Аэродинамика. Том 1. Основы теории. Аэродинамика профиля и крыла - Краснов Н.Ф.

Автор: Краснов Н.Ф.
Теги: аэродинамика теория полёта физика летательные аппараты
Год: 1976
Похожие
Аэрогазодинамика органов управления полетом летательных аппаратов
Аэродинамика отрывных течений. Учебное пособие для втузов
Основы аэродинамики реактивных самолетов
Нелинейная теория крыла и её приложения
Текст
                    tt Ф. НРАСНОВ
АЭРОДИНАМИКА
ОСНОВЫ ТЕОРИИ.
АЭРОДИНАМИКА ПРОФИЛЯ
И КРЫЛА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ]
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов высших
технических учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1976

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава I. Основные сведения из аэродинамики 16
§ 1.1. Силовое воздействие среды на движущееся тело 16
Свойство давлений в идеальной жидкости 17
Влияние вязкости на движение жидкости 19
§ 1.2. Результирующее силовое воздействие 28
§ 1.3. Определение аэродинамических сил и моментов по извест-
ному распределению давления и касательного напряжения.
Понятие об аэродинамических коэффициентах 32
§ 1.4. Статическое равновесие и статическая устойчивость ... 42
Понятие о равновесии и устойчивости 42
Продольная статичесхая устойчивость 43
Боковая статическая устойчивость 47
§ 1.5. Основные особенности течения газа с большими скоростя-
ми 48
Сжимаемость газа 48
Разогрев газа 49
Состояние воздуха при высоких температурах 54
§ 1.6. Основные зависимости для двухатомного диссоциирующе-
Степень диссоциации '.'.'.'.'.'.'. \ .'. \ '. \ '. \ '.'. '. 59
Термодннам^еские'^оотнощелия ' 62
Динамический коэффициент вязкости '.'. ^ '.'.'.'.'.'.'.'. 63
Глава II. Кинематика жидкой среды 67
§ 2.1. Методы кинематического исследования жидкости 67
Метод Лаграижа 67
Метод Эйлера 68
Линии тока и траектории частиц 69
§ 2.2. Анализ движения жидкой частицы 70
§ 2.3. Безвихревое движение жидкости 74
§ 2.4. Уравнение неразрывности 76
Общий вид уравнения неразрывности 75
Декартова система координат 76
Криволинейная система координат 77
Уравнение неразрывности движения газа вдоль криволи-
нейной поверхности 81
Уравнение расхода 83
§ 2.5. Функция тока 84
§ 2.6. Вихревые линии 85
§ 2.7. Циркуляция скорости 86
?Г"ро™ 15
Скорости, индуцируемые вихрями
380

§ 2.8. Комплексный потенциал 91
§ 2.9. Характерные виды потоков жидкости 91
Плоскопараллельный поток 92
Плоский точечный источник и сток 92
Пространственный источник и сток 94
Циркуляционный поток (вихрь) 97
а III. Основы динамики жидкости и газа 99
§ 3.1. Уравнения движения вязкой жидкости 99
Декартовы координаты 99
Векторная форма уравнений движения 106
Криволинейные координаты 107
§ 3.2. Уравнения энергии и диффузии газа 115
Уравнение диффузии 115
Уравнение энергии 117
§ 3'3' условия3 *Равненн\мзодишшит_ Начальные и граничные ^
§ 3.4. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости . . 127
§ 3.5. Аэродинамическое подобие 132
Понятие о подобии 132
Критерии подобия, учитывающие влияние вязкости и теп-
§ 3.6. Изэнтропические течения газа'.'. '.'.'..'. 142
Форма струи газа 142
Скорость течения 143
Давление, плотность и температура 146
Истечение газа из резервуара 147
Движение несжимаемого газа (жидкости) 150
а IV. Теория скачков уплотнения > 151
§ 4.1. Физическая природа возникновения скачков уплотнения ¦ . 151
§ 4.2. Общие уравнения для скачка уплотнения 154
Косой скачок уплотнения 155
Прямой скачок уплотнения 160
$ 4.3. Косой скачок уплотнения в потоке газа с постоянными теп-
снстем^уравнений'.'..'!!! .'!!.'!!!!!!!!! ! ш
Формулы для расчета параметров газа за скачком уплот-
Угол наклона"косого скачка'уплотнения'.'. '..'..'.. '. 167
§ 4.4. Годограф скорости 170
§ 4.5. Прямой скачок уплотнения в потоке газа с постоянными
§ 4.6. Скачок уплотнения при очень больших сверхзвуковых ско-
¦ § 4.7. Решение задачи о скачке уплотнения в потоке газа с пере-
менными теплоемкостями с учетом диссоциации и иони-
зации 179
§ 4.8. Ударнзя волна в чистом диссоциирующем двухатомном
газе 183
§ 4.9. Релаксационные явления 184
Понятие о неравновесных течениях 185
Уравнение для скорости химических реакций 186
Время релаксации 188
Равновесные процессы 189
Эффекты релаксации в ударных волнах 190
i a V. Метод характеристик 193
§ 5.1. Уравнения для потенциала скоростей и функции тока . . 193
§ 5.2. Задача Коши 198

§ 5.3. Характеристики . ;
Существование хар
Свойство ортогонал
Преобразование у р.
годографа скорости
теристик 215
§ 5.5. Применение метода характеристик к решению задачи о
профилировании сопл сверхзвуковых аэродинамических
труб 223
а VI. Профиль и крыло конечного размаха в потоке несжимаемой
жидкости 227
§ 6.1. Тонкий профиль в несжимаемом потоке 227
§ 6.2 Поперечное обтекание тонкой пластинки 234
| 6.3. Тонкая пластинка под углом атаки 236
§ 6.4. Крыло конечного размаха в потоке несжимаемой жидкости 243
Глава VII. Профиль в потоке сжимаемого газа 252
§ 7.1. Дозвуковое обтекание тонкого профили 252
Линеаризация уравнения для потенциала скоростей . . .252
Зм ежду параметрами обтекан
а и поком нес
§ 7.2. Метод акад. С. А. Христиановичэ 257
Содержание метода 257
Пересчет коэффициента давления несжимаемой жидкости
на число М„>0 259
Пересчет коэффициента давления с одного числа М«,|>0
на другое М„2>0 260
Определение критического числа М 260
Аэродинамические коэффициенты 261
§ 7.3. Обтекание профиля крыла потоком со сверх критической
скоростью (M=.>M=OHp) 261
§ 7.4. Тонкая пластинка в сверхзвуковом потоке газа с постоян-
ными теплоем костям и 264
§ 7.5. Сверхзвуковой поток около профиля произвольной формы 271
Применение метода характеристик 271
Гиперзвуковое обтекание тонкого профиля 276
Тонкий профиль в маловозмущенном потоке 277
Аэродинамические силы и их коэффициенты 278-
§ 7.6. Скользящее (стреловидное) крыло бесконечного размаха 583
1 VIII. Крыло в сверхзвуковом потоке 291
§ 8.1. Линеаризованная теория сверхзвукового обтекания крыла
конечного размаха 291
Линеаризация уравнения для потенциальной функции . . . 291
Граничные условия 293
Составляющие суммарных значений потенциала скоростей ^
Особенности сверхзвукового обтекания крыльев 297
§ 8 2. Метод источников -^99
§ 83 Крьпо с симметричным профилем треугольной формы в
плане (а=0, с„=0) 31}3
Консоль крыла с дозвуковой передней кромкой 303
дозвуковыми передними кромками 30&

Бесконечное полукрыло со сверхзвуковой кромкой .... 309
Треугольное крыло, симметричное относительно осн х, со
сверхзвуковыми передними кромками 313
§ 8.4. Обтекание четырехугольного крыла с симметричным про-
филем н дозвуковыми кромками при нулевом угле атаки . 314
Передняя и средняя кромки дозвуковые, задняя — сверх-
Передняя кромкэ дозвуковая, средняя и задняя — сверх-
звуковые 326
Все кромки крыла свевхзвуковые 327
Общее соотношение для расчета сопротивления 331
§ 8.6. Область применения метода источников 332
§ 8.7. Метод диполей 334
§ 8.8. Обтекание треугольного крыла с дозвуковыми передними
кромками 336
§ 8.9. Шестиугольное крыло с дозвуковыми передними и сверх-
звуковыми задними кромками , . .347
§ 8.10. Шестиугольное крыло со сверхзвуковыми передними и
задними кромками 352
§ 8.11. Сопротивление крыльев с дозвуковыми передними кром-
§ 8.12. Аэродинамические характеристики крыла прямоугольной
формы в плане 367
§ 8.13. Метод обратимости 375
Таблица перевода единиц измерения, применяемых в аэро-
динамике, нз системы МКГСС в Международную систему
(СИ), ГОСТ 9867-61 377
Литература 379

533
K78
УДК 533.6@.75.8)
Краснов Н. Ф.
Аэродинамика. Ч. 1. Основы теории. Аэродина-
мика профиля и крыла. Учебник для втузов. Изд.
2-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1976.
:) Издательство «Вьй

ПРЕДИСЛОВИЕ
Аэродинамика является теоретической основой авиационной,
ракетно-космической и артиллерийской техник», фундаментом
аэродинамического расчета современных летательных аппаратов.
Важнейшие выводы аэродинамики используются при исследовании
пнешнего обтекания различных тел или движения воздуха (газа)
внутри каких-либо сооружений. Поэтому без прочных знаний аэро-
динамики невозможно стать хорошим инженером в области авиа-
ции, артиллерии, ракетостроения, автомобильного транспорта,
двигателей внутреннего сгорания и др., т. с. специалистом тех от-
раслей техники, где в том ил» ином виде можно встретиться с яв-
лениями течения воздуха или газа.
В настоящем учебнике наряду с общими законами движения
газовой среды рассматривается применение аэродинамики глав-
ным образом в ракетной технике и современной высокоскоростной
авиации. При этом второе издание учебника включает две части,
в первой из которых излагаются преимущественно основные поня-
тия и определения аэродинамики и теория обтекания профиля и
крыла (гл. I-^Vili), а во второй приводятся сведения об аэроди-
намическом расчете летательных аппаратов и их отдельных эле-
ментов (гл.1Х-ьХУ). Такое разделение книги соответствует после-
довательности изложения курса аэродинамики в течение учебного
года (двух семестров). Причем первая часть учебника может быть
использована самостоятельно теми, кто заинтересуется отдельны-
ми проблемами теоретической аэродинамики.
При изучении любого курса, в том числе и аэродинамики, глав-
ным является глубокое усвоение его важнейших теоретических
основ, без чего невозможны творческое решение практических за-
дач, научные поиски и открытия. Поэтому особое внимание долж-
но быть уделено ознакомлению с материалами первых пяти глав
книги, в которых излагаются: основные понятия и определения
аэродинамики; кинематика жидкой среды; основы динамики жид-
кости и газа; теория скачков уплотнения; метод характеристик,
наиболее широко используемый при исследовании сверхзвуковых
течений. К числу фундаментальных следует отнести материалы,
относящиеся к обтеканию профилен крыльев (гл. VI, VII), кото-
рые дают достаточно полное представление об обшей теории двп-
жения газа в двухмерном пространстве (теория так называемых
двухмерных движений). Непосредственно с этими материалами
связана научная информация о сверхзвуковом обтекании крыла,
завершающая первую часть книги (гл. VIII). Результаты нсследо-

вания такого обтекания составляют основу аэродинамического рас-
чета большинства современных летательных аппаратов.
Особое место в книге занимает освещение важнейших теорети-
ческих и прикладных вопросов аэродинамики больших скоростей.
Применительно к этим вопросам рассматриваются термодинами-
ческие и кинетические параметры диссоциирующего газа, уравне-
ния движения и энергии, а также теория скачков и уплотнения с
учетом влияния физико-химических свойств газа при высоких
температурах.
Естественно, что в учебном курсе нельзя охватить всего много-
образия проблем, которыми занимается аэродинамическая наука.
В нем представлена научная информация, усвоение которой необ-
ходимо специалисту, занимающемуся научно-инженерной деятель-
ностью в области авиационной и ракетно-космической техники. Со-
держание и объём этой информации будут достаточны при усло-
вии ее глубокого усвоения, для того чтобы самостоятельно
разобраться в других проблемах аэродинамики, с которыми могут
сталкиваться молодые специалисты в практической деятельности.
Среди зтпх проблем, не нашедших отражения в книге, назовем, в
частности, магннтоаэродинамичеекпе исследования, приложение
метода характеристик к трехмерным газовым течениям, аэродина-
мическую теорию крыла с изменяющейся стреловидностью, акспе-
риментальную аэродинамику.
Автор будет весьма удовлетворен, если ознакомление с матери-
алами книги послужит толчком к самостоятельному, более глубо-
кому изучению современной аэродинамики. Кинга написана па
основе опыта преподавания к>рса «Аэродинамика» в Московском
высшем техническом училище им. Н. Э. Баумана в соответствии с
учебной программой и предназначена для "студентов вузов н фа-
культетов, специализирующихся в области летательных аппаратов.
Она может быть также полезна работникам соответствующих
научно-исследовательских институтов, конструкторских бюро и
производственных предприятии.
С целью облегчения перевода использованных единиц измере-
ния физических величин в новые, соответствующие принятой Меж-
дународной системе (СИ), в конце первой части книги приведена
специальная переводная таблица.
i Автор выражает глубокую признательность проф. А. М. Мхита-
ряну за полезные замечания и ценные предложения по улучшению
содержания учебника.
Автор с благодарностью примет замечания и советы читателей,
которые позволят в большей степени усовершенствовать учебник.

ВВЕДЕНИЕ
Аэродинамика — сложное слоио, происходящее от греческих
<и]р (воздух) и бигацнт (относящийся к силе, силовой). Этим тер-
мином названа наука, которая, являясь частью механики — науки
о движении тел вообще, изучает законы движения воздуха в зави-
симости от действующих сил и на их основе устанавливает част-
ные законы взаимодействия между воздухом п движущимся в
нем твердым телом.
Толчком к развитию аэродинамики как науки явились практи-
ческие задачи, возникающие перед человеком в связи с полетами
на аппаратах тяжелее воздуха. Эти задачи были связаны с опре-
делением действующих на движущиеся тела сил и моментов (так
называемых аэродинамических сил и моментов). При этом глав-
ным в исследовании силового воздействия было вычисление так
называемой поддерживающей, или подъемной, силы.
В начале своего развития аэродинамика имела дело с весьма
небольшими скоростями движения воздуха, ибо летательные аппа-
раты имели малую скорость полета. Естественно, что теоретиче-
ской основой аэродинамики явилась гидродинамика —наука о
движении капельной (несжимаемой) жидкости. Основы этой науки
были созданы в XVIII в. членами Российской Академии наук
Л. Эйлером A707—1783) и Д. Бернулли A700—1783) В научном
трактате «Общие принцилы движения жидкостей» A755) Л. Эй-
лер впервые вывел основные дифференциальные уравнения движе-
ния так называемых идеальных (невпзких) жидкостей и газов.
Открытие фундаментального закона гидродинамики, устанавлива-
ющего связь между давлением и скоростью а потоке несжимаемой
жидкости, принадлежит Д. Бернулли, который опубликовал этот
закон в 1738 г, в своем труде «Гидродинамика».
При малых скоростях полета влияние па характер движения
воздуха такого ею важного свойства, как сжимаемость, пренебре-
жимо мало. Однако развитие артиллерии — нарезной и реактив-
ной, высокоскоростных самолетов ставило задачу изучения зако-
нов движения воздуха или вообще газа при больших скоростях.
Оказалось, что если рассчитать силы, действующие на движущееся
тело с большими скоростями, на основе законов движения воздуха
с малыми скоростями, то эти силы могут сильно отличаться от
реальных. Объяснение такому явлению пришлось искать в самой
природе движения воздуха (газа) с большими скоростями, заклю-
чающейся в изменении его плотности в зависимости от давления,

которое при таких скоростях может быть весьма значительным.
Б этом изменении и проявляется свойство сжимаемости газа.
Свойство сжимаемости обусловливает изменение внутренней
'Энергии газа, что следует учитывать при расчете параметров, оп-
ределяющих движение среды. Изменение внутренней энергии, свя-
занное с параметрами состояния и производимой работой, которую
может совершать сжимаемый газ при расширении, определяется
первым законом термодинамики. Таким образом, в аэродинамике
сжимаемого газа должны были быть использованы термодинами-
ческие соотношения.
Если газовая среда движется с малой скоростью, то теплосо-
держание -будет велико по сравнению с кинетической энергией. В
этом случае практически можно не учитывать изменения теплосо-
держания при изменении скорости течения, т. е. при изменении
кинетической энергии жидкости. Поэтому в аэродинамике течений
с малыми скоростями (гидродинамике) нет необходимости пользо-
ваться термодинамическими понятиями и соотношениями.
При очень больших скоростях полета, называемых иногда
гиперзвуковыми скоростями, которыми характеризует-
ся движение ракет, а также космических кораблей при входе в
плотные слои атмосферы, омывающий газ претерпевает не только
изменение плотности, но испытывает значительное повышение тем-
пературы, что вызывает в нем различные физико-химические прев-
ращения. Значительная часть кинетической энергии, связанной со
скоростью полета, преобразуется в тепло и химическую энергию.
Все эти особенности движения газовой среды обусловили появ-
ление аэродинамики больших скоростей, или газо-
динамики,— специального раздела аэродинамики, в котором
изучаются законы движения воздуха (газа) при больших дозвуко-
вых и сверхзвуковых скоростях, а также законы взаимодействия
между газовой средой и телом, движущимся в ней с такими ско-
ростями.
Одним из основоположников газодинамики является акад.
С. А. Чаплыгин A869—1942), опубликовавший в 1902 г. выдаю-
щийся научный труд «О газовых струях». В этом труде выведены
уравнения, составляющие теоретическую основу современной газо-
динамики и вощедшие в мировую и отечественную науку как урав-
нения Чаплыгина.
Вместе с развитием теоретической аэродинамики создавалась
экспериментальная аэродинамика, предметом кото-
рой является опытное исследование взаимодействия между телом
и омывающим его газовым потоком при помощи различных техни-
ческих средств — аэродинамических труб и других установок, ими-
тирующих обтекание летательных аппаратов.
Под руководством Н. Е. Жуковского A847-—1921) были постро-
ены первые в России аэродинамические лаборатории (в .Москов-
ском государственном университете, Московском высшем техниче-
ском училище и в Кучине, под -Москвой). При непосредственной
помощи В. И. Ленина и по инициативе Н. Е. Жуковского в 1918 г-

был организован Центральны» аэрогндродинамнческнй институт
(ЦАГИ), ставший ныне одним из крупнейших мировых центров
аэродинамической науки, носящий имя Н. Е. Жуковского.
По мере развития авиационной, артиллерийской и ракетной
техники, совершенствования теоретических основ аэродинамики
«енялся характер аэродинамических установок от первых, срав-
нительно небольших по размерам и малоскоростных аэродинами-
ческих труб, до гигантских по величине высокоскоростных труб
ЦАГИ A940) и современных гиперзвуковых установок, а также
специальных устройств, в которых искусственно создается сверх-
звуковой поток разогретого газа (так называемые трубы с подо-
гревом воздуха, ударные трубы, плазменные установки и др.).
Характер взаимодействия между газовой средой и движущим-
ся в ней телом может ¦быть различным. При небольших скоростях
движения взаимодействие носит в основном силовой характер. По
мере роста скоростей силовое взаимодействие сопровождается на-
гревом поверхности вследствие теплопередачи от газа к телу:
таким образом, возникает тепловое взаимодействие. При
очень больших скоростях аэродинамический нагрев оказывается
настолько сильным, что может привести к разрушению материала
стенки летательного аппарата путем его оплавления или сублима-
ции и, как результат, к уносу разрушенной части материала и из-
менению характера нагрева стенки. Аэродинамический нагрев мо-
жет также привести к химическому взаимодействию
между твердой стенкой и омывающей газообразной средой, в ре-
вультате чего возникает тот же эффект уноса части вещества. Вы-
сокие скорости полета могут оказаться причиной уноса массы и
вследствие механического взаимодействия между га-
зовой средой и движущимся телом, заключающегося в эрозии ма-
териала стенки и повреждении его структуры.
Исследование всех видов взаимодействия между газовой средой
и летательным аппаратом позволяет осуществить аэродинамиче-
ские расчеты, связанные с вычислением количественных критериев
указанного взаимодействия, а именно с определением аэродинами-
ческих сил и моментов, теплопередачи и уноса массы (абляции).
Прн этом в современной постановке указанная задача сводится не
только к определению суммарных аэродинамических величин (сум-
марной подъемной силы или лобового сопротивления, суммарного
теплового потока от разогретого газа к поверхности и др.), но и
к вычислению распределения аэродинамических параметров —
силовых и тепловых — по поверхности обтекаемого летательного
аппарата (давление и напряжение трения, местные тепловые пото-
ки, локальный унос массы).
Решение такой задачи требует более глубокого исследования
движения газа, чем это необходимо для определения суммарного
аэродинамического воздействия. Это исследование состоит в опре-
делении параметров газа, характеризующих движение, в каж-
Т1 Лн тлпиа пАгтг*

Современные методы исследования движения газообразно?
среды опираются на ряд принципов и гипотез, установленных е
аэродинамике. Одной из таких гипотез является гипотеза с
неразрывности, или с п л ош н о с т и, движущейся гаэовоР
среды, в соответствии с которой можно пренебречь межмолекуляр-
ными промежутками и молекулярными движениями и рассматри-
вать непрерывные изменения основных параметров газа в прост-
ранстве и во времени. Эта гипотеза вытекает из условия, заклю-
чающегося в том, что длина свободного пробега молекул и
амплитуда их колебательного движения достаточно малы по срав-
нению с линейными размерами, характеризующими обтекание,
например размахом крыла, диаметром или длиной корпуса и др.
Введенная гипотеза сплошности не должна противоречить по-
нятию о сжимаемости газовой среды, хотя, казалось бы, при отсут-
ствии молекулярных промежутков среда должна быть несжимае-
мой. Реальность сжимаемой сплошной среды вытекает нэ того
положения, что во многих исследованиях можно не учитывать су-
ществования молекулярных промежутков, но в то же время допус-
кать возможность различной степени концентрации (плотности)
в результате изменения величины этих промежутков.
В аэродинамических исследованиях определение взаимодейст-
вия между газовой средой и движущимся в ней телом основыва-
ется на принципе обращенного движения, в соответ-
ствии с которым взаимодействующая система неподвижная
газовая среда (воздух)—движущийся объект
заменяется системой д в и ж ущ а яся газовая среда — не-
подвижный объект. В случае замены одной системы другой
должно быть соблюдено условие, при котором скорость набегающе-
го на неподвижное тело газового потока была бы равна скорости
движения этого тела в неподвижной среде. Указанный принцип:
обращенного движения вытекает из обшего принципа относитель-
ности классической механики, согласно которому силы не зависят
от того, какое из двух взаимодействующих тел (в данном случае
газ или летательный аппарат) покоится и какое находится и пря-
молинейном равномерном движении.
Система дифференциальных уравнений, лежащая в основе ре-
шения задач обтекания, в современной аэродинамике обычно рас-
сматривается отдельно для двух основных видов движения: свобод-.
ного (невязкого) потока и течения в тонком пристеночном слое -
газа-—пограничном слое, где движение рассматривается с учетом
трения. Это разделение потока опирается на гипотезу об от-
сутствии обратного влияния пограничного слоя
на свободны]'i поток. Согласно этой гипотезе параметры не-
вязкого обтекания, т. е. на внешней границе пограничного слоя,
будут такими же, как и на стенке при отсутствии этого слоя. :
Нахождение аэродинамических параметров летательных аппа- !
ратов при их неустановившемся движении, характеризующемся из-
менением кинематических параметров по времени, представляет ;
собой обычно весьма сложную задачу. Для практических целей '
1

используют упрощенные методы решения этой задачи. Такое упро-
щение возможно для тех случаев, когда указанное изменение про-
исходит достаточно медленно. Это характерно для многих лета-
тельных аппаратов. При определении их аэродинамических
характеристик можно исходить из гипотезы стационарно-
сти, в соответствии с которой эти характеристики в неустановив-
шемся движении принимаются такими, как в установившемся, и
определяются кинематическими параметрами этого движения в
данный момент времени.
При проведении аэродинамических экспериментов и расчетов
необходимо принимать во внимание различные обстоятельства, свя-
занные с физическим подобием исследуемых явлений
обтекания. Аэродинамический расчет натурных летательных аппа-
ратов (ракет, самолетов) основан на предварительных обширных
исследованиях (теоретических и экспериментальных) обтекания
моделей. В теории аэродинамического подобия находятся условия,
которые должны соблюдаться в таких исследованиях на моделях,
и устанавливаются характерные и удобные параметры, определя-
ющие основные режимы исследуемых процессов, называемые
параметрами или критериями подобия. Современные
проблемы подобия, а также теория размерностей, широко исполь-
зуемая в аэродинамике, изложены в фундаментальном труде акад.
Л. И. Седова «Методы подобия и размерности в механике».
Аэродинамика является, образно выражаясь, многоотраслевой
наукой. В соответствии с потребностью бурйо развивающейся
авиационной и ракетно-космической техники в аэродинамике оп-
ределились более или менее четко выраженные основные научные
направления и разделы, связанные с аэродинамическими исследо-
ваниями летательных аппаратов в целом н их отдельных конструк-
тивных элементов, а также наиболее характерных видов газовых
течений и процессов, сопровождающих обтекание. Естественно, что
всякая классификация аэродинамики в известной мере будет ус-
ловной, так как все эти направления и разделы или, во всяком
случае, часть из них взаимосвязаны. Тем не менее такая «отрас-
левая» специализация аэродинамической науки представляет прак-
тический интерес.
Рассмотрим некоторые характерные направления и разделы
современной аэродинамики. Можно определить два основных на-
правления, по которым развивается современная аэродинамика.
Первое из этих направлений представляет собой так называемую
силовую аэродинамику, которая занимается решением задач, свя-
занных с силовым воздействием среды, т. с. с нахождением рас-
пределения давления и напряжения трения по поверхности лета-
тельного аппарата, а также с определением результирующих
аэродинамических сил и моментов. Получаемые данные использу-
ются для прочностных расчетов конструкции аппарата в целом и
отдельных элементов, а также для определения его летных харак-
теристик. Второе направление включает проблемы аэротермо-
Динамики и аэродинамического нагрева — науки,

объединяющей аэродинамику, термодинамику и теплопередачу и
исследующей обтекание в связи с тепловым взаимодей-
ствием. В результате этих исследований находятся тепловые
потоки от разогретого газа к стенке н определяется ее температу-
ра. Эти данные необходимы при расчете на прочность и проектиро-
вании охлаждающих устройств летательных аппаратов. Вместе с
тем учет изменения свойств омывающего газа под влиянием высо-
ких температур позволяет уточнить количественные критерии сило-
вого воздействия как внешнего потока, так и пограничного слоя.
Все эти проблемы имеют особо важное значение при очень
больших скоростях полета, при которых тепловые процессы про-
текают весьма интенсивно. Однако решение таких проблем еще
более усложняется, так как связано с необходимостью учитывать
химические процессы, происходящие в газе, а также влияние хи-
мического взаимодействия между газообразной средой и материа-
лом стенки.
Если иметь в виду диапазон скоростей движения летательных
аппаратов от малых дозвуковых до очень больших сверхзвуковых,
то, «ак уже указывалась, можно выделить следующие основные
разделы в науке об исследовании обтекания: аэродинамика несжи-
маемой жидкости, клн гидродинамика (число Маха обтекающего
потока М = 0), и аэродинамика больших скоростей. Последняя в
свою очередь подразделяется на аэродинамику дозвуко-
вых (М<1) и околозвуковых (трансзвуковых, Мй1)
скоростей, а также аэродинамику сверхзвуковых
(М>1) и гиперзвуковых (М3>1) течений. Необходимо под-
черкнуть, что в каждом из этих разделов исследуются процессы
обтекания, которые характеризуются некоторыми специфическими
особенностями, свойственными потокам с указанными числами
Маха. По этой причине исследования таких потоков могут бази-
роваться на различной математической основе.
Аэродинамические исследования основываются, как известно
нз предыдущего, на разделении потока около обтекаемых тел на
два вида движения: свободное (внешнее) невязкое течение и пог-
раничный слой. Каждому виду движения посвящается самостоя-
тельный раздел аэродинамики, а именно свободному течению —
аэродинамика невязкой (идеальной) жидкости,
пограничному слою — аэродинамика пограничного
слоя.
Аэродинамика идеальной среды исследует распре-
деление невязких параметров при обтекании, которые рассматри-
ваются как параметры на внешней границе пограничного слоя и
являются, следовательно, граничными условиями для решений
дифференциальных уравнений этого слоя. К невязким параметрам
относится давление, зная распределение которого можно найти со-
ответствующие суммарные силы и моменты. Аэродинамика идеаль-
ной среды базируется на фундаментальных уравнениях Эйлера.
Аэродинамика пограничного слоя — один из наи-
более широких и развитых разделов науки о движении жидкости

и газа. Решение задач о движении в пограничном слое дает воз-
можность найти распределение касательных напряжений и, следо-
вательно, суммарных аэродинамических сил и моментов от трения,
а также позволяет рассчитать теплопередачу от разогретого омы-
вающего газа к стенке. При этом выводы теории пограничного
слоя могут быть использованы также для корректировки решения
о невязком обтекании, в частности для нахождения поправки к
распределению давления, обусловленной влиянием пограничного
слоя.
Современная теория пограничного слоя базируется на фунда-
ментальных исследованиях Л. Навье. Д. Стокса, О. Рейнольдса,
Л. Прандтля, Т. Кармана. Существенный вклад в развитие теории
пограничного слоя внесли советские ученые. Акад. А. А. Дородни-
цыным создана стройная теория пограничного слоя в сжимаемом
газе. Проф. Л. Г. Лондонским разработан эффективный метод
расчета пограничного слоя на криволинейной поверхности.
В аэродинамических исследованиях при небольших скоростях
полета необязательно учитывать тепловые процессы в погранич-
ном слое из-за их малой интенсивности. Однако при больших ско-
ростях становится уже необходимым учитывать теплопередачу и
влияние на трение высоких температур пограничного слоя. Естест-
венно, что решению подобных задач, особенно в последнее время,
уделяется большое внимание. В Советском Союзе профессора
Л. Е. Калихман, И. А. Кибель, В. И. Иевлев и другие разрабаты-
вают газодинамическую теорию теплопередачи, исследуя вязкое
обтекание различных тел )При высоких температурах пограничного
слоя. Подобные задачи решаются также рядом зарубежных уче-
ных.
При гиперзвуковых скоростях обтекания возникают не только
проблемы аэродинамического нагрева. Тот факт, что при таких
скоростях вследствие высоких температур происходит ионизация
и газ становится электропроводным, вызывает новые проблемы,
связанные с управлением потоком плазмы при помощи магнитного
поля. Соответствующий аэродинамический расчет должен учиты-
вать в формировании процессов взаимодействия движущегося тела
с плазмой наряду с газодинамическими также электромагнит-
ные силы. Эти проблемы изучаются в магнитоаэроднна-
м и к е.
Исследованием движения жидкостей и газов в соответствии с
изложенной выше гипотезой сплошности занимается специальный
раздел аэродинамики — аэродинамика сплошных сред.
Однако необходимо отметить, что эта гипотеза действительна лишь
для условий полета на небольших высотах, т. е. в достаточно плот-
ных слоях атмосферы, где средня* длина свободного пробега мо-
лекул воздуха мала. На больших высотах в условиях сильно раз-
реженной атмосферы эта длина пробега молекул становится весь-
ма значительной и воздух уже нельзя рассматривать как сплош-
ную среду. Поэтому будут недействительны выводы аэродинамики
сплошных сред. "
11

Взаимодействие разреженной среды с движущимся в ней те-
лом изучает особый раздел аэродинамики — а эр од и и а м и к а
разреженной среды. Быстрое развитие этой наукн за по-
следние годы вызвано прогрессом космических исследований при
помощи искусственных спутников Земли и ракетно-космические
летательных аппаратов, а также ракетных систем различных типов
(баллистические, межконтинентальные, глобальные ракеты и др.),
совершающих околоземные полеты на очень больших высотах.
Условия обтекания, а следовательно, я аэродинамические ха-
рактеристики летательных аппаратов будут различными в зависи-
мости от того, ка.к изменяются в фиксированных точках омывае-
мой поверхности параметры газа. Широкий класс задач обтекания,
имеющих практическое значение, может решаться, как уже отме-
чалось, в рамках стационарной аэродинамики, предполагающей,
что в указанных точках параметры не зависят от времени. Однако
при исследовании устойчивости полета становится необходимым
учитывать нестационарный характер обтекания, обусловленный
неравномерностью скорости полета, колебанием или вращением
летательного аппарата, так как в этих условиях характерным
свойством омывающего потока будет локальное изменение его па-
раметров со временем. Исследование такого характера обтекания
относится к нестационарной аэродинамике.
иМы рассмотрели классификацию современной аэродинамики по
видам газовых течений. При этом, очевидно, в границах каждого
указанного раздела аэродинамики исследование обтекания ведут
применительно к различным формам летательных аппаратов или
их составных частей. Наряду с такой .классификацией ифедетавля-
ет интерес рассмотреть разделы современной аэродинамики, для
которых определяющей была бы форма летательного аппарата или
его отдельных конструктивных элементов.
По своей аэродинамической схеме современный летательный
аппарат в обобщенном виде представляет собой комбинацию из
корпуса (фюзеляжа), крыльев, оперения и рулей. При проведении
аэродинамических расчетов таких комбинаций должны быть учте-
ны эффекты аэродинамической интерференции —
аэродинамического взаимодействия между всеми указанными эле-
ментами летательного аппарата. В соответствии с этим, в частно-
сти, суммарные аэродинамические характеристики, такие, «ак
подъемная сила, лобовое сопротивление или момент, могут быть
вычислены в виде суммы аналогичных характеристик изолирован-
ных корпуса, крыльев, оперения и рулей с внесением в нее попра-
вок, обусловленных указанным вз л им о действием.
Таким образом, данная схема аэродинамического расчета пред-
полагает знание аэродинамических характеристик отдельных со-
ставных частей летательного аппарата.
Аэродинамический расчет несущих поверхностей крыльев со-
ставляет предмет специального раздела аэродинамической на-
уки — аэродинамики крыльев. Основоположниками аэро-
динамической теории крыла по праву считаются великие русские
12

ученые-механики Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин. Начало XX
столетия было ознаменовано замечательным открытием Н. Е. Жу-
ковским природы подъемной силы крыла; им была аыведена фор-
мула для расчета этой силы, носящая его имя. Работа Н. Е. Жу-
ковского о присоединенных вихрях, представляющих собой гидро-
динамическую модель крыла, намного опередила его время.
Разработанная Н. Е. Ж\ковским серия профилей крыльев (профи-
лей Жуковского) широко использовалась при проектировании са-
молетов.
'Акад. С. А. Чаплыгин — автор многих выдающихся трудов по
аэродинамике крыльев. В 1910 г. в работе «О давлении плоско-
параллельного лотока на преграждающие тела» С. А. Чаплыгин
заложил основы теории крыла бесконечного размаха. В 1922 г. он
опубликовал научный труд «Теория крыла моноплана», в котором
дает теорию ряда профилей крыла {профилей Чаплыгина), а так-
же разработал теорию устойчивости «рыла моноплана. С. А. Чап-
лыгин является создателем теории крыла конечного размаха.
Большой в-клад в аэродинамику крыла внесли советские уче-
ные акад. А. И. Некрасов A883—1954), разработавший стройную
теорию крыла в нестационарном потоке, а также чл.-корр.
АН СССР В. В. Голубев A884—1954), исследовавший различные
виды механизации крыла, методы управления пограничным слоем,
обтекание крыльев малого удлинения.
Акад. С. А. Христианович в труде «Обтекание тел газом при
больших дозвуковых скоростях» разработал оригинальный и весь-
ма эффективный метод, позволяющий учитывать влияние сжимае-
мости на обтекание профилей произвольной формы.
Проблемой учета влияния сжимаемости на обтекание крыльев
занимались зарубежные ученые профессора Л. Прандтль (Герма-
ния) и Г. Глауерт (Англия), создавшие приближенную теорию
тонкого крыла, обтекаемого дозвуковым потоком под малым углом
атаки. Полученные ими результаты можно рассматривать как
частные случаи общей теории обтекания, разработанной С. А. Хри-
стиановичеы.
В трудах профессоров Е. А. Красилыциковой и С. В. Фалько-
вича разработана теория обтекания тонких крыльев различной
формы в плане сверхзвуковым потоком.
Результаты аэродинамических исследований крыльев примени-
мы к расчету аэродинамических характеристик олерения, а также
некоторых рулевых устройств, имеющих форму, подобную крыль-
ям. При этом специфические особенности обтекания отдельных ви-
дов аэродинамических рулей, наличие других типов органов уп-
равления привели к появлению особого раздела современной аэро-
динамики — аэродинамики органов управления.
Современные летательные аппараты ракетного типа во многих
случаях имеют форму тел вращения или близкую к ним. Комби-
нированные ракетные системы типа «корпус — крыло—оперение»
имеют корпус (тело вращения) как основной компонент аэродина-
мической схемы. По этой причине в последние годы интенсивное
13

развитие получила аэродинамика корпусов (тел вра-
щения), ставшая одной из важнейших составных частей совре-
менной аэродинамической науки.
Большой вклад в развитие аэродинамики тел вращения внесли
советские \ченые профессора Ф. И. Франкль и Е. И, Карпович,
опубликовавшие интересный научный труд «Газодинамика тонких
тел». Группой научных сотрудников Математического института
Академии наук СССР (К- И. Бабенко, Г. П. Воскресенский и др.)
разработан метод пространственного сверхзвукового обтекания
заостренных тел в общем случае, когда учитываются химические
реакции в омывающем потоке. Зарубежным аэродинамикам
Д. Тейлору (Англия) и 3. Копалу (США) принадлежит решение
важной задачи о сверхзвуковом обтекании заостренного конуса.
Интенсивное развитие современной математики и вычислитель-
ной техники и совершенствование на этой основе методов аэроди-
намических исследований позволяют все успешнее решать многие
трудные задачи аэродинамики, среди которых и задачи, связан-
ные с определением эффекта аэродинамической интерференции и
вычислением соответствующих поправок к суммарным аэродина-
мическим характеристикам летательного аппарата. Решение подоб-
ных задач составляет предмет специального раздела аэродинами-
ческой науки — интерференционной аэродинамики,
получившей большое развитие в последние годы.
При небольших сверхзвуковых скоростях полета аэродинамиче-
ский нагрев сравнительно невелик и не может повлечь за собой
разрушение конструкции летательного аппарата. Основная задача,
которая в данном случае решается, связана с подбором средств
охлаждения, поддерживающих нужную температуру стенки. Более
сложные проблемы возникают при очень больших скоростях поле-
та, когда движущееся тело обладает огромным запасом кинетиче-
ской энергии. Например, если летательный аппарат обладает кос-
мической скоростью, то достаточно превращения в тепло лишь
25ч-30% этой энергии, чтобы полностью испарился весь материал
конструкции. Основная проблема, которая возникает, в частности,
при организации безопасного спуска летательного аппарата в плот-
ных слоях атмосферы, заключается в рассеивании этой энергии, с
тем чтобы минимальная часть ее была поглощена в виде тепла те-
лом. Оказалось, что таким свойством обладают тела с затупленной
передней частью поверхности. Это и обусловило развитие аэроди-
намических исследований затупленных тел.
Важный вклад в изучение проблем аэродинамики затуп-
ленных тел внесли советские ученые акад, А. А. Дородницын,
чл.-корр. АН СССР Г. Г. Черный, проф. О. М. Белоцерковский
и др. Аналогичные исследования проводились М. Лайтхиллом
(Англия), П. Гарабедяном (США) и другими зарубежными уче-
ными, ^
Затупление передней части поверхности надо в известном смыс-
ле рассматривать как средство тепловой защиты летательного ап-
ларата. При этом сам затупленный носок испытывает наиболее нн-

тенсивное тепловое воздействие и поэтому в еще большей мере,
чем периферийная часть аппарата, нуждается в тепловой защите.
Наиболее эффективная защита связана с применением различных
покрытий, материал которых при соответствующих температурах
постепенно разрушается и уносится. При этом поглощается значи-
тельная часть энергии, подводимой разогретым воздухом к лета-
тельному аппарату. Разработка теории и практических методов
расчета уноса массы (абляции) относится к современному разде-
лу аэродинамической науки — аэродинамики аблиру to-
rn их поверхностей.
Широкий круг задач аэродинамики связан с определением вза-
имодействия среды с летательным аппаратом, имеющим в общем
случае произвольно заданную форму. Формы поверхностей лета-
тельных аппаратов могут также выбираться в специальных
целях, обеспечивающих тот или иной аэродинамический эффект.
Форма затупленных тел обеспечивает минимальную теплопередачу
ко всему телу. Следовательно, затупленную поверхность можно
считать оптимальной с точки зрения теплообмена. При проектиро-
вании летательных аппаратов возникает задача выбора формы с
наименьшим силовым воздействием. Одна из таких задач связана,
в частности, с определением формы образующей головной части
летательного аппарата, обеспечивающей наименьшее лобовое со-
противление при заданной скорости полета. Подобного рода зада-
чи рассматриваются в разделе аэродинамики, носящем название
аэродинамики оптимальных форм.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЭРОДИНАМИКИ
§ 1.1. СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ СРЕДЫ НА ДВИЖУЩЕЕСЯ ТЕЛО
Поверхностная сила
Рассмотрим силовое воздействие сплошной газообразной среды,
обладающей свойством вязкости, на движущееся тело. Такое сило-
вое воздействие сводится к непрерывно распределенным по поверх-
ности тела силам Рп от нормального напряжения, а также силам от
Рис. 1.1.1. Силы, действующие на элеме|
движущегося тела
касательного напряжения Р, (рис. 1.1.1). На рассматриваемый эле-
мент поверхности dS действует результирующая _сила, называемая
поверхностной силой. Вектор этой силы Р определяется по
правилу сложения двух векторов: Р=Рп + Р,. При этом сила Рп
включает наряду с силой от давления, не зависящей от вязкости,
также добавочную составляющую, обусловленную трением {гипоте-
за Максвелла).
В идеальной жидкости, в которой предполагается, что силы вяз-
кости отсутствуют, силовое воздействие на площадку сводится
только к силам от нормального напряжения (давления). Это и по-
нятно, так как в случае отклонения вектора силы от нормали к

площадке появилась бы проекция силы на эту площадку, т. е. су-
ществовало бы касательное напряжение, которое, однако, отсутст-
вует в идеальной жидкости.
В соответствии с принципом обращенного движения эффект си-
лового воздействия будет таким же, если (рассмотреть движение,
при котором тело неподвижно, а на него набегает равномерный по-
ток со скоростью на бесконечном удалении от тела, равной скоро-
сти его движения. Эту скорость будем называть в дальнейшем
скоростью на бесконечности или скоростью на-
бегающего (невозмущенного) потока и обозначать
в отличие от V (вектор скорости полета тела) вектором—F».
Очевидно, что F = —F™.
Набегающий поток характеризуется невозмущенными парамет-
рами — давлением р^, плотностью р™, температурой 7"^,, отличаю-
щимися от соответствующих параметров р, р, Т возмущенного пото-
ка, образующегося при обтекании тела (рис. 1.1.2). физические
свойства газа (воздуха) характеризуются также кинетическими па-
раметрами: динамическим коэффициентом вязкости ц и коэффици-
ентом теплопроводности К (соответствующие невозмущенные пара-
метры будут ц™ и ?^=), а также термодинамическими параметрами:
удельными теплоемкостями при постоянном давлении СР(СР 1 и
постоянном объеме cv (с„ ) и их отношением (показателем адиа-
баты) k = cp/cv [kcc = cpjcvj.
Свойство давлений в идеальной жидкости
Рассмотрим свойство давлений в идеальной жидкости. С этой
целью запишем для элементарной частицы жидкости, имеющей
форму тетраэдра МаМ{М2Мл с размерами ребер Ах, Ау, Аг (рис.
¦ 1-1.3), уравнения движения, приравняв произведение массы этого
элемента на его ускорение сумме действующих сил. Эти уравнения
запишем в проекциях на оси координат. При этом ограничимся со-
17

ставленнем уравнения движения тетраэдра в проекции на ось :
в элементарном объеме AW; dVJdt — проекция ускорения дви-
ния частицы на ось х.
Силы, действующие на частицу, определяются следующим обра-
. Как уже установили, в числе этих сил — так называемая по-
хностная сила. В данном случае она определяется действием
ления на грани рассматриваемой частицы и ее проекция на
жения частицы на ось х.
С
зом.
верхностная сила, п данном случае ина определяется деи(_1впем
давления на грани рассматриваемой частицы и ее проекция на
ось х равна p^AS,.— pn&Sncos(nx).
Другой силой, действующей на выделенный жидкий объем, яв-
ляется объемная (или, иначе,
массовая) сила, пропорцио-
нальная массе частицы в этом
обьеме. К объемным силам отно-
сятся гравитационные силы и, в
частности, сила тяжести. Приме-
ром этих сил является также мас-
совая сила электромагнитного
происхождения, так называемая
поидеромоторная сила,
возникающая в газе, если он яв-
ляется электрическим проводни-
ком (ионизирован) и находится в
электромагнитном поле. Здесь не
будем рассматривать движение
виде тетраэдра газа ПОД действием таких сил (см.
специальный курс магнитогаэоди-
намики).
В рассматриваемом случае проекцию массовой силы на ось х
представим в виде XqvpAW, обозначив через X проекцию объемной
силы, отнесенной к единице массы. С учетом этих значений для про-
екций поверхностной и объемной сил получим уравнение движения
PipAl^ ¦^L^^Pc9AWJrpx\Sx~pnASn cos(njc),
где ASX и ASn — соответственно величины площадок М(,М2МЛ и
MiM2M3\ cos {nx) —косинус угла между нормалью п к площадке
Л^уМэМз и осью х; рх и ра — давления, действующие соответственно
на грани М0М2М3 и М]М2М3.
Разделив полученное уравнение на ASX и имея в виду, что ASX =
= ASn cos (nx), перейдем к пределу при Ах, Ау, Аг, стремящихся
к нулю. Тогда члены, содержащие AW/ASX, будут также стремиться
к нулю, так как AW является малой величиной третьего порядка, а
ASX — величиной второго порядка малости по сравнению с линей-
ными размерами элемента. В результате рх—р„ = 0 и, следователь-
но, рх=рп.
Ряс. 1.1.3 Норм;
ния, дейстнующт
ментарной части

Рассматривая уравнения движения в проекциях на оси у и г,
найдем, что ру — рп и pi=p»-
Так как элементарная площадка с нормалью и ориентирована
произвольно, то из полученных результатов можно сделать следу-
ющий вывод. Давление в любой точке потока идеальной жидкости
одинаково на всех площадках, проходящих через эту точку, т. е.
оно не зависит от ориентировки этих площадок. Следовательно,
давление можно рассматривать как скалярную величину, завися-
щую только от координат точки и времени.
Влияние вязкости на движение жидкости
Ламинарное и турбулентное движение. Наблюдения показыва-
ют, что для вязкой жидкости характерны два вида движения. Пер-
вый из них — ламинарное, или слоистое, движение, отлича-
ющееся упорядоченным расположением струек, не смешивающихся
друг с другом. В ламинарном потоке поренос количества движения,
тепла и вещества происходит за счет молекулярных процессов тре-
ния, теплопроводности и диффузии. Такое движение возникает и
сохраняется устойчивым обычно при небольших скоростях движе-
ния жидкости.
Если гари заданных условиях обтекания поверхности величина
скорости .потока превышает критическое ее значение, то ламинар-
ное .дииж&ние перестает быть устойчивым и переходит в новый вид
движения, для которого характерны поперечное перемешивание
жидкости и, как следствие, исчезновение упорядоченного, слоистого,
течения. Такое течение называется турбулентным. На моле-
кулярное хаотическое движение, которое было характерным для
ламинарного течения, в турбулентном потоке (Накладывается пере-
мешивание макроскопических частиц, обладающих компонентами
скорости, перпендикулярны ми направлению продольного движе-
ния. В этом состоит основное отличие турбулентного движения от
ламинарного. Другое отличие заключается в том, что если ламинар-
ное движение может быть как установившимся, так и неустановив-
шимся, то турбулентный поток по своей сущности имеет неустано-
вившийся характер, при котором скорость и другие параметры в
данной точке зависят от времени. Для частиц жидкости, так же как
и для молекул по представлениям кинетической теории газов, ха-
рактерно случайное (беспорядочное, хаотическое) движение.
При исследовании турбулентного течения удобно иметь дело не
с мгновенной (фактической) скоростью, а с'ее осредненным
(среднестатистическим) значением за некоторый промежуток вре-
мени (t2). Например, составляющая осредненной скорости по оси
сбудет Vx = (\'t2) f Vxdt, где Vx — составляющая фактиче-
ской скорости в данной точке, которая является фикцией времени
*¦ Аналогично записываются составляющие \'у л Vz по осям у и г.
пользуясь понятием осредненной скорости, можно представить

фактическую скорость в виде суммы Vx = Vj-\-Vx< в кото-
рой Vx — переменная дополнительная составляющая, называемая
пульсационной скоростью (или пульсацией). Пульсаии-
онные составляющие скорости по осям у и z обозначаются соответ-
ственно Vy и Vz-
Записать или измерить пульсационную скорость можно, поме-
стив в нужную точку потока измерительный прибор с малой инер-
ционностью (таким свойством обладает, например, термоанемо-
метр). В турбулентном потоке прибор отметит отклонение скорости
от средней — пульсациоиную скорость.
Кинетическая энергия турбулентного потока будет определяться
суммой кинетических энергий, рассчитанных по средней и пульса-
ционной скоростям. Для рассматриваемой точки кинетическую
энергию пульсационного потока можно определить как величину,
пропорциональную средней квадратичной пульсаци-
онных скоростей. Если разложить пульсационный поток по
осям системы координат, то кинетические энергии каждой из со-
ставляющих такого потока будут пропорциональны соответствую-
щим средним квадратичньш_составляющих пульсационных скоро-
стей, обозначенным Vt, Vw, Vz и определяемым из выражения
Понятия об осредненных и пульсационных величинах могут
быть распространены па давление и другие физические параметры.
Наличие пульсационных скоростей приводит к дополнительным
нормальным и касательным напряжениям, к более интенсивному
переносу тепла и вещества. Все это следует учитывать при прове-
дении экспериментов в аэродинамических трубах. Установлено, что
турбулентность в атмосфере относительно невелика и, следователь-
но, такой же малой она должна быть в рабочей части труб. Повы-
шенная турбулентность оказывает неблагоприятное влияние на
результаты эксперимента. Характер этого влияния зависит от сте-
пени турбулентности (или начальной турбулент-
ности), определяемой из выражения
ll-l.I)
где V — полная осредненная скорость турбулентного потока в рас-
сматриваемой точке.
В современных малотурбулентных аэродинамических трубах
практически может быть достигнута степень турбулентности, близ-
кая к той, которая наблюдается в атмосфере (е»0,01н-0,02%).

К числу важных характеристик турбулентности относятся корня
квадратные _из_средних квадратичных плльсацин скоростей У Vx»
У Vy, V Vz • Эти величины, отнесенные к полной осредненной
скорости, называются и нтен сив н остя м и турбулентно-
сти в соответств5 юших направлениях и обозначаются в виде
При помощи этих характеристик степень турбулентности A.1.1)
можно выразить следующим образом:
е = |/ -i- <ват+ 4-f- s= J. .1.1.1')
Турбулентность имеет вихревой характер, т. е. перенос массы,
импульса и энергии осуществляется жидкими частицами вихревого
происхождения. Отсюда следует, что пульсации .характеризуются
статистической связанностью. Количественной мерой этой связи
служит коэффициент корреляции .между пульсациями в точках ис-
следуемой области возмущенного потока, В общем виде этот коэф-
фициент между двумя случайными пульсирующими величинами <р
и ф представляется в виде' [14]
R^WWll ,1Л.З)
Если между величинами ф и ф нет статистической связи, то /? = 0;
си, наоборот, эти величины полностью закономерно сцязаны, то
ффициент корреляции R=\. Эта характеристика турбу
называется двухточечным коэффициентом
коэфф
с
р
ти называется двухточечным коэффициентом кор-
реляции. Его выражение можно представить {рис. 1.1.4, в) для
двух точек / и 2 жидкого объема с соответствующими пульсациями
17 - и Ууч в виде
V V\kl- ,1.1.3')
При исследовании пространственного турбулентного потока обычно
имеют дело с больший числом таких коэффициентов. Для характе-
ристики этого потока вводят понятие «масштаба турбулентности»,
определяемое в соответствии с выражением (рис. l.i.4. в)
L=\Rdr. A.1.4)
«Масштаб турбулентности» представляет собой линейный размер,
характеризующий длину участка потока, на котором жидкие части-
аы движутся «связанно», т. е. обладают статистически связанными
пульсациями. Сближая рассматриваемые точки в прбулентнои по-

токе, можно получить в пределе при г-*-0 одноточечный ко-
эффициент корреляции. При этом условии A.1.3') прини-
мает вид
A.1.5)
Этот коэффициент характеризует статистическую связь между
пульсациями в данной точке и, как увидим далее, непосредственно
определяет напряжение трения в турбулентном потоке.
Турбулентность будет однородной, если ее осредненные
характеристики, найденные в данной точке (степень и интенсив-
а — общая картина обтекания: 1 — участок ламинарр
ность турбулентности, одноточечный коэффициент корреляции) оди-
наковы для всего потока (инвариантность характеристик турбу-
лентности относительно переносов). Однородная турбулентность
является изотропной, если ее характеристики не зависят от
выбора направления, по которому они вычисляются (инвариант-
ность характеристик турбулентности при вращении и отражении).
В частности, для изотропного потока выполняется условие
Если это условие реализуется для всех точек, то турбулентность
является однородной и изотропной. Для такой турбулент-
ности сохраняется постоянство двухточечного коэффициента корре-
ляции при различных направлениях отрезка, соединяющего две рас-
сматриваемые точки жидкого объема.
22

В изотропном потоке коэффициент корреляции A.1.5) можно
выразить через степень турбулентяостие — У Vx / V:
R=viy'yIV^=V]yry\V^). (Ы.6)
Введение понятия об осредненных параметрах значительно об-
легчило исследование турбулентных течений. Действительно, для
практических целей нет необходимости знать мгновенные значения
скоростей, давлений или касательных напряжении, а можно огра-
ничиться их средними по времени величинами. Применение осред-
ненных параметров упрощает соответствующие уравнения движе-
ния (уравнения Рейнольдса).
В такие уравнения, хотя и являющиеся более простыми, входят
все же частные производные по времени от осредненных составля-
ющих скорости Vx, Vy, Vt, так как в общем случае турбулент-
ное движение будет неустановившимся. Однако в практических слу-
чаях осреднение осуществляют для достаточно большого промежут-
ка времени, и тогда изучение неустановившегося потока можно-
свести к исследованию установившегося движения (квазистацио-
нарное турбулентное движение).
Напряжение трения. Рассмотрим формулу для напряжения тре-
ния в ламинарном потоке. В таком потоке трение возникает как ре-
зультат диффузии молекул, сопровождающейся переносом количе-
ства движения из одного слоя в другой, что приводит к изменению-
скорости течения, т. е. к появлению относительного движения час-
тиц газа в слоях. В соответствии с гипотезой, высказанной впервые
Ньютоном, напряжение трения пропорционально для данных усло-
вий величине скорости этого движения, приходящейся на единицу
расстояния между слоями с относительно перемещающимися час-
тицами. Если расстояние между слоями Дп, а относительная ско-
рость частиц Av, то отношение Av/An в пределе при Дл-^0, когда
слои соприкасаются, равно производной dvjdn, называемой нор-
мальным градиентом скорости. На основе указанной
гипотезы можно записать следующую формулу Ньютона для напря-
жения трения:
г=?(&о/дп), A.1.7)
где A—коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств
жидкости, ее температуры и давления; он также называется ди-
намическим коэффициентом вязкости.
Величина этого коэффициента для газа в соответствии с форму-
лой кинетической теории
[i=0,499pci A.1.8)
зависит при заданной плотности р от таких юнЛтических характе-
ристик газа, как средняя длина свободного пробега ( и средняя ско-
рость движения молекул с.

Рассмотрим трение в турбулентном потоке. При этом будем ис-
ходить из упрощенной схемы возникновения добавочных сил тре-
ния при турбулентном режиме, предложенной Л. Прандтлем для
несжимаемой среды, и полуэмпирического характера вводимых
для них зависимостей. Возьмем два слоя, расположенных в одно-
мерном течении, характеризующемся изменением осредненной ско-
рости только в одном направлении. С учетом этого примем, что
скорость в одном из слоев Ухф0, Vy=Vz=Q. Для соседнего слов,
отстоящего На расстоянии Ау — 1', осредненная скорость равна
Yx+(dVxldy)l'. Согласно гипотезе Л. Прандтля, частица^ переме-
стившаяся из первого слоя во второй, сохраняет скорость Vx и, сле-
довательно, в момент появления этой частицы_во втором слое будет
наблюдаться пульсационная скорость V^= [dVxjdy)V.
Количество движения, которое переносится массой жидкости
pVy'dS через элементарную площадку dS, будет равно по абсолют-
ной величине ^Vy[V t-\-V'x]dS. Это количество движения опреде-
ляет дополнительную силу от напряжения, происходящего от пуль-
сационных скоростей. В соответствии с этим касательное напряже-
ние (по абсолютной величине)
|тт| = ?у'ы(ух + ух).
Осредняя это выражение, получим
|тЛ= — f v'ydt + -!- f
h I h I
где V'xV'y — осредненная величина произведения пульсационных
скоростей, a F/ — осредненное значение пульсационной скорости.
Покажем, что зто значение равно нулю._Интегрируя почленно по t
в пределах от ti до ti + t2 равенство Vy = Vy+Vv' и деля его затем на
? й
Но так как, по определению, Vу = — Г V\fit> T0 очевидно, что
Vy = — Г Vydt = Q. Таким образом, осредненное значение на-
пряжения трения может быть выражено зависимостью 1т| = р1/^1/{;,
представляющей собой общую формулу Рейнольдса, вид которой
не зависит от каких-либо конкретных предположений о структуре
турбулентности.
24

Напряжение трения, определяемое этой формулой, может быть
непосредствено выражено через коэффициент корреляции. В соот-
ветствии с A.1.5) можно написать, что
It, | =р# У v; У v';t A.1.9)
или в случае изотропного потока, для которого V Vx = У Vy .
| тт | =pFtV'* = pFt?V2. A.1.9'}
Согласно этому выражению, не во всяком потоке, характеризую-
щемся некоторой степенью турбулентности, может возникнуть до*
полнительное напряжение трения. Его величина зависит от меры
статистической взаимосвязанности пульсаций, определяемой коэф-
фициентом корреляции R,
Общая формула Рейнольдса для напряжения трения может быть
в соответствии с гипотезой Л. Прандтля о пропорциональности
пульсационных скоростей [Vy=aV'^=al' (dVJdy), где а — не-
который коэффициент] преобразована к виду
хт=?Р | dVJdy \ (dVJdy). A.1.1С)
Полная величина напряжения трения получится, если к значе-
нию тт, обусловленному затратами энергии частиц на их соударе-
ние и беспорядочное перемешивание, добавить напряжение трения,
происходящее непосредственно от вязко_сти и вызванное перемеши-
ванием молекул, т. е. величину тл = ц (t/fVd(/).
Таким образом,
T = x1,-{-x1 = u.(dVxl'dy) + rt2 [ <IVxI<ly | \dVx'dy), [1.1.11)
Исследования Л. Прандтля показали, что длина пути переме-
шивания 1~цу, где и —некоторая постоянная величина". В соответ-
ствии с этим у стенки
)l-a. A.1.12)

Из экспериментальных данных следует, что в турбулентном по-
токе в непосредственной близости от стенки, где очень мала интен-
сивность перемешивания, напряжение трення сохраняется таким,
как при ламинарном течении, и для него действительно соотноше-
ние A.1.12). За пределами этого течения весьма малым будет на-
пряжение тл и, следовательно, можно считать, что напряжение тре-
ния определяется величиной A.1.10'}.
Понятие о пограничном слое. Из соотношений A.1.7), A.1.10)
следует, что для одной и той же среды, обтекающей тело, напря-
жение трения в различных участках потока неодинаково и опреде-
ляется величиной местного градиента скорости.
Исследования показали, что градиент скорости имеет наиболь-
шие значения вблизи стенки, так как вязкая среда испытывает тор-
можение вследствие прилипания к поверхности обтекаемого тела.
Скорость потока изменяется от нуля на стенке (см. рис. 1.1.4} и
постепенно увеличивается по мере удаления от поверхности. В со-
ответствии с этим изменяется напряжение трения — у стенки оно
значительно больше, чем вдали от нее. Тонкий слой жидкости, при-
легающий к поверхности, характеризующийся большими градиен-
тами скорости по нормали к поверхности и, следовательно, значи-
тельными напряжениями трения, называется пограничным
слоем. Физическое представление о пограничном слое можно по-
лучить, если представить себе, что обтекаемая поверхность покрыта
красящим веществом, растворимым в обтекающей жидкости. Оче-
видно, краска будет диффундировать в толщу жидкости и одновре-
менно сноситься вниз по потоку. Следовательно, окрашенная зона
будет представлять собой слой, постепенно утолщающийся вниз по
потоку. Окрашенная область жидкости приблизительно совпадает
с пограничным слоем. Эта область отходит от поверхности в виде
окрашенной спутной струи (аэродинамического следа; см.
рис. 1,1.4, а).
При этом, как показали наблюдения, в случае турбулентного
движения отличие окрашенной области от пограничного слоя срав-
нительно невелико, в то время как в ламинарном потоке это отли-
чие может быть весьма существенным. Согласно теоретическим и
экспериментальным исследованиям с увеличением скорости толщи-
на слоя уменьшается, а спутная струя становится уже.
Характер распределения скорости по сечению пограничного слоя
зависит от того, будет ли он ламинарным или турбулентным. При
этом вследствие поперечного перемешивания частиц, а также их
соударений указанное распределение скорости, точнее говоря, ее
средней по времени величины, оказывается при турбулентном те-
чении значительно более равномерным, чем при ламинарном (см.
рис. 1.1.4). Из распределения скоростей вблизи поверхности обте-
каемого тела можно также сделать вывод о большем напряжении
трения в турбулентном пограничном слое, определяемом повышен-
ным значением градиента скорости.
За пределами пограничного слоя расположена часть потока, где
градиенты скорости и, следовательно, силы трения малы. Эту часть
26

потока называют внешним свободным течением. При
исследовании внешнего течения влиянием сил вязкости пренебрега-
ют. Поэтому такое течение считают также невязким. Скорость
в пограничном слое по мере удаления от стенки увеличивается,
асимптотически приближаясь к теоретическому значению, соответ-
ствующему обтеканию невязкой жидкостью, т. е. к значению ско-
рости во внешнем потоке на границе слоя.
Как )же отмечалось, в непосредственной близости стенка пре-
пятствует перемешиванию, и, следовательно, можно предположить»
¦по пристенная часть пограничного слоя будет находиться в режи-
ме, близком к ламинарному. Этот тонкий участок квазиламинарно-
го пограничного слоя называется вязким подслоем (иногда
этот участок называют также ламинарным подслоем),
Более поздние исследования показали, что в вязком подслое обна-
руживаются пульсации, проникающие из турбулентного ядра, од-
нако корреляция между ними отсутствует [коэффициент R A.1.5)
равен нулю]. Поэтому согласно
формуле A.1-9) дополнительные
касательные напряжения не возни-
кают.
Основная часть пограничного
слоя, расположенная вне вязкого
подслоя, называется турбулент-
ным ядром. Изучение движения
в таком слое связано с одновремен-
ным исследованием течения жидко-
сти в турбулентном ядре и вязком
(ламинарном) подслое.
Изменение скорости по сечению
пограничного слоя характеризуется
тем, что, постепенно возрастая но кого слоя:
Мере удаления ОТ СТеНКИ, ОНа ЭСИМП- /-стенна. 2 —граница слоя
тотически приближается к значению
скорости во внешнем потоке.
Однако для практических целей удобно выделить ту часть по-
граничного слоя, в которой это изменение протекает достаточно
быстро и скорость па границе этого слоя мало отличается от ее
значения во внешнем потоке. Расстояние от стенки до этой границы
представляет собой условно толщину пограничного слоя
6 (рис. 1.1.5). Обычно эту толщину определяют как расстояние от
контура тела до той точки пограничного слоя, где скорость отлича-
ется от ее значения во внешнем потоке не более чем на один про-
цент.
Введение понятия о пограничном слое позволило осуществить
эффективные исследования процессов трения и теплообмена, так
как ввиду малости его толщины по сравнению с размерами обте-
каемого тела оказалось возможным упростить дифференциальные
1 равнения, описывающие движение газа в этой области потока, что
облегчает кх интегрирование.
Рис. 1.1.5. Схе

§ U. РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЕ СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
Составляющие аэродинамических сил и моментов. Силы от «ар-
мального и касательного напряжений, непрерывно распределенные
по поверхности обтекаемого тела, могут быть приведены к одному
главному вектору F аэродинамических сил и главному эектору М
' момента этих сил (рис. 1.2.1} относительно какой-либо точки приве-
дения, называемой центром моментов. Таким центром мо-
жет быть, вообше говоря, произвольная точка тела. В частности,
Рис. 1.21 Схема действующ!
аэродинамических сил и ыоме:
связанной (*„ щ. '\)
летательный аппарат
жоростаои (х, у. г) н
1х координат
при продувке моделей летательных аппаратов в аэродинами-
ческих трубах момент находится относительно одной из точек креп- "
ления этой модели, которая может совпадать с носком корпуса,
передней кромкой крыла и др. При исследовании реальных случаев ',
движения таких аппаратов в атмосфере аэродинамический момент ;
может определяться относительно их центра масс или другой точки,
являющейся центром вращения.
В инженерной практике имеют дело не с векторами F и М, а с
их проекциями на оси какой-либо системы координат. Рассмотрим
наиболее часто встречающиеся в аэродинамике скоростную и
связанную ортогональные системы координат (рис. 1.2.1). В
скоростной системе обычно задают аэродинамические силы и мо-
менты, так как исследование многих задач динамики полета свя-
зано с применением осей координат именно такой системы. В част-
ности, уравнения движения центра масс летательного аппарата
удобно записывать в проекциях на эти оси. Продольная ось Ох ско- ,

ростной системы направлена всегда по вектору скорости движения
центра масс аппарата, вертикальная ось Оу расположена в плос-
кости симметрии и направлена вверх (положительное направле-
ние), ось Ог направлена вдоль размаха правого крыла (правая
система координат). В обращенном движении продольная ось сов-
падает с направлением скорости потока, а ось Ог расположена
вдоль размаха левого крыла так, чтобы сохранялась правая систе-
ма координат. Такую систему координат называют поточной.
Аэродинамические расчеты могут осуществляться в связан-
ной системе координат. Кроме того, в этой системе обычно иссле-
дуется вращательное движение летательного аппарата, так как со-
ответствующие уравнения записываются именно в связанных осях.
В этой системе, жестко связанной с летательным аппаратом, ось
Ох-[ направлена вдоль главной продольной оси инерции, вертикаль-
ная ось Оу\ расположена в вертикальной плоскости симметрии, го-
ризонтальная ось OZ\ направлена вдоль размаха правого крыла и
образует правую систему координат. Положительное направление
оси бх\ от хвостопой части к носку соответствует случаю необра-
щенного движения (рис. 1.2.1). В обеих системах координат— ско-
ростной (поточной) и связанной — их начало располагается в цент-
ре масс летательного аппарата.
Проекции вектора F на оси скоростной системы координат на-
зываются соответственно силой лобового сопротивле-
ния X, подъемной силой Y и боковой силой Z. Со-
ответствующие проекции того же вектора на оси связанной систе-
мы координат называются продольной (осевой) (Х\ или R),
нормальной (У| или N) и поперечной Z] силами.
Проекции вектора М в той и другой системах координат имеют
одно и то же название, а именно: составляющие относительно про-
дольной оси называются моментом крена (соответствующие
обозначения в скоростной системе Мх, в связанной Мх\), составля-
ющие относительно вертикальной оси — моментом рыскания
{Mv, Му^), составляющие относительно поперечной оси — момен-
том тангажа (Мг, Mzi).
В соответствии со сказанным векторы аэродинамических сил и
момента в скоростной и связанной системах координат:
'i'i + JVi-i-гЛ; A.2.1)
Я_п'1-гЛ*в1у,-[-Мг1?„ A.2.2)
где /,, у, k; lu ju ki— единичные векторы по осям соответствен-
но скоростной и связанной систем координат. Положительным мо-
ментом относительно оси будем считать момент, который стремится
повернуть летательный аппарат против часовой стрелки (если ве-
сти наблюдение за движением с конца вектора момента). В соот-
ветствии с принятым расположением осей координат на рис. 1.2.1
шложительный момент увеличивает угол атаки, отрицательный —
уменьшает.

Величина и направление действия сил и моментов зависят при
данной скорости полета на некоторой высоте от ориентировки тела
относительно вектора скорости V (или, если рассматривается обра-
щенное движение, относительно направления скорости набегающего
потока Уж). В свою очередь эта ориентировка обусловливает соот-
ветствующее взаимное расположение систем координат, связанных
с потоком и телом. Такое расположение определяется углами ата-
ки а ц скольжения р (рис. 1.2.1). Правый из них представля-
ет собой угол между осью Ох\ и проекцией вектора V на плоскость
Х]Оу], второй — между вектором V и плоскостью xiOyi.
При изучении полета используется земная система коор-
динат, относительно которой определяется положение движуще-
гося тела в пространстве. Начало координат этой системы (рис.
1.2.2), которая неподвижно связана с землей, совпадает с какой-
либо точкой земной поверхности, например* точкой старта, причем
ось Оу0 направлена по радиусу-вектору, проходящему через центр-
земного эллипсоида, а оси Охо и Ог0 совмещаются с плоскостью
горизонта. При этом ось Ох0 обычно ориентируется в направлении
полета, а расположение оси Ог0 соответствует правой системе коор-
динат.
Если начало земной системы координат совместить с центром
масс летательного аппарата, по получим местную географи-
ческую систему координат Ос.вдог" (рис, 1.2.2). Обыч-
но ось Осло ориентирована по касательной к меридиану в север-
ком направлении, а ось Осг1 параллельна плоскости экватора.
По отношению к этой системе координат положение летательного ¦

аппарата определяется тремя углами: рыскания $ (курсовой угол),
тангажа ft и крена у.
Угол $ образуется проекцией связанной оси Осл-, на горизон-
тальную плоскость хаОсуч [Otx*) а осью O^ol угол й представляет
собой угол между осью О^ и горизонтальной плоскостью x'qOz'o
(осью Осх*)\ угол у образуется при повороте (накренении) лета-
тельного аппарата вокруг продольной оси Осхх (угол между осью
ОсУ\ и ее проекцией на вертикальную плоскость — осью Осу).
Угол тангажа определяет наклон аппарата к горизонту, а угол
рыскания — отклонение направления его полета от первоначально-
го (у самолета — это отклонение от курса; у снаряда или ракеты —
от плоскости стрельбы).
Пересчет аэродинамических сил и моментов с одной системы
координат на другую. Зная углы аир, можно пересчитать в соот-
ветствии с правилами аналитической геометрии составляющие силы
н момента в одной системе координат на составляющие в другой
системе координат. В частности, пересчет составляющих аэродина-
мической силы и момента в связанной системе соответственно на
силу лобового сопротивления и момент крена в скоростной системе
координат осуществляется по формулам:
>s(z~t), A.2.3')
где cos(_*Qc), cos(r/|jt), cos [z^x) — косинусы углов соответственно
между осью Ох и осями Ох,, Оуг и Qzv
Аналогично записываются выражения для других составляю-
щих вектора силы, а также для составляющих вектора момента.
Значения направляющих косинусов, используемых для пересчета
сил и моментов с одной системы координат на другую, приведены
в табл. 1.2.1.
Таблица 15.1
с.„™„„„,
Ох,
о>,
о"
Скоросг«аи система
Ох
ои
.in a
"о°
Oz
-cos о sin?
¦2.У
В соответствии с данными табл. 1.2.1 формулы A.2.3) и A.2.3')
принимают следующий вид:
.? = .?, cos a cos? — Г, sin а cos в-
М,=Мл cos a cos J — Мщ sin acos р
isinp; A.2.4)
Wjjsinp. A.2.4').
31

Например, для случая движения летательного аппарата, изо-
браженного на рис. 1.2.1, из A.2.4) получим с соответствующими
знаками
— Х= ~XiCosacos3 — Yl sin acos JJ-j-Z, sin f).
Аналогично пересчитывают силы и моменты со скоростной на
связанную систему координат. Например, используя данные табл.
1.2.1, получим для продольной силы и момента крена следующие
пересчетные формулы:
Xj —XcosacosfJ-j-K sin a —Z cos a sin ?S; A.2,5)
Mх1 = Mx cos a cos $-\-My sin a —jW, cos a sin 3. A.2.5')
Переход от местной географической системы координат к свя-
занной или скоростной, а также обратный переход можно осуще-
ствить, зная косинусы углов между соответствующими осями. Их
значения можно определить из рис. 1.2.2, на котором показано вза-
имное расположение осей этих систем координат.
§ U. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ И МОМЕНТОВ
ПО ИЗВЕСТНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ДАВЛЕНИЯ И КАСАТЕЛЬНОГО
НАПРЯЖЕНИЯ. ПОНЯТИЕ ОБ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ
Аэродинамические силы и моменты и их коэффициенты. Рас-
смотрим следующую задачу. Пусть при некоторых углах атаки и
скольжения, а также заданных параметрах набегающего потока
|рную площадку
(скорость У™, статическое давление р», плотность р„ и температу-
ра Т„) известно распределение по поверхности обтекаемого тела
давления р и касательного напряжения т и требуется определить
суммарные значений аэродинамических сил и моментов.
На выделенную элементарную площадку dS поверхности тела
действуют нормальная сила от избыточного давления (р — pa>)dS
и касательная к площадке сила xdS. Сумма проекций этих сил на
32

ось х поточной (скоростной) системы координат равна (рис. 1.3.1)
[(p-p»)cos(/ii)+Tcos (fx)](tS, A.3.1)
где « и i — соответственно нормаль и касательная к элементарной
площадке.
Две другие проекций на оси у, г получаются по аналогичной
формуле с соответствующей заменой косинусов. Чтобы получить
результирующие силы, надо проинтегрировать выражение A-3.1)
по всей поверхности S. Введя в полученные соотношения обозна-
чения для коэффициента давления p = {p — p№)lq~ ¦
местного коэффициента трения с/х~х/д№, где ?™ =
= P«V«/2 — скоростной напор, получим следующие формулы
для силы лобового сопротивления, подъемной и боковой сил:
X = qJS, Г |pcos(?c)+<r/xcos(U)|-^-; A.3.2)
Y = q*Sa f [-pcos.(Zy) + cfjcos{Py)]-df; A.3.3)
d)
Z= -q^S,, Г [pcos (Az) + c/jrcos(te)]— , A-3.4)
В этих формулах в качестве характерной площади S,, может быть
выбрана произвольная поверхность, например площадь крыла в
плане, площадь наибольшего (миделевого) сечения корпуса и др.
Пнтегралы в формулах A.3.2)-=-A.3.4) являются безразмерными
величинами, учитывающими влияние на аэродинамические силы ха-
рактера обтекания тела заданной геометрической формы и обу-
мовленпого этим обтеканием распределения безразмерных коэффи-
циентов давления и трения.
В формуле A.3.2) для силы X безразмерная величина обычно
оСозначается сх и называется аэродинамическим коэф-
фициентом силы лобового сопротивления. В двух
других формулах вводятся соответствующие обозначения величин
г., и cz, первая из которых называется коэффициентом подъ-
емной силы, а вторая — коэффициентом боковой сн-
л ы. С учетом сказанного
X=cxgaoS,,, r=cyqxSn, Z=c^JSa. A.3.5)
Аналогично формулам A.3.2)-;-A.3.4) для сил могут быть полу-
чены общие соотношения для моментов. Для примера рассмотрим
такое соотношение для момента тангажа Мг. Очевидно, элементар-
ная величина этого момента dMc определяется суммой моментов
относительно оси z сил, действующих на площадку dS в плоскости,
перпендикулярной оси г. Если координаты площадки dS будут у я

х, то элементарная величина момента
йМг — q^S,, \[p cos (пу) — с!х cos (ty}\ л —
— [pcos (ax) + c/xco&(ix)]y\ ~-.
Интегрируя это выражение по поверхности 5 и вводя безразмерный
параметр
в котором L — некоторый характерный геометрический размер, по-
лучим формулу для момента тангажа:
Мг == trizqaoSyL. A,3.7)
Параметр tnz называется аэродинамическим коэффи-
виентом момента тангажа. Аналогично записываются
формулы для других составляющих момента:
Безразмерные параметры тх н ту называются соответственно ко-
эффициентами моментов крена и рыскания.
Соответствующие аэродинамические коэффициенты сил и мо-
ментов могут быть введены и в связанной системе координат. При
помощи этих коэффициентов силы и моменты можно представить
в следующем виде:
Mn = malqJSJ..
A.3.9]
Величины cxi[cR), cyi(cy), d\ называются соответственно коэф-
фициентами продольной (осевой), нормальной и
поперечной сил, а параметры mxi, my], mrl— коэффициен-
тами моментов крена, рыскания и тангажа.
Из анализа выражений для аэродинамических сил A.3.2) -f-
A.3.4) следует вывод, что каждую из этих сил можно разделить
¦а составляющую, обусловленную давлением, и составляющую,
связанную с касательными напряжениями, возникающими при дви-
жении вязкой жидкости. Например, лобовое сопротивление Х =
=XP+Xf. первая составляющая (лр) называется сопротивле-
мием давления, вторая (Xf) — сопротивлением тре-
в н я. Согласно этому полный коэффициент сопротивления равен
сумме коэффициентов сопротивлений давления в трения: сх=схр+
+сх1.

Аналогично можно представить в виде суммы двух составляю-
щих аэродинамические коэффициенты подъемной и боковой сил,
а также моментов. Таким же образом записываются силы, момен-
ты и их коэффициенты в связанных осях. Например, коэффициент
продольной силы cR=CRP + Cnf (где сПр, сш — коэффициенты про-
дольных сил соответственно от давления и трения).
Составляющие аэродинамических сил и моментов, зависящие от
трения, не всегда по порядку величин такие, как составляющие от
давления. Исследования показывают, что влияние трения оказыва-
ется более существенным в случае обтекания длинных и тонких тел.
При этом в практических случаях такое влияние целесообразно
учитывать в основном при определении сопротивления (продольной
силы).
При наличии у обтекаемой поверхности плоской площадки в
хвостовой части (донный срез корпуса или затупленная задняя
кромка крыла) сопротивление от давления обычно разделяют еще
на две составляющие, а именно: сопротивление от давления на бо-
ковую поверхность (головное сопротивление) и сопротив-
ление от давления на донный срез (донное сопротивле-
ние). В соответствии с этим суммарное сопротивление и соответ-
ствующий аэродинамический коэффициент равны:
X = Xp+XAa.+Xf, сл=с-гр + схя„ + сяГ
При определении продольной (осевой) силы и ее коэффициента
можно написать:
В соответствии с рис. 1.3.1
где Р,о»=(Рло« — />«)/?« (эта величина отрицательная, так как
за донным срезом возвикает разрежение, т. е. рДоп </>«>). Влияние
донного давления на подъемную и боковую силы, а также момен-
ты, как правило, оказывается пренебрежимо малым.
Характерные геометрические размеры. Абсолютная величина
аэродинамического коэффициета, являющаяся в известной степей»
произвольной, зависит от выбора характерных геометрических раз-
меров Sn и L. Однако для удобства практических расчетов заранее
уславливаются о выборе той или иной характерной геометрической
величины. В ракетной технике в качестве характерной площади
принимают обычно площадь миделевого (наибольшего) поперечно-
го сечения корпуса Sa=Sa,^ и за характерный линейный размер L
берут длину ракеты.
В аэродинамических расчетах самолетных схем за характерные
размеры принимают площадь крыльев в плане Sn= 5кр, размах
крыльев I (расстояние между боковыми кромками) или хорду

«рыла Ь. Хордой называется отрезок, равный расстоянию между
наиболее удаленными точками профиля (сечения) крыла. Для кры-
ла прямоугольной формы в плане хорда равна ширине крыла. На
практике чаще всего крыло имеет переменную по размаху хорду.
Для такого крыла в качестве характерного размера чаще всего
выбираются средняя геометрическая хорда b = bCp,
равная значению 6cp^SKp//, или средняя аэродинамиче-
ская хорда b =6слх. определяемая как хорда профиля эквива-
лентного прямоугольного крыла, у которого при одинаковой площа-
дн в плане моментные аэродинамические характеристики с извест-
ным приближением будут такими, как у заданного.
Размер средней аэродинамической хорды н координата ее пе-
редней кромки определяются следующим образом (рис. 1.3.2):
i b\iz.
i bxdz.
При расчетах сил н моментов по известным аэродинамическим
коэффициентам необходимо использовать те геометрические раз-
п меры, по которым были вычи-
слены эти коэффициенты. Если
возникает необходимость про-
водить такие расчеты по другим
геометрическим размерам, то
следует предварительно пере-
считать аэродинамические ко-
эффициенты на соответствую-
щий геометрический размер.
Для этого надо воспользовать-
ся зависимостями clS\—c2S2
(для коэффициентов сил) и
miSjLj = m2S2i-2 (для коэффи-
циентов моментов), получен-
ными из условий неизменности
величин сил и моментов, действующих на один и тот же летатель-
ный аппарат. По этим зависимостям находятся соответственно ко-
эффициенты с5 и т2, пересчитанные на иовые характерные раз-
меры S2 и L2\
вде прежние размеры S,, Д] и аэродинамические коэффициенты С\,
mtr а также новые размеры S2, U являются известными величи-
нами.
Поляра летательного аппарата. В качестве важнейшей аэроди-
намической характеристики широко используют так называемую
иол яру летательного аппарата, устанавливающую зависимость
между подъемной силой и силой лобового сопротивления или, что
то же самое, между коэффициентами подъемной силы и лобового

сопротивления в поточной системе координат. Эта кривая, называ-
емая полярой первого рода (рис. 1.3.3, в), представляет
собой геометрическое место концов векторов полной аэродинамиче-
ской силы F, действующей на летательный аппарат при разных уг-
лах атаки [или вектора коэффициента^*- этой силы, определяемого
в соответствии с соотношением cF^r,XSnqx)].
Поляра первого рода строится при помощи графиков функций
сх = сх(а) и Су=?си(а) таким образом, что значения сг и су отклады-
ваются соответственно по осям абсцисс и ординат. При этом у каж-
дой точки 'кривой записывается соответствующий угол атаки, кото-
рый является в данном случае параметром лоляры. Таким путем на
кривой су=/(с.т) производится разметка углов атаки.
Поляра первого рода удобна в практическом применении, так
как позволяет легко определить для любого угла атаки такую очень
Рис. 1 3.3. Построен
важную аэродинамическую характеристику летательного аппарата,
как аэродинамическое качество
K = c9lcx = YjX. A.3.10)
В случае если масштабы с, (или У) и сг (или X) одинаковы, то К
равно тангенсу угла наклона к оси абсцисс вектора, проведенного
из начала координат (полюса) в точк\ полярной диаграммы, соот-
ветствующую выбранному углу атаки.
На поляре можно определить наивыгоднейший угол
атаки анаив, соответствующий максимальному качеству
Kma^igaH;im, ¦ A.3.10')
если из начала координат провести касательную к поляре.
К числу характерных точек поляры относится точка сУтах, соот-
ветствующая максимальной подъемной силе, которая
достигается при критическом угле атаки акр. На кривой
Можно отметить точку, определяющую минимальный коэффициент

лобового сопротивления сх,п:п и соответствующие значения угла
атаки и коэффициента подъемной силы.
Поляра будет симметрична относительно оси абсцисс, если ле-
тательный аппарат обладает горизонтальной симметрией. Для та-
кого летательного аппарата значение схт1п соответствует нулевой
подъемной силе су = 0.
Наряду с полярой первого рода иногда пользуются полярой
второго рода, отличающейся тем, что она строится в связанной
системе координат, по оси абсцисс которой откладываются значе-
ния коэффициента продольной силы сп, а по оси ординат коэф-
фициенты нормальной силы сх (рис. 1 3.4). Эта кривая применяет-
ся, в частности, при прочностных расчетах летательных аппаратов.
Теоретические и экспериментальные исследования показывают,
что в наиболее общем случае аэродинамические коэффициенты за-
висят для данной формы тела и угла атаки от таких безразмерных
параметров, как число Маха Д1„ = Ув'д„, и число Рейнольдса
ке,*,:=Увс1.ра,/Рос- Здесь аж — скорость звука в набегающем пото-
ке; ра, и fia. — соответственно плотность и ди-
c*(fy() намический коэффициент вязкости газа; L —
/-N I длина тела. Поэтому для каждого данного ле-
\ тательного аппарата существует множество по-
\J лярннх кривых. Например, для определенного
числа Re« можно построить сечейстпо таких
кривых, каждая из которых соответствует сво-
ему значению скорости М». Кривые на рис.
1.3.3 и 1-3.4 соответствуют фиксированному
значению Re-« и определяют зависимость для
су и сх в случае, когда полет происходит при
малых скоростях (порядка 100 м,'сек), при ко-
торых аэродинамические коэффициенты не за-
висят от JVU.
Центр давления и фокус. Центром дав-
ления летательного аппарата называется некоторая
точка, через которую проходит равнодействующая аэродинамиче-
ских сил. Центр давления представляет собой условную точку, так
как в действительности воздействие среды сводится не к сосредо-
точенной силе, а к силам, распределенным по поверхности движу-
щегося тела. Обычно принимается, что для симметричных тел или
близких к ним эта условная точка расположена на одной из основ-
ных осей — продольной оси летательного аппаратя, проходящей
через центр масс, оси симметрии тела вращения или на хорде про-
филя.
В соответствии с этим продольпал сила R расположена вдоль
этой оси, а центр давления в случае движения в плоскости тангажа
рассматривается как точка приложения нормальной силы JV. Поло-
жение этого центра давления обычно определяется координатой
д"ц.д, отсчитываемой от головной передней точки контура обтекаемо-
го тела. Если известны момент тангажа Mz относительно этой точки
. 1.3.4. Поляра
второго рода

: нормальная сила N (рис. 1.3.5, а), то координата центра давления
x^=-MJN. A.3.11)
Ломент Мъ стремящийся уменьшить угол атаки, считается отрица-
тельным (рис. 1.3.5, а); тогда координата ха.п получается положи-
-ельной. Принимая во внимание, что
юлутим
¦ткуда
xl^/b = ca.n~-mJcN. A.3.11')
>езразмерпая величина сяд, определяемая как отношение расстоя-
1ия до центра давления к характерной длине тела (в данном слу-
У
V-
— —
R(r.
* b
-Я
Л
У
N
f ¦
*Ч.9
гае к хорде крыла Ь), называется коэффициентом центра
(явления. При малых углах атаки, когда коэффициенты подъ-
¦мной и нормальной сил приблизительно равны (су«сЛ),
c^=~mjce. A.3.12)
Для симметричного профиля, у которого при а-+О одновременно
аигП; принимают нулевые значения в соответствии с выражениями
ся = (дсу/да)а, тх={дтг/да)а,
:меющимн место при малых углах атаки (здесь производные
icy/da и dmjda — постоянные величины, которые могут опреде-
jHTbCfl для угла атаки а~0), коэффициент Сц.д будет равен неко-
*орому постоянному значению, не зависящему от угла атаки:
с^=—дтж'дсг A.3.13)
По величине коэффициента сВД и безразмерной координате
[ентра масс Хц.м = хам/Ь можно определить коэффициент момента
-ангажа относительно этого центра:
т,=сы$ы-с*.& A-3.14)

Исследования показывают, что в реальных условиях обтекания
у осесимметрнчных летательных аппаратов даже при небольшом
изменении углов атаки может наблюдаться существенное переме-
щение центра давления. Это особенно заметно у аппаратов с не-
симметричной конфигурацией или при отклонении рулей, которые
нарушают имеющуюся симметрию. В этих условиях центр давле-
ния неудобен для применения в качестве характерной точки при
Оценке положения равнодействующей аэродинамических сил и воз-
никающего момента тангажа относительно центра масс. В рас-
сматриваемых случаях удобнее оценивать
летные свойства аппарата по фокусно-
му расстоянию. Чтобы установить
смысл этого понятия, рассмотрим несим-
метричный профиль и вычислим момент
Мгп относительно произвольной точки' Fa
с координатой хп, лежащей па хорде
профиля. Непосредственно из рис. 1.3-5,6
ВИДНО,ЧТО
или, так как — Nx4_R=Mz — момент отно-
сительно передней точки О,
-и,ч
\
\
у
\
t,z
1,0
«в
ад
В.2
V
Рис. 1.3.6. Зависимость ко-
эффициента момента от ко- Переходя к аэродинамическим коэф-
зффициента подъемной си- фициентам и рассматривая малые углы
к^нф^у^аишГлрта'тчгл'ьиого атаки, для которых cN{acy, получим
апПараТа тп= са {хя1Ь) -\- тя. A.3.15)
Для малых углов атаки, при которых имеет место линейная
зависимость тг от сн вида
tnz=riTiIa-}-(dinx/dcu)c!j, A.3.16)
можно написать
я -\-xJb),
A-3.1
где т!й — коэффициент момента относительно точки передЕ[еГ-
кромки при сй = 0 (рис. 1.3.6).
Второе слагаемое в A.3.17) определяет приращение момента,
связанное с изменением коэффициента подъемной силы. Если hl
хорде выбрать точку Fa, координата которой х^—х^ определ?
ется из условия (см. рис. 1.3.5, б)
A.3.18*
xajb=xF,]b=xFa= ~dmzjdcyt

то коэффициент момента относительно этой точки не будет зави-
сеть от су и при всех (малых) углах атаки оказывается величиной
постоянной. Эта точка называется аэродинамическим фо-
кусом или просто фокусом данного тела. Очевидно, фокус
представляет собой точку приложения добавочной подъемной си-
лы, вызванной углом атаки [коэффициент этой силы равен [дсу/
da)a = cffa]. Момент тангажа относительно оси, проходящей
через эту точку, не зависит от угла атаки. Такая точка называется
фокусом аппарата по углу атаки. Зависимость между
центром давления и фокусом определяется соотношением
яго + (дтг1дся) с.
где Сц.д0 = —rng,jcv. Для симметричной конфигурации тг0=0 и, сле-
довательно, центр давления совпадает с фокусом.
Однако соотношение A.3.19) будет действительно для такой
симметричной конфигурации, которая снабжена рулем высоты, от-
клоненным на некоторый угол 6» (см. рис. 1.2.2 и 1.3.5). В этом
случае коэффициент момента
m2 = m*a-|-m*85s, A.3.20)
а коэффициент подъемной, силы
cF = cJa-|-cj»8», A.3.21)
где m^^dmjda; ц-=дсу!да\
Если конфигурация несимметрична, то соответствующие коэф-
фициенты будут иметь вид:
тг = тг0-\ п?а-]-тгЧу, A.3.22)
c, = ctf3 + cSa+cJs8>. A.3.23)
Точка приложения составляющей нормальной силы, обуслов-
ленной углом отклонения руля и пропорциональной этому углу,
называется ф о к у с о м по углу отклонения руля. Очевид-
но, момент сил относительно поперечной оси, проходящей через
этот фокус, не зависит от угла б#. В общем случае у несимметрич-
ной конфигурации ее центр давления не совпадает ни с одним из
фокусов (по а или бе). В частном случае у симметричного аппарата
при ее=О центр давления совпадает с фокусом по бе-
Пользуясь определением фокусов по углам атаки и отклонения
рулей и введя для них соответствующие координаты xf* и xf&<

можно найти коэффициент момента относительно центра масс.
Этот коэффициент вычисляется по формуле A.3.22), в которой
m* = Cv(x».»-xFJ, ml*=?(xKM-xPt). A.3.24)
где xFa—xFJb; xFl = xFijb—относительные координаты фокусов.
§ U. СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ И СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Понятие о равновесии и устойчивости
Состояние статического равновесия (балансировка) определя-
ется условиями полета и соответствующим силовым воздействием,
при которых равнодействующая всех сил и суммарный момент,
приложенные к летательному аппарату, равны нулю. Такое равно-
весие соответствует режиму установившегося прямолинейного дви-
жения аппарата, когда
параметры этого дви-
жения не зависят от
времени.
Состояние равнове-
сия достигается при б а-
пансировочных уг-
лах атаки и скольжения
(авал, Рвал), которые
обеспечиваются соот-
ветствующим поворо-
том рулей.
Равновесие аппара-
та может быть устой-
чивым и неустой-
чивым. Устойчивое
равновесие представли-
СТ СОб°Й ТЗК0е COCTOfl-
ние аппарата, когда ма-
лое его отклонение под
воздействием случайного кратковременного возмущения не нару-
шает характера этого равновесия, которое восстанавливается после
прекращения возмущения. При неустойчивом равновесии такие
возмущения вызывают еще большие отклонения от исходного поло-
жения.
Характер равновесия летательного аппарата с закрепленными
рулями определяется его статической устойчивостью или
неустойчивостью. Для выявления сущности статической
устойчивости можно рассмотреть обтекание потоком воздуха в
аэродинамической трубе летательного аппарата, закрепленного в
центре масс и имеющего возможность поворачиваться около него
(рис. 1.4.1). При этом для заданного угла поворота руля б# каж-
42

дому значению угла отклонения аппарата а (угла атаки) будет
соответствовать определенная величина аэродинамического момен-
та Мг. Возможная зависимость между а и Mz для некоторого угла
б# показана на рис. 1.4.1, где положениям равновесия соответству-
ют точки /, 2, 3, определяющие балансировочные углы сцбал, игбал,
азбал, при которых достигается равенство нулю аэродинамического
момента.
Рассмотрим равновесие в точке /. Если отклонить летательный
аппарат на угол, меньший или больший аюал, и предоставить его
самому себе, то возникшие моменты, соответственно положитель-
ный или отрицательный, вызовут увеличение (уменьшение) этого
угла до прежней величины cziean, т. е. эти моменты окажутся ста-
билизирующими. Таким образом, положение равновесия в
точке / устойчиво (летательный аппарат статически устойчив).
Аналогично можно показать, что такое положение устойчивого
равновесия будет соответствовать и точке 3. В первом случае сво-
бодное вращение летательного аппарата будет продолжаться до
тех пор, пока он не займет положение равновесия в точке /, а во
втором случае — в точке 3.
Что касается точки 2 (агбал), то в ней положение равновесия
будет неустойчивым. Действительно, как видно из рис. 1.4.1, при
значениях угла а, больших или меньших агбал, возникают моменты,
соответственно положительный или отрицательный, которые стре-
мятся увеличить (или уменьшить) а. Таким образом, эти моменты
являются дестабилизирующими, и летательный аппарат
будет статически неустойчивым.
Статическая устойчивость схематически подразделяется на
продольную и боковую. При этом в случае продольной ус-
тойчивости полагают, что все возмущающие силы и моменты дей-
ствуют в продольной плоскости связанных осей x,Oyi. Таким об-
разом, исследуются только такие движения аппарата, которые
происходят в его плоскости симметрии при отсутствии крена и сколь-
жения. При анализе боковой устойчивости рассматриваются воз-
мущенные движения летательного аппарата, связанные с измене-
нием углов крена и скольжения при неизменном угле атаки. Такие
движения всегда взаимосвязаны. Отклонение элеронов вызывает
не только крен, но и скольжение. Вместе с тем поворот рулей на-
правления приводит также к накренению. Поэтому исследование
боковой устойчивости связано с анализом как моментов крена, так
и моментов рыскания.
Продольная статическая устойчивость
При наличии такой устойчивости возникающий продольный мо-
мент относительно центра тяжести будет стабилизирующим. Б этом
случае направление изменения момента М2 (и -соответственно ко-
эффициента mz) противоположно изменению угла а. Следователь-
но, условие продольной статической устойчивости можно выразить
в соответствии с кривой на рис. 1.4.1 неравенствами дМг/да<0 или

Э/пг/<?а = тга<0 (производные вычисляются для балансировочного
угла атаки а = авал)-
Б случае продольной статической неустойчиво-
сти возникает дестабилизирующий (опрокидывающий) момент,
который стремится увеличить угол атаки по сравнению с его ба-
лансировочным значением. Следовательно, условием продольной
статической неустойчивости будут неравенства дМг/да>0 или
mi>0
Летательный аппарат будет нейтральным в отношении про-
дольной статической устойчивости, если при малом отклонении от
балансировочного угла атаки не возникает ни стабилизирующий,
ни опрокидывающий момент. Этот угол атаки соответствует на
рис. 1.4.1 точке 4, в которой моментная кривая касается горизон-
тальной оси. Очевидно, в этом случае коэффициент восстанавли-
вающего момента ^tnt=(nU)»6t]lAa = 0.
Критерии статической устойчивости. Производная т\, от ко-
торой зависит величина стабилизирующего или дестабилизирую-
щего момента, называется коэффициентом (степенью)
продольной статической устойчивости. Этот крите-
рий устойчивости относится к конфигурациям как с осевой симмет-
рией, так и без нее.
Для осесимметричных летательных аппаратов в качестве кри-
терия статической устойчивости можно принять разность расстоя-
ний от носка летательного аппарата до центра масс и центра дав-
ления, т. е. величину хвм—Хц.а, или в безразмерной форме
Если коэффициент центра давления сцл -больше относительной ко-
ординаты центра масс хц.м, т. е. если центр давления расположен
за центром масс, то летательный аппарат будет статически устой-
чивым; при переднем расположении центра давления (разность
?п.м—сц.д положительная) аппарат будет статически неустойчи-
вым; при совпадении обоих центров аппарат будет нейтральным.
Действие соответствующих моментов тангажа относительно по-
перечной оси, проходящей через центр масс, показано «а рис. 1.4.2.
Критерий У=гц.м—СцД определяет запас статической ус-
тойчивости. Он может быть отрицательным (статическая ус-
тойчивость), положительным (статическая неустойчивость) и нуле-
вым (нейтральность в отношении продольной устойчивости).
Величина Y определяется по формуле Y—mz/cy, в которой коэф-
фициент момента тангажа ¦вычисляется относительно центра масс.
Для малых а коэффициенты тг и су можно представить в виде
тг = т1а; сй = с*а- С учетом этого
Y = nUJcl=dmJdcg=xawU — cm.x. A.4.1)
Отсюда следует, что производную dmrfdcg^m^ можно рассмат-
ривать в качестве критерия, определяющего качественную и

количественную характеристики продольной устойчивости. Есл«
/»*"< О, то имеет место лродольная статическая устойчивость,
в случае /п^">0 имеем неустойчивость, а при щсгу=0— нейтраль-
ность. Параметр тс/ также называется коэффициентов
(степенью) продольной статической устойчивости.
Для оценки статической устойчивости несимметричных лета-
тельных аппаратов или симметричных аппаратов с отклоненным!
рулями используется понятие о фокусе. Безразмерная координата
этой точки по углу атаки определяется по формуле ¦*/>„=— тхя.
Учитывая это и полагая в A.3.17) величину хп равной координате
*я.м центра масс, получим
mz = ml0—cu(xFx — дгЦЛ,).
Дифференцируя по су, найдем
Б соответствии с этим продольная устойчивость определяется вза-
имным расположением фокуса и центра масс летательного аппа-
рата. При заднем расположении фокуса (разность xFt —,xuM по-
ложительная) такой аппарат будет статически устойчивым, а при
переднем (величина xFa~ хл-и отрицательная) — неустойчивым.
Соответствующим выбором центра масс (или, как говорят,
центровки) можно обеспечить необходимый запас статической ус-
тойчивости. Центровка будет нейтральной, если центр масс
совмещен с фокусом аппарата.

Влияние отклонения рулей. Исследования показывают (см. рис.
1.4.1), что в случае нелинейного характера моментной кривой
Mz(a) ее наклон в точках пересечения с горизонтальной осью ока-
зывается неодинаковым при разных углах отклонения рулей. Это
свидетельств) ет о различии в значениях коэффициентов продольной
статической устойчивости. Из рис. 1.4.1, например, видно, что при
некотором отклонении руля (бе) устойчивость при небольших углах
атаки (адааюал) может смениться неустойчивостью при повышен-
ных их значениях (ая^агбал) и восстановиться при еще больших
углах (а~азоал)- Во избежание такого явления стремятся ограни-
чить диапазон летных углов атаки малыми их значениями, при
которых сохраняется линейная зависимость коэффициента момента
тангажа от углов атаки и отклонения рулей высоты. В этом случае
степень устойчивости не меняется, поскольку при всех возможных
(малых) углах поворота рулей наклон моментной кривой к оси
абсцисс один и тот же.
Условие линейности моментной характеристики обусловливает
возможность использования при исследовании летных свойств ап-
паратов таких понятий, как фокус или нейтральная центровка
(xr—Хцл,), которые теряют свой смысл при нарушении этой линей-
ности.
Продольная балансировка. Рассмотрим прямолинейный полет
с равномерной скоростью в продольной плоскости при условии, что
летательный аппарат обладает достаточно высокой степенью ста-
тической устойчивости. При этом условии, как показывают иссле-
дования, можно не учитывать 'воздействие момента тангажа, выз-
ванного вращением относительно поперечной оси, проходящей че-
рез центр масс.
Такой полет характеризуется равновесием моментов тангажа
относительно той же поперечной оси, т. е. продольной балансиров-
кой аппарата, при которой имеет место равенство /и;=0:
тл-\- т1абай-\-тг%=0.
Из этого равенства можно найти угол отклонения рулей, необхо-
димый для обеспечения балансировочного полета при заданном
значении а:
S^^fl/^jfm^lm^J. A.4.3)
Для летательного аппарата с осесимметричпой конфигурацией
тщ—0, поэтому
8j йзл = — {п&1тг9) а6аз. A -4.4)
Балансировочным углам атаки и отклонения рулей соответст-
вует коэффициент подъемной силы
^бал^уэ+^ + ^^е^б*.,)^,. A.4.5)

Значения су0 обычно весьма малы даже для несимметричных кон-
фигураций (при малых бе и а) и точно равны нулю для аппаратов
с осевой симметрией.
Боковая статическая устойчивость
Для анализа боковой устойчивости летательного аппарата тре-
буется совместное рассмотрение характера изменения углов крена
и скольжения при одновременном действии возмущающих момен-
тов крена Мх и рыскания Му. Если после прекращения такого воз-
действия эти углы уменьшаются, стремясь к первоначальным зна-
чениям, то имеет место боковая статическая устойчивость. Таким
образом, при исследовании боковой устойчивости следует, строго
говоря, рассматривать одновременно изменение аэродинамических
коэффициентов тх и ту. Однако в большинстве практических слу-
чаев боковую устойчивость можно разделить на два более простых
вида — поперечную статическую устойчивость (ус-
тойчивость крена) и статичесчую устойчивость
пути—и изучать их отдельно, рассматривая изменение соответ-
ствующих коэффициентов моментов тх(у), ту($).
Рассмотрим поперечную статическую устойчи-
вость. Предположим, что при установившемся движении под уг-
лом атаки аа аппарат повернулся вокруг оси Ох\ на некоторый
угол крена у. Этот поворот при неизменной ориентировке оси Oxt
относительно вектора скорости V вызовет появление углов атаки
a*Ka,|Cosy и скольжения р да an sin у. Б свою очередь скольжение
обусловливает появление момента крена, коэффициент которого
тл. = /л?3я;т5ан sin у. Дифференцируя по у, получим ml = mia.
Производная т\ является мерой поперечной статической
устойчивости. Если ttiJ<C 0 (момент стремится ликвидировать
крен), то аппарат обладает поперечной статической устойчи-
востью; при /flJ,>-0 образуется опрокидывающий момент и имеет
место поперечная статическая неустойчивость; в
случае ml = 0 аппарат нейтрален в отношении устойчивости крена.
Так как обычно полет происходит при положительных углах
атаки, то знаки производных т\ и mJJ совпадают. Поэтому при
анализе движения по крену можно пользоваться производной
т{- которую называют коэффициентом (или сте-
пенью) поперечной статической устойчивости.
Статическая устойчивость пути характеризуется коэффициентом
(степенью), определяемым производной dMyjd$ (или дтд!д}=т1).
Если величина mj}<0, то аппарат обладает статической устойчи-
востью пути; при /п?>0 имеет место статическая неустойчивость,
а в случае mjj= 0 — нейтральность.
Понятие устойчивости пути связано со свойством летательного
аппарата устранять возникший угол скольжения р. Б то же время
собственно путевая устойчивость не выдерживается, так как аппа-
рат, изменив под действием различных возмущений направление

движения, не возвратится к прежнему направлению, а, подобно
флюгеру, повернется носовой частью в сторону нового вектора ско-
рости V.
По аналогии с фокусом по углу атака можно ввести понятие
фокуса по углу скольжения. Статическая устойчивость
или неустойчивость пути зависят от взаимного положения этого
фокуса н центра масс. Заднее расположение фокуса определяет
статическую устойчивость лути, а переднее —статическую неустой-
чивость. При их совмещении аппарат нейтрален в отношении ста-
тической устойчивости пути.
Характерный вид движения аппарата — равномерный полет без
крена. Условием такого полета является боковая баланси-
ровка, при которой момент рыскания равен нулю, т. е.
где в* —угол поворота рулей направления. Обычно все летатель-
ные аппараты обладают симметрией в вертикальной плоскости,
поэтому mlj0 = 0. При этом условии из полученного равенства опре-
деляется балансировочный угол отклонения руля направления
6*вал, соответствующий заданным значениям балансировочного
угла скольжения рбал:
8tfaj=-(m^>)ftll.1. A.4.6)
$ 1.5. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
С БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ
Сжимаемость газа
Одним из важных свойств газа является его сжимаемость —
способность изменять плотность под воздействием давления. Вс^;
процессы, связанные с течением газа, характеризуются изменением
давления и, следовательно, влиянием в той или иной степени на
эти процессы свойства сжимаемости. Исследования показывают,
что, пока скорости малы, изменение плотности вследствие малых
изменений давления невелико и эффектом сжимаемости можно
пренебречь. Для исследования обтекания тел потоками с малыми
скоростями можно принять уравнения гидродинамики, изучающей
законы движения несжимаемой жидкости.
Практически влиянием сжимаемости можно пренебречь в диа-
пазоне скоростей движения воздуха от нескольких метров в секун-
ду до 100ч-150 м/сек, что в реальных условиях соответствует чис-
лам Маха от М«, = Кю/а« = 0 до М™ —0,3 ~ь 0,45 (в„ — скорость
звука в невозмущенном потоке). Идеализация процесса состоит в
том. что в указанной области скоростей число Маха принимается
равным нулю, так как в несжимаемой среде малые возмущения
(звуковые колебания) распространяются с бесконечно большой
скоростью и, следовательно, отношение скорости полета к скорости
звука будет стремиться к нулю.
48

Современным летательным аппаратам свойственны большие
скорости полета, при которых обтекание сопровождается значи-
тельным изменением давления и, как следствие, существенным из-
менением плотности и температуры. В условиях полета с большими
скоростями необходимо учитывать влияние сжимаемости на эф-
фекты взаимодействия среды и тела, которое может быть весьма
существенным. В учете влияния сжимаемости газа на аэродинами-
ческие характеристики обтекаемых тел состоит одна из важнейших
особенностей аэродинамики больших скоростей.
Разогрев газа
Значительное увеличение скоростей летательных аппаратов
привело к необходимости учитывать в аэродинамических исследо-
ваниях специфические особенности газовых течений, обусловлен-
ные изменением физико-химических свойств воздуха. Если в «обыч-
ной» сверхзвуковой аэродинамике учитывалось свойство сжимае-
мости как важнейшее проявление особенности течения с большими
скоростями, а влиянием температуры на термодинамические пара-
метры и кинетические коэффициенты воздуха, а также на физико-
химические процессы, которые могут протекать в нем, пренебрега-
ли, то при очень больших (гиперзвуковых) скоростях на первое
место выдвигаются особенности, связанные с влиянием высоких
температур.
Высокие температуры возникают вследствие торможения газо-
вого потока, при котором кинетическая энергия упорядоченного
движения частиц переходит во внутреннюю энергию газа.
При температуре порядка 1500 К начинает играть заметную
роль возбуждение колебательных уровней внутрен-
ней энергии молекул кислорода и азота воздуха. При температуре
приблизительно 3000 К и давлении 1 атм колебательные степени
свободы молекул кислорода оказываются полностью возбужденны-
ми и дальнейшее повышение температуры позволяет атомам пре-
одолеть внутримолекулярные силы, в результате чего, например,
двухатомная молекула распадается на два отдельных атома. Та-
кой процесс называется диссоциацией. Одновременно с дис-
социацией происходит рекомбинация — образование новой
молекулы при столкновении двух атомов (Ог**2О). Эта реакция
идет с выделением тепла, что обусловливает столкновение двух
атомов с третьей частицей, которая уносит с собой часть выделив-
шейся энергии и тем самым обеспечивает создание устойчивой мо-
лекулы. Кроме того, в воздухе происходят химические реакции, в
результате которых возникает некоторое количество окиси азота
NO, также диссоциирующей при дальнейшем разогреве с образова-
нием атомарного азота и кислорода по уравнениям
При температуре 5000—6000 К и давлении 1 атм A.013Х
Х105 н/м2) молекулы кислорода почти полностью диссоциированы.
Кроме того, при такой температуре происходит диссоциация боль-

шей части молекул азота с одновременной рекомбинацией атомов
в молекулы. Этот процесс идет по уравнению N2^2N. Интенсив-
ность диссоциации определяется степенью диссоциации,
равной отношению числа распавшихся при диссоциации частиц
воздуха к общему числу атомов и молекул. Степень диссоциации
зависит от температуры и от давления.
С повышением'температуры степень диссоциации увеличивает-
ся, так как возрастают скорость и энергия движущихся молекул,
что увеличивает вероятность их столкновения и распада. При этом
интенсивность протекания диссоциации повышается с понижением
давления (плотности) вследствие уменьшения вероятности тройных
столкновений частиц, ведущих к образованию молекул из атомов.
Например, кислород начинает диссоциировать уже при 7" = 2000 К,
если давление равно 0,001 атм,.в то время как при нормальном
атмосферном давлении диссоциация О2 начинается при Т=
= 3000 К- Температура, при которой начинается диссоциация азо-
та, понижается с 6000 К при давлении 1 агм до 4000 К при давле-
нии 0,001 атм.
При температурах 5000—6000 К начинает развиваться еще один
процесс, заключающийся в том, что вследствие большого притока
энергии происходит сначала возбуждение электронных степеней
свободы, а затем отрыв электронов от атомов азота и кислорода,
а также от молекул окиси азота. Указанный процесс называется
ионизацией. Она происходит в основном в результате соуда-
рения частиц воздуха при их тепловом движении; поэтому такую
ионизацию называют также термоионизацией. Процесс иони-
зации происходит более интенсивно по мере увеличения темпера-
туры и сопровождается, естественно, ростом концентрации свобод-
ных электронов. Интенсивность этого процесса характеризуется
степенью ионизации, равной отношению числа ионизиро-
ванных атомов (молекул) к их общему числу. Как показывают
исследования, азот, например, полностью термически ионизирован
(степень ионизации равна единице) при температуре 17 000 К и
давлении 1 атм.
Изменение удельных теплоемкостей. При разогреве воздуха
подводимое к нему тепло расходуется не только на увеличение
энергии поступательного и вращательного движения молекул, но
и на увеличение энергии колебания атомов в молекуле, работу по
преодолению сил взаимодействия между атомами при диссоциации
молекулы, а также на отрыв электронов от атома при ионизации.
Вследствие этого удельные теплоемкости возрастают.
До момента начала диссоциации изменение удельной теплоем-
кости воздуха определяется лишь температурой. Для приближен-
ной оценки влияния температуры на удельную темплоемкость при
постоянном давлении применяется формула
Ср;Срсо=G-/Гм)т, A.5.1)
где показатель <р в свою очередь зависит от температуры (рис.
1.5.1). Для 7">1000 К можно принять этот показатель постоянным

0,9
0,8
0.7
-
is
*-*
^_
t
1 Т. А
и равным 0,1. ГГрн 7"«, = 288 К удельная теплоемкость с,)оо =
-0,24 ккалКкГ.град) [в СИ 1000 дж1 (кг ¦ град)}. Формула A.5.1)
применяется до значений 7 = 2000-^-2500 К, яри которых колеба-
тельные степени свободы близки к состоянию полного возбуж-
дения.
При наступлении диссоциации удельная теплоемкость зависит
не только от температуры, но и от давления. Расчеты удельных
теплоемкостей, а также показателя адиабаты k = cPlcv в условиях
термодинамического равновесия при высоких температурах осу-
ществлены на электронных вычислительных машинах группой со-
ветских ученых под руководством чл.-корр. АН СССР проф.
А. С. Предводите лева [18, 19]. Эти расчеты проводились для тем-
ператур от 1000 до 6000 К без
учета ионизации, так как ее влия-
ние в этом интервале температур
пренебрежимо мала При более
высоких температурах учитыва-
лось влияние равновесной одно-
кратной ионизации, которая счи-
талась полностью завершенной
при 7=12 000 К и р = 0,001 атм.
Кривые, построенные по данным
работ [18, 19], характеризующие
изменение сР и k при высоких тем-
пературах, приведены на рис.
1.5.2, 1.5.3 16]. Полученные дан-
ные указывают на то, что при
температуре до 2000 К и давлении
I атм и выше значения ср и ? =
= сР/Си определяются температу-
рой и практически не зависят от
давления.
Общая тенденция, наблюдаемая при изменении удельных теп-
лоемкостей и их отношения, такова, что с уменьшением давления
к повышением, следовательно, степени диссоциации и ионизации
величины ср возрастают, а отношения ? = ср/с„ уменьшаются, хотя
и немонотонно.
Кинетические коэффициенты. Процессы трения и теплопереда-
чи, протекающие в вязком теплопроводном газе, зависят от таких
кинетических коэффициентов газа, как динамический коэффициент
вязкости ц, и коэффициент теплопроводности Я. Установлено, что
при отсутствии диссоциации коэффициент ц зависит лишь от тем-
пературы и может быть определен по формуле
1*/1*в,= (Г/7'„)", A.5.2)
в которой показатель степени п в свою очередь зависит от темпе-
ратуры (см. рис. 1.5.1). В приближенных расчетах можно пользо-
ваться средним значением иСр«0,7 для достаточно большого ин-
тервала температур, причем начальное значение ц. можно прини-
1.5.1. Иэмс*
нетствующих формулах для
определения удельной теплоем-
кости, динамического коэффи-
циента няэкостн и коэффицнен
та теплопроводности

мать равным (i.= ],82-]0-« кГ-сек/м2 (],79-10-s н-сек/м*) что
соответствует 7„ = 288 К. Формула A.5.2) применяется до темпе-
ратур порядка 2000-5-2500 К. С повышением температуры эта фор- *
мула дает существенные ошибки. Исследования показывают что
при высоких температурах, вплоть до 9000 К, динамический коэф- '
фнциент вязкости воздуха, находящегося в условиях равновесной

^ассоциации, может быть определен с точностью до 10% по фор-
муле Сззерленда:
-LBf-Lf 1 + (Ш7") . A.5.3)
}та формула дает при температурах, меньших 1500 К, несколько
;учшие результаты, чем A.5.2).
i Ю?кГсек/мг
Ш 2
т та it
V
ш 5т &
J
и? а
1
нов з
за шт нет т к
сти воздуха при высоких температурах
^олее точными расчетами установлено, что динамический коэф-
фициент вязкости при высоких температурах зависит также и от
явления. На рис. 1.5.4 приведен график [6], характеризующий из-
менение коэффициента (i при температурах до 32 000 К в интервале
давлений от 0,03 до 300 кГ/см2.
Так же как и вязкость, теплопроводность при температурах ¦
тримерно до 2000 К не зависит от давления и может быть опреде-
.ена по степенной формуле
\p^,= {T/TJf, A.5.4)
1 которой показатель х в свою очередь зависит, как это видно из
шс. 1.5.1, от температуры. В случае приближенных расчетов мож-
ю принять среднее значение хСр = 0,85, а значение Л™, соответст-
|ующее 7^=263 К, равным 5,53 • 10'3 ккалЦм-сек-град)
23,2 вт}(м-град)]. Для диссоциирующего воздуха характерна за-
шсимость коэффициента теплопроводности от температуры и дав-
,ения. Соответствующая диаграмма показана на рис. 3.5.5.
Происхождение сил вязкости, как и возникновение процесса
¦еплопроводности в газе, связано с молекулярным строением веще-
тва. Молекулы газа при своих собственных движениях переносят
13 одного места в другое массу, энергию и количество движения.
Результатом изменения количества движения являются силы вязко-

сти, а перенос энергии обусловливает свойство теплопроводности.
Из этих соображений ясно, что с ростом температуры увеличива-
ются коэффициент теплопроводности и динамический коэффициент
вязкости в газе. При возникновении диссоциации характер измене-
ния Яиц будет довольно сложным. При малой степени диссоциа-
ции значения Я снижаются, что вызвано затратами внутренней
энергии на разрыв молекулярных связей и, как следствие, сниже-
нием температуры газа. При повышении степени диссоциации бе-
лее интенсивное дробление молекул на атомы приводит к рост1
числа частиц, участвующих в процессах переноса, что вызывае~
увеличение коэффициента X.
¦ал/(м а
/
f^p-lfitr/Bi'
\\ J
у\
у
А
К
\
8000 10000 Т, К
1.5.5. Изменение коэффиц
воздуха при высоких
При очень сильном разогреве газа еще больше увеличиваютс!
затраты внутренней энергии на ионизацию, что влечет за собо*
снижение теплопроводности. Что касается динамического коэфф!-
циента вязкости, то для его изменения характерно монотонное во.-
растание при увеличении температуры, так как с наступлениел
диссоциации и ионизации образуется все большее число частиц
участвующих в переносе количества движения, которое обусловли-
вает увеличение сил вязкости.
Состояние воздуха при высоких температура
Уравнение состояния. Исследование обтекания тел воздушны*,
потоком показало, что соотношения обычной аэродинамики, оенг-
ванные на неизменности термодинамических характеристик и ш-
стоянстае физико-химической структуры, достаточно надежнь.
пока воздух остается сравнительно «холодным» и сохраняется т
силе предпосылка о неизменности удельных теплоемкостей и во.-
54

можности применения термического уравнения состояния совер-
шенного газа
p=R?T или p = RtfTj{v.nX, A.5.5)
в котором R и Ra — соответственно абсолютная и универсальная
газовые постоянные [Ло = 848 кГ -мЦкмоль • град) =8,32 X
Х103 дж)(кмоль¦ град)]; р и Т — плотность и температура; (цср)о—
средний молекулярный вес воздуха с постоянным составом.
Газ, удовлетворяющий уравнению A.5.5), называют термиче-
ски совершенным. Уравнению A.5.5) соответствует калори-
ческое уравнение состояния i=pcP/{pR), определяющее зависи-
мость для энтальпии. Если учесть, что cp/R = k/(k—1), то это урав-
нение преобразуется к виду
'-тзг-f- |L5-6)
Газ, состояние которого определяется уравнением A.5.6), со-
ответствующим условию, при котором ср и с0 являются постоянны-
ми и не зависящими от температуры, называют калорическн
совершенным газом.
Следует принять во внимание, что необходимость учета измене-
ния удельных теплоемкостей от температуры наступает раньше,
чем необходимость применения уравнения состояния, отличное ог
уравнения для совершенного газа. Например, как показывают рас-
четы, изменение удельных теплоемкостей от температуры при пе-
реходе через прямую ударную волну начинается с чисел М^ набе-
гающего потока, равных 34-4. При М«,=6ч-7 сохраняет свое зна-
чение уравнение состояния для совершенного газа, а также
уравнение для скорости звука
a?=kRT, A.5.7)
гак как состав разогретого за ударной волной газа не меняется.
Таким образом, в этом случае газ не является калорически со-
вершенным, но будет обладать свойствами термически совершен-
ного газа.
Для газа с переменной теплоемкостью калорическое уравнение
состояния C.5.6) дает большую погрешность. Действительная за-
висимость между энтальпией и температурой определяется более
сложной, чем A.5.6), функцией fi{T).
Для диссоциирующего воздуха, у которого удельные теплоем-
кости и молекулярный вес являются функциями его состояния,
действительно уравнение
P=(KJf,,^T, A.5.8)
в котором Цср=Ыр, Т).
Калорическое уравнение диссоциирующей газовой среды приоб-
ретает также более сложный характер и в общем виде может быть
представлено в виде | = Ыр> Т). Такая среда уже не обладает
свойствами совершенного газа, для которого энтальпия
зависит только от температуры.
55

Еще более сложными являются термическое и калорическое
уравнения состояния диссоциирующего (реального) газа, не по/
чиняющегося уравнению A.5.5), так как они дополнительно учь-
тывают силы взаимодействия между молекулами, а также собс
венный объем молекул. Эти уравнения решаются численными Mt
тодами при помощи ЭВМ и представляются обычно в виде таблих.
или диаграмм состояния.
Результаты расчета параметров состояния воздуха в условия:
термодинамического равновесия при высоких температурах в hi-'

s
a
5
,'l
II 1 II
*Ч.Г"
\i\
. s
_
1
1
-
-
|
5
]нс. 1 5.7. Средний молекулярный вес воздуха при высо
кия температурах
¦ервале давлений от 0,001 до 1000 агм приведены а работах [18,
9]. На основании этих результатов расчета был составлен атлас
.иаграмм состояния, разработанный группой научных сотрудников
6]. Наиболее распространенной для тепловых расчетов в аэроди-
[амике является i—5-диаграмма (диаграмма энтальпия — энтро-
~тия) диссоциирующего воздуха, приведенная на рис. 3.5.6. На этой
диаграмме, представляющей в графической форме калорическое
¦равнение состояния, нанесены кривые p = const (изобары), 7" =
¦=const (изотермы) и p = const (изохоры — пунктирные линии).
В некоторых случаях более удобной для расчетов может ока-
;аться диаграмма калорического состояния, изображающая зави-
имость i—р, с кривыми Г—const, p = const и 5 = const. Эта диаг-
)амма, построенная по данным i—5-диаграммы, приведена в
>аботе [6]. В этой же работе в различных вариантах показаны ди-
.граммы, графически изображающие термическое уравнение со-
тояния.
Важными для практических расчетов являются графики, позво-
.яющие определять средний молекулярный вес ц?р дисссщинро-
;анного и ионизированного воздуха (рис. 1.5,7), а также скорость
•вука (рис. 1.5.8) как функций р и Т [19] или i и 5 [6]. Рассматри-
1ая эти графики, можно заметить, что скорость звука значительно
1еняется с температурой и в меньшей степени зависит от давления,
то объясняется незначительным влиянием структуры воздуха на
.арактер распространения слабых возмущений. В то же время из-
менение структуры воздуха при его диссоциации существенно вли-
тет на молекулярный вес, что находит свое выражение в сильном
лиянии давления на величину цСр- На кривых, изображенных на
inc. 3.5.7, можно заметить три характерных участка убывания |iCp
'. зависимости от температуры. Первый из них обусловлен диссо-
[иацией кислорода, второй-—азота и третий — ионизацией компо-

нентов воздуха. Общая тенденция к уменьшению среднего молеку-
лярного веса диссоциирующего и ионизирующего газа с повыше-
нием температуры обусловлена распадом молекул на атомы, а также
отрывом электронов. При этом повышение давления способст-
вует более интенсивной рекомбинации, что приводит к некоторому
росту цср.
$ 16. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
ДЛЯ ДВУХАТОМНОГО ДИССОЦИИРУЮЩЕГО ГАЗА
Степень диссоциации
(стояния простой системы нужно указы-
компоненты смеси представляют' собой инертные газы и между ннмн не будет
происходить никаких реакций. Такой смесью газов является воздух, состоящий
при обычных атмосферных условиях из N2 и Ог с некоторой примесью Аг,
СОг и др.
При высоких температурах воздух представляет собой уже реагирую-
щую смесь, так как двухатомный газ диссоциирует, а образующиеся при
этом атомы участвуют в рекомбинации. В целях упрощения исследований в ка-
ц р х п ов № и Ог, не взаимодействующих между собой. При
а я тричных молекул одного вида, которые в результате
дв ы дар д социируют на два атома В свою очередь атомы могут
реко б н р ва ь в мо куле путем тронных соударений. Эта схема позволяет
нам цианин чистого лиемшиипуюшего двухатомного газа.
х м pea определяемой, нап|
ко о проце а
А ^А + А A.6.1)
R
р ветст-
1.6.2)
A.6.2')
где л А—число атомов элемента А в некотором объеме; nAj — число мол
газа А2 в том же объеме.
В уравнение A.6.2) входят величины p<i и Td, представляющие собой с
для диссоциации. Характеристическая температура Td определяется отноше
Djk, в котором D —энергия диссоциации одной молекулы As, a ft —газовая

7
стоянная. отнесенная к одной молекуле (постоянная Больцманз). Вычисления1''
показывают, что величина Та не зависит от температуры газа и для кислорода
равна 59 000 К, а для азота 113 00О К. Характеристическая плотность для дис-
социации, вообще говоря, зависит от температуры газа, однако изменение р* в
большом температурном интервале от 1000 до 7000 К как для кислорода, так и
для азота весьма мало по сравнению с очень большим изменением велнчннь
е d в этом же интервале. Поэтому практически целесообразно принять •¦
этом интервале характеристические плотности р^ некоторыми постоянными сре/>
принять для кислорода pli=150 г/см3, а для азота pd = 130 г/см3.
При помощи диаграммы (рис. 1.6.1), построенной на основе урэвнениг
'T/Td, р/(Ы. Из анализа уравнения' A.6.2) "можно сделать вывод, что диссоциаииг
наступает при температурах, более низких по сравнению с характеристическое
Если принять для условий вблизи земли наиболее вероятное значение р/р^ = 10--т
то из A6.2) нли графика, изображенного на рис. 1.6.1, следует, что, когда
Г/Г^ = 0,057, величина а=0,05 E%), а при Г/Гй-0,105 степень днесоииацнн
а=0,92 (92%). Для плотностей, типичных для верхних слоен атмосферы, напри-
мер p/p,j=10-7, отношения T/Td, определяющие значения а = 0,05 и 0,92, умень-
шаются соответственно до 0,045 и 0,071.
Уравнение состояния
Рассмотрим уравнение состояния газовой смеси, возникающей в результате
диссоциации двухатомной молекулы. Это уравнение можно получить, если вос-
пользоваться зависимостями для определения давления р и гаэовчй постоянной
A.6.3)
Уравнения A.6.3) известии под общим названием закона Дальтона.
В дальнейшем атомарную составляющую (i=l) будем фиксировать индексом

«А», молекулярную (i=2)—индексом «ЛЬ. Так как концентрация komi
Cf=Pi/p. где р —плотность смеси, то для атомарной и молекулярной сост
щнх соответственно получим:
¦,-РA-а) = .*иУ,
2т.
¦рГA + а), A.6.4)
на 1+а, она даст величину газовой постоянной R (абсолютной газовой посте
ной) для 1 г смеси компонентов А и Ai. массы которых относятся, как а/A-
Введем некоторую условную величину, определяемую характеристичен
значениями плотности и температуры в соответствии с выражением
d
A.6.5) уравнение состояния A.6.4) можно н
ной форме: ^
f
более удобной беэраэиер-
A.6.4')
Кислород
Азот
Воздух
2,3
4,1
3,7
Харакге
"\
150
130
135
истнческне
Td-VS~\
59
113
!00
а|)аыетры .
V10'
3,7
8,0
7,1
иссоцнацни
V10-
1,5
3,4
3,0
vd ю-3,
.4,9
5,8
5,4
нцентрация произвольного к
A.6.6)
лекуляр-
61

1
ный вес; знак суммы 2 определяет число молен смеси. Для двухатомного двд-^
соцнирующего газа
Так как
Термодинамические соотношения -
Рассмотрим термодинамические соотношения, используемые при исследова-
нии течения двухатомного диссоциирующего газа. Одним из них является урав- ".
нение для внутренней энергии. Его можно получить из условия, что внутренняя
энергия определяется в виде суммы средней поступательной энергии атомов н
2{3/2)кТпл„ которой дополнительно обладают молекулы. При этом энергией
электронных состояний можно пренебречь. Учитывая, кроме того, химическую
энергию диссоциации, равную {\/2)Опл, получим уравнение для цнутренней
U = C/2) kT (пх + 2пх>) -i- (L,2) DnA.
Величина внутренней энергии на единицу массы
где V = mA(*A-|-2/iAt)/p- объем, занимаемый газом.
Вводя характеристическую энергию диссоциации на еди-
ницу массы (на 1 г А*)
иа=Оц2тА), A.6.9Г
можно записать A.6.8) в безразмерной форме
7=374.1, A.6.8')^
где п^ы/oj; величины щ даны в табл. 1.6.1. В этой же таблице приведены зиа- •
ченнн параметра У^= УUj, представляющего собой характеристиче-
скую скорость для д и ссоци а ци и. Физический смысл этого параметра »
состоит в том, что он представляет собой скорость, которая обеспечивает потоку"
кинетическую энергию, равную половине энергии, необходимой для полной дис-
социации газа.
Сопоставляя A.6.5) и A.6.9), а также имея в виду, что Td=D/k, получим
формулу
Pd=?dV2d, A.6.10),
и извест-
A.6.11)'
Разделяв члены этого уравнения на ил, найдем зависимость дли энтальпии в без-
размерной форме:
7=^+7/7, (i.e.12)-,

де i=i/Hd. Внося в A.6.B) выражение A.6.8') для
1.6.4'), получим соотношение для энтальпии
Если в уравнении A.6.2) величину Г—TJT& заменить в соответствии с
1.6.13) выражением
Т = G+а)'D + а), A.6.14)
плотности р«,/р Эта зависимость графически изображена на рис. 1.6.2.
)тсюда при условии, что р и Г постоянны, получим равенство (dg;da)pr^
= <Н!да. Эта величина и определяет теплоту диссоциации iR=di/da.. Диф'фе-
¦енцируя A.6.13) по а, найдем di/da^T+l. Для реальных температур, при ко-
орых происходит диссоциация, относительная температура f<l. Следовательно,
-нтальпця диссоциации компонента
lR = ud. A.6.15)
Динамичес!

формулой Сэзерленда
A.6.16)
оторой концентрация атомарного и молекулярного компонентов соответствен-
с» ^^ ctt ^м -= * — ^¦ При отсутствии диссоциации (с* ^^ о ^= и) завнен*
ть (I.6.I6) переходит в обычную формулу Сэзерленда. При полной диссоциа-
(«=]) член в квадратных скобках A6.16) равен !,42, что указывает на
Смесь двухатомных газов
Степень равновесной диссоциации. До сих пор рассматривался чнстьш дис-
социирующий двухатомный газ. Что касается смеси двухатимных газов, то,
строго говоря, приведенные зависимости неточны для определенно газодинамиче-
ной мере можно считать оправданной модель воздуха, представляющую собой
аддитивную смесь двухатомных газон. При этом можно учесть различие в ха-
рактеристических температурах для азота и кислорода. Кислород, у мтэрого
энергия связи атомов а молекулах меньше, начинает диссоцн и ронять при более
низких температурах, чем азот, и оказывается полностью продиссоцнировавшии
Если за начало диссоциации Na принять темперзтуру 3500 К, то. следова-
тельно, при этой температуре степень диссоциации двухатомной модели воздуха
будет определяться относительной массой кислорода в смеси, т. е. значением
0,235. При Г<3500 К степень диссоциации модели воздуха
a = 0,235aOi, A.6.17)"
где aOj — степень диссоциации чистого кислорода. После завершения днесоцна- '
ции Оц (при температуре 7"=3500 К) величина aOi = 1 и степень диссоциации :
воздуха при 7">3500 К определяется выражением
где aNj —степень диссоциации чистого азота, а величина 0,765 определяет объ-L
емиую долю Ni в воздухе. Для полностью диссоциированного воздуха aPl=^
= aNi= 1 п. следовательно, степень диссоциации смеси се—1. ".
Таким образом, при приближенных расчетах степени диссоциации прини--
нается упрощенный массовый состав недиесоциированного воздуха, включающий
76,5% N, н 23,5% Ог, причем в атмосферный азот входит около 1% инертных'^
Эффективные характеристические параметры. Эффективные характеристиче-
ские параметры для диссоциации модели воздуха могут быть определены исходя =
из принятого выше массового состава неднесоциированного воздуха. Например,
эффективное характеристическое давление для диссоциации -
A,= 0,765prfN +0,285^0 A.6.19);
-4
где pdilf, pdOi —характеристические давления для диссоциации соответсгвенн»,-
аэота и кислорода. Аналогично могут вычисляться эффективные значения других*
характеристических параметров. Подсчитанные таким образом для принятой-»
модели воздуха значения pd, fd, Td>ad иУ^приведены в табл. 1.6.1. ¦.:
1

Энтальпия равновесной днссоцнацни. Для модели в
ислорода энтальпия равновесной диссоциации
е энтальпия диссоциации коыпонента для з->ота 0?n, ~udtt, ~ (д 2ил)л,> а
я недорода *ад. ¦=«*!.-(Д2ша>о. <сМ" та6л- 1>бЛ); с« и со-атомаРны
^южной^ работе [18]).
Если воздух рассматривать как двухатомную модель
A-8.20)
л)л,> а
« омаРные
A.6.21)
где в соответствии с данными табл. 1.6.1 и^=7,1-103 ккол/кГ. Для более с
модели воздуха, представляющей собой смесь двухатомных кислорода и
энтальпию диссоциации можно рассчитывать следующим образом. Прим
весь кислород диссоциирует до начала днссоцнацни азота. Следователь
марная концентрация обусловлена только распадом кислорода, ве
aO, = 1 и aN, = °- В соответствии с этим
Если услов
степень дис
пельно, энт!
диаграммы
определяете
соцнг
1ЛЬШ1
сост<
1КОВЫ, ЧТО
щни смесн
я диссоци,
h
' Д
ац|
>яння воздух
:я как разность
'<о,2з;
lo-
rn с»
:. лри
."«"¦ »'
= 0,235,
:и
"""'"¦
высоких
1 ~ 'п —
слорода
происходит неполн
+ 0,23;
',-0,
(турах. В этом случ
юсть
A.
A
веп,
ю. то
6.22')
.6.23)
в которой для Г>1000 К показатель степени q>=0.1. а при Г„ = 288 К удыьная
теплоемкость с„„=1000 дж!(кг-град).
Определение термодинамических параметров воздуха как модели чистого
диссоциирующего газа, представляющего собой смесь N2 и Ог, обусловливает ту
особенность, что рассматриваемая газовая среда в начальном (неднесоциирован-
ноч) состоянии оказывается как бы предварительно нагретой. Этому состоянию
с возбужденными колебательными уровнями энергии соответствует отношение
удельных теплоемкостей ? = 1,33.
Строго говоря, по отношению к обычным условиям полета такая среда не
является реальной. Тем не менее приведенные выше соотношения имеют прак-
тическое значение. Дело в том, что переход через ударную волну, возникающую
перед телом, представляет собой неравновесный процесс Практически можно
считать, что даже при очень высоких скоростях и, следовательно, больших тем-
пературах за ударной волной диссоциация непосредственно за ее фронтом равна
нулю, но колебательные уровни возбуждены. Таким образом, свойства реального
и гипотетического газа за ударной волной совпа1ают При этом точность термо-
динамических и газодинамических расчетов возрастает по мере увеличения скоро-
3—707 65

Средняя теплоемкость смеси. Средняя теплоемкость смеси ¦
(е,),Р-2«рЛ. A.6.25)-'
Для смесн одноатомного и двухатомного газов
(Ср)ср = смсЛ + срМсМ1
или, так как еА = а. см=1 —а,
(«Ap^p^ + O-0)^ A.6.26)е
где первый член справа представляет собой атомарную составляющую средней _
Величина I, равна полной энергии, состоящей из теплосодержания I \€pdT }l
\ о I
( (Um),. A.6.28)^
\о J i -
3 ЭНЕсли"™ссип 6нв78ет7я° ^ага ющая *атома ^о-мвдёкулярная 'смесь3 то Зпрн- "•
'А - f "РА*"" + ('»™>А. 'М = f CrftrfT- (I -6-28')
6
нятьсн из-за подвода или отвода тепла за счет теплопроводности, переноса энер-?
и кислорода, полученных в результате диссоциации воздуха, равна соответствую .
ющнч значениям энтальпии диссоциация, т с.
1

КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ
§ 2.1- МЕТОДЫ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЖИДКОСТИ
Основной задачей аэродинамических исследований является
определение силового взаимодействия и теплообмена между жид-
кой средой и обтекас-мым телом. Решение этой задачи связано с
изучением движения жидкой среды около тела, в результате ко-
торого в каждой точке потока находятся параметры, определяю-
щие это движение, а именно: скорость, давление, плотность, тем-
пература и др. При определенных предпосылках это изучение мож-
но свести к определению поля скоростей, представляющего
собой совокупность скоростей частиц жидкости, т. е. к решению
кинематической задачи. Затем по известному распределению ско-
ростей определяются остальные параметры, а также результирую-
щие силы, моменты и тепловые потоки.
, Существуют два метода кинематического исследования жидкой
среды, один из которых называют методом Лагравжа, другой —
методом Эйлера.
Метод Лагранжа
Метод Лагранжа рассматривает движение индивидуаль-
ных жидких частици определяет для каждой из них ее тра-
екторию, т. е. координаты частиц как функции времени. Но так
как частид бесчисленное множество, то для задания траектории
необходимо определенным образом охарактеризовать ту частицу,
к которой эта траектория относится. При этом в качестве харак-
теристики частицы выбираются ее координаты о.7"с"в "некоторый '"
момент времени t=t0. Это означает, что из бесчисленной совокуп-
ности траекторий данной^ частице' гЗудет~при надлежать' та,, которая:
проходит через точку с" координатам и о, 6, с. В соответствии с этим
уравнение траектории в параметрическом виде будет следующим:
ле=/,(а, Ь, с, /);
y=f2{a, b, с, /); B.1.1)
*=/i(*. *. с, i),
где а, Ь, с, * —параметры Лангража. Величины а, Ь, с являются
параметрами, определяющими траекторию. Составляющие вектора
*" 67

скорости в каждой точке траектории равны частным производным
Vx=dx(dt, Vy — dyjdt, Vi=dzldt, а составляющие вектора ускоре-
ния — соответствующим вторым частным производным УРХ =
=*d*x/dt', Wy = d2y/dP, Wz = dz2/dt2.
Метод Эйлера
В аэродинамических исследованиях чаще пользуются методом
Эйлера, в котором фиксируется в отличие от метода Лагранжа не
частица жидкости, а точка пространства с координатами х,
у, г и исследуется изменение скорости в этой точке с течением вре-
мени. Таким образом, метод Эйлера заключается в выражении
скоростей частиц в функции 'времени / и координат х, у, z точек
пространства, т. е. в задании поля скоростей, определяемых
вектором V= Vxi+ Vy!+ Vzk, где i, /, k — единичные векторы по осям
координат, a Vx=dx/dt, Vy^dyfdt, Vz=dzjdt — составляющие век-
тора скорости, записываемые в виде уравнений:
B.1.2)
Величины X, у, г, t называются переменными Эйлера.
Решая систему дифференциальных уравнений
dxldt—f, (x, у, г, I);
dy/dt = /,l.x, у, г, 1);
dzldt=f3{x, у, г, t).
B.1.3)
можно получить уравнения семейства траекторий в параметриче-
ском виде, совпадающие с уравнениями B.1.1), в которых а, Ь,
е — постоянные интегрирования.
Таким образом, от описания кинематики по методу Эйлера мож-
но перейти к представлению течения по методу Лагранжа. Обрат-
ная задача, связанная с переходом от метода Лангранжа {уравне-
ния B.1.1I к методу Эйлера [уравнения B.1.3)], сводится к диф-
ференцированию уравнений {2.1.1) по .времени с последующим
исключением постоянных а, Ь, с при помощи уравнений B.1.1).
Вычисляя полную производную от вектора скорости по време-
ня, получим вектор ускорения
At A/ A v fill Л?
B.1.4)
Проектируя вектор W на оси координат, получим составляющие
полного ускорения. В развернутом виде эти составляющие запи-

шутся в следующем виде:
B.1.5)
Соотношения B.1.5) для ускорений соответствуют течению, харак-
теризующемуся изменением скорости в данной точке от времени и,
следовательно, неравенством дУ/д{фО. Такое течение жидкости
называется неустановившимся (нестационарным).
Поток жидкости, в котором скор_ость и другие параметры в данной
точке не зависят от времени (dVfdt=O), называется установив-
шимся (стационарным).
Линии тока и траектории частиц
В данный момент времени в потоке можно провести линию, об-
ладающую таким свойством, что каждая частица жидкости, нахо-
Рис 2.1.]. Построение линии тока (а) и трубки тока (б):
дящаяся на ней, имеет скорость, совпадающую по направлению
с касательной к этой линии. Эта линия называется линией тока.
Чтобы получить линию тока, надо поступить следующим обра-
зом. Возьмем в потоке в момент времени t = t0 некоторую точку
А\ (рис. 2.1.1, а) и выразим скорость частицы в этой точке векто-
ром V\. Затем выберем точку А2, соседнюю с точкой At и находя-
щуюся на векторе Р,. Пусть в момент t=Ut вектор скорости в этой
точке равен Kj. Рассмотрим далее точку Аъ на векторе Va, скорость
в которой определяется в тот же момент времени вектором Уз,
и т. д. В результате такого построения получим ломаную линию,
состоящую из отрезков векторов скорости. Уменьшая до нуля эти
отрезки и одновременно увеличивая их число до бесконечности,
получим в пределе линию, которая является огибающей для_всего
семейства векторов скорости. Это я будет линия тока. Очевидно,
каждому моменту времени будет соответствовать своя линия тока.

Для получения уравнения линии тока воспользуемся свойством,
в соответствии с которым в каждой точке этой линии должно иметь
место совпадение направлений вектора скорости V и вектора 4s— .
=dxi + dyj + dzkl где 4х, dy, dz — проекции элемента дуги da линии
тока. Следовательно, векторное произведение dsXV = 0, т. е.
dx dy dz
vx vy v2
i {Vt<ty - VBdz) -
- Vxdz) -f
Отсюда, поскольку, например, Vidy^Vydz=G и т. д., получаем си-
стему дифференциальных уравнений
^^л'- * i dx;Vx=dylVe = dzjVx. B.1.6)
Таким образом, решение задачи об определении линий тока сводит-
ся к интегрированию системы уравнений B.1.6). Каждый нч ин-
тегралов этих уравнений F\ (х, у, г, С\) =0 и F2 (*, у, г, С2)=0
представляет семейство поверхностей, зависящих от одного из па-
раметров, С, или С2, а пересечение этих поверхностей дает семейст-
во линий тока.
В отличие от линии тока, построение которой производится в
фиксированный момент времени, понятие о траектории связа-
но с некоторым промежутком времени, в течение которого частица
проходит определенный путь. Из этого следует, что линия тока и
траектория, являющаяся следом движения одной и той же части-
цы, совпадают ^_уста;юзнвшемся теченм^Если движение яшйКаыи,
нестационарное, то лни'ияТокаТ'траёкторйЯ не совпадают. '
В аэродинамике рассматриваются понятия отрубке тока и
струйке жидкости или газа. Если через точки элемен-
тарного замкнутного контура (рис. 2.1.1, б) провести линии тока,
то они образуют поверхность, которая называется поверхностью
трубки тока; часть жидкости, ограниченная этой поверхностью, и
будет трубкой тока. Если через точки элементарного замкнутого
контура провести траектории, то образуется поверхность, которая
ограничивает часть жидкости, называемую струйкой. Трубка тока
и струйка газа, проведенные через точки одного и того же замкну-
того контура в установившемся потоке, совпадают.
§ 2.1. АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ
В отличие от твердого тела, движение которого определяется
поступательным перемещением вместе с центром масс и вращени-
ем вокруг мгновенной оси, проходящей через этот центр, движение
жидкой частицы характеризуется, кроме того, наличием дефор-
мационного движения, изменяющего форму частицы.
Рассмотрим жидкую частицу в виде элементарного параллеле-
пипеда со сторонами их, dy, dz и проанализируем движение грани
ABCD (рис. 2.2.1). Так как координаты вершин грани различны,

-о скорости, определяемые в некоторый момент времени t = (g, так-
хе будут различными: у ty^j.,
VXA=VAx, У), VxB-*Vx(x-Ldx, у); ' ^
Ум = У,(*> У)- VaB=Ve{x+dx, у);
V*c=Vx{x-\-dx, y + dy), VlD^=Vx[x, y±dy);
Vyc = Vy{x-\-dx, y-\-dy), VaD^Va[x, y-\-dy),
де х,у — координаты точки А.
Разложим выражения для скоростей в ряды Тейлора, оставляя
1 них только величины первого порядка малости, т. е. члены, со-
держащие dx, dy, dz в степени не выше первой. Принимая, что 1
-очке А скорости И*А= Vx « VvA= Vy, получим:
; 9 п.
Из этих выражений следует, что, например, в точке В состэв-
;яюшая скорости по оси х отличается от ее значения в точке А
частицы кой частицы
(а величину (dVxldx)dx. Это означает, что точка В, участвуя в по-
тупательном перемещении со скоростью Vx в направлении оси х
овместно с точкой А, одновременно движется относительно нее д.
¦QM же направлении со скоростью (dVxfdx)dx. В результате про-
и:ходит линейная деформация отрезка АВ. Скорость этой дефор-
хации Qx^dVxfdx.
В направлении оси у точка В перемещается со скоростью Vv
jMecxe с точкой Л и одновременно движется относительно нее с
линейной скоростью (dVjdx)dx, определяемой угловой скоростью
вращения отрезка ЛВ.
Рассматривая точку D, можно по аналогии с точкой В опреде-
лить, что относительная линейная скорость этой точки в направ-
лении оси у равна (dVy!dy)dy и, следовательно, скорость линейной
71

деформации отрезка AD будет Qy = dVy/dy. Угловая скорость вра-
щения отрезка относительно точки А равна — dVjdy (знак минус
учитывает, что точка D вращается относительно точки А в сторо-
ну, противоположную вращению точки В). В результате вращения
отрезков AD и ЛВ происходит скашивание угла DAB (рис. 2.2.2),
т. е. возникает угловая деформация частицы. Одновременно может
произойти поворот биссектрисы AM угла DAB, в результате чего
возникает некоторый угол d$ между ним и биссектрисой AN ско-
шенного угла D'AB'. Таким образом, частица будет дополнительно
вращаться.
Угол поворота биссектрисы (рис. 2.2.2)
Углы da.2 и dai, показанные на рис. 2.2.2, соответственно равны
(dVv!dx)dt и (dVx/dy)dt. Следовательно,
d'i=0,5 (da2 — rfoj)- 0,5 [dVjdx — dVJdy) dt.
Отсюда можно найти угловую скорость df>/dt вращения жидкой
частицы относительно оси г. Обозначая ее ыг, можно написать
к — д'/х'ду). B.2.3)
Если рассмотреть движение ребра AD относительно отрезка
АВ, то, очевидно, угловая скорость этого ребра
Величина .
1 1 ^ '\j Ег = 0>5 [дУу'дх-\-dVх'ду) B.2.4')
называется полускоростью скашивания прямого угла
DAB.
Распространим все наши рассуждения на пространственное те- t
чение и рассмотрим точку С, принадлежащую частице в виде эле- ¦
ментарного параллелепипеда с длинами ребер dx, dy, dz. Скорость ¦¦
в этой точке в момент времени t = ta является функцией координат ¦
x-\-dx, y-\-dy, z-\-dz. Представляя компоненты скорости в виде ряда „
Тэйлора, в котором сохранены члены только первого порядка ма- .
лости, получим:
VхС = Vx 4- (dVXl'dx) dx + {дУл 'ду) dy -f-(dVх!дг) dz;
\/yC = Vy+ {dVs'dx) dx+{dVy.'dy)(fy + (dVy,'ds) dz;
Vzc =Уг-\-[dVz;dx] dx + {dVz,dy)dy + (дУг,Щdz.
B.2.5)
Введем обозначения, аналогичные обозначениям, принятым при
анализе движения плоской частицы. Примем, что Qz=dVJdz. Эта
величина определяет скорость линейной деформации пространст-
венной частицы в направлении оси г. Введем далее обозначения:
-dVt'dx). B.2.6)

Значения atx и щ представляют собой составляющие угловой ско-
рости частицы соответственно по осям х и у. Компоненты угловой
скорости частицы &>х, о>„, az считаются положительными при вра-
щении соответственно от оси х к оси у, от оси у к оси г и от оси г
к оси х. 3 соответствии с этим знаки производных dVyjdx, dVzjdy,
dVx/dz будут совпадать со знаками угловой скорости, а знаки про-
изводных dVxjdy, dVy/дг, dVJdx будут противоположны знакам
угловой скорости.
По аналогии с B.2.4') запишем выражения:
+ dVJdx), B.2.7)
которые равны полускоростям скашивания двух прямых углов па-
раллелепипеда соответственно в плоскостях уОг я хОг.
Путем несложных преобразований можно убедиться в том, что
dVJdy = *х-\-*х\ dVJt!dz=ell-\-my; луАс=в,+«,;
С учетом этих выражений составляющие скорости в точке С мож-
но записать в следующем виде:
Таким образом, движение точки С можно рассматривать как
результат сложения трех видов движенияцюступательного по тра-
ектории вместе с точкой А со скоростью V (Vx, Vy, Vz), вращения
относительно нее с угловой скоростью
»=«.,/ + »,/ + »,* B.2.9)
и деформационного движения. Этот вывод составляет содержание
теоремы Гельмгольца. Деформационное движение в свою
очередь складывается из линейной деформации, характеризуемой
коэффициентами Qx, 0u, Эг, и угловой деформации, определяемой
величинами с», е„, ег.
Линейная деформация ребер элемента обусловливает измене-
ние его объема \ = dxdydz, которое определяется разностью
где dxi, dyu dzY — длины ребер в момент времени t+dt.
Подставляя значения длин, найдем
<tx=dxxdylttzl—dxdydz,
;ины ребер в момент врем<
ния длин, найдем
dx = (dx-\- Tixdxdt) [dy -j- %dydf) (dz-^d/tzdt) —dxdydz.
i выражении членами выше
i
dx = (вт + 9„ + 9Z) dxdydzdt.
Пренебрегая в этом выражении членами выше четвертого поряд-
ка малости, получим

Отсюда можно определить скорость изменения относи-
тельного о б ъе м а, или с ко рость удельной объемной
деформации 9= (l/xjofr/rf/, равную в каждой точке потока сум-
ме скоростей линейной деформации по любым трем взаимно пер-
пендикулярным направлениям:
в = вл+0, + в,. B.2.10)
Величина 0 называется также дивергенцией (расхожде-
нием) вектора скорости в данной точке:
div7=e = VfeF+V B.2.11)
Итак, было показано, что движение жидкой частицы носит
, сложный характер и является результатом сложения трех видов
д[/ движения: поступательного, вращательного и деформационного.
у/ Поток, в котором частицы испытывают вращение, называется
вихревым, а составляющие угловой скорости вращения ь>г, ау,
шг—компонентами вихря. Для характеристики вращения исполь-
зуется понятие о роторе скорости rot К, выражаемом в виде
rot V = 2($. Ротор скорости представляет собой вектор
roiV = (TdtV)xi + {roiV)gj-\-(mtV)ek, B.2.12)
составляющие которого равны соответствующим удвоенным значе-
ниям компонента вихря:
' § 2.3. БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
Во многих случаях при исследовании движения жидкости мож-
но не учитывать вращения из-та пренебрежимо малых угловых
скоростей частиц. Такое движение называется безвихревым.
Для безвихревого потока о)=О (или rot V=0) -и, следовательно,
равны нулю компоненты вихря а>х, шу, ©г. В соответствии с этим
из формул B.2.3), B.2.6) получаем:
dVJdy=dVyldx, dVIjdy = dVllldz, dVxJdz=dVjdx. B.3.1)
Эти равенства являются необходимым и достаточным условием
того,~чтобы дифференциальный трехчлен Vxdx+Vydy+V^z был
полным дифференциалом некоторой функции," характеризующей
поток жидкости так же, как компоненты скоростей У*, Vy, Vi. Обо-
значив эту функцию в виде <$(х, у, г, t) и рассматривая время t
в качестве параметра, можно записать
rf<p = V^x -l- Vydy + V/lz.
С другой стороны, этот же дифференциал
df = (dp/Ac) dx + {d-?ldy)dy + (д?/дг) dz.

Сравнивая два последних выражения, находим:
Ух = дфх, Ув=дфу, V, = dv;dz. B.3.2)
Функция ф называется потенциалом скоростей или п п-
тенциальной функцией, а безвихревой поток, характери-
зуемый этой функцией,— потенциальным. Из соотношений
B.3.2) следует, что частная производная от потенциала <р по коор-
динате равна проекции скорости на соответствующую координат-
ную ось. Это свойство потенциальной функции сохраняется и для
произвольного направления. В частности, тангенциальная состав-
ляющая скорости в какой-либо точке на произвольной кривой 5
будет равна частной производной Ke = ^<p/ds, а нормальная состав-
ляющая Vn~d<$/dnt где п — нормаль к дуге s в рассматриваемой •
точке. Для полярных координат г и 9 проекции вектора скорости
V некоторой точки на направление полярного радиуса-вектор а и на
направление, перпендикулярное этому радиусу-вектору, будут рав-
ны соответственно частным производным:
Как видно, величина скорости в каком-либо направлении опре-
деляется быстротой изменения потенциала <р в том же направле-
нии. Если рассматривается направление s, то быстрота изменения
потенциала равна частной производной по этому направлению
dy/ds. Величину dy/ds можно рассматривать как проекцию на на-
правление я некоторого вектора, называемого градиентом
функции ф и совпадающего с направлением наиболее быстрого
возрастания этой функции. Очевидно, этот вектор равен вектору
скорости V. Обозначая градиент функции в виде grad<p, можем на-
писать
7 = gracl4>, B.3.3)
или, что то же самое,
+ (gr3d4')zA, B.3.4)
где коэффициенты в скобках в правой части представляют собой
проекции вектора градиента скорости на оси координат:
B.3.5)
Использование потенциальной функции существенно упрощает
исследования движения жидкости, так как вместо определения трех
неизвестных, какими являются составляющие скорости Vx, Vv, VIt
достаточно найти одну неизвестную функцию ф и тем самым пол-
ностью рассчитать поле скоростей.

r i [ , J $U УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
Общий вид уравнения неразрывности
Уравнение неразрывности движения в математической форме
представляет собой закон сохранения массы — один из наиболее
общих законов физики. Это уравнение принадлежит к числу ос-
новных уравнений аэродинамики, используемых для нахождения
параметров, определяющих движение газообразной среды.
Чтобы получить уравнение неразрывности, рассмотрим некото-
вый подвижный объем жидкости. Этот объем, изменяющийся по
времени, состоит из одних и тех же частиц. Масса т этого объема
в соответствии с законом сохранения массы остается неизменной,
поэтому можем написать, что pCpx = const, где рОр— средняя плот-
ность в пределах объема т. Следовательно, производная
c/(pcpx)ldi=0 или, учитывая, что плотность и объем величины пе-
ременные,
( VPcp) №ер/Л)+ A/т) (dxjilt) = 0.
Это уравнение относится к произвольному конечному объему. Что-
бы получить соотношение, характеризующее движение жидкости в
каждой точке, перейдем в последнем уравнении к пределу при
т-И), что будет означать стягивание этого объема к некоторой
внутренней точке. Если выполняется условие, при котором движу-
щаяся жидкость сплошь заполняет исследуемое пространство и,
следовательно, пустоты или разрывы не образуются, то в данной
точке плотность будет вполне определенной величиной р и можно
написать уравнение
(]/p)(rfp/?tt)-fdlvF = O, B.4Л)
в котором значение \\т[(\/т) (dx/dt)] заменено согласно B.2.10) »
B.2.11) дивергенцией скорости.
Уравнение B.4.1) представляет собой уравнение нераз-
рывности. Оно получено в общем виде и поэтому может быть
использовано для любой выбранной системы координат.
Декартова система координат
Рассмотрим уравнение неразрывности в декартовой системе
координат. Для этой цели вычислим производную ар (х, у, г, t)jdt
и осуществим в B.4.1) замену divF в соответствии с B.2.11).
В результате получим уравнение неразрывности в следующей
форме:
df,'di + д {?Vx);dx -f д (pVB)/dy +д (?Уг)/дг =0. B.4,2)
Вводя понятие о дивергенции вектора рГ ¦
div (p V) = д (рУх)!дх -\- д [рУя)/ду -\- д (?У2),'дг,

получим вместо B.4.2)
V) = O. B.4.3)
Уравнение неразрывности B.4.2) описывает неустановившееся
течение. Для установившегося потока dp/dt = O и, следовательно.
ш , B.4.4)
или
div(pV?) = 0. B.4.4')
Для двухмерного течения уравнение неразрывности
д (pV,)/Ax+ д [pVg)/dy = 0. B.4.5)
Для несжимаемого потока p = const, поэтому
dV х'дх-\- dV у'ду + dV z'dz = Q, B.4.6)
или
divF = 0. B.4.7)
Для потенциального движения- уравнение неразрывности пре-
образуется с учетом B.3.2) к следующему виду:
A/р)(^р/^/) + ^уЛсг + ау<^ + <Эу<?^^0. B.4.8}
Для несжимаемой жидкости p = consl, поэтому
B.4.8')
Полученное уравнение называется уравнением Лапласа.
Известно, что решением этого уравнения является гармоническая
функция. Следовательно, потенциал скоростей несжимаемого по-
тока ф представляет собой такую гармоническую функцию.
Криволинейная система координат
Формулы преобразования. Некоторые задачи аэродинамики удобнее решать.
являются, в частности, цилиндрическая и сферическая системы координат.
В цилиндрической системе координат положение некоторой точки Р в про-
странстве (рис. 2.4.1) определяется углом у. который образуют координатная
плоскость ц плоскость, проведенная через точку Р п ось координат Oxt и прямо-
угольными координатами х и г в этой плоскости. Формулы перевода от декар-
товой системы координат к цилиндрической имеют следующий вид.
В сферической системе координат положение точки Р (рис. 2.4.2) определяетс
рад™м гК0°РДИНаТЭМН 3 (полярныГ| угол> и ¦ (Д°-П™та), а также полярны
Связь между прямоугольными и сфеонческнми кооотинатами определяетс
следующим образом:
¦* = *¦«)$«, у =/¦ sin flcos^, « = /-
Соответствующие преобразования
картовых координатах, к Т01« „.,„ B1^

можно осуществить двояким путем: либо путем прямой подстановки B 4 91
B.4.10) в эти уравнения, либо применяя более общий метод, основанный на
понятии обобщенных координатных кривых [7]. Рассмотрим этот метод
Элементарные длины дуг координатных кривых в окрестности точки Р в
где <74{n=l, 2, 3)—криволинейные координаты; kt — коэффициенты, называе-
мые параметрами Лэмэ.
Для цилиндрических координат
\
i Чг
I
Рнс. 2.4.1. Элементарная частиц
стн в цилиндрической системе к
Рнс. 2.4.2. Элементарная частица^
жидкости в сфери^сскоп системе^
координат
о из рис. 24.1 следует, что для цилиндрическ
Иэ рнс. 2.4.2 можно определить длины дуг соотве
dsi = dr, ds2 = rd6, ds3 = г sin
*, = 1, кг=\, к3=--г,
B.4.14):-
твующих координатных
B.4.16)i
B.4.17)i
зол иней ных координатах, которые
к этим координатам уравнения н
функции Ф
ега<1Ф = (йФ/^,)/[
t необходимы для преобразовав
ти. Градиент некоторой ci - ч
B.4.Щ

Для дальнейших преобразований воспользуемся сведен
тнки, в котором изучается векторный анализ. Найдем ,
Проведя операцию дивергенции для обеих частей этого равенства, получим
_ з
dlv V= ^ (^d'v»"ji -т- '«grad Vi,). B.4.20)
Для определения div („ воспользуемся известным соотношением векторного
diWn = div((m X Ij) = lj rot im - (« rot (/f B.4.21)
где л принимает последовательно значения п=1, 2, 3, которы.ч соответствуют
значения т=2, 3, I и /=3, I, 2. В свою очередь в это соотношение входят под-
лежащие определению векторы rot im или rot is. для которых введем общее обо-
значение roti'n. Привлекая B.4.18) и используя общие методы преобразования
Теперь внесем B.4.22) в B.4.21). Естественно, что при такой подстановке
надо предварительно произвести замены индекса п у rotin ня т и /, а также
осуществить соответствующую расстановку индексов в правой части B 4.22).
Теперь можно подставить
в соответствии с B 4.18)
А1А2йз L &Я1 &Яг &4i J
Имея это выражение, можно рассмотреть преобразование уравнения неразрыв-
ности B.4.1) к различным формам криволинейных ортогональных коордниа,.
Цилиндрические координаты. В цилиндрических координатах
параметры Ламэ даются выражениями B.4.16), а значения qn
(«-1, 2, 3) —соотношениями B.4.12). Составляющие скорости по
осям цилиндрических координат;
t). B.4.25)
С учетом этого дивергенция скорости B.4.24)
divI^+^ + A.^i. B.4.26)
Ох дг г ду г

Для преобразования к цилиндрическим координатам производ-
ной dpfdt, входящей в уравнение неразрывности B.4.1), восполь-
зуемся формулой преобразования
*L=*La.-E1-.1S1~lJ1-.*S*- + JI- -Ю. B427)
dt dt dq, dt ддг dt ' dq3 dt '
в которой f(x, у, г, i) —некоторая функция декартовых координат
и времени. Получаем
rfp dp . dx д? . dr д? . tfy dp _
dt ~ dt dt ' dx ^ dt dr ' dt ду ~
Внося значения для div К я dpfdt в уравнение B.4.1), находим .
dt + dx + dr + r ' dy + r ( ¦ ¦ J
Это уравнение можно написать в несколько иной форме:
Для частного случая установившегося движения
дх ~ дг * г ду '
Для потенциального движения в уравнение неразрывности мож-
но внести замены:
Ул=ду/дх, Vr=dy/dr, У^ = (\/г)(дф\). B.4.25')
Если одновременно движение газа осесимметричное, как, напри-
мер, при обтекании под нулевым углом атаки тела вращения, то
параметры потока не зависят от угловой координаты \ и, следова-
тельно, уравнение неразрывности будет иметь более простой вид:
d(prVx)idx-\-d(prVr)/dr = O. B.4.32)
Уравнения B.4.5) и B.4.32) можно объединить в одно, на-
писав
d(?y'Vx);dxi-d(?y'V!/)/dy = O, B.4.32')
где для двухмерного плоского течения е = 0, а для двухмерного осе-
снмметричного потока е=1, У = г-
Сферические координаты. Воспользовавшись соотношением
B.4.24), имея в виду формулы B.4.13) для сферических координат,
а также зависимости B.4.17) для параметров Ламэ и выражения
SO

дли составляющих скорости:
1Л = К,=—, V2 = Vs = —.~, V'3 = V,=rsin')^i, B.4.33)
dt г dt dt л
можно написать для дивергенции скорости
Полную производную для плотности dp/dt в соответствии с
B.4.27) представим следующим образом:
rfp dp . dp dr | dp rffl I _?p_ <fy
~~dT~~дГ ~dr~' ~dl~ di ' dt ty ' dt ~
Внося значения divF из B.4.34) и производной dp/dt из B.4.35)
в B.4.1) и группируя члены, будем иметь
* 1 dl,Vrr*) I _d(p^sin8> l _Д(^)_аEЛ36)^
d/ г^ йг г sfn 0 дЬ г sin 0 ^ф
Для установившегося движения частная производная dpldt — f).
Следовательно,
В частном случае несжимаемой жидкости (p=const)
J__?OVf)_l—J_. a(yi8in8) ^—J_.i^L^o. B.4.3S)
Для преобразования уравнения неразрывности в случае потен-
циального движения следует произвести замены:
B.4.39)
Уравнение неразрывности движения газа
вдоль криволинейной поверхности
_Рассмотрим частный вид уравнения неразрывности в криволи-
нейных ортогональных координатах, которое применяется при ис-
следовании обтекания криволинейной стенки. Ось х в этой системе
координат совпадает с контуром стенки, а ось у — с нормалью
к этой стенке в рассматриваемой точке. Координаты точки Р на
плоскости (рис. 2.4.3) равны соответственно длине х, отсчитывае-
мой вдоль стенки, и расстоянию у, определяемому по нормали к
иен. Предположим, что стенка является поверхностью вращения,

обтекаемой осесимметричным потоком газа. Криволинейными ко-
ординатами точки Р будут
q,=x, q. = y, <73 = V- B.4,40)
Элементарные длины дуг координатных линий:
где г — радиальная координата точки Р, отсчитываемая по норма-
ли к оси поверхности вращения; R — радиус кривизны поверхности
в рассматриваемом сечении.
Следовательчо, парамет-
ры Ламэ:
3
B.4.42) •
Теперь воспользуемся '
формулой B,4.24) для divF,
в которой составляющие ско-
рости
= dy/dt, V3=0. B.4,43)
В результате подстанов-
ки получаем
Вычислим полную производную для плотности;
dp dp . dp dx . dp dy __ dp ]
dt ~ dt dx ' dt dy ' dt ~~ dt l
_j._ijL_. jL + t/^. B.4,45) •
Внося выражения B.4.44) и B.4.45) в B.4.1), после несложных4
преобразований получим уравнение неразрывности в следующем '
виде;
от oj: oi/ I
При исследовании движения газа около стенки с малой кривиз-.|
ной или в тонком слое, прилегающем к поверхности (например, в^

пограничном слое), координата y^R. Следовательно, можно при-
нять, что
(d?;d:)r-\-d(prV х);дх+ d(?rV у);ду = О. B.4.47)
Полученное уравнение такое же по форме, как и для поверхности
с прямолинейной образующей. В случае установившегося движения
d{prVx):dx+d(prVv);dy = Q. B.4.4S1
При двухмерном движении около криволинейной стенки (цилинд-
рической поверхности) уравнение неразрывности будет иметь сле-
дующий вид:
Л.{1 + ут + гШ.+>М11 + и1>М = 0. B.4.49)
Для случая y^.R можно написать приближенно
d?/dt+d(pVjMdx-\-d{pVy)/dy=O. B.4.50)
Таким образом, для движения вблизи стенки уравнение нераз-
рывности в криволинейных координатах будет по внешнему виду
таким, как в декартовых координатах.
Для установившегося течения dp/dt = O; тогда уравнение нераз-
рывности
d(PVxydx-\-d[?Vy)/'dy = 0. {2.4.50')
Уравнения B.4.48) и B,4-50') можно объединить в одно, написав
d[?Vir%'dx-^d{pVyr'lldy=O, B.4.48')
1де е = 0 для двухмерного плоского течения и е=1 для двухмерного
пространственного осеснмметричного потока.
Уравнение расхода
Рассмотрим частный вид уравнения неразрывности для устано-
вившегося жидкого потока, представляющего собой по форме
струйку. Масса жидкости в некотором фиксированном объеме, ог-
раниченном поверхностью струйки и торцовыми плоскими сечения-
ми, не меняется от времени вследствие того, что в каждой точке вы-
полняется условие dp/dt=O. Поэтому масса жидкости, поступаю-
щая в единицу времени в объем через торцовое сечение площадью
Si и равное piVjS], будет таким же, как и масса жидкости рг^г^г.
вытекающая через противоположное сечение площадью Sj (pi, рэ—
плотности; Vi, V3 — скорости соответственно в первом и втором се-
чениях струйки). Таким образом, piV,S, = p2VaS2, Так как это ра-
венство можно отнести к любому сечению, то можно написать в
общем виде
PV5=const. B.4.5I)
Это уравнение называется уравнением расхода.

§ l.i. ФУНКЦИЯ ТОКА
Изучение безвихревого течения газа упрощается, если свести
его к отысканию одной неизвестной потенциальной функции, пол-
ностью определяющей это течение (см. § 2.3). Покажем, что для
некоторых видов вихревого потока существует функция, также оп-
ределяющая его кинематические характеристики.
Рассмотрим двухмерное (плоское или пространственное осесим-
метричное) установившееся вихревое движение жидкости. Из
уравнения неразрывности B,4.32') можно установить, что сущест-
вует некоторая функция if координат х, у, определяемая соотно-
шениями:
Действительно, подставляя эти соогношения в B.4.32'), получим
д2У1(дудх)=д1Ы(дхду), т. е. тождество. Внося B,5.1) в уравнение
линий тока Vy/dy^Vx/dx, написанное в виде
py-Vjix-pyVJy^, B,5.2)
получим выражение
dd
из которого следует, что B.5.2) представляет собой дифференциал
функции ф и, следовательно,
db = O. B..5.3)
Интегрируя B.5,3), найдем уравнение линий тока в виде
O(jc, y) = const. B.5.4)
Функция ф, называемая функцией тока, полностью определяет
скорости вихревого потока в соответствии с соотношениями
Vx = {\/?y*)(dt'dy), Vg = —(l/py*){d№x). B.5.5)
Напомним, что для плоского потока в этих выражениях надо при-
нять е=0, а для пространственного осесимметричного течения
г=\,у = г.
Семейство линий тока потенциального потока можно также ха-
рактеризовать функцией if = const, которая связана с потенциалом
скоростей соотношениями
d?!dx={lfty)(dydy), д?;ду= -(Уру)(д$;дх). B.5.6)
Полагая в B.5.5) и B.5,6) p = const, получим соответствующие
выражения для несжимаемого потока:
B.5.7)
х = (\1у'){д-Уду), д?'ду=—{I/у){дудх). B.5.8)

Полагая в последних равенствах е=0, получим для несжимаемого
плоского потока уравнения:
д?:дх=д#ду. dt!dy=—d'->!dx. B.5.9)
Зная потенциал скоростей, можно исходя из этих уравнений оп-
ределить с точностью до произвольной постоянной функцию тока,
и наоборот.
В потенциальном потоке наряду с линиями тока ложно про-
вести семейство эквипотенциальных кривых (на плоскости) или
эквипотенциальных поверхностей (в осесимметричном потоке), оп-
ределяемое уравнением ф= const.
Рассмотрим векторы
направления которых совпадают с направлениями нормалей соот-
ветственно к кривым <p = const и t|j = const. Скалярное произведение
этих векторов
grad <p grad *=(д?/дх) {дудх)+(дъду) (д j/dy).
Учитывая формулы B.3.2) и B.5.5), можно установить, что это
скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что линии
тока будут ортогональными к эквипотенциальным линиям (на
плоскости) или эквипотенциальным поверхностям (в осеснмметрич-
ном потоке).
Б 2Л. ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ
Вихревой линией называется некоторая кривая 5, постро-
енная в данный момент времени в.потоке жидкости и обладающая
тем свойством, что в каждой ее точке вектор угловой скорости и
совпадает с направлением касательной.
Построение вихревой линии ведется аналогично линии тока (см.
рис. 2,1.1) с той разницей, что вместо векторов поступательной ско;
рости__ берутся векторы угловой скорости вращения частиц из
(ш|, tt>2 и т, д.). В соответствии с этим определением векторное
произведение (aXdS=0, т. е.
dx dy dz
Отсюда, принимая во внимание, что, например, ш^г— ыг#1/=0
и т. д., получаем уравнение вихревой линии
Проведя вихревые линии через точки элементарного контура с пло-
щадью сечения ст, получим вихревую трубку. Произведение
(ост называется интенсивностью или напряжением вих-
ревой трубки или вихря.

Докажем, что интенсивность вихревой трубки есть величина по-;;
стоянная для всех ее сечений, С этой целью воспользуемся анало-
гией с течением несжимаемой жидкости, для которой, как было"
показано, divF=0. Следствием этого является уравнение расхода
для струйки ViS] = V2S2=- = VS = const.
Рассмотрим вихревое движение и выражение для дивергенции
вектора угловой скорости
Подставляя сюда вместо компонент ш их значения из B.2.3) и
B,2.6), получим при условии, что вторые_производные от Vx, Vv, Vt
являются непрерывными, выражение diva> = 0. Используя аналогию^,
с уравнением расхода VS = const, получим уравнение для потока'^
вектора ы вдоль вихревой трубки в виде ¦ *
(flj3j =вJэг= . . . =0K =COn?t. B.6.2) ',.
Это уравнение выражает теорему Гельмгольца о постоянстве вдоль *
вихревой трубки ее интенсивности. Из этой теоремы вытекает свой- -"
ство вихревой трубки, заключающееся в том, что она не может.¦;
внезапно оборваться или закончиться острием, i
Последнее обусловлено тем, что при площади сечения трубки^
<г-*0 угловая скорость вращения м стремилась бы в -соответствии'":
с теоремой Гельмгольца к бесконечности, что физически нереально»-*
S 3.7. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ^
Понятие о циркуляции скоросл
Понятие о циркуляции скорости имеет большое значение в аэр(^
динамике и используется при исследовании обтекания летательнь*
аппаратов и, в частности, при определении подъемной силы, деЯЬ
ствующей на крыло, '.;!*
Рассмотрим в потоке жидкости некоторый фиксированные
замкнутый контур К, в каждой точке которого известна скорОСТГ
V, и вычислим интеграл по этому контуру: >
Г= f Vdl, B.7.f'
где Vds — скалярное произведение двух векторов V и ds.
ленная таким образом величина Г называется циркуля
скорости по замкнутому контуру. Так как
V = Vj + Vyj-\-Vzk и ds = dxl-\-dyj+dzk, то
B.7

Учитывая также, что скалярное произведение Vds=V cos{Vds)ds=
=^V/i$, где V6 — проекция скорости на касательную, получим
Г= Г V/ts. B.7.3)
(R)
Если контур совпадает с линией тока в виде окружности радиу-
са г, в каждой точке которой скорость Vs одинакова по величине н
направлению, то
Г = 2яг1/Я. B.7.4)
Циркуляцию скорости в безвихревом потоке можно выразить
через потенциал скоростей. Полагая, что Vxdx+ Vd+Vdd
получим для незамкнутого контура L
Г= f df=VA-VB,
где фд и *рв — значения потенциальной функции на концах конту-
ра. Для замкнутого контура фд и щ представляют собой значения
потенциала скоростей в точках А и В контура, совмещенных друг
с другим, Если потенциальная функция является однозначной, то
<рл=Фя и циркуляция скорости по замкнутому контуру равна нулю;
неоднозначность потенциала скоростей (фд#фв) определяет вели-
чину циркуляции, отличную от нуля.
Теорема Стокса
Рассмотрим элементарный контур ABCD (см. рнс. 22.1) и вычислим цирку-
ляцию по этому контуру. Примем, что вдоль каждого ребра скорости постоянны
и равны следующим значениям;
л » ciupuuy с
шей угловой
Аналогично ,
гнх выражен]
ограниченные
ых резудьта!
юстранстве н
IC1I у), П<
аправление обхода
>лучим для цнркул:
lx+ (v9 + —jLdx\dy-
dTt = {dVyjdx — dVx ду
B.2.3)
скорости
.южно Д1
а
лш лр01
¦ов для
величина в скобкам
i 2ы,. Следователе
оказать, что
введения диффере!
площадки da, про;
|екной элементарнь
; ран
нциа.
1тарн
нзво.'
гура против ч
dVx \
)dxd,j.
на удвоенном
'juifixdz.
юв представ;
асовой стр.
dx - Vydy
Iя ют собой
ыми контурами р4 \* учч1.
тьиым образом ориентир
(нтуром, циркуляция
B.7.7)

где ш„ —составляющая угловой скорости по направлению нормали п к пло-
щадке da. В соответствии с B.7.7) циркуляция скорости по элементарному замк-
нутому контуру равна удвоенной интенсивности вихря, расположенного внутри
контура.
Соотношение B.7.7) может быть распространено на случай контура L ко-
Формула B.7.8) выражает теорему Стоксэ: циркуляция скорости по замкнуто-
му контуру L равна удвоенному интегралу от интенсивности вихрей, проходящих
Если циркуляцию Г в B 7.8) заменить по формуле B 7.3), то пелучнм .
висимость, выражающую интеграл по контуру К через интеграл по по-
рхносги S. ограниченной этим контуром К,
Однако теорему ¦
вается одним наружные i, несколькими внутренними контурами). При этом
B.7 8") применяется при условии, что наружный контур соединяется с внутрен-
ная область. Тогда двойной интеграл в B 7.8") распространяется hj заштрихо- j
ванную область {рис. 2.7.1,6), а контурный интеграл берется для полученной "
по всем внутренним' контурам В соответствии' с этим и согласно формуле-1

гкуда циркуляция по контуру К рассматриваемой области
Скорости, индуцируемые вихрями
Возникающие вихри вызывают в окружающем пространстве, за-
нятом жидкостью или газом, дополнительные скорости. Этот эф-
фект аналогичен электромагнитному влиянию проводника, по
которому течет электриче-
ский ток. В соответствии с
такой аналогией скорости,
вызываемые вихром, называ-
индуцирован-
. 2.7 2 Cxei
ются
ными.
Указанная электромаг-
нитная аналогия находит
свое выражение в том, что
для определения индуциро-
ванной вихрем скорости при-
меняется формула Био —•
Савара, подобная той, кото-
рая выражает известный ззкон электромагнитной индукции.
Рассмотрим криволинейный вихрь произвольной формы (рис.
2.72), Вектор скорости dw, индуцированной элементом вихря dL
в точке Л, положение которой определяется радиусом-вектором
г, совпадает по направлению с векторным произведением rXdL,
т, е. вектор dw перпендикулярен плоскости, содержащей векторы Г
и dL. Значение dw определяется при помощи формулы Био — Са-
вара, которая в векторной записи имеет следующий вид:
где Г —циркуляция скорости. С выводом формулы B.7.9) можно
ознакомиться по книге [23].
Так как модуль векторного произведения |rxd?| — rsinadL, где
а —угол между направлением элемента вихря и радиусом-векто-
ром г, то величина индуцированной в точке Л скорости
dw = (Т/Ал) (sin adL/r2).
B.7.10)
Применим формулу Био —Савара для вычисления скорости,
индуцированной участком прямолинейного вихря (рис. 2,7.3). Так

n a = Ada/sin2a, то
^—fcosa.—cosoj]. B.7.11)
nn
Для вихря, оба конца которого уходят в бесконечность (бесконеч-
ный вихрь), сц = 0, ав = л, следовательно,
B.7.12)
Для вихря, у которого один конец уходит в бесконечность, а дру-
гой берет начало в точке Л (полубесконечный вихрь), ai = 0, aj=
= я/2. Поэтому
И1 = Г/DяА). B.7.13)»
Если в жидкости расположены два или несколько вихрей, таз
они взаимодействуют друг с другом, вследствие чего вихревая си-;:
стема будет находиться в движении. Скорости этого движения on-J
ределяются при помощи формулы Био —Савара. Возьмем в каче-
стве примера два бесконечных
вихря с одинаковой интенсивно-:
стью и направлением вращения
(рис. 2,7.4,а). Эти вихри сообща-
ют друг другу равные по величи-
не и противоположные по направ- .
лению скорости Уг= —Г/BяА),;
V\—TI{2nh), в результате 4eroJ
оба вихря будут вращаться около;
оси, проходящей через середину^
расстояния между вихрями, Если]
из двух вихрей один будет иметь-д
интенсивность, обратную по знаку^
(рис. 2.7,4,6), то индуцированный
скорости будут одинаковы по ва-Ч|
правлению, и, следовательно, СВ'|

стема вихрей будет перемещаться поступательно со скоростью V=
= Г/BяЛ) в направлении, перпендикулярном прямой, соединяющей
вихри.
5 2.8. КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Движение безвихревого несжимаемого потока можно полностью
определить, если известна потенциальная функция ф или функция
тока ф, связь между которыми дается уравнениями B.5.9), извест-
ными в теории функций комплексного переменного как уравнения
Коши — Римана. Эти уравнения выражают необходимые и доста-
точные условия того, что комбинация из двух функций <р + и|> яв-
ляется аналитической функцией комплексного переменного г=
=x + iy) т. е. дифференцируемой во всех точках некоторой области.
Введем обозначение для этой функции:
W(z)=9-\-fy B.8.1)
Функция W(z), которая будет определена, если функции от двух
действительных переменных tp = tp(x, у) и ty = ty(x, у) удовлетворяют
дифференциальным уравнениям B.5.9), называется комплекс-
ным потенциалом. Если вспомним, что значения функций
$(х, у) или т|)(я, у) позволяют однозначно определить поле скоро-
стей в движущейся жидкости, то, следовательно, всякий двухмер-
ный плоский поток может быть задан комплексным потенциалом.
Отсюда задачу о расчете такого потока можно свести к нахожде-
нию функции W(z). Вычислим производную по комплексному пе-
ременному г от функции W(z):
dWldz=df;dx+i[db'dx). B.8.2)
Так как дц'дх = Ух, d^Mdx=—Vat то
dW/dz = Vx-iVg. B.8.3)
Это выражение называется комплексной скоростью, мо-
l
получим
dWjdz=* Ve-1*. B.8.4)
S 2.9. ХАРАКТЕРНЫЕ ВИДЫ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ
их «o«mmM хаРакТеРн"е виды потоков несжимаемой жидкости,
яия для кпмплрУК> каРтинУ (аэродинамический спектр), выраже-
TPHnuanuut, 2 ? потенциалов, а также соответств\ющих по-
тенциальных функций и функций тока.
91

Плоскопараллельный поток
Пусть движение жидкости задано комплексным потенциалом
W[z)=V (cos f)~i sin b) z, B.9.1)
где У и 0 — некоторые величины, постоянные для данных условий.
В соответствии с B.8.1)
<р + /ф=^(со5в — isin H)(x + iy),
откуда находим потенциал скоростей и функцию тока:
ср= V (jccos 8 + jf sin 6); B.9.2)
¦ц= V(ycosB~xsm В). B.9.3)
Из выражений для ф или tJj следует, что рассматриваемый поток
плоский и установившийся, так как время в них явно не входит.
В таком потоке линии тока и траектории совпадают.
Из B.9.2) можно найти составляющие скорости потока:
df/dx = Vx = Vcosu, dtt/dy = VB = Vslnfb, df!dz^V, = 0. B.9.4)
Здесь V — полная скорость потока, а 0 — угол между ее направле-
нием и осью х. Приравнивая функцию тока т|> B.9.3) постоянной и
включая в нее V, получим уравнение
у cose — х sine = const, B.9.5)
тока будет таким, как показано на рис. 2.9.1. Этот поток называет-
ся поступательным плоскопараллельным пото-
ком.
В частном случае, когда поток параллелен оси х @ = 0, VX=V,
У„ = 0), комплексный потенциал
W{z) = Vz. B.9.6)
Плоский точечный источник и сток
Рассмотрим комплексный потенциал
W(z) = (q/2n)\nz, B.9.7)
где q —¦ некоторая постоянная величина. Это уравнение перепишем
Е виде
где г— расстояние до точки с координатами х, у (полярный ради-
ус): 0 — полярный угол.

Из полученного уравнения следует, что
f = (qf2a)lur = (q/2x) In Vx2-ry2; B-9.8)
B.9.9)
Из B.9.8) находим, что радиальная составляющая скорости (по на-
правлению радиуса г)
df/dr=V,~qX2xr), B.9.10)
а составляющая по нормали к этому радиусу
Таким образом, получили поток, линии тока (траектории) которого
представляют собой семейства прямых, проходящих через начало
величина q i
источника.
Наряду с источнееком существует веед движения жидкости, на-
¦ зываемьш плоским точечным стоком. Комплексный по-
тенциал стока
W(z)=~(qj2n)lnz. B.9.11)
Знак минус указывает, что в отличие от источника движение будет
происходить к центру. Сток, как и источник, характеризуется мощ-
ностью, или интенсивностью, q (расходом в единицу времени).

Пространственный источник и сток
Помимо плоских существуют пространственные точеч-
ные источники (стоки). Поток от них задается следую-
щими условиям»:
* 4я ' ДЗ ' у 4л ' R> ' г -1л Д!
где R=Yх2-\-у2-\-г2; q — интенсивность источника (знак плюс;
или стока (знак минус). Интенсивность источника (стока) равна
величине q, определяемой как секундный расход через поверхность
сферы радиуса R. Полная скорость
и совпадает с направлением радиуса-вектор а #. Поэтому потенци-
ал скоростей зависит только от Я и, следовательно, можно написать
После интегрирования получим
Ч=Т q!Dnfi), B.9.14,
где знак минус относится к источнику, а знак плюс — к стоку. ¦
Диполь
Рассмотрим поток, комплексный потенциал которого
Г(г) = (.М/2я)A/г), B.9-15)
где М — некоторая постоянная величина. В соответствии с этим
уравнением
Преобразуем правую часть этого равенства. Принимая во внима-
ние, что
= — (cosfl —г sin6
re" г (cos fi + /sin 6) г
получим
?+/
Отсюда находим
; B.9.16);;
п 6/г). B.9.17) |
Полагая 0 = coast и учитывая, что r = Yx2-\-y2, a s\n9 = yjr= ^
= ylYx--\-y2, получим уравиэниз семейства линий тока рассмат-.}
риваемого течения Я
. B.9.18)']

Семейство линий тока представляет собой бесчисленную совокуп-
ность окружностей, проходящих через начало координат и имею-
щих центры на оси у (рис. 2.9.3, а).
Чтобы представить физическую картину этого течения, рассмот-
рим поток, который получается в результате сложения течений от
источника и стока одинаковой интенсивности, расположенных на
оси х на малом расстоянии б от начала координат (рис. 2.9.3, 6).
Для точки М{х, у) потенциал скоростей потока от источника, рас-
положенного на расстоянии rt, будет фИСт= (<?/2л) Inn, а от стока,
расположенного на расстоянии гг от этой точки, фст= (—<?/2я) In r2.
Чтобы определить суммарное течение от источника и стока, вос-
пользуемся методом наложения несжимаемых потоков. По этому
Рис. 2.9.3. К определению диполя:
•етоду потенциал скоростей суммарного течения ф = фист + фст.
Действительно, в силу уравнения неразрывности (уравнения Лап-
ласа), получающегося из BА.В'),
.т + У„)
= 0.
Так как функции
„+„„ \J\tJ
то сР<р1дх2+д2ц1ду2 тождественно равно нулю. Следовательно, сум-
марная функция ф удовлетворяет уравнению неразрывности. Сум-
марный потенциал от источника и стока
Так как гг=
Величину в можно выбрать такой, что второй член в скобках будет
«алым по сравнению с единицей. Применяя формулу разложения в

ряд для логарифма я пренебрегая членами второго и более высо-
кого порядка малости, получим
„ = Л. ? . B.9.19)
Пусть источник и сток сближаются (г-»-0) и одновременно с этим
увеличиваются их мощности так, что произведение q-Чъ в пределе
при совмещении источника и стока стремится к некоторой конеч-
ной величине М. Образующийся при этом сложный поток называ-
ется диполем, величина М, характеризующая этот поток, — мо-
ментом диполн, а ось х — осью диполя. Переходя к пре-
делу в B.9.19) для ср при е-»-0 и 'iqz-^-M, получим для диполя вы-
ражение
_ м х м cose
^~ 2л ' хъ + у* ~~2л '~7~ '
совпадающее с B.9.16). Таким образом, рассматриваемый поток,
.характеризующийся комплексным потенциалом B.9.15), является
диполем. Это же можно показать, если рассмотреть функцию тока
такого совмещенного течения, которая будет совпадать с B.9.17).
Нетрудно видеть, что формулы B.9.10) и B-9.17) можно предста-
вить также в виде:
B-9Л6''
Осуществляя дифференцирование B.9.16), определим составля-1
ющие скорости диполя:
Рассмотрим пространственный случай. Для течения, созданного i
источником и стоком одинаковой интенсивности q, помещенными на
оси Or (r= \^у2-\-г2) в точках/¦=—е н г= +е, потенциальная
функция в соответствии с B.9.14) будет . ,
4д\«г R,l ta
Для малых значений s
(г +
и величина
]. B.9.20')

После подстановки ее в B.9.20') получим
Отсюда при переходе к пределу при в->0, считая, что произведение
q-2e стремится к конечному пределу М, получим для течения, соз-
данного диполем с моментом М, потенциал скоростей
c2 + 'K/2 B.9.21)
T__^L.JL(-L). B.9.2Г)
Если источник и сток одинаковой интенсивности д расположе-
ны на оси Ох в точках х= —е и х—f-e, то при в-»-0 потенциал те-
чения от диполя
„=»-. * =_JL.-i-(-L). B.9.21")
Циркуляционный поток (викрь|
Рассмотрим течение, заданное комплексным потенциалом
W{z)=-al\nz, B.9.22)
где а — некоторая постоянная величина. Перепишем это уравнение
в виде
т -f I'/ = — al In (re»)=а (в - Лп г).
Отсюда находим:
<р=ав; B.9.23)
$=— alnr. B.9.24)
Из ^2.9.23) следует, что радиальная составляющая скорости
Уг=<Эф/о> = 0, а нормальная к радиусу составляющая VS paiMia
производной от ф по дуге s линии тока, т. е.
,_л/г. B.9.25)
Уравнение линий тока (траекторий) получим из условия i|' =
= const, что дает в соответствии с B.9.24) уравнение r=const. Это
уравнение представляет собой семейство линий тока в виде кон-
центрических окружностей. Вдоль них направление движения по-
ложительное, если оно происходит против часовой стрелки (от оси
плюс ' " ЭТОМ ^У" коэффициент а в B.9.25) будет со знаком
Такой поток, в котором частицы перемещаются (циркулируют)
вдоль концентрических окружностей, называется циркуляци-
онным потоком (рис. 2.9.4).
Так иклЭ™ ск.орос™ ¦ Рассматриваемом потоке r=2w(dip/ds).
1аккак oV<fc=a/r, то Г=2яо, откуда а-Г/Bя). Таким обршом.

физический смысл постоянной а состоит в том, что ее величина
определяется циркуляцией потока, которая, как было установлено,
в свою очередь равна интенсивности вихря. Поток, создаваемый
вихрем, расположенным в начале координат, где V,—a/r-^оо, на-
зывается также плоским вихревым источником или
просто вихрем.
Таким образом, в данном параграфе были рассмотрены простей-
шие случаи течения, для которых точно определены потенциалы
У
:. 2.9.4. Цнркул(
(нихрь)
скоростей и функции тока. Комбинируя эти течения, можно при оп-
-ределенных условиях получить более сложные потенциальные по- «
токи, эквивалентные тем, которые возникают при обтекании тел ;
заданной формы. ;

ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
f 3.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
К числу основных уравнений аэродинамики относятся уравнения
движения, составляющие ее теоретический фундамент. Они связы-
вают между собой такие параметры, определяющие движение, как
скорость, нормальные и касательные напряжения, решение урав-
нений движения позволяет определить эти неизвестные величины.
Рассмотрим различные виды уравнений движения, применяемых
при исследовании газовых течений.
Декартовы координаты
Рассмотрим движение жидкой частицы в виде элементарного
параллелепипеда с измерениями dx, dy, dz, построенного около точ-
ки Л с координатами X, у, z. Составляющие скорости в этой точке
обозначим Vx, Vy, Vt- Движение жидкой частицы с массой рт (т =
= dxdydz~ элементарный объем) происходит под действием мас-
совой и поверхностной сил. Обозначим проекции массовой силы че-
рез Х(лг, Урт, Zpt, а проекции поверхностной силы — через Рхх,
Л/Т, Р3х. Значения Рх, Ps, Р* представляют собой проекции вектора
поверхностной силы, отнесенной к единице объема.
Уравнение движения частицы в проекции на ось х будет иметь
вид
pxdVxldt = Xpx-\-Pfx,
откуда
dVJ(it = XJr0,'p)P,r, C.1.1)
где dVx/dt — полное ускорение в направлении оси х. Аналогично
можно получить еще два уравнения в проекциях на оси у и z\
dV))/dt=r-\-(\/p)Py; C.1.2)
dVJdt=Z + (Vp)Pt. C.1.3)
nw!??BepXHOCTHyi° силУ можно выразить через напряжения, дейст-
SSS^r ГРаНИ злгчен^рного параллелепипеда. Различие в по-
верхностных силах по сравнению с идеальной (невязкой) средой

состоит в том, что на грани частицы будут действовать не только
нормальные, но и касательные напряжения.
Каждая поверхностная сила, действующая на грань, будет иметь
три проекции на координатные оси (рис. 3.1.1). На единицу поверх-
ности левой грани действует поверхностная сила, проекции которой
обозначим через рхх, ххг, тху. Величина рхх представляет собой нор-
мальное напряжение, a rXZl тху — касательные напряжения. Как
видно, первый индекс указывает ось, перпендикулярную рассматри-
ваемой грани, а второй — ось, на которую спроектировано данное
напряжение. На заднюю грань, перпендикулярную оси г, действуют
составляющие напряжения р:г, t!S, т;„, на нижнюю грань, перпенди-
кулярную оси у, — составляющие риу, тух, хуг.
При этом условимся считать нормальные напряжения положи-
тельным», если они направлены из выделенного элемента и, следо-
(идкую
етицу
вательно, подвергают его всестороннему растяжению, как это по-
казано на рис. 3.1.!. Касательные напряжения со знаком плюс бу-
дут в том случае, если для трех граней, пересекающихся в исход-
ной точке А, эти напряжения ориентированы по направлениям, про-
тивоположным положительным направлениям осей координат, а
для других трех граней — в сторону положительного направления
этих осей. С учетом этого рассмотрим проекции поверхностных сил
на ось х. На левую грань действует сила от нормального напряже-
ния — pIxdydz, а на правую \рхх+ (dpxx/dx)dx]dydz. Следовательно,
равнодействующая этих сил равна (dpxx/dx)dxdydz. Составляющие
сил от касательных напряжений, действующих на эти грани, будут
равны нулю.
Необходимо, однако, учесть касательные напряжения т„ к т„Е.
На заднюю грань действует сила —xzxdxdy, а на переднюю [xzx +
+ (dxzxldz)dz]dxdy. Равнодействующая этих сил равна
(chixidz)dxdydz. Аналогично получим равнодействующую сил, дей-
ствующих на нижнюю и верхнюю грани, которая будет равна
(к/ду) ddyd
100

Ш' Таким образом, проекция на ось х поверхностной силы, отнесен-
ррой к единице объема,
'Г Рх=дрхх/дх ~\- дхи Г/ дУ т fatxfiz- C-1.4)
1 Диалогично получим проекции на другие координатные оси поверх-
" постной силы, отнесенной к единице объема:
Касательные напряжения, действующие по ортогональным гра-
ням, равны между собой, т. е. тм=тХ7, тг„ = т,„ и тух = хху. Это мож-
но доказать, если составить уравнения моментов действующих на
частицу сил относительно осей, перпендикулярных граням и прохо-
дящих через центр параллелепипеда. Например, уравнение момен-
тов сил относительно оси, перпендикулярной передней и задней гра-
ням, будет следующим:
-xyxdxdz {dy/2) - \хих +{dxjdy) dy\ dxdz {dyJ2) +
+ txudydz (dx/2) + \XxB+(dTXI/jdx) dx) dydz (d jc/2) = &М„
где АМг— момент инерционной силы при относительном движении
элемента около этой оси; в уравнение не входят моменты от сил
тяжести и нормальных составляющих поверхностных сил, так как
считается, что равнодействующие этих сил проходят через центр
. параллелепипеда.
Заметим, что инерционная сила по своей природе является объ-
емной силой, пропорциональной элементарному объему x = dxdydz,
и будет, следовательно, величиной третьего порядка малости. По-
этому инерционный момент, полученный от умножения этой силы на
бесконечно малое плечо, оказывается величиной четвертого поряд-
ка малости, вследствие чего им можно пренебречь. Отбрасывая в
уравнении моментов другие малые величины четвертого порядка,
лолучим равенство хху^хух. Аналогично можно доказать два других
.равенства касательных напряжений (тжг = т„; т,/г=т.г„). В этих
" равенствах касательных напряжений, приложенных к двум взаимно
перпендикулярным площадкам, проходящим через некоторую точ-
¦ ку, и действующих в плоскости, нормальной к обеим площадкам,
. заключается свойство взаимности касательных напряжений. Таким
,;')Обраэом, из шести касательных напряжений независимыми будут
*. три.
Г Для определения величин касательных напряжений воспользу-
^ емся гипотезой пропорциональности напряжений соответствующим
^^деформациям. Иллюстрацией применения этой гипотезы является
^формула Ньютона для напряжения трения, возникающего при дви-
Шурении вязкой жидкости относительно твердой стенки. По этой фор-
К«уле rvx = li(dVyldx), т. е. напряжение пропорционально полускоро-
е;^<ти et= A/2) (dVy/dx) скашивания угла в направлении оси г, отку-
-?а Можно написать, что твя=2ре». Эта зависимость распространя-

ется на общий случай пространственного движения, при котороъ.
угловая деформация в направлении оси z определяется полускоро-
стью скашивания ег= A/2) {dVyjdx-\-dVxjdy). Две другие величи-
ны напряжения трения можно написать в виде xVz = 2\±tx, Tzx=2\lbv.
Таким образом,
C.1.5)
Воспользуемся указанной гипотезой пропорциональности, чтобы
установить соотношения для нормальных напряжений рхх, руу, Pzz-
Под действием напряжения рхх частица жидкости испытывает ли-
нейную деформацию в направлении оси х. Если обозначить через
0Я' величину относительной линейной деформации, то можно напи-
сать, что рхх—Е&х', где Е— коэффициент пропорциональности, или
модуль продольной упругости жидкости. Под
действием нормальных напряжений рт и pZz частица будет дефор-
мироваться также в направлениях осей у и г, что уменьшает де-
формацию в направлении оси х.
Как известно из курса сопротивления материалов, уменьшение
относительной величины этой деформации для упругих тел, т. е.
величины Дб-с пропорционально сумме относительных деформаций
в направлениях у и z под действием указанных напряжений. В со-
ответствии с этим
где т — некоторая постоянная величина, называемая коэффици-
ентом поперечной линейной деформации. Полная
относительная деформация в направлении оси х
C.1.6)
Аналогично можно вычислить относительные деформации 0„ -и Вг
вдоль осей у и г. Из полученных выражений находятся нормальные
напряжения:
C.1.7)
Относительные линейные деформации частицы по направлениям
координатных осей определяют ее относительную объемную дефор-
мацию. Обозначив величину этой деформации через в, можем на-
писать, что
e"=F,+'flf+"e1. C.1.8)

Суммируя C.1.7) и учитывая выражение для 0, получим
Рхх+Р„ + рп = 'п&/('п-2). C.1.9)
Определив из этого выражения сумму руу+ра и подставив ее в
C.1.6), найдем
Для последующих преобразований используем известную зависи-
мость между модулем сдвига G, модулем продольной упругости Е
И коэффициентом поперечной деформации, справедливую для упру-
гих сред, включая сжимаемую жидкость:
Q = mE/[2(m+l)]. C.1.11)
Внося эту зависимость в C.1.10), получим
^=206,-1- w Ь. C.1.12)
Введем обозначение
oW( 1/3) (Arr+ /*»»+ Pit)- C.1.13)
Прибавив и вычтя величину о в правой части C.1.12). будем иметь
рхя=^+ 20»,+-^- F—j- (PxX + PyAP*z).
Используя C.1.9) и C.1.11), напишем
pxx = o-\-Q[^x~{2/Z)l\. C.1.14)
Аналогично получим выражения для руу и ра:
я—B/3)9].
Для невязкой жидкости (см. § 1.1) было установлено, что давле-
ние р в любой точке потока одинаково для всех площадок, прохо-
дящих через эту точку, т. е. с учетом принятых обозначений в рас-
сматриваемом случае рхх=Руу—Р&= —р, следовательно, р —
~(~~]/3) (рхх+руу+ргг). Таким образом, при исследовании движе-
ния вязкой жидкости давление можно определять как среднее ариф-
метическое трех нормальных напряжений, соответствующих трем
взаимно перпендикулярным площадкам, взятое с отрицательным
знаком. В соответствии с этим а= —р.
° теории упругости устанавливаются следующие соотношения
Для касательных напряжений, действующих в твердом теле;
хжх=О*,х, *,« = Оу„. *«=OY«. C.1.15)
гДе Vb* y»i. Угх— "углы сдвига соответственно в направлениях осей

z, x, у. Из сопоставления формул C.1.15) с соответствующими соот-
ношениями для вязкой жидкости C.1.5) видно, что они могут быть
получены друг из друга, если модуль сдвига G заменить динами-
ческим коэффициентом вязкости ц, а углы сд&ига у — соответству-
ющими значениями скоростей скашивания углов е. В соответствии
с этой аналогией при замене J3 на ц в формулах C.1.14), C.1.14')
относительные удлинения Qx, Qy, 0i должны быть заменены соответ-
ствующими значениями скоростей линейной деформации 0*=
= dVx/dx, 6y = dVBldy, bt=dVJdz, а относительная объемная
деформация 8 — скоростью относительной объемной деформации
UdVJd+dV/d + dVJd ilV
J+y/y + J
После соответствующих подстановок в C.1.14), C.1.14') полу-
чим:
Л, —,+,BJu._f.di»r):
C.1.16)
Вторые члены в правой части выражений C.1.16) определяют до-
бавочные напряжения за счет вязкости.
Используя соотношения C.1.4), C.1.4'), C.1.5) и C.1.16), мож-
но вычислить значения Рх, Ру и Pz. Например, для Рх из C.1.4)
^ дх [ дх з Г dg {
где Д — оператор Лапласа:
д =
В частности,
дх г
Аналогично можно найти соотношения для Ру и Рг.
Зависимости для напряжений поверхностных сил в жидкости
были получены здесь путем обобщения закономерностей, связыва-
ющих напряжения и деформации в твердых телах, на случай жид-
кой среды, обладающей свойством упругости и вязкости. Эти же
зависимости можно получить исходя из ряда гипотетических пред-
ставлений о молекулярных силах, действующих в самой жидкости
(см. [2, 7]).
104

Выписывая в развернутом виде проекции полного ускорения по
правилу вычисления производной от сложной функции f[x, у, г, t),
в которой, в свою очередь, х, у, z являются функциями времени /,
можно получить с учетом найденных выражений для Рх, Ру, Рг
уравнения движения C.1.1)-^ C.1.3) в следующей форме:
¦+V*
"¦!?-Jf-r-?-+«l''+
+^-^T<ilvV+4-^
it дх т • ду т ' dz
_l.aI/ I ' j J...I7 i ' Г ^
j^_ J
T вг V dz T S» jT (J* I
dx
Z" i ^ /J
C.1.17)
где v = |i/p — кинематический коэффициент вязкости.
Дифференциальные уравнения CJ.17) составляют теоретиче-
скую основу газодинамики вязкой сжимаемой среды и называются
уравнениями Навье— Стокса. В них принято, что динамический
коэффициент вязкости ц является функцией координат х, у, г, т. е.
H = /(jc, у, г). Предполагая, что ц = const, уравнения Навье-Стокса
можно написать в следующем виде:
р дх ~ 3 дх
p ду 3 ду
C.1.18)
При исследовании газовых потоков можно не учитывать влияния
массовых сил и, следовательно, принять X=Y = Z = 0. В этом случае

C.1.19)
|-f .^-dlvl'.
Для двухмерного плоского движения, характеризующегося пере-
менным значением динамического коэффициента вязкости {цф
^const), уравнения получаются из C.1.17) в результате неслож-
ных преобразований:
"—!-?¦+-!-^W*-
C.1.20)
При условии div v=0 и p=const эти уравнения приводятся к урав-
нениям даижения вязкой несжимаемой жидкости.
Рассмотрим уравнение движения идеальной (невязкой) сжима-
емой жидкости. Приняв в C.1.17) коэффициенты ц и v равными
нулю, получим:
-i-b'- <злл7')
Эти уравнения впервые получены Леонардом Эйлером и называют-
ся уравнениями Эйлера. Они составляют теоретический
фундамент науки о движении идеального газа, гипотетические
свойства которого определяются отсутствием или пренебрежимо
малым влиянием вязкости.
Векторная форма уравнений даиження
Умножив уравнения C.1.18) соответственно на единичные век-
торы 1, /, к, а затем сложив, получим уравнение движения в век-
торной форме:
dVjdl = G — (
C.1.21)

где вектор массовых сил в декартовых координатах
b=Xi-\-Yj-\-Zk,
градиент давления
grad р=(др!дх) i-L {dpjdy) j+idp/дг) *:
векторы
Если жидкость несжимаемая, то div К —0 и, следовательно,
rfF/rff = G-(l/p)grad p+v±V. C,1.21')
При отсутствии массовых сил 5=0, поэтому
dVjdt= — (l/p)gradp+viI7+(v/3)graddivK. C.1.21")
Вектор полного ускорения dvjdl можно представить в следую-
щем виде.
rfFA# = dK/a/ + grad(l^/'2L-roIV'Xi7'- C.1.22)
С учетом C.1.22") и C.1,22) уравнение движения напишем в форме
—+grad — + Го1КХ^=—- grad p-\-v\V + — grad divF.
at 2 p ii
C,1.22')
Криволинейные координаты
Преобразуем уравнение C.1.22'), используя понятие обобщенных
криволинейных координат q», рассмотренных в § 2.4. Это позволит
сравнительно просто осуществить переход к уравнениям движения,
содержащим конкретную форму криволинейных ортогональных ко-
ординат, подобно тому, как это было сделано с уравнением нераз-
рывности. '
Рассмотрим преобразование отдельных слагаемых, входящих в
C.1.22'). Для второго члена в левой части, а также первого и треть-
его членов в правой части напишем, принимая во внимание B.4.18),
следующие выражения:
¦tti-f-jj (grad J^_ 3j ^ . ^ V, (ЗЛ.23,
grad p = ^ (grad „)„,»= V ~- ¦ -JZ- <.; C.1.24)

graddivV =
(grad div V\U= V ~-.
V ~-
-ia. C.1.25,
Для преобразования векторного произведения rot VX.V необхо-
димо найти форму записи вектора rot V в обобщенных координатах.
С этой целью осуществим операцию вычисления ротации от обеих
частей равенства B.4.19J:
grad Vn
C.1.26)
grad V.X l,
C.1.27)
Здесь проекции вектора grad V,, на соответствующие координатные
направления определяются из выражения B.4.18), в котором заме-
няется Ф на V,,, Внося значения C.1.27), а также выражении для
rot fn из B.4.22) в C.1.26), получим для ротора скорости
C.1.2R)
C.1.29)
Теперь можно определить векторное произведение;
где проекция этого вект<
ординатной кривой
1 на касательную к соответствующей ко-
C.1.30)
Напомним, что значениям п=1, 2, 3 соответствуют индексы т —2,
3, 1 н/ = 3, 1,2.
Левая часть уравнения C.1.22) представляет собой вектор пол-
ного ускорения \V=dVjdt, который можно записать в виде
W = y Wain, C.1.31)
где Wn — проекция вектора ускорения на направление касательной
к координатной линии qn- Очевидно, каждую величину Wn можно
рассматривать как сумму соответствующих проекций векторов
dV/dt, а также векторов C.1.23) и C.1.29) на указанные напр
J

ния. В соответствии с этим
" д( А„ дд„ ' А„Нт dqm '
_t^_ д(КУв)_ vl ph^ Vj dkj_^ C.1.32)
Для преобразования оператора Лапласа, записанного в виде
вектора AV, воспользуемся тождеством
где АУп есть проекции вектора по координатным линиям qn Пер-
вый вектор в правой части C.1.33) уже был нами определен в виде
C.1.25), а для вычисления второго следует воспользоваться равен-
ством C.1.28). Применяя операцию ротации от обеих частей этого
равенства, получим
rot rotF= \\ (rot rotFy,, =
где соответствующие проекции вектора rot V находятся из C.1.28).
Имея эти данные, можно рассмотреть преобразование уравнений
движения применительно -к конкретным формам криволинейных ор-
тогональных координат.
Цилиндрические координаты. В соответствии с B.4.12), B.4.16)
п B.4.25)
Следовательно,
дг ' х дх ' дг г &у
Далее находим
(graddlv V)t=d6iv V/dx.
Имея в виду, что div V определяется формулой B.4.26), получи-м

Из C.1.28) находим
дх дг
Внося эти выражения в C.1.34), лолучаечя
tdvr dV"\\ д Г J
дхдг дг2 г \ дх дг } гг \ ду- дхду I
Далее, имея в виду, что (graddiv F)i=ddiv V/dx, получим в соот-
ветствии с C.1.33)
, ]_ &VX , J_ дУх_
/¦г ' йу2 Т г дг
Таким образом, уравнение движения в проекции на ось х ци-
линдрической системы координат будет следующим:
dt
C.1.35)
Аналогично получаем два других уравнения в проекциях на коор-
динатные линии г и -у-
дх ^ ' дг т г ду
РГ ду ' V ' ' Л2 dY f»/4 df
В этнх уравнениях введено обозначение
110
C.1.35')

Дивергенция скорости определяется по формуле B.4.26).
Для осесимметричного течения уравнения движения упроща-
ются:
C.1.36)
) (djdr).
В случае установившегося течения в уравнениях следует принять
dVJdl^dVJdl=dV,ldt- 0.
Сферические координаты. Сферические координаты, параметры
Ламэ и проекции вектора скорости на направления координатных
линий связаны формулами B.4.13), B.4.17) и B.4.33):
По этим данным из C.1.32) находим проекцию ускорения на на-
правление координатной линии г:
Проекция градиента давления
(grad рI=др}дг.
C.1.38)
Далее с учетом выражения для div V B.4.34) налодиы соотно-
шение
(graddivl/)^-^
д{УггЦ 1 <Э (Vfl sin В)
L^_
+^Ьт-^ C-..39)
Это соотношение используем для определения по C.1.33) проек-
ции (Л1^)( вектора W. Для этой цели также вычислим величину
(rot rot V),, входящую в C.1.33). Из C.1.28) находим

Внося эти зависимости в C.1.34), получим
(rot rot V)i= 7
,2 lin •
dV,
С учетом соотношений C.1.39) и C.L40) находим
. ctge ay, 2_ дУа 2 ауф si 2clg fl ^
/•2 ' dB Г2 ' йе ^ sin в ' A|i ,2 ' ,2 *'
C.1.41)
ИЛИ
где
T'/sV •— — ¦-¦¦( 2 dVr Vl 1 — / ¦ 6-?^' ^ I J d3^r
C.1.42)
С учетом соотношений C.1.37)-f-C.1.39) и C.1.4]') находим
уравнение движения в проекции на координатную линию г;
dl + ' dr + r ' M + /-sin! ' Ц

Аналогично получаем два других уравнения:
Sf "г ' дг + r ' Я + rsin» *C T
s a
г дЬ ^ г sin 8 dif
SdlvH
C.1.43')
C.1.44)
Для двухмерных пространственных газовых течений, характе-
ризующихся изменением параметров (скорости, давления, плотно-
сти и др.) в направлении только двух координатных линий, урав-
нения движения могут быть записаны в более простой форме:
fit F А~ ~* ~ АН * л Л- "~
f,, 2_ W, №г
[ ' г' ' S« т*
2V,clgl
v d
Г 3
C.1.45)
^-(sine-^-h C.1.46)
..i?^L. ,3.1.47)
Ml,

Уравнения двухмерного движения газа около криволинейной по-
верхности. Для рассматриваемого случая криволинейные хоорди-
наты, параметры Ламэ и компоненты скорости определены соответ-
ственно формулами B.4.40), B.4.42), B.4.43). Примем дополни-
тельное условие, что движение происходит вблизи стенки и, следо-
вательно, y<^R. В соответствии с этим
Согласно этим данным составляющая ускорения
Wx =dVJdt + Vx {dVJdx) + VB (dVJdy), C.1.48)
а проекция градиента давления
(grad p),=dpjdx. - C.1.49).
Кроме того,
(graddivKI=ddivi//tfx, C.1,50)
где дивергенция скорости определена соотношением B.4.44). Сле-
довательно,
(¦»"^--Ш^+1?1-]}- Cлб1)
При помощи C.1.28) вычислим проекции ротора скорости:
(rolVK=dVJdx—dVJdy, (rot^=0. C.1.52)
Внося эти выражения в C.1.34), получим
С учетом зависимостей C.1.51) и C.1.53)
—! fL[r№-_-^i-Y|. C.1.54)
, дд { \ дх Ну )] l '
Аналогично, рассматривая координатную линию ft, получим:
C.1.55)
C.1.56)
C.1.57)
(AVJ=teraddIvi7J-(rotroti7J=
[ + ]|_l. J_fr fJ!i_ «tfl . C.1.58)
0e\r [ dx T dy \j r dx [ { дх ду j\ l '

Используя полученные соотношения, можно записать:
C.1.59)
где (AV), и (AVJ даны соответственно формулами C.1.54) и
C.1.58).
Таким образом, получены различные формы уравнений движе-
ния вязкой жидкости. Это сделано по той причине, что, как пока-
зывает опыт, в одних случаях при исследовании закономерностей
взаимодействия газовых потоков с обтекаемыми телами удобно
пользоваться одной формой уравнения, а в других— другой. В по-
следующих главах будет рассмотрен анализ конкретных видов дви-
жения жидкости с использованием соответствующих наиболее вы-
годных форм уравнений.
§ 3.2. УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ДИФФУЗИИ ГАЗА
Уравнение диффузии
Исследование движения диссоциирующей вязкой среды может
быть связано с учетом влияния на это движение диффузии газа.
Это находит свое выражение, в частности, в том, что диффузия
учитывается при выводе уравнения энергии — одного из основных
уравнений газодинамики.
Диффузией называется процесс выравнивания концентра-
ции вследствие молекулярного переноса вещества. Это термодина-
мически необратимый процесс, являющийся одним из источников
потери механической энергии движущейся газовой среды.
Уравнение диффузии представляет собой уравнение переноса
i-ro компонента газовой смеси (это уравнение будет уравнением
неразрывности для того же компонента).
Для улрощения исследования можно принять, что интенсивность
термодиффузии и бародиффузии пренебрежимо мала, и диффузи-
онный поток i-ro компонента в некотором направлении п опреде-
лять по уравнению
где d — концентрация t-ro компонента; Di — коэффициент диффу-

зии, определяющий диффузионный поток при наличии градиента
концентрации.
Для смесн компонентов газа необходимо принимать во внима-
ние коэффициенты бинарной диффузии, соответствующие каждой
паре компонентов, например атомов и молекул кислорода или ато-
мов и молекул азота воздуха. При приближенных расчетах можно
исходить из некоторого значения коэффициента бинарной диффу-
зии X), одного н того же для каждой нары компонентов. С учетом
этого О.щп= —pD(dcJdn). Рассматривая направления х, у и г, по
которым происходит диффузия, можно написать:
или в векторной форме
Qir -~ —?D grad cs.
C.2.2.
[3.2.3,
Диффузия вещества происходит в область с пониженной кон
центрацней, следовательно, dcjdn имеет отрицательны!1! знак. Так
как в правой части C.2.3) поставлен]
минус, то величина Qm будет поло-
жительной.
Теперь рассмотрим вывод уравне
ния диффузии, приняв, что движение
япляется установившимся и происходит
относительно цилиндрической системк
координат. При этом будем рассматри
вать поток пространственным, снимет
ричным относительно оси д:, т. е. таким
в котором составляющая скоросл
Vv=0.
Выделим элементарный объем газ;
в виде кольца толщиной dr и длиной
dx (рис. 3.2.1), построенного около точ
ки Р, координаты которой х и г, а со-
ставляющие скорости V-c и Vr- Примем
— что диффузионный поток веществ;
происходит только в радиальном на
правлении. Следовательно, поток i-n
компонента через внутреннюю поверхность элемента mr=2.-trpVr>-
XCidx-\-Qm 2nrdx, где с, и Qm—соответственно концентрация i
диффузионный поток /-го компонента, рассчитанный на единицу
площади.
Через внешнюю поверхность поток i'-го компоетснтл

Следовательно, приток компонента в рассматриваемый объем равев
[d(Vydlt2di + [d{Q)Jd\2Utd
[(pr,yl + [{Qlu)J\
Пренебрегая диффузионным потоком вещества вдоль оси х,
найдем, что расход газа через левую площадку элемента, нормаль-
ную к этой оси, будет
тх = р Vxc,2nrdr,
а через правую
mx-\-{dmJdx)dx=mx-\-[d(pVJcrclydx]2ndrdx.
Таким образом, приток компонента в объем равен
[d(pVxrci)/dx\'2ndrdx.
Так как количество газа в объеме не должно измениться, то об-
щий приток компонента будет равен его расходу за счет химиче-
ских реакций. Если обозначить через (WShm)i скорость образования
1-го компонента в единице объема вследствие химических реакций
[кГ1(м3-сек)]} то расход компонента в элементарном объеме будет
(Wjhy)ilnrdrdx. Следовательно, баланс массы i-го компонента в.
рассматриваемом объеме запишется следующим образом:
д\рУ1тс№х+д\рУ,тс1)\дг = -?(Q;flr)/A- + (WI1I>. C.^.4)
Это уравнение называется уравнением диффузии в цилиндрических
координатах. Аналогично можно получить уравнение диффузии для
плоского течения, которое происходит относительно декартовых
координат х и у:
d{?Vxcl)ldx-\-d(?Vyc[)ldy^-dCiiRidy^{Wxea)I, C.2.5)
'де QiM находится из C.2.3).
Если рассматривается бинарная смесь атомов и молекул, то
2с,= сд + см=1 и, следовательно, QKa= — QKa. Значение {WMU)
определяется для данной реакции в диссоциирующем газе по фор-
муле химической кинетики D.9.У).
Уравнение энергии
¦Уравнение энергии входит наряду с уравнениями состояния, дви-
жения и неразрывности в систему основных дифференциальных
уравнений, в результате решения которых полностью определяется
движение газа.
Рассмотрим систему декартовых прямоугольных координат н
составим уравнение энергин для частицы жидкости в виде элемен-
тарного параллелепипеда. Это уравнение выражает закон сохране-
нии энергии, в соответствии с которым изменение за время dt пол-
ной энергии, состоящей из кинетической и внутренней энергий ча-
стицы, равно работе приложенных к частице внешних сил плюс
приток тепла извне.
, Кинетическая энергия частицы объемом x = dxdydz равна1
\PV /2)т, а ее внутренняя энергия (/рт (U — внутренняя энергия

единицы массы газа). Следовательно, изменение полной энергии
за время dt можно записать в виде
Работа внешних массовых (объемных) сил при перемещение
частицы за время dt может быть представлена в виде скалярного
произведения GV, умноженного на массу частицы рт и время dt.
Вектор массовой оилы @=Xi+Yj-hZk, следовательно.
Вычислим работу поверхностных сил. Вначале рассмотрим ра-
боту, выполненную за время dt силами от напряжений, действую-
щих на правую и левую грани. Работа сил, действующих на левую
грань, равна скалярному произведению axV, умноженному на пло-
щадь dydz и время dt. В скалярном произведении вектор поверх-
ностных сил
Работа поверхностных сил, действующих на правую грань, равна
S-dx\dydzdt.
Учитывая, что силы для левой и правой граней направлены в
противоположные стороны, следует принять различной по знаку ра-
боту этих сил, например положительной для правой и отрицатель-
ной для левой грани. В соответствии с этим работа всех поверхност-
ных сил, приложенных к левой и правой граням,
] xdt. C.2.6)
Аналогично получим выражения для работы поверхностных сил,
действующих на нижнюю и верхнюю, а также на заднюю и перед-
нюю грани:
Имея в виду, что векторы поверхностных сил, действующих на ниж-
нюю и заднюю грани, равны соответственно:
«»=*«'+А*/" + **А «*=*«' +W+A»*.
получим следующие выражения для работ:
C.2.6")

В выражениях C.2.6), C.2.6') и C.2.6") напряжения определяют-
ся соответственно зависимостями C.1.5) и C.1.16).
Приток тепла к частице происходит благодаря теплопроводно-
сти, диффузии и излучению. Пусть qxdydz (где qx— удельный теп-
ловой поток) представляет собой тепловой поток за счет теплопро-
водности или диффузии, подводимый к частице через левую грань
в единицу времени. За время dt к частице будет подведен тепловой
поток qxdydzdt. Тепловой поток через правую грань равен —[?*+
¦+¦ (dqxjdx)dx]dydzdt. Количество тепла, подводимого к частице че-
рез обе грани, составит -~(dqxjdx)xdt. Аналогичные выражения
могут быть получены для граней, перпендикулярных осям у и г.
В результате полный тепловой поток, подводимый к частице, будет
р а вен — (dqx/dx+dqvfdy+dqjdz) xdt.
Если рассматривается подвод тепла за счет теплопроводности,
то удельные тепловые потоки, равные потокам тепла по соответ-
ствующим координатным направлениям через единицу площади
в единицу времени, могут быть выражены по закону Фурье:
qTx=-\(dTjdx), qTy=-ЦдТ/ду), qTl=-ЦдГ;дг). C.2.7)
С учетом этого
-{dqTx!dxJrdqlyjdyJrdqJdz)xdt^u\4{\gf^T)tdt, C.2.8)
где grad Т = (дГ/дх) I + (dTfdy)j + (dTjdz) k.
Энергию, подводимую к частице газа за счет диффузии, можно
выразить следующим образом:
где 1, — обобщенная энтальпия компонента газовой смеси. Следо-
вательно,
ся сюда значение ^?Д из C.2.3), получим
^t,6lv(?Dgrad с,)xdt. C.2.9)
Кроме энергии, подводимой к частице путем теплопроводности
и диффузии, к ней поступит также тепло от излучения, равное
exat (е — тепловой поток от излучения в единицу времени для еди-
ницы объема).

Приравнивая изменение энергии частнцы за время dt сумме
работ массовых и поверхностных сил и притоку тепла за счет теп-
лопроводности, диффузии и излучения, получим уравнение энергии:
+2
C.2.10)
При движении химически реагирующей смеси газов уравнение
энергии должно выражать условие баланса тепла, включающего
тепло, которое может возникнуть в результате химических реак-
ций. Однако если принять во внимание, что при протекании реакций
обобщенная энтальпия газовой смеси 2с^,- не изменяется, то, вводя
в уравнение C.2.10) обобщенную энтальпию, уже нельзя отдельно
учитывать выделение или поглощение тепла вследствие химических
реакций.
Подставляя в C.2.10) выражения для напряжении из C.1.5),
C.1.16) л опуская член, учитывающий работу массовых сил, после
преобразований получим уравнение энергии для газа в следующем ¦
виде:
+ 2'"<dlv (P" Srad с,) + е- C.2.11)
Уравнение C.2.11) показывает, в результате чего происходит
изменение кинетической энергии жидкости. Кроме теплопроводно-"
CTii, диффузии_н излучения, эта энергия изменяется за счет работы
сжатия div (pV) и работы сил трения (члены, содержащие динами-
ческий коэффициент вязкости |i). С потерями механической энергии
на преодоление сил трения связывают диссипацию энергии (от ла-
тинского dissipare—рассеивать). Диссипация энергии состоит в-
том, что часть механической энергии необратимо будет переходить
в тепло. В соответствии с этим силы трения называют диссипа-
тивными силами. Члены в правой части C.2.II), содержа-
щие \i, составляют диссипативную функцию.
120 .^
Л

Для двухмерного плоского движения вязкой среды уравнение
энергии
^ 2) + eI C.2.12)
где
, gn6ct=(delfdx)l + [dc,/dy)j.
Преобразуем уравнение энергии C.2.12). С этой целью умножим
первое уравнение C.1.20) на Vx, а второе—на Vy и результаты
сложим. Тогда
¦Ъ)+*--ЬПЪ-ъ«*Ч+
№х 2
3
—- dtvFYI + 2 Wj — (|<«,)+ V, — (|и,I
C.2.13)
Путем простых преобразований можно показать, что
где р div F находим, используя уравнение неразрывности:
или pdlv~V=p(d}dt)ipJp)—dp}dt.
Два других члена в правой части уравнения можно преобразовать
к виду
An(?Vuu V)+^f.DnVf.
Для последнего члена C.2.13) имеем выражение

Произведем соответствующую замену в C.2.13) и вычтем полу-
1енное уравнение из C.2.12). Учитывая, что энтальпия i = U+pfp,
у
получим
+ s' C.2.14)
При отсутствии диффузионной теплопередачи и излучения за-
пишем уравнение энергии в виде
+ div(Xgrad7> C.2.15)
При малых скоростях движения газа, когда работа сил трения
невелика, можно пренебречь диссипатнвными членами. Кроме то-
го, при этом мала также работа сил давления (dp/dt&O). В данном
случае вместо C.2.15) будем иметь
dT/dt = (X/pcp) div (grad T). C.2.16)
Величина "Kj{pcp)=a, называемая коэффициентом темпе-
ратуропроводности, характеризует интенсивность молеку-
лярного переноса тепла.
§ 3.3. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГАЗОДИНАМИКИ.
НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Исследование движения газообразной среды, т. е. определение в
каждой точке пространства параметров, характеризующих это дви-
жение, состоит в решении соответствующих уравнений, которые
связывают между собой эти параметры. Все эти уравнения явля-
ются независимыми и составляют систему уравнений га-
зодинамики. Число независимых уравнений системы определя-
ется количеством отыскиваемых неизвестных параметров газа.
Рассмотрим движение идеального сжимаемого газа. Если ско-
рости потока невелики, то можно пренебречь изменением удельных
теплоемкостей от температуры и не учитывать излучения. В этом
случае газовое течение представляет собой термодинамически
изолированную систему и будет являться адиабатическим. Неизве-
стными величинами для рассматриваемого течения будут три со-"
ставляющие скорости Vx, Vy, Vz, а также давление/», плотность р я
температура Т. Следовательно, система уравнений газодинамика
должна включать шесть независимых уравнений. К их числу отжГ
сятся уравнения движения, неразрывности, состояния и энергии, КО'
торьге принято называть основными уравнениям!: газо-
динамики.
Прежде чем написать эту систему уравнений, рассмотрим от-
дельно уравнение энергии. В соответствии с предположением Oi
122

адиа б этичности течения уравнение энергии C.2.14) преобразуем к
виду
dl=dp/p. C.3.1)
Если принять во внимание, что di = cpdT и учесть выражения сР—
—cv = R и p = RpT, из которых можно найти
то C.3.1) приводится к виду
dp/
Отсюда получим
/p = k{df>/f>).
р=кр\
C.3.2)
где А — некоторая постоянная величина, характерная для данных
условий течения газа.
Как известно, уравнение C.3.2) называется уравнением адиаба-
ты (изэнтропы). Таким образом, в рассматриваемом случае урав-
нение энергии совпадает с уравнением адиабаты. Имея в таком ви-
де уравнение энергии, напишем все уравнения системы:
_ l_ dp .
b
C.3.3)
Рассмотрим теперь систему уравнений для»более общего случая
движения невязкого газа с большими скоростями, при которых
удельные теплоемкости изменяются от температуры и в газе могут
происходить диссоциация и ионизация. При этом для общности
сохраним возможность излучения энергии разогретым газом. Тогда
термодинамический процесс в газовом потоке не будет адиабати-
ческим. В соответствии с этим в правой части уравнения э-нергии
C.2.14) останется величина е, определяющая излучаемый тепловой
поток. Далее отметим, что уравнение состояния необходимо принять
в форме A.5.8), учитывающей изменение среднего молекулярного
веса цёр от температуры « давления. В соответствии со сказанным,
а также учитывая, что уравнения движения и неразрывности по
форме не изменяются, напишем основные уравнения системы в сле-
дующем виде:
dVx i_ Ьр_ dVy I_ dp
dt p dx ' dt p dy
-Чо т di dp ,
„=-Ap7\ t — = -E-
C.3.4)

¦Нетрудно заметить, что в данной системе дополнительно к указан-
ным выше шести неизвестным величинам (Vx, Vy, Vz, р, p, T) при-
бавилась еще три, а именно: энтальпия i, средний молекулярный
вес газа \icp и тепловой поток от излучения г. Наряду с этими ве-
личинами при исследовании течения газа необходимо определять
также энтропию S и скорость звука а. Тогда общее число допол-
нительно отыскиваемых неизвестных параметров, характеризующих
газовый поток, будет равно пяти. Поэтому к системе основных урав-
нений необходимо добавить столько же независимых соотношений
для дополнительных неизвестных. Эти соотношения можно записать
в виде общих зависимостей, определяющих неизвестные величины
-как функции давления и температуры:
(=/,(/>, T}\ C.3.5)
s^Mp, ту,
,=/.U>. T);
C.3.6)
C.3.7)
C.3.8)
C.3.9)
Нахождение этих функций является предметом специальных разде-
лов физики и термодинамики.
Решение уравнений C.3.4) ~ C.3.9) определяет параметры дви-
жения невяакого диссоциирующего и ионизирующего газа с учетом
эффекта излучения. Изучением такого движения занимается аэро-
динамика излучающего газа.
В заключение рассмотрим еще более общий случай течения, ха-
рактеризующийся действием сил вязкости и теплопередачей. При-
мем при этом, что в газе происходят химические реакции. Тогда
основные уравнения системы запишутся следующим образом (для
сокращения записи будем рассматривать плоское двухмерное те-
чение) :
Q1V Т
C.3.10)

Эту систему необходимо дополнять зависимостями C.3.5)^C.3.9),
а также общими соотношениями для коэффициента теплопровод-
ности
*=Л(Л г>: C-ЗЛ1>
динамического коэффициента вязкости
t*=/7(p, Т) C.3.12)
ii сдельных теплоемкостей
с,=Л(р. П. с.=Л(р. П- C-злз>
Две последние величины не входят явно в уравнения C.3.10), тем
не менее они используются при их решении, поскольку в ходе ис-
следования течения газа определяются его термодинамические
характеристики. Так как в уравнении энергии учитывается еще диф-
фузионная теплопередача, то дополнительно надо включить урав-
нение диффузии C.2.5). Одновременно следует принять во внима-
ние, что входящая в уравнения энергии и диффузии концентрация
с-, является функцией давления и температуры и может быть запи-
сана в виде общей зависимости
с,=/ю(/>. П C.3.14)
Приведенная система уравнений, включающая основные урав-
нения газодинамики и соответствующее количество (по числу отыс-
киваемых неизвестных величин) дополнительных соотношений, рас-
сматривается в аэродинамике вязкого газа и позволяет, в принци-
пе, найти распределение нормальных и касательных напряжений,
а также аэродинамические тепловые потоки от разогретого газа к
обтекаемой стенке. В конкретных случаях, для которых возможна
определенная схематизация процесса обтекания, приведенная си-
стема упрощается, что облегчает решение дифференциальных урав-
нении.
В ходе этого решения возникает необходимость привлечения за-
висимостей дополнительно к тем, которые были приведены, исполь-
зуемых для определения характерных параметров движения. В их
числе, например, зависимости для определения удельных теплоем-
иостей и степени диссоциации по давлению и температуре, формулы
для расчета напряжения трения по скорости и др.
Решение системы газодинамических уравнений, описывающей
обтекание заданной поверхности, должно удовлетворять определен-
ным начальным и граничным условиям этого обтекания
Начальные условия определяются значениями парамет-
ров газа для некоторого момента времени и имеют
смысл, очевидно, для неустановившегося движения.
Граничные условия накладываются на решение задачи
как об установившемся, так и неустановившемся движении и дол-
жны выполняться в каждый момент времени этого дви-
жения. По этому условию решение должно быть таким, чтобы пара-
метры, определяемые им, равнялись бы на границе, разделяющей
135

возмущенную и невозмущенную области течения, значениям невоз
мущенных параметров.
Второе граничное условие определяется характером течения
газа на обтекаемой поверхности. Если газ невязкий и не проника-
ет сквозь такую поверхность, то течение характеризуется безотрыв-
ностью. В соответствии с этим условием безотрывного
обтекания в каждой точке поверхности составляющая скоро-
сти, нормальная к ней, равна нулю, а вектор полной скорости сов-
падает с направлением касательной к поверхности.
Известно, что вектор grau F[F(qi, q% qi) = 0— уравнение обте-
каемой поверхности; qlt q2, qz— обобщенные криволинейные коор-
динаты] совпадает по направлению с нормалью к поверхности.
Тогда при соблюдении условия безотрывного обтекания скалярное
произведение этого вектора и вектора скорости V будет равно нулю.
Следовательно, в математической форме условие безотрывного
обтекания можно представить таким образом:
Принимая во внимание, что
"¦"'Hr-^+i-^+i-^'» 13-ЗЛ5>
условие безотрывного обтекания напишем <в виде ;
Для декартовых координат
grad F = {dFldx) /, + {dF/ду) i2 + {dFjdz) /3.
Следовательно, для C.3.16) получим
Vx (dF/dx)+Vy {dF!dy)+Vz (dF/dz) =0. C.3.17)
В случае двухмерного плоского течения
Если уравнение поверхности задано в цилиндрических координа-
следовательно, условие безотрывного обтекания будет
К. Vx + ~ Vr+~ ¦ — Vi = 0. C.3.18)
дх дг г д\
В частном случае, когда обтекается поверхность вращелия, полу-*
чим равенство С

(dF/дх) Vx + idF/dr) V,= 0, C.3.18')
з которого найдем условие для отиошения скоростей:
C.3.19)
у, _ &F}dx
Можно сформулировать и другие граничные условия, которые
определяются для каждой конкретной задачи, прячем граничные
условия для вязкого газа отличаются от условий для идеальной
среды. В частности, при исследовании движения вязкого газа в
пограничном слое решения соответствующих уравнений должны
удовлетворять условиям на поверхности и на внешней границе по-
граничного слоя. Согласно экспериментальным данным частицы
газа как бы прилипают к поверхности и, следовательно, скорость
на ней равна нулю. На внешней границе скорость будец такой, как
в свободном (невязком) потоке, а напряжение трения равно нулю.
§ Э.4. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЯ ЖИДКОСТИ
:ренциальные уравнения, написанные для общего случая
движения газа, в конечном виде не интегрируются. Интегралы этих
уравнений можно получить лишь для частного случая течения иде-
ального (невязкого) газа.
Уравнение движения идеального газа записывается в векторной
форме следующим образом:
дУ/д1-}-%га<ЦУ2/2} + ю\У XV = — (I'p)grad/>. C.4.1)
Это уравнение можно получить из векторного соотношения
C.1.22), в котором члены в правой части, учитывающие влияние
вязкости, следует принять равными нулю.
В записанной форме C.4.1) уравнение движения впервые было
получено русским ученым проф. И. С. Громека. С учетом массовых
сил уравнение Громека принимает следующий вид:
dH/* + grad(H>/2) + rolFxF=G-(I/p)grad/7. C.4.2)
Предположим, что неуста и овив ш_е ее я_ течение будет по-
тенциальным и, следовательно, rot K=0, К = grad ср. Кроме то-
го, примем, что массовые силы имеют потенциал U, поэтому вектор
G = — grad У, где
grad U= (dUjdx) i+{dU/ду) j+(dU/dz) k.
Если среда обладает свойством баротропностн, характеризующим-
ся однозначной зависимостью между давлением и плотностью (это
имеет место, например, в случае адиабатического течения, для ко-
торого р^АрЬ), то отношение dp/p равно дифференциалу неко-
торой функции Р и, следовательно,

С учетом сказанного уравнение C.4.2) напишем в следующем виде:
Заменив производную д grad y/dt величиной grad (dtf/dt), получим
grad(<V#) + grad(V2/2)= — gradU — grad P. C.4.3) "
Переходя от зависимости для градиентов к соотношению между
соответствующими скалярными функциями, найдем
ар/А+у»/2+/>+г/=сю, C.4.4) _
где
P^^dp/p. C.4.5) .
Уравнение C.4.4) называется уравнением или интегра-
лом Лагранжа. Правая часть C.4.4) представляет собой ¦
функцию, которая зависит от времени, но не зависит от ко- ,
ординат, т. е. является одинаковой для любой точки '
потенциального потока. Члены в левой части C.4.4) имеют
простой физический смысл: 1^/2 — кинетическая энергия; Р =
— J dplp— потенциальная энергия от давления для единицы мас-
сы; 0 — потенциальная энергия положения частиц жидкости, от-
несенная к их массе. Чтобы выяснить физический смысл первого ,.
члена, воспользуемся зависимостью для потенциальной функции
dy/ds=Ve, где vt — проекция вектора скорости на некоторое на- .
правление s. Функцию ф можем определить из условия =р~ [ V/ls
(где So и s — коордлнаты соответственно фиксированной и произ-
вольной точек). Производная dyjdt— ^{dVJdt]ds. Локальное
ускорение dVsfdt можно рассматривать как проекцию инерционной
силы, обусловленной наличием местного ускорения и отнесенной к '
единице массы, а произведение (dVJdt)ds — как работу этой силы ¦
на участке ds. В соответствии с этим производная dy/dt равна ра-
боте инерционной силы на участке между точками s0 и 5 и может '
рассматриваться как энергия единицы массы, обусловленная изме-
нением во времени в данной точке скорости и связанного с ним дав-
ления.
С учетом сказанного выражение в левой части C.4.4) представ-
ляет собой полную энергию единицы массы газа. Таким образом,
уравнение Лагранжа устанавливает тот факт, что в потенциальном
потоке полная энергия единицы массы в данный момент
времени есть величина, одинаковая для всех точек потока.
Для несжимаемой жидкости, движение которой происходит под ,
действием сил давления и веса, интеграл C.4.4) примет вид
d,ldt+V'l2+Plf+U=C{t). C.4.6) ",

Если, в частности, ось у направлена вертикально вверх, то U—gy и
gy = C{t). C.4.6')
Большое практическое значение имеет частный случай устано-
вившегося потенциального течения, для которого Ap/<W=0, а функ-
ция С@ = const, т. е. не зависит от времени. В этом случае урав-
нение C.4.4) приводится к виду
= const. C.4.7)
Этот частный вид уравнения Лагранжа называется уравнени-
ем Эйлера. Оно выражает закономерность, в соответствии с ко-
торой при потенциальном установившемся движении газа полная
энергия единицы массы является велл чиной
постоянной для всех точек потока. Таким образом,
константа в уравнении Эйлера будет не только одинаковой для всей
области потока, но в отличие от функции C(t) интеграла Лагранжа
не зависящей от времени.
Уравнение Эйлера для несжимаемой жидкости (p=const) будет
по форме таким, как C.4.7), с той разницей, что вместо / dp/p в
него войдет отношение pip.
Рассмотрим более общий случай непотенциального ста-
ционарного движения газа, Уравнение этого движения имеет
вид
gra<i{V2!m2}JrT0tVrXV=~grad P-gradJ/, C.4.8)
или
grad [V2/2+t dp/p + U) = —roiVXV. 1,3.4.8')
Правая часть C.4.8') равна нулю, если векторы rot V и V парал-
лельны, т. е. при условии, что вихревая линия и линия тока совпа-
дают. В этом случае
l. C.4.9)
Это \ равнение впервые получил И. С. Громека. Постоянная С, бу-
дет одной и той же для всей области, где выпол-
няется условие совпадения вихревых линий и ли-
ний тока. Такие области, для изучения которых применяется
уравнение Громека, возникают, например, при обтекании крыльев
конечного размаха. Это обтекание характеризуется образованием
вихрей, практически совпадающих вблизи крыла по направлению
с линиями тока. Однако подобные области не всегда имеются в по-
токе. Обычно течение характеризуется наличием вихревых линий
и линий тока, не совпадающих друг с другом". При этом
семейство вихревых линий дается уравнением B.6.1), а семейство
*~m !29

линий тока (траекторий)—уравнением B.1.6). Рассматриваемое
течение описывается уравнением C.4.8').
Возьмем вектор дуги в виде ds^dxi+dyj+dzk, принадлежащей
линии тока или вихревой линии, и определим скалярное
произведение:
dsgtau \у2/2 + j dp/? + f/j = - dj(iot VXV).
Левая часть в этом уравнении представляет собой полный диффе-
ренциал трехчлена в круглых скобках.
Следовательно,
d(l/2/2+ jdp/P + f/)--= -rfj(rotl? X V). C.4.10)
Векторное произведение rot Vx ?_представляет собой вектор, пер- „
пендикулярный векторам rot V и V. Скалярное произведение этого
вектора и вектора ds будет равно нулю в двух случаях: когда век-;
тор ds совпадает с направлением линии тока
(траектории) или когда этот вектор совпадает
с направлением вихря. В этих двух случаях действитель-
но решение уравнения движения
U=C2, C.4.11);
где константа Сг будет различной в зависимости от того, какая
рассматривается траектория или вихревая ли-'
НИН.
Соотношение C.4. il) называется уравнением Бернулли.
Очевидно, для различных вихревых линий, проходящих через точ-
ки, расположенные на данной линии тока, константа будет такой
же, как для линии тока. Точно так же одинаковые константы будут
для семейства линий тока (траектории) и вихря, через точки кото-
рого проходит линия тока.
Следует отчетливо уяснить различие рассмотренных уравнений
Громека и Бернулли. Оба они выведены для вихревого (непотен-
циального) течения, однако первое уравнение отражает факт посто- -
янства полной энергии единицы массы газа во всей области, '
где вихревые линии и линии тока совпадают, а второе уравнение
устанавливает закономерность, в соответствии с которой постоянст-
во этой энергии имеет место вдоль данной линии тока или
вихревой линии. В соответствии с этим в уравнении Громека
константа будет одинаковой для всей рассматриваемой области по-
тока, а в уравнении Бернулли она относится к данной линии тока !-
или вихревой линии. Естественно, в общем случае обе константы, ь
С] и Сг, неодинаковы. Из сказанного также вытекает различие, с -
одной стороны, между этими уравнениями и, с другой стороны,.'
уравнениями Лагранжа и Эйлера, относящимися соответственно к
неустановившемуся и установившемуся безвих-'?

(потенциальному) обтеканию, а также между
следовательно, константа буд
т. с. для всей области потока.
Рассмотрим некоторые конкретные формы уравнения Берпулли.
Для несжимаемой жидкости и при условии, что функция U = gy, это
уравнение запишется в форме
yg = C2. C.4.12)
При исследовании движения газа можно пренебречь влиянием
веса. Следовательно, в уравнении C.4.11) и других интегралах сле-
дует принять ?/=0. В частности, вместо C.4.12) напишем
V2/2 + p/p=C3. C.4.13)
Рассмотрим движение идеального сжимаемого газа. В таком
газе отсутствуют процессы передачи тепла, обусловленные свойст-
вом вязкости (теплопроводность, диффузия). Приняв также, что
газ не излучает энергию, будем иметь дело с адиабатическим (из-
энтропическим) движением газа. Из уравнения энергии C.2.14)
следует, что для такого невязкого газа при отсутствии излучения
(е = 0) имеет место равенство C.3.1). Следовательно, интеграл
Бернулли
уз/2-]-i = C. C.4.14)
В тякой форме интеграл Бернулли представляет собой уравнение
энергии для изэнтропического течения. Согласно этому уравнению
сумма кинетической энергии и энтальпии частицы газа является
величиной постоянной. Полагая 1 = б„Г = срр/(рЯ), a cv—cc = R и
Ь = Ср!сс, найдем
/=_*_. -*_, ,3.4.15)
Следовательно,
^L + _L..i=c, ,3.4.16)
"равнение Бернулли для идеального сжимаемого газа является
теоретической основой исследований закономерностей изэнтропиче-
ских течений газообразной среды.

§ 3.5. АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ
Понятие о подобии
Аэродинамические характеристика летательных аппаратов или
их отдельных элементов можно определить как теоретическим пу-
тем, так я при помощи экспериментальных исследований. Теорети-
ческие методы основаны на использовании системы уравнений га-
зовой динамики, которая решается применительно к обтекаемому
телу с заданной формой, имеющему, вообще говоря, произвольные
абсолютные размеры.
При проведении экспериментов, предназначенных для получе-
ния аэродинамических параметров, которые могут быть непосредст-
венно использованы для дальнейших баллистических расчетов или
проверки результатов теоретических исследований, не всегда уда-
стся применить натурное тело из-за его больших размеров, поэто-
му приходится пользоваться моделью изделия с меньшими разме-
рами. В связи с этим возникает вопрос о возможности переноса
полученных экспериментальных результатов на натурные тела. От-
вет на этот вопрос дает теория размерности и подобия,
устанавливающая условия, которые должны соблюдаться в опытах
с моделями, и выделяющая характерные и удобные параметры, оп-
ределяющие основные эффекты и режимы обтекания.
Предположим, что в аэродинамической трубе путем измерений
получена сила лобового сопротивления, которая в соответствии с
A.3.5) равна Хк =^cx4qKSK. Теперь выясним, когда можно исполь-
зовать полученный результат для определения силы лобового со-
противления натурного тела в соответствии с формулой Xa=cXHqHSBl
в которой коэффициент сопротивления схн для этого тела является
неизвестной величиной, а скоростной напор qa и характерная пло-
щадь Slt заданы. Разделив почленно формулы для Х„ и Хм, получим
Хи = Хи-^-- -2^-. C.5.1)
Из этого выражения видно, что расчет натурной силы Ха по экспе-
риментальному значению Хм можно осуществить лишь при равен-
стве аэродинамических коэффициентов сх„ и сх1„ поскольку величи-
ны qMSt, и quSu однозначно определяются заданными значениями
скоростных напоров и характерных площадей.
В этом случае оба потока — модельный и натурный — будут
обладать свойством динамического подобия, которое в
данном случае заключается в том, что по заданной силовой харак-
теристике одного потока (сопротивление Хм) получается характе-
ристика другого (сила Хп) простым пересчетом, аналогичным пере-
ходу от одной системы единиц измерения к другой.
Требования, при выполнении которых обеспечивается в рассмат-
риваемом случае равенство сжм = с:Сн, а в общем случае и других без-
размерных аэродинамических коэффициентов, устанавливаются в
теории размерности и подобия исходя либо из физической природы

изучаемого явления, либо из соответствующих дифференциальных
уравнений аэродинамики.
Рассматривая выражение для аэродинамического коэффициента
+ с/хсо5(Рх)} 4^-, C.5.2)
х= [ \рс
C)
полученное из A.3.2), можно заметить, что этот коэффициент за-
висит от безразмерных геометрическнх^пара метров, а также от та-
ких безразмерных величин, как коэффициенты давления и местного
трения. Из этого следует, что аэродинамические коэффициенты для
натуры и экспериментального объекта с различными абсолютными
размерами сохраняются постоянными, если эти тела геометрически
подобны и обеспечивается одинаковое распределение по их поверх-
ности коэффициентов р и с/х.
Если рассмотреть установившееся обтекание равномерным пото-
ком сжимаемого газа при отсутствии теплопередачи, то, как сле-
дует из физических соображений, коэффициенты р и CfX будут яв-
ляться при заданой форме обтекаемого тела и известных значениях
углов атаки и скольжения, а также углов поворота аэродинамиче-
ских рулей функциями скорости набегающего потока К», давления
/>», плотности р™, динамического коэффициента вязкости и.*., удель-
ных теплоемкостей газа сроо и с™, а также некоторого характерного
линейного размера тела L. Следовательно, от этих же параметров
будет зависеть и коэффициент сопротивления, для которого можно
написать функциональную зависимость в виде Cx—f(Vx., pxi p», |i»,
Cp«, с„ао, L). Так как этот коэффициент является безразмерной
величиной, то, следовательно, под знаком функции должны быть
также безразмерные параметры. Из общих соображении метода
размерности следует, что семь размерных аргументов функции сх
можно свести к трем аргументам, которые представляют собой без-
размерные комбинации, составленные из V^, />„, р«, сроо, и,™, сВО0|
L, так как имеются четыре независимые единицы измерения; мас-
сы, длины, времени и температуры. Эти безразмерные комбинации
имеют следующий вид: Voo/K*»/'»/P»=^0O/a'»= 'И~ ~~ число Маха
невозмущенного потока; V«p«X/n«>= Re»— число Рейнольдса, вы-
численое по параметрам невозмущенного потока и характерному
линейному размеру L; Сроо/сеоо=йс» — показатель адиабаты.
В выражении для М™ принято, что У^к~р^р1>=аво— скорость
звука в невозмущенном потоке. Действительно, в соответствии с
общим выражением для скорости звука as=dp/dp, а также с уче-
том адиабатического характера распространения звуковых воз-
мущений в газе, согласно которому />=Арй, можно написать а2 =
= {djdp) (Ар6) =k(pfp). Согласно этому квадрат скорости звука в
невозмущенном потоке a2tB=*«.(^™/pO0). Таким образом, отношение
^«/l/^oo/Vpco ^Vco/fl». Все другие безразмерные комбинации,
кроме И!», Re», А», составленные из указанных семи параметров
или вообще из любых величин, которые могут быть ими опреде-
лены, будут функциями комбинаций М», Rew и &«,. Следовательно,

можно написать для коэффициента сопротивления
Гг=/(Ли, Re», *«). C.5.3)
Аналогичные выражения можно записать для других аэродинами-
ческих коэффициентов. Из этих выражений следует, что при вы-
полнении равенств чисел М„, Re™ и параметра &» модельного и
натурного потоков аэродинамические коэффициенты геометрически
подобных тел будут одинаковы. Таким образом, пришли к важно-
му выводу теории размерности и подобия, в соответствии с кото-
рым необходимым и достаточным условием аэродинамического
подобия будет постоянство численных значений безразмерных ком-
бинаций, образующих так называемую базу, т. е. систему безраз-
мерных величин, определяющих вес остальные параметры течения.
Эти безразмерные комбина-ции называются критериями по-
добия.
Приведенные критерии подобия имеют определенный физиче-
ский смысл. В соответствии с выражением c^—dp\dp скорость
звука можно рассматривать как параметр, зависящий от свойства
сжимаемости, т. е. способности газа изменять плотность с измене-
нием давления. Поэтому число Маха является тем безразмерным
критерием подобия, которым характеризуют относитель-
ную величину воздействия сжимаемости на те-
чение газа. Число Рейнольдса представляет собой критерий,
при помощи которого оценивается относительная величи-
на воздействия вязкости на движущийся газ, а
параметр koo=cpat,/cVK, определяет особенности течения, обуслов-
ленные термодинамическими свойствами газа.
Критерии подобия, уч
и теплопроводности
В более общих случаях обтекания, характеризующихся влияни-
ем ряда других физических и термодинамических параметров на
аэродинамические свойства летательных аппаратов, критерии дина-
мического подобия будут более сложными и разнообразными. Для
установления этих критериев можно применить другой метод теории
размерности и подобия, Основанный на использовании уравнения
движения вязкого теплопроводного газа.
Напишем эти уравнения в безразмерной форме, т. е. в таком
виде, чтобы входящие в уравнения параметры (скорость, давление,
температура и др.) были отнесены к некоторым характерным пара-
метрам. Эти параметры являются для данного течения постоянными
величинами и определяют его масштаб. В качестве масштабов
выберем параметры набегающего потока: скорость К„, давление-:
рог,, плотность р„, температуру 7„, динамический коэффициент вяз- ,
кости (I» (или соответственно коэффициент v«) и др. При этом .¦
следует помнить, что из трех параметров /»«,, ри, Та, могут зада-
ваться произвольно два, а третий будет определен по этим двум \
при помощи уравнения состояния. Масштабом времени, характе- j
134

ризующим неустановившийся режим обтекания, будет величина
/з,, а масштабом длины — некоторый характерный линейный раз-
мер L (например, длина обтекаемого тела). Масштабом ускорения
массовых сил может быть выбрано ускорение силы тяжести g. Без-
размерные параметры для длины и времени запишем в виде
x=x/l, y=yjL, z=z/L, t = t/
C.5.4)
а безразмерные коэффициенты для скорости, давления, плотности,
вязкости и массовых сил — в следующей форме:
р=р/р„, P = P/F
O0, X=X/g,
C.5.5)
Введем безразмериые величииы в уравнение движения C.1.17)
и неразрывности B.4.2). При этом для преобразования используем
только первое уравнение системы C.1.17), так как два других урав-
нения напишутся аналогично. Указанные уравнения в безразмер-
ных коэффициентах будут иметь вид:
'« дТ ' L \ * д~х " ду~ д7 )
где ui\V=dVJdx+dVt/idy-\-dVI/dz.
Из масштабных величин, входящих в эти уравнения, можно со-
ставить ряд безразмерных чисел, характеризующих подобие газо-
. вых течений. Эти числа, называемые по имени ученых, которые
первыми получили их, записываются в следующей форме:
Sh=Vaat0O/L — число Струхаля;
Fr= V"L/{gL) — число Фру да;
М=У„/аео—число Ма\а;
Re=yn,peZ,/[*«,=yo0?/vO0—число Рейнольдсэ
(индекс «оо» при М и Re опущен).
C.5.6)

Здесь aaB = ykBJ^T№ — скорость звука в невозмущенном потоке
(А» и L — соответственно показатель адиабаты и температура
газа в невозмущенном потоке). Введя эти числа в уравнения дви-
жения и неразрывности, получим:
B?) + J(^) = 0. ,3.5.8)
й( дх ду дг
Преобразуем теперь уравнение энергии C.2.14), в котором опу-
стим члены, учитывающие излучение и диффузию. Введем безраз-
мерные параметры
Т^Т/Тп, 'ср = ср1ср1Я, Т=Х/\ае, C.5.9)
где ер,* и Я» —соответственно удельная теплоемкость и коэффици-
ент теплопроводности газа в невозмущенном потоке. Имея в виду,
что di=cvdT, и раскрывая полную производную dTJdt, после соот-
ветствующих подстановок получим
- dlv (Xgrad f). C.5.10)
Введем безразмерное число Прандтля
P^PWWX», C.5.11)
при помощи которого сравниваются относительные-
величины воздействия вязкости и теплопровод-
ности, или, иначе, оценивается соотношение между тепловым по-
током, вызванным трением, и молекулярным переносом тепла. Тог-
136

да, учитывая, что pv,/f>at, = RTo0—Cpoa(\-—
+ -~rdiv(Xgrad7-). C.5.10')
Далее преобразуем к безразмерному виду несколько дополни-
тельных соотношений системы уравнений газодинамики (см.
§3.3):
(р~/Р»Т„)р=?Т; C.5.12)
?ср=Л</>-? r-fKl/fcp..); C.5.13)
^Aip-'p. Tjf)(l/\my, C.5.14)
i*=.M/>-p. г.г)A/М; C.5.15)
ср=Мр-& T.T)(\fc^). C.5.16)
Теперь представим, что исследуются два потока, обтекающие
геометрически подобные поверхности. У таких поверхностей без-
размерные координаты сходственных точек одинаковы, что явля-
ется необходимым условием аэродинамического подобия течений.
Для выполнения достаточного усло&ия такого подобия должно
быть обеспечено равенство безразмерных значений газодинамиче-
ских параметров (скорости, давления, плотности и др.) в сходствен-
ных точках. Так как безразмерные параметры одновременно явля-
ются решениями системы уравнений C.5.7), C,5.8), C.5.10')
C.5.12)-нC.5.16), то, очевидно, указанное равенство будет соблю-
дено при условии, если системы безразмерных уравнений, а также
безразмерные граничные и начальные условия для каждого потока
одинаковы.
Рассматривая системы безразмерных уравнений для двух пото-
ков, видим, что обе эти системы будут одинаковы, если:
1) равны критерии подобия.—
Fr, = Fr2, Re, = Re2, M1 = M3, Sb^Sh,; C.5.17)
2) выполняется равенство чисел Прандтля Рг1 = Ргг, т. е.
IVf^/MiH'W-A.h, C-5.18)
а также равенство отношений теплоемкостей газов для двух тече-
ний:
koai=k^2; C.5.19)
137

3) каждое из уравнений C.5.13)^C^5.16) определяет зависи-
мости для безразмерных значений цср, \ и, или ср от относительных
величин р и Т, а также параметров C.5.17)-^ C.5.19). Однако в слу-
чае диссоциированного газа такие зависимости не имеют места,
так как нельзя выделить безразмерные критерии вида C.5.17)-^-
C.5.19) или какой-либо другой формы. Поэтому соответствующие
безразмерные уравнения C.5.13)-^ C.5.16) для натурного и модель-
ного потоков не будут одинаковыми и полного динамического по-
добия обеспечить не удается.
Можно указать два частных случая, когда это подобие обеспе-
чивается. Зто, во-первых, случай течения недиссоциированного га-
за, для которого средний молекулярный вес остается постоянным
(цср1 = Цсрг), а теплоемкости, коэффициент теплопроводности и
вязкость изменяются в зависимости от температуры по степенному
закону вида у=аТх, В этом случае уравнения C.5.14)н- C.5.16) для
величин X, \i и ср заменяются соответствующими зависимостями
только от безразмерной температуры 7 = 7/7». Ко второму случаю
относится течение газа с небольшими скоростями, когда парамет-
ры %, ц и сР не зависят от температуры. Соответствующие значения
этих параметров будут одинаковыми для натурного и модельного
потоков. Для этого случая система уравнений включает безразмер-
ные уравнения Навье — Стокса, неразрывности, энергии, а также
уравнение состояния.
Граничные условия, накладываемые на решения безразмерных
уравнений, обусловливают дополнительные критерия подобия. Это
не относится к условию безотрывного обтекания, которое не вносит
новых критериев подобия. Действительно, это условие в безраз-
мерной форме имеет вид
Vx {dF/дх) + Vy (dF/ду) + V, {dF!dz) = 0
и будет одним и тем же как для натурного, так и для модельного
потоков ввиду геометрического подобия обтекаемых поверхностей.
Однако температурное граничное условие, согласно которому ре-
шение для температуры должно удовлетворять равенству Т—Тст
G"ст —температура поверхности), вносит дополнительный крите-
рий подобия. В самом деле, из граничных условий для натурной
и модельной поверхностей, имеющих соответственно вид 7i=_G\:t)i
и_ ^2—(^ст)г, следует, что безразмерные температуры Ti = (TCi)i и
712= G"стJ. По условию подобия, fi~T2, следовательно, должно
быть соблюдено равенство (!ГстI= (ГстЬ- Таким образом, гранич-
ное условие для температуры стенки приводит к дополнительному
критерию подобия
(Т«ГГ-I = Рс*ГГ-I- C.5.20)
Безразмерные газодинамические параметры на поверхности обте-
каемого тела, как это видно из системы безразмерных уравнений
[при условии, что уравнения C.5.13)^C.5.16) определяют цср. Я, ц
и сР в функции Т\, зависят от безразмерных координат и времени,

а также от критериев подобия C.5.17)-^-C.5.19). В частности, без-
размерное давление можно представить как функцию
/»//>»=<pi(Fr, Re, М, Sh, Рг, *м, Тст, х, ~у, z, T). C.5.21)
По известному распределению давления можно определить для
данного момента времени безразмерный коэффициент силы лобо-
вого сопротивления
cx=Xj(qJS)=^(YT, Re, M, Sh, Рг, *И1 ?„}. C.5.22]
Это выражение более полно, чем C.5.3), определяет зависимость
аэродинамического коэффициента сопротивления от безразмерных
критериев подобия. Однако соотношение C.5.22) не отражает всех
особенностей течения диссоциированного газа, так как получено
из упрощенных уравнений C.5.13) — C.5.16). Поэтому для такого
течения формула C.5.22) менее точна, чем для недиссоциировэн-
ного потока, и определяет лишь частичное подобие.
Критерии подобия, от которых зависит безразмерный аэродина-
мический коэффициент, имеют определенный физический смысл
II характеризуют реальные факторы, влияющие на аэродинамиче-
скую силу.
Число Фруда является критерием подобия, учитывающим влия-
ние на сопротивление массовой силы (силы тяжести). Из уравнения
движения, написанного в безразмерной форме, видно, что число
Fr равно отношению величины V^jL, обусловленной влиянием
инерционных сил, к масштабу массовых сил g. Равенство чисел
Фруда для натуры и геометрически подобной модели означает, что
у них будут одинаковыми коэффициенты сопротивления, обуслов-
ленные влиянием силы тяжести жидкости. Этот критерий подобия
не имеет существенного значения при исследовании газовых тече-
ний, так как влияние силы тяжести газа на движение пренебрежи-
мо мало. Однако значение этого критерия может оказаться суще-
ственным в гидродинамике, в частности при экспериментальном
изучении волнового сопротивления различных судоходных уст-
ройств.
При движении тел в реальной жидкости аэродинамические силы
зависят от вязкости. Сила вязкости характеризуется числом Рей-
нольдса, которое может быть получено как отношение величины
к!/?, учитывающей влияние инерционных сил, к параметру
v»V'«,/.?a. учитывающему влияние вязкости. Если соблюдается ра-
венство чисел Рейнольдса двух геометрически подобных потоков,
то выполняется условие частичного аэродинамического подобия с
учетом влияния вязкости. При этом условии, в частности, будут
равны коэффициенты сопротивления трения для натурного и мо-
дельного тел.
Критерий подобия по числу Маха получается из отношения
величины V\b\L к параметру /?„/(р~?)> который учитывает влия-
ние сил давления, зависящих от сжимаемости газа. Частичное по-

добие двух потоков сжимаемого газа, обтекающих геометрически
подобные тела, будет соблюдено при равенстве чисел Маха.
При исследовании неустановившегося обтекания существенное
значение имеет подобие по числу 'Струхаля, которое получается
из сопоставления инерционных сил и сил, вызванных влиянием не-
стационарности, т. е. из отношения величин VL/Л и V^J^. Два
нестационарных течения, обтекающих натурное тело и модельный
объект, будут иметь частичное аэродинамическое подобие при оди-
наковых значениях числа Стру.халя.
Критерии подобия по числу Прандтля и отношению теплоемкос-
тей обусловлены определенными требованиями к физическим свой-
ствам газов натурного и модельного течений. Газы могут быть раз-
личными, но их физические характеристики должны быть такими,
чтобы выполнялись равенства РГ[=Рг2 и Аи[=йд,2- Число Прандтля
зависит от динамического коэффициента вязкости и теплопровод-
ности. Коэффициент вязкости отражает свойства газа, от которых
зависит молекулярный перенос количества движения, а коэффици-
ент теплопроводности характеризует интенсивность молекулярного
переноса тепла. Таким образом, критерий Прандтля Рг = цсосрсоД„
определяет меру преобразования энергии молекулярного переноса
в тепло. Для газа Рг<1.
Безразмерный коэффициент аэродинамической силы или тепло-
передачи является сложной функцией ряда критериев подобия, каж-
дый из которых отражает влияние какого-то определенного физи-
ческого процесса. Полное подобие натурного я модельного потоков
может быть выполнено лишь при соблюдении равенства всех кри-
териев подобия. Практически, однако, это обеспечить не удается,
так как некоторые из этих критериев являются противоречивыми.
Рассмотрим, например, числа Рейнольдса, Фруда и Маха. Для
выполнения подобия по силам трения необходимо, чтобы V)Li/vi =
=-V2^2/v2. Если принять, что для натурного и модельного потоков
коэффициенты vi = va, то, следовательно, скорость модельного по-
тока V2= Vi (Z,[/L2)t т. е. больше скорости натурного потока во
столько, во сколько модель обтекаемого тела меньше натуры.
Для обеспечения подобия по силам тяжести необходимо соблю-
сти равенство чисел Фруда, т. e.l/?/(i1g,) = l/'|/(l2g2), откуда следу-
ет, что если опыты проводились при одинаковых значениях g, то
скорость модельного потока V2 = V1YLifLl. Как видим, в дан-
ном случае скорость V2 должна быть для уменьшенной модели не
больше, а меньше.
Наконец, при соблюдении равенства чисел Маха буцем иметь
Vjlai = Vsla2. Приняв для упрощения, что аг=С:, получим условие
равенства скоростей модельного и натурного потоков.
Естественно, выполнить одновременно все эти условия для ско-
рости нельзя, следовательно, можно говорить лишь о неполном по-
добии. Следует, однако, отметить, что практически нет необходи-
мости удовлетворять всем критериям подобия, так как влияние их
в том или ином конкретном случае движения неодинаково. Напри-

мер, более существенным будет влияние на обтекание тел газом сил
трения и давления, чем силы тяжести, и в соответствии с этим боль-
шее значение имеют критерии Re и !Л, нежели число Fr. В связи с
этим в подобных случаях число Фруда как критерий подобия не
считывают.
Если одновременно скорости движения невелики, то пренебре-
жимо мало влияние сил от давления, обусловленных сжимаемостью
газа, следовательно, можно не учитывать критерий подобия по чис-
лу Маха, полагая, что аэродинамический коэффициент зависит от
числа Рсйнольдса.
Аэродинамическая сила, момент или тепловой поток от газа к
поверхности являются результатом воздействия на тело движуще-
гося газа, в котором одновременно протекают самые различные
процессы: трение, сжатие (или расширение), нагрев, изменение
физических свойств и др. Поэтому надо стремиться к удовлетворе-
нию максимального количества критериев подобия. Например, це-
лесообразно, чтобы одновременно сохранялись равенства чисел
Рейнольдса и Маха натурного и модельного потоков, т. е. Rei = Res
и М| = Мг. Это особенно важно при исследовании аэродинамиче-
ских сил, которые для тел с большой поверхностью могут слагаться
из равноценных составляющих, зависящих от трения и давления,
обусловленного сжимаемостью. Выполнение указанного условия
может быть обеспечено при проведении экспериментов в аэроди-
намических трубах переменной плоскости. Если испытания прово-
дятся в потоке газа, скорость звука в котором такая же, как в на-
турном потоке (a2~at), то из условия равенства чисел Маха сле-
дует, что Vq = Vi- Имея это в виду и используя равенство Rei = Re2,
или, что то Же самое, Угра^-г/цг^Уфг^/ць получим условие
^зр2/(« = *-ф|/Ц|. Принимая (i2=(i[, найдем, что плотность газа в
потоке аэродинамической трубы должна быть ps = pi(ii/Lj). Пола-
гая, что температура натурного и модельного потоков одинакова
G"г=7"|), и привлекая уравнение состояния, получим условие /?2=
= Pi(L:iL2). Таким образом, для одновременного удовлетворения
подобия по силам трения и силам давления с учетом сжимаемости,
т. е. для соблюдения равенств Re] = Re2 и М[ = Мг, необходимо,
чтобы статическое давление в потоке газа, создаваемом аэродина-
мической трубой, было больше давления в натурном потоке во
столько раз, во сколько модель меньше натуры. Конструкция аэро-
динамической трубы позволяет в известных пределах регулировать
статическое давление в модельном потоке газа в зависимости от
размеров обтекаемой модели.
С известным приближением при определении силового взаимо-
действия влияние теплопередачи можно не учитывать. При этом
аэродинамические коэффициенты будут зависеть от чисел Re, M и
Sh. Если к точу же испытания проводятся в газовой среде, для ко-
торой ?„* = ?.,, то
cx=/(Re, M, Sh). C.5.23)
Для установившегося обтекания
ex=/(Re, M). C.5,24)

§ 3.6. ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
В настоящем параграфе рассматриваются одномерные устано-
вившиеся изэнтропические течения сжимаемого газ?, изучение ко-
торых имеет важное практическое значение, так как позволяет ус-
тановить связь между поперечным сечением стрчл и изменением
параметров газа и тем самым найти способ управления течением
путем изменения формы струи (канала). Здесь б\дет рассмотрен
также широкий набор газодинамических соотношении, составляю-
щих основной математический аппарат, используемый при расчетах
изэнтропических течений газа с постоянными теплоемкостями.
Форма струи газа
Рассмотрим установившееся движение идеального (невнзкого)
газа в струе с малым расширением и небольшой: кривизной. Движе-
ние в такой струе можно рассматривать как одномерное, характе-
ризующееся изменением параметров в зависимости от одной линей-
ной координаты точки, отсчитываемой вдоль оси струи. При уста-
новившемся течении параметры, определяющие это течение, будут
в каждом сечении одинаковы в любой момент времени. Если шири-
на струи мала по сравнению с радиусом кривизны осевой линии,
то поперечным градиентом давления можно пренебречь и считать,
что в каждой точке поперечного сечения струи давление одинаково.
Рассмотрение такого одномерного стационарного движения сжи-
маемого газа приводит к наиболее простому приближенному реше-
нию уравнений газодинамики. Вдоль струи сохраняется условие
B.4.51) постоянства расхода, т. е. piViS]=p2V2S2 = p3VV>3=
= ..., или pVS = const, где индексы «1», «2», «3» относят соответст-
вующие параметры газа к контрольным поверхностям, в качестве
которых выбраны поперечные сечения канала плошадью Su S2,
S2 Логарифмируя, получим In p + ln V + lnS = const. Дифферен-
цирование этого выражения дает
^_=-s(-L+--^4- C-6.1)
dV \ V ^ р dV) 1 '
Далее воспользуемся соотношением C.4.14), дифференцируя кото-
рое получим
VdV=—di. C.6.2)
Заменяя di на dplp, найдем
VdV=-dpjp. C.6.3)
Учитывая формулу для скорости звука а = У dpjd? и используя
соотношение C.6.3), преобразуем C.6Л) к виду
-1), C.6.4)

где M = V/a—число Маха в данном сечении струи. Предположим,
что вдоль струи скорость возрастает (dV>0), но остается дозвуко-
вой и, следовательно, М<1. Из C.6.4) видно, что для этого случая
производная dS/dV<0. Это указывает на то, что вниз по потоку
струя сужается. Наоборот, для дозвукового течения с уменьшаю-
щейся скоростью (М<1, dV<0) сечение будет увеличиваться, на
что указывает неравенство dS>0, вытекающее из C.6.4).
Рассмотрим сверхзвуковое течение (М>1). Если скорость
уменьшается, то, как видно из C.6.4), дифференциал dS<0 и, сле-
довательно, струя сужается. В противоположном случае, когда ско-
рость возрастает, значение dS>0, т. е. струя расширяется.
Если теперь взять насадок, который вначале имеет форму су-
жающегося, а в конце—расширяющегося канала, то при опреде-
ленных >словиях в сужающейся части насадка дозвуковой-поток
будет ускоряться, достигая звуковой скорости в самом узком сече-
нии [здесь dS — О и, как следует из C.6.4), М=!], а эагеч станет
сверхзвуковым. Так именно устроены предназначенные для получе-
ния сверхзвуковых потоков сопла в ракетных двигателях, газовых
турбинах и аэродинамических трубах.
Скорость течения
Рассмотрим струю газа, обтекающую некоторую поверхность
(рис. 3.6.1). Параметры в струе, расположенной в набегающем по-
токе, обозначим через V™, /?«, р™, 71™, /», а™, а параметры для той
Рис. 3.6 1. Параметры обтекающего газового потока
части струи, которая находится в возмущенной области, — через
К р. р, Т, I, а и т. д. Для нахождения скорости в некотором произ-
вольном сечении струи воспользуемся уравнением C.4.14), в кото-
ром постоянную С определим по заданным параметрам набегающе-
го потока:
С = 1/2„/2-Н«. C.6.5)
С
учетом этого
C.6.6)
143

В точке полного торможения V = 0, следовательно, энтальпия
l=lo = V%f2 + b.. C.6.7)
Таким образом, константа С по своему физическому смыслу может
рассматриваться как энтальпия торможения. С учетом этого значе-
ния С скорость в струе
V = V2{ili~t). C.6.8)
Энтальпии ('о соответствуют давление ра и плотность р0 торможения,
определяемые из условия
Применяя обозначения для р0 и ро, получим
-^r+^rrf=jh-f0- C-6Л0)
Так как течение изэнтропическое, то
/>/р*=/?0/Р*, C.6.11)
следовательно,
V = r/ -—-— [l-(— Yft)rtl. C.6.12)
Имея в виду, что для условий полного торможения скорость зву-
ка а-о = У~&Ро1Ы найдем
V=a0 j/-?--Ji-^(*-1№]. C.6.13)
Из C.6.8) следует, что скорость вдоль струи возрастает по мере
того, как уменьшается энтальпия и, следовательно, все большая
часть тепла преобразуется в кинетическую энергию. Максималь-
ная скорость достигается при условии, что энтальпия i — О,
т е. все тепло затрачено на разгон газа. Значение этой скоростл
Vm^=Y%> C.6.14)
или с учетом C.6.9)
C.6.15)
Используя понятие о максимальной скорости, можно написать
соотношение для скорости в произвольном сечении:
V = Vmaxy\ — ili0 C.6.16)
или
^ = ^•1' 1 "(Р/РоI*^'''*- C.6.17)

В самом узком — критическом — сечении струй достигается ско-
рость, равная местной скорости звука. Эта скорость называ-
ется критической и обозначается а*. Критической скорости
соответствуют критические давление р* и плотность р\ Из уравне-
ния Бернулли следует, что для критического сечения
_?!1_l — ^ = --- л
2 'k— 1 ' р* k-1 ро
Имея в виду, что */J*/p* = a*z, получим для критической скорости
или, учитывая C.6.15),
«'= Vm /<*- Щк+ 1). C.6.19)
Для определения местной скорости звука а восполь-
зуемся уравнением C.6.10). Производя в нем замены a2=kplp и
2 А', получим
a?=al-k-^p-V2 C.6.20)
- V2)-
C.6.22)
Введем обозначение для относительной скорости Я =
= V(a». Разделив уравнение C.6.21) на V2 и имея и виду, что отно-
шение V/a = M, получим зависимость между А, и М:
[(k + l)/2] MZ
Х»=.
C.6.23)
Отсюда следует, что в том сечении струи, где достигается Уты, чис-
ло. М=оо. Соответствующее значение Х = АШах находим из C.6.23)
при условии М-»-оо:
W= V(*+ !)/'(* -1). C.6.24)
Очевидно, в критическом сечении, где М=1, также имеем А,= 1. В
произвольном сечении, характеризующемся значениями l^M^oo,
относительная скорость
C.6.25)

Давление, плотность и температур*
Из C.6.17) следует, что давление в произвольном сечении струи
P=Ml- V'/Vl^'^K C.6.26)
В соответствии с C.*з.22) разность
[ р C.6.28)
где функция я при аргументе М определяется отношением давле-
ний р/р0.
Отнеся формулу C.6.28) к условиям набегающего потока, най-
дем
р^р~ ('+нгм-) ~TmJ-
Следовательно,
J ^ )«<»" (М)
Из уравнения адиабаты /?/р* = /Jo/po*, в котором р заменяется по
формулам C.6.26) и C.6.28), найдем зависимости для плотности:
где функция е при аргументе М определяется отношением плотно-
стей р/р0.
Используя уравнение состояния
plPo = (Р/Ро) (Г/То)* C.6.32)
а также соотношения для давления C.6.26), C.6.28) и плотности
C.6.31), найдем
^=^(\--^-)=тМ+^1л)-'1^Т,х(Щ, C.6.33)
где функция т при аргументе М определяется отношением темпера-,'
тур TfT*
Таблицы газодинамических функций я(М), б(М) и т(М) для
значений показателя к от 1,1 до 1,67 приведены в [5]. ;¦
Для плотности ро л температуры Го соответствующие зависимо*
сти определим при помощи соотношений C.6.31) и C.6.33). Отнес*

эти соотношения к условиям набегающего потока, получим:
*=,.(, +*^ *.)«"•_-?_, C.6.34,
В критическом сечении струи М=1, следовательно, из C.6.28),
C.6.31), C.6.33) получим для критических значений давления /?*,
плотности р* и температуры Т* следующие формулы.
ИГ*1) !3i6'36)
C-6-37)
где лA), еA), тA) —значения газодинамических функций при
М = 1.
Из приведенных формул, пригодных для любых скоростей, мож-
но получить приближенные соотношения для тех случаев, когда чис-
ла М очень велики. Из C.6.30) следует, что при М^! М^1
можно написать
. C.6.39)
Аналогичные зависимости для плотности и температуры имеют вид:
p/pee=(MM/M);v(ft-1); C.6.40)
Г/710О=(М„/М)г. C.6.41)
Используя зависимость C.6.27), отнесенную к скорости .набегаю-
щего потока,
получим для условий Moo^l и МЭ>1 следующую приближенную
формулу для местной скорости:
Истечение газа из резервуара
Формула C.6.12) позволяет определить скорость истечения газа через наса-
к из резервуара (рис. 3.6.2), в котором параметры определяются условиями
лного торможения, соответствующего скорости движения газа в резервуаре
147

VzsO. Такие условия праю
:адка достаточно мало по t
гическом сечении насади;
Ряс. 3.6.2. Параметры г
dSldV=Q, число Ма;
как следует из C.6.4), равно единице, т. е. скорость
гной скорости звука:
:ется при ус
Рп = Р* [ "
—)
гея с атмосферным воздухом, давление которого
1зывается противодавлением), то движение по насад-
что р*>1 атм. Приняв р*— 1 атм и ?=1,4, получим
:одимо для обеспечения па выходе сужающегося на-
/1,4+1^.4/A,4-1)
По достижении критических параметров в самом узком сечении насадка
дальнейшее уменьшение противодавления (Ра<р*) уже не сказывается на зна-
чениях а* и р', зависящих от состояния газа в резервуаре. Однако лри этом
создаются условия для возникновения сверхзвуковой скорости движения газа
по расширяющейся части насадка. На рлс. 3-6.2 этот режим изэнтроПического
движения характеризуется кривыми /, определяющими изменение отношения
148

pipa и числа М вдоль насадка. Такой режим реализуется в том случае, когда-
пpoтFlвoдaвлeниe ра равно давлению />?'' или меньше его на выходе расши-
Рассмотрим еще один возможный режим нзэнтропического течения вдоль
р[2К Образующийся при этом дозвуковой поток характеризуется кривыми 2,
изображенными на рис. 3.6.2. Относительную скорость такого течении Х(М) най-
дем по уравнению C.6.23), выбирая из двух решений для А, значение ?.<].
ют условия, при которых на выходе будет такое же давление р'в3) — p?3J,
а в самом узком сечении устанавливается давление, большее, чем критиче-
ское р*\ соответствующая скорость в этом сечении будет дозвуковой [V<a*).
Поэтому в расширяющейся части насадка скорость будет снижаться, оставаясь
дозвуковой (кривая 3 на рис. 3.6.2).
энгропический характер течения нарушается. В некотором сечении насадка воз-
никает поверхность разрыва, переход через которую сопровождается резким
торможением потока. В результате такого торможения, носящего необратн-
о б'р'а э н о" "переходит Vдозвуковое "измененийда^ния^и числТм вдшь на-
чпелом М, которое соответствовало бы давлению рс за этой поверхностью,
обеспечивающему в результате дальнейшего расширения газа его давление
опредсляется по формуле C.6,29).
Напишем уравнение расхода
pSV=p*S*a*. C.6.44)
васмое сечение S к удельному расходу q* = p*a* через критическое сечение S*
q = q!q*=?Vft?*a*) = S*/S. C.6.45)
Имея в виду соотношения C.6.19) и C.6.31), найдем
Определив далее отношение ро/р* из C.6.37),

[ формулу C.623), i
j определить эту функцию при
) работе [5] пр
гг J.I до 1,67.
¦ведены табличные значения функции д в диапазоне значений ft_
1з этих зависимостей следует, что число \ (или М) в некотором
сечении насадка S является функцией только
отношения площадей S*/S н не зависит От па-
раметров газа в резервуаре.
Изменение относительного удельного рас-1
хода q (илн отношения площадей S'/S) в за-
висимости от X показано на рис. 3.6.3. При за-"
данном критическом сечении насадка в дозву-f
ковой области течения (>.<J) увеличение ско*
ростн достигается за счет уменьшении площаТ"
ди S, а в сверхзвуковой, — наоборот, за счет,.
ее увеличения. В соответствии с этим уменье
шение давления в резервуаре не влияет на не~
личину X или И на выходе насадка. В рас-
сматриваемом случае, как следует из C.6.29)»
при изменении давления рп будет пропорцио^
нально изменяться давление на выходе рг=р„.
Расход газа из резервуара можно опреде-
лить по формуле ^
= ?*ga*S*.
{3.6 37) и C.6.18),,
C.6.47
B.4.51) и при условии р=сс
Движение несжимаемого газа (жидкости
ости) уравнение раскода н соот"
VS = const. C.6.4»
Кинематическое уравнение C.6.48) содержит всю информацию об одномерно
движении несжимаемой жидкости. Согласно этому уравнению скорость потока ,
обратно пропорциональна площади поперечного сечения канала. Давление прр
стационарвом движении вычисляется по уравнению Бернулли C.4.12) яЛ
J

ТЕОРИЯ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
§ 4.1. ФИЗИЧЕСКАЯ ПРИРОДА
ВОЗНИКНОВЕНИЯ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
Отличительной особенностью сверхзвуковых газовых потоков
является то, что в них при условии торможения образуются по-
"всрхности разрыва, при прохождении через которые параметры газа
меняются скачкообразно: скорость резко уменьшается, а давление.
температура и плотность возрастают. Такие поверхности разрыва,
перемещающиеся относительно газовой среды, иногда называют
ударными волнами, а неподвижные поверхности разрыва —
стационарными ударными волнами или скачками
уплотнения. В дальнейшем будем рассматривать условия тече-
ния газа за стационарными ударными волнами и применять, как
правило, термин «скачок уплотнения».
В наиболее общем случае скачок уплотнения имеет криволи-
нейную форму. На рис. 4.1.1,а показана схема присоединен-
ного криволинейного скачка, образующегося при обте-
кании заостренного тела, а на рис. 4.1.1,6 — схема отсоединен-
ного криволинейного скачка, который возникает перед
затупленной поверхностью, обтекаемой оверхзвуковым потоком,
•фи сверхзвуковом обтекании заостренного тела с прямолинейны-
ми стенками может возникнуть присоединенный прямоли-
нейный скачок уплотнения (рис. 4.1.1,в).
151

Из рис. 4.1.1, б видно, что поверхности скачков уплотнения могут
быть ориентированы по направлению нормали к вектору скорости
набегающего потока (угол наклона скачка 9с = я/2) или наклонены
под некоторым углом, отличным от прямого @с<л/2). В первом
случае скачок уплотнения называется прямым, а во втором —
косым. Очевидно, присоединенный криволинейный скачок можно
рассматривать как совокупность косых скачков, а отсоединенный
скачок — состоящим -из прямого скачка и системы косых скачков.
Образование скачков уплотнения обусловлено специфическим
характером распространения возмущений в сверхзвуковом газовом
потоке. Под возмущением следует понимать местное уплотнение,
сопровождающееся повышением давления. Такое повышение давле-
ния возникает в потоке при обтекании какого-либо препятствия,
называемого источи.и ком возмущений.
Рассмотрим источник бесконечно малых возмущений, располо-
женный в точке О (рис. 4.1.2). Такие возмущения распространяют-
ся в покоящемся газе (V=0) во все стороны со скоростью звука.
а в виде сферических волн в пространстве и круговых волн на пло-'
скости (рис. 4.1.2, а). В момент времени t радиус волны r=at. Если
на источник набегает дозвуковой газовый поток (V<a; рис. 4.1,2, б),
то волны будут сноситься вниз по потоку; при этом центр воли пе-'
ремещается со скоростью V<a, а сама волна распространяется со
звуковой скоростью. За некоторое время / центр волны сместится
на расстояние Vt, а радиус волны будет r=at. причем aOVt. Та-
ким образом, в дозвуковом потоке возмущения распространяются
и против течения.
В частном случае звуковой скорости (V=a) передний фронт
сферических или круговых волн возмущений ограничен плоской вер-
тикальной поверхностью или прямой, касательными соответственно;
к сфере или окружности и проходящими через точку О, так как в*:
этом случае расстояние, на которое за время i смещается центру
волн, равно ее радиусу в тот же момент времени t. |
Предположим, что набегающий поток имеет сверхзвуковую ско^
рость (V>a). За время i центр волны пройдет путь Vt, а звуковая,
волна распространится на расстояние at. Так как a(<Vt, то дл*з
152

всех сферических звуковых волн можно провести огибающую кони-
ческую поверхность (рис. 4.1,2, в), т. е. конус возмущений
(конус М а х а). На плоскости огибающими круговых волн будут
линии возмущений (линии Маха). На конусе, или ли-
ниях возмущений, служащих границей, разделяющей поток на
возмущенную и невозмущениую области, возмущения расположены
наиболее плотно, так как все звуковые волны находятся на этом
hOHyce в одной и той же фазе колебания — фазе уплотнения, Такие
возмущенные области — конические или плоские волны, ограничен-
ные прямыми линиями Маха,— называются простыми волна-
ми сжатия или волнами Маха.
Угол ji наклона образующей конической волны или линии воз-
мущений определяется из условия (рис. 4.1.2, в), что sin \l = atl(Vt),
откуда
sin|i=l/M. i4.1.1)
Ъ'юл ji. называется у гл о м возмущений или углом Маха.
Сверхзвуковой поток сносит все звуковые возмущения вниз по по-
току, ограничивая их распространение конусом или линиями воз-
мущений, наклоненными под углом ц., Фронт простой волны рас-
пространяется с той же звуковой скоростью, что и сферическая (или
круговая) волна. Поэтому проекция вектора скорости набегающего
потока на нормаль к фронту волны равна скорости звука (рис.
4.1.2, в).
В простой волне сжатия, как и в звуковой, параметры газа
(давление, плотность и др.) изменяются на бесконечно малую ве-
личину, на что указывает, в частности, известное из физики соот-
ношение для скорости звука a=Ydpjdp. В возмущенной обла-
сти скорость практически остается такой, как и в невозмущенном
потоке. Поэтому простую волну сжатия можно рассматривать как
скачок уплотнения (или ударную волну) бесконечно малой интен-
сивности и практически считать, что при переходе через него пара-
метры не изменяются. По этой причине такую простую волну сжа-
тия называют также слабой волной, а ее передний фронт (ли-
нию Маха) —линией слабых возмущений.
Естественно предположить, что образование скачка конечной
интенсивности связано с наложением простых волн сжатия и, как
результат, их взаимным усилением. Рассмотрим процесс возникно-
вения такого скачкз на примере косого скачка уплотнения. Пред-
ставим, что сверхзвуковой поток первоначально движется по ровной
и гладкой поверхности (рис. 4.1.3). Создадим искусственно местное
повышение давления а точке А, повернув поток на бесконечно ма-
лый угол dp. Это вызовет простую волну сжатия АВ, выходящую
из точки А как из источника возмущения и наклоненную к поверх-
ности под углом ц. Если осуществить дополнительно малый поворот
потока на угол fip, то образуется новая простая волна АС, выходя-
щая из той же точкя А, но расположенная левее первой волны.
Однако в сверхзвуковом потоке, как было показано, волны не могут
распространяться вверх по течению, поэтому волна АС будет сно-
153

ситься вниз по потоку до совпадения с первой. При этом образуете»
более интенсивная волна, которая значительно усиливается при
дальнейшем повороте потока. Образующийся таким образом скачок
VJM)
Рис, 4.1,3. Возникновение скачка уплотне-
ния
уплотнения конечной интенсивности имеет скорость распростране-
ния, большую, чем скорость звука, с которой движется простая вол-
на возмущения. Поэтому скачок конечной интенсивности должен
отклониться от простой волны АВ влево и занять положение AD,
при котором он удерживается в равновесии, так как скорость его
распространения будет равна составляющей скорости набегающего'
потока по нормали к фронту скачка V sin вс, где 6С — угол наклона
скачка. Из сказанного следует,что угол наклона скачка уплотнения
конечной .интенсивности больше угла наклона линии (конуса) воз-
мущений, т. е. 0C>JA.
§ 4.2- ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ
Рассмотрим более общий случай, когда газ за скачком уплот-
нения вследствие значительного нагрева претерпевает физико-хи-
мические превращения и изменяет свою теплоемкость.
При исследоваН'ИИ таких скачков, за которыми происходят возбуж-
дение колебаний, диссоциация и ионизация, а также химические ре-ч
акции, важнейшее значение имеет вопрос о скоростях физико-хими-,
ческих превращений.
Процессы за ударными волнами характеризуются тем, что часть
кинетической энергии движущегося газа практически мгновенно
переходит во внутреннюю энергию газа. В этих условиях, вообще
говоря, нельзя не учитывать того факта, что термодинамическое
равновесие достигается по истечении некоторого времени и только
в условиях такого равновесия все макроскопически изме-
ряем ые параметры (давление, плотность, темпе-'
ратура) становятся независимыми от времени..
Анализ этих явлений представляет собой более сложную задачу я',
связан прежде всего с изучением механизма неравновесных процес-
сов, со знанием, в частности, скоростей химических реакций в воз- _
ДУхе. j
Наиболее простой случай характеризуется бесконечно болыпор,|
скоростью физико-химических превращений и, следовательно, MrKtf-'j

венным установлением термодинамического равновесия. Физически
•такие процессы за ударными волнами возможны, что подтвердили
экспериментальные исследования.
Рассмотрим основные теоретические зависимости, позволяющие
рассчитывать равновесные параметры за ударной волной.
Косой скачок уплотнения
Возникающий в реальных условиях скачок уплотнения характе-
ризуется некоторой толщиной; строго говоря, изменение парамет-
ров газа в таком скачке будет происходить не мгновенно, а с тече-
нием времени. Однако, как показывают теоретические и экспери-
ментальные исследования, толщина скачка весьма мала и имеет
порядок длины свободного пробега молекул. Поэтому при изучении
скачка в идеальной среде можно пренебречь этой толщиной и пред-
ставить скачок в виде геометрической поверхности разрыва для па-
раметров газа, полагая, что изменение этих параметров происходит
мгновенно.
Задача о скачке уплотнения заключается в определении неиз-
вестных параметров газа за ним по заданным параметрам, харак-
теризующим движение газа перед скачком.
Для косого скачка уплотнения, возникающего в диссоциирую-
щем и ионизирующем газе, неизвестных параметров девять: давле-
ние рг, плотность pj, температура Тг, скорость Уз, энтальпия (г,
энтропия Sj, скорость звука яь средний молекулярный вес цор2,
угол наклона скачка вп (или угол отклонения потока 0С)- Следова-
тельно, необходимо составить систему из девяти уравнений. Извест-
ными в этих уравнениях будут параметры до скачка уплотнения:
давление р\, плотность pi, скорость Vi и т. д. Вместо скорости Уг
после скачка можно определить ее составляющие по нормали Vnz
и по касательной к скачку V^- При этом число необходимых урав-
нений увеличится до десяти. Эта система уравнений будет включать
основные уравнения газодинамики (движения, неразрывности,
энергии и состояния), ряд кинематических соотношений для скоро-
стей, а также термодинамических зависимостей, характеризующих
свойства газа. Рассмотрим каждое уравнение этой системы.
На рис, 4.2.1, где показаны треугольники скоростей потока до
скачка (параметры с индексом «I») и после него (параметры с ин-
дексом «2»), можно определить следующие соотношения для ука-
занных составляющих:
VT2=VpjCos(ee-pe), VM = V2&\n(% — $e). D.2.1)
Отсюда находится первое уравнение системы:
VJV* = tg(Bc-%). D.2.2)
Вторым уравнением будет уравнение расхода (неразрывности), ко-
торое определяет количество жидкости, протекающей через единич-

яую поверхность скачка в единицу времени:
Pi^i^Pa^; D-2-3)
здесь нормальная составляющая скорости до скачка Vni= V\ sin вс
(рис. 4.2.1).
Воспользуемся уравнением движения, записанным в форме урав-
нения количества движения для условий перехода через скачок
Рис, 4.2.1. Схем;
уплотнения, Это уравнение, которое и будет третьим уравнением
системы, получим, приравняв импульсу сил давления изменение
количества движения жидкости, протекающей за единицу времени
через единичную поверхность скачка в направлении нормали к этой
поверхности:
?У\л — Р2^яг = р2 ~ Pi- D.2.4)
Имея в виду равенство D,2.3), это уравнение напишем в виде
PiVbi (VeI — Vм) = pz~Pi- D.2.4')
Уравнение D,2.4) можно представить также в форме
D.2.4")
откуда, в связи с тем что
Это четвертое уравнение системы, которое указывает на то, что
касательные составляющие скорости при переходе через скачок не
меняются. Из рис. 4.2.1 видно, что Vxi = Vt cos 6C, следовательно,

D.2,5) можно написать в форме
l/t2=K,cosflc = Vr1A/tgflc. D.2.5')
Уравнение сохранения энергии напишем в таком виде:
При условии, что
Vl^V^+VXx, V\ = V**+V\x и V* = V*
это уравнение может быть несколько преобразовано:
D.2.6)
Комбинируя уравнения состояния для условий до и после скачка,
получим соотношение
или, учитывая, что /? = /?о/цСр,
P2~Pi=Ra(hT2^cV2-?J'i^cpl). D.2.7)
Четыре уравнения рассматриваемой системы, позволяющие оп-
ределять энтальпию, энтропию, средний молекулярный вес и ско-
рость звука в диссоциирующем газе, представим в виде общих за-
висимостей этих параметров от давления и температуры:
*a=/i(ft. Тя); D.2.8)
Sa=/2(P2, T2); D.2.9)
tV=/3(ft. Т2); D.2.Ш)
«»=/4<А. Т2)- D-2.11)
Эти функции аналитически не выражаются в явном виде и опреде-
ляются путем экспериментальных исследований или при помощи
довольно сложных расчетов, основанных на решении соответствую-
щих термодинамических уравнений. Зависимости для указанных
функций обычно строятся в виде графиков, а их значения табули-
руются в специальных таблицах термодинамических функций воз-
духа при высоких температурах (см. [6, 18, 19]).
Выразим основные параметры за ударной волной через отно-
сительное изменение нормальных составляющих скорости, т. е. че-
рез величину
дК„=LVJV* ={Vnl - Vn2)/Vnl. D.2.12)
Из D,2.3) находим отношение плотностей:
(Vpi=V(I-aVf«). D-2-i3)
а Из D.2.4') —отношение давлений:
РМ= I-HPiVIi/л) AVV D-2.14)

Вводя понятие «нормальной составляющей» числа Mi, определяе
мой в виде отношения JAn] — Vn\/ai или Мщ-Mi sin flc. и полагая
что перед скачком газ недиссоциирован и для него скорость звук*
al=^A1/71/p1, вместо D.2.14) получим
Отношение энтальпий iz/fi определим из D.2.6):
Представим разность квадратов скоростей в следующем виде:
1/2я1 - V% =V\l A - V^Va) A + Vv/Vrt) = Vli д7„B— д7я).
Следовательно,
17л). [4.2.16
Для определения отношения температур Tj/rj воспользуемся
уравнениями состояния для условий до и после скачка, из которы.
найдем
2)- D-2.17
Заменяя здесь отношения плотностей и давлений соответствен^
по уравнениям D.2.13) и D.2.15), получим
Для определения скорости за скачком воспользуемся соотноше-
ниями
V\=Vl-\-V\z и ^ = К?+^1,
из которых найдем
-ii7n). D.2.18)
Так как VrMl/l/1 = sin Вс, то
Vs/Vi= 1 - sin1* 9cul7n B — a7J. D.2,18')
Найдем зависимость для угла отклонения потока за скачком
уплотнения, В соответствии с D.2.2) и D.2.5')
Д Кга = I — tg (вс — fic)/tg Вс. D,2.19)
Отсюда, имея в виду, что
найдем
tg fc=tg % W>L I —h tg2flcl . D.2.20);
1 — AVa \ I — ДК„ / ¦;
158 F
i

Относительное изменение скорости AFn определяется в соответ-
ствии с D,2.13) безразмерной плотностью:
дТ7я=1 — pi/Pj. D.2.21)
Из этого следует, что отношения давлений, температур и энталь-
пий, а также угол отклонения рс могу! быть представлены как фун-
кции относительной плотности рг/pi. Кроме того, вместо величин
Vtu и Мщ в формулы можно ввести соответственно значения Vni =
Таким образом, решение задачи о косом скачке уплотнения при
известном угле его наклона Эс сводится к отысканию отношения
плотностей рг/pi, или, что то же самое, к определению функции
AVn- Определение этой функции ведется с помощью соотношений
D.2.16) и D,2.17'), каждое из которых можно переписать в виде
квадратного уравнения относительно AVn. Из первого квадратного
уравнения найдем
др^—I—]/ [— 2(i2— /J/Vni. D.2.22)
и из второго
д Уя= А + У А2-В, D.2.23)
где
Знаки перед квадратными корнями — минус в D.2.22) и плюс в
D.2.23) — выбраны из условия, что за скачком скорость всегда
меньше, чем до него, и, следовательно, должно быть ДГ„<[. При
этом знак плюс в D.2.23) учитывает также, что физически реаль-
ным из двух значений ДГП<1 будет большее.
Уравнения D.2.22) и D.2.23) решаются методом последователь-
ных приближений, Задача о косом скачке может решаться при ус-
ловии задания угла рс. При этом расчет угла Эс ведется при помо-
щи соотношения D.2.20), в соответствии с которым
Решение этого уравнения дает
Одно из решений (знак плюс перед корнем) определяет большее
значение угла Эс, реализуемое в отсоединенном криволинейном
скачке уплотнения, другое (знак минус) — меньшую величину, реа-
лизуемую в присоединенном скачке с более слабой интенсивностью.

Для удобства расчетов можно заранее вычислить углы вс по
заданным величинам 0С, составить соответствующую таблицу или
построить график. Тогда с их помощью для какого-либо значения'
AVn, которому соответствуют ранее вычисленные величины отноше-
ний psipu pa/pi И др., можно по одному из известных углов, Эс или
Рс найти другой.
Вычисление скорости Vi и числа Mi набегающего потока, при
которых реализуются параметры в скачке с заданными значениями
угла Эс (или Рс), а также Vni (или Мш), ведется при помощи фор-
мул
Vi = Vn,/sin flc, М, ^M^/sin flc. D.2.26)
Прямой скачок уплотненна
Формулы для расчета прямого скачка могут быть получены
из приведенных выше соотношений для косого скачка, если принять
Эг = я/2 и рс = 0. В соответствии с этим скорость Ущ —Vi, а число
Мщ — Mi, Таким образом, в приведенных выше соотношениях при
переходе к прямому скачку уплотнения следует формально отбро-
сить индексы «я». Тогда основные зависимости примут следующий
вид:
D.2.27)
D.2.28)
D.2.29)
D.2.30)
д7//г) B - д7)?
1 - д V) <iVi*cpl);
где изменение относительной скорости
определяется при помощи соотношений D,2.22L-D.2,24):
7= А + УЛ2-В,
D.2.31)
D.2.32) '
D.2.33)
D.2.34)
Связь ДК с относительной плотностью определяется формулой
AV=l-p,/p2.
D.2.36) j
Таковы общие соотношения для скачков уплотнения. Теперь }к
проанализируем при помощи этих соотношений характер движения ^
и рассмотрим методы расчета параметров газа за скачками уплот- .

нения в случае постоянных т е п л о е м к о с т е и, а затем ос-
тановимся подробнее на практических способах вычисления анало-
1ичных нараметроз для диссоциирующей среды, т. е в более общем
случае переменных теплоемкостей.
§ 4.3. «OCOR СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ В ПОТОКЕ ГАЗА
С ПОСТОЯННЫМИ ТЕПЛОЕМКОСТЯМН
Большой теоретический и практический интерес представляет
задача о течении газа за скачком уплотнения в случае, если удель-
ные теплоемкости (ср, с„) являются постоянными величинами. Хотя
такое течение считается частным (идеализированным) случаем
движения газа, физико-химические свойства которого в большей
или меньшей степени меняются при переходе через скачок, тем не
менее найденные результаты решения этой задачи дают возмож-
ность представить общую качественную картину скачкооб-
разного перехода. Получаемые при этом в явной форме зависимо-
сти, характеризующие изменение параметров газа при переходе
через скачок, могут использоваться также для приближенной ко-
личественной оценки этих параметров, когда рассматривает-
ся более общий случай переменных теплоемкостей. Наконец, рас-
сматриваемая задача имеет и самостоятельное значение, так как ее
решение применимо непосредственно для определения параметров
1аза за скачком уплотнения, возникающим в потоке со сравнитель-
но небольшими сверхзвуковыми скоростями, при которых изменение
удельных теплоемкостей в сжатом газе пренебрежимо мало. Эти
скорости, определяемые для наиболее интенсивного — прямого —
скачка уплотнения, соответствуют примерно числам М„<3-н4.
Система уравнений
Рассматриваемый далее метод расчета косого скачка уплотне-
ния основан на применении системы уравнений, которая является
"агтным случаем системы D.2.2)^D.2 II).
Если при переходе через скачок уплотнения теплоемкости не
меняются, то следует также принять, что средний молекулярный
вес остается постоянным, а скорость звука и энтальпия зависят
только от температуры, В соответствии с этим уравнения D.2.8),
D.2.10) и D.2.11) примут следующий вид:
i2 = cpT2; D.3.1)
[Sp2=[\;pi=[*cp = «>nst; D-3.2)
а\=кЯТг. D.3.3)
Вместо уравнения D.2.9) необходимо воспользоваться'термодина-
мическим уравнением для энтропии недиссоциирующего совершен-
ного газа:

%
Имея ввиду равенства di = cpdT и dp=d(RpT)=-RpdT-\-Rrdp,'
получим ,i
dS = cpd\nT — RdinT^ Rdln?. ¦ ,\
Но cp—R=cv и R!cv={cp — c^'cv=k—\. Следовательно, 3
dS = cv[d\uT — D — ljdlnp). !
Интегрируя это уравнение при ? = conbt, найдем
5 = с„ In (Г/р*-1)-!- const. D.3.4)
Заменив здесь Г значением из уравнения состояния p = RpT, найдем ¦
Включая в правой части D.3.4) в значение константы величину
In R, получим зависимость для энтропии в следующем кпд?:
5=c»ln(^/p*) + const D.3.5)
Относя это уравнение к условиям до скачка и за ним, а затем опре-
деляя разность энтропии, получим вместо D.2.9) уравнение для 1
энтропии, используемое в теории косого скачка уплотнения, i
S2-S1^cvla\(p7jpl)(PyPl)). D.3.6)'
С точностью до постоянной энтропию за скачком можно определять
по выражению :
S2=cJn(p3/?2). D.3.7).
Уравнение состояния D.2.7) в рассматриваемом случае постоянных
теплоемкостей упрощается:
Л-Л=*№-Р1Г1). D.3.8);
Что касается уравнений системы D.2,2)-ь D.2.6), то они сохрани^
ются. j
Формулы аля расчета параметров газа за скачком уплотнения!
Для расчета плотности, давления и энтальпии необходимо вос-|
пользоваться соответственно формулами D.2.13), D.2.15) и D.2.16),-]
а для определения температуры — уравнением D.2.17'), в которо^
следует принять (icpa=Hcpi: *
7У7\ = ( 1 + Ш2л1 дг7я) A - &„). D.3.9}^
Во всех этих выражениях неизвестной величиной является измене-:;
ние огносительной скорости &У„. Определим эту величину, предпо^
лагая, что угол наклона скачка вс и число Маха набегающего потов
ка И, известны. С этой целью воспользуемся уравнением D.2.4')«
разделив которое на piVni = P2Vn2 получим |
J

Заменяя здесь /»а/р2 н pi/pi соответственно на a^/k и a^jk и исполь-
зуя уравнение C.6.21) для скорости звука, найдем
АИй I 2 2 / АИя! \ 2 2 V л1 я2'
Подставляя сюда значения V^Vna + V? и Vi^Vni + ^t и
умножая обе части равенства на Уп\\;ч2. после несложных преобра-
зований получим
Исключая отсюда тривиальное решение yni—Vn2 — 0, соответству-
ющее случаю отсутствия скачка уплотнения, получим уравнение
D.3.10)
которое служит для определения скорости после скачка уплотне-
ния. Уравнение D.3.10) называется основным уравнением
косого скачка уплотнения. Из этого уравнения можно
найти относительное изменение скорости AVn= (Vm—Vmi/Vm- Для
этого представим Vn,Vns в виде VniVnn = V2n](Vn2!Vni) и восполь-
зуемся соотношениями Vni=^isinec, Vr=ViC05Gc- После соответ-
ствующих подстановок в D.3.10) получим
где h = Vi/a*. Заменяя Jii по формуле C.6.23) и производя преоб-
разования, найдем
Д17 =_JL/i__i ) . D.3.11)
Введем обозначение
1={к-Ц'(к+1), D.3.12)
с учетом которого формула D.3.11) примет вид
д7, = A-&)[1-1/(М?51п!ЧI. D.3.11')
Подставляя эту величину в D.2.13), можно определить отношение
плотностей:
Pj/p, = M?sm2ec/(l— S-(-SJVlisin2ef). D.3.13)
¦ Для определения отношения давлении рг/pi воспользуемся форму-
лой D.2.15). Примем в ней Л1„, = Л1, sin ec, вместо &Vn подставим
соотношение D.3.11'), а величину k заменим в соответствии с

D.3.15) t
1я этой!
D.3.12) значением '%
Л = A + 8)/A— 5). D.3.14)*
В результате получим парахметр :;
/'2//'i={14-5)Mbiria9c — В, D.3.1
которым характеризуют интенсивность скачка. Дл:
цели используют также отношение
При помощи формулы D.3.15') можно получить еще один параметр, ¦
характеризующий интенсивность скачка, а именно коэффициент •
давления р2= (pv—pi)Ы\, где ^ = [A + 6)/A — 6)]^,М,2/2. Вычитая-
нз левой и правой частей D.3.15') по единице и относя полученное -
выражение к величине qu найдем -'
р\±=\2 (I - BJ/Mjj (Mi sin2 9C - 1). {4.3.15") ¦
Исключая из уравнений D.3.15) и D.3.13) величину М;2 sin2 Gc, най- 1г
дем зависимость между отношениями давлений и плотностей — ,'
уравнение Гюгони от
W/'i = (Рз/ Pi — »)Д 1 — «Г-я/Pi)- D.3.13')?
Эта зависимость называется также ударной, адиабатой, ко--
торая в отличие от обычного уравнения адиабаты (изэнтропы) вида--
р = Лрй определяет изменение параметров при переходе через удар-,
ную волну. Этот процесс перехода сопровождается повышением эн-
тропии, определяемым из уравнения D.3.6).
Таким образом, процесс прохождения газа через скачок уплот-,1
иения является неизэнтропическим. В соответствии с изме-;!
неннем указанных параметров будет возрастать температура за"
скачком уплотнения. Ее величина вычисляется по уравнению со-"
стояния:
Особый вид перехода через скачок уплотнения, отличающийся;
от изэнтропического, проявляется в различном характере измене^'
ния параметров газа. Из D.3.15) и D.3.16) следует, что при М,-*-ад
давление и температура безгранично возрастают. В то же время из?
D.3.13) вытекает, что при том же условии М,->оо плотность стре*
нится к некоторому предельному значению, равному (pa/pi)*i, -.«^
= 1/6. При k =1,4 это дает значение 1/6 = 6. Из формулы /? = Лрй ид~
7'=fipft-1 (А к В — некоторые постоянные) следует, что в изэнтрА
пическом процессе безграничному увеличению давления соответс!
вует бесконечное возрастание плотности и температуры. Из сравни
вия можно сделать вывод, что при одинаковом изменении давлен»
ори протекании ударного и изэнтропического процессов первый Щ

них сопровождается более сильным разогревом газа, что и способ-
ствует некоторому снижению плотности.
Формула D.3.16) определяет отношение квадратов скоростей
звука в соответствии с зависимостью
4;а? = 7уЛ. D.3.17)
Используя эту зависимость, а также D.2.18'), можно определить
число Мг за скачком уплотнения. Подставив в D.2тг8') выражение
D.2.21) для ДК„, найдем
Vl/V^cos* fie+ (Р./Рг!2 sin29V. D.3.18)
Разделив друг на друга левые и правые части D.3.18) и D.3.17),
получим зависимость для отношения квадратов чисел Маха:
Ма/М?=Gyrj,) jcos2 fle + (p,/paJsin2 fl«], D.3.19)
где Т\/Т2 и pi/p2 находятся соответственно из формул D,3.16),
D.3.13).
В несколько ином виде формулу для расчета Л12 можно получить
при помощи уравнения импульсов D.2.4"). Напишем это уравнение
в такой форме:
Учитывая, что */?/р = [A+б)/A—б)]/?/р, и определяя р2!р\ по урав-
нению Гюгонио D.3.13'), получим
После замены величины JVI,2 sin5 вс, найденной из D.3.13), придем к
соотношению
Определим давление торможения для условий течения за скач-
ком уплотнения. Рассматривая течения газа за скачком и до него
изэнтропическими, можно написать термодинамические соотноше-
ния:
где /j0 и ра, ро и ро' — соответственно давление и плотность тормо-
жения в областях потока до и после скачка. Из этих соотношений
Заходим коэффициент восстановления давления в
скачке:

Умножив обе части этого равенства на отношение (ра/ро')к, получим.
Воспользуемся уравнением энергии
для условий до и после скачка:
7" = const и напишем его
В точках полного торможения V\=Vz = Q. Из уравнения энергии
следует, что температуры в этих точках одинаковы, т. е. Г0 = Г0',
или, что то же самое, ра/ро=Ро'1ро'- Следовательно,
Ъ=РУРо=(Р1ЫЩк~1Чъ1Р1)'П-~1> D-3.20)
или
Ч=рУр,=Ыр^'-Ш'Ы?Л<НЦ!", D.3.20')
где pjpi и pz/pi находятся соответственно по формулам D.3.15),
D.3.13).
В соответствии с C.6.28) давление торможения
D.3.21)"
следовательно,
х (!_,)-(¦+*•_
D.3.22Х
Определим коэффициент давления торможения за косым скачком:-
"~ _ Рр—Рг ._ 2A -»)
D.3.2^
Анализ зависимости D.3.20) показывает, что за скачком упл№
нения конечной интенсивности отношение давлений ро/ро
меньше единицы, причем чем сильнее скачок, тем больше поте
давления торможения и, следовательно, меньше отношение 'J
166

Рассмотрим линию тока и две точки на ней, одна из которых
расположена до скачка, а другая — позади него (в общем случае
на некотором удалении от фронта скачка). Пусть скорость в этих
точках одинакова и равна V. Как следует из C.6.26), давления в
рассматриваемых точках до скачка и позади него будут соответст-
венно
Из выражения C.6.15) следует, что так как Ро!?а = рУ?'ф то зна-
чения МаКСИМаЛЬНОЙ СКОрОСТИ ОДИНаЬОВЫ, Т. е. Vmasl= VmaM= Vmax.
Таким образом, в обеих формулах для /»A> и /К2> величины в
скобках одинаковы. Поэтому, в связи с тем что /Jo'</?o, давление
перед скачком р<') будет больше, чем давление /?B) позади него. В
этом проявляются потери статического давления.
При выяснении физической природы этих потерь нельзя рас-
сматривать скачок как поверхность разрыва; следует учитывать,
что реальный процесс сжатия происходит в слое малой толщины
порядка среднего пути свободного пробега молекул газа. Именно
такой процесс перехода через скачок возможен, так как физически
нереально наличие двух соприкасающихся областей с конечной
разностью температур, давлений и плотностей, что является лишь
математической абстракцией.
Процесс перехода через скачок малой толщины характеризует-
ся настолько большими градиентами скорости и температуры, что
в областях сжатия станет весьма существенным влияние тре-
ния и теплопроводности. Отсюда следует, что необрати-
мые потери кинетической энергии газа при переходе через скачок
связаны с работой сил трения, а также теплопроводностью. Дейст-
вие этих диссипативных сил, а также теплопередача внутри зоны
сжатия вызывают увеличение энтропии и обусловленное
этим снижение статического давления в потоке за
скачком по сравнению с изэнтропическим процессом сжатия.
Угол наклона косого скачка уплотнения
Параметры за косым скачком уплотнения определяются не
только числом М[, но и углом ес наклона скачка. Его величину,
определяемую тем же числом Mi и углом отклонения потока 8С,
можно вычислить, используя уравнение D.2.19). Заменив в нем ве-
личину ДГП значением из D.2.21), получим расчетную зависимость:
?c) = Pi'Pi- D.3.24)
Определяя p,/pj из D.3 13), находим
tji/H н\ , - . ...г - пп * ¦"¦^°J

С другой стороны, эта зависимость позволяет найти угол рс откло-
нения пстока за скачком но известному его наклону. На рис. 4.3.1
представлена графически связь между углами 0С и ?>>. для различ-
ных значений числа Мь При уменьшении величины рс, как видно-
из графика, угол 6С изменяется. В области, расположенной слева
от штриховой линии, соответствующей максимальным значениям
}гла рс (Pcmai), величина угла вс уменьшается, а справа, наЪборот,
возрастет. Такой характер зависимости обусловлен различной
формой скачка уплотнения. В первом случае изменение угла 6С со-
ответствует присоединенному скачку криволинейной формы перед
заостренным телом. По мере притупления тела (увеличения угла
заострения) угол отклонения потока возрастает и. следовательно,
увеличивается угол наклона скачка. Максимальный угол отклоне-
ния потока Рс^Ргшох определяется только заданным числом М|.
Этот угол называется также критическим углом ркр откло-
нения {или поворота) потока. Темки, соответствующие значениям
этого угла, соединены на рис, 4.3.1 штриховой линией. Исследова-.
ния показывают, что течение за присоединенным скачком устойчиво
в смысле сохранения его формы, пока во всей области за ним угол
отклонения потока меньше критического. В соответствии с этим-
такое течение называют докритическим.
По мере дальнейшего роста угла заострения угол р0 может
стать критическим. Его значение согласно рис, 4.3.1 увеличи-
вается по мере роста числа Mi. С физической точки зрения это объ%
ясняется повышением интенсивности скачка, увеличением за шщ
плотности и, как следствие, приближением этого скачка к обтека-^
емой поверхности, обусловливающим отклонение потока на боль--:
ший угол. I

При еще большем угле заострения устойчивое течение за при-
соединенным скачком не может быть реализовано. Скачок уплот-
нения отходит от острия. За таким отсоединенным скачком уплот-
нения возникает устойчивая область течения, характеризуемая от-
клонением на угол, также меньший критического. Однако в отличие
от докритического течения этот поток называется сверхкрити-
ческим. Такое определение соответствует тому факту, что угол
заострения обтекаемого тела превышает значение, при котором еще
присоединен скачок уплотнения.
Отсоединенный скачок совершенно меняет свою форму, что осо-
бенно четко видно на примере обтекания острого конуса или клина
{рис. 4.3.2). Пока поток докритическнй, скачок присоединен к ост-
рию и образующая его поверхности прямолинейная. Течение около
толстых клиньев или конусов может стать сверхкритическим, я
тогда скачок отделяется, принимая криволинейную форму. В точке
пересечения поверхности скачка с осью потока угол его наклона
0с = я/2 и, следовательно, параметры меняют свои значения по за-
кону прямого скачка. Практически вблизи оси имеет место некото-
рый участок такого прямого скачка уплотнения.
По мере удаления от оси угол наклона 0С в соответствии с гра-
фиком рис. 4.3.2 уменьшается, оставаясь на некотором участке
больше величины, которой соответствует докритическое течение.
Изменение угла отклонения потока носит обратный характер. В
вершине отсоединенной волны за ее прямой частью угол рс = 0, за-
тем он увеличивается. В некоторой точке поверхности угол рс ста-
новится критическим, а затем вновь уменьшается вместе с углом
наклона волны, причем, как следует из D.3.25), в пределе при рс-*-0
>гол ес стремится к значению Gc = ji = arcsm (I/M,). Таким образом,
Углы наклона скачка при заданном числе М| изменяются в интер-

вале A<ес^я/2. Значению 0с = ц соответствует скачок бесконечно
малой интенсивности, представляющий собой простую волну уплот-
нения.
На криволинейном скачке (см. рис. 4.3,1) можно отыскать две
точки, соответствующие двум различным углам ес, которые опреде-
ляют при заданном Л1| одно значение угла рс. Этот угол вычисля-
ется по формуле D.2.20), которая после подстановки в нее значения
AFn из D.3.11) принимает вид
f2Gc—1)[i + (y^ —sin=ec^Mfj. D.3.26)
При этом большему значению угла ес соответствует сильный ска-
чок, течение за которым дозвуковое, меньшему — слабый скачок со
сверхзвуковым потоком позади него (если исключить окрестность
скачка с углами рс, близкими к критическим, где точение может
быть дозвуковым).
Расчет угла наклона косого скачка уплотнения можно вести,
используя формулу D.2.25). Заменяя в ней ЛКП на относительную
плотность в соответствии с D.2.21), получим
4f-?-lf-'B!?t^]. D.3.27)
На каждой кривой, изображенной на рис. 4.3.1. можно указать
точку, соответствующую значению числа М2=1 за криволинейным
скачком. Соединив эти точки сплошной кривой, получим границу
двух режимов течения за таким скачком: слева от кривой течение
будет сверхзвуковым (М2>1), справа— дозвуковым (М2<1).
§ 4.4. ГОДОГРАФ СКОРОСТИ
В предыдущем параграфе было приведено аналитическое реше-."
ние задачи об определении параметров потока за косым скачком
уплотнения. Наряду с этим
существует графический спо-
соб, основанный на понятии •
годографа скорости. -
Годографскорости —
это кривая, представляющая.
собой геометрическое место
концов векторов скорости в
плоскости за скачком уплотне-
ния. Рассмотрим уравнение го-
дографа скорости. Пусть точ-
ка А (рис. 4.4.1) является кон-
г Цом вектора скорости Уз и'
расположена, следовательно,
иа годографе скорости, построю
. 4.4.1. К выводу
дографа скор
енном в системе координат,.
J7t

горизонтальная ось которой совпадает с направлением скорости
Ti перед скачком. Следовательно, наклон вектора скорости Кг
определяется углом рс. Обозначим вертикальную и горизонтальную
составляющие этой скорости соответственно ш2 и ыа. Из рис. 4.4.1
видно, что йг и к>г можно выразить через нормальную Vn3 и
касательную Кт составляющие скорости Kj к плоскости скачка сле-
дующим образом:
«a=V,cosee + Vriesinee. ffl>2 = VTsin0<.— VB2cos9c. D.4.1)
Составляющую Рп2 определяем из формулы D.3.10), в которой
примем Vni = V\ sin 9С, Ki=Ki cos Эс- В соответствии с этим
[а? ~~~ V\ cos2 вЛ / V,. D.4.2)
Исключим отсюда угол 9С. С этой целью воспользуемся уравнения-
ми D.4.1). Умножив первое из них на cos 6С, а второе — на sin 9С н
затем сложив, получим
w2cos9c-T-ia>2s'n Не = У»-
Имея в виду, что Kt=V, cos 9C, найдем
tgB^l/,-^)/^. D.4.3)
Определяя
л производя подстановку в D.4.2), получим следующее уравнение:
Это уравнение, связывающее переменные w^ иъ представляет со-
бой уравнение годографа скорости. Обычно его запи-
сывают в форме
т \i =^ ^г • D.4.4)
Введем безразмерные величины ^.„ = «2/0*, Л«,=а>2/а*, A-i = Vi/а* и
параметр б= (А—1)/(А + 1). Тогда уравнение годографа перепи-
шется в виде
^^ ^,-1 . D.4.4')
Уравнение D.4.4') на плоскости ?,ю, А.« графически изображает-
ся кривой, известной под названием строфоиды (рис. 4.4.2).
Определим некоторые характерные точки строфоиды. В частности.

вычислим координаты точек пересечения А и D строфоиды с оськ>
ли. Из D.4.4') видно, что условие Ли—О выполняется, если Яи = Х|-
или ли= 1/?.]. Значение ?.u = Ai определяет координату точки А в
дает решение, соответствующее скачкт, бесконечно малой интенсив-
ности, за которым скорость не меняется. Другое значение au=1/Xi-
определяет координату ближайшей к началу координат точки пере-
сечения D и является решением для прямого скачка уплотнения.
Из построения строфоиды следует, что две ее ветви, расположен-
ные правее точки А, уходят в бесконечность, асимптотически при-'
блнжаясь к прямой, проходящей через точку В и параллельной вер-"
тикальной оси. Координату этой точки можно получить из D.4.4 ),
перейдя к пределу при Яш->-оо. В результате получим условие
A—6)к]5+ 1—?v]Au=G, из которого найдем координату точки В;
К=и A-6) + №)•
Рис. 4.4.2. Строфоида (ударная поляра)
Любая точка ветви строфоиды, уходящей в бесконечность, фор?
мально дает решение для скачка уплотнения. Рассматривая, напри1
мер, точку F на рис. 4.4.2, можно считать, что для скачка уплотне-"
ния, за которым направление скорости изменилось на заданную
величину угла рс, скорость увеличилась скачком до величины лг, оп
ределяемой длиной отрезка OF. При этом скачком уменьшились бь
и давление и плотность. Иными словами, в данном случае имел б*
место не скачок уплотнения, а скачок разрежения. Однако физи-
чески образование таких скачков невозможно. Чтобы доказать это,,
воспользуемся формулой D.3.6) для изменения энтропии. Примени^
соотношеняя^3/р5=^ЛРо)*'
= Ро/Ро»
)
формулы D.3.6) получим
P* и учитывая, /rrojp'o/ра =4
Vo. D.4/

В случае скачка уплотнения ра>Ро' и, следовательно, Sj—Si>0.
Этот вывод соответствует второму закону термодинамики, в соот-
ветствии с которым энтропия изолированной системы со скачками
уплотнения должна увеличиться.
Рассмотрим теперь обращенное движение, при котором газ из
состояния B), характеризующегося давлением торможения р0',
перешел в состояние A) с давлением торможения ра путем скачхз
р-азрежеиия. В этом случае по аналогии с D.4.5) изменение энтро-
Таким образом, при сохранении условия ра<Ро энтропия должна
уменьшиться, а это противоречит второму закону термодинамики.
Из этого следует, что скачки разрежения возникать не могут.
В соответствии со сказанным процесс прохождения газа через
скачок, являющийся по своей природе адиабатическим, так как про-
текает в теплоизолированной системе, будет представлять собой
необратимый адиабатический неизэнтропиче-
ский процесс.
Легко проверить при помощи D.3.6), что реальный процесс по-
вышения энтропии (Sz—Sj>0) соответствует случаю сверхзвуко-
вого течения [Mi>l (прямой скачок), М, sin0C>1 (косой скачокI,
а физически невозможное явление снижения энтропии (S2—S|<
<0) — дозвуковому потоку (Mi< 1 и М[ sin 8С< 1). Таким образом,
скачки уплотнения могут иметь место телько
в сверхзвуковом потоке. Следует подчеркнуть, что полу-
ченные зависимости для изменения энтропии действительны для
того случая, когда необратимый процесс перехода через скачок уп-
лотнения сопровождается изэнтропическнм течением газа как до
скачка, так и после него.
Из сказанного следует, что ветви строфоиды, уходящие в бес-
конечность, физического смысла не имеют. Оставшаяся часть стро-
фоиды (левее точки А), имеющая физический смысл, называется
ударной полнрой. Такая кривая строится для заданного числа
}.} (или Mi). Несколько кривых, построенных для различных значе-
ний А.1, составляют семейство ударных поляр, позволяющих графи-
чески рассчитать скорость потока за скачком уплотнения и угол его
наклона.
Рассмотрим присоединенный скачок уплотнения черед клино-
видной поверхностью с полуутлом рс (см. рис. 4.1.1, в). Для опре-
деления скорости за таким скачком строим соответствующую задан-
ному числу Xi (или М]) ударную поляру и под углом pt проводим
из точки О (рис. 4.4.2) прямую. Точка" пересечения Л; с ударной
пспярой определяет вектор ON, модуль которого дает величину от-
носительной скорости Xs за скачком. В соответствии с формулой
D.4.3), которую перепишем в виде
Ч**={\-К)!К> D-4.3')
\гол ANG на ударной поляре равен углу 8Р.\- наклона ударной вол-

ни. Нетрудно заметить, что этот \ гол можно определить так же, как
угол между горизонтальной осью н нормалью к прямой, соединяю-
щей концы векторов скорости до л после скачка (на рис. 4.4.2 соот-
ветственно точки А и Л").
Рассматривая \дарную поляру, можно сделать вывод, что по
мере уменьшений угла рс (точка Л' перемещается вдоль кривой бли-
же к точке А) угол наклона скачка 6t-.\ уменьшается. В пределе при
pt->0 точка N сливается с А, что физически соответствует превра-
щению ударной волны в скачок бесконечно малой интен-
сивности, т. е. в линию слабых возмущений. Угол
наклона такого скачка 6с = ц определяется как >гол между горизон-
тальной осью и прямой, перпендикулярной касательной к ударной
поляре в точке А (рис. 4.4.2).
Возрастание угла отклонения потока (на рис. 4.4.2 это соответ-
ствует удалению точки N от А) приводит к увеличению угла скачка
и повышению его интенсивности. На ударной поляре видно, что при
некотором угле рс прямая, проведенная из точки О, коснется кривой
в точке С. Угол наклона этой касательной определяет максималь-
ный угол отклонения потока, названный ранее критическим (рс=
= Ркр)- Пусть угол клина рс>рир- На графике этому углу соответ-
ствует сплошная прямая ОН, проведенная из точки О и не пересе-
кающая ударную поляру. Таким образом, при Pc>P«p графически
при помощи ударной поляры нельзя найти решение для скачка уп-
лотнения. Это обусловлено тем, что условие р"с>р\ф не соответству-
ет предпосылкам (на основе которых получены уравнения для скач-
ка), заключающимся в том, что скачок является прямолинейным и
должен быть присоединен к острию. Физически — в рассматривае-
мом случае превышения угла клина р"с над критическим углом пово-
рота р\ф — скачок уплотнения отсоединяется и становится криво-
линейным.
Определение формы такого криволинейного скачка и его рас-
стояния до тела составляет содержание особой задачи аэродинами-
ки, связанной, в частности, с условиями сверхкритического обтека-
ния клина. Если такая задача не решена, то при помощи поляры
на всем ее участке от точки D до А можно дать лишь качественную
оценку изменения параметров в-некоторой области перед обтекае-
мой поверхностью. Когда же форма скачка определена для задан-
ных условий обтекания (наряду с расчетом это удается сделать так-
же при помощи продувок в аэродинамической трубе), то можно ус-
тановить количественное соответствие между точками ударной
поляры и поверхности скачка.
Пусть, например, задан угол 0К и точки Е и N на ударной поляре
(рис. 4.4.2). Точке N соответствует угол скачка QCX = /LANG, а точ-
ке ? — угол Ъсе = /-АЕК {EK-LOB). Если конфигурация фронта
ударной волны известна, то непосредственным измерением можно
отыскать на ней некоторую точку Л" с углом наклона волны 9cjv и
точку ?' — с углом 6сЕ' (см. рис. 4.3.2). Таким ж*1 путем можно
отыскать на скачке точку С, соответствующую критическому (мак-
симальному) углу поворота ркр.
174

На заданной поверхности отсоединенного скачка его вершине
(прямой скачок) соответствует на ударной поляре точка D, а наи-
более удаленной части скачка, превратившейся в линию сла-
бых возмущений, — концевая точка А поляры.
Для присоединенного скачка уплотнения (ре<Ркр) можно ука-
зать, как это видно на ударной поляре, два решения. Одно из них
(точка Е) соответствует меньшей скорости за скачком, другое (точ-
ка N) — большей. Как показывают наблюдения, физически реали-
зуются присоединенные скачки уплотнения с большей скоростью за
ними, т. е. скачки с меньшей интенсивностью.
Если провести на графике дугу окружности, радиус которой
равен единице (в размерных осях wa, иг это соответствует радиусу,
равному критической скорости звука а*), то можно определить об-
ласти потока —дозвуковую и сверхзвуковую, которым соответству-
ют точки, лежащие на ударной поляре слева и справа от дуги. На
рис. 4.3.2 заштрихован участок потока, соответствующий дозвуко-
вой скорости. На ударной поляре видно, что за прямым скачком
уплотнения скорость всегда дозвуковая. В то же время за косым
(криволинейным) скачком скорость может быть как сверхзвуковой
(соответствующие точки на ударной поляре лежат правее точки S),
так и дозвуковой (точки на поляре расположены левее точки 5).
Причем присоединенному скачку, за которым скорости дозвуковые,
соответствуют точки на поляре, лежащие между S и С. Эксперимен-
тальные исследования показывают, что для углов клипа рс, мень-
ших критического pVp или больших, чем /SOB, скячок остается
присоединенным, однако претерпевает искривление. При этом тео-
ретические значения для угла 8С и скорости газа %.s на всем участке
за таким криволинейным скачком, найденные на поляре по углу
клина р"с. не соответствуют действительным величинам.
5 4.5. ПРЯМОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ В ПОТОКЕ ГАЗА
С ПОСТОЯННЫМИ ТЕПЛОЕМКОСТЯМИ
Соответствующие зависимости для прямого скачка уплотнения
получим из условия, что 6с = п/2 и, следовательно, Vr.\ = Vi и Кп2 =
= V2. Основное уравнение D.3.10) причет вид
Vy7=a*2, D.5.1)
или
Х,Ха=1, D.5. Г)
где X^VJa', X2=V2'a\
Относительное изменение скорости найдем из D.3.11'):
дп=(К,-Кг)/И1 = A-8)A-1/м;). D.5.2)
Для отношения плотностей, давлений и температур соответст-
вующие зависимости получим из D.3.13), D.3.15). DД16):
Рг/Р1 = М?/A-5-|-8М?); D.5.3)

7\ r,=[
]
D.5.5) j
Исключая Mj2 из D.5.3) и D.5.4), получим сравнение ударной адиа
баты для прямого скачка, которое ;;с отличается по внешнему виду"
от такого же уравнения для косого скачка [см. D.3.13')].
Приняв в D.3.19) Ос = л/2, найдем зависимость для числа Маха
за прямым скачком:
М^М1 = (Г1/Га){з1/Ра^. D.5.6)
Рассмотрим параметры газа в точке полного торможения (в
критической точке) затупленной по-
верхности, расположенной за пря-
мым скачком уплотнения (рис.
4.5.1). Давление р0' в этой точке
определяется по формуле D.3.20'),
в которой отношения рг/pi и pdp\
находятся соответственно из D.5.3)
и D.5.4). С учетом этого
j _ ь + ЪЩ
D.5.7)
Определяя р0 по D.3.21), найдем
прЙНыи скачком' уплотнения х {, _ 8)-<1+*)/»_ D 5g)
Зная абсолютное давление pd, можно определить безразмерную
величину ра= (ра'—p\)lq\ — коэффициент давления в точке полного
торможения. Учитывая, что скоростной напор
gi~ 2 "~ 2A-ft) Р] ''
получим
- 2A — в
В § 4.3 было доказано, что температура торможения за скачком ;
7V = 7V С
уплотнения не изменяется, т. е.
полного торможения
-Ml)
Следовательно, в точке
D.5.10) '-

Для определения энтальпии воспользуемся выражениями io' = cPTa'
и i\~cpT\. В соответствии с этим в точке полного торможения
D.5.11)
§ 4.6. СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ
СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
И ПОСТОЯННЫХ ТЕЛПОЕМКОСТЯХ ГАЗА
При очень больших (гиперзвукових) скоростях, которым соот-
ветствуют значения МЕ sin 6C»1, безразмерные параметры газа за
скачком уплотнения весьма близки к их предельным величинам,
получаемым при М] sin 8с-*-°°. Из D.3.11') следует, что при этом
условии
дКя=1-5. D.6.1)
Следовательно, предельное отношение плотностей будет в соответ-
ствии с D.2.13)
Р1/р2=1-дГп = 5. D.6.2)
Внося это значение в D.3.27), получим в пределе при Mi sin 8c-*-°°
tgf'c = (ctgfy2B)[l-8±y(l-8f-48tg^J. D.6.3)
Найдем предельную величину коэффициента давления. Для условий
непосредственно за скачком уплотнения, как следует из D.3.15"),
при Mi sin e«->oo и Mi-*-oo
^ = 2(l-8)sins8c. D.6.4)
Для точки полного торможения соответствующую величину получа-
ем из D,3.23):
ро=2A —8)(8~1)№A + 8ГA1"*1/гй sin2",. D.6.5)
Отношение коэффициентов давления
pQ/p2 = {l~b2r0 + :)!2\ D.6,6)
В частном случае й=1/6 {?=1,4) отношение ро/р%~ 1,09. Предель-
ное значение числа М2 можно найти из D.3.19), привлекая зависи-
мость D.3.16) для Ta/Tj. Переходя к пределу при MiSm6c-*-oo и
М,->оо, получим
М^={ 1/18A+ 8)]) (ctg2^-!-^ D.6.7)
Для нахождения предельных параметров за прямым скачком уплот-
нения в приведенных зависимостях следует принять 6и = л/2. В ре-
зультате из D.6.4) и D.6.5) получим:
А=2A-В); D.6.4')
pQ = 2 A -bf-1>l2i A -j- srA + I0/2\ -D.6.5')
177

Как видно, отношение ро/р2 будет таким, как и для косого скачка
уплотнения. Предельное число Маха за прямым скачком
JHa = W(l+*)- D-6-7')
Для 6 = 1/6F=1,4) число Ма = Т!/7 да 0,36. Действительные значе-
ния безразмерных параметров за скачком уплотнения при конеч-
ных, хотя и очень больших, числах Маха будут зависеть от М].
Рассмотрим соответствующие расчетные зависимости для слу-
чая, когда присоединенные скачки уплотнения возникают перед тон-
кими клиньями и поэтому наклонены под малыми углами. Полагая
в D.3.25) tg ве ж 0с и tg @с— рс) » вс—рс, получим
D.6.8)
(% - ес)/ес=A - в+
Вводя обозначение K=M[pt, после преобразований найдем
А!Л! о
Решая это уравнение относительно 8t/pc и принимая во внимание,
что физически возможным может быть условие 6С/Рс>1, найдем
2A - В) ^V 4A- ВJ^ К?
D.6.9,
Рассматривая уравнение D.6.9), видим, что параметры, определя-
ющие течение в скачке уплотнения при очень больших скоростях,
объединены в такие функциональные группы, которые представля-
ют решение задачи о скачке для широкого диа-
пазона чисел М„ и значений угла рсввиде единствен-
ной кривой. Уравнение D.6.9) является Примером соотноше-
ния подобия. В соответствии с этим уравнением для отношения
8t/pc величина К=М]РС является параметром подобия.
Это подобие надо понимать в том смысле, что независимо от абсо-
лютного значения величин, характеризующих гиперзвуковые пото-
ки, при одинаковых параметрах К у этих потоков будут одинако-
выми также отношения углов 8с/'Рс При К->°о отношение 8С/Рс
стремится к пределу, равному
Ш=Ш-&)- [4.6.10)
Рассмотрим зависимость для коэффициента давления. При ма-
лых 6с формула D.3.15") принимает вид
1/К*). D.6.11)
Внося сюда значение 1/К2 из D.6.8), получим
^ = 23Д. D.6.11')
178

Заменяя здесь угол 6С значением, определяемым при помощи D.6.9),
найдем
Эта формула показывает, что К является параметром подобия я
для отношения л/Pfc- В пРеДеле ПР" К~"~°° веЛ11чина ЭТОго отно"
шения
р/? = 2A-Ы D.6.13)
В соответствии с D.3.13) при малых 6С отношение плотностей
Pj/P^K&l-Sf 8К2), D.6.14)
где параметр Кс = М,ес определяется при помощи D 6 0) в следую-
К-^ЬУ^НР]- ,4.6.15,
Из D.3.18) следует, что при малых 8С вторым членом в правой
части равенства можно пренебречь, считая, таким образом, что
Vi& Vj. С учетом этого отношение квадратов чисел Маха в соответ-
ствии с D.3.19) Ni^j!A^ = T\jT2. Заменяя здесь отношение Ti/Тц по
формуле D.3.16), в которой примем sinflc«s8c, найдем
^D.6.16)
[(I -h О К^ — RJ A — s -f- вк|)
При Кс^оо
&2*l!-'V(*(l+8)]. D.6.16')
S U. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СКАЧКЕ УПЛОТНЕНИЯ
В ПОТОКЕ ГАЗА С ПЕРЕМЕННЫМИ ТЕПЛОЕМКОСТЯМИ
С УЧЕТОМ ДИССОЦИАЦИИ И ИОНИЗАЦИИ
При решении задачи об ударной волне в диссоциированном и
ионизированном газе в качестве начальных данных выбираются па-
раметры воздуха на какой-либо высоте Н (давление р\, температу-
ра Т], плотность pi и Др.), а также величина нормальной составля-
ющей скорости V,,|. Таким образом, косой скачок рассматривается
в данном случае как прямой. Полагая в первом приближении зна-
чение ДГ„яз 0,94-0,95, что соответствует заданию относительной
плотности для скачка рэ/р1= (I—Д!',,)'1» 10-^20, находим из
D.2.15) давление р2, а из D.2.16) — энтальпию i$, близкую, очевид-
но, к энтальпии торможения (V- Пользуясь затем i—5-диаграммой
16, 18], определяем температуру Т2. а по рис. 1.5.7 —средний моле-
кулярный вес цСР1- Вместо диаграммы можно пользоваться соответ-
ствующими таблицами термодинамических функций воздуха [19],
что повысит точность расчетов.
179

По найденным значениям рг, 7*2, (iep2 при помощи уравнения со
стояния A.5.8) можно определить плотность р2 и уточнить m
D.2.21) значение ДГЛ. Затем по этом) значению во втором прибл?
женни по формулам D.2.15), D.2.16) найдем соответственно давле-
ние и энтальпию, а по ним при помоши таблиц и графиков уточниь
температуру и средний молекулярный пес. Зная уточненные эня"
ния pi, T2 и цС]>2. можно найти во втором приближении по vb?
htf,
30
20
10
О
й ш is
Рис. 4.7.1. Отношение темпе
после и до скачка с учетом
ионизации:
сплошная линия- Г.-22О К, пгг
7", =350 К
ко»»
Ш«»
^"и""во«»
20 М„,
нию состояния плотность. Приближения заканчивают по достижь
нин заданной точности.
Косой скачок можно рассчитать также при известных параме11
pax набегающего потока (включая число MJ и угле р,,. В качества
первого приближения определяем угол скачка 8С для недиссоцинр»
ющего газа [см. D.3.25)], затем по формула_м D.2 19), D.2.15,
D.2.16) находим соответствующие значения Д7П, рг и h- Используг
эти значения, вычислим по таблицам [19] или графикам [6, 18] тем
пературу Т2 и средний молекулярный вес \iep2. Далее по формула*
D.2,23), D.2.24) уточняем ДКи, а по выражению D.2 19) — tg 9С г
угол 8с- По соответствующим формулам уточняются остальные па-
раметры.
Расчеты параметров газа за прямым скачком уплотнения с не
пользованием таблиц или графиков термодинамических функцш
при высоких температурах ведутся аналогично. При этом должнь
быть приняты 8с = п/2 и ре = 0 и, следовательно, использованы 3aeh
симости D.2.27)-нD.2.35).
При наличии диссоциации и ионизации относительные величинь
параметров газа за ударной волной зависят не только от темпера-
туры, что характерно для случая переменных теплоечкостей, но i
от давления. Эти зависимости показаны графически на рис. 4.7.1 —
4.7.3. Расчеты отношений температур и плотностей проводились
для усредненных значений температуры 7, =220 и 3?0 К, равных
пороятным минимуму и максимуму, которые выбраны в зависимо-

ти от изменения температуры воздуха по высоте в случае понижен-
[ых и повышенных среднегодовых значений.
Полученные данные показывают, что диссоциация и ионизация
юусловлнвзют значительное изменение равновесной температуры и
[лотности по сравнению со случаем постоянных теплоемкостей (ft =
= 1,4 — const). Что касается давления, то оно значительно слабее за-
!исит от физико-химических превращений воздуха. Отношение
i/P,
—
т,-гх i
у
с плотностей возду-
ша с учетом дисео-
шнизации:
Рис. 4.7.3. Отнс
ннй воздуха пос
>2ipi мало отличается от максимальной величины /32/p
шределяемой только условиями набегающего потока, но не измене-
!ием структуры и физико-химических свойств воздуха за ударной
юл ной.
Температура за скачком уплотнения в диссоциированном газе
П'дет меньше по сравнению с ее значением в случае постоянных
-сплоемкостей (см. рис. 4.7.1). Это объясняется затратами энергии
ia тепловую диссоциацию молекул.
Снижение температуры, вызванное таким нвлением, в свою оче-
¦едь обусловливает увеличение плотности (см. рис 4.7.2). Эта
¦ольшая «податливостью газа к сжатию сокращает пространство
1сжду скачком и обтекаемой поверхностью, уменьшая тем самым
тол наклона скачка. И наоборот, при одном и том же угле 6е в ре-
,льнон разогретой газовой среде отклонение потока (\тол рс)
юльше, чем в совершенном газе (k = const). Это прияодит к тому,
гто з разогретом газе отошедший скачок возникает с некоторым
.апаздыванием по сравнению с холодным. В частности, угол клина
критический угол), при котором начинается отход скачка, в разо-
ретом газе больше, чем в холодном.
Учет злияиля диссоциации приводит к некоторому повышению
^явления за скачком уплотнения по сравнению со случаем постоян-
[Ы\ тенлоемкостей (см. рис. 4.7.3). Это объясняется увеличением
гнсла частиц в газе за счет диссоциации, возрастанием потерь кине-
181

тической энергии при их соударении. Однако уменьшение темпера-
туры в диссоциированном газе вызывает противоположный, но
меньший эффект. В результате давление возрастает, хотя и не на-
много.
Теория прямого скачка уплотнения имеет важное практическое
применение при определении параметров газа в точке полно-
го торможения. Оно осуществляется следующим образом.
По найденным значениям i2, pz с учетом диссоциации и ионизации
по i—S-диаграмме или таблицам термодинамических функций воз-
духа находим энтропию S2. Рассматривая течение за скачком из-
энтропическим, принимаем энтро-
пию So' в точке торможения, рав-
ной значению S2 за ударной вол-
ной. Кроме того, в этой точке
можно найти энтальпию i0' — м +
+ 0,5 V,2. Зная теперь So' и i0',
можно найти по той же диаграм-
ме i—S или по термодинамиче-
ским таблицам остальные пара-
метры, а именно: р0', Та', ра'
и др.
Результаты расчета будут со-
ответствовать заданной высоте
полета. С изменением высоты ме-
няются условия обтекания и, еле
дователыю, параметры в точке
полного торможения. Эта зависи-
мость графически изображена на
рис. 4.7.4. Кривые позволяют
определить температуру Та' и
авление р</ в функции скорости
ра ь чичкв иилнши чиумшиикии 1/, и ВЫСОТЫ ПОЛета Н.
По значению />о', в свою оче-
редь, может быть вычислен коэффициент давления в точке полного
торможения: /7o = 0,5fcM«,2{po7/J™—!)¦ Его величина в диссоциирую-
щем потоке несколько возрастает. Например, на высоте 10 км при
М„> = 16,7 эта величина ро = 2,08, в то время как без учета диссоциа-
ции j5o=l,83 (для А = Ср/сЧ1= 1,4). Как видно, коэффициент давле-
ния увеличился примерно на 13%.
Результаты расчета плотности в точке полного торможения с
учетом диссоциации и ионизации для воздуха, а также чистых кис-
лорода и азота приведены на рис. 4.7.5. Из анализа этих результатов
можно сделать следующие выводы. При М«,= 18, когда кислород
уже заметно диссоциирован, значение ро'/р» достигает максималь-
ной величины. По мере дальнейшего уаелкчения Мв газ становится
полностью диссоциированным и плотность уменьшается. Затем с
ростом Мж происходит первичная ионизация кислорода, что приво-
дит к увеличению теплоемкости и, как следствие, к некоторому по-
вышению плотности.

Влияние переменности теплоемкости на изменение плотности
азота наблюдается лишь при очень больших числах М», когда про-
исходят диссоциация и ионизация. Эти процессы протекают не по-
следовательно, как в кислороде, а практически одновременно, что
обусловлено меньшим различием энергий диссоциации и ионизации
азота. Ввиду этого кривая
ро'/р™ для азота более моно-
тонна, чем для кислорода.
При числах М»<13 в
воздухе происходит в основ-
ном диссоциация кислорода
и кривая плотности для воз-
духа ближе к соответству-
ющей кривой для О2. При
М«,>13, когда начинает иг-
рать роль диссоциация азо-
та, зависимость ро'/р™ Для
воздуха будет напоминать 9 и " и " "-
аналогичную зависимость Рис- 475- Плотность в точке полного
для азота, так как он явля- Т°рН0Яаэота кислородТи^оздСухаРЬ1 Д^Я
ется преобладающим ком- 1Рм=°.ш <"¦«. тж =гэо ю
понентом в воздухе.
Более подробно о расчете параметров газа за скачком уплот-
нения с учетом переменности теплоемкостей сказано в книге [9].
/
/
У
1
} 4.8. УДАРНАЯ ВОЛНА В ЧИСТОМ ДИССОЦИИРУЮЩЕМ
ДВУХАТОМНОМ ГАЗЕ
диссоциации
раметры за ударной волной.
С этой целью воепользуе
отношения A.6.13') ДЛН энт
нергии D.2 6), которое
тисать в следующем bhj
I Н
2 '
D.8.1)
Здесь давление и плотность отнесены соответственно к характеристическим пара-
метрам рл и pd, а скорость —и характеристической величине Vj. Примем, что
степень диссоциации до скачка мала, а скачок является очень сильным (давле-
ние, плотность и температура за скачком значительно превышают соответствую-
щие значения до него). 0 этом случае, пренебрегая двумя первыми членами в
D.S.2')

Теперь воспользуемся уравнением импульса D 2.4"). Дли очень больших скоро-
D.8.5)
О = — <7 + а,) A + а2)а2. D.8.6)
Уравнение D.8.5) решается совместно с уравнением A.6.14), которое перепишем
Га=-17я-с3)/D-го1), D.8.7)
а также уравнением для энтальпии D.2.16), которое при условии h^it имеет вид
72 = {^,/2>47д B - ДРЛ). D.8.8)
Здесь /2 представляет собой энтальпию, отнесенную к характеристической энер-
гии диссоциации tit, a Fni — скорость, отнесенную к характеристической скорости
диссоциации V*. Вычисления ведутся лутем последовательных приближений.
Этот метод расчета скачка уплотнения, относящийся, строго говоря, к чистым
диссоциирующим двухатомным газам, можно с известным приближением отнести
характеристические параметры диссоциации должны быть найдены для воздуха
и^мо^ы^^в№^Я^мэыв/^5адаы^«р1"етр^ДЛ7Я реального"воз-
духа отличаются от тех. которые получаются по изложенному методу для двух-
атомной модели Так, для скорости Vn,= l,5Vd =8.1 км/сек плотность реального
воздуха за скачком р2=14,7п,. что приблизительно на 5% больше, чем для
двухатомной модели воздуха.
§ 4.9. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В предыд>щих параграфах были рассмотрены методы расчета параметров
газа за скачком >плотнения с учеточ физико-химических превращений при усло-
вии равновесности протекающих термодинамических процессов. Однако
в наиболее общем случае эти процессы характеризуются неравновесно-
184

Как известно иа курса термодинамики, предположение о термодинамическом
равновесии заключается в соответствии уровней внутренних степенен свободы
параметрам, характеризующим состояние газа. Например, при сраннительно невы-
соких температурах (небольших скоростях) устанавливается равновесие между
температурой и колебательной степенью свободы, что соответствует равновесию
между температурой и удельной теплоемкостью. При высоких температурах
следующим образом. По мере развития диссоциации вероятность тройных
соударений увеличивается, так как возрастает число частиц газа. Это приводит
к ускорению рекомбинации и замедлению скорости диссоциации. Наступает
момент времени, когда при некоторой температуре скорости прямой и обратной
реакций выравниваются н газ приходит в равновесное состояние, которое харак-
теризуется неизменным составом и. соответствием между пепемыо диссоциации,
с одной стороны, н температурой н давлением — с другой. Наконец, при еще
более высоких температурах (очень больших скоростях) можно говорить о рав-
новесных процессах возбуждения электронных уровней и ионизации.
свободы. Таким образом, в этих случаях отсутствует запаздывание в установле-
Практическп равновесно
тел потоками с числами
максимальных температурах порядка 1000-М500 К главная часть внутренней
энергии приходится на постугытсльные и вращательные степени свободы, кото-
степеин свободы обычно называют «активными» Степенями. С увеличением ско-
ростей н, следовательно, температур значительная часть внутренней энергии при-
ходится на колебания, затем диссоциацию, возбуждение электронных уровней
Реально протекающие процессы таковы, что эти уровни энергии устанавли-
ваются медленнее, чем поступательные н вращательные, так как требуется
значительно большее число столкновений. Поэтому колебательные и диссоцнащ!-
онные степени иногда называют «инертными» степенями. Таким образом, инерт-
ным степеням свойственно запаздывание в достижении равновесия, называемое
нанливается соответствие между температурой и энергетическим уровнем, пред-
Интуитивное представление о релаксационном процессе и времени релакса-
ции дает следующий пример. Предположим, что две закрытые термодинамически
новесие в них нарушится, однако по истечении некоторого времени после тепло-
вого обмена обе системы придут в другое термодинамическое равновесие. Этот
процесс перехода в равновесное состояние называется релаксацией, а время, по-
требное для установления равновесия, будет временем релаксации
Релаксационные процессы определяются тем, какая степень свободы приходит
й й бй
о соответствующи
is:

нни температуры. Если температура повышается, то теплоемк
вследствие появления вибраций атомов в молекулах. Время, в
колебательное движение приходит в равновесие, называется ко
В неравновесном диссоциирующем газе при внезапном и
вания атомов н их исчезновения (скорость дисс
ции) происходит постепенное увеличение сте
значение степени диссоциации достигается в момент выравнивания скоростей
прямой и обратной реакций. Время, которое требуется для получения равновес-
ной степени диссоциации, называется диссоциационным временем
релаксации.
При температурах примерно до 10 000 К основными являются колебательные
и диссоциационные релаксационные процессы. Релаксационными явлениями,
температурах приходится малая часть внутренней энергии.
Неравновесность оказывает существенное влияние на различные процессы,
сопровождающие течение газа с очень большими скоростями. В частности, коле-
бательная к диссоциационная релаксации изменяют параметры газа при переходе
через ударные волны н при обтекании тел, что в свою Очередь влияет на процес-
Уравнение для скоросга химических реакций
движения среды и химических процессов, происходящих с конечными скоростями.
Формально это выражается в том, что к обычной системе уравнений газовой
динамики добавляется уравнение для скорости химических реакции.
В целях упрощения исследований можно использовать уравнение, описыва-
ющее простую бинарную реакцию диссоциации и рекомбинации чистого диссо-
циирующего двухатомного газа, представляемую общей зависимостью A.6 I),
причем в этой зависимости скорости диссоциации и рекомбинации не равны,
следовательно, химическая реакция характеризуется некоторой разностью ука-
занных скоростей. Равновесие достигается, когда скорость образования новых
молекул в результате рекомбинации атомов будет равна скорости исчезновения
молекул, диссоциирующих иа атомы. Таким образом, истинная скорость реакции
диссоциации
dafdt = rD-rR, D.9.1)
С целью получения общих выражений для скоростей диссоциации и рекомби-
комбинация двух атомов А в молекулу А; при соударении с третьей частицей В
изображается формулой А+А+В -+-AS+B, где В — частица, уносящая энергию
рекомбинации; ks — константа скорости рекомбинации. В соответствии с этой
формулой скорость изменения концетрацин атомов при рекомбинации
\~Г-\ =2*Д[АР[В]. D.9.2)
центрацию в единицах моль/см*; кя имеет

[AJ = —-. [Л2] =
¦J = [А] + f AjJ
D.9.3)
где mM, mA — молекулярные веса соответственно двухатомных молекул и ато-
марного газа (mM=2mA); концентрации сА и см связаны со степенью диссо-
циации формулами сА = а, йм = 1 — а. Для концентрации н плотности также
+ 2[Аг] '
Рассмотрим простую схему реакции диссоциа
бражающую процесс распада молекулы в результ
ответствии с этой схемой скорость диссоциации
имость для скорости реком-
H-a>. D-9.4)
Аг+В -+ А+А+В, ото-
е парных соударений. В со-
Здесь kD — константа скорости диссоциации; В — вторая частица, участвующая
в парном столкновении с молекулой и передающая ей энергию диссоциации.
Внося значения [Аг] и [BJ из {4.9.3) в D.9.2'), получим
rD = (da/dt)D = 0,5*D (p/mA)(l - a2). D.9.5)
Подставляя соотношения D 9.4) и D 9.5) в уравнение D.9.1). получим
станта термодинамического равновесия. При некоторых предпосылках константа
справедлива и для неравновесных реакций. Имея это в виду и полагая в уравне-
нии D 9.6) da/dt=0, найдем в равновесном случае значение КР =
= 2(рЛил)а^/A — ае). где а, - равновесная степень .диссоциации. Учитывая
уравнение A.62), получим
ЗУ.
е-ут
D.9.6), найдем
D.9.8)
187

Как видно из D.9.7), для
нстанты скорости рекомбнн;
скорость образе
¦фузии C.2.5). ев
иухе, полученные для давления приблизь
ГТВН'оп^0тЛНсНки™одомТ8иТСэзото^!!л^.
ты скоростей рекомбинации порядка 10'°—
атомов AР„М)(=AР„„)Л, входящая \
с D.9.7) очевидным соотношением
\}ldt)mK = {daldi){. D.9.7'
Время релаксации
Ур;
ем понятие о кои
¦а A—а„). что пос.
D.9.7) ик
константе
|й. Тог
о несколько преобраз
авноаесня, пригодное ,
' /р можно
\
\
Рис. 4.9.1. Измене-
ние коэффициента
скорости реком-
бинации в воздухе
1
\
\
\
\
\
\
J
к
\
г
\
ч
\
\
\
\
Ч 5 Т'8'*
Рис. 4.9.2. ЭксперименталЕ
ные (Л 2) кривые времен
колебательной релаксацн
и расчетные C, 4) кривы
времени релаксации для дщ
социащш соответственн
кислорода II азота при а.
мосферном давлении
т^г)] •
«ененне степени диссоциации в функции времени t, i

некоторого значения а в момент (=0 и кончая равновесвой величиной а=авт
достигаемой по истечении некоторого времени At (времени релаксации). По по-
рядку величины производная da/dt может быть представлена в виде dafdtsz
»(«, —«)/Д/ Следовательно, согласно D.9.10'J At&tn.
Таким образом, параметр tD D.9.10) приближенно может быть определен
как время релаксации В нахождении этого параметра заключается важнейшая
задача физики релаксационных процессов. Некоторые данные о времени диссо-
циацнн для кислорода и азота экспериментально получены в ударных трубах
(рис. 4.9.2).
Анализ показывает, что время релаксации для диссоциации приблизительно
на порядок меньше, чей для рекомбинации. Поэтому для оценки эффектов ре-
лаксации надежнее пользоваться временем рекомбинации, хотя грубую оценку
можно сделать и по времени прямой реакции. То же можно сказать о колеба-
тельной релаксации, имея в виду, что о реальных процессах время возбуждения
до заданной температуры меньше времени затухания колебаний при обратном
Для оценки времени рекомбинации кислорода или азота можно воспользо-
ваться приближенным выражением
где индекс як» означает конечные значения параметров.
Из формулы D.9.11) видно, что чем больше начальные плотность и темпе-
ратура, тем быстрее протекает реакция н, следовательно, меньше время релакса-
ции. Эта же формула указывает на уменьшение to с увеличением давления, что
подтверждается экспериментальными исследованиями. Такие исследования также
показали, что время релаксации при днссоциацин в воздухе меньше, чем в чи-
стом азоте ил» кислороде.
Равновесные процессы
Каь с качественной, так и с количественной стороны равновесные течения
изучены лучше, чем неравновесные. Области потока, в которых устанавливается
равновесие, различны вследствие неодинаковых времен релаксации для уровней
возбуждения. Как уже говорилось, время установления равновесия по коле-
бательным степеням свободы на несколько порядков больше, чем по поступа-
тельным и вращательным. Еще более медленно устанавливается равновесие по
В соответствии с этим схема неравновесного процесса такова, что достиже-
ние равновесия одной степени свободы может сопровождаться началом релакса-
ционного явления другой. В более общем случае наблюдается перекрытие обла-
Приблнженная модель процесса может быть представлена на основе прин-
ципа «замораживания». Считается, что область достижения равновесия относится
к одной или нескольким степеням свободы, в то время как остальные не возбуж-
дены. Последовательность этих областей ранновесяя может быть представлена
по степеням свободы с ростом температуры в следующем порядке: поступа-
тельные, вращательные и колебательные Степени, диссоциация, возбуждение
электронных уровней, ионизация. При рассмотрении, например, процесса уста-
ностыо возведенными. Этот процесс протекает в условиях «замороженной» дис-
кая схема неприемлема для некоторых газов, i
х температурах, так как ионизация начинается до того, как полностью
идет диссоциация. Это объясняется тем, что энергии диссоциации н иоии-
азота различаются между собой лишь в полтора раза. В этом случае
i достижения равновесия перекрываются. Аналогичное явление наблю-
в воздухе при сравнительно небольших температурах. Прн температурах,
!х 3200 К. время релаксации для диссоциации кислорода меньше, чем
189

время установления колебаний азота. Следовательно
ции кислорода будет достигнуто до того, как установятся колебания азота.
Исследование обтекания тел неравновесным газом облегчается в том случае,
если характерное время этого процесса значительно меньше времени релаксации
какого-либо нз инертных процессов и возникают условия гза мороженного» тече-
ния, происходящего без участия этого инертного процесса. В частности, если
>ффекш релаксации в ударных волнах
г
п
i-
т,
ж
щ
'Ж
f
1
i%
__
t,x
ч
р;
«
щ
- —ч
71
2
—
t.x
4 9.3. Релаксационный процесс в ударной
ie (заштрихованная область определяет тол-
щину ударной волны):
2 — соответственно передняя н задняя поверхности
ные степени (сначала колебанн
На рис. 45.3 р
температуре 7У у
тэ начала движения иа перед!
температура нево ущ
соответствующая р >ре Г
пературе Га<7'. Н р
дается увеличением
с уд р
р 1
есное
Р в
Р
Р
р
Р >Р
Р и
Р
те
Ж
При

этом наблюдается небольшой рост давления по сравнению с идеальным га-
зом. Одновременно возрастет от нуля до равновесного значе-
Изучение неравновесного течения за скачком уплотнения заключается в опре-
лаксацин, а также в оценке неравновесных параметров. Рассмотрим неравновес-
ное движение двухатомной модели газа вдоль линни тока за сильным прямым
скачком уплотнении. Система уравнений, описывающая такое движение, включает
уравнение импульса D.8.3), которое запишем в виде
-9iV\ = ~p+~tV*, D.9.12)
уравнение энергии D.8.1)
а + ТЙ-^-Г-Т,; D.9.13,
уравнение состояния A.6.4') н уравнение D.9.7) дли скорости химических
реакций.
В этих уравнениях р, р, Т, Р, i0 представляют собой безразмерные значения
давления, плотности, температуры, скорости и энтальпии торможения в произ-
вольной точке на линии тока в неравновесной зоне, отнесенные к соответствую-
щим характеристическим параметрам. Величина а определяет в этой точке не-
равновесную степень диссоциации. Параметр С, входящий в
D.9.7), вычисляется по формуле D.9.8). Если производную da/dt представить
da/dt = (da/dx) {dxjdt) = (dafdx) V,
то D.9.7) можно написать следующим образом:
Л/Ас —(Сй,/10 [A-е) «-^ — "ра*]. D.9.14)
Определение неравновесных параметров заключается в решении этого диффе-
ренциального уравнения совместно с другими уравнениями системы. Начальные
условия при интегрировании определяются параметрами непосредственно за
ударной волной, которые находятся в предположении, что диссоциация отсут-
ствует, т. е. при *=0 величина а=0. В конце пути релаксации эти параметры
достигают равновесных значений, соответствующих равновесной степени диссо-
циации а=ае. При этом в целях упрощения можно принять давление в зоне
релаксации постоянным и равным его неравновесному значению непосредственно
за скачком уплотнения. В этих же целях вместо уравнения D.9.14) можно при-
efa/rfJe = ae — a, D.9.15)
dt = dxjV = tDdx. D.9.15')
Результаты численного интегрирования уравнения D.9.15) для неравновес-
ного течения кислорода за прямой ударной волной показаны графически на
рис. 4.9 4. Расчеты проводились по экспериментальному коэффициенту скорости
рекомбинации fcH=8,4-1014 см*Ц/ноль сек). Кривая на этом рисунке позволяет
оценить неравновесные значения степени днесоинацин в зоне релаксации для слу-
чая равновесия по колебательным возбуждениям. В соответствии с характером
изменения степени диссоциация плотность и температура меняются от их соот-
ветствующих величин для недиссоциирующего газа до значений при разновес-
Для приближенной оценки влияния неравновесности на течение воздуха
воздуха, состоящей из аддитивной смеси кислорода и азота. Пря этом параметр
191

С в уравнении D9.14) можно определять для кислорода,
скорости рекомбинации kB известен более достоверно
диссоциации af, характеристич
двухатомной модели воздуха.
Определяемые указанным
ют условию, при котором гаэо:
0,30
п
/
Рис.
равне
ностн
<M,-i:
(тельн
4.9.4. Из
3. Т, =295
ю ниже
ПИ'
эдг
К.
В
™
Р>=5.65
конце
стоянии имеет возбужденные колеоь-
Т17""^ушт и ДЛЯ
Если вместо уравнения D.9.13) npi-
состопнии газ был предварительно раз<
ние неравновесных параметров в зон'
релаксации вне зависимости от того, во.-
дованнн для воздушной смеси кислоро-
да н азота приведены на рис. 4.9.1
Сплошные кривые получены в предполс
буждення, штриховые — при отсутствие
возбуждения. Из этих результатов ел'
дует, что колебания имеют существен
мое значение в непосредственной близ' ¦
стн к скачку. Например, без учета во>
бужденнй температура за скачком равн;
12 000 К а для полностью возбужденно
го состояния — около 9800 К. т. е. зн<:
колебательное возбуждение практич1-
есной дис
Pi/P,'h-IB~3, К
Рис. 4.9.5 Влияние неравновесной дис
циацип на плотность и температуру
ударной волной:
(М, = 14.2. 7, = 300 К. Pi = I мм рт ег
принимать скорости колебательного возбуждения беск<
рквая, таким образом, газ перед началом днесоцнац
ным. На рнс. 4.9.5 видно, Что протяженность неравно:
невелика и составляет примерно 8-МО мм.
буде
ой зоны сравнительн<

МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
§ S.I. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ
И ФУНКЦИИ ТОНА
В аэродинамике важное место занимает метод характе-
ристик, который позволяет рассчитать возмущеьгное течение иде-
ального (иевяэкого) газа. При помощи этого метода можно пра-
вильно рассчитать контуры сопл для сверхзвуковых аэродинамиче-
ских труб, определить параметры сверхзвукового обтекания
крыловых профилей и корпусов летательных аппаратов.
Метод характеристик всесторонне разработан для решения си-
стемы уравнений установившихся сверхзвуковых двухмерных (пло-
ских или пространственных осесимметричных) вихревых и безвих-
ревых газовых течений. Широкий размах приобретают исследова-
ния, связанные с применением метода характеристик для расчета
обтекания тел трехмерными потоками. В настоящей главе будет
рассмотрен метод характеристик и его приложение к задачам о
сверхзвуковых двухмерных течениях.
Уравнения двухмерного плоского установившегося движения
вязкого газа получаются из C.1.20) при условии, что j.l—0,
VJdtdV/dt O, н имеют следующий вид:
I дх '
-=—L.i?_.
[5.1.1)
Для двухмерного осесимметричного потока уравнения движе-
ния, получаемые из C.1.36) при аналогичных условиях (v=0,
dVx/dt = dVy/dt^Q), записываются в форме:
15.1.2)
Уравнения неразрывности для плоского и осесимметричного
течений, имеющие соответственно вид B.4.5) и B.4 32), можно за-
7-707 ш.

писать в обобщенном виде:
d(pVJ[y')/dx-{-d(9Vl/y')!dy=0. E.1.3)
При е=0 это уравнение совпадает с уравнением неразрывности для
двухмерного плоского движения в прямоугольных декартовых коор-
динатах х, у. Если е=1, то имеем уравнение неразрывности для
двухмерного осесимметричного потока в цилиндрических координа-
тах у(г), х. В соответствии с этим для обоих видов течения уравне-
ния движения E.1.1) можно считать записанными в обобщенном
виде.
Взяв частные производные в уравнении неразрывности E.1.3),
получим
iv'^+v-tV+ni^t+^i)+fV^'=Q- {5ЛА)
Частную производную др/дх можно заменить выражением др/дх=
= (др/др) (др/дх), в котором др/др=1/а2, а производная др/дх на-
ходится из E.1.1) в виде
С учетом этого
Аналогично находится выражение для производной др/ду:
После подстановки значений этих производных в E.1.4) получим
E.1.7).
Это уравнение является основным дифференциальным
уравнением газовой динамики для двухмерного
(плоского или пространственного осесиммет-
ричного) установившегося потока, которому должны
удовлетворять составляющие скорости К*, Vy. Так как это уравне-'
ние связывает между собой скорости, то его называют также
основным кинематическим уравнением.
Если течение потенциальное, то
Vx=dfldx, Уа=дфу, dVxjdy=dVyldx=d\ldxdy,
следовательно, уравнение E.1.7) можно преобразовать к виду

Уравнение E.1.8) является основным дифференциаль-
ным уравнением газовой динамики для двух-
мерного потенциального установившегося тече-
ния и называется уравнением для потенциала с к о-
р о стей. Таким образом, в отличие от E.1.7) это уравнение приме-
няется только для исследования безвихревых газовых течений.
Если двухмерный газовый поток вихревой, то для его иссле-
дования надо воспользоваться функцией тока if. Составляю-
щие скорости, выраженные через функцию if, имеют вид B.5.5).
Заменяя р по формуле C.6.31), в которой плотность торможения р0
вдоль данной линии тока принимается величиной постоянной, выра-
жения B.5.5) можно представить в виде:
vх=у-ч\-"$*)-**-"№№)> vv= -у-{I-7»rWW)(at^]r
E.1.9)
где V=VfVmaTt- Расчет вихревого газового потока состоит в реше-
нии дифференциального уравнения для функции тока if. Чтобы по-
лучить это уравнение, продифференцируем Vx и У„ E.1.9) соответ-
ственно по у и х:
Принимая во внимание выражение C.6.22) для квадрата ско-
рости звука, а также соотношения E.1.9), полученные зависимости
для производных dVx/dy и д\гу/дх можно написать в виде:
дУх г 4--^- "
di V^-W<.-^r'"->^. *..п)
Входящие сюда производные дУ*/ду и dV2jdx определим при помо-
щи соотношений E.1.9). Объединяя эти соотношения, получим
Дифференцируя E.1.12) по х и у, найдем соответственно зависимо-
сти:

2. + 2 =
дх dxi ду дхду дх
k — V дх ' дх
=-52.jl*(i_Fi)*"-11+av"sf»-
Эти зависимости преобразуем, учитывая уравнение C.6.22) для
квадрата скорости звука и соотношения E.1.9):
Xfl-—)н—^l/2(l-F2)V(*-u. E.1.14)
Определяя отсюда производные dV^/dy, dV^jdx и подставляя их со-
ответственно в E.1.10) и E.1.11), получим
* дхду ) 2 [ at j дх*
Вычитая из второго уравнения первое, найдем зависимость для
вихря:
dvu дУл Vu l / j. дЦ б2ф \ р2 1/,й_1)
дх ду а? — \П у1 \ " дх2 х дхду}
н' дх^ t$ V^ и* \ дхду дц1^ /
Вихрь можно также определить при помощи уравнения C.1.22'),
преобразованного для условий установившегося движения идеаль-
196

кого газа и имеющего вид
grad{V^/2)-f-rot7 XV = -(l/p)gragp. E.1.16)
Применяя операцию grad к уравнению энергии C.4.14), получим
grad (V2/2)= —grad /. E.1.17)
Следовательно, уравнение E.1.16) можно переписать в форме
rot V X F=grad i -A/P)grad p. E.1.18)
Вихревые сверхзвуковые течения газа термодинамически могут
быть охарактеризованы изменением энтропии при пере-
ходе от одной линии тока к другой. Поэтому удобно в расчеты вве-
сти такой параметр, который бы отражал указанное изменение
энтропии как особенность вихревых течений.
Б соответствии со вторым законом термодинамики
TdS=di-(dp!p),
или в векторной форме
7-gradS=grad/-(l/p)grad/>. E.1.19)
Комбинируя E.1.18) и E.1.19), получим
rot V X V=T grad S. E.1.20)
Вычислим векторное произведение rotFxF, имея в ряду, что в со-
ответствии с B.2.12) вектор
votV=(dVy!dx- дУл1дуI31
а следовательно, проекции (rot F)x=(rot V)v=0. Используя опре-
делитель третьего порядка, найдем
rotVX V =
h h к
О 0 (rot VK
V, V, О
в котором проекция
Вычисления дают
E.1.21)
В соответствии с этим для проекции вектора rot VXV на нормаль
п к линии тока получим соотношение
у
(rat?X Vi=(,ot V X V)l+ (rot7 X Vf,=
=V'(dV,/dx-dVJdy)'.
E.1.22)
197

Из E.1.20) следует, что эту проекцию можно представить также в
виде
(rot V X V)n=T{dS/dn)
или, учитывая E.1.22),
V {dVhldx - dVJdy) = T(dSjda). E.1.23)
Так как a%—kRT, то отсюда, принимая во внимание C.6.22),
найдем выражение для температуры:
T=— = tn± —(V2 У*\ — к~1-.Уяж*A У2)
kR 2ft R v ; 2k R v ''
Внося это соотношение в E.1.23), получим
Производя замену вихря по этому выражению в E.1.15), найдем
дифференциальное уравнение для функции тока;
E.i.a5)
i SJ. ЗАДАЧА КОШИ
Уравнения E.1.8) для потенциала скоростей и E.!.25) для фун-
кции тока являются нелинейными уравнениями в частных производ-
ных второго порядка. Так как в этих уравнениях кроме членов со
вторыми частными производными имеются свободные члены, не со-
держащие этих производных, то они будут неоднородными.
Решения уравнений <р—<p(je, у) и i|>=i|>(jc, у) геометрически изо-
бражаются интегральными поверхностями в пространстве, опреде-
ляемом координатными системами х, у, <р или х, у, i|). В этих систе-
мах плоскость х, у рассматривается как основная и называется
физической плоскостью или плоскостью незави-
симых переменных.
Отыскание этих решений в окрестности некоторой исходной
(начальной) кривой у=у(х), удовлетворяющих заданным на этой
кривой дополнительным условиям, составляет содержание задачи
Коши. Такими дополнительными условиями являются значения ис-
комой функции <р(л:, у) или ty(x, у) и первых производных (рх^*)
или <pv№f)> называемые начальными данными Коши. Отметим, что
задание на начальной кривой у(х) самой функции, например
фх, у(х)], и одной из ее первых производных <ру=ду/ду эвтомати-
198

чески определяет другую производную <ря=д<р/дл:. Это следует из
соотношения
. 5.2.1.
которое получается из формулы для полной производной от слож-
ной функции двух переменных х и у в предположении, что началь-
ная кривая задана и, следовательно, известна зависимость у от х.
С геометрической точки зрения
задача Коши заключается в отыска-
нии интегральной поверхности в про-
странстве х, у, <р (или х, у, ip), про-
ходящей через некоторую заданную
пространственную кривую. Проекция
этой кривой на плоскость у, х и пред-
ставляет собой упомянутую началь-
ную кривую у=у(х) на этой плоско-
сти. Решение задачи Коши примени-
тельно к исследованию сверхзвуко-
вых течений газа и разработка соот-
ветствующего метода характеристик
принадлежат советскому ученому
Проф. Ф. И. ФранкЛЮ. же е« первые производные
Чтобы рассмотреть задачу Коши, по х и у
представим уравнения E.1.8) и
E.1.25) в общем виде:
Au+2Bs+Ct-\-H^0, E.2.1)
Где U = (pxx (ИЛИ фюс), S=yxy (ИЛИ tyxy), t=<tw (ИЛИ tyyy) ЯВЛЯЮТСЯ
вторыми частными производными; значения А, В и С равны коэф-
фициентам при соответствующих вторых частных производных;
величина И определяется свободными членами в уравнениях E.1.8),
E.1.25).
Будем искать решение уравнения E.2.1) в окрестности началь-
ной кривой АВ (рис. 5.2.1) в виде ряда. В некоторой точке М (Хо,
Уч) искомая функция
горой *
я функция,
где <p(jc, у) — значение этой функции в заданной точке N(x, у) на
начальной кривой; Ах = х0—х; &y=yQ—y. Вместо ф в E.2.2) может
фигурировать функция if.
Ряд E.2.2) дает искомое решение, если на заданной кривой су-
ществуют и известны значения функций <р (или if), а также их

производные любого порядка. Так как на этой кривой первые про-
изводные [обозначим их через р = ух (или tyx) и ?~<pj/ (или ify)] за-
даны, то необходимо дополнительно найти на ней вторые производ-
ные, а также производные более высокого порядка. Таким образом,
решение задачи Коши связано с отысканием условий, при которых
возможно определение старших производных на заданной кривой.
В дальнейшем ограничимся определением вторых производных.
Так как этих производных три (и, s и t), то нужно составить столь-
ко же независимых уравнений для их нахождения. Первым из них
будет уравнение E.2.2), которое удовлетворяется но начальной
кривой АВ. Два других получаются из следующих известных соот-
ношений для полных дифференциалов функций двух независимых
переменных, имеющих место на этой кривой:
dp={dpjdx) dx-\- (dpjdy) dy —udx-\-sdy;
Таким образом, система уравнений для определения вторых произ-
водных запишется в форме:
E.2.3)
Эта система уравнений решается относительно неизвестных и, s и t
при помощи определителей. Если для главного и частных опреде-
лителей ввести обозначения соответственно Д и Ди, Д5, Д,, то
и = Ди/Д, «^Дд/й- ' = Д(/Д- E.2.4)
Из этих соотношений следует, что если главный определитель Д не
равен нулю на начальной кривой АВ, то вторые производные и, s
и t вычисляются однозначно.
Рассмотрим случай, когда кривая выбрана таким образом, что
на ней главный определитель равен нулю, т. е.
А 2В С
Л= dx dy О
О dx dy
Отсюда следует, что
A {dyjdxf — IB {dyldx) -f С = 0. EX5)
Из курса математики известно, что при условии равенства нулю
главного определителя Д системы уравнений E.2.3) на кривой, вы-
раженной уравнением E.2.5), вторые производные м, s, t E.2.4)
либо определяются неоднозначно, либо вообще не могут
быть определены через <р, р и д.
200

Рассмотрим квадратное уравнение E.2.5). Решая его относи-
тельно производной dyfdx, получим
Это равенство определяет наклон касательной в каждой точке на-
чальной кривой, на которой главный определитель Д = 0. Нетрудно
видеть, что E.2.6) является дифференциальным уравнением двух
семейств вещественных кривых, если В2— АС>0. Такие кривые, в
каждой точке которых главный определитель системы E.2.3) равен
нулю, называются характеристиками, а уравнение E.2.5) —
характеристическим.
Из сказанного вытекает условие, при котором возможно одно-
значное определение вторых производных на начальной кривой:
никакой элемент дуги этой кривой не должен совпадать с характе-
ристиками. В отношении однозначного определения высших произ-
водных, входящих в ряд E.2.2), действует то же условие Дт^О. Сле-
довательно, если Д^=0, то все коэффициенты ряда E.2.2) однознач-
но определяются по данным на исходной кривой.
Таким образом, условие Д^=0 является необходимым и доста-
точным для решения задачи Коши. Эта задача в математической
теории дифференциальных уравнений в частных производных име-
ет основное значение, и формула E.2.2), вообще говоря, может
быть использована для расчета движения газа. Однако с точки зре-
ния физических приложений, в частности расчета сверхзвуковых
газовых течений, больший интерес представляет задача определе-
ния решения по данным на характеристиках, т. е. мегод харак-
теристик. Этот метод может быть получен из анализа задачи
Коши и заключается в следующем. Предположим, что начальная
кривая АВ совпадает с одной из характеристик и вдоль нее равен
нулю не только главный определитель системы E.2.3), но ч част-
ные определители Да = Да = Л( = 0. При этом если, например, опре-
делители Д и Д| равны нулю, то равенство нулю остальных опреде-
лителей удовлетворяется автоматически. Чтобы доказать это, вы-
числим частные определители:
dp
dq
Л*
2В С
dy 0
dx dy
А
dx
0
А 2В
dx dy
О dx
где p'^dpjdx, q'
-Н
dp
dq
-И
dp
dq
]; E.2.7)
E.2.8)
E.2.9)

Так как dx^O, то из условия At~O вытекает равенство
') — 2Bq' — H=.Q. E.2.10)
Из условия Д=0 получено уравнение E.2.5). Умножая это уравне-
ние на (р'—y'q'), а E.2.10) —на у* и складывая их, найдем
Сравнивая это выражение с E.2.7), видим, что определитель Ди = 0.
Если теперь уравнение E.2.5) умножить на q', а E.2.10) — иа t/,
то после вычитания получим
что согласно E.2.8) соответствует равенству нулю определителя Дя.
Равенство нулю главного и всех частных определителей, как
доказывается в теории систем алгебраических уравнений, означает,
что решения системы E.2.3), хотя и неоднозначные, могут
существовать. При этом если одно из решений, например
для и, является конечным, то конечными будут и решения для sat.
§ SJ. ХАРАКТЕРИСТИКИ
Условия совместности
Уравнения E.2.5) и E.2.10), определяющие условия, при кото-
рых решения для и, s и t существуют, хотя и неоднозначные, назы-
ваются условиями совместности. Геометрически пер-
вое из этих уравнений представляет собой два семейства кривых —
характеристик в физической плоскости х, у, а второе уравнение —
два семейства кривых — характеристик в плоскости р, q.
Всякое решение задачи о сверхзвуковом движении газа, найден-
ное путем решения уравнений характеристик (или условий совмест-
¦ ности), и является решением основного уравнения
газодинамики E.1.8) или E.1.25). Доказательство вытекает из
так называемой теоремы эквивалентности, в соответст-
вии с которой уравнения характеристик E.2.5) и E.2.10) эквива-
лентны основному уравнению E.1.8) или E.1.25) (доказательство
этой теоремы приводится в [20]).
С геометрической точки зрения доказанная эквивалентность оз-
начает, что решение уравнений характеристик дает также отобра-
жение некоторой плоскости х, у на плоскость р, q, при котором точ-
ки кривых, определяемых дифференциальным уравнением E.1.8),
соответствуют точкам кривых, определяемых дифференциальным
уравнением E.1.25).
Таким образом, каждой точке на характеристике в плоскости
х, у соответствует определенная точка на характеристике в плоско-
сти р, q. Очевидно, указанное соответствие может быть установлено
различными способами в зависимости от заданных граничных уело-

вий, и, как будет видно из дальнейшего, именно оно позволяет ис-
пользовать характеристики для расчета газовых течений.
В соответствии со сказанным отличительное свойство характе-
ристик состоит в том, что если вдоль кривой, не являющейся харак-
теристикой, начальные условия можно задавать произвольно, то
вдоль характеристики этого сделать уже нельзя.
Сущестюнние карвктеристик
Вид характеристик. Из E.2.6) следует, что корни квадратного
характеристического уравнения E.2.5) могут быть вещественными
(равными или неодинаковыми по величине), а также комплексны-
ми сопряженными. Различие в корнях определяется выражением
В2—ЛС = 6. В случае, если 6>0, уравнение E.2.5) дает два различ-
ных семейства вещественных характеристик; значение 6=0 опре-
деляет два одинаковых корня, что соответствует двум совпадающим
семействам характеристик, т. е. фактически одной характеристике;
наконец если б<0, то корни уравнения представляют собой пару
мнимых характеристик.
Так как корни характеристического уравнения зависят от коэф-
фициентов А, В, С дифференциального уравнения E.2.1), то приня-
то тип этих уравнений устанавливать в зависимости от вида харак-
теристик. Если б>0, то уравнение E.2.1) будет гиперболиче-
ского типа, в случае 6 = 0 — параболического, а при fi<
<0 — эллиптического типа.
В уравнениях E.1.8) для потенциала скоростей и E.1.25) для
функции тока коэффициенты А, В и С определяются одинаково, а
именно:
A = Vl-a?, B = VxVa, C = v\-a\ E.3.1)
Следовательно,
b = B2—AC=a2(V*— a% E.3.2)
где полная скорость V="|/V*+1/?,. Таким образом, для облас
тей газового потока со сверхзвуковыми скоростями (V>a) урав-
нения будут гиперболического типа, а для областей тече-
ния с доззуковыми скоростями (V<a) — эл л и птич еско! о
типа. На границе этих областей скорость звуковая (К=а) и
уравнения будут параболического типа.
Характеристики в физической плоскости. Характеристики в пло-
скости х, у определяются из решения дифференциального уравне-
ния E.2.6), в котором знак плюс соответствует характеристикам
первого семейства, а минус—характеристикам второго семейства.
Величина X]=dy/dx, непосредственно вычисляемая по выраже-
нию E.2.6), и знак плюс в этом выражении определяют угловой
коэффициент характеристики первого семейства, а
^2 = dy/dxK знак минус — угловой коэффициент* арактеристи-
ки второго семейства. Обе такие характеристики принято

называть сопряженными. Учитывая выражения E.3.1) и
E.3.2), получим для характеристик в плоскости .г, у уравнение
\li2=dy!dx=[\l{Vl-ai)\ (VxVy ± a fV2-a2). E.3.3)
Характеристики в плоскости х, у имеют определенный физиче-
ский смысл, который можно установить, если определить угол р.
между вектором скорости V в некоторой точке потока (рис. 5.3.1) и
направлением характеристики в той же точке. Этот угол опреде-
ляется при помощи уравнения E.3,3), если отнести его к местной
системе координат Х\, у\ с началом в точке Лис осью хи совпада-
Рие. 5.3.1. Схема к определе-
теристик:
I — навравлевне характеристики
первого семейства в точке Л; 2 —
характеристика первого семейства
направление характеристики вто-
рого сенеЯетна в точке А; 4~ ха-
ющей с направлением вектора V. При таком выборе осей координат
VX=V, Vy = 0 и, следовательно,
Отсюда видно, что (I представляет собой угол Маха. Таким обра-
зом, установлено важное свойство характеристик, заключающееся в
том, что в каждой точке, принадлежащей характеристике, угол ме-
жду направлением касательной к ней и вектором скорости в этой
точкеравен углу Маха. Следовательно, сама характеристика
представляет собой линию слабых возмущений (или
линию Маха), имеющую в общем случае форму кривой.
Определение характеристики как линии Маха «меет непосред-
ственное приложение к двухмерному плоскому сверхзвуковому по-
току. Если же имеется в виду двухмерное пространственное (осе-
симметричное) сверхзвуковое течение, то линии Маха (характери-
стики) следует рассматривать как образующие поверхно-
сти вращения, являющейся огибающей конусов
Маха с вершинами в точках возмущения (на характеристиках).
Поверхность, ограничивающая некоторую область возмущения, на-
зывается волновой поверхностью или пространст-
венной волной Маха.
В гл. IV были рассмотрены волны сжатия, возникающие в газе,
сверхзвуковое движение которого характеризуется повышением
давления. Однако такое движение ¦может сопровождаться п о-
нижением давления, т. е. сверхзвуковое течение будет про-
исходить с расширением, а линии Маха будут характеризовать

волны разрежения. С этими линиями Маха совладают соответствую-
щие характеристики, являющиеся в общем случае кривыми линия-
ми (для плоского потока) или поверхностями, образованными вра-
щением этих линий {для пространственного осесимметричного те-
чения). Если же в потоке имеются линии Маха (характеристики)
в виде прямых линий, то им соответствуют простые волны
разрежения, скорость распространения которых имеет одно
направление. Линии Маха, соответствующие волнам разрежения,
будем в дальнейшем называть линиями слабых возмущений, ис-
пользуя терминологию, принятию для случая слабых волн сжатия.
При этом надо помнить, что в расширяющемся сверхзвуковом по-
токе никаких других волн разрежения, кроме слабых, не возникает,
иначе следовало бы допустить возможность образования «сильных»
волн разрежения (скачков разрежения), которых, как известно, в
реальных условиях течения быть не может.
Если в некоторой точке физической плоскости известны скорость
потока и скорость звука, то указанное свойство характеристик поз-
воляет определить их направления в этой точке, вычислив угол
Маха по формуле ц— ±arcsin A/M). Относительно координат х, у
(см. рис. 5.3.1) угловые коэффициенты характеристик будут опре-
делены из уравнения
h,2 = dy/dx = tg(}±v), [5.3.4)
где р — угол наклона вектора скорости к оси х; знак плюс отно-
сится к характеристике первого семейства, а минус — к характери-
стике второго семейства. Уравнение E.3.4) является дифференци-
альным уравнением для характеристик в физической плоскости.
Характеристики в плоскости р, q. Если в уравнении E.2.10)
величину у' заменить первым корнем характеристического уравне-
ния E.2.5), равным у'=кг, то полученное уравнение
A(klq'-p')-2Bql-H^0 E.3.5)
будет представлять собой первое семейство характеристик в плоско-
сти р, q. Аналогичная замена у' вторым корнем у' = >*г дает урав-
нение для второго семейства характеристик в той же плоскости:
A faq' —p') — 2Bq' — H^0. E.3.6)
Уравнение для характеристик E.3.5) и E.3.6) можно преобразо-
вать, воспользовавшись свойством корней квадратного уравнения
E.2.5), согласно которому
X1 + X2=2S/J4. E.3.7)
Рассматривая первое семейство характеристик и внося в E.3.5) со-
отношение Aki—2B= — Х2А, полученное из E.3.7), запишем урав-
нение
. E.3.8)
205

Аналогично для характеристики второго семейства находим
ЛМ+Р')+Н=0- E.3.9)
Учитывая выражение E.3.4), уравнения E.3.8) и E.3.9) можно пе-
реписать в виде
-^+tg(P4:rt-J7 + -}r"=O, (S.3.10)
где знак минус относится к характеристикам первого семейства, а
плюс—к характеристикам второго семейства. Уравнение E.3.10)
определяет сопряженные характеристики в плоско-
сти р, ц.
Свойство ортогональности характеристик
Если заменить дифференциалы в уравнениях для характеристик
конечными разностями, то полученные уравнения будут уравнения-
ми прямых в соответствующих плоскостях х, у и р, q.
Рассмотрим уравнения, в частности, для характеристик первого
семейства в плоскости х, у и второго семейства в плоскости р, ц.
Из E.3.4) следует, что для элемента характеристики — прямой в
плоскости х, у— уравнение имеет вид
y-ya = (x-x0)h, E.3.4')
где Jto. Уа — координаты некоторой фиксированной точки; %\ — угло-
вой коэффициент, рассчитанный по параметрам газа в этой точке;
х, у—• текущие координаты.
Уравнение для элемента характеристики второго семейства в
плоскости р, q запишется в соответствии с E.3.9) следующим обра-
зом:
Ah(i--4o)+ A(p-pQ) + H (х-ха)=0, E.3.9')
где ро, Qo — значения функций р и q в точке Хо, Уо физической пло-
скости; угловой коэффициент fa, а также значения А, Н рассчита-
ны по параметрам газа в этой точке; р и q — текущие координаты.
Из уравнений видно, что в плоскости х, у наклон прямой опре-
деляется угловым коэффициентом fa, а в плоскости/>, ц — угловым
коэффициентом — l/Ль Аналогично доказывается, что элемент ха-
рактеристики второго семейства в плоскости х, у имеет угловой ко-
эффициент Х2, а элемент характеристики первого семейства в пло-
скости р, q —угловой коэффициент—¦ 1/Яа. Из этого следует, что
характеристики разных семейств в обеих пло- ¦
скостях — перпендикуляры. i
Указанное свойство позволяет определять направление характе-
ристик в плоскости р, q, если известно направление сопряженных
характеристик в физической плоскости. Предположим, что в неко- j
торой точке Р[ха, у0) плоскости х, у известны составляющие скоро- ;
сти Vxt, Vvo и значения функций р0, q^. Направления линий Маха )
в этой точке (рис. 5.3.2) можно определить по уравнению E.3.4'). .

\
элементу харахтеристики PN первого семейства в плоскости х. у
юответствует элемент характеристики второго семейства — прямая
i плоскости Р, Я. заданная уравнением E.3.9'). Эта прямая перпен-
(нкулярна линии PN, но не проходит через точку Р', имеющую ко-
тдинаты ро. Чо, на что указывает наличие свободного члена в урав-
1ении E.3.9')- Поэтому для построения элемента характеристики
(еобходимо по правилам аналитической геометрии определить вна-
гале расстояние б[ от точки Р' до него. Аналогично строится харак-
.еристика первого семейства в плоскости р, q, перпендикулярная
юямой РМ и удаленная от точки Р' на расстояние бв (рнс. 5.3.2).
.воиство ортогональности характеристик разных семейств име-
¦т место в случае потенциального потока для плоскостей х, у и
'*, Vy (плоскость годографа), а также в случае вихревого течения,
;ля которого плоскость р, q заменяется той же плоскостью годо-
^афа V*, Vv.
Преобразование уравнений для харакгарнсттс
в плоскости годографа стрости
Преобразуем уравнение E.3.10) к такому виду, чтобы оно опре-
±еляло характеристики в плоскости годографа, где координатами
[ли независимыми переменными служат компоненты скорости Vx,
'у. С этой целью, дифференцируя выражения E.1-9') по х, вычис-
¦им производные dpjdx и dqjdx:
E.3.11)

da d I di/ \ dit —
-3-= [—1=V ew'-1^- A — V
dx dx \dy j x " dx
A— 1
Из уравнения E.1.25) видно, что
' dx
E.3.12)
E.3.13)
После подстановки E.3.11)^E.3.13) в E.3.10), замены величины
dyjdx угловыми коэффициентами характеристик \\,ъ а функции
t (РТ) —соответствующими значениями ?.2|i получим
Производя необходимые сокращения и вводя безразмерные вели- ¦
чины
m, V/a=M,
перепишем это уравнение в следующем виде:
-X
1 _ у2 dx У I- Vya? 2k
x _L_ (l _ v2) M*~l ¦ —=0. E.3.14)
Введя полярный угол р, напишем для проекций вектора скорости =
следующие выражения: ^
^ = 7со8р, Й^ = Й51пЗ. E.3.15)-j

Дифференцируем эти выражения по х:
dVyjdx = {dVjdx) sin p+ Vcos p(dfydx).
E.3.16)
Внося E.3.15) и E.3.16) в E.3.14) и учитывая, что tg»n=(M* —
—I); sin2n = M~2, получим
-l^fo. sin p + cos{!) + --К jx.j.fcicos?-sin й-
Учитывая, чю [(*-l)/2](l-V»/Vi,I)=a2/V™1=F'sin1|i, можно
найти
XU.,2-7
— x
+ lJ-(sinV-c.s^)'(>2''iCo.p-smp)--S- = 0- <5'3-171
Произведя замены a.2.i = tg (P^Fn) и XiTa^tg (р±ц,), преобразуем
отдельные выражения, входящие в E.3.17), к следующему виду:
—2,i s|n Р + cos р _^ g(р т у) sin р—COSP .— E.3.18)
i2jlcosp— sinp tg (p =f (i.) cos p - sinp =F tg(i
A sin^ (jl cos p sin О ± ц) ,
[Ig (P =F C) cos f - sin p) cos (P +,«) c
« (P T p) . sin (p ± p.) — sin (i cos ft
i cos (p — i*) cos (p ± ji) cos (Э ± fi)
sin p cos (i .
E.3.19)
(sin>— cos2 p) (X2,i cos p - sin Э
s(P+f)cos(P-i.)[siiip-lg(pf f
E.3.20)

С учетом выражений E,3.18)^E.3.20) уравнение E.3.17) для ха-
рактеристик соответственно первого и второго семейств принимает
вид:
V S ?~?~' cos(p+tO ~*~ kR ' cosfp + f!) dn ~~ '
E.3.21)
Вместо градиента энтропии dS/dn можно ввести градиент дав-
ления торможения dpo'fdn. С этой целью воспользуемся зависимо-
стями D.3.6) и D.3.20), из которых получим для разности энтропии
формулу
Так как cv(k—1) — R, то, вычисляя производную по п и обозначая
dSJda-dS)dn, найдем
J_.^l^—L.ijL. E.3.24)
Таким образом, уравнения для характеристик в плоскости годогра-
фа можно переписать в виде:
E.3.25)
^f^^ ^.^^.^o. ,5.3,6,
Введем новую перемендую
„ ,, ^.-JcHtF-f. E.3.27)
которая по смыслу представляет собой некоторый угол. Отношение :
dV/V выразим в виде dX/X(X=Vja*)t а ctg \t. представим с помощью '
C.6.23) в следующем виде: ",
dg|.= ySP=l = |/(y-l)^(l-t=i).'). E.3.28).'
Следовательно, '¦"

Этот интеграл можно вычислить в элементарных функциях. Ис-
пользуя подстановку
A=l/V-l)//l-i^», E.3.29)
о
Интегрируя, найдем
E.3.30)
Имея в виду,что XmM=Vmll/a* = V(# + !)/(*— 1). получии
Заменяя в E.3.30) Я на М в соответствии с E.3.28)
."запишем ( ~" I V
^T. E.3.31)
Из уравнений E.3.30') и E.3.31) видно, что угол о является функ-
цией только числа Я (или М) и, следовательно, заранее может быть
вычислен, что облегчает расчеты сверхзвуковых течений газа по ме-
тоду характеристик.
Значения © для различных чисел М при А=1,4 представлены в
табл. 5.3.1. В этой же таблице приведены углы наклона линии воз-
рпщения, рассчитанные по формуле fi=arcsin A/M). Внося угол
« в E.3.2J) и E.3.22), получим для характеристик уравнение
^_ = 0- E.3.32)
=0. E.3.33)
Соответствующая подстановка в E.3.25) и E.3.26) да
(Р ± «) *д • ("»Р ± с)

-
1,00
,10
,20
,30
,40
,50
,60
,70
60
,90
,00
10
[20
,30
,40
,50
,60
,70
,80
,90
,00
10
,20
,30
.40
J.50
3^70
3,80
3.90
-
0,000
1,336
3,558
6,170
8,987
11,905
14,861
17,810
20,725
23,586
26,380
29,097
31,732
34,283
36,746
39,124
41,415
43,621
45,746
47,790
49,757
51,650
53,470
55,222
56,907
58,530
60,091
61,595
63,044
64,440
,•
90,000
65,380
56,443
50,285
45,585
41,810
38,682
36,032
33,749
31,757
30,000
28,437
27,036
25,771
24,624
23,578
22,620
21,738
20,925
20,171
19,471
18,819
18,210
17,640
17,105
16 602
16,128
15,680
15.258
14,857
м
4,00
4,10
4,20
4,30
4.40
4,50
4,60
4,70
4,80
4,90
5,00
5,10
5,20
5,30
5,40
5,50
5,60
5,70
5,80
5,90
6,00
6,10
6,20
6,30
6,40
6,50
6,60
6,70
6,80
6,90
65,785
67,082
68,333
69,541
70,706
71,832
72,919
73,970
74,986
75 9fi9
76,920
77,841
78,732
79,596
80,433
81,245
82,032
82,796
83,537
84,256
84,955
85,635
86,296
86,937
87,561
88,168
88,759
89,335
89,895
90,44i
4,478
4,117
3,774
3,448
3,137
2,814
2,556
2 284
2,025
1 77fi
1,537
1,308
1,087
0,876
0,672
0,476
0,287
0,104
9,928
9,758
9,594
9,435
9,282
9,133
8,989
8 850
8,715
8,584
8,457
8,333
Таблица
м
7,00
7,10
7.20
7,30
7,40
7,50
7,60
7,70
7,80
7,90
8,00
8,20
8,40
8,60
8,80
9,00
9,20
9,40
9,60
9,80
10,00
10,20
10,40
10,60
10,80
11,00
11,20
11,40
11,60
11,80
12,00
90,973
91 491
91.997
92,490
92,970
93,440
93 898
94 345
94,781
95,208
95,625
96,430
97 200
97,936
98,642
99,318
99,967
100,589
101,188
101,763
102,316
102,649
103,362
103,857
104,335
104,796
105,241
105,671
106,087
106,489
105,879
5.3.1
8,213
8,097
,984
,873
Г, 776
Г, 662
Г,561
Г, 462
,366
1 272
,181 »
^005 1
,837 ¦
,677
,525
,379
,240
107
,979
,857
,739
,626
,518
,413
,313
,216
,123
,D32
,945
,861 :
,780 *
Уравнения E.3.32) и E.3.33) соответствуют наиболее общему ¦
случаю сверхзвукового двухмерного (плоского или пространствен-
ного) вихревого (леизэнтропического) потока газа.
Уравнения для характеристик в плоскости годографа
для частых случаев движения гам
Вид уравнения для характеристик E.2.5) в физической плоско-
сти одинаков для всех случаев течения газа, если это течение сверх-
звуковое и двухмерное. Но в плоскости годографа уравнения для
характеристик будут различными в зависимости от вида течения.
Если двухмерное течение безвихревое, то согласно E.1.23) во
всех точках пространства, занятого газом, энтропия будет постоян-
ной {dS/dn=0) и, следовательно, уравнение для характеристик пря- -'.
нимает более простой вид: ~
, — а. dx sin p sinii n ,?- п пл\
d (ш + о) — е . — =0. \Ъ.о.Сг*)

Для плоского неизэнтропического потока (е = 0)
dfrTJU-j-.g.. '^"'^ .-g— 0. E.3.3S)
В наиболее простом случае плоского безвихревого течения
)
<*(и + В)=0. (S.3.36)
Интегрируя E.3.36), получим р= + w+const. Вводя вместо кон-
станты некоторые постоянные значения углов pL и рг, первый из ко-
торых соответствует знаку плюс перед ш, а второй — знаку минус,
найдем уравнение для характеристик в виде
f>=±»+Pu- (S.3.37)
Внося вместо ш зависимость E.3.30'), получим
^5.3.38)
Таким образом, в отличие от уравнения E.2.5) для харак-
теристик в физической плоскости и уравнений E.3.32), E.3.34)
или E.3.35) для характери-
стик в плоскости годографа,
имеющих дифференциальную
форму, соответствующее урав-
нение E.3.38) для характе-
ристик плоского изэнтропиче-
ского потока имеет явную фор-
му. Геометрически это уравне-
ние определяет два семейства
кривых — характеристик, рас-
полагающихся в кольце, внут-
ренний радиус которого k=l, a
наружный Xm»i = [(k+l)/(k—
— I)]1'2 (рис. 5.3.3.), Постоянная
интегрирования pi и знак плюс
перед функцией о>(Д.) соответ-
ствуют характеристике первого
семейства, а постоянная Рг и
знак минус — второго семей-
ства. Эти кривые являются
эпициклоидами, которые
можно получить, следя за движением точек окружности радиуса
0,5х (Xmai— 1) (рис. 5.3.3). Полярными координатами точек эпи-
циклоиды являются угол р наклона вектора скорости и относи-
тельная скорость ?..
213

Анализируя график, на котором изображена сетка эпициклоид,
можно сделать вывод, что возрастанию скорости, обусловленному
расширением потока, соответствуют бблыпие по абсолютной вели-
чине углы р, т. е. более значительное отклонение течения от перво-
начального направления. При меньших скоростях будет меньшим
и отклонение потока.
Угол наклона вектора скорости непосредственно определяется
">глом ш, физический смысл которого можно установить из E.3.37).
Предположим, что постоянные интегрирования ри8=0. Это означа-
ет, что расширение потока начинается от условий р=0 и М=1. В
¦соответствии с этим величина р= ±ш(М) будет представлять со-
бой угол отклонения потока при его изэнтропическом расширении
•от точки, где М—1, до состояния, характеризуемого некоторым про-
извольным числом М>\, которое равно верхнему пределу при вы-
числении интеграла E.3.27')-
Из сказанного видна разница между углом отклонения потока с
числом М>1 от некоторого первоначального направления и углом
ft= .±со, определяющим полный поворот потока при его расширении
от состояния, характеризуемого числом М= 1.
Угол отклонения потока в некотором произвольном сечении
можно определить следующим образом. Предположим, что известно
начальное число М]>1, которое в результате расширения потока
увеличилось и достигло величины Мг>М]. Числам М: и М2 соот-
ветствуют углы Ш] и ©2 отклонения потока от .направления течения
s точке с числом М=1, которые могут быть определены графиче-
ски при помощи одной какой-либо эпициклоиды из выражения '
E.3.31) или табл. 5.3.1. По значениям Ш], ш2 находим углы наклона
векторов скорости. Рассматривая, в частности, характеристику
первого семейства, получим Pi=(i>i (Mj), p2—юя(Ма). Следователь-
но, угол отклонения от начального направления
Из графика или табл. 5.3.1 по величине ш2 находим соответствую- :
щне значения \2 или Мг. ;
Представляет интерес вычисление предельного угла от- ^
клонения потока, необходимого для получения максимальной ско-
рости Vmax- Предположим, что отклонение начинается от началь- ;
ного числа М=1. В этом случае предельный угол отклонения нахо- ¦
дится по формуле E.3.31), в которой необходимо принять значение ^
214 J-''

М, соответствующее
, равным бесконечности:
для А—1,4 значение u)mai=0,726 я=-130,46°.
Таким образом, сверхзвуковой поток не может повернуться на»
угол, больший Umai, и теоретически часть пространства остается
не заполненной газом.
Если начальное число М, от которого начинается отклонение,.
больше единицы, то угол этого отклонения, отсчитываемый от на-
правления при М=1, будет ш(М), а предельный угол отклонения,.
соответствующий этому числу,
М-1)- ЧМ);
для ft = l,4 угол рта*= 130,46°— ш(М).
При гиперзвуковых скоростях расчет функции а и, следователь-
но, углов отклонения упрощается. Действительно, для М»1 члены,.
входящие в E.3.31), можно с точностью до величии более высокого-
порядка малости представить в виде
В соответствии с этим
W~ 2 W k—1 I k— 1 ' M '
Формула, соответствующая E,3.39), примет вид
E.3.41 >
Все полученные зависимости найдены для соворшеняого>
газа. Однако при очень низких давлениях свойства совершенного
газа теряются, поэтому вычисленные предельные углы отклонения-
не реализуются и имеют лишь теоретическое значение.
§ S.4. СХЕМА РЕШЕНИЯ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ПО МЕТОДУ ХАРАКТЕРИСТИК
Определение параметров возмущенного сверхзвукового течения
связано с решением системы уравнений для характеристик в фи-
зической плоскости и в плоскости годографа, если начальные усло-
вия некоторым образом заданы в виде условий Коши. В общем слу-
чае двухмерного неизэнтропнческого потока эта система имеет вид:
для характеристик первого семейства
dy=dx tg{'i + v.)\ E.4.1)
21S

= Qi E.4.2)
для характеристик второго семейства
dy=dxi%Q-v)\ E.4.3)
d (<•+ р) - ¦ (d*/?) /n - (Ле/А«) (rfS/rffl) /=0, E.4.4)
где коэффициенты:
/=sin Э sin h-/cosC + I*), c=sin2itcosit/cos(p-{-t»); E.4,5)
/n=sin psin ]t/cos(p — jt), ^=sin2itcosit/cos0 — i*). E.4.6)
Для двухмерного иээнтропического потока
aS(dn = 0, E.4.7]
поэтому система уравнений упрощается:
для характеристик первого семейства
(/(«-р)-»(#е/0)/=О; E.4.8.)
для характеристик второго семейства
rf(« + P)-t(rf*/*)/n=0. E.4.9)
Для плоского потока в уравнениях принимают е=0, для прос-
транственного осесимметричного е=1, а вместо у подставляют г.
Решение по методу характеристик любой задачи об обтекании
тела складывается из решения трех частных задач.
Первая задача связана с определением скорости и других па-
раметров в точке пересечения характеристик различных семейств,
выходящих из двух близко расположенных точек.
Предположим, что определяются параметры в точке С (скорость
Yc, число Мс, угол отклонения потока рс, энтропия Sc и др.), ле-
жащей на пересечении элементов характеристик первого и второго
семейств, проведенных из точек Л и В (рис. 5.4.1, а). В этих точках,
расположенных на разных линиях тока, известны скорости FA, Vb
и другие параметры, в том числе энтропии Sa и Sb.
Все расчеты основаны на использовании уравнений для харак-
теристик E.4.1)-=-E.4.4), которые записываются в конечных разно-
стях:
для первого семейства
АУ в= Д*в *Е (Эв+ Ив): E-4-10)
св = О; E.4.11)
для второго семейства

Д) <д=0, E.4.13)
'B=sm p.sm ц
мв. ДРл-=Рс — ?*; 1 (S 4 14)
cosРд/сов(рл+ря);|
Уравнения E.4.10)-гE.4.13) записаны в предположении, что ко-
эффициенты I, m, с та t сохраняются постоянными при переме-
Рне. 5.4.1. Схема расчета скорости а точке пересечения двух
рактеристнч различных семейств:
ляется следующим об
между точками В и Л
я=:(АС) sin у
Вводя обозначения е= (хс — хл) sin ^A cos (Эй+ 1*в).
—хв) sin Цд cos (|)д — |*д), получим
AS Eд~5в)сю(Р0 + |1-)а»(Рд-^ >
Энтропия в точке С определяется яз соотношения
ixc~
E.4.16)

Градиент энтропии можно заменить градиентом давления тор-
эюжения в соответствии с E.3.24):
Pa { oa
E.4.18)
Давление торможения в точке С
*1с = (/^-/*л)//(/ + е) + Лв. E.4.19)
Для определения координат Хс, Ус точки С необходимо решить
систему уравнений E.4.10), E.4,12) для элементов характеристик
в физической плоскости:
Графическое решение этих уравнений показано на рис. 5.4.1, о.
По найденной величине хс определяются разности Ахв=хс—хв,
Аха=хс—Ха, входящие в уравнения E.4.11), E.4.13). Неизвестны-
ми в этих уравнениях являются приращения Дшв, Дшл, Д^в и Дрл.
Число неизвестных можно сократить до двух в соответствии с коли-
чеством уравнений системы. Для этой цели напишем очевидные
соотношения:
С учетом этих соотношений уравнение E.4.13) преобразуется к
виду
А«л+«л—Л+ДРв+Ря-Рд-*-^-/Пд—^--^<д = 0. E.4.21)
ул Ш Дл
Решая это уравнение совместно с E.4.11) относительно переменной
Дрв, получим
-(шл-»д)-(Эд-рд)]. E.4.22)
По найденному значению Дрв вычисляем из E.4.11) приращение
функции со:
Теперь можно вычислить для точки С углы:
h=tfa+?r «c=A»a+»i- E-4-24)
По найденной величине toe определяем из табл. 5.3.1 число Мс Я
угол Маха jic в точке С.

Схема графического решения системы уравнений для характе-
шстик в плоскости годографа, в результате которого определяются
тол рс и число Кс (Мс), показана на рис. 5.4.1, б, где В'С и
к'С — элементы характеристик первого и второго семейств, соот-
зетствующие элементам сопряженных характеристик ВС и АС в,
эизической плоскости. По найденному числу Мс (или Я,с) при не-
[бходимости могут быть найдены такие параметры, как давление,.
глотность, температура и др.
Вычисленные параметры можно уточнить, если в уравнения
5.4.10)-^ E.4.13) подставить вместо 1В. тА, св, U величины, полу-
¦енные по значениям углов Р и ц, средним между заданными в
¦очках А, В и найденным в точке С в первом приближении, т. е.
ю значениям:
E.4.25)
"точненные координаты Хс, Ус точки С будут найдены из уравне-
'ис. 5.4.2. Схема расчета скорости в точке пересечения
теристики со стенкой:
а — физическая плоскость; б — плоскость годографа
вторая задача заключается в расчете скорости в точке пересе-
¦ения твердой стенки с .характеристикой. Пусть точка В располо-
жена на пересечении со стенкой прямолинейного элемента DB ха-
"¦актеристики второго семейства, проведенной из точки D, располо-
женной вблизи стенки (рис. 5.4.2). Скорость в этой точке по вели-
'ине и направлению, энтропия, а также координаты точки известны.
Определение скорости в точке В ведется непосредственно с по-
*ошыо уравнения E.4.4) для характеристики второго семейства.
-слк отнести это уравнение к условиям вдоль элемента характери-

стики DB н записать в конечных разностях, то
д<о0= -tfD + *{bxD!gD)mD-(bxD/kR){&$fb.n)tD, E.4.27)
где
E.4.29)
Координаты Хв, ув точки В определяются из совместного реше-
ния уравнения для характеристики второго семейства и уравнения
контура стенки:
0V-0D = (-*j-*i>)te(pD-ft>); V»=f{*a)- E-4.30)
Графическое решение этих уравнений показано на рис. 5.4.2, а.
По найденным координатам хв, ув вычисляем из уравнения
tgPa=W**)a E.4.31)
>гол рв. Энтропия Sb (или давление торможения р'ов) в точке В
считается величиной известной и равной ее значению на линии то-
ка, совпадающей с контуром стенки, причем вдоль этого контура
энтропия рассматривается постоянной.
Вычислив по E.4.27) приращение Дюо, можно найти угол шв=
= Дюл+шо, а затем «о табл. 5.3.1 определить число Мл. Схема гра-
фического определения скорости в точке В показана на рис. 5.4.2, б,
где элемент D'B' характеристики второго семейства в плоскости
годографа соответствует элементу характеристики того же семей-
ства в физической плоскости.
Третья задача заключается в вычислении скорости в месте пе-
ресечения характеристик со скачком уплотнения и определении из-
менения наклона скачка в этой точке. Так как характеристика по
своей природе является линией слабых возмущений, то указанное
пересечение физически соответствует взаимодействию слабой вол-
ны со скачком уплотнения. Пусть на скачок уплотнения МЫ задан-
ной формы y=f(x) (рис. 5.4.3, а) падают в точках S и Н близко
расположенные волны разряжения, которым соответствуют харак-
теристики первого семейства. В результате происходит уменьшение
интенсивности и, следовательно, наклона скачка уплотнения. Так
как точки S и Н являются источниками возмущений, то возникнут
отраженные волны разряжения и через эти точки можно провести
характеристики второго семейства. Одна из таких характеристик,
проходящая через точку S, пересечет соседнюю сопряженную ха-
рактеристику в точке F, называемой узлом характеристик.
220

Для определения изменения наклона скачка и скорости за ним
используются свойства характеристик SF и FH, проходящих че-
рез узел F, а также зависимости для расчета скачка уплотнения.
Так как длина SH скачка мала, то можно принять этот участок
прямолинейным. Угол наклона скачка на этом участке и соответ-
ствующие параметры газа приближенно равны их значениям в точ-
ке Н пересечения элемента FH характеристики первого семейства
со скачком.
Одним из неизвестных параметров является угол наклона век-
тора скорости рн в этой точке, который можно представить как
рй=Арр + рл где ApF = pH—pF, a рР — известный угол наклона век-
Рис, 5.4.3. Схем
й плоскость; б — п
й 2
тора скорости в точке F. Для вычисления второй неизвестной —
числа Мн в той же точке — воспользуемся формулой
№H=№s + (d№fd$)s&$Sf{, E.4.32)
в которой (dM/tfp)s—производная, вычисляемая из теории скачка
уплотнения для известных условий в точке S; величина A^shj опре-
деляемая изменением угла р вдоль элемента скачка, равна разности
Рн—ps- Эту величину приближенно можно принять равной измене-
нию угла р вдоль элемента FH характеристики первого семейства
Производная rfrt/1/dp вычисляется в результате
вания D.3.19'):
:ренциро-
E.4.33)
221

Входящую в правую часть производную rf(p2/pi)/rfpc вычислим, про-
дифференцировав D.3.13):
Для определения производной d6c/dpc поступим следующим обра-
зом. Сначала продифференцируем D.3.24):
" (Л.\—Л IJ>?_ Г 1 ! ] |
'к \н1 ' Pi I dfc L »п <с и» 1с sln(lc-fc):ras(«c-Jc)J
Это соотношение можно несколько преобразовать, воспользовав-
шись D.3.24):
_*_Л».\ = .Ь 1 ( ">с [ cosgFc-fe) Рз"! | и|
*ft:\Pii pi'liItos'l'c-iBi* L с°»*'с и] КГ
E.4.35)
Приравняв правые части E.4,34) и E.4.35) и решив полученное
уравнение относительно производной абс/dpc, найдем
Напишем далее соотношение для изменения числа М при пере-
ходе вдоль характеристик от точки F К точке И, т. е. для величины
ДМр=Мн—Мк. С этой целью подставим сюда вместо Ми выраже-
ние E.4.32):
r-M,. E.4.37)
От числа М можно перейти к функции ю, определяемой зависимо-
стью E.3.31):
4»,=.s+(<i«/<iBs4P,-»f, E.4.3S)
(<г»/<гр)я=(<гм/й?M (<*»/<ШM. E.439)
Производная dco/.iM определяется в результате дифференцирова-
ния E.3.31):
?-VM.-.[M(.+^iM.)p ,5.4.40)
Относя к элементу FH уравнение E.4.П) для характеристики
первого семейства, найдем
&Шр _ aPj,_в [ьхг/ур) lF + (bXrfkR) DS/A«) e,= 0, E.4.41)
где

i). E.4.42)
Расстояние вдоль нормали к линии тока между точками F и И
Следовательно, градиент энтропии, входящий в E.4.41),
iS №S,)co.(|l, + ,)
ИЛИ
E445)
где р'он находится по числу Мж из теории скачков уплотнения.
Энтропию Sf или давление торможения p'0F в точке f можно
приближенно принять равными соответствующим значениям в точке
S на скачке, т. е. SPzzSs я />о^~/^.
Решая уравнения E 4.38) и E.4.41) относительно Др*, получим
Подставляя значение Дру в E.4.38), можно найти ДшУ, подсчитать
угол шн = Дгон+юр и уточнить число Мя. Вычислив угол рн = Др>+
-r$F, находят по значениям этого угла, а также заданного числа
Ми новый угол бея наклона скачка в точке И и таким образом
уточняют его форму на участке 5Я. При необходимости расчеты
можно провести во втором приближении, принимая вместо пара-
метров в точке S их средние значения между точками 5 и Я. В част-
ности, вместо углов ав и ps берутся соответствующие средние зна-
чения 0,5((ов+?0н) и O,5(Cs+pir).
На рис. 5.4.3, 6 показана схема графического решения. Точка Н'
на плоскости годографа, соответствующая точке И в физической
плоскости, определяется в результате пересечения элемента F'H'
характеристики первого семейства с ударной полярой, построенной
для заданного числа М» набегающего потока. Вектор О'Н' опреде-
ляет скорость ?„н в точке И.
§ 5.5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК К КШЕНИЮ ЗАДАЧИ
О ПРОФИЛИРОВАНИИ СОПЛ
СВЕРХЗВУКОВЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ТРУБ
Метод характеристик позволяет решить одну из важнейших задач газодина-
мики, связанную с определением формы сопла а эродн вами ческой трубы, пред-
означенного для получая двухмерного плоскопараллельного сверхзвукового
потока с заданной скоростью. Сопло, обеспечивающее такой поток, представляет
сооой насадок, у которого передняя и задняя стенки плоские, а верхняя и инж-
223

онтур (рие.5.5.1).
мимо определения формы
ние пар
ия сопла находится
е «„f»-S=p*<j*5*. Отсюд
р ура
форкамерс (параметров
е его площади S*. Задан
а —число М„ и давление р,
ература газа в форкамере Тй. Пл
из уравнения расхода C.644), ко
ЫХОДНО-
фнтиче-
юторое напишем
что параметр д определяет
I формулу C.6.29), давление
заданного числа М„ на выходе.
и углом 2у непрофилиров;

=5*[360/Bя-2уЩ а расстояние до выходного
этом уч
перевод
ходе с
блиэ
пределами критичс
) расположенных линий и определим скорости (ч*.— .-,
. :ах пересечения Alt Ап характеристики одного из семейств АА„ (бу-
[ем считать ее характеристикой второго семейства), выходящей из точки А на
lyre радиуса гА (рис. 5.5.3). При этом точка А{ находится на пересечении
луча rj = j4Oj с элементом характеристики АА\, проведенной под углом (!„ =
= —arcsin A/М„).
Число М| в точке At находится при помощи выражения qi=S*/Si. Так как
в нем Si=2ji>v1By/360), 5*=2яг*-1 Bу/360), то q,~r*lrs. Применяя C.6.46).
можно найти A.J и соответствующее число Щ.
Аналогично определяем координаты точки Л2 пересечении соседнего луча
г2=ОАз с элементом характеристики А\Аз, наклоненной к прямой OAt под углом
u.] = arcsin A/M,), число М? в точке Аа и т. д. В результате можно построить
характеристику второго семейства в виде ломаной линии АА{ ... А-„-[Ап, пере-
секающей прямолинейную стенку сопла ВА„ в точке Л„. В этой точке, как и в
других точках An-i. А„-и А„ пересечения характеристики с прямыми, выходя-
щими нэ источника О, можно вычислить соответствующие числа Маха и углы
H=arcsin A/M)-
Область течения ОААп с изпестным полем скоростей, ограниченная харак-
форму контура сопла за точкой Ап вниз по потоку, так как возникающие при
этом возмущения не могут распространиться вверх по течению за пределы ли-
нии Маха ААп. При этом изменение формы контура можно осуществить таким
ствуюшне линии тока. Та линия тока, которая проходит через точку Ап, и бу-
Дли определения поля скоростей воспользуемся условием, что в рассматри-
ваемом плоским потоке все характеристики первого семейства, выходящие из
точек Ап-Ъ А*ги как и характеристика ADm, будут прямыми {см. рис. 5.5.3).
наклон каждой характеристики к радиальной линии определяется соответствую-
щим углом Маха M-i = arcsin A/M,). |is=arcsin {I/M2) и т. д., э скорость вдоль
8-W 225

Рассмотрим линию тока, выходящую из точки Аа. Начальный участок этой
линии совпадает с направлением скорости в точке Ап и представляет собой пря-
мую, являющуюся продолжением контура ВАп до его пересечения в точке Di
с характеристикой первого семейства Л„_И„. За точкой D, элемент линии тока
совпадает с направлением скорости в точке D,, равной скорости в точке An-i.
Проводя из точки D, прямую, параллельную лучу O-4n-t, до пересечения в точ-
ке D2 с характеристикой Л„_2О2, получим следующий участок линии тока За
точкой D2 линия тока на участке D2Dm_s (точка Dm_s лежит на характеристике
первого семейства <42Dm_2) будет параллельна прямой ОЛп-2. Аналогично ведет-
совпадающий с линией тока AnDm-r-i и построенный в виде плавной кривой,
обеспечит получение на выходе сопла параллельного сверхзвукового потока с
заданным числом М„.
Рассмотренный метод профилнрсаания не предусматривает учета влияния на
форму контура сопла пограничного слоя, который несколько искажает характер
Применяя уравнения для характеристик двухмерного пространственного те-
чения, можно аналогично осуществить пострвение контура (образующей) круг-
симметричного сверхзвукового потока с заданной скоростью.

ПРОФИЛЬ И КРЫЛО КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
В ПОТОКЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В этой главе рассмотрены задачи, связанные с приложением
аэродинамической теории к расчету обтекания профиля крыла. Ха-
рактерной особенностью этого обтекания является образование
плоского возмущенного течения около лрофвля. Для его исследо-
вания используются уравнения аэродинамики — более простые, чем
для трехмерных потоков.
Строго говоря, течение около профиля, рассматриваемое как
плоское, является идеализированным. В действительности обтека-
ние профиля, принадлежащего реальному крылу конечного разма-
ха, будет трехмерным. Поэтому аэродинамические характеристики
профиля не могут быть перенесены непосредственно на крыло. Од-
нако эти характеристики могут являться одним из основных пара-
метров, используемых при расчете аналогичных характеристик ре-
альных крыльев. Вместе с тем решение задачи о профиле имеет и
самостоятельное значение, так как можно указать случаи, когда на
отдельных участках крыльев обтекание профилей практически име-
ет плоский характер.
¦В настоящей главе остановимся на иоследовании обтекания про-
филя потоком несжимаемой жидкости. Одновременно будет рас-
смотрена задача о крыле конечного размаха, расположенном в та-
ком же потоке. Полученные результаты, имеющие самостоятельное
значение в аэродинамике малых скоростей летательных аппаратов,
могут быть использованы (см. гл. VII и VIII) для аэродинамических
исследований при больших скоростях движения.
§ 6.1. ТОНКИЙ ПРОФИЛЬ В НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ
Рассмотрим метод расчета обтекания установившимся несжи-
маемым потоком жидкости тонкого слабоизогнутого профиля под
малым углом атаки (рис. 6.1.1). Подучаемые в результате этого
расчета аэродинамические характеристики профиля могут быть не-
посредственно использованы для случаев движения с небольшими
дозвуковыми скоростями (Моо<0,3-^0,4), когда газ можно считать
несжимаемой средой, а также применены как исходные данные при

проведении аэродинамических расчетов профилей заданной формы
в дозвуковом сжимаемом потоке.
Так как профиль тонкий, а угол атаки невелик, то скорость по-
тока около него будет мало отличаться от скорости невозмущенно-
го течения. Такой лоток называется маловозмущенным.
/I'
Рнс. 6.1.1. Тонкий профиль в несжимаемом потоке
Для скорости маловозмущенного течения можно написать ус-
ловие
V,—1Л-+« («CV~J, Va=-o (ti«Vffl), F.1.1)
где Aио- составляющие скорости малых возмущений.
В соответствии с этим условием
VJ=y2 + v?={V.+Bj» + «»:tt Vla+2V0Ba. {в. 1.2)
Теперь определим давление в маловозмущенном потоке. Из урав-
нения Бернулли C.4.13), в котором Са примем равным рм/р<х,+
+ V2«/2. a P^const, получим избыточное давление
р-рЛ=Ы(У1!2-У*12)=^?вУ,л. F.1.3)
Определяя здесь и через потенциал скоростей u—dyjdx, найдем
p-p^-PvV.faldx). F.1.4)
Соответствующий коэффициент давления
-p = {p~Poa)lq^ -2u!V«,= -WV«)(dfJdx). F.1.5)
Согласно F.1.4) избыточное давление на нижнюю сторону про-
филя рв — р*,=— (<Зфв/<Э*) Кир», а на верхнюю рв — р„=
= — (<Э<рв/йх) V«p», где (рв, фв — потенциалы скоростей соответствен-
но на нижней и верхней сторонах. Следовательно, подъемная сила
от давления, действующая на элемент площади,

а подъемная сила для всего профиля с хордой b
Полагая верхний предел интеграла Ь' равным хорде Ь (в виду ма-
лости угла атаки), найдем соответствующий коэффициент подъем-
ной силы
С =J^ = 2_ff*b._Jfc-W F.1.6)
Рассмотрим циркуляцию скорости по контуру, имеющему фор-
му прямоугольника с измерениями dx, dy и охватывающему эле-
мент профиля. В соответствии с рис. 6.1.1 циркуляция
\ Эх ) \ ' дх I { д) дц ]
Введем понятие интенсивности циркуляции (вих-
р я), определяемой производной dridx=y(x). Величина этой интен-
сивности
Так как для тонкого профиля угловой коэффициент dyjdx мал, то
произведение этого коэффициента" на~р'азность вертикальных _ср-
ставляющих скоростей будет величиной второго порядка малости
й, следовательно, ~ "~ ~
у(х)=дчв!дх~ dfjdx. F.1.7)
Таким образом, F.1.6) можно записать в виде
ь
cyac = -^~^y{x)dx. F.1.8J
Аналогично вычисляется коэффициент момента:
m,«=—^—U{x)xdx. F.I.9)
m о
Б соответствии с формулами F.1.8) и F.1.9) коэффициенты подъ-
емной силы и момента от давления зависят от распределения вдоль
профиля интенсивности циркуляции. Это означает, что обтекание
профиля можно рассчитать заменив его системой непрерывно рас-
пределенных вихрей.
По формуле Био — Савара B.7.12) элемент распределенного
вихря с циркуляцией dT=y(x)dx индуцирует в точке с абсциссой

(рис. 6.1.1) вертикальную скорость
Скорость, индуцированная в этой точке всеми вихрямн.
2« J x-j
F.1.10)
Согласно граничному условию, vl(VnB-\-dyldx)=dyldx. Учиты-
вая, что профиль тонкий, можно принять Vce + dyldxez VK, а произ-
водную dy/dx вычислить по заданному уравнению средней линии
У=У (х)=0,5 (у„-{-у н), I6-!-11)
где ув=Ув(х), Ув=Уа(х) — соответственно уравнения верхнего и
нижнего контуров профиля.
Таким образом, интенсивность распределения вихрей у(х) оп-
ределяется интегральным уравнением
1 yWdx _l dy \
F.1.12)
Введем вместо х новую независимую переменную в, определяе-
мую равенством
*=<*/2)(J-cos1S). F.1.13)
Будем искать решение уравнения F.1.12) в виде тригонометриче-
ского ряда Фурье:
Л, sin (
F.1.14)
в котором переменная б0 в соответствии с F.1.13) связана с коор-
динатой х=Ь, уравнением
Произведем замену переменных в F.1.12). Дифференцируя F.1.13),
находим
Ae = (*/2)sinWe. ' F.1.16)
Осуществляя подстановки, получаем
где f{%)=(dyjdx\.

«>sfl)/sJnfl, то
dQ , f cos Ш
cosB0~cosB "^J a>Sb0-costl
0
Преобразуем второй интеграл в {6. i .17):
Можно также убедиться в том [1], что
С db =0; С cos 8^8
J cos в0 —созв ' J cos в0 —cos
о о
В этой же работе A] показано, что при целом т имеет место фор-
мула
Сл едовательно.
После подстановок значений интегралов в F.1,17) найдем
Проинтегрировав обе части равенства F.1.18) от 0 до я, получим
зависимость для коэффициента Ац ряда Фурье:
F.1.19)
Умножая поочередно на cos 9, cos 20, найдем выражения соответст-
венно для коэффициентов Д, А3 и т. д. Такнм образом,
F.1.20)
Рассмотрим зависимость F.1.8) для коэффициента подъемной
силы. Переходя в ней к переменной 0 и производя подстановку

F.1.16), получим
с,* = -^|у(вMтШ. F.1.21)
™ о
С учетом F.1.14)
с, ;с = 2Л0 f ctg -у sin Мб + 2 V Л„ Г sin (лб) sin Mfl.
Интегрирование дает
с,нс = 2я(Л0-ЬД/2). F.1-22)
Таким образом, коэффициент подъемной силы зависит от первых
двух коэффициентов ряда. Подставляя в F.1.22) выражение
F.1.19) и формулу F.1.20), в которой п=\, найдем
сдис= —2 |р(б)A — cosfl)rffl. F.1.23)
Произведя замену переменных в F.1.9) для коэффициента момен-
та, получим
С учетом выражения F.1.14) для ^F)
тгнс=— Л„ГA — cos6Jrfe— V Аа Г51п(яб)A —cosfl)sin Wfl.
О п-1 О
В результате интегрирования
Л,— Ay/2). F.1.25)
С учетом F.1.22)
т1ис=~(л/4)(А1 — А2)— A/4)свнс. F.1.26)
Определяя Ai и А2 из F.1.20) и производя подстановку в
F.1.26), получим
тгш,= —— Гр(8) (cosв — cos 2fl)rfe—-с„нс. F.1.27)
Рассмотрим связанные с профилем координаты *,, у}, в которых
уравнение средней линии будет y\=yi(x\), а угол наклона каса-
тельной определяется производной dyrfdxi. Этот угол (рис. 6.1.2)
Pi = P + a, где fystdyldx. Определяя отсюда угол p = 0i—a и внося его
232

яачение в F.1.23) и F.1.27), получим:
F.1.28)
F.1.29)
F.1.30)
Из F.1,28) следует, что при а= —во коэффициент подъемной
пилы равен нулю. Угол а= —во называется углом атаки нуле-
вой подъемной силы. Коэффициенты в0 и цо вычисляются
Рнс. 6.1.2. Средняя линия профиля
га заданному уравнению средней линии профиля при условии, что
^ выражении для функции p](#i) переменная x\ = xjb заменяется
¦огласно F.1.13) зависимостью ?i= A/2) A—cos 6).
В соответствии с F.1.28), F.1.29), а также A.3.12) и A.3.18)
южно определить коэффициент центра давления ?ц.д=*ц.д/Ь и от-
юсительную координату фокуса xr=xF/b:
1з этих соотношений следует, что координата центра давления за-
висит от угла атаки и формы профиля, в то время как фокус разме-
чается в фиксированной точке, удаленной от передней кромки на
¦дну четверть хорды. Для симметричного профиля ео=|ю=0[что
ледует из формул F.1.30), в которых pt=dyi(dxi = 0]. поэтому ве-
личина сц.д, как и относительная координата фокуса, равна '/*•

i 6J. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНМЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИНКА
Рассмотрим обтекание несжимаемой жидкостью простейшеп
профиля в виде тонкой пластинки, расположенной перпендикуля!-
но направлению скорости набегающего потока. Решение этой задь
чи может служить иллюстрацией применения метода конформной
преобразования к исследованию движения жидкости. Результать
решения используются в реальных случаях для определения aapi-
динамических характеристик крыльев конечного размаха (см. § 6.4.,
Расположим пластинку в плоскости комплексного песеменногс
o=z+iy вдоль действительной оси z (рис. 6.2.1, б). "
5) »
1
) 2
. Конформное преобразование потока, обтекающего кр'-
линдр (о), в поток, обтекающий плоскую пластннк;,
, енную перпендикулярно направлению скорости набегг
ющего потока F) или поставленную вдоль потока {в)
скорости невозмущенного потока V будет совпадать с направлен!-
ем мнимой оси у. В этом случае обтекание такой пластинки може"
быть получено путем конформного преобразования из обтекани*
кругового цилиндра на плоскости ?=?-Hti (рис. 6.2.1, а). Если и?
вестны функция W=f(Q, представляющая собой комплексный пс
тенциал для течения около кругового цилиндра, и анзлнтическа.
функция %=F(a) комплексного переменного a=z+iy (так наэыв?
емая конформная функция), преобразующая контур круга на пло-
скости ? в отрезок прямой, поставленный поперек потока на плоске
сти о, то функция W=f[F{a)] будет представлять собой комплекс-
ный потенциал для потока около пластинки.
Покажем, что формула
*=.:+#? F.2.1
производит указанное конформное преобразование круга радиусг
$ на плоскости ? в отрезок длиной 2a=4i? на плоскости и. Перепи
шем F.2.1) следующим образом:

Так как /?2 = gM~42> то после разделения на вещественную и мни-
мую части получим! г=2|, у=0. Таким образом, точкам окружно-
сти радиуса R в плоскости s соответствуют точки на отрезке гори-
зонтально» прямой длиной 2а=4/? в плоскости а.
Теперь определим комплексный потенциал для течения около
кругового цилиндра. Для этой цели вновь воспользуемся методом
конформного преобразования, использовав известную функцию
комплексного потенциала для потока около пластинки, расположен-
ной вдоль потока. Эта функция имеет вид
W=f+ty=—lV{z + iy)= -iVo. F.2.2)
Нетрудно показать, что конформная функция
«=С~#/С F.2.3)
преобразует поставленный вдоль потока отрезок прямой на плоско-
сти а в окружность на плоскости Z, (рис. 6.2.1, в, а). Действитель-
но, из F.2.3) следует, что так как для точек, расположенных на
отрезке, o = it/(—2R^y^2R, г=0), то
Разделяя вещественную и мнимую части, получим:
откуда Е;!+тJ=#г. Таким образом, точкам, располагающимся в
плоскости а на вертикальном отрезке, соответствуют точки, нахо-
дящиеся на окружности в плоскости ?. Заменяя а в F.2.2) на зна-
чение из F.2.3), получим комплексный потенциал потока около кру-
гового цилиндра радиуса R, обтекаемого плоскопараллельным по-
током со скоростью V:
W=-lV(Z~ffft. F.2.4)
Чтобы получить комплексный потенциал для течения около пла-
стинки, расположенной поперек потока (рис. 6.2.1, б), внесем в
(G.2.4) вместо X, следующее значение, полученное из конформной
формулы F.2.1);
- , ^ ," ,- - F.2.5)
Тогда
F.2.6)

Тате как для точек, расположенных на пластинке, о=г, где
Отсюда потенциальная функция
ч= ± V YMP-z?= ± V \tf-zK F.2.7)
где знак плюс соответствует верхней поверхности, а минус — ниж-
ней.
Вычисляя производные dyjdz, можно найти скорость на пла-
стинке и рассчитать давление. Из полученных данных следует, что
давление на верхней и нижней 'сторонах шластинви одинаковое.
Следовательно, в рассматриваемом случае безотрывного обтекания
пластинки поперечным потоком идеальной (невязкой) жидкости
сопротивление пластинки отсутствует. Этот интересный аэродина-
мический эффект будет рассмотрен на примере обтекания плоской
пластинки, расположенной в потоке под некоторым конечным уг-
лом атаки, о § 6.3.
Поток, характеризуемый потенциальной функцией F5.7), по-
казан на рис. 6.2.1, б. Это течение представляет собой бесцир-
куляционный поток около пластинки, полученный при нало-
жении на невозмущенное течение с потенциалом
Wn^—lVZ F.2.8)
потока от диполя с потенциалом
№лшп= ± iV (Л"А F.2.9)
где ? определяется конформной функцией F.2.5).
§ 6.3. ГОНКАЯ ПЛАСТИНКА ПОД УГЛОМ АТАКИ
Вычислим потенциальную функцию для возмущенного течения
несжимаемой жидкости около тонкой пластинки, находящейся под
углом атаки а, используя, как и в предыдущей задаче, метод кон-
формного преобразования. Расположим пластинку н плоскости
комплексного переменного a=x+iy вдоль действительной оси х.
Если ¦предположить, что рассматриваемое течение бесциркуля-
ционное, то комплексный потенциал такого течения можно пред-
ставить как сумму потенциалов продольного W\ = V^a и попереч-
ного W2 обтеканий со скоростью невозмущенного потока V=aVa>
(рис. 6.3.1). Суммарный комплексный потенциал
16.3.1)

С учетом формулы F.2.7), в которой г заменено на х, суммарный
потенциал скоростей на пластинке
v^V^x ± aVn Y~tf^x\ F.3.2)
По этому значению потенциала находим составляющую скорости;
VJC=Via + aVovX/Ya?^. F.3.3)
Вторая ¦составляющая скорости на тонкой пластинке Vy=0.
Из F.3.3) следует, что у передней (х=~а) и задней (х^а)
кромок скорость Vx бесконечна. Физически такая картина течения
неосуществима. Ограничения скорости у одной из кромок, например
у задней, можно добиться, наложив на рассматриваемое течение
a 6=x*ig
:. 6.3.1. Схема обт<
плоской плзстннки поя углом а
циркуляционный поток. В плоскости Z, потенциал циркуля-
ционного потока определяется в соответствии с B.9.22) выраже-
нием
1Гв=-(П/2яIпС. F.3.4)
Подставив сюда значение ? из F.2.5), получим
Wi= Ltin — ±1/ —-tf2 . F.3.5)
Суммируя F.3.1) и F.3-5), найдем комплексный потенциал цир-
куляционно-лостуетательного потока около наклонной
пластинки:
~Va3±iaV»Y^AR2-~\*\~±-\/ -f-Я2)- F-3.6)
Циркуляцию Г определим на основе гипотезы Жуковско-
го— Чаллыгина, в соответствии с которой скорость в точке
схода на задней кромке пластинки имеет конечное значение.
Это значение скорости можно получить, как уже известно из тео-
рии конформного преобразования, в виде производной dW/da от

комплексного потенциала W для цилиндра. В свою очередь этот
потенциал позволяет найти в соответствующей точке на цилиндре
комплексную скорость как производную dwjdx,, которая согласно
правилам дифференцирования сложной функции равна
dWldX.= [dWld3){d*(dl)% F.3.7)
где Wa 117—соответственно комплексные'потенциалы для цилинд-
ра н пластинки. Согласно гипотезе Жуковского — Чаплыгина вели-
чина dW/da ограничена по модулю. Так как производная da(dX,,
вычисляемая согласно F.2.1) по формуле
равна нулю на цилиндре в точке ?=¦/?, соответствующей точке на
задней кромке пластинки, то, следовательно, производная
dW/d^O.
Комплексный потенциал для цилиндра
Потенциал ~Wt характеризует течение в направлении оси, соответ-
ствующее потоку около .пластинки в том же направлении со ско-
ростью V™. Он .получается ¦путем замеиы в формуле W\=Va>o ве-
личины ст на значение F.2.1):
Комплексные потенциалы Ws и Wz определяются соответственно
уравнениями F.2.4) и F.3.4). Заменим в первом из них V на aV»
и найдем суммарный комплексный потенциал:
i ' *., W=VMk-h—\-laVmfc—^U — lnC. F.3.8)
Вычислим производную:
Для координаты Z,=R, соответствующей точке на задней кромке
пластинки, производная dWjdt, равна нулю, т. е.
Отсюда
Г=— 4naRym F.3.9)
или, так как 2R=a,
Г=— 2яааУ„. F.3.9')
После подстановки этого результата в F.3.6) и дифференцирова-

ния по о найдем комплексную скорость:
После простых преобразований и замены
^- = V,-lV, = vJ\+m\/^^-\. F.3.11)
16.3.10)
откуда следует, что лолная скорость на пластинке
V=V,= Vjl±ay ±=±\; F.3.12)
знак плюс относится к: верхней поверхности, а знак минус — к ниж-
ней. На задней кромке (x=a=2R) скорость равна Vm, а на перед-
ней кромке (*=—о) скорость получается бесконечно большой.
В реальных случаях толщина передней кромки не равна нулю, в
частности, носок может иметь хотя и небольшой, но конечный
радиус кривизны. По этой причине скорости на такой кромке при-
нимают большие, но конечные значения.
Для определения силы, действующей на пластинку, воспользу-
емся общим выражением для главного вектора сил гидродинамиче-
ских давлений, приложенных к неподвижному цилиндрическому
телу произвольной формы, обтекаемому установившимся потоком
несжимаемой жидкости. Введем по аналогии с комплексной ско-
ростью понятие о комплексной силе F=X—iY, определяя эту силу
как зеркальное отражение главного вектора F сил давлений от
действительной оси.
Рассматриваемый вектор / определяется по формулам A.3.2) и
A-3.3), в которых коэффициент трения С/х пр-ияят равным нулю, в
следующем виде:
F=X — IY=— ?
) — icos(ny)]ds
-ф p(sin б-{-/cos б'
F.3.13)

где л—направление внешней нормали к контуру С обтекаемого
тела, а 9 — угол между элементом контура ds и осью х (рис.
6.3.2).
Так как
F.3.14)
а давление определяется по уравнению Бернулли
^!/2==еСя-Р^1/21 F.3.15)
то
f= - /с, ф d7+ Л- ф гаг= i ф иуГ.
3- 2 3- 2 J
Учитывая, что «а основалии F.3.14) do=e-liedo, а также прини-
Рнс. 6.3.2. Контур в
мая во внимание, что в соответствии с условием безотрывного об-
текания -комплексная скорость в рассматриваемой точке контура
V=Vx—iVy=V cose — IV sin 6 = Ve-'\ F.3.16)
найдем
F-X-IT^&VW*. F.3.17)
Поскольку для потенциального лотока комплексная скорость
V=dW/da, то
F=X~ir=4-?(^-)W F.3.18)

Выражение F.3.18) называется формулой Жуковского —
Чаплыгина.
Интегрирование в {6.3.18) можно производить по другому кон-
туру, охватывающему заданный контур С обтекаемого тела. В ка-
честве такого контура выберем контур круга К, комплексная ско-
рость для которого в плоскости о представляется в виде
dW/da=V^-ir/Bto}-\-A/ai, F.3.19)
где F»=V*«—iVy»; Л —коэффициент, определяемый при помощи
уравнения, аналогичного F.3.8).
Квадрат комплексной скорости
Подставив это значение в {6.3.18), найдем
Здесь первый и третий интегралы равны нулю. Интеграл <? —
вычисляется с учетом формулы а=х+1у=ге^ {рис. 6.3.2) и равен
г
Таким образом,
F=X~iY=ipVa,T или X~ir = i?VccTe~'\ F.3.20)
где Уел — абсолютное значение скорости набегающего потока.
Если его направление совпадает с горизонтальной осью F™=
=л), то, очевидно,
F=X — iY=— ipV»r. F.3.21)
Отсюда следует, что
| F | =К=рК„Г. F.3.22)
Это выражение называется формулой Жуковского.
Из F.3.21) следует, что действующая сила представляет собой
вектор, .перпендикулярный вектору скорости набегающего потока,
и является, следовательно, подъемной силой. Ее направление сов-
падает с направлением вектора, который получается путем поворо-
та лектора скорости Г«, на угол я/2 навстречу циркуляции. Эта сила
называется силой Жуковского.
Непосредственно из {6.3.21) следует, что Х=0. Таким образом,
при безотрывном обтекании поверхности потоком невязкой несжи-
маемой жидкости сопротивление, связанное с распределением дав-

ления, равно нулю. Этот аэродинамический эффект известен как
парадокс Эйлера—Даламбера. Такое название соответствует то-
му факту, что в действительности сопротивление имеет место, так
как всегда происходит соответствующее перераспределение давле-
ния, вызванное отрывом потока и 'воздействием трения.
Применим формулу F.3.22) для вычисления подъемной силы
плоской пластинки. Принимая во внимание значение циркуляции
F.3.9'), получим (рис. 6.3.3)
y=2naa?VL F.3.23)
Определим нормальную N и продольную R составляющие силы
Жуковского:
F.3.24)
R= —Г sin a = —Ko== —2
F.3.25)
у
IX
\.
Рис. 6.3.3. Схе*
! сил, дейс!
пастинку
зующих
Возникновение силы R, действующей вдоль пластинки против те-
чения, кажется парадоксальным, так как все элементарные силы
от давления направлены по
нормали к поверхности. Эта
составляющая силы Жуковско-
го называется подсасыва-
ющей силой. Физическая
природа ее возникновения со-
стоит в следующем. Предста-
вим себе, что передняя кромка
слегка закруглена. Тогда ско-
рости вблизи нее были бы зна-
чительными, но не бесконечно
большими, как это имеет ме-
сто у передней кромки пла-
<« —подсасывающая сила) СТННКИ. В СООТВвТСТВИН С урЗВ-
нением Бернулли разность
между давлением у кромки и давлением на бесконечности будет
отрицательной. Возникающее разрежение и вызовет подсасываю-
щую силу, предельное значение которой дается выражением
F.3.25). Это выражение для подсасывающей силы относится к то-
му случаю обтекания плоской пластинки, когда скорость вблизи
ее передней кромки определяется по формуле F.3.12). В соответ-
ствии с этой формулой продольная компонента возмущенной ско-
рости в указанном месте пластинки
V'x= ± aV» Y{a — x)l{a-\-x). F.3.26)
Выражение для подсасывающей силы можно обобщить на случай
произвольного задания скорости вблизи передней кромки. С этой
пелью запишем F.3.25) в виде
— R=n?c2,
F.3.27)

где
c2=2aa?Vt. F.3-28)
Величину с2 представим в виде предельного выражения
с2= Ilm [V?(x — xajl F.3.28')
где хПк — абсцисса передней кромки {хПк=—а); х — текущая аб-
сцисса точек пластинки; W — продольная компонента возмущенной
скорости на верхней стороне крыла.
Можно показать, что формула F.3.28') действительно имеет
место. Для этого внесем выражение F.3.26) в F.3.28'):
Подставив эту величину в F.3.27), придем к ранее найденной фор-
муле F.3.25).
Полученные выводы об обтекании несжимаемым циркуляцион-
но-поступательным потоком профиля в виде тонкой пластинки на-
ходят применение при исследовании аэродинамических характери-
стик профилей реальных форм, а также крыльев конечного разма-
ха, обтекаемых потоками как несжимаемой жидкости, так и
сжимаемой газообразной среды.
§ 6.4. КРЫЛО КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
В ПОТОКЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
До снх пор рассматривалось обтекание профиля потоком не-
сжимаемой жидкости. Можно считать, что такой профиль относит-
ся к элементарному участку несущей поверхности, принадлежаще-
му крылу бесконечного размаха в плоекопараллельном
потоке. Таким образом, теория этого обтекания является Также ос-
новой аэродинамики крыла бесконечного размаха.
Согласно формуле F.3.22) подъемная сила Участка крыла еди-
ничного размаха Y^=pcoVCBT (рис. 6.4.1, а). Следовательно, вокруг
профиля имеет место циркуляционный поток с циркуляцией скоро-
сти Г. Если циркуляция направлена по часовой стрелке, то на верх-
ней стороне профиля скорости будут больше (на набегающий по-
ток накладывается циркуляционный поток с таким же «аправле-
нием), а на нижней — меньше (циркуляционный поток не совпадает
с направлением набегающего потока). Поэтому в соответствии с
уравнением Бернуллн давление сверку будет меньще, чем снизу, и
подъемная сила направлена вверх, как показано на рис. 6.4.1, б.
Так как согласно B.7.8) и B.7.8') циркуляция .равна напряже-
нию вихря и, то участок крыла можно заменить проходящим вдоль
его размаха эквивалентным вихрем с указанным напряжением.
Этот вихрь назван Н. Е. Жуковским присоединенным. Таким
образом, в гидродинамическом смысле крыло бесконечного разма-
ха эквивалентно присоединенному внхрю.

Рассмотрим теперь приближенную схему обтекания
крыла конечного размаха прямоугольной формы в плане.
Как установил С. А. Чаплыгин, присоединенный вихрь вблизи бо-
ковых кромок поворачивается и в виде пары вихревых жгутов
уходит за крыло, приблизительно совпадая с направлением ско-
рости набегающего потока. Расстояние е (рнс. 6.4.1, в) от вихре-
вого жгута до боковой кромки зависит от геометрических разме-
ров крыла. Таким образом, гидродинамический эффект крыла
конечного размаха может быть получен путем замены его присоеди-
ненным и парой свободных вихрей, напоминающих букву П. Эта
схема крыла называется П-о-бразной схемой Чаплыгина.
Вих.ревая система, эк-
вивалентная крылу конеч-
ного размаха, индуцирует
в потоке жидкости до-
полнительные ско-
рости и этим вызывает
скос потока, свойст-
венный обтеканию крыла
конечного размаха. В ос-
нове вычислений индуци-
рованных скоростей и уг-
ла скоса потока, вызван-
ных свободными вихрями,
лежат следующие теоре-
мы Гельмгольца:
1) напряжение вдоль
вихря не меняется по ве-
личине, и, как следствие,
;рей для вихрь не может внезапно
|аве оборваться или окончить-
ся острием;
: 6 4.1. Система эквивалентных
крыла прямоугольной формы в
2) напряжение вдх-ря не зависит от времени;
3) вихрь в идеальной жидкости не разрушается.
В рассмотренной схеме прямоугольного крыла циркуляция
вдоль размаха принята постоянной в соответствии с предположени-
ем, что 'Подъемная сила каждого элементарого участка крыла оди-
накова. В действительности подъемная сила вдоль размаха крыла
той же прямоугольной формы изменяется. Это изменение невелико
в средней части крыла и более заметно у боковых кромок. Для
крыла произвольной формы в плане изменение циркуляции носит
ярко выраженный характер и обусловлено неодинаковыми разме-
рами участков и, следовательно, различными значениями подъем-
ной силы. Вихревую схему обтекания крыла с формой в плане, от-
личной от прямоугольной, можно получить, если заменить крыло
не одним П-образным вихрем, а системой П-образных вихрей, об-
разующей вихревую .пелену (рис. 6.4.2). Вдоль каждого вих-
ря циркуляция будет постоянной, во при переходе от одного вихря
к другому изменяется. Для сечения, расположенного в середине

;оыла (корневого сечения), подъемная сила наибольшая, поэтому
»удут максимальными напряжение соответствующего вихря и цир-
Л'ЛЯЦИЯ.
Теперь посмотрим, какие изменения вносит скос в картину об-
¦екания крыла, расположенного под углом атаки а (называемым
¦акже установочным углом) в потоке со скоростью V». По-
:вление скоса потока за крылом на угол 8 приводит к тому, что его
Отекание в рассматриваемом сечении будет характеризоваться
качениями скорости F»' и угла атаки аи, отличающимися от соот-
ветствующих значений F» и а, которые определяют течение около
;оыля бесконечного размаха. Истинный угол атаки аи се-
¦ения крыла 'Конечного размаха будет меньше установлен
-юго на величину угла скоса е (рис. 6.4.3), т. е. ая=
-а—е. Угол скоса е=—w/Va, изменяется по размаху крыла, уве-
.ичиааясь к концам. Для удобства вводят понятие о среднем
1
по
— Г %dz. В соответствии с
>азмаху значении угла скоса еср
-тим истинный угол атаки крыла
а„=а-Еср. F.4.1)
Наличие угла скоса приводит к изменению силового воздейст-
шя среды на обтекаемое тело. Если бы скос потока отсутствовал,
о вектор аэродинамической силы согласно F.3.21) был нормален
: направлению скорости невозмущенного потока Г™. При
^личии скоса вектор результирующей аэродинамической силы бу-

дет ориентирован тюяормали к направлению истинной
скорости VaS (рис. 6.4.3). В 'результате такого отклонения ре-
зультирующей силы на угол еСр появится составляющая Х{ по на-
правлению н ©возмущенного потока. Эта дополнительная сила Хи
появившаяся в результате скоса потока, вызванного индукцией
вихрей, называется индуктивным сопротивлением. С фи-
зической точки зрения возникновение индуктивного сопротивления
обусловлено потерями части кинетической энергии движущегося
крыла, затрачиваемой на образование вихрей, сходящих с его зад-
ней кромки, Величина этого сопротивления определяется согласно
рис. 6.4.3. из выражения
*,=J4P. F-4.2)
Здесь подъемная сила Y нахо-
дится ввиду малости скоса так
же, как для крыла бесконечно-
го размаха. Если разделить Xt
на величину (p«,V«2/2MKp, то
получим коэффициент ин-
дуктивного сопротив-
F.4.3)
Рассмотрим определение
этого коэффициента, основываясь на теории «несущей линии».
В соответствии с этой теорией крыло конечного размаха за-
меняется одним присоединенным вихрем (несущей линией). При
этом для несущей линии циркуляция Г(г) будет такой, как и для
соответствующих сечений самого крыла (рис. 6.4.4). При такой за-
мене плоская вихревая пелена начинается непосредственно на не-
сущей линии и имеет изменяющуюся вдоль размаха погонную ин-
тенсивность dT{z)jdz. Скос потока в данном сечении будет опре-
деляться для полубесконечного вихревого жгута интенсивностью
[t/Г (z) fdz]dz. В соответствии с этим суммарный угол скоса для се-
чения согласно рис. 6.4.4
1/2
Г" dT(z') dz'
e J Лж' ' ж'-ж '
Согласно этому значению средний по раэмаку угол скоса
1/2 г 1/2 -л
I J ^^V-*
-!/2L-!/2 -I
F.4.4)
F.4.5)
Коэффициент подъемной силы cv крыла может быть определен
по известному закону распределения циркуляции вдоль размаха.

При таком определении можно исходить из гипотезы плоских се-
чений, согласно которой рассматриваемый элемент крыла обтека-
ется так же, как соответствующий профиль, принадлежащий ци-
линдрическому крылу бесконечного размаха. Расчеты на основе
этой гипотезы дают удовлетворительную точность для крыльев с
¦малой стреловидностью н удлинением Якр> C-М).
Согласно формуле Жуковского подъемная сила профиля
ее полная величина для крыл
f Y(z)dz
F.4.6)
F.4.6')
и соответствующий аэродинамический коэффициент
F.4.6")
Для нахождения закона распределения циркуляции Г (г) рас-
смотрим профиль в произвольном сечении крыла, для которого
подъемную силу можно представить в виде

где b(z)—хорда профиля в рассматриваемом сечении. Принимая
во внимание формулу Жуковского F.4.6), найдем уравнение
связи, определяющее зависимость для циркуляции скорости в
заданном сечении:
{z)Vm. F-4.8)
Согласно гипотезе плоских сечений коэффициент подъемной силы
Су(г) рассматриваемого сечения будет таким, как для соответству-
ющего цилиндрического крыла бесконечного размаха. Его величина
может быть определена с учетом угла скоса но формуле
ca{z)=c'y{z){a~z), F.4.9)
где производная c"y{z)=dcy{z)jda определяется для крыла беско-
нечного размаха и диапазона углов атаки, соответствующего ли-
нейному участку кривой с„(а). После подстановки а F.4.8) значе-
ний F.4.4) и F.4.9) получим уравнение
Это уравнение носнт название основного ннтегро-дифферен-
циального уравнения крыла конечного размаха. Оно по-
зволяет найти закон распределения циркуляции Г(г) для заданной
формы крыла по известным условиям его полета. При этом угол
атаки а в F.4.10) может быть фиксированным (т. е. одинаковым
для всех сечений) или же переменным по размаху при наличии
геометрической крутки крыла.
Один из наиболее распространенных методов решения уравне-
ния F.4.10) основан на представлении искомой функции Г(г) в
виде тригонометрического ряда (метод Глауэрта — Трефтца):
Г(г)=Ш„2 AKsin(aB)t F.4.11)
где новая переменная 6 связана с переменной г соотношением г =
——(?/2)cos6; An — постоянные коэффициенты, которые подлежат
определению при помощи уравнения F.4.10). Поскольку ряд
F.4.11) быстро убывающий, обычно вместо бесконечного числа
членов принимают сравнительно не&ольшое их число т. Для опре-
деления неизвестных коэффициентов Ат составляют т алгебраиче-
ских уравнений (по числу выбранных сечений). Каждое из таких
уравнений получается в результате подстановки в F.4.10) значе-
ния циркуляции T(z) = 2lVa>'\ Aasin(nB) для соответствующего
л-1
сечения. Методика определения этих коэффициентов подробно из-
ложена в книге [I].

Используя найденный закон распределения циркуляции в виде
ряда, можно определить скос потока и соответствующие аэродина-
мические коэффициенты [16J. Переходя в F.4.6")от переменной z
к новой переменной 6 в соответствии с выражением dz=
= A/2) sin 6de, подставляя формулу для циркуляции в виде ряда и
заменяя 12/SKP на Анр, найдем зависимость для коэффициента подъ-
емной СИЛЫ:
е, = яХ^А. F.4.12)
Используя F.4.5), определим средний угол скоса:
е =-?^A + т), F.4.13)
Яккр
где т — коэффициент, учитывающий влияние удлинения и опреде-
ляемый в виде
,_|J^. . F.4.14,
Из F.4.3) получают соответствующий коэффициент индуктив-
ного сопротивления. Однако его величину можно уточнить, перейдя
от среднего угла скоса к местному его значению в соответствии с
зависимостью dXi = edY. Внося в эту зависимость F.4.4.) и F.4.6.),
производя интегрирование и определяя коэффициент индуктивного
сопротивления, получим
-1/2
Производя подстановку ГB) и заменяя 12/SBP на 1щ>, найдем
Cxt=—~(l +8)> F.4.16)
лкк?
где коэффициент, учитывающий влияние удлинения на сопротив-
ление, зависящее от подъемной силы,
Коэффициенты т и 6 для крыльев различной формы в плане мо-
гут быть определены по данным, приведенным в работах [1, 16].
Полученные результаты общей теории несущей линии характе-
ризуются, как видно, сравнительной простотой аэродинамических
зависимостей, дают четкое представление о физических явлениях,
сопровождающих обтекание крыльев с переменным размахом, по-
зволяют выявить механизм образования подъемной силы и индук-
тивного сопротивления. Однако применение этой теории ограничено
крыльями с достаточно малой стреловидностью и относительно

большим удлинением. В современной аэродинамике разрабатыва-
ются более точные и более общие решения, с которыми можно оз-
накомиться самостоятельно по специальной литературе.
Вместе с тем имеет практическое значение разработка методов
оценки аэродинамических свойств крыльев путем построения при-
ближенных моделей обтекания крыльев конечного размаха. Рас-
смотрим один из таких методов, основанный на представлении
аэродинамической схемы крыла в виде присоединенного и пары
свободных вихревых жгутов. Такое представление базируется на
экспериментальных данных, согласно которым вихревая пелена
неустойчива и на сравнительно небольшом расстоянии от крыла
свертывается в два параллельных вихревых шнура (см. рис. 6.4.2).
Основным элементом этой задачи является нахождение расстоя-
ния la между свободными (свернувшимися) вихрями. При этом бу-
дем исходить из того, что для крыла с размахом / вихревая схема
крыла может быть заменена одним П-образным вихрем с постоян-
ной циркуляцией Го, соответствующей корневому сечению. Прини-
мается также, что" присоединенный вихрь (несущая линия) про-
ходит через фокус крыла с координатой xFa. Величина этой цир-
куляции может быть определена по уравнению связи, согласно
которому
^=A/2)^,^», F.4.18)
где с„о, 6Кр — соответственно коэффициент подъемной силы и хорда
корневого сечения.
Аналогичное выражение можно написать для средней по раэма-
ху циркуляции, которая будет такой, жак а сечении с хордой 6ср:
TCf=(l/2)cubefVm F.4.19)
где cv — коэффициент подъемной силы крыла.
Из уравнений F.4.18), F.4.19) найдем зависимость между цир-
куляциями:
Г.^лАДсА,). F.4.20)
По условию, принятые вихревые системы ГСр, Го соответствуют
одной и той же подъемной силе (Y=paaVaircvt=poaVaoTtSto), поэтому
ГСр/=Го/о. Таким образом, в соответствии с (fj.4.20)
Теперь по известному расположению П-образной вихревой системы
можно определить, используя формулу B.7.13), в каждой точке за
крылом угол скоса, учитывая при этом индукцию также и присое-
диненного вихря.
В целях нахождения коэффициента индуктивного сопротивления
по формуле F.4.3) следует найти средний угол скоса еср=A//)Х
X [ *^2 на несущей линии, учтя влияние только пары свободных :!
-1/3 3
вихрей при помощи формулы B.7.13). Согласно расчетам (см.
250

[16]) этот угол
F.4.22)
Го определяется по F.4.18). Имея в виду, что //Ь„р =
, найдем окончательно
_-^_._1_1п_^.. F.4.23)
Используя F.4.3), по этому углу скоса можно оценить величину
коэффициента индуктивного сопротивления. В частном случае для
крыла бесконечного размаха (Акр->оо) угол скоса отсутствует и,
следовательно, индуктивное сопротивление исчезает.

ПРОФИЛЬ В ПОТОКЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
% 7.1. ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ
Линеаризация уравнения для потенциала скоростей
Расчет обтекания дозвуковым потоком профиля связан с реше-
ьнем уравнения для потенциала скоростей плоского двухмерного
потока, которое получается из E.1.8) при условии, что е = 0, и
Это дифференциальное уравнение в частных производных второго
порядка является нелинейным относительно неизвестной функ-
ции ср и описывает течение около достаточно толстых профилей,
вызывающих большие возмущения газа, при которых скорости те-
чения V и скорости звука а значительно отличаются от соответст-
вующих параметров набегающего потока.
Если профиль тонкий и вносимые им возмущения малы, то
уравнение G.1.1) можно упростить, сведя его к линейному уравне-
нию с постоянными коэффициентами при вторых частных производ-
ных. Такое упрощение называется линеаризацией, а получен-
ное уравнение и описываемый им маловозмущенный itotok — ли-
неаризованными.
Для линеаризованного потока выполняются услозия для скоро-
стей F.1.1) и действительно равенство F.1.2). С учетом малости
скоростей возмущений и и у F.1.1) можно преобразовать уравне-
ние для скорости звука, получаемое из C.6.20) и имеющее вид
a2=aL-\-[{k-])/2]{Vl~V2). G.1.2)
Внося сюда вместо V2 выражение F.1.2), получим
a?=al,-(k-\)VBOu. G.1.2')
Подставляя в G.1.1) величину G.1.2'), а также Ух= V*, +и,
v, V\=V\>-\-2V«&, Vl^iifl и учитывая, кроме того,
что

суммарный потенциал линеаризованного потока можно представить
в виде ф=<р« + <р', где <р» — потенциал набегающего потока, а доба-
вочный потенциал согласно условию F.1.1) будет qj'-Cqj^, получим
+I*a-aL+(*-l)Ve«]-??- = 0. G.1.3)
Вторые частные производные от потенциала <р' по координатам х,
у являются величинами первого порядка малости:
3'ip' ди №</' ди dv &*у' dv
~dj& ~~дх~ ' дхду ~ ду ~~ дх ' ду* ~ ди
С учетом этого в G.1.3) можно определить группу членов второго
и третьего порядка малости; пренебрегая ими, получим линеаризо-
ванное уравнение в следующем виде:
где М0о=У»/а00.
Рассмотрим выражение для давления в линеаризованном потоке.
С этой целью воспользуемся формулой C.6.26), которую перепи-
шем в виде
Подставляя сюда значение V2 из F.1.2), получим
Принимая во внимание, что согласно формуле C.6.22)
найдем
Разложив выражение в правой части по биному я сохранив в раз-
ложении второй член, получим
Р\Р«, = 1 - Р-У-в//>.. G.1.5')
Отсюда находимизбыточное давление р—р™= — о^У =М и коэффи-
^eHJ давления р= — 2м/V», т. е. приходим к тем же зависимостям
io.l.d), F.1.5), что и для несжимаемой жидкости. Однако при при-

менении этих зависимостей в случае больших дозвуковых скоростей
надо учитывать, что скорость возмущения и=д^'}дх должна опре-
деляться с учетом сжимаемости.
Зависимость между ларвметрами обтекания тонкого профиля
сжимаемым газом и потоком несжимаемой жидкости
Обтекание тонкого профиля, расположенного под малым углом
атаки в сжимаемом дозвуковом потоке, -исследуется при помощи
уравнения {7.1.4'), в котором М«,<1. Заменим в этом уравнении
переменные в соответствии с соотношениями
*о=*. !/u=!/Vl-Ml, w=t'V^-o/V«). G.1.6)
где у—некоторый произвольный параметр; Г«о — скорость услов-
ного потока {фиктивная скорость), в общем случае отличающаяся
от скорости Va> заданного течения. Подставив G.1.6) в G.1.4'), по-
лучим уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей
(fn' несжимаемого потока в плоскости ха, у0:
Ф^д4+&ъ1ду\= 0. G.1 Л")
Таким образом, задачу об обтекании заданного профиля сжи-
маемым потоком можно решить, используя результаты решения за-
дачи об обтекании некоторого видоизмененного профиля несжимае-
мым потоком с фиктивной скоростью Veo. Найдем зависимость
между соответствующими параметрами обтекания профилей, а так-
же их геометрическими характеристиками. Связь между скоростями
возмущения «о в несжимаемом и « в сжимаемом потоках устанав-
ливается в соответствии с G.1.6) следующим образом:
*-&-?-*¦?—»¦?- GЛ-7>
Подставляя сюда {6.1.5), найдем коэффициенты давления в несжи-
маемой жидкости рнс= —2«о/1л«о и в сжимаемом газе р — —2ы/У<в.
Следовательно, учитывая G.1.7), получим
Р«=УЯ G-1.8)
Из формул Суm = ф pucdxOy mz„.= ф ржх^хй, в которых хо = х/Ь,
и выражения {7.1.8) найдем связь между соответствующими коэф-
фициентами подъемной силы и момента:
CgHt.=ySpdx=ycy, mz m=y & pxdx=ytnz, G.1.9)
где x=x/b.
Установим зависимость между формами профилен и углами ата-
ки. С этой целью определим вначале связь между вертикальными

составляющими скорости. В соответствии с G.1.6)
.-^-.,7.1.10)
"В несжимаемой жидкости согласно уравнению C.3.17')* в котором
функция F принимается равной Уо—М*о) при условии, что (/о—
—/а(*о). Для профиля можно написать o0/(VaBf) + Ui))=dyoldxa или,
учитывая, что uo<V»o, Vo/V^o^dyo/dXa. Аналогично находим для
Ь)
Рис 7.1.1. Профил
А н Ао— точки оолного торможения
профиля в сжимаемом газе v/V^^dy/dx. Следовательно, (vo!v)X
X (V«/V«o) = (dyo/dy) (dx/dxp). Принимая во внимание G.1.6) и
G.1.10), найдем dyoldy=y/V 1 —М». Интегрируя при условии,
что для г/«=0 величина j/o=0, получим уравнение, связывающее вер-
тикальные координаты фиктивного и заданного профилей:
yo = yvlVl-Ml. G.1.11)
В то же время, как следует из G.1.6), горизонтальные координаты
профилей не меняются. Учитывая это, углы атаки можно предста-
вить в виде
*=У№-х) и
где Ь' — расстояние до задней кромки профиля; х — горизонталь-
ная координата точки (рис. 7.1.1). Таким образом, в соответствии с
G.1.11) w t v
aHc=av/V/l-Ma». G.1.12)
Предположим, что произвольный параметр у=1. Тогда
Gллз)
Таким образом, если одинаковы коэффициенты давления в соответ-

ственных точках тонких профилей, расположенных в сжимаемом и
несжимаемом потоках, то в сжимаемом потоке профиль должен
быть тоньше, чем в несжимаемой, в V 1—ML раз. Во столько
же раз меньше будет угол атаки.
Рассмотрим случай, когда у = У 1 — М^ и, следовательно,
zJV\— ML.
G.1.14)
В соответствии с полученными результатами у двух одинаковых
профилей, расположенных под одним и тем же углом атаки, коэф-
фициенты давления в соответственных точках профилей, а также их
суммарные коэффициенты подъемной силы и момента в сжимаемом
потоке будут больше, чем в несжимаемом, в 1/ у 1 — М» раз.
Отсюда следует вывод, что влияние сжимаемости приводит к
у в е л ичени ю давления н подъемной силы. Коэффициент
1/г 1 — ML называется поправкой на сжимаемость
Прандтля — Глауэрта. Соответствующая зависимость
G.1.14) для р известна как формула Прандтля — Глауэрта. Ее
можно рассматривать в качестве первого приближения при расчете
коэффициента давления в сжимаемом потоке по соответствующему
значению р~вс. Более точные результаты, относящиеся к утолщенным
профилям н увеличенным углам атаки, получаются по формуле
Кармана — Тз ян а:
G.1.15)
Применение формул G.1.14) и G.1.15) для р приводит к весьма
большой погрешности при определении коэффициента давления в
точке полного торможения, где скорости и, следовательно, местное
число Маха равны нулю. Например, для этой точки, б которой
ровс=1, формула G.1.14) дает при М«=0,8 коэффициент р~0= 1,67, а
формула G.1.15) —величину ро=1,26 вместо действительного зна-
чения 1,17.
В точке полного торможения коэффициент давления pQ—
= 2(/j0 — /?н,)/(?/>в>М^>) для произвольных чисел Мм<С 1 вычис-
ляется при помощи выражения, полученного из C.6.30) при
условии М= 1:

Три ЛЦ,<1 величину в круглых скобках можно представить в виде
шда, в котором сохранены первые три члена:
/>о= 1Н —1 ML- G.1.17)
1олученная зависимость пригодна для достаточно широкого диа-
[азона значений 0^М«,^1.
§ 7.1. МЕТОД АКАД. С. А. ХРНСТИАНОВИЧА
Содержание метода
Если обтекаемый профиль или какое-либо другое тело вносят в поток ко-
нечные возмущения, то линеаризованные уравнения непригодны. При изучении
¦акого течения следует использовать нелинейные уравнения газовой динамики.
Для сверхзвуковых течений, применяя, в частности, метод характеристик,
-южно решить многие задачи о сверхзвуковом движении газа. Количество ре-
иаемых задач сверхзвуковой аэродинамики гще больше возрастает благодаря
деленным методам интегрирования уравнений движения. Анализировать доэву-
^овоэ движение газа значительно труднее. Математически это объясняется
различным характером уравнений: для сверхзвуковых течений эти уравнения —
¦>актеристнк у эллиптических уравнений не дает особых упрощений. Ббльшая
ложность исследования дозвуковых потоков физически объясняется тем, что1
„озмущення в них распространяются во все области движения, тогда как в слу-
¦ае сверхзвуковых течений возмущения ограаичены коническими поверхностями
вершиной в точке возмущения и распространяются только вниз по потоку.
1ри этом исследование маловоэмущенных дозвуковых течений несколько проще
•лагодаря линеаризованному характеру уравнений, нежели дозвуковых потоков
большими возмущениям», обтекающих, например, толстые профили.
Разработке метода исследования таких потоков посвящена работа акад.
: А. Чаплыгина «О газовых струях». В этой работе приведены уравнения,
оставляющие математическую основу теории потенциальных дозвуковых тече-
шоскости у, х, а в плоскости специальных координат тир (x^V2 — квадрат
:олной скорости в данной точке потока; р — полярный угол, определяемый из
словия V=f!CosP) и являются в отличие от обычных уравнений линейны-
¦и, так как коэффициенты уравнений представляют собой функции независимых
временных т, р. С. А. Чаплыгин решил эти уравнения для ряда случаев дви-
.чення газа с большими дозвуковыми скоростями.
Рис. 7.2.1. К расчету давления на профиле, обтек*
фыль; 2 —фиктивный профиль

аэродинамики больших скоростей. Акад. С. А, Христианович. используя эти
уравнения, разработал метод, позволяющий учитывать влияние сжи-
маемости на дозвуковое обтекание профилей произвольной формы. Теорети-
ческие положения зтого метода подробно изложены в работе [24]. Рассмотрим
основное содержание метода и его применение к решению различных задач об-
теклния профилей сжимаемым дозвуковым потоком.
Рассматривая сжимаемый поток около профиля заданной формы, С. А. Хри
измененной формы (рис. 7.2.1). Таким образом, по методу С А. Христиа-
новича вначале решается относительно простая задача об обтекании некоторого
Указанный пересчет основан на использовании функциональной за-
висимости между истинной относительной скоростью %=V/a* сжимаемого
потока и величиной фиктивной безразмерной скорости A=VJa* в соответствен-
ных точках заданного и фиктивного профилей (табл. 7.2.1). При этом рассмат-
рив
[ЫЙ.
л
X
л
л
0
0
0,40
0,3862
0,675
0,6080
0,875
0,7223
0,05
0,0500
0,45
0,4307
0,700
0,6251
0,900
^0,7324
0,10
0,0998
0,50
0,4734
0,725
0,6413
0,925
0,7413
0,15
0,1493
0,55
0,5144
0,750
0,6568
0,950
0,7483
0,20
0,1983
0,25
0,2467
0,60
0,5535
0,775
0,6717
0,975
0,7546
Та б
0,30
0,2943
0,625
0,5722
0,800
0,6857
1
0,7577
0,825
0,6988
ца 7.2.1
0,35
0,3410
,650
,5904
0,850
0,7110
Как показал С. А. Христнанович, е случае вытянутых профилей разницей а
формах заданного и фиктивного профилей можно пренебречь. В этом случае
метод С. А. Христиановнча дает возможность достаточно просто пересчитать
параметры обтекания на профиле (давление, скорость) на любое число М„>0,
тоги же профиля при обтекании его потоком с малой скоростью, когда
влияние сжимаемости отсутствует (МЛя=0), Кроме того, этот метод позволяет
пересчитать параметры обтекания с одного числа М„|>0 на другое Мо.2>0-
Метод С. А. Христнановнча пригоден при условии, что всюду на профиле
ковая. Это условие выполняется, если число Мака набегаю-
орост

зго потока меньше критического значения М„вр. Поэтому, прежде
м производить расчет, надо найти это критическое значение и определить числа
„ОИсскр, для которых возможен расчет. Найти критическое числи П„ир
тяо также па методу С. А. Христиановнча.
Пересчет коэффициента давления несжимаемой жидкости
на число М„>0
П)Сть известно распределение коэффициента давления по профилю при об-
«ании его несжимаемым потоком, т. е. известен вид функции pHC = Ли= (*)
¦иг 7 2 21 Проесчет этой функции на новое число М«цр>М~>0 ведется в еле-
>ис. 7.2.2. Характер распределения
.двои стороне профиля лрн разл!
ннях М„
ю заданному числу М«>] определяется относительная скорость:
1з табл. 7.2 1 находим фиктивную скорость Л„ несжимаемого потока, соот-
¦етствующую величине ?.„. и для выбранного значения рвс определяем пи урав-
нению Еернулли
рнс=1-(Л/ЛО0J G 2.2)
четную фиктивную скорость:
¦^'^V'-Ac- G.2 2')
Из той же табл. 7.2.! находим, зная Л, местную истинную скорость ежir-
(аемого потока 1. а по формуле C.6.26), в которой следует принять V2/V^„йх =
¦=[(* — l)/(* + l)]lf, вычисляем давление р. Коэффициент давления опрело
яем по формуле ^¦=2(р/^я)- 1)/(АМ^). Вид кривой р=р(х). переечнтэн-
¦°й на заданное число М„, показан на рис. 7.2.2 штрихами.

Пересчет коэффициента давления с одного числа
М„1 > 0 на другое М-,5> О
Предположим, что известно распределение коэффициента давления сжимае-
(ой жидкости pi=>pi(x) при некотором числе М»|(М„ир>М-1>0). Для рэс-
,ета этого распределения на новое число М„,>0 следует вначале вычислить по
эормуле G.2.1) соответствующие числам М^, и Мя2 относительные скорости
габл. 7.2.1 относительные скорости фиктивного не-
Зада!
> дал*
[ КОЗффИ!
1 давлени
G.2.3)
Из табл. 7.2.1 i
мого потока и
эффициенг дав;
Определение по этому значению раа коэффициента дав
ведется так же, как при пересчете коэффициента давл
ка на число М»>0, порядок которого изложен ранее.
р о с т ь, которой
щего потока
Определение критического числа М
С. А. Христнановича местная звуковая с к о-
етствует критическое число "
,, возникает в том месте профиля,
м
0,9
V
».S
\
ч
N.
-
-—»
ч уставе
случае обтека-
никает самое
С. А. Хрнстна-
-15 ^^
. 7.2.3. Кривая С. А. Хри
найти соответствующ
сжинаемого потока
-1—(Л/Л„)! можно
Распил, соответствующим этому наибольшему
разрежению, и числом М»нр
Таким образом, чтобы иайти критическое
число Маха, необходимо каким-либо путем, на-
пример продувкой в малоскоростной аэроди-
намической трубе, определить величину наи-
большего разрежения рисичп. Если в резуль-
тате продувки найдено распределение давле-
ния с учетом сжимаемости для М.кР>М->0-
то определить величину рястш можно обрат-
ным пересчетом наибольшего разрежения
Рчсшщ на число М«=О.
Предположим, что величина наибольшего
разрежения рЯГШ1П известна. Так как в месте
возникновения звуковой скорости относитель-
ная скорость А=1, то по табл. 7.2.1 можно
чнне значение местной скорости фиктивного не-
относительную скорость фиктивного набегающего
1 -7»сга1п = 0,7577/уГ1 -ГЖМа, G.2.5)

но табл 7.2.1 и значению Л„ определит
гока ?.»нр. Соответствующее критическое
График зависимости критического числа Маха от рвс mm, построенный по
результатам указанного расчета, приведен нэ рис. 7.2 3.
При увеличении толщины профиля число т„кр уменьшается, это объясняет-
ся тем, что такое увеличение приводит к большему поджатию струйки жидкости
и увеличению местной скорости потока. Следовательно, звуковая скорость на
утолщенном профиле будет достигнута при меньшей скорости набегающего по-
тока, т. е при пониженном значении М„ = М.нр. Этот вывод непосредственно
следует нэ рис. 7.2.3, в соответствия с которым уменьшенному коэффициенту
оно mm прн повышенной местной скорости соответствуют и меньшие величины
М-кР. Прн увеличении угла атаки число М..Р уменьшается, что также объяс-
няется большим поджатием струек жидкости и связанным с этим увеличением
местной дозвуковой скорости.
Аэродинамические коэффициенты
Исследования С. А. Хрнстиановнча позволили получить более точные соот-
ношения для коэффициентов подъемной силы и момента, чем зависимости
G.1.14), найденные на основе формулы Прандтлн —Глауэрта для коэффициента
давления. Эти соотношения имеют следующий вид:
Сжимаемость изменяет положение центра давления профиля (координата
этого центра яПд отсчитывается от передней кромки вдоль хорды). Из G.2.7)
следует, что в сжимаемом потоке коэффициент центра давления
си., = (<:„. Д,с?. G.2.8)
где ец.ч = -*ц,л/*= —/Пг/су; (ец.д)ис= — mIea/cy и?.
Из G.2.8) следует, что центр давлении в сжимаемом потоке по сравнению
с несжимаемой средой смещается к задней кромке. Это объясняется увеличением
аэродинамической нагрузки на хвостовые участки профиля при повышенных
¦скоростях обтекания н. как следствие, возникновением дополнительного стабили-
зирующее) эффекта
§ 7.3. ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА ПОТОКОМ
СО СВЕРХКРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТЬЮ [М„>Мщвр|
Дозвуковое обтеьэние профиля ьрыла может быть охарактеризовано
лвумя случаями.
В Перэом случае местная скорость потока на поверхности нигде не превы-
шает скорости звука. Это случай чист о дозвукового обтекания Из-
скачки уплотнения, а подъемная сила и сопротивление будут определяться с
учетом сжимаемости в в общем случае зависят от сил нормального давления и
трения. Такое сопротивленце, аключающее в себя сопротивление от нормального
напряжения (давления) и сопротивление трения, называется профильным.
Во втором случае, называемом с в ер х к р ит и ческ и м обтеканием,
чрв котором число М набегающего потока больше критического, т. е. М<.>М™кр,
"ко™-** СКОРОСТЬ в нек°т°рых точках в окрестности профиля становится больше
261

При этом обтекание профиля характеризуется тем, что позади него, как и перед
передней кромкой, местная скорость меньше скорости звука. Поэтому при перс-
ходе в окрестности крыла от сверхзвуковых скоростей к дозвуковым" возникают
местные скачки уплотнения (рис. 7.3.1). Такие скачки, напоминающие по форме
букву J, (Л-образные скачки уплотнения), состоит как бы из двух скачков- перед-
него криволинейного (косого) скачка D8 и заднего почти прямого СВ (рис.
7.3.1, б).
Местные скачки уплотнения, которые могут возникать как на верхней, так
и на нижней сторонах профиля, существенно изменяют распределение давления
н и я Xt. Таким образом, полное сопротивление профиля X будет складываться
на профильного Хвр и волнового Х„ т. е. Х=Хвр + X, нли с«=с1ПР + с„.
где с, —суммарный коэффициент сопротивления профиля; с1Пр и с,. —коэффи-
циенты соответственно профильного и волнового сопротивлений.
.1. Обтекание профиля дозвуковые
критической скоростью,
'ткзя схвмэ обтеквнии прк н&лнчнн ms ..
кя; б — распределение давления па профилю a
Рассмотрим простой ыe^
проф. Г. Ф. Бураго и излом
стороне профиля образовала
скачком уплотнения ВС, 6т
струйку, проход!
предло
д расчета волнового сопротнвлен]
юный в книге [1]. Предположим,
ь местная сверхзвуковая зона, котора)
ким к прямому (рис. 7.3.1, й). Вы дел
г скачок. Параметры газа в струйке непосредет
1чком будут V,, pi, pi. Mi, а после скачка V-t. pi, pj, Ms. Прове
дем на достаточно большом удалении от профиля слева и справа две контроль
ные поверхности /—/, //—// и обозначим параметры газа вдоль левой плоска
сти через У1М, pi», pi», a вдоль правой—через Vj», p2=», pi*.
Применяя теорему, в соответствии с которой изменение количества движе
ния массы газа при протекании через контрольные поверхности равно импульс
избыточной енлы. действующей на левую и правую поверхности, н силы Хн вол
нового сопротивления, с которой профиль действует на поток, получим
( у . г у . \ (в — п Id
где dmlal, dm2a3 — секундные расходы газа ндоль струйки:
горые по условию п
расхода равны, т.

Примем, как это сделал проф. Г. ф. Бураго, что за крылом на большом уд
нии происходит выравнивание скоростей, т. е. V2a=~*V,^. В соответствии с э
и согласно G.3.2)
Можно предположить, что для струек, не пересекающих скачок уплотнения,
/J2»=/>i«, т. е. давление на большом удалении от профиля позади него восста-
«к, которые проходят через скачок, р2„<р1цв. Действительно, так как
Рая?Ры = Ро/Рв — Ч < 1- {7.3.5)
С учетом G.3.5) формулу G.3.3) можно преобразовать, принимая также во
внимание уравнение расхода (>inVlaidylv, = p1Vlds, в соответствии с которым
dyia,=dy=(piV:lpla,Via>)ds, где s —длина скачка уплотнения, В результате пре-
¦**?—A-*а)Л. G.3.6')
ражеини G.3.7) величина vo@) = l. так как при Mi=l(n=O) скачок вырож-
я а волну бесконечно малой Интенсивности н давление рч'=Ра
1о.пьзуясь D.3.20), D3.13) и D3.15), можно также показать, что
/d40\ I dvQ \ &хо\ ; d2V() \
! G.8.7')
263
Имея
итак и,
черты!
В ВИДУ, Ч
разность
л членом,
М
Дл;
1 —
I мал
[ем
IX профил
а и в раз

Как показывают исследования, с известным приближен»
что для данного профиля величина М, — 1 пропорцноналы
— Млир. Обозначая соответствующий коэффициент пропорцис
Л1 / Дур \ i nV, ^
{7.3.8)
1
+
. 1
!
-
/
Рис. 7.3.2. Сопротивлеш
в околозвуковом режиме
ением его можно принять постоянным.
Продувки в аэродинамических тру-
бах современных профилен, установ-
ленных .под небольшими углами ата-
ки, показали, что коэффициент .-1 = 11.
При этом значении удовлетворитель-
ные результаты расчетов по форму-
ле G.3.9) получаются, если разность
М<* — М«вР не превышает 0.15.
Из формулы G.3.9) следует, что
коэффициент волнового сопротивле-
ния возрастает пй мере увеличения
М». Это вызвано тем, что при увели-
чении скорости полета возникающие
на профиле скачки становятся все бо-
Для ¦
i чтобы при
vэeличeниe числ з /Л *а что достигается в основном vm
филя. Аналогичный эффект может иметь место при ум<
На рис. 7.3.2 показана экспериментальная кривая, з
каиня. Для значения М„<0.45ч-0,5 имеет место лишь
ние. Большие значения М„(М„>0.5-Н1.55) соответс
neo6xoj
!ьшенне
ьшенин
рактери
нимо обеспе
м толщины ]
угла атаки.
[эующая нзм
г М.,
5 7.4. ТОНКАЯ ПЛАСТИНКА В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗ*
С ПОСТОЯННЫМИ ТЕПЛОЕМКОСТЯЙИ
Рассмотрим простейший профиль крыла в виде бесконечно тон-
кой пластинки, установленной в сверхзвуковом потоке под углом"
атаки а. Схема обтекания такой пластинки показана на рис. 7.4.1.
У ее передней кромки сверхзвуковой поток разделяется на две ча-
сти—верхнюю (над пластинкой) и нижнюю (под нею), не влия-
ющие друг на друга. Поэтому сверхзвуковое обтекание каждой
стороны можно исследовать независимо.
Рассмотрим верхнюю сторону пластинки. Течение на этой сторо-
не представляет собой плоский сверхзвуковой поток, обтекающий
поверхность, которая образует с направлением невозмущенного те-

чения тупой угол, больший 180°, Такой поток, схема которого по-
казана на рис. 7.4.2, где плоскость ОС соответствует верхней сторо-
не пластинки, впервые был исследован Л. Прандтлем и Т. Майером
и носит название течения Прандтля — Майера.
В соответствии со схемой течения на рис. 7.4.2, а поток, парал-
лельный плоскости ОВ, при обтекании угла О постепенно повора-
Рис. 7.4.1. Схема сверхзвуков or
/ — веер разрежения; 2 — а
чнвается, претерпевая расширение, и принимает новое направление,
параллельное плоскости ОС. Угол $ос наклона этой плоскости к
вектору Гее соответствует углу атаки а пластинки на рнс. 7.4.1. Воз-
Рнс. 7.4.2. Схема обтекаш
мущенный участок течения с расширением ограничен с левой сто-
роны линией Маха OD, наклоненной к вектору скорости набегаю-
щего потока 7»под углом n»=arcsin A/М„), где М„--число Ma-

ха невозмущенного течения. Процесс расширения заканчивается на
линии Маха ОЕ, наклоненной к вектору возмущенной скорости
Voc под углом (ioc = arcsin A/Мос), определяемым по числу Маха
возмущенного течения вдоль плоскости ОС. Изменение направления
потока между линиями Маха OD и ОЕ можно представить как по-
следовательную совокупность отклонений линий тока на малые
углы Др. Каждому такому отклонению, указывающему на появле-
ние дополнительного возмущения, соответствует выходящая из точ-
ки О прямая линия Маха.
Таким образом, участок поворота будет заполнен бесконечным
множеством линий Маха, образующих «веер» линий возмущения,
который характеризует центрированную волну разре-
жения. Эта центрированная волна, называемая иногда веером
разрежения Прандтля — Майера, определяется прямы-
ми линиями Маха, вдоль каждой из которых параметры течения
постоянны, и поэтому относится к разряду простых волн разреже-
ния.
Задача о возмущенном движении газа около тупого угла, кото-
рая связана с образованием центрированной волны разрежения,
может быть решена по методу характеристик. Точке F пересечения
линии тока плоскопараллельиого набегающего потока (угол накло-
на линии тока в этой точке р = 0) с характеристикой OD в физиче-
ской плоскости соответствует точка F' на эпициклоиде-характери-
стике в плоскости годографа того же семейства. Для конкретности
каждую из этих характеристик можно отнести, например, к харак-
теристикам первого семейства. Уравнение для характеристики это-
го семейства в плоскости годографа будет <р = ш + р1. Так как, по
условию, р = 0, то постоянная pi = — ^„(M»), где угол ю« находится
из E.3.31) по известному числу М«. Следовательно, уравнение для
характеристики будет р = га—ш™, откуда
«>=? + »». G.4.1)
Задаваясь наклоном линии тока на малом участке р —Др. можно
подсчитать соответствующий угол ю^Ар + ш,» и найги число М на
соседней линии Маха, наклоненной к новому направлению линии
тока под углом (i = arcsin A/M). Число Маха на плоскости ОС с
углом наклона р=рос = а, т. е. на верхней стороне пластинки, оп-
ределяется по углу
Найденное значение местного числа Мое позволяет определить угол
Маха цос^агевш A/Мос). Графическое решение задачи о течении
Прандтля —Майера показано на рис. 7.4.2, б. Координата точки G'
пересечения эпициклоиды с прямой О'С, параллельной плоскости
ОС, определяет относительную скорость кос возмущенного потока
около плоскости ОС. В физической плоскости точке Gf соответству-
ет точка G пересечения линии тока с характеристикой ОЕ.

По известному числу Мое (кос) можно, применяя формулу
C.6.30), определить давление на верхней стороне пластинки:
и соответствующую величину коэффициента давления:
При гиперзвуковых скоростях {М«,>1) расчет течения Прандт-
ля— Майера упрощается, так как для определения функции ш
можно пользоваться формулой E.3.41), что позволяет непосредст-
венно определять местное число М. Заменяя в G.4.2) углы шос и
а» их значениями в соответствии с E.3.41), получим
G.4.4)
Соответствующее давление можно определить по формуле
C.6.39).
Рассмотрим течение Прандтля — Майера, возникающее при ги-
перэвуковых скоростях в случае малых углов отклонения потока
рос = а. Прн очень больших числах М» пучок линий Маха, выходя-
щих из точки О, будет очень узким. С достаточно хорошим прибли-
жением можно считать, что пучок сжат в одну линию, на которой
поток сразу поворачивает, исп'ытывая расширение. Эту линию, сле-
довательно, можно условно рассматривать как «скачок разреже-
ния», за которым скорости (числа Маха) возрастают^ давления
снижаются. Угол ji'oc наклона этой линии к вектору F» получает-
ся, если воспользоваться аналогией со скачком уплотнения и вести
расчет этого угла по формуле D.6.9) при условии, что угол рс =
= рос = а в этой формуле отрицателен. Полагая 6с = и'ос, найдем
*'ос _ 1 . -¦/ 1 , 1
I Рос I 2A - ¦¦) V 4A-8J К2 '
где |рос|=|а| — абсолютное значение угла поворота потока (угла
атаки), а величина К*= (М^росJ. Применяя формулу D.6.11') для
вычисления коэффициента давления с учетом знака угла рос = а,
получим
¦_^ = _^ = _:L__j/_LT_L-ir. G.4,б)
При небольших числах М» и малых углах рос = а около откло-
ненной поверхности возникает маловозмущенное течение Прандт-
ля— Майера. Для такого течпния действительно соотношение для
скорости звука. Если теперь найти из G.1.2) формулу для местного

и внести в эту формулу значение а2 из G.1.2'), то
G.4.7)
В соответствии с этим выражением в первом прнблчжении можно
принять, что в маловозмущенном потоке М^кМ™ и, следовательно,
уравнение для характеристик в физической плоскости будет dyjdx=
= tg (p + fLc). Так как угол отклонения потока >р мал и p«Cfioo, то
dyjdx-ж ±tg [Ая,. Следовательно, характеристики представляют со-
бой линии Маха, наклоненные к оси х под углами ±|i«>. Для тече-
ния Прзндтля —Майера имеем семейство характеристик в виде
параллельных прямых, наклоненных к горизонтальной оси под уг-
лом и™ (см. рис. 7.4.2, в).
Уравнения для характеристик в плоскости годографа сверхзву-
кового потока получим из E.3.21) и E.3.22) в конечных разностях:
дК/К ^ tgp. Др=О. G.4.8)
Для маловозмущенного потока можно принять
Следовательно,
e/K
«=±p/]
G,4.8')
Подставляя значение для и из G.4.8') в F.1.5), получим коэффи-
циент давления
р= + WKmL-1. G.4.9)
Так как рассматривается течение разрежения, для которого р<
<0, и учитывается, что угол р находится по абсолютной величине,
то в формуле G.4.9) следует выбрать знак минус.
В соответствии с этим на верхней стороне пластинки, наклонен-
ной под малым углом атаки р = а, коэффициент давления
р~в^р0Ся= _2а/к ML— 1- G.4.10)
Рассмотрим нижнюю сторону пластинки. Обтекаяие этой сто-
роны (см. рис. 7,4.1) сопровождается образованием скачка уплот-
нения ОЕ, выходящего из точки передней кромки, и, следовательно,
сжатием потока. Для определения угла 6сое наклона скачка уплот-
нения следует воспользоваться формулой D.3.25), в которой надо
принять М|=М„, рс = а. По найденному значению 0сое находится
из D.3.19) или D.3.19') число Маха М2=М0Сн на нижней стороне.

При определении характера течения в области за точкой С зад-
ней кромки можно исходить из следующих соображений. На верх-
ней стороне пластинки Мосв перед скачком CD больше, чем число
М™ перед скачком ОЕ, возникающим на передней кромке снизу.
Если предположить, что за точкой С поток не отклоняется от на-
правления невозмущенного течения (линия тока CF параллельна
вектору V»), то, очевидно, потери в верхнем скачке будут больше
и поэтому Mcfb<Mcfb- При этом давление сверху от линии CF
окажется больше, чем снизу от нее.
В газовом потоке не может сохраниться разрыв давления на
граничной поверхности, хотя скорости могут оставаться разными.
Поэтому в реальных условиях направление линии тока CF отлича-
ется от направления невозмущенной скорости, т. е. за пластинкой
образуется скос потока. Из физических представлений должно
быть ясно, что линия CF отклоняется в сторону нижней области.
При этом обеспечивается поворот потока за скачком OD на мень-
ший угол, что и приводит к снижению давления.
Исследования показывают, что угол скоса мал, поэтому с до-
статочно хорошим приближением можно исходить из предположе-
ния, что в точке С направление течения совпадает с направлением
невозмущенного потока. В соответствии с этим угол скачка 6ccd на
верхней стороне определяется по формуле D.3.25), в которой при-
нимается Mi = Mocb, Рв = «. Соответствующее число Маха аа скач-
ком M2 = Mcfb определяется из D.3.19) или D.3.19') по значениям
6c=6ccd, Mi = Mocb и ро=а.
Ниже линии CF в области за задней кромкой возникает течение
Прандтля—Майера с числом Маха Мель определяемым при помо-
щи формулы шсув=ь>осн+а.
Давление рв=росв на верхней стороне пластины определяется
по формуле G,4.3), а на нижней стороне соответствующее давле-
ние рв=Росв рассчитывается по соотношению D.3.15), в котором
принимается Р2=ри, Pi=p«, Эо^Осое, причем рв<.р*><Рш.
Если длина пластины L, а ширина ее принята за единицу, то
сила от нормального давления, приложенная к пластине, F—LX
Х(рн—Рв). Следовательно, подъемная сила Y=F cos a, a сопротив-
ление X = F sin а. Соответствующее значение коэффициента подъ-
емной силы cy=Y/(qBBL), а коэффициента сопротивления сх =
= Xj{qrBL). Вводя коэффициенты давления на верхней рв=(Рв—
—р»)/G» и на нижней ра= (Рн—/>»)/?« сторонах, получим для аэро-
динамических коэффициентов:
Су = (рк — pB\cosa, сх = (рп — ра) sin a. G.4.11)
Сила X, возникающая при сверхзвуковом обтекании пластинки
и вызванная образованием ударных волн и простых волн возмуще-
ния, называется волновым сопротивлением, а соответст-
вующая величина сх — коэффициентом волнового со-
противления. Это сопротивление не равно нулю даже в слу-
чае идеальной (невязкой) среды.
269

Аэродинамическое качество пластинки K=cy}cx—ctg а является,
как видно, функцией только угла атаки. Ввиду равномерного рас-
пределения давления по поверхности пластинки центр давления
расположен на ее середине. Следовательно, момент сил давления
относительно передней кромки Мг= —FLJ2, а соответствующий ко-
эффициент момента
m,= MJ(qU2) = -(Л-А)/2. G.4.12)
При гиперзвукэвых скоростях коэффициент давления на верх-
ней стороне пластинки приближенно определяется по G.4.6), а на
нижней стороне — по D.6.12). С учетом этого и полагая в D.6.12)
^с — а, получим для разности коэффициентов давлений (р„—ръ),
называемой также коэффициентом перепада давле-
н и й, выражение
Р«~Р» =4 л Г \ [__!_ . G.4.13)
tt2 у 4{1- вJ^ К2 1 '
Следовательно,
G415)
Формулы G,4.13)-т-G.4.16) выражают закон гиперзвукового
подобия применительно к обтеканию тонкой пластинки. Содержание
этого закона состоит в том, что независимо от величин М„ и а, но
при одинаковых значениях К=М»а, соответствующие величины
р/а2, Су/а2, Сд./а3 и mt/a? для пластинок будут одними и теми же.
Параметр К=М„а называется критерием гиперзвукового подобия.
Из формул G.4.13) -=- G.4.16) следует, что соотношения для
коэффициентов давления, подъемной силы и момента представляют
собой квадратичные, а для коэффициента сопротивления —
кубическую зависимости от угла атаки а. В предельном случае
при К-*-°°
(Л—Л)/«2=св/аа = с,/а8=2/A-8); G.4.17)
mjai=~ 1/A-В). G.4.18)
Для пластинки, расположенной в маловозмущенном (линеари-
зованном) потоке, коэффициенты давления рассчитываются по фор-
муле G.4.9), в которой следует принять р=а. Знак минус в этой
формуле определяет коэффициент давления на верхней стороне, а
знак плюс — на нижней. В соответствии с этим разность коэффи-
циентов давлений, отнесенная к углу атаки.

G.4.19)
1роизводя подстановку в формулы G.4.11) и G.4.J2). получим:
l — Т; G.4.20)
G.4.21)
тг/а= —
G.4.22)
3 данном случае критерием подобия является число М™. При со-
.ранении его значения н независимо от величины угла атаки будут
¦динаковыми для пластинок соответствующие значения р/а, cvja,
v/a2 и mzja. Если рассмотреть случай маловозмущенного течения
ши очень больших числах М»>1, то формулы, аналогичные
7.4.19)-т-G.4.22), можно представить в виде
(A.-A.)/a2=<Va2-cr/as=4/K; G.4.23)
тг/ог=-2/К. [7.4.24)
""аким образом, критерий гиперзвукового подобия К=Мсоа дейст-
;ителен и для маловозмущенного (линеаризованного) течения с
юльшйми числами Маха. Очевидно, что существовать такое тече-
1ие может лишь при весьма малых углах атаки.
S 7.S. СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ОКОЛО ПРОФИЛЯ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
герк
Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком заостренного профиля про-
извольной формы (рис. 7.5.1). Верхний контур профиля задан уравнением
b=ft{x), нижний — уравнением уя=!в(х). Предположим, что угол атаки боль-
ле угла р"о«, образованного касательной к контуру профиля на верхней стороне
. точке О передней кромки. Следовательно, в этой точке возникает течение
Ьанлтля — МаЙеоа. Поток проходит через веер разрежения, выходящий
'ис. 7.5.1. Сверхзву]

из топни О, как из источника возмущений, и принимает направление касательной
к контуру в этой точке. При движения газа за точкой О вдоль контура происхо-
дит дальнейшее расширение потока. Следовательно, течение около профиля
нии Ирандтля^Майера. Так как в точках контура поворот происходит
из бе<"кгжечно малый угол, то вместо веера линий разрежении из них будут вы-
ходить отдельные лиини Маха (рис. 7.5.1).
Скорость в точке О находится при помощи формулы G.4.2). которую напн-
 = *«+а-Ро... G.5.1)
где pOi,=arctg (dy,/dxH. Из табл. 5.3:1 ло значению шо определяем соответст-
вующее число Мо.
В соседней точке С, расположенной на малом расстоянии от носка, скорость
газа вычисляется, как для течении П ранд тля — Манера, при помощи формулы
«с = «»+«-Рс- G.5.3)
Таким образом, в соответствии с G.5.3) для любой произвольной точки N
где угол $K=aTCtg (dyu/dx)N вычисляется с учетом знака. Дли передней части
контура знаки углов будут положительными, для задней —отрицательными.
Причем, как к в случае обтекания плоской пластинки, что поток за точ-
кой В приблизительно сохраняет направление невозмущениого течения. Поэтому
в точке В происходит поворот потока, движущегося около контура со скоро-
стью, соответствующей числу Мвв. н возникает скачок BE, выходящий из точ-
ки В. Угол Исав наклона скачка и параметры за ним рассчитываются при по-
мощи соответствующих формул теории скачка уплотнения по известным значе-
ниям угла атаки а, числа МЯв и угла заострения контура в точке В на
верхней стороне. Параметры на верхней стороне профиля (давление, скорость
н др.) определяются по известному значению местного числа Маха при помощи
соотношений для иээитропнческого течения газа.
Если угол атаки равен углу ро>. то имеем предельный случай течения
Прандтлн—Манера в точке О, при котором число Маха в ней МОв=М„. Фор.
мулу G.5.4) можно переписать в виде
¦ Рас ,ет обтекания нижней стороны профиля (рис. 7.5.2) начинается с опре-
деления параметров газа в точке О — непосредственно за скачком уплотнения.
Для этой цели прн помощи формулы D.3.25) вычисляется по значениям М|=Мо0
и P(;«=ix+Pob угол наклона скачка 0со. Число МОн=Мг в точке О находится
из D.3 19) или D.3.19'). Можно принять, что это число будет сохраняться по-
стоянные в весьма малой окрестности около точки О на участке контура в
виде элемента прямой OD. Этому участку соответствует прямолинейный эле-
мент 0J косого скачка. Его длина определяется как расстояние от точки О до
точки J. которая лежит на пересечении скачка с характеристикой первого се-
мейства выходящей из точки D
Течение за прямолинейным скачком будет безвихревым, поэтому часть
контурл за точкой D обтекаечся иээнтропнческнм потоком. Для определения
скорости такого потока а точке F воспользуемся уравнением G.4.1), из которого
найдем u)f=(i)d—(pD—рр), где wd —значение угла ы, рассчитанное по формуле
E 3.31) для величины М на участке контура OD. Значения углов Рп и Рр опре-
Рс и pV отрицательные).

Течение около участка контура DF можно рассматривать как течение
таидтля — Майера, поэтому из точки F, как из источника возмущения, выйдет
„ния возмущения F— 1—3. Она пересечет продолжение прямолинейного скачка
. точке 3 и искривит его, в результате чего действительное направление скачка
,\лет определяться точкой 3' пересечения скачка и характеристики.
Ниже по потоку искривление скачка будет обусловливаться взаимодействием
ним характеристик, исходящих из точек G, Я, К и т. д. Вследствие искрнвле-
ия скачка возникнет вихревое течение, для расчета которого скедует
.[жменнть соотношения на характеристиках для нензэнтропического плоского
,итока. Границей этого вихревого течения является характеристика второго
имейства /Я, которая постепенно строится в виде ломаной линии по известным
чачениям числа М и углов р" вдоль прямолинейных характеристик второго св-
ойства, выходящих из точек контура F, G н др. В точке г/ контура, лежащей
ановременно на характеристике /Я. скорость находится из выражения о>я =
-.id— Fd—6н). В точке К, соседней с Я, параметры рассчитываются по урав-
1ис. 7.5.2. Сверхзвуковое обтекание нижней стороны про-
фвля с образованием скачка уплотнения:
~ прямолинейный участок контура обтекаемого тела; // — крвво-
.ннеиныи участок контура обтекаемого тела; III — криволинейный
честок скачка уплотнения; Л'—прямолинейный участок скачка
уплотнения
для характеристик, учитывающих вихревой характер течения за скачком
1ия. При этом для определения скорости в этой точке достаточно знать
. и ее направление (угол Р) в точке 7, расположенной вблизи точки К
енте характеристики второго семейства 7 — К. Чтобы определить эту
., необходимо рассчитать искривление скачка за точкой / на участке
найти параметры на скачке в точке 3'. Для этого имеются следующие
ры M2=Mj, pe-p'/ на скачке в точке /. Применяя формулу E.446) и
" =0. подучим для изменения угла Р вдоль характеристики 1—3
E 4.39) для значений соответствующих
пределяются из E.3.31) по числам М

жит на пересечении прямолинейного скач
льно, ее координаты находятся в резуль
сиачк
>» Р,-Р,-Д!
а будет uv -
G-
- v
Pi
А<
5.
7)
а - Vi = (х3 - *0 tg (ft
рдет искривление скачка Новый
ке / — 3' определим по углу отклонения пот
числу М3', вычисленному при помощи выраж
находится из E.4.38):
Следовательно, уравнение элемента /— 3' 3 ,
= (¦tз'~"-tJ)te(flc^з'~a)¦ Вследствие отклонения потока в точке 5' изменит
свое направление характеристика на участке /—3'. Уравнение характеристики
на этом участке будет иметь вид у3, — #, = (л:3,— -ti)tg(p3, +^,)- Решая
совместно эти два уравнения, найдем координаты х3,, у3, точки 3'.
Рассмотрим точку 5, лежащую на пересечении элементов характеристик
2—5 первого и 3'—5 второго семейства. Координаты этой точки ys а хя опреде-
лим из решения уравнений для элементов соответствующих характеристик.
Изменение направления потока при nepexoj
ыента характеристики 2—5 определим из
($v - Si) c
Значения с2 и V определяются по E.4.15). В точке 5 число М ва\одится из
E.4.23) по Др2. Аналогично по известным значениям параметров газа н точке 5
и точке Я, лежащей на стенке, определяется скорость в точке 6, расположенной,
на пересечении элементов характеристик Я — 6 первого семейства и 5—6 второго
семейства. При этом координаты хн> Ун точки И находятся в результате реше-
ния уравнений контура ун=1и(Хя) и элемента характеристики 2-Я ун—yi^
= (ЛН— хг) tg (Рг — ji,)
Выберем теперь на элементе характеристики Я —б произвольную точку 7
с координатами х7, у7. Параметры в этой точке определим интерполяцией. На-
пример, угол р7=рб— (Ре—Рн) F—7IF—Я). Аналогично можно найти число
М7 и соответствующий угол Маха ц7. Точка 7 выбирается таким образом, чтобы
элемент характеристики 7— К, проведенный из этой точки под углом рт — |л7. пе-
ресек контур в точке К, расположенной на малом расстояние от точки И. Коор-
Ук — У7=(хк — х7) tg (?7 — М-?) Д-1я элемента характеристики 7—К и уравнения
Ук=1н(фк) контура. Так как поток в точке К вихревой, то расчет скорости в
ней надо вести при помощи уравнения E.4 27). Полагая в нем е=0, полупим i
Л»,- -iJj-^U-.— /,. G.5.10)

,е ДиO ?: р Р
щределяется из E.4.28)
,„ формуле E.4.29):
^
ол p*=arcig (dyH/dx)K. Параметр t7
и Рт, а градиент энтропии вычисляется
(х — л
Sx в точке К находится в результате расчета ее ве
венно за скачком уплотнения, а энтропня S7 в то*
хией между ее значениями в точках пив.
гичио, путем последовательного решения каждой и;
мотренных в § 5.4, определяется поле скоростей в области
гикой DJ, контуром и криволинейным скачком 3—3-—4'. "
¦энтропи
|епосрсд
нтерпо.-
:жду характери-
виде л
я облас
я формулу C6,28), в которой соответствую;
. 7.5.3. Сверхзвуковое изэнтрот
криволинейного заостренного пр.
контур обтекаемого тела; 2 — характернс
не в точках на контуре находится по соответствующим числам Маха и давле-
into торможения ро=Ро\ вычисленному по D.3.22) для угла flco и числа М„.
Расчет течения на нижней стороне профиля упрощается в том случае, когда
арактеристика второго семейства, проведенная из точки J, не пересекает
о н т у р. и, следовательно, это течение можно рассматривать изэнтропи-
ескнм (рнс. 7 5 3). Для расчета числа Маха в произвольной точке контура L
онченим >равнение E.3.40).
-i = -o-<PD-Pi)- G.6.11)
п передней части контура он будет отрицательным, у задней кромки —положи-
ельным; \гол Ро будет отрицательным. Форма скачка определяется углами его
аклонг Gc в точках 3' и 4', расположенных на пересечении прямолинейных
ачактеристик, которые проведены из точек F, С Угол 0е скачка в точке 3' на-
«чится приближенно по Рз" = Р*- н М«, из формулы D 3.25). Аналогично вычис-
Был рассмотрен расчет обтекания при таких углах атаки а^ров, кО]да на
кохией стороне всюду имеет место течение расширения. Если это условие не
ыподняется (а<роя), то обтекание верхнего контура происходит со сжатием
ювер.-шести.
275

Гиперзвукоме обтекание тонкого профиля
Если тонкий заостренный профиль (см. рис. 7.5.!) обтекается
гиперзвуковым потоком при таких малых углах атаки, что на его"
верхней и нижней поверхностях во всех точках местные числа Маха
значительно превышают единицу и, кроме того, сохраняются усло-
вия изэнтропического течения около нижнего контура (рис. 7.5.3),:
то для расчета возмущенной скорости можно применить упрощен-
ные соотношения для характеристик.
Если угол атаки а5*ров, то для определения числа W в произ-
вольной точке IV на верхнем контуре следует применить в соответ-
ствии с G.4.4) формулу
JW= f-J ^ (о-мГ1- G-5-12)
L я» г J
Так как на верхнем контуре всюду имеет место течение рас-
ширен и я, то число М^>М«.
Обтекание нижней поверхности сопровождается образованием
скачка уплотнения и, следовательно, сжатием газа. Коэффи-
циент давления в точке О непосредстьенно за скачком вычисляется
при помощи формулы D.6.12) следующим образом:
где К=М«(а—Рон)> а угол род берется со знаком минус. Из фор-
мулы j5H=28eo(a—Роя) можно вычислить угол наклона скачка 8со.
а затем по значению Кс = М<*>9со найти число Маха в точке О, ис-
пользуя формулу D.6.16):
G.5.14)
За точкой О течение будет происходить с расширением, поэтому для
определения скорости в произвольной точке L можно применить
зависимость
M'=["SV+^r1(?°.,-A)P G.5.15);
Приближенный расчет гилерзвукового обтекания тонкого про-
филя можно вести с использованием метода местных п л а-ь
с т н но к. По этому методу течение в произвольной точке контура
рассчитывается по соответствующим формулам для плоской пла-
стинки в предположении, что пластинка находится в потоке с числом
Ма, под углом атаки, равным углу между вектором Г« и касатель-
ной к контуру в рассматриваемой точке. Таким образом, для неко-
торой точки N на верхней стороне коэффициент давления в соответгС

ивиис G.4.6)
/
"" =-! l/ ! +J-, G.5.16>
где К.у=1И„(а-?„).
Для произвольной точки L на нижней стороне с учетом G.5.13)
В формуле G.5.16) угол р« имеет знак плюс на переднем участ-
ке контура и минус у задней кромки, а в формуле G.5.17) угол pL.
имеет знак минус у передней кромки и плюс — у задней.
В пределе при К-*-«>
pN=Q\ G.5.18)'
^=-2@-^/A-»). G.5.1»>
При нулевом угле атаки формулы G.5.16), G.5.17) и G.5.19) при-
нимают следующий вид:
Ji=2$/A—8). G.5.19')
В формулах G.5-16'), G.5.17') значения К*=Л1„?*, К?*Л1«Л.
Тонкий профиль в маловозмущенном поток»
В этом случе предполагается обтекание тонкого профиля при?
малых углах атаки, которое обладает той особенностью, что скач-
ки уплотнения конечной интенсивности отсутствуют, а характери-
стики на верхней и нижней сторонах являются прямыми лини-
ями с углом наклона t10D=arcsin(l/ftloo).
Для определения коэффициента давления на профнле применим
уравнение G.4.9). Согласно этому уравнению для произвольной
точки N на верхней стороне профиля
~рн= — 2(а —р*)/Км- — 1, G.5.20)
я для некоторой точки L на нижней стороне
pl = 2(a — ^JVML-1. G.5.20'}
277

Для нулевого угла атаки
^ = 2%\VmL-\, ,?=-23JKmL_1. G.5.20")
Возрастание малых углог атаки обусловливает увеличение по-
грешности при расчетах давления на тонком профиле, обтекаемом
маловоэмущеииым потоком. Повышения точности этих расчетов
можно добиться, используя аэродинамическую теорию
второго приближения. Согласно этой теории, коэффициент
давления
р'=±с1Ъ-\-с?2, G.5.21)
где
с1 = 2{1Л1-\Гщ, c2=0,5(ML-ir2[('W«-2)s + <ftMU G.5.22)
Знак плюс в G.5.21) относится к нижней стороне пластинки
(pLl в=а — hh a минус — к верхней (ря\ Ъ=а — У).
Аэродинамические сипы и их коэффициенты
Для определения аэродинамических сил давления воспользуем-
ся формулами A.3.2) и A.3.3), отнеся их к связанным осям х, у
(см. рис. 7.5.1) и приняв в них С/х = 0. При этом условии формула
i 1.3.2) определит для профиля продольную силу R, а A,3,3) —
нормальную силу Wot давления:
Принимая в качестве характерной площади величину Sn=6 • 1 и
учитывая, что dS=dl-\ (Ъ — хорда профиля, dl — элемент дуги
контура), получим для аэродинамических коэффициентов:
•сд =RRq»Sn)=§pco${rue)dl, cN=N/iq^SJ = - j>~pcos[ny)ill,
ratdl=dl/b, а интегралы являются криволинейными и вычисляются
по контуру профиля (при этом положительным обычно принимает-
ся обход контура против часовой стрелки).
Произведем замену:
где dx=dxjb. Переходя далее от криволинейных интегралов к обыч-^
ным, получим
••—{Ч-^фш^ G-523)
о о
CN=[(p,-p.)itx, G.5.24)

де рп к рв — коэффициенты давления соответственно на нижней
1 верхней сторонах профиля.
Применяя формулу для пересчета [см. формулу A.2.3) и табл.
.2.1], получим аэродинамические коэффициенты в поточных коор-
шнатах (рис. 7.5.4):
cJ = c#cosa-\-c!V sina, cv=cN cos a — cR sin a, G.5.25>
/W
У
в
¦^
1
-
0
"•пс. 7.5.4. Аэродинамические силы дл
фофиля в связанной и поточной снсте
мах координат
Рис. 7.5.5. Схема определения
мента сил для профиля
J случае лётных углов атаки, не превышающих значений а» 10-г-
— 12°, можно написать:
^=«я+«««. «,«»». G.5.25')
Для коэффициента момента сил давления относительно передней
:ромки профиля (рис. 7.5.5) получим по аналогии с A.3.6) фор-
!УЛу
G.5.26>
Де ~У„=У„1Ь\ ya=yjb.
Коэффициент центра давления будем определять лри условии,.
<то точка приложения равнодействующей аэродинамических сил

расположена на хорде профиля. Если ее координата хчд, то
\
6
Г1 G.5.27')
N Г г -w-
\ (Pw — P«)«
6
G.5.27)
Для тонких профилей вторым интегралом в правой части
^7.5.26) и в числителе G.5.27) можно пренебречь. Согласно этому,
mz= ~\{~Pa~~P*)xdx\ G.5.26')
6
i _ __ __ _ г i _ __
с«.д= f [pB — ~p,)xdx \\{P*— Л1
Сравнивая первый и второй члены в правой части G.5.26), не-
трудно оценить порядок малости отбрасываемых величин, опреде-
ляемый значением [{ydx)dyldxsszi? (где д=д/6—относительная
о
толщина профиля).
Используя зависимость G.5.21), получим коэффициент продоль-
ной силы G.5.23), соответствующий аэродинамической теории вто-
рого приближения:
cR=clK1-\-2c2K2a, G.5.28)
где
1 1
Kl=U^l-\-^l)dx, К2=[(Й—?l)dx, G.5.29)
о о
Коэффициент нормальной силы в соответствии с G,5.24)
cN = 2cia^-c2K2. G.5.30)
Согласно полученным результатам коэффициенты лобового со-
противления и подъемной силы:
ъ. G.5.31)
В частном случае симметричного профиля рр={?=[ЗЯ=((^/аГлJ
и, следовательно, Ki = 2 \^dx; АГ2^0. В соответствии с этим
о
cJt==2ela2-{-2ct Г fdx, С(,=2с,п. G.5.31')
о

Из этих двух соотношений находим
сх=^-+2сЛ&п. G.5.32)
Уравнение G.5.32) определяет завнснмость между коэффициента-
ми сопротивления и подъемной силы —так называемую поляру
профиля.
Коэффициент продольного момента относительно передней кром-
ки найдем в результате подстановки G.5.21) в G.5.26'):
3'^cl)a, [7.5.33)
ljG*H-fU^-*; G.5.34)
6 6
в, = |(р*-Й)л*? G.5.35)
Для симметричного профиля рв=—8н=р, поэтому Aj = B2=0;
Аг=2 (fixcfjc. В соответствии с этим
A \
4с2 Spcdx— c^ \а
G.5.33')
Коэффициент центра давления согласно G.5.27')
Сц#л= — . G.5.36)
Для симметричного профиля
G.5.36')
В случае линеаризованного обтекания (малые сверхзвуковые скоро-
сти) в написанных соотношениях следует принять коэффициент
с2=0.
При гиперзвуковых скоростях движения тонкого профиля
для расчета коэффициентов давления в G.5.23), G.5.24), G.5.26')
и G.5.27') можно пользоваться формулами G.4.6) и D 6.12). Ко-
эффициент давления на нижней стороне в соответствии с D.6.12)
G.5.37)

-а на верхней стороне значение этого коэффициента согласно G.4.6)
В качестве примера найдем зависимости для аэродинамических
коэффициентов клиновидного профиля (рис. 7.5.6). Так как для
лижнего контура (dy!dx)H=ig рн, а для верхнего (dyjdx)B = tg pB,
то, принимая во внимание, что коэффициенты давления ра и рв яв-
ляются постоянными, получим из G.5.23) и G.5.24):
Cr=— tt,tgP>+fttgP.; G.5.39)
cN=pu — pB. G.5.40)
При этом в формуле G.5.39) угол рн следует рассматривать огри-
дательным.
Коэффициент момента найдем из G.5.26):
а коэффициент центра давления согласно G.5.27)
G-5.41)
G.5.42)
В случае симметричного профиля
cr=— (Рв—
G.5.43)
Рис. 7.5.6. Клиновидный профиль
Для нулевого угла атаки значения
cr и Cn определяют соответствен-
но коэффициенты лобового сопро-
тивления Cx=Cr и подъемной си-
лы Ch = CN.
В приведенных соотношениях
коэффициент давления р» опреде-
ляется по точным зависимостям,
полученным в теории косого скач-
ка уплотнения. По этой же теории
находится и коэффициент давления рв для а<рв. В случае а>рв
нахождение рв связано с расчетом течения Прандтля — Майера на
верхней стороне профиля.
Полученные зависимости от аэродинамических коэффициентов
профиля относятся' к произвольным значениям углов заострения
(Рн. Рв) и атаки. Если эти значения невелики, то для расчета ко-
эффициентов можно использовать теорию второго приближения.
Согласно этой теории, в формулах G.5.31) для сх и с„ необходимо
принять Kl = g + g, /Г,= ?-&

При вычислении коэффициентов момента G.5.33) и G.5.36) сле-
дует исходить из того, что
Л = 0,5(?„+?„), A,= 0,5CH--lJ,S2=0,5$-$.
Для симметричного профиля
где угол р выбирается отрицательным по знаку (для нижней сто-
роны).
Использование коэффициентов G.5.37), G.5.38) позволяет оп-
ределить аэродинамические коэффициенты G.5.39)-т-G.5.43), соот-
ветствующие гиперзвуковым скоростям движения тонкого профиля
под малым углом атаки.
{ 7.6. СКОЛЬЗЯЩЕЕ (СТРЕЛОВИДНОЕ] КРЫЛО
БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА
Прямоугольное крыло бесконечного размаха, передняя кромка
которого не перпендикулярна направлению скорости набегающего
потока, называется скользящим (или_с треловидным) кры-
лом, а угол между вектором скорости Г„ и его нормальной к пе-
редней кромке составляющей Упя — углом скольжения
(стреловидности) к (рис. 7.6.1). Такая передняя кромка на-
зывается также скользящей (или стреловидной).

Рассмотрим некоторые особенности обтекания скользящих
крыльев. Поток около таких крыльев можно разделить на два те-
чения: продольное (вдоль размаха крыла), характеризующееся
скоростью VtflO= VcSin*, параллельной передней кромке, и попе-
речное, зависящее от величины нормальной к этой кромке со-
ставляющей СКОрОСТН Упэо= VspCOS К.
Распределение скоростей и давлений по крылу не зависит от
.продольного течения, а обусловлено лишь поперечным обтеканием
•со скоростью Vna== V« cosx. Характер этого обтекания, а следо-
вательно, и распределение давления изменяются в зависимости от
¦формы профиля в сечении крыла плоскостью, нормальной к перед-
ней кромке, и угла атаки, измеряемого в этой плоскости. В соот-
ветствии с этим аэродинамические характеристики профиля будут
такими же, как профиля, принадлежащего прямому (нестреловид-
яому) крылу, обтекаемому со скоростью набегающего потока Vnx
под указанным углом атаки.
Отсюда следует также вывод, согласно которому аэродинамиче-
ские характеристики скользящего крыла можно определить, если
известны соответствующие их значения для прямого крыла. При
определении таких характеристик скользящее крыло рассматрива-
ется как прямое, повернутое на угол скольжения -л. В этом случае,
очевидно, у скользящего крыла в нормальном сечении профиль та-
кой же, как у прямого.
Профиль и угол атаки в плоскости, нормальной к передней кром-
ке, отличаются от профиля и угла атаки в сечении по потоку (см.
рис. 7.6.1). Хорда в нормальном сечении Ъп и хорда Ь вдоль потока
связаны соотношением Ьп = Ьсо$к.
Угол атаки ап в нормальном сечении определяется из выражения
' sin an=A/&n = A/(&cos*)=sina/cosx, G.6.1)
где a — угол атаки в плоскости потока. Очевидно, при малых углах
атаки
an=a/cos*. G.6.Г)
Если в некоторой точке на профиле крыла при прямом обтека-
нии (без скольжения) со скоростью V» коэффициент давления _ра-
вен р, то при повороте крыла на угол х коэффициент давления рЕ в
соответствующей точке будет таким же, т. е.
2 [Рд _ p^flpnVt cos2 х) = 2 (р — paJApooViU
В соответствии с этим на профиле скользящего крыла коэффициент
давления, вычисленный по скоростному напору ?Oo=0,5pool/L,
р*=2(ря-рво)/(рру1,) = р'ы&*. G.6.2I
С учетом G.6.2) н в соответствии с G.5.23), G.5.24) и G.5.26) аэро-
динамические коэффициенты профиля тонкого стреловидного
крыла:
СЯ*~ CR cosZ %> CN%= cv* — cu cos2 *• mz*= №z cos'2 *•

Очевидно, в соответствии с G.5.25')
Сх% = (CR T" CyO.) COS2 * = СХ COS2 к.
Так как сила лобового сопротивления определяется не в направле-
нии составляющей скорости V«>cosk, а в направлении скорости на-
бегающего потока V», то коэффициент этого сопротивления
сХ1=с'Л1 cos x = c_e cos3 х. G.6.4)
Бее эти коэффициенты определяются для скоростного напора <?„=
= 0,5 pooV2«>. Из формул G.6.3) для Cnx и Шщ следует, что коэффи-
циент центра давления Сц.д= —Шщ/суц, соответствующий малым уг-
лам атаки, не зависит от угла скольжения, т. е. сц.д= ~~mzl'cv.
Сжимаемый поток. Согласно линеаризованной теории, коэффи-
циент давления на профиле скользящего крыла в дозвуковом
сжимаемом потоке можно получить из соответствующего
коэффициента для того же крыла в несжимаемой жидкости по
формуле Прандтля — Глауэрта G.1.14), заменив в ней число 1ЛШ
на М™ cos к:
или с учетом G.6.2)
\ -N& cos2 х, G.6.5)
^г = ржс^%1У\— JV&cos2*. G.6.5')
Соответствующие аэродинамические коэффициенты получаются из
G.5,23), G.5.24), G.5.26) и находятся при помощи формул G.6.3),
G.6.4), правые части которых будут содержать в знаменателе вели-
чину V 1—M^cos2*. В частности, коэффициенты подъемной си-
лы и продольного момента:
G.6.6)
Из этих соотношений следует, что для тонких профилей коэффици-
ент центра давления сця= —т^/Суя не зависит ни от угла стрело-
видности, ни от сжимаемости (числа №„).
Применение скользящего крыла вызывает такой эффект обтека-
ния, который имел бы место при снижении скорости набегающего
потока от значения У» до V» cos к (или числа Маха от М™ до
М„ cos x). При этом, естественно, уменьшаются и местные скорости
га профиле скользящего крыла, что в свою очередь приводит к сни-
жению разрежения н, как следствие, к увеличению критического
числа Маха. Это число Маха может быть определено по извест-
ному его значению М„кр для прямого крыла, имеющего ту же
форму и угол атаки, что и профиль скользящего крыла в нормаль-

ном сечении:
Сверхзвуковые скорости. Предположим, что при сверхзвукоьок
скорости набегающего потока (У»>а», Mc^-l) угол стреловидно-
сти удовлетворяет неравенству х>л/2—ц„, в соответствии с кото-
рым cosx<sin{j30 и, следовательно, Vnco<aM= V^siti Цс, т. е. нор-
мальная к передней кромке составляющая будет дозвуковой. Таким
образом, обтекание сечений стреловидного крыла по своему харак-
теру будет дозвуковым. В рассматриваемом случае стреловидная
кромка называется дозвуковой (рис. 7.6.2, а).
При увеличенных скоростях обтекания нормальная составляю-
щая скорости может стать больше звуковой (Vn<»>aee = V» sin ц„),
так что при этом x<n/2—ji» и cos x>sin ц». В этом случае обтека-
Рис. 7.6.2. Скользящее крыло с дозвуковой (д) и сверхзву-
ковой (б) передними кромками
ние профилей стреловидного крыла будет сверхзвуковым. В соот-
ветствии с этим передняя кромка такого крыла будет называться
сверхзвуковой (рис. 7.6.2, б).
Рассмотрим расчет сверхзвукового обтекания стреловидного-
крыла в каждом из этих случаев.
Передняя кромка сверхзвуковая. Обтекание крыла можно рас-
считывать по формулам, полученным для тонкой пластинки неогра-
ниченного размаха при условии, что скорость набегающего потока
l'n~= V№ cos к>я«, а соответствующее число Mni,, = Mcv. cos. x> 1.
Угол атаки пластинки а„ связан с заданным углом атаки а стрело-
видного крыла соотношением G.6.1) или при малых углах атаки
G.6.1').
Используя формулу G.4.9) и заменяя в ней р нз an=n/cos--'. »
Mm на Mnm = Мя, cos x, получим зависимость для коэффициента дав-
ления в плоскости, перпендикулярной передней кромке:
р= ± 2a/(cosx VnJLcos?x-\ ).
Б этой формуле коэффициент давления р отнесен к скоростному
напору qn — 0,5 креМ?л«>- Чтобы получить значение коэффициента

давления, отнесенное к скоростному напору набегающего потока
</ж = 0,5 крюМРао, следует воспользоваться формулой G.6.2), в соот-
ветствии с которой
~pi= ± 2a cos *lV ML cos2 * — 1. G.6.8)
[i G.6.8) знак плюс определяет коэффициент давления на нижней
стороне крыла, а знак минус — на верхней стороне.
В соответствии с формулами G.4.20)-=-G.4.22) (с заменой в них
а на ап и М™ на M«,cosx), а также с учетом соотношений G.6.3),
G.6.4) найдем зависимость для аэродинамических коэффициентов
(.треловидного крыла:
G.6.9)
mZI = - 2а„ cos
Анализируя эти соотношения, можно установить особенность стре-
ловидных крыльев, заключающуюся в том, что по сравнению с пря-
мыми (и=0) их коэффициенты подъемной силы и сопротивления, а
также коэффициент продольного момента (по абсолютной величи-
не) меньше при одинаковых углах атаки ап по нормали к передней
кромке, Физически это объясняется тем, что при обтекания стрело-
шщного крыла реализуется не полный скоростной напор ^и =
-=0,5 pasVoA а только его часть qn=qa> cos2 и и само обтекание в на-
правлении набегающего потока происходит под меньшим углом ата-
ки, чем при отсутствии скольжения (а<а„, где an=a/cosx).
В «чистом» виде стреловидные крылья бесконечного размаха в
лётной практике, естественно, не встречаются. Однако полученные
результаты дают представление об общих свойствах таких крыльев.
При этом, как будет показано в гл. VIII, выводы, относящиеся к
крыльям бесконечного размаха со скольжением, могут быть исполь-
зованы для расчета обтекания отдельных участков стреловидных
крыльев конечного размаха, имеющих сверхзвуковые кромки.
Передняя кромка дозвуковая. В этом случае обтекание сечений,
(.оответствующес движению прямого крыла с числом Мпсо<1, дол-
жно исследоваться при помощи дозвуковой пли околозвуковой (сме-
шанной) теории обтекания профиля. Сопротивление и подъемная
сила будут определяться законами дозвуковых течений, характери-
зующимися взаимодействием потоков на верхней ч нижней сторо-
нах крыла, которое проявляется в перетекании газа из области вы-
сокого давления в зону их пониженных значений. При этом волно-
вые потери могут возникать только при сверхкритическом обтека-
нии (МЯ00>Л1ОО1,р), когда на поверхности появляются скачки уплот-
нения. Если M4«.<Moo,fp, то скачки уплотнения и, следовательно,
волновое сопротивление отсутствуют. Этот вывод относится, есте-
287

ственно, к крылу бесконечного размаха. У крыльев конечного раз-
маха волновые потери всегда имеют место, так как на обтекание его
боковых кромок оказывает влияние составляющая скорости
V'oo sin и, в результате чего проявляются сверхзвуковые свойства
течения и возникает волновое сопротивление. Для исследования та-
кого сопротивления следует применять трехмерную теорию сверх-
звукового обтекания.
Подсасывающая сила. Как было установлено в § 6.3, на перед-
ней кромке профиля, обтекаемого несжимаемой жидкостью, возни-
кает подсасывающая сила. Такой же эффект имеет место и в случае
обтекания профиля дозвуковым потоком сжимаемого газа. При
этом на величину подсасывающей силы будет оказывать влияние
_ стреловидный характер
~ передней кромки крыла.
Для вычисления этой
силы применим выраже-
ние F.3.25), которое мо-
жет быть при помощи со-
ответствующих преобра-
зований распространено
на более обшнй случай
обтекания профиля, при-
надлежащего крылу со
стреловидной передней
кромкой (рис. 7.6.3). Рас-
смотрим это преобразова-
ние. В невязком потоке
составляющая скорости
набегающего потока —
касательная к передней
кромке скользящего кры-
Рис. 7.6.3. Подсасывающая сила скользящего Ла — не изменяет ПОЛЯ
крыла возмущенных скоростей,
и оно остается таким, как
для прямого крыла, обтекаемого потоком со скоростью Vn^ —
= yoocosx. Остаются также без изменения и силы, действующие
на крыло.
По этой причине на элемент крыла dza с прямой кромкой (в ко-
ординатах х0, za) будет действовать подсасывающая сила
dTa= лрсо^го, G.6.10)
где в соответствии с F.3.28')
Из рис. 7.6.3 следует, что
dTa=dT/cosit, dzo=dzfcos¦*, «0=a/cosx; x0 — x ^q~(x — A'.jJ,) cos x
Подставляя этн значения в G.6.10), получим

lim [
G.6.11)
G.6.12)
Выражения G.6.11) и G.6.12) можно обобщить на случай сжи-
маемых потоков. Для этой цели обратимся к § 8.2 я воспользуемся
зависимостями (8.2.4), связывающими между собой геометрические
характеристики крыльев, обтекаемых сжимаемым и несжимаемым
потоками. Из этих зависимостей следует, что все линейные размеры
в направлении оси х для крыла в сжимаемом потоке в у\—М7«,
меньше, чем соответствующие размеры для крыла в несжимаемом
потоке, в то время как толщина крыла и поперечные размеры (в на-
правлении оси г) не меняются. В соответствии с этим
Из условий, что х=х
IC, найдем
G.6.13)
1-Ml. G.6.14]
Поэтому коэффициент давления в сжимаемом потоке будет опре-
деляться по формуле Прандтля — Глауэрта:
~P=~pJV 1-Ml. G.6.15)
Подсасывающая сила Т по своей физической природе является
силой, обусловленной действием нормального иапряженяя (давле-
ния), и определяется при малых углах атаки из условия TxaY.
Соответствующий коэффициент подсасывающей силы схТ —
=-T/m(qmSKp) =acu. Так как размеры крыла в направлении оси у не
изменяются в сжимаемом и несжимаемом потоках, то углы атаки
для обоих потоков также останутся неизменными, т. е. а=анс- Сле-
довательно,
или в соответствии с G.1.14)
G.6.16)
Принимая во внимание полученные соотношении, можно напи-
сать для профиля скользяшего крыла:
10-707 - 289

Но так как dz—dZa^, то
dTfdz=dTac/dzM. G.6.17)
Правая часть равенства G.6.17), соответствующая несжимаемому
потоку, определяется по формулам G.6,11) и G.6.12):
4= lira [<4<*„-л:«
Производя замену в соответствии с зависимостями G 6.17), G.6.13)
и G.6.14), получим
Следовательно,
f 1 — fflB
Ига \u?(x-x,,J].
G.6.18)
G.6.19)

крыло в сверхзвуковом потоке
I В.1. ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО
ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
Линеаризация уравнения для потенциальной функции
Рассмотрим тонкое слабоизогнутое крыло произвольной формы
в плане, имеющее конечный размах и расположенное в сверхзвуко-
вом потоке под малым углом атаки. Возмущения, вносимые таким
крылом в поток, будут малы, и для исследования обтекания можно
применить линеаризованную теорию, подобно тому, как это дела-
лось при изучении маловозмущенного течения около тонкого профи-
ля (см. § 6.2). Условия такого течения были заданы для скоростей
в виде F.1.1). Если рассматривается линеаризованный трехмерный
газовый поток, то эти условия должны быть дополнены заданием
для составляющей скорости по оси z. В соответствии с этим для ли-
неаризованного трехмерного возмущенного течения будут действи-
тельны соотношения:
где и, v, w~ составляющие скорости возмущений соответственно
по осям х, у, z. В соответствии со свойством линеаризованого те-
чения
Эти условия позволяют линеаризовать уравнения движения и не-
разрывности и тем самым упростить решение задачи об обтекании
тонкого крыла незязким установившимся потоком. В общем виде
уравнения движения такого потока получаются из системы C.1.17),
в которой принято (*==0, dVJdt=dVu!dt=dVJdt=O:
Vx~
by
dy
v t
dz
13.1.3)

Уравнение неразрывности примем в виде B.4.4). Раскрыв част-
ные производные, получим
г I w±+Wjl+.^)+v, ^-+V,-H-+v;^- =0. (8.1.41
\ дх vy oz / ох ду t дг
Как было показано в § 5.1, уравнения неразрывности и движе-
ния можно объединить в одно уравнение, связывающее между со-
бой составляющие скорости. Осуществив преобразования, аналогич-
ные тем, которые были произведены в § 5.1, получим это уравнение
д следующем виде:
(8.1.5)
Принимая во внимание зависимости B.3.2) для потенциальной
функции, а также условие равенства перекрестных частных произ-
водных \дгу1дхду=дгч1дудх и т. д.), получим из (8.1.5) уравнение
для потенциала скоростей:
=0- (8л-6)
Уравнения (8.1.5) и (8.1.6) являются основными диффе-
ренциальными уравнениями газовой динамики
для трехмерных установившихся газовых тече-
ний. Первое из них относится к более общему случаю вихрево-
го (непотенциального) движения газа, а второе использу-
ется для исследования только безвихревых (потенци-
альных) течений.
Так как обтекание тонких крыльев, установленных под малым
углом атаки, является потенциальным, то для исследования этого
обтекания можно применять уравнение (8.1.6) для потенциала ско-
ростей. Чтобы провести линеаризацию уравнения (8.1.6), являюще-
гося нелинейным дифференциальным уравнением, внесем в него вы-
ражение G.1.2') для скорости звука, а также значения
y V ^ ^ l l
Проанализировав полученное уравнение с точки зрения определе-
ния порядка величин входящих в него членов аналогично тому, как
это было сделано в § 7.1 при рассмотрении маловозмущенного пло-
ского газового потока, получим линеаризованное уравнение для по-
тенциала скоростей трехмерного возмущенного течения в следую-

(Л\2 — n y г r =0 <8 17)
Граничные условна
Исследование обтекания тонкого крыла конечного размаха сводится к реше-
нию линеаризованного уравнения (8.1.7) в частных производных второго порядка
для потенциала скоростей ф' при заданных граничных условиях. Рассмотрим
эти граничные условия.
1. Крыло, расположенное в линеаризованном потоке (рис. 8.1.1). вызывает
возмущения, сконцентрированные внутри волновой зоны Эта зона ограничена
поверхностью, которая представляет собой огибающую конусов Маха с верши-
нами в точках, расположенных на передней кромке, н с углом при вершние
1.1. Тонкое крыло в линеаризованном потоке
(loo-arcsin A/М«). Граничное условие, которому должно удовлетворять решение
уравнения (8.1.7) для функции <р', записывается в виде
, = 0.
г (обозн
(8.1.8)
им эту по-
В соответствии с этим условием на волновой noi
верхность 2) или вне ее скорости возмушеиия равн
2. Решение для добавочного потенциала <р' должно удовлетворять также
граничному условию безотрывного обтекания поверхности самого крыла S, в
соответствии с которым в каждой точке нормальная составляющая скорости
равна нулю, т. е.
(Л.)
-&-cos <п*) = 0. (8.1.9)
if' ду df' df df'
?дг ду ду dz bz
Направляющие )
формулам аналитиче
s (пх) = — А (д/ дх), cos (пу) — А;
cos(u)= -Aldfldz),
(8.1.10)
(8.1.11)

верхней, у-/.!*, г)—для нижней поверхности}. "
Линеаризованный (слабовозчущенный) характер течения реализуется прн
условии, что крыло тонкое и, следовательно, ДО*«1. дЦдг-&\. В соответствии
с этим cos (пх) - -дЦдх, cos(ny)-l. ens (ia) = —dfAfe. При обтекании тонкою
крыла выполняются также условия idy'/дх) idf/dx) ¦? 1 н (dy'/dz) (<Э//<Эг}« 1.
С учетом этого (8.1.9) можно записать в виде
откуда найдем граничное условие
д1'/ду>ш.уп(д//дх). (8.1.12)
3. Обтекание крыла может сопровождаться возникновением подъемной силы,
суммарная величина которой определяется интегрированием по поверхности зна-
чений подъемной силы для элементарной поверхности [участка крыла шириной
dz с длиной хорды Ь(г) (рис 8.1.1)]. В соответствии с F.1.8) коэффициент
подъемной силы для элементарной поверхности будет равен с учетом того, что
величина J y(x)dx равна циркуляции Г в рассматриваемом сечении г. зна-
о
чекию с11'=B/Уа,Ь)Г(г), откуда циркуляция в данном сечении
Г(*)-0,5в^ш*. (8.1.13)
Согласно уравнению (8.1.13), именуемому уравнением связи [см. F 4.8)],
при перемещении к соседнему сеченню с другим коэффициентом подъемной силы
изменится н циркуляция скорости. Это изменение
dT (z) = (dl/de) dz = 0,5К„ [d if'yb)ldz\ dz, (8.1.14)
В соответствии с вихревой моделью крыла, рассмотренной в § 6.4, внутри
присоединенный вихрь, принадлежащий только рассматриваемому се-
чению. Этот вихрь претерпевает поворот н сходит с задней кромки в виде пары
пелену (рис 8 1.1). Для тонкого крыла, обтекаемого под малым углом атаки,
можно принять ширину этой пелены равной размаху крыла, а направление сво-
бодных вихрей — совпадающим с направлением скорости набегающего потока.
Из физических представлений можно установить следующие граничные
условия на внхревой пелене Нормальная составляющая скорости частицы
vn~dif'/dn должна оставаться на ней непрерывной. Так как на вихревой пелене
ду'/дп равна величине dif'/dy. Следовательно, можно записать условие
(*p7«»iO,.+)> =-<"*'/«!»)„—о. (8.1.15)
в котором левая часть соответствует скорости V* непосредственно над
вихревой пеленой ({/& +0), а правая — под нею (у= —0). Таким
образом, условие (81.15) выражает непрерывность функции ду'/ду при переходе
через вихревую пелену.
),__о.
(8. J
выражающее одновременно непрерывность производной dy'jdx прн переколе че-
рез вихревую пелену.
Рассмотрим обтекание крыла с симметричным профилем ((/»=— Ун) под

пелена
щие ск
ST
Пр
Из (8.
отсутс-
орости
составл
едполо;
гвую
на ]
т. Вследств]
эерхней и и
яющаи v = 0, еле
«им
|еду<
верхней и нижней
как ра.
условж
мую кг
ссматри
это же
iK прод|
:мметри
далее, что
м поверхнос
:т, что верт]
сторонах к
вается достаточ!
уел
о рг
злж(
т*е. Wix, ~у, z;
1спрострашл
;ние вихрей,
; отноентель
\/ду=д<р'(х,
не
нж
до
нм
ти
рь
MO
о
ъ
р'
-+¦
симметрично!
го крыла вертикал!
:ней сторонах равны по абсолю
д^'/ду^О
еетсн крыло
ьные соста ел яго-
гной величине н
(8.1.17)
нулевой толщины тоА же формы в
y=f(x:z), обтекаемое под мал!
альные соста
1.ча в соответ
малый угол
на внхревую
этой плоско
вляющие скорости
гствующих точках
атакн, на который
скости у=0. Одно
: в плоскости у=0.
у, г)/ду. Следовательно, добавс
jm углом атаки.
одинаковы. Так
отклонено кры-
<време!шо такое
1, рассматривае-
Поэтому в точ-
еный потенциал
В соответствии с этим производная ду'/дх иа нижней стороне вихревой пелены
равна значению—-ду'/дх на верхней стороне. Однако иа условия непрерывности
давления было установлено равенство производных dy'jdx. Указанное равенство
может быть одновременно соблюдено только тогда, когда иа вихревой пелене
д</'/дх = О. (8.1.19)
4. Чтобы установить последнее граничное условие, рассмотрим возмущенные
области SB, Sx (рис. 8.1.1), представляющие собой части плоскости у=0, отсекае-
мые волновой поверхностью Маха и расположенные вне крыла и вихревой пеле-
ны. Над этими участками плоскости у=0 в пределах волновой зоны течение
непрерывное, поэтому потенциал qi' здесь является также непрерывной функцией.
Одновременно, учитывая, что согласно (8.1 18) функция ф' является нечетной,
следует принять для плоскости у=0 равенство
Ч' {х, 0, г) = 0. (8.1.20)
Составляющие суммарных значений потенциала скоростей
и аэродинамических коэффициентов
Рассмотренным граничным условиям должно удовлетворять
решение уравнения (8.1.7) для добавочного потенциала ф'. Это ре-
шение для крыла заданной формы в плане может быть получено
путем суммирования потенциала <р/, найденного для идеализиро-
ванного плоского крыла 1 (рис. 8.1.2) такой же формы в плане, как
и заданное, носсимметричным профилем и при угле ата-
ки а = 0, и потенциала фг', вычисленного для другого идеализиро-
ванного крыла 2 изогнутой формы с нулевой толщи-
ной, но при заданном угле атаки а.
Поверхность идеализированного крыла с симметричным профи-
лем можно задать уравнением
а крыла с нулевой толщиной— уравнением поверхности средних
линий профиля
0 = 0.5 (/.+ /„). E.1.22)

Таким образом, суммарный потенциал заданного крыла
<рг=у\-}-ф, (8.1.23)
В свою очередь, течение около крыла 2 при а=?^0 можно предста-
вить как поток около крыла 3 с нулевым углом атаки н
уравнением поверхности y=0,5tfB+M и наложенное на этот поток
дополнительное течение, которое образуется около крыла 4 в виде
пластинки нулевой толщины, совпадающей с хордой исходного
Рис. 8.1.2. Сх
о прн а«=0 с симметричным
— крыло при «Й( нулевой
линией); 3— крыло прн «=0
о средней линией); 4 — крыло
крыла а виде пласти
заданным распределением тол-
щиной (профиль крыла совпадает со
левой толщиной (профиль крыла соа-
Л*« с нулевой толщиной (профиль
соападает с хордой)
крыла, имеющего угол атаки о (рис. 8.1.2). В соответствии с такой
схемой течения суммарный потенциал для заданного крыла
tp'=tPi~f~tP3 + tf4- (8.I.24)
По этому значению потенциала скоростей можно вычислить рас-
пределение коэффициента давления:
jj=-. p: -f ръ -|- р4, (8.1-25}
а затем найти лобовое сопротивление и подъемную силу. Согласно
(8.1.24) н (8.1.25), суммарная сила сопротивления заданного крыла
слагается из сил, создаваемых крыльями /, 3 и 4, т. е
X = Xj -\-X3~\-X4. (8.1.^6)
Введя обозначение для суммы двух составляющих Х-$ a Xi ъ виде
Xi=Xs+Xt и переходя от сил к соответствующим аэродинамиче-
ским коэффициентам, напишем

с^см+са+с^=см-{-сх1. (8.1.27)
В соответствии с (8.1.27) коэффициент сопротивления крыла сх
складывается из коэффициента сопротивления сло симметричного
крыла при с„=0 и добавочного коэффициента сопротивления с,и
обусловленного подъемной силой и вычисляемого для крыла нуле-
вой толщины при с„=^=0. Коэффициент с*,- в свою очередь склады-
вается из коэффициента индуктивного волнового
сопротивления, вычисляемого для случая, когда влияние вих-
рей отсутствует, и дополнительного коэффициента индук-
тивного вихревого сопротивления, обусловленного
конечностью размаха и образованием в связи с этим за задней
кромкой крыла вихревой пелены.
По аналогии с выражением (8.1.26) для сопротивления напи-
шем в общем виде зависимость, определяющую суммарную вели-
чину подъемной силы крыла Y=Yj + Ya+Yi. Из рис. 8.1.2 видно, что
крыло /, имеющее симметричный профиль и обтекаемое под нуле-
вым углом атаки, не создает подъемной силы (У[ = 0). Следователь-
но, суммарная подъемная сила крыла
Y = Yt+YAt (8.1.28)
а соответствующий коэффициент этой силы
с,=си + с„. (8.1.29)
Таким образом, согласно приближенной линеаризованной тео-
рии обтекания толщина крыла не будет влиять на подъемную силу.
Крыло 3 создает постоянную подъемную силу, которая не зависит
от угла атаки и соответствует значению этой силы при нулевом
угле атаки и заданной вогнутости крыла. Подъемная сила, обуслов-
ленная углом атаки, создается крылом 4 и, следовательно, зависит
ст формы крыла в плане.
В нахождении распределения давления, результирующих сил и
соответствующих аэродинамических коэффициентов с учетом воз-
можного расчленения их на отдельные составляющие согласно
формулам (8.1.27), (8.1.29) состоит основная задача аэродинамики
крыльев конечного размаха, обтекаемых маловозмущенным сверх-
звуковым потоком.
Особенности сверхзвукового обтекания крыльев
При определении аэродинамических характеристик крыльев не-
обходимо учитывать особенности их сверхзвукового обтекания. Эти
особенности обусловлены специфическим свойством сверхзвуковых
течений, в которых возмущения рлспространяются только вниз по
потоку и а пределах конуса возмущений (конуса Маха) с углом при
вершине (i» = arcsin A/Мж).
Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком тонкого крыла
произвольной формы в плане (рис. 8.1.3). Точка О передней кром-

ки является источником возмущений, распространяющихся в пре-
делах конуса Маха вниз по потоку. При этом линии Маха OF и OG
могут располагаться как перед передними кромками (рис. 8.1.3, а),
так и за ними (рис. 8.1.3, б). Расположение линий Маха при задан-
ной форме крыла зависит от числа Мм. В первом случае число М»
меньше, чем во втором, и угол наклона линии возмущений (i«>
>я/2—и (к — угол стреловидности). Нормальная к передней кром-
ке составляющая скорости VnQO = Va, cos к. Так как cos x<sin ц» =
= I/Moo h Уи/а» = М«,, то, очевидно, нормальная составляющая У*»
меньше скорости звука. Движение газа в области передней кромки
стреловидного крыла для этого случая было рассмотрено в § 7.6.
Это движение соответствует дозвуковому обтеканию профиля,
для которого характерно взаимодействие между верхней и нижней
поверхностями, происходящее через переднюю кромку. Такая пе-
редняя кромка носит название дозвуковой (рис. 8.1.3, а).
При увеличении скорости обтекания, когда зона распростране-
ния возмущений сужается и линии Маха располагаются позади пе-
редних кромок, как это показано на рис. 8.1.3, б, нормальная со-
ставляющая скорости становится больше звуковой. На самом деле
из рис. 8.1.3. б видно, что угол наклона линии возмущений (im<;
<л/2—х, следовательно, sin ц„= i/M«,<cosx и поэтому Vnoo =
= Va, cos х>а«. Такая передняя кромка называется сверх-
звуковой. Обтекание сечений крыла в области передней кромки
носит сверхзвуковой характер, особенностью которого
является отсутствие взаимодействия между нижней и верхней по-
верхностями.
Если линия Маха совпадает с передней кромкой (и=я/2—ц»),
то такая кромка будет звуковой. Очевидно, в этом случае
нормальная к кромке составляющая скорости равна скорости звука.
Введем параметр стреловидности n=tgx/ctg u,«. Для сверхзву-
ковой передней кромки ctgn»>tgx, поэтому я<1. В случае дозву-
ковой и звуковой передних кромок имеем соответственно и>1 н

n=l, так как в первом случае ctg(i«.<tgK, а во втором случае
CigfU, = tgX.
По аналогии с передними кромками можно ввести понятие о
дозвуковых, звуковых и сверхзвуковых боковых и задних кромках
крыла. Боковая кромка CD с углом наклона ye K направлению ско-
рости невозмущенвого потока, меньшим угла наклона линии возму-
щений (рис. 8.1.3, а), называется дозвуковой. Составляющая
скорости, нормальная к боковой кромке и равная V«™= V<*> sin ye,
будет в данном случае меньше скорости звука. Действительно, так
как а»= V™ sin ц» и A»>-уб, то Уп<в<а«,. Очевидно, параметр стре-
ловидности я>1. Часть поверхности крыла с дозвуковой боковой
кромкой находится внутри области, ограниченной конусами возму-
щения, проведенными из точек излома контура Л и С. Вследствие
наличия дозвуковой нормальной составляющей скорости, опреде-
ляющей обтекание этой части крыла, будет наблюдаться перетека-
ние воздуха через боковые кромки и, как следствие, изменяться
распределение давления. Такого влияния концов крыла на обтека-
ние крыла в целом не наблюдается, если боковые кромки сверхзву-
ковые, что будет иметь место в случае \б>ц=о (рис. 8.1.3, б). В
этом случае нормальная составляющая Уяоо= V» sin ус больше ско-
рости звука ада = VK sin (i«.
Аналогичные рассуждения можно отнести к задней кромке кры-
ла. На рис. 8.1.3, а показана дозвуковая задняя кромка (\з<ц«;
V'n<e«), а на рис. 8.1.3, б — сверхзвуковая (уз>ц«: 1/п~>а«)-
Иэ приведенного анализа можно выявить качественное различие
сверхзвукового и дозвукового обтекания крыльев. Это различие
проявляется в неодинаковом влиянии боковых и задних кромок на
обтекание всей поверхности крыла. Если в сверхзвуковом потоке
боковые и задние кромки совсем не влияют на поток около крыла
(рис. 8.1.3, б) или это влияние ограничено частью поверхности,
примыкающей к этим кромкам (рис. 8.1.3, а), то в дозвуковом по-
токе влияние боковых и задних кромок сказывается на всей по-
верхности вследствие возможности распространения возмущений
как вниз, так и вверх по потоку.
5 8.1. МЕТОД ИСТОЧНИКОВ
_^ Для решения злдзчн об определении аэродинамических характеристик
(Р\, с*а) тонкого крыла произвольной формы в плане с симметричным профилем,
обтекаемого маловозмущенным сверхзвуковым потоком при нулевом угле атаки
(cv=0), воспользуемся методом источников
• Источники в несжимаемой жидкости были рассмотрены в § 2 9. Потенциал
а с источниками, непрерывно распределенными на некоторой части плоскости,—
обычно координатной плоскости хОг.

Пусть dqa с — элементарный объемный расход жидкости в единицу времен
даемый й ddldt
, рм мо щд BClne,K
и плоскости хОг. Тогда производная d<jBC/doBC = QBl!, называемая плотностью
(или интенсивностью) распределения источников, определит мощность источни-
ков, приходящихся на единицу площади.
Если ±v.— вертикальная составляющая скорости на площадке (знак плюс
означает, что жидкость выбрасывается из источников на площадке вверх, а зна.
ивнус — вниз), то, очевидно, элементарный объемный расход dqBC~2vdGxe и,
следовательно,
Q»c^2v. (8.2.2?
Элементарному источнику соответствует потенциал
лом потоке. Для этой цели рассмотрим
хш = х/У 1-л?, ук=ц, *н? = *. (8.2.4)
При помощи этих переменных уравнение (8.1.7) преобразуется к виду
совпадающему с уравнением неразрывности B.4.8') для несжимаемого потока.
Следовательно, задача о сжимаемом возмущенном течении в координатах х, у, г
может быть сведена к задаче о несжимаемом возмущенном течении в координа-
тах *нс, yas, гяс, причем обе системы координат связаны условиями (8.2.4).
В соответствии с этим можно перейти от потенциала (8.2.3) для несжимае-
мого элементарного источника к соответствующему потенциалу для сжимаемого
дозвукового источника. С этой целью найдем связь между малой площадкой
гичной плоскости в сжимаемом потоке. Используя (8.2.4) (с заменой хвс на j и
гяо на О и выражение *j.e-<*fiierfU«, находим Л* = *Wc(l / V~l - М*,). ;
откуда, учитывая, что d%dt,=da, определяем '.
Преобразуем далее выражение для Сс. входящее в (8.2 3). Состав
е=0ф7дг/яе или с учетом (8.2.4) vat^dy'/dy. Отсюда следует, что в
QHC = Q = 2wHC = 2f. (8.2.7) ¦
С учетом полученных соотношений (8.2.3) преобразуется к следующему виду
для сжимаемого потока: *
Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что функштя ф' являет- ¦
ся интегралом уравнения (8 2.5). При этом не имеет значения, будут ли скоро- .<
сти дозвуковыми (М„<!) или сверхзвуковыми (М„>1). В последнем случае
выражение для элементарного потенциала удобно записать в виде
n V #- a's{»> + **) j. (8.2.9) .

'2=M^—l.| Из выраж
ющ;
1И00 1
о область влияния источник™
юздействие этих нсточн1
I, представляемой уравнение!
|.1пжена вне этой поверхности
, р ур
э = о'2(у! + г*). Если
источники не будут оказ
тутствует.
Формально уравнение х* — ari(y2 + гЦ определяет поверхн
хных конусов (рис. 82.1) с вершинами в начале координат, и, с
чошнссть источника Qda идет на создание возмущенных течений
минусов. В реальном случае сверхзвуковые возмущения распростра*
зниэ по потоку и только внутри одного конуса (правый конус i
Возмущенное течение в т
вдвое величину (8.2 9), т
реализуется в потоке, заключенном
рго течения От сверхзву-
кового источника:
слева —«обратный конус возиущеннй»
конусе определяется потенциалом, превышав
нутри
энуса
мущен
. В с
(8.2.10)
лучае элементарн
начале координат.
ку с координатам
я площадка da=dgd? с источниками
сли она сдвинута по отношению к
x=?, z=l, то (8.2.10) запишется в вп
2я /(х - ?)Э - a
была
.ачалу
.2.11)
Tint
сточникоа в какой-либо точке А{х, у, z) (рис 8 2.2), необходимо пр
чть (8 2.11) по области О", в которой расположена лишь часть всточ)
асположена внутри конуса возмущения с вершиной в источнике. Т
эм, область влияния источников (область интегрирования) располага
пресечения с поверхностью крыла «обратного конуса воэмущеяия»,
?ршину в рассматриваемой точке А(х, у, г).
В более простом случае точка А » источник расположены, как э;
к. 8.2.2, н одной плоскости у=0. В этом случае зона влиянвя совп

ластью пересечения крыла и лнннй возмущения, исходящих нз точки М(х, г),
а область интегрнронанин а находится на крыле и представляет собой пересече-
ние крыла с «обратной плоской волной Маха» с вершиной в точке А(х, г).
Определив область интегрирования я, можно вычислить суммарный потен-
циал в точке А(х, у, г):
] /*/• rt/E M НЬЛг
- . (8.2.12)
Вычисляя частную производную от <р' (8.2.12) i
составляющую скорости:
-i а идем добавочную
fo' i_ гг QS^OJx.-jyj?^
'd(*,z,(H)
Рис. S.2.2. Область влияния сверхзвуковых источников
По этой величине определяется коэффициент давления в соответствующей i
Введем новые координаты:
координатах выражение (8.2.12) к
0(8. С
случае для т
K(*i-ее-»?-(*i-с.
крыла (уi=0) добавочны
(8.2.14)
(8.2.15)
1 ГГ QFr O^WC
ei)
(8.2.17)
Полученные выражения для потенциальной функции позволяют рассчита
спределенне скорости и давления по поверхности тонкого крыла, если задаь
} форма в плане, вид профиля н число М кабегающето потока.

$ 8.3. КРЫЛО С СИММЕТРИЧНЫМ ПРОФИЛЕМ
ТРЕУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ В ПЛАНЕ |а=0, си=0|
Консоль крыпа с дозвуковой передней кромкой
Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком под нулевым уг-
лом атаки консоли крыла с симметричным профилем, представля-
ющего собой треугольную поверхность, у которой одна из боковых
кромок направлена по оси х, а задняя кромка удалена на бесконеч-
ность (такая консоль называется также треугольным полукрылом
бесконечной длины, рис. 8.3.1). Если у такой поверхности перед-
н я я кромка дозвуковая, то линия Маха, выходящая из вер-
шины О, расположена впереди этой кромки.
Параметры обтекания при малых углах атаки а можно опреде-
лить, заменив обтекаемую поверхность системой распределенных
источников на плоскости #=0. Рассмотрим произвольную точку Р
на поверхности и вычислим потенциал скоростей в этой точке, сум-
мируя действие источников, расположенных в области ОАРВ, огра-
ниченной передней и боковой кромками О А и ОВ, а также линиями
Маха АР и ВР.
Интенсивность Q(|, ?) источников определяется по формуле
№.2.7), в которой по условию безотрывного обтекания v=XVa>, где
/. = dyfdx— угловой коэффициент поверхности крыла. Таким об-
разом,
Qfe, C)=2XK».
Потенциал скоростей в точке Р определяется по формуле
(8.2.12). Заменив в ней Q^XV» и приняв у=0, получим
. Vi'p-(V-''4'p-c.
18.3.1)

где хР, zp — координаты точки Р. Этот интеграл учитывает действие
на точку Р источников, расположенных на площади о, равной об-
ластп ОАРВ, которую можно представить в виде суммы двух участ-
ков ОАРН и И Ра. В соответствии с этим интеграл <р' (8.3.1) мож-
но записать в виде суммы двух интегралов:
] (8-3.2)
HPB
/(bC)^[(jeP-«2-o'2(«p-CI]~1/I. (8.3.3)
На участке ОАРН интегрирование по ? для каждого значения
? = Ei нужно проводить от | = sc=?tgx до i=|D=xl^—a' (Zp—?), a
интегрирование по ? — от 0 до zp. На участке ЯРВ интегрировать
по s, для которого значения ?=&, следует от |—If^tg» до |=
= 1е=^р—а'(?~-2р), а интегрирование по ? надо производить от гр
до 2В= (Jcp+a'Zp)/(a' + tg«). Таким образом,
>-a'<'p-« V *р-"'<(-«р> ]
f /ft, C)dE+ Л Г /№, Ц^
ctj, .Jp ci. J
(8.3.4)
Неопределенный интеграл .
^№.СЫЕ=Г— ** - = arch ^-c (8.3.5)
Используя это выражение и применяя главное значение интеграла,
получим следующую формулу для потенциальной функции:
где функция jzp—?[ берется по абсолютной величине.
Вычисляя частную прояяводную ду'(дх, найдем составляющую
дополнительной скорости в точке Р в направлении оси х:

Учитывая, что tgxixz', получим после интегрирования
+ 2 (<Л, - xp tg «)} - In [2 V (tg>«-<¦'')(..?-<Лр)+
Внося сюда значение гв= (*p+a'Zp)/(a'+tgx), получим после уп-
рощений
ПК. , ¦ «"(«р**-¦«ri
Подкоренное выражение в знаменателе можно привести к следую-
щему виду:
Следовательно,
Для \добства вычислений вве-
дем угол 8, определяемын из уело- 0
вид lg f} = Zp!xp, и угол заострения
передней кромки у = я/2—х (рис.
S.3.2). Кроме того, введем обозна-
чения
*-¦ учетом этого
( 8.3.8)
я {1 - в) ¦
(8.3.9) Р'1^р^то1ноГкоенсалГкрТылвДЛЯ

¦л коэффициент давления
v« яо'/яа-t "A-а)
Теперь рассмотрим точку .V, расположенную за пределами кры-
ла между линией Маха ОК' и осью х (см. рис. 8.3.1), и вычислим
в ней скорость, которую индуцируют источники, распределенные
по поверхности крыла. С этой целью используем формулу (8.3.1)
для определения потенциала скоростей. Учитывая, что действие ис-
точников на точку JV ограничено областью a=OLJ, получим выра-
жение
?'= if"ff/(E> №&> (8.3.11)
где функция /(?, t) определяется зависимостью (8.3.3). Интегриро-
вание по | для каждого значения ?=& нужно вести от |*=|д =
= ?tgx до 1=%т=Хн + а?(гн — $), а интегрирование по ? — от 0 до
Zj. Таким образом,
?'= ^jrfC j /(E, grf5. (8,3,12)
где 2j= (xN+a'zN)f(a'+tgк). Интегрируя и используя главное ана-
чение интеграла, получим
Это выражение аналогично (8.3.6) с той разницей, что в качестве
верхнего предела интеграла выбирается координата точки zj. Вы-
числяя производную dy'fdx и осуществляя интегрирование, получим
для составляющей дополнительной скорости зависимость (8.3.9),
в которой следует принять и<сО ввиду того, что координата Zx яв-
ляется величиной отрицательной. В расчетах можно принять коор-
динату z.\ величиной положительной и, следовательно, с>-0. Если
при этом взять абсолютные значения tg и, то для определения ин-
дуцированной скорости можно использовать уравнение (8.3.9), в
котором знак перед а следует изменить на обратный. Тогда расчет-
ная зависимость будет иметь следующий вид:
и= —— 1У" arch  + g . (8.3.13)
Соответствующий коэффициент давления в рассматриваемой обла-
сти
?-—?-= ^=^агсЬ-^-. (8.3.14)

Источники, распределенные по крылу, индуцируют также'ско-
¦ость в области, расположенной между линией Маха ОК и перед-
ай дозвуковой кромкой {рис. 8.3.3). Величина этой скорости в не-
которой точке L определяется источниками, распределенными на
частке OUG. Соответствующая потенциальная функция находится
ю выражению (8.3.12), в котором вместо г3 надо взять координа-
v zv, а величину Хп+a'(зя~?) заменить значением xL—o'(zl—
-bj, равным продольной координате точки R (рис. 8.3.3). Таким
фразой,
ч = — J л ]
/(!, С) Д. (8.3.15)
•де 2у=(:с? —a'zj/^gx — a'). Интегрирование дает
вычисляя производную ду'/дх и производя затем интегрирование
фи условии, что d=2x,tg «/**.> 1, получим аналогично (8.3.9) сле-
лующую формулу для дополнительной составляющей скорости:
По величине этой скорости находят коэффициент давления:
?=-?- = ^«h-^r. (8.3.17,
На рис. 8.3.4 показано поле давлений для консоли крыла тре-
тольной формы с дозвуковой передней кромкой. Вдоль линий Ма-
.а кv^эффициeнт давления равен нулю. На передней кромке теоре-

тический коэффициент давления равен бесконечности. Физически
реализуемое давление может рассматриваться по величине доста-
точно большим, соответствующим давлению торможения при дозву-
ковой скорости, направление которой совпадает с нормалью к пе-
редней кромке.
. 8.3.4. Поле
консоли крыла с
Треугольное крыло, симметричное относительно оси х,
с дозвуковыми передними еромками
Скорость в точке Р треугольного крыла, симметричного относи-
тельно оси х, с дозвуковыми передними кромками (рис. 8.3.5) опре-
деляется путем суммирования действия источников е области
ОВРА', ограниченной передними кромками ОА' и ОВ, и линиями
Маха РА' и РВ. Скорость, индуцированная источниками, находя-
щимися на участке ОАРВ, определяется по формуле (8.3.9). Дейст-
вие на точку Р источников, распределенных в области ОАА', вызы-
вает скорость, которая вычисляется по выражению (8.3.13). Сум-
марное значение скорости
—[-arch -
Это выражение можно преобразовать к виду
(8.3.18)
Формула (8.3.18) пригодна для условий п>\ >о.
По известной величине дополнительной составляющей скорости *
можно при помощи F.1.5) определить коэффициент давления: ;
?=-¦?-= ^-archl/-^-. (8.3.19Г

la точку L, расположенную между передней кромкой и волной Ма-
.а (рис. 8.3.5), оказывают влияние источники, распределенные на
¦частке крыла OUG'. Скорость, индуцированную этими источника*
¦си, можно вычислить как сумму скоростей, наведенных источника-
ли, расположенными в области OUG [формула (8.3.16)], и источ-
шками. оаспоеделеяными в треугольнике OGG' [формула (8.3.13I.
.ледовательно,
и=
arch -^JL+arch
.ли после преобразований
Соответствующий коэффициент давления
(8.3.20)
(8.3.21)
Бесконечное повукрыяо со смртэеуковой кромлой
У такого крыла (рис. 8.3.6) линия Маха ОК, выходящая из вер-
шины, расположена на его поверхности. Следовательно,
я/2-*>1»в„ tg«<a', «=tgx/a'< l(a' = ctg ^=V lAl-l).
Рассмотрим скорость в точке L, расположенной на крыле меж-
ty передней кромкой и линией Маха ОК- Так как боковая кромка
:рыла, совпадающая с осью х, находится за пределами линии Ма-

ха, проведенной через сочку L, то на течение в этой точке влияние
кромки не сказывается. Это течение будет таким, как на плоской
пластинке, обтекаемой в направлении нормали к передней кромке
со сверхзвуковой скоростью Vn» = Ух cos и>йоо. Согласно выраже-
нию G.6.8) .и формуле р= —2u/Ve,t дополнительная составляющая
и= -XV
/У" a'2-
tg2*,
откуда
и=— XV-/(a' /1— л2), (8.3.22)
где /i=tg*/o'< 1-
Соответствующая величина коэффициента давления
(8.3.23)
(8.3.24)
Чтобы найти действительную скорость в точке Р, принадлежащей
заданному крылу с вершиной в точке О, необходимо вычесть из

(8.3.24) скорость, индуцированную источниками, распределенными
¦в треугольнике АСО и имеющими противоположную по знаку ин-
тенсивность. Величина этой скорости определяется при помощи
формулы (8.3.7). Заменив в ней верхний предел интеграла на гс =
= {Хр— a'zp)/(tgx—а'), получим
где tgx<af.
Учитывая, что при /i=tgx/a'<l, 3 = -z
tg2x — а'г=а'*{п*— 1)
после интегрированля получим
(8.3.25)
1 и о<д
х |"arcsin ЪМ — а'Ъшс-ЦхрЪ*-*1***) ^ ^ _
— arcsin — -2(*pigx-a'2*P) I
Используя значение zc=(xp — a'zp)/(tgv. — а'), найдем что
2 (tg2 и — а'2) гс — 2 (хР tgк — a'2zP) = 2а' {л:р — гр ig у).
Величина под корнем преобразуется следующим образом:
4 [хр tgх — ч'г^рJ — 4 (tg2 х — а'2) [х2р — а'2гр) = 4а'! {л^ — zp ig*J.
(8.3.26)
Следовательно,

Учитывая, что п= tg*/a', о—zpigv.jxpi получим
а,„= W~ arccos '""' . (8.3.27)
Суммарная величина дополнительной скорости в точке Р
и=Ирся-»дос= * [l —^-arccos д°^) j , (8.3.28)
а коэффициент давления
?=—?¦= ^=[l L«ccc>s-!^~1- f8-3-29)
™ а' 1^1 2 L Я га A — o)J
где в<я<1.
Индуцированная скорость в точке N, расположенной между вол-
ной Маха ОК'« боковой кромкой, определяется путем суммирова-
ния действия источников, распределенных на участке поверхности
OEF, который ограничен передней кромкой OF, боковой кромкой
ОЕ и линией Маха EF, проведенной через точку N.
Для расчета скорости воспользуемся формулой (8,3.25), в ко-
торой верхний предел интеграла заменим величиной Zf= (*w+
+ a'Ztf)/{tgx+a'), а координаты хР, zP — соответствующими значе-
ниями xN, 2n-.
UOEF=— I
Интегрирование дает
Х ГагС5!п 2ое2*-а-У,-2(^*-«'^)
L У 4 (xN tg * - о 'hN)t - 4 (tga * - a '2) (j^ - a l2z%)
— 2(*wte* — a'2zN) Л
— arcsin — ¦¦ - ¦ ¦-¦¦¦¦" 6 ¦¦ ¦ ¦ ¦ — — I.
Используя значение zF={xN-\-a.'zN)J[\g-*.-\-a% найдем, что
Для удобства дальнейших преобразований представим величину.
(8.3.26) для точки N в виде 4a'2 (zw Igx—хкJ. С учетом этих зна-^
чений з
, -{*n4*-*a*n)\

Вводя обозначения о и л, найдем
где а<0, л<1, | а |<л.
Если принять положительные значения г^>0, a=zN tgx/*w>0
и взять абсолютные величины для л, то дополнительная скорость
и= У- arccos Л +° , (8.3.30)
щциент давления
(8.3.31)
Поле давлений для полубесконечного треугольного крыла со
сверхзвуковой передней кромкой показано на рис. 8.3.7. Между пе-
Рис. 8 3.7. Пол
ли крыла со свер:
реугольной консо-
:редней кромкой
редней кромкой и внутренней линией Маха давление постоянно, да-
лее оно снижается и на внешней линии Маха достигает величины
давления невоэмущенного потока (р = 0).
Треуг.
крыло, симметричное относительно оси х.
со сверхзвуковыми передними кромкамк
Скорость н коэффициент давления в точке L (рис. 8-3 8), распо-
ложенной между волной Маха ОК и передней кромкой, определя-
ются соответственно по формулам (8.3.22), (8.3.23), так как на те-
313

чение в ней оказывает влияние только кромка OR. Эти формулы
применимы для условий д< 1; 1 ~>о\>п.
Если рассмотреть точку Р, которая находится внутри угла Ма^-
ха, то на скорость в ней оказывает влияние не только передняя, ио
также боковая и задняя кромки. Скорость, обусловленная влияни-
ем передней кромка и участка линии наибольших толщин ОА (рис.
¦8.3.8), определяется по формуле (8.3.28), а скорость, индуцирован-
ная источниками, распределенными на участке ОАА, вычисляется
Рис. 8Л8. Тре л
сительно оси х р
ио выражению (8.3.30). Складывая, получим суммарную скорость в
точке Р симметричного крыла:
или после преобразований
Соответствующий коэффициент давления
-_ 2а _ 2Х Л Larcs
]. (8.3.33)
§ 8.4. ОБТЕКАНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО КРЫЛА С СИММЕТРИЧНЫМ ПРОФИЛЕМ
И ДОЗВУКОВЫМИ КРОМКАМИ ПРИ НУЛЕВОМ УГЛЕ АТАКИ
треугольного крыла, можно рассчитать обтекание прн нулевом угле атаки крыль-
ев с симметричным профилем произвольной формы в плане. Рассмотрим четырех-

угольное крыло, изображенное на рис. 8.4.1. Здесь и на некоторых других рисун-
ках для удобства пространственного изображения схемы крыла, расположения
рассматриваемых сечений и необходимых обозначений принята левая система
координат. Примем, что у такого крыла передняя и задняя кромки.
ми В соответствии с этим углы стреловидности к,, х3 передней и задней кромок
и угол х2 линии максимальных толщин будут больше, чем л/2—ц„.
Распределение скорости и давления по профилю зависит от расположения
профиля по размаху крыла, т. е от поперечной координаты сечения г
Профиль FL(z=zi). На профиле надо рассмотреть четыре области обтека-
ния: FG, GH, HJ и it. Область FG ограничена точкой F передней кромки и точ-
Рнс. 8.4.1. Четырехугольное крыло с симметричным
профилем и дозвуковыми кромками
кой в, находящейся на пересечении линии Маха с координатной плоскостью
г=г, Причем точка G считается расположенной на плоскости гОх и определяет-
ся, следовательно, как точка пересечения линии Маха, проведенной из проекции
В' точкн В на плоскость гОх, и прямой г=г, (рис. 8.4.1). Скорость и коэффи-
циент давления в области FG, расположенной за линией Маха ОКц на поверх-
ности крыла, определяются при помощи распределения источников в треуголь-
нике ОСС с использованием соответствующих формул (8.3.18) и (8.3.19).
Так как наклон поверхности равен Я], то в соответствии с (8.319)
(8.4.1)
где n^igxja'. 01=2^X1/*,. дг,—текущая координата точки.
Коэффициент сопротивления профиля, соответствующий области FG,
(8.4.2)
где Ь — местная хорда профиля.

где «if s= z\ tg%i/xF= 1, 4lQs=z\ tg*i/*a.
Нз область GH действует распределение источников в ДОСС с интенсивно-
стью Q=2J.|V» и на треугольной поверхности ВСС, где интенсивность источни-
ков Q=2(Xj—).[) Vm (угол ** имеет знак, противоположный знаку i.,).
Так как участок GH располагается за линией Мзхз ОКа в пределах крыла,
то расчет коэффициента давления, обусловленного действием распределенных
источников а области ОСС\ необходимо вести при помощи формулы (8.3.19).
Учет влияния на коэффициент давления треугольного распределения источников
ВСС следует производить при помощи зависимости (8.3.21), так как участок
GH расположен за пределами треугольника ВСС между волной Маха В'Кв и
кромкой ВС. Таким образ
(8.4.4)
4^'> ,гсЬ/-^-,
где nj = tgxs/a'; ог = г!tg
и равная х%= х±~хв-
Используя формулы (8.4.2) и (8.4.4),
ния, соответствующий участку GH;
— координата, отсчитываемая от точки В-
гределим коэффициент сопротивле-
г Ojh и Ого вычисляются относительно точки В.
Сумиируя (8.4.3) и (8.4.5) н принимая во «ним
"-=-, (8.4.5):

i* ,8.4.6)
5
Предположим, что часть хорды HL (полагаем, что точка Н расположена иа
личин ВС) равна ~тЪ, где 7—некоторый безразмерный коэффициент пропорцио-
нальности, определяемый из условия 7=В'О/6кр_(Ькр —корневая хорда). Тогда
д.гя поверхности ОВС часть хорды FH будет (\-г)Ь.
Так как часть корневой хорды B'D равна rbst, то оставшаяся часть Об'
будет равна A—г)йир. Углы X, и X* можно выразить следующим образок:
*1 —Д/[2A — г)], Хг= — Л/B7), 0.4.7)
где Д=Д/йЯР — относительная толщина профиля.
С учетом значений Хг и Xj формула (8.4.6) представляет!
(8.4.в)
Скорость на линии HI индуцируется источниками с интенсивностью Q=
~2K,VX, распределенными в треугольнике ОСС, и источниками с интенсивно-
стью Q=2{?-2—Х|)К», распределенными на участке ВСС. Первое распределение
источников обусловливает коэффициент давления, вычисляемый по формуле
(83.19), в которой следует принять Ь=Х,, п^гц и а=а,. Коэффициент давления,
вызванный влиянием второго распределения источников, также находится при
нимощи формулы (8.3.19), в которой необходимо принять X=Xj—к,, п—п3 и
о = и2. Суммируя коэффициенты давления, получим

о точки В.
у учитываем влияние трех распределений источн
на треугольных поверхностях ОСС, ВСС и DCC Первые два ррд
обусловливают коэффициент давления, определяемый при помощи фор
(8 4.9), в которой пг и os вычисляются соответственно относительно
О н и. Дополнительный коэффициент давления, обусловленный индукцией и
помощью формулы (8.3.21), в которой следует принять Х=Яг, п=Пз, о=о3.
Суммируя коэффициенты давления от всех трех распределений источн
получим
"*-а* ?3 archi/ ^~'
(8.4.U
где n3=tgx3/a', значения а,, аг и п3 вычисляютс
Внося значение рл. в формулу (8.4.2) и приним
получим
7A-7I/ -1 -I'" '-'i '?
Сюидывая (8.4 10) я (8.4.12), бу
«№1 = — _ ' * ' I arch I/ _J L. . —^- — I
t '—^ ^" <
J 1 — a; a5
-r-

штегралы, входящие в формулы (8.4.8) и (8.4.13). вычисляются по частям,
-ти Формулы справедливы (см. рис. 8.4.1) при
0<'i<zBt<*D,, (8.4.14)
де
*я,=0 -')*кр/О2*1-<*'), ^«Зкр/Овч-о'), (8.4.15)
ми (рис. 8 4.2) при
Q< Zi<zOi< zBi. (8.4.16)
Коэффициент сопротивления профиля, определяемый по формуле (8.4.13),
'тнесен к местной хорде Ь. Значение коэффициента сопротивления с10, отнесен-
ие к корневой хорде Ь„р, вычисляется по формуле сю=с1(Ь/6ир1-
Профиль в корневом сечении крыла (г=0). Значения аэродинамических
пчффициентов лля этого профиля определяются следующим образом. На участ-
е профиля ОВ (см. рис. 8.4.1) длиной A—r)bKV скорость индуцируется источ-

никамн с интенсивностью Q-2X]V_, распределенными в треугольнике OCQ
В соответствии с этим коэффициент давления вычисляется по формуле (8.3.19J
Полагая в ней а—г, tgxi/*r=°, получим
На участок профиля DB длиной rbup действуют источники с интенсивности
Q=2X,V«, распределенные на участке ОСС, и с интенсивностью Q=2(>.x—h)V,
распределенные в треугольнике ВСС. Б соответствии с этим определяем коэф
фнциеиты давления. Применяя формулу (8.3.19) при О=0, находим
Коэффициент сопротивления профиля С уче
гей, отнесенный к корневой хорде &Кр,
Внося значения pQB из (8.4.17), pgD из (8.4.18) и имея в виду, что h>
_= -Л/B?),_ A2-*i= -Д/[27A-Г)], а также A -7)Ьяр\х =1/2
гЬкр},2= — й/2, получим
где arch пг = In (л2 + У п\— l).
Профиль Р,Ц. Вычислим коэффициент сопротивления профиля (ему
¦рис. 8.4.1), у которого координата Z\ удовлетворяет неравенству гВ\<г,<гщ
На участок профиля F,H, действуют источники с нитенсивиостью Q=2X[V_, рас»
пределенные в области OCDC, и с интенсивностью C=2(ks—к,)V.. распреде-,
ленные в ВСС. Поэтому для расчета коэффициента давления можно использо-
вать формулу (8.4.4), а для определения коэффициента сопрлтивлешш — завит»
симость (8.4.5). которая для участка профиля Р,И, записывается в виде г

Давление на участке профиля H,Li определяется, тах же как на участке HI.
при помощи формул (8,4.9) н (8.4.11). Соответствующий коэффициент сопротив-
ления cxH,L, находится из выражения (8.4.13), в котором пределы а,н и оц.
заменяются соответственно величинами аш1и°И,- пределы огн и обо-
значениями °2Я, и O2i,> а пределы c3J и 0ц. — значениями о^, и °3?,>
определяемыми по формулам (8.4.13'). Полный коэффициент сопротивления про-
филя fiLj, отнесенный к корневой хорде йИр, равен
exF1L, T C*F,H, + CzH,L,-
Профиль ТгЬг. Рассмотрим профиль, расположенный между точками В\ и В,
(рис. 8.4.2) с координатой г,, удовлетворяющей неравенству гО( < *j < гв_
Обтекание этого профиля носит более сложный характер. Скорость на участке
Ргв» индуцируется источниками с интенсивностью Q=2\^Vk. распределенными в
треугольнике ОСС. Следовательно, коэффициент давления на этом участке опре-
деляется при помощи формулы (8.4 1), а соответствующий коэффициент сопро-
тивления CXFtQ, — выражения (8.4.3), в котором интеграл вычисляется в
пределах от alFf до о1(?1,
0=2Я^™асп?еделениых на' у^сткТ ™"iTllIZJKo.TmMo™!
стью Q-2(ir-X,)I'«, расположенных в области ВСС. Следовательно, коэффи-
циент давления вычисляется по формуле (8.4.4), а коэффициент сопротивления
сха,н,~кз выражения (8.4,5), в котором первый интеграл определяется в пре-
делах от a1Oi до оШ1, а второй —в пределах от>2О, до a2Hf
На участок профиля Нг!2 одновременно действуют источники, распределен-
ные в области OCC'(Q=2\,V*,), а также в треугольнике BCC'[Q=2(Aj—Л,) V-]
и иа поверхности ВСС, где интенсивность Q= — 2\SV«,. Первое распределение
обусловливает коэффнцнент давления, определяемый по формуле (8 3 19), а вто-
рые два распределения — коэффициент, вычисляемый из выражения (8.3.21).
Полная величина коэффициента давления на этом участке профиля
можно вычислить коэффициент с
филя, отнесенный к длине корнев
Обтекание последнего участк
ников, распределенных в тех же
fV:. При этом следует учитыват
источниками, распределенными
(8.3.18),,где Я заменяется угловы ффцетм А*[ у
Давления следует рассчитывать по формуле (8.4.11), а коэффициен
П—707
(84.23)
ротиелекия pa
хорды ЬВр.
профиля J,L2 с
¦у особенность.
области ВСС,
коэффициентом
сема!
i6yc.ii
что
. ОП|
¦риваемогс
овлено от
скорость.
li. Поэтол
i участка про-
щукцией источ-
астка профиля
индуцируемая
i по формуле
iy коэффициент

(8.4.12), в' котором интегралы вычисляются в пре;
1. 2, 3).
опротивления получается суммированием коэффнци-i
тков профиля;
tg*i-O' lgv.,-0' j
Профиль fjt3. Рассмотрим сечение f3L3 (рис. 8.45) с координатоП zit удов-^
летворяющей неравенству \
гО, <г1<го,- (8.4.24W
*o,-*«p/Oe*i —«')¦ (8.4,25)!
Давление на участке F3h профиля обусловлено действием источников, рас- j
?ределенных на треугольных поверхностяк OCC'{Q=2k,V^) и fiCC'IQ—j
(8.4 4), а коэффициент сопротивления —по формуле ф.4.5), в которой пределы-'
На участке профиля /3ЯЭ кроме указанных распределений источников ОСС \
к 8СС действуют также источники с интенсивностью Q=— 2XjV«, распределен-',
ные в треугольнике DCC. Таким образом, коэффициент давления равен значе- i
нню, подсчитанному по формуле (8.4.4), и дополнительной величине, рассчитан- '
ной по формуле (8.321|, в которой следует принять Ь=- — Xj.
Обтекание участка Яз(-з характеризуется индукцией источников, распреде-
ленных в трех областях крыла- ОСС, ВСС a DCC. В соответствии с этим рас- -
чет коэффициента давления на этом участке следует вестн при ломощи форму-
лы (84.11).
все\ трех участков и суммируя, получим полный коэффициент сопротивления:
оответствующее выражение пригодно для расчета коэффициента солротив-
профиля, расположенного между точками D, я Ог (рис. 8.4.2) и имеющего
, ГЬ*Р , < *, < , ^ , - (8.4.26) j
Ig42 —U tgx-i — а |
Профиль F,tt. Рассмотрим сечение FALA (см. рис 8.4.1) с координатой А
*1>*Ог- (8.4.27) 1
На сечение одновременно действуют три распределения источников: "i
OCC(Q=2hV»>), BCClQ~2fa-K,)V~] и DCC'iQ- -2А2У„). Участок профи- j
ля /%/Л расположен за линией Маха ОК0 в пределах крыла, поэтом> для рас- j
мулой (8.3.19), в которой принимается Я=?.|. Второе распределение источников А
ВСС действует на участок F*fft. располагающийся по отношению к кромке ВС 3
за пределами поверхности между линией Маха и кромкой ВС. Поэтому для рас- ^
чета дополнительного давления, вызванного влиянием распределения источнй- j
ков ВСС, необходимо применить формулу (8 3,21) с заменой в ней \ на Я*—At- I

Второй участок профиля HtLt располагается по отношению к линиям Маха
ОКа и В'Кв в пределах поверхности крыла, т. е. по одну сторону от линий Маха
II соответствующих кромок ОС и ВС. Поэтому дли определения коэффициента
давления от распределений источников ОСС и ВСС применяется формула
(8.3.19), в которой распределению ОСС соответствует значение Х=Л,, а распре-
делению ВСС-значение Х=А5-А,
По отношению к линии Маха DKd и задней кромке DC участок H,L,
находится по разные стороны, т. е. за пределами треугольной поверхности
DCC, где интенсивность источников Q= —2XjV«,, Поэтому для расчета коэф-
фициента давления от этих источников следует применить формулу (8.3.21) с
заменой в ней X на — Ха.
Используя полученное значение коэффициента давчения, можно определить
соответствующий коэффициент сопротивления профиля F^Lt:
На рис. 8-4-3 показаны ?езультаты расчета распредел*
циента сопротивления с,/Д8(Д-Д/^) ло размаху стреловид
ной хордой Ь(К|=и2=Хз=60") и сим-
метричным ромбовидным профилем
(г=|/з) при М» = 1,8 и 1,9. Из гра-
фика видно, что по мере удаления
от корневой хорды коэффициент со-
противления уменьшается, Для
нения на рисунке показано эн;
функции Ci/Д2 для профиля, nf
лежащего нестреловидному *
Чтобы определить суммарный
фициент сопротивления крыла,
ходнмо проинтегрировать по pas
чу распределение коэффициентов
противления dh профилей, прим
формулу
ой кромки крыла.
боковую кромку
Влияние бо
Если Крыло им
(рис. 8.4.4), то ду у
коэффициент сопротивления. Расчет
обтекания такого шестиугольного
крыла производится следующим об-
разом. Вначале вычисляются скорости
и давления в области OO'D'D от рас-
пределения источииков на треуголь-
) бокова*
когда рассматривалось крыло четырехугольной формы,
ка отсутствовала. Далее необходимо уточнить вычис-
ли эа счет влияния боковой кромки О'С", что эквива-
ю действию источников, распределенных в треугольнике O'CD'. Интенсив-
, этих источников будет иметь знак, противоположный знаку источников,
етствующих крылу с площадью O'CD'. Действие источников, распределен-
е треугольнике О'СЕУ, распространяется на крыло в пределах участка
О', ограниченного линией Маха О'К', боковой и задней кромками. Напри-
дли профиля F2L2 действие источников ограничено участком F2'U (точка
¦жнт на пересечении хорды F2L, и линии Маха О'К').

Рассмотрим, как вычисляется давление на уч,
итывая только распределение источников в облас
нии можно определить по формуле (8.4,11)- На
знаку источников в треугольнике O'CD' можно в
ята JjLt этого профиля.
1 ОСС, коэффициент дэв-
:ействне противоположных
гсти поправку Др, так что
(8.4.29)
При определении
филя I}Li относителы
принадлежащую л рот
ния ие пересекает у час-
распределение источник!
Др следует учитывать положение участка про
Маха Oi'K\', которая проходит через точку Ох'
гой боковой кромке (рис. 8.4,4). Если эта ли
У*, то на него будет оказывать влияние талым
области O'CD' одной стороны крыла, в то врем!
:я. Индуцир(
1нная
скорое
Рис. 8,4.4. Крыло с боковой кромкой
чксляется по формуле (8.3.13), а соответствующая дополнитель
коэффициента давления Др=> —2и/К„. Эту дополнительную ве
ставим в виде суммы: __
где aji зависит от распределении источников O'CC" «? = 2Xi7e), а 4р2 и
Ьрг~ соответственно от распределения источников В'СС"[Q=2(h-WVw] и
(8.4.31)
где ff. rtj и о» вычисляются относительно точек О', В' и О'.
' Если лявня Маха Oi'K,' пересеяет хорду FtU, то одновремеано.с.действи-
ем'нъточвяяов <УСС" следует учесть также влияние источников, распределен-
ных а треугольнике O,'C'Ct" ва противоположной стороне крыла Для рас-
чета индуцированной скорости используется та же формула (8,3.13)....
324

I 8.5. ОБТЕКАНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО КРЫЛА
С СИММЕТРИЧНЫМ ПРОФИЛЕМ И КРОМКАМИ РАЗЛИЧНОГО ВИДА
(ДОЗВУКОВЫМИ И СВЕРХЗВУКОВЫМИ)
Передняя и средняя кромки дозвуковые, задняя — сверхзвуковая
Возмущения от задних сверхзвуковых кромок крыла (рис. 85.1, а) рас-
пространяются вниэ по потоку в пределах конуса Маха с образующей DKo
-. поэтому не оказывают влияния на обтекание поверхности крыла. Скорости
зависят от влияния передней и средней дозвуковых кромок.
3«с 8.5.1. Четырехугольное крыло в сверхзвуковом
- передняя и средняя кромки дозвуковые, задняя - сверх-
.зуковая: й-передняя кройка дозвуковая, средняя в зад-
няя — сверхзвуковые; а— все крочкн сверхзвуковые
¦ассиотрим профиль FL с координатой г,<г„. Коэффициент давления на
частке FG, зависящий от воздействия источников с интенсивностью Q =
-2X,V^, распределенных в треугольнике ОСС, определяется при помощи фор-
мулы (8.4,1). а соответствующий коэффициент сопротивления Cxfo — и
<еиия (8.4.3). На сле GH
щий коэффицие
участке GH,
ОСС{Q
р
ие распреде-
2CK\)Vl
, щм влиие распреде
енных источников в треугольнвках ОСС{Q=2UV*) я BCO[Q=2CKr-\l)V.l
ф (8,4.4), Соответствующая
.оэффнаиент
-елнчииа коэффициента
выражения (8.4.5).
формуле (8,4.4), ущ
ов Для этого участка определяется нэ

На участке HL наблюдается воздействие тех же распределений источники,
что И На участке GH. Однако, учитывая, что участок flL находится ниже линне
Маха ВКв — на поверхности крыла, расчет коэффициента давления рнь следуе-
проиэводить при помощи формулы (8.4 9), а коэффициента сопротивлсни;
Cxhl — из выражения (8.4.10) Полный коэффициент сопротивления пpoфил^
cxFL — cxFQ ~ csGH+exHL- (8.5,1.
При рассмотрении сечения F[L( с координатой 2]^>Zgi следует о^новремен-
ио учитывать влияние распределений источников ОСС и ВСС. Для участка
FjH, коэффициент сопротивления cxFiH, определяется по формуле (8.4.21), я
для участка М]/-[ коэффициент сопротивления сf г» г находится нэ выражения
и "nLi (n= 1, 2). Полный коэффициент для профиля F,Lt
Передняя кромка дозвуковая, средняя
и задняя — сверхзвуковые
Ма
ВКв.
проф
к FH э
против
р рф р ,
филя оказывают воздействие источники, распред
(рис 8,5 1, а), следовательно, распределение давл
формулы (8 4.1), а соответствующий коэффициен
ражения (8.4.3), в котором верхний предел а,а надо заменить на (т1Н. Второй
участок HG испытывает влияние дозвуковой передней кромки ОС (п. следова-
тельно, распределения источников ОСС") и сверхзвуковой средней кромки ВС.
Соответствующий коэффициент давления определяется а виде суммы двух
коэффициентов, первый из которых вычисляется при помощи выражения (8.4.1),
й ф (8323) ЛХAТ
На участке GL скорость индуцируется источниками, распределенными в тре-
угольниках ОСС и ВСС (рнс 8.5.1, о). Применяя формулы (8.5.3) и (8,3.33),
получим следующую расчетную зависимость для коэффициента давления:
,6.5.4) -•

Коэффициент сопротивления профиля
Профи.1», Г,/., расположен ниже линии Маха ОКс. поэтому на него буд
влиять распределение источников с интенсивностью Q=2A,,V» в треугольни
ОСС. Кроме того, на участок H,L, будет действовать распределение источнико
остью Q=2(h—М V*. в треугольнике ВСС, вызывающее дополн
Х=Аа—А.|. В соответств
ЛЯ, вычисляется по
на участке И\Ц — при
профиля
этим коэффициент давления Рр,н, на участке
нию (8 3.19), а коэффициент давления ~Ph,l,
и формулы (8 5.3). Коэффициент сопротивления
V
Все кромки крыла сверхзвуковые
У такого крыла (рис. 8.51, в) линии Мала ОКо, ВКв и DKd, проведенные
на точек О. в и О, располагаются ниже соответствующих кромок ОС, ВС и DC,
поэтому для расчета коэффициента давления следует применить формулы
(8.3.23) и (8.3.33).
Рассмотрим профиль FL с координатой 0<г,<гв,. Участок FH лежит
между передней кромкой ОС и линией Маха ОК0. Поэтому другая кромка ОС
(рис. 85.1, п) не будет влиять
рассматри
. Учи
к FH в
треугольн
ияют
) Q=2XiVK, кoэффициe^ ..
.пения рра можно определить по формуле (8.3.23), в которой принимаются
Л=А,| и п=П|. Дополнительное давление на участке HG обусловлено влиянием
кромки ОС. Коэффициент давления риа на этом участке находится из выра-
жения (8.3.33), в котором принимаются п=а,, о=«,.
На участок GJ оказывает воздействие кроме распределения источников ОСС
также распределение источников ВСС с интенсивностью Q=2{k1—k,)V«,. При-
меняя формулы (8.3.33) и (8.3.23), получим выражение для коэффициента дав-
будет
(8.5.8)

противления профиля FL
Коэффициент давления /»/>,Wi на участке /у/, профиля FjL[ с координатой
*D, < г1 < гог определяется по формуле (83.23), в которой \=%.\ и п~п,.
На соседнем участке И,в, для определения коэффициента давления Рц,С,
надо применить формулу (83.33), в которой Х=Хи п=п1 и cr=Oi. На последнем
участке G\L\ давление обусловлено воздействием распределений источников
ОСС(<г=2Я,^„) и__ВСС'ЕО=2(Яг— \i)Vml Поэтому для вычисления коэффи-
циента давления PqiLi можно использовать формулу (8 5 7). Коэффициент
сопротивления профиля F\L\
/'"'_ Х°-_ Х?'_ \
«rf.i.-Tl J ^.».М-<Г+ J />н,о,1^+ J .?О,а.М*|. (8-5.10)
Поток около профиля f2i-? в сечении zD < ^i является плоским сверхзву-
ковым, поэтому коэффициент давления на нем определяется при помощи форму-
лы (8,3 23), На участок F,G2 действует распределение источников в треугольнике
ОСС с интенсивностью <?=2А,?_, поэтому коэффициент давлении pFtQt на-
ходится по формуле (8.3.23). в которой Х=Х, и n=ni На второй участок CjZ-2
оказывают дополнительное влияние источники с интенсивностью Q=2(J.S—},\) V*.
распределенные в тре>голвнике ВСС Поэтому коэффициент давления на этом
(8.5.11)
i-Ki-л!
Коэффициент сопротивления профиля F}L2
J
Если четырехугольное крыло имеет боковую кромку (т]нр#оо),
то расчет параметров обтекания связзн с учетом воздействия на них
такой кромки. Участок крыла, где сказывается это воздействие,
расположен ниже линии Маха, выходящей из передней точки боко-
вой кромки (см. рис. 8.4.4). Вычисление скорости и давления на
этом участке осуществляется по методу, изложенному б § 8.4, с уче-
том вида передней и средней кромок (т. е. в зависимости от того, ;
являются ли они дозвуковыми или сверхзвуковыми) при помощи1
соответствующих зависимостей, аналогичных (8.4.31). ¦¦

Интегрируя по размаху, можио определить коэффициенты вол-
гового сопротивления в каждом нз рассмотренных в § 8.4 и 8.5 слу-
чаев обтекания шестиугольного или четырехугольного крыла с ром-
ювидиым профилем. Согласно полученным соотношениям, эти ко-
эффициенты зависят от числа М», формы и относительных размеров
;оыла:
е, д).
{8.5.13)
;десь кроме известных обозначений введена величина хс—Хс1Ь —
!езоазметте расстояние до места наибольшей толщины профиля.
\
V
*кр*
/
j
'*??
li— -^
^У
r2
\
V
4
у
—--
м*
s
i.)
—-
2 2 4 5
Рис. S.5.2. Коэффициент сопротивления крыль-
ев с симметричным ромбовидным профилем;
7,-'А,-« \,-VV-s: 4p-»'V «--
-ч .,-»»„) D,,-I|'"'<p+1):T-"V
(штрихаыя показана энспернментальная кривая)
!исло независимых переменных в (8.5.13) можно уменьшить, ис-
юльзуя зависимость
»х/А»4!)=/Л»„1/"и'.-1, Vptg^, V Я), (8.5.14)
де tgX2 — тангенс угла стреловидности по линии максимальных
-олщин крыла (т. е. средней кромки).
На рис. 8.5.2 показано семейство кривых, построенных в соответ-
ствии с формулой (8.5.14) при следующих условиях: г\к$ = Ькр/Ькц=
^5; гс=0,5. Точки излома кривых соответствуют звуковым кром-
кам. При этом, в частности, для кривой, соответствующей величине
йф tg «2=3, точка излома для наименьшего значения Х^ у ML — 1
оответствует звуковой задней кромке, вторая и третья точки —
;вуковой средней (линии максимальных толщин) и задней кромкам.

Сравнение показывает, что экспериментальные и теоретические
значения коэффициентов волнового сопротивления отличаются, осо-
бенно вблизи значений \р V Mi,— I =>.kPtg*,, т. е когда линия'
максимальных толщин становится звуковой. В этом случае линей-
ная теория неприменима. Расхождение между указанными значе-;
нпями уменьшается, когда эта лилия оказывается сверхзвуковой
(К)
(кр>„«,
Из соотношений, найденных для крыла четырехугольной формы
в плане, можно получить как частный случай зависимости для аэро-
динамических характеристик треугольного крыла (рис. 8.5,3). У
Рис. 8.5.3. Сопротивление треу
такого крыла задняя кромка является сверхзвуковой и прямой -
(кз=0). Что касается передней кромки и линии максимальных тол-
щин {средняя кромка), то они могут быть как дозвуковыми, так
и сверхзвуковыми и, следовательно, наклонены noi различными •
углами К|, иэ. В зависимости от этого определяются местные скоро-
сти и давления, а также суммарный коэффициент соиротивле- -.
ния сх.
На рис. 8.5.3 показаны результаты расчета функции сха'/DА2)
для треугольных крыльев с дозвуковой {/ti>-l) и сверхзвуковой
(П[<1) передними кромками в зависимости от 1—г при различных
значениях П\ {угла стреловидности xi). Значения сга'/{4Д2) при .'
ni = 0 соответствуют прямому крылу с симметричным профилем. '
По рис. 8.5.3 можно оценить влияние положения максимальной
толщины профиля на сопротивление. Можно указать величину г,
которой соответствует минимальный коэффициент сопротивления.
Точки излома кривых соответствуют значениям г, при которых ли- ^
ния максимальных толщин становится звуковой (п-^гцг^ 1). ,.

Общее соотношение для расчета солротиапения
Полный коэффициент сопротивления крыла может быть найден
! виде
сх=сх/ + схЛ+Ас1, (8.5.15)
де А — некоторый коэффициент. Его значение определяется харак-
тером передней кромки. Если она сверхзвуковая, то коэффициент
i точно равен величине, обратной производной от коэффициента
юдъемной силы по углу атаки (j4 = (cjr'j- При дозвуковой кром-
¦t j4<(cJ)~i, так как возникает подсасывающая сила, уменьша-
лщая сопротивление. Член Ас2у в (8.5.15) представляет собой ин-
дуктивную составляющую лобового сопротивления, зависящую от
юдъемной силы.
Коэффициент сопротивления трения cXf может вычисляться для
ьвивалентного прямоугольного крыла, хорда которого равна сред-
leii аэродинамической хорде заданной несущей поверхности. При
:том может приниматься во внимание, что часть поверхности вбли-
-н передней кромки такого крыла занята ламинарным пограничным
лоем", а остальная — турбулентным.
Рассмотрим вторую составляющую полного коэффициента со-
фотивле-ния (c.vno), представляющую собой коэффициент волново-
о сопротивления крылз при а = 0. Для его оценки воспользуемся
оормулой G.5.31), согласно которой при а = 0 коэффициент волно-
юго сопротивления профиля CjB=Ci/Ci = fi ^(%^-'$tfx, что дает
о
для симметричного клина Схв^О^Д2. Такую зависимость характе-
тзующую изменение коэффлциента волнового сопротивления про-
юрционально квадрату относительной толщины профиля [Дг =
-(Д/ЬJ], можно распространить на тонкий профиль произвольной
noDMbi. Сопоставляч приведенную зависимость для сха с (8,5.14),
s
4
I
и
14= (М„)
/
ичма
}лщин
у
GUM.,
/
/
1

можно определить отношение
«,Л.=/»(^^*'--1. \?Ъ*> V Я). (8.5.16
в котором с1В —коэффициент волнового сопротивления профиля,
ориентированного по направлению набегающего потока. Расчет еп.
величины был рассмотрен в § 7.5.
Функция /3 в (8.5.16) аналогична функции fs в (8.5.14) н опре-
деляется при помощи изложенного метода источников. При этом
величина •л может быть принята равной одному из характерных
углов заданного крыла (углу наклона передней и задней кромок или
линии максимальных толщин).
В качестве лримера на рис. 8.5.4 показана кривая, характери-
зующая изменение функции /3 для стреловидного крыла с сужением
i)i:p-2, относительной координатой гс=0,5 и величиной *.Kptgxi =
= 3,67. Первая точка излома соответствует превращению в звуко-
вую задней кромкн, а вторая ~ передней.
§ гл. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ИСТОЧНИКОВ
В § 8.3-^8,5 был .использован метод источников для расчета об-
текания с целью определения силы сопротивления кресла с симмет-
ричным профилем при нулевом угле а т а к и, т. е. при отсутст-
вии подъемной силы. Исследования показывают, что область при-
менения этого метода в аэродинамических исследованиях может
быть расширена. Рассмотрим те случая, когда при помощи метода
источников можно определить маловозмущенное течение около
:. 8.6.1. Кры.
ней кромкн
>вой перед-
тонкого крыла, обтекаемого под углом а т а к и, и гем самым най-
ти наряду с сопротивлением также и подъемную силу.
Возьмем два крыла с различными передними кромками. Одно ^
из них имеет криволинейную кромку с конечным сверхзвуковым $
участком (рис. 8.6.1), другое — полностью дозвуковые передние v
кромки (рис. 8.6.2).
На рис. 8.6.1 границами сверхзвукового участка являются точки *
Е, Е', в которых касательная к контуру совпадает с образующими :5
конусов возмущения. Рассмотрим потенциал скоростей в некоторой ^
332 Г

точке М, расположенной в области, ограниченной концевыми кром-
ками ED и линиями возмущения, проведенными в плоскости хОг
из точек Е, D, D' и Е'.
Согласно формуле (8.2.16), в которой область интегрирования
а следует принять равной c = Si + S2, потенциал скоростей в рас-
сматриваемой точке
(8.6.1)
В этом выражении функция Qt(x, z)—2(dy'/dy)tt=o, что следует из
(8.2.17). Эта функция опре-
деляется нэ условия безот- |_ ,
рывного обтекания поверх-
ности крыла (8.1.12). Так
как уравнение этой поверх-
ности задано, то функция
Qi(x, г) будет известной. В
частном случае крыла в ви-
де пластинки, обтекаемой
под углом атаки а, функция
Qi = 2VcoO- Таким образом,
определение <$' по формуле
(8.6.1) связано с нахожде-
нием неизвестной функции
Q2, определяющей интенсив-
ность распределения источ*
ников на участке S2.
. 8.6.2. Крыло с дозвуковыми
редннмн кромками
Для того чтобы найти эту функцию Qz, возьмем произвольную
точку N (х, О, г), расположенную в области между линиями Маха,
проведенными нз точек Е и D. В этой точке согласно (8.1.20) по-
тенциал скоростей равен нулю, поэтому можно написать в соответ-
ствии с обозначениями на рнс. 8.6.1
(8.6.2)
Первый член в правой части этого интегрального уравнения явля-
ется известной функцией координат точки, так как интенсивность
Qi на площади S3 определена нз граничных условий. Поэтому из
уравнения можно определить неизвестную функцию Qj, представ-
ляющую собой интенсивность источников в области S*.
Таким образом, если передняя кромка крыла с
симметричным профилем является полностью
или частично сверхзвуковой, то метод источ-
ников пригоден для исследования обтекания

крыла под углом атаки. Этот же вывод относится, оче-
видно, к крылу с аналогичными кромками и несимметричным про-
филем, расположенному в потоке как под углом а=?0, так и под
нулевым углом атаки.
Теперь рассмотрим крыло, у которого передние кромки дозву-
ковые. Для аналогичной точки V можно написать слеаующее соот-
ношение (рис. 8.6.2):
2 V 2 У /
Как видно, получено одно уравнение с двумя неизвестными функ-
циями Qs и Q& Аналогично Q%, функция Qa представляет собой ин-
тенсивность источников на площади Ss, принадлежа щей области,
которая расположена между левой передней кромкой и линией
Маха, проведенной из вершины крыла. Таким образом, если кры-
ло имеет дозвуковую переднюю кромку, то при
помощи метода источников нельзя исследовать
обтекание тонкого крыла с симметричным про-
филем под углом атаки, равно как и крыла с такой кром-
кой и несимметричным профилем при нулевом угле атаки или
§ 8.7. МЕТОД ДИПОЛЕЙ
Как было установлено, применение метода источников для ис-
следования сверхзвукового' обтекания ограничено крыльями с пол-
ностью или частично сверхзвуковыми передними кромками. В дру-
гих случаях, связанных с изучением сверхзвуковых аэродинамиче-
ских характеристик крыльев с дозвуковыми передними кромками,
при наличии угла атаки (или же аналогичных крыльев с несиммет-
ричным профилем и при а = 0) необходимо использовать метод
диполей.
Рассмотрим диполь в сверхзвуковом потоке. С этой целью опре-
делим потенциал скоростей течения, образующегося от элементар- .
ного источника и элементарного стока одинаковой интенсивности .
Q, имеющих координаты соответственно х=%, ¦?—?, */=е и х*=%, 2=
="?. 0 = — ?- Выбранный источник расположен над плоскостью
1/ = 0 на малом расстоянии е от нее, а сток —под этой плоскостью
на таком же малом расстоянии —е. Записывая (8.2.11) в конечных
разностях, представим потенциал от источника и стока в виде

Введя обозначение p = V(х~ ;J — a'2[y3-f (z — СJ] и пренебрегая
величиной а'2г2, получим
Используя разложения квадратных корней в ряд и отбрасывая
в этих разложениях величины второго и более высокого порядка
малости, найдем
Вычисляя предел Д<р при е-*0 и полагая, что сохраняется постоян-
ной величина M = Qe, называемая моментом (или мощно-
стью) диполя, получим выражение для дифференциала потен-
циальной функции диполя
Это выражение можно написать в виде
Интегрируя по области о, на которую распространяется влияние
диполей, получим для потенциальной функции
¦ д ('(
где число л включено в функцию распределения диполей.
Можно показать, что функция (8./.1) удовлетворяет уравнению
F.1,7). С этой целью продифференцируем (8.1.7) по «;
<*-»i(#)-iCQ~5-(i
Перепишем это уравнение в виде
.v 0
)
Теперь рассмотрим выражение (8.7.1) для потенциала диполя.
Если включить в выражение для этого потенциала величину —7эя,
то в соответствии с (8.2,12) двойной интеграл можно считать по-
тенциалом источников, распределение которых по площади о зада-
но некоторой функцией М. Следовательно,
Тия=Лр',<?у. (8.7.3)

Сравнивая (8.7.2) и (8.7.3), видим, что функция фщш действительно
удовлетворяет уравнению (8.1.7) для потенциала скоростей.
Зная форму обтекаемой поверхности, скорость набегающего
потока и угол атаки, можно найтн функцию распределения диполей
М и тем самым определить потенциал диполей фдяп. Производная по
х от функции (рдт дает дополнительную продольную составляю-
щую возмущенной скорости и = дф№п/дх, по которой вычисляются
коэффициент давления р— —1u.IV*> на несущей поверхности н соз-
даваемая этой поверхностью подъемная сила.
§ 8Д. ОБТЕКАНИЕ ТРЕУГОЛЬНОГО KMUU
С ДОЗВУКОВЫМИ ПЕРЕДНИМИ КРОМКАМИ
Крыло в виде плоской пластинки, имеющей треугольную форму
в плане и дозвуковые передние кромки, располагается внутри
конуса Маха (рис. 8.8.1). Для нахождения подъемной силы.
такого крыла воспользуемся методом распределенных диполей и
Рис. 8.8.1. Плоскс
треуго
ие крыло с доэвуюм
! кромками
соответствующей зависимостью (8.7.1) для потенциала скоростей '-'
диполей. „¦
В § 8.3 было показано, что дополнительная скорость и, индуци- |
рованная источниками, распределенными по наклоненной треуголь- ?
ной поверхности с дозвуковыми кромками, зависят только от фувк- ";
ции a^za'/х [см., например, формулу (8.3.18)]. Это значит, что вдоль -
луча, выходящего из точки излома передней кромки крыла под ут- #
лом v=arctg (z/x), скорость будет величиной постоянной. Ука- *"
закный луч можно рассматривать как образующую конуса с вер- .&
шиной, совпадающей с точкой излома передней кро>«ки. v
Течение, обладающее свойством сохранять постоянную скорость, *¦
а следовательно, и другие параметры вдоль образующей такой ко- '
нической поверхности, называется коническим течением. ¦'
Для такого течения в плоскости у = 0 можно написать, что дополни- ^
тельная скорость и является некоторой функцией отношения г/х^я

т. е. u=f(z(x). Отсюда следует, что потенциал от источников для
конического течения также зависит от этого отношения.
Рассматривая вызванное диполями течение около треугольной
поверхности как коническое, можно представить его потенциал для
точки Р, расположенной в плоскости г/=0 (рис. 8.8.1), в виде
9iw*=xFw(z/x), (8.8.1)
где Fma(z/x) —некоторая функция, зависящая только от угла ко-
нической поверхности у=агс1? (г/*)- Для точки с координатами
х, у, г потенциал конического течения можно записать в более об-
щей форме:
9иВ=хРмш.№* У1х). (8.8.2)
В соответствии с уравнением (8.8.1) зависимость, характеризу-
ющая распределение диполей в плоскости ^=0 (на поверхности
крыла), такова, что
М% Z)=lm(h), (8.8.3J
где А=?/?; т(А) —некоторая функция от аргумента А.
Преобразуем уравнение (8.7.1). Элементарную площадь, занятую диполем,
выразим в виде da-=d?d?-&rtd?, так как <*?=|d/t. Поэтому
где li представляет собой координату диполя, который может ок
нне на течение в точке Р(х, у, г). Этот диполь расположен на крю
вающей область влияния диполей (рнс 8.8.2) н получающейся
пересечения плоскости у^О с конусом Маха, проведенный вверх
точки Р. Эта кривая представляет собой параболу AtBi с уравнение
щвать влия-
|й, ограннчи-
результате
х 6,, ?,. Подкоренн
-tiW = O (8.8.5)
i (8.8.4) представим следующим
а=1-а'гД!, l = uji''l~lj;
(8.8.7)
(8.8.8)
337

Учитывая, что а = 1 - а'а, fi^ > о, найдем интеграл в правой части (8.8.8):
„-' Pfx.y.z)
8 8.5) значение o|,*+&li+c=0, след
[in Bo?, + ») - In B Y^e + *)]
(8.8.10) j
Решая уравнение (8.8.5), а
гарифмов в (8.810) с учетом (8.8.13) ра
InBee, + »)- 1п {2 /м -г *) = In ' 4ДС =4" In X
2 /дс + 6 2

. (8.8Л5,
от (8 8.15)
1 дс
имея в виду, что дс/ду~2уа'* (см. формулу (8.8.7)], i
(8.8.17)
сражение в (8.8.4):
Для определения вида функции распределения диполей воспользуемся уел
вяем безотрывного обтекания, в соответствии с которым
Частная производная (Лр,„/«ЭД,_0 определяется согласно (88.18) i
-Clg 1
юся s, о выражение в (8.8.19), найдем
(8.8.20)
Дифференцирование (8.8 17) по у д
и.частную производную по г/д (8820) с учетом (8.8.21):
0= f ——^ --ГГТТИ '"(ft)dA- (8.8-22)

Из (8.8.16) следует, что производная
^ [-"(S*S)
i I _„¦'?. f (l-a'!»)«s '
(8.8.23,
л»
с (8.8.7) и (8.8.16)
--«[--№+4)]-(^f-.rrU
(8.8.24-
(8.8.25*
. .. уравнение, получаемое
сжимаемой жидкости с
пер пен д]
Это выражение определяет потенциал в точке Р(у, z) от плоского точечного?
диполя с единичным моментом (М=\). Если момент диполя отличается от едГ-*
ннцы. а распределение диполя по размаху пластинки задано функцией Л1(п), то*
потенциал скоростей, индуцированных диполями на участке крыла di\, будет :±
Лутха = М (ц) gd-цЩг — ijJ + дЦ. (8.8.27^;
Потенциал скоростей а точке Р, вызванный влиянием диполей, расположен'*
иых по размаху пластинки на участке от гл= —с до гв=с, запишется в виде ,_
(8.8.28)

Вертикг
(tf-O)
скорости v=d<fnmaldy на поверхн
Дифференцирование д
(8.8.30)
Рис. 8.8.3. Несжимаемый двухмерный поток около
плоской пластинки АВ, принадлежащей треугольно-
му крылу и обтекаемой в поперечном направлении со
скоростью Vv> а
Из сравнения уравнений (8.8.25) н (8.8.30) видно, что оба они принадлежат
к одному типу, поэтому представляется возможным функцию распределения ди-
полей tn(k) в сверхзвуковом линеаризованном потоке выбрать по внешнему Виду
такой, как соответствующая функция М{т\) в несжимаемом потоке.
Чтобы определить вид функции Af(i). используем решение задачи об опре-
делении потенциальной функции для плоской пластинки, обтекаемой несжимае-
мой жидкостью в поперечном направлении (см. § 6.2). По этому решению потен-
циал скоростей на пластинке определяется формулой F.2.7). Следовательно,
разность потенциалов на ее обеих сторонах будет Д? = 2КУо2-гг. Теперь
вспомним, что поток несжимаемой жидкости около пластинки рассматривается
как результат наложения на невоамущенное течение потока от диполей [см.
формулу F.3.6)]. Следовательно, распределение диполей для плос-
течения, можно рассмотреть выражение для этой функции в виде
т (А) = L Yfi2 - Л2, (8.8.31 >
341

где Н2=йвН; Z. — некоторый коэффициент пропорциональности. Для определе-
ния коэффициента L воспользуемся уравнением (88.20). Внося в него (8.8.21) и
(8.8 31), получим
aVIB = -a'2L Г —*—(——- ^-arclhvj /ciga ,._ tfdk. (8.8.32)
зтветствни с (8.8.7) и (8 8.! 6) величи
— ¦ (8-8.33)
С учетом (8.8.7) значение
(8-8.34)
Для упрощения вычисления коэффициента L из (8.8.32) можно осуществит
тегрирование по продольной координате, расположенной на крыле. Принима
Интегрированне дает
niJ" "|/"i~(I-a'2clg!*)sin
(8,8.35)
(8.8.36).
представляет собой полный эллиптический
?(*) (8.8.37>,
i
\
\ второю рода с параметром *
Значения интеграла (8.837) определяются при помощи заранее вычисленных ;
таблиц в зависимости от параметра к. ¦¦
Распределение диполей может быть выражено функцией (8 8.3) при ус новин <¦
замены в Heft wi(A) no (88.31) и с учетом значения для L, определяемого иэ "
(8.8.36) В результате получаем
Найдем составляющую индуктивной скорости
крыла для у=0. Из (8.7.3) следует, что
(8.8.40) .
ц р оредяется ве но вепт кальной состав
ляющей скорости, индуцированной источниками. Сравнивая "(8 2.12) и (8.7.1),
видим, что м(|. Ц можно рассматривать как функцию, аналогичную функции

р
39)° и (8.8.4ОJ
где к-ЦЦвжв k = zjx).
Составляющая индуктивной скорости от диполей
(8.8.42)
Соответствующая величина коэффиииента давления с учетом воз-
можных знаков перед квадратным корнем
где знак плюс определяет давление на нижней, а знак минус — на
верхней стороне крыла. Поле давлений соответствует ко-
ническому течению относительно вершины кры-
ла, в котором для всех значений z\x= const коэффициент давления
Р = const,
Подъемная оила, действующая на треугольное крыло, склады-
вается из силы от давления на нижнюю поверхность, а также рав-
ной ей по величине подсасывающей силы, возникающей от разре-
жения на верхней стороне. Элементарная величина подъемной си-
лы, действующей на площадку dS = 0,5xdz (см. рис. 8-8.1),
Полная сила получается в результате интегрирования по всей
поверхности крыла SKV=x2 ctgn:
Коэффициент подъемной силы
2К 1 '?"
си= =7ГТ ) \p\c
(8.8.44)
Интегрирование дает
ci, = 2anctgx/ E[k). (8.8.45)

Для конического течения центр давления каждого треугольного
элемента, выходящего из вершины, расположен на расстоянии двух
третей высоты от вершины. Поэтому центр давления всего крыла.
будет находиться на корневой хорде в точке, удаленной от верши-
ны на расстояние двух третей хорды. В соответствии с этим коэф-
фициент момента тангажа относительно вершины крыла
тг= —СуСа^= — D/3) anctg */?"(*)¦
Для треугольного крыла с малым удлинением (х-»-я/2) величи-
на a'ctgtc<?l и можно принять значение эллиптического интегра-
ла E(k)m\. Следовательно, для такого крыла
Cj,= 2anctgx; тж= — D/3)anctg*. (8.8.47;
Выразив ctgx через удлинение крыла A,Kp=4ctgx, получим
(8.8.47';
Если угол стреловидности к выбран таким, что к = я/2—ц», и,
следовательно, линия Маха совпадает с передней кромкой, то
ctgx=tg(*« и a'ctgx=ctefi0OctgK = l.
В данном случае эллиптический интеграл ?(?)=я/2, поэтому
для треугольного крыла со звуковой передней кромкой
ca=Aacigx. (8.8.47"),
Так как "I
(8.8.48),
Это значение совпадает с величиной коэффициента подъемной силы:
тонкого заостренного профиля, обтекаемого линеаризованным^
сверхзвуковым потоком. :.
Покажем, что коэффициент подъемной силы треугольного крыла-
со сверхзвуковыми передними кромками будет выражаться тем же;'
соотношением (8.8.48). В соответствии с (8.3.33) коэффициент дав-.|г
ления на крыле в области между конусами Маха
^^^(l-f-arcsin/^), (8-8.49);
а на участке между передней кромкой и конусом Маха [см. форму-7
jiv (8.3.23)] I
(8.8.50).:

Согласно (8.8.44), (8.8.49) и (8.8.50) коэффициент подъемно*
силы
В результате интегрирования получим зависимость ck=4a/ct', сов-
падаюшую с (8.8.48).
Методы расчета обтекания треугольных крыльеь могут быть
использованы для определения аэродинамических характеристик
рхзвуковым
ками (ло=6
с вырезом (•
>П (ромб™ иди
и оокс
б
тну
несущих поверхностей в виде четырех-, пяти- и шестиугольных пла-
стин со сверхзвуковыми задними и боковыми кромками (рис.
8.8.4). Их обтекание характеризуется отсутствием зон взаимного
влияния хвостовых и боковых участков, ограниченных пересечением
конусов Маха с крылом, т. е. течение у боковых и задних кромок
будет чисто сверхзвуковым. Вследствие этого коэффициент давле-
ния на поверхности крыла будет таким, как в соответствующей
точке треугольной пластинм. Соответствующая формула для его
расчета выбирается с учетом вида передней кромки (до- или сверх-
звуковой). По распределению давления интегрированием можно оп-
ределить коэффициенты подъемной силы и момента.
Приведем результаты, полученные для четырехугольного крыла:
в случае дозвуковой передней кромки
(8.8.51)

при наличии сверхзвуковых кромок
2 3(
/ — ' arccosл, - arccos n] ; (8.8.53
\fl~nl /|_». I
1 arccos л, —
!—)>»'[ (i+.)!(i-»;I'2
(8.8.54
где ^:=(xh. — x0)/xK = igxJ\gxl; nx = tg*3/a' = e/z; xa, хк — размерь,
показанные на рис. 8.8.4. У крыльев типа «ласточкин хвост» (рис
8.4.4, о) величина е положительная, а для ромбовидных пластир
(рнс. 8.4.4, б) —отрицательная.
Зависимости для су и пгг позволяют определить коэффициен"
центра давления са.а=хяд]ха= —пг^Су. На рис. 8.8.5 показаны киь
а)
<
'-0,4
0,6/
€=0.8
--*
-0,6
~-
0,2 dfi В,В 0,8 1.0
it
г
-
II'
i
О
0,2.
\
7
ОА
~-0А
S
у
€ = 0,8
0.8 КЗ
Рис. ;
S8.5. Кр
т коэфф:
центра
характеризую!]
та подъемной с
ення (б) четыре
¦хуго
(я) и
!нпе произвол-
коэффициента
1 крыла

вые, характеризуюшие изменение су и сц.д в соответствии с приве-
денными соотношениями. Штриховые линии на этом рисунке опре-
деляют значения аэродинамических коэффициентов в предельном
случае, когда l//i = ctgKja' = e (задняя кромка звуковая).
Излом кривых на рис. 8.8.5 возникает при значении п =
= 1 (ctg j(ja'=l), т. е. когда передняя кромка звуковая. Коэффици-
енты Су и Сц.д за местом излома (при сверхзвуковой передней кром-
ке) с ростом Мао уменьшаются.
Еще один предельный случай соответствует достаточно большим
значениям ctgX(<z'3»I (й<3;1, Wi<g;l). при которых поверхность ко-
нуса возмущений оказывается вблизи корневой хорды. Из формулы
(й.8.53) следует, что параметр е практически не влияет на коэф-
фициент Су, и вырез шш приставка будут изменять подъемную силу
крыла почти пропорционально изменению площади пластины.
Нетрудно видеть, что при е = 0 формулы (8.8.51) '- (8.8.54) дают
значения соответствующих коэффициентов для треугольного крыла
си = сиД/ tnl = ml\. Расчеты по этим формулам можно упростить, еспи
четырехугольные крылья мало отличаются от треугольных. В этом
случае при условии,что | еI<? I,
с,-=с„4Д1—*], mI = mIhi{\~t). (8.8.55)
§ 8.9, ШЕСТИУГОЛЬНОЕ КРЫЛО С ДОЗВУКОВЫМИ ПЕРЕДНИМИ
И СВЕРХЗВУКОВЫМИ ЗАДНИМИ КРОМКАМИ
ми кромками (рис. 89.1). Такой вид задних кромок исключает влияние вихревой
Для того чтобы определить потенциал скоростей, воспользуемся результата-
ми решения задачи об обтекании треугольного крыла с дозвуковыми передними
кромками. Рассмотрим точку А с координатами х, г, расположенную в обла-
сти /, которая ограничена передними кромками и линиями Маха, проведенными
с (8.6 1) следующей формулой:
в которой а —область интегрирования на поверхности крыла: величины Дфг н
Дфз, представляющие собой добавочные потенциалы, определяются выражения-
ми, подобными второму н третьему члена» в правой части (8.6.3), вычисляемым
ля областей интегрирования <Ji и аг (заштрихованы на рис. 8.9 1)
Принимая во внимание, что <?| = 2АК„ = 2«УМ, перепишем (8.9.1) в таком
"« ,8.9.2)
.
. (8.9.3)
347

Для дальнейших преобразований введем характеристическую систему коор-
динат, оси которой г и s совпадают с направлениями линии Маха, проведенных
из вершины крыла (рис. 8.9.1):
г — <м,в/2я'Н-* — а'г), s = (Мл/2а')(х + а1 г). (8,9,4
Характеристические координаты точки А(хл, гл) будут следующими:
rA:=iMlx./^')(xA— а'гА), sA = (IAJ'2a')(xA + a'zA). (8.9.4',-
Приведем к характеристическим координатам г и s уравнение (8.9.2). Из
¦, r-s= -Миг. • (8.9.40
Рис. 8.9.1. Шестиуголы
передними и сверхзвуке
Следовательно,
-s^) —(г - s>].
(8.9.5) ^
Внося эти выражения в (8.9.2) н принимая во внимание, что элемент площади в
координатах г и s будет rfo^dr-rfssin B^™) (рис. 8-9.1), а пределы интегрировав
аия sB и sa. гс и гл, получим уравнение для потенциальной функции
Координаты sB и гс выразим соответственно через координаты точки г л
и sA. Так как уравнения передних кромок в координатах г и х будут z= ± tgx,-
то в соответствии с (8.9.4") эти уравнения в координатах г и s преобразуются

т = sm (для правой передней кройки г = + х ctg *>;
т = s/m (для левой передней кромки х = — х
следующим образом:'
(8.9.7)
с = вс"' = 3лт и sg — ram — гАп.
(8.9.8)
(8.9.9)
Подстав]
вавдем
<¦-(•-1)/(л+1).
9,= —
(8.9.10)
(8.9.11)
где Л = гл/хА (идя А = с/5).
Сравнивая уравнение (8.9.1!) с соотношением (8.8.41) для потенциальной
функции в рассматриваемой точке, вндим, что для согласования результатов в
(8.9.11) следует принять величину
Тогда в точке А, расположенной на крыле в области /, потенциал скоростей
(8.9.13)
В соответствии с этим уравнение, которым необходимо пользоваться при опреде-
ленна потенциальной функции на крыле, будет иметь следующий общий вид;
aV (п +1) f f dr ds
"'1= Л z{z, JJ у
(8.9.14)
Воспользуемся уравнением (8.9.!4) для определения потенциальной функции
в точке А. расположенной в области //, которая ограничена линиями Маха, вы-
ходящими из точек D и Q, боковыми и частично задними кромками. Уравнение
F.9.14) напишем в таком виде:
47/= "
По аналогии с (8.9.8).
sB, = rB,m = rAm. (8.9.16)
Точка К расположена на боковой кромке, уравнение которой г—Щ. В коор-
динатах г a s уравнение боковой кромки в соответствии с (8.9.4") будет
r-s= -М„//2. (8.9.17)
349

Тогда для точки К коорд
Учит
Подст-aBj
находим
Гочки К'
ывая также, что
aV (я 1
V" пМ„?(.
тяя вместо гА. sA
«V,
v" "?|
, 'К
и С расположен
*) И 1
к т соо,
» 1 /" )
:*> У
ы на боко
[»V2 == s^ -
получим по
гд-(.д-
ветствующис
'f *
iVr'-r
еле интегрирования (8.
2 /J(i" '¦4''°'
значения из (8.9.4') и
(ХА \
SG' Л
9.! 5)
( -
(8.9.10),
(8 9.20)
(8.9.21)
г= +г/2
р овых крма, ур
(знак плюс дли правой, знак минус для левой нрочки).
уравнения этих кромок в соответствии с (8.9.4) имеют вид;
r-s= - Мж//2 (для правой кромки); 1
r-s = Mga'f2 (для левой кромки). )
Поэтому для точек К' и С можно записать соответственно:
rK, ~sK. -1И„>/2-.,,-М_</2; j
Интегрирование (8.9.2!) с учетом значении пределов (8.9.2
(8.9.22)
(8,9.23)
з (8 9.4'):
скорое™ «-ва>,'/Лд(п-/, //, Ш)°я о'п'редыяе.м козффииенты "да*
соответствующих областих из нижней и вернем сторонах крыла:
- =„^_ ^" _ . ° I,/" (» + |)('-г»д)
(8.9.26)

Здесь знак плюс в правой части равенств с
минус—верхней.
Приве
1ыми крыльями с приставкой (см. рис. 8.9.1)
>ев с вырезом н крыльев с прямой задней
показанных на рис. 8.9.2).
;нин применим:
кромкой {пята
Рис 8.9.2. Крылья с дозвуковыми передними и бо-
ковыми, а также со сверхзвуковыми задними крон-
канн:
ха давлен!
По
коэффициее
нение вблизи боковой кромки величины Др/а = (ря ~ре)/а. как <}
гояння от передней кромки (в процентах хорды), вычисленной по
¦ На поверхности концевого конуса Маха наблюдается разрыв д;
кромьой и концевым конусом Ма-
ВР (8.9.27)
?оо^кр*|ф $t:\i&xr
XI \ {ря — pB)xdxdz,
где SHp и Ькр — соответственно площадь и
корневая хорда крыла, ря и ря—коэффн-
ронах, определяемые по формулам (8.9.26).
п„ „и.„.„вч т и С? ножно ОПреде-
г центра давления сцд =
-:„. На рис. 8.9.4 показа-
кррсвые, характеризующие
пллсп^ппь vgp п 1.ц д для крыла н внде пя-
тиугольной пластины. Случаю дозвуковых
По
ЛНТЬ №9ффИ1[Ж
=*»«№«р= —»
л теоретическр
40 ВО 83 W3%
Х--ШЬ) №
Рис 8 9 3. Распределение величи-
ны Ар/а~{рв — р»)/« вблизи бо-
ковой кромкн пятиугольного кры-
ла с дозвуковыми передними
кромками (сечение АА)
351

t
г1
f
-
:
~Г
-fi

f
i]
Рис. 8.9.4. Кривые, характеризующие
изменение коэффициентов подъемной
силы (а) и центра давления (б) пя-
тиугольного крыла
редких кромок на этом рисунке соответствуют участк
:р г М1 — * < W '8 х- Особеиностью графиков, ;
вующнх кривых при переходе к сверхзвуковым передним кромкам (т. е. когда
5 8.10. ШЕСТИУГОЛЬНОЕ КРЫЛО СО СВЕРХЗВУКОВЫМИ ПЕРЕДНИМИ
И ЗАДНИМИ КРОМКАМИ
В целях расчета обтекании крыльев произвольной формы (в том числе шести-
угольных, имеющих сверхзвуковые передние кромки) на участках / и // (рнс.
8.10.1, а, б) можно использовать соответствующие результаты для треугольного
крыла с такичи же передними кромками (см. § 8.3).
Согласно этим результатам, коэффициент давлении в точке А(хл, гл), рас-
положенной на участке / между перепней кромкой и линиями Маха, проведен-
ными из вершины крыла и точек D, G его боковых кромок, определяется по
формуле
~Р,= ±2а/(а'[Л-/1г), (8.10.1)
которая получена из (8.3 23) при условии замены X на а. При этом же условии
находится соответствующая зависимость для коэффициента давления в обла-
сти //, ограниченной линиями Маха, выходящими из вершины и тех же точек
D, С. Согласно (8.3.33),
(8л0'2)
части шестиугольного крыла (рнс. 8.10.1, а-е-з)
уравнения (8.3.1) для потенциала скоростей {:
ееенн s [ (894)} пре

образуется к виду
где гл, sa —координаты рассматриваемой точки А на поверхности шести уголь-
Координатные прямые г и s направлены по линиям Маха. Эти линии Ма\а,
мак н линии слабых возмущений, исходящие из точек G и Д а также из точек
G' и ?У, которые лежат иа пересечении координатных линий г и s (линий Маха)
с боковыми кромками, делят поверхность крыла на восемь областей. В каждой
на этих областей потенциал скоростей вычисляется при помощи уравнения
(8.10.3).
Рассмотрим произвольную точку А, расположенную в области Я/ (рис.
8.10.1, в). При определении потенциала скоростей а этой области необходимо
учитывать источники, расположенные как на поверхности крыла (на участках
площадей S^AD&A' и Si^A'D,D), так н вне ее (участок SZ=A'DD").
Используя (8.2.13), можно написать выражение для у'т в точке А (х, 0, .-)
в следующем виде:
На участке площади крыла S|+Ss интенсивность источников известна и рав-
на Q=2e=2aV», поэтому
Чш = ~ JJ ... — — " —
(8.10.4')
где Q(E, ?) —функция, определяющая закон распределения источников в обла-
сти Si вне крыла. Интегрирование можно провести, если известна эта функция.
Для ее определения воспользуемся граничным условием (8.1 20), в соответствие
с которым потенциальная функция на плоскости хОг в области между бокопий
кромкой и линией Маха, проведенной из точки D, равна нулю. Для точки А'.
принадлежащей этой области, условие равенстиа нулю потенциальной функции
запишется по аналогии с (8.6.2) следующим образом:
равнении с (8,10,4') следует, что для вычисле
: А(х, 0, г) в основной формуле (8.10 4) дос
1ание по области 5Ь т. е.

По этой формуле суммарное воздействие на точку А области источников ///, рас-
положенных на участках 5% площади крыла и S3 площади вне крыла, рааио
нулю [8).
Иссюльзун выражение (8.10.4"), преобразованное к виду (8 10.3) в коорди-
натах г, s, получим
. f _jg_ j_j!_, (8.
10.5)
: (8.9.8) для точкн А,, рас
SO, = fD,lm = T
кромке,
(8.10.6)
Нижний предел интеграла гл' находим нз уравнения боковой кромки z—I/2,
В координатах г и s это уравнение имеет вид (8.9.17), следовательно, координата
С учетом (8.10,6) интеграл
где m = (n— I)/(n + t); m = (i — n)/{n + 1), Поэтому
Интегрируем это выр;
fill
<[iw^,-.^-.^/^q.
Внося значение гл- на (8.107), пoлyч^
T
С учетом выражений (8.9.4') для гА н sA и значений «=(i
= — т потенциал

Определяя производную
(8.Ш.9)
Потенциал скоростей в точке А области IV (рис. 8.10.1, г) определяется
действием источников, распределенных на площади AJOTR. Эту площадь разобь-
ем на два участка Si = OTRQ н S2—OQAJ и определим потенциал в рассматри-
ваемой точке как сумму потенциалов, обусловленных действием и сто чинков на
участках 5, и 5а. Применяя формулу (8,10.3), получим
"А =Х
Пределы интегрирования sr' и Sj1 определяются при помощи (8.9.8). Для точ-
ки Г на правой кромке н точки /' на левой кромке находим:
sT, = rT,jm — rim, Sj. — rrm — r,
С учетом Этих значений пределов вычисляем интегралы:
(8.10.11)
В соответствг
п определяется по формуле (8.9.23) в виде

Производим интегрирование:
g 1/ Г'*
-Sol'. Г
=- 7=
rjrj» - (гд - sj/n) arclg I
+ 1) находи!
Вычисляем коэффициент давлении
P/v

Применяя для двух последи*
(8.10.13)
формулу arclg* — arctgy =
{8.10.13')
Рассмотрим область V. Для точки А, расположенной в этой области (рис.
8.10.1, д), потенциал
В соответствии с этой формулой скорость в точке А индуцируется источниками,
находящимися на участке площади крыла ANPU. Внутренний интеграл в
(8.10.14), нижний предел которого sK'=rm, будет
/¦у = sA — MJ/2,
получим после интегрированы)
Переходя к обычным координатам л н у и принимая i
т-(п— 1)/(я+1), га=— т, найдем

i^rr^—-«I/ ,||+.,J/ ,
" a'(n-l) +T
кисляя производную по «л, определим коэффициент давлен!
— 2 ^Тс ± 4а
. (8.10.15-J
у« д*л „а- /гг^;
(8.10.16)
¦ В области VI потенциал скоростей определяется следующим обра:
8.10.1, е):
_avM
—У. '( tr
: (8.9.4) и (8.9.7) пределы интегралов в выражении (8.10.17)
(8.10.18)
В результате интегрирований найдем соответствующее соотношение для qy,
скоростей как функцию этих координат. Вычисление производной di$'vl/дхА
К подстановка ее в формулу р = — 2(df'vl!dxAIVa) дает следующее выражение
дли коэффициента давления в рассматриваемой области:
±1* Гагс[д A
[ j/

Для точка А, расположенной в области VII (рис. 8.10.1, ж),
~ aVm се drds
(8.10.19)
aV°° С dr P ds
V ° d *A d
Потенциалу (8.10.20), вычисленному
(8.102!), соответствует коэффициент да!
*ям пределов интегрирования
x, + a'z.l-(//i.'(. + l) +
(8.10.22)
Наконец, рассмотрим область VIII (рис. 8 10.1, з), для точек которой уча-
сток интегрирования пересекается одновременно с областью Ql и с областью Qi;
концевых кромок DE и GH, Чтобы вычислить потенциал скоростей в рассмат-
риваемой точке А, принадлежащей области VIII, достаточно распространить
рн
анной
361

i. 10-1, э, причем интеграл, вычисленный по области S, в формуле (8.10.3)
зт взять с обратным знаком, т. е. со знаком плюс. В соответствии с этим
(8.10.23).
У У см-о с.-» 4. ^^ I, У'А~'
drds ("С drds
5, V (rA-r)(sA-s) JJ У A-ч-^)(«л-«)
drds Г Г drds^
., V (М-1(»ч-») +iJ У С-Ч-ООЛ-")
"r ^ "s + Г —?— Г —О—. (8.10.2
Пределы интегралов имеют следующие значения:
г , — rH =sA — M V2- sa —mr, s , = sF =гА — М 112;
при условии, что
(8.10.26)
¦A-^J/2, r^-^-Mj/J. (8.10.26')
С учетом этих значений пределов вычисляются интегралы(8.10.24) и (8.10.25),
а затем находится потенциал скоростей (8.10.23). Этому потенциалу соответст-
вует коэффициент давления
р д р ррд
только к шестиугольным крыльям с приставкой (см. рис. 8.9.1), но и к другим
формам, а именно к крылу с вырезом и пятиугольной пластине (см. рис. 8.9.2)
б сверх
форма
при усл
р у (
кромки дозвуковые, а передние и задние — сверх-

звуков]
= 1Рн-
ДЫ). Bi
на рис.
je. Соответствующее н:
-рвIа. как функции р
счисленной для крыла
в форме
нне коэффициента перепада л
(8 9.271
1ИЕм излома очертания I
найденному распредел
|. (8.9 28) ко.ффио.евт
[авленнн.
кромки ь
1Я ОТ
иен к[
1 части
ihOBOff
, npiw
.рыта.
1.1
передн*
угольн.
ЮМ КОЙ
е, огр.
крочк
сходит
г чожн
вой кромки аеличн
;й кромк
ика при
и волной
:н (в прод
M..I.61,
и боковой
Маха, ко
ях Маха i
прн помои
Рис. 8.102. Распределение ве-
личины Др/а= (ря — р„)/а
вблизи боковой кромки пяти-
угольного крыла со сверхзву-
ковыми передними кромками
(сечение АЛ)
3
//
XL
Ф
ч
я—
(г
го ив ев во щ,%
что Хкр У W»— I >J-n|1lgti. т е в случае, если передняя кромка сверх-
звуковая. Если крыло имеет дозвуковые передние кромки (см. рис. 89.1), то на
обтекание участка поверхности между кромками и линиями Маха, выходящими
из точек Е к И, будет оказывать влияние вихревая пелена. Расчет этого обте-
кания связан с решением интегрального уравнения (82.16) и использованием
граничных условий (8.1.15). (8.1.16). Такое" решение подробно рассмотрено проф.
Красильщиковой в работе [8].
} 8.11. СОПРОТИВЛЕНИЕ КРЫЛЬЕВ
С ДОЗВУКОВЫМИ ПЕРЕДНИМИ КРОМКАМИ
Рассмотрим расчет сопротивления стреловидных «рыльев с до-
звуковыми передними кромками, обтекаемых сверхзвуко-
вым потоком под углом атаки. Как известно из предыдущего, по
своим свойствам возмущенный поток около таких' крыльев в на-
правлении нормали к передней кромке является дозвуковым. Такое
обтекание сопровождается перетеканием газа из области по-
вышенного давления в область, где оно меньше (с нижней стороны
на верхнюю или обратно) и является причиной соответствующего
силового воздействия на крыло. Для определения этого воздействия
можно воспользоваться результатами исследования возмущенного
дьижения несжимаемой жидкости около профиля в виде плоской
пластинки, расположенной в потоке под углом атаки (см. § 6.3).

где
Коэффициент лобового сопротивления тонкого крыла с дозвуко»
выми передними кромками, обтекаемого сверхзвуковым потоком^
определяется по формуле :
сх = аси-схТ, (8.11.1)
в которой схт — коэффициент подсасывающей силы крыла, завися-
щий от угла стреловидности передней кромки к и числа Мх:
,„). 18.11.2)
Т — подсасывающая сила;
9« = рш^г«/2 — скоростной напор;
SBP —- площадь крыла в плане.
Для определения силы Т
можно использовать зависимости,
полученные в § 7.6 для стрело-
видного крыла бесконечного
размаха. Это следует из того, что
в соответствии с G.6.18) н
G.6.19) подсасывающая сила оп-
ределяется изменением осевой
составляющей скорости в м а л о я
окрестности передней
кромки рассматриваемо-
го профиля (сечения), а
также местный угл-ом
стреловидности и не зави-
сит от поведения этой скорости
вдали от передней кромки.
Используя G.6.18), можно написать
(8.11.3)
где коэффициент с определяется из G.6.19).
Определим в качестве примера лобовое сопротивление треуголь-
ного крыла. С этой целью воспользуемся выражением (8.8.42) для
возмущенной скорости. Приняв в нем значение ctgx=2/jrn.,;. на-
пишем
где Хп.и — расстояние до передней кромки; г, х —координаты точки
крыла (рис. 8.11.1). Внося значение и5 в G.6.19) и учитывая, что
lim (хМт.к) = 1, получим

Подставляя это выражение в G.6.IS) и интегрируя, найдем
=2!!=f!Sl Л=. 2l/i + te"x-Mif^=
2 !_?(*) J 4
Коэффициент подсасывающей силы согласно (8.11.2)
18.11.4)
Принимая во внимание выражение (8.8.45) для су, определим
cxT = {cl/in) j/"i + tg*x — Mi. [8.11.4')
Согласно этой формуле, коэффициент подсасываюшей силы про-
порционален с„г, т. е. cxT=ctCvs. Коэффициент (пропорциональности,
равный для треугольного крыла с , = A/4п) у 1 -Ь tga х — М^,,
при переходе к другой форме изменяется и будет зависеть, вообще
говоря, не только от х и М», но также от сужения т]ер и удлинения
Янр. Однако исследования показывают, что влияние этих дополни-
тельных параметров невелико и расчет подсасывающей силы для
крыла произвольной формы можно вести при помощи (8.11.4').
При сверхзвуковой передней кромке (M»cosx>l), а также в
случае, когда передняя кромка становится звуковой itgx=ctgf*<» =
= V ML — lj. коэффициент подсасывающей силы равен н>лю. В
случае дозвуковой кромки (M«cosx<:l) величина с^тФО, однако,
как показывают экспериментальные исследования, ее действитель-
ная величина меньше расчетной. Это особенно заметно при больших
углах атаки или стреловидности, при которых <в окрестности перед-
ней кромки происходит местный срыв потока и дальнейший рост
разрежения не наблюдается. Уменьшение подсасывающей силы
можно учесть поправочным множителем Дг, в соответствия с кото-
рым
Экспериментальные данные об изменении величины Д7 приведе-
ны на графике рис. 8.11.2. Согласно этим данным, подсасывающая
сила при дозвуковых скоростях с увеличением угла атаки снижается
меньше, чем при сверхзвуковом обтекании, так как при таких ско-
ростях менее заметен срыв потока с передней кромки и больше
разрежение. Согласно опытным исследованиям, при дозвуковых ско-

ростях поправочный множитель в (8.11.5) определяется по форму-
леA3]
дг= (с* кр)-1 — 1/(лХкр). (8.11.6)
На крыльях с заостренной передней кромкой подсасывающая
сила не возникает, т. е. коэффициент схт~0. Рассмотрим полное со-
противление крыла, которое в соответствии с (8.1 Ы), (8.11.5) и
flfl
mi
0.2
п
г.
<^
•О
N
N
——.
—
¦ч
' ,
it'
\
к/"
"¦С
N
S
X
\
\
\
Рис. 8.112. Изменение
муле (8.11.5) для рас
(8.8.45) представим в виде
Принимая во внимание, что удлинение крыла
(8.11.7)
iTY l_ctg4(Mt, — 1)]. (8.11.8)
"'Чф
Рассмотрим случай звуковой скорости обтекания Если Ми-*-!,
то ?(fe)-»-l и, следовательно, коэффициент сопротивления
сс = 4/(лХкр). (8.11.9J
Выражение (8.И.9) совпадаете формулой F.4.16J для коэффи-
циента индуктивного вихревого сопротивления крыла конечного
размаха (при условии, что 6 = 0). Таким образом, физическая
природа силы сопротивления, возникающей при
обтекании треугольного крыла с дозвуковыми
передними кромками, обусловлена индукцией
вихрей, образующихся за этим крылом. В соответ-
ЗС6

ствии с этим величина, определяемая (8.11.8), называется коэф-
фициентом индуктивного сопротивления.
Если передняя кромка звуковая (tgx^VM»2—1), то второй член
в квадратных скобках (8.11.8) равен нулю, a E\k) =?@) =я/2;
следовательно, коэффициент индуктивного сопротивления
c, = c*i=4/V (8.11.10)
Для очень тонкого крыла (х-*л/2) можно принять ctgx^O и
?(*)«?(! ) = 1, В этом случае выражение (8.11.8) совпадает с
(8.11.9).
Формулу (8.11.8) можно отнести наряду с треугольными также
к крыльям в виде четырех-, пяти- и шестиуголыных пластин с дозву-
ковыми передними, сверхзвуковыми задними и боковыми кромками
(см. рис. 8.8.4). В частности, для четырехугольных крыльев коэф-
фициент су в (8.11.8) находится из (8.8.51).
} 8.13. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРЫЛА
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ В ПЛАНЕ
Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла конечного размаха пря-
моугольной формы в плане под малым углом атаки характеризует-
ся влиянием на возмущенное течение вблизи поверхности перед-
ней сверхзвуковой и боковых дозвуковых к р о-
м о к. При этом одновременное влияние передней и одной боковой
кромок имеет место в пределах конусов Маха с вершинами в углах
крыла О и О' (рис. 8.12.1, а), если образующие этих конусов пере-
секаются вне крыла. Если же пересечение этих образующих проис-
ходит на поверхности крыла (рис. 8.12.1, б), то наряду с областями
// и //', где сказывается влияние одной боковой кромки, возникает
зона ///, IB которой на возмущенное течение воздействуют одновре-
менно обе боковые кромки.
На крыле в области /, расположенной между передней кромкой
и конусами Маха, возмущенное течение обусловлено влиянием
только передней кромки. Здесь коэффициент давления определяется
по формуле для плоской пластинки
(8.12.1)
Для расчета возмущенного течения в области // (см. рис.
8.12,1, о) воспользуемся методом источников. Скорость в точке А,
расположенной в этой области, индуцируется источниками, распре-
деленными на участке крыла АСОЕ. При этом суммарное действие
на точку А источников ВСО и OBD равно нулю н, следовательно,
интегрирование в (8.10.3) необходимо вести по области ABDE. В
соответствии с этим потенциал скоростей в точке А
Л {rA-r){sA~s)

A *
\ У
-Да
/
/
\
\
/
/
\

_-°У, f ds Г dr
(8.12.2)
Точка F находится на передней кромке, уравнение которой х=0.
Поэтому в соответствии с (8.9.4) для этой кромки
r=-{*U/2Jz, s=(Mj2)z. (8.12.3)
Следовательно, уравнение передней кромки в координатах г, s бу-
дет
r=-s. (8.12.4)
Поэтому для точки F координата rF=r= —s.
Точка В расположена на боковой кромке, уравнение которой
2=0. Поэтому в соответствии с (8.9.4) для этой кромки
г = (Мсс/2а')л, 5=(Моз/2ц/)-«- (8.12.5)
Следовательно, уравнение боковой кромки в координатах г, s будет
r=s. (8.12.6)
Для точки В координата sB--rB=rA-
Производя интегрирование в (8.12.2) с учетом значений преде-
лов />= —s и sB = rA, найдем
Внося в (8.I2.7J значения гА и sA из (8.9.4'), получим
Находим коэффициент давления, применяя формулу
(8.12.8)
На границе двух областей / и II, разделяемых линией Маха, коэф-
фициент давления, определяемый по (8.12.8), должен быть равен
значению (8.12.1). Действительно, так как уравнение этой границы
тп из (8.12.8) находим

Из (№Л2.8) следует, что у концов крыла давление в точках, рас-
полагающихся вдоль линий, уравнение которых z/.r=const, будет
постоянно. Эти линии можно рассматривать как образующие
конических поверхностей и, следовательно, считать течение в ука-
занной области крыла коническим.
Вычислим аэродинамические коэффициенты крыла. Подъемная
сила, действующая на элемент площади концевого участка крыла.
Из рис. 8.12.1, а видно, что элементарная площадь
dS=-
-dy.
(8.12.10)
где у — угол, измеряемый от боковой кромки.
Внося в (8.12.9) значения рв и —рв из (8.12.8), величину dS из
(8.12.10) и производя замену zA/xA=tg у, будем иметь
Разделив это выражение на произведение площади крыла, заклю-
ченной внутри конуса Маха, Sn = bs/2a' и скоростиого напора ?«,=
=p«V»a/2 и осуществляя интегрирование, получим коэффициент
подъемной силы концов крыла
= — \ arctgl
Интегрируя по частям, найдем
С; = 2а/а' = 2а/Кл?-1. (8.12.11)
Найдем коэффициент подъемной силы суц концевых участков кры-
ла, отнесенный к полной площади крыла SKV^=lb\
с u=cas"+s'* =c;_^=,c;_!_, /8.12.П')
" " SKp * Iba' " лкра' v '
где Up = t/b.
Коэффициент подъемной силы участка крыла /, отнесенный к
площади Si этого участка,
/ У (8.12.12)
с'й= 4а/а' =4а / У М» ~ 1.
Коэффициент подъемной силы этого участка, отнесенный к полной
поверхности крыла,

Суммарный коэффициент подъемной силы
(8.12.14)
Коэффициент волнового сопротивления
\. (8.12.15)
По известным данным о
распределении давления и о
коэффициентах подъемной си-
лы отдельных участков крыла
можно вычислить коэффици-
ент момента относительно
оси г:
mz=MJ(qaSKPb). (8.12.16)
Момент Мг от сил давле-
ния, распределенных ло по-
верхности крыла, можно найти
как сумму моментов подъем-
ных сил относительно оси г,
действующих на различных
участках крыла (рис. 8.12.2). Рнс 8.12.2. К определению
Учитывая, что на треугольных чеек0ГО момента прямоугол
участках «рыла точка прило-
жения подъемной силы совпадает с центром тяжести пл<
стка, напишем для момента
(8.12.17)
где К/1', К{2) и У//—значения подъемной силы, вычисленные для
площадей участков соответственно CDB (HFE), EFCB и
ADB (GHE). Согласно (8.12.11) и (8.12.12),
(8.12.18)
SZU
-S,,.

Внося (8.12.17) и (8.12.18) в (8.12.16) и принимая во внимание зна-
чение 5/1 = 5кр/B/.кРа'), получим
Л 2 V (8.12.19)
Коэффициент центра давления
(8.12.20)
Если число И™ потока, обтекающего крыло, изображенное на
рис. 8.12.1, а, уменьшается, то при некотором значении этого числа
концевые конусы Маха пересекаются внутри крыла. При этом воз-
никает область /// {см. рис. 8.12.1, б), в которой на возмущенное
течение влияют передняя сверхзвуковая и обе боковые дозвуковые
кромки. Характер течения в областях / н // (//') будет таким, как
в соответствующих зонах I w II (IV) крыла, схема которого пока-
зана на рис. 8.12.1, а.
Рассмотрим течение в точке А области /// {см. рис. 8.12.1, б).
Область влияния источников на это течение совпадает с участком
крыла ABDD'B'. Этот участок можно представить как сумму пло-
щадей HBDD' и AHD'B'. С учетом этого и в соответствии с (8.10.3)
потенциал скоростей в точке А
JLYirA-r){,A-s)
Непосредственно из рис. 8.12.1, б можно определить пределы
интегрирования и написать:
„ Г sh 'a sa 'a
Первые два интеграла вычисляются по аналогии с (8.12.7); два дру-
гих интеграла определяются независимо друг от друга, так как об-
ласть интегрирования представляет собой параллелограмм {см.
рис. 8.12.1, б). С учетом этого
_ lav
- УСл + s) (s J - s) ~ ft т 'a) MC'f

|j д-»я)(о-г,.)}- (8.12.21)
На рис. 8.12.1, б видно, что координата sH=Sc, а в соответствии
с {8.12.4) значение so.= —го.. Поэтому sh=—гд.= —гв'.
Точка В' расположена на правой боковой кромке, уравнение ко-
торой z=l. Из {8.9.4") можно найти уравнение этой кромки в ко-
ординатах г. s:
r-j=-MJ. (8.12.22)
Отсюда для точки В'
rB,^s,,--IAJ=sA+NU. ¦ (8.12.23)
В соответствии с этим координата
sa^-rB.= -sa+HU. (8.12.24)
Подставляя в (8.12.21) координаты Гл и Sa из {8.9.4'), а гв< и
Sh из (8.12.23) и (8.12.24), найдем
т7и = „. " 1УКхА-а'гй)-а'ЦA-гА)а'-\-
-arclgj/—^—jj. (8.12.25)
Применяя формулу р = — B/VBC)dtf'i,i!dxA, находим коэффици-
ент давления:
Рш"^ ferctg ]/Цaretg 1/ |.
яо' I V хА-а'гА у {1—гА)а' J
(8.12.26)
Представим второй член в квадратных скобках в виде

Следовательно,
"У"
1
VM
-))-
-=-. (8.12.27)
Первый и второй члены в этом выражении представляют собой со-
ответственно коэффициенты давления рп и р1г, для концевых уча-
стков крыла, а третий член — коэффициент давления рг в области /,
где не сказывается влияние боковых кромок.
Обтекание прямоугольного крыла носит еще более сложный ха-
рактер, если крыло имеет малое удлинение и величина
iKpVMiL —1 <1. В этом случае (см. рис. 8.12.1, б) возникают новые
волновые области, образо-
JJa VmL,-' ванные в результате пересе-
чения падающих и отражен-
ных от боковых кромок воли
возмущения. Например, воз-
мущения, идущие от участ-
ка ОН левой боковой кром-
ки, достигают на участке
О'Н' правой кромки, а че-
рез нее распространяются
вдоль линий Маха О'О" —
Н'Н" в противоположном
направлении. В результате
возникнут новые волновые
зоны IV, V, в которых суще-
ственным образом изменит-
ся характер обтекания. Рас-
чет этого обтекания можно
осуществить, используя из-
ложенный ранее метод ис-
точников и лринимая во вни-
мание указанный сложный
характер образования зон
возмущения.
По известному распреде-
лению давления при помо-
щи формул {8.9.27), (8.9.28)
подсчитываются коэффици-
(удлиненне \р-Ч°) вНТЫ ПОДЪеМНОЙ СИЛЫ, МО-
мента, а -из выражений спд=
= —m,lcv и сх = асу—коэффициенты центра давления и сопротив-
ления рассматриваемого «рыла. По данным такого расчета на
рис. 8.12,3 построены кривые, характеризующие изменение коэф-
фициентов подъемной силы и центра давления прямоугольного
крыла с различным удлинением.
f
-г
Е
—4-
-4
]
1
—
- 8.12.3. КркЕ
«арактеризующие \
лы (а) и коэффш
[ (б) прямоугольн

$ 8.1J. МЕТОД ОБРАТИМОСТИ
шеских исследований — метод
л соотношения между аэродина-
шиаковой формы в плакс, обте-
Предгголожим, что одн
шл под углом атакн а,,
зки а2 (рис. 8.13.1). Сог.
Рнс. 813.1. Схема к tmj
МО
; —пряной поток. 3 — обращ|
какой-либо точке поверхности р— /j»——p=,V^u, a neper
ней н верхней сторонах
В соответствии с этим выражением полная сила для крыла /, обтекае
мом направлении,
^
а для крыла 2, обтекаемого в обратном направлении,
(8.13.1
(8.13.2>
(8.13.3)
Величины избыточного давления Ар,, &р2 н местных углов атаки а1г а2 иэмер'
ны в одной и той же точке.
В дальнейшем не будем учитывать подсасывающую силу, которая мож<
развиваться на передней дозвуковой кромке, что не изменяет результатов вь
вода. Так как потоки около крыльев слабовозмущенные, то наложением и
друг на друга можно получить некоторое новое течение с параметрами, удовле
воряющнми линеаризованному уравнению для потенциала скоростей. Налижет
осуществим таким образом, чтобы скорости набегающих потоков нычиталиа
Тогда очертание нового крыла 3 (рис. 8.13.1) будет совпадать с очертанием зг
данных крыльев / н 2, но изогнутость его поверхности будет иной.
г с (8.13.4) верт
( поверхностей с
ожении будут в
= а,+аа. (8.13.4)
«орости v в соответст-

Отсюда перепад давлений яа нижней и верхней сторонах этого крыла
или сошсно (8.13.1)
Лобовое сопротивление крыла 3
X, - f [ (Ли - ЛИ) (»] + «й 'S. (8.13.6)
Возникновение лобового сопротивления у обтекаемого крыла связано с по-
явлением за ним возмущенного течения, представляющего собой бесконечно
длинную вихревую пелену, сбегающую с задней кромкн. Из физических сообра-
жений должно быть ясно, что между возмущенным состоянием потока за крылом
и силой лобового сопротивления имеется строгое соответствие. В таком соответ-
ствии находятся, в частности, сила -Y] и возмущенное состояние за крылом /, а
также сила Х3 и возмущенное состояние за крылом 2.
Если рассмотреть крыло 3, то поток около него, полученный в результате
наложения друг на друга течений около крыла / и крыла 2. будет обладать тем
свойством, что впереди него возмущения будут такими, как для крыла 2. а по-
зади— как для крыла Л Таким образом, сила лобового сопротивления совме-
щенного крыла 3 равна разности сопротивлений крыльев / и 2, т. е.
Приравнивая правые части (8.13.6) и (8.13.7), полу-ян
ff Д/>до15= ff bp&i/tS. (8.13.8)
S-JJ Д
где коэффициен
Пользуясь правом
и а2 постоянными для
J f ApidS - ff ApidS или К, = ?
емкая сила плоской пластинки при прямом {У,) и обратном (Yt) ее обтекании
будет одинаковой, если углы атаки и скорости набегающего потока одни
Исследовании показывают, что основное соотношение (8.13 8) метода обра-
тимости может быть использоаано для исследования аэродинамических характе-
ристик не только изолированных крыльев, но и летательных аппаратов, которые
представляют собой «тонкие» комбинации крыла с другими конструктивными эле-
ментами, такими, как корпус (тело вращения), оперение и органы управления.

ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ,
ПРИМЕНЯЕМЫХ В АЭРОДИНАМИКЕ, ИЗ СИСТЕМЫ МКГСС
В МЕЖДУНАРОДНУЮ СИСТЕМУ (СИ), ГОСТ 9867—61
Сшспыя МКГСС
Длкиа [?, 1, 6, d]
Масса [m]
Сила [Л X, Y, R, JV]
Врем» [!)
Температура термодина-
мическая (абсолютная)
1П
Скорость [V, о]
Ускорение [»]
^Ускорение
Плотность {масса единицы
Объема) [р]
Удельный объем {объем
единицы массы) [t>-l/pl
Удельный вес (вес едини-
цы объема) [у]
Весовой секундный рас-
ход [Gotf 1
Давление \р\
Динамический коэффици-
ент вязкости [ц]
Кинематический коэффи-
циент вязкости [v=|»/p]
Работа, энергия \Е\
Мощность [N]
Количество ^плоты^^
Энтропия (удельная) [S]
Энтальпия (удельная) [i]
Удельный тепловой по-
гок (поверхностная плот-
ность теплового потока) [q]
Коэффициент теплоотда-
Основные единицы
Метр (м)
Килограмм (кГ)
Секунда (сек)
Градус (по шкале
Кельвина, К)
1 кГ=9,81 к (ньютон)
Производные единицы
1 WmM>
9.81 м/сек2
1 кГ-сек'/м*
1 м'ЦкГ-сек3)
1 *Г/*а
1 кГ/«я
1 кГ-сек/м?
1 *г
1 к«ал
1 ккал/(кГ-г,оо(Э)
1 ккал/(кГ-град)
1 ккал/кГ
1 ^/{^.«к.;™*})
Метр Ок)
Килограмм (кг)
Секунда (сек)
Градус (по шкале
Кельвина, К)
1 м/сек
1 м/сек*
9,81 */«/?*
9,81 кг/л*
0,102 -к'/кг
9,81 я/**
9.81 н/мя
9,81-104 н/м1
9,81 н-сек/м*
9,81 дж
9,81 ег
4,19.103 <?ас
4J9-I03 дж/(кг-ерад
4.19-103 ет/*г
4.19-103 вт/Ш-град)

Коэффициент
Коэффициент
Постоянная
Ю
Газовая посто
Универсальная
постоянная [?0]
бозначенне
тешюпро-
лучеислус-
ая Стефа-
Больцмана
нная [R]
газовая
Система МКГСС
1 ккал/(м-сек-град)
1,36-10-11 ккал1{м*Х
Хсек-град*)
14 I-105 кГ-м/град
1 кГ»КкГ-гра<»
1,99 «юиДгроЭХ
Хыоль) -847,82 «ГХ
хл/(грой-клолб)
Продолж
4,19- 10э
5.67.10-а
1,38-10-
№кг таблицы
ая система (СИ
П (М-град)
а дж-град
9.81 джЦкг-град)
8,31-103
Х«
ЫЦградХ

•"СрАржаников Н С. Мальцев В. Н. Аэродинамика. Оборон-
гиз, 1956.
2 Аржаников Н. С, Садекова Г. С. Аэродинамика больших ско-
ростей. «Высшая школа», 1965.
вом потоке газа. «Наука», 1965.
w*4. Гинзбург Н. П. Аэродинамика. «Высшая школа*, 1966.
5. Иров Ю. Д. [и др.]. Газодинамические функции. «Машиностроение»,
6. К и б а р д и н Ю. А. [и др.1. Атлас газодинамических функций при боль-
ших скоростях и высоких температурах воздушного потока. Госэнергоиз-
'7 Кочии Н. Е. [и др.]. Теоретическая гидромеханика. Ч. I, И. Фнзмат-
гиэ, 1963.
"8. Красил ьщикова Е. А. Крыло конечного размаха в сжимаемом
потоке. Гостехиздат, 1962.
9. Краснов Н. Ф. [и др.]. Аэродинамика ракет. «Высшая школа», 1968.
0. Краснов Н. Ф. [и др.]. Прикладная аэродинамика. «Высшая шко-
ла», 1974.
11. Кузнецов С. И. Диаграммы н таблицы течения диссоцннрз
воздуха около клнна, конуса и выпуклой поверхности. Оборонгиэ, 1962.
12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. Гос-
техиздат, 1968.
ИЗ. Лебедев А. А., Че р н о б ров к н н Л. С. Динамика полета. «Ма-
^14. Лойц'янский Л. Г. Механика жидкости и газа. «Наука». 1970.
15. Мартынов А. К. Экспериментальная аэродинамика. Оборонгиз, 1951.
ИбЗМхитарян А. М. Аэродинамика. «Машиностроение», 1970.
Vt7. Остославскнй И. В.. Стражева И. В. Динамика полета. Тра-
ектории летательных аппаратов. Оборонгиэ, J963.
18. Предводителев А. С. |н др.]. Термодинамические функции воздуха
для температур от 1000 до 12000 К и давлений от 0,001 до 1000 атм (графики
функций). Иэд-во АН СССР, J960.
19. Предводителев А. С. (и др.]. Таблицы термодинамических функ-
ций воздуха (для температур от 6000 до 12 000 К и давлений от 0,001 до
1000 атм). Изд во АН СССР, 1957.
л». 1965.
21. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. «Нау-
ка», 1965.
22. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. 2. «Наука», 1970.
23 Фабрикант И. Я. Аэродинамика. «Наука*. 1964
24. Христиэнович С А Обтекание тел газом при больших скоростях.
Труды ЦАГИ, №481. 1940.
25. Ч а п л ы г и н С. А. О газовых струях. Изд. ГТТИ. 1949.
26. Общая теория аэродинамики больших скоростей. Под ред. проф Паннч-
кина И А. Воеииэдат, 1962.
27. Исследование гиперзвуковых течений. «Мир». 1964.
28. Курант Р.. Фридрихе К Сверхзвуковое течение и ударные вол-
ны ИЛ J950.
29 Лнппман Г., Рошко А. Элементы газовой динамики. ИЛ, 1960.
30. Феррн А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. Гостехиэдат, 1953.
3!. Хейз У. Д, Пробстин Р. Ф. Теория гиперэвуковых течений.
ИЛ, 1962.
32. Хилтон У. Ф. Аэродинамика больших скоростей. ИЛ., 1955.
379

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава I. Основные сведения из аэродинамики 16
§ 1.1. Силовое воздействие среды на движущееся тело 16
Свойство давлений в идеальной жидкости 17
Влияние вязкости на движение жидкости 19
§ 1.2. Результирующее силовое воздействие 28
§ 1.3. Определение аэродинамических сил и моментов по извест-
ному распределению давления и касательного напряжения.
Понятие об аэродинамических коэффициентах 32
§ 1.4. Статическое равновесие и статическая устойчивость ... 42
Понятие о равновесии и устойчивости 42
Продольная статичесхая устойчивость 43
Боковая статическая устойчивость 47
§ 1.5. Основные особенности течения газа с большими скоростя-
ми 48
Сжимаемость газа 48
Разогрев газа 49
Состояние воздуха при высоких температурах 54
§ 1.6. Основные зависимости для двухатомного диссоциирующе-
Степень диссоциации '.'.'.'.'.'.'. \ .'. \ '. \ '. \ '.'. '. 59
Термодннам^еские'^оотнощелия ' 62
Динамический коэффициент вязкости '.'. ^ '.'.'.'.'.'.'.'. 63
Глава II. Кинематика жидкой среды 67
§ 2.1. Методы кинематического исследования жидкости 67
Метод Лаграижа 67
Метод Эйлера 68
Линии тока и траектории частиц 69
§ 2.2. Анализ движения жидкой частицы 70
§ 2.3. Безвихревое движение жидкости 74
§ 2.4. Уравнение неразрывности 76
Общий вид уравнения неразрывности 75
Декартова система координат 76
Криволинейная система координат 77
Уравнение неразрывности движения газа вдоль криволи-
нейной поверхности 81
Уравнение расхода 83
§ 2.5. Функция тока 84
§ 2.6. Вихревые линии 85
§ 2.7. Циркуляция скорости 86
?Г"ро™ 15
Скорости, индуцируемые вихрями
380

§ 2.8. Комплексный потенциал 91
§ 2.9. Характерные виды потоков жидкости 91
Плоскопараллельный поток 92
Плоский точечный источник и сток 92
Пространственный источник и сток 94
Циркуляционный поток (вихрь) 97
а III. Основы динамики жидкости и газа 99
§ 3.1. Уравнения движения вязкой жидкости 99
Декартовы координаты 99
Векторная форма уравнений движения 106
Криволинейные координаты 107
§ 3.2. Уравнения энергии и диффузии газа 115
Уравнение диффузии 115
Уравнение энергии 117
§ 3'3' условия3 *Равненн\мзодишшит_ Начальные и граничные ^
§ 3.4. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости . . 127
§ 3.5. Аэродинамическое подобие 132
Понятие о подобии 132
Критерии подобия, учитывающие влияние вязкости и теп-
§ 3.6. Изэнтропические течения газа'.'. '.'.'..'. 142
Форма струи газа 142
Скорость течения 143
Давление, плотность и температура 146
Истечение газа из резервуара 147
Движение несжимаемого газа (жидкости) 150
а IV. Теория скачков уплотнения > 151
§ 4.1. Физическая природа возникновения скачков уплотнения ¦ . 151
§ 4.2. Общие уравнения для скачка уплотнения 154
Косой скачок уплотнения 155
Прямой скачок уплотнения 160
$ 4.3. Косой скачок уплотнения в потоке газа с постоянными теп-
снстем^уравнений'.'..'!!! .'!!.'!!!!!!!!! ! ш
Формулы для расчета параметров газа за скачком уплот-
Угол наклона"косого скачка'уплотнения'.'. '..'..'.. '. 167
§ 4.4. Годограф скорости 170
§ 4.5. Прямой скачок уплотнения в потоке газа с постоянными
§ 4.6. Скачок уплотнения при очень больших сверхзвуковых ско-
¦ § 4.7. Решение задачи о скачке уплотнения в потоке газа с пере-
менными теплоемкостями с учетом диссоциации и иони-
зации 179
§ 4.8. Ударнзя волна в чистом диссоциирующем двухатомном
газе 183
§ 4.9. Релаксационные явления 184
Понятие о неравновесных течениях 185
Уравнение для скорости химических реакций 186
Время релаксации 188
Равновесные процессы 189
Эффекты релаксации в ударных волнах 190
i a V. Метод характеристик 193
§ 5.1. Уравнения для потенциала скоростей и функции тока . . 193
§ 5.2. Задача Коши 198

§ 5.3. Характеристики . ;
Существование хар
Свойство ортогонал
Преобразование у р.
годографа скорости
теристик 215
§ 5.5. Применение метода характеристик к решению задачи о
профилировании сопл сверхзвуковых аэродинамических
труб 223
а VI. Профиль и крыло конечного размаха в потоке несжимаемой
жидкости 227
§ 6.1. Тонкий профиль в несжимаемом потоке 227
§ 6.2 Поперечное обтекание тонкой пластинки 234
| 6.3. Тонкая пластинка под углом атаки 236
§ 6.4. Крыло конечного размаха в потоке несжимаемой жидкости 243
Глава VII. Профиль в потоке сжимаемого газа 252
§ 7.1. Дозвуковое обтекание тонкого профили 252
Линеаризация уравнения для потенциала скоростей . . .252
Зм ежду параметрами обтекан
а и поком нес
§ 7.2. Метод акад. С. А. Христиановичэ 257
Содержание метода 257
Пересчет коэффициента давления несжимаемой жидкости
на число М„>0 259
Пересчет коэффициента давления с одного числа М«,|>0
на другое М„2>0 260
Определение критического числа М 260
Аэродинамические коэффициенты 261
§ 7.3. Обтекание профиля крыла потоком со сверх критической
скоростью (M=.>M=OHp) 261
§ 7.4. Тонкая пластинка в сверхзвуковом потоке газа с постоян-
ными теплоем костям и 264
§ 7.5. Сверхзвуковой поток около профиля произвольной формы 271
Применение метода характеристик 271
Гиперзвуковое обтекание тонкого профиля 276
Тонкий профиль в маловозмущенном потоке 277
Аэродинамические силы и их коэффициенты 278-
§ 7.6. Скользящее (стреловидное) крыло бесконечного размаха 583
1 VIII. Крыло в сверхзвуковом потоке 291
§ 8.1. Линеаризованная теория сверхзвукового обтекания крыла
конечного размаха 291
Линеаризация уравнения для потенциальной функции . . . 291
Граничные условия 293
Составляющие суммарных значений потенциала скоростей ^
Особенности сверхзвукового обтекания крыльев 297
§ 8 2. Метод источников -^99
§ 83 Крьпо с симметричным профилем треугольной формы в
плане (а=0, с„=0) 31}3
Консоль крыла с дозвуковой передней кромкой 303
дозвуковыми передними кромками 30&

Бесконечное полукрыло со сверхзвуковой кромкой .... 309
Треугольное крыло, симметричное относительно осн х, со
сверхзвуковыми передними кромками 313
§ 8.4. Обтекание четырехугольного крыла с симметричным про-
филем н дозвуковыми кромками при нулевом угле атаки . 314
Передняя и средняя кромки дозвуковые, задняя — сверх-
Передняя кромкэ дозвуковая, средняя и задняя — сверх-
звуковые 326
Все кромки крыла свевхзвуковые 327
Общее соотношение для расчета сопротивления 331
§ 8.6. Область применения метода источников 332
§ 8.7. Метод диполей 334
§ 8.8. Обтекание треугольного крыла с дозвуковыми передними
кромками 336
§ 8.9. Шестиугольное крыло с дозвуковыми передними и сверх-
звуковыми задними кромками , . .347
§ 8.10. Шестиугольное крыло со сверхзвуковыми передними и
задними кромками 352
§ 8.11. Сопротивление крыльев с дозвуковыми передними кром-
§ 8.12. Аэродинамические характеристики крыла прямоугольной
формы в плане 367
§ 8.13. Метод обратимости 375
Таблица перевода единиц измерения, применяемых в аэро-
динамике, нз системы МКГСС в Международную систему
(СИ), ГОСТ 9867-61 377
Литература 379

Николай Федорович Краснов
АЭРОДИНАМИКА, Ч. I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ.
АЭРОДИНАМИКА ПРОФИЛЯ И КРЬ!
И. Б. № ЬП
Редактор В. А. Титова
Художник В. 3. Казакевич
Художественный редактор Н. К. Гуторов
Технический редактор А. К. Нестерова
Корректор Г. И Кострикова
Сдано в набор 5/V—76 г. Подл, к печати 21/Х—75 :
Бум тип № !. Объем 24 печ. л (Уел п л 24) Уч.-изд. л. 24.*
Типаж 7000 экз. Шиа I р. 09 к БЗ-23-12 от 2БЛП-76 :
ва. К-51. Неглннндя ул.. д. 29/14. Издательство «Высшая школа»
Московская типография № в Союз поли графпр они
прк Государственной коыитете Солета Министров СССР
по делан издательств, л ел н график я книжной торговле,
ХохловсннЯ пер.. 7. За к 707.