лентности относительно переносов). Однородная турбулентность
является изотропной, если ее характеристики не зависят от
выбора направления, по которому они вычисляются (инвариант-
ность характеристик турбулентности при вращении и отражении).
В частности, для изотропного потока выполняется условие

""' 2	2

Если это условие реализуется для всех точек, то турбулентность
является однородной и изотропной. Для такой турбулент-
ности сохраняется постоянство двухточечного коэффициента корре-
ляции при различных направлениях отрезка, соединяющего две рас-
сматриваемые точки жидкого объема.

22
В изотропном потоке коэффициент корреляции (1.1.5) можно
выразить через степень турбулентности Ух / V:

я= у^/у^у7^ '(^2).	(1.1.6)

Введение понятия об осредненных параметрах значительно об-
легчило исследование турбулентных течений. Действительно, для
практических целей нет необходимости знать мгновенные значения
скоростей, давлений или касательных напряжений, а можно огра-
ничиться их средними по времени величинами. Применение осред-
ненных параметров упрощает соответствующие уравнения движе-
ния (уравнения Рейнольдса).

В такие уравнения, хотя и являющиеся более простыми, входят
все же частные производные по времени от осредненных составля-
ющих скорости 1/^,	1/±, так как в общем случае турбулент-

ное движение будет неустаиовившимся. Однако в практических слу-
чаях осреднение осуществляют для достаточно большого промежут-
ка времени, и тогда изучение неуста и овившегося потока можно-
свести к исследованию установившегося движения (квазистацио-
нарное турбулентное движение).

Напряжение трения. Рассмотрим формулу для напряжения тре-
ния в ламинарном потоке. В таком потоке трение возникает как ре-
зультат диффузии молекул, сопровождающейся переносом количе-
ства движения из одного слоя в другой, что приводит к изменению
скорости течения, т. е. к появлению относительного движения час-
тиц газа в слоях. В соответствии с гипотезой, высказанной впервые
Ньютоном, напряжение трения пропорционально для данных усло-
вий величине скорости этого движения, приходящейся на единицу
расстояния между слоями с относительно перемещающимися час-
тицами. Если расстояние между слоями Дп, а относительная ско-
рость частиц Дц, то отношение Ду/Дп в пределе при Дп-»-0, когда
слои соприкасаются, равно производной ди/дп, называемой нор-
мальным градиентом скорости. На основе указанной
гипотезы можно записать следующую формулу Ньютона для напря-
жения трения:

(1.1.7)
где р — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств
жидкости, ее температуры и давления; он также называется ди-
намическим коэффициентом вязкости.

Величина этого коэффициента для газа в соответствии с форму-
лой кинетической теории

Н=0,499рс/	(1.1.8)

зависит при заданной плотности р от таких кинетических характе-
ристик газа, как средняя длина свободного пробега ( и средняя ско-
рость движения молекул с.

2а
Рассмотрим трение в турбулентном потоке. При этом будем ис-
ходить из упрощенной схемы возникновения добавочных сил тре-
ния при турбулентном режиме, предложенной Л. Прандтлем для
несжимаемой среды, и полуэм лирического характера вводимых
для них зависимостей. Возьмем два слоя, расположенных в одно-
мерном течении, характеризующемся изменением осредненной ско-
рости только в одном направлении. С учетом этого примем, что
скорость в одном из слоев Гх=т^0, ГР=К«—0. Для соседнего слоя,
отстоящего йа расстоянии &у=1г, осредненная скорость равна
У* 4- (&Ух/с1у)1'. Согласно гипотезе Л. Прандтля, частица^ переме-
стившаяся из первого слоя во второй, сохраняет скорость Ух и, сле-
довательно, в момент появления этой частицы во втором слое будет
наблюдаться пульсационная скорость Ух=^Ух/^у)Г.

Количество движения, которое переносится массой жидкости
рУ/г/5 через элементарную площадку (18, будет равно по абсолют-
ной величине	Это количество движения опреде-

ляет дополнительную силу от напряжения, происходящего от пуль-
сационных скоростей. В соответствии с этим касательное напряже-
ние (по абсолютной величине)

( гт | =р14(У,+1<).

Осредняя это выражение, получим

где УхУу— осредненная величина произведения пульсационных
скоростей, а Г/ — осредненное значение пульсационной скорости.
Покажем, что зто значение равно нулю. Интегрируя почленно по /
в пределах от 6 до равенство ^=^4-1// и деля его затем на
& найдем

— Г 1ЛЛ=— С 7^4-— С 1/^=7,,+— С 14л.

Л	^2 3	.1

1. /, /,

__ +

Но так как, по определению, Уе=— I то очевидно, что
к Л

л

Уу(//=0. Таким образом, осредненное значение на-

/

У*

пряжения трения может быть выражено зависимостью | т |=?УХУ{/,
представляющей собой общую формулу Рейнольдса, вид которой
не зависит от каких-либо конкретных предположений о структуре
турбулентности.

24
Напряжение трения, определяемое этой формулой, может быть
иепосредствено выражено через коэффициент корреляции. В соот-
ветствии с (1Л.5) можно написать, что

= Р/?

(1.1.9)

или в случае изотропного потока, для которого

>2	—

I тт | = Р/?Ух = р/?е=1/з.

(1.1,9'}

Согласно этому выражению, не во всяком потоке, характеризую-
щемся некоторой степенью турбулентности, может возникнуть до-
полнительное напряжение трения. Его величина зависит от меры
статистической взаимосвязанности пульсаций, определяемой коэф-
фициентом корреляции /?.

Общая формула Рейнольдса для напряжения трения может быть
в соответствии с гипотезой Л. Прандтля о пропорциональности
пульсационных скоростей [Уу^аУ^=^аГ ((/Vгде а — не-
который коэффициент] преобразована к виду

—	—'•—7	р / (IV V ** Р* т	/ (IV

[ т, I =р1/х1/»=-?- —	1'2а&=р? -^] , (1.1.10)

х 7 7

где коэффициент пропорциональности а включен в осредненное
значение Г, обозначенное через I. Величина I называется длиной
пути перемешивания и является своеобразным аналогом
длины пути свободного пробега молекул в кинетической теории га-
зов. Знак напряжения трения определяется знаком градиента ско-
рости, следовательно,

тт=р/21 (IVх;с1у [ (ау^ауу.

(1.1.10')

Полная величина напряжения трения получится, если к значе-
нию тт, обусловленному затратами энергии частиц на их соударе-
ние и беспорядочное перемешивание, добавить напряжение трения,
происходящее непосредственно от вязкости и вызванное перемеши-
ванием молекул, т. е. величину тл = |1(</Кх/^у).

Таким образом,

! (!Ух!^У I

(1.1.11)

Исследования Л. Прандтля показали, что длина пути переме-
шивания 1--лу, где х — некоторая постоянная величина. В соответ-
ствии с этим у стенки

*а-в=*,= I

(1.1.12)
Из экспериментальных данных следует, что в турбулентном по-
токе в непосредственной близости от стенки, где очень мала интен-
сивность перемешивания, напряжение трения сохраняется таким,
как при ламинарном течении, и для него действительно соотноше-
ние (1.1.12). За пределами этого течения весьма малым будет на-
пряжение тл и, следовательно, можно считать, что напряжение тре-
ния определяется величиной (1.1. КХ).

Понятие о пограничном слое. Из соотношений (1.1.7), (1.1.10)
следует, что для одной и той же среды, обтекающей тело, напря-
жение трения в различных участках потока неодинаково и опреде-
ляется величиной местного градиента скорости.

Исследования показали, что градиент скорости имеет наиболь-
шие значения вблизи стенки, так как вязкая среда испытывает тор-
можение вследствие прилипания к поверхности обтекаемого тела.
Скорость иотока изменяется от нуля па стенке (см. рис. 1.1.4) и
постепенно увеличивается по мере удаления от поверхности. В со-
ответствии с этим изменяется напряжение трения — у стенки оно
значительно больше, чем вдали от нее. Тонкий слой жидкости, при-
легающий к поверхности, характеризующийся большими градиен-
тами скорости по нормали к поверхности и, следовательно, значи-
тельными напряжениями трения, называется пограничным
слоем. Физическое представление о пограничном слое можно по-
лучить, если представить себе, что обтекаемая поверхность покрыта
красящим веществом, растворимым в обтекающей жидкости. Оче-
видно, краска будет диффундировать в толщу жидкости и одновре-
менно сноситься вниз по потоку. Следовательно, окрашенная зона
будет представлять собой слой, постепенно утолщающийся вниз по
потоку. Окрашенная область жидкости приблизительно совладает
с пограничным слоем. Эта область отходит от поверхности в виде
окрашенной спутной струи (аэродинамического следа; см.
рис. 1.1.4, а).

При этом, как показали наблюдения, в случае турбулентного
движения отличие окрашенной области от пограничного слоя срав-
нительно невелико, в то время как в ламинарном потоке это отли-
чие может быть весьма существенным. Согласно теоретическим и
экспериментальным исследованиям с увеличением скорости толщи-
на слоя уменьшается, а спутная струя становится уже.

Характер распределения скорости по сечению пограничного слоя
зависит от того, будет ли он ламинарным или турбулентным. При
этом вследствие поперечного перемешивания частиц, а также их
соударений указанное распределение скорости, точнее говоря, ее
средней по времени величины, оказывается при турбулентном те-
чении значительно более равномерным, чем при ламинарном (см.
рис. 1.1.4). Из распределения скоростей вблизи поверхности обте-
каемого тела можно также сделать вывод о большем напряжении
трения в турбулентном пограничном слое, определяемом повышен-
ным значением градиента скорости.

За пределами пограничного слоя расположена часть потока, где
градиенты скорости и, следовательно, силы трения малы. Эту часть
26
потока называют внешним свободным течением. При
исследовании внешнего течения влиянием сил вязкости пренебрега-
ют. Поэтому такое течение считают также невязким. Скорость
в пограничном слое по мере удаления от стенки увеличивается,
асимптотически приближаясь к теоретическому значению, соответ-
ствующему обтеканию невязкой жидкостью, т. е. к значению ско-

рости во внешнем потоке на границе слоя.

Как }же отмечалось, в непосредственной близости стенка пре-
пятствует перемешиванию, и, следовательно, можно предположить,
чю пристенная часть пограничного слоя будет находиться в режи-
ме, близком к ламинарному. Этот тонкий участок квазиламинарно-
го пограничного слоя называется вязким подслоем (иногда
этот участок называют также ламинарным подслоем).
Более поздние исследования показали, что в вязком подслое обна-

руживаются пульсации, проникающие из турбулентного ядра, од-
нако корреляция между ними отсутствует [коэффициент /? (1.1.5^

равен нулю]. Поэтому согласно
формуле (1.1.9) дополнительные
касательные напряжения не возни-
кают.

Основная часть пограничного
слоя, расположенная вне вязкого
подслоя, называется турбулент-
ным ядром. Изучение движения
в таком слое связано с одновремен-
ным исследованием течения жидко-
сти в турбулентном ядре и вязком
(ламинарном) подслое.

Изменение скорости по сечению

Рис. 1.1.5. Схема погранич-
ного слоя:

/ — стенка, 2 — граница слоя

пограничного слоя характеризуется
тем, что, постепенно возрастая по
мере удаления от стенки, она асимп-
тотически приближается к значению

скорости во внешнем потоке.

Однако для практических целей удобно выделить ту часть по-
граничного слоя, в которой это изменение протекает достаточно
быстро и скорость па границе этого слоя мало отличается от ее
значения во внешнем потоке. Расстояние от стенки до этой границы
представляет собой условно толщину пограничного слоя
6 (рис. 1.1.5). Обычно эту толщину определяют как расстояние от
контура тела до той точки пограничного слоя, где скорость отлича-
ется от ее значения во внешнем потоке не более чем на один про-
цент.

Введение понятия о пограничном слое позволило осуществить
эффективные исследования процессов трения и теплообмена, так
как ввиду малости его толщины по сравнению с размерами обте-
каемого тела оказалось возможным упростить дифференциальные
уравнения, описывающие движение газа в этой области потока, что
облегчает их интегрирование.

27
§ IX РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЕ СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

Составляющие аэродинамических сил и моментов. Силы от нор-
мального и касательного напряжений, непрерывно распределенные
по поверхности обтекаемого тела, могут быть приведены к одному
главному вектору Р аэродинамических сил и главному вектору М
момента этих сил (рнс. 1.2.1) относительно какой-либо точки приве-
дения, называемой центром моментов. Таким центром мо-
жет быть, вообше говоря, произвольная точка тела. В частности,

Рис. 1.2 1 Схема действующих на летательный аппарат
аэродинамических сил и моментов в скоростной (х, у± г} и
связанной 1/1, системах координат

при продувке моделей летадельяых аппаратов в аэродинами-
ческих трубах момент находится относительно одной из точек креп- “
ления этой модели, которая может совпадать с носком корпуса,
передней кромкой крыла п др. При исследовании реальных случаев
движения таких аппаратов в атмосфере аэродинамический момент -
может определяться относительно их центра масс или другой точки,
являющейся центром вращения.	_	_

В инженерной практике имеют дело не с векторами Р и Му а с
их проекциями на оси какой-либо системы координат. Рассмотрим
наиболее часто встречающиеся в аэродинамике скоростную и
связанную ортогональные системы координат (рис. 1.2.1). В
скоростной системе обычно задают аэродинамические силы и мо-
менты, так как исследование многих задач динамики полета свя-
зано с применением осей координат именно такой системы. В част-
ности, уравнения движения центра масс летательного аппарата
удобно записывать в проекциях на эти оси. Продольная ось Ох ско- .
28
ростной системы направлена всегда по вектору скорости движения
центра масс аппарата, вертикальная ось Оу расположена в плос-
кости симметрии и направлена вверх (положительное направле-
ние), ось Ог направлена вдоль размаха правого крыла (правая
система координат). В обращенном движении продольная ось сов-
падает с направлением скорости потока, а ось Ог расположена
вдоль размаха левого крыла так, чтобы сохранялась правая систе-
ма координат. Такую систему координат называют поточной.

Аэродинамические расчеты могут осуществляться в связан-
ной системе координат. Кроме того, в этой системе обычно иссле-
дуется вращательное движение летательного аппарата, так как со-
ответствующие уравнения записываются именно в связанных осях.
В этой системе, жестко связанной с летательным аппаратом, ось
Ол'[ направлена вдоль главной продольной оси инерции, вертикаль-
ная ось Оу] расположена в вертикальной плоскости симметрии, го-
ризонтальная ось направлена вдоль размаха правого крыла и
образует правую систему координат. Положительное направление
оси Ох] от хвостовой части к носку соответствует случаю необра-
щенного движения (рис. 1.2.1), В обеих системах координат— ско-
ростной (поточной) и связанной — их начало располагается в цент-
ре масс летательного аппарата.

Проекции вектора Р на оси скоростной системы координат на-
зываются соответственно силой лобового сопротивле-
ния Хк подъемной силой К и боковой силой 2. Со-
ответствующие проекции того же вектора на оси связанной систе-
мы координат называются продольной (осевой) или /?),
нормальной (Р[ или №) и поперечной силами.

Проекции вектора М в той и другой системах координат имеют
одно и то же название, а именно: составляющие относительно про-
дольной оси называются моментом крена (соответствующие
обозначения в скоростной системе Мх> в связанной Л4Ж1), составля-
ющие относительно вертикальной оси — моментом рыскания
(Л4Ут Л4у]), составляющие относительно поперечной оси — момен-
том тангажа (М2г ЛГг1).

В соответствии со сказанным векторы аэродинамических сил и
момента в скоростной и связанной системах координат:

(1.2.1)

+	+	+	(1.2.2)

где , у, уь — единичные векторы по осям соответствен-
но скоростной и связанной систем координат. Положительным мо-
ментом относительно оси будем считать момент, который стремится
повернуть летательный аппарат против часовой стрелки (если ве-
НабЛЮДеНие за Движеннем с конца вектора момента). В соот-
ТВИИ С пРииНЯТЬ1м расположением осей координат на рис. 1.2.1
гме?ЖИТеЛЬНЫ^ момент увеличивает угол атаки, отрицательный —
уменьшает.
Величина и направление действия сил и моментов зависят при
данной скорости полета на некоторой высоте от ориентировки тела
относительно вектора скорости V (или, если рассматривается обра-
щенное движение, относительно направления скорости набегающего
' потока Г»), В свою очередь эта ориентировка обусловливает соот-
ветствующее взаимное расположение систем координат, связанных
с потоком и телом. Такое расположение определяется углами ата-
ки ал скольжения р (рис. 12.1). Правый из них представля-
ет собой угол между осью ОлГ] и проекцией вектора Г на плоскость
*]О//], второй — между вектором V и плоскостью Х1О1/1,

Рис. 1.22, Определение положения летательного аппарата в про-
странстве



При изучении полета используется земная система коор-
динат, относительно которой определяется положение движуще-
гося тела в пространстве. Начало координат этой системы (рис,
1.2.2), которая неподвижно связана с землей, совпадает с какой-
либо точкой земной поверхности, например* точкой старта, причем
ось Оу0 направлена по радиусу-вектору, проходящему через центр
земного эллипсоида, а оси Охо и Ога совмещаются с плоскостью
горизонта. При этом ось Ох0 обычно ориентируется в направлении
полета, а расположение осп Ог0 соответствует правой системе коор-
динат.

Если начало земной системы координат совместить с центром
масс летательного аппарата, по получим местную географи-
ческую систему координат	(рис. 1.2.2). Обыч-

но ось ОсЛо ориентирована по касательной к меридиану в север-
ном направлении, а ось О^с параллельна плоскости экватора.
По отношению к этой системе координат положение летательного 
30 -
аппарата определяется тремя углами: рыскания (курсовой угол),
тангажа Я и крена у.

Угол Ф образуется проекцией связанной оси Осхг на горизон-
тальную плоскость ХоОс^о (Осх*) и осью 0-вд угол й представляет
собой угол между осью и горизонтальной плоскостью л'оОге
(осью Осх*) ; угол у образуется при повороте (накренении) лета-
тельного аппарата вокруг продольной оси Ос*1 (угол между осью
ОСУ1 и ее проекцией на вертикальную плоскость — осью Осу*).
Угол тангажа определяет наклон аппарата к горизонту, а угол
рыскания — отклонение направления его полета от первоначально-
го (у самолета — это отклонение от курса; у снаряда или ракеты —
от плоскости стрельбы).

Пересчет аэродинамических сил и моментов с одной системы
координат на другую. Зная углы аир, можно пересчитать в соот-
ветствии с правилами аналитической геометрии составляющие силы
и момента в одной системе координат на составляющие в другой
системе координат. В частности, пересчет составляющих аэродина-
мической силы и момента в связанной системе соответственно на
силу лобового сопротивления и момент крена в скоростной системе
координат осуществляется по формулам:

X = Хг сов (х^)+У\ соз	соз ;	[1.2.3)

Л4Л.=Л4Л1 соз (Х]Х) Ц- , соз (у/Иг1 соз , (1.2.3')
где соз(х^х), соз(^рс), соз (грс) — косинусы углов соответственно
между осью Ох и осями Охъ Оуг и Огх.

Аналогично записываются выражения для других составляю-
щих вектора силы, а также для составляющих вектора момента.
Значения направляющих косинусов, используемых для пересчета
сил и моментов с одной системы координат на другую, приведены
в табл. 1.2.1,

Таблица 15.1

Связанная система	Скоростная система		
	Ох	о»	Ох
ОЛ?!	соз а со» $	5Ш а	— соз а 51П 3
О₽1	— 51П а С08 Р	соз а	81п а йш р
О г;	31П р	0	СО5^

В соответствии с данными табл. 1.2.1 формулы (1.2.3) и (1.2.3')
принимают следующий вид:

Х^Хх соз а соз У1 51п а соз 8з1п ₽;	(1.2.4)

М*=Мх1 соз а соз р—81 п а соз ₽	81 п ₽.	(1.2.4').

31
Например, для случая движения летательного аппарата, изо-
браженного на рис. 1.2.1, из (1-2.4) получим с соответствующими
знаками

— X — —X} €08 О С08 3 —К1 51П НСО8 81П р.

Аналогично пересчитывают силы и моменты со скоростной на
связанную систему координат. Например, используя данные табл.
1.2.1, получим для продольной силы и момента крена следующие
пересчетные формулы:

Х]~Xсо8<хсозр-]-К 51п а— Xсозаэш р;	(1.2,5)

МХ1 — Мл сок а соз р Му зйт а—Мх соз а 81П 3.	(1.2.5')

Переход от местной географической системы координат к свя-
занной или скоростной, а также обратный переход можно осуще-
ствить, зная косинусы углов между соответствующими осями. Их
значения можно определить из рис. 1.2.2, на котором показано вза-
имное расположение осей этих систем координат.

$ 1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ И МОМЕНТОВ
ПО ИЗВЕСТНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ДАВЛЕНИЯ И КАСАТЕЛЬНОГО
НАПРЯЖЕНИЯ ПОНЯТИЕ ОБ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ

Аэродинамические силы и моменты и их коэффициенты. Рас-
смотрим следующую задачу. Пусть при некоторых углах атаки и
скольжения, а также заданных параметрах набегающего потока

Рис. 1.31. Схема действия сил давления и трения на
элементарную площадку

(скорость V-, статическое давление р«, плотность р» и температу-
ра ?«,) известно распределение по поверхности обтекаемого тела
давления р и касательного напряжения т и требуется определить
суммарные значения аэродинамических сил и моментов.

На выделенную элементарную площадку г/5 поверхности тела
действуют нормальная сила от избыточного давления (р — р«)г/5
и касательная к площадке сила те/5. Сумма проекций этих сил на
32
ось х поточной (скоростной) системы координат равна (рис. 1.3.1)

[(р—р«) СОЗ (дх)+т сок (/л)]

(1.3.1)

где я и / — соответственно нормаль м касательная к элементарной
площадке.

Две другие проекции на оси у, г получаются по аналогичной
формуле с соответствующей заменой косинусов. Чтобы получить
результирующие силы, надо проинтегрировать выражение (1-3.1)
по всей поверхности <$. Введя в полученные соотношения обозна-
чения для коэффициента давления	р=(р —р»)/^« и

местного коэффициента трения т/у®, где
— Р®И®/2 —скоростной напор, получим следующие формулы
для силы лобового сопротивления, подъемной и боковой сил:

</5

и

(5)

и

п

(^)

(Ч

В этих формулах в качестве характерной площади 5Н может быть
выбрана произвольная поверхность, например пл отца дь крыла в
плане, площадь наибольшего (миделевого) сечения корпуса и др_
Интегралы в формулах (1.3.2)-=-(1.3.4) являются безразмерными
величинами, учитывающими влияние на аэродинамические силы ха-
рактера обтекания тела заданной геометрической формы и обу-
г.юв лент того этим обтеканием распределения безразмерных коэффи-
циентов давления и трения.

В формуле (1.3.2) для силы X безразмерная величина обычно
обозначается сх и называется аэродинамическим коэф-
фициентом силы лобового сопротивления. В двух
других формулах вводятся соответствующие обозначения величин
с .у и с2, первая из которых называется коэффициентом подъ-
емной силы, авторая — коэффициентом боковой си-
лы. С учетом сказанного

(1-3-5)

Аналогично формулам (1.3.2) 4-(1.3.4) для сил могут быть полу-
чены общие соотношения для моментов. Для примера рассмотрим
такое соотношение для момента тангажа Очевидно, элементар-
ная величина этого момента определяется суммой моментов
относительно оси г сил, действующих на площадку в плоскости,
перпендикулярной оси г. Если координаты площадки <18 будут у я
2-707	33
х, то элементарная величина момента

Цр соз (л#) — с/х соз (ф)] х —

— [р соз (лл)+соз (й)] 0]	.

*\г

Интегрируя это выражение по поверхности 5 и вводя безразмерный
параметр

Л<	р —

шг=------([р сов (лу) - с/х сов й/)] X -

9 Л
(5)

— [р соз (лйс) -{ с/л СО5 (**)№}	»	(1-3.6)

Хц1-

в котором Ь — некоторый характерный геометрический размер, по-
лучим формулу для момента тангажа:

(1,3.7)

Параметр тг называется аэродинамическим коэффи-
циентом момента тангажа. Аналогично записываются
формулы для других составляющих момента:

Мх^=тхд„^к1, Му=тудх$„Ь.

(1.3Л)

Безразмерные параметры тх и ту называются соответственно к о-
эффициентами моментов крена и рыскания.

Соответствующие аэродинамические коэффициенты сил и мо-
ментов могут быть введены и в связанной системе координат. При
помощи этих коэффициентов силы и моменты можно представить
в следующем виде:

— СрЦ оо*$П’	>

’ = АГ —	==

(1.3.9)

Величины Схт (сн), Су[(сЛ-), называются соответственно коэф-
фициентами продольной (осевой), нормальной и
поперечной сил, а параметры тХ}, туь тг1— коэффициен-
тами моментов крена, рыскания и тангажа.

Из анализа выражений для аэродинамических сил (1.3.2) 4-
(1.3.4) следует вывод, что каждую из этих сил можно разделить
жа составляющую, обусловленную давлением, и составляющую,
связанную с касательными напряжениями, возникающими при дви-
жении вязкой жидкости. Например, лобовое сопротивление X—
=ХР+Х;1 первая составляющая (Лр) называется сопротивле-
нием давления, вторая (X/)—сопротивлением тре-
пня. Согласно этому полный коэффициент сопротивления равен
сумме коэффициентов сопротивлений давления и трения: сЛ=с*р+
Аналогично можно представить в виде суммы двух составляю-
щих аэродинамические коэффициенты подъемной и боковой сил,
а также моментов. Таким же образом записываются силы, момен-
ты и их коэффициенты в связанных осях. Например, коэффициент
продольной силы Сц=Сцр + Сщ (где Сп?> Сщ—коэффициенты про-
дольных сил соответственно от давления и трения).

Составляющие аэродинамических сил и моментов, зависящие от
трения, не всегда по порядку величин такие, как составляющие от
давления. Исследования показывают, что влияние трения оказыва-
ется более существенным в случае обтекания длинных и тонких тел.
При этом в практических случаях такое влияние целесообразно
учитывать в основном при определении сопротивления (продольной
силы).

При наличии у обтекаемой поверхности плоской площадки в
хвостовой части (донный срез корпуса или затупленная задняя
кромка крыла) сопротивление от давления обычно разделяют еще
на две составляющие, а именно: сопротивление от давления на бо-
ковую поверхность (головное сопротивление) и сопротив-
ление от давления на донный срез (донное сопротивле-
ние). В соответствии с этим суммарное сопротивление и соответ-
ствующий аэродинамический коэффициент равны:

=	сл ^схр^~сх дьн + сл/'

При определении продольной (осевой) силы и ее коэффициента
можно напнеать:

^?-“^?р + ^?дон + ^/1	+ СЯ ,гн + с2?л

В соответствии с рис. 1.3.1



тон’	10н	_ е >

где рло„=(рлон—р®)/?® (эта величина отрицательная, так как
за донным срезом возникает разрежение, т. е. РдОП<р«), Влияние
донного давления на подъемную и боковую силы, а также момен-
ты, как правило, оказывается пренебрежимо малым.

Характерные геометрические размеры. Абсолютная величина
аэродинамического коэффициета, являющаяся в известной степеня
произвольной, зависит от выбора характерных геометрических раз-
меров 5П и Ь. Однако для удобства практических расчетов заранее
\ сдавливаются о выборе той или иной характерной геометрической
величины. В ракетной технике в качестве характерной площади
принимают обычно площадь миделевого (наибольшего) поперечно-
го сечения корпуса 5п=5мши и за характерный линейный размер Ь
берут длину ракеты.

В аэродинамических расчетах самолетных схем за характерные
размеры принимают площадь крыльев в плане 5п=5Кр, размах
крыльев I (расстояние между боковыми кромками) или хорду
2*	35
крыла Ь. Хордой называется отрезок, равный расстоянию между
наиболее удаленными точками профиля (сечения) крыла. Для кры-
ла прямоугольной формы в плаке корда равна ширине крыла. На
практике чаще всего крыло имеет переменную по размаху хорду.
Для такого крыла в качестве характерного размера чаще всего
выбираются средняя геометрическая хорда Ь —
равная значению 6Ср~<$Кр/4 или средняя аэродинамиче-
екая хорда Ь=Ьсах, определяемая как хорда профиля эквива-
лентного прямоугольного крыла, у которого при одинаковой площа-
ди в плане моментные аэродинамические характеристики с извест-
ным приближением будут такими, как у заданного.

Размер средней аэродинамической хорды и координата ее пе-
редней кромки определяются следующим образом (рис. 1.3.2):

1/2	1/2

2 Г	2 С

^сдх=— \ ЬЧх, ха =-------| Ьх(1г,

.)	*$кр

О	К О

При расчетах сил и моментов по известным аэродинамическим

коэффициентам необходимо использовать те геометрические раз-

Рис 1.3,2. Схема крыла

меры, по которым были вычи-
слены эти коэффициенты. Если
возникает необходимость про-
водить та кие расчеты по другим
геометрическим размерам, то
следует предварительно пере-
считать аэродинамические ко-
эффициенты на соответствую-
щий геометрический размер.
Для этого надо воспользовать-
ся зависимостями

(для коэффициентов сил) и
(для коэффи-
циентов моментов), получен-
ными из условий неизменности

величин сил и моментов, действующих на один и тот же летатель-
ный аппарат. По этим зависимостям находятся соответственно ко-
эффициенты и /п2, пересчитанные на новые характерные раз-
меры 5г и

С2~С1	^2” т1

жде прежние размеры 5^ и аэродинамические коэффициенты
ггь а также новые размеры 8%, являются известными величи-
ями.	Г,	« х

Поляра летательного аппарата. В качестве важнейшей аэроди-
намической характеристики широко используют так называемую
поляру летательного аппарата, устанавливающую зависимость
между подъемной силой и силой лобового сопротивления или, что
то же самое, между коэффициентами подъемной силы и лобового
36
сопротивления в поточной системе координат. Эта кривая, называ-
емая полярой первого рода (рис. 1.3.3, в), представляет
собой геометрическое место концов векторов полной аэродинамиче-
ской силы Р, действующей на летательный аппарат при разных уг-
лах атаки [или вектора коэффициента с г этой силы, определяемого
в соответствии с соотношением сР — г/(5п9ж)|.

Поляра первого рода строится при помощи графиков функций
Сзе=сх(а) и Су=су (а) таким образом» что значения сх и с у отклады-
ваются соответственно по осям абсцисс и ординат. При этом у каж-
дой точки кривой записывается соответствующий угол атаки, кото-
рый является в данном случае параметром поляры. Таким путем на
кривой су=/(ст) производится разметка углов атаки.

Поляра первого рода удобна в практическом применении, так
как позволяет легко определить для любого угла атаки такую очень

Рис. 1 3.3. Построение поляры первого рода летательного аппарата:
а- график функция	(а); 6 —график функции Су-су (ч)‘. в — псляра

первого рода

важную аэродинамическую характеристику летательного аппарата,
как аэродинамическое качество



(1.3.10)

В случае если масштабы с1( (или У) и сх (или X) одинаковы, то К
равно тангенсу угла наклона к оси абсцисс вектора, проведенного
из начала координат (полюса) в точку полярной диаграммы, соот-
ветствующую выбранному углу атаки.

На поляре можно определить наивыгоднейший угол
атаки Онамв, соответствующий максимальному качеству

цнанн’	(1.3.10')

если из начала координат провести касательную к поляре.

К числу характерных точек поляры относится точка су тих, соот-
ветствующая максимальной подъемной силе, которая
достигается при критическом угле атаки акр. На кривой
^ожно отметить точку, определяющую минимальный коэффициент

37
параметров, как

V СС^>Роо/|^(Х*

лобового сопротивления схт:п и соответствующие значения угла
атаки и коэффициента подъемной силы.

Поляра будет симметрична относительно осн абсцисс, если ле-
тательный аппарат обладает горизонтальной симметрией. Для та-
кого летательного аппарата значение схт1п соответствует нулевой
подъемной силе су=0.

Наряду с полярой первого рода иногда пользуются полярой
второго рода, отличающейся тем, что она строится в связанной
системе координат, по оси абсцисс которой откладываются значе-
ния коэффициента продольной силы сп, а по оси ординат — коэф-
фициенты нормальной силы (рис. 1 3.4). Эта кривая применяет-
ся, в частности, при прочностных расчетах летательных аппаратов.

Теоретические и экспериментальные исследования показывают,
что в наиболее общем случае аэродинамические коэффициенты за-
висят для данной формы тела и угла атаки от таких безразмерных
[мело Маха = и число Рейнольдса
Здесь а® — скорость звука в набегающем пото-
ке; рж и — соответственно плотность и ди-
намический коэффициент вязкости газа; Ь —
длина тела. Поэтому для каждого данного ле-
тательного аппарата существует множество по-
лярных кривых. Например, для определенного
числа можно построить семейство таких
кривых, каждая из которых соответствует сво-
ему значению скорости Мое. Кривые на рис.
1.3.3 и 1.3.4 соответствуют фиксированному
значению и определяют зависимость для
су и сх в случае, когда полет происходит при
малых скоростях (порядка 100 м/сек), при ко-
торых аэродинамические коэффициенты не за-
висят ОТ Мзд.

Центр давления и фокус. Центром дав-

ления летательного аппарата называется некоторая
точка, через которую проходит равнодействующая аэродинамиче-
ских сил. Центр давления представляет собой условную точку, так
как в действительности воздействие среды сводятся не к сосредо-
точенной силе, а к силам, распределенным по поверхности движу-
щегося тела. Обычно принимается, что для симметричных тел пли
близких к ним эта условная точка расположена на одной из основ-
ных осей — продольной оси летательного аппарата, проходящей
через центр масс, оси симметрии тела вращения или на хорде про-
филя.

В соответствии с этим продольная сила /? расположена вдоль
этой оси, а центр давления в случае движения в плоскости тангажа
рассматривается как точка приложения нормальной силы Ы. Поло-
жение этого центра давления обычно определяется координатой
Хц.д, отсчитываемой от головной передней точки контура обтекаемо-
го тела. Если известны момент тангажа А4Г относительно этой точки

Рис. 1.3.4. Поляра
второго рода
: нормальная сила № (рис. 1.3.5, а), то координата центра давления

(1.3.11)

Ломент Л4г, стремящийся уменьшить угол атаки, считается отрица-
тельным (рис. 1.3.5, а); тогда координата хц.д получается положи-
лельной. Принимая во внимание, что

юлучим

А.д= — тгЬ1СК.

ткуда

(1.3.1 Г)

>езразмерпая величина Сц.Д1 определяемая как отношение расстоя-
шя до центра давления к характерной длине тела (в данном слу-

Рис. 1.3.5. К определению центра давления (а) и фокуса (б)

гае к хорде крыла Ь), называется коэффициентом центра
1а в ле ни я. При малых углах атаки, когда коэффициенты подь-
мной и нормальной сил приблизительно равны (су^гй),

сц .,= — тг]су.	(1.3.12)

Для симметричного профиля, у которого при а->0 одновременно
0 и тг принимают нулевые значения в соответствии с выражениями
су=(дсу/да) а, тх - (дтг/да) а,

’меющими место при малых углах атаки (здесь производные
1су/с1а и дтг]да — постоянные величины, которые могут опреде-
ляться для угла атаки а~0), коэффициент сцд будет равен неко-
торому постоянному значению, не зависящему от угла атаки:

= — дт^дсу.	(1.3.13)

По величине коэффициента сцд и безразмерной координате
гентра масс Хцм=Хц.м/Ь можно определить коэффициент момента
’энгажа относительно этого центра:

(1.3.14)
Исследования показывают, что в реальных условиях обтекания
у осесимметричных летательных аппаратов даже при небольшом
изменении углов атаки может наблюдаться существенное переме-
щение центра давления. Это особенно заметно у аппаратов с не-
симметричной конфигурацией или при отклонении рулей, которые
нарушают имеющуюся симметрию. В этих условиях центр давле-
ния неудобен для применения в качестве характерной точки при
оценке положения равнодействующей аэродинамических сил и воз-
никающего момента тангажа относительно центра масс. В рас-
сматриваемых случаях удобнее оценивать
летные свойства аппарата по фокусно-
му расстоянию. Чтобы установить
смысл этого понятия, рассмотрим несим-
метричный профиль и вычислим момент
Мгп относительно произвольной точки' Ра
с координатой хПу лежащей па хорде
профиля. Непосредственно из рис. 1.3-5, б
видно, что

или, так как — Лгхц.д=Л41 — момент отно-
сительно передней точки О,

Рис. 1.3.6. Зависимость ко-
эффициента момента от ко-
эффициента подъемной си-
лы для несимметричной
конфигурации летательного
аппарата



Переходя к аэродинамическим коэф-
фициентам в рассматривая малые углы
атаки, для которых	получим

тгп=са(хя11>]-\-тг.	(1.3.15)

Для малых углов атаки, при которых имеет место линейная
зависимость тг от су вида

тг=тго+ (^/^) су>	(1.3.16)

можно написать

т2Г== Су (хя]Ь')-\-тг,3-\-(дтг1дСу) си,
или

т1а= тг0-|^ (дт^Су+х^Ь),	(1.3.17)

где т10 — коэффициент момента относительно точки передней
кромки при Су = 0 (рис. 1.3.6).

Второе слагаемое в (1.3.17) определяет приращение момента,
связанное с изменением коэффициента подъемной силы. Если ш.
хорде выбрать точку Ра, координата которой *Л==*Га определи
ется из условия (см. рис. 1.3.5, б)

хп/Ь=хра]Ь=хрл = —	(1.3.18*

40
то коэффициент момента относительно этой точки не будет зави-
сеть от су и при всех (малых) углах атаки оказывается величиной
постоянной. Эта точка называется аэродинамическим фо-
кусом или просто фокусом данного тела. Очевидно, фокус
представляет собой точку приложения добавочной подъемной си-
лы, вызванной углом атаки [коэффициент этой силы равен (дсу/
<?а)а=с^а]. Момент тангажа относительно оси, проходящей
через эту точку, не зависит от угла атаки. Такая точка называется
фокусом аппарата по углу атаки. Зависимость между
центром давления и фокусом определяется соотношением

С^= ~^-=	=Са	(1.3.19)

I	СУ	Су

где Сц.ло=—гп^/Су, Для симметричной -конфигурации /пг0=0 и» сле-
довательно, центр давления совпадает с фокусом.

Однако соотношение (1.3.19) будет действительно для такой
симметричной конфигурации, которая снабжена рулем высоты, от-
клоненным на некоторый угол бе (см. рис. 1.2.2 и 1.3.5). В этом
случае коэффициент момента

(1.3.20)

а коэффициент подъемной силы

(1.3.21)

где	— дсу!ди\

т^=дтг/дЪъ; сУ=дс„1дЪъ.

Если конфигурация несимметрична, то соответствующие коэф-
фициенты будут иметь вид:

/пг — т^-\ /Пга--|-/п^8^;	(1.3.22)

с,=4- йа + с‘58».	(1.3.23)

Точка приложения составляющей нормальной силы, обуслов-
ленной углом отклонения руля и пропорциональной этому углу,
называется фокусом по углу отклонения руля. Очевид-
но, момент сил относительно поперечной оси, проходящей через
этот фокус, не зависит от угла 6$. В общем случае у несимметрич-
ной конфигурации ее центр давления не совпадает ни с одним из
фокусов (по а или 6$). В частном случае у симметричного аппарата
при а=0 центр давления совпадает с фокусом по 6©.

Пользуясь определением фокусов по углам атаки и отклонения
рулей и введя для них соответствующие координаты и

41
можно найти коэффициент момента относительно центра масс.
Этот коэффициент вычисляется по формуле (1.3.22), в которой

=с1 (л„.м—), от*»=с*• (Х„.„ -хеь).

(1.3.24)

где хГа—ХРа/Ь; х^—х^/Ь—относительные координаты фокусов.

§ м. СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ И СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Понятие о равновесии и устойчивости

Состояние статического равновесия (балансировка) определи-
ется условиями полета и соответствующим силовым воздействием,
при которых равнодействующая всех сил и суммарный момент,
приложенные к летательному аппарату, равны нулю. Такое равно-
весие соответствует режиму установившегося прямолинейного дви-

Рис. 1.4.1. Зависимость аэродинамического мо-
мента от углов атаки летательного аппарата
и отклонения рулей;

Л 2. 3. 4 — точки пересечения моментной кривой с
осью а, определяющие балансировочные углы атаки;
5 — область линейного изменения момента тангажа
от углов атаки и отклонення рулей

жения аппарата, когда
параметры этого дви-
жения не зависят от
времени.

Состояние равнове-
сия достигается при б а-
пансировочных уг-
лах атаки и скольжения
(«бал> Рбал), которые
обеспечиваются соот-
ветствующим поворо-
том рулей.

Равновесие аппара-
та может быть устой-
чивым инеустой-
ч и в ы м. Устойчивое
равновесие представля-
ет собой такое состоя-
ние аппарата, когда ма-

лое его отклонение под
воздействием случайного кратковременного возмущения не нару-
шает характера этого равновесия, которое восстанавливается после
прекрашения возмущения. При неустойчивом равновесии такие
возмущения вызывают еще большие отклонения от исходного поло-

жения.

Характер равновесия летательного аппарата с закрепленными
рулями определяется его статической устойчивостью или
неустойчивостью. Для выявления сущности статической
устойчивости можно рассмотреть обтекание потоком воздуха в
аэродинамической трубе летательного аппарата, закрепленного в
центре масс и имеющего возможность поворачиваться около него
(рис. 1.4.1). При этом для заданного угла поворота руля каж-

42
дому значению угла отклонения аппарата а (угла атаки) будет
соответствовать определенная величина аэродинамического момен-
та М2- Возможная зависимость между а и Л12 для некоторого угла
бо показана на рис. 1.4.1, где положениям равновесия соответству-
ют точки /, 2, 3, определяющие балансировочные углы аюал, ыгбал,
а3бал, при которых достигается равенство нулю аэродинамического
момента.

Рассмотрим равновесие в точке /. Если отклонить летательный
аппарат на угол, меньший или больший ащал, и предоставить его
самому себе, то возникшие моменты, соответственно положитель-
ный или отрицательный, вызовут увеличение (уменьшение) этого
угла до прежней величины оибал, т. е. эти моменты окажутся ста-
билизирующими. Таким образом, положение равновесия в
точке / устойчиво (летательный аппарат статически устойчив).
Аналогично можно показать, что такое положение устойчивого
равновесия будет соответствовать и точке 3. Б первом случае сво-
бодное вращение летательного аппарата будет продолжаться до
тех пор, пока он не займет положение равновесия в точке /, а во
втором случае — в точке 3.

Что касается точки 2 (аиоал), то в ней положение равновесия
будет неустойчивым. Действительно, как видно из рис. 1.4.1, при
значениях угла а, больших или меньших аабал, возникают моменты,
соответственно положительный или отрицательный, которые стре-
мятся увеличить (или уменьшить) а. Таким образом, эти моменты
являются дестабилизирующими, и летательный аппарат
будет статически неустойчивым.

Статическая устойчивость схематически подразделяется на
продольную и боковую. При этом в случае продольной ус-
тойчивости полагают, что все возмущающие силы и моменты дей-
ствуют в продольной плоскости связанных осей х^Оу^. Таким об-
разом, исследуются только такие движения аппарата, которые
происходят в его плоскости симметрии при отсутствии крена и сколь-
жения. При анализе боковой устойчивости рассматриваются воз-
мущенные движения летательного аппарата, связанные с измене-
нием углов крена и скольжения при неизменном угле атаки. Такие
движения всегда взаимосвязаны. Отклонение элеронов вызывает
не только крен, но и скольжение. Вместе с тем поворот рулей на-
правления приводит также к накренению. Поэтому исследование
боковой устойчивости связано с анализом как моментов крена, так
и моментов рыскания.

Продольная статическая устойчивость

При наличии такой устойчивости возникающий продольный мо-
мент относительно центра тяжести будет стабилизирующим. Б этом
случае направление изменения момента М2 (и соответственно ко-
эффициента /п2) противоположно изменению угла а. Следователь-
но, условие продольной статической устойчивости можно выразить
в соответствии с кривой на рис. 1.4.1 неравенствами	или
дт?/да—гпга<$ (производные вычисляются для балансировочного
угла атаки а = авал)-

В случае продольной статической неустойчиво-
сти возникает дестабилизирующий (опрокидывающий) момент,
который стремится увеличить угол атаки по сравнению с его ба-
лансировочным значением. Следовательно, условием продольной
статической неустойчивости будут неравенства дМг/да>0 или
т“>0

Летательный аппарат будет нейтральным в отношении про-
дольной статической устойчивости, если при малом отклонении от
балансировочного угла атаки не возникает ни стабилизирующий,
ни опрокидывающий момент. Этот угол атаки соответствует на
рис. 1.4.1 точке 4, в которой моментная кривая касается горизон-
тальной оси. Очевидно, в этом случае коэффициент восстанавли-
вающего момента Д/п2=(/п2)вбадДа=О.

Критерии статической устойчивости. Производная т„ от ко-
торой зависит величина стабилизирующего или дестабилизирую-
щего момента, называется коэффициентом (степенью)
продольной статической устойчивости. Этот крите-
рий устойчивости относится к конфигурациям как с осевой симмет-
рией, так и без нее.

Для осесимметричных летательных аппаратов в качестве кри-
терия статической устойчивости можно принять разность расстоя-
ний от носка летательного аппарата до центра масс и центра дав-
ления, т. е. величину хц.м—хц.д, или в безразмерной форме

У	*ц. 1 /	*

Если коэффициент центра давления сц.д больше относительной ко-
ординаты центра масс хц.м, т. е. если центр давления расположен
за центром масс, то летательный аппарат будет статически устой-
чивым; при переднем расположении центра давления (разность

—Сц.д положительная) аппарат будет статически неустойчи-
вым; при совпадении обоих центров аппарат будет нейтральным.

Действие соответствующих моментов тангажа относительно по-
перечной оси, проходящей через центр масс, показано на рис. 1.4.2.

Критерий У=яц.м—сцд 01И)еделяет запас -статической ус-
тойчивости. Он может быть отрицательным (статическая ус-
тойчивость), положительным (статическая неустойчивость) и нуле-
вым (нейтральность в отношении продольной устойчивости).

Величина У определяется по формуле У-т^/с#, в которой коэф-
фициент момента тангажа вычисляется относительно центра масс.
Для малых а коэффициенты т2 и су можно представить в виде
/пг=/п2а; су = с*а* С учетом этого

У ^пй1су^дтг1дсу=хл н —	(1-4.1)

Отсюда следует, что производную дт^дСу — т.^ можно рассмат-
ривать в качестве критерия, определяющего качественную и
44
количественную характеристики продольной устойчивости. Еслж
то имеет место продольная статическая устойчивость,
в случае т^^>0 имеем неустойчивость, а при	0—нейтраль-

ность. Параметр также называется коэффициенте»
(степенью)продольной статической устойчивости.

Для оценки статической устойчивости несимметричных лета-
тельных аппаратов или симметричных аппаратов с отклоненным!
рулями используется понятие о фокусе. Безразмерная координата
и	.	“	С и

этой точки по углу атаки определяется по формуле лГп= — тх .
Учитывая это и полагая в (1.3.17) величину хп равной координате

Рис 1 4.2. Анализ статической устойчивости летательного аппарата:
с — статическая неустойчивость; б — статическая устойчивость; в — нейтральность в отно-
шении статической устойчивости

*п.м центра масс, получим

^2 '	Су (ху>а -^Ц,м)-

Дифференцируя по су, найдем

т'» = — (хГ1-7„.ч).

(1.4.2)

В соответствии с этим продольная устойчивость определяется вза-
имным расположением фокуса и центра масс летательного аппа-
рата. При заднем расположении фокуса (разность лГв — по-
ложительная) такой аппарат_будет статически устойчивым, а при
переднем (величина	отрицательная)—неустойчивым.

Соответствующим выбором центра масс (или, как говорят,
центровки) можно обеспечить необходимый запас статической ус-
тойчивости. Центровка будет нейтральной, если центр масс
совмещен с фокусом аппарата.

45
Влияние отклонения рулен. Исследования показывают (см. рис.
1.4.1), что в случае нелинейного характера моментной кривой
Л1г(а) ее наклон в точках пересечения с горизонтальной осью ока-
зывается неодинаковым при разных углах отклонения рулей. Это
свидетельствует о различии в значениях коэффициентов продольной
статической устойчивости. Из рис. 1.4.1, например, видно, что при
некотором отклонении руля (6^) устойчивость при небольших углах
атаки («сейвал) может смениться неустойчивостью при повышен'
ных их значениях (а~«2бал) и восстановиться при еще больших
углах (а~азбал)- Во избежание такого явления стремятся ограни-
чить диапазон летных углов атаки малыми их значениями, при
которых сохраняется линейная зависимость коэффициента момента
тангажа от углов атаки и отклонения рулей высоты. В этом случае
степень устойчивости не меняется, поскольку при всех возможных
(малых) углах поворота рулей наклон моментной кривой к осн
абсцисс один и тот же.

Условие линейности моментной характеристики обусловливает
возможность использования при исследовании летных свойств ап-
паратов таких понятий, как фокус или нейтральная центровка
(хр—хд м)э которые теряют свой смысл при нарушении этой линей-
ности.

Продольная балансировка. Рассмотрим прямолинейный полет
€ равномерной скоростью в продольной плоскости при условии, что
летательный аппарат обладает достаточно высокой степенью ста-
тической устойчивости. При этом условии, как показывают иссле-
дования, можно не учитывать -воздействие момента тангажа, выз-
ванного вращением относительно поперечной оси, проходящей че-
рез центр масс.

Такой полет характеризуется равновесием моментов тангажа
относительно той же поперечной оси, т. е. продольной балансиров-
кой аппарата, при которой имеет место равенство

И	^4	—

^о+ т2сСба„+ =0-

Из этого равенства можно найти угол отклонения рулей, необхо-
димый для обеспечения балансировочного полета при заданном
значении а:

За бал = (	("V;т

(1.4.3)

Для летательного аппарата с осесимметричной конфигурацией
^1^=0, поэтому

8 л бзл = — (а6 а_,.	(1-4.4)

Балансировочным углам атаки и отклонения рулей соответст-
вует коэффициент подъемной силы

Су бал ^уЗ -Р ( ~Р ^у ®бзй/®бал) ®бал 	(1.4.5)

4С
Значения су0 обычно весьма малы даже для несимметричных кон-
фигураций (при малых б# и а) и точно равны нулю для аппаратов
с осевой симметрией.

Боковая статическая устойчивость

Для анализа боковой устойчивости летательного аппарата тре-
буется совместное рассмотрение характера изменения углов крена
и скольжения при одновременном действии возмущающих момен-
тов крена и рыскания Л1У. Если после прекращения такого воз-
действия эти углы уменьшаются, стремясь к первоначальным зна-
чениям, то имеет место боковая статическая устойчивость. Таким
образом, при исследовании боковой устойчивости следует, строго
говоря, рассматривать одновременно изменение аэродинамических
коэффициентов тх и Однако в большинстве практических слу-
чаев боковую устойчивость можно разделить на два более простых
вида — поперечную статическую устойчивость (ус-
тойчивость крена) и статичесчую устойчивость
пути — и изучать их отдельно, рассматривая изменение соответ-
ствующих коэффициентов моментов тх(у), /пу(р).

Рассмотрим поперечную статическую устойчи-
вость. Предположим, что при установившемся движении под уг-
лом атаки ап аппарат повернулся вокруг оси 0*1 на некоторый
угол крена у. Этот поворот при неизменной ориентировке оси О*|
относительно вектора скорости V вызовет появление углов атаки
а—Иц соз у и скольжения р^апзту. В свою очередь скольжение
обусловливает появление момента крена, коэффициент которого

мп у. Дифференцируя по у, получим /п^=/п?а-

Производная /п} является мерой поперечной статической
устойчивости. Если т]<° (момент стремится ликвидировать
крен), то аппарат обладает поперечной статической устойчи-
востью; при	образуется опрокидывающий момент и имеет

место поперечная статическая неустойчивость; в
случае аппарат нейтрален в отношении устойчивости крена.

Так как обычно полет происходит при положительных углах
атаки, то знаки производных /п} п совпадают. Поэтому при
анализе движения по крену можно пользоваться производной
гЯг, которую называют коэффициентом (или сте-
пенью) поперечной статической устойчивости.

Статическая устойчивость пути характеризуется коэффициентом
(степенью), определяемым производной дМу]д$ (или дт^д^—т^.
Если величина	то аппарат обладает статической устойчи-

востью пути; при т$^>0 имеет место статическая неустойчивость,
а в случае /п₽ = 0 — нейтральность.

Пснятие устойчивости пути связано со свойством летательного
аппарата устранять возникший угол скольжения р. В то же время
собственно путевая устойчивость не выдерживается, так как аппа-
рат, изменив под действием различных возмущений направление

47
движения, не возвратится к прежнему направлению, а, подобно
флюгеру, повернется носовой частью в сторону нового вектора ско-
рости У.

По аналогии с фокусом по углу атаки можно ввести понятие
фокуса по углу скольжения. Статическая устойчивость
или неустойчивость пути зависят от взаимного положения этого
фокуса и центра масс. Заднее расположение фокуса определяет
статическую устойчивость пути, а переднее — статическую неустой-
чивость. При их совмещении аппарат нейтрален в отношении ста-
тической устойчивости пути.

Характерный -вид движения аппарата — равномерный полет без
крена. Условием такого полета является боковая баланси-
ровка, при которой момент рыскания равен нулю, т. е.

' А

тУ0 4-	О,

где — угол поворота рулей направления. Обычно все летатель-
ные аппараты обладают симметрией в вертикальной плоскости,
поэтому /па0 = 0. При этом условии из полученного равенства опре-
деляется балансировочный угол отклонения руля направления
й* соответствующий заданным значениям балансировочного
угла скольжения реял:

«*»»=-ИУ'пЖл-	(1-4.6)

$ 1.5. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

С БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ

Сжимаемость газа

Одним из важных свойств газа является его сжимаемость —
способность изменять плотность под воздействием давления. Вес
процессы, связанные с течением газа, характеризуются изменением
давления и, следовательно, влиянием в той или иной степени на
эти процессы свойства сжимаемости. Исследования показывают,
что, пока скорости малы, изменение плотности вследствие малых
изменений давления невелико и эффектом сжимаемости можно
пренебречь. Для исследования обтекания тел потоками с малыми
скоростями можно принять уравнения гидродинамики, изучающей
законы движения несжимаемой жидкости.

Практически влиянием сжимаемости можно пренебречь в диа-
пазоне скоростей движения воздуха от нескольких метров в секун-
ду до 100ч-150 м!сек, что в реальных условиях соответствует чис-
лам Маха от М«,=1/ю/ам=0 до М«—0,30,45 (аж —скорость
звука в невозмущенном потоке). Идеализация процесса состоит в
том. что в указанной области скоростей число Маха принимается
равным нулю, так как в несжимаемой среде малые возмущения
(звуковые колебания) распространяются с бесконечно большой
скоростью и, следовательно, отношение скорости полета к скорости
звука будет стремиться к нулю.
Современным летательным аппаратам свойственны большие
скорости полета, при которых обтекание сопровождается значи-
тельным изменением давления и, как следствие, существенным из-
менением плотности и температуры. В условиях полета с большими
скоростями необходимо учитывать влияние сжимаемости на эф-
фекты взаимодействия среды и тела, которое может быть весьма
существенным. В учете влияния сжимаемости газа на аэродинами-
ческие характеристики обтекаемых тел состоит одна из важнейших
особенностей аэродинамики больших скоростей.

Разогрев газа

Значительное увеличение скоростей летательных аппаратов
привело к необходимости учитывать в аэродинамических исследо-
ваниях специфические особенности газовых течений, обусловлен-
ные изменением физико-химических свойств воздуха. Если в «обыч-
ной» сверхзвуковой аэродинамике учитывалось свойство сжимае-
мости как важнейшее проявление особенности течения с большими
скоростями, а влиянием температуры на термодинамические пара-
метры н кинетические коэффициенты воздуха, а также на физико-
химические процессы, которые могут протекать в нем, пренебрега-
ли, то при очень больших (гиперзвуковых) скоростях на первое
место выдвигаются особенности, связанные с влиянием высоких
температур.

Высокие температуры возникают вследствие торможения газо-
вого потока, при котором кинетическая энергия упорядоченного
движения частиц переходит во внутреннюю энергию газа.

При температуре порядка 1500 К начинает играть заметную
роль возбуждение колебательных уровней внутрен-
ней энергии молекул кислорода и азота воздуха. При температуре
приблизительно 3000 К и давлении 1 атм колебательные степени
свободы молекул кислорода оказываются полностью возбужденны-
ми и дальнейшее повышение температуры позволяет атомам пре-
одолеть внутримолекулярные силы, в результате чего, например,
двухатомная молекула распадается на два отдельных атома. Та-
кой процесс называется диссоциацией. Одновременно с дис-
социацией происходит рекомбинация — образование новой
молекулы при столкновении двух атомов (О2^±2О). Эта реакция
идет с выделением тепла, что обусловливает столкновение двух
атомов с третьей частицей, которая уносит с собой часть выделив-
шейся энергии и тем самым обеспечивает создание устойчивой мо-
лекулы. Кроме того, в воздухе происходят химические реакции, в
результате которых возникает некоторое количество окиси азота
МО, также диссоциирующей при дальнейшем разогреве с образова-
нием атомарного азота и кислорода по уравнениям

+	или М + О2^МО-|-О

При температуре 5000—6000 К и давлении 1 атм (1,013X
ХЮ5 к/м2) молекулы кислорода почти полностью диссоциированы.
Кроме того, при такой температуре происходит диссоциация боль-

49
шей части молекул азота с одновременной рекомбинацией атомов
в молекулы. Этот процесс идет по уравнению	Интенсив-

ность диссоциации определяется степенью диссоциации,
равной отношению числа распавшихся при диссоциации частиц
воздуха к общему числу атомов и молекул. Степень диссоциации
зависит от температуры и от давления.

С повышением* температуры степень диссоциации увеличивает-
ся, так как возрастают скорость и энергия движущихся молекул,
что увеличивает вероятность их столкновения и распада. При этом
интенсивность протекания диссоциации повышается с понижением
давления (плотности) вследствие уменьшения вероятности тройных
столкновений частиц, ведущих к образованию молекул из атомов.
Например, кислород начинает диссоциировать уже при Т=2000 К,
если давление равно 0,001 атм,.в то время как при нормальном
атмосферном давлении диссоциация О2 начинается при Т—
=3000 к. Температура, при которой начинается диссоциация азо-
та, понижается с 6000 К при давлении 1 атм до 4000 К при давле-
нии 0,001 атм.

При температурах 5000—6000 К начинает развиваться еще один
процесс, заключающийся в том, что вследствие большого притока
энергии происходит сначала возбуждение электронных степеней
свободы, а затем отрыв электронов от атомов азота и кислорода,
а также от молекул окиси азота. Указанный процесс называется
ионизацией. Она происходит в основном в результате соуда-
рения частиц воздуха при их тепловом движении; поэтому такую
ионизацию называют также термоионизацией. Процесс иони-
зации происходит более интенсивно по мере увеличения темпера-
туры и сопровождается, естественно, ростом концентрации свобод-
ных электронов. Интенсивность этого процесса характеризуется
степенью ионизации, равной отношению числа ионизиро-
ванных атомов (молекул) к их общему числу. Как показывают
исследования, азот, например, полностью термически ионизирован
(степень ионизации равна единице) при температуре 17 000 К и
давлении 1 атм.

Изменение удельных теплоемкостей. При разогреве воздуха
подводимое к нему тепло расходуется не только на увеличение
энергии поступательного и вращательного движения молекул, но
и на увеличение энергии колебания атомов в молекуле, работу по
преодолению сил взаимодействия между атомами при диссоциации
молекулы, а также на отрыв электронов от атома при ионизации.
Вследствие этого удельные теплоемкости возрастают.

До момента начала диссоциации изменение удельной теплоем-
кости воздуха определяется лишь температурой. Для приближен-
ной оценки влияния температуры на удельную тем пл оем кость при
постоянном давлении применяется формула

ср;с^[Т]Тсу,	(1.5.1)

где показатель ср в свою очередь зависит от температуры (рис.
1.5.1). Для Г>1000 К можно принять этот показатель постоянным
50
расчеты проводились для тем-

Рис. 1.5,1. Изменение показа-
телей степени <р, л, ж в соот-
ветствующих формулах для
определения удельной теплоем-
кости. динамического коэффи-
циента вязкости и коэф фи ц йен
та теплопроводности

при изменении удельных теп-

и равным ОД. ГГри 7® = 288 К удельная теплоемкость сДао=
=^0,24 ккал/(кГ-град) [в СИ 1000 дж/(кг -град)). Формула (1.5.1)
применяется до значений 7=2000-^-2500 К, при которых колеба-
тельные степени свободы близки к состоянию полного возбуж-
дения.

При наступлении диссоциации удельная теплоемкость зависит
не только от температуры, но и от давления. Расчеты удельных
теплоемкостей, а также показателя адиабаты й=ср/ср в условиях
термодинамического равновесия при высоких температурах осу-
ществлены на электронных вычислительных машинах группой со-
ветских ученых л од руководством чл.корр. АН СССР проф<
А. С. Предводите лева [18, 19} Эти
пер ату р от 1000 до 6000 К без
учета ионизации, так как ее влия-
ние в этом интервале температур
пренебрежимо мало. При более
высоких температурах учитыва-
лось влияние равновесной одно-
кратной ионизации, которая счи-
талась полностью завершенной
при 7=12 000 К и р=0,001 атм.
Кривые, построенные по данным
работ [18, 19], характеризующие
изменение сР и к при высоких тем-
пературах, приведены на рис.
1.5.2, 1.5.3 [6]. Полученные дан-
ные указывают на то, что при
температуре до 2000 К и давлении
I атм и выше значения ср и
= с р/с и опр едел я юте я тем пер ату -
рой и практически не зависят от
давления.

Общая тенденция, наблюдаемая

лоемкостей и их отношения, такова, что с уменьшением давления
и повышением, следовательно, степени диссоциации и ионизации
величины Ср возрастают, а отношения к=ср/съ уменьшаются, хотя
и немонотонно.

Кинетические коэффициенты. Процессы трения и теплопереда-
чи, протекающие в вязком теплопроводном газе, зависят от таких
кинетических коэффициентов газа, как динамический коэффициент
вязкости ц в коэффициент теплопроводности X. Установлено, что
при отсутствии диссоциации коэффициент ц зависит лишь от тем-
пературы и может быть определен по формуле

лК=(Г/Гм)л,	(1.5.2)

в которой показатель степени п в свою очередь зависит от темпе-
ратуры (см. рис. 1<5.1). В приближенных расчетах можно пользо-
ваться средним значением ^ср~0,7 для достаточно большого ин-
тервала температур, причем начальное значение р можно прини-

51
мать равным рда^1,82 1(Н* кГ-сек/м2 (1.79Ю’5 н сек/м2), что
соответствует Лю=288 К. Формула (1.5.2) применяется до темпе-
ратур порядка 2000’^-2500 К. С повышением температуры эта фор-
мула дает существенные ошибки. Исследования показывают, что
при высоких температурах, вплоть до 9000 К» динамический коэф-
фициент вязкости воздуха, находящегося в условиях равновесной

Рис 1.5 2 Изменение удельной теплоемкости воздуха сР при высоких тем-
пературах

Р1п. 1.5.3. Изменение отношения удельных теплоемкостей при постоянных
давлении и объеме (^=ср/си) для воздуха при высоких температурах

52
диссоциации, может быть определен с точностью до 10% по фор

-гуле Сэзерленда:

р _ / т уд* 1 + (Ш т„)

г со уда/	'

(1.5.3)

5та формула дает при температурах, меньших 1500 К, несколько
лучшие результаты, чем (1.5.2).

>ис 1 5.4. Изменение динамического коэффициента вязко-
сти воздуха при высоких температурах

эолее точными расчетами установлено, что динамический коэф-
фициент вязкости при высоких температурах зависит также и от
явления. На рис. 1.5.4 приведен график [6], характеризующий из-
менение коэффициента р при температурах до 12 000 К в интервале
давлений от 0,01 до 100 кГ/см2.

Так же как и вязкость, теплопроводность при температурах 
примерно до 2000 К не зависит от давления и может быть опреде-
лена по степенной формуле

Х/Х«=(7'/7'даГ,	(1,5.4)

которой показатель и в свою очередь зависит, как это видно из
>ис. 1.5.1, от температуры. В случае приближенных расчетов мож-
ю принять среднее значение хср=0,85. а значение А®, соответст-
ующее 7’®=261 К> равным 5,53-Ю"3 ккал/(м-сек град)
23,2 вт/(М'град)]. Для диссоциирующего воздуха характерна за-
висимость коэффициента теплопроводности от температуры и дав-
ания. Соответствующая диаграмма показана на рис. 1.5.5.

Происхождение сил вязкости, как и возникновение процесса
еплопроводности в газе, связано с молекулярным строением веще-
тва. Молекулы газа при своих собственных движениях переносят
1з одного места в другое массу, энергию и количество движения.
Результатом изменения количества движения являются силы вязко-
53
сти, а перенос энергии обусловливает свойство теплопроводности.
Из этих соображений ясно, что с ростом температуры увеличива-
ются коэффициент теплопроводности и динамический коэффициент
вязкости в газе. При возникновении диссоциации характер измене-
ния X и р будет довольно сложным. При малой степени диссоциа-
ции значения X снижаются, что вызвано затратами внутренней
энергии на разрыв молекулярных связей и, как следствие, сниже-
нием температуры газа. При повышении степени диссоциации бе-
лее интенсивное дробление молекул па атомы приводит к рост'
числа частиц, участвующих в процессах переноса, что вызывае~
увеличение коэффициента X.

Рис. 1.5.5. Изменение коэффициента теплопроводности
воздуха при высоких температурах

При очень сильном разогреве газа еще больше увеличиваются
затраты внутренней энергии на ионизацию, что влечет за собоя
снижение теплопроводности. Что касается динамического коэффи-
циента вязкости, то для его изменения характерно монотонное во.-
растание при увеличении температуры, так как с наступление*
диссоциации и ионизации образуется все большее число частиц
участвующих в переносе количества движения, которое обусловли-
вает увеличение сил вязкости.

Состояние воздуха при высоких температура

Уравнение состояния. Исследование обтекания тел воздушны*,
потоком показало, что соотношения обычной аэродинамики, оенг-
ванные на неизменности термодинамических характеристик и ш-
стоянстве физико-химической структуры, достаточно надежнь.
пока воздух остается сравнительно «холодным» и сохраняется г
силе предпосылка о неизменности удельных теплоемкостей и во.-
54
(1.5.6)

можяости применения термического уравнения состояния совер-
шенного газа

Р=ЛрГ или р=Л0?7'/(рср)0,	(1.5.5)

в котором 7? и Ло — соответственно абсолютная и универсальная
газовые постоянные [Ло=848 кГ-м[ (кмоль- град) = 8,32 X
ХЮ3 дж/(кмоль - град)]; р и Т — плотность и температура; (рср)о—
средний молекулярный вес воздуха с постоянным составом.

Газ, удовлетворяющий уравнению (1.5.5), называют термиче-
ски совершенным. Уравнению (1.5.5) соответствует калори-
ческое уравнение состояния 1=рср/(рЛ), определяющее зависи-
мость для энтальпии. Если учесть, что	(Л—1), то это урав-

нение преобразуется к виду

-С..
Л — 1 р

Газ, состояние которого определяется уравнением (1.5.6), со-
ответствующим условию, при котором ср и Сщ являются постоянны-
ми и не зависящими от температуры, называют к а л о р и ч е с к и
совершенным газом.

Следует принять во внимание, что необходимость учета измене-
ния удельных теплоемкостей от температуры наступает раньше,
чем необходимость применения уравнения состояния, отличное о г
уравнения для совершенного газа. Например, как показывают рас-
четы, изменение удельных теплоемкостей от температуры при пе-
реходе через прямую ударную волну начинается с чисел набе-
гающего потока, равных 34-4. При М«=64-7 сохраняет свое зна-
чение уравнение состояния для совершенного газа, а также
уравнение для скорости звука

(1.5.7)

так как состав разогретого за ударной волной газа не меняется.

Таким образом, в этом случае газ не является калорически со-
вершенным, но будет обладать свойствами термически совершен-
ного газа.

Для газа с переменной теплоемкостью калорическое уравнение
состояния (1.5.6) дает большую погрешность. Действительная за-
висимость между энтальпией и температурой определяется более
сложной, чем (1.5.6), функцией Ь(Г).

Для диссоциирующего воздуха, у которого удельные теплоем-
кости и молекулярный вес являются функциями его состояния,
действительно уравнение

Р=<Ло/Нср)р7',	(1.5.8)

в котором ИсР^/а(р, 7).

Калорическое уравнение диссоциирующей газовой среды приоб-
ретает также более сложный характер и в общем виде может быть
представлено в виде :=Ь(р. 7). Такая среда уже не обладает
свойствами совершенного газа, для которого энтальпия
зависит только от температуры.

55
Г 1;с 1 5.6. Диаграмма / — 5 диссоциирующего воздуха

Еще более сложными являются термическое и калорическое
уравнения состояния диссоциирующего (реального) газа, не под
чиняющегося уравнению (1.5-5), так как они дополнительно учи-
тывают силы взаимодействия между молекулами, а также собе1
венный объем молекул. Эти уравнения решаются численными ме
тодами при помощи ЭВМ и представляются обычно в виде таблит
или диаграмм состояния.

Результаты расчета параметров состояния воздуха в условия:
термодинамического равновесия при высоких температурах в и?
56
1ис. 1 5.7. Средний молекулярный вес воздуха при высо
ких температурах

ервале давлений от 0,001 до 1000 атм приведены в работах [18,
9]. На основании этих результатов расчета был составлен атлас
диаграмм состояния, разработанный группой научных сотрудников
6]. Наиболее распространенной для тепловых расчетов в аэроди-
(амике является /—5-диаграмма (диаграмма энтальпия — энтро-
пия) диссоциирующего воздуха, приведенная на рис. 1.5.6. На этой
диаграмме, представляющей в графической форме калорическое
'равнение состояния, нанесены кривые р=сопз1 (изобары), Т=
—сопб! (изотермы) и р = сопз! (изохоры — пунктирные линии).

В некоторых случаях более удобной для расчетов может ока-
заться диаграмма калорического состояния, изображающая зави-
симость I—р, с кривыми Т= соп8(, р=сопз! и 5=солЭта диаг-
рамма, построенная по данным 1—5-диаграммы, приведена в
>аботе [6]. В этой же работе в различных вариантах показаны ди-
аграммы, графически изображающие термическое уравнение со-
тояния.

Важными для практических расчетов являются графики, позво-
.яющис определять средний молекулярный вес цср диссоцииро-
ванного и ионизированного воздуха (рис. 1.5.7), а также скорость
вука (рис. 1.5.8) как функций р и Т [19] или 1 и 5 [6]. Рассматри-
вая эти графики, можно заметить, что скорость звука значительно
{еняется с температурой и в меньшей степени зависит ют давления,
'то объясняется незначительным влиянием структуры воздуха на
.арактер распространения слабых возмущений. В то же время из-
менение структуры воздуха при его диссоциации существенно вл и*
1ет на молекулярный вес, что находит свое выражение в сильном
лиянии давления на величину рср. На кривых, изображенных на
1ис. 1.5.7, можно заметить три характерных участка убывания рср
- зависимости от температуры. Первый из них обусловлен диссо-
[иацией кислорода, второй -— азота и третий — ионизацией компо-
.уокЬ1а.$рЬ.гп - Самолёт своими руками?!

Рис, 1.5.8, Зависим ость скорости звука в воздухе при высоких температурах:
П -I 1 »>ГЦ >рг« т' V ПаРГ! >1 !{{'! Я "> Т ЯП 1 Я 1Р )11П1 ТГ ’П1рГ'Г|Ц
нентов воздуха. Общая тенденция к уменьшению среднего молеку-
лярного веса диссоциирующего и ионизирующего газа с повыше-
нием температуры обусловлена распадом молекул на атомы, а также
отрывом электронов. При этом повышение давления способст-
вует более интенсивной рекомбинации, что приводит к некоторому
росту цср.

$ 1.4- ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
ДЛЯ ДВУХАТОМНОГО ДИССОЦИИРУЮЩЕГО ГАЗА

Степень диссоциации

Рабочей средой в аэродинамике почти всегда является смесь газов. Такая
смесь представляет собой однородную систему, если при термодинами-
ческом равновесии значения всех параметров одинаковы во всех точках системы.
Вместе с тем такая смесь не является простой системой, поскольку
в дополнение к обычным параметрам состояния простой системы нужно указы-
вать массы компонентов газовой смссн.

Смесь газов можно рассматривать как один совершенный газ, если
компоненты смеси представляют собой инертные газы и между ними не будет
происходить никаких реакций. Такой смесью газов является воздух, состоящий
при обычных атмосферных условиях из и Од с некоторой примесью Аг,
СО2 и др.

При высоких температурах воздух представляет собой уже реагирую-
щую смесь, так как двухатомный газ диссоциирует, а образующиеся при
этом атомы участвуют в рекомбинации. В целях упрощения исследований в ка-
честве модели рабочей среды можно принять воздух, состоящий из смеси диссо-
циирующих компонентов и О2, не взаимодействующих между собой. При
этом каждый компонент рассматривается как некоторый условный двухатомный
газ, состоящий из симметричных молекул одного вида, которые в результате
двойных соударений диссоциируют на два атома. В свою очередь атомы могут
рекомбинировать в молекуле путем тройных соударений. Эта схема позволяет
изучать механизм диссоциации чистого диссоциирующего двухатомного газа.
Предполагается, что диссоциация является равновесной. Это означает, что в
химической реакции, определяемой, например, простейшим уравнением бинар-
ного процесса

гп

А2^±А-|-А,	(1.6.1)

скорости протекания реакций слева направо т и справа налево (соответст-
венно скорости диссоциации н рекомбинации) одинаковы.

Исследования течений диссоциирующей среды связаны с определением сте-
пени равновесной диссоциации а. Ее величина для чистого диссоциирующего
двухатомного газа дается в химической термодинамике соотношением

а2/(1 — а) = (?/?	(1.6.2)

В уравнении (1-6 2) степень диссоциации а находится по выражению

“в»*'("л + 2»А,).	(1.6.2')

где пА— число атомов элемента А в некотором объеме; пАа —число молекул
газа А2 в том же объеме.

В уравнение (1.6.2) входят величины ра и представляющие собой соот-
ветственно характеристические плотность и температуру
для диссоциации. Характеристическая температура Та определяется отношением
0/6, в котором О — энергия диссоциации одной молекулы А2, а к — газовая по-

59
стояиная. отнесенная к одной молекуле (постоянная Больцмана). Вычисления'
показывают, что величина Та не зависит от температуры газа и для кислорода
равна 59 000 К, а для азота 113 000 К. Характеристическая плотность для дис-
социации. вообще говоря, зависит от температуры газа, однако изменение ра в
большом температурном интервале от 1000 до 7000 К как для кислорода, так и
для азота весьма мало по сравнению с очень большим изменением велнчииЕ
* а в этом же интервале. Поэтому практически целесообразно принять *
этом интервале характеристические плотности ра некоторыми постоянными сред-
ними значения мн. Расчеты показывают, что в приближенных вычислениях можш
принять для кислорода = 150 г!см\ а для азота р^ = 130 г[см\

При помощи диаграммы (рис. 1.6.1), построенной на основе уравнение
(1.6.2), можно определить степень диссоциации для любых безразмерных величиг
р/ра. Из анализа уравнения (1.6.2) можно сделать вывод, что диссоцианиг

Рис. 1.6.1. Зависимость степени диссоциации двухатомного газа о
плотности и температуры

наступает при температурах, более низких по сравнению с характеристическое
Если принять для условий вблизи асмли наиболее вероятное значение р/ра^Ю^,
то из (16.2) или графика, изображенного на рис. 1.6.1, следует, что, когда
377^ = 0,057, величина а=0,05 (5%), а при 7/7(1=0,105 степень диссоциации
а—0.92 (92%). Для плотностей, типичных для верхних слоен атмосферы, напри-
мер р/ра=10-7, отношения Т/Та, определяющие значения а = 0,05 и 0,92, умень-
шаются соответственно до 0,045 и 0,071.

Уравнение состояния

Рассмотрим уравнение состояния газовой смеси, возникающей в результате
диссоциации двухатомной молекулы. Это уравнение можно получить, если вос-
пользоваться зависимостями для определения давления р к газовой постоянной
Я смеси газов, а также парциального давления компонента рг.

р=^рь я = 2*^
I	I

Р[ = Р^ - Р/Г (>/«/) = (*//Ю Г (*>/),

(1.6.3)

где Р( — плотность компонента; гп* — масса атома или молекулы; /?> — газовая
постоянная компонента; V — объем смеси газов.

Уравнения (1.6.3) известны под общим названием закона Дальтона.

В дальнейшем атомарную составляющую (/'—1) будем фиксировать индексом

60	_
«А», молекулярную (*=2)—индексом «М>. Так как концентрация компонента
^.=Р17р. где р — плотность смеси, то для атомарной и молекулярной составляю-
щих соответственно получим:

С1 — сА — а рА/р, с2 = см^ рм р ‘ I — а.

Теперь из (1.63) при условии, что = 2рта, а зависимость между мас-
сами х,компонентов р1, р н А устанавливается из очевидны ч соотношений

РА=ра = лА/^* Рм-= РС1

получим уравнение состояния в следующем виде.

/ р* 1	₽м 1 \	&

р = ?Тк — -----------+-----.------= --------рГ(1 Н-а),	(1.6.4)

\ Р	тА	Р	тМ /	%тк

гдей/(2|пА)—газовая постоянная для 1 г компонента А2 в смеси; умноженная
на 1+а, она даст величину газовой постоянной /? (абсолютной газовой постоян-
ной) для 1 г смеси компонентов А и Аг, массы которых относятся, как а/(1—а).

Введем некоторую условную величину, определяемую характеристическими
значениями плотности и температуры в соответствии с выражением

&

Ра = ^	(1.6.5)

2тА

Эта величина называется характеристическим давлением. Числен-
ные значения величины ра приведены в табл. 1.6.1. С помощью выражения
(1.6.5) уравнение состояния (1.6.4) можно написать в более удобной безразмер-
ной форме:

7="рГ(1+а),	(1.6.4')

где

Р = Р/Р^ Р = Р/Ра,

Таблица 1 6.1

Элемент	Характеристические параметры диссоциации					
	к-1' кГ,см*	г‘см*	т^о-а, к	V*-3- лла-Ь'кГ	«,,.10-7  м\сек*	1о3.  м'сек
Кислород 		2,3	150	59	3,7	1,5	3,9
Азот		4,1	130	113	8,0	3,4	5,8
Воздух		3,7	135	100	7,1	3,0	5,4

Как известно из термодинамики, средний молекулярный вес сме-
си газов

Р<р —	\	(1.6.6)

где ст— массовая концентрация произвольного компонента, —ее молекуляр-

61
ный вес; знак суммы X определяет число молей смеси. Для двухатомного дне- ?
социирующего газа

2 С1~ С1 + ~ СА + СМ = 1 ’

Так как

сд — ®. см = 1	а»	А =	“ С^срЪ»

то

см \ 1 (я-срЬ

Им / “ 1 + « '

(1.6.7)

Термодинамические соотношения _

Рассмотрим термодинамические соотношения, используемые при исследова-
нии течения двухатомного диссоциирующего газа. Одним из них является урав-
некие для внутренней энергии. Его можно получить из условия, что внутренняя
энергия определяется в виде суммы средней поступательной энергии атомов и
молекул (3/2)ЬТпл* а также средней вращательной и колебательной энергии
2(3/2)А7пд11 которой дополнительно обладают молекулы. При этом энергией
электронных состояний можно пренебречь. Учитывая, кроме того, химическую
энергию диссоциации, равную (1/2)Г>лд, получим уравнение для внутренней
энергии;

= (3/2) кТ (пк + 2пЛ1) + (1,2) ОпА.

Величина внутренней энергии на единицу массы

а	= (ЗА/2ма> Г + (Д/2тА)а,	(1.6.8)

где У = л?А (л?А -|- 2/?А#)/р — объем, занимаемый газом.

Вводя характеристическую энергию диссоциации на еди-
ницу массы (на 1 г Аз)

(1.6,9)'^

можно записать (1.6.8) в безразмерной форме

7=ЗГ + «,	(1.6.8Г)^

где и^-и/иа; величины и& даны в табл. 1.6.1. В этой же таблице приведены зпа-
чешзя параметра Уд — Уи^, представляющего собой характеристиче-
скую скорость для диссоциации. Физический смысл этого параметра*
состоит в том, что он представляет собой скорость, которая обеспечивает потоку'
кинетическую энергию, ранную половине энергии, необходимой для полной дис-
социации газа.

Сопоставляя (1.6.5) и (1.6.9), а также имея в виду, что Т &=&!&, получим
формулу

(1.6.10),
из которой следует, что рл характеризует давление, возникающее при торможе-
нии потока, скорость которого Уд, а плотность рд.

Рассмотрим далее уравнение для энтальпии. Из термодинамики извест-
но, что

/ = и+/?/р.	(1.6.1!)-

Разделив члены этого уравнения на па, найдем зависимость для энтальпии в без-
размерной форме:

1 = и^-р/р,	(1.6.12):.
де	Внося а (1.6.12) выражение (1.6.8') для и и используя уравнение

1.6.4'), получим соотношение для энтальпии

ли

I = а 4- Т (4 -Ь а),

(1.6.13)

(1.6.13*)

Если в уравнении (1.6.2) величину Т=-Т1Т& заменить в соответствии с
1.6.13) выражением

Г = (Г-|-а)(4 + а),	(1.6.14)

*о получим зависимость степени диссоциации а от энтальпии I и относительной
ъпотности ра/р Эта зависимость графически изображена на рис. 1.6.2.

*нс. 1.6.2. Зависимость степени диссоциации двух-
атомного газа от плотности и энталыши

определим энтальпию диссоциации, т е. количество тепла, которое необхо-
димо для диссоциации единичной массы компонента при постоянных р и Т. Для
хтой цели воспользуемся уравнением второго закона термодинамики

—^1 —

.второе перепишем в виде

^ = 1г

д/	1

др	р

д1

-—да.
да

Отсюда при условии, что р и Т постоянны, получим равенство (дд;да)^ у—
= д(/да . Эта величина и определяет теплоту диссоциации 1п д1/да. Диффе-
енцируя (1.6.13) по а, найдем д</да=Т+1. Для реальных температур, при ко-
орых происходит диссоциация, относительная температура ?<С1. Следовательно,
-нтальпця диссоциации компонента



(1.6.15)

Динамический коэффициент вязкости

Исследования показывают, что для диссоциирующего двухатомного газа при
►а счете динамического .коэффициента вязкости можно пользоваться уточненной

63
формулой Сазерленда

М____/ т у/2 1+(Ш)Гю) Г 1	1.42

/	1 + (П1Т)	[1 +(0,89са/см} + 1+(1,26см-га)

(1.6.16)

в которой концентрация атомарного и молекулярного компонентов соответствен-
но сА=а, см = 1—а. При отсутствии диссоциации (гА — а = 0) зависи-
мость (1.6.16) переходит в обычную формулу Сазерленда. При полной диссоциа-
ции (а=1) член в квадратных скобках (16.16) равен 1,42, что указывает на
увеличение коэффициента вязкости по сравнению с иедиссоциированным газом
на 42%.

Смесь двухатомных газов

Степень равновесной диссоциации. До сих пор рассматривался чистый дис-
социирующий двухатомный газ. Что касается смеси двухатимных газов, то,
строго говоря, приведенные зависимости неточны для определения газодинамиче-
ских и термодинамических параметров, в частности степени диссоциации Одна-
ко так как значения молекулярных весов азота и кислорода близки, то в извест-
ной мере можно считать оправданной модель воздуха, представляющую собой
аддитивную смесь двухатомных газов. При этом можно учесть различие в ха-
рактеристических температурах для азота и кислорода. Кислород. у которого
энергия связи атомов в молекулах меньше, начинает диссоциировать при более
низких температурах, чем азот, и оказывается полностью пр од и ссоц пировавшим
тогда, когда азот вступает в стадию диссоциации.

Если за начало диссоциации принять температуру 3500 К, то. следова-
тельно, при этой температуре степень диссоциации двухатомной модели воздуха
будет определяться относительной массой кислорода в смеси, т. е, значением
0,235. При Г<3500 К степень диссоциации модели воздуха

ц = 0,235ап ,	(1.6.17)”

где а01 — степень диссоциации чистого кислорода. После завершения дпссоцна- '
ции Оэ (при температуре Т=3500 К) величина а01 — [ и степень диссоциации :
воддухз при Г>3500 К определяется выражением

а = 0,235 + 0,765ам>1	(I 6.18Х

где — степень диссоциации чистого азота, а величина 0,765 определяет объ-1
емиую долю Ы2 в воздухе. Для полностью диссоциированного воздуха
=	= 1 и, следовательно, степень диссоциации смеси

Таким образом, яри приближенных расчетах степени диссоциации прини- *
ыается упрощенный массовый состав недиссоциированного воздуха, включающий
76,5% Из н 23,5% О2, причем в атмосферный азот входит около 1% инертных"
газов.

Эффективные характеристические параметры. Эффективные характеристиче-
ские параметры для диссоциации модели воздуха могут быть определены исходя =
из принятого выше массового состава неднссоциироваиного воздуха. Например,
эффективное характеристическое давление для диссоциации	-

Ра =	+ 0,235^Оа,	(1.6.19)",

где , раОя — характеристические давления для диссоциации соответсгвенно-
азота и кислорода. Аналогично могут вычисляться эффективные значения других*
характеристических параметров. Подсчитанные таким образом для принятой^
модели воздуха значения	и приведены в табл. 1.6.1.	-
Энтальпия равновесной джсоцмацнк. Для модели воздуха в виде смеси азота
и кислорода энтальпия равновесной диссоциации

0) = смл/та +	(1.6.20)

где энтальпия диссоциации компонента для а^ота	= (/> 2шА )я>, а

для кислорода — ^оа “ (^2*Пд)оа (см' та^л* Ьб.1); и со—атомарные
концентрации в воздухе соответственно азота и кислорода (значения концентра-
ций можно найти в работе [18]).

Если воздух рассматривать как двухатомную модель газа, то

(1.6.21)

где в соответствии с данными табл. 1.6.1 иа=7,1 - Ю3 ккал^к?. Для более сложной
модели воздуха, представляющей собой смесь двухатомных кислорода п азота,
энтальпию диссоциации можно рассчитывать следующим образом. Примем, что
весь кислород диссоциирует до начала диссоциации азота. Следовательно, ато-
марная концентрация обусловлена только распадом кислорода, величины
аОа= 1 и — 0. В соответствии с этим

/О = 0,235«яо>.	(1 6 22)

Если условия таковы, что диссоциация кислорода происходит неполностью, то
степень диссоциации смеси а <0,235 и

= 0,235аоя^^О1.	(1.6.22 )

При высоких температурах вслед за кислородом диссоциирует азот п, следова-
тельно, энтальпия диссоциации смеси

— 0,Ч- 0,235а^Оа,	(1.6.23)

Для приближенного определения величины можно использовать таблицы или
диаграммы состояния воздуха при высоких температурах. В этом случае по тем-
пературе Г и давлению р находится энтальпия 1ас учетом диссоциации, а Гд
определяется как разность

~ *я — ^-0,

где /а=0 — энтальпия при той же температуре Т, во без учета диссоциации; ее
величину можно вычислить по формуле

=	С1 б'2*)

в которой для Г> 1000 К показатель степени <р=0,1, а при Г« = 288 К удельная
теплоемкость с}1« = 1000 дж/(кг  град),

Определение термодинамических параметров воздуха как модели чистого
диссоциирующего газа, представляющего собой смесь и О2, обусловливает ту
особенность, что рассматриваемая газовая среда в начальном (нсдиссоциировэн-
ном) состоянии оказывается как бы предварительно нагретой. Этому состоянию
с возбужденными колебательными уровнями энергии соответствует отношение
удельных теплоемкостей А = 1,33.

Строго говоря, по отношению к обычным условиям полета такая среда не
является реальной. Тем не менее приведенные выше соотношения имеют прак-
тическое значение. Дело в том, что переход через ударную волну, возникающую
перед телом, представляет собой неравновесный процесс. Практически можно
считать, что даже при очень высоких скоростях и, следовательно, больших тем-
пературах за ударной волной диссоциация непосредственно за ее фронтом равна
Нулю, но колебательные уровни возбуждены. Таким образом, свойства реального
и гипотетического газа за ударной волной совпадают. При этом точность термо-
динамических и газодинамических расчетов возрастает по мере увеличения скоро
3—707	«
стен полета, когда газ за ударной волной разогревается до очень высо «и®
температур.	—

Средняя теплоемкость смеси. Средняя теплоемкость смеси

(МсР-ЦерЛ-	(1-6.25?

/

Для смеси одноатомного и двухатомного газов

(Ср)ср = Ср}^\ + срг\с^
*

или, так как йА = а, = 1 — а,

(йг)€р = срка 4- (I — а)	(1.6.26)

где первый член справа представляет собой атомарную составляющую средней _
теплоемкости, а второй — молекулярною.

Энтальпия газа. Энтальпия смеси газов

* — 21'1С(»

где С1 и *, — соответственно концентрация и
Величина г\ равна полной энергии, состоящей
/-го компонента газа, и химической энергии

(1.6.27)

энтальпия /-го компонента смеси,
г	\

из теплосодержания I У Ср^Т Ь
\ о	/

(<хвм)1 его образования, т. е.

4- Схим)/-

(1.6.28)-'

Энтальпия называется обобщенной энтальпией /-го компонента, в
а энтальпия I (1.6 27) — обобщенной энтальпией смеси газов. ~

Если рассматривается реагирующая атомарно-молекулярная смесь, то, приг-
ни мая во внимание, что для молекул рхнм)м — 0, получим

т	т

'л = [ СрК^ + Схим)А>	= Г Ср]ЛаТ‘

6	о

(1,6.28')

I11

При движении смеси газов энтальпия некоторого его объема может нзме*^
пяться из-за подвода или отвода тепла за счет теплопроводности, переноса энер-<
гни непосредственно при втекании и вытекании газа и переноса энергии вследст- Т
вне диффузии. Теплота образования (/мм)г для атомарных компонентов азота;*
и кислорода, полученных в результате диссоциации воздуха, равна соответствуй 
ющнм значениям энтальпии диссоциация, тс.

Схим)о^ а4о и (/кнм)я—	(см- табл. 1.6.1).	Г

к

I
ГЛАВА II

КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ

§ 2.1- МЕТОДЫ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЖИДКОСТИ

Основной задачей аэродинамических исследований является
определение силового взаимодействия и теплообмена между жид-
кой средой и обтекаемым телом. Решение этой задачи связано с
изучением движения жидкой среды около тела, в результате ко-
торого в каждой точке потока находятся параметры, определяю-
щие это движение, а именно: скорость, давление, плотность, тем-
пература и др. При определенных предпосылках это изучение мож-
но свести к определению поля скоростей, представляющего
собой совокупность скоростей частиц жидкости, т. е. к решению
кинематической задачи. Затем по известному распределению ско-
ростей определяются остальные параметры, а также результирую-
щие силы, моменты и тепловые потоки.

. Существуют два метода кинематического исследования жидкой
среды, один из которых называют методом Лагранжа, другой —
методом Эйлера.

Метод Лагранжа

Метод Лагранжа рассматривает движение индивидуаль-
ных жидких частиц и определяет для каждой из них ее тра-
екторию, т, е. координаты частиц как функции времени. Но так
как частиц бесчисленное множество, то для задания траектории
необходимо определенным образом охарактеризовать ту частицу,
к которой эта траектория относится. При этом в качестве харак-
теристики частицы выбираются ее координаты а,'V, с Ъ Некоторый
момент времени /=/р. Это означает, что из бесчисленной совокуп-
ности траекторий данной' чзгстиц5"будет принадлежать' таА кцтеграк
проходит через точку с координатами а, 6, с. В соответствии с этим
уравнение траектории в параметрическом виде будет следующим;

д» с, /);

4=/аР« Ь С, /);

(2.1,1)

с, /), .

пяпям Ь' С* *~паРаметры Лангража. Величины а, Ь, с являются
р етрами, определяющими траекторию. Составляющие вектора
скорости в каждой точке траектории равны частным производным
Ух=дх[д1, Уу—ду/д1^ У^—дг/д1, а составляющие вектора ускоре-
ния— соответствующим вторым частным производным
=д*х/д{\	№г=дх*/д12.

Метод Эйлера

В аэродинамических исследованиях чаще пользуются методом
Эйлера, в котором фиксируется в отличие от метода Лагранжа не
частица жидкости, а точка пространства с координатами х,
у, г и исследуется изменение скорости в этой точке с течением вре-
мени. Таким образом, метод Эйлера заключается в выражении
скоростей частиц в функции времени I и координат х, у, г точек
пространства, т. е. в задании поля скоростей, определяемых
вектором Г — Кл- Уу/ + ГА где /, к — единичные векторы по осям
координат, а Ух—Уу^(1у1(11,	— составляющие век-

тора скорости, записываемые в виде уравнений:

у.	*);

*— .^2 (-^»	у*	О,

У*	О-	,

(2,1.2)

Величины х. у, а, / называются переменными Эйлера.
Решая систему дифференциальных уравнений

(1х/(И=/1(х, у, г, /); '
ау/(И=/2(х1 у. г, /);

<!х/(И=/г(Х1 у, г, /), ,

(2.1,3)

можно получить уравнения семейства траекторий в параметриче-
ском виде, совпадающие с уравнениями (2.1.1), в которых а, д,
€ — постоянные интегрирования.

Таким образом, от описания кинематики по методу Эйлера мож-
но перейти к представлению течения по методу Лагранжа. Обрат-
ная задача, связанная с переходом от метода Лангранжа (уравне-
ния (2.1.1)) к методу Эйлера [уравнения (2.1.3)], сводится к диф-
ференцированию уравнений (2.1.1) по -времени с последующим
исключением постоянных а, к, с при помощи уравнений (2.1,1).

Вычисляя полную производную от вектора скорости по време-
ни, получим вектор ускорения

М д1	дх	ду	аг

Проектируя вектор ТУ на оси координат, получим составляющие
полного ускорения. В развернутом виде эти составляющие за пи-

68
шутся в следующем виде:

_дУл II/ &У Г I 1Л &Ух Г 1 / ?Уд .

' д( ±Ух дх	дд * дг ’

_дУу > к । I/ &У"_ _ I 1 л #У& .

у д1 4 йдг 9 ду 1	~ дг ’

   ЗУ % । !/ дУ? 11/ #У* । т/ дУ*

г”“аГ+^’дГ+1* ду ±г ’

(2.1.5)

Соотношения (2,1.5) для ускорений соответствуют течению, харак-
теризующемуся изменением скорости в данной точке от времени и»
следовательно, неравенством дУ/д/=/=0. Такое течение жидкости
называется ^установившимся (нестационарным).
Поток жидкости, в котором скорость и другие параметры в данной
точке не зависят от времени (дУ/д1=0), называется установив-
шимся (стационарным).

Линии тока и траектории частиц

В данный момент времени в потоке можно провести линию, об-
ладающую таким свойством, что каждая частица жидкости, нахо-

Рис 2.1.1. Построение линии тока (с) и трубки тока (б):
/ — линии тока; 2 —контур

дящаяся на ней, имеет скорость, совпадающую по направлению
с касательной к этой линии. Эта линия называется линией тока.

Чтобы получить линию тока, надо поступить следующим обра-
зом. Возьмем в потоке в момент времени 1—10 некоторую точку
Л| (рис. 2.1.1, а) и выразим скорость частицы в этой точке векто-
ром Кь Затем выберем точку Л2, соседнюю с точкой и находя-
щуюся на векторе У,. Пусть в момент 1=1^ вектор скорости в этой
точке равен У2. Рассмотрим далее точку Л3 на векторе Уа, скорость
в которой определяется в тот же момент времени вектором Г3,
и т. д, В результате такого построения получим ломаную линию,
состоящую из отрезков векторов скорости. Уменьшая до нуля эти
отрезки и одновременно увеличивая их число до бесконечности,
получим в пределе линию, которая является огибающей для всего
семейства векторов скорости. Это п будет линия тока. Очевидно,
каждому моменту времени будет соответствовать своя линия тока.
Для получения уравнения линии тока воспользуемся свойством,
в соответствии с которым в каждой точке этой линии должно иметь
место совпадение направлений вектора скорости V и вектора 4&—
=4х1-\-4у1 + 4гк, где 4х„ 4у* 4х— проекции элемента дуги линии
тока. Следовательно, векторное произведение	т. е.

к

*	7

4у
V. V,

4г
V.

= I (У^у - \'уаг) - / (У^х - У^г) +
+к(У^1х-У^у) = 0.

Отсюда, поскольку, например, УДу—Уу&г^О и т. д., получаем си-
стему дифференциальных уравнений

9	4х;Ух=4у]Уу—4г]Ух.	(2.1.6)

Таким образом, решение задачи об определении линий тока сводит-
ся к интегрированию системы уравнений (2.1.6). Каждый из ин-
тегралов этих уравнений Р\ (х, у, г, = 0 и Е2 (х, у, г, С2)=0
представляет семейство поверхностей, зависящих от одного из па-
раметров, С! или С2, а пересечение этих поверхностей дает семейст-
во линий тока.

В отличие от линии тока, построение которой производится в
фиксированный момент времени, понятие о траектории связа-
но с некоторым промежутком времени, в течение которого частица
проходит определенный путь. Из этого следует, что линия тока и
траектория, являющаяся следом движения одной и той же части-
цы, совпадают в установившемся течении. Еслп движение житкости
нестационарное, то лнния^гокаПГ^'траёктория не совпадают. ’

В аэродинамике рассматриваются понятия о трубке тока и
струйке жидкости или газа. Если через точки элемен-
тарного замкнутного контура (рис. 2.1.1, б) провести линии тока,
то они образуют поверхность, которая называется поверхностью
трубки тока; часть жидкости, ограниченная этой поверхностью, и
будет трубкой тока. Если через точки элементарного замкнутого
контура провести траектории, то образуется поверхность, которая
ограничивает часть жидкости, называемую струйкой. Трубка тока
и струйка газа, проведенные через точки одного и того же замкну-
того контура в установившемся потоке, совпадают.

х	5 2.1, АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ

В отличие от твердого тела, движение которого определяется
поступательным перемещением вместе с центром масс и вращени-
ем вокруг мгновенной оси, проходящей через этот центр, движение
жидкой частицы характеризуется, кроме того, наличием дефор-
мационного движения, изменяющего форму частицы.

Рассмотрим жидкую частицу в виде элементарного параллеле-
пипеда со сторонами 4х, 4у, 4г и проанализируем движение грани
АВСП (рис. 2.2.1). Так как координаты вершин грани различны,
70
"О скорости, определяемые в некоторый момент времени I— /о, тан-
ке будут различными:

^хД=Ух(х, у), УхВ~ Ух(х4 ах, уУ,

^л=^(х, у). У11В=Уу(х-уах. уу,

ухС=Ух(х-\-ах, у+ау), у10=ух(х, у+ауу,	У-уч

УУс ==У и(^4“^**'>	Удо-Уу^. У~]~^У).	$

’де х, у — координаты точки А.

Разложим выражения для скоростей в ряды Тейлора, оставляя
з них только величины первого порядка малости, т. е. члены, со-
держащие йх, йу, йг в степени не выше первой. Принимая, что 1
т)чке А скорости Еха= Ух и Уул— У у, получим:

';В=Ух + (дУх/дх) ах+.... УхО= Ух+(дух1ду) а у 4-...;

'ив=Уц+(ауи/дх)ах-у.... У)О=Уу + (дУ„1ду} ау +...;	,

'хс^Ух+(!ЗУх/дх)ах+(дУх1ду)ау+...-	1  "ч

'-с=Уу + {оУу/дх] ах + [дУу/ду)ау+....	уп-

Из этих выражений следует, что, например, в точке В состав-
1Яющая скорости по оси х отличается от ее значения в точке А

ж

’ис. 2.2. к Схема движения жидкой
частицы

У

Рис. 2 2 2, Угловая деформация жид-
кой частицы

[а величину (дУх/дх)4х. Это означаем что точка В, участвуя в по-
ту пате льном перемещении со скоростью У* в направлении оси х
овместно с точкой А, одновременно движется относительно нее в.
'ом же направлении со скоростью (дУ*№х)4х. В результате про-
водит линейная деформация отрезка АВ, Скорость этой дефор-
мации Вж—дУх/дх.

В направлении оси у точка В перемещается со скоростью У»
□месте с точкой А и одновременно движется относительно нее с
линейной скоростью (дУу/дх)с1х, определяемой угловой скоростью
вращения отрезка АВ.

Рассматривая точку О, можно по аналогии с точкой В опреде-
лить, что относительная линейная скорость этой точки в направ-
лении оси у равна (дУу/ду)Ду и, следовательно, скорость линейной

71
деформации отрезка АП будет §у=дУУ1ду, Угловая скорость вра-
щения отрезка относительно точки А равна — дУх/ду (знак минус
учитывает, что точка В вращается относительно точки А в сторо-
ну, противоположную вращению точки В). В результате вращения
отрезков АП и АВ происходит скашивание угла ПАВ (рис. 2.2.2)9
т. е. возникает угловая деформация частицы. Одновременно может
произойти поворот биссектрисы АМ угла ПАВ, в результате чего
возникает некоторый угол между ним и биссектрисой ЛУУ ско-
шенного угла И'А В'. Таким образом, частица будет дополнительно
вращаться.

Угол поворота биссектрисы (рис. 2.2.2)

где у=0,5[л/2(бУ(12-|-<Уат)|; т=п/4—<1а2.

Углы и (1(11, показанные на рис. 2.2.2, соответственно равны
(дУу{дх)(И и (дУх/ду)сН. Следовательно,

^3=0,5 (с!а2—^аг) 0,5 (дУу/дх—дУх/ду) (М.

Отсюда можно найти угловую скорость о'З/^ вращения жидкой
частицы относительно оси г. Обозначая ее можно написать

=-	=0,5 (д!/\ ’дх — д / ^ду).

(2.2.3)

Если рассмотреть движение ребра АП относительно отрезка
АВ, то, очевидно, угловая скорость этого ребра

^^дУудх + дУ^ду.	(2.2.4) '

Величина .

’ь ег=0,5(<ЭУ/<?х+ау/д1/)	(2.2.4')-

«
называется полускоростью скашивания прямого угла
И АВ,

Распространим все наши рассуждения на пространственное те-
чение и рассмотрим точку С, принадлежащую частице в виде эле- 
ментарного параллелепипеда с длинами ребер с!х, с!у, с! г. Скорость *
в этой точке в момент времени /=/о является функцией координат *
х-\-с!х, у-\-с1у, Представляя компоненты скорости в виде ряда »
Тэйлора, в котором сохранены члены только первого порядка ма- к
лости, получим:

КхС= +	'ду)ау-^-(Лгл.'дг)(1г; 1

(2.2.5)

У2С=Уг+(5Иг,<?х)аЛ;+(<?Ух,^)^ + (йУг,'^)<зГг.	-]

Введем обозначения, аналогичные обозначениям, принятым при <
анализе движения плоской частицы. Примем, что 0г=дК/<?г. Эта|
величина определяет скорость линейной деформации пространст-1
венной частицы в направлении оси г. Введем далее обозначения: |

=0,5 (дУх/ду - дУу)дх), о>,= 0,5 {дУ^дх -дУж'<?%). (2.2.6) 1
Значения сох и ши представляют собой составляющие угловой ско-
рости частицы соответственно по осям х и у. Компоненты угловой
скорости частицы сох, ь>у, считаются положительными при вра-
щении соответственно от оси х к оси у, от оси у к оси г и от оси г
к оси х. _В соответствии с этим знаки производных дУу/дх, дУх/дуг
дУх/дг будут совпадать со знаками угловой скорости, а знаки про-
изводных дУх/ду, дУу/дг, дУх/дх будут противоположны знакам
угловой скорости.

По аналогии с (2.2.4') запишем выражения:

^=0Л(<?Ут/<?г+<?1//(?х), (2.27)

которые равны полускоростям скашивания двух прямых углов па-
раллелепипеда соответственно в плоскостях уОг я хОг.

Путем несложных преобразований можно убедиться в том, что
дУг/ду^&х-[-^х\	дУу!дх—ех-[-^

дУу/д^—дУх1дх=еи—шу; дУх!ду~ех—^

С учетом этих выражений составляющие скорости в точке С мож-
но записать в следующем виде:

УуС = Уу-)г$^у +	—

УгС — Ух 4-	+ ^У + е^х+^У — «/х. (

(2.2.8)

Таким образом, движение точки С можно рассматривать как
результат сложения трех видов движения ^поступательного по тра-
ектории вместе с точкой А со скоростью У (Ух, Уу, У?), вращения
относительно нее с угловой скоростью

01 =

(2.2.9)

и деформационного движения. Этот вывод составляет содержание
теоремы Гельмгольца. Деформационное движение в свою
очередь складывается из линейной деформации, характеризуемой
коэффициентами 6Х, Оу, 0г, и угловой деформации, определяемой
величинами е7/, е2.

Линейная деформация ребер элемента обусловливает измене-
ние его объема т—ихЗуйя, которое определяется разностью

йх^Ах^у^г^ —11х(.1ус1г,

где ^хь йуи ^2! —длины ребер в момент времени /+<//.
Подставляя значения длин, найдем

-|- ^Хс1х(11) (с1у + Ьу^уеК) (гЛг-^	(1х(1у(1г.

Пренебрегая в этом выражении членами выше четвертого поряд-
ка малости, получим

=(0х+^ + 0г) уйхМ.

73
Отсюда можно определить скорость изменения относи-
тельного объема, или скорость удельной объемной
деформации 0— (1/т)<УтД//, равную в каждой точке потока сум-
ме скоростей линейной деформации по любым трем взаимно пер-
пендикулярным направлениям:

в=е,+«,+«,•

(2.2.10)

Величина 0 называется также дивергенцией (расхожде-
нием) вектора скорости в данной точке:



(2.2.11)

Итак, было показано, что движение жидкой частицы носит
. сложный характер и является результатом сложения трех видов
* движения: поступательного, вращательного и деформационного.
У Поток, в котором частицы испытывают вращение, называется
вихревым, а составляющие угловой скорости вращения шх,
со2—компонентами вихря. Для характеристики вращения исполь-
зуется понятие о роторе скорости го(К, выражаемом в виде
го! V—2(о. Ротор скорости представляет собой вектор

го! У=(го! У )Х1 + (го( У )^ /	(го( У )2А,

(2.2*12)

составляющие которого равны соответствующим удвоенным значе-
ниям компонента вихря:

(го1У)г=2ц>х, (го! У)^_ 2»^ и (го(У)г^2шг.

$ 2.3. БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ

Во многих случаях при исследовании движения жидкости мож-
но не учитывать вращения из-за пренебрежимо малых угловых
скоростей частиц. Такое движение называется безвихревым.

Для безвихревого потока <о=О (или го17=0) я, следовательно,
равны нулю компоненты вихря <ох, шг. В соответствии с этим
из формул (2.2.3), (2.2.6) получаем:

дУх/ду=дУу]дх, дУх/ду = дУу/дх, дУх/дг= дУг/дх, (2.3.1)

Эти равенства являются необходимым и достаточным условием
того,‘чтобы дифференциальный трехчлен Ух^х+Ууду+УЛг был
полным дифференциалом некоторой функции,’ характеризующей
поток жидкости так же, как компоненты скоростей их, 14, Ух. Обо-
значив эту функцию в виде <р(х, у, г, /) и рассматривая время I
в качестве параметра, можно записать

=У ^х + У уйу + V

С другой стороны, этот же дифференциал
=(ду/дх) &х -|- (ду/ду) у Ц-
Сравнивая два последних выражения, находим:

Ух д^/дх, Уу^д$]д^ Х^-д^дх.	(2.3.2)

Функция ф называется потенциалом скоростей или п п-
тенциальной функцией, а безвихревой лоток, характери-
зуемый этой функцией,— потенциальным. Из соотношений
(2.3.2) следует, что частная производная от потенциала <р по коор-
динате равна проекции скорости на соответствующую координат-
ную ось. Это свойство потенциальной функции сохраняется и для
произвольного направления. В частности, тангенциальная состав-
ляющая скорости в какой-либо точке на произвольной кривой 5
будет равна частной производной Ув=<?<р/д$, а нормальная состав-
ляющая Уп"<?<р/дп, где л — нормаль к дуге $ в рассматриваемой *
точке. Для полярных координат г и 0 проекции вектора скорости
V некоторой точки на направление полярного радиуса-вектора и на
направление, перпендикулярное этому радиусу-вектору, будут рав-
ны соответственно частным производным:

Уг=д$/дг и Ух=^ду/д$—(1/г)ду/д6.

Как видно, величина скорости в каком-либо направлении опре-
деляется быстротой изменения потенциала <р в том же направле-
нии. Если рассматривается направление 5, то быстрота изменения
потенциала равна частной производной по этому направлению
д^/дя. Величину дф/дз можно рассматривать как проекцию на на-
правление я некоторого вектора, называемого градиентом
функции ф и совпадающего с направлением наиболее быстрого
возрастания этой функции. Очевидно, этот вектор равен вектору
скорости V, Обозначая градиент функции в виде &га<1 <р, можем на-
писать

(2.3.3)
или, что то же самое,

V=&гад у=(Егад у )Х1 Ц- (&гад <р)у ] 4- (&гад у)гА,	(2.3.4)

где коэффициенты в скобках в правой части представляют собой
проекции вектора градиента скорости на оси координат:

(Егад	=уя=д^’дх, (&гад ?)*, = Уу_д&ду, (&гад ? — V* = ду/дх.

Использование потенциальной функции существенно упрощает
исследования движения жидкости, так как вместо определения трех
неизвестных, какими являются составляющие скорости Их, Уу, У&
достаточно найти одну неизвестную функцию ф и тем самым пол-
ностью рассчитать поле скоростей.
$ 2Л. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Общий вид уравнения неразрывности

Уравнение неразрывности движения в математической форме
представляет собой закон сохранения массы — один из наиболее
общих законов физики. Это уравнение принадлежит к числу ос-
новных уравнений аэродинамики, используемых для нахождения
параметров, определяющих движение газообразной среды.

Чтобы получить уравнение неразрывности, рассмотрим некото-
вый подвижный объем жидкости. Этот объем, изменяющийся по
времени, состоит из одних и тех же частиц. Масса т этого объема
в соответствии с законом сохранения массы остается неизменной,
поэтому можем написать, что рСрт=сопки где рСр — средняя плот-
ность в пределах объема т. Следовательно, производная
^(рсрт)/г//=0 или, учитывая, что плотность и объем величины пе-
ременные,

(1/Рер)	( 'Л) (Л/^) = О-

Это уравнение относится к произвольному конечному объему. Что-
бы получить соотношение, характеризующее движение жидкости в
каждой точке, перейдем в последнем уравнении к пределу при
т->0, что будет означать стягивание этого объема к некоторой
внутренней точке. Если выполняется условие, при котором движу-
щаяся жидкость сплошь заполняет исследуемое пространство и,
следовательно, пустоты или разрывы не образуются, то в данной
точке плотность будет вполне определенной величиной р и можно
написать уравнение

(1/р) &рД//)+Шу У=0,	(2.4.1)

в котором значение Пш [(1/т) заменено согласно (2.2.10) и

(2.2. П) дивергенцией скорости.

Уравнение (2.4.1) представляет собой уравнение нераз-
рывности. Оно получено в общем виде и поэтому может быть
использовано для любой выбранной системы координат.

Декартова система координат

Рассмотрим уравнение неразрывности в декартовой системе
координат. Для этой цели вычислим производную ар (х, у, г,
и осуществим в (2*4.1) замену (Ну Г в соответствии с (2.2.11).
В результате получим уравнение неразрывности в следующей
форме:

дР/Л‘+^(рУЛ'<?л:+^(рУе)/^4-<?(рУг)/д2=0.	(2.4.2) |

]

Вводя понятие о дивергенции вектора рГ	4

(11V (р У)=д (рУх)/<?х+д (уУ^ду -|- д (рУд)/<?х.	Л

76	;
получим вместо (2.4.2)

ду/д* 4- <11V (РУ)—0.	(2.4.3)

Уравнение неразрывности (2.4.2) описывает неуста повившееся
течение. Для установившегося потока др/д/=0 и, следовательно,
д (рУ^дх-^д (?Уу\’ду+<? (?^1 <?г=0,	(2.4.4)

или

<117 (рУ)=0.	(2.4.43

Для двухмерного течения уравнение неразрывности

д (Р^х);<?х+ д ^Уу)/ду ^0.	(2.4.5)

Для несжимаемого потока р —сопз!, поэтому

дУх ’дх + дУу ’ду+д У уд?=0,	(2.4.6)

или

017 У=0.	(2.4.7)

Для потенциального движения’ уравнение неразрывности пре-
образуется с учетом (2.3.2) к следующему виду:

(1/р) (</ р/с//) 4- д^/дх* 4- д^/ду2 4-	’ — 0.	(2.4,8)

Для несжимаемой жидкости р=соп51, поэтому

д^/дх2 4- д 4-	=0.	(2.4.8')

Пол у ченное уравнение называется уравнением Лапласа.
Известно, что решением этого уравнения является гармоническая
функция. Следовательно, потенциал скоростей несжимаемого по-
тока ф представляет собой такую гармоническую функцию.

Криволинейная система координат

Формулы преобразования. Некоторые задачи аэродинамики удобнее решать,
примсння криволинейную ортогональную систему координат. Такими системами
являются, в частности, цилиндрическая и сферическая системы координат.

В цилиндрической системе координат положение некоторой точки Р в про-
странстве (рис. 2.4Л) определяется углом у. который образуют координатная
плоскость и плоскость, проведенная через точку Р и ось координат Ох, и прямо-
угольными координатами х и г в этой плоскости, формулы перехода от декар-
товой системы координат к цилиндрической имеют следующий вид.

х = х; р==гсо5У; = гйпу.	(2.4.9)

В сферической системе координат положение точки Р (рис. 2.4.2) определяется
рад?ВЫМИ кооРлинатап1Н $ (полярный угол) и ф (долгота), а также полярным
стедующимМо7ДУ прямоУго'ПЬВЬIМ,^ и сферическими координатами определяется

Х = ГСО&6, у = г 81П 0 совф, 2 = Г 31П О 51П ф.	(2.4.10)

п₽кяп^^еТСТВуЮЩИе пРеобразования уравнений аэродинамики, полученных в
Р х координатах, к той или иной криволинейной ортогональной системе

77
*ч-

можно осуществить двояким путем: либо путем прямой подстановки (2.4,9),
(2.4.10) в эти уравнения, либо применяя более общий метод, основанный на
понятии обобщенных координатных кривых [7]. Рассмотрим этот метод

Элементарные длины дуг координатных кривых в окрестности точки Р в

общем виде можно записать в таком виде:

(1$2 =* ^2^02.

(2Л.П)

где ?«(«= I, 2, 3)—криволинейные координаты;
мые параметрами Ламэ.

Для цилиндрических координат

Л< — коэффициенты, называе-

41 = *, 42 = ?з = У,	(2.4,12)

а для сферических

4г = г* 02 = В, ?з = Ф-	(2.МЗ)

Рис. 2.4,1. Элементарная частица жидко-
сти в цилиндрической системе координат

Рнс. 2.4.2. Элементарная частица'
жидкости в сферической системе^
координат

Непосредственно из рис. 2 4.1 следует, что для цилиндрических координат

<132~(1г‘, (1зз = г(1у.	(2.4.14):?

Из рис. 2.4,2 можно определить длины дуг соответствующих координатных
линий в сферической системе:

йз^ — Лг, аз2 = г№, йзз = г шп Щ.	(2.4.15)^

Следовательно, для цилиндрических координат параметры Ламэ будут;

Лх _ 1, к2= 1, Лз — г,	(2.4.16)5

а для сферических	-	_)	*	.г,

Лх = 1, Л2- г, Л3 _= г агп 0.	(2.4.17)^

«й

Рассмотрим некоторые выражения для векторных и скалярных величин вЙ
криволинейных координатах, которые нам будут необходимы для преобразова-^1
ния к этим координатам уравнения неразрывности. Градиент некоторой скаляр-я
ной функции Ф	3

Ф = (дФ/Шх) I х 4- (дФ/дз?} <а 4- (^Ф/<^з) ,	3.

где 1|, /а, Г3 — единичные векторы по соответствующим координатным линиям.^
Имея в виду формулы (2,4,11), получим	•=*

1 дФ

5гааФ = — • —
«I 041

1 ЭФ

Ла дфч

1 дФ

Л3 Гз'
Для дальнейших преобразований воспользуемся сведениями из курса мате-
матики, в котором изучается векторный анализ. Найдем дивергенцию вектора
скорости, представив его в виде суммы составляющих по координатным линиям:

_	з

У== К,/, + Угк + Г3<3 = 2

Л-1

(2,4.19)

Проведя операцию дивергенции для обеих частей этого равенства, получим

_ з

ак V = 2 (ил бIV /я -г 1„й1а<1 улу.
л—1

(2.4,20)

Для определения /я воспользуемся известным соотношением векторного
анализа

(Пу/п = б|у(гш X /;)=^;гоНш — /лго1	(2.4.21)

где п принимает последовательно значения п=(, 2, 3, которым соответствуют
значения т=2, 3, 1 и /=3, 1, 2. В свою очередь в это соотношение входят под-
лежащие определению векторы го17т или го!^, для которых введем общее обо-
значение гоИ’п. Привлекая (2.4.18) и используя общие методы преобразования
векторных величин, можно найти

г°‘'^лДл, • а?; ‘м-;лт • д9т '>)

(2.4.22)

Теперь внесем (2.4.22) в (2.4.21). Естественно, что при такой подстановке
надо пред®зрительно произвести замены индекса л у гоОл ня т и /, а также
осуществить соответствующую расстановку индексов в правой части (2 4.22).
В результате получим

Й1У 1п =

1/ 1 __ ।

дН]

(2.4.23)

Теперь можно подставить эти значения в (2.4.20). Учитывая, что в этой формуле
в соответствии с (24.18)

'лй'ад Уд = (1/Ал) (дУ^дд^,

найдем следующее выражение для дивергенции:

Гг 1	*з) <Э(^Мг) «ИКЛАг)! „ , 0 ,х

V V =	—--------ч----------4- —-------- -	(2.4.24)

Л1АЙ«3 I 0^1	002	1

Имея это выражение, можно рассмотреть преобразование уравнения неразрыв-
ности (2.4.1) к различным формам криволинейных ортогональных координат

Цилиндрические координаты. В цилиндрических координатах
параметры Ламэ даются выражениями (2.4.16), а значения дп
(«-1, 2, 3) — соотношениями (2.4.12). Составляющие скорости по
осям цилиндрических координат;

У^У^^х/сП, У2^Уг=аг/(И, к'3=Ут=г(<Уу/лИ). (2.4.25)

С учетом этого дивергенция скорости (2.4.24)

дУг I Й17т Уг

(11уУ =------— 1______________. . т. -!

д.х дг г д\ ‘ т

(2.4.26)

79
Для преобразования к цилиндрическим координатам производ-
ной яр/г//, входящей в уравнение неразрывности (2.4.1), восполь-
зуемся формулой преобразования

д/ _ д/ . д/ ад\ । д/ । д/ <*ду (2427)

Л д/	д{ д$2 *и ддА	*

в которой 1(х,	2, /) — некоторая функция декартовых координат

и времени. Получаем

_ др । 4х др 1 др ( г/у др

д1	дх "Г Л дг	ду

=^+ух_^+угЛ.+Л. А.
д1 1 х дх 1 г дг 1 г ду

(2.4.28)

Внося значения для сИу V я //рДО в уравнение (2.4.1), находим
дР д(рИл-) д(рИг) 1 д(рИт) ₽Р7

‘ (2

Это уравнение можно написать в несколько иной форме:
др	д(кУг) I	д(рг^)

г-----------------------------------—=0.	(2.

д1 1 дх * дг	1 г ду	1

Для частного случая установившегося движения

д(ргУх) д(ргУ7) 1^ д Срг Ут>
дх ~ дг ' г ду

(2.4.31)

Для потенциального движения в уравнение неразрывности мож-
но внести замены:

Ух=дч/дх, У,=дч!дг, Уу={\]г)(дч1д^.

(2.4.25')

Если одновременно движение газа осесимметричное, как, напри-
мер, при обтекании под нулевым углом атаки тела вращения, то
параметры потока не зависят от угловой координаты у и, следова-
тельно, уравнение неразрывности будет иметь более простой вид:

а (ргУ х)/<?л+д (ргУг)/дг=0.	(2.4.32)

Уравнения (2.4.5) и (2.4.32) можно объединить в одно, на-
писав

<?( ?У	д^уУду - 0,	(2.4.32')

где для двухмерного плоского течения Е"0, а для двухмерного осе-
симметричного потока 8=1, У=г-

Сферические координаты. Воспользовавшись соотношением
(2.4.24), имея в виду формулы (2.4.13) для сферических координат,
а также зависимости (2.4.17) для параметров Ламэ и выражения

ВО
для составляющих скорости:

=	У2=У,^±.-!* 4'3 = |Л,=гз1пО^-, (2.4.33)

Л	г <И	а1	*

можно написать для дивергенции скорости
— I д(^)	1	д(У,5]П0) I д^ъ „

Шу У=— -	4-------------------4------------ . (2.4.34)

г2 дг Г 81П в дб	Г ЯП О Л||

Полную производную для плотности <2р/<Д в соответствии с
(2.4.27) представим следующим образом:

др	др	। др дг ।	др	дб	।	др	дф___

Л1 ~~	д1 дг ' <Н ’	дб	<11	'	дф	д/	“

др , г др V* др , V. др

=—4-1^,—4----------5-.—4-—— .	(2.4.35)

д{	дг ' г д$ г в1п 0 дф

Внося значения <11УЙ из (2.4.34) и производной фД// из (2.4.35)
в (2.4.1) и группируя члены, будем иметь

Эр 1 д(РУн2)_________I д(рУе81п0) 1 д(РУ6)

д! г2 дг г ею 0 д0 ’ г 81п 0 дф

Для установившегося движения частная производная др/д/ = О.
Следовательно,

I д(ругг2) 1 д(руй 51П 0) , I д (рУ, ) л м

------	4---------—--------4------.	=0. 2.4.37)

г дг 8|П 0 дв	з|п в дф

В частном случае несжимаемой жидкости (р—сопз!)

]_ Д^2)1

Г дг 81П в

д(У0 81П в) I

д0 ' 31П 0

д17

—*-=0. (2.4.38)
дф

Для преобразования уравнения неразрывности в случае потен-
циального движения следует произвести замены:

1/0=—V = 1
дг	г дв ’ г 81п 0 дф

(2.4.39)

Уравнение неразрывности движения газа
вдоль криволинейной поверхности

Рассмотрим частный вид уравнения неразрывности в криволи-
нейных ортогональных координатах, которое применяется при ис-
следовании обтекания криволинейной стенки. Ось х в этой системе
координат совпадает с контуром стенки, а ось у — с нормалью
к этой стенке в рассматриваемой точке. Координаты точки Р на
плоскости (рис. 2.4.3) равны соответственно длине х, отсчитывае-
°и ^Д°ль стенки, и расстоянию у, определяемому по нормали к
ней. 11редположим, что стенка является поверхностью вращения,
обтекаемой осесимметричным потоком газа. Криволинейными ко-
ординатами точки Р будут

дг \

(2.4.40)

Элементарные длины дуг координатных линий:

</$!=[	(2.4.41)

где г — радиальная координата точки Р, отсчитываемая по норма-
ли к оси поверхности вращения; Р— радиус кривизны поверхности

Рис. 2.4.3' К выводу уравнения нераз-
рывности в криволинейных координатах

в рассматриваемом сечении.

Следовательно, парамет-
ры Ламэ:

=	А?=1, Л3=г. 

(2.4.42) 1

Теперь	воспользуемся ’

формулой (2.4.24) для
в которой составляющие ско-
рости

1/1=Гг=</5,/Л=[1 +

+(у//?Ихлг/л,
=ау/сИ, 1/э=0. (2.4.43)

В результате подстанов
ки получаем

д! V У=---------। а(К,г) 4-



• (2.4.44) (

Вычислим полную производную для плотности;

_ др , др	___др

(И д1 дх сП "Г" ду сП дС 1

ч---+1/„	.	(2.4.45) •

I -г у/К дх 1	* ду

Внося выражения (2.4.44) и (2.4.45) в (2.4.1), после несложных^
преобразований получим уравнение неразрывности в следующем '
виде;

— г(1+у//?)+—(е—г)	+/'^^=0. (2.4.46)1

д1	дх	ду

При исследовании движения газа около стенки с малой кривиз-^
ной или в тонком слое, прилегающем к поверхности (например,
82	7

угиту.токЬ-1а.8рЬ.п1 - Самолёт своими р^^»ми?!
пограничном слое), координата Следовательно, можно при-
нять, что

(<??,<?:) г	д(?гУ У)',ду=&	(2.4.47)

Полученное уравнение такое же по форме, как и для поверхности
с прямолинейной образующей. В случае установившегося движения

д Ерг ^л). дх 4- д (ргУ^.'ду=0.

(2.4.48)

При двухмерном движении около криволинейной стенки (цилинд-
рической поверхности) уравнение неразрывности будет иметь сле-
дующий вид:

! Д(р^[1 + (У/Д)])=:о	(2,4.49)

б/ 1 ' ' дх ' ду	1

Для случая у^Я можно написать приближенно

др/д/ 4 & (рУ\1 /&х+ (Р^)Й=0.	(24.50)

Таким образом, для движения вблизи стенки уравнение нераз-
рывности в криволинейных координатах будет по внешнему виду
таким, как в декартовых координатах.

Для установившегося течения др/д/=О; тогда уравнение нераз-
рывности

д (рГх)/<?л:+ д [?У9}/ду=0.	(2.4.50')

Уравнения (2.4.48) и (2,4.509 можно объединить в одно, написав

(р^г);^-^ д(рууе)01/=о,

(2.4.483

где б—0 для двухмерного плоского течения и е=1 для двухмерного
пространственного осесимметричного потока.

Уравнение расхода

Рассмотрим частный вид уравнения неразрывности для устано-
вившегося жидкого потока, представляющего собой по форме
струйку. Масса жидкости в некотором фиксированном объеме, ог-
раниченном поверхностью струйки и торцовыми плоскими сечения-
ми, не меняется от времени вследствие того, что в каждой точке вы-
полняется условие др/д/=О. Поэтому масса жидкости, поступаю-
щая в единицу времени в объем через торцовое сечение площадью
и равное р1У|5], будет таким же, как и масса жидкости раУдЗз,
вытекающая через противоположное сечение площадью 5а (рь р2—
плотности; — скорости соответственно в первом и втором се-
чениях струйки). Таким образом, р>^151^р2Уа52, Так как это ра-
венство можно отнести к любому сечению, то можно написать в
общем виде

р1/5— сопзС	(2,4.51)

Это уравнение называется уравнением расхода.

83
§ 2.5. ФУНКЦИЯ ТОКА

Изучение безвихревого течения газа упрощается, если свести
его к отысканию одной неизвестной потенциальной функции, пол-
ностью определяющей это течение (см. § 2.3). Покажем, что для
некоторых видов вихревого потока существует функция, также оп-
ределяющая его кинематические характеристики.

Рассмотрим двухмерное (плоское или пространственное осесим-
метричное) установившееся вихревое движение жидкости. Из
уравнения неразрывности (2,4.32') можно установить, что сущест-
вует некоторая функция ф координат х, у* определяемая соотно-
шениями:

дЬ'дх -- -?у‘Уу-, д'^ду=ру"1/л.	(2.5.11

Действительно, подставляя эти соогношения в (2.4.32'), получим
д\у(дг/дх) —д2^1(дхду)^ т. е. тождество. Внося (2,5.1) в уравнение
линий тока Уу!йу— написанное в виде

Гу-У^х— РУ'У^У=О,	(2.5.2)

получим выражение

(дфг‘дх) г/х (дф ’ду) с!у=0,

из которого следует, что (2,5.2) представляет собой дифференциал
функции ф и, следовательно,

=	(2.5.3)

Интегрируя (2.5,3), найдем уравнение линий тока в виде

ф (х, г/)=соп81.	(2.5,4)

Функция ф, называемая функцией тока, полностью определяет
скорости вихревого потока в соответствии с соотношениями

Ух=(1/р^) (^^),	-(1/РЛ	(2-5-5)

Напомним, что для плоского потока в этих выражениях надо при-
нять е=0, а для пространственного осесимметричного течения
«=1,1/='.

Семейство линий тока потенциального потока можно также ха-
рактеризовать функцией ф=сопз1, которая связана с потенциалом
скоростей соотношениями

др/дх= (дф ’ду), ду,'ду= — (1/р*Н (дф'дх). (2.5.6)

Полагая в (2.5.5) и (2.5.6) р"сопз(, получим соответствующие
выражения для несжимаемого потока:

^=(1/^*) (дф ду), У,= -(1/Л0^-*);	Р-5-7)

д?/дх=( 1/у') (дУду), 'ду= — (1/у*) (др/дх). (2.5.8)
81
Полагая в последних равенствах е=0, получим для несжимаемого
плоского потока уравнения:

д^'дх=д $ду, д^ду = — д 'Лдх.

(2.5.9)

Зная потенциал скоростей, можно исходя из этих уравнений оп-
ределить с точностью до произвольной постоянной функцию тока,
и наоборот.

В потенциальном потоке наряду с линиями тока можно про-
вести семейство эквипотенциальных кривых (на плоскости) или
эквипотенциальных поверхностей (в осесимметричном потоке), оп-
ределяемое уравнением <р=сопвЬ

Рассмотрим векторы

^габ <?=(д?/дх) I+У и ^габ о=(<Ур/дл) / - г, дф ду) у,

направления которых совпадают с направлениями нормалей соот-
ветственно к кривым <р=сопа( и ф=сопз1. Скалярное произведение
этих векторов

^габ <? <*габ ф=(ду/дх) (д^/дх)+(д?/ду) (д ?/ду].

Учитывая формулы (2.3.2) и (2.5.5), можно установить, что это
скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что линии
тока будут ортогональными к эквипотенциальным линиям (на
плоскости) или эквипотенциальным поверхностям (в осесимметрич-
ном потоке).

6 2А. ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ

Вихревой линией называется некоторая кривая 5, постро-
енная в данный момент времени в, потоке жидкости и обладающая
тем свойством, что в каждой ее точке вектор угловой скорости ю
совпадает с направлением касательной.

Построение вихревой линии ведется аналогично линии тока (см.
рис. 2.1.1) с той разницей, что вместо векторов поступательной ско-
рости^ берутся векторы угловой скорости вращения частиц со
(сои иг и т, д.). В соответствии с этим определением векторное
произведение с>Х^=0, т. е.

к



дх ду

=г	— ^хду)—у (<и^дг—(пхдх) -ф к (ю хду—^удх)— 0.

Отсюда, принимая во внимание, что, например, <йуйг—ыг(1у=$
и т. д.а получаем уравнение вихревой линии

дх/&л=ду/^у=дг/^х.	(2.6.1)

Проведя вихревые линии через точки элементарного контура с пло-
щадью сечения а, получим вихревую трубку. Произведение
ши называется интенсивностью или напряжением вих-
ревой трубки или вихря.

85
Докажем, что интенсивность вихревой трубки есть величина по-;
стояния я для всех ее сечений, С этой целью воспользуемся анало-
гией с течением несжимаемой жидкости, для которой, как было’
показано, 0. Следствием этого является уравнение расхода
для струйки 1^5] = 1/252=... = 1/5=соп$1.

Рассмотрим вихревое движение и выражение для дивергенции
вектора угловой скорости

б 1V ш=дл^’дх+д^в /ду~\~ д^дх.

Подставляя сюда вместо компонент <о их значения из (2.2.3) и
(2,2.6), получим при условии, что вторые производные от V*
являются непрерывными, выражение 61у(й=0. Используя аналогию^
с уравнением расхода У5=сопя1, получим уравнение для потока|
вектора ш вдоль вихревой трубки в виде	

<й1^1=^<о2зг=.., =®з =соп?Е	(2.6.2) ।

Это уравнение выражает теорему Гельмгольца о постоянстве вдоль 5
вихревой трубки ее интенсивности. Из этой теоремы вытекает свой- ;’
ство вихревой трубки, заключающееся в том, что она не может;
внезапно оборваться или закончиться острием.?;
Последнее обусловлено тем, что при площади сечения трубки^
о-Ч) угловая скорость вращения со стремилась бы в соответствии ";
с теоремой Гельмгольца к бесконечности, что физически нереально^
.*

$ 2.7. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ^

Понятие о циркуляции скоростГ

Понятие о циркуляции скорости имеет большое значение в аэр^
динамике и используется при исследовании обтекания летательны
аппаратов и, в частности, при определении подъемной силы, деЖ
ствующей на крыло,

Рассмотрим в потоке жидкости некоторый фиксированны®
замкнутый контур К, в каждой точке которого известна скороеНГ
и вычислим интеграл по этому контуру:	;

Г= С	(2.7.Г

(К)

где Ге/я — скалярное произведение двух векторов V и Вычиб.
ленная таким образом величина Г называется циркуляции
скорости по замкнутому конту ру. Так как	;1

V =	+ Vу] 4-	и с?8—<1x1 -]-<1у1^ то я

Г= С У^х^У^у^У^.	(2.7Я

(К)
Учитывая также, что скалярное произведение У&8=У со»(1/^5)

—У^$, где	— проекция скорости на касательную, получим

Если контур совпадает с линией тока в виде окружности радиу-
са г, в каждой точке которой скорость одинакова по величине и
направлению, то

Г=2лг^.	(2.7.4)

Циркуляцию скорости в безвихревом потоке можно выразить
через потенциал скоростей. Полагая, что Уус1у+ 1/^2=4ф,
получим для незамкнутого контура Ь

Г У	(2.7.5)

(Ъ

где фА и фв — значения потенциальной функции на концах конту-
ра. Для замкнутого контура фл и фв представляют собой значения
потенциала скоростей в точках А и В контура, совмещенных друг
с другом. Если потенциальная функция является однозначной, то
Фл=Фв и циркуляция скорости по замкнутому контуру равна нулю;
неоднозначность потенциала скоростей (фл^фв) определяет вели-
чину циркуляции, отличную от нуля.

Теорема Стокса

Рассмотрим элементарный контур АВСО (см. рис. 22.1) и вычислим цирку-
ляцию по этому контуру. Примем, что вдоль каждого ребра скорости постоянны
и равны следующим значениям:

Кг (АВ), Уд + ах (ВС), Ух + ая (СО), Уд (АО).

Считая положительным направление обхода контура против часовой стрелки (от
оси д в сторону осн у), получим для циркуляции

а\\ = у,ах + V, + —- ах) ад-Ух + —— ад] ах- у^д,
\ &х / \ }

или

агй = (дУу/дх — дУх ду) 4хйу,

В соответствия с (2.2.3) величина в скобках равна удвоенному значению состав-
ляющей угловой скорости 2(1)!. Следовательно.

аТя=2щ1хау.	(2.7.6)

Аналогично можно доказать, что

у :=

д„э™х выРЯЖениях произведения дифференциалов представляют собой площа-
ч₽н 0гРаиичениые соответствующими элементарными контурами. С учетом полу-
ныл результатов для площадки г/сг. произвольным образом ориентированной
ространстве н ограниченной элементарным контуром, циркуляция

(2.7.7)

87
где йп —составляющая угловой скорости по направлению нормали п к пло-
щадке б/ст. В соответствии с (2.7.7) циркуляция скорости по элементарному замк-
нутому контуру равна удвоенной интенсивности вихря, расположенного внутри
контура.

Соотношение (2.7.7) может быть распространено на случай контура Ь ко-
нечных размеров, ограничивающего некоторую поверхность 5, в каждой точке
которой известна величина <вп. Тогда циркуляция скорости по контуру

Г = 2



(2.7.8)

Формула (2.7.8) выражает теорему Стокса: циркуляция скорости по замкнуто-
му контуру 2. равна удвоенному интегралу от интенсивности вихрей, проходящих

Рис. 2 7 1. Односвязная п трехсвязная области на плос-
кости

а—односвязная область (Г —циркуляция по контуру К),
б — трехсвязная область (Г„ — циркуля пня по наружному кон
туру, Г иГ —циркуляции соотнетстненцо по внутренним
К 1

контурам К1 и К»)

сквозь поверхность, ограниченную контуром. Величина, определяемая этой фор'
мул ой, называется также напряжением вихря и обозначается

(Гмс.	(2.7.В')

15)

Если циркуляцию Г в (2 7.8) заменить по формуле (2 7.3), то получим .
зависимость, выражающую интеграл но контуру К через интеграл по по-
верхносги 5, ограниченной этим контуром К,

С V = 2 Г Г	(2,7,8*)

(К)	(5)

Приведенные зависимости относятся к однесвязному контуру (рассматри-
ваемая область енраничивается одним контуром, рис 2.7.1, с). Однако теорему 
Стокса можно распространять и па многоснязные контуры (область ограиичи- *
вается одним наружным н несколькими внутренними контурами). При этом
(2.7 8") применяется при условии, что наружный контур соединяется с внутрен- -
ними вспомогательными линиями (разрезами) так, чтобы получилась односвяз- '
пая область. Тогда двои л ой интеграл в (2 7.8") распространяется на заштрихо- 4
ванную область (рис. 2.7.1, б), а контурный интеграл берется для полученной 1
односвязной области, т. е. по наружному контуру, вдоль всех разрезов, а также 4
по всем внутренним контурам В соответствии с этим и согласно формуле !
(2 7.8"), а также рис 2 7.1,6, где показана трехсвязная область, получим ;1

ГК “ ГКГ —	” 2 И	1

(5)
88
откуда циркуляция по контуру К рассматриваемой области

К

Распространяя эту формулу на случай п внутренних контуров, найдем

/—Л

ГК ~ 2 ?К1 2 И <лл*5'

I	(5)

Скорости, индуцируемые вихрями

Рис. 2.7 2 Схема вихревого воздействия

Возникающие «вихри вызывают в окружающем пространстве, за-
нятом жидкостью или газом, дополнительные скорости. Этот эф-
фект аналогичен электромагнитному влиянию проводника, по
которому течет электриче-
ский ток. В соответствии с
такой аналогией скорости,
вызываемые вихрем, называ-
ются индуцирован-
ными.

Указанная электромаг-
нитная аналогия находит
свое выражение в том, что
для определения индуциро-
ванной вихрем скорости при-
меняется формула Био—-
Савара, подобная той, кото-

рая выражает известный закон электромагнитной индукнии.

Рассмотрим криволинейный вихрь произвольной формы (рис.
2.7 2 ). Вектор скорости индуцированной элементом вихря дЬ
в точке Д, положение которой определяется радиусом-вектором
г, совпадает по направлению с векторным произведением гХ^А,
т. е. вектор <1у) перпендикулярен плоскости, содержащей векторы г
и (1Е. Значение е/й определяется при помощи формулы Био — Са-
вара, которая в векторной записи имеет следующий вид:

^=(Г/4л) (г X ^А/г3),

(2,7.9]

где Г —циркуляция скорости. С выводом формулы (2.7.9) можно
ознакомиться по книге {23].

Так как модуль векторного произведения |гХ^А| =г 51/1	где

а угол между направлением элемента вихря и радиусом-векто-
ром г, то величина индуцированной в точке А скорости

с/до = (Г/4л) (зги сц/А/г2).

(2.7.10)

Применим формулу Био — Савара для вычисления скорости,
индуцированной участком прямолинейного вихря (рис. 2.7.3), Так

69
как

г^й/зша, 4Ь = г(1а/$1п а = Ма/81П3а, то

а1
Т* г	Г

=------\ 51лш/а~--------(соз а, — соза2), (2.7.11)

4лй }	4лй 1	1	2	1	'

Для вихря, оба конца которого уходят в бесконечность (бесконеч-

ный вихрь), си—0, аг=л, следовательно,
™ = Г/(2лЛ).	(2.7.12)

Рис, 2.7,3. Схема влияния прямолинейного
вихря на частицу жидкости, расположен-
ную в точке А

Для вихря, у которого один конец уходит в бесконечность, а дру-
гой берет начало в точке А (полубес конечный вихрь), 01=0, аг=
= л/2. Поэтому

яу=Г/(4лА).	(2.7.13)й

Если в жидкости расположены два или несколько вихрей, то?
они взаимодействуют друг с другом, вследствие чего -вихревая си-:;
стема будет находиться в движении. Скорости этого движения оп^
ределяются при помощи формулы Био — С авара. Возьмем в каче-л'

Рнс 2 7.4. Взаимодействие вихрей:
а — вихри с адм паковым направлением
вращения, б — направление вращения вих-
рей противоположное

стве примера два бесконечных
вихря с одинаковой интенсивно-:
стью и направлением вращения
(рис. 2,7.4.а). Эти вихри сообща-
ют друг другу равные по величи-
не и противоположные по на прав-.
лению скорости Рй=—Г/(2лй),г
Г1=Г/(2лй), в результате чего4
оба вихря будут вращаться около :
оси, проходящей через середину*
расстояния между вихрями, Если:-
из двух вихрей один будет иметь^
интенсивность, обратную по знаку^
(рис. 2.7,4,б), то индуцированный
скорости будут одинаковы по на-^
правлению, и, следовательно, св^

Е

л
стема вихрей будет перемещаться поступательно со скоростью У=
=Г/(2лй) в направлении, перпендикулярном прямой, соединяющей
вихри.

$ 2.8. КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

Движение безвихревого несжимаемого потока можно полностью
определить, если известна потенциальная функция ф или функция
тока ф, связь между которыми дается уравнениями (2.5.9), извест-
ными в теории функций комплексного переменного как уравнения
Коши — Римана. Эти уравнения выражают необходимые и доста-
точные условия того, что комбинация из двух функций ф-Нф яв-
ляется аналитической функцией комплексного переменного г-
=х-Цу* т. е. дифференцируемой во всех точках некоторой области.
Введем обозначение для згой функции:

(2.8.1)

Функция Ц/(г), которая будет определена, если функции от двух
действительных переменных ф=ф(х, у) и ф—ф(х, у) удовлетворяют
дифференциальным уравнениям (2.5.9), называется комплекс-
ным потенциалом. Если вспомним, что значения функций
у) или ф(х, у) позволяют однозначно определить поле скоро-
стей в движущейся жидкости, то, следовательно, всякий двухмер-
ный плоский поток может быть задан комплексным потенциалом.
Отсюда задачу о расчете такого потока можно свести к нахожде-
нию функции Ц7(г). Вычислим производную по комплексному пе-
ременному г от функции И7(г):

=д^дх +1 (д}г дх).	(2.8.2)

Так как ду/дл = Ух, д$дх=; — У^ то

= Ух - IV	(2.8.3)

Это выражение называется комплексной скоростью, мо-
дуль которой дает величину самой скорости	У%-)-У% =

= У, Очевидно, действительный вектор скорости Г=Ух+1Уу явля-
ется зеркальным отображением относительно оси х вектора комп-
лексной скорости. Обозначим через 0 угол между вектором
и осью х и определим скорости Ух=УсозО и	Исполь-

зуя формулу Эйлера

СОЗ 6—1 5111 0 = е-'в,
получим

(Ж	(2.8.4)

$ 2.9. ХАРАКТЕРНЫЕ ВИДЫ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ

их гепмрт/«и21л?рактерные виды потоков несжимаемой жидкости,
яия для компл₽к^г1ГарТИНу (аэРодннамическнй спектр), выраже-
тенпняпт.ми» л потенциалов, а также соответствующих по-
тенциальных функций и функций тока.

91
Плоскопараллельный поток

Пусть движение жидкости задано комплексным потенциалом

№ (%]=У (СО5 6 —/ 51П

(2.9.1)

где Гиб — некоторые величины, постоянные для данных условий.
В соответствии с (2.8.1)

V (СОЗ 6 — 1 51П 6)(х-РЧ/)»

откуда находим потенциал скоростей и функцию тока:

Ф— V (лсоз $-\-у 51п 6);	(2.9.2)

?= V (у созб —хзш 6).	(2.9.3)

Из выражений для ф или ф следует, что рассматриваемый поток
плоский и установившийся, так как время в них явно не входит.
В таком потоке линии тока и траектории совпадают.

Из (2,9.2) можно найти составляющие скорости потока:

д?/дх=Ух=V соз 6, ду/ду = Уу=V ап А, д?/дх =	= 0. (2.9.4)

Здесь V — полная скорость потока, а 6 — угол между ее направле-
нием и осью х. Приравнивая функцию тока ф (2.9.3) постоянной и
включая в нее К получим уравнение

^созб—х зги 6=сопз(,	(2.9.5)

из которого видно, что линии тока представляют собой параллель-
ные прямые, наклоненные к оси х под углом 6 (рис. 2.9.1). Так как
составляющие скорости Ух и Уу положительные, то направление по-
тока будет таким, как показано на рис. 2.9.1. Этот поток называет-
ся поступательным плоскопараллельным пото-
ком.

В частном случае, когда поток параллелен оси х (6=0,
Уу=0), комплексный потенциал

И7(г) = Уг.	(2.9.6)

Плоский точечный источник и сток

Рассмотрим комплексный потенциал

(г)=(^/2л)1п2,	(2.9.7)

где у —* некоторая постоянная величина. Это уравнение перепишем
в виде

© _р	(^/2л) 1п (ге'е)=(<?/2л) (1п г -ф- /6),

где г— расстояние до точки с координатами х, у (полярный ради
ус): 6 — полярный угол.

92
Из полученного уравнения следует, что

<р-=(?/2л)1пг=(?/2л) 1п

*=(^)*-

(2.9.8)

(2.9.9)

Из (2.9.8) находим, что радиальная составляющая скорости (по на-
правлению радиуса г)

ду)дг — —дХ^г) >	(2.9.10)

а составляющая по нормали к этому радиусу

У,=0-

Таким образом, получили поток, линии тока (траектории) которого
представляют собой семейства прямых, проходящих через начало

Рис. 2.9.1. Поступательный плоско-
параллельный поток

Рис. 2.9.2. Плоский точечный
источник

координат (это же следует из уравнения линии тока -ф—сопз^). Та-
кой радиальный поток, идущий от начала координат, называется
плоским точечным источником (рис. 2.9.2).

Расход жидкости через контур радиуса г будет равен 2лгУг=ф.
Внося сюда значение Уг из (2.9.10), найдем Следовательно,
постоянная д определяется расходом жидкости из источника. Эта
величина д называется мощностью или интенсивностью
источника.

Наряду с источником существует впд движения жидкости, на-
- зываемый плоским точечным стоком. Комплексный по-
тенциал стока

1Г (и)^= — (^/2л)1п^.

(2.9.11)

нак минус указывает, что в отличие от источника движение будет
происходить к центру. Сток, как и источник, характеризуется мощ-
но тью, или интенсивностью, д (расходом в единицу времени).

93
Пространственный источник и сток

Помимо плоских существуют пространственные точеч-
ные источники (стоки). Поток от них задается следую-
щими условиями:

х 4л	р 4д дз * 4л Я’

где А?=)Ал2-|-^2+г2; ^ — интенсивность источника (знак плюс;
или стока (знак минус). Интенсивность источника (стока) равна
величине д, определяемой как секундный расход через поверхность
сферы радиуса /?. Полная скорость

^=1/Г1/^ + ^+^=+?;(4л7?2)	(2.9.13]

и совпадает с направлением радиуса-вектора /?. Поэтому потенци-
ал скоростей зависит только от /? и, следовательно, можно написать

После интегрирования получим

?= + ^/(4л/?),	(2.9.14,

где знак минус относится к источнику, а знак плюс — к стоку.

Диполь

Рассмотрим поток, комплексный потенциал которого
1Г(2г)-(.И/2л)(1/г),	(2.9-15)

где М — некоторая постоянная величина. В соответствии с этим
уравнением
фН- ^ф=(А?/2л) (!/ге,е).

Преобразуем правую часть этого равенства. Принимая во внима-
ние, что

-Лд-=--------!------= — (соз 0 — I 51П 6),

ге 9 г (соз е + /51П 0) г

получим

?+/'?=(44/2лг)(соз 6 —/ 51П0).

Отсюда находим
? (м/2л) (соз 0/г);	(2.9.16):;

0= —(7И/2л)(з1п 6/г).	(2.9.17)

Полагая	и	учитывая, что г=У х2-\-у2,	а	51п6=#/г== -

=у/Ух-^у2,	получим	уравнэниз семейства	линий	тока	рассмат-..}

риваемого течения	а

#/(л2-|-$/2)—соп${.	(2.9.18)1

94
Семейство линий тока представляет собой бесчисленную совокуп-
ность окружностей, проходящих через начало координат и имею-
щих центры на оси у (рис. 2.9.3, а).

Чтобы представить физическую картину этого течения, рассмот-
рим поток, который получается в результате сложения течений от
источника и стока одинаковой интенсивности, расположенных на
оси х на малом расстоянии в от начала координат (рис. 2.9.3, б).
Для точки М(х, у) потенциал скоростей потока от источника, рас-
положенного на расстоянии г1( будет <риСт=(^/2л) 1п и, а от стока,
расположенного на расстоянии от этой точки, фст~ (—<?/2л) 1пга.

Чтобы определить суммарное течение от источника и стока, вос-
пользуемся методом наложения несжимаемых потоков. По этому

Рис. 2.9.3. К определению диполя:
а — липин тока диполя; б — схема образования диполя

методу потенциал скоростей суммарного течения ф=фист+фс?.
Действительно, в силу уравнения неразрывности (уравнения Лап-
ласа), получающегося из (2.4.8'),

।	= (?ист + уст) । дя (уиот + Уст) = 0

дх2 "Г $д2	$х2	ддЪ

Так как функции фист и фСт удовлетворяют уравнениям

^Нсг/^г+^’>'РИсг/^э=0 и д\^дх*+д^ду*=^

то даф/дх2+д2ф/^2 тождественно равно нулю. Следовательно, сум-
марная^ функция ф удовлетворяет уравнению неразрывности. Сум-
марный потенциал от источника и стока

?=(9/2л)1п(г1/г!).

Так как г1=уг(х-|-г)?-|-уг, г2=р|Г(л—$)’-(-у2, то

1п—==

т'а

, или

2

(X - Е)2 +	'

Величину е можно выбрать такой, что второй член в скобках будет
малым по сравнению с единицей. Применяя формулу разложения в

95
ряд для логарифма и пренебрегая членами второго и более высо-
кого порядка малости, получим

лг



(2.9.19)

Пусть источник и сток сближаются (г—И)) и одновременно с этим
увеличиваются их мощности так, что произведение ^-2е в пределе
при совмещении источника и стока стремится к некоторой конеч-
ной величине ЛГ Образующийся при этом сложный поток называ-
ется диполем, величина М, характеризующая этот поток, — мо-
ментом диполя, а ось х — осью диполя. Переходя к пре-
делу в (2.9.19) для ср при е-^0 и 2<?е—получим для диполя вы-
ражение

М х	М	соб 8

2л	х2 + у2	2л г

совпадающее с (2.9.16). Таким образом, рассматриваемый поток,
характеризующийся комплексным потенциалом (2.9.15), является
диполем. Это же можно показать, если рассмотреть функцию тока
такого совмещенного течения, которая будет совпадать с (2.9.17).
Нетрудно видеть, что формулы (2.9.16) и (2.9.17) можно предста-
вить также в виде:

(1пУхг+^)=— .-^^созв;	(2.9.16')

<=--------— (1п	----— 	81П в- (2.9.17'1

2л ди	' 2л дг

Осуществляя дифференцирование (2.9.16), определим составля-
ющие скорости диполя:

=	_м_	I	_ Л4 З1п а (2 9 2011

дг г 2л ' т2 ’ г '	2л ' л2 ’ 1 '

Рассмотрим пространственный случай. Для течения, созданного.!
источником и стоком одинаковой интенсивности д, помещенными на 1
оси От (г=	+ в точках г=—ей г = + е, потенциальная

функция в соответствии с (2.9.14) будет	>

__д / 1	_	1 \д Г I____________________I

? 4л \ /?2	} 4л	+	/<г-5-е)2 + х2

Для малых значений е

(2.9.20')

и величина

(г + е)2 X х2 X2 г2 + 2те
После подстановки ее в (2.9.20') получим

ср=(<?/4л) 2ге/(л2 + г2)^2.

Отсюда при переходе к пределу при считая» что произведение
^-2е стремится к конечному пределу М, получим для течения» соз-
данного диполем с моментом Л4, потенциал скоростей

^=(М/4п)г/(х1+г^зр

(2.9.21)

или

м	а / I \

4л	дг \ Я /

(2.9.21')

Если источник и сток одинаковой интенсивности <7 расположе-
ны на оси Ох в точках х= —в и х= +е, то при е-*-0 потенциал те-
чения от диполя

«=—.----?-^- =—(2.9.21")

т 4я (*2 + г?)3/1 4п дх \ Л}	'

Цвфкуляцхонный поток (вихрь)

Рассмотрим течение, заданное комплексным потенциалом

лЛпг,	(2.9.22)

где а — некоторая постоянная величина. Перепишем это уравнение
в виде

ср -[- ёф = — аЛи (гг‘е)=а (6 — 11п г).

Отсюда находим:

<р=аО;	(2.9.23)

Ф= — а1пг.	(2.9.24)

Из “(2.9.23) следует, что радиальная составляющая скорости
Уг= ду/дг—0, а нормальная к радиусу составляющая Уй равна
производной от ф по дуге 5 линии тока, т. е.

^<р/4?5^(1/г)(<?ср/^0)~[/л=а/г.	(2.9.25)

Уравнение линий тока (траекторий) получим из условия ф =
= сопз1, что дает в соответствии с (2.9.24) уравнение г=сопз1. Это
уравнение представляет собой семейство линий тока в виде кон-
центрических окружностей. Вдоль них направление движения по-
ложительное, если оно происходит против часовой стрелки (от оси
плюс^ * В ЭТ0М слУчае коэффициент а в (2.9.25) будет со знаком

поток> в котором частицы перемещаются (циркулируют)
* концентрических окружностей, называется циркуляци-
онным потоком (рис. 2.9.4).

Я/дИЯ скорости в рассматриваемом потоке Г=2лг(<?ф/<?5).
Так как Лр/&=0/г, то Г=2Я0, откуда а-Г/(2я). Таким образом,
4—707

V ;	67
физический смысл постоянной а состоит в том, что ее величина
определяется циркуляцией потока, которая, как было установлено,
в свою очередь равна интенсивности вихря. Поток, создаваемый
вихрем, расположенным в начале координат, где V,—а/г->со} на-
зывается также плоским вихревым источником или
просто вихрем.

Таким образом, в данном параграфе были рассмотрены простей-
шие случаи течения, для которых точно определены потенциалы

Рис. 2.9.4. Циркуляционный поток
(вихрь)

скоростей и функции тока. Комбинируя эти течения, можно при оп-
ределенных условиях получить более сложные потенциальные по- «
токи, эквивалентные тем, которые возникают при обтекании тел --
заданной формы.

ч

я
ГЛАВА III

ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

§ ЭЛ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ жидкости

к числу основных уравнений аэродинамики относятся уравнения
движения, составляющие ее теоретический фундамент. Они связы-
вают между собой такие параметры, определяющие движение, как
скорость, нормальные и касательные напряжения, решение урав-
нений движения позволяет определить эти неизвестные величины.

Рассмотрим различные виды уравнений движения, применяемых
при исследовании газовых течений.

Декартовы координаты

Рассмотрим движение жидкой частицы <в виде элементарного
параллелепипеда с измерениями 4у, построенного около точ-
ки Л с координатами х, у, 2. Составляющие скорости в этой точке
обозначим Ух, Уу/ Движение жидкой частицы с массой рт (т=
элементарный объем) происходит под действием мас-
совой и поверхностной сил. Обозначим проекции массовой силы че-
рез Лрт, Урт, 7рт, а проекции поверхностной силы — через

Р/с Значения Рх. Ру, Р2 представляют собой проекции вектора
поверхностной силы, отнесенной к единице объема.

Уравнение движения частицы в проекции на ось х будет иметь
ВИД

р V/	=Лрт+р д,

откуда

^Их/Л=Х<(1/Р)Рд.,	(3.1.1)

где (1Ух/(Н — полное ускорение в направлении оси х. Аналогично
можно получить еще два уравнения в проекциях на оси у и г:

^М/=У + (1/р)Р,;	(3.1.2)

(I	г + (1;р) Рг.	(3.1,3)

СИЛУ М0Ж1Ю выразить через напряжения, дейст-
ву хногтим	злгчентаРного параллелепипеда. Различие в по-

лах по сравнению с идеальной (невязкой) средой

99

** - «

Йкх. -
состоит в том, что на грани частицы будут действовать не только
нормальные, но и касательные напряжения.

Каждая поверхностная сила, действующая на грань, будет иметь
три проекции на координатные оси (рис. 3.1.1). На единицу поверх-
ности левой грани действует поверхностная сила, проекции которой
обозначим через рхх> хх?> тху. Величина рхх представляет собой нор-
мальное напряжение, а тхг, тху — касательные напряжения. Как
видно, первый индекс указывает ось, перпендикулярную рассматри-
ваемой грани, а второй — ось, на которую спроектировано данное
напряжение. На заднюю грань, перпендикулярную оси г, действуют
составляющие напряжения р-г, т^х, тгу, на нижнюю грань, перпенди-
кулярную оси у, — составляющие р^, т\х,

При этом условимся считать нормальные напряжения положи-
тельными, если они направлены из выделенного элемента и, слсдо-

Рис. 3.1Д. Поверхностные силы, действующие на
жидкую частицу

вательно, подвергают его всестороннему растяжению, как это по-
казано на рис. 3.1.1. Касательные напряжения со знаком плюс бу-
дут в том случае, если для трех граней, пересекающихся в исход-
ной точке А, эти напряжения ориентированы по направлениям, про-
тивоположным положительным направлениям осей координат, а
для других трех граней — в сторону положительного направления
этих осей. С учетом этого рассмотрим проекции поверхностных сил
на ось х, На левую грань действует сила от нормального напряже-
ния — рхх^У^г, а на правую [рх*+ (дрхх/дх)(1х\(1у(12. Следовательно,
равнодействующая этих сил равна (дрхх/дх)Лхс1ус12. Составляющие
сил от касательных напряжений, действующих на эти грани, будут
равны нулю.

Необходимо, однако, учесть касательные напряжения т2Х и т,/х.
На заднюю грань действует сила —а на переднюю [тгх +
+ (дх^/дг) д.г}(1х(1у. Равнодействующая этих сил равна
(дгАналогично получим равнодействующую сил, дей-
ствующих на нижнюю и верхнюю грани, которая будет равна
(дхух/ду) д.хд.у(1г.
-©Р?^ :1''-;'"г '	'	"' ’’''	.<•-.-1.-..

4Р?''	-

иг*:

& Таким образом, проекция на ось х поверхностной силы, отнесен-
|^ной к единице объема,

*	Рх=дрхх]дх+дхух1ду^дхгх1дх.	(3.1.4)

’ Диалогично получим проекции на другие координатные оси поверх-
постной силы, отнесенной к единице объема:

Ру=^хх!/1дх\-дрВ!/;ду+дхх!1, дх-,

Рг=дхсг/дх-\-дх11г 'ду-\-дрхг,'дг.

(3.1.4')

Касательные напряжения, действующие по ортогональным гра-
ням, равны между собой, т. е_ тгх=тх2> тгу=т^ и тух=тх^ Это мож-
но доказать, если составить уравнения моментов действующих на
частицу сил относительно осей, перпендикулярных граням и прохо-
дящих через центр параллелепипеда. Например, уравнение момен-
тов сил относительно оси, перпендикулярной передней и задней гра-
ням, будет следующим:

—хУх($х<а $у/2) — [гух +(дт4.х/^) ^у]	(й///2)4-

+ хх^У(1^ (^/2) +1*^+А*] (1У<1г (^*/2) =

где АЛ42 — момент инерционной силы при относительном движении
элемента около этой оси; в уравнение не входят моменты от сил
тяжести и нормальных составляющих поверхностных сил, так как
считается, что равнодействующие этих сил проходят через центр
. параллелепипеда.

Заметим, что инерционная сила по своей природе является объ-
емной силой, пропорциональной элементарному объему х--с1Х(1у(12,
и будет, следовательно, величиной третьего порядка малости. По-
этому инерционный момент, полученный от умножения этой силы на
бесконечно малое плечо, оказывается величиной четвертого поряд-
ка малости, вследствие чего им можно пренебречь. Отбрасывая в
уравнении моментов другие малые величины четвертого порядка,
^голучим равенство	Аналогично можно доказать два других

.равенства касательных напряжений (тхг=тгх; т,;г=тгу). В этих
’ равенствах касательных напряжений, приложенных к двум взаимно
перпендикулярным площадкам, проходящим через некоторую точ-
 ку, и действующих в плоскости, нормальной к обеим площадкам,
, заключается свойство взаимности касательных напряжений. Таким
^образом, из шести касательных напряжений независимыми будут
•Д три.

Г Для определения величин касательных напряжений воспользу-
р* емся гипотезой пропорциональности напряжений соответствующим
^деформациям. Иллюстрацией применения этой гипотезы является
^формула Ньютона для напряжения трения, возникающего при дви-
вязкой жидкости относительно твердой стенки. По этой фор-
Ейуле т^—у,(дКу/дх), т. е. напряжение пропорционально полускоро-
К;^€ти ет— (1/2) (дУУ!дх) скашивания угла в направлении оси г, отку-
можно написать, что т^х—2рег. Эта зависимость распространя-
ется на общий случай пространственного движения, при которое
угловая деформация в направлении оси г определяется пол у скоро-
стью скашивания ег= (1/2) (дУу/дх+дУх/ду). Две другие величи-
ны напряжения трения можно написать в виде туг=2цех, Тгх=2цеу.
Таким образом,

<Л=2|*Ч=Р (дУ^дх+дУ^дуУ,
=21“^=^(дУу/дг+дУ^ду);

ггх=2^!/=^(дУх/дх-^дУх/д^). .

(3.1.5)

Воспользуемся указанной гипотезой пропорциональности, чтобы
установить соотношения для нормальных напряжений рхх, Рш» Р^
Под действием напряжения рхх частица жидкости испытывает ли-
нейную деформацию в направлении оси х. Если обозначить через
величину относительной линейной деформации, то можно напи-
сать, что рзсх—ЕО/, где Е— коэффициент пропорциональности, или
модуль продольной упругости ЖИДКОСТИ- Под
действием нормальных напряжений руу и ргг частица будет дефор-
мироваться также в направлениях осей у и г, что уменьшает де-
формацию в направлении оси х.

Как известно из курса сопротивления материалов, уменьшение
относительной величины этой деформации для упругих тел, т. е.
величины Д0Х) пропорционально сумме относительных деформаций
В направлениях у и г под действием указанных напряжений. В со-
ответствии с этим

Дв*= — (1/т)(.Риц1Е+Р1!г1Е),

где т — некоторая постоянная величина, называемая коэффици-
ентом поперечной линейной деформации. Полная
относительная деформация в направлении оси х

вх =ёх+двх= рхх/Е - (1/т) (Рм/Е + ргг/Е).	(3.1.6)

Аналогично можно вычислить относительные деформации 6У -и
вдоль осей у и 2. Из полученных выражений находятся нормальные
напряжения:

Рхх	П/*71) (Руу Ч" Рзг) ’



(3.17)

=^+( 1/т)

Относительные линейные деформации частицы по направлениям
координатных осей определяют ее относительную объемную дефор-
мацию. Обозначив величину этой деформации через в, можем на-
писать, что

(3.1.8)

А
Суммируя (3-1.7) и учитывая выражение для 0, получим

2)-	(3.1.9)

Определив из этого выражения сумму руу+ргх. и подставив ее в
(3.1.6), найдем

т

т Ч-1

т Е

т Ч- 1 т — 2

Е6Я

(3.1.10)



Для последующих преобразований используем известную зависи-
мость между модулем сдвига О, модулем продольной упругости Е
и коэффициентом поперечной деформации, справедливую для упру-
гих сред, включая сжимаемую жидкость:

О=тЕ/|2(т+1)].	(3.1.11)

Внося эту зависимость в (3.1.10), получим

. е.	(3.1.12)

/я — /

Введем обозначение

«=(1/3)(р„+^+М-	(3.1.13)

Прибавив и вычтя величину о в правой части (3.1.12), будем иметь

^=’Ч-ВД6Х+-^ в-4-(р„+^„+р«)-

Я1 — 2	о

Используя (3.1.9) и (3.1.11), напишем
^х=^+<?[20г-(2/3)ё].	(3.1.14)

Аналогично получим выражения для рт и рг1:

^=»+О(2у1,-(2/3)ё];

₽„=«+О12е,-(2/3)в]. |

Для невязкой жидкости (см. § 1.1) было установлено, что давле-
ние р в любой точке потока одинаково для всех площадок, прохо-
дящих через эту точку, т. е. с учетом принятых обозначений в рас-
сматриваемом случае рхх—руу^Р1ъ— —р, следовательно, р—
“ (—1/3) (РххЧ-ру^Ч-Ргг). Таким образом, при исследовании движе-
ния вязкой жидкости давление можно определять как среднее ариф-
метическое трех нормальных напряжений, соответствующих трем
взаимно перпендикулярным площадкам, взятое с отрицательным
знаком. В соответствии с этим сг= —р.

В теории упругости устанавливаются следующие соотношения
для касательных напряжений, действующих в твердом теле;

^Ух ^Уух> ^уг^^Ууг>	(3.1.15)

гДе Уух> ууг, угх—'углы сдвига соответственно в направлениях осей

103
г, х, у. Из сопоставления формул (3.1.15) с соответствующими соот-
ношениями для вязкой жидкости (3.1.5) видно, что они могут быть
получены друг из друга, если модуль сдвига О заменить динами-
ческим коэффициентом вязкости ц, а углы сдвига у — соответству-
ющими значениями скоростей скашивания углов е. В соответствии
с этой аналогией при замене^? на р в формулах (3.1.14), (3.1 Л4')
относительные удлинения 0Х, ву, 0г должны быть заменены соответ-
ствующими значениями скоростей линейной деформации 0Х—
=дУх/дх, Ъу=дУу/дУ' Ь^дУ^/дх, а относительная объемная
деформация в —скоростью относительной объемной деформации
в=дУх/дх-{-дУу/ду-]-дУ1/д2=<Ну У.

После соответствующих подстановок в (3.1 Л4), (3,1.14') полу-
чим:

(3.1.16)

Вторые члены в правой части выражений (ЗЛ.16) определяют до-
бавочные напряжения за счет вязкости.

Используя соотношения (3.1.4), (ЗЛ.4')( (3.1.5) и (3.1 Л6), мож-
но вычислить значения Рх, Ру и Рг. Например, для Рх из (ЗЛ.4)
получим

дх

—<НуУ +
дх 1

да г к йх дг Л дхт	3

3	} ду \ ду дх I

дг

(дУх

\ дг ' дх /



где Д — оператор Лапласа:

д = д2/дх2 4- д^’ду1 4 &1дг2~

В частности,

д У д. =д2Ул/дх2+&Ух/ду2+да1/х/дга.

Аналогично можно найти соотношения для Ру и Рг.

Зависимости для напряжений поверхностных сил в жидкости
были получены здесь путем обобщения закономерностей, связыва-
ющих напряжения и деформации в твердых телах, на случай жид-
кой среды, обладающей свойством упругости и вязкости. Эти же
зависимости можно получить исходя из ряда гипотетических пред-
ставлений о молекулярных силах, действующих в самой жидкости
(см. [2. 71).

104
Выписывая в развернутом виде проекции полного ускорения по
правилу вычисления производной от сложной функции }(х, у, 2, /),
в которой, в свою очередь, х, у, х являются функциями времени Л
можно получить с учетом найденных выражений для Ру, Рг
уравнения движения (3.1.1) 4-(3.1.3) в следующей форме:

где ч = ц/р — кинематический коэффициент вязкости.

Дифференциальные уравнения (3.1.17) составляют теоретиче-
скую основу газодинамики вязкой сжимаемой среды и называются
уравнениями Навье — Стокса. В них принято, что динамический
коэффициент вязкости р является функцией координат х, у, г, т. е.

у, х). Предполагая, что р-=соП51, уравнения Навье-Стокса
можно написать в следующем виде:

^-=Л —!- .-^--[-удУг4----------— V;

ае	р дх 1 х [ з дх

^-= У —!-.	+ VII/.

(Н	р ду	3

(3,1.18)

~ 7 I

<11	р

При исследовании газовых потоков можно не учитывать влияния
массовых сил и, следовательно, принять X—У=2=0. В этом случае

105
гуд
а*

(3.1.19)



• %-+	+ — • /- <Цу V.

Л	р 02	3	^2

Для двухмерного плоского движения, характеризующегося пере-
менным значением динамического коэффициента вязкости (р=?^
=7^соп81), уравнения получаются нз (3.1.17) в результате неслож-
ных преобразований:

&	Р

А. * к (2	Шуи

Л	р дх р дх [ \ дх 3

(3.1.20)

При условии бпх И—0 и |1=сопз1 эти уравнения приводятся к урав-
нениям движения вязкой несжимаемой жидкости.

Рассмотрим уравнение движения идеальной (невязкой) сжима-
емой жидкости. Приняв в (3.1.17) коэффициенты р и V равными
нулю, получим:

дУ

дУ

дУх

д^

дх

дУл

г 1

дх

др .

Р дх

дУ&

вУу
дх

дУу
дУ

дх

(3.1.17')

дУ*
дг

дУу
дх

дУг

У ~~-Г~

&У

дУ2

2 л
дг

др
дг





1

1

Р

др .
бу ’

Эти уравнения впервые получены Леонардом Эйлером и называют-
ся уравнениями Эйлера. Они составляют теоретический
фундамент науки о движении идеального газа, гипотетические
свойства которого определяются отсутствием или пренебрежимо
малым влиянием -вязкости.

Векторная форма уравнений движения

Умножив уравнения (3.1.18) соответственно на единичные век-
торы I, /, к, а затем сложив, получим уравнение движения в век-
торной форме:

(Прыгай +(у/3)егаббк V, (3.1.21)
где вектор массовых сил в декартовых координатах

градиент давления

^та<3 р=(др/дх) I	&

векторы
ДИ = д 1/Гх/ -|- дЬ7^/ Д *

ега<3	И/ах)/+((?а^1//^)/+((?а1уТ7/(?г)к.

Если жидкость несжимаемая, то сНу Ё=0 и, следовательно,
(IV!(11=^О (1/р)ега<3 р+^дй.	(3,1.21')

При отсутствии массовых сил (Т=0, поэтому

— (1/р)^га<1 р4-?д^-|-(?/3)ега<1<Яу 1Л (3.1.21*)

Вектор полного ускорения йУ!еИ можно представить в следую-
щем виде.

М/М ~дУ/д!+Егай (1^/2) 4- го! V X V.	(3.1.22)

С учетом (3.1.22") и (3.1.22) уравнение движения напишем в форме
ай	V? _	_	1	_ у	_

---------------г го! V X V" =----^габ р тдй 4-----егаб (Ну V.

<1С	2	₽	3

(3,1.22')

Криволинейные координаты

Преобразуем уравнение (3,1.22'), используя понятие обобщенных
криволинейных координат дп, рассмотренных в § 2.4. Это позволит
сравнительно просто осуществить переход к уравнениям движения,
содержащим конкретную форму криволинейных ортогональных ко-
ординат, подобно тому, как это было сделано с уравнением нераз-
рывности. 1

Рассмотрим преобразование отдельных слагаемых, входящих в
(3.1.22'). Для второго члена в левой части, а также первого и треть-
его членов в правой части напишем, принимая во внимание (2.4.18),
следующие выражения:

3 3

егаа У (егай Руп^ V -к.	(3.1.24)

л-1

107
л-1

3

^гас! <31V V = (егаб

д <Пу V
д<?п

1а. (3.1.25,

Для преобразования векторного произведения го! УХ Г необхо-
димо найти форму записи вектора го{ Г в обобщенных координатах.
С этой целью осуществим операцию вычисления ротации от обеих
частей равенства (2.4.19):

ГО} 1'^2

л-1

где

егаб УаХ 'л=(ега<3 Уяу„-(8гааИпМу

(3.1.26)

(3.1.27)

Здесь проекции вектора ^габ Уп на соответствующие координатные
направления определяются из выражения (2.4.18), в котором заме-
няется Ф на У», Внося значения (3.1.27), а также выражения для
то! 1п из (2.4.22) в (3.1.26), получим для ротора скорости

го! V — ——[

Д(*зУз)	<>(^)

$42	$4з	.

Г^УО __ $(МЛ0~

I дд3 д/}1



4 т



А1А2 I $41

(3.1.28)

Теперь можно определить векторное произведение:

го1УХ^=2 (ГЙКХПЛ,

Л = 1

(3.1.29)

где проекция этого вектора на касательную к соответствующей ко-
ординатной кривой

дд ]	ддп

 У/п Г $ (^дУд) _ д (/?ПУД)

I $4я	$4т

(3.1.30)

Напомним, что значениям п=1, 2, 3 соответствуют индексы т=2,
3, I и/=3, 1,2.

Левая часть уравнения (3.1.22) представляет собой вектор пол-
ного ускорения	который можно записать в виде

__ з

М7=2	(3.1.31)

Л-1	т,

где И/п — проекция вектора ускорения на направление касательной
к координатной линии Очевидно, каждую величину ТГП можно
рассматривать как сумму соответствующих проекций векторов
д^/д^ а также векторов (3.1.23) и (3.1.29) на указанные направле- *,

108	.Л
ния. В соответствии с этим

Ул=-	0У„ 1	1 Уя	дУа	V ]	к Я1	д(к„У„) । ддт ’
	дг '	ЛЯ	дЧп	Ад Ага	
У/	б(Л„Ул)		V2 г т	д^т	—(3.1.32)  А/Ал ддп	'
				ддп	

Для преобразования оператора Лапласа, записанного в виде
вектора ДИ, воспользуемся тождеством

__ з	__ ,

Д^л=&га(1с1К 1/ — гоио11Л (3.1,33)

л—1

где ДИП есть проекции вектора по координатным линиям д^. Пер-
вый вектор в правой части (3.1.33) уже был нами определен в виде
(3.1.25), а для вычисления второго следует воспользоваться равен-
ством (3.1.28). Применяя операцию ротации от обеих частей этого

равенства, получим

з

го! го! V— (го! го! У)„1Д =
п^1

(3.1.34)

л-1

где соответствующие проекции вектора го! V находятся из (3,1.28).
Имея эти данные, можно рассмотреть преобразование уравнений
движения применительно ж конкретным формам криволинейных ор-
тогональных координат.

Цилиндрические координаты. В соответствии с (2,4.12), (2.4.16)
и (2.4.25)

т —у* ' 1, ^2Г~= 1*

1/3=ит.

Следовательно,

<1Г,	_ ду> К,

XV	4-----

дг дх дг ' г

(егаб р)1^др/дх.
Далее находим

(егабб!у 1/)1=дб1У V/дх.
Имея в виду, что бIV V определяется формулой

ду' .

<?у ’

(2.4.26), падучим

С*д1у V	д /		1	<?^т Уг

дх	дх \	дх ' дг '	г	' ду	' г

109
Из (3.1.28) находим

дх

дУх
дг

Внося эти выражения в (3.1.34), получаем

 д Г, _ Л7П Л г !дУ* г ^Т'
(гое гое 7),	_1Ъ—------------------1 И ду. 'д* 

г	дг	ду

д*Уг д*Ух
дхдг дг7

1 (дУт
г \ дх

I / <^г
— — -------— г------ .

г2 \ ду- дхду I

Далее, имея в виду, что (^гайсНу К)1=<Э<Яу У/дх, получим в соот-
ветствии с (3.1.33)

(Д1/)|=(егай <11V 1/)!“-(го( го( 1/)^

РУх
дх?

дг2

1 &УХ . 1
ду* г ' дг

Таким образом, уравнение движения в проекции на ось х ци-
линдрической системы координат будет следующим:

. ,7 ^--Х-У	4-._______________\ др .

й * дх ' т дг ' г ду	р дх "т”

,	1 .	, ,у 0(Пу У	/О ! ог.

+ УД^Л+— •	.	(3.1.35)

о	Ол

Аналогично получаем два других уравнения в проекциях на коор
динатные линии г и у:

В этих уравнениях введено обозначение

д2 .1	&	. 1 д ~ V

дх* дг& /2	<3у2 г дг

110
Дивергенция скорости определяется по формуле (2.4.26).

Для осесимметричного течения уравнения движения упроща-
ются:

где

дх

ОУг I ,,	_ 1 др ,	„ , у а Луи

дх ' дг ? ' дг + Д г+ 3 дг

(3.1.36)

Шу У=дУх/дх-}-дУг'дг-\- Уг/г,

Д=Й2/Йхг+^;дг2+(1/г) (д/дг).

В случае установившегося течения в уравнениях следует принять
дУ ^д^дУ

Сферические координаты. Сферические координаты» параметры
Ламэ и проекции вектора скорости на направления координатных
линий связаны формулами (2.4.13), (2.4.17) и (2.4.33):

?1=Г, ?2=®> ?3='!’>	/>2=Г, Л3=Г81Пб,

У>=УГ, У2=у,, У3=У<-

По этим данным из (3.1.32) находим проекцию ускорения на на
правление координатной линии г:

д’/, .	<?У7 . Га дУг 	дУг +

1 д1 г дг ' Г 06 Г 51П 0 0ф г

Проекция градиента давления

(^гаё р^др/дг.

(3.1.37)

(3.1.38)

Далее с учетом выражения для <1К V (2.4.34) находим соотно-
шение

'	г .1 л ГТ,	V

(Ига<1 Ш V1/)! =——— =

_ 0 Г 1	0(У>2) ,	1 д 5»п е> ।	1

дг Г2 дг	Г 51П 0	00	г 51П 8

. (3.1.39)

Это соотношение используем для определения по (3.1.33) проек-
ции (АИ)1 вектора АГ. Для этой цели также вычислим величину
(го1го{ 1')ь входящую в (3.1.33). Из (3.1.28) находим
(ГО1П=^[^_^1, (го4Г)2=-^

г [ 0г 06 3	1 Г 51П 8 [

Ш
Внося эти зависимости в (3.1,34), получим

(го1го1	—

Г* 51П О

дО

д1 О

д

1

зш В

дУ, д^гзтву^

_д$_______дг

1

Г% 51л О

дг

<?кй

созбЦ-

<*% д®Кг

де

длЯ



51П 0

дйК, .

дф2	дтдф

-81П 0--~

С учетом соотношений (3.1,39) и (3.1.40) находим

(ДУ),=(егаа Ш V й, - (го1 го!У), = -^~+ ± - -^- 4

ОГ* Г* 09*

.	1 дгуг . 2 дУг 

' г2 ял2 0 дф2 ' г дг '

сТдб	дУ>_____2_	_______2 дКф________2^	2с1к^ у

г2	' дВ	г2	' дВ ^зшв	’ дф	г2 г г2 й'

(3,1.41)

или

(ДУ^АУ,

2У>	2

дке 2кес1ее 2

<Я г2 г2 з!п в

дКф

(3,1.41')

где

\^=-.Л(Г2_^_'| ।—1—
^,7 г2 дг \ дг / г2 мп в

д { . *

---I 81П 6
дО \

дУг \

дО )

1
Г2 Й1Т12 &

&УГ

дф2 ''

(3.1.42)

С учетом соотношений (3,1.37) -=-(3.1.39) и (3.1.41х) находим
уравнение движения в проекции на координатную линию г:

дУ,  у дУг  уй дУ,  УФ дУг + У^
д1 г дг г дВ г 51П 6 дф	г



Е.^+„ д1/ _Л.^________2_

р дг 1	\ г г2 дв г2 &1П в

! V д У
' 3 дг ’

2Уг

г2

2^с1ев

(3.1.43)

г
Аналогично получаем два других уравнения:

ДУ, . у ДУе у^ йу. Уф ау,
д1 ' г дг г 08 г 51П 8 0ф

Г	гр 09	\	Гл

дУг

08

У$	2 спа 8

Г2 $1П2 в	Г2 31п2 О

0Уф
“аГ

0Уф | . V	I	ЗсНуЙ .

А|> / "а” г аа ’

аиф и, аУф

30 ' г ап в й|>

(3.1,43')

 Уф (Уг + У, е»8») .	1 др .

Г	рГ Я1П в 0ф

Иф__		2	0КГ		2со&0

г2 шпЗ 6	'	г2 Вт 6	0ф	'	г2 зтэ в	0ф

_____у 0 сПу И

Зг 81 п 0	0ф *

где оператор
1 д [ 9 д \ ।	1

Д -------— / г2------) ----------

г2 дг \ дг ! г2 З1'п в

д / . й д \ .	1	02

---| 51П 6----Н------------------. ----------------.
08 V 08 )' гг81Пае---------------0ф2

(3-1.44)

Для двухмерных пространственных газовых течений, характе-
ризующихся изменением параметров (скорости, давления, плотно-
сти и др.) в направлении только двух координатных линий, урав-
нения движения могут быть записаны в более простой форме:

ау, , г ау, . у,

41 г дг ' г

дуг	Уд	1 др

~00	~~~	Г' Тг

I , Л,,	2	2Кг ^ес1ев\ , V 0 01УИ

I. г 1-2 а» г2 г2 / 1 3 дг
ЙИ’ '.ь 1/	, у, ДУ» , УгУ, «	,

0*	дг г 08 г гр 08

-Уг Кв У|- У	д01УЙ

’ к ‘г2	08	г25ш28 / 1 Зг 08	’

где

Л 1 д ( з 0 \ ।	1

Д = — .---------I г2----- IЧ--------------

г2 0г \ 0г / г2 зш 0

0

08

51П §

й1у 7= 1 . ^<у^) ।	1 й<у» з!п 8)

0Г ' Г 8!П 9	08

(3.1.46)

(3.147)

из
Уравнения двухмерного движения газа около криволинейной по-
верхности. Для рассматриваемого случая криволинейные коорди-
наты, параметры Ламэ и компоненты скорости определены соответ-
ственно формулами (2.4.40), (2.4.42), (2.4.43). Примем дополни-
тельное условие, что движение происходит вблизи стенки и, следо-
вательно, (/«Я- В соответствии с этим

?1=х, д2=у, ?з=т. *1 = 1.	л3=г,

ух=ах1<и=ул, у2=уу, у3=о.

Согласно этим данным составляющая ускорения

1Г, =дУ№+Ух (дУ^дх)+У, {дУ^ду),	(3.1.48)

а проекция градиента давления

(^гад р\=др/дх.	-	(3.1.49)

Кроме того,

(^га<1 <11у У)!=д <11V V/дх,	(3.1.50)

где дивергенция скорости определена соотношением (2.4.44), Сле-
довательно,

(8га<1 <31V V),=— /—	а <^г) 11 .	(3.1.51)

дх 1 г [ дх ду до '	>

При помощи (3.1.28) вычислим проекции ротора скорости:

(го! V)3=дУу/дх-дУх/ду, (го! V)2=0.	(3.1.52)

Внося эти выражения в (3.1.34), получим

(го1го4У)!=—
Г

_д_Г [дУу дУх
ду Е V дх	ду ,

(3.1.53)

С учетом зависимостей (3.1.51) и (3,1.53)

(дУ^^егад (Ну У)] —(го! го! У)!

д
дх

М Гд ОМ ।

( г I дх ду

1 д

г ду

У|
ду Л '

(3.1.54)

Аналогично, рассматривая координатную линию получим:
Г2=Vх {дУв\дх}+У „ {№Уа1дуУ,	(3.1.55)

^^\р\= др/ду,	(3.1.56)

(&га<1 <НуУ)а=дб1у У/ду\	(3.1.57)

(ДУ)г=(&га<1 (Ну У)2—(го! го! У)й—

а ( 1 Гд(УгГ) . д(1У)11____1	д Г / дУх V].	т

ду I г [ дх ~ ду _|/	г	дх [	ду

114
Используя полученные соотношения, можно записать:

дУх_ 
д!

дх	ду

-•-^-МДП+
р дх

дУу । рг &Уи । у/ дУу I
д/ "Г” х дх ' у ду	р

। V дсНуК
+ 3 ' ду ’

др
ду

*(ДП2+

\ ЭсПу И .

3 ‘ дх *

где (ДУ)1 и (ДУ)д даны соответственно формулами (3.1.54) и
(3.1.58),

Таким образом, получены различные формы уравнений движе-
ния вязкой жидкости. Это сделано по той причине, что, как пока-
зывает опыт, в одних случаях при исследовании закономерностей
взаимодействия газовых потоков с обтекаемым.и телами удобно
пользоваться одной формой уравнения, а в других — другой. В по-
следующих главах будет рассмотрен анализ конкретных видов дви-
жения жидкости с использованием соответствующих наиболее вы-
годных форм уравнений.

5 3-2. УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ДИФФУЗИИ ГАЗА

Уравнение диффузии

Исследование движения диссоциирующей вязкой среды может
быть связано с учетом влияния на это движение диффузии газа.
Это находит свое выражение, в частности, в том, что диффузия
учитывается при выводе уравнения энергии — одного из основных
уравнений газодинамики.

Диффузией называется процесс выравнивания концентра-
ции вследствие молекулярного переноса вещества. Это термодина-
мически необратимый процесс, являющийся одним из источников
потери механической энергии движущейся газовой среды.

Уравнение диффузии представляет собой уравнение переноса
х-го компонента газовой смеси (это уравнение будет уравнением
неразрывности для того же компонента).

Для упрощения исследования можно принять, что интенсивность
термодиффузии и бародиффузии пренебрежимо мала, и диффузи-
онный поток 1-го компонента в некотором направлении п опреде-
лять по уравнению

— Р^Л (дс1 г<?л),	(3.2.1)

где — концентрация (-го компонента; — коэффициент диффу-

115
зии, определяющий диффузионный поток при наличии градиента
концентрации.

Для смеси компонентов газа необходимо принимать во внима-
ние коэффициенты бинарной диффузии, соответствующие каждой
паре компонентов, например атомов и молекул кислорода или ато-
мов и молекул азота воздуха. При приближенных расчетах можно
исходить из некоторого значения коэффициента бинарной диффу-
зии Б, одного и того же для каждой пары компонентов. С учетом
этого <Э1Дп= —Рассматривая направления х, у и г, по
которым происходит диффузия, можно написать:

<Э;лж= — рЩдс^'дх), <1	— рО(дс11'ду],

(3.2.2
или в векторной форме

3(1 сГ	(3.2.3,

Диффузия вещества происходит в область с пониженной кон
центрацней, следовательно, дс^дп имеет отрицательный знак. Так

Рис. 3.2.1, Элементарная па-
стица газа в осесимметрич-
ном пространственном по-
токе

как в правой части (3.2.3) поставлен
минус, то величина будет поло-
жительной.

Теперь рассмотрим вывод уравне
ния диффузии, приняв, что движение
является установившимся и происходит
относительно цилиндрической система
координат. При этом будем рассматри
вать поток пространственным, снимет
ричным относительно оси х, т. е. таким
в котором составляющая скороси
Уу=0.

Выделим элементарный объем газ;
в виде кольца толщиной (1г и длиной

4х (рис. 3.2.1), построенного около точ
ки А координаты которой х и г. а со-
ставляющие скорости Уте и Уг. Примем
что диффузионный поток веществ;

происходит только в радиальном на
правлении. Следовательно, поток /п
компонента через внутреннюю поверхность элемента тг—2лгрУгХ
2лг4х, где ъ и фд — соответственно концентрация 1
диффузионный поток /-го компонента, рассчитанный на единицу

площади.

Через внешнюю поверхность поток /-го компонента

т. I ^-аг=т,+^^ 2]и{г1/х+^^1 ^гйх.

г 1 дг	1 дг	1 дг

116

и"
Следовательно, приток компонента в рассматриваемый объем равен
[<?( Р 1/г г с^/дг] 2лй? гй? х+[д (ф д г)]дг ] 2ли гс1х.

Пренебрегая диффузионным потоком вещества вдоль оси х,
найдем, что расход газа через левую площадку элемента, нормаль-
ную к этой оси, будет

т х = р!/х 6,2л г<1г,
а через правую

тж+[дтх)дх) их=тх+р (рУЛг с	2 л и гс!х.

Таким образом, приток компонента в объем равен

Р (р1/хгс;)/<?х| 2лй?гг/%.

Так как количество газа в объеме не должно измениться, то об-
щий приток компонента будет равен его расходу за счет химиче-
ских реакций. Если обозначить через (Я7х11И)г скорость образования
Рго компонента в единице объема вследствие химических реакций
[кГ/(л/3-с^е)], то расход компонента в элементарном объеме будет
(^иу)г2лТй?п/х. Следовательно, баланс массы 1-го компонента в.
рассматриваемом объеме запишется следующим образом:

а(рУхгс,)/ах+<?(рУ,ге/)/<?г=	(3.2.4)

Это уравнение называется уравнением диффузии в цилиндрических
координатах. Аналогично можно получить уравнение диффузии для
плоского течения, которое происходит относительно декартовых
координат х и у:

Й(Р'/хС;)/Йх4-а(рУеС/)/^= —	(3.2.5)

где находится из (3.2.3).

Если рассматривается бинарная смесь атомов и молекул, то
Х^=сА-|-см=1 и, следовательно, Сад—— Рид. Значение (1^1ни)
определяется для данной реакции в диссоциирующем газе по фор-
муле химической кинетики (4.9.7').

Уравнение энергии

-Уравнение энергии входит наряду с уравнениями состояния, дви-
жения и неразрывности в систему основных дифференциальных
уравнений, в результате решения которых полностью определяется
движение газа.

Рассмотрим систему декартовых прямоугольных координат н
составим уравнение энергии для частицы жидкости в виде элемен-
тарного параллелепипеда. Это уравнение выражает закон сохране-
ния энергии, в соответствия с которым изменение за время г// пол-
ной энергии, состоящей из кинетической и внутренней энергий ча-
стицы, равно работе приложенных к частице внешних сил плюс
Приток тепла извне.

/ 1/глпеТИЧеСКая энеРГИя частицы объемом х=ихиуи% равна
(РУ/2)т, а ее внутренняя энергия {/рт (V—внутренняя энергия

117
единицы массы газа). Следовательно, изменение полной энергии
за время сН можно записать в виде

— М Т1

1\ 2	/ 1 г/Г \ 2	/

Работа внешних массовых (объемных) сил при перемещеник
частицы за время Л может быть представлена в виде скалярногс
произведения СУ, умноженного на массу частицы рт и время сП.
Вектор массовой силы ^=Х/+У/+7й, следовательно,

(бу)	+ууу 4- XV х) рам.

Вычислим работу поверхностных сил. Вначале рассмотрим ра-
боту, выполненную за время сН силами от напряжений, действую-
щих на правую и левую грани. Работа сил, действующих на левую
грань, равна скалярному произведению охГ, умноженному на пло-
щадь аус1г и время сП. В скалярном произведении вектор поверх-
ностных сил

= Рхх^ Ч" ^хи1 И”

Работа поверхностных сил, действующих на правую грань, равна

- у I	<*(<, V)

х	‘ дх

с/х с/ус/гсН.

Учитывая, что силы для левой и правой граней направлены в
противоположные стороны, следует принять различной по знаку ра-
боту этих сил, например положительной для правой и отрицатель-
ной для левой грани. В соответствии с этим работа всех поверхност-
ных сил, приложенных к левой и правой граням,

^0. гЛ=[-А-	«и.

(3.2.6)

Аналогично получим выражения для работы поверхностных сил,
действующих на нижнюю и верхнюю, а также на заднюю и перед-
нюю грани:

и [д	Х(И.

Имея в виду, что векторы поверхностных сил, действующих на ниж-
нюю и заднюю грани, равны соответственно:

9У=Ъух14- руу] 4"	аг == Х2х1 4“ Чйл/4”АЛ

получим следующие выражения для работ:

•4г1	ГЛ,	(3.2.69

21^2	(^х+глУ„+А,И,)1гЛ.	(3.2.6')

02	02

118
В выражениях (3.2.6), (3.2.6') и (3.2.6") напряжения определяют-
ся соответственно зависимостями (3.1.5) и (3.1.16).

Приток тепла к частице происходит благодаря теплопроводно-
сти, диффузии и излучению. Пусть дхдудг (где дх— удельный теп-
ловой поток) представляет собой тепловой поток за счет теплопро-
водности или диффузии, подводимый к частице через левую грань
в единицу времени. За время Л к частице будет подведен тепловой
поток дхауд2йк Тепловой поток через правую грань равен —[<7х+
+ (ддх/дх) д,х\д,уд,2(И. Количество тепла, подводимого к частице че-
рез обе грани, составит — [ддх/дх)х(11. Аналогичные выражения
могут быть получены для граней, перпендикулярных осям у и а.
В результате полный тепловой поток, подводимый к частице, будет
равен — (ддх/дх+дду/ду 4- ддг/д2) х(Н.

Если рассматривается подвод тепла за счет теплопроводности,
то удельные тепловые потоки, равные потокам тепла по соответ-
ствующим координатным направлениям через единицу площади
в единицу времени, могут быть выражены по закону Фурье:

?тх=-М^/йх). чТ1/=-ЦдТ/ду), 1Тг=-ЦЯПдг). (3.2.7)
С учетом этого

—(^7Тх/^+ д<?ту1ду+=<11V (к егаб Г) тл7, (3.2,8)
где	$гад Т=(дТ/дх) I+(дТ/ду) у 4- (дТ/дг) А.

Энергию, подводимую к частице газа за счет диффузии, можно
выразить следующим образом:

х—2	?ля—2	^Лг—2 $	’

I	I	I

где 1( — обобщенная энтальпия компонента газовой смеси. Следо-
вательно,

Внося сюда значение из (3.2.3), получим

"«?/= 2 д1 V (р75 егад с,)	(3.2.9)

Кроме энергии, подводимой к частице путем теплопроводности
и диффузии, к ней поступит также тепло от излучения, равное
етй/ (е — тепловой поток от излучения в единицу времени для еди-
ницы объема).
Приравнивая изменение энергии частицы за время сумме
работ массовых и поверхностных сил и притоку тепла за счет теп-
лопроводности, диффузии и излучения, получим уравнение энергии:

₽ 4-	р(^+^.+^«)+

и! \	&	/

-Г у- (Рх.гКг+*Л>''»+Т«У'«)+ у- (*аЛ\ + Л»^+	+

+у- (*«Кг+*.»У»+аЛ\)+<Ну (Хегай Г)+
Ох

^(Ну (рР^гас! г,)-|-е.	(3.2,10)

При движении химически реагирующей смеси газов уравнение
энергии должно выражать условие баланса тепла, включающего
тепло, которое может возникнуть в результате химических реак-
ций. Однако если принять во внимание, что при протекании реакций
обобщенная энтальпия газовой смеси не изменяется, то, вводя
в уравнение (3.2.10) обобщенную энтальпию, уже нельзя отдельно
учитывать выделение или поглощение тепла вследствие химических
реакций.

Подставляя в (3.2.10) выражения для напряжений из (3.15).
(3.1.16) и опуская член, учитывающий работу массовых сил, после
преобразований получим уравнение энергии для газа в следующем 
виде:

-]-2	[р (1/хе^~[-У^аЛ)] 4^61у (к ^га<1 Т)-|-

+ УI, <11V (ро ега<1 С()+6.

I

(3.2.11)

Уравнение (3.2.11) показывает, в результате чего происходит
изменение кинетической энергии жидкости. Кроме теплопроводно-
сти, диффузии_и излучения, эта энергия изменяется за счет работы
сжатия <11V (/?У) и работы сил трения (члены, содержащие динами-
ческий коэффициент вязкости ц). С потерями механической энергии
на преодоление сил трения связывают диссипацию энергии (от ла-
тинского <11551раге—рассеивать). Диссипация энергии состоит в-
том, что часть механической энергии необратимо будет переходить
в тепло. В соответствии с этим силы трения называют диссипа-
тивными силами. Члены в правой части (3.2.11), содержа-
щие ц, составляют диссип ативную функцию.

120
Для двухмерного плоского движения вязкой среды уравнение
энергии

С^^г2 \

Н -7^ +

ОХ /



у- (н-^ег)+<Ну (X егад Г)+2 <1*У (Рй Кга<1«/) +«. (3.2.12)
г

где	_	__

Г = 1Л,/ + 1^/, Шу V —дУ^дх-удУу/ду,
^га<1 Т=(дТ/дх)1+(дТ/ду) /, рча<1 с^фс^дх} 1 + (дс{/ду) Д

Преобразуем уравнение энергии (3,2.12). С этой целью умножим
первое уравнение (3.1.20) на Ух, а второе—на Уу и результаты
сложим. Тогда

(3.2.13)

Путем простых преобразований можно показать, что

(др/дх) + Уу (др/ду)=сП V (рУ) — р Шу V т
где р Шу V находим, используя уравнение неразрывности:

/уШуУ = — (р/р)((1р/(И) или рШу 1/ = р(<//Л)(р/р)— йр1<И.

Два других члена в правой части уравнения можно преобразовать
к виду

Т“ (2 ——~ ^у	— [ ** (2 — " — ^У -=

[ \ дх з Л	I \ ду з /]

_ д („ ду* \ 1 д / . дУ* О 17 V  / дУу VI
дл \ дх I ду \ ду /	дх / ду / ]

2	—	—	?	—

——Шу	Шу У) Н--р (Шу У)3.

з	з

Для последнего члена (3.2.13) имеем выражение

2	=2	+2 V	~ 4^-

'	121
Произведем соответствующую замену в (3.2.13) и вычтем полу-
ченное уравнение из (3.2.12). Учитывая, что энтальпия : = (7+/?/р,
получим

<ч)+®-	(3.2.14)

I

При отсутствии диффузионной теплопередачи и излучения за-
пишем уравнение энергии в виде

41 Ар о (Г/ ЗУ, \2 . / дУу Х^1	2 ... ту „	, а)

р1г==^+2Ч1т +иг)гт(апг *^+4Ч+

+<НУ(Хега6Г).	(3.2.15)

При малых скоростях движения газа, когда работа сил трения
невелика, можно пренебречь диссипативными членами. Кроме то-
го, при этом мала также работа сил давления (6р/6/я^0). В данном
случае вместо (3.2.15) будем иметь

4Т/(И=Щрс,) 61V (егаб Г).	(3.2.16)

Величина Х/(рср)=а, называемая коэффициентом темпе-
ратуропроводности, характеризует интенсивность молеку-
лярного переноса тепла.

$ 3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ.

НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Исследование движения газообразной среды, т. е. определение в
каждой точке пространства параметров, характеризующих это дви-
жение, состоит в решении соответствующих уравнений, которые
связывают между собой эти параметры. Все эти уравнения явля-
ются независимыми я составляют систему уравнений га-
зодинамики. Число независимых уравнений системы определя-
ется количеством отыскиваемых неизвестных параметров газа.

Рассмотрим движение идеального сжимаемого газа. Если ско-
рости потока невелики, то можно пренебречь изменением удельных
теплоемкостей от температуры и не учитывать излучения. В этом
случае газовое течение представляет собой термодинамически^
изолированную систему и будет являться адиабатическим. Не из в е--
стными величинами для рассматриваемого течения будут три со-‘
ставляющие скорости У& Уу, Уг, а также давление/?, плотность р я
температура Т. Следовательно, система уравнений газодинамики
должна включать шесть независимых уравнений. К их числу отно~
сятся уравнения движения, неразрывности, состояния и энергии, ко-
торые принято называть осн овны ми уравнениями газо-
динамики.

Прежде чем написать эту систему уравнений, рассмотрим от-
дельно уравнение энергии. В соответствии с предположением Оь
122	.
адиабатичности течения уравнение энергии (3.2.14) преобразуем к

виду

(3.3.1)



Если принять во внимание, что (И^СрсГТ и учесть выражения ср—
—сг=/? и р=/?р7\ из которых можно найти

ат=—а (я

р Ср/с^ —1 к — 1	А \ р

то (3.3Д) приводится к виду

Лр/р=к№№}.

Отсюда получим

р=Ар*,

(3.3.2)

где А — некоторая постоянная величина, характерная для данных
условий течения газа.

Как известно, уравнение (3.3.2) называется уравнением адиаба-
ты (иззитропы). Таким образом, в рассматриваемом случае урав-
нение энергии совпадает с уравнением адиабаты. Имея в таком ви-

де уравнение энергии, напишем все уравнения системы:
<1УХ _	1 др ОУу _	1 др .
’	41	р дх *41 *	р ду
^+р<НуЙ=0	(3.3.3)  41	р дх 41



Рассмотрим теперь систему уравнений для*более общего случая
движения невязкого газа с большими скоростями, при которых
удельные теплоемкости изменяются от температуры и в газе могут
происходить диссоциация и ионизация. При этом для общности
сохраним возможность излучения энергии разогретым газом. Тогда
термодинамический процесс в газовом потоке не будет адиабати-
ческим. В соответствии с этим в правой части уравнения энергии
(3.2.14) останется величина в, определяющая излучаемый тепловой
поток. Далее отметим, что уравнение состояния необходимо принять
в форме (1.5.8), учитывающей изменение среднего молекулярного
веса рёр от температуры и давления. В соответствии со сказанным,
а также учитывая, что уравнения движения и неразрывности по
форме не изменяются, напишем основные уравнения системы в сле-
дующем виде:

(3.3.4)
Нетрудно заметить, что в данной системе дополнительно к указан-
ным выше шести неизвестным величинам (К» Уу, Ух, р, р, Т) при-
бавилось еще три, а именно: энтальпия д, средний молекулярный
вес газа рср и тепловой поток от излучения а Наряду с этими ве-
личинами при исследовании течения газа необходимо определять
также энтропию 5 и скорость звука а. Тогда общее число допол-
нительно отыскиваемых неизвестных параметров, характеризующих
газовый поток, будет равно пяти. Поэтому к системе основных урав-
нений необходимо добавить столько же независимых соотношений
для дополнительных неизвестных. Эти соотношения можно записать
в виде общих зависимостей, определяющих неизвестные величины
как функции давления и температуры:

У);	(3.3.5)

ту,	(3.3.6)

Л;	(3-3-7)

а=/<(А	Т);	(3.3.8)

в=/5(р.	Т).	(3.3.9)

Нахождение этих функций является предметом специальных разде-
лов физики и термодинамики.

Решение уравнений (3.3.4) ~ (3.3.9) определяет параметры дви-
жения невяакого диссоциирующего и ионизирующего газа с учетом
эффекта излучения. Изучением такого движения занимается аэро-
динамика излучающего газа.

В заключение рассмотрим еще более общий случай течения, ха-
рактеризующийся дфктвием сил вязкости и теплопередачей. При-
мем при этом, что в газе происходят химические реакции. Тогда
основные уравнения системы запишутся следующим образом (для
сокращения записи будем рассматривать плоское двухмерное те-
чение) :

124

1
Эту систему необходимо дополнить зависимостями (3.3.5) 4- (3.3.9),
а также общими соотношениями для коэффициента теплопровод-
н ости

*=/6(А	(3.3-11)

динамического коэффициента вязкости

?=/7(р, П	(3-3.12)

п удельных теплоемкостей

с,=/в(л П с„=/9(А Г).	(3.3.13)

Две последние величины не входят явно в уравнения (3.3.10), тем
не менее они используются при их решении, поскольку в ходе ис-
следования течения газа определяются его термодинамические
характеристики. Так как в уравнении энергии учитывается еще диф-
фузионная теплопередача, то дополнительно надо включить урав-
нение диффузии (3.2.5). Одновременно следует принять во внима-
ние, что входящая в уравнения энергии и диффузии концентрация
с; является функцией давления и температуры и может быть запи-
сана в виде общей зависимости

с,=/10(р. Г).	(3.3.14)

Приведенная система уравнений, включающая основные урав-
нения газодинамики и соответствующее количество (по числу отыс-
киваемых неизвестных величин) дополнительных соотношений, рас-
сматривается в аэродинамике вязкого газа и позволяет, в принци-
пе, найти распределение нормальных и касательных напряжений,
а также аэродинамические тепловые потоки от разогретого газа к
обтекаемой стенке. В конкретных случаях, для которых возможна
определенная схематизация процесса обтекания, приведенная си-
стема упрощается, что облегчает решение дифференциальных урав-
нений.

В ходе этого решения возникает необходимость привлечения за-
висимостей дополнительно к тем, которые были приведены, исполь-
зуемых для определения характерных параметров движения. В их
числе, например, зависимости для определения удельных теплоем-
костей и степени диссоциации по давлению и температуре, формулы
для расчета напряжения трения по скорости и др.

Решение системы газодинамических уравнений, описывающей
обтекание заданной поверхности, должно удовлетворять определен-
ным начальным и граничным условиям этого обтекания

Начальные условия определяются значениями парамет-
ров газа для некоторого момента времени и имеют
смысл, очевидно, для неустановившегося движения.

Граничные условия накладываются на решение задачи
как об установившемся, так и неустановившемся движении и дол-
жны выполняться в каждый момент времени этого дви-
жения. По этому условию решение должно быть таким, чтобы пара-
метры, определяемые им, равнялись бы на границе, разделяющей

125
возмущенную и невозмущенную области течения, значениям невоз
мущенных параметров.

Второе граничное условие определяется характером течения
газа на обтекаемой поверхности. Если газ невязкий и не проника-
ет сквозь такую поверхность, то течение характеризуется безотрыв-
ностью. В соответствии с этим условием безотрывного
обтекания в каждой точке поверхности составляющая скоро-
сти, нормальная к ней, равна нулю, а вектор полной скорости сов-
падает с направлением касательной к поверхности.

Известно, что вектор д^гай Г д%, д$) =0 — уравнение обте-
каемой поверхности; ди д%,	— обобщенные криволинейные коор-

динаты] совпадает по направлению с нормалью к поверхности.
Тогда при соблюдении условия безотрывного обтекания скалярное
произведение этого вектора и вектора скорости Г будет равно нулю.
Следовательно, в математической форме условие безотрывного
обтекания можно представить таким образом:

1/^гайГ^О.

Принимая во внимание, что

,	1 дГ . , 1 дГ . . 1 дГ - а

егадГ——.	“—^+_7_ •	(3.3.15)

Л) (7^1	«2	(7^2	«3 ОДз

условие безотрывного обтекания напишем в виде	.

1Д 4-— . — И.4-— . — 1Л=0.	(3.3.16>

ддг Лз дд? Аз дд$

Для декартовых координат

Игад Л=(дГ/дх) + (дГ/ду) /2 (дЕ/дх) / 3.

Следовательно, для (3.3.16) получим

V* (дг/дх)+ V, @Г/ду)+ У„{дГ]дг) =0.	(3.3.17)

В случае двухмерного плоского течения

.	(3.3.17')'

V* дГ1ду

Если уравнение поверхности задано в цилиндрических
тах, то

координа-

. дР

Игаб/'=-

дх

дГ , '

*2"Т

дг

1 дГ . .
г ду

следовательно, условие безотрывного обтекания будет

дГ
дх

дГ

дг

к .=

г ду

(3.3.18)

В частном случае, когда обтекается поверхность вращения, полу-^
чим равенство	?

126
{дГ/дх} Ух+(дГ/дг) У,= О,

(3.3.18')

из которого найдем условие для отношения скоростей:

22=—МУ6*- .	(3.3.19)

V, дГ/дг	'	'

Можно сформулировать и другие граничные условия, которые
определяются для каждой конкретной задачи, причем граничные
условия для вязкого газа отличаются от условий для идеальной
среды. В частности, при исследовании движения вязкого газа в
пограничном слое решения соответствующих уравнений должны
удовлетворять условиям на поверхности и на внешней границе по-
граничного слоя. Согласно экспериментальным данным частицы
газа как бы прилипают к поверхности и, следовательно, скорость
на ней равна нулю. На внешней границе скорость будете такой, как
в свободном (невязком) потоке, а напряжение трения равно нулю.

§ 3.4. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Дифференциальные уравнения, написанные для общего случая
движения газа, в конечном виде не интегрируются. Интегралы этих
уравнений можно получить лишь для частного случая течения иде-
ального (невязкого) газа.

Уравнение движения идеального газа записывается в векторной
форме следующим образом:

дУ/д1 (1/2/2)-|-го1 V X У = — (I'?) егай р.

(3-4.1)

Это уравнение можно получить из векторного соотношения
(3.1.22'), в котором члены в правой части, учитывающие влияние
вязкости, следует принять равными нулю.

В записанной форме (3.4.1) уравнение движения впервые было
получено русским ученым проф. И. С. Громека. С учетом массовых
сил уравнение Громека принимает следующий вид:

дУ/д14- Егай (У2/2) -|- го1 V X V =О — (I /р) &гай р.

(3.4.2)

Предположим, что неустановившееся_ течение будет по-
тенциальным и, следовательно, го! Г=0, Ё=^гадср. Кроме то-
го, примем, что массовые силы имеют потенциал О, поэтому вектор
Егад <7, где

^гай II = (дЦ /дх) /+(ди/ду) /+(дИ/дх) к.
Если среда обладает свойством баротропности, характеризующим-

ся однозначной зависимостью между давлением и плотностью (это
имеет место, например, в случае адиабатического течения, для ко-
торого р=Дрь), то отношение др/р равно дифференциалу неко
торой функции Р и, следовательно,

(1/р)ега(1р=егаа Р.

127
С учетом сказанного уравнение (3.4.2) напишем в следующем виде:

д ^гад +&га<1 (1/2/2)= — ^гад II—^габ Р.

Заменив производную д ^габ ч)д1 величиной ^габ (<?<₽/<?/), получим
^габ (ду/д!)+^гай (У2/2) = — ^габ II — ^габ Р.	(3.4.3)

Переходя от зависимости для градиентов к соотношению между
соответствующими скалярными функциями, найдем

<^/д/_|_ 1/2/2+Р-(-{7=С(/),	(3.4.4) _

где

Р^рр/р.	(3.4.5) .

Уравнение (3.4.4) называется уравнением или интегра-
лом Лагранжа. Правая часть (3.4.4) представляет собой ’
функцию, которая зависит от времени, но не зависит от ко- .
ординат, т. е. является одинаковой для любой точки*
потенциального потока. Члены в левой части (3.4.4) имеют
простой физический смысл: 1^/2— кинетическая энергия; Р=
— I Ф?/р — потенциальная энергия от давления для единицы мас-
сы; V — потенциальная энергия положения частиц жидкости, от-
несенная к их массе. Чтобы выяснить физический смысл первого <.
члена, воспользуемся зависимостью для потенциальной функции
дц)/д8=У6, где Уа—проекция вектора скорости на некоторое на- .

л
правление 5. Функцию ф можем определить из условия ?“ [
(где 5о и 5 — коорданаты соответственно фиксированной и пронз-
вольной точек). Производная	Локальное

ускорение дУ*/д1 можно рассматривать как проекцию инерционной
силы, обусловленной наличием местного ускорения и отнесенной к 1
единице массы, а произведение (дУа/д1}(18 — как работу этой силы '
на участке (18. В соответствии с этим производная ду/д! равна ра- я
боте инерционной силы на участке между точками 50 и 5 и может
рассматриваться как энергия единицы массы, обусловленная изме-
нением во времени в данной точке скорости и связанного с ним дав-
ления.

С учетом сказанного выражение в левой части (3.4.4) представ-
ляет собой полную энергию единицы массы газа. Таким образом,
уравнение Лагранжа устанавливает тот факт, что в потенциальном
потоке полная энергия единицы массы в данный момент
времени есть величина, одинаковая для всех точек потока.

Для несжимаемой жидкости, движение которой происходит под ..
действием сил давления и веса, интеграл (3.4.4) примет вид

1/г/2+р$+и=С (/).	(3.4.6) *

.'I
128

м
угиту.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими руками?!
Если, в частности, ось у направлена вертикально вверх, то У~ёУ и

д^/д1 + 1/2/2 + р/р + ёУ=С (/).

(3.4.6')

Большое практическое значение имеет частный случай устано-
вившегося потенциального течения, для которого Лр/д/=0, а функ-
ция С(/)=сопз1, т. е. не зависит от времени. В этом случае урав-
нение (3.4.4) приводится к виду

1/2/2 у ^р/?+У=соп8|.

(3.47)

Этот частный вид уравнения Лагранжа называется уравнени-
ем Эйлера. Оно выражает закономерность, в соответствии с ко-
торой при потенциальном установившемся движении газа полная
энергия единицы массы является величиной
постоянной для всех точек потока. Таким образом,
константа в уравнении Эйлера будет не только одинаковой для всей
области потока, но в отличие от функции С(/) интеграла Лагранжа
не зависящей от времени.

Уравнение Эйлера для несжимаемой жидкости (р=сопз1) будет
по форме таким, как (3.4.7), с той разницей, что вместо / г/р/р в
него войдет отношение р/р.

Рассмотрим более общий случай непотенциального ста-
ционарного движения газа, Уравнение этого движения имеет
вид

&га<1 (1/2/2) го! 1/ X V = — егад Р—&гай /7,

(3.4.8)

или

Вгай (Уг/2+ С йр/р+6г) = -го! V X V. (3.4.8')

Правая часть (3.4.8') равна нулю, если векторы го! V и V парал-
лельны, т. е. при условии, что вихревая линия и линия тока совпа-
дают. В этом случае

(3.4.9)

Это } равнение впервые получил И. С. Громека. Постоянная С1 бу-
дет одной и той же для всей области, где выпол-
няется условие совпадения вихревых линий и ли-
ний 1 ока. Такие области, для изучения которых применяется
уравнение Громека, возникают, например, при обтекании крыльев
конечного размаха. Это обтекание характеризуется образованием
вихрей, практически совпадающих вблизи крыла по направлению
с линиями тока. Однако подобные области не всегда имеются в по-
токе. Обычно течение характеризуется наличием вихревых линий
и линий тока, не совпадающих друг с другом. При этом
семейство вихревых линий дается уравнением (2.6.1), а семейство
5-ТО7	!2д
линий тока (траекторий)—уравнением (2.1.6). Рассматриваемое
течение описывается уравнением (3.4.8').

Возьмем вектор дуги в виде (1$ =(1х1+(1у1 +(12к, принадлежащей
линии тока или вихревой линии, и определим скалярное
произведение:

Левая часть в этом уравнении представляет собой полный диффе-
ренциал трехчлена в круглых скобках.
Следовательно,

а (у2/2+ Г ар/е+-л (го! к х й).	(3.4.10)

Векторное произведение го! 7хГ_представляет собой вектор, лер-
пендикулярный векторам го! V и К Скалярное произведение этого
вектора и вектора будет равно нулю в двух случаях: когда век-;
тор с1в совпадает с направлением линии тока
(траектории) или когда этот вектор совпадает
с направлением вихря. В этих двух случаях действитель-
но решение уравнения движения

где константа будет различной в зависимости от того, какая
рассматривается траектория или вихревая ли-'
ния.

Соотношение (3.4.11) называется уравнением Бернулли.
Очевидно, для различных вихревых линий, проходящих через точ-
ки, расположенные на данной линии тока, константа будет такой
же, как для линии тока. Точно так же одинаковые константы будут
для семейства линий тока (траекторий) и вихря, через точки кото-
рого проходит линия тока.

Следует отчетливо уяснить различие рассмотренных уравнений
Громека и Бернулли. Оба они выведены для вихревого (непотен-
циального) течения, однако первое уравнение отражает факт посто- -
янства полной энергии единицы массы газа во всей области, '
где вихревые линии и линии тока совпадают, а второе уравнение
устанавливает закономерность, в соответствии с которой постоянст-
во этой энергии имеет место вдоль данной линии тока или
вихрев ой линии. В соответствии с этим в уравнении Громека
константа будет одинаковой для всей рассматриваемой области по-
тока, а в уравнении Бернулли она относится к данной линии тока
или вихревой линии. Естественно, в общем случае обе константы,
С] и С& неодинаковы. Из сказанного также вытекает различие, с :
одной стороны, между этими уравнениями н, с другой стороны/:*
уравнениями Лагранжа и Эйлера, относящимися соответственно к
^установившемуся и установившемуся безвих-'®
130

э
ревом у (потенциальному) об т е к а н и ю, а также между
каждым из рассмотренных уравнений.

При исследовании течения жидкости или газа наиболее широко
применяется уравнение Бернулли, отнесенное к условиям на лини-
ях тока (траекториях). Известно, что константа С2 этого уравнения
(3.4.11) определяется для каждой рассматриваемой линии тока.
Бели же установившееся течение вдобавок безвихревое (потенци-
альное), то уравнение Бернулли совпадает с уравнением Эйлера и,
следовательно, константа будет одинаковой для всех линий тока,
т. е. для всей области потока.

Рассмотрим некоторые конкретные формы уравнения Берпулли.
Для несжимаемой жидкости и при условии, что функция О = это
уравнение запишется в форме

У^1'2-\-Р1?Л-Уё=С2-

(3.4.12)

При исследовании движения газа можно пренебречь влиянием
веса. Следовательно, в уравнении (3.4.11) и других интегралах сле-
дует принять (7=0. В частности, вместо (3.4.12) напишем

1/2/2+р/₽=С2.

(3.4.13)

Рассмотрим движение идеального сжимаемого газа. В таком
газе отсутствуют процессы передачи тепла, обусловленные свойст-
вом вязкости (теплопроводность, диффузия). Приняв также, что
газ не излучает энергию, будем иметь дело с адиабатическим (из-
энтропическим) движением газа. Из уравнения энергии (3.2.14)
следует, что для такого невязкого газа при отсутствии излучения
(е = 0) имеет место равенство (3.3.1). Следовательно, интеграл
Бернулли

С.

(3.4.14)

В такой форме интеграл Бернулли представляет собой уравнение
энергии для изэнтропического течения. Согласно этому уравнению
сумма кинетической энергии и энтальпии частицы газа является
величиной постоянной. Полагая 1=бр7’=срр/(р/?), а ср—= и
найдем

Следовательно,

или

(3.4.151

(3.4.16)

(3.4.169

Уравнение Бернулли для идеального сжимаемого газа является
теоретической основой исследований закономерностей изэнтропиче-
ских течений газообразной среды
$ 15. АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ

Понятие о подобии

Аэродинамические характеристики летательных аппаратов или
их отдельных элементов можно определить как теоретическим пу-
тем, так и при помощи экспериментальных исследований. Теорети-
ческие методы основаны на использовании системы уравнений га-
зовой динамики, которая решается применительно к обтекаемому
телу с заданной формой, имеющему, вообще говоря, произвольные
абсолютные размеры.

При проведении экспериментов, предназначенных для получе-
ния аэродинамических параметров, которые могут быть непосредст-
венно использованы для дальнейших баллистических расчетов или
проверки результатов теоретических исследований, не всегда уда-
стся применить натурное тело из-за его больших размеров, поэто-
му приходится пользоваться моделью изделия с мен впиши разме-
рами. В связи с этим возникает вопрос о возможности переноса
полученных экспериментальных результатов на натурные тела. От-
вет на этот вопрос дает теория размерности и подобия,
устанавливающая условия, которые должны соблюдаться в опытах
с моделями, и выделяющая характерные и удобные параметры, оп-
ределяющие основные эффекты и режимы обтекания.

Предположим, что в аэродинамической трубе путем измерений
получена сила лобового сопротивления, которая в соответствии с
(1.3.5) равна	Теперь выясним, когда можно исполь-

зовать полученный результат для определения силы лобового со-
противления натурного тела в соответствии с формулой Хн=схкдн5в,
в которой коэффициент сопротивления схи для этого тела является
неизвестной величиной, а скоростной напор и характерная пло-
щадь 5ЕГ заданы. Разделив почленно формулы для и Хк, получим

Хи=Хи-^--	(3.5.1)

схм ^к^м.

Из этого выражения видно, что расчет натурной силы Хн по экспе-
риментальному значению Хм можно осуществить лишь при равен-
стве аэродинамических коэффициентов и поскольку величи-
ны и (?П5Н однозначно определяются заданными значениями
скоростных напоров и характерных площадей.

В этом случае оба потока — модельный и натурный — будут
обладать свойством динамического подобия, которое в
данном случае заключается в том, что по заданной силовой харак-
теристике одного потока (сопротивление Хы) получается характе-
ристика другого (сила ХГ1) простым пересчетом, аналогичным пере-
ходу от одной системы единиц измерения к другой.

Требования, при выполнении которых обеспечивается в рассмат-
риваемом случае равенство	а в общем случае и других без-

размерных аэродинамических коэффициентов, устанавливаются в
теории размерности и подобия исходя либо из физической природы
1-32
изучаемого явления, либо из соответствующих дифференциальных
уравнений аэродинамики.

Рассматривая выражение для аэродинамического коэффициента

( [р соз (пх) + с/х соз (/л)]	,	(3.5.2)

полученное из (1.3.2), можно заметить, что этот коэффициент за-
висит от безразмерных геометрических^! ара метров, а также от та-
ких безразмерных величии, как коэффициенты давления и местного
трения. Из этого следует, что аэродинамические коэффициенты для
натуры и экспериментального объекта с различными абсолютными
размерами сохраняются постоянными, если эти тела геометрически
подобны и обеспечивается одинаковое распределение по их поверх-
ности коэффициентов р и С]Х.

Если рассмотреть установившееся обтекание равномерным пото-
ком сжимаемого газа при отсутствии теплопередачи, то, как сле-
дует из физических соображений, коэффициенты р и с?х будут яв-
ляться при заданой форме обтекаемого тела и известных значениях
углов атаки и скольжения, а также у гл об поворота аэродинамиче-
ских рулей функциями скорости набегающего потока Ул, давления
плотности р«, динамического коэффициента вязкости удель-
ных теплоемкостей газа сроо и свв), а также некоторого характерного
линейного размера тела Ь. Следовательно, от этих же параметров
будет зависеть и коэффициент сопротивления, для которого можно
написать функциональную зависимость в виде сх—}(У^ ров! Роем

Спи, Е). Так как этот коэффициент является безразмерной
величиной, то, следовательно, под знаком функции должны быть
также безразмерные параметры. Из общих соображений метода
размерности следует, что семь размерных аргументов функции
можно свести к трем аргументам, которые представляют собой без-
размерные комбинации, составленные из V», рос, Сроо, рСО, С 1)00,
Е, так как имеются четыре независимые единицы измерения: мас-
сы, длины, времени и температуры. Эти безразмерные комбинации
имеют следующий вид: у	Мм — число Маха

невозмущенного потока; УКе® — число Рейнольдса, ны-
численое по параметрам невозмущенного потока и характерному
линейному размеру Е\ сроо1с^еа~кол —показатель адиабаты.

В выражении для М« принято, что КЛ»/Мрос=— скорость
звука в невозмущенном потоке. Действительно, в соответствии с
общим выражением для скорости звука	а также с уче-

том адиабатического характера распространения звуковых воз-
мущений в газе, согласно которому р—Ар\ можно написать
— (^№0 (Арь) =&(р/р). Согласно этому квадрат скорости звука в
невозмущенном потоке а2и>=^«1(р«>/р00). Таким образом, отношение
У^саРл!^ = Все другие безразмерные комбинации,
кроме М®,	Л®, составленные из указанных семи параметров

или вообще из любых величин, которые могут быть ими опреде-
лены, будут функциями комбинаций Це» и Следовательно,

133
можно написать для коэффициента сопротивления

гх=/(М«, Ке«, А„).	(3.5.3)

Аналогичные выражения можно записать для других аэродинами-
ческих коэффициентов. Из этих выражений следует, что при вы-
полнен и и равенств чисел М®, Ке« и параметра модельного и
натурного потоков аэродинамические коэффициенты геометрически
подобных тел будут одинаковы. Таким образом, пришли к важно-
му выводу теории размерности и подобия, в соответствии с кото-
рым необходимым и достаточным условием аэродинамического
подобия будет постоянство численных значений безразмерных ком-
бинаций, образующих так называемую базу, т. е. систему безраз-
мерных величин, определяющих все остальные параметры течения.
Эти безразмерные комбинации называются критериями по-
добия.

Приведенные критерии подобия имеют определенный физиче-
ский смысл. В соответствии с выражением	скорость

звука можно рассматривать как параметр, зависящий от свойства
сжимаемости, т. е. способности газа изменять плотность с измене-
нием давления. Поэтому число Маха является тем безразмерным
критерием подобия, которым характеризуют относитель-
ную величину воздействия сжимаемости на те-
чение газа. Число Рейнольдса представляет собой критерий,
при помощи которого оценивается относительная величи-
на воздействия вязкости на движущийся газ, а
параметр к^—Ср^с^ определяет Особенности течения, обуслов-
ленные термодинамическими свойствами газа,

Критерии подобия, учитывающие влияние вязкости
и теплопроводности

В более общих случаях обтекания, характеризующихся влияни-
ем ряда других физических и термодинамических параметров на
аэродинамические свойства летательных аппаратов, критерии дина-
мического подобия будут более сложными и разнообразными. Для
установления этих критериев можно применить другой метод теории
размерности и подобия, Основанный на использовании уравнения
движения вязкого теплопроводного газа.

На пишем эти уравнения в безразмерной форме, т. е. в таком
виде, чтобы входящие в уравнения параметры (скорость, давление,
температура и др.) были отнесены к некоторым характерным пара-
метрам. Эти параметры являются для данного течения постоянными
величинами и определяют его масштаб. В качестве масштабов
выберем параметры набегающего потока: скорость У®, давление :
р®, плотность р®, температуру ?«, динамический коэффициент вяз- .
кости р,® (или соответственно коэффициент V®) и др. При этом
следует помнить, что из трех параметров р®, р®, Г® могут зада-
ваться произвольно два, а третий будет определен по этим двум 1
при помощи уравнения состояния. Масштабом времени, характе- I
134
ризующим неусталовившийся режим обтекания» будет величина
1^,, а масштабом длины — некоторый характерный линейный раз-
мер 1 (например, длина обтекаемого тела). Масштабом ускорения
массовых сил может быть выбрано ускорение силы тяжести Без-
размерные параметры для длины и времени запишем в виде

х=х/1, у=у/Ц	/=///«,	(3.5.4)

а безразмерные коэффициенты для скорости» давления, плотности»
вязкости и массовых сил — в следующей форме:

р=р1р«» Г=р/₽«;^
х=х/%, у=у/^ х

(3.5.5)

Введем безразмерные величины в уравнение движения (3.1.17)
и неразрывности (2.4.2). При этом для преобразования используем
только первое уравнение системы (3.1.17), так как два других урав-
нения напишутся аналогично. Указанные уравнения в безразмер-
ных коэффициентах будут иметь вид:

где (Цу У — дУх/дх-\- дУ^/ду+дУ^/дх.

Из масштабных величин, входящих в эти уравнения, можно со-
ставить ряд безразмерных чисел, характеризующих подобие газо-
. вых течений. Эти числа, называемые по имени ученых, которые
первыми получили их, записываются в следующей форме:

5Ь=У — число Струхаля;

Гг= У1/(^) — число Фру да;

М=У «/а»—число Маха;

Не=УсоРвД/р»——число Рей нольдса
(индекс «со» при М и Не опущен)*

(3.5.6)

135
Здесь	скорость звука в невозмущенном потоке

(А« и Г« — соответственно показатель адиабаты и температура
газа в невозмущенном потоке). Введя эти числа в уравнения дви-
жения и неразрывности, получим:

Преобразуем теперь уравнение энергии (3.2.14), в котором опу-
стим члены, учитывающие излучение и диффузию. Введем безраз-
мерные параметры

Г=77ГМ, 'ср=ср!ср<Х1, 7=Х/Х«,	(3-5.9)

где и — соответственно удельная теплоемкость и коэффици-
ент теплопроводности газа в невозмущенном потоке. Имея в виду,
что (И—сраТг и раскрывая полную производную после соот-
ветствующих подстановок получим

Введем безразмерное число Прандтля

РГ-— Р'осС рор/Хрр,

(3.5.11)

при помощи которого сравниваются относительные
величины воздействия вязкости и теплопровод-
ности. или, иначе, оценивается соотношение между тепловым по-
током, вызванным трением, н молекулярным переносом тепла. Тог-
136
да, учитывая, что р0О/р«=/?Гоо—ср«(1—1/&ю)Гв, напишем

р с /зь-1 —+	+7В—+7, —) = 5Ь~1	н-

\ <М	дх ду	дх /	*со (Н

М2^ав 1)| !	у ^2^]	2 -~1А1 Т7\2 I а—2	।

Ч---——-	^Т- +	——|*(ШуИ) +4рег +

К® 11_ \ дх /	\ ду /	$

_}. _±_ Шу (Х^ад 7).	(3.5.10')

Далее преобразуем к безразмерному виду несколько дополни-
тельных соотношений системы уравнений газодинамики (см.

§3.3):

(р«/Р.Г„)р=рГ;	(3.5.12)

{*ср=Уз(Р«Р* 7\7')(1/Р'ср“’)»	(3.5.13)

^/б(р^. Г«Г)(1/Хв);	(3.5.14)

Гдаг)(!/{*«);	(3.5.15)

^=-Л(р*Р’ Г-ЛО/с^).	(3.5.16)

Теперь представим, что исследуются два потока, обтекающие
геометрически подобные поверхности. У таких поверхностей без-
размерные координаты сходственных точек одинаковы, что явля-
ется необходимым условием аэродинамического подобия течений.
Для выполнения достаточного условия такого подобия должно
быть обеспечено равенство безразмерных значений газодинамиче-
ских параметров (скорости, давления, плотности и др.) в сходствен-
ных точках. Так как безразмерные параметры одновременно явля-
ются решениями системы уравнений (3.5.7), (3.5.8), (3.5.107)
(3.5.12)4- (3.5.16), то, очевидно, указанное равенство будет соблю-
дено при условии, если системы безразмерных уравнений, а также
безразмерные граничные и начальные условия для каждого потока
одинаковы.

Рассматривая системы безразмерных уравнений для двух пото-
ков, видим, что обе эти системы будут одинаковы, если:

1)	равны критерии подобия —

Гг^Ргэ, Ке1=Кег, М!=Ма, 511!^5й2;	(3.5.17)

2)	выполняется равенство чисел Прандтля Ргх = Рг2, т. е.

(3.5.18)
а также равенство отношений теплоемкостей газов для двух тече-
ний:

(3.5.19)
3)	каждое из уравнений (3.5.13)-т-фбЛб) определяет зависи-
мости для б^размерных значений рСр, А, и или ёр от относительных
величин р и Т, а также параметров (3.5.17)4- (3.5.19). Однако в слу-
чае диссоциированного газа такие зависимости не имеют места,
так как нельзя выделить безразмерные критерии вида (3.5.17)4-
(3.5.19) или какой-либо другой формы. Поэтому соответствующие
безразмерные уравнения (3.5.13) 4- (3.5.16) для натурного и модель-
ного потоков не будут одинаковыми и полного динамического по-
добия обеспечить не удается.

Можно указать два частных случая, когда это подобие обеспе-
чивается. Это, во-первых, случай течения недиссоциированного га-
за, для которого средний молекулярный вес остается постоянным
(цср! = Цсрэ)» а теплоемкости, коэффициент теплопроводности и
вязкость изменяются в зависимости от температуры по степенному
закону вида у—аТх. В этом случае уравнения (3.5.14)4- (3.5.16) для
величин А, р и ср заменяются соответствующими зависимостями
только от безразмерной температуры Т=Т!Т^. Ко втором\ случаю
относится течение газа с небольшими скоростями, когда парамет-
ры А, р и сР не зависят от температуры. Соответствующие значения
этих параметров будут одинаковыми для натурного и модельного
потоков. Для этого случая система уравнений включает безразмер-
ные уравнения Навье — Стокса, неразрывности, энергии, а также
уравнение состояния.

Граничные условия, накладываемые на решения безразмерных
уравнений, обусловливают дополнительные критерии подобия. Это
не относится к условию безотрывного обтекания, которое не вносит
новых критериев подобия. Действительно, это условие в безраз-
мерной форме имеет вид

Ул (дР/дх) + V, (дР/ду] + V, (дГ1дг)=0
и будет одним и тем же как для натурного, так и для модельного
потоков ввиду геометрического подобия обтекаемых поверхностей.
Однако температурное граничное условие, согласно которому ре-
шение для температуры должно удовлетворять равенству Т—Тст
(Гст — температура поверхности), вносит дополнительный крите-
рий подобия. В самом деле, из граничных условий для натурной
и модельной поверхностей, имеющих соответственно вид Л^Гст)!
и Т2— (Гот)2, следует, что безразмерные температуры Г]^(ГСТ)[ и
(Гст)2- По условию подобия,	следовательно, должно

быть соблюдено равенство (7ст)1= (7Ст)а. Таким образом, гранич-
ное условие для температуры стенки приводит к дополнительному
критерию подобия

(^ст Д’ «) г—(ГстД4 - Ь*	(3.5.20)

Безразмерные газодинамические параметры на поверхности обте-
каемого тела, как это видно из системы безразмерных уравнений
[при условии, что уравнения (3.5.13)4-(3.5.16) определяют рср, А, р
и с? в функции Г|, зависят от безразмерных координат и времени,
138
а также от критериев подобия (3.5.17) 4-(3.5.19). В частности, без-
размерное давление можно представить как функцию

р/р«=?1(Г>', Ре, М, 5Ь, Рг, Гст, л, у, Г). (3.5.21)

По известному распределению давления можно определить для
данного момента времени безразмерный коэффициент силы лобо-
вого сопротивления

сх=Х/(^5)^?г(Ег, Ре, М, 5Ь, Рг, к^ Гст). (3.5.22)

Это выражение более полно, чем (3.5.3), определяет зависимость
аэродинамического коэффициента сопротивления от безразмерных
критериев подобия. Однако соотношение (3.5.22) не отражает всех
особенностей течения диссоциированного газа, так как получено
ггз упрощенных уравнений (3.5.13) — (3.5.16). Поэтому для такого
течения формула (3.5.22) менее точна, чем для недиссоциировэн-
ного потока, и определяет лишь частичное подобие.

Критерии подобия, от которых зависит безразмерный аэродина-
мический коэффициент, имеют определенный физический смысл
и характеризуют реальные факторы, влияющие на аэродинамиче-
скую Силу.

Число Фруда является критерием подобия, учитывающим влия-
ние на сопротивление массовой силы (силы тяжести). Из уравнения
движения, написанного в безразмерной форме, видно, что число
рг равно отношению величины	обусловленной влиянием

инерционных сил, к масштабу массовых сил Равенство чисел
Фруда для натуры и геометрически подобной модели означает, что
у них будут одинаковыми коэффициенты сопротивления, обуслов-
ленные влиянием силы тяжести жидкости. Этот критерий подобия
не имеет существенного значения при исследовании газовых тече-
ний, так как влияние силы тяжести газа на движение пренебрежи-
мо мало. Однако значение этого критерия может оказаться суще-
ственным в гидродинамике, в частности при экспериментальном
изучении волнового сопротивления различных судоходных уст-
ройств.

При движении тел в реальной жидкости аэродинамические силы
зависят от вязкости. Сила вязкости характеризуется числом Рей-
нольдса, которое может быть получено как отношение величины
учитывающей влияние инерционных сил, к параметру
т»Ря/Х2 учитывающему влияние вязкости. Если соблюдается ра-
венство чисел Рейнольдса двух геометрически подобных потоков,
то выполняется условие частичного аэродинамического подобия с
учетом влияния вязкости. При этом условии, в частности, будут
равны коэффициенты сопротивления трения для натурного и мо-
дального тел.

Критерий подобия по числу Маха получается из отношения
величины	к параметру р«/(р«1), который учитывает влия-

ние сил давления, зависящих от сжимаемости газа. Частичное по-

13$
добие двух потоков сжимаемого газа, обтекающих геометрически
подобные тела, будет соблюдено при равенстве чисел Маха.

При исследовании неустановившегося обтекания существенное
значение имеет подобие по числу 'Струхаля, которое получается
из сопоставления инерционных сил и сил, вызванных влиянием не-
ст а цион арности, т. е. из отношения величин VI//. и	Два

нестационарных течения, обтекающих натурное тело и модельный
объект, будут иметь частичное аэродинамическое подобие при оди-
наковых значениях числа Струхаля.

Критерии подобия по числу Прандтля и отношению теплеем кос-
тей обусловлены определенными требованиями к физическим свой-
ствам газов натурного и модельного течений. Газы могут быть раз-
личными, но их физические характеристики должны быть такими,
чтобы выполнялись равенства РгЕ— Рг2 и	Число Прандтля

зависит от динамического коэффициента вязкости и теплопровод-
ности. Коэффициент вязкости отражает свойства газа, от которых
зависит молекулярный перенос количества движения, а коэффици-
ент теплопроводности характеризует интенсивность молекулярного
переноса тепла. Таким образом, критерий Прандтля Рг—
определяет меру преобразования энергии молекулярного переноса
в тепло. Для газа Рг<1.

Безразмерный коэффициент аэродинамической силы или тепло-
передачи является сложной функцией ряда критериев подобия, каж-
дый из которых отражает влияние какого-то определенного физи-
ческого процесса. Полное подобие натурного и модельного потоков
может быть выполнено лишь при соблюдении равенства всех кри-
териев подобия. Практически, однако, это обеспечить не удается,
так как некоторые из этих критериев являются противоречивыми.

Рассмотрим, например, числа Рейнольдса, Фруда и Маха. Для
выполнения подобия по силам трения необходимо, чтобы У111/т] =
^Г2Г2/У2. Если принять, что для натурного и модельного потоков
коэффициенты VIто, следовательно, скорость модельного по-
тока И2= У1 т. е. больше скорости натурного потока во
столько, во сколько модель обтекаемого тела меньше натуры.

Для обеспечения подобия по силам тяжести необходимо соблю-
сти равенство чисел Фруда, т. е.1/?/(11^г1)=Иг/(А2^г2)* откуда следу-
ет, что если опыты проводились при одинаковых значениях то
скорость модельного потока И2=1/\ ргХ2/Л[. Как видим, в дан-
ном случае скорость V? должна быть для уменьшенной модели не
больше, а меньше.

Наконец, при соблюдении равенства чисел Маха будем иметь
У]/а 1 = 1/2/02. Приняв для упрощения, что 03=01, получим условие
равенства скоростей модельного и натурного потоков.

Естественно, выполнить одновременно все эти условия для ско-
рости нельзя, следовательно, можно говорить лишь о неполном по-
добии. Следует, однако, отметить, что практически нет необходи-
мости удовлетворять всем критериям подобия, так как влияние их
в том или ином конкретном случае движения неодинаково. Напри-
140
мер, более существенным будет влияние на обтекание тел газом сил
трения и давления, чем силы тяжести, и в соответствии с этим боль-
шее значение имеют критерии Ке и М, нежели число Ег. В связи с
этим в подобных случаях число Фруда как критерий подобия не
учитывают.

Если одновременно скорости движения невелики, то пренебре-
жимо мало влияние сил от давления, обусловленных сжимаемостью
газа, следовательно, можно не учитывать критерий подобия по чис-
лу Маха, полагая, что аэродинамический коэффициент зависит от
числа Рейнольдса.

Аэродинамическая сила, момент или тепловой поток от газа к
поверхности являются результатом воздействия на тело движуще-
гося газа, в котором одновременно протекают самые различные
процессы: трение, сжатие (или расширение), нагрев, изменение
физических свойств и др. Поэтому надо стремиться к удовлетворе-
нию максимального количества критериев подобия. Например, це-
лесообразно, чтобы одновременно сохранялись равенства чисел
Рейнольдса и Маха натурного и модельного потоков, т. е.

и М| = Мг- Это особенно важно при исследовании аэродинамиче-
ских сил, которые для тел с большой поверхностью могут слагаться
из равноценных составляющих, зависящих от трения и давления,
обусловленного сжимаемостью. Выполнение указанного условия
может быть обеспечено при проведении экспериментов в аэроди-
намических трубах переменной плоскости. Если испытания прово-
дятся в потоке газа, скорость звука в котором такая же, как в на-
турном потоке (а2^аг), то из условия равенства чисел Маха сле-
дует, что У2~Уь Имея это в виду и используя равенство ке1 = ке2,
или, что то же самое, УгргЕ2/рг = У]ргЕ]/^ь получим условие
^2р2/Н2=Ь1р1/р[. Принимая р2~ рь найдем, что плотность газа в
потоке аэродинамической трубы должна быть р2=р1(11/Е2). Пола-
гая, что температура натурного и модельного потоков одинакова
(7'2=7’1)1 и привлекая уравнение состояния, получим условие р2=
=Р|(Е1/Е2). Таким образом, для одновременного удовлетворения
подобия по силам трения и силам давления с учетом сжимаемости,
т. е. для соблюдения равенств ке^ке2 и М|-М2> необходимо,
чтобы статическое давление в потоке газа, создаваемом аэродина-
мической трубой, было больше давления в натурном потоке во
столько раз, во сколько модель меньше натуры. Конструкция аэро-
динамической трубы позволяет в известных пределах регулировать
статическое давление в модельном потоке газа в зависимости от
размеров обтекаемой модели.

С известным приближением при определении силового взаимо-
действия влияние теплопередачи можно не учитывать. При этом
аэродинамические коэффициенты будут зависеть от чисел кег М и
5И. Если к тому же испытания проводятся в газовой среде, для ко-
торой	то

сх=/(Ке> М, 8Ь).	(3.5.23)

Для установившегося обтекания

М).	(3,5,24)

141
$ 3.6. ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

В настоящем параграфе рассматриваются одномерные устано-
вившиеся изэнтропические течения сжимаемого газа, изучение ко-
торых имеет важное практическое значение, так как позволяет ус-
тановить связь между поперечным сечением стрхп и изменением
параметров газа и тем самым найти способ управления течением
путем изменения формы струи (канала). Здесь б>дет рассмотрен
также широкий набор газодинамических соотношений, составляю-
щих основной математический аппарат, используемый при расчетах
изэнтропических течений газа с постоянными теплоемкостями.

Форма струи газа

Рассмотрим установившееся движение идеального (невизкого)
газа в струе с малым расширением и небольшой кривизной. Движе-
ние в такой струе можно рассматривать как одномерное, характе-
ризующееся изменением параметров в зависимости от одной линей-
ной координаты точки, отсчитываемой вдоль оси струи. При уста-
новившемся течении параметры, определяющие это течение, будут
в каждом сечении одинаковы в любой момент времени. Если шири-
на струи мала по сравнению с радиусом кривизны осевой линии,
то поперечным градиентом давления можно пренебречь и считать,
что в каждой точке поперечного сечения струи давление одинаково.

Рассмотрение такого одномерного стационарного движения сжи-
маемого газа приводит к наиболее простому приближенному реше-
нию уравнений газодинамики. Вдоль струи сохраняется условие
(2.4.51) постоянства расхода, т. е. ргУ|5] = раУй52=рзУ35з=
= ..., или рУ5==сопз1, где индексы «1», «2», «3» относят соответст-
вующие параметры газа к контрольным поверхностям, в качестве
которых выбраны поперечные сечения канала площадью 5Т, 5а,
53, ..., Логарифмируя, получим 1п р+1п У+1п 5=соп51. Дифферен-
цирование этого выражения дает

^р/р+^/К+Щ5-0,
откуда

<18

(IV

Далее воспользуемся соотношением (3.4.14), дифференцируя кото-
рое получим

У4У=-<Н.	(3.6-2)

Заменяя сП на ^р/р, найдем

УИИ=-^р/р.	(3.6.3)

Учитывая формулу для скорости звука а = У	и используя

соотношение (3.6.3), преобразуем (3.6Л) к виду

ЛЗ/4У=(5/И) (Мэ - 1),	(3.64)
где М = У/а—число Маха в данном сечении струи. Предположим,
что вдоль струи скорость возрастает (ЛЛ>0), но остается дозвуко-
вой и, следовательно, М<1. Из (3.6.4) видно, что для этого случая
производная ^5/Л/<0. Это указывает на то, что вниз по потоку
струя сужается. Наоборот, для дозвукового течения с уменьшаю-
щейся скоростью (М<1, ^У<0) сечение будет увеличиваться, на
ито указывает неравенство ^5>0, вытекающее из (3.6.4),

Рассмотрим сверхзвуковое течение (М>1). Если скорость
уменьшается, то, как видно из (3.6.4), дифференциал ^5<0 и, сле-
довательно, струя сужается. В противоположном случае, когда ско-
рость возрастает, значение ^5>0, т. е. струя расширяется.

Если теперь взять насадок, который вначале имеет форму су-
жающегося, а в конце—расширяющегося канала, то при опреде-
ленных условиях в сужающейся части насадка дозвуковой поток
будет ускоряться, достигая звуковой скорости в самом узком сече-
нии [здесь и, как следует из (3.6.4), М=1], а затем станет
сверхзвуковым. Так именно устроены предназначенные для получе-
ния сверхзвуковых потоков сопла в ракетных двигателях, газовых
турбинах и аэродинамических трубах.

Скорость течения

Рассмотрим струю газа, обтекающую некоторую поверхность
(рис. 3.6.1). Параметры в струе, расположенной в набегающем по-
токе, обозначим через V», рж, р«,	1», а*., а параметры для той

Рис. 3.6 I. Параметры обтекающего газового потока

части струи, которая находится в возмущенной области, — через
16 Л Р; Г, с а и т. д. Для нахождения скорости в некотором произ-
.вольном сечении струи воспользуемся уравнением (3.4.14), в кото-
ром постоянную С определим по заданным параметрам набегающе-
го потока:

С=Ио/2-Н„.	(3.6.5)

С учетом этого

откуда
В точке полного торможения V—0, следовательно, энтальпия

/ = Уд = |/да/2

(3-6.7)

Таким образом, константа С по своему физическому смыслу может
рассматриваться как энтальпия торможения. С учетом этого значе-
ния С скорость в струе

(3.6.8)

Энтальпии /о соответствуют давление и плотность р0 торможения.

определяемые из условия

; — *	1 у ~	1 к Р=О

0 к- 1 ‘ р0 2	'	2	' Л-1 * ₽«

Применяя обозначения для р0 и ро, получим

V2 । к ______ к рд

2	1' V-'

Так как течение изэнтропическое, то

А'Р*=Ро/Ро-
следовательно,

у — -I А 2А До Г1 Л Д \<а—1>М~

V *—1 * ро I {ра!

(3.6.9)

(3.6.10)

(3.6.11)

(3.6.12)

Имея в виду, что для условий полного торможения скорость зву-
ка а0=У^/70/р0, найдем

2

к— 1

1 / д V*—!)/*
\ До /

(3.6.13)

Из (3.6.8) следует, что скорость вдоль струи возрастает по мере
того, как уменьшается энтальпия и, следовательно, все большая
часть тепла преобразуется в кинетическую энергию. Максималь-
ная скорость достигается при условии, что энтальпия 1=0,
т е. все тепло затрачено на разгон газа. Значение этой скорости

или с учетом (3.6.9)

(3.6.14)

(3.6.15)

Используя понятие о максимальной скорости, можно написать
соотношение для скорости в произвольном сечении:

(3.6.16) ,
или

1-(р//>0)(*-,’<	(3.6.17)
В самом узком — критическом — сечении струи достигается ско-
рость, равная местной скорости звука. Эта скорость называ-
ется критической и обозначается а*. Критической скорости
соответствуют критические давление />* и плотность р*. Из уравне-
ния Бернулли следует, что для критического сечения

а*3 , Л р*к р$

2 'к — 1 р* к— I ро

Имея в виду, что Ар*/р*=а*2, получим для критической скорости

или, учитывая (3.6.15),
«’=	]/(А~1)ДЛ+1).	(3.6.19)

Для определения местной скорости звука а восполь-
зуемся уравнением (3.6.10). Производя в нем замены а2=Ар/р и
й02=Ар0/р0, получим

а2=а§_*п11/2	(3.6.20)

или

й!=1+2а.!_^1у2	• (3.6.21)

2	2

а?=~	- И-	(3.6.22)

Введем обозначение для относительной скорости Х=
= У/а*. Разделив уравнение (3.6.21) на V2 и имея в виду, что отно-
шение ]//а = М, получим зависимость между Л и М:

?2	[(* + 1)/2]М2

14-ЦА—1)/2] М2

(3.6.23)

Отсюда следует, что в том сечении струи, где достигается Утат, чис-
л о. М—оо. Соответствующее значение Х=Лтак находим из (3.6.23)
при условии М^-оо:

ч»=И*+П/(а-1).

(3.6.24)

Очевидно, в критическом сечении, где М=1, также имеем Л^1. В
произвольном сечении, характеризующемся значениями 1^М^оо,
относительная скорость

1<е* </(*+!)/(*-о-

(3.6.25)

145
Давление, плотность и температура

Из (3.6,17) следует, что давление в произвольном сечении струн

Р=Ро(] —(3.6.26)

В соответствии с (3.6.22) разность

1--^-=(1+™М* ,	(3.6.27)

поэтому

Р= Ро (1 +^М2РЛ‘-'> = РОЛ(М),	(3.6.28)

где функция л при аргументе М определяется отношением давле-
ний р/р0.

Отнеся формулу (3,6.28) к условиям набегающего потока, най-
дем

_	/, , Л-1

Ро—рсо [ 1 "|	~ М„

\	&	9

Рос

*(М») ’

Следовательно,

_ р + к*-ът2]лС, । ад»-» _	Я(М)

Р р“ [ I +[(* —1)/2] »₽/ Р“ я(М„) ‘

(3.6.29)

(3.6.30)

Из уравнения адиабаты р/рА=До/роА» в котором р заменяется по
формулам (3.6.26) и (3.6,28), найдем зависимости для плотности:

₽=₽о Г1------— I =₽о Н—Г"м	=₽оЕ(М), (3.6.31)

I Vя /	\	2	/

\	тех /

где функция е при аргументе М определяется отношением плотно-
стей р/р0.

Используя уравнение состояния

/’/А>=(Р/₽о)(777'о).

(3.6.32)

а также соотношения для давления (3.6.26), (3,6.28) и плотности
(3.6.31), найдем

Т=то 11 —(1	(М), (3.6.33)

где функция т при аргументе М определяется отношением темпера-?
тур Т/То.

Таблицы газодинамических функций л(М), в(М) и т(М) длЛ
значений показателя к от 1,1 до 1,67 приведены в [5].

Для плотности ро и температуры Го соответствующие зависимо*
сти определим при помощи соотношений (3.6.31) и (3.6.33). Отнесу
146
эти соотношения к условиям набегающего потока, получим:

п 1 г Й — I ..2 у/(й— О	,О ТДЦ

Р0= ₽» 1 +-Т-	. •	(3.6.34)

V 2	/

г»=г«(1+^2м“)=’т^Г-	(3-6-35’

В критическом сечении струи М=1, следовательно, из (3.6.28),
(3.6.31), (3.6.33) получим для критических значений давления /?*,
плотности р* и температуры Т* следующие формулы.

Х=л^Г‘-1’=роя(1);	(З.б.зб)

+ 1/

₽•=₽„(_2—	О=р0е(1);	(3.6.37)

\я+ 1/

Г*=ГсС-4т)=Г(1т(1),	(3.6.38)

+ I/

где л(О. е(1), т(1) — значения газодинамических функций при
М = 1.

Из приведенных формул, пригодных для любых скоростей, мож-
но получить приближенные соотношения для тех случаев, когда чис-
ла М очень велики. Из (3.6.30) следует, что при М«^1 и М^>1
можно написать



(3.6.39)

Аналогичные зависимости для плотности и температуры имеют вид:

₽/₽<»= (М„/М)зд'-1);
Г/Тв>=(М«/М)».

(3.6.40)

(3.6.41)

Используя зависимость (3.6.27), отнесенную к скорости набегаю-
щего потока,

У2

1-----—1 +	м~) ,	(3.6.27')

V® \	2	/

г тах

получим для условий	и МЭ>1 следующую

формулу для местной скорости:

— -1-|— (—---------М.

приближенную

(3.6.42)

Истечение гем из резервуара

Формула (3.6.12) позволяет определить скорость истечения газа через наса-
док из резервуара (рис. 3.6.2), в котором параметры определяются условиями
полного торможения, соответствующего скорости движения газа в резервуаре

147
Ул?О. Такие условия практически обеспечиваются, если критическое сечение на-
садка достаточно мало по сравнению с поперечным размером резервуара. В кри-
тическом сечении насадка, которому соответствует значение производной

Рис. 3.6.2. Параметры газа при истечении из резервуара

число Маха, как следует из (3.6.4), равно единице, т- е. скорость в
этом сечении равна местной скорости звука:

Такая скорость обеспечивается при условии, что давление в резервуаре в соот-
ветствии с (3.6.36) не ниже значения

Ро^ Р*

(3.6.43)

2

Если насадок сообщается с атмосферным воздухом, давление которого
ра=1 атм (это давление называется противодавлением), то движение по насад-
ку возможно при условии, что атм. Приняв р*— 1 атм и А=1,4, получим
то давление, которое необходимо для обеспечения па выходе сужающегося на-
садка звуковой скорости:

/134-141,4/(1,4-1)

—-—1	^1,9 атм.

\	" Л

По достижении критических параметров в самом узком сечении насадка
дальнейшее уменьшение противодавления (ра<р*) уже не сказывается на зна-
чениях а* и р\ зависящих от состояния газа в резервуаре. -Однако при этом
создаются условия для возникновения сверхзвуковой скорости движения газа
по расширяющейся части насадка. На рис. 3-65 этот режим изэнтропического
движения характеризуется кривыми /, определяющими изменение отношения
148
р/ро н чнс-ча вдоль насадка. Такой режим реализуется в том случае, когда
противодавление ра равно давлению р^ или меньше его на выходе расши-
ряющегося насадка. При этом изменение противодавления не оказывает влияния
на параметры газа в выходном сечении.

Рассмотрим еще один возможный режим изэнтропического течения вдоль
насадка. Предположим, что противодавление возрастает до величины р^ > р^\
при которой давление на выходе р*2* достигает такого же значения, как и
р^. Образующийся при этом дозвуковой поток характеризуется кривыми 2,
изображенными на рис. 3,6.2. Относительную скорость такого течения Х(М) най-
дем по уравнению (3.6.23), выбирая из двух решений для Л значение Л<].

При дальнейшем увеличении противодавления до значения р^ возника-
ют условия, при которых на выходе будет такое же давление р^ = р^,
а в самом узком сечении устанавливается давление, большее, чем критиче-
ское р*; соответствующая скорость в этом сечении будет дозвуковой (У<а*).
Поэтому в расширяющейся части насадка скорость будет снижаться, оставаясь
дозвуковой (кривая 3 на рнс. 3.6,2).

При значениях давления на выходе, меньших р^ и больших	из'

энтропический характер течения нарушается. В некотором сечении насадка воз-
никает поверхность разрыва, переход через которую сопровождается резким
торможением потока. В результате такого торможения, носящего необрати-
мый адиабатический характер, сверхзвуковое течение скачко-
образно переходит в дозвуковое. Изменение давления и числа М вдоль на-
садка при этом режиме течения характеризуется кривыми 4 на рис. 3 6.2. По-
верхность разрыва (скачок уплотнения) должна находиться в сеченин с таким
числом Мт которое соответствовало бы давлению рс за этой поверхностью,
обеспечивающему в результате дальнейшего расширения газа его давление
44,(^’ < & < № на выходе. Таким образом, в данном случае анализ те-
чения газа должен быть осуществлен с привлечением теории скачков уплотнения,
основы которой рассматриваются в гл. IV.

В произвольном сечении насадка, включая его выходное сечение, сверхзву-
ковая скорость определяется по формуле (3.6.12). При заданном числе МР=Мм
и давлении	в выходном сеченин необходимое давление ро в резервуаре

определяется по формуле (3.6.29).

Напишем уравнение расхода

р*$*д*,	(3.6,44)

из которого найдем, что отношение удельного расхода	через рассматри-

ваемое сечение 5 к удельному расходу д* = р*а* через критическое сечение $*
равно

д д/д* - рУ/(р*а*) = 5*/5.	(3.6.45)

Имея в виду соотношения (3.6.19) и (3.6.31), найдем

Р= Ро |	/	у?	/ А—1 V* ум-0  1	О |	РО 1 1 ' . , .	п ]  V2 I	1	А + I д*2 /  \	' тах	\	/  {	к-1 оУ/<*-1)  “Ц1-* +!Х)

Определив далее отношение ро/р* из (3.6.37), получим зависимость (3.6 45) в
следующем виде:

9 (X) = X

Л /*+	5*

х) ("Т")	~~

(3.6.46)

149
Функция д(Х) называется приведенной плотностью потока масХ,
сы Учитывая формулу (3.623), можно определить эту функцию при аргу-.
менте М:

2

Л + 1

д(М>= М

/	А — 1	5*

14-—— М2

\	2	5

(3.6.46')

В работе (5] приведены табличные значения функции д в диапазоне значений 4
от .1,1 до 1,67. Из этих зависимостей следует, что число Л (или М) в некотором
сечении насадка 5 является функцией только

Рис. 3,6.3. Изменение отно-
сительного удельного рас-
хода при движении газа

отношения площадей и не зависит От па-
раметров газа в резервуаре.

Изменение относительного удельного рас-1
хода д (или отношения площадей 5*/5) в за-
висимости от X показано на рис. 3.6.3. При за<
данном критическом сечении насадка в дозву<
ковой области течения (Л<1) увеличение ско4
рости достигается за счет уменьшения плота*1
ди 5, а в сверхзвуковой, — наоборот, за счет',
ее увеличения. В соответствии с этим уменье
шение давления в резервуаре не влияет на ве^
личину X или М на выходе насадка. В рас*
сматриваемом случае, как следует из (3.6.29)*
при изменении давления ра будет пропорцией
нальио изменяться давление на выходе рв=р».

Расход газа из резервуара можно опреде-
лить по формуле

<7«к = Р*^*5*.

Вычисляя значения для р* и а* соответственно по формулам (3.6 37) и (3,6,18)ч
получим

/ 2 \1/<л—1) , / 2А	'

= 5* ТТ7) 1/ ТТТ^’ <36лт
4- 1/ г я т 1

где Ус=^Ро — плотность газа в резервуаре.

Движение несжимаемого газа (жидкости

При движении несжимаемого газа (жидкости) уравнение раскола н соот
ветствин с (2.4,51) и при условии р=сопз1 принимает вид

У 5 — сопй(.

(3.6.49

Кинематическое уравнение (3.6.48) содержит всю информацию об одномерно
движении несжимаемой жидкости. Согласно этому уравнению скорость потока ,
обратно пропорциональна площади поперечного сечения канала. Давление пр|
стационарном движении вычисляется по уравнению Бернулли (3.4.12) «Л
(3.4.13).	~
ГЛАВА IV

ТЕОРИЯ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ

5 4.1. ФИЗИЧЕСКАЯ ПРИРОДА

ВОЗНИКНОВЕНИЯ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ

Отличительной особенностью сверхзвуковых газовых потоков
является то, что в них при условии торможения образуются по-
всрхности разрыла, при прохождении через которые параметры газа
меняются скачкообразно: скорость резко уменьшается, а давление,

Рис. 4.1.1. Виды скачков уплотнения:
а — присоединенный криволинейный скачок; б — отсоединенный криволиней-
ный скачок; в — присоединенный прямолинейный скачок

температура и плотность возрастают. Такие поверхности разрыва*
перемещающиеся относительно газовой среды, иногда называют
ударными волнами, а неподвижные поверхности разрыва —
стационарными ударными в о л н а м и или с к а ч к а м и
уплотнения. В дальнейшем будем рассматривать условия тече-
ния газа за стационарными ударными волнами и применять, как
правило, термин «скачок уплотнения».

В наиболее общем случае скачок уплотнения имеет криволи-
нейную форму. На рис. 4.1.1,а показана схема присоединен-
ного криволинейного ска чка, образующегося при обте-
кании заостренного тела, а на рис. 4.1.1,б — схема отсоединен-
ного криволинейного скачка, который возникает перед
Затупленной поверхностью, обтекаемой сверхзвуковым потоком.
нри сверхзвуковом обтекании заостренного тела с прямолинейны-
ми стенками может возникнуть присоединенный прямоли-
«ейный скачок уплотнения (рис. 4.1.1,а).
Из рис. 4.1.1, б видно, что поверхности скачков уплотнения могут
быть ориентированы по направлению нормали к вектору скорости
набегающего потока (угол наклона скачка 0с=л/2) или наклонены
под некоторым углом, отличным от прямого (0с<л/2). В первом
случае скачок уплотнения называется прямым, а во втором —
косым. Очевидно, присоединенный криволинейный скачок можно
рассматривать как совокупность косых скачков, а отсоединенный
скачок — состоящим из прямого скачка и системы косых скачков.

Образование скачков уплотнения обусловлено специфическим
характером распространения возмущений в сверхзвуковом газовом
потоке. Под возмущением следует понимать местное уплотнение,
сопровождающееся повышением давления. Такое повышение дав ле’
ния возникает в потоке при обтекании какого-либо препятствия,
называемого источником возмущений.

Рис. 4 1.2. Характер распространения возмещений в газе:
а — газ покоится; б — дозвуковое течение; в — сверхзвуковой поток

Рассмотрим источник бесконечно малых возмущений, располо-
женный в точке О (рис. 4.1.2). Такие возмущения распространяют-
ся в покоящемся газе (V—0) во все стороны со скоростью звука.
а в виде сферических волн в пространстве и круговых волн на пло-’
скости (рис. 4.1.2, а). В момент времени / радиус волны г=а1. Если
на источник набегает дозвуковой газовый поток (У<а; рис. 4.1.2, б),
то волны будут сноситься вниз по потоку; при этом центр волн пе-
ремещается со скоростью V <а, а сама волна распространяется со
звуковой скоростью. За некоторое время I центр волны сместится
на расстояние VI, а радиус волны будет г=а/, причем а/>У1. Та-
ким образом, в дозвуковом потоке возмущения распространяются
и против течения.

В частном случае звуковой скорости	передний фронт

сферических или круговых волн возмущений ограничен плоской вер-
тикальной поверхностью или прямой, касательными соответственное
к сфере или окружности и проходящими через точку О, так как
этом случае расстояние, на которое за время I смещается центру
волн, равно ее радиусу в тот же момент времени /.	|

Предположим, что набегающий поток имеет сверхзвуковую ско-|
рость (Г>а). За время I центр волны пройдет путь VI, а звуковая,
волна распространится на расстояние а1. Так как то дл*]
152
всех сферических звуковых волн можно провести огибающую кони-
ческую поверхность (рис. 4.1,2, в), т. е. конус возмущений
(конус М а х а). На плоскости огибающими круговых волн будут
линии возмущений (линии Маха). На конусе, или ли-
ниях возмущений, служащих границей, разделяющей поток на
возмущенную и невозмущениую области, возмущения расположены
наиболее плотно, так как все звуковые волны находятся на этом
конусе в одной и той же фазе колебания — фазе уплотнения. Такие
возмущенные области — конические или плоские волны, ограничен-
ные прямыми линиями Маха, — называются простыми волна-
ми сжатия или волнами Маха.

Угол р наклона образующей конической волны или линии воз-
мущений определяется из условия (рис. 4.1.2, в), что з!п р=а//(V/),
откуда

Ь'юл р называется у гл о м возмущений или углом Маха.
Сверхзвуковой поток сносит все звуковые возмущения вниз по по-
току, ограничивая их распространение конусом или линиями воз-
мущений, наклоненными под углом р., Фронт простой волны рас-
пространяется с той же звуковой скоростью, что и сферическая (или
круговая) волна. Поэтому проекция вектора скорости набегающего
потока на нормаль к фронту волны равна скорости звука (рис.
4-1.2, в).	;

В простой волне сжатия, как и в звуковой, параметры газа
(давление, плотность и др.) .изменяются на бесконечно малую ве-
личину, на что указывает, в частности, известное из физики соот-
ношение для скорости звука я— VДр} Ду, В возмущенной обла-
сти скорость практически остается такой, как и в невозмущенном
потоке. Поэтому простую волну сжатия можно рассматривать как
скачок уплотнения (или ударную волну) бесконечно малой интен-
сивности и практически считать, что при переходе через него пара-
метры не изменяются. По этой причине такую простую волну сжа-
тия называют также слабой волной, а ее передний фронт (ли-
нию Маха)— линией слабых возмущений.

Естественно предположить, что образование скачка конечной
интенсивности связано с наложением простых волн сжатия и, как
результат, их взаимным усилением. Рассмотрим процесс возникно-
вения такого скачка на примере косого скачка уплотнения. Пред-
ставим, что сверхзвуковой поток первоначально движется по ровной
и гладкой поверхности (рис. 4.1.3). Создадим искусственно местное
повышение давления в точке А, повернув поток на бесконечно ма-
лый угол Это вызовет простую волну сжатия АВ, выходящую
из точки А как из источника возмущения и наклоненную к поверх-
ности под углом р. Если осуществить дополнительно малый поворот
потока на угол 60, то образуется новая простая волна АС, выходя-
щая из той же точки А, но расположенная левее первой волны.
Однако в сверхзвуковом потоке, как было показано, волны не могут
распространяться вверх по течению, поэтому волна АС будет сно-
ситься вниз по потоку до совпадения с первой. При этом образуете*
более интенсивная волна, которая значительно усиливается при
дальнейшем повороте потока. Образующийся таким образом скачок

Рис, 4.1,3. Возникновение скачка уплотне-
ния

уплотнения конечной интенсивности имеет скорость распростране-
ния, большую, чем скорость звука, с которой движется простая вол-
на возмущения. Поэтому скачок конечной интенсивности должен
отклониться от простой волны АВ влево и занять положение АП,
при котором он удерживается в равновесии, так как скорость его
распространения будет равна составляющей скорости набегающего'
потока по нормали к фронту скачка V эш где 0с — угол наклона
скачка. Из сказанного следует,что угол наклона скачка уплотнения
конечной -интенсивности больше угла наклона линии (конуса) воз-
мущений, т. е. 0с>рь

5 4.1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ
ч

Рассмотрим более общий случай, когда газ за скачком уплот-
нения вследствие значительного нагрева претерпевает физико-хи-
мические превращения и изменяет свою теплоемкость.
При исследовании таких скачков, за которыми происходят возбуж-
дение колебаний, диссоциация и ионизация, а также химические ре-ч
акции, важнейшее значение имеет вопрос о скоростях физике-хи ми- \
ческих превращений.

Процессы за ударными волнами характеризуются тем, что часть
кинетической энергии движущегося газа практически мгновенно
переходит во внутреннюю энергию газа. В этих условиях, вообще
говоря, нельзя не учитывать того факта, что термодинамическое
равновесие достигается по истечении некоторого времени и только
в условиях такого равновесия все макроскопически изме-
ряем ые параметры (давление, плотность, темпе-'
ратура) становятся независимыми от времени..
Анализ этих явлений представляет собой более сложную задачу и 1
связан прежде всего с изучением механизма неравновесных процес-
сов, со знанием, в частности, скоростей химических реакций в воз-
духе.	?

Наиболее простой случай характеризуется бесконечно большорг-
скоростью физико-химических превращений и» следовательно, мгно^
154
венным установлением термодинамического равновесия. Физически
-такие процессы за ударными волнами возможны, что подтвердили
экспериментальные исследования.

Рассмотрим основные теоретические зависимости, позволяющие
рассчитывать равновесные параметры за ударной волной.

Косой скачок уплотнения

Возникающий в реальных условиях скачок уплотнения характе-
ризуется некоторой толщиной; строго говоря, изменение парамет-
ров газа в таком скачке будет происходить не мгновенно, а с тече-
нием времени. Однако, как показывают теоретические и экспери-
ментальные исследования, толщина скачка весьма мала и имеет
порядок длины свободного пробега молекул. Поэтому при изучении
скачка в идеальной среде можно пренебречь этой толщиной и пред-
ставить скачок в виде геометрической поверхности разрыва для па-
раметров газа, полагая, что изменение этих параметров происходит
мгновенно.

Задача о скачке уплотнения заключается в определении неиз-
вестных параметров газа за ним по заданным параметрам, харак-
теризующим движение газа перед скачком.

Для косого скачка уплотнения, возникающего в диссоциирую-
щем и ионизирующем газе, неизвестных параметров девять: давле-
ние Р2, плотность ра, температура Та, скорость У$, энтальпия
энтропия 5<ь скорость звука средний молекулярный вес рсра,
угол наклона скачка 0С (или угол отклонения потока 0С). Следова-
тельно, необходимо составить систему из девяти уравнений. Извест-
ными в этих уравнениях будут параметры до скачка уплотнения:
давление рь плотность рь скорость У], и т. д. Вместо скорости Уз
после скачка можно определить ее составляющие по нормали Уп?
и по касательной к скачку У& При этом число необходимых урав-
нений увеличится до десяти. Эта система уравнений будет включать
основные уравнения газодинамики (движения, неразрывности,
энергии и состояния), ряд кинематических соотношений для скоро-
стей, а также термодинамических зависимостей, характеризующих
свойства газа. Рассмотрим каждое уравнение этой системы.

На рис, 4.2.1, где показаны треугольники скоростей потока до
скачка (параметры с индексом «I») и после него (параметры с ин-
дексом «2»), можно определить следующие соотношения для ука-
занных составляющих:

1/т2=Уасо5(вс^?с), ^=^510(9.-^).	(4.2,1)

Отсюда находится первое уравнение системы:

^/Уй=1е(6с-?с)-	(4.2.2)

Вторым уравнением будет уравнение расхода (неразрывности), ко-
торое определяет количество жидкости, протекающей через единич-

155
ную поверхность скачка в единицу времени:

л» =	(4.2.3)

здесь нормальная составляющая скорости до скачка 1Ли = У 8Ш 6С
(рис. 4.2.1).

Воспользуемся уравнением движения, записанным в форме урав-
нения количества движения для условий перехода через скачок

Линия спичка

Рис, 4.2.1. Схема косого скачка уплотнения

уплотнения, Это уравнение, которое и будет третьим уравнением
системы, получим, приравняв импульсу сил давления изменение
количества движения жидкости, протекающей за единицу времени
через единичную поверхность скачка в направлении нормали к этой
поверхности:

Р>У Я1	Р# я2 “ Р2 — Р1*	(4.2.4)

Имея в виду равенство (4,2.3), это уравнение напишем в виде

Р1УЯ10Л.1 — ^)=А — Рх-	(4.2.4')

Уравнение (4,2.4) можно представить также в форме

Р1_кР11/Гл1=Р2Ч“&'/Рл2-	(4.2.4")

В такой форме уравнение выражает закон сохранения импульса
при переходе через скачок уплотнения. Если рассматривать изме-
нение количества движения в направлении касательной к поверх-
ности скачка, то, учитывая, что градиент давления в этом направ-
лении равен нулю, получим следующую зависимость*

Р1У п\У Т1 — Р# ^У х2 = О,

откуда, в связи с тем что Р1Кц — ргУпг,

У-1 — У-2.	(4.2.5) ]

Это четвертое уравнение системы, которое указывает на то, что ’
касательные составляющие скорости при переходе через скачок не
меняются. Из рис. 4.2.1 видно, что УХ1 = У1СО8бс, следовательно,
156
(4.2,5) можно написать в форме

ИХ2 1/1со.5 0с=1/п1/^0с.	(4.2.5')

Уравнение сохранения энергии напишем в таком виде:
/1+И/2^/2+Кз72.

Прн условии, что

У1=Ул1-{“У^ь У а=Уп2~}~ Ута и Ут1=У‘й»
это уравнение может быть несколько преобразовано:

11+У2л1/2=12+У^2.	(4.2.6)

Комбинируя уравнения состояния для условий до и после скачка,
получим соотношение

Р2~Р1 = ^2?2^2 —	Р1^1

или, учитывая, что /?=/?о/рср,

Р% Р1—/?о (Ра^а/^с[>2 Р1/^1).	(4.2.7)

Четыре уравнения рассматриваемой системы, позволяющие оп-
ределять энтальпию, энтропию, средний молекулярный вес и ско-
рость звука в диссоциирующем газе, представим в виде общих за-
висимостей этих параметров от давления и температуры:

4=/1(Л* ?а);	(4.2.8)

5а=/2 (р2> Г2);	(4.2.9)

Р*срэ — /а (Ра ’ ^2)»	(4.2.10)

«2=Л(Рг. Л)-	(4-2.П)

Эти функции аналитически не выражаются в явном виде и опреде-
ляются путем экспериментальных исследований или при помощи
довольно сложных расчетов, основанных на решении соответствую-
щих термодинамических уравнений. Зависимости для указанных
функций обычно строятся в виде графиков, а их значения табули-
руются в специальных таблицах термодинамических функций воз-
духа при высоких температурах (см. [6, 18, 19]).

Выразим основные параметры за ударной волной через отно-
сительное изменение нормальных составляющих скорости, т. е. че-
рез величину

=(УП1 -УЛУУЛ.	(4:2.12)

Из (4,2.3) находим отношение плотностей:

Р2/Р1 = 1/(1-ДУ«)>	(4-2.13)

а Из (4.2.4') —отношение давлений:

й/й= ЖЛй) ЬУг	(4.2.14)
Вводя понятие «нормальной составляющей» числа М), определяй
мой в виде отношения Мп1 — Уп 1/^1 или МП1=М15:п60. и полагав
что перед скачком газ нсдиссоциирован и для него скорость звукЕ
— к^р^, вместо (4.2.14) получим

2

Р21Р1 ^11 А1Мл! д Ип.

^4.2.15

Отношение энтальпий хЛ определим из (4.2.6):
(2М1=1 + (1/211)(^1-У?а).

Представим разность квадратов скоростей в следующем виде:

1/2и1 - У^У*М (1 - У^УЛ1}(1 + У^У^У*ДК(2- ДГЛ).
Следовательно,

Ъ/«1= I + (^>/2)(дУ,А)(2- ДК)- (4.2.16

Для определения отношения температур Та/Л воспользуемся
уравнениями состояния для условий до и после скачка, из которы.
найдем

т ?1Т I=(Р2/Р1) (РьргЛ^срт) (Р1/Р2)-	(4.2.17

Заменяя здесь отношения плотностей и давлений соответственна
по уравнениям (4.2.13) и (4.2.15), получим

Гг/Гх = (1+й1ЛйдГ„)(1 - дГ„) (1<.ер2/!*ср1).	(4.2.17'

Для определения скорости за скачком воспользуемся соотноше-
ниями

У1=У1+У^ и

из которых найдем

У11У1 = I - (УЪ/У1) Д^л (2 - ДУл).	(4.2.18)

Так как	0С, то

1/?/И= 1 - ян’ есдГ„(2- ДЙЯ).	(4.2.18')

Найдем зависимость для угла отклонения потока за скачком
уплотнения, В соответствии с (4.2,2) и (4.2,5')

ДК,= 1-Ш(ВС-?,)/$ Вс-	(4.2.19)

Отсюда, имея в виду, что

4Е(®«-?с)=№ег-^?с)/(1+^вс^М.	;

найдем

*е?с=*ев«—~=~(--------^-+1е2«с1 1-	(4.2.20),;

1_йуД]_дуя	)

158

.Й
Относительное изменение скорости АГП определяется в соответ
ствии с (4.2.13) безразмерной плотностью:

Д^в= I - Р1/Р2-

(4.2.21)

Из этого следует, что отношения давлений, температур и энталь-
пий, а также угол отклонения рс могуч быть представлены как фун-
кции относительной плотности ра/рь Кроме того, вместо величин

и Мщ в формулы можно ввести соответственно значения УП1=
= VI 51П Вс И Мп1 = М! 5Ш Вс-

Таким образом, решение задачи о косом скачке уплотнения при
известном угле его наклона Вс сводится к отысканию отношения
плотностей ра/рь или, что то же самое, к определению функции
ЛГП. Определение этой функции ведется с помощью соотношений
(4.2.16) и (4.2.17'), каждое из которых можно переписать в виде
квадратного уравнения относительно АГП- Из первого квадратного
уравнения найдем

дГа=1-]/ {-2^-1,)/^,.	(4.2.22)

II ИЗ ВТОрОГО

дУв=А+/А2^В,	(4.2.23)

где

А=А^-1, в=---------/21.	(4.2.24)

Знаки перед квадратными корнями — минус в (4.2.22) и плюс в
(4.2.23) — выбраны из условия, что за скачком скорость всегда
меньше, чем до него, и, следовательно, должно быть Д7П<1. При
этом знак плюс в (4.2.23) учитывает также, что физически реаль-
ным из двух значений Д7Л<1 будет большее.

Уравнения (4.2.22) и (4.2.23) решаются методом последователь-
ных приближений. Задача о косом скачке может решаться при ус-
ловии задания угла рс. При этом расчет угла Вс ведется при помо-
щи соотношения (4.2.20), в соответствии с которым





Рс

дуя ,	1

1-ДУ„

Решение этого уравнения дает



+ 1/ 1_	Ц2 Рс

'1 - ДИ„ ~ '	4 (1 - Д₽я)2	1 - ДУЯ .

(4.2.25)

Одно из решений (знак плюс перед корнем) определяет большее
значение угла Вс> реализуемое в отсоединенном криволинейном
скачке уплотнения, другое (знак минус) — меньшую величину, реа-
лизуемую в присоединенном скачке с более слабой интенсивностью.

159
Для удобства расчетов можно заранее вычислить углы 0С по
заданным величинам 0С, составить соответствующую таблицу или
построить график. Тогда с их помощью для какого-либо значения
АГЛ, которому соответствуют ранее вычисленные величины отноше-
ний Рд/рь Рэ/Р1 и др., можно по одному из известных углов, Вс или
Рс найти другой.

Вычисление скорости 1/< и числа набегающего потока, при
которых реализуются параметры в скачке с заданными значениями
угла Вс (или рс), а также Упт (или МП|), ведется при помощи фор-
мул

16 = Уя1/зш ест М^М^п вс.	(4.2.26)

Прямой скачок уплотнения

Формулы для расчета прямого скачка могут быть получены
из приведенных выше соотношений для косого скачка, если принять
Вс—л/2 и рс=0. В соответствии с этим скорость Ки —1Л, а число
МЛ] = МЬ Таким образом, в приведенных выше соотношениях при
переходе к прямому скачку уплотнения следует формально отбро-
сить индексы «л». Тогда основные зависимости примут следующий
вид:

(4.2.27)

У11 = 1 + (У1/2) (ДУМ (2 - ДЙ;	(4.2.28)

Гз/Г, = (I +Л,М?ДУ)( 1 - Д V) (МЛч.1);	(4.2.29)

Уг/У?= 1 — цу (2 - дГ),	(4.2.30)

где изменение относительной скорости

дГ=дУ/К1=(У1-У8)/У1	(4.2.31)

определяется при помощи соотношений (4.2.22) 4-(4.2,24):

•	Д V = I — И1 - 2 («2—/,)/У 11	(4.2.32)"

д7=4 + 1ЛАг-.8,	(4.2.33)

в которых

Л = 	’	, В=—I— (— .	11.	(4.2.34)

2Л[М,	Л,М^ \ Л Гсщ /

Связь ДИ с относительной плотностью определяется формулой
дТ7=1-Р1/(^	(4-2.35)

*

Таковы общие соотношения для скачков уплотнения. Теперь
проанализируем при помощи этих соотношений характер движения
и рассмотрим методы расчета параметров газа за скачками у плот- .

160
нения в случае постоянных теплоемкостей, а затем ос-
тановимся подробнее на практических способах вычисления анало-
гичных параметров для диссоциирующей среды, т. е в более общем
случае переменных теплоемкостей.

$ 4.3. «ОСОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ В ПОТОКЕ ГАЗА
С ПОСТОЯННЫМИ ТЕПЛОЕМКОСТЯМИ

Большой теоретический и практический интерес представляет
задача о течении газа за скачком уплотнения в случае, если удель-
ные теплоемкости (ср, с„) являются постоянными величинами. Хотя
такое течение считается частным (идсализированным) случаем
движения газа, физико-химические свойства которого в большей
или меньшей степени меняются при переходе через скачок, тем не
менее найденные результаты решения этой задачи дают возмож-
ность представить общую качественную картину скачкооб-
разного перехода. Получаемые при этом в явной форме зависимо-
сти, характеризующие изменение параметров газа при переходе
через скачок, могут использоваться также для приближенной ко-
личественной оценки этих параметров, когда рассматривает-
ся более общий случай переменных теплоемкостей. Наконец, рас-
сматриваемая задача имеет и самостоятельное значение, так как ее
решение применимо непосредственно для определения параметров
таза за скачком уплотнения, возникающим в потоке со сравнитель-
но небольшими сверхзвуковыми скоростями, при которых изменение
удельных теплоемкостей в сжатом газе пренебрежимо мало. Эти
скорости, определяемые для наиболее интенсивного — прямого —
скачка уплотнения, соответствуют примерно числам М™<3-н4.

Система уравнений

Рассматриваемый далее метод расчета косого скачка уплотне-
ния основан на применении системы уравнений, которая является
частным случаем системы (4.2.2)^(4.2 11).

Если при переходе через скачок уплотнения теплоемкости не
меняются, то следует также принять, что средний молекулярный
вес остается постоянным, а скорость звука и энтальпия зависят
только от температуры. В соответствии с этим уравнения (4.2.8),
(4.2.10) и (4.2.11) примут следующий вид:

«•2=сЛ;	(4.3.1)

Ие(,2=1‘сР1=11ср = СОП81;	(4-3.2)

а22=кЯТ2.	(4.3.3)

Вместо уравнения (4.2.9) необходимо воспользоваться'термодина-
мическим уравнением для энтропии недиссоциирующего совершен-
ного газа:

6—707	161
Имея ввиду равенства Л ~срат и	*

получим	’ г

&$=ср€1Лг\Т —ДО1пГ^ДО1п?.	-.]

Но	и	/^/с„=(ср~с^'с^=к— 1. Следовательно,	1

г/5=с„[с?1пГ-(й-1)^1пр).	*

Интегрируя это уравнение при й=соп&1, найдем

5=с11п(7’/р'",)4-сопз4,	(4.3.4)

Заменив здесь Т значением из уравнения состояния р—7?рГ, найдем

Т!?к^=рК№) и 1и1р/{р*??)|=-=1п(р/рЛ)—1п??.

Включая в правой части (4.3.4) в значение константы величину
1п получим зависимость для энтропии в следующем вид*:

5= 1п(/?/р*)-|-соп5Ь	(4.3.5)

Относя это уравнение к условиям до скачка и за ним, а затем опре-
деляя разность энтропий, получим вместо (4.2.9) уравнение для »
энтропии, используемое в теории косого скачка уплотнения, 3

-5,=Ср 1п|(а/а) (Р?/Р|)1-	(4.3.6) *

С точностью до постоянной энтропию за скачком можно определять
по выражению

53=Ср 1п (/?3/р1).	(4.3.7).

Уравнение состояния (4.2.7) в рассматриваемом случае постоянных
теплоемкостей упрощается:

Р1~ А=Я(₽аГ2 — Р1П)-	(4.3.8);

Что касается уравнений системы (4.2,2)(4.2.6), то они сохраня-
ются.	;

Формулы для расчета параметров газа за скачком уплотнения)

Для расчета плотности, давления и энтальпии необходимо вос-|
пользоваться соответственно формулами (4.2.13), (4.2.15) и (4.2.16),
а для определения температуры — уравнением (4.2.17'), в которой^
следует принять цсР2=рсР1:	$

= (1 +	Д Ул) (1 - Д Уя).	(4.3.9)^

Во всех этих выражениях неизвестной величиной является изменен
ние относительной скорости ДКЯ. Определим эту величину, предпо^
лагая, что угол наклона скачка 0с и число Маха набегающего потой
ка Ж, известны. С этой целью воспользуемся уравнением (4.2.4')®
разделив которое на ртУп^ргУиг получим	§

РэМУи) —	=ул1 -

162	X
Заменяя здесь рг/рз и р1/р> соответственно на а^/к и аа2/й и исполь-
зуя уравнение (3.6.21) для скорости звука, найдем

Подставляя сюда значения =	и У’1=У’л<-[-У2 и

умножая обе части равенства на Уш Ина, после несложных преобра-
зований получим

а* (^,-1^)	У^п, -+

Лк	Лк

УлУ^(Уп1 - уму=улул (У„, - У«).
лн

Исключая отсюда тривиальное решение 1/п1—Упг—0, соответству-
ющее случаю отсутствия скачка уплотнения, получим уравнение

И,	(4.3.10)

« + I

которое служит для определения скорости после скачка уплотне-
ния. Уравнение (4.3.10) называется основным уравнением
косого скачка уплотнения. Из этого уравнения можно
найти относительное изменение скорости АИП— (Уп1—Уп2)/Ут- Для
этого представим УщУпг в виде	^^(Упз/Упт) и восполь-

зуемся соотношениями УП1=У151п0с> Ут=У1СОз0с- После соответ-
ствующих подстановок в (4.3.10) получим

ес (1 - ДИ,) = -4— ~ (1 - 51 п’М.

х* Л -Ь 1

где м = У1/а*. Заменяя по формуле (3.6.23) и производя преоб-
разования, найдем

1

м| ат? ос

*=(*-!)/(*+!),

Введем обозначение

(4.3.11)

(4.3.12)

с учетом которого формула (4.3.11) примет вид

дУя=(1 - В)[1 - 1/(М? з1п20с)|.

(4.3.1Г)

Подставляя эту величину в (4.2.13), можно определить отношение
плотностей:

р2/р]=М1 8т2ес,'(1 -8-рм? зш2ес). (4.3.13)

Для определения отношения давлений ря/р! воспользуемся форму-
лой (4.2.15). Примем в ней	вместо АИП подставим

соотношение (4.3.11'), а величину А заменим в соответствии с
6*	161
(4.3.12) значением	1]

й=(1-Р)/(1-8).	(4.3.14?

В результате получим параметр

А/й=( 1 т») М1 экг^-Б,	(4.3.15) |

которым характеризуют интенсивность скачка. Для этой а
цели используют также отношение	|

(Л - Рд/Рг = ±р/Р1 = (14- 8) (М1 ЗШ» вс -1).	(4.3.15')’

При помощи формулы (4.3.15') можно получить еще один параметр/
характеризующий интенсивность скачка, а именно коэффициент *
давления рЕ= (ра—р[)/7ь где ^ = [(1 +6)/(1— 6)^,м12/2. Вычитая-
из левой и правой частей (4.3.15') по единице и относя полученное -
выражение к величине найдем

(1 — В)/Л11?КМ? ьт= 0с — 1).	(4.3,15") ’

Исключая из уравнений (4.3.15) и (4.3.13) величину М:2 щп20С/ най’ ;г
дем зависимость между отношениями давлений и плотностей —
уравнение Г югони о:	'

а/А — (Рг/ Р1 $)/( 1 — Б^'г/Рт)*	(4.3.13')'

Эта зависимость называется также ударной, адиабатой, ко--
тора я в отличие от обычного уравнения адиабаты (изэнтропы) вида-'
р=Лрй определяет изменение параметров при переходе через удар-,
ную волну. Этот процесс перехода сопровождается повышением эн-
тропии, определяемым из уравнения (4.3.6).

Таким образом, процесс прохождения газа через скачок уплот<
нения является не изэнтропическим. В соответствии с изме-?
нением указанных параметров будет возрастать температура эй?
скачком уплотнения. Ее величина вычисляется по уравнению со- ,
стояния:

Г,  р, >	+ 8) М25)п^с - Б] (1 - » + 511)2 °с) (4 3 16)<-

т\ А Ра	М^вш2 0с	'

Особый вид перехода через скачок уплотнения, отличающийся
от изэнтропического, проявляется в различном характере измене^*
ния параметров газа. Из (4.3.15) и (4.3.16) следует, что при
давление и температура безгранично возрастают. В то же время из?
(4.3.13) вытекает, что при том же условии М)->оо плотность стре*
мится к некоторому предельному значению, равном} (ра/р1)м,
= 1/6. При к—1,4 это дает значение 1/6=6. Из формулы Лрй ил-
Т^Вр^-1 (Л и В — некоторые постоянные) следует, что в изэнтрф'
пическом процессе безграничному увеличению давления соответс^
вует бесконечное возрастание плотности и температуры. Из сравни
ния можно сделать вывод, что при одинаковом изменении давлен»
при протекании ударного и изэнтропического процессов первый #
ИИ	Л
них сопровождается более сильным разогревом газа, что и способ-
ствует некоторому снижению плотности.

Формула (4.3.16) определяет отношение квадратов скоростей
звука в соответствии с зависимостью

= Га/Гр

(4.3.17)

Используя эту зависимость, а также (4.2.18'), можно определить
число М2 за скачком уплотнения. Подставив в (4.2?48') выражение
(4.2.21) для ДКП, найдем

у|/1/?=СО52 »е+(Р1/Р212 51П2

(4.3.18)

Разделив друг на друга левые и правые части (4.3.18) и (4.3.17),
получим зависимость для отношения квадратов чисел Маха:

Мз/М? = (Г1/Га) [СОЗ2 + (?1/р^51П2 и

(4.3.19)

где Т1/Т2 и р]/ра находятся соответственно из формул (4.3.16),
(4.3.13).

В несколько ином виде формулу для расчета М2 можно получить
при помощи уравнения импульсов (4.2.4"). Напишем это уравнение
в такой форме:

(1 -|-11. К? з1п2 1 -4-— И я№ - У-

Р2 \	/ Р1

Учитывая, что Лр/р=[(1+б)/(1—д)]/?/р, и определяя р^р\ по урав-
нению Гюгонио (4.3.13'), получим

1 — ЧРз/РО
Р2/Р1 — а

/ц—мЬ1п!е,и1+—

\ 1 I —В 7	1 1 —в

мЬ1п2(0с^ас).

После замены величины з!пЕ 0с> найденной из (4.3.13), придем к
соотношению

мЬт2 (9. - ?с)=(1 - 8) (?г/Р1 - В)-1.	{4.3.19')

Определим давление торможения для условий течения за скач-
ком уплотнения. Рассматривая течения газа за скачком и до него
изэнтропическими, можно написать термодинамические соотноше*
ни я:

Ръ№=Р<№ь’ Р1/Р%=Ро/РЪ

где /?о и ри, р0 и р0' — соответственно давление и плотность тормо-
жения в областях потока до и после скачка. Из этих соотношений
Находим коэффициент восстановления давления в
скачке:

=(.Рх'Рд (РА)' (Р^Ро)*-
Умножив обе части этого равенства на отношение (ро/ро)к, получин

\1~* Ра / Р1 \й ( ро Ро |

у0 =1-—I ~— —	—— - — |-

\ Ро / Р1 \ Р2 / р0 Ро /

Воспользуемся уравнением энергии У2/2-ьсрТ=соп$1 и напишем его
для условий до и после скачка:

В точках полного торможения У1=Уа = 0. Из уравнения энергии
следует, что температуры в этих точках одинаковы, т. е.
или, что то же самое, ра/ра=ро'/ро. Следовательно,

Ъ=р'о1Ро= (а/й)171*-1’ (Р2/Р1)71 '-0	(4.3.20)

ИЛИ

*о=^А=(а/Р2)<,^”/И(Р2/Р1)(1+”/2‘,	(4.3.20')

где р\1р2 и р2/р1 находятся соответственно по формулам {4.3.15),
(4.3.13).

В соответствии с (3.6.28) давление торможения

/11 ь м2\а+П/м	:

Рй=Р\ 1+;—г1"1	,	(4.3.21)

\ 1 — * /

следовательно,

г

Л-=[(1 -I-8)М, 81П2 9с—8]<’“1,/2‘ (М, 8Ш 9с)(1^”/5 х
А

х(1-«)

- (1+г)/за

9\(1 + 6)/23
И?

М2 5Ш26С

Определим коэффициент давления торможения за косым скачком:^

 Р^Рг 2(1—5)
-71

1(14-5) М151П2вс-8]<г-1)/М

х (М! 51П 9с),1+г>/{(1 -8)-,1+'>/м

М| 51П2 6С 1

х(1+а)/2В
м?

Анализ зависимости (4.3.20) показывает, что за скачком уплс
нения конечной интенсивности отношение давлений /?с7рс всег,
меньше единицы, причем чем сильнее скачок, тем больше лоте]
давления торможения и, следовательно, меньше отношение р*^1
166
Рассмотрим линию тока и две точки на ней, одна из которых
расположена до скачка, а другая — позади него (в общем случае
на некотором удалении от фронта скачка). Пусть скорость в этих
точках одинакова и равна К Как следует из (3-6.26)* давления в
рассматриваемых точках до скачка и позади него будут соответст-
венно



Из выражения (3.6.15) следует, что так как Ро1?о=р'^/Р^ то зна-
чения максимальной скорости одинаковы, т. е. Утах1 = Кпах2“ Утах.
Таким образом, в обеих формулах для /И1* и величины в
скобках одинаковы. Поэтому, в связи с тем что р$ <р$, давление
перед скачком р^ будет больше, чем давление р№ позади него. В
этом проявляются потери статического давления.

При выяснении физической природы этих потерь нельзя рас-
сматривать скачок как поверхность разрыва; следует учитывать,
что реальный процесс сжатия происходит в слое малой толщины
порядка среднего пути свободного пробега молекул газа. Именно
такой процесс перехода через скачок возможен, так как физически
нереально наличие двух соприкасающихся областей с конечной
разностью температур, давлений и плотностей, что является лишь
математической абстракцией.

Процесс перехода через скачок малой толщины характеризует-
ся настолько большими градиентами скорости и температуры, что
в областях сжатия станет весьма существенным влияние тре-
ния и теплопроводности. Отсюда следует, что необрати-
мые потери кинетической энергии газа при переходе через скачок
связаны с работой сил трения, а также теплопроводностью, Дейст-
вие этих диссипативных сил, а также теплопередача внутри зоны
сжатия вызывают увеличение энтропии и обусловленное
этим снижение статического давления в потоке за
скачком по сравнению с изэнтропическим процессом сжатия.

Угол наклона косого скачка уплотнения

Параметры за косым скачком уплотнения определяются не
только числом Мь но и углом Ос наклона скачка. Его величину,
определяемую тем же числом М1 и углом отклонения потока рс,
можно вычислить, используя уравнение (4.2.19). Заменив в нем ве-
личину ДУП значением из (4.2.21), получим расчетную зависимость:

^МН(вС-?с) = Р2/р1<

(4.3.24)

'Определяя р]/рг из (4.3 13), находим



М? 5т2

1 — й 4-	5?п2 0с

(4.3.25)
С другой стороны, эта зависимость позволяет найти угол рс откло-
нения истока за скачком по известному его наклону. На рис. 4.3.1
представлена графически связь меясду углами 6С и для различ-
ных значений числа Мь При уменьшении величины рс, как видно-
из графика, угол 0с изменяется. В области, расположенной слева
от штриховой линки, соответствующей максимальным значениям
>гла рс (РстпЯ1)т величина угла 0с уменьшается, а справа, наоборот,
возрастает. Такой характер зависимости обусловлен различной
формой скачка уплотнения. В первом случае изменение угла 0с со-
ответствует присоединенному скачку криволинейной формы перед
заостренным телом. По мере притупления тела (увеличения угла

&.г/7а^

Рис 4.3 1 Изменение угла наклона 0С потока в зависимо-
сти от угла Ос наклона скачка уплотнении при различ-
ных числах М|

заострения) угол отклонения потока возрастает и. следовательно,
увеличивается угол наклона скачка. Максимальный угол отклоне-
ния потока Рс=Ргтах определяется только заданным числом Мь
Этот угол называется также критическим углом р1:р откло-
нения {или поворота) потока. Точки, соответствующие значенияь
этого угла, соединены на рис. 4.3.1 штриховой линией. Исследова-.
ния показывают, что течение за присоединенным скачком устойчиво
в смысле сохранения его формы, пока во всей области за ним угол
отклонения потока меньше критического. В соответствии с этим
такое течение называют д о к р ит и ч е с ки м.

По мере дальнейшего роста угла заострения угол рс может-
стать критическим. Его значение согласно рис, 4.3.1 увеличи*
вается по мере роста числа Мь С физической точки зрения это объ-ч
меняется повышением интенсивности скачка, увеличением за нимл
плотности и, как следствие, приближением этого скачка к обтека**
емой поверхности, обусловливающим отклонение потока на боль^
ший угол.	“

168	7

4'
.7
При еще большем угле заострения устойчивое течение за при-
соединенным скачком не может быть реализовано. Скачок уплот-
нения отходит от острия. За таким отсоединенным скачком уплот-
нения возникает устойчивая область течения, характеризуемая от-
клонением на угол, также меньший критического. Однако в отличие
от докритического течения этот лоток называется сверхкрити-
ческим. Такое определение соответствует тому факту, что угол
заострения обтекаемого тела превышает значение, при котором еще
присоединен скачок уплотнения.

Отсоединенный скачок совершенно меняет свою форму, что осо-
бенно четко видно на примере обтекания острого конуса или клина
{рис. 4.3.2). Пока поток докритический, скачок присоединен к ост-

Ряс. 4.3.2. Отсоединенный скачок уплотнения
перед заостренным телом

рию и образующая его поверхности прямолинейная. Течение около
толстых клиньев или конусов может стать сверхкритическим, я
тогда скачок отделяется, принимая криволинейную форму. В точке
пересечения поверхности скачка с осью потока угол его наклона
6с—л/2 и, следовательно, параметры меняют свои значения по за-
кону прямого скачка. Практически вблизи оси .имеет место некото-
рый участок такого прямого скачка уплотнения.

По мере удаления от оси угол наклона 0С в соответствии с гра-
фиком рис. 4.3.2 уменьшается, оставаясь на некотором участке
больше величины, которой соответствует докритическое течение.
Изменение угла отклонения потока носит обратный характер. В
вершине отсоединенной волны за ее прямой частью угол рс= 0, за-
тем он увеличивается. В некоторой точке поверхности угол рс ста-
новится критическим, а затем вновь уменьшается вместе с углом
наклона волны, причем, как следует из (4.3.25), в пределе при рс->0
>гол 6С стремится к значению 0с = и=агс51П (1/М!). Таким образом,
Углы наклона скачка при заданном числе М( изменяются в интер-
вале р^9с^л/2. Значению 0с = ц соответствует скачок бесконечно
малой интенсивности, представляющий собой простую волну уплот-
нения.

На криволинейном скачке (см. рис. 4.3.1) можно отыскать две
точки, соответствующие двум различным углам 0С, которые опреде-
ляют при заданном М| одно значение угла рс. Этот угол вычисля-
ется по формуле (4-2.20), которая после подстановки в нее значения
ДГп из (4.3.11) принимает вид

^К=с4ееДМ?$шге<:-1)[14-(-!--81п26с)м?1 *. (4.3.26)

I \1 -- О	/ I

При этом большему значению угла 9С соответствует сильный ска-
чок, течение за которым дозвуковое, меньшему — слабый скачок со
сверхзвуковым потоком позади него (если исключить окрестность
скачка с углами 0С> близкими к критическим, где течение может
быть дозвуковым).

Расчет угла наклона косого скачка уплотнения можно вести,
используя формулу (4.2.25). Заменяя в ней АИп на относительную
плотность в соответствии с (4.2.21), получим

и 0с=с1^

(4.3*27)

На каждой кривой, изображенной на рис. 4.3.1. можно указать
точку, соответствующую значению числа М2=1 за криволинейным
скачком. Соединив эти точки сплошной кривом, получим границу
двух режимов течения за таким скачком: слева от кривой течение
будет сверхзвуковым (М2>1), справа — дозвуковым (Ме<1).

§ 4-4. ГОДОГРАФ СКОРОСТИ

В предыдущем параграфе было приведено аналитическое реше-.‘
ние задачи об определении параметров потока за косым скачком
уплотнения. Наряду с этим
существует графический спо-
соб, основанный на понятии -
годографа скорости.;

Годографскорости —
это кривая, представляющая.

Рис. 4.4.1. К выводу уравнения го-
дографа скорости

собой геометрическое место
концов векторов скорости в
плоскости за скачком уплотне-
ния. Рассмотрим уравнение го-
дографа скорости. Пусть точ-
ка А (рис. 4.4.1) является кон-
цом вектора скорости Гв и
расположена, следовательно,
на годографе скорости, постро-
енном в системе координат, -
горизонтальная ось которой совпадает с направлением скорости
Г1 перед скачком. Следовательно, наклон вектора скорости У%
определяется углом рс. Обозначим вертикальную и горизонтальную
составляющие этой скорости соответственно к?2 и ^2- Из рис. 4.4.1
видно, что ы2 и можно выразить через нормальную Ул2 и
касательную составляющие скорости У% к плоскости скачка сле-
дующим образом:

/г2=»=И-со8 0(.-рИя2 ^1п 0С>	з!п 0^—Уя2соз0с. (4.4.1)

Составляющую Упг определяем из формулы (4.3.10), в которой
примем УП1 = У1 51П 0с, Ут= Уг соз Эс. В соответствии с этим

«2 - У, сов2 0С 4- (а* - -—- У? созг 0,) / У!.

\	Л+1 Л

(4.4.2)

Исключим отсюда угол Эс. С этой целью воспользуемся уравнения-
ми (4.4.1). Умножив первое из них на сок 0С, а второе — на зт Ос н
затем сложив, получим

«2 СОЗ 0С 4*	81П 0С = Уч-

Имея в виду, что Кг=У] сов 0с, найдем

Определяя

СО52 9С=(1 -Ий2 ОсГМ! +0Л -«2)4

(4.4.3)

п производя подстановку в (4.4.2), получим следующее уравнение:



У1 - «Л2]-*

Йп -	Г

1 +[(У1-«2)'«®2р

«2

Это уравнение, связывающее переменные «2> представляет со-
бой уравнение годографа скорости. Обычно его запи-
сывают в форме

.	(4.4.4)

ОЛ-иаЯ 2 ,.	«’2	'

ГЛ'-^ 2

Введем безразмерные величины ки=иг/а*г	к^У^а* и

параметр 6= (к—1)/(^4-1). Тогда уравнение годографа перепи-
шется в виде

_____ХцА| — 1____

(М -	(1 - В) 4- I — Ми

(4.4.4')

Уравнение (4.4.4') на плоскости Хи графически изображает-
ся кривой, известной под названием строфоиды (рис. 4.4,2).
Определим некоторые характерные точки строфоиды. В частности,

171
вычислим координаты точек пересечения А и Р строфоиды с осью
Из (4,4.49 видно, что условие Лщ?=0 выполняется, если

или Хц= 1Д1. Значение Хи=Л1 определяет координату точки А и
дает решение, соответствующее скачку бесконечно малой интенсив-
ности, за которым скорость не меняется. Другое значение Хи=1/ЗЦ-
определяет координату ближайшей к началу координат точки пере-
сечения Р и является решением для прямого скачка уплотнения.

Из построения строфоиды следует, что две ее ветви, расположен-
ные правее точки А, уходят в бесконечность, асимптотически при-"
ближаясь к прямой, проходящей через точку В и параллельной вер-’
тикальной оси. Координату этой точки можно получить из (4.4.49,
перейдя к пределу при Хю->оо. В результате получим условие
(1—1— Х]Хи=О, из которого найдем координату точки В:
Аи = М1-6)4-(1/М-

Рис. 4.4.2. Строфоида (ударная поляра)

Любая точка ветви строфоиды, уходящей в бесконечность, фор?
мально дает решение для скачка уплотнения. Рассматривая, напри*
мер, точку Р на рис. 4.4.2, можно считать, что для скачка уплотне'
ния, за которым направление скорости изменилось на заданную
величину угла рс> скорость увеличилась скачком до величины Х2, оп
ределяемой длиной отрезка Ор, При этом скачком уменьшились бь
и давление и плотность. Иными словами, в данном случае имел бг
место не скачок уплотнения, а скачок разрежения. Однако физи*
чески образование таких скачков невозможно. Чтобы доказать это^
воспользуемся формулой (4.3.6) для изменения энтропии. При меня
соотношенияр3/р^=рУ(р^\ а/Р1=Ро/Р* и учитывая, что'До я?-
“Ро/Ро» из формулы (4.3.6) получим

$2 — 51=^ 1п (Ро/ро)^ —У? 1п-У0.

(4.4-Е

.и

л
В случае скачка уплотнения ро>Ръ и, следовательно, 5^—51>0.
Этот вывод соответствует второму закону термодинамики, в соот-
ветствии с которым энтропия изолированной системы со скачками
уплотнения должна увеличиться.

Рассмотрим теперь обращенное движение, при котором газ из
состояния (2), характеризующегося давлением торможения р/,
перешел в состояние (1) с давлением торможения р$ путем скачка
разрежения. В этом случае по аналогии с (4.4.5) изменение энтро-
пии

51 — $2=/? 1п (р'^Ро)=Я 1п

Таким образом, при сохранении условия рс <Ро энтропия должна
уменьшиться, а это противоречит второму закону термодинамики.
Из этого следует, что скачки разрежения возникать не могут.

В соответствии со сказанным процесс прохождения газа через
скачок, являющийся по своей природе адиабатическим, так как про-
текает в теплоизолированной системе, будет представлять собой
необратимый адиабатический неизэнтропиче-
ский процесс.

Легко проверить при помощи (4.3.6), что реальный процесс по-
вышения энтропии (52—5}>0) соответствует случаю сверхзвуко-
вого течения [М1>1 (прямой скачок), М]51п0с>1 (косой скачок)!
а физически невозможное явление снижения энтропии (5г—5[<
<0) — дозвуковому потоку (М1<1 и Мх 5Ш 6С<1). Таким образом,
скачки уплотнения могут иметь место телько
в сверхзвуковом потоке. Следует подчеркнуть, что полу-
ченные зависимости для изменения энтропии действительны для
того случая, когда необратимый процесс перехода через скачок уп-
лотнения сопровождается изэнтропическим течением газа как до
скачка, так и после него.

Из сказанного следует, что ветви строфоиды, уходящие в бес-
конечность, физического смысла не имеют. Оставшаяся часть стро-
фоиды (левее точки Л), имеющая физический смысл, называется
ударной полярой. Такая кривая строится для заданного числа
А} (или М1). Несколько кривых, построенных для различных значе-
ний Хь составляют семейство ударных поляр, позволяющих графи-
чески рассчитать скорость потока за скачком уплотнения и угол его
наклона.

Рассмотрим присоединенный скачок уплотнения черед клино-
видной поверхностью с полууглом (см. рис. 4.1.1, е). Для опре-
деления скорости за таким скачком строим соответствующую задан-
ному числу Х1 (или М]) ударную поляру и под углом проводим
из точки О (рис. 4.4.2) прямую. Точка пересечения Л5 с ударной
потярой определяет вектор ОЛ/, модуль которого дает величину от-
носительной скорости Хэ за скачком. В соответствии с формулой
(4.4.3), которую перепишем в виде

(4.4.3')

}гол А№6 на ударной поляре равен углу 6€х наклона ударной вол-

173
ны. Нетрудно заметить, что этот у гол можно определить так же, как
угол между горизонтальной осью п нормалью к прямой, соединяю-
щей концы векторов скорости до и после скачка (на рис. 4.4.2 соот-
ветственно точки А и Л).

Рассматривая ударную поляру, можно сделать вывод, что по
мере уменьшения угла рс (точка Л' перемещается вдоль кривой бли-
же к точке Л) угол наклона скачка 6сЛ уменьшается. В пределе при
ре->0 точка № сливается с А, что физически соответствует превра-
щению ударной волны в скачок бесконечно малой интен-
сивности, т. е. в линию слабых воз му ще л ий. Угол
наклона такого скачка 6с=ц определяется как >гол между горизон-
тальной осью и прямой, перпендикулярной касательной к ударной
поляре в точке А (рис. 4.4.2).

Возрастание угла отклонения потока (на рис. 4.4.2 это соответ-
ствует удалению точки № от А) приводит к увеличению угла скачка
и повышению его интенсивности. На ударной поляре видно, что при
некотором угле 0С прямая, проведенная из точки О, коснется кривой
в точке С. Угол наклона этой касательной определяет максималь-
ный угол отклонения потока, названный ранее критическим (0С =
=₽ьт). Пусть угол клина рс>рпР- На графике этому углу соответ-
ствует сплошная прямая О//, проведенная из точки О и не пересе-
кающая ударную поляру. Таким образом, при |Зс>Ркр графически
при помощи ударной поляры нельзя найти решение для скачка уп-
лотнения. Это обусловлено тем, что условие 0с>0кр не соответству-
ет предпосылкам (на основе которых получены уравнения для скач-
ка), заключающимся в том, что скачок является прямолинейным и
должен быть присоединен к острию. Физически — в рассматривае-
мом случае превышения угла клина рс над критическим углом пово-
рота 0кР — скачок уплотнения отсоединяется и становится криво-
линейным.

Определение формы такого криволинейного скачка и его рас-
стояния до тела составляет содержание особой задачи аэродинами-
ки, связанной, в частности, с условиями сверхкритического обтека-
ния клина. Если такая задача не решена, то при помощи поляры
на всем ее участке от точки й до А можно дать лишь качественную
опенку изменения параметров в- некоторой области перед обтекае-
мой поверхностью. Когда же форма скачка определена для задан-
ных условий обтекания (наряду с расчетом это удается сделать так-
же при помощи продувок в аэродинамической трубе), то можно ус-
тановить количественное соответствие между точками ударной
поляры и поверхности скачка.

Пусть, например, задан угол и точки Е и # на ударной поляре
(рис. 4.4.2), Точке М соответствует угол скачка еСЛ- = /14Л/6, а точ-
ке Е — угол 6се = /-АЕК (ЕЛХОВ). Если конфигурация фронта
ударной волны известна, то непосредственным измерением можно
отыскать на ней некоторую точку Л" с углом наклона волны 0слг и
точку Е'—с углом бек- (см. рис. 4.3.2). Таким ж*1 путем можно
отыскать па скачке точку С', соответствующую критическому (мак-
симальному) углу поворота рКр.
На заданной поверхности отсоединенного скачка его вершине
(прямой скачок) соответствует на ударной поляре точка Р, а наи-
более удаленной части скачка, превратившейся в линию сла-
бых возмущений, — концевая точка А поляры.

Для присоединенного скачка уплотнения (0с<0кр) можно ука-
зать, как это видно на ударной поляре, два решения. Одно из них
(точка Е) соответствует меньшей скорости за скачком, другое (точ-
ка Л/) — большей. Как показывают наблюдения, физически реали-
зуются присоединенные скачки уплотнения с большей скоростью за
ними, т. е. скачки с меньшей интенсивностью.

Если провести на графике дугу окружности, радиус которой
равен единице (в размерных осях это соответствует радиусу,
равному критической скорости звука а*), то можно определить об-
ласти потока —дозвуковую и сверхзвуковую, которым соответству-
ют точки, лежащие на ударной поляре слева и справа от дуги. На
рис. 4.3.2 заштрихован участок потока, соответствующий дозвуко-
вой скорости. На ударной поляре видно, что за прямым скачком
уплотнения скорость всегда дозвуковая. В то же время за косым
(криволинейным) скачком скорость может быть как сверхзвуковой
(соответствующие точки на ударной поляре лежат правее точки 5),
так и дозвуковой (точки на поляре расположены левее точки 5).
Причем присоединенному скачку, за которым скорости дозвуковые,
соответствуют точки на поляре, лежащие между 5 и С. Эксперимен-
тальные исследования показывают, что для углов клипа 0С, мень-
ших критического 0кр или больших, чем 2_50В, скачек остается
присоединенным, однако претерпевает искривление. При этом тео-
ретические значения для угла 6С и скорости газа на всем участке
за таким криволинейным скачком, найденные на поляре по углу
клина 0С, не соответствуют действительным величинам.

$ 4.5. ПРЯМОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ В ПОТОКЕ ГАЗА
С ПОСТОЯННЫМИ ТЕПЛОЕМКОСТЯМИ

Соответствующие зависимости для прямого скачка уплотнения
получим из условия, что 6С—л/2 и, следовательно, Уг.। = ^1 и Уп2=
= У2> Основное уравнение (4.3.10) примет вид

УУа-а*3,	(4.5.1)

или
ХЛ=1,	(4.5. Г)

где	Х2=]/2/а*.

Относительное изменение скорости найдем из (4.3.11'):
дУ=(К,-У2)/И,=(1 -8)(1 - 1/М1).	(4.5.2)

Для отношения плотностей, давлений и температур соответст-
вующие зависимости получим из (4.3.13), (4.3.15). (4.3.16):
^/Р1=М?/(1-8-|-8Л|?);	(4.5.3)

173
1

/Мл=(Ц-В)М?-8;	(4.5.4}»

г, Г,=[(1-!-г)М?-8](1 -8-|-8М?|.М?.	(4.5.5) 

Исключая М}2 из (4.5.3) и (4.5.4), получим сравнение ударной адиа- *
баты для прямого скачка, которое нс отличается по внешнему виду '
от такого же уравнения для косого скачка [см. (4.3.13')].

Приняв в (4.3.19) 0с = л/2, найдем зависимость для числа Маха
за прямым скачком:

М^М?=(Л/Гг)(?1/Р2У.	(4.5.6)

Рассмотрим параметры газа в точке полного торможения (в

точке полного торможения за
прямым скачком уплотнения

критической точке) затупленной по-
верхности, расположенной за пря-
мым скачком уплотнения (рис.
4.5.1). Давление До' в этой точке
определяется по формуле (4.3.20'),
в которой отношения рз/р1 и ра/р!
находятся соответственно из (4.5.3)
и (4.5.4). С учетом этого

— = [(1-|-8) М?—х

До

(1 + 6)/2&

(4.5.7)

Определяя по (4.3.21), найдем

Р^Ро=[( 1+8) М? - 8]<81И|'‘ X

/ 1____

(4.5.8)

Зная абсолютное давление р^, можно определить безразмерную
величину ро=(ро/—Р\)№\ — коэффициент давления в точке полного
торможения. Учитывая, что скоростной напор

1 + а __а

<7} - ----------— ------------ Р]!ТЛ[ 1

2	2(1 -^&)

получим

р0 = ——[[((4-8)М?-8	(4.5.9) '

0+5)М1

В § 4.3 было доказано, что температура торможения за скачком г
уплотнения не изменяется, т. е. ГоЛ=Го. Следовательно, в точке
полного торможения

Г;=л(1 + -Цм1).	(4.5.10) 1

\ 1 — ® /

176	:<-

угиту.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими руками?!
Для определения энтальпии воспользуемся выражениями и?=СрТ$
и Л — СрТг, В соответствии с этим в точке полного торможения

'о = Й

ъ

1 - а

(4.5.11)

$ 4.6. СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ

СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ

И ПОСТОЯННЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЯХ ГАЗА

При очень больших (гиперзвуковых) скоростях, которым соот-
ветствуют значения М[ з1п6сЭ>1, безразмерные параметры газа за
скачком уплотнения весьма близки к их предельным величинам,
получаемым при М] 5ш 6с->-оо. Из (4.3.11') следует, что при этом
условии

д7я=1-В.	(4.6.1)

Следовательно, предельное отношение плотностей будет в соответ-
ствии с (4.2.13)

Р1/Р2=1-дУл=8.	(4.6.2)

Внося это значение в (4.3.27), получим в пределе при М1 эт 6с-хю

Ш«с=(с1&₽е/2») [1 — 8 + }/(1-8)2-48^г₽с].	(4.6.3)

Найдем предельную величину коэффициента давления. Для условий
непосредственно за скачком уплотнения, как следует из (4.3.15"),
при М1 8Ш	и М1->со

^=2(1 - 8) 51п29с.	(4.6.4)

Для точки полного торможения соответствующую величину получа-
ем из (4.3.23):

р0=2(1— 8)<в-1)/2'(1 + 8)-(1*-*>^ Э1п2»с.	(4.6.5)

Отношение коэффициентов давления

^2=(1-8гГ(,+г,/и.	(4.6.6)

В частном случае 6= 1/6 (6=1,4) отношение ро/рв= 1,09. Предель-
ное значение числа М2 можно найти из (4.3.19), привлекая зависи-
мость (4.3.16) для Гв/Т}. Переходя к пределу при зщ 6с->со и
М}->со, получим

М|= {1ДВ(1 + »)]) (с^Ч+82).	(4.6.7)

Для нахождения предельных параметров за прямым скачком уплот-
нения в приведенных зависимостях следует принять 6е=л/2. В ре-
зультате из (4.6.4) и (4.6.5) получим:

ра^2(1-6);	(4.6.4')

Ръ=2 (1 -8)<!-1)/2‘ (1 -|- В)-"+’>>*.	- (4.6.5')
Как видно, отношение ро/р% будет таким, как и для косого скачка
уплотнения. Предельное число Маха за прямым скачком

М2 = /8,'(1-Н).	(4.6.7')

Для 6 = 1/6 (к— 1,4) число М2—|!/7 ъ0,30. Действительные значе-
ния безразмерных параметров за скачком уплотнения при конеч-
ных, хотя и очень больших, числах Маха будут зависеть от МР

Рассмотрим соответствующие расчетные зависимости для слу-
чая, когда присоединенные скачки уплотнения возникают перед тон-
кими клиньями и поэтому наклонены под малыми углами. Полагая
в (4.3.25)	и (Ос—0С) ~6С—0сл получим

(«с - ?е)Л = (! — » +

Вводя обозначение К=М10с, после преобразований найдем

—-------— .А------—=0.	(4.6.8)

%	1 -« ь к2	к

Решая это уравнение относительно 6С/0С и принимая во внимание,
что физически возможным может быть условие 6с/0с> 1, найдем

(4.6.

1	11/	1	।_

— 6> V 4(1- 1)2^ К2

Рассматривая уравнение (4.6.9), видим, что параметры, определя-
ющие течение в скачке уплотнения при очень больших скоростях,
объединены в такие функциональные группы, которые представля-
ют решение задачи о скачке для широкого диа-
пазона ч и с ел М« и значений угла 0С в виде единствен-
ной кривой. Уравнение (4.6.9) является Примером соотноше-
ния подобия. В соответствии с этим уравнением для отношения
6с/0с величина К=М]0с является параметром подобия.
Это подобие надо понимать в том смысле, что независимо от абсо-
лютного значения величин, характеризующих гиперзвуковые пото-
ки, при одинаковых параметрах К у этих потоков будут одинако-
выми также отношения углов 6С/0С. При К~>оо отношение 6с/0с
стремится к пределу, равному

Ш= !/(!-&).	14.6.10)

Рассмотрим зависимость для коэффициента давления. При ма-
лых Ос формула (4.3.15") принимает вид

р2=2(1—8)(0?—1/М?),

ИЛИ

А=2(1-8)&5(в*/Й- 1/К2).	(4.6.11)

Внося сюда значение 1/К2 из (4.6.8), получим

р2=23Д.	(4.6.1Г)

[78
Заменяя здесь угол значением, определяемым при помощи (4.6.9),
найдем

Эта формула показывает, что К является параметром подобия и
для отношения р2/Й- В пределе при К^оо величина этого отно-
шения

/^=2(1-8).

(4.6.13)

В соответствии с (4.3.13) при малых 0С отношение плотностей

Р2/Р1 = К?Л1-8 4-8К?|,	(4.6.14)

где параметр Кс=М10с определяется при помощи (4 6 9) в следую-
щем виде:

Кс=-----—[1+1/^ 1+4<1 —- 	(4.6.15)

2(1 — 1)[ 1 У	1 к» )	'	’

Из (4.3.18) следует, что при малых 0С вторым членом в правой
части равенства можно пренебречь, считая, таким образом, что
172да У). С учетом этого отношение квадратов чисел Маха в соответ-
ствии с (4.3.19) М22/М]а = 7'|/7'2- Заменяя здесь отношение по
формуле (4.3.16), в которой примем 81п0сда6с, найдем

к4

0сМг =-------------------------.	(4.6.16)

[(1 + 1>к’-Ц(1 -» +ПК?)

При Кс-^оо

0с2М2^ 1Д8(14-8)].	(4.6.16’)

§ 4.7.	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СКАЧКЕ УПЛОТНЕНИЯ
В ПОТОКЕ ГАЗА С ПЕРЕМЕННЫМИ ТЕПЛОЕМКОСТЯМИ

С УЧЕТОМ ДИССОЦИАЦИИ И ИОНИЗАЦИИ

При решении задачи об ударной волне в диссоциированном и
ионизированном газе в качестве начальных данных выбираются па-
раметры воздуха на какой-либо высоте Н (давление температу-
ра Т], плотность р| и Др.), а также величина нормальной составля-
ющей скорости УП|. Таким образом, косой скачок рассматривается
в данном случае как прямой. Полагая в первом приближении зна-
чение ДУпда 0,94-0,95, что соответствует заданию относительной
плотности для скачка р3/р1= (I—дК)-1 да 10ч-20, находим из
(4.2,15) давление р2, а из (4.2.16) —энтальпию близкую, очевид-
но, к энтальпии торможения (V. Пользуясь затем г—5-диаграммой
[6, 18], определяем температуру Г2, а по рис. 1.5.7 — средний моле-
кулярный вес рсР2. Вместо диаграммы можно пользоваться соответ-
ствующими таблицами термодинамических функций воздуха [19],
что повысит точность расчетов.

17У
‘ я

По найденным значениям р2, Т2, рср2 при помощи уравнения со
стояния (1.5.8) можно определить плотность р2 и уточнить ш
(4.2.21) значение АКД. Затем по этом} значению во втором прнбль
жении по формулам (4.2.15), (4,2.16) найдем соответственно давл?-
ние и энтальпию, а по ним при помощи таблиц и графиков уточнив
температуру и средний молекулярный вес. Зная уточненные зня’т
ния р2, Т2 и Цсрз, можно найти во втором приближении по уп?

Рис. 4.7.1. Отношение температур воздуха
после и до скачка с учетом диссоциации и
ионизации:

сплошная линия — 7\—220 К, штриховая линия —
71=350 К

нию состояния плотность. Приближения заканчивают по достиже
нил заданной точности.

Косой скачок можно рассчитать также при известных па раме*
рах набегающего потока (включая число М}) и угле 0Ъ. В качеств-.:
первого приближения определяем угол скачка 6С для недиссоциир'
ющего газа [см. (4.3.25)], затем по формула^ (4.2 19), (4.2.15,
(4,2.16) находим соответствующие значения ДУП, р2 и г'а. Используг
эти значения, вычислим по таблицам [19] или графикам [6, 18] тем
пературу Т2 и средний молекулярный вес цСр2. Далее по формула»
(4.2,23), (4.2.24) уточняем АГП, а по выражению (4.2 19) —6С г
угол 0с. По соответствующим формулам уточняются остальные па-
раметры.

Расчеты параметров газа за прямым скачком уплотнения с не
пользованием таблиц или графиков термодинамических функцш
при высоких температурах ведутся аналогично. При этом должнь
быть приняты 0с=л/2 и рс=0 и, следовательно, использованы завь
симости (4.2.27) н- (4.2.35).

При наличии диссоциации и ионизации относительные величинь
параметров газа за ударной волной зависят не только от темпера-
туры, что характерно для случая переменных теплоемкостей, но I
от давления. Эти зависимости показаны графически на рис. 4.7.1 —
4.7,3. Расчеты отношений температур и плотностей проводились
для усредненных значений температуры Т|—220 и 350 К, равных
вероятным минимуму и максимуму, которые выбраны в зависимо-
го
ь
уптиг.уокЪ-1а.крЪ.ги - Самолёт своими руками?!
ти от изменения температуры воздуха по высоте в случае понижен-
иях и повышенных среднегодовых значений.

Полученные данные показывают, что диссоциация и ионизация
юусловливают значительное изменение равновесной температуры и
[лотности по сравнению со случаем постоянных теплоемкостей (6 =
= 1,4 —сопз(). Что касается давления, то оно значительно слабее за-
носит от физико-химических превращений воздуха. Отношение

’мс 47.2 Отношение плотностей воздух
а после и до скачка с учетом диссо-
циации и ионизации:

плотная линия — Т] = 220 К. штриховая лн
ня,— Г,=450 К

Рис. 4.7.3. Отношение давле
ним воздуха после и до скат-
ка с учетом диссоциации и
ионизации

)2/Р1 мало отличается от максимальной величины р^Р\ = И-^М2*!,
щрсдел немой только условиями набегающего потока, но не измене-
шем структуры и физико-химических свойств воздуха за ударной
юл ной.

Температура за скачком уплотнения в диссоциированном газе
П'дет меньше по сравнению с ее значением в случае постоянных
'сплос.м костей (см. рис. 4.7.1). Это объясняется затратами энергии
(а тепловую диссоциацию молекул.

Снижение температуры, вызванное таким явлением, в свою оче-
едь обусловливает увеличение плотности (см. рпс 4.7.2). Эта
юльшая «податливость1» газа к сжатию сокращает пространство
1сжду скачком и обтекаемой поверхностью, уменьшая тем самым
тол наклона скачка. И наоборот, при одном и том же угле 0с в ре-
,льной разогретой газовой среде отклонение потока (угол рс)
'ольше, чем в совершенном газе (6 = соп51). Это приводит к тому,
гто в разогретом газе отошедший скачок возникает с некоторым
.апаздыванием по сравнению с холодным. В частности, угол клина
критический угол), при котором начинается отход скачка, в разо-
ретом газе больше, чем в холодном.

Учет влияния диссоциации приводит к некоторому повышению
давления за скачком уплотнения по сравнению со случаем постоян-
[Ь1\ теплоемкостей (см. рис. 4.7.3). Это объясняется увеличением
гисла частиц в газе за счет диссоциации, возрастанием потерь кине-

181
Рис 4 7.4 Давление н температу
ра в точке полного торможения

тической энергии при их соударении. Однако уменьшение темпера-
туры в диссоциированном газе вызывает противоположный, но
меньший эффект. В результате давление возрастает, хотя и не на-
много.

Теория прямого скачка уплотнения имеет важное практическое
применение при определении параметров газа в точке полно-
го торможения. Оно осуществляется следующим образом.
По найденным значениям <2, р2 с учетом диссоциации и ионизации
по I—5-диаграмме или таблицам термодинамических функций воз-
духа находим энтропию 52. Рассматривая течение за скачком из-
энтропическим, принимаем энтро-
пию 5/ в точке торможения, рав-
ной значению 5Н за ударной вол-
ной. Кроме того, в этой точке
можно найти энтальпию +
+ 0,5 V]2. Зная теперь и
можно найти по той же диаграм-
ме I—5 или по термодинамиче-
ским таблицам остальные пара-
метры, а именно: ръ, р0'
и др.

Результаты расчета будут со-
ответствовать заданной высоте
полета. С изменением высоты ме-
няются условия обтекания п, еле
довательно, параметры в точке
полного торможения. Эта зависи-
мость графически изображена на
рис. 4.7.4. Кривые позволяют
определить температуру и
давление ро в функции скорости
V7! и высоты полета Н.

По значению р$„ в свою оче-

редь, может быть вычислен коэффициент давления в точке полного
торможения:	1). Его величина в диссоциирую-

щем потоке несколько возрастает. Например, на высоте 10 км при
М«>— 16,7 эта величина ро=2,О8, в то время как без учета диссоциа-
ции ро= 1,83 (для к = ср/с^= 1,4). Как видно, коэффициент давле-
ния увеличился примерно на 13%.

Результаты расчета плотности в точке полного торможения с
учетом диссоциации и ионизации для воздуха, а также чистых кис-
лорода и азота приведены на рис. 4.7.5. Из анализа этих результатов
можно сделать следующие выводы. При М«=18, когда кислород
уже заметно диссоциирован, значение ро7р« достигает максималь-
ной величины. По мере дальнейшего увеличения газ становится
полностью диссоциированным и плотность уменьшается. Затем с
ростом Мж происходит первичная ионизация кислорода, что приво-
дит к увеличению теплоемкости и, как следствие, к некоторому по-
вышению плотности.
Влияние переменности теплоемкости на изменение плотности
азота наблюдается лишь при очень больших числах М«, когда про-
исходят диссоциация и ионизация. Эти процессы протекают не по-
следовательно, как в кислороде, а практически одновременно, что
обусловлено меньшим различием энергий диссоциации и ионизации
азота. Ввиду этого кривая
ро7рот для азота более моно- У/Й»  -----п----г— г--------т-т;--1

тонна, чем для кислорода.

При числах Мж<13 в
воздухе происходит в основ-
ном диссоциация кислорода
и кривая плотности для воз-
духа ближе к соответству-
ющей кривой для О2. При
М«>13, когда начинает иг-
рать роль диссоциация азо-
та, зависимость ро7р® Для
воздуха будет напоминать
аналогичную зависимость
для азота, так как он явля-
ется преобладающим ком-

Рис. 4.7.5. Плотность в точке полного
торможения на поверхности сферы для
азота, кислорода и воздуха

(Рсо =0,01 атм. Гад =290 К)

понейтом в воздухе.

Более подробно о расчете параметров газа за скачком уплот-
нения с учетом переменности теплоемкостей сказано в книге [9].

§ 4.8.	УДАРНАЯ ВОЛНА В ЧИСТОМ ДИССОЦИИРУЮЩЕМ
ДВУХАТОМНОМ ГАЗЕ

Используя общую систему уравнений косого скачка уплотнения, а также за-
висимости от определения термодинамических функций и степени диссоциации
нагретого чистого двухатомного газа, можно сравнительно просто рассчитать
параметры за ударной волной.

С этой целью воспользуемся уравнением энергии (4.2 6), которое с учетом
соотношения (1.6.13') для энтальпии можно написать в следующем виде;

«1 +

Л + О1

1 + 01

Л.	4 + «2 Ръ , Кл2

— +	= а2 4-	-—* *	4- ‘ ~ -

Р1 2	I 4- р2 2

(4.8.1)

Здесь давление и плотность отнесены соответственно к характеристическим пара-
метрам р& и а скорость — к характеристической величине Примем, что
степень диссоциации до скачка мала, а скачок является очень сильным (давле-
ние, плотность и температура за скачком значительно превышают соответствую-
щие значения до него)- В этом случае, пренебрегая двумя первыми членами в
левой части (4 8 1), получим

Кк! _	4 4- а2 Р2 УЬ

2 =“2+ Ц-и2 ‘ Ъ + 2 '

(4.8.2)

или

V 1	_	_

ДУя(2-ДУп) = а2 +

4 4- °2

1 4- а2 ' "Р2

(4.8.2')

18’
Теперь воспользуемся уравнением импульса (4 2.4ЛГ). Для очень больших скоро-
стей, при которых оно запишется в виде

+	(4.8.3)

Раз де тян это уравнение почленно на р1УП1=р2Ип!, получим

1Ли = ^/(йКй) + Ул2,
откуда

Л-з/Рз =	- лГ„).	(4.8.4)

Внедя характеристические параметры ра, рл п К*т будем иметь

Л/Й = Г^Др,, (1 - 4УП).	(4.8.4')

Подставляя эту величину в (4.82'), напишем следующее квадратное уравнение
относительно неизвестной Л?п:

ду’ - ЛИ„ —— -	=0.

7 + «2	(7 + 02)^’,

Решая это уравнение, найдем

& = -у С + «3> (1 + «а) «2 ‘

(4,8.5)

(4-8.6)

Уравнение (4.8.5) решается совместно с уравнением (1.6.14), которое перепишем
в виде

^2 = (^ — а?)/(4 1-«г),	(4.8.7)

а также уравнением для энтальпии (4.2.16), которое при условии имеет вид

72 = (^1/2)ДУл(2-ДГ:я).	(4.8.8)

Здесь ь представляет собой энтальпию, отнесенную к характеристической энер-
гии диссоциации а ГП] — скорость, отнесенную к характеристической скорости
диссоциации Уа. Вычисления ведутся путем последовательных приближений.
Этот метод расчета скачка уплотнения, относящийся, строго говоря, к чистым
диссоциирующим двухатомным газам, можно с известным приближением отнести
также к вычислению параметров воздуха за скачком уплотнения. При этом
характеристические параметры диссоциации должны быть найдены для воздуха
как для модели газа, состоящей пз смеси азота и кислорода н соответствии с
их массовым составом. Как показывают расчеты, параметры для реального воз-
духа отличаются от тех. которые получаются по изложенному методу для двух-
атомной модели Так, для скорости ГП1= 1,5Уа =8,1 км/сек плотность реального
воздуха за скачком р2=14,7рь что приблизительно на 5% больше, чем для
двухатомной модели воздуха.

$ 4.9. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ

В предыдущих параграфах были рассмотрены методы расчета параметров
газа за скачком уплотнения с учетом физико-химических превращений при усло^
вин равновесности протекающих термодинамических процессов. Однако
в наиболее общем случае эти процессы характеризуются неравновесно*
с т ыо, которая оказывает большее или меньшее влияние на газовый лоток за
скачками уплотнения.

184
Понят* о неравновесных течениях

Как известно из курса термодинамики, предположение о термодинамическом
равновесии заключается в соответствии уровней внутренних степеней свободы
параметрам, характеризующим состояние газа. Например, при сравнительно невы-
соких температурах (небольших скоростях) устанавливается равновесие между
температурой и колебательной степенью свободы, что соответствует равновесию
между температурой и удельной теплоемкостью. При высоких температурах
(больших скоростях), когда газ диссоциирует, равновесное состояние достигается
следующим образом. По мере развития диссоциации вероятность тройных
соударений увеличивается, так как возрастает число частиц газа. Это приводит
к ускорению рекомбинации и замедлению скорости диссоциации. Наступает
момент времени, когда при некоторой температуре скорости прямой и обратной
реакций выравниваются и газ приходит в равновесное состояние, которое харак-
теризуется неизменным составом и соответствием между степенью диссоциации,
с одной стороны, и температурой н давлением — с другой. Наконец, при еще
более высоких температурах (очень больших скоростях) можно говорить о рав-
новесных процессах возбуждения электронных уровней и ионизации.

В равновесном течения при внезапном изменении температуры также мгно-
венно устанавливаются соответствующие внутренние степени свободы, причем
диссоциацию и ионизацию можно рассматривать как проявление новых степеней
свободы. Таким образом, в этих случаях отсутствует запаздывание в установле-
нии степеней свободы, т е. время достижения равновесия равно нулю.

Практически равновесное течение наблюдается при сверхзвуковом обтекании
тел потоками с числами М« =4-5-5 в условиях, соответствующих высотам
10--15 км и меньше. Это обьясняетсн тем, что при возникающих в этих условиях
максимальных температурах порядка 1000ч-1500 К главная часть внутренней
энергии приходится на поступательные и вращательные степени свободы, кото-
рые при внезапных изменениях температуры практически устанавливаются
мгновенно, так как для достижения равновесия достаточно всего нескольких
молекулярных столкновений. По этой причине поступательные и вращательные
степени свободы обычно называют «активными» Степенями. С увеличением ско-
ростей н, следовательно, температур значительная часть внутренней энергии при-
ходится на колебания, затем диссоциацию, возбуждение электронных уровней
н ионизацию.

Реально протекающие процессы таковы, что эти уровни энергии устанавли-
ваются медленнее, чем поступательные н вращательные, так как требуется
значительно большее число столкновений. Поэтому колебательные и диссоциаци-
онные степени иногда называют «инертными» степенями. Таким образом, инерт-
ным степеням свойственно запаздывание в достижении равновесия, называемое
релаксацией. То время, в течение которого достигается равновесие, т. с. уста-
навливается соответствие между температурой и энергетическим уровнем, пред-
ставляет собой время релаксации.

В соответствии со сказанным время релаксации служит крите-
рием скорости затухания отклонений газа от равновес-
ного состояния, выражающегося в общем случае в ви-
де изменения распределения энергии по различным сте-
пеням свободы.

Интуитивное представление о релаксационном процессе и времени релакса-
ции дает следующий пример. Предположим, что две закрытые термодинамически
рановссные газовые системы приводятся в тепловой контакт В результате рав-
новесие в них нарушится, однако по истечении некоторого времени после тепло-
вого обмена обе системы придут в другое термодинамическое равновесие. Этот
процесс перехода в равновесное состояние называется релаксацией, а время, по-
требное для установления равновесия, будет временем релаксации

Релаксационные процессы определяются тем, какая степень свободы приходит
в возбуждение. Если при внезапном изменении температуры возникают колеба-
ния. то соответствующий неравновесный процесс называется колебательной
релаксацией. Он характеризуется запаздыванием теплоемкости при измене-

185
нни температуры. Если температура повышается, то теплоемкость увеличивается
вследствие появления вибраций атомов в молекулах. Время, в течение которого
колебательное движение приходит в равновесие, называется колебательным
временем релаксации.

В неравновесном диссоциирующем газе при внезапном изменении темпера-
туры происходит запаздывание в изменении степени диссоциации. Это явление
называется диссоциационной релаксацией. Ввиду различия в скоростях образе*
вания атомов н их исчезновения (скорость диссоциации больше, чем рекомбина-
ции) происходит постепенное увеличение степени диссоциации. Равновесное
значение степени диссоциации достигается в момент выравнивания скоростей
прямой и обратной реакций. Время, которое требуется для получения равновес-
ной степени диссоциации, называется диссоциационным временем
релаксации.

При температурах примерно до 10 ООО К основными являются колебательные
и диссоциационные релаксационные процессы. Релаксационными явлениями,
связанными с возбуждением электронных уровней молекул и атомов, а также
ионизацией можно пренебречь, так как на долю этих степеней при указанных
температурах приходится малая часть внутренней энергии.

Неравновесиость оказывает существенное влияние на различные процессы,
сопровождающие течение газа с очень большими скоростями. В частности, коле-
бательная и диссоциационная релаксации изменяют параметры газа при переходе
через ударные волны и при обтекании тел, что в свою Очередь влияет на процес-
сы трения, теплообмена, я также на перераспределение давления.

Уравнение для скорости химических реакций

Изучение неравновесных течений заключается в совместном исследовании
движения среды и химических процессов, происходящих с конечными скоростями.
Формально это выражается в том, что к обычной системе уравнений газовой
динамики добавляется уравнение для скорости химических реакций.

В целях упрощения исследований можно использовать уравнение, описыва-
ющее простую бинарную реакцию диссоциации и рекомбинации чистого диссо-
циирующего двухатомного газа, представляемую общей зависимостью (1.6 I),
причем в этой зависимости скорости диссоциации и рекомбинации не равны,
следовательно, химическая реакция характеризуется некоторой разностью ука-
занных скоростей. Равновесие достигается, когда скорость образования новых
молекул в результате рекомбинации атомов будет равна скорости исчезновения
молекул, диссоциирующих на атомы. Таким образом, истинная скорость реакции
диссоциации

аа&1 = гп — гд,	(4,9.1)

где а — текущее значение степени диссоциации.

С целью получения общих выражений для скоростей диссоциации и рекомби-
нации необходимо воспользоваться соотношениями из химической кинетики. Ре-
комбинация двух атомов А в молекулу Д2 при соударении с третьей частицей В
изображается формулой А-ЬА-ЬВ-*-А3-|-В, где В — частица, уносящая энергию

рекомбинации; йн — константа скорости рекомбинации. В соответствии с этой
формулой скорость изменения концетрацин атомов при рекомбинации

=2^[АР[В].

(4.9.2)

Квадратные скобки обозначают концентрацию в единицах моль^см*- к я имеет
размерность см^^моль2 - сек).

Для бинарной смеси молекул и атомов сумма концентраций см-Ка=1, сле-
довательно,

186
[А] =

Р*А
тА '

ГА , Км рО-*а)

[Аз]	л

2л1а

Р (' + ^д)

[В]-[А]+[а2] = —-—

(4.9.3)

где тм, тА — молекулярные веса соответственно двухатомных молекул и ато-
марного газа (тм==2тА); концентрации сА и см связаны со степенью диссо-
циации формулами сА — а, см - 1 - а. Для концентрации н плотности также
имеем зависимости:

[А]

Са а [А] + 2[А2]’

р=тм ([А3] + -у1) =

тЛ [А] мА (А1

2а	а

Внося соотношения (4.9.3) в (4.9.2), получим зависимость для скорости реком-
бинации:

Ля = (^а;40/? = *₽(₽/идРа2(1 + «)	(4.9.4)

Рассмотрим простую схему реакции диссоциации Аг+В -+ А-^А-^В, ото*
йл

брака клцую процесс распада молекулы в результате парных соударений. В со*
ответствии с этой схемой скорость диссоциации

-2^[А2ЦВ].

I М )о

(4.9.2')

Здесь ко— константа скорости диссоциации; В — вторая частица, участвующая
н парном столкновении с молекулой и передающая ей энергию диссоциации.

Внося значения [А2] и [В) из (4.9.3) в (4.9.2'), получим

= (Лх/Л)о — 0,5*о (р//пА) (1 — «2).

(4.9.5)

Подставляя соотношения (4 9.4) и (4 9.5) в уравнение (4.9.1), получим

^а/й/ = 0,5*^(р/тА)(1 < «)[КР (I — а) — 2(р/лтА)аа], (4.9.6)

где АСр=*о/*лг для равновесных процессов'эта величина определяется как кон*
станта термодинамического равновесия. При некоторых предпосылках константа
справедлива и для неравновесных реакций. Имея это в виду и полагая в уравне*
нии (4 9.6) ^а/*И=0, найдем в равновесном случае значение Кр ~
= 2(Р/Л1а)о₽/(1 — аД где схе — равновесная степень-диссоциации. Учитывая
уравнение (1.62), получим

к „ М_ = е_о^ ~ е-у7

“	(|-а,)иА рот*	У„А

Подставляя это в (4.9.6), найдем

— Срр^ [(I — а)е 1/г — ра2],	(4.9.7)

где

С^Ад/т^Щ-а) р^

(4.9.8)

187
Как видно из (4.9.7), для исследования неравновесных течений важно знат^
константы скорости рекомбинации. Этого достаточно для определения скорость
диссоциации, так как можно воспользоваться константой термодинамической
равновесия.

На рис. 4.9 1 представлены осрсдценные экспериментальные значения коь
станты скорости рекомбинации в воздухе, полученные для давления приблизь
телъно в одну атмосферу. Предполагается, что зтн значения соответствуют ни»
нему пределу скорости рекомбинации. В опытах с кислородом и азотом прь
помощи измерений получены константы скоростей рекомбинации порядка 10,а—
-?-1016 с и7(-*оль2  сек).

Массовая скорость образования атомов (и7хвм)( — (и71ЯМ)л. входящая ь
уравнение диффузии (3.2.5), связана с (4.9.7) очевидным соотношением

(^хим)а -= (* 1А1/*О®л =	(4.9.7'

Время релаксации

Уравнение (4.9.7) можно несколько преобразовать. С этой целью исполь
зуем понятие о константе равновесия, пригодное для условий неравновесного ъ
равновесного течений. Тогда отношение	можно заменить величиной

а₽а (1—ае). что после подстановки (4.9.7) даст

Рис. 4.9.1. Измене*
пне коэффициента
скорости реком-
бинации в воздухе
в зависимости от
температуры

Рис. 4.9.2. Эксперименталь-
ные (/, 2) кривые яременг
колебательной релаксант
и расчетные (3, 4) кривы-,
времени релаксации для дщ
соцнац|1и соответствен ж
кислорода п азота при а.

мосферпом давлении

Вводя обозначение

Ср2р Ла +

получим

4а/(Н =	(4.У.ИГ

В результате интегрирования этого уравнения получаем зависимость а(0. хараг
тернзующую изменение степени диссоциации в функции времени I, начиная О"

188
некоторого значения а в момент ^-0 и кончая равновесной величиной а=*аег
достигаемой по истечении некоторого времени Л/ (времени релаксации). По по-
рядку величины производная может быть представлена в виде йа/еИя?
^(ае^а)/Л/ Следовательно, согласно (4.9.10')

Таким образом, параметр (4.9.10) приближенно может быть определен
как время релаксации В нахождении этого параметра заключается важнейшая
задача физики релаксационных процессов. Некоторые данные о времени диссо-
циации для кислорода н азота экспериментально получены в ударных трубах
(рис. 4.9.2).

Анализ показывает, что время релаксации для диссоциации приблизительно
на порядок меньше, чем для рекомбинации. Поэтому для оценки эффектов ре-
лаксации надежнее пользоваться временем рекомбинации, хотя грубую оценку
можно сделать н по времени прямой реакции. То же можно сказать о колеба-
тельной релаксации, имея в виду, что в реальных процессах время возбуждения
до заданной температуры меньше времени затухания колебаний при обратном
процессе, начинающемся от той же температуры.

Для оценки времени рекомбинации кислорода или азота можно воспользо-
ваться приближенным выражением

1й = 7,7-10-7

1	! тк V'УМ2

(1 — 0,7а^) \ Т ] \ р /

(4.9,11)

где индекс «к» означает конечные значения параметров.

Из формулы (4.9.11) видно, что чем больше начальные плотность и темпе-
ратура. тем быстрее протекает реакция н, следовательно, меньше время релакса-
ции. Эта же формула указывает на уменьшение 1л с увеличением давления, что
подтверждается экспериментальными исследованиями. Такне исследования также
показали, что время релаксации при диссоциации в воздухе меньше, чем в чи-
стом азоте клн кислороде.

Равновесные процессы

Как с качественной, так и с количественной стороны равновесные течения
изучены лучше, чем неравновесные. Области потока, в которых устанавливается
равновесие, различны вследствие неодинаковых времен релаксации для уровней
возбуждения. Как уже говорилось, время установления равновесия по коле-
бательным степеням свободы на несколько порядков больше, чем по поступа-
тельным и вращательным. Еще более медленно устанавливается равновесие по
состав) смеси газа при его диссоциации и ионизации.

В соответствии с этим схема неравновесного процесса такова, что достиже-
ние равновесия одной степени свободы можёт сопровождаться началом релакса-
ционного явления другой. В более общем случае наблюдается перекрытие обла-
стей установления равновесия.

Приближенная модель процесса может быть представлена на основе прин-
ципа «замораживания». Считается, что область достижения равновесия относится
к одной или нескольким степеням свободы, в то время как остальные не возбуж-
дены. Последовательность этих областей равновесия может быть представлена
по степеням свободы с ростом температуры в следующем порядке: поступа-
тельные, вращательные и колебательные Степени, диссоциация, возбуждение
электронных уровней, ионизация. При рассмотрении, например, процесса уста-
новления равновесия колебаний первые две степени свободы можно считать пол-
ностью возведенными. Этот процесс протекает в условиях «замороженной» дис-
социации и ионизации.

Такая схема неприемлема для некоторых газов, в частности азота при
высоких температурах, так как ионизация начинается до того, как полностью
произойдет диссоциация. Это объясняется тем, что энергии диссоциации и иони-
зации азота различаются между собой лишь в полтора раза. В этом случае
области достижения равновесия перекрываются. Аналогичное явление наблю-
дается в воздухе прн сравнительно небольших температурах. При температурах,
больших 3200 К, время релаксации для диссоциации кислорода меньше, чем

189
время установления колебаний азота. Следовательно, равновесие при диссоциа-
ции кислорода будет достигнуто до того, как установятся колебания азота.

Исследование обтекания тел неравновесным газом облегчается в том случае,
если характерное время этого процесса значительно меньше времени релаксации
какого'либо нз инертных процессов и возникают условия «замороженного» тече-
иия, происходящего без участия этого инертного процесса, В частности, если
время обтекания какого-либо участка поверхности мало по сравнению со време-
нем установления химического равновесия, но соизмеримо со временем колеба-
тельной релаксации, то на этом участке можно рассматривать процесс с «замо-
роженной» диссоциацией и ионизацией.

Эффекты релаксации в ударных волнах

При переходе газа через ударную волну часть кинетической энергии преобра-
зуется в энергию активных и инертных степенен свободы, причем для активных
степеней — поступательных и вращательных — равновесие устанавливается в
течение времени релаксации /д, соизмеримом со временем перехода газа через
толщину скачка. Так как это время очень мало, то практически можно считать,
что установление активных степеней происходит мгновенно. В то же время дис-
социация еще не начинается, так как в течение малого промежутка времени
число соударений молекул невелико. Таким образом, непосредственно за ударной
волной температура Т/ будет такой, как в газе с постоянными удельными теп-
лоемкостями.

В соответствии с этой схемой инертные степени свободы непосредственно за
скачком не возбуждены. Так как эти степени имеют конечное время релаксации
/И, значительно большее чем и время перехода через толщину реального
скачка, то температура будет уменьшаться до тех пор, пока инерт-

Рис. 4 9.3. Релаксационный процесс в ударной
волне (заштрихованная область определяет тол-
щину ударной волны):

/ к 2 — соответственно передняя н задняя поверхности
ударной волны

ные степени (сначала колебания, затем диссоциация, возбуждение электронных
уровней и, наконец, ионизация) не достигнут равновесия.

На рис. 4.9.3, который схематически иллюстрирует релаксационный процесс,
температуре 7/ соответствует время релаксации отсчитываемое от момен-
та начала движения на передней поверхности ударной волны, перед которой
температура невозмущенного газа Ть На этом рисунке показана плотность рз',
соответствующая температуре 7/, а равновесное состояние достигается при тем-
пературе Га<Т/. Неравновесный процесс течения газа за скачком сопровож-
дается увеличением плотности до равновесного значения ра>р/. При
190
этом наблюдается небольшой рост давления по сравнению с идеальным га-
зом. Одновременно возрастет от нуля до равновесного значе-
ния степень диссоциации (а при очень высоких температурах — сте-
пень ионизации).

Изучение неравновесного течения за скачком уплотнения заключается в опре-
делении протяженности зоны не равновесности, или, как говорят, длины пути ре-
лаксации, а также в оценке неравновесных параметров. Рассмотрим неравновес-
ное движение двухатомной модели газа вдоль линии тока за сильным прямым
скачком уплотнения. Система уравнений, описывающая такое движение, включает
уравнение импульса (4.8.3), которое запишем в виде

уравнение энергии (4.8.1)

₽| у* = р + рУ2;

(4.9.12)

(4.9ДЗ)

уравнение состояния (1.6,4/) и уравнение (4.9.7) для скорости химических
реакций.	_

В этих уравнениях р, р, 7*. Г, 10 представляют собой безразмерные значения
давления, плотности, температуры, скорости и энтальпии торможения в произ-
вольной точке на линии тока в неравновесной эоне, отнесенные к соответствую-
щим характеристическим параметрам. Величина а определяет я этой точке не-
равновесную степень диссоциации. Параметр С, входящий в
(4.9.7), вычисляется по формуле (4.9.8). Если производную йа/<Н представить
в виде

= (</ц/4х) (г/хДН) = (<йх/4х) V,

то (4.9.7) можно написать следующим образом:

ЩЛх = (Срр^/У) [(1 — а) е-ЧТ — ра'Д.	(4.9.14)

Определение неравновесных параметров заключается в решении этого диффе-
ренциального уравнения совместно с другими уравнениями системы. Начальные
условия при интегрировании определяются параметрами непосредственно за
ударной волной, которые находятся в предположении, что диссоциация отсут-
ствует, т. е. при х=0 величина а=0. В конце пути релаксации эти параметры
достигают равновесных значений, соответствующих равновесной степени диссо-
циации При этом в целях упрощения можно принять давление в зоне
релаксации постоянным н равным его неравновесному значению непосредственно
за скачком уплотнения. В этих же целях вместо уравнения (4.9.14) можно при-
менить уравнение для скорости химической реакции

=	—а,	(4.9.15)

полученное мз (4 9.10') путем замены:

а[ - ах/У ~ ^<1х.	(4.9.15')

Результаты численного интегрирования уравнения (4.9.15) для неравновес-
ного течения кислорода за прямой ударной волной показаны графически на
рис. 4.94. Расчеты проводились по экспериментальному коэффициенту скорости
рекомбинации =8,4* 10й см*/(моль? сек). Кривая на этом рисунке позволяет
оценить неравновесные значения степени днссоинзцнн в зоне релаксации для слу-
чая равновесия по колебательным возбуждениям. В соответствии с характером
изменения степени диссоциация плотность и температура меняются от их соот-
ветствующих величин для недиссоциирующего газа до значений при равновес-
ной диссоциации.

Для приближенной оценки влияния неравновесности на течение воздуха
можно воспользоваться теми же уравнениями, отнеся их к двухатомной модели
воздуха, состоящей из аддитивной смеси кислорода и азота. При этом параметр

191
Рис. 4.9.4. Изменение степени не-
равновесной диссоциация и плот-
ности кислорода за ударной вол-
ной:

(М4—13, Г(=295 К, ₽>=5.б5 мн рт ст.)

С в уравнении (4 9.14) можно определять для кислорода, поскольку коэффицнен-
скорости рекомбинации кн известен более достоверно из экспериментальных д31-
ных для этого газа. Все остальные параметры, в частности степень равновесно*
диссоциации характеристические плотность, давление и др., находят длг
двухатомной модели воздуха.

Определяемые указанным способом неравновесные параметры соответств'
Ют условию, при котором газовая среда в начальном (неднссоцинрованном) со-
стоянии имеет возбужденные колеба-
тельные уровни и для такого газа к-
=с — 1,33.

Если вместо уравнения (4.9.13) при-
менить уравнение энергии в виде /-
+ У72 =4, то можно избавиться от обе
за тель и ого условия, чтобы в начально
состоянии газ был предварительно разе
грет. Тогда можно исследовать повел1
ние неравновесных параметров в зон*
релаксации вне зависимости от того, во.-
бужтены первоначально колебательны1-
у ров ни или нет Результаты таких нссл>
дований для воздушной смеси кислоро-
да и азота приведены на рис. 4.9.^
Сплошные кривые получены в предпол<-
жегши мгновенного колебательного воз-
буждения, штриховые — при отсутствие
возбуждения. Из этих результатов сл*
дует, что колебания имеют существе?
ное значение в непосредственной близ» 
стн к скачку. Например, без учета воз-
буждений температура за скачком равн;
12 000 К, а для полностью возбуждение-
го состояния — около 9800 К. т, е. знг

чительио ниже В конце зоны релаксации колебательное возбуждение практич-
скн не имеет значения. Поэтому в расчетах равновесной диссоциации можнг

Рис. 4.9.5 Влияние неравновесной диссо
циации на плотность и температуру
ударной волной:

(М, . [4,2. 7, — 300 К. Р1 " I мм рт ст )

принимать скорости колебательного возбуждения бесконечно большими, рассма
рквая, таким образом, газ перед началом диссоциации полностью возбужде?
ным. На рис. 4.9.5 видно, что протяженность неравновесной зоны сравнительна
невелика и составляет примерно 84-10 мм.
ГЛАВА V

МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК

§ 1.1. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ
И ФУНКЦИИ ТОКА

В аэродинамике важное место занимает метод характе-
ристик, который позволяет рассчитать возмущенное течение иде-
ального (иевязкого) газа. При помощи этого метода можно пра-
вильно рассчитать контуры сопл для сверхзвуковых аэродинамиче-
ских труб, определить параметры сверхзвукового обтекания
крыловых профилей и корпусов летательных аппаратов.

Метод характеристик всесторонне разработан для решения си-
стемы уравнений установившихся сверхзвуковых двухмерных (пло-
ских или пространственных осесимметричных) вихревых и безвих-
ревых газовых течений. Широкий размах приобретают исследова-
ния, связанные с применением метода характеристик для расчета
обтекания тел трехмерными потоками. В настоящей главе будет
рассмотрен метод характеристик и его приложение к задачам о
сверхзвуковых двухмерных течениях.

Уравнения двухмерного плоского установившегося движения
невязкого газа получаются из (ЗЛ.20) при условии, что |х=0,
дУх/д1—дУу/д1=0, и имеют следующий вид:

V । V ;
дх	ду р дх

(5.1.1)

1/	II/ у -	1 &Р

дх	ду	р ду

Для двухмерного осесимметричного потока уравнения движе-
ния, получаемые из (3.1.36) при аналогичных условиях (\'-0,
дУх/дё — дУУ!д1— 0), записываются в форме:

V I V -________________1	>

г дх г дг р дх

(5.1.2)

V	> 1/ дуг _	1 др	}

х дх ' Уг дг Р * дг *

Уравнения неразрывности для плоского и осесимметричного
течений, имеющие соответственно вид (2.4.5) и (2.4 32), можно за-
7—707	1 по
писать в обобщенном виде:

д(рКхув)/^4-д (?Уууъ)!ду =0.	(5.1.3)

При е—0 это уравнение совпадает с уравнением неразрывности для
двухмерного плоского движения в прямоугольных декартовых коор-
динатах х, у. Если е=1, то имеем уравнение неразрывности для
двухмерного осесимметричного потока в цилиндрических координа-
тах у (г), х. В соответствии с этим для обоих видов течения уравне-
ния движения (5.1.1) можно считать записанными в обобщенном
виде.

Взяв частные производные в уравнении неразрывности (5.1.3),
получим

<5л-4>

Частную производную др/дх можно заменить выражением др/дх ~
— (др/др) (др/дх), в котором др/др= 1/а2, а производная др/дх на-
ходится из (5.1.1) в виде

С учетом этого

д₽___ Р К?	, дУх \

дх"	ду/'

Аналогично находится выражение для производной др/ду:

др______Р_/и дУу । дУу

ду а* \ х дх е ду )

(5.1.5)

(5.1.6)

После подстановки значений этих производных в (5.1.4) получим

(У%—а1)	+У ХУК /-у*-++(У»—а*) -у*- - ^=0.

\	/	г	У

(5.17),

Это уравнение является основным дифференциальным
уравнением газовой динамики для двухмерного
(плоского или пространственного осесиммет-
ричного) установившегося п о т о к а, которому должны
удовлетворять составляющие скорости Ух, Так как это уравне-
ние связывает между собой скорости, то его называют также
основным кинематическим уравнением.

Если течение потенциальное, то

уя=ду/дх> Уу=ду/ду, дУл/ду=дУу/дх=д\/дхду,
следовательно, уравнение (5Л.7) можно преобразовать к виду

(У? —а2)	+ 21/лУ,	+(У* - а2) ——	=0, (5.1,8$

1	(7X2 1	* * длду 1 У ; ду* у ’ 4	*

194	;

угиту.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими руками?!
где

<> *— 1

— 2

Уравнение (5.1.8) является основным дифференциаль-
ным уравнением газовой динамики для двух-
мерного потенциального установившегося тече-
ния и называется уравнением для потенциала схо-
р о ст ей. Таким образом, в отличие от (5.1.7) это уравнение приме-
няется только для исследования безвихревых газовых течений.

Если двухмерный газовый поток вихревой, то для его иссле-
дования надо воспользоваться функцией тока ф. Составляю-
щие скорости, выраженные через функцию ф, имеют вид (2.5.5).
Заменяя р по формуле (3.6.31), в которой плотность торможения ро
вдоль данной линии тока принимается величиной постоянной, выра-
жения (2.5.5) .можно представить в виде:

(5.1.9)

где Г=У/Утах- Расчет вихревого газового потока состоит в реше-
нии дифференциального уравнения для функции тока ф. Чтобы по-
лучить это уравнение, продифференцируем Ук и Уе (5.1.9) соответ-
ственно ПО у И XI

_ед—1 ,1

ду 3		’	ду

1	{1 _	। и~> ( } _угГ-

*—Ц }	д)т [	‘	ду1 '

<*' = _	1	11 _ 1/2Г !/(*-Ы

дх * * _ 1'	>	дх

Принимая во внимание выражение (3.6.22) для квадрата ско-
рости звука, а также соотношения (5.1.9), полученные зависимости
для производных дУх!ду и дУу/дх можно написать в виде:

; (5.1.10)

ду у	ду? 1	7

_«2__	51Л1)

дх 2Л2 дх * к ;	дх?	7

Входящие сюда производные дУ*/ду и дУ2/дх определим при помо-
щи соотношений (5.1.9). Объединяя эти соотношения, получим

(дЦду)2 = 1/Уе (I _у2)2/<*-п.	(5.1.12}

Дифференцируя (5.1.12) по х и у, найдем соответственно зависимо-
сти:

196
2	г о	дУ? г. (1 _ Г/зЛЧ* -О _

дх дх? ду дхду дх	'

_ 1/2«* 2 (| -72)ЗД*-‘)-" № .	2 **	**	I 2 А	2±=

к — I	дх ’ дх	дхду ду	ду?

= _^_ у" (1 _ р)2/<А-’ > 2еУ2у2^( 1 — Т7*)2/<А—1 * —

, угу* 2 (1 _	ду? .

к — 1	ду

Эти зависимости преобразуем, учитывая уравнение (3.6.22) для
квадрата скорости звука и соотношения (5Л.9):

Определяя отсюда производные дУ*/ду, дУ2/дх и подставляя их со-
ответственно в (5.1.10) и (5.1.11), получим

1 л У* \	/ Г1 ра)У(*-1>Л	\ <)УУ

2 \ «г ) ду? ’	2 1	'	\ дЗ ) дх

_ Уу / у 1 у \__________________кЛ______У*\

2а2 У дх* “*	* дхду )	2 дЗ ) дх?

Вычитая из второго уравнения первое, найдем зависимость для
вихря:

дУу	Уу 1 / у । у	р2)-и<*-1)

дх ду а? — уз / у дх2 дхду /

/ 1	) дх? &-уз * у’ \ у дхду + * ду?)Х

ха-Рт’'**-”—(5.1.15)
у	оу* у — V2

Вихрь можно также определить при помощи уравнения (3.1.22'),
преобразованного для условий установившегося движения идеаль-

196
«ого газа и имеющего вид

егаЛ (1/2/2) 4-го! V X У = _(1/Р) &гаК Р-	(5.1.16)

Применяя операцию ^га<1 к уравнению энергии (3.4.14), получим
дга(1(У2/2)^ —	(5.1.17)

Следовательно, уравнение (5.1,16) можно переписать в форме

го! V X У =®гад I —(1/р)дга<1 р.

(5.1 Л8)

Вихревые сверхзвуковые течения газа термодинамически могут
быть охарактеризованы изменением энтропии при пере-
ходе от одной линии тока к другой. Поэтому удобно в расчеты вве-
сти такой параметр, который бы отражал указанное изменение
энтропии как особенность вихревых течений,

В соответствии со вторым законом термодинамики

(г/р/р),
или в векторной форме

Т Ега<1$=2га(1/—(1/р)^га(1 р.

Комбинируя (5,1.18) и (5.1.19), получим

го! V X У =^Т	5.

(5ЛЛ9)

(5.1.20)

Вычислим векторное произведение го! УХУ, имея в виду, что в со-
ответствии с (2.2.12) вектор

го1 У=(дУ^дх— дУ^ду} 13,

а следовательно, проекции (го! У)ж= (го! у)у=0. Используя опре-
делитель третьего порядка, найдем

к

0

^2	4

го! У X У=

о (го1У)3 ,

Уу 0

в котором проекция

(ГО1 У)3=^дУу1дх-дУ,1ду.

Вычисления дают

то1УХУ=-1/в

\ йх ду ) -Ц дх ду)

(5Л.21)

В соответствии с этим для проекции вектора го! УХУ на нормаль
п к линии тока получим соотношение

(к>1 V X УЙ=(го1 У X У )х 4- (го1 У X У=

=У2 (дУу/дх—дух/ду}2.	(5.1.22)

197
Из (5.1.20) следует, что эту проекцию можно представить также в
виде

(го!й X У)п=Т(с!$/с1п)

или, учитывая (5.1.22),

V (дУ&1'дх - дУх/ду) - Т (аз/ап).	(5.1.23)

Так как а2—кРТ, то отсюда, принимая во внимание (3.6,22),
найдем выражение для температуры:

ЛгЦ	л\	/\

Внося это соотношение в (5.1.23), получим

— V2)—.	(5.1.24)

дх ду 2* КУ '	' ап	1	’

Производя замену вихря по этому выражению в (5.1 Л 5), найдем
дифференциальное уравнение для функции тока:

Л_—	. -К^1_у2)М‘-1>у.(аз_у2)

(5.1.25)

| 5Л- ЗАДАЧА КОШИ

Уравнения (5.1.8) для потенциала скоростей и (5.1.25) для фун-
кции тока являются нелинейными уравнениями в частных производ-
ных второго порядка. Так как в этих уравнениях кроме членов со
вторыми частными производными имеются свободные члены, не со-
держащие этих производных, то они будут неоднородными.

Решения уравнений ф—ф(х, у) и ф—ф(х, у) геометрически изо-
бражаются интегральными поверхностями в пространстве, опреде-
ляемом координатными системами х, у, ф или х, у, ф. В этих систе-
мах плоскость х, у рассматривается как основная и называется
физической плоскостью или плоскостью незави-
симых переменных.

Отыскание этих решений в окрестности некоторой исходной
(начальной) кривой у=у(х)л удовлетворяющих заданным на этой
кривой дополнительным условиям, составляет содержание задачи
Коши. Такими дополнительными условиями являются значения ис-
комой функции ф(х, у) или ф(х, у) и первых производных ф±(фл)
или Фу (фу), называемые начальными данными Коши. Отметим, что
задание на начальной кривой у(х) самой функции, например

У(*)1, и одной из ее первых производных фу=дф/ду автомати-
198
чески определяет другую производную фх=дф/дх. Это следует из
соотношения

у(х)) д^[х, у(х)) 	*/(*)] .

дх	дх	ду

дх ’

ду

которое получается из формулы для полной производной от слож

ной функции двух переменных х и у в предположении, что началь-
ная кривая задана и, следовательно, известна зависимость у от х.

С геометрической точки зрения
задача Коши заключается в отыска-
нии интегральной поверхности в про-
странстве х, у, ф (или х, у, ф), про-
ходящей через некоторую заданную
пространственную кривую. Проекция
этой кривой на плоскость у, х и пред-
ставляет собой упомянутую началь-
ную кривую у=у(х) на этой плоско-
сти. Решение задачи Коши примени-
тельно к исследованию сверхзвуко-
вых течений газа и разработка соот-
ветствующего метода характеристик
принадлежат советскому ученому
проф. Ф. И. Франклю.

Чтобы рассмотреть задачу Коши,
представим уравнения (5.1.8) и

Рис. 5.2.1- Начальная кри-
вая АВ, на которой извест-
ны искомая функция, а так-
же ее первые производные
по х и у

(5.1.25) в общем виде:

Аи -р 22?$-р С1 -|- Н == О,

(5.2.1)

Где Ы— фхх (иЛИ фэсх), 5'—фхц (ИЛИ фасу), —Фуу (ИЛИ Ф$^) ЯВЛЯЮТСЯ
вторыми частными производными; значения А, В и С равны коэф-
фициентам при соответствующих вторых частных производных;
величина Н определяется свободными членами в уравнениях (5.1.8),
(5,1.25).

Будем искать решение уравнения (5.2.1) в окрестности началь-
ной кривой АВ (рис. 5.2.1) в виде ряда. В некоторой точке М (хо*
^1) искомая функция

<р(-«о, 0о)=<р(х, у)+У’^-кд*)" —+т‘(Дл)"~’Д4' 77Т—Ь
л1 I дх11 1	дхГ~гду

л—1	5

+ ^=-^(ДлГ2(Д^) -------------+----НДУ)“~-]. (5.2.2)

дхп1ду2	ду* ,

где ф(х, у) — значение этой функции в заданной точке Л^(х, у) на
начальной кривой; Дх=хо—х; Ау=у$—у. Вместо ф в (5.2.2) может
фигурировать функция ф.

Ряд (5.2.2) дает искомое решение, если на заданной кривой су-
ществуют и известны значения функций ф (или ф), а также их

199
производные любого порядка. Так как на этой кривой первые про-
изводные [обозначим их через р=ух (или фя) и (или фу)] за-
даны, то необходимо дополнительно найти на ней вторые производ-
ные, а также производные более высокого порядка. Таким образом,
решение задачи Коши связано с отысканием условий, при которых
возможно определение старших производных на заданной кривой.

В дальнейшем ограничимся определением вторых производных.
Так как этих производных три (и, я и X), то нужно составить столь-
ко же независимых уравнений для их нахождения. Первым из них
будет уравнение (5.2.2), которое удовлетворяется на начальной
кривой АВ. Два других получаются из следующих известных соот-
ношений для полных дифференциалов функций двух независимых
переменных, имеющих место на этой кривой:

йр=(др)дх') йх-^ (др>ду) йу

4д=(дд)дх} йх Ц- [дд!ду)(1у=$г1х+1(1 у.

Таким образом, система уравнений для определения вторых произ-
водных запишется в форме:



(5.2.3)

Эта система уравнений решается относительно неизвестных и, я и I
при помощи определителей. Если для главного и частных опреде-
лителей ввести обозначения соответственно Д и Ак, Л5, Дг, то

Л=Д„/Д, я=Дз/Д, / = Д,М-	<5-2'4)

Из этих соотношений следует, что если главный определитель Д не
равен нулю на начальной кривой АВ, то вторые производные и, я
и / вычисляются однозначно.

Рассмотрим случай, когда кривая выбрана таким образом, что
на ней главный определитель равен нулю, т. е.

	А 2В С	
д=	с!х <1у	0	-0.
	0 йх 4у	
Отсюда следует, что		

А [йу^х? - 2В (йу^х) + С=0.

(5.2,5)

Из курса математики известно, что при условии равенства нулю
главного определителя Д системы уравнений (5.2.3) на кривой, вы-
раженной уравнением (5.2.5), вторые производные и, я, I (5.2.4)
либо определяются неоднозначно, либо вообще не могут
быть определены через ф, р и

200
Рассмотрим квадратное уравнение (5,2.5). Решая его относи-
тельно производной ауфх, получим

(^/Ил)и=й,г=(1М)(3 ± У&-АС}.

(5.2.6)

Это равенство определяет наклон касательной в каждой точке на-
чальной кривой, на которой главный определитель Д=0. Нетрудно
видеть, что (5.2.6) является дифференциальным уравнением двух
семейств вещественных кривых, если В2—ЛС>0. Такие кривые, в
каждой точке которых главный определитель системы (5.2.3) равен
нулю, называются характеристиками, а уравнение (5.2.5) —
характеристическим.

Из сказанного вытекает условие, при котором возможно одно-
значное определение вторых производных на начальной кривой:
никакой элемент дуги этой кривой не должен совпадать с характе-
ристиками. В отношении однозначного определения высших произ-
водных, входящих в ряд (5.2.2), действует то же условие Д^О. Сле-
довательно, если Д^0т то все коэффициенты ряда (5.2.2) однознач-
но определяются по данным на исходной кривой.

Таким образом, условие Д^О является необходимым и доста-
точным для решения задачи Коши. Эта задача в математической
теории дифференциальных уравнений в частных производных име-
ет основное значение, и формула (5.2.2), вообще говоря, может
быть использована для расчета движения газа. Однако с точки зре-
ния физических приложений, в частности расчета сверхзвуковых
газовых течений, больший интерес представляет задача определе-
ния решения по данным на характеристиках, т. е. метод харак-
теристи к. Этот метод может быть получен из анализа задачи
Коши и заключается в следующем. Предположим, что начальная
кривая АВ совпадает с одной из характеристик и вдоль нее равен
нулю не только главный определитель системы (5.2.3), но и част-
ные определители Ди=Дя=Д/—0. При этом если, например, опре-
делители ДиЛ( равны нулю, то равенство нулю остальных опреде-
лителей удовлетворяется автоматически. Чтобы доказать это, вы-
числим частные определители:

<1р
«ч

2В
<1у
ах

Ац

0 =(ахУ1~Ну'г~-2Ву'р'+С(р’-у'д')]-, (5.2.7)

<1у

А

Д,= **

О

А
(!х

0

2В
ау

ар

ад

о =(с1х)1(Ау'р'-\-Ну'-\-Сд'у,
йу

(5.2.8)

О.р
(1ц

=(д?л)2[Л (у'уг—рг)—22?^ — /У],

(5.2.9)

Дд —

где р’ ^ с1р!<1х, д'=ад!(1х.

201
Так как с1х^0, то из условия Д*=0 вытекает равенство

А {у*д' - р') -	- Н =0.	(5.2.10)

Из условия Д—0 получено уравнение (5.2,5), Умножая это уравне-
ние на (рг—угу'), а (5.2.10) —на уг* и складывая их, найдем

-нуа-2Ву’р’ +С (р‘ -^)=0.

Сравнивая это выражение с (5.2,7), видим, что определитель Ди=0.
Если теперь уравнение (5.2.5) умножить на а (5.2.10) — иа д',
то после вычитания получим

Ау’р'+Ну'±Сд'^

что согласно (5.2.8) соответствует равенству нулю определителя Д3.

Равенство нулю главного и всех частных определителей, как
доказывается в теории систем алгебраических уравнений, означает,
что решения системы (5.2.3), хотя и неоднозначные, могут
существовать. При этом если одно из решений, например
для и, является конечным, то конечными будут и решения для 8 и /.

§ 5.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ

Условия совместности

Уравнения (5.2.5) и (5.2.10), определяющие условия, при кото-
рых решения для и, 5 и I существуют, хотя и неоднозначные, назьь
ваются условиями совместности. Геометрически пер'
вое из этих уравнений представляет собой два семейства кривых —
характеристик в физической плоскости х, у, а второе уравнение —
два семейства кривых — характеристик в плоскости р, ц,

-Всякое решение задачи о сверхзвуковом движении газа, найден-
ное путем решения уравнений характеристик (или условий совмест-
* нести), и является решением основного уравнения
газодинамики (5.1.8) или (5.1.25). Доказательство вытекает из
так называемой теоремы эквивалентности, в соответст-
вии с которой уравнения характеристик (5.2.5) и (5.2.10) эквива-
лентны основному уравнению (5.1.8) или (5.1-25) (доказательство
этой теоремы приводится в [20]).

С геометрической точки зрения доказанная эквивалентность оз-
начает, что решение уравнений характеристик дает также отобра-
жение некоторой плоскости х, у на плоскость р, у, при котором точ-
ки кривых, определяемых дифференциальным уравнением (5.1.8),
соответствуют точкам кривых, определяемых дифференциальным
уравнением (5.1.25).

Таким образом, каждой точке на характеристике в плоскости
х, у соответствует определенная точка на характеристике в плоско-
сти р, у. Очевидно, указанное соответствие может быть установлено
различными способами в зависимости от заданных граничных усло-
202
вий, и, как будет видно из дальнейшего, именно оно позволяет ис-
пользовать характеристики для расчета газовых течений.

В соответствии со сказанным отличительное свойство характе-
ристик состоит в том, что если вдоль кривой, не являющейся харак-
теристикой, начальные условия можно задавать произвольно, то
вдоль характеристики этого сделать уже нельзя.

Существование характеристик

Вид характеристик. Из (5.2.6) следует, что корни квадратного
характеристического уравнения (5,2.5) могут быть вещественными
(равными или неодинаковыми по величине), а также комплексны-
ми сопряженными. Различие в корнях определяется выражением
В2—АС=Ь, В случае, если б>0, уравнение (5.2.5) дает два различ-
ных семейства вещественных характеристик; значение 6=0 опре-
деляет два одинаковых корня, что соответствует двум совпадающим
семействам характеристик, т. е. фактически одной характеристике;
наконец если б<0, то корни уравнения представляют собой пару
мнимых характеристик.

Так как корни характеристического уравнения зависят от коэф-
фициентов А, В, С дифференциального уравнения (5.2.1), то приня-
то тип этих уравнений устанавливать в зависимости от вида харак-
теристик. Если б>0, то уравнение (5.2.1) будет гиперболиче-
ского типа, в случае 6=0 — параболического, а при 6<
<0 — эллиптического типа.

В уравнениях (5.1.8) для потенциала скоростей и (5.1.25) для
функции тока коэффициенты А, В и С определяются одинаково, а
именно:

Л=И’-а2, 6=1^. С=1/’-в«.	(5.3.1)

Следовательно,

& = В2 - АС=а2 (V2 -а2),	(5.3.2)

где полная скорость У=у	Таким образом, для облас

тей газового потока со сверхзвуковыми скоростями (И>а) урав-
нения будут гиперболического типа, а для областей тече-
ния с дозвуковыми скоростями (Г<а)—эллиптического
типа. На границе этих областей скорость звуковая (И^а) и
уравнения будут п а р а б о л ич ес кого типа.

Характеристики в физической плоскости. Характеристики в пло-
скости х, у определяются из решения дифференциального уравне-
ния (5.2.6), в котором знак плюс соответствует характеристикам
первого семейства, а минус—характеристикам второго семейства.

Величина	непосредственно вычисляемая по выраже-

нию (5.2.6), и знак плюс в этом выражении определяют угловой
коэффициент характеристики первого семейства, а
^2=ду/с1х -и знак минус — угловой коэффициент характеристи-
ки второго семейства. Обе такие характеристики принято

203
называть сопряженными. Учитывая выражения (5.3.1) и

(5.3.2), получим для характеристик в плоскости х, у уравнение

Х1Д!=й4г/</л:=[1/(^-агЛ(^^ ± а

(5.3.3)

Характеристики в плоскости х, у имеют определенный физиче-
ский смысл, который можно установить, если определить угол р.
между вектором скорости V в некоторой точке потока (рис. 5.3.1) и
направлением характеристики в той же точке. Этот угол опреде-
ляется при помощи уравнения (5.3-3), если отнести его к местной
системе координат Яь у г с началом в точке Лис осью совпада-

Рис. 5.3.1. Схема к определе-
нию физического смысла харак-
теристик:

У — направление характеристики
первого семей стан я точке Л: 2—
характеристика первого семейства
с углоаым коэффициентом А,; 3 —
направление характеристик!! вто-
рого семейства в точке Л; 4 — ха-
рактеристика второго семейства с
угловым коэффициентом

ющей с направлением вектора V. При таком выборе осей координат
7Ж=К Иу=0 и, следовательно,

>•1,2=16^2= ± (М=- 1Г,/2.

Отсюда видно, что р представляет собой угол Маха. Таким обра-
зом, установлено важное свойство характеристик, заключающееся в
том, что в каждой точке, принадлежащей характеристике, угол ме-
жду направлением касательной к ней и вектором скорости в этой
точке равен углу Маха. Следовательно, сама характеристика
представляет собой линию слабых возмущений (или
линию Маха), имеющую в общем случае форму кривой.

Определение характеристики как линии Маха имеет непосред-
ственное приложение к двухмерному плоскому сверхзвуковому по-
току. Если же имеется в виду двухмерное пространственное (осе-
симметричное) сверхзвуковое течение, то линии Маха (характери-
стики) следует рассматривать как образующие поверхно-
сти вращения, являющейся огибающей конусов
Маха с вершинами в точках возмущения (на характеристиках).
Поверхность, ограничивающая некоторую область возмущения, на-
зывается волновой поверхностью или пространст-
венной волной Маха.

В гл. IV были рассмотрены волны сжатия, возникающие в газе»
сверхзвуковое движение которого характеризуется повышением
давления. Однако такое движение -может сопровождаться п о-
нижением давления, т. е. сверхзвуковое течение будет про-
исходить с расширением, а линии Маха будут характеризовать
204

*
волны разрежения. С этими линиями Маха совпадают соответствую-
щие характеристики, являющиеся в общем случае кривыми линия-
ми (для плоского потока) или поверхностями, образованными вра-
щением этих линий (для пространственного осесимметричного те-
чения). Если же в потоке имеются линии Маха (характеристики)
в виде прямых линий, то им соответствуют простые волны
разрежения, скорость распространения которых имеет одно
направление. Линии Маха, соответствующие волнам разрежения,
будем в дальнейшем называть линиями слабых возмущений, ис-
пользуя терминологию, принятую для случая слабых волн сжатия.
При этом надо помнить, что в расширяющемся сверхзвуковом по-
токе никаких других волн разрежения, кроме слабых, не возникает,
иначе следовало бы допустить возможность образования «сильных»
волн разрежения (скачков разрежения), которых, как известно, в
реальных условиях течения быть не может.

Если в некоторой точке физической плоскости известны скорость
потока и скорость звука, то указанное свойство характеристик поз-
воляет определить их направления в этой точке, вычислив угол
Маха по формуле р— ±агсз1п (1/М). Относительно координат х, у
(см. рис. 5.3.1) угловые коэффициенты характеристик будут опре-
делены из уравнения

(5.3.4)

где р — угол наклона вектора скорости к оси х; знак плюс отно-
сится к характеристике первого семейства, а минус — к характери-
стике второго семейства. Уравнение (5.3.4) является дифференци-
альным уравнением для характеристик в физической плоскости.

Характеристики в плоскости р, у. Если в уравнении (5.2.10)
величину у* заменить первым корнем характеристического уравне-
ния (5.2.5), равным у1—то полученное уравнение

А (Х^—рг] - 2ВУ1 — Н = 0	(5.3.5)

будет представлять собой первое семейство характеристик в плоско-
сти р> у. Аналогичная замена у' вторым корнем у*=1,2 дает урав-
нение для второго семейства характеристик в той же плоскости:

А (М' -Р1] ~	(5.3.6)

Уравнение для характеристик (5.3.5) и (5.3.6) .можно преобразо-
вать, воспользовавшись свойством корней квадратного уравнения
(5.2.5), согласно которому

к1+^2В/А.	(5.3.7)

Рассматривая первое семейство характеристик и внося в (5.3.5) со-
отношение А7Ч—2В— —ЛэА, полученное из (5.3.7), запишем урав-
нение

Л(М'+р')+^=°.	(5.3.8)
Аналогично для характеристики второго семейства находйм

А(Х1/+р')+Я^О.	(5.3.9)

Учитывая выражение (5.3.4), уравнения (5.3.8) и (5.3.9) можно пе-
реписать в виде

-^-+*е(?Т!*)-^-+4'=0,	(5.3.10)

ах	ах А

где знак минус относится к характеристикам первого семейства, а
плюс—к характеристикам второго семейства. Уравнение (5.3.10)
определяет сопряженные характеристики в плоско-
сти р, д.

Свойство ортогональности характеристик

Если заменить дифференциалы в уравнениях для характеристик
конечными разностями, то полученные уравнения будут уравнения-
ми прямых в соответствующих плоскостях х, у и рг д.

Рассмотрим уравнения, в частности, для характеристик первого
семейства в плоскости х, у и второго семейства в плоскости р, д.
Из (5.3.4) следует, что для элемента характеристики — прямой в
плоскости х, у — уравнение имеет вид

у—Уй={х—х0Ж,	(5.3.4')

где уо — координаты некоторой фиксированной точки; 1] — угло-
вой коэффициент, рассчитанный по параметрам газа в этой точке;
х, у — текущие координаты.

Уравнение для элемента характеристики второго семейства в
плоскости р, д запишется в соответствии с (5.3.9) следующим обра-
зом:

(?—?о)+ А (Р—Ра)+Н (х—(5.3.9')
где р0, да — значения функций р и д в точке х& у0 физической пло-
скости; угловой коэффициент X], а также значения А Н рассчита-
ны по параметрам газа в этой точке; р и у — текущие координаты.

Из уравнений видно, что в плоскости х, у наклон прямой опре-
деляется угловым коэффициентом 7ц, а в плоскости р, д — угловым
коэффициентом — 1/М. Аналогично доказывается, что элемент ха-
рактеристики второго семейства в плоскости х, у имеет угловой ко-
эффициент Ха, а элемент характеристики первого семейства в пло-
скости р, д—угловой коэффициент—1/Лз. Из этого следует, что
характеристики разных семейств в обеих пл о- 
скостях — перпендикуляры.

Указанное свойство позволяет определять направление характе-
ристик в плоскости р, д, если известно направление сопряженных
характеристик в физической плоскости. Предположим, что в неко-
торой точке Р(х0> у0) плоскости х, у известны составляющие скоро-
сти Куо и значения функций р0> д^ Направления линий Маха
в этой точке (рис. 5.3.2) можно определить по уравнению (5.3.4')- ,

206	..	Л

угиту.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолет своими рукйми?!
Элементу характеристики РИ первого семейства в плоскости х, у
^ответствует элемент характеристики второго семейства — прямая
I плоскости я *7* заданная уравнением (5.3.9'). Эта прямая перпен-
дикулярна линии РН, но не проходит через точку Р', имеющую ко-
юдинаты ро, на что указывает наличие свободного члена в урав-
нении (5.3.9'). Поэтому для построения элемента характеристики
необходимо по правилам аналитической геометрии определить вна-
чале расстояние от точки Р' до него. Аналогично строится харак-
.еристика первого семейства в плоскости р, у, перпендикулярная
юямой РМ и удаленная от точки Рг на расстояние б? (рис. 5.3.2).

Рис. 5.3.2. Свойство ортогональности ха-
рактеристик

.войетво ортогональности характеристик разных семейств име-
т место в случае потенциального потока для плоскостей х, у и
'х, Уу (плоскость годографа), а также в случае вихревого течения,
;ля которого плоскость р, у заменяется той же плоскостью годо-
прафа У^ У*.

Преобразование уравнений для характеристик
в плоскости годографа скорости

Преобразуем уравнение (5.3.10) к такому виду, чтобы оно опре-
деляло характеристики в плоскости годографа, где координатами
!ли независимыми переменными служат компоненты скорости Ух,
V С этой целью, дифференцируя выражения (5.1.9') по х, вычис-
лим производные Др/Дх и е1у/{1х:

4 I Др \
'х ах I дх )

—	(1 — У*)1Лй-1> —	& (1 —

+ V, (1 —	;

ь — 1	ау

(5.3.11)
у е«->	1 —уЪУс*-»4. в.	и _тЛ>У<*-»

ах ах\Ьу)	* 9 ах '	’	-9 ах'

(5.3.12)

Из уравнения (5.1.25) видно, что

Н=^и^а!УЛ\ — ^2)л'*-

'	24 як

(а2-1/г) —; А=У*-а\

(5.3.13)

После подстановки (5.3.11)-^ (5.3.13) в (5.3.10), замены величины

4у1<1х угловыми коэффициентами характеристик М.5, а функции

(РТц) — соответствующими значениями 12,| получим

х	(1	у,-уА1) +

\ ил	иХ / А— 1	аХ

1

V® - Л» .

(1 — И2)1/(‘-1> -

/2
г шах

ЯК

У2)м*-,) У (а*-У*) —

=0.

Производя необходимые сокращения и вводя безразмерные вели-
чины

шах*

шах>

перепишем это уравнение в следующем виде:

шах* У/я—М,

1 — ^2

__Кг / ~ 1 V
у ’ I - У2№ 2к

х —(1-И мг~1 —=0.	(5.3.14)

1
Введя полярный угол р, напишем для проекций вектора скорости =
следующие выражения:
__________________________

]/х = ИС05р, Й, = Й51пЗ.	(5.3.15) |

208	1
Дифференцируем эти выражения по х:

<Л/х/^Х=(Л</Йх)СОв?—Р,51п?(^₽/Лл);

^У^Х=(^У/ал)51Пр+ГсО8р(^х).	I • • )

Внося (5.3.15) и (5.3.16) в (5.3.14) и учитывая, что <^эр=(М2 —

—I)-1; 51п2р,=М-а, получим

ОУ ( 2У\
ах 1

51В р — Х2д соя р

|-Х2д соз9*- 51П ?) —

(41 51Пр-|-СО5р) + —Их1(Д41 СОЗ?—51П ?) —

______СОЗ ?

I — С03?р/31П2{х

6—1

2к

--------^.=0.

1 — СОЗ? Р/81п2(1 ап

Учитывая, что [(Л—1)/2](1 — 1/г/1/щ„)=аэ/1/^х=1/351п2(1,
найти

МОЖНО

1,2

(Хм^ир + созр)^ п ах

Х2)1С03р — 51П р	у

$1П2рС03р

(41 соэ Р з1п 0) (5*п2Р- соэ2 Р).

ах зтгИр. аз
кЦ (з!л2р, — соз2 р) (Хад соя р — зш р) ап

(5.3.17)

Произведя замены 4|(Р^р) и 11,а=<Е (Р—и). преобразуем
отдельные выражения, входящие в (5.3.17), к следующему виду:

Хдт1 31П р 4- СОЗ р  ЦТ (р 4 р) 51П ? 4- СО5 Р 1

>2,! СОЯ р “ 31П р ЦТ (р 4 р) СОЗ р — 31П р =Р р

(5.3.18)

________________31П2 р. СОЗ р_____________ 51П (Р ± р.)	.

1,2 (Хзд СОЗ р — зш Р)(31П2 р — СОЗ2 р) СОЗ (Р ± р)

_________________51 Пирсон р_________________ 51П (Р ± р) —

[1Е (0 Т и) соз 0 — ЯП Р) соз (₽ + р) соя (Р — (1) соз (Р ± р)

31П2р. СОЗ Р СОВ (р =Р р) _ 51П (р ± [1) — 51П|1СОзР  

31 л р. соз (Р 4- р.) соз (р — и)	ста (₽ 4- н) сов (Р ± н)

= . 8‘". ? е. ;	(5.3.191

СОЯ (Р ± р)

51гИр,
(81П2 (1— СОЗ2 р) (Хзд СОЗ р — 31П Р)

31П4|ь
соз (Р 4-(1) соз (Р — ц) (31П Р — (Р 41 Р-) СОЭ р]

=	- ± в1П^С05(Р 4 {Л)	_ ± ЗЙ131Л	5 3 2

СОЗ (р 4- р) СОЗ (Р — {1) 31П [А СОЗ (Р ± р.)

209
С учетом выражений (5,3.18)^(5.320) уравнение (5.3.17) для ха- ~
рактеристик соответственно первого и второго семейств принимает
вид:

— — 1я М3 — е — 81п^ 51п Р	| ах

V	у соз (р + к) "Г кН соз (р + р)

ап

(5.3.21)

«/V .	,0	<1х

—+1ер</₽—е—

V	у

81П |1 81П р	5!П3р.

1 1 --------“ ~- — • —

соз (р р) кН сое (р — р)

-^-=0. (5.3.22)

Вместо градиента энтропии с18/с1п можно ввести градиент дав-
ления торможения <1ръ1йп. С этой целью воспользуемся зависимо-
стями (4.3.6) и (4.3.20), из которых получим для разности энтропий
формулу

5а	(Л — 1) 1п	р0).	(5.3.23)

Так как съ(к—1) =/?, то, вычисляя производную по п и обозначая
найдем

1	_	1 ^Ро

р ’	'ап

(5.3.24)

Таким образом, уравнения для характеристик в плоскости годогра-
фа можно переписать в виде:

. *У х/й ах

V	у

8]П р 8] П р,
СОЗ (р 4- р)

С1е|л ^+е/В-е^.я!п^!П(1
V Т Я	' крй

ах

ах 51П2р-С03р.	<Рй „

—0*

кРъ соз(Р4-|а)	ап

(5.3.25)

5!П® [Л СОЗ р. ^Ро
соз (р — (1) ап

=0. (5.3.26)

Введем новую переменную

(5.3.27)

которая по смыслу представляет собой некоторый угол. Отношение *
с1У/У выразим в виде &,/%(&= V/а*), а с<$ р представим с помощью ?
(3.6.23) в следующем виде:

с1Е|*=Умг-1=|/ (>.=—1) К*
Следовательно.

1

(5.3.28) /

С5.3.27')|

$

?!
Этот интеграл можно вычислить в элементарных функциях. Ис-
пользуя подстановку

получим

или

2 р	А^аА

о»=-------------------------“

* О (1 + Л2) ( 1 + ^=~ лй
\ я -г 1	/

О	о

Интегрируя, найдем

(5.3.30)

Имея в виду,что Хтм=Ута1/а*=}л(Л+1)/(А—1), получим

к2—I

I2 — 12
лтах А



. 18-1 . (5.3.30')

х2 -х«
лшах

вменяя в (5.3.30) X на М в соответствии с (5.3.28).'запишем



2— 1. (5.3.31)

Из уравнений (5.3,30') и (5.3.31) видно, что угол ш является функ-
цией только числа к (или М) и, следовательно, заранее может быть
вычислен, что облегчает расчеты сверхзвуковых течений газа по ме-
тоду характеристик.

Значения о для различных чисел М при к= 1,4 представлены в
табл. 5.3.1. В этой же таблице приведены углы наклона линии воз-
мещения, рассчитанные по формуле р=агсзт (1/М). Внося угол
со в (5.3.21) и (5.3.22), получим для характеристик уравнение

с1 ^1й + 3) — е

Ах

У

51П Р 51ГЦЛ йх 51 п2 у. соэ р. г/5
соь (р ± р) — АУ? со® (р ± $1) Ап

0. (5.3.32)

Соответствуютцая подстановка в (5.3.25) и (5.3к26) дает

й +

Ах

51П р 51П р. Ах 51П2ЦСО5р

СО5 (р ± и)	• (СО5 р ± (1)

Ап

=0. (5.3.33)

211

У
м		(1°	м	Он»	V?	м		р.0
1,00	0,000	90,000	4,00	65,785	14,478	7,00	90,973	8,213
1,10	1,336	65,380	4,10	67,082	14,117	7,10	91,491	8,097
1,20	3,558	56,443	4,20	68,333	13,774	7,20	91,997	7,984
1,30	6,170	50,285	4,30	69,541	13,448	7,30	92,490	7.873
1,40	8,987	45,585	4,40	70,706	13,137	7,40	92,970	7,776
1,50	11,905	41,810	4,50	71,832	12,814	7,50	93,440	7,662
1,60	14,861	38,682	4,60	72,919	12,556	7,60	93,898	7,561
1,70	17,810	36,032	4,70	73,970	12,284	7,70	94,345	7,462
1,80	20,725	33,749	4,80	74,986	12,025	7,80	94,781	7,366
1,90	23,586	31,757	4,90	75,969	11,776	7,90	95,208	7,272
2,00	26,380	30,000	5,00	76,920	11,537	8,00	95,625	7,181
2,10	29,097	28,437	5,10	77,841	11,308	8,20	96,430	7,005
2,20	31,732	27,036	5,20	78,732	11,087	8,40	97,200	6,837
2,30	34,283	25,771	5,30	79,596	10,876	8,60	97,936	6,677
2,40	36,746	24,624	5,40	80,433	10,672	8,80	98,642	6,525
2,50	39,124	23,578	5,50	81,245	10,476	9,00	99,318	6,379
2,60	41,415	22,620	5,60	82,032	10,287	9,20	99,967	6,240
2,70	43,621	21,738	5,70	82,796	10,104	9,40	100,589	6,107
2,80	45,746	20,925	5,80	83,537	9,928	9,60	101,188	5,979
2,90	47,790	20,171	5,90	84,256	9,758	9,80	101,763	5 857
3,00	49,757	19,471	6,00	84,955	9,594	10,00	102,316	5,739
3,10	51,650	18,819	6,10	85,635	9,435	10,20	102,649	5,626
3,20	53,470	18,210	6,20	86,296	9,282	10,40	103,362	5,518
3,30	55,222	17,640	6,30	86,937	9,133	10,60	103,857	5,413
3,40	56,907	17,105	6,40	87,561	8,989	10,80	104,335	5,313
3,50	58,530	16,602	6,50	88,168	8,850	11,00	104,796	5,216
3,60	60,091	16,128	6,60	88,759	8,715	11,20	105,241	5,123
3,70	61,595	15,680	6,70	89,335	8,584	11,40	105,671	5,032
3,80	63,044	15,258	6,80	89,895	8,457	11,60	106,087	4,945
3,90	64,440	14,857	6,90	90,441	8,333	11,80	106,489	4,861
						12,00	106,879	4,780

Уравнения (5.3.32) и (5.3.33) соответствуют наиболее общему”
случаю сверхзвукового двухмерного (плоского или пространствен-
ного) вихревого (неизэнтропического) потока газа.

Уравнения для характеристик в плоскости годографа
для частных случаев движения газа

Вид уравнения для характеристик (5.2.5) в физической плоско-
сти одинаков для всех случаев течения газа, если это течение сверх-
звуковое и двухмерное. Но в плоскости годографа уравнения для
характеристик будут различными в зависимости от вида течения.

Если двухмерное течение безвихревое, то согласно (5,1.23) во
всех точках пространства, занятого газом, энтропия будет постоян-
ной (^5/^п=0) и, следовательно, уравнение для характеристик прн-
нимает более простой вид:	~

а + 8)-е	(5.3.34) '

У соз(р±р)
212
*
Для плоского неизэнтропического потока (е—0)

а (ш Т № ±	. ^1=0.	(5.3.35)

к# СО5 (р ± {I) Лп

В наиболее простом случае плоского безвихревого течения
(48/4п=0)

4(ш + В)=0.	(5,3.36)

Интегрируя (5.3.36), получим 0= +(о+соп5*. Вводя вместо кон-
станты некоторые постоянные значения углов 01 и 02, первый из ко-
торых соответствует знаку плюс перед ш, а второй — знаку минус,
найдем уравнение для характеристик в виде

?= ± 4" Ь.а*	(5.3.37)

Внося вместо ш зависимость (5,3.30'), получим

(5.3.38)

1 аким образом, в отличие от уравнения (5.2.5) для харак-
теристик в физической плоскости н уравнений (5.3.32), (5.3.34)
или (5.3.35) для характери-

стик в плоскости годографа,
имеющих дифференциальную
форму, соответствующее урав-
нение (5.3.38) для характе-
ристик плоского изэнтропиче-
ского потока имеет явную фор-
му. Геометрически это уравне-
ние определяет два семейства
кривых —характеристик, рас-
полагающихся в кольце, внут-
ренний радиус которого А= 1, а
наружный Ашах=[(А+1)/(^—
—ОР'2 (рис. 5.3.3.), Постоянная
интегрирования 01 и знак плюс
перед функцией ы(А) соответ-
ствуют характеристике первого
семейства, а постоянная 02 и
знак минус — второго семей-
ства. Эти кривые являются

Рис. 5.3.3. Эпициклоиды — харак-
теристики плоского сверхзвуково-
го потока;

I — характеристика первого семейст-
ва; 2 — характеристика второго семей-
ства

эпициклоидами, которые

можно получить, следя за движением точек окружности радиуса
ОДX (Ашах—1) (рис. 5.3.3). Полярными координатами точек эпи-
циклоиды являются угол 0 наклона вектора скорости и относи-
тельная скорость А.

213
Анализируя график, на котором изображена сетка эпициклоид,
можно сделать вывод, что возрастанию скорости, обусловленному
расширением потока, соответствуют большие по абсолютной вели-
чине углы р, т. е. более значительное отклонение течения от перво-
начального направления. При меньших скоростях будет меньшим
и отклонение потока.

Угол наклона вектора скорости непосредственно определяется
углом со, физический смысл которого можно установить из (5.3,37).
Предположим, что постоянные интегрирования р1 а=0. Это означа-
ет, что расширение потока начинается от условий р=0 и М=1. В
соответствии с этим величина р— ±ы(М) будет представлять со-
бой угол отклонения потока при его изэнтропическом расширении
ют точки, где М=1, до состояния, характеризуемого некоторым про-
извольным числом М>1, которое равно верхнему пределу при вы-
числении интеграла (5.3.27').

Из сказанного видна разница между углом отклонения потока с
числом М>1 от некоторого первоначального направления и углом
Р= ,±®, определяющим полный поворот потока при его расширении
от состояния, характеризуемого числом М= 1.

Угол отклонения потока в некотором произвольном сечении
можно определить следующим образом. Предположим, что известно
начальное число М1> 1, которое в результате расширения потока
увеличилось и достигло величины Мг>М]. Числам М: и М2 соот-
ветствуют углы €0] и отклонения потока от направления течения
в точке с числам М—1, которые могут быть определены графиче-
ски при помощи одной какой-либо эпициклоиды из выражения *
(5.3.31) или табл. 5,3.1. По значениям ©], а2 находим углы наклона
векторов скорости. Рассматривая, в частности, характеристику
первого семейства, получим Р1=Ы](М]), Рг~®й(М2). Следователь-
но, угол отклонения от начального направления

Лр=?2 —₽1=<"2 (Мг)—<»! (М1).	V ::	(5.3.39)

Расчеты можно проводить в обратном порядке, определяя по из-
вестному углу Др отклонения потока и начальному числу М] соот-
ветствующее местное число М2. С этой целью из (5.3 39), (в данном
примере также рассматривается характеристика первого семейст-
ва) вычисляем

^(М2)=Д?+^(М1)-	(5.3.40)

Из графика или табл. 5,3.1 по величине ш2 находим соответствую- <
щие значения Х2 или М2.

Представляет интерес вычисление предельного угла от-
клонения потока, необходимого для получения максимальной ско- ’
рости Утах- Предположим, что отклонение начинается от началь- '
кого числа М^1. В этом случае предельный угол отклонения нахе- 
дится по формуле (5.3,31), в которой необходимо принять значение
214
М, соответствующее Ут**, равным бесконечности:

“«=(я/2) (V (А+ 1)/(к— 1) -1);

для А=1,4 значение «щах—0,726	30,46°.

Таким образом, сверхзвуковой поток не может повернуться на
угол, больший сотах, и теоретически часть пространства остается
не заполненной газом.

Если начальное число М, от которого начинается отклонение^
больше единицы, то угол этого отклонения, отсчитываемый от на-
правления при М-1, будет ш(М), а предельный угол отклонения^,
соответствующий этому числу,

?ив=“я,х—»(М)=(я/2)(К(А4- !)/(*-1)- 1)- И(М);

ДЛЯ к— 1,4 угол ртах =130,46° — СО (И).

При гиперзвуковых скоростях расчет функции со и, следователь-
но, углов отклонения упрощается. Действительно, для М^>1 члены,,
входящие в (5,3.31), можно с точностью до величин более высокого
порядка малости представить в виде

агс1^

агс^ /М2- 1^я/2^ 1/М.

В соответствии с этим

2	1

к — 1 ’ М

Формула, соответствующая (5»3.39), примет вид

2/1___1_

к Дм2	Мх

(5.3.41>

(5.3,39'}

Все полученные зависимости найдены для совершенного
газа. Однако при очень низких давлениях свойства совершенного
газа теряются, поэтому вычисленные предельные углы отклонения
не реализуются и имеют лишь теоретическое значение.

§ 5.4. СХЕМА РЕШЕНИЯ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ПО МЕТОДУ ХАРАКТЕРИСТИК

Определение параметров возмущенного сверхзвукового течения
связано с решением системы уравнений для характеристик в фи-
зической плоскости и в плоскости годографа, если начальные усло-
вия некоторым образом заданы в виде условий Коши. В общем слу-
чае двухмерного н©изэнтропического потока эта система имеет вид:
для характеристик первого семейства

</у=г/х18(3-[-ц);

(5.4.1>

215.


?)-8(^X4-(а!х/А^Хй5/йп)г=0;	(5.4.2)

для характеристик второго семейства

(?—!*);	(5.4.3)

и (“ + Й — * (<[Х1У)т—(Л*/ВД) (</$/Л») I=0,	(5.4.4)

где коэффициенты:

/=51П 3 8Ш Р-/СО8 (З + Р'), С=51П2!*СО5!*/СО5(р-|"^К (5.4,5)

81П р $1П !*/СО8 (р —(*), /= 81П2!*СО$ 1*/сО5(^ — ц).	(5.4,6)

Для двухмерного изэнтропического потока

^л=0,	(5.4.7)

поэтому система уравнений упрощается:
для характеристик первого семейства

(₽+»*);

</(«) —р)—г ((/л/р)/=О;	(5.4.8.)

для характеристик второго семейства

ау=ах (?-Н;

а (ш+р) - в (ах/у) лх=О.	(5.4.9)

Для плоского потока в уравнениях принимают е=0, для прос-
транственного осесимметричного е—1, а вместо у подставляют г.

Решение по методу характеристик любой задачи об обтекании
тела складывается из решения трех частных задач.

Первая задача связана с определением скорости и других па-
раметров в точке пересечения характеристик различных семейств,
выходящих из двух близко расположенных точек.

Предположим, что определяются параметры в точке С (скорость
Ус, число Мс, угол отклонения потока рс, энтропия 5с и др.), ле-
жащей на пересечении элементов характеристик первого и второго
семейств, проведенных из точек А и В (рис, 5.4.1, а). В этих точках,
расположенных на разных линиях тока, известны скорости Ра, Рв
и другие параметры, в том числе энтропии 5д и 5В.

Все расчеты основаны на использовании уравнений для харак-
теристик (5.4.1) -=-(5.4,4), которые записываются в конечных разно-
стях:

для первого семейства

ЬУв= Л-^в^Ов+^в);	(5.4.10)

Д“в— Д?д—е (&Хв/Ув)1в+(Мв/Ы?)	св=0; (5.4.11)

для второго семейства

Д»л=А*л*8(?л-1*л);	(5.4.12)

216

-с
Д“>л+Д₽л - 6 (Д^л/?л) тл - (ДЛв/АЯ) (Д5/ДЛ) /л=0, (5.4.13)
где

ЬУв^Ус — Ув* Ьхв=хс—х& №в=ис—и>в, ДРлМс —(5.4.14)
ЬУа ' Ус— У а* №а=хс—ха> Д<оа=<йс—ша> Л?аН<Н/(

1В= 51П рд 5ЙП !*В/СО5 (Рв+ня)’ св= 5*п2 Нв СО5 Рв/СО5	+Рл),5 4 15)

Шд = 51П ₽д 51П ^СОЗ (₽д - рл), 1А = 51П2 Ид СОЗ РЛ/СО5 (?д—|*д).Р “ ‘

Уравнения (5.4,10)-г (5.4.13) записаны в предположении, что ко-
эффициенты Л т, с и / сохраняются постоянными при переме-

Рнс. 5.4.1. Схема расчета скорости в точке пересечения двух ха-
рактеристик различных семейств:
а — физическая плоскость, б — плоскость годографа

щении вдоль элементов характеристик ВС и АС и равны их значе-
ниям в начальных точках В и А

Изменение энтропии на единицу длины нормали Д5/Дп вычис-
ляется следующим образом. Из рис. 5.4.1, о видно, что расстояние
между точками В и А

дл^(АС) 31П р,д + (ВС) зт
где

АС— лд)/с05 (рд—|*д), ВС	~ГР'в)"

Вводя обозначения е=(хс— хА) 51'п ^д	/—(хс~

— хв) з1п соз (рд—|*д), получим

Д5 _ (5А — 5д) со» (Рв + Р-л,) «те (рл — (дд >	4 1е<

Дл	/ + «

Энтропия в точке С определяется из соотношения

5с= Д^+$В=4^ <бС>8{п ’кв+5з =<5л ~,5й)/+5В. (5.4.17)
аП	/ +с
Градиент энтропии можно заменить градиентом давления тор-
можения в соответствии с (5.3.24):

1 Д$  ______1 Арр_______(Рол —	соа (Рд + Рд) со» (^Л- -^л)

« 'йл ~ л ' Ап ~	<?+*)ри

(5.4.18)

Давление торможения в точке С

рос — (рол — Ров) //(/ + ₽) + Ров-

(5.4.19)

Для определения координат Хс, Ус точки С необходимо решить
систему уравнений (5.4.10), (5.4,12) для элементов характеристик
в физической плоскости:

Ус " У в — (лс “ -*в) (?в+Нв)> Ус — Ул=(лс ~~ *а)	(?л — На)*

Графическое решение этих уравнений показано на рис. 5.4.1, л

По найденной величине хс определяются разности Ахв~хс—Хв>
Лхд=хс—хА, входящие в уравнения (5.4,11), (5.4.13). Неизвестны-
ми в этих уравнениях являются приращения Дов, Д«а> Л0в и Дрл-
Число неизвестных можно сократить до двух в соответствии с коли-
чеством уравнений системы. Для этой цели напишем очевидные
соотношения:

Д“л=®с—и)л=Дщв+шв““л; 1	.-49П.

Д?л=₽с-₽л=Д?л+₽Л-?л- I	1	'

С учетом этих соотношений уравнение (5.4.13) преобразуется к
виду

Д“а+“в—“а + д₽в+ —Рл—Е —Д- тА----4-. — 1Л=0. (5.4.21)

Решая это уравнение совместно с (5.4.11) относительно переменной
Дрв, получим

1 г 1 Л5 , ,	, /Лх. Дх_ \

Д₽в=-г ~  — (Д*л/л + Д*лСв)+е(--21я1л------------

|_ «К ДЛ	\	У В /

— (шв ~~ ^л) ~~ (?з — ?а)	(5.4.22)

По найденному значению Л0в вычисляем из (5.4.11) приращение
функции ш:

Дшв= Л₽в+ е —~ 1в-------ттг - ~Т~ св- (5.4.23)

Ув як Дл

Теперь можно вычислить для точки С углы:

~ Ашв “Ь “в*	(5.4.24)

По найденной величине шс определяем из табл. 5.3.1 число Мс Я
угол Маха рс в точке С.
Схема графического решения системы уравнении для характе-
ристик в плоскости годографа, в результате которого определяются
тол ре н число Хс (ЛМ, показана на рис. 5.4.1, б, где В'С' и
ГС' — элементы характеристик первого и второго семейств, соот-
ветствующие элементам сопряженных характеристик ВС и АС в
эизической плоскости. По найденному числу Мс (или Хс) при не-
обходимости могут быть найдены такие параметры, как давление»
глотность, температура и др.

Вычисленные параметры можно уточнить, если в уравнения
5.4,10)4-(5.4.13) подставить вместо /в, мд, с в, *л величины, полу-
живые по значениям углов риц, средним между заданными в
'очках А В и найденным в точке С в первом приближении, т. е.
ю значениям:

0?М₽л+₽с)/2, И?>=(в+ М/2- |

(5.4.25)

точненные координаты хс, Ус точки С будут найдены из уравне-

(5.4.26)

««= МСВ	Д0л=Д-’^кИ?,-|*<л>)-

’нс. 5.4,2. Схема расчета скорости в точке пересечения харак-
теристики со стенкой:

а — физическая плоскость; б — плоскость годографа

вторая задача заключается в расчете скорости в точке пересе-
'ения твердой стенки с характеристикой. Пусть точка В располо-
жена на пересечении со стенкой прямолинейного элемента ИВ ха-
рактеристики второго семейства, проведенной из точки Р, располо-
женной вблизи стенки (рис. 5.4.2). Скорость в этой точке по вели-'
гине и направлению, энтропия, а также координаты точки известны.

Определение скорости в точке В ведется непосредственно с по-
Ю1 пью уравнения (5.4.4) для характеристики второго семейства,
-ели отнести это уравнение к условиям вдоль элемента характери-
21»
стики РВ н записать в конечных разностях, то

Д®о= ~	то—(д5/Дд)/д, (5.4.27)

где

дц}0—дро — рв—дХд—хя	! Г5 4 28)

/Ид= 81П	Нл/С°5(₽о — Но)* *л = 51П2Но СОЗ|*О/СО8 (3^—Но)Л	‘

АЗ _ (5в —	сод (?д — р-д)

Дл	-\в)5ш^о

или

А5______/? АРо =Я (Ров"^Ор)с°5 (^П-Нд) (5 4 29)

Дл~ Рои ' Дл Роо (*о”*в)вЪ1^

Координаты Хвг у в точки В определяются из совместного реше-
ния уравнения для характеристики второго семейства и уравнения
контура стенки:

Ув‘-Уо=(*в~Ъ>) Ш₽о“Нр); Ув=/ (-*>)	(5.4.30)

Графическое решение этих уравнений показано на рис. 5.4.2, а.

По найденным координатам хв, ув вычисляем из уравнения

<8 ₽в=(^/^)в	(5.4.31)

угол 0в- Энтропия 5в (или давление торможения рЛов) в точке В
считается величиной известной и равной ее значению на линии то-
ка, совпадающей с контуром стенки, причем вдоль этого контура
энтропия рассматривается постоянной.

Вычислив по (5.4.27) приращение Дол, можно найти угол шв=
—Лов+ов, а затем по табл. 5.3.1 определить число Мл. Схема гра-
фического определения скорости в точке В показана на рис. 5.4.2, б,
где элемент &'В' характеристики второго семейства в плоскости
годографа соответствует элементу характеристики того же семей-
ства в физической плоскости.

Третья задача заключается в вычислении скорости в месте пе-
ресечения характеристик со скачком уплотнения и определении из-
менения наклона скачка в этой точке. Так как характеристика по
своей природе является линией слабых возмущений, то указанное
пересечение физически соответствует взаимодействию слабой вол-
ны со скачком уплотнения. Пусть на скачок уплотнения задан-
ной формы у—((х) (рис. 5.4.3, а) падают в точках 5 и Н близко
расположенные волны разряжения, которым соответствуют харак-
теристики первого семейства. В результате происходит уменьшение
интенсивности и, следовательно, наклона скачка уплотнения. Так
как точки 5 и Я являются источниками возмущений, то возникнут
отраженные волны разряжения и через эти точки можно провести
характеристики второго семейства. Одна из таких характеристик,
проходящая через точку 5, пересечет соседнюю сопряженную ха-
рактеристику в точке Г, называемой узлом характеристик,
220
Для определения изменения наклона скачка и скорости за ним
используются свойства характеристик 5Г и ГН, проходящих че-
рез узел Г, а также зависимости для расчета скачка уплотнения.
Так как длина 8Н скачка мала, то можно принять этот участок
прямолинейным. Угол наклона скачка на этом участке и соответ-
ствующие параметры газа приближенно равны их значениям в точ-
ке Н пересечения элемента РН характеристики первого семейства
со скачком.

Одним из неизвестных параметров является угол наклона век-
тора скорости рн в этой точке, который можно представить как
рн—где Арг = рн—рг, а рг— известный угол наклона век-

Рис. 5.4.3. Схема расчета скорости в месте пересечении ха-
рактеристик со скачком уплотнения:

а — физическая плоскость; б — плоскость годографа: 1 — характе-
ристики первого семейства; 2 — характеристики второго семейства

тора скорости в точке Р. Для вычисления второй неизвестной —
числа Мн в той же точке — воспользуемся формулой



(5.4.32)

в которой (4М/о?р)в—производная, вычисляемая из теории скачка
уплотнения для известных условий в точке 5; величина Арвщ опре-
деляемая изменением угла р вдоль элемента скачка, равна разности
Дн—р5- Эту величину приближенно можно принять равной измене-
нию угла р вдоль элемента РН характеристики первого семейства
Аргн= рн—рг-

Производная вычисляется в результате дифференциро-
вания (4.3.193:

^^2	м Г о. /й п \	1 \ ।

—-=—~= — м2 с*е(0с~ ?с)(—-— 1) +

Д.2	1

511124г (т1) 	<5-4-33)

2(1 — о)	\ [1] /4
Входящую в правую часть производную ^(ра/р1)№с вычислим, про-
дифференцировав (4.3.13):

_^_/’22.)=2с^вс Ц-8 21)21..	(5.4.34)

“Рс \(1/	\ (Ч / (4

Для определения производной	поступим следующим обра-

зом. Сначала продифференцируем (4.3.24):

й { ?2 \__ р2 ( Г________1________________1__________ I

\ Р1 / Р1 I ^₽С I Б1П вс С05 6С	51П(6С — ₽с»8 (6С — Ре)!’

н---------------------1 -

81П (Вс — ₽с)С0®(ес — Ес) 1

Это соотношение можно несколько преобразовать, воспользовав-
шись (4.3.24):

/ р?\_ Ра _________1______ (	( <*»? (6с ~Ес) _ ₽2 I Ра 1

\ Р1 / Р1 !₽бсс°5г(®С—Ес) I ^Рс I сов26с ₽1. Р1Т"

(5.4.35)

Приравняв правые части (5.4,34) и (5.4.35) и решив полученное
уравнение относительно производной </6сМЗс, найдем

2^=21Г2 соз*(вс- ₽с)р -8-Я)----------55?г<ес-^).+ М-\ (5.4136)

<#₽С Р1 [ ,с Л п) «>»’8с	₽1 1

Напишем далее соотношение для изменения числа М при пере-
ходе вдоль характеристик от точки Г к точке Н, т. е. для величины
АМк^Мн—Мр. С этой целью подставим сюда вместо Мд выраже-
ние (5.4.32):

ДМ,=М5+(^М/^Д₽Г-М,.	(5.4.37)

От числа М можно перейти к функции со, определяемой зависимо-
стью (5.3.31):

(5.4.3$)

где

(аш/^₽)5=(ам/^)5 (^/д?м)5.	(5.4^9)

Производная </со/4М определяется в результате дифференцирова-
ния (5.3.31):

(5.4.40)

Относя к элементу Г// уравнение (5.4.11) для характеристики
первого семейства, найдем

д<л)^ — Дру? —* в	4“ ((Д^/дл) Ср = 0, (5.4.41)

где
1р=51П $т (1г/сО5 (₽г+нД	зш2 руг соз (1г/со5 (Р/г+рД (5.4.42)

Расстояние вдоль нормали к линии тока между точками Г и Н

М=(РН) 5Ш 1*,=—** ** . мп |*л-
со&(₽^+лг)

Следовательно» градиент энтропии» входящий в (5.4,41)»

Д5 (Зи — 8р} соз 4-

Ал” (Хя"Л^)а‘П^
или
ДЗ _	%	Лр) 006

Дп~ Рог (ЖЯ-*Л)»Ш^

(5.4.43)

(5.4.44)

(5.4.45)

где р'ои находится по числу Мн из теории скачков уплотнения.

Энтропию 5₽ или давление торможения р'^р в точке Г можно
приближенно принять равными соответствующим значениям в точке
5 на скачке, т. е.	н р'^^р^

Решая уравнения (5.4.38) и (5.4.41) относительно Др^, получим

ал

Дх

Подставляя значение Лрк в (5.4.38), можно найти До>р, подсчитать
угол шн=Дшн+©р и уточнить число Мд. -Вычислив угол Рн=ДРк-Ь
-гр^ находят по значениям этого угла, а также заданного числа
Л!» новый угол бен наклона скачка в точке Н и таким образом
уточняют его форму на участке 8Н. При необходимости расчеты
можно провести во втором приближении, принимая вместо пара-
метров в точке 5 их средние значения между точками 5 и Я. В част-
ности, вместо углов ыд и ре берутся соответствующие средние зна-
чения 0,5 ((1)6Ч-шн) и 0,5(рз+рн).

На рис. 5.4.3, б показана схема графического решения. Точка Нг
на плоскости годографа, соответствующая точке Н в физической
плоскости, определяется в результате пересечения элемента Г'Н’
характеристики первого семейства с ударной полярой, построенной
для заданного числа Ми> набегающего потока. Вектор О'Н' опреде-
ляет скорость Ли в точке /7.

§ 5.5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ
О ПРОФИЛИРОВАНИИ СОПЛ

СВЕРХЗВУКОВЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ТРУБ

Метод характеристик позволяет решить одну из важнейших задач газодина-
мики, связанную с определением формы сопла аэродинамической трубы, пред-
назначенного для получения двухмерного плоскопараллельного сверхзвукового
С заДанно“ скоростью. Сопло, обеспечивающее такой поток, представляет
собой насадок, у которого передняя и задняя стенки плоские, а верхняя и ниж-
няя стенки имеют криволинейный, специальным образом спрофилирован-
ный контур (рис. 5.5.1).

Помимо определения формы криволинейного контура в расчет сопла входит
вычисление параметров газа в форкамере (параметров полного торможения) я
в критическом сечении, а также его площади 5*. Заданными обычно являются
параметры газа на выходе сопла — число М« и давление площадь выходно-
го сечения 5=№, а также температура газа в форкамере То. Площадь критиче-
ского сечения сопла находится из уравнения расхода (3.6 44), которое напишем
в виде рв УяЛ=р*а*5*. Отсюда

= (Р«у«/Р*я*) $ =

Из (3.6.46') следует, что параметр д определяется заданным числом М„ на вы-
ходе сопла. По этому значению мЛ и давлению р«> на выходе можно найти,

Рис. 5 5.1. Сопло сверхзвуковой трубы:

1—верхняя стенка, 2— тадияи стенка; 3—выходное сечение;

4 — нижняя стенка; 5 — передняя Стенка; 6 — критическое сече-
ние; 7 — форкамера

применяя формулу (3.6.29), давление в форкамере р0, необходимое для обес-
печения заданного числа М„ на выходе.

Затем задаются углом 2у непрофилированного сопла (ряс. 5.5.2). Как пока-
зывают экспериментальные исследования, этот угол обычно выбирают равным
304-35°. Малые его значения приводят к излишне большой длине сопла, при ко-

Рнс 5.5 2. Непрофилнрованное плоское сверхзву-
ковое сопло с радиальным потоком

торой на его стенке образуется толстый пограничный слой, уменьшающий полез-
ное сечение сопла. При увеличенных же значениях угла раствора может произой-
ти срыв потока, что сделает непригодным применение сопла в эксперименталь-
ных целях.

Если входную часть сопла выполнить достаточно плавной, то движение в
нем на участке ниже критического сечения можно рассматривать как расши-
ряющийся радиальный поток из источника, расположенного в точ-
ке О. Такое течение обладает тем свойством, что его направление совпадает с
направлением радиальных линий, выходящих из точки О. Изменение параметров
газа по величине вдоль каждой из этих линий будет иметь одинаковый харак-

224
тер. Длина дозвукового участка сопла единичной ширины определяется величи-
ной г*=$*[360/(2л-2у-1)], а расстояние до выходного сечения гл =5[ЗбО/(2лХ
Х2у-1)].

На участке сопла, ограниченном дугами двух окружностей с радиусами г*
и га, т. е. за пределами критического сечения, газовый поток будет сверхзвуко-
вым. Профилирование сопла состоит в том, чтобы прямолинейную стенку ВС на
этом участке заменить криволинейным контуром, обеспечивающим постепенный
перевод радиального потока в плоскопараллельное течение на вы-
ходе с заданной скоростью. Для этой цели проведем из точки О ряд
близко расположенных линий и определим скорости (числа М) на этих линиях
в точках пересечения А[, ..., Ап характеристики одного из семейств ААП (бу-
дем считать ее характеристикой второго семейства), выходящей из точки Л на
дуге радиуса гл (рис. 5.5.3). При этом точка А[ находится на пересечении

Рис. 5.5.3, Построение профилированного слерхзвукового
плоского сопла

луча Г1 = АО, с элементом характеристики ЛЛ>, проведенной под углом р„ =
= - ЗГС51П (1/М

Число М1 в точке ЛЕ находится при помощи выражения 91—5*/5[. Так как
в нем $1=2лп-1 (Зу/ЗбО), 5*=2яг*-1 (2у/ЗбО), то 91=г*/г1. Применяя (3.6.46),
можно найти и соответствующее число М(.

Аналогично определяем координаты точки А? пересечения соседнего луча
г2=ОАа с элементом характеристики А]Аа, наклоненной к прямой ОЛ[ под углом
р,1 = агс81п (1/М]), число М2 в точке Аа и т. д. В результате можно построить
характеристику второго семейства в виде ломаной линии АА[ ... АП_[АП> пере-
секающей прямолинейную стенку сопла ВАп в точке Лп. В этой точке, как и в
других точках Ап-2. Ап_], Лп пересечения характеристики с прямыми, выходя-
щими из источника О, можно вычислить соответствующие числа Маха и углы
р=агС51П (1/М).

Область течения ОЛЛП с известным полем скоростей, ограниченная харак-
теристикой Л А п и прямолинейными стенками сопла, называется треугольни-
ком определенности. Вид этого течения будет сохранен, если изменить
форму контура сопла за точкой Ап вниз по потоку, так как возникающие при
этом возмущения не могут распространиться вверх по течению за пределы ли-
нии Маха ЛЛП. При этом изменение формы контура можно осуществить таким
образом, чтобы радиальное течение на линии Маха постепенно перешло в плос-
копараллельный поток на выходе сопла с заданным числом М®,

Учитывая это условие, можно построить характеристику первого семейства,
выходящую из точки А и имеющую вид прямой линии. Если теперь определить
поле скоростей между характеристиками АЛЯ и ЛЛт, то можно найти соответ-
ствующие линии тока. Та линия тока, которая проходит через точку Лп, и бу-
дет совпадать с профилированным контуром сопла.

Для определения поля скоростей воспользуемся условием, что в рассматри-
ваемом плоском потоке все характеристики первого семейства, выходящие из
точек Ап-г, Ан, как и характеристика АЛт, будут прямыми (см. рис. 5.5.3).
Наклон каждой характеристики к радиальной линии определяется соответствую-
щим углом Маха Н1 = агс5ш (1/М,). Ца=агс51п <1/М2) и т. д., а скорость вдоль
характеристики — соответствующим ее значением в начальных точках А], Аа...

8—707	225
Рассмотрим линию тока, выходящую из точки Ап. Начальный участок этой
линии совпадает с направлением скорости в точке Ал и представляет собой пря-
мую, являющуюся продолжением контура ВАп до его пересечения в точке
с характеристикой первого семейства ЛП_1ЛП. За точкой элемент линии тока
совпадает с направлением скорости в точке Л1, равной скорости в точке Лц_ь
Проводя из точки Л! прямую, параллельною лучу СМп-1, до пересечения в точ-
ке Л2 с характеристикой Аг.2&2, получим следующий участок линии тока За
точкой Л2 линия тока на участке	(точка лежит на характеристике

первого семейства Л2Лт_2) будет параллельна прямой О А п -2- Аналогично ведет-
ся построение остальных участков линии тока. За точкой Лт, лежащей на ха-
рактеристике АОт, участок линии тока параллелен осп сопла. Контур сопла,
совпадающий с линией тока /1ц и построенный в виде плавной кривой,
обеспечит получение на выходе сопла параллельного сверхзвукового потока с
заданным числом М„.

Рассмотренный метод профилирования не предусматривает учета влияния на
форму контура сопла пограничного слоя, который несколько искажает характер
течения, изменяя вид линий тока по сравнению с расчетными Приближенно
влияние пограничного слоя может быть учтено, если контур на выходе откло-
нить от оси сопла на угол, равный 10-7-20'.

Применяя уравнения для характеристик двухмерного пространственного те-
чения, можно аналогично осуществить пострвение контура (образующей) круг-
лого сопла, предназначенного для получения на выходе пространственного осе-
симметричного сверхзвукового потока с заданной скоростью.
ГЛАВА VI

ПРОФИЛЬ И КРЫЛО КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
В ПОТОКЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

I

В этой главе рассмотрены задачи, связанные с приложен нем
аэродинамической теории к расчету обтекания профиля крыла. Ха-
рактерной особенностью этого обтекания является образование
плоского возмущенного течения около профиля. Для его исследо-
вания используются уравнения аэродинамики — более простые, чем
для трехмерных потоков.

Строго говоря, течение около профиля, рассматриваемое как
плоское, является идеализированным. В действительности обтека-
ние профиля, принадлежащего реальному крылу конечного разма-
ха, будет трехмерным. Поэтому аэродинамические характеристики
профиля не могут быть перенесены непосредственно на крыло. Од-
нако эти характеристики могут являться одним из основных пара-
метров, используемых при расчете аналогичных характеристик ре-
альных крыльев. Вместе с тем решение задачи о профиле имеет и
самостоятельное значение, так как можно указать случаи, когда на
отдельных участках крыльев обтекание профилей практически име-
ет плоский характер.

В настоящей главе остановимся на исследовании обтекания про-
филя потоком несжимаемой жидкости. Одновременно будет рас-
смотрена задача о крыле конечного размаха, расположенном в та-
ком же потоке. Полученные результаты, имеющие самостоятельное
значение в аэродинамике малых скоростей летательных аппаратов,
могут быть использованы (см- гл. VII и VIII) для аэродинамических
исследований при больших скоростях движения.

§ 6.1. ТОНКИЙ ПРОФИЛЬ В НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ

Рассмотрим метод расчета обтекания установившимся несжи-
маемым потоком жидкости тонкого слабоизогнутого профиля под
малым углом атаки (рис. 6.1.1). Получаемые в результате этого
расчета аэродинамические характеристики профиля могут быть не-
посредственно использованы для случаев движения с небольшими
дозвуковыми скоростями (Моо<0,3-?-0,4), когда газ можно считать
несжимаемой средой, а также применены как исходные данные при
8*	227
проведении аэродинамических расчетов профилей заданной формы
в дозвуковом сжимаемом потоке.

Так как профиль тонкий, а угол атаки невелик, то скорость по-
тока около него будет мало отличаться от скорости невозмущенно-
го течения. Такой лоток называется маловозмущенным.

Верхний контур у^Уд(к)

Рис. 6.1.1. Тонкий профиль в несжимаемом потоке

Для скорости маловозмущенного течения можно написать ус-
ловие

(««V»),	(*<К»),	(6Л.1)

где и и V — составляющие скорости малых возмущений.

В соответствии с этим условием

И =^-|-^={^»Ч-и)2+г,2~ И1+2И.Л.	{6.1.2)

Теперь определим давление в маловозмущенном потоке. Из урав-
нения Бернулли (3.4.13), в котором Сг примем равным рс»/роо +
+ Р«>/2, а р = сопз!, получим избыточное давление

р-ро0=ро&(И1/2^К72)=	(6.1.3)

Определяя здесь и через потенциал скоростей и-д^/дх, найдем

р — р™= — р«И ® (д<р/дх).	(6.1.4)

Соответствующий коэффициент давления

Р=(Р~М^«=-(2/У^/дх).	(6.1.5)

Согласно (6.1.4) избыточное давление на нижнюю сторону про-
филя рн—р<»=— (<Эфн/д*) К»р«, а на верхнюю рв — р®=
= _ (<Э(рв/<Эх) где ф!Ъ фв — потенциалы скоростей соответствен-
но на нижней и верхней сторонах. Следовательно, подъемная сила
от давления, действующая на элемент площади,
а подъемная сила для всего профиля с хордой Ъ



дх )

(1х.

Полагая верхний предел интеграла Ъг равным хорде Ь (в виду ма-
лости угла атаки), найдем соответствующий коэффициент подъем-
ной силы

Л _____ ' НС

1ГНС-

дх дх )
о

(6.1.6)

Рассмотрим циркуляцию скорости по контуру, имеющему фор-
му прямоугольника с измерениями (1х, йу и охватывающему эле-
мент профиля. В соответствии с рис. 6.1.1 циркуляция

Введем понятие интенсивности циркуляции (вих-
р я), определяемой производной <1Г/(1х=у(х)^ Величина этой интен-
сивности

у(х)=— I

дх дх'йх\ду ду} '

Так как для тонкого профиля угловой коэффициент д.у[д.х мал, то
произведение этого коэффициента на разность вертикальных _со-
ставляющих скоростей будет величиной второго порядка малости
й, следовательно,	—	’

V (л) д<?в!дх ~ д^/дх.	(6.1.7)

Таким образом, (6.1.6) можно записать в виде
ь
си^=-^\у(Х)с1х.

°° о

(6.1.8)

Аналогично вычисляется коэффициент момента:



(6.1.9)



В соответствии с формулами (6.1.8) и (6.1.9) коэффициенты подъ-
емной силы и момента от давления зависят от распределения вдоль
профиля интенсивности циркуляции. Это означает, что обтекание
профиля можно рассчитать, заменив его системой непрерывно рас-
пределенных вихрей.

По формуле Био — Савара (2.7.12) элемент распределенного
вихря с циркуляцией </Г=у(х)</х индуцирует в точке с абсциссой

239
(рис. 6.1.1) вертикальную скорость

(1®=</ГД2л (х—Е)]=V (х) д?х/[2л (х—{) ].

Скорость, индуцированная в этой точке всеми вихрями,

*и=— С У<ХМХ «
2л л х—

(6.1.10)

Согласно граничному условию, и/(У№+ду/дх)=(1у1(1х. Учиты-
вая, что профиль тонкий, можно принять V»+дф/дх а? 1Л*, а произ-
водную (1у!с1х вычислить по заданному уравнению средней линии



(6.1.11)

где Ув=Уп(х), ув=уа(х) — соответственно уравнения верхнего и
нижнего контуров профиля.

Таким образом, интенсивность распределения вихрей у(х) оп-
ределяется интегральным уравнением

1 г* у (х) йх	/ ау

2лУ„ Л х — {	\	ёх

о	4

(6.1.12)

Введем вместо х новую независимую переменную 0, определяе-
мую равенством

х=(*/2) (I — соз1Э).	(6.1.13)

Будем искать решение уравнения (6.1.12) в виде тригонометриче-
ского ряда Фурье:

у(в0)=21Л.

Д„8ш(л90) ,

(6.1.14)

в котором переменная 0о в соответствии с (6.1.13) связана с коор-
динатой уравнением

Е=(*/2)(1 —созе0).

(6.1.15)

Произведем замену переменных в (6.1.12). Дифференцируя (6.1.13),
находим

*Ух=(Л/2) 51П 0д?О.	(6.1.16)

Осуществляя подстановки, получаем

Ло { с^(8/2)	№0 I 1 X1 Д С 8Ш(пе)51П<ИЙ „ д .	117*

П 1 соэ Во — соз В Л № соз вц — соз в 0 ’
о	л-1 о

где ₽(в0)=(о^/<Ьс)г
230
Так как с^(6/2)=(1	соз 6)/^1п 6, то

Г с(^ (6/2) шп (Ий С г/9, /

3 СОЯ й0 — СОЯ В 3 соз Вп — СОЯ В ^
ООО

соя (ИВ

со» Во — соя В

Преобразуем второй интеграл в (6.1.17):

. С В1П (пВ) Б1П 8^6  1 Р соя [(л — 1)6] ^6 1 С соя [(л + 1) В] Д'В

3 соя Вд — соя В	2 3	С<>5 Во — соя В	2 3 соя Во —соя 6

Можно также убедиться в том [1], что

к	«

Р Й8	л С со* 6^6

I-----------------0; |	— л.

3 соя в0 — соя в 3 соя в0 — соз в
о	о

В этой же работе [1] показано, что при целом т имеет место фор-
мула

ч

Г соя(мЙ)</6 _____	8<п (тОр)

3 соз Ор — СОЯ 6	Я1П 0р

Сл едовательно,

ч

{* 8Ш(лО)5Ш Ш________я [ з!п ((л — 1)60] _ шп [(л + 1)в0] |

3 соя й0 — соз В 2 I з!п Во	31П Со | *

о

После подстановок значений интегралов в (6.1.17) найдем

со

-Д>+2 Л«>8(яад=₽(М.	(6.1.18)

п=1

Проинтегрировав обе части равенства (6.1.18) от 0 до л, получим
зависимость для коэффициента До ряда Фурье:

Ж
4=-------- [₽(в)^в-	(6 л. 19)

л 3

Умножая поочередно на соз 0, соз 20, найдем выражения соответст-
венно для коэффициентов Дл и т. д. Таким образом»

А

Лп"л

₽ (6) соз (д6) ^/е.

(6.1.20)

Рассмотрим зависимость (6.1.8) для коэффициента подъемной
силы. Переходя в ней к переменной 0 и производя подстановку

231
(6.1.16), получим

С«« = “-|Ч(0)31П Мв-
" о

(6.1.21)

С учетом (6.1.14)

с? йс=2Л0 у	81п аде4"2^^ ля у 5[п(ле) аде.

О	п-1 О

Интегрирование дает

^нс=2*Мо4-Л1/2).

(6,1.22)

Таким образом, коэффициент подъемной силы зависит от первых
двух коэффициентов ряда. Подставляя в (6.1.22) выражение
(6.1.19) и формулу (6.1.20), в которой п=1, найдем

С,„= —2 у₽(в)(1—созвав.
О

(6.1.23)

Произведя замену переменных в (6.1.9) для коэффициента момен-
та, получим

я

^2 НС "

— 1

2И„

у(е)(1—008 6)510 аде.

1,6.1.24)

о

С учетом выражения (6.1.14) для у (О)
я	по	я

тг нс— — л0 С (1—соз е)аде—лп С ып (ле) (1—соз е) ат аде.

О	п-1	О

В результате интегрирования

т1К=~(яр)(Ае+А1-Аг12).	(6.1.25)

С учетом (6.1.22)

т, нс= -(л/4) (Л х - Ла) - (1/4) су нс.	(6.1.26)

Определяя Лх и Л2 из (6.1.20) и производя подстановку в
(6.1.26), получим
я

тг „ = —у ₽ (6) (со® 8 - соз 28) М —1- су ю.	(6.1.27)

□

Рассмотрим связанные с профилем координаты х!( у1у в которых
уравнение средней линии будет #1=^1 (х>), а угол наклона каса-
тельной определяется производной с1у 1/^X1. Этот угол (рис. 6.1.2)
₽.-₽+«, где р^б/^/б/х. Определяя отсюда угол р—Р1—а и внося его
232
значение в (6.1.23) и (6.1.27). получим:

•де

с»««=2л(<1+ео):

Су нс*

---к Р1(1—СОЗ 6) /70;

о

(6.1.28)

(6.1.29)

(6.1.30)

^2 нс

— —к С р1 (1 — соя 20) ^/0.

4 }
О

Из (6.1,28) следует, что при <х= —во коэффициент подъемной
-илы равен нулю. Угол а= —ел называется углом атаки нуле-
вой подъемной силы. Коэффициенты в0 и ро вычисляются

Рис, 6Л.2. Средняя линия профиля

ю заданному уравнению средней линии профиля при условии, что
ч выражении для функции ₽1($0 переменная х\=хг!Ь заменяется
огласно (6.1.13) зависимостью Ж1= (1/2) (1—оозб).

В соответствии с (6.1.28), (6.1.29), а также (1.3.12) и (1.3.18)
южно определить коэффициент центра давления сц.д—Хц.д/& и от-
носительную координату фокуса хр=Хр/Ь:

1

^7



(л/4)е0—М Г _	— 1

' -	7 Л* ”	""-	,

Л (а 4- Е0)	дСу 4

(6.1.31)

1з этих соотношений следует, что координата центра давления за-
висит от угла атаки и формы профиля, в то время как фокус разме-
щается в фиксированной точке, удаленной от передней кромки на
’дну четверть хорды. Для симметричного профиля во— [ю—0 [что
ледует из формул (6,1.30), в которых =^1/^X1=0]. поэтому ве-
личина сц.д, как и относительная координата фокуса, равна ’/<.

233
§ 6Л. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИНКА

Рассмотрим обтекание несжимаемой жидкостью простейшей
профиля в виде тонкой пластинки, расположенной перпендикуляг-
но направлению скорости набегающего потока. Решение этой зад^
чи может служить иллюстрацией применения метода конформной
преобразования к исследованию движения жидкости. Результат?
решения используются в реальных случаях для определения аэр<-
динамических характеристик крыльев конечного размаха (см. §6.4.,

Расположим пластинку в плоскости комплексного певеменногс
о=2+1у вдоль действительной оси 2 (рис. 6.2.1, б).

Рнс. 6 2 1. Конформное преобразование потока, обтекающего кру-
говой цилиндр (а), в поток, обтекающий плоскую пластинку
расположенную перпендикулярно направлению скорости набеге
ющего потока (б) или поставленную вдоль потока (в)

скорости невозмущенного потока Г будет совпадать с направлен?
ем мнимой оси у. В этом случае обтекание такой пластинки може-
быть получено путем конформного преобразования из обтекали?
кругового цилиндра на плоскости Е=Е;-Нт) (рис. 6.2.1, а). Если и?
вестны функция IV7—/(^), представляющая собой комплексный по-
тенциал для течения около кругового цилиндра, и аналитическая
функция ^=Г(а) комплексного переменного о—г+й; (так иазыв?
емая конформная функция), преобразующая контур круга на пло-
скости в отрезок прямой, поставленный поперек потока на плоско-
сти а, то функция Й?г=ЯГ(о)] будет представлять собой комплекс -
ный потенциал для потока около пластинки.

Покажем, что формула



(6.2 Л

производит указанное конформное преобразование круга радиус г
7? на плоскости в отрезок длиной 2д=4/? на плоскости о. Перепи
шем (6.2.1) следующим образом:
или

+П2).

Так как 7?2=^г-Н)2, то после разделения на вещественную и мни-
мую части получим: з—2$, у=0. Таким образом, точкам окружно-
сти радиуса 7? в плоскости $ соответствуют точки на отрезке гори-
зонтальной прямой длиной 2а=47? в плоскости о.

Теперь определим комплексный потенциал для течения около
кругового цилиндра. Для этой цели вновь воспользуемся методом
конформного преобразования, использовав известную функцию
комплексного потенциала для потока около пластинки, расположен-
ной вдоль потока. Эта функция имеет вид

В7=<р-|-4|= —/У (2-\-1у)= -41/0.	(6.2.2)

Нетрудно показать, что конформная функция



(6.2.3)

преобразует поставленный вдоль потока отрезок прямой на плоско-
сти о в окружность на плоскости (рис. 6.2.1, в, а). Действитель-
но, из (6.2.3) следует, что так как для точек, расположенных на
отрезке, а=1у(—2#^г/^27?, 2=0), то

с=Ы-/п=ф/2± уя*_у*14.

Разделяя вещественную и мнимую части, получим:

1)=у/2, 5=±

откуда Е;2+т]2=₽2, Таким образом, точкам, располагающимся в
плоскости о на вертикальном отрезке, соответствуют точки, нахо-
дящиеся на окружности в плоскости Заменяя о в (6.2.2) на зна-
чение из (6-2.3), получим комплексный потенциал потока около кру-
гового цилиндра радиуса 7?, обтекаемого плоскопараллельным по-
током со скоростью V:

1Г=^/^(С-Ае/С).	(6.2.4)

Чтобы получить комплексный потенциал для течения около пла-
стинки, расположенной поперек потока (рис. 6.2.1, б), внесем в
(С.2.4) вместо С, следующее значение, полученное из конформной
формулы (6.2.1);

С=^/2 ± /^/4-/^.	(6.2.5)

Тогда

---------) • (6.2.6)

235
Так как для точек, расположенных на пластинке, о=г, где

—а^г^а (а^2#),то

ц7=-ги(-^-±/1/)

V 2 Г	4	г/2 ± I У Д2- ^/4 /

Отсюда потенциальная функция

т= ± У /4/?-гг= ± У |/а2 —г2,'

(6.2.7)

Где знак плюс соответствует верхней поверхности, а минус — ниж-
ней.

Вычисляя производные дф/дг, можно найти скорость на пла-
стинке и рассчитать давление. Из полученных данных следует, что
давление на верхней и нижней сторонах 1пластинкзи одинаковое.
Следовательно, в рассматриваемом случае безотрывного обтекания
пластинки поперечным истоком идеальной (невязкой) жидкости
сопротивление пластинки отсутствует. Этот интересный аэродина-
мический эффект будет рассмотрен на примере обтекания плоской
пластинки, расположенной в потоке под некоторым конечным ут-
лом атаки, <в § 6.3.

Поток, характеризуемый потенциальной функцией (6,2.7), по-
казан на рис. 6.2.1, б. Это течение представляет собой бесцир-
куляционный поток около пластинки, полученный при нало-
жении на невозмущенное течение с потенциалом

(6.2.8)

потока от диполя с потенциалом



(6.2.9)

где ^определяется конформной функцией (6.2.5).

§ 6.3, ТОНКАЯ ПЛАСТИНКА ПОД УГЛОМ АТАКИ

Вычислим потенциальную функцию для возмущенного течения
несжимаемой жидкости около тонкой пластинки, находящейся под
углом атаки а, используя, как и «в предыдущей задаче, метод кон-
формного преобразования. Расположим пластинку а плоскости
комплексного переменного о=х+й/ вдоль действительной оси х.

Если предположить, что рассматриваемое течение бесциркуля-
ционное, то комплексный потенциал такого течения можно пред-
ставить как сумму потенциалов продольного №| = У«а и попереч-
ного обтеканий со скоростью невозмущенного потока У=аУо(>
(рис. 6.3.1). Суммарный комплексный потенциал

1У=1УХ + 1У2 =

236

= У„а ± /аУ„ У4/?а.

16.3.1)


С учетом формулы (6.2.7), в которой г заменено на х, суммарный
потенциал скоростей на пластинке

ю=У«,л* ± аУ® У#2—х2.	(6.3.2)

По этому значению потенциала находим составляющую скорости:

Уж = У м + «V	/ а2—л2.	(6.3.3)

Вторая составляющая скорости на тонкой пластинке Уу—0.

Из (6.3.3) следует, что у передней (х= — а) и задней (х^с)
кромок скорость Ух бесконечна. Физически такая картина течения
неосуществима. Ограничения скорости у одной из кромок, например
у задней, можно добиться, наложив на рассматриваемое течение

Рис. 6.3.1. Схема обтекания плоской пластинки под углом атаки

циркуляционный поток. В плоскости С, потенциал циркуля-
ционного потока определяется в соответствии с (2.9.22) выраже-
нием

1У3=-(П/2л)1пС.	(6.3.4)

Подставив сюда значение из (6.2.5), получим

(6Л5)

Суммируя (6,3.1) и (6.3.5), найдем комплексный потенциал цир-
куляционно-поступательного потока около наклонной
пластинки:

Циркуляцию Г определим на основе гипотезы Жуковско-
го — Чаплыгина, в соответствии с которой скорость в точке
схода на задней кромке пластинки имеет конечное значение.
Это значение скорости можно получить, как уже известно из тео-
рии конформного преобразования, в виде производной от

237
комплексного потенциала IV для цилиндра. В свою очередь этот
потенциал позволяет найти в соответствующей точке на цилиндре
комплексную скорость как производную которая согласно
правилам дифференцирования сложной функции равна



(6.3.7)

где IV и —соответственно комплексные потенциалы для цилинд-
ра н пластинки. Согласно гипотезе Жуковского —Чаплыгина вели-
чина ЛФ&а ограничена по модулю. Так как производная
вычисляемая согласно (6.2Л) по формуле

1 -я2/«

равна нулю на цилиндре в точке соответствующей точке на
задней кромке пластинки, то, следовательно, производная

Комплексный потенциал для цилиндра

^=^+^ + ^3.

Потенциал Ц7] характеризует течение в направлении оси, соответ-
ствующее потоку около -пластинки в там же направлении со ско-
ростью V». Он (Получается путем замены в формуле Ц7Т= Ува ве-
личины а на значение (6.2.1):



Комплексные потенциалы ГГг и РКз определяются соответственно
уравнениями (6.2.4) и (6.3,4). Заменим л первом из них V на аУ®
и найдем суммарный комплексный потенциал:

Г	—)-гаУ«Д——] - ~ 1п С.	(6.3.8)

I С /	\ С /	&

Вычислим производную:

(6.3.8')

I С2 / к С2 /	2^4

Для координаты соответствующей точке на задней кромке
пластинки, производная !<% равна нулю, т. е.

Отсюда

или, так как 2/^=с,

2шУда—/Г/(2л/?)=0.

Г— — 4ла/?!/да,

Г= — 2лаа1/<ю.

(6.3.9)

(6.3.9')

После подстановки этого результата в (6-3.6) и дифференцирова

238
ния по о найдем комплексную скорость:



1аУОй«

/а2 - 4ДЭ

2	/ 1	с X

_|------.---- - — / — + — _ •

2я 0 ± У с2 - 4Я2 \ 2 У а2 — 4Я2 /

После простых преобразований и замены 2/?—а получаем

=	„=1^.(1 + «а 1/^).	(6.3.10)

На поверхности пластинки (о-х)

Т/ЛЛ(6.3.11)
ас	9	\ V х + а /

Так как [я|^а, то

~ =1^-«Ч,=^»(1 + а1/^^-).	(6.3.11')

ас	*	\ у а+*/

откуда следует, что полная скорость на пластинке

(6.3.12)

знак плюс относится к верхней поверхности, а знак минус — к ниж-
ней. На задней кромке (х=а=2/?) скорость равна К», а на перед-
ней кромке (>:=—а) скорость получается бесконечно большой.
В реальных случаях толщина передней кромки не равна нулю, в
частности, носок может иметь хотя и небольшой, но конечный
радиус кривизны. По этой причине скорости на такой кромке при-
нимают большие, но конечные зйачения.

Для определения силы, действующей на пластинку, воспользу-
емся общим выражением для главного вектора сил гидродинамиче-
ских давлений, приложенных к неподвижному цилиндрическому
телу произвольной формы, обтекаемому установившимся потеком
несжимаемой жидкости. Введем по аналогии с комплексной ско-
ростью понятие о комплексной силе Е—Х—/У, определяя эту силу
как зеркальное отражение главного вектора Р сил давлений от
действительной оси.

Рассматриваемый вектор Р определяется по формулам (1,3.2) и
(1-3.3), в которых коэффициент трения с/х принят равным нулю, в
следующем виде:

р [соз (дх) — I соэ (пу]}с18—

= —у?(5Ш е + / СО5 6)^5= — / ф р€~^(18,

(6.3.13)
где п — направление внешней нормали к контуру С обтекаемого
тела, а 9 — угол между элементом контура <1$ и осью
6.3.2).

х (рис.

Так как

=	6-|-/ 51П 6) = г/в^$;

&з=(1х—1<1у—с1з(созЪ — I б1п 6)=е~1*с!з, ,

(6.3.14)

а давление определяется по уравнению Бернулли

Л-=Л-» 4- р!Л»/2 - р^/2=С3 - Р1/2/2,	(6.3.15)

то

У2с1а — ~-
2

Учитывая, что «а основании (6.3.14) ^о=е-2^^а1 а также приии-

Рис. 6.3.2, Контур в потоке несжимаемой жидко-
сти





мая во внимание, что в соответствии с условием безотрывного об-
текания комплексная скорость в рассматриваемой точке контура

У—Ух—ДЛ,= 1^ созО —(V 81п6=!/е_*е,

(6.3.16)

найдем

(6.3.17)

С

Поскольку для потенциального потока комплексная скорость
то

(6.3.18)
Выражение (6.3.18) называется формулой Жуковского —
Чаплыгина.

Интегрирование в (6.3.18) можно производить по другому кон-
туру, охватывающему заданный контур С обтекаемого тела. В ка-
честве такого контура выберем контур круга К, комплексная ско-
рость для которого в плоскости о представляется в виде

с№/ск =	-2Г/(2ла) + А/в2,	(6.3.19)

где Г«=Уя«—А — коэффициент, определяемый при помощи
уравнения, аналогичного (6.3.8).

Квадрат комплексной скорости

г 2Л^~Г2/(4л2)

V )	* Лв

Подставив это значение в (6.3.18), найдем

Здесь первый и третий интегралы равны нулю. Интеграл ф —

вычисляется с учетом формулы	(рис. 6.3.2) и равен

ф — = 1П а	1п (Г^) |* = 2л/.

к в

Таким образом!

—/Г=/рУ„Г или	(6.3.20)

где V» — абсолютное значение скорости набегающего потока.

Если его направление совпадает с горизонтальной осью (бос—
=л), то, очевидно,

Г=X - (Г = - /р У „Г.	(6.3.21)

Отсюда следует, что

| 7? | =г=рУ«Г.	(6.3.22)

Это выражение называется формулой Жуковского.

Из (6.3.21) следует, что действующая сила представляет собой
вектор, .перпендикулярный вектору скорости набегающего потока,
и является, следовательно, подъемной силой. Ее направление сов-
падает с направлением вектора, который получается путем поворо-
та вектора скорости V® на угол л/2 навстречу циркуляции. Эта сила
называется силой Жуковского.

Непосредственно из (6.3.21) следует, что Х=0. Таким образом,
при безотрывном обтекании поверхности потоком невязкой несжи-
маемой жидкости сопротивление, связанное с распределением дав-

241
ления, равно нулю. Этот аэродинамический эффект известен как
парадокс Эйлера—Даламбера. Такое название соответствует то-
му факту, что в действительности сопротивление имеет место, так
как всегда происходит соответствующее перераспределение давле-
ния, вызванное отрывом потока и 'воздействием трения.

Применим формулу (6.3.22) для вычисления подъемной силы
плоской пластинки. Принимая во внимание значение циркуляции
(6.3.9'), получим (рис. 6.3.3)

У = 2ладр1л«.

(6.3.23)

Определим нормальную # и продольную 2? составляющие силы
Жуковского:

соз а те У=2лаарУ'да;	(6.3.24)

/?= —У 51П ате—Ка— — 2ла2арУ®.

Возникновение

чення, кажется

силы /?, действующей вдоль пластинки

(6.3.25)

против те-

парадоксальным, так как все элементарные силы

Рис. 6.3.3. Схема сил, действующих
на пластинку
(Д — подсасывающая сила)

от давления направлены по
нормали к поверхности. Эта
составляющая силы Жуковско-
го называется подсасыва-
ющей силой. Физическая
природа ее возникновения со-
стоит в следующем. Предста-
вим себе, что передняя кромка
слегка закруглена. Тогда ско-
рости вблизи нее были бы зна-
чительными, но не бесконечно
большими, как это имеет ме-
сто у передней кромки пла-
стинки. В соответствии с урав-
нением Бернулли разность

между давлением у кромки и давлением на бесконечности будет
отрицательной. Возникающее разрежение и вызовет подсасываю-
щую силу, предельное значение которой дается выражением
(6.3.25). Это выражение для подсасывающей силы относится к то-
му случаю обтекания плоской пластинки, когда скорость вблизи
ее передней кромки определяется по формуле (6.3.12). В соответ-
ствии с этой формулой продольная компонента возмущенной ско-
рости в указанном месте пластинки

Ух= ± У(в—

(6.3.26)

Выражение для подсасывающей силы можно обобщить на случай
произвольного задания скорости вблизи передней кромки. С этой
пелью запишем (6.3.25) в виде

Т = - /?=лрс2,

(6.3.27)
где

с3=2аааУ®.

(6.3.28)

Величину с2 представим в виде предельного выражения

с2— Пт [Их (х —хЩк)[,	(6.3.28')

где Хпк — абсцисса передней кромки (хпк=—а); х— текущая аб-
сцисса точек пластинки; Ух'— продольная компонента возмущенной
скорости на верхней стороне крыла.

Можно показать, что формула (6.3.28') действительно имеет
место. Для этого внесем выражение (6.3.26) в (6.3.28'):

с2=11т Г1/“а!/-^^-кх+а)1=2аа2У^.

I \ Л 4- х /	1

Подставив эту величину в (6.3.27), придем к ранее найденной фор-
муле (6.3.25).

Полученные выводы об обтекании несжимаемым циркуляцион-
но-поступательным потоком профиля в (виде тонкой (пластинки на-
ходят применение при исследовании аэродинамических характери-
стик профилей реальных форм, а также -крыльев конечного разма-
ха, обтекаемых потоками как несжимаемой жидкости, так и
сжимаемой газообразной среды.

$ 6Л. КРЫЛО КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
В ПОТОКЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

До сих пор рассматривалось обтекание профиля потоком не-
сжимаемой жидкости. Можно считать, что такой профиль относит-
ся к элементарному участку несущей поверхности, принадлежаще-
му крылу бесконечного размаха в плоскопараллельном
потоке. Таким образом, теория этого обтекания является Также ос-
новой аэродинамики крыла бесконечного размаха.

Согласно формуле (6.3.22) подъемная сила участка крыла еди-
ничного размаха У(1)=:=р«Г«Г (рис. 6.4.1, а). Следовательно, вокруг
профиля имеет место циркуляционный поток с циркуляцией скоро-
сти Г. Если циркуляция направлена по часовой стрелке, то на верх-
ней стороне профиля скорости будут больше (на набегающий по-
ток накладывается циркуляционный поток с таким же (направле-
нием), а на нижней — меньше (циркуляционный поток не совпадает
с направлением набегающего потока). Поэтому в соответствии с
уравнением Бернулли давление сверку будет меньше, чем снизу, и
подъемная сила направлена вверх, как показано на рис. 6.4.1, б.

Так как согласно (2.7.8) и (2.7.8') циркуляция -равна напряже-
нию вихря х, то участок крыла можно заменить проходящим вдоль
его размаха эквивалентным вихрем с указанным напряжением.
Этот вихрь назван Н. Е. Жуковским присоединенным. Таким
образом, в гидродинамическом смысле крыло бесконечного разма*
ха эквивалентно присоединенному внхрю.

243
Рис 6 4.1. Система эквивалентных вихрей для
крыла прямоугольной формы в плане

Рассмотрим теперь приближенную схему обтекания
крыла конечного размаха прямоугольной формы в плане.
Как установил С. А. Чаплыгин, присоединенный вихрь вблизи бо-
ковых кромок поворачивается и в виде пары вихревых жгутов
уходит за крыло, приблизительно совпадая с направлением ско-
рости набегающего потока. Расстояние е (рис. 6.4.1, в) от вихре-
вого жгута до боковой кромки зависит от геометрических разме-
ров крыла. Таким образом, гидродинамический эффект крыла
конечного размаха может быть получен путем замены его присоеди-
ненным и парой свободных вихрей, напоминающих букву П. Эта
схема крыла называется П -образной схемой Чаплыгина.

Вихревая система, эк-
вивалентная крылу конеч-
ного размаха, индуцирует
в потоке жидкости до-
полнительные ско-
рости и этим вызывает
скос потока, свойст-
венный обтеканию крыла
конечного размаха. В ос-
нове вычислений индуци-
рованных скоростей и уг-
ла скоса потока, вызван-
ных свободными вихрями,
лежат следующие теоре-
мы Гельмгольца:

1)	напряжение вдоль
вихря не меняется по ве-

личине, и, как следствие,
вихрь не может внезапно
оборваться или окончить-

ся острием;

2)	напряжение адх-ря не зависит от времени;

3)	вихрь в идеальной жадности не разрушается.

В рассмотренной схеме прямоугольного крыла циркуляция
вдоль размаха принята постоянной в соответствии с предположени-
ем, что подъемная сила каждого элементарого участка крыла оди-
накова. Б действительности подъемная сила вдоль размаха крыла
той же прямоугольной формы изменяется. Это изменение невелико
в средней части крыла и более заметно у боковых кромок. Для
крыла произвольной формы в плане изменение циркуляции носит
ярко выраженный характер и обусловлено неодинаковыми разме-
рами участков и, следовательно, различными значениями подъем-
ной гилы. Вихревую схему обтекания крыла с формой в плане, от-
личной от прямоугольной, можно получить, если заменить крыло
не одним П-об разным вихрем, а системой П-об разных вихрей, об-
разующей вихревую пелену (рис. 6.4.2), Вдоль каждого вих-
ря циркуляция будет постоянной, но при переходе от одного вихря
к другому изменяется. Для сечения, расположенного в середине
;пыла (корневого сечения), подъемная сила наибольшая, поэтому
>удут максимальными напряжение соответствующего вихря и цир-
Л'ЛЯЦИЯ.

Теперь посмотрим, какие изменения вносит скос в картину об-
оняния крыла, расположенного под углом атаки а (называемым
акже установочным углом) в потоке со скоростью У®. По-
явление скоса потока за крылом на угол в приводит к тому, что его
)бтекаиие в рассматриваемом сечении будет характеризоваться
качениями скорости У^ и угла атаки аи, отличающимися от соот-
ветствующих значений Г» и а, которые определяют течение около
:пыля бесконечного размаха. Истинный угол атаки аи Се-

Рис. 6.4.2. Вихревая пелена и свертывающиеся вихри за крылом

'ения крыла конечного размаха будет меньше установлен-
ного на величину угла скоса е (рис. 6.4.3), т. е. аи=
-а—в. Угол скоса —ау/У® изменяется по размаху крыла, уве-
личиваясь к концам. Для удобства вводят понятие о среднем по

1 1/2

шзмаху значении угла скоса еср =— Г . В соответствии с
1 Л?

-тим истинный угол атаки крыла

ая=а-Еср.

(6.4.1)

Наличие угла скоса приводит к изменению силового воздейст-
вия среды на обтекаемое тело. Если бы скос потока отсутствовал,
о вектор аэродинамической силы согласно (6.3.21) был нормален
' направлению скорости невозмущенного потока У«. При
* а личин скоса -вектор результирующей аэродинамической силы бу-

245
дет ориентирован ио нормали к направлению истинной
скорости У^ (рис. 6.4.3). В -результате такого отклонения ре-
зультирующей силы на угол еср появится составляющая Х{ по на-
правлению невозмущенного потока. Эта дополнительная сила Хи
появившаяся в результате скоса потока, «вызванного индукцией
вихрей, называется индуктивным сопротивлением. С фи-
зической точки зрения возникновение индуктивного сопротивления
обусловлено потерями части кинетической энергии движущегося
крыла, затрачиваемой на образование вихрей, сходящих с его зад-
ней кромки, Величина этого сопротивления определяется согласно
рис. 6.4.3. из выражения

(6.4.2)
Здесь подъемная сила У нахо-
дится ввиду малости скоса так
же, как для крыла бесконечно-
го размаха. Если разделить
на величину (р«,У«г/2)5кр, то
получим коэффициент ин-
дуктивного сопротив-
ления

Рис. 6.4.3. Скос потока у крыла и
возникновение индуктивного сопро-
тивления

Сх1—2Х//(рю1/ оо^кр)— ^еср-

(6.4.3)

Рассмотрим определение
этого коэффициента, основываясь на теории сиесущей линии».
Б соответствии с этой теорией крыло конечного размаха за-
меняется одним присоединенным вихрем (несущей линией). При
этом для несущей линии циркуляция Г (г) будет такой, как и для
соответствующих сечений самого крыла (рис. 6.4.4). При такой за-
мене плоская вихревая пелена начинается непосредственно на не-
сущей линии и имеет изменяющуюся вдоль размаха погонную ин-
тенсивность ^Г(2)/^г. Скос потока в данном сечении будет опре-
деляться для полубесконечного вихревого жгута интенсивностью
У Г (г)	В соответствии с этим суммарный угол скоса для се-

чения согласно рис, 6,4.4

1/2

е=_______________!— С	аг . . .	(6.4.4)

У„	3 лг' г’-г

—1/2

Согласно этому значению средний по раз маку угол скоса

_ 1

е‘₽~

1/2 г

Г (г')
Лх* г*—

(6.4.5)

-1/2*---1/2

Коэффициент подъемной силы су крыла может быть

определен

>]

4

по известному закону распределения циркуляции вдоль размаха.

^2.
При таком определении можно исходить из гипотезы плоских се-
чений, согласно которой рассматриваемый элемент крыла обтека-
ется так же, как соответствующий профиль, принадлежащий ци-
линдрическому крылу бесконечного размаха. Расчеты на основе
этой гипотезы дают удовлетворительную точность для крыльев с
малой стреловидностью н удлинением Хвр> (3-?4).

Рис. 6.4.4. Замена крыла конечного размаха несущей ли-
нией:

2—распределение циркуляции; 2 — несущая линия; 5 —распреде-
ление индуцированных скоростей иля углов скоса

Согласно формуле Жуковского подъемная сила профиля
(6,4.6)

ее полная величина для крыла

1/2

у Г (л) (7г	(6.4.6')

-1/2

и соответствующий аэродинамический коэффициент

2

У«Лкр

Г (з)

С =--------

(6.4.6*)

Для нахождения закона распределения циркуляции Г (г) рас-
смотрим профиль в произвольном сечении крыла, для которого
подъемную силу можно представить в виде

&У=с9 (г)	(г) ах,	(6.4.7)

247
где й(а)—хорда профиля в рассматриваемом сечении. Принимая
во внимание формулу Жуковского (6.4.6), найдем уравнение
связи, определяющее зависимость для циркуляции скорости в
заданном сечении:

Г^)-0,5е₽(г)гг(^)И«.	(6.4.8)

Согласно гипотезе плоских сечений коэффициент подъемной силы

(г) рассматриваемого сечения будет таким, как для соответству-
ющего цилиндрического крыла бесконечного размаха. Его величина
может быть определена с учетом угла скоса ио формуле

с, (г)=с*'(г) (а—г),	(6.4.9)

где производная Су(г)=дсу(г)/да определяется для крыла беско-
нечного размаха и диапазона углов атаки, соответствующего ли-
нейному участку кривой су(а). После подстановки в (6.4,8) значе-
ний (6.4.4) и (6.4.9) получим уравнение

Г(г) = (1/2)С;(«)6(г)У.[а+-^ С ^2.	(6.4.10)

\	"-Г/Э	/

Это уравнение носит название основного интегро-дифферен-
циального уравнения крыла конечного размаха. Оно по-
зволяет найти закон распределения циркуляции Г(х) для заданной
формы крыла по известным условиям его полета. При этом угол
атаки а в (6.4.10) может быть фиксированным (т. е, одинаковым
для всех сечеинй) или же переменным по размаху при наличии
геометрической крутки крыла.

Один из наиболее распространенных методов решения уравне-
ния (6.4.10) основан на представлении искомой функции Г (г) в
виде тригонометрического ряда (метод Глауэрта — Трефтца):

Г(г)=2/У„2 Д,зш (д«),
П-1

(6.4.11)

где новая переменная 0 связана с переменной г соотношением г=
——(//2)соз0; Ап— постоянные коэффициенты, которые подлежат
определению прн помощи уравнения (6.4.10). Поскольку ряд
(6.4.11) быстро убывающий, обычно вместо бесконечного числа
членов принимают сравнительно небольшое их число т. Для опре-
деления неизвестных коэффициентов Ат составляют т алгебраиче-
ских уравнений (по числу выбранных сечений). Каждое из таких
уравнений получается в результате подстановки в (6.4.10) значе-
ния циркуляции Г(г)=2/Ув>2 Лл 51п (дб) для соответствующего
л—1

сечения. Методика определения этих коэффициентов подробно из-
ложена в книге [Ц
Используя найденный закон распределения циркуляции в виде
ряда, можно определить скос потока и соответствующие аэродина-
мические коэффициенты [16], Переходя в (6.4.6") от переменной г
к новой переменной 0 в соответствии с выражением

= (//2) 51П 0^0, подставляя формулу для циркуляции в виде ряда и
заменяя /2/5кр на Лир, найдем зависимость для коэффициента подъ-
емной силы:

с,=лХкрА.	(6.4.12)

Используя (6.4.5), определим средний угол скоса:

(6.4.13)

где т— коэффициент, учитывающий влияние удлинения и опреде-
ляемый в виде

т

Л ‘

(6.4.14)

Из (6.4.3) получают соответствующий коэффициент индуктив-
ного сопротивления. Однако его величину можно уточнить, перейдя
от среднего угла скоса к местному его значению в соответствии с
зависимостью	Внося в эту зависимость (6.4.4.) и (6.4.6.),

производя интегрирование и определяя коэффициент индуктивного
сопротивления, получим

1/2 г Щ	п

сх1= п ,7г I Г Г (г) Г	аг. (6.4.15)

з 3	0г’ г’-г '

—1/2	—1/2	-I

Производя подстановку Г (г) и заменяя /2/5«р на найдем

с3

^=-тЧ1Н	(6.4.16)

где коэффициент, учитывающий влияние удлинения на сопротив-
ление, зависящее от подъемной силы,

2

(6'4'17)

л—2

Коэффициенты т и 6 для крыльев различной формы в плане мо-
гут быть определены по данным, приведенным в работах [1, 16].

Полученные результаты общей теории несущей линии характе-
ризуются, как видно, сравните л иной простотой аэродинамических
зависимостей, дают четкое представление о физических явлениях,
сопровождающих обтекание крыльев с переменным размахом, по-
зволяют выявить механизм образования подъемной силы и индук-
тивного сопротивления. Однако применение этой теории ограничено
крыльями с достаточно малой стреловидностью и относительно
большим удлинением. Б современной аэродинамике разрабатыва-
ются более точные и более общие решения, с которыми можно оз-
накомиться самостоятельно по специальной литературе.

Вместе с тем имеет практическое значение разработка методов
оценки аэродинамических свойств крыльев путем построения при-
ближенных моделей обтекания крыльев конечного размаха. Рас-
смотрим один из таких методов, основанный на представлении
аэродинамической схемы крыла в виде присоединенного и пары
свободных вихревых жгутов. Такое представление базируется на
экспериментальных данных, согласно которым вихревая пелена
неустойчива и на сравнительно небольшом расстоянии от крыла
свертывается в два параллельных вихревых шнура (ом. рис. 6.4.2),

Основным элементом этой задачи является нахождение расстоя-
ния /0 между свободными (свернувшимися) вихрями. При этом бу-
дем исходить из того, что для крыла с размахом I вихревая схема
крыла может быть заменена одним П-образным вихрем с постоян-
ной циркуляцией Го, соответствующей корневому сечению. Прини-
мается также, что'присоединенный вихрь (несущая линия) про-
ходит через фокус крыла с координатой Величина этой цир-
куляции может быть определена по уравнению связи, согласно
которому

Г0=(1/2)^АР^«,	(6.4.18)

где ср0, —соответственно коэффициент подъемной силы и хорда
корневого сечения.

Аналогичное выражение можно написать для средней по разма-
ху циркуляции, которая будет такой, жак в сечении с хордой ^Ср:

Гср=(1/2)сЛР^«>	(6.4.19)

где су — коэффициент подъемной силы крыла.

Из уравнений (6.4.18), (6.4.19) найдем зависимость между цир-
куляциями:

Го=Герс^кр/(сййср).	(6.4.20)

По условию, принятые вихревые системы ГСр, Го соответствуют
одной и той же подъемной силе (У—рао Их>Гср/=р«У®Го/о), поэтому
ГСр/=Г0/о. Таким образом, в соответствии с ($.4.20)

(6Л21)

Теперь по известному расположению П-образной вихревой системы
можно определить, используя формулу (2.7.13), в каждой точке за

крылом угол скоса, учитывая при этом индукцию также и присое-

диненного вихря.

В целях нахождения коэффициента индуктивного сопротивления
по формуле (6.4.3) следует найти средний угол скоса еср=(1/0Х

X Г на несущей линии, учтя влияние только пары свободных

вихрей при помощи формулы (2.7.13). Согласно расчетам (см.

।
{16]) этот угол

еср—

/0-/

(6.4.22)

где Го определяется по (6.4.18). Имея в виду, что 1/Ь^=
^Лкр(бсрМкр), найдем окончательно

. ^о+/	I 7''о + / 'Ь А ИОЧ

есо:------------1п-------=---------. —- 1п-------. (6.4.23)

4Я^кр^ср /0	яКкр 4/о а{/о' [

Используя (6.4-3), по этому углу скоса можно оценить величину
коэффйциента индуктивного сопротивления. В частном случае для
крыла бесконечного размаха (Лкр“><») угол скоса отсутствует и,
следовательно, индуктивное сопротивление исчезает.
ГЛАВА VII

ПРОФИЛЬ В ПОТОКЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

$ 7.1. ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ

Линеаризация уравнения для потенциала скоростей

Расчет обтекания дозвуковым потоком профиля связан с реше-
нием уравнения для потенциала скоростей плоского двухмерного
потока, которое получается из (5.1.8) при условии, что е=0, и
имеет вид

-В-+2^5/+(^-в2) $=°- (7ЛЛ)

Это дифференциальное уравнение в частных производных второго
порядка является нелинейным относительно неизвестной функ-
ции <р и описывает течение около достаточно толстых профилей,
вызывающих большие возмущения газа, при которых скорости те-
чения V и скорости звука а значительно отличаются от соответст-
вующих параметров набегающего потока.

Если профиль тонкий и вносимые им возмущения малы, то
уравнение (7.1.1) можно упростить, сведя его к линейному уравне-
нию с постоянными коэффициентами при вторых частных производ-
ных. Такое упрощение называется линеаризацией, а получен-
ное уравнение и описываемый им маловозмущенный поток — ли-
неаризованными.

Для линеаризованного потока выполняются условия для скоро-
стей (6.1.1) и действительно равенство (6.1.2). С учетом малости
скоростей возмущений и и V (6.1.1) можно преобразовать уравне-
ние для скорости звука, получаемое из (3.6.20) и имеющее вид

а2=а1+[(*- 1)/2](^~ 1^).	(7.1.2)

Внося сюда вместо V2 выражение (6.1.2), получим
а^=а1, — (1г-1)Уаи.	(7.1.2')

Подставляя в (7.1.1) величину (7.1.29, а также	к,

и учитывая, кроме того, что
суммарный потенциал линеаризованного потока можно представить
в виде ф—фос+дЛ где <р®— потенциал набегающего потока, а доба-
вочный потенциал согласно условию (6.1.1) будет ф'<^фж, получим

(7.1.3)

Вторые частные производные от потенциала у' по координатам х,
у являются величинами первого порядка малости:

д^г  ди	__ ди   ду	__ ду

дх2 дх ’ дхду ду дх ду% ду

С учетом этого в (7.1.3) можно определить группу членов второго
и третьего порядка малости; пренебрегая ими, получим линеаризо-
ванное уравнение в следующем виде:

(а*,-Ц)-^-+а^=0,	(7.1.4)

дх*	ду*

или

О-"’-)-^-+-^=0.	(7.1.4')

где Ли=У®/а®.

Рассмотрим выражение для давления в линеаризованном потоке.

С этой целью воспользуемся формулой (3.6.26), которую перепи-
шем в виде



Подставляя сюда значение V2 из (6.1.2), получим

Р/Ра,=[1

Принимая во внимание, что согласно формуле (3.6.22)

найдем

(7.1.5)

Разложив выражение в правой части по биному и сохранив в раз-
ложении второй член, получим

р)р^= 1 — РсоИ«я/р«.	(7.1.5')

Отсюда находим избыточное давление р—р^—	и коэфф и-

УдС1нт Давления р = —^и/У№, т. е. приходим к тем же зависимостям
(Ь.1.3), (6.1.5), что и для несжимаемой жидкости. Однако при при-
менении этих зависимостей в случае больших дозвуковых скоростей
надо учитывать, что скорость возмущения и=ду'/дх должна опре-
деляться с учетом сжимаемости.

Зависимость между параметрами обтекания тонкого профиля
сжимаемым газом и потоком несжимаемой жидкости

Обтекание тонкого профиля, расположенного под малым углом
атаки в сжимаемом дозвуковом потоке, -исследуется при помощи
уравнения (7.1.4'), в котором М«<1. Заменим в этом уравнении
переменные в соответствии с соотношениями

У§— У*? 1 Моо, фО У (^оо0/1^ со).

(7.1.6)

где у — некоторый произвольный параметр; У«о — скорость услов-
ного потока (фиктивная скорость), в общем случае отличающаяся
от скорости V» заданного течения. Подставив (7.1.6) в (7.1.4'), по-
лучим уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей
Ч?/ несжимаемого потока в плоскости х0, Уо-

д^уа/дх®	= 0.	(7.1.4*)

Таким образом, задачу об обтекании заданного профиля сжи-
маемым потоком можно решить, используя результаты решения за-
дачи об обтекании некоторого видоизмененного профиля несжимае-
мым потоком с фиктивной скоростью У«о. Найдем зависимость
между соответствующими параметрами обтекания профилей, а так-
же их геометрическими характеристиками. Связь между скоростями
возмущения но в несжимаемом и и в сжимаемом потоках устанав-
ливается в соответствии с (7.1.6) следующим образом:

«0= ^-= &- у -^-=ву

0 дхо дх У№ У№

(7.1-7)

Подставляя сюда (6.1.5), найдем коэффициенты давления в несжи-
маемой жидкости рис— —2ио/1л«>о и в сжимаемом газе р — —2и/У&>.
Следовательно, учитывая (7.1.7), получим

Рж=?Р-	(?• 1’8)

Из формул	т*вс=<&Ржх<^Х<>' в которых х0=х/Ь,

и выражения (7.1.8) найдем связь между соответствующими коэф-

фициентами подъемной силы и момента:

СУ НС“"У

рс!х=усу, тх ^С=У рхйх=утХ1 (7.1.9)

где х=х/Ь,

Установим зависимость между формами профилей н углами ата-
ки. С этой целью определим вначале связь между вертикальными
составляющими скорости. В соответствии с (7.1.6)

т

 ду* 1

соО

(7.1.10)

‘В несжимаемой жидкости согласно уравнению (3.3.17'), в котором
функция Р принимается равной	—?о(лго) при условии, что у&~

—/а(хо), для профиля можно написать оо/(Ё»о+^о)	или,

учитывая, что и0<Уооо>	Аналогично находим для

Рис. 7.1.!. Профили в маловозмущениых несжимаемом (а) и
сжимаемом (6) потоках;

Д и Ло — точки полного торможения

профиля в сжимаемом газе о/Уей₽^/^х. Следовательно, (оо/о)Х
X (Ум/Усоо) = №уо$у} (Дх/Дхр). Принимая во внимание (7.1.6) и
(7.1.10), найдем б?^0/^=у/р/1—М«- Интегрируя при условии,
что для г/«=0 величина г/о—0, получим уравнение, связывающее вер-
тикальные координаты фиктивного и заданного профилей:

Уо=??/1р-м1-	(7.1.11)

В то же время, как следует из (7.1.6), горизонтальные координаты
профилей не меняются. Учитывая это, углы атаки можно предста-
вить в виде

и а=^/(^-л),

где Ь' — расстояние до задней кромки профиля; х — горизонталь-
ная 11)РД11Ната точкч (Рис- 7.1.1), Таким образом, в соответствии с
ат=ау/У 1-ЛЙ,.	(7.1.12)

Предположим, что произвольный параметр у —1. Тогда

Р— Рис'» У — Ув г 1 Л1сс,	1М«н

(7.1.13)

вс>	ис"

Таким образом, если одинаковы коэффициенты давления в соответ-
ственных точках тонких профилей, расположенных в сжимаемом и
несжимаемом потоках, то в сжимаемом потоке профиль должен
быть тоньше, чем в несжимаемом, в 1 — М« раз. Во столько
же раз меньше будет угол атаки. ________

Рассмотрим случай, когда ?=]/ 1 —и, следовательно,

Р=Рк/ К1 — М«>

Су — Су	1 — Мео,

^=^о. ®-=«нС;

--/?1г	1 Моа»

(7.1.14)

В соответствии с полученными результатами у двух одинаковых
профилей, расположенных под одним и тем же углом атаки, коэф’
фициенты давления в соответственных точках профилей, а также их
суммарные коэффициенты подъемной силы и момента в сжимаемом
потоке будут больше, чем в несжимаемом, в 1 /]/" 1 — М« раз.
Отсюда следует вывод, что влияние сжимаемости приводит к
у величению давления и подъемной силы. Коэффициент
1 /V 1 — М« называется п о п р а в к о й на сжимаемость
Прандтля — Г лауэрта. Соответствующая зависимость
(7.1.14) для р известна как формула Прандтля — Глауэрта. Ее
можно рассматривать в качестве первого приближения при расчете
коэффициента давления в сжимаемом потоке по соответствующему
значению рвс. Более точные результаты, относящиеся к утолщенным
профилям н увеличенным углам атаки, получаются по формуле
Кармана — Тзян а:

(7.1.15)

Применение формул (7.1.14) и (7.1.15) для р приводит к весьма
большой погрешности при определении коэффициента давления в
точке полного торможения, где скорости и, следовательно, местное
число Маха равны нулю. Например, для этой точки, ь которой
ронс=1, формула (7.1.14) дает при М«=0,8 коэффициент ро=1,67, а
формула (7.1.15) — величину р0=1,26 вместо действительного зна-
чения 1,17.	_

В точке полного торможения коэффициент давления
=2(р0—/?м)/(Ар„М») для произвольных чисел М<я<С 1 вычис-
ляется при помощи выражения, полученного из (3-6-30) при
условии М= 1:

Ро =—Н—— Моо	-1 .	(7.1.16)

АМ® 1\	2	/	]
1ри Мад<1 величину в круглых скобках можно представить в виде
шдз, в котором сохранены первые три члена:

м2

Л=1-|~Н~*М1-	17.1.17)

4	24

!олученная зависимость пригодна для достаточно широкого ди а-
[азона значений 0^Моо^1.

$ 7.1. МЕТОД АКАД. С. А. ХРИСТИАНОВИЧА

Содержание метода

Если обтекаемый профиль или какое-либо другое тело вносят в поток ко-
нечные возмущения, то линеаризованные уравнения непригодны. При изучении
акого течения следует использовать нелинейные уравнения газовой динамики.

Для сверхзвуковых течений, применяя, в частности, метод характеристик,
ложно решить многие задачи о сверхзвуковом движении газа. Количество ре-
шаемых задач сверхзвуковой аэродинамики еще больше возрастает благодаря
деленным методам интегрирования уравнений движения. Анализировать дозву-
<овоз движение газа значительно труднее. Математически это объясняется
) аз личным характером уравнений: для сверхзвуковых течений эти уравнения —
ип ер б оли чес кие, а для дозвуковых — эллиптические. Применение мнимых ха-
рактеристик у эллиптических уравнений не дает особых упрощений. Ббльшая
ложность исследования дозвуковых потоков физически объясняется тем, что'
юзмущення в них распространяются во все области движения, тогда как в слу-
ае сверхзвуковых течений возмущения ограничены коническими поверхностями
вершиной в точке возмущения и распространяются только вниз по потоку.
1ри этом исследование маловозмущенных дозвуковых течений несколько проще
благодаря линеаризованному характеру уравнений, нежели дозвуковых потоков
большими возмущениями, обтекающих, например, толстые профили.

Разработке метода исследования таких потоков посвящена работа акад.
 А. Чаплыгина «О газовых струях». В этой работе приведены уравнения,
оставляющие математическую основу теории потенциальных дозвуковых тече-
1ий. Эти уравнения известны в газодинамике как уравнения Чаплыгина.
Особенность их заключается в том, что они описывают движение газа не в
I лоскости у. х, а в плоскости специальных координат тир (т^У2 — квадрат
:одной скорости в дайной точке потока; р— полярный угол, определяемый из
слов и я У=Ухсо5р) и являются в отличие от обычных уравнений линейны-
и, так как коэффициенты уравнений представляют собой функции независимых
(временных т, р. С. А. Чаплыгин решил эти уравнения для ряда случаев дви-
жения газа с большими дозвуковыми скоростями.

Рис. 7.2.1. К расчету давления на профиле, обтекаемом
сжимаемым потоком:

с — истинный ноток; б — фиктивный поток; Г —данный про-
филь; 2 — фиктивный профиль
Уравнения Чаплыгина явились основой многих других методов в области
аэродинамики больших скоростей. Акад. С. А. Христианович, используя эти
уравнения, разработал метод, позволяющий учитывать влияние сжи-
маемости на дозвуковое обтекание профилей произвольной формы. Теорети-
ческие положения этого метода подробно изложены в работе {24]. Рассмотрим
основное содержание метода и его применение к решению различных задач об-
теклния профилей сжимаемым дозвуковым потоком.

Рассматривая сжимаемый поток около профиля заданной формы, С. А. Хри
стианович показал, что уравнения обтекания можно свести к уравнениям
течения несжимаемой жидкости около профиля видо-
измененной формы (рис. 7.2.1). Таким образом, по методу С А. Христиа-
новича вначале решается относительно простая задача об обтекании некоторого
фиктивного профиля условным (фиктивным) несжимаемым по-
током. а затем пересчитываются полученные параметры
для условий обтекания сжимаемым потоком заданного
Профиля.

Указанный пересчет основан на использовании функциональной за-
висимости между истинной относительной скоростью Х= VIа* сжимаемого
потока и величиной фиктивной безразмерной скорости Л=Уа/й* в соответствен-
ных точках заданного и фиктивного профилей (табл. 7.2.1). При этом рассмат-
риваемый метод дает возможность перестраивать данный профиль на
фиктивный.

Таблица 7,2.1

к	0	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25		0,30		0,35
д	0	0,0500	0,0998	0,1493	0,1983	0,2467		0,2943		0,3410
к	0,40	0,45	0,50	0,55	0,60		0,625		0,650	
д	0,3862	0,4307	0,4734	0,5144	0,5535		0,5722		0,5904	
к	0,675	0,700	0,725	0,750	0,775	0,800		0,825		0,850
Л	0,6080	0,6251	0,6413	0,6568	0,6717	0,6857		0,6988		0,7110
к	0,875	0,900	0,925	0,950	0,975	1				
д'	0,7223	^0,7324	0,7413	0,7483	0,7546	0,7577				

Как показал С. А. Христианович, в случае вытянутых профилей разницей и
формах заданного и фиктивного профилей можно пренебречь. В этом случае
метод С. А. Христиановича дает возможность достаточно просто пересчитать
параметры обтекания на профиле (давление, скорость) на любое число М„>0,
т. е с учетом сжимаемости, если известно распределение этих параметров около
того же профиля при обтекании его потоком с малой скоростью, когда
влияние сжимаемости отсутствует (Мю^О). Кроме того, этот метод позволяет
пересчитать параметры обтекания с одного числа М„,>0 на другое М«2>0.

Метод С. А. Христиановича пригоден при условии, что всюду на профиле
скорость дозвуковая. Это условие выполняется, если число Маха набегаю-
258
лего потока меньше критического значения М«кр. Поэтому, прежде
ем производить расчет, надо найти это критическое значение и определить числа
Лт «СМ^кр, для которых возможен расчет. Найти критическое число М«нр
южно также по методу С. А. Христиановича.

Пересчет коэффициента давления несжимаемой жидкости
на число Моо>0

Щсть известно распределение коэффициента давления по профилю пр? от-
екании его несжимаемым потоком, т. е. известен вид функции Дне = Ряс (х)
п«г 7 2 2) Пеоесчет этой функции на новое число Мвкр>Мво>0 ведется в слс-

>ис. 7.2.2. Характер распределения давления на

>дной стороне профиля при различных значе-
ниях М«

ю заданному числу М«>1 определяется относительная скорость:

(7.2.1)

1з табл. 7.2 1 находим фиктивную скорость А» несжимаемого потока, соот-
.етствующую величине 7.». и для выбранного значения р^с определяем по урав-
нению Бернулли

Ас=1-(Л/Лмр	(7 2.2)

устную фиктивную скорость:

А» Л„ У I-7НС.	(7.2 2')

Из той же таб.1. 7.2,1 находим, зная А, местную истинную скорость ежи-
гаемого потока А. а по формуле (3.6.26), в которой следует принять V2=
[(*-!)/(* + 1вычисляем давление р. Коэффициент давления опрсле
яем по формуле р ^‘2(р/р№ — 1)/(АМ^)« Вид кривой р—р(х), переечнтан-
ой на заданное число МИ1 показан на рис. 7.2.2 штрихами.

239
Пересчет коэффициента давления с одного числа
М«,1>0 на другое М»2>О

Предположим, что известно распределение коэффициента давления сжимае-
мой жидкости Р1—рг(х) при некотором числе М№| (Мдаир>МЕв1>0). Для рас-
чета этого распределения на новое число Мм5>0 следует вначале вычислить по
формуле (7.2.1) соответствующие числам Мал и М^2 относительные скорости
и Хооа и определить по табл. 7.2.1 относительные скорости фиктивного не-
сжимаемого потока Л«1 и Л^2.

Задаваясь далее каким-либо значением коэффициента давления р1, можно
из формулы 2(р1 — р™)/(^М«|₽(»т) найти абсолютное давление:

А-А.1[й(*И11/2) + 1]	(7.2-3)

и вычислить местную относительную скорость заданного патока

/ А	1У*~Ц 1/2

В

(7-2-4)

Из табл. 7.2.1 по значению находим местную скорость фиктивного несжимае-
мого потока и по уравнению Бернулли (7.2.2) вычисляем соответствующий ко-
эффициент давления:

Рве = 1

Определение по этому значению рас коэффициента давления р? для числа
ведется так же, как при пересчете коэффициента давления несжимаемого пото-
ка на число М»>0, порядок которого наложен ранее.

Определение критического числа М

Согласно гипотезе С. А. Христиановича местная звуковая ско-
рость, которой соответствует критическое число Маха набегаю-
щего потока Мкшр, возникает в том месте профиля, где в случае обтека-

ния несжимаемым потоком возникает самое

Рис. 7.2,3. Кривая С. А. Хри-
стиановича для определения
критического числа Маха

большое разрежение. С. А. Христиа-
нович установил связь между минималь-
ным коэффициентом давления
Рве шт. соответствующим этому наибольшему
разрежению, и числом Мшнр

Таким образом, чтобы найти критическое
число Маха, необходимо каким-либо путем, на-
пример продувкой в малоскоростной аэроди-
намической трубе, определить величину наи-
большего разрежения ряснпп. Если в резуль-
тате продувки найдено распределение давле-
ния с учетом сжимаемости для М«ц₽>М«,>0,
то определить величину рнс га 1а можно обрат-
ным пересчетом наибольшего разрежения
Рвспин на число Мос=0.

Предположим, что величина наибольшего
разрежения известна. Так как в месте
возникновения звуковой скорости относитель-

ная скорость Л=1, то по табл. 7.2.1 можно
найти соответствующее этой величине значение местной скорости фиктивного не-
сжимаемого потока Л=0,7577. Теперь по уравнению Бернулли /?всщ1ь =
= 1—(Л/Л™)5 можно найти относительную скорость фиктивного набегающего

потока:

Л„ = Л/]Л - р.с	= 0,7577//! - рж	(7.2.5)
по табл. 7.2.1 и значению Ли определить критическую скорость сжимаемого
потока 1®кр- Соответствующее критическое число Маха

-1 М + 1	1 2

^™кр "®кр I 2	2 °°КР

-1/Э

(7.2.6)

График зависимости критического числа Маха от рис тиь построенный по
-результатам указанного расчета, приведен на рис. 7.2 3.

" При увеличении толщины профиля число МФКр уменьшается. Это объясняет-
ся тем, что такое увеличение приводит к большему поджатию струйки жидкости
и увеличению местной скорости потока. Следовательно, звуковая скорость на
утолщенном профиле будет достигнута при меньшей скорости набегающего по-
тока т е при пониженном значении Мсо — Мжяр. Этот вывод непосредственно
следует из рис. 7.2.3, в соответствии с которым уменьшенному коэффициенту
Рис пип прн повышенной местной скорости соответствуют и меньшие величины
ЛА «гр. Прн увеличении угла атаки число М«цр уменьшается, что также объяс-
няется большим поджатием струек жидкости н связанным с этим увеличением
местной дозвуковой скорости.

Аэродинамические коэффициенты

Исследования С. А. Христиановича позволили получить более точные соот-
ношения для коэффициентов подъемной силы и момента, чем зависимости
(7.1.14), найденные на основе формулы Прандтля — Глауэрта для коэффициента
давления. Эти соотношения имеют следующий вид:

в с» И —

/7*2 —	нс^$/1 — ^оо’

(7.2.7)

где Д==1+0,05М^/лСр.

Сжимаемость изменяет положение центра давления профиля (координата
этого центра я отсчитывается от передней кромки вдоль хорды). Из (7.2,7)
следует, что в сжимаемом потоке коэффициент центра давления

₽ц.я — (<'и.л)нс^-,

где Сц>ч —	= — тл/с у} (Сц,д)н(. = —	нс/Су нс.

(7.2.8)

Из (7.2,8) следует, что центр давлении в сжимаемом потоке по сравнению
с несжимаемой средой смещается к задней кромке. Это объясняется увеличением
аэродинамической нагрузки на хвостовые участки профиля при повышенных
-скоростях обтекания н. как следствие, возникновением дополнительного стабили-
зирующего эффекта

§ 7.3. ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА ПОТОКОМ

СО СВЕРХКРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТЬЮ (М«>М^хр)

Дозвуковое обтекание профиля крыла может быть охарактеризовано
двумя случаями.

В первом случае местная скорость потока на поверхности нигде не превы-
шает скорости звука. Это случай чисто дозвукового обтекания. Из-
вестно, что при такой скорости ни в одной точке профиля не могут возникнуть
скачкп уплотнения, а подъемная сила п сопротивление будут определяться с
У 1€том сжимаемости в в общем случае зависят от сил нормального давления и
трения. Такое сопротивление, включающее в себя сопротивление от нормального
напряжения (давления) и сопротивление трения, называется профильным.

Во втором случае, называемом сверхкритпческим обтеканием,
прн котором число М набегающего потока больше критического, т. е. М«>М«хР,
местная скорость в некоторых точках в окрестности профиля становится больше
скорости звука и возникает зона местных сверхзвуковых скоростей.

261
При этом обтекание профиля характеризуется тем, что позади него, как и перед
передней кромкой, местная скорость меньше скорости звука. Поэтому при пере-
ходе в окрестности крыла от сверхзвуковых скоростей к дозвуковым возникают
местные скачки уплотнения (рис. 7.3.1). Такие скачки, напоминающие по форме
букву Л (Х-образные скачки уплотнения), состоят как бы нз двух скачков- перед-
него криволинейного (косого) скачка ВВ и заднего почти прямого СВ (рис.
7.3.1, б).

Местные скачки уплотнения, которые могут возникать как на верхней, так
и на нижней сторонах профиля, существенно изменяют распределение давления
и приводят к появлению дополнительного — волнового сопротивле-
ния X». Таким образом, полное сопротивление профиля X будет складываться
из профильного Хпр и волнового Хш т. е. Х=ХПР + ХВ или с*=сХПр 4-
где с* — суммарный коэффициент сопротивления профиля; сХПр и схя — коэффи-
циенты соответственно профильного и волнового сопротивлений.

Рис. 7.3.1. Обтекание профиля дозвуковым потоком со сверх-
критической скоростью.

□ —расчетная схема обтекания при наличии мастного прямого скачка
уплотнения; б — распределение давления по профилю а случае Обра-
зования местного А-образного скачка уплотнения

Рассмотрим простой метод расчета волнового сопротивления, предложенный
проф. Г. Ф. Бураго и изложенный в книге [1]. Предположим, что на верхней
стороне профиля образовалась местная сверхзвуковая эона, которая замыкается
скачком уплотнения ВС, близким к прямому (рис. 7.3.1, а). Выделим в потоке
струйку, проходящую через этот скачок. Параметры газа в струйке непосредст-
венно перед скачком будут !/>, р], р>. М1, а после скачка ра, ра, Ма. Прове-
дем на достаточно большом удаленки от профиля слева и справа две контроль-
ные поверхности /—/, //—Н и обозначим параметры газа вдоль левой плоско-
сти через И1м, рю», р|^, а вдоль правой—через	ра«.

Применяя теорему, в соответствии с которой изменение количества движе-
ния массы газа при протекании через контрольные поверхности равно импульсу
избыточной силы, действующей на левую и правую поверхности, и силы вол-
нового сопротивления, с которой профиль действует на поток, получим

оо	да да

У	У У]даЛл1«= С (/’]«	Р2да)^ -

—да	—оо —со

(7.3.1)

где ^т1оо, </л12м—секундные расходы газа вдоль струйки:

Л",» = Р1ЛЛ1... «'«2» =	

которые по условию постоянства расхода равны, т. е.

Р1	“ ?2лУ2оо^2оо.

(7.3.2)
Примем, как это сделал проф. Г. Ф. Бураго, что за крылом на большом удале-
нии происходит выравнивание скоростей, т. е. Изсо-*!/]™. В соответствии с этим
и согласно (7.3.2)

X»

-	|	Р1со^=0(и2а>-г^^1„ = о.

-ОО

Следовательно,

(7.3,3)

оо

—со

Можно предположить, что для струек, не пересекающих скачок уплотнения,
р2ов=р1в1 т. е. давление на большом удалении от профиля позади него восста-
навливается до значения давления набегающего потока. Для тех же стру-
ек, которые проходят через скачок, рг«<Р1®. Действительно, так как

где < ро> то

^2«УА« ~ Ро/Ро < 1 -

(7.3,5)

С учетом (7,3.5) формулу (7.3.3) можно преобразовать, принимая также во
внимание уравнение расхода р1«У1«</#1® = Р1У1а^, в соответствии с которым

(Р1	где $ — длина скачка уплотнения, В результате пре-

образования сила волнового сопротивления

С Р1У1

Х„ = Р1„	‘ (1 - V») <Й,	(7,3.6)

у ?1сю*1оо

а коэффициент этой силы

Л,	2Х>	2 С Р‘Г> /1	„ .Хс ПЧ КП

=“-г =------------Т— =--------?— 1 —— ---------(1 - У<№- (7.3.6 )

М Й/>„М^4	3 Р1«У1«

Представим функцию То (4.3.20) в виде ряда по степеням я = М1 — 1:

ЫП) = М°) +

^Уо\	1 / 42у0\	1

--- и + "ТГ --------п2 -г “

/п-о	2 \ ап2 /л-о	б



(7.3,7)

В выражении (7-3.7) величина Уо(0) = 1. так как при М^1(л=0) скачок вырож-
дается в волну бесконечно малой интенсивности я давление ро'=ро

Пользуясь (4.3.20), (4 3.13) п (4 3.15), можно также показать, что

4у0\	/ ^Ур \	. ^у0\	/	\

---1	= (-----1	— 0 н |	I = г	}	=- О,
йп Ьм \ ЙМ1 /м,-1	\-/н-0 I-.

Имея в виду, что для тонких профилей, ласположенных под малыми углами
и таки, разность — I мала и в разложении (7.3.7) можно ограничиться чет-
вертым членом, напишем

1	/ {РУп \

*о(п)=1+— ------М (М,-1)3.	; (7.3.7')

6 /«.-1
Как показывают исследования, с известным приближением можно считать,
что для данного профиля величина М( — 1 пропорциональна разности М« —
— М№Ир. Обозначая соответствующий коэффициент пропорциональности через А{
и включая его в общий коэффициент А, определяемый в виде

Л: / аэуъ_ \ I Р1У1
3*мЧ \ ЛИ* )м^, ) Р(^!„

(7.3.8)

получим из (7.3.6") и (7.3.79 следующее выражение для коэффициента волно-
вого сопротивления.

=	(7.3.9)

Коэффициент А в общем случае зависит от формы профиля, угла атаки и
числа М«. Однако с известным приближением его можно принять постоянным.

Продувки в аэродинамических тру-

Рис. 7.3.2. Сопротивление профиля
в околозвуковом режиме обтекания

увеличение числа Мп];р. что достигается

бах современных профилей, установ-
ленных -под небольшими углами ата-
ки, показали, что коэффициент А 11.
При этом значении удовлетворитель-
ные результаты расчетов по форму-
ле (7.3.9) получаются, если разность
Мл — Мл^р не превышает 0,15.

Из формулы (7.3.9) следует, что
коэффициент волнового сопротивле-
ния возрастает пб мере увеличения
Моо. Это вызвано тем, что при увели-
чении скорости полета возникающие
на профиле скачки становятся все бо-
лее интенсивными и протяженными.
Для того чтобы при заданном М«>
снизить схв, необходимо обеспечить

в

основном уменьшением толщины про-
филя. Аналогичный эффект может иметь место при уменьшении угла атаки.

На рис. 7.3.2 показана экспериментальная кривая, характеризующая измсис-

ине коэффициента сопротивления Сх^Гхцр + в околозвуковом режиме обте-
кания, Для значения М„<0.45ч-0,5 имеет место лишь профильное сопротивле-
ние. Большие значения М„(М «>0,54-0,55) соответствуют сверхкритическим
скоростям обтекания, при которых возникает волновое сопротивление, обуслов-
ленное образованием местных скачков уплотнения.

$ 7.4. ТОНКАЯ ПЛАСТИНКА В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОК! ГАЗА

С ПОСТОЯННЫМИ ТЕПЛОЕМКОСТЯМИ

Рассмотрим простейший профиль крыла в виде бесконечно тон-
кой пластинки, установленной в сверхзвуковом потоке под углом
атаки а. Схема обтекания такой пластинки показана на рис. 7.4.1.
У ее передней кромки сверхзвуковой поток разделяется на две ча-
сти—верхнюю (над пластинкой) и нижнюю (под нею), не влия-
ющие друг на друга. Поэтому сверхзвуковое обтекание каждой
стороны можно исследовать независимо.

Рассмотрим .верхнюю сторону пластинки. Течение на этой сторо-
не представляет собой плоский сверхзвуковой поток, обтекающий
поверхность, которая образует с направлением невозмущенного те-
чения тупой угол, больший 180°, Такой поток, схема которого по-
казана на рис. 7.4.2, где плоскость ОС соответствует верхней сторо-
не пластинки, впервые был исследован Л. Прандтлем и Т. Майером
и носит название течения Прандтля — Майера.

В соответствии со схемой течения на рис. 7.4.2, а поток, парал-
лельный плоскости ОВ, при обтекании угла О постепенно повора-

Рис. 7.4.1. Схема сверхзвукового обтекания тонкой пластинки:
1 — веер разрежется; 2 — скачок уплотнения

чивается, претерпевая расширение, и принимает новое направление,
параллельное плоскости ОС, Угол рос наклона этой плоскости к
вектору Г® соответствует углу атаки а пластинки на рнс. 7.4.1. Воз-

Рис. 7.4.2. Схема обтекания тупого угла (течение Прандтля —
Майера);

о — физическая плоскость; б — плоскость годографа; я — схема маловоз-
мущенного течения, / — веер разрежения; 2 — эпициклоида

лущенный участок течения с расширением ограничен с левой сто-
роны линией Маха ОИ, наклоненной к вектору скорости набегаю-
щего потока Г« под углом р«=агс5т (1/М„), где М« -- число Ма-

265
ха невозмущенного течения. Процесс расширения заканчивается на
линии Маха ОЕ, наклоненной к вектору возмущенной скорости
Уос под углом рос—агс51л (1/Мос), определяемым по числу Маха
возмущенного течения вдоль плоскости ОС. Изменение направления
потока между линиями Маха ОО и ОЕ можно представить как по-
следовательную совокупность отклонений линий тока на малые
углы Др. Каждому такому отклонению, указывающему на появле-
ние дополнительного возмущения, соответствует выходящая из точ-
ки О прямая линия Маха.

Таким образом, участок поворота будет заполнен бесконечным
множеством линий Маха, образующих «веер;» линий возмущения,
который характеризует центрированную волну разре-
жения, Эта центрированная волна, называемая иногда веером
разрежения Прандтля — Майера, определяется прямы-
ми линиями Маха, вдоль каждой из которых параметры течения
постоянны, и поэтому относится к разряду простых волн разреже-
ния.

Задача о возмущенном движении газа около тупого угла, кото-
рая связана с образованием центрированной волны разрежения,
может быть решена по методу характеристик. Точке Г пересечения
линии тока плоскопараллельного набегающего потока (угол накло-
на линии тока в этой точке 0=0) с характеристикой ОО в физиче-
ской плоскости соответствует точка Г' на эпициклоиде-характери-
стике в плоскости годографа того же семейства. Для конкретности
каждую из этих характеристик можно отнести, например, к харак-
теристикам первого семейства. Уравнение для характеристики это-
го семейства в плоскости годографа будет 0=(о+0ь Так как, по
условию, 0=0, то постоянная 0( =—(о«(Мл)), где угол находится
из (5.3.31) по известному числу М®. Следовательно, уравнение для
характеристики будет 0=ш—сй®, откуда

<у—	(7.4.1)

Задаваясь наклоном линии тока на малом участке 0=Д0. можно
подсчитать соответствующий угол ш—Др + сооо и найти число М на
соседней линии Маха, наклоненной к новому направлению линии
тока под углом ц=агсэ1П (1/М). Число Маха на плоскости ОС с
углом наклона 0=0ос—а, т. е.на верхней стороне пластинки, оп-
ределяется по углу

(7,4.2)

Найденное значение местного числа Мос позволяет определить угол
Маха цос=агс81П (1/Мос)- Графическое решение задачи о течении
Прандтля—Майера показано на рис. 7.4.2, б. Координата точки О'
пересечения эпициклоиды с прямой О'(У, параллельной плоскости
ОС, определяет относительную скорость кос возмущенного потока
около плоскости ОС. В физической плоскости точке СЛ соответству-
ет точка С пересечения линии тока с характеристикой ОЕ.
Ло известному числу Мог (Аос) можно, применяя формулу
(3.6.30), определить давление на верхней стороне пластинки:

(7.4.3)

п соответствующую величину коэффициента давления:

—	<	2

Ра^ РОС в=^ (РоС » Р^ЦкМссрсо)'

При гиперзвуковых скоростях 1) расчет течения Прандт-
ля — Майера упрощается, так как для определения функции со
можно пользоваться формулой (5.3.41), что позволяет непосредст-
венно определять местное число М. Заменяя в (7.4.2) углы шос и
йсю их значениями в соответствии с (5.3.41), получим

Мв—Мос—

л- I

2

(7.4,41

Соответствующее давление можно определить по формуле
(3.6.39).

Рассмотрим течение Прандтля — Майера, возникающее при ги-
перзвуковых скоростях в случае малых углов отклонения потока
рос=а. Прн очень больших числах Мда пучок линий Маха, выходя-
щих из точки О, будет очень узким. С достаточно хорошим прибли-
жением можно считать, что пучок сжат в одну линию, на которой
поток сразу поворачивает, испытывая расширение. Эту линию, сле-
довательно, можно условно рассматривать как «скачок разреже-
ния», за которым скорости (числа Маха) возрастают^ а давления
снижаются. Угол ц'ос наклона этой линии к вектору V» получает-
ся, если воспользоваться аналогией со скачком уплотнения и вести
расчет этого угла по формуле (4.6.9) при условии, что угол 0С —
в этой формуле отрицателен. Полагая 0с = иЛос, найдем

--------!----)-1 V  ~+~— ,	(7.4.5)

I Рос I 2(1-!) Г 4 0-021 К? 1	'

где | рос | — | а | — абсолютное значение угла поворота потока (угла
атаки), а величина К2= (М«>росР- Применяя формулу (4.6Л') для
вычисления коэффициента давления с учетом знака угла рос=а,
прлучим

. Ра _ РрС в _ 1

& Л2 1 - $

1	 4

(1 _ В)2 1 К2

При небольших числах М« н малых углах рос—а около откло-
ненной поверхности возникает маловозмущенное течение Прандт-
ля — Майера. Для такого течения действительно соотношение для
скорости звука. Если теперь найти из (7.1.2) формулу для местного
числа Маха

М3=

уа _ 2
а2 к — 1

и внести в эту формулу значение а2 из (7.1.2'), то

уа

а2

=М“=Л&

1—(Л—1)

«У—я
со

(7.4.7)

В соответствии с этим выражением в первом приближении можно
принять, что в маловозмущенном потоке М^М« и, следовательно,
уравнение для характеристик в физической плоскости будет д.у!д.х=
=	(р±р.оо). Так как угол отклонения потока -р мал и р<Ср®, то

д.у[д.х^ ±1^ Следовательно, характеристики представляют со-
бой линии Маха, наклоненные к оси х под углами ±ц«. Для тече-
ния Прандтля — Майера имеем семейство характеристик в виде
параллельных прямых, наклоненных к горизонтальной оси под уг-
лом со (см. рис, 7.4.2, в).

Уравнения для характеристик в плоскости годографа сверхзву-
кового потока получим из (5,3.21) и (5.3.22) в конечных разностях:

Д1//1/ -г Д₽=0.

Для маловозмущенного потока можно принять

д1/=«, И=Иоо, Д₽=₽, &[‘=1г[‘=.=(Л&-1Г1/2.
Следовательно,

»/И« =+₽/]/»&-1.

(7.4.8')

Подставляя значение для и из (7.4.8') в (6.1.5), получим коэффи-
циент давления

7= + 2?/У М^-1.	(7.4.9)

Так как рассматривается течение разрежения, для которого /?<
<0, и учитывается, что угол р находится по абсолютной величине,
то в формуле (7.4.9) следует выбрать знак минус.

В соответствии с этим на верхней стороне пластинки, наклонен-
ной под малым углом атаки р~а, коэффициент давления

Ръ — Рос в—

—2а/Кл&—1.

(7.4.10)

Рассмотрим нижнюю сторону пластинки. Обтекание этой сто-
роны (см. рис. 7.4.1) сопровождается образованием скачка уплот-
нения ОЕ, выходящего из точки передней кромки, и, следовательно,
сжатием потока, Для определения угла 0сог наклона скачка уплот-
нения следует воспользоваться формулой (4.3.25), в которой надо
принять М1= Мл, рс=а. По найденному значению находится
из (4.3.19) или (4.3.19') число Маха М2=Мосн на нижней стороне.
При определении характера течения в области за точкой С зад-
ней кромки можно исходить из следующих соображений. На верх-
ней стороне пластинки Моев перед скачком СИ больше, чем число
М« перед скачком ОЕУ возникающим на передней кромке снизу.
Если предположить, что за точкой С поток не отклоняется от на-
правления невозмущенного течения (линия тока СР параллельна
вектору V®), то, очевидно, потери в верхнем скачке будут больше
и поэтому Мсрв<Мсгв- При этом давление сверху от линии СЕ
окажется больше, чем снизу от нее.

В газовом потоке не может сохраниться разрыв давления на
граничной поверхности, хотя скорости могут оставаться разными.
Поэтому в реальных условиях направление линии тока СЕ отлича-
ется от направления невозмущенной скорости, т. е. за пластинкой
образуется скос потока. Из физических представлений должно
быть ясно, что линия СЕ отклоняется в сторону нижней области.
При этом обеспечивается поворот потока за скачком СО на мень-
ший угол, что и приводит к снижению давления.

Исследования показывают, что угол скоса мал, поэтому с до-
статочно хорошим приближением можно исходить из предположе-
ния, что в точке С направление течения совпадает с направлением
невозмущенного потока, В соответствии с этим угол скачка 0ссп на
верхней стороне определяется по формуле (4.3.25), в которой при-
нимается Мт = Моев, р0=а> Соответствующее число Маха за скач-
ком М2—Мсрв определяется из (4.3.19) или (4.3,19') по значениям
0с=6сСР> М1»= Моев И =

Ниже линии СЕ в области за задней кромкой возникает течение
Прандтля—Майера с числом Маха Мски, определяемым при помо-
щи формулы (ЙсРв=<Йосн4-<Ь

Давление рв=росв на верхней стороне пластины определяется
по формуле (7.4-3), а на нижней стороне соответствующее давле-
ние рн=росв рассчитывается по соотношению (4.3.15), в котором
принимается р2=/?н, Р1=р®,	причем рв<р®<рн.

Если длина пластины Ё, а ширина ее принята за единицу, то
сила от нормального давления, приложенная к пластине,
Х(рн—Рв). Следовательно, подъемная сила У=Рсоза, а сопротив-
ление Х=-Р 81п а. Соответствующее значение коэффициента подъ-
емной силы У/(9«1), а коэффициента сопротивления сх=
=Х/(д№Ь). Вводя коэффициенты давления на верхней ръ—(Рв—
~Р<*)1Яос и на нижней ра= (ра—р®)/7« сторонах, получим для аэро-
динамических коэффициентов:

Сх=(Л1-А)в'по- 17.4.11)

Сила X, возникающая при сверхзвуковом обтекании пластинки
и вызванная образованием ударных волн и простых волн возмуще-
ния, называется волновым сопротивлением, а соответст-
вующая величина сх— коэффициентом волнового со-
противления. Это сопротивление не равно нулю даже в слу-
чае идеальной (невязкой) среды.

269
Аэродинамическое качество пластинки К—су/сх~с{^ а является,
как видно, функцией только угла атаки. Ввиду равномерного рас-
пределения давления по поверхности пластинки центр давления
расположен на ее середине. Следовательно, момент сил давления
относительно передней кромки Мг= —РЬ/2, а соответствующий ко-
эффициент момента



(7.4.12)

При гиперзвукэвых скоростях коэффициент давления на верх-
ней стороне пластинки приближенно определяется по (7.4.6), а на
нижней стороне — по (4-6.12). С учетом этого и полагая в (4.6.12)
0с —получим для разности коэффициентов давлений (/?ц—/?$),
называемой также коэффициентом перепада давле-
и и й, выражение

Следовательно,

Рк ~ Рп __ -| /	1 г_______Ц_

у 4(1 - К2

У 4(1- вр’1~"к2'*

(7.4.13)

(7.4.14)

^-_-4
а*

]/ -1 - 4
V 4(1—

(7.4.15)

(7.4.16)

Формулы (7,4.13)-Н (7,4.16) выражают закон гиперзвукового
подобия применительно к обтеканию тонкой пластинки. Содержание
этого закона состоит в том, что независимо от величия и а, но
при одинаковых значениях К=М«а, соответствующие величины
р/а2, су/а\ сх/а3 и для пластинок будут одними и теми же.
Параметр К=М«а называется критерием гиперзвукового подобия.

Из формул (7.4.13)-? (7.4.16) следует, что соотношения для
коэффициентов давления, подъемной силы и момента представляют
собой квадратичные, а для коэффициента сопротивления —
кубическую зависимости от угла атаки а. В предельном случае
при

л)/а2^^/а3 = ^/а3^2/(1 - - «);	(7.4.17)

тх/а2=~ 1/(1 —а).	(7.4.18)

Для пластинки, расположенной в маловозмущенном (линеари-
зованном) потоке, коэффициенты давления рассчитываются по фор-
муле (7.4.9), в которой следует принять р— а. Знак минус в этой
формуле определяет коэффициент давления на верхней стороне, а
знак плюс — на нижней. В соответствии с этим разность коэффи-
циентов давлений, отнесенная к углу атаки,
(РЯ~Р^=^/У М~-1	(7.4.19)

производя подстановку в формулы (7.4.11) и (7.4.12). получим:

^4=4/V лС-1:	(7.4.20)

с,/аг=4/]/Гм1-1;	(7.4.21)

т>= - 2/	-1.	(7.4.22)

3 данном случае критерием подобия является число Мер. При со-
.ранении его значения н независимо от величины угла атаки будут
щинаковыми для пластинок соответствующие значения р/а,
,-/а2 и тх/а. Если рассмотреть случай маловозмущенного течения
гпи очень больших числах	то формулы* аналогичные

7.4.19) -т- (7.4.22), можно представить в виде

(7я“Л)/«2=	4/К;	(7.4,23)

тг/а2=^2/К.	(7.4,24)

"аким образом, критерий гиперзвукового подобия К=МОРа дейст-
жтелен и для маловозмущенного (линеаризованного) течения с
юлыпйми числами Маха. Очевидно, что существовать такое тече-
гие может лишь при весьма малых углах атаки.

б 7.5. сверхзвуковой поток ОКОЛО ПРОФИЛЯ

ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Применение метода характеристик

Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком заостренного профиля про-
извольной формы (рис. 7.5.1). Верхний контур профиля задан уравнением
я=^и(х), нижний — уравнением Ул=^(х), Предположим, что угол атаки боль-
зе угла образованного касательной к контуру профиля на верхней стороне
. точке О передней кромки. Следовательно, в этой точке возникает течение
1оанлтля — МаЙеоа. Поток проходит через веер разрежения, выходящий

’ис. 7.5.1. Сверхзвуковое обтекание заостренного про-
филя:

1 *— веер разрежения; 2 — линия Маха

271
из точли О, как из источника возмущений, и принимает направление касательной
к контуру в этой точке. При движении газа за точкой О вдоль контура происхо-
днт дальнейшее расширение потока. Следовательно, течение около профиля
можно рассматривать как последовательную совокупность тече-
ний Прандтля — Майера. Так как в точках контура поворот происходит
из бесконечно малый угол, то вместо веера линий разрежения из них будут вы-
ходить отдельные линии Маха (рис. 7.5.1).

Скорость в точке О находится при помощи формулы (7.4.2), которую напи-
шем в виде

<°о = <йв0 1° — Рок»	(7.5.1)

где ₽оь=агс1^ (йул/4х.)а. Из табл. 5.3.1 по значению <во определяем соответст-
вующее число Мо.

В соседней точке С, расположенной на малом расстоянии от носка, скорость
газа вычисляется, как для течении Прандтля — Майера, при помощи формулы

щс “ “о “ ₽с>	(7.5.2)

где ₽г--агс1§ (*/ув/^х)с. Сложив левые и правые части уравнений (7.5.1) и
(7 52), получим соотношение

4- а — ₽о	(7.5.3)

Таким образом, в соответствии с (7.5.3) для любой произвольной точки
на контуре

Вд/У =	4-а — рдг,	(7.5,4)

где угол р№агс(^ (<1у1,/^х) к вычисляется с учетом знака. Для передней части
контура знаки углов будут положительными, для задней — отрицательными.

Примем, как к в случае обтекания плоской пластинки, что поток за точ-
кой В приблизительно сохраняет направление невозмущениого течения. Поэтому
в точке В происходит поворот потока, движущегося около контура со скоро-
стью, соответствующей числу Мвв, и возникает скачок В/?, выходящий из точ-
ки В, Угол Ос и к наклона скачка и параметры за ним рассчитываются при по-
мощи соответствующих формул теории скачка уплотнения по известным значе-
ниям угла атаки а, числа Мяв и угла заострения контура в точке В на
верхней стороне. Параметры на верхней стороне профиля (давление, скорость
к др.) определяются по известному значению местного числа Маха при помощи
соотношений для изэнтропического течения газа.

Если угол атаки равен углу ₽$», то имеем предельный случай течения
Прандтля—Майера в точке О, при котором число Маха в ней Мов=Мда. Фор-
мулу (7.5.4) можно переписать в виде

4-₽Ов—	(7,5.49

Рас дуг обтекания нижней стороны профиля (рис. 7.5.2) начинается с опре-
деления параметров газа в точке О— непосредственно за скачком уплотнения.
Для этой цели прн помощи формулы (4.3.25) вычисляется по значениям М1=Мв>
И рг^х + ₽ов угол наклона скачка Осо. Число Мон=Мг в точке О находится
из (4-3 19) или (4.3.19'). Можно принять, что это число будет сохраняться по-
стоянным в весьма малой окрестности около точки О на участке контура в
виде элемента прямой ОР. Этому участку соответствует прямолинейный эле-
мент О/ косого скачка. Его длина определяется как расстояние от точки О до
точки Л которая лежит на пересечении скачка с характеристикой первого се-
мейства выходящей из точки Р

Течение аа прямолинейным скачком будет безвихревым, поэтому часть
контуре! за точкой Р обтекаемся изэнтропическим потоком. Для определения
скорости такого потока а точке Г поспользуемся уравнением (7.4.1), из которого
найдем сог =«!)—(₽»—₽/-). где —значение угла ы, рассчитанное по формуле
(53.31) для величины М на участке контура ОР. Значения углов 0в и ₽₽ опре-
деляются с учетом знака (в данном случае на переднем участке контура углы
₽п и Рг отрицательные).
Течение около участка контура ОР можно рассматривать как течение
гоаидтля— Мэйера, поэтому из точки Р, как из источника возмущения, выйдет
лния возмущения Р— 1—3. Оиа пересечет продолжение прямолинейного скачка
, точке 3 н искривит его, в результате чего действительное направление скачка
»\дет определяться точкой 3' пересечения скачка и характеристики.

Ниже по потоку искривление скачка будет обусловливаться взаимодействием
ним характеристик, исходящих из точек (7, Я, К и т. д. Вследствие искрнвле-
ня скачка возникнет вихревое течение, для расчета которого скедует
Фименнть соотношения на характеристиках для нензэнтропического плоского
ютока. Границей этого вихревого течения является характеристика второго
емейства 7/7, которая постепенно строится в виде ломаной линии по известным
чачениям числа М и углов 0 вдоль прямолинейных характеристик второго се-
листва, выходящих из точек контура Л, О и др. В точке Н контура, лежащей
^повременно на характеристике /Н, скорость находится из выражения ®я =
=«1Г-(6о—Вк). В точке К, соседней с л, параметры рассчитываются по урав-

'’нс. 7.5.2. Сверхзвуковое обтекание нижней стороны про-
фвля с образованием скачка уплотнения:

— прямолинейный участок контура Обтекаемого тела; /Г —криво-
.инейный участок контура обтекаемого тела; /Г/ — криволинейный
честок скачка уплотнения; IV—прямолинейный участок скачке
уплотнения

|ениям для характеристик, учитывающих вихревой характер течения за скачком
пдотнения. При этом для определения скорости в этой точке достаточно знать
корость и ее направление (угол 0) в точке 7, расположенной вблизи точки К
13 элементе характеристики второго семейства 7—К. Чтобы определить эту
короегь, необходимо рассчитать искривление скачка аа точкой 7 на участке
— 3' и найти параметры на скачке в точке 3'. Для этого имеются следующие
\анные: число М=М(=МГ и угол 0=0л отклонения потока в точке /, а также
ара метры Мд=ЛЪ, ₽С"0с/ на скачке в точке 7. Применяя формулу (5.4 46) и
шлага я в ней е=0, получим для изменения угла 0 вдоль характеристики /—3
ледуюшее выражение:

К бы \	I-1 7	Дх1 Д5 \	„ „

—	• ~~ )	(7.5-5)

/у _|	\	4 к# Ьп /

те

= ₽з—₽ь Д-Ч— лз — *1»

Д5	($3 — 51) СОЗ (01 + Р-1)	51П2 СОЗ

Дп	(Х3—Х1) ЭШ Н ’	005(0! 4- рО

Повзводная (4<1>/40).г вычисляется по (54Д9) для значений соответствующих
1яраметров в точке /; углы ом и определяются из (5.3.31) по числам М
“ответственно в точках 1 и 7.
Точка 3 на рис. 7.5.2 лежит на пересечении прямолинейного скачка и .ха*
рактеристнки 1—3. Следовательно, ее координаты находятся в результате сов
местного решения уравнений

=	+н), #з = *з1е(всо- а).	(7.5.6)

Пересечение характеристики со скачком будет иным (в точке <?'). так как
произойдет искривление скачка. Новый угол наклона скачка /з' на участ-
ке / — 3' определим по углу отклонения потока за скачком ₽с = ₽з^Л₽1 + ₽1 п
числу Мэ' вычисленному при помощи выражения сОд'=Д(О1-|-{1)11 в котором Аоэг
находится из (5.4.38):

ДШ1 =	4. (^ш/^р)уДр1 — оц.	(7.5.7)

Следовательно, уравнение элемента I—3' скачка будет Уу^у^ =
= (*з'“" -*р*В(вс.й' —а)' Вследствие отклонения потока в точке 3' изменит
свое направление характеристика на участке I—3'. Уравнение характеристики
на этом участке будет иметь вид у9, —	= (х3, — хх) 1й(₽з' +**з')* Решал

совместно эти два уравнения, найдем координаты х3/, у3? точки 3'.

Рассмотрим точку 5, лежащую на пересечении элементов характеристик
2—5 первого н 3’—5 второго семейства. Координаты этой точки у$ н х5 опреде-
лим из решения уравнений для элементов соответствующих характеристик.

у 5—У2 = (х5 — х2) <₽2 + ю);

Ун - уу=Ръ - *3Л (Вэ, “ М-

(7.5.8)

Изменение направления потока при переходе от точки 2 к точке 5 йд$лъ эле-
мента характеристики 2—5 определим из уравнения (5.4.22), в котором при-
мем а=0-

1 Г 1	А5	1

А₽2 = -Н-ГГ' — (А*з'/3' + Д*2с2)~((О2— <й3,)— (&— ₽з')Ь (7-5,9)

* | Яг<х	Лп	I

где Д₽2 == ?5 — рй; Ах3, ^х5— х3/,
причем

Д $	($3' — $2> со& (М-Р?) СО& (?3, — ^,)

Дл	/ + е

/ — (*5 " *а) 31П НЗ' СО5 (₽2 п- нг); е = (х3 — х3.) 5ш ц2 соэ (₽3, - р3,).

Значения с2 и определяются по (5.4.15). В точке 5 число М находится из
(5.4.23) по Д02. Аналогично по известным значениям параметров газа в точке 5
и точке Я, лежащей на стенке, определяется скорость в точке 6, расположенной
на пересечении элементов характеристик Н — 6 первого семейства и 5—6 второго
семейства. При этом координаты уя точки п находятся в результате реше-
ния уравнений контура уц~1п (Хн) и элемента характеристики 2 — Н ун—уъ—
= (*н — л2)	(Р2 — р3)

Выберем теперь на элементе характеристики Н— 6 произвольную точку 7
с координатами х7, Параметры в этой точке определим интерполяцией. На-
пример, угол 07=06—(06—0я)(6—7)/(6—Н). Аналогично можно найти число
М7 и соответствующий угол Маха р7. Точка 7 выбирается таким образом, чтобы
элемент характеристики 7—К. проведенный из этой точки под углом р7 — р7# пе-
ресек контур в точке К, расположенной на малом расстоянии от точки Я. Коор-
динаты зтои точки хк, у к определяются в результате решения уравнения
у к — Уч= (хк — х7)	(р7 — р7) для элемента характеристики 7—К и уравнения

Ук=}н(^с) контура. Так как поток в точке К вихревой, то расчет скорости в
ней надо вести при помощи уравнения (5.4 27). Полагая в нем е=0, полупим

Дй>7 — — Д^7--(7.5.10) 5

кН Дп	।
,е Л(07=ыя—=	—р/, причем угол ₽х=эгс(^ (^н/^х)к. Параметр /?

г наделяется из (5.4.28) дли значений р7 и 07* а градиент энтропии вычисляется
,о формуле (5.4.29):

Д5 _ ($7 —	005 (& — н)

Дй	(Х^ — Х7) 5Ш р7

энтропия 5к в точке К находится в результате расчета ее величины в точке О
^посредственно за скачком уплотнения, а энтропия 57 в точке 7 вычисляется
н тер полицией между ее значениями в точках И и 6.

Аналогично, путем последовательного решения каждой из трех задач, рас-
мотренныч в § 5.4, определяется поле скоростей в области между характери-
гикой РЛ контуром и криволинейным скачком 1—3'—4'. Форма этого скачка
,а ходится постепенно в виде ломаной линии, а указанная область потока запол-
1яется сеткой характеристик.

В узлах сетки характеристик можно определить по числу Маха давление,
рименяя формулу (36.28). в которой соответствующее давление торможения
вычисляется путем интерполяции при помощи формулы (5.4.19). Давле-

ние. 7.5.3. Сверхзвуковое изэнтропическое обтекание
криволинейного заостренного профиля:

— контур обтекаемого тела; 2 — характеристика второго се-
мейства

не в точках на контуре находится по соответствующим числам Маха и давле-
НПО торможения ро=ро', вычисленному по (4.3,22) для угла Йео и числа МЛ.

Расчет течения на нижней стороне профиля упрощается в том случае, когда
арактернстика второго семейства, проведенная нз точки /, не пересекает
о и т у р, и, следовательно, это течение можно рассматривать изэнтропи-
е с к и м (рис. 7 5 3). Для расчета числа Маха в произвольной точке контура Ь
рнченим уравнение (5.3.40).

“д = “О-(₽о~₽Д-	(7.5.11)

'десь угол определяется по формуле 0г — агс!.^	с учетом знака:

п передней части контура он будет отрицательным, у задней кромки — положи-
ельным; \гол рп будет отрицательным. Форма скачка определяется углами его
аклона 0 с в точках 3' и 4', расположенных на пересечении прямолинейных
япактернстик, которые проведены из точек С. Угол 0с скачка в точке 3' на-
итится приближенно по ₽з' = ₽х и М® из формулы (4 3.25). Аналогично вычис-
ляется }гол наклона скачка в точке 4Г.

Был рассмотрен расчет обтекания при таких углах атаки а^ров, ко>да на
1‘пхней стороне всюду имеет место течение расширения. Если зто условие не
нполняется (а<ров)> то обтекание верхнего контура происходит со сжатием
аза у передней кромки н образованием скачка уплотнения. Сле-
довательно, расчет такого обтекания необходимо вести так же, как для нижней
'сверх пости.

275
Гиперзвуковое обтекание тонкого профиле

Если тонкий заостренный профиль (см, рис, 7.5.1) обтекается
гиперзвуковым потоком при таких малых углах атаки, что на его'
верхней и нижней поверхностях во всех точках местные числа Маха
значительно превышают единицу и, кроме того, сохраняются усло-
вия изэнтропического течения около ннжнего контура (рис. 7.5.3)^
то для расчета возмущенной скорости можно применить упрощен-
ные соотношения для характеристик.

Если угол атаки а^рОВт то для определения числа М в произ-
вольной точке # на верхнем контуре следует применить в соответ-
ствии с (7.4.4) формулу

(7.5.12)

Так как на верхнем контуре всюду имеет место течение рас-
пт и р е н и я, то число М/^>МСО.

Обтекание нижней поверхности сопровождается образованием
скачка уплотнения и, следовательно, сжатием газа. Коэффи-
циент давления в точке О непосредственно за скачком вычисляется
при помощи формулы (4.6.12) следующим образом:

Рн ______1 । 1 /~	1____। 4

(а- ₽Ои)2 1- Г г	(1 _ 1)2 т* к* ’

(7.5.13).

г

где К=Л1«(а—₽он), а угол ров берется со знаком минус. Из фор-
мулы /?н=20со(а—Роя) можно вычислить угол наклона скачка 0со»
а затем по значению Кс=Л1л>0со найти число Маха в точке О, ис-
пользуя формулу (4.6.16):

М2	|/2

Он   __________________К*__________________

га+»ж?-ч(1-«+»к?)'

(7.5.14)

За точкой О течение будет происходить с расширением, поэтому для
определения скорости в произвольной точке Л можно применить
зависимость

Мд=[цг-+Ч2(^-М’1-	(7-5-15)-

Ь “Он *	.1

Приближенный расчет гиперзвукового обтекания тонкого про-
филя можно нести с использованием метода местных п л а*ь
стннок. По этому методу течение в произвольной точке контура
рассчитывается по соответствующим формулам для плоской пла-
стинки в предположении, что пластинка находится в потоке с числом
Л1« под углом атаки, равным углу между вектором и касатель-
ной к контуру в рассматриваемой точке. Таким образом, для неко-
торой точки Н на верхней


(1вии с (7.4.6)

—=—-----------1/ —-------к—.	(7.5.16)

(«-Ы2 »-» V а-ч2

где К№М«(а“^)-

Для произвольной точки Л на нижней стороне с учетом (7.5ДЗ)

—— --—(-1/----------!----И—.	(7.5.17)

(а-₽Л)з 1-е V (1-в)2

где Кд=М«,(а — ?г).

В формуле (7.5.16) угол 0л имеет знак плюс на переднем участ-
ке контура и минус у задней кромки, а в формуле (7.5.17) угол

имеет знак минус
В пределе при

передней кромки и плюс — у за а пей.

Ру—0;

(7.5.18}

р4=2(а-?г)2/(1-&).

(7. 5.19)

При нулевом угле атаки формулы (7.5.16), (7.5.17) и (7.5.19) при-
нимают следующий вид:

Р// _ I ____. Л 1	। * .

&	1—8 У (!-»)* 'Г К2,'

1 +-*-
й 1-в V (1-ьЯ к|
2^/(1-5)-

(7,5.16')

(7,5.17'}

(7.5,19г)

В формулах (7.5.16')* (7.5.17') значения	К^М®^,

Тонкий профиль в маловозмущенном потоке

В этом случе предполагается обтекание тонкого профиля при
малых углах атаки, которое обладает той особенностью, что екач-
ки уплотнения конечной интенсивности отсутствуют, а характери-
стики на верхней и нижней сторонах являются прямыми лини-
ями с углом наклона ц®=агсз1п( 1/М®).

Для определения коэффициента давления на профиле применим
уравнение (7.4.9). Согласно этому уравнению для произвольной
точки № на верхней стороне профиля

Рн = - 2 (а - ад/К - 1,	(7.5.20)

я для некоторой точки к на нижней стороне
рЛ=2(а-^)//м1-1.	(7.5.20'}
Для нулевого угла атаки

^=2?л,1)/ГМг„-1,	-23^Мг„-1.	(7.5.20")

Возрастание малых углог атаки обусловливает увеличение по-
грешности при расчетах давления на тонком профиле, обтекаемом
лталовозмущеииым потоком. Повышения точности этих расчетов
можно добиться, используя аэродинамическую теорию
второго приближения. Согласно этой теории, коэффициент
давления

^=±^64-^62,	(7.5.21)

где

С!=2 (ЛС-1)-1* с2=0,5(м1-1Г2[(м1-2)2+АМ1,]. (7.5.22)

Знак плюс в (7.5.21) относится к нижней стороне пластинки
(р&	а минус —к верхней (р#\ 6=а — ^),

Аэродинамические силы и их коэффициенты

Для определения аэродинамических сил давления воспользуем-
ся формулами (1,3.2) и (1.3.3), отнеся их к связанным осям х, у
(см. рис. 7.5.1) и приняв в них с/х=0. При этом условии формула
{1,3,2) определит для профиля продольную силу Я, а (1.3.3) —
нормальную силу # от давления:

Я—УойЗа

р соз (пл) , Лг=—
^гт

р соз (пу) —
“л

Принимая в качестве характерной площади величину 5П=6 • 1 и
учитывая, что	(Ъ — хорда профиля, (11— элемент дуги

контура), получим для аэродинамических коэффициентов:

<с$ =Я/(?«5П)=(6 р соз (лх) Л» с*== — (6 р соз [пу) <11.

где (11=(ЩЬ, а интегралы являются криволинейными и вычисляются
по контуру профиля (при этом положительным обычно принимает-
ся обход контура против часовой стрелки).

Произведем замену:

-	4/=4х/зт (пх), соз(п^)^/=^х>

где йх =(1х)Ь. Переходя далее от криволинейных интегралов к обыч-
ным, получим

1 1

ся=----\Л (ЧМ 4*+ (л ИЧ ^-5-23)

Л	\ ах /л А	\ ах /в

О	&

1

(7.5.24)
ле ри и рв — коэффициенты давления соответственно на нижней
: верхней сторонах профиля.

Применяя формулу для пересчета [см. формулу (1,2.3) и табл-
.2.1], получим аэродинамические коэффициенты в поточных коор-
щнатах (рис. 7.5.4):

Сд.=слсо5а-|-^ 51П с, с^=СтуСО5а —81П а. (7.5.25}

"’пс. 7.5.4. Аэродинамические силы для
профиля в связанной и поточной систе-
мах координат

Рис. 7.5.5. Схема определения мо-
мента сил для профиля

} случае лётных углов атаки, не превышающих значений а»10-н
—12°, можно написать:

Су с^.



(7.5.25')

Для коэффициента момента сил давления относительно передней
:ромки профиля (рис. 7.5.5) получим по аналогии с (1.3.6) фор-
:улу

(7.5.26)

Де ук=у^Ь\ у.^уЛЬ.

Коэффициент центра давления будем определять яри условии^
'то точка приложения равнодействующей аэродинамических сил

27&
расположена на хорде профиля. Если ее координата хчд, то

(7,5.27)

Для тонких профилей вторым интегралом в правой части
<7.5.26) и в числителе (7.5.27) можно пренебречь. Согласно этому,

1 _ __

— [(А.—Р^хЛх,
6

(7.5.26')

(7.5.27')

[рв-р.)->^х

(ря—Р,№

Сравнивая первый и второй члены в правой части (7,5.26), не-
трудно оценить порядок малости отбрасываемых величин* опреде-

ляемый значением	(у&с) йу/Дх ~ Д2 (где д=д/Й—относительная

толщина профиля).

Используя зависимость (7.5.21), получим коэффициент продоль-
ной силы (7,5.23), соответствующий аэродинамической теории вто-
рого приближения:

с*=сгКг+2с2К2а.	(7.5.28)

где

ЛГ1=((Й+Й^*. К2=|(Й-Й)<й	(7.5.29)

о	о

Коэффициент нормальной силы в соответствии с (7.5.24)

с2У=2С1а4’С2^.	(7.5,30)

Согласно полученным результатам коэффициенты лобового со-
противления и подъемной силы:

с^=2с1а2-р	с^^=2с1а-Рс2^а'	(7.5,31)

В частном случае симметричного профиля	Р= (^У/^х)2

и, следовательно, К1=2^р^дг, В соответствии с этим

1 _

сх^2с1аа-|-2с1 уВМх, с^2с1В.	(7.5,3?)

о

280
Из этих двух соотношений находим

(7.5.32)

Уравнение (7.5.32) определяет зависимость между коэффициента-
ми сопротивления и подъемной силы — так называемую поляру
профиля.

Коэффициент продольного момента относительно передней кром-
ки найдем в результате подстановки (7.5.21) в (7.5.26'):

/71^-—^2^2“(2с^ ^2—

где
1 _ _ 1 ________________________________________

А1 = | (?»+ ?.) х<1х\ Л = ((?„—₽«) хОх-,

6	6

1	_ _

#2 — у (рн	ЛйГХ.

О

Для симметричного профиля рв=—Вн=р, поэтому

Ла=2 В соответствии с этим

/ 1 _ — \

тл= | 4с2 Г рлйОс— сх (а.

Коэффициент центра давления согласно (7.5.27')

— фВд + (2^аАг — а
2с1<х -|-

Для симметричного профиля
/ 1

Сц Д=О,5 | 1 — 4 — С $х(1х

I <ч .1
\ о

(7.5.33)

(7.5.34)

(7.5.35)

Л1=5г=0;

(7.5.33')

(7.5.36)

(7.5.36')

В случае линеаризованного обтекания (малые сверхзвуковые скоро-
сти) в написанных соотношениях следует принять коэффициент
Сг=О.

При гиперзвуковых скоростях движения тонкого профиля
для расчета коэффициентов давления в (7.5,23), (7.5.24), (7.5.26')
и (7.5.27') можно пользоваться формулами (7.4.6) и (4 6.12). Ко-
эффициент давления на нижней стороне в соответствии с (4,6.12)

А.=(“-М2

1

(1 —>Я

4

(7.5.37)

281
-а на верхней стороне значение этого коэффициента согласно (7.4.6)

<7-5-35’

- в _

где КН=М« (а — ?н); Кв=Мда(а—Зв}-

В качестве примера найдем зависимости для аэродинамических
коэффициентов клиновидного профиля (рис. 7.5.6). Так как для
.нижнего контура (4у!(1х)п=1^ рн, а для верхнего (^/г/х)в={& рв,
то, принимая во внимание, что коэффициенты давления рп н рв яв-
ляются постоянными, получим из (7-5.23) и (7.5.24):

СЯ= — р, Рн+ДЛЯ	(7.5.39)

А,-	(7.5.40)

При этом б формуле (7.5.39) угол ря следует рассматривать отри-
цательным.

Коэффициент момента найдем из (7.5.26):

тг= — 0,5 (д, - д») - 0,5 (д, 18® р.-д, !§«₽,),	(7.5.41)

л коэффициент центра давления согласно (7.5.27)
с«.ж=°.5/1 +	.	(7.5.42)

\	Рн — Рв /

В случае симметричного профиля

ся=— (ра—Т'в)*??. ск=ри—р.;

тг= -0,5(д-^)(1+ <Е2ю. Си.,=0,5(1 + ^р).

(7.5.43)

Рис. 7.5.6. Клиновидный профиль

Для нулевого угла атаки значения
с& и Си определяют соответствен-
но коэффициенты лобового сопро-
тивления сх~сп и подъемной си-
лы Сь — Сн.

В приведенных соотношениях
коэффициент давления опреде-
ляется по точным зависимостям,
полученным в теории косого скач-
ка уплотнения. По этой же теории

В случае а>рв
Майера на

коэффициентов

находится и коэффициент давления рв для «<рв.

нахождение рв связано с расчетом течения Прандтля
верхней стороне профиля.

Полученные зависимости от аэродинамических

профиля относятся' к произвольным значениям углов заострения
(рн, Р«) и атаки. Если эти значения невелики, то для расчета ко-
эффициентов можно использовать теорию второго приближения.
Согласно этой теории, в формулах (7.5.31) для сх и су необходимо
принять Х1=^+&
При вычислении коэффициентов момента (7.5.33) и (7.5.36) сле-
дует исходить из того, что

1 “015 (?иЛЛ	— 0,5 (Зн—?в), #2—0,5 (?в—е^»)-

Для симметричного профиля

2сДаг+?Р), с&-=2с1а\

т2=(2с23~с1)а, с1;>(=0,5 (1 — 2—,
\	<4 /

^7.5.44)

где угол р выбирается отрицательным по знаку (для нижней сто-
роны).

Использование коэффициентов (7.5.37), (7.5.38) позволяет оп-
ределить аэродинамические коэффициенты (7.5.39)<- (7.5.43), соот-
ветствующие гиперзвуковым скоростям движения тонкого профиля
под малым углом атаки.

$ 7.6. СКОЛЬЗЯЩЕЕ (СТРЕЛОВИДНОЕ) КРЫЛО

БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА

Прямоугольное крыло бесконечного размаха, передняя кромка
которого не перпендикулярна направлению скорости набегающего
потока, называется скользящим (нли_с треловидным) кры-
лом, а угол между вектором скорости V» и его нормальной к пе-
редней кромке составляющей Ип« — углом скольжения
(стреловидности) х (рис. 7.6.1). Такая передняя кромка на-
зывается также скользящей (или стреловидной).

Рис. 7.6.1. Скользящее крыло:

/ — поверхность крыла; 2 — профиль в сечении по нормали;

3 — профиль в сечении по потоку

283
Рассмотрим некоторые особенности обтекания скользящих
крыльев. Поток около таких крыльев можно разделить на два те-
чения: продольное (вдоль размаха крыла), характеризующееся
скоростью	параллельной передней кромке, и попе'

речное, зависящее от величины нормальной к этой кромке со-
ставляющей скорости Упзо^ У^соз х.

Распределение скоростей и давлений но крылу не зависит от
.продольного течения, а обусловлено лишь поперечным обтеканием
<о скоростью Уп»= У« соз х- Характер этого обтекания, а следо-
вательно, и распределение давления изменяются в зависимости от
формы профиля в сечении крыла плоскостью, нормальной к перед-
ней кромке, и угла атаки, измеряемого в этой плоскости. В соот-
ветствии с этим аэродинамические характеристики профиля будут
такими же, как профиля, принадлежащего прямому (нестреловид-
ному) крылу, обтекаемому со скоростью набегающего потока
под указанным углом атаки.

Отсюда следует также вывод, согласно которому аэродинамиче-
ские характеристики скользящего крыла можно определить, если
известны соответствующие их значения для прямого крыла. При
определении таких характеристик скользящее крыло рассматрива-
-ется как прямое, повернутое на угол скольжения х. В этом случае,
очевидно, у скользящего крыла в нормальном сечении профиль та-
кой же, как у прямого.

Профиль и угол атаки в плоскости, нормальной к передней кром-
ке, отличаются от профиля и угла атаки в сечении по потоку (см.
рис. 7.6.1). Хорда в нормальном сечении Ьп и хорда Ь вдоль потока
связаны соотношением Ьп=Ьсозх.

Угол атаки ап в нормальном сечении определяется из выражения
' зш аЛ=Л/^я=Л/(дсозх)=5та/созх>	(7.6.1)

где а — угол атаки в плоскости потока. Очевидно, прн малых углах
атаки

ая=а/созх.	(7.6. Г)

Если в некоторой точке на профиле крыла при прямом обтека-
нии (без скольжения) со скоростью V® коэффициент давления ра-
вен р, то при повороте крыла на угол х коэффициент давления рЕ в
соответствующей точке будет таким же, т. е.

2 (Рл “	СО5Й х)=2 (р —

В соответствии с этим на профиле скользящего крыла коэффициент
давления, вычисленный по скоростному напору 0,5 р,»!'®,

р.-2 (Рп — А»)/(р«У1)=/> соз2 х.	(7.6.2|

С учетом (7.6.2) н в соответствии с (7.5.23), (7.5.24) и (7.5.26) аэро-
динамические коэффициенты профиля тонкого стреловидного
крыла:

слсозйх, с^^^соз2^, тгх=тлсоз2х. (7.6.3)
Очевидно, в соответствии с (7.5.25')

с^х (ср -|-	соз3 *=сх соз2 х.

Лак как сила лобового сопротивления определяется не в направле-
нии составляющей скорости У®созх, а в направлении скорости на-
бегающего потока то коэффициент этого сопротивления

СО3 * — сх с0$3 х •	(7.6.4)

Рее эти коэффициенты определяются для скоростного напора ф»=
= 0,5 р«И®. Из формул (7.6.3) для Спк и т2Х следует, что коэффи-
циент центра давления с^д= — соответствующий малым уг-
лам атаки, не зависит от угла скольжения, т. е. сц.д= —т7/су.

Сжимаемый поток. Согласно линеаризованной теории, коэффи-
циент давления на профиле скользящего крыла в дозвуковом
сжимаемом потоке можно получить из соответствующего
коэффициента для того же крыла в несжимаемой жидкости по
формуле Прандтля — Гл а уэрта (7.1.14), заменив в ней число Мда
на М® созх:

р,.1 — соз2 х,	(7.6.5)

или с учетом (7.6.2)

=рм соз3	1 — м« соз2 х.	(7.6.5')

Соответствующие аэродинамические коэффициенты получаются из
(7.5,23), (7.5.24), (7.5.26) и находятся при помощи формул (7.6.3),
(7.6.4), правые части которых будут содержать в знаменателе вели-
чину М^соз2*. В частности, коэффициенты подъемной си-
лы и продольного момента:

=су соз2 х//1 — МЛ

соз2 х;

= тя соз3

.[ К1 — соз2 х.

(7.6.6)

Из этих соотношений следует, что для тонких профилей коэффици-
ент центра давления сцд= —т^Су* не зависит ни от угла стрело-
видности, ни от сжимаемости (числа М®).

Применение скользящего крыла вызывает такой эффект обтека-
ния, который имел бы место при снижении скорости набегающего
потока от значения V® до V® соз х (или числа Маха от М® до
М® соз х). При этом, естественно, уменьшаются и местные скорости
па профиле скользящего крыла, что в свою очередь приводит к сни-
жению разрежения и, как следствие, к увеличению критического
числа Маха. Это число Маха может быть определено по извест-
ному его значению МЖКр для прямого крыла, имеющего ту же
форму и угол атаки, что и профиль скользящего крыла в нормаль-

285
ном сечении:

Мсскрл — Мюир, СОЗ2 х.	(7.6.7

Сверхзвуковые скорости. Предположим, что при сверхзвуковок
скорости набегающего потока (У<ю>а«, Мж>1) угол стреловидно-
сти удовлетворяет неравенству х>л/2—в соответствии с кото*
рым созх<зшри1 и, следовательно, Ул»<аж= V» зш т. е. нор-
мальная к передней кромке составляющая будет дозвуковой. Таким
образом, обтекание сечений стреловидного крыла по своему харак-
теру будет дозвуковым. В рассматриваемом случае стоеловидная
кромка называется дозвуковой (рис. 7.6.2, а).

При увеличенных скоростях обтекания нормальная составляю-
щая скорости может стать больше звуковой (У«а,>а«= V» з!п р»),
так что при этом х<л/2—р® и соз х>зш р». В этом случае обтека-

Рис. 7.6.2. Скользящее крыло с дозвуковой (а) и сверхзву-
ковой (б) передними кромками

ние профилей стреловидного крыла будет сверхзвуковым. В соот-
ветствии с этим передняя кромка такого крыла будет называться
сверхзвуковой (рис. 7.6.2, б).

Рассмотрим расчет сверхзвукового обтекания стреловидного
крыла в каждом из этих случаев.

Передняя кромка сверхзвуковая. Обтекание крыла можно рас-
считывать по формулам, полученным для тонкой пластинки неогра-
ниченного размаха при условии, что скорость набегающего потока

V® соз х>а«, а соответствующее число МПЛ,=М« соз х> 1.
Угол атаки пластинки связан с заданным углом атаки а стрело-
видного крыла соотношением (7.6.1) или при малых углах атаки
(7.6. Р).

Используя формулу (7.4.9) и заменяя в ней р на а* = а/со8х п
Мм на	соз х, получим зависимость для коэффициента дав-

ления в плоскости, перпендикулярной передней кромке:

р=± 2а/(созх V МХ соз2х — 1 ).

В этой формуле коэффициент давления р отнесен к скоростному
напору 47п=0,5^ржМ2по&. Чтобы получить значение коэффициента
давления, отнесенное к скоростному напору набегающего потока
<;ж=0,5 ^и>Ма«,3 следует воспользоваться формулой (7.6.2), в соот-
ветствии с которой

= + 2а соз я/]/'м^соз2х— 1.	(7.6.8)

В (7.6.8) знак плюс определяет коэффициент давления на нижней
стороне крыла, а знак минус — на верхней стороне.

В соответствии с формулами (7.4.20) 4-(7.4.22) (с заменой в них
а_на сн н М« на М^созх), а также с учетом соотношений (7.6.3),
(/.6.4) найдем зависимость для аэродинамических коэффициентов
стреловидного крыла:

~ 4а л соз2* ]/~ М„ соз2 * — 1;

схх = 4ад соз3 х/ у М» соз2 х — 1;

(7.6.9)

тгх - — 2ап соз2 х/ у М„ соз2 х — 1.

Анализируя эти соотношения, можно установить особенность стре-
ловидных крыльев, заключающуюся в том, что по сравнению с пря-
мыми (х=0) их коэффициенты подъемной силы и сопротивления, а
также коэффициент продольного момента (по абсолютной величи-
не) меньше при одинаковых углах атаки ап по нормали к передней
кромке, Физически это объясняется тем, что при обтекании стрело-
видного крыла реализуется не полный скоростной напор
-=0,5 росУоЛ а только его часть 4?™=^® соз2х и само обтекание в на-
правлении набегающего потока происходит под меньшим углом ата-
ки, чем при отсутствии скольжения (а<ап> где ап=а/созх).

В «чистом» виде стреловидные крылья бесконечного размаха в
лётной практике, естественно, не встречаются. Однако полученные
результаты дают представление об общих свойствах таких крыльев.
При этом, как будет показано в гл. VIII, выводы, относящиеся к
крыльям бесконечного размаха со скольжением, могут быть исполь-
зованы для расчета обтекания отдельных участков стреловидных
крыльев конечного размаха, имеющих сверхзвуковые кромки.

Передняя кромка дозвуковая. В этом случае обтекание сечений,
соответствующее движению прямого крыла с числом Мп«<1, дол-
жно исследоваться при помощи дозвуковой пли околозвуковой (сме-
шанной) теории обтекания профиля. Сопротивление и подъемная
сила будут определяться законами дозвуковых течений, характери-
зующимися взаимодействием потоков на верхней и нижней сторо-
нах крыла, которое проявляется в перетекании газа из области вы-
сокого давления в зону их пониженных значений. При этом волно-
вые потери могут возникать только при сверхкритпческом обтека-
нии (Мпоо>М^кр), когда на поверхности появляются скачки уплот-
нения. Если	то скачки уплотнения и, следовательно,

волновое сопротивление отсутствуют. Этот вывод относится, есте-

287
Рис. 7.6.3. Подсасывающая сила скользящего
крыла

ственно, к крылу бесконечного размаха. У крыльев конечного раз-
маха волновые потери всегда имеют место, так как на обтекание его
боковых кромок оказывает влияние составляющая скорости
V» 81п х, в результате чего проявляются сверхзвуковые свойства
течения и возникает волновое сопротивление. Для исследования та-
кого сопротивления следует применять трехмерную теорию сверх-
звукового обтекания.

Подсасывающая сила. Как было установлено в § 6.3, на перед-
ней кромке профиля, обтекаемого несжимаемой жидкостью, возни-
кает подсасывающая сила. Такой же эффект имеет место и в случае
обтекания профиля дозвуковым потоком сжимаемого газа. При
этом на величину подсасывающей силы будет оказывать влияние
стреловидный характер
передней кромки крыла.

Для вычисления этой
силы применим выраже-
ние (6.3.25), которое мо-
жет быть при помощи со-
ответствующих преобра-
зований распространено
на более обшнй случай
обтекания профиля, при-
надлежащего крылу со
стреловидной передней
кромкой (рис. 7.6.3). Рас-
смотрим это преобразова-
ние. В невязком потоке
составляющая скоросги
набегающего потока —
касательная к передней
кромке скользящего кры-
ла — не изменяет поля
возмущенных скоростей,
и оно остается таким, как

для прямого крыла, обтекаемого потоком со скоростью —
— УооСозх. Остаются также без изменения и силы, действующие
на крыло.

По этой причине на элемент крыла с прямой кромкой (в ко-
ординатах х0, г0) будет действовать подсасывающая сила

Л0=лрс^г0,	(7.6.10)

где в соответствии с (6.3.28')
со-- Нш |«о(хо -

Из рис. 7.6.3 следует, что
//70=^7/со5х, ^=^/005», «0=д/созх; х0—х	соз х

Подставляя эти значения в (7.6.10), получим


(7.6.11)

где

^2— Пт [4?(х - хикН.	(7.6.12)

^п-к

Выражения (7.6.11) и (7.6.12) можно обобщить на случай сжи-
маемых потоков. Для этой цели обратимся к § 8.2 и воспользуемся
зависимостями (8.2.4), связывающими между собой геометрические
характеристики крыльев, обтекаемых сжимаемым и несжимаемым
потоками. Из этих зависимостей следует, что все линейные размеры
в направлении оси х для крыла в сжимаемом потоке в У1—М?«
меньше, чем соответствующие размеры для крыла в несжимаемом
потоке, в то время как толщина крыла и поперечные размеры (в на-
правлении оси з) не меняются. В соответствии с этим

х=хис 1^1 —М»,	1— М1;

1 —М«.

(7.6.13)

Из условий, что х=хнс|/ 1—М« и ф'=ф^., найдем

д?’ = <*?'с	1

дх дхИг - /	*

V1 -

т. е.

и=ит1У 1-Л&.	(7.6.14)

Поэтому коэффициент давления в сжимаемом потоке будет опре-
деляться по формуле Прандтля — Гл а уэрта:

~Р==Рж!У 1-ЛС	(7.6.15)

Подсасывающая сила Т по своей физической природе является
силой, обусловленной действием нормального напряжения (давле-
ния), и определяется при малых углах атаки из условия Т^аУ.
Соответствующий коэффициент подсасывающей силы схТ=
= 7’/(47«5кр) — осу. Так как размеры крыла в направлении оси {/не
изменяются в сжимаемом н несжимаемом потоках, то углы атаки
для обоих потоков также останутся неизменными, т. е. а—анс- Сле-
довательно,

Схт!СхТ кс —' Су!^У нс

или в соответствии с (7.1.14)

^=^„71^1-М~-	(7.6.16)

Принимая во внимание полученные соотношения, можно напи-
сать для профиля скользящего крыла:

10—707	-	289

угигиг.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими руками?!
НЕ

]/7





ИЛИ

4Г=й!Г„с.

Но так как	то

ат1ах=атяаагяс.

(7.6.17)

Правая часть равенства (7.6.17), соответствующая несжимаемому
потоку, определяется по формулам (7.6,11) и (7.6.12):

^Т1 нсМ^ИС = ЯР«^ис У 1 4" 1&2 *пс *
где

11^ [^НС (-^нс	^'|1.клс)]'

гнс"*жц,к.нс

Производя замену в соответствии с зависимостями (7 6.17), (7.6.13)
и (7.6.14), получим

<&= Пт [я* (л—^п,к)]]/ 1—М«;

Х,*Х1ЬК

/т+^=/*+т^-

Следовательно,

ап ах=яр„с® V1+х -	(7.6.18)

где

с2^ Нш [и2 (л—(7.6.19)

Х-* -Г „
ГЛАВА VIII

КРЫЛО В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

$ 8.1. ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО
ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА

Линеаризация уравнения для потенциальной функции

Рассмотрим тонкое слабоизогнутое крыло произвольной формы
в плане, имеющее конечный размах и расположенное в сверхзвуко-
вом потоке под малым углом атаки. Возмущения. вносимые таким
крылом в поток, будут малы, и для исследования обтекания можно
применить линеаризованную теорию, подобно тому, как это дела-
лось при изучении маловозмущенного течения около тонкого профи-
ля (см. § 6.2). Условия такого течения были заданы для скоростей
в виде (6.1 Л). Если рассматривается линеаризованный трехмерный
газовый поток, то эти условия должны быть дополнены заданием
для составляющей скорости по осн г. В соответствии с этим для ли-
неаризованного трехмерного возмущенного течения будут действи-
тельны соотношения:

Уу=‘и, Уя=^,	(8.1.1)

где и, V, щ — составляющие скорости возмущений соответственно
по осям х, у, г, В соответствии со свойством линеаризованого те-
чения

да «К».	(8.1.2)

1

Эти условия позволяют линеаризовать уравнения движения и не-
разрывности и тем самым упростить решение задачи об обтекании
тонкого крыла невязким установившимся потоком. В общем виде
уравнения движения такого потока получаются из системы (3.1.17),
в которой принято 0, дУх/д^=дУи'д^—дУх/д^О:

1/ ^У*	» 1Г дУх	;	дУх___	1	др	~

дх	ду	’	дх	р	ду

1/	| 1 /	| ] / _дУ*__

. х дх * ду х дх р ' дх ’

(8. КЗ)
Уравнение неразрывности примем в виде (2.4.4). Раскрыв част-
ные производные, получим

р	। 1/х —4-У»—+У7— =°- (8-1-4)

( дх ‘ ду 1 дг }~ дх “ ду 1 г, дг .

Как было показано в § 5.!, уравнения неразрывности и движе-
ния можно объединить в одно уравнение, связывающее между со-
бой составляющие скорости. Осуществив преобразования, аналогич-
ные тем, которые были произведены в § 5.1, получим это уравнение
в следующем виде:

(V*—а2) ^+(^-вг)	+

ОХ	оу	.. 02

Принимая во внимание зависимости (2.3.2) для потенциальной
функции, а также условие равенства перекрестных частных произ-
водных (д2<р/дхду=д2у/дудх и т. д.), получим из (8.1.5) уравнение
для потенциала скоростей:

+ ‘8л'6>

Уравнения (8.1.5) и (8Л.6) являются основными диффе-
ренциальными уравнениями газовой динамики
для трехмерных установившихся газовых тече-
ний. Первое из них относится к более общему случаю вихрево-
го (непотенциального) движения газа, а второе использу-
ется для исследования только безвихревых (потенци-
альных) течений.

Так как обтекание тонких крыльев, установленных под малым
углом атаки, является потенциальным, то для исследования этого
обтекания можно применять уравнение (8.1.6) для потенциала ско-
ростей. Чтобы провести линеаризацию уравнения (8.1.6), являюще-
гося нелинейным дифференциальным уравнением, внесем в него вы-
ражение (7.1.2') для скорости звука, а также значения
Кг=У»+«.-	Уг=«;	У*=®2;

Проанализировав полученное уравнение с точки зрения определе-
ния порядка величин входящих в него членов аналогично тому, как
это было сделано в § 7.1 при рассмотрении маловозмущенного пло-
ского газового потока, получим линеаризованное уравнение для по-
тенциала скоростей трехмерного возмущенного течения в следую-
292
щем виде:

(М^- 1)

дх*

д^г
ду2

(8.1.7)



Граничные условия

Исследование обтекания тонкого крыла конечного размаха сводится к реше-
нию линеаризованного уравнения (8.1,7) в частных производных второго порядка
для потенциала скоростей <р' при заданных граничных условиях. Рассмотрим
эти граничные условия.

1. Крыло, расположенное в линеаризованном потоке (рис. 8.1.1), вызывает
возмущения, сконцентрированные внутри волновой зоны Эта эона ограничена
поверхностью, которая представляет собой огибающую конусов Маха с верши-
нами в точках, расположенных на передней кромке, н с углом при вершине

Рис 8.1.1. Тонкое крыло в линеаризованном потоке

рос-агс$ш (1/М«). Граничное условие, которому должно удовлетворять решение
уравнения (8.1.7) для функции <р', записывается в виде

[<?' {*> У, г))ц = 0-

(8.1.8)

В соответствии с этим условием на волновой поверхности (обозначим эту по-
верхность 2) или вне ее скорости возмущения равны нулю.

2. Решение для добавочного потенциала </ должно удовлетворять также
граничному условию безотрывного обтекания поверхности самого крыла 5, в
соответствии с которым в каждой точке нормальная составляющая скорости
равна нулю, т. е.

(Кг)₽ — |'Т_| “"Т” С05(лх) + -~-С05 (пу) + -Т“С05(лг) = 0.	(8.1.9)

Л \	ОХ	оу	02

Здесь

дх -г» + “- «+ дх • ду	ду

ду	ду'

--- .

дг	дг

Направляющие косинусы внешней нормали к поверхности
формулам аналитической геометрии;

находятся по

в которых

соз (лх) — А (д/ дх), соэ (пр) =± А;
сов (на-) — — А (д//дх),

(8.1.10)

Л = [I + (д//дх'р + (дЛдхУГ-Ф	(8.1.11)

293
угигиг.токЬ-1а.8рЬ.гп - Самолёт своими руками?!
а функция I определяется вялом поверхности крыла (функция у—$л(х, а) —для
верхней, у —/и(л. г)—для нижней поверхности}.

Линеаризованный (слабовозмущенный) характер течения реализуется при
условии, что крыло тонкое н, следовательно, дцдх-^1^	1. В соответствии

с этим с05 (пх) — —д//дх, соз (пу) = 1, сон (лй) =й —д^/дг. При обтекании тонкою
крыла выполняются также условия (дц//дх) (д/}дх) 1 н (<9<р7<Эг) (д//дг)	1.

С учетом этого (8.1.9) можно записать в виде

-г ^7^=0.

откуда найдем граничное условие

^/ду = У„{д//дх).	(8.1.12)

3.	Обтекание крыла может сопровождаться возникновением подъемной силы,
суммарная величина которой определяется интегрированием по поверхности зна-
чений подъемной силы для элементарной поверхности (участка крыла шириной
дг с длиной хорды Ь{г) (рис 8.1.1)]. Б соответствии с (8.1.8) коэффициент
подъемной силы для элементарной поверхности будет равен с учетом того, что
ь

величина |	равна циркуляции Г в рассматриваемом сечении г. зна-

о

чению с/= (2/У«6)Г(2), откуда циркуляция в данном сечении

Г(г)-0,5в^.	(8.1.13)

Согласно уравнению (8.1.13), именуемому уравнением связи (см. (6 4.8)],
при перемещении к соседнему сечению с другим коэффициентом подъемной силы
изменится и циркуляция скорости. Это изменение

дТ (2) >= (^Г/(?2) дг = 0,5И„ (суЬ) /дг] дг>	(8.1.14)

В соответствии с вихревой моделью крыла, рассмотренной в § 6.4, внутри
контура, охватывающего соседнее сечение, должен пройти элементарный
присоединенный вихрь, принадлежащий только рассматриваемому се-
чению. Этот вихрь претерпевает поворот и сходит с задней кромки в виде пары
элементарных свободных вихрей, образуя за крылом вихревую
пелену (рис 8 1.1). Для тонкого крыла, обтекаемого под малым углом атаки,
можно принять ширину этой пелены равной размаху крыла, а направление сво-
бодных вихрей — совпадающим с направлением скорости набегающего потока.

Из физических представлений можно установить следующие граничные
условия на вихревой пелене Нормальная составляющая скорости частицы
оп^ду'/дп должна оставаться на ней непрерывной. Так как на вихревой пелене
направление нормали мало отличается от направления оси Оу. то производная
ду'/дп равна величине д^'/ду. Следовательно, можно записать условие

/дУ\ . ч-о =	*	(8.1.15)

в котором левая часть соответствует скорости Уп непосредственно над
вихревой пеленой (р— +0), а правая — под нею (у——0). Таким
образом, условие (81.15) выражает непрерывность функции ду'/ду прн переходе
через вихревую пелену.

Кроме того, на вн\ревой пелене должно выполняться условие непрерывности
давления. Согласно (6.15) получим соотношение

(й?7^)„_+0=(^7^)9__о,	(8.1.16)

выражающее одновременно непрерывность производной ПРН переходе че-
рез вихревую пелену.

Рассмотрим обтекание крыла с симметричным профилем ((/ =—Ун) под
нулевым углом атаки. В этом случае подъемная сила к, следовательно, вихревая
294
пелена отсутствуют. Вследствие симметричного крыла вертикальные составляю-
щие скорости на верхней и нижней сторонах равны по абсолютной величине и
различны по знаку, т. е. €(*. +^, х) = —“У» г). На плоскости хОг вне
крыла составляющая ь'=0, следовательно,

д^'/ду — О.	(8.1.17)

Предположим далее, что имеется крыло нулевой толщины той же формы в
плане с уравнением поверхности ^=^(х,-2), обтекаемое под малым углом атаки.
Из (8.1 12) следует, что вертикальные составляющие скорости Уп=д<рг/ду на
верхней и нижней сторонах крыла в соответствующих точках одинаковы. Так
как рассматривается достаточно малый угол атаки, на который отклонено кры-
ло, то это же условие можно отнести к плоскости ^=0. Одновременно такое
условие можно распространить на вихревую пелену за крылом, рассматривае-
мую как продолжение вихрей, расположенных в плоскости у—0. Поэтому в точ-
ках, симметричных относительно этой плоскости, составляющие Уп одинаковы,
т. е. —У, 2)/ду=д<р'(х. +У, 2}!&У- Следовательно, добавочный потенциал
<р' является нечетной функцией относительно координаты у, т. е.

“У» ^)— -?'(*» + У* *)•	(8.1.18)

В соответствии с этим производная д<р'/дх иа нижней стороне вихревой пелены
равна значению — д^'/дх на верхней стороне. Однако из условия непрерывности
давления было установлено равенство производных д^г/дх. Указанное равенство
может быть одновременно соблюдено только тогда, когда иа вихревой пелене

д?7дх = 0.	(8.1.19)

4.	Чтобы установить последнее граничное условие, рассмотрим возмущенные
области 5В, 5л (рис. 8.1.1), представляющие собой части плоскости у=0, отсекае-
мые волновой поверхностью Маха и расположенные вне крыла н вихревой пеле-
ны. Над этими участками плоскости у—О в пределах волновой зоны течение
непрерывное, поэтому потенциал д/ здесь является также непрерывной функцией.
Одновременно, учитывая, что согласно (8.1 18) функция ф' является нечетной,
следует принять для плоскости {/=0 равенство

у'(лг, 0, г) = 0.	(8.1.20)

Составляющие суммарных значений потенциала скоростей
и аэродинамических коэффициентов

Рассмотренным граничным условиям должно удовлетворять
решение уравнения (8.1.7) для добавочного потенциала д/. Это ре-
шение для крыла заданной формы в плане может быть получено
путем суммирования потенциала <р/, найденного для идеализиро-
ванного плоского крыла / (рис. 8.1.2) такой же формы в плане, как
и заданное, нос симметричным профилем» при угле ата-
ки а=0, и потенциала <р2Л, вычисленного для другого идеализиро-
ванного крыла 2 изогнутой формы с нулевой толщи-
ной, но при заданном угле атаки а.

Поверхность идеализированного крыла с симметричным профи-
лем можно задать уравнением

У=± /Д

(8.1,21)

а крыла с нулевой толщиной — уравнением поверхности средних
линий профиля
Таким образом, суммарный потенциал заданного крыла

(8.1.23)

В свою очередь, течение около крыла 2 при а=?^0 можно предста-
вить как поток около крыла 3 с нулевым углом атаки н
уравнением поверхности у=0,5(^в-|-/н) и наложенное на этот поток
дополнительное течение, которое образуется около крыла 4 в виде
пластинки нулевой толщины, совпадающей с хордой исходного

Заданный

Рис. 8.1.2. Схема линеаризованного сверхзвукового обтекания под уг-
лом атаки крыла конечной толщины;

I — крыло при а«=0 с сныметрнчным профилем и заданным распределением тол-
щины; 2 — крыло при й^Ос нулевой толщиной (профиль крыла совпадает со
средней линией); 3—крыло при а*=С с нулевой толщиной (профиль крыла сов-
падает со средней линией); 4 — крыло при а * (1 с нулевой толщиной (профиль
крыла в пиле пластинки совпадает с хордой)

крыла, имеющего угол атаки а (рис. 8.1.2). В соответствии с такой
схемой течения суммарный потенциал для заданного крыла

ТЛ=Т1+тз+Т4-	(8.1.24)

По этому значению потенциала скоростей можно вычислить рас-
пределение коэффициента давления:

(8.1.25)

а затем найти лобовое сопротивление и подъемную силу. Согласно
(8,1.24) н (8.1.25), суммарная сила сопротивления заданного крыла
слагается из сил, создаваемых крыльями 1, 3 и 4, т. е

Введя обозначение для суммы двух составляющих Х3 и в виде
и переходя от сил к соответствующим аэродинамиче-
ским коэффициентам, напишем

X   Хг	। Л'з -р	।.

?«$КР	^оо^кр ?«А<Р	?аЛ*Р
или

х4 “Ь

(8.1,27)

В соответствии с (8.1,27) коэффициент сопротивления крыла сх
складывается из коэффициента сопротивления симметричного
крыла при су—0 и добавочного коэффициента сопротивления
обусловленного подъемной силой и вычисляемого для крыла нуле-
вой толщины при су^=0. Коэффициент сХ1- в свою очередь склады-
вается из коэффи ц и ен т а индуктивного волнового
сопротивления, вычисляемого для случая, когда влияние вих-
рей отсутствует, и дополнительного коэффициента индук-
тивного вихревого сопротивления, обусловленного
конечностью размаха и образованием в связи с этим за задней
кромкой крыла вихревой пелены.

По аналогии с выражением (8.1.26) для сопротивления напи-
шем в общем виде зависимость, определяющую суммарную вели-
чину подъемной силы крыла У=У] + УЭ+У4. Из рис, 8.1.2 видно, что
крыло /, имеющее симметричный профиль и обтекаемое под нуле-
вым углом атаки, не создает подъемной силы (У1=0), Следователь-
но, суммарная подъемная сила крыла

(8.1.28)
а соответствующий коэффициент этой силы

=сиз Ч-	(8.1.29)

Таким образом, согласно приближенной линеаризованной тео-
рии обтекания толщина крыла не будет влиять на подъемную силу.
Крыло 3 создает постоянную подъемную силу, которая не зависит
от угла атаки и соответствует значению этой силы при нулевом
угле атаки и заданной вогнутости крыла. Подъемная сила, обуслов-
ленная углом атаки, создается крылом 4 и, следовательно, зависит
ст формы крыла в плане.

В нахождении распределения давления, результирующих сил и
соответствующих аэродинамических коэффициентов с учетом воз-
можного расчленения их на отдельные составляющие согласно
формулам (8.1.27), (8.1,29) состоит основная задача аэродинамики
крыльев конечного размаха, обтекаемых маловозмущенным сверх-
звуковым потоком.

Особенности сверхзвукового обтекания крыльев

При определении аэродинамических характеристик крыльев не-
обходимо учитывать особенности их сверхзвукового обтекания. Эти
особенности обусловлены специфическим свойством сверхзвуковых
течений, в которых возмущения распространяются только вниз по
потоку и в пределах конуса возмущений (конуса Маха) с углом при
вершине агсз1П (1/М«).

Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком тонкого крыла
произвольной формы в плане (рис. 8,1.3). Точка О передней кром-

297
ки является источником возмущений, распространяющихся в пре-
делах конуса Маха вниз по потоку. При этом линии Маха ОГ и ОС
могут располагаться как перед передними кромками (рис. 8.КЗ, а),
так и за ними (рис, 8.1.3, б). Расположение линий Маха при задан-
ной форме крыла зависит от числа М«. В первом случае число М»
меньше, чем во втором, и угол наклона линии возмущений ц®>-
3>л/2—х (х — угол стреловидности). Нормальная к передней кром-
ке составляющая скорости Уп^~ V’® созх. Так как соэх<51пц® =
= 1/Мда и К»/а®—Мм, то, очевидно, нормальная составляющая
меньше скорости звука. Движение газа в области передней кромки
стреловидного крыла для этого случая было рассмотрено в § 7.6.
Это движение соответствует дозвуковому обтеканию профиля,
для которого характерно взаимодействие между верхней и нижней

Рис. 8.1.3. Схема сверхзвукового обтекания крыла:

а — крыло с дозвуковыми кромками: б — крыло со сверхзвуковыми кромками

поверхностями, происходящее через переднюю кромку. Такая пе-
редняя кромка носит название дозвуковой (рис. 8.1.3, а).

При увеличении скорости обтекания, когда зона распростране-
ния возмущений сужается и линии Маха располагаются позади пе-
редних кромок, как это показано на рис. 8.1.3, б, нормальная со-
ставляющая скорости становится больше звуковой. На самом деле
из рис. 8Л.З. б видно, что угол наклона линии возмущений
<л/2—х, следовательно, 51П 1/М«<созх и поэтому Йп«=
= V®созх>о». Такая передняя кромка называется сверх-
звуковой. Обтекание сечений крыла в области передней кромки
носит сверхзвуковой характер, особенностью которого
является отсутствие взаимодействия между нижней и верхней по-
верхностями.

Если линия Маха совпадает с передней кромкой (х=л/2—ц»),
то такая кромка будет звуковой. Очевидно, в этом случае
нормальная к кромке составляющая скорости равна скорости звука.

Введем параметр стреловидности п—х/с!^ ц®. Для сверхзву-
ковой передней кромки с<^	поэтому п<1. В случае дозву-

ковой и звуковой передних кромок имеем соответственно н>1 и
п=1, так как в первом случае	к, а во втором случае

По аналогии с передними кромками можно ввести понятие о
дозвуковых, звуковых и сверхзвуковых боковых и задних кромках
крыла. Боковая кромка СО с углом наклона уе к направлению ско-
рости невозмущенного потока, меньшим угла наклона линии возму-
щений (рис. 8.1.3, а), называется дозвуковой. Составляющая
скорости, нормальная к боковой кромке и равная К» 81 п уб,
будет в данном случае меньше скорости звука. Действительно, так
как 0»= К» 81П ц® и	то Уп«<1а«>. Очевидно, параметр стре-

ловидности п>1. Часть поверхности крыла с дозвуковой боковой
кромкой находится внутри области, ограниченной конусами возму-
щения, проведенными из точек излома контура А и С. Вследствие
наличия дозвуковой нормальной составляющей скорости, опреде-
ляющей обтекание этой части крыла, будет наблюдаться перетека-
ние воздуха через боковые кромки и, как следствие, изменяться
распределение давления. Такого влияния концов крыла на обтека-
ние крыла в целом не наблюдается, если боковые кромки сверхзву-
ковые, что будет иметь место в случае убЗ>ц® (рис. 8.1.3, б). В
этом случае нормальная составляющая V® 81п ус больше ско-
рости звука а<*>= V» 51 п

Аналогичные рассуждения можно отнести к задней кромке кры-
ла. На рис. 8.1.3, а показана дозвуковая задняя кромка (уз<Сц«;
^<йсс), а на рис. 8.1.3, б — сверхзвуковая (уз>ц«:

Из приведенного анализа можно выявить качественное различие
сверхзвукового и дозвукового обтекания крыльев. Это различие
проявляется в неодинаковом влиянии боковых и задних кромок на
обтекание всей поверхности крыла. Если в сверхзвуковом потоке
боковые и задние кромки совсем не влияют на поток около крыла
(рис. 8.1.3, б) или это влияние ограничено частью поверхности,
примыкающей к этим кромкам (рис. 8.1.3, а), то в дозвуковом по-
токе влияние боковых и задних кромок сказывается на всей по-
верхности вследствие возможности распространения возмущений
как вниз, так и вверх по потоку.

$ 8.2. МЕТОД ИСТОЧНИКОВ

Для решения задачи об определении аэродинамических характеристик
(Рь ^*о) тонкого крыла произвольной формы в плане с симметричным профилем,
обтекаемого маловозмущенным сверхзвуковым потоком при нулевом угле атаки
(сщ=0), воспользуемся методом источников

 Источники в несжимаемой жидкости были рассмотрены в § 2 9. Потенциал
коростей течения от точечного несжимаемого источника, расположенного в на-
чале координат системы лнс, ув<^ ^ис, согласно (2.9.14) будет

Уис = -	/ (*1 Vхк + Ум т 4с),	(8-2.1)

где </ис — расход источника — объем жидкости, вытекающей в единицу времени
из источника.

В методе источников имеют дело не с отдельными точечными источниками,
а с источниками, непрерывно распределенными на некоторой части плоскости,—
обычно координатной плоскости хОг.

299
Пусть ^нс — элементарный объемный расход жидкости в единицу времени
создаваемый источниками, расположенными на малой площадке йоис — ^ис^Св
в плоскости хОг. Тогда производная ^8с/^оНс = Свс, называемая плотностью
(иди интенсивностью) распределения источников, определит мощность источни-
ков, приходящихся на единицу площади.

Если ±о.— вертикальная составляющая скорости на площадке (знак плюс
означаем что жидкость выбрасывается нз источников на площадке вверх, а зна.
минус — вниз), то, очевидно, элементарный объемный расход ^яс=2ойонс и»
следовательно.

Онс--2г.	(8.2.2?

Элементарному источнику соответствует потенциал

*?НС = — Оксане / (4л К^нс 4- & + *2е)-	(8.2.3)

Используя это выражение, можно получить зависимость для элементарного по-
тенциала источника в дозвуковом сжимаемом потоке. Для этой цели рассмотрим
уравнение (84.7) и введем новые переменные;

хнс = х/|Л —	г'нс-.г'.	(8.2.4)

При помощи этих переменных уравнение (8.1.7) преобразуется к виду
+ ^'/д^ + Й2т7йг’с = 0,	(8.2.5).

совпадающему с уравнением неразрывности (2.4.8') для несжимаемого потока.
Следовательно, задача о сжимаемом возмущенном течении в координатах х, у, г
может быть сведена к задаче о несжимаемом возмущенном течении в координа-
тах хяс, уас, ^нс, причем обе системы координат связаны условиями (8.24).

В соответствии с этим можно перейти от потенциала (8.2.3) для несжимае-
мого элементарного источника к соответствующему потенциалу для сжимаемого
дозвукового источника. С этой целью найдем связь между малой площадкой
^Ояс на плоскости хвсО2яс в несжимаемом потоке и площадкой <йг на анало-
гичной плоскости в сжимаемом потоке. Используя (8,2.4) (с заменой хяс на и
гис на С) и выражение	находим </анс = й&зх(1 / V

откуда, учитывая, что	определяем



(8.2.6) 

Преобразуем далее выражение для Овс. входящее в (8.23). Составляющая
Унс=о<р7^Уяс или с учетом (8.2.4)	Отсюда следует, что в сжимае-

мом потоке составляющая скорости V равна составляющей пяс в несжимаемом
потоке. Таким образом, плотность распределения источников в сжимаемом и
несжимаемом потоках одинакова, т. е

Рис “ Р — 2^рс ~ 2г.	(8.2.7) •

С учетом полученных соотношений (8.2.3) преобразуется к следующему виду
для сжимаемого потока:	а

V*2 + 0 “ М«)(02 + *2)].	(8.2.8)?

Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что функция ф' являет- •
ся интегралом уравнения (8 2.5). При этом не имеет значения, будут ли скоро- *
сти дозвуковыми (М®<1) или сверхзвуковыми (М«>1). В последнем случае
выражение для элементарного потенциала удобно записать в виде

= — (Х<7[4л	(8.2.9) .
гте а'2=М^—1.[ Из выражения (8.2.9) видно, что при М„>1 оно имеет
действительные значения в той части пространства, где х2 > а/2(у2 + г2).
Это означает, что область влияния источников, т е. область возмущенного тече*
ния, испытывающая воздействие этих источников, расположена внутри кониче-
ской поверхности, представляемой уравнением .х2 = а'2($/2 4- г2). Если какая-
либо точка расположена вне этой поверхности, то источники не будут оказывать
на нее никакого влияния. Здесь возмущенное течение от данного источника
отсутствует.

Формально уравнение х2 ~ а'2 (у2 + г2) определяет поверхности двух со-
осных конусов (рис. 82.1) с вершинами в начале координат, н, следовательно,
мощность источника ф/п идет на создание возмущенных течений внутри этих
конусов. В реальном случае сверхзвуковые возмущения распространяются только
вниз по потоку и только внутри одного конуса (правый конус на рис. 8.2.1).

Рис. 8 2.1. Схема возмущенного течения от сверхзву-
кового источника:

справа — конус возмущений (конус Маха) в реальном сверх-
звуков ом потоке; слева — «обратный конус возмущений»

Возмущенное течение в таком конусе определяется потенциалом, превышающим
вдвое величину (8.2 9), так как вся мощность источника, а не его половина,
реализуется в потоке, заключенном внутри конуса возмущения. В соответствии
с этим

а?' -  ------- 4	------.	(8.2 ЛО)

2л У ж2 — а'3(у2 + г2)

В предыдущем случае элементарная площадка	с источниками была

расположена в начале координат. Если она сдвинута по отношению к началу
координат в точку с координатами х=$, г=^, то (8.2.10) запишется в виде

Оа<г
аЧ’ ----------4	 	: .	(8,2.11)

2я / (х — «2 - а'2 [у? + (г-О2]

При исследовании обтекания крыла его поверхность заменяется системой
распределенных источников. Чтобы получить потенциал от этих
источников в какой-либо точке Л(х, у, *) (рис 82.2), необходимо проинтсгриро
вать (8 2.11) по области ст, в которой расположена лишь часть источников. Каж-
дый из этих источников будет оказывать влияние на точку А(х, у, г), если она
расположена внутри конуса возмущения с вершиной в источнике. Таким обра-
зом, область влияния источников (область интегрирования) располагается в зоне
пересечения с поверхностью крыла «обратного конуса возмущения», имеющего
вершину в рассматриваемой точке А (х, у, г).

В более простом случае точка А и источник расположены, как это видно из
рис. 8.2.2, в одной плоскости у=О. В этом случае зона влияния совпадает с об-

301
ластью пересечения крыла и линий возмущении, исходящих из точки М(х, г),
а область интегрирования о находится на крыле и представляет собой пересече*
иие крыла с «обратной плоской волной Маха» с вершиной в точке Л (я, г).

Определив область интегрирования о, можно вычислить суммарный потен-
циал в точке Л(х, у, г):

1 С Г <?(* О^С

Т <х, у, г) = - И 	~ .

<’ У(*-гР-а'2(^ + (г-С)г]

(8.2.12)

Вычисляя частную производную
составляющую скорости:

от ф' (8.2.12) по х, найдем добавочную осевую

дх 2я 1) уг{(“ _ {)г _ о .2 ^2 + (г _ О2]}3

Рис. 8.2.2. Область влияния сверхзвуковых источников

По этой величине определяется коэффициент давления в соответствующей точке
р=-2(ц/И«).

Введем новые координаты:

х^х/а', У\ — у,	(8,2.14)

В зтих координатах выражение (8.2.12) имеет вид

Ч’ (*ь #1> *])== -

1 гг _ <?(е.

2я V	(а - О*

(8.2.15)

В частном случае для точек поверхности крыла (ут=0) добавочный потенциал

-У V (*1 - ея - - ог
где согласно (8.2.7)

$ = 2<\. -О	2 (^7^>)Л - о-

(8.2.61)

(8.2.17)

Полученные выражения для потенциальной функция позволяют рассчитать
распределение скорости и давления по поверхности тонкого крыла, если заданы
его форма в плане, вид профиля н число М набегающего потока.
$ 83. КРЫЛО С СИММЕТРИЧНЫМ ПРОФИЛЕМ
ТРЕУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ Я ПЛАНЕ |и 0, си-0|

Консоль крыла с дозвуковой передней кромкой

Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком под нулевым уг-
лом атаки консоли крыла с симметричным профилем, представля-
ющего собой треугольную поверхность, у которой одна из боковых
кромок направлена по оси х, а задняя кромка удалена на бесконеч-
ность (такая консоль называется также треугольным пол у крыл ом
бесконечной длины, рис. 8.3.1). Если у такой поверхности перед-

Рис. 8.3.1. Треугольная консоль крыла с дозвуковой пе-
редней кромкой

н я я кромка дозвуковая, то линия Маха, выходяшая из вер-
шины О, расположена впереди этой кромки.

Параметры обтекания при малых углах атаки а можно опреде-
лить, заменив обтекаемую поверхность системой распределенных
источников на плоскости Рассмотрим произвольную точку Р
на поверхности и вычислим потенциал скоростей в этой точке, сум-
мируя действие источников, расположенных в области О АР В, огра-
ниченной передней и боковой кромками О Л и ОВ, а также линиями
Маха АР и ВР.

Интенсивность ф(^, источников определяется по формуле
(8.2.7), в которой по условию безотрывного обтекания	где

7,=йу1йх — угловой коэффициент поверхности крыла. Таким об-
разом,

С)=2Х1/„.

Потенциал скоростей в точке Р определяется по формуле
(8.2,12). Заменив в ней (}=№«> и приняв #=0, получим

г г________________

я •УУ(лр-&2-ч,3(*р-о5

18.3.1)
где Хр, гр — координаты точки Р. Этот интеграл учитывает действие
на точку Р источников, расположенных на площади о, равной об-
ласти ОАРВ, которую можно представить в виде суммы двух участ-
ков О АРН и НРВ. В соответствии с этим интеграл ф' (8.3.1) мож-
но записать в виде суммы двух интегралов:

ЭД /(?, С)^+ЭД/(5, С)<$Л ,
_ОЛРН	НРВ,

где

/(?, д=[(Лр-5)»-а'’(г₽-^Г,/г.

(8.3.2)

(8.3.3)

На участке О АРН интегрирование по для каждого значения
^=^1 нужно проводить от	до	а' (2р-Ч), а

интегрирование по —от 0 до 2р. На участке НРВ интегрировать
по е, для которого значения ^=&г, следует от	до

—	—а'(^—2Р), а интегрирование по С надо производить от гр

до гп= (хр+а'2р)/(а'+1дк). Таким образом,

Неопределенный интеграл

/К, С)С ...	46	=агс11	 (8.3.5)

I

Используя это выражение и применяя главное значение интеграла, |
получим следующую формулу для потенциальной функции:	/

*В	

т'=-—2-С агс11-хр ~ С *е х ас,	(8.3.6)

л а а'|гр-С(	>

О	*

"кЯ

где функция 12р—берется по абсолютной величине.

Вычисляя частную ттроиаводную ду'/дх, найдем составляющую
дополнительной скорости в точке Р в направлении оси х:

й___д?'	с ______________________________

дл я )	- С *й - »'2 («Р-О*

или

дф' ^оо Р	I

=— =-----I -    - —-------------- _ .

6х	“к V С2(«82*-«'г)-2С(хрШ»-а’ггр) + л^-а’^

<3.3.7) ;

г
304
Учитывая, что	получим после интегрирования

н -----(1п {2	((ё2 х — а'а) [гв х~а'2) —

л х — а*2

— 2гл (х,, 4$ *—а'2гр)-|- х₽+ а'2г₽] Ц- 2хв (4е2 х—а'2) +

-Г 2 (а'ггр - хр 1в х)} “ 1” Г2 М*8г * - а'2) (-4 - а’24) +

+ 2(а'2гр—хр <8 •')])•

Внося сюда значение гр-(хр+а'2р)/(а'+4дх), получим после уп-
рощений

ХУв -	а'Ор хР)

Я = —У	*п-----------------—----- -------------•

л У<е2х —аг2 аг2гР — Хр х + У (1^2X — а'2) (*р — а'3*р)

Подкоренное выражение в знаменателе можно привести к следую-
щему виду:

(1ег х — а'2) (Хр — а'2гр) = (хр х — а%,)2 — а'3 (хр — гр х)3.

Следовательно,  и=—. ]пI *р»е*-°,2*р  пли  и =	 - аг<  л У — а*2  Для лдобства вычислений вве- дем угол 6, определяемый из уело- вия 6=2р/хг, и угол заострения передней кромки у=л/2—х (рис. 8-3.2). Кроме того, введем обозна- чения	/-	,9	-9	1 __1  .□_]/ хр^-а’^рУ 1 1 ( 1 У |_а' (Хр-Хр^х)]	|  ±*р .	( 8.3.8  «'(Хр-Хр^Х)  		 ? 2 \ А

я=(ах/а'=18М18Т,  5 = гр(8х/лр=4ев;^у. С учетом этого  Ч~	ь лг-  ‘  			 — а гсп	  Л« '	— 1	л (1 -  (8	хр  х  \  ’ Iх  5 л. Рнс. 8.3.2 Угловые параметры для  -О.У)	треугольной консоли крыла  чле  угигиг.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими руками?!
а коэффициент давления

2и	2Х	, и2 — п

--=-------а ГСП------------ 

ла'^л2—I п(1 —а)

(8.3.10)

Теперь рассмотрим точку У, расположенную за пределами кры-
ла между линией Маха ОК' и осью х (см. рис. 8.3.1), я вычислим
в ней скорость, которую индуцируют источники, распределенные
по поверхности крыла. С этой целью используем формулу (8.3.1)
для определения потенциала скоростей. Учитывая, что действие ис-
точников на точку М ограничено областью о-ОЫ, получим выра-
жение

?'=—(в.з.п)

где функция /({, определяется зависимостью (8,3.3). Интегриро-
вание по для каждого значения ^—^2 нужно вести от

до ^=^т=гХд+аЛ(гя — $), а интегрирование по $ — от 0 до

2,1. Таким образом,

-----Г /и.	(8.3.12)

о с I#*

где 2/= (*л+а'г^)/( а'-Н^х). Интегрируя и используя главное зна-
чение интеграла, получим

[ агсЬ -Г"-1*18* аг..

Л Л «' I ^-с I

Это выражение аналогично (8.3.6) с той разницей, что в качестве
верхнего предела интеграла выбирается координата точки г/. Вы-
числяя производную ду'}дх и осуществляя интегрирование, получим
для составляющей дополнительной скорости зависимость (8.3.9),
в которой следует принять а<0 ввиду того, что координата яв-
ляется величиной отрицательной. В расчетах можно принять коор-
динату ?Л- величиной положительной и, следовательно, о>0. Если
при этом взять абсолютные значения то для определения ин-
дуцированной скорости можно использовать уравнение (8.3.9), в
котором знак перед о следует изменить на обратный. Тогда расчет-
ная зависимость будет иметь следующий вид:

XV	л2 4- а

«= — — --------агсЬ--------•

ла'УЯг-1 «(!+")

(8.3.13)

Соответствующий коэффициент давления в рассматриваемой обла-
сти

д= - —------------------агсЬ я; + д .	(8.3.14)

V»	»(* + <•)
Источники, распределенные по крылу, индуцируют также* ско-
ость в области, расположенной между линией Маха ОК и перед-
ней дозвуковой кромкой (рис. 8.3.3). Величина этой скорости в не-
которой точке Г определяется источниками, распределенными на
частке ОУ6. Соответствующая потенциальная функция находится
ю выражению (8.3.12), в котором вместо 2/ надо взять координа-
V а величину Хдг-^а'(-гу—ё;) заменить значением —а'(хп—

’ис. 8.3.3. Влияние источников на скорость вне
крыла

равным продольной координате точки /? (рис. 8.3.3). Таким
1бразом,

/ =--------— С I / (е, С) 4$,	(8.3.15)

я 1) *)
о с х

де гу=(хА~а'гд)/(^х — а7). Интегрирование дает

— С агсЬ * .</€.

Я|
о

вычисляя производную д$'{дх и производя затем интегрирование
три условии, что а=2хД8«/хр>1, получим аналогично (8,3.9) сле-
дующую формулу для дополнительной составляющей скорости:

XV»	л2-°

-------------агск-------,	(8.3.16)

яа'У„2-1	»(«— 1)

*д& л>а.

По величине этой скорости находят коэффициент давления:

2и  2Х

ла' У^л2 — 1

агсЬ

П2— а
л (а — 1)

(8.3.17)

На рис. 8.3.4 показано поле давлений для консоли крыла тре-
тол ьной формы с дозвуковой передней кромкой. Вдоль линий Ма-
а коэффициент давления равен нулю. На передней кромке теоре-

307
угигиг.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими руками?!
тичеокий коэффициент давления равен бесконечности. Физически
реализуемое давление может рассматриваться по величине доста-
точно большим, соответствующим давлению торможения при дозву-
ковой скорости, направление которой совпадает с нормалью к пе-
редней кромке.

Рис. 8.3.4. Поле давлений для треугольной
консоли крыла с дозвуковой передней кромкой

Треугольное крыло, симметричное относительно оси х,
с дозвуковыми передними еромками

Скорость в точке Р треугольного крыла, симметричного относи-
тельно оси х, с дозвуковыми передними кромками (рис. 8.3.5) опре-
деляется путем суммирования действия источников в области
ОВРА\ ограниченной передними кромками ОА' и ОВ, и линиями
Маха РА' и РВ. Скорость, индуцированная источниками, находя-
щимися на участке ОАРВ, определяется по формуле (8.3.9). Дейст-
вие на точку Р источников, распределенных в области ОАА\ вызы-
вает скорость, которая вычисляется по выражению (8.3.13). Сум-
марное значение скорости

ОС Г V И2 ------ Я .	<	+ в '

а =-------------— агск---------к агсп------ .

Яа'уГл2-1 I «(1-а) П (1+0)]

Это выражение можно преобразовать к виду

1

(8.3.18)

ла’ 1

Формула (8.3.18) пригодна для условий п>>1>>а.

По известной величине дополнительной составляющей скорости "
можно при помощи (6.1.5) определить коэффициент давления:	?

2ы	41	.

/’= - 77~=-------.. — агей

ла' у л2 _ [

1 — а?

(8.3.19)"
1а точку Ь, расположенную между передней кромкой и волной Ма~
.а (рис. 8.3.5), оказывают влияние источники, распределенные на
дчастке крыла 006'. Скорость, индуцированную этими источника-
ми, можно вычислить как сумму скоростей, наведенных источника-
ми, расположенными в области 006 [формула (8.3.16)], и источ-
1 и ками. паспоеделенными в треугольнике 066' [формула (8.3Л3)1.

Рис. 8.3.5. Треугольное крыло, симметричное относитель-
но осн х, с дозвуковыми передними кромками

.ледовательно,
Гл с П2—с >	.	и2-}-0 1

и=*---------_ агсЬ--------------[- агсЬ------,

т' у7г^1 I

.ли после преобразований

2ХГ	/ «2-1

«=----------°° агсЬ у ~.

ла' ^«2-1	<	в3-1

Соответствующий коэффициент давления

Бесконечное повукрыло со сверхзвуковой кромлой

У такого крыла (рис. 8.3.6) линия Маха ОК, выходящая из вер-
нины, расположена на его поверхности. Следовательно,

Рассмотрим скорость в точке Ь, расположенной на крыле меж-
(У передней кромкой и линией Маха О К. Так как боковая кромка
:рыла, совпадающая с осью х, находится за пределами линии Ма*

309
ла, проведенной через точку Ь, то на течение в этой точке влияние
кромки не сказывается. Это течение будет таким, как на плоской
пластинке, обтекаемой в направлении нормали к передней кромке
со сверхзвуковой скоростью Уп«>= соз Согласно выраже-

и= — ХКооСоз х/ V М1соз2х— 1.

7ак как

М1=а'3-[-1 и 1 — 1/соз2х= — 1^2х,

то

и=	а'’-182»-

откуда

и=	/ 1-л2),	(8.3.22)

где

Соответствующая величина коэффициента давления

р= -2й/1/„=2Х/(а' / .1 - л2).	(8.3.23)

Формулы (8.3.22) и (8.3.23) применимы для л<1 и

Вычислим скорость и давление в точке Р, расположенной меж-
ду линией Маха ОК и боковой кромкой. Если предположить, что
эта точка принадлежит крылу, вершина которого расположена в
точке С (рис. 8.3.6), то скорость вычислялась бы с учетом влияния
только передней кромки и, следовательно, источников, распреде-
ленных в области РСН. Согласно (8.3.22), эта скорость

——Х|/оо/(а* |/ 1 л2).

(8.3.24)

Чтобы найти действительную скорость в точке Р, принадлежащей
заданному крылу с вершиной в точке О, необходимо вычесть из
(8.3.24) скорость, индуцированную источниками, распределенными
в треугольнике АСО и имеющими противоположную по знаку ин-
тенсивность. Величина этой скорости определяется при помощи
формулы (8.3.7). Заменив в ней верхний предел «интеграла на
= (Хр—а'2Р) /(1^ х—а'), получим

И', е______________________ас_____________________

л о У\2(«82х —а'2) —2СОр «й* —+

(8.3.25)
где

Учитывая, что при л=^х/а'< 1, а=^Р1ех/^<1и

(ё2 к - а'2=а* (л2 -1) < О,

4 (1ё2 х—а'2) (4-а'2г₽)—4 (лр х—а'1гр)=
= 4<ЛСр [(Л2 -1) (1 - а2/»2) — Л2(1 — а/л2)2] < О,

после интегрирования получим

МАОС--------г	— X

л Уа'2-1^2х

у агс51П 2	- а 'г) зс - 2 (хР х - а,2хР)

У 4 (*р	" а'2*Р)Э — 4 Пй2 * — а'*) (хр ~~ а,г*р)

— ЭГС81П

____________— 2(жр1^х —а>2^р)____________
У 4 (хр % — а,2Л7>Я — 4 ОЯ2х — а,2) (Хр — а‘2г2р)

Используя значение зс=(Лр —а'-гр)/(^х —а'), найдем что

2 (^2 *_ гс _ 2 (яр х — а'22>)=2а1 (хр—гр х).

Величина под корнем преобразуется следующим образом:

4 (Лр * — а' р)2 — 4	х — а'2) (-^р “ а'2гр) = 4а'2 (хр — хр х)2-

[8.3.26)

Следовательно,
ъ

11 ДОС ~

г *

агс5ш а^хиц-
а'(хр —хр^х/

л Уо/2— *82‘]('

или
иАОС=------------------------агссо»	,

яуа.2_(8гх «'(»₽ -г₽«Ех)
Учитывая» что л=<йх/а', с—2р1ё*/Хр* получим

ХУ	а—п2

-----агссоз------------— .	(8.3.27)

'/1 —лЗ	«<!-•)

Суммарная величина дополнительной скорости в точке Р

^св Г.	1	с — л®

и—Ирен — ^аос—------- ' 11-----агссоз ——--—

а коэффициент давления

- 2и	2\ Г, I _

р=------=------ 1--------агссоз------

К. а'/1-пЛ Я л(1 —е)

где в< п< 1.

(8*3-28)

(8.3.29)

Индуцированная скорость в точке расположенной между вол-
ной Маха ОК' «и боковой кромкой» определяется путем суммирова-
ния действия источников, распределенных на участке поверхности
ОЕЕ, который ограничен передней кромкой ОЕ, боковой кромкой
ОЕ и -линией Маха ЕЕ, проведенной через точку №.

Для расчета скорости воспользуемся формулой (8,3.25), в ко-
торой верхний предел интеграла заменим величиной 2р= (*л+
+а'г^)/(1дх+а/)* а координаты хР, гР— соответствующими значе-
ниями х&,
® р
С	ас

“ОЕ Г—--- I .	-	- --	-	" —

Я ь УР082»-о'2)-2С(хЛг<е»-о,2^) + л:лг-а’’г^

Интегрирование дает
ж«»
иОЕГ-------------------------- ~~ X

' л у а'2—	х

X Гагс$1П 2^--------------------------------------

V4	<г*—“ '^лтЯ—4 <‘е2 *—° ,2> (*&—а ,24г>

_агС8,п ______________________________________

V 4(*лг<8х — я'^лг)2 — «Се2*—о'2)(Ллг —о'2^)

Используя значение ^г=(^у+а'^лг)/(1ёх+а')» найдем» что

2	* — а'2) гр ^<2 ( л>г (к х—а,2^л-)-2а' (2^	“ ^)-

Для удобства дальнейших преобразований представим величину,
(8.3.26) для точки в виде 4а'а (2л	х^)2. С учетом этих зна-^

чений	1



^оер—

л а'3 —

Я	— {Хлт (ДХ — Хгч,

-----агсзш — " ------------

2


или

' Клг&ТК. — Ц*2**!

иОЕР=--------- _ — агссоэ—— ------------.

л ^а'3__х ®	*)

Вводя обозначения о и п, найдем
л*-*
---------------------------7=^" агссоз	,
ЛИ' У4 — п2	(	)

гдео<0,п<1, |а|<«.

Если принять положительные значения 2/^>>0,	1дх/л^:>0

и взять абсолютные величины для л, то дополнительная скорость

и=------------------агссоз---------,

(8.3.30)

а коэффициент давления

л® 4- «
агссоз----------.

71(1 + в)

Поле давлений для полубесконечного
сверхзвуковой передней кромкой показано

(8.3.31)

треугольного крыла со
на рис. 8.3.7. Между пе-

Рис. 83.7. Поле давлений для треугольной консо*
ли крыла со сверхзвуковой передней кромкой

редней кромкой и внутренней линией Маха давление постоянно, да-
лее оно снижается и на внешней линии Маха достигает величины
давления невозмущенного потока (р^О).

Треугольное крыло, симметричное относительно оси х,
со сверхзвуковыми передними кромками

Скорость и коэффициент давления в точке Г (рис. 8-3 8), распо-
ложенной между волной Маха ОК и передней кромкой, определя-
ются соответственно по формулам (8.3.22), (8.3.23), так как на те-

313
чение в ней оказывает влияние только кромка Эти формулы
применимы для условий п<1; 1>01>л.

Если рассмотреть точку Р, которая находится внутри угла Ма*-
ха, то на скорость в ней оказывает влияние не только передняя, но
также боковая и задняя кромки. Скорость, обусловленная влияни-
ем передней кромки и участка линии наибольших толщин 0/4 (рис.
8.3.8), определяется по формуле (8.3.28), а скорость, индуцирован-
ная источниками, распределенными на участке О А'А, вычисляется

Рис, 8.3.8. Треугольное крыло, симметричное отно-
сительно оси х, со сверхзвуковыми передними кром-
ками:

1—линия Маха; 2— линия наибольших толщин

по выражению (8.3.30). Складывая, получим суммарную скорость в
точке Р симметричного крыла:

1	<? — я2 . 1 Л л2 + в

—— агссоз-----------------------агссоз-------——

л п (I — а) л	п (1 + о)

или после преобразований

и —------^2----(1 —— агсзш	.	(8.3.32)

а> « * 1-’2'

Соответствующий коэффициент давления

р= = — ( 1 —-агсзш 1/ ——~. (8.3.33)

а'/ГГтА »	*-я2 >

§ 8.4. ОБТЕКАНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО КРЫЛА С СИММЕТРИЧНЫМ ПРОФИЛЕМ
И ДОЗВУКОВЫМИ КРОМКАМИ ПРИ НУЛЕВОМ УГЛЕ АТАКИ

Используя формулы для определения скорости и давления иа поверхности
треугольного крыла, можно рассчитать обтекание прн нулевом угле атаки крыль-
ев с симметричным профилем произвольной формы в плане. Рассмотрим четырех-
ЗН	’™гИг.ТОкЬ-1а.8рЬ.п1 Самолёт своими руками?!
угольное крыло, изображенное иа рис. 8.4.1. Здесь и на некоторых других рисун-
ках для удобства пространственного изображения схемы крыла, расположения
рассматриваемых сечений и необходимых обозначении принята левая система
координат. Примем, что у такого крыла передняя и задняя кромки,
а также линия максимальных толщин С ВС' будут дозвуковы-
ми В соответствии с этим углы стреловидности хь х3 передней и задней кромок
и угол х2 линии максимальных толщин будут больше, чем л/2—р«.

Распределение скорости и давления по профилю зависит от расположения
профиля по размаху крыла, т. е от поперечной координаты сечения г

Профиль ГГ(г=г[). На профиле надо рассмотреть четыре области обтека-
ния: ГС, С/7, НЗ и Л. Область ГО ограничена точкой Г передней кромки и точ-

Рис. 8.4.1. Четырехугольное крыло с симметричным
профилем и дозвуковыми кромками

кой О, находящейся на пересечении линии Маха с координатной плоскостью
Причем точка 6 считается расположенной на плоскости гОх и определяет-
ся, следовательно, как точка пересечения линии Маха, проведенной из проекции
В' точки В на плоскость гОх, и прямой (рис. 8.4.1). Скорость и коэффи-
циент давления в области РС, расположенной за линией Маха ОК0 на поверх-
ности крыла, определяются при помощи распределения источников в треуголь-
нике ОСС* с использованием соответствующих формул (8.3.18) и (8.3.19).

Так как наклон поверхности равен А], то в соответствии с (8.319)

Рро =---------4X1 ^гсК

(8.4.1)

где гц=1.8 ъ/а', п^г^^х^Х). Х| — текущая координата точки.
Коэффициент сопротивления профиля, соответствующий области ГО,

(Гв + Гн) *?х1»

(8.4.2)

где & — местная хорда профиля.

315

угигиг.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими руками?!
ТО

Так как

А» + Рн — ^-РРО*

— 8ф11? х,
с^го =-----~=^гг

бла' У п2 — 1

(8.4.3:

*1 Х1

ГДС ^1Л а» х1/хг= 1, {710 = *112 *1Мо-

Нэ область СН действует распределение источников в ДОСС' с интенсивно-
стью 0=2Л|Увв и на треугольной поверхности ВСС\ где интенсивность источни-
ков 0=2 (Хя—Х() К<х> (угол X? имеет знак, противоположный знаку Л-1).

Так как участок СН располагается за линией Маха ОК0 в пределах крыла,
то расчет коэффициента давления, обусловленного действием распределенных
источников в области ОСС\ необходимо вести прн помощи формулы (8.3.19).
Учет влияния на коэффициент давления треугольного распределения источников
ВСС' следует производить прн помощи зависимости (8.3.21), так как участок
СН расположен за пределами треугольника ВССГ между волной Маха ВгКв и
кромкой ВС, Таким образом,

где па = (2*а/а^ «э = 1ёх2/х2‘ координата, отсчитываемая от точки В-
и равная х%= яд.

Используя формулы (8.4.2) и (8.4.4), определим коэффициент сопротивле-
ния, соответствующий участку ОН-

8 (Хд — Хр Х]Д1 Гд-мд
бла' — ]



где 02Н И 020 вычисляются относительно точки В.

Суммируя (8.4.3) н (8.4.5) н принимая во внимание, что

<е Х1 _} 01 _	_

хр	1Н хн х& 4" А

г I*

«Ю -----------Р-оо “ ----------------------— = л2, °2Н =-----------------₽ 1,

ХО	**	-*0

угитаг.токЬ-1а.8р1).1Т1 - Самолет своими рукамр?!
1	г----2--1-

_	Г ьт/ "г-1 . *5..	(8.4.6)

Ляа'	па— 1л»	°2	с2

Предположим, что часть хорды Н1* (полагаем, что точка Н расположена на
личин ВС) равна гЬ, где г — некоторый безразмерный коэффициент пропорцио-
нальности, определяемый из условия г=В'Р/6кр_(6Кр— корневая хорда). Тогда
для поверхности ОВС часть хорды РН будет (1—г)д.

Так как часть корневой хорды В'Б равна /Фир, то оставшаяся часть ОБ*
будет равна (1—г}Ьяр. Углы Х.| и X* можно выразить следующим образом:

Хг^Д/[2 (1-7)]» Х2- -Д/(27),	0-4.7)

где Д=Д/д«Р — относительная толщина профиля.

С учетом значений Хг и Хя формула (8.4.6) представляется в виде

«г ‘В

Скорость на линии НЗ индуцируется источниками с интенсивностью <2=
—2Л|УМ, распределенными в треугольнике ОСС\ и источниками с интенсивно-
стью С=2(?-а—А|) У», распределенными на участке ВСС'. Первое распределение
источников обусловливает коэффициент давления, вычисляемый по формуле
(8 3,19), в которой следует принять Х=ХЬ и 0=0). Коэффициент давления,
вызванный влиянием второго распределения источников, также находится прн
ни мощи формулы (8.3.19), в которой необходимо принять Л.=Хд—Х|, л*-д3 и
о = сгэ. Суммируя коэффициенты давления, получим

+	агсЬ 1 / "г-°2

яа'/п’- 1 У 1~<

(8.4.9)

Применяя формулу (8.4 5), в которой вместо Х| следует взять величину Л2,
« учитывая, что в ней

Х1^Д/[2(1-л)], Ха- X! = - &Щ2г(1 -<)], Х2^-Д/(2г);

Л1=*е*1/а\ «2—«1 =

«2 = <*2 1г	< X/, х' -	- Х/;,

317
получим

17

"Г"	—

Ъг (1 — г) ла

аге к

о

«I

1Н

„Й 1

Л1“ 1

— 2Д2^



где а> вычисляется относительно точки В,

На участке /Ь учитываем влияние трех распределений источников, а именц|
на треугольных поверхностях ОСС\ ВСС* и ОСС'. Первые два распределена
обусловливают коэффициент давления» определяемый при помощи формула
(8 4.9), в которой ог и о2 вычисляются соответственно относительно точе
О и 6 Дополнительный коэффициент давления, обусловленный индукцией истой»
ников, распределенных на участке ОСС' с интенсивностью — Л2, находится
помощью формулы (8.3.21), в которой следует примять Х=Л2, о=Пз.

Суммируя коэффициенты давления от всех трех распределений источников
получим

4(А2-Х1)

ла' у — I

где ^Хз/а', значения О], о2 и вычисляются относительно точек О, В и Л
Внося значение рл. в формулу (8,4.2) и принимая в ней вместо М величину

получим

Складывай (8.4 10) и (8.4.12), будем иметь

2Д2^

<^Х77А = —

Ьгушг

1/7

„2

п2~ с2

«2	-2

Л1 °1

1-а?

21

I агсЬ

с!	г 1 Я а2

1 ^4рокЬ1а.<фЬ.АГ" 'еамол&г своими руками?!





1^*1

I

7
ПР

( этом выражении

а1лг “

°2// = 1 > «24 ==

3 — 1	<*«3

2
3

*1 *ё *з	гИЕхз

«зу =---;— — лз, аз1 —-----—

*1	*1.

(8.4.13)

(8.4.13')

ГоГкги 5=^3',	=





Рис 8.4.2. Схема взаимодействия крыла с линиями
Маха

жтегралы, входящие в формулы (8.4.8) и (8.4.13), вычисляются по частям,
.ти Формулы справедливы (см. рис. 8.4.1) при

о < «1 < *В, < 2О„	(8.4.14)

Де

= О ~ ') *нр/О2 *! — И, */>, = 'Аф/Сг *2 — <* ')♦	(8.4.15)

'ли (рис. 8 4.2) прн

°< *1 <*01 <*Я1.	(8.4.16)

Коэффициент сопротивления профиля, определяемый по формуле (8,4.13),
внесен к местной хорде Ь. Значение коэффициента сопротивления с10, отнесен-
ие к корневой хорде дкр, вычисляется по формуле сю =с1(&/6нр).

Профиль в корневом сечении крыла (г^О). Значения аэродинамических
о^ффицнентов для этого профиля определяются следующим образом. На участ-
е профиля ОВ (см. рис. 8.4.1) длиной (1^г)ЬИр скорость индуцируется источ-
никами с интенсивностью	распределенными в треугольнике ОСф

В соответствии с этим коэффициент давления вычисляется по формуле (8.3.1^)
Полагая в ней о—г1 1^Х1/хг=0, получим

4)4

Ров-----------... ' агсЬ .	(8.4.1'

ла' у л 1 — I

На участок профиля ИВ длиной гЬир действуют источники с интенсивности
р—2Л|1/«, распределенные на участке ОСС, и с интенсивностью ф=2(Х2—Х])Кв
распределенные в треугольнике ВССГ. В соответствии с этим определяем коэф
фициеиты давления. Применяя формулу (8.3.19) при о=0, находим

рВо —--------'	 аге И п 1 4- —- —— агс Ь л3.	(8.4 Л

ла * у Л|—1	ла'у л^—1

Коэффициент сопротивления профиля С учетом верхней и нижней поверхнд
стей, отнесенный к корневой хорде &нр,

(1—7) ь ~	~гь

2	С ₽-	2

«х = -7— I ^х + —— 1 ~Рво^х. (8.4.1
^кр	Л	₽кр V

Внося значения ров из (8.4.17), из (8.4.18) и имея в виду, что Хэ=ч|
— Д/(2г),_ >2—	” Л/[2г(1 — 7)]. а также (1 — 7) *крМ = Д/2

г6крХ2 = — Д/2, получим

2Д2
с* =---------------- агей лс,	(8,4.20

ла'”(1 — г) ]/ л^-1

где аге И ла = 1п (л2 + }/ л| — 1).	„

Профиль Вычислим коэффициент сопротивления профиля (сж
рис. 8.4.1), у которого координата г> удовлетворяет неравенству 2в1<г|<г^
На участок профиля ГгЯг действуют источники с интенсивностью <?^2А1р'л, рас*
пределенные а области ОСВС\ и с интенсивностью <^2(кч—Х|)У„, распреде^
ленные в ВСС'. Поэтому для расчета коэффициента давления можно использо-
вать формулу (8.4.4), а для определения коэффициента сопротивления — эавн^
с им ость (8.4.5), которая для участка профиля Л|Я( записывается в виде

Л	1//1	/ о о	.

_	8Х^! Х1 Р 1/

—	------------ 1 агсЬ I/ ----------— - —------

Ьла'У п1-1	«

/ 2 Г"

^(Ха — ЫМ! Г ,1/	Лая ,о л

— —------- .	— \ агей I/ —----------------(8-4-2Ц

бла'У л?— 1	«	в2—1	°2

г

где О| и с2 вычисляются соответственно относительно точек О я В.	’

мчум.уокЬ1а.$рЬ.ги - Самолёт своими руками?!
’ . 1 * \ 1 ’’ *
	 ’. -г	'	.	 - -	. .  I 

Давление на участке профиля Н\Ь\ определяется, так же как на участке НС,
при помощи формул (в,4.9) н (8.4.11). Соответствующий коэффициент сопротив-
ления	находится из выражения (8.4.13), в котором пределы Оцт и о л.

заменяются соответственно величинами и , пределы 02к и о2ь—
значениями и °211> 2 пределы оД7 и Озь — значениями и аЭд ,
определяемыми по формулам (8.4.13'). Полный коэффициент сопротивления про-
филя Г]^, отнесенный к корневой хорде &Ир, равен

Профиль РзС?- Рассмотрим профиль, расположенный между точками и Д|
(рис. 8.4.2) с координатой удовлетворяющей неравенству	< гВ(

Обтекание этого профиля носит более сложный характер. Скорость на участке
Г2^з индуцируется источниками с интенсивностью <5=2Л11/ео. распределенными в
треугольнике ОСС'. Следовательно, коэффициент давления на этом участке опре-
деляется при помощи формулы (8.4 1), а соответствующий коэффициент сопро-
тивления	— из выражения (8,4.3), в котором интеграл вычисляется в

пределах от до о1<э>.

Давление на участке О^Нл зависит от влияния источников с интенсивностью
Р=2Л|ГВД, распределенных на участке ОСС\ а также источников с интенсивно-
стью фв2(Лв—Ат) К™, расположенных в области ВСС'. Следовательно, коэффи-
циент давления вычисляется по формуле (8.4.4), а коэффициент сопротивления
выражения (8.4.5), в котором первый интеграл определяется в пре-
делах от я10> до ®Ш1, а второй — в пределах	Д°

На участок профиля Я2У2 одновременно действуют источники, распределен-
ные в области ОСС'(р—2Х1К»), а также в треугольнике ВСС'[(?=2(Ла—А[) И-]
и иа поверхности ВСС', где интенсивность 0= —2АаУ«>. Первое распределение
обусловливает коэффициент давления, определяемый по формуле (8 3 19), а вто-
рые два распределения — коэффициент, вычисляемый из выражения (8.3.21).
Полная величина коэффициента давления на этом участке профиля

где О|, Од и (Тз определяются соответственно относительно точек О, В и Г.
Применяя формулу

(8.4.23)

можно вычислить коэффициент сопротивления рассматриваемого участка про-
филя, отнесенный к длине корневой хорды &нр.

Обтекание последнего участка профиля /212 обусловлено индукцией источ-
ников, распределенных в тех же областях крыла, что и для участка профиля
Я2Л_ При этом следует учитывать ту особенность, что скорость, индуцируемая
источниками, распределенными в области ЯСС, определяется по формуле
(8.3.18), где Л заменяется угловым коэффициентом Аз—Аь Поэтому коэффициент
Давления следует рассчитывать по формуле (8.4.11), а коэффициент сопротивле-’
,,	угигиг.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими руками?!

11—707	г	г321
ния —из выражения (8.4.12), в‘ котором интегралы вычисляются в пре^
делах от до (л = 1, 2, 3).

Полный коэффициент сопротивления получается суммированием коэффици-г
ентов для всех четырех участков профиля;

“ слгГ,О, 4- сх<7,7/, + сх//^ +	1

г
прн условии, что значение 2] удовлетворяет неравенству	|

Г^Кр	(| ~~Л) ^Кр

»е*1—а'

Профиль Р$С$- Рассмотрим сечение А3Л3 (рис. 8.4.2) с координатой удов-'
л створяющей неравенству

г0 < г, < гР1,	(8.4.24)1

где	]

= *кр/ОЕ*1 — «')	(8.4,25)1

_ 4-

Дааление на участке Аэ/Э профиля обусловлено действием источников, рас- I
вределениых на треугольных поверхностях ОСС' (<2«2А| У») и ВСС'[р=₽^
=2(А2—Х|)И«]. Поэтому коэффициент давления вычисляется по выражению;
(8.4 4), а коэффициент сопротивления — по формуле (8.4.5), в которой пределы-’
о,.с и Опи заменены значениями сп?л и ол/з (/1 = 1,2).	,

На участке профиля ЛНз кроме указанных распределений источников ОСС'
и ВСС' действуют также источники с интенсивностью <?= —2Х2УЛ, распределен-
ные в треугольнике ОСС'. Таким образом, коэффициент давления равен значе-
нию, подсчитанному по формуле (8.4.4), и дополнительной величине, рассчитан- ’
нон по формуле (8.3 21), в которой следует принять А’ —Аз.

Обтекание участка характеризуется индукцией источников, распреде-
ленных в трех областях крыла* ОСС\ ВСС и ОСС. В соответствии с этим рас- -
чет коэффициента давления на этом участке следует вести при помощи форму-
лы (84.11).

Вычисляя соответствующие составляющие коэффициента сопротивления для *
всех трех участков и суммируя, получим полный коэффициент сопротивления:

1

Соответствующее выражение пригодно для расчета коэффициента сопротив- ‘
ления профиля, расположенного между точками О| я Р2 (рис. 8.4.2) и имеющего
координату 2|, которая удовлетворяет неравенству

1
__	4

'Аф	^кР	4

-------< г1 <-----------—7-	(8.4.26)

—а'	12*1-а'	Д

Профиль Р^. Рассмотрим сечение (см. рис 8.4.1) с координатой |



(8.4.27)

'	4	I	’

На сечение одновременно действуют три распределения источников:
ОСС'((?=2А1У„), ВСС'[(?=2(А2—Л|)У^] и РСС'((?-^2А2У„). Участок профи-
ля Р4Н4 расположен за линией Маха ОК0 в пределах крыла, поэтому для рас-
чета давления от распределения источников ОСС' следует воспользоваться фор-
мулой (8.3.19), в которой принимается А=А|. Второе распределение источников
ВСС' действует на участок Р^Н*. располагающийся по отношению к кромке ВС
за пределами поверхности между линией Маха и кромкой ВС. Поэтому для рас-
чета дополнительного давления, вызванного влиянием распределения источни-
ков ВСС', необходимо применить формулу (8 3,21) с заменой в ней К на Ая—Аь
322
Второй участок профиля ЩЬ* располагается по отношению к линиям Маха
ОКа и В'Кв в пределах поверхности крыла, т. е. по одну сторону от линий Маха
к соответствующих кромок ОС и ВС. Поэтому для определения коэффициента
давления от распределений источников ОСС' и ВС(. применяется формула
(8.3.19), в которой распределению ОСС' соответствует значение А==Л], а распре-
делению ВСС' — значение к=Лэ—Аъ

По отношению к линии Маха ОКп и задней кромке ОС участок
находится по разные стороны, т. е. за пределами треугольной поверхности
ОСС\ где интенсивность источников ф— —2лаГ«. Поэтому для расчета коэф-
фициента давления от этих источников следует применить формулу (8.3.21) с
заменой в ней А на — Аа.

Используя полученное значение коэффициента давления, можно определить
соответствующий коэффициент сопротивления профиля Л)/-*:

На рис. 8.4.3 показаны результаты расчета распределения функции коэффи
циента сопротивления сх/Дг(Д—Д/6) по размаху стреловидного крыла с постоя н
ной хордой 6(Х|=ид—Хз=60°) и сим-

метричным ромбовидным профилем
(г='/а) при Моо = 1,8 и 1,9, Из гра-
фика видно, что по мере удаления
от корневой хорды коэффициент со-
противления уменьшается, Для срав-
нения на рисунке показано значение
функции сЛ/Д2 для профиля, принад-
лежащего нестреловидному крылу
Чтобы определить суммарный коэф-
фициент сопротивления крыла, необ-
ходимо проинтегрировать по разма-
ху распределение коэффициентов со-
противления Схк профилей, применяя
формулу

2 С2

= —	(8.4.28)

6

Влияние боковой кромки крыла.
Если крыло имеет боковую кромку
(рис. 8.4.4), то следует учесть ее
влияние на распределение давления и
коэффициент сопротивления. Расчет
обтекания такого шестиугольного
крыла производится следующим об-
разом. Вначале вычисляются скорости
н давления в области ОО'О'О от рас-

Рис. 8.4.3. Распределение коэффици-
ента сопротивления по размаху стре-
ловидного крыла с постоянной хор-
дой и дозвуковыми кромками
(штриховые линии — для нестреловидного
крыла)

лределения источников на треуголь-

ном участке ОСО- Расчет в этом случае ведется по аналогии с предыдущим
случаем (см. рис. 8.4.1), когда рассматривалось крыло четырехугольной формы,
у которого боковая кромка отсутствовала. Далее необходимо уточнить вычис-
ленные скорости и давления за счет влияния боковой кромки О'С", что эквива-
лентно действию источников, распределенных в треугольнике О'СО'. Интенсив-
ность этих источников будет иметь знак, противоположный знаку источников,
соответствующих крылу с площадью О'СО'. Действие источников, распределен-
ных в треугольнике О'С1У, распространяется на крыло в пределах участка
О’Т"О\ ограниченною линией Маха О'К', боковой я задней кромками. Напри-
мер, для профиля Р2^2 действие источников ограничено участком Г2'Ц (точка
В'2 лежит на пересечении хорды и линии Маха О'К').

И*

323
Рассмотрим, как вычисляется давление на участке 7*1^ этого профиля.
Учитывая только распределение источников в области ОСС\ коэффициент дав-
ления можно определить по формуле (8.4,11). На действие противоположных
по знаку источников в треугольнике О'СО' можно ввести поправку Др, так что

7/,4,*-7Л-Лр.	(8.4.29)

При определении поправки Др следует учитывать положение участка про-
филя относительно линии Маха О/К/, которая проходит через точку О/,
принадлежащую противоположной боковой кромке (рис. 8,4,4). Если эта ли-
ния не пересекает участок то на него будет оказывать влияние только
распределение источников в области О'СО* одной стороны крыла, в то время
как влияние источников О/С'Р^* исключается. Индуцированная скорость вы-

Рис. 8,4.4. Крыло с боковой кромкой

чксляется по формуле (8.3.13), а соответствующая дополнительная величина
коэффициента давления Ар=* —2п/К». Эту дополнительную величину пред-
ставим в виде суммы:	__

Др 9 Д^ 4- Ьръ 4- Дрз,	(8.4.30)

где зависит от распределения источников О’СС"	а А/ъ я

Др3 _ соответственно от распределения источников В'СС" (ф = 2 (ХЕ — Х1)	и

= “2^«)

Таким образом, применяя формулу (8.3.14), получим

ла

*1 + «1	2 (Х2 — Х1)

<’ + •’»	ла-

"г + ’г	2Х3	. л’ + «з-

---------------------------------------------- —— агеп	--
»!0 4-02)------------------------------------“3(1 +

(8.4.31)

где <Т( 03 и о» вычисляются относительно точек О', В' и О'.	....

* Если ливня Маха 0/Х/ пересечет хорду ЗДа, то одновременно. с. действи-
ем’ Источников (УСС* следует учесть также влияние источников, распределен-
ных в треугольнике О/С'С/' на противоположной стороне крыла. Для рас-
чета индуцированной скорости используется та же формула (8,3.13)..
$ 8.5. ОБТЕКАНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО КРЫЛА
С СИММЕТРИЧНЫМ ПРОФИЛЕМ И КРОМКАМИ РАЗЛИЧНОГО ВИДА
(ДОЗВУКОВЫМИ И СВЕРХЗВУКОВЫМИ)

1ередняя и средняя кромки дозвуковые, задняя — сверхзвуковая

Возмущения от задних сверхзвуковых кромок крыла (рис. 8.5.1, а) рас-
пространяются вниз по потоку в пределах конуса Маха с образующей ОК о
1 поэтому не оказывают влияния на обтекание поверхности крыла. Скорости
зависят от влияния передней и средней дозвуковых кромок.

^ис. 8.5.1. Четырехугольное крыло в сверхзвуковом
потоке:

— передняя и средняя кромкв дозвуковые, задняя — сверх-
зуковая: б "передняя кромка дозвуковая, средняя к зад-
няя — сверхэиуковые; в — все кромки сверхзвуковые

досмотрим профиль ГД с координатой 2]<гв[. Коэффициент давления на
частке ГС* зависящий от воздействия источников с интенсивностью ф =
2Л[У®, распределенных в треугольнике ОСС*, определяется при помощи фор-
мулы (8Л1), а соответствующий коэффициент сопротивления сжго —из выра-
жения (8.4.3). На следующем участке 6Я, испытывающем влияние распреде-
ленных источников в треугольниках ОСС,(С=2к1Иво) и ВСС/(<2=2(Л2—Л])
.оэффнциент давления вычисляется по формуле (8.4,4). Соответствующая
-еличииа коэффициента сопротивления слсн для этого участка определяется из
заражения (8,4.5).

325
На участке НЕ наблюдается воздействие тех же распределений источников
что и на участке СН, Однако, учитывая, что участок НЕ находится ниже линю
Маха ВКв — на поверхности крыла, расчет коэффициента давления рнг следуй’
производить при помощи формулы (8.4 9), а коэффициента сопротивление

— из выражения (8.4.10) Полный коэффициент сопротивления профиле

Сх?Ь “ схРС ~ схСН + СхН1 

(8.5.1

При рассмотрении сечения с координатой 2]>2В1 следует одновремен-
но учитывать влияние распределений источников ОСС' и ЯСС'. Для участка
коэффициент сопротивления	определяется по формуле (8.4.21), а

для участка Н]Ег коэффициент сопротивления	находится из выражения

(8.4.13), в котором третий член в квадратных скобках принимается равным
нулю, а пределы <з„ц и заменяются соответственно значениями
и (п = 1, 2). Полный коэффициент для профиля Г^

схГ, I, " схР //, + схН1 Л1.

(8.5.2)

Передняя кромка дозвуковая, средняя
и задняя — сверхзвуковые

Особенность обтекания крыла (рис. 8 5.1, б) заключается в том. что источ-
ники, распределенные в области ВЕ)ОЪ не оказывают влияния на распределение
скоростей и давлений на остальной части крыла, расположенной выше линии
Маха ВКв.

Рассмотрим профиль ГЕ с координатой г]<гп]. На участок ГН этого про-
филя оказывают воздействие источники, распределенные в треугольнике ОССГ
(рис 8.5 1, а), следовательно, распределение давления можно найти при помощи
формулы (8 4.1), а соответствующий коэффициент сопротивления схкн — из вы-
ражения (8.4.3), в котором верхний предел о|О надо заменить на <Т]н. Второй
участок НО испытывает влияние дозвуковой передней кромки ОС (и. следова-
тельно, распределения источников ОСС') и сверхзвуковой средней кромки ВС.
Соответствующий коэффициент давления определяется в виде суммы двух
коэффициентов, первый из которых вычисляется при помощи выражения (8.4.1),
а второй — по формуле (8.323), где следует принять Л=ЛЙ—Л| и п=п%. Таким
образом,

9 о

4X1	,1/ п1-°1 , т-м

		— агсЬ I/ 	— 4»---
ла1------------------------------------1 ~ а1 а' 1 —

(8.5.3)

На участке СЕ скорость индуцируется источника ми, распределенными в тре-
угольниках ОСС' и ВСС' (рис 8.5.1, а). Применяя формулы (8.5.3) и (8.3.33),
получим следующую расчетную зависимость для коэффициента давления:

2 (Ха - Хг)
а' ]/ 1 — ^1

(8.5.4) -
Коэффициент сопротивления профиля

2

с^“ Л

(8.5.5)

Профиль расположен ниже линии Маха О Ко. поэтому на него будет
влиять распределение источников с интенсивностью р=2Л1У« в треугольнике
ОСС', Кроме того, на участок НАС1 будет действовать распределение источников
с интенсивностью р=2(Хд—Х|)!/« в треугольнике ВСС', вызывающее дополни-
тельное давление, вычисляемое при помощи формулы (8.3 23), где принимается
А=А3—'Х|. В соответствии с этим коэффициент давления Рггн1 на участке
Р\Н\ вычисляется по выражению (8 3.19), а коэффициент давления Рн^
на участке Н\С\ — прн помощи формулы (8 5.3). Коэффициент сопротивления
профиля

Все кромки крыла сверхзвуковые

У такого крыла (рис. 8.51, а) линии Мака О Ко. В Кв и ГКл, проведенные
из точек О. В и Г, располагаются ниже соответствующих кромок ОС, ВС и ОС,
поэтому для расчета коэффициента давления следует применить формулы
(8.3.23) и (8.3.33).

Рассмотрим профиль ГС с координатой О<^<2^, Участок РН лежит
между передней кромкой ОС и линией Маха ОК& Поэтому другая кромка ОС'
(рис. 8 5,1, а) не будет влиять на течение на этом участке, которое следует
рассматривать как плоское сверхзвуковое. Учитывая, что на участок ГН влияют
источники в треугольнике ОСС' с интенсивностью ф=2Л1У«, коэффициент дав-
ления ргн можно определить по формуле (8.3.23), в которой принимаются
А=А| и л=П|. Дополнительное давление на участке НО обусловлено влиянием
кромки ОС'. Коэффициент давления рис на этом участке находится из выра-
жения (8.3.33), в котором принимаются п=Пь о=<Т].

На участок 01 оказывает воздействие кроме распределения источников ОСС'
также распределение источников ВСС' с интенсивностью <2=2(А2—А]) И». При-
меняя формулы (8.3.33) я (8.3.23), получим выражение для коэффициента дав-
ления

а'

2

I — —агс$»п
л

2(*а~

_ __- »

а' у I -я|

(8.5.7)

Последний участок профиля 1Ь испытывает дополнительное влияние проти-
воположной кромки ВС', В соответствии с этим коэффициент давления на участ-
ке 1С, на который воздействуют источники с интенсивностью р=2(Аа—А])
будет

(8.5.8)
Коэффициент сопротивления профиля РЬ

+ У Л?/2** + У ~Рл^х I •

Л?	/

(8.5.9

Коэффициент давления	на участке Р\Н\ профиля с координатой

< Г1 < 2яа определяется по формуле (83.23), в которой Х=К; и иод^
На соседнем участке для определения коэффициента давления Рдс,
надо применить формулу (83.33), в которой Х=Х1, п=п1 н о=П1. На последнем
участке давление обусловлено воздействием распределений источников
ОСС'((2=2Л|У«) и_#СС'[ф= 2(Лг— &0 Уоо]. Поэтому для вычисления коэффи-
циента давления	можно использовать формулу (8 5 7). Коэффициент

сопротивления профиля

(8.5.10)

Поток около профиля Р2Ье б сечении	является плоским сверхзву-

ковым, поэтому коэффициент давления на нем определяется при помощи форму-
лы (8,3 23), На участок Гцб? действует распределение источников в треугольнике
ОСС' с интенсивностью 2Л]!/», поэтому коэффициент давления на*
ходится по формуле (8.3.23). в которой Л=Х| и п=«1 На второй участок ОаЛа
оказывают дополнительное влияние источники с интенсивностью Р=2(^—Л|)
распределенные в треугольнике ВСС'. Поэтому коэффициент давления на этом

участке

ВДа - Ы

(8.5.11)

Коэффициент сопротивления профиля

(8.5.12)

Если четырехугольное крыло имеет боковую кромку (т]Нр=/=оо),
то расчет параметров обтекания связан с учетом воздействия на них
такой кромки. Участок крыла, где сказывается это воздействие*
расположен ниже линии Маха, выходящей из передней точки боко-
вой кромки (см. рис. 8.4.4). Вычисление скорости и давления на
этом участке осуществляется по методу, изложенному в § 8.4* с уче-
том вида передней и средней кромок (т. е. в зависимости от того, ;
являются ли они дозвуковыми или сверхзвуковыми) при ПОМОЩИ- ‘
соответствующих зависимостей, аналогичных (8.4.31).
Интегрируя по размаху, можно определить коэффициенты вол-
ювого сопротивления в каждом нз рассмотренных в § 8.4 и 8.5 слу-
чаев обтекания шестиугольного или четырехугольного крыла с ром-
ювидным профилем. Согласно полученным соотношениям, эти ко-
эффициенты зависят от числа М®, формы и относительных размеров
:выла:

~ \	'Ч*	^с» Д).	(8.5.13)

>десь кроме известных обозначений введена величина хс=*с/Ь —
^езпазмепное расстояние до места наибольшей толщины профиля.

Рис. 8.5.2. Коэффициент сопротивления крыль-
ев с симметричным ромбовидным профилем;
хс“'Л:^кр“0’®' ^кр^кр^ки”5'	“

(ттряхаын показана эксперн ментальная кривая)

^исло независимых переменных в (8.5.13) можно уменьшить, ис-
юльзуя зависимость	_______

сЛ\<рД2)=л(хкр1/<м®—!>	Чф» *с),	(8.5.14)

де 1^X2 — тангенс угла стреловидности по линии максимальных
"олщин крыла (т. е. средней кромки).

На рис. 8.5.2 показано семейство кривых, построенных в соответ-
ствии с формулой (8.5.14) при следующих условиях: т]]Ср^&кр/&кц=
^5; хс=0,5. Точки излома кривых соответствуют звуковым кром-
кам. При этом, в частности, для кривой, соответствующей величине

Х2=3, точка излома для наименьшего значения ^>кр ]/м! -1
оответствует звуковой задней кромке, вторая н третья точки —
Жуковой средней (линии максимальных толщин) и задней кромкам.

329
Сравнение показывает, что экспериментальные и теоретические
значения коэффициентов волнового сопротивления отличаются, осо-
бснно вблизи значений лкРКм-^-1	т. е когда линия’

максимальных толщин становится звуковой. В этом случае линей-
ная теория неприменима. Расхождение между указанными значе-;
нпями уменьшается, когда эта линия оказывается сверхзвуковой
(^кр Iх ЛЛ'ос • 1 Хкр

Из соотношений, найденных для крыла четырехугольной формы
в плане, можно получить как частный случай зависимости для аэро-
динамических характеристик треугольного крыла (рис. 8.5.3). У

Рис. 8.5.3. Сопротивление треугольных крыльев с сим-
метричным ромбовидным профилем, обтекаемых сверх-
звуковым потоком

такого крыла задняя кромка является сверхзвуковой и прямой -
(х3=0). Что касается передней кромки и линии максимальных тол-
щин (средняя кромка), то они могут быть как дозвуковыми, так
и сверхзвуковыми и, следовательно, наклонены пот различными '
углами хь хз. В зависимости от этого определяются местные скоро-
сти и давления, а также суммарный коэффициент сопротивле-
ния

На рис. 8.5.3 показаны результаты расчета функпии сха7(4А5)
для треугольных крыльев с дозвуковой (/1}>1) и сверхзвуковой
(л1<1) передними кромками в зависимости от 1—г при различных
значениях П1 (угла стреловидности Х1). Значения ста?(4А2) при . ’
П1 = 0 соответствуют прямому крылу с симметричным профилем.

По рис. 8.5.3 можно оценить влияние положения максимальной
толщины профиля на сопротивление. Можно указать величину г,
которой соответствует минимальный коэффициент сопротивления.
Точки излома кривых соответствуют значениям г, при которых ли-
ния максимальных толщин становится звуковой (лй—1).

ззо	
Общее соотношение для расчета сопротивления

Полный коэффициент сопротивления крыла может быть найден
виде

(8.5.15)

де А — некоторый коэффициент. Его значение определяется харак-
тером передней кромки. Если она сверхзвуковая, то коэффициент
1 точно равен величине, обратной производной от коэффициента
юдъемной силы по углу атаки [Д —(с^Гт]. При дозвуковой кром-
•ь	так как возникает подсасывающая сила, уменьша-

лщая сопротивление. Член Ас2у в (8.5.15) представляет собой ин-
дуктивную составляющую лобового сопротивления, зависящую от
юдъемной силы.

Коэффициент сопротивления трения сх/ может вычисляться для
квивалентного прямоугольного крыла, хорда которого равна сред-
есй аэродинамической хорде заданной несущей поверхности. При
:том может приниматься во внимание, что часть поверхности вбли-
.и передней кромки такого крыла занята ламинарным пограничным
лоем, а остальная — турбулентным.

Рассмотрим вторую составляющую полного коэффициента со-
фотивления (с.ш}), представляющую собой коэффициент волново-
о сопротивления крыла прн а~0. Для его оценки воспользуемся
оормулой (7,5.31), согласно которой при а=0 коэффициент волно-

юго сопротивления профиля Схв—с^^—с।	+	что дает

_ о

для симметричного клина сх*=0,5С|Д2. Такую зависимость характс-
1изующую изменение коэффициента волнового сопротивления про-
юрционально квадрату относительной толщины профиля {А2—
- (Д/^)-]т можно распространить на тонкий профиль произвольной
ооомы. Сопоставляя приведенную зависимость для с10 с (8.5.14),

’ис. 8.5.4. Изменение функции сопротивления в формуле

(85.16)

331
можно определить отношение

^лво/^лв =^Л (\<р ЛЛд,” 11	^кр’ **с)»	(8.5.16

в котором схв — коэффициент волнового сопротивления профиль
ориентированного по направлению набегающего потока. Расчет еп.
величины был рассмотрен в § 7.5,

Функция /3 в (8.5.16) аналогична функции в (8.5.14) н опре-
деляется при помощи изложенного метода источников. При этом
величина х может быть принята равной одному из характерных
углов заданного крыла (углу наклона передней и задней кромок иля
линия максимальных толщин).

В качестве примера на рис. 8.5.4 показана кривая, характери-
зующая изменение функции /3 для стреловидного крыла с сужением
Ц|Ф==2, относительной координатой лс=0,5 и величиной
“3,67. Первая точка излома соответствует превращению в звуко-
вую задней кромки, а вторая — передней.

$ ВЛ. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ИСТОЧНИКОВ

В § 8.3-?8.5 был -использован метод источников для расчета об-
текания с целью определения силы сопротивления крыла с симмет-
ричным профилем при нулевом угле атаки, т. е. при отсутст-
вии подъемной силы. Исследования показывают, что область при-
менения этого метода в аэродинамических исследованиях может
быть расширена. Рассмотрим те случая, когда при помощи метода
источников можно определить маловозмущенное течение около

Рис, 8.6.1. Крыло с конечным участком сверхзвуковой перед-
ней кромки

тонкого крыла, обтекаемого под углом атаки, и гем самым най-
ти наряду с сопротивлением также и подъемную силу.

Возьмем два крыла с различными передними кромками. Одно
из них имеет криволинейную кромку с конечным сверхзвуковым
участком (рис. 8.6.1), другое — полностью дозвуковые передние
кромки (рис. 8.6.2).

На рис. 8.6.1 границами сверхзвукового участка являются точки
Е, Е', в которых касательная к контуру совпадает с образующими
конусов возмущения. Рассмотрим потенциал скоростей в некоторой
оол	угигиг.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими руками^
точке М расположенной в области, ограниченной концевыми кром-
ками ЕЙ и линиями возмущения, проведенными в плоскости хОг
из точек Е, й, В* и Е'.

Согласно формуле (8.2.16), в которой область интегрирования
п следует принять равной 0=51+52, потенциал скоростей в рас-
сматриваемой точке

, =___— С С оньоад______________к_ с с	<?=(& о ад

К V (XI-о2-^-о2 2я "У у (*1-ЕЯ~(Х1-02

(8.6.1)

Рис. 8,6.2. Крыло с дозвуковыми пе-
редними кромками

В этом выражении функция ф((х, г) ==2(дф7<?0)и=О/ что следует из
(8.2.17). Эта функция опре-
деляется нз условия безот-
рывного обтекания поверх-
ности крыла (8.1 Л2). Так
как уравнение этой поверх-
ности задано, то функция
Р1(х, а) будет известной. В
частном случае крыла в ви-
де пластинки, обтекаемой
под углом атаки а, функция
ф1=2Г«а. Таким образом,
определение <р' по формуле
(8.6Л) связано с нахожде-
нием неизвестной функции
фа, определяющей интенсив-
ность распределения источ-
ников на участке 53.

Для того чтобы найти эту функцию ф2| возьмем произвольную
точку М (х, О, г), расположенную в области между линиями Маха,
проведенными из точек Е и Я. В этой точке согласно (8.1.20) по-
тенциал скоростей равен нулю, поэтому можно написать в соответ-
ствии с обозначениями на рнс. 8.6.1

I гс р1_(м>ад

У V (Х1 - о2- (Х1—о2

{XI - о2 - (г, - р2

(8.6.2)

Первый член в правой части этого интегрального уравнения явля-
ется известной функцией координат точки, так как интенсивность
Ф1 на площади 5з определена нз граничных условий. Поэтому из
уравнения -можно определить неизвестную функцию ф2/ представ-
ляющую собой интенсивность источников в области $4.

Таким образом, если передняя кромка крыла с
симметричным профилем является полностью
или частично сверхзвуковой, то метод источ-
ников пригоден для исследования обтекания

333
крыла под углом атаки. Этот же вывод относится, оче-
видно, к крылу с аналогичными кромками и несимметричным про-
филем, расположенному в потоке как под углом а=^=0, так и под
нулевым углом атаки.

Теперь рассмотрим крыло, у которого передние кромки дозву-
ковые. Для аналогичной точки V можно написать следующее соот-
ношение (рис. 8.6.2):

I Г С	______[Г Г _ 01 (Ь С)

2л -У У сч-ея-с^-ся 2л # V <*1 - ей - (11 - о2

<?2<е. раыс

V <-ч - ея - - ся

(8.6.3)

Как видно, получено одно уравнение с двумя неизвестными функ-
циями (?з и Аналогично функция ^з представляет собой ин-
тенсивность источников на плошадн 5& принадлежащей области,
которая расположена между левой передней кромкой и линией
Маха, проведенной из вершины крыла. Таким образом, если кры-
ло имеет дозвуковую переднюю кромку, то при
помощи метода источников нельзя исследовать
обтекание тонкого крыла с симметричным про-
филем под углом атаки, равно как и крыла с такой кром-
кой и несимметричным профилем при нулевом угле атаки или
аУ=0.

$ 8.7. МЕТОД ДИПОЛЕЙ

Как было установлено, применение метода источников для ис-
следования сверхзвукового’ обтекания ограничено крыльями с пол-
ностью или частично сверхзвуковыми передними кромками. В дру-
гих случаях, связанных с изучением сверхзвуковых аэродинамиче-
ских характеристик крыльев с дозвуковыми передними кромками,
при наличии угла атаки (илп же аналогичных крыльев с несиммет-
ричным профилем и при а=0) необходимо использовать метод
диполей.

Рассмотрим диполь в сверхзвуковом потоке. С этой целью опре-
делим потенциал скоростей течения, образующегося от элементар-
ного источника и элементарного стока одинаковой интенсивности
С, имеющих координаты соответственно х=%, г—у=ь и л—я—
— У= “С. Выбранный источник расположен над плоскостью
у~0 на малом расстоянии е от нее, а сток —под этой плоскостью
на таком же малом расстоянии Записывая (8.2.11) в конечных
разностях, представим потенциал от источника н стока в виде

ОДа	-1	Г

Д<? — __ _____ - — — - —	_---к

2" 1У(*-ЕЯ-а',"|(у-*Я + (*-021

' ЕЯ~ а'2 № + е)2 + (г - ЕЯ/
Введя обозначение р=И (л — — а'2[#2+(г“-С)2] и пренебрегая
величиной а'2е\ получим

а СДо /	-1 ь 1	\

2яр 1 4-2а'?уг/Р2 V 1^2а'2уЕ/Р2 }

Используя разложения квадратных корней в ряд и отбрасывая
в этих разложениях величины второго и более высокого порядка
малости, найдем

дгр —	__________________________________

*₽3

Вычисляя предел Дер при е~>0 и полагая, что сохраняется постоян-
ной величина М=(^е, называемая моментом (или мощно-
стью) диполя, получим выражение для дифференциала потен-
циальной функции диполя

^,„„=-------------------------------

Я |(Л _ е)2 _ а [4,2 + (г _ у2]}з/2

Это выражение можно написать в виде

ЛМс д |	1

Я ду I К (х-еР-а'2(^ + (г-С)2] .

Интегрируя по области о, на которую распространяется влияние
диполей, получим для потенциальной функции

0 =^_(Т_________м<е, ________

ду / (л-ея-’в'4[я!+(г-Ея ’

(8.7.1)

где число л включено в функцию распределения диполей.

Можно показать, что функция (8.7.1) удовлетворяет уравнению
(8.17). С этой целью продифференцируем (8.1.7) по л:

\  д / ^цр' \	д /

дх2 }	ду \ ду2 / ду \ дг2

(М^-!)-/-(
ду \

Перепишем это уравнение в виде

(М2 — 1) — ( Эу' Л	д2 / д?' \	& /д?'

дх2 \ ду /	ду2 ду /	дг2 [ ду

(8.7.2)

Теперь рассмотрим выражение (87.1) для потенциала диполя.
Если включить в выражение для этого потенциала величину —1/эЛг
то в соответствии с (8.2.12) двойной интеграл можно считать по-
тенциалом источников, распределение которых по площади о зада-
но некоторой функцией М. Следовательно,

^дип—(87.3)

335
Сравнивая (8.7.2) и (8.7.3), видим, что функция фдцц действительно
удовлетворяет уравнению (8.1.7) для потенциала скоростей.

Зная форму обтекаемой поверхности, скорость набегающего
потока и угол атаки, можно найтн функцию распределения диполей
М и тем самым определить потенциал диполей Фдцп- Производная по
х от функции флитг дает дополнительную продольную составляю-
щую возмущенной скорости ы=<?фдип/дх, по которой вычисляются
коэффициент давления р~ —2м/на несущей поверхности н соз-
даваемая этой поверхностью подъемная сила.

$ ВЛ. ОБТЕКАМИЕ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА
С ДОЗВУКОВЫМИ ПЕРЕДНИМИ КРОМКАМИ

Крыло в виде плоской пластинки, имеющей треугольную форму
в плане и дозвуковые передние кромки, располагается внутри
конуса Маха (рис. 8.8.1), Для нахождения подъемной аилы,
такого крыла воспользуемся методом распределенных диполей и

Рис. 8.8.1. Плоское треугольное крыло с дозвуковыми кромками

соответствующей зависимостью (8.7.1) для потенциала скоростей -
диполей.	;

В § 8.3 было показано, что дополнительная скорость и, ицдуци- |
рованная источниками, распределенными по наклоненной треуголь- *
ной поверхности с дозвуковыми кромками, зависит только от функ- г
ции о—га'/х [см., например, формулу (8.3.18)]. Это значит, что вдоль -
луча, выходящего из точки излома передней кромки крыла под у г- ?
лом у-агсЦг (г/х), скорость будет величиной постоянной. Ука-
занный луч можно рассматривать как образующую конуса с вер- .д
шиной, совпадающей с точкой излома передней кромки.	*

Течение, обладающее свойством сохранять постоянную скорость,
а следовательно, и другие параметры вдоль образующей такой ко- '
нической поверхности, называется коническим течением. •"
Для такого течения в плоскости у—О можно написать, что дополни- $
тельная скорость м является некоторой функцией отношения г/х^л
336	’А

угигиг.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими рукад'Йг?
т. е. и=[(2/х). Отсюда следует, что потенциал от источников для
конического течения также зависит от этого отношения.

Рассматривая вызванное диполями течение около треугольной
поверхности как коническое, можно представить его потенциал для
точки Р, расположенной в плоскости у=$ (рис. 8.8.1)» в виде

УЩИ	(^/^) *

(8.8.1)

где Гдип(г/х) —некоторая функция, зависящая только от угла ко-
нической поверхности у=агс1д (г/х). Для точки с координатами
х, у, г потенциал конического течения можно записать в более об-
щей форме:

<Р«.п=^ДНП (г/х, у/х).	(8.8.2)

В соответствии с уравнением (8.8.1) зависимость, характеризу-
ющая распределение диполей в плоскости у^О (па поверхности
крыла), такова, что

М(Ь С)=^(й),	(8.8.3)

где Л-И; т(Л) —некоторая функция от аргумента Л.

Преобразуем уравнение (8.7.1). Элементарную площадь, занятую диполем,
выразим в виде	так как	Поэтому

С	д Г	Е^Е

I М(А)4Л — 1 - - — — 1	,Г '	(8.8.4)

У 8. У(*—О’—«л(Я+<*—

где представляет собой координату диполя, который может оказывать влия-
ние на течение в точке Р(х, у, 2). Этот диполь расположен на кривой, ограничи-
вающей область влияния диполей (рис. 8.8.2) н получающейся в результате
пересечения плоскости с конусом Маха, проведенным вверх по потоку из
точки Р. Эта кривая представляет собой параболу А1В1 с уравнением

(X- ы»—а'2 [»г + (г-с,)2] = О

(8.8.5)

в координатах Ь, ^1- Подкоренное выражение в (8.8.4) представим следующим
образом:

(х- а»—а'2 [у’ + (г — ла«] = я? + + С, (8.8.6)

где

а'2А2, Ь — 2л (а,2Л — — 1
\ х

(8.8.7)

Интеграл в рассматриваемом случае

(8.8.8)
Учитывая, что д ~ I — а'2, й2 > О, найдем интеграл в правой части (8-8.8):

Рис. 8 8.2 Область влияния диполей на обтекание
крыла с дозвуковыми передними кромками:
/ — область влияния диполей; 2 — треугольное крыло

(8-8.9)

В соответствии с (8 8.5) значение ^|2+й^]+с=0, следовательно.

С Е^Е	Зй ч/"-	3&2 — Аас

1 _-------------------------------7= х

с? У«Е2 + ^4-с	8а2 У а

X [|п (2дг, + Ь) - 1п <2 Уас + ^)].

Решая уравнение (8.8.5), записанное в виде
дЕ{ + -Ь с = 0,
получим

Ех == ( - Ь 4- /&2^4^)/2д.

В соответствии с этим значением

1п (2аЕ1 -Ь 0= 1п 1^2 — 4дс.

Разность логарифмов в (8.810) с учетом (8.8.13) равна



{г—	>	^Ь2^^ас	1

1п (2аЕ1 -Ь й) — 1п (2 У ас — Ь) = 1п-——-— 1п X

2Уас-1-Ь 2

Ь2 — 4ас 1 й — 2 У^ос	й

X----—------- ' 1п------------- ~ агс^-----7^

(2!/дс + й) 2	&Ч-2/ас	2 Уде

1
(8.8.10) ;

(8.8.11)	»

(8.8.12)	'

1



(8.8.13)*.

(8.8.14)
Таким образом.

ЗЬ У с

ЗЦг — Аас	I

------ агс!Ь -ж——
8а?Уа	2/ас

(8.8.15)

Вычислим производную по у от (8 8.15)

д С Е2^Е	1 де / Ь Ъас	Ь \

---1 —~	—- — Л’ > ----— • —~  ------- -  --— 4- аге е н — ].
^3/аег + Ае+г 2а/а V УТс 4ас ~Ь 2/ос?

Вводя обозначение
V=^/(2/^)	(8.8.16)

л имея в виду, что дс[ду^—2#<х'2 (см. формулу (8.8.7)], напишем

Х =	(—4-агсИ,у\	(8.8.17)

Вносим это выражение в (8.8.4):

С1Я к

?дил= У ТУга(/О^А-	(8.8.18)

—С1р

Для определения вида функции распределения диполей воспользуемся усло-
вием безотрывного обтекания, в соответствии с которым

(«%-о =	— С?? эдп/<М^_о-	(8.8.19)

Частная производная (д<рДПп/<?^) и—о определяется согласно (88.18) в виде

С1Е *

( л 1 )	\	Н~ I «(*)<**

\ ду /у-0	3	\ дц '^=о

—С1В *

Внося з о выражение в (8.8.19), найдем

С1Е «

Г / д^\

[тН т(Ь)<1Ь.	(8.8.20)

Л \ Лг-о

—С1^ х

Дифференцирование (8.8 17) по у дает

("7~|	— —-------7=г|;------’ + агс111у| .	(8.8.21)

\	/^-0	_ тЛ	)^й

Ч* 7 I*

Вы числим .частную производную по гД (8 8 20) с учетом (8.8.21):

с<8 *

Л Г 2

0= I ----------=-------------------т(Л)</Л.	(8.8.22)

-Ы8 . «	(1 - V2)2	3 {г/Х) 1-0

339
Из (8.8.16) следует, что производная

41-И4

&

а'2Л — — 1

2 (у2 г2 \13/а

у-0

а'2

а”4Г
л? I

(8-8.23*

а в соответствии с (8.8.7) и (8.8.16)

2

V2)2 д-0

2

(I — а‘2Л-)3/2

0~а'3Л2)2 1-а'2

,2/11

д-0

(8.8.24-

№

1 — а

к —---



X? ’ л?

а Л —
х

а

А- —

Вносим (8.8.23) и (8.8.24) в уравнение (8.8.22):

/1



(8.8.25?

—с1§ ж

Покажем, что это уравнение имеет такой же вид, как н уравнение, получаемое
при решении по методу диполей задачи о течении несжимаемой жидкости околоь
плоской пластинки бесконечной длины, установленной перпендикулярно направо
лению скорости набегающего потока. Потенциал скоростей для пластинки, пред*1
ставляющей собой часть крыла в сечении АВ с координатами гл = —с, ав=с иС
обтекаемой в поперечном направлении несжимаемым потоком со скоростью!
а— У»» (рис. 8.8.3), можно определить при помощи уравнения (2.9.16), которой
перепишем в соответствии с системой координат, выбранной на рис. 8.8.3, в внде^

Улт = ^/[(г — № + у2]-	(8-8.26^

Это выражение определяет потенциал в точке Р(у, г) от плоского точечного*
диполя с единичным моментом (Л1 = 1). Если момент диполя отличается от едг-*
ннцы, а распределение диполя по размаху пластинки задано функцией М(ц), то'
потенциал скоростей, индуцированных диполями на участке крыла Л], будет

= М (ч)^/[(^ — I})2 -Ь	(8.8.27^

Потенциал скоростей в точке Р, вызванный влиянием диполей, расположен*^'
иых по размаху пластинки на участке от гл — до 2в=С запишется в виде _

Тдип —

М (т;)

г.ток|Лг1я.ой).ги - Самолёт сво
Вертикальная составляющая скорости о=дфдив/ду на
(4=0)

/ д?дш \	= д Г	1	_ С

°",₽0 \ ду /д-0 ду 3 (г —	+	3

ь —с	-*д—о	—с

поверхности крыла

М (^)

(8.8.29)

Так как составляющая по размаху пластинки не меняется, то

до \д~
дх }у-о дх

= 0.

Дифференцирование дает

(8.8.30)

г

—€

Рис. 8.8.3. Несжимаемый двухмерный поток около
плоской пластинки АВ, принадлежащей треугольно-
му крылу и обтекаемой в поперечном направлении со
скоростью и« а

Иа сравнения уравнений (8.8.25) и (8.8.30) видно, что оба они принадлежат
к одному типу, поэтому представляется возможным функцию распределения ди-
полей т(к) в сверхзвуковом линеаризованном потоке выбрать по внешнему Виду
такой, как соответствующая функция Л4(т}) в несжимаемом потоке.

Чтобы определить вид функции ЛЦц), используем решение задачи об опре-
делении потенциальной функции для плоской пластинки, обтекаемой несжимае-
мой жидкостью в поперечном направлении (см. § 6.2). По этому решению потен-
циал скоростей на пластинке определяется формулой (6.2.7). Следовательно,
разность потенциалов на ее обеих сторонах будет ^ — 2УУа2 — х2> Теперь
вспомним, что поток несжимаемой жидкости около пластинки рассматривается
как результат наложения на невоамущеиное течение потока от диполей [см.
формулу (6.3.6)]. Следовательно, распределение диполей для плос-
кой пластинки, обтекаемой бесциркуляционным пото-
ком несжимаемой жидкости, эквивалентно найденной
разности потенциалов Дф. Имея в виду, что функция распределения
диполей т (й) в сжимаемом потоке имеет такой же вид, как и для несжимаемого
течения, можно рассмотреть выражение для этой функции в виде

№ (Л) —	— Л2,

(8.8.31 >
где №=с1^2х; Е — некоторый коэффициент пропорциональности. Для
ния коэффициента Ь воспользуемся уравнением (8 8.20). Внося в него
(8.8 31), получим

о пре де ле-
(8.8.21) и

«V = — а'2Л (
□О	I

V
------- -- агс1Ь V

1 — V2

(8.8,32)

^с(й* " г “

В соответствии с (8.8.7) ц (8 8.16) величина

а'2й—1

ас

т / о г2

-а'2Л-?) 1 -а'2 —

(8.8.33)

— Л^Л

^-о =

2

Ь



С учетом (8.8.7) значение

]/и У а) = 1/(1 - а'2А2)3/<	(8.8.34)

Для упрощения вычисления коэффициента к из (8.8.32) можно осуществить
интегрирование по продольной координате, расположенной на крыле. Принимая
при этом во внимание, что вдоль оси х координаты г=0, 4/=0, найдем

СТЕ X
аУ„= — Еа'2 Г

х— №

-а'2^

1-а'2^

—-------- -|-агс1п

а,2к-

—X

4 к.

(8.8.35)

Интегрирование дает



«V,

(8.8.36).

о

Интеграл

л/2

(8.8.37)

о

представляет собой полный эллиптический интеграл второю рода с параметром

А

А — к 1—	(8.8.38)

Значения интеграла (8.8 37) определяются при помощи заранее вычисленных
таблиц в зависимости от параметра к.

Распределение диполей может быть выражено функцией (8 8.3) при условии
замены в ней щ(Л) по (8 8.31) и с учетом значения для Л, определяемого иэ
(8.8.36) В результате получаем

.г---------

М (6, О =» € V с1е2 х - Л2----2—,

лЕ (А)

Найдем составляющую индуктивной скорости от диполей
крыла для ^=0. Из (8.7.3) следует, что

(8.8.39)

на поверхности

4

(8.8.40)

. ’2

т. е потенциал диполей на крыле определяется величиной вертикальной состав-
ляющей скорости, индуцированной источниками. Сравнивая (8 2 12) и (8.7.1),
видим, что *я‘*	-----------

можно рассматривать как функцию, аналогичную функции
Ф(&, определяющей распределение источников по поверхности крыла задан-
ной формы и угла атаки Поэтому, если учесть, что в (8 7.1} число л включено
в Л1(& ?), можно в соответствии с (82.7), (8.8 39) и (8.8.40) написать урав-
нение

аУ Е V7- — Л2
(Т.^Л=Я"(Ь 0=-------------------->	(8.8.41)

где Л = С/Е (или Л = х/х).

Составляющая индуктивной скорости от диполей

\ дх /^о

«К»

*(*)

а^с*ёгх

Е(6)	Л2

(8.8.42)

Соответствующая величина коэффициента давления с учетом воз-
можных знаков перед квадратным корнем

-=2(Р-Г„)= _^=	±2ае1е^ _	(8 8

Р«У^	Е (А) /с 1^2 х — Л2

где знак плюс определяет давление на нижней, азнак минус — на
верхней стороне крыла. Поле давлений соответствует ко-
ническому течению относительно вершины кры-
ла, в котором для всех значений г/х=сопэ! коэффициент давления
Р = С0П51,

Подъемная сила, действующая на треугольное крыло, склады-
вается нз силы от давления на нижнюю поверхность, а также рав-
ной ей по -величине подсасывающей силы, возникающей от разре-
жения на верхней стороне. Элементарная величина подъемной си-
лы, действующей на площадку <2$ = 0,5х<йг (см. рис. 8.8.1),

ЗУ=2 (р—р№) аЗ=(р— рж) х#х.

Полная сила получается в результате интегрирования по всей
поверхности крыла 5кр=х2 с!дх:

У= |2(/7 —

Коэффициент подъемной силы

с,------------=-5- ( 1р’<1А= 20	( ак

' *<*>

(8.8.44)
Интегрирование даст

су=2ал с(д *1Е (А).	(8.8.45)

343
угигиг.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими руками?!
Для конического течения центр давления каждого треугольного
элемента, выходящего из вершины, расположен на расстоянии двух
третей высоты от вершины. Поэтому центр давления всего крыла,
будет находиться на корневой хорде в точке, удаленной от верши-
ны на расстояние двух третей хорды. В соответствии с этим коэф-
фициент момента тангажа относительно вершины крыла

= — сус^ — (4/3) ал (Л).

(8,8.46;

Для треугольного крыла с малым удлинением (х-^-л/2) величи-
на а'с^хС! и можно принять значение эллиптического интегра-
ла Е (й) ж 1. Следовательно, для такого крыла

се—2ал с!д *; тв = — (4/3) а л с|д *.

(8,8,47.

Выразив с!^х через удлинение крыла %кр=4с^х, получим

су =алХкр/2; тж= — (1/3) алХ^.	(8.8.47'}

Если угол стреловидности х выбран таким, что х=л/2—р№, и,
следовательно, линия Маха совпадает с передней кромкой, то

и а'с^х=с^р„с^1в=1.

В данном случае эллиптический интеграл Е(й)=л/2, поэтому
для треугольного крыла со звуковой передней кромкой

с^=4ас^х*

Так как

1 / V 1>

.то

^=4а/Им«~1.

(8,8.47");

(8.8.48)

Это значение совпадает с величиной коэффициента подъемной силы^
тонкого заостренного профиля, обтекаемого линеаризованным^
сверхзвуковым потоком.

Покажем, что коэффициент подъемной силы треугольного крыла;
со сверхзвуковыми передними кромками будет выражаться тем же/
соотношением (8.8.48). В соответствии с (8.3.33) коэффициент дав-}-
ления на крыле в области между конусами Маха

±	( 1	л	1	/СО Л.ПХ

рх =------== I 1-------аге 81 п I / -----1,	(0,8.49) *

а'/1_л2\ л И 1-«Ч

*

а на участке между передней кромкой и конусом Маха [см. форму-Л
л у (8.3.23)]	_	|

р2=± 2а/(а' ]А1 — л2),	(8,8.50).1
Согласно (8.8.44), (8.8.49) и (8.8.50) коэффициент подъемной
силы
л	л

св=2 I А I Ло—2 [ I й I 4(3 -->= "X

?	Л	а'У1~Я5-

В результате интегрирования получим зависимость 4а/а\ сов-
падающую с (8.8.48).

Методы расчета обтекания треугольных крыльев могут быть
использованы для определения аэродинамических характеристик

Рис. 8.8.4. Крылья со сверхзвуковыми задними и боковыми кром-
ками (Хо—^кр):

а — четырехугольное крыло с вырезом («ласточкнв хвост»): б —четырех’
угольное крыло с приставкой (ромбовидная пластина); в—пятиугольное
крыло; г — шестиугольное крыло

несущих поверхностей в виде четырех-, пяти- и шестиугольных пла-
стин со сверхзвуковыми задними и боковыми кромками (рис.
8,8,4). Их обтекание характеризуется отсутствием зон взаимного
влияния хвостовых и боковых участков, ограниченных пересечением
конусов Маха с крылом, т. е. течение у боковых и задних кромок
будет чисто сверхзвуковым. Вследствие этого коэффициент давле-
ния на поверхности крыла будет таким, как в соответствующей
точке треугольной пластины. Соответствующая формула для его
расчета выбирается с учетом вида передней кромки (до- или сверх-
звуковой). По распределению давления интегрированием можно оп-
ределить коэффициенты подъемной силы и момента.

Приведем результаты, полученные для четырехугольного крыла:
в случае дозвуковой передней кромки

4ас(Ях1 г/< х—1/2	1

с	[(!—*) агссовв—е];

у (1—

— 4дс1^Х1 Г 2+е2

3(1 —е>В(А) 1(1+е>3^

(8.8.51)

(8.8.52)

е(4 — Ер

агссоз е-----1----—

1 — Е2
при наличии сверхзвуковых кромок

8а {	1	е	\ /п о 1-,.

	I	агссоз /г.-агссоз п | ; (8,8.53
(1-=)ла'------------------------------------2

— 8а	2—К1(1+е2)

т2=--------- -------------

3(1—0™'[_

агссоз л2 —

Е (3 — е5)	щ

-----------—	агссоз п	-—
(1 + Еу> /1 _ „2---------------------1—л?

(8.8.54

где е = (л-к — Хо)/лк = ^х3/!^х1; п^Цг^/а'=	х0, хк — размерь

показанные на рис. 8,8.4. У крыльев типа «ласточкин хвост» (рис
8.4.4, а) величина е положительная, а для ромбовидных пластиг
(рис. 8.4.4, б) —отрицательная.

Зависимости для су и позволяют определить коэффициент
центра давления сц.д=лц.д/х0= —т^Су. На рис. 8.8,5 показаны кт

5)

Рис. 8 8.5. Кривые, характеризующие изменение производ-
ной ог коэффициента подъемной силы («) и коэффициента
центра давления (б) четырехугольного крыла
вые, характеризующие изменение су и в соответствии с приве-
денными соотношениями. Штриховые линии на этом рисунке опре-
деляют значения аэродинамических коэффициентов в предельном
случае, когда 1/п=с^х>а'=Е (задняя кромка звуковая).

Излом кривых на рис. 8.8.5 возникает прн значении п —
= 1 (с^х,а'=1), т. е. когда передняя кромка звуковая. Коэффици-
енты си и слд за местом излома (при сверхзвуковой передней кром-
ке) с ростом Мда уменьшаются.

Еще один предельный случай соответствует достаточно большим
значениям	I (л<С 1, пг<^. 1). прн которых поверхность ко-

нуса возмущений оказывается вблизи корневой хорды. Из формулы
(6.8.53) следует, что параметр е практически не влияет на коэф-
фициент су> и вырез или приставка будут изменять подъемную силу
крыла почти пропорционально изменению площади пластины.

Нетрудно видеть, что при е—О формулы (8.8.5!) ? (8.8.54) дают
значения соответствующих коэффициентов для треугольного крыла
^2=тгД. Расчеты по этим формулам можно упростить, если
четырехугольные крылья мало отличаются от треугольных. В этом
случае при условии, что

- г), /?1г = тгд/(1 —е).	(8.8.55)

$ 8.9, ШЕСТИУГОЛЬНОЕ КРЫЛО С ДОЗВУКОВЫМИ ПЕРЕДНИМИ
И СВЕРХЗВУКОВЫМИ ЗАДНИМИ КРОМКАМИ

Най дем аэродинамические характеристики га более общем случае обтекания
под малым углом атаки крыла в виде плоской пластинки шестиугольной формы
н плане с дозв у ков ы м и передними и сверхзвуковыми задни-
ми кромками (рис. 89.1). Такой вид задних кромок исключает влияние вихревой
пелены за крылом на его обтекание.

Для того чтобы определить потенциал скоростей, воспользуемся результата-
ми решения задачи об обтекании треугольного крыла с дозвуковыми передними
кромками. Рассмотрим точку А с координатами х, г, расположенную в обла-
сти У, которая ограничена передними кромками и линиями Маха, проведенными
из точек С и Л. Потенциал скоростей в этой точке можно выразить по аналогии
с (8.6 1) следующей формулой:

.	! ГГ 01(5.СМ&Ч ....................

?/= — ~Г~\\  ------*-----+ Ауз, (8.9.1)

211 "	дг

в которой а — область интегрирования на поверхности крыла: величины Д<рг и
Дфз, представляющие собой добавочные потенциалы, определяются выражения-
ми, подобными второму и третьему членам в правой части (8.6,3), вычисляемым
для областей интегрирования О1 и о2 (заштрихованы на рис. 8.9 1)

Принимая во внимание, что <?1 = 2ЛИ„ = 2аК^, перепишем (8.9.1) в таком
виде:

я  где в соответствии с (8.9.1)  У „ 1 — (Д?2 + д?3) -	И		,	(8.9.2)  . /(х-ер-а'2 (г-&  Лл„ (*(*	"I-1  ~ И -	— (8.9.3)  . У (х - 6Р - о'5 (г—СР . 347 угигиг.токЬ-1а.8рЬ.ги - Самолёт своими руками?!
Для дальнейших преобразований введем характеристическую систему коор-
динат, оси которой г и х совпадают с направлениями линий Маха» проведенных
из вершины крыла (рис. 8.9.1):

г — (М«/2«') (* — а 'А 5 ₽ (МЛ/2а ') (х + а'х).

Характеристические координаты точки Л(хл, гА) будут следующими:

ГА («оо/^'Х^Л — а' *д). «л = (М„/2а')(хл + а'лл).

(8,9,4

(8.9.4',-

Приведем к характеристическим координатам г и $ уравнение (8.9.2). Из
(8.9 4) найдем;

г + ^(Мв/а')х( г-з=-Мваг. '	(8.9.4")

Рис. 8.9.1. Шестиугольное крыло с дозвуковыми
передними и сверхзвуковыми задними кромками

Следовательно,

X - е = *Д - X = (а'/мда) [(гЛ 4- Зд>- (г + а»;

а* (г _ = а* (*А — г) = — (а'/ЛМ((ГЛ ' $л) “(г “ 5>1 -

(8.9.5)

Внося эти выражения в (8.9.2) в принимая во внимание, что элемент площади в
координатах г и а будет	(2р™) (рис. 8.9.1), а пределы интегрирова-

ния 5 я и За, Г с п ГЛ, получим уравнение для потенциальной функции

(8.9.6) .



Координаты зв и гс выразим соответственно через координаты точки г л
н «л- Так как уравнения передних кромок в координатах г и х будут г= ±
то в соответствии с (8.9.4 ) эти УРЧО^.ЧЪ]&)-Ш19Р&.,1Ч?^а^1-ад1оЯет1^о1^п1^рукад<Й?!

'тА
К виду:

г = &т (для правой передней кромки г = + х с!# *)!
г = &/т (для левой передней кромки г = -хс^х),

(8.9-7)

где т= (п— 1)/(«+!), п=1^Х]/а'. Поэтому координаты г с и можно выразить
следующим образом;

гс — $с/п = 8Ат и 8В = гвт — гАт.	(8,9.8)

Заменяя в (8 9.6) г с и Яв соответственно на хлт и гдт, получим после инте-
грированна

4аУ й _________________________

?, == - —V(гА — тзА)(&л - тгА).	(8.9.9)

“	ЛЛ

Подставив сюда значения гл н яд из (8.9.4')* а также величину

Д1 = (П- 1)/(л+ 1),	(8,9.10)

найдем
4аУ_,яхд2 ,--------------------------------------------

»'=- я(п + 1)	(8.9.11)

где Л = *а1*а («ля Л = С/6).
Сравнивая уравнение (8.9.1!) с соотношением (8.8.41) для потенциальной
функции в рассматриваемой точке, видим, что для согласования результатов в
(8.9.11) следует принять величину

(8.9.12)

Тогда в точке Л, расположенной на крыле в области Л потенциал скоростей

Ср г —------У С(^ х— Л2.

17 Е (А)

(8.9.13)

В соответствии с этим уравнение, которым необходимо пользоваться прн опреде-
лении потенциальной функции на крыле, будет иметь следующий общий вад;

, аУм (п 4-1 > р р

4лМрйЕ(А>	уГа _г у$А^$

(8.9.14)

Воспользуемся уравнением (8.9.14) для определения потенциальной функции
в точке Л. расположенной в области II, которая ограничена линиями Маха, вы-
ходящими из точек Л и 6, боковыми и частично задними кромками. Уравнение
(8.9.14) напишем в таком виде:

, (п 4- 1) у
4пМ„Е(Л) )

От

(1г

У^Д —$

(8.9.15)

По аналогии с (8.9.8),

-гв,т- гАт.

(8.9.16)

я л +1

4 ‘ пЕ (А) ’

Точка К расположена на боковой кромке, уравнение которой г—1/2. В коор-
динатах гия уравнение боковой кромки в соответствии с (8.9.4") будет



(8.9.17)
Тогда для точки К координата

Г* =	- Мв//2 == зл - Мж//2.

(8.9.18)

Учитывая также, что 5н'=глт. получим после интегрирования (8.9.15)

. (л 1) _ Л /	ч-|

Г"~ пМ„Е№ V	)](»х-глт). (8.9.19)

Подставляя вместо гл. и т соответствующие значения из (8.9.4') н (8.9Д0),
находим

/	•» / П + 1	[X д	\

У+Н- <8 9-2о)

Потенциал скоростей для точки Д, расположенной в области Н1,

+ 1) Г	(1г	Г

***№& } У7^~г

К' *	О'

(8.9.21)

Точки К1 и 6' расположены на боковых кромках, уравнения которых г= ±//2
(знак плюс для врав ой, знак минус для левой кромки). В координатах г и 5
уравнения этих кромок в соответствии с (8.9.4) имеют вид;

г — э— — М //2 (для правой кромки); )

}	(8.9.22)

г — э = МдаУЗ (для левой кромки)- ]

Поэтому для точек К' и О' можно записать соответственно:

ГК> —-	5Л ~

= <(3' -	= гА - М^/2.

(8,9.23)

Интегрирование (8.9.2!) с учетом значения пределов (8.9.23) дает

, (л + 1) 1 // К°°1 \ / м«' \
- ЗадЕГ V Vя - + ГЛ “ГА 

(8.9.24)

Вносим сюда значения эд и г л из (8 9.4'):

, аУ„ (н 4- 1)
Т/// “ 2лЕ (*)

(8.9.25)

Вычисляя частные производные по Хл, находим составляющие возмущенной
скорости и=дуп/{дхА (п — /, Н, Ш} н определяем коэффициенты давления в
соответствующих областях на нижней и верхней сторонах крыла:

(8.9.26)
Здесь знак плюс в правой части равенств соответствует нижней стороне, а
минус — верхней.

Приведенные зависимости для расчета коэффициентов давления применимы
наряду с треугольными крыльями с приставкой (см. рис. 8.9.1) также и в случае
аналогичных крыльев с вырезом и крыльев с прямой задней кромкой (пяти-
угольных пластин, показанных на рис. 8.9.2).

Рис 8.9,2. Крылья с дозвуковыми передними и бо-
ковыми, а также со сверхзвуковыми задними кром-
ками:

а — шестиугольное крыло с вырезом; б — пластина с пря-
мой задней кромкой (пятиугольное крыло)

Изменение вблизи боковой кромки величины Др/а = (ря

— ръ)/а как функ-

ции расстояния от передней кромки (в процентах хорды), вычисленной по при-
веденным формулам дли пятиугольного крыла прн М« = 11121 показано на
рис. 8.9.3 На поверхности концевого конуса Маха наблюдается разрыв давле-
ния, обусловленный воздействием угловой
боковой кромкой и концевым конусом Ма-
ха давление постоянно

По известному давлению определяются
коэффициенты подъемной силы н момента:

Г 1 ГГ -	.

=	— И

°кр Л Л
5кр

ЛК

(8.9.27)

— 1

X

= у А

ЭооСНруКр



(р« “ ра) хахах,

(8.9.28)

кр

где 5ир и Ь

чр — соответственно площадь и

корневая хорда крыла, ря и ря — коэффи-
циенты давления на нижней и верхней сто-
ронах, определяемые по формулам (8.9.26).

По значениям т2 и с„ можно опреде-

Рис. 8 9 3. Распределение величи-
ны Ар/а=(^« —ри)/а вблизи бо-
ковой кромки пятиугольного кры-

лнть коэффициент центра давления сц д =
На рис. 8.9.4 показа-

д/Й«р— --

у-

ны теоретические кривые, характеризующие
изменение и сц д для крыла в виде пя-
тиугольной пластины. Случаю дозвуковых

ла

с дозвуковыми передними
кромками (сечение 4Л)
Ряс. 8.9.4. Кривые, характеризующие
изменение коэффициентов подъемной
силы (о) и центра давления (б) пя-
тиугольного крыла

передних кромок на этом рисунке соответствуют участки кривых, для которых

А кр у — 1 < Хкр х. Особенностью графиков, характеризующих
изменение с у, является отсутствие сколько-нибудь заметных изломов соответст-
вующих кривых при переходе к сверхзвуковым передним кромкам (т. е. когда
^кр	— 1 -	*) 

$ 8.10. ШЕСТИУГОЛЬНОЕ КРЫЛО СО СВЕРХЗВУКОВЫМИ ПЕРЕДНИМИ
И ЗАДНИМИ КРОМКАМИ

В целях расчета обтекания крыльев произвольной формы (в том числе шести-
угольных, имеющих сверхзвуковые передние кромки) на участках / и // (рис.
8,10.1, а, б) можно использовать соответствующие результаты для треугольного
крыла с такими же передними кромками (см, § 8.3).

Согласно этим результатам, коэффициент давления в точке ,4(ха, гл), рас-
положенной на участке / между передней кромкой и линиями Маха, проведен-
ными из вершины крыла и точек Р, О его боковых кромок, определяется по
формуле

±2а/(а'\ГГ^),	(8.10.1)

которая получена из (8.323) при условии замены Л на а. При этом же условии
находится соответствующая зависимость для коэффициента давления в обла-
сти Н, ограниченной линиями Маха, выходящими из вершины и тех же точек
Ц С. Согласно (8.3.33),

(8.10.2)

Расчет обтекания остальной части шестиугольного крыла (рис. 8.ЮЛ, лч-з)
можно производить при помощи уравнения (8.3.1) для потенциала скоростей $
источников и стоков. Это уравнение в новых переменных г н & (см. (8.9.4)} пре- -
образуется к виду

— аУ

ЛЛ1

(8.10.3)



где гл, 5л—координаты рассматриваемой точки А иа поверхности шестиуголь-

ного крыла.

Координатные прямые гид направлены по линиям Маха. Эти линии Маха,
как и линии слабых возмущений, исходящие из точек О и Р, а также из точек
6' и О', которые лежат иа пересечении координатных линий гид (линий Маха)
с боковыми кромками, делят поверхность крыла на восемь областей. В каждой
из этих областей потенциал скоростей вычисляется при помощи уравнения
(8.10.3).

Рассмотрим произвольную точку А, расположенную в области /// (рис.
8Д0.1, в). При определении потенциала скоростей а этой области необходимо
учитывать источники, расположенные как на поверхности крыла (на участках
площадей З^АО^А' и 5а=*Л'Ва1>)1 так н вне ее (участок 53=ДФР").

Используя (8.2.13), можно написать выражение для ф'гл в точке А (х, 0, г)

в следующем виде:

. _______гг . (?(е,

Ъ“ 2л

(8.10.4)

На участке площади крыла 5(н-52 интенсивность источников известна н рав-
на 0=2^^2аУв1 поэтому

,	— оУ„ гр_____________________

Ч,“	“ X	О2 — а'2(*~ дг

дУ„ рг.	________ 1 рг (?(ЬО<<№

* .у у(л?_4)2_а-2(г_^)г	2л У У^-^-а'^ж-ср

(8.10.4')

где Р(^} ^) — функция, определяющая закон распределения источников в обла-
сти $3 вне крыла. Интегрирование можно провести, если известна эта функция.
Для ее определения воспользуемся граничным условием (8.1 20), в соответствии
с которым потенциальная функция на плоскости хОг в области между боком ой
кромкой и линией Маха, проведенной из точки Р, равна нулю. Для точки /Г.
принадлежащей этой области, условие равенства нулю потенциальной функции
запишется по аналогии с (8.6.2) следующим образом:

0 ^аГ°° Г Г_____________________

“ -У /(х-62-а'2(г-СР

____1_ ГС

2п У

Из сопоставления этого уравнения с (8,10,4") следует, что для вычисления по-
тенциала скорости в точке /1(х, 0, г) в основной формуле (8.10 4) доста то>но
распространить интегрирование по области 5П т. е.

* Л/ =

— г г

“ 7. Уи-е)2-а'2(г-С)2

(8.10.4")

12—707

353 ’

.уокЬ1а.$рЬ.гп - Самолёт своими руками?!

г
По этой формуле суммарное воздействие на точку А области источников ///, рас-
положенных на участках площади крыла и 53 площади вне крыла, рааио
нулю [8}.

Используя выражение (8.10.4"), преобразованное к виду (8 10.3) в коорди-
натах г, 5, получим

(8.10,5)

где в соответствии с (8.9.8) для точки Из, расположенной на правой кромке,

= 'Ъ./т = г>-

(8.10.6)

Нижний предел интеграла г л' находим нз уравнения боковой кромки 2=4/2.
В координатах г и 5 это уравнение имеет вид (8.9.17), следовательно, координата

гА ' =	- «оЛ2 = - ЛМ/2 

(8,10.7)

С учетом (8.10.6) интеграл

где т = (и — 1)/(п 4-1)1 т = (1 — л)/(л + 1). Поэтому

Интегрируем это выражение:

— У(ГА — г) (г—	—

“	г—-

у т

К(ГА - гЛ'> <ГЛ' -	+ (гл — 5Л™) агс1д

Внося значение г л' из (8.107), получим

— 2аИ

ям

+ (Га — агс1§

5Д —5Ат~

Мда/

5 А $Ат

С учетом выражений (8.9.4') для гА и и значений т = (л— 1)/(п4-1) =
= — т потенциал
Ън =----г. 11/ (/ “ 2^д) [(хл + а'гл) — а 7 (л + 1)]-----+

лУ1 —№	а

1/	+	.	р.10.8)

а	г 2(^д -4-а'хд) - I (п + 1)а7

Определяя производную дф'ш/дхл, находим коэффициент давления:

______±4о	1 Г Д* (« + 1) (/—22>л)
~яа>У1-л2аГС 2 V 2(хл + а1хд)-/(л + 1)а1-‘

(8.10.9)

Потенциал скоростей в точке Л области /V (рис, 8.10.1, г) определяется
действием источников, распределенных на площади Л/077?. Эту площадь разобь-
ем на два участка 5[ = О7/?(? и 82—О(2А/ и определим потенциал в рассматри-
ваемой точке как сумму потенциалов, обусловленных действием источников на
участках 5| и 5г. Применяя формулу (8,10.3), получим

Пределы интегрирования аг' и определяются прн помощи (8.9,8). Для точ-
ки Г на правой кромке н точки /' на левой кромке находим:

зг, = гт,}т — г'т, X;, ~ ггт = гт.	(8.10.11)

С учетом этих значений пределов вычисляем интегралы:

В соответствии с этим

где г» определяется по формуле (8.9.23) в виде

'А’ =	- ««//2 = &А - М„72.

357
угигиг.токЬ-1а.8рЬ.гп - Самолёт своими руками?!
Производим интегрирование:

,	— 2аУ,

?л/ =	7

О

— (гд — ^дт) агс!й

5Дт

5Д“

5Ат

Г—5дИ30

гАт - 5 А
агс(е

2аУ ]

ОО I
лМ

лМ

— зАт — «„//2

ЯМ

агс(д

т

т

Г4*А , гАт — 8А

— 2аЕ

— У Гл8ды — (ГЛ — агс^

ЛМ

2

г	М../

$д *зАт

л

После подстановки значений $а и гА из (8.9.4'), а также т= — т— (п— 1)/(п4-
+ 1) находим

?/Г= г

а'л VI-«2

(*.4 —	Ге м)

(л + 1)(Лд —а/гд)
(1 - п) (хд + а'гд)

+ агс(д

а' (н+ !)(/ —2дга)

(лсд 4-а'^д) — а'/(й+ 1)

+ —-/ (;-2гд)(2(*д + а'^д)-а'/(п + 1)Ц« + 1)а' +

+(*д + г а *е »>) агс*г

I Л (1 — п)(хА — а^д) 1

Г (« + 1)(*д + а'гд))

(8.10.12)

Вычисляем коэффициент давления:

2



± 4а

а'л

СО

У* 1 — п2

а'(н +О(Л —2<4)
2(*д + а^д)— а'1(п + 1)


— агс^

(8.10.13)

Применяя для двух последних членов формулу агс!^х— агс!^^ =
=агс!^ [ (х— у) /(1 +х#) ], найдем соотношение

Р/у —

± 4а

а'л У\ — п2

о1 (« + 0(1 — 2*д)
2(*д — а'*л) — «'/(" + О

—агС!д

ка — <?2

1~па

Рассмотрим область И Для точки Л, расположенной в этой
8.10.1, д), потенциал

(8Л0.13')

области (рис.

(8.10,14)

В соответствии с этой формулой скорость в точке А индуцируется источниками,
находящимися на участке площади крыла А№Р&. Внутренний интеграл в
(8.10.14), нижний предел которого $л-'=гт, будет

Таким образом,

Я^оо “ » Гл — г
ги

Принимая во внимание, что

П7 = 5 А “ М<х//2/

получим после интегрирования

гдт —

г Д - 54 + М^/2

*д — Мм//2-$л/т

(8.10.15)

Переходя к обычным координатам х н у и принимая во внимание значения
т^{п—!)/(«+!), тп^= —т1 найдем

. 2аГ„У1-п ,Л/ Г V. . .	1	. I

Тг = —;т=Им“ V ^"тН(^ + п гл)а’+^ + 7]‘'

Мл у п + 1	'
а'(л — 1)

(8.10.15')!



Вычисляя производную ло *л, определим коэффициент давления;

—	2	± 4а

Ру= “ Т— ' "7—	----г— МсЦ X

ла' /1 — Л2

/ а'П

X 1 / -----*----И--------(8.10.16)

У хАц-а'*А+—(п-1)а'
Л

 В области V/ потенциал скоростей определяется следующим образом (рис.

8Л0Л, е):

В соответствии с (8,9.4) и (8.9.7) пределы интегралов в выражении (8.10.17)
будут такими:

ЛМ

5 «= тг, гЕ------------—	гл — —-—;

Е ’	2	2

5Г,	1 /	М«/

г г — г , =----—-----=----I г л — ——-

в1 Ек т т т \	2

ГВХ *-	—	9	•

(8.10.18)

В результате интегрирования найдем соответствующее соотношение для

в переменных г а, За. Используя их зависимость от хЛ1 гЛ, найдем потенциал
скоростей как функцию этих координат. Вычисление производной

И подстановка ее в формулу р = — 2 (д’? у у /дхдХ’Усс дает следующее выражение
для коэффициента давления в рассматриваемой области:

РУ1 =

± 4а

ла' У^1 — л2

а'(п-1)иА-1/2)
где

Для точки А, расположенной в области ГЯ (рис. 8.10.1, ж),

— а г* р

"М"	5,+5,+5. (ГА-ГУ^Л-З)

яМ„

М„1	1 I М„1 \

^ = Гл--—, о.“—----------

г	М„1

П1Г г $\г7’ -—	, Гур—Уд	_

т	2

(8 ЛО. 19)

(8 ЛО.20)

(8.10.21)

Потенциалу (8.10.20), вычисленному по значениям пределов интегрирования
(8,1021), соответствует коэффициент давления

*4-Т а'*А
хл 4- а *

а'(1 2-?д)(п+ 1)

х/ 4- а'гл - (1/2) а' (л 4-1)

+ а'гл) - (Ц2)аг (л 4-1)

хд —атхд
4-а'гд _

(8.10.22)

Наконец, рассмотрим область V/// (рис. 8 10.1, з), для точек которой уча-
сток интегрирования пересекается одновременно с областью й( и с областью Йд;
в этих областях сказываются возмущения, возникающие от обтекания обеих
концевых кромок ВЕ и ОН. Чтобы вычислить потенциал скоростей в рассмат-
риваемой точке ,4, принадлежащей области И/Я, достаточно распространить
интегрирование в формуле (8.10.3) по области 5—51+52, заштрихованной на
рис. 8.10.1, з, причем интеграл, вычисленный по области 52 в формуле (8.10.3)
следует взять с обратным знаком, т. е. со знаком плюс. В соответствии с этим





Огйз

ЧУИ! =

яЛ1

51

лМ

5.

(8.10.23) 

Здесь

5

ОгОз

А

* Ог

®Д

Г Оз

(8.10.24)



«1

ЗгОз

&т&&

5,

<гА-г)(аА — ь}

ОгОз

ОгОз

(Сд - О См ~ *)

л

а



йг

Оз

Оз

(8.10.25)

о

‘1.,

‘к,

Пределы интегралов имеют следующие значения:

' ~ гн. = 5Д “ ^„//2,	--- тг, з , = зг> - гА - М„//2;

тз - = тзГ1 -^т(гА- Мм//2),	~

г‘{т

(8.10.26)

при условии, что

ГА - Мл//2, гЯ1» зА - Мв//2.

(8.10.260

С учетом этих значений пределов вычисляются интегралы (8.10.24) и (8.10.25),
а затем находятся потенциал скоростей (8.10.23). Этому потенциалу соответст-
вует коэффициент давления

Ру II! —

(хд —аггл)	—

<<Л —

ХА +О'*д

а'(/_/2-гл)(л + 1)

(8.10.27)

Рассмотренный метод расчета распределения давления можно отнести не
только к шестиугольным крыльям с приставкой (см. рис. 8.9.1), ио и к другим
формам, а именно к крылу с вырезом и пятиугольной пластине (см. рис. 8.9.2)
при условии, что боковые кромки дозвуковые, а передние и задние — сверх-
362
звуковые. Соответствующее изменение вблизи боковой кромки величины Др/а=
= (рн — Рй)/а как функции расстояния от передней кромки (в процентах хор-
ды). вычисленной для крыла в форме пятиугольника при Мв = ],61, показано
на рис. 8 10.2. В области между вере дней кромкой и конусами Маха, выходящи-
ми из вершины и концов крыла, на участке, ограниченном боковой и задней
кромками, а также отраженной от боковой кромки волной Маха, коэффициент
Др/а является величиной постоянной. Излом кривой, характеризующей измене-
ние коэффициента перепада давления, происходит на линиях Маха и является
следствием излома очертания кромки крыта.

По найденному распределению давления можно найти при помощи формул
(8 9.27), (8.9 28) коэффициенты подъемной силы, момента, а также центра дав-
ления. На рис. 8.9.4 показаны кривые, характеризующие изменение значений су



Рис. 8.102. Распределение ве-
личины Др/а=(рн — рЕ)/а
вблизи боковой кромки пяти-
угольного крыла со сверхзву-
ковыми передними кромками
(сечение А А)

3?-(х/6)Ю0

н сц д дли пятиугольного крыла Эти значения следует определять при условии,
что ХкрУ/	т е в случае, если передняя кромка сверх-

звуковая, Если крыло имеет дозвуковые передние кромки (см. рис. 89.1), то на
обтекание участка поверхности между кромками и линиями Маха, выходящими
из точек Е и /7, будет оказывать влияние вихревая пелена. Расчет этого обте-
кания связан с решением интегрального уравнения (8 2.16) и использованием
граничных условий (8.1.15). (8.1.16). Такое решение подробно рассмотрено проф.
Краснлыциковой в работе (8).

| 8.11. СОПРОТИВЛЕНИЕ КРЫЛЬЕВ
С ДОЗВУКОВЫМИ ПЕРЕДНИМИ КРОМКАМИ

Рассмотрим расчет сопротивления стреловидных крыльев с до-
звуковыми передними кромками, обтекаемых сверхзвуко-
вым потоком под углом атаки. Как известно из предыдущего, по
своим свойствам возмущенный поток около таких крыльев в не-
прав лении нормали к передней кромке является дозвуковым. Такое
обтекание сопровождается перетеканием газа из области по-
вышенного давления в область, где оно меньше (с нижней стороны
на верхнюю или обратно) и является причиной соответствующего
силового воздействия на крыло. Для определения этого воздействия
можно воспользоваться результатами исследования возмущенного
движения несжимаемой жидкости около профиля в виде плоской
пластинки, расположенной в потоке под углом атаки (см. § 6.3).
Коэффициент лобового сопротивления тонкого крыла с дозвуко-
выми передними кромками, обтекаемого сверхзвуковым потоком)]
определяется по формуле

^ = 0^ Сгг*	(8.11.1^

в которой схт — коэффициент подсасывающей силы крыла, завися-
щий от угла стреловидности передней кромки и и числа Мж:



(8.11.2)

Рис. 8,11.1. Подсасывающая сида
треугольного крыла с дозвуковыми
передними кромками

где Т — подсасывающая сила;

=рдаРЛ»/2 — скоростной напор;
5кр —площадь крыла в плане.

Для определения силы Т
можно использовать зависимости,
полученные в § 7.6 для стрело-
видного крыла бесконечного
размаха. Это следует из того, что
в соответствии с (7.6.18) и
(7.6.19) подсасывающая сила оп-
ределяется изменением осевой
составляющей скорости в м а ло й
окрестности передней
кромки рассматриваемо-
го профиля (сечения), а
также местным углом
стреловидности п не зави-
сит от поведения этой скорости
вдали от передней кромки.

Используя (7.6.18), можно написать

2лр„ К1 + 1е2 х - мЦ сЦг,
О

(8.11.3)

где коэффициент с определяется из (7.6.19).

Определим в качестве примера лобовое сопротивление треуголь-
ного крыла. С этой целью воспользуемся выражением (8.8.42) для
возмущенной скорости. Приняв в нем значение с1§я—г/хп.к, на-
пишем

аКх. (-?Лун.к)9-

Е (*) V1 - (*„.кМ)2

где Хп.к — расстояние до передней кромки; г, х —координаты точки
крыла (рис. 8.11.1). Внося значение и2 в (7.6.19) и учитывая, что
11ГП (хДтт.к) — 1, получим

 °2 ,.	2,2 (х Аьк)-- и — Аь’<)

11 т ------------------------------

(^) _ т-*'хи,к С* & “Ь -^п-к)
&

*п.к 2 Е (А)

2
г х.

Подставляя это выражение в (7.6.18) и интегрируя, найдем

2 1/1 + ^х_М2„ Г ^2=

2 I Е (А)	3

лр№с^ *

2^-У ц-^х-м2»-

с (к) 3 4

Коэффициент подсасывающей силы согласно (8.11.2)

а с1е х 1?

-----— 1 л
Е(А) ]

К1 + *8г*-М~-

18.11.4)

Принимая во внимание выражение (8.8.45) для сУ/ определим

схг={с^4п) V 1+1егх-М^.

(8.11.4')

Согласно этой формуле, коэффициент подсасывающей силы про-
порционален с/, т. е. с^т—стс/. Коэффициент 'пропорциональности,
равный для треугольного крыла с т = (1 /4л) 1 +	,

при переходе к другой форме изменяется и будет зависеть, вообще
говоря, не только от х и Мю, но также от сужения т]кр и удлинения
1нр. Однако исследования показывают, что влияние этих дополни-
тельных параметров невелико и расчет подсасывающей силы для
крыла произвольной формы можно вести прн помощи (8.11.4').

При сверхзвуковой передней кромке (М«созх>1), а также в
случае, когда передняя кромка становится звуковой (<8Х=::С^Н« =
= ]/~МОО 1 коэффициент подсасывающей силы равен Н}Лю. В
случае дозвуковой кромки (М«со5и<1) величина схт=/=0, однако,
как показывают экспериментальные исследования, ее действитель-
ная величина меньше расчетной. Это особенно заметно при больших
углах атаки или стреловидности, при которых я окрестности перед-
ней кромки происходит местный срыв потока и дальнейший рост
разрежения не наблюдается. Уменьшение подсасывающей силы
можно учесть поправочным множителем Дт, в соответствии с кото-
рым

схт’=^8.11.5)

Экспериментальные данные об изменении величины Дт приведе-
ны на графике рис. 8.11.2. Согласно этим данным, подсасывающая
сила при дозвуковых скоростях с увеличением угла атаки снижается
меньше, чем при сверхзвуковом обтекания, так как при таких ско-
ростях менее заметен срыв потока с передней кромки и больше
разрежение, Согласно опытным исследованиям, при дозвуковых ско-

665
ростях поправочный множитель в (8.11.5) определяется по форму-
ле (13]

д г кр) — 1 /(лХкр).	(8.11.6)

На крыльях с заостренной передней кромкой подсасывающая
сила не возникает, т. е. коэффициент (\г-0. Рассмотрим полное со-
противление крыла, которое в соответствии с (8.11.1), (8.11.5) и

Рис. 8.112, Изменение коэффициента Дг в фор-
муле (8,11.5) для расчета подсасывающей силы

(8.8.45) представим в виде

с г=—схТ=——— \%Е (6)—дг	1 — с|&2 ж (М« — 1)1.

4лс1&*

Принимая во внимание, что удлинение крыла

(8.11.7)
напишем

сл=-^- [2Г(А)-дгК1-с18а*(М1-1)].	(8.11.8)

лЛкр

Рассмотрим случай звуковой скорости обтекания Если М«-И,
то Е(6)->1 и, следовательно, коэффициент сопротивления

(8-11-9)

Выражение (8.11.9) совпадаете формулой (6.4.16) для коэффи-
циента индуктивного вихревого сопротивления крыла конечного
размаха (прн условии, что 6=0). Таким образом, физическая
природа силы сопротивления, возникающей при
обтекании треугольного крыла с дозвуковыми
передними кромками, обусловлена индукцией
вихрей, образующихся за этим крылом. В соответ-
ствии с этим величина, определяемая (8.11.8), называется коэф-
фициентом индуктивного сопротивления.

Если передняя кромка звуковая (1^х=умж2—1), то второй член
в квадратных скобках (8.11.8) равен нулю, а Е(Л) ~Е(0) =л/2;
следовательно, коэффициент индуктивного сопротивления

(8.11.10)

Для очень тонкого крыла (х->л/2) можно принять с+^х^0 и
Е{к) а;Е(1) = 1. В этом случае выражение (8.11.8) совпадает с
(8.11.9).

Формулу (8.11.8) можно отнести наряду с треугольными также
к крыльям в виде четырех-, пяти- и шестиугольных пластин с дозву-
ковыми передними, сверхзвуковыми задними и боковыми кромками
(см. рис. 8.8.4). В частности, для четырехугольных крыльев коэф-
фициент су в (8.11.8) находится из (8.8.51).

% 8.11. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРЫЛА
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ В ПЛАНЕ

Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла конечного размаха пря-
моугольной формы в плане под малым углом атаки характеризует-
ся влиянием на возмущенное течение вблизи поверхности перед-
ней сверхзвуковой и боковых дозвуковых кро-
м о к. При этом одновременное влияние передней и одной боковой
кромок имеет место в пределах конусов Маха с вершинами в углах
крыла О и О' (рис. 8.12.1, а), если образующие этих конусов пере-
секаются вне крыла. Если же пересечение этих образующих проис-
ходит на поверхности крыла (рис. 8.12.1, б), то наряду с областями
// и II', где сказывается влияние одной боковой кромки, возникает
зона ///, в которой на возмущенное течение .воздействуют одновре-
менно обе боковые кромки.

На крыле в области /, расположенной между передней кромкой
и конусами Маха, возмущенное течение обусловлено влиянием
только передней кромки. Здесь коэффициент давления определяется
по формуле для плоской пластинки

р,= + 2а/	1.	(8.12.1)

Для расчета возмущенного течения в области // (см. рис.
8.12,1, а) воспользуемся методом источников. Скорость в точке Л,
расположенной в этой области, индуцируется источниками, распре-
деленными на участке крыла АСОЕ. При этом суммарное действие
на точку Л источников В СО и ОБО равно нулю и, следовательно,
интегрирование в (8.10.3) необходимо вести по области АББЕ. В
соответствии с этим потенциал скоростей в точке А

, (*(* ______________________________
Рис. 8 12 1. Прямоугольное крыло в линеаризованном сверхзвуковом потоке

.уокЬ1а.$рЬ.гп - Самолёт своими руками?!
—

ОО

яМ„

(13



А

(8.12.2)

Точка Р находится на передней кромке, уравнение которой х=0.
Поэтому в соответствии с (8.9.4) для этой кромки

г= ~(М„/2)г, а=(М«/2) г.	(8.12.3)

Следовательно, уравнение передней кромки в координатах г, 5 бу-
дет

г=-$.	(8.12-4)

Поэтому для точки Р координата	г= —5.

Точка В расположена на боковой кромке, уравнение которой
2=0. Поэтому в соответствии с (8.9.4) для этой кромки

г^(Мсо/2п,)хт $=(М«/2а/)х*

(8.12.5)

Следовательно, уравнение боковой кромки в координатах г, з будет

(8.12.6)

Для точки В координата -Гв=гЛ-

Производя интегрирование в (8.12.2) с учетом значений преде-
лов Ге— —5 И Зв —г А, найдем

,	— 2аЕ(

т"

--------

'•а + 0'.

Внося в (8.12.7) значения гА и $А из (8.9.4'), получим

л

(8.12.7')

Находим коэффициент давления, применяя формулу
Р= — (2/1/ ж) дуп/дхА:
^=-^-агс1к1/-^__.

ла V хА — ^гА

(8.12.8)

На границе двух областей / и Пг разделяемых линией Маха, коэф-
фициент давления, определяемый по (8.12.8), должен быть равен
значению (8.12.1). Действительно, так как уравнение этой границы

то из (8.12.8) находим
Из (8.12.Й) следует, что у концов крыла давление в точках, рас-
полагающихся вдоль линий, уравнение которых г/№сопз1, будет
постоянно. Эти линии можно рассматривать как образующие
конических поверхностей и, следовательно, считать течение в ука-
занной области крыла коническим.

Вычислим аэродинамические коэффициенты крыла. Подъемная
сила, действующая на элемент площади концевого участка крыла,

4Г=(д,-Л)(рв>1/^'2)45.

(8.12.9)

Из рис. 8.12.1, а видно, что элементарная площадь

№

45=—

2

4у,

(8.12.10)

где у — угол, измеряемый от боковой кромки.

Внося в (8.12.9) значения рн и —ръ из (8.12.8), величину (18 из
(8.12.10) и производя замену 2а/ха=1% у, будем иметь



4а&
ла'

--------

2	у 1 — а' Гд у сов2 у

Разделив это выражение на произведение площади крыла, заклю-
ченной внутри конуса Маха, $л=&2/2а' и скоростного напора 7^=*
=р«У«2/2 и осуществляя интегрирование, получим коэффициент
подъемной силы концов крыла

^У

сов2 у

Интегрируя по частям, найдем

с;=2а/а' = 2а/Км*-1.	(8.12.11)

Найдем коэффициент подъемной силы концевых участков кры-
ла, отнесенный к полной площади крыла

Су п—с у	~	= с у -  — Су	>	(8.12.11 )

Окр	*кр^*

где ХКр=//6.

Коэффициент подъемной силы участка крыла 7, отнесенный к
площади 5/ этого участка,

<4= 4а,а'=4а / К М2„ -1.	(8.12.12)

Коэффициент подъемной силы этого участка, отнесенный к полной
поверхности крыла,

Ср/ — су — —— Су	-	Су (1	-	— |. (8.12.1 □)

“^кр	Лкр	X Лкр® /
Суммарный коэффициент подъемной силы

С,=е,„+ Се 48 - (1------------------‘ : - А • (8.12.14)

V «&-1 \	21кРУм2„-1 )

Коэффициент волнового сопротивления

(8.12.15)

По известным данным о
распределении давления н о
коэффициентах подъемной си-
лы отдельных участков крыла
можно вычислить коэффици-
ент момента относительно
оси г:

(8.12.16)

Момент Л/2 от сил давле-
ния, распределенных по по-
верхности крыла, можно найти
как сумму моментов подъем-
ных сил относительно оси г,
действующих на различных
участках крыла (рис. 8Л2.2).
Учитывая, что на треугольных
участках крыла точка прило-
жения подъемной силы

стка, напишем для момента

Рнс. 8,12.2. К определению аэродинами-
ческого момента прямоугольного крыла

совпадает с центром тяжести площади уча

- Мг =^- 2Г р > -I- 4- У?' + ~ 2Ун.	(8.12.17)

О	А	О

где	и Ун—значения подъемной силы, вычисленные для

площадей участков соответственно СРВ (ЯГЕ), ЕР СВ и
АйВ (СНЕ}. Согласно (8.12.11) и (8.12.12),

Л^5„св=-^_. Л^15кР-45„);

Аг

,,	* Р ОО^ОО л	2(1 Р 00^00 О

Г//=^ ; —о—

Аг	(1	Л

(8.12.18)
Внося (8.12.17) и (8.12.18) в (8.12,16) и принимая во внимание зна-
чение 5п=5«р/(2лкра/), получим

(8.12.19)

Коэффициент центра давления

(8.12.20)

Если число М« потока, обтекающего крыло, изображенное на
рис. 8.12.1, а, уменьшается, то при некотором значении этого числа
концевые конусы Маха пересекаются внутри крыла. При этом воз-
никает область III (см. рис. 8.12.1, б), в которой на возмущенное
течение влияют передняя сверхзвуковая и обе боковые дозвуковые
кромки. Характер течения в областях / и II (1Г) будет таким, как
в соответствующих зонах I н II (/Г) крыла, схема которого пока-
зана на рис. 8.12.1, а.

Рассмотрим течение в точке А области III (см. рис. 8.12.1, б).
Область влияния источников на это течение совпадает с участком
крыла АВйй'В'. Этот участок можно представить как сумму пло-
щадей НВВВ* и АН&'В\ С учетом этого и в соответствии с (8.10.3)
потенциал скоростей в точке А



Я



Р Г _______________

ля о-в-У ('л - О («л -

Непосредственно из рис. 8.12.1, б можно определить пределы
интегрирования и написать:

Первые два интеграла вычисляются по аналогии с (8.12.7); два дру*
гих интеграла определяются независимо друг от друга, так как об-
ласть интегрирования представляет собой параллечограмм (см.
рис, 8.12.1, б). С учетом этого

2а V
г	-- м

ъ,’~ " «и;

-	+«) (®4 - «) - («Л Т ГЛ.’ 8ГС1И

*Л~ *

ГА 4-»

372
+К(5д — 5 л) (гл — Гд')I =-—-1 — ]Л(гл + ^л) ($д ~ 5я)+

I пМоо I

+ У2гЛ («Д - ГЛ) - (5д + <д)

5 А — 5н

Г А т 5Я

— ЗГС^

1/ Ч-^)+2^-®«)(г*-Гв')|- (8-12-21>
Г	/	1

На рис. 8.12.1, б видно, что координата а в соответствии
с (8.12.4) значение —Г/у. Поэтому 5^^—г/>~ — гв^

Точка В' расположена на правой боковой кромке, уравнение ко-
торой 2= Г Из (8.9.4") можно найти уравнение этой кромки в ко-
ординатах г, 5:

г^5--Мда/.	(8.12.22}

Отсюда для точки В'

Гд^5^-М«/=5ЛН-Ми.	(8.12.23)

В соответствии с этим координата

= - г в* = - 5Л+АМ-	(8.12.24)

Подставляя в (8.12.21) координаты гА и $а из (8.9.4'), а г& и
8н из (8.12.23) и (8.12.24), найдем

Ъп-------35 I у [(^д а'?А) ~ а^1	*а) И-

Применяя формулу р =— (2/Гв)дф';п/дХд, находим коэффици-
ент давления:

Рш

± 4а
ла'

агс|д1/	----агс1 ^А + а^-аЧ

(8.12.26)

Представим второй член в квадратных скобках в виде

2

л
Следовательно,

Рщ=-^ агс^]/"—а гА	±

ла'	г лгд —а-2Л

^-агс1«1/ ^~^п1	+ *

ла' г (лл +а'2Л) — аЧ а'

(8.12.27)

Первый и второй члены в этом выражении представляют собой со-
ответственно коэффициенты давления р п и рп, для концевых уча-
стков крыла, а третий член — коэффициент давления рг в области /,
где не сказывается влияние боковых кромок.

Обтекание прямоугольного крыла носит еще более сложный ха-

р актер, если крыло имеет малое удлинение и величина

М« —1 <1. В этом случае (см. рис. 8.12.1, в) возникают новые

Рис. 8.12.3. Кривые, характеризующие из-
менение производной от коэффициента
подъемной силы {а) и коэффициента цент-
ра давления (б) прямоугольного крыла
(удлинение

волновые области, образо-
ванные в результате пересе-
чения падающих и отражен-
ных от боковых кромок воли
возмущения. Например, воз-
мущения, идущие от участ-
ка ОН левой боковой кром-
ки, достигают на участке
О'Н' правой кромки, а че-
рез нее распространяются
вдоль линий Маха О'О"—
Н'Н1* в противоположном
направлении. В результате
возникнут новые волновые
зоны IV, V, в которых суще-
ственным образом изменит-
ся характер обтекания. Рас-
чет этого обтекания можно
осуществить, используя из-
ложенный ранее метод ис-
точников и принимая во вни-
мание указанный сложный
характер образования зон
возмущения.

По известному распреде-
лению давления при помо-
щи формул (8.9.27), (8.9.28)
подсчитываются коэффици-
енты подъемной силы, мо-

мента, а -из выражений сц д—
= — и сх=асу—коэффициенты центра давления и сопротив-
ления рассматриваемого крыла. По данным такого расчета на
рис. 8.12.3 построены кривые, характеризующие изменение коэф-
фициентов подъемной силы и центра давления прямоугольного

крыла с различным удлинением.
$ 8.11. МЕТОД ОБРАТИМОСТИ

Рассмотрим один из методов аэродинамических исследований — метод
обратимости потоков, устанавливающий соотношения между аэродина-
мическими характеристиками тонких крыльев одинаковой формы в плане, обте-
каемых в противоположных направлениях.

Предположим, что одно из таких крыльев обтекается в прямом направ-
лении под углом атаки сц, а другое — в обратном направлении под углом
атаки а2 (рис. 8.13.1). Согласно теории линеаризованного обтекания избыточное

Рис. 8)3.1. Схема к определению метода обрати-
мости;

/ — прямой поток, 3 — обращенный поток; 3 — совмещенный
поток

давление в какой-либо точке поверхности р — р<х>^ —р«а перепад давле-
нии на нижней и верхней сторонах

Ьр = Рн — рл « Р«У™ (нв — ав) =	.	(8.13.1 >

Элементарная величина силы лобового сопротивления от давления

В соответствии с этим выражением полная сила для крыла /, обтекаемого в пря-
мом направлении,

Х1 =х у ,	(8.13.2>

а для крыла 2, обтекаемого в обратном направлении,

Х^~	(8.13.3>

Величины избыточного давления Лрь Др2 и местных углов атаки а[г <х2 измере-
ны в одной и той же точке.

В дальнейшем не будем учитывать подсасывающую силу, которая может
развиваться на передней дозвуковой кромке, что не изменяет результатов вы-
вода. Так как потоки около крыльев слабовозмущенные, то наложением их
друг на друга можно получить некоторое новое течение с параметрами, удовлет-
воряющими линеаризованному уравнению для потенциала скоростей. Наложение
осуществим таким образом, чтобы скорости набегающих потоков вычитались.
Тогда очертание нового крыла 3 (рис. 8.13.1) будет совпадать с очертанием за
данных крыльев / и 2, но изогнутость его поверхности будет иной.

Эта изогнутость определяется местным углом атаки аз, равным сумме углов
атаки.

«з =	«1.^« = а1 + ай.	(8.13.4>

В соответствии с (8.134) вертикальные составляющие скорости V в соответст-
вующих точках поверхностей складываются. Горизонтальные составляющие ско-
рости при наложении будут вычитаться, поэтому для совмещенного крыла 3
получим

Д«з= Ли! — Да2.

375
Отсюда перепад давлений на нижней н верхней сторонах этого крыла
дРз	= РвУ» (ЛА “

или согласно (8.13.1)

Л/>з = ДА — Ара-

Лобовое сопротивление крыла 3

Х3 = У (ДА " Д/’а) (°1 + «а) 48 -

(8.13,5)

(8.13,6)

Возникновение лобового сопротивления у обтекаемого крыла связано с по-
явлением за ним возмущенного течения, представляющего собой бесконечно
длинную вихревую пелену, сбегающую с задней кромки. Из физических сообра-
жений должно быть ясно, что между возмущенным состоянием потока за крылом
и силой лобового сопротивления имеется строгое соответствие. В таком соответ-
ствии находятся, в частности, сила X] и возмущенное состояние за крылом /, а
также сила Х% и возмущенное состояние за крылом 2.

Если рассмотреть крыло 3, то поток около него, полученный в результате
наложения друг на друга течений около крыла / я крыла 2, будет обладать тем
свойством, что впереди него возмущения будут такими, как для крыла 2. а по-
зади — как для крыла /. Таким образом, сила лобового сопротивления совме-
щенного крыла 3 равна разности сопротивлений крыльев / и 2. т. е.

А'з — Х1 — Х<± = у у (Д/эд — А/^ад) 43.

(8.13.7)

Приравнивая правые части (8.13.6) и (8.13.7), получим

У^ -

(8.13.8)

=

Эта зависимость представляет собой основное соотношение метода
обратимости потоков.

Переходя в (8.138) к коэффициентам давления, напишем это соотношение
в виде

У У Ар^^ = у У	(8.13.8')

5	5

где коэффициенты перепада давлений:

ДА — Ан — Др2 = Р2к — Р2в -

Пользуясь правом произвольного выбора углов атаки, примем значения аг
и а2 постоянными для всех точек поверхности крыльев и одинаковыми дли них,
т. е. будем считать а: = а^—а. Тогда из (8.13.8') найдем, что

У Д.Р145 ~ у^ или = Г2.

Таким образом, метод обратимости потоков позволил установить, что подъ-
емная сила плоской пластинки при прямом (У[) и обратном (Уд) ее обтекании
будет одинаковой, если углы атаки и скорости набегающего потока одни
и те же.

Исследования показывают, что основное соотношение (8.13 8) метода обра-
тимости может быть использовано для исследования аэродинамических характе-
ристик не только изолированных крыльев, но и летательных аппаратов, которые
представляют собой «тонкие» комбинации крыла с другими конструктивными эле-
ментами, такими, как корпус (тело вращения), оперение и органы управления.
ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ.
ПРИМЕНЯЕМЫХ В АЭРОДИНАМИКЕ, ИЗ СИСТЕМЫ МКГСС
В МЕЖДУНАРОДНУЮ СИСТЕМУ (СИ), ГОСТ 9867—61

Н<ни<новэние н обозначение	Система МКГСС	Международная системе (СИ>

Основные единицы

Длина [Д, 1, Ь, </]  Масса [т]  Сила [Л X, У, К, Л']  Время |7]  Температура термодина- мическая	(абсолютная)  [Г]	Метр (л)  Килограмм (кГ) Секунда (сак)  Градус (по шкале Кельвина, К)	Метр (ж) Килограмм (кг)  Секунда (сек)  Градус (по шкале Кельвина, К)
	1 кГ=9,81 н (ньютон) Производные единицы	
Скорость [К а]  Ускорение (»]  Ускорение силы тяжести  М  Плотность (масса единицы объема) [р]  Удельный объем (объем единицы массы) [г=И/р]  Удельный вес (вес едини - цы объема) [у]  Весовой секундный рас- ход [6сем]  Давление [р]  Динамический коэффици- ент вязкости [ц]  Кинематический коэффи- циент вязкости  Работа, энергия  Мощность [Л/]  Количество теплоты [<?]  Удельная теплоемкость  [Ср, ср]  Энтропия (удельная) [5]  Энтальпия (удельная) [П  Удельный тепловой по- ток (поверхностная плот- ность теплового потока) {<?]  Коэффициент теплоотда- чи [а]	1 м/сек  1 л</се№  9,81 м/сек*  1 кГ -сек*/м*  1 м*/(кГ -сек2)  1 кГ/лё  1 кГ/сек  1 кГ/см2  1 кГ - сек/м*  1 я?/сек  1 кГ-м  1 кГ -м/сек  ] ккал  1 ккал/(кГ-град)  1 ккал) (кГ -град)  1 ккал/кГ  1 ккал/ (м2 -сек)  1 ккал/(м2-сек-град)	1 м/сек  1 м/сек*  9,81 м/сек*  9,81 кг/м*  0,102 м3/кг  9,81 я/*5  9,81 н/сек 9,81-104 н/м*  9,81 н-сек/м?  1 м2/сек  9,81 дж  9,81 вт  4,19-Ю3 дж  4,19-103 дж/(кг-град)  4,19* 103 дж/(кг-град)  4,19-103 дж/кг  4,19-103 вт/м2  4,19-103 вт/(м*-град)
Продолжение таблицы

Наименование и обозначение	Система МКГСС	Меж тун яро дядя система (СИ)
Коэффициент теплопро- водность [X]	1 ккал/(м-сек-град)	4,19- 10э ет/(м-град)
Коэффициент лучеиспус- кания абсолютно черного тела (постоянная Стефа- на — Больцмана) [о]	1,36-10-11 ккал/(м2Х	5,67-10-а от/ (м2 - град*)
Постоянная Больцмана  Р1	Хсек-град*}  14,1-10"25 кГ-м/град	1,38-10_дж-град
Газовая постоянная [Я?!	I кГ -м/(кГ-град)	9,81 дж/(кг град)
Универсальная газовая постоянная [Л?о]	1,99 ккал/(градХ	8,3! -103 дж/(градх
	Хкмоло) =847,82 кГХ хм/ (град- кмоль)	Хкмоль)
ЛИТЕРАТУРА

‘/(Олржакиков Н С., Мальцев В. Н. Аэродинамика. Оборон-
гиз, 1956.

2	Аржаников Н. С, Садекова Г. С. Аэродинамика больших ско-
ростей. «Высшая школа», 1965.

3	. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуко-
вом потоке газа. «Наука», 1965.

**4. Гинзбург Н. П. Аэродинамика. «Высшая школа», 1966.

5.	И р о в Ю. Д. [и др.]. Газодинамические функции. «Машиностроение»,
1965.

6.	К и б а р д и н Ю. А. [и др.]. Атлас газодинамических функций при боль-
ших скоростях и высоких температурах воздушного потока. Госэнергоиз-
дзт, 1961.

7	Кочин Н. Е. [и др.]. Теоретическая гидромеханика. Ч. I, Л. Фнзмат-
гиэ, 1963-

8.	Красилыцикова Е. А. Крыло конечного размаха в сжимаемом
потоке. Гостехиздат, 1962.

9.	Краснов Н, Ф. [и др.]. Аэродинамика ракет. «Высшая школа», 1968.

ПО. Краснов Н. Ф. [и др.]. Прикладная аэродинамика. «Высшая шко-
ла», 1974.

11.	Кузнецов С. И. Диаграммы н таблицы течения диссоциирующего
воздуха около клина, конуса и выпуклой поверхности. Обороигиз, 1962.

12.	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. Гос-
техиздат, 1966.

М3. Лебедев А. А, Чернобровкин Л. С. Динамика полета. «Ма-
шиностроение», 1973.

^14. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. «Наука», 1970.

1Д Мартынов А. К. Экспериментальная аэродинамика. Обороигиз, 1951.

♦Ну Мхитарян А. М. Аэродинамика. «Машиностроение», 1970.

О сто с л а в скн й И. В., Стражева И. В. Динамика полета. Тра-
ектории летательных аппаратов. Обороигиз, 1963.

18,	Предводителей А С. [н др.]. Термодинамические функции воздуха
для температур от 1000 до 12000 К и давлений от 0,001 до 1000 атм (графики
функций). Изд-во АН СССР, 1960.

19.	Предводителей А. С. [и др.]. Таблицы термодинамических функ-
ций воздуха (для температур от 6000 до 12 000 К и давлений от 0,001 до
1000 сеги). Изд во АН СССР, 1957.

20.	Рахматулин X. А. ]н др.]. Газовая динамика. «Высшая шко-
ла», 1965.

21.	Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. «Нау-
ка», 1965.

22.	Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. «Наука», 1970.

23	Фабрикант И. Я- Аэродинамика. «Наука», 1964

24.	Христианович С А Обтекание тел газом при больших скоростях.
Труды ЦАГИ, № 481. 1940.

25.	Чаплыгин С. А. О газовых струях. Изд. ГТТИ. 1949.

26.	Общая теория аэродинамики больших скоростей. Под ред. проф Панич-
кина И А. Вое и из дат, 1962.

27.	Исследование гиперзвуковых течений. «Мир», 1964.

28.	Курант Р., Фридрихе К Сверхзвуковое течение и ударные вол-
ны. ИЛ, 1950.

29	Лнппман Г., Рошко А. Элементы газовой динамики. ИЛ, 1960.

30.	Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. Гостехиздат, 1953.

31.	Хейз У. Д, Пробстин Р. Ф. Теория гяперзвуковых течений.
ИЛ, 1962.

32.	Хилтон У. Ф. Аэродинамика больших скоростей. ИЛ., 1955.

379
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие........................................................... 3

Введение.............................................................. 5

Глава I. Основные сведения	нз аэродинамики..........................16

§	1.1.	Силовое воздействие среды на движущееся тело..........16

Поверхностная сила......................................16

Свойство давлений в идеальной жидкости..................17

Влияние вязкости на движение жидкости...................19

§	1.2.	Результирующее силовое воздействие....................28

§ 1.3.	Определение аэродинамических сил и моментов по извест-
ному распределению давления и касательного напряжения.
Понятие об аэродинамических коэффициентах...............32

§	1.4.	Статическое равновесие и статическая устойчивость	...	42

Понятие о равновесии и устойчивости.................42

Продольная статическая устойчивость.................43

Боковая статическая устойчивость....................47

§	1.5.	Основные особенности течения газа с большими	скоростя-
ми 	48

Сжимаемость газа....................................48

Разогрев газа ......................................... 49

Состояние воздуха при высоких температурах..........54

§	1.6.	Основные зависимости для двухатомного диссоциирующе-
го газа.....................................................59

Степень диссоциации.....................................59

Уравнение состояния................................	. 60

Термодинамические соотношения...........................62

Динамический коэффициент вязкости.......................63

Смесь двухатомных газов.................................64

Глава II. Кинематика жидкой среды.....................................67

§ 2.1.	Методы кинематического исследования жидкости.......67

Метод Лагранжа..........................................67

Метод Эйлера............................................68

Линни тока и траектории частиц..........................69

§ 2.2.	Анализ движения жидкой частицы........................70

§ 2.3.	Безвихревое движение жидкости.........................74

§ 2.4.	Уравнение неразрывности...............................76

Общий вид уравнения неразрывности.......................76

Декартова система координат.............................76

Криволинейная система координат.........................77

Уравнение неразрывности движения газа вдоль криволи-
нейной поверхности......................................81

Уравнение расхода ..................................... 83

§ 2.5.	Функция тока..........................................84

§ 2.6.	Вихревые линии........................................85

§ 2.7.	Циркуляция скорости...................................86

Понятие о циркуляции скорости...........................86

Теорема Стокса..........................................87

Скорости, индуцируемые вихрями..........................89
§ 2.8.	Комплексный потенциал...............................91

§ 2.9.	Характерные виды потоков жидкости...................91

Плоскопараллельный поток ............................ 92

Плоский точечный источник и сток.....................92

Пространственный источник и сток.....................94

Диполь.................................................94

Циркуляционный поток (вихрь).........................97

Глава III. Основы динамики жидкости и газа...........................99

§ 3.1. Уравнения движения вязкой жидкости....................99

Декартовы координаты...................................99

Векторная форма уравнений движения....................106

Криволинейные координаты..............................107

$ 3.2. Уравнения энергии я диффузии газа....................115

Уравнение диффузии....................................115

Уравнение энергии.....................................117

§ 3.3.	Система уравнений газодинамики. Начальные и граничные
условия....................................................122

§ 3.4.	Интегралы уравнений движения идеальной жидкости . .127

§ 3.5.	Аэродинамическое подобие.............................132

Понятие о подобии.....................................132

Критерии подобия, учитывающие влияние вязкости и теп-
лопроводности ........................................134

$ 3.6.	Изэнтропические течения газа.........................142

Форма струи газа....................................  142

Скорость течения......................................143

Давление, плотность и температура.....................146

Истечение газа из резервуара..........................147

Движение несжимаемого газа (жидкости).................150

Глава IV. Теория скачков уплотнения................,................151

§4.1. Физическая природа возникновения скачков уплотнения . . 151

\	§ 4.2. Общие уравнения для скачка уплотнения.................154

Косой скачок уплотнения..............................155

Прямой скачок уплотнения.............................160

§ 4.3.	Косой скачок уплотнения в потоке газа с постоянными теп*
лоемкостямн...............................................161

Система уравнений....................................161

Формулы для расчета параметров газа за скачком уплот-
нения .............................................  162

Угол наклона косого скачка уплотнения................167

§ 4.4.	Годограф скорости...................................170

§ 4.5.	Прямой скачок уплотнения в потоке газа с постоянными

теплоемкостями.......................................175

§ 4.6.	Скачок уплотнения прн очень больших сверхзвуковых ско-
ростях н постоянных теплоемкостях газа....................177

'	- § 4.7. Решение задачи о скачке уплотнения в потоке газа с пере*

меннымн теплоемкостями с учетом диссоциации и иони-
зации ...............................................179

§ 4.8.	Ударнзя волна в чистом диссоциирующем двухатомном
газе......................................................183

§ 4.9.	Релаксационные явления..............................184

Понятие о неравновесных течениях.....................185

Уравнение для скорости химических реакций............186

Время релаксации.....................................188

Равновесные процессы.................................189

Эффекты релаксации в ударных волнах..................190

Глава V. Метод характеристик........................................193

§ 5.1.	Уравнения для потенциала скоростей и функции тока . , 193

§ 5.2.	Задача Коши.........................................198

381
§ 5.3.	Характеристики . '....................................202

Условия совместности...................................202

Существование характеристик............................203

Свойство ортогональности характеристик.................206

Преобразование уравнении для характеристик а плоскости
годографа скорости.....................................207

Уравнения для характеристик в плоскости годографа для
частных случаев движении газа..........................212

§ 5.4.	Схема решения газодинамических задач по методу хэрак-
теристик....................................................215

§ 5.5.	Применение метода характеристик к решению задачи о
профилировании сопл сверхзвуковых аэродинамических
труб........................................................223

Глава VI. Профиль и крыло конечного размаха в потоке несжимаемой

жидкости..............................................227

§6.1.	Тонкий профиль в несжимаемом потоке................227

§ 6.2	Поперечное обтекание тонкой пластинки...............234

§ 6.3.	Тонкая пластинка под углом атаки...................236

§ 6.4.	Крыло конечного размаха в потоке несжимаемой жидкости 243

Глава VII. Профиль в потоке сжимаемого газа.........................252

§ 7.1.	Дозвуковое обтекание тонкого профиля................252

Линеаризация уравнения для потенциала скоростей . . . 252
Зависимость между параметрами обтекания тонкого про-
филя сжимаемым газом и потоком несжимаемой жидкости 254

§ 7,2,	Метод акад. С. А. Христиановича.....................257

Содержание метода.....................................257

Пересчет коэффициента давления несжимаемой жидкости
на число М„>>0........................................259

Пересчет коэффициента давления с одного числа Мв1>0
на Другое М«2>0.......................................260

Определение критического числа М .....................260

Аэродинамические коэффициенты.........................261

§ 7.3.	Обтекание профиля крыла потоком со сверхкритической
скоростью (М„>М„нр).........................................261

§ 7.4.	Тонкая пластинка в сверхзвуковом потоке газа с постоян-
ными теплоемкостями.........................................264

§ 7.5.	Сверхзвуковой поток около профиля произвольной формы 271
Применение метода характеристик.............................271

Гиперзвуковое обтекание тонкого профиля...............276

Тонкий профиль в маловозмущенном потоке...............277

Аэродинамические силы и их коэффициенты ..............278

§ 7.6.	Скользящее (стреловидное) крыло бесконечного размаха 283

Глава VIII. Крыло в сверхзвуковом потоке............................291

§ 8.1.	Линеаризованная теория сверхзвукового обтекания крыла
конечного размаха...........................................291

Линеаризация уравнения для потенциальной	функции . . . 291

Граничные условия.....................................293

Составляющие суммарных значений потенциала скоростей
и аэродинамических коэффициентов......................295

Особенности сверхзвукового обтекания крыльев..........297

§ 8	2. Метод источников........................-.........299

§ 8.3.	Крыло с симметричным профилем треугольной формы в
плане (а=0т с*=0)...........................................303

Консоль крыла с дозвуковой передней кромкой...........303

Треугольное крыло, симметричное относительно осн х, с
дозвуковыми передними кромками........................30^
Бесконечное полукрыло со сверхзвуковой кромкой .... 309
Треугольное крыло, симметричное относительно осн x^ со
сверхзвуковыми передними кромками....................313

§ 8.4.	Обтекание четырехугольного крыла с симметричным про-
филем н дозвуковыми кромками прн нулевом угле атаки . 314

§ 8.5.	Обтекание четырехугольного крыла с симметричным профи-
лем и кромками различного вида (дозвуковыми и сверхзву*
новыми)....................................................325

Передняя и средняя кромки дозвуковые, задняя — сверх-
звуковая ............................................325

Передняя кромка дозвуковая, средняя и задняя — сверх-
звуковые ............................................326

Все кромки крыла свевхзвуковые.......................327

Общее соотношение для расчета сопротивления..........331

§ 8.6.	Область применения метода источников.................332

§ 8.7.	Метод диполей........................................334

§ 8.8.	Обтекание треугольного крыла с дозвуковыми передними

кромками........................-	...................336

§ 8.9.	Шестиугольное крыло с дозвуковыми передними и сверх-
звуковыми задними кромками.............................	. . 347

$ 8.10. Шестиугольное крыло со сверхзвуковыми передними и
задними кромками .................................... 352

§ 8.11.	Сопротивление крыльев с дозвуковыми передними кром-
ками ................................................ ,	. . 363

§ 8.12.	Аэродинамические характеристики крыла прямоугольной
формы в плане..............................................367

§ 8.13.	Метод обратимости...................................375

Таблица перевода единиц измерения, применяемых в аэро-
динамике, из системы МКГСС в Международную систему
(СИ), ГОСТ 9867—61....................................377

Литература............................................379
Николай Федорович Краснов

АЭРОДИНАМИКА. Ч. !

ОСНОВЫ ТЕОРИИ.
АЭРОДИНАМИКА ПРОФИЛЯ И КРЫЛА

И. Б. № 674

Редактор В. А. Титова

Художник В. 3. Казакевич

Художественный редактор Я. К. Гуторов
Технический редактор А. К. Нестерова
Корректор Г, И Кострикова

Г—18983	Сдано в набор 5/7 76 г.	Поди, к печати 21/Х—76 :

Формат 60Х90'/,в	Бум тип М 2. Объем 24 печ. л (Уел п л 24) Уч.-изд. л. 24.Э

Изд. № СтД—272	Тираж 7000 энз. Цена I р. 09 к БЗ-23-12 от 26/Ш 76 ‘

Москва. К-&1. Неглннная ул., д. 29/14. Издательство «Высшая школа»_

Московская типография № 8 Союз поли графпр ома
прн Государственном комитете Солета Министров СССР
по делам издательств, пели графин н книжной торговли,
Хохловский пер.. 7. Зак 707.
угигиг.токЬ-1а.8рЬ.гп - Самолёт своими руками?!